mémo-brevet maths by ze maths

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Tableau de numération Partie entière Classe des millions

Classe des mille

Classe des unités

Partie décimale

Dixmillièmes

Millièmes

Centièmes

Dixièmes

Unités

Dizaines

Centaines

Unités de mille

Dizaines de mille

Centaines de mille

Unités de millions

Dizaines de millions

Centaines de millions

Unités de milliards

V I R G U L E

0,1

0,01 0,001 0,0001

1 10

1 100

–1

1 1 1000 10000

–2

–3

–4

Tableaux des unités Pour convertir, il faut décaler la virgule de 1 en 1 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire. Les préfixes hecto déca 100 10

kilo 1000

tonne t

quintal q

déci 1 10

centi 1 100

milli 1 1000

Unité de longueur : le mètre km hm dam m Unité de masse : le gramme

hg dag Unité de capacité : le litre hL daL

Unités d’ aires : le mètre carré ( m2 ) . Pour convertir, il faut décaler la virgule de 2 en 2 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire. km2

hm2 ha

dam2 a

dm2 1

1 1m

cm2

mm2

= 100 dm 2

1 dm 2 = 100 cm 2

Unités agraires :

1 km 2 = 100 hm 2

l’ are (a) et l’ hectare ( ha)

1 a = 1 dam

1 ha = 1 hm 2

Unités de volumes: le mètre cube (m 3 ). Pour convertir, il faut décaler la virgule de 3 en 3 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire. km3

hm3

dam3

dm3 kL hL daL L 1 0 0 0 1

= 1000 dm 3

1 dm 3 = 1000 cm 3

Unités de capacité : le litre ( L ) . 1 L = 1 dm 3 1

cm3

mm3

dL cL mL 0

SOMMAIRE PARTIE NUMERIQUE p1 p3 p5 p6 p7 p9 p 11 p 13 p 14 p 15 p 17 p 18 p 19 p 20 p 21 p 22 p 23 p 25

TABLEAU DE NUMERATION

- TABLEAUX DE CONVERSIONS

LES NOMBRES NOMBRES RELATIFS PUISSANCES

- FRACTIONS

- PRIORITES OPERATOIRES

ARITHMETIQUE RACINES CARREES CALCUL LITTERAL CALCUL LITTERAL CALCUL LITTERAL

: DEVELOPPER : FACTORISER

EQUATIONS SYSTÈMES D’ ÉQUATIONS INEQUATIONS FONCTIONS NUMERIQUES FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES PROPORTIONNALITE

- ECHELLES - VITESSES

POURCENTAGES STATISTIQUES PROBABILITES

PARTIE GEOMETRIQUE p 27 p 29 p 30 p 31 p 32 p 33 p 35 p 36 p 37 p 38 p 39 p 41 p 42 p 43

p 46

GEOMETRIE ELEMENTAIRE

– CONSTRUCTIONS – VOCABULAIRE - NOTATIONS

RAPPELS DE GEOMETRIE QUADRILATERES PARTICULIERS TRIANGLES TRIANGLE RECTANGLE

- PYTHAGORE

THALES TRIGONOMETRIE ANGLES INSCRITS

– ANGLES AU CENTRE – POLYGONES REGULIERS

LES DEUX SYMETRIES

– EQUATIONS DE DROITES DANS UN REPERE GEOMETRIE DANS L’ ESPACE - SOLIDES FORMULAIRE : PERIMETRES - AIRES - VOLUMES AGRANDISSEMENTS - REDUCTIONS REPERES

DEMONTRER EN GEOMETRIE

CALCULATRICE 2

Aperçu de l’histoire de la conquête des nombres Le mathématicien Kronecker (1823-1891) a dit : « Dieu fit le nombre entier, le reste est l’œuvre de l’homme ». Nous allons voir comment, à partir des nombres entiers positifs, les hommes ont créé de nouveaux types de nombres. Au commencement La nécessité de compter des objets ou des animaux est apparue très tôt dans l’histoire de l’humanité, et c’est à la préhistoire que sont nés les premiers nombres entiers. On pense que la pratique de l’élevage et de l’agriculture conduisit les hommes à dénombrer les troupeaux et à élaborer des calendriers. Par exemple pour compter les bêtes, ils plaçaient des cailloux dans une urne. Ils ont ainsi manipulé des nombres entiers positifs que nous appelons les nombres entiers naturels. Pour écrire ces nombres, les diverses civilisations ont imaginé des systèmes de numération très variés. Ce sont les indiens qui ont réuni les conditions permettant un développement du calcul, et qui nous ont transmis nos chiffres actuels. Cependant, ce ne sont pas eux qui ont élaboré les techniques de calcul, mais les arabes. Au 10ème siècle les troupes d’Al-Ma’mun, calife de Bagdad, viennent de remporter une victoire décisive sur les armées byzantines ; or Al-Ma’mun préfère échanger les prisonniers qu’il a faits contre des livres ! Dans un de ces livres, le « Siddhantha » du mathématicien indien Brahmagupta, se trouvent dix petites figures qui vont devenir célèbres : nos dix chiffres ! Un mathématicien arabe rédige un traité pour les faire connaître et décrire la façon de les utiliser. Plusieurs siècles plus tard, cet ouvrage parviendra en France, en Italie, en Allemagne et dans tout l’Occident.

Un certain Hippase de Métaponte a démontré que 2 ne pouvait pas s’écrire sous forme de fraction , ce n’est pas un nombre rationnel. Si bien que, pour eux, ce n’était pas vraiment un nombre, ils en pressentaient seulement l’existence (la diagonale du carré existe bel et bien !). Etonnés par cette découverte qui bouleverse les croyances de leur société, ils l’ont qualifié d’irrationnel, d’innommable, d’inexprimable, ce qui traduisait bien leur embarras (une légende dit même que, pour supprimer les témoins et garder le ‘scandale’ secret, ils auraient éliminé discrètement celui qui avait découvert cette troublante propriété, mort noyé dans un naufrage…). Plus tard, les mathématiciens arabes et persans, comme Al-Khwarizmi au 9ème siècle, ont établi les règles de calcul sur les racines carrées . Alors, petit à petit, avec les travaux des algébristes du 13ème siècle, on n’a pas hésité à considérer tous les rapports de longueurs comme des nombres. Depuis ce temps-là, on admet qu’à côté des nombres rationnels, il en existe d’autres – les nombres irrationnels – qui n’ont pas d’écriture fractionnaire.

Irruption du zéro et des nombres relatifs C’est en 456, dans un traité de cosmologie, le « Lokavibhaga », qu’on trouve pour la première fois un mot (« çunya » qui signifie ‘le vide’) qui représente le zéro. Au 7ème siècle après J.C., le mathématicien indien Brahmagupta énonça des règles pour opérer sur trois sortes de nombres appelés « biens », « dettes » et « zéro ». Les nombres négatifs étaient utilisés en Inde pour le commerce : on avait ainsi inventé les nombres relatifs. Grâce à eux, la soustraction est toujours possible ; par exemple 3 – 7 = – 4. Cependant les hommes furent longtemps réticents à accepter les nombres négatifs. Ils sont restés Problèmes de partage Avec les problèmes de partage, c’est dans les civilisations ignorés, puis méprisés. Les mathématiciens ne commencent à ème siècle, et ils les appellent « numeri babyloniennes et égyptiennes que sont apparues des fractions travailler avec qu’au 15 » (‘les nombres absurdes’), en leur refusant le statut absurdi 1 1 2 simples comme , , etc. Rappelons que, pour un de solution d’une équation. Ce n’est qu’au 19ème siècle que 2 3 3 l’utilisation des nombres relatifs ne deviendra courante. mathématicien, une fraction doit avoir son numérateur et son dénominateur entier. Les égyptiens savaient additionner des Pour faciliter les calculs, l’apparition des décimaux quantièmes (fractions de numérateur 1). Puis les grecs ont Le fait d’écrire les nombres entiers avec un chiffre pour les effectué les quatre opérations sur ces ‘rapports de grandeurs’, unités, un chiffre pour les dizaines, un chiffre pour les comme le montre le livre 5 des éléments d’Euclide, écrits au centaines, etc. (cela s’appelle la numération de position) facilite 3ème siècle avant J.C. Les grecs savaient calculer avec les beaucoup les opérations (essayez de faire une multiplication nombres écrits sous forme de fraction et qu’on nomme les avec des chiffres romains !). Au fil du temps, les mathématiciens ont remarqué que les opérations sur des nombres rationnels. nombres non entiers seraient également facilitées si l’on avait Racines carrées… et nombres irrationnels un chiffre pour les dixièmes, un chiffre pour les centièmes, Au 5ème siècle avant J.C., au sud de l’Italie, Pythagore et ses etc. Mais les nombres décimaux ne sont apparus que disciples, qui formaient une secte mathématique et religieuse, tardivement ! Leur écriture actuelle (avec la virgule) a été croyaient que les entiers et les fractions pouvaient expliquer introduite au 16ème siècle par les mathématiciens européens. tous les phénomènes du monde. L’harmonie de l’univers reposait C’est alors que le flamand Stevin, vers 1580, publia un traité sur ces nombres qui suffisaient à leur bonheur. En complet sur l’usage des nombres décimaux. Ceux-ci ne sont que conséquence, chaque longueur aurait dû s’écrire sous la forme des nombres rationnels particuliers (c’est à dire que tout d’un entier ou d’une fraction. Or le théorème de Pythagore décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction ; par exemple montre que la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre 876 8,76 = ). Mais ils ont un grand intérêt pratique car ils dont le carré est 2, aujourd’hui noté 2 . Certaines racines 100 carrées sont des nombres bien connus : par exemple 9 = 3. fournissent des valeurs approchées pour tous les autres Mais d’autres, comme 2, ne ‘tombent pas juste’. On s’est alors nombres, rationnels ou irrationnels (par exemple, on prend demandé si 2 pouvait s’écrire sous la forme d’une fraction. souvent 3,14 pour π et 1,414 pour 2).

La grande famille des nombres réels Les nombres relatifs évoqués, rationnels et irrationnels, constituent l’ensemble des nombres réels. On les appelle « réels » car on a ensuite inventé d’autres nombres, indispensables pour résoudre d’autres types de problèmes ; ces nombres, difficiles à se représenter à l’esprit, s’appellent les nombres imaginaires ou nombres complexes. Mais cette autre aventure n’est qu’au programme du lycée et de l’université… Les nombres réels

Les nombres rationnels Les nombres réels qui peuvent s’ écrire sous forme de fraction ( d’entiers).

Les nombres irrationnels Les nombres réels qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction.

π 10 ≈ 3,3333… 3 –

1 7

les nombres décimaux Les nombres réels qui peuvent s’écrire sous forme décimale.

–

– 2,7

les entiers relatifs

4,2578 3 = 0,6 5

–1 –9

les entiers naturels 0 2 30

Plusieurs écritures peuvent désigner le même nombre. Par exemple, pour écrire le nombre 7 on peut écrire 7,0 ; 4 + 3 ; 9 – 2 ; et pour écrire le nombre 2,3 on peut écrire 2,3 ou

14 ; 2

; ...

23 3 ; 2+ ;… 10 10

Valeur arrondie d’ un nombre réel . Donner un arrondi d’un nombre réel, c’ est écrire , avec la précision demandée, le nombre décimal le plus proche de ce nombre réel. ATTENTION ! Si une valeur approchée n'est pas demandée, on doit donner une valeur exacte, et employer le symbole d'égalité. Par contre, une valeur arrondie doit toujours être précédée du symbole « ≈ » qui se lit « est à peu près égal à ».

Exemples :

4 < 4,3 < 5 . L’ arrondi à l’unité de 4,3 est 4 ( 4,3 est plus proche de 4 que de 5 ). 4 < 4,7 < 5 . L’ arrondi à l’unité de 4,7 est 5 ( 4,7 est plus proche de 5 que de 4 ).

Méthode : > Pour arrondir à l’unité ( à 1 près ) , on regarde le chiffre des dixièmes : ● s’ il est inférieur à 5 , on garde le chiffre des unités. ex : 9,3 le chiffre des dixièmes est 3 donc 9 est l’arrondi à l’ unité de 9,3 . ● s’il est égal à 5,6,7,8 ou 9 on ajoute 1 au chiffre des unités ex : 19,8 le chiffre des dixièmes est 8 donc 20 est l’arrondi à l’unité de 19,8 . > Pour arrondir au dixième ( 0,1 près ) , on regarde le chiffre des centièmes ● arrondi au dixième de 9,42 : 9,4 ● arrondi au dixième de 9,45 : 9,5 > Pour arrondir au centième ( à 0,01 près ) , on regarde le chiffre des millièmes, etc… 4

NOMBRES RELATIFS Un nombre relatif est formé d’ un signe et d’une partie numérique. exemples de nombres négatifs : – 287 ; – 3,5 exemples de nombres positifs : + 14 ; 23 attention , le signe + n’est pas toujours marqué : 23 = + 23

> réduire deux fractions au même dénominateur chercher un multiple commun au numérateur et au dénominateur 5 3 et , un dénominateur commun 12 (= 6 × 2 = 4 × 3 ) 6 4 5 × 2 10 3×3 5 3 9 = = et = = 6 6 × 2 12 4 4 × 3 12

pour

Opposé d’un nombre relatif Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0. L’opposé de 3 est – 3 .

L’opposé de – 5 est 5 .

