Al4

№ 1092 1) =

a + 2  2a 2 − a − 3 2a − 3  a + 2  2(a + 1)(a − 3 2 ) a − 2   = = ⋅ : a − 2  a 2 + 5a + 6 a − 2  a − 2  (a + 2 )(a + 3) 2a − 3 

a + 2 2(a + 1)(a − 3 2 ) a−2 a +1 ⋅ ⋅ = a − 2 (a + 2 )(a + 3) 2(a − 3 2 ) a + 3

1  8b 2 + 8b + 2 2b + 1 2b + 1 b(b − 4) 2b + 1 (b − 4 )  2)  2 +  : ⋅ = ⋅ ⋅ = b b b b 2b b 2 − 4b  2(2b + 1)2

№ 1093 1)

= − + +

a a2 − 1

+

a2 + a − 1 a3 − a 2 + a − 1

+

a2 − a − 1 a3 + a 2 + a + 1

−

2a 3

=

a4 − 1

a a2 + a − 1 a2 − a − 1 + 2 + 2 − (a − 1)(a + 1) a (a − 1) + (a − 1) a (a + 1) + (a + 1) 2a 3

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 2

a − a −1

(a + 1)(a

2

)

+1

a2 − a −1

(a + 1)(a

−

(

2a

3

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)

=

2a 3

−

)

=

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) a (a 2 + 1) + (a 2 + a − 1)(a + 1) + (a 2 − a − 1)(a − 1) − 2a 3 = (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 2

)

a a2 + a − 1 + + (a − 1)(a + 1) (a − 1) a 2 + 1

=

+1

Преобразуем числитель полученной дроби а(а2+1)+(а2+а–1)(а+1)+(а2–а–1)(а–1)–2а3=а3+а+а3+а2+а2+а–а–1+а3 – – а2 – а2 + а – а + 1 – 2а3 = а3 + а, тогда дробь примет вид

a3 + a

(a − 1)(a + 1)(a 2)

=

2

1 2

a + 5a + 6

1

)

) (a −1)(a + 1)

+1

+

(

a a 2 +1

=

2

2a 2

a + 4a + 3

+

2a

2

+

=

a 2

a −1

1

(a + 1) +

2

+ a +1

1

−

2 = a+3

−

2

(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 3) (a + 1)(a + 2 ) a + 3 1 ⋅ (a + 1) + 2a (a + 2 ) + 1 ⋅ (a + 3) − 2(a + 1)(a + 2 ) = = (a + 1)(a + 2 )(a + 3) = 146

=

a + 1 + 2 a 2 + 4 a + a + 3 − 2a 2 − 6 a − 4 0 = =0 (a + 1)(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 2)(a + 3)

№ 1094 1 1 1 4−4 a +4+4 a 1 − + = − = 2 − 2a 4 + 4 a 2 − 2a 4 − 4 a 4+4 a 4−4 a 8 1 1 1 − = − =0 16 − 16a 2 − 2a 2 − 2a 2 − 2a

(

1)

2)

a 2 + a − 2 −1 a 2 − 2 − 2 + 2a

=

)(

)

(a − 1)( 2 + 1) = 2 (a − 1) + 2(a − 1) (a − 1)(2 + 2 ) 2 (a − 1) + (a − 1)

=

1 2

№ 1095  a − x  a − x  1− при а = 5, х = 4 1) 1 +  a + x  a + x   Преобразуем данное выражение:  1 +  

a−x a+x

 1 − a − x  a+x 

  = 1 − a − x = a + x − a + x = 2x  a+x a+x a+x 

при а = 5, х = 4 полученное выражение примет вид: 2)

a + a2 − x2 a − a2 − x2

−

a − a2 − x2 a + a2 − x2

2⋅4 8 = ; 5+ 4 9

при а = 3, x = 5

Преобразуем данное выражение: 2

2

2

2

2

a+ a −x a− a −x = =

−

2

a− a −x

2

a + a2 − x2

(

) (

2

  2 2 2 2 a + a − x  − a − a − x    =   =  2 2  2 2  a − a − x  a + a − x    

(

a 2 + 2a a 2 − x 2 + a 2 − x 2 − a 2 + 2a a 2 − x 2 − a 2 − x 2 4a a 2 − x 2 x2

4 ⋅ 3 32 −

( 5)

)

)=

; при а = 3, x = 5 полученное выражение примет вид:

( 5)

2

2

a2 − a2 − x2

=

12 9 − 5 24 = = 4,8 .

5 5

№ 1096 1)

x

1

2

1+ x

1

2

1  12   x 1  x 2 ⋅ − =  1 1 1 1− x 2 x 2 − x  1+ x 2  

   1  2 1  x  = ⋅ − 1 1  1  2 2 1 − x 2   1− x x       147

x

=

1

2

1+ x

1

⋅ 2

x −1 x −1 = = −1 1   −x 1 2 2 x 1 − x    1

2

1   12   12  12  1 1   m + 1  2m  m + 1 − 4m 2   2 2 2 m + 2m + 1  2m 4m     ⋅   ⋅ 1 − 2) =  = 1 1 m 1 − m 1 −  m 2 −1  2   2m 2 m 2      

1

2

 12  1 1  m + 1  ⋅ 2m − 4m 2 + 2m 2 = = 1 m −1 2m 2

2

 12  1  m + 1   ⋅ 2m − 2m 2 = m 1 2 + 1 1 m −1 2m 2

№ 1097 m m ⋅ 2mn ⋅ 18mn = 6n ⋅ 3 = 18mn ; 2n 2n

1) 6n ⋅

 + 1  a 1 −   ⋅ a 14 = 2) 3 ⋅ ⋅ ⋅a 4 = 1 1 1 1  1  a 2 +1 a 2 +1 a 4 +a 2 a 2  a 4 + 1    1 2  1 2  1 4  1 4   a + 1 a − 1 a  a + 1   ⋅ a 14 = a 12 − 1 . ⋅  = 1 1  1  a 2 +1 a 2  a 4 + 1   a −1

a

1

2

+a

1

4

a

1

1

1 4  a 4

№ 1098  a a −1  a −1 a a −1+ a − a a −1 + a: = ⋅ = 1)   a −1  a −1 a −1 a −1   a − 1 + a (a − 1) a −1

⋅

(

)

a − 1 (a − 1) a + 1 a −1 = ⋅ = a +1; a −1 a −1 − a 1

1+ b b  1+ b 1+ b b − b − b 1+ b − b ⋅ = ⋅ = 2)   1+ b  1− b 1− b 1+ b  

(

(1 − b ) −

)

b (1 − b ) 1 + b (1 − b ) 1 − b 1 + b ⋅ = 1− b . ⋅ = 1− b 1− b 1+ b 1+ b

=

№ 1099 a −1b − 2 − a − 2b −1 a 148

−5

3 b2

−b

−5

3 a−2

−a

1

1 3b 3

=

a −1b − 2 − a − 2b −1 − a a

−5

3b−2

−4

3b

−b

−5

−5

3

+a

3 a−2

−5

3b

−4

3

=

−4 −5   −  a − 2b −1 + a 3 b 3   = = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a 5 2 2  2  − −5   2 a 3 b − 2  a 3 + b 3  − b 3 a − 2  a 3 + b 3     = = − 5 −2 − 5 −2 3 3 a b −b a 2   −5 −5   23  a + b 3  ⋅  a 3 b − 2 − b 3 a − 2     = a23 + b23 . = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a

a −1b − 2 + a

−5

3b

−4

3

№ 1100  ab + b 2  a + ab − 1)   a 2 + ab ab + b 

(

)

   

−2

a 3b + ab3 = 2ab

−

 a a+ b b a+b = −  + a a b b a+ b 

(

 a + b + 2 ab − a − b   =   + + a b a b  

(

)

 2 ab =  a+b a + b 

(

=

−2

(a + b )(a + 2

)

   

−2

ab + b

4ab

−

)−

)

   

−2

a 3b + ab3 = 2ab

−

a 3b + ab3 = 2ab

−

ab (a + b ) = 2ab a 3b + ab3 = 2ab

a 2 + 2a ab + ab + ab + 2b ab + b 2 − 2a ab − 2b ab (a + b )2 = = 4ab 4ab

2)

( a + b) 1

( a + b)

2

=

−1   −1 2 a 2 + b 2  1 1 = ⋅ +  +  3 a b a+ b

−2

(

(

)

  2 1 + 1  a+b a b = ⋅ +  3 ab a+ b

a+b

ab a + b

)

2

+

(

(

2 a+ b ab

)

)

( a + b)

3

=

( a + b) b) ab( a + b )

a + b + 2 ab

(

ab a +

2

2

=

2

=

1 ab

149

№ 1101 4

 9a − 25a −1 a + 7 + 10a −1   = − 1  1 −1 −1  2 2 2 2 3 a 5 a a 2 a − +   4

1   12  − 1  −1    3a − 5a 2  3a 2 + 5a 2   −1 + + a 7 10 a      − 1 = = 1 −1 −1   3a 2 − 5a 2 a 2 + 2a 2      4

4

   −1 −1   3a + 5 + 6 + 10a − a − 7 − 10a   2a + 4  = =   −1  = −1    a 2 (a + 2 )  2 (a + 2 ) a     4

4    1   2(a + 2)  = 1 =  2a 2  = 16a 2 .   a − 2 (a + 2 )     

№ 1102     3 b 3 1   + 3 4 9  3 − b b 9 − b   b    33 b b  =3 +  b (b − 9 ) b − 9     b−9 =  3+ b =

−2

(

)

− b 2 + 18b + 81

−2

(b + 9)

2

−

0, 5

(

 3+ b =  b−9 

=

)

−2

 

− (b + 9) =

2

 b 2 − 18b + 81 − 9b − 6b b − b 2 − 81 − 54 b − 9b  − (b + 9) = =  9+6 b +b 

− 54 b − 36b − 6b b 9+6 b +b

=

(

−6 b 9+6 b +b 9+6 b +b

) = −6

b .

№ 1103 1)

1 + tg 2α 2

1 + ctg α

=

1 2

:

1 2

cos α sin α

= tg 2α

2) (1+tgα)(1+ctgα) – 1/(sinαcosα) = =

150

1 + 2 sin α cos α 1 − =2. cos α sin α sin α cos α

cosα + sinα sinα + cosα 1 ⋅ − = cosα sinα sinα cosα

№ 1104

1 − (sin α + cos α )2 = 2tg 2α . sin α cos α − ctgα

тождества:

=

2 sin 2 α 2

Преобразуем

левую

часть

данного

1 − (sin α + cos α )2 1 − 1 − 2 sin α ⋅ cos α sin 2 α cos α = = −2 = cos α sin α cos α − ctgα cos α sin 2 α − 1 sin α cos α − sin α

(

=

2 sin 2 α 2

)

= 2tg 2α , таким образом, левая и правая части

1 − sin α cos α тождества совпадают, следовательно, тождество доказано.

№ 1105

1) sin2(α + 8π) + cos2(α + 10π) = sin2α + cos2α = 1; 2) cos2(α+6π)+cos2(α-4π)=cos2(α+3⋅2π)+cos2(2⋅2π-α)=cos2α+cos2α=2cos2α.

№ 1106

sin 2α sin α cos(π − α ) sin α ⋅ cos α sin α cos α + = + = 2 1 − 2 cos 2 α 1 − 2 sin 2 α sin 2 α − cos 2 α sin 2 α − cos 2 α sin 2α =− = −tg 2α . cos 2α

(

)

№ 1107 cos 2 x sin 2 x − = − sin x − cos x 1 + sin x 1 − cos x Преобразуем левую часть данного тождества:

(

)

cos 2 x − cos3 x − sin 2 x − sin 3 x cos 2 x − sin 2 x − cos3 x + sin 3 x = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x − sin x )(cos x + sin x ) − (cos x + sin x )(1 − sin x ⋅ cos x ) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) ( cos x + sin x )(cos x − sin x − 1 + sin x ⋅ cos x ) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x + sin x )(cos x(1 + sin x ) − (1 + sin x )) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) ( cos x + sin x )(1 + sin x )(cos x − 1) = = − sin x − cos x , (1 + sin x )(1 − cos x ) таким образом правая и левая части тождества совпадают, ч.т.д.

