Hypothesis testing of statgradexam 10

假設檢定 10.1假設檢定原理 10.2

(^-風險^風險及撿定力

10.3檢定原理 10.4母體變異數、母體平均數及母體比 例之假設檢定 精選練習

1 0 . 1 假 設 檢 定 原 理

一.假設撿定之意義 利用母體事先的訊息，給予適當的假設，並從母體中抽出隨機樣本，利 用機率原理，判斷該假設是否成立之統計方法。 上面的文字，可能較枯燥

111

。用淺明的話說，做假設檢定有如我們做是

非題：給你一個問題，然後問你它對還是不對。 做是非題時，你當然要先讀清楚題目，這相當於（！&^ 】。當你知道答案 2

的時候，當然你所做的決策就沒有問題，而當你不知道答案時，就要面臨要 不要「猜一下」的決定。猜可能錯，可能對。猜對有分，猜錯可能倒扣，這 就是風險。以上的架構在假設檢定裡面通通都有。我們舉一個可以想像的例 子。比如說我想知道某一大批進口的毛衣是否有瑕疵，不妨假設當初合約規 定，若37。以下的瑕疵品，則可接受該批毛衣，否則要返貨。爲了達到此目 的，我們不妨隨機挑出100件來驗收。若發現了 4件是有瑕疵的，則我們要 接受這批毛衣呢？還是返貨呢？ 這個問題裡就包括了一個標準的假設檢定所有的要素： 1.數據：我們看了 100件毛衣，結果是叉^乂&…，^。的其中有4個X爲「瑕 疵」，不妨記爲1 ，其他的記爲0 。 故 這 1 0 0 個 X 的 値 中 ， 有 4 個 爲 1 ， 96個爲0樣本數爲11 = 100 。

1 1 1

如果你不覺得枯燥，我們就會非常奇怪。我們故意抄一段這樣的文字，用意是告 訴你，一件簡單易懂的事，如何可以說得有如天書。

121

包括題義的本文(忱乂伫部分。

-非81不可研究所^！211~#0@

2，模型【 】：乂：0或者1，且 3

？ ^

^ ] " ， " " , … ，

11 = 1 - ^ X 4

我們甚至可以假設以下的二項分布： ？ ^ + 乂 ^ + … +

乂咖^：！二

^100^1

100^

X 這個模型中，還有一個重要的且與問題有關的參數！），這個未知參數！) 可看作是瑕疵率 。 141

3，問題是：II。 ： I X 37。還是1^ ： 〉 3 ^ 。 ？

4 你 看 了 &!;21之後，在3。及4中選一個。 5^你有兩種風險：^！!。是對的，你選了 3^第一型錯誤）；(^^是錯的， 你選了 II。(第二型錯誤〉。 上面的(工)及(幻都是「事件^」因此可以計算它們的機率，這些機率的値， 表示你對風險量化之後的結果。假設檢定的工作，主要在4及5，兩步中的計 算。許多實務上的問題可以化成以上的形式。事實上，假設檢定可能是用得 最多的統計方法。 例1.1已知一母體爲^(！！,》，但參數^未知，而有訊息告訴我們^1 = 0 或 5 ，經抽樣結果得樣本觀測値爲2， -1， 1， 0 。問何者正確？ 解：條件^ ^ 0表示該母體爲1^(0， 1 ) ^ = 5 表 示 該 母 體 爲 " 氏 ！ )

【 3

】這是你自己要判斷的部分。你用哪一種模型，和醫生肴診一樣，經驗很重要。考 試時，因為數據有限，多是靠你去照上下文猜。

【 4 】

在實際問題裡，參數最好要有可解釋的意義。

151因為它們都由「選擇」這個動作而發生。

10-4

# 0 # 假 設 檢 定

-3 ^2 -1

0 1

2

3

4

5 6

7

8

圜10.1兩個易辨的分布 將其樣本觀測値表達在母體分布中，如圖10.1所示。 從圖10.1來看很明顯，1^(0， ：0覆蓋所有樣本觀測値，而]^(^：^)並無覆 蓋任何樣本觀測値，或者，覆蓋到的機率很小。故由此組樣本應可直接判定 ^1 二 0較爲正確。並不需利用統計方法。 例1.2已知母體爲∼！！，丄)，其參數&亦未知，有訊息4-0或)1 = 1 ，經 抽樣結果，得其樣本觀測値：-2， 1 , - 1 , 0 ，則何者正確？ 解 ： 本 例 和 1 . 1 相 似 ， 但 略 有 不 同 。 ^ ：0表示該母體爲]^〈0， 1 ) ^ = 1表示 該母體爲3^(1， ！)。將其樣本觀測値表達在母體分布中，如圖10.2所示。 戰！)戰！)

國10.2兩個較難辨別的分布

非讓不可研究所統計學評論

由圖10.2則無法直觀認定何者正確(因爲兩個母體分布皆覆蓋樣本資 料）。必須藉由下面統計方法進行顯著性檢定。

二.撿定仃6311门9〉流程 執行一個假設檢定的邏輯有一點像數學裡用的矛盾法一我們先假設某 論點成立，再設法去找出矛盾，但在眞實的世界中往往沒有絕對的矛盾。 比 如 例 1 . 1 ，我們大約可相信^1 = 0 ，但也並不一定1007。的確定；在例1.2 中，看來^1 = 0的機會比^1 = 1大一點，但我們的「把握」更少，這裡的把握， 事實上是我們可以經由機率的計算而量化的。 在數據模型和3。， 1^確定了之後，我們下一步就選一個有用的檢定統計 量0:6^11^81；&18410 。例如在毛衣的例子裡，我們可不妨取

爲一個檢定統計量。關於7應如何挑選，在較難的問題裡有時並不十分明顯， 但在很多常考的初級問題裡，7可以選得十分的簡單。它有兩個原則：〈1〉選 能夠好好估計問題中的重要參數的那一個統計量；（力它的分布，至少在3。 假設成立的時候，要能夠算得出來。 此外，I雖然不能估計！) (？是II。中最明確指出的重要參數），但 ^ ：工：叉丄十义 十…+兀则 2

"！！"

100

卻是！）的一個好的估計量。此外，7的分布恰好是二項分布，這也是一個優 點。（如果你要問是不是每一個假設檢定都可以找到一個極合用的7 ，答案是 否。但在常考的問題裡，光憑上面兩條原則就已差不多足夠了 。〉

10-6

# 0 # 假 設 檢 定

有了丁之後，我們就往下問：怎麼樣的丁値會讓我們懷一疑8。？簡單的 想法是先假設8。 ：13二3^成立。這時，如我們看到丁 ： 80(5 二。"），因爲 1估計13 ， 807。和37。相差實在太遠了 ，所以我們會相信8。大概不會成立。 用同樣的邏輯，我們可以這樣猜：卩)如果X的値大，8。大概不成立；如 果X的値小，11。大概成立。 ，拒絕II。；若

當然X大和I大是相同的事情。因此，規則是：若丁 1 ^ 0 ，接受幵。。

上面的原則基本方向是不會錯的(你總不會在I大的時候接受II。吧？〉。 但還有一個問題： 的値應該是多少？ 0叫做臨界値((：！"!!^" 0

，比如說

我們已看到5 = 0.04 ，這是比0.03大，但我們有把握嗎？ 所謂的把握就是要量化~"只有在量化之後才能明白說出你的把握。我 們可以在二項分布的公式，在II。成立時，更明白地說：在9 = 0.03時，算出 各相關的機率値，見表10.1。

―國

？^"]

VI

1：

X的一些機率値 V

表10.1

0

，0476

^0476

^9524

1

.1471

.1947

德 3

2

.2251

.4198

^5802

3

^2275

^6473

.3521

4

.1706

.8179

.1821

5

.1013

.9192

遞 8

6

，0496

^9688

.0312

因此我們查表，看到？[丁 ^ 4】的機會是 ？[！^ 4 】 [ ？ 〉31 = 0.3527

I 10-7 ^：化

非81不可研究所統計學評論

這並不是一件很困難的事件(意指：不是稀有事件)一當13-0.03的時候， 在100件毛衣裡看見4件或以上有瑕疵毛衣的機會有357。。因爲這是很普遍 (一般要小於5冗或1冗才叫做「稀有」〉。因此，統計學家認爲我們沒有證 據認定8。不成立。 自另一面來看，若我們找到7件瑕疵品，則 ？[？ ^ ？ ] ^ ？[丁 〉 6】：0.0312 〈 5 兄 0

明顯地，問題就比較尖銳了 。因爲I ^ 7的機會，比57。要小。如果9 ^ 0.03 的話，則看到727的機會只有3.10/。而已，因此我們就比較有把握認爲II。 不成立。 如果你看到10件不合格的毛衣，則？[！^ 10】0.0032這就是一個「發 生機會極小」的事情了 ，因此我們就更有把握來覺得II。不成立。 以上的想法裡，如果我們把57。當作「門檻」的話，則大約要取0： 6 ， 此 時 7 X：才概略地是所需要的拒絕3。的規則。 請注意到，以上的邏輯裡較重要的技術部份是：我們有能力計算表中的 各項機率。因此才能將我們的直觀加以量化，而用實在的機率値來反應我們 所做決策時所面臨的風險。

三.假設檢定步驟(六大步驟） 我們將上面的說明綜合成下面的步驟： 1.統計假設：設定虛無假設(！！!^ ！！^^化"^ 3 和對立假設(&11^1181^6 0

11^01:116813)1^ 。這樣做的目的是將一個問題簡化爲「是非題」的形式。 1設定顯著水準：01-0.05

(或0.01〉。這只是傳統値，其實並無規定。它

代表的是我們願意承受的風險，有一點像我們日常生活中所付的保險費。

10-8

3，檢定統計量：7 。這通常是由某一套理論推導出來的，但最後往往是「丁 大時便懷疑II。」或者「了小時便懷疑8。」這兩種形式之一。 4 拒 絕 域 ： 0 ^了可以拒絕3。的所有的値)。一個典型的0是甚麼樣子呢？ 我們不妨假設在7大的時候拒絕8。，這時，我們會取0 ，使得 ？['！'^^ I ！ ！ 。 "

因此，如果7的分布可以算得出來^ ，我們就能算出這個重要的0値。 5，回到實際所給的數據，自觀測値計算I値

171

。

6，結論：若16 0則拒絕II。；若IV 0則接受 11。。 18】

四.統計假設^怡^化^，

。出""）

在傳統統計問題中，在給定 乂 ^ ， … 人 1 1 ( 1 ^；^)

這樣的條件時，唯一不知道的是參數【 】9的値。因此，統計假設也只是問是 9

否 9 ^ [^， 31或者是否9 ^人(八是某一個集合)這樣的問題。此時0的確切値 我們因此不知，但題意中可看出9的所有可能的範圍。例如在]^(^？)中 4 6 〈~00，①),(！ 6 〈0，①)都十分明白。

1 6 1

這是最主要的一個技術條件，所有的考題，鄱等於是在問「你知不知道7的分布 是甚麼？要査哪一個表？」

1 7 1

叫做「實測值」，有時用7。來表示。

1 8 1

較高級一點的說法是：不能拒絕8。，或者說「不夠顯著」等等。這背後的精神是： 我們在01的顯著水準之下，找不到充分能讓II。不成立的證據。但是，考試時說「接 受」或「拒絕」，應該是可以的，只要你不要把方向槁反就是了 。

【

9

】

0 可 以 是 多 維 的 ， 比 如 6 = ^1， （ ！ ） 。 但 現 在 你 將 它 想 成 一 維 的 更 好 。 但 密 度 函 數 《

的形式(如1101111&1， 1)11101111^1等)是知道的。

10-9

非損不可研究所^^罾評冑

(一） 虚 無 假 設 … ^ ^ ！ ^ 化 & ^ 分析者提出之假設，經常是希望被驗證爲不正確之假設

11(11

。故稱虛無假

設。一般以II。表示之。 (二) 對立假設〈3116「门31^6 ^ ^ ！ ^ ' ) 30

65

3

分析者所提出之假設，經常是希望被驗證爲正確之假設。故稱對立假設， —般以！^表示之。 (三) 簡 單 假 設 1 6 11乂|30化 在假設中利用參數9的描述，只描述單一個母體時稱此假設爲簡單假設。 簡單假設在實務中極少用到，但考試時就不一定了 。 8。及1^的,內容均 暗示著6的値在一個單點集(^！!^^!! 8時，叫做簡單假設。此處「單 點集」所暗示的分布是指一個明明白白沒有任何其他未知參數的分布。 例如]^&^)。 (四） 複 合 假 設 ( ⑦ ∼ ! ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ) 在假設中由於參數9的描述，不再僅敘述單一母體時，而是一組母體時， 稱此假設爲複合假設。

