Al3

№ 945

1) f (x ) = 3 x − x x , x > 0; 3 3 1. f ' (x ) = − ⋅ x, 2 x 2  3  1 − x  = 0  2 x 

f′(x) = 0;

1− x x

=0, x=1

–

+ 0

1

x = 1 – точка max, f(1) = 3 – 1 = 2;

2. f (x ) = 3 x − 2 x x , x > 0, f ' (x ) = 3 − 3 x ,

(

)

f′(x) = 0; 3 1 − x = 0 , x = 1 , x = 1, x = 1, точка max.

3. 1 ∈ (0; +∞), f(1) = 3 – 2 = 1.

+

–

1

№ 946

1) f(x) = e3x – 3x на (-1; 1), f′(x) = 3e3x – 3, f′(x) = 0, 3(e3x – 1) = 0, e3x = 1 – e0, x = 0, x = 0 – точка min, 0 ∈ (-1; 1), f(0) = e3⋅0 – 3 ⋅ 3 = 1; –

+

0

1 1 x −1 1 + , f′(x) = 0, =0, 2) f (x ) = + ln x на (0; 2), f ' (x ) = − 2 x x x2 x 1 x = 1, х = 1 – точка min, 1 ∈ (0;2), f (1) = + ln 1 = 1 .

1 +

– 1

№ 947

1) f (x ) = x 4 5 − x на (0; 5), x ⋅ (−1) 4(5 − x ) − x 20 − 5 x f ' (x ) = 4 5 − x + = = , 3 3 4 4 4 4 (5 − x ) 4 (5 − x ) 4 (5 − x )3

f′(x) = 0,

20 − 5 x 4 (5 − x )3 4

f (4 ) = 4 ⋅ 4 5 − 4 = 4 ;

74

= 0 , x = 4, x = 4 – точка max, 4 ∈ (0; 5),

–

+ 4

2) f (x ) = x 4 − x , (0; 4), f ' (x ) = 3 4 − x +

x ⋅ (−1)

3

12 − 4 x

f′(x) = 0,

3 (4 − x )2 3

f (3) = 3 ⋅ 3 4 − 3 = 3 ;

+

=

12 − 4 x 3 (4 − x )2 3

,

–

3

x

2 − 3x 3 x (1 − x ) 4

3

2

= 0 , x = 3, х = 3 – точка max, 3 ∈ (0; 4),

3) f (x ) = 3 x 2 (1 − x ) , (0; 1), 1(2 x(1 − x ) + x 2 ⋅ (− 1)) 2 x − 3x 2 f ' (x ) = = 33 x 4 (1 − x )2 33 x 4 (1 − x )2 f′(x) = 0,

3 (4 − x ) 3

2

=0,

x=

2 , 3

x=

=

2 − 3x 3 x 4 (1 − x )2 3

2 2 – точка max, ∈ (0;1) , 3 3

4 1 34 2 f =3 ⋅ = ; 9 3 3 3 + – 3

x

4) f (x ) = x 2 − 4 x + 5 , (-1; 5),

f ' (x ) =

3

1 ⋅ (2 x − 4 )

(

3 x 2 − 4x + 5 f′ (x) = 0; 3

(

2x − 4 2

3 x − 4x + 5 f (2) = 4 − 8 + 5 = 1 .

)

2

=0,

)

2

,

x = 2, x = 2 – точка min., 2 ∈ (-1; 5),

3

–

2

+ x

№ 948 Пусть мы вырежем квадраты со стороной х, тогда высота и есть х. Запишем в таком случае объем f(x) = V = (a – 2x)(a – 2x) ⋅ x = (a – 2x)2 ⋅ x = a2x – 4a2x + 4x3 f′(x) = a2 – 8ax + 12x2; f′(x) = 0: 12x2 – 8ax + a2 = 0, D = 16a2 – 12a2 = 4a2, 75

4a + 2a a 4a − 2 a a = , x2 = = , 12 2 12 6 a a f   = (a − a )(a − a ) ⋅ = 0 , 2 2

x1 =

a  a a 4 a 2a 3 a  f   =  a −  a −  ⋅ = a 2 ⋅ = , 3  3 6 9 6 27 6   a  2a 3 max f (x ) = f   = .  6  27 Ответ: высота коробки должна быть

a .

6

№ 949 B

К

Р A

Q

D

C

Пусть BK = х, тогда высота треугольника BD=a + x. Найдем основание АС. Треугольники АВС и PQB – поAC x + a x+a = , добны с коэффициентом , значит PQ x x AC =

(x + a ) ⋅ PQ = (x + a ) ⋅ a . x

x

Площадь:

(x + a )2 ⋅ a , 1 1 (x + a )a ⋅ (a + x ) = AC ⋅ BD = 2 2 x 2x f ' (x ) =

f′(x) = 0; f (a ) =

a2  2  a2  2  ⋅  x + 2a + ' = 1 − 2  , a  x  a  x  2  x 2 − a 2 a  x 2

  = 0 , x = ±a, x > 0, x = a,  

(a + a )2 ⋅ a = 2a 2 .

2a Ответ: наименьшая площадь при ВК = a.

№ 950

у = 3 – х2 – график этой функции симметричен относительно оу, значит, вершины прямоугольника будут иметь координаты В = (-х, у); А = (-х, 0); С = (х, у); D = (x, 0). Основание прямоугольника равно 2х (х>0) и высота у, значит, площадь: f(x) = S = 2x ⋅ y = 2x ⋅ (3 – x2), x ∈ (0; 3), f′(x) = 2(3 – x2) + 2x ⋅ (-2x) = 6 – 2x2 – 4x2 = 6(1 – x2), f′(x) = 0; 6(1 – x2) = 0, x = ±1, 1 ∈ (0; 3) -1 ∉ (0; 3), f(1) = 2 ⋅ 1(3 – 12) = 2 ⋅ 2 = 4. Ответ: наибольшая площадь прямоугольника равноа 4.

76

№ 951

Пусть это точка В с координатами (х, х2).

(x − x A )2 + ( y − y B )2

Тогда расстояние до точки А: ρ = f (x ) =

=

(x − 2)2 +  x 2 − 1  2



x 4 − 4x +

17 , 4

+ 1

(

2 x 4 − 4x +

2 x 4 − 4x +

–

= x 2 − 4x + 4 + x 4 − x 2 +

1⋅ 4 x 3 − 4

f ' (x ) =

4x 3 − 4

f'(x) = 0;

2

17 4

= ρ или

) 17 4

1 = 4

,

=0,

x

x3 = 1, x = 1, х = 1 – точка минимума, у = 12 = 1. Ответ: (1; 1) — ближайшая к точке А.

№ 952 Пусть а — ширина доски, ϕ – угол, 0 ≤ ϕ <

π .

2

Тогда площадь поперечного сечения желоба:

1  S (ϕ) = 2 ⋅ a (a cos ϕ)sin ϕ  + a (a ⋅ cos ϕ) , 2  1  S (ϕ) = a 2  sin 2ϕ + cos ϕ  . 2  Найдем максимум этой функции:

1  ⋅ 2 ⋅ sin 2ϕ − cos ϕ  , 2 

S′(x) = a 2 

S′ = 0 ⇒ cos2ϕ – sinϕ = 0 ⇒ 1 – 2sin2ϕ – sinϕ = 0. Обозначим sinϕ = t;

− 1 ± 1 − 4 ⋅ 2(− 1) 1 ; t1 = –1; t2 = .

2 2⋅2 3 при t = –1: sinϕ = –1 ⇒ ϕ = π — посторонний корень.

2 2t2 + t – 1 = 0; t1,2 =

77

π 1 1 : sinϕ = ⇒ϕ= , и угол наклона боковых досок к осно2 2 6 π π 2 ванию : + = π .

2 6 3 2 Ответ: π .

3 при t =

§ 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба № 953

1) f′′(x) = (x2cosx)′′ = (2x cosx – x2sinx)′ = (2x cosx)′ – (x2sinx)′ = = 2cos x – 2x sin x – 2xsinx – x2cosx = cosx(2 – x2) – 4x sin x; 2) f′′(x) = (x3sinx)′′ = (3x2sinx + x3cosx)′ = 3(x2sinx)′ + (x3cosx)′ = = 6x sin x + 3x2cosx + 3x2cosx – x3sinx = sinx(6x – x3) + 6x2cosx; 3) f ' ' ( x ) = ( x5 + 2 x3 − x 2 + 2)' ' = (5 x 4 + 6 x 2 − 2 x )' = 20 x3 + 12 x − 2 ; 4) f ' ' ( x ) = ( x 4 − 3 x3 + 5 x + 6)' ' = (4 x3 − 9 x 2 + 5)' = 12 x 2 − 18 x .

№ 954

1) f′′(x) = ((x + 1)4)′′ = (4(x + 1)3)′ = 12(x + 1)2, f′′(x) > 0 при всех х ≠ -1, значит, функция при всех х ≠ -1 выпукла вниз 2) f′′(x) = (x4 – 6x2 + 4)′′ = (4x3 – 12x)′ = 12x2 – 12, f′′ > 0, 12(x2 – 1) > 0, (х – 1)(х + 2) > 0, – + +

-1 1 x при x < -1 и x > 1, на этих промежутках функция выпукла вниз. f′′ (x) < 0 при –1 < x < 1, на этом промежутке выпукла вверх; 3) f′′(x) = ((x2 – 3x + 2)ex)′′ = ((2x – 3)ex + (x2 – 3x + 2)ex)′ = = (ex(x2 – x – 1))′ = ex(x2 – x – 1) + ex(2x – 1) = ex(x2 + x – 2) f′′(x) > 0, x2 + x – 2 > 0,

–

+

-2

+

1

x −1 + 3 −1 − 3 D = 1 + 8 = 9, x1 = = 1 , x2 = = −2 , 2 2 при x < -2 x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при -2 < x < 1 – функция выпукла вверх; 6  4) f′′ (x) = (x3 – 6x ln x)′′ = (3x2 – 6ln x – 6)′ =  6 x −  , x > 0, x 

(

)

6(x − 1)(x + 1) x 2 −1 1  f′′(x) > 0, 6 x −  > 0 , 6 >0, >0, x x x   78

при x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при 0 < x < 1 – функция выпукла вверх.

№ 955

1) f′′(x) = (cos x)′′ = (-sin x)′ = -cos x, f′′(x) = 0, -π < x < π, π π π -cos x = 0, cos x = 0, x = + πn, n ∈ Z , x = − ; ; 2 2 2 2) f′′(x) = (x5 – 80x2)′′ = (5x4 – 160x)′ = 20x3 – 160, f′′(x) = 0, 20(x3 – 8) = 0, x = 2.

–

+

2

x

При переходе через х = 2 f′′(x) меняет знак, значит, х = 2 – точка перегиба; 3) f′′(x) = (12x3 – 24x2 + 12x)′′ = (36x2 – 48x + 12)′ = 72x – 48 f′′(x) = 0, 24(3x – 2) = 0, x = –

+

2 , 3

x

2 3

2 знак f′′(x) меняется, значит, это точка перегиба 3 1   4) f ' ' ( x ) =  sin x − sin 2 x ' ' = (cos x − cos 2 x )' = 2   = − sin x + 2 sin 2 x = 2 sin 2 x − sin x , -π < x < π, f′′(x) = 0, при переходе через x =

sin x(4cos x – 1) = 0, sin x = 0 x = πn, n ∈ Z, πn ∉ (-π; π),

1 1 , x = ± arccos + 2πn , 4 4 1 x = ± arccos — являются точками перегиба.

4

cos x =

Упражнения к главе IX. № 956

1) y′ = (2x3 + 3x2 – 2)′ = 6x2 + 6x, y′ > 0, 6x(x + 1) > 0,

+

–

-1

+ 0

x

при x < -1, x > 0 – возрастает; y' < 0 при -1 < x < 0 – убывает;

2 3  x − x 2 − 4 x + 5 ' = 2 x 2 − 2 x − 4 , 3 

2) y ' = 

y′ > 0, 2x2 – 2x – 4 > 0, x2 – x – 2 > 0, D = 1 + 8 = 9, 79

x1 =

1+ 3 1− 3 = 2 , x2 = = −1 , 2 2 – + + -1

x

2

при x < -1 x > 2 функция возрастает; y′ < 0 x2 – x – 2 < 0, при –1 < x < 2 – убывает;

3 3  − 1' = − 2 ; х ≠ 0 x x  

3) y ' = 

y′ < 0 при всех х, но х ≠ 0 ⇒ значит, функция убывает при x < 0 и x > 0;

−2  2  ; ' = 2 x − 3 ( x − 3)  

4) y ' = 

x ≠ 3,

y′ < 0 при x < 3 и x > 3 и убывает на этих промежутках.

№ 957

1) y′ = (x4 – 4x3 – 8x2 + 1)′ = 4x3 – 12x2 – 16x, y′ = 0, 4x(x2 – 3x – 4) = 0;

x = 0 3+5 3−5 = 4 , x2 = = −1 ,  x 2 − 3 x − 4 = 0 , D = 9 + 16 = 25, x1 = 2 2  x1 = 4, x2 = -1, x3 = 0; 2) y′(4x4 – 2x2 + 3)′ = 16x3 – 4x, y′ = 0, 4x(4x2 – 1) = 0,

x = 0 1 4 x 2 − 1 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = , 2   x 12  1 12 + ' = − ;  3 x  3 x2

3) y ' = 

x3 = −

1 .

2

x ≠ 0, y′ = 0,

x 2 − 36 3x 2

=0,

x2 – 36 = 0, x = ±6; 4) y′ = (cos2x + 2cos x)′ = -2sin2x – 2sin x, y′ = 0, -2sin x (2cos x + 1) = 0,

 x = πn, n ∈ Z sin x = 0  . ± 2π 1 ⇒  + 2πn, n ∈ Z x = cos x = − 3 2  

№ 958 1) y′ = (x3 – 4x2)′ = 3x2 – 8x, y′ = 0, x(3x – 8) = 0, x1 = 0; x2 = –

+ 0

+

8 3

x = 0 – точка max., x =

8 , 3

x

8 - точка min.; 3

2) y′ = (3x4 – 4x3) = 12x3 – 12x2, y′ = 0, 12x2(x – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, 80

x = 0 – стационарная точка, х = 1 – точка min.