№ 1108 α α + 2 sin 2 = 2 2 α α α α α π = 2 cos  cos + sin  = 2 2 cos sin  +  ; 2 2 2 2  2 4

1) 1 + cos α + sin α = (1 + cos α ) + sin α = 2 cos 2

151

α α α − 2 sin cos = 2 2 2 α α α α α α π α π = 2 sin  sin − cos  = 2 sin ⋅ 2 sin  −  = 2 2 sin sin  −  ; 2 2 2 2 2  2 4  2 4 3) 3–4sin2α=3–4(1–cos2α)=3–4+4cos2α=4cos2α–1=(2cosα - 1)(2cosα + 1); 4) 1 – 4cos2α = (1 – 2cosα)(1 + 2cosα).

2) 1 − cos α − sin α = (10 cos α ) − sin α = 2 sin 2

№ 1109

α +β + γ = π 1) sin α + sin β − sin γ = 4 sin

α β γ sin cos 2 2 2

Рассмотрим правую часть: α β γ α β  π (α + β )  4 sin sin cos = 4 sin sin cos − = 2 2 2 2 2 2  2 α β α β α β α β β α sin sin  +  = 4 sin sin  sin cos + sin cos  = 2 2  2 2 2 2 2 2 2 2 α β β α β α = 4 sin 2 sin cos + 4 sin sin 2 cos = 2 2 2 2 2 2 β β α α β 2α = 2 sin cos ⋅ 2 sin + 2 sin cos 2 sin 2 = 2 2 2 2 2 2 = sin β(1 − cos α ) + sin α(1 − cos β ) = sin β − sin β cos α + sin α − sin α cos β = = sin β + sin α − (sin β cos α + sin α cos β ) = = 4 sin

π  = sin β + sin α − sin (α + β = )sin β + sin α − cos − (α + β ) = 2   = sin α + sin β − sin γ 2) Рассмотрим левую часть: sin2α + sin2β + sin2γ = 2sin(α + β)cos(α - β) + sin2γ = = 2sin(π - γ)cos(α - β) + sin2γ = 2sinγcos(α + 2β) + 2sinγcosγ = α −β+ γ α −β− γ = 2sinγ(cos(α + β) + cosγ) = = 2 sin γ ⋅ 2 cos cos = 2 2 π − 2β π − 2β − 2γ cos = 2 sin γ ⋅ 2 cos = 2 2 π  π  = 4 sin γ cos − β  cos − β − γ  = 4 sin γ sin β sin α = 4sinα sinβ sinγ. 2  2 

№ 1110

tgα = 2 sin 2 α + sin α cos α

. cos 2 α + 3 cos α sin α Разделим числитель и знаменатель данного выражения на cos2α ≠ 0 (последнее выполняется вследствие tgα = 2), 1)

152

sin 2 α

sin α ⋅ cos α + tg 2α + tgα α cos cos 2 α , при tgα = 2 выражение примет вид: = 2 1 + 3tgα cos α 3 cos α ⋅ sin α + cos 2 α cos 2 α 2 2 +2 6 = ; 1+ 3⋅ 2 7 2

2)

2 − sin 2 α 3 + cos 2 α

. Разделим числитель и знаменатель данного выражения на 2

−

sin 2 α

2 2 2 cos 2 α = 2 + 2tg α − tg α = 2 + tg α ; 2 3 3 + 3tg α + 1 4 + 3tg 2α +1

2 cos2α ≠ 0, получим: cos α

cos 2 α

при tgα = 2 выражение примет вид:

2 + 22 4 + 3 ⋅ 22

=

6 3 = 16 8

№ 1111

tgα + ctgα = 3, tg2α + ctg2α = (tgα + ctgα)2 – 2, тогда при tgα + ctgα = 3 выражение примет вид: 32 – 2 = 7.

№ 1112 π cos α + sin α π  cos α + sin α tg 4 + tgα − tg  + α  = − = cos α − sin α 4  cos α − sin α 1 − tg π 4 tgα cos α + sin α cos α + sin α − =0; cos α − sin α cos α − sin α

1)

1 − sin 2α cos 2 α 1 − sin 2α π  1 − sin 2α = ctg 2α − = − = 2) tg 2  − α  − 1 + sin 2α sin 2 α 1 + sin 2α 2  1 + sin 2α = =

cos 2 α + sin 2α cos 2 α − sin 2 α + sin 2α sin 2 α sin 2 α(1 + sin 2α )

sin 2α + cos2 α − sin 2 α sin α(1 + sin 2α ) 2

=

sin 2α + cos 2α

sin 2 α (1 + sin 2α )

=

.

№ 1113 1)

tgα + tgβ tgα + tgβ = = tgαtgβ 1 1 ctgα + ctgβ + tgα

tgβ

2) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α + + sin2α - 2sinαcosα + cos2α = 2

153

( (

) )

( (

) )

sin π + α − cos π + α 4 4 = sin π + α + cos π + α 4 4 sin π cos α + cos π sin α − cos π cos α + sin π sin α 4 4 4 4 = = sin π cos α + cos π sin α + cos π cos α − sin π sin α 4 4 4 4 cos α + sin α − cos α + sin α = = 2tgα ; cos α + sin α + cos α − sin α sin α + 2 sin π − α sin α + 2 sin π cos α − cos π sin α 3 3 3 4) = = 2 cos π − α − 3 cos α 2 cos π ⋅ cos α + sin π sin α − 3 cos α 6 6 6 3)

(

=

)

(

)

(

sin α + 3 cos α − sin α

№ 1114

( (

) )

( (

) )

)

( (

) )

sin 2 π − α 4 cos 2 π − α 4 =

1 − tg π − α 4 = 1) 1 + tg 2 π − α sin 2 π − α 4 4 1+ 2

)

= 3ctgα .

3 cos α + sin α − 3 cos α

1−

(

( (

cos 2 π − α 4

( (

) )

) )

cos 2 π − α − sin 2 π − α 4 4 = cos 2 π − α = cos π − 2α = sin 2α .

4 2 cos 2 π − α + sin 2 π − α 4 4 sin 2α 2 sin α cos α = = tgα .

2) 1 + cos 2α 2 cos 2 α =

((

(

))

)

№ 1115 1)

tg 2α 1 + ctg2α

2

2)

1 + ctg α 2

ctg α

=

tg 2α 1 tg 2α

1+ 1+

=

=

tg 4α 1 + tg 2α

=

cos 2 α sin 2 α =

cos 2 α

1 2

⋅

tg 4α 1 cos2 α

sin 2 α 2

sin α cos α

=

=

sin4 α cos2 α ⋅ = sin2α tg2α.

1 cos4 α

1 cos 2 α

.

sin 2 α

3)

sin α sin β − cosα cosβ

sinαcosβ − sinβcosα sinαsinβ tgα − tgβ = ⋅ = = cosαcosβ sinβcosα + sinαcosβ ctgα + ctgβ cos α + cosβ sin α

= 154

sin β

sin (α − β ) sin (α − β ) 1 2 (cos(α − β ) − cos(α + β )) = ⋅ tgα ⋅ tgβ = ⋅ sin (α + β) sin (α + β ) 1 (cos(α − β ) + cos(α + β )) 2

sin (α − β )cos(α − β ) − sin (α − β )cos(α + β ) = sin (α + β )cos(α − β ) + sin (α + β )cos(α + β ) 1 (sin (α − β − α + β ) + sin (2α − 2β ) − sin (− 2β ) − sin 2α ) = 2 = 1 (sin (− 2β ) + sin 2α + sin (α + β − α − β ) + sin (2α + 2β )) 2 sin (2α − 2β ) + sin 2β − sin 2α = = sin (2α + 2β ) − sin 2β + sin 2α 2 sin α ⋅ cos(α − 2β ) − 2 sin α ⋅ cos α cos(α − 2β ) − cos α = = = 2 sin α ⋅ cos(α + 2β ) + 2 sin α ⋅ cos α cos(α + 2β ) + cos α − 2 sin (α + β ) ⋅ sin (− β ) = = tg (α + β ) ⋅ tgβ 2 cos(α + β ) ⋅ cos β 4) (tgα+ctgα)2–(tgα–ctgα)2=tg2α+2tgα⋅ctgα+ctg2α–tg2α+2tgα⋅ctgα-ctg2α=2 +2=4 =

№ 1116 1 + cos 2α 2 cos 2 α = = cos α ; 2 cos α 2 cos α tgα − sin α sin α − sin α cos α 1 − cos α α 2) = = = tg 2 ; tgα + sin α sin α + sin α cos α 1 + cos α 2 sin α + sin 3α + sin 5α sin 3α + (sin α + sin 5α ) 3) = = cos α + cos 3α + cos 5α cos 3α + (cos α + cos 5α ) sin 3α + 2 sin 3α cos 2α sin 3α(1 + 2 cos 2α ) = = = tg 3α ; cos 3α + 2 cos 3α cos 2α cos 3α(1 + 2 cos 2α ) 2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α + 2 sin 2α ⋅ cos 2α = 4) = 2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α − 2 sin 2α ⋅ cos 2α 1)

=

2 sin 2α (1 + cos 2α ) 2 cos 2 α = = ctg 2α .

2 sin 2α (1 − cos 2α ) 2 sin 2 α

№ 1117 1)

sin 2α + cos 2α + 2 sin 2 α sin 2α + cos 2α + 1 − cos 2α = = π sin (− α ) − sin (2,5π + α ) sin (− α ) − sin  2π + + α  2  

sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α (sin α + cos α )2 = = −(sin α + cos α ) π − sin α − cos α sin (− α ) − sin  + α  2  2)

=

cos 2α − sin 2α − 2 cos 2 α cos 2α − sin 2α − 1 − cos 2α = = π cos(− α ) − cos(2,5π + α ) cos α − cos 2π + + α  2   − (sin α + cos α )2 = −(sin α + cos α ) . cos α + sin α 155

№ 1118

1 − cos(2π − 2α )

=2 1 − cos 2 (α + π ) Преобразуем левую часть данного тождества:

1)

1 − cos(2π − 2α )

1 − cos 2α

)

=

2 sin 2 α

=2, 1 − cos 2 (α + π ) 1 − cos 2 α sin 2 α следовательно, тождество выполняется.

(

=

) sin (α + 90 ) Преобразуем левую часть: =

2)

(

sin 2 α + 90o = 1 + cos α − 90o 1 + sin (− α ) 2

o

cos 2 α 1 − sin 2 α = = 1 + sin α 1 + sin (− α ) 1 − sin α 1 − sin α o o Преобразуем правую часть тождества: 1+сos(α-90 )=1+cos(90 -α)=1+sinα Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

№ 1119 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 8 sin 2 x − = cos 2 x sin π − x + sin (− x ) 2 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 4(1 − cos 2 x ) = − = cos x − sin x cos 2 x

(

=

)

(5 cos x − 3sin x )(cos x + sin x ) − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = cos 2 x

5 cos 2 x + 5 cos x sin x − 3 sin x cos x − 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = = cos 2 x =

(

)

5 cos 2 x + sin 2 x 5 = . cos 2 x cos 2 x

№ 1120  3π  3  sin (x − 2π )cos − x  + tg (π − x )tg  π + x  =  2  2  = -sin x sin x + (-tgx)(-ctgx) = 1 – sin2x = cos2x.

№ 1121

1) cos2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1=cos2(α+2β)+(-cos2(α-2β))=cos2(α+2β) – – cos2(α - 2β) = (cos(α + 2β) – cos(α - 2β))(cos(α + 2β) + cos(α - 2β)) = = (-2sinα ⋅ sin2β) ⋅ (2cosαcos2β) = -sin2αsin4β 2) sin2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1= sin2(α+2β)–cos2(α–2β)=(sin(α + 2β) – –cos(α-2β))(sin(α+2β)+cos(α–2β))=(sinα⋅cos2β+sin2βcosα-cosα⋅cos2β-sinαsin2β) ⋅ (sinα⋅cos2β+sin2βcosα+cosα⋅cos2β+sinαsin2β)=(sinα(cos2β - sin2β) – –cosα(cos2β - sin2β))⋅(sinα(cos2β + sin2β) + cosα(cos2β + sin2β)) = = (sinα - cosα)(cos2β - sin2β)(cos2β + sin2β)(sinα + cos2β) = = (sin2α - cos2α)(cos22β - sin22β) = -cos2α ⋅ cos4β.