【 1 0 】

這是傳統的做法，但亦有它背後的理念。假設撿定是科學方法，而科學是求進步。

因此我們做實驗、取數據等行為，背後的目的往往是想要證明「現在想做的事要 比以前好」。因此我們私心'希望8。能被拒絕。這也是為甚麼我們把01取得很小的 道理。在技術上，我們常譲II。等於表示「和以前一樣」。這是因為在這樣的條件 下，我們比較有機會把丁的分布算出來。

10-10

職學評譎

-

# 0 @ 假 設 檢 定

例1.3若有一母體爲矶屮；^)，考慮以下統計假設檢定問題： (工）假設1 11 ： 0

^1 =

0,11！

1^1 =

1

這是簡單的虛無假設對簡單的對立假設的情形。因爲^1 = 0表示1^(0， 1〉 這一個單一分布，而4 = 0表示^16《0》。同理，4 = 1表示1^(1， ：0這一個 單一分布，而^1 = 1表示^16(1》。 〈2〉假設2 ^111 = 0,11^:11^0 這是簡單的虛無假設對複合的對立假設的情形。因爲^1 = 0表示1^(0， ：0 這一個單一分布，而^I ^ 0表示^I 6《0》。但^I ^ 0則表示1^1，丄),^ ^ 0 這 很多個分布，而^^ 0表示^16 ( ^ ， 0〉 II 〈0，―。此時4是一個所謂的雙 尾假設0^0-81(1^ ^^^^^！^)，因爲「不等於」是包括「大於」和「小 於」兩件事的。 〈3〉假設3 這是複合的虛無假設對複合的對立假設的情形。此時1^是一個所謂的單 尾 假 設 ( 。 ！ ^ ^ & ^ 1131)0化6818〉，因爲〉是只包括「大於」這一件事的。 至於這叫做左尾還是右尾，你就要小心了 。因爲左尾也對，那是指8。； 右尾也對，那是指1^ ，那麼，哪一個是「標準答案」？聰明的辦法是別 管左還是右，別把拒絕域弄錯才重要。 要注意到3。和1^所代表的兩個集合必需互斥，習慣上II。的之假設設 定中，必須擁有「二」號。

10-11

-非81不可研究所

五. 統計假設之描述傳統 我們再強調一次： 1.盡量將「二」號放在3。。 1盡量將欲證明之事實放在1^。

六. ^^7X^(51911111031106 16^60 犯 第 一 類 型 錯 誤 I 6^01：，指當II。爲眞時卻判定爲拒絕0。之結論) 的機率的最大値稱之整個假設檢定之顯著水準，一般以0^表示之〈後面再 詳談〉。

七. 撿 定 之 型 式 ^ 口 ) 6

我們已在前一小段裡說明了雙尾及單尾的檢定。這都是 11

0

人1^

：^八

的形式。傳統上集合八必需是一個不分開成幾截的區間。如果讓 八二【1， 2】II【4,8】這種形式，我們是做不出好結果來的。

八. 檢定統計量(！的^ ^ ^ ！ ^ ! ^ ^ ) 根據虛無假設II。中所明示的之參數値，找出可用來判斷是否接受或拒 絕II。的統計量。（這是某些問題中並不容易，但在普通的情形下，一般與估 計0所使用之統計量6相同(或者差一個常數或略作修改），這是「針對考碩士 的普通考試而言」的）。

10-12

―

―

―

―

體

《

^

九.拒絶域((：！^。^! ！6 ' 9100； 「6】6011011 「69！0门) 所有能夠拒絕虛無假設之統計値所構成之集合；亦即當統計觀測値落在 此集合即拒絕II。。本書一般以0表示之叫。

十.決策法貝！1(01601310门「卬㊀) 我們先假設II。是6 ^ 八 的 形 式 ， 而 I 二 6是所用的檢定統計量觀測値。 將所給的數據代入7的公式得到「實測値」。若當則拒絕3。；若當 6^。貝1】畠殳11 0 0

一般對於9 ^ ^

(對於常態母體)或者扒對於二項母體)的檢定有下列法

則： (一)雙尾檢定 對於8。 ： 6

9。 36^11181； 1^ ： 0 ^ 6。，則拒絕域爲

0 = 10^大的臨界値，或者6 〈小臨界値》 其中，大的臨界値或小的臨界値是由下面的公式算的 ？

90

【12】

：

^大的臨界値]^^？ ^6^小的臨界値]^ 9

|

一般我們由2， 4， X 或7表査臨界値(參考第七章〉。這是因爲在0 ： 0。時， 2

6分布恰好是這幾個有名的分布之一的緣故。

1 1 1 1

用什麼符號不是重點，如果你見到別人用II也不要奇怪，因為這本來就沒有標準

符號。重點是算出什麼時候才要∼拍改8。。如果這個弄錯，別的再講得對也不行。 "力各取一半"並不一定是最好的辦法，但是確是最常用的簡便方法。

―非^不可研究所"

(二） 右尾檢定 對 於 8 。 ： 0 ^ 6 。 3^&11151； ^ ：6〉6。，則拒絕域爲 0^(0^大的臨界値》 其中，大的臨界値是由下面的公式算的： &。[^〉大的臨界値]二" —般我們還是2， I X 或？表査臨界値，理由同前。 2

(三） 左尾檢定 對 於 I I 。 ： 6 5 6。 3^1x161；

： 9 〈 9。，則拒絕域爲

〇二^〈小的臨界値） 其中，小的臨界値是由下面的公式算的： ？ 。^ 〈 小 的 臨 界 値 ^ 二 " 0

—般我們也還是由2， I， X 或7表査臨界値，理由同前。 2

上面這一段不必背，但你可以想，首先，用6的目的是估計6 ，若6之 値和6。相去甚遠，即| 6 - 8 。 、 某 個 常 數 的 時 候 ， I I 。 ：9：^。自然就顯得 0

不眞了 ，因此要拒絕8。。若只是問II。 ： 6《9。，則當然在6大的時候，玨。才 顯得不眞。這些直觀不是證明，但可協助你記憶。 此 外 ， 求 0 的 値 是 要 在 6 = 9。的條件下用0^値來計算的【 ， 9。是8。中 131

最接近4中一個點。

【 ！等號卩 。 & 〉 ^ ； ] 或 者 ？ 〉 0 1 6 ： 6 。 】 中 的 6 。 ， 就 是 用 來 表 示 ， 在 计 算 時 我 們 用 13

9

？^力。）作為機率分布來做必要的運算。

10-14 I 統計學評譎

到目前爲止我們講的都還是直觀的方法。這在簡單假設時沒有問題，因 爲在簡單假設時「8。爲眞」這句話意義明確；但在複合假設時，例如II。： 6 2 3 時 ， 9 = 2， 2.5,-100等情形都全是II。的正確範圆。那麼哪一個6値是 「使得II。爲眞」的呢？ 我們主要的是要選「距離！！,最近」的那一個値。如果是 8 。 ： ^ " ， ^ ：9^3 則我們選9 = 3時，作爲「代表8。爲^」的代表點。這是因爲II。和！^距離 愈遠一一例如例1.1的情形一一就愈容易分辨。因此，選扱近的點，就難以 分辨，而若是對最難分辨II。和！^的情形都能分辨，那麼在一般情形之下當 然更沒有問題了 。

1 0 . 2

風 險 卜 風 險 及 檢 定 力

因爲一般我們遇到的問題多爲複合假設；因此要更明確地說「8。爲眞」 或者「1^爲眞」的較詳細的情況。在表10.2裡，我們來複習幾個名詞。 表10.2風險的分類 決策〗事寅

1^0為真

拒絕II。

"二型I錯誤

接受8。

1 06 一

1^1為真

檢定力 |3二型II錯誤

( 一 ） 型 I 錯 誤 0 卯 6 16「「00 當8。之假設爲眞時，但因抽樣誤差導致結論爲拒絕9。，此種錯誤稱爲 型I錯誤'

1 1 4 1

141

。

我 們 都 在 6 = 0。那一偭點做關於01的機率計算。

| 10-15 I

非 〖 8 不 可 研 究 所 ^ ^ 罾 ， ， # 0 #

(二）型II錯誤("^^^「^) 當^之假設爲眞時，但因抽樣誤差導致結論爲接受8。，此種錯誤稱爲 型II錯誤。理論上，我們需要對一個6 6 都做一次矽9 I I 的 6

計算。

―，"-風險("-「^) 犯 型 I 錯 誤 的 機 率 是 ^ ？ 。[拒絕I！。]，而在計算時，我們用 6

0

？

^

6

0

【

1

^

0

】

^

( 卿

這裡，7是問題裡找出來的檢定統計量，0是求出來的拒絕域。對於某些問 題，丁的分布可能求不出來，因此(^二)不一定能眞的算出來。此時我們可 以只要求能做到 0

卩

^

。

6

【

1

^

0

〗

^

( ^ )

或者 0 ^ ？

9

0

[ 丁 ^

^

( 卿

便好。能做到(化二)的叫做「精確的檢定"^(^ 1 0」。做到(^力的叫做 68

「保守的檢定(③！！化！：^^^化80」。做到(川^)的檢定，是近似的檢定，多 半要靠大樣本理論。 二.卜風險①-「刚 犯型II錯誤的機率是： 13 = 1^[接受！^]，9 6 II】

| 10-16 |

# 0 # 假 難 定

計算時，要注意到要說明你是對哪些0 6 1^做計算的。這邊要注意的，是要 分清楚風險和(犯)錯誤是不一樣的，所謂風險是「犯錯誤」這件事情機率大 小而言，如同我們對06 - 風 險 和 1 3 - 風 險 的 定 義 。 1 ^ 6 I 6^01："指的是一件 可發生的事件，則指該事件的機率。 當我們説？[拒铯8。| 8」，(！^^ 1)1^

，其贵是有一點問趙的^遑是0惑8 ， 0

！^鄱可能不2包括一個點。较嚴謹的就法是 01二？ [拒铯8。〗，0611。 6

& 二1-？ [拒铯！！。],^!^ 0

固為11。， 4都可能不^一個點。06反|3都不是一個覃一數多。（！)此更明台的3| 法是 0^卜？ 【拒俋！1 】，0^ 0

0

0

剛：1-？ [拒绝！！。]， "！!丄 9

我們通幸能嫩到的事是 赠《0.05， 0 6 I I 。 而使得 00(00 〉 二 0.05

1.6.，在0 = 6。這一點計其出來的拒铯檄率恰巧则為0.05 ，而對其他的6 6 8 。 ^ 其型I虱險都小於0.05 。遑才是「我們將型I獰盖揎剁在5。石之肉」的惫思。逭 也是我們溆「最近值嫩計其臨界值0的標準點」的理由。

岡 就 這 樣 ， 這 已 叫 做 「 6 X 5 1 ^ 1681」了 ， 見 ( 扨 . ： ! ） 。 這 肴 起 來 不 難 ， 但 事 實 上 人 類 求 出來的6X3(^1681^8並不多。雖然，考起來總是考這幾個，會锒你誤會，好像168*8 都應該是6X3"似的。其實，蠻不是這回事。

I 10-17 V几'5 I 4^？^

^"非〖資不可研究所"

由型I狳盖所計其出來的虱險，一般丈^鄱由0^來泉^ 。這是^當通行的1 你可"假設』當你在一^和疣計有闡的^章、書藉或者老卷中看到，那就是它 不會錯的。但關於型II錄盖是不是一窆用0似孚尚無定狳。你還是要看上下^ 才能弄明台。

三.撿定力函數〈|30\^6「卞"^^) 簡 單 的 關 於 ^ ^ ， ^11110*1011的定義是1-"⑦，6 6 幵 , 。 因 爲 ^ ⑦ 要 愈 小 61

愈好，！3 ^ ，就要愈大愈好。當然，在II。或^爲簡單假設的時候，4 |3的 0

61

値均各只一個，，就不必談甚麼「9的函數」了 。 例:2.1

—袋中有7個球，知有紅黑兩種顏色，用9表示紅球的個數，若

我們欲檢定 I I 。 ："^，！^ ：0二4 任取兩顆球〔用抽後不放回方式）。若取出的兩顆球皆爲紅色，則拒絕8。。試 求此決策所犯型I及型II錯誤之機率。 解：這問題裡已告訴我們甚麼時候要拒絕II。，因此我們不必去找丁 。 設 X 表示兩顆球中紅球的個數，則丁 二 X 而 拒 絕 域 是 ： 0 ^《X 2 2 》 。 當II。爲眞時：紅球2個，黑球5個，故X之分布爲超幾何分布：

1 、\

-幻

、、 义

故

| 10-18 |

5 ^

假設檢定

難 、 0 21 、2乂

在1^爲眞時，紅球有四而黑球有三，故 | 3 ~ ^

^ ？ ^ ^ ^！]^ ？ 6

4

〔4、勺、

9

^

〃、勺、 4

2

、 八厶乂 、1 乂 乂^ 十 0

^0〗十？634^ ^！]

