Розділ 1. Подільність натуральних чисел § 1. Ділення і дільники числа 8. 1) 40 : 8 = 5 , тому число 8 — дільник 40. 2) 60 : 8 = 7 (залишок 4), тому число 8 — не дільник числа 60. 9. Число 20 має 6 дільників: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
МАТЕМАТИКА
Рішення всіх завдань до підручника Г. П. Бевз, В. Г. Бевз «Математика»
10. Так. 11. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
et
12. Число 6. 13. Всі числа, які діляться на 14, діляться й на 2, і на 7.
.n
14. 3 : 8 = 24 ; 24 є найменшим натуральним число, що ділиться на 3 і на 8. 15. Ділиться. При p = 8 ; p : 2 = 8 : 2 = 4 , p = 8 ; p : 4 = 8 : 4 = 2 ; При p = 16 ; 16 : 2 = 8 ; 16 : 4 = 4 .
ld z
16. Число 12 має 6 дільників: 1, 2, 3, 4, 6, 12, а число 13 має 2 дільники: 1 і 13. Отже у 12 більше дільників. 17. Число 17 є простим, тому що має тільки два дільники 1 і 17, а число 26 не є простим, тому що в нього 4 дільники: 1, 3, 9, 27. 18. Учень пропустив слово «тільки».
al
19. Число 14 має 4 дільники: 1, 2, 7, 14, значить є складовим, а число 41 має тільки два дільники — 1 і 41, значить є простим. 20. Число 49 є складовим, тому що в нього 3 дільники: 1, 7, 49, а число 29 — просте, тому що в нього тільки два дільники 1 і 29. 21. в). 22. 1 + 3 + 9 = 13 . 23. 6: 1 + 2 + 3 + 6 = 12 7: 1 + 7 = 8 . Значить сума всіх дільників числа 6 більша, ніж сума всіх дільників числа 7. 24. Дільник простого числа a: 1 і a, значить сума дільників числа a : ( a + 1) . 25. 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅10 = 100 .
9
МАТЕМАТИКА
26. a: 1 і a, значить a ⋅1 = a . 27. а) 45 + 12 = 57 37 + 16 = 53 82 − 41 = 41 65 − 17 = 48 ;
б) 5, 3 + 7 = 12, 3 0, 2 + 3, 5 = 3, 3 4 − 3, 8 = 0, 2 6, 7 − 5 = 1, 7 ;
в) 12 ⋅ 5 = 60 1, 3 ⋅ 3 = 3, 9 4, 6 : 2 = 2, 3 3 : 0, 3 = 10 .
б) 59, 7 + 12, 9 = 72, 6 13, 8 − 6, 54 = 7, 29 3, 05 − 2, 007 = 1, 043 ;
28. а) 385 + 429 = 814 805 − 718 = 87 4328 − 3009 = 1319 ; в) 2, 4 ⋅ 3, 5 = 8, 4 72, 5 ⋅ 0, 26 = 18, 86 0, 03 : 0, 15 = 3 : 15 = 0, 2 ;
896 896 0
ld z
69 69 0
3, 136 112 224 0, 028
б) 5, 76 2, 4 48 2, 4
7, 84 14 70 0, 56 84 84 0
al
96 96 0
в) 32, 5 0, 5 30 65
5929 110 550 53, 9 429 330 990 990 0
.n
29. а) 529 23 46 23
et
г) 2, 5 ⋅ 3, 7 ⋅ 4 = (2, 5 ⋅ 4) ⋅ 3, 7 = 10 ⋅ 3, 7 = 37 7, 8 ⋅ 0, 004 ⋅ 25 = (0, 04 ⋅ 25) ⋅ 7, 8 = 1 ⋅ 7, 8 = 7, 8 0, 8 ⋅ 4, 9 ⋅ 0, 25 = (0, 8 ⋅ 0, 25) ⋅ 4, 9 = 0, 2 ⋅ 4, 9 = 0, 98 .
0, 72 1, 8 72 0, 4
25 25 0
0
33, 64 2, 9 11, 6 29 46 29 174 174 0 73, 96 8, 6 6 8 8 8, 6 516 516 0
30. а) 7 + 125 : 5 = 7 + 25 = 32 ; б) 8 − 23 : 5 = 8 − 4, 6 = 3, 4 ; в) 13 : 2 + 15 : 25 = 6, 5 + 0, 6 = 7, 1 . 31. а) 4, 8 + 3 : 4 = 4, 8 + 7, 5 = 12, 5 ; б) 7, 5 − 1 : 25 = 7, 5 − 0, 04 = 7.46 ; в) 6, 5 − 6 : 5 = 6, 5 − 1, 2 = 5, 3 .
10
32. а)
2 3 5 + = ; 7 7 7
б)
5 1 4 − = ; 9 9 9
в) 2
4 3 1 − =2 . 5 5 5
33. а) 2, 5 ⋅ 8 + (17 − 0, 1) : 26 = 20 + 16, 9 : 26 = 20 + 0, 65 = 20, 65 ; 169 26 156 0, 65
МАТЕМАТИКА
130 130 0 б) 183 ⋅ 0, 5 − ( 6, 2 + 1, 9 ) : 5, 4 = 91, 5 − 8, 1 : 5, 4 = 91, 5 − 1, 5 = 90 81 54 × 183 0, 5 54 1, 5 91, 5 270 270 0 34. а) 1, 2 > 1, 125 ;
б) 3, 786 < 3, 8 ;
2 3 < ; 7 7
г)
12 15 < . 13 13
et
35. а) 5, 83 − 1, 9 = 3, 93 ; б) 0, 75 : 4 = 0, 1875 ; в) 2, 5 ⋅ 0, 32 = 0, 8 .
в)
.n
36. а) Нехай х — більше число, тоді друге — х – 6. x + x – 6 = 30, 2x = 30 + 6, x = 18 — одне з чисел, х – 6 = 18 – 6 = 12 — друге з чисел;
ld z
б) Нехай х — менше число, тоді друге — 4х. x + 4x = 12,5, 5x = 12,5, x = 12,5 : 5, x = 2,5 — одне з чисел, 4х = 10 — друге з чисел;
al
в) Нехай х — менше число, тоді друге — 3х. 3x – x = 3,4, 2x = 3,4, x = 3,4 : 2, x = 1,7 — одне з чисел, 3х = 5,1 — друге з чисел;
г) Нехай х — більше число, тоді друге — 45 · 2 – х. x – (45 · 2 – х) = 4,5 · 2, 2x – 90 = 9, 2x = 99, x = 49,5 — одне з чисел, 45 · 2 – х = 90 – 49,5 — друге з чисел. 37. а) 350 ⋅ 0, 024 = 8, 4 ; б) 38, 4 : 0, 2 = 192 ; в) 8, 5 + 8, 5 ⋅ 0, 12 = 9, 52 . 38. а) 3x + 17 = 50 , 3x = 50 − 17 = 33 , x = 33 : 3 = 11 ;
б) 1, 5x − 5 = 7, 6 , 1, 5x = 7, 6 + 5 = 12, 6 , x = 12, 6 : 1, 5 = 8, 4 .
11
39. I ящ. — x 53 кг II ящ. — x + 5 x + x + 5 = 53 , 2x = 53 − 5 = 48 , x = 48 : 2 = 24 (кг) — в I ящику; 24 + 5 = 29 (кг) — в II ящику.
МАТЕМАТИКА
}
40. I ч. — x 43 м II ч. — 3x 3x + x = 43 , 4x = 43 , x = 43 : 4 = 10, 75 , 10, 75 ⋅ 3 = 32, 25 (м) — довжина II частини.
}
41. v1 = 68 км/год,
v2 = 72 км/год,
t = 1 ч 30 хв;
S = ( v1 + v2 ) t ; S = ( 68 + 72 ) ⋅1, 5 = 140 ⋅1, 5 = 210 (км). 42.
Прилеглі кути 180° − 60° = 120° , протилежний кут 60° .
et
120° 60°
60°
43.
.n
120° A
K
B
ld z
AK = AB − KB , AK = 1, 7 − 0, 45 = 1, 25 (м). 44. P = ( 6 + 4, 5 ) ⋅ 2 = 21 (м), S = 6 ⋅ 4, 5 = 27 м2 .
( )
( ) ( )
al
45. S1 = 12 ⋅12 = 144 м2 , S2 = 4 ⋅ 4 = 16 м2 , S1 : S2 = 144 : 16 = 9 (раз).
(
)
46. V = 3 ⋅ 4, 5 ⋅ 6, 7 = 90, 45 см3 .
47. (1 + 3 + 5 ) + ( 3 + 5 + 6 ) + ( 2 + 3 + 6 ) = 34 .
§ 2. Ознаки подільності на 10, 5 і 2 52. Діляться: 270; 9900; 600 080. Не діляться: 35; 3005. 53. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. 54. 100, 110, 120, 130, 140. 55. 990, 980, 970, 960, 950.
12 56. 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 450 .
57. Діляться: 5; 95; 130; 10 000. Не діляться: 54; 108; 5551. 58. 5; 10; 15; 20; 25.
МАТЕМАТИКА
59. 100; 105; 110; 115; 120. 60. 18. 61. Діляться: 10; 180. 62. Не діляться: 9; 45; 333; 47. 9 + 333 = 342 . 63. 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18. 64. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. 65. 70; 72; 74; 76; 78.
et
66. 2 + 4 + 6 + 8 = 20 . 67. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 .
.n
68. 3270; ділиться на 10. 69. 8 + 6 = 14 ; 2 + 4 = 6 ; 10 + 12 = 22 .
70. Непарним: 13 + 21 = 34 ; 17 + 27 = 44 ; 5 + 89 = 94 . б) так;
в) так;
ld z
71. а) так;
г) так.
72. 9 876 543 201. 73. а) 8;
б) 3.
al
74. Непарним. 75. Парним.
76. Так, вірно.
77. Перше число кінчається на 0, значить воно парне й відповідно до ознак подільності ділиться на 2, 5, 10. Друге число кінчається на 7, значить воно непарне й не може ділитися на 2, 5, 10. Третє число кінчається на 6, значить воно парне й може ділитися на 2, але не ділиться на 5 і 10. 78. а) Якщо a і b парні, то a = 2n і b = 2m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 2n + 2m = 2 ( n + m ) , а це число парне. б) Якщо a парне, а b непарне, то a = 2n , b = 2m + 1 , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 2n + 2m + 1 = 2 ( n + m ) + 1 , а це число непарне. в) Якщо a, b, c непарні числа, то a = 2n + 1 ; b = 2m + 1 ; c = 2 p + 1 , де n, m і p — деякі натуральні числа. Тоді a + b + c = 2n + 1 + 2m + 1 + 2 p + 1 = 2 ( n + m + p + 1) + 1 , а це число непарне. 13
МАТЕМАТИКА
79. а)
+ 37028 8672 45700
;
б) − 65006 ; 20379 44627
в)
× 383 ; 607 2681 000 2298 232481
г)
−
3003 39 . 273 77
−
273 273 0
80. 894 + 892 = 1786 ; 89, 4 − 892 = 2 ; 1786 − 2 = 1784 (рази). 81. а) 320 ⋅ 0, 2 = 64 ; б) 20 ⋅ 0, 2 = 4 ;
в) 6, 4 ⋅ 0, 2 = 1, 28 ; г) 0, 5 ⋅ 0, 2 = 0, 1 .
82. а) 2x + 7 = 131 , 2x = 131 − 7 = 124 , x = 124 : 2 = 62 ;
б) 3x − 17 = 100 , 3x = 100 + 17 = 117 , x = 117 : 3 = 39 . б) 3, 5 ⋅ 4 = 14 (дм);
в) 4 ⋅ a = 4a (км).
et
83. а) 8 ⋅ 4 = 32 (см);
84. 235 − 235 ⋅ 0, 6 = 94 (стор.) або 235 ⋅ (1 − 0, 6 ) = 235 ⋅ 0, 4 = 94 (стор.).
.n
§ 3. Ознаки подільності на 3 і 9 92. Діляться: 504; 735; 1002; 2037.
ld z
93. Діляться: 405; 738; 7704. 94. 117. 95. 612. 96. 225.
al
97. Вірно. 98. 102.
99. 999.
100. 9; 18; 27; 36; 45. 101. а) 5; 10; 15; 20; 25;
б) 10; 20; 30; 40; 50.
102. 3 + 6 + 9 = 18 . 103. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63 . 104. 2 ( 247 + 2 = 249 ) . 105. Усі кратні 3 і не кратні 9.
14
106. Сума цифр 2, 3 і 4 дорівнює 9, значить будь-яке число, що складається з цих цифр, буде ділитися на 9.
108. Якщо a і b діляться на 10, то a = 10n , b = 10m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 10n + 10m = 10 ( n + m ) , це число ділиться на 10, значить a + b теж ділиться на 10. 109. Якщо a і b діляться на 5, то a = 5n , b = 5m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 5n + 5m = 5 ( n + m ) , це число ділиться на 5, значить a + b теж ділиться на 5. 110. Якщо a ділиться на 10, а b не ділиться на 10, то a = 10n , b = m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 10n + m , це число на 10 не ділиться, значить a + b теж не ділиться на 10.
МАТЕМАТИКА
107. Сума цифр 1, 2, 3 і 4 дорівнює 10, тобто на 3 не ділиться. Значить будьяке число, складене комбінацією даних цифр, на 3 ділитися не буде.
112.
n
1
2
3
4
5n
5
10
15
20
5
6
7
8
9
10
25
30
35
40
45
50
.n
Вірно.
et
111. Вірно.
ld z
113. Суму трьох однакових цифр n, можна записати як добуток 3⋅n , це число кратне трьом, значить кожне число, записане трьома однаковими цифрами ділиться на 3. 114. Не може.
б) 990;
116. а) 282 = 784 ; в) 2, 52 = 6, 25 ;
б) 342 = 1156 ; г) 0, 212 = 0, 0441 .
117. а) 113 = 1331 ; в) 1, 13 = 1, 331 ;
б) 123 = 1728 ; г) 0, 123 = 0, 001728 .
в) 990.
al
115. а) 996;
118. а) 8, 45 − ( 459 : 9 − 49 ) = 8, 45 − (51 − 49 ) = 8, 45 − 2 = 6, 45 ; б) 43 − 32 : 22 + 8 = 64 − 32 : ( 8 + 8 ) = 64 − 32 : 16 = 64 − 2 = 62 .
(
)
119. а) 60 : 0, 3 = 200 ; б) 3 : 0, 3 = 10 ; в) 0, 15 : 0, 3 = 0, 5 . 120. − 97 7 7 13 27 21 6
15
МАТЕМАТИКА
121. 3, 5 ⋅ 2, 8 = 9, 8 , 3, 5 + 2, 8 = 6, 3 , 9, 8 − 6, 3 = 3, 5 . 122.
У рожевому платті Марійка, у білому Віра.
Блакитне плаття Олеся Зелене плаття не Віра
Біле плаття Рожеве плаття Марійка
et
§ 4. Розкладання чисел на прості множники 131. а) 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ; б) 36 = 9 ⋅ 4 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ;
.n
100 = 10 ⋅10 = 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 52 ⋅ 22 ; 500 = 50 ⋅10 ⋅10 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 53 ⋅ 22 ; 2500 = 5 ⋅ 5 ⋅10 ⋅10 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 54 ⋅ 22 ; 3780 = 10 ⋅ 9 ⋅ 42 = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 2 = 33 ⋅ 22 ⋅ 5 ⋅ 7 .
ld z
132. а) б) в) г)
в) 50 = 5 ⋅10 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 ; г) 105 = 21 ⋅ 5 = 7 ⋅ 3 ⋅ 5 .
133. Так. 1100 = 11 ⋅10 ⋅10 = 11 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 11 ⋅ 52 ⋅ 22 . 134. 87 = 3 · 29; 3 — найменший простий дільник. 135. 484 = 2 · 242 = 2 · 2 · 121; 121 — наібільший простий дільник. 136. а) 1; 2; 4; 8;
al
б) 1; 3; 9; 27; 81;
в) 162, 1, 2, 3, 6, 9, 27, 54, 81.
137. У 7 разів.
138. Перше менше другого на 30. 3 ⋅ 5 ⋅13 − 3 ⋅ 5 ⋅11 = 3 ⋅ 5 ⋅ (11 + 2) − 3 ⋅ 5 ⋅11 = 3 ⋅ 5 ⋅11 + 3 ⋅ 5 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 ⋅11 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 = 30 . 139. 100 = 52 ⋅ 22 ,
250 = 53 ⋅ 2 ,
300 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 , 2
140.
3
6
2 · 2 · 2 ·
16
2
80
50
24 4
270 = 33 ⋅ 5 ⋅ 2 .
500 = 5 ⋅ 2 ,
2
4
25 3
2
5
5
20 10
2 · 2 · 2 · 2 · 5
141. 27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 . 142. 15 = 3 ⋅ 5 ; 35 = 5 ⋅ 7 . б) 6; 9; 10; 18; 30; 45.
144. Три (1, саме число, його квадрат). 145. Чотири (1, число, квадрат, куб). 146. (1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28) : 28 = 56 : 28 = 2 ; (1 + 2 + 41 + 82) : 82 = 126 : 82 ≠ 2 . 147. (1 + 2 + 3 + 6) : 6 = 12 : 6 = 2 .
МАТЕМАТИКА
143. а) 10; 14; 35;
148. (1 + 2 + 248 + 4 + 124 + 8 + 62 + 16 + 31 + 496) : 496 = 992 : 496 = 2 . б) 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75 ; г) 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 63 .
et
149. а) 2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 90 ; в) 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅11 = 770 ; 150. 2; 180.
152. 106; 107. 153. 123 – 33 = 90.
.n
151. 23 ⋅ 32 = 8 ⋅ 9 = 72 ; 1 + 2 + 36 + 8 + 9 + 4 + 18 + 6 + 12 + 3 + 24 + 72 = 195 .
ld z
154. 2, 52 + 1, 52 = 6, 25 + 2, 25 = 8, 5 ,
( 2, 5 + 1, 5)2 = 42 = 16 ,
16 − 8, 5 = 7, 5 .
al
155. Нехай х — більше число, тоді друге — х – 32. x + x – 32 = 94, 2x = 94 + 32, 2x = 126, x = 63 — одне з чисел, х – 32 = 63 – 32 = 31 — друге з чисел. 156. Нехай х — більше число, тоді друге — 3х. x + 3x = 64, 4x = 64, x = 16 — одне з чисел, 3х = 3 · 16 = 48 — друге з чисел. 157. S = 9 ⋅ 4 = 36 x = 36 = 6 . 158. 40 000 : 500 = 80 (м). 159. 1. Покласти по 3 монети на кожну шальку. Фальшива буде одна з 3-х, які будуть легше 2. 2. Із цих 3-х зважити будь-які 2. Якщо ваги урівноважаться, фальшива — що залишилася. Якщо ні, фальшива легша. 17
§ 5. Найбільший спільний дільник
166. а) 30 2 15 3 5 5 1
б) 1, 2, 7, 14; НСД ( 30 , 70 ) = 2 ⋅ 5 = 10 ;
70 2 35 5 7 7 1
б) 42 2 21 3 7 7 1
48 24 8 4 2 1
в) 120 60 30 10 5 1
160 80 40 20 10 5 1
НСД
2 3 2 2 2
( 42 ,
48 ) = 2 ⋅ 5 = 10 ;
НСД (120 , 160 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40 .
2 2 2 2 2 5
et
2 2 3 2 5
в) 1; 11.
.n
МАТЕМАТИКА
165. а) 10; 5; 2; 1;
ld z
167. а) НСД (125 , 400 ) = 5 ⋅ 5 = 25 ; 400 200 100 50 25 5 1
2 2 2 2 5 5
al
125 5 25 5 5 5 1
( 96 ,
б) НСД 96 48 24 12 6
2 2 2 2 2
120 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 ; 3 3 1
в) НСД ( 396 , 284 ) = 2 ⋅ 2 = 4 ;
18
396 198 99 33 11 1
2 2 3 3 11
284 2 142 2 71 71 1
120 60 30 15 5
2 2 2 3 5
1
г) НСД ( 259 , 280 ) = 7 ; 280 140 70 35 5 1
2 2 2 7 5
МАТЕМАТИКА
259 7 37 37 1
ґ) НСД (576 , 324 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 ; 2 2 2 2 2 2 3 3
324 162 81 27 9 3 1
2 2 3 3 3 3
д) НСД (133 , 221) = 1 . 221 13 17 17 1
.n
133 7 19 19 1
et
576 288 144 72 36 18 9 3 1
168. а) НСД ( 26 , 39 , 52 ) = 13 ; 39 3 13 13 1
52 2 26 2 13 13 1
ld z
26 2 13 13 1
б) НСД ( 27 , 54 , 72 ) = 3 ⋅ 3 = 9 ; 27 3 9 3 3 3 1
2 3 3 3
al
54 27 9 3 1
72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
в) НСД (16 , 32 , 48 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 . 16 8 4 2 1
32 16 8 4 2 1
2 2 2 2
169. а) НСД 42 2 21 3 7 7 1
( 42 ,
2 2 2 2 2
48 24 12 6 3 1
2 2 2 2 3
70 , 97 ) = 1 ; 70 2 35 5 7 7 1
97 97 1
19
в) НСД (100 , 101 , 102 , 103 ) = 1 . 100 50 25 5 1
2 2 5 5
48 24 12 6 3 1
101 101 1
170. а) НСД ( a , b ) = 2 ⋅ 2 = 4 ; в) НСД ( b , c ) = 2 ⋅ 2 = 4 ;
б) НСД ( a , c ) = 2 ⋅ 2 = 4 ; г) НСД ( a , b , c ) = 2 ⋅ 2 = 4 .
171. а) НСД ( x , y ) = 22 ⋅ 52 = 100 ; в) НСД ( y , z ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 = 150 ;
б) НСД ( x , z ) = 2 ⋅ 52 = 50 ; г) НСД ( x , y , z ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 = 150 э
172. НСД ( 23 , 45 ) = 1 , значить вони взаємно прості; 45 5 9 3 3 3 1
.n
23 23 1
ld z
НСД ( 23 , 46 ) = 23 , значить вони взаємно прості. 23 23 46 2 1 23 23 1 173. а) НСД (16 , 9 ) = 1 — взаємно прості; 2 2 1
9 3 3 3 1
al
16 2 8 2 4 2 1
б) НСД (18 , 81) = 3 ⋅ 3 = 9 — не взаємно прості; 18 2 81 3 9 3 27 3 3 3 9 3 1 3 3 1 в) НСД (11 , 121) = 11 — не взаємно прості. 11 11 121 11 1 11 11 1
20
2 2 2 2 3
et
МАТЕМАТИКА
б) НСД ( 24 , 30 , 42 , 48 ) = 2 ⋅ 3 = 6 ; 24 2 42 2 30 2 12 2 21 3 15 3 6 2 7 7 5 5 3 3 1 1 1
174. НСД 1002 501 167 1
(1002 , 2 3 167
2001) = 3 — 2001 667 29 1
ні; 3 23 29
НСД (1001 , 1010 ) = 1 — так. 1010 2 505 5 101 101 1
МАТЕМАТИКА
1001 7 143 11 13 13 1
175. Не можуть, якщо n ≠ 1 . 176. Не можуть. 177. a = 2 ⋅ 3 = 6 ; b = 2 ⋅ 5 = 10 ; c = 3 ⋅ 5 = 15 .
(a ,
178. НСД
b , c ) = 1 . Тому що a = 2 ; b = 2 ⋅ 3 = 6 ; c = 3 .
9 3 3 3 1
et
179. НСД ( 9 , 10 ) = 1 , значить це взаємно прості числа, а отже яким би не було число a НСД ( 9 , 10 , a ) = 1 , це означає, що 9, 10 і a — взаємно прості числа. 10 2 5 5 1
.n
180. НСД (15 , 22 ) = 1 , значить це взаємно прості числа, а отже яким би не були числа a і b НСД (15 , 22 , a , b ) = 1 це означає, що 15, 22, a і b — взаємно прості числа.
486 243 81 27 9 3 1
2 2 3 3 13
2 3 3 3 3 3
648 324 162 81 27 9 3 1
al
468 234 117 39 13 1
ld z
181. Шість: 468, 486, 648, 684, 846, 864; НСД ( 468 , 486 , 648 , 684 , 846 , 864 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 . 2 2 2 3 3 3 3
684 342 171 57 19 1
2 2 3 3 19
846 423 141 47 1
2 3 3 47
864 432 216 108 54 27 9 3 1
2 2 2 2 2 3 3 3
182. Не можуть. 183. 30 2 15 3 5 5 1
В 2, 3, 5, 15 рядів.
6, 10 184. 210 105 35 7 1
2 3 5 7
2 × 105 , 3 × 70 , 5 × 42 , 6 × 35 , 7 × 30 , 10 × 21 — 6 способів.
21
185. НСД ( 35 , 21) = 7 — довжина найбільшого квадрата. 21 3 7 7 1
Sкв = 7 ⋅ 7 = 49 ; Sзаг = 35 ⋅ 21 = 735 ; a = Sзаг : Sкв = 735 : 49 = 15 (квадратів). 186. а) 400 ⋅ 0, 3 = 120 ;
б) 30 ⋅ 0, 3 = 9 ; г) 0, 5 ⋅ 0, 3 = 0, 15 .
в) 0,3; 187. а) 1 : 0, 25 = 4 ;
б) 160 : 0, 25 = 640 ;
в) 0, 7 : 0, 25 = 2, 8 ;
г) 15, 2 : 0, 25 = 60, 8 .
188. а) 4x − 15 = 45 , 4x = 45 + 15 = 60 , x = 60 : 4 = 15 ;
б) 0, 5x + 3 = 8, 7 , 0, 5x = 8, 7 − 3 = 5, 7 , x = 5, 7 : 0, 5 = 11, 4 ;
в) 9, 7 − 0, 2x = 1 , 0, 2x = 9, 7 − 1 = 8, 7 , x = 8, 7 : 0, 2 = 43, 5 .
et
МАТЕМАТИКА
35 5 7 7 1
189. а) x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ; б) x = 35 , 36 , 37 , 38 , 39 ; в) x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 .
} 65 кг
ld z
191. I ящ. — ( x + 9 ) кг II ящ. — x кг
.n
190. S = v ⋅ t = 60 ⋅ 2, 5 = 150 (км); v = 60 км/год = 1 км/хв ; t = S : v = 0, 5 : 1 = 0, 5 (хв).
x + x + 9 = 65 , 2x = 65 − 9 = 56 , x = 56 : 2 = 28 (кг) — в II ящику; 28 + 9 = 37 (кг) — в I ящику.
al
192. а)
б)
1
3
1
4
3 5 2 2
Рішення а) простіше, ніж потрібно в умові завдання.
§ 6. Найменше спільне кратне 200. а) 14, 21, 28, 35, 42; б) 18, 27, 36, 45, 54; в) 30, 45, 60, 75, 90.
22
201. а) НСК (50 , 70 ) = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 350 50 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 , 70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ;
5
4
б) НСК (120 , 180 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 360 120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 , 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
202. а) НСК ( 90 , 145 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 29 = 2610 90 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 , 145 = 5 ⋅ 29 ; б) НСК ( 60 , 420 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 420 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 , 420 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ; в) НСК ( 52 , 102 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅13 ⋅17 = 2652 52 = 2 ⋅ 2 ⋅13 , 102 = 2 ⋅ 3 ⋅17 ; г) НСК ( 66 , 385 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅11 = 2310 66 = 2 ⋅ 3 ⋅11 , 385 = 5 ⋅ 7 ⋅11 .
МАТЕМАТИКА
в) НСК ( 370 , 740 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 37 = 740 370 = 2 ⋅ 5 ⋅ 37 , 740 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 37 .
НСК (7 , 100 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 700 700 − 400 = 300 .
et
203. НСК ( 80 , 100 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 400 80 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ; 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ;
ld z
.n
204. НСК ( 30 , 36 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ; 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 НСД ( 30 , 36 ) = 2 ⋅ 3 = 6 36 2 180 − 6 = 174 30 2 18 2 15 3 9 3 5 5 1 3 3 1
al
205. НСК (72 , 88 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅11 = 792 72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ; 88 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅11 НСД (72 , 88 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 72 2 792 : 8 = 99 (разів) 88 2 36 2 44 2 18 2 22 2 9 3 11 11 3 3 1 1 206. а) НСК ( 2 , 3 , 16 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ; б) НСК ( 2 , 5 , 17 ) = 2 ⋅ 5 ⋅17 = 170 . 207. а) НСК ( a , b ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 ; б) НСК ( a , c ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 ; в) НСК ( a , b , c ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 . 208. При a = b , тому що НСК ( a , a ) = a ; НСД ( a , a ) = a ; НСД ( a , b ) ⋅ НCК ( a , b ) = ab ; a ⋅ a = a ⋅ a ; a2 = a2 .
23
209. а) НСК (124 , 684 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅19 ⋅ 31 = 21 204 ; 124 = 2 ⋅ 2 ⋅ 31 ; 684 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅19 ;
МАТЕМАТИКА
б) НСК ( 936 , 748 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅11 ⋅13 ⋅17 = 175 032 936 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅13 ; 748 = 2 ⋅ 2 ⋅11 ⋅17 ; в) НСК ( 320 , 360 , 720 ) = 26 ⋅ 32 ⋅ 5 = 2880 320 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ; 360 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
720 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
г) НСК (132 , 198 , 275 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅11 = 9900 132 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅11 ; 198 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅11 ;
275 = 5 ⋅ 5 ⋅11 .
2
2
2
210. а) НСК ( 936 , 1404 ) < НCК ( 936 , 748 ) ; НСК ( 936 , 1404 ) = 23 ⋅ 33 ⋅13 = 2808 ; 936 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅13 ; 1404 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅13 ; НСК ( 936 , 748 ) = 23 ⋅ 32 ⋅11 ⋅13 ⋅17 = 175 032 ; 748 = 2 ⋅ 2 ⋅11 ⋅17 ; 936 = 23 ⋅ 32 ⋅13 ;
211. 130 = 2 ⋅ 5 ⋅13 .
.n
et
б) НСК (124 , 648 ) = 20 088 > НCК ( 648 , 972 ) = 1944 ; НСК (124 , 648 ) = 23 ⋅ 34 ⋅ 31 = 20 088 ; 124 = 2 ⋅ 2 ⋅ 31 ; 648 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 23 ⋅ 34 ; 3 5 НСК ( 648 , 972 ) = 2 ⋅ 3 = 1944 ; 972 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 22 ⋅ 35 ; 648 = 23 ⋅ 34 .
ld z
212. 120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 .
213. НСК ( 2 , 3 , 5 ) = 30 (дм) — за умови рівної кількості шматків кожної довжини ( 3 ⋅ 2 дм, 3 ⋅ 3 дм і 3 ⋅ 5 дм), але якщо взяти ще 3 ⋅ 3 дм, то довжина дроту буде 3,90 м. 214. НСК = 6, для (1, 6), (2, 6), (3, 6), (2, 3), (6, 6) — 5 пар.
al
215. НСК = 30 для (1, 30), (2, 30), (3, 30), (5, 30), (6, 30), (10, 30), (15, 30), (30, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 10), (6, 15), (10, 15) — 14 пар. 216. а) НСК (36, 48) · НСД (36, 48) = 36 · 48 = 1728; НСК ( 36 , 48 ) = 24 ⋅ 32 = 144 ; 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ; 48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ; НСД ( 36 , 48 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 ; 144 ⋅12 = 1728 ; б) НСК (14, 24) · НСД (14, 24) = 14 · 24 = 336; НСК (14 , 24 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 ; 1 = 2 ⋅7 ; 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ; НСД (14 , 24 ) = 2 168 ⋅ 2 = 336 .
217. НСК (2, 3, 5) = 30 (підручників). 218. а) Так, тому що НСК (3, 5) = 15;
24
б) Ні, тому що НСК (6, 8) = 24.
219. НСК (6, 15) = 30; 30 : 6 = 5 (обертів). 220. а) 4, 25 − 3, 7 ( 2, 6 − 1, 1) = 4, 25 − 3, 7 ⋅1, 5 = 4, 25 − 5, 55 = − 1, 3 ;
(
)
2⎞ 2 1 1 1 2 ⎛2 ⎞ ⎛ в) 4 − ⎜ + 2⎟ + ⎜ 2 − ⎟ = 4 − 2 + 1 = 1 + 1 = 2 ; ⎝3 ⎠ ⎝ 3 3 3 3⎠ 3 3 г) 2
3 3 3 3 1 1 + 2 + 2 + 2 = 5 + 5 = 11 . 2 2 4 4 4 4
221. P = 4a + a + 3a + a + a + 2a = 12a , S = 3a ⋅ a + 2a ⋅ a = 3a2 + 2a2 = 5a2 . 3 , тому що знаменник 10 > 8 . 8
222. 0, 3 <
7 3 10 2 1 + = =1 =1 ; 4 3 8 8 8 7 3 4 2 − = = ; 8 8 8 4
1
1 2 3 − = . 4 4 4
et
223.
МАТЕМАТИКА
б) 3, 22 − 0, 12 + 2, 32 = 10, 24 − ( 0, 01 + 5, 29 ) = 10, 24 − 5, 3 = 4, 94 ;
224. α = 90° , β = x , γ = 2x
x = 90 : 3 = 30 ,
ld z
β = 30° ; γ = 60° .
.n
90 + x + 2x = 180 , 3x = 180 − 90 = 90 ,
al
225. α = 60° ; β = x + 20 ; γ = x 60 + x + 20 + x = 180 , 2x = 100 , x = 100 : 2 = 50 , β = 70° ; γ = 50° .
Самостійна робота № 1
1.
11, 13, 17, 19.
2.
420 210 105 35 7 1
3.
НСД (42, 56) = 2 · 7 = 14
Варіант 1
2 2 3 5 7
42 2 21 3 7 7 1
56 28 14 7 1
2 2 2 НСК 7
( 42 ,
56 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 .
25
МАТЕМАТИКА
4.
НСД (52, 78) = 2 · 13 = 26; x = 26 . 52 2 26 2 13 13 1
78 39 13 1
5.
13 ⋅ 7 = 91 .
6.
30 2 15 3 5 5 1
2 3 13 1
1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 = 72 .
Варіант 2 1.
23, 29.
2.
280 140 70 35 7 1
et .n
НСД (52, 39) = 13; x = 13 52 2 39 3 26 2 13 13 13 13 1 1
al
4.
НСД (28, 42) = 14; НСК ( 28 , 42 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 28 2 42 2 14 2 21 3 7 7 7 7 1 1
ld z
3.
2 2 2 5 7
5.
13 ⋅ 8 = 104 .
6.
70 2 35 5 7 7 1
1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 + 70 = 144 .
Варіант 3
26
1.
31, 37.
2.
540 270 135 45 15 5 1
2 2 3 3 3 5
НСД (88, 121, 484) = 11 121 11 88 2 11 11 44 2 22 2 1 11 11 1 НСК
4.
( 88 ,
488 242 121 11 1
2 2 11 11
МАТЕМАТИКА
3.
121 , 484 ) = 23 ⋅112 = 968 .
НСК ( 9 , 21) = 33 ⋅ 72 = 63 9 = 3 ⋅ 3 ; 21 = 3 ⋅ 7 ; x1 = 63 ⋅ 2 = 126 ; x2 = 63 ⋅ 3 = 189 .
5.
17 ⋅ 6 = 102 .
6.
60 30 15 5 1
1.
42, 44, 45, 46, 48, 49.
2.
2200 1100 550 275 55 11 1
3.
НСД (42, 56, 70) = 2 · 7 = 14 70 42 2 56 2 35 21 3 28 2 7 7 7 14 2 7 7 1 1 1 НСК ( 42 , 56 , 70 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 840 ;
1 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 + 12 + 20 + 15 + 30 + 60 = 164
et
2 2 3 5
al
ld z
2 2 2 5 5 11
.n
Варіант 4
4.
НСК
2 5 7
840 − 14 = 826 .
( 8 , 14 ) = 23 ⋅7 = 56 ;
x2 = 56 ⋅ 3 = 168 ; x1 = 56 ⋅ 2 = 112 ; 8 = 2⋅2⋅2 ; 14 = 2 ⋅ 7 . 5.
42 2 21 3 7 7 1
1003 17 59 59 1
6.
50 2 25 5 5 5 1
1 + 2 + 5 + 10 + 25 + 50 = 93 .
(1003 і 42)
27
Завдання в тестовій формі
Типові задачі 1.
а) б) в) г)
2.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 15 .
3.
а) 210 105 35 7 1
47; 44, 46, 48, 50; 50; 45, 48.
2 3 5 7
б) 1260 630 315 105 35 7 1
2 2 3 3 5 7
а) НСД (72 , 88 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 ; 72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
88 44 22 11 1
et
43, 42, 45, 42,
.n
4.
41, 40, 40, 39,
2 2 2 11
ld z
МАТЕМАТИКА
1. в). 2. в). 3) б). 4. а). 5. б). 6. б). 7. в). 8. б). 9. г). 10. в) (у підручнику помилка: це найменше загальне кратне).
б) НСК (72 , 88 ) = 23 ⋅ 32 ⋅11 = 792 . НСК (175 , 280 ) = 23 ⋅ 52 ⋅ 7 = 1400
al
5.
НСД (175 , 280 ) = 5 ⋅ 7 = 35 175 5 35 5 7 7 1
280 140 70 35 7 1
2 2 2 5 7
НСК (175, 280) – НСД (175, 280) = 1400 – 35 = 1365. 6.
а) НСК б) НСД
28
(a , (a ,
b , c ) = 25 ⋅ 35 ⋅ 54 = 4 900 000 ; b , c ) = 22 ⋅ 33 ⋅ 52 = 2700 .
7.
102, 120, 210, 100, 110, 112, 122, 222, 200, 212, 202.
8.
а) 3 ⋅ 40 = 120 ; б) 5 ⋅ 9 ⋅ 2 = 90 .
НСД ( 320 , 280 , 200 ) = 23 ⋅ 5 = 40 (подарунків) 320 160 80 40 20 10 5 1
10.
280 140 70 35 7 1
2 2 2 2 2 2 5
200 100 50 25 5 1
2 2 2 5 7
2 2 2 5 5
МАТЕМАТИКА
9.
НСК = 10 для (1, 10), (2, 10), (5, 10), (2, 5), (10, 10).
Розділ 2. Звичайні дроби § 7. Звичайні дроби з однаковими знаменниками 2 4 1 2 + 4 +1 7 1 + + = = =2 ; 3 3 3 3 3 3
235. а)
2 4 3 2+4−3 3 + − = = ; 5 5 5 5 5
236. а)
5 2 4 5−2+4 7 − + = = ; 9 9 9 9 9
б)
237. а)
8 4 2 1 5 − + − = ; 13 13 13 13 13
б)
б)
5 3 6 5+3−6 2 1 + − = = = . 8 8 8 8 8 4
.n
7 1 5 7 − 1 + 5 11 − + = = . 12 12 12 12 12
6 5 4 5 2 + − − = . 11 11 11 11 11
3 23 8 13 ; 0, 23 = ; 0, 08 = ; 0, 13 = . 10 100 100 100
al
8 > 0, 3 ; 10
в) 0, 07 <
240. а) 0, 5 +
б)
7 ; 10
2 > 0, 15 ; 10
г) 1, 2 =
3 = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8 ; 10
в) 2, 77 +
б)
12 . 10
7 + 0, 12 = 0, 07 + 0, 12 = 0, 19 ; 100
23 = 2, 77 + 0, 23 = 3 . 100
241. а) 0, 8 −
7 = 0, 1 ; 10
б)
242. а) 1, 3 +
3 = 1, 6 ; 10
б) 2, 7 −
243.
7 2 1 7 + 2 + 1 10 + + = = . 12 12 12 12 12
ld z
238. 0, 3 =
239. а)
б)
et
234. а)
2 3 4 5 6 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6
43 − 0, 27 = 0, 16 ; 100
в) 3, 89 −
7 =2; 10
в) 2, 3 −
19 = 3, 7 . 100
23 = 2, 07 . 100
29
2 2 2 2 3 3 3 3 5 5 5 5 6 6 6 6 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 2 3 5 6 2 3 5 6 2 3 5 6 2 3 5 6
МАТЕМАТИКА
Правильні:
2 2 2 3 3 5 ; ; ; ; ; . 3 5 6 5 6 6
Неправильні:
245. 2
2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 3 5 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 5 ; 3 5 6 5 6 6 3 5 6 6 5 6 3
5 246. а)
2 3 3 5 5 5 6 6 6 6 ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 2 2 3 2 3 5 2 3 5 6
2 2 3 3 5 2 2 2 3 3 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 . 5 6 5 6 6 3 5 6 5 6 6 3 <1 ; 8
г) 1 <
б)
15 ; 12
247. I м. — x II м. — 2x
9 >1 ; 8
ґ) 1 =
17 ; 17
} 87,6 кг
1 <1 ; 12
д)
8 >3 . 2
.n
2x + x = 87, 6 , 3x = 87, 6 ,
в)
et
244.
x = 87, 6 : 3 = 29, 2 (кг) — більше в II мішку.
} 12,3
ld z
248. I ч. — x + 4, 1 II ч. — x
x + x + 4, 1 = 12, 3 , 2x = 12, 3 − 4, 1 , 2x = 8, 2 ,
al
x = 8, 2 : 2 = 4, 1 — I ч.
4, 1 + 4, 1 = 8, 2 — II ч.
8, 2 : 4, 1 = 2 (рази) I ч. довша за II ч.
249. а) 35 ⋅ 0, 2 = 7 (км); в) 50 ⋅ 0, 2 = 10 (л);
250. а) 40 ⋅ 0, 3 = 12 (м);
б) 42 ⋅ 0, 2 = 8, 4 (кг); г) 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4 (га). б) 600 ⋅ 0, 3 = 180 (г);
в) 10 ⋅ 0, 3 = 3 (год). 251. а) 60 : 20 = 3 (рази);
б) 85 ⋅ 0, 6 = 51 , 85 ⋅ 0, 3 = 25, 5 , 51 − 25, 5 = 25, 5 .
252. b = a + 0, 5a = 48 + 0, 5 ⋅ 48 = 48 + 24 = 72 , P = ( 48 + 72 ) ⋅ 2 = 120 ⋅ 2 = 240 (см),
30
S = 48 ⋅ 72 = 3456 (см2).
2
1
3
Розрізати по горизонталі на дві рівні по висоті частини, потім нижню частину розрізати на дві рівні частини по вертикалі й скласти з боків верхньої частини.
2 3
§ 8. Основна властивість дробу 259.
3 7 19 19 37 43 = 0, 3 ; = 0, 7 ; = 1, 9 ; = 0, 19 ; = 0, 37 ; = 4, 3 ; 10 10 10 100 100 10
МАТЕМАТИКА
253.
139 3 = 1, 39 ; = 0, 003 . 100 1000 7 9 23 15 12 225 ; 0, 9 = ; 0, 23 = ; 0, 015 = ; 1, 2 = ; 2, 25 = ; 10 10 100 1000 10 100 307 . 100
.n
3, 07 =
261.
et
260. 0, 7 =
8 17 1 24 43 54 = 8:9 ; = 17 : 19 ; = 1 : 32 ; = 24 : 97 ; = 43 : 8 ; = 54 : 45 ; 9 19 32 97 8 45
ld z
23 102 103 = 23 : 1 ; = 102 : 103 ; = 103 : 102 . 1 103 102
7 8 13 14 35 ; 8 : 9 = ; 13 : 17 = ; 14 : 27 = ; 35 : 100 = ; 10 9 17 27 100 27 27 : 200 = . 200
262. 7 : 10 =
4 6 16 26 ; ; ; . 2 3 8 13
264.
6 9 33 45 ; ; ; . 2 3 11 15
al
263.
265. а)
13 >2 ; 5
б)
13 <3 ; 5
в) 4 <
17 ; 4
2 2 2 1 =4 − =4 ; 3 3 5 3
г) 5 <
21 . 4
266. а) 2 −
1 2 1 1 =1 − =1 ; 2 2 2 2
б) 5 −
в) 8 −
8 9 8 1 =7 − =7 ; 9 9 9 9
г)
17 12 1 1 −3 = 4 −3 =1 ; 4 4 4 4
д)
36 1 1 −2 =7 −2 =5 ; 5 5 5
ґ) 12 −
17 60 17 43 3 = − = =8 ; 5 5 5 5 5
є) 34 −
3 4 3 1 = 33 − = 33 ; 4 4 4 4
ж) 15 −
7 10 7 3 = 14 − = 14 = 14, 3 . 10 10 10 10
31
267. За умови, що знаменник дорівнює 1.
25 30 75 = 0, 25 ( м ) ; 30 см = = 0, 3 ( м ) ; 75 см = = 0, 75 ( м ) . 100 100 100
269. 6 год =
6 1 = 24 4
( доби ) ;
12 год =
12 1 = 24 2
( доби ) ;
8 год =
8 1 = 24 3
( доби ) ;
18 год =
18 3 = 24 4
( доби ) .
270. 6 хв =
6 1 = = 0, 1 год ; 60 10
12 хв =
0
12 1 = год ; 60 5 1 3
2 3
2 6
4 6
8 хв =
18 хв =
1
273.
1 2 1 3 1 2 2 4 = ; = ; = ; 2 =2 . 3 6 2 6 3 6 3 6
ld z
1 5 3 6 8 20 = ; = ; = . 2 10 5 10 4 10
б)
5 x = 7 14
al
x 2 = 3 6
275. а) б)
32
6x = 2 ⋅ 3
7x = 14 ⋅ 5
6 x = =1 ; 6
x=
x +1 3 = 2 6 2⋅3 x +1 = 6 6 x = −1 = 0 ; 6
2
1 5
1 10
.n
2
272.
г)
18 3 = = 0, 3 год . 60 10
2
271.
274. а)
8 2 = год ; 60 15
et
МАТЕМАТИКА
268. 25 см =
40 18 6 = 40 ; = 18 ; =6 . 1 1 1
ґ)
в)
12 1 = x 2 12 ⋅ 2 x= = 24 ; 1
70 = 10 ; 7
x−2 4 = 12 3 12 ⋅ 4 x−2 = 3 x = 16 + 2 = 18 ;
д)
x + 2 15 = 6 18 15 ⋅ 6 x+2= 18 x =5−2 = 3 .
2 8 ⋅ 40 = 16 ( ц ) ; ⋅ 40 = 8 ( ц ) < 5 20 2 4 ⋅ 90 = 60 ( хв ) = ⋅ 90 = 60 ( хв ) . 3 6
276. AB = AK + KP + PB = c ; AK = KP = PB =
1 2 c ; AP = KB = c . 3 3
3 x
278. а) 3, 4 + 2, 5 ⋅ ( 5, 7 − 3, 3 ) = 3, 4 + 2, 5 ⋅ 2, 4 = 3, 4 + 6 = 9, 4 ;
б) 14, 8 − ( 3, 8 − 2, 9 ) : 0, 3 = 14, 8 − 0, 9 : 0, 3 = 14, 8 − 3 = 11, 8 ;
в) 0, 5 + 0, 52 + 0, 53 = 0, 5 (1 + 0, 5 + 0, 25 ) = 0, 5 ⋅1, 75 = 0, 875 ; г) 1, 2 + 1, 22 − 1, 23 = 1, 2 (1 + 1, 2 − 1, 44 ) = 1, 2 − 0, 76 = 0, 44 . б) 3, 2 ⋅ ( x + 0, 5 ) = 6, 4 , x + 0, 5 = 6, 4 : 3, 2 , x + 0, 5 = 2 , x = 2 − 0, 5 , x = 1, 5 ;
et
279. а) 2, 5x + 3, 2 = 13, 2 , 2, 5x = 13, 2 − 3, 2 , 2, 5x = 10 , x = 10 : 2, 5 , x=4 ;
г) ( 2 − 3x ) ⋅ 0, 5 = 0 , 2 − 3x = 0 , 3x = 2 , 2 x= . 3
в) 5, 4 + 3x = 9, 9 , 3x = 9, 9 − 5, 4 , 3x = 4, 5 ,
.n
x = 4, 5 : 3 , x = 1, 5 ;
МАТЕМАТИКА
277. S = AB ⋅ BC ; 1 1 1 1 SKBPO = AB ⋅ BC = AB ⋅ BC = S ; 2 2 4 4 1 3 SAKOPCD = S − S = S . 4 4
2 2− 8 2 2 6 3 3 9 3 7 − 7
3024 = 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
al
282. 3024 1512 756 378 189 63 21 7 1
ld z
281. Непарним може бути тільки добуток двох непарних натуральних чисел. Виходить, сума цих чисел буде парною.
283. ( 36, 5 ⋅ 0, 5 ) − ( 30, 5 ⋅ 0, 5 ) = 18, 25 − 15, 25 = 3 км; ( 36, 5 ⋅ 2) − ( 30, 5 ⋅ 2) = 73 − 61 = 22 км.
§ 9. Скорочення дробів 3
54 3 288. = 72 4 4 54 27 9 3 1
2 3 3 3
72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
СД (54, 72) = 2, 3, 6, 9, 18. НСД (54, 72) = 18.
33
289. НСД (42, 140) = 2 • 7 = 14
МАТЕМАТИКА
3
42 2 21 3 7 7 1
140 70 35 7 1
6
290.
42 3 = 140 10 10
2 2 5 7
1
1
4
2
15
12 6 13 1 4 1 40 4 40 2 75 15 = ; = ; = ; = ; = ; = ; 14 7 7 39 3 3 40 10 10 30 3 3 60 3 3 70 14 14 1
67
3
22
11 1 402 67 333 3 198 22 = ; = ; = ; = . 204 34 33 3 3 444 4 4 909 101 101 1
291.
3
4
3
7
5
12 1 24 3 72 4 81 3 98 7 120 5 = ; = ; = ; = ; = ; = ; 72 6 6 40 5 5 90 5 5 54 2 2 42 3 3 144 6 6 3
5
7
15
5
45
15
12
6
3
27
9
3
30 15 5 24 12 6 3 54 27 9 3 = = ; = = = ; = = = ; 42 21 21 7 7 56 28 28 14 14 7 7 90 45 45 15 15 5 5 5
.n
292.
et
138 3 315 5 224 7 = ; = ; = . 184 4 4 378 6 6 288 9 9
27
7
42
21
7
ld z
90 45 15 5 81 27 7 84 42 21 7 = = = ; = = ; = = = ; 72 36 36 12 12 4 4 54 18 18 6 6 120 60 60 30 30 10 10 100
50
25
5
9
3
81
27
7
200 100 50 25 5 162 81 27 7 = = = = ; = = = ; 240 120 120 60 60 30 30 6 6 270 135 135 45 45 15 15 81
27
al
243 81 27 9 3 = = = = . 810 270 270 90 90 30 30 10 10 2
293.
5
10
2
5
3
93 93 115 5 690 3 = ; = . = ; 115 115 4 92 4 920 4 4
294. 2 ⋅ 2 ⋅11 = 44 . 295. а)
34
5
47
10 2 25 5 30 10 66 2 65 94 47 = ; = ; = ; = ; =5 ; = ; 15 3 3 35 7 7 66 22 22 99 3 3 13 1 144 72 72
16 42 132 150 44 ; ; ; ; ; 28 56 32 364 66
б)
18 108 411 54 6 ; ; ; ; ; 27 810 222 303 36
в)
40 15 400 375 20 ; ; ; ; ; 115 25 800 245 100
г)
45 126 108 432 540 ; ; ; ; . 99 315 72 801 495
2
1
3
1
4 2 5 1 6 3 25 1 = ; 0, 5 = = ; 0, 6 = = ; 0, 25 = = ; 10 5 5 10 2 2 10 5 5 100 4 4 3
9
2
0, 75 =
75 3 45 9 8 2 = ; 0, 45 = = ; 0, 08 = = ; 100 4 4 100 20 20 100 25 25
0, 05 =
5 1 125 = ; 0, 125 = . 100 20 20 100 8
1
1
1
297. а)
2⋅ 3 ⋅ 5 2 = ; 3 1 ⋅ 5 1 ⋅7 7
б)
298. а)
20 40 = , x 6
б)
3
x=
5
1
в)
3
ld z г)
17 160 16 > = . 10 100 10 10
2 2 3 = = =1 ; 3 63 3 1
3
300 ⋅ 5 , 100 x = 15 . x=
1
б)
2 3 4 + = ; 10 5 5 5
г)
300 40 301 + = = 3, 01 . 100 400 100 100
2
3 4 1 2 3 + = + = =1 ; 93 63 3 3 3 1
302. а)
5 x = , 100 300
16
al
4 10 5 < = ; 6 12 6 6
113 ⋅ 5 , 65 5
3
3 27 3 = = ; 5 45 5 5
1
в)
,
б)
5
301. а)
x=
6 x = , 50 25
x=
1
1 3 1 = = ; 2 62 2
65 5 = , 13 x
x =1 ;
25 ⋅ 6 50 2 x=3 ;
45 , 91 x =5 ;
в)
30 ⋅ 10 , 100 10
.n
б)
x=
300. а)
в)
3
26 ⋅ 45 =6 . 3 1 ⋅ 5 1 ⋅ 13 1
3
x=
x=3 ;
x 1 = , 45 9
2
в)
30 x = , 100 10
1
6 ⋅ 20 , 40 2
x=3 ; 299. а)
1
2 ⋅ 7 ⋅19 = 1, 9 ; 7 1 ⋅ 20 10
et
1
1
МАТЕМАТИКА
296. 0, 4 =
1
1
3 2 3 1 2 1 − = − = = ; 8 16 8 8 8 8 4 4 1
б)
3 2 3 1 2 − = − = =1 ; 2 42 2 2 2
в)
5 3 1 1 − = ⋅ =0 ; 10 2 6 2 2 2
г)
2 3 2 1 1 − = − = = 0, 1 . 10 30 10 10 10 10
1
1
1
35
12 ⋅ 5 − 12 ⋅ 2 12 (5 − 2 ) 3 = ; = 48 4 48 4 1
303. а)
1
МАТЕМАТИКА
б)
20 − 1 19 1 = = 0, 1 . = 19 ⋅ 8 + 19 ⋅ 2 19 1 ( 8 + 2 ) 10
304. а) a = b = б) a =
305. a = b =
2 1 1 1 м ; P= ⋅1 = м; 2 8 82
1 1 1 1 1 2 1 3 м ; b = м ; P = 2⋅ + 2 ⋅ = + = =1 м . 3 6 3 63 3 3 3
1 5 1 5 1 5 1 6 м ; c= м; P= 2 ⋅ + = + = =2 м . 6 3 63 3 3 3 3 1
1
77 1 = ; 1001 13 13
б)
1
13
143 1 = ; 1001 7 7
307. а) 2x + 15
г)
169 13 = . 1001 77 77
.n
в)
91 1 = ; 1001 11 11
et
306. а)
2 ⋅ 0, 7 + 15 = 1, 4 + 15 = 16, 4 2 ⋅1, 8 + 15 = 3, 6 + 15 = 18, 6
ld z
2 ⋅ 35, 8 + 15 = 71, 6 + 15 = 86, 6 ;
б) 3y − 4, 5
3 ⋅ 3, 2 − 4, 5 = 9, 6 − 4, 5 = 5, 1
3 ⋅ 4, 7 − 4, 5 = 14, 1 − 4, 5 = 9, 6
3 ⋅1, 5 − 4, 5 = 0 .
al
308. 20 квадратів.