156

№ 1122 1)

cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α = = −2 = −2 ; 1 sin 3α sin α cos 4α − cos 2α (cos 2α − cos 4α ) 2

1 + cos 2α + 2 cos α cos 2α = = cos α + 1 + cos 2α − 1 cos α + 2 cos 2 α − 1 2 cos α(cos α + cos 2α ) = 2 cos α . cos α + cos 2α

2)

1 + cos α + cos 2α + cos 3α

№ 1123 1) =

2)

= = =

4 sin 2 α − sin 2 2α 2

2

4 − 4 sin α − sin 2α

=

4 sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α

4 cos

)

=

( ) = 4 sin α = tg α ; α (1 − sin α ) 4 cos α

4 sin 2 α 1 − cos 2 α 2

(

4 1 − sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α 4

2

4

4

2 2     2tgα     2tgα  2   2   = tg 1 : tg α − α − =     1 − tg 2α   tg 2α − tg 2 2α   1 − tg 2α         

tg 2 2αtg 2α − 1

(

4tg 4α − 1 1 − tg 2α

(1 − tg α) 2

)

2

⋅

(1 − tg α) = tg α (1 − tg α ) − 4tg α 2

2

4tg 4α − 1 + 2tg 2α − tg 4α 2

4

(

)(

6

2

tg α − 2tg α + tg α − 4tg α 3 tg 2α + 1 tg 2α − 1

2

2

)

=

2

2

3tg 4α + 2tg 2α − 1 tg 6α − 2tg 4α − 3tg 2α

=

2 3 = 3tg α − 1 = tg 2α tg 2α + 1 tg 2α − 3 tg 2α tg 2α − 3

(

)(

)

(

)

2

3 sin α

=

=

−1 3 sin 2 α − cos 2 α cos 2 α = = 2 2  sin 2 α  sin 2 α 2  sin α −3 cos α   sin α −3    cos 2 α  cos 2 α cos 2 α   

( α (3 cos

) = ctgα ⋅ cos 3α = ctgα ⋅ ctg 3α . sin 3α α)

− cos 2 α cos 2 α − 3 sin 2 α − sin

2

2

α − sin

2

№ 1124 1)

2 − cos x − sin x = sin x − cos x

 π   2 −  sin  − x  + sin x  2    = π   sin x − sin  − x  2 

157

π π  ⋅ cos − x  4 4 = π π  2 sin  x −  ⋅ cos 4 4 

2 − 2 sin

π  π  2 − 2 cos − x  1 − cos − x  4 = 4  π π   2 sin  x −  sin  x −  4 4  

1 + cos x + sin x + tgx cos x + cos 2 x + sin x − cos x + sin x = = sin x + cos x cos x(sin x + cos x ) (cos x + sin x ) + cos x(cos x + sin x ) = 1 + cos x = 1 + 1 . = cos x(sin x + cos x ) cos x cos x

2)

№ 1125 sin α ⋅ cos α 2 sin α cos α ctgα 3 sin α ctgα = , = . = 4 sin 2 α − cos 2 α sin 2 α cos 2 α 1 − ctg 2α − sin 2 α

sin 2 α

3

При ctgα = ¾ выражение примет вид:

3 4 4 = 3 ⋅ 16 = 1 5 . = 2 9 7 4 7 1 − 3 1− 16 4

( )

№ 1126 α=− = =

π 2 − 3sin2 α sin α + 2 cosα 2 − 2sin2 α − sin2 α sin α + 2 cosα , − = − = 8 cos2α sin α + cosα cos2α sin α + cosα

2 cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − sin 2 α

−

sin α + 2 cos α = sin α + cos α

2 cos 2 α − sin 2 α − (sin α + 2 cos α )(cos α − sin α ) = cos 2α

2 cos 2 α − sin 2 α − sin α ⋅ cos α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 cos 2 α = cos 2α 1 sin 2α − sin 2α − sin α ⋅ cos α + 2 cos α sin α 1 2 = = = ⋅ tg 2α . cos 2α cos 2α 2 1  π 1 π При α = − выражение примет вид: tg  −  = − .

8 2  8 2 =

№ 1127

tg (α − β ) + tgβ cos(α + β ) = . Преобразуем левую часть: tg (α + β ) − tgβ cos(α − β )   tgα + tgβ  tg (α − β ) + tgβ  tgα − tgβ = + tgβ  :  − tgβ  = tg (α + β ) − tgβ  1 + tgαtgβ 1 − tg α tg β   

158

 tgα − tgβ + tgβ + tgαtg 2β   tgα + tgβ − tgβ + tgα ⋅ tg 2β  : = =     1 + tg α tg β 1 tg tg − α β     tgα 1 + tg 2β 1 − tgαtgβ 1 − tgα ⋅ tgβ = ⋅ = = 1 + tgαtgβ tgα 1 + tg 2β 1 + tgαtgβ cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos(α + β ) = = ⇒ тождество выполняется. cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos(α − β )

(

)

(

)

№ 1128

π α 1) 1 + sin α = 2 cos 2  −  . Преобразуем правую часть: 4 2   π α  π α π  2 cos 2  −  = 1 + cos 2 −   = 1 + cos − α  = 1 + sin α , 4 2 4 2 2        правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. π α 2) 1 − sin α = 2 sin 2  −  . Преобразуем правую часть: 4 2 π α   π α π  2 sin 2  −  = 1 − cos 2 −  = 1 − cos − α  = 1 − sin α , 4 2 4 2 2       права часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

№ 1129 π π   1) sin  α +  − sin  α −  = 3 cos α 3 3   Преобразуем левую часть:

3 π π π   sin  α +  − sin  α −  = 2 sin ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 3 3 3 2   правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. π  π  2) cos + α  + cos − α  = 3 cos α . Преобразуем левую часть: 6 6     π 3 π  π  cos + α  + cos − α  = 2 cos ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 2 6 6 6     следовательно, тождество выполняется.

№ 1130 1)

2 α α tg + ctg 2 2

2 tg 2)

α α + ctg 2 2

=

= sin α . Преобразуем левую часть:

2tg tg 2

α 2

α +1 2

= sin α , следовательно, тождество выполняется.

ctgα − tgα = cos 2α . Преобразуем левую часть, получим: ctgα + tgα 159

cos α sin α cos 2 α − sin 2 α − sin α cos α = sin α ⋅ cos α = cos 2α . cos α sin α cos 2 α +sin 2 α + sin α

cos α

sin α⋅cos α

№ 1131

(1 + cos α )tg α = sin α .

Преобразуем левую часть выражения: 2 (1 + cos α )tg α = 2 cos2 α ⋅ sin (α 2) = 2 cos(α 2) ⋅ sin (α 2) = sin α , 2 2 cos(α 2 ) следовательно, тождество выполняется.

№ 1132 1) 1 − tg 2α = 1 − tg 2α = 1 −

cos 2α cos 2 α sin 2 α

. Преобразуем левую часть: =

cos 2 α − sin 2 α

=

cos 2α

, cos α cos α cos 2 α тождество выполняется; − cos 2α . Преобразуем левую часть: 2) 1 − ctg 2α = sin 2 α 1 − ctg 2α =

2

2

sin 2 α − cos 2 α sin 2 α

=−

cos 2α sin 2 α

,

следовательно,

следовательно,

тождество

выполняется.

№ 1133 π α π α 1 + cos α + cos 2α = 4 cos α cos +  ⋅ cos −  = 6 2   6 2 1 π 1 = 4 cos α cos α + cos  = 2 cos 2 α + cos α = 1 + cos α + cos 2α , 2 2 3  следовательно, тождество выполняется.

№ 1134 1)

1 − 2 sin 2 α 1 − tgα = . Преобразуем левую часть: 1 + sin 2α 1 + tgα

sin α 1− 1 − 2 sin 2 α cos 2 α − sin 2 α cos α − sin α α = 1 − tgα cos = = = 2 sin α 1 + sin 2α cos sin α + α 1 + tgα (cos α + sin α ) 1+ 2)

160

1 4 sin 2 α cos 2 α

= 1+

(1 − tg α) 2

4tg 2α

cos α

2

.

1

Преобразуем левую часть:

2

2

4 sin α cos α Преобразуем правую часть, получим:

=

1 sin 2 2α

= 1 + ctg 2 2α .

(1 − tg α) ⋅ (1 − tg α ) = 1 + 2

2

1 1 ⋅ = 1 + ctg 2 2α , правая часть равна 2tgα 2tgα tg 2α tg 2α левой, следовательно, тождество верно. π  1 + sin 2α . Преобразуем левую часть: 3) tg  + α  = cos 2α 4  1+

( (

) )

π sin π ⋅ cos α + cos π ⋅ sin α cos α + sin α π  sin 4 + α 4 4 tg  + α  = = . = π π π cos α − sin α cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α 4  cos 4 + α 4 4 Преобразуем правую часть:

(sin α + cos α )2 1 + sin 2α cos α + sin α = = . (cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin α cos 2α Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

1 − sin 2α π  = ctg 2  + α  .

4) 1 + sin 2α 4  Преобразуем левую часть: Преобразим правую часть:

( (

1 − sin 2α (cos α − sin α )2 = .

1 + sin 2α (cos α + sin α )2

) ( ) (

) )

2 2π 2 +α cosπ ⋅ cosα − sin α ⋅ sin π π  cos 4 4 = (cosα − sinα) = ctg2  + α  = 2 4 2 4  sin π + α (cosα + sinα)2 sin π ⋅ cosα + cos π ⋅ sin α 4 4 4 Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

№ 1135 π  π  1) 4 sin x ⋅ sin  − x  ⋅ sin  + x  = sin 3 x . Преобразуем левую часть: 3  3  1 2π  π  π  4 sin x ⋅ sin  − x  ⋅ sin  + x  = 4 sin x ⋅  cos 2 x − cos  = 2 3  3  3  π 2  = 2 sin x ⋅ cos 2 x − 2 sin x ⋅ cos π −  = 2 sin x ⋅ cos 2 x + sin x = 3 2  = 2sinх ⋅ cos2х + sinх = sinх(2cos2 + 1) = sinх(3cos2х - sin2х) = sin3х, следовательно, тождество выполняется; sin 24 x 2) cos 3 x cos 6 x cos12 x = 8 sin 3 x Умножим обе части тождества на 8sin3x и докажем равносильное тождество 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = sin24x (1) Преобразуем левую часть: 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = = 4sin6x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = 2sin12x ⋅ cos12x = sin24x, следовательно, тождество (1), как и исходное, выполняется.

161

№ 1136 3 x − 16 x+6 x+3 , 3х–16+12=3х + 18 – 2х – 6, 2х = 16, х = 8; +1 = − 12 4 6 5 6( x − 8 ) 43   = − x +  , 35(х–7)–63х–18(х–8)=-21х – 301, 2) (x − 7 ) − 3 x − 3 7 3   35х – 245 – 63х – 18х + 144 = -21х – 301, -25х = -200, х = 8.

1)

№ 1137 а(х – 3) + 8 = 13(х + 2). Если х = 0, то а(0 – 3) + 8 = 13(0 + 2); -3а + 8 = 0 + 26, -3а = 18, а = -6.

№ 1138 1 – b(x + 4) = 2(x – 8). Если х = 1, то 1 – b(1 + 4) = 2(1 – 8), 1 – 5b = -14, -5b = -15, b = 3.

№ 1139 1) х(х + 1) – (х + 2)(х + 3) + 9 = х(х + 4) – (х + 5)(х + 2), х2 + х – х2 – 3х – 2х – 6 + 9 = х2 + 4х – х2 – 2х – 5х – 10, -х = -13, х = 13; 2) 2(х+3)(х+1)+8=(2х+1)(х+5), 2х2+2х+6х+6+8=2х2+10х+х+5,-3х=-9, х=3.

№ 1140 3 2 4 3 2 4 , − = 2 − − =0, x + 3 x − 3 x − 9 x + 3 x − 3 (x − 3)(x + 3) 3(x − 3) − 2(x + 3) − 4 x − 13 =0, =0. (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) Знаменатель дроби не равен 0, следовательно, х – 13 = 0, т.е. х = 13;

1)

3± 9−8 5 2 11 = 3 ±1, + = , х2 – 6х + 8 = 0, x1, 2 = x − 2 x − 4 x2 + 6x + 8 1 х1 = 2, х2 = 4, следовательно х = 2, х = 4 решениями не являются, т.к. обращают в 0 знаменатели дробей.

