Anteprima - Introduzione all'analisi degli errori by zanichelli_editore

John R. Taylor

Introduzione all’analisi degli errori

Lo studio delle incertezze nelle misure fisiche

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Terza edizione

L’uso dell’analisi matematica è introdotto in modo graduale: non ne è richiesta la conoscenza nei capitoli 1 e 2, mentre compaiono alcune semplici differenziazioni nel capitolo 3 e l’integrazione nel capitolo 5. Questa edizione presenta due novità di rilievo:

John R. Taylor è professore emerito di Fisica presso la University of Colorado, a Boulder. Ha ricevuto un Emmy Award per la serie televisiva Physics 4 Fun, andata in onda dal 1988 al 1990.

Le risorse digitali

• nuovi problemi da risolvere con l’aiuto di una calcolatrice scientifica o del computer; • un capitolo sulla statistica Bayesiana che, grazie a strumenti e metodi di calcolo estremamente potenti, è sempre più diffusa negli ultimi anni. Alla fine di ogni capitolo si trovano Problemi divisi per paragrafo e proposti in ordine di difficoltà: da semplici esercizi, che richiedono un paio di minuti, a veri e propri problemi, che mettono alla prova la conoscenza di più concetti. Il testo è inoltre disseminato di Verifiche rapide, esercizi di prima applicazione dei singoli concetti.

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Introduzione all’analisi degli errori

Tutte le misure frutto di attività sperimentale, per quanto accurate e precise, sono soggette a incertezze o errori, di cui dev’essere stimata l’entità. Introduzione all’analisi degli errori è un libro pensato per chi muove i primi passi nello studio della Fisica: parte da conoscenze di base e sviluppa un percorso che porta a padroneggiare la materia, essenziale in qualunque attività di laboratorio. L’opera è divisa in due parti. I primi cinque capitoli coprono gli argomenti Fondamentali: la definizione di incertezza, la propagazione delle incertezze e le basi statistiche degli estimatori fondamentali per la loro valutazione (media, deviazioni standard e distribuzione normale). I capitoli seguenti contengono Altri argomenti, tra cui l’adattamento secondo i minimi quadrati, il coefficiente di correlazione, la distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson ed elementi di statistica Bayesiana.

Introduzione all’analisi degli errori Lo studio delle incertezze nelle misure fisiche Terza edizione

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Terza edizione

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FISICA

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John R. Taylor

L’accesso all’Ebook e alle risorse digitali protette è personale, non condivisibile e non cedibile, né autonomamente né con la cessione del libro cartaceo. TAYLOR*INTROD ANALISI ERRORI 3E LUMK

ISBN 978-88-08- 39966-3

Al pubblico  46,30   

9 788808 399663 4 5 6 7 8 9 0 1 2 (60D)

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www.zanichelli.it

FISICA

i “Taylor_23” — 2023/10/30 — 9:57 — page v — #5

Indice generale

Prefazione

Capitolo 1 Descrizione preliminare dell’analisi degli errori 1.1 Errori o incertezze 1.2 Inevitabilità dell’incertezza 1.3 Importanza di conoscere le incertezze 1.4 Ulteriori esempi 1.5 Stima delle incertezze nella lettura su una scala graduata 1.6 Stima delle incertezze nelle misure ripetibili Problemi per il Capitolo 1

1 1 2 3 4 6 7 9

Capitolo 2 Come rappresentare e usare le incertezze 2.1 Migliore stima ± incertezza 2.2 Cifre significative 2.3 Discrepanza 2.4 Confronto di valori misurati e accettati 2.5 Confronto di due misure 2.6 Verifica grafica di relazioni tra grandezze 2.7 Incertezze relative 2.8 Cifre significative e incertezze relative 2.9 Prodotto di due valori misurati Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 2 Problemi per il Capitolo 2

10 10 11 13 15 17 21 24 25 27 30 31

Capitolo 3 Propagazione delle incertezze 3.1 Incertezze nelle misure dirette 3.2 Regola della radice quadrata per esperimenti di conteggio 3.3 Somme e differenze; prodotti e quozienti 3.4 Due casi particolari importanti 3.5 Incertezze indipendenti in una somma 3.6 Ancora sulle incertezze indipendenti 3.7 Funzioni arbitrarie di una variabile

38 39 41 42 46 49 52 55

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i “Taylor_23” — 2023/10/30 — 9:57 — page vi — #6

Indice generale

3.8 La propagazione passo per passo 3.9 Esempi 3.10 Un esempio più complesso 3.11 Formula generale per la propagazione degli errori Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 3 Problemi per il Capitolo 3

58 59 62 64 68 70

Capitolo 4 Analisi statistica delle incertezze casuali 4.1 Errori casuali e sistematici 4.2 La media e la deviazione standard 4.3 La deviazione standard come incertezza in una singola misura 4.4 La deviazione standard della media 4.5 Esempi 4.6 Errori sistematici Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 4 Problemi per il Capitolo 4

83 84 86 90 92 93 95 98 99

Capitolo 5 La distribuzione normale 5.1 Istogrammi e distribuzioni 5.2 Distribuzioni limite 5.3 La distribuzione normale 5.4 La deviazione standard come limite di confidenza del 68% 5.5 Giustificazione della media come migliore stima 5.6 Giustificazione della somma in quadratura 5.7 Deviazione standard della media 5.8 Accettabilità di un risultato misurato Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 5 Problemi per il Capitolo 5