Règle des signes + et + donnent +

+ et – donnent –

– et – donnent +

– et + donnent –

On utilise la règle des signes : > pour simplifier des écritures de sommes ou de différences avec parenthèses : 5 + ( + 8 ) = + 5 + 8 = 13 – 6 + ( – 4 ) = – 6 – 4 = – 10 (–6)–(–4)=–6+4=–2 ( – 3 ) – ( + 7 ) = – 3 – 7 = – 10 ( – 3 ) : 4 = – 0,75 3 : ( – 4 ) = – 0,75 ( – 3 ) : ( – 4 ) = 0,75

ATTENTION : NE PAS CONFONDRE ! – 2 – 7 = – 9 ( la règle des signes ne s’applique pas ). – 2 × ( – 7 ) = + 14 ( la règle des signes s’applique )

FRACTIONS

Ecritures d’un quotient

numérateur dénominateur

4 = 4 : 5 = 0,8 5

Attention ! Certaines fractions n’ont pas d’écriture décimale 1 ≈ 0,3333… 3 Remarque : 6 =

6 5 4 ;5= ;4= ;… 1 1 5

Produit en croix

a c = lorsque ad = bc b d

5 3 5 × 2 3 × 3 10 9 19 + = + = + = 6 4 6 × 2 4 × 3 12 12 12

–

4 6 4 6×3 4 18 14 4 +6=– + =– + =– + = 3 1 3 1×3 3 3 3 3

MULTIPLIER: multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

2 3

4 5 4×5 20 × = = 3 7 3×7 21

2 3

2 2

4 9

penser à simplifier avant de multiplier : 9x9 7 81 7 81 9 9 x = x = = 18 56 2x8 16 18 56 2x9 7x8 > Prendre une fraction d’une quantité 2 × 150 2 2 300 de 150 g –– × 150 = = = 100 g 3 3 3 3 > Prendre une fraction d’une fraction 2 5 2 5 10 de –– × = 3 7 3 7 21 Inverse d’une fraction : Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1. 1 a b L’inverse d’un nombre x est . L’inverse d’une fraction est b a x

Fractions égales : En multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur d’ une fraction par un même nombre non nul , on obtient une fraction égale.

1 = 0,25 ( 4 ×0,25 = 1 ) 4 2 3 1 7 L’inverse de est L’inverse de 7 est ( car 7 = ) 3 2 7 1

> simplifier une fraction chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur

DIVISER : Pour diviser, on multiplie par l’inverse.

8 8:2 4 = = ( notation division ) 6 6:2 3 35 5 × 7 5 = = ( notation multiplication) 56 8 × 7 8

AJOUTER SOUSTRAIRE : Si les dénominateurs sont différents, on réduit d’abord au même dénominateur. Ensuite , on additionne ou on soustrait les numérateurs obtenus , et on conserve le dénominateur commun.

7×5 3 7 3×3 9 35 26 – = – = – =– 5 3 5×3 3 × 5 15 15 15

> pour déterminer le signe d’un produit ou d’un quotient : 2,1 × 3 = 6,3 ( – 2,1 ) × ( – 3 ) = 6,3 2,1 × ( – 3 ) = – 6,3

3 7 et , un dénominateur commun sera 15 ( 5 × 3 ) 5 3 7×5 3 3×3 9 7 35 = = et = = 5 5×3 15 3 3×5 15

pour

L’inverse de 4 est

4 5 5 25 5: = × = 5 1 4 4

3 5 4 7

3 4 3 7 21 : = × = 5 7 5 4 20

PUISSANCES Définition

PRIORITÉS DES OPÉRATIONS

a désigne un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif différent de 0.

a = a×a×…×a

( n facteurs )

–n

1 n a

est l’ inverse de a

a et b étant deux nombres relatifs ( a ≠ 0 et b ≠ 0 ), m et n étant deux nombres entiers relatifs ×a

1°) un calcul entre parenthèses (ou un calcul assimilé par

Formules

I. on écrit de nouveau et à la même place les calculs non faits II. on effectue dans l'ordre de priorité :

5 = 5 × 5 = 25 « 5 au carré » 3 5 = 5 × 5 × 5 = 125 « 5 au cube » 1 0 1 –1 5 =1 5 =5 5 = 5 4 (– 2) = (– 2) × (– 2) × (– 2) × (– 2) = 16 –5 5 1 1 3 =4 3 4– = 3 = 4 3 64 4

exemples :

Dans une suite de calculs,

a a

n+m

(a×b)

n m

×a

n–m

a b

)

a b

nxm

son écriture qui remplace des parenthèses comme les barres de fraction, les racines carrées, ...) 2°) un calcul d'une puissance (carré, cube, ...) 3°) une division ou une multiplication 4°) une soustraction ou une addition. III. En l'absence de priorité, on suit l'ordre d'écriture.

1+2×3

priorité: 2 × 3

=1+6 =7 (1+2)×3

×3

2 × ( 25 – 4

Les puissances de 10 n désigne un nombre entier positif non nul 10

1 = 100 … 0 1

–n

n zéros

exemples : 10 = 100000 1 –5 10 = = 0,00001 100000

un 0 10

= 2 × ( 25 – 16 )

priorité: ( … )

= 18 ( 12 – 3 ) =

Multiplier un nombre par une puissance de 10 On déplace la virgule d’ autant de rangs indiqués par l’exposant. - on avance si l’ exposant est positif. - on recule si l’ exposant est négatif. 2

priorité: carré

–7×(8–5)

priorité: (…)

– 7×

priorité: carré puis 7 × 3

– 21

= 60

dix cent mille million milliard 1 2 3 6 9 10 10 10 10 10 dixième centième millième millionième milliardième –1 –2 –3 –6 –9 10 10 10 10 10

36,5412×10 =3654,12

)

=2×

1 = n = 0 , 0… 01 10

priorité: ( … )

365412,×10

–3

=365,412

priorité : ordre d’ écriture

÷8×4

= 9×4 = 36 priorité: (…)

÷(8×4) = 72 ÷ 32 72

= 2,25 priorité : numérateur et dénominateur de la barre de fraction

42 – 18 6–2 =

24 4

2 rangs

3 rangs

Notation scientifique d’un nombre Ecrire un nombre en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit d’un nombre décimal entre 1 et 10 et d’une puissance de 10. 234,5 = 2,345 × 10

0,0027 = 2,7 × 10

Rq : Lorsqu’il n’y a que des additions et des soustractions dans une expression numérique, on peut regrouper les termes positifs et les termes négatifs.

–3

6–7–9+8–5 =6+8 –(7+9+5) = 14

1235,798 × 10

= 1,235798 × 10 = 1,235798 × 10

× 10

–

= –7

ARITHMETIQUE Le mot vient du grec « arithmos » = nombre. L’arithmétique est la science des nombres.

● Diviseur d’un nombre entier - L'entier d est un diviseur de l'entier a, si

a est un entier. d

40 = 4 et 4 est un nombre entier. 10 On dit aussi 40 est un multiple de 10 ( 40 = 10 × 4 ) 10 divise 40 ( 40 ÷ 10 = 4 ) 40 est divisible par 10.

Exemple :

10 est un diviseur de 40 car

Remarque : 4 est aussi un diviseur de 40. Trouver tous les diviseurs d'un nombre entier chercher les diviseurs deux par deux, en essayant de le diviser par 1, 2, 3, ... Exemple : chercher tous les diviseurs de 40 . 40 40 40 40 40 40 40

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

1 2 3 4 5 6 7

= = ≈ = = ≈ ≈

40 20 13,3 10 8 6,7 5,7

donc donc donc donc donc donc donc

1 2 3 4 5 6 7

et 44 sont des diviseurs de 40. et 20 sont des diviseurs de 40. n’est pas un diviseur de 40. et 10 sont des diviseurs de 40. et 8 sont des diviseurs de 40. n’est pas un diviseur de 40. n’est pas un diviseur de 40.

et on peut s’arrêter ici car on connaît tous les diviseurs plus grands que 8. Donc 40 possède 9 diviseurs : 1, 2, 4, 5 ,8, 10 , 20 et 40.

● Diviseurs communs à deux nombres entiers Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple:

63 45 =7; = 5 donc 9 est un diviseur commun à 63 et à 45. 9 9

Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres entiers ( PGCD ) Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres entiers est le plus grand des diviseurs communs aux deux nombres. Exemple:

Les diviseurs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63 . Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 . Les diviseurs communs à 63 et 45 sont : 1, 3, 9. Le Plus Grand Commun Diviseur ( PGCD ) de 63 et 45 est 9. On note PGCD ( 63 ; 45 ) = 9

2 méthodes de calcul du PGCD méthode 1 : dresser la liste des diviseurs des deux nombres. méthode 2 : utiliser l’algorithme d’Euclide. deux nombres premiers entre eux. Définition 1 : Deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque 1 est leur seul diviseur commun. Définition 2 : Deux nombres entiers sont premiers entres eux lorsque leur PGCD est 1.

● Application : rendre irréductible une fraction • Une fraction est irréductible quand elle ne peut plus être simplifiée. • propriété : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. • Pour rendre une fraction irréductible, on la simplifie par le P.G.C.D. du numérateur et du dénominateur. Exemple: pour rendre irréductible la fraction

PGCD ( 702 ; 273 ) = 39 donc 7

702 , on calcule le P.G.C.D. de 702 et 273 273

702 702 : 39 18 18 = = et est une fraction est irréductible. 273 273 : 39 7 7

Euclide

3ème siècle avant J.C.

Euclide fut un des plus grands mathématiciens de l’antiquité et pourtant on ne connaît pas grand chose de sa vie. On sait qu’il vécut à Alexandrie en Egypte. Dans la prestigieuse Ecole d’Alexandrie, il aurait dirigé une équipe de mathématiciens qui auraient participé à l’écriture de son œuvre phénoménale« Les éléments ». Dans ce magnifique ouvrage , il a rassemblé toutes les connaissances mathématiques de son époque . Une vraie encyclopédie, composée de 13 livres, qui traite des figures géométriques, des polygones inscrits et circonscrits à un cercle, des proportions, de la géométrie dans l’espace ainsi que des nombres. Deux autres livres seront complétés plus tard par Archimède (cercle, cylindre, Pi) et Appolonius (cônes, coniques : ellipse, parabole, hyperbole). Les premières démonstrations rendent cette œuvre novatrice pour l’époque. Euclide démontre les grands théorèmes de ses ancêtres, comme ceux de Thalès et Pythagore par exemple ou encore l’irrationalité de qu’on ne peut pas l’ écrire sour forme de fraction) .

2 ( il démontre

On doit aussi à Euclide une théorie des diviseurs et des multiples d’un nombre entier. Il expose l’algorithme qui porte son nom pour déterminer le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers.

Division euclidienne. On appelle division euclidienne la division dans laquelle le dividende, le diviseur et le quotient sont des nombres entiers. Par conséquence, il existe la plupart du temps un reste, lui aussi entier. DIVISION EUCLIDIENNE A LA CALCULATRICE

diviseur

dividende 702

273

On calcule le quotient : 702 : 273 ≈ 2,57142… Donc le quotient est 2.

2 156

reste

On calcule le reste : 702 – 2 × 273 = 156 Donc le reste est 156.

quotient

Méthode de calcul du PGCD de deux nombres : Algorithme d’Euclide On fait la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit. On recommence avec le diviseur et le reste de la division précédente. On s’arrête lorsqu’on obtient un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. exemple : détermination du PGCD de 702 et 273

702

273

2 156

156

1 117

117

1 39

39 3

donc PGCD ( 702 , 273 ) = 39 8

RACINES CARREES définition:

a étant un nombre positif,

a (se lit ‘racine carrée de a’) est le seul nombre positif dont le carré est a. Carrés parfaits et racines parfaites

32=9

mettre au carré

9 prendre la racine carrée

9 =3

Le plus souvent, le calcul d’une racine carrée ne tombe pas juste. 2 valeur exacte

≈ 1,141 valeur approchée

Attention : Un nombre négatif n’a pas de racine carrée.

Règles de calculs

1² = 1

1=1

2² = 4

4=2

3² = 9

9=3

4² = 16

16 = 4

5² = 25

25 = 5

6² = 36

36 = 6

7² = 49

49 = 7

8² = 64

64 = 8

9² = 81

81 = 9

10² = 100

100 = 10

11² = 121

121 = 11

12² = 144

144 = 12

13² = 169

169 = 13

14² = 196

196 = 14

15² = 225

225 = 15

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0

(

)² = a

a ×

a =a

a×b =

a ×

a = b

( si b

≠

a b

5 ×

5 =5

3 ×

2 =

4 = 9

(

5)²=5

3 ×4

4 2 = 3 9

5 ) ² = 9 × 5 = 45

2 = 20

60 = 15

4 =2

25 = 5

SIMPLIFICATIONS DES RACINES CARREES. méthode : faire apparaître des carrés parfaits.

•

50 =

25 × 2 = 5

•

45 =

9×5 = 3

2 5

9=3

REDUIRE UNE SOMME. méthode : regrouper les termes de la même famille après avoir simplifié les racines si c’est nécessaire. •

•5+4 •

18 +

3 + 12 – 6

2 ... et rien de mieux !... 3 = 17 – 2

50 = 9 × 2 + 25 × 2 =3 2+5 2 =8 2

• 5

27 – 3

12 = 5

9×3 –3

=5×3× = 15 =9

3 –3×2×

3–6 3

4×3

TRANSFORMER UN DENOMINATEUR On cherche à se débarrasser des racines carrées figurant au dénominateur.

en utilisant

a ×

a = a pour a > 0.

1 = 5 5 3 2

en utilisant la troisième identité remarquable

1× 5 5 = 5 5 × 5

5× 2 5 2 = 6 3 2× 2

(a – b)(a + b) = a ² – b ²

On utilise le fait que ( 6 + 2)( 6 – 2) donne un résultat sans racine carrée (

6 ² – 2 ² = 6 – 4 = 2 ),

5 × ( 6 – 2) 5 5 6 – 10 5 6 – 10 = = = 6–4 2 6 + 2 ( 6 + 2) × ( 6 – 2) 6 – 2 est dite expression conjuguée de

6 + 2.