+

–

– 0

x

1

№ 959 

1) y ' =  x 5 −



5 2  x + 3 ' = 5 x 4 − 5 x , y′ = 0, 5x(x3 – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, 2 

x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 + 3 = 3, x = 1 – точка min.,

f (1) = 1 −

+

5 3 +3= ; 2 2 –

+

x 1 1  2) y ' =  x 5 − 4 x 2 − 3 ' = x 4 − 8 x , y′ = 0, x(x3 – 8) = 0, x1 = 0, x2 = 2, 5   0

x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 – 3 = -3, x = 2 – точка min.,

32 63 − 16 − 3 = − .

5 5 + – +

f (2 ) =

0

x

2

№ 960 1) y =

x3 + 3x 2 .

3

Область определения – R, y′ = x2 + 6x, y′ = 0, x(x + 6) = 0, x1 = 0; x2 = -6 – стационарные точки x

x<-6

-6

-6<x<0

0

x>0

y′

+

0

-

0

+

y

0 max

min

81

2) y = −

x4 + x2 .

4

Область определения – R, x(2 – x2) = 0, x1 = 0; x2 = ± 2

y′ = -x3 + 2x, y′ = 0,

x

(− ∞;− 2 ) +

y′

− 2 0

y

(−

2 ;0

)

-

0

(0; 2 )

0

+

x> 2

2 0

-

1

0

1

max

min

max

№ 961

1) у = 3х2 – 6х + 5 на [0; 3]. Область определения [0; 3], y′ = 6x – 6, y′ = 0, 6(x – 1) = 0, x = 1

+

–

x

1 x

0

y′ y 82

5

(0; 1)

1

(1; 3)

-

0

+

2

3

14

2) y =

1 4 2 3 3 2 x − x − x + 2 на [-2; 4].

4 3 2

Область определния [-2; 4], y′ = x3 – 2x2 – 3x, y′ = 0, x(x2 – 2x – 3) = 0,

x = 0  x2 − 2 x − 3 = 0 ,  D = 1 + 3 = 4, x1 = 3; x2 = -1; x3 = 0. x -2 (-2;-1) -1 0 y′ y 16 17

3

(-1;0) +

0 0 2

12 min

max

(0;3) -

3 0

−

(3;4) +

37 4

4

−

2 3

min

№ 962

1) f(x) = x3 – 6x2 + 9 на [-2; 2], f(-2) = -8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -23, f(2) = 8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -7, f′(x) = 3x2 – 12x, f′(x) = 0, 3x(x – 4) = 0 x1 = 0; x2 = 4, 0 ∈ [-2; 2]; 4 ∉ [-2; 2], f(0) = 9, max f (x ) = f (0 ) = 9 , min f (x ) = f (−2 ) = −23 ;

[− 2;2]

[− 2;2]

3

2

2) f(x) = x + 6x + 9x [-4; 0], f(-4) = -64 + 6 ⋅ 16 + 9 ⋅ (-4) = -4, f(0) = 0, f′(x) = 3x2 + 12x + 9 f′(x) = 0, 3(x2 + 4x + 3) = 0, D/4 = 4 – 3 = 1, x1 = -3; x2 = -1, -3 ∈ [-4; 0]; -1 ∈ [-4; 0], f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4, f(-3) = -27 + 6 ⋅ 9 – 9 ⋅ 3 = 0, min f (x ) = f (− 4 ) = f (− 1) = −4 , max f (x ) = f (− 3) = f (0 ) = 0 ;

[− 4;0]

[− 4;0]

3) f(x) = x4 – 2x2 + 3 [-4; 3], f(-4) = 256 – 2 ⋅ 16 + 3 = 227, f(3) = 81 – 9 + 3 = 75, f′(x) = 4x3 – 4x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 1) = 0, 83

x1 = 0; x2,3 = ±1, -1 ∈ [-4; 3]; 1 ∈ [-4; 3]; 0 ∈ [-4; 3], f(-1) = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2, f(0) = 0 + 0 + 3 = 3, min f (x ) = f (−1) = f (1) = 2 , max f (x ) = f (− 4 ) = 227 ;

[− 4;3]

[− 4;3]

4

2

4) f(x) = x – 8x + 5 [-3; 2], f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11, f′(x) = 4x3 – 16x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 4) = 0, x1 = 0; x2,3 = ±2, 0 ∈ [-3; 2]; 2 ∈ [-3; 2]; -2 ∈ [-3; 2], f(0) = 0 + 0 + 5 = 5, f(-2) = f(2) = -11, min f (x ) = f (−2 ) = f (2 ) = −11 , max f (x ) = f (− 3) = 14 .

[−3;2]

[−3;2]

№ 963 Пусть сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона равна p   − x . 2  2

p  Тогда диагональ вычислим как: l = f (x ) = x 2 +  − x  .  2 Исследуем эту функцию на min ′ ′     p2 p2     2 2 2 − px  = f ′( x) =  x + − px + x  =  2 x + 4 4         1 ⋅ (4 x − p)

4x − p

= 0 , 4х – p = 0, p2 p 2 − px 2 2x + − px 2 2x + 4 4 p p p p p x= , вторая сторона − x = − = – значит, это квадрат со сто2 2 4 4 4 роной р/4, ч.т.д. =

2

, f ′(х) = 0,

2

№ 964

Пусть х – одна из равных сторон, значит другая тоже х и основание (р–2х), тогда высота равна: 2

p2 p  h = x2 −  − x  = x2 − + px − x 2 = 4 2  тогда площадь вычислим как:

− p 2 + 4 px , 2

− p 2 + 4 px ( p − 2 x) − p 2 + 4 px 1 = , S ( x) ⋅ ⋅ ( p − 2 x) ⋅ 2 2 4   1 ( p − 2 x) ⋅ 4 p  S ′( x) =  − 2 − p 2 + 4 px + = 4 2 4 px − p 2   84

=

1 8 4 px − p 2

S ′(х) = 0,

(+ 4 p

2

)

− 16 px + 4 p 2 − 8 xp =

4 p ( p − 3 x) 2 4 px − p

2

=0, х=

4 p 2 − 12 xp 4 4 px − p 2

,

p p , х= – точка max., 3 3

2p p = .

3 3 Это равносторонний треугольник.

основание p − 2 x = p −

№ 965

Пусть сторона квадрата равна х и высота h, тогда площадь поверхности

равна: р = 2 (х2 + хh + хh) = 600, х2 + 2хh = 300, h =

300 − x 2 .

2x

Найдем объем: V = f (x) = x ⋅ x ⋅ h = x2 ⋅

x3 300 − x 2 . = 150х – 2x 2

Найдем максимум функции V = f(x): f ′(х) = 150 –

3 2 x , 2

3 2 x = 150, x2 = 100, x = ±10, но x > 0 (по условию), 2 300 − 100 h= = 10 , значит это куб.

20

f ′(х) = 0,

№ 966

′ 7 9  y′ =  x5 − x3 + 7 x + 12,5  = 9 x 4 − 7 x 2 + 7 , 3 5  у′ = 0, 9х4 – 7х2 + 7 = 0; D = 49 – 252 < 0, значит 9х4 – 7х2 + 7 > 0 и у′ > 0 при всех х ∈ R, следовательно функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.

№ 967 у′ = (х + 2х x )′ = 1 + 3 x , 1 + 3 x > 0, т.к. x > 0, следовательно у′ > 0 при любых х ∈ R, и значит, функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.

№ 968

1) у′ = (х lnx) = lnx + 1, у′ = 0, lnx + 1 = 0, lnx = –1, lnx = lnе–1, 1 х = – точка min; e 2) у′ = (хех)′ = ех + хех = ех (1 + х), у′ = 0, ех (1 + х) = 0, х = –1, х = –1 – точка min.

85

–

+ x

–1

′ ′ ′ 9   75 − 25 x − 63 + 9 x   12 − 16 x   25  =  − 3) y′ =    =   =  7 − x 3 − x   (7 − x)(3 − x)   x 2 − 10 x + 21 

= =

− 16( x 2 − 10 x + 21) − (12 − 16 x)(2 x − 10)

(x

2

)

− 10 x + 21

2

=

16 x 2 + 160 x − 336 − 24 x + 120 + 32 x 2 − 160 x

(x

2

)

− 10 x + 21

(2 x 2 − 3 x − 27)

у′ = 0,

x 2 − 10 x + 21

2

16 x 2 − 24 x − 216

=

(x

2

)

− 10 x + 21

2

,

х2 – 10х + 21 ≠ 0 ⇒ (х – 3) (х –

= 0;

7) = 0 ⇒ х ≠ 3, х ≠ 7, 2х2 – 3х – 27 = 0, D = 9 + 216 = 225,

x1 =

3 − 15 3 + 15 9 = , x2 = = −3 , 4 4 2

x = −3 точка max., x =

+

+

– –3

9 точка min.

2

x

9 2

№ 969 рис 148 а) 1) возрастает х ∈ (х3, х5) U (х7, х8); убывает х ∈ (х1, х3) U (х5, х7); 2) хmax = х1, х5; хmin = х3, х7; 3) х2, х4, х6, х8; рис 148 б) 1) возрастает х ∈ (–10, –8) U (–4, –2) U (0, 4) U (6, 7); убывает х ∈ (–8, –4) U (–2, 0) U (4, 6); 2) хmax = –8; –2; 4; хmin = –4; 0; 6; 3) –10; –6; –3; –1; 2; 5; 7.

№ 970 1) y =

2 2

x −4

а) Область определения х ≠ ± 2 ′ 2x  2  , у′ = 0, б) у′ =  2  = − 2 ( x − 4) 2  x −4 x y′ 86

(–∞; –2) +

–2

∃

(–2; 0) +

0 0

−

2x ( x 2 − 4) 2

(0; 2) –

2

∃

= 0;

x = 0;

(2; +∞) –

2) y =

1 2 max −

∃

у

∃

2 2

x +4 а) Область определения R: −2 ⋅ 2 x −4 x = ; б) y ′( x) = 2 2 2 ( x + 4) ( x + 4) 2 −4 x в) у′(х) = 0, =0, х = 0; 2 ( x + 4) 2 x y′

(–∞; –0) +

у

0 0 1 2 max

(0; +∞) –

3) у = (х – 1)2 (х + 2) а) Область определения R: б) у′ = (х) = 2 (х – 1)(х + 2) + (х – 1)2 = (х – 1)(2х + 4 + х – 1) = = (х – 1)(3х + 3) = 3 (х – 1)(х + 1); в) у′ = 0, 3 ⋅ (х – 1)(х + 1) = 0, х1 = 1, х2 = –1. x y′ у

(–∞; –1) +

–1 0 4 max

(–1; 1) –

1 0 0 min

(1; +∞) +

87

4) у = х(х – 1)3 а) Область определения: R б) у′ = (х – 1)3 + 3х (х – 1)2 = (х – 1)2 (х – 1 + 3х) = (х – 1)2 (4х – 1) 1 в) у′ = 0, (х – 1)2 ⋅ (4х – 1) = 0, х1 = 1 х2 = 4 1 1 1 (–∞; – ) ( ; 1) 1 x (1; +∞) 4 4 4 – 0 + 0 + y′ 27 − у 0 256 min

№ 971 1) f(x) = 2sinx + sin2x;

х∈[0;

3π ]; 2

3π ]; б) f ′(х) = 2cosx + 2cos2x; 2 2cosx+2cos2x=0; 4cos2x+2cosx–2 = 0, 2cos2x + cosx – 1 =

а) Область определения [0; в) f ′(х)=0, 0; D = 1 + 8 = 9; cosx

π −1 + 3 1 = , x = ± + 2πn , n ∈ Z; 3 4 2

−1 − 3 = −1 , х = π + 2nπ, n ∈ Z, 4 3π  3π  + sin3π = –2 + 0 = –2, f(0) = 2sin0 + sin0 = 0, f   = 2sin 2  2  cosx

π 2π 3 3 3 π = 3+ = f   = 2sin + sin , 3 3 3 2 2   f (π) = 2sinπ + sin2π = 0 + 0 = 0,

88

 3π  min ( f (x )) = f   = −2;  2 

π 3 3 ; max ( f (x )) = f   = 2 3

 3π  0 ; 2   

 3π  0; 2   

2) f(x) = 2cosx + sin2x; х∈[0; π]; а) f ′(х) = –2sinx + 2cos2x, f ′(х) = 0, –2sinx + 2(1 – 2sin2x) = 0, 2sin2x + sinx –1 = 0, D = 1 + 8 = 9,

−1+ 3 1 π 5π  n π sin x = 4 = 2 x = (− 1) 6 + πn , n ∈ Z ; 6 ∈ [0; π], 6 ∈ [0; π]  sin x = − 1 − 3 = −1 x = − π + 2πn , n ∈ Z ; − π ∉ [0; π] 4 2 2  б) f (0) = 2cos0 + sin0 = 2 + 0 = 2, f (π) = 2cosπ + sinπ = –2 + 0 = –2, π π 3 3 3 π = f   = 2cos + sin = 3 + , 6 3 2 2 6 5π 3 3 3  5π   5π  f   = 2cos  + sin , =− 3− =− 6 6 3 2 2    

3 3  5π  min ( f (x )) = f   = − ; [0; π] 2  6 

π 3 3 . max ( f (x )) = f   = [0; π] 2 6

№ 972

1) v(t) = s′(t) = (6t2 – t3)′ = 12t – 3t2 2) найдем наибольшее значение v(t) v′(t) = 12 – 6t ; v′(t) = 0, 12 – 6t = 0, t = 2, t = 2 – точка max., v(2) = 24 – 12 = 12.

№ 973

Пусть ВС = х, АС = l – x, тогда АВ =

(l − x ) 2 − x 2 =

l 2 − 2 xl ,

1 x ⋅ l 2 − 2 xl .

2 Найдем наибольшее значение SABC. 1 1 ⋅ (−2l ) x  l 2 − 2 xl − lx l 2 − 3lx = = S ′( x) =  l 2 − 2 xl +   2 2 l 2 − 2 xl  2 l 2 − 2 xl 2 l 2 − 2 xl  S ABC =

, S′(х) = 0,

АС = l –

l 2 − 3lx 2

2 l − 2 xl

= 0,

l 2l = , АВ = 3 3

х=

l l , х = – точка max., 3 3

4l 2 l 2 3l − = .

9 9 3

89

№ 974 Пусть АС = х, тогда СВ = 40 – х. Тогда площадь найдем по формуле: 1 1 x2 AC ⋅ CB = x(40 − x ) = 20 x − 2 2 2 Исследуем S(х) на max.