108 108 113 116 121 123 127 132 134 137 139

Capitolo 6 Rigetto di dati 6.1 Il problema del rigetto dei dati 6.2 Criterio di Chauvenet 6.3 Discussione Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 6 Problemi per il Capitolo 6

148 148 149 151 152 153

Capitolo 7 Medie pesate 7.1 Il problema di combinare misure distinte 7.2 La media pesata 7.3 Un esempio Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 7 Problemi per il Capitolo 7

155 155 156 158 159 159

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i “Taylor_23” — 2023/10/30 — 9:57 — page vii — #7

Indice generale

vii

Capitolo 8 Metodo dei minimi quadrati 8.1 Dati che dovrebbero adattarsi a una retta 8.2 Calcolo delle costanti A e B 8.3 Incertezza nella misura di y 8.4 Incertezza nelle costanti A e B 8.5 Un esempio 8.6 Adattamento secondo i minimi quadrati per altre curve Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 8 Problemi per il Capitolo 8

162 162 163 167 168 170 172 176 179

Capitolo 9 Covarianza e correlazione 9.1 Riassunto della propagazione degli errori 9.2 Covarianza nella propagazione degli errori 9.3 Coefficiente di correlazione lineare 9.4 Significato quantitativo di r 9.5 Esempi Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 9 Problemi per il Capitolo 9

186 186 187 192 195 197 198 199

Capitolo 10 La distribuzione binomiale 10.1 Distribuzioni 10.2 Probabilità nel lancio dei dadi 10.3 Definizione della distribuzione binomiale 10.4 Proprietà della distribuzione binomiale 10.5 Distribuzione di Gauss per gli errori casuali 10.6 Applicazioni; verifica delle ipotesi Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 10 Problemi per il Capitolo 10

203 203 203 204 207 210 211 216 217

Capitolo 11 La distribuzione di Poisson 11.1 Definizione della distribuzione di Poisson 11.2 Proprietà della distribuzione di Poisson 11.3 Applicazioni 11.4 Come rimuovere il rumore di fondo Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 11 Problemi per il Capitolo 11

220 220 223 226 227 228 229

Capitolo 12 Il test del chi-quadrato per una distribuzione 12.1 Introduzione al chi-quadrato 12.2 Definizione generale del chi-quadrato 12.3 Gradi di libertà e chi-quadrato ridotto 12.4 Probabilità per il chi-quadrato 12.5 Esempi Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 12 Problemi per il Capitolo 12

234 234 238 241 244 246 249 250

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i “Taylor_23” — 2023/10/30 — 9:57 — page viii — #8

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Indice generale

Capitolo 13 Statistica bayesiana 13.1 Probabilità 13.2 Due regole fondamentali per la probabilità 13.3 Probabilità condizionata e regola del prodotto migliorata 13.4 Teorema di Bayes 13.5 Un paradosso pandemico 13.6 Ancora gettoni da poker 13.7 Quanto è sbilanciata questa moneta? 13.8 Ancora monete sospette 13.9 Soluzione bayesiana per un esperimento di conteggio 13.10 Riepilogo fin qui 13.11 Metodo Monte Carlo e catene di Markov 13.12 Conclusioni Principali definizioni ed equazioni del Capitolo 13 Problemi per il Capitolo 13

256 256 257 260 262 263 265 267 272 274 276 277 280 280 281

Appendice A Integrale normale degli errori, I

287

Appendice B Integrale normale degli errori, II

289

Appendice C Probabilità per i coefficienti di correlazione

291

Appendice D Probabilità per il chi-quadrato

293

Appendice E Due dimostrazioni relative alle deviazioni standard

295

Soluzioni delle verifiche rapide e dei problemi dispari

301

Bibliografia

327

Indice analitico

329

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i “Taylor_23” — 2023/10/30 — 9:57 — page ix — #9

