№ 1092 1) =
a + 2 2a 2 − a − 3 2a − 3 a + 2 2(a + 1)(a − 3 2 ) a − 2 = = ⋅ : a − 2 a 2 + 5a + 6 a − 2 a − 2 (a + 2 )(a + 3) 2a − 3
a + 2 2(a + 1)(a − 3 2 ) a−2 a +1 ⋅ ⋅ = a − 2 (a + 2 )(a + 3) 2(a − 3 2 ) a + 3
1 8b 2 + 8b + 2 2b + 1 2b + 1 b(b − 4) 2b + 1 (b − 4 ) 2) 2 + : ⋅ = ⋅ ⋅ = b b b b 2b b 2 − 4b 2(2b + 1)2
№ 1093 1)
= − + +
a a2 − 1
+
a2 + a − 1 a3 − a 2 + a − 1
+
a2 − a − 1 a3 + a 2 + a + 1
−
2a 3
=
a4 − 1
a a2 + a − 1 a2 − a − 1 + 2 + 2 − (a − 1)(a + 1) a (a − 1) + (a − 1) a (a + 1) + (a + 1) 2a 3
(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 2
a − a −1
(a + 1)(a
2
)
+1
a2 − a −1
(a + 1)(a
−
(
2a
3
(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)
=
2a 3
−
)
=
(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) a (a 2 + 1) + (a 2 + a − 1)(a + 1) + (a 2 − a − 1)(a − 1) − 2a 3 = (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 2
)
a a2 + a − 1 + + (a − 1)(a + 1) (a − 1) a 2 + 1
=
+1
Преобразуем числитель полученной дроби а(а2+1)+(а2+а–1)(а+1)+(а2–а–1)(а–1)–2а3=а3+а+а3+а2+а2+а–а–1+а3 – – а2 – а2 + а – а + 1 – 2а3 = а3 + а, тогда дробь примет вид
a3 + a
(a − 1)(a + 1)(a 2)
=
2
1 2
a + 5a + 6
1
)
) (a −1)(a + 1)
+1
+
(
a a 2 +1
=
2
2a 2
a + 4a + 3
+
2a
2
+
=
a 2
a −1
1
(a + 1) +
2
+ a +1
1
−
2 = a+3
−
2
(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 3) (a + 1)(a + 2 ) a + 3 1 ⋅ (a + 1) + 2a (a + 2 ) + 1 ⋅ (a + 3) − 2(a + 1)(a + 2 ) = = (a + 1)(a + 2 )(a + 3) = 146
=
a + 1 + 2 a 2 + 4 a + a + 3 − 2a 2 − 6 a − 4 0 = =0 (a + 1)(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 2)(a + 3)
№ 1094 1 1 1 4−4 a +4+4 a 1 − + = − = 2 − 2a 4 + 4 a 2 − 2a 4 − 4 a 4+4 a 4−4 a 8 1 1 1 − = − =0 16 − 16a 2 − 2a 2 − 2a 2 − 2a
(
1)
2)
a 2 + a − 2 −1 a 2 − 2 − 2 + 2a
=
)(
)
(a − 1)( 2 + 1) = 2 (a − 1) + 2(a − 1) (a − 1)(2 + 2 ) 2 (a − 1) + (a − 1)
=
1 2
№ 1095 a − x a − x 1− при а = 5, х = 4 1) 1 + a + x a + x Преобразуем данное выражение: 1 +
a−x a+x
1 − a − x a+x
= 1 − a − x = a + x − a + x = 2x a+x a+x a+x
при а = 5, х = 4 полученное выражение примет вид: 2)
a + a2 − x2 a − a2 − x2
−
a − a2 − x2 a + a2 − x2
2⋅4 8 = ; 5+ 4 9
при а = 3, x = 5
Преобразуем данное выражение: 2
2
2
2
2
a+ a −x a− a −x = =
−
2
a− a −x
2
a + a2 − x2
(
) (
2
2 2 2 2 a + a − x − a − a − x = = 2 2 2 2 a − a − x a + a − x
(
a 2 + 2a a 2 − x 2 + a 2 − x 2 − a 2 + 2a a 2 − x 2 − a 2 − x 2 4a a 2 − x 2 x2
4 ⋅ 3 32 −
( 5)
)
)=
; при а = 3, x = 5 полученное выражение примет вид:
( 5)
2
2
a2 − a2 − x2
=
12 9 − 5 24 = = 4,8 . 5 5
№ 1096 1)
x
1
2
1+ x
1
2
1 12 x 1 x 2 ⋅ − = 1 1 1 1− x 2 x 2 − x 1+ x 2
1 2 1 x = ⋅ − 1 1 1 2 2 1 − x 2 1− x x 147
x
=
1
2
1+ x
1
⋅ 2
x −1 x −1 = = −1 1 −x 1 2 2 x 1 − x 1
2
1 12 12 12 1 1 m + 1 2m m + 1 − 4m 2 2 2 2 m + 2m + 1 2m 4m ⋅ ⋅ 1 − 2) = = 1 1 m 1 − m 1 − m 2 −1 2 2m 2 m 2
1
2
12 1 1 m + 1 ⋅ 2m − 4m 2 + 2m 2 = = 1 m −1 2m 2
2
12 1 m + 1 ⋅ 2m − 2m 2 = m 1 2 + 1 1 m −1 2m 2
№ 1097 m m ⋅ 2mn ⋅ 18mn = 6n ⋅ 3 = 18mn ; 2n 2n
1) 6n ⋅
+ 1 a 1 − ⋅ a 14 = 2) 3 ⋅ ⋅ ⋅a 4 = 1 1 1 1 1 a 2 +1 a 2 +1 a 4 +a 2 a 2 a 4 + 1 1 2 1 2 1 4 1 4 a + 1 a − 1 a a + 1 ⋅ a 14 = a 12 − 1 . ⋅ = 1 1 1 a 2 +1 a 2 a 4 + 1 a −1
a
1
2
+a
1
4
a
1
1
1 4 a 4
№ 1098 a a −1 a −1 a a −1+ a − a a −1 + a: = ⋅ = 1) a −1 a −1 a −1 a −1 a − 1 + a (a − 1) a −1
⋅
(
)
a − 1 (a − 1) a + 1 a −1 = ⋅ = a +1; a −1 a −1 − a 1
1+ b b 1+ b 1+ b b − b − b 1+ b − b ⋅ = ⋅ = 2) 1+ b 1− b 1− b 1+ b
(
(1 − b ) −
)
b (1 − b ) 1 + b (1 − b ) 1 − b 1 + b ⋅ = 1− b . ⋅ = 1− b 1− b 1+ b 1+ b
=
№ 1099 a −1b − 2 − a − 2b −1 a 148
−5
3 b2
−b
−5
3 a−2
−a
1
1 3b 3
=
a −1b − 2 − a − 2b −1 − a a
−5
3b−2
−4
3b
−b
−5
−5
3
+a
3 a−2
−5
3b
−4
3
=
−4 −5 − a − 2b −1 + a 3 b 3 = = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a 5 2 2 2 − −5 2 a 3 b − 2 a 3 + b 3 − b 3 a − 2 a 3 + b 3 = = − 5 −2 − 5 −2 3 3 a b −b a 2 −5 −5 23 a + b 3 ⋅ a 3 b − 2 − b 3 a − 2 = a23 + b23 . = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a
a −1b − 2 + a
−5
3b
−4
3
№ 1100 ab + b 2 a + ab − 1) a 2 + ab ab + b
(
)
−2
a 3b + ab3 = 2ab
−
a a+ b b a+b = − + a a b b a+ b
(
a + b + 2 ab − a − b = + + a b a b
(
)
2 ab = a+b a + b
(
=
−2
(a + b )(a + 2
)
−2
ab + b
4ab
−
)−
)
−2
a 3b + ab3 = 2ab
−
a 3b + ab3 = 2ab
−
ab (a + b ) = 2ab a 3b + ab3 = 2ab
a 2 + 2a ab + ab + ab + 2b ab + b 2 − 2a ab − 2b ab (a + b )2 = = 4ab 4ab
2)
( a + b) 1
( a + b)
2
=
−1 −1 2 a 2 + b 2 1 1 = ⋅ + + 3 a b a+ b
−2
(
(
)
2 1 + 1 a+b a b = ⋅ + 3 ab a+ b
a+b
ab a + b
)
2
+
(
(
2 a+ b ab
)
)
( a + b)
3
=
( a + b) b) ab( a + b )
a + b + 2 ab
(
ab a +
2
2
=
2
=
1 ab
149
№ 1101 4
9a − 25a −1 a + 7 + 10a −1 = − 1 1 −1 −1 2 2 2 2 3 a 5 a a 2 a − + 4
1 12 − 1 −1 3a − 5a 2 3a 2 + 5a 2 −1 + + a 7 10 a − 1 = = 1 −1 −1 3a 2 − 5a 2 a 2 + 2a 2 4
4
−1 −1 3a + 5 + 6 + 10a − a − 7 − 10a 2a + 4 = = −1 = −1 a 2 (a + 2 ) 2 (a + 2 ) a 4
4 1 2(a + 2) = 1 = 2a 2 = 16a 2 . a − 2 (a + 2 )
№ 1102 3 b 3 1 + 3 4 9 3 − b b 9 − b b 33 b b =3 + b (b − 9 ) b − 9 b−9 = 3+ b =
−2
(
)
− b 2 + 18b + 81
−2
(b + 9)
2
−
0, 5
(
3+ b = b−9
=
)
−2
− (b + 9) =
2
b 2 − 18b + 81 − 9b − 6b b − b 2 − 81 − 54 b − 9b − (b + 9) = = 9+6 b +b
− 54 b − 36b − 6b b 9+6 b +b
=
(
−6 b 9+6 b +b 9+6 b +b
) = −6
b .
№ 1103 1)
1 + tg 2α 2
1 + ctg α
=
1 2
:
1 2
cos α sin α
= tg 2α
2) (1+tgα)(1+ctgα) – 1/(sinαcosα) = =
150
1 + 2 sin α cos α 1 − =2. cos α sin α sin α cos α
cosα + sinα sinα + cosα 1 ⋅ − = cosα sinα sinα cosα
№ 1104
1 − (sin α + cos α )2 = 2tg 2α . sin α cos α − ctgα
тождества:
=
2 sin 2 α 2
Преобразуем
левую
часть
данного
1 − (sin α + cos α )2 1 − 1 − 2 sin α ⋅ cos α sin 2 α cos α = = −2 = cos α sin α cos α − ctgα cos α sin 2 α − 1 sin α cos α − sin α
(
=
2 sin 2 α 2
)
= 2tg 2α , таким образом, левая и правая части
1 − sin α cos α тождества совпадают, следовательно, тождество доказано.
№ 1105
1) sin2(α + 8π) + cos2(α + 10π) = sin2α + cos2α = 1; 2) cos2(α+6π)+cos2(α-4π)=cos2(α+3⋅2π)+cos2(2⋅2π-α)=cos2α+cos2α=2cos2α.
№ 1106
sin 2α sin α cos(π − α ) sin α ⋅ cos α sin α cos α + = + = 2 1 − 2 cos 2 α 1 − 2 sin 2 α sin 2 α − cos 2 α sin 2 α − cos 2 α sin 2α =− = −tg 2α . cos 2α
(
)
№ 1107 cos 2 x sin 2 x − = − sin x − cos x 1 + sin x 1 − cos x Преобразуем левую часть данного тождества:
(
)
cos 2 x − cos3 x − sin 2 x − sin 3 x cos 2 x − sin 2 x − cos3 x + sin 3 x = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x − sin x )(cos x + sin x ) − (cos x + sin x )(1 − sin x ⋅ cos x ) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) ( cos x + sin x )(cos x − sin x − 1 + sin x ⋅ cos x ) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x + sin x )(cos x(1 + sin x ) − (1 + sin x )) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) ( cos x + sin x )(1 + sin x )(cos x − 1) = = − sin x − cos x , (1 + sin x )(1 − cos x ) таким образом правая и левая части тождества совпадают, ч.т.д.
