Anteprima - Idraulica 2E

Seconda edizione

Michele Mossa

Antonio Felice Petrillo

Indice generale

in cui un tratto della condotta sia al di sopra della linea piezometrica relativa e in corrispondenza del punto di massimo viene installato uno sfiato libero

6.29.3

in cui un tratto della condotta sia al di sopra della linea piezometrica relativa e della linea dei carichi idrostatici relativi

6.29.4 Caso in cui un tratto della condotta sia al di sopra della linea piezometrica relativa e della linea dei carichi idrostatici relativi e si volesse installare uno sfiato in corrispondenza del punto di massimo 336

6.29.5 Caso in cui un tratto della condotta superi di un valore maggiore di patm/c la retta congiungente le quote piezometriche dei nodi di monte e di valle 336

6.29.6 Caso in cui un tratto della condotta superi di un valore maggiore di patm/c la retta congiungente le quote piezometriche dei nodi di monte e di valle e in corrispondenza del massimo di quello stesso tratto della condotta ci sia uno sfiato 338

6.29.7 Caso in cui un tratto della condotta superi di un valore maggiore di patm/c la retta congiungente le quote piezometriche dei nodi di monte e di valle e la linea dei carichi idrostatici relativi 338

6.29.8 Caso in cui un tratto della condotta superi di un valore maggiore di patm/c la retta congiungente le quote piezometriche dei nodi di monte e di valle e in corrispondenza del massimo di quello stesso tratto della condotta ci fosse uno sfiato che supera la linea dei carichi idrostatici relativi 339

6.29.9 Caso in cui un tratto della condotta superi la linea dei carichi idrostatici assoluti

6.30 Reti chiuse

di progetto

Prefazione

I contenuti e l’impostazione

La meccanica dei fluidi è una branca della fisica che studia i fluidi sia in movimento (fluidodinamica) che in quiete (statica dei fluidi). Lo stato di quiete dei fluidi può essere considerato un caso particolare della dinamica dei fluidi, quando velocità e accelerazioni sono costantemente nulle. La meccanica dei fluidi, generalmente, è nota come idraulica quando è riferita allo studio di fluidi debolmente comprimibili, come i liquidi e gli aeriformi a bassa velocità; altrimenti è nota come gasdinamica. Da quanto scritto e considerato il titolo di questo libro, si deduce che esso è principalmente orientato allo studio dei fluidi debolmente comprimibili, confinati, esterni a corpi o in presenza di una superficie libera. Il libro è di supporto per gli studenti di ingegneria che devono affrontare lo studio dell’idraulica, disciplina notoriamente impegnativa, formativa e caratterizzante per molti corsi di laurea, come l’ingegneria civile e ambientale, ma anche l’ingegneria meccanica e altri ancora, quando l’organizzazione della materia è particolarmente indirizzata allo studio dei fluidi poco comprimibili. L’obiettivo principale dell’opera è di fornire agli studenti di ingegneria le nozioni basilari dell’idraulica, non solo da un punto di vista teorico, ma anche applicativo, come è indubbiamente richiesto a un futuro ingegnere. Per quanto particolarmente indirizzato agli studenti universitari, il testo è una sicura guida e promemoria per i professionisti: ingegneri, geologi e tutti coloro che, nell’ambito della propria professione, riscontrassero l’esigenza di conoscere le leggi e le applicazioni proprie dell’idraulica. Per la corretta lettura del testo il lettore deve possedere le nozioni di analisi matematica, algebra, geometria analitica, geometria delle masse e fisica, ossia di quei corsi che notoriamente anticipano lo studio dell’idraulica. Un’apposita appendice del testo ripropone in sintesi alcuni concetti basilari.

Il testo affronta argomenti che sono stati suddivisi in undici capitoli. Nel Capitolo1 vengono illustrati i principi di base dell’idraulica. Le leggi teoriche e i principi fondamentali della statica, della cinematica e della dinamica dei fluidi vengono affrontati nel Capitolo 2 per la statica dei fluidi, nel Capitolo3 per la cinematica dei fluidi e nel Capitolo 4 per la dinamica dei fluidi

Il Capitolo5 ha lo scopo di fornire i fondamenti della modellistica fisica idraulica Vengono trattati i principi dell’analisi dimensionale e delle similitudini geometrica, cinematica e dinamica, con l’introduzione dei numeri indice.

I capitoli successivi hanno lo scopo di fornire le nozioni tipiche del moto permanente, laminare e turbolento, e il moto vario nelle condotte in pressione. In particolare, il Capitolo 6 e il Capitolo7 trattano il moto permanente e il moto vario delle correnti in pressione, rispettivamente.

Ai fini dello studio dei flussi con un campo di velocità irrotazionale, il Capitolo8 tratta i moti a potenziale. Il Capitolo9 fornisce dei cenni sui flussi di fluidi incomprimibili attorno a corpi.

I moti di filtrazione, caratterizzati dal movimento lento di un liquido attraverso un sistema permeabile, vengono presentati nel Capitolo10.

Infine, il Capitolo11 del testo presenta le nozioni del moto uniforme, del moto permanente e della propagazione delle piccole perturbazioni nei canali a pelo libero

Il testo dispone anche di appendici. In particolare, le AppendiciA e B sono dedicate, rispettivamente, alle proprietà dei fluidi e alle nozioni di base dell’algebra e della geometria analitica e delle masse, la cui conoscenza è fondamentale per la corretta comprensione dei contenuti del testo. Interessanti approfondimenti sono contenuti nelle AppendiciC e D dedicate al teorema del trasporto di Reynolds e all’equazione globale del momento della quantità di moto, rispettivamente.

Ciascun capitolo e appendice è arricchito da molte figure (circa 600 in totale), che vengono riproposte durante la dimostrazione dei teoremi, seguendo lo sviluppo degli stessi, e durante lo svolgimento degli esercizi proposti. Si ritiene che l’elevato numero di immagini, diagrammi e foto possa favorire l’apprendimento di chi studia.

Questo manuale offre una modalità di presentazione degli argomenti certamente al passo con le più recenti pubblicazioni e i più recenti mezzi utilizzati nell’ambito della didattica universitaria, sviluppando gli argomenti in modo comprensivo, in molti casi con una procedura passo-passo e, come detto, sempre con l’ausilio di numerose figure ed esempi applicativi.

Tuttavia, gli autori hanno voluto salvaguardare alcuni aspetti propri dell’approccio classico dell’idraulica italiana, la quale è una disciplina ben consolidata nel nostro Paese e un fiore all’occhiello nell’ambito dei corsi di ingegneria a livello internazionale. Pertanto, accanto a nuovi strumenti per l’apprendimento e a un modo nuovo di presentazione degli argomenti, auspicabilmente più efficace, nel testo si utilizzano simboli, definizioni, concetti e formule della classica idraulica italiana, non sempre presenti nei libri di origine anglosassone. Per esempio, vengono proposti gli approcci alla progettazione dei condotti sia con le formule empiriche, ancora di ampio utilizzo nell’ingegneria idraulica italiana per il moto assolutamente turbolento, sia con la più recente formula di Colebrook-White; le formule di economia per le reti aperte e per la progettazione dei condotti con un impianto di sollevamento vengono proposte anche per i casi particolari, anch’essi classici nell’idraulica italiana, della formulazione di Francesco Marzolo e di Bresse, rispettivamente; si presentano diverse applicazioni nell’ambito dei tracciati altimetrici dei condotti in pressione e dei profili di moto gradualmente variato nei canali, per i quali, accanto alla più generale equazione differenziale, si presenta anche quella basata sull’ipotesi di Bresse (1860). Analogamente, molte dimostrazioni, come quella dell’equazione di continuità, vengono condotte con la metodologia classica dell’idraulica italiana, presentando, tuttavia, anche il teorema del trasporto di Reynolds come metodo alternativo. Infine, si sottolinea la presenza di un capitolo sull’argomento del moto vario delle condotte in pressione, non sempre presente in alcuni testi, ma ritenuto giustamente fondamentale in molti corsi di idraulica tenuti presso i corsi di laurea in ingegneria delle università italiane.

