Κρούσεις - ταλαντώσεις θεωρία by Σ. Ραμιώτης - φυσικός

2016 Κεντρική – ελαστική κρούση Τα δύο σώματα κινούνται στην ίδια ευθεία και συγκρούονται ασκώντας το ένα στο άλλο πολύ μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Στην ελαστική κρούση θεωρούμε ότι δεν υπάρχει απώλεια ενέργειας και για εξετάσω αν μια κρούση είναι ελαστική αρκεί να συγκρίνω την ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων πριν και μετά την κρούση.

Φυσική Γ΄ λυκείου

Αν η κρούση είναι ελαστική θα ισχύει ΚΟΛ(πριν) = ΚΟΛ(μετά)

Φυσική Γ΄ λυκείου

Κρούσεις - Ταλαντώσεις

Όπως και σε κάθε άλλη κρούση έτσι και στην ελαστική κρούση διατηρείται η ολική ορμή του συστήματος, δηλαδή ισχύει η Α.Δ.Ο. ΡΟΛ(πριν) = ΡΟΛ(μετά) m1

Προσοχή η ορμή είναι διάνυσμα και για τη σωστή εφαρμογή της Α.Δ.Ο. πρέπει να ορίσω θετική φορά.

Έστω ότι τα σώματα του διπλανού σχήματος συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Τότε έχω ΡΟΛ(πριν) = ΡΟΛ(μετά)

m1u1 +m2 u2 = m1u1 ΄ +m2 u2 ΄

m1u1 – m1 u1 ΄ = m2u2 ΄ - m2 u2

m1 (u1 –u1΄) = m2 (u2΄ - u2 ) (1) ΚΟΛ(πριν) = ΚΟΛ(μετά)

m1u12 + m2 u22 = m1u1 ΄2 + m2 u2΄2

m1u12 – m1 u1΄2 = m2u2 ΄2 - m2 u22

m1 (u12 –u1΄2 ) = m2 (u2 ΄2 - u22 )

m1 (u1 –u1΄) (u1 + u1΄) = m2 (u2΄ - u2 ) (u2΄ + u2 )

(2)

Διαιρώ κατά μέλη τη σχέση (2) με την (1) και έχω u1 + u1΄ = u2΄ + u2 Αυτή είναι μια χρήσιμη σχέση που όμως θέλει πάντα απόδειξη.

www.physicsnet.edu.gr (3)

Λύνω ως προς u2΄ και έχω u2΄ = u1 + u1΄ - u2 Αντικαθιστώ την (3) στην (1) και προκύπτει

u1΄=

u1 +

u2 (4)

Αντικαθιστώ την (4) στην (3) και προκύπτει

u2΄=

u1 +

u2 (5)

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 1

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Προσοχή οι παραπάνω σχέσεις είναι αλγεβρικές, δηλαδή αν μια ταχύτητα βγει αρνητική αυτό σημαίνει ότι έχει φορά αντίθετη απ αυτή που ορίσαμε ως θετική και αν μια απ τις , έχει αρνητική φορά, θα αντικατασταθεί στον τύπο με αρνητικό πρόσημο. Παρατηρήσεις Ενώ για το σύστημα ισχύει η Α.Δ.Ο. η ορμή καθενός σώματος αλλάζει και μάλιστα όσο αυξάνει η ορμή του ενός, τόσο μειώνεται η ορμή του άλλου. = =-

Προσοχή η σχέση ισχύει μόνο διανυσματικά.

Αντίστοιχα ισχύουν και για τις κινητικές ενέργειες. Για το σύστημα είναι ΚΟΛ(πριν) = ΚΟΛ(μετά) ενώ η κινητική ενέργεια καθενός σώματος αλλάζει και μάλιστα όσο αυξάνει η κινητική ενέργεια του ενός, τόσο μειώνεται του άλλου. ΚΟΛ(πριν) = ΚΟΛ(μετά)

Κ1 + Κ2 = Κ1 ΄ + Κ2΄

Κ1 - Κ1΄ = Κ2 ΄ - Κ2

ΔΚ1 = - ΔΚ2

Η ορμή είναι διάνυσμα και έχει μέτρο και κατεύθυνση. Γι αυτό θέλει ιδιαίτερη προσοχή όταν ζητείται η μεταβολή της. Είναι άλλο να ζητείται το μέτρο της μεταβολής της ορμής και άλλο να ζητείται η μεταβολή του μέτρου της ορμής. π.χ. (1) Το μικρό σώμα μάζας m1 του σχήματος συγκρούεται ελαστικά με ακλόνητο τοίχο και ανακλάται με ταχύτητα μέτρου u1΄= u1.

Η μεταβολή του μέτρου της ορμής είναι ΄

Δ Ρ = Ρ ΄ - Ρ = m1u1΄ - m1u1 = 0 Το μέτρο της μεταβολής της ορμής είναι

= 2m1u1

π.χ.(2) Το μικρό σώμα του σχήματος κάνει ο.κ.κ. με ταχύτητα μέτρου u1. Κατά την κίνησή του από τη θέση Α στη Β διαγράφει γωνία 90 ο. Η μεταβολή του μέτρου της ορμής είναι ΔΡ =|

= m1u1 ΄ - m1u1 = 0

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 2

m1 ΄

Η ορμή είναι διάνυσμα και ενώ το μέτρο της έχει μείνει σταθερό έχει αλλάξει η κατεύθυνση. Άρα υπάρχει μεταβολή της ορμής ίση με

Δ = m1 A

+ (-

)

Το μέτρο της μεταβολής της ορμής είναι

= m1u1

Αν η κρούση είναι κεντρική – ελαστική και τα σώματα έχουν ίσες μάζες m1 = m2 τότε ανταλλάσουν ταχύτητες, ορμές και κινητικές ενέργειες. Πράγματι αν m1 = m2

(4)

u1΄ = u2 άρα και Ρ1΄ = Ρ2 και

Κ1 ΄ = Κ 2

(5)

u2΄ = u1 άρα και Ρ2΄ = Ρ1 και

Κ2 ΄ = Κ1

Αν το m2 λίγο πριν την κρούση ήταν ακίνητο, δηλαδή u2 = 0 οι τύποι (4) και (5) γίνονται

u1΄=

u1 (6 )

και

u2΄=

u1 (7 )

Από αυτούς παρατηρώ ότι αν m1 = m2 τότε u1΄ =0 και u2΄ = u1 (αντάλλαξαν ταχύτητες ) αν m1 m2 τότε u1΄

αν m1 m2 τότε u1΄

αν m1

m2 τότε u1΄ u1 και u2΄ 2u1

αν m1

m2 τότε u1΄ - u1 και u2΄ 0 ( ανάκλαση )

Σε ορισμένες ασκήσεις συναντάμε την περίπτωση κεντρικής ελαστικής κρούσης με το m2 αρχικά ακίνητο, δηλαδή u2 = 0 και m2 = 3 m1. Τότε οι τύποι (6) και (7) δίνουν u1 ΄ = -

και

u2΄ =

(θέλει όμως απόδειξη)

Κεντρική – ανελαστική κρούση Στην ανελαστική κρούση υπάρχει απώλεια ενέργειας και γι αυτό δεν ισχύει η Α.Δ.Κ.Ε. Ισχύει όμως η Α.Δ.Ο.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 3

Στο παρακάτω παράδειγμα το m2 είναι αρχικά ακίνητο Α.Δ.Ο.

ΡΟΛ(πριν) = ΡΟΛ(μετά)

u2=0

m1u1 = m1u1 ΄ +m2 u2΄

Η απώλεια ενέργειας ισούται με Εαπωλ.= ΚΟΛ(πριν) - ΚΟΛ(μετά) = = m1u12 - m1u1΄ 2 - m2u2΄ 2 Η ενέργεια αυτή συνήθως γίνεται θερμότητα.

Κεντρική – πλαστική κρούση Είναι ειδική περίπτωση της ανελαστικής όπου μετά την κρούση τα δύο σώματα ενώνονται και δίνουν ένα συσσωμάτωμα. Ισχύει η Α.Δ.Ο. αλλά όχι η Α.Δ.Κ.Ε.

u2=0

Α.Δ.Ο. ΡΟΛ(πριν) = ΡΟΛ(μετά) m1u1 = (m1+ m2 )V V= Η απώλεια ενέργειας ισούται με Εαπωλ. = ΚΟΛ(πριν) - ΚΟΛ(μετά) =

m1u12 - (m1 + m2 )V 2 = m1u12 - (m1 + m2 ) = m1u12 ( 1 -

= m1u1 2 -

) = Κ(πριν)

Το επί τοις εκατό ποσοστό απώλειας ενέργειας είναι 100% =

100%

Έκρηξη Είναι το αντίθετο της πλαστικής κρούσης. Εδώ έχουμε ένα σώμα το οποίο ξαφνικά διασπάται σε δύο ή περισσότερα θραύσματα. Η συνολική ορμή διατηρείται ενώ η κινητική ενέργεια όχι αφού κατά την έκρηξη απελευθερώνεται ενέργεια.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 4

Για τις μάζες ισχύει Μ = m1 + m2

Από την Α.Δ.Ο. έχω ΡΟΛ(πριν) = ΡΟΛ(μετά)

0 = m1u1 +m2 u2

Η ενέργεια που απελευθερώνεται είναι

Εαπελευθ..= ΚΟΛ(μετά) - ΚΟΛ(πριν) = m1

= m1u12 +

m2 u22

Μη κεντρικές κρούσεις Υπάρχουν δύο είδη μη κεντρικών κρούσεων, η έκκεντρη και η πλάγια.

Έκκεντρη κρούση Η κρούση αυτή μπορεί να συμβεί μόνο μεταξύ στερεών σωμάτων, δηλαδή σωμάτων που έχουν διαστάσεις. Τα δύο σώματα πριν την κρούση έχουν ταχύτητες οι φορείς των οποίων δεν είναι πάνω στην ίδια ευθεία αλλά σε ευθείες παράλληλες. m2

Οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση έχουν τυχαίες διευθύνσεις. Σε τέτοιες ασκήσεις εφαρμόζω την Α.Δ.Ο. διανυσματικά δηλαδή

και αν η κρούση είναι ελαστική κάνω και Α.Δ.Κ.Ε.