№ 1108 α α + 2 sin 2 = 2 2 α α α α α π = 2 cos cos + sin = 2 2 cos sin + ; 2 2 2 2 2 4
1) 1 + cos α + sin α = (1 + cos α ) + sin α = 2 cos 2
151
α α α − 2 sin cos = 2 2 2 α α α α α α π α π = 2 sin sin − cos = 2 sin ⋅ 2 sin − = 2 2 sin sin − ; 2 2 2 2 2 2 4 2 4 3) 3–4sin2α=3–4(1–cos2α)=3–4+4cos2α=4cos2α–1=(2cosα - 1)(2cosα + 1); 4) 1 – 4cos2α = (1 – 2cosα)(1 + 2cosα). 2) 1 − cos α − sin α = (10 cos α ) − sin α = 2 sin 2
№ 1109
α +β + γ = π 1) sin α + sin β − sin γ = 4 sin
α β γ sin cos 2 2 2
Рассмотрим правую часть: α β γ α β π (α + β ) 4 sin sin cos = 4 sin sin cos − = 2 2 2 2 2 2 2 α β α β α β α β β α sin sin + = 4 sin sin sin cos + sin cos = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α β β α β α = 4 sin 2 sin cos + 4 sin sin 2 cos = 2 2 2 2 2 2 β β α α β 2α = 2 sin cos ⋅ 2 sin + 2 sin cos 2 sin 2 = 2 2 2 2 2 2 = sin β(1 − cos α ) + sin α(1 − cos β ) = sin β − sin β cos α + sin α − sin α cos β = = sin β + sin α − (sin β cos α + sin α cos β ) = = 4 sin
π = sin β + sin α − sin (α + β = )sin β + sin α − cos − (α + β ) = 2 = sin α + sin β − sin γ 2) Рассмотрим левую часть: sin2α + sin2β + sin2γ = 2sin(α + β)cos(α - β) + sin2γ = = 2sin(π - γ)cos(α - β) + sin2γ = 2sinγcos(α + 2β) + 2sinγcosγ = α −β+ γ α −β− γ = 2sinγ(cos(α + β) + cosγ) = = 2 sin γ ⋅ 2 cos cos = 2 2 π − 2β π − 2β − 2γ cos = 2 sin γ ⋅ 2 cos = 2 2 π π = 4 sin γ cos − β cos − β − γ = 4 sin γ sin β sin α = 4sinα sinβ sinγ. 2 2
№ 1110
tgα = 2 sin 2 α + sin α cos α
. cos 2 α + 3 cos α sin α Разделим числитель и знаменатель данного выражения на cos2α ≠ 0 (последнее выполняется вследствие tgα = 2), 1)
152
sin 2 α
sin α ⋅ cos α + tg 2α + tgα α cos cos 2 α , при tgα = 2 выражение примет вид: = 2 1 + 3tgα cos α 3 cos α ⋅ sin α + cos 2 α cos 2 α 2 2 +2 6 = ; 1+ 3⋅ 2 7 2
2)
2 − sin 2 α 3 + cos 2 α
. Разделим числитель и знаменатель данного выражения на 2
−
sin 2 α
2 2 2 cos 2 α = 2 + 2tg α − tg α = 2 + tg α ; 2 3 3 + 3tg α + 1 4 + 3tg 2α +1
2 cos2α ≠ 0, получим: cos α
cos 2 α
при tgα = 2 выражение примет вид:
2 + 22 4 + 3 ⋅ 22
=
6 3 = 16 8
№ 1111
tgα + ctgα = 3, tg2α + ctg2α = (tgα + ctgα)2 – 2, тогда при tgα + ctgα = 3 выражение примет вид: 32 – 2 = 7.
№ 1112 π cos α + sin α π cos α + sin α tg 4 + tgα − tg + α = − = cos α − sin α 4 cos α − sin α 1 − tg π 4 tgα cos α + sin α cos α + sin α − =0; cos α − sin α cos α − sin α
1)
1 − sin 2α cos 2 α 1 − sin 2α π 1 − sin 2α = ctg 2α − = − = 2) tg 2 − α − 1 + sin 2α sin 2 α 1 + sin 2α 2 1 + sin 2α = =
cos 2 α + sin 2α cos 2 α − sin 2 α + sin 2α sin 2 α sin 2 α(1 + sin 2α )
sin 2α + cos2 α − sin 2 α sin α(1 + sin 2α ) 2
=
sin 2α + cos 2α
sin 2 α (1 + sin 2α )
=
.
№ 1113 1)
tgα + tgβ tgα + tgβ = = tgαtgβ 1 1 ctgα + ctgβ + tgα
tgβ
2) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α + + sin2α - 2sinαcosα + cos2α = 2
153
( (
) )
( (
) )
sin π + α − cos π + α 4 4 = sin π + α + cos π + α 4 4 sin π cos α + cos π sin α − cos π cos α + sin π sin α 4 4 4 4 = = sin π cos α + cos π sin α + cos π cos α − sin π sin α 4 4 4 4 cos α + sin α − cos α + sin α = = 2tgα ; cos α + sin α + cos α − sin α sin α + 2 sin π − α sin α + 2 sin π cos α − cos π sin α 3 3 3 4) = = 2 cos π − α − 3 cos α 2 cos π ⋅ cos α + sin π sin α − 3 cos α 6 6 6 3)
(
=
)
(
)
(
sin α + 3 cos α − sin α
№ 1114
( (
) )
( (
) )
)
( (
) )
sin 2 π − α 4 cos 2 π − α 4 =
1 − tg π − α 4 = 1) 1 + tg 2 π − α sin 2 π − α 4 4 1+ 2
)
= 3ctgα .
3 cos α + sin α − 3 cos α
1−
(
( (
cos 2 π − α 4
( (
) )
) )
cos 2 π − α − sin 2 π − α 4 4 = cos 2 π − α = cos π − 2α = sin 2α . 4 2 cos 2 π − α + sin 2 π − α 4 4 sin 2α 2 sin α cos α = = tgα . 2) 1 + cos 2α 2 cos 2 α =
((
(
))
)
№ 1115 1)
tg 2α 1 + ctg2α
2
2)
1 + ctg α 2
ctg α
=
tg 2α 1 tg 2α
1+ 1+
=
=
tg 4α 1 + tg 2α
=
cos 2 α sin 2 α =
cos 2 α
1 2
⋅
tg 4α 1 cos2 α
sin 2 α 2
sin α cos α
=
=
sin4 α cos2 α ⋅ = sin2α tg2α. 1 cos4 α
1 cos 2 α
.
sin 2 α
3)
sin α sin β − cosα cosβ
sinαcosβ − sinβcosα sinαsinβ tgα − tgβ = ⋅ = = cosαcosβ sinβcosα + sinαcosβ ctgα + ctgβ cos α + cosβ sin α
= 154
sin β
sin (α − β ) sin (α − β ) 1 2 (cos(α − β ) − cos(α + β )) = ⋅ tgα ⋅ tgβ = ⋅ sin (α + β) sin (α + β ) 1 (cos(α − β ) + cos(α + β )) 2
sin (α − β )cos(α − β ) − sin (α − β )cos(α + β ) = sin (α + β )cos(α − β ) + sin (α + β )cos(α + β ) 1 (sin (α − β − α + β ) + sin (2α − 2β ) − sin (− 2β ) − sin 2α ) = 2 = 1 (sin (− 2β ) + sin 2α + sin (α + β − α − β ) + sin (2α + 2β )) 2 sin (2α − 2β ) + sin 2β − sin 2α = = sin (2α + 2β ) − sin 2β + sin 2α 2 sin α ⋅ cos(α − 2β ) − 2 sin α ⋅ cos α cos(α − 2β ) − cos α = = = 2 sin α ⋅ cos(α + 2β ) + 2 sin α ⋅ cos α cos(α + 2β ) + cos α − 2 sin (α + β ) ⋅ sin (− β ) = = tg (α + β ) ⋅ tgβ 2 cos(α + β ) ⋅ cos β 4) (tgα+ctgα)2–(tgα–ctgα)2=tg2α+2tgα⋅ctgα+ctg2α–tg2α+2tgα⋅ctgα-ctg2α=2 +2=4 =
№ 1116 1 + cos 2α 2 cos 2 α = = cos α ; 2 cos α 2 cos α tgα − sin α sin α − sin α cos α 1 − cos α α 2) = = = tg 2 ; tgα + sin α sin α + sin α cos α 1 + cos α 2 sin α + sin 3α + sin 5α sin 3α + (sin α + sin 5α ) 3) = = cos α + cos 3α + cos 5α cos 3α + (cos α + cos 5α ) sin 3α + 2 sin 3α cos 2α sin 3α(1 + 2 cos 2α ) = = = tg 3α ; cos 3α + 2 cos 3α cos 2α cos 3α(1 + 2 cos 2α ) 2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α + 2 sin 2α ⋅ cos 2α = 4) = 2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α − 2 sin 2α ⋅ cos 2α 1)
=
2 sin 2α (1 + cos 2α ) 2 cos 2 α = = ctg 2α . 2 sin 2α (1 − cos 2α ) 2 sin 2 α
№ 1117 1)
sin 2α + cos 2α + 2 sin 2 α sin 2α + cos 2α + 1 − cos 2α = = π sin (− α ) − sin (2,5π + α ) sin (− α ) − sin 2π + + α 2
sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α (sin α + cos α )2 = = −(sin α + cos α ) π − sin α − cos α sin (− α ) − sin + α 2 2)
=
cos 2α − sin 2α − 2 cos 2 α cos 2α − sin 2α − 1 − cos 2α = = π cos(− α ) − cos(2,5π + α ) cos α − cos 2π + + α 2 − (sin α + cos α )2 = −(sin α + cos α ) . cos α + sin α 155
№ 1118
1 − cos(2π − 2α )
=2 1 − cos 2 (α + π ) Преобразуем левую часть данного тождества:
1)
1 − cos(2π − 2α )
1 − cos 2α
)
=
2 sin 2 α
=2, 1 − cos 2 (α + π ) 1 − cos 2 α sin 2 α следовательно, тождество выполняется.
(
=
) sin (α + 90 ) Преобразуем левую часть: =
2)
(
sin 2 α + 90o = 1 + cos α − 90o 1 + sin (− α ) 2
o
cos 2 α 1 − sin 2 α = = 1 + sin α 1 + sin (− α ) 1 − sin α 1 − sin α o o Преобразуем правую часть тождества: 1+сos(α-90 )=1+cos(90 -α)=1+sinα Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.
№ 1119 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 8 sin 2 x − = cos 2 x sin π − x + sin (− x ) 2 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 4(1 − cos 2 x ) = − = cos x − sin x cos 2 x
(
=
)
(5 cos x − 3sin x )(cos x + sin x ) − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = cos 2 x
5 cos 2 x + 5 cos x sin x − 3 sin x cos x − 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = = cos 2 x =
(
)
5 cos 2 x + sin 2 x 5 = . cos 2 x cos 2 x
№ 1120 3π 3 sin (x − 2π )cos − x + tg (π − x )tg π + x = 2 2 = -sin x sin x + (-tgx)(-ctgx) = 1 – sin2x = cos2x.
