Concrete Structure Design

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

RELAZIONE DI PROGETTO Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni CALCESTRUZZO ARMATO Prof. Ing. Colombo Matteo

Gruppo 8: Elena Marchini Nicolò Panzeri Gabriele Secchi Enrico Sterle

763608 763188 762698 762168 1

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Sommario 1.

NORMATIVA CORRENTE DI RIFERIMENTO ............................................................................................. 5

2.ANALISI DEI CARICHI ............................................................................................................................................... 5 2.1 Combinazione delle azioni .......................................................................................................................... 10 2.2 Inviluppi dei carichi........................................................................................................................................ 12 2.2.1 SOLAIO. Risoluzione schemi statici. Solaio_Appoggio‐Appoggio ....................................... 12 2.2.2 SOLAIO.Inviluppi e diagrammi M e T_Appoggio‐Appoggio (carico unitario)............... 14 2.2.3 SOLAIO.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio_Appoggio‐Appoggio .... 14 2.2.4 SOLAIO.Risoluzione schemi statici Solaio Semincastro‐Semincastro .............................. 15 2.2.5 SOLAIO.Inviluppi e diagrammi M e T_Semincastro‐Semincastro (carico unitario)... 15 2.2.6 SOLAIO.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio_Semincastro‐ Semincastro (carico unitario). ...................................................................................................................... 16 3. TRAVE PRINCIPALE ............................................................................................................................................... 17 3.1 Combinazione delle azioni .......................................................................................................................... 17 3.2 Inviluppo dei carichi ...................................................................................................................................... 18 3.2.1 TRAVE PRINCIPALE. Risoluzione schema statico Appoggio‐Appoggio .......................... 18 3.2.2 TRAVE PRINCIPALE.Inviluppi e diagrammi M e T_Appoggio‐Appoggio (carico unitario). ................................................................................................................................................................ 19 3.2.3 TRAVE PRINCIPALE.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio_A‐A(carico unitario). ................................................................................................................................................................ 20 3.2.4 TRAVE PRINCIPALE.Risoluzione schemi statici_Semincastro‐Semincastro (carico unitario). ................................................................................................................................................................ 21 3.2.5 TRAVE PRINCIPALE.Inviluppi e diagrammi M e T_Semincastro‐Semincastro ............ 21 3.2.6 TRAVE PRINCIPALE.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio ..................... 22 Semincastro‐Semincastro (carico unitario). .......................................................................................... 22 4. TRAVE SECONDARIA e TRAVE DI BORDO ................................................................................................... 23 4.2 Inviluppo dei carichi ...................................................................................................................................... 23 4.2.1 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Risoluzione schemi statici_Appoggio‐Appoggio (carico unitario).................................................................................................................................................. 23 4.2.2 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Inviluppi e diagrammi M e T_Appoggio‐ Appoggio(carico unitario) .............................................................................................................................. 24 4.2.3 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Combinazione dei Momenti e del Taglio_A‐A .... 24 4.2.4 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Risoluzione schemi statici_Semincastro‐Incastro (carico unitario).................................................................................................................................................. 25 4.2.5 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO.Inviluppi e diagrammi M e T_Semincastro‐ Incastro................................................................................................................................................................... 25 2

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

4.2.6 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Combinazione dei Momenti e delTaglio_Semi‐ Incastro‐.Incastro (carico unitario). .......................................................................................................... 26 5. CALCOLO DELLE ARMATURE ........................................................................................................................... 27 5.1 Caratteristiche dell’acciaio per cemento armato ............................................................................... 27 5.2 Dimensionamento dell’armatura nella trave di interpiano .......................................................... 28 5.2.1 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite Ultimo ........................... 30 5.2.2 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite di Esercizio ................ 32 5.2.4 Verifica alle fessurazioni della trave .............................................................................................. 35 5.2.5 Verifica del momento resistente dato dall’armatura .............................................................. 36 5.2.6 Dimensionamento dell’armatura nella trave di copertura ........................................................ 37 5.3 Armatura resistente a Taglio_ Trave di interpiano e copertura ................................................ 37 5.3.1 Predimensionamento dell’area di armatura. Trave di interpiano .................................... 38 5.3.2 Verifica dell’armatura in SLU. Trave di interpiano .................................................................. 38 5.3.3 Predimensionamento e verifica dell’area di armatura. Trave di copertura .................. 40 5.4 Dimensionamento dell’armatura nel solaio ........................................................................................ 40 5.4.1 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite Ultimo ........................... 43 5.4.2 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite di Esercizio ................. 45 5.4.3 Verifica del momento resistente dato dall’armatura .............................................................. 48 5.4.4 Dimensionamento dell’armatura nel solaio di copertura .......................................................... 49 5.5 Armatura resistente a Taglio_Solaio ....................................................................................................... 49 5.5.1 Calcolo del taglio resistente nelle sezioni. Solaio interpiano ............................................... 49 5.5.2 Verifica delle sezioni di interfaccia e piegatura dei ferri. Solaio interpiano ................. 50 5.5.3 Calcolo del taglio resistente nelle sezioni. Solaio copertura ................................................ 52 5.5.4 Verifica delle sezioni di interfaccia e piegatura dei ferri. Solaio copertura ................... 52 5.5.5 Verifica del solaio a fessurazione ..................................................................................................... 54 6. PILASTRO CENTRATO .......................................................................................................................................... 54 6.1 Analisi dei carichi ............................................................................................................................................ 54 6.2. Predimensionamento del pilastro........................................................................................................... 57 6.2.1 Verifiche in SLEr ...................................................................................................................................... 59 6.2.2 Verifiche in SLU ....................................................................................................................................... 60 6.2.3 Armatura trasversale ............................................................................................................................ 61 6.3. Pilastro di bordo ............................................................................................................................................. 61 6.3.1 Analisi dei carichi .................................................................................................................................... 61 7. ANALISI DELL’AZIONE SISMICA ...................................................................................................................... 62 7.1 Azione del sisma .............................................................................................................................................. 62 7.1.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione delle componenti orizzontali .................. 64 3

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

7.1.2 Spettro di risposta elastico in spostamento delle componenti orizzontali ................... 67 7.1.3 Analisi lineare statica ............................................................................................................................ 67 8. Azione orizzontale sul controvento: vento .................................................................................................. 72 9. Distribuzione delle forze orizzontali sulle pareti controvento ........................................................... 73 9.1 Analisi dell'azione assiale e del momento ribaltante agenti al piede delle pareti controvento dovute all'azione sismica .......................................................................................................... 74 9.2 Analisi dell'azione assiale e del momento ribaltante agenti al piede delle pareti controvento dovute all'azione del vento ...................................................................................................... 75 9.3 Dimensionamento controventi ................................................................................................................. 75 10. PLINTO DI FONDAZIONE .................................................................................................................................. 79 10.1 Predimensionamento ................................................................................................................................. 79 10.1.1 Calcestruzzo ........................................................................................................................................... 79 10.1.2 Armature .................................................................................................................................................. 80 10.2 Dimensionamento e verifica .................................................................................................................... 82 10.2.1 Rottura lato acciaio ............................................................................................................................. 82 10.2.2 Rottura lato calcestruzzo .................................................................................................................. 82 10.2.3 Verifica al punzonamento ................................................................................................................ 83

4

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

1. NORMATIVA CORRENTE DI RIFERIMENTO

Per la realizzazione degli elementi portanti orizzontali del nostro edificio abbiamo tenuto in considerazione quanto prevedono le normative di riferimento: NTC08_“Norme tecniche per le costruzioni” Circolare n.617 del febbraio 2009 UNI ENV 1993-1-1998 Eurocodice3 parte 1-1 “Strutture in acciaio regole generali”.

La verifica delle strutture del nostro edificio prende in considerazione tutte queste condizioni e le soddisfa garantendone la accessibilità.

2.ANALISI DEI CARICHI

Permanenti (G) Sono considerate tali le azioni che agiscono in tutta la vita nominale della costruzione e che possono essere considerati costanti nel tempo.

Vengono suddivisi in:

G1: tutti quei carichi pertinenti agli elementi strutturali, del terreno quando pertiene o dall’acqua quando si configurino comunque costanti nel tempo.

G2: tutti quei carichi non rimovibili durante il normale esercizio della costruzione, si intendono quindi tutte le chiusure e le partizioni verticali complete di impianti ed altro.

Devono essere calcolati strato per strato e valutati secondo la dimensione effettiva dell’opera, tenendo conto del peso nell’unità di volume di ogni singolo materiale impiegato.

Variabili (Q) Azioni sulla struttura con incidenza istantanea che possono variare nel tempo e per questo suddivisi in due classi: Di lunga durata: tutti quei carichi che agiscono in maniera significativa, non necessariamente costante, ma che sia per un tempo non trascurabile in relazione alla vita nominale della struttura.

Di breve durata: azioni che agiscono per un periodo breve rispetto alla vita nominale della struttura.

Eccezionali (Q)

Sismici (E)

Ora vediamo nel dettaglio di ogni categoria quale ci interesserà, quale escluderemo e come influiscono sul dimensionamento delle nostre strutture

Carichi permanenti non strutturali Per la determinazione dei pesi propri strutturali dei più comuni materiali possono essere assunti i valori dei pesi dell’unità di volume riportati nella tabella seguente:

5

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Tabella 2.1.1.a

Carichi permanenti non strutturali

Come anticipato, i carichi permanenti non strutturali vengono indicati con la lettera G2, si intendono tutti gli orizzontamenti e le loro componenti non rimovibili di carattere non strutturale quali tamponature esterne, divisori interni, massetti, isolamenti, pavimenti e rivestimenti del piano di calpestio, intonaci, controsoffitti, impianti.

Per gli elementi divisori interni ad esempio, il peso proprio potrĂ essere ragguagliato ad un carico permanente portato uniformemente distribuito g2k, purchĂŠ vengano adottate le misure costruttive atte ad assicurare una adeguata ripartizione del carico.

In dettaglio ora i pacchetti tecnologici da noi considerati e le rispettive tabelle dove sono riportati i valori di peso unitario, spessore e peso per unitĂ di superficie:

6

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Partizione orizzontale P01

PARTIZIONE

Solaio intermedio

SIGLA

STRATI

PO1

Carichi permanenti non strutturali GRES PORCELLANATO COMPLETAMENTO MALTA DI ALLETTAMENTO ISOLANTE IN POLISTIRENE ISOLAMENTO ACUSTICO MASSETTO ALLEGGERITO tot Carichi permanenti strutturali TRAVE GETTO DI COMPLETAMENTO PIGNATTE TRAVETTI tot

Tabella 2.1.2.a

7

Densità (kN/m3)

Spessore (kN/m2) (m)

0.2 5.8 0.4 0.686 9.8

25 25 2.48 25

0.01

Carico utile (kN/m2)

0.002

0.04 0.232 0.02 0.008 0.005 0.00343 0.08 0.784 1.02943 3.02943

0.4 10 0.05 1.25 0.2 0.496 0.2 1 2.746

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Partizione orizzontale P01

PARTIZIONE SIGLA

Copertura praticabile

CO6

Densità Spessore (kN/m2) (kN/m3) (m)

STRATI Carichi permanenti non strutturali LISTELLO IN TEAK MASSETTO DI COMPLETAMENTO MEMBRANA IN POLIETILENE MASSETTO PENDENTE CON RINFORZO ISOLAMENTO LANA DI VETRO MEMBRANA IN POLIETILENE tot Carichi permanenti strutturali TRAVE GETTO DI COMPLETAMENTO PIGNATTE TRAVETTI tot

6.8 15 0.45 20 1.78 0.45

25 25 2.48 25

0.01 0.068 0.03 0.45 0.0015 0.000675 0.04 0.8 0.06 0.1068 0.0015 0.000675 1.42615

0.27 6.75 0.04 1 0.2 0.496 0.2 0.8 2.296

Carico utile (kN/m2)

1.43

Tabella 2.1.2.b

Infine come elementi divisori interni abbiamo individuato due tipologie di partizioni verticali, una chiusura perimetrale isolata CV2B ed una parete divisoria semplice PVA2, i cui pesi propri per unità di lunghezza sono definibili secondo la formula: G2 = Pa x h In cui: P è il peso per unità di superficie di tutti i materiali che compongono la partizione in analisi (kN/m2) è l’altezza della partizione (m). h 8

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Vediamo in dettaglio le stratigrafie

Chiusura verticale Partizione verticale

PARTIZIONE

SIGLA

Parete perimetrale isolata

CV 2B

Pareteinterna divisoria con isolamento acustico

PV A2

Densità Spessore (KN/m3) (m)

STRATI

STRATI DI INTONACO 21.57 ISOLAMENTO IN SUGHERO 1.9 BLOCCHI POROTHERM 38x25x20 7.84 tot

0.03 0.04

0.6471 0.076

0.2

1.568 2.2911

LATERIZI FORATI 8x15x30 7.36 ISOLAMENTO IN SUGHERO 1.9 TAVELLE IN LATERIZIO FORATE 4.5x15x30 8.89 STRATI DI INTONACO 21.57

tot

0.08 0.03

0.5888 0.057

0.045 0.03

0.40005 0.6471

Tabella 2.1.2.c

9

Peso caratteristico (KN/m2)

1.69295

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Il carico uniformemente distribuito G2k ora definito dipende dal peso proprio per unità di lunghezza G2k delle partizioni come indicato nel seguente elenco:

Come si può vedere nelle precedenti tabelle: Tabella 2.1.2.a, Tabella 2.1.2.b il

2.1 Combinazione delle azioni Ai fini del dimensionamento degli elementi portanti orizzontali, le NTC08 prevedono che oltre all’analisi e al calcolo dei carichi che gravano sulla struttura sia inoltre necessario definirne delle combinazioni in funzione della contemporaneità o meno della loro probabilità di accadimento. Sulla normativa sono indicate varie combinazioni delle azioni agenti sulla struttura, per poter effettuare verifiche in situazioni diverse: in particolare le verifiche devono essere effettuate per gli stati limite ultimi (SLU) e per gli stati limite di esercizio (SLE) in combinazione rara.

10

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

In cui: G G P Q Q ,Q … Ψ ,Ψ …

è la somma dei carichi permanenti portanti (N/m2), la somma dei carichi permanenti portati, la pretensione o precompressione, il carico variabile di maggiore entità (dominante), i carichi variabili che possono agire contemporaneamente al dominante, i coefficienti di combinazione (forniti nel § 2.5.3, Tab. 2.5.I).