΄ m1

Η εφαρμογή της Α.Δ.Ο. μπορεί να γίνει με δύο τρόπους

1ος τρόπος – μέθοδος παραλληλογράμμου Αυτή τη μέθοδο θα την επιλέγω μόνο αν έχω συνολικά πριν και μετά την κρούση τρεις ορμές και αν δίνεται ή ζητείται η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι ορμές πριν ή μετά την κρούση.Για το παράδειγμα του παραπάνω σχήματος, έστω ότι δίνεται ή ζητείται η οξεία γωνία θ που σχηματίζουν μεταξύ τους οι ταχύτητες μετά την κρούση. Η

είναι ένα διάνυσμα που έχει την κατεύθυνση της

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

αν m2u2

m1u1

Σελίδα 5

Σύμφωνα με την Α.Δ.Ο. πρέπει

άρα και η

πρέπει

να είναι ένα διάνυσμα ίδιο με την Σχεδιάζω παραλληλόγραμμο με πλευρές τις ΄και πρέπει να είναι η Α.Δ.Ο.

΄η διαγώνιος του οποίου

– m1

Από τη λύση αυτής της σχέσης θα προκύψει το ζητούμενο. Αν δεν προκύψει απευθείας είναι πιθανόν η ΄ κρούση να είναι ελαστική οπότε θα κάνω και Α.Δ.Κ.Ε. ή θα δίνεται και κάποια άλλη σχέση.

2ος τρόπος – ανάλυση σε άξονες Αυτή η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί παντού αλλά θα την επιλέγω αν έχω συνολικά πριν και μετά την κρούση τέσσερις ορμές και αν δίνεται ή ζητείται η γωνία που σχηματίζουν οι ορμές πριν ή μετά την κρούση όχι μεταξύ τους αλλά με κάποιο άξονα. Αν στο προηγούμενο παράδειγμα δεν δίνεται (ή ζητείται) η θ αλλά οι γωνίες φ 1 και φ2 που σχηματίζουν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση, με τις ταχύτητες πριν την κρούση δηλαδή με τον άξονα χ΄χ τότε α) σχεδιάζω ορθογώνιο σύστημα αξόνων χΟy με τον χ΄χ στη διεύθυνση των αρχικών ορμών (ή σε όποια άλλη διεύθυνση βολεύει)

΄ ΄φ1

φ2 ΄

β) αναλύω τις

και

΄ σε συνιστώσες με μέτρα Ρ1χ΄ = Ρ1΄ συνφ1, Ρ1y΄ = Ρ1΄ ημφ1

Ρ2χ΄ = Ρ2 ΄συνφ2 , Ρ2y΄ = Ρ2΄ ημφ2 γ) Εφαρμόζω την Α.Δ.Ο. σε κάθε άξονα χωριστά Α.Δ.Ο. στον χ΄χ (θεωρώ θετική φορά προς τα αριστερά ) Ρχ(πριν) = Ρχ(μετά) m2

– m1

= m2

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

συνφ2 + m1

συνφ1

Σελίδα 6

Α.Δ.Ο. στον y΄y

Ρy(πριν) = Ρy(μετά)

0 = m2

ημφ2 - m1

ημφ1

δ) Λύνω το σύστημα των δύο εξισώσεων και συνήθως προκύπτει το ζητούμενο. Αν δεν προκύψει απευθείας είναι πιθανόν η κρούση να είναι ελαστική οπότε θα κάνω και Α.Δ.Κ.Ε. ή θα δίνεται και κάποια άλλη σχέση.

Γιατί μετά από μια μη κεντρική κρούση τα σώματα δεν κινούνται στην ίδια ευθεία ; Έστω δύο σφαιρικά σώματα με μάζες m1 και m2 και λείες επιφάνειες που συγκρούονται έκκεντρα. Ας δούμε αναλυτικά τι συμβαίνει τη στιγμή της κρούσης.

΄ ΄

Λίγο πριν την κρούση

κρούση

Λίγο μετά την κρούση

Τη στιγμή της κρούσης ασκούνται μεταξύ των σωμάτων δυνάμεις και ίσες κατά μέτρο και αντίθετης φοράς (δράση – αντίδραση) οι οποίες έχουν τη διεύθυνση της διακέντρου των δύο σφαιρών. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η σφαίρα (2) να κινηθεί μετά την κρούση στη διεύθυνση της , αφού πριν την κρούση ήταν ακίνητη. Από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του προβλήματος μπορώ να βρω τη γωνία θ που σχηματίζει η μεθόδους.

με τη

και στη συνέχεια να εφαρμόσω μια από τις παραπάνω

Παρατήρηση Αν οι σφαίρες δεν ήταν λείες θα εμφανίζονταν και δυνάμεις εφαπτόμενες στην επιφάνεια στο σημείο επαφής, οι οποίες θα προκαλούσαν την περιστροφή των σφαιρών. Τέτοια περίπτωση θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο. Εφαρμογή Δύο απόλυτα όμοιες ελαστικές και λείες σφαίρες με μάζες m και ακτίνες R συγκρούονται έκκεντρα όπως στο σχήμα. Τη στιγμή της κρούσης αναπτύσσονται μεταξύ των σφαιρών δυνάμεις στη διεύθυνση της Α Γ διακέντρου ΑΒ και η σφαίρα (2) μετά την κρούση θα κινηθεί στη διεύθυνση αυτή. θ Β

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχω ημθ =

άρα θ = 300 . Τώρα γνωρίζω τη διεύθυνση κίνησης της

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 7

σφαίρας (2) μετά την κρούση. Θα εφαρμόσω τη μέθοδο των αξόνων.

Α.Δ.Ο. στον y΄y Ρy(πριν) = Ρy(μετά) ημφ =

0=m

ημφ =

ημθ - m

ημφ

(1)

Α.Δ.Ο. στον χ΄χ (θεωρώ θετική φορά προς τα δεξιά ) Ρχ(πριν) = Ρχ(μετά) m

= m

συνφ =

συνφ

(2) Υψώνω τις (1) και (2) στο τετράγωνο και αθροίζω

ημ2φ +συν2φ = =

συνθ + m

Από την Α.Δ.Κ.Ε. έχω

(3)

mu12 = mu1΄ 2 + mu2΄ 2

Από (3) και (4) με αφαίρεση έχω – 2 άρα από την (1) ημφ =

= =

(4) και

οπότε φ = 60ο

Παρατήρηση Αν δύο όμοιες ελαστικές σφαίρες συγκρουστούν έκκεντρα – ελαστικά και η Σ2 ήταν ακίνητη πριν την κρούση, θα αποκτήσουν ταχύτητες με διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους αμέσως μετά την κρούση. Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε λύνοντας το παραπάνω παράδειγμα με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου και μάλιστα συντομότερα. Δοκιμάστε το.

Άλλες περιπτώσεις 1. Αν το ένα από τα δύο σώματα που συγκρούονται κινείται πάνω σε σταθερό δάπεδο τότε εφαρμόζω την Α.Δ.Ο. μόνο στον άξονα χ΄χ που είναι παράλληλος σ αυτό το δάπεδο.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 8

u2χ m2

u2y

u2 u1

Στο διπλανό παράδειγμα το m1 συγκρούεται πλαστικά με το m2 το οποίο αρχικά ήταν ακίνητο, χωρίς να αναπηδήσει στο πάτωμα. Η ορμή στον y΄y

δεν διατηρείται. Διατηρείται όμως στον χ΄χ

Px(πριν) = Px(μετά) → m1u1 – m2u2x = (m1 + m2)V 2. Στο παρακάτω παράδειγμα το m1 που θεωρείται σημειακό, συγκρούεται ελαστικά με το m2 το οποίο αρχικά ήταν ακίνητο. Όλες οι κινήσεις γίνονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

φ y

χ΄

κάτοψη

y΄

Τη στιγμή της κρούσης ασκούνται δυνάμεις μεταξύ των σωμάτων. Οι δυνάμεις αυτές είναι δυνάμεις κάθετες στην επιφάνεια επαφής, άρα έχουν τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, οπότε το m2 θα κινηθεί σ αυτή τη διεύθυνση μετά την κρούση. Ας εξετάσουμε δύο ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω α) Αν m1 = m2 Α.Δ.Ο. στον y΄y Ρy(πριν) = Ρy(μετά) ημφ =

ημφ = m

ημθ

ημθ (1)

Α.Δ.Ο. στον χ΄χ (θεωρώ θετική φορά προς τα αριστερά ) Ρχ(πριν) = Ρχ(μετά) m

συνφ = m

-m

συνθ

συνφ =

(2) Υψώνω τις (1)

και (2) στο τετράγωνο και αθροίζω ημ2φ +συν2φ =

ημ2θ +

= =

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

ημ2θ + (3)

Σελίδα 9

Από την Α.Δ.Κ.Ε. έχω

mu12 = mu1΄ 2 + mu2΄ 2

Από (3) και (4) έχω –

+ =

β) Αν m2 στερεωμένο ακλόνητα ή m2

(4)

οπότε θ= 90ο

Τότε u2΄=0 και η ορμή του m1 στον χ΄χ δεν διατηρείται. Το m1 ανακλάται με ταχύτητα μέτρου = συνθ = συνφ (1) Η ορμή του m1 στον y΄y διατηρείται άρα m1 ημφ =

ημφ = m1

ημθ

ημθ (2)

Αφού η κρούση είναι ελαστική, η ολική κινητική ενέργεια διατηρείται m1u12 = m1 u1΄ 2

και έτσι από τον τύπο (1) ή (2) προκύπτει ότι

ημφ = ημθ άρα φ = θ

Απλή αρμονική ταλάντωση α.α.τ. Είναι μια κίνηση που γίνεται σε ευθεία γραμμή, παλινδρομικά γύρω από μια θέση ισορροπίας ( Θ.Ι.) και οι εξισώσεις που την περιγράφουν είναι αρμονικές συναρτήσεις του χρόνου.

Α.Θ.

Θ.Ι. Α

Α. Θ. Α

Χαρακτηριστικά της α.α.τ. 1. Περίοδος Τ Είναι ο χρόνος που απαιτείται για να κάνει το σώμα μια πλήρη ταλάντωση, δηλαδή για να πάει από τη μια Α.Θ. στην άλλη και πίσω στην αρχική, ή για να πάει απ τη Θ.Ι. στη μια Α.Θ. μετά στην άλλη Α.Θ. και πίσω στη Θ.Ι. κ.ο.κ. Δηλαδή σε μια περίοδο Τ το σώμα περνάει από κάθε θέση 2 φορές. Προσοχή η α.α.τ. δεν είναι ε.ο.κ. δηλαδή το σώμα δεν διανύει ίσες αποστάσεις σε ίσους χρόνους. Έτσι ένα σώμα που κάνει α.α.τ. και την t = 0 διέρχεται από τη Θ.Ι. σε χρόνο Τ διανύει απόσταση 4Α σε χρόνο διανύει απόσταση 2Α

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 10

σε χρόνο διανύει απόσταση Α σε χρόνο διανύει απόσταση Α

!!! και όχι

Αν σε χρόνο t το σώμα κάνει Ν ταλαντώσεις τότε η περίοδος ισούται με Τ = μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 s

2. Συχνότητα f Είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ισούται με τον αριθμό Ν των ταλαντώσεων που κάνει το σώμα σε χρόνο t. f=

και αν t = T , N = 1 τότε f =

μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 Hz

3. Γωνιακή συχνότητα ω Είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της φάσης. ω=

ω=

ω = 2πf

μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1rad/s

4. Πλάτος Α Είναι η απόσταση της Θ.Ι. από κάθε Α.Θ. δηλαδή η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από τη Θ.Ι.