5 2 11 5 x − 20 + 2 x − 4 − 11 + − =0, =0, (x − 2)(x − 4) x − 2 x − 4 (x − 2)(x − 4) 2)

7 x − 35

(x − 2)(x − 4)

7 x − 35 = 0 = 0 , что равносильно системе,  , х = 5. (x − 2 )(x − 4 ) ≠ 0

№ 1141 1) (a – b)x = a2 + (a + b)x, ax – bx = a2 + ax + bx, -2bx = a2, x = − 2) a2x = a + b + b2x, x(a2 – b2) = a + b, x =

a+b a 2 − b2

, x=

1 . a−b

№ 1142 1) х2 – 2х – 15 = 0, x1, 2 = 162

1 ± 1 + 15 = 1 ± 4 , х1 = 5, х2 = -3; 1

a2 ; 2b

2) 3х2 + 4х – 4 = 0, x1, 2 =

2 − 2 ± 4 + 12 − 2 ± 4 , x1 = , х2 = -2. = 3 3 3

№ 1143 1) (х – 3)(х – 2) = 6(х – 3), (х – 3)(х – 2 – 6) = 0, (х – 3)(х – 8) = 0, х = 3, х = 8; 11x 1 + = 0 , 6х2 – 11х + 3 = 0, 2) x 2 − 6 2 x1, 2 =

11 ± 121 − 72 11 ± 7 3 1 = , x1 = , x2 = .

2 12 12 3

№ 1144 1)

x(x − 1) + x(x + 1) x x + =0, = 0 , что равносильно системе: x +1 x −1 x2 − 1

 x 2 − x + x 2 + x = 0 , х =0;  2  x − 1 ≠ 0 2)

3x 2 2 x + 1 3 x 2 (3 x + 1) − 2(3x − 1)(3 x + 1) − (2 x + 1)(3 x − 1) =0, −2= , (3x − 1)(3x + 1) 3x − 1 3x + 1

9 x3 + 3x 2 − 18 x 2 + 2 − 6 x 2 + 2 x − 3 x + 1 = 0, (3x − 1)(3x + 1) 9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 , что равносильно системе: (3x − 1)(3x + 1) 9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 3 x 2 (3 x − 7 ) − (x + 3) = 0 ;  Решений нет.  (3 x − 1)(3 x + 1) ≠ 0 (3 x − 1)(3 x + 1) ≠ 0

№ 1145 1)

3 x − 1 − 7 7 x 2 − 28 18 3x − 1 7 7 x 2 − 28 18 , = 2 − − = 2 + , x+2 2+ x x+2 x−2 2−x x −4 x −4

3 x − 8 7 x 2 − 28 − 18(x + 2) 7 x 2 − 28 − 18 x − 36 (3 x − 8)(x − 2 ) − =0, = , x +1 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 7 x 2 − 18 x − 64 − 3 x 2 + 6 x + 8 x − 16 x2 − 4

= 0 , что равносильно системе:

4 x 2 − 4 x − 80 = 0  x 2 − x − 20 = 0 ;  .  (x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0 (x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0 Решим первое уравнение системы: х2 – х – 20 = 0, x1, 2 =

1 ± 1 + 4 ⋅ 20 1 ± 9 , х1 = 5, х2 = -4. = 2 2 163

12 2− x x +1 − = , x + 3 x2 − 9 3 − x

2)

(x + 1)(x − 3) − 12 + (2 − x )(x + 3) = 0 , x2 − 9

x2 − 3x + x − 3 − 12 + 2x + 6 − x2 − 3x = 0 −3x − 9 = 0  x = −3 ,  . ,   x − 3 x + 3 ≠ 0 ( )( ) x x − 3 + 3 ≠ 0 ( )( )  (x − 3)(x + 3) ≠ 0  Ответ: решений нет

№ 1146 2

−

2

(

)

1 2 x − 1 2(x + 1) − x 2 − x + 1 − 2 x + 1 = 3 =0, , x +1 x +1 x3 + 1

x − x +1 − x 2 + x + 2 = 0  x = −1, x = 2 . ,   2 2 (x + 1) x − x + 1 ≠ 0 (x + 1) x − x + 1 ≠ 0 Решением системы является х = 2.

(

)

(

)

№ 1147 1 =0. x При х ≠ 0 умножим обе части уравнения на х: х2 – 4х + 1 = 0, 1) x − 4 +

x1, 2 = 2)

2 ± 4 −1 = 2± 3 ; 1

 2 4 x2 10 4 x 2 − 10 + 4 x + 8 − +4=0, = 0 , 4 x + 4 x − 2 = 0 x+2 x+2 x+2 x + 2 ≠ 0

2 x 2 + 2 x − 1 = 0 −1± 1+ 2 −1 ± 3 . , 2х2 + 2х – 1 = 0, x1, 2 = =  2 2  x ≠ −2

№ 1148

1) х4 – 11х2 + 30 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: у2 – 11у + 30 = 0, y1, 2 =

11 ± 121 − 120 11 ± 1 = , у1 = 6, у2 = 5, но у = х2, т.е.

2 2

х2 = 6, x = ± 6 ; х2 = 5, x = ± 5 . Ответ: x = ± 5 , x = ± 6 .

2) 2х4 – 5х2 + 2 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 – 5у + 2 = 0, 5 ± 25 − 16 5 ± 3 8 1 = , y1 = = 2, y2 = , но у = х2, т.е.

4 4 4 2 1 1 1 . Ответ: x = ± 2 , x = ± х2 = 2, x = ± 2 и x 2 = , x = ± .

2 2 2 y1,2 =

№ 1149

1) 2х-2 + 4х-1 + 3 = 0. Пусть х-1 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 + 4у + 3 = 0,

164

−2± 4−6 ; D < 0, корней нет; 2 2) (х2 – х)2 + 12 = 8(х2 – х) Пусть х2 – х = у, тогда уравнение примет вид: у2 +12=8у, у2 –8у+12 = 0, y1, 2 =

4 ± 16 − 12 = 4 ± 2 , у1 = 6, у2 = 2, но у = х2 – х, т.е.

1 х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = -2 и х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Ответ: х1 = 3, х2/3 = ±2, х4 = -1. y1, 2 =

№ 1150 a2 = 0 , x1, 2 4 −a ± 2b . = 2

1) x 2 + ax − b 2 + Ответ: x1, 2 2)

 a 2  − a ± a 2 + 4 b 2 −  4  − a ± 2b  = . = 2 2

2 x(2 x + a ) − x(2 x − a ) − 5a 2 2x x 5a 2 =0, − = 2 , 2x − a 2x + a 4x − a2 4x2 − a2

4 x 2 + 2ax − 2 x 2 + ax − 5a 2 4x2 − a2 2 x 2 + 3ax − 5a 2 4 x2 − a2

=0,

= 0 , что равносильно системе:

2 x 2 + 3ax − 5a 2 = 0 , 2х2 + 3ах – 5а2 = 0,  (2 x − a )(2 x + a ) ≠ 0 x1, 2 =

− 3a ± 9a 2 + 40a 2 − 3a ± 7 a −5 = , х1 = а, x2 = a.

2 4 4

№ 1151

ах2 +bx + c. При а ≠ 0, a > 0, b2 = 4ac трехчлен ax2 + bx + c является квадратом двучлена.

№ 1152 ax2 + bx + a = 0, a ≠ 0, x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac , 2a

− b − b 2 − 4a 2 − b + b 2 − 4a 2 b 2 − b 2 + 4a 2 ⋅ = = 1, 2a 2a 4a 2 следовательно, х1, х2 – взаимно обратные числа. x1 ⋅ x2 =

№ 1153

1) |2x – 3| = 7; а) если 2х – 3 ≥ 0, то 2х – 3 = 7, 2х = 10, х = 5; 165

б) если 2х – 3 < 0, то 2х – 3 = -7, 2х = -4, х = -2.

2) |x + 6| = 2x; а) если х + 6 ≥ 0, то х + 6 = 2х, х = 6; б)если х + 6 < 0, то х + 6 = -2х, х = –2, но тогда х + 6 < 0 не выполняется Ответ: х = 6.

3) 2х – 7 = |x - 4|; а) если х – 4 ≥ 0, то 2х–7=х – 4, х = 3, но тогда х – 4 ≥ 0 не выполняется; 11 2 б) если х – 4 < 0, то 2х – 7 = -х + 4, 3х = 11, x = =3 .

3 3

№ 1154

1) |6 – 2x| = 3x + 1; а) если 6 – 2х ≥ 0, то 6 – 2х = 3х + 1, х = 1; б) если 6 – 2х < 0, то 2х – 6 = 3х + 1, х = -7, но тогда 6 – 2х < 0 не выполняется.

2) 2|x – 2| = |x| - 1 Рассмотрим уравнение на промежутках: 0

Ответ: х = 1.

2

а) x < 0, тогда 2(2 – х) = -х – 1, 4 – 2х = -х – 1, х = 5, но x < 0 ⇒ x = 5 не является решением; б) 0 ≤ х < 2, тогда 2(2 – х) = х – 1, 4 – 2х = х – 1, х =

5 ; 3

в) х ≥ 2, 2(х – 2) = х – 1, 2х – 4 = х – 1, х = 3. Ответ: х = 3, х = 1

№ 1155

|x2 – 3x – 6|=2x. Найдем корни трехчлена: х2 – 3х – 6 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–6) = 33, x1,2 =

3 ± 33 , 2

+

3 − 33 2

+ –

3 + 33 2

  3 − 33   3 + 33 ;+∞  , 1) x ∈  − ∞; U   2   2   2 тогда уравнение примет вид: х – 3х – 6 = 2х; х2 – 5х – 6 = 0,   3 − 33   33 ;+∞  ; х1 = 6, х2 = -1 ∈  − ∞;  U 3 +   2   2  

166

2 .

3

 3 − 33 3 + 33   , -х2+3х+6=2х, -х2+х+6=0, х2–х–6=0, х1=3, ; 2) x ∈   2 2    3 − 33 3 + 33   . Наименьший корень х = 3. ; х2=-2, − 2 ∈    2 2  

№ 1156

|x2 – 8x + 5| = 2x Найдем корни трехчлена: х2 – 8х + 5 = 0. D = 64 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 44 8 ± 44 = 4 ± 11 .

2 ⋅1 +

x1, 2 =

–

4−

(

4+

11 1

+

] [

11 1

)

1) x ∈ − ∞;4 − 11 U 4 + 11;+∞ , х2 – 8х + 5 = 2х, х2 – 10х + 5 = 0, x1, 2 =

5 ± 25 − 5 = 5 ± 20 ∈ Q ; 1

(

)

2) x ∈ 4 − 11;4 + 11 , -х2 + 8х – 5 = 2х, -х2 + 6х – 5 = 0, х2 – 6х + 5 = 0, х1 = 5, х2 = 1. Наибольший рациональный корень х = 5.

№ 1157 2x + 7 = x + 2 ,

1)

2 x + 7 = (x + 2 )2 2 x + 7 = x 2 + 4 x + 4  x 2 + 2 x − 3 = 0  x1 = 1, x2 = −3 ;  ; . ;    x ≥ −2  x ≥ −2  x ≥ −2 x + 2 ≥ 0 Ответ: х = 1 2) x = 2 − 2 x − 5 ,

2x − 5 = 2 − x

 x = 3 2 x − 5 = (2 − x )2 2 x − 5 = 4 − 4 x + x 2  x 2 − 6 x + 9 = 0   x ≤ 2 . ;  ;  ;    x = 3 x ≤ 2 x ≤ 2 2 − x ≥ 0    x ≤ 2 Ответ: корней нет.

№ 1158

1) 3х-7 = 81, 3х-7 = 34, х – 7 = 4, х = 11; 2

1

2

2) 2 x −5 x + 6,5 = 2 , 2 x −5 x + 6,5 = 2 2 , х2 – 5х + 6,5 = 0,5, х2 – 5х + 6 = 0, х1 + х2 = 5, х1 ⋅ х2 = 6, х1 = 2, х2 = 3; x

(

1  3)  ⋅ 4 x  = 22 x + 6 , 4−1 ⋅ 4 x 4  4x

2

−x

)

x

( )

= 22 x + 6 , 4 x −1

x

= 4 x +3 ,

= 4 x + 3 , х2 – х = х + 3, х2 – 2х – 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3.