309. P = ( 21 + 7 ) ⋅ 2 = 28 ⋅ 2 = 56 см a = 56 : 4 = 14 см .
310. У підручнику помилка в одиницях виміру: або обидві сторони в см, або в дм, інакше сторона квадрата 1960 . S = 28 ⋅ 7 = 196 (дм2 або см2); a = S = 196 = 14 (дм або см).
311. 0,5 год = 30 хв;
1 1 год = 60 = 15 хв 4 4
30 − 15 = 15 хв 1 1 год = ⋅ 60 = 12 хв 5 5
36
30 − 12 = 18 хв.
312. I — x + 300 II — x III — x + 300 + 200
}
1400
x = 600 : 3 = 200 т — во II; x + 300 = 200 + 300 = 500 т — в I; x + 500 = 200 + 500 = 700 т — в III.
§ 10. Зведення дробів до спільного знаменника 1 2 3 7 = = = . 6 12 18 42
317. а)
б)
3 12 1 5 = , = ; 5 20 4 20
7 14 1 = , ; 4 8 8
г)
2 20 8 = , . 3 30 30
et
в)
1 3 2 4 = , = ; 2 6 3 6
.n
316. а)
3 6 5 2 6 5 3 12 5 = , ; = , ; = , ; 4 8 8 3 9 9 2 8 8
б)
4 16 7 21 1 5 3 6 2 4 5 15 = , = ; = , = ; = , = ; 9 36 12 36 4 20 10 20 9 18 6 18
в)
7 14 9 3 6 4 8 40 14 42 = , ; = , ; = , = ; 13 26 26 23 46 46 15 75 25 75
г)
3 15 3 21 2 8 7 35 5 35 3 9 = , = ; = , = ; = , = . 7 35 5 35 15 60 12 60 6 42 14 42
al
ld z
315.
МАТЕМАТИКА
x + x + 300 + x + 300 + 200 = 1400 , 3x = 1400 − 800 = 600 ,
1 4 1 2 1 = , = , ; 2 8 4 8 8
б)
1 6 2 8 3 27 = , = , = ; 6 36 9 36 4 36
в)
5 25 4 16 3 18 = , = , = ; 12 60 15 60 10 60
г)
1 5 3 6 7 = , = , ; 2 10 5 10 10
ґ)
3 9 1 2 5 25 = , = , = ; 10 30 15 30 6 30
д)
1 7 2 12 3 27 = , = , = . 18 126 21 126 14 126
2 8 3 9 = < = ; 3 12 4 12
б)
5 25 4 24 = > = ; 6 30 5 30
1 19 12 36 = < = ; 3 57 19 57
г)
81 162 161 = > . 85 170 170
3 9 2 10 = < = ; 5 15 3 15
б)
7 63 8 64 = < = ; 8 72 9 72
12 48 16 48 = = = ; 15 60 20 60
г)
13 39 39 = = . 14 42 42
318. а)
319. а) в)
320. а) в)
37
321. а)
322. а)
б)
5 40 5 35 = > = ; 7 56 8 56
9 99 10 100 = < = ; 10 110 11 110
г)
24 216 27 216 = = = . 56 504 63 504
1 2 1 3 2 4 < , = < = ; 2 3 2 6 3 6
б)
4 3 4 16 3 15 > , = > = ; 5 4 5 25 4 25
в)
8 9 8 88 9 81 > , = > = ; 9 11 9 99 11 99
г)
12 12 > , тому що знаменник 35 < 37 , а чисельники рівні. 35 37
323. а)
3 75 74 = > 0, 74 = ; 4 100 100 3
et
МАТЕМАТИКА
в)
2 14 3 15 = < = ; 5 35 7 35
1 5 15 3 6 = < 0, 15 = = = ; 8 40 100 20 20 40
в)
1 10 3 9 ; = > 0, 3 = = 3 30 10 30
25 1 1 = > , тому що чисельники рівні, а знаменник 4 < 5 . 100 4 5
ld z
г) 0, 25 =
.n
б)
7 1 6 1 5 1 4 1 = 1− ; =1− ; =1− ; = 1− ; 8 8 7 7 6 6 5 5 тобто чим менше число, що віднімається від 1 1 1 2 3 4 5 > > … > , то ; ; ; ; Тому що 3 4 8 3 4 5 6
al
324. а)
3 1 2 1 = 1− ; =1− — 4 4 3 3 1, тим більше результат. 6 7 ; . 7 8
6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 11 10 =1 ; =1 ; =1 ; =1 ; =1 ; =1 − ; ; 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10 9 9 8 7 6 ; ; ; — при рівних чисельниках, більше число, в якого 8 7 6 5 менший знаменник. б)
325. а)
326.
9 350 ⋅ 9 3150 = = ; 6 2100 2100 1
38
1 4 4 8 3 24 = ; б) = ; в) = . 2 8 5 10 5 40
2 5 700 ⋅ 5 3500 = = = ; 3 3 2100 2100
1, 59 =
159 21 ⋅159 3339 = = ; 100 2100 2100
10 300 ⋅10 3000 = = ; 7 2100 2100 1
3 7 525 ⋅ 7 3675 = = = ; 4 4 2100 2100
1, 6 =
160 21 ⋅160 3360 = = . 100 2100 2100
НСК ( 6 , 7 , 3 , 4 , 100 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 50 = 2100
1
327.
3 2 9 10 ; 1 ; 1,6; 1,59; ; . 4 3 6 7
3 18 36 6 1 6 = = . =1 = ; 1 15 15 30 5 5 5
328. Щоб привести дроби до спільного знаменника, треба знайти НСК (a, b), де a, b — знаменники дробів. Для простих чисел НСК ( a , b ) = a ⋅ b , тому що їх НСД ( a , b ) = 1 .
МАТЕМАТИКА
6 = 2 ⋅ 3 ; 4 = 2 ⋅ 2 ; 100 = 2 ⋅ 50 ; 7; 3
2 3 і НСК (13 , 11) = 13 ⋅11 = 149 . 13 11 2 22 3 39 1 4 1 19 4 68 = ; = ; і ; = ; = 13 143 11 149 17 19 17 323 19 323
Наприклад:
et
НСК (17 , 19 ) = 17 ⋅19 = 323 .
.n
329. Вірно, тому що НСД і НСК можна знайти і для трьох чисел. 1 5 1 3 1 2 = ; = ; = . НСК ( 6 , 10 , 15 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 . 6 30 10 30 15 30 6 = 2 ⋅ 3 ; 10 = 2 ⋅ 5 ; 15 = 3 ⋅ 5 .
ld z
330. Знаменник — це дільник числа, тому чим менше число, на яке ділиться число, тим більший результат ділення. 30 30 30 30 = 10 ; = 15 ; =6; =5 . 3 2 5 6 5 35 7 28 = > = . 8 56 14 56
al
331.
332.
2 14 3 9 = > = . 8 56 14 56 x , 3 x = 2⋅3 ,
333. а) 2 =
x , 5 x = 3⋅5 ,
б) 3 =
x=6 ; x , 6 x = 12 ⋅ 6 ,
в) 12 =
x = 15 ; x , 13 x = 13 ⋅13 ,
г) 13 =
x = 72 ;
x = 169 .
334. а) 0, 6 ⋅1000 = 600 ;
б) 46, 8 ⋅ 0, 6 = 28, 08 ;
в) 0, 6 ⋅ 0, 3 = 0, 18 ; 335. а)
15 = 50 ; 0, 3
г) 0, 6 ⋅ 0 = 0 . б)
3 = 10 ; 0, 3
в)
0, 6 =2. 0, 3
39
336. 0, 3 ⋅150 = 45 0, 4 ⋅120 = 48
МАТЕМАТИКА
48 − 45 = 3 337. b = 0, 2 ⋅ 0, 4 + 0, 4 = 0, 48 , a = 0, 4 м, c = 0, 3 ⋅ 0, 4 + 0, 4 = 0, 52 , P = 0, 4 + 0, 48 + 0, 52 = 1, 4 м. 338. 25 + x = 100 , x = 100 − 25 = 75 , 75 : 25 = 3 (рази). 339. Травень — 3 дні; липень — 30 днів; липень — 31 день. 3 + 30 + 31 = 64 75 − 64 = 11 серпня.
et
340. 2x + 26 = 84 , 2x = 84 − 26 , 2x = 58 ,
.n
x = 58 : 2 = 29 .
341. S = 3 ⋅ 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 + 12 + 16 = 52 см2;
ld z
V = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 см3.
§ 11. Додавання і віднімання дробів
1\3 1\2 3 + 2 5 + = = ; 2 3 6 6
б)
1\5 1\2 5 + 2 7 + = = ; 2 5 10 10
1\5 1\3 5 + 3 8 + = = ; 3 5 15 15
г)
1 1 6 + 5 11 + = = ; 5 6 30 30
1 1 3 + 7 10 + = = ; 7 3 21 21
д)
1\12 1\13 2 + 13 15 + = = . 13 2 26 26
346. а)
1\3 1 3 − 1 2 1 − = = = ; 2 6 6 6 3
б)
3\2 1\5 6 − 5 1 − = = ; 5 2 10 10
в)
4\3 1\7 12 − 7 5 − = = ; 7 3 21 21
г)
5\3 1\8 15 − 8 7 − = = ; 8 3 24 24
ґ)
6\3 2\7 18 − 14 4 − = = ; 7 3 21 21
д)
10\2 1\11 20 − 11 9 − = = . 11 2 22 22
5\5 3\3 25 + 9 34 + = = ; 6 10 30 30
б)
5\2 3 10 − 3 7 1 − = = = ; 7 14 14 14 2
3\3 1\2 9 + 2 11 + = = ; 8 12 24 24
г)
5\5 1\3 25 − 3 22 − = = ; 19 15 45 45
345. а)
al
в) ґ)
347. а) в)
40
д)
5\2 4\2 15 − 8 7 − = = . 6 9 18 18
13\3 11\11 169 − 121 48 − = = ; 11 13 143 143
б)
1\5 7\2 5 + 14 19 + = = ; 6 15 30 30
в)
23\3 2\2 69 − 4 65 − = = ; 6 9 18 18
г)
1\5 4\4 5 + 16 21 7 + = = = ; 12 15 60 60 20
ґ)
1\3 2\2 3 + 4 7 + = = ; 10 15 30 30
д)
8\8 7\7 64 − 49 15 − = = . 7 8 56 56
349. а) 3 б) 2 в)
4\2 1\3 8+3 11 + = 3+ =3 ; 9 6 18 18 2\3 5 6−5 1 − = 2+ =2 ; 3 9 9 9
3\2 3 3+6 9 1 +1 = 1+ =1 = 2 ; 8 8 8 4 8
et
348. а)
5 3\2 13 − 6 7 − = = ; 8 4 8 8
ґ) 2
1 5 7\2 5 14 − 5 9 3 1 − = − = = = =1 ; 3 6 3 6 6 6 2 2
ld z
.n
г) 1
д)
МАТЕМАТИКА
5\2 1\7 10 − 7 3 − = = ; 14 4 28 28
ґ)
6 1 6\8 9\5 48 − 45 3 −1 = − = = . 5 8 5 8 40 40
1 9 36\2 9 72 − 9 63\9 9 1 − = − = = = =4 ; 7 14 7 14 14 14\2 2 2
al
350. а) 5
б) 3
в)
1\3 5 3+5 8 + = 3+ =3 ; 6 18 18 18
13 1 13\3 4\5 39 − 20 19 4 −1 = − = = =1 ; 5 3 5 3 15 15 15
г) 12
ґ) 4
д)
5 3 5\7 3\2 35 + 6 41 −8 = 12 − 8 + − = 4+ =4 ; 8 28 8 28 56 56
2 3 2\4 3\3 8−9 1 11 −3 =1+ − =1+ =1− = ; 3 4 3 4 12 12 12
34 1 34\4 45\3 136 − 135 1 − 11 = − = = 3 4 3 4 12 12 або 11
1 1 1\4 1\3 4 − 3 1 − 11 = − = = . 3 4 3 4 12 12
41
МАТЕМАТИКА
351. а) 0, 5 −
1 5\3 1\10 15 − 10 5 1 = − = = = ; 3 10 3 30 30 6
б) 0, 3 +
5 3\3 5\5 9 + 25 34 4 = + = = =1 ; 6 10 6 30 30 30
в) 1, 7 +
7 17\9 7\10 153 + 70 223 43 = + = = =2 ; 9 10 9 90 90 90
г) 1, 8 − 1
1 18\2 5\5 36 − 25 11 = − = = ; 4 10 4 20 20
ґ) 0, 25 + 3 д)
3 1 3 3 25 = +3 = +3 = 4 ; 4 4 4 4 100 4
2 2\10 23\3 20 + 69 89 29 + 2, 3 = + = = =2 . 3 3 10 30 30 30
1 3 4 1 3 4\4 1\8 3\5 −2 = 6 +1 − 2 = 6 +1− 2 + + − = 8 5 8 10 5 10 5 8 16 + 8 − 15 9 =5+ =5 ; 40 40 2 5 7\3 2\10 5\5 21 − 20 + 25 26 − + == 11 + = 11 . б) 4, 7 − 2 + 9 = 4 − 2 + 9 + 3 6 10 3 6 30 30
б)
3\3 2\5 1 9 + 10 + 1 20 5 1 + + = = =1 =1 ; 3 5 3 15 15 15 15
1\4 3\2 5 4 + 6 + 5 15 7 + + = = =1 . 2 4 8 8 8 8
3\6 1\3 5\2 18 − 3 + 10 25 1 − + = = =1 ; 4 8 12 24 24 24
al
в)
1\3 1\2 1 3 + 2 + 1 6 + + = = =1 ; 2 3 6 6 6
ld z
353. а)
.n
et
352. а) 6, 4 + 1
354. а)
б)
2\10 1\5 2\2 20 + 5 − 4 21 7 + − = = = ; 3 6 15 30 30 10
в)
1\15 1\6 2\2 15 − 6 − 4 5 1 − − = = = . 2 5 15 30 30 6
355. а) 3
6+4+3 13 1 1\10 1\4 1\3 + +2 =5+ =5 =6 ; 2 3 4 12 12 12
б) 5
2\6 1\3 1\2 12 − 3 + 2 11 −1 + = 4+ =4 ; 3 6 9 18 18
в) 4
1\3 1\4 5\6 9 − 4 − 30 25 11 −1 − = 3+ = 3− =2 ; 4 9 6 36 36 36
г) 12 − 1
42
3\2 6+2 + 0, 2 = 11 − = 11 − 0, 8 = 10, 2 ; 5 10
ґ) 2, 5 −
356. а)
1 7 32 6\2 32 − 12 20 + 3, 2 − = − = = =2 . 5 5 10 5 10 10
МАТЕМАТИКА
д)
5 1 25\3 5\5 4\10 75 − 25 + 40 90 +1 = − + = = =3; 6 3 10 6 3 30 30
1\30 1\20 1\15 1\12 30 + 20 + 15 + 12 77 17 + + + = = =1 ; 2 3 4 5 60 60 60
б)
1\8 3\6 1\4 3\3 8 + 18 − 4 − 9 13 + − − = = ; 3 4 6 8 24 24
в)
4 \9 4 \3 1\15 4\5 36 − 12 + 15 − 20 19 − +1 − =1+ =1 ; 45 5 15 3 9 45
г) 3
1\12 2\8 1\6 3\3 12 + 16 − 6 + 9 31 7 + − + = 3+ =3 =4 . 2 3 4 8 24 24 24
et
357. 7 10
1 15
1,2
Доданок
3 5
1
11 15
1
Сума
13 10
1
Від’ємник
2
1 4
al
4
2,7
1
6 17
33 34
30 33
2
3 11
3
6 33
4 5
2,7
2
11 34
4 7
29 120
3
2 25
3,2
13 14
5 24
1
7 25
0
9 14
1 30
1
4 5
16 5
ld z 19 20
Зменшуване
Різниця
1 2
.n
Доданок
1
13 3\2 13 − 6 7 − = = 10 5 10 10
1
4 \3 1 12 − 1 11 − = 1+ =1 5 15 15 15
2, 7 − 1
5 2 1\5 7 =2 −1 =1 2 10 10 10
2
11 6 \2 11 − 12 1 33 −1 = 1+ = 1− = 34 17 34 34 34
3
6 3\3 6−9 3 30 −2 = 1+ = 1− = 33 11 33 33 33
4
19 19 7\2 19 − 14 5 1 − 2, 7 = 4 − 2 + − = 2+ =2 =2 20 20 10 20 20 4
43
1
4 \2 9 8−9 1 13 − = 1+ = 1− = 7 14 14 14 14
МАТЕМАТИКА
5\5 1\4 25 + 4 29 + = = 24 30 120 120 1
7 4 \5 7 + 20 27 2 . +1 = 2+ = 2+ =3 25 25 5 25 25
3, 2 −
358. 3
16 32\16 16 = − =0. 5 10\5 5
1\2 3 2+3 1 +2 =5+ =6 (кг). 2 4 4 4
⎛ 1\4 3\5 ⎞ 1\4 ⎛ 4 − 15 ⎞ 4 359. ⎜ 3 − +3 = +3 = 3+ ⎟ 4 ⎠ 5 ⎜⎝ 20 ⎟⎠ 20 ⎝ 5 6
.n
3\3 5\2 2\4 9 + 10 + 8 27 3 1 + + = = =2 =2 (кг) 4 4 6 3 12 12 12 10 9 1 9 8 1 − = ; I > III − = . I < II 12 12 12 12 12 12
ld z
360.
et
11 ⎞ 4 8 4 12 ⎛ = ⎜3− +3 =2 +3 =5 = 5, 6 (кг). ⎝ 20 20 ⎟⎠ 20 20 20 10
361. 7 − 2
3
5 ⎛ 5 1\2 ⎞ 5 ⎛ 5 + 2 ⎞ 5 + 7 12 3 + + = = = . = + 16 ⎜⎝ 16 8 ⎠⎟ 16 ⎜⎝ 16 ⎟⎠ 16 16 4 4
al
362.
5 8 5 3 = 6 −2 = 4 (м). 8 8 8 8
363.
5\5 ⎛ 5\5 3\3 ⎞ 25 ⎛ 25 9 ⎞ +⎜ +1 = + +1 = 3 ⎝ 3 5 ⎟⎠ 15 ⎜⎝ 15 15 ⎟⎠
=1
1 ⎛ 34 ⎞ 10 4 14 + 1+ =1 +3 =4 . 10 ⎜⎝ 15 ⎟⎠ 15 15 15
364. 30 − 7
1 4 1\5 4 \2 5−8 3 − 8 = 22 −8 = 22 − 8 + = 14 − = 13, 7 . 2 5 2 5 10 10
365. а) 0, 7 + б)
2\3 2\5 6 − 10 7\3 4\2 21 − 8 13 − = 0, 7 + = − = = ; 5 3 15 10 15 30 30
2 1 2\10 32\3 1 20 + 96 1 24\3 1\10 + 3, 2 − 2 = + −2 = −2 = 3 −2 = 3 9 3 10 9 30 9 30 9 9
= 3−2+
44
72 + 10 81 =1 = 1, 9 ; 90 90 10
1 7 7\4 3\20 7\5 28 + 60 − 35 53 13 − = + − = = =1 ; 2 8 10 2 8 40 40 40
г) 3, 45 − 1
366. а) 4
1 3 45 1\50 3\20 45 + 60 − 50 +3 = 3−2+3+ − + = 4+ = 4, 55 . 2 5 100 2 5 100
7 ⎛ 18 4 ⎞ 7 18 4 4 11 +⎜ − + − =5− =4 ; ⎟ =4 25 ⎝ 25 15 ⎠ 25 25 15 15 15 10
б)
в) 4
8 ⎛ 7\4 1\3 ⎞ 8 ⎛ 28 − 3 ⎞ 8\32 25\13 = + ⎜1 − =4 +1 =4 + ⎜1+ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 96 39 39 ⎝ 24 32 ⎠ 39 96
=5
256 + 325 581 =5 ; 1248 1248
=
367. а) 4
et
1 ⎛7 ⎛ 7 1\2 ⎞ 7 25 ⎞ − 0, 25 + 2, 125 = ⎜ − + 2, 125 = ⎟ + 2, 125 = ⎜ − 8 8 ⎝ 8 4 ⎠⎟ 100 ⎝ 4 ⎠
7−2 54 + 2, 125 = + 2, 125 = 0, 625 + 2, 125 = 2, 75 . 8 8
.n
г)
1
7 ⎛ 43 7 ⎞ 7 43 7 50 7 10 7 3 1 +⎜ − ⎟= + − = − = − = = ; 45 ⎝ 45 9 ⎠ 45 45 9 9 9 93 3 45 9 9
МАТЕМАТИКА
в) 0, 7 + 1
6 ⎛ 11 6 ⎞ ⎛ 6 6 ⎞ 11 11 1 −⎜3 + − = 4−3 = ; ⎟ =⎜4 ⎟ −3 12 12 17 ⎝ 12 17 ⎠ ⎝ 17 17 ⎠ 12 1
19 ⎛ 35 7 ⎞ ⎛ 19 7 ⎞ 35 12 35 − + = 8 − − =8 − = 24 ⎜⎝ 36 24 ⎟⎠ ⎜⎝ 24 24 ⎟⎠ 36 24 2 36
=8
ld z
б) 8
1\18 35 18 35 54 35 19 − =8 − =7 − =7 ; 2 36 36 36 36 36 36 1
al
5 1\2 5 5 ⎞ 14 ⎛ 23 14 ⎞ 5 9 ⎛ 23 в) ⎜ +1 ⎟ − =⎜ − +1 = +1 = ⎟ +1 = ⎝ 27 6 3 6 6 ⎠ 27 ⎝ 27 27 ⎠ 6 27 3 =
г) 3
2 5 7 1 +1 = 1 = 2 ; 6 6 6 6
1\10 ⎛ 3\5 2\4 ⎞ 10 ⎛ 15 8 ⎞ 10 7 3 − 3 −2 =2 . =3 − 3 −2 =3 −1 2 ⎜⎝ 4 5 ⎟⎠ 20 ⎜⎝ 20 20 ⎟⎠ 20 20 20 4
⎛ 6 3\7 ⎞ 4 \2 6 + 21 28 368. а) 3, 6 − ⎜ + = 3, 6 − = 3, 6 − = 3, 6 − = ⎟ 5 5 ⎠ 35 ⎝ 35 35 5 =
36 8 28 − = = 2, 8 ; 10 10 10
1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1\2 2⎞ 2⎞ ⎛ 2 + 2, 08 − 1 ⎟ = ⎜ 2 − 1 ⎟ + 2, 08 = ⎜ 2 − 1 ⎟ + 2, 08 = ⎝ 6 3 ⎜⎝ 6⎠ ⎝ 3 6⎠ 6⎠ = 1 + 2, 08 = 3, 08 ;
б) 2
7 7 7 ⎛7 ⎞ в) 3, 7 + ⎜ + 0, 3⎟ = ( 3, 7 + 0, 3 ) + = 4 + = 4 ; ⎝8 ⎠ 8 8 8
45
7⎞ 7 7 7 ⎛ г) ⎜ 8, 5 + ⎟ − 25 = ( 8, 5 − 2, 5 ) + = 6 + = 6 . ⎝ 9⎠ 9 9 9 6 4 +x= , 25 5
б) x −
4 4 = , 15 5
x=
4 \5 6 − , 5 25
x=
4 \3 4 + , 5 15
x=
20 − 6 14 = ; 25 25
x=
12 + 4 16 1 = =1 ; 15 15 15
7 2 = , 15 3
в) x +
г) x +
2 8 = , 3 9
2\5 7 − , 3 15
x=
8 2\3 − , 9 3
x=
10 − 7 3 1 = = ; 15 15 5
x=
8−6 2 = . 9 9
370. а) x +
8 3 =1 , 15 4
x =1
3\15 8\4 − , 4 15 45 − 32 , 60
б) 1
x =1
в) x − 7
x=
18 − 13 5 = ; 16 16
1 3 =3 , 2 4
3 1\2 +7 , 4 2
г) 2, 8 − x =
3 , 4
x = 2, 8 −
3 , 4
x = 10 +
3+2 , 4
x=
28\2 3\5 − , 10 4
x = 10 +
5 1 = 11 ; 4 4
x=
56 − 15 41 = , 20 20
x=2
371. 1) 10 2) 10
372. 1) 1
46
1\2 13 9\2 13 − = − , 8 16 8 16
13 ; 60
al
x=3
1 13 −x = , 8 16
x =1
ld z
x = 1+
et
x=
.n
МАТЕМАТИКА
369. а)
1 . 20
7 1\4 7−4 3 1 −4 =6+ =6 =6 (кг); 12 3 12 12 4 7 5\2 3 7 + 10 + 3 20 8 2 +2 +6 = 18 + = 18 = 19 = 19 (кг). 12 6 12 12 12 12 3
2 2 4 1 +1 = 2 = 3 (год); 3 3 3 3
2) 1
2 1 + 3 = 5 (год). 3 3
374. 8
2) 1 −
11 4 = . 15 15
1\15 1\10 2\6 15 + 10 − 6 19 +2 −3 =7+ =7 (т). 30 2 3 5 30
375. 1) 6 2) 5
1\2 3 2−3 1 3 −3 = 3+ = 3− = 2 ; 4 2 4 4 4 2\4 3\3 8−9 1 11 −2 = 3+ = 3− =2 . 12 3 4 12 12
МАТЕМАТИКА
1\5 2\3 5 + 6 11 + = = ; 3 5 15 15
373. 1)
3 = 18 4 3 x = 18 + 2 4 3 x = 20 (кг) — в I ящику; 4 3 1 18 − 2 = 15 (кг) — в II ящику. 4 4
0, 5 −
1 5\3 1\10 15 + 10 25 5 = + = = = 3 10 3 30 30 6 1 15 − 10 5 1 = = = 3 30 30 6
ld z
377. 0, 5 +
.n
et
376. x − 2
5 1 4 2 − = = . 6 6 6 3
al
3⎞ 6 1 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 3 (м). 378. P = ⎜ + ⎟ + ⎜ 1 + 1 ⎟ = 1 + 2 = 1 + 3 = 4 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 5 5⎠ 5 5 5 \4 3\5 24 + 15 39 19 ⎛ 3 3⎞ 3 6 379. P = ⎜ + ⎟ + = + = = =1 (дм). ⎝ 5 5⎠ 4 5 4 20 20 20
380. a =
8 ⎛ 1 1 ⎞ 8 2\3 8 − 6 2 − + = − = = (дм). 9 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 9 3 9 9
381. P = AB + BC + CD + DE + EF + FK + PK + AP PK + EF + CD = AB AP + FK = BC + DE P = AB + BC + DE + AB + BC + DE 1⎞ ⎛ 4 4⎞ ⎛ 5 5⎞ 2 8 10 ⎛ 1 P = ⎜ 3 + 3 ⎟ + ⎜1 +1 ⎟ + ⎜ + ⎟ = 6 + 2 + = ⎝ 2 5 6 2⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 6 6⎠ 2 =7+3
3\6 4 \5 18 + 20 38 8 4 +1 = 11 + = 11 + = 12 = 12 . 5 6 30 30 30 15
47
382. P = AB + BC + CD + DE + EK + KM + MP + PA DE + KM + PA = BC AB = CD − x
МАТЕМАТИКА
EK = MP + x P = ( CD − x ) + BC + CD + BC + ( MP + x ) + MP =
= ( CD + CD ) − x + ( BC + BC ) + ( MP + MP ) + x = 3⎞ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 3 3⎞ 6 10 6 ⎛ 3 = ⎜1 +1 ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ = 2 + + = ⎝ 4 4⎠ ⎝ 6 6⎠ ⎝ 5 5⎠ 4 6 5 2 4 1 1\5 2\10 1\6 15 + 10 + 6 31 1 +1 +1 = 3 +1 +1 =5+ = 5+ =6 . 3 5 30 4 6 5 2 30 30
383.
a a b a+b +1 = + = . b b b b
384.
a a+b a b a → = + = +1 . b b b b b
.n
a a — правильна, виходить a < b , приведемо до спільного знаменника b b a ( b + 1) b ( a + 1) a +1 a\b+1 a + 1\b ab + a ab + b і , і ; і ; і ; b ( b + 1) b ( b + 1) b +1 b b +1 b ( b + 1) b ( b + 1) чисельник ab + a < ab + b , ab + a ab + b a a +1 тому що a < b , значить і весь дріб ; тобто < < . b ( b + 1) b ( b + 1) b b +1
ld z
385.
et
=3
Наприклад,
1 3 2 4 3 15 4 16 = < = ; = < = . 2 6 3 6 4 20 5 20
al
386. а) 57 7 ; 56 8 1
б) 82 26 ; 78 3
в) 40 37 . 37 1
4
3
387. 1323 (на 3,9); 83 325 (на 3); 88 008 (на 3). 388. а) 2704 1352 676 338 169 13 1
2 2 2 2 13 13
б) 7007 1001 143 13 1
7 7 11 13
389. а) 18: 1, 2, 3, 4, 9, 18; б) 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144;
48
в) 882: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 441, 882.
390. а) НСД ( 60 , 90 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 2 2 3 5
90 45 15 5 1
2 3 3 5
НСК ( 60 , 90 ) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180
б) НСД (12 , 28 , 36 ) = 2 ⋅ 2 = 4 12 2 6 2 3 3 1
36 18 9 3 1
2 2 3 3
НСК (12 , 28 , 36 ) = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 = 252
8 = 32 л. 0, 25 32 − 8 = 24 л.
392. 4, 5 − 3, 2 = 1, 3 — I ст.;
.n
4, 5 − 3, 1 = 1, 4 — II ст.;
et
391.
28 2 14 2 7 7 1
МАТЕМАТИКА
60 30 15 5 1
4, 5 − (1, 3 + 1, 4 ) = 4, 5 − 2, 7 = 1, 8 — III ст. 393. 90 − 57 = 33 — найменший кут;
ld z
180 − 90 − 33 = 57 — II кут. 394. V = a3 = 43 = 64
64 − ( 32 + 12 ) = 20 .
al
Самостійна робота № 2 Варіант 1
1.
2.
а)
3\3 7 9 + 7 16 1 + = = =1 ; 5 15 15 15 15
б) 2
1\3 5\2 3 − 10 7 5 − = 2+ = 2− =1 ; 4 6 12 12 12
в) 3
7 ⎛ 5⎞ 7 \3 1\4 21 − 4 17 − 4−2 ⎟ = 3 −1 = 3 −1+ =2 . 8 ⎜⎝ 6⎠ 8 6 24 24
0, 6 +
5 6\13 5\10 78 + 50 128 = + = = 13 10 13 130 130
0, 6 −
5 78 − 50 28 = = 13 130 130
128 − 28 100 10 = = . 130 130 13
49
5 1 + x =1 ; 6 8
3. а)
9 8 −x = 8 9
в) x −
4 7 = 15 20
1 5 − 8 6
x=
9\9 8\8 − 8 9
x=
7 \3 4 \4 + 20 15
x=
9\3 5\4 − 8 6
x=
81 − 64 72
x=
21 + 16 60
x=
27 − 20 7 = ; 24 24
x=
17 ; 72
x=
37 . 60
x =1
4.
⎛ 14\2 1\5 ⎞ 1⎞ 28 − 5 23 28 51 11 ⎛ + = =2 . ⎜⎝ 1, 4 − 4 ⎟⎠ + 1, 4 = ⎜ 10 − 4 ⎟ + 1, 4 = 20 + 1, 4 = 20 20 20 20 ⎝ ⎠
5.
3
1\4 3\5 4 + 15 19 + = 3+ =3 5 4 20 20 19 ⎞ 3 3 63 ⎛ 4 P = ⎜3 +3 ⋅2 = 7 +7 = 14 = 14, 3 . ⎟ ⎝ 20 20 20 ⎠ 20 20 10
et
МАТЕМАТИКА
б)
а)
3\3 1\2 9 − 2 7 − = = ; 8 12 24 24
ld z
1.
.n
Варіант 2
3\3 1 9 +1 10 2 +1 = 4+ =4 =4 ; 3 5 15 15 15
в) 2
5\2 1\3 10 − 3 7 5 ⎛ 5⎞ −⎜3−2 ⎟ = 2 − = 2+ =2 . 9 ⎝ 6⎠ 9 6 18 18
al
б) 3
1
2.
2 2 2 2\5 1\3 10 + 3 13 + 0, 2 = + = + = = 3 3 5 10 3 5 15 15 2 10 − 3 7 − 0, 2 = = 3 15 15
13 7 6 − = . 15 15 15
3.
1 3 =1 8 4 3\2 1 x =1 − 4 8
а) x +
x = 1+
6 −1 5 =1 ; 8 8
б)
8 7 −x = 7 8 8 \8 7 \7 x= − 7 8 x=
64 − 49 15 = ; 56 56
5 4 = 12 3 4 \4 5 x= + 3 12
в) x −
x=
16 + 5 12
x=
1 21 9 =1 =1 . 4 12 12 4
1
50
3 2 2 ⎛ 2 75 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎟ +1 = ⎜⎝ 1 5 − 0, 75⎟⎠ + 1 5 = ⎜ 1 5 − 5 100 4 ⎠ ⎝ ⎛ 12\4 3\5 ⎞ 12 48 − 15 12\4 33 + 48 81 1 =⎜ − = + = = =4 (т.). ⎟+ ⎝ 5 4 ⎠ 5 20 5 20 20 20 1
5.
⎛ 1\5 4\4 ⎞ 41 41 82 2 ⎛ 25 + 16 ⎞ P = ⎜1 + = 4, 1 . ⋅2 = + = =4 ⋅2 = ⎜ ⎝ 20 ⎟⎠ 5 ⎟⎠ 20 20 20 ⎝ 4 20 10
1.
33 9\2 33 − 18 15 а) − = = ; 34 17 34 34
Варіант 3
МАТЕМАТИКА
4.
24
в)
9 ⎛ 11 1\8 ⎞ 9\2 ⎛ 11 − 8 ⎞ 18 − 3 15 − − . = = = − 16 ⎜⎝ 32 4 ⎟⎠ 16 ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 32 32
et
7\5 16\3 11 35 + 48 − 11 72 24 + − = = = ; 15 25 75 75 75 25 25
8 \2 1 2\6 16 + 1 + 12 19 1 + + = = =1 9 18 3 18 18 18 2, 5 −
1\2 25 2 23 = − = = 2, 3 5 10 10 10
а)
1 23\9 19\5 207 − 95 112 22 11 = − = = =1 =1 . 18 10 18 90 90 90 45
ld z
2, 5 − 1
3.
.n
2.
б)
2 2 + x =1 ; 5 15
2 2\3 − 15 5 2−6 4 x =1+ =1− 15 15 11 x= ; 15
б) x −
al
x =1
4.
5.
1) 2, 3 +
2 3 = 3 2
2⎞ 1 ⎛ в) ⎜ x − ⎟ − 0, 3 = 2 ⎝ 5⎠ 4
3\3 2\2 + 2 3 9+4 x= 6 13 1 x= =2 ; 6 6 x=
1\5 3\2 2\4 + + 4 10 5 5+6+8 x = 2+ 20 19 x=2 . 20 x=2
1 3\3 1\5 9+5 14 =2 + = 2+ =2 ; 6 10 6 30 30
2) 2
14 2\10 14 − 20 6 14 − = 2+ = 2− = ; 30 3 30 30 30
3) 2
3\3 14 14 9 + 14 + 14 37 7 +2 +1 =5+ =5+ =6 . 10 30 30 30 30 30
1) 3
7 7 1\2 7−2 6 − 1, 25 = 2 + − = 2+ =2 ; 8 8 4 8 8
7⎞ ⎛ 6 6⎞ 6 4 2 1 ⎛ 7 2) P = ⎜ 3 + 3 ⎟ + ⎜ 2 + 2 ⎟ = 7 + 5 = 13 = 13 . ⎝ 8 8⎠ ⎝ 8 8⎠ 8 8 8 4
51
Варіант 4
МАТЕМАТИКА
1.
11\5 7\2 55 − 14 41 а) − = = ; 12 30 60 60 б)
9\5 19 3\13 45 − 19 + 39 65 − + = = =1 ; 13 65 5 65 65
в)
11 ⎛ 17\2 19 ⎞ 11 34 − 19 11 15 − − = − = − = 12 ⎜⎝ 30 60 ⎟⎠ 12 60 12 604
1
2.
1, 3 −
11 1\3 11 − 3 8 2 − = = = . 12 4 12 12 3
1 13 = 3 10
\3
−
1\10 39 − 10 29 = = 3 30 30
1\5 2\6 1\10 5 + 12 + 10 27 + + = = 6 5 3 30 30
3.
а) x +
3 1 =2 14 7 1\2 3 − 7 14
б)
5 1 −x = 8 12
1⎞ 2 ⎛ в) ⎜ x − ⎟ − 0, 5 = 1 ⎝ 6⎠ 3
x=
5\3 1\2 − 8 12
x =1
x=
15 − 2 24
x=
5\10 5\3 1\5 + + 3 10 6
x=
13 ; 24
x=
50 + 15 + 5 30
x=
70 7 1 = =2 . 30 3 3
ld z
x=2
.n
29 27 2 1 − = = . 30 30 30 15
et
=
x = 2+
13 ; 14
al
x =1
2−3 1 = 2− 14 14
4.
1) 3, 5 − 2) 3
1 5\3 1\10 15 − 10 5 =3 − = 3+ =3 ; 3 10 3 30 30
5 2\6 5 + 12 17 +1 =4+ =4 ; 30 5 30 30
3) 3, 5 + 3
5.
5 17 5\3 22 15 + 22 37 7 +4 =3 +7 = 10 + = 10 + = 11 . 30 30 10 30 30 30 30
1⎞ ⎛ 1 1⎞ 2 2 ⎛ 1 P1 = ⎜ 2 + 2 ⎟ + ⎜ 3 + 3 ⎟ = 5 + 6 = 11 = 11, 4 ; ⎝ 2 2⎠ ⎝ 5 5⎠ 5 5 P2 = ( 3, 5 + 3, 5 ) + ( 2, 1 + 2, 1) = 7 + 4, 2 = 11, 2
52
2 1 + 0, 5 + 3 6
11, 4 − 11, 2 = 0, 2 .
2.
г).
3.
в).
4.
в).
5.
в).
6.
б).
7.
б).
8.
в).
9.
г).
et
в).
МАТЕМАТИКА
Завдання в тестовій формі 1.
а)
2 7 2+7 9 + = = ; 11 11 11 11
б)
6 3 6−3 3 − = = . 13 13 13 13
2.
а)
15 1 = ; 45 3 3
3.
а)
2 5 < ; 7 7
4.
а) 0, 4 =
1.
3
12 3 = ; 20 5 5
в)
91 7 = . 130 10 10
б)
3 6 3 = > ; 4 8 8
в)
3\5 15 2\7 14 = > = . 7 35 5 35
б) 2, 5 =
al
4 2 = ; 10 5
5.
6.
25 5 = . 10 2
а)
3\3 5 9 + 5 14 7 + = = = ; 8 24 24 24 12
б)
8\2 5\3 16 − 15 1 − = = ; 9 6 18 18
в)
11\5 7 \4 55 + 28 83 23 +1 = 1+ = 1+ =2 . 12 15 60 60 60
а)
3 1 −x = ; 8 12 3\3 1\2 − 8 12 9−2 7 x= = ; 24 24 x=
7
б)
ld z
1
.n
Типові задачі
5⎞ 1 ⎛ б) ⎜ x − ⎟ − 0, 3 = 2 ⎝ 7⎠ 5 1\2 5 + 0, 3 + 5 7 5 x = 2, 2 + 0, 3 + 7 5\7 5\10 35 + 50 15 3 x=2 + = 2+ =3 =3 . 70 14 10 7 70 x=2
53
МАТЕМАТИКА
1\2 3 2−3 1 3 − =6+ = 6 − = 5 (кг). 2 4 4 4 4
7.
6
8.
1)
5\7 1\9 35 − 9 26 − = = — II день; 9 7 63 63
2)
35 26 61 + = — не встигла. 63 63 63
§ 12. Множення дробів 1
399. а)
2
2 10 2 1 ⋅ = = ; 5 1 12 6 6 3
1
5 3 1 ⋅ = ; 9 3 10 2 6
ґ)
8 3 2 ⋅ = ; 93 41 3
2
1
б)
3 4 3 ⋅ = ; 10 82 5
в)
7 2 1 ⋅ = ; 84 71 4 2
400. а)
1
3
4
14 45 6 ⋅ = ; 15 1 49 7 7
ґ)
9 21 63 ⋅ = ; 58 14 2 29
ld z
7
al
1 1 3 1 1 ⋅ = ⋅ = ; 2 3 2 3 2
д)
3
1
45 13 3 ⋅ = . 52 4 15 1 4 2
г) 2
1 10 11 10 ⋅ = ⋅ =2; 5 11 5 11
ґ) 2
1 6 7 6 ⋅ = ⋅ =2 ; 3 7 31 7
д) 3
1 9 10 9 ⋅ = ⋅ =3 . 3 10 3 1 10 1
1
2
б) 1
1 3 4 3 1 ⋅ = ⋅ = ; 3 8 3 82 2
в) 1
1 2 5 2 1 ⋅ = ⋅ = ; 4 5 42 5 2
402. а) 1
1 1 3 4 ⋅1 = ⋅ =2; 2 3 21 3
г) 12
б) 2
1 1 7 3 7 1 ⋅1 = ⋅ = = 3 ; 3 2 3 2 2 2
ґ) 3
1 2 7 16 ⋅2 = ⋅ =8 ; 2 7 2 7
в) 3
1 1 10 8 80 17 ⋅1 = ⋅ = =3 ; 3 7 3 7 21 21
д) 1
4 1 9 10 ⋅1 = ⋅ =2 . 5 9 51 9
1
1
3
403. а)
3
5
2
54
3
г)
3
25 27 3 1 ⋅ = = ; 36 4 50 2 6 2
401. а) 1
1
5 30 1 ⋅ = . 6 2 10 2 4 2
12 21 12 4 ⋅ = = ; 35 5 9 3 15 5 5 1
в)
д)
18 5 2 ⋅ = ; 25 5 9 1 5 4
б)
1
et
1
1
.n
1
1
г)
3
1 1 25 6 ⋅1 = ⋅ = 15 ; 2 5 2 5 8
2
7 7 27 7 3\2 7 + 6 13 + ⋅ = + = = = 1, 3 ; 10 9 35 5 10 5 10 10
2
5 5 16 5 2\2 5 + 4 9 9 + ⋅ = + = = = ; 14 14 14 14 8 35 7 14 7
в)
2 5 9 2\2 1 4 + 1 5 + ⋅ = + = = ; 3 27 3 10 2 3 6 6 6
г)
3 14 2 2\7 2\5 14 − 10 4 ⋅ − = − = = . 5 7 35 35 7 15 5 7
404. а)
5 6 13 5 1\2 5 − 2 3 1 − ⋅ = − = = = ; 6 13 18 3 6 3 6 6 3
МАТЕМАТИКА
1
б)
2
3
б)
3 8 51 3\2 3 6 − 3 3 − ⋅ = − = = ; 4 17 64 8 4 8 8 8
в)
5 8 7 5 1\2 5 − 2 3 1 − ⋅ = − = = = ; 12 21 3 16 2 12 6 12 12 4
г)
5 6 4 3 3 3 ⋅ − ⋅ = − =0. 8 4 35 7 7 16 4 28 28
1
8
7 1 7 8 ⋅1 = 2 − ⋅ = 2 − 1 = 1 ; 8 7 8 7
ld z
б) 2 −
11 1 3 5 3\1 11 ⋅1 = 1 + ⋅ =1+ =2 ; 10 10 5 6 5 62
.n
405. а) 1 +
et
3
в) 1 + 2
406. а) 5 − 4
2 1 7 ⋅ 6 = 1 + ⋅ 6 = 1 + 14 = 15 . 3 3
1 3 13 3 ⋅ =5− ⋅ = 5 −1 = 4 ; 3 13 3 13
7 1 7 8 ⋅1 = 2 − ⋅ = 2 − 1 = 1 ; 8 7 8 7
в) 1 −
3 1 9 5 9 11 ⋅1 = 1 − ⋅ =1− = . 4 4 22 6 22 2 6 2
al б) 2 −
3
1
3
1
⎛ 13\2 1\5 ⎞ 4 5 ⎞ 25 21 50 3 1 ⎛ 26 −2 = =1 ; 407. а) ⎜ 2 ⋅3 = 2 ⎜ − ⋅ = ⋅ ⎝ 100 100 ⎟⎠ 7 20 ⎟⎠ 7 2 2 ⎝ 50 100 2 7 1 3
3
⎛ 3\2 ⎞ 15 ⎛ 6 + 7 ⎞ 15 33 15 9 1 б) ⎜ 2 + 0, 7 ⎟ ⋅ ⋅ = ⋅ = =2 . = ⎜2+ 10 ⎟⎠ 22 10 2 22 2 4 4 ⎝ 5 ⎠ 22 ⎝ \10 325 5\3 ⎞ 1 ⎛ 340 − 15 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 34 =⎜ − = 408. а) ⎜ 11 − 0, 5⎟ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎝ 3 ⎠ 13 ⎝ 3 30 10 ⎟⎠ 13 ⎜⎝ 30 ⎟⎠ 13
=
25 5 = ; 30 6
25
⋅
1 = 13 1
55
МАТЕМАТИКА
⎛ 56\2 11\5 ⎞ 3⎞ 3⎞ ⎛ ⎛ 6 б) ⎜ 20, 6 − 8 ⎟ ⋅ 8 = 8 ⋅ 4 ⎜ 5 − 2 ⎟ = 32 ⎜ − = ⎝ ⎝ 10 4⎠ 4⎠ 4 ⎠⎟ ⎝ 10 8 57 57 ⋅ 8 456 1 ⎛ 112 − 55 ⎞ = 32 ⋅ = = = 91 . = 32 ⎜ ⎝ 20 ⎟⎠ 5 5 5 20 5
5
409. а)
2
8 15 5 3 3 10 3 6 ⋅ = <1 ⋅ = ⋅ = (див. № 385); 7 5 7 9 3 16 2 6 5 7 3
б)
9 9 6 27 6 5 30 ⋅ 0, 6 = ⋅ = < ⋅ = 14 14 10 5 70 11 7 77 27\11 297 30\10 300 = < = . 70 770 77 770 1 ⎛ 1⎞ = ; ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9
2
2
4 ⎛ 2⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 5 25
2
2
4 ⎛ 2⎞ = ; ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9
2
2
9 ⎛ 3⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 7 49
49 ⎛ 7 ⎞ ; ⎜⎝ ⎟ = 10 ⎠ 100
.n
9 ⎛ 3⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 4 16 2
2
1 ⎛ 1⎞ = ; ⎝⎜ 4 ⎠⎟ 16
et
2
1 ⎛ 1⎞ 410. ⎜ ⎟ = ; ⎝ 2⎠ 4
2
2
9 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = = 2 ; 2 2 4 4 3
2
16 7 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ =1 . ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 3 9 9
3
1 ⎛ 1⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 27
ld z
1 ⎛ 1⎞ 411. ⎜ ⎟ = ; ⎝ 2⎠ 8 3
3
27 ⎛ 3⎞ = ; ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 8 3
3
al
3
64 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ . ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 3 27 4 ⎛ 2⎞ б) ⎜ ⎟ = ; ⎝7⎠ 49
2
36 ⎛ 1⎞ ⎛ 6⎞ г) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = . ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 25
2
3
8 ⎛ 2⎞ б) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 5⎠ 125
3
125 ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ г) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = . ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 64
2
25 ⎛ 5⎞ в) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 8⎠ 64
2
3
1 ⎛ 1⎞ ; 413. а) ⎜ ⎟ = ⎝ 5⎠ 125
3
64 ⎛ 4⎞ в) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 3⎠ 27 7
56
3
27 ⎛ 3⎞ = ; ⎝⎜ 4 ⎟⎠ 64
2
9 ⎛ 3⎞ 412. а) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 5⎠ 25
414.
3
1 ⎛ 1⎞ = ; ⎝⎜ 4 ⎠⎟ 64
27 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ; ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 2 2 8
3
8 ⎛ 2⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 27
3\2 8 6 + 8 14 7 3 8 3 + = = = > ⋅ = . 4 8 8 4 4 8 4 84
3
3
1\8 1\5 8−5 3 − = 3+ =3 5 8 40 40
3
3 2\8 3 − 16 13 27 − = 3+ = 3− =2 . 40 5 40 40 40
4 2 ⋅ 12 = 8 (дм). 31
417. P = 2 418. S =
2 2 2 ⋅ 6 = 12 + ⋅ 6 = 12 + 4 = 16 (см). 3 3
7 7 49 ⋅ = (см2). 9 9 81
et
416.
