Al7

№ 1421 | 2 x + 1 – x| + |x – 2 x + 2| = 7; | 2 x –x+1|+|–( 2 x –x+1)+3| = 7; | 2 x – x + 1 = a; |a| + |3 – a| = 7. а) a > 3; a + a – 3 = 7; a = 5. б) 0 ≤ a ≤ 3; a + 3 – a = 7; a ∈ ∅. в) a<o;–a+3–a=7; a=–2; а) 2 x –x+1=5; 2 x =x+4; 4x=x2+8x + 16; x2 + 4 x + 16 = 0 – действ. корней нет. б) 2 x – x + 1 = –2; 2 x = x – 3; x ≥ 0; 4x = x2 – 6x + 9; x2 – 10x + 9 = 0; x1, 2 = 5 ±

25 − 9 = 5 ± 4 ; x1 = 9, x2 = 1.

1

x = 1 не является решением, т.к. |2 + 1 – 1| + |1 – 2+ 2| ≠ 7. Ответ: x=9.

№ 1422 1) 9·41/x+5·61/x=4·91/x, 32·41/x+5·21/x·31/x=4·32/x, 32·22/x+5·21/x·31/x=22·32/x 2 x

2

1

 2 x  2 x разделим все на (3) ≠ 0 , 9  +   − 4 = 0 ; 3 3 −5 + 13 4 = ; t2 9t2 + 5t – 4 = 0; D = 25 + 144, t1 = 18 9 1

1

 2 x   = t; t > 0 3 −5 − 13 = = −1 18

2

1 1  2 x 4  2  = 2; x = .   = =  ; 3 9 3 x 2     2 2) log2(x – 3) – log2(6x – 10) + 1 = 0,  2  2 x 2 − 3 1 2 x 2 − 6 − 6 x + 10 = ; = 0 ; 2x − 6x + 4 = 0 ; x − 3x + 2 = 0 ; 2(6 x − 10 ) 6 x − 10 2 x ≠ 10 / 6 x ≠ 10 / 6 2 x1 = 1, x2 = 2, т.к. x – 3 > 0 и 6x – 10 > 0, то x = 1 не является решением. Ответ: x = 2.

1 3) 2log2x – 2 log 2 = 3 log 2 x ; 2log2x + 1 = 3 log 2 x , x > 0.

2 1 log 2 x = a ≥ 0; 2a2 – 3a + 1 = 0; a1 = 1, a2 = ; log2x = 1, x = 2; 2 1 2 . Ответ: x = 2 . log2x = , x = 4 4) logx(2x2 – 3x – 4) = 2; 2x2 – 3x – 4 > 0, x > 0, x ≠ 1; logx(2x2 – 3x – 4) = logxx2; 2x2 – 3x – 4 = x2; x2 – 3x – 4 = 0; x1 = –1, x2 = 4; x1 < 0, следовательно не является решением. Ответ: x = 4.

№ 1423 1) 1 + logx(5 – x) = log74 · logx7; 1 + logx(5 – x) = log x 7log7 4 ; 272

logxx(5 – x) = logx4; 5 – x > 0, x > 0, x ≠ 1; 5x – x2 = 4; x2 – 5x + 4 = 0; x1 = 1, x2 = 4; Ответ: x = 4.

2) (log9(7 – x) + 1) log3-x3 = 1; log99(7 – x) log3-x3 = 1; 1 1 log3 9(7 − x ) ⋅ = 1 ; log3-x9(7 – x) = 2; 2 log3 3 − x log3-x9(7 – x) = log3-x(3 – x)2; 9(7 – x) = 9 – 6x + x2; x2 + 3x – 54 = 0;

x1, 2 =

− 3 ± 9 + 54 ⋅ 4 − 3 ± 15 ; = 2 2

x1 = 6, x2 = –9; 3 – x > 0, 3 – x ≠ 1 следовательно, 7 – x > 0, x = –9. Ответ: x = –9.

№ 1424 1) cosx + cos2x + cos3x = 0; 2cos2x + cosx + cos2x = 0; π nπ  cos 2 x = 0 x = 4 + 2 , n ∈ Z  .

1 ;  cos x =  x = ± 2 π + 2lπ , l ∈ Z 2   3 2 π nπ Ответ: x = + , n ∈ Z ; x = ± π + 2lπ, l ∈ Z .

4 2 3 x π   3x π  2) cos3x – 3cos2x + cosx = 2 cos +  ⋅ sin  −  ; 2 4    2 4 π  cos3x–3cos2x+cosx=sin  x −  +sin2x; cos3x–3cos2x+cosx = –cosx + sin2x; 2  3 2 cos x – 3cos x + 2cosx – sin2x = 0; cosx(cos2x – 3cosx + 2 – 2sinx) = 0;



π

cos x = 0  x = 2 + nπ, n ∈ Z 1 − sin 2 x − 3 cos x + 2 − 2 sin x = 0 ;  2 

;

3 − 3 cos x − sin x − 2 sin x = 0

π   x = 2 + nπ, n ∈ Z . Ответ: x = π + nπ, n ∈ Z ; x = 2πl, l ∈ Z .  x = 2πl , l ∈ Z 2  3) sin2x + cos23x = 1; cos23x – cos2x = 0; cos 3x − cos x = 0  −2 sin 2 x ⋅ sin x = 0 cos 3x + cos x = 0 ;  2 cos 2 x ⋅ cos x = 0 ;