№ 1121
1) cos2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1=cos2(α+2β)+(-cos2(α-2β))=cos2(α+2β) – – cos2(α - 2β) = (cos(α + 2β) – cos(α - 2β))(cos(α + 2β) + cos(α - 2β)) = = (-2sinα ⋅ sin2β) ⋅ (2cosαcos2β) = -sin2αsin4β 2) sin2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1= sin2(α+2β)–cos2(α–2β)=(sin(α + 2β) – –cos(α-2β))(sin(α+2β)+cos(α–2β))=(sinα⋅cos2β+sin2βcosα-cosα⋅cos2β-sinαsin2β) ⋅ (sinα⋅cos2β+sin2βcosα+cosα⋅cos2β+sinαsin2β)=(sinα(cos2β - sin2β) – –cosα(cos2β - sin2β))⋅(sinα(cos2β + sin2β) + cosα(cos2β + sin2β)) = = (sinα - cosα)(cos2β - sin2β)(cos2β + sin2β)(sinα + cos2β) = = (sin2α - cos2α)(cos22β - sin22β) = -cos2α ⋅ cos4β. 156
№ 1122 1)
cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α = = −2 = −2 ; 1 sin 3α sin α cos 4α − cos 2α (cos 2α − cos 4α ) 2
1 + cos 2α + 2 cos α cos 2α = = cos α + 1 + cos 2α − 1 cos α + 2 cos 2 α − 1 2 cos α(cos α + cos 2α ) = 2 cos α . cos α + cos 2α
2)
1 + cos α + cos 2α + cos 3α
№ 1123 1) =
2)
= = =
4 sin 2 α − sin 2 2α 2
2
4 − 4 sin α − sin 2α
=
4 sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α
4 cos
)
=
( ) = 4 sin α = tg α ; α (1 − sin α ) 4 cos α
4 sin 2 α 1 − cos 2 α 2
(
4 1 − sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α 4
2
4
4
2 2 2tgα 2tgα 2 2 = tg 1 : tg α − α − = 1 − tg 2α tg 2α − tg 2 2α 1 − tg 2α
tg 2 2αtg 2α − 1
(
4tg 4α − 1 1 − tg 2α
(1 − tg α) 2
)
2
⋅
(1 − tg α) = tg α (1 − tg α ) − 4tg α 2
2
4tg 4α − 1 + 2tg 2α − tg 4α 2
4
(
)(
6
2
tg α − 2tg α + tg α − 4tg α 3 tg 2α + 1 tg 2α − 1
2
2
)
=
2
2
3tg 4α + 2tg 2α − 1 tg 6α − 2tg 4α − 3tg 2α
=
2 3 = 3tg α − 1 = tg 2α tg 2α + 1 tg 2α − 3 tg 2α tg 2α − 3
(
)(
)
(
)
2
3 sin α
=
=
−1 3 sin 2 α − cos 2 α cos 2 α = = 2 2 sin 2 α sin 2 α 2 sin α −3 cos α sin α −3 cos 2 α cos 2 α cos 2 α
( α (3 cos
) = ctgα ⋅ cos 3α = ctgα ⋅ ctg 3α . sin 3α α)
− cos 2 α cos 2 α − 3 sin 2 α − sin
2
2
α − sin
2
№ 1124 1)
2 − cos x − sin x = sin x − cos x
π 2 − sin − x + sin x 2 = π sin x − sin − x 2
157
π π ⋅ cos − x 4 4 = π π 2 sin x − ⋅ cos 4 4
2 − 2 sin
π π 2 − 2 cos − x 1 − cos − x 4 = 4 π π 2 sin x − sin x − 4 4
1 + cos x + sin x + tgx cos x + cos 2 x + sin x − cos x + sin x = = sin x + cos x cos x(sin x + cos x ) (cos x + sin x ) + cos x(cos x + sin x ) = 1 + cos x = 1 + 1 . = cos x(sin x + cos x ) cos x cos x
2)
№ 1125 sin α ⋅ cos α 2 sin α cos α ctgα 3 sin α ctgα = , = . = 4 sin 2 α − cos 2 α sin 2 α cos 2 α 1 − ctg 2α − sin 2 α
sin 2 α
3
При ctgα = ¾ выражение примет вид:
3 4 4 = 3 ⋅ 16 = 1 5 . = 2 9 7 4 7 1 − 3 1− 16 4
( )
№ 1126 α=− = =
π 2 − 3sin2 α sin α + 2 cosα 2 − 2sin2 α − sin2 α sin α + 2 cosα , − = − = 8 cos2α sin α + cosα cos2α sin α + cosα
2 cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − sin 2 α
−
sin α + 2 cos α = sin α + cos α
2 cos 2 α − sin 2 α − (sin α + 2 cos α )(cos α − sin α ) = cos 2α
2 cos 2 α − sin 2 α − sin α ⋅ cos α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 cos 2 α = cos 2α 1 sin 2α − sin 2α − sin α ⋅ cos α + 2 cos α sin α 1 2 = = = ⋅ tg 2α . cos 2α cos 2α 2 1 π 1 π При α = − выражение примет вид: tg − = − . 8 2 8 2 =
№ 1127
tg (α − β ) + tgβ cos(α + β ) = . Преобразуем левую часть: tg (α + β ) − tgβ cos(α − β ) tgα + tgβ tg (α − β ) + tgβ tgα − tgβ = + tgβ : − tgβ = tg (α + β ) − tgβ 1 + tgαtgβ 1 − tg α tg β
158
tgα − tgβ + tgβ + tgαtg 2β tgα + tgβ − tgβ + tgα ⋅ tg 2β : = = 1 + tg α tg β 1 tg tg − α β tgα 1 + tg 2β 1 − tgαtgβ 1 − tgα ⋅ tgβ = ⋅ = = 1 + tgαtgβ tgα 1 + tg 2β 1 + tgαtgβ cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos(α + β ) = = ⇒ тождество выполняется. cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos(α − β )
(
)
(
)
№ 1128
π α 1) 1 + sin α = 2 cos 2 − . Преобразуем правую часть: 4 2 π α π α π 2 cos 2 − = 1 + cos 2 − = 1 + cos − α = 1 + sin α , 4 2 4 2 2 правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. π α 2) 1 − sin α = 2 sin 2 − . Преобразуем правую часть: 4 2 π α π α π 2 sin 2 − = 1 − cos 2 − = 1 − cos − α = 1 − sin α , 4 2 4 2 2 права часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.
№ 1129 π π 1) sin α + − sin α − = 3 cos α 3 3 Преобразуем левую часть:
3 π π π sin α + − sin α − = 2 sin ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 3 3 3 2 правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. π π 2) cos + α + cos − α = 3 cos α . Преобразуем левую часть: 6 6 π 3 π π cos + α + cos − α = 2 cos ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 2 6 6 6 следовательно, тождество выполняется.
№ 1130 1)
2 α α tg + ctg 2 2
2 tg 2)
α α + ctg 2 2
=
= sin α . Преобразуем левую часть:
2tg tg 2
α 2
α +1 2
= sin α , следовательно, тождество выполняется.
ctgα − tgα = cos 2α . Преобразуем левую часть, получим: ctgα + tgα 159
cos α sin α cos 2 α − sin 2 α − sin α cos α = sin α ⋅ cos α = cos 2α . cos α sin α cos 2 α +sin 2 α + sin α
cos α
sin α⋅cos α
№ 1131
(1 + cos α )tg α = sin α .
Преобразуем левую часть выражения: 2 (1 + cos α )tg α = 2 cos2 α ⋅ sin (α 2) = 2 cos(α 2) ⋅ sin (α 2) = sin α , 2 2 cos(α 2 ) следовательно, тождество выполняется.
№ 1132 1) 1 − tg 2α = 1 − tg 2α = 1 −
cos 2α cos 2 α sin 2 α
. Преобразуем левую часть: =
cos 2 α − sin 2 α
=
cos 2α
, cos α cos α cos 2 α тождество выполняется; − cos 2α . Преобразуем левую часть: 2) 1 − ctg 2α = sin 2 α 1 − ctg 2α =
2
2
sin 2 α − cos 2 α sin 2 α
=−
cos 2α sin 2 α
,
следовательно,
следовательно,
тождество
выполняется.
№ 1133 π α π α 1 + cos α + cos 2α = 4 cos α cos + ⋅ cos − = 6 2 6 2 1 π 1 = 4 cos α cos α + cos = 2 cos 2 α + cos α = 1 + cos α + cos 2α , 2 2 3 следовательно, тождество выполняется.
№ 1134 1)
1 − 2 sin 2 α 1 − tgα = . Преобразуем левую часть: 1 + sin 2α 1 + tgα
sin α 1− 1 − 2 sin 2 α cos 2 α − sin 2 α cos α − sin α α = 1 − tgα cos = = = 2 sin α 1 + sin 2α cos sin α + α 1 + tgα (cos α + sin α ) 1+ 2)
160
1 4 sin 2 α cos 2 α
= 1+
(1 − tg α) 2
4tg 2α
cos α
2
.
1
Преобразуем левую часть:
2
2
4 sin α cos α Преобразуем правую часть, получим:
=
1 sin 2 2α
= 1 + ctg 2 2α .
(1 − tg α) ⋅ (1 − tg α ) = 1 + 2
2
1 1 ⋅ = 1 + ctg 2 2α , правая часть равна 2tgα 2tgα tg 2α tg 2α левой, следовательно, тождество верно. π 1 + sin 2α . Преобразуем левую часть: 3) tg + α = cos 2α 4 1+
( (
) )
π sin π ⋅ cos α + cos π ⋅ sin α cos α + sin α π sin 4 + α 4 4 tg + α = = . = π π π cos α − sin α cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α 4 cos 4 + α 4 4 Преобразуем правую часть:
(sin α + cos α )2 1 + sin 2α cos α + sin α = = . (cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin α cos 2α Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. 1 − sin 2α π = ctg 2 + α . 4) 1 + sin 2α 4 Преобразуем левую часть: Преобразим правую часть:
( (
1 − sin 2α (cos α − sin α )2 = . 1 + sin 2α (cos α + sin α )2
) ( ) (
) )
2 2π 2 +α cosπ ⋅ cosα − sin α ⋅ sin π π cos 4 4 = (cosα − sinα) = ctg2 + α = 2 4 2 4 sin π + α (cosα + sinα)2 sin π ⋅ cosα + cos π ⋅ sin α 4 4 4 Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.
№ 1135 π π 1) 4 sin x ⋅ sin − x ⋅ sin + x = sin 3 x . Преобразуем левую часть: 3 3 1 2π π π 4 sin x ⋅ sin − x ⋅ sin + x = 4 sin x ⋅ cos 2 x − cos = 2 3 3 3 π 2 = 2 sin x ⋅ cos 2 x − 2 sin x ⋅ cos π − = 2 sin x ⋅ cos 2 x + sin x = 3 2 = 2sinх ⋅ cos2х + sinх = sinх(2cos2 + 1) = sinх(3cos2х - sin2х) = sin3х, следовательно, тождество выполняется; sin 24 x 2) cos 3 x cos 6 x cos12 x = 8 sin 3 x Умножим обе части тождества на 8sin3x и докажем равносильное тождество 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = sin24x (1) Преобразуем левую часть: 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = = 4sin6x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = 2sin12x ⋅ cos12x = sin24x, следовательно, тождество (1), как и исходное, выполняется. 161
№ 1136 3 x − 16 x+6 x+3 , 3х–16+12=3х + 18 – 2х – 6, 2х = 16, х = 8; +1 = − 12 4 6 5 6( x − 8 ) 43 = − x + , 35(х–7)–63х–18(х–8)=-21х – 301, 2) (x − 7 ) − 3 x − 3 7 3 35х – 245 – 63х – 18х + 144 = -21х – 301, -25х = -200, х = 8. 1)
№ 1137 а(х – 3) + 8 = 13(х + 2). Если х = 0, то а(0 – 3) + 8 = 13(0 + 2); -3а + 8 = 0 + 26, -3а = 18, а = -6.
№ 1138 1 – b(x + 4) = 2(x – 8). Если х = 1, то 1 – b(1 + 4) = 2(1 – 8), 1 – 5b = -14, -5b = -15, b = 3.
№ 1139 1) х(х + 1) – (х + 2)(х + 3) + 9 = х(х + 4) – (х + 5)(х + 2), х2 + х – х2 – 3х – 2х – 6 + 9 = х2 + 4х – х2 – 2х – 5х – 10, -х = -13, х = 13; 2) 2(х+3)(х+1)+8=(2х+1)(х+5), 2х2+2х+6х+6+8=2х2+10х+х+5,-3х=-9, х=3.