2 1 1 16 ⋅ 5 2 = ⋅ = 5 8 5 5 ⋅ 81
МАТЕМАТИКА
415. 3
1
419. а) S =
5 3 5 ⋅ = (м2); 8 62 4
1 3 7 11 77 5 ⋅2 = ⋅ = =9 (дм2); 2 4 2 4 8 8
в) S = 1
1 8 7 8 ⋅ 0, 7 = ⋅ = = 0, 8 (м2). 7 7 10 10
ld z
.n
б) S = 3
1
2
420. а)
3 7 8 1 ⋅ ⋅ = ; 4 12 21 3 6
в)
3 6 8 4 ⋅ ⋅ = . 4 11 9 1 11
2 5 6 1 ⋅ ⋅ = ; 3 1 8 2 25 5 10
2
al
2
2
б)
421. а) 1
4 1 3 15 55 3 ⋅18 ⋅ = ⋅ ⋅ = 15 ; 11 3 5 11 1 3 5
б) 2
3 7 11 25 7 11 7 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ; 11 20 25 11 20 25 20 2
в)
4 1 26 4 19 26 76 ⋅1 ⋅ = ⋅ ⋅ = ; 13 18 15 13 18 9 15 135
г) 3
1 4 2 7 64 2 64 4 ⋅12 ⋅ = ⋅ ⋅ = = 12 . 2 5 7 2 5 7 5 5 32
7 ⎞ 10 67 10 ⎛ 3 4 ⎞ 10 ⎛ 7 4 422. а) ⎜ 1 ⋅ + 25, 7 ⎟ ⋅ = : + 25 ⋅ = ⋅ =3 ; ⎝ 4 7 ⎠ 89 ⎜⎝ 4 7 10 ⎟⎠ 89 10 89 8 ⎛ 15 3 4 ⎞ 16 ⎛ 3 4 ⎞ б) ⎜ 3 ⋅ − 1, 4 ⎟ ⋅ 25 = ⎜ ⋅ − 1, 4 ⎟ ⋅ 25 = ⋅ 25 = 40 . ⎝ 4 5 ⎠ 10 2 5 ⎝ 4 ⎠
57
1
423. а)
2
МАТЕМАТИКА
1
б)
1
3
1\5
8 15 2 3 15 2\4 3 8 + 5 13 3 14 ⋅ + 0, 3 ⋅ ⋅ = + ⋅ = + = = ; 9 16 2 5 10 2 18 6 5 20 20 12 4 7 15 5 2
3
1
2
3
1
8 14 9 11 26 15 6 2 1\11 2\5 = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − = − 11 5 21 3 15 16 2 13 1 121 11 18 6 30 5 11 =
424. а) 4
11 − 10 1 = . 55 55 1 3 2⎛ 5 6 15 ⎞ 14 ⎛ 3 ⎞ 14 25 25 1 ⋅ ⋅⎜1− = ⋅ = =4 ; ⎜1− ⋅ ⎟= 6 3⎝ 28 ⎟⎠ 3 28 2 6 6 25 5 28 ⎠ 3 ⎝ 1
б) 2, 5 −
1
21 − 8 39 5 13 39 5\19 39 95 − 39 ⋅ =2 − ⋅ = − = = 26 17 + 2 2 38 38 10 2 26 2 19 28
56 28 9 = =1 . 19 38 19 19 2
2
2
2
et
=
49 ⎛ 1⎞ ⎛ 7⎞ (м2); 425. S1 = a2 = ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4
.n
25 ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ S2 = b2 = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = (м2); ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 6
49 − 25 24 = = 6 (м2). 4 41
ld z
S1 − S2 =
3
1 ⎛ 1⎞ (м3); 426. а) V = ⎜ ⎟ = ⎝ 2⎠ 8 3
3
al
64 10 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ б) V = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = =2 (м3); ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 27 27 3
3
512 26 ⎛ 2⎞ ⎛ 8⎞ = 18 (м3). в) V = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 27 27
427. а) V =
1 2 3 1 ⋅ ⋅ = (м3); 2 3 5 5 4
б) V = 1
3 1 1 8 5 10 40 1 ⋅2 ⋅3 = ⋅ ⋅ = = 13 (м3). 5 2 3 3 3 5 2 3 3
1 ⎛ 1⎞ 428. V1 = a3 = ⎜ ⎟ = (м3); ⎝ 2⎠ 8 3
1 ⎛ 1⎞ V2 = b3 = ⎜ ⎟ = (м3); ⎝ 3⎠ 27
58
V1 − V2 =
1\27 1\8 27 − 8 19 (м3). − = = 8 27 216 216
3
429. Sл = 2
1 2 9 2 3 ⋅ = ⋅ = (м2); 4 3 42 3 2 2
3Sкв = 3 ⋅
МАТЕМАТИКА
1 ⎛ 1⎞ Sкв = ⎜ ⎟ = (м2); ⎝ 3⎠ 9 1 1 = (м2); 93 3
Sл − 3Sкв =
3\3 1\2 9 − 2 7 1 − = = =1 (м2). 2 3 6 6 6 2
430. Sл = 1
1 4 3 4 6 ⋅ = ⋅ = (м2); 2 5 2 5 5 2
1 ⎛ 1⎞ Sкв = ⎜ ⎟ = (м2); ⎝ 5⎠ 25 4 (м2); 25 6 \5 4 30 − 4 26 1 Sл − 4Sкв = − = = =1 (м2). 5 25 25 25 25
.n
et
4Sкв =
3
ld z
8 112 4 ⎛ 2⎞ = =4 (м3). 431. Vф = 14 ⋅ Vк = 14 ⋅ ⎜ ⎟ = 14 ⋅ ⎝ 3⎠ 27 27 27 2
432. а)
3
3
2 ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ 2 9 1 8 3\5 1\4 15 − 4 11 = ; ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⋅ 0, 8 = ⋅ − ⋅ = − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 40 40 3 4 2 8 10 3 16 8 8 10 3
2
4
5
al
3 ⎛ 5⎞ 8 27 3 25 4\12 5\5 48 − 25 23 ⎛ 2⎞ ⋅ − ⋅ = − = = . б) ⎜ ⎟ ⋅ 2, 7 − ⋅ ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ 12 60 60 5 ⎝ 6⎠ 5 27 10 5 5 36 12
2
25
2
2
2⎞ 1 ⎛ 16 4 ⎞ 75 1 ⎛ 12 ⎞ 25 ⎛ 433. а) ⎜ 1, 6 − ⎟ − 0, 75 ⋅ = ⎜ = − − ⋅ = ⎟ − ⎝ 5⎠ 3 ⎝ 10 10 ⎟⎠ 100 3 ⎜⎝ 10 ⎠ 100 =
144 − 25 119 = = 1, 19 ; 100 100 2
2
3 3 ⎞ ⎛ 3\5 3\2 ⎞ ⎛ 3 7⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ б) ⎜ − 0, 3⎟ − ⎜ 1 − ⋅1 ⎟ = ⎜ − − 1− ⋅ ⎟ = ⎝4 ⎠ ⎝ 7 4⎠ ⎝ 4 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 4⎠ 2
2
2
7
2
81 1\25 81 − 25 56 7 ⎛ 15 − 6 ⎞ ⎛ 1 ⎞ − = − = = = . =⎜ ⎝ 20 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎠⎟ 400 16 400 400 50 50
3
434. а)
2
1
1 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ 1 1 8 9 1 1 − ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = − ⋅ ⋅ == − = 0 ; 3 2 ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ 3 2 27 3 4 3 3
59
б) 1
МАТЕМАТИКА
=
2 ⎛ 2⎞ − 0, 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ 9
2
25
3
11 − 10 1 = . 9 9 3
435. а)
б)
5
2
11 3 4 125 11 4 25 ⎛ 5⎞ ⋅⎜ ⎟ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = ⎝ 3⎠ 9 10 25 1 27 9 9 10 2 9
1
2 2 9 3 ⋅ 0, 9x = ⋅ x= x ; 3 5 3 10 5
в)
4 4 25 1 ⋅ 0, 25n = ⋅ n= n ; 5 5 100 5
5 2 5 7 ⋅1 a = ⋅ a = a ; 7 5 7 5
г) 1
3
1 4 75 ⋅ 0, 75x = ⋅ x=x. 3 3 100 4
4
5 2 2 25 ⋅ 2, 5x = ⋅ x=x=2 ; 7 5 5 10
в) 1
437. а) 4
3 5 2 35 2 a = 2− ⋅ a = 2 − a = 2 −1 = ; 8 8 7 10 7
et
б) 2 − 3, 5 ⋅
2 5 6 2 2 ⋅ 0, 6x2 = ⋅ x = x2 = ( 0, 2 ) = 0, 04 . 3 3 10 3 7 + x = 8⋅2 4 8
б)
7 ⎛ 5 3⎞ + x = 5⋅⎜ − ⎟ ; ⎝ 6 5⎠ 8 7 5 3 + x = 5⋅ − 5⋅ 5 8 6
ld z
19 23 +x= 8 ⋅ 4 8
.n
436. а)
3 1 = 18 ; 4 4
al
x = 23 − 4
в) 0, 125 ⋅
1 1 = −x 4 2
7 25 +x= −3 8 6 1 7 1 7 x = 4 −3− =1 − 6 8 6 8 x=
г) x − 0, 12 ⋅
1
125 1 1 ⋅ = −x 1000 8 4 2 x=
1\16 1 16 − 1 − = 2 32 32
x=
15 ; 32
438. а) 3; 14; 1; 136; б) 2,8; 14,0; 1,0; 135,6; в) 2,79; 14,01; 0,99; 135,61.
60 439. 12 ⋅ 50 000 = 6 000 000 (км).
7\4 7\3 28 − 21 7 − = = ; 6 8 24 24 2 = 42 ⋅ 0, 5 5 1
x−
1
8 12 2 5 ⋅ = 16 ⋅ 100 50 5 10 2
x = 8+
12 12 =8 . 250 250
440. 14, 15, 16. 441. 50, 51, 53, 54. 442. а) 12, 5x + 4, 7 = 7, 2
0, 8x = 8 − 3 = 5
x = 2, 5 : 12, 5 = 0, 2 ;
x = 5 : 0, 8 = 6, 25 .
443. 1) 11 − (7, 8 + 2, 2 ) = 1 (г) — 1 лимон; 2) ( 2, 2 − 1) : 2 = 0, 6 (г) — 1 груша; 3)
7, 8 − ( 0, 6 ⋅ 3 + 1) 7, 8 − 2, 8 5 = = = 0, 5 (г) — 1 яблуко. 10 10 10
МАТЕМАТИКА
б) 8 − 0, 8x = 3
12, 5x = 7, 2 − 4, 7 = 2, 5
2
450. а)
2
6 9 6 26 4 1 : = ⋅ = =1 ; 13 26 13 9 3 3 3 7 21 7 22 1 : = ⋅ = ; 44 22 44 2 21 3 6
в)
15 25 15 64 12 2 : = ⋅ = =2 ; 16 64 5 5 16 25 5
г)
76 38 76 99 18 4 : = ⋅ = =2 . 77 99 77 7 38 1 7 7
2
451. а) 56 :
4
ld z
3
.n
б)
et
§ 13. Ділення дробів
9
14 9 4 = 56 ⋅ = 126 ; 9 4
29 30 = 873 ⋅ = 90 ; 30 29 1
в) 56 :
8 11 7 = 56 ⋅ = 88 ; 11 7
г) 39 :
3 35 13 = 39 ⋅ = 105 . 35 13
al б) 87 :
6
3
5
5
1
7
2
5
452. а)
12 2 12 39 : = ⋅ = 18 ; 13 39 13 2
б)
15 3 15 40 : = ⋅ = 25 ; 8 40 81 31
в)
24 8 24 35 21 1 : = ⋅ = =4 ; 25 35 25 5 8 5 5
г)
16 24 16 35 10 1 : = ⋅ = =1 . 21 35 21 3 24 3 9 9
61
3
5 37 1 1 : 37 = ⋅ = ; 8 8 37 8
2
в) 5
5 60 1 2 : 30 = ⋅ = ; 11 11 30 11
г) 3
1 49 1 1 : 49 = ⋅ = . 16 16 49 16
6 5 6 13 1 :1 = ⋅ = ; 65 13 65 5 18 3 15
в) 2
1 1 5 4 :1 = ⋅ =2; 2 4 2 5
7 1 7 3 1 :2 = ⋅ = ; 9 3 93 7 3
г) 9
4 2 49 3 21 :4 = ⋅ = = 2, 1 . 5 3 5 14 2 10
453. а) 4
3
5 18 1 3 :6 = ⋅ = ; 13 13 6 13 1
454. а) б)
1
2
7
2
3
2
3
455. а)
3 1 16 8 3 16 51 : − = ⋅ =6− =5 ; 4 4 17 51 4 17 1 8 1
б)
24 12 4 24 15 6 4 2 : − = ⋅ = − = . 25 15 5 25 5 12 5 5 5
et
МАТЕМАТИКА
б) 1
1
.n
1 2 5 18 2 18 ⎛ 3 1⎞ 456. а) ⎜ 2 − ⎟ : 2 = 2 : = ⋅ = = 0, 9 ; ⎝ 8 8⎠ 2 8 2 84 5 20
8 3 x= 19 98
б)
8 2 x= 27 81
x=
3 8 : 98 19
x=
2 8 : 81 27
x=
3 19 57 ⋅ = ; 98 8 784
x=
2 27 1 ⋅ = . 81 3 8 4 12
al
457. а)
ld z
1 16 16 9 9 ⎛ 3 2⎞ 7 б) ⎜ 3 − ⎟ : 1 = 3 : = ⋅ = = 1, 8 . ⎝ 5 5⎠ 9 5 9 5 16 5
458. а) 4
1 9 x= 2 16
б)
2 1 x=3 9 3
x=
9 9 : 16 2
x=
10 2 : 3 9
x=
9 2 1 ⋅ = ; 16 8 9 8
x=
10 9 ⋅ = 15 . 3 2 16
459. а) x :
2 7 = 7 10
x=
7 2 1 ⋅ = ; 10 7 5
5
б)
3
4 16 :x = 11 33 x=
4 16 : 11 33
x=
4 33 3 ⋅ = . 11 16 4 4
3
62
2 4 =1 3 11
б) 8
5
1 49 :x = 6 54 9
15 11 ⋅ 11 3 x = 5;
1 49 49 54 : = ⋅ 6 54 6 1 49 x=9.
x=
x=8
461. 1
2
2 3
7 8
2 11
в
2 3
4 5
4 9
7 16
4
41 45
2
1 22
10
а:в
1
1 2
2
1 2
2 3 1 = 1⋅ = 1 3 2 2
2:
3
4 5 5 1 = 2⋅ = =2 5 2 42 2
7 7 7 16 : = ⋅ =2 8 16 8 7
5
.n
2
9
1 41 82 45 : = ⋅ = 10 . 9 45 9 41
a — правильний дріб, де a і n — натуральні числа. a+n a a+n n⎞ n ⎛ a n⎞ ⎛ b: = b⋅ = b⋅⎜ + ⎟ = b ⎜1+ ⎟ = b + b , ⎝ a a⎠ ⎝ a a+n a a⎠ отже, число збільшиться.
ld z
462.
1 2
2
2 4 2 9 3 1 : = ⋅ = =1 3 9 3 42 2 2 2 2 1 1 :4 = ⋅ = 11 11 4 2 22
1
9
et
1:
1 9
а
МАТЕМАТИКА
460. а) x :3
3 4 8 2 = 2⋅ = = 2 4 3 3 3 1 2 1 3 3 1\2 2 : = ⋅ = > = 2 3 2 2 4 2 4
al
2:
463. а)
3 1 3 6 1 : = ⋅2 = = 1 5 2 5 5 5 3 1 3 ⋅ = 5 2 10 1
1 3 > ; 5 10
в) 19 :
2
б)
6 3 6 2 4 : = ⋅ = 7 2 7 3 7 3
6 3 9 ⋅ = 7 2 7 4 9 < ; 7 7
38 45 45 1 = 19 ⋅ = = 22 45 2 2 38 2
2 24 31 62 2 = 16 ⋅ = = 20 31 3 3 24 3 2 1 20 < 22 ; 3 2
16 :
63
2
г) 2
3 13 13 13 10 : 1, 3 = : = ⋅ =2 5 5 10 5 13 1 4
МАТЕМАТИКА
3, 2 : 1 2
1
3 32 8 32 5 4 = : = ⋅ = =2 5 10 5 10 2 8 1 2
3 3 : 1, 3 = 3, 2 : 1 . 5 5 6
464.
4
12 12 1 6 :2 = ⋅ = (м); 13 13 8 13
12 12 1 4 :3 = ⋅ = (м); 13 13 3 13
3
12 12 1 3 :4 = ⋅ = (м); 13 13 4 13
12 12 1 12 :5 = ⋅ = (м). 13 13 5 65
2
5 17 1 17 :2 = ⋅ = (год); 12 12 2 24
1
5 17 1 17 :4 = ⋅ = (год); 12 12 4 48
1
5 17 1 17 :6 = ⋅ = (год); 12 12 6 72
5 17 1 17 :3 = ⋅ = (год); 12 12 3 36
1
5 17 1 17 :5 = ⋅ = (год). 12 12 5 60
ld z
466. 14
1
.n
465. 1
et
12 12 1 2 :6 = ⋅ = (м); 13 13 6 13
1 29 1 29 5 :3 = ⋅ = =4 (м). 2 2 3 6 6 4
8 1 4 2 ⋅ = = (кг). 10 6 3 30 15
al
467. 0, 8 : 6 =
3
468.
6 6 1 3 :4 = ⋅ = (м). 11 11 4 2 22
469. а) 3 − б) 1
7 7 1 7 9 :2 = 3 − ⋅ = 3 − =2 ; 8 8 2 16 16
1 3 1 1 3 5\7 6\4 35 − 24 11 − : = 1 − ⋅2 = − = = . 4 7 2 4 7 4 7 28 28
470. а)
5 1 5 1 1 1 1 1 2 1 :5 + :2 = ⋅ + ⋅ = + = = ; 12 6 12 5 6 2 12 12 12 6
б)
8 3 8 1 3 1 4 3 1 :4− :2 = ⋅ − ⋅ = − = . 13 13 13 4 2 13 2 26 26 26
4
64
2 4 17 7 48 9 : +1 : = ⋅ 3 9 18 9 3 4
5
+ 2
85 9 12 5 17 1 ⋅ = + = =8 ; 2 2 2 2 18 2 7
5
б) 4
472. а) в)
473.
2\4 1\3 18 + 3 11 12 1 + = = → =1 ; 3 4 12 12 11 11
б)
2 1 18 − 3 5 12 2 − = = → =2 ; 3 4 12 12 5 5
2 1 1 ⋅ = →6 ; 3 42 6
г)
2 1 2 8 3 : = ⋅4 = → . 3 4 3 3 8
5\2 3\3 10 + 9 19 + = = 12 8 24 24
et
5 3 10 − 9 1 − = = 12 8 24 24
1 7 1 ⋅ = 7 8 8
ld z
1\8 7\7 8 + 49 57 + = = 7 8 56 56
.n
19 1 19 24 : = ⋅ = 19 . 24 24 24 1
474.
25
2 14 8 4 14 15 50 7 25 1 : −2 : = ⋅ − ⋅ = =4 . 3 15 21 7 6 6 3 14 21 3 4 2
МАТЕМАТИКА
3
471. а) 2
7
1 57 1 56 7 : = ⋅ = . 8 56 8 57 57
5\10 4\3 50 − 12 38 8 4 5 − 0, 4 = − = = =1 =1 ; 3 10 30 30 30 15 63
al
475. а) 2x − 0, 4 = 2 ⋅
2
б)
4 1 4 3 1 6\3 1\5 18 + 5 23 8 a+ = ⋅ + = + = = =1 ; 3 3 5 2 3 5 5 15 15 15 2
1\10 3\9 100 + 27 127 37 ⎛ 1⎞ в) x2 + 0, 3 = ⎜ ⎟ + 0, 3 = + = = =1 ; ⎝ 3⎠ 9 10 90 309 90 2
2 8 2\3 8 − 6 2 ⎛ 2⎞ г) 2c2 − c = 2 ⋅ ⎜ ⎟ − = − = = . ⎝ 3⎠ 3 9 3 9 9 9
1 5 1 7 5 1 45 2 7\3 1 21 − 1 − : 5 + 4, 5 : = − ⋅ + ⋅ = − +9= +9= 6 18 2 6 18 5 10 5 7 6 18 6 2 1 20 + 9 = 12 = 12 . = 6 6 3 \2 б) 1 : 1, 2 + 5 ⋅ ⎛ 3, 7 − 1 4 ⎞ = 1 ⋅ 10 + 5 ⋅ ⎛ 37 − 9 ⎞ = 10 + 5 ⋅ 37 − 18 = ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ 5⎠ 12 3 ⎝ 10 5 ⎟⎠ 12 3 10 2 \2 10 19 10 + 38 48 = + = = =4 ; 12 6 12 12
476. а) 1
65
3\2 1 1⎞ 9 2 ⎛ 75 9 1 ⎞ 16 2 ⎛ в) ⎜ 1, 75 − 1 + ⎟ : + = ⎜1+ − + ⎟⋅ + = ⎝ 8 2 ⎠ 16 3 ⎝ 100 4 8 2 ⎠ 9 3
8 ⎞ ⎛ 14\2 25 ⎞ ⎛ 135\3 8\20 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ г) ⎜ 2 + 2, 5⎟ : ⎜ 1, 35 − = + = : − ⎝ 5 ⎠ ⎝ 15 ⎟⎠ 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 30 6
=
477. а)
28 + 25 405 − 160 53 300 318 24 : = ⋅ = =6 . 10 300 49 49 10 245 49
1 3 x = 1 − 0, 5 4 4
б) x :
1 7\5 5\2 x= − 4 4 10
x: 3
3 7 = 14 9 7 3 1 x= ⋅ = ; 9 3 14 2 6 x:
1⎞ 2 ⎛1 г) ⎜ x − 1 ⎟ : = 9 ⎝4 4⎠ 3 3 2 1 5 x− = 9 ⋅ 4 4 3
3 3 1 : x = 3 : 0, 5 − 6 2 7 4 3 15 5 1 :x = : −6 7 4 10 2
ld z
в)
3 1 7 = ⋅ 14 3 3
.n
1 35 − 10 15 3 x= = = 4 20 20 4 4 3 1 3 x= : = ⋅ 4 =3 ; 4 4 4
3 1 1 = ⋅2 14 3 3
et
МАТЕМАТИКА
2
6 − 9 + 4 ⎞ 16 2 1 16 2 9 16 2 2 ⎛ ⋅ + =1 ⋅ + = ⋅ + =2 ; = ⎜1+ ⎝ ⎠⎟ 9 3 8 8 9 3 8 3 3 9
3
5
3 15 10 13 :x = ⋅ − 7 2 42 5
1 5 x =6+ 4 4 1 29 x= 4 4 29 1 29 : = x= ⋅ 4 = 29 . 4 4 4
al
3 15 − 13 :x = =1 7 2 3 x= ; 7
5
2
478. а)
3 ⎛ 3⎞ 3 9 16 3 25 16 5\10 16\3 50 + 48 + = ⋅ + = + = : ⎜ ⎟ + 1, 6 = : = 5 ⎝ 5⎠ 5 25 10 5 9 3 10 3 10 30 98 8 4 ; = =3 =3 30 30 15 2
2
2 4 6 6 8\2 6\3 16 + 18 34 4 ⎛ 2⎞ 5 б) ⎜ ⎟ : + 0, 6 = ⋅ + = + = = =1 =1 ; ⎝ 3⎠ 6 15 30 30 30 9 3 5 10 15 10 3
в) 0, 5 :
3
66
г)
2
8 9 3\3 2\2 9 − 4 5 1 ⎛ 2⎞ 4 5 − : = ⋅3 − ⋅ = − = = ; 2 3 6 6 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 9 10 2 27 3 4
1 ⎛ 2⎞ 1 1 8 1 25 1 125 : ⎜ ⎟ − : 0, 25 = : − : = ⋅ 5 ⎝ 5⎠ 4 5 125 4 100 4 5 8
25
−
1 1 1 ⋅ 4 = 3 −1 1=2 . 8 8 4
479. P = 4 ⋅ a 1 1 = 4a − 1 5 5 1 4a − a = 1 5 6 3a = 5
МАТЕМАТИКА
a = P −1
2
a=
6 6 1 2 :3 = ⋅ = (м). 5 5 3 5
480. P = 6 ⋅ a = 4
1 2 3
1 9 1 3 :6 = ⋅ = (м). 2 2 62 4
481. S = a ⋅ b =
2 8 ⋅b = 3 15 4
8 2 8 3 4 : = ⋅ = (дм). 15 3 15 5 2 5
.n
b=
et
a=4
1⎞ 2 2 ⎛ 482. P = 2a + 2 ⎜ a + ⎟ = 2a + 2a + = 4a + = 10 ⎝ 3⎠ 3 3 2 1 28 =9 = 3 3 3
ld z
4a = 10 −
7
a=
28 28 1 7 1 :4 = ⋅ = =2 (м) 3 3 3 4 3 1 1 2 + =2 (м). 3 3 3
al
b=2
483. V =
7 4 ⋅ ⋅a =1 82 5
7 a =1 10 a = 1: 484. а)
7 10 3 =1 =1 . 10 7 7
1 32
1
1 128
1 64
1 16
1 4
1 2
1 256
1 8
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 32 16 8 4096 1 1 1 1 1 : : = ⋅ 32 ⋅ 2 = 64 4096 32 2 4096 64 1 1 1 1 1 : : = ⋅ 16 = 256 4096 2 8 4096 256 1 1 1 1 1 : : = ⋅ 1024 = 4 4096 64 16 4096 4
67
МАТЕМАТИКА
1 1 1 1 1 : : = ⋅ 32 = 128 4096 4 8 4096 128 1 1 1 1 : : = ⋅ 4096 = 1 ; 4096 32 128 4096 б)
1 8
1
1 2
4
1
1 4
1 8
1
1 2
1 1 1 ⋅1 ⋅ = 8 2 16 4 1 1 1 1 : : = ⋅ 64 = 4 16 8 8 16
1 1 1 1 1 : : = ⋅4 = . 4 16 2 2 16 4
485. 23
1 1 + 23 = 47 − 24 = 23 (год). 2 2
В 23 години вже ніч.
.n
486. S = V ⋅ t = 65 ⋅ 3, 4 = 221 (км);
et
У підручнику помилка (табл. 31 (б)): при даному розміщенні чисел, добуток центральної вертикалі й горизонталі дорівнює 1.
t = S : V = 195 : 65 = 3 (год).
487. V = S : t = 175 : 2, 5 = 70 (км/год);
ld z
t = S : V = 315 : 70 = 4, 5 (год). 488. c = a − 4 = b + 4 = P − 36 a + b = 36 a = c+4 b = c−4
al
( c + 4 ) + ( c − 4 ) = 36 c + 4 + c − 4 = 36
2c = 36
c = 36 : 2 = 18 (м);
a = 18 + 4 = 22 (м); b = 18 − 4 = 14 (м). 489. α = β + 10 = γ − 40 β = α −10 γ = α + 40 α + ( α − 10 ) + ( α + 40 ) = 180 α + α − 10 + α + 40 = 180 3α + 30 = 180 3α = 180 − 30 = 150
68
α = 150 : 3 = 50
β = 50 − 10 = 40 ; γ = 50 + 40 = 90 . 490. a = S : b = 2700 : 45 = 60 (см);
МАТЕМАТИКА
60 − 45 = 15 (см). 491. x — Максим 3 роки тому y — сестра 3 роки тому x = 7y x + 2 = 3 ( y + 2 ) — торік 7y + 2 = 3y + 6 7y − 3y = 6 − 2 4y = 4 y = 1 (рік) — сестра 3 роки тому; 7y = 7 (років) — Максим 3 роки тому;
et
7 + 3 = 10 (років).
492. 1) 18 + 10 − 3 = 25 (уч.) — усього тренується;
.n
2) 30 − 25 = 5 (уч.).
§ 14. Задачі на множення і ділення дробів 50 3 ⋅ 350 = 150 (кг); 7
ld z
497. а)
3 3 ⋅ 15 = 9 (м); 5
в)
2 5 ⋅ 24 = 10 (год). 12
al
б)
498.
40 2 ⋅ 120 = 80 (д). 3
499.
10 3 ⋅ 130 = 30 (гр.). 13
500.
500 2 ⋅ 2500 = 1000 (підручн.). 5
501.
2 2 ⋅ 18 = 4 (еск.). 9
502.
20 2 ⋅ 140 = 40 (троянд). 7
503.
20 5 ⋅ 240 = 100 (см). 12
504. 30 −
6 1 ⋅ 30 = 30 − 6 = 24 (грн.). 5
69
20 2⎞ 3 ⎛ 506. ⎜ 1 − ⎟ ⋅100 = ⋅ 100 = 60 (м). ⎝ 5⎠ 5
507.
24 1 ⋅ 72 = 24 (км); 3 6 6 1 1 ⋅ 72 = = 1 (км); 5 5 60 5 18 1 15 ⋅ 72 = ⋅ 72 = 18 (км). 4 60 4
508. 2
509.
12 5 ⋅ 72 = 60 (км); 6 6 18 1 15 ⋅ 72 = ⋅ 72 = 18 (км); 41 60 4
9 1 7 ⋅ 27 = ⋅ 27 = 63 (га). 3 3
412 3 ⋅ 2060 = 1236 (м). 5 16
et
МАТЕМАТИКА
50 3⎞ 1 ⎛ 505. ⎜ 1 − ⎟ ⋅ 200 = ⋅ 200 = 50 (дет.). ⎝ 4⎠ 4
3 32 3 48 = ⋅ = = 4, 8 (грн.); 2 10 2 10 3, 2 + 4, 8 = 8 (грн.).
.n
510. 3, 2 ⋅
511. I — x — обсяг робіт I бригади
ld z
II — 2x — обсяг робіт II бригади, тому що
6 тиж. =2 3 тиж.
x + 2x = 1 — повний обсяг робіт
— частина від загального обсягу робіт, виконані I і II бригадою відповідно;
al
3x = 1 1 x= 3 1 2 2⋅ = 3 3
1 2 ⋅ 6 = ⋅ 3 = 2 (тижня). 3 3
512. Учень — x — обсяг роботи 70 хв 7 7 = x , тому що Майстер — 30 хв 3 3 7 x + x = 1 — повний обсяг робіт; 3 10 x =1 3 10 3 x = 1: = 1⋅ 3 10 3 7 3 7 x= , ⋅ = — частини від загального обсягу робіт, виконаних 10 3 10 10 учнем і майстром відповідно; 7 7 3 ⋅ 70 = ⋅ 30 = 21 (хв). 10 10 70
18 3 ⋅ 90 = 54° . 5
514. 1)
20 5 ⋅ 180 = 100° ; 9
3) 100 − 50 = 50° або 515.
7 2 ⋅ 35 = 14 (кг). 5
516.
3 3 ⋅5 = (кг). 5 25 5
2)
20 5 ⋅ 90 = 50° ; 9
10 5 5 ⋅ (180 − 90 ) = ⋅ 90 = 50° . 9 9
МАТЕМАТИКА
513.
270 1 ⋅ 1080 = 270 (грн.); 4 4 1080 2) = 4 (рази). 270
2)
200 2 ⋅ 3000 = 400 (грн.); 15 80 4 ⋅ 400 = 320 (грн.); 5
.n
518. 1)
et
517. 1)
ld z
3) 3000 + 400 + 320 = 3720 (грн.).
60 1 ⋅ 120 = 60 ; 2 60 40 1 1 ⋅ 120 − ⋅ 120 = 60 − 40 = 20 . 3) 60 − 40 = 20 або 3 2
519. 1)
40 1 ⋅ 120 = 40 ; 3
2)
3 2 3 2\4 3 8−3 5 1 − = − = = = . 5 3 20 5 20 20 20 4 4
521.
3 2 3 2 2\2 1 4 − 1 ⋅ − ⋅ = − = = 0, 3 . 5 3 20 10 3 5 6 10
al
520.
522. 1)
7 6 7−6 1 1 1 1 ⋅ 14 − ⋅ 12 = = (км) — через год; 2 2 4 42 42
2) 1
7 1 3 3 7 7 ⋅14 − 1 ⋅12 = (14 − 12 ) = ⋅ 2 = =3 . 2 2 4 4 4 42
29 1 1 ( 60 + 56 ) = ⋅ 116 = 29 (км); 4 4 1 2) 85 − 29 = 56 (км) — через год; 4
523. 1) S = t ⋅ ( V1 + V2 ) =
3 3 ⋅ 116 (60 + 56) = 85 − 8 8 3 через год. 8
3) 85 −
29
= 85 −
87 1 1 = 85 − 43 = 41 (км) — 2 2 2
71
10 360 ⋅ 36 = ; 11 11 10 140 SB = ⋅14 = ; 11 11
МАТЕМАТИКА
524. SM =
25 −
360 − 140 220 = 25 − 11 11
20
= 25 − 20 = 5 (км). 5
2⎞ 1 15 49 15 49 ⎛ = ⋅ = = 24, 5 (км). 525. S = ( VK − VT ) ⋅ t = ⎜ 18 − 1 ⎟ ⋅1, 5 = 16 ⋅ ⎝ 3⎠ 3 10 2 3 10 2 1⎞ 3 1 3 53 ⋅ 3 159 ⎛ = = 15, 9 (км); 526. S2 = ( VK + VT ) ⋅ t = ⎜ 24 + 2 ⎟ ⋅ = 26 ⋅ = ⎝ 2⎠ 5 2 5 10 10
2 x = 0, 35 ⋅ 60 3 2 3 63 x = 21 : = 21 ⋅ = = 31, 5 ; 3 2 2
3 x = 0, 12 ⋅ 0, 5 5 3 x = 0, 06 5 6 3 18 x= ⋅ = = 0, 036 . 100 5 500
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ частини від загального обсягу робіт I, II і III сіва⎬ ⎪ лок відповідно ⎪ ⎪ ⎭
ld z
52 x = 2x 26 52 4 II c. − x= x 39 3 III c. − x
б)
.n
527. а)
et
1⎞ 1 1\5 1\5 ⎛ S2 = ( VK − VT ) ⋅ t = ⎜ 24 − 2 ⎟ ⋅1 = 21 ⋅1 = 21, 5 ⋅1, 5 = 32, 25 ; ⎝ 2⎠ 2 2 2 S = S1 + S2 = 15, 9 + 32, 25 = 48, 15 (км).
al
528. I c. −
2x +
4 x + x =1 3
13 x =1 3 3 x= — III с. 13
4 4 3 4 x= ⋅ = — II с. 3 3 13 13
2x = 2 ⋅
3 6 = — I с. 13 13
2 3 4 3 4 6 ⋅ 26 = ⋅ 39 = ⋅ 52 = 12 (ГОД). 13 13 13 5
529.
20 5 = — частина від загального обсягу робіт, виконана I бригадою. 36 3 9 5 4 = — частина від загального обсягу робіт, виконана II бригадою. 9 9 4 5 ⋅ x = ⋅ 36 = 20 9 9 5 9 4 x = 20 : = 20 ⋅ = 45 (днів). 9 4
1−
72
530. a = x; b = 2x − ? P = ( x + 2x ) ⋅ 2 = 1 3 2 3 x = :6 = 2 1 b = 2− = 4
1 2
531.
3 1 1 ⋅ = (м) 2 62 4 1 (м). 2
15 13 5 13 30 00 1 30 00 1 ⋅6 − ⋅ 2 = 30 ⋅ − 30 ⋅ = 15 ⋅13 − 5 ⋅13 = 13 (15 − 5 ) = 130 . 6 2 2 100 6 100
МАТЕМАТИКА
6x =
2
532. 6 −
124 6 2 6 62 ⋅ 20 = 6 − ⋅ =6− = 6 − 1, 24 = 4, 76 (грн.). 100 100 3 100 3 2
10 2 10 17 34 ⋅3 = ⋅ = = 0, 34 (кг). 100 5 100 5 100
et
533.
5 1 ⋅ = 5, 01 (дм). 100 5 2 2 S2 − S1 = ( 5, 01) − ( 5 ) = 25, 1001 − 25 = 0, 1001 дм2 = 10, 01 см2 .
.n
534. 5 +
(
)
(
)
175
350 1 350 7 ⋅ 3 = 350 + ⋅ = 350 + 1,75 ⋅7 = 350 + 12, 25 = 362, 25 (грн.); 100 2 100 2
ld z
535. а) 350 +
70
б) 350 −
1820 350 1 350 26 ⋅ 5 = 350 − ⋅ = 350 − = 350 − 18, 20 = 331,8 80 (грн.). 100 100 5 100 5
9 7 4 = 36 ⋅ = 63 (см); 7 4 S = 36 ⋅ 63 = 2268 см2 = 22, 68 дм2 .
al
536. b = 36 :
(
537. a = 49 :
)
(
)
7 5 7 = 49 ⋅ = 35 (см); 5 7
P = ( 49 + 35 ) ⋅ 2 = 168 (см). 1 = 24 ⋅ 5 = 120 (га) — усе поле; 5 120 − 24 = 96 га.
538. 24 :
10 = 1450 (кг) — уся карт. 6 1450 − 870 = 580 (кг).
539. 870 : 0, 6 = 870
145
⋅
3
2⎞ 7 21 9 27 ⎛ 540. 2, 1 : ⎜ 1 − ⎟ = 2, 1 : = ⋅ = = 2, 7 (гр). ⎝ 9⎠ 9 10 7 10
73
541. y — відстань від А до В х — пройдена відстань 2 y 5 y = x + x + 52 , замінимо х
МАТЕМАТИКА
x=
2 2 y + y + 52 5 5 2 2 y − y − y = 52 5 5 1 y = 52 5 1 y = 52 : = 52 ⋅ 5 5 y = 260 (км). y=
et
542. х — обсяг роботи, виконаної II кухарем
ld z
.n
3 60 3 x — обсяг роботи, виконаної I кухарем, тому що = 2 40 2 3 x + x = 1 — весь обсяг роботи; 2 5 x =1 2 5 2 x = 1: = — частина II кухаря від загального обсягу робіт; 2 5 8 12 2 3 ⋅ 40 = ⋅ 60 = 24 (хв). 5 5 543. х — частина об’єму, заповненого II трубою
al
3 год 3 x — частина об’єму, заповненого I трубою, тому що 2 год 2 3 x + x = 1 — весь об’єм; 2 5 x =1 2 5 2 x = 1: = 2 5 2 3 6 1 ⋅ 3 = ⋅ 2 = год = 1 ( год ) = 1 год 12 хв . 5 5 5 5
544. 110 га — 100%− 12% = 88% 10
110 : 0, 88 = 110 ⋅
100 1000 = = 125 (га). 8 88 8
545. 100 − 36 = 64% 15
74
1 : 0, 64 = 1 ⋅
9 100 =1 (кг). 16 64 16
546. 100 − 88 = 12% 50
100 = 250 (кг). 12 2 50
547. 162 : 0, 12 = 162
27
⋅
100 = 1350 (грн.). 12 2
548. 100 − 40 = 60% — легкові; 10 = 70 → (100 − 30 = 70%) (маш.) 6 10 70 : 0, 7 = 70 ⋅ = 100 (маш.). 7 7
42 : 0, 6 = 42 ⋅
МАТЕМАТИКА
5
30 : 0, 12 = 30 ⋅
549. 100 − ( 40 + 35 ) = 25%→ 90 (га); 100 = 360 (га). 25
550. 100 − 15 = 85%→ 850 грн.;
100 = 1000 (грн.). 85
.n
10
850 : 0, 85 = 850 ⋅
et
4
90 : 0, 25 = 90 ⋅
551. 1) 180 + 180 ⋅ 0, 2 = 180 + 36 = 216 (грн.);
ld z
2) 216 − 216 ⋅ 0, 1 = 216 − 21, 6 = 194, 40 (грн.). 552. 6 га → 100 − 30 = 70% \4
100 = 8 (га) — в II день; 75 3 8 + 2 = 10 → 50%
6; 0, 75 = 6 ⋅
al
10 ⋅ 2 = 20 (га).
553. х — I і III комбайнери; 0, 4x — II комбайнер;
0, 4x + 28 — III комбайнер; x = 0, 4x + 0, 4x + 28 x − 0, 4x − 0, 4x = 28 0, 2x = 28 x = 28 : 0, 2 = 140 (га) → 100 − 30 = 70% 140 : 0, 7 = 140
554. а) 0, 3 = в)
20
⋅
10 = 200 (га). 7
3\3 9 1\10 10 = < = ; 10 30 3 30
2\4 8 3\3 9 = < = . 3 12 4 12
б) 0, 35 =
35 3\20 60 < = ; 100 5 100
75
555. а)
3\3 2\5 9 + 10 19 4 + = = =1 ; 5 3 15 15 15 41
1 1\100 35\3 100 + 105 205 41 ; + 0, 35 = + = = = 60 3 3 100 300 60 300 \4 \3 2 1 8−3 5 − = = . в) 3 4 2 12
МАТЕМАТИКА
б)
556. а) 2x + 1, 8 = 7, 8
б) 35, 7 − 4x = 0, 1
2, 4x = 7, 8 − 1, 8
4x = 35, 7 − 0, 1 = 35, 6
2, 4x = 6
x = 35, 6 : 4 = 35, 6 ⋅ 5
x=2
557.
1 ; 2
1\5 = 0, 5 ; 2
10 5 = 24 4 2
3\25 = 0, 75 ; 4
x=
356 10
89
et
x = 6 : 2, 4 = 6 ⋅
1 4 1 89 ⋅ = = 8, 9 . 4 10
4 \2 = 0, 8 ; 5
7 \5 = 0, 35 . 20
.n
558. ( 3, 89 + 2, 98 ) − ( 3, 89 − 2, 98 ) = 3, 89 + 2, 98 − 3, 89 + 2, 98 = 5, 96 .
(
)
559. ( 0, 2 + 0, 3 ) − 0, 22 + 0, 32 = 0, 5 − ( 0, 04 + 0, 09 ) = 0, 5 − 0, 13 = 0, 37 .
(
)
560. (1, 5 + 0, 6 ) − 1, 52 + 0, 62 = 2, 12 − ( 2, 25 + 0, 36 ) = 4, 41 − 2, 61 = 1, 8 .
ld z
2
(
)
561. S1 = 1, 52 = 2, 25 см2 ;
(
S2 = 15 = 225 см 2
2
);
al
S2 2, 25 = = 100 (разів). S1 2, 25
§ 15. Перетворення звичайних дробів у десяткові
5 1 = ; 10 2 12 6 1 1, 2 = = =1 ; 10 5 5
565. 0, 5 =
3, 08 = 3
566.
76
8 2 =3 ; 100 25
13 ; 100 75\3 3 2, 75 = 2 =2 ; 100\4 4 0, 13 =
11, 11 = 11
39 ; 100 3 12, 3 = 12 ; 10 0, 39 =
11 . 100
3 = 0, 3 ; 10
17 = 1, 7 ; 10
9 = 0, 09 ; 100
103 = 1, 03 ; 100
5 = 0, 005 ; 1000
7 \5 = 0, 35 ; 20
3 = 0, 06 ; 30
17\2 = 0, 34 . 50
1\5 = 0, 5 ; 2
2\2 = 0, 4 ; 5
3 = 0, 6 ; 5
3\5 = 1, 5 ; 2
7 \5 = 3, 5 ; 2
2 1\5 = = 0, 5 ; 4 2
15 = 0, 6 ; 25
18 3\5 = = 1, 5 ; 2 12 2
3
10\7 = 0, 4 ; 25
4 1 = = 0, 5 . 82 2
2
1 = 2, 2 ; 5
3
2\2 = 3, 4 ; 5
1
3\25 = 1, 75 ; 4
4
1\4 = 4, 04 ; 25
1
3 = 1, 0 ( 54 ) ; 55
5
1\125 = 5, 125 ; 8
7
3\125 = 7, 375 . 8 2
6 2\2 = = 0, 4 ; 5 15 5
9 1 = = 0, 5 ; 18 2 2
9 3\5 = = 1, 5 ; 2 62
5
45 5\25 = = 1, 25 ; 4 36 4
\3
в)
2
1\25 + 0, 75 = 0, 25 + 0, 75 = 1 ; 4
б)
2
1 3 = 2 = 2, 5 . 2 62
3\2 + 0, 4 = 0, 6 + 0, 4 = 1 ; 5
1 + 0, 8 = 0, 2 + 0, 8 = 1 . 5
1\5 − 0, 5 = 3, 5 − 0, 5 = 3 ; 2 1\2 = 5, 3 − 2, 2 = 3, 1 . в) 5, 3 − 2 5
571. а) 3
572. а)
6
18 6 \2 = = 1, 2 ; 5 15 5
14 2\2 = = 0, 4 ; 5 35 5
al
570. а)
3
9 3\25 = = 0, 75 ; 4 12 2
.n
3 1\5 = = 0, 5 ; 2 62
ld z
569.
et
1 = 1, 5 ; 2
568. 1
МАТЕМАТИКА
567.
7 \5 + 1, 05 = 0, 35 + 1, 05 = 1, 4 ; 20
573. a = 2
б) 4
2\2 − 0, 2 = 4, 4 − 0, 2 = 4, 2 ; 3
б) 2, 4 −
3\4 = 2, 4 − 0, 12 = 2, 28 . 25
1\25 − 1, 5 = 2, 25 − 1, 5 = 0, 75 (м); 4
P = ( a + b ) ⋅ 2 = ( 0, 75 + 2, 25 ) ⋅ 2 = 6 (м).
77
3\2 ⎛ км ⎞ = 27, 5 + 2, 6 = 30, 1 ⎜ ; ⎝ год ⎟⎠ 5 км ⎛ ⎞ V1 = VК − VТ = 27, 5 − 2, 6 = 24, 9 ⎜ . ⎝ год ⎟⎠
⎛ 3\2 ⎞ : 2 = ( 3, 4 + 0, 6 ) : 2 = 4 : 2 = 2 ; 575. а) ⎜ 3, 4 + 5 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 9\2 ⎞ б) ⎜ 0, 02 + : 2 = ( 0, 02 + 0, 18 ) : 2 = 0, 2 : 2 = 0, 1 . 50 ⎟⎠ ⎝
576. а) 3
577. а) в)
б) 12
126\8 = 1, 008 ; 125
г)
4 = 0, 2 ( 6 ) ; 15 25 = 1, 041 ( 6 ) ; 24
1\625 = 12, 0625 ; 16
17\3125 = 0, 53125 . 32
et
в)
7 \4 = 3, 28 ; 25
б)
11 = 0, 91 ( 6 ) ; 12
г) 1
1 = 1, 0 ( 5 ) . 18
.n
МАТЕМАТИКА
574. V1 = VК + VТ = 27, 5 + 2
ld z
⎛ 3\25 ⎞ 578. а) ⎜ 1 + 2, 25⎟ : 2 = (1, 75 + 2, 25 ) : 2 = 4 : 2 = 2 ; ⎝ 4 ⎠
⎛ 1\125 ⎞ 3\25 б) ⎜ 2 +3 + 5, 125⎟ : 2 = ( 2, 125 + 3, 75 + 5, 125 ) : 2 = 11 : 2 = 5, 5 . 8 4 ⎝ ⎠
al
⎛ 1\25 ⎞ : 2 = ( 4, 25 + 2, 25 ) : 2 = 6, 5 : 2 = 3, 25 ; 579. а) ⎜ 4, 25 + 2 4 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 2\2 ⎞ 3\5 б) ⎜ 3 +2 + 1, 15⎟ : 3 = ( 3, 4 + 2, 15 + 1, 15 ) : 3 = 6, 7 : 3 = 2, 2333... . 20 ⎝ 5 ⎠
⎛ 7\125 ⎞ 580. ⎜ 3 + 2, 25⎟ = ( 3, 875 + 2, 25 ) = 6, 125 8 ⎝ ⎠ ⎛ 7\125 ⎞ ⎜⎝ 3 8 − 2, 25⎟⎠ : 2 = ( 3, 875 − 2, 25 ) : 2 = 1, 625 : 2 = 0, 8125 6, 125 − 0, 8125 = 5, 3125 . 581. I ч − x II ч − x + 0, 5
78
x + x + 0, 5 = 3
5 6
1 5\5 5\3 25 − 15 10 − = 3+ = 3+ =3 3 6 10 30 30 3 10 10 1 10 x= :2 = ⋅ = 3 3 2 6 x + 0, 5 =
1 10\5 5\3 50 + 15 65 5 + = = =2 =2 . 6 6 10 30 30 30 6 17
2 51 2 17 2 = ⋅ = ( км ) = 3 5 ( км ) ; 3 5 3 5 10 3 2 3\5 2\4 15 − 8 7 \5 S2 = S − S1 = 9 − 3 = 9 − 3 + − =6+ =6 = 6, 35 (км); 20 4 5 4 5 20 7 2 127 3 381 V2 = S2 : t = 6 : = ⋅ = = 9, 525 (км/год). 20 3 20 2 40
582. S1 = V1 ⋅ t = 5, 1 ⋅
4 ; 9 7 21 7 в) 0, (21) = = ; 99 33 33
МАТЕМАТИКА
2x = 3
8 ; 9 1 1 3 г) 8, 0(3) = 8 =8 . 30 90 30
583. а) 0, ( 4 ) =
et
б) 3, (8) = 3
.n
584. ( 3, 7 − 1, 5 ) : 4, 4 = 2, 2 : 4, 4 = 0, 5 < 16 − 1, 32 16 − 1, 32 = 16 − 1, 69 = 14, 31 .
б) 43 − 2, 4x = 13
ld z
585. а) 2, 5x = 4, 8
x = 4, 8 : 2, 5 48\4 x= = 1, 92 ; 25
2, 4x = 43 − 13 x = 30 : 2, 4 5
x = 30 ⋅
al
в) x : 2, 5 = 1, 4
10 50 = = 12, 5 ; 4 24 4
x = 1, 4 ⋅ 2, 5 7
x=
5
14 25 35 ⋅ = 10 2 10 5 10
x = 3, 5 . 586. 4 +
1 1 = 4 = 4, 25 4 4
0, 25 + 1 : 0, 25 = 0, 25 +
4
100 = 4, 25 . 25
587. a = b = x ; c = x + 3 P = 2x + ( x + 3 ) = 63 3x = 63 − 3 = 60 ; x = 60 : 3 = 20 (см); с = 20 + 3 = 23 (см).
79
588. a = b = x + 5 ; c = x P = ( x + 5 ) ⋅ 2 + x = 40 2x + 10 + x = 40
МАТЕМАТИКА
3x = 40 − 10 = 30 x = 30 : 3 = 10 (cм) a = b = 10 + 5 = 15 (см). 589. α = β + γ → α − γ = β α = γ + 30 → α − γ = 30o β = 30o
( 30 + γ ) + 30 + γ = 180 2γ + 60 = 180 2γ = 180 − 60 = 120 γ = 120 : 2 = 60o
et
α = 30 + 60 = 90o .
590. 1500 − 0, 1 ⋅1500 = 1500 − 150 = 1350 (грн.).
.n
591. 12 годин.
594.
ld z
§ 16. Наближені значення і дії з ними 9 = 0, 82 ; 11
595. а)
9 = 0, 818 . 11
3 = 0, 38 ; 8
5 = 0, 45 ; 11
в) 1
5 = 1, 56 ; 9
г) 8
1 = 8, 08 . 12
2 = 3, 5 + 0, 67 = 4, 17 ; 3
al
596. а) 3, 5 +
б)
12 − 0, 235 = 0, 8 − 0, 235 = 0, 57 ; 15 4 в) 3, 7 + = 3, 7 + 0, 44 = 4, 14 . 9 б)
597. а) 6, 7569 +
5 = 6, 757 + 0, 833 = 7, 59 ; 6
1 − 0, 3747 = 2, 333 − 0, 375 = 1, 958 ; 3 3 в) 3, 1807 − 1 = 3, 181 − 1, 176 = 2, 005 . 17 б) 2
598. а) 32, 5 + 9, 437 = 41, 9 ;
б) 0, 234 + 1, 72 = 1, 95 .
599. 34, 256 − 21, 8 = 12, 5 . 600. а) 2, 31 + 1, 407 = 3, 72
80
б) 5, 321 + 0, 04 = 5, 36
2, 31 ⋅1, 407 = 3, 25
5, 321 ⋅ 0, 04 = 0, 21
2, 31 : 1, 407 = 1, 64 ;
5, 321 : 0, 04 = 133, 03 ;
в) 127, 5 + 0, 012 = 127, 5 127, 5 ⋅ 0, 012 = 1, 5 601. а) P = ( 3, 41 + 2, 85 ) ⋅ 2 = 6, 26 ⋅ 2 = 12, 52 (м); S = 3, 41 ⋅ 2, 85 = 9, 72 (м2); б) P = ( 5, 8 + 4, 25 ) ⋅ 2 = 10, 05 ⋅ 2 = 20, 1 (дм) S = 5, 8 ⋅ 4, 25 = 24, 7 (дм2). 602. P = ( 2, 85 + 4, 35 ) ⋅ 2 = 7, 2 ⋅ 2 = 14, 4 (см); S = 2, 85 ⋅ 4, 35 = 12, 4 (см2). 603. а) 6x = 19
МАТЕМАТИКА
127, 5 : 0, 012 = 10 625 .
б) 11y = 5
19 x= = 3, 17 ; 6
y=
г) 0, 6x = 1, 3
et
в) 12c = 7 7 c= = 0, 58 ; 12
5 = 0, 45 ; 11
x = 1, 3 : 0, 6 = 2, 17 .
.n
604. Розмір підручника: a ⋅ b = 14, 6 см ⋅ 22, 1 см, h = 2 см S = 14, 6 ⋅ 22, 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 22, 1 = 645, 32 + 44, 2 = 689, 5 (см2).
ld z
605. а) 8, 3 ⋅ 2, 83 − 4 = 23, 489 − 4 = 19, 489 ;
б) 0, 28 ⋅1, 04 + 0, 3 = 0, 2912 + 0, 3 = 0, 5912 ; в) 15, 7 ⋅ 3, 24 − 2, 1 = 50, 868 − 2, 1 = 48, 768 . 606. а) від 1 до 17 включно;
al
б) від 4 до 12 включно. 607. а) 0, 35 ⋅ 34 = 119 (км);
б) 0, 35 ⋅ 86 = 30, 1 (кг);
608. а) x + 2 x = 90 3x = 90
в) 0, 35 ⋅ 320 = 112 (га); г) 0, 35 ⋅ 83, 4 = 29, 19 (грн.). б) x + 0, 5x = 90 1, 5x = 90
x = 90 : 3 = 30o − α
x = 90 : 1, 5 = 60o − α
2x = 30 ⋅ 2 = 60 − β ;
0, 5x = 0, 5 ⋅ 60 = 30o − β .
o
609. Якщо одна сторона поля a = x , то друга — b = 2x . P = ( x + 2x ) ⋅ 2 = 0, 6 6x = 0, 6 x = 0, 6 : 6 x = 0, 1 (км) 2x = 0, 1 ⋅ 2 = 0, 2 (км)
(
)
S = 0, 1 ⋅ 0, 2 = 0, 02 км2 = 2 ( га ) .
81
Самостійна робота № 3 Варіант 1 2
МАТЕМАТИКА
1.
а)
2 6 8 1 ⋅ = =1 ; 7 7 3 7
2 x = 46 3 x = 46 :
б) 1 − 23 3 2 = 46 ⋅ 3 2
3.
150 2 ⋅ 450 = 300 ; 3
4.
3 3 10 6 3 : 0, 8 = ⋅ = = . 5 8 8 4 5 2 5
ld z
⎛ 2\2 ⎞ x = 4⎜x −2 5 ⎟⎠ ⎝
.n
P−x
300 − 72 = 228 .
et
0, 15 ⋅ 480 = 72 ;
2
a−x −2
x = 0, 5 5
x 5 = 1 − 0, 5 = 0, 5 = 5 10 5 25 x= ⋅5 = = 2, 5 . 10 10
x = 69 ;
5.
2 7 7 15 : = ⋅ =3 ; 5 15 5 7
4 3 32\3 1\5 96 − 5 91 1 ⋅ = − = = =3 . 10 6 30 30 30 93 82
в) 3, 2 −
2. a)
3
б) 1
x = 4x − 4 ⋅ 2, 4 4x − x = 9, 6
x = 9, 6 : 3 = 3, 2 (м);
a = 3, 2 − 2, 4 = 0, 8 (м);
al
S = 0, 8 ⋅ 0, 8 = 0, 64 (м2).
