Κύματα -Doppler θεωρία

Φυσική κατεύθυνσης Γ λυκείου

Κύματα - Doppler

www. physicsnet.edu.gr

Σ. Ραμιώτης - φυσικός

Κύματα

Ηλεκτρομαγνητικά

Μηχανικά

( διαδίδονται και στο κενό )

( δεν διαδίδονται στο κενό αλλά μόνο σε ελαστικό μέσο)

Εγκάρσια

Εγκάρσια

Διαμήκη

Μηχανικά κύματα Το μηχανικό κύμα ή κύμα ελαστικότητας είναι ο μηχανισμός διάδοσης μιας διαταραχής σε ένα ελαστικό μέσο με ορισμένη ταχύτητα . Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου, δηλαδή σε ένα ομογενές και ισότροπο μέσο είναι σταθερή ( uστερεού uυγρού uαερίου ). Για τη δημιουργία ενός τέτοιου κύματος πρέπει να υπάρχει μια πηγή, δηλαδή ένα σημείο του ελαστικού μέσου το οποίο να ταλαντώνεται και ένα συνεχές ελαστικό μέσο στο οποίο θα διαδοθεί το κύμα. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ότι το χέρι είναι η πηγή που δημιουργεί το κύμα. Η πηγή όπως και κάθε σημείο του ελαστικού μέσου ταλαντώνεται στην κατακόρυφη διεύθυνση, ενώ το κύμα διαδίδεται στην οριζόντια. Δηλαδή τα σημεία του ελαστικού μέσου δεν μεταφέρονται προς τα δεξιά, άρα μπορώ να πω ότι ένα τέτοιο κύμα μεταφέρει ενέργεια και ορμή από το ένα σημείο του ελαστικού μέσου στο επόμενο, αλλά όχι μάζα. Ανάλογα με τον τρόπο που ταλαντώνονται τα μόρια του ελαστικού μέσου σε σχέση με τη διεύθυνση διάδοσης τα κύματα διακρίνονται σε εγκάρσια (transverse) και διαμήκη (longitudinal ).

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 2

Εγκάρσια είναι τα κύματα στα οποία τα μόρια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος και έτσι στο ελαστικό μέσο παρατηρούνται όρη (τα ψηλότερα σημεία ) και κοιλάδες ( τα χαμηλότερα σημεία). Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται μόνο στα στερεά αλλά εμείς για ευκολία θα παριστάνουμε όλα τα κύματα ως εγκάρσια. Διαμήκη είναι τα κύματα στα οποία τα μόρια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος και έτσι στο ελαστικό μέσο παρατηρούνται πυκνώματα και αραιώματα. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά, υγρά και αέρια. Ο ήχος είναι διαμήκες κύμα. Παρακάτω θα ασχοληθούμε κυρίως με τα εγκάρσια κύματα αλλά και για τα διαμήκη θα χρησιμοποιούμε την ίδια μαθηματική περιγραφή. Χαρακτηριστικά μεγέθη κύματος Περίοδος Τ. Είναι ίδια με την περίοδο της πηγής και στο χρόνο αυτό ένα σημείο του ελαστικού μέσου κάνει μια πλήρη ταλάντωση. Συχνότητα f. Είναι ίδια με τη συχνότητα της πηγής και ισχύουν f =

= .

Γωνιακή συχνότητα ω. Είναι ίδια με τη γωνιακή συχνότητα της πηγής και ισχύουν ω=

= 2πf =

.

Πλάτος Α. Είναι ίδιο με το πλάτος Α της πηγής. Μήκος κύματος λ. Είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου Τ. Επίσης ισούται με την οριζόντια απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ορέων ή κοιλάδων. y A

λ

0 χ -A

Θεμελιώδης εξίσωση κυματικής

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 3

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσο με σταθερή ταχύτητα u άρα ισχύει u =

όπου χ η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο t. Αν t = T τότε χ = λ

και έχουμε u =

ή u = λf

Προσοχή η ταχύτητα διάδοσης σε ένα ομογενές και ισότροπο μέσο είναι σταθερή και έτσι αν αλλάξουμε τη συχνότητα ( ή την περίοδο ) της πηγής, θα αλλάξει το μήκος κύματος λ και όχι η ταχύτητα διάδοσης. Αν το κύμα στην πορεία του συναντήσει άλλο μέσο τότε κατά ένα μέρος ανακλάται και συνεχίζει να διαδίδεται στο 1ο μέσο με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης, ίδιο μήκος κύματος λ1 και διαφορετικό πλάτος, ενώ το υπόλοιπο διαθλάται δηλαδή συνεχίζει στο 2ο μέσο με διαφορετική ταχύτητα διάδοσης u2 u1, διαφορετικό μήκος κύματος λ2 λ1 και ίδια περίοδο και συχνότητα.

Εξίσωση αρμονικού κύματος (χωρίς αρχική φάση) Έστω ένα ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και μια πηγή στη θέση Ο που εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης y(Ο) = Aημωt. y A

M

0 xM

χ

-A

Η πηγή αρχίζει να ταλαντώνεται την t=0 και στο ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα διάδοσης προς τα δεξιά, φορά την οποία θεωρούμε θετική.

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 4

Προσοχή δεν θεωρούμε απαραίτητα θετική τη φορά προς τα δεξιά αλλά τη φορά από το Ο προς τα έξω. Επίσης το Ο δεν ταυτίζεται πάντα με την πραγματική πηγή που δημιουργεί το κύμα.

+

+

+

Ο

+ +

-

-

+ -

+

Ο -

+

-

-

-

Ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου που απέχει χΜ από το Ο αρχικά είναι ακίνητο και

.

αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή που το κύμα φτάνει σε αυτό δηλαδή την tM = Αφού το Μ αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από το Ο θα ταλαντώνεται για λιγότερο χρόνο, δηλαδή αν το Ο ταλαντώνεται για χρόνο t, το Μ θα ταλαντώνεται για t – tM και η εξίσωση απομάκρυνσης θα είναι yM = Aημω(t – tM ) yM = Aημ2π ( –

)

yM = Aημ2π ( –

yM = Aημ (t –

)

)

Αντίστοιχη σχέση θα ισχύει και για όλα τα υπόλοιπα σημεία του ελαστικού μέσου στα οποία έχει φτάσει το κύμα, άρα γενικά για κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση θα ισχύει

y = Aημ2π ( – )

(1)

ενώ για κύμα που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση θα ισχύει

y = Aημ2π ( + )

(2)

Φάση του κύματος είναι η γωνία φ = 2π ( – ) ή φ = 2π ( + ) η τιμή της οποίας εξαρτάται από το χρόνο t και τη θέση χ ενός σημείου και καθορίζει την απομάκρυνση y ( την ταχύτητα u, την επιτάχυνση α, κ.λ.π. ) του σημείου για κάθε t απ τη στιγμή που άρχισε να ταλαντώνεται και μετά. Διερεύνηση των σχέσεων (1) και (2)

Α

Έστω ένα δεδομένο σημείο Μ του ελαστικού μέσου στη θέση χ = χΜ του θετικού ημιάξονα και ένα αρμονικό κύμα χωρίς αρχική φάση που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση. Το σημείο Μ αρχίζει να ταλαντώνεται την tM = γίνεται yΜ = Aημ2π ( –

)

yΜ = Aημ2π ( – Λ) για t

και η (1)

tM όπου Λ =

=

σταθ. Αυτή είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο για την ταλάντωση του

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 5

σημείου Μ. Αντίστοιχες είναι οι εξισώσεις που δίνουν την ταχύτητα, την επιτάχυνση και όλα τα υπόλοιπα μεγέθη της α.α.τ. που κάνει το σημείο Μ, με το χρόνο : uΜ = umax συν2π ( – Λ) για t ημ2π ( – Λ) για t

tM

tM

αΜ = - αmax

κ.λ.π.

φ(rad)

Η φάση του Μ αυξάνει με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση φΜ = 2π ( – και η αντίστοιχη γραφική παράσταση είναι αυτή στο διπλανό σχήμα. Η κλίση της ευθείας ισούται με την ω. tM

t(s)

Αν παραστήσουμε σε κοινούς άξονες τα διαγράμματα φάσης – χρόνου για τρία σημεία Μ, Ν ,Ζ που βρίσκονται στις θέσεις χΜ χΝ χΖ παρατηρούμε ότι : φ(rad)

την tM αρχίζει η ταλάντωση του Μ και η φάση των τριών σημείων είναι μηδέν.

φ3 φ2 φ1

tM

tΝ

tΖ

t(s)

την tΝ αρχίζει η ταλάντωση του Ν και η φάση του Μ είναι φΜ = φ1, η φάση του Ν είναι φΝ = 0 και η φάση του Ζ φΖ = 0

την tΖ αρχίζει η ταλάντωση του Ζ και η φάση του Μ είναι φΜ = φ3, η φάση του Ν είναι φΝ = φ2 και η φάση του Ζ φΖ = 0 Τι μορφή έχει γραφική παράσταση φ - t αν : α) το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση αλλά το Μ είναι σημείο του αρνητικού ημιάξονα ; β) το κύμα διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση και το Μ είναι σημείο του θετικού ημιάξονα ; γ) το κύμα διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση και το Μ είναι σημείο του αρνητικού ημιάξονα ;

Β

Έστω το κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση (1) το οποίο μια δεδομένη χρονική στιγμή t = t1 έχει διανύσει απόσταση χ1 = u∙t1 οπότε όλα τα σημεία μεταξύ του 0 και του χ1 έχουν διεγερθεί σε ταλάντωση. Μια φωτογραφία του ελαστικού μέσου εκείνη τη στιγμή δείχνει τα διάφορα σημεία να βρίσκονται το καθένα σε μια απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος τη

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 6

δεδομένη στιγμή. Η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή y1 = Aημ2π ( y1 = Aημ2π (K – ) όπου K =

– )

= σταθ. Αυτή είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης

των διαφόρων σημείων σε συνάρτηση με την απόστασή τους από το Ο, τη δεδομένη στιγμή t1. Το πιο απομακρυσμένο από το Ο σημείο στο οποίο έχει φτάσει το κύμα ονομάζεται μέτωπο του φ(rad) κύματος και εφόσον εκείνη τη στιγμή αρχίζει να ταλαντώνεται θα έχει φάση μηδέν.

2π

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ = 2π(

– ) και

παρατηρούμε ότι μειώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από το Ο (το οποίο προς το παρόν θεωρώ ότι x1 ταυτίζεται με την πηγή του κύματος) και μηδενίζεται στο μέτωπο του κύματος. Έτσι στη ερώτηση ΄΄μέχρι ποιο σημείο έχει φτάσει το κύμα την t1΄΄ μπορούμε να απαντήσουμε λύνοντας την φ = 0.

φ(rad)

φ(rad)

2π

x1

χ(m)

x1

κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση

χ(m)

κύμα που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση

Από τη μορφή του διαγράμματος φ – χ μπορούμε να καταλάβουμε προς ποια κατεύθυνση διαδίδεται το κύμα αφού ξέρουμε ότι διαδίδεται προς την κατεύθυνση που μειώνεται η φάση Αν παραστήσουμε σε κοινούς άξονες τα διαγράμματα φάσης – θέσης για τρείς χρονικές στιγμές t3 t2 t1

φ(rad) φ1

παρατηρούμε ότι :

φ3 φ2 x3

x2

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

x1

x(m)

τη στιγμή t3 το κύμα έχει φτάσει ως τη θέση χ3, τη στιγμή t2 το κύμα έχει φτάσει ως τη θέση χ2 και τη στιγμή t1

Σελίδα 7

χ(m)

το κύμα έχει φτάσει ως τη θέση χ1. Τη στιγμή t1 το σημείο χ1 έχει φάση μηδέν, ενώ την ίδια στιγμή το σημείο χ2 έχει φάση φ2 και το σημείο χ3 έχει φάση φ3 φ2. Προσοχή η φάση δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές. Η πηγή θα έχει πάντα τη μεγαλύτερη φάση από όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου και καθώς θα απομακρυνόμαστε από αυτή η φάση θα μικραίνει, μέχρι να μηδενιστεί στο μέτωπο του κύματος. Εδώ πρέπει να επισημάνουμε μια ειδική περίπτωση που θα δούμε παρακάτω όπου η πηγή έχει αρχική φάση π και τότε η μικρότερη τιμή της φάσης, την οποία βέβαια έχει το μέτωπο του κύματος, είναι φ = π rad. Πως σχεδιάζω το στιγμιότυπο ενός κύματος ( για κύμα χωρίς αρχική φάση ) Έστω ότι ζητείται το στιγμιότυπο ενός αρμονικού κύματος, χωρίς αρχική φάση, που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση, τη στιγμή t1.