Prefazione

La prima edizione di Introduzione all’analisi degli errori uscì quarant’anni fa. La mia esperienza di insegnamento nel corso introduttivo al laboratorio di Fisica mi aveva convinto della necessità di un libro che introducesse davvero l’argomento per gli studenti del primo anno di Fisica. L’analisi degli errori è lo studio delle incertezze nelle misure di laboratorio ed è uno strumento essenziale per ogni scienziato. Purtroppo, c’è così tanto da imparare nel corso introduttivo di laboratorio che spesso l’analisi degli errori viene trattata in modo sbrigativo. Il libro ha avuto – e continua ad avere – un gratificante successo. È stato adottato ampiamente sia negli Stati Uniti che all’estero. È stato tradotto in nove lingue e il suo ambito è stato esteso dai dipartimenti di Fisica (dove è nato) ai dipartimenti di Chimica e Ingegneria. Questo continuo successo conferma che il libro incontrava, e continua a incontrare, una necessità reale. Ci sono stati, tuttavia, sviluppi importanti che hanno richiesto un’altra edizione. Innanzitutto c’è stato un avanzamento sorprendente nella potenza e nella disponibilità di computer e calcolatrici. L’uso di questi strumenti meravigliosi, nel corso introduttivo di laboratorio, era ai suoi esordi negli anni Ottanta, ma è cresciuto enormemente nei decenni trascorsi da allora. Per questo, ho aggiunto alcuni problemi che intendono incoraggiare chi studia a imparare l’utilizzo di questi strumenti nell’analisi delle incertezze, in generale mediante programmi di foglio di calcolo come Excel o Numbers. (E diversi altri problemi tra quelli proposti possono essere risolti con il computer, se il lettore lo desidera). Il secondo importante sviluppo degli ultimi decenni è stato un uso più frequente della statistica bayesiana. Per la maggior parte del Ventesimo secolo, i metodi bayesiani non sono stati visti con favore dalla maggioranza degli statistici “rispettabili”. Tuttavia, la loro sorprendente potenza (resa possibile dalla diffusione dei computer moderni) ha cambiato questa visione. Quindi, ho deciso che il libro avesse bisogno di un capitolo di introduzione al pensiero bayesiano. Non credo che il nuovo Capitolo 13 porti i lettori al livello degli utilizzatori esperti, ma dovrebbe almeno permettere loro di apprezzarne l’approccio in modo consapevole. A parte due cambiamenti sostanziali, ho modificato poco delle due edizioni precedenti. Come prima, il libro è suddiviso in due parti. La Parte I copre i “fondamentali”, il materiale che si vorrebbe che gli studenti imparassero nel primo anno di laboratorio: la definizione e l’importanza dell’incertezza, la propagazione delle incertezze e le loro fondamenta statistiche (la media, le varie deviazioni standard e la distribuzione normale). La Parte II contiene “ulteriori argomenti”, tra cui l’adattamento ai minimi quadrati, la correlazione, la distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson e (nel nuovo Capitolo 13) la statistica bayesiana. Questi argomenti sono trattati, per quanto possibile, in modo indipendente, così che gli studenti possano studiarli più o meno in qualsiasi ordine e quando ne sentono il bisogno.

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Prefazione

I problemi alla fine di ogni capitolo sono, come sempre, estremamente importanti. Chiunque desideri davvero capire l’analisi degli errori deve provare a risolverne qualcuno. Dopo aver letto un capitolo, provate almeno i problemi più facili (contrassegnati con una stella, *) e qualcuno di quelli più difficili (contrassegnati con due o tre stelle, ** o ***). In aggiunta ai problemi di fine capitolo (come in precedenza), ho incluso un numero di esercizi semplici distribuiti nel testo. Queste Verifiche rapide vi permettono di mettere alla prova la comprensione di quello che avete appena letto. La maggior parte di esse non dovrebbe richiedere più di un minuto per essere risolta, e vi esorto caldamente a provare a farle tutte. Se ne trovate una che non riuscite a risolvere, sarebbe meglio che rileggeste i paragrafi precedenti. Le risposte alle Verifiche rapide e ai problemi numerati dispari si possono trovare nella sezione Risposte in fondo al libro. Poiché alcuni studenti frequentano il loro primo corso di analisi matematica contemporaneamente al corso introduttivo di laboratorio, sono stato attento a introdurre l’uso dell’analisi matematica un poco alla volta: niente analisi nei Capitoli 1 e 2; qualche semplice differenziazione nel Capitolo 3 (con le derivate parziali nel paragrafo opzionale 3.11); infine, l’integrazione nel Capitolo 5. Sono molto grato a David Hogg della NYU per i numerosi commenti utili, e ai miei amici ed ex-colleghi Mike Dubson, Steve Pollock e Mark Semon. Sono ancora in debito come sempre con le molte persone che ho ringraziato nelle due precedenti edizioni. Ancora una volta, sono profondamente grato a Bruce e Kathy Armbruster e a Jane Ellis, tutti della University Science Books — aiutanti professionali che sono diventati cari amici. Le tre persone che hanno avuto l’incarico di trasformare il mio dattiloscritto in un vero libro sono Paul Anagnostopoulos, MaryEllen Oliver e Jacqui Scarlott; è stato un privilegio e un piacere lavorare con questi tre esperti. Come in passato, molte grazie a Christopher Taylor, e questa volta anche a sua figlia Elinor, per l’aiuto con il calcolo. E come sempre, niente di questo sarebbe stato possibile senza la mia amata Debby.

John R. Taylor john.taylor@colorado.edu Aprile 2022

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i “Taylor_23” — 2023/10/30 — 9:57 — page 256 — #266

Statistica bayesiana

A questo punto, dovreste ormai avere chiaro che l’analisi degli errori dipende fortemente dalla statistica. Quello che forse potrebbe sorprendere è il fatto che la teoria statistica sia ancora, dopo diversi secoli, divisa in due campi a volte contrapposti – sebbene i rapporti siano migliorati negli ultimi decenni. I sostenitori delle due scuole di pensiero sono detti frequentisti e bayesiani, nomi che spiegheremo tra poco. Una delle principali differenze tra i due campi è filosofica, relativa al significato del termine “probabilità”, come descritto nel Paragrafo 13.1. Un’altra importante differenza è l’enfasi che l’approccio bayesiano dà alla nozione di probabilità condizionata (Paragrafo 13.3) e al teorema di Bayes (Paragrafo 13.4), che prende il nome dal suo scopritore, il matematico e ministro della chiesa presbiteriana del diciottesimo secolo Thomas Bayes.[1] Vedremo che questi concetti permettono ai bayesiani di formulare, e rispondere, a domande rispetto alle quali i frequentisti non possono argomentare. L’approccio bayesiano ha attirato una crescente attenzione negli ultimi decenni, in gran parte in virtù della sua potenza, ma anche dello sviluppo di computer molto veloci e delle cosiddette tecniche Monte Carlo. A partire dal Paragrafo 13.5 forniremo alcuni semplici esempi di statistica bayesiana all’opera. Nel Paragrafo 13.11 descriveremo molto brevemente l’approccio Monte Carlo su catena di Markov. 13.1

