Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του Θ.Μ.Κ.Ε Αργύρης Μυστακίδης Φυσικός, Φροντιστής Φροντιστήριο Πυρήνας Καβάλα Βενιζέλου 40, 65403 Καβάλα amystaki@gmail.com Στη συνήθη διδακτική πρακτική της Μηχανικής η εξίσωση που είναι γνωστή ως το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) παρουσιάζεται από τους διδάσκοντες ως το υπέρτατο εργαλείο επίλυσης προβλημάτων στα οποία δεν υπεισέρχεται ο χρόνος. Ελάχιστοι όμως αντιλαμβάνονται τα εννοιολογικά προβλήματα που πολλές φορές συνοδεύουν τη χρήση του. Στην ακαδημαϊκή βιβλιογραφία η εξίσωση του ΘΜΚΕ είναι γνωστή ως «εξίσωση του κέντρου μάζας» και πληθώρα ερευνητών της διδακτικής έχει καταδείξει πως όταν εφαρμόζεται σε συστήματα υλικών σημείων, παραμορφώσιμα σώματα ή σε σώματα που έχουν τη δυνατότητα να εκτελούν και στροφική κίνηση, αναδεικνύει μια σειρά από εννοιολογικά προβλήματα τα οποία πολλές φορές παραμερίζουμε ή αδυνατούμε να αντιληφθούμε. Στην πραγματικότητα η εν λόγω εξίσωση πολλές φορές περιέχει όρους που μολονότι εκλαμβάνονται ως έργα κάποιων δυνάμεων εντούτοις δεν είναι. Τα «ψευδοέργα» (pseudoworks), με χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτό της τριβής ολίσθησης, παρόλο που αποτελούν υπολογιστικά εργαλεία, δεν αποτελούν τα πραγματικά έργα των δυνάμεων στις οποίες αναφέρονται, διότι υπολογίζονται λαμβάνοντας υπόψη τη μετατόπιση του κέντρου μάζας του συστήματος, και όχι τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της εκάστοτε δύναμης. Στην παρούσα εργασία ορίζουμε με ακρίβεια το έργο μιας δύναμης, αναδεικνύουμε μέσω συγκεκριμένων παραδειγμάτων την αδυναμία του ΘΜΚΕ να περιγράψει με πληρότητα τις ενεργειακές μεταβολές που συνοδεύουν τα φυσικά φαινόμενα, αιτιολογούμε γιατί ο όρος -Τ∙Δxcm δεν εκφράζει το έργο της τριβής ολίσθησης, και προτείνουμε μια διδακτική προσέγγιση που δίνει ιδιαίτερη έμφαση στην έννοια του υπό μελέτη συστήματος, στην προσεκτική χρήση της γλώσσας και αντικαθιστά όλες τις ενεργειακές εξισώσεις (ΘΜΚΕ, ΑΔΜΕ, 1ος ΘΝ) με μία και μοναδική την «Γενικευμένη Εξίσωση του 1 ου Θερμοδυναμικού Νόμου» ή απλά την «Εξίσωση της ΑΔΕ».
1. Συνειδητοποιώντας το πρόβλημα Ας θεωρήσουμε την περίπτωση ενός κύβου που ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα υπό την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F και της δύναμης τριβής ολίσθησης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Εφαρμόζοντας το ΘΜΚΕ για μετατόπιση του σώματος κατά x , έχουμε: K W ή 0 WF WT ή 0 F x T x
τέλος της μετακίνησης. Συνεπώς το σώμα (και το δάπεδο) έχει αυξήσει το ενεργειακό του περιεχόμενο. Κάτι τέτοιο όμως έρχεται σε αντίθεση με το προηγούμενό μας συμπέρασμα, αφού εάν όση ενέργεια εισήλθε στο σώμα μέσω του έργου της δύναμης F και άλλη τόση εξήλθε μέσω του έργου της τριβής T , δεν θα έπρεπε να εμφανιστεί ουδεμία αύξηση της θερμικής του ενέργειας. Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν, ότι ενώ το ΘΜΚΕ περιγράφει σωστά τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος δεν μας λέει τίποτα για μια σημαντική ενεργειακή μεταβολή που υπεισέρχεται στο φαινόμενο, αυτή της θερμικής ενέργειας του σώματος και του δαπέδου.