1) Βρίσκω την απόσταση στην οποία έχει φτάσει το κύμα την t1 είτε λύνοντας την χ1 = u∙t1 είτε λύνοντας την φ = 0

2π(

–

)=0

2) Εκφράζω την απόσταση αυτή ως πολλαπλάσιο του λ, ή καλύτερα ως πολλαπλάσιο του . Συνήθως είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του . Ν = 3) Σχεδιάζω ορθογώνιο σύστημα αξόνων y – x και χωρίζω στον Οχ, Ν ίσα τμήματα μήκους λ/4 το καθένα. Ξεκινώντας από το μέτωπο σχεδιάζω ημιτονοειδή καμπύλη προς τα αριστερά με ακρότατα, ή σημεία καμπής κάθε λ/4.

4) Αν ο Ν δεν είναι ακέραιος τότε θα πρέπει να βρω και το σημείο στο οποίο η καμπύλη τέμνει τον y΄y λύνοντας την y = Aημ2π (

– ) για χ = 0.

Εφαρμογή Έστω αρμονικό κύμα χωρίς αρχική φάση, που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο με εξίσωση της μορφής y = 4ημ2π (

– ) (S.I.) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του

κύματος τις χρονικές στιγμές : α) t1 = 1,5s β) t2 = 3s γ) t3 = 3,25s Λύση Από ταυτοποίηση y = 4ημ2π (

– )

y = Aημ2π ( – ) u=

προκύπτουν Α = 4m, T = 2s, λ = 2m και

= 1m/s

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 8

α) την t1 το κύμα έχει διανύσει απόσταση χ1 = ut1 = 1,5m και Ν =

=

=3

t1

y (m) 4

0

1,5

χ(m)

-4

β) την t2 το κύμα έχει διανύσει απόσταση χ2 = ut2 = 3m και Ν =

y(m)

t2

4

=

0

=6

3

χ (m)

-4

γ) την t3 το κύμα έχει διανύσει απόσταση χ3 =

y(m)

ut3 = 3,25m και Ν =

4

=

0

= 6,5

t3

3,25

Άρα την t3 το κύμα έχει διανύσει απόσταση χ3 =

χ (m)

-2 -4

6 + για χ = 0 και t = 3,25s έχουμε y = 4ημ2π ( 4ημ(3π + ) = -2

– ) = 4 ημ3,25π = m

Πως βρίσκω τη φορά κίνησης διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου από το στιγμιότυπο ενός κύματος

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 9

y

t1

Έστω ότι δίνεται το παραπάνω στιγμιότυπο ενός αρμονικού κύματος Ο Δ Η Ν που διαδίδεται προς τη χ θετική κατεύθυνση και Ζ ζητείται να βρούμε ποια από τα παραπάνω σημεία έχουν μέγιστη ταχύτητα, ποια μηδενική και ποια είναι η φορά κίνησης των σημείων Β, Δ, Θ,Η εκείνη τη στιγμή. Γ

Μ

Β

Θ

Απάντηση Μέγιστη ταχύτητα έχουν τα σημεία Ο, Δ, Η, Ν τα οποία βρίσκονται στη θέση ισορροπίας εκείνη τη στιγμή. Μηδενική ταχύτητα έχουν τα σημεία Γ, Ζ, Μ τα οποία βρίσκονται σε ακραία θέση. Για να βρω τη φορά κίνησης των υπολοίπων σημείων σχεδιάζω στο ίδιο διάγραμμα και το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t2 = t1 +dt λίγο μετά την t1 και βλέπω αν ένα σημείο έχει ανέβει ή έχει κατέβει. y

t1 Γ

Μ

Β Ο

Θ

Δ

Η

Ν χ

Ζ

Διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου την ίδια στιγμή. Έστω αρμονικό κύμα χωρίς αρχική φάση, που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο προς τη θετική κατεύθυνση και δύο σημεία Β, Γ του ελαστικού μέσου στις θέσεις χ Β και χΓ αντίστοιχα με χΒ χΓ . Τότε οι φάσεις των ταλαντώσεων των δύο σημείων την ίδια χρονική στιγμή θα είναι φΒ =2π ( –

) και φΓ =2π ( –

) με φΒ

χΓ. Άρα η διαφορά φάσης μεταξύ τους θα είναι Δφ = φΒ – φΓ = 2π( – ) = 2π

φΓ αφού χΒ ) - 2π( –

άρα Δφ =2π

Αν ονομάσουμε Δt το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κύμα για να πάει από το σημείο Β στο Γ, θα ισχύει Δχ = u Δt και η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί Δφ =2π

Δφ = 2π

Μεταβολή της φάσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου με το χρόνο.

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 10

Έστω ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου το οποίο την t1 έχει φάση φ1 = 2π ( και την t2 t1 έχει φάση φ2 = 2π (

– )

– ). Στο χρονικό διάστημα Δt = t2 – t1 η φάση

του Μ έχει μεταβληθεί κατά Δφ = φ2 – φ1= 2π (

– ) - 2π (

– ) =2π

άρα Δφ = 2π Συμφωνία φάσης Δύο ή περισσότερα σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται σε συμφωνία φάσης μεταξύ τους αν έχουν κάθε στιγμή ίσες απομακρύνσεις και ίσες ταχύτητες y1 = y2 και u1 = u2 Τότε Δφ = 2κπ

= 2κπ

2π

Δχ = κλ για κ = 1,2,3,..

Αντίθεση φάσης Δύο ή περισσότερα σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται σε αντίθεση φάσης μεταξύ τους αν έχουν κάθε στιγμή αντίθετες απομακρύνσεις και αντίθετες ταχύτητες y1 = - y2 και u1 = - u2 Τότε Δφ = (2κ + 1)π

2π

= (2κ+1)π

Δχ = ( 2κ + 1)

για κ = 0,1,2,3,..