- Démonstration par l’absurde de l’irrationalité de 2 , annonça Léa d’une voix forte a - Supposons qu’il existe une fraction dont le carré soit égal à 2, susurra Max en se penchant vers b l ‘assistance d’un air comploteur. a² - Donc : = 2 , enchaîna Léa, l’écrivant sur le tableau. b² - Prenons la plus petite fraction, la fraction irréductible, ayant cette forme. Ses termes a et b sont premiers entres eux . C’est-à-dire qu’aucun nombre ne les divise tous les deux à la fois. - Donc a et b ne peuvent être tous les deux pairs, j’insiste ! déclara Léa. a² - Et si = 2 , tout naturellement a² = 2 b² b² - Donc a² est pair , puisqu’il est égal à un double, annonça Léa. - Or seul le carré d’un pair est pair , informa Max. - Donc a est pair , j’insiste ! déclara Léa. - Donc a est un double. Celui d’un nombre c , par exemple : a = 2 c . Max l’écrivit sur le tableau. - Pas si vite , cria Hippase qui jouait à vouloir suivre. - Reprenons l’égalité du début : a² = 2 b² - Remplaçons a par 2c : ( 2c ) ² = 2 b². Donc 4c² = 2 b² , donc 2c² = b² - Vous écrivez comme des cochons , et pourtant j’ai une bonne vue , maugréa Hippase. - Je reprends , annonça Max : b² étant égal à un double, b² est pair. - Même chose que tout à l’heure ! Donc b est pair , j’insiste ! déclara Léa. - Reprenons les trois « j’insiste » qui constituent le raisonnement par l’absurde. D’une part a et b ne peuvent pas être pairs tous les deux à la fois , d’autre part , a et b sont tous les deux pairs ! Impossible ! Qui est cause de cette absurdité ? demanda Max en fixant l’assistance d’un regard inquisiteur. Les voir se passionner pour une démonstration de maths ! un miracle ! - Qui est cause de cette absurdité ? redemanda Max - Mon hypothèse , avoua Léa, baissant la tête. - Répétez-la, cette hypothèse fautive ! commanda Max. - Il existe une fraction dont le carré est égal à 2 , balbutia Léa. - Balayons-la ! rugit Max. « Le Théorème du Perroquet », Denis GUEDJ 10

CALCUL LITTERAL Pourquoi des lettres ? • Une égalité comportant des lettres permet de décrire un calcul et d’exprimer une relation. FORMULE

P=4×

La grandeur P périmètre du carré est exprimée en fonction du côté c, cette formule indique les calculs à effectuer pour calculer le périmètre P quand on connaît le côté c.

Périmètre = 4 × côté

On dit que la lettre est une variable ( elle peut prendre plusieurs valeurs distinctes ). EQUATION

pour quel(s) nombre(s) a-t-on : 4 ×

côté

c = 20 ?

Dans une équation , l’égalité n’est vraie que pour un ( ou quelques ) nombre(s). Dans ce cas , le symbole « = » peut se lire : « pour quel(s) nombre(s) l’égalité est vraie ? ». Ici , pour quelle valeur du côté a-t-on un périmètre qui mesure 20 ? On dit que la lettre est une inconnue ( c’est la quantité cherchée pour résoudre le problème). • L’utilisation des lettres permet de transformer les expressions . IDENTITE

Pour n’importe quel nombre on a :

c+c+c+c=4c

Dans une identité , l’égalité est toujours vraie , elle est vraie pour n’importe quel nombre.

Appliquer une formule pour une valeur donnée - NOTATIONS méthode : remettre les signes × sous-entendus , puis remplacer la lettre par la valeur donnée , et calculer en respectant les priorités opératoires. La notation A( x ) indique que la formule A dépend de la variable x.

Exemple 1

calculer A( x ) = 2 x A( 5 ) = 2 × 5 A( 5 ) signifie : « valeur de A pour x = 5 » On lit « A de 5 ».

– 3 x + 1 pour x = 5 et pour x = – 3

= 2 × 25 – 3 × 5 + 1 = 50 – 15 + 1 = 36 A( – 3 ) = 2 × (– 3 )

– 3 × (– 3 ) + 1

= 2 × 9 – 3 × (– 3 ) + 1 = 18 + 9 + 1 = 28

La notation B( t ) indique que la formule B dépend de la variable t .

A( 5 ) = 36 . On lit « A de 5 = 36». ça signifie : « La valeur de A pour x = 5 est 36 ».

–3×5 +1

A( – 3 ) = 28 On lit « A de – 3 = 28». ça signifie : « La valeur de A pour x = – 3 est 28 ».

Exemple 2

calculer B( t ) = ( 5 t – 1 ) ( 3 t + 4 ) pour t = 2 B( 2 ) = ( 5 × 2 – 1 ) × ( 3 × 2 + 4 ) = ( 10 – 1 ) × ( 6 + 4 ) = 9 × 10 = 90 11

B( 2 ) = 90 . On lit « B de 2 = 90». ça signifie : « La valeur de B pour t = 2 est 90 ».

CALCUL LITTERAL : TRANSFORMER DES FORMULES ECRITURES SIMPLIFIEES

DEVELOPPER une expression, c’est transformer un produit en une somme ( « défaire les paquets » ).

● signe + sous-entendu 5 bouquets de

8x+7=+8x+7

15 Roses et

3 Roses et 6 Tulipes

30 Tulipes

–2x+3(2x+1)=–2x+3(+2x+1)

défaire les paquets

● Signe × sous-entendu 5×(3R+6T)

4x =4×x

↑

4(x+5)=4×(x+5)

15 R + 30 T ↑

développer

produit

(x+4)(2x+3)=(x+4)×(2×x+3) 1×x=1x=x

somme

Les trois façons de développer ● la distributivité simple

k( a+ b)=ka+kb

application : supprimer des parenthèses

REDUIRE une expression, c’est réduire le nombre de ses ‘ éléments ’. 2 Roses + 3 Roses = 5 Roses

a+( +b–c)=a+b–c a–( +b–c)=a–b+c

3 × 2 Roses = 6 Roses .

2R+3R=5R

3×2R=6R

● la distributivité double Réduire une somme

(a + b) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

méthode : compter les termes de la même ‘famille’ entre eux

● ●

● les identités remarquables

4x+3x=+4x+3x=+7x – x 2 + 8 x + 7 – 8 x – 15 – 2 x 2 + 3 x =–3x2+3x–8

calculs à faire de tête termes de la famille des x 2 – 1 x 2 – 2 x 2 = – 3 x 2 termes de la famille des x + 8 x – 8 x + 3 x = + 3 x termes de la famille des nombres + 7 – 15 = – 8

(a+b)

= a

+2ab+b

(a–b)

= a

–2ab+b

● 4 x × 3 x = 12 x

18 R + 12 T

↑

● (5x)

= 25 x

de 3 Roses et 2 Tulipes

6×(3R+2T) ↑

factoriser

somme

Réduire un quotient ●

15 x 5

=3x

faire des paquets

● – 3 × 7 x = – 21 x 2

–b

6 bouquets

methode: multiplier les lettres entre elles et les nombres entre eux 2

FACTORISER une expression, c’est transformer une somme en un produit ( faire le plus grand nombre de paquets )

12 Tulipes

● – 3 y × 7 x = – 21 x y

(a+b)(a–b) = a

18 Roses et

Réduire un produit

produit

Les deux façons de factoriser ● le facteur commun -

ka+kb=k(a+b)

● les identités remarquables 15 x + 10 15 x 10 ● = + =3x+2 5 5 5

+2ab+b

–2ab+b

–b

= (a+b)

= (a–b)

= (a+b)(a–b) 12

DEVELOPPER ( défaire les paquets ) k×(a+b)=k×a+k×b

1ère méthode : la distributivité simple

méthode : distribuer ( multiplier ) le premier facteur à chaque terme dans les parenthèses en appliquant la règle des signes.

application : supprimer des parenthèses ● 5(–

● –2

méthode : distribuer le signe devant les parenthèses à chaque terme dans les parenthèses en aplliquant la règle des signes.

x + 2 ) = – 5 x + 10

3–2x+(–5+3x)+2–(3–5x)

x ( 5 x – 7) = – 2 x ( + 5 x – 7) = – 10 x 2 + 14 x x × ( + 5 x) = – 10 x 2 – 2 x × ( – 7 ) = + 14 x

multiplications à faire de tête : – 2

=3–2x+(–5+3x)+2–(+3–5x) =3–2x+(–5+3x)+2

–3+5x

=+6x–3

(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d

2ème méthode : la distributivité double

méthode : distribuer ( multiplier ) chaque terme dans les parenthèses du premier facteur à chaque terme dans les parenthèses du deuxième facteur en appliquant la règle des signes.

● (

x+4)(2x+3)

=( +

● (2

x + 4 ) ( + 2 x + 3 ) = + 2 x ² + 3 x + 8 x + 12 = 2 x ² + 11 x + 12

= (+ 2

x)= +2x² x)= +8x

x – 5 ) (– 3 x + 2 ) = – 6 x 2 + 4 x + 15 x – 10 = – 6 x 2 + 19 x – 10

multiplications à faire de tête

+ x × (+ 2 + 4 × (+ 2

x–5)(–3x+2)

+ 2 x × (– 3 x ) = – 6 x 2 – 5 × ( – 3 x ) = + 15 x

+x×(+3)=+3x + 4 × ( + 3 ) = + 12

3ème méthode : les identités remarquables

+2x×(+2)=+4 – 5 × (+ 2 ) = – 10

( a + b ) ² = a ² + 2a b + b ² ( a – b ) ² = a ² – 2a b + b ² (a+b)(a–b)=a²–b²

méthode : identifier l’identité remarquable nécessaire puis les termes a et b , et appliquer l’identité remarquable correspondante. (a+b)²= a²+2×a×b+b² (x+3)²= =

( a – b)²

x²+2×x×3+3²

a² – 2 × a × b+b²

x – 5)²=(3x)²–2×3x×5+5² =9

x²+6x+9

(a+b)(a–b) = (5

= 25

x ² – 30 x + 25

méthode : développer dans des crochets , puis utiliser la règle de suppression de parenthèses et réduire.

x+5)2 – (x+3)(2x–5)

1ère identité remarquable

double développement

[ (2x) ² + 2 × 2 x × 5 + 25 ]

[ 4 x ² + 20 x + 25 ]

–

[ + 2 x ² – 5 x + 6 x – 15 ]

x ² + 20 x + 25 – 2 x ² + 5 x – 6 x + 15

x ² + 19 x + 40

> développer dans des crochets > règle suppression parenthèses

> réduire

–

b²

x+4)(5x–4)=(5x)² – 4²

Remarque : On peut utiliser plusieurs méthodes en même temps.

a²

x ² – 16

FACTORISER ( faire des paquets ) k×a+k×b=k×(a+b)

1ère méthode : le facteur commun

méthode : Trouver un facteur commun dans chaque terme, puis factoriser

▪ Le facteur commun est numérique

12 x + 4 = 4 × 3 x + 4 × 1 = 4 ( 3 x + 1 )

▪ Le facteur commun est littéral

4x–xy=4×x –x×y=x(4–y)

▪ Les deux à la fois

12 x

+ 16 x = 4 x × 3 x + 4 x × 4 = 4 x ( 3 x + 4 )

▪ Le facteur commun est une expression littérale (x+1)(x+2)–5(x+2)=(x+2)[(x+1)–5] = ( x + 2 ) ( x + 1 – 5) =(x+2)(x –4) (2 x + 1) ² – (2 x + 1)( x – 3) = ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) – ( 2 x + 1 ) ( 4 x – 3 ) =(2x+1)[ (2x+1)–( 4x–3) ] =(2x+1)[2x+1–4x+3 ] =(2x+1)(–2x+4) 2ème méthode : les identités remarquables méthode : identifier l’identité remarquable nécessaire puis les termes a2 , b2 , 2ab pour trouver a et b puis appliquer l’identité remarquable correspondante

● a² + 2ab + b² = ( a + b )

● a² – 2ab + b² = ( a – b )

x ² + 10 x + 25 = x ² + 2 × x × 5 + 5² =(x+5)²

4 x ² – 12 x + 9 =(2x)²–2×2x×3+3² =(2x–3)²

● a² – b² = ( a + b ) ( a – b)

9 x ² – 16

(x+5)²–1

=(3x)²–4²

=(x+5)²–1²

=(3x+4)(3x–4)

=(x+5+1)(x+5–1) =(x+6)(x+4)

(x+5)²–(2x+3)² =[(x+5)+(2x+3)][(x+5)–(2x+3)] =[x+5+2x+3][x+5–2x–3] = ( 3x + 8 ) ( – x + 2 ) Remarque : On peut utiliser plusieurs méthodes en même temps. ( 25 x

– 40 x + 16 ) + ( 10 x – 8 ) – ( 25 x

ème

2 identité remarquable

facteur commun

(5x –4)²

– 16 )

ème

3 identité remarquable

+2(5x –4)–(5x –4)(5x+4)

=(5x–4)(5x–4)+2(5x–4)–(5x–4)(5x+4)

facteur commun

[(5x –4)+2–(5x+4)] =(5x–4)[ 5x –4 +2– 5x –4]

=(5x–4)

=(5x –4)(–6) =–6(5x –4)

ouf !!!!!!!!!!!!!!!!! 14

EQUATIONS Une équation est une égalité qui contient une inconnue et deux expressions appelées les membres de l’équation. Pour la résoudre, il faut trouver la ( ou les ) valeur(s) de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. 3 x + 2 = 32

Equation type 1

1 membre

ème

7x+3 = 4–2x

Equation type 2 er

membre

1 membre

2ème membre

Il faut trouver la ( ou les ) valeur(s) de x pour que la formule 3 x + 2 donne comme résultat 32.

Trouver la ( ou les ) valeur(s) de x pour que les deux formules 7 x + 3 et 4 – 2 x donnent le même résultat.

Pour = 10, on a 3 x +2 = 3× 10 + 2 = 32 Pour x = 10 , l’égalité 3 x + 2 = 32 est vraie. Donc 10 est une solution de l’équation 3 x + 2 = 32

Pour x = 5,5 , on a : d’ une part, 7 x – 4 = 7 × 5,5 – 4 = 38,5 – 4 = 34,5 d’ autre part, 5 x + 7 = 5 × 5,5 + 7 = 27,5 + 7 = 34,5 on compare: pour x = 5,5, l’égalité 7 x + 3 = 4 – 2 x est vraie Donc 5,5 est une solution de l’ équation 7 x + 3 = 4 – 2 x

Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi

(Bagdad, 780-850)

C'est bien lui la cause de nos soucis avec les calculs littéraux (développements, factorisations , résolutions d'équations, ...) puisqu'il est à l'origine de l'algèbre. Le mot algèbre lui-même vient de l’ arabe al-jabr ; il figurait dans le titre du livre « Hisah al-jabr wal-muqqabala » écrit par ce mathématicien , que l’ on pourrait traduire par : « L’ art de la transposition et de la réduction ». L’algèbre est la branche des mathématiques qui traite le calcul littéral. Dans ce livre , Al-Khwarizmi explique une méthode (appelée muadala) pour résoudre des équations .

un petit conseil : mettre les + sous-entendus avant de transposer.

Dans une équation , il distingue deux « familles » : - la « famille des nombres » était appelée dirham - la « famille des x » était appelée chay (= chose), Les trois règles pour résoudre une équation La règle al-jabr ( transposition ) consiste à changer de membre un terme d’une addition ou d’une soustraction. le «contraire» d’additionner, c’ est soustraire.

le «contraire» de soustraire, c’ est additionner.