Nel caso in esame sono assenti pretensioni e precompressioni (P

Colonna1

γG1

G1

γG2

G2

γQ1

Qk1

Dimensionamento parte strutturale (solaio tipo)

1.30

2.75

1.50

3.03

1.50

2.00

SLE SLE SLE quasi rara frequente permanente

γQ2

Ѱ02

Qk2

Ѱ11

Ѱ22

Ѱ21

SLU

1.50

0.70

0.00

0.50

0.30

0.30

11.11

I seguenti valori calcolati saranno utilizzati per il calcolo

11

0 ,

7.78

6.78

6.38

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

2.2 Inviluppi dei carichi

Lo schema statico del solaio si sviluppa su 3 campate di luce pari a 4m.

Si è dapprima considerato uno schema statico Appoggio- Appoggio, con carichi uniformemente distribuiti di valore unitario che ne determinino lo sviluppo dei diagrammi. In seguito si è sostituito tale valore con il valore complessivo da SLE e da SLU definiti da norma.

2.2.1 SOLAIO. Risoluzione schemi statici. Solaio_Appoggio-Appoggio Si è risolto innanzitutto lo schema statico Appoggio-Appoggio con il Metodo delle Forze, avendo come incognite iperstatiche i due momenti che si generano negli appoggi centrali; si riporta di seguito l’equazione che parametrizza lo sviluppo dei Momenti e dei Tagli.

13

, ,

13

2

→ 2

30

1

30

2

12

→ 15 2

60

→ 60

1

, ,

2 2

→ 12 60

12

→

→

1

1

2 2

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Si sono poi riverificate le equazioni con il metodo degli spostamenti, in modo da averne una controverifica e di poter parametrizzare, anche negli altri casi, le equazioni in funzione dei carichi, luce, E,I, e delle incognite iperstatiche tramite foglio di lavoro digitale, in modo da potere velocemente ricalcolare i diagrammi in caso di cambiamento della sezione strutturale durante le fasi di predimensionamento e di verifica.

13

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

2.2.2 SOLAIO.Inviluppi e diagrammi M e T_Appoggio-Appoggio (carico unitario).

La nomenclatura si riferisce direttamente agli schemi statici sopra riportati.

2.2.3 SOLAIO.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio_Appoggio-Appoggio

Si rimanda ai fogli di calcolo allegati per i valori specifici di ogni concio di trave.

14

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

2.2.4 SOLAIO.Risoluzione schemi statici Solaio Semincastro-Semincastro Si è ipotizzato poi uno schema statico per il solaio di tipo Semincastro-Semincastro, per meglio riassumere la configurazione reale nell’incastro con i pilastri di bordo. Si è in questo caso risolto lo schema con il Metodo degli Spostamenti, ipotizzando dapprima un carico unitario e parametrizzando l’equazione dei momenti in modo dinamico e ricalcolabile in funzione di E del solaio, E del pilastro, I del solaio, I del pilatro.

12

4 2 1, 2 3 4

1

8

8

1 2

2

4

12

2

2 2

2

2

3

4

2

12

3 12

4 12

3

12

0 0 0 0

Da cui si ricavano i valori delle incognite iperstatiche 1 2 3 4 e quindi i diagrammi M e T. ,

2.2.5 SOLAIO.Inviluppi e diagrammi M e T_Semincastro-Semincastro (carico unitario).

La nomenclatura si riferisce direttamente agli schemi statici sopra riportati.

15

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

2.2.6 SOLAIO.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio_Semincastro-Semincastro (carico unitario).

Si rimanda ai fogli di calcolo allegati per i valori specifici di ogni concio di trave.

16

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

3. TRAVE PRINCIPALE

3.1 Combinazione delle azioni Ai fini del dimensionamento degli elementi portanti orizzontali, le NTC08 prevedono che oltre all’analisi e al calcolo dei carichi che gravano sulla struttura sia inoltre necessario definirne delle combinazioni in funzione della contemporaneità o meno della loro probabilità di accadimento. Sulla normativa sono indicate varie combinazioni delle azioni agenti sulla struttura, per poter effettuare verifiche in situazioni diverse: in particolare le verifiche devono essere effettuate per gli stati limite ultimi (SLU) e per gli stati limite di esercizio (SLE) in combinazione rara.

In cui: · · · · · ·

, ,

… …

è la somma dei carichi permanenti portanti (N/m2), la somma dei carichi permanenti portati, la pretensione o precompressione, il carico variabile di maggiore entità (dominante), i carichi variabili che possono agire contemporaneamente al dominante, i coefficienti di combinazione (forniti nel § 2.5.3, Tab. 2.5.I).

Nel caso in esame sono assenti pretensioni e precompressioni ( ipotizzata la sezione seguente.

17

0 , mentre per calcolare G1 è stata

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

3.2 Inviluppo dei carichi

Lo schema relativo alla trave centrale principale è schematizzato nel primo caso come una trave continua su Appoggi a 5 campate, con luce tra gli appoggi di 4,5m.

La combinazione di carichi è divisa in schemi a scacchiera, in modo da prevedere il momento massimo in soprattutto in corrispondenza degli appoggi centrali.

3.2.1 TRAVE PRINCIPALE. Risoluzione schema statico Appoggio-Appoggio Si risolve col Metodo degli Spostamenti, ipotizzando 6 incognite iperstatiche calcolate in forma matriciale calcolate tramite foglio di calcolo excel.

SCHEMA STATICO 1 0,89

0,44

0,00

0,00

0,00

0,00

f1

0,44 0,00 0,00 0,00 0,00

1,78 0,44 0,00 0,00 0,00

0,44 1,78 0,44 0,00 0,00

0,00 0,44 1,78 0,44 0,00

0,00 0,00 0,44 1,78 0,44

0,00 0,00 0,00 0,44 0,89

f2 f3 f4 f5 f6

1,6875

f1=

2,997533

‐1,6875 1,6875 ‐1,6875 1,6875 ‐1,6875

f2= f3= f4= f5= f6=

‐2,19819 1,998355 ‐1,99836 2,198191 ‐2,99753

Lo schema riassume le incognite della configurazione 1 in base ad un carico unitario applicato e dipendenti da un’Inerzia e da un modulo E anch’esso unitario.

18

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

3.2.2 TRAVE PRINCIPALE.Inviluppi e diagrammi M e T_Appoggio-Appoggio (carico unitario).

19

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

3.2.3 TRAVE PRINCIPALE.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio_A-A(carico unitario).

Si rimanda ai fogli di calcolo allegati per i valori specifici di ogni concio di trave.

20

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

3.2.4 TRAVE PRINCIPALE.Risoluzione schemi statici_Semincastro-Semincastro (carico unitario).

Si è ipotizzato poi per la trave principale uno schema statico di tipo Semincastro-Semincastro, per meglio riassumere la configurazione reale nell’incastro con i pilastri di bordo. Si è in questo caso risolto lo schema con il Metodo degli Spostamenti, ipotizzando dapprima un carico unitario e parametrizzando l’equazione dei momenti in modo dinamico e ricalcolabile in funzione di E del solaio, E del pilastro, I del solaio, I del pilatro.

SCHEMA STATICO 1 4,53

0,44

0,00

0,00

0,00

0,00

f1

0,44 0,00 0,00 0,00 0,00

1,78 0,44 0,00 0,00 0,00

0,44 1,78 0,44 0,00 0,00

0,00 0,44 1,78 0,44 0,00

0,00 0,00 0,44 1,78 0,44

0,00 0,00 0,00 0,44 4,53

f2 f3 f4 f5 f6

1,6875

f1=

0,522506

‐1,6875 1,6875 ‐1,6875 1,6875 ‐1,6875

f2= f3= f4= f5= f6=

‐1,52318 1,773353 ‐1,77335 1,523183 ‐0,52251

Lo schema riassume le incognite della configurazione 1 in base ad un carico unitario applicato e dipendenti da un’Inerzia e da un modulo E anch’esso unitario.

3.2.5 TRAVE PRINCIPALE.Inviluppi e diagrammi M e T_Semincastro-Semincastro

21

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

3.2.6 TRAVE PRINCIPALE.Combinazione dei Momenti e delle azioni di Taglio Semincastro-Semincastro (carico unitario).

Si rimanda ai fogli di calcolo allegati per i valori specifici di ogni concio di trave.

22

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

4. TRAVE SECONDARIA e TRAVE DI BORDO

4.2 Inviluppo dei carichi

Lo schema relativo alla trave centrale principale è schematizzato nel primo caso come una trave continua su Appoggi a 2 campate, con luce tra gli appoggi di 4,5m. La trave di bordo presenta le medesime caratteristiche della trave secondaria centrale, con l’unica variante riferita al Momento d’Inerzia I dovuto alla geometria.

Si è dapprima considerato uno schema statico Appoggio- Appoggio, con carichi uniformemente distribuiti di valore unitario che ne determinino lo sviluppo dei diagrammi. In seguito si è sostituito tale valore con il valore complessivo da SLE e da SLU definiti da norma.

4.2.1 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Risoluzione schemi statici_Appoggio-Appoggio (carico unitario).

Si risolve col Metodo degli Spostamenti, ipotizzando 3 incognite iperstatiche calcolate in forma matriciale calcolate tramite foglio di calcolo “excel”.

0,89 0,44 0,00

SCHEMA STATICO 1 0,44 0,00 1,78 0,44 0,44 0,89

f1

1,6875 ‐1,6875 0

f2 f3

23

f1= f2= f3=

2,847656 ‐1,89844 0,949219

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Lo schema riassume le incognite della configurazione 1 in base ad un carico unitario applicato e dipendenti da un’Inerzia e da un modulo E anch’esso unitario.

4.2.2 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Inviluppi e diagrammi M e T_AppoggioAppoggio(carico unitario) 4.2.3 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Combinazione dei Momenti e del Taglio_A-A

24

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Si rimanda ai fogli di calcolo allegati per i valori specifici di ogni concio di trave.

4.2.4 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Risoluzione schemi statici_Semincastro-Incastro (carico unitario).

Lo schema si riferisce alla trave secondaria in corrispondenza del vano scala (Incastro) fino al pilastro di bordo. Gli stessi schemi statici sono stati usati per il calcolo della trave di bordo che differisce solo per l’Inerzia dalla trave secondaria.

4,53 0,44 0,00

SCHEMA STATICO 1 0,44 0,00 1,78 0,44

f1

0,44 4,53

f2 f3

1,6875

f1=

0,480578

‐1,6875 0

f2= f3=

‐1,09628 0,10767

Lo schema riassume le incognite della configurazione 1 in base ad un carico unitario applicato e dipendenti da un’Inerzia e da un modulo E anch’esso unitario.

4.2.5 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO.Inviluppi e diagrammi M e T_Semincastro-Incastro

25

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

4.2.6 TRAVE SECONDARIA E DI BORDO. Combinazione dei Momenti e delTaglio_Semi-Incastro.Incastro (carico unitario).

Si rimanda ai fogli di calcolo allegati per i valori specifici di ogni concio di trave.

26

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

5. CALCOLO DELLE ARMATURE 5.1 Caratteristiche dell’acciaio per cemento armato Per le prescrizioni geometriche, meccaniche di resistenza di calcolo nonché i criteri di verifica delle armature e la riferita trattazione teorica si è fatto riferimento alla N.T.C. 2008, capitolo 4.1 -“Costruzioni in calcestruzzo” L’acciaio scelto per cemento armato è il B450C che è conforme a quanto prevede la normativa D.M. NTC 08, e come citato al capitolo 11.3.2.1 –“Acciaio per cemento armato”.

L’acciaio in questione è caratterizzato dai seguenti valori nominali delle tensioni caratteristiche di snervamento e rottura: Tabella 11.3.Ia

E deve inoltre soddisfare i requisiti dettati sempre dalla normativa nella tabella 11.3.Ib, dove viene riportata la “Tensione caratteristica di snervamento”:

Definisco le caratteristiche dell’acciaio attraverso i metodi di calcolo forniti dalla normativa, ed in particolare facendo riferimento al capitolo 4.1.2.1.1.3 –“Resistenza di calcolo dell’acciaio”, posso calcolare alcuni dei valori indice dell’acciaio.

In particolare determino le seguenti caratteristiche: fyk 450 N/mm2 fyd 391 N/mm2 Es 200000 N/mm2 Dove: fyk è la resistenza caratteristica dell’acciaio; fyd è la resistenza di calcolo dell’acciaio ottenuta dividendo la resistenza caratteristica per il coefficiente parziale di sicurezza relativo all’acciaio γ che vale per tutti i tipi di acciaio 1,15.

27

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Es è il modulo elastico dell’acciaio e conforme alla normativa.

5.2 Dimensionamento dell’armatura nella trave di interpiano Facendo riferimento a quanto prevede la normativa D.M. NTC 08 nel capitolo 4.1.6 “Dettagli costruttivi” ed in particolare tenendo in considerazione il capitolo 4.1.6.1.1 “Armatura delle travi”, procediamo al predimensionamento dell’armatura longitudinale e trasversale delle travi dell’edificio.

L’area dell’armatura longitudinale in zona tesa non deve essere inferiore al valore calcolato dalla formula: A’s,min = 0,26 * (fctm/fyk) * bt * d ; As = MRd / fyk * 0,9 * d ;

(4.1.43)

E comunque non minore di: A’s = 0,0013 * bt * d ; Dove: bt è la resistenza caratteristica dell’acciaio; d è l’altezza utile della sezione; fctm è il valore medio della resistenza a trazione assiale definita nel capitolo 11.2.10.2 della normativa D.M. NTC 08; è il valore caratteristico della resistenza a trazione dell’armatura ordinaria. fyk Una volta determinata l’area minima di armatura necessaria ad ogni singolo tratto di sezione di trave analizzata, è stato possibile calcolare il valore del momento resistente che essa determina ed in particolare è stato possibile verificare che ad ogni tratto l’armatura disposta sia stata sufficiente.