PROBABILITÀ

Come già menzionato, uno dei principali motivi di disaccordo tra frequentisti e bayesiani riguarda la definizione di “probabilità”. In estrema sintesi, i frequentisti sostengono che la probabilità di un risultato A di un esperimento sia una proprietà oggettiva dell’esperimento; per esempio, la probabilità di ottenere un “due” (o un qualsiasi altro numero su una faccia di un dado) nel lancio di un dado regolare è una proprietà oggettiva del dado, vale a dire P (“due”) = 1/6. Il frequentista direbbe che il modo per dimostrare questa affermazione è ripetere l’esperimento molte, molte volte (diciamo N ) e contare quante volte appare un due; poi dividere questo numero per N per dare la probabilità o frequenza relativa (da cui “frequentista”) dell’occorrenza di un due. I bayesiani probabilmente non sarebbero d’accordo con quest’ultima frase – cioè su come verificare che P (“due”) = 1/6 per un dado regolare. Affermerebbero invece che, più in generale, la “probabilità” sia relativa alla nostra conoscenza (o ignoranza) dello stato delle cose, e possa cambiare con l’acquisizione di altre informazioni. Per esempio, immaginate un esperimento in cui si pongano due carte da gioco coperte sul tavolo e vi [1]

Sebbene molto del credito appartenga di fatto al matematico e astronomo francese Pierre Laplace.

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Capitolo 13. Statistica bayesiana

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si garantisca che una è nera e una è rossa. Se si invita a prendere una carta, ma senza girarla, allora indubbiamente P (“rosso”) = 1/2. Ma se poi si girasse l’altra carta e questa risultasse rossa, allora tutto d’un tratto P (“rosso”) diventerebbe 0. Per un frequentista tradizionale questo è un comportamento inaccettabile per una definizione ragionevole di “probabilità”. Abbiamo scelto di non approfondire questa difficile questione. Fortunatamente, negli esperimenti che discuteremo, la precedente definizione frequentista risulterà accettabile per entrambe le parti, e potremo godere dei benefici di entrambi i punti di vista. 13.2

DUE REGOLE FONDAMENTALI PER LA PROBABILITÀ

In questo paragrafo si discutono due regole fondamentali della probabilità: la regola della somma e la regola del prodotto. Entrambe vi sono probabilmente familiari, e sono già apparse in questo libro. Tuttavia, meritano qualche attenzione in più. LA REGOLA DELLA SOMMA La regola della somma si riferisce a un singolo esperimento e due esiti mutuamente esclusivi. Un esempio di questo tipo di esperimento potrebbe essere il lancio di una moneta, o un’estrazione singola da un mazzo di 52 carte, o il conteggio del tasso di decadimento radioattivo di un campione di uranio. Due possibili risultati di un singolo esperimento sono detti mutuamente esclusivi (o disgiunti) se non si possono verificare entrambi nella stessa prova. Quindi, nel lancio di una moneta, “testa” o “croce” sono mutuamente esclusivi. Nell’estrazione di una carta da gioco, “estrarre una carta di fiori” ed “estrarre una carta rossa” sono mutuamente esclusivi (mentre “estrarre una carta di fiori” ed “estrarre un re” non lo sono). Nell’esperimento di conteggio dei decadimenti radioattivi, “meno di 10 decadimenti al minuto” e “tra 10 e 20 decadimenti al minuto” sono mutuamente esclusivi. La regola della somma esprime la probabilità che si verifichi uno dei due risultati in termini delle loro probabilità individuali e distinte. Detti i due risultati A e B, indicheremo questa probabilità combinata come P (A oppure B) = probabilità che si verifichi A o B Con queste definizioni e notazioni, si può enunciare la regola della somma.

(13.1)

Regola della somma delle probabilità Se A e B sono due risultati mutuamente esclusivi di un esperimento, allora la probabilità combinata che si verifichi o A o B è la somma P (A o B) = P (A) + P (B)

Quindi, nel lancio di una moneta, la probabilità di una testa oppure una croce è la somma

(13.2)

P (“testa o croce”) = P (“testa”) + P (“croce”) 1 1 = + =1 2 2

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Capitolo 13. Statistica bayesiana

Cioè 1, o il 100%, riflette correttamente che, in esperimenti di lancio di una moneta, testa e croce sono le sole possibilità; quindi si deve verificare “testa o croce”. (Ignoreremo la remota possibilità che la moneta cada restando in equilibrio sul suo bordo). Nell’estrazione di una carta da gioco, la probabilità combinata di estrarre una carta di fiori o una carta rossa è la somma P (“fiori o rosso”) = P (“fiori”) + P (“rosso”) 3 1 1 = + = 4 2 4 Verifica rapida 13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nell’estrazione di una carta da gioco, qual è la probabilità di estrarre un asso o una figura (fante, regina o re)? ...................................................................................... Per alcuni, la regola della somma (13.1) sembra ovvia. Per noi, vale la pena dimostrarla, e la dimostrazione è particolarmente facile se assumiamo il punto di vista tradizionale frequentista. Quindi, se immaginiamo di ripetere l’intero esperimento molte volte (N ) e moltiplichiamo N per P (A), il risultato è il numero di volte in cui dovremmo ottenere il risultato A:

(13.3)

N · P (A) = numero di risultati A = n(A)

(Parlando in senso stretto, questo è vero esattamente solo nel limite di N → ∞, ma nelle affermazioni come la (13.3) assumeremo che N sia sufficientemente grande da poter ignorare qualsiasi discrepanza). Analogamente,

(13.4)

N · P (B) = numero di risultati B = n(B)

Sommando membro a membro queste due equazioni, otteniamo (13.5) (13.6)

N · [P (A) + P (B)] = n(A) + n(B) = n(A o B) = N · [P (A o B)]

(È qui l’importanza che i risultati A e B siano mutuamente esclusivi: per esempio, se A fosse “estrarre un fiori” e B fosse “estrarre un re”, allora “estrarre il re di fiori” sarebbe contato due volte nella (13.5), dividendo ambo i membri per N , concludiamo che P (A) + P (B) = P (A o B) come nella (13.1). La regola della somma (13.1) si estende immediatamente a un qualsiasi numero di risultati mutuamente esclusivi: se A1 , A2 , . . . , An sono tutti risultati mutuamente esclusivi di un singolo esperimento, allora la probabilità dell’evento combinato “A1 o A2 o . . . o An ” è proprio la somma delle singole probabilità: (13.7)

P (A1 o A2 o . . . o An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An )

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i “Taylor_23” — 2023/10/30 — 9:57 — page 259 — #269

Capitolo 13. Statistica bayesiana

259

In particolare, se A1 , A2 , . . . , An sono mutuamente esclusivi e rappresentano tutti i possibili risultati, allora la somma a secondo membro deve essere uguale a 1: (13.8)

n X

P (Ai ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ) = 1

i=1

Un insieme di probabilità la cui somma è 1, come nella (13.8), è detto normalizzato. Per esempio, nel lancio di una moneta, “testa” e “croce” hanno questa proprietà (vedi (13.2)). Nel lancio di un dado, per le uscite “1”, “2”, . . ., “6” vale lo stesso: (13.9)

6 X

P (“i”) = 1

i=1

poiché il dado deve cadere mostrando necessariamente una delle sue facce. Verifica rapida 13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In un dato esperimento con un esito A, l’evento “non A” è definito come quello che comprende tutti i risultati non inclusi in A. Se A è ottenere la faccia 6 nel lancio di un dado, che cos’è “non A”? Spiegate perché vale sempre la regola P (“non A”) = 1 − P (A) ...................................................................................... Nel Problema 13.2 vedremo che la regola della somma può essere generalizzata per includere eventi che non sono mutuamente esclusivi, ma per ora non useremo questo risultato. LA REGOLA DEL PRODOTTO La regola del prodotto, nella sua versione più semplice, si applica a qualsiasi esperimento e due risultati A e B che siano indipendenti l’uno dall’altro. Che i due risultati A e B siano indipendenti l’uno dall’altro significa che la probabilità di A non è influenzata dal verificarsi o meno di B (o viceversa). Per esempio, potremmo considerare un esperimento in cui tiriamo una moneta e lanciamo un dado, con A = “testa” e B = “sei”. Oppure potremmo semplicemente tirare una singola moneta due volte, con i due risultati “testa nel primo tiro” e “testa nel secondo tiro”. Un esempio leggermente più delicato potrebbe essere l’estrazione di una singola carta da un mazzo, con A = “fiori” e B = “re”. (Convincetevi che questi eventi sono indipendenti). La regola del prodotto esprime la probabilità che si verifichino entrambi i risultati A e B come il prodotto delle loro probabilità individuali. Indicheremo la probabilità combinata (che entrambi si verifichino) con P (A e B) = probabilità che entrambi i risultati A e B si verifichino [Questa probabilità è spesso indicata con P (A, B)]. Con questa notazione e con gli esempi visti prima, possiamo enunciare la regola del prodotto.

(13.10)

Regola del prodotto delle probabilità Se A e B sono due risultati indipendenti di un esperimento, allora la probabilità che si verifichino sia A che B è il prodotto P (A e B) = P (A) · P (B)

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260

Capitolo 13. Statistica bayesiana

Quindi, per esempio, se tiriamo una moneta due volte, la probabilità di ottenere testa e poi croce (in questo ordine) è (13.11)

P (“testa e croce”) = P (“testa”) · P (“croce) =

1 1 1 · = 2 2 4

Analogamente, nel tiro di una moneta seguito dal lancio di un dado, la probabilità di ottenere testa seguita da un sei è (13.12)

P (“testa e 6”) = P (“testa”) · P (“6”) =

1 1 1 · = 2 6 12

Allo stesso modo, nell’estrazione di un singola carta da un mazzo di 52 carte, P (“fiori e re”) = P (“fiori”) · P (“re”) =