Варіант 2
2
1.
а)
3 8 2 ⋅ = ; 4 93 3
в) 2, 4 −
2. а)
82
1 7 7 9 : = ⋅ =3; 3 9 3 7
3 2 24 3 5 24 3\5 24 − 15 : = − ⋅ = − = = 0, 9 ; 5 5 10 5 2 10 2 10
3 x = 18 4 6 4 3 x = 18 : = 18 ⋅ 4 3 x = 24 ;
3.
3
б) 2
0, 45 ⋅120 = 54
б) 1, 3 −
x =1 5
x = 1, 3 − 1 = 0, 3 5 3 15 x= ⋅5 = = 1, 5 . 10 10 30 1 ⋅ 210 = 30 7
54 − 30 = 24 .
2
4.
1 1 100 4 2 : 0, 75 = ⋅ = . 2 3 2 75 3
5.
P−x 1 4
МАТЕМАТИКА
a−x −2
1⎞ ⎛ x = 4⎜x −2 ⎟ ⎝ 4⎠ x = 4x − 4 ⋅
9 4
3x = 9 9 = 3 (м) 3 1 3 a = 3−2 = (м) 4 4 x=
3 4 9 ⋅ = (м2). 4 3 16
et
S=
3
1.
а) 1, 2 ⋅
.n
Варіант 3
3
5 12 5 3 = ⋅ = ; 8 10 2 8 2 4
б) 2, 1 : 1
2
3 21 4 6 1 = ⋅ = =1 ; 4 10 5 7 5 5
3
2. а)
ld z
1 2 7 1 2 15 1\7 6\2 7 + 12 19 5 + : = + ⋅ = + = = =1 . 2 5 15 2 5 7 2 7 14 14 14
в)
3 1 x+ =2 8 3
al
3 1 x = 2 −1 8 3 2 3 x =1 : 3 8 5 8 40 x= ⋅ = 3 3 9 4 x=4 ; 9
3.
13 39 3 ⋅ 260 = = 1, 95 20 400 20
б)
1 (x − 2) = 0, 5 3
x−2 =
x = 1, 5 + 2 x = 3, 5 .
1, 2 ⋅ 2, 4 = 2, 88
4.
1 1 1 1 10 1 1 :3 ⋅ = : ⋅ = ⋅ 30 = 15 . 2 3 100 2 3 100 10 2
5.
a=2 S=
5 1 5 : = ⋅ 3 = 1, 5 10 3 10
2, 88 − 1, 95 = 0, 93 .
5 2 17 3 17 : = ⋅ = (м); 6 3 62 2 4
17 17 289 1 ⋅ = = 12 (м2). 6 4 24 24
83
Варіант 4 2
1.
2
6 20 14 а) 2 ⋅1, 4 = ⋅ =4; 7 7 10
МАТЕМАТИКА
5
б) 5
1 11 10 5 : 2, 2 = ⋅ = = 2, 5 ; 2 2 22 2 2 2
в)
5 3 13 5 3 14 5\3 2\3 15 − 8 7 − :1 = − ⋅ = − = = . 12 7 14 12 7 27 9 12 9 36 36 1 ; 8 \125 1 1, 25x = 3 8
2. а) 1, 25x − 3 =
б)
3 (x + 2) = 2, 4 4 24 3 x+2= : 10 4 8
24 4 ⋅ = 3, 2 10 3 x = 3, 2 − 2 = 1, 2 .
x+2=
x = 3, 125 : 1, 25
et
x = 2, 5 ;
2
3 1 3 10 ⋅3 = =2 5 3 5 3
0, 035 ⋅ 32 = 1, 12
4.
6 2 1 6 8 6 300 12 \3 :2 ⋅ = : = ⋅ =9 . 25 3 100 25 300 25 1 84
5.
b=3
2 − 1, 12 = 0, 88 .
.n
3.
ld z
3
2
10 8 80 8 ⋅ = =8 (м2). 3 3 9 9
al
S=
1 5 10 4 8 : = ⋅ = (м); 3 4 3 5 3
Завдання в тестовій формі
1.
г)
4. в)
7. б)
2.
б)
5. а)
8. в)
3.
г)
6. в)
9. в)
Типові задачі 1.
а)
3 5 15 ⋅ = ; 4 7 28
б)
3 7 3 9 27 : = ⋅ = ; 4 9 4 7 28
2.
а)
1\25 = 0, 25 ; 4
б)
21\2 42 = = 4, 2 . 5 10
3.
84
30 3 ⋅ 120 = 90 . 4
3 4 3 3 1 x = :3 = ⋅ 4 4 3 1 x= ; 4
а) 3x =
б)
3 x = 15 5 5 5 3 x = 15 : = 15 ⋅ 5 3 x = 25 .
МАТЕМАТИКА
4.
25 5 2 = 50 ⋅ = 125 (грн). 5 2
5.
50 :
6.
а) 4
7.
а) 12
8.
v2 = v1 : 70% = 9
2
1 3 17 8 2 :6 = = ; 4 8 4 51 3 3 8 3 27 б) 3 ⋅ 64 = ⋅ 64 = 216 . 8 8 4
et
2 2 7 8 2 2 116 9 :3 − 3 = ⋅ −3 = 4−3 = ; 9 9 9 9 9 9 9 29 3 7 ⎛ 7\5 6\2 ⎞ 30 35 − 12 30 23 30 3 1 ⎛ 3 ⎞ б) ⎜ 1 − 0, 6 ⎟ ⋅1 =⎜ − ⋅ = =1 . ⋅ = ⋅ = = ⎟ ⎝ 4 ⎠ 23 ⎝ 4 10 ⎠ 23 20 23 2 2 20 2 23 4
.n
1 28 10 40 : 0, 7 = ⋅ = ; 3 3 3 7 17 S 3 17 ⎛ 40 28 ⎞ 34 t= = 3, 4 : ⎜ − = ⋅ = (ч). ⎝ 3 v2 − v1 3 ⎟⎠ 10 12 6 2 20
ld z
Розділ 3. Відношення і пропорції § 17. Відношення
614. а) 3 : 5 ;
б) 12 : 7 ;
в) 0, 5 : 2, 5 ;
2 ; 7 6 7 6 10 6 : = ⋅ = ; в) 10 10 10 7 7
al
615. а)
616. а)
204 60
17 5
2002 в) 77 1
=
=
13 ; 9 3 7 7 г) 1 : = 1 ⋅ = . 7 3 3
б)
б)
260 5 = ; 104 2 2
26 = 26 . 1
617. а) 0, 5 : 0, 4 = 1, 25 ;
618. а)
1 2 : . 3 5
5
17 ; 5
26
г)
б) 0, 7 : 3, 5 = 0, 2 ;
1 1 1 5 : = ⋅5 = ; 2 5 2 2
б)
в) 4, 5 : 0, 15 = 30 .
5 5 1 5 : = ⋅3 = ; 2 6 3 62
5
в) 2
1 13 10 5 : 1, 3 = ⋅ = . 6 3 6 3 13
85
3 ; 4 7 1 = . в) 7 г : 140 г = 140 20 20
МАТЕМАТИКА
619. а) 3 км : 4 км =
б) 15 кг : 45 кг =
26
34 1 = ; 102 3 3
620. а) 34 : 102 =
б) 130 : 225 =
130 26 = ; 225 45 45
г) 101 : 505 =
101 1 = . 505 5 5
14
в) 224 : 48 =
224 14 = ; 3 48 3
621. а) 0, 2 : 0, 9 = 2 : 9 ;
б)
1\5 32 5 = : = 32 : 5 ; 2 10 10
622. а) 0, 05 : 0, 25 = 5 : 25 ;
б)
3\3 4 9 4 : = : = 9:4 ; 5 15 15 15
1 3\3 1\10 9 10 = : = : = 9 : 10 ; 3 10 3 30 30
1 3 4 = : = 3:4 . 3 3 3
623. а) 1, 2 : 24 =
12 24\10 : = 12 : 240 = 1 : 20 ; 10 1
7\7 8\8 49 64 : = : = 49 : 64 ; 8 7 56 56
2\2 4 2 : 0, 2 = : = 4 : 2 = 2 :1 ; 5 10 10
al
б)
1 5 7\2 5 14 5 : = : = : = 14 : 5 . 3 6 3 6 6 6
ld z
г) 1 : 1
г) 2
.n
в) 0, 3 :
1\3 2\2 3 4 : = : = 3:4 ; 2 3 6 6
et
в) 3, 2 :
15 1 = ; 45 3 3
в)
г) 3
2 2 17\3 17\5 51 85 :5 = : = : = 51 : 85 = 3 : 5 . 5 3 5 3 15 15
624. а) 4 : 5 = б)
4 5 < 5:6 = ; 5 6
1 1 3 1 1 1 4 1 : = =1 > : = =1 . 2 3 2 2 3 4 3 3
625. а) 3 м : 2 м =
3 1 = 1 = 1, 5 ; 2 2
б) 1 м : 44 дм = 10 дм : 4 дм = 10:4 =
86
10 = 2, 5 ; 4
в) 700 г : 3,5 кг = 700 г : 3500 г = 700:3500 =
700 1 = = 0, 2 ; 3500 5
г) 10 м2 : 5 м = 2 м; ґ) 3 см2 : 0,6 см2 = 5 см;
626. AB = AC + CB = 2 + 3 = 5 а) AC : AB = 2 : 5 =
2 = 0, 4 ; 5
627. a + b = 120 a а) = 2 ; a = 2b b
б) CB : AB = 3 : 5 =
б)
a = 0, 5 ; a = 0, 5b b 0, 5b + b = 120
3b = 120
1, 5b = 120
b = 120 : 3 = 40
b = 120 : 1, 5 = 80
et
2b + b = 120
a = 0, 5 ⋅ 80 = 40 ;
a = 2 ⋅ 40 = 80 ;
a 40 = = 0, 5 ; b 80
.n
a 80 = =2; b 40 2 a 2 = ; a= b 3 b 3 2 b + b = 120 3 2 1 b = 120 3 24 3 2 b = 120 : 1 = 120 = 72 3 51 24 2 a = ⋅ 72 = 48 3
г)
4 a 4 =3 ; a=3 b 5 b 5 4 3 b + b = 120 5 4 4 b = 120 5 5 5 4 b = 120 : 4 = 120 = 25 5 24 5 4 19 25 = 95 a = 3 ⋅ 25 = 5 5
al
ld z
в)
3 = 0, 6 . 5
МАТЕМАТИКА
д) 5 км : 0,5 год = 10 км/год.
2
a 48 2 = = ; b 72 3 3
19
a 95 19 4 = = =3 . b 5 5 25 5
628. 12 + 18 = 30 (учнів) 2
а)
12 2 = ; 30 5 5
б)
18 3 = ; 30 5
2
в)
12 2 = . 18 3 3
629. 1 : 4 000 000 = 11 : 44 000 000 = 440 км. 630. 6 см : 300 км = 6 см : 30 000 000 см = 1 см : 5 000 000 см = 1 : 5 000 000. 631. a = 2, 8 см; b = 4, 8 см 1 : 2000 = 2,8 : 5600 = 2,8 см : 56 м 1 : 2000 = 4,8 : 9600 = 4,8 см : 96 м S = 56 ⋅ 96 = 5376 (м2).
87
МАТЕМАТИКА
632. 1 : 500 000 5 0
5
10
15
20 км
633. 1 см : 80 км = 1 см : 8 000 000 см = 1 : 8 000 000. 634. 0, 02 ⋅ 2400 = 48 ; 0, 05 ⋅ 2400 = 120 ; 0, 1 ⋅ 2400 = 240 ; 0, 4 ⋅ 2400 = 960 ; 1, 2 ⋅ 2400 = 2880 . 635. а) 3, 27 ⋅12, 5 − 3, 27 ⋅ 2, 5 − 32, 7 = = 3, 27(12, 5 − 2, 5) − 32, 7 = 3, 27 ⋅10 − 32, 7 =
et
= 32, 7 − 32, 7 = 0 ;
б) (56, 2 ⋅ 35, 4 + 43, 8 ⋅ 35, 4) : 354 =
= 35, 4 ⋅ (56, 2 + 43, 8) : 354 = 35, 4 ⋅100 : 354 =
2 1 x + 4, 5 = 6 3 2 2 1\5 x=6 − 4, 5 = 6, 5 − 4, 5 = 2 3 2 2 3 x = 2: = 2 ⋅ = 3 3 2
1 5 1\2 3x = 12, 7 − = 12, 7 − 0, 2 5
б) 12, 7 − 3x =
ld z
636. а)
.n
= 3540 : 354 = 10 .
3x = 12, 5
x=3 ;
5
x = 12, 5 : 3 =
al
x=
5 . 12
125 1 125 ⋅ = 100 3 300 12
637. S = Vм ⋅ tм = 40 ⋅ 3 = 120 (км); tab =
S = 120 ⋅ 60 = 2 (год). Vab
§ 18. Імовірність випадкової події 644. а)
2 1 = ; 4 2
645. а)
6 2 = ; 27 9
г) 0;
646.
88
2 1 = . 28 14
б)
12 4 = ; 27 9 1 ; ґ) 27
б)
1 . 4 в)
8 ; 27
д) 0.
10 1 = . 250 25
649. а)
б)
2 1 = ; 28 14
650. P ( A ) =
б)
3 ; 28
в)
в)
1 ; 28
2 . 5
г) 0.
1 2 = → 6 − 2 = 4 (синіх граней). 3 6
651. 20 − 6 = 14 → P ( A ) =
14 . 20
1 1 1\3 1\2 3 − 2 1 1 1 − = = . + + x = 1 ; x = 1− − = 2 3 2 3 6 6 2 3
653. 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12 → P ( A ) = 655. 2006 2 1003 17 59 59 1
1 . 12
2007 3 669 3 223 223 1
.n
652.
1 ; 5
МАТЕМАТИКА
648. а) 1;
et
647.
2008 1004 504 251 1
2 2 2 251
ld z
НСД (2006, 2007, 2008) = 1.
НСД (2006, 2007, 2008) = 2006 · 2007 · 2008 656. Від 10 до 99 → 90
al
10 + 11 +…+ 98 + 99 = 4905 .
657. 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 подальше множення на 5, 10, 15, 20 і т. д. додає до закінчення числа нулі, тому останніх 20 цифр — нулі. 658. 12 ⋅ 30 ⋅ 7 = 2520 НСК ( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2520 . Вірно. 659. Андрій з Вінниці; Борис із Гайсина; Віктор з Донецька.
§ 19. Пропорції 663. а) 3 : 5 і 6 : 20 6 ⋅ 5 ≠ 20 ⋅ 3 664.
б) 7 : 6 і 3, 5 : 3 3, 5 ⋅ 6 = 3 ⋅ 7 = 21 .
45 3 = : 45 ⋅ 7 = 3 ⋅105 = 315 . Крайні члени: 45 і 7. 105 7
89
665. 2 : 3 = 4 : 5 → 2 ⋅ 5 ≠ 3 ⋅ 4 . 666. а) 7 : 3 = 21 : 9 ; 7 ⋅ 9 = 21 ⋅ 3 = 63 ; б) 12 : 4 = 15 : 5 ; 12 ⋅ 5 = 15 ⋅ 4 = 60 ;
МАТЕМАТИКА
в) 1 : 6 = 2 : 3 ; 1 ⋅ 3 ≠ 6 ⋅ 2 ; 8 12 = ; 8 ⋅ 9 = 6 ⋅12 = 72 ; 6 9 4 6 = ; 4 ⋅ 9 = 6 ⋅ 6 = 36 ; ґ) 6 9
г)
д)
7 13 = ; 7 ⋅ 7 ≠ 3 ⋅13 . 3 7
7 x 7 8 9 x 9 8 = ; = ; = ; = . 8 9 x 9 8 7 x 7
668.
7 28 8 6 5 20 = ; = ; = . 3 12 4 3 6 24
669.
9 6 2 6 9 6 2 3 9 3 = ; = ; = ; = ; 6:6 = 3: ; 2: = 9:9 . 3 3 3 9 3 2 6 9 6 2
671. а)
.n б)
4 6 = . 6 9
x 20 = 7 35
б)
3 5 = x 15
x=
в)
в)
90
7 ⋅ 20 =4 ; 35
9 18 = 2 x
x=
673. а)
7 21 = . 4 12
б)
2 4 = ; 3 6
al
672. а)
3 6 = ; 5 10
ld z
670. а)
et
667.
г)
2 ⋅18 =4; 9
x 1 = 5 8 5 x= ; 8 5 x = 8 3 x=
x=
15 7 =1 ; 8 8
2 x = 3 12 x=
б)
г)
3 ⋅15 =9; 5
12 ⋅ 2 =8. 3
3 2 = x 7 21 x= = 10, 5 ; 2 7 5 = 3 x x=
15 1 =2 . 7 7
б)
x = 21 ; x 2 = ; 6 3
676.
x 15 = ; 18 9
в)
678. а)
x=
x = 8 ⋅ 5 = 40 .
18 ⋅15 = 30 . 9
б)
3 6 = 4 5x
г)
6 ⋅ 4 24 8 3 = = =1 ; 3 ⋅ 5 15 5 5
4x =8 3 24 x= =6 ; 4
x −1 5 = 2 6 10 5 x −1 = = 6 3 2 2 x = 1 +1 = 2 ; 3 3
al
в)
x 5
6⋅2 =4. 3
2x 7 = 3 5 3 ⋅ 7 21 x= = = 2, 1 ; 5 ⋅ 2 10
x=
г) 8 =
5 1 = 3x 6 5⋅6 x= = 10 ; 3 1 2x = 2 3 x=
3 . 4
б)
1 =5 2x 1 x= = 0, 1 ; 10
ld z
677. а)
x=
4 x 4 x= ; 9
в) 9 =
et
675.
15 =3 x 15 x= =5 ; 3
МАТЕМАТИКА
x =7 3
.n
674. а)
г)
1 = 0, 1 x+3
x + 3 = 10 x = 10 − 3 = 7 .
679. 32 : 27 = 64 : 54
32 27 64 54 : = : 3 3 4 4 32 3 64 4 ⋅ = ⋅ 3 27 4 54 32 64 = — залишиться вірною. 27 54
680. 4 : 6 = 10 : 15 4 ⋅ 7 10 ⋅ 7 = 6 15 4 ⋅ 7 ⋅15 = 6 ⋅10 ⋅ 7 — залишиться вірною.
91
681. P1 = 5x ⋅ 4 = 20x ;
P2 = 6x ⋅ 4 = 24x
S1 = ( 5x ) = 25x ; 2
P1 20 5 = = ; P2 24 6 682.
2
S1 25 52 = = . S2 36 62
x 5 AB 5 = , тому що = , 60 3 BC 3 x=
683.
S2 = ( 6x ) = 36x2
60 ⋅ 5 = 100 (км). 3
3⋅3 = 4, 5 . 2 AB KL Тому що BC = AD , LP = KT → = ; AD KT AB AD AB ⋅ KT = AD ⋅ KT ; = ; AB ⋅ KT = AD ⋅ KL , KL KT AB KL 3 x = ; = BC LP 2 3
x=
значить пропорція вірна. am cm = b d
б)
amd = cmb
a c = bm dm
.n
684. а)
et
МАТЕМАТИКА
2
adm = cbm
m ( ad ) = m ( cb ) ;
m ( ad ) = m ( c ⋅ b ) .
685.
ld z
Вірно для обох пропорцій. 25 85 = ; 85 x
x=
85 ⋅ 85 = 289 (м). 25
al
686. P = ( 2, 5 + 3, 6 ) ⋅ 2, 5 = 12, 2 ⋅ 5 = 61 (см).
S = ( 2, 5 ⋅ 3, 6 − 0, 8 ⋅ 0, 8 ) ⋅ 5 = ( 9 − 0, 64 ) ⋅ 5 = 8, 36 ⋅ 5 = 41, 8 (см2).
687. а)
б)
2 8 2 + 3 8 + 12 5 20 = ; = ; = ; 5 ⋅12 = 3 ⋅ 20 = 60 ; 3 12 3 12 3 12
6 3 6 6 + 16 6 22 = ; = ; = ; 3 ⋅ 22 = 6 ⋅11 = 66 . 16 8 3 3+8 3 11
Доведення: a+b c+d a b c d a c a c a c = ; + = + ; +1 = +1 ; +1−1= ; = ; b d b b d d b d b d b d a a+b = ; a (c + d) = c (a + b) б) c c+d
а)
ac + ad = ac + cb ad = ac + cb − ac
92
ad = cb →
a c = b d
a−b c−d = b d a b c d a c − = − ; −1 = −1 b b d d b d a c a c −1+1 = ; = . b d b d
689. а) 45, 3 ⋅ 99 + 453 : 10 = 45, 3 ⋅ 99 + 45, 3 = 45, 3 ( 99 + 1) = 45, 3 ⋅100 = 4530 ; б) 2002 : ( 3, 7 − 3 ) − 110 ⋅1, 3 = 2002 : 0, 7 − 110 ⋅1, 3 =
10 10 ⎛ ⎞ − 110 ⋅1, 3 = 110 ⎜ 18, 2 ⋅ − 1, 3⎟ = ⎝ ⎠ 7 7 ⎛ 182 26 10 ⎞ = 110 ⎜ ⋅ − 1, 3⎟ = 110 ( 26 − 1, 3 ) = 110 ⋅ 24, 7 = 2717 . 7 ⎝ 10 ⎠ = 2002 ⋅
1 1 1 10 = 5 = 5, 2 = 0, 2 + = 0, 2 + = 5, 2 . 5 5 0, 2 2
et
690. 5 +
МАТЕМАТИКА
688.
691. 35, 2 ⋅1, 4 + 64, 8 ⋅1, 4 = 1, 4 ( 35, 2 + 64, 8 ) = 1, 4 ⋅100 = 140 . 692. a = b = 3c = 3 ⋅ 2, 5 = 7, 5 (см);
.n
P = 2 ⋅ 7, 5 + 2, 5 = 17, 5 (см).
P − 2a 15 − 2 ⋅ 3, 5 = = 4 (см); S = a ⋅ b = 3, 5 ⋅ 4 = 14 (см2). 2 2
694. x −
3 3 5\5 3\8 ⎛ 25 − 24 ⎞ x = 2250 ; x − x = 2250 ; x− x = 2250 ; ⎜ ⎝ 40 ⎟⎠ 8 5 8 5
ld z
693. b =
al
1 1 = 2250 ⋅ 40 ; x = 90 000 (грн). x = 2250 ; x = 2250 : 40 40
§ 20. Відсоткове відношення
698. а)
7 \5 35 = = 35 % ; 20 100 5
б)
2 8 2 15 5\25 125 : = ⋅ = = = 125 % ; 3 15 3 8 4 4 100
в)
2 5 2 26 4\20 80 : = ⋅ = = = 80 % ; 13 26 15 5 5 100
2
г) 1
1 1 3 5 5 :1 = ⋅ = = 125 % . 2 5 2 62 4
699. а)
3\20 см 60 = = 60 % ; 5 см 100
б)
2 см 2 = = 20 %; 1 дм 10
в)
35 г 35 = = 3, 5 % ; 1 кг 1000
г)
15 хв 15 1\25 25 = = = = 25 % ; 1 год 4 100 60 4
93
МАТЕМАТИКА
700.
ґ)
0, 1 м 1 = = 10 % ; 1м 10
д)
0, 5 г 0, 5 = = 0, 05 % ; 1 кг 1000
є)
9с 9 1 0, 25 = = = = 0, 25 % ; 1 ч 3600 400 100
ж)
9ц 9 = = 90 % . 1 т 10
46 92 = = 92 % . 50 100
701. 590 г — 100 % 240 г — x 590 100 = ; 240 x
x=
240 ⋅100 2400 40 = = 40 %. 590 59 59
702. SABCD = 5 ⋅ 5 = 25 (см2); SATRK = 3, 5 ⋅ 5 = 10, 5 (см2); STBMP = 2 ⋅ 3, 5 = 7 (см2). 25 см2 — 100 %
7 см2 = x
25 100 = 10, 5 x
25 100 = 7 x
10, 5 ⋅100 105 = = 42 % 25 25
7 ⋅100 700 = = 28 %. 25 25
.n
x=
et
25 см2 — 100 % 10,5 см2 = x
ld z
703. 250 г — 100 %
x=
20 г — x
250 100 = ; 20 x
x=
2000 = 80 %. 250
704. 4 кг — 100 %
al
1 кг — x 4=
100 ; x
x=
100 = 25 % . 4
705. 11, 34 − 10, 80 = 0, 54 (грн) 10,80 грн — 100 % 0,54 грн — x 10, 80 100 = ; 0, 54 x 706.
94
x=
Кількість балів Кількість учнів Відношення (%)
54 = 5 %. 10, 8
1—3
4—6
7—9
10—12
Усього
2
7
12
4
25
8
28
48
16
100
2 ⋅100 200 = =8 %; 25 25
x2 =
7 ⋅100 700 = = 28 %; 25 25
x3 =
12 ⋅100 1200 = = 48 %; 25 25
x4 =
4 ⋅100 = 16 % . 25
707. x — 100 % 98, 4 грн − (100 − 18 ) = 82 % x 100 = ; 98, 4 82
x=
98, 4 ⋅100 9840 = = 120 (грн). 82 82
МАТЕМАТИКА
x1 =
708. 1800 грн — 100 % x — 12 % 1800 100 = ; x 12
x=
1800 ⋅12 = 216 (грн); 100
et
216 ⋅ 2 = 432 (грн).
ld z
.n
709. а) 20 — 100 % б) 25 — 100 % 25 — x 20 — x 20 100 25 100 = = 25 x 20 x 2500 2000 x= = 125 % x= = 80 % 20 25 125 − 100 = 25 % ; 100 − 80 = 20 % . У першому завданні за 100 % приймається число 20, а в другому — 25.
al
710. а) a = 100 %→ 2a = 200 % ; 200 − 100 = 100 % ; б) 1, 6a = 160 % ; 160 = 100 = 60 % ; в) 10a = 1000 % ; 1000 − 100 = 900 %. 711. а) a = 100 %→
a 100 = = 50 % ; 100 − 50 = 50 % ; 2 2
б)
a 100 = = 62, 5 % ; 100 − 62, 5 = 37, 5 % ; 1, 6 1, 6
в)
a 100 = = 10 % ; 100 − 10 = 90 % . 10 10
712. a = 0, 4b b = a : 0, 4 =
10\25 250 a= = 250 % . 4 100
713. 1) 250 + 0, 6 ⋅ 250 = 250 + 150 = 400 (м); 2) 1000 − ( 250 + 400 ) = 350 (м); 3) 1000 м — 100 % 350 м — x; 35 000 1000 100 = 35 % . = ; x= 1000 350 x
95
714. S1 = a1 ⋅ b1 a2 = a1 + 0, 1a1 = 1, 1a1 ; b2 = b1 + 0, 2b1 = 1, 2b1
МАТЕМАТИКА
S2 = 1, 1a1 ⋅1, 2b1 = 1, 32a1b1 a1 ⋅ b1 — 100 % 1, 32a1 ⋅ b1 — x 1, 32 a1b1 ⋅100 a1b1 100 = ; x= = 132 % x 1, 32a1b1 a1b1 132 − 100 = 32 %→ S2 = 0, 32S1 + S1 = 1, 32S1 а) S1 = 2 ⋅ 5 = 10 (см2) S2 = 1, 32 ⋅10 = 13, 2 (см2); б) S1 = 12 ⋅ 25 = 300 (м2) S2 = 300 ⋅1, 32 = 396 (м2); в) S1 = x ⋅ y (м2)
et
S2 = 1, 32xy (м2).
716. x + 0, 2x = 1, 2x
.n
715. Ні, тому що x − 0, 1x = 0, 9x ; 0, 9x − 0, 1 ⋅ 0, 9x = ( 0, 9 − 0, 09 ) x = 0, 81x , а x − 0, 2x = 0, 8x .
1, 2x − 0, 1 ⋅1, 2x = 1, 2x − 0, 12x = 1, 08x
ld z
1, 08 − 1 = 0, 08 = 8 % . 717. x − 0, 25x = 0, 75x
0, 75x + y ⋅ 0, 75x = x y ⋅ 0, 75x = x − 0, 75x
x − 0, 75x x (1 − 0, 75 ) 0, 25 1 1 = = = = 33 % . 0, 75x 0, 75 3 3 0, 75 x
al
y=
718. 1300 — 100 %
715 — x 1300 100 = 715 x 71 500 x= = 55% 1300 55 − 30 = 25 %.
719. 6000 — 100 % x — 8%
96
6000 100 = x 8 8 ⋅ 6000 x= = 480 (грн) 100
1300 — 100 % 390 — x 1300 100 = 390 x 39 000 x= = 30 % . 1300
6000 + 480 = 6480 (грн) — через 1 рік. 6480 — 100 % x — 8%
МАТЕМАТИКА
6480 ⋅ 8 6480 100 = 518, 40 (грн); = ; x= 100 x 8 6480 + 518, 40 = 6998, 40 (грн). 720. 100 − 85 = 15 % — не знає української; 100 − 75 = 25 % — не знає російської; 100 − (15 + 25 ) = 100 − 40 = 60 %. 721. x — на II складі 2,5x — на I складі
x = 1400 : 3, 5 = 400 (т).
ld z
.n
722. x — на II току 2 x — на I току 3 2 x + x = 564 3 5 x = 564 3 5 3\2 x = 564 : = 564 ⋅ = 338, 4 (грн). 3 5
et
x + 2, 5x = 1400 3, 5 = 1400
al
⎛ 3\2 ⎞ : 3 = (16, 3 + 8, 6 ) : 3 = = 24, 9 : 3 = 8, 3 ; 723. а) ⎜ 3, 7 + 12, 6 + 8 5 ⎟⎠ ⎝ 6
4 4 18 1 6 ⎛ ⎞ б) ⎜ 0, 12 + + 1, 88 ⎟ : 3 = 2 : 3 = ⋅ = . ⎝ ⎠ 7 7 7 3 7
(a + x + y) =
724.
(a + x + y) :
725.
a+b = a−2 = a+b−3 . 2
3
(a + x + y) ⋅
3
(a + x + y)
=3 .
a −2− a +3 = b
a +1 = a−2 2 a + 1 = 2a − 4
b =1
2a − a = 1 + 4
a−2 = a+b−3
a =5
97
§ 21. Пропорційні величини
МАТЕМАТИКА
732.
Об’єм, л
1
2
3
4
5
6
7
Маса, кг
0,8
1,6
2,4
3,2
4,00
4,8
5,6
1 2 = ; x = 0, 8 ⋅ 2 ( 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ) . 0, 8 x
733.
0, 3 0, 5 1 = 0, 6 (т); = ; x= 0, 5 0, 3 x 0, 3 ⋅ 2 0, 5 2 = 1, 2 (т); = ; x= 0, 5 0, 3 x
et
0, 3 ⋅ 3 0, 5 3 = 1, 8 (т); = ; x= 0, 5 0, 3 x
734. 2 м3 — 1600 кг 112 м3 — x x=
112 ⋅1600 = 89 600 (кг). 2
ld z
2 1600 = ; 112 x
.n
0, 3 ⋅100 0, 5 100 = 60 (т). = ; x= 0, 5 0, 3 x
735. 10 кг — 9 кг борошна x кг — 900 кг
al
10 9 900 ⋅10 = 1000 ( кг ) = 1 ( т ) . = ; x= x 900 9 736. 0,34 — 4,2 км 24 — x
4, 2 ⋅ 2 0, 3 4, 2 = 28 (км). = ; x= 0, 3 2 x
737. 100 кг — 5,8 кг 750 кг — x 750 ⋅ 5, 8 100 5, 8 = 43, 5 (кг). = ; x= 100 750 x
738. 8 м — 96 грн 15 м — x
98
15 ⋅ 96 8 96 = 180 (грн). = ; x= 8 15 x
739. 12 кост. — 28,8 м x — 146,4 м x=
12 ⋅146, 4 = 61 (кост.). 28, 8
МАТЕМАТИКА
12 28, 8 = x 146, 4
740. 1 : 200 000 = 15 : x x = 15 ⋅ 200 000 = 3 000 000 ( см ) = 30 ( км ) . 741. 3 м3 — 2,7 т 20 м3 — x 20 ⋅ 2, 7 54 3 2, 7 = = 18 (т). = ; x= 3 3 20 x 742. а) 0,25 дм3 — 2,2 кг
б) 0,25 дм3 — 2,2 кг
2 м3 = 200 дм3 — x 0, 25 2, 2 = 200 x
0, 25 2, 2 = x 4, 4
200 ⋅ 2, 2 = 1760 (кг); 0, 25
743. 20 кг — 0,5 кг
4, 4 ⋅ 0, 25 = 0, 5 дм3. 2, 2
ld z
x — 45 кг
x=
.n
x=
et
x — 4,4 кг
20 ⋅ 45 900 20 0, 5 = = 1800 (кг) = 1,8 (т). = ; x= 0, 5 0, 5 x 45 744. 24 хв — 144 м3 x — 4260 м3
al
4260 ⋅ 24 24 144 = 710 хв = 11 год 50 хв . = ; x= 144 x 4260
745. S = 3, 15 ⋅ 4, 2 = 13, 23 (м2) 7,5 м2 — 0,75 кг 13,23 м2 — x
13, 23 ⋅ 0, 75 7, 5 0, 75 = 13, 23 ⋅ 0, 1 = 1, 323 (кг). = ; x= 7, 5 13, 23 x 746. 7 к. — 21,7 м
7 к. — 21,7 м
17 к. — x
x — 16 м
7 21, 7 = 17 x 21, 7 ⋅17 x= = 52, 7 (м) 7
7 21, 7 = x 16 16 ⋅ 7 112 x= = = 5 кост. 21, 7 21, 7 ост. 0,5 м
99
747. 3 год — 16 км x — 30 км
748. 30 кг — 5,4 кг 100 кг — x 30 5, 4 = 100 x
x=
5, 4 ⋅100 540 = = 18 (кг). 30 30
749. 60 кг — 9 кг 100 кг — x 60 9 = 100 x 900 x= = 15 (кг) — нікелю. 60 Мідь — 100 − (15 + 20 ) = 65 (кг).
60 кг — 12 кг 100 кг — x 60 12 = 100 x 12 ⋅100 1200 x= = = 20 (кг) — цинку. 60 60
750. а) 5, 2x − 3, 8 = 17
б) 3, 9 − 1, 2x = 0, 3
x = 20, 8 : 5, 2 = 4 ;
x = 3, 6 : 1, 2 = 3 .
б) 3, 4, 5, 6, 7, 8;
ld z
751. а) 1, 2, 3, 4;
1, 2x = 3, 9 − 0, 3 = 3, 6
.n
5, 2x = 17 + 3, 8 = 20, 8
et
МАТЕМАТИКА
3 ⋅ 30 45 5 3 16 = =5 год. = ; x= 16 8 8 x 30
в) 1, 2, 3, 4, …, 66, 67. 752. α = 180 − 150 = 30° β = 180 − 75 = 105°
al
γ = 180 − (150 + 30 ) = 45° .
753. a = P − 35 ; b = P − 45 ; c = P − 50 ; P = ( P − 35 ) + ( P − 45 ) + ( P − 50 ) = P − 35 + P − 45 + P − 50 = 3P − 130
3 p − p = 130 2 p − 130
P = 130 : 2 = 65 (см). 754. 1) 360 : 20 = 18 с — один оберт; 10
2)
60 10 1 = =3 (об/хв). 3 3 18 3
755. vКолi =
100
s s = = 2s ; t 0, 5
vВiтi = s :
40 2 3 = s : = s = 1, 5s ; 60 3 2
5 ⎞ ⎛ vК ⋅ t = vВ ⋅ ⎜ t + ⎟ ⎝ 60 ⎠
2st = 1, 5st + 1, 5 ⋅ 2st − 1, 5st =
МАТЕМАТИКА
1 ⎞ ⎛ 2s ⋅ t = 1, 5s ⎜ t + ⎟ ⎝ 12 ⎠ 1 s 12
3 1 1 ⋅ s= s 2 12 4 8
1 1 st = s 2 8 1 1 1 1 t= s : s = ⋅2 = (год). 4 8 2 84
et
756. Зліва направо: Альма, Том, Джек, Барбі, Райд.
§ 22. Задачі на пропорційне ділення 12 12\2 24 = = = 2, 4 2+3 5 10
.n
764. x =
2x = 2, 4 ⋅ 2 = 4, 8 , 3x = 3 ⋅ 2, 4 = 7, 2 . 18 18 = =2 4+5 9
ld z
765. x =
4x = 8 ; 5x = 10 . 766. x =
3000 3000 = = 600 2+3 5
al
2x = 2 ⋅ 600 = 1200 ; 3x = 3 ⋅ 600 = 1800 .
767. x =
1001 1001 = = 143 1+ 2 + 4 7
2x = 2 ⋅143 = 286
4x = 4 ⋅143 = 572 . 768. x =
224 224 = = 14 3 + 5 + 8 16
224 x y = = = 14 ⋅ 2 = 28 8 5 3 x = 28 ⋅ 5 = 140 y = 28 · 3 = 84. 769. x =
9600 9600 = = 400 2 + 3 + 8 + 11 24
2x = 800 ; 3x = 1200 ; 8x = 3200 ; 11x = 4400 .
101
770. x =
280 280 = = 10 . 1 + 2 + 25 28
МАТЕМАТИКА
10 кг гіпсу, 20 кг піску, 250 кг — білої глини. 771. x =
36 36 = =4 2+3+4 9
a = 2x = 8 (см); 772. x =
b = 3x = 12 (см); c = 4x = 16 (см).
105 105 = = 7, 5 ; 2 + 3 + 4 + 5 14
a = 2x = 2 ⋅ 7, 5 = 15 (см); b = 3x = 3 ⋅ 7, 5 = 22, 5 (см); c = 4x = 4 ⋅ 7, 5 = 30 (см); d = 5x = 5 ⋅ 7, 5 = 37, 5 (см). 773. x =
4, 2 4, 2 = = 0, 6 . 2+2+3 7
et
Вапно — 3 ⋅ 0, 6 = 1, 8 (кг); борошно — 2 ⋅ 0, 6 = 1, 2 (кг); лак — 1,2 (кг). 200 200 1 1\2 1\2 1 2 2 ; → ; = = 40 ; ; ; ; x= 1+ 2 + 2 5 10 5 5 10 10 10
.n
774. а)
2x = 2 ⋅ 40 = 80 ; 200 = 40 + 80 + 80 ;
200 200 1\6 3\3 5\2 6 9 10 ; ; → ; = = 8 ; 6x = 48 ; ; ; x= 6 + 9 + 10 25 2 4 6 12 12 12
б)
775.
ld z
9x = 72 ; 10x = 80 ; 200 = 48 + 72 + 80 .
2 5 4 5 : = : 3 6 6 6
600 600 200 = = 4+5 9 3
al
x=
a = 4x = 4 ⋅
200 800 2 = = 266 3 3 3
b = 5x = 5 ⋅
200 1000 1 = = 333 . 3 3 3
У підручнику помилка або у відповіді, або в умові. 776. a = x ; b = c = 3x ; d = 5x 5x − x = 12 4x = 12 x = 12 : 4 = 3 ( см ) = a b = c = 3 ⋅ 3 = 9 (см); d = 5 ⋅ 3 = 15 (см). 777. x =
102
180 180 = = 20 1+ 3 + 5 9
α = x = 20° ; β = 3x = 60° ; γ = 5x = 100° .
α =γ 3 α α + 2α + = 180 3 1⎞ ⎛ α ⎜ 1 + 2 + ⎟ = 180 ⎝ 3⎠ α = 180 : 3
МАТЕМАТИКА
778. 2α = β ;
18 1 3 = 180 ⋅ = 54° 3 10
β = 2 ⋅ 54 = 108° ; γ =
54 = 18° . 3
779. 3 : 5 і 2 : 3 відносяться як 6 : 10 і 10 : 15 x = a = 6x = 4, 8 ; b = 10x = 8 ; c = 15x = 12 .
24, 8 24, 8 = = 0, 8 ; 6 + 10 + 15 31
780. 10 к ⋅ 30 д — 9 ц = 900 кг
et
24 к ⋅ 36 д — x 3
2x + 4x + 7x = 52 3 13x = 52 3
ld z
781.
24 ⋅ 36 ⋅ 900 = 2592 ( кг ) = 25, 92 ( ц ) . 10 ⋅ 30
.n
x=
13x = 52 ⋅ 3 = 156 x = 156 : 13 = 12
a = 2x = 2 ⋅12 = 24 ; b = 4x = 4 ⋅12 = 48 ; c = 7x = 7 ⋅12 = 84 . 1 15 = 25 000 x
al
782.
x = 15 ⋅ 25 000 = 375 000 (см) 1 y = 10 000 375 000
y=
375 000 = 37, 5 (см). 10 000
783. 2, 3094 ≈ 2, 309 ≈ 2, 31 ≈ 2, 3 8, 7088 ≈ 8, 709 ≈ 8, 71 ≈ 8, 7 . 784. 0, 0912 + 1, 07 ≈ 1, 98 1, 07 − 0, 912 ≈ 0, 16 1, 07 ⋅ 0, 912 ≈ 0, 98 1, 07 : 0, 912 ≈ 1, 17 або 0, 912 : 1, 07 ≈ 0, 85
103
МАТЕМАТИКА
785. Н. дев’ять відсотків Р. дев’яти відсотків Д. дев’яти відсотків З. дев’ять відсотків О. дев’ятьма відсотками М. про дев’ять відсотків 786. 3, 5 + 2, 5 = 6 ; 6 = 6 = 600 %; 1
3, 5 − 2, 5 = 1 ; 600 − 100 = 500 % .
787. a = 26 см = 2, 6 дм ; b = 3 дм ; c = 0, 4 м = 4 дм ; Sn = 2ab + 2ac + 2bc = 2 ( 2, 6 ⋅ 3 + 2, 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ) = 2 (18, 2 + 12 ) = = 2 ⋅ 30, 2 = 60, 4 (дм2) ; V = 2, 6 ⋅ 3 ⋅ 4 = 31, 2 (дм3).
ld z
.n
et
788. Учора: були присутні — 8x були відсутні — x Сьогодні: були присутні — 8x − 2 були відсутні — 0, 2 ⋅ ( 8x − 2 ) 8x + x = ( 8x − 2 ) + 0, 2 ( 8x − 2 ) 9x = ( 8x − 2 ) ⋅ (1 + 0, 2 ) = 1, 2 ⋅ 8x − 1, 2 ⋅ 2 9, 6x − 9x = 2, 4 0, 6x = 2, 4 x = 2, 4 : 0, 6 = 4 4 + 8 ⋅ 4 = 36 (учнів).
§ 23. Коло і круг
796.
м
3с
al
r=
A
O
B
797. а) d = 2r = 2 ⋅ 2, 5 = 5 м ; б) d = 2 ⋅ 3, 4 = 6, 8 см . 798. а) r =
1 d = 7 : 2 = 3, 5 м; 2
б) r = 0, 35 : 2 = 0, 175 дм.
799. O
104
α = β = γ = 120° .
800. γ
МАТЕМАТИКА
α
β
801. а) l = 2πr = πd = 3, 14 ⋅10 = 31, 4 (см); б) l = 3, 14 ⋅ 4 = 12, 56 (м); в) l = 3, 14 ⋅ 0, 5 = 1, 57 (дм); г) l = 3, 14c (км). 802. а) l = 2πr = 2 ⋅ 3, 14 ⋅15 = 6, 28 ⋅15 = 94, 2 (мм); б) l = 6, 28 ⋅12 = 75, 36 (м);
803. а) l = 2πr = πd → d =
et
в) l = 6, 28 ⋅ 2, 5 = 15, 7 (дм); 3 г) l = 6, 28 ⋅ = 4, 71 (км). 4
l 3, 14 = = 100 ( см ) = 1 ( м ) ; π 3, 14
62, 8 = 20 (дм); 3, 14
в) d =
0, 314 = 0, 1 (км). 3, 14
ld z
.n
б) d =
804. а) l = 2πr → r =
l 3, 14 10 = = = 5 (м) ; 2π 2 ⋅ 3, 14 2
0, 942 0, 3 = = 0, 15 ( м ) ; 2 ⋅ 3, 14 2
в) r =
0, 628 0, 628 = = 0, 1 ( км ) . 2 ⋅ 3, 14 6, 28
al
б) r =
( ) ( ) ( ) S = 3, 14 ⋅ ( 0, 5a ) = 0, 785a ( дм ) = 78, 5a ( см ) .
805. а) S = πr 2 = 3, 14 ⋅ 202 = 1256 см2 = 12, 56 дм2 ; б) S = 3, 14 ⋅ 0, 42 = 0, 5024 м2 = 50, 24 дм2 ; в)
2
2
2
2
2
2
2
⎛ d⎞ ⎛ 8⎞ 806. а) S = πr 2 = π ⎜ ⎟ = 3, 14 ⎜ ⎟ = 3, 14 ⋅16 = 50, 24 дм2 ; ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
(
2
)
⎛ 15 ⎞ б) S = 3, 14 ⎜ = 3, 14 ⋅ 7, 52 = 3, 14 ⋅ 56, 25 = 176, 625 см2 ; ⎝ 2 ⎟⎠
(
)
2
⎛ 0, 2 ⎞ = 3, 14 ⋅ 0, 01 = 0, 0314 м2 ; в) S = 3, 14 ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ 2
⎛ 0, 02 ⎞ = 0, 000314 км2 = 3, 14 м2 . г) S = 3, 14 ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠
(
)
( )
105
МАТЕМАТИКА
314 = 100 = 10 ( см ) . 3, 14
807. S = πr 2 → r =
S = π
808. S = πr 2 → r =
S 78, 5 = = 25 = 5 ( см ) . π 3, 14
d = 2r = 2 ⋅ 5 = 10 (м). 809. l = 2πr → r =
l 6, 28 = = 1 (см) 2π 6, 28
S = πr 2 = 3, 14 (см2). S πr 2 3, 14 ⋅ 22 = = = 3, 14 см2. 4 4 4
810.
et
r = 2 см
.n
811. 2l = 4πr = 4 ⋅ 3, 14 ⋅1, 5 = 18, 84 см.
812. l = 2 ⋅ 2, 5 + 2πr = 5 + 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 0, 4 = 5 + 2, 512 ≈ 7, 5 м.
ld z
813. 15l = 15 ⋅ 2πr ⋅15πr = 15 ⋅ 3, 14 ⋅ 26 = 1224, 6 см ≈ 12, 25 м . 814. 20l = 20 ⋅ 2πr = 20 ⋅ πd = 20 ⋅ 3, 14 ⋅ 5 = 314 см = 3,14 м . 1000 ≈ 398 (об.). 2, 512
al
815. l = πd = 3, 14 ⋅ 0, 8 = 2, 512 (м). n =
816. 40l = 2πr ⋅ 40 = 80 ⋅ 3, 14 ⋅ 30 = 7536 ( м ) = 7, 536 ( км ) . S1 π ⋅ ( 2r ) 4 = . = S2 πr 2 1 2
817.
2
2
⎛d ⎞ ⎛d ⎞ 818. а) d1 = 2 см; d2 = 0, 7 см. S = S1 − S2 = πr12 − πr22 = π ⎜ 1 ⎟ ⋅ π ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ = 3, 14 (1 − 0, 1225 ) = 2, 755 см2 ;
(
)
б) a = 1, 8 см; d = 0, 7 см; S = S1 − S2 = a2 − πr 2 = 1, 82 − 3, 14 ⋅ ( 0, 35 ) = 2
= 3, 24 − 0, 38 ≈ 2, 86 см2 . 819. S = S1 − 2S2 ;
S1 = 2OC ⋅ OO1 + π ⋅ ( OC ) = OC ( 2 ⋅ OO1 + π ⋅ OC ) = 2
(
)
= 2 ⋅ ( 2 ⋅ 6 + 3, 14 ⋅ 2 ) = 36, 56 см2 .
106
S2 = π ( OB ) = 3, 14 ⋅1 = 3, 4 (см2); 2
S = 36, 56 − 2 ⋅ 3, 14 = 30, 28 (см2).
d (см)
l (см)
d:l
а) Склянка
Найменування
7
22
∼ 0, 32
б) Блюдце
14
44
∼ 0, 32
8
25
∼ 0, 32
20
63
∼ 0, 32
в) Банка г) Тарілка 821. I — x II — x III — x − 2 x + x + x − 2 = 58 ;
3x = 60 ;
x = 60 : 3 = 20 (кг).
МАТЕМАТИКА
820.
822. I буд. — 12 га II буд. — 0, 1 ⋅12 + 12 III буд. — ( 0, 1 ⋅12 + 12 − 2 )
et
12 + (12 + 0, 1 ⋅12 ) + ( 0, 1 ⋅12 + 12 − 2 ) = 12 + 12 + 1, 2 + 1, 2 + 10 = 36, 4 (га). б) 1, 32 − 1, 3x = 0
823. а) 3, 2x + 2, 5 = 17, 5 3, 2x = 17, 5 − 2, 5 = 15
1, 3 = 1, 32
x = 15 : 3, 2 = 15 11 ; 16
10 150 75 = = 32 16 32 16
x=
ld z
x=4
1, 32 = 1, 3 . 1, 3
.n
75
1 2 1 1 1 ⋅ = II — 3 2 6 1 ⎛ 1 1⎞ + III — 2 ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠
al
824. I —
2
1 1 1 ⎛ 1\3 1 ⎞ 1\3 1 1 4 3 +1+ 2 6 + + + = + + ⋅ = = = 1 — встигла. 2 6 2 ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠ 2 6 2 6 6 6
825. НСД(2, 3, 4) = 12 → найменша кількість 25 (тому що найближче до 12 15 й 20 діляться на 3 й 4 відповідно). 1 1 x+ 2 2
826. I — II — x=
1⎛1 1⎞ 1 3 x + ⎟ + ; залишок — 2 ⎜⎝ 2 2⎠ 2 4
1\2 1 1 1 1 3 x+ + x+ + + ; 2 2 4 4 2 4
x = 2:
x−
3 x=2 ; 4
1 3 1 = 2 ⋅ 4 = 8 ; 8 − = 7 → 7 яєць. 4 4 4
1 x=2 4
107
§ 24. Діаграми 10 16, 3 = ; 1 x
x=
16, 3 = 1, 63 см; 10
10 16, 4 = ; 1 x
x=
16, 4 = 1, 64 см; 10
10 26, 8 = ; 1 x
x=
26, 8 = 2, 68 см. 10
26,8
16,3
Сан-Пауло
Нью-Йорк
831. 100 км2 = 2 см
et
Токіо
16,4
млн чол.
.n
МАТЕМАТИКА
830. 10 млн = 1,0 см
360 км2
Озеро Сасик
210 км2
Молочний лиман
170 км2
Тилигульський лиман
160 км2
Озеро Ялпуг
149 км2
al
ld z
Дністровський лиман
360 ⋅ 2 360 100 = 7, 2 см = ; x= 100 x 2 210 ⋅ 2 210 100 = 4, 2 см = ; x= 100 x 2
170 ⋅ 2 170 100 = 3, 4 см = ; x= 100 x 2 160 ⋅ 2 160 100 = 3, 2 см = ; x= 100 x 2 149 ⋅ 2 149 100 = 2, 98 см = ; x= 100 x 2 832. а) 25; б) немає; в) 10; г) 25, 28, 30; ґ) 1, 4, 6, 10, 15; д) 55 % і 69 % відповідно; є) 30 %, 20 % і 40 % відповідно.
108
0, 3 ⋅ 2720 = 816 ( уч.) ;
0, 2 ⋅ 2720 = 544 ( уч.) ;
0, 4 ⋅ 2720 = 1088 ( уч.) .