S′(х)=20–x; S′ = 0, 20–x=0, x=20, x=20 – точка max. АС = 20, СВ = 40 – 20 = 20. Это равнобедренный прямоугольный треугольник.

S (x ) =

№ 975 Пусть АВ = х = СD и ВС = у = АD, тогда BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα , и АС =

x 2 + y 2 − 2 xycos(π - α ) =

= x 2 + y 2 + 2 xycosα AC + BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα + x 2 + y 2 + 2 xycosα = a a 2 = x 2 + y 2 − 2 xy cos α + x 2 + y 2 + 2 xy cos α − 2

(x

2

)

2

+ y 2 − 4 x 2 y cos 2 α

a4 – 4(x2 + y2)a2 + 4(x2 + y2)2 = 4(x2 + y2)2 – 16x2y2cos2α, a4 – 4(x2 + y2)a2 + 16x2y2cos2α = 0, 4(x2 + y2) = a2 + 16

x 2 y 2 cos 2 α

Величина 2(x2 + y2) зависит от параметра α.

a2

min 4(x2 + y2) = a2 при cos2α = 0 α = 90°. Тогда 2(x2 + y2) =

a2 .

2

№ 976 Пусть АВ = х, тогда АD = 2 R 2 − x 2 , S = AD ⋅ AB = 2 x R 2 − x 2 = 2 x R 2 x 2 − x 4 . Исследуем S на max при x∈[0; R].

S′ =

(

2 2R 2 x − 4x 3 2 R2x2 − x4

);

2x(R2 – 2x2) = 0; x = 0 – точка min., x = AD = 2 R 2 − 90

S′ = 0,

2R 2 x − 4x 3 R2x2 − x4

=0,

x = 0 x = 0 R  2 ⇒  R , − ∉[0; R], R 2 x = x = ± 2 2 2   R 2

– точка max.,

R2 R R = 2⋅ = 2R , S = ⋅ 2R = R 2 .

2 2 2

.

№ 977 1 h ⋅ S′осн.; h = 12 – постоянная, поэтому объем за3 висит только от площади основания. Найдем ее max. Объем пирамиды V =

Пусть один катет основания х, тогда другой 16 − x 2 . Тогда площадь 1 1 х ∈ [0; 4] S (x ) = x ⋅ 16 − x 2 = 16 x 2 − x 4 ; 2 2 S ′(x ) =

(

1 32 x − 4 x 3

)=

4 16 x 2 − x 4

8 x − x3 2

4

16 x − x − 2 2 ∉ [0; 4],

=0,

8x − x 3 16 x 2 − x 4

;

x(8 – x2) = 0,

S′ (х) = 0, x = 0,

( )

x = 0 – точка min., x = 2 2 – точка max., S 2 2 = V=

x

=

±2 2 ,

1 8 16 ⋅ 8 − 64 = = 4 , 2 2

1 ⋅ 12 ⋅ 4 = 16.

3

№ 978

Пусть радиус окружности в основании цилиндра r = х, тогда высота R  h =  − 2 x  . Объем равен V = h ⋅ Sосн. = h ⋅ πr2. х ∈[0; p], 2   pπx 2 − 4πx3 p  .

V (x ) =  − 2 x  ⋅ π ⋅ x 2 = 2 2  1 Исследуем V(х) на max. V′(х) = (2рπх – 12πх2) = рπх – 6πх2 2 V′(х) = 0,

хπ(р – 6х) = 0,

x = 0 – точка min., x =  p V  = 6

pπ ⋅

p  xπ = 0  p − 6 x = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = 6

p – точка max., 6

p2 p3 − 4⋅π 3 36 216 = π 6 p3 − 4 p 3 = πp .

2 2 ⋅ 216 216

(

)

№ 979 AD 5 AD AB = ; = = k , AD = 5k, AB = 2k, AB 2 5 2 S пов = AD ⋅ AB + 2 S AA1B1B + 2 S AA1D1D = = 10k2 + 2AA1(5k + 2k) = 2S, AA1 =

2 S − 10k 2 , 14k 91

(

)

2S − 10k 2 5 = 2Sk − 10k 3 .

14k 7 5 Исследуем V на max., V′ = (2S – 30k2); 7 V = 10k 2 ⋅

5 (2S – 30k2) = 0, 7

V′ = 0,

S S S 5⋅ S , k= – точка max, k= ; AD = = 15 15 15 15

k=±

S 5 .

S , AB=2⋅ 3 15

№ 980 y=

x 2 − 3x + 2

x 2 + 3x + 2 а) Область определения: х2 + 3х + 2 ≠ 0; −3 + 1 −3 − 1 x≠ = −1 , x≠ = −2 ; 2 2 б) y′ = =

D = 9 – 8 = 1,

(2 x − 3)(x 2 + 3x + 2)− (x 2 − 3x + 2)(2 x + 3) =

(x

2

+ 3x + 2

)

2

2 x3 + 6 x 2 + 4 x − 3 x 2 − 9 x − 6 − 2 x3 + 6 x 2 − 4 x − 3x 2 + 9 x − 6

(x + 3x + 2) 6(x − 2 ) 12 x − 6 x − 12 =+ = , (x + 3x + 2) (x + 3x + 2) 6(x − 2 ) y′ = 0, = 0 , х – 2 = 0, (x + 3x + 2) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

(–∞; –2)

–2

y′

+

∃

х=± 2 ,

2

2

(–2; – 2)

– 2

(– 2 ; –1)

–1

0

–

∃

+

∃

у

(–1; 2) –

∃

max

(

)

1) y = x 2 − 1 x + 1 ; а) Область определения х > 1. б) y′ = 2 x x + 1 + в) y′ = 0, 92

(x − 1) = 4x 2

2 x +1

5x2 + 4 x − 1 2 x +1

=0,

2

+ 4 x + x2 − 1 2 x +1

=

5x2 + 4 x − 1 2 x +1

5х2 + 4х – 1 = 0,

2

( 2; +∞)

0

+

min

x = – 2 – точка min., x = 2 – точка max.

№ 981

=

;

−2 + 3 1 = , 5 5 1 1 (–1; ) 5 5 – 0

х1 =

D/4 = 4 + 5 = 9; x

–1

y′

∃

у

0

х= (

−2 − 3 = −1 5

1 ; +∞) 5 +

24 30 125 min

2) y =| x | ⋅3 1 + 3 x ; х= −

а) D (у) =R; б) у = 0 при х = 0, в) y ′ = (| x |)′ 3 1 + 3 x +

| x | ⋅3 3 (1 + 3 x )2 3

y′ = 3 1 + 3 x +

х>0 y′ = 0,

1 + 4x 3

(1 + 3x )

х<0

y′ = −3 1 + 3 x +

y′ = 0,

–

x

(–∞; −

y′

+

у

1 + 4x 3

(1 + 3x )

1 ) 4

(1 + 3x )

2

x= −

=0,

2

2

, x

3

1 ; 3

=

(1 + 3x )2

=0

1 4 0 1

−

4 4 max

(1 + 3x )2

=−

1 + 4x 3

(1 + 3x )2

x= − (−

,

1 , но х > 0. Не подходит.

4

(− x ) 3

1 + 4x 3

1 ; 0) 4 –

,

1 – точка max.

4 0

(0; +∞)

∃

+

0 min

93

3) y = х2е–х а) Область определения: R б) у′ = 2хе–х – х2е–х = е–х (2х – х2) в) у′ = 0, е–х (2х – х2) = 0, х = 0; x 0 (0; 2) (–∞; 0) – 0 + y′ 0 min

у

4) y = х3е–х а) D(y) =R б) у′ = 3х2е–х – х3е–х = е–х (3х2 – х3) в) у′ = 0, е–х ⋅ х2(3 – х) = 0, х = 0, x 0 (0; 3) (–∞; 0) + 0 + y′ у

0

№ 982 Запишем II закон Ньютона для груза:

F cos α = k (mg − F ⋅ sin α ) F (α ) =

94

mg ; cos α + k sin α

х=2 2 0 4

(2; +∞) –

e2 max

х=3 3 0 27 e3 max

(3; +∞) –

Найдем min F(α): F ′(α ) =

− mg

(cos α + k sin α )2

⋅ (− sin α + k cos α )

F ′(α ) = 0, − sin α + k cos α = 0, k cos α = sin α, tgα = k , α = arctgk Ответ: α = arctgk .

95

X глава. § 54 Первообразная № 983 1) F′(х) =

6x5 = х5 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R; 6

2) F′(х) =

5x 4 + 0 = х4 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R. 5

№ 984 1) F′(х) =

2 ⋅ (−1) 2

=−

2

= f (x ) ; 2) F′(х) = 0 +

2

x x F(х) является первообр. f(х) при х > 0.

1 2 x

=

1 2 x

= f (x ) ;

№ 985

′  x5  x5 4   - первообр. х , т.к.

1) = x 4 , значит, все первообразные имеют  5  5  

вид F(х) =

x5 + C; 5

2) F(х) =

4x 3 x4 – первообр., т.к. F′(х) = = х3 = f(х).

4 4

Общий вид: F(х) = 3) F(х) = −

x4 + С.

4

x −2 − 2 x −3 – первообр., т.к. F′(х) = = х–3 = f(х). −2 2

Общий вид: F(х) = −

x −2 + С.

2 1

1

4) F(х) = 2 ⋅ x 2 – первообр., т.к. F′(х) = 2 ⋅

1

− 1 −2 x = x 2 = f(х).

2

1

Общий вид: F(х) = 2 ⋅ x 2 + С.

№ 986 1) Все первообр. функции f(х) = х находятся по формуле: x2 + С, т.к. F′(х) = f(х).

2 Найдем число С, подставив точку (–1; 3):

F(х) =

96

3=

1 + С, 2

С=

x2 5 5 + ; , F(х) = 2 2 2 3

2) Для функции f(х) = x первообр. имеют вид: F(х) =

2 2 x + С.

3

Чтобы найти С, подставим точку (9, 10): 10 =

2 ⋅ 27 + С, 3

3

С = –8, F(х) =

2 2 x – 8.

3

№ 987

′ x x  1 3  3  = 3 ⋅ 3 e = e = f (x ) – сущ. при х ∈ R;  2) F′(х) = (sin 2 x )′ = 2 cos 2 x = f (x ) – сущ. при х ∈ R.

 x  1) F′(х) =  3e 3  

№ 988

1) f(х) = 2х5 – 3х2. По таблице интегрирования: F(х) =

2 ⋅ x 6 3 ⋅ x3 x6 − = − x3 .

6 3 3

2) f(х) = 5х4 + 2х3, тогда F(х) = 3) f(х) = 4) f(х) =

5 ⋅ x5 2 ⋅ x 4 x4 + = x5 + .

5 4 2

2 3 3 ⋅ x −1 3 + , тогда F(х) = 2 ln x + = 2 ln x − . x x2 −1 x 2 x3

−

2 ⋅ x −2 1 3 , тогда F(х) = − 3 ln x = − 2 − 3 ln x . x −2 x

5) f(х) = 6х2 – 4х + 3, тогда F(х) =

6) f(х) = 43 x − 6 x , тогда F(х) =

6 x3 4 x 2 3 x − + = 2х3 – 2х2 + 3х.

3 2 1 4 4⋅ x3

4 3

−

3 6⋅ x2

3 2

= 3x3 x − 4 x x .

№ 989

1) f(х) = 3cos х – 4sin х, тогда F(х) = 3sin х – 4(–cos х) = 3sin х + 4cos х.

2) f(х) = 5sin х + 2cos х, тогда F(х) = 5 ⋅ (–cos х) + 2 ⋅ sin х = 2sin х – 5cos х.

3) f(х) = ех – 2cos x, тогда F(х) = ех – 2sin x.

4) f(х) = 3ех – sin x, тогда F(х) = 3ех – 1 ⋅ (–cos x) = 3ех + cos x.

5) f(х) = 5–е–x +3cos x, тогда F(х) = 5x – (–1) е–x + 3sin x = 5x + е–x + 3sin x 6) f(х) = 1 + 3еx – 4cos x, тогда F(х) = x + 3еx – 4sin x.

2 7) f(х) = 63 x − + 3e x , тогда x 97

4

6⋅ x3 9 F(х) = − 2 ln x + 3e x = x3 x − 2 ln x + 3e3 , x > 0.

4 2 3 4 3 + − 2e− x , тогда 8) f(х) = x x F(х) =

1 4x 2

1 2

+ 3 ln x − 2 ⋅ (− 1) ⋅ e − x = 8 x + 3 ln x + 2e − x , x > 0.

№ 990 1) f(х) = (х + 1)4, тогда F(х) = 2) f(х) = (х – 2)3, тогда 3) f(х) =

(x + 1)5 .

5

(x − 2)4 F(х) = 4

.

1

2(x − 2 )2 = 4 x−2 , , тогда F(х) = 1 x−2 2 2

х > 2.

2

3 ⋅ (x + 3) 3 9 3 = , тогда F(х) = (x + 3)2 .

4) f(х) = 3 2 2 x+3 3 1 5) f(х) = + 4 cos (x + 2 ) , тогда F(х) = ln (x – 1) + 4sin (x + 2), x −1 3

> 1.

3 − 2 sin (x − 1) , тогда x−3 F(х) = 3ln (x – 3) – 2(–cos (x – 1)) = 3ln (x – 3) + 2cos (x – 1), x > 3.

6) f(х) =

№ 991

1 (− cos(2 x + 3)) + C = − cos (2 x + 3) + C .

2 2 1 2) f(х) = cos (3х + 4), тогда F(х) = + sin (3x + 4 ) + C .

3 x x 3) f(х) = cos ( – 1), тогда F(х) = 2sin ( – 1) + C. 2 2 x x 4) f(х) = sin ( + 5), тогда F(х) = –4 cos ( + 5) + C. 4 4 1) f(х) = sin (2х + 3), тогда F(х) =

5) f(х) = e 98

x +1 2

, тогда F(х) = 2 e

x +1 2

+ C.

x

6) f(х) = e3x – 5, тогда F(х) =

1 3x – 5 e + C. 3

1 1 , тогда F(х) = ln x + C. 2x 2 1 1 , тогда F(х) = ln (3x – 1) + C. 8) f(х) = 3x − 1 3 7) f(х) =

№ 992 2x 2 + 3x + C; 2 2 б) 2 = 1 + 3 + С, С = –2, значит F(х) = х + 3х – 2;

1) f(х) = 2х + 3,

М (1; 2); а) F(х) =

2) f(х) = 4х – 1,

М (–1; 3); а) F(х) = 4 ⋅

x2 – x + C = 2х2 – х + С 2

б) 3 = 2 + 1 + С, С = 0, значит F(х) = 2х2 – х π 1 3) f(х) = sin 2x, М ( ; 5); а) F(х) = – cos 2x + C 2 2 1 1 9 9 1 б) 5 = – ⋅ cos π + С = + С, С = , значит F(х) = – cos 2x 2 2 2 2 2 1 4) f(х) = cos 3x, М (0; 0); а) F(х) = sin 3x + C 3 1 1 б) 0 = sin 0 + С = 0 + С, С = 0, значит F(х) = sin 3x.

