Merged

4. Дифференциальные уравнения 1. Понятие дифференциального уравнения. Обыкновенным

дифференциальным

уравнением

n-го

порядка

называется уравнение вида: F(x, y, y/ ,y//,..., y(n)) = 0.

(1.1)

Если уравнение (1.1) имеет вид : а0(х)у(n) + а1(х)у(n-1) + ... + аn(х)у = f(x), где

аi(х)

(i=0,1,...,n)

называются

коэффициентами

(1.2) уравнения

(линейного); они обычно определены и непрерывны на некотором общем интервале, а f(x) - правая часть линейного уравнения или свободный член. Если f(x)  0 уравнение (1.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Любая функция у = (х), подставленная в (1.2), обращающая его в тождество, называется решением этого уравнения. График решения (то есть кривой у=(х)) называется интегральной кривой. Основная задача - отыскание (поиск) функции у, производная которой равна данной непрерывной функции f(x), - то есть сведение к простейшему дифференциальному уравнению

у/ = f(x).

Общее решение этого уравнения есть x

y   f ( x)dx  C x0

,

(1.3)

x

где С - произвольная константа, а

 f ( x)dx x0

- одна из первообразных.

Выбрав надлежащим образом С, можно получить любое решение этого простейшего дифференциального уравнения. Определение 1.1. Общим решением дифференциального уравнения (1.1) называется такое его решение y = (x,C1,C2,...,Cn), которое содержит число констант, равное порядку этого уравнения.

Если общее решение записано в неявном виде (х,у,С1,...,Сn) = 0, то его обычно называют интегралом. Определение 1.2. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего при определенных значениях независимых постоянных, называется частным решением этого уравнения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида , где разделить на

(82)

– заданные функции и , то его можно переписать в виде ,

где

. Если уравнение (82)

и

(83) , при этом

называется свободным

членом или правой частью уравнения. Будем считать, что функция свободный член

и

уравнения (83) непрерывны на некотором интервале

. Если в уравнении (83)

, то данное уравнение называется

однородным, в противном случае уравнение (83) называется неоднородным.

3. Элементы качественного уравнений первого порядка.

анализа

дифференциальных

Дифференциальное уравнение

y   f ( x, y ).

(1)

называется автономным, если функция f зависит только от переменной у, т.е. если уравнение имеет вид

y  f ( y ). (2) Уравнения такого типа часто встречаются на практике. Например, если дифференциальное уравнение описывает динамическое действие некоторого закона природы, то естественно предположить, что сам закон не будет изменяться в течении времени, и потому в запись правой части (2) время х не входит. Ниже мы будем предполагать, что для функция f(y) выполнены условия, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения (2) при произвольном значении переменной y, т.е. положим, что функция f(y) имеет непрерывную производную при любом y. Пусть, кроме того, нули функции f(y) (корт уравнения f(y) =0) не имеют предельных точек, т.е. все они отстоят друг от друга не менее, чем на заданную положительную величину. Будем предполагать, что уравнение (2) описывает процесс движения точки по прямой Оу, которая называется также фазовой прямой (переменная х обозначает время). В этом случае у' — это скорость движения точки. Согласно (2) она зависит только от координаты точки и не зависит ст значения текущего момента времени. Особую роль в проводимом анализе будут играть нули функции f(y). Убедимся в том, что если f(a)=0 и точка в некоторый момент времени имеет координату у0=a, то с течением времени х она не меняет своего положения на фазовой прямой (оси Оу). Действительно, проверяем подстановкой, что у=а — решение

уравнения (2). Но решение y=a=const как раз и описывает точку, не меняющую с течением времени своего положения. Воину изложенных причин нули функции f(y) называются также положениями равновесия кии стационарными точками. Пусть a, b, с,... нули функции f(y). Прямые у=а, у=b, у=с. ... разбивают всю координатную плоскость на полосы, расположенные параллельно оси абсцисс. Рассмотрим особенности интегральных кривых, заполняющих одну ил таких полос. Так как функция f(y) непрерывна, то согласно (2) производная

у'

знакопостоянна

на

произвольном

интервале

между

положениями равновесия. Поэтому все интегральный кривые, лежащие в одной полосе, задаются либо только возрастающими, либо только убывающими.

4. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка

называются

неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х. В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид: или Отсюда Таким

, или

.

. образом,

получено

общее

решение

неполного

дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла). Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение имеет вид , т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х. Дифференциальное уравнение принимает вид

,

т.е. получаем у – как независимую переменную, а х – как функцию от у (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).

5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Рассмотрим многочлен P( x, y)   a ij  x i  y j i, j

,

он называется однородным степени n, если все его члены имеют один и тот же порядок n, то есть для каждого аijхiуj имеем i+j=n. Определение 1.4. Функция Р(х,у) называется однородной степени n, если для любого k - числа - имеет место тождество Р(kх,kу) = knP(x,y). Пусть дано уравнение Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0.

(1.8)

Если P(x,y),Q(x,y) - однородные функции одной и той же степени n, тогда (1.8) является однородным уравнением первого порядка. Для решения таких уравнений пользуются подстановкой v

u

y x или

x y , которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

6. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейное уравнение имеет вид: а(х)у/ + b(х)y + c(x) = 0,

(1.9)

где а(х), b(x), c(x) - заданные функции. Если а(х)  0, то это уравнение можно записать в приведенном виде: у/ + Р(х)у = f(x), где

P ( x) 

b( x) a ( x) ,

f ( x)  

(1.10) c( x ) a ( x) ,

тогда f(x) - свободный член. Пусть Р(х) и f(x) в (1.10) непрерывны на (a,b). Будем искать решение в виде y = uv, где u - ненулевое решение соответствующего однородного уравнения u/ + P(x)u = 0,

(1.11)

a v - неизвестная функция. Тогда y/ = u/v + v/u.

(1.12)

Подставим в (1.10) эти выражения. Получим u/v + v/u + P(x)uv = f(x)

(1.13)

v  (u/+P(x) u) + uv/ = f(x) Учитывая, что имеет место (1.11), получим uv/ = f(x).

(1.14)

Следует u подобрать так, чтобы коэффициент при v был равен нулю. Из (1.11) и (1.14) находим u и v, подставляем в y = uv, причем u есть конкретное решение, отличное от нуля.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по курсу «МАТЕМАТИКА» Специальность «ЭКОНОМИСТЫ УПРАВЛЕНИЯ» ТИУиБ (50 часов) 1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия 1. Понятие матрицы. Ее виды и элементы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком. В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: a11 a12  a1n a21 a22  a2 n  am1 am 2  amn

или

 a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2 n      a  a  a m2 mn   m1

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij || , а иногда с разъяснением: А = || a ij || = ( a ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n). Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадратной матрицы  a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2 n     a  a  a n2 nn   n1

(1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 а12 … ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ аn1 а(n-1)2 … a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

2. Транспонирование матрицы. Свойства транспонирования. Определение: Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на её столбцы с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается АT. Т.е., если исходная матрица имеет вид

то

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами: 

дважды транспонированная матрица равна исходной матрице, т.е.

(АT)T=A; 

при

транспонировании

квадратных

матриц

элементы,

находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций; 

симметрическая матрица не изменяется при транспонировании.

3. Свойства определителей. Свойство № 1: Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т

Следствие: Столбцы

и

строки

определителя

матрицы

равноправны,

следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов. Свойство № 2: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:

Свойство № 3: Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство № 4: Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.

Следствия из свойств № 3 и № 4: Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 5: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю. Свойство № 6: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:

Свойство № 7: Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.

4. Определители второго и третьего ранга. В приложениях часто встречаются определители второго и третьего порядков. Рассмотрим основные правила их вычисления. Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу:

или схематично

(4.1)

Соответствующее правило вычисления для определителя третьего порядка имеет вид:

(4.2)

При его вычислении часто удобно пользоваться мнемоническим правилом Саррюса:

( 4.3)

приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и

элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов параллельных ей. В общем случае для вычисления определителя n - го порядка справедлива. Теорема о разложении: Определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) его на их алгебраические дополнения. Таким образом, для определителя (3.1) справедливы следующие разложения: разложение по i-ой строке ( 4.4) разложение по j -ому столбцу ( 4.5)

5. Понятие минора и алгебраического дополнения элемента аij матрицы. Миноры матрицы Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij. Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j. Алгебраические дополнения: Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij. Аij = (-1)i+j × Мij.

Тогда

можно

переформулировать

изложенное

выше

свойство.

Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

6. Правило Лапласа. Теорема Лапласа Пусть матрице А порядка n произвольно выбраны k строк,1£k£n-1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i1,…ik – выбранные строки, то detA=

(1),

где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j1,….jk, 1£j1<j2<…<jn£n Формула (1) называется формулой разложения определителя по k-й строке i1,…ik.

7. Обратная матрица. Теорема. Всякая невырожденная (т.е. определитель которой отличен от нуля) квадратная матрица A имеет обратную матрицу A-1, которая находится по формуле:

(5 .1)

при этом A٠A-1=A-1٠A=E. Правило (алгоритм) нахождения обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица

.

Шаг 1-ый. Вычислим det(A) и убедимся при этом, что det(A)≠0 , то есть матрица A - невырожденная. Шаг 2-ой. Подсчитаем алгебраические дополнения Aij для всех элементов aij матрицы A и составляем матрицу

. Шаг 3-ий. Транспонируем матрицу матрицу

и образуем присоединенную

Шаг 4-ый. Составляем обратную матрицу по следующему правилу:

( 5.2)

8. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1.

Находим определитель матрицы, т.е. А .

2.

Находим транспонированную матрицу, т.е. А .

3.

Находим присоединенную матрицу, т.е А (матрица, состоящая из

~

алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

1 ~  А. А

4.

Вычисляем обратную матрицу по формуле А1 

5.

Проверяем правильность вычисления, исходя из определения

обратной матрицы.

9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Рангом r(A) матрицы A называется самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю. Имеет место Теорема о ранге матрицы: Ранг r матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк). Лемма. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают равным нулю. Если r(A)=r(B), то матрицы A и B называются эквивалентными. В этом случае пишется: A ~B. Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимается: А) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками; Б) перестановка строк (столбцов) матрицы; В) вычеркивание ряда (строки или столбца), все элементы которого равны нулю; Г) умножение какого-либо ряда (строки или столбца) на число, отличное от нуля Д) прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов другого параллельного ряда. Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы; переходя от матрицы A к матрице A1 и т.д., с помощью эквивалентных преобразований, мы получаем, вообще говоря, разные матрицы, но эти матрицы имеют один и тот же ранг. Действительно, сравнивая эквивалентные преобразования матрицы со свойствами определителя видим, что определитель, не равный нулю, и в ходе эквивалентных преобразований остается отличным от нуля. Если матрица n -го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, то её определитель равен произведению элементов, стоящих на главной

диагонали. Это свойство используется при вычислении ранга матрицы: необходимо привести матрицу к верхней треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдем, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля найденного максимального минора M≠0).

(или порядку

10. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Коэффициенты и свободные члены СЛАУ запишем в виде матриц и назовем их: A - матрица системы, а A1 - расширенная матрица системы.

,

(8.1)

Число уравнений СЛАУ равно числу неизвестных: m=n. Теорема (правило Крамера): Система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в случае, когда определитель матрицы системы отличен от нуля

совместна и имеет единственное решение:

для всех j: j = 1,

2, 3,…,n. Здесь через Dj обозначен определитель матрицы, получаемой из матрицы c заменой j-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при определяемом неизвестном) столбцом свободных членов, т.е.

( 8.1.1)

11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом. Метод Гаусса. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

i=1,…..,m; j=1,…..,n,

Пусть

(1)

. Разделим все члены первого уравнения на

: (2)

Где (j =1,2…n + 1),

(3)

Рассмотрим i-е уравнение системы(1): (4) Для исключения из этого уравнения х1 умножим уравнение (2) на и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь (5) где

(6)

Таким образом, получаем укороченную систему

(7) коэффициенты которой определяют по формулам (6). Если ее ведущий коэффициент выше

приемом

можно

исключить

, то из системы (7) указанным неизвестное

х2,

причем

новые

коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса. Для определения неизвестных х1,х2,...хn рассмотрим уравнения

(8) Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход):

(9) Заметим,

что

операции

(9)

выполняются

без

деления.

Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации. Матричный метод. Запишем

систему

(1)

в

матричном

виде:

AX=B, где

Рассмотрим случай, когда число неизвестных совпадает с числом уравнений. Тогда решение системы находится по формуле: A-1B=X

12. Векторы на плоскости и в пространстве. Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию х • а + у • b = 0,

(1)

то х = 0 и у = 0. В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1) слeдует, что а = - y/x • b А это противоречит тому, что векторы а и b неколлинеарны. Таким образом, х = 0. Аналогично доказывается, что и у = 0. Говорят, что вектор а является линейной комбинацией векторов a1, a2, a3, ..., an, если он представим в виде а = x1a1+ x2a2+ x3a3+ ...+ xnan, где x1 , x2 ,..., xn — некоторые числа. Так, вектор а = 3a1 — 5a2 + 1/2 a3 есть линейная комбинация векторов a1, a2 и a3. Теорема. Любой вектор m на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и b: .

m = х • а + у • b.