Συνεπώς ενέργεια ίση με WF F x προσφέρ-
2. Οι αιτίες του προβλήματος
θηκε στο σώμα μέσω της δύναμης F και ισόποση ενέργεια T x F x αφαιρέθηκε από το σώμα μέσω της τριβής T . Άρα συνολικά το σώμα ούτε κέρδισε, ούτε έχασε ενέργεια και έτσι η κινητική του ενέργεια παρέμεινε αμετάβλητη. Μέχρι εδώ όλα φαίνονται καλά. Γνωρίζουμε όμως από την εμπειρία ότι τόσο το σώμα όσο και το δάπεδο είναι θερμότερα στο
Το έργο μιας δύναμης δεν ορίζεται συνήθως με ακρίβεια κατά τη διδασκαλία του και ακόμη χειρότερα δεν ερμηνεύεται το φυσικό του νόημα, με αποτέλεσμα να διαφεύγει της προσοχής μαθητών αλλά και διδασκόντων το γεγονός ότι τα «έργα» που εμφανίζονται στο ΘΜΚΕ δεν είναι απαραίτητα τα πραγματικά έργα των δυνάμεων που επιδρούν στο σώμα, υπό την έν-
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
1
νοια που αποδίδει ο 1ος Θερμοδυναμικός νόμος στον όρο έργο.
ου είναι ταυτόχρονα και η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης.
Η μετάβαση από τη Φυσική του υλικού σημείου στη Φυσική του εκτεταμένου σώματος, ενέχει κινδύνους για τους οποίους πρέπει να είμαστε υποψιασμένοι.
Όταν όμως ασχολούμαστε με σώματα που δεν μπορούν να μοντελοποιηθούν ως υλικά σημεία όπως πχ σώματα που παραμορφώνονται ή/και εκτελούν σύνθετη κίνηση, η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης μπορεί γενικά να είναι διαφορετική από τη μετατόπιση του κέντρου μάζας του σώματος στο οποίο ασκείται.
Το ΘΜΚΕ έλκει την καταγωγή του από τον 2ο νόμο Newton ο οποίος δεν αποτελεί μια ενεργειακή εξίσωση και έτσι γενικά δεν μπορεί να περιγράψει το ενεργειακό ισοζύγιο των φυσικών φαινομένων. Το έργο της τριβής ολίσθησης δεν είναι ίσο με T x , όπως συνήθως θεωρούμε. Ας διερευνήσουμε αναλυτικότερα τις παραπάνω αιτίες της άβολης κατάστασης με την οποία βρεθήκαμε αντιμέτωποι. 3. Ο ορισμός και το φυσικό νόημα του έργου 3.Α. Ορισμός Έστω ένα υλικό σημείο Σ που κινείται σε μια τροχιά. Το στοιχειώδες έργο μιας δύναμης F , που ασκείται στο Σ, σε μια στοιχειώδη μετατόπιση dr , στην οποία η δύναμη μπορεί να θεωρηθεί σταθερή ισούται με: dW F dr Το έργο της δύναμης κατά τη μετακίνηση του υλικού σημείου Σ μεταξύ δυο σημείων Α, Β της τροχιάς του ορίζεται ως:
WF F dr
όπου dr το στοιχειώδες διάνυσμα της μετατόπισης στην εφαπτομένη της τροχιάς με φορά τη φορά της κινήσεως.