3 3

№ 993 1) f(x) = e2x – cos 3x, тогда F(х) = x

1 2х 1 е – sin 3x; 2 3 x

2) f(x) = e 4 + sin 2x, тогда F(х) = 4 e 4 –

1 cos 2x; 2

1

1

3) f(x) = 2sin

2x+ x x 5 2x+ − 5e 3 , тогда F(х) = − 10 cos − e 3 ; 5 5 2

4) f(x) = 3 cos

3x− x x 2 3x− + 2e 2 , тогда F(х) = 21sin + e 2 ; 7 7 3

1

5) f(x) =

1

x + 4 sin (4 x + 2) , тогда 5 3

F(х) =

x2 3 5⋅ 2

4 2x x − cos(4 x + 2 ) = − cos(4 x + 2 ) ; 4 3 5

99

4

6) f(x) =

3x + 1

−

3 , тогда 2x − 5

1

4 ⋅ (3x + 1)2 3 ⋅ ln (2 x − 5) 8 3 3x + 1 − ln (2 x − 5) . − = F(х) = 1 2 3 2 ⋅3 2

№ 994 1) f(x) =

2 x 4 − 4 x3 + x , тогда 3

1  2 x5 4 x 4 x 2  − + = F(х) =  3  5 4 2  2) f(x) =

1  2 5 x 2  x − x4 + ;  3 5 2 

6 x 3 − 3x + 2 , тогда 5

 1 3 1  6 x4 3x2 3  − + 2 x  =  x4 − x2 + 2 x  ; F(х) =    5 2 5 4 2 2   2 2 3) f(x) = x – 3 + 2x – 6x = 2x – 5x – 3, тогда 2 x3 5 x 2 2 5 − − 3x = x3 − x 2 − 3 x ; 3 2 3 2 4) f(x) = 4x + 6x2 – 6 – 9x = 6x2 – 5x – 6, тогда F(х) =

F(х) =

6 x3 5 x 2 5 − − 6 x = 2 x3 − x 2 − 6 x .

3 2 2

№ 995 5

3

2x 2 x 2 4 2 2 + = x x+ x x .

1) f(x) = 2 x x + x , тогда F(х) = 5 3 5 3 2 2 2) f(x) = 3x3 x − 23 x , тогда F(х) =

7 3x 3

7 3

−

5

100

=

9 23 3 x x − x3 x .

7 2

2

x 3 4x 3 3 3 2 3 + = x x + 6 x2 ; , тогда F(х) = 5 2 5 x 3 3

3

3

4) f(x) = x −

4 3

4

3

3) f(x) = x 2 +

4 2x 3

1

x 2 3x 2 2 − = x x −6 x . , тогда F(х) = 3 1 3 x 2 2

3

№ 996 1) f(x) =

1 1 sin 2x, тогда F(х) = – cos 2x; 2 4

2) f(x) = sin (x –3x) = –sin 2x, тогда F(х) =

1 cos 2x.

2

№ 997 у = f(x) = 2sin 5x + 3cos

x , 2

π F  = 0 3

2 x тогда F(х) = − cos 5 x + 6 sin + C 5 2 2 5π 2 1 1 1 π 14 0 = − cos , + 6 sin + C = − ⋅ + 6 ⋅ + C = − + 3 + C , C = − 5 5 3 6 5 2 2 5 2 x 14 .

F(х) = − cos 5 x + 6 sin − 5 2 5

№ 998 3 , тогда F(х) = х + 3 ln (х – 3); x−3 x −1 1 , х ≠ 1, х ≠ –2; тогда F(х) = ln (х + 2); 2) f(x) = = (x + 2)(x − 1) x + 2 2 x + sin 2 x 1 + cos 2 x 1 1 3) f(x) = cos 2 x = , тогда F(х) = (х + sin 2х) = ; 2 2 2 4 1 4) f(x) = sin 3x ⋅ cos 5x = (sin 8x – sin 2x), тогда 2 1 1 1  4 cos 2 x − cos 8 x .

F(х) =  − cos 8 x + cos 2 x  = 2 8 2 16 

1) f(x) = 1 +

§ 56 Площадь криволинейной трапеции и интеграл № 999 1)

2)

101

3) 4)

№ 1000 1)

b

ABCD – искомая трапеция; S ABCD = ∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) a

4

S ABCD = ∫ x3dx = 2

2)

102

4

x 4

4

= 2

(4)

4

4

−

(2)

4

4

= 64 − 4 = 60 (кв. ед.)

4

S ABCD = ∫ x 2 dx = 3

x3 3

4

= 3

(

)

1 (4)3 − (3)3 = 1 (64 − 27 ) = 37 .

3 3 3 3) ABCD – искомая трапеция

S ABCD

(

)

x3 = ∫ x + 1 dx = +x 3 −2 1

2

1 −2

1 8 = +1+ + 2 = 6 3 3

4) ABCD – искомая трапеция

(

2

)

S ABCD = ∫ x3 + 1 dx = 0

2

16 x4 + x = +2 = 6; 4 4 0

5)

ABCD – искомая трапеция 2π 3

2π

π 3

3

S ABCD = ∫ sin xdx = − cos x π3 = − cos

π 2π 1 1 + cos = + + = 1 3 3 2 2

6)

ABCD – искомая трапеция 0

S ABCD = ∫ cos xdx = sin x −

π 6

0 −

π 6

 π  1 1 = 0 − sin  −  = − −  = .  6  2 2

103

№ 1001

1) у = 4 – х2

ABC – искомая трапеция а) 4 – х2 = 0, х = ± 2, a = –2, b = 2 б) S ABC

(

)

x3 = ∫ 4 − x dx = 4 x − 3 −2 2

2

2 −2

8 8 = 8− +8− = 3 3

16 32 2 = 16 − = = 10 ; 3 3 3 2) у = 1 – х2

ABC – искомая трапеция а) 1 – х2 = 0 х = ± 1 a = –1 1

(

)

б) S ABC = ∫ 1 − x 2 dx = x − −1

3) у = – х2 + 4x – 3

x3 3

1 −1

b=1 1 1 2 1 = 1− +1− = 2 − = 1 .

3 3 3 3

ABC – искомая трапеция х2 – 4x + 3 = 0 а) – х2 + 4x – 3 = 0 x1 = 3x2 = 1 a=1 b=3 104

D/4 = 4 – 3 = 1

3

(

3

)

б) S ABC = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1

x3 4 x 2 + − 3x = −9 + 18 − 9 + 3 2 1

1 1 + −2+3 =1 3 3

№ 1002 1) f(x) = 3 x , a = 1,

b=8

ABCD – искомая трапеция S ABCD

3x3 x = ∫ x dx = 4 1 8

8

3

2) f(x) = x

a=4

= 1

3 (16 − 1) = 45 = 11 1 4 4 4

b=9

ABCD – искомая трапеция S ABCD

9

2x x = ∫ x dx = 3 4

№ 1003 1) b = 2

9

= 4

2 (27 − 8) = 38 = 12 2 .

3 3 3

f(x) = 5x – x2, 2 ≤ х ≤ 5

105

а) 5x – x2 = 0, x(5 – x) = 0, б) ABC – искомая трапеция 5

(

)

в) S ABC = ∫ 5 x − x 2 dx = 2

x = 0,

5 x 2 x3 − 2 3

5

= 2

125 16 60 27 1 = + − = = 13 6 6 6 2 2 2) b = 3 , f(x) = x2 + 2x а) x2 + 2x = 0, x = 0, б) OAB – искомая трапеция 3

(

)

в) S OAB = ∫ x 2 + 2 x dx = 0

x3 + x2 3

125 125 8 − − 10 + = 2 3 3

x = –2 3

= 9 + 9 = 18 .

0

3) b = 1, f(x) = ex – 1 а) ex – 1 = 0, ex = e0, x = 0 б) OAB – искомая трапеция

1

(

)

1

в) SOAB = ∫ e x − 1 dx = e x − x = e − 1 − 1 = e − 2 0

4) b = 2

0

1 f(x) = 1 – x

1 =0 x=0 x б) ABC – искомая трапеция а) 1 –

в) 2 2  1 S ABC = ∫ 1 − dx = x − ln x 1 = x  1 = 2 − ln 2 − 1 + 0 = 1 − ln 2

106

x=5

§ 57 Вычисление интегралов № 1004 1

1) ∫ xdx = 0

x2 2

1

0

2

2

−1

−1

3) ∫ 3 x 2dx = x3 3

1

5) ∫

x

2

2

dx = −

4

7) ∫ x dx = 1

9

1

8) ∫

x

4

3 x3 1 1 − 0 = ; 2) ∫ x 2 dx = 2 2 3 0

=

1 x

=− 2

2x x 3

3

−2

−2

=

dx = 2 x

= 9−4 = 5 ;

2 1 1 1 1 1 + = ; 6) ∫ dx = − 3 3 2 6 2x 2 1 x

4

1 9

= 9−0 = 9 ; 0 3

= 8 + 1 = 9 ; 4) ∫ 2 xdx = x 2

3

3

2 1

1 1 3 =− + = ; 8 2 8

2 (8 − 1) = 14 = 4 2 ; 3 3 3

= 2(3 − 2 ) = 2 .

4

№ 1005 ln 2 ln 2 1 e = eln 2 − e0 = 2 − 1 = 1 ; dx = ln x 1 = ln e − ln 1 = 1 ; 2) ∫ e x dx = e x 0 1 x 0 e

1) ∫

2π

3) ∫ cos xdx = sin x − π = sin 2π − sin (− π ) = 0 − 0 = 0 ; 2π

−π π

4) ∫ sin xdx = − cos x − 2π = − cos π + cos(− 2π ) = 1 + 1 = 2 ; π

− 2π

π

π

5) ∫ sin 2 xdx = − − 2π

1 1 = − (1 + 1) = −1 ; cos 2 x 2 2 − 2π 0

0 1 1 6) ∫ cos 3xdx = + sin 3 x = (0 − 0 ) = 0 .

3 3 − 3π − 3π

№ 1006 2

2

−3 −1

−3

1) ∫ (2 x − 3)dx = x 2 − 3 x

−1

2) ∫ (5 − 4 x )dx = 5 x − 2 x 2 −2 2

(

)

−1 1

(

)

4) ∫ x 2 + 1 dx = −1

x3 +x 3

−2

2

3) ∫ 1 − 3x 2 dx = x − x3

−1

= −5 − 2 + 10 + 8 = 11 ;

= 2 − 8 + 1 − 1 = −6 ;

1

= −1

= 4 − 6 − 9 − 9 = −20 ;

1 1 2 +1+ +1 = 2 ; 3 3 3 107

2

(

) (

5) ∫ 3x 2 − 4 x + 5 dx = x3 − 2 x 2 + 5 x 0

)

2 0

= 8 − 8 + 10 = 10 .

№ 1007    x 2 3x x    − 1) ∫ x − 3 x dx = 3   2 0   2   4

(

4

)

 x2  = − 2x x   2   

4

= 8 − 16 = −8 ; 0

0

9

9 3  2) ∫  2 x − dx = x 2 − 6 x = 81 − 18 − 1 + 6 = 68 ;   1 x 1

(

2

2

)

3 1 3x 1 = e 6 − 1 ; 4) ∫ 2e 2 x dx = e 2 x e 3 3 0 1 0 (Опечатка в ответе задачника).

3) ∫ e 3 x dx =

№ 1008

(

1

1

−2

−2

)

1

3 1

= e6 − e2 .

(

)

1) ∫ x(x + 3)(2 x − 1)dx = ∫ x 2 + 3 x (2 x − 1)dx = ∫ 2 x3 + 5 x 2 − 3 x dx = =

1 4 5 x3 3x 2 − x + 2 3 2

(

0

1

)

1 5 3 40 + − −8+ + 6 = −3 + 15 = 12 ; 2 3 2 3

= −2 0

−2

(

)

2) ∫ (x + 1) x 2 − 2 dx = ∫ x3 + x 2 − 2 x − 2 dx = −1

−1

x 4 x3 0 + − x 2 − 2 x −1 = 4 3

1 1 1 11 = − + + 1 − 2 = −1 + =− ; 4 3 12 12 2

2

2 2 1 1  x3 1  3) ∫  x +  dx = ∫  x 2 + 2 + 2  dx = + 2 x − = x 3 x1 x     1 1 8 1 1 11 5 = + 4 − − − 2 +1 = + 3 = 4 ; 3 2 3 6 6 −1

−1  4 4  2 8   4 4  1 − dx = ∫  2 − 3 dx =  − + 2  = 4 + 4 − 2 − 1 = 5 .

2 x x x x      x x  −2 −2 −2 −1

4) ∫

№ 1009   3 2 3 2  2 3 2 dx = 5 x x − 2 x dx = ∫  5 x − 3   5 2 x x 1  3  3

2 5x − 2

1) ∫

1

3

2

3  3  =  3x x 2 − 3 x 2   

108

2 1

= 63 4 − 33 4 − 3 + 3 = 33 4 ;

     

2

= 1

     1 3 x x x  dx = ∫  3 x − dx = −  1   3 x  x  1   2   2

3  3x − 1 

2) ∫   1

= 2x x − 2 x

3

3

3

= 1

= 6 x −2 3 −2+2 = 4 3 ;

1

7 7

3) ∫

2

4 x+2

dx =

4⋅ x + 2 1 2

=8 x+2

7 2

= 24 − 16 = 8 .

2

№ 1010 3 3 ln(2 x − 1) dx = 2 1 2 x − 1 2

1) ∫

4 ln (3x + 2 ) 4 dx = 3 2 3 x + 0

1

2) ∫

2

= 1 1

= 0

3 ln 3 3 ln 3 ; −0 = 2 2 4 ln 5 4 ln 2 4 5 − = ln ; 3 3 3 2

π 2

π π 1   3) ∫ sin  2 x +  dx = − cos 2 x +  3 2 3    0 =−

π 2

=

0

π π π 1  1 π 1  cos π +  − cos  = −  − 2 cos  = cos = .