835. 1 чол. = 2 мм
1 2 1 2
1 6 = ; x = 12 мм 2 x 12 = ; x = 24 мм x 4 = ; x = 8 мм x
МАТЕМАТИКА
а)
32 − ( 6 + 12 + 4 ) = 10 чол. 1 10 = ; x = 20 мм 2 x 12
10 6
6—8
11—12
3—5
et
9—10
4
У підручнику помилка в розбивці оцінок (не можна розбивати «10—12» й «9—11», потрібно «11—12» й «9—10»). 12 ⋅100 32 12 = 37, 5 % = ; x= 32 100 x
.n
б)
ld z
100 ⋅10 32 10 = 31, 25 % = ; x= 32 100 x 100 ⋅ 6 32 6 = 18, 75 % = ; x= 32 100 x 100 ⋅ 4 32 4 = 12, 5 % . = ; x= 32 100 x
al
Для побудови діаграми знайдемо кути секторів 12 ⋅ 360 32 12 = 135° = ; x= 32 360 x 360 ⋅10 32 10 = 112, 5° = ; x= 32 360 x 360 ⋅ 6 32 6 = 67, 5° = ; x= 32 360 x 360 ⋅ 4 32 4 = 45° . = ; x= 32 360 x 4 оцінки «3—5»
оцінки «11—12»
12
6 10
оцінки «9—10»
оцінки «6—8»
109
5
x
836. x — I число x – 5 — II число
6
}
52
x + x –5 + x + 6 = 52 3x + 1 = 52 3x = 51 x = 17 — I число 17 – 5 = 12 — II число 17 + 6 = 23 — III число 837. Знайдемо кути секторів: 100 25 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 25 = 90° 100
100 15 = ; 360 x
x=
360 ⋅15 = 54° 100
100 45 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 45 = 162° 100
вечеря другий сніданок
45 %
15 %
25 %
ld z
перший сніданок
обід
.n
15 %
et
МАТЕМАТИКА
x + 6 — III число
838. Знайдемо кути секторів 100 23, 3 = ; 360 x
x=
23, 3 ⋅ 360 ≈ 84° 100
x=
21, 8 ⋅ 360 ≈ 78° 100
100 11, 5 = ; 360 x
x=
11, 5 ⋅ 360 ≈ 41° 100
100 37, 1 = ; 360 x
x=
37, 1 ⋅ 360 ≈ 134° 100
100 6, 3 = ; 360 x
x=
6, 3 ⋅ 360 ≈ 23° 100
al 100 21, 8 = ; 360 x
6,3 % 11,5 %
Картопля й овочі
Технічні культури 21,8 % Інші зернові
110
37,1 %
Кормові культури
23,3 % Озима пшениця
839. 100 млн — 0,5 см 701 ⋅ 0, 5 100 701 = 3, 5 см = ; x= 100 0, 5 x
МАТЕМАТИКА
386 ⋅ 0, 5 100 386 = 1, 93 см = ; x= 100 0, 5 x 265 ⋅ 0, 5 100 265 = 1, 33 см = ; x= 100 0, 5 x 245 ⋅ 0, 5 100 245 = 1, 22 см = ; x= 100 0, 5 x 237 ⋅ 0, 5 100 237 = 1, 19 см = ; x= 100 0, 5 x 147 ⋅ 0, 5 100 147 = 0, 74 см = ; x= 100 0, 5 x
103 ⋅ 0, 5 100 103 = 0, 51 см = ; x= 100 0, 5 x
.n
701
ld z
386
265
2
3
245
4
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Китайською Англійською Російською Іспанською Гінді Арабською Німецькою Французькою
237
5
147
119
103
6
7
8
млн
al
1
et
119 ⋅ 0, 5 100 119 = 0, 6 см = ; x= 100 0, 5 x
840. 100 км = 1 см Сімферополь
798 км
Луганск
672 км
Ужгород
630 км
Донецьк
602 км
Львів
504 км
Івано-Франківськ 490 км Херсон
476 км
Запоріжжя
455 км
111
Чернівці
434 км
Миколаїв
420 км
Харків
403 км
Дніпропетровск
400 км
Луцьк
378 км
Тернопіль
371 км
Рівне
315 км
Суми
310 км
Полтава
301 км
Хмельницький
280 км
Кіровоград
252 км
Вінниця
210 км 161 км
ld z
Черкаси
et
450 км
.n
МАТЕМАТИКА
Одеса
Житомир
131 км
Чернігів
123 км
al
тварини
841. а)
б)
собаки
коти
бульдоги
842. 1. 2. 3. 4.
112
Сон Школа Домашні завдання Інші справи
8 6 4 6
год год год год
24 8 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 8 = 120° 24
24 6 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 6 = 90° 24
24 4 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 4 = 60° 24
трикутники рівно прямобедрені кутні рівносторонні
Домашні завдання
Сон
4 год 8 год
843. 3
6 год Школа
6 год
1 7 ; 3,39; 3,4; = 3, 5 . 9 2
844. 3, 5 м = 350 см
МАТЕМАТИКА
Інші справи
2
25 ⋅ 100 50 1 350 25 = =7 %. = ; x= 7 7 100 x 350 7 s − v1t 400 − 52 ⋅ 4 192 = = = 48 км/год. t 4 4
et
845. S = ( v1 + v2 ) t = v1t + v2t ; v2 =
.n
846. a = S = 81 = 9 (см); P = 4a = 4 ⋅ 9 = 36 (см).
ld z
847. За умови, що позавчора — 30 грудня, 31 грудня в учня день народження, сьогодні — 1 січня.
Самостійна робота № 4 Варіант 1
2 5 14 15 : = : = 14 : 15 ; 3 7 21 21 3 14 15 : = 14 : 15 ; б) 0, 7 : = 4 20 20 1 15 23 : = 15 : 23 . в) 1 : 2, 3 = 2 20 10
а)
al
1.
2.
а)
63 = 1, 26 → 1, 126 − 1 = 0, 26 = 26 %; 50
б)
80 = 0, 4 → 1 − 0, 4 = 0, 6 = 60 % . 200
3. а)
x 17 = 12 30 x=
4.
12 ⋅17 = 6, 8 ; 30
б)
5 = 1, 3 x x=
25 м — 12 кг 40 — x 40 ⋅12 480 25 12 = = 19, 2 (кг). = ; x= 25 25 40 x
5 10 50 11 = 5⋅ = =3 . 1, 3 13 13 13
113
5.
P = 3x + 5x + 6x = 28 14x = 28 28 =2 14
a = 3x = 3 ⋅ 2 = 6 (см); b = 5x = 5 ⋅ 2 = 10 (см); c = 6x = 6 ⋅ 2 = 12 (см).
Варіант 2 1.
3 2 21 10 а) : = : = 21 : 10 ; 5 7 35 35 3 12 15 = : = 12 : 15 ; 4 20 20
б) 0, 6 : в) 2
3.
а)
53 = 1, 325 → 1, 325 − 1 = 0, 325 = 32, 5 % ; 40
б)
75 = 0, 6 → 1 − 0, 6 = 0, 4 = 40 %. 125
а)
12 ⋅16 12 15 = 12, 8 ; = ; x= 15 x 16
et
2.
1 7\10 35\3 70 105 : 3, 5 = : = : = 70 : 105 . 3 3 10 30 30
4.
5 5 ; x= =2. x 2, 5
ld z
б) 2, 5 =
.n
МАТЕМАТИКА
x=
5 м3 — 12 т 24 м3 — x
al
24 ⋅12 5 12 = 57, 6 (т). = ; x= 5 24 x 5.
P = 2x + 3x + 3x + 4x = 75
12x = 75 x=
75 = 6, 25 12
a = 2x = 2 ⋅ 6, 25 = 12, 5 (см); b = c = 3x = 3 ⋅ 6, 25 = 18, 75 (см); d = 4x = 4 ⋅ 6, 25 = 25 (см).
Варіант 3 1.
5\7 3\4 35 12 : = : = 35 : 12 ; а) 8 14 56 56 б) 1, 2 :
114
в) 2
3 12\2 3\5 24 15 = : = : = 24 : 15 ; 4 10 4 20 20
1 2 5\3 11\2 15 22 :3 = : = : = 15 : 22 . 2 3 2 3 6 6
2, 3 23 10 23 7 = ⋅ = =1 1, 6 10 16 16 16
а)
1 — x 2 2 — 100 3
б)
1 3 300 ⋅100 ⋅ = = 75 %; 2 2 4
100 − 75 = 25 %.
12 x = 7 3, 5
3. а)
x=
4.
x=
б)
12 ⋅ 3, 5 =6 ; 7
3
x= 6 ⋅
8 см3 — 84 г
P = 3x + 4x + 5x + 7x = 3, 8
ld z
5.
7 21 1 = =5 . 4 4 84
.n
0,5 дм3 = 50 см3 — x 8 84 = 50 x 84 ⋅ 50 x= = 525 (г). 8
6 1 =1 x 7
МАТЕМАТИКА
7 7 7 =1= ; ⋅100 = 43, 75 %; 18 16 16
1
et
2.
19x = 3, 8 x=
3, 8 = 0, 2 19
a = 3 ⋅ 0, 2 = 0, 6 (см); b = 4 ⋅ 0, 2 = 0, 8 (см);
al
c = 5 ⋅ 0, 2 = 1 (см); d = 7 ⋅ 0, 2 = 1, 4 (см).
1.
б)
2 2 25 20 75 : 2, 5 = : = : = 20 : 75 ; 3 3 10 30 30
в) 3
2.
Варіант 4
4 7 32 35 а) : = : = 32 : 35 ; 5 8 40 40
1 2 7\3 8\2 21 16 :2 = : = : = 21 : 16 . 2 3 2 3 6 6
7 1 8 7 1 6 + = ; − = 5 5 5 5 5 5 а)
8 6 8 5 8 4 1 : = ⋅ = = =1 5 5 5 6 6 3 3
1
1 1 1 1 −1 = ; ⋅100 = 33 % ; 3 3 3 3
115
7 1 7 : = ⋅5 = 7 5 5 5
б)
МАТЕМАТИКА
8 — x 5 7 — 100
3. а)
8 1 800 30 6 ⋅100 ⋅ = = 22 % = 22 % ; 5 7 35 35 7 6 1 100 − 22 = 77 % . 7 7 x=
1, 2 7 = x 5 x=
б)
1, 2 ⋅ 5 6 = ; 7 7
1, 2 1 =2 x 2 1, 2 5 = x 2 x=
4 м3 — 6 т x — 16,5 т 4 6 = x 16, 5
5.
16, 5 ⋅ 4 66 = = 11 (м3). 6 6
2x + 85 = 7x
ld z
5x = 85
.n
x=
et
4.
1, 2 ⋅ 2 = 0, 48 . 5
x = 85 : 5 = 17
a = 2 ⋅17 = 34 (см); b = 3x = 3 ⋅17 = 51 (см); c = 5 ⋅17 = 85 (см); d = 7x = 7 ⋅17 = 119 (см).
al
Завдання в тестовій формі
1.
а).
6. г).
2.
б).
7. в).
3.
б).
8. б).
4.
в).
9. б).
5.
а).
10. в).
Типові задачі 1. 2.
116
3 5 = 6 10 а) x : 3 = 8 : 5 3⋅8 x= = 4, 8 ; 5
б) 1, 2x : x = 0, 3 : 2, 5 x=
1, 2 ⋅ 2, 5 = 10 ; 0, 3
МАТЕМАТИКА
в) 3, 2 : 0, 6 = 40x : 5 2
x=
3, 2 ⋅ 5 16 2 = = . 0, 6 ⋅ 40 24 3 3
3.
s = πr 2 = 3, 14 ⋅ 52 = 3, 14 ⋅ 25 = 78, 5 (см2).
4.
P ( A) =
5.
l = 2πr = πd → d =
l 62, 8 = = 20 (см). π 3, 14
5 год — 4 га
et
6.
7 7 = . 8 + 7 15
7 год — x
7.
1) 1, 2 + 3, 8 = 5 (кг); 2) 5 кг — 100 %
ld z
1,2 кг — x
5 100 = ; 1, 2 x 8.
.n
7⋅4 5 4 = 5, 6 (га). = ; x= 5 7 x
x=
1, 2 ⋅100 = 24 % . 5
2 уч. — 0,5 см
al
36 − ( 4 + 3 + 10 + 9 + 5 ) = 36 − 31 = 5 (уч.) — «5» балів. 10
9
5
5
4 3
9 балів
8 балів
7 балів
5 балів
12 балів
10 балів
18 9 = . 80 40
9.
P ( A) =
10.
1) x − 0, 1x = 0, 9x ; 2) 0, 9x − 0, 2 ⋅ 0, 9x = 0, 9x − 0, 18x = 0, 72x ; 3) 1 − 0, 72 = 0, 28 = 28 % .
117
Розділ 4. Раціональні числа § 25. Додатні та від’ємні числа
МАТЕМАТИКА
854. 3; 0. 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
855. − 3 °C ; − 10 °C
et
856. а) t = − 17 °C ; б) h = − 100 м; в) t = − 5 °C .
мінус двісті мінус двохсот мінус двомстам мінус двісті мінус двомастами (про) мінус двохстах
мінус три сьомих мінус трьох сьомих мінус трьом сьомим мінус три сьомих мінус трьома сьомими (про) мінус трьох сьомих
ld z
858. Н. Р. Д. З. О. М.
.n
857. 300 − 250 − 200 + 700 − 400 = 1000 − 850 = 150 .
859. а) a − b = 40 − 23 = 17 надійшло;
al
б) b − a = 45 − 37 = 8 вибуло;
в) a − b = 53 − 53 = 0 .
860. Якщо число в таблиці від’ємне, значить довжина планки менша заданої на зазначене число; якщо число зі знаком «+», то планка довша, ніж було потрібно. Найбільша погрішність — 3 у Величко. Адамчук — 248 мм; Білий — 251 мм; Бойко — 252 мм; Величко — 247 мм; Гришко — 249 мм. 862.
S =
3
1 1 S = ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 (см2). 2 2
4 863. Sn = 12 га = 120 000 (м2); S4 = 60 ⋅ 50 = 3000 (м2);
118
S2 = Sn − S1 = 12 000 − 3000 = 117 000 м2 = 11,7 ( га ) .
864. 3, 7c − 2 = 5, 8 3, 7c = 7, 8 78 37 78 10 78 4 : = ⋅ = =2 . 10 10 10 37 37 37
866. Ні, тому що всі числа таблиці непарні й 5 — непарна. 867. Так, наприклад, a = 3 ; b = 5 ; c = 7 . S = a ⋅ b = 3 ⋅ 5 = 15 , всі числа непарні. У підручнику помилка у відповідях, на це питання відповіли «ні», що не правильно. A
868. а) 2x + 3x = 90
C
5x = 90
36°
x = 90 : 5 = 18
54°
et
∠ AOC = 2 ⋅18 = 36° ; ∠ COB = 3 ⋅18 = 54°
O
B
K
б) 1 випадок 4x = 90
67,5°
90 = 22, 5° 4
ld z
P
∠ MPT = 3x = 67, 5°
T
K
2 випадок
x + 3x = 360 − 90 = 270
M
al
4x = 270
∠ KPM = x =
M
.n
22,5°
x + 3x = 90 ∠ KPM = x =
МАТЕМАТИКА
c=
270 = 67, 5° 4
67,5° P T
202,5°
∠ KPM = 3x = 3 ⋅ 67, 5 = 202, 5°
§ 26. Координатна пряма 878.
E –6
–5
D –4
–3
C –2
–1
A 0
1
2
B 3
4
5
6
A ( 2 ) ; B ( 5 ) ; C ( − 1) ; D ( − 3 ) ; E ( − 5 ) 879.
D –6
–5
–4
C –3
–2
A –1
0
1
2
3
B 4
5
6
119
880. а) AB = 3 од. вiдр. = 3 ⋅1 = 3 ( см ) ;
б) KP = 4 од. вiдр. = 4 ⋅1 = 4 ( см ) ;
МАТЕМАТИКА
в) MN = 2 од. вiдр. = 2 ⋅1 = 2 ( см ) . 881. а) KT = 6 од. вiдр. = 6 ⋅ 0, 5 = 3 ( см ) ;
б) MC = 9 од. вiдр. = 9 ⋅ 0, 5 = 4, 5 ( см ) ;
в) PQ = 3 од. вiдр. = 3 ⋅ 0, 5 = 1, 5 ( см ) . 882. AB = 8 од. відр.;
1 8 1 AB = = 4 од. відр. C = AB = B − 4 = 7 − 4 = 3 → C ( 3 ). 2 2 2
883. O ( 0 ) ← M ( 2 )
884. AM = 2 од. відр. 1 2 AM = = 1 од. відр. 2 2 B = A + 1 = 2 + 1 = 3 → B ( 3) ;
а) AB =
et
C ( − 2) ← P ( − 3)
.n
б) BM = 2 AM = 2 ⋅ 2 = 4 од. відр. B = M − 4 = 4 − 4 = 0 → B (0) ;
в) AB = 2 AM = 2 ⋅ 2 = 4 од. відр.
ld z
B = A + 4 = 2 + 4 = 6 → B (6) . 885. KM = 3 од. відр.
а) PM = 2KM = 2 ⋅ 3 = 6 од. відр.
al
P = M − 6 = 0 − 6 = − 6 → P ( − 6) ; б) PM =
1 3 KM = = 1, 5 од. відр. 2 2
P = M − 1, 5 = 0 − 1, 5 = − 1, 5 → P ( − 1, 5 ) ;
в) MP = KM = 3 од. відр. P = M + 3 = 0 + 3 = 3 → P ( 3) . A
886. –6
–5
–4
–3
–2
B
O
–1
0
AB = 2 од. відр. AO = 3 од. відр. AC = 7 од. відр.— найбільший BO = 1 од. відр.— найменший BC = 5 од. відр.
120
OC = 4 од. відр.
C 1
2
3
4
5
6
887. MH = 6 ⋅ 4 = 2 од. відр. = 5 см а) 1 од. відр. = 5 см : 2 = 2,5 см; б) OM = 4 од. відр. · 2,5 см = 10 см;
МАТЕМАТИКА
OH = 6 од. відр. · 2,5 см = 15 см; в) HK = 3 од. відр. · 2,5 см = 7,5 см; г) PK = (9+4) од. відр. · 2,5 см = 13 · 2,5 = 32,5 см. 1 2 + = 1 (см); 3 3
AC = 2
2 2 − = 2 (см); 3 3
CB = 2
2 1 + = 3 (см). 3 3
4 ⎛ 3 1⎞ 889. а) AB = ⎜ + ⎟ ⋅ 2 = ⋅ 2 = 4 (см); ⎝ 2 2⎠ 2
et
888. AB =
890.
P –5
–4
–3
–2
B
O
D
K
–1
0
1
2
3
C 4
5
6
ld z
–6
A
.n
3⎞ ⎛ 2 б) KP = ⎜ 3 + 2 ⎟ ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 = 12 (см). ⎝ 5 5⎠
891. B ( − 1) — середина KP; D (1) — середина AC;
al
точки B й D симетричні відносно O.
892.
A
–5
–4
–3
–2
–1
B
0
1
C
2
3
4
5
6
7
C = B + AB = 2 + 5 = 7 → C (7 ) AC = 3 + 7 = 10
→
AC 10 2 = = BC 5 1
BC = 7 ⋅ 2 = 5 893.
A
P′
C
–6
–5
–4
B′ –3
–2
O –1
0
B 1
2
3
K
P
A′
4
5
6
B ( 2 ) − B′ ( − 2 ) K (4) − C ( − 4)
P (5 ) − P′ ( − 5 )
A ( − 6) − A ′ (6)
121
894.
20
10
30
МАТЕМАТИКА
0
40
–10 °С
895. 3, 6 +
температура
3 36\2 35 72 + 15 87 7 = + = = =4 4 10 4 20 20 20
3 72 − 15 57 = = 4 20 20 87 57 30 − = = 1, 5 ; 20 20 20
а) 3, 6 −
9
et
3 36 3 27 = ⋅ = 4 10 4 10
б) 3, 6 ⋅
.n
87 27\2 87 − 54 33 13 − = = =1 . 20 10 20 20 20
896. a = 4 см; b = 5 см;
b
ld z
∠ α = 60° .
60°
a
897. Існує, тому що 2, 5 + 3, 7 > 4, 7 .
( x = 0)
al 898. x2 + 16 = 16
( x + 16 )
2
( x + 0)
= 256
§ 27. Цілі і дробні числа 899. v = 50, 5 км/год = t=
50 500 ≈ 14 м/с 3600
125 = 8, 91 ( c ) ≈ 9 ( c ) . 14
904. 0,08; –19; 37; 435; –1015; 5,1;
1 2 2 7 ; ; 3 ; −2 . 3 5 15 9
905. 1, 2, 3 і –1, –2, –3.
122 906. –2, –3, –7, –9, –13 і 2, 3, 7, 9, 13.
б)
908. а) так;
б) ні;
в) так;
909. 24 і –24;
2
2,25 і − 2
1 ; 4
–6
–5
–4
г) ні.
1 1 і −2 ; 4 4
−
2 2 і ; 5 5
–0,1 і 0,1.
A
910.
6 1 =1 . 5 5
МАТЕМАТИКА
5 ; 6
907. а) −
–3
O –2
–1
B
0
1
2
3
4
5
6
O ( 0 ) при будь-яких a й b, що відповідають умові. C –6
–5
–4
–3
–2
O –1
0
A
1
2
3
4
.n
⎛ 6⎞ ⎛ 24 ⎞ ; а) A ( 3 ) = A ⎜ ⎟ = A ⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 8 ⎟⎠
B
et
911.
5
6
⎛ 15 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 3⎞ б) B ⎜ = B (1, 5 ) ; C ⎜ − =C⎜− ⎟ . ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 8 ⎟⎠ ⎝ 2⎠ 912.
B
K, F
N
ld z
C –6
–5
–4
–3
–2
–1
а) A ( 3 ) — B ( − 3 ) ;
0
1
A
2
D
3
4
5
6
б) C ( − 5 ) — O ( 5 ) ;
al
в) K ( − 1) — N (1) ; → N (1) — F ( − 1) → F ( − 1) = K ( − 1) .
913. а) так;
б) так;
в) так;
г) так.
914. а) − a = − 3 ;
б) − a = 5 ;
в) − a = 1, 7 ;
г) − a = − 297 .
915. 3; –17; 916. 3
8 5 ; –1001; . 4 5
2 . 3
917. а) ціле;
б) натуральне;
г) ціле; 918. 8 точок: 919. Від
( − 1)
в) ціле;
д) дробове.
( − 3) ; ( − 2) ,… ( 0 ) ,… до − ∞ ;
B ( − 2) ; C ( − 3) …
(4).
від (1001) до ∞ , Н, D (1001) ; E (1002 ) .
123
920. а) x = − 5, 1 ;
б) x = 293 ;
в) x = 45 ;
1 г) x = − 5 ; 3
21 ґ) x = ; 39
д) x = − 53
1 . 7
(
)
б) 0, 32 − 0, 33 − 0, 3 ⋅ 0, 33 = 0, 32 1 − 0, 3 − 0, 32 = 0, 09 ⋅ 0, 61 = 0, 0549 .
922.
1 ⋅ 22, 8 = 7, 6 ; 3
923. а) x = в) x =
12 ⋅100 = 5 %; 240
б) x =
3000 ⋅100 = 1200 % . 250
11, 4 − 7, 6 = 3, 8 .
35 ⋅100 = 87, 5 % ; 40
0, 5 1 = 100 ; б) = 200 . 0, 005 0, 005
.n
924. а)
1 ⋅ 22, 8 = 11, 4 ; 2
et
МАТЕМАТИКА
2
3⎞ 3 8 ⎛ + 17, 64 = 921. а) ⎜ 6, 5 + ⎟ ⋅ 0, 8 + 4, 22 = 6, 5 ⋅ 0, 8 + ⋅ ⎝ 4⎠ 4 10 = 5, 2 + 0, 6 + 17, 64 = 23, 44 ;
925. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 — всі натуральні, прості: 2, 3, 5, 7.
al
ld z
926. P = ( 9x + 10x ) ⋅ 2 = 380 38x = 380 x = 380 : 38 = 10 a = 9x = 9 ⋅10 = 90 (см); b = 10x = 10 ⋅10 = 100 (см); S = a ⋅ b = 90 ⋅100 = 9000 (см2) = 90 (дм2). 927.
3
2
5
2
7
1
5
1
4
§ 28. Модуль числа 932. а) ні;
б) так.
933. а) ні;
б) ні;
934.
124
−5 + 2 =7 ;
935. а)
−5 − 2 =3 ;
−2 + −7 = 9 ;
б)
в) так. − 5 ⋅ 2 = 10 ; − 4 ⋅ − 15 = 60 ;
− 5 : 2 = 2, 5 . в)
− 18 : − 9 = 2 .
б) –0,12;
в) –305.
937. Так.
а) 0,25;
б) 0,5.
938.
x = 203 .
939.
PK –2
–1 3 − 4
⎛ 2⎞ K⎜− ⎟ ⎝ 3⎠
−
О 0
2 3
1
2
МАТЕМАТИКА
936. а) –7;
940. Усі вірні.
et
941. При x < 0 . 942. Ні. 943. а)
x =6
x =8
б)
x2 = 6 ;
x =0
в)
x1 = − 8
.n
x1 = − 6
x=0 .
x2 = 8 ;
ld z
944. а) 3 ⋅ − 1, 5 + 4 = 8, 5 ;
б) 2, 5 ⋅ − 12 − 5 = 25 ;
в) 24 : − 16 + 3, 5 = 5 ; г)
− 8 ⋅ − 4 − − 56 : 7 = 32 − 8 = 24 .
б) 13 − 14 ⋅
al
945. а) 8 + 5 ⋅ 0, 7 = 11, 5
8 + 5 ⋅ − 0, 7 = 11, 5 ;
2 =9 7
13 − 14 ⋅ −
2 =9 . 7
946. а) 3 ⋅ a − b − 2a + 2 b = 3 ⋅ 27, 3 − − 44, 4 − 2 ⋅ 27, 3 + 2 − 44, 4 = = 81, 9 − 44, 4 − 54, 6 + 88, 8 = 71, 7 ; б) 5m + 2 n − 2 m − 3 m = 5 ⋅ (− 17,17) + 2 − 7,1 − 2 − 17,17 − 3 ⋅ − 17,17 = = 88, 5 + 14, 2 − 34, 34 − 51, 51 = 14, 2 ; в) x + 7 − x − y + xy = 5, 2 + 7 − 5, 2 − 2,5 + 5, 2 ⋅ 2,5 = 12, 2 − 2,7 + 13 = 22,5 .
947. –6
–5
A
B
C
D
E
F
K
L
M
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x = A(–4), –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
5
6
125
948. –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
МАТЕМАТИКА
949. x = 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 — натуральні; x = − 11 , –10, –9, –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1 — цілі від’ємні; цілі = натуральні + цілі від’ємні + 0. 950. –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
951. а) при x 0 ;
б) ні при яких;
952. б);
в).
953. а)
x −6 = 4
б)
x +2=3 x = 3−2 =1
3
4
5
6
в) при x < 0 .
в) 3 x − 7 = 5 3 x = 5 + 7 = 12
et
x = 4 + 6 = 10
2
x1 = − 1
x2 = 10 ;
x2 = 1 ;
.n
x1 = − 10
12 =4 3 x1 = − 4 x =
x2 = 4 .
954. а) 3, 22 − 1, 33 = 10, 24 − 2, 197 = 8, 043 ;
955. а)
ld z
б) 1, 23 − 0, 83 = 1, 728 − 0, 512 = 1, 216 .
( x − 5) ( x − 7 ) = 0
б) 3x ( x − 4 ) = 0
x 1 = 5 ; x2 = 7 ;
x1 = 0 ; x2 = 4 .
956. x + x + 2 = 12, 4 2x + 2 = 12, 4
al
2x = 12, 4 − 2 = 10, 4
x = 10, 4 : 2 = 5, 2 (кг).
957. 10x + 14 (15 − x ) = 190 10x + 210 − 14x = 190
4x = 20 20 x= = 5 (шт.) — одного виду; 4 15 − 5 = 10 (шт.) — іншого виду. 958. а) 5 ⋅ 5 : 5 = 5 ; 959.
126
б) (5 − 5 ) ⋅ 5 = 0 ;
в) 5 − 5 : 5 = 4 .
§ 29. Порівняння раціональних чисел 964. а) − 9 < 0 ; 0 > − 17 ; − 8 < − 7 ;
965. а) 0, 3 <
1 ; 3
4 16 5 15 =− <− =− ; 3 12 4 12
б) −
в) − 0, 2 = −
1 . 5
9 2 5 2 4 9 < ; = ; >4 ; − <4 ; 2 3 6 7 14 2 1 6 3 4 10 8 < . б) − 4 < 3 ; − = − 2 ; − > − ; − 2 3 4 3 3 4
966. а)
967. − 0, 7 = −
21 3 18 2 20 2 3 ; − =− ; − =− ; − 0, 7 < − < − . 30 5 30 3 30 3 5 б) − 5, 7 < 0 ;
.n
1 1 ; –3,3; –2; –1,99; 0; 0,2; . 3 2
970. 3,2; π ; 2
1 1 ; 1; –1; − π ; –3,2; − 3 . 2 2
–3 –1
2
ld z
971.
г) 5x > 0 .
в) n < 0 ;
et
968. а) 0, 4 > 0 ; 969. − 3
МАТЕМАТИКА
б) − 0, 5 < 0, 5 ; 2, 3 > − 23 ; − 2, 3 > − 3 .
–7
al
972. а) –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; б) –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; в) –3; –4; –5; –6; –7; –8. 973. а) –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; б) –23; –22; –21; –20; в) –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. 974. –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. 975.
A
B
C
D
E
F
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
976.
977. а) a > 0 ;
б) 0 > x ;
в) a > x ;
ґ) b > x ;
д) b > y ;
є)
x >y ;
г) a > y ; ж) − a < b .
127
978.
a > c > b
a<b<c
МАТЕМАТИКА
979. а) − 181 < − 180 ;
б) − 16, 4 > − 26, 4 ;
в) − 3041 > − 3141 ;
г) − 35, 02 > − 35, 12 .
980. а) 8;
б) 64;
в) 0.
49
981.
3 3 98 147 ⋅ 9, 8 = ⋅ = = 7, 35 (ц) 4 20 4 2 10 9, 8 − 7, 35 = 2, 45 (ц).
982. 8 + x — 100 % x — 10 %
.n
et
8 + x 100 = x 10 10 ( 8 + x ) 80 + 10x 8 10x x= = = + 100 100 10 100 x 8 x− = 10 10
ld z
9 8 x= 10 10 8 9 8 10 8 x= : = ⋅ = (кг). 10 10 10 9 9
al
983. b = a + 3, 5 ; c = a + 2, 8 P = a + a + 3, 5 + a + 2, 8 = 27 3a = 27 − 6, 3 = 20, 7 a = 20, 7 : 3 = 6, 9 (см); b = 6, 9 + 3, 5 = 10, 4 (см); c = 6, 9 + 2, 8 = 9, 7 (см). 984. x = 2 +
1 x; 2
1 1 x=2 ; x = 2; 2 2 1 x = 2 : = 2 ⋅ 2 = 4 (грн). 2 x−
1 2 II частина шляху — 3x = 2x (сон) + x (останок)
985. I частина шляху —
128
1 + 3x = 1 2 1 1 3x = 1 − = 2 2
1 1 1 1 :3 = ⋅ = 2 2 3 6
2x =
1 2 1 ⋅2 = = . 6 6 3
6 x = 3x 2 6 Вовк — 3 ч = x = 2x 3 Собака — 6 ч = x
}
986. Лев — 2 ч =
частини від загального об’єму лева, вовка й собаки відповідно
МАТЕМАТИКА
x=
3x + 2x + x = 1 — загальний об’єм 6x = 1 x=
1 2 1 = 3 ⋅ = 6 ⋅ = 1 (ч). 2 6 6
et
2
1 2 3 1 — собака; 2x = — вовк; 3x = = — лев. 6 6 6 2
.n
Самостійна робота № 5 Варіант 1
а)
2.
12 ; –83; 4
б) −
3 3 ; −2 ; 6 4
ld z
1.
A –7
–6
в)
M
–5
–4
–3
–2
–1
0
12 . 4 B
1
2
3
4
5
al
AB = − 6 + 3 = 9 (од. відр.) 1 9 AB = = 4, 5 (од. відр.) 2 2
M = − 6 − 4, 5 = 1, 5 → M ( − 1, 5 )
3.
3, 8 − 0, 4 = 3, 4 3, 8 + 0, 4 = 4, 2 .
4.
а)
x =5
x1 = − 5 ; x2 = 5 б) 2 x = 6 x = 6:2 = 3 x1 = − 3 ; x2 = 3 . 5.
–2, –1, 0, 1, 2.
129
Варіант 2
МАТЕМАТИКА
1.
8 а) –74; − ; 34; 4
2.
3 ; 7
б) –0,2;
K –7
–6
–5
в) 34. O
–4
–3
–2
–1
0
P 1
2
3
4
5
KP = − 5 + 5 = 10 (од. відр.) 1 KP = 10 : 2 = 5 (од. відр.) 2 C = P − 5 = 5 − 5 = 0 → C (0) − 12 + 1, 2 = 13, 2
3.
− 12 ⋅ 1, 2 = 14, 4 . x =3
а)
б) 3 x = 6 6 x = =2 3 x1 = − 2 ; x2 = 2 .
x1 = − 3 ; x2 = 3 ;
–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
.n
5.
et
4.
Варіант 3
4 ; 2 4 в) 32 ; 2
3 2 6 ; ; − ; –4,4; 7 3 30 4 3 6 г) 32 ; 2 ; . 2 7 30
1. а) 32
ld z
2.
б) 2
A
–6
–5
–4
–3
al
–7
B
–2
–1
0
K 1
2
AB = − 5 − − 1 = 4 (од. відр.)
K = B ( − 1) + 4 = 3 → K ( 3 ) − 6, 4 + 4, 6 = 11
3.
6, 4 − 4, 6 = 1, 8 11 − 1, 8 = 9, 2 4.
а)
x =8 x1 = − 8 ; x2 = 8 ;
130 5.
б) 5 x − 1 = 3 5 x =4 4 x = 5 4 4 x1 = ; x2 = − . 5 5
–6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
3
4
5
Варіант 4
2.
12 15 ; б) − ; 4 3 K
–7
–6
–5
в) –8,5;
1 1 ; 7 ; 2 13
M –4
–3
г)
1 1 15 ; ; 7 . 2 13 3
P
–2
–1
0
1
2
3
4
5
KP = − 5 + 1 = 6 (од. відр.) 1 6 KP = = 3 (од. відр.) 2 2 M = K ( − 5) + 3 = − 2 → M ( − 2)
МАТЕМАТИКА
1.
15 а) ; 3
MO = 2 (од. відр.) 5, 7 + − 7, 5 = 13, 2
3.
7, 5 − 5, 7 = 1, 8
4.
et
13, 2 − 1, 8 = 11, 4 . x =4
а)
б) 4 x + 3 = 5
x1 = − 4 ; x2 = 4 ;
4 x =2
.n
2 1 = 4 2 1 1 x1 = − ; x2 = . 2 2 x =
–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
ld z
5.
Завдання в тестовій формі
б).
6.
а).
2. б).
3. г).
4. а).
5. г).
7. а).
8. в).
9. г).
10. в).
al
1.
Типові задачі
1.
2.
13 — додатні; 12 1 –4; –0,5; − ; –327 — від’ємні. 3 11; 0,7;
B –3
C –2
A
–1
0
1
2
D 3
3 . 5
3.
а) –35;
б)
4.
а) 3, 9 > − 9, 3 ;
б) − 2, 75 < − 2, 57 .
5.
а) 27 − 1, 5 ⋅ − 10 = 12 ;
б) 27 − 1, 5 ⋅ − 0, 4 = 26, 4 .
131
6.
AB = 2, 8 + 0, 2 = 3 (од. відр.) 3 ⋅ 0, 5 = 1, 5 (см).
МАТЕМАТИКА
7.
а)
x = 3, 1
б)
x = − 1, 3 — немає рішень;
x1 = 3, 1 ; x2 = − 3, 1 ; в)
x + 4 = 1, 2 : 0, 3 x =0 x=0
8.
–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. A
9. –4
–3
–2
B
–1
0
1
2
3
C 4
5
6
7
CB = AB = 4 од. відр. AC = 2 AB = 2 ⋅ 4 = 8 од. відр.
10.
.n
AC 8 2 = = . CB 4 1
et
AB = − 1 + 3 = 4 (од. відр.) C = B ( 3 ) + 4 = 7 → C (7 )
5 x − 1 − 27 = 3
ld z
5 x − 1 = 30 30 x −1 = =6 5 x1 − 1 = 6 ; x2 − 1 = − 6 ; x2 = − 5 .
al
x1 = 7 ;
§ 30. Додавання раціональних чисел
994. а) 17 + ( − 8 ) = 9 ; − 9 + 57 = 48 ; − 6 + 300 = 294 ; б) − 23 + 56 = 33 ; − 48 + 8 = − 40 ; 710 + 28 = 738 ; в) 85 + ( − 94 ) = − 9 ; − 19 + 76 = 67 ; − 94 + 0 = − 94 . 955. а) − 0, 3 + 0, 2 = − 0, 1 ; в) − 1, 8 + ( − 2, 9 ) = − 4, 7 ;
996. а) − 1, 3 + 2, 7 = 1, 4 ; в) 0, 7 + ( − 4, 9 ) = − 4, 2 ; 997. а) − 0, 28 + ( − 1, 4 ) = − 1, 68 ;
132
в) 0, 09 + ( − 0, 17 ) = − 0, 08 ;
б) 2, 4 + ( − 1, 6 ) = 0, 8 ; г) 9, 6 + ( − 3, 5 ) = 6, 1 .
б) 4, 8 + ( − 3, 9 ) = 0, 9 ;
г) − 5 + ( − 2, 3 ) = − 7, 3 . б) 45, 7 + ( − 8, 5 ) = 37, 2 ;
г) − 0, 8 + ( + 2, 4 ) = 1, 6 .
8
998. а) 3, 9 + ( − 8, 53 ) = − 4, 63 ;
б) − 12 + ( − 7, 46 ) = − 19, 46 ;
999. − 2 +
г) 2, 9 + ( − 9, 2 ) = − 6, 3 .
1 1 = −1 . 2 2
1000. а) 4, 2 + ( − 1, 6 ) = 2, 6 ; в)
б) − 2, 6 + ( − 1, 6 ) = − 4, 2 ;
1 1 16 10 − 48 38 8 4 + ( − 1, 6 ) = − = = =1 =1 . 30 15 3 3 10 30 30 \10
\3
1001. а) 30 + ( − 27 ) = 3 > 0 ;
б) − 27 + 23 = − 4 < 0 ;
МАТЕМАТИКА
в) − 0, 245 + ( − 10 ) = − 10, 245 ;
в) − 9 + ( − 17 ) = − 26 < 1 .
2 ⎛ 3⎞ 1 + − =− ; 5 ⎝⎜ 5 ⎠⎟ 5 4 5 1 + = ; 9 9 9
ґ) −
2 1 +1 = ; 3 3
1004. а)
г)
б) −
3 ⎛ 3⎞ в) − 2 + ⎜ − ⎟ = − 2 ; ⎝ 8⎠ 8
б)
4 7 3 + = ; 7 7 7
1\2 ⎛ 1 ⎞ 3 + − =− ; 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4
д) −
2\2 ⎛ 5 ⎞ 9 3 1 + − = − =1 =1 . 3 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 6 6 2
1\2 1\3 2 3 1 + =− + = ; 3 2 6 6 6
5 ⎛ 2\2 ⎞ 5 4 1 + − = − = ; 6 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 6 6 6
в) − г)
3 1 = −4 . 4 4
1 ⎛ 2⎞ г) 12 + ⎜ − ⎟ = 11 ; ⎝ 3⎠ 3
al
1005. а) −
3 ⎛ 5⎞ 2 + − =− ; 7 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 7
д) − 5 +
1 ⎛ 3⎞ 2 + − =− ; 7 ⎝⎜ 7 ⎠⎟ 7
ґ) −
5 ⎛ 2⎞ + − = −1 ; 7 ⎝⎜ 7 ⎠⎟
ld z
в) −
б) −
.n
1003. а)
et
1002. − 9, 3 + 4, 8 = − 4, 5 < − 4, 8 + 3, 9 = − 0, 9 .
7 \5 ⎛ 7 \4 ⎞ 35 28 63 23 + − ; =− − =− = −1 8 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ 40 40 40 40
3 ⎛ 3⎞ + − =0 ; 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 3
ґ) − д)
4\4 5\5 16 25 9 3 + =− + = = ; 15 12 60 60 60 20 20
5\5 ⎛ 37 ⎞ 25 − 21 4 + − = = . 7 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 35 35
133
1006. а) − 2
2\7 ⎛ 3\5 ⎞ 14 − 15 1 34 + − = 3+ = 3− =2 ; 5 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 35 35 35
в) − 4 г) 1
3 ⎛ 1⎞ 3 2 1 + − 5 ⎟ = − 4 − 5 = − 10 ; 4 4 4 ⎜⎝ 2⎠ 4
1\3 ⎛ 1\2 ⎞ 3 2 1 + ⎜1− = 1 −1 = ; 2 ⎝ 3 ⎟⎠ 6 6 6
ґ) − 3
1 1 1 3 4 2 + = −3 + = −2 = −2 ; 6 2 6 6 6 3
д) − 4
2\2 1\3 1 +1 = −3 . 3 2 6
б)
3\5 15 + 10 25 5 1 + − 0, 5\2 = = = =1 ; 4 4 20 20 4
(
)
et
1007. а)
3\2 + 1, 2 = 1, 8 ; 5
в) −
.n
МАТЕМАТИКА
б) 3
1 2 2 + = −1 ; 3 3 3
3\2 + ( − 1, 8 ) = − 2, 4 ; 5
ld z
⎛ 9 ⎞ г) 0, 7 + ⎜ − = − 0, 2 ; ⎝ 10 ⎟⎠ ґ) − 5
2\10 20 15 5 1 + − 0, 5\3 = 5 − =5 =5 . 3 30 30 30 6
(
)
al
д) 5
2\2 + 0, 5 = − 5, 4 + 0, 5 = − 4, 9 ; 5
1008. а)
1\10 10 9 29 + − 2, 3\3 = − = −1 ; 3 30 30 30
б) −
(
)
2\10 20 9 29 + − 0, 3\3 = − − =− ; 3 30 30 30
(
)
⎛ 1\125 ⎞ 2050 − 125 1925 в) 2, 05\10 + ⎜ − = = = 1, 925 ; 8 ⎠⎟ 1000 1000 ⎝ ⎛ 4 \2 ⎞ г) 1, 5 + ⎜ − = 1, 5 − 0, 8 = 0, 7 ; ⎝ 5 ⎟⎠
134
ґ) −
2\7 ⎛ 5\3 ⎞ 8 ⎛ 14 + 15 ⎞ + − ; = −1 = −⎜ ⎝ 21 ⎟⎠ 3 ⎜⎝ 7 ⎠⎟ 21
д) −
1 + 0, ( 3 ) = − 0, ( 3 ) + 0, ( 3 ) = 0 . 3
1009. а) − 1, 2\3 + 3
5 5\10 1\3 53 + 0, 05 = 1 + =1 ; 6 6 20 60
в) − 2 г) −
МАТЕМАТИКА
б) 1
5\5 6 25 19 = −1 +3 =2 ; 6 30 30 30
3\5 15 8 3 + − 1, 4\2 = − 2 −1 = −4 ; 4 20 20 20
(
)
7 \3 ⎛ 1\10 + ⎜ −1 10 ⎝ 3
⎞ 1 ⎛ 21 + 40 ⎞ ⎟⎠ = − ⎜⎝ 30 ⎟⎠ = − 2 30 ;
⎛ 3\2 ⎞ ґ) − 3, 35 + ⎜ − = − ( 3, 35 + 0, 6 ) = − 3, 95 ; ⎝ 5 ⎟⎠
a
3
–2,5
–5,7
b
–7
–12,5
–3,4
a+b
–4
–15
–9,1
− 2, 5 + ( −12, 5 ) = − 15 −5, 7 + ( −3, 4 ) = −9, 1
3,8
8,12
0,09
2,31
–9,42
–3,49
–12
0,41
–5,62
4,63
ld z
−1, 9 + 2, 31 = 0, 41
–1,9
.n
1010.
et
⎛ 3\5 ⎞ 32 15 17 д) 3, 8\4 + ⎜ − . =3 − =3 40 40 40 ⎝ 8 ⎟⎠
3, 8 + ( −9, 42 ) = −5, 62 8, 12 + ( −3, 49 ) = 4, 63
al
0, 09 + ( −12 ) = −11, 91 .
1011. а) −11, 5 + ( −5, 5 ) + 1 = −16 ; б) −0, 3 + 0, 3 + 1 = 1 .
1012. а) x − 5 = −1
x = −1 + 5 = 4 ;
1013.
a + b a+b
б) 3x − 16 = −10 3x = −10 + 16 = 6 6 x= =2. 3
— сума модулів; — модуль суми;
− 3, 27 + 2, 5 = 0, 77 = 0, 77 − 3, 27 + 2, 5 = 5, 77 . 1014.
a+b = a + b
— a, b — з однаковими знаками або «0»
a + b < a + b − a > 0 , b < 0 або a < 0 , b > 0 .
135
1015. а) 1 + x = 2
МАТЕМАТИКА
б)
в)
1 + x1 = 2
1 + x2 = −2
x1 = 2 − 1 = 1
x2 = −2 − 1 = −3 ;
−2+ x =5 −2 + x1 = 5
−2 + x2 = −5
x1 = 5 + 2 = 7
x2 = −5 + 2 = −3 ;
x−3 =5 x1 − 3 = 5
x2 − 3 = −5
x1 = 5 + 3 = 8
x2 = −5 + 3 = −2 .
1016. а) 350 − (120 ⋅ 0, 5 ) = 290 (км);
б) 350 − (120 ⋅ 2 ) = 110 (км). (У підручнику зазначена загальна швидкість двох автомобілів).
et
1017. 30 + 45 = 75 км/год.
1018. l = 2πr = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 2, 5 = 15, 7 (дм);
S = 2πr 2 = 3, 14 ⋅ ( 2, 5 ) = 19, 625 (дм2).
(
.n
2
)
1019. S = S1 − S2 = π 3, 72 − 1, 32 = 3, 14 ⋅ (13, 69 − 1, 69 ) =
1020.
ld z
= 3, 14 ⋅12 = 37, 68 (дм2). 3, 2 32 9 = =1 2, 3 23 23
900 3 ⎛ 9 ⎞ 1 − 1 ⋅100 = = 39 %. ⎝⎜ 23 ⎠⎟ 23 23
al
1021. а) x2 = 64
б)
x = 64 = 8 ;
( x − 2)2 = 25 x − 2 = 25 = 5 x =5+2 =7 .
1022. l = 2πr = πd
d = d1 + d2 + d3 l1 = πd1 ; l2 = πd2 ; l3 = πd3 l = π ( d1 + d2 + d3 ) = πd1 + πd2 + πd3 = l1 + l2 + l3 — вірно.
§ 31. Віднімання раціональних чисел 1024. а) 13 + ( − 28 ) = 15 ;
б) 59 + 17 = 76 ;
в) − 42 − 97 = − 42 + ( − 97 ) = − 139 ;
1025. а) 6 − 95 = −89 ;
136
г) −8 − 84 = −92 ;
г) −89 + 53 = −36 .
б) 24 − 96 = −72 ;
в) −9 − 57 = −66 ;
ґ) −6 − 17 = −23 ;
д) −1 − 297 = −298 .
1026. а) 7 − ( −53 ) = 60 ;
б) 9 − ( −28 ) = 37 ;
в) 1 − ( −77 ) = 78 ;
г) 3 − ( −152 ) = 155 .
1027. а) −8 − ( −9 ) = 1 ;
б) −7 − ( −3 ) = −4 ;
г) −4 − ( −69 ) = 65 .
1028. а) 0, 7 − 1, 2 = −0, 5 ;
МАТЕМАТИКА
в) −5 − ( −5 ) = 0 ;
б) 2, 9 − 4, 7 = −1, 8 ;
в) 10, 6 − 38, 5 = −27, 9 ;
г) 4, 8 − 0, 48 = 4, 32 .
1029. а) 12, 6 − 83, 9 = −71, 3 ;
б) 0, 6 − 1, 3 = −0, 7 ;
в) 1, 3 − 2, 007 = −0, 707 ;
г) 0, 53 − 5, 4 = −4, 87 .
1030. а) −0, 6 − 3, 9 = −4, 5 ;
б) −2, 4 − 3, 46 = −5, 86 ; г) −3, 7 − ( −3, 6 ) = −0, 1 .
1031. а) 2, 7 − ( −4, 9 ) = 7, 6 ;
б) −0, 8 − ( −1, 6 ) = 0, 8 ;
et
в) 0, 5 − 3, 67 = −3, 17 ;
в) −27 − ( −3, 067 ) = −23, 933 ;
г) −0, 08 − ( −0, 8 ) = 0, 72 .
2 1 1 − = ; 3 3 3 4 ⎛ 3⎞ 7 2 − − = =1 . в) 5 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 5 5
б) −
3 1 2 1 − 3 = −2 = −2 ; 2 4 4 4 3 1 в) −4 − 5 = −10 . 4 4
б) −
1 2 − = −1 ; 3 3
.n
1032. а)
1 1 1\10 5\3 10 15 5 − 3, 5 = −3 = −3 = −3 = −3 ; 6 3 3 10 30 30 30 6
al
1034. а)
6 3 2 − 2 = −3 ; 7 7 7
ld z
1033. а)
б) −
7
7 2 2\10 8 \3 20 24 14 − 1, 8 = − −1 =− −1 = −2 = −2 ; 15 3 3 10 30 30 30 15
в) 3, 4\3 − 4
1\10 36 10 64 32 =3 −4 =− =− . 9 90 90 90 45
1035. а) 7, 53 − ( −3, 45 ) = 10, 98 ; б) −26, 8 − 47, 9 = −74, 7 ; в) −0, 235 − ( −2, 35 ) = 2, 115 ;
г) 12, 24 − ( −123, 4 ) = 135, 74 .
1036.
a
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
b
5,73
–3,24
8,96
–4,9
8,6
–3,28
–6,7
9,07
a−b
–8,73
1,24
–9,96
4,9
–7,6
5,28
9,7
–5,07
137
2 − ( −3, 28 ) = −5, 28
МАТЕМАТИКА
−3 − 5, 73 = −8, 73 −2 − ( −3, 24 ) = 1, 24
3 − ( −6, 7 ) = +9, 7
−1 − 8, 96 = −9, 96
4 − 9, 07 = −5, 07 . б) 7 − ( −10 ) = 17 ;
1037. а) m − n = −5 − 3 = −8 ; в) 0, 3 − ( −0, 7 ) = 1 ;
г) −3, 8 − ( −8, 3 ) = 4, 5 .
1038. −16 − 10 = −26 ; −7 − 10 = −17 ; 0 − 10 = −10 ; 3 − 10 = −7 ; 9 − 10 = −1 ; 12 − 10 = 2 . 1039. −0, 05 − 2, 5 = −2, 55 ; −0, 37 − 2, 5 = −2, 87 ; 1, 54 − 2, 5 = 0, 96 ; 8, 48 − 2, 5 = 5, 98 . 1040. 3, 8 − 7, 5 = − 3, 7 7, 5 − 3, 8 = 3, 7 — вірно.
et
1041. m = −2, 7 5, 2 − m = 5, 2 − ( −2, 7 ) = 7, 9 .
.n
1042. 4 − ( −3 ) = 7° . 1043. −2 + ( −7 ) = −9 .
1044. а) ( 3, 7 + 9, 1) − ( 4, 8 − 2, 5 ) + 4, 9 = 12, 8 − 2, 3 + 4, 9 = 15, 4 ;
( −12 + 3, 2) − ( −2, 8 − 5, 6 ) = −8, 8 − ( −8, 4 ) = −0, 4 .
ld z
б)
1045. а) (10, 5 − 13, 6 ) + ( 4, 1 − ( −2, 7 ) ) = −3, 1 + 6, 8 = 3, 7 ; б)
A
al
1046.
( −4, 3 − 5, 8 ) + ( −3, 9 + 7, 7 ) = −10,1 + 3, 8 = −6, 3 .
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
B 1
2
AB = B ( 4 ) − A ( −3 ) = 4 − ( −3 ) = 7 од. відр.
а) AB = − 3 − 4 = 7 од. відр. — вірно; б) AB = 4 − ( −3 ) = 7 од. відр. — вірно. 1047. а) KP = p − k = 8 ( −5 ) = 13 од. відр.; б) KP = 32 ( −6 ) = 26 од. відр.; в) KP = − 7 − 40 = 47 од. відр.; г) KP = − 35, 8 ⋅ 27, 9 = 63, 7 од. відр. 1048. а) a + b + c = −3, 1 + 5, 7 + ( −4, 8 ) = −2, 2 ;
138
б)
a + b + c = − 3, 1 + 5, 7 + ( −4, 8 ) = − 2, 2 = 2, 2 ;
в)
a + b + c = − 3, 1 + 5, 7 + − 4, 8 = 13, 6 .
3
4
5
6
1049. Вірно. 4 − 6 = 6 − 4 = 2 a, b > 0 ; − 4 − ( −6 ) = − 6 − ( −4 ) = 2 a, b < 0
1050.
МАТЕМАТИКА
4 − ( −6 ) = − 6 − 4 = 10 a > 0 ; b < 0 . a − b = a + b , якщо a 0 , b 0 або b 0 , a 0 . 7 − ( −2 ) = 7 + − 2 = 9
a = 7 ; b = −2 a = −7 ; b = 2
−7 − 2 = −7 + 2 = 9
a = 0 ; b = −2
0 − ( −2 ) = 0 + − 2 = 2 .
1051. а) −2 + x = 5
б) x − 7 = −3
x =5+2 =7 ;
в) 5 − x = 9
x = −3 + 7 = 4 ;
x =5−9 = −4 .
1052. а) A ( 20 ) ; B ( 0 ) ; C ( −12 ) ; K ( −28 ) ; P ( 28 ) ;
et
б) AB = 20 од. відр.; AC = 20 + 12 = 32 од. відр.;
AK = 20 + 28 = 48 од. відр.; AP = 28 − 20 = 8 од. відр.;
BC = 12 од. відр.; BK = 28 од. відр.; BP = 28 од. відр.; CK = 28 − 12 = 16 од. відр.; CP = 12 + 28 = 40 од. відр.;
.n
KP = 28 + 28 = 56 од. відр. 1053. 24 − ( −23 ) = 48° .
ld z
1054. 12, 9 − a − x
а) 12, 9 − ( −8, 7 ) − 6, 7 = 14, 9 ;
б) 12, 9 − ( −0, 73 ) − ( −6, 4 ) = 20, 03 .
1055.