5. Απομάκρυνση χ Είναι η απόσταση από τη Θ.Ι. Α.Θ.

Α. Θ.

Θ.Ι.

χ Α

-Α

ενώ το πλάτος Α μπορεί να είναι μόνο θετικό, η απομάκρυνση χ μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές

6. Φάση φ είναι μια γωνία που αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο και η τιμή της κάθε στιγμή καθορίζει τη θέση και την ταχύτητα του σώματος. φ = ωt + φο φ

η κλίση της ευθείας είναι ο ρυθμός μεταβολής της φο

φάσης δηλαδή η γωνιακή συχνότητα ω εφθ =

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

=ω

Η γωνία φο στον τύπο της φάσης λέγεται αρχική φάση

Σελίδα 11

και είναι η τιμή της φάσης την t = 0 Προσοχή η φο δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές, ή τιμές μεγαλύτερες από 2π ( στα πλαίσια αυτού του βιβλίου)

φο

2π

Εξισώσεις κίνησης της α.α.τ. Εξίσωση απομάκρυνσης χ χ = Αημ(ωt + φο ) Αν την t=0 το σώμα διέρχεται από τη Θ.Ι. κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, δηλαδή χ = 0 και u 0 τότε και μόνο τότε έχει φο = 0 και η εξίσωση απομάκρυνσης γίνεται χ = Αημωt χ η αντίστοιχη γραφική παράσταση είναι

t -A

δηλαδή την t = 0 είναι χ = 0 και u την t =

είναι χ = Α

την t =

είναι χ = 0 και u

χ A

την t =

είναι χ = -Α κ.ο.κ.

Αν υπάρχει αρχική φάση, η γραφική παράσταση είναι μετατοπισμένη αριστερά κατά Δt = -

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

t -A

Σελίδα 12

Εξίσωση ταχύτητας u u = umax συν(ωt + φο ) Αν φο = 0 και η εξίσωση ταχύτητας γίνεται u = umax συνωt όπου

u umax

umax=ωΑ η αντίστοιχη γραφική παράσταση είναι

την t = 0 είναι χ = 0 και u= umax την t =

είναι χ = Α και u= 0

την t =

είναι χ = 0 και u= - umax

την t =

είναι χ = -Α και u= 0

-umax

Εξίσωση επιτάχυνσης α α= -αmax ημ(ωt + φο ) α= -αmax ημωt όπου

Αν φο = 0 και η εξίσωση της επιτάχυνσης γίνεται 2

αmax=ω Α η αντίστοιχη γραφική παράσταση είναι α

την t = 0 είναι χ = 0 , u= umax και α = 0

αmax

την t =

είναι χ = Α , u= 0 και α = - αmax

την t =

είναι χ = 0 , u= - umax και α = 0

t αmax

την t=

είναι χ = -Α , u= 0 και α = αmax

Πρόσημα Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα πρόσημα απομάκρυνσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης σε μια α.α.τ.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 13

Α.Θ.

Α. Θ.

Θ.Ι.

χ 0

χ = -Α

χ=0 χ=0

χ=Α u 0

u 0 u 0

u α

α = αmax

umax

u 0 α 0

α=0

α = -αmax

Διαφορές φάσης Τα μεγέθη χ, u και α έχουν μεταξύ τους σταθερή διαφορά φάσης η οποία υποδηλώνει τη χρονική διαφορά με την οποία το καθένα μεγιστοποιείται, ή μηδενίζεται χ = Αημ(ωt + φο )

φχ = ωt+ φο

u = umax συν(ωt + φο )

u = umax ημ(ωt + φο + )

α= -αmax ημ(ωt + φο )

α= -αmax ημ(ωt + φο + π )

φu = ωt+ φο + φα= ωt+ φο + π

Παρατηρώ ότι η u προηγείται φασικά της χ κατά π/2 άρα προηγείται χρονικά κατά Τ/4 η α προηγείται φασικά της u κατά π/2 άρα προηγείται χρονικά κατά Τ/4 η α προηγείται φασικά της χ κατά π άρα προηγείται χρονικά κατά Τ/2

Πως προκύπτουν οι εξισώσεις της α.α.τ. από την ο.κ.κ. και το περιστρεφόμενο διάνυσμα. Σχεδιάζω κύκλο ακτίνας Α, ορθογώνιο σύστημα αξόνων χOy και διάνυσμα μέτρου

= Α το οποίο την t0 = 0 ταυτίζεται με το θετικό οριζόντιο ημιάξονα. Την

t0 = 0 το αρχίζει να περιστρέφεται αριστερόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Μετά από χρόνο t το διάνυσμα έχει διαγράψει γωνία θ = ωt και η προβολή του στον κατακόρυφο άξονα ισούται με (ΟΒ΄) = (ΟΒ)ημθ (ΟΒ΄) = (ΟΒ)ημωt (ΟΒ΄) = A ημωt

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 14

+Α Β

Β΄

χ 0

θ t0= 0

Άρα η προβολή του διανύσματος στον κατακόρυφο άξονα δίνει κάθε στιγμή την απομάκρυνση χ. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού η προβολή της ο.κ.κ. σε μια διάσταση είναι α.α.τ. Με ένα τέτοιο περιστρεφόμενο διάνυσμα μπορώ να παραστήσω κάθε α.α.τ. Αν έχει αρχική φάση απλά η αρχική του θέση δεν ταυτίζεται με τον θετικό οριζόντιο ημιάξονα.

-Α

+Α Β t0= 0

φο

-Α

Προσδιορισμός της αρχικής φάσης φο 1ος τρόπος (με τη λύση των εξισώσεων) Συνήθως δίνεται η πληροφορία ότι την t=0 η απομάκρυνση είναι χ = χ1 και η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική. Τότε αντικαθιστώ στην χ = Αημ(ωt + φο ) όπου t το μηδέν και όπου χ το χ1 και λύνω την εξίσωση. Βρίσκω δύο τιμές. Προσοχή στον περιορισμό 0 φο 2π Αντικαθιστώ καθεμιά από τις δύο αυτές τιμές στην u = umax συν(ωt + φο ) και κρατάω τελικά εκείνη που δίνει για t = 0 το σωστό πρόσημο της u σύμφωνα με την εκφώνηση. Αντίστοιχα εργαζόμαστε αν δίνεται για t = 0, u = u1 και το πρόσημο της χ, ή αν δεν δίνεται t = 0 αλλά κάποια άλλη στιγμή.

Εφαρμογή Σώμα κάνει α.α.τ. πλάτους Α και περιόδου Τ. Να βρεθεί η φ0 αν α) την t = 0 διέρχεται από την χ = κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, δηλ. u 0 β) την t = 0 έχει ταχύτητα μέτρου u = -

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

ενώ κινείται στο θετικό ημιάξονα, χ

Σελίδα 15

γ) την t = διέρχεται από την χ = - κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, u 0

Λύση α) χ = Αημ(ωt + φο )

= Αημφο

φο =

για κ = 0

φο = 2κπ +

= ημφο

ημφο = ημ

φο =

φο = 2κπ + π -

για κ = 0

Από τις δύο λύσεις θα κρατήσω αυτή που για t = 0 δίνει . u 0 δηλαδή την φο = β) u = umax συν(ωt + φο )

φο = 2κπ +

φο =

= umax συνφο

= συνφο

συνφο = συν

για κ = 0

ή φο = 2κπ -

φο =

για κ = 1

Από τις δύο λύσεις θα κρατήσω αυτή που για t = 0 δίνει . χ 0 δηλαδή την φο = γ) χ = Αημ(ωt + φο )

φο = 2κπ +

= Αημ(

φο = 2κπ + -

+ φο )

= ημ(

φο)

φο =

για κ = 1

ημ(

φο) = ημ

ή φο = 2κπ + π -

φο = 2κπ + π - -

φο =

Από τις δύο λύσεις θα κρατήσω αυτή που για t =

για κ = 0 δίνει . u 0 δηλαδή την φο =

2ος τρόπος (με τη χρήση του περιστρεφόμενου διανύσματος) Αν και η παραπάνω μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί γενικά, εμείς θα την προτιμήσουμε α) σε ασκήσεις όπου ζητείται η φ0 και δίνονται συγκεκριμένη τιμή για το χ και το πρόσημο της u.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 16

β) σε ασκήσεις όπου δίνονται δύο θέσεις και ζητείται ο χρόνος κίνησης από τη μια στην άλλη, ή το αντίστροφο.

Εφαρμογή Σώμα κάνει α.α.τ. πλάτους Α και περιόδου Τ. α) Να βρεθεί η φ0 αν την t = 0 διέρχεται από την χ1 = κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, δηλ. u 0 β) Να βρεθεί ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για να πάει απ την παραπάνω θέση στην χ2 = -

Λύση α) Σχεδιάζω τον κύκλο με το περιστρεφόμενο διάνυσμα σε τέτοια θέση ώστε η προβολή του στον κατακόρυφο άξονα να ισούται με +Α t0= 0 Β

Α/2

. Υπάρχουν δύο τέτοια

διανύσματα, ένα στο πρώτο και ένα στο δεύτερο τεταρτημόριο. Εμείς σχεδιάζουμε αυτό που δίνει u 0 δηλαδή αυτό που έχει θετικό συνημίτονο, άρα στο πρώτο τεταρτημόριο. Από το τρίγωνο ΟΒΓ προκύπτει ημφο =

φο Γ

άρα φο =

β) Ο ζητούμενος ελάχιστος χρόνος είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να πάει απ την χ1 με αρνητική ταχύτητα στην χ2 με αρνητική ταχύτητα. Σχεδιάζω τον κύκλο με το περιστρεφόμενο διάνυσμα σε δύο θέσεις τέτοιες ώστε η προβολή του στον κατακόρυφο άξονα για τη μια να ισούται με

και αρνητικό

συνημίτονο, άρα στο 2ο τεταρτημόριο και για την άλλη να ισούται με -

και

αρνητικό συνημίτονο, άρα στο 3ο τεταρτημόριο. +Α Α

Α/2 θ θ

Από τα τρίγωνα στο σχήμα βρίσκω ημθ =

άρα θ = 0 Α/2

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 17

Η συνολική γωνία που διαγράφει το περιστρεφόμενο διάνυσμα είναι Δφ = 2θ = Άρα Δt =

Σημαντικές φο Αν t=0, x = 0 και u Αν t=0, x = 0 και u Αν t=0, x = Α Αν t=0, x = - Α

φο = 0 φο = π φο = π/2 φο = 3π/2

0 0

Χρήσιμες σχέσεις α) Σχέση επιτάχυνσης – απομάκρυνσης χ = Αημ(ωt + φο ) α= -αmax ημ(ωt + φο )

α= -ω2Α ημ(ωt + φο )

Άρα

α= -ω2χ

Από την παραπάνω σχέση παρατηρώ ότι η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης έχει μονίμως αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση. Αυτό σημαίνει ότι όταν το σώμα είναι δεξιά της Θ.Ι. η επιτάχυνση έχει φορά προς τα αριστερά, ενώ όταν το σώμα είναι αριστερά της Θ.Ι. η επιτάχυνση έχει φορά προς τα δεξιά. Άρα η επιτάχυνση δείχνει πάντα προς τη Θ.Ι.

