Al6

№ 1320 1) y = (x − 1)3 (x − 2 )2 ; y ' = 3(x − 1)2 (x − 2 )2 + 2(x − 2 )(x − 1)3 = = (x − 1)2 (x − 2)(3(x − 2) + 2(x − 2)) = (x − 1)2 (x − 2)(5 x − 8) +

+

+

–

1

2

8 5

8 — точка максимума; x = 2 — точка минимума; 5 2) y = 4 + (6 − x )4 , y ' = −4(6 − x )3 x=

х = 6 — точка минимума.

№ 1321 1) y =

= −

–

(

)

(

+

6

)

3x 2 + 4 x + 4 (6 x + 4) x 2 + x + 1 − (2 x + 1) 3x 2 + 4 x + 4 = ; y' = 2 2 x + x +1 x2 + x + 1

3

2

2

6x + 6x + 6x + 4x + 4x + 4

(x

2

)

+ x +1

2

6 x3 + 8 x 2 + 8 x + 3x 2 + 4 x + 4

(x

2

)

+ x +1

2

(

)

− =

− x2 − 2x

(x

2

=

− x(x + 2)

) (x

+ x +1

2

2

)

+ x +1

2

+ – -2 0 х = -2 – точка минимума; х = 0 – точка максимума; (2 x + 6)(3x + 4) − 3 x 2 + 6 x + 3 x2 + 6x + 3  = , y' = 2) y = 2 –

(3x + 4)

3x + 4

=

2

2

6 x + 26 x + 24 − 3x − 18 x − 9 3x 2 + 8 x + 15 = > 0, (3x + 4)2 (3x + 4)2

следовательно,

функция возрастает на всей числовой, за исключением точки x = − торой функция не определена. Следовательно нет точек максимума и минимума.

№ 1322 1) y = 2 sin x + sin 2 x

228

 3π  0; 2  ,  

4 , в ко3

3 x y ' = 2 cos x + 2 cos 2 x = 2 ⋅ 2 cos x ⋅ cos , 2 2 3 x cos x > 0 при x ∈ (0; π) cos > 0 при x ∈ (0; π) 2 2 , , 3x π 2πn x cos = 0 x = + cos = 0 x = π + 2πn 2 3 3 2  3π  π 3 y (0) = 0 y  = −2 y  = , y(π ) = 0 ,  2  3 2 π 3  3π  наиб.: y  = ; наим.: y  = −2 ; 3 2  2   π 2) y = 2 sin x + cos 2 x 0;  , 

2

y ' = 2 cos x − 2 sin 2 x = 2 cos x(1 − 2 sin x ) ,  π  π cos x > 0 при x ∈  0;  , 1 − 2 sin x > 0 при x ∈  0;  ,  2  6

cледовательно у = 1,5 – точка максимума, у = 1 – точка минимума.

№ 1323 1) y =

x+5

[− 1;4] ,

y' =

1 > 0 , следовательно, 2 x+5

у = 2 – минимум; у = 3 – максимум;  π 2) y = sin x + 2 2 cos x 0;  ,  2 1  2 2 y ' = cos x − 2 2 sin x = 3 cos x − sin x  = 3 cos(α + x ) = 0 , 3  3  

1 π α = arccos , cos(α + x ) = 0 α + x = + πn , 2 3

π π π π + πn ≤ ; ≤ −α ≤ π, − π ≤ α ≤ − , что невозможно 2 2 2 2 π y (0) = 2 2 ; y  = 1 ⇒ наим.: у = 1; наиб.: y = 2 2 . 2

⇒ 0 ≤ −α −

№ 1324 1) y = ln x − x

[0,5;4) ,

y' =

1 −1 = 0 , x

1 1 y  = − ln 2 − ; y (4) = ln 4 − 4 2 2 y (1) = −1 ; наим. y(4) = ln4 – 4 наиб. y(1) = -1

x = 1;

2) y = x 1 − x 2

[0;1] , 229

x ⋅ 2x

y' = 1 − x2 ; y (0 ) = 0 ;

2 1− x

2

1 − 2 x2

=

1− x

2

= 0;

x2 =

1 1 , x=± , 2 2

 1  1 1 1 1 = y (1) = 0 , y ⋅ = , Наим. y = 0; Наиб. y = .  2 2 2 2  2

№ 1325

Обозначим радиус основания цилиндра через r, тогда объем цилиндра

V = πr 2 (3 − r ) = 3πr 2 − 2πr 3 , V = 6πr − 3 ⋅ 2πr 2 = 6πr (1 − r ) .

Функция V(r) возрастает, при 0 < r < 1 и убывает при r < 0 и r > 1, следовательно максимум функции Vбудет, при r = 1.

№ 1326 Площадь полной поверхности цилиндра S = 54π = 2πrh + 2πr 2 , где r – радиус основания, а h – высота, тогда объем V = πr2h , S = 54π = 2πrh + 2πr 2 ,

(

) (

)

27 − r 2 πr 2 27 − r 2 , тогда V = = π 27r 2 − r 3 , r r V ' = π 27 − 3r 2 = 3π 9 − r 2 , тогда максимум V будет в точке r = 3, h = 6, h=

(

)

(

)

тогда максимальный объем Vmax = 54π

№ 1327

Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту пирамиды, тогда по

условию х + h = 9; V =  9 3 − 2 3 4 

V ' = x

1 2 x (9 − x ), и так как объем максимальный, то 4 3



x  , V’ = 0, тогда х = 6.  

№ 1328

Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту призмы, тогда

V = x 2 ⋅ h , где х2 выражается через h и длину диагонали по формуле: x2 =

12 − h 2 3 12 − h 2 , тогда V = ⋅ h, V ' = 6 − h 2 , откуда находим, что 2 2 2

максимум достигается при h = 2.

№ 1329 2  f (x ) = x − 2 + cos x; M  0,5π;−  π 

первообразная: f1 (x ) = − x −1 + sin x + c, т.к.

2 2 2 π запишем: − + 1 + c = − , откуда с = -1, следовательно f1  = − π π π 2 первообразная имеет вид: y1 = − x −1 + sin x − 1 .

230

№ 1330 f (x ) = x 2 (2 x − 3) − 12(3 x − 2), − 3 ≤ x ≤ 6

(

)

f ' (x ) = 2 x3 − 3x 2 − 36 x + 24 ' = 6 x 2 − 6 x − 36; Функция возрастает при x < -2 и x > 3, и убывает при –2 < x < 3 f (− 2) = 68, f (− 3) = 51, f (3) = −57, f (6) = 132 . Ответ: -57 и 132.

№ 1331

(

1 1 1 6 − 9 ⋅ 2 ⋅ ln x ⋅ + 12 ⋅ = ln 2 x − 3 ln x + 2 x x x x 6 2 f ' (x ) = 0 при  ln x − 3 ln x + 2  = 0;  x 3± 9−8 ln x = , ln x = 2 и ln x = 1, т.е. х = е2 и х = е; 2

1) f ' (x ) = 2 ⋅ 3 ⋅ ln 2 x ⋅

 3   3  2) e2 ∈ e 4 ; e3 , e ∈ e 4 ; e3  ;    

( )

( )

 3  25 3) f e3 = 9, f  e 4  = 4 , f e2 = 4, f (e ) = 5 .

32  

)

Ответ: 4 и 9.

№ 1332 y = x2 ,

 1 A 2;  ;  2

1  1 а) d 2 = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 ; A 2; , следовательно x1 = 2, y1 = ' 2  2

( )

X x; x 2 , следовательно x2 = x, y2 = x 2 ; 2

1  d 2 = (2 − x )2 +  − x 2  ; x > 0 2 

2

1  б) рассмотрим f (x ) = (2 − x )2 +  − x  и найдем ее наименьшнее 2  значение при x > 0.

1   1   f ' (x ) =  4 − 4 x + x 2 + − x 2 + x 4 ' =  4 − 4 x + x 4 ' = −4 + 4 x3; 4    4 

f ' (x ) = 0 при − 4 + 4 x3 = 0, x3 − 1, x = 1 - стационарная точка При переходе через единственную стационарную точку х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», след. функция принимает в ней наименьшее значение. Итак, расстояние будет наименьшим от А до точки (1;1).

№ 1333

AD – основание трапеции, поэтому BC(x) – отрезок, параллельный AD. 231

1 ( AD + BC (x )) ⋅ h(x ), причем AD = 1, 2 BC (x ) = 2 x, h(x ) = 1 + 1 − x 2 = 2 − x 2 , т т.

1 1 S (x ) = (1 + 2 x ) 2 − x 2 = 2 + 4 x − x 2 − 2 x3 = 2 2 1 2 3 = 1 + 2 x − x − x , где 0 < x ≤ 1 2 S (x ) =

(

(

) (

)

)

Рассмотрим S'(x): S’(x) = 2 – x – 3x2; S’(x) = 0 при x = -1 или x = Из полученных критических точек только x =

2 3

2 лежит в промежутке 3

(0;1]; при переходе через эту точку S’(x) меняет знак с «+» на «-», т.е. это точка максимума. Найдем значения S(x) на концах рассматриваемого промежутка и в полученной критической точке.

49 1 3  2  49 , S (1) = , таким образом Smax = .

S (0) = ⋅1 ⋅ 2 = 1 , S   = 27 2 2  3  27

№ 1334 1) x ∈ [− 1;1]; B x;4 x 2 ; A − x;4 x 2 ;

(

) (

)

4 x 2 + yc x + xc ; yc = 12 − 4 x 2 ; ; xc = 6 − x; 6 = 2 3 1 1 3) S ABC = AB ⋅ CD = ⋅ 2 x ⋅ 12 − 4 x 2 − 4 x 2 = 4 3x − 2 x3 2 2 4) Рассмотрим функцию f (x ) = 4 3x − 2 x3 на [0;1] и найдем ее наи2) C (xc ; yc ), 3 =

(

(

( ) f ' (x ) = 0 при 4 ⋅ (3 − 6 x ) = 0; x = ±

большее значение. f ' (x ) = 4 3 − 6 x ,

)

) (

)

2

1 - стационарная точка.

2 1 на [-1;1] При переходе через единственную стационарную точку 2 2

производная меняет знак с «+» на «-», следовательно в этой точке функция принимает наибольшее значение.

2  1   1    =4 2.

3 2 5) S ABC = 4 ⋅ − ⋅  2   2     

№ 1335 y = x 2 + px + q; x = 5,

232

ymin = 1

1 = 25 + 5 p + q ;  y ' (5) = 0 

1 = 25 + 5 p + q 2 ⋅ 5 + p = 0 ; откуда p = -10, q = 26. 

№ 1336 Обозначим через r радиус основания, а через h – высоту конуса, тогда объем V =

V '=

(

)

1 2 1 400 1 πr h = π 400 − h 2 h = πh − πh3 , 3 3 3 3

 20 400 20  20  , h > 0, след. h0 = – точка h+ π − πh 2 = π h −    3 3 3  3 

максимума (при переходе через h0 V’ меняет знак с «+» на «-», таким образом h =

20 .

3

№ 1337 Обозначим через r – радиус, через h – высоту цилиндра, тогда

V 2πr ⋅V + 2πr 2 2V = + 2πr 2 , ; S= 2 r πr πr 2 V 2V 4πr 3 − 2V , а минимальная S ' = − 2 + 4πr = , точка минимума r = 3 2 2 π r r

V = πr 2 ⋅ h, a S = 2πrh + 2πr 2 , h =

2V 3 2π V  площадь Smin = + 2π  3  2π  V

2

3

= 2V

2

33

2πV

2

3

= 3V

2

33

2π = 33 2πV 2 .

№ 1338 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда S = 2πr ⋅ 2h = 4πrh , где h =

S ' = 4π R 2 − r 2 + =

4πR 2 − 8πr 2 2

R −r

2

=

(

2πr (− 2r ) 2

R −r

2

)

R 2 − r 2 , тогда S = 4πr R 2 − r 2 . =

(

)

4π R 2 − r 2 − 4πr 2 2

R − r2

=

4π R 2 − 2r 2 , r0 = R / 2 – точка максимума, т.к. при R2 − r 2

переходе через r0 S’ меняет знак с «+» на «-», таким образом r =

R .