Όταν η δύναμη F είναι σταθερή τότε για μετατόπιση του Σ κατά x σε ευθεία τροχιά το έργο της δύναμης ισούται με: WF F x (1) όπου θ η γωνία μεταξύ των F και x . Εδώ βρίσκεται και το λεπτό σημείο της ανάλυσής μας: Όταν διαπραγματευόμαστε την κίνηση ενός υλικού σημείου η μετατόπιση Δx του υλικού σημεί-
Στον υπολογισμό όμως του έργου της δύναμης πρέπει να εμφανίζεται η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της και όχι αυτή του cm του σώματος. Αντίθετα στην εξίσωση του ΘΜΚΕ όταν αυτή περιγράφει ένα σύστημα υλικών σημείων (δες παρακάτω εξίσωση (9)) εμφανίζεται η μετατόπιση του cm, όπως σύντομα θα αποδείξουμε. 3.Β. Το φυσικό νόημα του έργου & η σημασία του συστήματος Το έργο είναι ένα «τεχνικό» φυσικό μέγεθος δυσκολότερα αντιληπτό από τους μαθητές/τριές μας από άλλα φυσικά μεγέθη όπως η ταχύτητα, που συνδέονται με εμπειρίες πιο προσιτές και οικείες. Οι μαθητές/τριες έρχονται σε επαφή με την έννοια του έργου χωρίς κάποια εδραιωμένη πρωτογενή αντίληψη γι’ αυτό και είναι συνεπώς απαραίτητο να δίνουμε ιδιαίτερη έμφαση στο φυσικό του νόημα αφιερώνοντας τον κατάλληλο διδακτικό χρόνο. Το να δώσουμε τον «λειτουργικό» ορισμό του έργου μέσω της εξίσωσης (1) είναι κάτι διαφορετικό από το να εξηγήσουμε το φυσικό του νόημα. Το έργο είναι ένας μηχανισμός μεταφοράς ενέργειας προς/από ένα σύστημα και πιο συγκεκριμένα:
Το έργο είναι η ενέργεια που μεταφέρεται προς ή από ένα σύστημα μέσω μιας δύναμης. Όταν η ενέργεια μεταφέρεται προς το σύστημα (από το περιβάλλον του) το έργο είναι θετικό, ενώ όταν μεταφέρεται από το σύστημα (προς το περιβάλλον του) το έργο είναι αρνητικό. Αυτό ακριβώς είναι και το νόημα που αποδίδει ο 1ος θερμοδυναμικός νόμος στον όρο έργο και αυτό θεωρούμε εφεξής ως πραγματικό έργο.
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
2
Είναι συνεπώς φανερό πως προκειμένου να ορίσουμε το φυσικό νόημα του έργου πρέπει πρώτα να οριοθετήσουμε το σύστημα που θα μελετήσουμε και το οποίο μπορεί να είναι: ένα υλικό σημείο (ή σώμα που μπορεί να μοντελοποιηθεί ως υλικό σημείο), ένα σύνολο υλικών σημείων ή σωμάτων ένα περιστρεφόμενο στερεό, ένα παραμορφώσιμο σώμα όπως μια μπάλα του τένις ή γενικότερα μια περιοχή του χώρου όπως ένα αέριο κλεισμένο σε δοχείο με έμβολο. Έτσι ενώ συνήθως οι μαθητές/τριές μας γνωρίζουν την έννοια του συστήματος στα μαθήματα που αφορούν την ορμή και τη διατήρησής της, είναι απαραίτητο η έννοια του συστήματος, των εσωτερικών και των εξωτερικών δυνάμεων να εισαχθεί από την ενότητα της ενέργειας. Ενέργεια μπορεί να εισέλθει στο σύστημα ή να εξέλθει από αυτό μόνο μέσω του έργου των εξωτερικών δυνάμεων. Για ένα υλικό σημείο ή σώμα που μοντελοποιείται ως υλικό σημείο όλες οι δυνάμεις που δέχεται είναι εξωτερικές. Η μεταφορά ενέργειας σε/από ένα σύστημα μέσω έργου είναι ένας μόνο από τους δυνατούς μηχανισμούς μεταφοράς ενέργειας, όπως η μεταφορά μέσω θερμότητας, ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, ηλεκτρικής μετάδοσης κλπ. Αυτό πρέπει να γνωστοποιείται από νωρίς στους μαθητές/τριες μας ώστε να δημιουργείται ένα ενιαίο πλαίσιο μελέτης όλων των φαινομένων της Φυσικής υπό το πρίσμα της ενέργειας. Το επόμενο βήμα είναι να βοηθήσουμε τους μαθητές/τριές μας να αντιληφθούν ότι η ενέργεια που εισέρχεται σε / εξέρχεται από ένα σύστημα μεταβάλλει το ενεργειακό απόθεμα του συστήματος, όπως ακριβώς τα χρήματα που καταθέτουμε σε / αφαιρούμε από έναν τραπεζικό λογαριασμό μεταβάλλουν το υπόλοιπο του λογαριασμού. Το ενεργειακό δε απόθεμα ενός συστήματος μπορεί να περιλαμβάνει διάφορες μορφές ενέργειας (κινητική, δυναμική, θερμική, κ.α), όπως ακριβώς μπορούμε να έχουμε τις αποταμιεύσεις μας σε διαφορετικούς λογαριασμούς. Όταν το σύστημα με το οποίο ασχολούμαστε είναι ένα υλικό σημείο ο «ενεργειακός του λογαριασμός» μπορεί να βρίσκεται σε ένα μόνο «βιβλιάριο», αυτό της κινητικής ενέργειας. Στην περίπτωση αυτή το ΘΜΚΕ μπορεί να περιγράψει με πληρότητα το ενεργειακό ισοζύγιο του σώματος.