Α.Θ.

Θ.Ι. Α

Α. Θ. Α

β) Σχέση ταχύτητας – απομάκρυνσης χ = Α ημ(ωt + φο )

ημ(ωt + φο) =

ημ2 (ωt + φο) =

και u = umax συν(ωt + φο )

συν(ωt + φο) =

συν2 (ωt + φο) =

Προσθέτω κατά μέλη ημ2 (ωt + φο) + συν2 (ωt + φο) =

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 18

ω2Α2 = ω2χ2 + u2

u2 = ω2 (Α2 - x2 )

Από την παραπάνω σχέση παρατηρώ ότι α) αν γνωρίζω τη θέση χ μπορώ να βρω το μέτρο της ταχύτητας u β) αν γνωρίζω την ταχύτητα u μπορώ να βρω το μέτρο της απομάκρυνσης χ γ) αν γνωρίζω ταυτόχρονα τα χ, u μπορώ να βρω την ω ή το Α δ) όταν το σώμα περνάει από μια θέση ( δεδομένο χ ) έχει ταχύτητα ίδιου μέτρου και προς τις δύο φορές κίνησης ε) όταν το σώμα περνάει από δύο θέσεις συμμετρικές ως προς τη Θ.Ι. ( χ 1 = - χ2 ) έχει ταχύτητες ίδιου μέτρου. β) Σχέση ταχύτητας – επιτάχυνσης α = -ω2 Α ημ(ωt + φο )

ημ2 (ωt + φο) =

ημ(ωt + φο) = -

και u = umax συν(ωt + φο )

συν2 (ωt + φο) =

συν(ωt + φο) =

Προσθέτω κατά μέλη ημ2 (ωt + φο) + συν2 (ωt + φο) = ω4Α2 = ω2u2 + α2

α2 = ω2 (ω2Α2 - u2 )

1= ή

α=

Δυναμική μελέτη της α.α.τ. Ένα σώμα μάζας m κάνει α.α.τ. πλάτους Α και περιόδου Τ. Το σώμα έχει επιτάχυνση 2 α που δίνεται από τη σχέση α= -ω χ Σύμφωνα με το 2ο νόμο του Newton το σώμα δέχεται συνισταμένη δύναμη για την οποία ισχύει ΣF = mα ΣF = -mω2χ Θέτω D = mω2 και την ονομάζω σταθερά επαναφοράς και ο παραπάνω τύπος γίνεται

ΣF = - Dχ Αυτή η σχέση είναι η συνθήκη της α.α.τ. και αν ένα σώμα κάνει α.α.τ. πρέπει οπωσδήποτε να ισχύει.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 19

Προσοχή η σταθερά επαναφοράς D είναι ένα μονόμετρο μέγεθος με μονάδες στο S.I. το 1N/m και είναι φυσικό χαρακτηριστικό του συστήματος, δηλαδή αν αλλάξει η μάζα δεν θα αλλάξει η D ,αλλά η ω ,ώστε η D να παραμείνει σταθερή!! π.χ. στο σύστημα ιδανικό ελατήριο – μικρό σώμα μάζας m, είναι D = K όπου Κ η σταθερά του ελατηρίου. Για να κάνει ένα σύστημα α.α.τ. πρέπει οπωσδήποτε η συνισταμένη δύναμη να έχει τη μορφή ΣF = - (σταθ.)χ και τότε αυτή η σταθερά είναι η D. π.χ. σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις το σύστημα κάνει α.α.τ. α) ΣF = 5x β) ΣF = -5x γ) ΣF = -5x2 δ) ΣF = Απ: μόνο στην περίπτωση β ικανοποιείται ακριβώς η συνθήκη ΣF = - (σταθ.)χ και το σύστημα κάνει α.α.τ. με D = 5N/m. Η παραπάνω δύναμη λέγεται και δύναμη επαναφοράς γιατί έχει πάντα φορά αντίθετη της χ και επομένως δείχνει – όπως και η επιτάχυνση – πάντα προς τη Θ.Ι. δηλαδή τείνει να επαναφέρει το σώμα στη Θ.Ι.

Α.Θ.

Θ.Ι. Α

Α. Θ. Α

Η δύναμη επαναφοράς είναι η συνισταμένη όλων των δυνάμεων στη διεύθυνση της α.α.τ. π.χ. Στο σύστημα οριζόντιο ελατήριο – μάζα ( σε λείο δάπεδο ) η δύναμη επαναφοράς είναι η δύναμη του ελατηρίου και γι αυτό η Θ.Ι. ταυτίζεται με τη Θ.Φ.Μ. Fεπ. = ΣF = Fελ. = -Κχ

Θ.Ι.

Fελ.

Αν το παραπάνω σύστημα τοποθετηθεί με τον άξονα του ελατηρίου κατακόρυφο ή πλάγιο, τότε η Fεπ. θα είναι η συνισταμένη της Fελ. και του βάρους ή της συνιστώσας του βάρους.

Στις περιπτώσεις αυτές η Θ.Ι. δεν ταυτίζεται με τη Θ.Φ.Μ. και γι αυτό Fελ.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Fεπ.

Σελίδα 20

Για το κατακόρυφο ελατήριο του διπλανού σχήματος στη θέση που απεικονίζεται αριστερά είναι Fελ. Θ.Φ.Μ.

Fεπ. = Fελ. – W ενώ στη θέση που απεικονίζεται δεξιά είναι

Θ.Φ.Μ.

Θ.Ι.

Fεπ. = Fελ. + W

Fελ.

Αυτό προκύπτει αφού η Fεπ. είναι η ΣF και έχει πάντα φορά προς τη Θ.Ι. άρα για να γράψω σωστά την παραπάνω

σχέση θεωρώ θετική τη φορά προς τη Θ.Ι. Σε ένα σύστημα οριζόντιου ελατηρίου – μάζας μπορεί να ασκείται και μια εξωτερική δύναμη F. Τότε η Θ.Ι είναι διαφορετική από τη Θ.Φ.Μ. και η δύναμη επαναφοράς είναι η συνισταμένη της F και της Fελ. Θ.φ.Μ.

Θ.Ι. Fελ.

Στην παραπάνω θέση είναι

Fεπ. = Fελ. – F

Γραφική παράσταση ΣF - χ ΣF

Η κλίση της ευθείας δίνει τη σταθερά επαναφοράς D.

DΑ

χ -Α

Α -DΑ

Περίοδος Τ Από την D =mω2 υπολογίζω την περίοδο ω2 =

ω=

Τ= 2π

Παρατηρώ ότι η περίοδος σε μια α.α.τ. εξαρτάται μόνο από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος m, D.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 21

Συστήματα ελατηρίων Συχνά ζητείται σε μια άσκηση να αποδείξω ότι το σύστημα κάνει α.α.τ. επίσης πρέπει να αποδείξω ότι το σύστημα κάνει α.α.τ. αν δεν αναφέρεται καθαρά στην εκφώνηση. Σε τέτοιες περιπτώσεις κάνω ένα καλό σχήμα στο οποίο να φαίνονται καθαρά η Θ.Φ.Μ. , η Θ.Ι. και μια τυχαία θέση (Τ.Θ.) την οποία επιλέγω στο θετικό ημιάξονα. Εφαρμόζω τη συνθήκη ισορροπίας ΣF=0 στη Θ.Ι. και βρίσκω μια σχέση. Στη συνέχεια υπολογίζω τη ΣF στην Τ.Θ. και αντικαθιστώντας την προηγούμενη σχέση θα προκύψει ΣF = - (σταθ.)χ και αυτή η σταθερά θα είναι η D.

1. Οριζόντιο ελατήριο – σώμα (σε λείο δάπεδο ) Θ.Ι.

Τ.Θ.

Η Θ.Ι. ταυτίζεται με τη Θ.Φ.Μ.

Θ.Φ.Μ. Fελ.

Στην Τ.Θ. ισχύει ΣF = - Fελ.

ΣF = - Κχ

Άρα το σύστημα κάνει α.α.τ. με D = K

2. Κατακόρυφο ελατήριο – σώμα

Τ.Θ. + Fελ.

Fελ. Θ.Φ.Μ.

Δl

Θ.Ι.

Θ.Φ.Μ. Θ.Ι.

Στη Θ.Ι. ισχύει ΣF = 0 Fελ. – W = 0 Fελ. = W K∙Δl = W Στην Τ.Θ. ισχύει ΣF = - Fελ. – W ΣF = - K∙(x – Δl ) – W ΣF = - Kx + KΔl – W ΣF = Kx

Άρα το σύστημα κάνει α.α.τ. με D = K Προσοχή Όπως έχουμε ήδη πει στο κατακόρυφο ή πλάγιο ελατήριο η Θ.Ι. είναι διαφορετική από τη Θ.Φ.Μ. και γι αυτό Fελ. Fεπ.. Το μέτρο τους είναι = Κ∙χ΄

όπου χ΄ είναι η απόσταση από τη Θ.Φ.Μ.

= Κ∙χ

όπου χ είναι η απόσταση από τη Θ.Ι.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 22

3. Πλάγιο ελατήριο – σώμα (σε λείο κεκλιμένο επίπεδο ) Θ.Φ.Μ.

Θ.Ι.

Τ.Θ. x

Στη Θ.Ι. ισχύει ΣF = 0 Fελ. – Wχ = 0 Fελ. = Wχ K∙Δl = Wχ

Δl Fελ΄ Wx Wy

Fελ

Στην Τ.Θ. ισχύει ΣF = - Fελ΄. + Wχ ΣF = - K∙(x + Δl ) + Wχ

Wy W θ

ΣF = - Kx - KΔl + Wχ

Άρα το σύστημα κάνει α.α.τ. με D = K

ΣF = - Kx

4. Δύο ελατήρια παράλληλα

Θ.Ι.

