Anteprima - Circuiti elettrici 3e

Renzo Perfetti Circuiti elettrici

Terza edizione

Indicegenerale

1.7ConservazionedellapotenzaeteoremadiTellegen

2.7Combinazionidigeneratoriindipendenti

2.8Combinazionidigeneratorieresistori

3.1Analisinodale:circuiticonresistoriegeneratoriindipendenti dicorrente

3.2Analisinodalenelcasogenerale

3.3Analisidellemaglie:circuiticonresistoriegeneratori indipendentiditensione

3.4Analisidellemaglienelcasogenerale

4Trasformazioniealtretecnichedianalisi

4.1Trasformazionedeigeneratori

4.2TeoremadiMillman

4.3Trasformazionistella-triangoloetriangolo-stella

4.4Linearit`aesovrapposizione

4.5TeoremidiThevenineNorton

4.6Metodiperdeterminarelaresistenzaequivalente

4.7Teoremadisostituzione

5Amplificatorioperazionali

5.1Amplificatoreoperazionale

5.2Principaliconfigurazioniconunoperazionale

5.3Analisinodaledicircuiticonamplificatorioperazionali156

5.4Stadiincascata

5.5Unmodellopi`uaccurato

6Doppibipoliresistivi

6.1Porteedoppibipoli

6.2Rappresentazionididoppibipoliresistivilineari

6.3Parametriresistenza

6.4Parametriconduttanza

6.5Parametriibridi

6.6Parametriditrasmissione

6.7Reciprocit`aesimmetria

6.8Doppibipoliconterminazioni

6.9Doppibipoliinterconnessi

6.10Teoremadirappresentazionedeidoppibipoli

7Condensatoreeinduttore

7.1Condensatore

7.2Induttore

7.3Combinazionidicondensatorieinduttori

7.4Applicazioni

8Circuitidelprimoordine

8.1Circuiti

8.2Circuiti

8.5Transitorimultipli

8.6Rispostaagliimpulsi

8.7Casiparticolari

8.8Lafunzionedelta

8.9Applicazioni

9Circuitidelsecondoordine

9.1Circuiti RLC serieeparalleloinevoluzionelibera

9.2Circuiti RLC serieeparallelocongeneratoricostanti

9.3Circuitiautonomidelsecondoordine 290

9.4Equazionidistato

9.5Casiparticolari

9.6Applicazioni

10Analisiinregimesinusoidale

10.1Sinusoidiefasori

10.2Rispostaauningressosinusoidale 319

10.3LeggediOhmsimbolica 321

10.4Ilmetododeifasori 323

10.5Analisineldominiodeifasori 325

10.6Rappresentazioneesternadibipoli 335

10.7Sovrapposizionediregimisinusoidali

10.8Applicazioni

11Potenzainregimesinusoidale

11.1Potenzaistantaneaepotenzamedia

11.4Potenzacomplessa

11.5Conservazionedellapotenzacomplessa

11.9Applicazioni

12Circuititrifase

12.1Generatoriditensionealternata

12.2Circuititrifase

12.3Circuititrifaseconcarichiequilibrati

12.4Potenzaassorbitadauncaricoequilibrato

12.5Circuititrifaseconcarichisquilibrati

12.6Circuititrifaseaquattrofili

12.7Rifasamentodiuncaricotrifase

12.8Applicazioni

17.7Applicazioni

18Sicurezzaelettrica 631

18.1Impiantoelettricomonofase 631

18.2Protezionedasovracorrentiesovratensioni 633

18.3Effettidellacorrentesulcorpoumano 635

18.4Pericolosit`adellatensione 637

18.5Protezionedaicontattidiretti 640

18.6Protezionedaicontattiindiretti 641

18.7Sistemididistribuzioneinbassatensione 643

Appendice–Numericomplessi 647

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Prefazione

Questolibro`eun’introduzionesemplice,perquantopossibile,allostudiodei circuitielettriciedelettroniciealleloroapplicazionipratiche. ` Eadattocome libroditestopericorsidibasesuicircuitielettrici,principalmenteneicorsi dilaureainingegneriadelsettoredell’informazione,maanchedialtriambiti ingegneristici.Gliuniciprerequisitisonolenozionielementaridialgebra,fisica ecalcolodifferenziale.

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Leprincipalinovit`adiquestaedizionesonoelencatediseguito.

• Iresistorinonlinearisonotrattatiinmaggiordettaglio(capitolo2).

• Imetodigeneralidianalisi(capitolo3)sonoillustratiprimadelletrasformazionicircuitali,raccoltenelcapitolo4;quest’ultimoincludeancheiteoremi diThevenin/Nortoneilteoremadisostituzione.

• Duenuovicapitoli(5e6)sonodedicati,rispettivamente,agliamplificatori operazionalieaidoppibipoliresistivi.Ilcapitolo6includelepropriet`adi reciprocit`aesimmetriaeleinterconnessioni.L’estensioneaidoppibipoli dinamicineldominiodeifasori`epresentatanelcapitolo15.

• Lafunzionegradinoel’impulsodiDiracsonointrodottinellostudiodei circuitineldominiodeltempo(capitolo8).

• Neicapitoli8e9sifornisconomaggioridettaglisullasoluzionedelleequazionidifferenzialidelprimoedelsecondoordineesichiariscelarelazione traleequazionidistatoelerappresentazionideidoppibipoliresistivi.Si illustrano,inoltre,alcunicasiparticolaridicircuitidinamici,comeicircuiti degeneriequellisemplicementestabili.

• Ilcapitolosuicircuititrifase`estatoampliato(capitolo12).