Καθώς μελετούμε πιο σύνθετα συστήματα αυτά μπορούν να έχουν «λογαριασμούς ενέργειας» και σε άλλα «ενεργειακά βιβλιάρια», όπως αυτό της δυναμικής, της θερμική ενέργειας κ.α και το ΘΜΚΕ παύει να είναι ικανός «ενεργειακός λογιστής». 4. Η απόδειξη του ΘΜΚΕ από τον 2ο ν.Newton Το ΘΜΚΕ για υλικό σημείο Εάν θεωρήσουμε ένα υλικό σημείο που κινείται υπό την επίδραση συνισταμένης δύναμης F , από το δεύτερο νόμο Newton έχουμε: d d ή F dr m dr ή dt dt 1 F dr m d ή F dr d m2 ή 2 1 2 F dr d 2 m ή
F ma ή F m
F dr
(2)
Αν η κίνηση είναι μονοδιάστατη η τελευταία εξίσωση παίρνει τη μορφή:
F dx x
(3)
Εάν επιπλέον Fx . τότε Fx dx ή Fx x (4)
ή ισοδύναμα: F1,x F2,x ... x (5) Το ΘΜΚΕ για σύστημα υλικών σημείων Εάν αντί για υλικό σημείο ασχοληθούμε με ένα σύστημα υλικών σημείων o 2ος νόμος Newton έχει τη μορφή F ma cm και η αντίστοιχη της (1) εξίσωση είναι η:
F
drcm cm (6)
Η αντίστοιχη της εξίσωσης (2) για μονοδιάστατη κίνηση είναι η:
F
,x
dx cm cm (7)
και εάν επιπλέον F,x . τότε:
F,x dx cm cm ή F,x x cm cm (8)
ή ισοδύναμα:
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
3
F
,1,x
F,2,x ... x cm cm (9)
Παρατηρείστε ότι στην τελευταία εξίσωση πολλαπλασιάζεται η αλγεβρική τιμή κάθε εξωτερικής δύναμης με την μετατόπιση του cm και όχι του σημείου εφαρμογής της. Επειδή γενικά η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής κάθε δύναμης δεν ταυτίζεται με τη μετατόπιση του cm του συστήματος (δες παράδειγμα παρακάτω), οι όροι F i.x x cm δεν εκφράζουν κατ’ ανάγκη το έργο της κάθε δύναμης και πολλές φορές αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως «ψευδοέργα» (“pseudoworks”). Όταν λοιπόν το σύστημα που εξετάζουμε είναι ένα υλικό σημείο κινούμενο σε μια διάσταση το ΘΜΚΕ έχει τη μορφή της εξίσωσης (5) και επειδή η μετατόπιση του υλικού σημείου είναι και μετατόπιση του σημείου εφαρμογής κάθε δύναμης τα γινόμενα Fi.x x εκφράζουν πραγματικά έργα οπότε δικαιούμαστε να γράψουμε: WF,1 WF,2 ... ή W (10)