7 + 3 = 10 alors 7 = 10 – 3

8 – 6 = 2 alors 8 = 2 + 6

La règle al-muqqabala ( réduction ) consiste à réduire les éléments d’une même famille. famille des

famille des nombres

x+x=2x 4x+3x=7x – x + 12 x – 13 x = – 2 x

–2–3=–5 + 15 – 11 – 2 = + 2

x 2 = 10 alors 2 =

10 5

1ère étape : règle al-jabr ( chacun rentre chez soi !) La famille des x habite à gauche de la « barrière = » et la famille des nombres habite à droite du « = ». On applique la règle de transposition. +4x–3= +x +9

eme

( le contraire de – 3 , c’est + 3 ) ( le contraire de + x , c’est – x )

x = +9+3

étape : règle al-muqqabala ( réduction des familles)

3 x = 12 3eme étape : règle al-hatt ( le contraire de × 3 , c’est : 3 )

le «contraire» de diviser, c’ est multiplier. 12 = 6 alors 12 = 6 2

On reconnaît des termes de la famille des x et des termes de la famille des nombres séparés par les signes + ou – . L’objectif ,c’est d’ isoler l’inconnue x à gauche de la « barrière = ».

+4x –

La règle al-hatt consiste à transformer une multiplication en une division ou une division en une multiplication.. le «contraire» de multiplier, c’est diviser.

Exemple : résoudre l’ équation 4 x – 3 = x + 9

x =

12 =4 3

La solution de l’ équation est le nombre 4.

x = 4 , 4 x – 3 = 4 × 4 – 3 = 13 x + 9 = 4 + 3 = 13 pour x = 4 , l’ égalité 4 x – 3 = x + 9 est vraie donc 4 est bien solution de l’ équation 4 x – 3 = x + 9

vérification ,

pour

Résoudre une équation le «contraire» de additionner, c’ est soustraire le «contraire» de soustraire, c’ est additionner le «contraire» de multiplier, c’ est diviser le «contraire» de diviser, c’ est multiplier

Equations produit nul Si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Ex : ( 2

méthode : isoler x dans le 1 membre. > regrouper les termes de la famille des x dans le 1er membre et les termes de la famille des nombres dans le 2ème membre. Si un terme change de membre , appliquer la méthode de l’ opération contraire d’une addition ou d’une soustraction. > réduire chaque membre. > terminer en utilisant l’opération contraire d’une multiplication (plus rarement d’une division). Equation type 1 : 8 x + 140 = 468 8 x + 140 = 468 le «contraire» de additionner, c’ est soustraire 8 x = 468 – 140 réduire 8 x = 328 le « contraire » de multiplier , c’ est diviser 328 x= = 41 La solution de l’équation est 41 8 Equation type 2 : 7 –7x+3=+4–2x

x+3=4–2x

regrouper les termes de la famille des x dans 1er membre et les termes de la famille des nombres dans 2ème membre –7

x L’ équation a deux

ou ou

x –1=0 3x=1

x=1

–5 = 2

–5 1 solutions : et . 2 3

Résolution d’équations du type x 2 = a Quand a ≥0 , l’ équation x 2 = a possède 2 solutions : x = a et x = – a . Remarque : Quand a<0, l’équation n’a pas de solution car un carré est toujours positif. Ex :

x 2 = – 7 n’a pas de solution.

Ex : Résoudre l’équation Les solutions sont Ex : ( 3

x 2=5

x = 5 et x = – 5

x–7) =4 3x–7= 4 3x–7=2

ou ou

3x–7=– 4 3x–7=–2 2+7 x= =3 ou x=–2+7=5 3 3 3 5 L’ équation a deux solutions : 3 et 3

x+2x= +4–3 réduire

–5

x+5)(3x–1)=0 2x+5=0 2x=–5

signifie que :

Mettre un problème en équation

x=1

le « contraire » de multiplier , c’ est diviser 1 –1 –1 = = La solution de l’équation est –5 5 5

Ex : Trois frères se partagent 1600 €. L’ aîné reçoit 200 € de plus que le deuxième et le deuxième reçoit 100 € de plus que le plus jeune. Combien reçoit le plus jeune ? cinq étapes :

3 (x – 1 ) + 2 (

1) Choix de l’inconnue : on note x le nombre d’ euros que le plus jeune des frères reçoit.

x–4 )=x–5 développer

x–3+2x–8=x–5

1 3 + 4 8

on obtient une équation type 2

x=–5 2 mettre au même dénominateur

1×2 3 5×4 + x=– 4×2 8 2×4 2 3 20 + x= 8 8 8 supprimer le dénominateur commun 2+3

x = – 20

x+3 3 = x+2 4 on utilise la règle du produit en croix

4×(2

x+3)=3×(x+2)

2) Mise en équation : Le deuxième reçoit 100 € de plus que le plus jeune donc il reçoit x + 100 L’ aîné reçoit 200 € de plus que le deuxième donc il reçoit x + 100 + 200 = x + 300 La somme des parts de chacun doit être égale à 1600 €, on obtient donc l’ équation : x + x + 100 + x + 300 = 1600 3) Résolution de l’ équation : x + x + 100 + x + 300 = 1600 3 x + 400 = 1600 3 x = 1600 – 400 3 x = 1200 x = 1200 = 400 3 4) Vérification : Le plus jeune reçoit 400 euros, le deuxième reçoit 400 + 100 soit 500 et l’ aîné reçoit 500 + 200 soit 700 ce qui donne bien au total : 1600. 5) Conclusion : Le plus jeune reçoit 400 euros. 16

SYSTEMES D’ EQUATIONS   

x+2y=–5 est un système de deux équations à deux inconnues. 4x+y=1

Résoudre un système, c’est trouver tous les couples qui sont solutions des deux équations à la fois.  1 + 2 × (– 3) = 1 – 6 = – 5 Si x = 1 et y = – 3 :  les deux équations sont vérifiées.  4 × 1 + (– 3) = 4 – 3 = 1 On dit que le couple ( x = 1 ; y = – 3) est une solution du système.

> méthode par substitution Par définition, la substitution est l’action de remplacer , de mettre l’un à la place de l’autre. 

x+2y=–4  3 x – 2 y = 12

Exemple : 

Pour effectuer la substitution, il faut exprimer une des deux inconnues en fonction de l’autre. Ici, on a choisi d’exprimer x en fonction de y dans la 1ère équation ( le coefficient de x est le plus simple : 1 ).   

x=–4–2y 3 x – 2 y = 12

On effectue la substitution : remplacer x dans la 2ème équation, par son expression en fonction de y. On obtient alors une équation à une inconnue : y.   

> méthode par combinaison La combinaison est l’action de grouper , d’unir plusieurs objets pour en former un nouveau. Exemple :

  

2 x + 6 y = 20 3 x + 5 y = 18

Pour combiner les deux équations, il faut que les coefficient d’une des deux inconnues dans les deux équation soient opposés. Ici , en multipliant la 1ère équation par 3 et la deuxième équation par – 2, les coefficients de x deviennent opposés

3 ×  2 x + 6 y = 20  (– 2) ×  3 x + 5 y = 18 On effectue la combinaison : on ajoute membre à membre les deux équations : « la 1ère + la 2ème ». On obtient une équation à une inconnue : y.

x=–4–2y 3 (– 4 – 2 y ) – 2 y = 12

  

6 x + 18 y = 60 – 6 x – 10 y = – 36

On résout cette équation d’inconnue y.      

x=–4–2y – 12 – 6 y – 2 y = 12 – 8 y = 12 + 12

Une fois la valeur de y obtenue, il ne reste qu’ à remplacer cette inconnue par sa valeur dans l’ expression de x en fonction de y et de calculer ainsi la valeur de x .

x = – 4 – 2 × (– 3 ) = 2 y=–3

On obtient le couple solution du système :

(x=2;y=–3)

on résout cette équation d’ inconnue y.

x=–4–2y

 x = – 4 – 2 y 24   y = – 8 = – 3

  

8 y = 24 24 =3 8

Une fois la valeur de y obtenue, il ne reste qu’ à remplacer cette inconnue par sa valeur dans une des équations de départ.( ici dans la 1ère équation). On obtient une équation à une inconnue x qu’il faut résoudre.

2 2 2 2

x + 6 y = 20 x + 6 × 3 = 20 x +18 = 20 x = 20 – 18

2 =1 2

On obtient le couple solution du système :

(x=1;y=3)

INEQUATIONS ● Symboles

« est inférieur à »

≤

« est inférieur ou égal à »

« est supérieur à »

≥

« est supérieur ou égal à »

● ORDRES ET OPERATIONS Règle 1

additionner (ou soustraire) le même nombre dans les deux membres d’une inégalité ne change pas le sens.

Règle 2

multiplier (ou diviser) par le même nombre positif les deux membres d’une inégalité ne change pas le sens.

Règle 3

multiplier (ou diviser) par le même nombre négatif les deux membres d’une inégalité change le sens.

● INEQUATIONS Une inéquation est une égalité qui contient une inconnue et deux expressions appelés les membres de l’équation. Pour la résoudre, il faut trouver les valeurs de l’inconnue qui rendent l’ inégalité vraie. Voici une inéquation d’ inconnue x :

4 x – 6 < 2 x + 2 . Le symbole < est le sens de l’ inéquation

d’une part, 4x–6=4×1–6=–2 d’autre part , 2 x + 2 = 2 × 1 + 2 = 4 on compare pour x = 1 , l’inégalité 4 x – 6 < 2 x + 2 est vraie ( – 2 < 4 ) donc 1 est solution de l’inéquation 4 x – 6 < 2 x + 2 .

pour x = 1 , on a :

De même 3 est solution ( 4 × 3 – 6 < 2 × 3 + 2 ) . Mais 5 n’ est pas solution ( 4 × 5 – 6 < 2 × 5 + 2 est faux ).

x–4 ≤ 8 3x –4 ≤ 8

Exemple 1 : 3

Exemple 2 : 3

x–2 < 6x+7 3x–2 < +6x+7 le «contraire» de –, c’ est + ; ajouter membre à membre ne regrouper les termes en x dans 1er membre

change pas le sens

et les constantes dans le 2ème membre , comme on ajoute ou on soustrait membre à membre , on ne change pas le sens.

3x ≤ 8+4 on calcule

3×

x–2 < +6x +7 3x–6x < 7+2 –3x < 9

x ≤ 12

le «contraire» de × 3 , c’ est : 3 diviser par 3 ( positif ) ne change pas le sens

12 ≤ 3

diviser par – 3 ( négatif ) change le sens.

x > 9

–3

x ≤ 4

x > –3 Tous les nombres inférieurs ou égaux à 4 sont solutions de Tous les nombres supérieurs strictement à – 3 sont solutions l’inéquation. de l’inéquation. Représentation graphique On utilise les crochets ] ou [ , suivant le côté où ils sont tournés , ils indiquent si le nombre fait partie ou pas des solutions. Ensuite , on hachure la partie qui ne convient pas.

x ≤ 4

Exemple 1 :

Exemple 2 :

( 4 fait partie des solutions , donc le crochet est tourné vers la partie qui convient )

x > –3

( – 3 ne fait pas partie des solutions , donc le crochet est tourné vers la partie qui ne convient pas )

0 4

–3 18

FONCTIONS NUMERIQUES " En fonction de" Exprimer une grandeur y en fonction d'une grandeur

x , c'est indiquer comment on peut calculer y quand on connaît x.

Notations Le procédé qui fait correspondre à un nombre x la valeur d'une expression y obtenue en fonction de fonction. On symbolise cette correspondance pour « passer » de x à y par une lettre f , g ou h ... et on note f : x –––––> y ou f ( x ) = y ; on lit « f de x égale y » .

x s'appelle une

Par exemple, quand on écrit f : x –––––> x + 2 ou f(x) = x+ 2 on désigne la fonction f qui à un nombre x fait correspondre le nombre obtenu en lui ajoutant 2. L'image de 10 par cette fonction f est 10 + 2 = 12. On écrit f(10) = 12 On lit « f de 10 égale 12 » ou mieux « l'image de 10 par f est 12 » On peut voir une fonction comme une machine où on rentre une valeur

DEPART

en entrée et il en sort une autre valeur y à la sortie .

ARRIVEE

Fonction

x est l’antécédent de y

y est l’image de

Exemple : Le boulet de canon. Un canon placé à deux mètres de hauteur lance un boulet avec une vitesse de 30 m/s (soit 108 km/h) et un angle avec l’ horizontale de 30°. La hauteur (en mètre) du boulet varie en fonction du temps écoulé t (en seconde). 2 On dit que la hauteur h est fonction du temps t. Les physiciens utilisent le formule h ( t ) = – 5 t + 15 t + 2 . La fonction h renvoie à une valeur d’entrée ( le temps ) , une valeur de sortie ( la hauteur ) Fonction h

Temps t

hauteur h(t)

Par exemple , pour connaître la hauteur du boulet au bout de deux secondes , on calcule en utilisant la formule donnée. h( 2 ) = – 5 × 2

+ 15 × 2 + 2 = 12

Au bout de 2 secondes le boulet est à 12 mètres de hauteur. On note h(2) = 12 et on lit « h de 2 égale 12 » tableau de valeurs et représentation graphique t

en s

h(t) en m

0,5

8,25 12 13,25

h : t –––––> h( t ) = – 5 t

1,5

2,5

8,25

+ 15 t + 2.

0,5 –––––> h(0,5)= – 5 × 0,5

0,5

Fonction h

8,25

L’image de 0,5 est 8,25 .

+ 15 × 0,5 + 2 = 8,25 1

1 –––––> h ( 1 ) = – 5 ×1 2 –––––> h ( 2 ) = – 5 × 2 19

2 2

+ 15 ×1 + 2 = 12 2 + 15 × 2 + 2 = 12

Fonction h

Les deux antécédents de 12 sont : 1 et 2 .

FONCTIONS LINEAIRES – FONCTIONS AFFINES FONCTIONS LINEAIRES

FONCTIONS AFFINES

a un nombre donné f:

a et b deux nombres donnés

x –––––> a x

x)=ax

Une fonction linéaire correspond à une situation de proportionnalité.

a : coefficient directeur ou pente de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite. Soit f (

x )=2x

f(0)=2×0=0 f(3)=2×3=6

(a=2)

x y=f(

0 0

x)=ax+b

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière ( avec le coefficient b = 0 )

Une fonction linéaire est représentée graphiquement par une droite qui passe par l'origine O du repère. On dit que cette droite a pour équation : y = a x.