π.χ. Για τα σημεία Ο, Β, Γ, Δ, Ζ, Η, Θ, Μ, Ν του ελαστικού μέσου στο κύμα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, παρατηρώ ότι y Γ

Μ

Β Ο

Θ

Δ

Η

Ν

χ

Ζ

είναι σε συμφωνία φάσης τα σημεία : Ο-Η, Β-Θ, Γ-Μ, Δ-Ν είναι σε αντίθεση φάσης τα σημεία : Ο-Δ, Ο-Ν, Γ-Ζ, Δ-Η,Ζ-Μ, Η-Ν Αρχική φάση στο τρέχον αρμονικό κύμα Το τρέχον κύμα που μελετήσαμε ως τώρα ήταν ένα κύμα το οποίο είτε δημιουργήθηκε από μια πηγή η οποία ταυτίζεται με το σημείο Ο, του χ΄χ και αρχίζει να ταλαντώνεται την t=0, είτε δημιουργήθηκε από μια πηγή που βρίσκεται σε άλλο σημείο του χ΄χ αλλά την t=0 το μέτωπο του κύματος βρίσκεται στη θέση Ο και τείνει να κινηθεί προς τη θετική φορά ( προς τα πάνω). Σε αυτές τις περιπτώσεις το κύμα δεν έχει αρχική φάση και η εξίσωση που το περιγράφει είναι η y = Aημ2π ( – ) αν

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 11

διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ή η y = Aημ2π ( + ) αν διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση. Όμως υπάρχουν κι άλλες περιπτώσεις όπου είτε το μέτωπο του κύματος την t=0 δεν βρίσκεται στην χ=0 και τείνει να κινηθεί προς τη θετική φορά, είτε το μέτωπο του κύματος βρίσκεται την t=0 στην χ=0 αλλά τείνει να κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, είτε και τα δύο. Τότε οι παραπάνω σχέσεις θέλουν μετατροπή με την προσθήκη αρχικής φάσης, ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες του προβλήματος.

1η περίπτωση (φ0

0)

Η πλέον συνηθισμένη περίπτωση είναι αυτή κατά την οποία η πηγή του κύματος είναι το σημείο Ο ή οποιοδήποτε άλλο σημείο του χ΄χ αλλά το μέτωπο του κύματος την t=0 δεν βρίσκεται στην χ=0 και τείνει να κινηθεί προς τη θετική φορά. Η εξίσωση ενός τέτοιου κύματος που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση είναι y = Aημ[2π ( – ) + φ0 ]. Αν γνωρίζω τη θέση του μετώπου την t=0 βρίσκω την αρχική φάση φ0 μηδενίζοντας την εξίσωση της φάσης του μετώπου, δηλαδή αν την t=0 το μέτωπο του κύματος βρίσκεται στην χ=χΜ τότε φμετώπου = 0

2π ( –

) + φ0 =0

φ0 =2π

για κύμα

που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση. Αντίθετα αν γνωρίζω τη φ0 μπορώ να βρω τη χΜ από το μηδενισμό της φάσης του μετώπου. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ο σχεδιασμός του στιγμιότυπου ενός τέτοιου κύματος αφού την t = t1 το μέτωπο του κύματος δεν θα βρίσκεται στην χ1 = ut1 αλλά στην χ1 = ut1 + χΜ για κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση. π.χ. Ένα ελαστικό μέσο ταυτίζεται με τον χ΄χ και ένα σημείο του ελαστικού μέσου που δεν ταυτίζεται με το Ο αρχίζει κάποια στιγμή να ταλαντώνεται κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. Το κύμα που δημιουργείτε διαδίδεται στο ελαστικό μέσο προς τη θετική κατεύθυνση και περιγράφεται από την εξίσωση y = 4ημ[2π( 5t – 2χ) +

]

(S.I). Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος την t1 = 0,25s. Λύση Αρχικά βρίσκω τα χαρακτηριστικά μεγέθη του κύματος: A = 4m, f = 5Hz, λ = 0,5m , φ0 =

και u = λf = 2,5m/s. Τώρα θα βρω τη θέση του μετώπου την t=0

μηδενίζοντας τη φάση φ =0 (χΜ =

2π( 5t – 2χ) +

-4πχΜ +

=0

χΜ =

m

)

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 12

Την t1 = 0,25s το μέτωπο του κύματος δεν θα βρίσκεται στην χ1 = ut1 = 2,5∙0,25 = 0,625m =

m, αλλά στην χΜ΄= χ1 + χΜ =

+

=

=2 m

Το ίδιο θα βρω αν μηδενίσω τη φάση για t = t1 = 0,25s φ =0 2π∙5∙0,25 -4πχΜ΄ +

=0

4πχΜ΄ =

+ 2,5π

2π( 5t1 – 2χ) + 4πχΜ΄ =

χΜ΄ =

2m t1

y(m) 4 0

2 -4

χ (m)

2η περίπτωση (φ0 = π ) Στην περίπτωση αυτή μπορεί η πηγή να ταυτίζεται με το Ο και την t = 0 να αρχίζει να ταλαντώνεται προς την αρνητική κατεύθυνση, ή να βρίσκεται σε άλλο σημείο και κάποια στιγμή να αρχίζει να ταλαντώνεται προς την αρνητική κατεύθυνση αλλά την t = 0 το μέτωπο του κύματος να βρίσκεται στην χ = 0 τείνοντας να κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση. Η εξίσωση ενός τέτοιου κύματος που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση είναι y = Aημ[2π ( – ) + π ] και η φάση του μετώπου του είναι π rad και όχι μηδέν. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται και εδώ ο σχεδιασμός του στιγμιότυπου ενός τέτοιου κύματος αφού την t = t1 το μέτωπο του κύματος θα βρίσκεται στην χ1 = ut1 αλλά τείνοντας να κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση. Παρακάτω φαίνεται το στιγμιότυπο ενός τέτοιου κύματος την t1 = 6T/4 όπου το μέτωπο βρίσκεται στη θέση χ1 = ut1 = 6λ/4 τείνοντας να κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση. y(m) t1

A 0 6λ/4 -A

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

χ (m)

Σελίδα 13

Προσοχή είναι δυνατόν να έχουμε κύμα με αρχική φάση φ0 = π rad, αλλά να έχει την ερμηνεία της πρώτης περίπτωσης, δηλαδή να σημαίνει ότι την t = 0 το μέτωπο του κύματος βρίσκεται στην χΜ = λ/2 τείνοντας να κινηθεί προς τη θετική φορά. Άρα για να καταλάβω αν η αρχική φάση φ0 = π rad επιδέχεται την ερμηνεία της 1ης ή της 2ης περίπτωσης πρέπει να γνωρίζω αν η πηγή που δημιούργησε το κύμα άρχισε να ταλαντώνεται προς τη θετική ή την αρνητική φορά. Παρακάτω φαίνεται το στιγμιότυπο ενός κύματος με εξίσωση y = Aημ[2π ( – ) + π ] την t1 = 6T/4 όπου το μέτωπο βρίσκεται στη θέση χ1 = ut1 + λ/2 = 8λ/4 τείνοντας να κινηθεί προς την θετική κατεύθυνση. y

t1 Α Ο 8λ/4

χ

-Α

3η περίπτωση (φ0

π)