0,52
–4,31
–16,35
28,6
b
9,09
8,13
–5,83
–4,8
–8,07
362,6
906,83
1− a − b
–16,22
3,56
5,28
13,38
3,27
al
a
–345,25 –934,43
1 − 8, 13 − 9, 09 = −16, 22
1 − 3, 27 − ( −5, 83 ) = 3, 56 1 − 0, 52 − ( −4, 8 ) = 5, 28
1 − ( −4, 31) − ( −8, 07 ) = 13, 38
1 − ( −16, 35 ) − 362, 6 = −345, 25
1 − 28, 6 − 906, 83 = −934, 43 . б) −3 , –2, –1.
1056. а) 7, 8, 9 10; 1057. а)
3+ x =5 3 + x1 = 5
3 + x2 = −5
x1 = 5 − 3 = 2
x2 = −5 − 3 = −8 ;
139
МАТЕМАТИКА
б)
x−8 =2 x1 − 8 = 2
x2 − 8 = −2
x1 = 2 + 8 = 10
x2 = −2 + 8 = 6 ;
в) 6 + 4 − x = 9 4−x = 9−6 = 3
1058.
4 − x1 = 3
4 − x2 = −3
x1 = 4 − 3 = 1
x2 = 4 + 3 = 7 .
− 753 + 2007 − 1 = 2759 (років).
1059.
A –3
B –2
–1
1
2
3
et
AB = − 2, 5 + 3, 5 − 1 = 5 років. 1060. 2400 − 384 + 1 = 2017 .
–5
–2
7
12
0
–7
2
б)
–1
2
11
–12
16
4
–8
5
–3
6
9
.n
а)
ld z
1061.
1062. а) 0, 075 ⋅ 3000 = 225 ; б) 0, 075 ⋅12 = 0, 9 ;
в) 0, 075 ⋅ 0, 75 = 0, 05625 .
al
1063. а) 27 : 0, 075 = 360 ; 1064. а)
б)
34, 8 = 464 ; 0, 075
1 = 0, 00005 = 0, 005 % ; 20 000
в)
0, 4 = 0, 4 = 40 % . 1 8 40 = 1 − 0, 2 = 0, 8 = 80 % ; − 1 = 5 − 1 = 4 = 400 % . 40 8
1066. S1 = 4 см2 ; S2 = 16 см2 1−
140
7, 5 = 100 . 0, 075
3, 8 = 0, 01 = 1 % ; 380
б)
1065. 1 −
в)
4 = 1 − 0, 25 = 0, 75 = 75 % 16
16 − 1 = 4 − 1 = 3 = 300 %. 4
4
1067. Відстань — x x \2 x \3 5x 1 + = = x 15 10 30 6
vср = 2x :
1 6 x = 2 ⋅ = 12 км/год. 6 x
§ 32. Множення раціональних чисел 1072. а) 16 ⋅ 5 = 80 ;
б) 3, 2 ⋅ 6 = 19, 2 ; ⎛ 2⎞ 2 г) ⎜ − ⎟ ⋅ 6 = −4 . ⎝ 3⎠
в) −9 ⋅ 7 = −63 ; 1073. а) −4 ⋅ 8 = −32 ;
МАТЕМАТИКА
t=
б) −0, 3 ⋅ 6 = −1, 8 ;
в) 5 ⋅ 7 = 35 ;
2 20 2 ⋅10 = − = −2 . 9 9 9
et
г) −
1074. −25 ⋅ 40 = −1000 . 1075. а) −7 ⋅100 = −700 ;
(
)
г) 23 − 9 ⋅100 = −1 ⋅100 = −100 . б) −2x ⋅ 6 = −12x ;
ld z
1076. а) −a ⋅ 7 = −7a ;
1 ⋅100 = −50 ; 2
.n
в) ( 2 − 5 ) ⋅100 = −300 ;
б) −
1 6 в) − c ⋅ 6 = − c = −2c . 3 3 1077. а)
al
в)
( −1, 4 ) ⋅ ( −5) = 7 ; 23, 7 ⋅ ( −40 ) = −948 ;
1078. а)
в)
( −3, 5) ⋅ ( −42) = 147 ; ( −367 ) ⋅ ( −89) = 32 663 ;
1079. а) 23, 8 ⋅ (−1, 03) = −24, 514 ; в) 70, 2 ⋅ ( −9, 5 ) = −666, 9 ; 2 ⎛ 2⎞ ⎛ 6 ⎞ 4 1080. а) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟= ; ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠ 7
б) 3, 74 ⋅ ( −0, 5 ) = −1, 87 ;
г) 2, 25 ⋅ ( −0, 04 ) = −0, 09 . б)
г) б) г)
( −64 ) ⋅ ( −2, 25) = 144 ; ( −3, 8 ) ⋅ ( −2, 5) = 9, 5 . ( −135) ⋅ ( −8, 6 ) = 1161 ; ( −0, 07 ) ⋅ ( −25, 8 ) = 1, 806 .
⎛ 3⎞ ⎛ 5 ⎞ 1 б) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − = ; ⎝ 5 ⎠ ⎝ 9 3 ⎟⎠ 3
3
⎛ 4 ⎞ 21 3 1 в) ⎜ − ⎟ ⋅ =− =− . 6 2 ⎝ 7 ⎠ 24 6 5 ⎛ 2⎞ 1081. а) 15 ⋅ ⎜ − ⎟ = −10 ; ⎝ 3⎠
(
)
5 ⎛ 2⎞ в) ⎜ − ⎟ ⋅ − 25 = 10 ; ⎝ 5⎠
б) г)
( ) 6 ⋅ ( − 26 ) = −12 ; 13 2 5 ⋅ − 18 = −10 ; 9 2
141
⎛ 84 ⎞ 4 ⋅⎜ − ⎟ =− ; 9 ⎝ 9 ⎠
МАТЕМАТИКА
5 ⎛ 8⎞ д) 0, 5 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 9 ⎠ 10 е)
1082. а)
5 4 4 ⎛ 25 ⎞ 20 ⋅ ( −2, 5 ) = ⋅ ⎜ − = −2 . ⎟ =− 5 10 5 ⎝ 10 ⎠
( −4 ) ⋅ x = 0 x=0 ;
1083.
1 x=0 7 x=0 .
б) −2, 3x = 0
в) −
x=0 ;
( −5) m
а) −5 ⋅ 3, 8 = −19 ; б) −5 ⋅ ( −4, 4 ) = 22 ; в) −5 ⋅ ( −0, 72 ) = 3, 6 . 1084.
в) 1086. а)
0
1
2
( −4, 6 ) ⋅ x
9,2
4,6
0
–4,6
–9,2
( −8, 5 + 4, 2) ⋅ ( −8, 5) = −4, 3 ⋅ ( −8, 5) = 36, 55 ; ( −8, 5 + 4, 2) ⋅ 4, 2 = −4, 3 ⋅ 4, 2 = −18, 06 ; ( −8, 5 + 4, 2) ⋅ ( −8, 5 − 4, 2) = −4, 3 ⋅ ( −12, 7 ) = 54, 61 . ( −3, 2 − 4, 3) ⋅ ( −3, 2) = −7, 5 ⋅ ( −3, 2) = 24 ; ( −3, 2 − 4, 3) ⋅ 4, 3 = −7, 5 ⋅ 4, 3 = 32, 25 ; ( −3, 2 − 4, 3) ⋅ ( −3, 2 + 4, 3) = −7, 5 ⋅1,1 = 8, 25 .
ld z
б)
–1
в)
( −2, 5) ⋅ ⎛⎜⎝ −
5
4⎞ 25 ⎛ 4 ⎞ 20 =− ⋅ − = =2 ; 5 ⎟⎠ 10 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 10 9
⎛ 5⎞ 6 ⎜⎝ − 6 ⎟⎠ = − 2 = −3 ;
9
⎛ 5 ⎞ 9 1 ⎜⎝ − 8 ⎟⎠ = − 4 = −2 4 ; 2
al
1087. а)
⎛ 5 ⎞ 36 б) 3, 6 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 6 ⎠ 10 2
⎛ 5 ⎞ 36 в) 3, 6 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 8 ⎠ 10 2 г)
( −2, 7 ) ⋅
3
2
5 27 5 3 1 =− ⋅ = − = −1 = −1, 5 ; 9 2 2 10 2 9
1 ⋅ ( −0, 6 ) = 1, 5 ⋅ ( −0, 6 ) = −0, 9 ; 2 3 8 д) −5 ⋅1 = − 5 ⋅ = −8 . 5 5 ґ) 1
1088. а)
( −3) ⋅ ⎛⎜⎝ −2
б) 1
142
3
4
–13,8 –18,4
et
б)
–2
.n
1085. а)
x
⎛ 7⎞ 1⎞ = − 3 ⋅⎜ − ⎟ = 7 ; 3 ⎟⎠ ⎝ 3⎠
1 ⎛ 2⎞ 3 ⋅⎜ − ⎟ = 2 ⎝ 3⎠ 2
⎛ 2⎞ ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 ; ⎝ 3⎠
5 –23
г) 2
3 2 ⎛ 9⎞ 8 ⎛ 9 ⎞ ⋅⎜ − ⎟ = ⋅⎜ − ⎟ = −3 ; 3 ⎝ 8⎠ 3 ⎝ 8 ⎠ 2
⎛ 5 ⎞ 12 ґ) 1, 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 6 ⎠ 10 2 д) −3
⎛ 5⎞ 2 ⎜⎝ − 6 ⎟⎠ = − 2 = −1 ;
1 7 ⎛ 2 ⎞ 7 ⋅ ( −0, 2 ) = − ⋅ ⎜ − = = 0, 7 . 2 2 ⎝ 10 ⎟⎠ 10
МАТЕМАТИКА
2⎞ ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 3⎞ ⎛ в) ⎜ −1 ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = − ⋅ ⎜ − ⎟ = 1 ; ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ 3 ⎝ 5⎠
2 2⎞ ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1089. а) ⎜ −1 ⎟ . ⎜ −1 ⎟ = − ⋅ ⎜ − ⎟ =2 ; ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ 3 ⎝ 5 ⎠
в) −9 ⋅ 5
3 17 2 =−9 ⋅ = −51 ; 3 3
et
3 2 1⎞ ⎛ 1⎞ 9 ⎛ 16 ⎞ ⎛ б) ⎜ 1 − ⎟ ⋅ ⎜ −5 ⎟ = − ⋅⎜ − ⎟ =6 ; ⎝ 8⎠ ⎝ 3⎠ 8 ⎝ 3 ⎠
.n
1⎞ ⎛ 1⎞ 7 ⎛ 7 ⎞ 49 1 ⎛ г) ⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ = − ⋅ ⎜ − ⎟ = =8 ; ⎝ 3⎠ 2 ⎝ 3⎠ 6 6 2⎠ ⎝
д) 1
11 5 12 ⎛ 77 ⎞ 132 ⋅ ( −7, 7 ) = ⋅⎜ − = −13, 2 . ⎟ =− 7 10 ⎠ 10 7 ⎝
a –3,4 –0,7 2,9 5,8 14 27 84 108 b –7,5 26,4 –94 –67 –73 –0,9 –3,8 –10,8 a ⋅ b 25,5 –18,48 –272,6 –388,6 –1022 –24,3 –319,2 –1166,4
al
1090.
ld z
5 3 1⎞ ⎛ 1⎞ 10 ⎛ 9 ⎞ 15 ⎛ ґ) ⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ = − ⋅⎜ − = 7, 5 ; ⎟= ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ 3 ⎝ 42 ⎠ 2
1091. а) −2, 3 − (5, 8 ⋅ ( −2, 3 ) ) = −2, 3 − ( −13, 34 ) = 11, 04 ; б) 5, 8 − (5, 8 ⋅ ( −2, 3 ) ) = 5, 8 − ( −13, 34 ) = 19, 14 ;
в) (5, 8 + ( − 2, 3 ) ) − (5, 8 − ( −2, 3 ) ) = 3, 5 − ( −13, 34 ) = 16, 84 . 1092. а) б) в) 1093.
( −2, 7 ⋅ ( −5) ) − ( −2, 7 ) = 13, 5 + 2, 7 = 7, 29 ; ( −2, 7 ⋅ (5) ) − ( −5) = 13, 5 + 5 = 18, 5 ; (2, 7 ⋅ ( −5) ) − ( −2, 7 + ( −5) ) = 13, 5 − ( −7, 7 ) = 21, 2 .
a ⋅ b = a ⋅ b — вірно завжди.
1094. а) б)
( x + 3) ⋅ 5 = ( −3,1 + 3) ⋅ 5 = −0, 5 ; ( c − 1) ⋅ 6 = ( 0, 75 − 1) ⋅ 6 = −0, 25 ⋅ 6 = −1, 5 .
143
1095. а) −0, 6 ⋅ 7 + 3, 6 ⋅ 0, 4 = −4, 2 + 1, 44 = −2, 76 ; б) ( 3, 7 − 4, 8 ) ⋅ 3, 5 = −1, 1 ⋅ 3, 5 = −3, 85 ;
МАТЕМАТИКА
в) 1 − 3, 5 ⋅ ( 2 − 2, 4 ) = 1 − ( −1, 4 ) = 2, 4 ; г) д) е)
( −0, 5)2 − 0, 4 ⋅ 2, 8 = 0, 25 − 1,12 = −0, 87 ; 1, 32 − ( −3 ) ⋅1, 8 = 1, 69 − ( −5, 4 ) = 7, 09 ; 2 2 −3 − (1, 5 − 2, 7 ) = −3 − ( −1, 2 ) = −3 − 1, 44 = −4, 44 .
1096. а) −
2 1 2 4 5 ⋅ 0, 4 + 2 ⋅ ( −5 ) = − ⋅ + ⋅ ( −5 ) = 3 2 3 10 3 3
=−
42 ⎛ 2515 ⎞ 8 + 375 383 23 + − ; =− =− = −12 15 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 30 30 30 2
et
2 ⎛ 1 ⎞ 1 2 ⎛ 4 ⎞ 1\9 ⎛ 8\4 ⎞ 9 − 32 23 ⎛ 1 ⎞ + − = =− ; б) ⎜ 1 − 2⎟ + ⋅ ⎜ −1 ⎟ = + ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 3⎠ 4 3 ⎝ 3⎠ 4 ⎜⎝ 9 ⎠⎟ 36 36 2
2⎞ 1 2 ⎛ в) ⎜ −2 ⎟ − 3 + 2, 2 = ( −2, 4 ) − 3, 2 + 2, 2 = 5, 76 − 1 = 4, 76 ; ⎝ 5⎠ 5 2
1097. а) 3 ( x + 1) = 0
б)
( −7 ) . (5 − x ) = 0
5−x = 0
ld z
x +1 = 0
.n
⎛ 3\3 2\7 ⎞ ⎛ 2\7 3\5 ⎞ 9 − 14 14 + 15 89 5 29 г) ⎜ − =− . ⋅ + = ⋅ =− ⋅ 147 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 7 ⎟⎠ 21 35 21 35 7 ⎝ 7
x = −1 ;
в)
x =5 ;
x−3 = 0
x=3 .
al
1098. а) x = −5
б) x = −5
−8 ⋅ ( −5 ) = 70 ;
12 ⋅ ( −5 ) = −60 ;
в) x = −60
0, 5 ⋅ ( −60 ) = 30 .
1099. а) 0 − 2, 3x = 0
б)
x=0 ;
( −2, 5) x = 10 x = 1− : ( −2, 5 ) x = −4 ;
в)
x ⋅ ( −4, 8 ) = 0 x=0 ;
г)
x − 3 ⋅ ( −5 ) = 0 x−3 = 0 x=3 ;
ґ) ( 2 − x ) ⋅ 4 = 8 8 − 4x = 8 −4x = 0
144
x=0 .
( −3) x = 0 − 3x — при будь-яких x; 0 − 0, 4x = ( −0, 4 ) ⋅ x — при будь-яких
1101. а) a < 0 ;
б) a > 0 ;
1102. а) так;
б) так.
x. в) a > 7 .
1103. c > a . 1104. а) 21 ⋅125 ⋅ 8 − 3 = 1000 ⋅ 63 = 63 000 ; 3
б)
МАТЕМАТИКА
1100.
3
2 3 3 2 1 15 21 2 ⋅9 9 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2, 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = = . 4 4 10 15 5 7 5 7 40 20 20
1105. 2x + 5 + 4x = 6x + 5 . б) 4 + 5x = 10
et
1106. а) 5, 2x − 7 = 6 5, 2x = 13
5x = 6 x=
6 = 1, 2 . 5
.n
13 x= = 2, 5 ; 5, 2
1107. S1 = 60 + 85 = 145 (км);
ld z
S2 = 145 : 2 = 72, 5 (км).
1 ⎛ 23 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 1108. ⎜ 3 + 2, 4 − 1, 9⎟ : 3 = ⎜ + ⎟ :3 = ⎝ 6 ⎠ 10 2 ⎠ ⎝ 6
4 ⎛ 23 3 ⎞ 1 26 1 26 13 =⎜ + ⋅ = ⋅ = = =1 ⎝ 6 6 ⎟⎠ 3 6 3 18 9 9 13
⋅
1 13 = 6 2
al
26 ⎛ 5 ⎞ ⎜⎝ 3 6 + 2, 4 − 1, 9⎟⎠ : 2 = 6
13\3 26 39 ⋅ 26 13 − = = . 6 18 18 18
1109. Квадрат простого числа. 1110. Ні, тобто залишилася непарна кількість клітинок.
§ 33. Ділення раціональних чисел 1112. а) 105 : ( −21) = −5 ;
в) 924 : ( −22 ) = −42 ;
1113. а) −432 : 18 = −24 ; в) −969 : ( −17 ) = 57 ;
б) −114 : 19 = −6 ; г) −111 : 37 = −3 . б) −504 : 21 = −24 ; г) −141 : 47 = −3 .
145
1114. а) 72, 5 : ( −29 ) = −2, 5 ;
б) 70, 2 : ( −26 ) = −2, 7 ;
в) −5, 98 : ( −23 ) = 0, 26 ;
г) −5, 4 : 3, 6 = −1, 5 .
МАТЕМАТИКА
1115. а) −337 : ( −2, 9 ) = 130 ;
б) −83, 7 : 2, 7 = −31 ;
в) −55, 5 : ( −3, 7 ) = 15 ;
г) −19, 6 : ( −1, 4 ) = 14 .
1116. а) −3 : 0, 25 = −12 ;
б) −6 : 0, 15 = −40 ;
в) −7 : ( −0, 25 ) = 28 ;
г) −169 : ( −1, 3 ) = 130 .
1117. а) 0, 2 : ( −5 ) = −0, 04 ;
б) −0, 6 : ( −0, 75 ) = 0, 8 ;
в) −1 : ( −2, 5 ) = 0, 4 ;
г) 324 : ( −0, 18 ) = −1800 .
3 3 1 1 : ( −3 ) = ⋅ = ; 7 7 3 7 4 4 1 1 =− . : ( −4 ) = − ⋅ в) 5 5 4 5
б) −
2 1 1 1 : = − ⋅ 4 = −2 ; 2 4 2
2
б) −
6 ⎛ 3⎞ 6 7 : − = ⋅ =2; 7 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 7 3
.n
1119. а) −
7 7 1 1 : ( −7 ) = ⋅ = ; 9 9 7 9
et
1118. а) −
4
3 ⎛ 9 ⎞ 3 20 4 1 : − = ⋅ = =1 . 5 ⎜⎝ 20 ⎟⎠ 5 9 3 3 3
ld z
в) −
1120. а)
( −2) :
1 = −2 ⋅ 2 = −4 ; 2
б) 3
5
1 10 ⎛ 1 ⎞ 5 2 : ( −2 ) = ⋅ − = − = −1 ; 3 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 3
2
1⎞ 5 4 1 ⎛ : −1 ⎟ = ⋅ =2 . 2 ⎜⎝ 4⎠ 2 5
al
в) −2
1121.
x
–3
–2
–1
2
3
0,6
1,5
6:x
–2
–3
–6
3
2
10
4
x : ( −5 )
0,6
0,4
0,2
–0,4
–0,6
–0,12
–0,3
1122. а) г)
3, 5 = 1, 25 ; 2, 8
б)
−5 = −25 ; 0, 2
2, 4 = −0, 16 ; −15
д)
0, 36 = 0, 08 . 4, 5
1123. а) 335 : ( −67 ) + 13 = −5 + 13 = 8 ;
б) 189 : ( −63 ) − 28 = −3 − 28 = −31 ;
в) 25 − 2, 5 : ( −0, 5 ) = 25 − ( −5 ) = 30 ;
146
г) 32, 4 + 6 : ( −0, 15 ) = 32, 4 − 40 = −7, 6 .
в)
−3 = −2 ; 1, 5
1124. а) 22, 8 : ( −5, 7 ) − 23 = −4 − 23 = −27 ; в) 2, 2 : ( −0, 5 ) +
1 1 44\2 1\5 −88 + 5 83 3 = −4, 4 + = − + = =− = −4 ; 4 4 10 4 20 20 20 9
г) −6, 3 : =−
7 1 63 9 8 81\7 8\10 +1 = − ⋅ + =− + = 9 7 10 7 7 10 7
567 80 487 67 + =− = −6 . 70 70 70 70
1125. а) 17 − 36, 6 : ( −6, 1) = 17 + 6 = 23 ;
МАТЕМАТИКА
б) −30, 5 : ( −6, 1) − 2, 8 = 5 − 2, 8 = 2, 2 ;
б) 11 − 4, 84 : ( −0, 11) = 11 + 44 = 55 ;
в) 5, 4 − 5, 4 : ( −36 ) = 5, 4 + 0, 15 = 5, 55 ;
г) −2, 5 + 2, 5 : ( −1) = −5 .
б) x : ( −5 ) = −12 : 100
et
1126. а) 7 : x = −7 : 13 7 ⋅13 = −13 ; x= −7
г) 26 : 5 = 39 : ( −x )
−25 ( −n ) 25 1 = n=3 n ; 8 8 8
3
x=
− 39 ⋅ 5 15 =− = −7, 5 . 2 26 2
ld z
x=
−5 ⋅ ( −12 ) = 0, 6 ; 100
.n
в) −25 : 8 = x : ( −n )
x=
1127. а) −12 : x − 3, 5 = −12 : ( −0, 36 ) − 3, 5 = = 12 ⋅
100\10 35\3 1000 − 105 895 179 5 − = = = = 29 ; 10 30 30 6 6 36 3 −2, 5 −2, 5 = 2, 8 + = 2, 8 + 5 = 7, 8 . −2, 5 + 2 −0, 5
al
б) 2, 8 + a : ( a + 2 ) = 2, 8 + 1128. а) −3x = 9 9 x= = −3 ; −3 в) 4x + 20 = 8
б) 5x = −35 −35 x= = −7 ; 5 г) 0, 5x + 13 = 8
4x = 8 − 20 = −12 −12 x= = −3 ; 4 ґ) 19 − 8x = 23 8x = 19 − 23 = −4 x=
−4 1 =− ; 8 2
0, 5x = 8 − 13 = −5 −5 x= = −10 ; 0, 5 д)
1 1 x +1 = 2 5 1 1 4 x = −1 = − 2 5 5 4 1 4 x = − : = − ⋅2 5 2 5 8 3 x = − = −1 . 5 5
147
1129. а) 78 : ( −26 ) + 115 : ( −23 ) = −3 − 5 = −8 ;
МАТЕМАТИКА
б) −87 : 2, 9 − 102 : ( −1, 7 ) = −30 + 60 = 30 .
1130. а) 3, 8 − 51 : ( 21 − 4 ) = 3, 8 − 3 = 0, 8 ;
б) 8, 7 − ( 99 − 31) : ( −17 ) = 8, 7 + 4 = 12, 7 .
1131. а) −2, 7 ⋅ 3, 8 − 9, 5 : ( −19 ) = −10, 26 + 0, 5 = −9, 76 ; б) −5, 7 : 19 + 2, 5 ⋅ 3, 4 = −0, 3 + 8, 5 = 8, 2 .
1132. а) б)
( −1, 2)2 − 111 : ( −37 ) = 1, 44 + 3 = 4, 44 ; 2 12, 4 : ( −31) − ( −1, 1) = −0, 4 − 1, 21 = −1, 61 . 2
et
1133. а) −18 : ( −6 ) − 0, 5 = −0, 5 − 0, 5 = −1 ;
б) −4, 7 − ( −2, 1) : ( −7 ) = −4, 7 − 4, 41 : ( −7 ) = 2
.n
= −4, 7 + 0, 63 = −4, 07 .
3
1134. а) −
2 4 2 ⎛ 4 ⎞ 2 9 2 : − :⎜ − − ⎟ =− ⋅ 3 9 5 ⎝ 15 ⎠ 3 42 5
⎛ 15 3 ⎞ 3 3 ⋅⎜ − ⎟ = − + =0; 2 2 ⎝ 42 ⎠
5
a
–2
–2,5
0,2
b
0,5
–0,1
a:b
–4
25
b:a
–0,25
0,04
al
1135.
1136. а) 2 ( 3 − x ) = 24
в)
148
(
)
\2 1 2 ⎛ 1 ⎞ 3 10 2 5 1 : 0, 6 − : ⎜ − =− ⋅ − ⋅ − 14 = − + 4 = 1 = 1, 5 . 2 7 ⎝ 14 ⎠⎟ 2 2 2 62 7
ld z
б) −1
0,3
1,6
3,6
–0,04
–6
–0,8
–0,45
–5
–0,05
–2
–8
–0,2
–20
–0,5
–0,125
б) 4 ( x + 7 ) = 22
3 − x = 24 : 2 = 12
x + 7 = 22 : 4 = 5, 5
x = 3 − 12 = −9 ;
x = 5, 5 − 7 = −1, 5 ;
2 3 x + 14 = 5 5 2 3 2 x = − 14 = −13 5 5 5 2 2 67 5 x = −13 : = − ⋅ 5 5 5 2 67 x=− = 33, 5 ; 2
1 ( x − 6 ) = 11 3 1 − ( x − 6 ) = 11 − 2 = 9 3 ⎛ 1⎞ x − 6 = 9 : ⎜ − ⎟ = 9 ⋅ ( −3 ) = −27 ⎝ 3⎠
г) 2 −
x = −27 + 6 = −21 .
1 ⎛ 2⎞ б) x : ⎜ − ⎟ = ( −3 ) : ⎝ 3⎠ 2 1 2 x = − ⋅ −3 : 2 3
2 4 : 5 9 ⎛ 4 ⎞ 2 x =⎜−3 ⋅ : 9 3 ⎟⎠ 5 ⎝ 2 4 5 10 x=− ⋅ =− 3 2 3 1 x = −3 ; 3
1137. а) −3 : x =
x = 2⋅2 = 4 .
1138. −3, 5 : 0, 07 = −50 ; 6, 3 : ( −0, 9 ) = −7 3
75 5 5 1 ⎛ 3⎞ −0, 75 : ⎜ − ⎟ = ⋅ = =1 ; ⎝ 5 ⎠ 100 4 3 4 4
МАТЕМАТИКА
( )
4
2 2 100 8 3 : 0, 25 = − ⋅ = − = −1 ; 5 5 25 5 5
1
3 ⎛ 2⎞ 7 ⎛ 7 ⎞ 49 : −2 ⎟ = ⋅ ⎜ − . ⎟ =− 4 ⎜⎝ 7 ⎠ 4 ⎝ 16 ⎠ 64
( −0, 2)2 : ( −0, 4 )2 =
1140.
( −1)3 : ( −0, 5)3 =
0, 04 = 0, 25 . 0, 16
.n
1139.
et
−
−1 =8 . −0, 125
al
ld z
2, 4 1 + = 4+4 = 8 ; 0, 6 0, 25 1 −4 + = 2, 5 − 8 = −5, 5 ; б) 0, 4 0, 5 3 3 + = 3, 75 − 7, 5 = −3, 75 ; в) 0, 8 −0, 4
1141. а)
1142.
г)
5, 6 + ( −0, 6 ) = 1, 6 − 0, 6 = 1 ; 3, 5
ґ)
5 ⋅ 0, 3 − 3, 2 1, 5 − 3, 2 −1, 7 = = = −1 ; 1 : 0, 5 − 0, 3 2 − 0, 3 1, 7
д)
( −0, 3)2 − ⎛⎝⎜
2
−1 ⎞ = 0, 09 − 0, 04 = 0, 05 . 5 ⎠⎟
( a ⋅ c ) : a = a ⋅ ( c : a ) — завжди вірно ( 2 ⋅ 4 ) : 2 = 2 ⋅ ( 4 : 2) = 4 ( −2 ⋅ 4 ) : ( −2) = ( −2) ⋅ ( 4 : ( −2) ) = 4 (2 ⋅ ( −4 ) ) : 2 = 2 ⋅ (( −4 ) : 2 ) = −4 . a ac = , при c = ±1 ca a a a a : (c ⋅ a) = (a : c) ⋅ a → = , при будь-яких c ≠ 0 . c ⋅ a ca
1143. a : ( c ⋅ a ) = a ⋅ ( c : a ) →
149
1144.
a : b = a : b — вірно завжди; a : b = a : b при a, b > 0 , або a, b < 0 .
МАТЕМАТИКА
1145. a : a , 1146. Ні,
a : a рівні 1 або –1.
a a − =0 . a a
1147. а) Булочка;
б) плющ;
1148. a = P : 4 = 8, 4 : 4 = 2, 1 (дм);
г) хвилина.
в) флюс;
S = 2, 12 = 4, 41 (дм2).
1149. S = πr 2 = 3, 14 ⋅ ( 0, 8 : 2 ) = 3, 14 ⋅ 0, 16 ≈ 0, 5 (м2). 2
1150. l = 2πr = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 4 = 25, 12 (м); S = πr 2 = 3, 14 ⋅ 42 = 50, 24 (м2).
(
)
(
)
1152. b = 0, 25a ; a − b = 37
a = 37 : 0, 75 = 37 :
.n
a − 0, 25a = 37 0, 75 = 37
et
1151. S = π r 2 − r12 = 3, 14 ⋅ 82 − 42 = 3, 14 ⋅ 48 = 150, 72 (см2).
3 4 148 1 = 37 ⋅ = − a = 49 . 4 3 3 3
1 x + 3 = 0, 5x + 3 2
ld z
1153. I в. —
⎛1 ⎞ II в. — ⎜ x − 3⎟ : 2 + 3 = 0, 25x + 1, 5 ⎝2 ⎠
al
⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ III в. — ⎜ ⎜ x − 3⎟ : 2 − 3⎟ : 2 + 3 = 0, 125x + 0, 75 ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠
Останок — 4 цукерки.
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
x
x = ( 0, 5x + 3 ) + ( 0, 25x + 1, 5 ) + ( 0, 125x + 0, 75 ) + 4 x = 0, 875x + 9, 25 x − 0, 875x = 9, 25
0, 125x = 9, 25 9, 25 x= = 74 (цукерки). 0, 125
§ 34. Властивості додавання і множення 1158. а) 7, 8 + ( −2, 5 ) = −2, 5 + 7, 8 = 5, 3 ;
б) −2, 9 + 4, 8 = 4, 8 + ( −2, 9 ) = 1, 9 .
1159. а) 21 + ( −35 ) + 38 + ( −62 ) = 59 − 35 − 62 = −38 ;
150
б) 59 + ( −49 ) + 38 + 79 + ( −86 ) = 176 − 49 − 86 = 41 .
1160. а) 38 + ( −27 ) + ( −33 ) + 42 = 80 − 110 = −30 ;
1161. а) б)
( −19) + 47 + ( −29) + 53 = 100 − 29 − 19 = 52 .
( −5, 7 ) + 3, 9 + ( −1, 2) + 4,1 = 8 − 5, 7 − 1, 2 = 1,1 ; 13, 8 − 17, 1 + ( −1, 7 ) + ( −3, 3 ) = 13, 8 − 22, 1 = −8, 3 .
1162. −9 + ( −8 ) + ( −7 ) + ( −6 ) + ( −5 ) + ( −4 ) + ( −3 ) + ( −2 ) + ( −1) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = = −45 + 21 = −24 . 1163. а) так;
1164.
в) так;
г) так.
3
–4
–5
43
–56
–83
–97
b
–2
38
–76
–73
138
297
388
c
–9
–43
96
–89
–95
–49
–138
a+b+c
–8
–9
15
–119
–13
165
153
et
a
.n
( −5) ⋅ ( −2) ⋅ ( −0, 5) = ( −2) ⋅ ( −0, 5) ⋅ ( −5) = ( −0, 5) ⋅ ( −5) ⋅ ( −2) = −5 ( −5 ⋅ ( −2) ) ⋅ ( −0, 5) = −5 ⋅ ( −2 ⋅ ( −0, 5) ) = −5 (( −5) + ( −2) ) ⋅ ( −0, 5) = ( −5) ⋅ ( −0, 5) + ( −2) ⋅ ( −0, 5) = −7 ⋅ ( −0, 5) = 2, 5 + 1 = 3, 5 .
ld z
1165.
б) немає;
МАТЕМАТИКА
б)
( −7 ) ⋅ ( −8 ) ⋅ 0, 5 = 28 ;
б) 2, 5 ⋅ ( −6 ) ⋅ 40 = −600 .
1167. а)
( −2, 5) ⋅ ( −12) ⋅ ( −10 ) = −300 ;
б) −23 ⋅ 0, 75 ⋅ ( −4 ) = 69 .
1168. а)
( −3) ⋅ 20 ⋅ ( −8 ) ⋅ 0, 5 = 240 ;
б) 12 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −0, 5 ) = −60 .
al
1166. а)
1169. а) −
1170. а)
(
)
2 1 ⋅ − 32 ⋅ 8 = 16 ; 16
( −12) ⋅ 5 + 20 ⋅ 4 = 20 ;
1171. а) 13 − ( −4 ) ⋅ 25 ⋅ 0, 1 = 23 ;
б)
⎛ 1⎞ 1 ⋅ − 6 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ( −0, 1) = −0, 1 . ⎝ 3⎠ 2
( )
б) 25 ⋅ ( −2 ) − 75 ⋅ ( −1) = 25 . б) −3 ⋅ ( −5 ) ⋅ 8 − 85, 3 = 34, 7 .
⎛ 1⎞ 2 1 − 6 ⋅ − 6 ⋅ 4 ⋅ ⎜ − ⎟ = −23 ; 3 3 ⎝ 6⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 6 5 б) 6 + 35 ⋅ − 2 ⋅ ⎜ − = , + 17, 5 = 24 . 2 ⎝ 4 2 ⎟⎠
1172. а)
( ) ( )
( −4 )2 = 16 ; ( −6 )2 = 36 ; ( −7 )2 = 49 ; ( −11)2 = 121 ; ( −3)2 = 9 ; ( −4 )3 = −64 ; ( −5)3 = −125 ;
1173. а)
151
б)
( −0,1)2 = 0, 01 ; ( −0, 2)2 = 0, 04 ; ( −0, 6 )2 = 0, 36 , ( −0,1)3 = −0, 001 ; ( −0, 2)3 = −0, 008 ; 2
2
3
2
3
2
2
1⎞ ⎛ 3⎞ 27 3 ⎛ 2⎞ ⎛ 8⎞ 64 1 ⎛ ⎜⎝ −1 2 ⎟⎠ = ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ = − 8 = −3 8 ; ⎜⎝ −2 3 ⎟⎠ = ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ = 9 = 7 9 . 1174. а) ( −3 ) + 7 = 16 ; б) ( −5 ) − 22 = 25 − 4 = 21 ; в) ( −4 ) + ( −2 + 6 ) = −4 + 16 = 12 . 2
1175. а) б) в)
2
( −7 )2 + 32 = 49 + 9 = 58 ; ( 0, 6 )2 + ( −0, 4 )2 = 0, 36 + 0,16 = 0, 52 ; 2 1, 22 + ( −2, 1) = 1, 44 + 4, 41 = 5, 85 .
1176. а) ( 5 + 12 ) = 172 − 289 ; 2
в) (12, 7 + ( −11, 7 ) ) = 1 .
б)
( −3, 4 + 3, 2)2 = ( −0, 2)2 = 0, 04 ;
.n
2
1177. а)
2
et
МАТЕМАТИКА
2
1 9 4 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ в) ⎜ − ⎟ = ; − = ; − = ; − =− ; ⎝ 5⎠ 25 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 49 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 81 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 27
( −4 )3 + ( −3)3 = −64 − 27 = −91 3 ( −4 + ( −3) ) = ( −7 )3 = −343 ;
б) 53 + ( −2 ) = 125 − 8 = 117 3
(5 + ( −2) )
3
= 27 ;
ld z
в) −3, 13 + 33 = −29, 791 + 27 = −2, 791
(( −3,1) + 3 ) = ( −0,1) 3
3
= −0, 001 .
1178. а) −3, 6 + ( −2, 7 ) + 8, 9 + ( −7, 5 ) + 44 = 39, 1 ;
( −8, 76 ) + 3, 21 + ( −8, 42) + ( −7, 56 ) + 9, 82 = −11, 71 .
al
б)
1179. а) 67 + ( −87, 5 ) + 56, 8 + ( −46, 9 ) + ( −28, 7 ) = −39, 3 ; б) −0, 74 + 0, 72 + 1, 21 + ( −0, 95 ) + ( −1, 7 ) = −1, 46 .
1180. а) б)
1 ⎛ 2⎞ 4 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 1⎞ 2 + − + + − + 3 + ⎜ −2 ⎟ = 1 ; 3 ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 3 ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 3 ⎝ 3⎠ 3 1 3 ⎛ 3⎞ ⎛ 5⎞ 1 ⎛ 3⎞ + + − + − + + − = −1 + 1 − 1 = −1 . 2 4 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ 3 ⎛ 1⎞ 1181. а) 0, 5 + ⎜ − ⎟ + + ⎜ − ⎟ + 3 + ⎜ −1 ⎟ = 0, 5 + 2 = 2, 5 ; ⎝ 5⎠ 5 ⎝ 5⎠ 2 ⎝ 2⎠ б) −
152
5 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ + 0, 2 + + ⎜ − ⎟ + 0, 8 + ⎜ − ⎟ = −1 + 1 = 0 . ⎝ 3⎠ 6 3 ⎝ 6⎠
( −3, 8 + 5, 2) + (37 + ( −84 ) ) = 1, 4 − 47 = −45, 6 .
1183.
(5, 2 + ( −3, 7 ) + ( −5, 4 ) ) + (( −3, 7 ) + ( −5, 2) ) = −3, 9 − 8, 9 = −12, 8 .
1184.
32 + ( −8 ) + ( −17 ) + ( −12 ) = − 5 = 5 32 + − 8 + − 17 + − 12 = 69 = 69 .
1185.
Доход
Витрата
Сальдо
Січень
3152
2675
477
Лютий
4533
6473
–1940
Березень
2453
2316
137
Квітень
2085
2347
–262
Травень
5642
5804
–162
Усього
17 865
19 615
–1750
.n
et
Місяць
МАТЕМАТИКА
1182.
1186. а) x + y + z + ( −2 ) = −2, 3 + 3, 8 + ( −0, 5 ) + ( −2 ) = −1 ;
1187.
ld z
б) 0, 207 + 0, 875 + ( −1, 67 ) + ( −2 ) = −2, 588 .
( −3 + ( −5) ) = ( −8 ) 3
3
= −512
( −3) + ( −5) = −27 + ( −125) = −152 −152 − ( −512 ) = 360 менше. 3
al
3
1188. 0, 13 + ( −0, 2 ) = 0, 001 − 0, 008 = −0, 007 3
0, 12 + ( −0, 2 ) = 0, 01 + 0, 04 = 0, 05 2
0, 05 − ( −0, 007 ) = 0, 057 менше.
1189. а) 8, 6 ⋅ 9, 7 − 3, 4 ⋅ 7, 1 − 6, 8 ⋅ 3, 6 = 83, 42 − 24, 14 − 24, 48 = 34, 8 ; б) −3, 9 ⋅ 4, 2 + 2, 5 ⋅ 7, 9 − 8, 3 ⋅ 4, 1 = −16, 38 + 19, 75 − 34, 03 = −30, 66 ; в) −2, 5 ⋅ ( −3, 2 ) + ( −8 ) ⋅ ( −0, 25 ) − 3, 7 ⋅ ( −2, 5 ) = 8 + 2 + 9, 25 = 19, 25 .
1190. а) − б) −
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ − ⋅ − ⋅ ( −1) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ ( −8 ) = −1 ; 8 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 1 1 ⎛ 1⎞ 1 ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ( −1) ⋅ 2 ⋅ ( −3 ) ⋅ 4 ⋅ ( −5 ) = −1 ; 5 4 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2
153
⎛ 1 1\2 1\3 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ в) ⎜ − − ⋅ − − ⋅ − − = 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 2 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 6 3 ⎟⎠ ⎝6 3
МАТЕМАТИКА
2
4 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ 1− 2 − 3 ⎞ ⎛ 2 − 3 −1 ⎞ ⎛ 3 −1− 2 ⎞ ⋅ − = . =⎜ ⎟⎠ = − ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ ⎝ 6 6 6 6 3 ⎜⎝ 6 3 ⎟⎠ 9 1191.
( −12) ⋅ ( −11) ⋅…⋅ 0 ⋅1⋅ 2 ⋅…⋅ (12) = 0 .
1192. a ( −b ) = ( −a ) ⋅ b ;
б) −3 ⋅ ( − ( −5 ) ) = − ( −3 ) ⋅ ( −5 ) = −15 ;
⎛ ⎛ 1⎞⎞ ⎛ 1⎞ в) −0, 3 ⋅ ⎜ − ⎜ − ⎟ ⎟ = − ( −0, 3 ) ⋅ ⎜ − ⎟ = −0, 1 . ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝ 3⎠⎠
et
1193. а) при будь-яких значеннях: a ⋅ b ⋅ c ( −1) ; б) при будь-яких значеннях: розподільний закон множення ( a + b ) ⋅ c = ac + bc → Нехай cd = m → ( a + b ) ⋅ cd = ( a + b ) ⋅ m = am + bm = acd + bcd ;
.n
в) при будь-яких значеннях: Нехай a + b = m ; d + e = n → ( a + b + d + e ) ⋅ c = ( m + n ) ⋅ c = mc + nc = ( a + b ) ⋅ c + ( d + e ) ⋅ c = ac + bc + dc + ec , відповідно до розподільного закону;
ld z
г) при будь-яких значеннях: ( a − b − d + e ) ⋅ c = ( a + ( −b ) + ( −d ) + e ) ⋅ c . Нехай a + ( −b ) = m , ( −d ) + e = n → ( m + n ) ⋅ c = mc + nc = ( a + ( −b ) ) ⋅ c + (( −d ) + e ) ⋅ c = = ac + ( −b ) c + ( −d ) ⋅ c + ec = ac − bc − dc + ec — розподільний закон;
al
д) при будь-яких значеннях: 1 a b d (a + b − d) : c = (a + b − d)⋅ = + − = a : c + b : c − d : c . c c c c
1194. а) 3x2 − 1 = 3 ⋅ ( −5 ) − 1 = 74 ; 2
б) ( 2x ) + 3 = ( 2 ⋅ ( −0, 6 ) ) + 3 = 1, 44 + 3 = 4, 44 ; 2
2
в)
(
1195.
0 1 –2
154
)
3 2 3 2 2 3 x + 10 = ( −3 ) + 10 = − 27 + 10 = −6 + 10 = 4 . 9 9 9
–3 2
–3 –1
2
0 + 1 − 2 = −2 − 1 + 2 = 0 − 3 + 2 = −1
–1
0 –2
1
−3 + 2 − 1 = −1 − 2 + 1 = −3 + 0 + 1 = −2
x=
в)
3, 8 ⋅ 94 4, 7
б) 4, 08 : 5, 1 = 0, 7 : x
20
= 76 ;
x=
14, 4 x = 1, 2 4, 8 x=
14, 4 ⋅ 4, 8 1, 2
г)
5, 1 ⋅ 0, 7 3, 57 = = 0, 875 ; 4, 08 4, 08
3, 1 0, 124 = 0, 5 m
\4
= 57, 6 ;
m=
0, 5 ⋅ 0, 124 0, 062 = = 0, 02 . 3, 1 3, 1
3⎞ 1 ⎛ 1197. 1) ⎜ 1 − ⎟ ⋅ 3600 = ⋅ 3600 = 900 (кн.) — остача; ⎝ 4⎠ 4
МАТЕМАТИКА
1196. а) 3, 8 : x = 4, 7 : 94
2) 0, 03 ⋅ 900 = 27 (довідників).
et
1 ⎫ ч = x ⎪⎪ частини від загального обсягу робіт 2 ⎬ 1 3 ⎪ I та II насоса відповідно ⎛ 1 1⎞ II н. − ч = ⎜ : ⎟x= x ⎝ 2 3⎠ 3 2 ⎪⎭ x+
.n
1198. I н. −
3 x = 1 — загальний обсяг робіт; 2
ld z
5 x =1 2 2 x= — I насос; 5
3 3 2 3 x= ⋅ = — II насос; 2 2 5 5
al
1 2 1 3 1 ⋅ = ⋅ = (год) = 12 (хвилин). 2 5 3 5 5
1199. 7 − 3, 5 дм 4−a ;
5−b ;
6−c ;
7 3, 5 = ; 4 a
7 3, 5 = ; 5 b
7 3, 5 = 6 c
a=
4 ⋅ 3, 5 = 2 дм; 7
b=
5 ⋅ 3, 5 = 2, 5 дм; 7
c=
6 ⋅ 3, 5 = 3 дм. 7
1200. Rз = 6378 км (по екватору); l1 = 2πRз = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 6378 = 40 053, 84 (км); l2 = 2π ( Rз + 2 ) = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 6380 = 40 066, 4 (км); l2 − l1 = 40 066, 4 − 40 053, 84 = 12, 56 (км).
155
Самостійна робота № 6 Варіант 1 1. а) −2, 75 − 3, 8 = −6, 55 ;
б) 2, 4 ⋅ ( −3, 5 ) = −8, 4 ;
МАТЕМАТИКА
10
в) −7 : 2, 1 = −
70 10 1 =− = −3 . 3 3 21 3
2. а) x − 8 = −14 x = −14 + 8 = −6 ;
б) −6x = 15 15 x=− = −2, 5 ; 6
в) 0, 2x + 7 = 5 0, 2x = 5 − 7 = −2 x = −2 : 0, 2 = −10 .
( −0, 2)2 + ( 0, 3)2 = 0, 04 + 0, 09 = 0,13 ( −0, 2 + 0, 3)3 = 0,13 = 0, 001 0, 13 − 0, 001 = 0, 129 .
et
3. а)
4. а) 5, 4 − 8, 2 + 2, 6 − ( −3, 7 ) + ( −4, 9 ) = −1, 4 ;
.n
б) −5, 3 ⋅ 0, 2 + 0, 2 ⋅ 7 − 1, 7 ( −0, 2 ) + 3, 8 : 2 = −1, 06 + 1, 4 + 0, 34 + 1, 9 = 2, 58 .
Варіант 2
б) 3, 8 ⋅ ( −2, 5 ) = −9, 5 ;
ld z
1. а) −4, 6 − 7, 85 = −12, 45 ; в) 3, 8 : ( −76 ) = −0, 05 . 2. а) x − 12 = −37
x = −37 + 12 = −25 ;
б) 8x = −4 4 1 x = − = − = −0, 5 ; 8 2
al
в) 0, 3x + 10 = 7
0, 3x = 7 − 10 = −3
x = −3 : 0, 3 = −10 .
3.
( −2)2 + 1, 72 = 4 + 2, 89 = 6, 89 ( −2 + 1, 7 )3 = ( −0, 3)3 = −0, 027 6, 89 − ( −2, 027 ) = 6, 89 + 0, 027 = 6, 917 .
4. а) −2, 6 + 3, 9 − 7, 4 +2, 6 − ( −2, 8 ) + ( −3, 5 ) = −4, 2 ; б) −0, 8 ⋅1, 4 + 1, 4 ⋅ ( −0, 5 ) − 1, 3 ( −1, 4 ) − 5, 6 : ( −8 ) = = −1, 12 − 0, 7 + 1, 82 + 0, 7 = 0, 7 .
Варіант 3 1. а) −1, 53 + 0, 75 = −0, 78 ;
156
в) 6 : ( −0, 3 ) = −20 .
б) 3, 6 ⋅ ( −6, 25 ) = −22, 5 ;
2. а) 13 + x = −48 x = −48 − 13 = −61 ;
б) −0, 6x = 30 x = 30 : ( −0, 6 ) = −50 ;
0, 4x = −5 + 7 = 2 x = 2 : 0, 4 = 5 . 3.
( −0, 2)3 + ( 0, 3)3 = −0, 008 + 0, 027 = 0, 019 ( −0, 2 + 0, 3)3 = 0, 001 0, 019 − 0, 001 = 0, 018 .
4. а) 3, 27 − 8, 06 + ( −2, 73 ) − ( −8, 4 ) − 4, 62 = −3, 74 ;
МАТЕМАТИКА
в) 0, 4x − 7 = −5
б) −3, 2 ⋅ 0, 5 − 0, 5 ⋅ 7 − 0, 2 ⋅ ( −0, 5 ) + 3, 8 : ( −1, 9 ) = −1, 6 − 3, 5 + 0, 1 − 2 = −7 ;
Варіант 4 б) −2, 75 ⋅1, 4 = −3, 85 ;
et
1. а) −0, 75 + 1, 26 = 0, 51 ; в) −6, 5 : ( −13 ) = 0, 5 . 2. а) 24 − x = −13
б) −6, 7x = −33, 5
x = −33, 5 : ( −6, 7 )
.n
x = 24 + 13 = 37 ;
x =5 ;
в) 0, 6x + 17 = 5
ld z
0, 6x = 5 − 17 = −12
x = −12 : 0, 6 = −20 . 3.
( −3, 7 )2 + 42 = 13, 69 + 16 = 29, 69 ( −3, 7 + 4 )3 = 0, 33 = 0, 027
al
29, 69 − 0, 027 = 29, 663 .
4. а) −5, 24 − 3, 57 + ( −6, 92 ) − 8, 5 − ( −4, 24 ) = −19, 99 ; б) −4, 8 ⋅ 2, 7 + 2, 7 ⋅ ( −5 ) + 2, 72 + 2, 7 : ( −5, 4 ) = = 2, 7 ( −4, 8 − 5 + 2, 7 ) −
2, 7 = 2, 7 ( −7, 1) − 0, 5 = −19, 17 − 0, 5 = −19, 67 . 5, 4
Завдання в тестовій формі 1. г)
6. в)
2. в)
7. б)
3. б)
8. б)
4. в)
9. в)
5. в)
10. г)
157
Типові задачі 1. а) 1, 15 − 7, 26 = −6, 11 ;
МАТЕМАТИКА
в) 19, 5 : ( −13 ) = −1, 5 . 2. а) 34 + x = −13 x = −13 − 34 x = 47 ; 3.
б) −2, 25 ⋅ ( −1, 4 ) = 3, 15 ;
б) 0, 7x = −3, 5 x = −3, 5 : 0, 7 x = −5 .
( −1, 2)2 = 1, 44 ( −1, 2)3 = −1, 728 .
4. а) −59 + 37 + ( −42 ) − ( −41) = −23 ; б) −2 ⋅ ( −7 ) ⋅ ( −5 ) = −70 . 2
et
1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 5. a2 + 6a + 9 = ⎜ −3 ⎟ + 6 ⎜ −3 ⎟ + 9 = ⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ 2
2 10 100 1 1 ⎛ 10 ⎞ =⎜ −6 ⋅ +9= − 20 + 9 = 11 − 11 = . ⎝ 3 ⎠⎟ 9 9 9 3
7. x : ( −3, 2 ) = −4, 8 :
4 5
4 5 = 15, 36 ⋅ = 19, 2 . 5 4
ld z
x = ( −3, 2 ⋅ ( −4, 8 ) ) :
.n
6. AM = M ( −5, 7 ) − A ( −7, 5 ) = −5, 7 − ( −7, 5 ) = −5, 7 + 7, 5 = 1, 8.
1 1 2 ⋅ 2 + 5 : ( −1, 25 ) − 1 : ( −3 ) = 3 7 3 \5 4 7 15 17 ⎛ 100 ⎞ 1 68 1\5 =− ⋅ + ⋅⎜ − + = ⎟ + = −5 − 3 ⎝ 125 5 ⎠ 3 15 3 3 7
al
8. A = −2
= −5 −
68 + 5 73 13 13 = −5 − = −5 − 4 = −9 ; 15 15 15 15
B = 3, 25 − 11 : ( −4 ) = 3, 25 + 2, 75 = 6 ; A − B = −9
9.
13 13 − 6 = −15 . 15 15
5y − 1, 3 = 2, 7 5y1 = 2, 7 + 1, 3 = 4 4 y1 = = 0, 8 ; 5 5y2 = −2, 7 + 1, 3 = −1, 4 y2 = −1, 4 : 5 = −0, 28 .
10. a + b < a + b , якщо b < 0 й a > 0 або a < 0 і b > 0 Н., a = 3, b = −2 ;
158
3 + ( −2 ) = 1 < 3 + −2 = 5 .
§ 35. Перетворення простих виразів б) 5a − 3a = 2a ;
−x + 6x = 5x ;
6 p − 12 p = −6 p ;
8x − 2x + 2 = 6x + 2 ;
5 − 7c + 2c = 5 − 5c ;
0, 5x + 0, 3x = 0, 8x ;
−2y + 0, 5y = −1, 5y ;
МАТЕМАТИКА
1203. а) 2x + 3x = 5x ;
в) 17c − 2c = 15c ; −4a − 10a = −14a ; 4n + 3 − 3n = n + 3 ; 0 − 3c + 5c = 2c . в) −1 ;
б) 5,2;
1205. а) 2x ⋅ 3y = 6xy ; г) −5x ⋅ ( − y ) = 5xy ;
ґ) −71 .