2  3 3 2 3 3 2

№ 1011 π

π

1 − cos 2 x 1 1 π π π dx = x − sin 2 x − π = − 0 + + 0 = π .

2 2 4 2 2 −π

1) ∫ sin 2 xdx = ∫ −π π 2

π 21

2) ∫ sin x cos xdx = ∫ 0 π 4

0

(

)

2

π

sin 2 xdx = −

1 1 1 1 cos2 x 02 = + = .

4 4 4 2

π 4

π

1 1 1 3) ∫ cos x − sin x dx = ∫ cos 2 xdx = sin 2 x 04 = − 0 = .

2 2 2 0 0 π

2

2

(

)

π

(

)

π

4. ∫ sin 4 x + cos 4 x dx = ∫ 1 − 2 sin 2 x cos 2 x dx = ∫ 1 − 0

π 4 − 1 + cos 4 x

=∫

0

4

π

0

3 sin 4x  3 cos 4x  = ∫ + dx = x + 4 4 4 16  0

0 π

= 0

1 sin 2 2 x = 2

3π 3π ; +0−0−0 = 4 4

109

3

3

0

0

5) ∫ x2 x + 1dx = ∫ x5 + x4 dx =

(

)

(

2 5 4 5 4 3 2 5 4 x + x x + x 0= 3 + 3 3 3

4 x 4 − 4x + 5 1  x2  − 2 x + ln (x − 2) dx = ∫  x − 2 + dx = x−2 x−2 2 3 3 9 3 = 8 − 8 + ln 2 − + 6 − ln1 = ln 2 + .

2 2 4

6) ∫

4 3

)

3 2

= 3888

=

№ 1012 b

∫ (b − 4 x )dx = bx − 2 x

2

1

= −b 2 − b + 2;

b 1

= b 2 − 2b 2 − b + 2 =

− b 2 − b + 2 ≥ 6 − 5b

2

b – 4b + 4 ≤ 0 (b – 2)2 ≤ 0, это возможно только при b = 2.

§ 58 Вычисление площадей с помощью интегралов № 1013 1

(

)

1 1 2 x3 1 + 4 x −1 = + 4 + + 4 = 8 ; 3 3 3 3

(

x + 1 dx =

)

2 2 2 1 x x + x 0 = +1 = 1 ; 3 3 3

а) S = ∫ x 2 + 4 dx = −1 1

б) S = ∫ в) S =

0 4

2

4

∫ x dx = 2 ln x 1 = 2 ln 4 − 0 = 2 ln 4 .

1

№ 1014 1) АВС – искомая фигура, 0

1

S ABC = S ABO + SOBC = ∫ (x + 1)2 dx + ∫ (x − 1)dx = −1

0

0 x x =  + x2 + x  + x −  −1  3 2   3

110

2

1

= 0

1 1 5 −1+1+1− = ; 3 2 6

2) АВС – искомая фигура 1

2

−2

1

(

)

S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2)dx + ∫ 4 − x 2 dx = −

x3 3

2

= 1

x2 1 + 2 x −2 + 4 x − 2

8  1 5 16 11 37 1 1 + 2 − (2 − 4 ) + 8 − −  4 −  = + 2 + − = =6 .

2 3  3 2 3 3 6 6

3) ОАВ – искомая фигура 4х – х2 = 4 – х, х2 – 5х + 4 = 0, 1 1

(

х=

)

5 ± 25 − 16 2

х1 = 4, х2 =

4

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ 4 x − x 2 dx + ∫ (4 − x )dx = 1

= 2 x2 −

x3 x2 + 4x − 3 2 0

4) 3х2 = 1,5х + 4,5,

0 4

= 2− 1

1

1 1 1 + 16 − 8 − 4 + = 6 ; 3 2 6

2х2 – х – 3 = 0

3 1 ± 1 + 24 , x1 = , х2 = –1 4 2 АВО – искомая фигура x=

−1

0 −1 3 9 3x2 9  + x + S ABO = S ABC + SCBO = ∫  x + dx + ∫ 3x 2dx = 2 4 2 −3 −3  2 −1

111

+ x3

0 −1

=

3 9 27 27 − − + + 1 = −6 + 9 + 1 = 4 4 2 4 4

№ 1015

1) x = (x − 2 )2 , х=1 ОАВ – искомая фигура 1

2

0

1

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x dx + ∫ (x − 2)2 dx = =

(x − 2)3 2 x x + 3 3 0 1

2 1 +0+ =1 ; 3 3

2) ОАВ – искомая фигура; х3 = 2 х – х2 х1=0, х2 + х – 2 = 0, х2 = –2; х3 = 1 1

2

0

1

(

)

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x3dx + ∫ 2 x − x 2 dx = =

112

1 8 1 25 11 + 4 − −1+ = 3 − = 4 3 3 12 12

x4 4

1

+ x2 − 0

x3 3

2

= 1

2

= 1

№ 1016

1) АВO – искомая фигура; х2 + 3х = 0, х1 = 0; х2 = –3 0

(

)

S ABO = S ACO = ∫ − x 2 − 3 x dx = − −3

2) х2 – 4х + 3 = 0; 3

(

x3 3 x 2 − 3 2

= −9 + −3

D/4 = 4 – 3 = 1,

)

SCAB = SCDB = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1

0

27 = 4,5 2

х = 3,

х=1

3

x 3 + 2 x2 − 3x 1 = 3

1 1 = −9 + 18 − 9 + − 2 + 3 = 1 3 3

№ 1017

1) у = х2 + 1; у = 3 – х

х2 + 1 = 3 – х,

х2 + х – 2 = 0,

x=

−1 ± 1+ 8 , 2

х1 = 1,

х2 = –2 113

ВСМ – искомая фигура S BCM = S ABCD − S ABMCD

(

)

x2 = ∫ (3 − x )dx − ∫ x + 1 dx = 3 x − 2 −2 −2 1

1

2

1

− −2

1

 x3  1 1 8 1 −  + x  = 3 − + 6 + 2 − −1− − 2 = 4  3  2 3 3 2   −2

2) у = (х + 2)2;у = х + 2 АВМ – искомая фигура

x 2 + 4 x + 4 = x + 2, x 2 + 3 x + 2 = 0 x1 = −2; x2 = −1 −1

−1

−2

−2

S AMB = S ABC − S AMC = ∫ (x + 2 )dx − ∫ (x + 2 )2 dx = −1

x2 −1 + 2 x −2 − 2

 x3  7 1 1 8 1 1 −  + 2x2 + 4x  = − 2 − 2 + 4 + − 2 + 4 − + 8 − 8 = + 2 − =  3  3 6 2 3 3 2   −2

3) у = x ; у=х ОМА – искомая фигура 114

x = x, x > 0 x 2 − x = 0, x1 = 0;

x2 = 1

SOMA = SOMAC − SOAC

1 2 x2 = ∫ x dx − ∫ xdx = x x − 0 3 2 0 0 1

1

1

= 0

2 1 1 − = 3 2 6

№ 1018

1) у = 6х2; у = (х – 3) (х – 4); у=0 6х2 = х2 – 7х + 12 6х2 = (х – 3) (х – 4), 5х2 + 7х – 12 = 0; D = 49 + 240 = 172 х1 = 1, х2 = –2,4 DАВ – искомая фигура 1

3

0

1

(

)

1

S AOB = S AOC + SCAB = ∫ 6 x 2dx + ∫ x 2 − 7 x + 12 dx = 2 x3 + 0

3

 x3 7 x 2  63 1 7 1 2 + − + 12 x  = 2 + 9 − + 36 − + − 12 = 35 − 28 − = 6  3  2 2 3 2 3 3  1

115

2) у = 4 – х2, у = (х – 2)2, у = 0 а) 4 − x 2 = x 2 − 4 x + 4;

2 x 2 − 4 x = 0, x1 = 0, x2 = 2

б) 4 − x 2 = 0; x1 = −2, x2 = 2 АВMC – искомая фигура S ABMC = S ABO + SOBMC

(

)

x3 = ∫ 4 − x dx + ∫ (x − 2 ) dx = 4 x − 3 0 −2 0

2

2

0

2

+ −2

2

 x3  8 8 +  − 2 x2 + 4 x  = 0 + 8 − + − 8 + 8 − 0 = 8  3  3 3  0

№ 1019 1) Найдем уравнение прямой: общий вид: у = kx + b, подставим точки: π π  (0; 0); 0=k⋅0+b b = 0,  ; 1 ; 1 = k ⋅ , 2 2   k=

2 2 , y= x, π π SOAD = SOAB + S BAD

π 22

π

x2 = ∫ xdx + ∫ sin xdx = π π 0π 2

=

116

π π +1+ 0 = +1 4 4

π 2 0

π

− cos x π = 2

2) OAB – искомая фигура π 4

π 2

0

π 4

π

π

SOAB = SOAD + S DAB = ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = − cos x 04 + sin x π2 =

=−

4

2 2 +1+ − = 2− 2 2 2

№ 1020

1) у = 6х – х2; у = х + 4 6х – х2 = х + 4, х5 – 5х + 4 = 0, ВMD – искомая площадь 4

(

х1 = 4,

)

х2 = 1

4

S BMD = SCMF − SCBDF = ∫ 6 x − x 2 dx − ∫ (x + 4)dx = 1

4

(

)

4

(

1

)

= ∫ 6 x − x 2 − x − 4 dx = ∫ − x 2 + 5 x − 4 dx = − 1

1

x3 5 x 2 4 + − 4x 1 = 3 2

64 1 5 63 1 1 = − + 40 − 16 + − + 4 = 28 − −2 = 4 3 3 2 3 2 2

2) у = 4 – х;

у=х+2 117

4 – х2 = х + 2,

х2 + х – 2 = 0, 1

(

)

х1 = –2,

(

1

1

−2

−2

х2 = 1

)

S ABC = S ABCD − S ACD = ∫ 4 − x2 dx − ∫ (x + 2)dx = ∫ − x2 − x + 2 dx = −2

1 1 8 1 1 x3 x 2 1 − + 2 x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 3 2 3 2 3 2 2

=−

№ 1021

1) у = 2 – х2 ; у = –х 2 – х2 = –х, х = 2, х = –1 х2 – х – 2 = 0, BCD – искомая фигура Перенесем ее на вектор (0; 2), тогда функции примут вид: у = 4 – х2 и у = 2 – х 2

(

)

2

S B1C1D1 = S BCD = S AB1C1D1 − S AB1D1 = ∫ 4 − x 2 dx − ∫ (2 − x )dx = −1

2

(

)

= ∫ − x 2 + x + 2 dx = − −1

= 8−3−

118

1 1 =4 2 2

3

2

−1

8 1 1 x x 2 + + 2 x −1 = − + 2 + 4 − − + 2 = 3 2 3 3 2

0≤ x≤

2) у = 1; х = 0; у = sin х;

π 2

ABO – искомая фигура π 2

π 2

π 2

0

0

0

π

S ABO = SOABC − SOBC = ∫1dx − ∫ sin xdx = ∫ (1 − sin x )dx = x + cosx 02 = π π = + 0 − 0 −1 = −1 2 2

№ 1022 1) Найдем прямую у = kx + b (0; –3); –3 = k ⋅ 0 + b, b = –3; (1; 0); 0 = k – 3, k =–3, y = 3x – 3 –х2 + 4х – 3 = 3х – 3, х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1 ABС – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1B1С1.

1

1

0

0

(

)

S A1B1C = S ABC = SOA1C1 − SOA1B1C = ∫ (− 3x + 3)dx − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx =

(

)

x3 x 2 = ∫ − x + x dx = − + 3 2 0 1

2

1

=− 0

1 1 1 + +0 = 3 2 6 119

2) у = –х2, у = –2, –х2 = –2, х2 = 2, х = ± 2 AОB – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1ОB1.

2

2

− 2

− 2

S AOB = S A1OB1 = SOA1BD − SCA1OB1D = ∫ 2dx − ∫ x 2dx = 2

(

)

= ∫ 2 − x 2 dx = 2 x − − 2

x3 3

2

=2 2− − 2

2 2 2 2 8 2 +2 2 − = .

3 3 3

3) у = 1 – х2 ; у = х2 – 1, 1 – х2 = х2 – 1, 2х2 = 2, х = ± 1 ABСD – искомая фигура, SABC = SADC

(

)

1

1  x3  S ABCD = S ABC + S ADC = 2 S ABC = 2 ∫ 1 − x 2 dx = 2 x −  =  3  −1  −1

1 2  1 = 21 − + 1 −  = 2 3 3  3

120

4) у = х3; у = 1; x = –2 ABCO — искомая фигура, SABCО = SDBCO + SADO,; SDBCO = SDBKO + SKOC; SDBKO = 2 ⋅ 1; 1

S KOC = SOKCM − SOCM = 1 ⋅ 1 − ∫ x3dx = 1 − 0

x4 4

1

= 1− 0

1 3 = 4 4

Теперь рассмотрим фигуру, симметричную ADO – A1DO: S ADO = S A1DO

x4 = ∫ − x dx = − 4 −2 0

0

3

= 0+ −2

16 =4 4

3 3 SABCО = 2 + + 4 = 6 .

4 4

№ 1023

1) у = х2 + 10; (0; 1). Уравнение касательной у = kx + b (0; 1); 1 = k ⋅ 0 + b, b = 1, у = kх + 1 у = f (х0) + k (x – x0), где х0 – точка касания

у = x 02 + 10 + kx – kх0, значит: kx + 1 = x 02 + 10 + kx – kх0 x 02 – kх0 + 9 = 0, но k = f ′(х0) = 2х0 121

x 02 – 2 x 02 + 9 = 0

9 – x 02 = 0

Т.е. k = ± 6 y = 6x + 1 ABCD – искомая фигура.

y = –6x + 1

(

х0 = ± 3

)

3 3  S ABCD = 2S ACD = 2(SOCDN − SOADN ) = 2 ∫ x 2 + 10 dx − ∫ (6 x + 1)dx  = 0 0 

(

)

3  x3 3 = 2 ∫ x 2 − 6 x + 9 dx = 2 − 3 x 2 + 9 x 0  = 2(9 − 27 + 27 ) = 18 .  3  0  

1 ; х = 1, и касат. х0 = 2 x 1 1 1 1 1 1 у(х0) = , у′ = − 2 , у′(х0) = − , y = − (x − 2 ) , y = − x + 1 ; 2 2 4 4 4 x АВС – искомая фигура 21 2 2 1 1   1   S ABC = SMBCD − SMACD = ∫ dx − ∫  − x + 1dx = ∫  + x − 1dx = x 4 x 4   1 1 1 2) у =

= ln x +

122

1 1 3 5 x2 2 − x 1 = ln 2 + − 2 − 0 − + 1 = ln 2 − 1 + = ln 2 − .