Είναι δυνατόν να έχουμε και συνδυασμό των δύο παραπάνω περιπτώσεων, δηλαδή να έχουμε μια πηγή η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται κινούμενη προς την αρνητική κατεύθυνση και την t = 0 το μέτωπο του κύματος να βρίσκεται σε θέση χ 0. π.χ. Ένα κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση και την t = 0 το μέτωπό του βρίσκεται στην χ = λ έχει αρχική φάση φ0 = 2π ( περίπτωση 1η ). Αν το μέτωπο τείνει να κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση τότε έχει επιπλέον αρχική φάση π rad ( περίπτωση 2η )και έτσι τελικά έχει φ0 =2π + π = 3π rad. y = Aημ[2π ( – ) + 3π ]

y

t=0

Α Ο

λ -Α

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

χ

Σελίδα 14

Συμβολή ( ή επαλληλία, ή υπέρθεση ) Η συμβολή είναι το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο ή περισσότερων κυμάτων στην επιφάνεια ενός ελαστικού μέσου, χωρίς να επηρεάζει το ένα κύμα τα χαρακτηριστικά του άλλου. Οι πηγές που παράγουν τα κύματα μπορούν να ταλαντώνονται με οποιοδήποτε τρόπο, όμως εμείς θα εξετάσουμε μόνο περιπτώσεις όπου οι πηγές είναι σύγχρονες έχουν δηλαδή διαρκώς την ίδια φάση μεταξύ τους, ή σύμφωνες δηλαδή έχουν μεταξύ τους σταθερή διαφορά φάσης. Έστω δύο πηγές Π1, Π2 που είναι σύγχρονες και ταλαντώνονται με εξισώσεις απομάκρυνσης y1 = y2 = Αημωt και παράγουν κύματα που διαδίδονται προς όλες τις κατευθύνσεις με σταθερή ταχύτητα u = στ. Σ

r1

r2

Π1

Π2

Έστω ένα σημείο Σ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1 και r2 με r2

r1 και αρχικά είναι ακίνητο. Την t1 =

φτάνει στο Σ το κύμα από την

Π1 και το διεγείρει σε ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης y1 = Αημ2π( Την t2 =

).

φτάνει στο Σ και το άλλο κύμα από την Π2 και το διεγείρει σε ταλάντωση

με εξίσωση απομάκρυνσης y2 = Αημ2π( -

). Αμέσως μετά το Σ θα κάνει σύνθετη

ταλάντωση η οποία σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας θα έχει εξίσωση : y = y1 + y2 )]

y = Αημ2π( -

) + Αημ2π( -

y = 2Ασυν

y = 2Ασυν[

( r2 – r1)] ημ[

)

y = Α[ημ2π( -

) + ημ2π( -

ημ -

( r2 + r1)]

Ονομάζω πλάτος την ποσότητα Α΄ = 2Α

–

η οποία παίρνει τιμές

από 0 ως 2Α. Προσοχή η ποσότητα συν[

( r2 – r1)] είναι σε απόλυτο στον τύπο του πλάτους,

αφού δεν υπάρχει αρνητικό πλάτος, ενώ στον τύπο της απομάκρυνσης δεν είναι σε απόλυτο και μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 15

Εξίσωση απομάκρυνσης για t

0

y= –

Εξίσωση ταχύτητας ταλάντωσης για t

0

u= –

Εξίσωση επιτάχυνσης για t

0

α= –

Ενισχυτική συμβολή έχουμε στα σημεία του ελαστικού μέσου στα οποία τα δύο κύματα φτάνουν σε συμφωνία φάσης, οπότε τα σημεία αυτά εκτελούν ταλάντωση με πλάτος Α΄= 2Α Ας δούμε τώρα σε ποιες θέσεις μπορεί να βρίσκονται αυτά τα σημεία. Λύνω την εξίσωση του πλάτους για Α΄= 2Α –

2Α = 2Α

–

–

–

– –

– –

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

–

=1

–

και η γενικευμένη λύση είναι

για κ = 0,1,2,…

Σελίδα 16

Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήξουμε και αν ξεκινήσουμε από το δεδομένο ότι τα δύο κύματα στο σημείο αυτό παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ = 2κπ –

Δφ =

2κπ =

–

–

2κπ =

– Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που επαληθεύουν την

–

είναι :

α) η μεσοκάθετος του Π1Π2 για κ = 0 β) υπερβολή για κ

0

Αναιρετική ή ακυρωτική συμβολή έχουμε στα σημεία του ελαστικού μέσου στα οποία τα δύο κύματα φτάνουν σε αντίθεση φάσης, οπότε τα σημεία αυτά παραμένουν διαρκώς ακίνητα Α΄= 0 Ας δούμε τώρα σε ποιες θέσεις μπορεί να βρίσκονται αυτά τα σημεία. Λύνω την εξίσωση του πλάτους για Α΄= 0 –

0 = 2Α –

–

–

=0

= συν

και η γενικευμένη λύση είναι

– –

–

για κ = 0,1,2,…

Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήξουμε και αν ξεκινήσουμε από το δεδομένο ότι τα δύο κύματα στο σημείο αυτό παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ = (2κ + 1)π Δφ = –

–

(2κ + 1)π =

–

(2κ + 1)π =

–

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 17

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που επαληθεύουν την

–

είναι υπερβολή .

Παρατηρήσεις Οι συνεχείς γραμμές στο παραπάνω σχήμα είναι οι κροσσοί ενισχυτικής συμβολής. Κάθε σημείο τους έχει πλάτος 2Α και επαληθεύει τη σχέση – για την αντίστοιχη τιμή του κ κάθε φορά. π.χ. τα σημεία Ζ, Η, Θ, έχουν πλάτος 2Α και επαληθεύουν τη σχέση – αφού κ =1 Οι διακεκομμένες γραμμές στο παραπάνω σχήμα είναι οι κροσσοί αναιρετικής συμβολής. Κάθε σημείο τους έχει πλάτος 0 και επαληθεύει τη σχέση – για την αντίστοιχη τιμή του κ κάθε φορά. Τα σημεία όπου οι κροσσοί συμβολής τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα Π 1Π2 απέχουν μεταξύ τους ελάχιστη απόσταση λ/4 ( αποδείξτε το ). Εκτός από τα σημεία ενίσχυσης και απόσβεσης και όλα τα υπόλοιπα σημεία διατάσσονται σε υπερβολές. Αν για παράδειγμα ένα σημείο έχει πλάτος Α΄= Α βρίσκεται πάνω σε μια υπερβολή όλα τα σημεία της οποίας θα έχουν πλάτος Α θα ικανοποιούν τη σχέση που προκύπτει αν λύσουμε την Α΄=Α