167

№ 1159

(

)

8 = 8 , 95х = 9, 5х = 1, х = 1/5; 9 2) 2х+4 – 2х = 120, 2х(16 – 1) = 120, 2х = 8, х = 3.

1) 95 x − 95 x −1 = 8 , 95 x 1 − 9−1 = 8 , 95 x ⋅

№ 1160

1) 52х+5 ⋅ 73х+1 = 351/2(5х+6), 52х+5 ⋅ 73х+1 = 52,5х+3 ⋅ 72,5х+3, 5 2, 5 x + 3 ⋅ 7 2, 5 x + 3 5

2 x +5

0, 5 x

5 7

0 ,5 x

=

⋅7

3 x +1

= 1 , 50,5х-2 ⋅ 7-0,5х+2 = 1,

25  5  ,   49  7 

0, 5 x

50,5 x − 0,5 x ⋅7 ⋅ 49 = 1 , 25

2

5 =   , 0,5х = 2, х = 4; 7 6

2 2 2 1 2) 0,2 x ⋅ 52 x + 2 =   , 5− x ⋅ 52 x + 2 = 5−6 , 5− x + 2 x + 2 = 5−6 , 5 -х2 + 2х + 2 = -6, -х2 + 2х + 8 = 0, х2 – 2х – 8 = 0, х1 = 4, х2 = -2.

№ 1161

1) 2,43-2х = 2,43х-2, 3 – 2х = 3х – 2, 5 = 5х, х = 1;

( 3 ) = (3 5 )

2) 5

x−2

x

 1 =  8  16 

, х = -х + 2, 2х = 2, х = 1;

−x

1 3) ,   8 3 = −4 x , x = − 3 .

2 8 1

1

2

1 =  2

−4 x

1 ,   2

3

2

1 =  2

−4 x

,

№ 1162 x

x −1

2  22  , 3  32  2х + 3 – 3х = 1, -х = -2, х = 2;  4   27  1)   ⋅   9  8 

2)

3

=

x

 33  ⋅ 3  2   

x −1

2x

=

2 2 2 ,     3 3 3

3− 3 x

=

2 , 3

3

2 x ⋅ 3x = 216 , 2х/3 ⋅ 3х/3 = 63, (6)х/3 = 63, х/3 = 3, х = 9.

№ 1163  25 + 5 + 1  1) 5х+1 + 5х + 5х-1 = 155, 5х(5 + 1 + 5-1) = 155, 5 x   = 155 , 5   5х = 25, 5х = 52, х = 2; 2) 32х – 2 ⋅ 32х-1 – 2 ⋅ 32х-2 = 1, 32х(1 – 2 ⋅ 3-1 – 2 ⋅ 3-2) = 1,  32 − 2 ⋅ 3 − 2   = 1 , 32х = 9, 32х = 32, х = 1.

32 x    9   х х-1 х 3) 7 – 7 = 6, 7 (1 – 7-1) = 6, 7х = 7, х = 1; 4) 3х+2 + 3х = 10, 3х(32 + 1) = 10, 3х = 1, х = 0.

168

№ 1164

1) 32х – 3х = 72, 32х – 3х = 34 – 32, 3х(3х – 1) = 32(32 – 1), х = 2; 2) 4х – 2х+1 = 48, 22х – 2х+1 = 48, 2х(2х – 21) = 23(23 – 21), х = 3.

№ 1165

1) (log2x)2 – 3log2x + 2 = 0. Пусть log2x = a, тогда уравнение примет вид: а2 – 3а + 2 = 0, а1 = 1, а2 = 2, т.е. log2x = 1, x = 2, log2x = 2, x = 4. Ответ: х = 2, х = 4 2) (log3x)2 + 5 = 2log3x3, (log3x)2 + 5 – 6log3x = 0, log3x = a, a2 + 5 – 6a = 0, a2 – 6a + 5 = 0, a1 = 1, a2 = 5, т.е. log3x = 1, x = 3, log3x = 5, log3x = log335, x = 35 = 243 Ответ: х = 3, х = 243.

№ 1166 2 2 = ln (x + 2 ) , ln2 – ln(x + 1) = ln(x + 2), ln − ln (x + 2 ) = 0 , x +1 x +1   2 2  = ln1 , ln = 1 , 2 = х2 + 3х + 2, х2 + 3х = 0, ( )( x + 1 x + 2) x + x + 1 2 ( )( )   х = 0, х = -3, при х = -3 ln(x + 2) не определен. Ответ: х = 0  3x + 6   = log3 3 , 3 x + 6 = 3 , 2) log3 3 x − 6 − log3 x − 3 = 1 , log3   x−3  x−3   3х – 6 = 32(х – 3), 3х – 6 = 9х – 27, 21 = 6х, х = 3,5.

1) ln

№ 1167  1 1 1 1 1     , lg  + x  2 x  = lg1 , 1) lg + x  = lg − lg x , lg + x  = lg 2 2 2 2 2 x        1 1   + x 2 x = 1 , х + 2х2 = 1, 2х2 – х – 1 = 0, х1 = -1, x 2 = , 2 2   при х = -1 lg x не определен.

1 Ответ: x = 2 1 1 2) 2 lg x = − lg =0, , lg x 2 + lg 2 6 − x2 6−x  x2 = lg1 lg 2  6 − x x > 0  2 −1 >0 6− x 

(

)

 x2 = 6 − x2  2  6 − x x > 0  2 −1 >0 6− x 

(

)

 2 2 x = 6 − x > x 0   2 −1 >0 6−x

(

)

 x = ± 3 x= 3. x > 0  2 −1 >0 6−x

(

)

169

№ 1168

1) log2(2x – 18) + log2(x – 9) = 5, log2(2x – 18)(x – 9) = log225, (2 x − 18)(x − 9 ) = 25 , 2х2 – 18х – 18х + 162 – 32 = 0,  2 x − 18 > 0 2х2 – 36х + 130 = 0, х2 – 18х + 65 = 0,

9 ± 81 − 65  x = 13, x2 = 5 . Ответ: х = 13 = 9±4,  1 1 x > 9 2 2 2) lg(x + 19) – lg(x + 1) = 1, lg((x + 19) : (x + 1)) = lg10,  x 2 + 19  = 10  x 2 + 19 = 10 x + 10  x 2 − 10 x + 9 = 0  x1 = 1, x2 = 9  x +1    x > −1   x > −1  x > −1 x + 1 > 0  Ответ: х = 1, х = 9. x1, 2 =

№ 1169 2

1) 5log3 x − 6 ⋅ 5log3 x + 5 = 0 . Пусть log3x = a, тогда уравнение примет вид: 52а – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, (5a)2 – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, 5a = 1, a = 0 = log3x, x = 1, 5a = 5, a = 1 = log3x, x = 3. Ответ: х = 1, х = 3.

(

2) 25log3 x − 4 ⋅ 5log3 x +1 = 125 , 5log3 x log3 x

Пусть 5 a1 =

2 log3 x

т.к. 5

) − 4⋅5⋅5 2

log3 x

= 125 .

2

= a , тогда уравнение примет вид: а – 20а – 125 = 0,

10 ± 100 + 125 = 10 ± 15 , а1 = 25, а = -5; а2 не является решением, 1 ≠ −5 < 0 , 5log3 x = 52 , log3x=2, х=9. Ответ: х = 9.

№ 1170

1) xlgx = 10. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: 1 , lg2x=1, x=0, но x>0, следовательно, решений нет. logxxlgx=logx10, lg x = lg x 2) xlog3 x = 9 x . Прологарифмируем обе части уравнения по х: log x x log3 x = log x 9 x ,

log3x = logxx + logx9, log3x = 1 + 2logx3, log3 x = 1 +

2 , log3 x

1 log32x–log3x–2=0, log3x=-1, x=3-1, log3x = 2, x = 9. Ответ: x = , х = 9.

3 3) xlgx – 1 = 10(1 – x-lgx), xlgx – 1 = 10 – 10x-lgx, xlgx + 10-lgx – 11 = 0. Пусть lgx = y, тогда х = 10у и уравнение примет вид: 2 10 (10у)у + 10 ⋅ (10у)-у – 11 = 0, 10 y + 2 − 11 = 0 . y 170

2

Пусть 10 y = z , тогда уравнение примет вид: z +

10 − 11 = 0 , при z ≠ 0, z

2

2

z2 – 11z + 10 = 0, z1 = 10, z2 = 1, тогда 10 y = 10 , у = ± 1 и 10 y = 1 , у = 0, тогда х = 10±1, х = 100 (заметим, что x > 0). Ответ: х = 1, х = 10, х = 0,1.

4) x

x

= xx .

Заметим, что х = 1 – решение, далее  x 

x

2

 = x x ; x2  

x

= x x , пусть

( ) ( )

y2

x = y , х = у2, и уравнение примет вид: y 2 y 2 = y 2 ; 2у = у2, 2 у – 2у = 0, у(у – 2) = 0, у = 0, у = 2, тогда х = 0, х = 4, но 00 не определен. Ответ: х = 1, х = 4.

№ 1171 2

2

2 2 2 2 2 2 2 1) 7 ⋅ 4 x − 9 ⋅ 14 x + 2 ⋅ 49 x = 0 , 7 ⋅  2 x  − 9 ⋅ 2 x ⋅ 7 x + 2 ⋅  7 x  = 0 ,    

 2x2 7 2  x 7

  2 x2   − 9 +2 = 0.   x2  7   

2 Пусть   7 a1 = 2

x2

= a , тогда уравнение примет вид: 7а2 – 9а + 2 = 0

9 ± 81 − 56 9 ± 5 2 = , а1 = 1, a2 = , тогда 14 14 7 x2

x2

2 2 2 а)   = 1 , т.е. х = 0; б)   = , т.е. х = ±1. Ответ: х = 0, х = ±1.

7 7 7 2) 5х+4 + 3 ⋅ 4х+3 = 4х+4 + 4 ⋅ 5х+3, 545х + 3 ⋅ 43⋅ 4x = 44 ⋅ 4x + 4 ⋅ 53 ⋅ 5x, 625 ⋅ 5x + 192 ⋅ 4x = 256 ⋅ 4x + 5 ⋅ 100 ⋅ 5x, x

x

x

x

4 4 4 4 4 625 + 192 ⋅   = 256  + 100 ⋅ 5 , 64  = 125;   =   5 5 5 5 5

№ 1172

(

)

(

−3

.

)

1) log 4 2 + x + 3 = 1 , log 4 2 + x + 3 = log 4 4 , 2 + x + 3 = 4  x + 3 = 4   x ≥ −3 , х = 1.  x + 3 ≥ 0 2) log 1

3

( )

x 2 − 2 x = − 1 , log 1 x 2 − 2 x = log 1 1 2 3 3 3

( )

 2 x − 2x = 3  2  x − 2 x > 0

2

−1

2

,

 x 2 − 2 x − 3 = 0  x1 = −1; x2 = 3 х = -1, х = 3.   x(x − 2 ) > 0   x(x − 2 ) > 0 171

3)

1 log3 (x + 1) = log3 x + 4 − 2 log3 2 , 2

log3 (x + 1)

1

2

= log3 x + 4 − log3 2 , log3 (x + 1)

 x+4  x +1 = 2  x + 1 > 0 x + 4 > 0  

1

2

= log3

x+4 , 2

x  x + 1 = 4 + 1  4 x + 4 − x − 4 = 0  x = 0  x > −1  x > −1  x > −1 х = 0    x > −4  

№ 1173

1) х1+lgx = 10x, Прологарифмируем по основанию х: logxx1+lgx = logx10x, 1 1 + lg x = 1 + logx10, 1 + lg x = 1 + , lg2x = 1; lg x = ±1, x = 10, х = 0,1. lg x 2) xlgx = 100x. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: logxxlgx = logx100x, lg x = logx100 + 1, lg x = 2lgx10 + 1, 2 lg x = + 1 , lg2x = 2 + lg x, lg2x – lg x – 2 = 0; lg x

1 2) lg x = 2, x = 102 = 100. = 0,1 ; 10 3) log2(17 – 2x) + log2(2x + 15) = 8, log 2 17 − 2 x 2 x + 15 = log 2 28  x , (17 – 2x)(2x + 15) = 28, 17 − 2 > 0 2 x + 15 > 0  17 ⋅ 2x + 17 ⋅ 15 – 22x – 15 ⋅ 2x = 256, 22x - 2⋅ 2x + 1 = 0. Пусть 2х = а, тогда уравнение примет вид: x = 0  2 2 х а – 2⋅а + 1 = 0, (а – 1) = 0, а = 1, т.е. 2 = 1, х = 0, 17 − 2 x > 0 х = 0. 2 x + 15 > 0  1) lg x = -1, x = 10−1 =

(

)(

)

4) log2(3 + 2x) + log2(5 – 2x) = 4, log 2 3 + 2 x 5 − 2 x = 4  x , (3 + 2x)(5 – 2x) = 16, 15 – 3 ⋅ 2x + 5 ⋅ 22x = 16, 3 + 2 > 0 5 − 2 x > 0 

(

)(

)

x = 0  -22x+2⋅2x–1=0, 22x–2⋅2x+1=0; (2x –1)2, 2x = 1; x = 0; 3 + 2 x > 0 х = 0. 5 − 2 x > 0  172

№ 1174 Ответ: не могут m, n, k – действительные числа x2 – (m + n)x + mn – k2 = 0; D=b2 –4ac=(m+n)2–4(mn–k2)=m2+2mn+n2 – – 4mn – 4k2 = m2 + n2 – 2mn + 4k2 = (m – n)2 + 4k2 ≥ 0.