№ 1140 3 2 4 3 2 4 , − = 2 − − =0, x + 3 x − 3 x − 9 x + 3 x − 3 (x − 3)(x + 3) 3(x − 3) − 2(x + 3) − 4 x − 13 =0, =0. (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) Знаменатель дроби не равен 0, следовательно, х – 13 = 0, т.е. х = 13;
1)
3± 9−8 5 2 11 = 3 ±1, + = , х2 – 6х + 8 = 0, x1, 2 = x − 2 x − 4 x2 + 6x + 8 1 х1 = 2, х2 = 4, следовательно х = 2, х = 4 решениями не являются, т.к. обращают в 0 знаменатели дробей. 5 2 11 5 x − 20 + 2 x − 4 − 11 + − =0, =0, (x − 2)(x − 4) x − 2 x − 4 (x − 2)(x − 4) 2)
7 x − 35
(x − 2)(x − 4)
7 x − 35 = 0 = 0 , что равносильно системе, , х = 5. (x − 2 )(x − 4 ) ≠ 0
№ 1141 1) (a – b)x = a2 + (a + b)x, ax – bx = a2 + ax + bx, -2bx = a2, x = − 2) a2x = a + b + b2x, x(a2 – b2) = a + b, x =
a+b a 2 − b2
, x=
1 . a−b
№ 1142 1) х2 – 2х – 15 = 0, x1, 2 = 162
1 ± 1 + 15 = 1 ± 4 , х1 = 5, х2 = -3; 1
a2 ; 2b
2) 3х2 + 4х – 4 = 0, x1, 2 =
2 − 2 ± 4 + 12 − 2 ± 4 , x1 = , х2 = -2. = 3 3 3
№ 1143 1) (х – 3)(х – 2) = 6(х – 3), (х – 3)(х – 2 – 6) = 0, (х – 3)(х – 8) = 0, х = 3, х = 8; 11x 1 + = 0 , 6х2 – 11х + 3 = 0, 2) x 2 − 6 2 x1, 2 =
11 ± 121 − 72 11 ± 7 3 1 = , x1 = , x2 = . 2 12 12 3
№ 1144 1)
x(x − 1) + x(x + 1) x x + =0, = 0 , что равносильно системе: x +1 x −1 x2 − 1
x 2 − x + x 2 + x = 0 , х =0; 2 x − 1 ≠ 0 2)
3x 2 2 x + 1 3 x 2 (3 x + 1) − 2(3x − 1)(3 x + 1) − (2 x + 1)(3 x − 1) =0, −2= , (3x − 1)(3x + 1) 3x − 1 3x + 1
9 x3 + 3x 2 − 18 x 2 + 2 − 6 x 2 + 2 x − 3 x + 1 = 0, (3x − 1)(3x + 1) 9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 , что равносильно системе: (3x − 1)(3x + 1) 9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 3 x 2 (3 x − 7 ) − (x + 3) = 0 ; Решений нет. (3 x − 1)(3 x + 1) ≠ 0 (3 x − 1)(3 x + 1) ≠ 0
№ 1145 1)
3 x − 1 − 7 7 x 2 − 28 18 3x − 1 7 7 x 2 − 28 18 , = 2 − − = 2 + , x+2 2+ x x+2 x−2 2−x x −4 x −4
3 x − 8 7 x 2 − 28 − 18(x + 2) 7 x 2 − 28 − 18 x − 36 (3 x − 8)(x − 2 ) − =0, = , x +1 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 7 x 2 − 18 x − 64 − 3 x 2 + 6 x + 8 x − 16 x2 − 4
= 0 , что равносильно системе:
4 x 2 − 4 x − 80 = 0 x 2 − x − 20 = 0 ; . (x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0 (x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0 Решим первое уравнение системы: х2 – х – 20 = 0, x1, 2 =
1 ± 1 + 4 ⋅ 20 1 ± 9 , х1 = 5, х2 = -4. = 2 2 163
12 2− x x +1 − = , x + 3 x2 − 9 3 − x
2)
(x + 1)(x − 3) − 12 + (2 − x )(x + 3) = 0 , x2 − 9
x2 − 3x + x − 3 − 12 + 2x + 6 − x2 − 3x = 0 −3x − 9 = 0 x = −3 , . , x − 3 x + 3 ≠ 0 ( )( ) x x − 3 + 3 ≠ 0 ( )( ) (x − 3)(x + 3) ≠ 0 Ответ: решений нет
№ 1146 2
−
2
(
)
1 2 x − 1 2(x + 1) − x 2 − x + 1 − 2 x + 1 = 3 =0, , x +1 x +1 x3 + 1
x − x +1 − x 2 + x + 2 = 0 x = −1, x = 2 . , 2 2 (x + 1) x − x + 1 ≠ 0 (x + 1) x − x + 1 ≠ 0 Решением системы является х = 2.
(
)
(
)
№ 1147 1 =0. x При х ≠ 0 умножим обе части уравнения на х: х2 – 4х + 1 = 0, 1) x − 4 +
x1, 2 = 2)
2 ± 4 −1 = 2± 3 ; 1
2 4 x2 10 4 x 2 − 10 + 4 x + 8 − +4=0, = 0 , 4 x + 4 x − 2 = 0 x+2 x+2 x+2 x + 2 ≠ 0
2 x 2 + 2 x − 1 = 0 −1± 1+ 2 −1 ± 3 . , 2х2 + 2х – 1 = 0, x1, 2 = = 2 2 x ≠ −2
№ 1148
1) х4 – 11х2 + 30 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: у2 – 11у + 30 = 0, y1, 2 =
11 ± 121 − 120 11 ± 1 = , у1 = 6, у2 = 5, но у = х2, т.е. 2 2
х2 = 6, x = ± 6 ; х2 = 5, x = ± 5 . Ответ: x = ± 5 , x = ± 6 . 2) 2х4 – 5х2 + 2 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 – 5у + 2 = 0, 5 ± 25 − 16 5 ± 3 8 1 = , y1 = = 2, y2 = , но у = х2, т.е. 4 4 4 2 1 1 1 . Ответ: x = ± 2 , x = ± х2 = 2, x = ± 2 и x 2 = , x = ± . 2 2 2 y1,2 =
№ 1149
1) 2х-2 + 4х-1 + 3 = 0. Пусть х-1 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 + 4у + 3 = 0,
164
−2± 4−6 ; D < 0, корней нет; 2 2) (х2 – х)2 + 12 = 8(х2 – х) Пусть х2 – х = у, тогда уравнение примет вид: у2 +12=8у, у2 –8у+12 = 0, y1, 2 =
4 ± 16 − 12 = 4 ± 2 , у1 = 6, у2 = 2, но у = х2 – х, т.е. 1 х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = -2 и х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Ответ: х1 = 3, х2/3 = ±2, х4 = -1. y1, 2 =
№ 1150 a2 = 0 , x1, 2 4 −a ± 2b . = 2
1) x 2 + ax − b 2 + Ответ: x1, 2 2)
a 2 − a ± a 2 + 4 b 2 − 4 − a ± 2b = . = 2 2
2 x(2 x + a ) − x(2 x − a ) − 5a 2 2x x 5a 2 =0, − = 2 , 2x − a 2x + a 4x − a2 4x2 − a2
4 x 2 + 2ax − 2 x 2 + ax − 5a 2 4x2 − a2 2 x 2 + 3ax − 5a 2 4 x2 − a2
=0,
= 0 , что равносильно системе:
2 x 2 + 3ax − 5a 2 = 0 , 2х2 + 3ах – 5а2 = 0, (2 x − a )(2 x + a ) ≠ 0 x1, 2 =
− 3a ± 9a 2 + 40a 2 − 3a ± 7 a −5 = , х1 = а, x2 = a. 2 4 4
№ 1151
ах2 +bx + c. При а ≠ 0, a > 0, b2 = 4ac трехчлен ax2 + bx + c является квадратом двучлена.
№ 1152 ax2 + bx + a = 0, a ≠ 0, x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac , 2a
− b − b 2 − 4a 2 − b + b 2 − 4a 2 b 2 − b 2 + 4a 2 ⋅ = = 1, 2a 2a 4a 2 следовательно, х1, х2 – взаимно обратные числа. x1 ⋅ x2 =
№ 1153
1) |2x – 3| = 7; а) если 2х – 3 ≥ 0, то 2х – 3 = 7, 2х = 10, х = 5; 165
б) если 2х – 3 < 0, то 2х – 3 = -7, 2х = -4, х = -2. 2) |x + 6| = 2x; а) если х + 6 ≥ 0, то х + 6 = 2х, х = 6; б)если х + 6 < 0, то х + 6 = -2х, х = –2, но тогда х + 6 < 0 не выполняется Ответ: х = 6. 3) 2х – 7 = |x - 4|; а) если х – 4 ≥ 0, то 2х–7=х – 4, х = 3, но тогда х – 4 ≥ 0 не выполняется; 11 2 б) если х – 4 < 0, то 2х – 7 = -х + 4, 3х = 11, x = =3 . 3 3
№ 1154
1) |6 – 2x| = 3x + 1; а) если 6 – 2х ≥ 0, то 6 – 2х = 3х + 1, х = 1; б) если 6 – 2х < 0, то 2х – 6 = 3х + 1, х = -7, но тогда 6 – 2х < 0 не выполняется. 2) 2|x – 2| = |x| - 1 Рассмотрим уравнение на промежутках: 0
Ответ: х = 1.
2
а) x < 0, тогда 2(2 – х) = -х – 1, 4 – 2х = -х – 1, х = 5, но x < 0 ⇒ x = 5 не является решением; б) 0 ≤ х < 2, тогда 2(2 – х) = х – 1, 4 – 2х = х – 1, х =
5 ; 3
в) х ≥ 2, 2(х – 2) = х – 1, 2х – 4 = х – 1, х = 3. Ответ: х = 3, х = 1
№ 1155
|x2 – 3x – 6|=2x. Найдем корни трехчлена: х2 – 3х – 6 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–6) = 33, x1,2 =
3 ± 33 , 2
+
3 − 33 2
+ –
3 + 33 2
3 − 33 3 + 33 ;+∞ , 1) x ∈ − ∞; U 2 2 2 тогда уравнение примет вид: х – 3х – 6 = 2х; х2 – 5х – 6 = 0, 3 − 33 33 ;+∞ ; х1 = 6, х2 = -1 ∈ − ∞; U 3 + 2 2
166
2 . 3
3 − 33 3 + 33 , -х2+3х+6=2х, -х2+х+6=0, х2–х–6=0, х1=3, ; 2) x ∈ 2 2 3 − 33 3 + 33 . Наименьший корень х = 3. ; х2=-2, − 2 ∈ 2 2
№ 1156
|x2 – 8x + 5| = 2x Найдем корни трехчлена: х2 – 8х + 5 = 0. D = 64 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 44 8 ± 44 = 4 ± 11 . 2 ⋅1 +
x1, 2 =
–
4−
(
4+
11 1
+
] [
11 1
)
1) x ∈ − ∞;4 − 11 U 4 + 11;+∞ , х2 – 8х + 5 = 2х, х2 – 10х + 5 = 0, x1, 2 =
5 ± 25 − 5 = 5 ± 20 ∈ Q ; 1
(
)
2) x ∈ 4 − 11;4 + 11 , -х2 + 8х – 5 = 2х, -х2 + 6х – 5 = 0, х2 – 6х + 5 = 0, х1 = 5, х2 = 1. Наибольший рациональный корень х = 5.
№ 1157 2x + 7 = x + 2 ,
1)
2 x + 7 = (x + 2 )2 2 x + 7 = x 2 + 4 x + 4 x 2 + 2 x − 3 = 0 x1 = 1, x2 = −3 ; ; . ; x ≥ −2 x ≥ −2 x ≥ −2 x + 2 ≥ 0 Ответ: х = 1 2) x = 2 − 2 x − 5 ,
2x − 5 = 2 − x
x = 3 2 x − 5 = (2 − x )2 2 x − 5 = 4 − 4 x + x 2 x 2 − 6 x + 9 = 0 x ≤ 2 . ; ; ; x = 3 x ≤ 2 x ≤ 2 2 − x ≥ 0 x ≤ 2 Ответ: корней нет.