Consideriamo ad esempio il primo tratto di trave, con L=0: Msle [KNm]

Mslu [KNm]

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

-60.22

-86.89

520.00

391.30

474.45 28

A’s,min [mm2] 231.19

n

Φ [mm]

4.00

14.00

As [mm2] 615.75

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Il valore dei momenti viene calcolato facendo riferimento alla verifica a Stato Limite Ultimo e a Stato Limite di Esercizio, tenendo poi in considerazione della condizione più gravosa può essere verificato che il valore dell’area di armatura inserita sia sufficiente.

Al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non deve superare individualmente: As,max= 0,04 Ac essendo Ac l’area della sezione trasversale di calcestruzzo.

Di ogni trave di interpiano sono stati calcolati i valori dell’area di armatura minima da inserire nella trave, per ogni campata e per ogni punto intermedio dove il momento risultava essere massimo. Di seguito riportiamo i valori tabulati in ognuno dei singoli tratti: Tratto di trave, con L=1,95m: Msle [KNm] 65.13

Mslu [KNm] 93.83

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

520.00

As [mm2]

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

4.00

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

2.00

12.00

226.19

As,min [mm2]

n

231.19

4.00

As,min [mm2]

n

231.19

512.35

Tratto di trave, con L=4,50m: Msle [KNm] -78.97

Mslu [KNm] -113.18

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

520.00

As [mm2] 618.06

841.95 Tratto di trave, con L=6,80m: Msle [KNm] 45.09

Mslu [KNm] 65.63

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

As [mm2]

520.00

As,min [mm2]

n

231.19

4.00

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

358.40

Tratto di trave, con L=9,00m: Msle [KNm] -68.85

Mslu [KNm] -98.87

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

520.00

As [mm2]

As,min [mm2]

n

231.19

4.00

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

539.88

Tratto di trave, con L=11,25m: Msle [KNm]

Mslu [KNm]

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2] 29

As,min [mm2]

n

Φ [mm]

As [mm2]

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

50.72

73.78

391.30

231.19

520.00

4.00

14.00

615.75

402.86

Tratto di trave, con L=13,50m: Msle [KNm] -68.85

Mslu [KNm] -99.14

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

520.00

As [mm2]

As,min [mm2]

n

231.19

4.00

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

541.37

Tratto di trave, con L=15,70m: Msle [KNm] 45.09

Mslu [KNm] 65.63

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

As [mm2]

520.00

As,min [mm2]

n

231.19

4.00

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

358.40

Tratto di trave, con L=18,00m: Msle [KNm] -78.97

Mslu [KNm] -113.18

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

520.00

As [mm2]

4.00

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

2.00

12.00

226.19 841.95

As,min [mm2]

n

231.19 618.06

Tratto di trave, con L=20,55m: Msle [KNm] 65.13

Mslu [KNm] 93.83

d [mm]

Fyd [N/mm2] 391.30

520.00

As [mm2]

As,min [mm2]

n

231.19

4.00

As,min [mm2]

n

231.19

4.00

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

Φ [mm] 14.00

As [mm2] 615.75

512.35

Tratto di trave, con L=22,50m: Msle [KNm] -60.22

Mslu [KNm] -86.89

d [mm] 520.00

Fyd [N/mm2] 391.30

As [mm2] 474.45

5.2.1 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite Ultimo Si procede ora con la verifica dell’area delle armature precedentemente dimensionate, secondo la condizione di Stato Limite Ultimo (S.L.U.).

Dovremo assumere come ipotesi che: 30

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

-

l’acciaio si snervato; esista una distribuzione uniforme di compressione del calcestruzzo;

Ci riconduciamo alla formula di “Equilibrio alla traslazione”, che mi permette poi di determinare la posizione dell’asse neutro in ognuno dei tratti della sezione: 0.8 * b * x * fcd = As * fyd E portando alla destra dell’uguale i termini dell’equazione in cui compare l’asse neutro otteniamo: x = ( As * fyd / 0.8 * b * fcd ) Calcoliamo poi per ognuno dei tratti il momento resistente e verifichiamo che sia sempre maggiore al momento agente sulla sezione: Come in precedenza consideriamo il primo tratto di trave, con L=0: Mslu [KNm]

x[mm]

MRd [KNm]

-86.89

70.867

118.462

Verificando che MRd > Mslu possiamo quindi affermare che la verifica a S.L.U. sia valida.

Come in precedenza di ogni trave di interpiano sono stati verificati i valori di momento resistente per ogni campata e per ogni punto intermedio in cui il Mslu risultava essere massimo. Riportiamo di seguito i valori tabulati di ogni tratto: Tratto di trave, con L=1,95m: Mslu [KNm]

x[mm]

MRd [KNm]

93.83

70.867

118.462

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-113.18

96.899

158.548

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

65.63

70.867

118.462

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-98.87

70.867

118.462

Tratto di trave, con L=4,50 m:

Tratto di trave, con L=6,80m:

Tratto di trave, con L=9,00m:

31

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Tratto di trave, con L=11,25m: Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

73.78

70.867

118.462

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-99.14

70.867

118.462

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

65.63

70.867

118.462

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-113.18

96.899

158.548

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

93.83

70.867

118.462

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-86.89

70.867

118.462

Tratto di trave, con L=13,50m:

Tratto di trave, con L=15,70m:

Tratto di trave, con L=18,00m:

Tratto di trave, con L=20,55m:

Tratto di trave, con L=22,50m:

5.2.2 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite di Esercizio Parallelamente alla verifica a S.L.U. viene svolta la verifica in Stato Limite di Esercizio, considerando come ipotesi fondamentali che: - sia rispettata la planarità delle sezioni - comportamento elastico lineare dei materiali - calcestruzzo non resiste a trazione Facendo inoltre riferimento al capitolo 4.1.2.2 delle norme tecniche delle costruzioni D.M. NTC 08 ed in particolare al capitolo 4.1.2.2.5 “Verifica delle tensioni di esercizio”, possiamo ricavare il massimo valore delle tensioni di esercizio che si generano nel calcestruzzo e nell’acciaio.

Nel caso del calcestruzzo avremo che la massima tensione di compressione, indicata con σc non dovrà essere superiore a: (4.1.40) σc< 0,60 fck per combinazione caratteristica (rara).

32

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Nel caso invece dell’acciaio le condizioni di esercizio che dovranno essere verificate sono le seguenti: (4.1.42) σs< 0,8 fyk che rappresenta la condizione caratteristica.

Considerando che nei capitoli precedenti abbiamo determinato il valore dell’area minima dell’armatura per ogni porzione di sezione significativa, ed il valore del momento agente sulla sezione, otteniamo i valori di σc e σs facendo riferimento alle relazioni derivanti dall’equilibrio alla rotazione della sezione.

La posizione dell’asse neutro viene determinata dalla formula: ½* σc * b * x + σs * As = 0 Il valore di x che assumo come reale è quello positivo, che ha quindi senso fisico:

Da cui: σc = 2Med / (b * x * (d-x/3)) σs = m * σc * (d-x)/x Dove: -

Med è il momento agente sulla sezione in analisi b è la larghezza della sezione x è la posizione dell’asse neutro d è l’altezza utile della sezione m è il coefficiente di omogeneizzazione pari a 15

Una volta determinati i valori delle tensioni interne verifichiamo che rispettino quanto prescritto nella normativa, come anticipato in precedenza.

Riporto il primo tratto di trave, con L=0: Msle [KNm] -60.22

X[mm] 150.78

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

5.36

197.025

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

Tratto di trave, con L=1,95m: Msle [KNm]

X[mm]

33

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

65.13

150.78

6.13

225.160

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

6.638

202.625

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

4.425

155.906

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

6.480

238.032

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

4.774

175.358

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

6.480

238.032

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

4.245

155.906

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

Tratto di trave, con L=4,50 m: Msle [KNm] -78.97

X[mm] 171.34

Tratto di trave, con L=6,80m: Msle [KNm] 45.09

X[mm] 150.78

Tratto di trave, con L=9,00m: Msle [KNm] -68.85

X[mm] 150.78

Tratto di trave, con L=11,25m: Msle [KNm] 50.72

X[mm] 150.78

Tratto di trave, con L=13,50m: Msle [KNm] X[mm] -68.85

150.78

Tratto di trave, con L=15,70m: Msle [KNm] 45.09

X[mm] 150.78

Tratto di trave, con L=18,00m: Msle [KNm]

X[mm]

34

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

-78.97

171.34

6.638

202.625

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

6.130

225.160

Verificato

Verificato

σc[N/mm2]

σs[N/mm2]

Verifica σc

Verifica σs

5.668

208.197

Verificato

Verificato

Tratto di trave, con L=20,55m: Msle [KNm] 65.13

X[mm] 150.78

Tratto di trave, con L=22,50m: Msle [KNm] -60.22

X[mm] 150.78

5.2.4 Verifica alle fessurazioni della trave Oltre alle verifiche delle tensioni interne e quindi la funzionalità della struttura, è indispensabile verificare che le strutture abbiano anche una sufficiente resistenza continuata nel tempo. Questo può essere verificato con 3 semplici accorgimenti: -

realizzazione di un sufficiente copriferro protettivo, di qualità e compattezza con bassa porosità e permeabilità non superare lo stato limite di fessurazione, in base alle condizioni ambientali e alle sollecitazioni a cui viene sottoposta la struttura tener conto le esigenze estetiche.

Viene allora definito secondo la normativa D.M. NTC 08 uno stato limite di fessurazione, che considera la combinazione delle azioni e il valore limite di apertura della fessura, obbligatoriamente contenuto entro questi valori: w1 = 0,2 mm w2 = 0,3 mm w3 = 0,4 mm Per quanto riguarda le condizioni ambientali si fa sempre riferimento a quanto definito dalla normativa:

Nel nostro caso essendo l’edificio situato nel centro città di Como, può rientrare nella categoria di condizioni ambientali Ordinarie, che non presenta particolari prevenzioni.

35

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Le caratteristiche dell’armatura, riguardanti la corrosione invece possono rientrare nella categoria di “Armature poco sensibili” in quanto in acciaio di tipo B450C e quindi acciaio di armatura ordinario.

A questo punto si effettua la verifica a fessurazione che tiene conto delle tensioni presenti nell’acciaio e calcolate in base alle dimensioni geometriche della sezione omogeneizzata non fessurata.

Riferendoci dunque ai valori di σs calcolati in precedenza per ogni intervallo di trave, otteniamo il diametro massimo delle barre e il valore di w2 e w3 a cui fare riferimento.

Aiutandoci con la tabella:

5.2.5 Verifica del momento resistente dato dall’armatura Una volta determinate le quantità di armature longitudinali necessarie in ogni tratto di trave, si può dedurre dal valore dei momenti agenti in quale parte della trave l’armatura debba essere posizionata.

Si ottiene così una distribuzione variabile per posizione e diametro dei ferri.

Nell’immagine successiva vengono evidenziati come i momenti agenti, vengano compensati grazie alla presenza dell’armatura:

36

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Momenti Trave Principale di Interpiano KNm 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00 ‐50,00 ‐100,00 ‐150,00 M_8

M_9

M_10

M_11

M_12

M_13

M_14

M_8

M_9

M_10

M_11

M_12

M_13

M_14

Serie15

Sotto

Ciò che ne risulta è una distribuzione delle armature longitudinali del tipo: “Parte superiore” - Da 0,50 a 1,10 m, da 2,20 m a 20,70 m, da 21,65 a 22,00 m; vengono posizionate 2 barre φ 14 a cui deve essere conteggiata - Da 0 a 0,45 m, da 4,00 a 5,50 m, da 8,50 a 9,55 m, da 13,00 a 14,10 m, da 17,5 a 19,10 m, da 22,05 a 22,5 m; vengono posizionate 4 barre φ 14 - Da 4,50 a 5,00 m, da 18 a 18,50 m, vengono posizionate in aggiunta 2 barre φ 12 “Parte inferiore“ - Da 0 a 0,45 m, da 3,45 a 4,30 m, da 4,90 a 17,85 m, da 18,45 a 22,50 m; vengono posizionate 2 barre φ 14 - Da 0,50 a 3,40 m, da 5,65 a 8,00 m, da 10,25 a 12,60 m, da 14,85 a 16,95 m, da 19,20 a 22,10 m; vengono posizionate 4 barre φ 14 5.2.6 Dimensionamento dell’armatura nella trave di copertura Riferendoci a quanto prevede la normativa D.M. NTC 08, abbiamo effettuato le stesse verifiche e i calcoli per il dimensionamento delle armature della trave in copertura.

Per brevità e per non creare una ripetizione non riportiamo di seguito le parti delle verifiche, e dimensionamenti comunque svolti, ma rimandiamo ai file informatici formato excel per una eventuale verifica.

5.3 Armatura resistente a Taglio_ Trave di interpiano e copertura

A questo punto si procede al calcolo e alla verifica dell’armatura a taglio della trave partendo dagli inviluppi calcolati in precedenza.

La normativa italiana impone un minimo di armatura a taglio su tutto lo sviluppo delle travi poiché la loro resistenza a taglio è bassa paragonata alle azioni sollecitanti. La piegatura dei ferri longitudinali in posizione 37

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

ortogonale alle isostatiche di trazione sarebbe la soluzione più efficiente dal punto di vista strutturale, tuttavia si preferisce l’impiego di staffe poiché rappresentano un minor onere economico di produzione e posa.

Data la presenza di armature a taglio, si fa riferimento alla schematizzazione del traliccio a inclinazione variabile. Nella formulazione del traliccio a inclinazione variabile, dal punto di vista fisico, si hanno due resistenze (e quindi due possibili modalità di rottura), una lato acciaio e una lato cls: al crescere della sollecita-zione, aumenta l’inclinazione del puntone in cls, finchè, per una certa inclinazione ϑ, avviene la contempo-ranea rottura del puntone compresso di cls e dell’acciaio teso, e questa inclinazione rappresenta la condi-zione di massima resistenza e di massima efficienza del meccanismo. E’ dunque possibile ricercare la sud-detta inclinazione, oppure ipotizzarne una, e su quella valutare la resistenza del puntone di cls VRdc e del tirante in acciaio VRds,, per poi scegliere come resistenza a taglio VRd la minore tra le due. In questa sede viene seguito il secondo approccio, ipotizzando un’inclinazione ϑ del puntone in calcestruzzo pari a circa 26° (ctgϑ =2).