№ 1175 1) z2 + 4z + 19 = 0, z 1 = 2

2) z2 – 2z + 3 = 0, z 1 = 2

− 2 ± 4 − 19 = −2 ± i 15 ; 1

1± 1− 3 = 1± i 2 .

1

№ 1176

1) 0,5х = 2х + 1. Построим графики функций у = 0,5х и у = 2х + 1: Очевидно, графики функций пересекаются в точке (0,1), т.е. х = 0

2) 2х = 3 – х2 Построим графики функций у = 2х и у = 3 – х2:

x1 ≈

3 , 2

x2 ≈ −1,8

3) log3x = 4 – x Построим графики функций y = log3x и y = 4 – x: х = 3.

173

4) log 1 x = 4 x 2 2

Построим графики функций у = log½x и у = 4х2

x=

1 2

5) 2х = log0,5x Построим графики функций у = 2х, y = log½x

x≈

1 2

( 3)

6) 1

x

= log3 x

Построим графики функций x

1 y =   и y = log3x 3

x≈

3 2

№ 1177 1) cos x = − cos x = −

1 [-π; 3π] 2

1  1 , x = ± arccos −  + 2nπ, n ∈ Z 2  2

π  x = ± π −  + 2nπ, n ∈ Z , 3  2 x = ± π + 2nπ, n ∈ Z , 3 4π 2 8π 2 n = 1, x = , x= , n=0, x = π, x = − π 3 3 3 3 2 4 8π Ответ: x = ± π, x = π, x = 3 3 3

174

2) sin x = −

3 [-π; 3π] 2

 3  + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n arcsin −  2    x = (− 1)n +1 arcsin

3 + nπ, n ∈ Z 2

π π + nπ, n ∈ Z , n = 0, x = − , 3 3 π 4 π 5 n = -1, x = + π = π , n = 2, x = − + 2π = π , 3 3 3 3 4 π −2 5 Ответ: x = − , x = π, x = π, x = π .

3 3 3 3 x = (− 1)n +1

№ 1178 1 1 ; 2 x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , 2 2 π π nπ 2 x = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , x = (− 1)n , n∈Z ; + 6 12 2

1) sin 2 x =

2) cos 3 x =

− 2 − 2  + 2nπ, n ∈ Z , ; 3x = ± arccos  2  2  

π π 2  3x = ± π −  + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 4 4 3  5 3) 2tg x + 5 = 0, tgx = − ; 2 5  5 x = arctg  −  + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + nπ, n ∈ Z 2 2  

№ 1179

1) 3cos2x – 5cos x – 12 = 0. Пусть cos x = a, тогда уравнение примет вид: 3а2 – 5а – 12 = 0,

5 ± 25 + 144 5 ± 13 8 = , а1 = 3, a2 = − , 6 6 6 а1 > 1, а2 < –1 ⇒ исходное уравнение не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1; 2) 3tg2x – 4tg x + 5 = 0, tg x = a, 3a2 – 4a + 5 = 0, a1 = 2

2 ± 4 − 15 , 3 D < 0 ⇒ действительных корней нет. a1 = 2

175

№ 1180 1) (3 – 4sinx)(3 + 4cosx) = 0, 3  3 n  sin x =  x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z 3 − 4 sin x = 0  4 ;  ; 3 + 4 cos x = 0 ;  3 cos x = − 3  x = ± arccos −  + 2lπ, l ∈ Z 4    4 3  n  x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z .   x = ± (π − arcsin 3 + 2lπ, l ∈ Z 4  3 3 Ответ: x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , x = ± (π − arcsin + 2lπ, l ∈ Z .

4 4 2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0,  x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z tgx +3 = 0 tgx = −3  . ; ; tgx + 1 = 0 tgx = −1  x = − π + lπ, l ∈ Z 4  π Ответ: x = − + lπ, l ∈ Z ; х = -arctg3 + nπ, n ∈ Z. 4

№ 1181

1) sin2x=3sin x cos2x, 2sin x⋅cos x–3sin x ⋅ cos2x, sin x⋅cos x(2-3cos x) = 0,    x = nπ, n ∈ Z sin x = 0  cos x = 0 ;  x = π + lπ, l ∈ Z .   2 cos x = − 2  2    x = ± π - arccos  + 2mπ, m ∈ Z 3 3   Ответ: x = nπ, n ∈ Z;

x=

π + lπ, l ∈ Z ; 2

2  x = ± π − arccos  + 2mπ, m ∈ Z 3  2) sin4x = sin2x, 2sin2x ⋅ cos2x – sin2x = 0, sin2x(2cos2x – 1) = 0, nπ  sin 2 x = 0  2 x = nπ, n ∈ Z x = 2 , n ∈ Z  1;  1  π cos 2 x =  2 x = ± arccos + 2lπ, l ∈ Z  x = ± + lπ, l ∈ Z 2  2  6  nπ π Ответ: x = , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z .

2 6 2 3) cos2x + cos x = 0, cos2x – sin2x + cos2x = 0, 2cos2x – 1 + cos2x = 0, 3cos2x = 1, 176

1  + 2nπ, n ∈ Z  x = ± arccos 3 1 . cos x = ± ,  3  x = ± π − arccos 1  + 2lπ, l ∈ Z   3    Ответ: x = ± arccos

1 3

 1   + 2lπ, l ∈ Z + 2nπ, n ∈ Z , x = ± π − arccos 3  

4) sin2x = cos2x, 2sin x ⋅ cos x – cos2x = 0, cos x(2sin x – cos x) = 0, π π nπ    x = 2 + nπ, n ∈ Z x = 4 + 2 , n ∈ Z cos x = 0 ;  .  2 sin x − cos x = 0 ;   2 x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z  x = (− 1)l π + lπ , l ∈ Z 6 12 2   1 π x = arctg + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , 2 2

№ 1182

1) sin2x = 3cos x, 2sin x ⋅ cos x = 3cos x, cos x(2sin x – 3) = 0, π cos x = 0    x = 2 + nπ, n ∈ Z .

3; sin x = x ∈ φ 2  

π + nπ, n ∈ Z .

2 2) sin4x = cos4x – sin4x, 2sin2x ⋅ cos2x = (cos2x – sin2x)(sin2x + cos2x), 2sin2x ⋅ cos2x = cos2x, cos2x(2sin2x – 1) = 0, π π nπ   cos 2 x = 0  2 x = + πn, n ∈ Z , n∈Z x= +  2 4 2  ;  1;  lπ sin 2 x = l π l π + , l∈Z 2  2 x = (− 1) + lπ, l ∈ Z  x = (- 1)  6 12 2   π lπ π nπ + , l∈Z . , n∈Z , x = (− 1)l Ответ: x = + 12 2 4 2 2 2 3) 2cos x = 1 + 4sin2x, (2cos x – 1) = 4sin2x, cos2x = 4sin2x, cos 2 x = 4 ; ctg x = 4; x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z. sin 2 x Ответ: x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z 4) 2cos x + cos2x = 2sin x, 2(cos x – sin x) + (cos2x – sin2x) = 0, 2(cos x – sin x) + (cos x – sin x)(cos x – sin x) = 0, (cos x – sin x)(2 + cos x + sin x) = 0, π cos x − sin x = 0 cos x + sin x = −2 ; x = 4 + nπ, n ∈ Z x ∈ φ π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z .

4 Ответ: x =

177

№ 1183 x 3 1) cos x + cos2x = 0, 2 cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 3 π  3 cos 2 x = 0  2 x = 2 + nπ, n ∈ Z  x = π + 2 nπ, n ∈ Z   x π  x = π3 + 23lπ, l ∈ Z cos x = 0  = + lπ, l ∈ Z  2   2 2 π 2 x = π + 2lπ, l ∈ Z. Ответ: x = + nπ, n ∈ Z ; 3 3 2) cos x – cos5x = 0, -2sin3x ⋅ sin(-2x) = 0, nπ  x= , n∈Z sin 3x = 0  3 . sin 2 x = 0 ;   x = lπ , l ∈ Z 2  nπ lπ Ответ: x = , x = , l∈Z .

3 2 3) sin3x + sin x = 2sin2x 2sin2x ⋅ cos x = 2sin2x, 2sin2x(cos x – 1) = 0, nπ  , n∈Z sin 2 x = 0  x = .

2 cos x = 1   x = 2mπ, m ∈ Z nπ , n∈Z .

2 4) sin x+sin2x+sin3x = 0, 2sin2x ⋅ cos x + sin2x = 0, sin2x(2cos x + 1 ) = 0, nπ  sin 2 x = 0 x = 2 , n ∈ Z  1;  cos x = −  x = ± π − π  + 2lπ, l ∈ Z 2   3  πn 2 Ответ: x = ; x = ± π + 2πn, n ∈ Z .

2 3

Ответ: x =

№ 1184

1) 2cos x + sin x = 0, 2 + tg x = 0, tg x = -2, x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. Ответ: x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z.

2) sin x + 3 cos x = 0 , tgx = − 3 , π x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z , x = − + nπ, n ∈ Z .

3 π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z .

3

178

№ 1185

1) 4sin4x + sin22x = 2, 4sin4x+ 22sin2x ⋅ cos2x=2, 4sin2x(sin2x + cos2x) = 2, π  = (− 1)l + lπ, l ∈ Z 1 2 x 2 4 ;  . sin x = ; sin x = ± 2 2  x = (− 1)n +1 π + nπ, n ∈ Z  4 l π Ответ: x = (− 1) + lπ, l ∈ Z .

4 5 4 x 4 x 2) sin + cos = , 3 3 8 x x x x x x 5 sin 4 + cos 4 + 2 sin 2 ⋅ cos 2 − 2 sin 2 ⋅ cos 2 = , 3 3 3 3 3 3 8 2

x x x 5 1 2x 5  2x + cos 2  − 2 sin 2 ⋅ cos2 = , 1 − sin 2 = ,  sin 3 3 3 3 8 2 3 8  2x 3 2x 3 = , sin , =± 3 4 3 2 2x π π 3πn = ± + πn, n ∈ Z , x = ± + , 3 3 2 2

sin 2

№ 1186 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 ,

1)

n∈Z .

3 (sin 2 x − 1) − cos 2 x = 0 ,

− 3 (cos x − sin x ) − cos 2 x = 0 , 2

3 (cos x − sin x )2 + (cos x − sin x )(cos x + sin x ) = 0 ,

(cos x − sin x )( 3 (cos x − sin x ) + cos x + sin x ) = 0 ,

π  cos x − sin x = 0  x = 4 + nπ, n ∈ Z  3 cos x − 3 sin x + cos x + sin x = 0   cos x 3 + 1 − sin x 3 − 1 = 0

(

π   x = 4 + nπ, n ∈ Z , tgx =  + − − = 3 1 tgx 3 1 0 

(

)

(

Ответ: x = arctg

)

3 +1 3 −1

)

(

)

 3 +1 3 + 1  x = arctg 3 − 1 + nπ, n ∈ Z ,  π 3 −1   x = + nπ, n ∈ Z 4 

+ nπ, n ∈ Z , x =

π + lπ, l ∈ Z .