(2)

Если вектор т коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем т = х • а = х • а + 0 • b. Тем самым вектор т представлен в виде (2). Если же вектор т не коллинеарен ни вектору а, ни вектору b (рис. 25), то, проведя через точку М прямые, параллельные [ОВ) и [ОА), имеем m = OE> + OF>.

Но тогда по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа х и у, что OE>= ха, OF> = yb, откуда и вытекает равенство (2). Докажем единственность такого представления. Пусть т = x1a + у1b и т = x2a + у2b. Тогда (x1 — x2)а + (у1 — у2)b = 0. Но так как векторы а и b неколлинеарны, то равенство возможно только при x1 = x2 и у1 = у2. Единственность доказана. Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что вектор разложен по этим векторам. Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке. Пусть e1 и e2 — некоторый базис и а — произвольный вектор, тогда по доказанной теореме существуют два числа х и у такие, что а = хe1 + уe2. Числа х и у называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у).

13. Основная задача межотраслевого баланса. Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y. Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как X=(E-A)-1Y. Матрица D=(E-A)-1 называется матрицей полных затрат.

14. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*. Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:  a11     a 21   ...    a  x1  m1  + x2

 a12     a 22   ...    a   m 2  + … + xn

 a1n   b1       a 2 n   b2   ...    ...       a  b   mn   m 

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

15. Размерность и базис векторного пространства. n Векторное пространство R называется n-мерным, если в нем можно

найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. n Размерность пространства R условимся обозначать через dim.

Например, размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных векторов равна 3. Пространство,

имеющее

конечную

размерность,

называется

конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного векторного n пространства R называется его базисом.

Т е о р е м а 1. Каждый вектор x линейного n- мерного пространства

R n можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

e1 , e2 ,..., en - произвольный базис

n n пространства R и x  R . Так как любые n+1 векторов пространства

R n линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы e1 , e2 ,..., en , т.е. существуют не равные одновременно нулю числа 1 , 2 ,..., n , , такие, что 1e1   2 e2  ...  n en   x  0 .

При этом   0 , в противном случае хотя бы одно из чисел 1 , 2 ,..., n было бы отлично от нуля, и вектора e1 , e2 ,..., en были бы

   x   1 e1  2 e2  ... n en    линейно зависимы. Следовательно, .

  i  xi ( i  1, n ) Полагая  , будем иметь x  x1e1  x2 e2  ... xn en . Это представление x через e1 , e2 ,..., en единственно. Доказывается от противного. Числа

x1 , x 2 ,..., xn называются координатами вектора

x в

базисе e1 , e2 ,..., en . Теорема

2. Если e1 , e2 ,..., en - линейно независимые векторы

n n пространства R и любой вектор x  R линейно выражается через

e1 , e2 ,..., en , то эти векторы образуют базис в R n .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Векторы e1 , e2 ,..., en , по условию, линейно n независимы. Покажем, что в пространстве R нет более чем n линейно

независимых векторов. Выберем произвольные

m  n векторов из R n :

a1 , a 2 ,..., a n . По условию, каждый из них можно линейно выразить через e1 , e2 ,..., en :

a1  11e1   21e2  ...   n1en , a2  12 e1   22 e2  ...   n 2 en , ................... am  1m e1   2m e2  ...   nm en . Рассмотрим матрицу: 11 12  1m       2m   21 22      n1  n 2   nm  .

Так как число строк этой матрицы равно n, то ее ранг не больше, чем n, и значит, среди ее столбцов имеется не более, чем n линейно независимых. Но так как m>n, то m столбцов этой матрицы линейно зависимы. Следовательно,

линейно

зависимы

и

векторы

n пространство R n – мерно и e1 , e2 ,..., en - его базис.

a1 , a 2 ,  , a m .

Итак,

16. Переход к новому базису. Пусть

в

пространстве

R n имеется

два

базиса:

e1 , e2 ,..., en и

e1' , e2' ,..., en' .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

e1'  a11e1  a 21e2  ...  a n1en , e2'  a12 e1  a 22 e2  ...  a n 2 en , ................... en'  a1n e1  a 2n e2  ...  a nn en . (5.1) Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

a11 a12  a1n  a a  a  2n  A   21 22    a n1 a n 2  a nn  При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица

A называется матрицей

' ' ' перехода от базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1 , e2 ,..., en .

Определитель матрицы A не равен нулю, так как в противном случае ' ' ' ее столбцы, а следовательно и векторы e1 , e2 ,..., en , были бы линейно

зависимы. Обратно, если ( A )  0 , то столбцы матрицы линейно независимы, и ' ' ' следовательно векторы e1 , e2 ,..., en , получающиеся из базисных векторов

e1 , e2 ,..., en с помощью матрицы A , линейно независимы и значит образуют

некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть x  x1e1  x2 e2  ... xn en в ' ' ' ' ' ' старом базисе и x  x1e1  x2 e2  ... xn en - в новом. Подставляя в последнее ' ' ' равенство вместо e1 , e2 ,..., en их выражение из (5.1), получим, что

x1  a11 x1'  a12 x'2    a1n x'n , x2  a 21 x1'  a 22 x'2    a 2n x'n ,  xn  a n1 x1'  a n 2 x'2    a nn x'n .

Таким образом, старые координаты вектора x получатся из новых его координат с помощью той же матрицы A , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.

17. Линейные операторы. Определение 1. Линейным оператором в линейном n- мерном пространстве Rn называется всякое отображение A: Rn Rn пространства Rn в себя, обладающее свойствами: Пусть А - линейный оператор в Rn и В = {e1, e2,..., еn} - некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Aek, k = 1, 2, ..., n по базису B: Тогда матрица

называется матрицей оператора А в базисе В, причем

(Матрица состоит из вектор-столбцов AeRk, k = 1, 2, ..., n.) Определение 2. Пусть число и вектор х RRn, х 0, таковы, что Ах = х. Тогда число называется собственным числом линейного оператора А, а вектор х — собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу . В линейном n-мерном пространстве Rn это векторное равенство эквивалентно матричному (А - Е)Х = 0, X 0. Отсюда следует, что число есть собственное число оператора A в том и только в том случае, когда det (А - Е) = 0, т. е. есть корень многочлена ( ) = det(А - Е), называемого характеристическим многочленом оператора А. Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующего собственному числу , есть некоторое ненулевое решение соответствующей однородной системы линейных алгебраических уравнений.

18. Квадратичные формы. Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2 Ф(х1, х2) = а11

,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х1 и х2. Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3 не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.

19. Уравнение линии. Понятие "уравнение линии" - есть основное понятие аналитической геометрии. Из него вытекают две основные задачи аналитической геометрии на плоскости: А) Дана линия, рассматриваемая как множество точек. Составить алгебраическое уравнение этой линии. Б) Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению её геометрические свойства: форму и расположение. Линия называется линией n-го порядка (n=1, 2, 3, …), если она определяется

уравнением

n-ой

степени

относительно

прямоугольных координат.

Ax+By+C=0 - кривые первого порядка; Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 - кривые второго порядка. Кривая первого порядка - есть прямая линия.

текущих

20. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.

Общее уравнение прямой Всякое невырожденное уравнение

первой

степени

Ax+By+C=0

) представляет собой уравнение некоторой прямой линии на

(

плоскости Oxy есть общее уравнение прямой линии. Уравнение прямой в отрезках Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на А В х  у 1 С –С, получим: С или 

x y  1 a b , где

a

C C ; b A B

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу. Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. С = 1,



х у  1 1 1 ,

а = -1, b = 1.

21. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Условия параллельности прямых: а) Если прямые заданы уравнениями (1) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1 = k 2 .

(2)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0,

(3)

необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(3) Условия перпендикулярности прямых: а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (1) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(5)

22. Точка пересечения прямых.

A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Если

, то координаты точки пересечения прямых

находятся путем совместного решения уравнений этих прямых: преобразуем последовательным исключением

и

.

Здесь возможны три случая: 1.

прямые не параллельны, координаты точки

пересечения даются вышеприведенными формулами.

2.

,

а

прямые параллельны.

3. прямые сливаются друг с другом, т.е. имеется бесчисленное множество точек пересечения.

23. Окружность и эллипс. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки. Уравнение окружности имеет вид (x - a)2 + (y - b)2 = r2, где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид x2 + y 2 = r 2 . Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами). Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение a2 - b2 = c2. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

24. Гипербола и парабола. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов)

гиперболы

есть

одна

и

та

же

постоянная

величина.

Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами. Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы. Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение a2 + b2 = c2. При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид x2 - y 2 = a 2 . Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой. Простейшее уравнение параболы y2 = 2px.

(*)

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса. Координаты фокуса F параболы (*)

. (фокус параболы лежит

на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)

Эксцентриситет параболы e = 1.

y2 = 2px (p > 0)

25. Общее уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)

где В векторном виде

- нормальный вектор плоскости. .

Частные случаи общего уравнения плоскости: 1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox; 2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy; 3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz; 4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy; 5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz; 6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz; 7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат; 8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox; 9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy; 10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz; 11) z = 0 - плоскость Oxy; 12) y = 0 - плоскость Oxz; 13) x = 0 - плоскость Oyz.

26. Прямая в пространстве.

Пусть прямая задана в виде

, причем

-

единичный вектор, т.е. m,n,p - направляющие косинусы.

.

Разрешим

эту

, или Заметим, что

систему

относительно

x

и

y:

- уравнение прямой в проекциях.

- точка пересечения этой прямой с плоскость xOy.

Пусть даны 2 прямые

. Угол между

,

ними равен углу между их направляющими векторами, т.е. его косинус равен . Если перпендикулярны. Если

, то прямые параллельны.

Пусть заданы прямая Тогда

синус

угла

и плоскость

между .

перпендикулярности:

, то прямые

прямой

Условие .

и

плоскостью

параллельности:

. равен ,

2. Функции 1. Понятие множества и их виды Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов а, которые называются элементами множества. а М Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества. Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы. Множество,

не

содержащее

элементов,

называется

пустым

и

обозначается символом . Множество может быть задано перечислением (списком) своих элементов, порождающей процедурой или описанием характеристических свойств (предикатом), которым должны обладать его элементы. Причём в последнем случае необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно. Добавим, что многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество чётных однозначных чисел). Мощностью конечного множества М называется количество его элементов. Обозначается M . Если A  B , то множества А и В называются равномощными. Определение. Если все элементы множества А являются также

элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

А В

АВ Определение.

Если

А



В,

то

множество

А

называется

подмножеством множества В (также говорят, что В покрывает А). Если при этом А  В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А  В.

2. Способы задания функций.

1.

аналитический

способ

(функция

задается

с

помощью

математической формулы) 2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы) 3. описательный способ (функция задается словесным описанием) 4. графический способ (функция задается с помощью графика) Табличный способ. Довольно

распространенный,

заключается

в

задании

таблицы

отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является конечным множеством. При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции. Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое

преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической

точки

зрения,

необходимо

указывать

точную

геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции. Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде. Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

3. Свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции. Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции. Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции. Промежутки

знакопостоянства

функции

–

такие

множества

значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области

определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции. Функция

называется

ограниченной,

если

существует

такое

положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы). Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, интегралов.

таблицу

Менделеева,

таблицу

производных

и

таблицу

4. Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f. Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g. Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями. Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.

1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда : f(g(y)) = у и g(f(x)) = х.

2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х. Понятие о сложной функции Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у). Для записи композиции функций употребляется значок  . Например,

запись h  f  g означает, что функция h получена как композиция функций f и g (сначала применяется g, а затем f), т. е. ( f  g )( x )  f ( g ( x )) . Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: f  g  f  g . Чтобы можно было вычислить сложную функцию h = f(g(x)), надо, чтобы число g(x), т. е. значение функции g, попадало в область определения функции f .

5. Классификация элементарных функций. Функции:

y  xa y  ax

- степенная;

(a  0)

- показательная;

y  loga ( x) (a  0, a  0)

- логарифмическая;

y  Sin x  y  Cos x   y  tg x  y  ctg x 

- тригонометрические;

y  arcSin x  y  arcCos x   y  arctg x  y  arcctg x 

- обратные тригонометрические;

y  c, c  Const

- постоянная.

Называются основными элементарными функциями. Элементарные функции обычно делят на классы: 1. Многочлены (полиномы) - это функции вида: n

y   ak x k  a0  a1 x 1  K  an x n k 0

.