5.3.1 Predimensionamento dell’area di armatura. Trave di interpiano I limiti per il dimensionamento e il posizionamento della staffatura, sono i seguenti (NTC § 4.1.8.2.2): - Sezione complessiva non inferiore a Ast=1,5 * b ; nel nostro caso Ast=450 mm 2/m - Minimo tre staffe al metro - Passo tra le staffe non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione - Almeno il 50% dell’armatura a taglio deve essere costituita da staffe Nel caso in esame si scelgono barre φ 10 a due braccia con passo 20 cm che portano a Ast=628 mm 2/m soddisfando tutti i requisiti richiesti.

5.3.2 Verifica dell’armatura in SLU. Trave di interpiano Si verifica quindi il taglio resistente garantito dalla staffatura scelta: VRsd=0,2 * 0,9 * d *Ass * fsd/s = 115,06 KN Che non basta a coprire tutto il taglio agente calcolato tramite gli inviluppi. Si procede quindi a infittire il passo delle staffe in corrispondenza degli appoggi, dove l’azione agente è maggiore, scegliendo un passo di 15 cm che risulta in 7 staffe al metro circa. Il nuovo taglio resistente sarà: VRsd=0,2 * 0,9 * d * Asw * fsd/s = 191,77 KN Sufficiente a coprire i picchi di azione agente. Si rende evidente sul grafico degli inviluppi la copertura a taglio garantita dalle staffe;

38

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

KN

Dove in particolare l’infittimento delle staffe con passo 15 cm si ha per 1,20 m agli estremi esterni e 1,95 m a sinistra e destra dell’appoggio centrale.

Per la verifica a taglio-compressione del lato calcestruzzo si adotta la formula seguente: VRcd = 0,9 * b * d * v * fcd/(cotgθ + tanθ ) = 191,77 KN In cui: - v = 0,6 (1- fck/250) = 0,54 - θ = 26° E risulta che in ogni caso la resistenza del calcestruzzo è superiore e quella da considerare per la verifica è appunto quella calcolata in precedenza delle staffe in acciaio.

39

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

5.3.3 Predimensionamento e verifica dell’area di armatura. Trave di copertura Lo stesso discorso viene fatto per la trave di copertura dove l’unico elemento che cambia sono i carichi agenti sulla struttura. Ipotizzando la stessa staffatura base di φ 10 a due braccia con passo 20 centimetri otteniamo lo stesso valore di VRds = 115,06 KN, che supera notevolmente il valore dell’azione agente massima. Nell’ottica dell’ottimizzazione nell’utilizzo dei materiali e dei costi si è quindi deciso, ove possibile, di aumentare il passo delle armature a 30 cm, ottenendo un valore di resistenza VRds = 95,89 KN, sempre nel rispetto di tutti I requisiti di verifica.

L’armatura risulta quindi essere più fitta per il primo metro, per poi invece diminuire con intervalli di 2,60m.

KN

5.4 Dimensionamento dell’armatura nel solaio La disposizione delle armature è tale da coprire l’inviluppo dei diagrammi dei momenti flettenti con il diagramma dei momenti resistenti ottenuti dall’inserimento delle barre d’acciaio. Nel caso in analisi abbiamo deciso di utilizzare dei ferri sagomati, in modo tale da risparmiare armatura e sfruttando il contributo di tali barre anche per la resistenza a taglio.

Il posizionamento dell’armatura viene fatto come per la trave in relazione ai valori di momento agente massimo, determinato dalle possibili combinazioni ricavate dagli inviluppi. Vengono inoltre considerate tutte le possibili condizioni, quella a “sezione piena”, quella a “sezione doppio T” e nel punto di passaggio fra trave e solaio.

L’area minima di acciaio che soddisfa la verifica alla resistenza flessionale in condizioni SLU di sola flessione, nel caso del solaio è data dalla formula semplificata: As = Med/(0,9 * d * fyd) 40

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

In cui: · Med · d · fyd

è il momento flettente per il quale si deve determinare l’armatura, è l’altezza utile della sezione di solaio è il valore di calcolo di snervamento dell’acciaio (374N/mm2 per FeB44k)

Consideriamo ad esempio il primo tratto di solaio, con L=0: Msle [KNm]

Mslu [KNm]

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

n

Φ [mm]

-10.80

-15.58

220.00

391.30

201.03

2

14

As [mm2] 307.88

Viene poi estesa la medesima verifica ad ogni tratto caratteristico lungo il solaio, si vedano in tabella i risultati ottenuti: Tratto di solaio, con L=0,45m: Msle [KNm]

Mslu [KNm]

d [mm]

Fyd [N/mm2]

5.26

7.56

220.00

391.30

As [mm2] 97.52

n

Φ [mm]

2

12

n

Φ [mm]

2

14

n

Φ [mm]

2

12

As [mm2] 226.19

Tratto di solaio, con L=1,75m: Msle [KNm]

Mslu [KNm]

d [mm]

Fyd [N/mm2]

11.63

16.74

220.00

391.30

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

220.00

391.30

112.16

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

As [mm2] 216.08

As [mm2] 307.88

Tratto di solaio, con L=3,55m: Msle [KNm] -6.02

Mslu [KNm] -8.69

As [mm2] 226.19

Tratto di solaio, con L=4,00 m: Msle [KNm] -13.78

Mslu [KNm] -19.79

d [mm] 220.00

391.30

255.48

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

n

Φ [mm]

2

14

As [mm2] 307.88

Tratto di solaio, con L=4,45m: Msle [KNm]

Mslu [KNm]

41

n

Φ [mm]

As [mm2]

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

-6.82

-9.79

2 220.00

391.30

126.30

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

220.00

391.30

138.39

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

12 226.19

Tratto di solaio, con L=6,00m: Msle [KNm] 7.38

Mslu [KNm] 10.72

n

Φ [mm]

2

12

As [mm2] 226.19

Tratto di solaio, con L=7,55m: Msle [KNm] -6.82

Mslu [KNm] -9.79

220.00

391.30

126.30

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

220.00

391.30

255.48

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

220.00

391.30

112.16

d [mm]

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

220.00

391.30

173.37

Fyd [N/mm2]

As [mm2]

n

Φ [mm]

2

12

As [mm2] 226.19

Tratto di solaio, con L=8,00m: Msle [KNm] -13.78

Mslu [KNm] -19.79

n

Φ [mm]

2

14

As [mm2] 307.88

Tratto di solaio, con L=8,45m: Msle [KNm] -6.02

Mslu [KNm] -8.69

n

Φ [mm]

2

12

As [mm2] 226.19

Tratto di solaio, con L=10,45m: Msle [KNm] 9.42

Mslu [KNm] 13.43

n

Φ [mm]

2

12

As [mm2] 226.19

Tratto di solaio, con L=11,55m: Msle [KNm] 4.66

Mslu [KNm] 6.65

d [mm] 220.00

391.30

n

Φ [mm]

2

12

85.84

As [mm2] 226.19

Tratto di solaio, con L=12,00m: Msle [KNm]

Mslu

d [mm]

Fyd [N/mm2] 42

As

n

Φ [mm]

As [mm2]

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

[KNm] -10.80

[mm2]

-15.58

2 220.00

391.30

201.03

14 307.88

5.4.1 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite Ultimo Una volta definiti gli inviluppi statici del solaio, per ognuna delle sezioni caratteristiche avremo dunque chiaro quale sia il valore del momento in ognuno dei punti. Possiamo quindi verificare secondo l’analisi in condizioni di Stato Limite Ultimo (SLU), che sia soddisfatta la seguente condizione: Mad < Mrd Dove: - Med è il momento massimo agente sul solaio in ognuna delle sezioni campione - Mrd è il momento reagente calcolato secondo la formula: Mrd = ( Aeff * fyk * ( d – 0,4* x )) - d è l’altezza utile del solaio; - fyk è il valore della resistenza dell’armatura a trazione; - Aeff è l’armatura effettiva calcolata nel paragrafo precedente; - x è la posizione dell’asse neutro di inerzia della sezione.

A differenza di quanto fatto per la trave, il solaio necessita alcune considerazioni in più, a seconda di dove consideriamo la sezione possiamo trovare una condizione di soletta piena o a doppio T. Per questo motivo il calcolo dell’asse neutro darà risultati differenti con la formula: x = ( As * fyd / 0.8 * b * fcd ) Il valore di “b” indica per noi la sezione di base sottoposta ad azione di compressione, tale da portare a rottura il calcestruzzo. A seconda del tratto analizzato potremo quindi avere un valore di b pari a: -

b = 1000 mm per sezione piena b’ = 200 mm per lo spessore dato dalle due anime dei travetti.

Riporto il primo tratto di solaio, con L=0: Mslu [KNm]

x[mm]

MRd [KNm]

-15.58

10.630

-25.992

Viene poi effettuata una verifica per ognuna delle sezioni caratteristiche, calcoliamo poi per ogni tratto il momento resistente e verifichiamo che sia sempre maggiore al momento agente sulla sezione: Tratto di solaio, con L=0,45m: Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

5.26

39.049

18.090

43

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Tratto di solaio, con L=1,75m: Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

16.74

13.287

25.864

Tratto di solaio, con L=3,55m: Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-8.69

48.811

17.744

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-19.79

10.630

25.992

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-9.79

39.049

18.090

Tratto di solaio, con L=4,00 m:

Tratto di solaio, con L=4,45m:

Tratto di solaio, con L=6,00m: Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

10.72

9.762

19.127

Tratto di solaio, con L=7,55m: Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-9.79

39.049

18.090

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-19.79

10.630

25.992

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-8.69

39.049

18.090

Tratto di solaio, con L=8,00m:

Tratto di solaio, con L=8,45m:

Tratto di solaio, con L=10,45m: 44

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

13.43

7.810

19.196

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

6.65

48.811

17.744

Mslu [KNm]

X[mm]

MRd [KNm]

-15.58

10.630

25.992

Tratto di solaio, con L=11,55m:

Tratto di solaio, con L=12,00m:

La verifica a fessurazione del solaio segue come per la trave lo stesso procedimento, rimandiamo quindi al capitolo precedente “Verifica alle fessurazioni della trave” per eventuali chiarimenti.

Vengono considerate le medesime caratteristiche adottate in precedenza, i valori di w1, w2, w3 risultano essere gli stessi ed in particolare: w1 = 0,2 mm w2 = 0,3 mm w3 = 0,4 mm

5.4.2 Verifica dell’armatura resistente in condizioni di Stato Limite di Esercizio Le verifiche in condizioni di SLE vengono fatte facendo sempre riferimento come era stato fatto per la trave alla normativa tecnica delle costruzioni D.M. NTC 08 riferendosi al capitolo 4.1.2.2.5 “Verifica delle tensioni di esercizio”.

Ricaviamo anche in questo caso i valori di tensione di esercizio limite nell’acciaio e di compressione nel calcestruzzo, verificando che siano rispettati i valori: σc< 0,60 fck σs< 0,8 fyk

per quanto riguarda il calcestruzzo; per quanto riguarda l’acciaio.

(4.1.40) (4.1.42)

La verifica in questione può sembrare la stessa che è stata svolta nel capitolo in precedenza per la trave, la differenza sostanziale sta nel fatto che bisogna prestare molta attenzione al tratto di solaio in analisi.

A seconda che il solaio sia compresso nella parte sopra, in quella sotto o che si considera una zona a sezione piena o a “doppio T”, ci troviamo in condizioni diverse e diversi saranno i valori delle tensioni interne che ne scaturiscono.

Il calcolo della posizione dell’asse neutro, varia e viene fatta attraverso un’equazione di equilibrio alla traslazione della sezione diversa da quella per la trave:

45

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

½ ( σc + σ’c ) * b * t + ½ * σ’c * b’ * ( x – t ) - σs * As = 0 Dove: -

t è lo spessore della soletta; σc è lo sforzo nel calcestruzzo all’estradosso; σ’c è lo sforzo nel calcestruzzo alla quota della risega soletta-nervatura; σs è lo sforzo dell’acciaio nella sezione considerata.

Effettuando una semplificazione dell’equazione, ponendo σc

0, si ottiene:

½ b’ * x2 + ( m * As + b * t + b’ * t )*x – ( m * As * d ) – ( b – b’ )*t2 / 2 = 0 L’equazione ottenuta è un’equazione di secondo grado che risolta in ciascuna delle sezioni caratteristiche, è in grado di fornire la verifica alla condizione in Stato Limite di Esercizio. In seguito vengono riportate le tabelle di calcolo: Tratto di solaio, con L=0,00 m : Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

-10.80

40.70

2.572

169.959

In seguito vengono riportati tutti i calcoli effettuati per ogni sezione analizzata: Tratto di solaio, con L=0,45m: Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

5.26

37.08

1.367

101.184

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

11.63

41.35

2.727

176.700

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

-6.02

71.08

0.863

27.119

Tratto di solaio, con L=1,75m:

Tratto di solaio, con L=3,55m:

46

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Tratto di solaio, con L=4,00 m: Msle [KNm]

X[mm]

σc

σc

-13.78

40.70

3.281

216.845

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

-6.82

71.08

0.977

30.704

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

7.38

37.08

1.917

141.831

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

-6.82

71.08

0.977

30.704

Tratto di solaio, con L=4,45m:

Tratto di solaio, con L=6,00m:

Tratto di solaio, con L=7,55m:

Tratto di solaio, con L=8,00m: Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

-13.78

40.70

3.281

216.845

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

-6.02

71.08

0.863

27.119

X[mm]

σc

σs

Tratto di solaio, con L=8,45m:

Tratto di solaio, con L=10,45m: Msle [KNm]

47

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

9.42

37.08

2.448

181.141

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

4.66

37.08

1.211

89.582

Msle [KNm]

X[mm]

σc

σs

-10.80

40.70

2.572

169.959

Tratto di solaio, con L=11,55m:

Tratto di solaio, con L=12,00m:

5.4.3 Verifica del momento resistente dato dall’armatura Una volta determinate le quantità di armature longitudinali, come era stato fatto per la trave, si può dedurre dal valore dei momenti agenti in quale parte della trave l’armatura debba essere posizionata.

Si ottiene così una distribuzione variabile per posizione e diametro dei ferri.