Τα δύο ελατήρια του σχήματος είναι ιδανικά με σταθερές Κ1 και Κ2, έχουν το ίδιο φυσικό μήκος και κατά την κίνηση δεν προκαλούν περιστροφή στο σώμα.

Τ.Θ.

Θ.Φ.Μ. + Κ2

Fελ.2

Στην Τ.Θ. ισχύει ΣF = - Fελ 1. - Fελ 2 - K1∙x - K2∙x ΣF = - (K1 + Κ2 ) x

Fελ.1

Κ1

ΣF =

Άρα το σύστημα κάνει α.α.τ. με D = K1 +Κ2 χ

5. Δύο ελατήρια εκατέρωθεν του σώματος

Κ1

Θ.Φ.Μ. Δl1 1 Fελ.1

Θ.Ι.

Θ.Φ.Μ. 2

Δl2 Fελ.2

Fελ.1΄ χ

Κ2

Στη Θ.Ι. ισχύει ΣF = 0 0 K1∙Δl1 = K2∙Δl2

Fελ.1 – Fελ2 =

Στην Τ.Θ. ισχύει ΣF = Fελ2΄ - Fελ.1 ΄ ΣF = K2∙( Δl2 - χ) – K1∙(Δl1+ χ) ΣF = K2∙Δl2 - K2∙ χ – K1∙Δl1 - K1∙χ ΣF = - ( K1 + Κ2 ) x

Fελ.2΄ Τ.Θ.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 23

Άρα το σύστημα κάνει α.α.τ. με D = K1+Κ2

6. Δύο ελατήρια σε σειρά Το ισοδύναμο ελατήριο έχει σταθερά Κ και ασκεί στο σώμα ίση δύναμη με το σύστημα των δύο ελατηρίων για ίδια παραμόρφωση. Άρα

Fελ. = Fελ.1 = Fελ.2

Fελ. = Κ∙χ

χ=

Fελ.1 = Κ1∙χ1

χ1 =

= Fελ.2 = Κ2∙χ2

χ2 =

Θ.Φ.Μ. Κ1

Επίσης παρατηρώ ότι χ1 + χ2 = χ

Κ2

= Fελ.1΄

Fελ.1

ήΚ=

Fελ.2

Fελ.2΄

χ1

Τελικά το σύστημα κάνει α.α.τ. με D =

Κ=

Fελ. Fελ.΄

Ισοδύναμο ελατήριο

Η ενέργεια στην α.α.τ. Κινητική ενέργεια Αφού το σώμα που κάνει α.α.τ. έχει μάζα m και ταχύτητα u θα έχει κινητική ενέργεια

Κ = m∙u2

K = mumax2 συν2( ωt + φο)

Θέτω Kmax =

mumax2 τη μέγιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να αποκτήσει το 2

σώμα κατά τη διάρκεια της α.α.τ. και ο τύπος γίνεται K = Kmaxσυν ( ωt + φο) Η κινητική ενέργεια γίνεται μέγιστη όταν μεγιστοποιείται και η ταχύτητα δηλαδή όταν το σώμα περνάει από τη Θ.Ι. και μηδενίζεται στις Α.Θ.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 24

Δυναμική ενέργεια Ένα σώμα που κάνει α.α.τ. έχει δυναμική ενέργεια λόγω της θέσης του ίση με

U = D∙x2

U = DA2 ημ2( ωt + φο)

Θέτω Umax =

DA2 τη μέγιστη δυναμική ενέργεια που μπορεί να αποκτήσει το 2

σώμα κατά τη διάρκεια της α.α.τ. και ο τύπος γίνεται U = Umaxημ ( ωt + φο) Η δυναμική ενέργεια γίνεται μέγιστη όταν μεγιστοποιείται και η απομάκρυνση δηλαδή όταν το σώμα βρίσκεται στις Α.Θ. και μηδενίζεται όταν περνάει από τη Θ.Ι.

Ολική ενέργεια ( ενέργεια ταλάντωσης ) Είναι το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας και είναι σταθερή σε κάθε αμείωτη ταλάντωση.

Ε = Κ + U = στ. Απόδειξη

Πρώτα θα δείξω ότι Kmax = Umax

Kmax = mumax2 = mω2 Α2 = DA2 = Umax Σε μια Τ.Θ. ισχύει Ε = Κ + U

Ε = Kmaxσυν2( ωt + φο) + Umaxημ2( ωt + φο)

Ε = Kmax [ συν2( ωt + φο) + ημ2( ωt + φο) ] Τελικά

Ε = Kmax

Ε = Kmax = Umax = mumax2 = DA2 = στ.

Γραφικές παραστάσεις 1. Ενέργειες με την απομάκρυνση Ε = στ. U = D∙x2 άρα παραβολή με τα κοίλα άνω Κ = m∙u2 = E - D∙x2 άρα παραβολή με τα κοίλα κάτω

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 25

E, K, U

Σε ποιες θέσεις είναι η κινητική ενέργεια ίση με τη δυναμική ;

K=U

E/2

E–U=U

DA2 = 2 Dx2 -A

-A

/2 A

E = 2U

x2 =

2. Ενέργειες με την ταχύτητα Ε = στ. U = E - m∙u2 άρα παραβολή με τα κοίλα κάτω Κ = m∙u2 άρα παραβολή με τα κοίλα άνω E, K, U

Για ποιες τιμές της ταχύτητας είναι η κινητική ενέργεια ίση με τη δυναμική ;

U=K

E/2

- umax -umax

umax

3. Ενέργειες με το χρόνο

/2 umax

E–K=K

= 2 mu2

u2 =

E = 2K

mumax

( για ταλάντωση χωρίς αρχική φάση)

Ε = στ. U = D∙x2 = E ημ2 ωt Κ = m∙u2 = Ε συν2ωt

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 26

Ε, K, U

Παρατηρώ ότι στη διάρκεια μιας περιόδου Τ της ταλάντωσης, οι ενέργειες Κ, U κάνουν δύο πλήρεις μεταβολές. Άρα έχουν περίοδο τη μισή της Τ, δηλαδή

Ε Ε/2 T t

ΤΚ = ΤU = Ποιες χρονικές στιγμές στη διάρκεια της πρώτης περιόδου είναι η κινητική ενέργεια ίση με τη δυναμική ; U=K

E συν2 ωt = Ε ημ2ωt

ημ2ωt = ημωt = ημ

συν2 ωt = ημ2ωt

1 - ημ2 ωt = ημ2ωt

1 = 2ημ2ωt

ημωt = ωt = 2κπ +

t1 =

για κ = 0

ή ωt = 2κπ +π -

t2 =

για κ = 0

ωt = 2κπ +

t3 =

για κ = 0

και ημωt = ημ

ή ωt = 2κπ +π -

t4 =

για κ = 1

Παρατηρήσεις χρήσιμες για ασκήσεις 1) Αν ένα σύστημα κάνει α.α.τ. και θέλω να βρω το μέτρο της ταχύτητας που έχει το σώμα όταν περνάει από μια θέση με γνωστή απομάκρυνση χ, ή την απομάκρυνση χ αν γνωρίζω την ταχύτητα u, μπορώ να εφαρμόσω την αρχή διατήρησης της ενέργειας Α.Δ.Ε.Τ. και να καταλήξω στη γνωστή σχέση u2 = ω2 (Α2 - x2 ) K+U=E

mu2 +

D∙x2 = D∙A2

mu2 + mω2∙x2 = mω2∙A2

mu2 + D∙x2 = D∙A2

u2 + ω2∙x2 = ω2∙A2

u2 = ω2∙(A2 – χ2 )

2) Σε ένα σύστημα ελατήριο – μάζα προσέχω αν η Θ.Ι ταυτίζεται με τη Θ.Φ.Μ. ή όχι.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 27

Θυμίζω ότι οι δύο θέσεις ταυτίζονται αν στο σώμα ασκείται μια μόνο δύναμη, η Fελ. δηλαδή αν το ελατήριο είναι οριζόντιο και στο σώμα δεν ασκείται καμία άλλη δύναμη. Σε κάθε άλλη περίπτωση προσέχω τα παρακάτω = Κ∙χ΄ Uελ. = Κ∙χ΄ 2 = Κ∙χ Uταλ. = Κ∙χ 2

όπου χ΄ είναι η απόσταση από τη Θ.Φ.Μ. όπου χ΄ είναι η απόσταση από τη Θ.Φ.Μ. όπου χ είναι η απόσταση από τη Θ.Ι. όπου χ είναι η απόσταση από τη Θ.Ι.

3) Ένα σύστημα ελατήριο – μάζα ηρεμεί στη Θ.Ι. Αν η άσκηση λέει ….εκτρέπω το σώμα από τη Θ.Ι. κατά d και την t=0 το αφήνω ελεύθερο…. Αυτό σημαίνει ότι η θέση αυτή είναι Α.Θ. για την ταλάντωση αφού εκεί έχει ταχύτητα μηδέν. Άρα το d είναι το πλάτος της α.α.τ. d = A 4) Ένα σύστημα ελατήριο – μάζα ηρεμεί στη Θ.Ι. Αν η άσκηση λέει …. το σώμα αποκτά ξαφνικά ταχύτητα μέτρου uo ….. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα αυτή είναι η umax της α.α.τ. αφού γνωρίζω ότι η ταχύτητα που έχει στη Θ.Ι. είναι η μέγιστη. Τότε uo = ωΑ Εδώ απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή καθώς αυτά ισχύουν αν δεν αλλάζει η Θ.Ι. Παρακάτω θα δούμε ότι μπορεί να αλλάξει η Θ.Ι. αν για παράδειγμα έχουμε κατακόρυφο ή πλάγιο ελατήριο και το σώμα αποκτά αυτή τη uo με πλαστική κρούση ή έκρηξη. 5) Ένα σύστημα ελατήριο – μάζα ηρεμεί στη Θ.Ι. Αν η άσκηση λέει ….εκτρέπω το σώμα από τη Θ.Ι. κατά d και την t=0 το εκτοξεύω με ταχύτητα μέτρου uo …. Αυτό σημαίνει ότι η θέση αυτή δεν είναι Α.Θ. για την ταλάντωση αφού εκεί έχει ταχύτητα διάφορη του μηδέν. Άρα το d δεν είναι το πλάτος της α.α.τ. και πρέπει να κάνω Α.Δ.Ε.Τ. K+U=E

mu0 2 +

D∙d2 = D∙A2

mu0 2 + mω2∙d2 = mω2∙A2

mu0 2 + D∙d2 = D∙A2

Α=

6) Ένα σύστημα ελατήριο – μάζα ηρεμεί στη Θ.Ι. Αν στο σύστημα προσφέρω ενέργεια Ε0 και αρχίσει να κάνει α.α.τ. τότε αυτή θα είναι η ενέργεια ταλάντωσης. Άρα ΕΤ = Ε0