Если an  0 , то число n называется степенью данного полинома. При n  1 многочлен первой степени и называется линейной функцией; 2. Класс рациональных функций: y

P( x) Q( x ) , где P( x), Q( x) - полиномы;

3. Алгебраические функции: Функции, заданные с помощью суперпозиций рациональных функций, степенных с рациональными показателями и четырех арифметических действий, называются алгебраическими.

3.Дифференциальное и интегральное исчисления 1. Числовая последовательность и ее предел ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют

соответственно

первым,

вторым,

третьим,

…

членами

последовательности. Предел числовой последовательности Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε. Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к a, и пишут

.

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие. Окрестностью точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x0, для которой x0 является серединой, тогда x0 называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности. Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε). Следовательно,

постоянное

число

a

есть

предел

числовой

последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементы с номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

2. Предел функции в бесконечности. Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий: 1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности; 2) функция ƒ(х) имеет предел при х→хо; 3) предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1). Так как

то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение хо. Например,

. В первом равенстве функция и

предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции еx .

3. Непрерывность функции. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции f). При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало; график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы

во

всех

точках

своих

областей

определения.

Следовательно, эти функции и непрерывны в каждой из этих точек. Например, из дифференцируемости функции f (х) = x2 на всей прямой, а функции f(x) = 1/x на промежутках (—∞;0) и (0;+∞) вытекает непрерывность этих функций на соответствующих промежутках. Отметим следующее свойство непрерывных функций: Если на интервале (а; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Это утверждение имеет наглядную интерпретацию. Допустим, что найдутся такие точки х1 и x2 интервала (а; b), что f{x1) <0, a f{x2)>0.

Тогда непрерывная кривая (график функции f), соединяющая точки

A(x1; f(x1)) и В (х2; f(х2 )), разделенные прямой у = 0, пересекает эту прямую в некоторой точке x3 данного интервала (см. рис.), т. е. f (х3)=0. (Представим себе, что точки А и В находятся на разных берегах реки, изображаемой интервалом (а; b). Ясно, что туристу, для того чтобы попасть из А в В, надо где-то перейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращается на интервале (а; b) в нуль.

4. Свойства функций непрерывных на отрезках. Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Теорема 1 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Изображенная на рисунке 123 функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], принимает свое наибольшее значение М в точке х1, а наименьшее m — в точке х2. Для любого хє[а;b] имеет место неравенство m≤ƒ(х)≤М.

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 2 (Больцано-Коши). Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a)=А и ƒ(b)=В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри этого отрезка такая, что ƒ(с)=С. Прямая у=С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 2. Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с)=0. Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125). Следствие 2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения ƒ(х)=0.

Утверждения теорем 1 и 2, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а;b], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [a;b] имеет разрыв. Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох.

5. Задача о касательной. Пусть дана функция у = f(x), график которой изображен на рис. 111, и точка А(х0, у0) на этом графике. Возьмем на кривой справа от точки A(х0, у0) точку В и проведем через эти точки прямую, которую назовем правой секущей.

Рис. 111 Угловой коэффициент этой секущей найдем из треугольника ABC:

kсек  tg сек 

y . x

Если точка В перемещается по кривой, приближаясь к точке А, то секущая поворачивается вокруг точки А, Предположим, что она приближается к некоторому предельному положению. О пр е де л е ние . Предельное положение правой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой приближается к точке (х0, у0), называется правой касательной в точке (х0, у0). Из определения правой касательной следует, что ее угловой коэффициент kкас. пр равен

lim kсек.пр  lim x 0

x 0

y . x

Возьмем теперь на графике функции y = f(x) точку В1 (x1, y1) слева от точки А (х0, у0) (рис. 112) и проведем через точки А и В, секущую, которую назовем левой секущей. Угловой коэффициент левой секущей есть

k сек . лев. 

y0  y1 y1  y0 y   , причем x < 0. x0  x1 x1  x0 x

Определение. Предельное положение левой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой приближается к точке (x 0 , у 0 ), называется левой касательной в точке (х0, y0). По определению левой касательной ее угловой коэффициент

k кас. лев  lim x 0

y x

(x  0).

Теорема. Всякая выпуклая (вогнутая) кривая имеет в каждой точке правую и левую касательные. Доказательство проведем для правой касательной. Пусть график функции y = f(x) выпуклый. Проведем в точке А(х0, у0) правую секущую АВ. При приближении точки В к А секущая вращается против часовой стрелки, при этом угол, образуемый ею с положительным направлением оси Ох, увеличивается и приближается к некоторому предельному значению. Этот угол и будет углом наклона касательной к оси Ох. В наших рассуждениях мы использовали без доказательства тот факт, что если величина возрастает и ограничена (в нашем случае угол наклона секущей), то она имеет предел. Определение. Если в точке кривой правая и левая касательные сливаются в одну прямую, то эта прямая называется касательной. В случае, когда в точке существует касательная, имеем k кас.лев =k кзс.пр =k кас Для вычисления углового коэффициента касательной к кривой у = f(x) в точке (х0, у0) нужно вычислить угловые коэффициенты правой и левой касательных. Если они равны, то их общее значение будет угловым коэффициентом касательной. Если в какой-нибудь точке угловые коэффициенты правой и левой касательных не совпадают, то кривая имеет в этой точке излом

6. Задача о скорости движения.

7. Понятие производной и ее геометрический и экономический смысл. ПРОИЗВОДНАЯ — производной функции y = f(x), заданной на некотором интервале (a, b) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная обозначается так: .

Экономический смысл производной. Издержки

производства

y

будем

рассматривать

как

функцию

количества выпускаемой продукции x. Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y - приращение издержек производства и Δ y / Δ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y  lim x  0

y x

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно

дополнительные

затраты

на

производство

единицы

дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой

продукции)

и

определяются

не

постоянными

производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. Применение

дифференциального

исчисления

к

исследованию

экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а

процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины. Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом в условиях монопольного и конкурентного рынков. Суммарный доход (выручку) от реализации продукции r можно определить как произведение цены единицы продукции p на количество продукции q, т.е. r = pq. В условиях монополии одна фирма полностью контролируют предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это происходит по прямой, т.е. кривая спроса p(q) - есть линейная убывающая функция p = aq + b, где a > 0, b < 0. Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит r = (aq + b) = aq2 + bq. В этом случае средний доход на единицу продукции rср = r/q = aq + b, а предельный доход составит r'q = 2aq + b. Следовательно, в условиях монопольного рынка с

ростом

количества

реализованной

продукции

предельный

доход

снижается, что приводит к уменьшению (с минимальной скоростью) среднего дохода. В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, p = b. При этом суммарный доход составит r = qb и соответственно средний доход rср = r/q = b и предельный доход r'q = b. Таким

образом, в условиях свободного конкурентного рынка средний и предельный доходы совпадают. Геометрический смысл производной. Производная в точке x

0

равна

угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

f ( x0  x)  f ( x0 ) x где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то Δx неограниченно уменьшается и

приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно,

предел

разностного

отношения

равен

угловому

коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

8. Схема вычисления производной. Вычисление производной функции у=f(x) производится по следующей схеме: 1) Находим

приращение

функции

на

отрезке

[ x; x  x ] :

y  f ( x  x )  f ( x ); 2) Делим приращение функции на приращение аргумента: y , 3) Находим предел x устремляя x

к нулю. Переход к пределу

мы будем записывать с помощью знака lim:

y x 0 x

y   lim

y ; x

9. Правила дифференцирования простой функции. Производная f'(x0) функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна: Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0) при

когда

и

определены,

10. Сложная функция. Правила дифференцирования функции. Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g имеет производную в точке y0=f(x0)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х0, причем h’(x0) = g’(f(x0))•f’(x0) (1) Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

при Δx→0. Введем обозначения: Δy = f(x0+Δx)-f(x0)= Δf Тогда Δh = h(х0 + Δх) - h(x0) = g(f(x0 +Δx)) - g(f(x0)) = g(y0 + Δy) - g(y0) = Δg. Δy→0

при

Δx→0,

так

как

f

дифференцируема

в

точке

x 0.

Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х0. Тогда

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x0) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y0) при Δy→0, что выполнено при Δx→0. Дифференцирования сложной функции Сложная функция (композиция функций, суперпозиция функций) обозначается

или

.

Производная композиции равна:

Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, Например,

то

последовательно

применяем

указанное

выше

правило.

11. Производная степенной функции. Если f(x) = xp, где p - действительное число, то

Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x−p, то

Производная полинома. Пусть

где an, an

. Тогда

− 1,…,

a1, a0, n − постоянные величины. В частности, для

квадратичной функции

где a, b, c − постоянные коэффициэнты. Производная иррациональной функции. Если

В частности, если

, то

, то

12. Экономический смысл производной. Экономический смысл производной. Издержки

производства

y

будем

рассматривать

как

функцию

количества выпускаемой продукции x. Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y - приращение издержек производства и Δ y / Δ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y 

y lim x  0 x

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно

дополнительные

затраты

на

производство

единицы

дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой

продукции)

и

определяются

не

постоянными

производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. Применение

дифференциального

исчисления

к

исследованию

экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно

использовать предельные величины. Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом в условиях монопольного и конкурентного рынков. Суммарный доход (выручку) от реализации продукции r можно определить как произведение цены единицы продукции p на количество продукции q, т.е. r = pq. В условиях монополии одна фирма полностью контролируют предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это происходит по прямой, т.е. кривая спроса p(q) - есть линейная убывающая функция p = aq + b, где a > 0, b < 0. Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит r = (aq + b) = aq2 + bq. В этом случае средний доход на единицу продукции rср = r/q = aq + b, а предельный доход составит r'q = 2aq + b. Следовательно, в условиях монопольного рынка с

ростом

количества

реализованной

продукции

предельный

доход

снижается, что приводит к уменьшению (с минимальной скоростью) среднего дохода. В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, p = b. При этом суммарный доход составит r = qb и соответственно средний доход rср = r/q = b и предельный доход r'q = b. Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка средний и предельный доходы совпадают.

13. Теорема Ферма. Теорема (Ферма). Пусть р – простое число, р не делит a . Тогда: a p-1 є 1(mod p) . Доказательство 1. Положим в условии теоремы Эйлера m=p , тогда j (m)=p-1 (см. пункт 14) . Получаем a p-1 є 1(mod p) . Необходимо отметить важность условия взаимной простоты модуля и числа a в формулировках теорем Эйлера и Ферма. Простой пример: сравнение 6

2

є 1(mod 3) очевидно не выполняется. Однако можно легко

подправить формулировку теоремы Ферма, чтобы снять ограничение взаимной простоты.

14. Теорема Ролля. Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), в которой f'(c) = 0. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x Î [a; b] . Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0. Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда f'(c)=0. Теорема доказана.

15.Раскрытие неопределенностей вида

0 0

и

 

по правилу

Лопиталя 1. Неопределенность вида

Если

0 . Первое правило Лопиталя.

0

= 0, то

, когда последний

существует.

2. Неопределенность вида

Если

 . Второе правило Лопиталя. 

=  , то

, когда последний

существует.

3. Неопределенности вида 0×  , неопределенностям

 -  , 1  и 00 сводятся к

0  и путем алгебраических преобразований.

0 

16. Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х2 (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x), а убывающие f (x)¯. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f'(x) была неотрицательной на [а, b]. Наряду с возрастанием и

убыванием функции на отрезке

рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x0, если найдётся такой интервал (a, b), содержащий точку x0, что для любой точки х из (a, b), х> x0, выполняется неравенство f (x0) £ f (x), и для любой точки х из (a, b), х< x0, выполняется неравенство f (x) £ f (x0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x0. Если f'(x0) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x0. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

17. Экстремум функции. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ' (x) > 0 (f ' (x) < 0). Точка x0nназывается точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x0, для всех точек которой верно неравенство f(x) < f(x0 ) (f(x) > f(x0 )). Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(x0) = 0, либо f '(x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие экстремума. Пусть x0 - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет. Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) имеет производную f '(x) в окрестности точки x0и вторую производную f ''(x0) в самой точке x0. Если f '(x0) = 0, f''(x0)>0, (f''(x0)<0), то точка x0 является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f''(x0)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием экстремума, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

18. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале и на отрезке 1. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале 1. Чтобы исследовать функцию на наибольшее (наименьшее) значение на интервале a ; b  , надо исследовать ее, если это возможно, на отрезке a ; b . Если

наибольшее

(наименьшее)

значение

достигается

функцией

во

внутренней точке отрезка a ; b , то оно будет наибольшем (наименьшим) значением и на интервале a ; b  , а если на конце отрезка a ; b , то на интервале

a ; b  наибольшего (наименьшего) значения функция не имеет.

2. На практике часто встречается такой случай, когда внутри интервала

a ; b  заданная непрерывная функция имеет только одну точку экстремума. Тогда помогает следующая теорема. Теорема. Пусть функция y  f x  , непрерывная на интервале a ; b  , имеет на этом интервале только одну точку экстремума – точку x1 . Тогда если x1 - точка максимума, то f x1 - наибольшее значение функции f x  на интервале a ; b  ; если же x1 - точка минимума, то f x1  - наименьшее значение функции f x  на интервале a ; b  .