Nell’immagine successiva vengono evidenziati come i momenti agenti, vengano compensati grazie alla presenza dell’armatura: KNm

45,00 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 ‐5,00 ‐10,00 ‐15,00 ‐20,00 ‐25,00 ‐30,00 ‐35,00 ‐40,00 ‐45,00

M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M4 SEMI M5 SEMI

Ciò che ne risulta è una distribuzione delle armature longitudinali del tipo:

48

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

“Parte superiore” - Da 0 a 0,45 m, da 3,40 m a 4,65 m, da 7,40 a 8,65 m, da 11,40 a 12,0; vengono posizionate 2 barre φ 14 - Da 0,50 a 3,35 m, da 4,70 a 7,35 m, da 8,70 a 11,35 m; vengono posizionate 2 barre φ 12 “Parte inferiore“ - Da 0 a 0,40 m, da 3,05 m a 4,95 m, da 7,05 a 9 m, da 11,55 a 12,0m; vengono posizionate 2 barre φ 12 - Da 0,45 a 3,00 m, da 5,00 a 7,00 m, da 9,05 a 11,50 m; vengono posizionate 2 barre φ 14

5.4.4 Dimensionamento dell’armatura nel solaio di copertura Facendo sempre riferimento a quanto prevede la normativa D.M. NTC 08, abbiamo effettuato le stesse verifiche e i calcoli per il dimensionamento delle armature del solaio di copertura.

La differenza sostanziale si riduce al cambio dei carichi che influiscono sulla parte strutturale. I carichi permanenti ad esempio sono ridotti per la differente composizione del solaio, quelli variabili risultano anch’essi meno onerosi in quanto la copertura viene progettata come non accessibile.

Per brevità e per non creare una ripetizione non ripotriamo di seguito le parti di verifica, e dimensionamenti comunque svolti, ma rimandiamo ai file informatici formato excel per una eventuale verifica.

5.5 Armatura resistente a Taglio_Solaio A questo punto si procede al calcolo e alla verifica dell’armatura a taglio della trave partendo dagli inviluppi calcolati in precedenza.

Si calcoleranno ora il taglio resistente della sezione piena e di quella a doppia T per verificare se essi bastano a coprire la richiesta di sforzo di taglio agente sul solaio.

5.5.1 Calcolo del taglio resistente nelle sezioni. Solaio interpiano Per la sezione piena il taglio resistente si calcola con la seguente: VRd,piena= 0,25 * d * b * fctd Mentre per quella a doppia T si usa: VRd,doppia T = (2,18 * K * (100 * ρ1 * fck ) 1/3 / γc) * bw * d In cui: K = 1+√200/d ≤ 2 ρ1 = Ast / (bw * d )

Rapporto geometrico di armatura longitudinale (≤0,02)

bw

Larghezza minima della sezione

49

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Si ottengono i seguenti risultati: - sezione A piena (L=0m): - sezione A’ da piena a doppio T (L=0,45m): - sezione B max momento campata sx (L=1,75m): - sezione C’ sezione da doppio T a piena (L=3,55m): - sezione C sezione piena (L=4,0m): - sezione C’’ da piena a doppio T (L=4,45m): - sezione E’ sezione da doppio T a piena (L=7,55m): - sezione E sezione piena (L=8,0m): - sezione C’’ da piena a doppio T (L=8,45m): - sezione E’ sezione da doppio T a piena (L=11,55m): - sezione E sezione piena (L=12,0m):

VRd = 59,85 KN VRd = 24,37 KN VRd = 30,70 KN VRd = 24,37 KN VRd = 34,07 KN VRd = 30,70 KN VRd = 30,70 KN VRd = 59,85 KN VRd = 24,37 KN VRd = 21,99 KN VRd = 59,85 KN

5.5.2 Verifica delle sezioni di interfaccia e piegatura dei ferri. Solaio interpiano Sulla lunghezza del solaio le sezioni critiche sono rappresentate dall’interfaccia tra trave e solaio, dove si ha un abbassamento notevole della resistenza a taglio e porzioni del grafico degli inviluppi potrebbero rimanere scoperte. Di queste sezioni possibilmente scoperte si prende in considerazione quella prossima all’interfaccia che è soggetta al momento di taglio maggiore e si verifica se questo è coperto dal taglio resistente della sezione a doppia T. Verificato che ciò non accada, pur risultando il taglio resistente vicino al valore agente agli estremi, si preferisce lavorare in sicurezza e predisporre la piegatura delle barre longitudinali per offrire un surplus di resistenza a taglio.

Con i ferri longitudinali inferiori che possono essere piegati nelle zone degli appoggi perché non più necessari essendo il momento negativo, si copre, ipotizzando un angolo di piegatura α=30° ed un angolo del puntone compresso di calcestruzzo Ψ=45°, un concio di lunghezza pari a: Δx = z * (cotg α +cotg Ψ ) = 1,89 * (1+30.5 ) = 49,17 cm Sarà quindi opportuno e a favore di sicurezza piegare un ferro per travetto in corrispondenza delle interfacce agli appoggi estremi e due ferri per travetto alle interfacce con l’appoggio centrale in modo da essere si-curi di coprire tutto il taglio agente.

Si utilizzano le seguenti formule per il calcolo del taglio resistente offerto dall’armatura piegata e dal puntone compresso: VRsd = 0,9 * d * Asw/ Δx * fyd * sinα * (cotgα + cotg Ψ)

(4.1.18)

VRcd = 0,9 * b * bw * c f 'cd(ctgctg) /(1ctg2 )

(4.1.19)

Da cui VRd = min (VRsd, VRcd)

(4.1.20)

con: 50

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Asw area dell’armatura trasversale; Δx = s è l’interasse tra due armature trasversali consecutive; α angolo di inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave; f 'cd resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima ( f 'cd = 0,5× fcd );.

Ottenendo in questo modo i seguenti valori di taglio resistente che verifica la copertura dell’azione agente:

51

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

KN

5.5.3 Calcolo del taglio resistente nelle sezioni. Solaio copertura

Per il calcolo dell’armatura resistente a taglio per il solaio di copertura si procede nell’identico modo. Per prima cosa si calcolano i tagli resistenti offerti dalle sezioni piena e a doppio T con le formule indicate precedentemente per il solaio di interpiano e si ottiene: - sezione A piena (L=0m): - sezione A’ da piena a doppio T (L=0,45m): - sezione B max momento campata sx (L=1,75m): - sezione C’ sezione da doppio T a piena (L=3,55m): - sezione C sezione piena (L=4,0m): - sezione C’’ da piena a doppio T (L=4,45m): - sezione E’ sezione da doppio T a piena (L=7,55m): - sezione E sezione piena (L=8,0m): - sezione C’’ da piena a doppio T (L=8,45m): - sezione E’ sezione da doppio T a piena (L=11,55m): - sezione E sezione piena (L=12,0m):

VRd = 59,85 KN VRd = 21,99 KN VRd = 24,37 KN VRd = 21,99 KN VRd = 19,45 KN VRd = 21,99 KN VRd = 21,99 KN VRd = 59,85 KN VRd = 21,99KN VRd = 21,99 KN VRd = 59,85 KN

5.5.4 Verifica delle sezioni di interfaccia e piegatura dei ferri. Solaio copertura

A questo punto si verifica se il taglio resistente calcolato permette di coprire il grafico degli inviluppi anche in corrispondenza della sezione critica. In questo caso l’inviluppo di taglio sarebbe completamente coperto, ma volendo lavorare a favore di sicurezza procediamo come in precedenza al calcolo della resistenza dei ferri piegati e del puntone di calcestruzzo teso.

52

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

In questo caso ci limiteremo a piegare un ferro φ12 per anima in ogni sezione critica. Di seguito si vede l’inviluppo dell’azione di taglio coperto con buon margine di sicurezza dalla resistenza a taglio fornita alla struttura.

53

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

KN

5.5.5 Verifica del solaio a fessurazione La verifica a fessurazione del solaio segue come per la trave lo stesso procedimento, rimandiamo quindi al capitolo precedente “Verifica alle fessurazioni della trave” per eventuali chiarimenti.

Vengono considerate le medesime caratteristiche adottate in precedenza, i valori di w1, w2, w3 risultano essere gli stessi ed in particolare: w1 = 0,2 mm w2 = 0,3 mm w3 = 0,4 mm

6. PILASTRO CENTRATO 6.1 Analisi dei carichi A seguito del dimensionamento delle travi e dei solai è possibile definire pesi gravanti sui pilastri.

Considerato il pilastro della spina centrale maggiormente caricato, viene definita la zona d’influenza tracciando degli assi di simmetria delle travi e dei solai adiacenti al pilastro. E’ necessario considerare la componente di iperstaticità della struttura che amplifica il carico agente sul pilastro.

Il coefficiente di iperstaticità γ per uno schema a trave continua è ottenuto mediante Il rapporto tra il carico agente sul pilastro in condizioni di struttura isostatica (ossia introducendo cerniere nei nodi, discontinuità che permettono la sola rotazione) e quello relativo alla situazione iperstatica reale. Nel caso del pilastro centrale si è scelto di adottare γ 1,4 lato 1 [m]

lato 2 [m]

area d'influenza [m2]

coeff.

Iperstaticità

4,5

4

18

1,4 54

area d'influenza corretta 25,2

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Si analizzano in seguito i carichi relativi al piano tipo e alla copertura, ottenuti moltiplicando i carichi/m2 calcolati in precedenza per l’area d’influenza corretta.

G1 (strutturali) [kN/m2] 69,20

Carichi piano tipo G1 trave (fuori spessore) G2 2 [kN/m ] [kN/m2] 5,4 76,34 copertura

Q1 (persone) [kN/m2]

50,40

G1 (strutturali) [kN/m2]

G1 trave (fuori spessore) [kN/m2]

G2 [kN/m2]

Q1 (neve) [kN/m2]

Q2 (persone) [kN/m2]

57,86

5,4

35,94

30,24

12,60

Sono state quindi calcolate le combinazioni di carico per stato limite di esercizio (rara, la più gravosa) e stato limite ultimo, ai fini di predimensionare a successivamente verificare i pilastri. In particolare, la combinazione per SLU è stato ottenuta amplificando le diverse tipologie di carico con i relativi coefficienti di sicurezza espressi nel § 2.6.1 del D.M. 14/1/2008:

NB. Si sarebbe potuto altrimenti approssimare utilizzando un coefficiente parziale di sicurezza γ ∙

∙

∙

, da moltiplicare per la combinazione SLU finale. Si noti come nel caso del calcolo

delle combinazioni gravanti sulla copertura sia necessario introdurre anche i coefficienti di combinazione (in particolare ѱ ) che influiscono diminuendo il minore dei carichi variabili (nel caso in esame, quello dovuto alla manutenzione), i cui valori sono riportati nella seguente tabella da normativa:

55

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Ripartendo i carichi così calcolati per ogni piano dell’edificio si ottengono i seguenti valori:

PT permanenti permanenti portati variabili permanenti permanenti portati variabili

G1 [kN] 74,60

SLU

G2 [kN] 76,34 287,091414 Qk1 [kN] 50,40 P1 G1 [kN] 74,60

SLU

G2 [kN] 76,34 287,091414 Qk1 [kN] 50,40

γG1

SLE 201,34

γG1

201,34

Ѱ γG2 γQ1 γQ2 02

permanenti portati variabili permanenti permanenti portati variabili permanenti permanenti portati (neve) variabili (persone)

G1 [kN] 74,60

SLU

G2 [kN] 76,34 287,091414 Qk1 [kN] 50,40 P3 G1 [kN] 74,60

SLU

G2 [kN] 76,34 287,091414 Qk1 [kN] 50,40 copertura

SLE 201,34

201,34

SLU

SLE

G2 [kN] 35,94 Qk1 [kN] 30,24 Qk2 [kN] 12,60

190,95543

142,04

γG1 γG2 γQ1 γQ2

Ѱ02

1,30 1,50 1,50 1,50 0,70

γG1

γG2 γQ1 γQ2 Ѱ02

1,30 1,50 1,50 1,50 0,50

G1 [kN] 63,26

1,30 1,50 1,50 1,50 0,70

SLE

γG2 γQ1 γQ2 Ѱ02

P2 permanenti

1,30 1,50 1,50 1,50 0,70

SLE

γG1

γG2 γQ1 γQ2 Ѱ02

1,30 1,50 1,50 1,50 0,50

Secondo le norme europee Eurocodici, in particolare l’EC1 (EN 1991-1-1:2004, § 6.3.1.2 ), si definisce un fattore di riduzione da applicare ai carichi variabili in funzione della categoria di destinazione d’uso. In particolare:

56

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Nel nostro caso si ottiene un coefficiente di riduzione pari a ∝

∗ 0,7

,

0,9

Si riporta di seguito la tabella riepilogativa dei carichi progressivi (SLU) agenti sulle 4 sezioni del pilastro alla base dei 4 piani di alzato corretti per i coefficienti analizzati finora. pilastro

Fk (senza ∝ [kN]

piano terzo piano secondo piano primo piano terra

)

190,955 287,091 287,091 287,091

Ned (ogni piano) [kN] 186,382 279,531 279,531 279,531

Ned (piani sommati) [kN] 186,382 465,913 745,444 1024,976

6.2. Predimensionamento del pilastro Calcestruzzo. La verifica al collasso della sezione viene effettuata sfruttando la resistenza a compressione del calcestruzzo definita dal §4.1.2.1.1.1 del D.M. 14/1/2008:

Adottati un calcestruzzo di classe C25/30, ne vengono di seguito riportate le caratteristiche principali utili ai fini dei calcoli a compressione del pilastro: Calcestruzzo classe C25/30 fck fcd αcc [N/mm2] [N/mm2] 25 14,16666667 0,85 57

γc 1,5

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

In fase di predimensionamento, si definisce lo sforzo agente (SLU) come rapporto tra la forza assiale agente Ned e l’area del pilastro. Questo sforzo dovrà risultare inferiore alla resistenza a compressione di calcolo fcd affinchè l’elemento sia verificato e sia quindi in grado di resistere ai carichi gravanti relativi alla proprio area di influenza; Per ottenere quindi l’area minima che il pilastro dovrà avere ad ogni piano, si dividono i carichi Ned (sommati piano per piano) per fcd :

Pilastro piano terzo piano secondo piano primo piano terra

Predimensionamento pilastro Ned (piani sommati) fcd Amin Bxh [kN] [N/mm2] [mm2] [mmxmm] 14,167 186,382 13156,350 250x250 14,167 465,913 32887,980 250x250 14,167 745,444 52619,609 300x300 14,167 1024,976 72351,238 300x300

Le NTC al §7.4.6.1.2 appartenente al capitolo che disciplina la progettazione e la costruzione delle nuove opere soggette all’azione sismica, prescrivono uno specifico limite geometrico per la dimensione della sezione trasversale del pilastro che quindi non deve essere inferiore a 250 mm. Di conseguenza, considerando come area minima del pilastro 25x25 cm, sono stati predimensionati tutti gli elementi ad ogni piano, cercando di variare il meno possibile la sezione dalle fondazioni alla copertura. Si è deciso di mantenere il pilastro a sezione quadrata, di lato 30 cm per i primi due piani e di snellirlo a 25 cm nei due superiori.