D∙A2 = Ε0

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Α=

Σελίδα 28

7) Ένα σύστημα ελατήριο – μάζα ηρεμεί στη Θ.Ι. Αν η άσκηση λέει …. ασκώ στο σώμα σταθερή δύναμη μέτρου F στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και μόλις μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος την καταργώ ….. Αυτό σημαίνει ότι η θέση αυτή είναι Α.Θ. άρα η F ασκήθηκε στο σώμα για μετατόπιση ίση με το πλάτος Α. Άρα WF = ET

F∙A = D∙A2

8) Ένα σύστημα ελατήριο – μάζα ηρεμεί στη Θ.Ι. Αν η άσκηση λέει …. ασκώ στο σώμα δύναμη μέτρου F στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου που το μέτρο της μεταβάλλεται με την απομάκρυνση σύμφωνα με τη σχέση F=ax, α = στ. και μόλις γίνει χ = χ1 την καταργώ ….. Αυτό σημαίνει ότι στο σύστημα προσφέρω ενέργεια Ε0 ίση με το έργο της F, το σύστημα αρχίζει να κάνει α.α.τ. και αυτή θα είναι η ενέργεια ταλάντωσης. Το έργο της F υπολογίζεται από το εμβαδό στη γραφική παράσταση F – χ. 9) Σε ασκήσεις με κατακόρυφο ή πλάγιο ελατήριο όπου ζητούνται οι Fελ.(max), Fελ.(min), U ελ.(max), U Α Δl Α Δl ελ.(min) πρέπει να εξετάσουμε αν κατά την άνοδο το σώμα άνω Α.Θ. φτάνει (ή ξεπερνάει) τη + Θ.Φ.Μ. ή όχι. Θ.Φ.Μ.

άνω Α.Θ. Θ.Ι.

Θ.Φ.Μ.

Α Α

Α Δl

Δl Θ.Ι.

κάτω Α.Θ.

Στην περίπτωση που φτάνει ή ξεπερνάει τη Θ.Φ.Μ. οι ελάχιστες τιμές των Fελ και Uελ είναι μηδέν.

κάτω Α.Θ. Fελ(max) = K(Δl + A)

Fελ(max) = K(Δl + A)

U ελ(max) = K (Δl + A)2

Fελ(min) = K(Δl - A)

Fελ(min) = 0

U ελ(min) = K (Δl - A)2

U ελ(min) = 0

10) Το έργο μιας συντηρητικής δύναμης ισούται με τη διαφορά των δυναμικών ενεργειών. Αυτό ισχύει για το βάρος W, τη δύναμη του ελατηρίου Fελ και τη δύναμη επαναφοράς Fεπ. WW = Uβαρυτική(αρχ.) - Uβαρυτική(τελ.) όπου Uβαρυτική = mgh και h το ύψος από το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 29

W Fελ = Uελατηρίου(αρχ.) - Uελατηρίου (τελ.)

όπου Uελ. = Κ∙χ΄ 2

και χ΄ είναι η

όπου Uταλ. = Κ∙χ 2

και χ είναι η

απόσταση από τη Θ.Φ.Μ. W Fεπ= Uταλάντωσης(αρχ.) - Uταλάντωσης (τελ.) απόσταση από τη Θ.Ι

Ταλάντωση και κρούση Είναι σύνθετες ασκήσεις στις οποίες απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στην εφαρμογή των νόμων τόσο της α.α.τ. όσο και της κρούσης και ένα πολύ καλό σχήμα. Ιδιαίτερα θα αναφερθούμε στην πλαστική κρούση (ή έκρηξη ) και ταλάντωση με κατακόρυφο ή πλάγιο ελατήριο για την οποία καλό είναι να ακολουθείτε την παρακάτω μεθοδολογία.

Πλαστική κρούση και ταλάντωση με κατακόρυφο ελατήριο – μέθοδος 1. Κάνω μεγάλο σχήμα στο οποίο να φαίνονται οι εξής θέσεις α) θέση φυσικού μήκους Θ.Φ.Μ. β) θέση ισορροπίας Θ.Ι. ( συνήθως ονομάζω Δl την απόσταση της Θ.Ι. από τη Θ.Φ.Μ. ) γ) θέση λίγο πριν την κρούση δ) θέση λίγο μετά την κρούση ε) νέα θέση ισορροπίας Ν.Θ.Ι. ( συνήθως ονομάζω Δl΄ την απόσταση της Θ.Ι. από τη Θ.Φ.Μ. ) προσοχή μετά την πλαστική κρούση αλλάζει η μάζα που είναι αναρτημένη στο ελατήριο με αποτέλεσμα να αλλάξει η θέση ισορροπίας. Τώρα η νέα ταλάντωση γίνεται γύρω από τη Ν.Θ.Ι. 2. Εφαρμόζω τη συνθήκη ισορροπίας ΣF = 0 στη Θ.Ι. και στη Ν.Θ.Ι. 3. Για κινήσεις σωμάτων εκτός α.α.τ. εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. ή εξισώσεις κίνησης. ( εφαρμόζω τις εξισώσεις κίνησης αν δίνεται ή ζητείται χρόνος, αλλιώς κάνω Θ.Μ.Κ.Ε. ) 4. Εφαρμόζω Α.Δ.Ο. για την κρούση 5. Εφαρμόζω Α.Δ.Ε.Τ. για τη νέα ταλάντωση στο σημείο αμέσως μετά την κρούση.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 30

προσοχή αφού έχει αλλάξει η θέση ισορροπίας και η νέα ταλάντωση γίνεται γύρω από τη Ν.Θ.Ι., το σώμα τη στιγμή αμέσως μετά την κρούση έχει δυναμική ενέργεια αφού απέχει από τη Ν.Θ.Ι απόσταση Δl΄ - Δl (m1 + m2 )V 2 + K(Δl΄ - Δl)

Άρα Κ + U = E

= KA

Χάσιμο επαφής 1. Κατακόρυφο ελατήριο με δίσκο δεμένο στο πάνω άκρο και σώμα πάνω στο δίσκο N Θ.Φ.Μ. Δl

Θ.Ι.

Στο διπλανό σχήμα το σώμα m1 είναι δεμένο πάνω στο ελατήριο ενώ το m2 απλά ακουμπάει πάνω στο m1. Εκτρέπω το σύστημα από τη Θ.Ι. και το αφήνω ελεύθερο ώστε να κάνει α.α.τ. πλάτους Α. α) Για ποιες τιμές του πλάτους Α μπορεί το m2 να χάσει την επαφή με το m1;

β) Για μια δεδομένη τιμή του πλάτους Α, για ποιες τιμές της συχνότητας f μπορεί να χαθεί η επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων ; Λύση : α) Όσο υπάρχει επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων, το m2 δέχεται δύναμη Ν από το m1, η οποία μηδενίζεται τη στιγμή που χάνεται η επαφή. Άρα

Χάσιμο επαφής

Ν=0

Για όσο χρόνο τα δύο σώματα είναι σε επαφή, κάνουν την ίδια α.α.τ. με την ίδια ω άρα θα έχουν διαφορετικές σταθερές επαναφοράς. Για το m1

D1 = m1ω2

Για το m2

D2 = m2ω2

Για το σύστημα

D = (m1 + m2) ω2 = Κ

Εξετάζω αν μπορεί να χαθεί η επαφή κάτω απ τη Θ.Ι. Σχεδιάζω το σύστημα σε μια τέτοια θέση και σημειώνω τις δυνάμεις στο m2. Προσοχή αφού η θέση αυτή είναι κάτω απ τη Θ.Ι. θα πάρω θετικές τις δυνάμεις που έχουν αυτή τη φορά δηλαδή που δείχνουν προς τα κάτω

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 31

Αφού το m2 κάνει α.α.τ. πρέπει να ισχύει

ΣF = - D2 x

W2 – N = - D2 x

N = W2 + D2 x άρα Ν 0 οπότε δεν μπορεί να χαθεί η επαφή όταν το σύστημα βρίσκεται κάτω απ τη Θ.Ι. Πάω τώρα σε μια θέση πάνω απ τη Θ.Ι. και σημειώνω τις δυνάμεις στο m2. Προσοχή αφού η θέση αυτή είναι πάνω απ τη Θ.Ι. θα πάρω θετικές τις δυνάμεις που έχουν αυτή τη φορά δηλαδή που δείχνουν προς τα πάνω Αφού το m2 κάνει α.α.τ. πρέπει να ισχύει N = W2 -D2 x άρα μπορεί να γίνει Ν βρίσκεται πάνω απ τη Θ.Ι. Άρα χάνεται η επαφή όταν Ν

ΣF = - D2 x

N - W2 = - D2 x

0 και να χαθεί η επαφή όταν το σύστημα

W2 -D2 x = 0

W2 = D2 x

χ=

δηλαδή αρκεί το σύστημα να περνάει έστω οριακά από τη θέση αυτή, άρα αρκεί να έχει πλάτος Α m2 ω2

β) Από την τελευταία σχέση έχω D2 f

2πf

και αυτές είναι οι τιμές της συχνότητας για τις οποίες μπορεί να χαθεί η

επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων. 2. Δίσκος που κάνει α.α.τ. στο οριζόντιο επίπεδο και σώμα πάνω στο δίσκο Το σύστημα των δύο σωμάτων κάνει α.α.τ. και το m2 είναι τοποθετημένο m1 πάνω στο m1 και χ Α.Θ. παρουσιάζει συντελεστή Τ.Θ. Α.Θ. Θ.Ι. οριακής τριβής μ με το m1. Θεωρώ ότι η τριβή ολίσθησης είναι ίση με την οριακή τριβή. m2

α) Για ποιες τιμές του πλάτους Α μπορεί το m2 να χάσει την επαφή με το m1 ; β) Για μια δεδομένη τιμή του πλάτους Α, για ποιες τιμές της συχνότητας f μπορεί να χαθεί η επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων ; Λύση : α) Όσο υπάρχει επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων, το m2 δέχεται στατική τριβή Τ από το m1, η οποία γίνεται τριβή ολίσθησης Τολ = μΝ, τη στιγμή που χάνεται η επαφή. Άρα

Χάσιμο επαφής

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Τ = μΝ Σελίδα 32

D1 = m1ω2

Για το m2

D2 = m2ω2

Για το σύστημα

D = (m1 + m2) ω2

Σχεδιάζω το σύστημα σε μια τυχαία θέση και σημειώνω τις δυνάμεις στο m2. Προσοχή η μόνη δύναμη που ασκείται στο m2 στη διεύθυνση της ταλάντωσης είναι η στατική τριβή Τ , άρα θα πρέπει να έχει φορά πάντα προς τη Θ.Ι. Αφού το m2 κάνει α.α.τ. πρέπει να ισχύει

ΣF = - D2 x

- Τ = - D2 x

Τ = D2 x Για να μην χάνεται η επαφή πρέπει να είναι Τ x

μΝ

D2 x

μΝ

Άρα χάνεται η επαφή όταν περνάει από τη θέση x =

οπότε για να χάνεται η

επαφή αρκεί Α

β) Από την τελευταία σχέση έχω D2 f

m2 ω2

2πf

και αυτές είναι οι τιμές της συχνότητας για τις οποίες μπορεί να

χαθεί η επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων. 3. Κατακόρυφο ελατήριο με δύο σώματα δεμένα ένα στο πάνω άκρο και ένα στο κάτω άκρο m1 W1 Fελ

Θ.Φ.Μ.