7、

15 21 一

、、

002.2設某一常態母體，其平均數^I未知，變異數？爲25 ，若從該母 體中抽出10個樣本仏已，叉^ ，…，乂"〉若欲檢定 11 ：蚪二 0

65，

II！ ： ^ 二 70

且我們用〈1)0^ ^《X 〉 6 7 . 5 1 及 ② ^

68》兩種拒絕域，試分別求出這

兩種拒絕域之型I及型II誤差値。 解：這問題裡7 ^ X ~ ^ ( ^ , 2.5〉，而II。，是已經告訴我們的，不必去求。 (工)設^,

&分別代表第一小題中的型I及型II誤差値，則 0^1 ^ ？ ^

6 5

^ ^ 67.51 ^ ？ ,

1-65

67.5-65

72^5

72^5

^ ？^2 〉 1.58】^ 0.057 但在1^ ： |1 ： 7 0 之 下 X ~ ^〈70， 2.5〉，故 ^？^

7 0

^ ^ 67.51 ^ ？ 4=70 ,

文一 70 ^6

67.5-70

72^5

二 ？【2 〈 一 1.58】二 0.057 〈2〉若在X ^ 68時才拒絕II。，做法如下。 設06 币 分別代表第一小題中的型I及型II誤差値，則 2

2

10-19

非!責不可研究所^^"^，罾

68-65

乂一65 ^1-65 二 7(2； 〉 1^

~―

〉

~圍

^2.5

^2.5

二 0.0287

但 在 3 ^ = 70之下，玄∼:^。，^)，故 「^― 70 6 8 - 7 0 70

^2.5

^2.5

二？【2〉-1，26】二 0.1038 (工)當樣本數固定時，統計量亦不變時，則增加時，13會降低；0減少 時，|3會增加；"互爲消長，不可能同時降低。 唯有增加樣本數(！！），才有可能同時降低0與0 。 ③請留心我們的計算。例如在求…時，我們知道在^1 = 65時， 义∼1^(65，2.5)。這樣才有2八^-㊀^/^∼^卬，》，我們才有 资格去查^表。 例2.3某公司生產家庭用電腦，平均每小時生產爲^1 = 100台，該公司爲 了增加產量，聘請了張先生擔任經理，在新任經理管理下，任選取100個工 作小時來觀察，發現平均產量增加爲每小時104台，標準差20台，試用單 尾檢定來回答下列問題： (工）在： 5^/0的顯著水準下，說明此一新任經理的管理能力。 〈2〉求其在^ ^ 105.29台時之第二類誤差0:71)6 I I ^！"∼!：) 13値？ ③ 爲了減少|3 ，勢必增加，若|3減少至6 0 沦，則應增加爲多少？（在②條 件之下） ④ 若希望∼|3同時降低，則需增加樣本數；（在②條件下）若希望 ^ ^ ^ ^ 0.05 ，則樣本數應增至多少才夠？ 解：數據雖沒有全看見，但可假設是 乂^^^…，乂则∼血！^^口 ) 2

而知道文^ 104， 8 = 20 。 10-20 |

假設檢定

(工)問題的架構是 3 。 ： ^ ^ 100， 1^ ： |1 〉 100 我們可用X來做假設統計量。可算出或看出 2 、 X∼：^ 卜 100 我們當然應該看出來，在X的値大的時候，要拒絕II。。利用 0.05 = ^ 1 X ^ 0 | 3 3 ^ ？ ^ 0

2^

0

—

^-100

0-100

41

V？

1 0 0

100，

2

由此得【 、-100 = 2x1.645 ，故0 = 103.29 。現在我們的實測的 16

X 二 104 ，故拒絕II。，表示在57。的顯著水準下，平均生產量有顯著 髙於100台；因此表示新任之經理管理能力不錯。 ② 在 1 ^ ： 4 = 105.29下 X ~ 1^(105.29， 4〉 故得 ^^

^ 103.291 ^ 二 105.29】 ^ ~ 105.29

103.29-105.29

4=105.29

^ ？ ^ 2 ^ - ! ] ^ 0.1587 〈3〉由於II固定，爲降低|3 ，則臨界値必須改變：取0'使得 105.29

41 2

【16

】在這一步，我們動用到2^表，查出？【2

0 ~ 105.29

~

41

\1 ^ 105.29

105.29 2

〉 1.645】：0.05

10=21 ^

^

1【？'6 、

^

非^不可研究所"

查 表 可 得 ？ - 1 0 5 . 2 9 ^ 2 x 1 -1.555〕解之得(；'^ 102.18 。此時， 因臨界値已改，故値也改變。在II。之下，若須|3 二 0.06 ，則相對 應的(新^値是

乂―100

41

102.18-100！ 〉 ^ \\1 ^4

^

…

100

^ ？ ^ ^ 1.091 = 0.1378 由於11能夠增加，則臨界値亦須重新計算。在II。之下，X的分布是 聊 0 ， 4 0 0 ^ ，而在4之下，^∼1^(105.29， 4 0 0 / 1 0

値也會改變，設爲!^則由01=0.1

可得

0.05 = 1 ^ 1 ^ | ^ ] ^ ? ^

5-100

1^-100

20/7^

20/4

查2-表可得 ^(让-100〉 20

^ 1.645

故得第一個式子 ^ ~ 100 ^ 1.645 ^

20

但由於0 = 0.05也是我們所要的條件，我們有 0.05 ^

^ 1^ | X -105.29

2^

傷 ^ ) 20

\ 10-22

統 譎

4 = 105.29

1 ？ ： 一 105.29 1^ = 105.29 20/^1

査2-表得

&-105.29

。此時臨界

故得第二個關係式 1？ -105.29 ^ -1.645 ^ ^

^

(瓜巧）

VII

聯立解(川乂)及(扨石），！#11 = 154.7 = 155 。 前面我們講過型I及型II誤差及|3的値等等，這些東西通通可以用 ？

0^6^【1X11(^011來表示，設被考慮到的分布爲？

6

，而我們對虛無假設的拒絕

域 爲 0 ，則1)0^61： ^1111^1011被定義爲： 1)0^61： (^) 二 ？ 0 [！:6^60^ I！。]

上面6 6 0 並 不 限 制 6 6II。還是9

，而是對任何可能的6値都統統有定

義。若是068。，則

？0^61： (^) ^ ？[！;51)6 I 6171*01： | 6 〗 ^

若是0 = 9：《！^

？ ^ 7 ？ 6 I 6171*01： | 6〗二 00

，則！^^^^②)恰巧是這個檢定在一點的檢定力

。若@爲一維，則^0^61：(^)便是一條曲線，這是通常我們所說的1)0^61： 011^6

。

對給定的II。及一個給定的測試(化810所推導出來的拒絕域，我們就可求 出一個1X^61： ^ 1 1 0 * 1 0 1 1 。但對同樣的3。，拒絕域0有所改變的時候我們就 會得到另一個1)0^61： ^111101：1011 。它有效地表現出這個檢定(包括8。及（：)所有 的重要性質。

10-23

非通不可研究所統^"學評論

四 . 作 業 特 性 函 數 ( 。 ^ 「 ^ ―

0113^30161~151！0 ^ 110*1011 ^

不論假設檢定爲雙尾、左尾、右尾檢定，其對立假設！！,均爲複合假設， 故每個參數値9^1^均有一 1 3 - 0 ^ ，固定義出作業特性函數：

- 1 - 0 . -!'18^

難道1)0徹^1X1(^011

II 0 6 11 -

0

(^)之後，作業特性函數，。卿"—!^)。

1 1 ^ 名 詞 其 惫 恩 都 不 大 1 ^是畤章被老而已。理翁上』你懂谞1)0—6&11(^1011 就足夠3

^但為3老試得背一^(其實用處不大的)名^定義。

1^2.4根攄以往記錄得知 某一投資利潤分布的標準差爲36 ，平均數爲 ：

600 。欲檢定此投寶之現金的平均利潤^I是否變小而令臨界値爲590 ，樣本 大小11 = 50 ，試就虛無假設 ^ 及對立假設 〈2〉 ，繪製 0 1 ) 6 1 : ^ 1 1 1 ^ 01131-301:61:18110

011^6草圖爲

^

I I 減 成 2 0 ， 試 繪 製 化 ^ 0111^6草圇爲 6

。若因抽樣成本太高而將 一

，來表示此一改變。

解：這是一個出得頗差的題目，主要的道理是固然我們不妨將某投資的利潤 想成爲一個隨機量〔因此它有分布、有平均値、有標準差），但我們不可 能觀察到50個獨立同態的同一個投資利潤。〔50個人，同時各購買某 股票，雖然他們是獨立購買的，但若是同時^出，則這50人的投資報 酬率是一樣的），50個有統計意味時的獨立樣本基本上是不存在的。 可是，先別抱怨。我們的問題是已知4 = 600， 0 = 3 6 且 X ； ∼ 忖 ( 屮 一 ) , 1 = 1,2， ^ ， 50。而你要做的檢定是： 110 ： ^ 6 0 0 ， 4

： |^600

且要利用义的値來做檢驗。以上固然是一般普通教本的檢定方式，但統

10-24 |

#0#假設檢定

計學並沒有規定非是這樣的檢定不可，因此，嚴格說來本題並沒有標準

^

〈 ^ ^ 36

2

5

，

0 9

V 50^ ？―

^

5 9 0

— 「

^0

5.09 ^

一

广590-闩 、5.09 \

④如11 = 20 ，貝II 00^

590-11.

^ ？【5 〈 590| ^ ] ^ ?

136 2 20 8.05

二 0

―^1 |1 8.05

590-11

40的値將會同時增加。

五 . 生 產 者 的 風 險 ( [ ^ 「 。 ^ ( ^ 「 ^ 「151^ 在品質管制中，對於不良率！）之認定，通常依照下列統計假設 9。

：

5 13。， ！！, ： ^ ？

？ 0

^則此稽假設之型I錯誤爲生產者所生產之產品不

良率達到要求時(即13《，卻認定拒絕8。；此種錯誤會造成生產者損失， 故一般稱此種錯誤機率(即0^ ~風險)爲生產者的風險。

^

10-25 | 權

—非坩不可研究所統^"學評論

六 . 消 費 者 的 風 險 ( ⑦ ！ ^ 则 ㊀ ！ ^ 「151^ 在品質管制中，對於不良率9之認定，通常依照下列統計假設

則此種假設之型II錯誤爲生產者所生產之產品不良率未達要求時9。〉， 卻認定接受II。，此種錯誤會造成消費者損失。故一般稱此種錯誤機率(即口 風險)爲消費者的風險。 例2.5某產品每批生產量爲1000個，今隨機取10個樣本(取出不再放 回)接受檢驗，若皆通過則該批產品可被接受，否則即退回。設產品瑕疵率 以？表示，0^13^1 。 (丄)請計算並繪圖表示每批產品在！) 二 0.05， 0.15及0.35時被接受之機率。 (^)由圖中試評論如此之檢驗要求是否鬆緊適當？ 若依上述檢驗法則，至少耍隨機取樣多少個方可在15 = 0.05時，其接受 機率爲0.10。 解：因爲是不置回(讽^^"化！^&！^世)抽樣，我們知道 X ~

61*^601116^1*10 1^ 二 100， 1^ 二 1009， 1 1 - 1 0 5

這一步是重要的，因爲我們得靠它做以後的機率計算。 (工）①在1^ = 0.05 ，故乂~117口61^6011161；比，X 二 1000'！^ 二 50'！1 二 10 ， 故

？[接受幵 1 ？ ^ 0.051 ^ 0

^ 0| ^ 0.051 ^ ？

、0^950、 0 10 1000、

二 0.5985

10 ② 在 9 ： 0.15時，X∼！!乂!361^601116七让，^ ^ 1000， 1； ^ 50， 11 ^ 10 故

10-26 ！

假設檢定

'；150、 850、 ^ 0 ^ 10 ^ I [接受8 | ？ ^ 0.151 ^ ？ ^ ^ 0 | ！)^ 0.153 ^ 、 ：^^； 1

0

；

^ 0.195

^

、10

、50、^650、II ： 10 ，故 ③在口 ^ 0 . 3 5 時 ， 乂 口 6 巧 6 0 1 1 1 6 1 ^ ， ^ ^ 1000，化：50， 、 0 ^、10〉 ^ 0.013 1000 ？[接受11 | ？ ^ 0.35】^ ？【乂 ^ 0| 9 ^ 0.35】二 10 0

(之)若依照8。 ^ ^ 0 . 1 及 ^ ^ ：？〉111來看，很明顯06 = 0 . 6 - 0 . 8 之 間 。 事實上，從圖來看，13値是很小，雖然檢驗對於消費者風險非常重要， 但相對於生產者風險則太高，故對於生產者相當不公平，故此檢驗並 不適當。 ^ 在 ？ ^ 0.05 ， 叉 ∼ ^ 匹 " ^ 。 ! ^ & ， ^ ： 1000， 1^ ^ 50,11若樣本數爲II ， 則由 950 ？[接受幵 | V ^ 0-05】^ ？【乂 ^ 0| 口 ^ 0.05】二 0