1 1 1 · = 4 13 52

Vi accorgerete che le suddette regole sono già state usate in un paio di capitoli precedenti (per esempio, nel Paragrafo 10.2 sulla probabilità del lancio di dadi). In quel caso avevamo sfruttato la percezione comune che esse siano presumibilmente ovvie. Qui concludiamo questo paragrafo fornendo una traccia della dimostrazione della regola del prodotto, che è essenzialmente analoga a quella precedente per la regola della somma. Con uno dei nostri esempi in mente, consideriamo di ripetere l’intero esperimento molte, molte volte (N ). Poiché P (A) è la frazione di volte in cui il risultato A si presenta, il prodotto N ·P (A) è il numero di volte in cui vedremo l’esito A. Poiché A e B sono indipendenti, possiamo moltiplicare questo numero per P (B) per avere N ·P (A)·P (B) come numero di volte in cui vedremo anche B. Dividendo questo risultato per N , otteniamo la regola del prodotto (12.10). Verifica rapida 13.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lancio un dado e poi estraggo una carta da gioco. Se A indica “lancio di un numero dispari” e B “estrazione di una figura”, qual è P (A e B)? ...................................................................................... In seguito useremo ripetutamente i precedenti risultati, ma prima dobbiamo introdurre un altro tipo di probabiltà. 13.3

PROBABILITÀ CONDIZIONATA E REGOLA DEL PRODOTTO MIGLIORATA

Un tipo di probabilità caratteristico della statistica bayesiana è la cosiddetta probabilità condizionata. Questa è la probabilità che, in una prova, un risultato A si verifichi, sapendo che un risultato B si è già verificato. Viene indicata con (13.13)

P (A|B)

Qui la linea verticale | si deve leggere come “dato”, per cui l’intero costrutto nella (13.13) si intende come “la probabilità di trovare il risultato A, dato che B si è già verificato”. Per esempio, nell’esperimento di estrarre una singola carta da un mazzo, il risultato A potrebbe essere “fiori” e B potrebbe essere “nero”, allora P (“fiori” | “nero”) sarebbe la probabilità che la carta estratta sia di fiori, sapendo che è nera (ovviamente 50%).

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Capitolo 13. Statistica bayesiana

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Nel test per una malattia, P (positivo | malato) sarebbe la probabilità di avere un test positivo sapendo che il paziente è certamente malato (sperabilmente una probabilità vicina al 100%). È importante riconoscere che le due probabilità condizionate P (A|B) e P (B|A) possono essere – e di solito lo sono – diverse. Per esempio, nell’estrazione di una carta, P (“fiori” | “nero”) = 50% (se sappiamo che una carta è nera, allora ha un 50% di possibilità di essere di fiori), mentre P (“nero” | “fiori”) = 100%, poiché una carta che sappiamo essere di fiori è sicuramente nera. In modo analogo, la probabilità condizionata P (A|B) è spesso diversa dalla probabilità incondizionata P (A); per esempio, mentre la condizionata P (“fiori” | “nero”) = 50%, per l’incondizionata[2] si ha P (“fiori”) = 25%. Verifica rapida 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nel lancio di un singolo dado, si indichi con A il risultato “lancio di un 2” e B con il risultato “lancio di un numero pari”. Quali sono P (A), P (B), P (A|B) e P (B|A)? ...................................................................................... Con l’aiuto della probabilità condizionata, possiamo sviluppare la regola del prodotto del paragrafo precedente per includere eventi che non sono necessariamente indipendenti. Ricordate che la regola del prodotto (13.10) dice che, per due risultati indipendenti A e B di un esperimento, la probabilità congiunta P (A e B) – che si verifichino sia A che B – è il prodotto (13.14)

P (A e B) = P (A) · P (B)

Nella nostra dimostrazione della regola (13.14) si è proceduto in due passi: come al solito, abbiamo immaginato di ripetere l’intero esperimento un numero enorme di volte; prima abbiamo notato che la frazione di prove in cui il risultato è B dà P (B); secondo, dato che A e B sono indipendenti, la frazione di questa prima frazione che risulta anche essere A è proprio P (A); quindi, la frazione finale è il prodotto di queste due probabilità, ossia la (13.14). Tuttavia, se A e B non sono indipendenti, questo secondo passaggio non funziona. Ma, dato che nel primo passaggio il risultato era B, la probabilità per il secondo passo è la probabilità condizionata P (A|B) e la frazione finale corretta è il prodotto di P (B) e P (A|B).

(13.15)

Regola migliorata del prodotto delle probabilità Se A e B sono due risultati (dipendenti o indipendenti) di un esperimento, allora la probabilità che si verifichi sia A che B è il prodotto P (A e B) = P (A|B) · P (B)

[2]

Molti bayesiani argomenterebbero (giustamente) che tutte le probabilità sono in realtà condizionate. Per esempio, la probablità “incondizionata” P (“fiori”) = 1/4 è in realtà condizionata dall’assunto che il mazzo abbia 52 carte diverse, 13 delle quali sono fiori. Analogamente, la probabilità “incondizionata” P (“2”) = 1/6 di ottenere un 2 nel lancio di un dado è in realtà la probabilità condizionata: condizionata dall’assunto che il dado sia regolare. Per risparmiare della notazione inutile, molti autori (incluso me) omettono queste ragionevoli ovvie assunzioni di “contesto” e trattano le corrispondenti probabilità come incondizionate.

