É ESSENCIAL SABER
Professora: Zulmira Magalhães
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Índice Probabilidade ................................................................................................................................................................. 3 Funções ............................................................................................................................................................................ 5 Equações.......................................................................................................................................................................... 8 Circunferência ............................................................................................................................................................. 10
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ESCOLA BÁSICA DA SENHORA DA HORA MATEMÁTICA - 9º ANO - « PROBABILIDADE »
É essencial saber Fenómenos aleatórios – são fenómenos observáveis em que o resultado de cada realização individual é incerto (mesmo que possa haver uma tendência).
Fenómenos determinísticos – são fenómenos observáveis cujos resultados podem ser determinados antes que os mesmos se realizem.
Experiência aleatória – é a realização de um fenómeno aleatório e a observação dos resultados.
Espaço de resultados ou espaço amostral – S – é o conjunto de todos os resultados possíveis associados a uma experiência aleatória.
Acontecimento – é qualquer subconjunto do espaço de resultados.
Um acontecimento diz-se: o
Elementar se é constituído por um só elemento do espaço de resultados
o
Composto se é constituído por mais do que um elemento do espaço de resultados
o
Certo se é constituído por todos os elementos do espaço de resultados
o
Impossível se não contém qualquer resultado do espaço de resultados
Probabilidade empírica ou frequencista de um acontecimento A – P(A) – é o valor para o qual tende a estabilizar a frequência relativa da realização de A, à medida que aumenta o número de repetições da experiência aleatória.
Resultados favoráveis a um acontecimento – são os resultados em que ocorre o acontecimento.
Acontecimentos equiprováveis – são acontecimentos que têm a mesma probabilidade de acontecer.
Regra de Laplace – se os resultados possíveis de uma experiência aleatória são equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento A é: P(A) = número de casos favoráveis ao acontecimento A número de casos possíveis 3
Se A é um acontecimento então: 0
P(A)
1
o
se A é impossível então: P(A) = 0
o
se A é possível mas não certo então: 0
o
se A é certo então: P(A) = 1
< P(A) < 1
Os acontecimentos elementares de uma determinada experiência aleatória são: A, B, C, . . . , K. Então tem-se: P(A) + P(B) + . . . + P(K) = 1, isto é, a soma das probabilidades dos acontecimentos elementares de qualquer experiência aleatória é igual 1.
Acontecimento complementar ou contrário de A – A – é o acontecimento formado por todos os resultados do espaço de resultados que não fazem parte do acontecimento A.
Se A é um acontecimento e A o seu contrário então: S = A
A
A
S A
A probabilidade do acontecimento complementar de A é: P( A ) = 1 – P(A)
Acontecimentos incompatíveis ou disjuntos – são acontecimentos que não têm qualquer resultado em comum, isto é, se A e B são incompatíveis então A
B=
S B A
Se dois acontecimentos A e B são incompatíveis tem-se: P(A B) = P(A) + P(B)
Acontecimentos compatíveis – são acontecimentos que têm resultados em comum, isto é, se C e D são compatíveis então C
D
S D C
Se dois acontecimentos C e D são compatíveis tem-se: P(C D) = P(C) + P(D) – P(C D) 4
ESCOLA BÁSICA DA SENHORA DA HORA MATEMÁTICA - 9º ANO - « FUNÇÕES »
É essencial saber Função é uma correspondência entre duas variáveis x e y , que a cada valor da primeira, x , faz corresponder um e um só valor da segunda, y :
Domínio da função é o conjunto dos valores que x pode tomar e, o conjunto dos valores correspondentes de y é o contradomínio da função.
x é a variável independente e y é a variável dependente (y depende de x ou, y é função de x).
Proporcionalidade direta – duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente (x0 e y0) entre dois quaisquer valores correspondentes é constante. Se x = 0 também y = 0. A essa constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade direta:
k =
( k 0).
Funções de proporcionalidade direta são funções do tipo y = k x x ( k 0). O gráfico de uma função de proporcionalidade direta é uma reta que contém a origem.