8 2 8 8 8

№ 1024

у = х2 +1; у = 0; х = 0; х=1 1) Уравнение касательной: у = f (х0) – f ′(х0) (х – х0), у = у0 + 2х0 (х – х0), у = 2х0 ⋅ х + x 02 – 2 x 02 + 1, у = 2х0 ⋅ х – x 02 + 1; 2) OMND – искомая трапеция 1

(

)

1

SOMND = ∫ 2 x0 x − x02 + 1 dx = x0 x 2 − x02 x + x 0 = x0 − x02 + 1 − 0 0

Найдем наибольшее значение функции на (0; 1). f (х) = –х2 + х + 1, f ′(х) = –2х + 1, f ′(х) = 0,

2х – 1 = 0,

х

1 = , 2 2

х=

1 1 1 1 – точка max., х0 = , у0 =   + 1 = 1 .

2 4 2 2  

1 5 Ответ:  ;  . 2 4

§ 59 Применение производной и интеграла к решению практических задач № 1025 v(t) = s′(t), 4

(

s – первообразная v(t)

)

1) s (t ) = ∫ 3t 2 + 1 dt = t 3 + t 0

3

(

)

2) s (t ) = ∫ 2t 2 + t dt = 1

№ 1026 1) v(t) = 0,

4 0

2t 3 t 2 + 3 2

4t – t2 = 0,

= 64 + 4 = 68 ; 3

= 18 + 1

9 2 1 2 1 − − = 18 + 4 − = 21 .

2 3 2 3 3

t = 0,

t = 4;

123

t2

4

t1

0

(

)

2) s (t ) = ∫ v(t )dt = ∫ 4t − t 2 dt = 2t 2 −

t3 3

4

= 32 − 0

64 2 − 0 = 10 .

3 3

№ 1027 1) у = 3х – 2х2 + С; 2) у = 2х3 – 4х2 + х + С; 3) y =

3 2x e +C ; 2

1 4) y = 4 ⋅ ⋅ sin 2 x + C = 2 sin 2 x + C .

2 5) у = 3 ⋅ (–cos х) + С = –3cos х + С; 6) у = sin x + cos x + C.

№ 1028 1) у = –cos x + C; –cos 0 + C = 0, C = 1, 2) у = 2sin x + C; 2sin π + C = 1, C = 1, 3) у = x3 + 2x2 – x + C; 1 + 2 – 1 + C = –2, C = –4; 4) у = 2x + x2 – x3 + C; –2 + 1 + 1 + C = 2, C = 2; 5) у = ex + C; e + C = 1,C = 1 – e,y = ex + 1 – e –1 + C = 2 6) у = –e–x + C; = –e–x + 3.

y = –cos x + 1 y = 2sin x + 1 y = x3 + 2x2 – x – 4 у = 2x + x2 – x3 + 2 C=3

y

№ 1029

y′ = –С1ωsin ωx + С2ωcos ωx; y′′ = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx; y′′ + ω2у = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx + ω2 С1cos ωx + ω2 С2sin ωx = 0; 0 = 0 – верно при любых С1 и С2.

№ 1030

0,001 г =0,0001 10 л

Скорость распада m′(t) =

m′(t) = k m (t) решение m(t) = m0e–kt В нашем случае m′(t)=0,0001 и m0=1, t=10, m(t) = 0,999, 0,999=1⋅ e–10k ln 0,999 k=− , e–10k = 0,999, –10k = ln 0,999, 10 ln 0,999

⋅t

0,5 = 1 ⋅ e 10 , ln 0,999 ⋅ t = ln 0,5 , 10

t=

10 ln 0,5 , t ≈ 6928. ln 0,999

№ 1031 F = kx; k = 0,03

F 2 = = 2 , F = 200x x 0,01

A = ∫ 200 xdx = 100 x 2 0

0,03 0

= 0,09 − 0 = 0,09 Дж.

№ 1032 F = kx, k = 124

F 3 = = 300 , x 0,01

F = 300x

0,08

A = ∫ 300 xdx = 150 x 2 0

0,08 0

= 0,96 Дж.

Упражнения к главе Х № 1033

1) f (x) = cos x, тогда F(x) = sin x + C (0; –2): –2 = sin 0 + C, C = –2; F(x) = sin x – 2 2) f (x) = sin x, тогда F(x) = –cos x + C (–π; 0): 0 = –cos (–π) + C, C = –1; F(x) = –cos x – 1.

1 , тогда F(x) = 2 x + C 3) f (x) = x

1.

(4; 5): 5=2 4 +C, 4) f (x) = ex, тогда F(x) = ex + C (0; 2): 2 = 1 + C,

C = 1;

F(x) = 2 x + 1 C = 1;

5) f (x) = 3x2 + 1, тогда F(x) = x3 + x + C (1; –2): –2 = 1 + 1 + C, 6) f (x) = 2 – 2x, тогда F(x) = 2x – x2 + C (2; 3): 3 = 4 – 4 + C,

F(x) = ex +

C = –4; F(x) = x3 + x – 4 F(x) = 2x – x2 + 3.

C = 3;

№ 1034 2

1) ∫ 2dx = 2 x −1 3

(

2 −1

x2 = 4 + 2 = 6 ; 2) ∫ (3 − x )dx = 3 x − 2 −2 2

)

3) ∫ x 2 − 2 x dx = 1 1

(

)

5) ∫ x dx = 1

2

dx

1

x3

6) ∫

=−

= 6 − 2 + 6 + 2 = 12 ; −2

3 1 2 x3 − x2 = 9 − 9 − + 1 = ; 1 3 3 3

4) ∫ 2 x − 3x 2 dx = x 2 − x 3 −1 8 3

2

1 −1

= 1 − 1 − 1 − 1 = −2 ;

3 3 8 3 45 1 = 11 ; x x = (16 − 1) = 1 4 4 4 4 1

2x 2

8 1

π 2

π

π 1 1 3  π = − + = ; 7) ∫ cos xdx = sinx 2π = sin − sin −  = 2 .

2 8 2 8 −  2 π −

2

2

№ 1035 1) у = x ; х = 1; х = 4; у=0 АВСD – искомая фигура 4 4 2 2 14 2 =4 S ABCD = ∫ x dx = x x = (8 − 1) = 1 3 3 3 3 1

125

2) у = cos x

х=0

π 3

х=

π 3

π

SOABC = ∫ cos xdx = sin x 03 = sin 0

у = 0; OАВС – искомая фигура;

π 3 − sin 0 = ; 3 2

3) у = x2; у = 2 – х, х2 = 2 – х, х1 = –2, х2 = 1, ЕОА – искомая фигура

х2 + х – 2 = 0,

(

1

1

1

−2

−2

−2

)

S EOA = S DEAC − S EDOAC = ∫ (2 − x )dx − ∫ x 2dx = ∫ − x 2 − x + 2 dx = =−

1 1 8 1 1 x3 x 2 1 − + 2 x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 3 2 3 2 3 2 2

4)

у = 2x2;

у = 0,5х + 1,5;

4х2 – х – 3 = 0; D = 1 + 48 = 49, АОВ – искомая фигура, 126

2х2 = 0,5х + 1,5, х1 = 1

х2 = −

3 , 4

1 x 1 3  S AOB = S DABC − S DAOBC = ∫  +  dx − ∫ 2 x 2dx = 3 2 2 3 −

−

4 3

1

2

2x 3x x 3 x  = ∫  − 2 x 2 + + dx = − + + 2 2 3 4 2 3 −

4

4

1 3 − 4

=−

2 1 3 + + − 3 4 2

9 3 ⋅ 3  13 45 151  2 ⋅ 27 + =1 − + − . = 192  3 ⋅ 64 16 ⋅ 4 2 ⋅ 4  12 64

№ 1036 1

(

)

1) ∫ 5 x 4 − 8 x 3 dx = x 5 − 2 x 4 0

2

(

)

1 0

= 1 − 2 = −1 ;

2

3 4 5 2 3 5 = 24 − 10 − + = 15 x − x 2 2 2 2 −1 −1 (опечатка в ответе задачника) 4 4 4 7 7   3) ∫ x  3 − dx = ∫  3 x − dx = 2 x x − 14 x =   1 x  x 1 1 = 16 − 28 − 2 + 14 = 0 ; 8 8 8 16   4 4) ∫ 43 x 1 −  dx = ∫  43 x − dx = 3x3 x − 483 x =   3 1 x 2   1 1 x  = 48 − 96 − 3 + 48 = −3 ; 2) ∫ 6 x3 − 5 x dx =

3

5) ∫ x + 1dx = 0

6

3 2 (x + 1) x + 1 = 2 ⋅ 8 = 16 = 5 1 ; 0 3 3 3 3

2 6) ∫ 2 x − 3dx = 3 2

6

(2 x − 3) ⋅ 1 = 22 3

(2 x − 3)3

6

= 9−

3

1 2 =8 .

3 3

2

127

№ 1037 π 41

π

1  π π 4 1  π π  1) ∫ cos x + dx = sin  x +  =  sin − sin  = 2 4 2 4 2 2 4      0 0 =

1  2  2 − 2 ; = 1− 2  2  4 π 31

π

π π 3 1 1    π  2) ∫ sin  x − dx = − cos x −  = −  cos 0 − cos −   = 3 3 3 3 3    0  3   0 1 1 1 = − 1 −  = − ; 3 2 6 3

3) ∫ 3 sin (3 x − 6 )dx = −1 ⋅ cos(3x − 6 ) 1 = − cos(+ 3) + cos(− 3) = 3

1

= − cos 3 + cos 3 = 0 ; 3

4) ∫ 8 cos(4 x − 12 )dx = 2 sin (4 x − 12 ) 0 = 2(sin 0 − sin (− 12 )) = 3

0

= 2(0 + sin 12) = 2 sin 12 .

№ 1038 1 ; у = 4х; х = 1; x ОАВС – искомая фигура 1) у =

у = 0,

1 2

1 =4х, 4х2 = 1, x 1

11 1 SOABC = SOAD + S DABC = ∫ 4 xdx + ∫ dx = 2 x 2 2 + ln x 1 = 0 1x 0 2

=

128

1 1 1 1 + ln1 ⋅ ln = − ln ; 2 2 2 2

2

х=±

1 .

2

2) у =

1 2

;

x ОАВС – искомая фигура

1

у = х; х = 2; у = 0;

1

2

1

0

1

x

SOABC = SOAD + S DABC = ∫ xdx + ∫

dx = 2

x2 2

= х, х3 = 1, х = 1.

x2 1

2

− 0

1 1 1 = − +1 = 1. x1 2 2

3) у = х2 + 1; у = х + 1, х2 + 1 = х + 1, х1 = 0, х2 = 1 АМВ – искомая фигура 1

1

0

0

(

)

х2 – х = 0,

1

(

)

S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (x + 1)dx − ∫ x2 + 1 dx = ∫ x + 1 − x2 − 1 dx =

(

)

x2 x3 = ∫ x − x dx = − 2 3 0 1

2

1

= 0

0

1 1 1 − = ; 2 3 6

4) у = х2 + 2; у = 2х + 2 х2 + 2 = 2х + 2, х2 – 2х = 0, х1 = 0, АМВ – искомая фигура 2

2

0

0

х2 = 2

(

)

S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (2 x + 2)dx − ∫ x 2 + 2 dx =

(

)

x3 = ∫ 2 x − x dx = x − 3 0 2

2

2

2

= 4− 0

8 1 =1 .

3 3 129

№ 1039

1) у = х2 – 6х + 9;

у = х2 + 4х + 4; 1 х= х2 – 6х + 9 = х2 + 4х + 4, 10х = 5, 2 АВС – искомая фигура 1 2

3

S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2)2 dx + ∫ (x − 3)2 dx = −2

+

1 2

1

x3 + 2 x 2 + 4 x −22 + 3

1 1 8 1 3 9 x3 3 − 3x 2 + 9 x 1 = + + 2 + − 8 + 8 + 9 − 27 + 27 − + − = 3 24 2 3 24 4 2 2

3 8 41 5 = 11 − 4 + + = 7 + = 10 4 3 12 12

2) у = х2 + 1; у = 3 – х2 2 2 2 х + 1 = 3 – х , 2х = 2, х2 = 1, BCDN – искомая фигура 130

у=0

х=±1

1

(

)

1

(

)

S BCDN = S ABCDM − S ABNDM = ∫ 3 − x 2 dx − ∫ x 2 + 1 dx = −1

1

(

)

= ∫ − 2 x 2 + 2 dx = − −1

−1

2 x3 2 2 2 1 + 2 x −1 = − + 2 − + 2 = 2 .

3 3 3 3

3) у = х2; у = 2 2 x , х2 = 2 2 x , х4 = 8х, х (х3 – 8) = 0, х1 = 2, х2 = 0, OMAN – искомая фигура 2

2

2

0

0

0

(

)

SOMAN = SOMAB − SONAB = ∫ 2 2 x dx − ∫ x 2dx = ∫ 2 2 x − x 2 dx = 4 1 x3 = 2x 2x ⋅ − 3 2 3

4) у = x ;

2

= 0

16 8 8 − = .

3 3 3

у = 4 − 3x ;

у=0

x = 4 − 3 x , х = 4 – 3х, 4х = 4, х = 1 ОАВ – искомая фигура 1

4 3

0

1

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x dx + ∫ 4 − 3x dx = ×

1 2 2 x x + (4 − 3x ) × 0 3 3

4 3

1 2 2 8 = −0+ = .

31 3 9 9 131

№ 1040

1) у = х2 – 2х + 2; х = 1, точка пересечения параболы с Оу х = 0; у = 0 – 2 ⋅ 0 + 2 = 2; (0; 2) у(0) = 2; у′ = 2х – 2, у′(0) = 2 ⋅ 0 – 2 = –2, у = 2 – 2 (х – 0), у = –2х

+ 2, АВС – искомая фигура 1

(

)

1

1

0

0

( )

S ABC = SOABC − SOAC = ∫ x 2 − 2 x + 2 dx − ∫ (− 2 x + 2 )dx = ∫ x 2 dx = 0

=

x3 3

1

= 0

1 .