б) −x ⋅ 8y = −8xy ;
в) 2x ⋅ ( −0, 5y ) = −xy ;
ґ) y ⋅ 7y2 = 7y3 ;
д) 3, 3x ⋅ ( −10x ) = −33x2 .
1206. а) 2 ( x − y ) = 2x − 2y ;
б) 0, 5 ( 2 + c ) = 1 + 0, 5c ;
г) −5 ( x − y ) = 5y − 5x ;
д) −3 ( a − 2b ) = 6b − 3a .
.n
в) 4 ( 2a + 3b ) = 8a + 12b ; ґ) −2 ( 2 + c ) = −4 − 2c ;
г) 1;
et
1204 а) −6 ;
1207. а) 9 + ( a − x ) = 9 + a − x ;
в) 23 − ( x − a ) = 23 − x + a ;
г) x − ( 2 + y ) = x − 2 − y ;
д) 0, 5 + ( x − y ) = 0, 5 + x − y .
ld z
ґ) x + ( 3 − a ) = x + 3 − a ;
б) c − ( x − 3 ) = c − x + 3 ;
1208. а) − ( x + 2 ) − y = −x − 2 − y ;
в) 1 − ( a + c + x ) = 1 − a − c − x ;
г) 5 − ( x + 2 ) = 5 − x − 2 = 3 − x ;
д)
( a + 1) − ( x + y ) = a + 1 − x − y .
al
ґ) x − ( 5c − 2 ) = x − 5c + 2 ;
б) − ( 5c − 2 ) + 1 = −5c + 2 + 1 = −5c + 3 ;
1209. а) 81 − ( 35 + 19 ) = 81 − 35 − 19 = 27 ;
б) − ( 43 + 12 ) + 43 = −43 − 12 + 43 = −12 ;
в) 4, 5 − (7, 2 − 10, 8 ) = 4, 5 − 7, 2 + 10, 8 = 8, 1 ; г) 3, 4 + ( 2, 7 − 3, 4 ) = 3, 4 + 2, 7 − 3, 4 = 2, 7 .
1210. а) 4, 3 + ( 2 − 3, 5 ) = 4, 3 + 2 − 3, 5 = 2, 8 ;
б) 5, 2 − ( −6 + 9, 4 ) = 5, 2 + 6 − 9, 4 = 1, 8 ;
в) 0 − ( 9, 45 − 4, 4 ) = −9, 45 + 4, 4 = −5, 05 ; г) 11 − (7, 3 − 9 ) = 11 − 7, 3 + 9 = 12, 7 .
1 3 1 3 5\4 ⎛3 ⎞ 1211. а) −4 − ⎜ − 2 + 1⎟ = −4 − + 2 − 1 = −5 − + = ⎝8 ⎠ 2 8 2 8 2 = −5 −
3 + 20 17 1 7 = −5 + = −5 + 2 = −2 ; 8 8 8 8
159
2 1 2 1 ⎛ 2 1 ⎞ б) − ⎜ 5 − − 2⎟ = −5 + + 2 = −3 + = ⎝ 3 2 ⎠ 3 2 3 2 11\2 1\3 22 3 19 1 + =− + =− = −3 ; 3 2 6 6 6 6
1 5 1⎞ 1 5 1 ⎛ в) 3 − ⎜ −2 + 1 − ⎟ = 3 + 2 − 1 + = ⎝ 3 6 2⎠ 3 6 2 =5+
1\2 11 1\3 2 11 3 − + =5+ − + = 5 −1 = 4 ; 3 6 2 6 6 6
1 1⎞ 6 1 1 1 6 ⎛ 1 г) ⎜ 3 − 2 + ⎟ − = 3 − 2 + − = ⎝ 5 7 3⎠ 7 5 7 3 7 =
16\3 1\5 48 5 53 8 8 −3+ = −3+ = −3 = 3 −3 = . 15 5 3 15 15 15 15
1212. а) 2x + 5 − 3x = 5 − x ; в) 5 − 7x + 11 = 16 − 7x ; 1213. а) 3 + ( a − 5 ) = 3 + a − 5 = a − 2 ;
г) −5b − b + a = a − 6b .
.n
б) 7 − ( 2 − c ) = 7 − 2 + c = 5 + c ;
б) 3a − 2b + 7a = 10a − 2b ;
et
МАТЕМАТИКА
=−
в) x − ( 2 − x ) = x − 2 + x = 2x + 2 ;
ld z
г) −5 − ( y − 4, 3 ) = −5 − y + 4, 3 = −0, 7 − y .
1214. а) − ( a − c ) + ( 3 − c ) = −a + c + 3 − c = 3 − a ; б) −2 − ( x − a − 2 ) = −2 − x + a + 2 = a − x ;
в) ( 5 + x ) − ( x − 5 ) = 5 + x − x + 5 = 10 ;
( x + y + z ) − ( x − y ) = x + y + z − x + y = 2y + z .
al
г)
1215. 3, 7 − ( c − 2, 3 ) = 3, 7 − c + 2, 3 = 6 − c a) 6 − ( −19 ) = 25 ;
б) 6 − 0, 9 = 5, 1 ;
в) 6 − 1, 9 = 4, 1 ;
г) 6 − 9, 9 = −3, 9 .
1216. а) 0, 2x ⋅ ( −3y ) = ( −0, 6 ) xy → −0, 6 ; б) −5x ⋅ 0, 8x = ( −4 ) x2 → −4 ;
в) −2x ⋅ ( −0, 5y ) = xy → 1 ;
г) 5x3 ⋅ ( −0, 1y ) = −0, 5x3 y → −0, 5 ; ґ) −2y ⋅ 7y2 = −14y3 → −14 ;
(
)
д) −3x ⋅ −10x2 = 30x2 → 30 . 1217. а) A = −4, 2 − (3,7 − x ) − 2x = −4, 2 − 3,7 + x − 2x = −7, 9 − x = −7, 9 − ( −2) = −5, 9 ; б) A = − ( 3, 5 − x ) − 1, 4x = −3, 5 + x − 1, 4x =
160
= −3, 5 − 0, 4x = −3, 5 − 0, 4 ( −2 ) = −3, 5 + 0, 8 = −2, 7 ;
2 1 ⎛ 2 1 ⎞ в) A = − ⎜ 5 − + x ⎟ + x = −5 + − x + x = ⎝ 3 2 ⎠ 3 2 17\2 1\3 34 3 31 1 + =− + =− = −5 ; 3 2 6 6 6 6
г) A = 3x − ( 4, 5 − 2x ) = 3x − 4, 5 + 2x = 5x − 4, 5 = 5 ( −2 ) − 4, 5 = −14, 5 . б) 3a + 3b − a − 3b = 2a ;
1218. а) 2x + 3y − 5y + 5x = 7x − 2y ; в) −m + 7m + n − 5n = 6m − 4n ;
г) 4 + 5x + 4x − 9 = 9x − 5 .
1219. а) 2 ( x − 3, 8 ) − 2x = 2x − 7, 6 − 2x = −7, 6 ;
МАТЕМАТИКА
=−
б) −4a + 2 ( −0, 5 + 2a ) = − 4a − 1 + 4a = −1 ;
в) −3 ( 5 − c ) + 3c − 5 = −15 + 3c + 3c − 5 = 6c − 20 ;
et
г) 6 − a − x − ( 3 − a − x ) = 6 − a − x − 3 + a + x = 3 . 1220. а) −14 + x + ( −42 ) + 15 + 2x = 3x − 41 ;
б) 1, 2 − c + ( −c − 2, 8 + 2c ) = 1, 2 − c − c − 2, 8 + 2c = −1, 6 ;
.n
в) −m − ( −2m − 3, 7 ) − 3m = −m + 2m + 3, 7 − 3m = −2m + 3, 7 . 1221. а) 2x − 8x + 3x + x2 = x2 − 3x ;
б) 5a + 7a3 − 14a = 7a3 − 9a ;
в) −2x + 7 − x + 3 = 4x + 3 ;
ld z
г) −6n + 2n − n + 5n2 = 5n2 − 5n .
1222. а) 3x − 2 ( x − 3 ) = 3x − 2x + 6 = x + 6 ;
б) 5a − 6 ( a + 0, 5 ) = 5a − 6a − 3 = −a − 3 ;
в) 12 + 3 ( a − 4 ) = 12 + 3a − 12 = 3a ;
al
г) 26 − 13 ( 2 − 3c ) = 26 − 26 + 39c = 39c . 1223. а) a − ( b − a + b ) = 2 ( a − b ) ;
б) x − ( y − x ) + y = 2x .
1224. а) 5 ( 3c − 2 ) + 2 ( 4 − 7c ) = 15c − 10 + 8 − 14c = c − 2 = 12, 3 − 2 = 10, 3 ; б) 3 ( 2y − 8 ) − 4 ( 3y − 5 ) + 5y = 6y − 24 − 12y + 20 + 5y = = − y − 4 = − ( −17, 71) − 4 = 13, 71 .
1225. а) 3, 52 − 3, 5 ⋅ 2, 5 = 3, 5 ( 3, 5 − 2, 5 ) = 3, 5 ; б) 6, 7 ⋅ 5, 7 − 5, 72 = 5, 7 ( 6, 7 − 5, 7 ) = 5, 7 . 1226. 4x + 5x = 180 9x = 180 x = 180 : 9 = 20 α = 4x = 4 ⋅ 20 = 80° β = 5x = 5 ⋅ 20 = 100° .
161
1227. AB = a + b + c = 2x + 3x + 5x б) 2x + 3x + 5x = 10
10x = 120
10x = 10
x = 120 : 10 = 2
x =1
a = 2 ⋅12 = 24 (см);
a = 2 (см);
b = 3 ⋅12 = 36 (см);
b = 3 (см);
c = 5 ⋅12 = 60 (см).
c = 5 (см).
1228. ∠A = ∠B = ∠C = 80° ∠D = 360 − 3 ⋅ 80 = 360 − 240 = 120° . 1229. 1230.
(10 + 83 + 75) − 100 = 168 − 100 = 68 –21
·2
–42
+ 39
–3
+ 18 −3 − 39 = −42
:7
8
·9
72
ld z
56
.n
−42 : 2 = −21 −3 − ( −21) = 18
(чол.).
et
МАТЕМАТИКА
а) 2x + 3x + 5x = 120
+ 16
x + 16 =
9 x 7
al
9 x − x = 16 7 2 x = 16 7 8 7 x = 16 ⋅ = 56 8
56 + 16 = 72 .
§ 36. Стандартний вигляд числа 1234. а) 1 000 000 = 106 ;
б) 120 000 000 = 12 ⋅107 ;
в) 71 000 000 = 71 ⋅106 = 7, 1 ⋅107 ; 1235. а) 0, 00005 = 5 ⋅10−5 ; в) 0,0000017 = 1, 7 ⋅10−6 ; 1236. а) 0, 0032 = 3, 2 ⋅10−3 ;
162
в) 100 000 000 = 10 ; 8
г) 12 300 000 = 12, 3 ⋅106 . б) 0, 0067 = 6, 7 ⋅10−3 ; г) 0, 001 = 10−3 . б) 3 200 000 = 3, 2 ⋅106 ; г) 0, 00001 = 10−5 .
б) 1, 5 ⋅103 = 1500 ;
в) 9 ⋅10 = 90 000 000 ;
г) 1, 5 ⋅10−3 = 0,0015 ;
д) 2, 9 ⋅10−4 = 0,00029 ;
е) 7 ⋅10−5 = 0,00007 .
7
1238. а) 696 000 000 = 6, 96 ⋅108 (м); б) 300 000 000 = 3 ⋅108 (м/с); в) 0, 00000006 = 6 ⋅10−8 (см).
( )( ) (5 ⋅10 ) ⋅ (2 ⋅10 ) = 10
1239. а) 2 ⋅103 ⋅ 3 ⋅106 = 6 ⋅109 ;
1240. а) в)
2
10
9
6
3
;
7
2
5
.
(
)(
)
б) 3 ⋅104 + 2 ⋅104 = 5 ⋅104 ;
в) 5 ⋅10 + 2 ⋅10 = 7 ⋅10 . 2
б) 3 ⋅105 − 2 ⋅105 = 105 ;
.n
1242. а) 4 ⋅103 − 3 ⋅103 = 103 ;
)
б) 3 ⋅105 : 2 ⋅104 = 15 ;
1241. а) 2 ⋅103 + 3 ⋅103 = 5 ⋅103 ; 2
)(
.
(8 ⋅10 ) : (5 ⋅10 ) = 1, 6 ⋅10 (5 ⋅10 ) : (2 ⋅10 ) = 2, 5 ⋅10 2
(
et
в)
7
б) 3 ⋅105 ⋅ 2 ⋅104 = 6 ⋅109 ;
МАТЕМАТИКА
1237. а) 4, 8 ⋅105 = 480 000 ;
в) 5 ⋅102 − 2 ⋅102 = 3 ⋅102 .
б)
6
6
12
6
6
−3
−3
−3
−3
7
6
al
в)
(4, 2 ⋅10 ) ⋅ (2, 4 ⋅10 ) = 10, 08 ⋅10 (4, 2 ⋅10 ) : (2, 4 ⋅10 ) = 1, 75 ; (2,1⋅10 ) ⋅ (4, 2 ⋅10 ) = 8, 82 ⋅10 (2,1⋅10 ) : (4, 2 ⋅10 ) = 0, 5 ; (5, 8 ⋅10 ) ⋅ (5, 8 ⋅10 ) = 33, 64 ⋅10 (5, 8 ⋅10 ) : (5, 8 ⋅10 ) = 10 ; (6, 8 ⋅10 ) ⋅ (8, 5 ⋅10 ) = 578 (6, 8 ⋅10 ) : (8, 5 ⋅10 ) = 8 ⋅10 .
ld z
1243. а)
г)
7
6
5
−4
−4
5
−6
13
8
1244. а) 3, 3 ⋅102 + 1, 5 ⋅102 = 4, 8 ⋅102 3, 3 ⋅102 − 1, 5 ⋅102 = 1, 8 ⋅102
(3, 3 ⋅10 ) ⋅ (1, 5 ⋅10 ) = 4, 95 ⋅10 (3, 3 ⋅10 ) : (1, 5 ⋅10 ) = 22 ; 2
2
2
2
4
б) 1, 1 ⋅104 + 2, 2 ⋅104 = 3, 3 ⋅104 1, 1 ⋅104 − 2, 2 ⋅104 = −1, 1 ⋅104
(1,1⋅10 ) ⋅ (2, 2 ⋅10 ) = 2, 42 ⋅10 (1,1⋅10 ) : (2, 2 ⋅10 ) = 0, 5 ; 4
4
4
4
8
163
в) 1, 7 ⋅107 + 2 ⋅107 = 3, 7 ⋅107
МАТЕМАТИКА
1, 7 ⋅107 − 2 ⋅107 = −0, 3 ⋅107
(1, 7 ⋅10 ) ⋅ (2 ⋅10 ) = 3, 4 ⋅10 (1, 7 ⋅10 ) : (2 ⋅10 ) = 0, 85 ; 7
7
14
7
7
г) 3, 9 ⋅105 + 1, 3 ⋅105 = 5, 2 ⋅105 3, 9 ⋅105 − 1, 3 ⋅105 = 2, 6 ⋅105
(3, 9 ⋅10 ) ⋅ (1, 3 ⋅10 ) = 5, 07 ⋅10 (3, 9 ⋅10 ) : (1, 3 ⋅10 ) = 3 . (
5
5
5
5
)(
10
)
1245. а) 3 ⋅105 ⋅ 1, 5 ⋅102 = 2 ⋅103 2
(
)(
б) 1, 1 ⋅10 : 2 ⋅10 5
1, 1 ⋅10 > 2 ⋅10 5
в)
4
в 2000 разів або на 3 порядки; 4
) = 5, 5
в 5,5 разів;
(4, 2 ⋅10 ) : (3 ⋅10 ) = 1, 4 ⋅10 4
et
3 ⋅10 > 1, 5 ⋅10 5
5
−1
(
.n
4, 2 ⋅104 < 3 ⋅105 на порядок або в 0,14 раза;
)(
)
г) 1, 7 ⋅107 : 2 ⋅105 = 0, 85 ⋅102
ld z
1, 7 ⋅107 > 2 ⋅105 в 850 разів або на 2 порядки.
(
)(
)
1246. а) 3, 9 ⋅10−3 : 1, 3 ⋅10−3 = 3
3, 9 ⋅10−3 > 1, 3 ⋅10−3 в 3 рази;
(
)(
)
б) 1, 56 ⋅104 : 2, 6 ⋅10−4 = 0, 6 ⋅108
1, 56 ⋅104 > 2, 6 ⋅10−4 в 60 000 000 разів або на 8 порядків;
)(
)
al
(
в) 3 ⋅10−4 : 2 ⋅10−3 = 1, 5 ⋅10−1 3 ⋅10−4 > 2 ⋅10−3 в 0,15 раза або на порядок;
(
)(
)
г) 1, 4 ⋅105 : 7 ⋅104 = 2
1, 4 ⋅105 > 7 ⋅104 в 2 рази. 1247. a = x ⋅105 а) 1000a = x ⋅108 ;
б) 0, 0001a = x ⋅10 ;
в) a ⋅104 = x ⋅109 ;
г) a ⋅10−4 = 10x .
1248. 54 27 9 3 1
164
2 3 3 3
72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
НСД (54, 72) = 2 · 3 · 3 = 18.
1249. 3, 7 м − 2, 4 см ⋅ 3 = 370 см − 7, 2 см = 362, 8 см = 3, 628 м . 1250. −3, 5 : x = 7 : ( −4 )
( −3, 5) ⋅ ( −4 ) = 14 = 2 . 7
МАТЕМАТИКА
x=
7
1251. 3x + 4x + 5x = 24 12x = 24 x = 24 : 12 = 2 a = 3x = 3 ⋅ 2 = 6 дм; b = 4x = 4 ⋅ 2 = 8 дм; c = 5x = 5 ⋅ 2 = 10 дм.
Чоловіки — 3x x + 3x = 260
⎫ ⎬ 260 рoб. = 100 % ; ⎭
et
1252. Жінки — x
260 = 65 (роб.) 4 65 x = 260 100
x=
65 ⋅100 = 25 %. 260
ld z
x=
.n
4x = 260
Або простіше: x + 3x = 100 %
al
4x − 100 % x−y 4x 100 = x y
y=
100 ⋅ x = 25 %. 4x
§ 37. Розв’язування рівнянь 1256. а) 2x + 10 = 7 + 5x
б) 0, 3 − x = 2, 8 − 1, 5x
3x = 10 − 7 = 3
1, 5x − x = 2, 8 − 0, 3
x =1 ;
0, 5x = 2, 5 x = 2, 5 : 0, 5 = 5 .
1257. а) 3x = 24 − x
9y = 3, 7 + y
−7z = −3 + 1, 5z
3x + x = 24
9y − y = 3, 7
−7z − 1, 5z = −3
4x = 24 ;
8y = 3, 7 ;
−8, 5z = −3 .
165
МАТЕМАТИКА
б) −5x = 17 + 2x −5x − 2x = 17 −7x = 17 ; 1258. а) 8x + 12 = x + 9 8x − x = 9 − 12 7x = −3 ; б) 6x + 18 = 5 − x 6x + x = 5 − 18 7x = −13 ;
15c − 7 = c − 6 15c − c = 7 − 6 14c = 1 ;
62 − 13x = 18x −13x − 18x = −62 −31x = −62 ;
19 − 5n = 7 + 3n −5n − 3n = 7 − 19 −8n = −12 ;
51x + 41 = 45 − 51x 51x + 51x = 45 − 41 102x = 4 .
2x = x 2x − x = 0 x=0 ; 2m = 6m 3m − 6m = 0 −3m = 0 m=0 .
.n
б) 3m − 7 = 6m − 7 3m − 6m = 0 −3m = 0 m=0
14 + z = 6z z − 6z + 14 = 0 −15z + 14 = 0 .
et
1259. а) 2x + 5 = x + 5 2x − x = 0 x=0
−18y = 3y + 12 −18y − 3y = 12 −21y = 12 ;
1260. x + a − 2b = a + b можна опустити, тому що x + a − 2b − a = b .
ld z
1261. а) 3x + 7 = x + 5 3x − x = 5 − 7 = 2 2x = −2 x = −1 ;
б) 2x − 9 = 3x + 8 3x − 2x = −9 − 8 x = −17 . б) 9 − x = 35 − 2x 2x − x = 35 − 9 x = 26 .
1263. а) 0, 3 − 2x = 0, 5 + 3
б) 2, 4 = 3x − 4, 2
al
1262. а) 5 − 4x = x + 20 −4x − x = 20 − 5 −5x = 15 15 x=− = −3 ; 5
−2x = 3, 5 − 0, 3 = 3, 2 3, 2 x=− = −1, 6 ; 2
3x = 2, 4 + 4, 2 3x = 6, 6 x=
1264. а) 5 − 1, 2x = x − 5 −1, 2x − x = −10
166
2, 2x = 10 22 100 x = 10 : = 10 22 12 6 x=4 =4 ; 22 11
6, 6 = 2, 2 . 3
б) 4, 7 − 3x = 3x + 4, 7 не має рішень.
1 3 x − 13 = x + 7 2 4 3 1\2 x− x = −13 − 7 4 2 1 x = −20 4 1 x = −20 : = −80 ; 4
б)
2 1 c − 1, 5 = c + 3, 5 3 6 2 1 c − c = 3, 5 + 1, 5 = 5 | × 6 3 6 4c − c = 30 3c = 30 c=
3 1 z + = 1 − 0, 5z 5 2 3 1 z + 0, 5z = 1 − = 0, 5 5 2 0, 6z + 0, 5z = 0, 5 11z = 0, 5 5 11 5 10 5 : = ⋅ = ; 10 10 10 11 11
б) 8 ( x − 5 ) = 3x − 40 8x − 40 = 3x − 40 8x − 3x = 0 5x = 0
ld z
1267. а) 3 ( n + 3 ) = 5 − 2n 3n + 9 = 5 − 2n 3n + 2n = 5 − 9 5n = −4 4 n = − = −0, 8 ; 5
3 y − 0, 2 = 1, 3 + y 4 3 y − y = −0, 2 − 1, 3 = −1, 5 4 1 y = −1, 5 4 1 y = −1, 5 : = −1, 5 ⋅ 4 = −6 . 4
.n
z=
б)
et
1266. а)
30 = 10 . 3
1268. а) x : 5 = 12 : ( −10 )
x=0 .
б) 6 : x = ( −5 ) : 2, 5 x=
x = −6 ;
x = −3 ;
al
12 ⋅ 5 60 x= =− −10 10
в) 3, 5 : ( −0, 7 ) = x : 1, 8 5
x=
МАТЕМАТИКА
1265. а)
3, 5 ⋅1, 8 = −9 ; − 0, 7
6 ⋅ 2, 5 15 =− −5 5
г) −3 : ( −1, 5 ) = −32 : x −3, 2 ⋅1, 5 4, 8 = ; −3 3 x = 1, 6 . x=
1269. Син — x Батько — 3x 3x − x = 28 2x = 28 28 = 14 (років) — синові; 2 3 ⋅14 = 42 (роки) — батькові. x=
167
1270. Автомобіль — 4x Причіп — x 4x − x = 12 (ц)
МАТЕМАТИКА
3x = 12 x=
12 = 4 (ц) — причіп. 3
1271. Автомобіль — 4x Причіп — x 4x + x = 40 (ц) 5x = 40 x=
40 = 8 (ц) — причіп; 5
1272. a − x ⎫ ⎬ P = 18, 8 (м) b − x + 4⎭ 2x + 8 + 2x = 18, 8 4x = 18, 8 − 8 = 10, 8
10, 8 = 2, 7 (м) — сторона a; 4
ld z
x=
.n
( x + 4 ) ⋅ 2 + 2x = 18, 8
et
4x = 4 ⋅ 8 = 32 (ц) — автомобіль.
b = 2, 7 + 4 = 6, 7 (м).
al
1273. a = b = x + 3 ⎫ ⎬ 54 (cм) c=x ⎭ x + 2 ( x + 3 ) = 54
x + 2x + 6 = 54
3x = 54 − 6 = 48
x = 48 : 3 = 16 ( см ) = c a = b = 16 + 3 = 19 (cм).
1274. a) a = x ⎫ ⎬ 350 (м) b = 6x ⎭
168
б) a = x + 6 ⎫ ⎬ 350 (м) b=x ⎭
6x + x = 350
x + x + 6 = 350
7x = 350
2x = 350 − 6 = 344
350 x= = 50 ( м ) = a 7
x=
b = 6 ⋅ 50 = 300 (м);
a = 172 + 6 = 178 (м).
344 = 172 ( м ) = b 2
1275. a ⎫ ⎪ b = a :3 ⎬ 305 (м) c = a + 60 ⎪⎭ 1 a + a + 60 = 305 3
МАТЕМАТИКА
a+
1 a = 305 − 60 = 245 3 35 3 1 a = 245 : 2 = 245 ⋅ 3 7 a = 35 ⋅ 3 = 105 (м); a 105 b= = = 35 (м); 3 3 c = a + 60 = 105 + 60 = 165 (м).
2
б) 0, 4 − 0, 5 ( c + 3 ) = 1 − 0, 2 ( c − 3 ) 0, 4 − 0, 5c − 1, 5 = 1 − 0, 2c + 0, 6 −0, 5c + 0, 2c = 1, 6 + 1, 5 − 0, 4 −0, 3c = 2, 7 2, 7 c= = −9 . −0, 3
ld z
.n
1277. a) 3x + 0, 4 = 0, 8 ( 0, 5 − 2x ) 3x + 0, 4 = 0, 4 − 1, 6x 3x + 1, 6x = 0 x=0 ;
б) x − 0, 4 ( x − 1, 4 ) = 3, 1 ( 3x − 1) x − 0, 4x + 5, 6 = 9, 3x − 3, 1 9, 3x − x + 0, 4x = 5, 6 + 3, 1 8, 7x = 8, 7 x =1 .
et
1276. a) 2 − 3 ( x + 1) = 3 − 2 ( x + 5 ) 2 − 3x − 3 = 3 − 2x − 10 2 + 10 − 6 = 3x − 2x ; x = 12 – 6 x = 6;
al
1278. a) −30 + 2x + 1 = −5 (7 − x ) −30 + 2x + 1 = −35 + 5x 5x − 2x = 35 − 30 + 1 3x = 6 6 x= =2; 3
б) −3 ( n + 1) + 2 = 3 − 2 ( n + 5 ) −3n − 3 + 2 = 3 − 2n − 10 −2n + 3n = 10 − 6 + 2 n=6 ;
в) −5 ( y − 3 ) = 7 − 2 ( 3 − y ) −5y + 15 = 7 − 6 + 2y −5y + 2y = 15 − 7 + 6 7y = 14 14 y= =2 . 7
1279. a)
1 ⎛ 1⎞ − x − ⎟ = 4x 3 ⎝⎜ 2⎠ 1 1\3 −x+ = 4x 3 2 2+3 5 5x = = 6 6 5 5 1 1 x = :5 = ⋅ = ; 6 6 5 6
б)
2 1 = − (3 − x ) 5 2 2 1 = −3+ x 5 2 2\2 1\5 x = 3+ − 5 2 x = 2, 9 .
169
МАТЕМАТИКА
1280. a)
1 ( 2 − 3x ) = 0, 4 − 0,1x + 3 5 0, 4 − 0, 6x = 0, 4 − 0, 1x + 3
б)
−0, 6x + 0, 1x = 3
1 1 ( 2x + 4 ) = 3 ⎛⎜⎝ x + 1⎞⎟⎠ 2 3 x+2= x+3 не має рішення.
0, 5x = −3 3 x=− = −6 ; 0, 5 1281. a)
1⎞ ⎛ б) x − 3 = 2 ⎜ x − 1 ⎟ + x ⎝ 2⎠
3 1 1 x + − 2x = ( 3x − 5 ) 5 3 5 3 1 3 x + − 2x = x − 1 5 3 5 1 1 2x = 1 + = 1 3 3
x − 3 = 2x − 3 + x 2x = 0
2
x=
2 ; 3
1282. Ручка — x + 0, 45 Олівець — x 7x = 2 ( x + 0, 45 )
ld z
7x = 2x + 0, 9
x=0 .
et
4 4 1 :2 = ⋅ 3 3 2
.n
x=
al
5x = 0, 9 0, 9 x= = 0, 18 (грн) — олівець; 5 x + 0, 45 = 0, 18 + 0, 45 = 0, 63 (грн) — ручка. 1283. Цукерки — x + 2, 6 Печиво — x 4 ( x + 2, 6 ) = 6x 4x + 10, 4 = 6x
2x = 10, 4 (грн) — 2 кг печива; x = 5, 2 (грн) — 1 кг печива; x + 2, 6 = 5, 2 + 2, 6 = 7, 8 (грн) — цукерки 1 кг. 1284.
170
5x − 7
–2
–1
0
1
2
3
4
5
x
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
5x − 7 = −2
5x − 7 = −1
5x − 7 = 0
5x = −2 + 7 = 5
5x = −1 + 7 = 6 6 x = = 1, 2 5
5x = 7 7 x = = 1, 4 5
x =1
5x − 7 = 2 5x = 2 + 7 = 9 9 x = = 1, 8 5
5x − 7 = 4 5x = 4 + 7 = 11 11 x= = 2, 2 5
5x − 7 = 5 5x = 5 + 7 = 12 12 x= = 2, 4 5
5x − 7 = 3 5x = 3 + 7 = 10 10 x= =2 5
1285. Нехай x — одне число, тоді друге — 90 – x 1 1 1 1 1 1 1 x = ⋅ 90 − ⋅ x ; x + ⋅ x = 30 ; x = (90 − x) ; 2 3 3 2 3 2 3 5 30 ⋅ 6 ⎛ 1 1⎞ x = 30 ; x = = 36 — перше число ⎜⎝ + ⎟⎠ ⋅ x = 30 ; 6 5 2 3 — друге число. 90 − 36 = 54
МАТЕМАТИКА
5x − 7 = 1 5x = 1 + 7 = 8 8 x = = 1, 6 5
.n
et
1286. Нехай x — одне число, тоді друге — 45 – x. 0, 4 x = 0, 6 ⋅ (45 − x) ; 0, 4x = 0, 6 ⋅ 45 − 0, 6 ⋅ x ; 0, 4x + 0, 6x = 27 x = 27 — перше число 45 − 27 = 18 — друге число.
ld z
1287. Нехай x — одне число, тоді друге — 21 – x. 0, 3x = 0, 4 ⋅ (21 − x) ; 0, 3x = 0, 4 ⋅ 21 − 0, 4 ⋅ x ; 0, 3x + 0, 4x = 8, 4 ; 0, 7x = 8, 4 ; x = 8, 4 : 0, 7 x = 12 — перше число 21 − 12 = 9 — друге число.
al
1288. Нехай x — більше число, тоді менше — x – 2,5. 1 1 1 1 1 1 1 1 x − x = − ⋅ 2, 5 ; x = (x − 2, 5) ; x = ⋅ x − ⋅ 2, 5 ; 3 2 2 3 2 3 2 2 1 ⎛ 1 1⎞ x = 1, 25 ; x ⎜ − ⎟ = 1, 25 ; ⎝ 2 3⎠ 6 x = 7, 5 — більше число 7,5 – 2,5 = 5 — менше число.
1289. Нехай x — більше число, тоді менше — x – 0,8. Складемо пропорцію x : (x − 0, 8) = 5 : 3 . 3x = 5x − 5 ⋅ 0, 8 ; 5x − 3x = 4 ; 2x = 4 ; x = 2 — більше число 2 – 0,8 = 1,2 — менше число.
1290.
x + 1 10 − x = 18 15 15 ( x + 1) = 18 (10 − x ) ; 15x + 15 = 180 − 18x ; 15x + 18x = 180 − 15 ; x=
165 =5 . 33
33x = 165 ;
171
МАТЕМАТИКА
1291. Нехай x — менше число, тоді більше — 3x. 4x = 3 ; 2x = 3 ( x + 3x ) : 2 = 3 ; 2 3 x = = 1, 5 — менше число 2 3 ⋅1, 5 = 4, 5 — більше число. 1292. Нехай x — більше число, тоді менше — x – 0,6. x + x − 0, 6 = 1 ;
2x = 1 + 0, 6 = 1, 6
1, 6 x= = 0, 8 — більше число 2 0, 8 − 0, 6 = 0, 2 — менше число. 1293. Нехай Миколі x років, тоді Тетянці — 3x. 3x + x = 20
.n
et
4x = 20 20 x= = 5 (років) — Миколі; 4 3x = 3 ⋅ 5 = 15 (років) — Тетянці.
1294. а) У двох вантажних складах було перевезено 157 тонн вугілля. У першому перевезли на 103 тонни менше, ніж у другому. Скільки вугілля перевезли в другому складі?
ld z
Розв’язання: Ic − x ⎫ ⎬ 157 т II c − x + 103 ⎭ x + x + 103 = 157
al
2x = 157 − 103 = 54 54 x= = 27 (тонн) — I склад; 2 x + 103 = 27 + 103 = 130 (тонн) — II склад.
б) На пошиття костюмів пішло 124 м тканини. З них на жилети витратили на 7 м менше тканини, ніж на штани, і на 15 м менше, ніж на піджаки. Скільки тканини пішло на пошиття штанів і піджаків?
Розв’язання: Жилети − x ⎫ ⎪ Штани − x + 7 ⎬ 124 м Пiджаки − x + 15 ⎪⎭ x + x + 7 + x + 15 = 124 3x = 124 − 22 = 102 102 x= = 34 (м) — жилети; 3 x + 7 = 34 + 7 = 41 (м) — штани;
172
x + 15 = 34 + 15 = 49 (м) — піджаки.
(4 − ( −5) ) − (4 + ( −5) ) = ( 4 + 5) − ( 4 − 5) = 9 + 1 = 10 .
1296. а) 15 + ( −7 ) = 8 ;
б) −8 + 19 = 11 ;
15 − ( −7 ) = 22 22 − 8 = 14 сума менша;
−8 − 19 = −27 −11 − ( −27 ) = 38 сума більша.
1297. а) 5, 25 + ( −3, 5 ) = 1, 75 ;
б) −8, 4 − ( −3, 5 ) = −4, 9 ;
в) −5, 9 − 4, 2 = −10, 1 . 1298. а) x = 3
б) 2x = 8 8 =4 2 8 x2 = − = −4 ; 2
x1 = 3
x1 =
x2 = −3 ;
б) 2x < 4
x2 = −2 + 3 = 1 .
.n
x <2
в) x − 3 < 1 x=3 ;
x1 = 2 + 3 = 5
et
1299. а) −2; −1; 0; 1; 2 = x ;
x = −1; 0; 1 ;
в) x − 3 = 2
МАТЕМАТИКА
1294.
ld z
г) x + 2 < 5 → x + 2 < 5 або x + 2 > −5 x<3 x > −7 −7 < x < 3 x = −6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2 . 1300. a + b + c + d = 1000
al
2x + 3x + 5x + 10x = 1000
20x = 1000
1000 = 50 20 a = 2x = 2 ⋅ 50 = 100 ; x=
c = 5x = 5 ⋅ 50 = 250 ; b = 3x = 3 ⋅ 50 = 150 ; d = 10x = 10 ⋅ 50 = 500 . 1301. a + b = 1000 ;
b = 1000 − a
0, 3a − 0, 2b = 200 0, 3a − 0, 2 (1000 − a ) = 200 ; 0, 5a = 200 + 200 = 400 ;
0, 3a − 200 + 0, 2a = 200 ;
400 a= = 800 0, 5
b = 1000 − 800 = 200 . 1302. Найстарша Надя, наймолодша Алеся.
173
МАТЕМАТИКА
§ 38. Перпендикулярні та паралельні прямі 1307. a ⊥ d ;
b ⊥ c.
1308. a)
С
A
б)
A
B B
С
D
D
B
в) A
С б) AB || CD;
et
1310. a) AB ⊥ BC; в) AB ⊥ AD;
г) BC || AD;
ґ) DC ⊥ CD;
д) AD ⊥ DC.
a P
A
Через точку P можна провести тільки одну пряму b || a.
a
a || BC.
ld z
1312.
b
.n
1311.
B
С
1313. ∠COB = 180° − 100° = 80°
al
∠BOD = 100°
∠AOD = ∠COB = 80° .
1315.
BM ⊥ AC
B
N
AK ⊥ BC
K
CN ⊥ AB A
M
С
1317. K
B
Через т. K можна провести тільки одну пряму, паралельну АВ, і одну пряму, перпендикулярну AB. a || AB;
a b
174
A
в ⊥ AB.
1318. ∠BOK = ∠AOB + ∠AOK=90°+30° = 120° ∠BOP = 360° − ( ∠BOK + ∠KOP ) =
= 360° − (120° + 90° ) = 360° − 210° = 150°.
МАТЕМАТИКА
1319. ∠α + ∠β = 180° a) ∠α = x ; ∠β = 3x x + 3x = 180° 4x = 180° x=
180° = 45° − ∠α ; 4
∠β = 3x = 3 ⋅ 45 = 135° ; б) ∠α = x ; ∠β = x + 20° x + x + 20 = 180° 160° = 80° − ∠α 2 ∠β = x + 20 = 8 + 20 = 100° ; в) ∠α = x ; ∠β = x+
1 x 5
1 x = 180° 5
.n
x=
et
2x = 180° − 20 = 160°
al
ld z
1 x = 180° 5 180° x= = 150° − ∠α 1, 2 1 1 ∠β = x = 150° = 30° . 5 5
1
B
1320.
A
O
ABCD — квадрат, тому AD = AB = BC = CD = 3 см.
C
3 см
D 1322. а)
( −35) ⋅ 203 + 37 ⋅ 2003 + 3003 : 77 = = −7105 + 74 111 + 39 = 74 150 − 7105 = 67 045 ;
б) 43, 8 ⋅ ( −3, 5 ) − 3, 24 ( −2, 5 ) + 12, 08 = −153, 3 + 8, 1 + 12, 8 = −132, 4 ; 8
15 32 1 3 2 3 ⎛ 2 ⎞ + 30, 5 = − ⋅ − + 30, 5 = ⋅2 + ⋅ 4 15 4 8 ⎜⎝ 9 3 ⎟⎠ 4 15 12 1 5 1 1\5 1 6 −1 5 = 22, 5 − = 22 + − = 22 + − = 22 + = 22 . 12 10 12 2 12 12 12
в) −3
175
1323. а) x = −3; − 2; − 1; 0; 1; 2 ; б) x = −4; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2 .
МАТЕМАТИКА
1324. а)
B
б)
B
A
5с м
м 5с
3
см
60°
45°
С
4 см
A
60°
60° 5 см
1325. 7 дм = x
1326. a = 21 a 3 21 = ; = b 4 b 21 ⋅ 4 b= = 28 3 b 5 28 = ; = c 6 c 28 ⋅ 6 c= = 33, 6 . 5
et
1 м = 10 дм = 100 % 700 x= = 70 % 10 100 − 70 = 30 % .
.n
3 4
ld z
5 6
1327. 2n = ( 2a + 1) + ( 2b + 1) + 2c = 2a + 2 + 2b + 2c = 2 ( a + b + c + 1) або
al
2n = 2a + 2b + 2c = 2 ( a + b + c ) , тому
2 ( a ⋅ b ⋅ c ) або 2 ( a ⋅ b ⋅ c ⋅1) — парне.
§ 39. Координатна площина 1329.
1 од. відр. = 1 см
ó
A(2;4) 4
D(–1;3)
3
E(3;4)
2 1 F(1;0) –4 –3 –2
B(–3;–2)
176
0
1 2 3 4 –2 C(0;–2) –3 –4 –5
õ
С
1330. M(0; 2); K(–3; 0); P(–2; –2); T(1,5; –2). 1331.
Вірно.
ó
МАТЕМАТИКА
A(2;5)
5 4
B(2;3)
3 2 1 0
C(2;0) K(2;–1)
–2 –3
1332.
P(2;–3)
Вірно.
ó
A(–3;2)
3 B(0;2) 2 1 0
–1
C(4;2)
õ
1 2 3 4
.n
–4 –3 –2
–2
Через т. Т проходить, через т. М — ні.
ld z
1333.
õ
1 2 3 4
et
–2
ó
5 4
3
2
1
al
T(–3;1)
M(–2;0)
K(–3;4)
–4 –3
1 2 õ
0
–2
–2
–3
P(–3;–3)
1334.
Через т. K не проходить.
ó 4 3 2
K(1;2) A(4;3)
1 –4 –3 –2
0 –2 –3 –4
1 2 3 4
õ
177
1335. D(–2; –3). 1336. D(–5; 0)
МАТЕМАТИКА
AD = BC = D(5; 0) − A (1; 0) = 5 − 1 = 4 (cм); AB = CD = B(1; 3) − A (1; 0) = 3 − 0 = 3 (cм); P = ( 4 + 3 ) ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 = 14 (cм); S = 3 ⋅ 4 = 12 (cм2). 1337. а)
AO = 3 см; OB = 6 (cм)
ó 5 4
M A
3
SΔABO =
T
1 1 S = 3 ⋅ 6 = 9 (см2); 2 ACBO 2
C
2
K
P
B
–1 O 1 2 3 4 5 6 7
õ
et
1
б) KP = P ( 4; 1) − K (1; 1) = 3 (см);
1 1 S = 3 ⋅ 3 = 4, 5 (см2). 2 KMTP 2
ld z
SΔKTP =
.n
PT = T ( 4; 4 ) − P ( 4; 1) = 3 (см);
в) У підручнику помилка: координати т. D не D(0; 4), а D(0; –4) SABCD = SΔABO + SΔBOC + SΔCOD + SΔAOD ;
B
A
–4 –3 –2 –1 0
SΔABO + SΔCOD = SAKBO = AO ⋅ OB =
M
4 3 2 O 1
al
K
ó
= 3 ⋅ 4 = 12 (см2); SΔBOC + SΔAOD = SOBMC = OC ⋅ OB = = 3 ⋅ 4 = 12 (см2);
C
1 2 3 4
SABCD = SAKBO + SOBMC = 12 + 12 = 24 (см2).
õ
–2
M
K
D –4
–5
г)
SABCD = SΔ ABO + SOBCD ;
ó 4 3 2 O 1
B A
–4 –3 –2 –1 0
178
D
SABCD = SOBCE = OB ⋅ BC = = 3 ⋅ 4 = 12 (см2).
E
1 2 3 4 –2
ΔABO = ΔDCE →
C
õ
AB = A ( 0; 5 ) − B ( 0; 1) = 4 (см);
ó
4 = M ( 0; 3 ) ; 2 KP = P ( 3; 2 ) − K ( −3; 2 ) = 6 (см);
BM = MA : B ( 0; 1) +
A 5 4
M 3 T
K
B
P
2 1
–4 –3 –2 –1 0
KT = TP K ( −3; 2 ) +
1 2 3 4 5 6
õ
6 = T ( 0; 2 ) . 2
–2
1339.
МАТЕМАТИКА
1338.
Симетричні AK = KB . ó 4
A
K
–1 0 –1 2 –2 –3
1340.
õ
B
ld z
–4
3 4
.n
2 1
et
3
ó
4
3
C
M
K(5;2)
al
2 1
–4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4 5 6
K(5; 2) CM + MK = CK CM + MK = 4 од. зв. M (1; 2 ) + 4 = K ( 5; 2 ) .
õ
–2
1341.
K(–2; 3); Р(2; –3). ó 4
K
–4 –3 –2 –1 0
C
3 2 1 1 2 3 –2 –3
õ
P
179
1342.
B(4; –7) симетрична А(–4; 7) відносно О(0; 0)
ó
МАТЕМАТИКА
AM = M (1; 3 ) − A ( −4; 7 ) = = ( 5; − 4 ) ;
7 6 5
A(–4;7)
4
O –5 –4 –3 –2 –1 0
K = M (1; 3 ) + AM (5; −4 ) = = ( 6; −1) ;
M(1;3)
3 2 1
K(6; –1) симетрична А(–4; 7) відносно М(1; 3). 6 õ
1 2 3 4 5
K(6;–1)
B(4;–7)
et
–2 –3 –4 –5 –6 –7
1343. AB = B ( 5; 3 ) − A ( −2; 3 ) = 7 од. відр.
.n
1344. KP = K ( −3; X3 ) − P ( −5; − 3 ) = 2 од. відр. KM = MP = 2 : 2 = 1 од. відр.
P ( −5; − 3 ) + 1 од. відр. = M ( −4; − 3 ) .
1346.
ld z
1345. Вірно. Кожна крапка цієї прямої має ординату, рівну абсцисі. ó
4
al
3 2 1
–4 –3 –2 –10
1 2 3 4
õ
–2 –3 –4
1347. а)
б)
ó
ó
4 3 2 1
180
4
1 2 3 4
3 2 1
õ
–4 –3 –2 –10
–4 –3 –2 –10
–2 –3 –4
–2 –3 –4
1 2 3 4
õ
в)
ó 4
õ
0 –1 –2 –3 –4
МАТЕМАТИКА
–4 –3 –2 –1
3 2 11 2 3 4
1348. А(0; 5). КМ⊥x; NM⊥y 1
O
K
K(4; 0); N(0; –3).
1 2 3 4 –2
N –3
5
6 õ
M(4;–3)
et
ó
1349.
OA = OE = AB + CD = BC + DE
ó
6 A 5 4 3 2 1
B
K
C
D
P = OA ⋅ 4 = 5 ⋅ 4 = 20 (cм);
.n
1350.
SOABCDE = SOAKE − SCBKD (cм2); SOAKE = OA ⋅ OE = 5 ⋅ 5 = 25 (cм2); SCBKD = BC ⋅ CD = 2 ⋅ 2 = 4 (cм2);
ld z
E
O
–1 0
1 2 3 4 5
SOABCDE = 24 − 4 = 21 (cм2).
6 õ
1351. А(–4; 0); В(0; –2); С(2; 0).
1352. Київ ∼ 50°15′ пн.ш. 30°50′ сх.д.
al
Львів ∼ 49°40′ пн.ш. 24° сх.д.
Харків ∼ 50° пн.ш. 36°15′ сх.д.
1353.
ó
S
L
A
6 5
S(–4; 3), L(–3; 4). B
4 3 2 1
N –5 –4 –3 –2 –1 0
M T
M(–4; –3); N(–5; 0);
C
D 1 2 3 4 5
–2 –3 –4 –5 P –6
6 õ
E K
181
ó
1354. а)
б)
ó
МАТЕМАТИКА
4
1
3 2 1 –4 –3 –2 –10
–4 –3 –2 –10
1 2 3 4
õ
–2 –3 –4
в)
г)
ó
ó
4
3 2
3 2 1 1 2 3 4
õ
1 2 õ
–2 –1
et
–2 –10
.n
–2 –3
ld z
1355. b1; b3; c4; d7; e4; e8; f1; f3; f6; h5. 1357. I − x ⎫ ⎪ II − x − 2 ⎬ 40 кг III − x + 3 ⎪⎭ x + x − 2 + x + 3 = 40 3x = 40 − 1 = 39
39 = 13 (кг) — I ящик; 3 x − 2 = 13 − 2 = 11 (кг) — II ящик;
al
x=
x + 3 = 13 + 3 = 16 (кг) — III ящик. ⎫ a ⎪⎪ b − ⎬ 43 см 2 ⎪ c − a + 3 ⎪⎭
1358. a
a+
1 a + a + 3 = 43 2
1 a = 40 2 8 2 5 a = 40 : = 40 ⋅ = 16 (см); 2 5 a 16 b= = = 8 (см); 2 2 c = a + 3 = 16 + 3 = 19 (см).
2
182
õ
1359. a = 0, 5 ⋅ ( 0, 4 ⋅ c ) = 0, 2c ⎫ ⎪ b = 0, 4 ⋅ c ⎬ 100 ⎪ c ⎭
МАТЕМАТИКА
0, 2c + 0, 4c + c = 100
1, 6c = 100 c=
100 = 62, 5 1, 6
b = 0, 4 ⋅ c = 0, 4 ⋅ 62, 5 = 25 a = 0, 5 ⋅ b = 0, 5 ⋅ 25 = 12, 5 . ⎫ ⎪ b − a + 2 ⎬ 2a c − a + 3 ⎪⎭ a + a + 2 + a + 3 = 2a 3a − 2a = −5 a = −5 b = a + 2 = −5 + 2 = −3 ; c = a + 3 = −5 + 3 = −2 .
1361. a − b = 10 a : b = 10 → a = 10b 10b − b = 10
ld z
9b = 10 10 1 b= =1 . 9 9 100 1 a = 10b = = 11 . 9 9
.n
et
1360. a
al
1362. ікс = 234; фікс = 1234 234 + 1234 = 1468 .
§ 40. Графіки
1364. 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
1
2 3 4 5
6 7 8 9 10
183
1365. а) 100 км; 250 км; s 50 ⎛ км ⎞ = = 50 ⎜ ; ⎝ год ⎟⎠ t 1
МАТЕМАТИКА
б) V = в)
Час руху (год)
0,5
1
1,5
Відстань (км)
25
50
75
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
100 125 150 175 200 225 250
1366. 50
et
40 30
10
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Час (год)
1
2
3
4
5
Відстань (км)
50
100
150
200
250
al
1367.
0,5
ld z
0
.n
20
250 200 150 100 50 0
184
1
2
3
4
5
6
1368. 18 16
МАТЕМАТИКА
14 12 10 8 6 4 2 0
20
40
80
60
б) 27 років;
1369.
а (см)
0
1
2
3
4
(см2)
0
1
4
9
16
S
.n
20 15
ld z
10 5
в) на 6 м.
et
а) 4,5 м; 7 м; 17 м;
100
0
4
3
2
5
al
1
1370. Графік відповідає руху велосипедиста. Він проїхав 70 км. 1371.
S = 105 (км).
120 100 75 50 25 0
1
2
3
4
5
6
185
МАТЕМАТИКА
1372. У путі — 10 ч; пройшли — 30 км; відпочивали — один раз 1 год; другий раз — 2 год; у перші 5 годин туристи йшли зі швидкістю 1 5 км/год, останні 3 години — зі швидкістю 3 км/год. 3 1373.
Вартість (грн.)
1
2
3
4
6
12
Кількість (шт.)
12
6
4
3
2
1
12 11 10 9
et
8 7
4 3 2 1 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ld z
0
.n
6 5
1374. а) S = πr 2 = 3, 14 ⋅ 22 = 12, 56 (м2);
в) 3, 14 ⋅ a2 (мм2).
al
б) 0,785 (дм2);
1375. a − 3x ⎫ ⎪ a+b+c b − 4x ⎬ = 63 3 c − 8x ⎪⎭ 3x + 4x + 8x = 63 3 15x = 63 ⋅ 3 x=
63 ⋅ 3 63 = = 12, 6 5 15 5
a = 3x = 3 ⋅12, 6 = 37, 8 ; 1376. а) x2 + 3 = 28 x2 = 28 − 3 = 25 x =5 ;
186
b = 4x = 4 ⋅12, 6 = 50, 4 ; б) x + 4 = 16 x1 + 4 = 16 x1 = 16 − 4 x1 = 12
c = 8x = 8 ⋅12, 6 = 100, 8 .
x2 + 4 = −16 x2 = −16 − 4 x2 = −20 .
Самостійна робота № 7 1. а) 26x − 15x = 11x ; б) 0, 2x + 7 ( 0, 5x − 3 ) = 0, 2x + 3, 5x − 21 = 3, 7x − 21 . б) 3x − 2 = 1 − 5 (1, 2 − x )
2. а) 5 − x = −13 x = 5 + 13 = 18 ;
3x − 2 = 1 − 6 + 5x 2x = 6 − 2 − 1 = 3 3 x = = 1, 5 . 2
3. I ск. − x ⎫ ⎬ 2880 (т) II ск. − x + 400 ⎭
МАТЕМАТИКА
Варіант 1
x + x + 400 = 2880 2x = 2880 − 400 = 2480 2480 = 1240 (т) — на I складі; 2
et
x=
x + 400 = 1240 + 400 = 1640 (т) — на II складі.
.n
4. AB = B ( −4; −3 ) − A ( −4; −2 ) = 3 − ( −2 ) = 3 + 2 = 5 од. відр. BC = C ( 3; 3 ) − B ( −4; 3 ) = 3 − ( −4 ) = 3 + 4 = 7 од. відр. ó
P = ( AB + BC ) ⋅ 2 = ( 5 + 7 ) ⋅ 2 = 24 (см);
C
ld z
B
1 од. відр. = 1 см
4 3
–4 –3 –2 –1
2 1
S = AB ⋅ BC = 5 ⋅ 7 = 35 (см2).
1 2
3 4
õ
0 –1 –2 –3 –4
D
al
A
5.
240 200 160 120 80 40 0
1
2
3
4
5
6
7
8
187
Варіант 2 1. а) 35x − 9x = 26x ;
МАТЕМАТИКА
б) 0, 5x + 2 ( 0, 3x − 1) = 0, 5x + 0, 6x − 2 = 1, 1x − 2 . б) 2x − 3, 8 = 3 − 4 ( 3 − x )
2. а) 7 − x = −19 x = 7 − 19 = −12 ;
2x − 3, 8 = 3 − 12 + 4x 2x = 12 − 3 − 3, 8 = 5, 2 x=
3.