E’ possibile ora calcolare il peso proprio del pilastro, e verificare che, sommato ai carichi permanenti G1, per ogni piano la sezione bxh decisa soddisfi la richiesta di area minima nuovamente calcolata:

pilastro piano terzo piano secondo piano primo piano terra

Verifica con peso proprio Peso pilastro Ned (ogni piano) Ned (piani sommati) [kN] [kN] [kN] 7,0890625 195,786 195,786 7,0890625 486,046 290,259 10,20825 780,360 294,314 10,20825 1074,674 294,314

Amin [mm2] 13820,217 34309,102 55084,217 75859,333

bxh [mmxmm] 250x250 250x250 300x300 300x300

Verificato Verificato Verificato Verificato

Armature d’acciaio. Si procede con il predimensionamento dell’armatura longitudinale, costituita d’acciaio del tipo B450C (alta duttilità), dalle seguenti caratteristiche: Acciaio B450C fyk 2 [N/mm ] 450

Fyd [N/mm2] 391,3043478

γs 1,15

Es [N/mm2] 200000

In cui Es rappresenta il modulo elastico, le altre quantità sono così definite dal D.M. 14/1/2008, §4.1.2.1.1.3:

58

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Per il calcolo dell’area di armatura longitudinale che è necessario inserire nel pilastro affinché esso resista a pura compressione la normativa prescrive alcuni limiti minimi da rispettare, in particolare: 

Limite geometrico: l’area di acciaio As deve essere almeno lo 0,3% dell’area di calcestruzzo Ac 0,003 ∙ A ) (A



Limite meccanico: l’area di acciaio As deve essere almeno un decimo del rapporto tra l’azione assiale Ned e la resistenza di calcolo dell’acciaio fyd (A 0,1 ∙ )



Limite tecnologico: il diametro delle barre d’armatura longitudinale deve essere almeno 12 mm e devono distare tra loro non più di 300 mm (quindi i pilastri devono avere almeno 4 barre con almeno ɸ 12 mm.

Come si può desumere dalla tabella che segue, per ogni piano è stata individuata la condizione più restrittiva che ha vincolato la scelta del numero e del diametro delle barre in base alla richiesta di area minima di acciaio da soddisfare; La scelta è anche dipesa dalle prescrizioni del §7;4;6;2;2 delle NTC secondo cui “Per tutta la lunghezza del pilastro l’interasse tra le barre non deve essere superiore a 25 cm”. Infine, per facilità di gestione di cantiere, si è cercato di variare il meno possibile le dimensioni delle barre dalle fondazioni alla copertura.

Pilastro

Ac [mm2]

P3 P2 P1 PT

62500 62500 90000 90000

Predimensionamento armatura As min As min As min As min 0,3% 4 φ 12 vincolante [mm2] [mm2] [mm2] [mm2] 187,5 50,034 452,389 452,3893421 187,5 124,212 452,389 452,3893421 270 199,425 452,389 452,3893421 270 274,639 452,389 452,3893421

n x φ

As [mm2]

4 φ 12 4 φ 12 4 φ 12 4 φ 12

452,389 452,389 452,389 452,389

6.2.1 Verifiche in SLEr Per verificare che la sezione di calcestruzzo e l’area di armatura calcolate siano sufficienti affinché il pilastro resista alla pura compressione viene presa in considerazione la combinazione per SLE rara. Deve valere la relazione: N

σ ∗A

σ ∗A

σ ∗ A 59

α ∗A

σ ∗A

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Da cui:

In cui:    

è l’area del calcestruzzo precedentemente calcolata Ac As è l’area dell’acciaio è l’area del calcestruzzo omogeneizzata all’acciaio, pari a A A α ∙A Aie α è il rapporto tra il modulo elastico dell’acciaio e il modulo elastico secante del calcestruzzo, ma a favore di sicurezza assunto pari a 15

La verifica è soddisfatta se: N A

σ

0,6 ∗ f

σ

In cui fck rappresenta la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo, pari a 25 N/mm , tale che 0,6 ∙ f σ 15 N/mm . Si ottengono i seguenti valori: f

Pilastro P3 P2 P1 PT

Stato limite di esercizio Ned A

Ac [mm2]

As [mm2]

[mm ]

62500 62500 90000 90000

452,389 452,389 452,389 452,389

69285,84 69285,84 96785,84 96785,84

ie

2

Ned

(ogni piano)

(piani sommati)

σ c

[kN] 137,75 196,30 196,30 196,30

[kN] 137,75 334,06 530,36 726,66

1,989 4,821 5,48 7,508

VERIFICA

ok ok ok ok

Tutte le armature risultano verificate.

6.2.2 Verifiche in SLU Allo stato limite ultimo invece è necessario calcolare l’azione resistente dovuta alle aree calcolate: N A ∗f A ∗f In cui: è la forza di compressione assiale resistente di calcolo,  NRd  fcd è la resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo,  fyd è la resistenza di calcolo a snervamento dell’acciaio.

La verifica è soddisfatta se l’azione resistente delle sezioni risulta maggiore di quella agente, ossia se è soddisfatta la relazione: N N Da cui il coefficiente γ risulta: 1

60

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Pilastro P3 P2 P1 PT

Ac [mm2] 62500 62500 90000 90000

fcd [N/mm2] 14,167 14,167 14,167 14,167

Stato limite ultimo Fyd As Ned [mm2] [N/mm2] [KN] 195,786 452,389 391,304 391,304 486,046 452,389 780,360 452,389 391,304 1074,674 452,389 391,304

NRd [KN] 1062,439 1062,439 1452,022 1452,022

ok ok ok ok

5,427 2,186 1,861 1,351

Per ogni pilastro la verifica per SLU risulta soddisfatta.

6.2.3 Armatura trasversale Per il dimensionamento dell’armatura trasversale del pilastro si fa riferimento al §4.1.6.1.2 delle NTC. In esso sono indicati dei valori minimi per la definizione della dimensione dei ferri: 

Le armature trasversali devono essere poste ad interasse non maggiore di 12 volte il diametro minimo delle barre impiegate per l’armatura longitudinale, con un massimo di 250 mm interasse 12 ∙ ɸ 250 mm



Il diametro delle staffe non deve essere minore di 6 mm e di ¼ del diametro massimo delle barre longitudinali ɸ 6 mm; ɸ ɸ

Pilastro P3 P2 P1 PT

lim 1 ∙ɸ [mm] 144 144 144 144

Armatura trasversale Interassemax trasv lim 2 Imax trasv φ1

250 [mm] 6 mm [mm] 250 144 6 250 144 6 250 144 6 250 144 6

ɸ φ2 ¼ ɸmax long [mm] 3 3 3 3

ɸmin trasv [mm] 8 8 8 8

6.3. Pilastro di bordo 6.3.1 Analisi dei carichi I carichi gravanti sul pilastro di bordo comprendono una porzione di solaio e il carico delle chiusure verticali che appoggiano sulle travi di bordo. Dato che il dimensionamento del pilastro di bordo risulta particolarmente gravoso, si decide di trascurare l’azione flessionale esercitata dai solai, idealmente gettati in opera insieme al pilastro. Il dimensionamento del pilastro di bordo si limita quindi al confronto tra carico gravante su di esso e quello gravante sul pilastro centrato.

Lo stesso ragionamento viene seguito per il dimensionamento di massima delle travi di bordo e, a tal fine, si procede al calcolo del carico derivante dalla chiusura verticale.

61

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

N

q A

q

N

Dove:                

l

2

q A

l

γS

2

γS

l

2

l

l

2

l

2

P

2

P

q A

q A

γS l

q l

γS l

P

200 kN

P

103 kN

P

P

= Azione assiale agente sul pilastro di bordo [KN] = Carico del solaio per unità di superficie [KN/m2] = Porzione di solaio portato dal pilastro di bordo [m2] = Carico lineare dovuto al tamponamento esterno [KN/m] = Lunghezza d’influenza delle travi di bordo rispetto al pilastro centrato [m] = Peso specifico della trave in C.A. [KN/m3] = Superficie della sezione della trave di bordo [m2] = Lunghezza d’influenza delle travi di bordo rispetto al pilastro di bordo [m] = Peso proprio del pilastro = Azione assiale agente sul pilastro di centrato [KN] = Carico del solaio per unità di superficie [KN/m2] = Porzione di solaio portato dal pilastro centrato [m2] = Peso specifico della trave in C.A. [KN/m3] = Superficie della sezione della trave di centrato [m2] = Lunghezza d’influenza delle travi di centrali rispetto al pilastro centrato [m] = Peso proprio del pilastro

7. ANALISI DELL’AZIONE SISMICA

7.1 Azione del sisma Viene analizzata l’entità delle azioni sismiche agenti sull’edificio, partendo dalle considerazioni sul sito di costruzione. Le azioni sismiche sono trattate nel capitolo 2.4.3 del D.M. NTC 08 e vengono così espresse: VR = VN * CU Dove: - VR è il periodo di riferimento che si ricava per ciascun tipo di costruzione; - VN è la vita nominale; - CU è il coefficiente d’uso.

Il valore del coefficiente d’uso viene espresso nella tabella:

62

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Le classi d’uso vengono descritte sempre nella normativa D.M. NTC 08 al paragrafo 2.4.2, ed in particolare il nostro edificio rientra in una classe d’uso II. Per questo il valore del CU sarà pari a 1,0.

Per quanto riguarda il valore della vita nominale, è espresso nella tabella:

Nel nostro caso la costruzione rientra in una categoria 2, quindi con un valore di vita nominale maggiore o uguale a 50 anni.

Le azioni sismiche di progetto vengono. come anticipato, definite in considerazione alla pericolosità sismica del sito di costruzione. Essa viene calcolata grazie all’accelerazione orizzontale massima attesa, in condizioni di campo libero e su un sito di riferimento che abbia superficie topografica orizzontale. Nonché di ordinate dello spettro di risposta elastico in accelerazione ad essa corrispondente con riferimento a prefissate probabilità di eccedenza nel periodo di riferimento.

La probabilità di eccedenza nel periodo di riferimento viene indicata con il termine PVR ci riferiamo per individuare l’azione sismica agente in ciascuno degli stati limite considerati ed è espressa nella tabella al paragrafo 3.2.1 della D.M. NTC 08

Ipotizziamo di progettare il nostro edificio per uno stato SLV di salvaguardia della vita in cui la costruzione a seguito del terremoto subisce rotture e crolli dei componenti non strutturali ed impiantistici e significativi danni dei componenti strutturali cui si associa una perdita significativa di rigidezza nei confronti delle azioni orizzontali.

Rientriamo allora nel valore PVR pari al 10%.

Ai fini della normativa D.M. NTC 08 le forme spettrali sono definite, per ciascuna delle probabilità di superamento nel periodo di riferimento, PVR a partire dai valori dei seguenti parametri su sito di riferimento rigido orizzontale: -

ag accelerazione orizzontale massima del sito; Fo valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale; T*c periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione orizzontale.

I valori in questione posso ricavarli dall’allegato della norma in cui vengono descritti per ogni sito in analisi.

Nel nostro caso: 63

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

-

Como Longitudine: 9.0885 Latitudine: 45.8109

Consideriamo un tempo di ritorno pari a 475 anni, da cui determiniamo i valori elencanti in precedenza: - ag [g/10] = 0,41 - Fo = 2,639 - T*c [s] = 0,281

7.1.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione delle componenti orizzontali A prescindere dalla probabilità di superamento nel periodo di riferimento considerato PVR, lo spettro di risposta elastico in accelerazione delle componenti orizzontali viene così espresso:

Dove: -

-

T rappresenta il periodo di vibrazione Se rappresenta l’accelerazione spettrale orizzontale S è il coefficiente che tiene in considerazione le caratteristiche del suolo in cui ci troviamo, ed è espresso dalla seguente relazione: S = Ss S T η è il fattore che altera lo spettro elastico per coefficienti di smorzamento viscosi convenzionali diversi dal 5% mediante la relazione:

ξ rappresenta i materiali che costituiscono il suolo, tipologia strutturale e di fondazione, viene considerato pari al 5%; Il valore di η che otteniamo è pari a 1,41; -

Fo è il fattore che quantifica l’amplificazione spettrale massima, su sito di riferimento rigido orizzontale ed ha valore pari a 2,2; TC è il periodo corrispondente all’inizio del tratto a velocità costante dello spettro, dato dalla formula:

Sarà possibile determinare il valore di Tc una volta determinato Cc. Seguendo nella relazione si può vedere a quanto equivalga il valore del coefficiente Cc, che darà come risultato un Tc di 0,44 secondi; 64

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

-

TB è il periodo corrispondente all’inizio del tratto dello spettro ad accelerazione costante, lo si determina dal rapporto:

Il valore è quindi: 0,148; -

TD è il periodo che corrisponde all’inizio del tratto a spostamento costante dello spettro, espresso in secondi mediante la formula:

Il valore corrisponde a 1,76 secondi.

Possiamo ora determinare in particolare il valore di S che necessita di alcune considerazioni particolari.

Nel nostro caso l’edificio è localizzato a Como, in un’area di cui non conosciamo esattamente le proprietà fisiche e meccaniche o la concentrazione dei detriti e il diametro degli aggregati del terreno.

Da normativa D.M. NTC 08, possiamo ipotizzare che ci troviamo in un suolo di tipo “C” che rientra nei terreni con le seguenti caratteristiche:

Questo ci permette di determinare il valore del coefficiente Ss e quindi di S

65

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Da cui otteniamo i valori di: -

Cc = 1,05 * ( 0, 281 ) ^ -0,33 = 1,59 SS = 1,70 – 0,60 * 2,639 *0,41/9,81 = 1,63

Per il valore SS che è il coefficiente di amplificazione stratigrafica, lo assumiamo come massimo il valore imposto da normativa, quindi 1,5.