273

nπ , n∈Z 2 = mπ , m ∈ Z nπ π kπ , n∈Z;x = + , k∈Z. . Ответ: x = π = + lπ, l ∈ Z 2 4 2 2 π kπ = + , k∈Z 4 2 − sin 2 x 4) ctgx + sin2x = ctg3x; ctg3x – ctgx – sin2x = 0; − sin 2 x = 0 ; sin 3x ⋅ sin x  x x  x   x 

=

sin 2x (1 + sin 3x ⋅ sin x ) = 0 ; sin 3x ⋅ sin x ≠ 0 

sin 2 x = 0 π  cos 2 x − cos 4 x = −2; x = + mπ, m ∈ Z .

2 sin 3x ⋅ sin x ≠ 0

№ 1425 1) sinx + cosx =

1 + tgx

 sin x + cos x ≥ 0 (cos x + sin x ) = 0;  ; (sinx + cosx)2 – 1 + tgx ≥ 0 cos x  (cos x + sin x ) 2 (sin x + cos x ) = cos x  sin x + cos x = 0 (sin x + cos x )(cos x(sin x + cos x ) − 1) = 0  ; cos x ⋅ sin x + cos2 x − 1 = 0 ; cos x ≠ 0  cos x ≠ 0 

 3  x = π + nπ , n ∈ Z 4 sin x(cos x − sin x ) = 0 ;   cos x ≠ 0

  3 π mπ , m∈Z   x = π + nπ , n ∈ Z   x = + 4 4 2    x = mπ , m ∈ Z  x = nπ , n ∈ Z ;  .  π   x = + πm , m ∈ Z cos x ≠ 0 4  sin x + cos x ≥ 0 cos x ≠ 0 1 + tgx ≥ 0

π mπ + ; x = nπ, m, n ∈ Z .

4 2 sin x − cos x ≥ 0 5 sin 2x − 2 = sinx – cosx;  2 2 ; 5 sin 2 x − 2 = sin x − 2 sin x cos x + cos x

Ответ: x = 2)

1 ; 2 π nπ  x = (− 1)n + , n∈Z π nπ   x = (− 1)n + , n ∈ Z  12 2 ;  ;  12 2 5 π   x ∈  + 2lπ ; π + 2lπ , l ∈ Z sin x − cos x ≥ 0  4 4 

5sin2x – 2 = 1 – sin2x; 6sin2x = 3; sin2x =

274

№ 1426 2 sin x 1 π 2 sin x 1  − = 4 sin 2  x +  ; − = 4⋅ cos x − cos 3x 3 4  + 2 sin 2 x sin x 3 

π 1 − cos 2 x +  2  ; 2

3 − sin 2 x 3(2 + 2 sin 2 x )sin 2 x 1 1 − = 0 ; sin2x ≠ 0; − = 2 · (1 + sin2x); sin 2x 3 3 sin 2 x 3 sin 2 x sinx ≠ 0; 3–sin2x–6sin2x–6sin22x=0; 6sin22x+7sin2x–3=0; sin2x=t; 6t2+7t–3=0; 3 −7 + 11 1 −7 − 11 D=49+72=121; t1 = = ; t1 = = − < −1 ; 12 2 12 3 1 1 1 1  sin2x = ; 2x = (–1)narcsin + πn; x =  (− 1)n arcsin + πn , n ∈ Z .

2 3 3 3 

№ 1427

cos x + (1 + cos x )tg 2 x = 0  1  ; cosx + (1 + cosx)  −1 – 1 = 0;  2  cos x  tgx > 0

cos x +

(1 + cos x )(1 − cos2 x ) − 1 = 0 ; cosx ≠ 0; x ≠ 2

π + πn , n ∈ Z ; 2

cos x cos3x+1–cos2x+cosx–cos3x–cos2x=0; 2cos2x–cosx–1=0; cosx=t; 2t2–t – 1 = 0; 1+ 3 1− 3 1 D = 1 + 8 = 9; t = =1; t = =− ; 4 4 2 cosx = 1 ⇒ sinx = ± 1 − cos 2 x = 0; tgx = 0 – не подходит. sin x =

3 ⇒ tgx < 0 – не подходит.

2

sin x = −

3 4π ; tgx > 0; x = + 2πn, n ∈ Z .

3 2

№ 1428  4 π 4 2 25π sin x + sin  x +  = sin 4 6 ; lg(x –    lg x − 2 x + 24 > 0 

(

)

2x + 24 ) > 0 = lg1

x– 2x + 24 >0; x>–12; x–1> 2x + 24 ; x>1; x2 – 2x + 1 > 2x + 24; x2–4x–23>0; D/4=4+23 = 27; x1 = 2 + 3 3 ; x2 = 2 – 3 3 ; x > 2 + 3 3 ;

( )

 1− cos 2 x + π 2 sin x +  2   4

2

1 2π 4 2  = sin 6 ; 4sin x + (1 + sin2x) = 4 4 ;  2

 1 − cos 2 x  4sin4x + 1 + 2sin2x + sin2x = 1; 4   + 2sin2x + sin22x = 0; 2   275

1 – 2cos2x + cos22x + 2sin2x + sin22x = 0; 2 + 2sin2x – 2cos2x = 0; π π 2   1 + sin2x – cos2x = 0; 1 + 2 sin  2x −  = 0 ; sin  2 x −  = − ; 4 4 2     π π   2x − 4 = − 4 + 2nπ, n ∈ Z  2 x = 2nπ, n ∈ Z ; ;  3π   2x − π = 5π + 2nπ, n ∈ Z  2 x = 2 + 2nπ, n ∈ Z  4 4  x = nπ, n ∈ Z  x = nπ, n ≥ 3  ;  .