10

0

1000、 II

的條件，可解出11 = 44.89； 35 。 以上的最後一步並不容易。我們是利用「X的分布，和二項分布接近」 這個性質。這是假設X大、II小，而自一個大小爲V的母體中抽取11 個元素時，「置回抽樣」和「不置回抽樣」相差有限(見本書關於抽樣的 那一章）。因此 ①力己^卬^已)"二0^5。 二 0國 兩邊取對數，解II得 10-27 統計賴譎

非I員不可研究所^^"^^冑

II ^ ~ ~ ： 44.89 10& 0.95

這樣的答案在考場做，應該是可以了 。作圖的部分，我們就省去了 。 本驳來自台大其欢老試，但本II也出得其是唷點盖，雖然我們不好意思説 台大所盖勁學校'但自遑個祖目來看似孚並不太高明。啻先'「若通過」 是詰惫不明的，^急沒唷明矛、何謂通遇^"是10個全部合格呢？還是9個 以上合榕？固^其出來的荅素是全然不同的 至於^全：！自由"滢^敎不 1

上付麼遭理，而根本的無聊别是用^1；110111；!"6口1^61116111。在1000中^

10

個，柚後置@與否剁盖不太，而埂要间學算^幾何兮布】則又顯得不合^ 2 里 ， 例 如 卩 ) 的 答 棄 用 1 1 ^ 6 1 - 6 6 0 ^ 6 ^ ^ 來 伥 是 0 . 5 9 8 7 ；用二項4、布束嫩是 0.5985 ， 二 老 剁 差 極 ^

1

但用11卯61^6011161：1^来慠即使唷小針真機也烦

需一點技衔^才不會∼^^(^)，這樣老间學是(支遭理的。

1 0 . 3 檢 定 原 理 在前兩節，我們介紹了假設檢定的作業方式和一些常考到的名詞，但並 不會說明如何才能找到一個較好的檢定統計量。雖然，在常態或者二項這類 的分布裡，我們很容易猜對。但一般的情形又是如何呢？這一節我們介紹幾 個一般性的「尋找一個好用的檢定統計^」的方法。這些原理證明的部份因 此比較難，我們就不講了 。 ―.簡單概似比檢定…^^)^

111011^00(^-1-3110 1 6 5 ^

以下的方法是討論假設檢定的重要的手段。大部分的較有名的假設檢 定，都可由這裡導出來。設乂,， ^,…，X。爲來自（乂)母體或『乂)母體之一組 隨機樣本，一般假設檢定

10-28 铳計孚評篛

取 ^ ！ ! : , 。 ^ ) , 。 ^ ^ , … , 。 ）

我們在人^

時，則拒絕1^其中&爲一非負常數，可利用06値來決定）。

上面的一般方法在簡單的II。對簡單的！^時，是「最好」的方法。所謂 最好，說明如下：

二 . 最 強 檢 定 力 檢 定 ( ① 0 5 1 ^ 6 ^ 1 1651；簡稱IV！？ 1651〉 若一假設檢定爲簡單對簡單(！^ ：0^9 ^ 1 1 1 3 ^ 1 ^ ： 9 0

^ 〉，在顯著

水準爲06時(即犯型I錯誤之機率不超過00 ，若可找到一拒絕域，使得 I！。]，並且是所有拒絕域0中滿足？03 I I I 。 ；^";。'之檢定力皆大於 所 有 0 ，即

則稱0'爲該檢定之最佳拒絕域^6& ^111^1 ！^^!!)，稱此具有'之拒絕域 之 檢 定 爲 ^ ！ ^681 。簡言之，所謂IV！！ 1631即在固定辻之下，具有最大130^^ 或最小13-1^1^之拒絕域的檢定。 1

1

上面的條件要求得其實蠻嚴的。在一般的情形下，我們並不容易看出要 怎樣來找一個好的檢定出來。下面的例子就說明了這件事。

10-29 統計^評譎

^"非〖0不可研究所"

例3.1設從一母體中抽取一個隨機樣本，有以下兩個假設： 8。：【。，8，：『，。這兩個母體的分布見表10.3 。 表10.3

(。和的機率分布

X

1

2

3

4

5

6

7

^(^)

0.01

0.02

0.03

0.05

0.05

0.07

0.79

(^)

0.03

0.09

0.1

0.1

0.2

0.18

0.3

(丄）試寫出所有^ ： 0， 1之拒絕域？ ②在卩)中找出最佳拒絕域？ 解：這樣的題目不易被考到，但我們提它出來主要是闡述假設檢定的概念。 本例題中，因爲只抽了一個隨機樣本，乂工∼化，，其値域由II。及！！, 知爲1，2，一，7

，我們要選一個檢定量是6 ，但這個題目中並沒有9的値

可被估計，因此用直觀看不出應該用怎麼的^ 。但因只有一個樣本乂, 故任何6都是X】的函數，因此，我們就取6：：^ ，也不會錯。故檢定 統計量即用6 = 1 ！ ， 則 拒 絕 域 爲 的 部 分 値 域 〗 ， 也 就 是 說 ， 任 何一個3 ^《1，2，3，4，5，6；7》的子集合都是可能被用作拒絕域的。3的子集 共有2 ：128個，故理論上我們對3。3^111 4^ 有128個不同的檢定。 7

3

1

當然這128個檢定中，有的好有的不好。因爲有0^ = 0.1的條件，我們 明白看出任何在拒絕域裡包括了 「7」的都會有。 0^？【拒絕11。| I！。]

[某一個包括1的子集11。1

^0.79 ^ 0.1 ，在

另一面爲若我們取，需要滿足

則 0 所 代 表 的 檢 定 就 是 一 個 滿 足 " ^ 0.1的檢定(注意到恰巧使上式等於 0.1的拒絕域並不一定容易找出）。

| 10-30 統計學評譎

@00假設檢定

(工)川窮舉法可得下面的表： ^12 3 43 36 4 3 6 5 4 3 2 ^ 12 2 2 5 2 1 1 1 6 5 4 3

5X^13115^6 3631*011『0「 ^ 6 ⑨ 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.05 0.06 0.07 0.08

(^) 0.03 0.09 0.1 0.1

0.2 0.18 0.12 0.13 0.13 0.23 0.22 0.19 0.19 0.29 0.27

(^) 0.97 0.91 0.9 0.9 0.8 0.82 0.88 0.87 0.87 0.77 0.78 0.81 0.81 0.71 0.73

上 面 ， 讀 — 6 0 * 1 0 1 1 1-661011

0，

(^)

34 35 36 45 46 123 124 125 126 134 135 136 145 234 235 (^) ^

1651 ⑨ 0.07 0.08 0.09 0.09 0.10 0.06 0.07 0.08 0.09 0.08 0.09 0.10 0.10 0.09 0.10

(^) 0.2 0.3 0.28 0.3 0.28 22 22 32 30 23 33 31 23 39 39

(^) 0.8 0.7 0.72 0.7 0.72 0.78 0.78 0.68 0.7 0.77 0.67 0.69 0.77 0.71 0.61

| ！！。]"。）^?^ | II」，

(^) ^ 13 ^這是所有滿足1^0 | I！。] 2 0.1的情形。 ② 由 上 表 中 査 出 ？ ^ | I I 」 之 値 最 大 的 一 個 爲 0 = ^ 2 ， 3， 5》其檢定力 ( 口 ^ ^ ^ ) 爲 0 . 3 9 。 這 是 因 爲 0 之 拒 絕 域 是 0 ^ 0.1中@最大(檢定力最 大)之拒絕域。 很 明 白 地 ， 這 樣 的 窮 舉 法 只 要 問 題 裡 略 多 一 點 ， 就 不 好 做 了 。但下 面的結果告訴我們「簡單概度比」就可找到最好的(最強檢定力的)檢定。 至少，對於II。和4都是簡單假設的時候。

非58不可研究所^^1^04^0

：1

三.！\16乂 ^311誦1 63「5011弓I理(！^！-！ |

3

！^!^^^)

設X，， ^，…）。爲來自母體分布爲&; 6〉，其中參數6只有兩個可能的 値：不是9 = 6。就是6 ：…，故令

在給定一顯著水準0^6④乃，則透過下列式子： 入：乙(^&^，…人）：^ 乙(^、…，…∼) 、 必可導出一拒絕域，包含統計量及範圆〈大於或小於），使得

？101 1 1 卜 " 0

則保證仁爲此檢定之最佳拒絕域(即找到IV！？

^滿足條件(化丄)的檢定）。

由前一節我們知道應該取？的値，要儘量使得？[(^ I ！ 。 ] 才 能 得 到 有檢定力的檢定。在實務上，有時不能恰巧得到IX ？【01 I！。]

，因此只能望

，但要使二者的値靠近。

回 到 例 3 . 1 ，我們發現《2， 3， 5》中的三個點，是使得^00/？。 0 0 的 比 値最大的點。因此我們只要把&(劝/&00，乂^1，2，…；7這七個値算一下並排 序，我們就找到了 IV！？ ^

。這當然比窮舉法高明多了 。

例3.2設^,，^，…,：^爲一組來自伯努力分布03(1；！^母體之隨機樣本： (工)求11 ： 口 ： 0

0.5

3^311181； 11^

： 口 0.75之最強力檢定(！！!。^

口0^61^111

^ 6 3 0 ，其中01 = 0.05， 11 = 5 。 (^)求仏(犯型I錯誤之機率），與13 (犯型II錯誤之機率)之値。 ( ^ ^ ' ^ ：^^^^,^, ： ！3-0.1 ，利用中央極限定理求出樣本大小II，使得 01 = 0.05,13 = 0.1 。 ^計學評譎

10-32 |

# 0 0 假 設 檢 定

解：化不難寫出 1 二

0.52^0.5"―艺'乂， 二 0丌52∼25"工乂，

0.5

11

0.25。 ^ 3匸乂'

兩邊取對數，再化簡之，可得 牛

1

-

~10 ？ 3

一

由於，故令最佳拒絕域的形式爲

0

4

二 俗 \ 叫

但仍需求[値，在8。成立的條件下 ∼！3(5； 0.55 1=1

故直接計算，得表10.4 。 表10.4 0

1

1

細75

2 0-1 01 00 0^

？【X ^ 乂] .03125 .15625

二項分配的値 ；1 .3125 ^5

4

5

^15625 .03125 .1875

.03175

故知若^1^ = 5 ， 則 ？ 1 : 2 X ^ 1 ^ = 0.03125 ^ 0 . 0 5 ；但若取1^=4 ， 則 有 ？ ^ ] X ； ^ ^ 1 = 0.1875 ^0.05 ，不合（化'二 3,2,1等當然更不合）。 而1^ = 5是我們的答案。 故0'爲最佳拒絕域，即爲IV！？化"。 此處3

0.03125

^不恰蔷於0.05敌更巖謹的講法中^可用「隨檄化」

的^法』使所得乏檢定的型I錄差恰著於0.05。 ^法如下：^為1^=5 畤錄盖不夠(。力^口^) ， 1 = 4 畤 ^ 差 ^ 多 化 比 ？ ^ ) 敌 我 們 ^ 外 用 一 個 ！^①,》的随椽實敌再決定何畤用1^=5 ，何畤用1^=4 。

| 10-33 I

-非〖II不可研究所"

設I；∼8(0,1〉 ^敌在11^1'畤'則用！；、 5 ，而在II 2 1'畤'則用化'^ 4 。 固為？(！；^力^ ！"'故 ？[拒银丑。I ！^] 二？[拒絕II。 ，1；〉？ | 8】十？【拒枧！1，1；^1， | I！。] 0

二！^X；

5

5,1；"'

0

| ^ +巧：^

2： 4,1；"' | ？1】 0

二 0.31251-十0.1875(1 ― ！") ^ 0.05 由此可解出1-^0.88 。 懊拮一下^

"上的「隨機化」之後的檢定步驟急下：

① 呼叫一個標準亂數1)0^0,1】乏中）。 ② 若 I I 5 0.88】则在2 乂； 2 5畤拒悒8。。 ；

③ 若 I I 〉 0.88 ^则在^^乂； 2 4畤拒绝8。。 "上乏(随機化之後的)檢定其型I錄盖恰著於0.05 ，而且逭是所唷型I 鍈差不趁過0.05的檢定中』1)0^1"(检定力)最強的一種問。 上面的説法是^！-？

3|理的正確做法，但一般的喑理學院是^不到逭樣

^的。應老生不可不寮。 (巧直接計算可得 仏 ^ ？[^^； 2 5 | 0 二 0 . 5 】 ^ 0.5^ 二 0.03125 & 二1一 ^^！]X； ^ ' 口 二 0.751 = 1 — 0.755 ^ 0.7627 5

③ 若 將 ！ ^ 改 爲 ^ ：！) 二 0.1而!!未定，貝I】 0.05 ^ [ ^ ； 〉 让 | 13 = 0.051

^ 1

- 0.511 1.5—11

^它的理由是，它將所給的

10-34 | |统^

0

1 . - 0 . 511 70.2511

^1105全邹沒有浪货地用掉

#1-0

1^-0.511 70.2511

假設檢定

利用2-表，可査出 1^-0.511

^ 1.645 ^

? (！^ )

70.2511 但我們又有

7(0.1

1=1

-0.1。

1^-0.511

0.9)11

」0.2511

，力-0.111、 ^0.0911

利用2-表，可查出 1^-0.111 二

一

1.285 ^

(仂汜）

^0.0911

聯立解1:10.7)^(10.8)^11 = 221.426 ，取11 = 2 2 2 便 好 。

例3.3 \^11；11

1^61

X ， 了 ，…，V。 2

1)6 3 1*311010111 531111316 6*0111 3 1101111&!