A distanza di circa dieci anni dalla pubblicazione della prima edizione, questa seconda edizione è stata ampliata, riveduta e corretta. In particolare, ora il libro contiene tre nuovi capitoli, ossia quello sui moti a potenziale, quello sui flussi esterni ai corpi e quello sulle acque sotterranee. Inoltre, nel Capitolo11 sulle correnti a superficie libera è stato inserito un paragrafo, nel quale, ancorché in modo sintetico, sono riportati dei cenni sul trasporto solido.

La seconda edizione riporta anche tutte le soluzioni degli esercizi proposti, utilizzando anche il ComputableDocumentFormat (CDF), messo a disposizione gratuitamente da Wolfram.

In accordo con la casa editrice, la nuova edizione esce anche in ebook, in modo da essere al passo con i tempi e consentire la lettura del testo anche a coloro che preferiscono questo formato.

Gli autori sperano di avere raggiunto l’obiettivo di aver realizzato un libro, ma anche un sistema multimediale, formato da codici CDF e filmati, che possa accompagnare gli studenti di Ingegneria o di altri corsi di laurea nel loro percorso formativo, sollecitando il loro interesse e amore nei confronti della materia. Cosa analoga si spera di avere raggiunto

con i professionisti che trovassero nel testo una ragione di approfondimento delle loro conoscenze.

La seconda edizione tiene anche conto delle correzioni che si sono rese necessarie rispetto alla prima. Gli autori desiderano ringraziare l’editore per il lavoro svolto. Certo, come sempre, il giudizio finale spetta a coloro che leggeranno il libro, con i quali gli autori si scusano per eventuali e inevitabili errori o inesattezze, ringraziandoli fin da ora per la cortesia che vorranno avere segnalandoli, al fine della redazione di una errata corrige.

Gli strumenti per l’apprendimento

Il testo presenta una trattazione matematica dei vari problemi dell’idraulica, seguiti sempre da una serie di applicazioni, molte delle quali già svolte. Nella consapevolezza dell’importanza delle immagini nell’idraulica, il testo riporta molte figure, diagrammi e foto. A tal riguardo gli autori hanno messo a frutto un’esperienza acquisita attraverso la IAHRMedia Library (la biblioteca multimediale della InternationalAssociationforHydro-Environment EngineeringandResearch ), una risorsa web, per la diffusione di filmati, foto e strumenti didattici nel campo della meccanica dei fluidi e, in generale, dell’ingegneria a essa legata. L’importanza delle immagini nella meccanica dei fluidi ha origini anche più antiche, come si evince dalla pubblicazione nel CatalogofMotionPicturesofResearch-Data inFluidMechanicsandHeatTransfer,JournalofFluidsEngineering (Transactions of the ASME, pp. 151-155, 1976.), il FluidMechanicsCommittee dell’ASME (l’AmericanSocietyof MechanicalEngineering) realizzò un catalogo di filmati promosso attraverso la Engineering SocietiesLibrary

In ogni capitolo del libro sono presenti dei richiami a lato (spesso con immagini e specifici simboli) che portano immediatamente l’attenzione di chi legge su quanto cercato. L’utilizzo dei suddetti richiami e la presenza di diverse pagine di approfondimento, spesso impostate con la logica della domanda e risposta, consentono un più facile autoapprendimento. Il testo si presenta in una forma mista (carta, ebook + materiale online), come attualmente si preferisce per i testi universitari.

All’indirizzo universita.zanichelli.it/mossa2e sono disponibili i file delle soluzioni di tutti gli esercizi proposti nel libro e di altri ancora, utilizzando una modalità interattiva, che consente il cambiamento dei dati di input, e il formato ComputableDocumentFormat (CDF). Tale formato, ideato dal gruppo Wolfram (quelli del programma Mathematica®) è forse l’unico tentativo esistente e funzionante di un formato di visualizzazione del file che permetta un certo tipo di interazione con l’utente. Particolarmente adatto nella rappresentazione di grafici e funzioni, e più in generale di argomenti scientifici, ha trovato applicazione anche in altri campi. I file sono eseguibili con il player gratuito scaricabile dall’apposito sito della Wolfram (www.wolfram.com/player/). Per maggiori dettagli si può consultare il sito www.wolfram.com.

All’indirizzo universita.zanichelli.it/mossa2e sono inoltre disponibili i link a filmati di meccanica dei fluidi presenti nel succitato sito di IAHRMediaLibrary. I filmati sono in lingua inglese e ciò, certamente, aiuterà gli studenti nella comprensione dei termini tecnici in questa lingua. In ogni caso vengono messi a disposizione dei file che riportano la traduzione in italiano dell’intero parlato di ciascun video e una breve descrizione dei filmati stessi, oltre che l’indicazione dei capitoli del libro più attinenti ai filmati.

Il sito web della casa editrice è utile anche per i docenti, che potranno scaricare e utilizzare le immagini presenti nel testo per preparare le proprie presentazioni didattiche. Inoltre, sempre nel sito del libro, sono disponibili alcuni esercizi supplementari, per la cui soluzione è necessario risolvere dei sistemi di equazioni, talvolta anche non lineari.

Come è organizzato questo libro

Il testo è ricco di apparati che movimentano la presentazione e che favoriscono la lettura e la focalizzazione di argomenti e contenuti specifici.

Evidenziazioni nel testo con richiami a lato.

Approfondimenti evidenziati dal fondo colorato (osservazioni, esempi, approfondimenti, curiosità ecc.).

Alla fine di ogni capitolo è presente un’ampia sezione di esercizi interamente risolti...

… e una sezione di esercizi proposti con soluzioni online.

La parte teorica di ogni capitolo si chiude con una fotografia e il racconto di un aspetto particolare legato all’argomento principale.

Moti di filtrazione 10

“Ut Bibat Populus”

(Papa Clemente VII incaricò Benvenuto Cellini di coniare una moneta in onore della costruzione del pozzo di San Patrizio a Orvieto. Su di essa è incisa la frase “Ut Bibat Populus”, ossia “perché la gente beva”, ed è raffigurato Mosè che con un bastone trafigge una roccia, dalla quale sgorga l’acqua di fronte agli ebrei in fuga, mentre uno di essi vi attinge con una conchiglia. Questa preziosa moneta è oggi conservata nei Musei Vaticani)

I motidifiltrazione sono caratterizzati dal movimento lento di un liquido attraverso un sistema permeabile, poroso, generalmente costituito in natura da formazioni alluvionali di sabbia o ghiaia, che si produce anche sotto l’azione di piccole differenze di carico. Un accettabile modello di mezzo poroso può essere caratterizzato dalle seguenti definizioni e caratteristiche:

• una regione dello spazio occupata da un sistema multifase eterogeneo, costituito dalle fasi fluida e solida, con la presenza anche di vuoti;

• al fine di garantire il flusso del fluido all’interno dei pori del mezzo è necessario che questi ultimi costituiscano un sistema interconnesso; la porzione di dominio interessata da tali connessioni viene definita come spazio poroso effettivo, non escludendosi la possibilità della presenza di pori ciechi nei quali il flusso è assente.

In base alla granulometria, utilizzando la classificazione dell’American Society for Testing and Materials International, si distinguono i seguenti terreni in funzione del diametro d delle particelle:

{, Argilla mm d 0002 < &

,, ,, ,, Limo

mm mm mm Fine Medio Grosso 0002 0006 0006 002 0020 06 & ' ' ' Z [ \ ] ] ] ] ] ] ] ]

,, ,, ,, Sabbia mm mm mm Fine Media Grossa

0060 2 0206 0620 & ' ' '

Z [ \ ] ] ] ] ] ] ] ]

,, , Ghiaia mm mm mm Fine Media Grossa 2060 60 20 2060 & ' ' '

Quando il moto di filtrazione avviene attraverso sistemi permeabili a granulometria minuta, può essere assimilato al moto in un fascio di capillari, le cui pareti sono costituite dagli elementi in corrispondenza dei quali il liquido è fermo per aderenza. Proprio per le suddette dimensioni capillari, di norma, il moto è laminare e, dunque, dipendente dalla viscosità del liquido.

Lo studio del moto di filtrazione non avviene con riferimento all’effettiva velocità del liquido nei singoli punti, bensì considerando la velocità media di filtrazione, definita come rapporto tra la portata che defluisce attraverso una determinata sezione del com-

Velocità media di filtrazione ➔

plesso filtrante e l’area della sezione stessa. Il moto di filtrazione è quello che caratterizza il movimento dell’acqua nel terreno e negli strati permeabili sotterranei. Nella trattazione che segue si escludono i moti dell’acqua nelle fenditure delle rocce fortemente fratturate o nelle formazioni calcaree di tipo carsico attraverso le quali il moto avviene generalmente in regime turbolento.