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Capitolo 13. Statistica bayesiana

È importante notare che questa nuova regola “migliorata” è coerente con la vecchia regola più semplice (13.14) per gli eventi indipendenti. Il punto è che se i risultati A e B sono indipendenti, allora il fatto che B si sia verificato o no non ha alcun effetto sul risultato A; pertanto, P (A|B) e P (A) sono uguali e la regola migliorata (13.15) si riduce alla vecchia (13.14). ESEMPIO 13.1 Gettoni da poker in una borsa Avete una borsa di stoffa nera che contiene 3 gettoni da poker: 2 bianchi e 1 nero. Nella borsa prelevate due gettoni in successione (senza reinserire nessuno dei due). Se B indica il risultato che il primo gettone prelevato sia bianco, e A che il secondo sia anch’esso bianco, trovate la probabilità P (A e B) che entrambi i gettoni che avete estratto siano bianchi. La probabilità che si verifichi il primo risultato B è P (B) = 2/3. Il risultato per il secondo gettone si verifica dopo B, per cui la borsa ha perso un gettone bianco (restando con un solo gettone bianco e uno nero); perciò, la probabilità rilevante è P (A|B) = 1/2. Secondo la regola del prodotto migliorata, la probabilità congiunta richiesta è, come nella (13.15),

P (A e B) = P (A|B) · P (B) =

1 2 1 · = 2 3 3

un risultato che potete verificare direttamente.

Il nostro prossimo utilizzo della regola del prodotto migliorata sarà dimostrare il teorema di Bayes, ma questo è talmente importante da meritare un nuovo paragrafo. 13.4

TEOREMA DI BAYES

A volte capita di conoscere una probabilità condizionata P (A|B) ma di avere la necessità di conoscere la probabilità “inversa” P (B|A) con i due risultati scambiati. La risoluzione di questo problema è uno dei numerosi utilizzi del teorema di Bayes. Questo importante teorema segue dalla regola del prodotto migliorata (13.15) e dall’osservazione che P (A e B) e P (B e A) sono ovviamente la stessa cosa. Questo ci permette di scambiare A e B nella (13.15) per scrivere due espressioni equivalenti: P (A e B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A) da cui segue immediatamente che P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A) Questo è un enunciato del teorema di Bayes, sebbene sia di solito riformulato dividendo entrambi i membri per P (B) in modo da ottenere la seguente versione. Teorema di Bayes (13.16)

P (A|B) = P (B|A) ·

P (A) P (B)

La forma precisa di questo importante teorema non è particolarmente facile da ricordare. Può essere di aiuto riconoscere che esso esprime P (A|B) in termini di P (B|A), moltiplicando quest’ultimo per il rapporto P (A)/P (B).

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Capitolo 13. Statistica bayesiana

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Illustreremo l’uso del teorema di Bayes nei quattro esempi dei seguenti paragrafi. I primi due esempi coinvolgono solo probabilità discrete, come nei test medici in cui i risultati sono solo “malato” o “sano”, oppure il lancio di un dado in cui i soli possibili risultati sono sei interi da 1 a 6. Il motivo per iniziare con i problemi discreti è, naturalmente, che tendono a essere più semplici dei problemi con variabili continue. I due esempi finali sono fisicamente più realistici in quanto coinvolgono delle variabili continue. 13.5

UN PARADOSSO PANDEMICO

La vostra università ha ordinato che tutti nel campus facciano il test per l’ultima pandemia. Quando il vostro test risulta “positivo”, chiedete al medico quale sia la probabilità di avere contratto la malattia, e lui risponde che il test è efficace al 95%. Potrebbe essere naturale assumere che questo significhi che avete il 95% di probabilità di essere malati, ma come studenti bayesiani capite che la situazione è più complessa. L’efficacia dichiarata del 95% si riferisce alla probabilità di un risultato positivo nel caso in cui il paziente sia malato, P (positivo | malato) = 95% ma quello che volete sapere è, naturalmente, P (malato | positivo), cioè la probabilità di essere malati, essendo risultati positivi. In altre parole, ci sono “veri positivi” (positivi che sono realmente malati) e “falsi positivi” (persone che stanno perfettamente bene, e che tuttavia risultano positivi). Quello che volete sapere è la probabilità di essere un vero positivo (dato che il vostro test è positivo). Per capire tutto questo, sono necessarie più informazioni. Abbiamo bisogno di conoscere il tasso di infezione nel campus, che potrebbe essere l’1%, P (malato) = 1% (Notate che questa è la probabilità incondizionata di malattia nel campus ed è stata presumibilmente misurata dall’autorità pertinente). Ci è stato detto che l’efficacia del test è del 95%, e per semplicità assumeremo che questo sia vero sia per i soggetti malati che per quelli sani; cioè, P (positivo | malato) = P (negativo | sano) = 95% Un modo elegante per comprendere tutti i possibili risultati del test è compilare il diagramma ad albero delle probabilità, mostrato in Figura 13.1. Il diagramma segue la storia di un alto numero di persone (ossia 10 000), scelte casualmente per sottoporsi al test. Esso mostra diversi riquadri che indicano il numero di persone di varie categorie, a partire da quello a sinistra con le 10 000 persone del nostro campione originale. Le due frecce che escono da questo riquadro suddividono i 10 000 nell’1% di malati (100) e nel 99% di sani (9900). Le 100 persone malate si dividono in quelle che hanno il test positivo (95% veri positivi) e quelle che, sebbene malate, risultano con un test negativo (5% falsi negativi). Analogamente, le 9900 persone che non sono malate si dividono nel 95% che sono correttamente identificate come non malate (9405 veri negativi) e nel 5% che non correttamente sono identificati come malati (495 falsi positivi). Possiamo ora inserire i numeri in Figura 13.1 nella formula di Bayes per trovare la probabilità richiesta P (malato | positivo), che secondo la (13.16) è (13.17)