(！！^北！^!。!！.

111110101^11 016311 |1 311(1 ^31*131106 1. 1^111(1 1？16 01081； 150\^61^111 1^81；

81^111&031106

16^61

06 &1~

^5^1115

： ^1 ^ ^

0

3^311181；

11^

： ！ ^ ； ! " ^

〈

^

0

〉國

^ 、 ^ 〖 0 解：：^^：③^^^乂^ 乙∼） 111^^ 7

6^

~

^ 001181:3111； X 6 -

~ 001181:3111； X 6

-

―

^化

在最後的不等式處取對數，再化簡，可得 (^^

-

丫〖5 001131；&III；

| 10-35 |

非;II不可研究所統計學評論

因爲|^ ^；蚪。上式相當於7^0011513111； 根攄:^6^11311 ？631-8011 1611111^知0 ^ ^ 〈化'1 〔其中!^値需要被所給的 06値決定〉爲所求的111081； ^0\^61：^1 1681 。 "上的計真乃是裉據^-？ 3|理的推導'同學們慠多3之後可"省去不少苻 號'關鍵在我們可"省去不少的章數的計算。這是I！]急「2x^3 〈其章數」和「乂〈 甚章數」，如果^章數是最後一步才決定的話』其實是一面事。我們反正要在最 後的一步靠06来決定玆章數的值。這禋唯一所用到的關鍵是2〉0 ，而遑在俞面 的推導裡^當於^-内^0 。 逭^步驟中』我們的重點是其中可省掉很多實質計真。

四.概度比檢定(狀㊀叱。。。「3110 ^ 6 5 1 ； 簡 稱 1 6 1650 前面的"-?引理是可導出簡單的8。及簡單的！！，之下的最具檢定力檢 定。但此種情形實務上並不多見，我們說！^-：?引理，主要是它的精確地暗示 了可由「兩個概度函數的比」導出合理的假設檢定。 下面的1^-^81；就是延續在這個想法之下的一般求檢定的方式，它的架 構非常像^-！ 1631；但應用的範圍則要廣得多，因爲它涵蓋得廣，我們除了在 1

特殊條件之下才知道它的小樣本性質。一般情形之下都只有大樣本性質。 實務上說，在合理(！丄.，不病態)的條件下的1仏檢定都相當好，因此它 可稱是一帖求合理檢定的萬靈藥。 設乂^，义^…，乂。來自母體分布^1 6〉，其中參數0的範圆爲0 ，考慮假 設15。 ： ^ ^ ^ 丄 8 。 ： ^ ^ ^ ， 其 中 ， 0 。 。 ^ ^ 0 ，令^爲3。成立 下 ； 6 之 ] ； ^,,爲0在沒有限制的情形下的。考慮

1 10-36 | 統計學評譎

#0#假設檢定

八二

！^一，…,、）^ 1X8』；乂】^，…∼）

如果5足！)-維向量，[尺檢定是最重要的結果是，下面的近似分布是可以用 的： -21^^八∼'〃（？） 因 此 我 們 可 以 利 用 上 式 導 出 一 拒 絕 域 0 ，它包含統計量及其範園，使得 ？^0 I I！。] ^ ，則稱具有此檢定爲概似比檢定(！^化^)。

例3.4考慮以下的對數概度函數(！。"汍61111003 ^！!^。!!）： ！,^!,^^^ )^"![！0^(271(7-)] 2

20：

1=1

" " ― 1

其中2 的觀察値2，爲觀察値，II爲觀察値的数目。 ；

(工)請計算^，4 和―的最大概似估計量(！^^：)。 2

請說明如何檢定？ 解：我們先在^ ， & ^ 完 全 不 加 限 制 時 的 。 對 這 些 參 數 分 別 取 偏 微 分 2

令它們爲0，得到 ^ 二 1 9^！

^ ^ 2

一

2^

二 1 ― 2。

二0 2

1 =1

二0 2

1=1^+1

乩

II

30

20

2

，

2

1 2

， | I

1=11 + 1

我們將以上三式聯立求解，得到

| 10-37 |

-非18不可研究所

1^2 ^

0

1 ^

II 一 ! ^ 1 + 1^ + 1

~ ― II

1 + 11 + 1

1=1

以上是在各參數都沒有限制時的3\1！^ 。 現 在 考 慮 I I 。 之 下 。 此 時 11^^^^ ，而對數概度函(化^^！^止^^^^！！&化！!)數變成

2

2 ^

1=1

現在分別對4和？做偏微分，經過聯立求解，得到在！^的限制下的]^二5： 如下：

^丄夕2；

根據^的做法，我們要求出 ^ 0 的範圍，而這就是我們要算的-化"的拒絕域。將前面求出的^， ^,, 分別代入並一步一步化簡，在運算的過程中注意到「常數可以合併，不 必細算」，可以得到初步的拒絕域是 ！ ！ , - " " ! ！ " ^ 〉

2 ：1：1

好一點的考生可以做到此處，再向下還能做出的考生就少了 。這一題對 台大經硏所雖難了一點，但還說得過去；若圖書館所要考就十分離譜了 。 | 10-38 | 統計學評譎

假設檢定

上式的分母中請注意到，如果令1 = 1^/11 ，則有 |1 二 砵 ' " + ( ^ - ^ ) ^

2

因此

1=1

二力2；

― ^

-(1-^^ ]

2

2

1=1

= ^ [ 7

1

^

- ^ + ( 1 - ^ ― ^ 〉】2十力2^ ― | 1

十 ―^ ^

2

1=4 + 1

上面的最後一個等式用了 ^ 及 " 的 定 義

1 1 8 1

。

有了以上的式子才可看出 〈化'

(二2 - ( ^ ) :

相當於

1 分 子 中 的 、 - " ∼ ∼ 0 ， ^+―V 1； 11-

在丑。之下

，而分母中

乓！^2'-；丫 "-、-1》

意思是：！]!^ ; 2

^ ！

2

.^

^

-

^

，故交叉項為0 。

10-39 統計學誶篛

非^不可研究所統計學評論

1=1^+1

故丁,在適當的乘上一些常數之後，分布是&,。一 所謂「適當乘上一些常 2

數」意指，若令 丁̶

則1∼巧,。一

2

"！！̶^(！！ ̶2)0^ ― " )

2

，而！^-檢定在？2&時拒絕II。。這問題是靠死工夫硬做

是可以的，但最後要看出7分布需要一點程度。

10.4母體變異數、母體平均數及母體比例 之假設檢定 這一節表面上花樣繁多，其實骨子裡十分簡單。關於^， 一的部分，當然 要假設母體是常態，這時，我們總是要用^1 = 5

，因爲這是最好的估計値。

關於^ ，我們在已知^^時，當然用^-丄；^"，^-^) II

2

；在不知道

1 - 1

^的値時，當然要用 ^

^ ； ! ^ — 义 )

2

因爲它也是差不多最好的對？估計量。這裡唯一要注意的是自由度因用了

X

的原故變成11-1 。

關於的問題，當然要假設母體是二項分布。這時，當然還是用X來估 計！）。這裡沒有一，你只要記得^^(乂）：!!!)"-!))就差不多了 。

| 10-40 統計^評論

^

#

0

^

假

設

檢

定

(一)一個常態母體下，母體變異數一之假設檢定 關於數據的假設是： 、，乂^…人∼"(！称。 ) 2

我們討論一個情形，其它的請自己去猜一下。 設 8 。 ： 0 ^ ^ ， 1 ^ ： 一 ^ ^ 。這是一個雙尾檢定。我們當然會用 2

丁 二丄〈X〗一又)

2

1=1

(除不除以11-1其實不要緊啦），而在I很大或很小時拒絕8。。故 0 ^ (了 ^ ^ , ^ ^ ^ ^ ! 是 一 個 典 型 的 拒 絕 域 。 如 何 決 定 ( ^ 這 兩 個 値 ？ —般的辦法是「各管一半的0^」。意思是說，我們取(^， (^是靠 ？[！

1

！^]

[？^| ^ ] ^ ^

這兩個條件来算的。只要你記得住！7一∼^(！！-1〉，就應該可以了 。 這裡面的小變化，不出乎「給你4 = 4。的値」或者「單尾」。關於 前者，你用

並多給一個自由度就好。對於後者，你當然「只做一半」，而將半個 的地方改成一個01便好。 例4.1某廠牌生產罐裝汽水，我們在線上隨機抽出10瓶，重殳分別爲 350， 355， 353， 354， 348， 360， 345， 358， 355， 3 5 6 ⑨

假設罐裝汽水之重量爲常態分布。 (丄)試求罐裝汽水重量變異數之95^信賴區問。 (^)該廠設定若變異數超過25則須停線，試川江^ 0.05檢定是否該停線？

| 10-41

^—非琅不可研究所^^"^^冑

解 ： 設 汽 水 量 分 布 爲 ^ ^ ， ( ！ ) ^ 爲 母 體 變 異 數 ， 1 1 = 10， 5 = 353.4， 2

2

3 = 4.575 。 之957。信頼區間爲： ，

！ ( ！ -1)82

(！！-！)^

2

經査附表？分布，：孤0 0

2

：

17.54 ，：.^》）：2.7 ，代入上式得

6【10.74， 69，77^爲口 之95。4信賴區間。 2

檢定部份，假設是 而這當然在3 大的時候拒絕II。。我們又知道，在II。成立時， 2

^ 我們査出^。

5

^

!

" 、 - ^ ？ ⑨

^ 16.919 ， 又 可 直 接 計 算 出 ^ 八 1 0 - 1 ) 4 . 5 7 ^ 〃 5 ：

7.535 ，這比16.919要小得多，所以接受0。。 結論：此組资料並不足以要求停線生產。 (二) 一 個 母 體 的 母 體 平 均 數 之 假 設 檢 定 数據是：X， 11^ ^

^

！

^

^

-

^

。對於這樣的問題，你只要

記得原則，就應該會做。基本上你要用X來估計^ 。 如果一的値是知道的，那麼就不必試著去估計它，直接用X ，當 然，你得要將它化成「在II。成立是恰好是^①^)」的形式。這樣做的 目的是可以直接便可查1表。 如果一的値是不知道的，那麼就當然要試著去估計它，我們兩8 便好。我們仍然用X來估計^ ， ( ！ ^

10-42 |

2

這裡面多了一個不知道値的？。因爲這樣，我們便不能直接查2-表， 而會用

3

來 做 檢 定 ^ 。分子的主要部分^是估計^

，其它的小變化，是使它的分

布在II。成立時恰好是1^(0， 一）。分母則是拿來估計0用的。這樣所造 出來的丁的分布，恰好是一個自由度爲1^-1的!;-分布，我們也可以用 査表來找出臨界値。 至於用雙尾、單尾等，都應該從題意中看出來。 如果II 2 30 ， 一般的6表就可能不列出來了

。此時可假設((^)直

接査1表便好【^。

例4.2 1116813 ^ 6

1^61：

II。

：

01111031

1116 (！！瓧！^！！！：^！！^^乂 1)6

11 = 715

3^311131；

！^^。！！

1)6 (！^&116(1 6乂

^(^！,

1 4 0 ^ ^ ^0 4681； ^ 6 111111

1116 311:61*1131:1^6 117^01116818 0

二《X

〈

668.941

，

！！, ：|^〈715，

^1161*6 X

13

161

1116

831111)16 1116&11 0？ 831111)16 8126 11 二 25 861601:6(1 31 1*311(10111 ^ ( ！ ) \^1131； 18 4:116 81^111&031106 16^61 0【11113 1681；？ ( ^ ) \^1131； 18 ^0111， 0011011181011 1181112

( 刁 ) & I

&110^111^ 2 5 0 1 3 8 6 ^ 3 1 1 0 I I

535

710 573 661 421 664 657 732

714

653 934 874 761 791 744 7 2 1

849

537 567 602 468 975

0【X？

18 1：116 3^151*0X111131:6 ^ ^ 3 1 1 1 6 0 『 ^ 1 5 1651；？

【 1很多爛書會告訴你 1 9

0

2 30就是大樣本，這是胡說。如果每一個X，

~

^ ^ ^ ) ， 那

麼在II 2 30睥，前面的丁才差不多滿足？∼^卬，：^)。但對於別的分布，誰知道？

10-43

非18不可研究所統^學評諭

解：這是一個略經變化後的問題。但前面的原則還是有用。因爲一 ^140

：

算是已知的，我們用1來做本檢定的基本量。而在II。成立時， 140

0

卿'！)