Exemple

x –––––> a x + b

3 6

Donc la droite passe par l’origine O ( 0 ; 0 ) et par le point de coordonnées ( 3 ; 6 ). Elle a pour équation y = 2 x

Une fonction affine est représentée graphiquement par une droite . Cette droite a pour équation : y = a x + b. a : coefficient directeur ou pente de la droite ( Il indique « l’inclinaison » de la droite.). b : l’ordonnée à l’origine ( car La droite associée passe par le point ( 0 ; b ). C’est le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.) Exemple Soit g (

x )=2x–1

g ( – 1) = 2 × ( – 1) – 1 = – 3 g(3)=2×3–1= 5

( a = 2 et b = – 1 )

x y=g(

–1 –3

3 5

Donc la droite passe par les deux points de coordonnées ( – 1 ; – 3 ) et ( 3 ; 5 ). Elle a pour équation y = 2 x – 1

y (ordonnées) y (ordonnées) 6 5 5

coefficient directeur : 2

2 1

–1

coefficient directeur : 2

O O

x (abscisses)

ordonnée à l’origine : – 1

x (abscisses)

–1 –2

–1

–3

Calculs d’images et d’antécédents par une fonction affine Exemple : Soit la fonction affine définie par f (

x)=–2x+1

calculer une image : appliquer la formule image de 3 : f(3)=–2×3+1=5 Donc l’ image de 3 est 5 . f ( 3 ) = 5

calculer un antécédent : résoudre une équation antécédent de – 3 : c’est chercher x tel que

f ( x) –2x+1 –2x –2x

= –3 =–3 =–3–1 =–4 –4 = =2 –2

Donc l’ antécédent de – 3 est 2 . f ( 2 ) = – 3 20

PROPORTIONNALITÉ Deux suites sont proportionnelles, si: > sur un tableau, on passe de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par un même nombre. > sur un graphique, tous les points sont alignés avec l'origine. Exemple :

x ( abscisse ) 0,5 1 1,5 2,5

×3

y ( ordonnée) 1,5 3 4,5 7,5

échelle =

distance sur le dessin distance réelle (même unité)

1 . 1 000 Ca signifie qu’ une distance de 1 000 cm en distance réelle est représenté par 1 cm sur la carte.

Une carte routière est à l’échelle

distance réelle ( cm ) distance sur la carte ( cm )

nombre d’en bas 1,5 3 4,5 7,5 = = = = =3 nombre d’en haut 0,5 1 1,5 2,5 Ce nombre « constant » ( toujours le même ) est le coefficient de proportionnalité.

1000 1

… …

× échelle

échelle < 1 → réduction échelle = 1 → reproduction grandeur nature échelle > 1 → agrandissement

y ( ordonnées )

VITESSES - TEMPS

> unités de temps - conversions

5 4 3 2 1

1h = 60min = 3600s 1 h 60 1 1 1s = min = h 60 3600 1min = 60s =

x ( abscisses )

3 h 33 min = 3 × 60 min + 33 min = 213 min

La règle de trois ( 4

ème

proportionnelle )

Exemple : Un automobiliste a consommé 8 litres d’essence pour un parcours de 150 km. Quelle distance peut-il parcourir avec 12 L ? 8L –––––→ 150 Km 12 L –––––→ ? Km Consommation ( en l ) Distance parcourue ( en km ) ?=

8 150

GRANDEURS COMPOSEES Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en faisant le quotient de deux grandeurs .

• masse volumique - la masse volumique de l’ or est 3

, ça signifie que 1 cm

volume ( cm ) masse (g)

1 19,3

d’ or pèse 19,3 g.

× masse volumique 3 ( g/ cm )

… … 3

• débits - La Seine a un débit de 400 m / s , ça signifie que, 3

il s’ écoule 400 m d’ eau en 1 seconde . Temps ( s ) 1 … 3 × débit ( m /s ) 3 400 … volume ( m )

•

855

60 14

15 5,8 h = 5 h + 0,8 h = 5 h + 0,8 × 60 min = 5h 48 min

produit de la grande diagonale 150 × 12 = = 225 km nombre qui reste 8

de 19,3 g / cm

855 min = 14 × 60 min + 15 min 855 min = 14 h 15 min

2h24 min = 2h + 24min 1 = 2h + 24 × h 60 = 2h +0,4h = 2,4 h

> vitesse moyenne Une voiture roule à la vitesse moyenne de 60 km/h . Ca signifie qu’ elle parcourt 60 km en 1 h. temps ( h ) distance ( km ) FORMULES

1 60 D T

… …

× vitesse ( km/ h )

D = VT

vitesse V , distance D , temps T exemple : Une voiture met 2h30min pour parcourir 200 km ● vitesse moyenne 2h30min = 2,5h D( km) 200km V( km/ h) = = = 80 km/h T( h) 2,5h ● distance parcourue en 1h30min ( = 1,5 h ) D(km) = V( km/h) × T( h) = 80km/h × 1,5h = 120 km ● temps pour parcourir 540 km ? D 540 km = 6,75h = 6h45min T( h) = ( km) = V( km/h) 80 km/h ● conversion 80 km 80000 m 80 km/h = = ≈ 22,2 m/s 1h 3600 s

D V

ECRITURES EQUIVALENTES

POURCENTAGES

25 % 25 pour 100 25 sur 100 25 100 0,25

CALCULS DE BASE 25 × 155 = 38,75 100 30 30 objets sur 50 = × 100 = 60 % 50

> appliquer un pourcentage : 25 % de 155 = > calculer un pourcentage : VARIATIONS EN POURCENTAGE

On distingue trois types d’exercices basés sur le schéma ci-dessous : VARIATION EN %

On donne deux des trois valeurs et il faut retrouver la troisième

Nombre de départ ––––––––––––––––––––––> Nombre d’arrivée

Augmentation en pourcentage : Un objet coûtait 115 € . Le prix est Le prix d’un objet passe de 125 € à augmenté de 20 %. Quel est le 130 €. Quel est le pourcentage de la nouveau prix ? hausse ?

Un objet coûte 118,25 € après que son prix ait subi une hausse de 7,5 %. Quel était l’ancien prix ?

Augmenter de 20 % , pour un prix de 100 € , augmentation de 20 € , il coûtera à l’arrivée 120 € ( 100 + 20 )

Augmenter de 7,5 % , pour un prix de 100 € , augmentation de 7,5 €, il coûtera à l’arrivée 107,5 € (100+7,5)

+?% 125 ––––––––> 130 100 ––––––––> ?

+ 20 % 115 ––––––––> ? 100 ––––––––> 120 115 × 120 = 138 100 nouveau prix : 138 €

Diminution en pourcentage Un objet coûtait 155 €. Le prix est baissé de 15 %. Quel est le nouveau prix ?

100 × 130 = 104 125 104 – 100 = 4 Pour 100 € , augmentation de 4 € donc augmentation de 4 %

155 –––––––> ? 100 ––––––––> 85 155 × 85 ?= = 131,75 100 nouveau prix : 131,75 €

? ––––––––> 118,25 100 ––––––––> 107,5

Le prix d’un objet passe de 160 € à 120 €. Quel est le pourcentage de la baisse ?

Diminuer de 15 %, pour un prix de 100 € , diminution de 15 € , il coûtera à l’arrivée 85 € ( 100 – 15 ) – 15 %

+ 7,5 %

100 × 118,5 = 110 107,5 ancien prix : 110 €

Un objet coûte 152 € après que son prix ait subi une baisse de 5 %. Quel était l’ancien prix ? Diminuer de 5 % , pour un prix de 100 € , diminution de 5 € , il coûtera à l’arrivée 95 € ( 100 –5 )

–?% 160 –––––––> 120 100 –––––––> ?

–5%

100 × 120 = 75 160 100 – 75 = 25

? –––––––> 152 100 ––––––––> 95

100 × 152 = 160 95 ancien prix : 160 € ?=

Pour 100 € , diminution de 25 € donc diminution de 25 %

POURCENTAGES ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS Appliquer un pourcentage : Prendre 5% , c’ est multiplier par

5 = 0,05 100

Augmentation en pourcentage : Augmenter de 5%, c’ est multiplier par 1 + Diminution en pourcentage : Diminuer de 5%, c’ est multiplier par 1 –

5 = 1,05 100

5 = 0,95 100 22

STATISTIQUES Le but des statistiques est de recueillir des données , les organiser et les présenter à l’aide diagrammes et les interpréter afin de mieux comprendre le monde dans lequel nous évoluons.

LES ETAPES D’UNE ETUDE STATISTIQUE 1 – Déterminer un sujet d’étude Sondage : « Souhaitez vous la suppression des cours de maths ? ». La population étudiée est : les élèves du collège. Le caractère étudié est : les réponses à la question. 2 – Recueillir et organiser les données Sur les 800 élèves du collège, 240 ont répondu oui, 440 ont répondu non Pour rassembler des données, on utilise un tableau. OUI 240 Effectif 240 Fréquence de oui = = 0,3 800 fréquence 0,3 fréquence en % 30% Pourcentage de oui : 0,3 × 100 = 30 %

et le reste n’ a pas d’opinion. NON 440 0,55 55%

Sans op. 120 0,15 15%

total 800 1 100%

L’effectif total est le nombre d’élèves du collège . L’effectif d’une réponse est le nombre d’élèves ayant donné cette réponse. La fréquence d’une réponse est le rapport de l’effectif de cette réponse par l’ effectif total. On peut obtenir la fréquence en pourcentage, en multipliant la fréquence par 100. 3 – Présenter les résultats - diagrammes statistiques

histogramme

effectif

Diagramme circulaire L'angle est proportionnel à l'effectif. On représente l’ effectif total par un angle de 360 °.

OUI NON Sans total opinion Effectif 240 440 120 800 Angle 108° 198° 54° 360°

440

Diagramme semi-circulaire L'angle est proportionnel à l'effectif. On représente l’ effectif total par un angle de 180 °.

240

OUI Sans opinion

NON

NON OUI

120 40 OUI

NON Sans opinion

Diagramme en bandes La longueur est proportionnelle à l'effectif. On représente l’ effectif total par la longueur du rectangle désiré.

OUI

sans op.

NON

sans opinion

LES INDICATEURS STATISTIQUES Sujet d’étude : les résultats obtenus à un devoir surveillé Les 20 notes obtenues à un DS: 5; 12; 19; 8; 9; 11; 14; 3; 8; 7; 12; 10; 11; 8; 16; 14; 5; 11 ; 14 ; 7

note effectif

3 1

5 2

7 2

8 3

9 1

10 1

11 3

12 2

14 3

16 1

19 1

Regroupement des données par classes

Eff.tot. 20

note [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20[ effectif 1 8 9 2

● L'étendue indique la dispersion des notes.

Dire que l’effectif de la classe [5 ;10[ est 3 signifie qu’il y a 3 notes entre 5 ( inclus) et 10 (exclu)

19 – 3 = 16 , l’étendue des notes est 16. ( l’écart entre la meilleure note et la moins bonne note ).

● La moyenne indique la tendance centrale des notes.

Moyenne : utiliser les centres de classe

La moyenne est 10,2 , cette valeur ‘résume’ toutes les notes.

Le centre de la classe [0;5[ est 2,5. Le centre de la classe [5;10[ est 7,5.

2 méthodes de calculs :

Le centre de la classe [10;15[ est 12,5. Le centre de la classe [15;20[ est 17,5.

5+12+19+8+9+11+14+3+8+7+12+10+11+8+16+14+5+11+14+7 20

1x2,5+8x7,5+9x12,5+2x17,5 = 10,5 20

1×3+2×5+2×7+3×8+1×9+1×10+3×11+2×12+3×14+1×16+1×19 20

● La médiane indique la répartition des notes. La médiane d’une série de nombres ordonnés est une valeur qui partage la série en deux parties de même effectif. Pour la calculer, il faut réécrire toutes les notes par ordre croissant.

cas d’un effectif impair avec 11 notes d’ une autre classe

3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14 ; 16 ; 19 16; 12 ; 4 ; 10 ; 6 ; 5 ; 19 ; 13 ; 8 ; 8 ; 9

10 notes

10 notes ranger toutes les notes (ordre croissant) : Médiane = 10,5 ( le nombre du « milieu » ) 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 16 ; 19

La moitié des élèves ont moins de 10,5 et l’autre moitié a plus de 10,5. 5 élèves

● Les quartiles précisent la répartition. Les quartiles sont des données de la série de nombres ordonnés qui la partagent en quatre parties à peu près de même effectif.

5 élèves médiane = 9 ( le nombre du « milieu » )

¼ de 11 = 2,75 3 Le 1er quartile est la 3ème note ( 6 ).

¼ de 20 = 5 le premier quartile est la 5ème note dans la liste ordonnée. ¾ de 20 = 15 le troisième quartile est la 15ème note dans la liste ordonnée.

¾ de 11 =8,25 9 Le 3ème quartile est la 9ème note ( 13 ).