3π 3π + nπ, n ∈ Z  x = + nπ, n ≥ 2 x = 4 4  

№ 1429 π   π π  − ;  cos 5x +  + 2sinx · cos2x = 0; –sin5x + sin3x – sinx = 0; 2  6 2  πn , n∈Z. sin3x–(2sin3x cos2x)=0; sin3x(1–2cos2x)=0; sin3x = 0; 3x = πn; x = 3 π  π π Самое большое значение x на  − ;  из этой серии x = 6 2 3   π 1 π cos2x = ; 2x = ± + 2πn , n ∈ Z ; x = ± + πn .

2 3 6 π  π π Самое большое значение x на  − ;  из этой серии x = 6  6 2 π В итоге самое большое x = .

3

№ 1430 sin8x+cos8x=a; (sin4x–cos4x)2+2sin4x cos4x=a; (cos4x–sin4x)2 +

1 sin42x = a; 8

1 1 sin42x = a; 1 – sin22x+ sin42x=a; sin42x–8sin22x + (8 – 8a) = 0; 8 8 (sin22x – 4)2 = 8 + 8a; sin22x – 4 = ± 8 + 8а ; cos42x +

sin22x=4 ± 8 + 8а ; 0≤4 ± 8 + 8а ≤ 1; 0≤4 + 8 + 8а ≤ 1 – невыполнимо; 0 ≤ 4 − 8 + 8а ≤ 1; 3 ≤

1  8 + 8а ≤ 4; а ∈  ; 1 8 

1  Итак, при а ∈  ; 1 : sin22x = 4 − 8 + 8а ; 8  sin2x= ± 4 − 2 2(1 + a ) ; x=(–1)n(±arcsin 4 − 2 2(1 + a ) + πn, n ∈ Z; 1 πn x = ± arcsin 4 − 1 2(1 + a ) + , n∈Z .

2 2 276

№ 1431 x − 3y = −5 ; y ≠ 0 ; x ≠ 0 x = 3y − 5   23 2y 23 ; 1)  x 2 y ;  3y − 5 − =− − =−  3y x  3y 6 3y − 5 6

(

)

6 (3y − 5)2 − 6 y 2 + 23·3y(3y–5) = 0; 6(9y2–30y+25–6y2)+207y2 – 345y = 0; 18y2–180y+150+207y2–345y=0; 225y2 – 525y + 150 = 0; 9y2 – 21y + 6 = 0; 3y2 – 7y + 2 = 0; y1 / 2 = Ответ: (1; 2), (–4;

7 ± 49 − 24 1 ; y1 = 2, y2 = , x1 = 1, x2 = –4.

6 3

1 ).

3

 (x + y )2 + (x − y )2 10  x + y x − y 10 + = ; x ≠ ±y  =  2)  x − y x + y 3 ;  3 ; x 2 − y2  2 x 2 + y 2 = 5 2 + = x y 5    2 x 2 + 2 y 2 10  10 10 = =  2 10 10  3 ; ; 30=50–20y2; y=±1; x = ±2. = 3 ;  x 2 − y2  x − y2 2 3 5 2 y − 2 2  2 x = 5 − y 2  x + y = 5

№ 1432 6 x − 2 ⋅ 3y = 12 1)  x y ; 6 ⋅ 3 = 12

6 x = 2 + 2 ⋅ 3y ; (2+2·3y) 3y=12; 2·3y+2 · 32y = 12;  x y 6 ⋅ 3 = 12

3y + 32y = 6; 3y = a > 0; a2 + a – 6 = 0, a1 = –3, a2 = 2, тогда 3y = 2, y = log32; 6x = 2 + 2 · 2, т.е. x = 1. Ответ: (1, log32)  x 2 − 6y 7 ⋅ 2x + 6 y = 2 7 ⋅ 2 x + 6 y = 2 2 = 7 ; ; ; 2)    6(2 − 6 y ) x +1 x − 5y = 93 6 ⋅ 2 − 5y = 93  3 ⋅ 2 − 5y = 93  7 6(2–6y)–35y=651; 12–36y–35y=651; –71y=639; y=–9; 2x=8, x=3. Ответ: (3; –9).