憑這一點，我們就夠了 。 0： ： ？[！-6360111 | 8 。 】 ^ 0

^ 668.941 I！。]

^ ( 义 - 715^ 〈 ^ 6 6 8 . 9 4 - 7 1 5 〉 ^

我

"

140

140

140

二 I ^ - 1 . 6 4 5 】 二 0.05 這是的答案。現在我們來算^^11^ 口―^116 二^

13 ―^715,0=1-10 一

^01

^ 667.921

： 715， 。 ： 140】

― 715〉 5(667.92 ― 715〉 ！ ， ， 1 |1 1 75 140 140 ：

^ ^ 2 ^ - 1 . 6 8 1 = 0.0465 這是^的答案。回過來問(^)，因爲口-^1116小於0^ ^ 0.05 「所實測到的5値太小」。因爲1^是「|1：^715」的形式

(就足以拒

絕！V 在一般的假設檢定中，鄱有一個檢定量丁 "及它的「^向」

-觀測到的

丁。大的時候棄卻8 呢邃是丁。小的畤候拒俋8。？像本题』它小的 0

畤候拒悒8。而我們觀綮到？。 ^^^69172我們就耍問如果丑。為真那我 們看到1^699.72的機會是多少呢？計其一下就是所謂9-^1116。目的許 多軟餹都會^1動將？^1116計真並印在雜表上。只要？)々"^?小於"，就 可^拒^

10-44 統計學評篛

11。。

# 0 # 假 設 檢 定

例4.3 ^ 1*3111(10111 8&1111)16 0【25

&88611561：8 ^ 3 8 8 6 1 6 0 ^ ( 1 &0111 81卩。!^&诅011

0〖1)388611861*8 011 3 ' ？ ^ ^ ! 1；0 0 1 1 1 3 - ^ 1 3 6 1 1 6 8 0 ^ ^ ！ ^ ^ .

10^^%^)=

X 01168111 ^61^111； 0 ^

43.5 1)01111(18 8111(1 3 = 6 口 。 ! ！ ! ^ . ((^ 二 0.05 〉

(工)18 1116 1116&11 \^61811^ 0^

& 815111602111*17 1 6 8 8 1：11311 45》01111(18？

( ^ ) ^1*11:6 1：116 &8811111^10118 111 0011^6X4？

解：我們先得回答②。我們當然要假設^^；^…，乂幼11(1 ^ ^ ^

2

) ，

意思是說：行李重量服從常態分布。 再回頭回答。我們知道 X 二 43,5， 8 ^ 6 I I ^ 25 9

這時因只有8的値而未提0的値，當然題目等於是假設0未知。我們要 用I檢定。 [ ^ ( 冗 - ^ ) 二 5(145〉 8 6 而 在 7 的 値 小 的 時 候 拒 絕 I I 。 。 査 出 ！ ； 。 ^ 。 ^ : 1.711 。故必需 ？ 〈 -1.711時才能拒絕II。。實測的？値是 释 一 4 5 ) ^ 2 5 〉 ， 6 0

所以接受II。 。 1 . 6 . ， 在 ^ 0.05的水準下，行李的平均重量沒有顯著低於45 磅。 台 北 嘉 義 是 國 肉 航 镍 ' 多 半 的 人 是 不 交 運 行 孝 的 ' 怎 會 年 均 4 5 磅 。 再 説 國肉也是用「公斤」的。要镦本土化的工作，也要擻底一點痳！精一下這 是哪個學校的老古题。

剛因為如果不是這樣，恐怕大家都做不出來。何沉，告訴你X

， 3這些東西是做甚

麼用的？這是「考試心理學」，有時也有用。

10-45

非調不可研究所統計學評論

例4.4

0 1 1 81111(1&7，8 116^8^9|361\ I 5 3 \ ^ 3 1&1*^6 311^ 61*11131^6！； 3

1^156 ~

^ ^ 0 ^ 乂0111， ^！01117 51101)^111^ 111 011『1^1306， 311(1

！！^!!!； 33乂

16七

^011 0^60^： 0111； 111 9 11^1111七68"- I \ ^ 3 3 乂61，乂 0111：10118 311(1 85)6111； 86^61：&1 ^10111：8 1*311(1011117 001160^111^ 3 3& 1111)16 0〖30 。 " ^ 。 ！ ) ! ^ ! " ^111011 1)1-0(11106(1 & ！]16311

七1x1168 0.1 0011111618^

0『9.8 31311^13"(！ ^6^1&1；1011 0 ^ 2.5 ！^!!!^^^.

06 ^ 0 . 0 5 ， 5)16356 116！^) 1116七0 0011！]3161；6 11118 117^0^116313 1631； 118111^ ( ！ ) 01-11:10^1 ^31116 &^1：03011^ (^) ^ ^ 3 1 1 1 6 & 卯

解：這問題的最大問題是：要用甚麼分布來做。因爲一般講到^&^^ 111^6 這些分布，用常態是較少

時，多半會用6X^)0116111:131， \\^6化1111，

的。但這個題目裡從沒有暗示過這些分布，而且沒有給我們各單,的觀 測値，又告訴我們文，8這些量，因此較好的辦法是「不要想得太多」， 用常態做就好。這當然是一個假設？未知的情形，所以我們用檢定。 已知II ^ 30， X ^ 9.8， 8 ： 22.5 。我們要在

^ ^ ^ 。 。 ^ ― 》 時拒絕8。 7^8。代入一算，可得 1

1

0

9

、

錄

8

-

、

丽

2

2.5

3

同時，可查到、。5(29)^2。。 ^ 1.699127 ，所以拒絕3。。這是山"讣止" 5

^ 1 口 6 ^1)1-03011的答案。廣告有誇大其實之嫌。

9-^1116叩^03化基本上沒有多大不同。前面已算出實測的丁。値是

1.752712 ，因此 ？

一 ^^1116 ^ ？[？ 〉 1 1 ^ ？[！ 〉 1.752712】二 0.04510958 〈 0.05 0

1

故根據9-^1116法則^我們也應拒絕佶果同黹。

| 10-46 ！ 統計學誶譎

# 0 @ 假 設 檢 定

？

^1116檢定法則：！這樣的：當

？

^1116^01畤則拒铯II。；當

！)-^1X16 XX時則摟煢II。。這個檢定的顯豸氷準：101 。要注棄、的是'計

其1)^^1116

^要沿著4的^向。

例4.5 八1:6161)110116 001111)8117 01&1018 1^1^ 1^16 11165111 ^111:31:1011 0〖&11 10X15.(1181:211106 1)110116 0^118 11181(16 ^ 1^8 1*681(16111:1211 01181011161：8 18 10 111111111；68^八1*311(10111

8211111)16 0 ^ 100 ^！！^-^^！&！!^^ 081118

11181(16 ！)乂 1*8

1681(16111:131 01181)011161*3 1 ^ 6 1 1 6*0111 1116 1*6(501(18 0 ^ 001111)^117 8 1 1 0 ^ 6 ( 1 4116 11162111 (！化&！;1。11 0 ^ 0&118 111 41118 8&1111)16 18 9.0 11111111^8

& 81:311(131^

36^15^1011 0【5.2 111111111；68， (！) 1^111(1 1：116 1^-^811116 &1： 4116七681： 111^ ^1\6 11168111 (！"1*31:1011 0 ^ &11 1 0 1 1 ^ 0118^811106 0&118 18 1 6 8 8 1112111 1 0 111111111：68

1

(^) 1^

0

1

^0

， 1)386(1 011 1：116 ？^811116 03101113*6(1 111 ^800^ (！), ^0111(1

1 6 3 6 0 1 1116 111111 117^01:116818？ (^)

V

06 二 0.05， 13&86(1 011七116 ^ ^ 3 1 1 1 6 0310111211:6(1 111

&1*1；(工),^0111(1 乂011

1*6^601： 1；116 111111 11^)0*116818？ 解：因爲11」100

，假不假設常態分布已無所謂，因爲最後一定是去查1表。

已 知 文 ^ 9， 8 = 5.32， 11 = 100 。 ①110:^^10,^:^^10

^我們當然在X大的時候拒絕11 。 0

口 一 ^ 1 1 1 6 二 1 ^ 〉 9 | 4 = 10】 二

？

7155(5 - 1 0 、 7100(9 ~ 1 0 4 = 10 5.2

5.2

二 ？^2 〉 -1.923〗二 0.973 對 於 這 樣 大 的 9 ^ 3 1 1 1 6 ， 3。是怎樣都不會被拒絕的。這題的②③兩部分 的答案都是不能拒絕。 這趙目的卩)似孚是槁錯3 。若改4卞111(1 1116 ？^^116 & ! ' 1^6 4681

1116

10-47

^"非^不可研究所

統計學評論

1116&II ^111^1；1011 0『&11

# 0 #

1011^ 4118^1106 0&118 13 ^1*6&(；^!' 111&11 10 III111III；6^

趙目荅棄的燮化就多3 。 （！)為逭樣一束》13-^1116就燮成0.0272352 。 三)母體比例卩之假設檢定 如沒有特別說明提到「母體比例」時都是假想母體中的量結果是只 有兩種可能的：例如：成功、失敗；或者合格、不合格。因此，二項分 布幾乎是唯一的可能用到的模型〈除非是「不置回抽樣」〕。我們仍然用 5 來 估 計 9 ，但這樣的一個問題裡沒有一個自然的？ 一 一 我 們 得 用 11^(1 "！))因爲這是]0(11； ！))的變異數。小樣本時，査二項分布的表或者硬 算；大樣本時用近似的常態分布來做便好。雙邊或單邊，並不產生新的 問題。 條件：設乂,；,，…；，∼11(1 15(1；，且II夠大。在這樣的條件下

總是近似地成立。在對8。 ^ 二 9。時，我們會用 ^ ( 又 - 口 。 )

來做檢定量。其它的運作，和常態的原則一樣，只是更簡單些。舉一個 例子就明白。 例4.6抽樣調査台中巿100戶，結果有25戶空屋。 (工）求台中市空屋率95^信賴區間。 (^)是否有證攄說台中市空屋率超過207。，爲什麼？ （"： 0.05 〉 解：設乂^，乂^…，乂。 11^ 1^(1；，其中9爲空屋率。題目告訴我們6 = 0.25

| 10-48 |

。

^

罾

議

我們將問題變成8。 ： 2 =

？

，

5 0.2， 1^ ： 9 ^ 0.2 。這時我們當然要用

^ ^ , ( 0 ， 丄 ） ^0.2x0.8

而在2 〉 1.645時拒絕II。。，測的 厕 ^

5

一 0 1

1

2

5

〈

1

9

6

^0.2x0.8 所 以 接 受 8 。 。1^，在06 = 0.05的水準下，台中市空屋率並無顯著超 過20 几。 0

例4.7根據一假說在全國大選中，男性投票數高於女性，做一調查後發 現抽樣300人有165人是男性，根據以上數據，能否說男性投票數高於女 性？請解釋〈請用顯著水準0^ = 0.05〉。 解：設！）爲全部投票數中男性所佔之比例，^ ^ 165/300 ^ 0.55 。我們的問 題可化爲檢定9。 ： 9 ^ 0.5，

： 13 ^ 0.5 。仍然用

計 算 可 得 ， 實 測 的 2 値 是 2 。 ^ 1.732 ^1.645 ， 所 以 拒 絕 8 。

。

1.6.，在

^ ^ 0.05水準下，男性支票數顯著高於女性之^數。 (四）二個獨立常態母體體變異數相等之假設檢定 這類的問題，所給的数據分爲兩組： X； ~ 113 ^[(^，（^)， 1 = 1,2，…，！11 丫』∼^^((^,^)'：^：^,…，!！ 而3。

：^!^或者類似的單邊假設）。我們^下面的例子來說明一般的

做法。

1 10-49 1

^"非^不可研究所"

例4.8兩種預測股價模式，其股價預測變異數如表10.5 ： 表10.5兩種預測模式 模式 8

樣本大小

樣本變異數

31

25

25

12

用 " ^ 0 . 1 ，分母自由度30，分子自由度24，

3 0 = 1.89 ，分母自

由 度 2 4 、 分 子 自 由 度 3 0 ， ^。^(？, 2 4 ) ^ 1 . 9 4 ，檢定二母體變異數是否相 等？(請列出計算內容） 解：這問题雖然沒有說，但是你非得假設 ^ - ^ ^ ^ ^ - ^ , ^ ) 不可。因爲否則你便不能做。這是「考試看題」，和學問無關。我們在 檢定