• Nelcapitolo13,dedicatoall’accoppiamentomagnetico,sonointrodottii circuitimagnetici.

• Ilcapitolo14,sullarispostainfrequenza,`estatoriscrittoeincludeoraanche idiagrammidiBode.

• Nelcapitolo16siillustralaconvoluzionetraduesegnalienelcapitolo17si chiariscelarelazioneconlefunzioniditrasferimentoneldominiodiLaplace.

• Ilcapitolo18`ededicatoaiconcettidibasesullasicurezzaelettrica,spesso presentineicorsidilaureadiprimolivelloiningegneria.

• Inumericomplessisonorichiamatiinappendice.

Ringraziamenti

Desideroesprimerelamiagratitudineatuttolostaffdellacasaeditrice Zanichelli,lacuiprofessionalit`aharesopossibilelarealizzazionedellibro.In particolareringrazioMarikaDeAcetis,responsabileeditoriale,pericommenti,isuggerimentielescadenzechemisonostatidigrandeaiuto.Ringrazio inoltreSilviaMaschiodiCompomatche,ancheinquestaedizione,hacurato l’impaginazioneegliaspettigrafici.

Infine,ungraziespecialeamiamoglie,Cristina,eanostrofiglio,Emanuele, perlapazienza,ilsupportoelacomprensione.

RenzoPerfetti

Doppi bipoli resistivi

Un bipolo è caratterizzato da una tensione, una corrente e una relazione caratteristica. Il doppio bipolo è una generalizzazione del bipolo, con due tensioni, due correnti e due relazioni caratteristiche. Alcuni elementi ideali studiati nei capitoli precedenti, come i generatori controllati e l’amplificatore operazionale ideale, sono esempi di doppi bipoli elementari; altri esempi sono il giratore e il trasformatore ideale, introdotti in questo capitolo. Più in generale, una parte di circuito accessibile da tre o quattro terminali esterni, si può descrivere con un doppio bipolo. In questo modo circuiti complessi si riducono all’interconnessione di pochi moduli, descritti da pochi parametri, facilitando l’analisi e il progetto.

6.1 Porte e doppi bipoli

6.2 Rappresentazioni di doppi bipoli resistivi

6.3 Parametri resistenza

6.4 Parametri conduttanza

6.5 Parametri ibridi

6.6 Parametri di trasmissione

6.7 Reciprocità e simmetria

6.8 Doppi bipoli con terminazioni

6.9 Doppi bipoli interconnessi

6.10 Teorema di rappresentazione dei doppi bipoli

6.11 Applicazioni

Analisi per piccoli segnali del transistor

6.1PORTEEDOPPIBIPOLI

Unacoppiaditerminalisidefinisce porta se lacorrentecheentradaunterminale`eugualeaquellauscentedall’altro, inogniistante.Ilbipolo`euncircuito conunaporta(FIGURA6.1a).In FIGURA6.1b ` emostratounquadripolocondue porte.Esso`ecaratterizzatoesternamentedaduetensionieduecorrenti(v1 , v2 , i1 , i2 ),perci`olochiameremo doppiobipolo o biporta 1

Nelseguito,ilversodiriferimentodellacorrentediportasiassumer`asempre coordinatoconlapolarit`adellacorrispondentetensione,comeindicatoin FI-

1 Ilterminebiporta`eunatraduzionedell’espressioneanglosassone two-port usataperindicareun circuitocondueporte;analogamenteilbipolo`echiamato one-port

FIGURA6.1 (a)Bipolo; (b)doppiobipolo.

FIGURA6.2

Generatoredicorrente controllatoincorrente.

GURA6.1.Unaprimaconseguenzadelvincolosullecorrentiriguardailcalcolo dellapotenzaassorbita,cheperundoppiobipolohalaseguenteespressione2

FIGURA6.3

Amplificatore operazionaleideale.

Permodellareilcomportamentodimolticomponenticircuitalisiimpiegano elementiidealiadueporte.Alcunisonostatiintrodottineicapitoliprecedenti, comei generatoricontrollati. Inquestocasounaporta`ecostituitadaiterminalidicontrollo(FIGURA6.2);infatti,siailcortocircuitosiailcircuitoaperto soddisfanoilvincolosullecorrenti.

Anchel’amplificatoreoperazionaleideale (FIGURA6.3)`eundoppiobipolo:unaportacorrispondeaiterminalidiingresso,conentrambelecorrentinulle. L’altraporta`eformatadalterminalediuscitaedalterminalediriferimento.

Il giratore `eunelementoidealedescrittodallerelazioniseguenti:

dove G ` eunacostanterealepositiva(rappresentaunaconduttanza).Ilsimbolo delgiratore`emostratoin FIGURA6.4a,mentrein FIGURA6.4b ` emostratoun modelloequivalenteconduegeneratoricontrollati.

FIGURA6.4

(a)Simbolodelgiratore. (b)Circuitoequivalente conduegeneratori controllati. (c)Giratoreconla porta2chiusaconun caricoresistivo.

Calcolandolapotenzaassorbitaconl’espressione(6.1)siottiene

dunqueilgiratore nonassorbeenonerogapotenza (`eneutrodalpuntodivista energetico).

Consideriamoilgiratoremostratoin FIGURA6.4c,dovelaporta2`echiusa conuncaricodiresistenza RL .Utilizzandolerelazionidelgiratore,ericordando che v2 = RL i2 ,abbiamo:

2 Ingeneralelapotenzaassorbitadaunquadripolo`elasommaditretermini(formula(1.14)del capitolo1con N =4).

resistori(FIGURA6.11a)eiltriangolodiresistori(FIGURA6.11b)sonodueesempi. Untripolosicomportasemprecomeundoppiobipolopoich´ehaduesolecorrenti indipendenti, i1 e i2 (laterzasiricavaconlaLKC).