2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений. Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках. Таким

образом,

получаем

следующее

правило

нахождения

наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

1.

Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и

вычислить значения функции в этих точках.

2.

Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.

3.

Из

наименьшее.

всех

полученных

значений

выбрать

наибольшее

и

19.Выпуклость функции. Определение 1.

Функция

выпуклой) на интервале

называется выпуклой вниз (или просто , если график функции

идёт не

выше хорды, соединяющей любые две точки графика при

и

. Пусть

. Тогда любую точку отрезка ,

, .

а

любую

можно задать как точку

хорды-

Выражение

линейную функцию переменного

как задаёт

, график которой на отрезке

совпадает с хордой. То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что ( 7.4) при всех

.

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале

называется , если график

функции

идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки

графика

и

при . Это означает, что ( 7.5)

при всех

.

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций Легко видеть, что функция только том случае, когда функция

вогнута на интервале выпукла на

в том и .

20.Точка перегиба. Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рис. 18). Такие точки называют точками перегиба данной кривой.

Определение 1. Точка

кривой

называется точкой перегиба, если в

этой точке кривая переходит с одной стороны карательной (проведенной к кривой

в точке

) на ее другую сторону.

Теорема 1. Если в точке c вторая производная функции и отлична от нуля, то функции

непрерывна

не является точкой перегиба для графика

.

Доказательство. Если в точке с неравенство

, то в силу непрерывности функции выполняется в некоторой окрестности точки ,

а тогда в силу теоремы 1 п.5 в этой окрестности график функции

обращен

выпуклостью вниз. Поэтому вблизи точки этот график лежит выше касательной, проведенной в точке Случай

, и не имеет перегиба в этой точке.

рассматривается аналогично.

Из теоремы 1 вытекает необходимое условие, для того чтобы график функции имел перегиб в точке

:

Следствие. Для того чтобы график функции

имел перегиб в точке

, необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке с, либо чтобы с была для

точкой разрыва, либо,

наконец, чтобы вторая производная от

не существовала в точке .

Достаточное условие для точки перегиба формулируется следующим образом: Теорема 2. Пусть функция окрестности радиуса

точки

переходе через точку

имеет вторую производную в проколотой

и дифференцируема в этой точке. Если при

вторая производная функции

является точкой перегиба для графика функции

меняет знак, то .

Доказательство. Предположим, что слева от точки c имеем: справа от с имеем: обращен

выпуклостью

проведенной в точке

. Тогда на отрезке вверх

и

потому

. На отрезке же

,а

график функции

лежит

ниже

касательной,

этот график обращен

выпуклостью вниз и потому лежит выше той же касательной. Значит, в точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, т. е. точкой перегиба.

является

21.Понятие дифференциала функции. Свойства дифференциала. Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:

, где   0, при x  0.

Следовательно:

.

Величина Δx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f΄ (x)Δx, т.е. f΄(x)Δx- главная часть приращения Dу. Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f΄(x)Δx или dy = f΄(x)dx. Можно также записать: Свойства дифференциала 1. Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы: d(u±v) = du ±dv d(uv) = udv+vdu  u  vdu  udv d   v2 v

(при условии, что V(x)  0)

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.

2. Инвариантность формы дифференциала Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная. Пусть теперь y = f(x) и х = (t), то есть у является сложной функцией t: у = f((t)). Тогда dy = y'tdt. По правилу

дифференцирования сложной функции имеем y't = y'xx't. Отсюда dy = y'xx'tdt = y'xdx = f'(x)dx, так как x'tdt = dx. Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где х = (t), имеет такой же вид dy = f'(x) dx, как и дифференциал функции y = f(x), где х – независимая переменная. Это

свойство

дифференциала

инвариантностью формы дифференциала

сложной

функции

называется

22.Первообразная функция, неопределенный интеграл и его свойства Задачей интегрального исчисления является восстановление функции по её производной. Определение: Функция на промежутке

называется первообразной для функции

, если

или Теорема: Если функция

непрерывна на интервале

, то у нее

всегда существует первообразная. Теорема: Все первообразные для функции

отличаются друг от

друга лишь на константу. Доказательство: Пусть т.е.

и

первообразные для функции

,

и

Так как Определение:

, то

. Теорема доказана.

Неопределенным

называется выражение вида

интегралом

Обозначение: Свойства неопределенного интеграла 1.

2.

3.

5. аддитивность

функции

, являющемся общим видом всех

первообразных для

4. однородность

от

, где

23.Нахождение неопределенного интеграла методом разложения Пусть

. Тогда на основании свойства неопределенного

интеграла имеем , причем слагаемые

и

стараются подобрать так, чтобы

интегралы от них находились непосредственно.

24.Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки Пусть требуется найти интеграл

 f ( x)dx ,

причем непосредственно

подобрать первообразную для f(x) мы не сможем , но нам известно, что она существует. Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x=ц(t),

(1)

где ц(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда

dx= ц′(t)dt;докажем, что в этом случае имеет

место следующее равенство:

 f ( x)dx   f [ (t )] (t )dt.

(2)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1). Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой . Находим производную от левой части : (  f ( x)dx)х  f ( x). Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х

как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается

равенством

(1),

при

дифференцирования обратной функции

этом

dx   (t ) dt

и

по

правилу

dt 1 .  dx  (t )

Таким образом, имеем (  f [ (t )] (t )dt )x  (  f [ (t )] (t )dt )t

dt 1  f [ (t )] (t )  f [ (t )]  f ( x). dx  (t )

Следовательно, производные от х от правой и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать. Функцию x   (t ) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).

25.Нахождение неопределенного интегрирования по частям

интеграла

методом

Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем uv   udv   vdu или

 udv  uv   vdu .

(1)

Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла

 vdu

составляли

в

совокупности

задачу

более

простую,

чем

непосредственное вычисление интеграла  udv . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители

u и dv

вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается. Пример 1.

 x sin xdx  ?

Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -

cosx.Следовательно,

 x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C . Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю. Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида

x

k

sin axdx,  x k cos axdx,  x k e ax dx,  x k ln xdx,

некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

26.Определенный интеграл. Пусть функция у = f(x) определена во всех точках отрезка [а; b]. Произвольной конечной системой точек x1, i = 0, 1, ... , n, таких что а = х0 < х1 < х2 < ... < хn-1 < хn = b разбиваем отрезок [а; b] на отрезки [xi; xi+1]; i = 0, 1, ... , n - 1. На каждом из полученных отрезков произвольным образом выбираем точку ci+1: ci+1 [xi; xi+1], и рассчитываем значение функции у = f(x) в этих точках. Составляем так называемую интегральную сумму, соответствующую данной разбивке xi и выбору точек ci+1, i = 0, 1, ... , n - 1:

где xi = хi+1 - хi Обозначим через = max | xi|, т. е. - длина наибольшего из отрезков [xi; xi+1]. Определение 1. Если при -> 0 (n -> ) существует конечный предел интегральных сумм , то этот предел называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; b]:

Определение 2. Если существует определенный интеграл функции у = f(x) на некотором отрезке, то функция называется интегрируемой на этом отрезке. К числу наиболее важных типов интегрируемых функций относятся непрерывные функции; ограниченные функции, имеющие конечное число точек разрыва; ограниченные монотонные функции.

27.Свойства определенного интеграла.

1.

- это соглашение

2.

3.

Если

4.

Если

, то:

- это, также, соглашение - интегрируемы на

,то:

а).

б). Существует

5.

Если существует

6.

Если

7.

Если существуют

и

- интегрируема на

, то существует

, и

, то: , то существует

28.Несобственные интегралы и вычисление их

Определенный

интеграл

называется

несобственным

интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: 

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;



Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри

интервала [a,b]. Бесконечные пределы интегрирования Пусть f(x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть

f

(x)

является

непрерывной

функцией

на

множестве

действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой

части сходятся, то говорят, что интеграл противном случае он расходится.

также сходится; в

5. Ряды 1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда. В настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм. Определение 1. Пусть задана последовательность чисел а1, а2, а3, ..., аn, ...

(1.1)

Выражение вида 

a

n

 a 1  a 2  a 3 ...

(1.2)

n1

называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,... . Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность

a n  есть последовательность функций, то ряд

называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...). Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.

S1  a 1 S2  a1  a 2 .....................

S n  a 1  a 2  a 3 ... a n

(1.3)

Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k) Rn = an+1 + an+2 + ... + an+i + ... ,

(1.4)

Rn - остаток ряда. 

Определение

3.

Ряд

a

n

n1

последовательность его частичных сумм

называется

сходящимся,

S n  сходится.

сходится, то говорят, что он расходится. Если ряд сходится, то

lim S n  S

n 

называется его суммой.

если

Если ряд не



S  a 1  a 2 ...   a n n 1

.

(1.5) 

Если

lim S n  

n 

,

то

a

 

n

n1

.



Если ряд

u

n

n1

- функциональный, то есть un = fn(x), то для каждого

фиксированного аргумента х числовой ряд f1(x0) + f2(x0) + f3(x0) + ... или сходится, или расходится. Соответственно этому точку х будем называть точкой сходимости или точкой расходимости. Совокупность

всех

точек

сходимости

функционального

ряда

называется областью сходимости данного ряда. 

Если un = fn(x) (n = 1,2,...) и функциональный ряд

u

n

n1

сходится в

каждой точке некоторого множества, то говорят, что он сходится на этом множестве, а функция S = S(x), определенная для каждого фиксированного значения из этого множества, называется суммой этого ряда на данном множестве S  lim S n (x ) n

.

Пусть Rn = S - Sn, тогда Rn - остаток ряда и представляет собой погрешность, которая получается, если в качестве суммы ряда взять Sn . lim R n  lim(S  S n )  0

n

n

.

Тогда понятно, почему первой и основной задачей теории рядов будет исследование сходимости ряда. Теорема 1. Сходимость ряда не нарушается, если все его члены умножать на одно и то же число, отличное от нуля 



n 1

n 1

 k  u n  k u n Доказательство:

, где k не является константой.

n

n

k 1

k 1

p  S n   p  u k  p u k n

Так как

lim S n  S

n

n

lim p u k  p  lim  u k  p  S

, то имеем, что n

n

k 1

Под суммой (разностью) двух рядов 



u v n

n1

,

n

n1

будем понимать соответственно ряд вида 

 u n 1

n

 vn 

.

k 1

.

Ряды с положительными членами.

2.

О п р е д е л е н и е 1 . Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны. Т е о р е м а 1 . Последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дан положительный числовой ряд 

a n 1

n

 a1  a2  ...  an  ... , где an  0 n  N .

(А)

Рассматривается n-ная частичная сумма n

S n  a1  a2  ...  an   ai , тогда i 1

S n1  a1  a2  ...  an  an1  S n  an1  S n1  S n , это значит, что последовательность частичных сумм монотонно возрастает. Рассматривается основная в теории положительных рядов теорема. Теорема 2. Необходимое и достаточное условие сходимости положительный

положительного ряд

сходился,

ряда.

необходимо

и

Для

того

чтобы

достаточно

чтобы

последовательность частичных сумм была ограничена сверху. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дан положительный ряд 

a

n

1)

Необходимость.

n 1

 a1  a 2  ...  a n  ... , где an  0 n  N . Пусть

ряд

(А)

сходится,

(А) тогда

lim Sn  S  n  N Sn  S . n Значит, данная последовательность частичных сумм ограничена сверху.

2) Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть последовательность частичных сумм

Sn ограничена сверху, значит, на основании теоремы Вейерштрасса, такая последовательность имеет конечный предел. Отсюда ряд (А) сходится. Все признаки сходимости (и расходимости), в конечном счете, основаны на этой простой теореме. Но непосредственное ее применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда. В качестве примера применения данной теоремы могут служить ряды Дирихле.

Ряды с членами произвольного знака.

3. 

a n 1

n



a n 1

n

, a n  R 1,  ряд с положительными членами (2)

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

1)

Признак абсолютной сходимости

Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Доказательство. Основано на применении критерия Коши. Ряд

(2)

–

   0 N  0 m  n  N :



сходится m

a

k  n 1

k



m

a

k  n 1

k

(по

критерию

Коши)

 

 (по критерию Коши)  ряд (1) – сходится. Доказано. Сходящийся ряд (1) называют условно сходящимся, если он абсолютно расходится. Существуют условно сходящиеся ряды. Рассмотрим класс знакочередующихся рядов:



  1 n 1

n 1

a n , a n  0 (3).

Признак Лейбница. Если для ряда (3) выполнены условия: 1)

a n  невозрастающая;

2)

a n  0 n   ,

то ряд (3) сходится и справедлива оценка остатка rn  a n1 . Доказательство. Рассмотрим S 2n  a1  a 2   a3  a 4     a 2n1  a 2n   a1  a 2     a 2n 3  a 2 n 2   S 2 n 2 , т.е.