Όταν όμως εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε σε σύστημα υλικών σημείων, έχει τη μορφή της εξίσωσης (9) την οποία δεν μπορούμε να γράψουμε με τη μορφή της (10) αφού οι όροι στο πρώτο μέλος δεν εκφράζουν κατ’ ανάγκη πραγματικά έργα. Για το λόγο αυτό στην ακαδημαϊκή βιβλιογραφία το ΘΜΚΕ είναι γνωστό και ως «εξίσωση του cm» (“center of mass equation”). Διευκρινιστικό παράδειγμα: Ας εξετάσουμε επί παραδείγματι την περίπτωση της κουβαρίστρας του παρακάτω σχήματος με ακτίνα R, την οποία τραβάμε ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναμη F μέσω αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον άξονα ακτίνας r, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Θεωρούμε ότι η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση. Για μετατόπιση του cm μέτρου x cm , το μέτρο της μετατόπισης του σημείου εφαρμογής της
δύναμης, Α είναι x A 1
r xcm , όπως εύκοR
cm r cm
R r R
r cm 1 R
Το ΘΜΚΕ για την περίπτωση της μεταφορικής κίνησης του παραπάνω σώματος παίρνει τη μορφή: Fx x cm cm ή
F Ts x cm cm
ή
F x cm Ts x cm cm
Παρόλο που η τελευταία εξίσωση είναι απολύτως σωστή (και εξαιρετικά χρήσιμη), είναι εντούτοις μια «ψευδοενεργειακή» εξίσωση διότι κανένας από τους όρους στο 1ο μέλος της δεν είναι πραγματικό έργο (δηλαδή ενέργεια που ανταλλάσει η κουβαρίστρα με το περιβάλλον της μέσω της δύναμης), αφού: το έργο της F είναι: r WF F x A F x cm 1 F x cm R και το έργο της Ts είναι μηδέν αφού το σημείο εφαρμογής της δεν μετατοπίζεται.
5. Το έργο της τριβής Η τριβή αποτελεί μια ιδιαίτερη περίπτωση δύναμης διότι όταν δρα σε ένα στερεό σώμα αυτό παύει να μπορεί να αντιμετωπιστεί – μοντελοποιηθεί ως υλικό σημείο, αφού η δράση της επηρεάζει τις κινήσεις των δομικών σωματιδίων του σώματος, αυξάνοντας την θερμική ενέργεια που σχετίζεται με αυτές. Τα υλικά σημεία όμως δεν έχουν εσωτερική δομή. Δεν έχει λοιπόν νόημα να ασχολούμαστε με την τριβή στην περίπτωση ενός υλικού σημείου. Στην περίπτωση της τριβής το σημείο εφαρμογής της δύναμης δεν είναι ένα, αφού ασκείται σε όλη την έκταση των επιφανειών των σωμάτων στις οποίες δρα. Στα διάφορα σημεία επαφής των επιφανειών οι συνιστώσες της τριβής έχουν διαφορετικές μετατοπίσεις του σημείου εφαρμογής τους, με αποτέλεσμα ο υπολογισμός του έργου της να είναι αδύνατος. Το πρόβλημα έχει αναδειχθεί στην κλασσική πια εργασία του Bruce Arne Sherwood (1984) [3]. Ο όρος -T Δx , που έχουμε συνηθίσει να αναφέρουμε ως έργο της τριβής, δεν αποτελεί το πραγματικό της έργο. Το τι ακριβώς εκφράζει θα αναλυθεί παρακάτω.