2

№ 1339 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда V = πr 2 h = πr 2 R 2 − r 2

233



V ' =  πr 2 R 2 − r 2 ' = π 2r R 2 − r 2 − 

=



( (



) ) = π(2rR

π 2r R 2 − r 2 − r 3 2

2

2

− 3r 3

2

)

 =  R2 − r 2 

r3

2

R −r R −r 2 r0 = R – точка максимума, т.к. при переходе через r0 V’ меняет знак 3 2R R 2 с «+» на «-», тогда h = R2 − R2 = , соответственно высота 2h = 3 3 3 № 1340 Обозначим

через

h

высоту

конуса,

тогда

радиус

основания

r = R3 − (h − R )2 , а 1 1 1 V = π R 2 − (h − R )2 h = π R 2 − h 2 + 2hR − R 2 h = πh 2hR − h 2 3 3 3 4 1 1 V ' = π 2hR − h2 + h(2R − 2h) = πh(R − 3h); h0 = R – точка максимума.

3 3 3 № 1341 1 1 D Sкон = Sосн ⋅ h = πR 2 ⋅ h - задана 3 3 1 1 Sпир = Sосн ⋅ h = S ABC ⋅ h 3 3 α 1 S ABC = AB ⋅ BC ⋅ sin α 2 A C π α AC = 2 R sin α ∠BAC = ∠BCA = − 2 2 α 2 R sin α ⋅ cos AB AC 2 = 2 R cos α AB = = sin α 2  π α  sin α sin  −  2 2 1 α α S ABC = ⋅ 4 R 2 cos2 ⋅ sin α исследуем f = cos2 sin α 2 2 2 1 1 1 + cos α  1  2 2 2 f ' =  sin α ⋅ ' = cos α + cos α − sin α = cos α + cos α − 2 2 2 2   2 f ' = 0 2 cos α + cos α − 1 = 0 D = 1 + 8 = 9 ;

( (

)

( )

(

cos α1 = −1; cos α 2 = π; α 2 = ± 234

)

(

)

)

1 , следовательно сумма всех углов треугольника 2

π π + 2πn, n ∈ Z , ⇒ α = .

3 3

№ 1342 Обозначим через r – радиус основания, тогда высота h =

(

)

p − 22 , а 2

π π  p − 4r  объем V = πr 2 h = πr 2   , V ' = 2rp − 12r 2 = ⋅ 2r ( p − 6r ); 2 2  2 

r0 =

p πp 2  p p  πp3 .

- точка максимума, тогда Vmax =  − = 36  2 3  216 6

№ 1343 R2 − r 2 ;

Пусть АО1 = х, тогда OO1 =

V = π ⋅ x 2 ⋅ 2 R 2 − r 2 ; V = 2π R 2 x 4 − x 6 ; x > 0 и x < R Рассмотрим функцию g (x ) = 2π R 2 x 4 − x 6 при 0 < x < R и найдем ее наибольшее значение, заметим, что g(x) принимает наибольшее значение в той же точке, что и f (x ) = R 2 x 4 − x 6 . f ' (x ) = 4 R 2 x3 − 6 x5 ;

2 2R2 – точка максимума, тогда H = R .

3 3

x0 = № 1344

Пусть r – радиус основания, H – высота цилиндра, тогда

Vr + 2πr 4 , где V – объем r2 2 4πr 3 − V V - точка минимума, следовательно расход S '= ; r0 = 3 4π r2

S = 2πrH + 4πr 2 = 2

(

)

жести будет наименьшим, когда

2r = H

2⋅3

 V  V  ⋅ π⋅3  4π  4π  

т.е. при 2D = H. (Опечатка в ответе задачника).

V

№ 1345 R 2 − r 2 ; О2О1 = 2х; S0 =

Пусть ОО1 = х, тогда AO1 =

(

)

(

)

2

=

2π ⋅ V 1 = , V ⋅ 4π 2

(

)

3 3 2 2 R −r ; 4

3 3 2 3 3 2 2 Vпр = R − r 2x = R x − x3 , причем x > 0 и x < R. 2 4 3 3 2 Рассмотрим f (x ) = R x − x3 на (0;R) и найдем ее наибольшее 2 R 3 3 2 значение: f ' (x ) = – точка максимума, тогда наиR − 3x 2 , x = 2 3 2R больший объем призма имеет при высоте .

3

(

(

)

)

235

№ 1346

Пусть АО = x, тогда из подобия треугольников MOS и BO1S получим

x b x H −h H (R − x ) ; h= ; = ; = R H R H R H ⋅ (R − x ) πH V = π ⋅ x2 ⋅ Rx 2 − x3 , причем x > 0 и x < R. = R R πH Рассмотрим функцию f (x ) = Rx 2 − x3 на (0;R) и найдем ее наиR

(

)

(

большее значение.

(

)

)

2R πH 2 Rx − 3x 2 , x = – точка максимума, таким образом 3 R 2R H ⋅R 3 H , h= наибольший объем у цилиндра будет при r = . = 3 R 3 № 1347 f' (x ) =

1) f (x ) = x3 + 3 x 2 − 9 x + 4

(

)

f' (x ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 3 x 2 + 2 x − 3 = 3(x − 1)(x + 3) х = -3 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.

+

–

1  4  2) f (x ) = x 4 − 2 x5 + 5 , f' (x ) = 4 x3 − 10 x 4 = x3 (4 − 10 x ) = x3  − x  ;  10  + х = 0 – точка минимума –

0

0,4

-3

+

–

х = 0,4 – точка максимума

№ 1348 1) D(y) = IR, непрерывная, непериодическая, т.к. задана многочленом 2) y(-x) = -x3 + 3x + 2 – ни четная, ни нечетная 3) y = 0 при x3 – 3x + 2 = 0; x = 1; x = -2 4) y’ = 3x2 – 3; y = 0 при 3x2 – 3 = 0; 3(x – 1)(x + 1) = 0; x = ± 1 – стационарные точки 5) (-∞;-1) – функция возрастает (-1;1) – функция убывает (1;+∞) – функция возрастает 6) k = tgα, α = 0 при k = 0; f’(x) = 0, т.е. х = -1, х = 1, т.е. (1;0), (-1;4).

236

№ 1349 1. D(y) = R 2. y(-x) = -x3 - 5x2 + x + 5 – ни четная, ни нечетная 3. y = 0 при х3 – 5х2 – х + 5 = 0; х = 1, х = 5, х = -1 4. y′ = 3x2 – 10x – 1 y’ = 0 при 3x2 – 10x – 1 = 0;

x=

5± 2 7 3

5. x =

5−2 7 — точка максимума 3

5+2 7 — точка минимума 3 6. y = f(x0) + f’(x0)(x – x0); x0 = 4 f(4) = -15, f′(4) = 3x2 – 10x –1, f′ (4) = 7, y = 7x – 43 x=

№ 1350

1) f(x) = 4x3 + 6x2 а) D(y) = R б) f(-x)=-4x3+6x2 – ни четная, ни нечетная

+

в) f(x) = 0 при 4x3 + 6x2 = 0; x2(4x+6)=0, x = 0, x = -1,5 г) f’(x) = 12x2 + 12x = 12x(x + 1) х = -1 – точка максимума х = 0 – точка минимума

+

2) f(x) = 3x2 – 2x3; а) D(y) = R б) f(-x) = 3x2 + 2x3 – функция ни четная, ни нечетная в) f(x) = 0 при 3x2 – 2x3 = 0,

–

–

-1

0

+

0

1

–

3 2 г) f’(x) = 6x – 6x2 = 6x(1 – x) x = 0 – точка минимума х = 1 – точка максимума x2(3 – 2x) = 0, x = 0, x =

237

3) f (x ) =

+

1 3 x −x ; 3

+ -1

1 а) D(y) = R; б) f (− x ) = − x 3 + x , 3 следовательно функция нечетная

f (x ) = 0 при в)

1 3 x − x = 0; 3

1  x x 2 − 1 = 0, x = 0, x = ± 3 3 

–

1

;

x = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума + 4) f (x ) = x 4 − 1 x 2

+ –

-½

–

0

½

х = -½, x = ½ – точки минимума х = 0 – точка максимума

2

а) D(y) = R б) f (− x ) = x 4 −

1 2 x - функция четная 2

f (x ) = 0 при x 4 − в)

1 2 x = 0, 2

1 1  x 2  x 2 −  = 0, x = 0, x = ± 2 2 

(

)

г) f ' (x ) = 4 x3 − x = x 4 x 2 − 1 =

1  1  = 4 x x −  x +  2 2  

№ 1351

+

+ − 2

–

0

x = − 2, x = 2

2

–

– точки

максимума х = 0 – точка минимума

1) y = −

x4 + x2 4

а) D(y) = IR б) f (− x ) = −

x4 + x 2 – функция четная 4

в) f (x ) = 0 при

(

− x4 + x 2 = 0; 4

)

x2 − x 2 + 4 = 0 ; x = 0, x = ±2 4

(

)

г) f ' (x ) = − x3 + 2 x = x − x 2 + 2 =

(

)(

= −x x − 2 x + 2 238

)

2) y = x4 – 2x2 –3 а) D(y) – R б) f(-x) = x4 – 2х2 – 3 – функция четная

х = ± 1 – точка минимума х = 0 – точка максимума

в) f (x ) = 0 при x 4 − 2 x 2 − 3 = 0,

x = ± 1 ± 2 , след. x = ± 3 г) f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x-1)(x+1) +

+ –

-1

0

–

1

№ 1352 1 3 x − x 2 − 3x + 9 3 а) D(y) = R 1 б) f (− x ) = − x 3 − x 2 + 3x + 9 – функция 3 ни четная, ни нечетная 1 в) f (x ) = 0 при x 3 − x 2 − 3x + 9 = 0, 3 1 2 1  x (x − 3) − 3(x − 3) = 0, (x − 3) x 2 − 1 = 0, x = 3, x = ± 3 3 3   1) y =

 1 + 13  1 − 3  x− г) f ' (x ) = x 2 − x − 3 =  x −  2  2   x=

1 − 13 – точка максимума 2

+

1 + 13 – точка минимума 2 2) y = -x4 + 6x2 – 9 а) D(y) – R б) f(-x) = f(x) – функция четная в) f(x) = 0 при –x4 + 6x2 – 9 = 0,

1 − 13 2

x=

x4 – 6x2 + 9 = 0, (x2 – 3)2, x = ± 3

(

+ –

1 + 13 2

)

г) f ' (x ) = −4 x 3 + 12 x = −4 x x 2 − 3 =

(

)(

= −4 x x − 3 x + 3 +

− 3

–

0

)

–

+

3

x = ± 3 – точка максимума; х = 0 – точка минимума.

239

x2 + 1 x а) D(y): x ≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная 3) y =

в) f (x ) = 0 при

x2 + 1 = 0, т.е. пересечений с x

осью 0х нет.