L’acqua può presentarsi nel terreno in vari stati, ossia:

• sotto forma di vapore, contenuto nell’aria che riempie i pori;

• allo stato igroscopico, ossia come un microfilm attaccato alle particelle di terreno;

• allo stato di acqua pellicolare che avvolge le particelle di terreno con un film non più spesso del campo di azione delle forze molecolari;

• allo stato di acqua capillare che riempie in alto i pori e le fessure più piccole ed è soggetta alle forze capillari (tensione superficiale) predominanti sulla forza di gravità;

• allo stato gravitazionale, quando si muove per effetto della gravità preponderante sulle forze molecolari.

Se uno strato di ghiaie o di sabbie poggiasse su uno strato impermeabile di roccia o di argilla, si creerebbe una formazione nella quale si raccoglie e si muove l’acqua che si infiltra in profondità dagli strati superficiali del terreno. Tale formazione è nota come falda acquifera.

Le falde rappresentano una delle più importanti forme di regolazione naturale delle risorse idriche, in quanto costituiscono delle riserve sotterranee, che si ricaricano durante la stagione piovosa e forniscono acqua nei periodi di siccità. In relazione alla morfologia e, di conseguenza, al comportamento idraulico, le falde acquifere si distinguono in due categorie: falde freatiche e falde artesiane

Le falde sono freatiche quando sono interamente contenute in uno strato permeabile, il quale poggia su uno strato impermeabile (Figura 10.1). L’acqua che si infiltra nel terreno si raccoglie e scorre nella parte inferiore dell’acquifero occupandolo parzialmente (falda freatica). Sulla superficie superiore della zona satura, superficie freatica, l’acqua si trova a pressione atmosferica e il moto avviene a pelo libero. La superficie freatica è anche una superficie piezometrica. Infatti, se si introducesse un piezometro nell’acquifero o vi si realizzasse un pozzo (si veda il pozzo a della Figura 10.1), l’acqua al suo interno raggiungerebbe la quota della superficie freatica in quel punto.

Quando invece l’acqua si infiltra e si muove in uno strato permeabile confinato tra due strati impermeabili, occupandolo interamente, la falda si dice artesiana. Abbandonata la zona di ricarica, la zona cioè dove l’acqua che alimenta la falda si infiltra dalla superficie del terreno, spesso costituita da una falda freatica, l’acqua si trova a una pressione maggiore di quella atmosferica e si muove con modalità analoghe a quelle di un moto in pressione. In questo caso, se si introducesse un piezometro nell’acquifero, l’acqua risalirebbe nel tubo fino alla quota corrispondente al livello piezometrico in quel punto (si veda il pozzo  b della Figura 10.1), in analogia a quanto avviene per le condotte in pressione. Se la quota piezometrica nel punto di perforazione superasse la quota del terreno, l’acqua salirebbe oltre il piano di campagna uscendo naturalmente dalla falda (pozzo c della Figura 10.1). La superficie piezometrica è individuata dalla quota piezometrica in ogni punto della falda.

Strato impermeabile

Strato impermeabile

Pozzo freatico

Pozzo artesiano

FALDA FREATICA

FALDAFREATICA

FALDA ARTESIANA

Figura 10.1 Rappresentazione schematica di una falda freatica e di una falda artesiana.

Falda freatica e artesiana

10.1 Legge di Darcy

L’applicazione diretta dell’equazione di Navier-Stokes, ancorché in forma semplificata, è estremamente complessa per i moti di filtrazione, poiché le porzioni di fluido, muovendosi lungo gli spazi interstiziali irregolari lasciati liberi dai terreni, percorrono traiettorie molto tortuose. Di conseguenza le velocità del fluido risultano molto variabili nello spazio. Tra l’altro una descrizione così dettagliata del campo di moto, da un punto di vista tecnico, spesso non è tanto utile, in quanto di solito si è interessati alle portate volumetriche delle varie sezioni analizzate, a prescindere dai reali spazi vuoti. Per tale ragione, negli studi sui moti di filtrazione, anziché alla velocità reale V r, si fa riferimento alla cosiddetta velocità apparente V, data dal rapporto tra la portata in una sezione infinitesima di area dA e l’area stessa, la quale, evidentemente, è in parte occlusa dai grani di terreno. Indicando con n s la porosità areale del terreno definita come

nA A V n V s p r s & == (10.1)

avendo indicato con A p l’area dei pori con A l’area totale del mezzo.

Come visto nel Capitolo 4, per un fluido incomprimibile in moto permanente, lungo una traiettoria, vale l’estensione dell’equazione di Bernoulli alle correnti di fluidi reali (4.246), che per i moti di filtrazione tiene conto anche della perdita di energia dovuta alle resistenze viscose dentro i meati, ovvero in ciascuno dei piccoli o microscopici canalicoli esistenti in seno ai terreni, dalla distribuzione e dimensione dei quali dipende la porosità. Sicché, considerati due punti, A e B, di un tubo di flusso, la (4.246) può essere scritta come segue

dove con V/n s si indica la velocità reale riferita al flusso nei soli vuoti del terreno e ΔH rappresenta la perdita di energia per unità di peso sulla distanza Δs fra i punti A e B. Il rapporto

d d lim JsH s H s 0 D D =-=" D (10.3)

rappresenta la perdita di energia per unità di peso e per unità di percorso, nota anche come gradiente idraulico. Nella maggior parte dei moti di filtrazione l’altezza cinetica / Vgn 2 s 2 2 a è trascurabile rispetto agli altri termini della (10.2). Pertanto, il carico totale H di ogni punto coincide con la quota piezometrica h, ossia

Hhzp == + c (10.4)

Fra il 1852 e il 1855 Henry Darcy studiò, relativamente ai terreni sabbiosi, il legame esistente fra la velocità di filtrazione e il gradiente idraulico giungendo alla semplice relazione

d d VkJksh == - (10.5)

Tale relazione, studiata inizialmente su terreni sabbiosi, fu estesa successivamente ad altri mezzi porosi. Per comprenderne il significato si consideri lo schema della Figura 10.2, in cui è rappresentato un cilindro pieno di terreno in cui filtra acqua.

Gradiente idraulico

Figura 10.2 Apparato cilindrico per la filtrazione dell’acqua.

Legge di Darcy ➔

Si ha quanto segue

hzp AA A =+ c

hzp BB B =+ c (10.6)

Infatti, come già detto, per queste tipologie di campi di moto, le altezze cinetiche sono piccole rispetto ai carichi piezometrici. Pertanto, la perdita di carico tra le sezioni A e B è data da

hhhAB D =- (10.7)

e il gradiente idraulico medio è dato da

Jsh m D D =- (10.8)

Per Δs " 0 si definisce il gradiente idraulico come segue

d d Jsh =- (10.9)

il quale può ritenersi costante nell’ipotesi di uniformità del terreno e della portata filtrante in esso. In particolare, dunque, la legge di Darcy stabilisce il legame fra la velocità V e J, o, analogamente, fra la portata Q e J, come segue

d d QkAlhkAJ =- = (10.10)

Permeabilità ➔

Permeametri ➔

Permeametri a carico costante ➔

dove k è ora una costante che ha le dimensioni di una velocità e prende il nome coefficiente di filtrazione o permeabilità del mezzo filtrante e A è l’area della sezione trasversale dell’apparato cilindrico della Figura 10.2.

10.2 Determinazione della permeabilità in laboratorio

Per determinare il coefficiente di permeabilità k possono essere eseguite prove sia in sito sia in laboratorio. Entrambe queste metodologie presentano delle difficoltà che influiscono sul risultato che si ottiene. In particolare, per le prove in laboratorio la difficoltà maggiore è quella di ottenere un provino di terreno che sia il più possibile indisturbato, cioè che durante il trasporto non abbia subito delle variazioni che possono influenzare sensibilmente i risultati.