λα μπορεί να αποδεχθεί αφού:
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
4
6. Πως ενσωματώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα στη διδασκαλία μας; Παρά τα όσα εκτέθηκαν προηγουμένως το ΘΜΚΕ είναι μια σωστή εξίσωση και ένα εξαιρετικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής και συνεπώς βασικό συστατικό της διδασκαλία μας. Εκείνο που προτείνουμε είναι να υιοθετήσουμε μια πρακτική διδασκαλίας που δεν θα δημιουργήσει στο μέλλον εννοιολογικά αδιέξοδα στους μαθητές/τριές μας, όπως αυτό που περιγράψαμε στην αρχή του άρθρου μας. Έτσι κατά τη διδασκαλία της ενέργειας είναι θεμιτό: (1) Να ορίζουμε με ακρίβεια το έργο διευκρινίζοντας πως η εμφανιζόμενη στον ορισμό του μετατόπιση είναι αυτή του σημείου εφαρμογής της δύναμης. Θέτουμε έτσι τα θεμέλια για το μέλλον όπου οι μαθητές/τριες θα κληθούν να αντιμετωπίσουν περιπτώσεις, όπως αυτή του προηγούμενου διευκρινιστικού παραδείγματος, στις οποίες η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης είναι διαφορετική από αυτή του cm του σώματος. Να νοηματοδοτούμε εν συνεχεία, τον όρο έργο ως μεταφερόμενη προς/από ένα σύστημα ενέργεια μέσω δύναμης, όπως ακριβώς ορίζει ο 1ος Θερμοδυναμικός νόμος, δημιουργώντας έτσι στέρεο εννοιολογικό υπόβαθρο. (2) Να συμπεριλαμβάνουμε την απόδειξη του ΘΜΚΕ από το 2ο νόμο Newton, ώστε να είναι σαφές ότι είναι μια διαφορετική εκδοχή του και όχι μια γνήσια ενεργειακή εξίσωση. Μια απόδειξη που μπορεί να παρουσιαστεί στο επίπεδο του Λυκείου είναι η ακόλουθη: Αν έχουμε ένα υλικό σημείο που κινείται σε μια διάσταση (x) υπό την επίδραση σταθερών δυνάμεων, θα ισχύει: 2 02 2a x (εξίσωση απαλοιφής χρόνου) 1 1 2ος ν.Newton m2 m02 ma x ma Fx 2 2 1 1 m2 m02 Fx x 2 2 (3) Να γράφουμε ως εξίσωση του ΘΜΚΕ την ακόλουθη: 1 1 m2 m02 Fx x ή Fx x 2 2 και όχι την καθιερωμένη W , προφυλάσσοντας τους μαθητές/τριές μας από την ταύτιση του όρου Fx x με το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Έτσι κατά τη μετάβαση από τη μελέτη του υλικού σημείου στη μελέτη του στερεού σώμα-
τος το ΘΜΚΕ εύκολα αποκτά τη μορφή cm Fx x cm στην οποία εξηγούμε, στους μαθητές/τριές μας, ότι τα γινόμενα Fi,x x cm δεν είναι κατ’ ανάγκη τα πραγματικά έργα των δυνάμεων (υπό την έννοια ότι δεν εκφράζουν την ενέργεια που ανταλλάσει το σώμα/σύστημα με το περιβάλλον του μέσω των δυνάμεων αυτών) αλλά «υπολογιστικά εργαλεία». (4) Να εξηγούμε από τις πρώτες κιόλας εφαρμογές του ΘΜΚΕ σε προβλήματα με τριβή ολίσθησης, πως η ποσότητα -T Δx δεν είναι το έργο της τριβής, αλλά όπως θα αποδείξουμε παρακάτω ίση κατ’ απόλυτη τιμή με την αύξηση της θερμικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων μεταξύ των οποίων ασκείται η τριβή. Είναι επίσης σημαντικό να γίνει αντιληπτό ότι από τη στιγμή που η τριβή εισάγεται στη μελέτη προβλημάτων γίνεται μια αυτόματη μετάβαση από τη Φυσική του υλικού σημείου στη Φυσική του παραμορφώσιμου συστήματος στην οποία η μετατόπιση του σώματος δεν είναι πάντα και μετατόπιση του σημείου εφαρμογής κάθε δύναμης. Υιοθετώντας την παραπάνω στρατηγική από τη μια δεν στερούμε από τους μαθητές/τριές μας ένα πολύτιμο μηχανισμό επίλυσης προβλημάτων, ενώ από την άλλη τους βοηθούμε να αντιληφθούν τους περιορισμούς του και να οικοδομήσουν ένα συνεπές εννοιολογικό πλαίσιο. 