№ 1158
1) 3х-7 = 81, 3х-7 = 34, х – 7 = 4, х = 11; 2
1
2
2) 2 x −5 x + 6,5 = 2 , 2 x −5 x + 6,5 = 2 2 , х2 – 5х + 6,5 = 0,5, х2 – 5х + 6 = 0, х1 + х2 = 5, х1 ⋅ х2 = 6, х1 = 2, х2 = 3; x
(
1 3) ⋅ 4 x = 22 x + 6 , 4−1 ⋅ 4 x 4 4x
2
−x
)
x
( )
= 22 x + 6 , 4 x −1
x
= 4 x +3 ,
= 4 x + 3 , х2 – х = х + 3, х2 – 2х – 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3. 167
№ 1159
(
)
8 = 8 , 95х = 9, 5х = 1, х = 1/5; 9 2) 2х+4 – 2х = 120, 2х(16 – 1) = 120, 2х = 8, х = 3. 1) 95 x − 95 x −1 = 8 , 95 x 1 − 9−1 = 8 , 95 x ⋅
№ 1160
1) 52х+5 ⋅ 73х+1 = 351/2(5х+6), 52х+5 ⋅ 73х+1 = 52,5х+3 ⋅ 72,5х+3, 5 2, 5 x + 3 ⋅ 7 2, 5 x + 3 5
2 x +5
0, 5 x
5 7
0 ,5 x
=
⋅7
3 x +1
= 1 , 50,5х-2 ⋅ 7-0,5х+2 = 1,
25 5 , 49 7
0, 5 x
50,5 x − 0,5 x ⋅7 ⋅ 49 = 1 , 25
2
5 = , 0,5х = 2, х = 4; 7 6
2 2 2 1 2) 0,2 x ⋅ 52 x + 2 = , 5− x ⋅ 52 x + 2 = 5−6 , 5− x + 2 x + 2 = 5−6 , 5 -х2 + 2х + 2 = -6, -х2 + 2х + 8 = 0, х2 – 2х – 8 = 0, х1 = 4, х2 = -2.
№ 1161
1) 2,43-2х = 2,43х-2, 3 – 2х = 3х – 2, 5 = 5х, х = 1;
( 3 ) = (3 5 )
2) 5
x−2
x
1 = 8 16
, х = -х + 2, 2х = 2, х = 1;
−x
1 3) , 8 3 = −4 x , x = − 3 . 2 8 1
1
2
1 = 2
−4 x
1 , 2
3
2
1 = 2
−4 x
,
№ 1162 x
x −1
2 22 , 3 32 2х + 3 – 3х = 1, -х = -2, х = 2; 4 27 1) ⋅ 9 8
2)
3
=
x
33 ⋅ 3 2
x −1
2x
=
2 2 2 , 3 3 3
3− 3 x
=
2 , 3
3
2 x ⋅ 3x = 216 , 2х/3 ⋅ 3х/3 = 63, (6)х/3 = 63, х/3 = 3, х = 9.
№ 1163 25 + 5 + 1 1) 5х+1 + 5х + 5х-1 = 155, 5х(5 + 1 + 5-1) = 155, 5 x = 155 , 5 5х = 25, 5х = 52, х = 2; 2) 32х – 2 ⋅ 32х-1 – 2 ⋅ 32х-2 = 1, 32х(1 – 2 ⋅ 3-1 – 2 ⋅ 3-2) = 1, 32 − 2 ⋅ 3 − 2 = 1 , 32х = 9, 32х = 32, х = 1. 32 x 9 х х-1 х 3) 7 – 7 = 6, 7 (1 – 7-1) = 6, 7х = 7, х = 1; 4) 3х+2 + 3х = 10, 3х(32 + 1) = 10, 3х = 1, х = 0. 168
№ 1164
1) 32х – 3х = 72, 32х – 3х = 34 – 32, 3х(3х – 1) = 32(32 – 1), х = 2; 2) 4х – 2х+1 = 48, 22х – 2х+1 = 48, 2х(2х – 21) = 23(23 – 21), х = 3.
№ 1165
1) (log2x)2 – 3log2x + 2 = 0. Пусть log2x = a, тогда уравнение примет вид: а2 – 3а + 2 = 0, а1 = 1, а2 = 2, т.е. log2x = 1, x = 2, log2x = 2, x = 4. Ответ: х = 2, х = 4 2) (log3x)2 + 5 = 2log3x3, (log3x)2 + 5 – 6log3x = 0, log3x = a, a2 + 5 – 6a = 0, a2 – 6a + 5 = 0, a1 = 1, a2 = 5, т.е. log3x = 1, x = 3, log3x = 5, log3x = log335, x = 35 = 243 Ответ: х = 3, х = 243.
№ 1166 2 2 = ln (x + 2 ) , ln2 – ln(x + 1) = ln(x + 2), ln − ln (x + 2 ) = 0 , x +1 x +1 2 2 = ln1 , ln = 1 , 2 = х2 + 3х + 2, х2 + 3х = 0, ( )( x + 1 x + 2) x + x + 1 2 ( )( ) х = 0, х = -3, при х = -3 ln(x + 2) не определен. Ответ: х = 0 3x + 6 = log3 3 , 3 x + 6 = 3 , 2) log3 3 x − 6 − log3 x − 3 = 1 , log3 x−3 x−3 3х – 6 = 32(х – 3), 3х – 6 = 9х – 27, 21 = 6х, х = 3,5. 1) ln
№ 1167 1 1 1 1 1 , lg + x 2 x = lg1 , 1) lg + x = lg − lg x , lg + x = lg 2 2 2 2 2 x 1 1 + x 2 x = 1 , х + 2х2 = 1, 2х2 – х – 1 = 0, х1 = -1, x 2 = , 2 2 при х = -1 lg x не определен. 1 Ответ: x = 2 1 1 2) 2 lg x = − lg =0, , lg x 2 + lg 2 6 − x2 6−x x2 = lg1 lg 2 6 − x x > 0 2 −1 >0 6− x
(
)
x2 = 6 − x2 2 6 − x x > 0 2 −1 >0 6− x
(
)
2 2 x = 6 − x > x 0 2 −1 >0 6−x
(
)
x = ± 3 x= 3. x > 0 2 −1 >0 6−x
(
)
169
№ 1168
1) log2(2x – 18) + log2(x – 9) = 5, log2(2x – 18)(x – 9) = log225, (2 x − 18)(x − 9 ) = 25 , 2х2 – 18х – 18х + 162 – 32 = 0, 2 x − 18 > 0 2х2 – 36х + 130 = 0, х2 – 18х + 65 = 0,
9 ± 81 − 65 x = 13, x2 = 5 . Ответ: х = 13 = 9±4, 1 1 x > 9 2 2 2) lg(x + 19) – lg(x + 1) = 1, lg((x + 19) : (x + 1)) = lg10, x 2 + 19 = 10 x 2 + 19 = 10 x + 10 x 2 − 10 x + 9 = 0 x1 = 1, x2 = 9 x +1 x > −1 x > −1 x > −1 x + 1 > 0 Ответ: х = 1, х = 9. x1, 2 =
№ 1169 2
1) 5log3 x − 6 ⋅ 5log3 x + 5 = 0 . Пусть log3x = a, тогда уравнение примет вид: 52а – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, (5a)2 – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, 5a = 1, a = 0 = log3x, x = 1, 5a = 5, a = 1 = log3x, x = 3. Ответ: х = 1, х = 3.
(
2) 25log3 x − 4 ⋅ 5log3 x +1 = 125 , 5log3 x log3 x
Пусть 5 a1 =
2 log3 x
т.к. 5
) − 4⋅5⋅5 2
log3 x
= 125 .
2
= a , тогда уравнение примет вид: а – 20а – 125 = 0,
10 ± 100 + 125 = 10 ± 15 , а1 = 25, а = -5; а2 не является решением, 1 ≠ −5 < 0 , 5log3 x = 52 , log3x=2, х=9. Ответ: х = 9.
№ 1170
1) xlgx = 10. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: 1 , lg2x=1, x=0, но x>0, следовательно, решений нет. logxxlgx=logx10, lg x = lg x 2) xlog3 x = 9 x . Прологарифмируем обе части уравнения по х: log x x log3 x = log x 9 x ,
log3x = logxx + logx9, log3x = 1 + 2logx3, log3 x = 1 +
2 , log3 x
1 log32x–log3x–2=0, log3x=-1, x=3-1, log3x = 2, x = 9. Ответ: x = , х = 9. 3 3) xlgx – 1 = 10(1 – x-lgx), xlgx – 1 = 10 – 10x-lgx, xlgx + 10-lgx – 11 = 0. Пусть lgx = y, тогда х = 10у и уравнение примет вид: 2 10 (10у)у + 10 ⋅ (10у)-у – 11 = 0, 10 y + 2 − 11 = 0 . y 170
2
Пусть 10 y = z , тогда уравнение примет вид: z +
10 − 11 = 0 , при z ≠ 0, z
2
2
z2 – 11z + 10 = 0, z1 = 10, z2 = 1, тогда 10 y = 10 , у = ± 1 и 10 y = 1 , у = 0, тогда х = 10±1, х = 100 (заметим, что x > 0). Ответ: х = 1, х = 10, х = 0,1. 4) x
x
= xx .
Заметим, что х = 1 – решение, далее x
x
2
= x x ; x2
x
= x x , пусть
( ) ( )
y2
x = y , х = у2, и уравнение примет вид: y 2 y 2 = y 2 ; 2у = у2, 2 у – 2у = 0, у(у – 2) = 0, у = 0, у = 2, тогда х = 0, х = 4, но 00 не определен. Ответ: х = 1, х = 4.
№ 1171 2
2
2 2 2 2 2 2 2 1) 7 ⋅ 4 x − 9 ⋅ 14 x + 2 ⋅ 49 x = 0 , 7 ⋅ 2 x − 9 ⋅ 2 x ⋅ 7 x + 2 ⋅ 7 x = 0 ,
2x2 7 2 x 7
2 x2 − 9 +2 = 0. x2 7
2 Пусть 7 a1 = 2
x2
= a , тогда уравнение примет вид: 7а2 – 9а + 2 = 0
9 ± 81 − 56 9 ± 5 2 = , а1 = 1, a2 = , тогда 14 14 7 x2
x2
2 2 2 а) = 1 , т.е. х = 0; б) = , т.е. х = ±1. Ответ: х = 0, х = ±1. 7 7 7 2) 5х+4 + 3 ⋅ 4х+3 = 4х+4 + 4 ⋅ 5х+3, 545х + 3 ⋅ 43⋅ 4x = 44 ⋅ 4x + 4 ⋅ 53 ⋅ 5x, 625 ⋅ 5x + 192 ⋅ 4x = 256 ⋅ 4x + 5 ⋅ 100 ⋅ 5x, x
x
x
x
4 4 4 4 4 625 + 192 ⋅ = 256 + 100 ⋅ 5 , 64 = 125; = 5 5 5 5 5
№ 1172
(
)
(
−3
.