FIGURA6.10

(a)Tripolo. (b)Tripolocollegatoa quattroterminali;quelli inferiorisonounitidaun cortocircuito.

Aognitripolocorrispondonotredoppibipolidistinti,chedipendonodalla sceltadelterminalecomune.Peresempio,iltransistorBJT`eimpiegatocon l’emettitorecomune,comein FIGURA6.12a,oconlabasecomune,comein FIGURA6.12b

FIGURA6.11

(a)Retea T (b)Retea π

FIGURA6.12 (a)BJTaemettitore comune; (b)BJTabasecomune.

6.2RAPPRESENTAZIONIDIDOPPIBIPOLI RESISTIVILINEARI

La FIGURA6.13 mostraundoppiobipoloconleportechiusedaduebipoli. Ciascunbipolo`ecaratterizzatodaunarelazionetraunatensioneeunacorrentediporta.Poich´eleincognitesonoquattro(duetensionidiportaedue correntidiporta)occorronoaltreduerelazioni,relativealdoppiobipolo,per ottenereunsistemadiquattroequazioniindipendenti.Pertanto,perdescrivere ilcomportamentoesternodiundoppiobipolosononecessarie duerelazioni caratteristiche

Undoppiobipolosidice resistivolineare quandolerelazionicaratteristiche sonoistantaneeelineari.Esempididoppibipoliresistivilinearisonoiltrasformatoreideale,ilgiratoreeigeneratoricontrollati;iltransistor`eresistivoma non`elineare(lerelazionitralevariabilisonolefunzioninonlinearimostrate nella FIGURA3.37).Seildoppiobipoloresistivolineare`eprivodigeneratori indipendenti,lerelazionicaratteristichehannoespressioni implicite deltipo:

Suddividendolequattrograndezzediportainduevariabiliindipendentiedue variabilidipendenti,lerelazioni(6.6)possonoessereriscritteinforma esplicita.Poich´eesistonoseimodidiversidiesprimereduevariabiliinfunzionedelle altredue,perundoppiobipoloresistivolineareabbiamole seirappresentazioni riassuntein TABELLA6.1.Glielementidellematriciprendonoilnomedi parametri deldoppiobipolo.

TABELLA6.1 Leseirappresentazionideidoppibipoliresistivilineari3

Laprimarappresentazioneesprimeletensioniinfunzionedellecorrenti,perci`o siparladirappresentazione controllataincorrente.Laseconda`eunarappresentazione controllataintensione.Nellerappresentazioniconlematrici

FIGURA6.13

ibride levariabiliindipendentisonolacorrentediunaportaelatensionedell’altraporta.Le matriciditrasmissione mettonoinrelazionelegrandezze diunaportaconquelledell’altra(inpraticasiutilizzalasolamatrice T).

Peresempio,perigeneratoricontrollati(introdottinelparagrafo2.10)si verificanofacilmenteleseguentirappresentazioniconlematrici(nell’ordine) R, G,H e H :

Gen.tensionecontrollatoincorrenteGen.correntecontrollatointensione

Gen.correntecontrollatoincorrenteGen.tensionecontrollatointensione

Il giratore (i1 = Gv2 ,i2 = Gv1 )halaseguenterappresentazioneconlamatrice delleconduttanze

(6.8)

Il trasformatoreideale (v1 = v2 /n,i1 = ni2 )halaseguenterappresentazione conlamatriceditrasmissione v1 i1 = 1/n 0 0 n v2 i2 (6.9)

Leseirappresentazioniin TABELLA6.1 sonoequivalenti,perci`o`epossibilepassaredaunarappresentazioneall’altra.Peresempio,`eevidenteche G = R 1 quindi G = 1 ΔR r22 r12 r

dove

` eildeterminantedi R.Analogamente H = H 1 e T = T 1 .Comeulteriore esempio,ricaviamolamatrice T apartiredalla H.Abbiamo: v1 = h11 i1 + h12 v2 (6.10a) i2 = h21 i1 + h22 v2 (6.10b)

Siricava i1 dalla(6.10b) i

esisostituiscenella(6.10a):

(6.11)

Lerelazioni(6.12)e(6.11),nell’ordine,corrispondonoallarappresentazionecon iparametriditrasmissione;lamatriceditrasmissione`equindi

doveΔH ` eildeterminantedi H.

TABELLA6.2 RelazionitraleprimecinquerappresentazioniinTABELLA6.1

Esempio6.1

Conunprocedimentoanalogosipossonoricavaretutteleformuledipassaggio tralerappresentazioni,mostratein TABELLA6.2.Nellaprimarigadellatabella troviamolamatrice R espressainfunzionedeiparametri r,g,h,h e ABCD. Nellaprimacolonnasonomostratelecinquematriciespresseinfunzionedei parametri r .IlsimboloΔindicaildeterminantedellamatricecorrispondente (peresempioΔG = g11 g22 g12 g21 `eildeterminantedellamatrice G).

Dalla TABELLA6.2 sinotacomeilpassaggiodaunarappresentazioneall’altra richiedeladivisioneperalcunequantit`achepotrebberoesserenulle,perci`oun doppiobipolo nonpossiedenecessariamentetuttelerappresentazioni.SeΔR `e nullolarappresentazione G nonesiste;analogamente,se g11 oppure r22 sono nullilamatrice H nonesiste.Altroesempio:ciascungeneratorecontrollato possiedelamatrice T,masolounadellematrici R, G, H e H .