7. Μια ολιστική προσέγγιση Υπάρχει όμως κάποια εξίσωση που θα μπορούσε να περιγράψει με πληρότητα το ενεργειακό ισοζύγιο ενός συστήματος; Η απάντηση είναι ΝΑΙ και η ζητούμενη εξίσωση δεν είναι άλλη από την γενικευμένη εκδοχή του 1ου Θερμοδυναμικού Νόμου ή αλλιώς της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας (ΑΔΕ). Αφού οριοθετήσουμε το σύστημα το οποίο μελετούμε, μπορούμε να εκφράσουμε την ΑΔΕ μέσω της εξίσωσης:
T (11) Η βασική φιλοσοφία της εξίσωσης είναι πως: (1) σε κάθε σύστημα υπάρχει μια συνάρτηση της κατάστασης του συστήματος που λέγεται ενέργειά του ,
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
5
(2) για να μεταβληθεί η ενέργεια του συστήματος, πρέπει ενέργεια να εισέλθει ή να εξέλθει από τα όρια του συστήματος μέσω ενός ή περισσότερων μηχανισμών μεταφοράς ενέργειας όπως το έργο, η θερμότητα, η ακτινοβολία κλπ. Το σύνολο της μεταφερόμενης προς/από το σύστημα ενέργειας αποδίδεται στην εξίσωση (11) με τον όρο T (Τ = transfer). Το σύμβολο του αθροίσματος δηλώνει ότι υπάρχουν διάφοροι μηχανισμοί μεταφοράς ενέργειας προς ή από το σύστημα. Μια καλή παιδαγωγική αναλογία είναι η παρομοίωση του ενεργειακού περιεχομένου ενός συστήματος με το υπόλοιπο όλων των τραπεζικών λογαριασμών που έχει ένα άτομο και των μηχανισμών μεταφοράς με όλους τους διαφορετικούς τρόπους που μπορεί να μεταβληθεί το υπόλοιπο, όπως κατάθεση σε μετρητά, κατάθεση σε μηχανήματα αυτόματων συναλλαγών, πληρωμές με πιστωτικές κάρτες, εμβάσματα, επιταγές, τόκοι κλπ. Έτσι υπάρχει ένας λογαριασμός-βιβλιάριο για την κινητική ενέργεια, ένας για τη δυναμική κλπ. Επίσης είναι σημαντικό να τονιστεί πως το υπόλοιπο κάθε ξεχωριστού λογαριασμού (μορφής ενέργειας) μπορεί να μεταβληθεί με οποιονδήποτε μηχανισμό μεταφοράς. Μια εκδοχή της εξίσωσης (11) ικανή να αντιμετωπίσει την πλειοψηφία των καταστάσεων που ένας μαθητής/τρια θα αντιμετωπίσει στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι η ακόλουθη: U W Q T T T
(12) όπου: : το άθροισμα της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του cm του συστήματος, της περιστροφικής κινητικής ενέργειας γύρω από το cm και γενικά κάθε κινητικής ενέργειας μελών του συστήματος γύρω από το cm του. U: το σύνολο όλων των τύπων δυναμικής ενέργειας του συστήματος, βαρυτικής, ελαστικής και ηλεκτρικής. Εδώ μπορούμε να εντάξουμε και τη χημική δυναμική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σε καύσιμα ή εκρηκτικά και ακόμη τη βιολογική δυναμική ενέργεια που ανακτάται μετά από ένα γεύμα. ΕΘ: η θερμική ενέργεια του συστήματος δηλαδή η ενέργεια που σχετίζεται με την άτακτη θερμική κίνηση των δομικών του σωματιδίων (ατόμων, μορίων, ιόντων) και αντανακλάται σε μεταβολές της θερμοκρασίας του. W : το συνολικό έργο των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στα μέλη του συστήμα-