№ 1433 27 ⋅ 32 x − y + 3x 2 = 4 3 .  lg(y − 4x ) = 2 lg(2 + 2 x − y ) − lg y y − 4x > 0 y − 4x 2 + 2x − y  ; = lg Очевидно, что 2 + 2 x − y > 0 ; lg + − 2 2 x y y  y > 0  y 2 − 4xy − (2 + 2x − y )y = 0 y − 4x 2 + 2x − y  ; y ≠ 0 ; = 2 + 2x − y y 2 + 2 x − y ≠ 0  277

y2–4xy–(4+8x+4x2–2y(2+2x)+y2)=0; y2–4xy–4 – 8x – 4x2 – 4y + 4xy – y2 = 0; – 4x2 – 8x + 4y – 4 = 0; x2 + 2x – y + 1 = 0; y = (x + 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы: 27 · 32 x − x

2

2

2

− 2 x −1

32− x + 3 x

2

2

+ 3x = 4 3 ; 33 · 3−x −1 + 3 x = 4 3 ; 2 9 = 4 3 ; 3x = a > 0; + a = 4 3 ; 9 + a2 = 4 3 a; a

2

a2 – 4 3 a + 9 = 0; a1 / 2 = a1 = 3 3 , a2 =

2 3 ± 12 − 9 = 2 3± 3 ; 1

3 , тогда

2

1) 3x = 33/2; x1/ 2 = ± 2

2) 3x = 31/2; x = ±

3 3 3 3 ; y1 = + 6 + 1 ; y2 = − 6 + 1 ; y 2 = − 6 + 1 ; 2 2 2 2

1 1 1 ; y1 = + 2 + 1 ; y 2 = − 2 + 1 ; 2 2 2

y – 4x > 0 2 + 2x – y > 0 y>0 x=

3 5 ,y= + 6 2 2

3 5 ,y= − 6 2 2 1 3 ,y= + 2 x= 2 2

x=−

x=−

1 2

,y=

3 − 2 2

 1 3  ; ± 2  . Ответ:  ± 2 2   − x−2 y  + 2y = 3 2 2) 8 ⋅ 2 ; lg(x + 4 y ) = 2 lg(2 − x − 2 y ) − lg x x + 4 y > 0  Очевидно, что 2 − x − 2 y > 0 ;  x > 0 x + 4y 2 − x − 2y ; lg(x + 4y) = 2lg(2 – x – 2y) – lgx; = 2 − x − 2y x 2

x(x+4y)=(2–x–2y)2; x2+4xy–(4–4x+x2–4y(2–x)+4y2)=0; 278

x2+4xy–4+4x–x2+8y–4xy–4y2=0; – 4+4x+8y–4y2=0; – 1 + x + 2y – y2 = 0; x = (y – 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы: 8 · 2−( y −1) + 2 y = 3 2 ; 8 · 23− y 2

2

2

2

2

+ 2 y −1− 2 y

2

+ 2y = 3 2 ;

2

22 · 2− y + 2 y = 3 2 ; 2 y = a > 0; 4 + a 2 = 3 2 ; 4 + a2 = 3 2 a; a2 – 3 2 a + 4 = 0; a a1 / 2 =

3 2 ± 18 − 16 3 2 ± 2 . = 2 2 3 3 ; x = ± 6 +1 .

2 2 1 1 1/2 ; x = ± 2 +1 ; =2 ; y=± 2 2

2

1) a1 = 2 2 , тогда 2 y = 23/2; y = ± 2) a2 =

2 , тогда 2 y

x + 4 y > 0 2 − x − 2 y > 0 x > 0   3  ± 6 + 1; ±  2

2

3  , 2 

3 1  . . Ответ:  ± 2 ; ± 2 2   3 1   ± 2; ±  2 2  

№ 1434

log3 (y − 3) − 2 log9 x = 0 y − 3 = x ⇒ y = x + 3 ; y > 3; x > 0;  2 .  2 2 ( ) + − − = x a 2 y 5 a 0 x + 2ax + a − 2x − 6 − 5a = 0  Хотя бы одно решение D ≥ 0. x2 + (2a – 2)x + a2 – 5a – 6 = 0; D/4=(a–1)2–a2+5a+6=a2–2a+1–a2+5a+6=3a+7; 3a + 7 ≥ 0; a ≥ − D = 0, x = 1 – a = 1 +

7 > 0; D > 0, x1 = 1 – a + 3

7 ; 3

3a + 7 > 0.

См. в конце. x2 = 1 – a –

3a + 7 > 0; 1 – a =

3a + 7 , 1 – a > 0, a < 1

1 – 2a + a2 > 3a + 7, a2 – 5a – 6 > 0;  a < −1 и a > 6 7  ⇒ − < a < –1, x1=1–a + a < 1 3  7 a < − 3 

3a + 7 > 0;

3a + 7 > 1 – a

a < 1 7  1) a – 1 < 0; a < 1,  7 , − <a<1 3 a > − 3 279

2) a – 1 ≥ 0; a ≥ 1; 3a + 7 > a2 – 2a + 1; a2 – 5a – 6 < 0; −1 < a < 6  7  7 7 − < a ≥1 ⇒ 1 ≥ a < 6;  3 ; − < a < 6, a < −  3 3  1 < a < 6 a ≥ 1  7 − < a < 6 7 ⇒ − < a < –1. одновременно x1 и x2 > 0,  3 7 3 − < a < −1  3

№ 1435 2 x − 3 1 2 x 2 − 3x − 4 + x >0; > ; x (4 − x ) 4−x x

1)

(x + 1)(x − 2) < 0 . x2 − x − 2 2x 2 − 2x − 4 >0; < 0; x (x − 4 ) x (4 − x ) x (x − 4 ) Ответ: х ∈ (–1; 0) U (2; 4).