3

4 4 4 , у′(2) = – = –1, ; х0 = 2; у = 0; х = 6, у(2) = 2, у′ = – 2 x 4 x у = 2 – (х – 2) у = –х + 4, DABC – искомая фигура; 2) у =

132

64 4 x2 6 4 − 4x 2 = S DABC = S KABC − S KAD = ∫ dx − ∫ (− x + 4 )dx = 4 ln x 2 + x 2 2 2

= 4 ln 6 − 4 ln 2 + 8 − 16 − 2 + 8 = 4 ln 3 − 2

№ 1041

1) у = х3 – 3х2 – 9х + 1; АВС – искомая фигура

х = 0;

у = 6;

(

0

0

−1

−1

х<0

)

S ABC = S MABO − S MACO = ∫ 6dx − ∫ x3 − 3 x 2 − 9 x + 1 dx = 0

(

)

9 x2 x4 0 + x3 + + 5 x −1 = 4 2

= ∫ − x3 + 3 x 2 + 9 x + 5 dx = − −1

=

1 9 17 7 3 +1− + 5 = 6 − = =1 4 2 4 4 4

2) у = х4 – 2х2 + 5; у = 1; АВСD – искомая фигура 1

(

х = 0;

х=1

)

1

S ABCD = SOBCK − SOADK = ∫ x 4 − 2 x 2 + 5 dx − ∫1dx = 0

1

(

)

= ∫ x 4 − 2 x 2 + 4 dx = 0

5

0

3

2x 1 2 7 8 x 1 − + 4x 0 = − + 4 = 4 − =3 .

5 3 5 3 15 15 133

№ 1042  p p 2  , у = х2 + рх – парабола, ветви направлены вверх. Вершина  − ; −  2 4   пересечение с осями: (-р; 0) и (0; 0). Рассмотрим два случая. а) р > 0. у = kx + 1 проходит через (0; 1) х2 + рх = kх + 1, х2 + (р – k)x – 1 = 0, D = (р – k)2 + 4 Точки пересечения: x1 =

k − p− D , 2

x2 =

(

k− p+ D 2

)

x2 x3 x2 x + x x2 − −p S = ∫ (kx + 1)dx − ∫ x + px dx = k 1 2 3 2 x1 x1 x2

x2

2

x2

= x1

x 2 x3 x 2 x3 x 2 x3 x − + x x2 = (k − p ) 2 − 2 + x 2 − (k − p ) 1 + 1 − x 2 = 1 2 3 2 3 2 3 1 k− p 2 = − x23 − x13 +   x2 − x12 + (x2 − x1 ) , но х2 – х1 = D 3  2  = (k − p )

(

)

(

) − (k − p − D )  = (k − p) D 1  x − x = (x − x )(x + x x + x ) = D  (k − p + D ) + (k − p ) − 4   1 D (2(k − p ) + 2 D + (k − p ) − D ) = − D + (k − p − D )  =  4 1 = D (3(k − p ) + D ) 4 1 1 k− p S=− ⋅ D (3(k − p ) + D ) +  (k − p ) D + D = 3 4  2  x22 − x12 = 3 2

3 1

(

)

1  k − p+ D 4 2

1

2 1

2

1 2

2

2

2

2 1

2

2

2

2

2

1 1 1  1  1  = D  − (k − p )2 − D + (k − p )2 + 1 = D  (k − p )2 − D + 1 4 12 2 4 12     т.к. D = (p – k)2 + 4, то 134

S=

( p − k )2 + 4 ⋅  1 (k − p )2 − 1 (k − p )2 − 1 + 1 = ( p − k )2 + 4 × 4

1 ×  (k − p )2 + 6

2 1 = 3 6

12

3



( p − k )2 + 4 ⋅ ((k − p )2 + 4) .

Найдем наименьшее S(k) 1 t ∈ [4; +∞), S(t) – возрастаюt t , 6 щая функция, поэтому наше значение достигается при t=4, (p – k)2 = 0, p = k; б) р < 0 – этот случай симметричен а). Все выкладки те же и ответ: k = p. Пусть (p – k)2 + 4 = t, S (t ) =

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа.

1 32 8 ⋅ = = 0,08 .

40 10 100

№ 1043

0,025 ⋅ 3,2 =

№ 1044

0,42 ⋅ х = 12,6,

№ 1045

x=

1,3 13 ⋅ 100 10 1 ⋅100 = = = 3 (% ) .

39 10 ⋅ 39 3 3

№ 1046

x=

46,6 466 ⋅100 ⋅100 2 ⋅1000 ⋅100 = = = 400(% ) .

11,65 10 ⋅1165 5

№ 1047

1,75 ⋅ х = 78,75, x =

№ 1048

x = 1,8 ⋅ 7,5 =

x=

12,6 126 ⋅100 18 ⋅ 10 = = = 30 .

0,42 10 ⋅ 42 1⋅ 6

78,75 7875 ⋅100 = = 45 .

1,75 100 ⋅175

9 15 27 ⋅ = = 13,5 .

5 2 2

№ 1049 х – исходная цена 1) понизили на 24%; х1 = (х – 0,24х) = 0,76х 2) снизили на 50%х1 ; х2 = (х1 – 0,5х1) = 0,5х1 = 0,5 ⋅ 0,76х = 0,38х х – х2 = х – 0,38х = 0,62х Цена уменьшилась на 62%.

№ 1050 цинк х = 18 кг, олово у = 6 кг, медь z = 36 кг x 18 ⋅100% = ⋅ 100% = 30% % цинка = 18 + 6 + 36 x+ y+z

135

% олова =

y 6 ⋅ 100% = ⋅ 100% = 10% x+ y+z 18 + 6 + 36

z 36 ⋅ 100% = = 60% . x+ y+z 60 Ответ: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%.

% меди =

№ 1051 Пусть х – стоимость товара, у – стоимость перевозки. Тогда из условий

 x + y = 3942

следует, что:  0,08 x = y

1,08 x = 3942  x = 3650 . Ответ: 3650 р. ,  ,   y = 0,08 x  y = 292

№ 1052

Пусть h = 5 см – высота, S = 4 см2 – площадь основания.

1 1 S2 = 1,1S V1 = h ⋅ S , V2 = h2 ⋅ S2 , h2 = 1,1h, 3 3 1 1 V2 = ⋅1,1h ⋅ 1,1S = 1,21 ⋅ ⋅ h ⋅ S = 1,21V1 3 3 (V2 − V1 ) ⋅100% = (1,21 − 1)V1 ⋅100% = 21% . Ответ: объем увеличится на 21%.

№ 1053 Пусть х – искомое число, тогда х = а ⋅ 72 + 68 x a ⋅ 72 68 6a ⋅ 12 5 ⋅ 12 12(6a + 5) = + = + +8 = +8 12 12 12 12 12 12 Ответ: Остаток: 8.

№ 1054 Пусть эти числа х и у. Тогда:

 x + y = 1100   x + y = 1100 0,06 x = 0,05 y  y = 5 x   6

11  6 x = 1100  y = 600   x = 500  x = 5 y  6

Ответ: Наибольшее – 600.

№ 1055

За первый год он получит прибыль 0,03 ⋅ 600 = 18 (р.). На счету будет 600 + 18 = 618 р. В конце второго года он получит: 1,03 ⋅ 618 = 636,54 (р.), а за третий – 1,03 ⋅ 636,54 = 655,64 (р.).

136

№ 1056

За год он получил бы 0,02 ⋅ 500 = 10 р., а за месяц он получил 1 5 5 ⋅10 = р. Он снял 100 р., на счете осталось 400 р. Через год он полу12 6 6 5 чит 1,02 ⋅ 400 = 408,85 р.

6

№ 1057

1) 23,276 : 2,3 – 3,6 ⋅ (17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 ⋅ 3,2 Выполним по действиям.

23276 ⋅10 1012 = = 10,12 ; а) 23,276 : 2,3 = 1000 ⋅ 23 100 172 ⋅ 1 5 ⋅ 10 43 5 440 б) 17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1 = + = + = = 2,2 ; 10 ⋅ 8 1000 ⋅ 1 20 100 200 625 32 2000 36 22 792 в) 3,6 ⋅ 2) = ⋅ = = 20 ; ⋅ = = 7,92 ; г) 6,25 ⋅ 3,2 = 10 10 100 100 10 100 д) 1) – 3) + 4) = 10,12 – 7,92 + 20 = 22,2.

2) 9,25 ⋅ 1,04 – (6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,2 + 0,16 ⋅ 6,25 Выполним по действиям.

925 104 9620 ⋅ = = 9,62 ; а) 9,25 ⋅1,04 = 100 100 1000 6372 ⋅10 9 ⋅ 8 1062 9 1152 б) 6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8 = + = + = = 11,52 ; 1000 ⋅ 6 8 ⋅10 100 10 100 1152 ⋅ 10 96 16 ⋅ 625 1000 в) 2) : 1,2 = = = 9,6 ; г) 0,16 ⋅ 6,25 = = =1; 100 ⋅12 10 100 ⋅100 1000 д) 1) – 3) + 4) = 9,62 – 9,6 + 1 = 1,02.

№ 1058 3 1 2 3 1 1   28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1  ⋅ 3 4 3 3 4 2 7  . Выполним по действиям.

1) 1 3 10 − 9 2 4 3 1 2 3 1 28 ⋅ 4 22 ⋅ 1 5 ⋅ 39 а) 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 = + + + 4 3 3 4 2 7 3 ⋅ 22 3 ⋅ 4 14 ⋅ 2 1 65 28 29 65 116 + 195 311 + = 16 + + + = 16 + + = 16 + = 16 + = 3 3 4 3 3 4 12 12 11 503 ; = 41 = 12 12 1 3 21 39 3 1 503 ⋅ 22 5533 б) 1) ⋅ 3 = ; в) 10 − 9 = − = ; = 7 12 ⋅ 7 42 2 4 2 4 4

137

г)

2) 5533 ⋅ 4 11066 = = .

3) 42 ⋅ 3 63

1  5 7  2)  − 0,375  : 0,125 +  −  : (0,358 − 0,108) 2    6 12  Выполним по действиям. 1  а)  − 0,375  : 0,125 = (0,5 − 0,375) : 0,125 = 0,125 : 0,125 = 1 ; 2   1⋅ 4  10 − 7  5 7  =1; б)  −  : (0,358 − 0,108) =   : 0,25 = 6 12 12 4 ⋅1     в) 1) + 2) = 1 + 1 = 2.

№ 1059 1 1 10 ⋅ 8 ⋅ 5 1 1 = 100 ; = x : 1 , x = 10 : ⋅ 1 = 8 4 8 4 4 1 1 1 1 3 ⋅19 ⋅ 2 57 ; 2) x : 0,75 = 9 : 14 , x = 0,75 ⋅ 9 : 14 = = 2 2 2 2 4 ⋅ 2 ⋅ 29 116 (опечатка в ответе задачника) x 1,456 15 ⋅1,456 3) = , x= = 20,8 .

15 1,05 1,05 1) 10 :

№ 1060 1   1 1 1  1  2   1 − 4  15 5 ⋅ 2 4   − 2 ⋅ 7 ⋅ 49    + 45 2  − 183 5 1   81 −     125 3     Выполним по действиям.

1

1)

15 ⋅ 5 2 125

−

1 2) 2 ⋅ 7 2

1 3

= 15 ⋅ 5 ⋅ 3 125 = 15 ⋅ 5 5 = 75 5 ;

1 ⋅ 49 4

= 2 ⋅ 7 ⋅ 4 49 = 2 ⋅ 7 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 = 14 ;

1 3) 1) − 2) = 75 5 − 14 ; 4)    81 

(

)(

−

1 4

1

+ 45 2 = 4 81 + 9 ⋅ 5 = 3 + 3 5 ;

)

5) 3) ⋅ 4) = 75 5 − 14 3 + 3 5 = 225 5 + 1125 − 42 − 42 5 = 1083 + 183 5 6) 5) − 183 5 = 1083 + 183 5 − 183 5 = 1083 .

№ 1061 1) log 27 729 = log 27 27 2 = 2 .

138

2) log 9 729 = log 9 27 2 = log 9 (9 ⋅ 3)2 = 3 .

3) log 1 729 = log 1 3 6 = 6 log 1 3 = 6 ⋅ (− 1) = −6 .

3

3

3

№ 1062 1) log 1

( )

64 = log2− 4 26

5

1 5

6

= log2− 4 2 5 =

16

6  1 3 ⋅  −  log2 2 = − = −0,3 5  4 10

2) log 8 log 4 log 2 16 = log 8 log 4 4 = log 8 1 = 0 .

№ 1063   1)  2  

1

2)  2 

27

8

    

2

8

=2 3

  

2

=2

⋅ 2−3 = 2

4

= 22 = 4 .

3 ⋅ 27 −3

= 29−3 = 26 = 64 .

№ 1064 1) log 3

9 5

3

+ log 6 5 36 = log 3 3

( )

2) 160,5 log 4 10+1 = 42

0,5 log 4 10

2−

1 5

2

+ log 6 6 5 =

9 2 11 1 + = =2 .

5 5 5 5

⋅ 16 = 4log 4 10 ⋅ 16 = 10 ⋅ 16 = 160 .

№ 1065 1 2,5 7

1) 2,50,5 . Основания равны, значит будем сравнивать показатели степеней. f (х) = 2,5х – функция возрастающая, т.к. 2,5 > 1.

1

х2 > х1, 2)

2 0,2 3

f (х2) > f (х1); 3 0,2 4

1

1 1 < ⇒ 2,5 7 < 2,5 2 ; 7 2

, f (х) = 0,2х – убывает, т.к. 0,2 < 1, х2 > х1

f (х2) < f

(х1) 2

Сравним

3

2 3 8 8 9 2 3 9 и , или и . < ⇒ < ⇒ 0,2 3 > 0,2 4 .

3 4 12 12 12 12 3 4

3) log3,1 10 log3,1 3 Функция log3,1x – возрастающая, т.к. 3,1 > 1.

10 > 9 = 3 ⇒ log 3,1 10 > log 3,1 3

139

4 3 log 0,3 , f (х) = log0,3x – убывает, т.к. 0,3 < 1, 5 4 4 16 15 3 4 3 = > = ⇒ log 0,3 < log 0,3 .