3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14 ; 16 ; 19

↓ 5ème note 1er quartile = 7

↓ 15ème note 3ème quartile = 12

Au moins ¼ des notes sont inférieures à 7 et au moins ¾ des notes sont inférieures à 12. ≈

¼des notes

≈

¼des notes

≈

¼des notes ≈ ¼des notes

On peut résumer la répartition des notes : 3 (note minimale)

7 (1er quartile)

10,5 (médiane)

12 (3èmequartile)

19 (note maximale) 24

LES PROBABILITES P IL E o u FA C E ? Quand on tire à Pile ou Face, la pièce a autant de chance de tomber d’un côté que de l’autre, il y a donc une chance sur deux d’obtenir pile, et une chance sur deux d’obtenir face. Le hasard, ce n’est pas régulier. Une chance sur deux, ce n’est pas une fois sur deux. Mais sur un grand nombre de lancers, il y a de fortes chances qu’il y ait environ une moitié de pile et une moitié de face. Le calcul des probabilités est la branche des mathématiques qui traite des questions relatives au hasard. Vocabulaire : Une expérience ( lancer un dé par exemple) est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues (pile ou face) et que l’on ne peut pas prévoir, à priori, quel résultat se produira. 1 Il y a une chance sur deux d’obtenir face. On dit que la probabilité d’obtenir face est qu’on peut exprimer 2 en pourcentages 50 %. La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. probabilité d’un évènement =

nombre d’issues favorables nombre de toutes les issues possibles

Expérience à une épreuve : tirer une carte dans une jeu de 32 cartes. 32 issues possibles : chaque carte peut être tirée avec la même probabilité Evènement B : obtenir une dame

1 . 32

Evènement C : obtenir une dame ou un pique

7♥

8♥

9♥

10♥

V♥

D♥

R♥

A♥

7♥

8♥

9♥

10♥

V♥

D♥

R♥

A♥

7♠

8♠

9♠

10♠

V♠

D♠

R♠

A♠

7♠

8♠

9♠

10♠

V♠

D♠

R♠

A♠

7♦

8♦

9♦

10♦

V♦

D♦

R♦

A♦

7♦

8♦

9♦

10♦

V♦

D♦

R♦

A♦

7♣ 8♣ 9♣ 10♣ V♣ D♣ R♣ A♣ P(B)=

7♣ 8♣ 9♣ 10♣ V♣ D♣ R♣ A♣

4 1 = = 12,5 % 32 8

P(C) =

11 ≈ 22,2 % 32

Evènement D : ne pas obtenir une dame

7♥

8♥

9♥

10♥

V♥

D♥

R♥

A♥

7♠

8♠

9♠

10♠

V♠

D♠

R♠

A♠

7♦

8♦

9♦

10♦

V♦

D♦

R♦

A♦

7♣ 8♣ 9♣ 10♣ V♣ D♣ R♣ A♣ P(D) =

28 7 = = 87,5 % 32 8

Recours à l’évènement contraire Evènement D : ne pas obtenir une dame Evènement B : obtenir une dame Les évènements B et D sont contraires. La somme des probabilités de deux évènements contraires est égale à 1. Or P(B) =

1 1 7 donc P(D) = 1 – = = 87,5 % 8 8 8

Expérience à une épreuve : choisir une humeur en faisant tourner la roue.

☺ , , . ☺ 3 1 A : être de bonne humeur ☺ : P(A) = = = 50 % 6 2 ☺ B : être d’humeur moyenne : P(B) = 26 = 13 ≈ 33 % 1 C : être de mauvaise humeur : P(C) = ≈ 17 % ☺ 6 3 issues possibles :

D : ne pas être de mauvaise humeur 1ère méthode : P(D)= P(A)+ P(B) =

3 2 5 + = ≈ 83 % 6 6 6

2ème méthode : recours à l’évènement contraire 1 5 P(D) = 1 – P(C) = 1 – = ≈ 83 % 6 6

Expérience à deux épreuves : tirage de deux boules avec remise.

Une urne contient 3 boules noires et 2 boules blanches. On tire successivement 2 boules avec remise.

Dans un arbre des possibles, la probabilité d’une issue auquel conduit un chemin est égal au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

arbre des possibles 1èr tirage

Au 1er tirage

2ème tirage

P1( ) = 2/5 P1( ) = 3/5

P( , ) =

2 5

P( , ) =

2 5

x 3 = 6 = 24 %

2/5

P( , ) =

3 5

3/5

P( , ) =

3 5

x 3 = 9 = 36 %

2/5

Au 2ème tirage Puisqu’on remet dans l’urne la boule tirée au 1er tirage, on est dans la même situation qu’au 1er tirage .

2/5

3/5

P2( ) = 2/5 P2( ) = 3/5

évènement A : obtenir deux noires . P(A) = P( , ) =

2 4 = = 16 % 5 25

2 6 = = 24 % 5 25 5

9 = 36 % 25

évènement B : obtenir une paire . P(B) = P( , ) + P( , ) =

4 9 13 + = = 52 % 25 25 25

Expérience à deux épreuves : tirage de deux boules sans remise.

Une urne contient 3 boules noires et 2 boules blanches. On tire successivement 2 boules sans remise.

Au 1er tirage

arbre des possibles

P1( ) = 2/5 P1( ) = 3/5

1èr tirage

Au 2ème tirage Puisqu’on ne remet pas la boule tirée au 1er tirage, il faut tenir compte du changement de la composition de l’urne. er

ère

ème

2ème tirage

P( , ) =

2 5

P( , ) =

2 5

x 3 = 6 = 30 %

2/4

P( , ) =

3 5

x 2 = 6 = 30 %

2/4

P( , ) =

3 5

x 2 = 6 = 30 %

1/4 2/5

3/4

ère

1 cas: la 1 boule 2 cas : la 1 tirée est blanche. boule tirée est noire. 3/5

P2( ) = 1/4 P2( ) = 3/4

Dans un arbre des possibles, la probabilité d’une issue auquel conduit un chemin est égal au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

P2( ) = 2/4 P2( ) = 2/4

évènement A : obtenir deux noires . P(A) = P( , ) =

1 2 = = 10 % 4 20 4 4

20 20

6 = 30 % 20

évènement B : obtenir une paire . P(B) = P( , ) + P( , ) =

2 6 8 + = = 40 % 20 20 20

CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES ELEMENTAIRES DROITES PARALLELES

DROITES PERPENDICULAIRES

ANGLES 70 degrés 70 °

100 90 80 70 110 120 70 80 90 100 110 60 120 50 130 60 130 40 140 50 140 40 30 150 30 150 160 20 160 20 170 10 170 10 180 0 180 0

- le centre du rapporteur doit être sur le sommet de l’angle - un zéro du rapporteur doit être sur un côté de l’angle - lire la graduation qui correspond à ce zéro

MEDIATRICE D’UN SEGMENT A l’équerre

BISSECTRICE D’UN ANGLE

Au compas

prendre le même écartement placer le milieu du segment

prendre le même écartement

Construction du TRIANGLE connaissant ses trois côtés

c b

Construction du PARALLELOGRAMME écartement AB

écartement AC

NOTATIONS EN GEOMETRIE point

le point A

A1 , A2 , A’ , A’’ , …

droite

(AB)

la droite qui passe par les points A et B

(d) , (d 1 ) , (d ’ ) , (d ’’ ) , (∆) , ...

segment

[ AB ]

le segment d’extrémités A et B

demi-droite

[ AB )

la demi-droite d’origine A qui passe par B

longueur

la distance du point A au point B

quadrilatère ABCD

triangle ABC côté [AB]

côté [ BC ]

sommet B

A B

sommet C

cercle ( C )

Rayon [OD]

centre O

C diagonale [AC]

Attention: Lorsqu'on demande de tracer un quadrilatère (par exemple ABCD), il faut placer les points A, B, C et D en tournant toujours dans le même sens. A

VRAI

a angle AOB

C D

FAUX !!!

diamètre [AB]

B corde [MN] N ∩ Arc de cercle MN

Le sommet O

Les côtés [OA) et [OB)

B 28

RAPPELS GEOMETRIQUES A

MILIEU

IA = IB

déf : Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui le partage en deux segments de même longueur. DROITES Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

CERCLE déf: Tous les points d’ un cercle sont situés à la même distance du centre de ce cercle; cette distance s’ appelle le rayon de ce cercle. Si deux points A et B sont à la même distance d d'un point M, alors A et B sont des points du cercle de centre M et de rayon d = MA = MB. TANGENTE:La tangente en M au cercle de centre O est la droite perpendiculaire en M au rayon [OM].

M O (t)

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

MEDIATRICE

déf: La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

B M

Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’ autre.

MA=MB B

Si un point appartient à la médiatrice d’ un segment, alors il est équidistant (à la même distance) des extrémités de ce segment. DROITES ET ANGLES Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.

ANGLES ALTERNES -INTERNES

Si un point est équidistant des extrémités d’ un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par un point équidistant des extrémités d’ un segment, et si elle est perpendiculaire à ce segment , alors c’est la médiatrice de ce segment. DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE distance de A à (d) = AH A

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux deux à deux . Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles. ANGLES CORRESPONDANTS

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants sont égaux deux à deux . Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles. 29

avec (AH) ⊥ (d) et H ∈ (d) A

(d)

BISSECTRICE

(d)

H K

déf: La bissectrice d’ un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.

MH=MK M

H Si un point appartient à la bissectrice d’ un angle, alors il est équidistant (à la même distance) des côtés de cet angle. Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.

QUADRILATERES TRAPEZE déf: Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles.

PARALLELOGRAMME

RECTANGLE Un rectangle est un parallélogramme.

déf: Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’ est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’ est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’ est un rectangle.

déf: Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu , alors c’ est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur , alors c’ est un parallélogramme. Propriétés: Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors : - ses côtés opposés sont parallèles. - ses côtés opposés sont de même longueur. - ses diagonales ont le même milieu. - ses angles opposés sont égaux.

Propriétés: Si un quadrilatère est un rectangle, alors: - ses côtés opposés sont parallèles. - ses côtés opposés sont de même longueur. - ses diagonales ont le même milieu. - ses diagonales sont de même longueur. - ses côtés consécutifs sont perpendiculaires.

CARRE Un carré est un parallélogramme, un rectangle, et un losange.

LOSANGE Un losange est un parallélogramme.

déf: Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de même longueur. Si un losange a un angle droit, alors c’ est un carré. Si un losange a ses diagonales de même longueur , alors c’ est un carré.

déf: Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.

Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur ,alors c’ est un carré.

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’ est un losange.

Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c’ est un carré.

Si un parallélogramme a deux cotés consécutifs de même longueur, alors c’ est un losange.

Propriétés: Si un quadrilatère est un carré, alors : - ses côtés opposés sont parallèles. - ses quatre côtés ont la même longueur. - ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. - ses diagonales sont perpendiculaires. - ses diagonales ont le même milieu. - ses diagonales sont de même longueur.

Propriétés: Si un quadrilatère est un losange, alors : - ses côtés opposés sont parallèles. - ses quatre côtés ont la même longueur. - ses diagonales sont perpendiculaires. - ses diagonales ont le même milieu. - ses angles opposés sont égaux.

TRIANGLES MEDIATRICES ET CERCLE CIRCONSCRIT

DROITE DES MILIEUX

Les médiatrices des trois côtés d’ un triangle se coupent en un même point . ( centre du cercle circonscrit)

Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés ,alors elle est parallèle au troisième côté. Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés ,alors sa longueur est égale à la moitié du troisième côté. A

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

HAUTEURS: Une hauteur d’ un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d’ un triangle se coupent en un même point ( orthocentre ) .

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’ un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté. SOMME DES ANGLES DANS UN TRIANGLE La somme des mesures des trois angles d’ un triangle est A égale à 180 ° . INÉGALITÉ TRIANGULAIRE Dans un triangle , la longueur B de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres. BC < BA + AC

si A appartient à [ BC ] , alors BC = BA + AC si BC = BA + AC , alors A appartient à [ BC ] MEDIANES : Une médiane d’ un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point ( centre de gravité du triangle ). A

de plus on a : 2 AA’ 3 2 BG = BB’ 3 2 CG = CC’ 3

AG =

C’

TRIANGLE ISOCELE : Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. A : sommet principal [BC] : base

B G B’ A’

BISSECTRICES Les bissectrices des trois angles d’ un triangle se coupent en un même point.

Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux. Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. Si un triangle est isocèle , alors la médiatrice de sa base, la hauteur issue du sommet principal , sa médiane issue du sommet principal et la bissectrice issue du sommet principal sont confondues. TRIANGLE EQUILATERAL: Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.

Si un triangle est équilatéral, alors il a ses trois angles égaux à 60° . Si un triangle a ses trois angles égaux, alors il est équilatéral. Si un triangle est équilatéral, alors ses médiatrices ,ses hauteurs, ses médianes et ses bissectrices sont confondues.

TRIANGLE RECTANGLE

PYTHAGORE Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle , alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

déf: Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Hypoténuse (côté opposé à l’angle droit)

TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT.

Si un triangle est rectangle , alors le sommet de l’ angle droit appartient au cercle de diamètre l’hypoténuse .

Si on joint un point d ’ un cercle aux extrémités d’ un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle en ce point. TRIANGLE RECTANGLE ET MEDIANE RELATIVE A L’ HYPOTENUSE Si un triangle est rectangle , alors la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de l’ hypoténuse.

Si, dans un triangle, la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de ce côté, alors ce triangle est rectangle.

Calculer la longueur de l’hypoténuse Le triangle ALI est rectangle en A. Son hypoténuse est [IL]. D’après le théorème de Pythagore IL² = AI ² + AL ² IL² = 12 ² + 9 ² I IL² = 144 + 81 IL² = 225 Donc IL = 225 = 15 cm

L ?

9 A

Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit Le triangle MNP est rectangle en P. Son hypoténuse est [MN]. D’après le th de Pythagore 3,3 MN ² = MP ² + PN ² 6,5² = 3,3 ² + PN ² M 42,25 = 10,89 + PN ² PN ² = 42,25 – 10,89 PN ² = 31,36 Donc PN = 31,36 = 5,6 cm

P ? N

6,5

Réciproque du théorème de Pythagore : Dans un triangle, si le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ,alors le triangle est rectangle. démontrer qu’ un triangle est rectangle 5,5

PYTHAGORE 6

ème

siècle avant J.C

Pythagore est né dans l’île de Samos, au large de Milet en Grèce. Il aurait été l’élève de Thalès. A 18 ans, il gagne toutes les compétitions de pugilat (sport comparable à la boxe mais se jouant avec des gants garni de fer ou de plomb) aux jeux olympiques. Il a voyagé pendant 40 ans. Pythagore a acquis ses connaissances mathématiques au cour de ses nombreux voyages. Il crée à Crotone (Italie du sud ) une école proche d'une secte qui donne une interprétation mystique des nombres : la Fraternité pythagoricienne. Les Pythagoriciens vouaient un culte aux nombres ; ils pensaient que tout nombre était le quotient de deux entiers ( fraction ). Mais, à leur grand désespoir, ils s’aperçurent que ce n’était pas le cas pour la diagonale d’un carré de côté 1. Son école comprend deux catégories de disciples : les acousmaticiens (qui ne s'attachent qu'au résultat d'une théorie : les auditeurs) et les mathématiciens (qui démontrent le résultat : les initiés). Le théorème qui porte son nom était déjà connu des babyloniens plus de mille ans auparavant mais il fut le premier à démontrer.

Dans le triangle ABC [BC] est le plus grand côté. D’une part

A 4,8

7,3 B

BC = 7,3 = 53,29.