2x + 5 2x + 5 − x − 1 x+4 2) ≥ 0; ≥ 0 ; х ∈ (–1; +∞). ≥ 1 ; 1. х > –1; (x + 1) x +1 x +1 2x + 5 2x + 5 2x + 5 + x + 1 ≥1; ≤ −1 ; ≤ 0; − x −1 x +1 x +1 3x + 6 x+2 ≤ 0; ≤ 0 ; х ∈ [–2; -1). Ответ: х ∈ [–2; -1) U (–1; +∞). + x 1 x +1

2. х < –1;

№ 1436 8x2 − 4x + 3

1)

2

4x − 2x + 1

≤a;

8 x 2 − 4 x + 3 − 4 x 2a + 2ax − a 4x2 − 2 x + 1

8 x 2 − 4ax3 − 4 x + 2ax + 3 − a

x 2 (8 − 4a ) − x(4 − 2a ) + (3 − a )

≤0; 4 x2 − 2x + 1 4x2 − 2 x + 1 4x2–2x+1<0 при любых х; найдем значения а, для которых х2(8–4а)–x(4–2a)+ +(3 – a) ≤ 0 при любых х: 8–4a<0, т.е. а>2 и D = (4 – 2a)2 – 4(3 – a)(8 – 4а) ≤ 0; 16 – 16a + 4a2 – 4(24 – 12a – 8a + 4a2) = –12a2 + 64a – 80; 12a2–64a+80≥0; 6a2–32a+40≥0; 3a2–16a+20≥0; a ∈ (–∞; 2] U [10/3; +∞).

10 . Таким образом х2(8 – 4а) – x(4 – 2a) + (3 – a) ≤ 0 при а ≥ 3 3x 2 − 4 x + 8

≤0;

≤0;

3 x 2 − 4 x + 8 − 9ax 2 + 12ax − 16a

≥ 0; 9 x 2 − 12 x + 16 9 x 2 − 12 x + 16 9x – 16x + 16 > 0 при любых х; найдем значения а, для которых 3х2– 9аx +12ax – 4x + 8 – 16a ≥ 0 независимо от х. х2(3–9а)+x(12a – 4) + (8 – 16a) ≥ 0: 1 3 – 9а ≥ 0, т.е. a ≤ , D = (6a – 2)2 – (8 – 16a)(3 – 9а) ≤ 0; 3 36a2 – 48a + 4 – (24 – 72a – 48a + 144a2) = –108a2 + 72a – 20; 2)

2

280

≥a;

–108a2 + 72a – 20 ≤ 0; 27a2 – 18a + 5 ≥ 0 (1); a1 / 2 =

9 ± 81 − 135 ; 27

D < 0 ⇒ неравенство (1) выполнено при любом а, таким образом a ≤

1 .

3

№ 1437 x 2 −5 x + 6

x 2 −5 x + 6

0

2 2 2 1)   < 1;   <  5 5 5 x2 – 5x + 6 > 0; (x – 2)(x – 3) > 0; x ∈ (–∞; 2) U (3; +∞).

2 3 2 7 2) 5x – 3x+1 > 2(5x – 3x+1); 5x – 3 · 3x > ⋅ 5x − ⋅ 3x ; ⋅ 5 x − 2 ⋅ 3x > 0 ; 5 5 9 9 3 x 25 x x x 3 x 3 x 3 x 3 ⋅5 − ⋅ 3 > 0 ; 27 · 5 – 125 · 3 > 0; 3 ·5 –5 ·3 > 0; 3 · 5 > 5 · 3x; x > 3.

5 9

№ 1438 1) log1/2(1 + x –

x2 − 4 ) ≤ 0

   2 log1 / 2 1 + x − x − 4  ≤ log1 / 2 1    1 + x − x 2 − 4 > 0 

(1) ( 2)

(1) 1 + x –

 2 0 ≥ −4 ; x ≥ 2. ; x2 ≥ x2 – 4;  x 2 − 4 ≥ 0;  x ≥ x − 4 2 x ≥ 2  x ≥ 0 , x − 4 ≥ 0

(2) 1 + x –

x 2 − 4 > 0; 1 + x >

x2 − 4 ;

1 + x > 0  x > −1   2 x ≥ 2 ; x ≥ 2. ;  x ∈ (− ∞ ; − 2]∪ [2 ; + ∞ ); x ≥ 2.  x − 4 ≥ 0 x ≥ 2 2 2  1 + 2 x + x > x − 4  x > −2,5  1 1 2) − <0; log5 (3 − 2x ) 4 − log5 (3 − 2 x ) 3 − 2 x > 0  – область определения; log5(3 – 2x) = a log5 (3 − 2x ) ≠ 0 4 − log5 (3 − 2 x ) ≠ 0 1 1 4−a−a 2−a − <0; < 0; <0; 4−a 4−a a 4−a 2 2<log5(3–2x)<4; log55 <log5(3–2x)<log554; 25 < 3 – 2x < 44; 11 < –x < 311; −11x > x > −311 3 − 2 x > 0 ; log (3 − 2 x ) ≠ 0  5 4 − log5 (3 − 2 x ) ≠ 0

−311 < x < −11  3 x < ; –311 < x < –11.  2 x ≠ 1  x ≠ −311  281

№ 1439

1) log|2x + 1|x2 ≥ 2; log|2x + 1|x2 ≥ 1) log|2x + 1||2x + 1|2 1. |2x + 1| > 1, т.е. x ∈ (–∞; –1) U (0; +∞); x2 ≥ (2x + 1)2 1 1 x2 ≥ 4x2 + 4x + 1; 3x2 + 4x + 1 ≤ 0; (x + 1)(x + ) ≤ 0. x ∈ [–1; – ].