Proporcionalidade inversa – duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto de dois quaisquer valores correspondentes é constante e diferente de zero. A essa constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade inversa:
x x y = k ( k 0)
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Funções de proporcionalidade inversa são funções do tipo y =
k , k0 e x0. x
O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa chama-se hipérbole. Uma hipérbole é constituída por dois ramos:
Funções quadráticas do tipo y = ax2 , a 0 , são representadas graficamente por parábolas:
Se a > 0 – as funções têm como gráfico uma parábola com a concavidade voltada para cima
Se a < 0 – as funções têm como gráfico uma parábola com a concavidade voltada para baixo
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y = ax2
Domínio = IR Contradomínio = IR0+ Decrescentes de - até 0 a > 0
Crescentes de 0 até + A parábola é simétrica em relação ao eixo Oy O ponto de coordenadas (0 , 0) é o vértice da parábola À medida que o valor de a aumenta, a parábola estreita.
Domínio = IR Contradomínio = IR0 Crescentes de - até 0 a < 0
Decrescentes de 0 até + A parábola é simétrica em relação ao eixo Oy O ponto de coordenadas (0 , 0) é o vértice da parábola À medida que o valor absoluto de a aumenta, a parábola estreita.
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ESCOLA BÁSICA DA SENHORA DA HORA MATEMÁTICA - 9º ANO - « EQUAÇÕES »
É essencial saber Equação do 2º grau – é uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0 , em que os coeficientes a , b e c representam números e a 0. Diz –se que a equação ax2 + bx + c = 0 está escrita na forma canónica (no membro esquerdo tem-se um polinómio, em que o 1º termo é de 2º grau, o 2º termo é de 1º grau e o último termo é o termo independente e o membro direito é zero).
Equação do 2º grau completa – é uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0 em que todos os coeficientes são diferentes de zero: a 0 , b 0 , c 0.
Equação do 2º grau incompleta – é uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0 em que um dos coeficientes b ou c é nulo, ou são ambos nulos: o
ax2 = 0
( b = 0 e c = 0)
o
ax2 + c = 0
(b = 0 e c 0)
o
ax2 + bx = 0
(b 0 e c = 0)
Resolução de equações incompletas de 2º grau: o
Do tipo ax2 = 0 Exemplo: 3x2 = 0 x2 =
o
0 x2 = 0 x = 3
0 x = 0 uma única solução: zero
Do tipo ax2 + c = 0 Exemplo 1: 5x2 - 20 = 0 5x2 = 20 x2 =
20 x2 = 4 x = 4 x = 2 5
8 x2 = - 2 equação impossível 4
duas soluções simétricas Exemplo 2: 4x2 + 8 = 0 4x2 = - 8 x2 = não tem solução o
Do tipo ax2 + bx = 0 Exemplo 1: 2x2 – 20x = 0 2x(x – 10) = 0 2x = 0 x – 10 = 0 x = 0 x = 10 Exemplo 2: 3x2 + 7x = 0 x(3x + 7) = 0 x = 0 3x + 7 = 0 x = 0 x =
este tipo de equações tem sempre duas soluções em que uma delas é zero. 8
7 3
Resolução de equações completas de 2º grau: para resolver equações do 2º grau a uma incógnita usamos a fórmula resolvente:
ax
2
bx c 0 x
2 b b 4ac 2a
Binómio discriminante – a expressão b
2
4ac chama-se binómio discriminante e representa-se pela
letra grega o
se > 0 então a equação tem duas soluções diferentes
o
se = 0 então a equação tem uma solução dupla (duas soluções iguais)
o
se < 0 então a equação é impossível, não tem solução
Exemplo 1: x2 + 2x - 15 = 0 x=
2 2 2 4 1 15
x=
Exemplo 2: x2 - 8x + 16 = 0 x= x=
Exemplo 3: 2x2 + 3x + 5 = 0 x=
21 28 2
x=
8
28 2
2
x=
80 2
2 3 3 425 22
9
2 64 2
x=
28 2
x=-5 x=3
- 82 4 1 16 21
80
x=
x=
8 64 - 64 2
x=
80 2
x = 4 x = 4 (4 é solução dupla)
x=
- 3 - 31 4
equação impossível
ESCOLA BÁSICA DA SENHORA DA HORA MATEMÁTICA - 9º ANO - « CIRCUNFERÊNCIA »
É essencial saber Corda de uma circunferência – é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Diâmetro de uma circunferência – é uma corda que passa pelo seu centro. Raio de uma circunferência – é um segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferência. Ângulo ao centro numa circunferência – é qualquer ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência, por exemplo: ângulo ao centro AOB (o centro da circunferência é o ponto O e, A e B são dois pontos quaisquer da circunferência) Arco de circunferência – é uma porção da circunferência correspondente a um ângulo ao centro, por exemplo: ao ângulo ao centro AOB corresponde o arco AB. Numa circunferência, a amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do seu arco
correspondente: AOB AB Numa circunferência, ou em circunferências congruentes: o
a cordas congruentes correspondem arcos e ângulos ao centro congruentes
o
a arcos congruentes correspondem cordas e ângulos ao centro congruentes
o
a ângulos ao centro congruentes correspondem arcos e cordas congruentes.