5 20 20 4 5 4

4) log 0,3

№ 1066 1

1

1) a 5 > 1 ⇒ a > 1 ; 2) a −1,3 > 1 ⇒

a⋅

10 3

> 1 ⇒ а < 1,

а

a

∈ (0; 1); 3) а–3,1 < 1 ⇒ а3,1 > 1 ⇒ а > 1; 4) а2,7 < 1 ⇒ а ∈ (0; 1); 5) loga 0,2 > 0 ⇒ loga 0,2 > loga 1 ⇒ а < 1; 6) loga 1,3 > 0 ⇒ loga 1,3 > loga 1 ⇒ а > 1.

№ 1067 18 = 3 2 , 4

1)

(3 2 )

2

2)

3

( 18 )

3

5 11

=2

2 log 2 3

⋅4

log 4

5 11

2

= 18 =

18 ,

3

log 2 3+ log 4

2178 2025  45  > =  , 121 121  11 

1   6

1 log 6 2 − log 2

6

5

18 > 4

( )

= 6−1 3

144 125  5  = 18 = > =  , 8 8 2

log 6 2 − log 6 5

3

1 18 >   6

= 9⋅

5 45 = 11 11

log 2 3+ log 4

, 6

− log 6

2 5

1 log 6 2 − log 2

5 11

;

2 =  5 6

−1

=

5

.

№ 1068

1) lg 50 = lg (5 ⋅ 10) = lg 10 + lg 5 = 1 + lg 5 0 = lg 1 < lg 5 < lg 10 = 1, значит 1 < 1 + lg 5 < 2, lg50=1+lg5; 2) log2 10 = log2 (2 ⋅ 5) = log2 2 + log2 5 = 1 + log2 5, 2 = log2 4 < log2 5 < log2 8 = 3, 3 < 1 + log2 5 < 4.

№ 1069 1) 3 ⋅ −

4⋅5 5 = 5 − 5 + 18 5 − 10 5 = 8 5 2 1

2) − 140

5 1 125 3 ⋅ 5 1 ⋅ 2 5 20 + 3 180 − 4 − = − + 3⋅3⋅ 2 5 − 9 2 4 3 2

(

6− 5

−

)

3 5+ 2

−

4 6− 2

=

(

)

6+ 5 3 5− 2 − − 6−5 5−2

4 6+ 2 = 6 + 5 − 5 + 2 − 6 − 2 = 0.

6−2

5 , 2

№ 1070

( b (4b

)

a 4 9a 2 − 6a + 1 = a 2

1)

2

2)

№ 1071

4

3− 2

2) 3)

)

(2b + 1)

+ 4b 2 + 1 = b

=

10 − 7 8

4)

= a 2 3a − 1

2

2

(

)

= b 2b 2 + 1 .

) ( ) 3( 6 − 5 ) 3 = = 3( 6 − 5 ) ; 6−5 6+ 5 12( 10 + 7 ) 12 = = 4( 10 + 7 ) ; 5

1)

(3a − 1)2

11 + 3

=

(

5 3+ 2 =5 3+ 2 ; 3− 2

(

10 − 7

)

8 11 − 3 = 11 − 3 .

11 − 3

№ 1072 1)

5 1 3 6 3 = ; 2) = ; 3) 10 2 5 6 6

7− 5 7−5 = = 2 2 7+ 5

1 7+ 5

.

№ 1073 1) х = 0,444..., 10х = 4,4..., 10х – х = 4,4... – 0,4..., 9х = 4, х = 2) х = 2,77...

25 7 x= =2 ; 9 9 3) х = 0,2121...

21 7 x= = ; 99 33

10х = 27,77..., 9х = 25,

4) х = 1,36...

100х = 136,36..., 99х = 135, x =

4 ; 9

100х = 21,21..., 99х = 21,

135 15 4 = =1 ; 99 11 11

5) х = 0,35..., 10х = 3,5..., 100х = 35,35..., 90х = 32, 32 ; x= 90 6) х = 0,213...,100х = 21,3...

1000х = 213,3..., 192 32 16 900х = 192, x= . = = 900 150 75

№ 1074 1)

_50 6 48 0,833...

5 = 0,8 (3) 6 141

_20 18 20 2)

3)

2

1 9

_1,0 9

5

2 11

1 = 2, (1) 9

1 = 0, (142857) 7

_1,0 7 7 0,1428571... _30 28 _20 14 _60 56 _40 35 _50 49 10

4)

2

9 0,11...

10

_20 11

5

11 0,181... _90 80 20

2 = 5, (18) 11

№ 1075 1) нет; 2) да, например

2 ⋅ 2 = 2 ; 3)

a+ b ab

=

1 b

+

1 a

– нет.

№ 1076 a, b ∈N a k2 k2 = = 2 , b b ⋅b b

ab – рациональное, значит, ab = k2, a = a = b

k2 b

2

=

k2 , b

k – рациональное число, ч.т.д. b

№ 1077 a – рац. b – иррац. а = а0, а1 ... аk а0, а1 ... аk – цифры; b = b0, b1 ... bk, bk+1 a ⋅ b = (а0 + а1 ⋅ 10–1 + а2 ⋅ 10–2 + ... + аk ⋅ 10–k) (b0 + b1 ⋅10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + + bk+1 ⋅ 10–k–1) = а0b0 + ... + а0bk ⋅ 10–k + а0bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац.

142

a + b = (а0 + а1 ⋅10–1 +...+ аk ⋅ 10–k)+(b0 + b1 ⋅ 10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1) = = (а0 + b0) + (а1 + b1) ⋅ 10–1+ ... + (аk + bk) ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац. a a0 + a1 ⋅ 10−1 + a2 ⋅ 10−2 + ... + ak ⋅ 10− k = – очевидно, что оно иррациоb b0 + b1 ⋅10−1 + b2 ⋅10− 2 + ... + bk ⋅10− k нально, а т.к.

b 1 = , то это тоже является иррац., ч.т.д. a (a / b )

№ 1078

[

]

1) 1; 3 2 + 2 7 ,

[3

]

3 + 4; 15 , 1 < 3 3 + 4 , 15 > 3 2 + 2 7 ,

3 2 +2 7 , 3 3 +4. Возведем в квадрат.

18 + 28 + 12 14 ,

27 + 16 + 24 3 , 3 + 12 14 , 24 3 .

Сравним 12 14 и 24 3 . Возведем в квадрат.

2016 > 1728 ⇒ отрезки имеют общую точку.

(

2) 0,

) ( 48 − 1, 10) ,

27 + 6 ,

Сравним

27 + 6 ,

0 < 48 − 1 ,

27 + 6 < 6 + 3 = 9 < 10 .

48 − 1 .

Возведем в квадрат 27 + 6 + 2 162 , 48 + 1 − 2 48 , 18 2 , 16 − 8 3 > 0 . Еще раз возведем в квадрат 648, 256 + 192 − 256 3 , 200 > −256 3 . Имеют общие точки.

[

] (

)

3) 2; 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 ; 11 , 2 < 3 2 + 22 , 2 5 + 2 6 < 11 . Сравним 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 . Возведем в квадрат 20 + 24 + 8 30 , 18 + 22 + 6 44 , 4 + 8 30 , 12 11 . Возведем в квадрат 8 30 и 12 11 .

1920 > 1584 ⇒ имеют общие точки.  2  2 ; 4  , 1 < 4) 1; 1 + 3 и  , 1+ 3 < 4 .

3 −1  3 −1  2 . Умножим оба на 3 − 1 > 0 . Сравним 1 + 3 и 3 −1 (3 – 1) = 2 – но одно отрезок, другой – интервал. Значит, не имеют.

[

]

№ 1079

a<b 1) Пусть а имеет координаты (a, 0), a b – (b, 0). Тогда середина отрезка a+b a+b  , 0  . Точка [a, b] имеет координаты  имеет координаты 2  2  a+b 0+0 a+b  , 0  – т.е. она совпадает с серединой. ,   , или  2 2   2   143

2) Допустим, эта точка не лежит в этом отрезке, тогда либо a + bc a + bc <a, >b, a + bc > b + bc, a > b – противоречие, либо 1+ c 1+ c a+bc<a+ac, bc<ac, b<a – противоречие, значит, она лежит внутри этого отрезка.

№ 1080 1) S∆ =

1 1 а ⋅ а ⋅ sin 60° = р ⋅ r, где р = (а + а + а).

2 2

a2 ⋅ 3 ⋅ 2 a 3 6 ⋅ 3 1 2 3 3 = = = 3 , d = 2r = 2 3 ; a ⋅ = a⋅r , r = 2 ⋅ 2 ⋅ 3a 6 6 2 2 2 9 a a 9 9 9 α 2) = , , sin = = , = 2 ⋅ sin α sin  π − α  4 sin α cos α cos α 2 a ⋅ 4 16   2 2 2 2 2 47 2 ⋅ 81 94 47 cos α = −2 sin 2 α = 1 − , α ⋅ arccos = = ≈ 68,46° .

128 256 256 128

№ 1081 tg54° =

120 , l

l=

120 ≈ 87,2 . tg54°

№ 1082 x 130 = , sin 22° sin 68° π  130 sin  − 68°  2   x= = 130ctg 68° sin 68° y 130 130 cos 46° = , y= = 130ctg 46° sin (90° − 46°) sin 46° sin 46° l = 130 (ctg 68° + ctg 46°) ≈ 178 (м).

l = x + y,

№ 1083 1) cos α = tgα =

8 , 10

sin α 6 ⋅ 10 6 = = , cos α 10 ⋅ 8 8

 8 sin α = 1 −    10 

2

=

6 10

ctgα =

1 8 = tgα 6

25 12 5 = cos α = 1 − sin 2 α = 1 − , 169 13 13 sin α 5 ⋅ 13 5 12 tgα = , ctgα = = = cos α 13 ⋅ 12 12 5

2) sin α =

144

3) tgα = 2,4 = 1

cos α =

2

1 + tg α

12 , 5 =

1 + tg 2α = 1

144 1+ 25

=

1 cos 2 α

,

5 13

25 12 5 = , ctgα = 169 13 12 1 1 24 1 7 2 , 1 + ctg α = 4) ctgα = , sin α = , = = 2 24 25 sin 2 α 49 1 + ctg α 1+ 576 sin α = 1 −

2

7 24  24  ; tgα = cos α = 1 −   = .

25 7  25 

№ 1084 cos 2α = cos2α – sin2α = 1 – sin2α – sin2α = 1 – 2sin2α = 1 – 2 ⋅

1 7 = .

9 9

№ 1085 sin

π 11π 19π  + cos 690° − cos = sin  4π −  + cos(720° − 30°) − 3 3 3 

3 3 1 1 π π π  − cos 6π +  = − sin + cos 30° − cos = − + − =− .

3 3 3 2 2 2 2 

№ 1086 1) 2arctg1 − 3arcsin 2) 8 arccos

π π π π 3 = 2 ⋅ − 3⋅ = − π = − ; 2 4 3 2 2

2 π π + 6arctg 3 = 8 ⋅ + 6 ⋅ = 2π + 2π = 4π .

2 4 3

№ 1087  3  3  π = sin  2 ⋅  = 1) sin  2 arcsin   2 3 2     2) tg (2arctg3), arctg3 = x, 2 tgx 2⋅3 6 3 tg 2 x = = =− =− .

8 4 1 − tg 2 x 1 − 9

tg x = 3

№ 1088 1

1) log 4 sin

− 2 1 1  1 1 π 1 = log 2 = log 2 2 2 = ⋅  −  = − ; 4 2 2 2 2  2 4

145

2) log10 tg

π = log10 1 = 0 ; 4

 2  1  1 3π 1  = ⋅−  = − 1 ; = log 2    4 3 6  2  3  2 π 1 4) log 2 cos = log 2 = −1 ; 3 2 π 5) log 3 1 − log 4 tg ⋅ log 5 cos 0 = 0 − log 4 1 log 5 1 = 0 .

4 3) log 8 sin

№ 1089

(

)

1) ctg arctg 3 = ctg

3 π π = ; 2) ctg(arctg1) = ctg = 1 ; 3 3 4

( ( ))

 3 1  π 1  π ; 4) sin  arctg 3) sin arctg − 3 = sin  −  = − = sin = ;   2 6 2  3 3   5) cos(arctg1) = cos

( ( ))

2 π  π 1 = ; 6) cos arctg − 3 = cos −  = .

4 2  3 2

№ 1090  2  1) cos 6 arccos .   2   По определению арккосинус числа

2 2 - это такое число α, -0 ≤ α ≤ π,

2 2 . В нашем случае α = arccos

косинус которого равен

2 π = , далее 2 4

 π 2   π 3   π cos 6 arccos = cos 6 ⋅  = cos π  = cos π +  = − cos  = 0   2 4 2 2       2   2) sin(5arccos0) По определению арккосинус числа 0 – это такое число α, 0 ≤ d ≤ π, коπ синус которого равен 0. В нашем случае α = arccos0 = , далее 2 π  π  5π   π sin (5 arccos 0) = sin  5 ⋅  = sin   = sin  2π +  = sin   = 1 2  2   2  2

№ 1091

sin α cos α 3 3 при tgα = , tgα = , т.е. |sinα| ≠ |cosα|, знамена4 4 sin 2 α − cos2 α тель данного выражения отличен от 0 и выражение имеет смысл, далее sin α cos α sin 2α 1 sin 2α 1 = =− ⋅ = − tg 2α , 2 2 2 2 2 cos 2α 2 sin α − cos α − 2 cos α − sin α 1)

(

146

)

tg 2α =

2tgα

tgα 1 1 2tgα 3 по = 2 , tgα = , тогда − tg 2α = − ⋅ 2 2 2 4 1 − tg α 1 − tg α tg α − 1 2

tgα

3

3

4 = 3 ⋅  − 16  = − 12 , итак, вы9 7 tg α − 1 3 −1 −1 4  7  4 16 sin α cos α 3 12 ражение ; при tgα = равняется − 4 7 sin 2 α − cos2 α 1 2) sinαcosα, если sin α + cos α = .

3 1 Возведем обе части выражения sin α cos α = в квадрат, получим 3 условию, тогда

2

(sin α cos α )2 =  1 

=

4

( )

2

=

2

1 , sin 2 α + 2 sin α ⋅ cos α + cos 2 α = , 3 9   1 4 1 + 2 sin α ⋅ cos α = , откуда sin α ⋅ cos α = − , таким образом 9 9 4 sin α ⋅ cos α = − .

9

147