3 3 1 2 2. |2x + 1| < 1, т.е. x ∈ (–1; 0); x2 ≤ 4x + 4x + 1; x ∈ (–∞; –1) U (– ; +∞); 3

  x ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ (0; + ∞ )  1   x ∈ − 1; −  3   1  . Ответ: x ∈ [– ; 0].   x ∈ (− 1; 0 ) 3   1     x ∈ (− ∞ ; − 1) ∪  − 3 ; + ∞     1 2) log x 2 3x + 1 < ; log x 2 3x + 1 < log x 2 x 2 1. x2 > 1, x ∈ (–∞; –1) U (1; +∞); |3x + 1| < |x| 1 a) x ≥ 0, 3x + 1 < x, x < – ; x ∈ ∅ 2 1 1 1 1 б) – ≤ x < 0, 3x + 1 < –x, x < – ;– ≤ x < – 4 3 4 3 1 1 1 1 1  1 в) x < – , –3x – 1 < –x, x > – ;– < x < – . x ∈  − ; − .

2 2 2 4 3 3  2. x2 < 1, x ∈ (–1; 1); |3x + 1| > |x| 1 a) x ≥ 0, 3x + 1 > x, x > – ; x ≥ 0; 2 1 1 1 б) – ≤ x < 0, 3x + 1 > –x, x > – ; – < x < 0; 4 4 3 1  1 1 1 1   в) x < – , –3x – 1 > –x, x < – ; x < – ; x ∈  − ∞; −  U − ; + ∞ .

2 4 2 2 3     Решением исходного неравенства является система:  1  1 x ∈  − ; −   2 4     x ∈ (− ∞ ; − 1)∪ (1; + ∞ ) .    x ∈  − ∞ ; − 1  ∪  − 1 ; + ∞   2  4     x ∈ (− 1;1)  

1 , тогда 3 1  1  1  1    x ∈  − 1; −  U − ; 0  U (0; 1). Ответ: x ∈  − 1; −  U − ; 0  U (0; 1).

2 4 2  4      

Кроме того по определению логарифма x ≠ 0, x ≠ –

282

№ 1440 7 − 3x + x 2 + 3x − 4 <0; x −3

x 2 + 3x − 4 ≥ 0 – область определения;  x − 3 ≠ 0

7 − 3x + x 2 + 3x − 4 + x − 3 4 − 2x + x 2 + 3x − 4 < 0; <0; x −3 x −3   2  4 − 2 x + x + 3x − 4 < 0  x − 3 > 0   4 − 2 x + x 2 + 3x − 4 > 0  x − 3 < 0  x 2 + 3x − 4 < 2 x − 4  2 4 2 x x 3 x 4 0 − + + − < 1)  ; 2x − 4 > 0 ; x − 3 > 0 x −3 > 0 x 2 + 3x − 4 < 4x 2 − 16x + 16  ; 3x2 – 19x + 20 > 0; x > 2 x > 3  4  x ∈  − ∞;  U(5; + ∞ ) ; 3 

 4  x ∈  − ∞ ;  ∪ (5 ; + ∞ ) ; x ∈ (5; +∞).  3  x > 3 

  2 2 2) 4 − 2 x + x + 3x − 4 > 0 ;  x + 3x − 4 > 2x − 4 ; x − 3 < 0 x < 3  4   x ∈  ; 5   3  ; x ∈ (–∞; 3);   x ∈ (− ∞ ; 2) x < 3

 x 2 + 3x − 4 ≥ 0  ; x − 3 ≠ 0  x ∈ (5 ; + ∞ )  x ∈ (− ∞ ; 3) 

x ∈ (− ∞ ; − 4] ∪ [1; + ∞ )  . x − 3 ≠ 0 x ∈ (− ∞ ; 3) ∪ [5 ; + ∞ )

Ответ: (–∞; –4] U [1; 3) U (5; +∞).

№ 1441 log1/2(x2 + ax + 1) < 1, x < 0; log1/2(x2 + ax + 1) < log1/21/2; x2 + ax + 1 > ½; x2 + ax + 1/2 > 0; 2x2 + 2ax + 1 > 0. Для любых х < 0 неравенство выполняется в двух случаях:

(

)

1) D = a2 – 2 < 0, т.е. a ∈ − 2 ; 2 . x > 0 2)  1 x 2 > 0

т.е.