)
1) log 4 2 + x + 3 = 1 , log 4 2 + x + 3 = log 4 4 , 2 + x + 3 = 4 x + 3 = 4 x ≥ −3 , х = 1. x + 3 ≥ 0 2) log 1
3
( )
x 2 − 2 x = − 1 , log 1 x 2 − 2 x = log 1 1 2 3 3 3
( )
2 x − 2x = 3 2 x − 2 x > 0
2
−1
2
,
x 2 − 2 x − 3 = 0 x1 = −1; x2 = 3 х = -1, х = 3. x(x − 2 ) > 0 x(x − 2 ) > 0 171
3)
1 log3 (x + 1) = log3 x + 4 − 2 log3 2 , 2
log3 (x + 1)
1
2
= log3 x + 4 − log3 2 , log3 (x + 1)
x+4 x +1 = 2 x + 1 > 0 x + 4 > 0
1
2
= log3
x+4 , 2
x x + 1 = 4 + 1 4 x + 4 − x − 4 = 0 x = 0 x > −1 x > −1 x > −1 х = 0 x > −4
№ 1173
1) х1+lgx = 10x, Прологарифмируем по основанию х: logxx1+lgx = logx10x, 1 1 + lg x = 1 + logx10, 1 + lg x = 1 + , lg2x = 1; lg x = ±1, x = 10, х = 0,1. lg x 2) xlgx = 100x. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: logxxlgx = logx100x, lg x = logx100 + 1, lg x = 2lgx10 + 1, 2 lg x = + 1 , lg2x = 2 + lg x, lg2x – lg x – 2 = 0; lg x
1 2) lg x = 2, x = 102 = 100. = 0,1 ; 10 3) log2(17 – 2x) + log2(2x + 15) = 8, log 2 17 − 2 x 2 x + 15 = log 2 28 x , (17 – 2x)(2x + 15) = 28, 17 − 2 > 0 2 x + 15 > 0 17 ⋅ 2x + 17 ⋅ 15 – 22x – 15 ⋅ 2x = 256, 22x - 2⋅ 2x + 1 = 0. Пусть 2х = а, тогда уравнение примет вид: x = 0 2 2 х а – 2⋅а + 1 = 0, (а – 1) = 0, а = 1, т.е. 2 = 1, х = 0, 17 − 2 x > 0 х = 0. 2 x + 15 > 0 1) lg x = -1, x = 10−1 =
(
)(
)
4) log2(3 + 2x) + log2(5 – 2x) = 4, log 2 3 + 2 x 5 − 2 x = 4 x , (3 + 2x)(5 – 2x) = 16, 15 – 3 ⋅ 2x + 5 ⋅ 22x = 16, 3 + 2 > 0 5 − 2 x > 0
(
)(
)
x = 0 -22x+2⋅2x–1=0, 22x–2⋅2x+1=0; (2x –1)2, 2x = 1; x = 0; 3 + 2 x > 0 х = 0. 5 − 2 x > 0 172
№ 1174 Ответ: не могут m, n, k – действительные числа x2 – (m + n)x + mn – k2 = 0; D=b2 –4ac=(m+n)2–4(mn–k2)=m2+2mn+n2 – – 4mn – 4k2 = m2 + n2 – 2mn + 4k2 = (m – n)2 + 4k2 ≥ 0.
№ 1175 1) z2 + 4z + 19 = 0, z 1 = 2
2) z2 – 2z + 3 = 0, z 1 = 2
− 2 ± 4 − 19 = −2 ± i 15 ; 1
1± 1− 3 = 1± i 2 . 1
№ 1176
1) 0,5х = 2х + 1. Построим графики функций у = 0,5х и у = 2х + 1: Очевидно, графики функций пересекаются в точке (0,1), т.е. х = 0
2) 2х = 3 – х2 Построим графики функций у = 2х и у = 3 – х2:
x1 ≈
3 , 2
x2 ≈ −1,8
3) log3x = 4 – x Построим графики функций y = log3x и y = 4 – x: х = 3.
173
4) log 1 x = 4 x 2 2
Построим графики функций у = log½x и у = 4х2
x=
1 2
5) 2х = log0,5x Построим графики функций у = 2х, y = log½x
x≈
1 2
( 3)
6) 1
x
= log3 x
Построим графики функций x
1 y = и y = log3x 3
x≈
3 2
№ 1177 1) cos x = − cos x = −
1 [-π; 3π] 2
1 1 , x = ± arccos − + 2nπ, n ∈ Z 2 2
π x = ± π − + 2nπ, n ∈ Z , 3 2 x = ± π + 2nπ, n ∈ Z , 3 4π 2 8π 2 n = 1, x = , x= , n=0, x = π, x = − π 3 3 3 3 2 4 8π Ответ: x = ± π, x = π, x = 3 3 3
174
2) sin x = −
3 [-π; 3π] 2
3 + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n arcsin − 2 x = (− 1)n +1 arcsin
3 + nπ, n ∈ Z 2
π π + nπ, n ∈ Z , n = 0, x = − , 3 3 π 4 π 5 n = -1, x = + π = π , n = 2, x = − + 2π = π , 3 3 3 3 4 π −2 5 Ответ: x = − , x = π, x = π, x = π . 3 3 3 3 x = (− 1)n +1
№ 1178 1 1 ; 2 x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , 2 2 π π nπ 2 x = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , x = (− 1)n , n∈Z ; + 6 12 2
1) sin 2 x =
2) cos 3 x =
− 2 − 2 + 2nπ, n ∈ Z , ; 3x = ± arccos 2 2
π π 2 3x = ± π − + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 4 4 3 5 3) 2tg x + 5 = 0, tgx = − ; 2 5 5 x = arctg − + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + nπ, n ∈ Z 2 2
№ 1179
1) 3cos2x – 5cos x – 12 = 0. Пусть cos x = a, тогда уравнение примет вид: 3а2 – 5а – 12 = 0,
5 ± 25 + 144 5 ± 13 8 = , а1 = 3, a2 = − , 6 6 6 а1 > 1, а2 < –1 ⇒ исходное уравнение не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1; 2) 3tg2x – 4tg x + 5 = 0, tg x = a, 3a2 – 4a + 5 = 0, a1 = 2
2 ± 4 − 15 , 3 D < 0 ⇒ действительных корней нет. a1 = 2
175
№ 1180 1) (3 – 4sinx)(3 + 4cosx) = 0, 3 3 n sin x = x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z 3 − 4 sin x = 0 4 ; ; 3 + 4 cos x = 0 ; 3 cos x = − 3 x = ± arccos − + 2lπ, l ∈ Z 4 4 3 n x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z . x = ± (π − arcsin 3 + 2lπ, l ∈ Z 4 3 3 Ответ: x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , x = ± (π − arcsin + 2lπ, l ∈ Z . 4 4 2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0, x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z tgx +3 = 0 tgx = −3 . ; ; tgx + 1 = 0 tgx = −1 x = − π + lπ, l ∈ Z 4 π Ответ: x = − + lπ, l ∈ Z ; х = -arctg3 + nπ, n ∈ Z. 4
№ 1181
1) sin2x=3sin x cos2x, 2sin x⋅cos x–3sin x ⋅ cos2x, sin x⋅cos x(2-3cos x) = 0, x = nπ, n ∈ Z sin x = 0 cos x = 0 ; x = π + lπ, l ∈ Z . 2 cos x = − 2 2 x = ± π - arccos + 2mπ, m ∈ Z 3 3 Ответ: x = nπ, n ∈ Z;
x=
π + lπ, l ∈ Z ; 2
2 x = ± π − arccos + 2mπ, m ∈ Z 3 2) sin4x = sin2x, 2sin2x ⋅ cos2x – sin2x = 0, sin2x(2cos2x – 1) = 0, nπ sin 2 x = 0 2 x = nπ, n ∈ Z x = 2 , n ∈ Z 1; 1 π cos 2 x = 2 x = ± arccos + 2lπ, l ∈ Z x = ± + lπ, l ∈ Z 2 2 6 nπ π Ответ: x = , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z . 2 6 2 3) cos2x + cos x = 0, cos2x – sin2x + cos2x = 0, 2cos2x – 1 + cos2x = 0, 3cos2x = 1, 176
1 + 2nπ, n ∈ Z x = ± arccos 3 1 . cos x = ± , 3 x = ± π − arccos 1 + 2lπ, l ∈ Z 3 Ответ: x = ± arccos
1 3
1 + 2lπ, l ∈ Z + 2nπ, n ∈ Z , x = ± π − arccos 3
4) sin2x = cos2x, 2sin x ⋅ cos x – cos2x = 0, cos x(2sin x – cos x) = 0, π π nπ x = 2 + nπ, n ∈ Z x = 4 + 2 , n ∈ Z cos x = 0 ; . 2 sin x − cos x = 0 ; 2 x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z x = (− 1)l π + lπ , l ∈ Z 6 12 2 1 π x = arctg + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , 2 2
№ 1182
1) sin2x = 3cos x, 2sin x ⋅ cos x = 3cos x, cos x(2sin x – 3) = 0, π cos x = 0 x = 2 + nπ, n ∈ Z . 3; sin x = x ∈ φ 2
π + nπ, n ∈ Z . 2 2) sin4x = cos4x – sin4x, 2sin2x ⋅ cos2x = (cos2x – sin2x)(sin2x + cos2x), 2sin2x ⋅ cos2x = cos2x, cos2x(2sin2x – 1) = 0, π π nπ cos 2 x = 0 2 x = + πn, n ∈ Z , n∈Z x= + 2 4 2 ; 1; lπ sin 2 x = l π l π + , l∈Z 2 2 x = (− 1) + lπ, l ∈ Z x = (- 1) 6 12 2 π lπ π nπ + , l∈Z . , n∈Z , x = (− 1)l Ответ: x = + 12 2 4 2 2 2 3) 2cos x = 1 + 4sin2x, (2cos x – 1) = 4sin2x, cos2x = 4sin2x, cos 2 x = 4 ; ctg x = 4; x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z. sin 2 x Ответ: x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z 4) 2cos x + cos2x = 2sin x, 2(cos x – sin x) + (cos2x – sin2x) = 0, 2(cos x – sin x) + (cos x – sin x)(cos x – sin x) = 0, (cos x – sin x)(2 + cos x + sin x) = 0, π cos x − sin x = 0 cos x + sin x = −2 ; x = 4 + nπ, n ∈ Z x ∈ φ π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z . 4 Ответ: x =
177
№ 1183 x 3 1) cos x + cos2x = 0, 2 cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 3 π 3 cos 2 x = 0 2 x = 2 + nπ, n ∈ Z x = π + 2 nπ, n ∈ Z x π x = π3 + 23lπ, l ∈ Z cos x = 0 = + lπ, l ∈ Z 2 2 2 π 2 x = π + 2lπ, l ∈ Z. Ответ: x = + nπ, n ∈ Z ; 3 3 2) cos x – cos5x = 0, -2sin3x ⋅ sin(-2x) = 0, nπ x= , n∈Z sin 3x = 0 3 . sin 2 x = 0 ; x = lπ , l ∈ Z 2 nπ lπ Ответ: x = , x = , l∈Z . 3 2 3) sin3x + sin x = 2sin2x 2sin2x ⋅ cos x = 2sin2x, 2sin2x(cos x – 1) = 0, nπ , n∈Z sin 2 x = 0 x = . 2 cos x = 1 x = 2mπ, m ∈ Z nπ , n∈Z . 2 4) sin x+sin2x+sin3x = 0, 2sin2x ⋅ cos x + sin2x = 0, sin2x(2cos x + 1 ) = 0, nπ sin 2 x = 0 x = 2 , n ∈ Z 1; cos x = − x = ± π − π + 2lπ, l ∈ Z 2 3 πn 2 Ответ: x = ; x = ± π + 2πn, n ∈ Z . 2 3
Ответ: x =
№ 1184
1) 2cos x + sin x = 0, 2 + tg x = 0, tg x = -2, x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. Ответ: x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z.
2) sin x + 3 cos x = 0 , tgx = − 3 , π x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z , x = − + nπ, n ∈ Z . 3 π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 3
178
№ 1185
1) 4sin4x + sin22x = 2, 4sin4x+ 22sin2x ⋅ cos2x=2, 4sin2x(sin2x + cos2x) = 2, π = (− 1)l + lπ, l ∈ Z 1 2 x 2 4 ; . sin x = ; sin x = ± 2 2 x = (− 1)n +1 π + nπ, n ∈ Z 4 l π Ответ: x = (− 1) + lπ, l ∈ Z . 4 5 4 x 4 x 2) sin + cos = , 3 3 8 x x x x x x 5 sin 4 + cos 4 + 2 sin 2 ⋅ cos 2 − 2 sin 2 ⋅ cos 2 = , 3 3 3 3 3 3 8 2
x x x 5 1 2x 5 2x + cos 2 − 2 sin 2 ⋅ cos2 = , 1 − sin 2 = , sin 3 3 3 3 8 2 3 8 2x 3 2x 3 = , sin , =± 3 4 3 2 2x π π 3πn = ± + πn, n ∈ Z , x = ± + , 3 3 2 2
sin 2
№ 1186 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 ,
1)
n∈Z .