Θ.Ι.

Fελ m1 W1 Fελ

N m2

Fελ

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα κατακόρυφο ελατήριο που έχει δεμένα στα δύο άκρα του δύο σώματα με μάζες m1 και m2. Για ποιες τιμές του πλάτους ταλάντωσης του m1 , μπορεί το m2 να χάσει την επαφή με το δάπεδο ;

Σελίδα 33

Λύση : Όσο υπάρχει επαφή , το m2 δέχεται δύναμη Ν από το δάπεδο, η οποία μηδενίζεται τη στιγμή που χάνεται η επαφή. Άρα

Χάσιμο επαφής

Ν=0

Εδώ ταλάντωση κάνει μόνο το m1 με D1 = m1ω2 = Κ Εξετάζω αν μπορεί να χαθεί η επαφή όταν το m1 είναι κάτω απ τη Θ.Φ. Μ. Σχεδιάζω το σύστημα σε μια τέτοια θέση και σημειώνω τις δυνάμεις στο m1 και στο m2 Αφού το m1 κάνει α.α.τ. πρέπει να ισχύει

ΣF = - D1 x

W1 – Fελ = - Κ x

Fελ = W1 + Κ x Αφού το m2 ισορροπεί πρέπει να ισχύει

ΣF = 0

N = W2 + Fελ N = W2 + W1 + Κ x άρα Ν όταν το m1 είναι κάτω απ τη Θ.Φ. Μ.

W2 + Fελ – N = 0

0 οπότε δεν μπορεί να χαθεί η επαφή

Εξετάζω αν μπορεί να χαθεί η επαφή όταν το m1 είναι πάνω απ τη Θ.Φ. Μ. Σχεδιάζω το σύστημα σε μια τέτοια θέση και σημειώνω τις δυνάμεις στο m1 και στο m2 Αφού το m1 κάνει α.α.τ. πρέπει να ισχύει

ΣF = - D1 x

-W1 – Fελ = - Κ x

Fελ = - W1 + Κ x Αφού το m2 ισορροπεί πρέπει να ισχύει

ΣF = 0

Ν + Fελ – W2 = 0

N = W2 - Fελ N = W2 + W1 - Κ x άρα μπορεί να γίνει Ν όταν το το m1 είναι πάνω απ τη Θ.Φ. Μ. Άρα χάνεται η επαφή όταν Ν

W2 + W1 - Κ x = 0

0 και να χαθεί η επαφή W2 + W1 = Κ x

χ= δηλαδή αρκεί το σύστημα να περνάει έστω οριακά από τη θέση αυτή, άρα αρκεί να έχει πλάτος Α 4. Οριζόντιο ελατήριο με σώμα δεμένο στο ένα άκρο και άλλο σώμα σε επαφή με το πρώτο Το σώμα μάζας m1 του διπλανού σχήματος είναι δεμένο στο άκρο του οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε τοίχο. Τοποθετώ ένα άλλο σώμα μάζας m2 έτσι ώστε να είναι σε επαφή με το m1 και

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 34

T.Θ.

σπρώχνω προς τα αριστερά το σύστημα μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί κατά d. Στη συνέχεια αφήνω το σύστημα ελεύθερο. Αν δεν υπάρχουν τριβές να βρείτε

Θ.Ι.

α) Σε ποια θέση θα χαθεί η επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων β) Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τα δύο σώματα όταν το m1 ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά. Λύση : α) Όσο υπάρχει επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων, το m2 δέχεται δύναμη F από το m1, η οποία γίνεται μηδέν τη στιγμή που χάνεται η επαφή. Άρα

Χάσιμο επαφής

F=0

D1 = m1ω2

Για το m2

D2 = m2ω2

Για το σύστημα

D = (m1 + m2) ω2

Σχεδιάζω το σύστημα σε μια τυχαία θέση και σημειώνω τις δυνάμεις στο m2. Προσοχή η μόνη δύναμη που ασκείται στο m2 στη διεύθυνση της ταλάντωσης είναι η F. Αφού το m2 κάνει α.α.τ. πρέπει να ισχύει ΣF = - D2 x - F = - D2 x F= D2 x Άρα F=0 όταν χ=0 δηλαδή χάνεται η επαφή όταν το σύστημα περνάει από τη Θ.Ι. β) Τη στιγμή που το σύστημα περνάει από τη Θ.Ι. τα δύο σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα u1 =u2 =umax Θ.Ι. Α.Θ =ωΑ= ωd αφού το d . είναι το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης και ω= Α΄

Δχ

χ2

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

. Αμέσως

μετά χάνεται η επαφή και το m2 συνεχίζει να κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα u2 =

Σελίδα 35

ωd ενώ το m1 θα κάνει νέα α.α.τ. με ω΄ =

και νέο πλάτος Α΄=

Η ταχύτητα του m1 θα μηδενιστεί στιγμιαία για πρώτη φορά την t1 =

όπου Τ΄=

αν t=0 θεωρήσω τη στιγμή που χάνεται η επαφή. Στο χρόνο αυτό το m2 έχει διανύσει απόσταση χ2 = u2 t1 οπότε τα δύο σώματα απέχουν μεταξύ τους Δχ = χ2 – Α΄

Φθίνουσα ταλάντωση Είναι μια ταλάντωση όπου στο σύστημα ασκούνται δυνάμεις που αντιστέκονται στην κίνηση με αποτέλεσμα το σύστημα να χάνει ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης να μειώνεται ( να φθίνει ). Εδώ θα μελετήσουμε μόνο την περίπτωση που οι δυνάμεις αντίστασης είναι της μορφής Fαντ = - bu όπου b είναι μια σταθερά, η σταθερά απόσβεσης, η τιμή της οποίας εξαρτάται από το μέγεθος και το σχήμα του σώματος καθώς και από το υλικό μέσα στο οποίο γίνεται η ταλάντωση. Σε τέτοιες περιπτώσεις το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση

Α = Α0e-Λt Η Λ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τα b, m (Λ =

) και έχει μονάδα στι S.I.

-1

το 1s ενώ η b έχει το 1kg/s.

x A0

x b=0

A0 A1 A2

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 36

x A

b 3 πολύ μεγάλη

A2 t

Από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις παρατηρώ ότι Αν b =0 η ταλάντωση είναι αμείωτη και το πλάτος διατηρείται σταθερό Για μικρή αύξηση της b αυξάνει λίγο η περίοδος και επίσης αυξάνει ο ρυθμός απώλειας ενέργειας και ο ρυθμός μείωσης του πλάτους. Προσοχή αν η b είναι σταθερή τότε και η περίοδος είναι σταθερή. Αν η b γίνει πολύ μεγάλη, η ταλάντωση γίνεται απεριοδική. Ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση είναι σταθερός

= στ.

Απόδειξη Αν θεωρήσω t=0 τη στιγμή που το σώμα έχει μέγιστο πλάτος Α0 παρατηρώ ότι αποκτά μέγιστη απομάκρυνση Α1 μετά από χρόνο t1 =T , Α2 μετά από χρόνο t2 =2T κ.ο.κ. Άρα αποκτά Ακ για t = kT και Ακ+1 για t = (k+1)T οπότε έχουμε =

= eΛΤ = στ.

Στη φθίνουσα ταλάντωση χάνεται ενέργεια μέσω του έργου της δύναμης Fαντ. το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε αφού είναι ίσο με την απώλεια ενέργειας. Απώλεια ενέργειας στη διάρκεια της πρώτης περιόδου Προφανώς η ενέργεια αυτή ισούται με την απόλυτη τιμή του έργου της Fαντ. αφού το WFαντ. είναι πάντα αρνητικό. Εαπωλ. =

Όμως το WFαντ. μπορεί να υπολογιστεί και με την παρακάτω μέθοδο η οποία είναι ουσιαστικά μια εισαγωγή στον … ολοκληρωτικό λογισμό! Έστω πολύ μικρό Δt (Δt 0 ) ώστε να μπορώ να θεωρήσω στο διάστημα αυτό Fαντ. στ. Τότε Δ WFαντ. = Fαντ.Δχ Δ WFαντ. = -buuΔt Δ WFαντ. = - bu2 Δt.

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 37

Άρα το συνολικό WFαντ. στη διάρκεια της πρώτης περιόδου θα είναι το άθροισμα των Δ WFαντ. WFαντ. =

όμως

= Τ και

= 0 άρα WFαντ. = -

WFαντ. = -

WFαντ. = Εξίσωση ενέργειας με το χρόνο Ε = DA2

Ε = DA0 2 e - 2Λt

Ε = E0 e - 2Λt Παρατηρώ ότι και η ενέργεια

ακολουθεί το νόμο της εκθετικής μείωσης. Χρόνος ημιζωής (εκτός ύλης, οπότε θέλει απόδειξη, αλλά χρήσιμο για ασκήσεις ) t=0 t = tημ t = 2 tημ t = 3tημ t = 4 tημ t = 5 tημ t = ν tημ = ln

A = A0 A = A0/2 A = A0/4 A = A0/8 A = A0/16 A = A0/32 A = A0/2ν -Λtημ = -ln2

Χρόνος ημιζωής tημ. είναι ο χρόνος που απαιτείται για να μειωθεί μια ποσότητα στο μισό. Άρα χρόνος ημιζωής του πλάτους σε μια φθίνουσα ταλάντωση είναι ο χρόνος που απαιτείται για να γίνει Α=

A0 e – Λt =

e – Λt =

ln e – Λt

tημ =

Εξαναγκασμένη ταλάντωση Είναι μια αρχικά φθίνουσα ταλάντωση στην οποία ασκώ μια εξωτερική περιοδική δύναμη ( διεγέρτης) μέσω του έργου της οποίας προσφέρω στο σύστημα σε χρόνο Δt τόση ενέργεια όση χάνει στο χρόνο Δt ώστε να διατηρείται σταθερό το πλάτος. Προσοχή στην εξαναγκασμένη ταλάντωση πρέπει να διακρίνω την ύπαρξη δύο συχνοτήτων α) την ιδιοσυχνότητα f0 που είναι η συχνότητα με την οποία θα ταλαντώνονταν το σύστημα αν έκανε ελεύθερη ταλάντωση. Η f0 εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος και είναι σταθερή. Για το σύστημα ελατήριο – μάζα είναι

f0 =

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 38

β) τη συχνότητα του διεγέρτη fδ με την οποία τελικά ταλαντώνεται το σύστημα, δηλαδή fταλ = fδ Συντονισμός είναι το φαινόμενο κατά το οποίο η συχνότητα του διεγέρτη γίνεται ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος fδ = f0 και τότε το σύστημα απορροφά ενέργεια με το βέλτιστο τρόπο με αποτέλεσμα τη μεγιστοποίηση του πλάτους. Από το διπλανό διάγραμμα παρατηρώ ότι για b=0 το πλάτος κατά το συντονισμό τείνει στο άπειρο. Όσο αυξάνει η b μειώνεται το μέγιστο πλάτος και επίσης ο συντονισμός γίνεται σε λίγο μικρότερη συχνότητα.