 − a + a 2 − 2 > 0  − a − a 2 − 2 > 0 283

a)

][

(

a 2 − 2 ≥ 0  a − 2 > a, a 2 − 2 > a 2 ;  a < 0 

a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞   a ∈ ∅  a < 0 

2

)

a ∈ (–∞; − 2 ] б) – a 2 − 2 > a,

][

(

a 2 − 2 < –a

)

a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞  a ∈ (–∞; − 2 ] − a > 0 a 2 − 2 < a 2  Таким образом, ответом на вопрос задачи является система a ∈ − 2 ; 2 . Ответ: a ∈ (–∞; − 2 ].  a ∈ − ∞ ; − 2

( (

) ]

№ 1442

y=(x–1)2, 0≤x≤1; y=x2–2x+1; y=f′(x0)(x – x0)+f(x0); y=(2x0–2)(x–x0)+ x 02 –2x0+1; y = 2xx0 – 2 x 02 – 2х + 2x0 + x 02 – 2х0 + 1;

y = 2xx0 – 2х – 2 x 02 + 1; y = x(2x0 – 2) + (1 – 2 x 02 ). Точки пересечения касательной с осями: x = 0, y = 1 – 2 x 02 2 x 02 − 1 , тогда площадь треугольника, 2x 0 − 2

y = 0, x =

S(x0 ) =

(

)

2

(

)

2

1 2x02 − 1 1 − 2x02 2x02 − 1 1 2x2 − 1 1 − 2x02 2x02 −1 ⋅ ⋅ = ⋅ = ; S(x0 ) = ⋅ 0 ; 2 2x 0 − 2 1 2(2 − 2x0 ) 2 2x0 − 2 1 2(2 − 2x0 )

′ 2 2  2 x 02 − 1  2 2x 02 − 1 ⋅ 4 x 0 + 4 2 x 02 − 1  S′(x 0 ) =  = =  4 − 4 x 0  ( 4 − 4 x 0 )2  

(

=

(4x

2 0

)

)

(

(

)

(

)

).

− 2 ⋅ 4 x 0 + 4 4 x 04 − 4x 02 − 1

(4 − 4x 0 )2

Минимум данной функции S′(x0) в точке х0=

1 4 1 4 , у0 = . Ответ:  ;  .

9 3 3 9

№ 1443 Уравнение касательной в точке х0 выглядит у′(х0)(х – х0) + у(х0). Она прямая. Из этого следует, что для любой касательной, проходящей через центр у(х0) – у′(х0)х0 = 0, (у′(х0)(х – х0) + у(х0) = kx + b) у(х0) = 2 x 02 − 3x 0 + 8 , у′(х0) = 4х0 – 3 ⇒ 2 x 02 – 8 = 0 ⇒ х0 = ±2 Легко проверить, что в этих точках касательная проходит через центр.

284

№ 1444

у = x2 + 2x – 3, y = kx + 1. Ошибка в условии.

№ 1445

y = x2 + px + q, y = 2x – 3; x = 1. Найдем точки пересечения: у = 1 · 2 – 3 = –1, тогда для p и q справедливо –1 = 1 + p + q, т.е. p + q = –2 (использовали уравнение y = x2 + px + q)  p  − p 2 − p2  Вершины параболы имеют координаты  − ,  + q  , т.е.   2  2   2  

2 2 2 2 2 расстояние до оси Ох равно y =  − p  − p + q = p − p + q = − p − 2 − p 0

 2 

2

4

2

4

p −p − 2 , очевидно р = –2 точка минимума, тогда q = 0, а −1 = 2 2 кратчайшее расстояние равно 1. y ′0 = −

№ 1446 5  y = 4x – x2, M ; 6  ; y = f′(x0)(x – x0) + f(x0); 2  y′=4–2x, тогда уравнение касательной имеет вид: y=(4–2x0)(x–x0)+4x0– x 02 ; y = 4x – 4x0 – 2xx0 + 2 x 02 + 4x0 – x 02 ; y = x 02 – 2xx0 + 4x. Известно, что эта касательная проходит через точку М, тогда 6 = x 02 – 5x0 + 10; x 02 – 5x0 + 4 = 0; x0 = 1, x0 = 4, т.е. получим уравнения касательных y=1 + 2x и y = 16 – 4x; 15 , тогда искомая площадь Касательные пересекаются в точке с абсциссой 6 15 / 6

S = ∫1

(

= x + x2

(1 + 2 x )dx + ∫154 / 6 (16 − 4 x )dx − ∫14 (4 x − x 2 )dx =

)

15 / 6 1

(

+ 16 x − 2 x 2

)

4

1   −  2 x 2 − x3  = 2,25 15 / 6  3 1 4

№ 1447 y = 6cos2x + 6sinx – 2 Перепишем данную функцию в виде y = 6(1 – sin2x) + 6sinx – 2, y = – 6sin2x + 6sinx + 4, положим y′ = –12sinxcosx + 6cosx = 0, 6cosx(1 – 2sinx) = 0 1 π π cosx = 0, x = + πn, n ∈ Z ; sinx = , x = (− 1)n + πn, n ∈ Z ; 2 2 6 5π π x = + 2πn, n ∈ Z и x = + 2πn, n ∈ Z – точки max ⇒ 6 6 π Ответ: x = (− 1)n + πn, n ∈ Z .