S 2 n  неубывающая.

С

другой

стороны

S 2 n  a1  a 2  a3      a 2n 2  a 2n 1   a 2n  a1 . Итак, последовательность S 2 n  неубывающая S 2 n  S . Для последовательности частичных и ограниченная сверху и  nlim 

S 2 n 1  lim S 2 n  a 2 n 1   S . Значит,  lim S n  S . сумм с нечётными номерами nlim  n  n 

Остаётся оценить остаток: rn 



  1

k  n 1

k 1

a k   1 a n 1   1 a n  2    n

 an1  an2  an3    a n1  an 2  an3       a n1  a n1 .

Доказано. Пример.





 1n1 , a n

n 1



 1n 1

n 1

n



rn 

n



1  0, n



1  расходится n 1 n



1 n 1

Исходный ряд сходится условно.

n

4.

Область сходимости степенного ряда.

Теорема. (О структуре области сходимости степенного ряда) Областью сходимости степенного ряда (24) является интервал (aR;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R=

(если этот предел существует).

В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно. Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: |a0|+|a1|.|x-a|+|a2|.|x-a|2+…+|an|.|x-a|n+…

(25)

Применим к ряду (25) признак Даламбера

Возможны три случая: 1. Если

или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (25) сходится, но

тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (24), причём абсолютно.

2. Если

, то ряд (25) расходится. В этом случае

при достаточно больших n |un+1|>|un|, значит

≠0 и

, то есть

≠0, следовательно,

ряд (24) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана. Определение

14.

Интервал

(a-R;a+R),

называется

интервалом

сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.

6. Комплексный анализ 1. Арифметические операции над комплексными числами. Арифметические операции над комплексными числами

были

определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами: 1.

Коммутативность сложения: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 для любых

2.

Ассоциативность сложения:

.

( z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) для любых 3.

Существует такое число z = 0, которое обладает свойством

z + 0 = z для любого z 4.

.

.

Для любых двух чисел z 1 и z 2 существует такое число z , что z

1

+ z = z 2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z 2 – z 1.

5.

Коммутативность умножения: z 1 z 2 = z 2 z 1 для любых

6.

Ассоциативность умножения: ( z

любых 7.

1

z

2

)z

3

= z

1

(z

2

. z

3

) для

. Дистрибутивность сложения относительно умножения:

z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 для любых

.

8.

Для любого комплексного числа z: z · 1 = z .

9.

Для любых двух чисел

и

существует такое число z , что

Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается

Деление на 0 невозможно.

2. Формы представления комплексных чисел. Алгебраическая форма Запись комплексного числа z в виде x + iy,

, называется

алгебраической формой комплексного числа. Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = − 1): (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d); Тригонометрическая и показательная формы Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент

(

,

), то всякое

комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: где

— расширение экспоненты для случая комплексного показателя

степени. Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

7. Теория вероятности и математической статистики.

1. Классическое определение вероятности. Как было сказано выше, при большом числе n испытаний частота P*(A)=m/n

появления

события

обладает

A

устойчивостью

приближенное значение вероятности события A, т.е.

и

дает

.

Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем. Практически такой способ нахождения вероятности события не всегда удобен. В ряде случаев вероятность события удается определить до опыта с помощью понятия равновероятности событий (или равновозможности). Два события называются равновероятными (или равновозможными), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое. Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события. Рассмотрим другой пример. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно). События E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта должно произойти, хотя бы одно из них. Так, в последнем примере полная группа событий состоит из шести событий — появлений цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Очевидно, любое событие A и противоположное ему событие образуют полную группу. Событие B называется благоприятствующим событию A, если наступление события B влечет за собой наступление события A. Так, если A — появление четного числа очков при бросании игральной кости,

то

появление

цифры

благоприятствующее событию A.

4

представляет

собой

событие,

Пусть события E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий. Будем называть их исходами испытания. Предположим, что событию A благоприятствуют M исходов испытания. Тогда вероятностью события A в данном опыте называют отношение M/N. Итак, мы приходим к следующему определению. Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

Это определение вероятности часто называют классическим. Можно показать,

что

вероятности.

классическое

определение

удовлетворяет

аксиомам

2. Зависимые и независимые вероятности независимых событий.

события.

Теорема

умножения

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РA (В) = Р (В). (*) Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим Р (A) Р (В) = Р (В) РB (A). Отсюда РB (A) = Р (A), т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В. Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно. Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) Р A (В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий. Два

события

называют

независимыми,

если

вероятность

их

совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий: P(AB) = P(A)*P(B) - вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

3. Противоположные события. Условная вероятность и теорема умножения вероятностей зависимых событий. Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

P( AB)  P( A) P( B / A)  P( A) PA ( B)

Также можно записать: P( AB)  P( A) P( B / A)  P(B)P( A / B)  P( B)PB ( A) Доказательство

этой

теоремы

непосредственно

вытекает

из

определения условной вероятности. Если события независимые, то P( B / A)  P( B) , и теорема умножения вероятностей принимает вид: P( AB)  P( A) P( B)

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

P( A1 A2 ... An )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )...P( An / A1 A2 ... An1 ) Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события. Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна P( A)  1  q1q2 ...qn

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi – вероятность противоположных событий A1 , A2 ,..., An . Противоположные события - два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Условная вероятность - условной вероятностью РА(В) события В

называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

4. Вероятность гипотез. Формула Бейеса. Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H 1 , H 2 ,..., H n с известными вероятностями их наступления P( H1 ), P( H 2 ),..., P( H n ) . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой

из

гипотез

известны,

т.е.

известны

вероятности

P( A / H 1 ), P( A / H 2 ),..., P( A / H n ) .

Требуется

определить

какие

вероятности

имеют

гипотезы

H 1 , H 2 ,..., H n относительно события А, т.е. условные вероятности P( H i / A) .

Теорема.

Вероятность

гипотезы

после

испытания

равна

произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

P( H i / A) 

P( H i ) P( A / H i ) n

 P( H ) P( A / H ) i 1

i

i

Эта формула называется формулой Бейеса. Доказательство. По Теореме умножения вероятностей получаем: P( A) P( H i / A)  P( H i ) P( A / H i ) P( A)  0,

Тогда если

P( H i / A) 

P( H i ) P( A / H i ) P( A) .

Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности.

P( H i / A) 

P( H i ) P( A / H i ) n

 P( H ) P( A / H ) i 1

i

i

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью P( H i / A)  P( H i )  p

, то формула Бейеса принимает вид:

P( A / H i ) n

 P( A / H ) i 1

i

5. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема. Пусть А и В – совместные событии. Тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий (т.е. вероятность суммы событий А и В) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности произведения этих событий

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

При вычислении вероятности суммы большого числа событий А=А1+А2+А3+…+Аn часто бывает проще перейти к вычислению вероятности противоположного события. Для независимых событий получим формулу:

Или где частный случай: если то

6. Повторные независимые испытания (формула Бернулли). Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать

не зависящим от того, какой результат наступил в

предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности: A 1) появление некоторого события А; 2) появление события A , (события, являющегося дополнением А) Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0.p1). Вероятность P( A ) события A обозначим через q: P( A ) = 1– p=q. Примерами таких испытаний могут быть: 1) подбрасывание монеты: А – выпадение герба; A – выпадение цифры.

P(A) = P( A ) = 0,5.

2) бросание игральной кости: А – выпадение количества очков, равного пяти, A выпадение любого количества очков кроме пяти. P(A) =1/6, P( A ) =5/6.

3) извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного шара (с возвращением): А – извлечение белого шара, A – извлечение черного шара

P(A) = 0,7; P( A ) = 0,3

Пусть произведено n испытаний, которые мы будем рассматривать как один сложный случайный эксперимент. Составим таблицу из n клеток, расположенных в ряд, пронумеруем клетки, и результат каждого испытания будем отмечать так: если в i-м испытании событие А произошло, то в i-ю клетку ставим цифру 1, если событие А не произошло (произошло событие

A ), в i-ю клетку ставим 0. Если, например, проведено 5 испытаний, и событие А произошло лишь во

2-м

и

5-м

испытаниях,

то

результат

последовательностью нулей и единиц: 0; 1; 0; 0; 1.

можно

записать

такой

Каждому возможному результату n испытаний будет соответствовать последовательность n цифр 1 или 0, чередующихся в том порядке, в котором появляются события A и A в n испытаниях, например: 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; ... 0; 1; 1; 0  n цифр Всего таких последовательностей можно составить 2 n (это читатель может доказать сам). Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата определяется путем перемножения вероятностей событий A и A в соответствующих испытаниях. Так, например, для написанного выше результата найдем P = ppqpqpqq...qppq Если в написанной нами последовательности единица встречается х раз (это значит, что нуль встречается n–x раз), то вероятность соответствующего результата будет pnqn-x независимо от того, в каком порядке чередуются эти x единиц и n–x нулей. Все события, заключающиеся в том, что в n испытаниях событие A произошло x раз, а событие A произошло n-x раз, являются несовместными. Поэтому для вычисления вероятности объединения этих событий (или суммы этих событий), нужно сложить вероятности всех этих событий, каждая из которых равна pnqn-x

. Всего таких событий можно насчитать столько,

сколько можно образовать различных последовательностей длины n, содержащих x цифр "1" и n–x цифр "0". Таких последовательностей получается столько, сколькими способами можно разместить x цифр "1" (или n–x цифр "0") на n местах, то есть число этих последовательностей равно C nx  C nn x x x n x Отсюда получается формула Бернулли: Pn(x) = C n p q

По формуле Бернулли рассчитывается вероятность появления события

A "x" раз в n повторных независимых испытаниях, где p – вероятность появления события A в одном испытании, q - вероятность появления события A в одном испытании.

Сформулированные условия проведения испытаний иногда называются "схемой повторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли" Число x появления события A в n повторных независимых испытаниях называется частотой. Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар. В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; x=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли: P8 5

1  C54  

4

 3  15    4   4  1024

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот: x=0,1,2,3,4,5. Заметим, что если в этой задаче считать, что белых шаров было 20000, а черных 60000, то очевидно p и q останутся неизменными. Однако в этой ситуации можно пренебречь возвращением извлеченного шара после каждой выборки (при не слишком больших значениях x) и считать вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли. Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитывать вероятность любой частоты x (0  x  n). Возникает естественный вопрос, какой частоте будет соответствовать наибольшая вероятность? Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее определить из условия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности "предыдущей" и "последующей" частот: Pn(x)  Pn (x–1); Pn(x)  Pn (x+1)

(*)

Первое неравенство (*) представляется в виде:

Cnx p x q n  x  Cnx 1 p x 1q n  x 1 ,

q p  что эквивалентно n  x  1 x или qx  pn  px  p . Отсюда следует:

 p  q x  np  p x  np  p

Решая второе неравенство (1), получим

x  np  q Таким

образом,

частота,

имеющая

наибольшую

вероятность

(наивероятнейшая частота), определяется двойным неравенством

np  q  x  np  p Если np+p – целое число (тогда и np–q – целое число), то две частоты: x=np–q и x=np+p обладают наибольшей вероятностью.

7. Случайные величины. Закон дискретной случайной величины.

распределения

вероятностей

Случайная величина При рассмотрении случайных событий иногда мы сталкивались с событиями, состоящими в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости (кубика) могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Закон распределения дискретной случайной величины Определение. случайной

Соотношение

величины

и

их

между

возможными

вероятностями

значениями

называется

законом

распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое

представление

многоугольником

распределения.

многоугольника

этой При

этом

таблицы сумма

называется все

ординат

распределения представляет собой вероятность всех

возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

8. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое ожидание случайной величины Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx . Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение x1

x2

...

xn

p1

p2

...

pn

называется величина

, если число значений случайной величины

конечно. Если число значений случайной величины счетно, то

. При

этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания. Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле

. При

этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания. Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то

. Аналогичные

формулы

справедливы

случайной величины:

,

.

для

функций

дискретной

Основные свойства математического ожидания: 

математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c;



математическое ожидание - линейный функционал на пространстве

случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h ); 

математическое

ожидание

произведения

двух

независимых

случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

M(x h ) = M(x )M(h ). Дисперсия случайной величины Дисперсия

случайной

величины

характеризует

меру

разброса

случайной величины около ее математического ожидания. Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2. Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2. Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

,

.

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение соотношением

, связанное с дисперсией

.

Основные свойства дисперсии: 

дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx



дисперсия константы равна нулю, Dc=0;



для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );



дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме

их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).