+

+ –

-1

г) f ' (x ) =

(

)= x

2x ⋅ x − x2 + 1 2

x х = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума

1

2

−1

x2

x2 + 2 2x а) D(y): x ≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная в) f(x) ≠ 0 4) y =

г) f ' (x ) = +

+ − 2

–

2

(

2x ⋅ 2 x − 2 x2 + 2 4 x2

) = 2x

2

−4

4x2

=

x2 − 2 2 x2

x = − 2 – точка максимума x = 2 – точка минимума

№ 1353 1) y1 = x − 1, y 2 = 3 − x , y3 = 0 , y1=y2, x–1 = 9–6x+x2, x2–7x+10=0, x=5, x=2, но х – 1 ≥ 0 и 3 – х ≥ 0, след. х = 2 – точка пересечения y1 и y2, тогда 2

S = ∫ x − 1dx + 1

2 3 1 2 7 ⋅ 1 = (x − 1) 2 + 1 = 2 6 2 3 1

1 x2 2) y1 = − , y 2 = x 2 , y3 = x 8 1 2 y1 = y 2 ; − = x ; x = −1 - точка пересечения y1 и у2 x y 2 = y3 ; x 2 =

x2 1 x2 , x = 0 , y1 = y3 ; − = ; x = −2, тогда 8 x 8

−1 0 0 2 1 1 0 1 30 x dx + ∫ x 2dx − ∫ dx = − ln x + x3 − x = −2 x −1 −2 8 −1 24 −2 −1 3 2 1 1 = ln x + − = ln 2 1 3 3 −1

S= ∫−

240

№ 1354

1) y1 = 4x – x2, y2 = 5, x = 0, x = 3 3 1 3  S = 5 ⋅ 3 − ∫ 4 x − x 2 = 15 −  2 x 2 − x3  = 15 − 18 + 9 = 6 ; 3 0  0

2) y = x2 – 2x + 8, y = 6, x = -1, x = 3, 3

(

)

3

1

2 3 2 ∫ x − 2 x + 8 dx − 24 =  3 x − x + 8 x  − 24 =

  −1 28  1  = 9 − 9 + 24 −  − − 1 − 8  − 24 = 3  3  −1

3) y = sin x , y = 0, x =

2π , x = π, S = 3

π

π

2π 3

2π 3

∫ sin xdx = − cos

π

6 π π 4) y = cosx, y = 0, x = − , x = , S = ∫ cos xdx = sin x 6 6 π −

π

6 −π

= 1−

= 6

1 1 = 2 2

1 1 + =1.

2 2

6

№ 1355 x = 2, x = 4 ,

1) y = x , y = 2, x = 9 , 4

9

0

4

S = 2 ⋅ 4 − ∫ x dx + ∫ x − 5 ⋅ 2 = 8 − = 8−

2 32 x 3

4 0

+

2 32 x 3

9 4

− 10 =

16 16 16 + 18 − − 10 = 3 3 3

2) y = x2 + 3, y = x + 5, x2 + 3 = x + 5, x2 – x – 2 = 0, x1 = -1, x2 = 2, 2 2 1  1  S = ∫ (x + 5)dx − ∫ x 2 + 3 dx =  x 2 + 5x  2−1 −  x 3 + 3x  2−1 = 2 3     −1 −1 8  1  = 12 + 4,5 −  + 6 −  − − 3   = 16,5 − 3 − 9 = 4,5  3  3

(

)

№ 1356

1) y = 9 – x2, y = (x – 1)2 – 4, y1 = 9 – x2, y2 = x2 – 2x – 3, 9 – x2 = x2 – 2x – 3, 2x2 – 2x – 12 = 0, x2 – x – 6 = 0, x1 = 3, x2 = -2, 3

(

)

3

(

)

−2

(

)

−1

(

)

S = ∫ 9 − x 2 dx + ∫ x 2 − 2 x − 3 dx − ∫ 9 − x 2 dx − ∫ x 2 − 2x − 3 dx = −3

−1

−3

−2

3  −1  x3  x 3  − 2  x3 1  3  =  9 x −  +  x3 − x 2 − 3x  −  9 x −  −  − x 2 − 3x  =  −1      3  −3  3 3  −2  3  −1   

1 8     = (27 − 9 + 27 − 9 ) +  9 − 9 − 9 + + 1 − 3  −  − 18 + + 27 − 9  − 3 3     241

8 32 8 7 125  1  −  − − 1 + 3 + + 4 − 6  = 36 + − − = .

3 3 3 3 3  3 

(

)

2) y1 = x 2 , y 2 = 3 x , y1 = y 2 , x 2 = 3 x , x 6 = x , x x 5 − 1 = 0 , x = 0, x = 1 – точки пересечения 1

1

0

0

S = ∫ 3 x dx − ∫ x 2dx =

3 4 3 1 x3 x − 4 3 0

1 0

=

3 1 5 − = .

4 3 12

№ 1357 1) y = cos x , x =

π , y=0, 4

π 4

π 4

π − 2

π − 2

S = ∫ cos xdx = sin x

=

2 2+ 2 +1 = = 2 2 1

2) y = 3x, x = -1, x = 1, y = 0, S = ∫ 3x dx = −1

3x ln 3

2 +1 2 1 −1

=

;

3− 1 ln 3

3 = 8 .

3 ln 3

№ 1358 1) f (x ) = x 3 −

x2 1 1 1 1 + x , x 0 = , f’(x) = 3x2 – x + 1, f '   = − + 1 = 1 ; 2 3 3 3 3

1 − ln x ln x , f ' (1) = 1 ; , x 0 = 1 , f ' (x ) = x x2 2 4x 3) f (x ) = x −3 − 2 + 3x , x 0 = 3 , f ' (x ) = −3x − 4 + 4 + 3 , x x 1 4 1 1 f ' (3) = − + +3= +3= 3 ; 27 27 9 9 2) f (x ) =

4) y =

1 − sin 2 x − cos 2 x cos x π π = − 2 , y'   = −2 . , x 0 = , y' = 2 sin x 4 sin x sin x 4

№ 1359 1) f(x) = sin2x – x, f’(x) = 2cos2x – 1, 2cos2x – 1 = 0, cos2x =

1 ; 2

π π + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 3 6 2) f(x) = cos2x + 2x, f’(x) = -2sin2x + 2, 2 sin2x = 2, sin2x = 1, π x = + πn , n ∈ Z ; 4 3) f(x) = (2x – 1)3, f’(x) = 3(2x – 1)2 ⋅ 2, 2x – 1 = 0, x = ½; 4) f(x) = (1 – 3x)5, f’(x) = 5(1 – 3x)4 ⋅ (-3), 1 – 3x = 0, x = 1/3.

2x = ±

242

№ 1360

f(x) = (2x – 3)(3x2 + 1), f’(x) = 2(3x2 + 1) + 6x(2x – 3), f’(1) = 8 – 6 = 2 ⇒ f’(1) = f’(0), f’(0) = 2.

№ 1361

f (x ) = x 3 − 1,5x 2 − 18x + 3 , f ' (x ) = 3x 2 − 3x − 18 , 3x 2 − 3x − 18 < 0 , x2 − x − 6 < 0 ,

x ∈ (−2;3) .

(x − 3)(x + 2) < 0 ,

№ 1362

h = V0t – 4,9t2 V0 = 360м/с, V = h’ = V0 – 9,8t,

V(10) = 360 – 98 = 262 м/с, hmax при V0 – 9,8t = 0 t =

360 ≈ 37 сек.

9,8

№ 1363 ϕ = kt 3 ϕ = 2π t = 2c ⇒ k =

ϕ 3

=

2π π = , 8 4

t 3π 2 3π t , ω(4 ) = ω = 3kt = ⋅ 16 = 12π .

4 4 2

№ 1364 1) y = y' = = =

x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3

(5x

x3 4

)

,

(

)=

− 9 x 2 + 4 x − 1 x 3 − 3x 2 x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3 x3

5x 7 − 9 x 5 + 4x 4 − x 3 − 3x 7 + 9 x 5 − 6 x 4 + 3x 3 − 9 x x3 2x 7 − 2x 4 − 2x 3 − 9x 2 x3

2) y =

6x3 x x

; y=

6x

4

3

1 x 2

=

=

2x 5 − 2x 2 − 2x − 9 ; x

, y' =

8x

1 4 1 1 3 ⋅ x 2 − 1 x− 2 ⋅ x 3 ⋅ 6

2 x

=

8x

5

6

− 3x x

5

6

−1 6.

= 5x

№ 1365 1) y = y' = =

3x 2 − 2 x + 1 , x +1

(6x − 2)(x + 1) − (3x 2 − 2x + 1) = 6x 2 + 6x − 2x − 2 − 3x 2 + 2x − 1 = (x + 1)2 (x + 1)2

3x 2 + 6x − 3

(x + 1)

2

=

(

)

3 x 2 + 2x − 1

(x + 1)

2

243

2) y =

(4x − 3)(2x + 1) − 2(2x 2 − 3x + 1) = 8x 2 + 4x − 6x − 3 − 4x 2 − 6x − 2 = (2x + 1)2 (2x + 1)2

y' = =

2 x 2 − 3x + 1 , 2x + 1

4x 2 + 4x − 5

(2x + 1)2

№ 1366

1) y = (2 x + 1)2 x − 1 ,

1 (x − 1)− 12 = 2 ⋅ 4(2x + 1)(x − 1) + 1 = 2 2 x −1 8 2x 2 − 2 x + x − 1 + 1 16x 2 − 8x − 7 = = 2 x −1 2 x −1 y' = 2(2 x + 1) ⋅ 2 x − 1 +

(

)

2) y = x 2 3 (x + 1)2 ; y = x 2 (x + 1)

2

y' = 2 x (x + 1)

2

=

8x 2 + 6 x

3

,

2 2 2 3 ⋅ 2 x (x + 1) + 2 x 2 = x (x + 1)− 3 = 3 33 x + 1 2x (4x + 3)

3

+

= 3 33 x + 1 3 x +1 3) y = sin2xcos3x,

y' = 2 cos 2 x ⋅ cos 3x − 3 sin 2 x ⋅ sin 3x = cos x + cos 5x − 1 5 = − cos x − cos 5x 2 2 4) y = xcos2x, y’ = cos2x – 2xsin2x.

3 (cos x − cos 5x ) = 2

№ 1367

f(x) = (x - 1)(x – 2)(x – 3); f(x) = (x2 – 3x + 2)(x – 3) f’(x)=(2x–3)(x–3)+x2 - 3x+2=2x2 – 6x–3x + 9 + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12x + 11 3x2 – 12x + 11 = -1, 3x2 – 12x + 12 = 0, 3(x2–4x+4)=0; 3(x – 2)2 = 0, x = 2.

№ 1368 1) f (x ) = e3− 2 x ⋅ x 2 , 2) f (x ) =

x2 e1− x

, f ' (x ) =

№ 1369 f (x ) =

244

f ' ( x ) = −2e3− 2 x ⋅ x 2 + 2 x ⋅ e3− 2 x f ' ( x ) = −2e−1 ⋅ 4 + 4 ⋅ e−1 = −4e−1 < 0

1 + sin 2 x 1 − sin 2 x

2 x ⋅ e1− x + x 2 ⋅ e1− x e 2(1− x )

, f ' (2 ) =

4 ⋅ e−1 + 4e −1 e− 2

> 0.

f ' (x ) = f ' (0 ) =

2 cos2x(1 − sin 2x) + 2 cos2x(1 + sin 2x)

(1 − sin 2x)

2

=

(1 − sin 2x)

4 2 8 π = = 4; f '   = 2 1 6   2− 3 2− 3    2   

(

№ 1370

f (x ) = x 3 + x 2 + x 3 ; g(x ) = x 3 + 1

2 ⋅ 2 cos2x 2

=

4 cos2x

(1 − sin 2x)2

)

2

f ' (x ) = 3x 2 + 2 x + 3 g' (x ) = 3

f ' (x ) ≤ g ' (x ) , 3x 2 + 2 x + 3 ≤ 3 , 3x 2 + 2 x ≤ 0 , x (3x + 2) ≤ 0 ,  2  x ∈ − ;0 .  3 

№ 1371  π  f(x) = cos3x, F  = −1 .  24  Первообразная F =

1  π  sin 4 x + c, с найдем из условия F  = −1 , 4  24 

1 1 1 π 1 1 ⋅ sin + c = −1; + c = −1 , c = −1 , F = sin 4 x − 1 .

4 6 4 8 8 8

№ 1372 1 1 , F = ln x + 1 − ln x − 1 + c ; − x +1 x −1 3 1 3 3 , F = ln x − + c .