o Setor circular (de amplitude ) – é um conjunto de pontos de um círculo limitado por dois raios e um arco de circunferência: O comprimento c do arco AB é dado por:
360º _____ 2r
c =
A área A do setor circular AOB é dada por:
_____ c
α 2π r 360
360º _____ r2
A =
_____ A
α π r2 360
Qualquer reta que passa pelo centro de uma circunferência e é perpendicular a uma corda divide-a ao meio, assim como ao arco e ao ângulo ao centro correspondentes. Cordas e arcos compreendidos entre cordas paralelas são congruentes. 10
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia. Ângulo inscrito numa circunferência – é qualquer ângulo excêntrico cujo vértice pertence à circunferência e cujos lados contêm cordas. Numa circunferência, a amplitude de um ângulo inscrito AVB é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados e igual a metade da amplitude do ângulo ao centro
AB AOB correspondente: AVB 2 2 Amplitude de um ângulo com o vértice no interior da circunferência é dado por:
AB CD AVB 2
Amplitude de um ângulo com o vértice no exterior da circunferência é dado por:
AB CD AVB 2
Lugar geométrico – é um conjunto de pontos que têm uma propriedade em comum. Lugares geométricos no plano: Circunferência de centro O e raio r – é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância ao ponto O é igual a r. Círculo de centro O e raio r – é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância ao ponto O é menor ou igual a r.
Mediatriz de um segmento de reta AB – é o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de A e de B.
Bissetriz de um ângulo – é o conjunto de todos os pontos do ângulo equidistantes dos seus lados. 11
Lugares geométricos no espaço: Superfície esférica de centro O e raio r – é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual a r. Esfera de centro O e raio r – é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor ou igual a r.
Plano mediador de um segmento de reta AB – é o conjunto de todos os pontos do espaço equidistantes de A e de B.
Circuncentro de um triângulo – é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados desse triângulo. O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, a circunferência que passa pelos três vértices do triângulo. Incentro de um triângulo – é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos desse triângulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, isto é, a circunferência que é tangente aos lados do triângulo. Polígono regular inscrito numa circunferência: Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se todos os seus vértices são pontos da circunferência. Um polígono diz-se regular se tiver os lados iguais entre si e os ângulos iguais entre si. Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência. A soma Si das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dada pela expressão: Si = (n – 2) x 180º A soma Se das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é igual a 360º: Se = 360º Em qualquer polígono regular tem-se: A amplitude de cada ângulo externo =
360º n
A amplitude de cada ângulo interno =
180º
12
360º n
O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é congruente com o raio dessa circunferência: O hexágono [ABCDEF] está inscrito na circunferência de centro O. “Os seis triângulos em que o hexágono está dividido são equiláteros”. Por ex: No triângulo [OEF] tem-se: OE OF porque [OE] e [OF] são raios. Então também OEF OFE , e como 60º + OEF + OFE = 180º , conclui-se que, OEF = 60º e OFE = 60º
Conclusão: como os três ângulos internos do triângulo [OEF] têm de amplitude 60º, o triângulo é equilátero e portanto: lado = raio.
O apótema de um polígono regular - é um segmento de reta que une o centro do polígono (centro da circunferência circunscrita) com o ponto médio de qualquer dos lados (logo é a altura de qualquer um dos triângulos em que o polígono pode ser dividido):
apótema
A área de um polígono regular com n lados é dada por: Apolígono regular =
n Atriângulo = n
(onde l é a medida do lado e
Apolígono regular =
l ap 2
=
n l ap n l ap P ap = = 2 2 2
n o número de lados, e portanto, n l é o perímetro P do polígono)
P ap 2
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Espero que este livro te tenha ajudado e que estejas preparado para a Prova Final.
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