Α b=0 b1

Αυτό συμβαίνει γιατί ο τύπος f0 =

b2 b1 fδ f0

ισχύει μόνο

αν b=0. Σε κάθε άλλη περίπτωση η f0 είναι λίγο μικρότερη αλλά για τις ασκήσεις θα θεωρούμε ότι είναι πάντα f0 =

Από το επόμενο διάγραμμα

παρατηρώ ότι α) το πλάτος αυξάνει όσο μειώνεται η απόσταση μεταξύ fδ και f0 δηλαδή όσο μειώνεται η

Αmax Α1= Α2

fδ

β) υπάρχουν ζευγάρια συχνοτήτων όπως οι f1 και f2 για τις οποίες το σύστημα αποκτά ίδιο πλάτος και πρέπει η μια να είναι μικρότερη και η άλλη μεγαλύτερη της f0, δηλαδή

f1 f0 f2

umax

Προσοχή στο διάγραμμα της umax με την fδ η καμπύλη ξεκινά από την αρχή των αξόνων αφού είναι umax = ωΑ και αν =0 τότε και ω=0 άρα και umax = 0

umax

fδ f1 f0 f2 Ρυθμός προσφοράς ενέργειας Έστω ότι bωοΑσυνωοt

Αυτό σημαίνει ότι έχουμε συντονισμό αφού Fεξ = -( -bu) =

άρα ωδ = ωο Τότε

= PFεξ = Fεξu= bu2

Προσοχή μόνο αν έχουμε συντονισμό ισχύει

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 39

Κmax = Umax = E = DAo2 = mωο2 Ao2 = mumax2 Τι συμβαίνει όταν fδ

fο ;

Αν και θεωρώ δύσκολο να ζητηθεί αυτή η περίπτωση ας δούμε μερικά βασικά σημεία α) Αφού είναι fδ fο θα είναι και ωδ ωο και το σύστημα θα κάνει ταλάντωση με ω = ωδ και f = fδ. Άρα θα είναι umax = ωδ Α, αmax = ωδ2 Α, αλλά D = m ωο2, Fmax = m ωο2A, Κmax = mumax2 = mωδ2 Ao2 , Umax = DAo2= mωο2 Ao2 Παρατηρώ ότι Κmax β)

Umax ! 2

άρα Κmax

γ) Εφαρμόζω την Σ = m

Umax αν ωδ ωο και Κmax Umax αν ωδ ωο

όπου

η δύναμη

επαναφοράς, η δύναμη που αντιστέκεται στην ταλάντωση και η δύναμη του διεγέρτη. Συνήθως δίνονται κάποιες πληροφορίες για τα χ, u, α και αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση προκύπτει το ζητούμενο.

Σύνθεση ταλαντώσεων Ένα σώμα μπορεί να διεγείρεται σε ταλάντωση από δύο διεγέρτες και τότε κάνει μια ταλάντωση που είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης των δύο επιμέρους ταλαντώσεων. Εδώ θα μελετήσουμε την περίπτωση της σύνθεσης δύο ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία και γύρω απ την ίδια Θ.Ι. 1η περίπτωση Α2

Αν οι δύο ταλαντώσεις έχουν εξισώσεις της μορφής χ1 = Α1ημωt

φ 0

θ Α1

χ2 = Α2ημ(ωt + φ ) δηλαδή έχουν την ίδια ω και η χ2 προηγείται φασικά κατά φ Τότε το σύστημα θα κάνει α.α.τ. με εξίσωση χ = Αημ(ωt + θ ) όπου Α=

και εφθ =

Οι παραπάνω σχέσεις προκύπτουν εύκολα αν παραστήσω τις δύο επιμέρους ταλαντώσεις σε κοινό σύστημα με περιστρεφόμενα διανύσματα. Τότε το

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 40

πλάτος Α θα είναι το διανυσματικό άθροισμα των Α1 και Α2 το οποίο από τη μέθοδο του παρ/μου δίνει την παραπάνω σχέση. Ειδικές περιπτώσεις α) Αν φ = 0 τότε χ1 = Α1ημωt και χ2 = Α2ημωt οπότε Α = Α1 + Α2 και θ=0

β) Αν φ = π rad και Α1

Α1

Α2

Α2 τότε χ1 = Α1ημωt και χ2 = Α2ημ(ωt+ π) οπότε

Α = Α1 - Α2 και θ=0

Α 0

Α2

γ) Αν φ = π rad και Α1

Α1

Α2 τότε χ1 = Α1ημωt και χ2 = Α2ημ(ωt+ π) οπότε

Α = Α2- Α1 και θ= π rad

Α1

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Α2

Σελίδα 41

Παρατηρώ ότι αν φ = π rad η συνισταμένη ταλάντωση θα έχει αρχική φάση θ ίση με την αρχική φάση της επιμέρους ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος. Η ενέργεια στη σύνθετη ταλάντωση Αφού οι επιμέρους ταλαντώσεις έχουν ίδιες ω, θα έχουν και ίδιες D. Η ολική ενέργεια σε καθεμιά από τις επιμέρους ταλαντώσεις δίνεται από τη γνωστή σχέση Ε1 = DA12 και Ε2 = DA22 και η ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης Ε = DA2

Ε = D(

)

Ε= D

Ε = Ε1 + Ε2 + Παρατηρώ ότι γενικά δεν είναι Ε = Ε1 + Ε2 . Αυτό ισχύει μόνο αν φ = π/2 . Επίσης παρατηρώ ότι μπορεί να είναι Ε Ε1 + Ε2 ή Ε Ε1+ Ε2 Γενική περίπτωση Α

Α2

θ φ1

Α1

Αν και δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο η γενική περίπτωση είναι να έχουν και οι δύο επιμέρους ταλαντώ-σεις, αρχική φάση χ1 = Α1ημ(ωt +φ1 ), χ2 = Α2ημ(ωt +φ2 ) Τότε η μεταξύ τους διαφορά φάσης είναι Δφ = φ2 – φ1 αν φ2 φ1 και Α=

Προσοχή

εφθ =

χ = Αημ(ωt +θ + φ1 )

Παρατήρηση Αν οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις έχουν και διαφορετικές ω δηλαδή χ1 = Α1ημω1t και χ2 = Α2ημ(ω2t + φ ) τότε δεν ισχύουν τα παραπάνω αλλά μπορώ να εφαρμόσω την αρχή της επαλληλίας και να βρίσκω για μια στιγμή την απομάκρυνση χ = χ1 + χ2 , την ταχύτητα u = u1 + u2 κ.λ.π. 2η περίπτωση – το διακρότημα Αν οι δύο ταλαντώσεις έχουν ίσα πλάτη και συχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους χ1 = Αημω1t και χ2 = Αημω2t από τη σύνθεσή τους προκύπτει μια

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 42

ταλάντωση που δεν είναι απλή αρμονική αφού το πλάτος της δεν είναι σταθερό αλλά μεταβάλλεται περιοδικά με το χρόνο χ = χ1 + χ2

χ = Αημω1t + Αημω2t

χ = 2Ασυν

t)ημ

χ = Α(ημω1t + ημω2t)

Πλάτος Α΄= 2Α Γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης ωταλ. = Περίοδος διακροτήματος Είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών (ή μεγιστοποιήσεων του πλάτους δηλαδή ‘όπως φαίνεται από το παρακάτω σχήμα Τδ = t2 – t1

Τώρα θα υπολογίσουμε τις στιγμές t1 και t2 κατά τις οποίες μηδενίζεται το πλάτος. Α΄= 0

2Α

= συν για κ = 0 t1 = Άρα Τδ = t2 – t1

= 2κπ και για κ = 1

Τδ =

t2 =

Τδ =

Περίοδος ταλάντωσης Είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να γίνει μια πλήρης ταλάντωση και υπολογίζεται απ το ωταλ. =

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Tταλ =

Σελίδα 43

Παρατηρήσεις α) Συνήθως το διακρότημα αναφέρεται σε ήχο. Τότε η συχνότητα του ήχου που ακούει ο ακροατής είναι η fταλ =

ενώ η συχνότητα με την οποία

μεγιστοποιείται ή ελαχιστοποιείται ο ήχος είναι η fδ =

β) Αν ένας ακροατής που ακούει ήχο ο οποίος παρουσιάζει διακρότημα, αντιλαμβάνεται Ν μεγιστοποιήσεις ή ελαχιστοποιήσεις του ήχου σε χρόνο Δt, τότε η συχνότητα του διακροτήματος ισούται με fδ = γ) Σε χρόνο Τδ γίνονται Ν ταλαντώσεις περιόδου Τταλ και ισχύει Ν = δ) Αν δύο ταλαντώσεις με συχνότητες f1, f2 που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους και f1 f2 , δίνουν σύνθετη ταλάντωση που παρουσιάζει διακρότημα, τότε : i) μπορεί να χαθεί το διακρότημα αν 1) αυξηθεί λίγο η μεγάλη συχνότητα 2) μειωθεί λίγο η μικρή συχνότητα 3) οι δύο συχνότητες γίνουν ίσες μεταξύ τους 4) γενικά αυξηθεί η διαφορά πέρα από το όριο που επιτρέπει την ύπαρξη διακροτήματος ii) μπορεί να πάρουμε νέο διακρότημα με συχνότητα fδ΄ = fδ αν 1) αυξηθεί αρκετά η μικρή συχνότητα, ώστε να ξεπεράσει τη μεγάλη συχνότητα κατά fδ 2) μειωθεί αρκετά η μεγάλη συχνότητα, ώστε να γίνει μικρότερη από τη μικρή συχνότητα κατά fδ

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Σελίδα 44