2) y = ; y= 1 4 4 4x − 1  4 x −  4 

1) y =

№ 1373 9

9

2

2

1) ∫ 3 x − 1dx = ∫ (x − 1) 3 dx = π

4

(

1

)

π

4

3 (x − 1)4 3 4

2) ∫ 2 cos2 x − 1 dx = ∫ cos 2 xdx = π

6

π

6

9 2

=

(

)

3 4 45 2 −1 = ; 4 4

π

4 1 1 3  2 − 3 sin 2 x = 1 − ; = 2 2  2  4 π 6

4 x2

4 7  +3  1 4 3) ∫ dx = ∫  x + 2 + dx =  x 2 + 2 x + 7 ln x − 2  = x−2 2 3 3 x−2 3

9  11 = (8 + 8 + 7 ln 2 ) −  + 6 + 7 ln1 = + 7 ln 2 . 2  2 245

№ 1374 π

1) ∫ sin xdx = − cos x π

2

1

(

π π

π

π

3

= 1 ; 2) ∫ cos xdx = sin x π

2

6

π

3 6

=

3 1 − = 2 2

3 −1 ; 2

)

1  1 3) ∫ x 2 + 2 x + 3 dx =  x 3 + x 2 + 3x  = 3   −2 −2 =

1 8 7 1 +1+ 3 − + 4 − 6 = 2 − = − ; 3 3 3 3

(

)

2 1 2 4) ∫ x 2 − 6 x + 8 dx =  x 3 − 3x 2 + 8x  = 3 1 1

1 8  1  7  − 12 + 16  −  − 3 + 8  = − 1 = 1 ; 3 3 3 3    

(

)

3 2  1 3  1  5) ∫ x − 2 + 1 dx =  − + x  =  − + 3  − (− 1 + 1) = 2 ; 3 1  3   x 1 1

1 1 2 2 2 dx = − ∫ dx = − ∫ 5 4 x 4 x 5 − −  −1 −1 −1 4 x − 

6) ∫

1 5 = − ln x − 2 4

5  4

dx =

1

1 1 9 1 1 1 = −  ln − ln  = − ln = − ln = ln 3 .

2 4 4 2 9 3   −1

№ 1375 π 1 π π  1) cos 3x −  = , 3x − = ± + 2πn , n ∈ Z , 4 3 4 2  π π 2 π π 3x = ± + + 2πn , n ∈ Z . Ответ: x = ± + πn , n ∈ Z 3 4 12 9 3 1 3 2) log2(3 – 2x) < -1, log 2 (3 − 2 x ) < log 2 , 3 − 2x > 0, т т. x < , 2 2 1 5 5 3 3 − 2x < ; x > . Ответ: <x< 2 4 4 2 3a

3) 4 ⋅ 2 2

3a + 2

a2

= 0,25

=2

−a 2

2;

3a + 2

2

2

=2

− 2⋅

a2 2

;

2

; 3a + 2 = −a ; a + 3a + 2 = 0; a 1 = −1, a 2 = −2 .

Ответ: a 1 = −1, a 2 = −2 4) y = x(4 – x), x = 0, x = 4 – точки пересечения y = 4x – x2 и y = 0, тогда 4 1 4 64 2 2  S = ∫ 4x − x 2 dx =  2 x 2 − x 3  = 32 − = 10 . Ответ: 10 3 3 0 3 3  0

(

246

)

5) y = 4 −

9 1 + x +1 x − 3

9 1  4 − x + 1 + x − 3 ≥ 0  x ≠ −1 x ≠ 3  

+

+ –

-1

(

3

)

4(x + 1)(x − 3) − 9(x − 3) + (x + 1) 4 x 2 − 2 x − 3 − 9 x + 27 + x + 1 ≥0, ≥ 0, (x + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 3)

x ∈ (− ∞;−1) U (3;+∞ ) 4(x − 2)2  ≥ 0 , x ≠ −1 (x + 1)(x − 3) x ≠ −3 Ответ: x ∈ (− ∞;−1) U (3;+∞ ) . + 6) y = x3 – 3x + a; [-2;0]; ymax = 5, – y’ = 3x2 – 3, y’ = 0; 3(x - 1)(x + 1) = 0, -1 Максимальное значение на [-2;0] функция принимает в точке х = -1, у = 5 = -1 + 3 + a, откуда а = 3.

4 x 2 − 16 x + 16 ≥ 0; (x + 1)(x − 3)

+ 1

№ 1376

1) sin2x – 4sinx – 5 = 0, sinx = -1, sinx = 5, что невозможно, таким обраπ зом х = − + 2πn , n ∈ Z; 2 3 π Ответ: x = − + 2πn , n ∈ Z; x = π > 0 . + 2 2 2) f(x) = 3x2(1 – x) , [0;1] – – 0 2 f’(x) = 6x(1 – x) – 3x2 = -9x2 + 6x = 3 = -3x(3x – 2) 2 4 1 4 2 Точка максимума x = , f   = 3 ⋅ ⋅ = .

3 9 3 9 3 8 2 3) lgx = lg3 – lg(3x – 8), x > 0, x > , т.е. x > 2 , 3 3 4 ± 16 + 9 4 ± 5 3 ; 3x2 – 8x – 3 = 0, x 1 = = .

3 3 3x − 8 2 2 2 4) y1 = (x – 3) , y2 = 9, y1 = y2; (x – 3) = 9, x = 0, x = 6, x=

(

Ответ: х = 3

)

3 1 3 S = 6 ⋅ 9 − 2 ∫ x 2 − 6x + 9 dx = 54 − 2 x 3 − 3x 2 + 9 x  = 3 0 0 = 54 − 2(9 − 27 + 27 ) = 36 Ответ: 36.

247

1  + 0,2  x −1   ≤0 5) x+2 Данное неравенство равносильно системе: x −5  ≤ 0 x ∈ (− 2;5] . Ответ: x ∈ (− 2;1) U (1;5]. x + 2 x ≠ 1  x ≠ 1 6) y = x2 – 4x + 2, y = -2x + a, x2 – 4x + 2 = -2x + a, x2 – 2x + 2 – a =0, D = 4 – 4(2 – a) = -4 + 4a = 4(a – 1), D ≥ 0 при a ≥ 1.

(x − 5) 2

№ 1377

log 0 , 7 (1+ 2 x )

> 4 , log0,7(1 + 2x) > 2, log0,7(1 + 2x) > log0,70,72, 51 49 51 1 , но 1 + 2 x > 0, т.е. x > − .

1 + 2x < , 2x < − , x<− 100 100 2 200

1) 2

Ответ: −

1 51 <x<− .

2 200

2) f(x) = x2 – x3, x0 = -1, y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f’(x) = 2x – 3x2, f’(x0) = -2 – 3 = -5, f(x0) = 2, y = 2 – 5(x + 1), т.е. у = -5х – 3.

3)

x 4 − 3x − 1 = x 2 − 1 ,

x 4 − 3x − 1 ≥ 0 3 ± 9 + 16 3 ± 5  2 = 2 x 2 − 3x − 2 = 0 , x1, 2 = x − 1 ≥ 0 4 4 x 4 − 3x − 1 = x 4 − 2x 2 + 1  1  x1 = 2, x 2 = − 2  4 Ответ: х = 2 x − 3x − 1 ≥ 0 x 2 − 1 ≥ 0   1 1 1 4) y1 = x , y 2 = x , y1 = y2; x = x; x = x 2 , 2 2 4 x2 – 4x = 9; x(x – 4) = 0, x1 = 0, x2 = 4 – точки пересечения y1 и у2, тогда 4 1 1 2 2 4 16 4 1 S = ∫ x 2 dx − ⋅ 4 ⋅ 2 = x 3 − 4 = −4 = =1 .

2 3 3 3 3 0 0 3 2 5) y = x – 3ax2 + 27x – 5, y’ = 3x – 6ax + 27 = 0, 3x2 – 6ax + 27 = 0, x2 – 2ax + 9 = 0, при a = 3, x2 - 2⋅ 3 ⋅ x + 9 = (x – 3)2, следовательно единственная стационарная точка при а = 3.

5π 5π 6) sin x = x 2 − 4 x + 5 , sin x ≤ 1 4 4 x 2 − 4 x + 5 ≥ 1 , т.к. (х–2)2+1≥0, следовательно, равенство возможно только в случае х=2, т.е. когда обе части уравнения принимают значение, равное 1.

248

№ 1378 4

1)

4

36log6 5 − 5log5 9 = 62 log6 5 − 9 = 4 25 − 9 = 2 . x

2) f (x ) = e 3 т.к. касательная проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx; пусть х0 – точка касания y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f ' (x ) = y=e 3e

x0

x0 3

3

x

1 3 e , тогда y = e 3 1 + e 3

− x 0e

x0 3 x−

x0

3

x0 e 3

= 0, e

x0 3

x0 3

x0

1 + e 3

(x − x 0 )

, откуда e

3

x0

(3 − x0 ) = 0,

 π  3  cos + x  + sin  π − y  = 1   2 2    3)  x + y = − 3π  2

− sin x − sin x = 1 , sin x = − x = (− 1)n +1

x0 3

3

−

x0 x0 3 e = 0; 3

x0 = 3 .

Ответ: (3; е)

 3π  3 − sin x + sin  π + x +  =1  2 2     y = − x − 3π  2

1 , 2

π π 3π + nπ, n ∈ Z , y = (− 1)n + 2 − + nπ, n ∈ Z .

6 6 2

4) (3 – x)log3(x + 5) ≤ 0; а) х + 5 > 0, т.е. x > -5

б) x + 5 > 0, т.е. x > -5

3 − x ≤ 0 x ≥ 3 log (x + 5) ≥ 0;  x ≥ −4;   3 x≥3 Ответ: x ∈ (−5;−4] U [3;+∞ )

3 − x ≥ 0 x ≤ 3 log (x + 5) ≤ 0;  x ≤ −4   3 − 5 < x ≤ −4

6

5)

2 ∫ 36 − x dx , заметим, что данный интеграл – это половина пло-

−6

6

щади круга радиуса 6, тогда

1

2 2 ∫ 36 − x dx = 2 π ⋅ 6 = 18π ;

−6

3 , 2 − x 2 ≥ 0, x ≤ 2 , 6) cos 2 − x = 2 2

2 − x2 = ± x2 = 2 −

π2 π π ± 2 ⋅ ⋅ 2πn + 4π2 n 2 + 2πn , n ∈ Z , 2 − x 2 = 6 36 6

π2 2 2 π2 2 2 ± π n + 4π2 n 2 , ± π n + 4π 2 n 2 , x = ± 2 − 36 3 36 3

но т.к. x ≤ 2 , то x = ± 2 −

π2 .

36 249

№ 1379 1) cosxcos3x = -0,5,

1 (cos 2x + cos 4x ) = −0,5 , cos 2 x + cos 4 x = −1 , 2

cos 2 x + cos 2 2 x − sin 2 2 x = −1 , cos 2 x + 2 cos 2 2 x = 0 , cos 2 x(1 + 2 cos 2 x ) = 0 , cos 2 x = 0 π nπ   ,n∈Z .

1 ; x = + cos 2 x = − 4 2  2  π nπ π , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = + 4 2 3 1 2 2 log 2 x 2 + log 22 (− x ) > 6 , 2) log 4 x + log 2 (− x ) > 6 , 2 log 22 (− x ) + log 2 (− x ) − 6 > 0 , log 2 (− x ) = t

t 2 + t − 6 = 0;

D = 1 + 24 = 25 , t1 =

+

+ -3

–

−1 + 5 −1 − 5 = 2, t2 = = −3 .

2 2

2

log 2 (− x ) > 2 = log 2 4  1 log 2 (− x ) < −3 = log 2 8 

− x > 4  1; − x < 8 

 x < 0  x < −4  1  − 8 < x < 0 ; 1   x > −   8  x < −4  x < 0 

9 x ⋅ 3 y = 9 ;  y − x = 1

3 2 x + y = 3 2 2 x + y = 2 ;  ;   y − x = 1  y − x = 1  y = 2 − 2x  y = 2 − 2x ;   2 2 1 x x − − =   2 − 2x = 1 + x

3) 

2 − 2 x = 1 + 2 x + x , 1 − 3x = 2 x , 1 − 6 x + 9 x 2 = 4 x , 9 x 2 − 10 x + 1 = 0 , 5 ± 25 − 9 5 ± 4 1 16 = , x1 = 1, x 2 = , y1 = 0, y 2 = .