5, 2 = 2, 6 . 2
a − x ⎫ ⎬ 12 (м) b − x+3 ⎭ x + x + 3 = 12
ó 3 2 1
PT = T ( 4; 2 ) − P ( −3; 2 ) = 4 − ( −3 ) = = 4 + 3 = 7 од. відр.
T
TM = T ( 4; 2 ) − M ( 4; −4 ) = −2 − ( −4 ) = = 2 + 4 = 6 од. відр.
ld z
P
1 од. відр. = 1 см
.n
4.
et
2x = 12 − 3 = 9 9 x = = 4, 5 (м) — а 2 b = a + 3 = 4, 5 + 3 = 7, 5 (м).
–4 –3 –2 –1
1 2 3
4
0 –1
P = ( PT + TM ) ⋅ 2 = (7 + 6 ) ⋅ 2 = 26 (см);
–2 –3
K
S = TM ⋅ PT = 6 ⋅ 7 = 42 (см2).
M
al
–4
õ
5.
80 75 60 45 30 15 0
1 2 3 4 5 6
Варіант 3 1.
188
а) −3, 5x + 4, 2x = 0, 7x ; б) 2, 3x − 3, 2 (1 − 5x ) = 2, 3x − 3, 2 + 16x = 18, 3x − 3, 2 .
б) 7x − 2, 8 = 1 − 3 ( 4 − x )
а) 39 − 2x = 17 2x = 39 − 17 = 22 x=
7x − 2, 8 = 1 − 12 + 3x
22 = 11 ; 2
4x = 1 − 12 + 2, 8 = −8, 2 x=−
3.
8, 2 = −2, 05 . 4
Пшениця − x + 65 ⎫ ⎬ 129 (га) Ячмiнь − x ⎭ x + x + 65 = 129 2x = 129 − 65 = 64 x=
64 = 32 (га) — ячменю. 2
4.
1 од. відр. = 1 см
ó
= 3 + 2 = 5 од. відр.
BC = C ( 3; −1) − B ( 3; 5 ) = −1 − 5 =
= 6 од. відр.
1 2
3 4
õ
P = ( AB + BC ) ⋅ 2 = ( 5 + 6 ) ⋅ 2 = 22 (см);
S = AB ⋅ BC = 5 ⋅ 6 = 30 (см2).
C
al
ld z
0 –1 –2 –3 –4
et
4 3 2 1
B
.n
–4 –3 –2 –1
K
AB = B ( 3; 5 ) − A ( −2; 5 ) = 3 − ( −2 ) =
6 5
A
5.
МАТЕМАТИКА
2.
36 30
24 18 12 6
0
1 2 3 4 5 6
Варіант 4 1.
а) −5, 7x − 1, 5x = −7, 2x ; б) 4, 7a − 2, 7 (1 − 2a ) = 4, 7a − 2, 7 + 5, 4a = 10, 1a − 2, 7 .
189
2.
б) 9x − 0, 7 = 2 − 4 (1 + x )
а) 10 − 0, 5x = 16
МАТЕМАТИКА
0, 5x = 10 − 16 = −6 6 x=− = −12 ; 0, 5
9x − 0, 7 = 2 − 4 − 4x 13x = 2 − 4 + 0, 7 = −1, 3 1, 3 x=− = −0, 1 . 13
3. Вiдеомагнiтофон − x ⎫ ⎬ 2050 (грн) Телевiзор − x +520 ⎭ x + x + 520 = 2050 2x = 2050 − 520 = 1530 x=
1530 = 765 (грн) — відеомагнітофон; 2
x + 520 = 765 + 520 = 1285 (грн) — телевізор.
3 2
–4 –3 –2 –1
1
0 –1 –2 –3 –4
1 2
3 4
MK = K ( 3; 2 ) − M ( −3; 2 ) =
= 3 − ( −3 ) = 6 од. відр.
KP = K ( 3; 2 ) − P ( 3; −4 ) =
õ
= 2 − ( −4 ) = 6 од. відр.
P = 4 MK = 4 ⋅ 2 = 24 (см);
S = MK 2 = 6 ⋅ 6 = 36 (см2).
P
ld z
T
K
.n
M
5.
1 од. відр. = 1 см
ó
et
4.
.
al
240
180
120
60 0
1 2 3 4 5
Завдання в тестовій формі
190
1.
б)
2. в)
3. в)
4. г)
5.
в)
6. б)
7. г)
8. б)
9.
г)
10. б)
Типові задачі 1.
а) 3a ( −2c ) = −6ac ;
б) 2x + 7x − 5x = 4x ;
а) 13 + 7x = 2x − 12 5x = −25 25 x=− = −5 ; 5
б) 2 ( x − 3 ) + 5 = x 2x − 6 + 5 = x
2.
3.
x = 6−5 =1 .
A
3 см
B
С
3 см
D
4.
МАТЕМАТИКА
в) −5 (1 − n ) = 5n − 5 ;
K(0; 2); М(4; 0).
ó
et
5 4 3 2
–4 –3 –2 –1
1
K
1 2 3 4 5 6 7
0 –1
M
õ
B
ld z
–2
.n
A
5.
3 ⎞ ⎛ 4 ⋅1, 3 − 2 ⎜ 1, 25 + 2 ⋅1 + 2, 5 = 5, 2 − 2, 5 − 4 ⋅1, 3 + 2, 5 = 0 ⎝ 10 ⎟⎠
6.
2, 5 ( 3a − 4 ) − 5 ( 2 + 3, 1a ) + ( a − 7 ) ⋅ 3 =
= 7, 5a − 10 − 10 − 15, 5a + 3a − 21 = −5a − 41 =
al
= −5 ⋅100, 2 − 41 = −501 − 41 = −542 .
б) −0, 4 ( 3x − 0, 5 ) − 0, 7 = 1, 3 ( 2x − 15 )
6, 84 = −1, 2 + 0, 6x
2, 6x + 1, 2x = 19, 5 + 0, 2 − 0, 7
0, 6x = 8, 04 8, 04 x= = 13, 4 ; 0, 6
3, 8x = 19 19 x= =5 . 3, 8
7.
а) ( 2 − x ) : 1, 8 = 3, 8 : ( −0, 6 ) 1, 8 ⋅ 3, 8 = −0, 6 ( 2 − x )
8.
−1, 2x + 0, 2 − 0, 7 = 2, 6x − 19, 5
Яблука — x + 2 Картопля — x
(4 ( x + 2) + 3x ) − (2 ( x + 2) + 6x ) = 2, 5 4x + 8 + 3x − ( 2x + 4 + 6x ) = 2, 5
7x + 8 − 2x − 4 − 6x = 2, 5 x = 4 − 2, 5 = 1, 5 (грн.) — картопля; x + 2 = 1, 5 + 2 = 3, 5 (грн.) — яблука.
191
а (см)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Р (см)
0
2
4
6
8
10
12
МАТЕМАТИКА
9.
13 12 11 10 9
6 5 4 3 2 1
10.
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
.n
0
et
8 7
0, 5α = 0, 4β → α = 0, 8β ; α + β = 900 ;
0, 8β + β = 900 ; 1, 8β = 900 ;
0
90 = 500 ; 1, 8 α = 900 − 500 = 400 .
ld z
β=
Додатковий матеріал
al
Вправи для повторення за рік
1377. 17; 19; 23; 29; 31.
1378. 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30. 1379. 9; 18; 27; 36. 1380. 1278. 1381. а) 240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
192
1382. а) НСД (18; 32) = 25 ⋅ 32 = 288 32 2 18 2 16 2 9 3 8 2 3 3 4 2 1 2 2 1
б) 350 = 2 ⋅ 52 ⋅ 7 .
НСД (18; 32) = 2
в) 60 30 15 5 1 2 2 5 7
80 40 20 10 5
2 2 2 2 5
140 70 35 7 1
175 5 35 5 7 7 1
НСК (42; 105) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210
НСД (60, 80, 140) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 НСД (42, 80, 140) = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1680
2 2 5 7
210 105 35 7 1
2 3 5 7
et
1384. 140 70 35 7 1
2 2 3 5
НСД (42; 105) = 3 ⋅ 7 = 21
105 3 35 5 7 7 1
МАТЕМАТИКА
б) 42 2 21 3 7 7 1
а) НСД (140; 175) = 5 ⋅ 7 = 35 НСД (140; 210) = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 70 НСД (140; 175; 210) = 5 ⋅ 7 = 35 ;
.n
б) НСК (140; 175) = 22 ⋅ 52 ⋅ 7 = 700 НСК (175; 210) = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 7 = 1050 НСК (140; 175; 210) = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 7 = 2100 ;
ld z
в) «210» = 2 + 3 + 5 + 7 = 17 ; г) «175» = 5 + 5 + 7 = 17 .
1385. 123; 132; 213; 231; 312; 321
Парних — 2; непарних — 4; кратні 3 — усі; кратні 6 — 2; кратні 9 — немає.
al
1386. 3 + 7 + 9 + 11 + 13 + 17 + 19 = 79 .
1387. 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. 1388. 14; 28; 42; 56; 70.
1389. Не може, тому що в сумі виходить парне число. n + ( n + 1) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) = 4n + 6 — парне. 1390. 0,9; 2
2 . 3
8 4 = ; 10 5 225 9 1 = =2 ; в) 2, 25 = 100 4 4
1391. а) 0, 8 =
1392. а) 0, 72 ⋅ 300 = 216 ; в) 0, 72 ⋅ 0, 2 = 0, 144 ;
2 12 6 1 = = =1 ; 10 10 5 5 1 г) 0, ( 3 ) = . 3 б) 1
б) 0, 72 ⋅ 72 = 51, 84 ; г) 0, 72 ⋅ 0, 72 = 0, 5184 .
193
1393. а)
МАТЕМАТИКА
в)
1394. а) в)
1395. а)
20 4 ⋅ 140 = 80 ; 7
б)
4 40 5 ⋅10 = =5 ; 7 7 7
4 4 ⋅1 = ; 7 7
г)
4 4 16 ⋅ = . 7 7 49
102 = 170 ; 0, 6
б)
39 = 65 ; 0, 6
0, 6 =1 ; 0, 6
г)
1 10 4 2 = =1 =1 . 3 0, 6 6 6
2 ⎛ 3 1 ⎞ 3 2 4 + − : 4 : 1 = + ( 0, 3 − 0, 125 ) = 3 ⎜⎝ 10 2 ⎟⎠ 4 3 7 25
=
et
б) 2
2 4 2 4 175 2\10 1\3 20 + 3 23 + ⋅ 0, 175 = + ⋅ = + = = ; 3 7 3 7 1000 3 10 30 30 1 1⎞ 3 13 1 ⎛ 13 13 ⎞ 13 ⎛ 1 : 13 + ⎜ 3 + 2 ⎟ : 2 = ⋅ +⎜ + = ⎟: ⎝ 4 6 6⎠ 5 6 13 ⎝ 4 6 ⎠ 5
1 13 5 13 5 1 5 5 1 1 + ⋅ + ⋅ = + + = 1 + 1 = 2 = 2, 25 ; 6 4 13 6 13 6 4 6 4 4
.n
=
2
2 4 4 ⎞ 3 8 1 ⎛ 74 4 ⎞ 113 ⎛ : 4 + ⎜ 14 + : 22 = ⋅ + + : = ⎝ 3 5 15 ⎟⎠ 5 3 4 ⎜⎝ 5 15 ⎟⎠ 5
ld z
1396. а) 2
=
1 2\113 74\3 5 4 5 226 + 222 + 4 452 113 + ⋅ + = = = =1 =1 ; 3 3 339 339 5 113 15 3 113 339 3
al
7⎞ 3 1 4 22 4 55 21 ⎛ 1 − ⋅ − = б) 23 + ⎜ 7 − 6 ⎟ : − 5 = 23 + ⋅ ⎝ 3 8⎠ 4 4 3 3 3 82 4 = 23 +
88 55 21\2 88 55 + 42 − − = 23 + − = 9 8 4 9 8
= 23 +
88 97 7\8 1\9 − = 23 + 9 − 12 + − = 9 8 9 8
= 20 +
56 − 9 47 47 = 20 + = 20 . 72 72 72
13 ⎞ 3 1 4 ⎛ 53 85 ⎞ 1 ⎛ 5 −3 :1 + 3 = 32 + ⎜ − +3 = 1397. а) 32 + ⎜ 4 ⎝ 12 24 ⎠⎟ 4 18 7 ⎝ 12 24 ⎠⎟ 18 = 32 + = 35
194
1 53\2 85 1 4 53 4 85 ⋅ − ⋅ +3 = 32 + − +3 = 18 21 42 18 7 12 3 7 24 6
1 106 − 85 1 21 1 1\9 10 5 + = 35 + = = 35 + = 35 = 35 ; 18 42 18 42 2 18 2 18 9
б) 0, (1) + 0, ( 6 ) : 1, ( 3 ) = 0, (1) + 0, 5 = 0, 6 .
2
1 6 ⎛ 2 7 ⎞ 1 6 23 36 + ⋅ 7 : =4 + ⋅ ⋅ = 2 7 ⎜⎝ 3 36 ⎟⎠ 2 7 3 7
=4
1 1656 1 39 1\49 39\2 + = 4 + 33 = 37 + + = 2 49 2 49 2 49
= 37 +
49 + 78 127 29 29 = 37 + = 37 + 1 = 38 ; 98 98 98 98 4
б)
5
14 ⎛ 29 4 ⎞ 11 14 84 15 11 ⋅⎜1 : = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎟⋅ 63 ⎝ 55 15 ⎠ 20 63 3 55 4 20 =
14 ⋅ 20 ⋅11 14 7 = = = 0, 7 . 55 5 ⋅ 4 ⋅ 20 20 10
МАТЕМАТИКА
1398. а) 4
5
1399. а) 6
1 2 3 9 25 3 3 31 :1 + : = ⋅ + ⋅ = 4 3 4 31 4 5 4 93 19
42 ⎛ 3 3 ⎞ 42 17 5 1 17 ⋅⎜1 : ⎟ :2 = ⋅ ⋅ ⋅ = . 95 ⎝ 14 5 ⎠ 95 19 14 3 2 38
.n
б)
15\3 31 45 + 31 76 19 1 + = = = =6 ; 4 12 12 3 3 12 3
et
=
3
1400. а) 5
5\5 9\7 25 − 63 38 3 32 − =5+ =5− = 5 −1 =3 ; 35 7 5 35 35 35
ld z
=5+
5
б)
3
5 2 ⎛ 1 1⎞ 5 2 21 6 − ⋅ 5 :1 =5 − ⋅ ⋅ = 7 5 ⎜⎝ 4 6 ⎟⎠ 7 3 4 7
85 6 ⎛ 5 ⎞ 85 91 ⋅5 : ⎜ : 8⎟ = ⋅ 91 17 ⎝ 7 ⎠ 91 17
56 ⎛ 5 1⎞ :⎜ ⋅ ⎟ = 5 ⋅ = 56 . ⎝ 7 8⎠ 5
al
3 15 ⎛ 27 5 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ 4 ⎞ ⎛ 1401. а) ⎜ 15 : : 3 ⋅ = 15 ⋅ : ⋅ = 45 ⋅ 2 = 90 ; ⎝ 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 27 ⎟⎠ 5 ⎝⎜ 8 2 27 ⎟⎠
1 8 1 49 49 1 ⎛ 8 ⎞ б) 15 ⋅ ⎜ : 16 ⎟ ⋅ 24 = 15 ⋅ ⋅ = =4 . ⎝ 15 ⎠ 2 2 45 3 16 2 2 12
1402. Мова — x Історія — x − 0, 5 Математика — x :1
1 3 = x 3 4
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
2,5 год
3 3 3 x = 2, 5 ; x + x − 0, 5 + x = 2, 5 ; 2 x = 2, 5 + 0, 5 = 3 ; 4 4 4 3 4 12 1 x = 3 : 2 = 3⋅ = =1 (год) — мова; 4 11 11 11 1 1 12\2 1\11 24 − 11 13 x − 0, 5 = 1 − = − = = (год) — історія; 11 2 11 2 22 22 x + ( x − 0, 5 ) +
3
3 3 12 9 x= ⋅ = (год) — математика. 4 11 4 11
195
⎫ ⎪ частини від загального обсягу ⎬ робіт I та II бригад відповідно ⎪⎭ x + 1, 5x = 1 — загальний обсяг робіт
МАТЕМАТИКА
1403. I бр. — 10,5 дн. — x 10,5 x = 1, 5x II бр. — 7 дн. — 7 2, 5x = 1 1 x= = 0, 4 2, 5 1, 5x = 0, 6 10, 5 ⋅ 0, 4 = 7 ⋅ 0, 6 = 4, 2 (дня). 1404. Наповнюється — за 4 год Виливається — за 4,5 год
Візьмемо за 1 весь об’єм резервуара, тоді за 1 год наповнюється
1 його 4
1 9 2 об’єму. = 1: = 2 2 9 — на стільки наповнюється резервуар за 1 год,
об’єму, а виливається 1 : 4, 5 = 1 : 4
1 = 36 (годин) 36
⎫ 1 3 = x ⎪ ⎪ 3 7
ld z
1405. Равнина — x :2
.n
1:
\4
et
1 2 9−8 1 − = = 4 9 36 36 якщо відкрити обидві труби, отже весь резервуар заповниться за \9
Підйом — x
Спуск — x + 2, 75
⎬ ⎪ ⎪ ⎭
36,75 (км)
al
3 x + x + x + 2, 75 = 36, 75 7 3 2 x = 36, 75 − 2, 75 = 34 7 2 3 7 x = 34 : 2 = 34 ⋅ = 14 (км) — підйом; 7 17 x + 2, 75 = 14 + 2, 75 = 16, 75 (км) — спуск.
1406. 0, 8 : 43, 5 = 34, 80 (грн.). 1407. Борошно — 0,7х Хліб — х 0, 7x = 10 x=
10 100 2 = = 14 (т) — хліба; 0, 7 7 7
0, 7 ⋅100 = 70 (кг) — борошна. 1408. З села в місто виїхали одночасно два велосипедисти. Перший рухався зі швидкістю 15 км/год, другий — зі швидкістю 10 км/год. Перший велосипедист приїхав у місто на годину раніше другого. Знайдіть відстань між містом і селом. 196
МАТЕМАТИКА
x \3 x \2 = =1 10 15 3x − 2x =1 30 3x − 2x = 30 x = 30 (км). 1409. I колесо − x + 0, 4 II колесо − x 490 ( x + 0, 4 ) = 560x 490x + 196 = 560x 560x − 490x = 196 70x = 196 x = 2, 8 (м) — II колесо;
1410. а) 20 : 60 = 1 : 2 ;
б) 0, 4 : 1, 20 = 1 : 3 ;
в) 1 : 0, 125 = 8 : 1 ;
2 3 : = 10 : 9 ; 3 5
1, 5 2 1, 5 3 4 2 4 3 = ; = ; = ; = . 3 4 2 4 3 1, 5 2 1, 5
ld z
1411.
4 1 : 2 = 18 : 25 . 5 2
г)
.n
ґ) 1
et
x + 0, 4 = 2, 8 + 0, 4 = 3, 2 (м) — I колесо.
1412. а) x : 3 = 7 : 6
3 ⋅ 7 21 3 1 = = 3 = 3 = 3, 5 ; 6 6 6 2
al
x=
б) 1, 2 : 5 = x : 15 x=
1, 2 ⋅15 18 3 = =3 ; 5 5 5
в) 11 : 1001 = 0, 3 : x 9
x=
1413. 1)
1001 1 ⋅ 0, 3 = 27, 3 . 11
5\5 2\6 25 + 12 37 + = = 6 5 30 30 5 2 25 − 12 13 − = = 6 5 30 30 37 13 37 30 : = ⋅ = 37 : 13 ; 30 30 30 13
197
МАТЕМАТИКА
2)
3)
2 1 2\3 7\5 6 + 35 41 +2 = + = = 5 3 5 3 15 15 2 1 2 7 14 ⋅2 = ⋅ = 5 3 5 3 15 41 14 41 15 : = ⋅ = 41 : 14 ; 15 15 15 14 3\2 − 0, 5 = 0, 6 − 0, 5 = 0, 1 5 3 5 ⋅ = 0, 3 5 10 0, 1 = 1: 3 ; 0, 3
5 1 5+2 7 + = = 6 3 6 6 3
20 %⋅ 350 = 0, 2 ⋅ 350 = 70 ; 0, 12 ⋅ 0, 75 = 0, 09 ; 0, 15 ⋅124 = 18, 60 (грн.); 0, 025 ⋅10 = 0, 25 (л);
0, 2 ⋅ 56 000 = 16 800 ; 1, 25 ⋅1, 4 = 1, 75 ; 0, 48 ⋅ 3, 5 = 1, 68 (м); 0, 042 ⋅ 50 = 2, 1 (см3); 3 10) %⋅7,5 = 0, 0075 ⋅7,5 = 0, 05625 (км2). 4
2) 4) 6) 8)
ld z
1414. 1) 3) 5) 7)
.n
1 7 1 6 : = ⋅ = 3 : 14 . 4 6 42 7
et
⎛ 5 1\2 ⎞ 3 1 1 ⎛ 5−2 ⎞ 1 :2 = ⎜ 4) ⎜ − ⋅ = ⋅ = ⎝ 6 ⎟⎠ 2 6 2 2 4 ⎝ 6 3 ⎟⎠
9) 0, 005 ⋅ 84 = 0, 42 (га); 344 = 1720 ; 0, 2
2)
4800 = 3840 ; 1, 25
640 = 25 600 ; 0, 025
4)
6, 5 = 1300 ; 0, 005
20 = 0, 2 = 20 % ; 100
2)
15 1 100 1 = = %= % ; 4500 300 300 3
al
1415. 1)
3)
1416. 1)
198
3)
6 10 10 5 500 2 1 = 6⋅ = = = % = 83 % = 83 % ; 7, 2 12 12 6 6 6 3
4)
10 = 1, 25 = 125 % ; 8
5)
3 = 0, 05 = 5 % ; 60
6)
100 = 0, 125 = 12, 5 % ; 800
7)
35 = 0, 5 = 50 % ; 70
8)
40 = 0, 8 = 80 % ; 50
9)
7, 2 = 0, 1 = 10 % ; 72
10)
30 = 0, 03 = 3 % . 1000
1417. 2,5 год — 160 км 4 год — х 160 ⋅ 4 = 256 (км). 2, 5
МАТЕМАТИКА
x=
1418. a = 4x ; b = 6x ; c = 7x ; d = 8x 4x + 6x + 7x + 8x = 2, 25 25x = 2, 25 2, 25 x= = 0, 09 (дм) 25 a = 4x = 4 ⋅ 0, 09 = 0, 36 (дм) = 3, 6 (cм) b = 6x = 6 ⋅ 0, 09 = 0, 54 (дм) = 5, 4 (cм) c = 7x = 7 ⋅ 0, 09 = 0, 63 (дм) = 6, 3 (cм)
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬x ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
.n
4 x 9 8 2 год − x 27 3 год − 5, 25 км
1419. 1 год − −
et
d = 8x = 8 ⋅ 0, 09 = 0, 72 (дм) = 7, 2 (cм) .
x−
4 8 x− x = 5, 25 ; 9 27
ld z
8 ⎞ ⎛4 x−⎜ x+ x = 5, 25 ; ⎝9 27 ⎟⎠ 15 − 8 x = 5, 25 ; 27
7 x = 5, 25 ; 27
7 5, 25 ⋅ 27 = = 20, 25 (км). 27 7
al
x = 5, 25 :
5\3 8 x− x = 5, 25 ; 9 27
1420. I ящ. − 30, 4 II ящ. − x + 1, 2 III ящ. − x
⎫ ⎪ ⎬ 86 (кг) ⎪ ⎭
30, 4 + x + 1, 2 + x = 86 2x = 86 − 31, 6 = 54, 4 x=
54, 4 = 27, 2 (кг) — в III ящику. 2
1421. a − 3x ⎫ ⎪ b − 5x ⎬ P c − 7x ⎪⎭ 7x − 3x = 16 4x = 16 16 x= =4 4
199
a = 3x = 3 ⋅ 4 = 12 (см); b = 5x = 5 ⋅ 4 = 20 (см);
МАТЕМАТИКА
c = 7x = 7 ⋅ 4 = 28 (см); P = a + b + c = 12 + 20 + 28 = 60 (см). 3 x 2 II н. − 3 ч = x
1422. I н. − 2 ч =
⎫ ⎪ частини від загального обсягу робіт I та II насосів ⎬ відповідно ⎪⎭
1, 5x + x = 1 — загальний обсяг 2, 5x = 1 1 x= = 0, 4 25
1423. 1 трактор − 12 год ⎫ ⎬ 8 год 2 трактор − x ⎭
et
3 ⋅ 0, 4 = 2 ⋅ 0, 6 = 1, 2 (год) — разом.
ld z
.n
8 2 = — частина від загального обсягу робіт 1-го трактора; 12 3 2 1 1− = — частина від загального обсягу робіт 2-го трактора 3 3 8 1 = x 3 x = 8 ⋅ 3 = 24 (год) — 2-й трактор. 250 = 50 км в 1 см 5 800 = 16 (см). 50
al
1424.
1425. a = 5 ⋅ b ; a − b = 4, 8 5b − b = 4, 8
4b = 4, 8 4, 8 b= = 1, 2 4 1426. m : n = 1 : 5 = 3 : 15 n : k = 3 : 4 = 15 : 20 m = 3x ; n = 15x ; k = 20x 3x + 15x + 20x = 760 38x = 760 760 x= = 20 38
200
m = 3 ⋅ 20 = 60 ; n = 15 ⋅ 20 = 300 ; k = 20 ⋅ 20 = 400 .
1427. a = 3x b = 5x 2x =
3 ; 4
x=
a = 3⋅
3 9 1 = = 1 = 1, 125 8 8 8
b = 5⋅
3 15 7 = = 1 = 1, 875 . 8 8 8
1 2 a= b; 2 3
a=
4 b; 3
4 7 b + b = 14 ; b = 14 ; 3 3 2 3 7 b = 14 : = 14 ⋅ = 6 ; 3 7 2 4 a= ⋅6 =8 . 3 1 ; 5
3 = 0, 3 ; 10
4) P ( A ) = 0 .
ld z
3) P ( A ) = 0, 1 ;
2) P ( A ) =
.n
1429. 1) P ( A ) =
3 3 1 3 :2 = ⋅ = ; 4 4 2 8
МАТЕМАТИКА
1428.
3 ; 4
et
5x − 3x =
4 1 = ; 24 6 8 1 = ; в) P ( A ) = 24 3
1430. а) P ( A ) =
б) P ( A ) =
12 1 = ; 24 2
г) P ( A ) = 0 .
al
1431. m = 40 + 0, 25 ⋅ 40 = 50 1−
40 40 = 1− = 1 − 0, 8 = 0, 2 = 20 % . m 50
1432. 0, 2a = 0, 3b ; a = 1, 5b a + b = 2 ; 1, 5b + b = 2 ; a = 1, 5 ⋅ 0, 8 = 1, 2 ;
2, 5b = 2 2 b= = 0, 8 . 2, 5
1 1433. а) Сума чисел дорівнює 28. Знайдіть ці числа, якщо першого 4 1 дорівнює другого. 3 б) Різниця двох чисел дорівнює 6,4. Знайдіть ці числа, якщо одне з них в 3 рази більше іншого. в) Сума двох чисел дорівнює 1,7. Знайдіть ці числа, якщо їхня різниця дорівнює 0,9. 201
1434. 160 ч — 960 грн. x ч — 1080 грн.
МАТЕМАТИКА
160 960 = x 1080 x=
160 ⋅ 1080 = 180 . 6 960
1435. 2x + 2x + 3x + 5x = 180 12x = 180 180 x= = 15 12 I банк = II банк = 2x = 2 ⋅15 = 30 (млн грн.); III банк = 3x = 3 ⋅15 = 45 (млн грн.);
et
IV банк = 5x = 5 ⋅15 = 75 (млн грн.). ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ 8 млрд грн. IV − ( 8 − 7 ) :2 = 0,5 5 млрд грн. ⎪⎪ ⎪⎭ V − 0, 5 млрд грн.
.n
1436. I − 3 млрд грн. II − 2 млрд грн. III − 2 млрд грн.
360°⋅ 3 8 360° = 135° — I = ; x= 8 3 x
8 − 360° ⎫ ⎬→ 2−x ⎭
360°⋅ 2 8 360° = 90° — II, III = ; x= 8 2 x
ld z
8 − 360° ⎫ ⎬→ 3−x ⎭
al
360° − (135 + 90°⋅ 2 ) 45 = = 22, 5° — IV, V 2 2
0,5 млрд грн. 0,5 млрд грн. IV V I III 3 млрд 2 млрд грн. грн. II 2 млрд грн.
1437. 26 млн чол. х
202
—
100 %
—
4,5 %
26 100 = x 4, 5 26 ⋅ 4, 5 x= = 1, 17 (млн чол.). 100
1438. 260 грн. — х —
2000 грн. 5000 грн.
МАТЕМАТИКА
260 2000 = x 5000 260 ⋅ 5000 x= = 650 (грн.). 2000 1438. a = x ⎫ ⎬P =2м b = x + 0, 2 ⎭
P = ( a + b ) ⋅ 2 = ( x + x + 0, 2 ) ⋅ 2 = 2
2x + 0, 2 = 1 2x = 1 − 0, 2 = 0, 8 0, 8 x= = 0, 4 (м) — a = 4 (дм); 2 b = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6 ( м ) = 6 ( дм ) ;
et
S = 6 ⋅ 4 = 24 (дм2).
a + b = 2x + 3x = 13
ld z
5x = 13 13 x= = 2, 6 5 a = 2 ⋅ 26 = 5, 2 (дм);
.n
1440. a = 2x ⎫ 26 = 13 ( дм ) ⎬ b = 3x ⎭ 2
b = 3 ⋅ 2, 6 = 7, 8 (дм);
S = a ⋅ b = 5, 2 ⋅ 7, 8 = 40, 56 (дм2). D
5с
PABC = AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12 см
3 см
al
1441. B
A
SABC =
м
4 см
SABDC 3 ⋅ 4 = = 6 (см2). 2 2
C
S = a ⋅ b = 4 ⋅ 2 = 8 (см2). 2 см
1442.
4 см SABC = AC ⋅ BK = 5 ⋅ 4 = 20 (см2).
B
1443.
A
K
C
203
1445. S = 2S1 + 2S2 + 2S3 = 2(S1 + S2 + S3 ) = = 2 ( a ⋅ b + a ⋅ h + b ⋅ h ) = 2 ( 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2, 5 + 2 ⋅ 2, 5 ) = 28 (м2); V = a ⋅ b ⋅ h = 2 ⋅ 2 ⋅ 2, 5 = 10 (м3). 1446.
а || b
a 3 cм
Окружність із r = 3 cм — не поміститься, з r = 1 cм — поміститься.
r = 1 cм
b
1447. B
C
et
r = 3 cм
МАТЕМАТИКА
1444. Sпов = 6 ⋅ a2 = 6 ⋅ 32 = 6 ⋅ 9 = 54 (дм2); V = a3 = 33 = 27 (дм3).
AB 6 = = 3 см 2 2 Sокр = πr 2
r=
SABCD = AB2 = ( 2r ) = 8
.n
2
6 cм
r = 3 cм
Sокр
ld z
SABCD
A 1448.
=
πr 2 π = 2r 4
D
B
Sокр = πr 2
al
SABCD = 2r 2
r = 3 cм
A
Sокр
C
SABCD
=
πr 2 π = 2r 2 2
O
D 1449. 1) −2, 7 + 2, 4 = 5, 1 ; 3) −3, 5 : 7 − 3, 2 = −2, 7 ;
2) −2, 4 + −2, 3 = −0, 1 ; 4) 4, 8 − 3, 2 : 0, 8 = 4, 8 − 4 = 0, 8 ;
1 1 5) − : − 1, 22 = 1 − 1, 14 = −0, 44 ; 2 2 2
6) 2, 5 : 0, 5 − 200 = 10 − 200 = −190 ; 1 4 1 1 5 5 3 : − 1, 25 + = ⋅ − 1 = − 1 = − ; 2 5 4 2 4 8 8 1 7 2 7 5 2 8) −2 : − − = ⋅ − = 1 . 3 5 3 3 7 3
7) −
204
1450. 1) 3, 7 − 1, 2 : 0, 4 = 3, 7 − 3 = 0, 7 ; 2) 2, 8 + 8, 1 : 2, 7 = 2, 8 + 3 = 5, 8 ;
6) 12, 1 : 0, 11 + 1 : ( −0, 2 ) = 110 + ( −5 ) = 105 ;
7) 0, 23 + 0, 32 = 0, 008 + 0, 09 = 0, 098 ;
( −0, 4 )2 − 1, 22 = 0,16 − 1, 44 = −1, 28 ; 9) ( 3 − 1, 4 ) : 0, 22 = 1, 6 : 0, 04 = 40 ; 2 10) ( 2 − 3, 5 ) : 0, 9 = 2, 25 : 0, 9 = 2, 5 . 8)
МАТЕМАТИКА
3) (7 − 8, 5 ) : 0, 5 = −3 ;
4) −4, 9 : ( 2, 3 − 1, 6 ) = −4, 9 : 0, 7 = −7 ; 5) 3 : 0, 2 + 8 ⋅ 2, 5 = 15 + 20 = 35 ;
et
3⎞ 1 2 5 2 1 ⎛ 1451. 1) ⎜ 2 − ⎟ ⋅ 0, 2 = 1 ⋅ = ⋅ = ; ⎝ 4⎠ 4 10 4 2 10 2 4 2⎞ 2 1 3 1 ⎛ 2) ⎜ 1 − ⎟ : = ⋅ = ; ⎝ 3⎠ 3 3 2 2 ⎛ 1 1 ⎞ 5 3−2 6 1 3) ⎜ − ⎟ : = ⋅ = ; ⎝ 2 3⎠ 6 5 5 6
.n
3⎞ 7 ⎛ 4) ⎜ 0, 6 − ⎟ : 12 = 0 ; ⎝ 5⎠ 8
1 1 ⎛ 1 ⎞ 5) ⎜ − + 1⎟ : ( 2 − 1, 5 ) = : = 1 ; ⎝ 2 ⎠ 2 2
2 ⎛ 1⎞ 11 5 5 2 : 0−2 ⎟ = − ⋅ = − = −1 . 3 ⎜⎝ 5⎠ 3 11 3 3
ld z
6) 3
2
1452. 1) −
1 ⎛ 3⎞ 2 ⎛ 2⎞ 2 4 2 7 + − − + − = −1 − + = −1 + = − ; 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 9 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 9 9 9 9 2
al
⎛ 1\4 1 ⎞ 13 1 ⎛ 1⎞ 3 3 − ⋅ 4 = −3 − 13 = −16 ; 2) ⎜ ⋅ ( −2 ) − 3 : ⎜ − ⎟ = − ⋅ 8 − 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2 8 ⎟⎠ 4 8 3) 6 − ( −0, 2 ) : 0, 4 + 0, 8 − 2, 4 : 6 = 6 + 0, 5 + 0, 8 − 0, 4 = 6, 9 ;
4) −2
3 3 2 2 2 − 6 : ( −1, 5 ) + ( 3, 2 − 0, 2 ⋅ 6 ) = −2 + 4 + 4 = 1 + 4 = 5 . 5 5 5 5
1453. 1) 2 ( a − 3 ) + 6 = 2a − 6 + 6 = 2a ;
2) −3 ( x − 5 ) + 6x = −3x + 15 + 6x = 3x + 15 ; 3) x − 3 ( 2 − x ) + 7 = x − 6 + 3x + 7 = 4x + 1 ;
4) − ( a − 5 ) + 2a − 4 = −a + 5 + 2a − 4 = a + 1 ; 5) ( 2c − 1) − ( 3c − 2 ) = 2c − 1 − 3c + 2 = 1 − c ;
6) − (1 − 2a ) + 3 (1 − a ) = −1 + 2a + 3 − 3a = 2 − a ;
7) x2 − x ( 8 + x ) = x2 − 8x − x2 = −8x ;
8) x2 − 2x + x ( 2 − x ) = x2 − 2x + 2x − x2 = 0 ;
9) −0, 5 ( 3 − 2x ) − x = −1, 5 − x − x = −1, 5 ; 2
1⎞ 1 1 1 ⎛ 10) 2a − a ⎜ 1 − ⎟ − 0, 25a = 2a − a − a = 2a − a = 1, 5a . ⎝ 2⎠ 4 4 2
205
1454. 1) 6 : ( −1, 5 ) − 4, 6 + 5 ( 2a − 3 ) = −4 − 4, 6 + 10a − 15 = 10a − 23, 6 ; 2)
( −1, 6c + 0, 4 ) − ( 0, 5 − 0, 8 ) c = −1, 6c + 0, 4 − 0, 5c + 0, 8c = −1, 3c + 0, 4 ;
МАТЕМАТИКА
3) ( 2x − 3y + 4 ) − ( 3x − 2y + 4 ) = 2x − 3y + 4 − 3x + 2y − 4 = −x − y ;
4) 1 − (1, 5x − 2 ) − 4 ( 0, 5x − 1, 1) = 1 − 1, 5x + 2 − 2x + 4, 4 = −3, 5x + 7, 4 . 2
1⎞ ⎛ 1455. 1) ⎜ 2 − ⎟ − 3a2 − a (1 − 3a ) − 1, 52 = ⎝ 2⎠ 2 2 1 = 3a − a + 3a − 2, 25 = − a − 2 ; 4 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1⎛2 1⎞ 2 2) − x+ y− = ; x− y+ − ⎜ x−y+ ⎟ = x− y+ 2 6 3 2 6 3 3 2 6 2⎝3 3⎠ 3 2
1⎞ 4 1 3 4 1 1 ⎛ ⎛ 1 1⎞ 3) ⎜ 1 − ⎟ ⋅ a − ⎜ − ⎟ + −a = ⋅ a− + −a =0 ⎝ ⎝ 2 4⎠ 4⎠ 3 16 4 3 16 16
.n
1456. 1) 2x − 3 = 2 ⋅ 3, 5 − 3 = 7 − 3 = 4 ;
et
1 ⎞ ⎛3 5 1 ⎞ ⎛ 3 5 4) ⎜ − + x+ y − + x+ y = ⎝ 7 17 27 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 17 27 ⎠⎟ 3 5 1 3 5 1 6 =− + x+ y− − x− y=− . 7 17 27 7 17 27 7
2) 15 − 7x = 15 − 7 ⋅ 4, 2 = 15 − 29, 4 = −14, 4 ;
3) 8, 5a + 0, 7 = 8, 5 ( −0, 4 ) + 0, 7 = −3, 4 + 0, 7 = −2, 7 ;
ld z
4) x − 5y + 2 = 3 − 5 ( −4 ) + 2 = 3 + 20 + 2 = 25 ;
al
5) 2ax − x = x ( 2a − 1) = 0, 5 ( 2 ⋅ 3 − 1) = 0, 5 ⋅ 5 = 2, 5 ; 1 2 1 6) x + xy − 1 = ⋅ 6 − 1 = 1 ; 3 3 3 2 4 ⎛ 2⎞ 7) a ( a − x ) + ax = a2 − ax + ax = a2 = ⎜ − ⎟ = . ⎝ 3⎠ 9
1457. 1) x + 27 = 39
x = 39 − 27 = 12 ;
2 =x 3 1 x = −4 ; 3
x = 2, 7 − 1, 5 = 1, 2 ; 1\5 =x 2 18 5 13 x= − = = 1, 3 ; 10 10 10
3) −5 +
4) 1, 8 −
5) 2x + 3 = 45
6) 3x + 4 = 1
2x = 45 − 3 = 42 42 x= = 21 ; 2 7) 5 + 4x = 65
206
2) 1, 5 + x = 2, 7
4x = 65 − 5 = 60 60 x= = 15 ; 4
3x = 1 − 4 = −3 3 x = − = −1 ; 3 8) 0, 2x + 1 = 3 0, 2x = 3 − 1 = 2 2 x= = 10 ; 0, 2
( x + 2) + 3 = 43
11)
10) 0, 5 + ( x + 1) = 3
x + 2 = 43 − 3
x = 3 − 1 − 0, 5
x = 40 − 2 = 38 ;
x = 1, 5 ; 2 = −1 3 2 2 5 5x = −1 − = −1 = − 3 3 3 5 5 1 1 x = − :5 = − ⋅ = − ; 3 3 5 3
1 3 +x= 2 4 3 1 1 x= − = ; 4 2 4
12) 5x +
13) 3 − x = 2, 5
МАТЕМАТИКА
9)
14) 1, 2 − x = −0, 8
x = 3 − 2, 5 = 0, 5 ;
x = 1, 2 + 0, 8 = 2 ; 16) 1 : 4 = 3 : ( x + 2 )
15) 2 : x = 7 : 10 7x = 2 ⋅10 20 6 x= =2 ; 7 7
x + 2 = 12
et
x = 12 − 2 = 10 ;
18) 7 − 2x = 3 ( x − 1)
17) 3x + 5 = x − 1 3x − x = −1 − 5 = −6
7 − 2x = 3x − 3
3x + 2x = 7 + 3
.n
2x = −6 6 x = − = −3 ; 2
ld z
5x = 10 10 x= =2; 5
19) −1, 5x = 4 − 3 ( x − 5 )
20) − ( 3x − 1) +
1 = 1, 5x 2
1 = 1, 5x 2 1, 5x + 3x = 1, 5
−1, 5x = 4 − 3x − 15
−3x + 1 +
3x − 1, 5x = 19
4, 5x = 1, 5 1, 5 1 x= = . 4, 5 3
al
1, 5x = 19 19 15 10 x= = 19 : = 19 ⋅ ; 1, 5 10 15 2 2 190 10 x= = 12 = 12 ; 3 15 15 3
1458. а) –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; x1 + x2 + ... + x8 + x9 =9 9 x1 + x2 + ... + x8 + x9 = 81
б)
5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13. 1459. 12. 1460. Так, тому що сума всіх цифр дорівнює 9. 1461.
8
7
–5
8
7
–5
8
7
–5
8
7
–5
8
207
1462. 4104.
МАТЕМАТИКА
1463. а) 1111 = 11 ⋅101
б) 1265 = 5 ⋅11 ⋅ 23
в) 1001 = 7 ⋅11 ⋅13
г) 1166 = 2 ⋅ 53 ⋅11
д) 2001 = 3 ⋅ 23 ⋅ 87
е) 840 420 210 105 35 7 1
2 2 2 3 5 7
1465. Син − 2x ⎫ ⎬ 2x + 20 Дочка − 3x ⎭ 2x + x = 2x + 20 x = 20 (років) — дочці;
et
1464. 95.
2x = 2 ⋅ 20 = 40 (років) — синові;
ld z
1466. I р. − 2x ⎫ ⎬ 6 грн. II р. − x ⎭
.n
2x + 20 = 40 + 20 = 60 (років) — батькові.
2x + x = 6
al
3x = 6 6 x = = 2 (грн.) — II рибалка; 2 2x = 2 ⋅ 2 = 4 (грн.) — I рибалка. 1467. Качки — x Зайці — 10 – x
2x + 4 ⋅ (10 − x) = 28 2x + 40 − 4x = 28 2x = 12 x = 6 — качок; 10 − 6 = 4 — зайця.
1468. Сокіл — 2x Чайка — 1,5x Стриж — x
75
2x − 1, 5x = 75
208
0, 5x = 75 75 x= = 150 (км/год) — стриж; 0, 5 2x = 2 ⋅150 = 300 (км/год) — сокіл.
1469. S = 1 км 1 год 6 S 1 V = = 1 : = 6 (км/год). t 6
1470. V ⋅ t1 = ( V + 0, 6 ) ⋅ t2 = S t1 = 35 хв =
35 7 = (год); 60 12
t2 =
30 6 = (год) 60 12
1471. V =
.n
et
7 6 V= ( V + 0, 6 ) 12 12 7 6 6 6 V= V+ ⋅ 12 12 12 10 7 6 36 V− V= 12 12 12 ⋅10 1 36 V= 12 12 ⋅10 36 36 12 = V= = 3, 6 (км/год) 10 12 ⋅10 3 36 7 21 S = Vt1 = ⋅ = = 2, 1 (км). 12 12 10
МАТЕМАТИКА
t = 10 хв =
S 150 = = 10 (м/с). t 15
ld z
1472. Хлопчик — x Дівчинка — y x + 2 = 2 ⋅ (x − 2)
y + 3 = 3 ⋅ (y − 3)
2x − x = 2 + 4
3y − x = 3 + 9
2y = 12 12 y= = 6 (років) — дівчинці. 2 x = y — хлопчик і дівчинка одного віку.
al
x = 6 (років) — хлопчику
1473. Нехай вага каністри — x, тоді вага води — 23 – x, а вага половини води — 12,5 – x. 2 ⋅ (12, 5 − x) = 23 − x 25 − 2x = 23 − x 25 − 23 = 2x − x x = 2 (кг) — вага каністри. ⎫ ⎪ ⎬ 200 кг ⎪ Діти — 3z ⎭ Оскільки вага, яку несуть чоловіки і жінки при будь-якій їх кількості завжди буде кратною 5, то вага, яку несуть діти, теж повинна бути кратною 5, отже кількість дітей повинна бути кратною 5, тобто 5, 10 або 15.
1474. Чоловіки — 20x Жінки — 5y
209
Розв’яжемо задачу методом підстановки: 1) z = 5;
МАТЕМАТИКА
⎧ x + y + 5 = 20 ⎨ ⎩20x + 5y + 3 ⋅ 5 = 200 ⎪⎧ x = 15 − y ⎨ ⎩⎪20 (15 − y ) + 5y = 200 − 15 = 185 300 − 20y + 5y = 185 15y = 300 − 185 = 115 y=
115 = 7, ( 6 ) — не підходить. 15
2) z = 10;
⎪⎧ x = 10 − y ⎨ ⎪⎩20 (10 − y ) + 5y + 30 = 200 200 − 20y + 5y = 170
y=
.n
15y = 200 − 170 = 30
et
⎧ x + y + 10 = 20 ⎨ ⎩20x + 5y + 3 ⋅10 = 200
30 = 2 — підходить, отже серед туристів було 10 дітей. 15 ⎫ ⎬ 924 ⎭
ld z
1475. I ч − abo II ч − ab
a40 ab0 + a 4 → a = 8 → abo = 840; ab = 84 . ab → b= 4 924 924
al
+
1
1476.
5
6
9 2 1477.
210
7 4
8
3
1479.
⎪⎫ ⎬ x +1 ⎭⎪
( 85 + 45) − 100 = 160 − 100 = 30% .
1480. Розділити монети на 3 частини, по 3 шт. у кожній. Перше зважування: на кожну шальку покласти по одній частині, якщо ваги врівноважилися, значить фальшива монета в частині, що залишилася. Якщо ні — фальшива монета в більш легкій частині. Друге зважування: зі знайденої частини взяти будь-які 2 монети й покласти на різні шальки: більш легка монета — фальшива, якщо монети важать однаково, значить монета, що залишилася,— фальшива.
МАТЕМАТИКА
⎧ Гриби − 1% = 1 кг; 2% = 1 кг 1478. 100 кг ⎨ ⎩ Вода − 99% = 99 кг; 98% = x 98 2 1 = 49 (кг) = ; x= 2 98 x x + 1 = 49 + 1 = 50 (кг).
et
1481. Так, тому що Віра ≥ Борис, Ганна > Андрій.
4x = 3 ( x + 8 ) 4x = 3x + 24 x = 24 (кг) — короп;
.n
1482. Кoрoп − x Сазан − x + 8
ld z
x + 8 = 24 + 8 = 32 (кг) — сазан. 1483. Стільці — a; b; c Гості — 1; 2; 3
al
a1b2c3; a1b3c2; a2b1c3; a2b3c1; a3b1c2; a3b2c1 — 6 способів. 1484. 123, 132, 213, 231, 312, 321 — 6 способів;
1⋅ 2 ⋅ 3 = 6 .
1485. Аналогічно попереднім задачам — 24 способи; 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 . 1486. Кожна по 4 листи: 4 ⋅ 5 = 20 (листів). 1487. 10 відрізків. 1488. 6 намистин — 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 360 ; 7 намистин — 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 2520 . 1489. а) 5 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 ; б) 6 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720 ; в) 7! : 6! = 7; г)
( 8 !− 7 ! ) : 7 ! =
8! 7! − = 8 −1 = 7 . 7! 7!
1490. Кожна команда по 32 матчі = 16 ⋅ 2 → (17 ⋅ 32 ) : 2 = 272 .
211
МАТЕМАТИКА
1491. а)
б) а
б
а
б
в)
г) г в г
et
в
.n
1492. 4 яблука.
1493. Квадратом;
і т. д.
ld z
,
1494. За годинниковою стрілкою. 1495. 98 + 7 − 6 + 5 − 4 − 3 + 2 + 1 = 100
al
9 + 8 + 76 + 5 − 4 − 3 + 2 + 1 = 100 Існують й інші варіанти.
1496. 13 квадратів S1 = 1 см2 ; 6 квадратів S2 = 4 см2 ; 1 квадрат S3 = 9 см2 ;
Усього: 13 + 6 + 1 = 20 (квадратів); S = 13S1 + 6S2 + S3 = 13 + 6 ⋅ 4 + 9 = 13 + 24 + 9 = 46 (см2). 1497. 31 грудня. 1498. Присмажити 2 рибини з одного боку, потім одну рибину забрати, на її місце покласти третю рибину, а другу перевернути на інший бік. Наприкінці третю перевернути на іншу сторону. Другу забрати, на її місце покласти першу рибу іншим боком. πr 2 = 2π см2 2 l = 2πr = 2 ⋅ 2 ⋅ π = 4π ( см ) .
1499. Sф =
212
(
)
1500. 150 : (9 – 7) = 150 : 2 = 75 (разів).
(
B а
S = AB2 = 5 ⋅ 5 = 25 см2
)
б
A
C а
б
МАТЕМАТИКА
1502.
D
et
1503. а) 172 = 289 ; б) 182 = 324 ;
.n
в) 222 = 484 . 1504. 2 − 0, 5 = 1 год 30 хв − 3 хв 5 − 3 = 2 ( хв )
ld z
2 хв = 4 год 0, 5 хв / год
1 год 30 хв + 4 год = 5 год 30 хв. 1505. Мило — x 3 3 x+ 4 4
x−
3 3 x= 4 4
al x=
1 3 x= 4 4 3 1 3 x= : = ⋅ 4 = 3 (кг). 4 4 4 5 ⎫ x 8 ⎪⎪ 5 x ⎬ x Корова — 16
1506. Кінь —
⎪
Вівця — 5 крб. ⎪⎭ x−
5\2 5 x− x =5 8 16
213
МАТЕМАТИКА
16 − 10 − 5 x =5 16 1 x =5 16 x = 5:
1 = 5 ⋅16 = 80 (крб.). 16
1507. Чоловіки — x ⎫ ⎬ 23 y⎭ Жінки — ⎧ x + y = 23 ⎨ ⎩ 0, 05x + 0, 04y = 1
1, 15 − 0, 05y + 0, 04y = 1 0, 01y = 1, 15 − 1 = 0, 15
0, 15 = 15 (чол.) — жінки; 0, 01
.n
y=
et
⎧⎪ x = 23 − y ⎨ ⎩⎪ 0, 05 ( 23 − y ) + 0, 04y = 1
ld z
x = 23 − y = 23 − 15 = 8 (чол.) — чоловіки.
— x ⎫ ⎪ 1 ⎬ 24 Закінчення — x ⎪ 5 ⎭
1508. Початок
x+
1 x = 24 5
al
1
1 x = 24 5
6 x = 24 5 4 5 6 x = 24 : = 24 ⋅ = 20 (годин). 5 6 Зараз 20.00.
1509. Олена — 24 роки Марія — x
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
x (років) 24 : 2 = 12
24 x = x 12 x2 − 24 ⋅12 = 288
214
x = 288 = 16, 97 ≈ 17 (років) — Марії зараз.
x + x + 3x = 35 5x = 35 x = 7 (рибин). Син Петра — Микола спіймав 7 рибин. 1511. НСК (3, 4, 5) = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 . Зустрінуться через 60 днів у середу.
МАТЕМАТИКА
1510. Микола — x ⎫ ⎪ Василь — x ⎬ 35 (рибин) Петро — 3x ⎪⎭
1512. 3, 4, 5 (У відповідях підручника помилка). 1513.
Четвер.
et
1514. Стрибок собаки — x (відстань); 5 (кількість) Стрибок зайця — y (відстань); 6 (кількість) 5x = 6y
40x = 48y — відстань між собакою та зайцем;
.n
5x − 5y = y — відстань, на яку собака наближається до зайця за 5 стрибків. 48y = 48 ⋅ 5 ( x − y ) = 240 ( x − y ) — собака наздогнав зайця за 240 стрибків.
ld z
1515. Максим — z Олег — 3 Євгеній — y Тарас — x
al
3+ x = y+ z z > y z + x < 3 + y z − x = 3 − y → x = 0; y = 1; z = 2 .
Євгеній — 1 карась; Максим — 2 карася; Тарас — нічого.
1516. 1. 2. 3. 4. 1517.
Налити олію в 4-літрову банку. З 4-літрової банки налити в 3-літрову. З 3-літрової вилити назад у 6-літрову. У 3-літрову налити літр, що залишився, з 4-літрової.
105263157894736842.
215