Gli strumenti che consentono la determinazione del coefficiente di permeabilità in laboratorio sono detti permeametri. I permeametri sono costituiti da dispositivi che consentono l’inserimento del campione di terreno da analizzare in un cilindro nel quale sia possibile far defluire acqua. Essenzialmente, si distinguono due differenti tipi di permeametri, ossia

• il permeametro a carico costante, per terreni ad alta permeabilità;

• il permeametro a carico variabile, per terreni a bassa permeabilità.

Il permeametro a carico costante (si veda la Figura 10.3) prevede il mantenimento di un livello costante d’acqua (ossia, un carico costante) al di sopra del campione di terreno. Ciò può essere ottenuto versando una portata di acqua maggiore rispetto a quella che riesce a filtrare il terreno e dotando la vasca di monte di un dispositivo di troppo pieno.

Quest'ultimo garantisce che la portata immessa in eccesso rispetto a quella che filtra per il terreno non modifichi il carico di monte. Un analogo scarico di troppo pieno garantisce che anche il carico della vasca di valle sia costante. Pertanto, la prefissata differenza di carico tra monte e valle rimane costante durante le prove.

Figura 10.3 Permeametro a carico costante.

Indicando con l la lunghezza del campione cilindrico di terreno, in cui l’acqua filtra, l’equazione (10.10) può essere scritta come segue

QtWkAlh D D == (10.11)

in cui W è il volume di acqua raccolto a valle dopo un intervallo di tempo Δt della sperimentazione, Δh è la differenza di carico applicata e A è l’area della sezione trasversale del cilindro. Dalla (10.11) si ha la seguente espressione del coefficiente di permeabilità

Wl

kAht

DD = (10.12)

Il permeametro a carico variabile (si veda la Figura 10.4) prevede che il campione di terreno sia collegato inferiormente a un piccolo tubo a U di sezione a, contenente acqua fino a un certo livello h0, rispetto al colmo dell’acqua posta nella parte superiore del campione cilindrico (dove è posto un sistema di troppo pieno per mantenere il livello costante). Durante la prova si valuta il tempo impiegato dall’acqua nel tubo manometrico a U a raggiungere il livello h1 < h0. Pertanto, all’inizio della prova la differenza di carico che insiste sul campione di terreno è h0, mentre alla fine della prova sarà h1. La velocità di abbassamento del livello nel tubo è data da

d d Vth =- (10.13)

Pertanto, osservando che il segno negativo al secondo membro della (10.13) rende positiva la velocità, essendo negativa la derivata dh/dt, la portata in ingresso nel campione è data da

d d Qath =- (10.14)

la quale, per la legge di Darcy, è anche esprimibile come segue

()

d d QathkJAklht A =- == (10.15)

avendo indicato con h(t) la differenza di carico, variabile nel tempo, la quale, come già detto, varierà tra un massimo uguale ad h0 e un minimo uguale a h1

Dalla (10.15) si ricava

d d ahhklAtt h h t t 0 1 0 1 -=## (10.16)

ossia

() ln kAtt al h h 10 1 0 = - (10.17)

avendo indicato con t0 l’istante di tempo il cui il carico è h0 e con t1 quello in cui il livello è h1

Permeametri a carico variabile ➔

Figura 10.4 Permeametro a carico variabile.

10.3 Regimi dei moti di filtrazione

Al fine della definizione dei possibili regimi di moto, si rende necessario introdurre il numero di Reynolds basato sulle dimensioni delle particelle solide del terreno, ossia

Re Vd d = n t (10.18)

avendo indicato con d il diametro caratteristico degli elementi costituenti il mezzo poroso. Per i moti di filtrazione, i regimi di moto sono quindi definiti in base al valore assunto dal numero di Reynolds di grano, avendosi

1 < Red ≤ 10 reg ime di moto laminare

10 < Red ≤ 200 reg ime di moto di transizione

Red > 200 reg ime di moto turbolento Di fatto, la legge di Darcy è definita per un regime di moto laminare, in quanto le velocità di filtrazione che si incontrano usualmente sono relativamente molto piccole. A titolo di esempio, si consideri che in una sabbia grossolana le velocità di filtrazione sono, di solito, dell’ordine di frazioni di mm/s. Pertanto, il moto nei meati è prevalentemente laminare con numeri di Red molto bassi. Come è noto, da quanto detto nei precedenti capitoli, ciò significa che gli sforzi sono di natura viscosa, mancando quelli turbolenti.

Si osserva che, per come è stata ottenuta, ancorché la legge di Darcy (10.5) sia in forma differenziale, essa non descrive il valore di velocità nel singolo poro, rappresentando, piuttosto, una sorta di valore statistico macroscopico equivalente nelle equazioni del moto di Navier-Stokes per le filtrazioni. Le suddette motivazioni consentono di trattare i moti di filtrazione alla stregua di quelli a potenziale, osservando, da quanto riportato nel Capitolo 8, che può essere definita la seguente funzione di potenziale di velocità

khkzp=-=- + { c bl (10.19)

per la quale è valida la (8.3). Come visto nel Capitolo 8, è anche possibile definire la funzione di corrente ψ. Da un punto di vista storico, la legge di Darcy è stata inizialmente ottenuta in condizioni di flusso monodimensionale e mezzo omogeneo e isotropo. Tuttavia, essa può comunque essere ritenuta valida anche nello spazio tridimensionale eterogeneo anisotropo. Nella Tabella 10.1 vengono riportati dei tipici intervalli di valore del coefficiente di permeabilità k dei terreni.

Tabella 10.1 Ordini di grandezza del coefficiente di permeabilità k di alcuni terreni.

10.4 Rete di filtrazione

Per quanto osservato nel paragrafo precedente, dunque, anche per i moti di filtrazione è possibile tracciare un reticolo di linee di flusso ed equipotenziali. Nel Capitolo 8 sui moti a potenziale si è osservato che ogni regione tra due linee di corrente adiacenti è un tubo di flusso. Nel seguito si mostrerà un esempio per il caso di un moto di filtrazione all’interno di un sistema omogeneo, isotropo e completamente saturo, ossia in cui i pori sono com-

pletamente pieni di acqua. Si farà riferimento alle condizioni di moto permanente piano, osservando che possono esserci due possibili tipi di condizioni al contorno: 1) confini impermeabili, 2) confini a carico costante (il caso particolare è quello di superfici libere con valore nullo della pressione relativa).

È opportuno operare come segue:

• le linee equipotenziali di equazione φ = costante vengono scelte in modo che la differenza di potenziale tra due linee contigue sia costante;

• le linee di corrente di equazione ψ = costante vengono anch’esse tracciate in modo che sia costante la differenza dei valori tra due linee di corrente contigue. Ciò assicura che la portata per unità di larghezza (dimensione ortogonale al piano del moto) Δq tra coppie di linee di corrente contigue sia costante, ossia che si abbia quanto segue

costante iiq 2132 1 }}}} }} } DD - =-= =- == = + (10.20)

Pertanto, facendo riferimento alla Figura 10.5 considerando, nella rete costruita, due generici rettangoli, come ABCD e EFGH della suddetta figura, si ha per il rettangolo ABCD

DD D D D == { (10.21)

qVnsn 11 1 1

e per il rettangolo EFGH

DD D D D == { (10.22)

qVnsn 22 2 2

Uguagliando la (10.21) con la (10.22) si ha

tantan s n s n 1 1 1 2 2 2 12 & D D D D == == aa aa (10.23)

Avendo applicato le condizioni per cui Δφ è costante e Δψ = Δq è costante, tutti i rettangoli elementari che formano la rete di flusso sono simili tra loro. Inoltre, se si disegnasse per un campo di moto piano in un mezzo poroso una rete a maglie quadrate (ossia Δni = Δsi) di linee di flusso ed equipotenziali, si otterrebbe la rappresentazione più eloquente della distribuzione delle velocità nell’intero dominio. Infatti, poiché k e Δh sono costanti, la velocità di filtrazione V = −kΔh/Δs è ovunque inversamente proporzionale alla lunghezza Δs del lato del quadrato. Ciò consente di avere delle immediate informazioni dei valori relativi delle velocità nel reticolo.