Il valore massimo del coefficiente di amplificazione topografica invece viene dedotto dalla tabella della normativa D.M. NTC 08 nel paragrafo 3.2.3.2.1 sulla risposta all’azione sismica:

E quindi:

Determino infine il valore del coefficiente del terreno, dalla formula già introdotta precedentemente: S = Ss * ST = 1,5 * 1 = 1,5.

66

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

7.1.2 Spettro di risposta elastico in spostamento delle componenti orizzontali Come definito dalla normativa D.M. NTC 08 al paragrafo 3.2.3.2.3, lo spettro di risposta elastico in spostamento delle componenti orizzontali si ricava dalla risposta in accelerazione, determinata nel paragrafo precedente.

Si ricorre quindi alla seguente equazione:

Questo è vero quando il valore del periodo di vibrazione indicato dalla lettera T non ecceda ai valori Te indicati nella seguente tabella, tratta sempre dalla medesima normativa:

7.1.3 Analisi lineare statica L’analisi statica lineare viene trattata dalla normativa D.M. NTC 08 al capitolo 7 nel paragrafo 7.3.3.2 e permette l’applicazione di forze statiche, equivalenti alle forze di inerzia indotte dall’azione sismica. Può essere effettuata per costruzioni, che come nel nostro caso, rispettano caratteristiche specifiche del tipo: il periodo del modo di vibrare principale nella direzione in esame (T1) non deve superare il valore di 2,5Tc o Td; l’edificio sia regolare in altezza.

In particolare per costruzioni civili, con altezza non superiore ai 40m di altezza, con massa uniformemente distribuita lungo l’altezza, T1 può essere stimato con la formula:

Dove: -

H è l’altezza dell’edificio in metri dal piano di fondazione C1 è un valore fisso che per edifici con struttura a telaio in calcestruzzo armato vale 0,075

Nel caso in questione l’edificio presenta un altezza di 13,20 metri ed è quindi possibile ottenere il valore di T1 che equivale a: T1 = 0,075 * 13,20^3/4 = 0,52 secondi.

Risulta essere inferiore ai valori di 2,5*Tc e Td e quindi ha senso procedere con l’analisi statica lineare.

La forza che andremo ad applicare a ciascuna delle masse della costruzione è data dalla formula seguente:

Dove: -

Fi è la forza da applicare alla massa i-esima; 67

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

-

Wi e Wj sono i pesi della massa i e della massa j; zi e zj sono le quote rispetto al piano di fondazione delle masse i e j;

Il valore di Fh viene definito dalla formula: Dove: -

Sd(T1) è l’ordinata dello spettro di risposta del progetto W è il peso della costruzione totale Λ è il coefficiente pari a 0,85 in quanto la costruzione presenta almeno 3 orizzontamenti; g è l’accelerazione di gravità.

Sd(T1) deve essere calcolata tramite il grafico dello spettro di risposta, ottenuto grazie al software Spettri NTC, offerto dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici e scaricabile gratuitamente dal sito.

In particolare considerando lo spettro elastico corrispondente, che fa riferimento alla probabilità di superamento nel periodo di riferimento PVR, consideriamo lo spettro di risposta per gli stati limite ultimi.

Necessitiamo di conoscere alcuni dati, quali: - q che è il fattore di struttura dell’edificio, deducibile dal suo grado di iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati; - q0 che è il valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità attesa; - Kr che è un fattore cautelativo, nel nostro caso essendo l’edificio regolare in altezza è pari a 1.

Potremo così calcolare: q = q0 * Kr Dove: - q0 è il valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto αu/α1 - Kr è un fattore riduttivo e nel nostro caso pari a 1 in quanto l’edificio è regolare in altezza.

Nel nostro caso l’edificio risulta essere regolare in pianta e con una struttura a telaio su più piani e con più campate, per questo consideriamo il rapporto αu/α1 pari a 1,3.

Per quanto riguarda la tipologia strutturale, indice del valore di q0 possiamo scegliere dalla tabella il valore:

Dalla normativa, consideriamo solo il CD”B” in quanto l’edificio presenta una struttura debolmente armata, senza particolari telai composti.

Il valore finale di q sarà allora: q = 3 * 1,2 * 1 = 3,6 Otteniamo uno spettro di risposta del tipo:

68

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Che per un valore di T1 = 0,52 secondi, determina un valore di Sd(T1) pari a 0,046 g.

Analisi delle forze statiche Al fine di poter determinare le forze da applicare a ciascuna massa della costruzione, vengono determinati i pesi di ogni singolo orizzontamento, tenendo sempre in considerazione tutte le componenti di carico addizionali:

Vengono ora riassunti in tabella tutti i carichi considerati per la definizione del peso dellâ&#x20AC;&#x2122;edificio e di ogni singolo piano, che possono essere cosĂŹ riassunti: - Peso del solaio al m2 e calcolato per la superficie del piano stesso; - Peso delle chiusure verticali al m2; - Peso lineare delle travi moltiplicato per la loro lunghezza; - Peso lineare dei pilastri moltiplicato per la loro altezza.

Questi elencati rappresentano solo una parte dei carichi che compongono lâ&#x20AC;&#x2122;edificio, in particolare rappresentano il G1 e il G2. Dovremo considerare inoltre il contributo dato dalle componenti variabili e debitamente moltiplicati per i coefficienti di combinazione dettati per normativa.

69

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Prima parte Tabella: PIANI

Peso solaio [kN/mq]

Peso partizioni interne [kN/mq]

Area [mq]

Peso chiusure verticali [kN/mq]

Superficie chiusure vert. [kN/mq]

Peso trave [kN/mq]

Piano terra

4.58543

1.69295

215.07

2.2911

32.43

9.6

Piano primo

4.58543

1.69295

215.07

2.2911

32.43

9.6

Piano Secondo

4.58543

1.69295

215.07

2.2911

32.43

9.6

Copertura

3.72215

0

270

0

0

9.6

Seconda parte tabella: Lunghez za trave [m]

Peso trave di bordo [kN/m2]

Lunghezza trave di bordo [m]

Peso pilastri [kN/m2]

Lunghezza pilastri [m]

G1 + G2 [kN]

Qk1 [kN/m2]

Qk2 [kN/m2]

Ѱ21

Ѱ22

Wj [kN]

45

7.2

69

2.25

79.2

2531.59

2

0

0.3

0.3

2530.42

45

7.2

69

2.25

79.2

2531.59

2

0

0.3

0.3

2530.42

45

7.2

69

2.25

79.2

2531.59

2

0

0.3

0.3

2530.42

45

7.2

69

0

0

1933.78

1.2

0.5

0

0

1933.20

tot

9911.59

Dalla tabella ricaviamo così la sommatoria di tutti i componenti che determinano il peso totale dell’edificio.

Si ottiene inoltre il peso relativo ad ogni piano, indicato da Wj nell’ultima colonna della seconda parte della tabella.

Il peso complessivo ottenuto è pari a 9911,59 kN. Possiamo allora determinare il valore della Fh ricavato dalla formula precedentemente introdotta:

Fh = 0,046 * 9,81 * 9911,57 * 0,85/9,81 = 387,54 kN Possiamo ora determinare la forza da applicare alla massa i-esima di ciascun piano, determinata dall’azione sismica. Calcoliamo quindi per ogni livello l’azione della Fi, già espressa nella formula scritta in precedenza.

Esempio della Fi del solaio di copertura:

70

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

In seguito vengono mostrati tutti i calcoli effettuati per ciascun piano e le relative forze i-esime che se ne determinano: Fi [kN]

PIANI

Wj [kN]

zj [m]

Wj * zj [kN*m]

Tot Wj * zj [kN*m]

Piano terra

2530.42

3.3

8350.40

42.79

Piano primo

2530.42

6.6

16700.80

85.59

Piano Secondo

2530.42

9.9

25051.19

128.38

Copertura

1933.20

13.2

25518.24

130.70 75620.63

387.543

Riassumendo la distribuzione delle forze orizzontali del sisma (Fi): Piano 0 Piano 1 Piano 2 Piano 3 (Copertura)

_ 42,79 KN _ 85,59 KN _ 128,38 KN _ 130,70 KN

Fi [kN] Piano 3

Piano 2 Fi [kN] Piano 1

Piano 0 0

20

40

60

80

71

100

120

140 KN

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

8. Azione orizzontale sul controvento: vento

Si vogliono ora calcolare le forze orizzontali dovute al vento, agenti sulle facciate dell'unità strutturale dell'edificio.

Su ogni solaio interpiano viene concentrata una forza, che risulta essere pari a : F

p∙A

dove: p è la pressione del vento, costante sull'intera facciata.

Ai è l'area di chiusura perimetrale afferente ad ogni soletta, che si estende in altezza dalla metà del piano sottostante, fino alla metà di quello superiore.

Le forze Fi agenti in direzione X, ossia perpendicolarmente alla facciata di minore dimensione dell'edificio sono riportate nella seguente tabella: PIANO (DIR X) A [m2] Piano terra Piano primo Piano secondo Copertura

p [N/m2] Fi [kN]

18,36 39,60 39,60 19,80

482,44 482,44 482,44 482,44

8,86 19,10 19,10 9,55

Indichiamo ora le forze Fi agenti in direzione Y, quindi ortogonali alla facciata di maggiori dimensioni: PIANO (DIR Y)

A [m2]

Piano terra Piano primo Piano secondo Copertura

p [N/m2] Fi [kN]

34,43 74,25 74,25 37,13

482,44 482,44 482,44 482,44

Fi,x

Fi,y

Copertura

Copertura

Piano secondo

Piano secondo Fi,x

Piano primo Piano terra

Fi,y

Piano primo Piano terra

0,00 10,00 20,00 30,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00

72

16,61 35,82 35,82 17,91

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

9. Distribuzione delle forze orizzontali sulle pareti controvento

Per prima cosa è necessario calcolare le azioni sui controventi: la forza F1 viene assorbita dal controventi in direzione X, il quale ha una reazione pari F1, mentre la forza F2 è distribuita su tutti e due le pareti controvento in direzione Y che, avendo la stessa rigidezza, presentano ciascuno una reazione pari a F2/2.

Considerato il fatto che F1 crea un momento rispetto al baricentro di rigidezza dei controventi in direzione Y, è necessario aggiungere a F2/2 la reazione generata su ciascuna parete da questo momento.

Considerando lo schema riportato, scriviamo dunque un sistema tenendo conto del fatto che la reazione Fy1 è direttamente proporzionale e che il momento generato da Fy1 deve annullare quello causato da F1. In questo modo ricaviamo il contributo Fy1 che andrà a sommarsi alla reazione F2/2.

∙

∙

Dove a=6,00m b=4,50m

73

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Per il dimensionamento delle pareti controvento si sceglie quindi di studiare una parete in direzione X e il più sollecitato tra i controventi in direzione Y che, nel caso di forze disposte come nello schema, risultano parimenti. Si analizza quindi il caso in cui le pareti siano soggette alle reazioni dovute esclusivamente all'azione sismica e si calcolano i valori del momento ribaltante e dell'azione assiale alla base. Si ripete lo stesso procedimento nel caso in cui siano soggette alle reazioni dovute alla sola azione del vento.

9.1 Analisi dell'azione assiale e del momento ribaltante agenti al piede delle pareti controvento dovute all'azione sismica

Ora si ipotizza che ad ogni piano agisca in direzione X e in direzione Y la forza sismica, uguale in entrambe le direzioni. Si individuano quindi le azioni orizzontali Fh agenti sulle due pareti controvento in analisi, seguendo il procedimento spiegato al paragrafo precedente.

Si prendono inoltre in considerazione le forze verticali che agiscono ad ogni piano. Si usa per il calcolo di Fh e Fv la combinazione sismica.

G Controvento 1 (direzione X) PIANO F1 [kN] Fh [kN] Piano terra 42,79 42,79 Piano primo 85,59 85,59 Piano secondo 128,38 128,38 Copertura 130,78 130,78

Controvento 2 (direzione Y) PIANO F2 [kN] Fh [kN] Piano terra 42,79 21,40 Piano primo 85,59 42,79 Piano secondo 128,38 64,19 Copertura 130,78 65,39

FV [kN] 216,99 216,99 216,99 91,07

FV [kN] 256,14 256,14 256,14 131,87

Di seguito sono riportati i contributi permanenti, strutturali e non, dell'azione verticale agente ad ogni piano.

Azioni verticali controvento 1

Piano tipo

Azioni verticali controvento 2

Copertura

Peso proprio

67,65

/

Peso solaio

36,64

29,79

Peso trave di bordo

38,40

38,40

Peso chiusura

74,30

22,91

Piano tipo Copertura

Peso proprio

66,00

/

Peso trave di spina

40,80

40,80

Peso solaio

36,64

29,76

Peso trave di bordo

38,40

38,40

A questo punto si procede calcolando l’azione assiale N e il momento M al piede per ciascuna delle pareti controvento. In entrambi i casi l’azione assiale sarà data dalla somma delle Fv per piano, mentre il momento sarà dato dal prodotto della reazione Fh per l’altezza h, a partire dal piano interrato.

PIANO Piano terra Piano primo Piano secondo Copertura

Controvento 1 F h M h [m] [kN] [kNm] 42,79 3,30 141,22 85,59 6,60 564,89 128,38 9,90 1270,99

Mpiede [kNm]

Npiede [kN]

PIANO Piano terra Piano primo Piano secondo Copertura

3703,36 742,04

130,78 13,20 1726,25

74

Controvento 2 Fh M Mpiede h [m] [kN] [kNm] [kNm] 21,40 3,30

Npiede [kN]

70,61

42,79 6,60 282,44 64,19 9,90 635,50 65,39 13,20 863,13

1851,68 900,29

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

9.2 Analisi dell'azione assiale e del momento ribaltante agenti al piede delle pareti controvento dovute all'azione del vento

Ora si ipotizza che ad ogni piano agisca in direzione X e in direzione Y la forza del vento, diversa nelle due direzioni come già visto. Si individuano quindi le azioni orizzontali Fh agenti sulle due pareti controvento in analisi, seguendo il procedimento spiegato al paragrafo precedente.