一個直觀的想法是：如果8。成立，那麼

58

因此上面的7値太大或太小都讓我們懷疑II。。同時，在II。成立時， ？∼？X、 - 1 ， 1 1 -》，這些條件便足夠讓我們做這一題了 。 6

我們在？^ ^ 或 者 ？ ^ 0 時拒絕8。。取^使得？[卩》0,1 9 1 ^ 0.05便 2

0

好 。 但 我 們 知 道 ？ 〉 ？。.05(30， 24X1 二 ？ 〉 1-943 二 0.05 ，所以 ^ ^1.94 。同理，取&使得？[！^ 一 I！。] ^0，05便好。但我們知道 1 1 1 1 1

8|

I I

3

| 10-50 | ^ 曜 ^

假設撿定

〉―

〉 1.893

^ ？ ^ 2 4 ^ 30〉 所 以 我 們 知 道 1 . 8 9 = 1 / 0 2 ，故0 ？ 〈

2

^ 1/1.89 = 0.53

？0 0 5 ( 2 4 , 3 0 ) 3 ^ ？ 〈 1 . 8 9 】 ^ 0 . 0 5

値是？。 ^ 2 5 / 1 2 ^

2.083

。

，所以：

〉 1.89所以拒絕！！。 。

1.89

。而實測的7

1.6.，在01 ^ 0.1的水準下，

本趙的重點所在^是在！^!!!,!!)^：^^!!，!!!）逭個關於？兮布的公式。它^ 是老你知不知遺它^怎麼用，如此而已。

例4.9

8111)1)086

4116 ^0110\^1115 111^01:11121*1011 18 3^311&1)16【01： 4 ^ 0

^10111)8： ^ 10， 8？ 二 13.7， 11 (工)8111)1)086

&1；

0 ^ 81&111&081106

2

二 10， 8^ 二 1 6 . 9

^3111:6(1 ^0 1)61&1111 3 0116-1：&116(11；681 ^ 9

^11811； 18 1116 ！！^^^！：-！&116(1 01^*10811 乂811\16 0 ^ ^116 ？

813^18110 ^0 (！^^！！！丄!^ 1^ 1；1161：6 18 6^1(161106 (202.98

(&)3.14

03)3.18

(^) 8111)1)086

1116 0.05 16乂61

0^

〈^？

( ^ ) ! ^ ! ^ 0 1 6 &1x^6

^ 6 ^811*6(1 ^0 1)61^01:111 81 0116-1&116(1 1681 ^

4116 0.05 16^61

。5 81^1116031106 ^ & 1 ： 18 1116 1。\^61^211164 0 ^ 1 0 3 1

0^ 1116 ？~1：681；

7

0^ 〉

8*3^18^10 40 ^6*61:1111116 1^ 41161*6 18 6 ^ ( 1 6 1 1 0 6 ( & ) 0 . 3 3 6 嫩 3 1 4

(^)

(。川^耵摩^"

18 1：116 00116(161106丄111；61^1

(&)^269^

3.72〉

( ^ ) ) ^ ^ ,

4.03〉

？

(^)腿6 0 1 6

0 ^ 468*1115

^ 6

（^)(0.253， 3 . 9 6 〉

(斗)01^611 4116 1116)1:1113*1011 &1)0^6 011681:1011 (！),

111111 1151301；116818

(&)^226^

4.43〉

00110111810118 08111 1)6

10-51

4一非88不可研究所統計學評論

1113(16？ (&) 1163604七116 1171)01:116818 111 ^11681：1011③

(！)) 1163601；七116 1151301；116818 111 ^1168^1011 (丄) 1163601； 1：116 115^)0^116818 111 ^1168^1011 ( ^ ) ((！) 0 0 1101163604 &11 1^16 8^)0^6 115^)0^116813 (^) ^ 0 1 1 6 05*116 &1)0^6 ，

解：各小題的答案如下，我們就不細做了 。 ^ 1 1 6 8*1011

^118^61：

(！)

6

②

6

(①

6

④

(！

(五)二個常態母體的二母體平均數相等之假設檢定 條件是，有了下面兩組數據： 乂 ^ 广 乂 ∼ 週 ^ ， ^ )

而我們要檢定 ^0

^ ^ 2 ^ 1 ：！^乒^2

逭一部兮的問趙，其贲不應拔老，（！)為這是唷名的難，叫傲 巧81161：問题。難的理由是：數學上可"證明不^態的關於II。的精確撿定， 並不存在。易言之，所有敖牟上所拔的解都不是精確的解。 在儼設0？

^畤當然問趙不犬。唷塋敖本告訴你不妨先檢定0？ 二 ^

是 否 成 立 ？ 如 果 成 立 就 用 「 合 併 ^ 口 '再估計口」的慠法。這看起 來似孚合理，而且你老試時也不妨用^但基岑上我們其贲並不知遺逭樣傲

10-52

# 0 # 假 設 檢 定

是不是對 簡單地说'用合饼0，3的慠法就是蔷於假詨07『成鱼(先嫩一 1

僩^檢定云云，並無根據'但二流的^II有畤只唷用二流的手设^對付。〉 若不能假設0^=0，'賁用上玟可行的是用\^61凸所導出的6撿定。 這；！近似检定，但曾被^)當仔细地研究逸'在01 = 4 , 1 1 = 8 及 1 1 1 的時候；它^稱的值還^當準。你若是會用^6^11檢定

1

= 11 =

6

^度就柏當不

们 。 ^61011

檢定的檢定量為1：2

1

它的兮布是I兮布^但它的自由度

卻是一個隨機量1求？和！^的公式是： 乂―V

其中II ^ 1 1 ^ / ( 1 1 1 ^ 〉。在實喙運作睹所求出的自由度不一定是正^數'0此 除非^唷一台？0 (或一個極好的^孑計真器）；在老碭上是很難用上^^(^ 的I检定的，如果真老:？；你2^用四捨五入^笙數自由度。 例4.10某會計部門分析兩個生產線每週單位損益報告的平均数與變異 數，今從兩個生產線各抽取16個週單位損益値並報告其平均數分別爲40 和50 ，其變異數分別爲2.3和5.4 。 (工)在顯著水準爲107。之下，此樣本可說明這兩個生產線每週單位損益報告 的變異數是不同的嗎？ (巧在顯著水準爲57。之下，此樣本可說明這兩個生產線每週單位損益報告的 平均數是不同的嗎？ 解：我們假設兩條生產線的週損益，都是常態。關於比較&8是否相等，我 們 當 然 要 用 ？ ^ ^ ^ / ^ 來 做 檢 定 ^ 。 這 是 7 分 布 ， 自 由 度 是 1 5 , 1 5 。因 | 10-53

非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ ， ,

爲？ 。―。5(15， 1 5 ) ^ 2 . 4 ， 故 一 個 0 ^ 1 0 ^ 的 檢 定 ， 我 們 要 在 1 ^ 2 . 4 或 1

^^1/2.4

^0，4167時拒絕II。(雙尾〉。實測的？。 ^ 2.3/5.4 ^ 0.426恰

在0.4167， 2.4之間，故不能拒絕8。。所以^答案是：在^ 二 0.1的水 準下，此兩個生產線每週單位損益報告之變異數式沒有顯著差異的。 關於(^)，我們的問題是： 8。

^ ^

2

3 1

此處因爲不知道是否有&

，故認眞做的話，便需要用到^6^11

^631：。這時便是你要發揮考場智慧的關鏈。你基本上要靠先判斷這個硏 究所的性質，再決定怎麼回答。如果是理工要求高的，你至少要提一下 \^61011 163^做法，然後說考場無好電腦，所以不能實做。以目前這一題 來看，他已先讓你接受了 ^

，出題人的意思是大概是「從此你可

以假設∼^ 0 二 0 」 。 2

此時我們可用 8

二

111+11-2

來估計這公有的：。我們當然要從& - ^ 出 發 ， 這 在 & 二 ^ 時 這 2

！^0，八 〉其中 2

八 ^ ―+ ― 2

111

II

而我們可以用 人 ^ 2

丄丄 111

II

(！！! 一 1 ) 8 ^ 十 & ― 1)8， 111+11-2

來估計-义 的變異。因此如我們用 2

^1

1(111十11 ― ！)

VI 就對了

| 10-54 | 統計孥評譎

假設檢定

- 下 ， 8 一 ^ 3.85,7。

14.42 ，而I；。怖①。）^ 2.042 ，所以要

拒絕第二個8。。結論：在的水準下，此兩個生產線每週單位損 益報告之平均數有顯著差異。 本鲍希望你先棲袅∼二…再撿定^ 二|1 是否成立。其^研究所會老遠樣 2

的趙目^地們"^這樣慠是對的1但好一點的研究所就不會老。

例4.11

X理論和X理論是管理控制的重要理論，^公司總經理爲了解何

種理論較有效，隨機選擇了 1 6 位 員 工 分 成 I 、 I I 組 ， 其 中 I 組 施 以 X 理 論 的環境；II組給予V理論的環境，然在年終給予員工績效評分如表10.6所 (丄)檢定兩種管理方式之效果有否差異？ 〈2：！建立^ -&之957。信賴區間。 表10.6兩種理論 1

2

3

4

5

6

7

8

11163.11

8丄

I

86

82

84

83

84

83

85

87

84.25

2.786

II

83

81

84

72

79

85

78

86

84.81 21.143

解：這問題和前一題架搆是一樣的。不同的是，在檢驗這兩個0是否相等時， 我們拒絕丑。，導致後面非用^61(311 ^681；不可。前一半的計算我們就省 去了，只說實測的7値是？^。 ^2.786/21.143 = 0.132 ，而算出的拒絕域 是（^，(^) ^1 ^ ^ 2

0(4.99，①），的自由度是(？门。所以拒絕孖 ，認定 0

0

再看如何檢定8。

我們仍用

丁二 〔^！十、 111

II

| 10-55 |

#0#

非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ , ,

而 ^ 8

2 2、

2 1十 2

2.786

8

21.143

― 十

^

6^

1 1

8 2.786 8 7

^

2

十

8 21.143 8 7

^ 8.813 ^ 9 而實測的I。 ^ 1.879代入計算便好。因爲、德⑨^ 2 . 2 6 2 故 接 受 8 。 0

結論：在0^ = 0.05的水準下，兩種理論管理方式之效果顯著差異。 \^61011撿定'其可用性唷一部^来自它的自由度可不^是正整數'此處用 四捨五入就必'然削减3界6化11 6检复的價值。遠就是我谕靣说的「老場不 直」的遺理，固為你雖然黹半智力丟做，但最後邃是要鸟鸟虎虎。 (力利用^之結果認定∼，故不能合併4,8，，我們只能直接來看 II

111 而我們只能寄望於 2 &

2

―&土【0.025(9)^^ + 1 V 111 11

代入各値，最後算出的是[-0.6621,7.1321】^^ -

之95。冗信賴區間。

這個結果，數學上是錯的，精確度上自然要存疑，但目前也只有這樣辦。

例4.12

1^6611 &1^1111； 1113163 1 ) 6 ^ 6 6 1 1 1116 3 ^ 6 8 0 ^ 3 5 311(1 5 0 13^1:101^^6(1111

3 8^11(17 ^0 6 ^ 3 1 1 1 ^ 6 ^ 6 6^601： 0 〖 3 1 1 ( 1 6 X 6 1 X 1 8 6 011 1)100(1 0110163*61-01 (膽 固酉享)丄6乂61國1116 1 0 ^ 1 01101681：61：01 ^ 3 8 01633111-6^ 111 6&0^1 8 1 1 ^

6 0

^ 1111^13117

311(1 111611 1:111*66 1110111；118 3&61， 1)^1011331:111^ 111 &II &61*0^10 6X61:0186^

10-56 琉計學評篛

#0#假設檢定

00

1116

( 犯 ^ 1^1)16

0 【 ^ 1 1 1 6 111 1:6(1110111^ 610〇3 01101681：61：01 16^1

361 01310 6X61*0186 1

06

1 0 . 7 〉 311)31301*1： 1116 0131111化31； 1 0 ^ - ^ 1 ： (！！㊀！； 311(1 ？ 1^86

^ 0.05 ^

解：像這一類「前後之差」的問題特點是資料是自然地成對出現的，各對爲 ( ^ ； , ^ ) , ^ 1,2，…，！1這些對子是獨立的： ( 乂 ^ ) ∼ 通 ( ( ^ ' ^ " ， "

81003 0^0165(6！"01 ！6乂61

表10.7 1

2

3

4

5

6

7

8

265

240

258

295

251

245

287

314

229

231

227

240

238

241

234

256

811^601：

9

10

11

12

13

14

15

1^6『01-6

260

279

283

240

238

225

247

3&6！"

247

239

246

218

219

226

233

1)6(01*6

但乂 和乂反而可能是相依的(意思是說，V是個2x2的矩陣，它的對角 ；

線之外的各項，可能不是0 。 V是一個2x2的矩陣， ^1 0^

其中0是\，乂的相關係數可能不是0〉，取^ ∼；^(^,。 )， 2

一

1二1，2，一，11

二

^ ！ " ^

： 乂 二 乂 ，則

， 其 中 ^ 二 " 一卩 而

- 乂 》 二

2

0？ - 2 ^ ( 7 2

故針對^^而言，我們就有8。 7 = 0這樣的假設。因此這一類的問題基 本上回到了早先提到的單一樣本的問題。 上面所說的是1^11*64 1^681；的基本道理。設3 ^ 乂 , - 乂 ∼ ： ^ ( ^ ， ^ ) 我 ；

們自然會用

10-57

非88不可研究所統計學評論

來 檢 驗 ^ 二 0 ， ^ 2 0 或 者 ^ 2 0這一類的問題。計算時我們先求山的 値，見表10.8 。 ？0\^6 1-1651

表10.8 1

1

2

3

4

5

6

7

8

甸

36

9

31

55

13

4

53

56

1

9

10

11

12

13

14

15

4

13

40

37

22

19

-1

14

由此得3 ^ 26.73， 8^ ^ 18.809 ，而實測的7。値是7。 ^ 5.317375 ， 查 I 分 布 表 得 、 ^ ( ^ ) ^ 2.144787 ，我們拒絕3。。結論：在01 = 0.05的水 準下，有足夠證據顯示有氧運動減肥能顯著降低膽固醇。 例4.13從文學院中隨機抽出200位學生接受性向測驗〈X ^ 85， 8？ ^ 100〉 ；隨機從理學院中隨機抽出150位學生接受相同測驗(曱^ 88， 8 ^ 150〉， 2

2

試比較文理學院該性向方面有無明顯差異？ （(^ ： 0.05〉 解：這個問題在表面上是

^

01

，但因爲樣本夠多，我們直接用1101:111^1

2

31)1)1:0X111181*1011便好。我們用

2^

聊 , ！ ) 十

II，

11.