D’ autre part AB 2 + AC 2 = 4,8 2 + 5,5 2 = 53,29 On compare : BC 2 = AB

+ AC

Donc d’après la réciproque du th de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A Contraposée du théorème de Pythagore : Dans un triangle, si le carré du côté le plus long n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.

démontrer qu’ un triangle n’est pas rectangle R 4

Dans le triangle RST. [ST] est le plus grand côté. S

6 T

D’ une part : ST ² =7 ² = 49. 7 D’ autre part : RS 2 + RT 2 = 4 ² + 6 ² = 52 On compare : ST ² ≠ RS ² + RT ² donc d’ après la contraposée du th de Pythagore, le triangle RST n’est pas rectangle.

THEOREME DE THALES Produit en croix x

On utilise le produit en croix pour résoudre des équations du style : On obtient 6 ×

x=5×3

puis

x = 5 × 3 = 2,5

5 6

moyen mnémotechnique :

grande diagonale nombre qui reste

Théorème de Thalès Soit ( d ) et ( d ’ ) deux droites sécantes en A. Soit B et M deux points de ( d ) distincts de A. Soit C et N deux points de ( d ’ ) distincts de A .

Autrement dit : A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés

Si les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles , alors

AM AN MN = = AB AC BC N

Les configurations « type » de Thalès sont : M

B Exemple 1 Z V

j’ en déduis 9

UV UZ VZ = = UW UT TW

6 W

3 UZ VZ = = 9 6 TW 3×6 donc UZ = =2 9

1,5

Je sais que : M , N , P alignés M , R , S alignés ( NR ) // ( PS )

d’après le th de Thalès, U

Exemple 2

Je sais que : U , V , W alignés U , Z , T alignés ( TW ) // ( VZ )

d’après le théorème de Thalès, j’ en déduis

R 3 S

MN MR NR = = MP MS PS

MS = 2 + 3 = 5 MN 2 1,5 = = MP 5 PS donc PS =

5 × 1,5 = 3,75 2

THALES , 6ème siècle avant J.C. Thalès était un grand voyageur, commerçant et ingénieur. Il a fondé une école de philosophie à Milet en Asie (au sud-ouest de l’actuelle Turquie) : l’école ionienne. Ce qui le rendit vraiment célèbre, ce fut sa prédiction de l'éclipse de soleil de 585. Lors de son premier voyage en Egypte, Thalès applique le théorème qui porte aujourd'hui son nom pour mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops. Curieusement, le fameux théorème de Thalès n'a pas été découvert par Thalès. Il était déjà connu avant lui des babyloniens et ne fut démontré qu'après lui par Euclide . Par contre, les propriétés qui suivent (bien connues des collégiens) sont de Thalès : • Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure . • Les angles opposés par le sommet sont égaux . • Un triangle est déterminé si sa base et ses angles à la base sont donnés. • Un triangle inscrit dans un cercle et tel qu'un de ses côtés soit un diamètre du cercle, est rectangle . 33

Réciproque et contraposée du théorème de Thalès : Soit ( d ) et ( d ’ ) deux droites sécantes en A. Soit B et M deux points de ( d ) distincts de A. Soit C et N deux points de ( d ’ ) distincts de A .

Autrement dit : A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés

AM AN ≠ et si les points A,M,B et les points A,N,C sont dans le même ordre , AB AC alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

CONTRAPOSEE : Si

AM AN = et si les points A,M,B et les points A,N,C sont dans le même ordre , AB AC alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

RECIPROQUE : Si

Contraposée de Thalès : démontrer que des droites ne sont pas parallèles. B

C B,A,M alignés dans cet ordre C,A,N alignés dans cet ordre

6 3 AM = = 0,3 AB 10 AN 2 D’autre part , = ≈ 0,333… AC 6 D’une part ,

On compare , on a donc

AM AN ≠ AB AC

A 2

alors d’après la contraposée de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. Réciproque de Thalès : démontrer que des droites sont parallèles. A,M,B alignés dans cet ordre

A,N,C alignés dans cet ordre 9,6×10,2 AM 9,6 97,92 = = = D’une part , AB 14,4 14,4×10,2 146,68 D’autre part ,

9,6 14,4

10,2

6,8×14,4 AN 6,8 97,92 = = = AC 10,2 10,2×14,4 146,68

On compare , on a donc

AM AN = AB AC

6,8

alors d’après la réciproque de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

remarque :

9,6 6,8 ≈ 0,6666666…… et ≈ 0,6666666…… 14,4 10,2

Pour pouvoir les comparer il faut les mettre au même dénominateur. 34

TRIGONOMETRIE DANS UN TRIANGLE RECTANGLE

sinus :

sin B =

cosinus :

^ cos B

Le triangle ABC est rectangle en A. A

adjacent à B AB = = hypoténuse BC

tangente :

opposé à B AC = BC hypoténuse

tan B =

opposé à B

adjacent à B

côté opposé à B

côté adjacent à B

AC AB

B C

hypoténuse

Moyen mnémotechnique : « SOH-CAH-TOA » Utilisation de la calculatrice (en mode “ degrés ”) déterminer le cosinus d’un angle

cos 36° 3

déterminer une valeur d’un angle connaissant son cosinus

taper sur les touches

cos ou sur cos

cos 36° ≈ 0,809

–1

cos F = 0,2 donc F = cos

à 0,001 près

2nd

( 0,2 ) taper sur les touches

cos ou 2nd

cos

^ F ≈ 78°

La réponse est donc :

2 =

à 1° près.

Exemples de calculs Calcul d’ un côté

Calcul d’un angle

X Z

K 4

54 ° 4

On connaît l’ adjacent et on cherche l’ opposé , on On connaît l’ adjacent et l’ hypoténuse , on utilise utilise donc la tangente. donc le cosinus. Le triangle XYZ est rectangle en Y.

tan YXZ =

opposé à YXZ

adjacent à YXZ tan 54° = YZ 4 1

Le triangle KLM est rectangle en K.

YZ YX

cos KLM =

YZ= 4 × tan 54° ≈ 5,5 cm 1

adjacent à KLM KL = hypoténuse LM 4  9  ≈ 63 °  

– 1

KLM = cos

Valeurs remarquables Relations trigonométriques x désignant un angle aigu quelconque cos 2 x + sin 2 x = 1

tan x =

sin x cos x

cos

3 2

2 2

1 2

sin

1 2

2 2

3 2

tan

3 3

ANGLES INSCRITS - ANGLES AU CENTRE Angle inscrit :

^ L’angle AMB est un angle inscrit dans un cercle, car son sommet M est situé sur le cercle. ∩ Il intercepte l’arc de cercle AB .

Angle au centre : ^ L’angle AOB est un angle au centre , car son sommet O est le centre du cercle. ∩ Il intercepte aussi l’arc de cercle AB .

THEOREME DES ANGLES INSCRITS

THEOREME DE L’ ANGLE AU CENTRE

Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux .

Dans un cercle, un angle au centre est égale au double d’un angle inscrit qui intercepte le même arc.

POLYGONES REGULIERS On dit qu’ un polygone est régulier lorsque : -

ses côtés ont la même longueur ses angles ont la même mesure ses sommets sont sur un même cercle dont le centre est le centre du polygone.

Exemples TRIANGLE EQUILATERAL

CARRE

HEXAGONE REGULIER

3 côtés 360 = 120° angle au centre = 3

4 côtés

6 côtés

360 = 90° angle au centre = 4

angle au centre =

360 = 60° 6

C A

O 120°

60°

O O

90° D

C E

Nom des polygones : triangle ( 3 côtés ) ; quadrilatère ( 4 côtés ) , pentagone ( 5 côtés ) , hexagone ( 6 côtés ) ; heptagone ( 7 côtés ) ; octogone ( 8 côtés ) ; ennéagone ( 9 côtés ) , décagone ( 10 côtés ) , … 36

LES SYMETRIES SYMETRIE AXIALE

SYMETRIE CENTRALE

(d) M’ M

M’ M M’ est le symétrique de M par rapport à la droite (d) signifie que (d) est la médiatrice du segment [ M M’ ] .

M’ est le symétrique de M par rapport au point I, signifie que I est le milieu de [ M M’ ]

Propriétés Par une symétrie axiale, par une symétrie centrale, par une translation, par une rotation : - les images de trois points alignés sont trois points alignés. - l’image d’un segment est un segment de même longueur. - l’image d’un angle est un angle de même mesure. Par une symétrie centrale, par une translation, l’ image d’une droite est une droite parallèle.

REPERES y ( axe des ordonnées ) B

( O , I , J ) est un repère

4 M

B ( – 2,5 ; 4 )

Le point M a pour abscisse x M = 2 et pour ordonnée y M = 3 Les coordonnées de M sont donc 2 et 3. On note M ( 2 ; 3 )

x B = – 2,5 y B = 4

2 J

x ( axe des abscisses ) –3

–2

–1

4 A(4;–2)

–1

x A = 4 et y A = – 2 A

–2 –3

C(0;–3)

x C = 0 et y C = – 3

EQUATIONS DE DROITES ( voir aussi représentation graphique d’une fonction affine ) Une droite D (non parallèle à l'axe des ordonnées) est un ensemble de points M dont les coordonnées x et y vérifient une relation y = ax + b. On dit qu'une telle droite D a pour équation y = a x + b. a : coefficient directeur ou pente de la droite ( Il indique « l’inclinaison » de la droite.). b : l’ordonnée à l’origine ( car La droite associée passe par le point ( 0 ; b ). C’est le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.) coefficient directeur

Exemple : L’équation de la droite (D) est y= – 0,5

x +2

a= 6

Les coordonnées ( x ; y ) des points de la droite (D) sont liés par la relation y = – 0,5 x +2 . Les coordonnées du point M ( – 2 ; 3 ) vérifient l’équation de (D) – 0,5 x M +2= – 0,5 x (– 2) + 2 = 3 = y M Donc le point M est sur la droite (D)

X M b=2

N X

–3 = – 0,5 6

–3

ordonnée à l’origine

(D)

Les coordonnées du point N ( 1 ; 2 ) ne vérifient pas l’équation de (D) – 0,5 x N +2= – 0,5 x 1 + 2 = 1,5 ≠ y N donc le point N n’appartient pas à la droite (D)

Tracer une droite : dresser un tableau de valeurs puis placer les points correspondants , et tracer la droite.

exemple : tracer la droite d’équation y = 3 x – 2 si x= 0 alors y = 3 x 0 – 2 = – 2

si x= 2 alors y = 3 x 2 – 2 = 4

–2

ordonnée à l’origine

coefficient directeur

b=–2 1

3 =3 1

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points exemple : Trouver l'équation de la droite passant par A(2;-2) et B(- 4 ; 10) 1ère étape : calcul de a

2ème étape : calcul de b Le point A appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l'équation de la droite yA = a xA + b y – yA 10 – (– 2) 12 a= B = =– =–2 yA = – 2 xA + b –4–2 6 xB – xA –2=–2×2+b –2=–4+b b=–2+4=2 Conclusion : l’équation de la droite est y= – 2 x + 2 RENE DESCARTES Français (1596 ; 1650) L’œuvre que nous laisse Descartes dans l’univers des sciences est considérable. Par exemple , Descartes est à l’origine du repère du plan. Une anecdote raconte qu’ en observant une mouche qui se promenait sur les carreaux d’une fenêtre, il aurait pensé à définir, à l’aide des carreaux, des coordonnées du plan. Descartes explique ainsi qu'il est possible de traiter les problèmes de géométrie en problèmes numériques. Il a recours à des calculs algébriques et simplifie remarquablement les démonstrations. Cette géométrie porte aujourd'hui un nom : la géométrie analytique. Son oeuvre philosophique est elle aussi considérable et exprime une nouvelle approche des sciences et des mathématiques en particulier. Pour Descartes, un scientifique ne reconnaît comme vrai que ce qui est clairement démontré. La résolution d'un problème se fait consciencieusement, étape par étape, sans rien négliger. Par son nom et sa méthode, Descartes nous laisse l’adjectif « cartésien » ; on dit d’un esprit cartésien, qui présente des qualités intellectuelles, claires, logiques et méthodiques. En 1637, il publie le livre « Le Discours de la Méthode » dans lequel il explique les règles pour la conduite de l'esprit humain. Citons son célèbre : "Cogito, ergo sum" ( "Je pense, donc je suis") 38

SOLIDES DE L'ESPACE PERSPECTIVE CAVALIERE

CUBE

développement et patron

> les segments cachés lorsqu’on regarde l’objet sont dessinés en pointillés en perspective. >La face avant est représentée en vraie grandeur. > deux segments parallèles dans la réalité sont représentés par deux segments parallèles.

base base

> deux segments parallèles et égaux dans la réalité sont représentés par des segments parallèles et égaux.

arête La section d’un cube ou d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle.

PALLELEPIPEDE RECTANGLE PAVE DROIT

base La section d’un cube ou d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

base

PRISME DROIT base

hauteur

base

hauteur hauteur

base La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone réduction du polygone de base.

PYRAMIDE hauteur base

base

Une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier et si la hauteur passe par le centre du polygone. Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables.

La section d’un cylindre par un plan parallèle à la base est un cercle. La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe est un rectangle

CYLINDRE DE REVOLUTION

hauteur

π x rayon

hauteur rayon

rayon base base

La section d’un cône par un plan parallèle à la base est un cercle réduction du cercle de base.

CONE DE REVOLUTION génératrice génératrice

rayon

angle au centre =

base

360 × rayon génératrice

base La section d’une sphère par un plan est un cercle.