2Α

–

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

–

θα και

=

Σελίδα 18

–

–

=

–

–

–

–

–

για κ =0,1,2, …

Όλα τα σημεία της ευθείας που διέρχεται από τα Π1 , Π2 και βρίσκονται εκτός του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 θα ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος που θα ταλαντώνονταν οι πηγές αν στον τύπο του πλάτους βάζαμε r1 = d όπου d η απόσταση μεταξύ Π1 , Π2 και r2 =0. Προσοχή οι πηγές εξαιρούνται και θεωρώ ότι κάνουν διαρκώς ταλάντωση με πλάτος Α. Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται οι πηγές να ανήκουν σε κροσσό ενισχυτικής συμβολής όμως εξαιρούνται και έχουν πλάτος Α, ενώ τα σημεία της ευθείας δεξιά και αριστερά των πηγών έχουν πλάτος 2Α. Συμβολή με πηγές σύμφωνες Έστω δύο πηγές Π1, Π2 που παράγουν αρμονικά κύματα. Η Π1 αρχίζει να ταλαντώνεται την t = 0 με εξίσωση απομάκρυνσης y1 = Aημωt και η Π2 αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από χρόνο t1 με εξίσωση απομάκρυνσης y2 = Aημω(t - t1). Οι πηγές αυτές δεν είναι σύγχρονες αλλά έχουν σταθερή διαφορά φάσης και ονομάζονται σύμφωνες. Έστω σημείο Μ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει αποστάσεις r1 , r2 από τις πηγές. Ή εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που θα κάνει το Μ μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων θα είναι y = y1 + y2

y = Αημ2π( -

y = Α{ημ2π(

-

) + Αημ[2π( -

) + ημ[2π( -

)-

y = 2Ασυν

)-

] ημ

y = 2Ασυν[

( r2 – r1) +

] ημ[

-

( r2 + r1) -

Προφανώς το t1 μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή t1 t1 =

. Τότε γίνεται y = 2Ασυν[ ( r2 – r1) + ] ημ[

Ενίσχυση όταν Α΄= 2Α –

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

0. Ας δούμε τι συμβαίνει για -

( r2 + r1) - ] και έχουμε

–

2Α = 2Α =1

]

– –

Σελίδα 19

–

–

–

και η γενικευμένη

–

λύση είναι –

–

Απόσβεση όταν Α΄= 0

–

0 = 2Α

–

=0

για κ = 0,1,2,…

– –

= συν

και η

–

γενικευμένη λύση είναι –

–

για κ = 0,1,2,…

Παρατηρώ ότι τώρα έχουμε απόσβεση εκεί που πριν είχαμε ενίσχυση και αντίστροφα. Προσοχή τώρα η μεσοκάθετος του Π1Π2 είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων αναιρετικής συμβολής για κ = 0 .

Στάσιμο κύμα είναι το αποτέλεσμα της συμβολής δύο αρμονικών κυμάτων που έχουν ίσα πλάτη, ίσες συχνότητες και διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο προς αντίθετες κατευθύνσεις. Έστω

y1 = Aημ2π ( – ) και y2 = Aημ2π ( + ) οι εξισώσεις των δύο

κυμάτων. Από την αρχή της επαλληλίας για την ταλάντωση οποιουδήποτε σημείου του ελαστικού μέσου, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων, έχω : y = y1 + y2 )]

y = Αημ2π( - ) + Αημ2π( + )

y = 2Ασυν

y = 2Ασυν

y = Α[ημ2π( - ) + ημ2π( +

ημ

ημ

Ονομάζω πλάτος την ποσότητα Α΄ = 2Α

η οποία παίρνει τιμές από 0 ως

2Α.

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 20

Κοιλίες έχουμε στα σημεία του ελαστικού μέσου στα οποία τα δύο κύματα φτάνουν σε συμφωνία φάσης, οπότε τα σημεία αυτά εκτελούν ταλάντωση με πλάτος Α΄= 2Α Ας δούμε τώρα σε ποιες θέσεις μπορεί να βρίσκονται αυτά τα σημεία. Λύνω την εξίσωση του πλάτους για Α΄= 2Α 2Α = 2Α

=1

και η γενικευμένη λύση είναι

χκ

για κ = 0, 1,

2,…

Δεσμοί είναι τα σημεία του ελαστικού μέσου στα οποία τα δύο κύματα φτάνουν σε αντίθεση φάσης, οπότε τα σημεία αυτά παραμένουν διαρκώς ακίνητα Α΄= 0 Ας δούμε τώρα σε ποιες θέσεις μπορεί να βρίσκονται αυτά τα σημεία. Λύνω την εξίσωση του πλάτους για Α΄= 0 0 = 2Α

=0

= συν

και η

γενικευμένη λύση είναι για κ = 0, 1,

2,…

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται τα στιγμιότυπα ενός στάσιμου κύματος τις στιγμές t1, t2, t3 και t4 . Την t1 όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται ( εκτός δηλαδή των δεσμών ) βρίσκονται σε ακραία θέση, έχοντας το καθένα τη δικιά του μέγιστη κατά

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 21

μέτρο απομάκρυνση η τιμή της οποίας κυμαίνεται από μηδέν ως 2Α.Την ίδια στιγμή όλη η ενέργεια του κύματος είναι σε μορφή δυναμικής ενέργειας. Την t2 όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται ( εκτός δηλαδή των δεσμών ) έχουν αρχίσει να κινούνται προς τη θέση ισορροπίας .Την ίδια στιγμή η ενέργεια του κύματος είναι σε μορφή δυναμικής και κινητικής ενέργειας. Την t3 = t1 +

όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται ( εκτός

δηλαδή των δεσμών ) διέρχονται από τη θέση ισορροπίας, έχοντας το καθένα τη δικιά του μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα η τιμή της οποίας κυμαίνεται από μηδέν ως umax = ω∙2Α.Την ίδια στιγμή όλη η ενέργεια του κύματος είναι σε μορφή κινητικής ενέργειας. Την t5 = t1 +

όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται ( εκτός

δηλαδή των δεσμών ) έχουν βρεθεί στην αντίθετη θέση από αυτή που βρισκόντουσαν την t1. Προσοχή το στάσιμο δεν είναι κύμα σαν το τρέχον αλλά είναι μια μόνιμη κατάσταση που έχει διαμορφωθεί σε μια περιοχή του ελαστικού μέσου. Επομένως το στάσιμο δεν μεταφέρει ενέργεια και ορμή αφού οι δεσμοί είναι μονίμως ακίνητοι. Η ενέργεια εγκλωβίζεται στις ατράκτους ( τις περιοχές μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ) και η συνολική ενέργεια είναι πολλαπλάσιο της ενέργειας μιας ατράκτου. Στο στάσιμο κύμα δεν ισχύουν οι τύποι Δφ = 2π

και Δφ = 2π

. Η διαφορά φάσης

μεταξύ δύο οποιονδήποτε σημείων που ταλαντώνονται μπορεί να είναι Δφ=0 ή Δφ=π rad . Όλα τα σημεία που έχουν ταυτόχρονα θετικά ή ταυτόχρονα αρνητικά y έχουν Δφ=0 ενώ τα σημεία που έχουν ταυτόχρονα ετερώνυμα y έχουν Δφ = π rad. Στάσιμο κύμα σε χορδή με στερεωμένα τα δύο άκρα Αφού τα άκρα της χορδής είναι στερεωμένα είναι υποχρεωτικά δεσμοί και πάνω στη χορδή μπορεί να δημιουργηθεί μια από τις παρακάτω εικόνες

1η αρμονική

d = λ/2

2η αρμονική

d = 2λ/2

3η αρμονική

d = 3λ/2

d

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 22

Γενικά θα ισχύει d = N∙ όπου Ν = 1,2, … ο αριθμός των κοιλιών Άρα για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα σε μια τέτοια χορδή θα πρέπει η συχνότητα της πηγής να ικανοποιεί τη σχέση d = N∙

d = N∙

f = N∙

Στάσιμο κύμα σε χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο Αφού το ένα άκρο της χορδής είναι στερεωμένο είναι υποχρεωτικά δεσμός ενώ το ελεύθερο άκρο είναι κοιλία. Πάνω στη χορδή μπορεί να δημιουργηθεί μια από τις παρακάτω εικόνες

d = λ/4 d

d = 3λ/4

d = 5λ/4

Γενικά θα ισχύει d = ( 2N – 1 )∙ όπου Ν = 1,2, … ο αριθμός των κοιλιών Άρα για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα σε μια τέτοια χορδή θα πρέπει η συχνότητα της πηγής να ικανοποιεί τη σχέση d = ( 2N – 1 )∙

d = ( 2N – 1 )∙

f = (2N – 1)∙

Άλλο ένα στάσιμο Ας δούμε τώρα το στάσιμο κύμα που προκύπτει αν το ανακλώμενο κύμα έχει αρχική φάση π rad. Αυτή είναι η περίπτωση που συμβαίνει όταν ένα κύμα που διαδίδεται σε χορδή, ανακλάται σε ακίνητο σημείο. Τότε οι εξισώσεις των κυμάτων που συμβάλλουν για να δώσουν το στάσιμο είναι : y1 = Aημ2π ( – ) και y2 = Aημ [2π ( + ) + π] y = y1 + y2

y = Αημ2π( - ) + Αημ [2π ( + ) + π]

ημ[2π ( + ) + π] }

y = 2Ασυν

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

y = Α{ημ2π(

- )+

ημ

Σελίδα 23

y = 2Ασυν

ημ

Ονομάζω πλάτος την ποσότητα Α΄ = 2Α

η οποία παίρνει τιμές

από 0 ως 2Α. Κοιλίες έχουμε στα σημεία με πλάτος Α΄= 2Α Ας δούμε τώρα σε ποιες θέσεις μπορεί να βρίσκονται αυτά τα σημεία. Λύνω την εξίσωση του πλάτους για Α΄= 2Α 2Α = 2Α

=1

και η γενικευμένη λύση είναι

χκ

για κ = 0, 1,

2,…

Δεσμοί είναι τα σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία παραμένουν διαρκώς ακίνητα Α΄= 0 Ας δούμε τώρα σε ποιες θέσεις μπορεί να βρίσκονται αυτά τα σημεία. Λύνω την εξίσωση του πλάτους για Α΄= 0 0 = 2Α

0

= συν

και η γενικευμένη λύση είναι

για κ = 0, 1,

2,…

Παρατηρώ ότι τώρα έχουμε δεσμούς στα σημεία που πριν είχαμε κοιλίες και κοιλίες στις θέσεις των δεσμών. Στη θέση χ=0 έχουμε δεσμό.

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 24

Φαινόμενο Doppler Συμβολισμός: : συχνότητα που εκπέμπει η πηγή : ταχύτητα πηγής u: ταχύτητα ήχου : συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής Α:

ταχύτητα του παρατηρητή

: μήκος κύματος όταν η πηγή είναι ακίνητη : μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής

Σχετική ταχύτητα: Αν δύο σώματα Α,Β κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες

αντίθετης φοράς

όπως στο σχήμα. Σε χρόνο Δt το Α διανύει και το Β, . Άρα τα 2 σώματα πλησιάζουν κατά . Αν ρωτήσω τον Β θα μου πει ότι ο Α πλησίασε κατά άρα ο Β αντιλαμβάνεται ταχύτητα για τον Α. Ομοίως όταν κινούνται ομόρροπα θα ήταν

1.Πηγή - Ακροατής ακίνητος:

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 25

2.Πηγή ακίνητη - Ακροατής πλησιάζει:

3.Πηγή ακίνητη - Ακροατής απομακρύνεται:

πρέπει

4.Πηγή πλησιάζει - Ακροατής ακίνητος:

υ

Καθώς η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή τον πλησιάζει σε χρόνο Τ κατά Δχ = usT επομένως το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μικρότερο από το λ κατά Δχ → πρέπει

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 26

5.Πηγή απομακρύνεται - Ακροατής ακίνητος:

υ

Καθώς η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή διανύει σε χρόνο Τ απόσταση Δχ = usT επομένως το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μεγαλύτερο από το λ κατά Δχ

6.Πηγή - Ακροατής κινούνται αντίρροπα και πλησιάζουν:

7.Πηγή - Ακροατής κινούνται αντίρροπα και απομακρύνονται:

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 27

8.Η πηγή καταδιώκει τον ακροατή:

9.Ο ακροατής καταδιώκει την πηγή:

10.Γενικός τύπος(για την περίπτωση που κινούνται στην ίδια ευθεία): ►    

Στον αριθμητή έχω Στον αριθμητή έχω Στον παρονομαστή έχω μήκη κύματος. Στον παρονομαστή έχω μήκη κύματος.