0;

9. Статистическая гипотеза нулевая и конкурирующая. Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (по результатам наблюдений). Не

располагая

сведениями

о

всей

генеральной

совокупности,

высказанную гипотезу сопоставляют по определенным правилам, с выборочными сведениями и делают вывод о том, можно принять гипотезу или нет. Процедура сопоставления высказанной гипотезы с выборочными данными называется проверкой гипотезы. Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия. Этап 1. Располагая выборочными данными

и руководствуясь

конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу Но, которую называют основной или нулевой, и гипотезу Н1 конкурирующую с гипотезой Н0. Термин «конкурирующая» означает, что являются противоположными следующие два события: по выборке будет принято решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы Н0; по выборке будет принято решение о справедливости для генеральной совокупности гипотезы Н1. Гипотезу H1 называют также альтернативной. Например, если нулевая гипотеза такова: математическое ожидание равно 5,- то альтернативная гипотеза может быть следующей: математическое ожидание меньше 5, что записывается следующим образом: Этап 2. Задаются вероятностью , которую называют уровнем значимости. Поясним ее смысл. Решение о том, можно ли считать высказывание Н0 справедливым для генеральной совокупности, принимается по выборочным данным, т. е. по

ограниченному ряду наблюдений, следовательно, это решение может быть ошибочным. При этом может иметь место ошибка двух родов: отвергают гипотезу Но, или, иначе, принимают альтернативную гипотезу H1, тогда как на самом деле гипотеза Н0 верна; это ошибка первого рода; принимают гипотезу Н0 , тогда как на самом деле высказывание Но неверно, т. е. верной является гипотеза Н1 это ошибка второго рода. Так вот уровень значимости —это вероятность ошибки первого рода, т. е.

вероятность того, что будет принята гипотеза Н1 , если на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза Но. Вероятность  задается заранее малым числом, используют некоторые стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005; 0,001. Например, =0,05 означает следующее: если гипотезу Но проверять по каждой из 100 выборок одинакового объема, то в среднем в 5 случаях из 100 мы совершим ошибку первого рода. Вероятность ошибки второго рода обозначают , т. е.

—вероятность того, что будет принята гипотеза Но, если на самом деле верна гипотеза Н1. Этап 3. Находят величину  такую, что: ее значения зависят от выборочных данных, т. е. для которой справедливо равенство

- ее значения позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Н0»; - и которая, будучи величиной случайной в силу случайности выборки, подчиняется при выполнении гипотезы Но некоторому известному закону распределения.

Величину  называют критерием. Этап 4. Далее рассуждают так. Так как значения критерия позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Но», то из области допустимых значений критерия  следует выделить подобласть  таких значений, которые свидетельствовали бы о существенном расхождении выборки с гипотезой Но и, следовательно, о невозможности принять гипотезу Но. Подобласть  называют критической областью. Допустим, что критическая область выделена. Тогда руководствуются следующим правилом: если вычисленное по выборке значение критерия  попадает в критическую область, то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Н1. При этом следует понимать, что такое решение может оказаться ошибочным: на самом деле гипотеза Но может быть справедливой. Таким образом, ориентируясь на критическую область, можно совершить ошибку первого рода, вероятность которой задана заранее и равна . Отсюда вытекает следующее требование к критической области : вероятность того, что критерий  примет значение из критической области  , должна быть равна заданному числу , т. е. Но

критическая

область

данным

равенством

определяется

неоднозначно. Действительно, представив себе график функции плотности f (х) критерия  , нетрудно понять, что на оси абсцисс существует бесчисленное

множество

областей-интервалов

построенных на них криволинейных

таких,

что

площади

трапеций равны . Поэтому кроме

требования выдвигается следующее требование: критическая область  должна быть расположена так, чтобы при заданной вероятности  ошибки первого рода вероятность  ошибки второго рода была минимальной.

Возможны три вида расположения критической области (в зависимости от вида нулевой и альтернативной гипотез, вида и распределения критерия ): правосторонняя критическая область (рис.а) , где критическая точка определяется из условия: левосторонняя критическая область(рис.б) , где критическая точка определяется из условия: двусторонняя критическая область (рис.в), где критические точки , называемые двусторонними, определяются из условий

И называются двусторонними критическими точками.

10. Точечная оценка для параметров распределения. Пусть требуется изучить количественный

признак генеральной

совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Рассматривая

значения

количественного

признака

как

независимые случайные величины, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра. Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Для

того

приближения определенным

чтобы

статистические

оцениваемых

оценки

параметров,

они

оценка

должна

требованиям:

давали

«хорошие»

должны

удовлетворять

быть

несмещенной,

эффективной и состоятельной. Поясним каждое из понятий. Несмещенной называют статистическую оценку Q*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т. е.

M(Q*) = Q. Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Эффективной

называют

статистическую

оценку,

которая

(при

заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию. При

рассмотрении

выборок

большого

объема

(n

велико!)

статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

к

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при п стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной. Рассмотрим точечные оценки параметров распределения, т.е. оценки, которые определяются одним числом Q* =f(x1, x2,…,xn), где x1, x2,…,xnвыборка.

11. Статистические методы обработки экспериментальных данных.

Существующие статистические методы обработки экспериментальных данных обычно делятся на классические (традиционные), робастные, непараметрические методы. Классические методы В классической статистике рассматривается параметрическая модель: выборка x1,x2,…,xn соответствует распределению известного вида, то есть функция распределения F(х) с плотностью распределения f(х) задана с точностью до одного или двух неизвестных параметров. Чаще всего предполагают, что распределение выборки нормальное с параметрами тx и

x,. Такая определенная полная модель позволила развить полный статистический аппарат, позволяющий решать основные задачи оценивания и проверки гипотез. При таком подходе основными требованиями оценок являются их несмешенность,

состоятельность

и

эффективность.

Требование

несмещенности на практике не всегда целесообразно, поскольку оценка с небольшим смещением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее, чем несмещенная оценка с большой дисперсией. Из методов получения оценок наиболее распространенным является метод максимального правдоподобия, который приводит к асимптотически несмещенным и эффективным оценкам с приближенно нормальным распределением. В этом случае на основе заданной выборки x1,x2,…,xn с известной

(с

точностью

до

параметров)

плотностью

распределения

f(x,1,…,k) составляют функцию правдоподобия:

L(1...k )   ln f ( x, 1...k ). (2.1) В качестве оценок выбирают значения параметров, которые максимизируют функцию правдоподобия, что приводит к системе уравнений:

Приведем оценки максимального правдоподобия для наиболее важных распределений. Для нормального распределения с плотностью распределения

оцениваемыми параметрами являются тx и x соответственно по выборочной средней х и исправленной дисперсии S2. Для равномерного распределения с параметрами тx и x, статистическая оценка:

где x1 , xn - крайние члены вариационного ряда, а для двойного экспоненциального распределения статистической оценкой тx является medх. Это говорит о том, что для распределений, отличных от нормального, статистические оценки параметров существенно отличаются от оценок параметров для нормального распределения. Вторым классическим методом получения оценок является метод моментов. Он заключается в том, что выборочные моменты, полученные по экспериментальным данным, приравнивают к теоретическим значениям моментов, полученным по известному виду распределения и зависящим от неизвестных параметров. Для нормального распределения метод моментов дает оценки: x и Dв. Третьим методом получения оценок является метод наименьших квадратов,

являющийся

частным

случаем

метода

максимального

правдоподобия для нормального распределения. Основными задачами классических методов обработки экспериментальных

данных являются: проверка гипотезы о нормальности распределении для проверки согласованности экспериментальных данных с теоретической моделью или с ее параметрами; сравнение средних значений и дисперсий для нормальных выборок, при этом сравнивают параметр одной выборки с заданным значением или параметры двух выборок. При обработке нескольких групп проверять необходимо однородность групп, то есть совпадение их функций распределения. Проверка однородности групп с нормальным распределением осуществляется путем сравнения средних значений и дисперсий групп. Группы считаются однородными, если принимаются гипотезы равенства средних и дисперсий.

Задача 13 Решить систему линейных уравнений (СЛАУ) методами Крамера, Гаусса и в матричной форме  3x1  x2  x3  2,   x1  x2  x3  2, .  x  2 x  2 x  7.

2 3  1

Решение 1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид: d d d x1  1 ; x2  2 ; x3  3 , d d d то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы: 3

1

d  1 1 1 2

1

1 1 1 1 1 1 1 3 1 1  3(-4)-11-13=-16; 2 2 1 2 1 2 2

так как определитель системы d  0 , следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители: 2

1

1

d1  2  1 7 2

1 1 2 1 2 1 1 2 1 1  2(-4)-1(-3)-111=-16; 2 2 7 2 7 2 2

3 2 1 d2  1 2 1 7 3

1

2 1 1 1 1 2 1 3 2 1  3(-3)-21-15 = -16; 7 2 1 2 1 7 2 2

1 2 1 2 1 1 d3  1  1 2  3 1 2  3(-11)-15+23 = -32; 2 7 2 7 1 2 1 2 7

4. Вычисляем значения неизвестных: x1 

 16  16  32  1 , x2   1 , x3   2.  16  16  16

Итак, решение системы имеет вид (1,1,2).

2. Решение в матричной форме. В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид: X  A 1 B .

1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

 x1  3 1    X   x2  A  1 1 1 2 x    3 2. Вычисляем определитель матрицы 3

1

d  1 1 1 2

 1  1 2 

 2   B   2 7  

A:

1

1 1 1 1 1 1 1 3 1 1  3(-4)-11-13=-160; 2 2 1 2 1 2 2

Итак, матрица A неособенная и для нее существует обратная матрица 1

A .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы: a11 

1 1 1 1 1 1 =0  -4, a12  (1)  -4, a13  2 2 2 2 1 1

a21  (1) a31 

1 1 3 1 3 1  -1, a22   7, a23  (1)  -4 1 2 1 2 1 1

1 1 3 1 3 1  3, a32  (1)  -5, a33   -4 1 2 1 2 1 1

4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:  4  4 0    A   1 7  4  3  5  4  

5. Вычисляем обратную матрицу A1 :  4  4 0   1 1 A  A    1 7  4 A 16    3  5  4 1

.

6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию: A  A1  E .

A A 11 = 3(-4) + 1(-1) + (-1)(3) = -16 A A 12 = 3(-4) + 1(7) + (-1)(-5) = 0 A A 13 = 3(0) + 1(-4) + (-1)(-4) = 0 A A 21 = 1(-4) + (-1)(-1) + 1(3)=0 A A 22 = 1(-5) + (-1)(7) + 1(-5) = -16 A A 23 = 1(0) + (-1)(-4) + 1(-4) = 0 A A 31 = 1(-4) + 2(-1) + 2(3) = 0 A A 32 = 1(-4) + 2(7) + 2(-5) = 0 A A 33 = 1(0) + 2(-4) + 2(-4) = -16

 3 1  1  4  4 0   1 0 0      1 1  A A    1  1 1   1 7  4    0 1 0  .

16 16       1 2 2  3  5  4   0 0 1 

Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:   4  4 0  2   1      1 X     1 7  4  2    1  .

16       3  5  4  7   2 

3.Метод Гаусса 1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:  3 1 12   1 1 1 2 1 2 2 7   

Шаг 1.  3 1 12   1 1 1 2 1 2 2 7   



3 1 1 2    0  4 / 3 4 / 3 4 / 3   0 5 / 3 7 / 319 / 3   



3 1 1 2     0  4 / 3 4 / 3 4 / 3 0 0 4 8  

Шаг 2. 3 1 1 2    0  4 / 3 4 / 3 4 / 3   0 5 / 3 7 / 319 / 3   

Шаг 3. Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх: x3 = 2, x2 = 3(4/3 -2(4/3))/(-4) = 1, x1 = (2 -11-2(-1))/3 = 1. Итак, решение системы уравнений имеет вид: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2.

Задача 15. Вычислить основные статистические характеристики вариационного ряда. xi

680

900

665

Таблица 1 779

960

mi

86

77

82

80

75

Решение 1. Вычисления производим в табличной форме (таблица 2). Таблица 2 2 №№ mi xi m i xi xi xi2 mi 1 665 82 442225 54530 36262450 2 680 77 462400 52360 35604800 3 779 75 606841 58425 45513075 4 900 86 810000 77400 69660000 5 960 80 921600 76800 73728000 Итого 3984 400 3243066 319515 2,61E+08 Среднее 8107,665 798,7875 651920,8 2. По итоговым данным табл.4, получаем: - среднюю x = 798,8 3.Вычисляем характеристики вариации: 2  2  xi2  xi = 651920,8- 798,82 = 13839.36 - дисперсию - среднее квадратическое отклонение    2  117.6 , - коэффициент вариации 



x

100% = 15%.

88 86 84

m

82 80 78



76 74 660

710

760

 x = 798,8 810

860

910

960

x

4. Результаты вычислений иллюстрирует график. Задача 17 Найти разложение вектора х={3,-1,2} по векторам p = {2,0,1}, q={1,1,1}, r = {1,-1,2}

Решение Необходимо найти решение сисиемы  2 x1  x2  x3  3,   x2  x3  1, 2 x  x  2 x  2.