Ricavaretuttelerappresentazionideltrasformatore ideale.

Soluzione Lerelazionicaratteristichesono:

v2 = nv1 (6.13a)

i2 = 1 n i1 (613b)

Le(6.13)corrispondonoallaseguenterappresentazioneconlamatriceditrasmissioneinversa

v2 i2 = n 0 01/n v1 i1

eallaseguenterappresentazioneconlamatricedi trasmissione

v1 i1 = 1/n 0 0 n v2 i2 (6.14)

Lerelazioni(6.13)sipossonoriscriverecome

v1 = 1 n v2

i2 = 1 n i1

ecorrispondonoallarappresentazioneconlamatrice ibrida H: v1 i2 = 01/n 1/n 0 i1 v2

Lamatrice H ` einvertibile,quindiabbiamola seguenterappresentazioneconlamatriceibrida inversa:

i1 v2 = 0 n n 0 v1 i2

Il trasformatoreideale nonpossieden´elamatrice R

n ´ elamatrice G,poich´enon ` epossibileesprimerele tensioniinfunzionedellecorrentioviceversa.

Neiparagrafiseguentisiesaminanolepropriet`adeidiversiinsiemidiparametri mostratiin TABELLA6.1.

6.3PARAMETRIRESISTENZA

Iparametridiundoppiobipolosipossonodeterminareconparticolaricondizionidichiusuradelleporte.Perverificarloconsideriamolerelazioniconi parametriresistenza:

(6.15a)

(6.15b)

Ponendo i2 =0abbiamo

perci`oiparametri r11 e r21 possonoesseredefiniticonleseguentiformule:

(6.16a)

Analogamente,ponendo i1 =0siottiene

ovvero

(6.16b)

Leformule(6.16a)corrispondonoalloschemain FIGURA6.14a.Laporta2`e aperta(i2 =0),mentreallaporta1`ecollegatoungeneratoreindipendentedi corrente.Iparametrisiottengonodividendounatensioneperlacorrentedel generatore.Ilparametro r11 rappresentala resistenzadiingresso dellaporta 1; r21 ` ela resistenzaditrasferimento dallaporta1allaporta2.

Leformule(6.16b)corrispondonoalloschemain FIGURA6.14b: r22 ` elaresistenzadiingressodellaporta2; r12 `elaresistenzaditrasferimentodallaporta 2allaporta1.Tuttiequattroiparametrisiottengonoaprendounadelleporte,perci`o R ` echiamataanche matricedelleresistenzeavuoto.Glischemi in FIGURA6.14,oltreafacilitareicalcoliperricavareiparametri,forniscono un’interpretazionecircuitaleeunmetodopraticoperlamisura.

FIGURA6.14 (a)Schemaper determinare r11 e r21 ; (b)schemaper determinare r12 e r22

Esempio6.2

Ricavarelamatrice R perlaretea T in FIGURA6.15 utilizzandoledefinizioni(6.16).

FIGURA6.15 Retea T

Soluzione Consideriamolaporta2apertae laporta1chiusaconungeneratoredicorrente (FIGURA6.16a).Abbiamo v1 =(R1 + R3 )i1 ⇒ r

FIGURA6.16

Raccogliendoirisultatiprecedentiabbiamo: R = R1 + R3 R3 R3 R2 + R3 (6 17)

Uncasoparticolare,mostratoin FIGURA6.17,siottieneeliminandodallaretea T iresistori R1 e R2 ; lamatricedelleresistenze ` e R = RR RR (6 18)

Consideriamooralaporta1apertaelaporta2 chiusaconungeneratoredicorrente(FIGURA6.16b). Abbiamo

Poich´ela(6.18)non ` einvertibile,perildoppiobipolo in FIGURA6.17 lamatrice G nonesiste. R

FIGURA6.17

Circuitoequivalente

ApplicandolaLKT`efacileverificarechelerelazioni

v1 = r11 i1 + r12 i2 v2 = r21 i1 + r22 i2

corrispondonoalquadripolomostratoin FIGURA6.18.Sinotilapresenzadei generatoricontrollati,cherappresentanol’interazionetraleporte.

Unquadripolocomunquecomplessopu`oesseresostituitodalcircuitoequivalentein FIGURA6.18,purch´esicomportidadoppiobipolo(epurch´eesistala rappresentazioneconiparametriresistenza).

FIGURA6.18

Resistoriinseriealleporte

Iresistorichesitrovanoinseriealleportepossonoessereinclusineldoppio bipolo,modificandonelarappresentazione(FIGURA6.19).Infattitaliresistori sonoinserieairesistoridiresistenze r11 e r22 in FIGURA6.18,pertantoildoppio bipolocomplessivohalaseguentematricedelleresistenze:

Resistoreinseriealterminalecomunediuntripolo

Ilresistorein FIGURA6.20 pu`oessereinclusoneltripolomodificandonelarappresentazione.Latensione v ` eugualea R(i1 + i2 )quindipossiamoscrivere:

Pertantoildoppiobipolocomplessivohalaseguentematricedelleresistenze:

FIGURA6.20

Unresistorecollegatoal terminalecomunediun tripolo.