實測到的 2 ^ 0

85-88 '！00 V200

十

150

^ 一2.45 〈 一 1.96 ^ 一 2

0.025

150

因此我們拒絕II。。結論：此組資料有足夠證據顯示文理學院該性向方 10-58

假設檢定

面有明顯差異。 二母體比例相等之假設撿定 如果有兩個二項分布：X∼！3(111； ！^，丫∼13(11； ！^)，即使在！^。：^ 的條件下，我們也算不出一個簡單的關於 丁 』 」 111

II

的 分 布 ^ 。因此，對這一類的問题，我們仍得靠常態分布。 所需的條件是： \ ∼ 丄 ^ ^ 丄 ； ^ ) ， ！ ： ] ^ ' … ， ! ! ! ； 、 ∼ 1 1 4 6(1； ^ ^ ) , ^ ! ^ , " ^11 且爪，11的値都夠大。 要在^

：！)的條件下算的分布，我們先看一下 1

1

― 十 ―

111

11

而我們在二^的情形下，可以用 口： 111 + 11

因此我們非常直觀地用 ∼聊,！) ~^十一

111

II

來做檢定便好

： 1 1

到現在你應該知道，其實有好多該雾出來的分布，我們都算不出來。那就是為甚

麼用常態分布來遏近是有用的。

10-59 统51孥綷篛

非！8不可研究所^^博誠

1列4.14某家汽車保險公司對於單身與已婚的保險客戶進行抽樣調査，並 記錄在他們過去二年曾要求過保險賠償的人數，其資料如表10.9 表10.9保險與賠償 單身保險窖戶 已婚保險窖戶 抽樣人數

400

900

曾要求賠惯人數

76

90

在 0 2 0.05的水準下，檢定是否單身和已婚投保客戶的賠償比例有所差異。 解：直接套用前面的公式，我們有6 = 166/1300 = 0.1277 ，而 ―

^-^

―

― 十 一

01

^ 4.487 ^ 20.05 所以拒絕II。。結論：在01

11 二

10-60 |

10.1277-0.8723

400^900

1.645

0.05的水準下，表示有足夠證攄顯示單身和

已婚投保客戶之賠償比例有顯著差異。

騰學評譎

0 . 1 9 - 0 . 1 ^

假設檢定

+精選練習+ 1. 8111116111；八3&75

1^16 1361X611七3^6 0(1:116 8&1115)16 1116&113 ^ & 1

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1'&11

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2^ 一名工廠經理在一個密封盒子放置十九顆黑球和一顆白球，並設計了以 下的品管檢定方法。對每一批送檢的產品，該經理自盒中任意抽出一球(檢 定後再放回），若抽出黑球則代表該批送產品品質符合標準，若抽出白球 則表示該批產品品質出現問題，試問此檢定方法型I誤差的機率和檢定 力爲何？並請說明此檢定方法有什麼樣的問題。 3^使用氐機器生產燈泡，且其燈泡的壽命呈常態分布，平均數爲1000小 時，標準差爲50小時。今有製造機器之廠商乙推出製造燈泡之新機器② 機器)，並宣稱使用8機器生產之燈泡其壽命呈常態分布，平均數大於1000 小時(設爲1010小時），標準差爲50小時，今若甲廠商有下面的訊息： ① 根據以往的經驗，廠商乙的宣稱是正確的機率爲0.6 。 ② 若甲廠商測試25個8機器所產生之燈泡，而決定採取的決策〔即承認 3機器所生產之燈泡的壽命平均數爲1010小時，因此新購8機器以 生產燈泡）。此時，若8機器所生產之燈泡壽命平均數事實上爲1000 小時，則甲犯了型I錯誤，而已知甲犯型I錯誤的損失爲50萬元。 ③ 若甲廠商測25個3機器所生產之燈泡，而決定採取的決策〈即認爲8 機器所生產之燈泡壽命平均數仍爲1000小時，因此不新購8機器， 而仍以八機器生產燈泡）。此時，若8機器所生產之燈泡壽命平均數 事實上爲1010小時，則甲犯了型II錯誤，而已知甲犯型II錯誤的損 失爲20萬元。 (！)試問甲廠商在決定應採何種決策(即進行假設檢定)時，到底是要選定 01 025 。 I 10-61

〈2〉前題中，若甲廠商採樣本數的增加〈由測試25個燈泡增爲測試100個 燈泡），以達到01， 13數量的增加，導致收集樣本資料成本之增加額爲 0.375萬元，試問甲廠商値得增加樣本數爲100嗎？ 4常態分布^^,

2

二物），設

若樣本平均値則拒絕II。。試求樣本大小及常數0以使得4-32及 ^1 = 35兩種情況下接受II。之機率分別爲0.90及0.15 。 5^ (！)消費者文教基金會一般皆假定「廠商所生產之商品都是好的，直到出 售不良商品被證實」。現在我們令虛無假設(！！!^ 11^01:116818)110 ：爲 廠商之商品都是好的；對立假設(&14611131^6 ！！^！^仇&化）0！：爲廠 商之商品都是壞的。則消費者文教基金會有兩種可能的決策：判定廠 商商品是壞的〈即拒絕！！。）、或是判定廠商商品是好的(即不拒絕！！。）， 是以本題之例子說明06及|3風險之經濟意義。 (^)若假設廠商之商品都是壞的，直到被證明商品是好的爲止，則虛無假 設3。及對立假設1^與部分有何不同？此時0！及0風險意義爲何？ 6， 001181(161：&110^1115 115^)01:116818 1681；： I I 。 ： |1210， 1^ ： ^ 〈 10 1116 881111)16 3126 18 120， 811(1 1)116

1113*1011 ^&！^&！：^! 016^13^1011 18 5，

1186 06 ^ 0.05 一 1^ 4116 8(^1181 1301)111^1011 18 9， 1)116 1^01)211)1111^ 0【&七7？6 II 6 1 1 0 1 18 0.2912. 8111)1)086

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10-62

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11^01:116818

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-

0^ 10^

8，得陞鋁門窗公司目前每小時可生產100檔鋁門窗。爲了改善生產效率， 乃投入資金，以改善生產線設備。爲了解新設備之產能，乃於3週後， 隨機抽樣100工作小時，發現平均產能96檔鋁門窗/每小時，標準差爲 20檔鋁門窗/每小時。 (丄）在顯著水準0^0.05之狀況下，得陞鋁門窗公司之生產效率是否改 善？ ^假設對立假設之實際數値爲7 II

61^01^

= 94.71

|3値爲多少(假設3

二

，則此檢定之"型II誤差

0.05)7

〈3〉假設|3値設定爲0.06 ，請問顯著水準之値應爲多少？ 9一八111 &IIII&0(^111-111^ 1)1*00638 11&5 131-0(11106(1 11111110113 0(11^11： 1)111138 1116311 11^6 \1 ^ 1 4 , 0 0 0 |31:0(11106(1 3

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12.某廠牌之油漆罐上註明每加侖至少可以使用在100平方公尺面積上。今 購買16罐1加侖的油漆，使用後得知其平均每罐可使用在98平方公尺， 且樣本標準差爲4平方公尺。 (工）在顯著水準爲57。之下，說明決策規則並驗證該廠牌之油漆罐上註明 是否可信。 〈2〉當實際上每加命平均只可使用在98.247平方公尺時，試計算^中你 所作檢定(^^&！^)之效力(！)。^^!：)。 若實際上每加命平均可使用在100.38平方公尺時，^中你所做的決 策規則犯有型I或型II誤差？該誤差之機率爲何？

10-64

假設檢定

13.乙6七X

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16.

(！)譽仁聲稱3分球命中率不低於3成，試問他100球至少要投中幾球才 能得到驗證((^ 二 0.05)7 (^)又如譽仁聲稱3分球命中率不低於3成，其朋友認爲他吹牛，他投100 球至多投中幾球，其朋友才能說譽仁是吹牛？ ^ 二 0.05〉

17. ^

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10

『681

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6.6

0 0 ^ 6 1 1 * 1 0 1 1 3 1 ^33： 4.1， 4.9， 6.2， 6.9， 6.8， 4,4， 5.7， 5.8， 6.9， 4.7 ( ！ ) 丁681； ^1161；1161 1116 ^ 3 1 1 3 1 1 0 6 8 0 ^ 1111163^6 0【1)116 4 ^ 0 &1*111111&3 ^ 3 5 18 1

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#0#假設檢定

表10.10

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4

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1680

112

146

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非81不可研究所統計學評隨

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21.從兩個獨立之常態分布^^^(！ ),∼^，

中取樣如下：

2

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20

12

24.5

28.7

8

7

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2

3

4

5

6

7

8

9

132

139

126

114

122

132

142

119

126

124

141

118

116

114

132

145

123

121

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@0@假設撿定

表10.13

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1

2

3

4

5

6

001111)11461*1

28

52

103

15

72

49

001111)111:61.2

32

47

110

12

75

55

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111

〈3〉 ？01： 口31：1 (！), 6811111 &16 1116 1116311 ( ！ ！ ^ 1^61106 111 0 ？ 1 1 1)11116 ^ 6 ^ 6 6 1 1 0001^11^61-3

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1

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9

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^10(1110^1011

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25，某大製藥廠欲比較兩種不同藥錠被接受的程度，此兩種藥錠使用相同的 有效劑量，但其大小、形狀、附加內容物質不同，從兩種藥錠各抽出100 錠爲樣本，樣本赏驗結果被分爲接受與不接受兩種結果，調査後的結果 如 表 1 0 . 1 5 ，利用此實驗結果了解兩種藥錠被接受程度百分比的差異 ？1 ~ ？ 2

0

表10.15兩種藥錠的有效劑量 藥錠

接受數

不接受數

樣本數

1 2

84

16

100

96

4

100

(丄）計算13， -9 之957。信賴區間。 2

(^)作II。

- 9 ： 0雙尾的假設檢定(顯著水準爲5。^ 。 2

I

10-69 I

—非〗II不可研究所^

② ）利用卡方((^-^^!^)的獨立性撿定，檢定上述(巧之問題(顯著水準爲 ，並與的結果比較是否相同？ (^)請敘述與(力兩種檢定方法的關係。 26.1(61； X

311(1 V

1)6 ^ 0

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&0111 V， 001131(161-1115

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⑤\^31\16 0 ^ ^1 18 1^1101^ 11.

② V

18 1101-1113117

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^ 2.0

二 1.5

二

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(^) 118111^ 〈6〉

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1 1 ： 0^ ^ 《 0

1131112 ？-七681；？

27，試將適當之抽樣分布塡入中： (！)由樣本平均數推論量母體平均數(母體變異數已知X分布） (^)兩個點二項母體比例差的檢定〔分布） 兩常態母體變異數的檢定^分布） (^)由樣本平均數差推論量母體平均數差(母體變異數已知X分 布） | 10-70 | 統計學評譎

1.0

#0#假設檢定

點二項母體比例的檢定〖分布） (^)由樣本變異數推論量母體變異數〈分布） 〈7〉常態母體變異數的檢定〈分布） (^)由樣本變異數比推論量母體變異數比〈^^^一分布） (^)由樣本平均數差推論量母體平均數差(母體變異數已知X分 布） (^)由樣本比例推論質母體比例〈分布）

10-71

，

研

^

^5@8^

統計[學-評.論