3  1 2

Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид: d d d x1  1 ; x2  2 ; x3  3 , d d d то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы: 2

1

1

1 1 0 1 0 1 d  0 1 1  2 1 1  2(-1)-11+10=-2; 1 2 2 2 2 1 2 1 2

так как определитель системы d  0 , следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители: 3

1

1

1 1 1 1 1 1 d1   1  1  1  3 1 1  3(-1)-1(-4)+13 = 0; 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2

3

1

2

1

3

1 1 0 1 0 1 d2  0  1  1  2 3 1  2(-4)-31+13 = -8; 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 0 1 0 1 d3  0  1  1  2 1 3  2(-3)-13+30 = -6; 1 2 2 2 2 1 2 1 2

4. Вычисляем значения неизвестных: x1 

0 8 6  0 , x2   4 , x3   3. 2 2 2

Итак, решение системы имеет вид (0,4,3).

Задача 19 Вероятность попадания в цель равна 0,4. Найти вероятность 5 попаданий в цель из 8 выстрелов.

Решение Используем формулу Я. Бернулли: pk ,n  Cnk pk q nk

1.Определяем исходные данные для формулы Бернулли: n=8, k=5, p=0,4, q=1-p=0,6.

2.Вычисление вероятности искомого события: p5,8  C85 p 5 q 3 = 0.124 Задача 37 Для заданных двух множеств найти произведения А х В и В х А, изобразить их графически и найти пересечение А = {-2,-3,-4,-5}, В = {-1,-2} Решение Произведением множеств A и B является множество пар всех возможных комбинаций элементов множеств A и B: (a,b). Тогда получаем AxB = {(-2,-1), (-2,-2), (-3,-1), (-3,-2), (-4,-1), (-4,-2), (-5,-1) , (-5,-2)} BxA = {(-1,-2), (-2,-2), (-1,-3), (-2,-3), (-1,-4), (-2,-4), (-1,-5) , (-2,-5)} 0 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

-2

-3

Ðÿä1 Ðÿä2

-4

-5

-6

( A  B)  ( B  A)  {( 2,2)}

Задача 39 0  Раскрыть неопределенность вида или с использованием правила  0 Лопиталя: lim x 1

x2  x .

3( x 2  1)

Решение x x ( x  x)' 2x  1 2  1 1  lim  lim   2 2 x 1 3( x  1) x 1 3( x  1)' x 1 6x 6 6 2

lim

2

Задача 29 Интегрирование тригонометрических функций

dx

 sin x

Решение dx

sin xdx d cos x d cos x 1 d cos x 1 d cos x        2 2 (1  cos x)(1  cos x) 2 1  cos x 2  1  cos x x 1  cos x 1 1  ln( 1  cos x)  ln( 1  cos x)  C 2 2

 sin x   sin

Задача 31 Замечательные пределы. Найти lim x 0

sin 6 x 4x

Решение sin 6 x 6x 6  lim  x 0 x 0 4 x 4x 4

lim

Задача 33 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале y  4 x 3  6 x 2  1

 0.5;

2.6

Решение 1. Находим первую производную заданной функции y   12 x 2  12 x

2. Определяем критические точки первого рода:  30 x 2  30 x  0 , откуда: x1  0 , x2  1 3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме ( таблица 3), учитывая, что заданная функция определена на участке  0.5; 2.6 числовой оси: Таблица 3 (0;1) 1 (1;2.0 2.6 x  0.5 (  0.5; 0 0 ) ) Знак f  x  + 0 0 Величина 1 3 3 f x  28,744 M Экстремум m Итак, max f (0.5)  f (1)  3

[ 0.5; 2.6]

min f (2.6)  28,744 .

[ 0.5; 2.6]

В данном случае глобальный минимум не совпадает с локальным экстремумом.

Задача 35 По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить длины сторон, углы и пло щадь его А(3;-1;2); В(1; 2; -1); С(-1; 1; 3) Решение 1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.2): B



c A 

a

b

 C

AB  (1  3)i  (2  1) j  (1  2)k  2i  3 j  3k , AC  (1  3)i  (1  2) j  (3  2)k  4i  2 j  k , BC  (1  1)i  (1  2) j  (3  1)k  2i  j  4k .

2 Вычисляем длины сторон: AB  (2) 2  32  (3) 2  22 , AC  (4) 2  2 2  12  21 , BC  (2) 2  (1) 2  4 2  21 .

3. Определяем углы треугольника, cos   cos CAB 

AC  AB (4)  (2)  (1)3  4(3) =0 .51,  AC  AB 21  22

следовательно, CAB = 59.22. cos   cos BCA 

CB  CA (2)(4)  2  (1)  1 4 = 0.476,  CB  CA 21  21

Угол BCA = 61.56 cos   cos ABC 

AB  BC (2)(2)  3  (1)  (3)4 = 0 .512,  AB  BC 22  21

следовательно:  = 59.22 4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника 59.22 + 61.56 + 59.22 = 180  180 = 180, следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5.Вычисляем площадь треугольника: A

1 21 AC  BC sin   sin 61.56 = 9.23 кв. ед.

2 2

Задача 5 Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц А и В  2 0  1  4 1 0     A   0  2 2  , B   3 2 1 1 4  0 1 0 3    

Решение AB11 = A 1 1B 1 1 + A 1 2B 2 1 + A 1 3B 3 1 = 2(4) + 0(3) + (-1)(0) = 8 AB12 = A 1 1B 1 2 + A 1 2B 2 2 + A 1 3B 3 2 = 2(1) + 0(2) + (-1)(1) = 1 AB13 = A 1 1B 1 3 + A 1 2B 2 3 + A 1 3B 3 3 = 2(0) + 0(1) + (-1)(0)= 0 AB21 = A 2 1B 1 1 + A 2 2B 2 1 + A 2 3B 3 1 = 0(4) + (-2)(3) + 2(0) = -6 AB22 = A 2 1B 1 2 + A 2 2B 2 2 + A 2 3B 3 2 = 0(1) + (-2)(2) + 2(1) = -2 AB23 = A 2 1B 1 3 + A 2 2B 2 3 + A 2 3B 3 3 = 0(0) + (-2)(1) + 2(0)= -2 AB31 = A 3 1B 1 1 + A 3 2B 2 1 + A 3 3B 3 1 = 1(4) + 4(3) + 3(0) = 16 AB32 = A 3 1B 1 2 + A 3 2B 2 2 + A 3 3B 3 2 = 1(1) + 4(2) + 3(1) = 12 AB33 = A 3 1B 1 3 + A 3 2B 2 3 + A 3 3B 3 3 = 1(0) + 4(1) + 3(0) = 4 1 0   8   AB    6  2  2   16 12 4   

Задача 7 Коллинеарны ли векторы p = 4a – 3b, q = 9b – 12a, где a = {-1,2,8} и b = {3,7,-1} Решение p = {4(-1)-3(3), 4(2)-3(7), 4(8)-3(-1)} = {-13, -13, 35} q = {9(3)-12(-1), 9(7)-12(2), 9(-1)-12(8)} = {39, 39, -105} Поскольку p = -3q, то векторы линейно-зависимы, следовательно колинеарны. Задача 9 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале y  3x 3  4,5x 2  9

 0.1;

2.3

Решение 1. Находим первую производную заданной функции y  9x 2  9x

2. Определяем критические точки первого рода: 9 x 2  9 x  0 , откуда: x1  0 , x2  1 3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме ( таблица 3), учитывая, что заданная функция определена на участке  0.1; 2.3 числовой оси:

x

 0.1

Знак f  x  Величина 8.95 f x  2

(  0.1; 0 ) +

0

(0;1)

1

0

-

0 7, 5 m

9

Экстремум

M

(1;2.3 ) +

Таблица 4 2.3

21.69 6

Итак, max f (2,3)  21,696

min f (0)  9 .

[ 0.1; 2.3]

[ 0.1; 2.3]

В данном случае глобальный максимум не совпадает с локальным экстремумом. Задача 11 Найти интеграл от рациональной дроби

x

2

4x  5 dx  2x  1

Решение 1. Выделяем в знаменателе полный квадрат: x 2  2 x  1  ( x  1) 2 .

2. Исходный интеграл приводим к виду:

4x  5 4( x  1  1)  5 4( x  1)  9 dx   d ( x  1)   d ( x  1) 2  2x  1 ( x  1) ( x  1) 2 4( x  1) 9d ( x  1)  d ( x  1)   2 ( x  1) ( x  1) 2

x

2

. Исходный интеграл принимает вид суммы табличных интегралов:

x

2

4x  5 4 9d ( x  1) 9 dx   d ( x  1)    4 ln x  1  C 2  2x  1 x 1 ( x  1) x 1

Задача 1 Вычислить предел функции с использованием основных теорем x3  2 x 2  3 lim 2 . x2 x  3 x  4

Решение x  2 x 2  3 23  2  2 2  3 13  2  . x 2  3x  4 2  3 2  4 2 3

lim

x2

Задача 3 Решить систему линейных уравнений (СЛАУ) методам Гаусса

 3x1  2 x2  x3  5,   x1  x2  x3  0, . 4 x  x  5 x  3.

3  1 2

Решение 1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее: [3 2 1 | 5] [1 1 -1 | 0] [4 -1 5 | 3] Шаг 1.

[3 2 1 | 5] [1 1 -1 | 0] [4 -1 5 | 3]



[3 2 1 |5 ] [0 1/3 -4/3 | -5/3 ] [0 -11/3 11/3 | -11/3 ]



[3 2 1 | 5 ] [0 1/3 -4/3 | -5/3] [0 0 -11 | -22 ]

Шаг 2.

[3 2 1 |5 ] [0 1/3 -4/3 | -5/3 ] [0 -11/3 11/3| -11/3]

Шаг 3. Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх: x3 = 2, x2 = (-5/3 -2(-4/3)) (-3) = 3, x1 = (5 -12- 23)/3 = 1. Итак, решение системы уравнений имеет вид: x1 = -1, x2 = 3, x3 = 2.

Задача 21 Используя метод разложения найти интеграл

(2 x  1)3  x x dx

Решение



(2 x  1)

3

8 x x  12 x  6 x  1 dx   (8  12 x 1 / 2  6 x 1  x 3 / 2 )dx  x x 1 / 2  6 ln x  2 x C

dx  

x x  8 x  24 x1 / 2

Задача 23 Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y  x( x  1) 3

Решение

Вычислим первую и вторую производную: y'  ( x  1) 3  3x( x  1) 2 , y' '  3( x  1) 2  3( x  1) 2  6 x( x  1)  6( x  1)( 2 x  1) y ' '  0 в точках x = 1 и 1/2. При х < 1/2 y ' '  0 , при х > 1/2 и х < 1 y ' '  0 , и при х > 1 y ' '  0 . Функция выпукла вниз на интервалах (-;1/2) и (1; ), и вогнута вверх на интервале (1/2;1). х = 1,2 и 1 - точки перегиба.

Задача 25 8

Вычислить определенный интеграл  ( 2 x  3 x )dx 0

Решение 8

 2 2 3/ 2 3 4/3  2 2 3/ 2 3 4/3 2 2 3 2 x  3 x )dx   x  x   8  8   8  81 / 2   8  81 / 3 4 3 4 3 4 0  3 0 64 100   12  3 3 8

(

Задача 27 Найти



dx x 3 x

Решение dx

dx  x  3 x   x1 / 2 [1  x 1 / 6 ]  1  2 dx1 / 2 1 / 2 1 / 3 1  [x ] Сделаем замену t = -x1/2 1 t 1/ 3 t 1/ 3  1 1 1 dt   2 dt   2 dt  2  1 / 3 dt  2t  2  dt  1 / 3 1/ 3 1/ 3   1 t t 1 t 1 t 1 1  t 1/ 3 (1  t 1 / 3  t 2 / 3 )  2t  2  dt  (1  t 1 / 3 )(1  t 1 / 3  t 2 / 3 )  2 

 2t  2 

1 t 1/ 3  t 2 / 3 dt  2  (1  t 1 / 3 )(1  t 1 / 3  t 2 / 3 ) dt (1  t 1 / 3 )(1  t 1 / 3  t 2 / 3 )

dt t (t 1 / 3  t  2 / 3 )  2t  2   2 dt 1 t (1  t 1 / 3 )(1  t 1 / 3  t 2 / 3 ) dt (t  1)(t 1 / 3  t  2 / 3 ) t 1 / 3  t  2 / 3  2t  2   2 dt  2  dt 1 t (1  t 1 / 3 )(1  t 1 / 3  t 2 / 3 ) (1  t 1 / 3 )(1  t 1 / 3  t 2 / 3 ) dt (t 1 / 3  t  2 / 3 )(1  t ) 4 t 2 / 3 2 t  2 / 3  2t 1 / 3  2 dt   dt  dt 1 t 1 t 3 1  t 1/ 3 3  1  t 1/ 3  t 2 / 3  2t  2 ln 1  t  3t 2 / 3  6t 1 / 3  4 ln 1  t 1 / 3  2 ln( 1  t 1 / 3  t 2 / 3 )  C  2t  2 

Ответ:



dx x x 3

 2 x  2 ln 1  x  6 x1 / 6  3x1 / 3  4 ln 1  x1 / 6  2 ln( 1  x1 / 6  x1 / 3 )  C

Билет 12 Определить длины сторон, углы и площадь треугольника, заданного его вершинами A  (2;1;4) , B  (1;3;2) , C  (7;2;3) . Решение 1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.2): B



c A 

a

b

 C

AB  (1  2)i  (3  1) j  (2  4)k  i  2 j  6k , AC  (7  2)i  (2  1) j  (3  4)k  6i  1 j  7k ,

BC  (7  1)i  (2  3) j  (3  2)k  6i  j  k .