Si prendono inoltre in considerazione le forze verticali che agiscono ad ogni piano. Si usa per il calcolo di Fh e Fv la combinazione fondamentale, usata per gli stati limite ultimi: G

Controvento 1 (direzione X) PIANO F1 [kN] Fh [kN] Piano terra 8,86 8,86 Piano primo 19,10 19,10 Piano secondo 19,10 19,10 Copertura 9,55 9,55

Controvento 2 (direzione Y) PIANO F2 [kN] Fh [kN] Piano terra 16,61 8,30 Piano primo 35,82 17,91 Piano secondo 35,82 17,91 Copertura 17,91 8,96

FV [kN] 4,43 9,55 9,55 4,78

FV [kN] 8,30 17,91 17,91 8,96

A questo punto si procede calcolando l’azione assiale N e il momento M al piede per ciascuna delle pareti controvento. In entrambi i casi l’azione assiale sarà data dalla somma delle Fv per piano, mentre il momento sarà dato dal prodotto della reazione Fh per l’altezza h, a partire dal piano interrato.

PIANO Piano terra Piano primo Piano secondo Copertura

Controvento 1 F h M h [m] [kN] [kNm] 8,86 3,30 29,23 19,10 6,60 126,09 19,10 9,90 189,14

Mpiede [kNm]

470,55

Npiede [kN]

35,65

9,55 13,20 126,09

PIANO Piano terra Piano primo Piano secondo Copertura

Controvento 2 Fh M Mpiede h [m] [kN] [kNm] [kNm] 8,30 3,30

Npiede [kN]

27,40

17,91 6,60 118,21

441,14

33,42

17,91 9,90 177,31 8,96 13,20 118,21

9.3 Dimensionamento controventi

Una volta ottenuta l’azione assiale e il momento agente, si passa alla progettazione della parete di controvento.

La normativa (NTC 2008, paragrafi 7.4.6.1.4 e 7.4.6.2.4) prescrive: - Spessore minimo della parete di 150mm - Armature di spessore non superiore a 1/10 dello spessore della parete , disposte su entrambe le facce - Passo massimo tra le armature di 300mm In particolare si individua inoltre una zona critica alla estremità della parete: - Pari al 20% della lunghezza in pianta - Rapporto geometrico ρ compreso tra 1% e 4% - Diametro minimo delle barre d’armatura 6 75

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Verifiche a SLU dei setti di controvento (come dimensionati da normativa) Mediante l’utilizzo del software VcaSlu (prof. Gelfi) sono state verificate le armature secondo quanto la NTC 08 prescrive come valori . Inserendo i valori di M e N corrispondenti, ai casi con sollecitazioni al piede maggiori (caso del sisma), si può verificare effettivamente come i valori ricadano all’interno del dominio di resistenza. Si vedano gli elaborati seguenti.

CONTROVENTO 1 (NTC08)_SISMA

CONTROVENTO 2_SISMA

76

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

Dimensionamento del controvento a partire dalle prescrizioni di Norma NTC08.

Rispetto a quanto prescrive la NORMATIVA si può comunque portare delle migliorie in termini di armatura effettivamente necessaria.

Una volto ottenuto il Dominio M-N derivante dai vari casi/sollecitazioni al piede, si può procedere per via iterativa a definire il minimo spessore di armatura effettivamente necessario!

Lo spessore della parete di controvento è mantenuta 27cm così da poter evitare complicazioni costruttive e poterla mantenere in continuità con l’esatto spessore della parete esterna isolata.

Il ragionamento parte dalla definizione delle armature prescritte da NTC ed effettuando un processo iterativo di calcolo Med e Ned Sia lato calcestruzzo che lato acciaio (snervato) si è definito un disegno di progetto delle armature come seguente:

-

Spessore parete di 270mm; Armature di spessore ⌀ 12, disposte su entrambe le facce; Passo tra le armature di 160 mm

In particolare si individua inoltre una zona critica alla estremità della parete: - Pari al 20% della lunghezza in pianta. (410 * 0.2 = 82cm che per arrotondamento in eccesso dovuto alla cantieristica del controvento si progetta da 90 cm) - Diametro delle barre d’armatura ⌀ 12.

Verifiche a SLU dei setti di controvento Mediante l’utilizzo del software VcaSlu (prof. Gelfi) sono state verificate le armature dimensionate di cui sopra. Inserendo i valori di M e N corrispondenti a tutti i casi analizzati (sisma e vento) si può verificare effettivamente come i valori ricadano ancora all’interno del dominio di resistenza. Si vedano gli elaborati seguenti.

77

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

CONTROVENTO 1 (da progetto)_SISMA

CONTROVENTO 2_SISMA

CONTROVENTO 1 (da progetto)_VENTO

CONTROVENTO 2_VENTO

Dalle simulazioni è possibile notare come la variabile più svantaggiosa e quindi dominante sia l’azione del sisma. Nello specifico, il controvento 1 risulta il più sollecitato. L’Med e l’Ned di progetto su dimensionamento delle armature con ⌀ 12 risulta piuttosto tangente al Dominio ma ancora verificata e interno al Dominio di Restistenza Mrd – Nrd.

78

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

10. PLINTO DI FONDAZIONE 10.1 Predimensionamento Il plinto di fondazione è un elemento in calcestruzzo armato il cui scopo è di distribuire a terra il carico ad esso trasmesso dalla struttura sovrastante. A seconda del carico gravante su di esso, e a seconda della posizione che esso possiede rispetto all’impianto planimetrico dell’edificio, il plinto di fondazione, per una migliore interazione con le condizioni al contorno, può assumere non solo dimensioni, ma anche forme differenti.

Nel caso trattato qui di seguito si è proceduto al dimensionamento di un plinto di fondazione posto al piede di uno dei pilastri centrati presenti in struttura. Considerando che sui pilastri centrati agiscono delle azioni flettenti trascurabili e che si è assunto che le azioni assiali idealmente centrate sul pilastro non possiedano appunto alcuna eccentricità rispetto al baricentro geometrico dello stesso, si è scelto di utilizzare una base quadrata per il dimensionamento del plinto.

Il plinto può essere inteso come una doppia mensola rovescia inflessa verso l’alto nelle due direzioni ortogonali dalla reazione del terreno.

Si possono dunque assumere due schemi resistenti ortogonali che, funzionando in modo combinato, sono in grado di riportare la reazione diffusa su tutta la base d’appoggio entro la sagoma del pilastro. Sulla normativa sono indicate varie combinazioni delle azioni agenti sulla struttura, per poter effettuare verifiche in situazioni diverse: in particolare le verifiche devono essere effettuate per gli stati limite ultimi (SLU) e per gli stati limite di esercizio (SLE) in combinazione rara.

10.1.1 Calcestruzzo

Si procede al predimensionamento del plinto grazie alla seguente relazione:

N A

σ 79

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

In cui: σ N A

è lo sforzo ammissibile nel terreno (MPa), il carico di progetto del pilastro centrato calcolato in SLE (KN), l’area minima di base del plinto quadrato (cm2).

pari a 0,2 MPa dovuto al tipo di terreno (in base ai valori di angolo d’attrito interno, Considerando uno σ coesione, peso e altri parametri caratteristici), si riportano nella seguente tabella di calcolo le dimensioni ottenute dal dimensionamento: Ned (Kn) 982,0

σamm (MPa) 0,2

Areamin (cm2) 49099,81

a=b (L plinto) (cm) 221,58

l (cm) 95,79

h (cm) 47,90

a’=b’ (L pilastro) (cm) 30

In particolare, l’altezza h del plinto è stata determinata dal legame λ l⁄h (dove l è la semidifferenza tra il lato del plinto e il lato del pilastro) che indica la snellezza dell’elemento. Imponendo λ 2 garantiamo infatti che il plinto studiato sia tozzo, e pertanto la sua rottura allo stato critico avverrà secondo un meccanismo a puntoni e tiranti.

Di seguito le dimensioni effettive che saranno usate per il dimensionamento delle armature e lo svolgimento delle verifiche con combinazione SLU:

Area (cm2) 50625

a=b (L plinto) (cm) 225

l (cm) 100

h (cm) 50

a’=b’ (L pilastro) (cm) 40

10.1.2 Armature Si predimensiona l’armatura considerando il meccanismo di rottura delle mensole fisse. Il dimensionamento viene calcolato entrambe le direzioni d’armatura del plinto, sebbene esse coincidano, verificando le seguenti relazioni:

l

In cui: a a′ M

M

∙ ∙

A

, ∙

è la lunghezza del lato del plinto (cm), la lunghezza del lato del pilastro (cm), il momento applicato, 80

∙

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

A f

l’area minima delle barre di armatura (cm2), la resistenza di calcolo dell’acciaio B450C scelto, pari a 391,30 KN/mm2.

Dai calcoli ricaviamo un’area minima di armatura pari a 1306,173 cm2, soddisfatta dal posizionamento di 12 barre Ф16 che risultano avere un’area effettiva pari a 2010,619 cm2. Si specifica che la scelta del numero di ferri è stata influenzata oltre che dal soddisfacimento del parametro di area minima, anche da quello di distanza massima che la normativa impone tra le barre, pari a dmax=25cm.

81

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

10.2 Dimensionamento e verifica Poiché come dimostrato in precedenza il plinto in questione risulta tozzo, per verificarlo si utilizza il metodo dei tiranti e dei puntoni, considerando sia la rottura lato acciaio sia lato calcestruzzo.

10.2.1 Rottura lato acciaio Si richiede di verificare la seguente disuguaglianza: P

,

P

P

,

Con

P

P

a ∙P a

P

2∙A

λ l c

l d a a′ 4

∙f

P

,

∙

P

1 λ

c

min 0,2 ∙ d ;

b 4

Come già detto, nel nostro caso a=b e a’=b’. La formula di verifica è espressa nei termini di un paragone tra P , , ovvero l’azione reagente dell’acciaio lungo la direzione a, e P , ossia il carico del pilastro calcolato in combinazione SLU (cioè l’azione agente). Dai calcoli svolti si sono ottenuti i seguenti risultati:

′⁄

,

(cm)

(cm)

(KN)

(KN)

7,5

10,857

174,694

7867,641

(KN) 8042,335

,

(KN) 1339,32

Verificato

10.2.2 Rottura lato calcestruzzo Anche per la verifica del calcestruzzo si richiede di verificare la seguente disuguaglianza: P Con

P P

P

2 ∙ 2 ∙ 0,4 ∙ d ∙ b′ ∙ f

∙ 82

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

P

a′ ∙ b′ ∙P a∙b

Si noti che la formula di P (l’azione reagente del calcestruzzo) è stata in questo caso semplificata per un plinto a base quadrata, moltiplicando per due i termini contenuti nella parentesi quadra che nella versione originale della formula sono sommati e riferiti una volta alla direzione a e l’altra alla direzione b. P corrisponde sempre all’azione agente sul plinto.

Utilizzando nei calcoli un valore di fcd=14,167 KN/mm2 proprio del calcestruzzo C25/30, si verifica che:

(KN) 22,786

(KN) (KN) 680022,7862 1339,32

Verificato

10.2.3 Verifica al punzonamento Il fenomeno di punzonamento si verifica quando una piastra è sottoposta ad un’azione localizzata su una porzione relativamente piccola. Si tratta di un problema di flessione bidirezionale che può portare alla rottura per perforazione della piastra (nel nostro caso, il plinto) dovuta al fatto che il suo spessore risulta piccolo in rapporto all’entità dell’azione e alle ridotte dimensioni dell’impronta su cui essa è distribuita (cioè al peso scaricato dal pilastro che insiste necessariamente solo sulla porzione centrale del plinto).

Per svolgere la verifica a punzonamento è necessario che: P In cui: P P P

P

P

è l’azione resistente (KN), l’azione agente (KN), l’azione diretta alla base del plinto (KN).

P deve essere calcolata in due punti importanti: In corrispondenza del perimetro critico (quello che delimita la superficie di rottura) per determinare la resistenza massima che il plinto può esercitare senza l’ausilio di armatura trasversale per il taglio; questo valore viene contraddistinto dalla dicitura P′ , In corrispondenza del perimetro del pilastro, per verificare che i puntoni non risultino troppo compressi; quest’altro contributo viene invece chiamato P′′ .

Considerando quindi che il valore di P coinciderà con il minore tra P′ e P′′ , si procede allo svolgimento dei calcoli. La resistenza lungo il perimetro critico vale ∙k∙ 1

50ρ

è il perimetro critico, ed è dato dalla relazione 2a

2b′

P′ In cui: u

0,25 ∙ u ∙ d ∙ f

83

3πd (cm),

Laboratorio di Tecnica delle Costruzioni 2015 Gruppo 8

Politecnico di Milano , A.A. 2014Scuola di Ingegneria Edile-Architettura

d l’altezza utile del plinto (cm), f la resistenza a trazione del calcestruzzo, pari a 1,197 N/mm2, k il contributo dell’effetto di ingranamento degli inerti, assunto pari a 1, ρ il rapporto tra A (area di armatura compresa in A, cioè considerando 8 ferri) e A ∙ d (prodotto tra l’area della zona diffusiva con compressioni aperte ad ombrello e l’altezza utile del plinto).

′ 591,24

180

1608,49

0,017872

18426,55

La resistenza lungo il perimetro del pilastro invece è pari a 0,4 ∙ u ∙ d ∙ f 1 λ

P′′ In cui: u d f λ

è il perimetro del pilastro (cm), l’altezza utile del plinto (cm), la resistenza a compressione del calcestruzzo, pari a 14,167 N/mm2, il rapporto tra l’altezza del plinto e la proiezione l del puntone sulla base del plinto. ′′ 120

10461,54,46

Per la verifica consideriamo quindi la minore delle due resistenze, e avremo P L’ultimo dato necessario alla verifica è P dato dalla seguente relazione:

P′′

16738,46 MPa .

a′ ∙ b′ ∙P a∙b

P In tabella sono riportati i risultati dei calcoli svolti. ′ 22,78

1339,32

18426,55

′′ 10461,54

10461,54

1316,54

Verificato

La verifica al punzonamento è soddisfatta, perciò non è necessario inserire dei ferri piegati che agiscano da apposite armature trasversali.

84