6 285

№ 1448 y = x2 + (a + 4)x + 2a + 3, x ∈ [0; 2]; ymin = –4; y′ = 2x + a + 4; −a − 4 . y′ = 0, 2x + a + 4 = 0, x = 2 −a − 4 Ветви параболы направлены вверх, т.е. x = – точка минимума.

2 Рассмотрим три случая. 1) вершина параболы лежит правее x = 2, тогда минимальное на отрезке [0; 2] значение она принимает в точке x = 2, т.е.  −a − 4  ≥2 – решений нет  2 − 4 = 4 + (a + 4 ) ⋅ 2 + 2a + 3 2) вершина параболы лежит внутри отрезка [0; 2]: −a − 4  0 < 2 < 2  – решений нет 2  − 4 =  − a − 4  + (a + 4 )(− a − 4 ) + 2a + 3 2  2    −a − 4  ≤0 a = –3,5.

3) вершина параболы лежит левее х = 0;  2 − 4 = 2a + 3

№ 1449

y = 4x2 – 4ax + a2 – 2a + 2< x ∈ [0; 2]; ymin = 3. Ветви параболы направa лены вверх. y′ = 8x – 4a; y′ = 0; 8x – 4a = 0, x = 2 a   ≥2 1)  2 a = 5 + 10 3 = 16 − 8a + a 2 − 2a + 2  a  0< <2  2 2)  – решений нет 2 3 = 4 ⋅ a − 4 ⋅ a ⋅ a + a 2 − 2a + 2  4 2 a

3)  2 ≤ 0

3 = a 2 − 2 a + 2 

a=1– 2

Рассмотрели три случая: в первом – вершина лежит правее х = 2, т.е. минимальное значение на [0; 2] данная функция принимает в точке х = 2; во втором – вершина лежит внутри [0; 2], т.е. минимальное значение – в точке a х = ; в третьем случае – вершина лежит левее точки х = 0, т.е. минималь2 ное значение на отрезке [0; 2] данная функция принимает в точке х = 0. Ответ: a = 5 + 10 ; a = 1 – 2 .

286

№ 1450

y = 4x2 + 8ax – 9, y = 4ax2 + 8x + a – 2; y = –5. Найдем ординаты вершин парабол: y1 = 4(–a)2 + 8a(–a) – 9 = –4a2 – 9; 2

4 8 4 1 1 y2 = 4a  − 8  + a − 2 = − + a − 2 = − + a − 2 . a a a a a Возможны два случая: 4a 2 < −4 a 2 < −1 − 4a 2 − 9 > −5    ;  4 ;  4 – чего не может 1)  4 − a + a − 2 > −5 − a + a + 3 > 0 − a + a + 3 > 0    быть ни при каких а − 4a 2 − 9 < −5 4a 2 > −4 a 2 > −1    2)  4 ;  4 ;  4 – это при любых а a 2 5 a 3 0 − + − < − − + + <  a  a − a + a + 3 < 0    Рассмотрим два случая 4 1) a > 0, − + a + 3 < 0; –4 + a2 + 3a < 0; a2 + 3a – 4 < 0 a a ∈ (–4; 1) и a > 0, следовательно, 0 < a < 1; a < 0.

2) –4 + a2 + 3a > 0; a2 + 3a – 4 > 0; a < –4 и a > 1, но a < 0; a < –4. Ответ: a < –4, 0 < a < 1.

№ 1451 2 cos 4 x + sin 2 x

y=

2 sin 4 x + 3 cos 2 x

−

(2 cos

=

(− 8 cos

(2 cos −

4

4

(2 cos

; y′ =

)(

x + sin 2 x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x

(2 sin

3

4

x + 3 cos 2 x

)

2

)(

4

)= ′

)(

′ x + sin 2 x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x

(2 sin

4

2

x + 3 cos x

x ⋅ sin x + 2 sin x ⋅ cos x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x

(2 sin )(

4

2

x + 3 cos x

)

2

x + sin 2 x 8 sin 3 x cos x − 6 cos x ⋅ sin x

(2 sin

4

2

x + 3 cos x

)

2

)

2

)−

)−

)

Знаменатель дробей не влияет на исследование функции у, т.к. не может обращаться в 0 и не может быть отрицательным. − 8 cos3 x ⋅ sin x + 2 sin x ⋅ cos x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x –

(

(

4

2

)(

)(

3

)

)

– 2 cos x + sin x 8 sin x ⋅ cos x − 6 cos x ⋅ sin x = = sinx · cosx(2 – 8cos2x)(2sin4x + 3cos2x) – cosx·sinx(8sin2x–6)(2cos4x+3sin2x) = = sin2x(1 – 4cos2x)(2sin4x + 3cos2x) – sin2x(4sin2x – 3) (2sin4x + 3cos2x) = =sin2x(2sin4x+3cos2x–8sin4x·cos2x–12cos4x–8sin2x·cos4x–4sin4x+6cos4x+3sin2x) = =sin2x(–2sin4x–6cos4x+3–8sin2x·cos4x–8sin4x·cos2x)=sin2x(–2sin4x–6cos4x+3 – – 8sin2x · cos2x(cos2x + sin2x))2 =sin2x(–2sin4x – 6cos4x + 3 – 2sin2x) 2 7 и минимальное значение . Отсюда получаем максимальное значение 15 3 287

288