Poiché in ogni quadrato la portata massica dell’acqua ρΔq (sempre per unità di larghezza) defluisce con una riduzione del carico piezometrico uguale a Δh, la perdita di energia nell’unità di tempo per ogni quadrato è data da ρgΔqΔh = ρgkΔh2, che si riconosce essere un valore costante per quanto ipotizzato in precedenza. Pertanto, è possibile concludere che i quadrati sono equivalenti, nel senso che, ai fini di un confronto della dissipazione di energia in diverse regioni parziali di un dominio di flusso, conta solo il numero dei quadrati interessati. Per esempio, assumendo una permeabilità costante, il flusso nel piccolo dominio 1, 2, 3, 4 (Figura 10.6) è caratterizzato da una perdita di carico uguale a quella del flusso attraverso il dominio GKLM.

Figura 10.5 Costruzione della rete di flusso.

Flusso in una diga in terra

EsEmpi di costruzionE di una rEtE di flusso. caso di un flusso attravErso una diga in tErra

Si faccia riferimento alla Figura 10.6, in cui si suppone che il flusso sia all’interno della diga in terra. La differenza di potenziale totale è data da

φn − φ1 = kH (10.24) in cui H è la differenza tra il livello di ritenuta della diga e quello del dreno al piede di valle della diga. Questa differenza H è suddivisa in n − 1parti uguali (essendo n il numero delle linee equipotenziali), in maniera tale che si possa scrivere quanto segue

D =-=-= =- =- {{ {{ {{ { (10.25)

1 nn 21 32 1 f

n kH

Per tracciare la rete di flusso si considerano le seguenti condizioni al contorno.

Linee equipotenziali. La linea spezzata FBC, che delimita il lato monte ABC della diga, è proprio la prima linea equipotenziale φ1 = costante, in quanto per ogni punto di questa linea si ha che z + p/γ è costante e φ = −k(z + p/γ). Analogo ragionamento può essere ripetuto per la linea PR, a valle del corpo diga, la quale è a monte del volume di ghiaia che contiene il cunicolo di raccolta e allontanamento dei drenaggi, e per la quale si ha φn  = costante.

Linee di corrente. È possibile individuare immediatamente una linea di corrente, che è proprio la linea DE, la quale separa la massa di terra permeabile dallo strato impermeabile. Infatti, nelle immediate vicinanze di questa linea l’acqua deve fluire parallelamente a essa. Successivamente si disegna la rete per tentativi e ottimizzazioni successive. Si divida la differenza dei livelli H in n − 1 parti uguali, delimitate dunque da n punti equidistanti, disegnando, altresì, delle linee orizzontali passanti per i suddetti punti di suddivisione. Tali linee taglieranno la linea di corrente superiore nei punti F, G, H, J, …, P da cui partono le linee equipotenziali a ventaglio. Ora si prosegue per tentativi, cercando di suddividere la superficie compresa tra la linea di corrente superiore (che non è nota a priori), la linea di corrente posta sul terreno impermeabile e i tratti FBC e PR in (n − 1)b rettangoli simili. Questi rettangoli sono caratterizzati dall’avere l’angolo α della Figura 10.6 costante.

In conclusione, nella Figura 10.6 vengono tracciate b + 1 linee di corrente (come già detto, tale è anche la linea orizzontale al fondo), sicché si ottengono b tubi di flusso nell’ambito di ciascuno dei quali defluisce una portata per unità di larghezza (dimensione, quest'ultima, ortogonale al piano della figura), uguale a Δq. Pertanto, per ogni maglia i-esima del reticolo della Figura 10.6, considerando tutte le precedenti considerazioni, si ha

tan qbqVn n kH s n n kH 11 ii i i DD D D == ==a (10.26)

da cui si ricava che

tan qbnkH 1 =a (10.27)

Figura 10.6 Flusso attraverso un corpo diga omogeneo.

EsEmpi di costruzionE di una rEtE di flusso. infiltrazionE sotto una palancola

Si faccia riferimento alla Figura 10.7. Per tracciare la rete di flusso si considerano le seguenti condizioni al contorno.

• Le altezze d’acqua a sinistra e a destra della palancola determinano una differenza di carico per cui la differenza di potenziale è data da φn − φ1 =  kΔH. La superficie del terreno sia a sinistra che a destra della palancola rappresentano le linee equipotenziali φ1 e φn. Le linee di corrente dovranno essere ortogonali a esse.

• Le superfici AB e BC delle due parti della palancola danno luogo nel piano del disegno a una linea di corrente, come anche lo strato impermeabile che, in questo esempio viene ipotizzato a profondità infinita.

Se disegnassimo b + 1 linee di corrente si avrebbero b tubi di corrente all’interno di ciascuno dei quali passerà una portata Δq (per unità di larghezza, ossia della dimensione ortogonale al piano del disegno). Nel caso della Figura 10.7 si hanno b + 1 = 5 linee di corrente e n = 9 linee equipotenziali. Inoltre, si è provveduto a costruire una rete a maglie quadrate (ossia Δni = Δsi). Nell’ipotesi che k = 0,0001 m/s, ΔH = 4 m, e, facendo riferimento alla Figura 10.7, si ha

, , sm m qbqVn n kH s n n kH 11 91 000014 000005 ii i i 3 DD D D D D == ==== (10.28) da cui si ricava che

,, sm m qbq 40 000050 0002 3 D == = (10.29)

10.5 Casi di emungimento da falde

Caso di trincea (flusso bidimensionale di falda freatica)

Si consideri il caso di un flusso bidimensionale in direzione di una trincea. Si assuma, inoltre, che il terreno impermeabile di fondo costituisca un piano orizzontale (Figura 10.8).

La portata d’acqua per unità di larghezza (che, ovviamente, equivale alla portata nell’ipotesi che la dimensione ortogonale al piano della Figura 10.8 sia unitaria) è data da

ddqVzkJzkJy yy 00 == = ## (10.30)

Ricordando che il significato geometrico di J è quello della pendenza della linea piezometrica, ossia J = tan θ = dy/dx, si ha

d d tan qkykyx y == i (10.31)

➔

Campo di moto piano di una trincea in falda freatica

Flusso sotto una palancola ➔

Figura 10.7 Schema del flusso sotto una palancola.

Superficie di trapelazione

➔ Flusso radiale per pozzo in falda freatica

Utilizzando le condizioni al contorno per cui per x = x1 si ha y = y1 e per x = x2 si ha y = y2, si ha

() yyk q xx 2 2 2 1 2 21 -= - (10.32)

Si evidenzia che, come mostrato nella Figura 10.8, le esperienza di campo hanno dimostrato che il livello d'acqua in trincea h c è minore di h0, essendo h0 il livello della linea piezometrica in corrispondenza della trincea. Esiste, dunque, un tratto di parete compreso tra i livelli h0 e h c lungo il quale l’acqua sbocca dalla falda nell’atmosfera, colando lungo la parete per un tratto noto come superficie di trapelazione. Pertanto, ancorché la linea piezometrica abbia un andamento parabolico, il risultato ottenuto è solo approssimato in prossimità della trincea.

Caso del pozzo (flusso radiale)

Facendo riferimento alla Figura 10.9, per il caso di flusso radiale per attingimento da falda freatica con superficie impermeabile al fondo, la portata Q è data dall’espressione

d d

QxyVxykJxyk x y 22 2 == = rr r (10.33)

avendo ipotizzato che il pozzo giunge fino allo strato impermeabile. Separando le variabili, si ha

d d yyk Q x x 2 = r (10.34)

anche in questo caso, utilizzando le condizioni al contorno per cui per x =  x1 si ha y =  y1 e per x = x2 si ha y = y2, si ha

ln

yyk Q x x 2 2 1 2 1 2 -= r (10.35)

In particolare, se per le condizioni al contorno, si scegliesse da una parte y2 e dall’altra h0, ossia l’altezza della falda per x = r, essendo r il raggio del pozzo cilindrico, si avrebbe

ln yhk Q r x 2 2 0 2 2 -= r (10.36)

Anche in questo caso si rileva la presenza della superficie di trapelazione. Nella Figura 10.9 con R si indica la distanza radiale a partire dalla quale si può ritenere che il livello della falda sia quello indisturbato, ossia in assenza di emungimento dal pozzo. Tale raggio è noto come raggio di depressione

Figura 10.9 Falda freatica bidimensionale per attingimento da pozzo circolare con superficie impermeabile al fondo.

Figura 10.8 Falda freatica bidimensionale per trincea.