3 (sin 2 x − 1) − cos 2 x = 0 ,
− 3 (cos x − sin x ) − cos 2 x = 0 , 2
3 (cos x − sin x )2 + (cos x − sin x )(cos x + sin x ) = 0 ,
(cos x − sin x )( 3 (cos x − sin x ) + cos x + sin x ) = 0 ,
π cos x − sin x = 0 x = 4 + nπ, n ∈ Z 3 cos x − 3 sin x + cos x + sin x = 0 cos x 3 + 1 − sin x 3 − 1 = 0
(
π x = 4 + nπ, n ∈ Z , tgx = + − − = 3 1 tgx 3 1 0
(
)
(
Ответ: x = arctg
)
3 +1 3 −1
)
(
)
3 +1 3 + 1 x = arctg 3 − 1 + nπ, n ∈ Z , π 3 −1 x = + nπ, n ∈ Z 4
+ nπ, n ∈ Z , x =
π + lπ, l ∈ Z . 4
x x x x x x 2) 6sinx+5cos x = 6, 12 sin cos + 5 cos 2 − 5 sin 2 = 6 cos 2 + 6 sin 2 , 2 2 2 2 2 2 x x x x x 12tg + 5 − 5tg 2 − 6 − 6tg 2 = 0 , 11tg 2 − 12tg + 1 = 0 , 2 2 2 2 2 179
6±5 D x = 36 − 11 = 25 , tg = , 4 11 2 1, 2 π x π 2 = 4 + πn x = 2 + 2πn ; k, n ∈ Z x = arctg 1 + πk x = 2arctg 1 + 2πk 2 11 11 1 π Ответ: x = + 2πn; x = 2arctg + 2πk ; k, n ∈ Z . 2 11 x tg 2 = 1 x 1 tg = 2 11
№ 1187
1) tg3x + tg2x – 2tg x – 2 = 0, tg2x(tg x + 1) – 2(tg x + 1) = 0, π π tgx + 1 = 0 x = − + nπ, n ∈ Z x = − + nπ, n ∈ Z ; . 4 4 tg 2 x = 2 ; tgx = ± 2 x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z
Ответ: x = −
π + nπ, n ∈ Z , 4
x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z .
sin x − sin x ; cos x ≠ 0, cos x 2 cos x – cos x = sin x – cos x ⋅ sin x, cos x(sin x – cos x) = sin x – cos x, x = 2nπ, n ∈ Z cos = 1 (cos x – 1)(sin x – cos x) = 0, ; π sin x − cos x = 0 x = + lπ, l ∈ Z 4 π Ответ: x = 2nπ, n ∈ Z, x = + lπ, l ∈ Z . 4 2) 1 – cos x = tg x – sin x, 1 − cos x =
№ 1188
1) sin x + sin2x = cos x + 2cos2x, sin x(1 + 2cos x) = cos x(1 + 2cos x), (sin x – cos x)(1 + 2cos x) = 0, π x = 4 + nπ, n ∈ Z x = ± π − π + 2lπ, l ∈ Z 3 2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = ± π + 2lπ, l ∈ Z . 4 3
2) 2 cos2x = 6 (cos x − sin x) , 2(cos x − sin x )(cos x + sin x ) − 6 (cos x − sin x ) = 0 ,
(cos x − sin x )(2(cos x + sin x ) −
)
6 =0,
π cos x − sin x = 0 x = 4 + nπ, n ∈ Z cos x − sin x = 0 2(cos x + sin x ) = 6 cos x + sin x = 3 3 2 cos x + sin x = 2 180
cos x + sin x =
3 2
π , sin − x + sin x = 2
3 2
,
π − 2x π − 2x 3 π 3 , cos 2 , = ⋅ cos 2 = 2 2 4 2 2 π π − x = ± + 2πl , l ∈ Z . 4 6 5π π π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + 2πl , x = + 2πl , l ∈ Z . 4 12 12 2 sin
№ 1189 cos 2 x sin 2 x ≠ 1 , = cos x + sin x , 1 − sin 2 x cos 2 x = (cos x + sin x )(1 − sin 2 x ) sin 2 x ≠ 1 2 , cos 2 x = (cos x + sin x )(cos x − sin x ) (cos x – sin x)(cos x + sin x) – (cos x + sin x)(cos x – sin x)2 = 0, (cos x – sin x)(cos x + sin x)(1 – (cos x – sin x)) = 0, π nπ cos 2 x = 0 x = 4 + 2 , n ∈ Z ; ; 1 − cos x + sin x = 0 cos x − sin x = 1 π nπ , n∈Z x = + 4 2 cos x = 1 ; sin x = 0 cos x = 0 sin x = −1 −π Ответ: x = + nπ, 4
π nπ , n∈Z x = + 4 2 x = 2lπ, l ∈ Z x = − π + 2mπ, m ∈ Z 2 π x ≠ + πk , k ∈ Z 4 π n ∈ Z ; x = − + 2mπ, m ∈ Z ; x = 2πk, k ∈ Z. 2
№ 1190
1) sin3x + cos3x = 0, (sin x + cos x)(sin2x + sin x ⋅ cos x + cos2x) = 0 π sin x + cos x = 0 tgx = −1 x = − + nπ, n ∈ Z 4 sin 2 x + sin x ⋅ cos x + cos 2 x = 0 tg 2 x + tgx + 1 = 0 x = φ π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 4 2) 2sin2x + sin22x = 2, 2sin2x + 4sin2x(1 – sin2x) = 2, 2 2 sin x + 2sin x – 2sin4x – 1 = 0, 3sin2x – 2sin4x – 1 = 0, 2sin4x – 3sin2x + 1 = 0, sin2x = a, 2a2 – 3a + 1 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 2 ⋅ 1, a1 = 1, a2 =
1 ; 2 181
2 π lπ π , x = + , l∈Z . + 2πn, n ∈ Z ; 2) sin x = ± 2 2 4 2 π π lπ Ответ: x = ± + 2πn, n ∈ Z , x = + , l ∈ Z . 2 4 2 1) sin x = ±1, x = ±
3) 8 sin x ⋅ cos 2x cos x = 3 , 4 sin 2 x cos 2 x = 3 , 2 sin 4 x = 3 , 3 π π lπ + , l∈Z . ; 4 x = (− 1)l + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = (− 1)l 3 12 4 2 4) 4 sin x cos x cos 2 x = cos 4 x , 2 sin 2 x cos 2 x = cos 4 x , sin 4 x = cos 4 x , π π nπ π nπ 4 x = + nπ, n ∈ Z , x = + , n ∈ Z . Ответ: x = + , n∈Z . 4 16 4 16 4 sin 4 x =
№ 1191
1) sin4x–cos4x + 2cos2x = cos2x, (sin2x–cos2x)(sin2x+cos2x)+cos2x+sin2x= 0, -cos2x + 1=0, cos2x = 1, 2х = 2πn, x=πn, n∈Z. Ответ: х = 2nπ, n ∈ Z. 2) 2sin2x–cos4x=1–sin4x, cos4x–sin4x=2sin2x–1, cos2x–sin2x = sin2x – cos2x, 2cos2x – 2sin2x = 0, cos2x = 0, 2 x = Ответ: x =
π π πn + πn, n ∈ Z , x = + , n∈Z . 2 4 2
π nπ + , n∈Z . 4 2
№ 1192
1) sin3x cos x + cos3x sin x = cos2x, sin x cos x(sin2x+cos2x)=cos2x – sin2x, sin2x – cos2x + sin x ⋅ cos x = 0, sin 2 x 2
cos x a1 = 2
+
sin x − 1 = 0 , tg2x + tg x – 1 = 0, tg x = a, a2 + a – 1 = 0, cos x
−1± 1+ 4 −1± 5 = , 2 2
1)
tgx =
−1+ 5 −1+ 5 + nπ, n ∈ Z ; , x = arctg 2 2
2)
tgx =
1− 5 −1− 5 , x = − arctg + lπ, l ∈ Z . 2 2
−1+ 5 1− 5 + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + lπ, l ∈ Z ; 2 2 2) 2 + cos2x + 3sinx ⋅ cosx = sin2x, cos2x – sin2x + 3sinx ⋅ cosx = -2, 2cos2x+2sin2x+cos2x–sin2x+3sinx⋅cosx = 0, 3cos2x+sin2x+3sinx cosx = 0, 3 + tg2x+3tgx=0, tgx=a, a2+3a+3 = 0, D < 0, следовательно, решений нет. Ответ: решений нет. Ответ: x = arctg
№ 1193
1) 4sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x = 3, 4sin2x – 3sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x – 3cos2x = 0, sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 7cos2x = 0, tg2x – 8tgx + 7 = 0, a2 – 8a + 7 = 0,
182
a1 = 1, a2 = 7, tgx = 1, x =
π + nπ, n ∈ Z , tgx = 7, x = arctg7 + lπ, l ∈ Z. 4
π + nπ, n ∈ Z , x = arctg7 + lπ, l ∈ Z; 4 2) 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx = 1, 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx – sin2x – cos2x = 0, 2sin2x – 2sinx ⋅ cosx – cos2x = 0, 2tg2x – 2tgx – 1 = 0, tgx = a, 2a2–2a–1=0, Ответ: x =
a1 = 2
1± 3 1± 1+ 2 1± 3 1± 3 = , tgx = + nπ, n ∈ Z . , x = arctg 2 2 2 2
Ответ: x = arctg
1± 3 + nπ, n ∈ Z . 2
№ 1194
1) sin5x = sin3x, sin5x – sin3x = 0, 2sinx ⋅ cos4x = 0, x = nπ, n ∈ Z π lπ sin x = 0 ; . Ответ: x=nπ, n∈Z, x = + , l ∈ Z ; π lπ cos 4 x = 0 x = + , l ∈ Z 8 4 8 4 2) cos6x + cos2x = 0, 2cos4x ⋅ cos2x = 0 π nπ x = 8 + 4 , n ∈ Z cos 4 x = 0 cos 2 x = 0 ; x = π + lπ , l ∈ Z 4 2 π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = + , l ∈Z ; 8 4 4 2 π 3) sin3x + cos7x = 0, sin 3 x + sin + 7 x = 0 , 2 π π 2 sin + 5 x ⋅ cos + 2 x = 0 , 4 4 π sin + 5 x = 0 4 ; π cos 2 x 0 + = 4
π nπ π x = − 20 + 5 , n ∈ Z 4 + 5 x = nπ, n ∈ Z ; π + 2 x = π + lπ, l ∈ Z x = π + lπ , l ∈ Z 4 8 2 2
π lπ + , l∈Z ; 8 2 π 4) sinx = cos5x, sinx – cos5x = 0, sin x − sin − 5 x = 0 , 2 Ответ: x = −
π nπ + , n∈Z , 20 5
x=
π π 2 sin 3x − ⋅ cos − 2 x = 0 4 4
183
π π nπ π x= + , n∈Z sin 3x − = 0 3 x − = nπ, n ∈ Z 4 12 3 4 ; ; π π lπ π π cos 4 − 2 x = 0 4 − 2 x = 2 + lπ, l ∈ Z x = − 8 + 2 , l ∈ Z π nπ π lπ Ответ: x = , n∈Z , x = − + , l ∈Z . + 12 3 8 2
№ 1195
1) sinx + sin5x = sin3x, 2sin3x ⋅ cos2x – sin5x = 0, sin3x(2cos2x – 1) = 0,
nπ x = 3 , n ∈ Z π lπ nπ Ответ: x = , n∈Z , x = ± + , l∈Z ; π π l 3 6 2 x = ± + , l ∈ Z 6 2 2) cos7x – cos3x = 3sin5x, -2sin5x⋅sin2x–3sin5x=0, sin5x(2sin2x + 3) = 0, sin 5 x = 0 nπ , n∈Z . 3; x= sin 2 x = − 5 2 sin 3 x = 0 1 cos 2 x = 2