4

x x x x x x 2) 6sinx+5cos x = 6, 12 sin cos + 5 cos 2 − 5 sin 2 = 6 cos 2 + 6 sin 2 , 2 2 2 2 2 2 x x x x x 12tg + 5 − 5tg 2 − 6 − 6tg 2 = 0 , 11tg 2 − 12tg + 1 = 0 , 2 2 2 2 2 179

6±5 D  x = 36 − 11 = 25 , tg   = , 4 11  2 1, 2 π x π   2 = 4 + πn  x = 2 + 2πn ; k, n ∈ Z x   = arctg 1 + πk  x = 2arctg 1 + 2πk  2  11 11 1 π Ответ: x = + 2πn; x = 2arctg + 2πk ; k, n ∈ Z .

2 11  x tg 2 = 1  x 1 tg =  2 11

№ 1187

1) tg3x + tg2x – 2tg x – 2 = 0, tg2x(tg x + 1) – 2(tg x + 1) = 0, π π   tgx + 1 = 0  x = − + nπ, n ∈ Z  x = − + nπ, n ∈ Z ; .

4 4 tg 2 x = 2 ;    tgx = ± 2  x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z

Ответ: x = −

π + nπ, n ∈ Z , 4

x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z .

sin x − sin x ; cos x ≠ 0, cos x 2 cos x – cos x = sin x – cos x ⋅ sin x, cos x(sin x – cos x) = sin x – cos x,  x = 2nπ, n ∈ Z cos = 1 (cos x – 1)(sin x – cos x) = 0,  ;  π sin x − cos x = 0  x = + lπ, l ∈ Z 4  π Ответ: x = 2nπ, n ∈ Z, x = + lπ, l ∈ Z .

4 2) 1 – cos x = tg x – sin x, 1 − cos x =

№ 1188

1) sin x + sin2x = cos x + 2cos2x, sin x(1 + 2cos x) = cos x(1 + 2cos x), (sin x – cos x)(1 + 2cos x) = 0, π   x = 4 + nπ, n ∈ Z   x = ± π − π  + 2lπ, l ∈ Z  3  2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = ± π + 2lπ, l ∈ Z .

4 3

2) 2 cos2x = 6 (cos x − sin x) , 2(cos x − sin x )(cos x + sin x ) − 6 (cos x − sin x ) = 0 ,

(cos x − sin x )(2(cos x + sin x ) −

)

6 =0,

π  cos x − sin x = 0  x = 4 + nπ, n ∈ Z cos x − sin x = 0   2(cos x + sin x ) = 6 cos x + sin x = 3  3    2 cos x + sin x = 2  180

cos x + sin x =

3 2

π  , sin  − x  + sin x = 2 

3 2

,

π − 2x π − 2x 3 π 3 , cos 2 , = ⋅ cos 2 = 2 2 4 2 2 π π − x = ± + 2πl , l ∈ Z .

4 6 5π π π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + 2πl , x = + 2πl , l ∈ Z .

4 12 12 2 sin

№ 1189 cos 2 x sin 2 x ≠ 1 , = cos x + sin x ,  1 − sin 2 x cos 2 x = (cos x + sin x )(1 − sin 2 x ) sin 2 x ≠ 1  2 , cos 2 x = (cos x + sin x )(cos x − sin x ) (cos x – sin x)(cos x + sin x) – (cos x + sin x)(cos x – sin x)2 = 0, (cos x – sin x)(cos x + sin x)(1 – (cos x – sin x)) = 0, π nπ  cos 2 x = 0 x = 4 + 2 , n ∈ Z ; ; 1 − cos x + sin x = 0  cos x − sin x = 1  π nπ , n∈Z x = + 4 2   cos x = 1 ;  sin x = 0   cos x = 0  sin x = −1 −π Ответ: x = + nπ, 4

 π nπ , n∈Z  x = + 4 2   x = 2lπ, l ∈ Z  x = − π + 2mπ, m ∈ Z  2  π  x ≠ + πk , k ∈ Z 4  π n ∈ Z ; x = − + 2mπ, m ∈ Z ; x = 2πk, k ∈ Z. 2

№ 1190

1) sin3x + cos3x = 0, (sin x + cos x)(sin2x + sin x ⋅ cos x + cos2x) = 0 π  sin x + cos x = 0 tgx = −1 x = − + nπ, n ∈ Z 4 sin 2 x + sin x ⋅ cos x + cos 2 x = 0 tg 2 x + tgx + 1 = 0    x = φ π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z .

4 2) 2sin2x + sin22x = 2, 2sin2x + 4sin2x(1 – sin2x) = 2, 2 2 sin x + 2sin x – 2sin4x – 1 = 0, 3sin2x – 2sin4x – 1 = 0, 2sin4x – 3sin2x + 1 = 0, sin2x = a, 2a2 – 3a + 1 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 2 ⋅ 1, a1 = 1, a2 =

1 ; 2 181

2 π lπ π , x = + , l∈Z . + 2πn, n ∈ Z ; 2) sin x = ± 2 2 4 2 π π lπ Ответ: x = ± + 2πn, n ∈ Z , x = + , l ∈ Z .

2 4 2 1) sin x = ±1, x = ±

3) 8 sin x ⋅ cos 2x cos x = 3 , 4 sin 2 x cos 2 x = 3 , 2 sin 4 x = 3 , 3 π π lπ + , l∈Z . ; 4 x = (− 1)l + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = (− 1)l 3 12 4 2 4) 4 sin x cos x cos 2 x = cos 4 x , 2 sin 2 x cos 2 x = cos 4 x , sin 4 x = cos 4 x , π π nπ π nπ 4 x = + nπ, n ∈ Z , x = + , n ∈ Z . Ответ: x = + , n∈Z .

4 16 4 16 4 sin 4 x =

№ 1191

1) sin4x–cos4x + 2cos2x = cos2x, (sin2x–cos2x)(sin2x+cos2x)+cos2x+sin2x= 0, -cos2x + 1=0, cos2x = 1, 2х = 2πn, x=πn, n∈Z. Ответ: х = 2nπ, n ∈ Z. 2) 2sin2x–cos4x=1–sin4x, cos4x–sin4x=2sin2x–1, cos2x–sin2x = sin2x – cos2x, 2cos2x – 2sin2x = 0, cos2x = 0, 2 x = Ответ: x =

π π πn + πn, n ∈ Z , x = + , n∈Z .

2 4 2

π nπ + , n∈Z .

4 2

№ 1192

1) sin3x cos x + cos3x sin x = cos2x, sin x cos x(sin2x+cos2x)=cos2x – sin2x, sin2x – cos2x + sin x ⋅ cos x = 0, sin 2 x 2

cos x a1 = 2

+

sin x − 1 = 0 , tg2x + tg x – 1 = 0, tg x = a, a2 + a – 1 = 0, cos x

−1± 1+ 4 −1± 5 = , 2 2

1)

tgx =

−1+ 5 −1+ 5 + nπ, n ∈ Z ; , x = arctg 2 2

2)

tgx =

1− 5 −1− 5 , x = − arctg + lπ, l ∈ Z .

2 2

−1+ 5 1− 5 + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + lπ, l ∈ Z ; 2 2 2) 2 + cos2x + 3sinx ⋅ cosx = sin2x, cos2x – sin2x + 3sinx ⋅ cosx = -2, 2cos2x+2sin2x+cos2x–sin2x+3sinx⋅cosx = 0, 3cos2x+sin2x+3sinx cosx = 0, 3 + tg2x+3tgx=0, tgx=a, a2+3a+3 = 0, D < 0, следовательно, решений нет. Ответ: решений нет. Ответ: x = arctg

№ 1193

1) 4sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x = 3, 4sin2x – 3sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x – 3cos2x = 0, sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 7cos2x = 0, tg2x – 8tgx + 7 = 0, a2 – 8a + 7 = 0,

182

a1 = 1, a2 = 7, tgx = 1, x =

π + nπ, n ∈ Z , tgx = 7, x = arctg7 + lπ, l ∈ Z. 4

π + nπ, n ∈ Z , x = arctg7 + lπ, l ∈ Z; 4 2) 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx = 1, 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx – sin2x – cos2x = 0, 2sin2x – 2sinx ⋅ cosx – cos2x = 0, 2tg2x – 2tgx – 1 = 0, tgx = a, 2a2–2a–1=0, Ответ: x =

a1 = 2

1± 3 1± 1+ 2 1± 3 1± 3 = , tgx = + nπ, n ∈ Z . , x = arctg 2 2 2 2

Ответ: x = arctg

1± 3 + nπ, n ∈ Z .

2

№ 1194

1) sin5x = sin3x, sin5x – sin3x = 0, 2sinx ⋅ cos4x = 0,  x = nπ, n ∈ Z π lπ sin x = 0 ;  . Ответ: x=nπ, n∈Z, x = + , l ∈ Z ; π lπ cos 4 x = 0  x = + , l ∈ Z 8 4 8 4  2) cos6x + cos2x = 0, 2cos4x ⋅ cos2x = 0 π nπ  x = 8 + 4 , n ∈ Z cos 4 x = 0 cos 2 x = 0 ;   x = π + lπ , l ∈ Z 4 2  π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = + , l ∈Z ; 8 4 4 2 π  3) sin3x + cos7x = 0, sin 3 x + sin  + 7 x  = 0 , 2  π  π  2 sin  + 5 x  ⋅ cos + 2 x  = 0 , 4 4      π  sin  + 5 x  = 0   4 ;  π  cos 2 x 0 + =      4

π nπ  π  x = − 20 + 5 , n ∈ Z  4 + 5 x = nπ, n ∈ Z ;  π  + 2 x = π + lπ, l ∈ Z  x = π + lπ , l ∈ Z  4  8 2 2

π lπ + , l∈Z ; 8 2 π  4) sinx = cos5x, sinx – cos5x = 0, sin x − sin  − 5 x  = 0 , 2  Ответ: x = −

π nπ + , n∈Z , 20 5

x=

π  π  2 sin  3x −  ⋅ cos − 2 x  = 0 4  4 

183

  π π nπ π   x= + , n∈Z sin  3x −  = 0 3 x − = nπ, n ∈ Z  4   12 3 4  ;  ;  π π lπ  π   π cos 4 − 2 x  = 0  4 − 2 x = 2 + lπ, l ∈ Z  x = − 8 + 2 , l ∈ Z    π nπ π lπ Ответ: x = , n∈Z , x = − + , l ∈Z . + 12 3 8 2

№ 1195

1) sinx + sin5x = sin3x, 2sin3x ⋅ cos2x – sin5x = 0, sin3x(2cos2x – 1) = 0,

nπ  x = 3 , n ∈ Z π lπ nπ Ответ: x = , n∈Z , x = ± + , l∈Z ;  π π l 3 6 2 x = ± + , l ∈ Z 6 2  2) cos7x – cos3x = 3sin5x, -2sin5x⋅sin2x–3sin5x=0, sin5x(2sin2x + 3) = 0, sin 5 x = 0 nπ  , n∈Z .