αν αν

↑↓ . ↑↑ . αν απο τη μεριά του ακροατή είναι τα μικρά αν απο τη μεριά του ακροατή είναι τα μεγάλα

►

αν μικραίνει η απόσταση μεταξύ πηγής-ακροατή

►

αν μεγαλώνει η απόσταση μεταξύ πηγής-ακροατή

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 28

11. Αν η κίνηση του ακροατή ή της πηγής ή και των δύο είναι ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ισχύει ο τύπος (10) όπου: και

επίσης ισχύουν και οι σχέσεις

12. Αν η πηγή ή ο ακροατής ή και τα δύο κάνουν απλή αρμονική ταλάντωση τότε ισχύει ο τύπος (10). αλλά τα ταλάντωσης.

,

δίνονται από τους τύπους της απλής αρμονικής

Παράδειγμα

Σώμα κάνει α.α.τ. πλάτος Α, χωρίς αρχική φάση και έχει πάνω του πηγή που παράγει ήχο συχνότητας . Τι ακούει παρατηρητής (Β) ο οποίος είναι ακίνητος όπως στο σχήμα. Απάντηση: Έστω θετική φορά προς τα δεξιά και το σώμα βρίσκεται σε μια θέση x > 0 με > 0. Τότε ο (Β) ακούει → Τι ακούει στις Α.Θ.; Τότε Τι ακούει στην Θ.Ι.; α) τότε

= 0 άρα όταν

δηλαδή όταν

όταν

δηλαδή όταν

κινείται προς τα αριστερά. β) τότε

κινείται προς τα δεξιά.

13. Αν η πηγή και ο ακροατής κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις. Για να βρω τι ακούει ο ακροατής κάποια στιγμή t 1 σχεδιάζω τις θέσεις πηγών και ακροατή την t 1, φέρνω την ευθεία που διέρχεται από την πηγή και τον ακροατή και ορίζω σε αυτή x'x άξονα. Στην συνέχεια αναλύω τις , και στον τύπο (10) βάζω τις συνιστώσες των ταχυτήτων του χ΄χ άξονα

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 29

Παράδειγμα

Πηγή (S) παράγει ήχο συχνότητας και κινείται όπως στο σχήμα. Τι ακούει ο ακροατής: α) Όταν απέχει απόσταση 2d από την πηγή β) Όταν απέχει ελάχιστη απόσταση από την πηγή Απάντηση: Γενικά ο ακροατής ακούει

α) αν x = 2d τότε συνφ = β) αν x =

(1)

(1) →

= d τότε συνφ = 0 (1) →

14. Αν η πηγή ή ο ακροατής (ή και οι δύο) κάνει περιστροφική κίνηση. Παράδειγμα

S usχ

φ

usy

Γ O

B

us

A

περίπτωση (13), φέρνω την (SA) και αναλύω την

Πηγή S βρίσκεται στερεωμένη στην περιφέρεια δίσκου ακτίνας R που περιστρέφεται με ω = στ. γύρω από το (Ο). Τι ακούει ακίνητος παρατηρητής (Α);

Απάντηση: Έστω η πηγή σε τυχαία θέση. Τότε όπως στην .

(1)

Τι ακούει ο ακροατής όταν η πηγή διέρχεται από τις θέσεις (Β), (Γ);

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 30

Τότε ακούει Πότε ο ακροατής ακούει μέγιστη και πότε ελάχιστη συχνότητα; Από τον τύπο (1) βλέπω

όταν συνφ = 1 όταν συνφ = -1

15. : ο αριθμός των μεγίστων(ή ελαχίστων) που παράγει η πηγή σε χρόνο

.

: ο αριθμός των μεγίστων(ή ελαχίστων) που ακούει ο ακροατής σε χρόνο

.

Πάνω σε αυτούς του τύπους μπορεί να τεθούν ερωτήματα της μορφής: α) Αν η πηγή παράγει στον ίδιο χρόνο;

μέγιστα σε χρόνο

, πόσα μέγιστα φτάνουν στον ακροατή

Λύση: β) Αν η πηγή παράγει ήχο για χρόνο

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

, για πόσο χρόνο ακούει ήχο ο ακροατής;

Σελίδα 31

Λύση: Διερεύνηση: Έστω ότι δίνεται πως η πηγή παράγει μέγιστα σε χρόνο και ζητείται πόσα μέγιστα φτάνουν στον ακροατή στον ίδιο χρόνο (κινείται ο ακροατής).

1η περίπτωση: Αν ο ακροατής εξ' αρχής βρίσκεται σε περιοχή όπου υπάρχει το ηχητικό κύμα τότε 2η περίπτωση: Αν η πηγή αρχίζει να παράγει ήχο την t = 0 και τη στιγμή εκείνη ο ακροατής απέχει d από αυτή τότε πρέπει να υπολογίσω ότι το 1ο μέγιστο φτάνει στον ακροατή την

και μετά υπολογίζω όπως στην περίπτωση (1).

16.

Το αυτοκίνητο το σχήματος κινείται με = στ. και παράγει ήχο συχνότητας . Δεξιά του (Α) υπάρχει ακλόνητος τοίχος στον οποίο μπορεί να ανακλαστεί ο ήχος. Σε τέτοιες ασκήσεις όπου ο ήχος ανακλάται σε ακίνητο ή κινούμενο εμπόδιο σκεφτόμαστε ως εξής.

1. Βρίσκω τι "ακούει" ο τοίχος 2. Ακριβώς την ίδια συχνότητα που ακούει ο ήχος, την ανακλά και λειτουργεί ως πηγή Εδώ ο τοίχος "ακούει"

αφού είναι ακίνητος

Τι ακούει ο (Α); από το όχημα: από τον τοίχο: Τι ακούει ο (Β); από το όχημα:

Αν οι

,

διαφέρουν λίγο

μεταξύ

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 32

από τον τοίχο:

τους μπορεί να ακούσει διακρότημα με

Τι ακούει ο (Γ); από το όχημα: από τον τοίχο: και εδώ ο (Γ) μπορεί να ακούσει διακρότημα

Σ. Ραμιώτης - φυσικής

Σελίδα 33