9 9 9 9  1 16  Ответ: (1;0 ),  ; . 9 9  x1, 2 =

4) y1 = 9x – x3, x0 = 3, y = f(x0) + f’(x0)(x-x0); f(3) > 0, f’(x) = 9 – 3x2, f’(3) = -18, y = -18x + 54, 9x – x3 = -18x + 54, -x3 + 27x – 54 = 0, (-x2 + 6x2 – 9x) – 6x2 + 36x – 54 = 0, -x(x – 3)2 – 6(x – 3)2 = 0, 250

-(x – 3)2(x + 6) = 0, x = 3, x = -6, S = S1 + S2 + S3 + S4, −3

(

)

−3

(

)

S1 = ∫ − 18x + 54 − 9 x + x3 dx = ∫ x3 − 27x + 54 dx = −6

=

−6

−3 x4 27x2 − + 54x = 4 2 −6

81 243 405 891 − − 162 − 324 + 486 + 324 = 324 − = .

4 2 4 4 0

0

−3

−3

S 2 = ∫ (− 18 x + 54 )dx = −9 x 2 + 54 x 0

(

)

S 3 = ∫ x 3 − 9 x dx = −3 3

(

x 4 9x 2 − 4 2

)

0

=−

−3 3

= 81 + 162 = 243 , 81 81 81 + = , 4 2 4

(

)

S 4 = ∫ − 18 x + 54 − 9 x + x 3 dx = ∫ x 3 − 27 x + 54 dx = 0

=

0

3 81 243 405 243 x 4 27 x 2 − + 54 x = − + 162 = 162 − = 4 2 4 2 4 4 0

S=

891 243 3 + 243 + = 546 .

4 4 4  4π 2π 

;  5) y = 2 − 3 sin x + 4 cos x на  3 3 

4 3 3  y' = −3 cos x − 4 sin x = −5 cos x + sin x  = −5 cos(x − ϕ) , где ϕ = arccos 5 5 5  π − 5 cos(x − ϕ ) = 0 x − ϕ = + πn (2 ) n ∈ Z , 2 3 π x = arccos + + πn, n ∈ Z , 5 2 3 4 3   (1) ; y = 2 − 5 sin x − cos x  = 2 − 5 sin (x − ϕ ), где ϕ = arccos 5 5 5  3 3 3 3  4π   2π   2π   1 y − + 4⋅−  = −  = 2 − 3 sin  +  + 4 cos  = 2 − 3 3 3 2 2 2         3 3  2π   4π  y  = y − , теперь подставим в (1) (2) =− 2  3   3  π y = 2 − 5 sin (x − ϕ ) = 2 − 5 sin = 2 − 5 = −3 2  3π  y = 2 − 5 sin (x − ϕ) = 2 − 5 sin   = 2 + 5 = 7  2  max y = 7 min y = −3 ; 251

4

log3 4 и 4 2 ,

6) 21

log3 3

4,

2=2

1

4

21

= log3 3

что равносильно сравненнию

4,

21

4и3

4

log 3 4 и

сравним, очевидно,

21

4>3

4

следовательно log 3 4 > 2 .

№ 1380

1) cos4x + 3sin2x = 0,25, cos22x – sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – sin22x – sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – 2sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – 8sin2x(1 – sin2x) + 3sin2x = 0,25, 1 – 8sin2x + 8sin4x + 3sin2x = 0,25, 8sin4x – 5sin2x + 1 = 0,25, sin2x = a, 32a2 – 20a + 3 = 0,

10 ± 100 − 96 10 ± 2 1 3 = , a1 = , a 2 = ; 4 8 32 32 1 1 π а) sin 2 x = ; sin x = ± , x1 = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , 6 4 2 n +1 π x 2 = (− 1) + nπ, n ∈ Z ; 6  3 3 3  l + lπ, l ∈ Z . б) sin 2 x = ; sin x = ± , x3, 4 = (− 1) arcsin ±   8 8 8   π n π + nπ, n ∈ Z , x 2 = (− 1)n +1 + nπ, n ∈ Z , Ответ: x1 = (− 1) 6 6  3  x3, 4 = (− 1)l arcsin ± + lπ, l ∈ Z .   8   ln (7 x − 4 ) , 2) y = log3x+4(7x – 4), x = 2, y = ln (3x + 4 ) a1, 2 =

7 3 ⋅ ln (3x + 4 ) − ln (7 x − 4 ) − +4 7 4 3 x x , y' = ln 2 (3 x + 4 ) 3 2  7  y ' (2 ) =  ln 10 − ln 10  ln 2 10 = ; 10 5 ln 10  10  3π 5π , x= , 3) y = 2cos3x – 5sin2x + 10, x = − 4 4 y = 2 cos 3 x − 5 sin 2 x + 10 ≥ 10 − 2 − 5 = 3 > 0 5π 4

2 5 S = ∫ (2 cos 3 x − 5 sin 2 x + 10 )dx = sin 3 x + cos 2 x + 10 x 3 2 3π −

252

4

5π 4 −

3π 4

=

4

,

2 2 25π 2 2 15π 40π =− ⋅ +0+ + ⋅ −0+ = = 20π .

3 2 2 3 2 2 2 4) y = 6 x − 7 − 2 x , x ≥

1⋅ 6 3 − 2 6x − 7 7 −2= =0, , y' = 6 2 6x − 7 6x − 7 + 7

– 37

3 9 37 6 24 6x − 7 = 6x − 7 = x= , 2 4 24 37 x= - точка максимума ⇒ дальше у убывает в -∞.

24

х

37 37 3 37 19  37  y  = 6 ⋅ − 7 − 2⋅ = − =− .

24 24 24 2 24 12   x

2x

+ 6 ⋅ 3 x ≥ 11 .

5) 9 + 6 ⋅ 3 x ≥ 11 , 3 Так как необходимо найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее решению, то: x ≥ 0, 32x + 6 ⋅ 3x – 11 ≥ 0, 3x = t > 0, t2 + 6t – 11 ≥ 0, D/4 = 9 + 11= 20; 1)

t1 = −3 + 2 5 3x ≥ 2 5 − 3

t 2 = −3 − 2 5 x ≥ log 3 2 5 − 3 > 0

(

)

№ 1381 1) x 2 − 6 x + 9 + 25 + 10 x + x 2 = 8 ; |x – 3| + |5 + x| = 8 а) х ≥ 3; б) –5 ≤ х < 3; в) х < –5; х – 3 + 5 + х = 8; 3 – х + 5 + х = 8; 3 – х – 5 – х = 8; –5 ≤ х < 3; х = 3; х = –5; х ∈ ∅ x = 3 x ∈ ∅ ; х ∈ [–5; 3]. − 5 ≤ x < 3  2) x 2 + 4 x + 4 − x 2 − 6 x + 9 = 6 ; |x + 2| – |x – 3| = 6 а) х ≥ 3; б) –2 ≤ х < 3; в) х < 2 х + 2 – х + 3 = 6; х + 2 – 3 + х = 6; –х–2–3+х=6 х∈∅ х = 3,5 х∈∅ Ответ: х ∈ ∅. (Опечатка в ответе задачника) 3)

3

(8 − x )2 − 3 (8 − x )(27 + x ) + 3 (27 + x )2

=7.

Пусть 3 8 − x = у, 3 27 + x = z, тогда исходное уравнение примет вид: 1) у2 – уz + z2 = 7, и 2) у3 + z3 = 35, поделим 2) на 1), получим: z = 5 − y y + z = 5 ;  3 ; у + z = 5;  3 3 3 y z + = 35   y + (5 − y ) = 35 253

у3 + 125 – 75у + 15у2 – у3 = 35; 15у2 – 75у + 90 = 0; у2–5у+6=0, у1 = 2, у2 = 3, тогда а) 3 8 − x = 2, х = 0; б)

3

8 − x =3, х=–19.

4. 4 8 − x + 4 89 + x = 5 ; х≤8, х≥–89; 8 − x + 24 (8 − x)(89 + x) + (89 + x) = 25 ; 4

8 − x = y,

4

89 + x = z , у, z ≥ 0;

 y + 2 yz + z = 25  y + z = 5 y = 5 − z ; ;  ;  4  4 4 4 4 y z + = 97  y + z 4 = 97  (5 − z ) + z = 97 (5–z)4+z4=97; (25–10z+z2)2+z4=97; (25–10z)2+2(25–10z) z2+z4+z4 =97; 625 – 500z + 100z2 + 50z2 – 20z3 + 2z4 – 97 = 0; 2z4 –20z3 + 150z2 – 500z + 528 = 0; z4 – 10z3 + 75z2 – 250z + 264 = 0; 2

2

z1 = 3, z2 = 4 162 , т.к. z = 4 89 + x , то х1 = –8, х2 = 73.

№ 1382 В учебнике опечатка.Условие задачи следует читать так : 1) 16sin2x + 16cos2x = 10; 16sin2x + 16cos2x = 10(sin2x + cos2x); 32sinx ⋅ cosx + 6cos2x – 10sin2x = 0; cosx = 0 не является решением, тогда 10tg2x – 32tgx – 6 = 0; 5tg2x – 16tgx – 3 = 0;

tgx =

8 ± 64 + 15 8 ± 79 + πn , n ∈ Z. ; x = arctg 5 5

Ответ: x = arctg

8 ± 79 + πn , n ∈ Z. 5

x

x

    2)  3 + 8  +  3 − 8  = 34 ;    

(

x

)

x

(

) + ( 2 − 1) = 34 ; (1 + 2 ) − 34(1 + 2 ) + 1 = 0; (1 + 2 ) = 17 ± 288 = 17 ± 12 17 + 12 2 = 9 + 6 8 + 8 = (3 + 8 ) = (1 + 2 ) , т.е. х = 4; 17 − 12 2 = (1 − 2 ) = (1 + 2 ) , т.е. х = –4. x

1+ 2 + 1− 2

x

)

x

x   2 2  2 − 2 2 + 1  = 34 ;  1 + 2  +  1 − 2  = 34 ;         

    1+ 2 2 + 2  +    

(

= 34; 1 + 2

2x

x

x

x

x

2

2;

4

1

4

−4

2

Ответ: х = ± 4.

№ 1383

1) х3–3х2+х=3; х3–3х2–3+х=0; х2 (х–3)+(–3+х)=0; (х2+1) (х–3)=0; х = 3.

2) х3–3х2–4х+12=0; х2 (х–3)–4(х–3)=0; (х–2) (х+2) (х–3)=0; х1/2=± 2; х3=3; 3) х5 + х4 – 6х3 – 14х2 – 11х – 3 = 0;

254

х = –1 – корень данного уравнения, тогда можно записать его в следующем виде: (х + 1) (х4 – 6х2 – 8х – 3) = 0; (х + 1) (х – 3) (х3 + 3х2 + 3х + 1) = 0; (х + 1) (х – 3) (х + 1) (х2 + 2х + 1) = 0; (х + 1)4 (х – 3) = 0; х1 = –1, х2 = 3.

4) х4 – 3х3 – 2х2 – 6х – 8 = 0; х = –1 – корень данного уравнения, тогда можно записать его в следующем виде: (х + 1) (х3 – 4х2 + 2х – 8) = 0; (х + 1) (х2(х – 4) + 2(х – 4)) = 0; (х + 1) (х – 4) (х2 + 2) = 0; х1 = –1, х2 = 4, х3,4 = ± i 2 .

№ 1384 cos 2 2 x

−1 ctg 2 x − 1 sin x cos x sin 2 2 x ; + = ; cos 2 x cos x sin x ctg 2 x sin 2 x 2

1) tgx + ctgx = 2ctg4x; tgx+ctgx =

1 cos 2 2 x − sin 2 2 x 1 cos 2 2 x − sin 2 2 x sin 2 x = ⋅ ; = ; 2 sin x cos x cos 2 x sin x cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 2 x cos 2 2 x − 1 + cos 2 2 x 1 − =0; sin 2 x ⋅ cos 2 x sin x cos x 2 cos 2 2 x − 1 − 2 cos 2 x = 0 , cos 2 x = a ;  sin 2 x ⋅ cos 2 x ≠ 0 2a2–1–2a=0; 2a2–2a–1=0; a=1– 3 ; 2x = ± arccos(1 – 3 ) + 2nπ, n ∈ Z;

(

)

  x = ± arccos 1 − 3 + πn , n ∈ Z ;  2 sin 2 x ⋅ cos 2 x ≠ 0  arccos(1 − 3 ) + nπ, n ∈ Z .