FIGURA6.19

Risposta in frequenza

L’impedenza dei bipoli dinamici dipende dalla pulsazione, perciò il comportamento di un circuito dinamico in regime sinusoidale cambia con la frequenza del generatore. Sebbene in alcune applicazioni i circuiti in regime sinusoidale operino a una singola frequenza, per esempio i circuiti alimentati direttamente dalla rete di distribuzione elettrica, spesso siamo interessati a studiare un circuito al variare della frequenza. La dipendenza dalla frequenza è alla base di numerose applicazioni dei circuiti lineari nelle telecomunicazioni, nell’elettronica di consumo e nei sistemi di controllo. In questo capitolo vedremo come si può descrivere la dipendenza dalla frequenza mediante opportune funzioni, e come tali funzioni si rappresentano graficamente. Lo studio nel dominio della frequenza sarà applicato in particolare ai circuiti risonanti e ai filtri.

14 CAPITOLO

14.1 Risonanza parallelo

14.2 Risonanza serie

14.3 Funzioni di rete

14.4 Filtri passivi

14.5 Filtri attivi

14.6 Variazione di scala

14.7 Diagrammi di Bode

14.8 Applicazioni Rete di crossover

14.1RISONANZAPARALLELO

Ladipendenzadallafrequenza`edovutaaglielementidinamici.L’impedenzadell’induttore`e ZL = jωL eilgraficodellareattanza ωL ` emostratoin FIGURA14.1a.L’impedenzadelcondensatore`e

ZC = 1 jωC = j ωC

Ilgraficodellareattanza`emostratoin FIGURA14.1a.In FIGURA14.1b sono mostratiigraficidellecorrispondentisuscettanze.

FIGURA14.2

Ibipolidinamiciper

ω =0 e ω →∞

FIGURA14.3

Circuito RLC paralleloin regimesinusoidale.

Neigraficiin FIGURA14.1 ilvalore ω =0corrispondealregimecostante;intal caso,comesappiamo,l’induttoresicomportacomeun cortocircuito (X =0),il condensatorecomeun circuitoaperto (B =0).Per ω →∞ l’induttoresicomportacomeun circuitoaperto (B =0),ilcondensatorecomeun cortocircuito (X =0).Ilcomportamentodeibipolidinamiciper ω =0e ω →∞ `eriassunto in FIGURA14.2

Is +

R

In FIGURA14.3 ` emostratoilcircuito RLC paralleloinregimesinusoidale. L’ammettenzadelbipolonelriquadro`e

Ilterminetraparentesi`elasuscettanzadelparallelo L//C

chesiannullaper ω ugualea

FIGURA14.4

Suscettanzadelbipolo nelriquadroin

FIGURA14.3.

Ilgraficodi B (ω )`emostratoin FIGURA14.4.Per ω<ω0 prevalel’effetto dell’induttore(lasuscettanza`enegativa).Per ω>ω0 prevalel’effettodelcondensatore(lasuscettanza`epositiva).In ω0 lasuscettanza`enulla(ilparallelo L//C ` euncircuitoaperto).Per ω =0e ω →∞ lasuscettanzatendea ±∞ (unodeiduebipolidinamicisicomportacomeuncortocircuito).L’andamento dellasuscettanzain FIGURA14.4 determinaquellodell’impedenza Z =1/Y.Il moduloel’angolodell’impedenzasonoillustratiin FIGURA14.5.

Incorrispondenzadellapulsazione ω0 ilmodulodi Z ` emassimoel’angolo` e nullo(Z = R).Quindiin ω0 latensione V = ZIs haampiezzamassimaed ` einfaseconlacorrentedelgeneratore.Diversisistemifisicimostranouna rispostaaccentuataquandolafrequenzadellasollecitazioneesternaassumeun valoreparticolare.Perindicaretalefenomenosiusailtermine risonanza,ela frequenzapercuisimanifestavienedetta frequenzadirisonanza.Nelcircuito RLC paralleloilfasore V ` elarispostaallacorrentedelgeneratore,pertanto diremocheallapulsazione ω0 ilcircuito`einrisonanza(ω0 ` ela pulsazionedi risonanza)

Ricaviamolegrandezzedelcircuitoincondizionidirisonanza(FIGURA14.6). Ilparallelo L//C ` eun circuitoaperto,perci`olacorrente I ` enulla.ConlaLKC siricava IR = Is =⇒ V = RIs IL + IC

Q ` eil fattorediqualit` a delcircuito,definitodallaseguenteespressione:

Pertanto

Poich´eilfattorediqualit`apu`oassumerevalorielevati,lacorrentechecircola nelcondensatoreenell’induttorepu`oavereampiezzamoltopi`ugrandediquelladelgeneratore.Talecorrentepotrebbeesserecos`ıelevatadadanneggiarei componenti.

FIGURA14.5

(a)Modulo dell’impedenza; (b)angolodell’impedenza (`eladifferenzadifasetra latensioneelacorrente delgeneratore).

Duranteiltransitorioilgeneratoretrasferisceenergiaaglielementidinamici;a regime,essendonullalacorrente I,taleenergiarimaneconfinatanellamaglia formatadalcondensatoreedall’induttore.Perci`o,incondizionidirisonanza, l’energiaimmagazzinatanelcircuito`ecostante.Lapropriet`a`estataverificata nelparagrafo9.1perilcircuito LC ;l’energiaimmagazzinata` e

=

L’energia dissipata inunperiodo T =2π/ω0 siottienemoltiplicandoper T la potenzamediadissipatanelresistore:

Circuito RLC paralleloin risonanza.Lacorrente I ` e nulla.