SPHERE

rayon

centre

VOCABULAIRE DE LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE H E

arête [ HG ]

F D

G F

D B sommet A

face FGCB plan (FGCB)

B plans perpendiculaires plan (ABCD) ⊥ plan (BCGF) H E

B plan et droite perpendiculaires plan (ABCD) ⊥ droite (BF)

G F

B plans parallèles plan (ABCD) // plan (EFGH)

E A

F D

B plan et droite parallèles plan (EGCA) // droite (BF)

FORMULAIRE P : périmètre ; A : aire ; V : volume triangle rectangle Lxl A= 2

triangle quelconque base x hauteur A= 2

pavé droit

cube

V=Lxlxh

V = c3 hauteur

largeur

hauteur

largeur Longueur

base

Longueur

côté

prisme droit

cylindre

V=Aire de la base x hauteur rectangle

A=Lxl P= 2l+2L

carré

parallélogramme

V = aire du disque x h =πR

A=c P=4c

A=bxh hauteur

largeur

hauteur

hauteur Longueur

côté

Rayon

base

pyramide losange Dxd A= 2

trapèze (B+b)xh = 2

cône

Aire de la base x hauteur 3

aire du disque x h 3

π R2h 3

petite base petite diagonale

hauteur

Grande Base

Grande Diagonale

Cercle , disque R

hauteur hauteur base

Longueur de l’arc de cercle proportionnelle au périmètre du cercle 360° ––––> 2 x π x R ^ a ––––> Longueur arc de cercle

^ a

Rayon

Boule , sphère

Périmètre du cercle = 2 π R Aire du disque = π R

Aire du secteur angulaire proportionnelle à l’aire du disque 2 360° ––––> π x R ^ a ––––> aire du secteur angulaire

4 πR3 3 Aire latérale de la boule= 4 π R 2 Volume de la sphère =

AGRANDISSEMENTS ET REDUCTIONS • L’agrandissement de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet par un nombre positif k>1. • La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet par un nombre positif k<1. Un agrandissement (ou une réduction) de rapport k modifie :

– les longueurs ( à multiplier par k ) – les aires ( à multiplier par k ² ) 3 – les volumes ( à multiplier k )

Un agrandissement (ou une réduction) de rapport k conserve:

– – – –

la forme ( des figures ) l'alignement ( des points ) les angles ( et leurs mesures ) l'égalité des distances et leurs rapports

Exemples : agrandissement d’un cube

réduction d’un carré

5 1

Agrandissement de rapport k = 2 Longueurs multipliées par k = 2 Volume multiplié par k 3 = 2 3 = 8

10 5 1 = 10 2 1 Longueurs multipliées par k = 2  1 ² 1 Aire multipliée par k² =  2  =   4 Réduction de rapport k =

π ≈ 3,141592653589793238462643383279502…… Depuis la plus haute antiquité , le nombre π fascine les savants. Ils se sont aperçus que le périmètre d’un cercle et son diamètre sont proportionnels ( P = π x D ) . Ce coefficient de proportionnalité π peut-il s’écrire par une fraction ? Ou bien doit-on se contenter d’en donner des approximations ? Pour les Juifs de l’ancien testament ( 2000 Avant JC ) , le périmètre du cercle est le triple du diamètre. Le plus ancien texte mathématiques, le Papyrus de Rhind ( 1700 ans avant JC ) propose pour valeur (16/9)² : 3,16049… Archimède (Né vers 287, mort vers 212 av. J-C ) ne propose pas une valeur mais un encadrement , π est compris entre 3 + 10/71 et 3 +1/7. Or ce 3 +1/7 , c’est le fameux 22/7 , fraction bien connue des écoliers avant l’utilisation des calculettes. Les valeurs approchées vont se succéder : 3,14159 pour le chinois LIOU HI ( au 2ème siècle avant JC ), 3,1416 pour l’hindou ARYABHATA en 499 et son compatriote BRAHMAGUPTA utilise vers 628 la valeur 10 moins bonne, pas fameux non plus le 3,142337 de NICOLAS DE CUSE au début du 15 ème siècle. Une étape importante est franchie lorsque le français LAMBERT (1728-1777) démontre l’irrationalité de π, mettant fin à de nombreuses tentatives pour l’exprimer sous forme de fraction. La chasse aux décimales s’emballe avec l’arrivée des calculatrices électroniques puis des ordinateurs : 1000 décimales en 1949, 10 000 en 1957, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 1 000 000 000 en 1989, qui dit mieux ?.

DEMONTRER ou "apporter la preuve" En géométrie, la démonstration consiste à écrire un raisonnement logique pour expliquer une propriété d’une figure, en ne se servant que des données de l’énoncé et des théorèmes ou des définitions du cours. L’énoncé du problème contient deux parties : D’abord les données du problème qui nous renseignent sur la figure, appelées les hypothèses. Puis le but du problème, c'est-à-dire ce qu’on veut démontrer.

énoncé

figure Tracer deux cercles C1 et C2 de même centre O, de rayons différents. Tracer un diamètre [AC] du cercle C1. Tracer un diamètre [BD] du cercle C2. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

(C1)

B I . Hypothèses

• • •

(C1) et (C2) ont le même centre O. [AC] est un diamètre de (C1). [BD] est un diamètre de (C2).

(C2) O D A

démonstration

II . Démonstration

Par hypothèse, on sait que O est le centre du cercle (C1) et que [AC] est un diamètre du cercle (C1). Donc O est le milieu de [AC] De même, on sait que O est le centre du cercle (C2) et que [BD] est un diamètre du cercle (C2). Donc O est le milieu de [BD] On en déduit que O est le milieu des deux diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD. On peut donc utiliser le théorème suivant : Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. On a donc bien démontré que ABCD est un parallélogramme.

Pour rédiger une démonstration, il faut : a) commencer par relever toutes les hypothèses au brouillon : ce sont les seules données utilisables pour apporter la preuve. b) chercher dans l’énoncé ce qu’on doit démontrer, puis l’écrire au brouillon : on veut démontrer que … c) Chercher dans les théorèmes du cours celui qui pourra servir, avec les bonnes hypothèses, pour faire la démonstration. d) Puis on rédige en suivant trois étapes :

1. On sait que ( hypothèses , ne citer que celles dont vous vous servez pour la démonstration ) 2. Théorème, définition, propriété ( à citer ) 3. Donc ( conclusion )

Démontrer que deux droites sont parallèles - Droites parallèles à une même troisième. - Droites perpendiculaires à une même troisième. - Angles alternes-internes , angles correspondants - Côtés opposés d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange, d’un carré. - Théorème de la droite des milieux. - Réciproque du théorème de Thalès. - Image d’une droite par une symétrie centrale. Démontrer que deux droites sont perpendiculaires - Deux droites parallèles et une droite perpendiculaire à l’une des deux. - Médiatrice d’un segment. - Côtés consécutifs d’un rectangle, d’un carré. - Diagonales d’un losange, d’un carré. - Orthocentre d’un triangle. - Les droites forment un angle droit . - Triangle rectangle : - définition - Réciproque du théorème de Pythagore. - Triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre. - Triangle dans lequel la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté opposé. Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment - La définition. - Diagonales d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange, d’un carré. - Médiatrice d’un segment. - Droite parallèle à un côté d’ un triangle et qui passe par le milieu d’ un autre côté . - Centre de gravité d’un triangle. Démontrer que trois points A, B et C sont alignés ^ - ABC = 180 ° - AC + CB = AB - 3 points appartenant à une droite connue ( médiatrice, médiane , hauteur , diagonale ) - milieu d’ un segment Calculer la longueur d’un segment - Egalité avec une longueur connue dans un triangle isocèle ou équilatéral. - Egalité avec une longueur connue dans un parallélogramme, un losange, un rectangle, un carré. - Egalité avec une longueur connue à l’aide de la définition du milieu d’un segment. - Egalité avec une longueur connue dans un cercle. - Egalité avec une longueur connue à l’ aide de la médiatrice d’ un segment. - Egalité avec une longueur connue par conservation des longueurs par une symétrie - Equation obtenue avec formules (périmètre, aire et volume). - Centre de gravité d’un triangle. - Médiane d’un triangle rectangle. - Théorème de Pythagore. - Trigonométrie. - Théorème de Thalès. - Distance de deux points à l’aide de leurs coordonnées. Calculer la mesure d’un angle - Somme des angles d’un triangle. - Angles adjacents, supplémentaires et complémentaires. - Egalité avec un angle connu dans un triangle isocèle ou équilatéral. - Angles alternes-internes, correspondants, opposés par le sommet. - Egalité avec un angle connu par conservation des mesures d’angles par une symétrie . - Bissectrices. - Trigonométrie. - Angles inscrits, angles au centre.

INDEX A abscisse : 37 agrandissement : 42 arbre des possibles : 26 aire : 1 ( unités d’ ) , 41 ( formulaire) algèbre : 15 algorithme d’Euclide : 8 angle au centre : 36 angle inscrit : 36 angles alternes-internes : 29 angles correspondants : 29 antécédent : 19 arc de cercle : 28 , 41 are : 1 arithmétique : 7 arrondi : 4 B bissectrice : 29 ( def ) , 31 ( triangles ) boule : 41 C calcul littéral : 11 caractère : 23 carré : 30 ( figure ) , 6 ( nombre au carré) carrés parfaits : 9 centre de classe :24 centre de gravité : 31 cercle : 26 , 27 cercle circonscrit : 29 coefficient directeur : 20 , 38 combinaison ( système d’équation ) : 17 cône : 40 conjecture : 43 conversions d’unités : 1 coordonnées : 38 corde :28 cosinus : 33 côté adjacent : 35 côté opposé : 35 cube : 37 ( solide ) , 6 ( nombre au cube ) cylindre : 40 D débit : 21 développer : 12 , 13 démontrer : 43 diviseur : 7 diviseurs communs : 7 division euclidienne : 8 droite des milieux : 31 droites parallèles : 27 droites perpendiculaires : 27 E échelle : 21 écriture scientifique : 6 effectif : 23 équations : 11 , 15 équation de droite : 38 équations produit : 16 étendue : 24 Euclide : 8

F facteur commun : 12, 14 factoriser : 12 , 14 fonctions numériques : 19 fonctions linéaires affines : 20 formule : 11 formulaire : 41 fractions : 5 fraction irréductible : 7 fréquence : 23 G gramme : 1 grandeur composée : 21 H hauteur : 31 ( triangle ) , 39 ( solides) hectare : 1 hexagone : 36 hypoténuse : 32 I identité : 11 identités remarquables : 12,13,14 image par une fonction : 19 inégalité triangulaire : 31 inéquation : 18 inverse : 5 L litre : 1 losange : 30 M masse volumique : 21 médiane ( géométrie ) : 31 médiane ( statistiques ) : 24 médiatrice : 27 , 29 mètre : 1 milieu : 27 moyenne : 24 multiple : 7 N nombres entiers : 4 nombres opposés : 5 nombres premiers entre eux : 7 nombres rationnels : 4 nombres irrationnels : 4 nombres réels : 4 nombres relatifs : 4 , 5 notation scientifique : 6 O octogone : 36 ordonnée : 37 ordonnée à l’origine : 20 , 38 orthocentre : 31

P parallélépipède ( pavé droit ) : 39 parallélogramme : 28, 30 pentagone : 36 pente : 20 , 38 PGCD , plus grand commun diviseur : 7 Pi : 42 polygone régulier : 36 pourcentage : 22 prisme : 39 probabilité : 25 produit en croix : 5 proportionnalité : 21 puissances : 6 pyramide : 39 Pythagore : 32 Q quartile : 24 R racine carrée : 9 rectangle : 30 réduction (géométrie) : 42 réduire ( littéral ): 12 regroupement par classes : 24 repère : 37

S secteur angulaire : 41 sinus : 33 solution d’une équation : 15 somme angles dans triangle : 31 sphère : 40 statistiques : 23 substitution ( système d’équation ) : 17 surface (aire) : 1 (unités) , 41 (formules) symétrie axiale : 37 symétrie centrale : 37 système d’équations : 17 T tangente à un cercle : 29 tangente d’un angle : 33 Thalès : 33 transposer : 15 trapèze : 30 triangle isocèle : 31 triangle équilatéral : 29 triangle rectangle : 32 trigonométrie : 35 U unités de temps : 21 V vitesse : 21 volume : 1 (unités) , 41 (formules)

CALCULATRICE Fiche technique des principales touches d’une calculatrice ON

OFF

: arrêt

: mise en marche, remise à zéro

2nd ou 2ndF

Chacune des touches "physiques" du clavier permettent l'accès à plusieurs fonctions

ou SECONDE ou INV ou SHIFT : choisir la 2ème fonction

DEL

ou CE ou C ou EFF : effacer un nombre entré par erreur

ANS

: rappeler le résultat précédent

= ou EXE ou ENTER : afficher le résultat 0

5 6

± ou (–) ou +/- ou –

Ne pas confondre ! Le signe « – » de la soustraction et le signe « - » d’un nombre négatif

9 : les dix chiffres

x :changer le signe (prendre l’opposé)

. ou , : la virgule +

− : additionner et soustraire

∗ : multiplier

Si la calculette affiche une fraction comme 3 ↵ 1 ↵ 2 ( notation anglo-saxonne ) , il faut utiliser la touche

÷ ou / : diviser

÷R ou ├ : division euclidienne d

/c ou

A /c

: fraction

( et ) ou [(… et …)] %

/c pour avoir la notation française : 1 ↵ 2

: ouvrir ou fermer une parenthèse

: appliquer un pourcentage

x 2 : calculer la racine carrée ou le carré 1/x ou x –1 : calculer l’inverse

√‾ et

ou EXP ou ×10

ou y

ou ^

ou 10

COS

ou ,

−1

COS

DRG ou naviguer dans mode : choisir l’ unité d’angle

SIN

, TAN

SIN

−1

→

9 + 16 10 + 5 7+3

→

(– 5) 2 (9 + 16)

→

(10 + 5) / (7 + 3)

Sur certaines TI , pour avoir accès aux fonctions trigonométriques , il

π ou PI : le nombre Pi DR>

le carré de – 5

: puissance de 10

↑ : puissance d’un nombre

Attention aux parenthèses sous-entendues !

faut naviguer dans le menu TRIG

: fonctions trigonométriques TAN

−1

ou ACOS

ASIN

ATAN : fonctions trigonométriques inverses

° ’ ’’ : conversion des unités de temps ( heure minute seconde et heure décimale ) L'AFFICHAGE SUR L'ÉCRAN Comme toutes les calculatrices, le nombre de chiffres qui peut apparaître à l'écran est limité donc l'affichage est souvent tronqué ou arrondi. De plus, les grands nombres sont mal écrits, leurs chiffres ne sont pas séparés par classe de trois (d'où des difficultés de lecture). Ex : Quand elle affiche 6541328.3 il faut lire 6 541 328,3 Attention à la notation scientifique 08

– 09

Quand la calculatrice affiche 1.2 E 8 ou 1.2 , ou 5 E – 9 ou 5. il s'agit d'une notation pratique sur l'écran qui ne correspond pas du tout à l'écriture mathématique correspondante. 08

L'affichage 1.2E8 ou 1.2

L'affichage 5E-9 ou 5.

– 09

indique qu'il faut décaler la virgule de 8 rangs vers la droite et lire 1,2×10 c'est à dire 120000000 – 09

indique qu'il faut décaler la virgule de 9 rangs vers la gauche et lire 5×10 c'est à dire 0,000000005 46