2 Вычисляем длины сторон: AB  (1) 2  2 2  6 2  41 , AC  62  12  72  3 , BC  6 2  (1) 2  12  38 .

3. Определяем углы треугольника, cos   cos CAB 

AC  AB (4)  6  (2) 1  3(1) =0.703,  AC  AB 29  38

следовательно, CAB = 45.31. cos   cos BCA 

CB  CA (10)(4)  (3)  (2)  4  3 =0.67,  CB  CA 29  5 5

Угол BCA = 47.6 cos   cos ABC 

AB  BC (12)(2)  2 1  (2)(2) = 0.051,  AB  BC 2 38  3

следовательно:  = 87.1 4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника 45.31 + 47.6 + 87.1 = 180  180 = 180, следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5.Вычисляем площадь треугольника: A

1 5 3 38 AC  BC sin   sin 47.6 = 19.71 кв. ед.

2 2

Билет 14 Найти линейное уравнение регрессии и оценить тесноту связи для статистических данных приведенных в таблица 5. Таблица 5

X Y

76,3 19

77,8 25

79,8 30

80,8 36

82,4 40

83,9 45

85 50

86 55

Решение 1. Решение производим в форме таблица 6 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:   na0  a1  xi   yi , .  2   a0  xi  a1  xi   xi yi Таблица 6 2 xi yi x i yi №№ xi yi2 1 76,3 19 5821,69 361 1449,7 2 77,8 25 6052,84 625 1945 3 79,8 30 6368,04 900 2394 4 80,8 36 6528,64 1296 2908,8 5 82,4 40 6789,76 1600 3296 6 83,9 45 7039,21 2025 3775,5 7 85 50 7225 2500 4250 8 86 55 7396 3025 4730 Итого 652 300 53221,18 12332 24749 Среднее 81,5 37,5 6652,648 1541,5 3093,625 2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида: 8a0+652a1 = 300 :8 652a0+53221.18a1 = 24749 : 652 a0+81.5*a1 = 37.5 a0+81.63a1 = 37.96 -0.1276a1 = -0.46

Откуда получаем a1 = -0.46/-0.1276= 3.595, а из первого уравнения - a0 =(300 – 652a1)/8 = -255.46.

3. Записываем корреляционное уравнение yˆ = -255.46+ 3.595x.

4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.2 Qxy = xy  xy / 8 = 24749– 36*172/8 = 299 x 2  (x) 2 / 8 = 53221,18 - 6522 /8 = 83.18 Qy = Qy  y 2  (y) 2 / 8 = 12332 - 3002 /8 = 1082 Qx =

rxy 

Qxy QxQy

 0.997 .

Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами Y и X тесная, практически функциональная.

5. Графически результаты вычислений показаны на Error! Reference source not found. в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости y (сплошная черная линия).

60 50 y = 3,5946x - 255,46

y

40 30 20 10 0 74

76

78

80

82

84

86

88

x

Билет 16 Вычислить определенный интеграл

5

ln 3 x 4 x dx методом интегрирования

по частям Решение 5 u 1  du  0 ln 3 x 1 4 1 45 3 3 4 x dx  dv  ln x dx  v   ln x dx  1 ln 4 x  4 ln x 4  0  4 ln 4 . x x 4 5

Билет 18 Найти косинус угла между векторами AB и АС. Даны точки A  (2;4;6) , B  (0;2;4) , C  (6;8;10) Решение AB  (0  2)i  (2  4) j  (4  6)k  2i  2 j  2k , AC  (6  2)i  (8  4) j  (10  6)k  4i  4 j  4k .

AB  2 2  (2) 2  2 2  2 3 ,

AC  (4) 2  4 2  (4) 2  4 3 .

AC  AB (4)  2  4  (2)  (4)2 =-1.  AC  AB 2 34 3

cos   cos CAB 

Билет 36 Вычислить

определенный

интеграл

1

 2( x  1)e dx методом x

0

интегрирования по частям Решение 1

 2( x  1)e dx  x

0



u  2( x  1) 

 2( x  1)e x  2e

du  2dx

 v   e dx  e

dv  e dx x

x

  2( x  1  1)e 

x 1

x 1

0

0

 xe

x1 0

x

 2( x  1)e

x1 0

1

  2e x dx  0

 1  e1  0  e 0  e.

Билет 38 Найти произведение АВ прямоугольных матриц 2 0 1  A    0  2 2

и

 4 1 0   B   3 2 1 .  0 1 0  

Решение 1. Сопоставляя размеры заданных матриц (23)(33) = (23), устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 2х3: 2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо) AB11 = A 1 1B 1 1 + A 1 2B 2 1 + A 1 3B 3 1 = 2(4) + 0(3) + 1(0) = 8 AB12 = A 1 1B 1 2 + A 1 2B 2 2 + A 1 3B 3 2 = 2(1) + 0(2) + 1(1) = 3 AB13 = A 1 1B 1 3 + A 1 2B 2 3 + A 1 3B 3 3 = 2(0) + 0(1) + 1(0) = 0 AB21 = A 2 1B 1 1 + A 2 2B 2 1 + A 2 3B 3 1 = 0(4) + (-2)(3) + 2(0) = -6 AB22 = A 2 1B 1 2 + A 2 2B 2 2 + A 2 3B 3 2 = 0(1) + (-2)(2) + 2(1) = -2 AB23 = A 2 1B 1 3 + A 2 2B 2 3 + A 2 3B 3 3 = 0(0) + (-2)(1) + 2(0)= -2 3 0   8  AB    6  2  2  

Билет 40

Найти производную простой функции y  (t 5  sin t )( t  et ) . Решение  1  y '  (t 5  sin t )' ( t  et )  (t 5  sin t )( t  et )'  (5t 4  cos t )( t  et )  (t 5  sin t )  et  2 t 

Билет 28 Найти производную простой функции y  (t 6  2t 4 )(sin t  ln t ) . Решение 1  y '  (t 6  2t 4 )' (sin t  ln t )  (t 6  2t 4 )(sin t  ln t )'  (6t 5  8t 3 )(sin t  ln t )  (t 6  2t 4 ) cos t   t 

Билет 30 Вычислить четность (нечетность) функций: a) y  x  ctg 3 x , б) yx

2x 1 , в) y  ( x  1) 2 sin 2 x x 2 1

Решение

a) y( x)   x  ctg ( x)   x  (ctgx) 3   x  ctgx   y( x) - нечетная, 3

б) y( x)   x

2x  1 2  x (1  2 x ) 1 2x   x   x  y ( x) - четная 2x  1 2  x (1  2 x ) 1 2x

в) y( x)  ( x  1) 2 sin 2 ( x)  ( x  1) 2 sin 2 x  y( x)   y( x) - не является четной или нечетной. Билет 32 Вычислить вероятность события по классической схеме. Участники жеребьевки берут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер наудачу извлеченного жетона содержит цифру 1. Решение 1. Определяем общее количество возможных номеров. n = 100 2. Определяем количество номеров содержащих 1: Это весь первый десяток, в каждом следующем десятке по одному номеру и последняя цифра 100. m = 10 + 9 + 1 = 20.

3. Вероятность искомого события: P( A) 

m 20   0,2 n 100

Билет 34

Найти интеграл от рациональной дроби

3x  2 dx 2 9

x

Решение 1. Представляем квадратный многочлен в знаменателе в виде произведения двух сомножителей: x 2  32  ( x  3)( x  3) .

2. Исходный интеграл приводим к виду: 3x  2 3x  2 dx   dx 2 9 ( x  3)( x  9)

x

.

3. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей 3x  2 A B A( x  3)  B( x  3) .    ( x  3)( x  9) x  3 x  3 ( x  3)( x  3) 3  A  B  2  3 A  3 B .

11  6 A 11 7 B  , а исходный интеграл принимает вид Откуда следует A  6 6

суммы табличных интегралов:

3x  2 11 dx 7 dx 11 11 dx      ln x  3  ln x  3  C 2 9 6 x 3 6 x 3 6 6

x

Билет 4 Решить систему линейных уравнений (СЛАУ) методом Крамера.  3x1  2 x2  x3  5,   x1  x2  x3  0, . 4 x  x  5 x  3.

3  1 2

Решение 1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид: d d d x1  1 ; x2  2 ; x3  3 , d d d то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы: 3

2

1

1 1 1 1 1 1 d  1 1 1  1 2 1  14-29+1(-5)=-11; 1 5 4 5 4 1 4 1 5

так как определитель системы d  0 , следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители: 5

2

3 5

1

3

5

1

1 1 0 1 0 1 d1  0 1  1  5 2 1  54-23+1(-3)=11; 1 5 3 5 3 1 3 1 5 0 1 1 1 1 0 d2  1 0 1  3 5 1  33-59+3 = -33 3 5 4 5 4 3 4 3 5 2

1 0 1 0 1 1 d3  1 1 0  3 2 5  33-23+5(-5)=-22; 1 3 4 3 4 1 4 1 3

4. Вычисляем значения неизвестных: x1 

11  33  22  1 , x2   3 , x3  2.  11  11  11

Итак, решение системы имеет вид (-1,3,2).

Билет 6 Найти угол между плоскостями x  2 y  2 z  7  0 , x  2 y  35  0 Решение cos  

1  1  2  2  (2)  0



12  2 2  (2) 2  12  2 2

5 3 5

 0.745356

 = 0.7297276561 rad = 41.8 Задача 8 Найти производную простой функции y  (ax 4  ln x)( a 3 x  a x ) . Решение y '  (ax 4  ln x)' (a 3 x  a x )  (ax 4  ln x)( a 3 x  a x )'  a3 .

1    4ax 3  (a 3 x  a x )  (ax 4  ln x)  a x ln a  x  2 x 

Вычислить подстановки  sin( 3x  1)dx .

Задача 10 неопределенный

интеграл

Решение 1

1

 sin( 3x  1)dx  3  sin( 3x  1)d (3x  1)   3 cos(3x  1)  C . Задача 2

методом

В одном ящике находится 10 деталей, в том числе 3 стандартных, а во втором 15 деталей, из них 6 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. Решение Вероятность искомого события вычисляем по формуле произведения вероятностей, так как вероятность благоприятного исхода не зависит от того, какое из двух возможных несовместных (вынута стандартная деталь из первого или второго ящика) событий будет предшествовать другому: P( AA)  P1 ( A) P2 ( A) 

3 6   0.12 .

10 15

Задача 20 Методом замены переменной найти dx 1 d (2 x) 1 d (2 x  1)  1  2x   2  1  2x   2  1  2x

dx

 1  2x .

Решение

Делаем замену t = -2x+1 dx

1 dt 1   ln t  C t 2 Делаем обратную подстановку dx 1  1  2 x   2 ln 1  2 x  C

 1  2x   2 

Задача 22 Вычислить предел с использованием правила Лопиталя: e x  ex  2 lim . x 0 x2 2

2

x2

 x2

Решение lim

x 0

e

e x2

2

 lim

x 0

(e

x2

 x2

 e  2)' 2 xe x  2 xe x 0  lim  lim  0.

2 x 0 x 0 2 x 2x ( x )' 2

2

Задача 24 Вычислить несобственный интеграл:



dx

x

3

1

Решение 

dx

x 1

3



 lim

 

dx

x 1

3



 1 1 1  1   lim   2   lim      .

2   2 2  2 x  1   2 

Задача 26 Интегрирование интеграл 

2x  1 dx x  2x  1

простейших

рациональных

дробей.

Найти

2

Решение 1. Выделяем в знаменателе полный квадрат: x 2  2 x  1  ( x  1) 2 .

2. Исходный интеграл приводим к виду:

2x  1 2( x  1  1)  1 2( x  1)  1 dx   d ( x  1)   d ( x  1) 2  2x  1 ( x  1) ( x  1) 2 2( x  1) d ( x  1)  d ( x  1)   2 ( x  1) ( x  1) 2

x

2

. Исходный интеграл принимает вид суммы табличных интегралов:

x

2

2x  1 2( x  1) d ( x  1) 1 dx   d ( x  1)    2 ln x  1  C 2 2 x 1  2x  1 ( x  1) ( x  1)