Pozzo o trincea in una falda artesiana

Nel caso in cui il terreno permeabile di spessore a (detta anche potenza della falda) sia

compreso tra due strati impermeabili e la linea piezometrica è al di sopra dello strato permeabile (ossia con tutti i punti a quota y > a), si ha il caso di una falda artesiana, di cui, ora, si analizzerà l’emungimento da pozzo. In questo caso, facendo riferimento alla Figura 10.10, la portata è data da

Flusso radiale per pozzo in falda artesiana ➔

QxaVxakJxak x y 22 2 == = rr r (10.37)

Separando le variabili, si ha

d d

d d yak Q x x 2 = r (10.38)

Pertanto, integrando tra x2 e x1 della Figura 10.10, si ha

ln yyka Q x x 2 21 1 2 -= r (10.39)

Prendendo y1 = h0 e x1 = r, si ha

ln yhka Q r x 2 20 2 -= r (10.40)

Se invece di un pozzo, si trattasse il caso di una trincea artesiana, si può far riferimento sempre alla Figura 10.10, ipotizzando che lo schema si riferisca a una sezione che si riproduca uguale a sé stessa nella direzione ortogonale al piano del disegno. In questo caso, il valore della portata per unità di larghezza è dato da

d d qaVakJakx y == = (10.41)

Separando le variabili si ha

dd yka q x = (10.42)

ossia

() yyka q xx 21 21 -= - (10.43)

Emungimento da trincea di una falda freatica con strato impermeabile inclinato

Si faccia riferimento alla Figura 10.11. Nel caso in analisi si ha che

() d d tantan Jix y == += + ba i (10.44)

Pertanto, si ha

d d VkJkix y == + bl (10.45)

Flusso piano per trincea in falda artesiana ➔

Flusso piano per trincea in falda freatica con strato impermeabile inclinato ➔

Figura 10.10 Falda artesiana per attingimento da pozzo circolare.

Figura 10.11 Falda freatica con emungimento da trincea con strato impermeabile inclinato.

Intrusione salina nelle falde costiere ➔

da cui si ottiene che la portata per unità di larghezza è data da

d d d d qVykixyykiykx y y == += + bl (10.46)

Separando le variabili, si ha

d d xkqkiy yy = - (10.47)

ossia d xkqkiy yy = - # (10.48)

L’integrazione della (10.48) porta al seguente risultato

ln xkikqqiky ikyC 22 =--+ c ^h m (10.49)

dove C è una costante di integrazione che può essere ottenuta osservando che per x = 0 si ha y = h0. Pertanto, si ottiene

ln ixik q qiky qikh hy 0 0 =+- (10.50)

Anche in questo caso si rileva la presenza della superficie di trapelazione.

Intrusione salina nelle falde costiere

Un’interessante applicazione dell’idrostatica è quella che permette di interpretare in maniera semplice, anche se di prima approssimazione, il tanto attuale e discusso fenomeno dell’intrusione marina negli acquiferi costieri. Per semplicità si faccia riferimento a una falda freatica, che scarichi a mare lungo la linea di costa, sostenuta da uno strato profondo impermeabile. Il fenomeno è rappresentato dallo schema della Figura 10.12. Il caso è quello di una zona litoranea in corrispondenza della quale la parte superficiale della crosta terrestre è formata da uno strato di terreno permeabile (ghiaie, sabbie), che può estendersi anche al disotto del fondo marino a formare un unico acquifero. Se non vi fosse acqua dolce proveniente dall’entroterra, l’acqua del mare si espanderebbe anche sotto la superficie emersa, creando una falda di acqua salata avente come livello di superficie quello del mare. Di norma, però, le acque meteoriche che si infiltrano nel terreno formano nello strato permeabile una falda di acqua dolce, che, sotto l’azione del gradiente idraulico, ovvero della cadente J, si muove verso la costa e sbocca in mare. In prossimità della costa l’acqua dolce, ossia con un peso specifico minore di quello dell'acqua salata, galleggia sull’acqua salata del mare. Pertanto, si forma il cuneo salino delimitato dall’interfaccia su cui poggia e si muove l’acqua dolce. In realtà l’interfaccia non è così netta come quella che si produce tra due liquidi non miscibili; si tratta più propriamente di una zona di transizione, dove acqua dolce e acqua salata si mescolano tra loro in proporzioni diverse, formando uno strato di acqua salmastra di spessore e concentrazione variabili.

Come mostra lo schema della Figura 10.12, l’acqua della falda si muove verso il mare con traiettorie convergenti e di conseguenza con velocità crescente all’avvicinarsi alla sezione di sbocco. Ciò produce un progressivo aumento della cadente e un incurvamento crescente della superficie freatica e dell’interfaccia salina. In questo caso, per la presenza di componenti verticali del moto, le pressioni non rispettano rigorosamente la legge idrostatica,

Interfaccia salina

Livello freatico

Acqua dolce FALDA

Piede del cuneo

Linea di costa

Cuneo salino

Acqua salata

STRATO IMPERMEABILE

Figura 10.12 Schema del fenomeno dell’intrusione marina in una falda freatica costiera.

venendo meno la condizione di filetti rettilinei e paralleli tra loro, e se ne discostano in misura crescente con l’avvicinarsi allo sbocco in mare.

Tuttavia, tenuto conto della modesta entità delle variazioni della cadente e della gradualità con cui si incurva l’interfaccia salina, a una certa distanza dalla sezione di sbocco si può assumere con buona approssimazione che le traiettorie siano sensibilmente orizzontali (ossia che si instauri un moto gradualmente variato) e che, di conseguenza, la pressione nell’acquifero vari con legge idrostatica.

Si ammetta inoltre che:

• lo spessore dell’interfaccia tra acqua dolce e salata sia piccolo rispetto alla profondità in gioco;

• non vi sia moto dell’acqua salata.

Sotto queste condizioni e con riferimento alla Figura 10.13, si consideri un qualunque punto A sulla linea dell’interfaccia salina. In esso la pressione prodotta dalla colonna di acqua dolce di altezza H +  h deve essere in equilibrio con la sottopressione prodotta dall’acqua salata alla profondità H, avendo indicato con h la quota sul livello del mare della superficie dell’acqua dolce in corrispondenza di A e con H la profondità sotto il livello del mare del punto in analisi. Dunque, si ha quanto segue

Hγs = (H + h)γd (10.51)

avendo indicato con γs  = gρs e γd = gρd i pesi specifici dell’acqua salata e dell’acqua dolce, essendo ρs e ρd le densità dell’acqua salata e dolce, rispettivamente. Si osserva che la densità dell’acqua dolce può essere assunta uguale a 1000 kg/m3, mentre quella dell’acqua di mare dipende ovviamente dal mare stesso, ma è sempre maggiore di quella dell’acqua dolce. Sviluppando la relazione precedente si ottiene

HhGh sd d == cc c (10.52) dove

G sd d =cc c (10.53)

è il cosiddetto coefficiente di Ghyben-Herzberg.

Per un valore medio della densità dell’acqua di mare di 1025 kg/m3 si ottiene G = 40.

ossErvazionE

Per esempio, nell’ipotesi che la quota della superficie dell’acqua in un pozzo freatico prossimo alla costa sia a h = 2 m sul livello del mare, si può stimare che l’interfaccia si trovi a circa H = 80 m sotto il livello del mare, ossia a H +  h = 82 m dalla superficie dell’acqua del pozzo. In realtà il fenomeno è assai più complesso di come appare dall’approccio di Ghyben e Herzberg per molte ragioni, principalmente legate alla dinamica dell’interfaccia, spesso di notevole spessore. Tuttavia, il risultato ottenuto è di utilità, perché con estrema semplicità permette di dare una valutazione dell’ordine di grandezza del fenomeno dell’intrusione marina attraverso osservazioni non complesse. Il modello semplice descritto serve come strumento orientativo anche per falde in pressione.

Coefficiente di Ghyben-Herzberg ➔

Livello freatico Acqua

Figura 10.13 Equilibrio idrostatico dell’interfaccia salina di un acquifero freatico costiero.

Effetti degli emungimenti

L’estensione del cuneo salino può variare naturalmente in relazione ai fenomeni idrologici e idrogeologici. Per esempio, una forte e prolungata diminuzione delle precipitazioni produce un progressivo abbassamento della superficie piezometrica delle falde con conseguente maggiore penetrazione del cuneo salino e un innalzamento dell’interfaccia tra acqua dolce e salata. A sua volta il movimento dell’interfaccia contribuisce a favorire la miscelazione tra acqua dolce e acqua salata, ad aumentare la potenza dello strato salino e a diffondere l’inquinamento da acqua salata anche ai livelli meno profondi della falda di acqua dolce.