3; x= sin 2 x = − 5 2  sin 3 x = 0  1 cos 2 x = 2 

№ 1196 1 (sin 8 x + sin 10 x ) = 1 (sin 4 x + sin 10 x ) , 2 2 sin8x – sin4x = 0, 2sin2x ⋅ cos6x = 0, nπ  , n∈Z x= nπ π lπ sin 2 x = 0  2 Ответ: x = ; , n∈Z , x = + , l∈Z ;  cos 6 x = 0 π π l 2 12 6 x = + , l∈Z 12 6  1 2) sinxcos5x = sin9x ⋅ cos3x, (− sin 4 x + sin 6 x ) = 1 (sin 6 x + sin 12 x ) , 2 2 sin12x + sin4x = 0, 2sin8x ⋅ cos4x = 0, 1) cosx ⋅ sin9x = cos3x ⋅ sin7x,

 x= sin 8 x = 0  cos 4 x = 0 ;  x = 

nπ , n∈Z nπ π lπ 8 Ответ: x = , n∈Z , x = + , l ∈Z . π lπ 8 8 4 + , l∈Z 8 4

№ 1197

1) 5 + sin2x = 5(sinx + cosx), 4 + (sinx + cosx)2 = 5(sinx + cosx),   π  cosx + sinx = t 2  cos x −   = t , t2 – 5t + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 4   

π t 4 5+3  = 4 , cos x −  = = = 2 2 > 1 - нет решений, 2 4 2 2  π t 1 5−3  , t2 = = = 1 , cos x −  = 2 4 2 2  t1 =

184

π π   x − 4 = 4 + 2πn  x = π + 2πn, n ∈ Z  ;  2  x − π = − π + 2πn  x = 2πn, n ∈ Z 4 4  2) 2 + 2cosx = 3sinx ⋅ cosx + 2sinx, 1 3 + cos 2 x − 2 sin x cos x + sin 2 x + 2(cos x − sin x ) = 0 , 2 2 3(cosx – sinx)2 + 4(cosx – sinx) + 1 = 0, cosx – sinx = 0,   π  2  cos x +   = t , 3t2 + 4t + 1 = 0, D = 4 – 3 = 1, 4   

(

)



π

3π

t 1  x + 4 = 4 + 2πn π −2 − 1  ,  = −1 , cos x +  = =− t1 = 3 4 2 2  x + π = − 3π + 2πn   4 4 π   x = 2 + 2πn, n ∈ Z t2 = −2 + 1 = − 1 , cos x + π  = −1 ,  x = -π + 2πn, n ∈ Z 4 3 2 3 3  

x+

 π 1 = ± arccos − 4  3 2 Ответ: x = x=−

 1   π   + 2πn, n ∈ Z , x = − + arccos   3 3  + 2πn, n ∈ Z .

4   

π + 2πn; x = π + 2πn; n ∈ Z , 2

 1  π  + 2πn, n ∈ Z . + ar cos  4 3 3 

№ 1198 5 x 5 3 x ⋅ cos + 2 sin x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 x x 5  3  5  sin x cos + cos x  = 0 , sin x 2 cos x ⋅ cos  = 0 , 2  2 2  2  2

1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, 2 sin

2   5  x = 5 nπ, n ∈ Z sin x 0 =  2  cos x = 0 ;  x = π + lπ, l ∈ Z   2 cos x = 0  x = π + 2mπ, m ∈ Z  2   2 π Ответ: nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z , x = π + 2mπ, m ∈ Z; 5 2 5 x 5 3 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0, 2 cos x ⋅ cos + 2 cos x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 5  x 3  5 x cos x cos + cos x  = 0 , 2 cos x ⋅ cos x ⋅ cos = 0 , 2  2 2  2 2 185

π 2   x = 5 + 5 nπ, n ∈ Z   x = π + lπ, l ∈ Z  2  x = π + 2mπ, m ∈ Z   π 2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z .

5 5 2 5  cos 2 x = 0 cos x = 0 ;  cos x = 0  2

№ 1199 sin 2 3x

− 4 sin 2 3x = 0 , cos3x ≠ 0, cos 2 3 x sin23x – 4sin23x ⋅ cos23x = 0, sin23x – 4sin23x(1 – sin23x) = 0, 4sin43x – 3sin23x = 0, sin23x(4sin23x – 3) = 0, nπ  sin 3 x = 0 x = 3 , n ∈ Z  ;  sin 3 x = ± 3  l π  2 3 x = (− 1)  ± 3  + lπ, l ∈ Z     π lπ π lπ nπ Ответ: x = , n ∈ Z , x = (− 1)l + , l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z 3 9 3 9 3 1) tg23x – 4sin23x = 0,

2) sinxtgx = cosx + tgx,

sin 2 x sin x sin 2 x − cos 2 x − sin x , = cos x + =0, cos x cos x cos x

sin 2 x − 1 + sin 2 x − sin x = 0  2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 cos x ≠ 0 cos x ≠ 0    π sin x = 1  x = + 2πl , l ∈ Z 2  1  π sin x = −  ( x = − 1)m +1 + mπ, m ∈ Z   2  6    π π  x ≠ + nπ, n ∈ Z  2   x ≠ 2 + nπ, n ∈ Z π Ответ: x = (− 1)m +1 + mπ, m ∈ Z .

6 1  cos x  cos x + 1  cos 2 x + cos x  3) ctgx ctgx + =1,   =1,  = 1, sin x  sin x  sin x  sin 2 x  cos 2 x + cos x − sin 2 x = 0  2 sin x ≠ 0  2 2 cos x + cos x − 1 = 0

186

cos x = −1  1 cos x = + 2 

 x = π + 2nπ , n ∈ Z π   x = ± 3 + 2lπ , l ∈ Z

 x = π + 2nπ, n ∈ Z π   x = ± + 2lπ, l ∈ Z 3   x ≠ mπ, m ∈ Z 4) 4ctg 2 x = 5 −

Ответ: x = ±

π + 2lπ, l ∈ Z .

3

4 cos 2 x 5 sin x − 9 4 cos2 x − 5 sin 2 x + 9 sin x = 0 9 = ,  , sin x sin 2 x sin x sin x ≠ 0

4 − 9 sin 2 x + 9 sin x = 0 9 sin 2 x − 9 sin x − 4 = 0 , 9sin2x - 9sinx – 4 = 0,   sin x ≠ 0 sin x ≠ 0 9 ± 81 + 144 9 ± 15 4 1 = , sin x = , x ≠ φ, sin x = − , 18 18 3 3 1  1  x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z ,  3 3  x ≠ mπ, m ∈ Z 1 Ответ: x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z .

3

9a2–9a–4 = 0, a 1 = 2

№ 1200 1) tg2x = 3tgx

(

)

sin 2 x 3 sin x 2 sin x ⋅ cos 2 x − 3 sin x cos 2 x − sin 2 x = , =0, cos 2 x cos x cos 2 x − sin 2 x cos x

(

)

2 sin x ⋅ cos x − 3 sin x ⋅ cos x + 3 sin x = 0 ,  cos x cos2 x − sin 2 x ≠ 0

(

2

)

2

3

– sinxcos2x + 3sin3x = 0, – sinx (1 – sin2 x) + 3sin3x = 0, 4sin3 x – sinx = 0, sinx(4sin2x – 1) = 0   x = mπ, m ∈ Z    x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z  x = mπ, m ∈ Z  6 sin x = 0   π + l 1π l  + lπ, l ∈ Z 1  x = (− 1) + lπ, l ∈ Z  x = (− 1) 6 sin x = ±  6   2   π l +1 π   x = (- 1) 6 + lπ, l ∈ Z  x ≠ + nπ, n ∈ Z  2  π kπ  x ≠ + , k ∈ Z 4 2  Ответ: x = mπ, m ∈ Z , x = (− 1)l 2) ctg2x = 2ctgx,

π π + lπ, l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + lπ, l ∈ Z ; 6 6

cos 2 x 4 cos 2 x cos 2 x 2 cos x = , − =0 2 sin x ⋅ cos x 2 sin x ⋅ cos x sin 2 x sin x 187

cos 2 x − sin 2 x − 4 cos 2 x = 0  , cos2x – sin2x – 4cos2x=0, 3cos2x+sin2x = 0, sin 2 x ≠ 0 sin x ≠ 0  1 . Ответ: решений нет.

2 π tgx − tg 4 =2, + π 1 + tgx ⋅ tg 4

3cos2x + 1 – cos2x = 0, 2cos2x + 1 = 0, cos 2 x = − π tgx + tg π π   4 3) tg  x +  + tg  x −  = 2 , π 4 4   1 − tgxtg 4

tg + 1 tgx − 1 1 + 2tgx + tg 2 x + tgx − tg 2 x − 1 + tgx − 2 + 2tg 2 x + −2 = 0, =0 1 − tgx 1 + tgx 1 − tg 2 x 2tg 2 x + 4tgx 1 − tg 2 x

2tg 2 x + 4tgx = 0 = 0,  , 2tg2x + 4tgx = 0, 1 − tg 2 x ≠ 0

 x = nπ, n ∈ Z tgx = 0  x = − arctg 2 + πl , l ∈ Z tgx = −2  1 − tg 2 x ≠ 0  Ответ: x = nπ, n ∈ Z, x = -arctg2 + πl, l ∈ Z. 4) tg(2x + 1)ctg(x + 1) = 1, tg(2x + 1) = tg(x + 1), tg(2x + 1) – tg(x + 1) = 0, sin(2x + 1 − x − 1) sin x  x = πn, n ∈ Z = 0, = 0,  cos(2 x + 1)cos(x + 1) cos(2x + 1)cos(x + 1) cos(2 x + 1)cos(x + 1) ≠ 0 Ответ: х = πn, n ∈ Z.

№ 1201 1) cosx = 3x – 1 Построим графики функций у = cosx и y = 3x – 1:

x≈

1 2

2) sinx = 0,5x3

x ≈ ±1; x = 0

188

3) cos x = x y = cosx, y = x

x≈

1 2

4) cosx = x2 y = cosx, y = x2

x ≈ ±0,8

№ 1202 1) x + 8 > 4 – 3x, 4x > -4, x > -1; 2) 3x + 1 – 2(3 + x) < 4x + 1, 3x + 1 – 6 – 2x – 4x – 1 < 0, -3x < 6, x > -2.

№ 1203 4 − 3x 5 − 2 x − < 2 , 3(4–3х)–2(5–2х)–2⋅24<0, 12–9x–10+4x–48 < 0, 8 12 -5x – 46 < 0, x > -46/5; 5x − 7 x + 2 − ≥ 2 б 7(5x – 7) – 6(x + 2) – 42 ⋅ 2 ≥ 0, 2) 6 7 35x – 49 – 6x – 12 – 84 ≥ 0, 29x ≥ 145, x ≥ 5.

1)

№ 1204 1)

5x − 4 >0 7x + 5

 x> 5 x − 4 > 0  а)   7 x + 5 > 0  x >  5 x − 4 < 0 б)  7 x + 5 < 0 Ответ:

4 5 x > 4/5 −5 7

4 4    x < 5 x > 5 x < -5/7   x < − 5 x < − 5   7 7 5 4   x ∈  − ∞;−  U  ;+∞  ; 7 5   189

2)

3 x + 10 >0 40 − x

10   10  3 x + 10 > 0  x > − а)   3 x ∈  − ;40  40 − x > 0  x < 40  3   10  3 x + 10 < 0  x < − б)   3 х∈φ 40 − x < 0  x > 40   10  Ответ: x ∈  − ;40  .  3  x+2 3) >0 5 − 4x  x > −2 x + 2 > 0  а)  5  5 − 4 x > 0  x < 4 

  10   x ∈  − ;40  .

3     x ∈ φ

−2< x <

 x < −2 x + 2 < 0  б)  5 х∈φ  5 − 4 x < 0  x > 4  5 Ответ: − 2 < x < .

4 8− x 4) >0 6 + 3x

5 4

5  − 2 < x < 4 x ∈ φ 

8 − x > 0  x < 8 а)  -2 < x < 8  6 + 3 x > 0  x > −2 8 − x < 0  x > 8 б)  х∈φ  6 + 3x < 0  x < −2 Ответ: -2 < x < 8.

№ 1205 1)

3 − 2x <0 3x − 2

3   x > 2 3 3 − 2 x > 0 ; x > ; б)   2 2 3 x − 2 > 0 x >  3 2 3   Ответ: x ∈  − ∞;  U  ;+∞  .

3 2   3 − 2 x < 0 а)  3 x − 2 < 0

190

  x <  x < 

3 2; x< 2 2 3 3

5  x> 10 − 4 x 10 − 4 x < 0  2 ; x> 5 < 0 ; а)  2)  9x + 2 2 9 x + 2 < 0  x > − 2  9 5 5   x< x>  2 10 − 4 x > 0  2 ; x<− 2 б)    9 x < − 2 9 x + 2 > 0  x < − 2  9 9  2 5   Ответ: x ∈  − ∞;−  U  ;+∞  .

9 2   18 − 7 x 18 − 7 x 3) <0; >0 − 4 x2 − 1 4x2 + 1 18 18 (4x2 + 1 > 0 при любых значениях х). Ответ: x < .

18 – 7x > 0; x < 7 7

191