FIGURA14.6

Ilrapportotral’energiaimmagazzinatael’energiadissipatainunperiodo` e

Esempio14.1

Nelcircuitoin FIGURA14.7 is (t)=sen(ωt) A;inoltre R =50Ω, L =0,1 mH, C =4 μF.(a)Ricavareilvaloredi ω percuil’ampiezzadellatensione v (t) inregimesinusoidale ` emassima.(b)Verificare larelazionetra Q,energiaimmagazzinataedenergia dissipataallapulsazionedirisonanza. iv s +

Ilfasoredellacorrentenell’induttore ` e

IL = IC = jω0 C V = = 50 × 103 × 4 × 10 6 × 50= 10

Lacorrentenell’induttorevale

iL (t)= 10cos(ω0 t) A

L’energiaimmagazzinatanell’induttore ` e

wL =(1/2)Li2 L = =(1/2) × 0,1 × 10 3 × 100cos2 (ω0 t)= =5cos2 (ω0 t) mJ

Soluzione (a)Ilvaloredi ω percuil’ampiezzadellatensione v (t) ` emassimacoincideconlapulsazione dirisonanzachevale

0,1 × 10 3 × 4 × 10 6

= 1 √4 × 10 10 = 105 2 =50 krad/s (b)Ricaviamoprimalapotenzamediadissipataalla risonanza.Lacorrentenelresistorecoincideconla correntedelgeneratoreperci` o

P =(1/2)R|Is |2 =25 W Ilfasoredellatensione ` e

V = RIs = 50j pertanto

v (t)=50sen(ω0 t) V

L’energiaimmagazzinatanelcondensatore ` e

wC =(1/2)Cv 2 = =(1/2) × 4 × 10 6 × 502 sen 2 (ω0 t)=

=5sen2 (ω0 t) mJ

pertantol’energiatotale ` e

w0 = wL + wC =5 mJ

Ilfattorediqualit` a ` e

Q = ω0 RC =50 × 103 × 50 × 4 × 10 6 =10

Conla(14.4)abbiamo

Q =2π 5 × 10 3 25 × 2π 50 × 103 =10

Larghezzadibanda

Ilgraficodelmodulodell’impedenzahauntipicoandamento acampana con ilmassimoin ω0 (FIGURA14.8).Pervalutarela“larghezza”dellacurvasiintroduconolepulsazioni ω1 e ω2 ,definitecomeivaloridi ω percuiilmodulo dell’impedenza`eridottodiunfattore1/√2rispettoalvaloremassimo(circa

FIGURA14.7

il70%).Incorrispondenzadi ω1 e ω2 anchel’ampiezzadellatensione`eridotta dellostessofattore,quindilapotenzadissipatanelresistore`edimezzatarispetto allamassimapotenza.Perci` o ω1 e ω2 sonochiamate pulsazioniamet`apotenza

Perricavarelepulsazioniamet`apotenzaconvieneriscriverel’impedenzanel seguentemodo:

Poich´ e

l’espressioneprecedenteequivaleallaseguente:

Ilmodulo` e

Lepulsazioni ω1 e ω2 siottengonoquandoildenominatorevale √2quindi soddisfanolaseguenteequazione

lecuisoluzionipositivesono

Incorrispondenzadi ω1 e ω2 l’angolodell’impedenzavale ±45◦ (ildenominatore della(14.5)`e1 ± j ).Dalla(14.6)siottienela larghezzadibanda delcircuito risonante:

Inoltresiverificache ω1 ω2 = ω 2 0 ,ovverolapulsazionedirisonanza`elamedia geometricadellepulsazioni ω1 e ω2 :

2 (14.8)

FIGURA14.8

Ingenerale ω0 non`ealcentrodell’intervallo(ω1 ,ω2 )tuttavia,per Q> 5,la (14.6)`ebenapprossimatadallarelazioneseguente,

Intalcaso ω0 ∼ = (ω1 + ω2 )/2. Aparit`adi ω0 , lalarghezzadibanda`einversamenteproporzionalealfattore diqualit`a.Supponendodifissare L e C ediaumentare R siottengonolecurve mostratein FIGURA14.9 (ilfattorediqualit` a Q = ω0 RC ` eproporzionalea R).

FIGURA14.9

Modulodell’impedenza pertrevaloridelfattore diqualit`a:

Esempio14.2 ....................................................................................

La FIGURA14.10 rappresentailmodulodellatensione diuncircuitorisonanteparalleloconampiezzaunitariadellacorrentedelgeneratore.Ricavareivalori approssimatideglielementi.

FIGURA14.10

Soluzione Ilvaloremassimodellatensione ` e R|Is | =10 V ,perci`olaresistenzavale10 Ω.Lafre-

quenzadirisonanza ` e 700Hz.Lalarghezzadibanda sipu`ostimaredalgrafico,trovandolefrequenzea met`apotenza(incorrispondenzadellequalilatensione ` ecirca 10 × 0,7=7 V );questesonodistanziate di 80Hz,percui Q = f0 Bf = 700 80 ∼ = 8,75

Utilizzandol’espressionedi Q abbiamo Q = ω0 RC =2π 700 × 10 × C =8,75

dacuisiricava C ∼ = 0,2 mF Infinedallarelazione

LC = 1 ω 2 0

ricaviamo L ∼ = 0,26 mH

14.2RISONANZASERIE

In FIGURA14.11 ` emostratoilcircuito RLC serieinregimesinusoidale.

FIGURA14.11

Circuito RLC seriein regimesinusoidale. I R + –

L’impedenzadelbipolonelriquadro`e

(jω )= R + jωL +

Ilterminetraparentesi`ela reattanza dellaserie L-C

chesiannullaper ω ugualea

Ilgraficodi X (ω )`emostratoin FIGURA14.12.In ω0 lareattanzasiannulla(la serie L-C ` euncortocircuito).Per ω =0e ω →∞ lareattanzatendea ±∞ (unodeiduebipolidinamicisicomportacomeuncircuitoaperto).