D’altro canto, è inevitabile che emungimenti di acqua dolce in modo massiccio e disordinato incrementino la penetrazione dell’acqua salata negli acquiferi. In una falda in assenza di prelievi tutta l’acqua di ricarica (dovuta, per esempio alle piogge) defluisce a mare. Apparentemente questa quantità può essere prelevata senza danno per la falda, se le modalità di prelievo fossero corrette. Infatti, se il prelievo fosse ben distribuito su tutta l’estensione della falda, si produrrebbe un abbassamento della superficie piezometrica, che causerebbe una maggiore penetrazione del cuneo salino nella parte inferiore dell’acquifero, ma senza pregiudizio per la qualità dell’acqua emunta. In caso contrario, ossia se si creasse un fronte di prelievo nell’entroterra, che sottraesse alla falda tutta la portata in movimento verso il mare (come schematizzato nella Figura 10.14), dalla zona di emungimento fino alla costa si interromperebbe il moto dell’acqua dolce e si produrrebbe progressivamente una traslazione del cuneo salino verso il fronte di emungimento. Ovviamente, ciò porterebbe alla contaminazione salina dell’acqua emunta dai pozzi.

A proposito di... pozzo di San Patrizio

La foto mostra il pozzo di San Patrizio a Orvieto. Fu costruito da Antonio da Sangallo il Giovane a Orvieto, tra il 1527 e il 1537, per volere del papa Clemente VII, reduce dal Sacco di Roma e desideroso di tutelarsi nell’eventualità che la città in cui si era ritirato fosse assediata. L’accesso al pozzo, capolavoro di ingegneria, è garantito da due rampe elicoidali a senso unico, completamente autonome e servite da due diverse porte, che consentivano di trasportare con i muli l’acqua estratta senza ostacolarsi. Il pozzo è profondo 54 metri, ha forma cilindrica a base circolare con diametro di 13 metri ed è stato realizzato scavando nel tufo dell’altopiano su cui sorge Orvieto.

(Fonte: Antichitera/wikimedia.org, CC BY-SA 3.0)

Figura 10.14 Avanzamento del cuneo salino prodotto dal prelievo lungo un fronte di emungimento.

Esercizi risolti

R10.1 Si valuti la variazione tra il livello statico e dinamico in un pozzo freatico e si analizzi la dipendenza della portata emunta dalle variabili in gioco.

Risoluzione

In assenza di emungimento il livello dell’acqua nel pozzo, cosiddetto livello statico, è uguale a quello circostante della falda. Quando si inizia a pompare ed emungere acqua, il livello di quest’ultima nel pozzo e nell’intorno di esso si abbassa progressivamente. Se la portata fosse costante il dislivello si stabilizza a una quota che dipende dalla portata stessa. Il livello raggiunto nel pozzo prende il nome di livello dinamico, mentre si definisce cono di depressione il volume di terreno abbandonato dall’acqua di falda in seguito all’emungimento e limitato inferiormente dalla superficie piezometrica, la cui depressione genera la cadente necessaria per produrre il moto.

Esaminiamo il caso schematizzato nella Figura R10.1 di un pozzo cilindrico verticale di diametro D, che si intesti nello strato impermeabile orizzontale di una falda omogenea di estensione infinita, cioè che possa alimentare il pozzo senza limitazioni. L’acqua entra nel pozzo soltanto attraverso la parete cilindrica, considerata completamente permeabile. In teoria il processo si sviluppa in moto vario, asintotico nel tempo, ma in pratica si può assumere che dopo un periodo relativamente breve di emungimento a portata Q costante si raggiunga la condizione di moto permanente, a partire dalla quale anche il livello del pozzo HP si mantiene costante.

Terreno

Livello statico

Livello dinamico

Strato impermeabile

considerare che a una distanza r = R sufficientemente grande, a cui si dà il nome di raggio di depressione, h = H.

Ponendo nella precedente equazione h =  H, ossia facendo riferimento all’altezza del livello indisturbato della falda, si ottiene la seguente equazione

HHk Q D R2 P 2 =+ r

ln

Se, come avviene generalmente, la portata di emungimento è costante, lo è anche il secondo addendo sotto radice e la precedente equazione può essere scritta come segue

HHC P 2 2 =+

ovvero

HHC P 2 =-

Pertanto

HHHHC P 2 D =-=- -

dove l’abbassamento dinamico Δ non può ovviamente superare lo spessore della falda indisturbata, ossia Δ ≤ H.

Esplicitando l'equazione precedentemente ottenuta rispetto a Q, si ricava la curva caratteristica del pozzo freatico, ovvero l’equazione della portata in funzione dell’abbassamento dinamico

ln

R D Q dr r D/2

Cono di depressione

H P Δ h H d h

SEZIONE

Q D R kHH2 P 2 2 =r ^h

la quale, poiché ()() HHHHHH PPP 2 2 -= +- , H − HP = Δ e H + HP = 2H − Δ, diviene

Q D R kH2 2 DD =r ^h

ln

Dalla precedente equazione si desume che la curva caratteristica Q in funzione di Δ è un arco di parabola e che la portata è ovviamente influenzata anche dal livello statico H R10.2 Si valuti la variazione tra il livello statico e dinamico in un pozzo artesiano e si analizzi la dipendenza della portata emunta dalle variabili in gioco.

PIANTA

Figura R10.1 Sezione e pianta del flusso di emungimento da un pozzo freatico fondato su uno strato impermeabile.

L’avvicinamento dell’acqua al pozzo avviene attraverso superfici cilindriche concentriche di altezza h e raggio r progressivamente decrescenti. Poiché, per la condizione di continuità, ciascun cilindro è attraversato dalla medesima portata Q, la velocità del flusso di acqua aumenta al diminuire della distanza dal pozzo.

Considerando la (10.36), ponendo h0 =  HP, y2 =  h, x2 =  r e r = D/2 si ha

ln hHk Q D r2 P 2 =+ r

dove h è la quota della superficie freatica a distanza r dall’asse del pozzo, rilevabile in campo tramite un piezometro o un pozzo spia. Secondo la precedente relazione il cono di depressione ha andamento asintotico rispetto alla superficie freatica della falda indisturbata (Figura R10.1), ma in pratica si può

Risoluzione

Come visto, un pozzo di definisce artesiano quando attinge da una falda artesiana. In assenza di emungimento il livello dell’acqua nel pozzo, cosiddetto livello statico, raggiunge la quota della superficie piezometrica indisturbata della falda in quel punto. In altre parole, il pozzo funziona come un piezometro.

Anche in questo caso se si estraesse una portata costante, il livello nel pozzo calerebbe progressivamente con velocità decrescente fino a stabilizzarsi alla quota corrispondente al livello dinamico HP. Nell’intorno del pozzo la superficie piezometrica si abbassa e assume la forma di un conoide di rotazione, cosiddetto cono di depressione, avente come asintoto il piano piezometrico della falda indisturbata.

Con riferimento alla Figura R10.2 esaminiamo il caso di un pozzo cilindrico verticale di diametro D, che attraversi tutto lo spessore s, cosiddetta potenza, di una falda omogenea di estensione infinita, fino a intestarsi nello strato impermeabile di base (cosiddetto letto della falda), e la cui parete sia permeabile in corrispondenza dell’acquifero. L’acqua entra nel pozzo soltanto dalla superficie laterale. Il moto avviene con traiettorie radiali orizzontali convergenti verso il pozzo e il valore della velocità

di filtrazione è costante sulle superfici cilindriche concentriche al pozzo, che sono anche superfici equipotenziali.

flusso sia omogeneo e caratterizzato da un coefficiente di permeabilità k = 2,0 ∙ 10−5 m/s.

Risoluzione

Facendo riferimento alla Figura R10.3, si assume come quota z = 0, rispetto alla quale valutare le altezze piezometriche, quella del terreno impermeabile di fondo. Pertanto, si ha che

zA =  z a  =  zb =  z c  =  z e  =  z f =  z B = 11 m, mentre la quota piezometrica dei punti A e B è data rispettivamente da hA = 19 m e hB = 12 m.