2 sin 4 x sin 4 x = 2 (sin x + cos x ) ; 2) = 2 (sin x + cos x ) ; π   2 sin  x −  ( sin x − cos x ) 4  2

Ответ: x = ±

(

)

sin 4 x − sin 2 x − cos 2 x = 0 ;  sin x − cos x ≠ 0 sin4x + cos2x = 0; 2sin2x ⋅ cos2x + cos2x = 0; cos2x(2sin2x + 1) = 0  π nπ π πn  , n∈Z  x = + = + ∈ , cos 2 x = 0 x n Z 4 2    4 2  ;  .

1;  π lπ ln x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z sin 2 x = − l +1 π + , l ∈ Z  2  x = (− 1) 12 2  12 2  sin x − cos x ≠ 0   Ответ:

x=

π + πn , n ∈ Z. 2

x = (− 1)l

π πl + , l ∈ Z. 24 4 255

№ 1385 sin 3 x cos 3 x 2 sin 3 x ⋅ sin 2 x + cos 3 x ⋅ cos 2 x 2 ; ; + = = cos 2 x sin 2 x sin 3 x sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 3 x cos x 2 cos x ⋅ sin 3x − sin 4 x − =0; = 0; sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 3 x sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x sin 4 x + sin 2 x − 2 sin 4 x sin 2 x − sin 4 x 2 sin x ⋅ cos 3x = 0; = 0; − =0; 2 sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x sin 4 x ⋅ sin 3x sin 4 x ⋅ sin 3 x

1)

sin x = 0 cos 3 x = 0  ;  sin 4 x ≠ 0 sin 3 x ≠ 0 

π nπ  x = + , n∈Z .  6 3 sin 4 x ≠ 0

Ответ: x = ±

π + πn , n ∈ 6

Z. sin 2 x cos x + = 8 cos 2 x ; cos 2 x sin x sin 2 x ⋅ sin x + cos x ⋅ cos 2 x cos x = 8 cos 2 x ; = 8 cos 2 x ; cos 2 x ⋅ sin x cos 2 x ⋅ sin x 1 cos x   − 8 cos x  = 0 ; − 8 cos 2 x = 0 ; cos x x ⋅ x cos 2 x ⋅ sin x cos 2 sin  

2) tg2x + ctgx = 8cos2x;

cos x = 0

  1 − 8 cos 2 x ⋅ cos x ⋅ sin x  cos x  = 0 ; 1 − 8 cos 2 x ⋅ cos x ⋅ sin x = 0 cos 2 x ⋅ sin x   cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0 

 π  π  x = + nπ, n ∈ Z x n , n Z = + π ∈ 2   2 ;  . π lπ 1 − 2 sin 4 x = 0 ( x = − 1)l + , l∈Z   24 4 cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0 cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0  π π lπ Ответ: x = + nπ , n ∈ Z. x = (− 1)l + , l ∈ Z. 2 24 4

№ 1386 sin 2 3 x − sin 2 x sin 3 x sin x − = 2 cos 2 x ; = 2 cos 2 x ; sin x sin 3 x sin x ⋅ sin 3x (sin3x − sin x)(sin3x + sin x) = 2 cos2x ; 2 sin x ⋅ cos 2 x ⋅ 2 sin 2 x ⋅ cos x = 2 cos 2 x ; sin x ⋅ sin 3x sin x ⋅ sin 3x 2 sin 2 2 x ⋅ cos 2 x − 2 cos 2 x ⋅ sin x ⋅ sin 3x =0; sin x ⋅ sin 3 x

256

(

)

(

)

2 cos 2 x sin 2 2 x − sin x ⋅ sin 3x = 0 2 cos 2 x ⋅ sin x 4 sin x ⋅ cos 2 x − sin 3 x = 0 ;  ;  sin x ⋅ sin 3x ≠ 0 sin x ⋅ sin 3 x ≠ 0 2cos2x ⋅ sinx(4sinx – 4sin3x + 4sin3x – 3sinx) = 0 π nπ  2 cos 2 x ⋅ sin 2 x = 0  x = 4 + 2 , n ∈ Z π nπ , n ∈ Z. . Ответ: x = + ;   π n x x sin ⋅ sin 3 ≠ 0 4 2   x ≠ nπ , x ≠ , n∈Z  3

№ 1387 log2(4cosx+3) log6(4cosx+3)=log2(4cosx+3)+log6(4cosx+3); 4cosx + 3 = a > 0; log2 a log6 a = log2 a + log6 a; log2 a (log6 a–1)=log6 a; log2 a log6 a/6–log6 a = 0; log6 a log6 a / 6 − log6 a = 0 ; log6 a (log6 a/6 – log6 2) = 0; log6 2 1  log6 a = 0  a = 1  4 cos x + 3 = 1 cos x = − ; ; ; 2; log6 a / 12 = 0  a = 12  4 cos x + 3 = 12     x ∈ ∅ π  x = ± π −  + 2πn , n ∈ Z. 3 

π  Ответ: x = ± π −  + 2πn , n ∈ Z. 3 

№ 1388

у=х3–6х2+11х–6; 0=х3–6х2+11х–6; х = 1; (х – 1) (х2 – 5х + 6) = 0; (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 0; х1=1, х2=2, х3 =3 – точки пересечения с осью Ох.

№ 1389 2 + m + n + 12 = 0 2х3 + mx2 + nx + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2;  ; − 16 + 4m − 2n + 12 = 0 m + n = −14 m + n = −14 m = −14 − n m = −4 4m − 2n = 4 ; 2m − n = 2 ; − 28 − 3n = 2 ; n = −10 , тогда исходное     уравнение имеет вид: 2х3 – 4х2 – 10х + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2, х3 = 3.

№ 1390 logy x + logx y = 5 / 2 1)  ; x + y = a + a2

log y x = 2  log y x = 1 / 2 ;  2 x + y = a + a

1  logy x + log x = 5 / 2 ; y   x + y = a + a2 

 x = y 2  ;  x = y  2  x + y = a + a

( (

2 log 2y x − 5 log y x + 2 = 0 ;   x + y = a + a 2

 x = y 2  ;  x = y  2  x = a + a − y

) )

a + a 2 − y = y 2  y 2 + y − a + a 2 = 0 ;  ;  2 2  a + a − y = y  y + y − a + a = 0 257

y1, 2 = y3, 4

(

)

− 1 ± 1 + 4 a + a2 ; х1,2 = –у1,2 + а + а2 2

(

 − 1 ± 1 + 4 a + a2 =  2  

) 

2

2  ; х3,4 = –у3,4 + а + а 

Ответ: 1) если а > 0, a ≠ 1, то (а2; а), (а; а2) 2) если а < –1, a ≠ –2, то (–а – 1; (а + 1)2), ((а + 1)2; –а – 1) 3) если –1 ≤ а ≤ 0, а = 1, а = –2, то решений нет.

2 2  2 b > 0 ; x2 + y 2 = a2 ; 2)  x + y = a  logb x + logb y = 2 b ≠ 1 logb xy = 2  2  2 2 2  b  2  x 2 + y 2 = a 2  y  + y = a  b 2      + у2 = а2; b4 + у4 = а2у2; ;  ;   y  2  xy = b 2    b x = y  у4 – а2у2 + b4 = 0; у2 = t; t2 – а2t + b4 = 0; t1, 2 = а4 – 4b4 ≥ 0; (а2 – 2b2) (а2 + 2b2) ≥ 0. При а2 – 2b2 ≥ 0 и a 2 − a 4 − 4b 4 ≥ 0 ; y = ±

a 2 ± a 4 − 4b 4 ; 2 a 2 ± a 4 − 4b 4 .

2

№ 1391 a 2 − 2 3 a y + x 2 + 2 xy − y 2 − 2 = 0 ;  2  x + y 2 − 2 y − cos(xy ) + 11 − 6a + a 2 = 0 х2 + (у – 1)2 + (а – 3)2 + (1 – cos(xy)) = 0. Все слагаемые не отрицательны, следовательно: х=0, у=1, а=3, 1–cos(xy) = 0, т.е. при а ≠ 3 решений нет. При а = 3 проверим, является ли решением системы х = 0, у = 1.

1 – cos(0 ⋅ 1) = 0 – верно; 9 – 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 0 + 0 – 1 – 2 = 0; 3 – 3 = 0 – верно, т.е. х = 0, у = 1 – решение. Ответ: а = 3, х = 0, у = 1. а ≠ 3 решений нет.

№ 1392  x y = y x 1)  3 ; х, у > 0;  x = y 2

258

 x y = y x ;   x = y 2 / 3

2  x y = y y 3 ;   x = y 2 / 3

2   2 1/ 3   x y = y y 3 2/3 2 у – у = 0; у2/3 1 − 3 y  = 0;  3  x = y 2 / 3 2 y = 0 y = 0  3 9 2/3  1/ 3 3 ;  ; y ≠ 0; х = у ; х =   , а также (1; 1). y = 3 3 = y 2 2   2 2 1   3  9  3 3  Ответ:    ;    , (1; 1).  2   2    

 x 2)   y

y y

1  x y1 / 2 = y  y  y 4 = y  ; х, у > 0;  ;  ; 1 1 y y  x = y 4 = x4   x = y 4

=y

1 у = 1; у = 4; х = 2, а также (1; 1).

4 1), (2; 4).  2 sin x = sin y .

3)   2 cos x = 3 cos y Сложим уравнения системы:

Ответ: (1;

2 sinx + 2 cosx = siny + 3 cosy;

 2  1  π 3 2 π   2 sin x + cos x  = 2 sin y + cos y  ; sin  x +  = sin  y +  ;  2    4 3 2 2 2        π π π x + + 2πn = y + , n ∈ Z; x = + y + 2πn , n ∈ Z. 4 3 12 Вычтем уравнения системы, получим: π 7 x− y+ x+ y− π 12 12 2 sin ⋅ cos = 0 , откуда 2 2 5 3 x = π + 2πn , n ∈ Z; y = π + πn , n ∈ Z. 6 4 5 3 Ответ: x = π + 2πn , n ∈ Z; y = π + πn , n ∈ Z. 6 4 1  1   x = y − 3  x − y = − 3 4)  ; ;  1 1  cos 2 πx − sin 2 πy = 1 cos 2 π y −  − sin 2 πy =  3 2 2  

259

2

π 1  3  1 1  cos 2  πy −  − sin 2 πy = ;  cos πy ⋅ + sin πy ⋅ − sin 2 πy = ;  3 2  2 2  2  2

1   cos πy + 3 sin πy  − sin 2 πy = 1 ; 2  2 2   1 3 3 1 cos 2 πy + cos πy ⋅ sin πy + sin 2 πy − sin 2 πy = ; 4 2 4 2 cos 2 πy + 2 3 cos πy ⋅ sin πy + 3 sin 2 πy − 4 sin 2 πy = 2 ; cos 2 πy − sin 2 πy + 2 3 cos πy ⋅ sin πy = 2 ; cos 2πy + 3 sin 2πy = 2 ; 1 3 π π cos 2πy + sin 2πy = 1 ; sin cos 2πy + cos sin 2πy = 1 ; 2 2 6 6 1 1 π π π  sin  + 2πy  = 1 ; + 2πy = + 2πn , n ∈ Z; y = + n, x = − .

6 6 2 6 6  1  1  Ответ:  − + n, + n  , n ∈ Z. 6  6  1  cos x sin x = ; 5)  2 sin 2 x + sin 2 y = 0 cos x ⋅ sin y = 1 / 2  sin (x + y ) = 0 ; cos(x − y ) = 0

1  cos x sin x = ;  2 2 sin (x + y )cos(x − y ) = 0

cos x ⋅ sin y = 1 / 2   x + y = nπ, n ∈ Z ;  x − y = lπ, l ∈ Z

1 1 (sin(y – x) + sin(y + x)) = ; sin(y – x) + sin(y + x) = 1.