№ 1196 1 (sin 8 x + sin 10 x ) = 1 (sin 4 x + sin 10 x ) , 2 2 sin8x – sin4x = 0, 2sin2x ⋅ cos6x = 0, nπ , n∈Z x= nπ π lπ sin 2 x = 0 2 Ответ: x = ; , n∈Z , x = + , l∈Z ; cos 6 x = 0 π π l 2 12 6 x = + , l∈Z 12 6 1 2) sinxcos5x = sin9x ⋅ cos3x, (− sin 4 x + sin 6 x ) = 1 (sin 6 x + sin 12 x ) , 2 2 sin12x + sin4x = 0, 2sin8x ⋅ cos4x = 0, 1) cosx ⋅ sin9x = cos3x ⋅ sin7x,
x= sin 8 x = 0 cos 4 x = 0 ; x =
nπ , n∈Z nπ π lπ 8 Ответ: x = , n∈Z , x = + , l ∈Z . π lπ 8 8 4 + , l∈Z 8 4
№ 1197
1) 5 + sin2x = 5(sinx + cosx), 4 + (sinx + cosx)2 = 5(sinx + cosx), π cosx + sinx = t 2 cos x − = t , t2 – 5t + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 4
π t 4 5+3 = 4 , cos x − = = = 2 2 > 1 - нет решений, 2 4 2 2 π t 1 5−3 , t2 = = = 1 , cos x − = 2 4 2 2 t1 =
184
π π x − 4 = 4 + 2πn x = π + 2πn, n ∈ Z ; 2 x − π = − π + 2πn x = 2πn, n ∈ Z 4 4 2) 2 + 2cosx = 3sinx ⋅ cosx + 2sinx, 1 3 + cos 2 x − 2 sin x cos x + sin 2 x + 2(cos x − sin x ) = 0 , 2 2 3(cosx – sinx)2 + 4(cosx – sinx) + 1 = 0, cosx – sinx = 0, π 2 cos x + = t , 3t2 + 4t + 1 = 0, D = 4 – 3 = 1, 4
(
)
π
3π
t 1 x + 4 = 4 + 2πn π −2 − 1 , = −1 , cos x + = =− t1 = 3 4 2 2 x + π = − 3π + 2πn 4 4 π x = 2 + 2πn, n ∈ Z t2 = −2 + 1 = − 1 , cos x + π = −1 , x = -π + 2πn, n ∈ Z 4 3 2 3 3
x+
π 1 = ± arccos − 4 3 2 Ответ: x = x=−
1 π + 2πn, n ∈ Z , x = − + arccos 3 3 + 2πn, n ∈ Z . 4
π + 2πn; x = π + 2πn; n ∈ Z , 2
1 π + 2πn, n ∈ Z . + ar cos 4 3 3
№ 1198 5 x 5 3 x ⋅ cos + 2 sin x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 x x 5 3 5 sin x cos + cos x = 0 , sin x 2 cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 2 2 2
1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, 2 sin
2 5 x = 5 nπ, n ∈ Z sin x 0 = 2 cos x = 0 ; x = π + lπ, l ∈ Z 2 cos x = 0 x = π + 2mπ, m ∈ Z 2 2 π Ответ: nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z , x = π + 2mπ, m ∈ Z; 5 2 5 x 5 3 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0, 2 cos x ⋅ cos + 2 cos x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 5 x 3 5 x cos x cos + cos x = 0 , 2 cos x ⋅ cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 2 2 2 185
π 2 x = 5 + 5 nπ, n ∈ Z x = π + lπ, l ∈ Z 2 x = π + 2mπ, m ∈ Z π 2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z . 5 5 2 5 cos 2 x = 0 cos x = 0 ; cos x = 0 2
№ 1199 sin 2 3x
− 4 sin 2 3x = 0 , cos3x ≠ 0, cos 2 3 x sin23x – 4sin23x ⋅ cos23x = 0, sin23x – 4sin23x(1 – sin23x) = 0, 4sin43x – 3sin23x = 0, sin23x(4sin23x – 3) = 0, nπ sin 3 x = 0 x = 3 , n ∈ Z ; sin 3 x = ± 3 l π 2 3 x = (− 1) ± 3 + lπ, l ∈ Z π lπ π lπ nπ Ответ: x = , n ∈ Z , x = (− 1)l + , l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z 3 9 3 9 3 1) tg23x – 4sin23x = 0,
2) sinxtgx = cosx + tgx,
sin 2 x sin x sin 2 x − cos 2 x − sin x , = cos x + =0, cos x cos x cos x
sin 2 x − 1 + sin 2 x − sin x = 0 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 cos x ≠ 0 cos x ≠ 0 π sin x = 1 x = + 2πl , l ∈ Z 2 1 π sin x = − ( x = − 1)m +1 + mπ, m ∈ Z 2 6 π π x ≠ + nπ, n ∈ Z 2 x ≠ 2 + nπ, n ∈ Z π Ответ: x = (− 1)m +1 + mπ, m ∈ Z . 6 1 cos x cos x + 1 cos 2 x + cos x 3) ctgx ctgx + =1, =1, = 1, sin x sin x sin x sin 2 x cos 2 x + cos x − sin 2 x = 0 2 sin x ≠ 0 2 2 cos x + cos x − 1 = 0
186
cos x = −1 1 cos x = + 2
x = π + 2nπ , n ∈ Z π x = ± 3 + 2lπ , l ∈ Z
x = π + 2nπ, n ∈ Z π x = ± + 2lπ, l ∈ Z 3 x ≠ mπ, m ∈ Z 4) 4ctg 2 x = 5 −
Ответ: x = ±
π + 2lπ, l ∈ Z . 3
4 cos 2 x 5 sin x − 9 4 cos2 x − 5 sin 2 x + 9 sin x = 0 9 = , , sin x sin 2 x sin x sin x ≠ 0
4 − 9 sin 2 x + 9 sin x = 0 9 sin 2 x − 9 sin x − 4 = 0 , 9sin2x - 9sinx – 4 = 0, sin x ≠ 0 sin x ≠ 0 9 ± 81 + 144 9 ± 15 4 1 = , sin x = , x ≠ φ, sin x = − , 18 18 3 3 1 1 x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z , 3 3 x ≠ mπ, m ∈ Z 1 Ответ: x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z . 3
9a2–9a–4 = 0, a 1 = 2
№ 1200 1) tg2x = 3tgx
(
)
sin 2 x 3 sin x 2 sin x ⋅ cos 2 x − 3 sin x cos 2 x − sin 2 x = , =0, cos 2 x cos x cos 2 x − sin 2 x cos x
(
)
2 sin x ⋅ cos x − 3 sin x ⋅ cos x + 3 sin x = 0 , cos x cos2 x − sin 2 x ≠ 0
(
2
)
2
3
– sinxcos2x + 3sin3x = 0, – sinx (1 – sin2 x) + 3sin3x = 0, 4sin3 x – sinx = 0, sinx(4sin2x – 1) = 0 x = mπ, m ∈ Z x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z x = mπ, m ∈ Z 6 sin x = 0 π + l 1π l + lπ, l ∈ Z 1 x = (− 1) + lπ, l ∈ Z x = (− 1) 6 sin x = ± 6 2 π l +1 π x = (- 1) 6 + lπ, l ∈ Z x ≠ + nπ, n ∈ Z 2 π kπ x ≠ + , k ∈ Z 4 2 Ответ: x = mπ, m ∈ Z , x = (− 1)l 2) ctg2x = 2ctgx,
π π + lπ, l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + lπ, l ∈ Z ; 6 6
cos 2 x 4 cos 2 x cos 2 x 2 cos x = , − =0 2 sin x ⋅ cos x 2 sin x ⋅ cos x sin 2 x sin x 187
cos 2 x − sin 2 x − 4 cos 2 x = 0 , cos2x – sin2x – 4cos2x=0, 3cos2x+sin2x = 0, sin 2 x ≠ 0 sin x ≠ 0 1 . Ответ: решений нет. 2 π tgx − tg 4 =2, + π 1 + tgx ⋅ tg 4
3cos2x + 1 – cos2x = 0, 2cos2x + 1 = 0, cos 2 x = − π tgx + tg π π 4 3) tg x + + tg x − = 2 , π 4 4 1 − tgxtg 4
tg + 1 tgx − 1 1 + 2tgx + tg 2 x + tgx − tg 2 x − 1 + tgx − 2 + 2tg 2 x + −2 = 0, =0 1 − tgx 1 + tgx 1 − tg 2 x 2tg 2 x + 4tgx 1 − tg 2 x
2tg 2 x + 4tgx = 0 = 0, , 2tg2x + 4tgx = 0, 1 − tg 2 x ≠ 0
x = nπ, n ∈ Z tgx = 0 x = − arctg 2 + πl , l ∈ Z tgx = −2 1 − tg 2 x ≠ 0 Ответ: x = nπ, n ∈ Z, x = -arctg2 + πl, l ∈ Z. 4) tg(2x + 1)ctg(x + 1) = 1, tg(2x + 1) = tg(x + 1), tg(2x + 1) – tg(x + 1) = 0, sin(2x + 1 − x − 1) sin x x = πn, n ∈ Z = 0, = 0, cos(2 x + 1)cos(x + 1) cos(2x + 1)cos(x + 1) cos(2 x + 1)cos(x + 1) ≠ 0 Ответ: х = πn, n ∈ Z.
№ 1201 1) cosx = 3x – 1 Построим графики функций у = cosx и y = 3x – 1:
x≈
1 2
2) sinx = 0,5x3
x ≈ ±1; x = 0
188
3) cos x = x y = cosx, y = x
x≈
1 2
4) cosx = x2 y = cosx, y = x2
x ≈ ±0,8
№ 1202 1) x + 8 > 4 – 3x, 4x > -4, x > -1; 2) 3x + 1 – 2(3 + x) < 4x + 1, 3x + 1 – 6 – 2x – 4x – 1 < 0, -3x < 6, x > -2.
№ 1203 4 − 3x 5 − 2 x − < 2 , 3(4–3х)–2(5–2х)–2⋅24<0, 12–9x–10+4x–48 < 0, 8 12 -5x – 46 < 0, x > -46/5; 5x − 7 x + 2 − ≥ 2 б 7(5x – 7) – 6(x + 2) – 42 ⋅ 2 ≥ 0, 2) 6 7 35x – 49 – 6x – 12 – 84 ≥ 0, 29x ≥ 145, x ≥ 5. 1)
№ 1204 1)
5x − 4 >0 7x + 5
x> 5 x − 4 > 0 а) 7 x + 5 > 0 x > 5 x − 4 < 0 б) 7 x + 5 < 0 Ответ:
4 5 x > 4/5 −5 7
4 4 x < 5 x > 5 x < -5/7 x < − 5 x < − 5 7 7 5 4 x ∈ − ∞;− U ;+∞ ; 7 5 189
2)
3 x + 10 >0 40 − x
10 10 3 x + 10 > 0 x > − а) 3 x ∈ − ;40 40 − x > 0 x < 40 3 10 3 x + 10 < 0 x < − б) 3 х∈φ 40 − x < 0 x > 40 10 Ответ: x ∈ − ;40 . 3 x+2 3) >0 5 − 4x x > −2 x + 2 > 0 а) 5 5 − 4 x > 0 x < 4
10 x ∈ − ;40 . 3 x ∈ φ
−2< x <
x < −2 x + 2 < 0 б) 5 х∈φ 5 − 4 x < 0 x > 4 5 Ответ: − 2 < x < . 4 8− x 4) >0 6 + 3x
5 4
5 − 2 < x < 4 x ∈ φ
8 − x > 0 x < 8 а) -2 < x < 8 6 + 3 x > 0 x > −2 8 − x < 0 x > 8 б) х∈φ 6 + 3x < 0 x < −2 Ответ: -2 < x < 8.
№ 1205 1)
3 − 2x <0 3x − 2
3 x > 2 3 3 − 2 x > 0 ; x > ; б) 2 2 3 x − 2 > 0 x > 3 2 3 Ответ: x ∈ − ∞; U ;+∞ . 3 2 3 − 2 x < 0 а) 3 x − 2 < 0
190
x < x <
3 2; x< 2 2 3 3
5 x> 10 − 4 x 10 − 4 x < 0 2 ; x> 5 < 0 ; а) 2) 9x + 2 2 9 x + 2 < 0 x > − 2 9 5 5 x< x> 2 10 − 4 x > 0 2 ; x<− 2 б) 9 x < − 2 9 x + 2 > 0 x < − 2 9 9 2 5 Ответ: x ∈ − ∞;− U ;+∞ . 9 2 18 − 7 x 18 − 7 x 3) <0; >0 − 4 x2 − 1 4x2 + 1 18 18 (4x2 + 1 > 0 при любых значениях х). Ответ: x < . 18 – 7x > 0; x < 7 7
191