Sia H la quota piezometrica sul letto impermeabile della falda indisturbata, coincidente col livello statico nel pozzo e HP il livello dinamico che si stabilisce nel pozzo a seguito dell’emungimento a portata costante Q. Tutti le superfici cilindriche concentriche al pozzo sono attraversate dalla medesima portata Q, con velocità di filtrazione V crescenti al ridursi, con la distanza r dal pozzo, della superficie permeata di area 2πrs. Indicando con h la quota piezometrica del cilindro di raggio r, per la (10.40) si ha

ln hHsk Q D r 2 2 P =+ r

Se fosse possibile misurare la quota piezometrica h con un piezometro o con un altro pozzo (cosiddetto pozzo spia) a distanza r dall’asse del pozzo in analisi (Figura R10.2), la precedente equazione consentirebbe di stimare la permeabilità media k della falda nell’intorno del pozzo stesso.

Come nel caso precedente il cono di depressione ha andamento asintotico rispetto alla superficie piezometrica della falda indisturbata, ma in pratica si può considerare che h si stabilizzi su un valore H a una distanza r = R sufficientemente grande, a cui si dà il nome di raggio di depressione. Dalla precedente equazione si ricava la curva caratteristica del pozzo artesiano:

() ln Q D r skhH2 2 P =r

che per r = R e h = H assume la forma

Q D R skHH D R sk 2 2 2 2 P D =- = rr

() ln ln

L’equazione ottenuta indica che Q varia linearmente con Δ e che la portata non dipende dalla profondità della falda, ma dallo spessore s dell’acquifero. È appena il caso di osservare che nella realtà le falde non sono orizzontali, infinite, omogenee e di spessore costante. Pertanto, le relazioni e le analisi ottenute servono come primo approccio per la comprensione dei fenomeni da analizzare. Dunque, nelle pratiche applicazioni si deve sempre verificare che le relazioni ottenute siano applicabili ai casi in esame, tenendo conto delle varie approssimazioni.

R10.3 Si consideri la briglia in calcestruzzo che sbarra un corso d’acqua. Calcolare le pressioni interstiziali agenti al di sotto della briglia, dovute al moto di filtrazione stazionario instauratosi nel terreno a causa della differenza di carico piezometrico tra monte e valle. Inoltre, si valuti la portata totale di filtrazione Q, supponendo che il terreno interessato dal

Nella Figura R10.3 vengono riportate le linee di flusso ed equipotenziali, costruite facendo in modo che il rapporto dei lati dei quadrangoli sia approssimativamente costante. Facendo riferimento alle indicazioni del Paragrafo 10.4, si osserva che, nella costruzione riportata nella figura, le linee di flusso sono b + 1 = 4 (che comprendono, ovviamente, anche le due linee orizzontali superiore e inferiore alla falda, ossia la AB e la linea del fondo impermeabile). Dunque, i tubi di flusso sono b = 3, mentre le linee equipotenziali sono n = 8 (comprendendo, ovviamente, quelle orizzontali, ossia quella passante per A e alla sinistra dello stesso punto A e quella passante per B e alla destra dello stesso punto B), le quali vanno a ripartire il campo di moto in n − 1 = 7 parti. Pertanto, si ha che la perdita di carico tra due linee equipotenziali contigue è data da

m h n hh 17 1912 1 AB ===

Per cui, per esempio, il carico che compete alla linea equipotenziale che comprende il punto c è

m hh 7 3 7193 16 A c =-=- =

in cui si ha, in particolare, che

Pa hzppp 11 9800 1649000 cc cc c & =+ =+ == c

In modo analogo si possono calcolare le pressioni agenti al di sotto degli altri punti della briglia, ottenendo, pertanto, la distribuzione delle pressioni e, dunque, delle sottospinte. Il valore della portata che viaggia in ciascun tubo di flusso è, invece, fornito dalla seguente equazione valida per ogni maglia i-esima del reticolo

qbqV n kH s n n kH n 1 1 1

DD D D == == ===-

i i i i 5 5 3

81 20 101912 12 010

,( ) , sm m

Da cui si ottiene il valore complessivo della portata, somma di quelle dei tre tubi di flusso, come segue

,, sm m hm l qqb 20 10 36 010 216 55 3 D == ==

8 m

11 m

hA

19

Figura R10.3 Schema della briglia con indicazioni delle altezze e della rete di flusso.

Figura R10.2 Pozzo artesiano passante per l’intero spessore della falda.

Esercizi proposti

P10.1 Si determini la portata che viene emunta da un pozzo freatico cilindrico circolare ad asse verticale, ipotizzando un coefficiente di permeabilità k = 2,0 ∙ 10−4 m/s, ipotizzando che il diametro sia di 0,5 m, il raggio del livello indisturbato di H = 10 m sia di 550 volte il diametro e che Δ = 0,7 m.

P10.2 Si determini la portata che viene emunta da un pozzo artesiano cilindrico circolare ad asse verticale, ipotizzando un coefficiente di permeabilità k = 2,0 ∙ 10−5 m/s, ipotizzan-

Bibliografia

Citrini D., Noseda G., Idraulica, CEA, Milano, 1975

Ghetti A., Idraulica, II ed., Edizioni Libreria Cortina, Padova, 1996

Colombo P., Colleselli F., Elementidigeotecnica, III ed., Zanichelli, 2004

do che la potenza s = 1 m, il diametro sia di 0,6 m, il raggio del livello indisturbato di H = 12 m sia di 600 volte il diametro e che Δ = 0,6 m.

P10.3 Si determini la portata per unità di larghezza da una trincea artesiana, assumendo un coefficiente di permeabilità k = 3,0 ∙ 10 −4 m/s, altezza del livello in falda di 1 m, altezza della linea piezometrica y 2 = 2 m a distanza x 2 = 10 m e potenza di 0,5 m.

Ippolito F., Nicotera P., Lucini P., Civita M., De Riso R., Geologia tecnica, V ed., Isedi - De Agostino, 1993

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Ristampa: prima tiratura

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Michele Mossa

Antonio Felice Petrillo

Idraulica

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La seconda edizione di Idraulica offre tutte le nozioni di base della disciplina necessarie a chi studia Ingegneria, integrando la trattazione matematica con applicazioni ed esercizi risolti. Gli undici capitoli di cui si compone affrontano statica, cinematica e dinamica dei fluidi, modellistica fisica idraulica, moto permanente e vario delle condotte in pressione e, introdotti in questa seconda edizione, moti a potenziale, moti esterni ai corpi, moti di filtrazione e cenni di trasporto solido nelle correnti a pelo libero. Le oltre 600 figure a colori che accompagnano la dimostrazione dei teoremi e lo svolgimento degli esercizi sono fondamentali per l’apprendimento, così come i frequenti approfondimenti (osservazioni, esempi, curiosità), gli esercizi risolti alla fine di ogni capitolo e gli esercizi proposti, le cui soluzioni sono disponibili in formato digitale, insieme a esercizi supplementari e video

Le quattro Appendici sono dedicate, rispettivamente, alle proprietà dei fluidi, alle nozioni di base di algebra e geometria delle masse, indispensabili per affrontare questa disciplina, al teorema del trasporto di Reynolds e all’equazione globale del momento della quantità di moto.

Gli autori hanno voluto salvaguardare alcuni aspetti propri dell’approccio classico dell’idraulica italiana, ben consolidati a livello internazionale, rendendo l’opera anche un testo di riferimento per chi esercita un’attività professionale in un ambito ingegneristico, geologico o di altro tipo, che richieda di conoscere leggi e casi pratici dell’idraulica.

Michele Mossa è professore ordinario di Idraulica presso il Politecnico di Bari e presidente del Comitato Tecnico Internazionale dell’Ecoidraulica dell’IAHR (The International Association for Hydro-Environment Engineering and Research).

Antonio Felice Petrillo è stato professore ordinario di Idraulica al Politecnico di Bari, dove ha ricoperto anche i ruoli di direttore del Dipartimento di Ingegneria delle acque e responsabile scientifico del Laboratorio di Ingegneria Costiera (LIC).

MOSSA"PETRILLO*IDRAULICA 2ED(CEALUMKQ IS BN 978 -88- 08 - 99977-1