P (malato | positivo) = P (positivo | malato) ·

P (malato) P (positivo)

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Soluzioni delle verifiche rapide e dei problemi dispari

CAPITOLO 1 PROBLEMA 1.1 x̄ = 2,4. CAPITOLO 2 VERIFICHE RAPIDE Vr2.1 (a) 110 ± 2 mm. (b) Tra 3,02 e 3,08 A. Vr2.2 (a) 8,12 ± 0,03 m/s. (b) 31,234 ± 2 m o (3,1234 ± 0,0002) × 104 m. (c) (5,68 ± 0,03) × 10−7 kg. Vr2.3 43 ± 5 g. Vr2.4 (a) 0,04 = 4%. (b) 0,1 = 10%. (c) 4,58 ± 0,09 J. Vr2.5 Le incertezze percentuali sono 1% e 3%; area = 30 cm2 ± 4% = 30 ± 1 cm2 . PROBLEMI 2.1 210 ± 5 cm; 36,0 ± 0,5 mm; 5,3 ± 0,1 V; 2,4 ± 0,1 s. 2.3 (a) 5,03 ± 0,04 m. (b) Questo è proprio un caso in cui bisogna mantenere una cifra extra e stimare 1,5 ± 1 s. (c) (−3,2 ± 0,3) × 10−19 C. (d) (5,6 ± 0,7) × 10−7 m. (e) (3,27 ± 0,04) × 103 g·cm/s. 2.5 (a) v = 5,7 ± 0,6 m/s. (b) v = 5,68 ± 0,06 m/s. 2.7 Discrepanza = 2 mm, che non è significativa.

Lunghezza (mm)

140

135

130 Figura A2.7

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324

Soluzioni delle verifiche rapide e dei problemi dispari

approssimativamente. (b) χ2 = 6,25; P (χ2 ≥ 6,25) = 1,2% e la differenza è significativa al livello del 5%. Il calcolo ”esatto” (usando l’approssimazione gaussiana) dà P (ν ≥ 224,5) + P (ν ≤ 175,5) = 1,4%. I due metodi sono abbastanza in accordo. (c) Il χ2 aggiustato è 1,56 e P (χ2 ≥ 1,56) = 21,2%, in eccellente accordo con la risposta esatta 21,0%.

CAPITOLO 13 VERIFICHE RAPIDE Vr13.1 P (asso o figura) = 4/13. Vr13.2 A e ”non A” insieme costituiscono tutti i possibili risultati, per cui P (A) + P (non A) = 1. Vr13.3 P (A e B) = 3/26. Vr13.4 P (A) = 1/6, P (B) = 1/2, P (A|B) = 1/3, P (B|A) = 1. Vr13.5 P (sano | positivo) = 99,95%. Vr13.6 P (borsa 1 | NNN) = 98,5%. Vr13.7 Ponendo n = 8 e ν = 7 nella (13.22) si ottiene la (13.23), e differenziando la seconda si ottengono le due equazioni successive. PROBLEMI 13.1 Il risultato ”A e B e C” è uguale a ”(A e B) e C”. Perciò P (A e B e C) = P ((A e B) e C) = P ((A e B) · P (C) = P (A) · P (B) · P (C). 13.3 P (malato | positivo) =

% 80 20

40 positivi

veri positivi

50 malati

40 = 0,02. 40 + 1990

0,5

10 negativi

10000

,5 99 2 9950 sani

1990 positivi

falsi positivi

% 7960 negativi

Figura A13.3

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Titolo originale: An Introduction to Error Analysis: the Study of Uncertainties in Physical Measurements, Third Edition, by John R. Taylor Copyright © 1982, 1997, 2022 University Science Books, an imprint of AIP Publishing, LLC © 2023 Zanichelli editore S.p.A., via Irnerio 34, 40126 Bologna [39966] www.zanichelli.it Traduzione: Marzia Rivi Revisione: Paolo Piseri Diritti riservati I diritti di pubblicazione, riproduzione, comunicazione, distribuzione, trascrizione, traduzione, noleggio, prestito, esecuzione, elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale e di adattamento totale o parziale su supporti di qualsiasi tipo e con qualsiasi mezzo (comprese le copie digitali e fotostatiche), sono riservati per tutti i paesi. L’acquisto della presente copia dell’opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.

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Redazione e indice analitico: Natalia Nanni Impaginazione: Compomat, Configni (RI) Copertina: – Progetto grafico: Falcinelli & Co., Roma – Immagine di copertina: © michaklootwijk/iStockphoto Prima edizione italiana: maggio 1986 Seconda edizione italiana: gennaio 2000 Terza edizione italiana: novembre 2023 Ristampa: prima tiratura 5 4 3 2 1

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