L’andamentodelmoduloedell’angolodell’ammettenza Y=1/Z sonorappresentatiin FIGURA14.13.Incorrispondenzadi ω0 ilmodulodi Y `emassimo el’angolo`enullo(Y =1/R),quindilacorrentehaampiezzamassimaed`e infaseconlatensionedelgeneratore.Ancheinquestocaso ω0 rappresentala pulsazionedirisonanza

FIGURA14.12

Reattanzadelbipolonel riquadroinFigura14.11.

Vediamoindettagliocosaaccadenelcircuitoincondizionidirisonanza(FIGURA14.14).

FIGURA14.13

Laserie L-C equivaleaun cortocircuito,perci`olatensione V `enulla.ApplicandolaLKTsideduce

R = Vs =⇒ I = Vs /R

Q ` eil fattorediqualit`a definitodallaseguenteespressione:

FIGURA14.14

Circuito RLC seriein risonanza.Latensione V ` enulla.

Esempio14.17

DisegnareildiagrammadiBodedelmoduloperilcircuitoin FIGURA14.78 (larisposta ` elatensionedel resistore).Ivalorideglielementisono: R =0,5Ω, L =1 mH, C =1 mF

Soluzione Lafunzioneditrasferimento ` e:

H(jω )= R R + jωL + 1 jωC = = jωRC (jω )2 LC + jωRC +1 (14 64)

La(14.64)sipu`oscriverenellaformaseguente

H(jω )= K jω 1+2

dove

quindi

Sostituendoidatiabbiamo: K =0,5 × 10 3 ω0 =103 rad/s ζ =0,25

Lacostantecorrispondealvalore 20log K =20log0,5 20log103 ∼ = 66 dB

Ilfattore jω corrispondeaunarettadipendenza 20 dB/decade,chevale 0 dB per ω =1 rad/s; per ω = ω0 (tredecadidopo)larettavale 3 × 20= 60 dB,quindiilmodulo ` e 60 66= 6 dB (FIGURA14.79).Per ω>ω0 siaggiungel’effettodel fattoreadenominatorecheprovocaunapendenza risultantedi 20 dB/decade.Sommandolacorrezionein FIGURA14.75a siottieneilgraficoesatto(a trattosottile).Sinoticheilmassimosiraggiungein ω0 evale 0 dB

14.8APPLICAZIONI

Retedi crossover

Neisistemidiriproduzioneaudiosiutilizzanodueopi`ualtoparlantiperciascun canalestereo,alloscopodiriprodurrealmegliotuttalabandadellefrequenze audio(≈ 0-20 kHz).Nelcasopi`usemplicesiusanoduealtoparlanti,il woofer eil tweeter,perlariproduzione,rispettivamente,dellebassefrequenzeedelle altefrequenze.Perci`osirendenecessarioripartirelapotenzatraiduealtoparlantiinmodotalechelecomponentidibassafrequenzadelsegnalesiano inviateal woofer equelledialtafrequenzaal tweeter .Ci`osirealizzacollegandol’amplificatoreaglialtoparlantiattraversouna retedicrossover,mostratain

FIGURA14.78

FIGURA14.79

FIGURA14.80a.Aifinidell’analisiciascunaltoparlantepu`oessererappresentato daunresistore(unvaloretipico`e8Ω)7 .

Tweeter

WooferTweeter V s R RR LC + –(a) (b)

Amplificatore

Woofer

Sostituendol’amplificatoreconilbipoloequivalentediTheveninsiottieneil circuitoin FIGURA14.80b.LaresistenzadiTheveninparia R siottienegraziea untrasformatore(omessoin FIGURA14.80),come`eillustratonelparagrafo13.8. L’impedenzaequivalentedeibipoli RC e RL inparallelo` e

FIGURA14.80

(a)L’amplificatore ` e collegatoaidue altoparlantiattraverso unaretedicrossover.Nel ramoinduttivo ` einserito ilwoofer;nelramo capacitivo ` einseritoil tweeter.

(b)Circuitoequivalente alloschemain(a).

Se

l’impedenza Zeq (jω )`eugualea R perogni ω (FIGURA14.81a).Intalcasola tensionediuscitadell’amplificatorenondipendedallafrequenza,garantendo l’assenzadidistorsionedelsegnaleaudio.Inoltresihamassimotrasferimento dipotenzaaiduealtoparlanti.

Ilcircuitoequivaleaduefiltridelprimoordineconlastessapulsazioneditaglio ωc =1/τ = R/L =1/(RC )(FIGURA14.81b).Ilfiltro RL passabasso hacome uscitalatensione V1 ,ilfiltro RC passaalto hacomeuscita V2 .In FIGURA14.82 sonoillustratelerisposteinampiezza;lapulsazioneditaglio`edetta pulazione dicrossover (incrocio).

7 LapotenzadissipatapereffettoJoulenelresistoreequivalente`eugualeallapotenzaassorbita dall’altoparlanteeconvertitainpotenzaacustica.

FIGURA14.81 (a)Se L/R = RC la tensionediuscita dell’amplificatorevale Vs /2

(b)Circuitoequivalente alloschemain FIGURA14.80,ottenuto conilteoremadi sostituzione.

FIGURA14.82

Risposteinampiezzadei duefiltri.Lafrequenzadi crossovercoincideconla frequenzaditagliodi entrambi.

Allebassefrequenze(ω<ωc )latensione |V1 | prevaleelapotenzadelgeneratorevienecedutaprincipalmentealramoinduttivo,cio`eal woofer.All’aumentare dellafrequenza, |V1 | diminuiscementre |V2 | aumenta:lapotenzavienetrasferitaprogressivamentealramocapacitivo,cio`eal tweeter.Allapulsazione ωc le duetensionihannolastessaampiezzadunqueglialtoparlantiricevonolastessa potenza.