2 2 а) x + y = nπ, n ∈ Z; sin(nπ – 2x) = 1; π nπ π ; nπ – 2x = + 2kπ, n, k ∈ Z; x = − − kπ + 2 4 2 π nπ π nπ , n, k ∈ Z; y = + kπ + , n, k ∈ Z; y = nπ + + kπ − 4 2 4 2 nπ π nπ   π ; + kπ +  − − kπ +  , n, k ∈ Z. 2 4 2   4 б) x – y = nπ, n∈ Z; sin(y + x) = 1; sin(2y + nπ) = 1; π π 2 y + nπ = + 2πk , k, n ∈ Z; 2 y = + 2πk − nπ , k, n ∈ Z; 2 2 π nπ π nπ , n, k ∈ Z; x = + πk + , n, k ∈ Z; y = + πk − 4 2 4 2

260

nπ π nπ   π Ответ:  ± ± kπ + ; + kπ ±  , n, k ∈ Z. 2 4 2   4

№ 1393 6 sin x ⋅ cos y + 2 cos x ⋅ sin y = −3 5 sin x ⋅ cos y − 3 cos x ⋅ sin y = 1  Обозначим sinx ⋅ cosy за u, cosx ⋅ siny за v, тогда система примет вид: −3 − 2v  6u + 2v = −3 u = ; 5(–3 – 2v) – 18v = 6; –15 – 10v – 18v = 6; 5u − 3v = 1 ;  6  5u − 3v = 1 3 −3+ 3 2 = −1 ; –28v = 21; v = – ; u = 6 4 4 1  sin x ⋅ cos y = − 4 4 sin x ⋅ cos y = −1 2(sin (x − y ) + sin (x + y )) = −1 ; ;  ;   2(sin (x − y ) + sin (x + y )) = −3 cos x ⋅ sin y = − 3 4 cos x ⋅ sin y = −3   4 1 π 4sin(x – y) = 2; sin(x – y) = ; x – y = (− 1)k + kπ , k ∈ Z; 2 6 π x = y + (− 1)k + kπ , k ∈ Z; 2(sin(x – y) + sin(x + y)) = –1; 6 π   2sin(x – y) + 2sin(x + y) = –1; 1 + 2 sin  2 y + (− 1)k + kπ  = −1 ; 6   π π π   sin  2 y + (− 1)k + kπ  = −1 ; 2 y + (− 1)k + kπ = − + 2πn ; 6 6 2   π π kπ , k, n ∈ Z; y = − + (− 1)k +1 + πn − 4 12 2 π π π kπ x = − − (− 1)k + πn − + (− 1)k + kπ , k, n ∈ Z; 4 12 2 6 π kπ k π , k, n ∈ Z. x = − + (− 1) + πn + 4 12 2 π π π π kπ kπ Ответ: x = − + (− 1)k + πn + ; y = − + (− 1)k +1 + πn − , k, n ∈ Z. 4 12 2 4 12 2

№ 1394 log 5 y 3log x 2 = y log 5 y  ;  log x 2 = log 3 y log 7 x ;  log y 3 log 7 x  2 = x  log y 3 = log 2 x

261

1   1  log x = log 5 y ⋅ log 3 y log 2 x = log y ⋅ log y 3 5 2 ;  ;  1 1   = log 7 x ⋅ log 2 x = log 7 x ⋅ log 2 x  log 3 y  log 3 y 1   x = 2 log3 y⋅log5 y  ; 1 1   1 log3 y log5 y log3 y log 5 y log 2 log 2 ⋅ 2 7  log y =  3 1   x = 2 log3 y⋅log5 y  ;  1 log7 2  = 2 2  log3 y log3 y ⋅ log5 y 1  x = 2 log3 y⋅log5 y ;  log y log52 y ⋅ 5 = log7 2  log5 3

1   log 3 y ⋅log5 y ; x = 2 log 2 y ⋅ log y = log 2 3 7  5

1  1  2  x = 2 log3 y⋅log5 y  x = 2 (log5 3⋅log7 2 ) 3 log 3 ;  5 .  1  1  ( ) log 3 log 2 7 3 log5 y = (log5 3log7 2)3  y = 5 5

№ 1395 1) x lg

2

x −3 lg x +1

> 1000; x > 0, x ≠ 1; lg x x lg

lg 2 x − 3 lg x + 1 >

2

x −3 lg x +1

> lg x 1000 ;

1 3 ; lg 2 x − 3 lg x + 1 > . log103 x lg x

Обозначим lgx через а, тогда неравенство примет вид: а2 – 3а +1 >

3 a 3 − 3a 2 + a − 3 ; >0; a a

(

)

(a − 3) a 2 + 1 > 0 ; a 2 (a − 3) + (a − 3) > 0; a a lg x < 0  x < 1 ; а ∈ (–∞; 0) U (3; +∞), т.е.  lg x > 3  x > 1000 Ответ: х ∈ (0; 1) U (1000; +∞).

2

2) 3lg x + 2 < 3lg x +5 − 2 ; х > 0; 3lgx + 2 – 32 lgx + 5 + 2 < 0 3lgx + 2 – 32 (lgx + 2) ⋅ 3 + 2 < 0; 3lgx + 2 = t t > 0; –3t2 + t + 2 < 0; 3t2 – t – 2 > 0; 1+ 5 2 =1; t2 = – ; D = 1 + 24 = 25; t1 = 6 3 t > 1 3lgx + 2 > 1 + 30; lgx + 2 > 0 lgx > –2 = lg 0,01; x > 0,01.

262

№ 1396 log|2x + 2| (1 – 9x) < log|2x + 2| (1 + 3x) + log|2x + 2|  5 + 3x −1  ; 9  3 1 1) |2x + 2| > 1, т.е. x < – , x > – ; 2 2

(1 − 3 )(1 + 3 ) < log x

log|2 x + 2|

x

5 + 3x +1 5  ; + 3x −1  ; 1 − 3x < 9 9 

|2 x + 2| 

1 + 3x 4 < 3 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3х; 9 – 3х + 2 < 5 + 3x + 1; 4 < 12 ⋅ 3х; 3х + 1 > 30; x > –1;  x > −1  2 1  x < −  3;x>– .  2  1  x > − 2  3 1 2) |2x + 2| < 1, т.е. – < x <– ; 2 2 х

log|2x + 2| (1 – 9x) < log|2x + 2| (1 – 3x) + log|2x + 2|  5 + 3x −1  ; 9  x < −1  x +1 5+3 3  ; x < –1;  3 1 – 3x > 1 ; – < x < –1.

9 2 − 2 < x < − 2 5 x–1 +3 , т.е. х < 0, 9  3   1  тогда решением исходного неравенства являются x ∈  − ; − 1 U  − ; 0  .

2    2  Заметим, что по определению логарифма 1–9х>0, 1+3x>0,

№ 1397 x3 + x 2 − 4 x − 4 3

2

> 0;

(

) (

)

(x + 1)(x + 2)(x − 2) > 0 . x x2 − 4 + x2 − 4 > 0; (x − 1)(x + 3)(x + 4) (x − 1)(x + 3)(x + 4)

x + 6 x + 5 x − 12 Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (–3; –2) U (–1; 1) U (2; +∞).

№ 1398  x ≥ 3,5  13  x ≥ − . Ответ: х ≥ 3,5.

6   x ≥ −5 x ≤ 3 3 − x ≥ 0 5   ;  x ≥ . Ответ: х ∈ (2; 3].

2) 3 − x < 3x − 5 ; 3 x − 5 ≥ 0 3 3 − x < 3 x − 5   x > 2

2 x − 7 ≥ 0  1) 2 x − 7 ≤ 6 x + 13 ; 6 x + 13 ≥ 0 ; 2 x − 7 ≤ 6 x + 13

263

№ 1399 3 x3 − 22 x 2 + 40 x ≥ 0  3 2 2 2 3 x − 22 x + 40 x ≥ (3 x − 10 ) (x − 4) ; x − 4 ≠ 0 

3x3 − 22 x 2 + 40 x ≥ 3х – 10; x−4

  10    10  x ∈ 0; ∪ [4; + ∞) x ∈ 0;  ∪ [4; + ∞) ; ;   3  3      3 2 2 x(x − 4)(3x − 10) − (3x − 10)2 (x − 4)2 ≥ 0 2 3x − 22x + 40x ≥ (3x − 10) (x − 4)  x − 4 ≠ 0 x − 4 ≠ 0     10    10  x ∈ 0; ∪ [4; + ∞) ;   3  ; x ∈ 0;  ∪ [4; + ∞) 3      2 (x − 4)(3x − 10)(x − (3x − 10)(x − 4)) ≥ 0 (x − 4)(3x −10) x − 3x + 22x − 40 ≥ 0 x − 4 ≠ 0 x − 4 ≠ 0     10  8  x ∈ 0 ;  ∪ [4 ; + ∞ ) ; (х –4) (3х – 10) (х – 5) (х – ) ≤ 0;  3 3  2 (x − 4 )(3 x − 10) − 3 x + 23x − 40 ≥ 0 x − 4 ≠ 0    10   x ∈ 0 ;  ∪ [4 ; + ∞ )   3 ; х ≠ 4. Ответ: х   x ∈  8 ; 10  ∪ [4; 5] 3 3    

(

(

)

)

 8 10  ∈  ;  U (4; 5] . 3 3 

№ 1400

|x – 5a| ≤ 4a – 3; а) x – 5a ≥ 0, т.е. x ≥ 5a; x – 5a ≤ 4а – 3; x ≤ 9а – 3, тогда 5а ≤ х ≤ 9а – 3 3 15 3 3 при а = ; х ∈ ∅ при а < . при а > ; x = 4 4 4 4 3 б) x–5a<0, т.е. x<5a; 5a–x≤4a–3; x≥a+3, тогда а+3≤х<5a при а > ; 4 15 3 3 x= при а = ; х ∈ ∅ при а < ; х2–4х–5<0; (x+1) (x–5)<0; х ∈ (1; 5).

4 4 4 3 15 3 ; если а > , то а + 3 < х < 9а – 3; Ответ: если а = , то x = 4 4 4

264

3 , то х ∈ ∅; решения первого неравенства являются решения4 3 8 ми второго при ≤ а < .

4 9 если а <

№1401 1) 2)

2) 3)

265

№1402 1)

2) 3)

266

№1403 1) 2)

3) 4)

№1404 1) 2)

3) 4) 267

№ 1405

logba ⋅ logсb ⋅ logdc = logda Преобразуем левую часть выражения: logba ⋅ logсb⋅logdc = log d a logc a = ⋅ log d c = log d a , ⋅ logc b ⋅ log d c = logc a ⋅ log d c = logc b log d c требовалось доказать.

что

и

№ 1406 3 3 9 4   1) cos arcsin  = ± 1 − sin 2  arcsin  = ± 1 − =± ; 5 5 25 5     3  π π 3 4  arcsin ∈  − ;  , следовательно cos arcsin  = .

5  2 2 5 5    25 12  5   5  =± .

2) sin  arccos −   = ± 1 − cos 2  arccos −   = ± 1 − 169 13  13    13      5 arccos  ∈ [0; π], на промежутке [0; π] sinx > 0, следовательно  13    5   12 sin  arccos −   = .  13   13 

№ 1407 arcsinx + arccosx. Пусть arcsinx + arccosx = с, тогда arcsinx = с – arccosx; sin (arcsinx) = sin (с – arccosx); x = sinc ⋅ cos (arccosx) – cosc ⋅ sin (arccosx); x = x ⋅ sinc – cosc 1 − x 2 ; x (1 – sinc) = –cosc 1 − x 2 ; x (sinc – 1) = cosc 1 − x 2 ; x2 (sin2c – 2sinc + 1) = cos2c (1 – x2); x2 sin2c – 2x2 sinc + x2 – cos2c + x2cos2c = 0; 2x2 – 2x2sinc – cos2c = 0; 2x2 – 2x2sinc – 1 + sin2c = 0; 2x2 (1 – sinc) – (1 – sin2c) = 0; (1 – sinc) (2x2 – (1 + sinc)) = 0, независимо от х уравнение решается при π sinc = 1, откуда с = .

2 268

№ 1408

f (x) = sin2x – 8 (b + 2) cosx – (4b2 + 16b + 6) x; f ′(x) = 2cosx + 8 (b + 2) sinx – (4b2 + 16b + 6) x; f ′(x) < 0; 2cos2x+8sinx(b+2)–(4b2+16b+6)x<0; 2b2–b(4sinx–8)–(cos2x+8sinx – 3) > 0;

(b − (sin x − 2 + 3 ))(b − (sin x − 2 − 3 )) > 0 ;

(

) ( 3 −1;+∞) .

Решение неравенства не зависит от х при b ∈ − ∞;−3 − 3 U

№ 1409

y1 = 3cos5x, y2 = 5cos3x + 2; y = f ′(x0) (x – x0) + f (x0); y1k = –15sin5x0 (x – x0) + 3cos5x0; y 2 k = –15sin3x0 (x – x0) + 5cos3x0; y1k =–15xsin5x0+15x0sin5x0+3cos5x0; y 2 k =–15xsin3x0+15x0sin3x0+5cos3x0. Условие параллельности: –15sin5x0 = –15sin3x0; sin5x0 – sin3x0 = 0; 2sinx0 ⋅ cos4x0 = 0;  x0 = nπ, n ∈ Z π nπ sin x0 = 0  ; cos 4 x0 = 0  x = π + nπ , n ∈ Z . Ответ: при х = nπ, x = 8 + 4 , n ∈ Z.  0 8 4 

№ 1410 12  3  A  2;−  , y = − x 2 , у = f ′(х0) (х – х0) + f (х0), 5 5  6 12 12 12 y = − ⋅ 2(x − 2 ) − ; y = − x + 5 5 5 5 у = 0, х = 1 (1, 0) – точка В 12 ;  12   0,  – точка С х = 0, у = 5  5 S , где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр, S – p площадь.  2  12  12   1 1 + + +     5 5   12 1 6   = 5 + 12 + 13 = 3 , тогда r = 2 .

S= ⋅ = , p= 2 10 5 5 2 5 r=

№ 1411 12 ; l: y = f ′(х0) (х – х0) + f (х0); x 12 12 4 4 y = 2 (x − x0 ) − ; y = (x – 3) – 4; y = x – 8. x0 3 3 x0

А (3; –4), у = –

269

Искомая окружность является вписанной в треугольник со сторонами S 12, 36 + 64 , 36 + 64 , тогда r = , где S = 48, р = 16, т.е. r = 3 – случай, p когда окружность лежит ниже оси Ох, во втором случае (окружность лежит выше оси Ох) получаем r = 12.

№ 1412 Пусть t – переменная времени, тогда расстояние l между кораблями можно представить как функцию l(t). l (t ) =

(3t )2 + (5 − 4t )2

= 9t 2 + 25 − 40t + 16t 2 = 25t 2 − 40t + 25 ;

1 50t − 40 4 4 ⋅ ; t = – точка минимума; l   = 3 мили.

2 25t 2 − 40t + 25 5 5 Ответ: корабли не будут на расстоянии, достаточном для приема. l ' (t ) =

№ 1413

у = –х3 + ах2 + bх + с, х = 2, (0; 2), (0; 6). Пусть точки А и В лежат на расстоянии l от прямой х = 2, тогда имеют координаты А (2 – l, у1), В (2 + l, у1), т.к. А и В лежат на графике функции, то у1=–(2–l)3+а(2 – l)2 + b(2 – l) + с; у1 = –(2 + l)3 + а(2 + l)2 + b(2 + l) + с Уравнение касательной в точке А: у = у′(2 – l) (х – (2 – l)) + у(2 – l) Уравнение касательной в точке В: у = у′(2 + l) (х – (2 + l)) + у(2 + l) Т.к. касательные проходят через точки (0; 2) и (0; 6), то справедливо 0 = у′(2 – l) (2 – (2 – l)) + у(2 – l) и 0 = у′(2 + l) (6 – (2 + l)) + у(2 + l); условие параллельности касательных: у′(2 – l) = у′(2 + l) у′ = –3х2 + 2ах + b, тогда можно записать систему уравнений:  y = − (2 − l )3 + a (2 − l )2 + b (2 − l ) + c  1 3 2  y1 = − (2 + l ) + a (2 + l ) + b (2 + l ) + c  2 3 2 0 = − 3(2 − l ) + 2 a (2 − l ) + b l + − (2 − l ) + a (2 − l ) + b (2 − l ) + c 0 = − 3(2 + l )2 + 2 a (2 − l ) + b (4 − l ) + ( − ( 2 + l )3 + a (2 + l )2 +   + b (2 + l ) + c ) − 3(2 − l )2 + 2 a (2 − l ) + b = −3(2 + l )2 + 2 a (2 + l ) + b  решая которую, найдем а = 6, b = –11, с = 6.

( (

) ( )

)

№ 1414 Пусть А = (х1; у0), В = (х2; у0), тогда по условию х1 = –2 – t, х2 =–2+t, t > 0. у′ = 3х2 + 2ах + b, т.к. касательные в А и В параллельны, то у′(х1)=у′(х2), т.е. 3(–2–t)2+2а(–2–t)+b=3(–2+t)2+2а(–2+t) + b, откуда а = 6. Уравнение касательных, проходящих через А(0; 1) и В(0; 5): 0=(3(2+t)2+12(–2 – t) + b) (1 – (–2 – t) + (–2 – t)3 + 6(2 + t)2 +b(–2 – t) + с и 0 = (3(–2 + t)2 + 12(–2 + t) + b) (5 – (–2 + t) + (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 +b(–2 + t) + с Т.к. А и В принадлежат графику функции у = х3 + ах2 + bх + с, то (–2 – t)3 + 6(2 + t)2 + b(–2 – t) + с = (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 + b(–2 + t) + с. Из полученных трех уравнений найдем b = 11, с = 5.

270

№ 1415

у = х3 + ах2 + bх + с Пусть точка А имеет координаты (0; у0), М = (х1; 0), N = (х2; 0), тогда 1 площадь ∆AMN можно записать как |х2 – х1| ⋅ |у0| = 1.

2 Уравнение касательной в точке М, проходящей через точку А:

(

)

y0 = 3x12 + 2ax1 + b (0 − x1 ) + x13 + ax12 + bx1 + c . Т.к. у = х3 + ах2 + bх + с проходит через М и N и А, то

x13 + ax12 + bx1 + c = 0, x23 + ax22 + bx2 + c = 0 и у0 = с. Запишем систему уравнений:  y0 = c , c < 0  (x − x ) y = 0  2 1 0 2 3 2  y0 = 3 x1 + 2ax1 + b (0 − x1 ) − x1 + ax1 + bx1 + c  x3 + ax 2 + bx + c = 0 1 1  13  x2 + ax22 + bx2 + c = 0 Решая полученную систему, найдем а = –4, b = 5, с = –2.

(

)

№ 1416

у = –х3 + ах2 + bх + с, с > 0 По условию D = (0, у0), А = (х1, 0), В = (х2, 0), тогда площадь ∆АВD за1 пишем как |(х2 — х1)у0| = 1.

2 Запишем уравнение касательной в точке В, проходящей через точку D

(

)

y0 = − 3 x22 + 2ax2 + bx2 (0 − x2 ) − x23 + ax22 + bx2 + c . Т.к. точки А, В, D принадлежат графику функции у = –х3 + ах2 + + bх + с, то у0 = с 0 = − x13 + ax12 + bx1 + c ; 0 = − x23 + ax22 + bx2 + c . Можем записать систему:  y0 = c , c > 0  (x − x ) y = 2  2 1 0 2 3 2  y0 = − 3x2 + 2ax2 + bx2 (− x2 ) − x2 + ax2 + bx2 + c 0 = − x3 + ax 2 + bx + c 1 1 1  0 = − x23 + ax22 + bx2 + c

(

)

Решая полученную систему, найдем а = 4, b = –5, с = 2.

№ 1417  1 у = 0,5х2 – 2х + 2, А 1;  , В(4; 2).  2 Уравнение касательной: 271

у = (х0 – 2) (х – х0) + 0,5 x 02 – 2х0 + 2, т.к. касательная проходит через точки А и В, то справедливо

(

)(

)

(

)(

)

1 = x01 − 2 1 − x01 + 0,5021 − 2 x01 + 2 и 2

2 = x0 2 − 2 4 − x0 2 + 0,5022 − 2 x0 2 + 2 , откуда x 01 = 1 x 02 = 4

; тогда уравнения касательных:

у = –1(х – 1) + 1/2 = –х + касательных х =

3 , у = 2(х – 4) + 2 = 2х – 6 (точка пересечения 2

5 ), тогда искомая площадь 2

(

)

4 5/ 2 3 3 3/ 2 3     S = ∫ 0,5 x 2 − 2 x + 2 dx + ∫  − x  dx + ∫ (2 x − 6)dx − ∫  − x dx − 2 2     1 3/ 2 5/ 2 1 4

5/ 2  x3  1  3 − ∫ (2 x − 6)dx =  − x 2 + 2 x  +  x − x 2  + x2 − 6x  6  2 2   3  1 3/ 2 4

3/ 2

1  3 −  x − x2  2 1 2

(

− x2 − 6 x

)

4 3

=

(

)

3 5/ 2

−

9 .

8

№ 1418 Уравнение касательной к графику функции у = x в точке а имеет вид: a x − a + 2a x + a + a = = ; ордината точки пересечения с 2 2 a 2 a 2 a 3+ a ; абсцисса точки пересечения с осью Ох: х = –а. прямой х = 3: 2 a Тогда искомая площадь треугольника 4 2(a + 3)4 a − (3 + a )2 ⋅ 2 (a + 3) ; S ' = 8a (a + 3) − 2(3 + a )2 2 a S= = = 16a 4 a 16a a y=

=

x

−

8a 2 + 24a − 18 − 12a − 2a 2 16a a

(a + 3)2 S= 4 a

=

6a 2 + 12a − 18 16a a

3a 2 + 6a − 9

42 = = 4 . Точка минимума а = 1.

4

№ 1419 π/2

Площадь фигуры S = ∫ sin xdx = 1 .

0

272

=

8a a

Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением у = kх, где k = tgα, α – угол наклона к оси Ох. Тогда условие того, что данная прямая делит фигуру площади S на две фигуры равной площади, запишем 4 4 π π следующим образом: 1 = ⋅ ⋅ k , откуда k = 2 , а угол α = arctg 2 .

2 2 π π

№ 1420 1)

x + 3 − 2 x − 4 = 3x − 2

 x + 3 ≥ 0  2 x − 4 ≥ 0 3 x − 2 ≥ 0  x + 3 − 2x − 4 ≥ 0   x + 3 − 2 (x + 3 )(2 x − 4 ) + 2 x − 4 = 3 x − 2

3x + 3 – 4 – 3x + 2 = 2

(x + 3)(2 x − 4) ;

1 = 2 (x + 3)(2 x − 4 ) ; 1 = 4(2x2 + 2x – 12); 8x2 + 8x – 49 = 0; x1, 2 =

− 4 ± 16 + 392 − 4 ± 408 − 2 ± 102 ; = = 8 8 4

 x + 3 ≥ 0 2 x − 4 ≥ 0  . 3 x − 2 ≥ 0  x + 3 − 2x − 4 ≥ 0  − 2 ± 102   x = 4

2)

1 1−

1− x

+

1 1+

1− x

Ответ: x =

=

2 2 1− x

;

− 2 ± 102 .

4

1 − x = a > 0;

(

1 1 2 2 ; (1 + a + 1 − a )a − 2 1 − a + =  1− a 1+ a a (1 − a )(1 + a )a ≠ 0

2a – 2 2 + 2 2 a2 = 0; a – 2 + a1, 2 =

−1±

1− x =

2 1

2

2

) 2 = 0;

2 a2 = 0;

2 a2 + a – 2 = 0; 1 −1± 3 1+ 8 ; a > 0, следовательно, a = ; = 2 2 2 2 1 1 1 Ответ: x = . ; 1–x= ; x = .

2 2 2

273