Ivaloridi L e C sideterminanoimponendolafrequenzadicrossoverdesiderataelacondizione(14.65):

Ilvaloredi ωc vienesceltoinbaseallecaratteristichedeglialtoparlanti.Per esempio,perunafrequenzadicrossover fc =3 kHz ealtoparlanticon R =8Ω, siricava:

Esercizi

Nelsitodellibrosonodisponibiliglisvolgimentidegliesercizi: universita.zanichelli.it/perfetti3e

• Risonanzaparallelo

14.1 Uncircuitorisonanteparalleloha L =50 mH e C =30 mF.Ricavarelapulsazionedirisonanzaeilvalore di R assumendo Q =10.

14.2 Uncircuitorisonanteparalleloha R =5Ω, L = 100 mH e C =1 mF.Determinare Q elepulsazioniamet` a potenza.

14.3 Uncircuitorisonanteparalleloha L =5 mH, Q =6, ω0 =103 rad/s.Ricavare R e C edisegnareil moduloel’angolodell’impedenzainfunzionedi ω

14.4 La FIGURAE.1 rappresentailmodulodell’impedenzadiuncircuitorisonanteparallelo.Ricavareivalori di R, L e C .

FIGURAE.1

14.5 Misurandoladifferenzadifasetralatensioneela correntediunbipolo RLC parallelosiottienelacurvain FIGURAE.2.Allapulsazionedi300rad/sl’ampiezzadella tensione`e10voltel’ampiezzadellacorrente.Determinare ivaloridi R, L e C

FIGURAE.2

14.6 Nelcircuitoin FIGURAE.3 determinare n affinch´ e ilfattorediqualit`asiaparia10.Determinarel’impedenzavistadalgeneratoreditensioneallapulsazionedi risonanza.

FIGURAE.3

Vs 14.7 Ricavareilvaloredipulsazione ω0 > 0percui l’impedenzadeibipoliin FIGURAE.4 ` ereale.

FIGURAE.4 R R

14.8 Nelloschemain FIGURAE.5 ricavarelapotenza mediadissipatanelresistoreda2Ω,assumendoilcircuito inregimesinusoidaleconpulsazione ω =2 × 103 rad/s

FIGURAE.5

14.9* ApplicareilteoremadiTheveninaimorsetti a, b in FIGURAE.6.Ripeterel’esercizioassumendoche l’impedenzadell’induttoresia j 8Ω.

FIGURAE.6 + –

14.71 Ilcircuitoin FIGURAE.60 ` eunfiltropassabasso. Scalareilcircuitoinmodotaledaavereresistenzedi1 kΩ elafrequenzaditagliodi1kHz.

FIGURAE.60

• DiagrammidiBode

14.72 DisegnareidiagrammidiBodeperlafunzionedi trasferimento:

H(jω )= jω 5+ jω

14.73 DisegnareidiagrammidiBodeperl’impedenza delbipoloin FIGURAE.61

FIGURAE.61

50mF

14.74 DisegnareidiagrammidiBodeperlafunzionedi trasferimento:

H(jω )= 200jω (10+ jω )(2000+ jω )

14.75 DisegnareidiagrammidiBodeperlafunzionedi trasferimento:

H(jω )= (jω )2 (jω )2 + jω 200+106

14.76 Perilfiltroconilpotenziometroin FIGURAE.29 tracciareidiagrammidiBodedelmoduloneiseguenticasi: α =0,0 <α< 1 2 , α = 1 2 , 1 2 <α< 1, α =1.

14.77 Perilcircuitoin FIGURAE.62 ricavarelafunzioneditrasferimentoedisegnareidiagrammidiBodedel moduloedellafase.

FIGURAE.62 +

Applicazioni

14.78 Loschemain FIGURAE.63 rappresentaunamplificatorecollegatoall’altoparlantetramiteaccoppiamentocapacitivo.Assumendoilcircuitoinregimesinusoidale, determinarelafrequenzapercuilapotenzamediaassorbitadall’altoparlante`emassima.Calcolaretalepotenza massima.Ricavarelefrequenzeamet`apotenza.

FIGURAE.63 + –amplificatorealtoparlante 5V20mH rms 10 80nF

14.79 Quandolatensionedelgeneratorein FIGURAE.64 `elasommadisegnalidifrequenzediverse,lacondizione ZL = Zs (adattamentodiuniformit` a )garantisce l’assenzadidistorsione,poich´ e H(jω )=1/2perogni ω (Vu = Vs /2).

Assumendo ZL = Zs = R+jX ricavarelapotenzamediaassorbitadalcaricoinregimesinusoidaleeconfrontarlacon lapotenzadisponibiledelgeneratore.

FIGURAE.64 + –+ Vu Vs Zs ZL

14.80 Ilcircuitoin FIGURAE.65 consenteiltrasferimento wireless dell’energiadaungeneratoresinusoidaleaun carico(RL ).Leinduttanzeelecapacit`asoddisfanolacondizionedirisonanza ω =1/√L1 C1 =1/√L2 C2 essendo ω lapulsazionedelgeneratore.

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Prima edizione: settembre 2003

Seconda edizione: gennaio 2013

Terza edizione: luglio 2024

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Renzo Perfetti Circuiti elettrici

Terza edizione

Circuiti elettrici introduce in modo chiaro e graduale allo studio dei circuiti elettrici ed elettronici e alle loro applicazioni pratiche.

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