τος και μετατοπίζουν το σημείο εφαρμογής τους. Q : το συνολικό ποσό θερμότητας που ανταλλάσει το σύστημα με το περιβάλλον του λόγω διαφοράς θερμοκρασίας μεταξύ τους. T : η συνολική ενέργεια που περνά τα όρια του συστήματος υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. T : η συνολική ενέργεια που περνά τα όρια του συστήματος υπό μορφή μηχανικών κυμάτων. T : η συνολική ενέργεια που περνά τα όρια του συστήματος υπό μορφή ηλεκτρικής ενέργειας λόγω δράσης πχ μιας ηλεκτρικής πηγής σε ένα κύκλωμα. Κάθε εισροή ενέργειας στο σύστημα (με οποιονδήποτε μηχανισμό) θεωρείται θετική και κάθε εκροή αρνητική. Ειδικές μορφές της εξίσωσης (12) Για τη μελέτη των περισσότερων μηχανικών συστημάτων η (12) μπορεί να πάρει τη μορφή: U W Q (13)
Αν για παράδειγμα το σύστημα είναι ενεργειακά μονωμένο, δηλαδή δεν ανταλλάσει ενέργεια με το περιβάλλον με κανέναν από τους δυνατούς μηχανισμούς, το 2ο μέλος της (13) μηδενίζεται οπότε προκύπτει: U 0 (ΑΔΕ για μονωμένο ενεργειακά μηχανικό σύστημα)
Εάν επιπλέον το η εσωτερική θερμική ενέργεια του συστήματος δεν μεταβάλλεται, η ΑΔΕ παίρνει τη μορφή: U 0
δηλαδή μεταπίπτει στη γνωστή μας ΑΔΜΕ. Εάν το σύστημα που μελετούμε είναι ένα υλικό σημείο (που ως γνωστό στερείται εσωτερικής δομής) θα ισχύει 0 και επιπλέον U 0 αφού η δυναμική ενέργεια είναι ιδιότητα ενός συστήματος αλληλεπιδρώντων σωμάτων και όχι ενός υλικού σημείου ή σώματος και έτσι η ΑΔΕ γράφεται: W (14) (ΑΔΕ για υλικό σημείο = ΘΜΚΕ) Γενικά ανάλογα με το πόσο απλό ή πολύπλοκο είναι το υπό εξέταση σύστημα, όροι μπορούν να απαλείφονται ή να προστίθενται και στα δυο μέλη της εξίσωσης (12).
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
6
Το βασικό όμως νόημα είναι πάντα το ίδιο: Για μεταβληθεί το σύνολο της ενέργειας-των «ενεργειακών καταθέσεων»-ενός συστήματος πρέπει ενέργεια να εισέλθει από το περιβάλλον στο σύστημα ή να εξέλθει από το σύστημα προς το περιβάλλον. Αν μηχανισμός μεταφοράς ενέργειας είναι το έργο, μόνο τα έργα των εξωτερικών δυνάμεων μπορούν να επηρεάσουν το ενεργειακό απόθεμα του συστήματος. Τα έργα των εσωτερικών δυνάμεων μπορούν απλά να μεταφέρουν ενέργεια από τον «ένα λογαριασμό στον άλλο» χωρίς όμως δυνατότητα μεταβολής του συνολικού «ύψους των ενεργειακών καταθέσεων». Ας δούμε πως θα μπορούσε η ΑΔΕ να χρησιμοποιηθεί με τη μορφή της εξίσωσης (12) σε συγκεκριμένα προβλήματα και τι διδακτικά οφέλη θα μπορούσαν να προκύψουν: Πρόβλημα 1: Ένα σώμα αφήνεται να πέσει προς το έδαφος από ύψος h απουσία αέρα. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας με την οποία προσκρούει στο έδαφος. Λύση: 1ος τρόπος: Επιλέγουμε ως σύστημα το σώμα. Το σώμα μπορεί να μοντελοποιηθεί ως υλικό σημείο, οπότε όπως εξηγήσαμε παραπάνω 0 , U 0 .
1 2
m2 0 0 mgh 0 ή 2gh
Λίγα λόγια για τα εσωτερικά έργα: Στο σύστημα σώμα-Γη του προηγούμενου προβλήματος μπορούμε να εστιάσουμε την προσοχή μας στο σώμα και να παρατηρήσουμε ότι η εσωτερική πλέον δύναμη του βάρους παράγει έργο ίσο με: Wmg mgh U ή λόγω της (15): Wmg U
Παρατηρούμε δηλαδή ότι μέσω του έργου του βάρους μέρος του αποθέματος βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος μετατράπηκε σε κινητική, ενώ η συνολική ενέργεια του συστήματος έμεινε αμετάβλητη. Γενικά οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να μεταβάλουν τη συνολική ενέργεια του συστήματος και τα έργα τους αποτελούν έναν μηχανισμό μεταφοράς ενέργειας από τον έναν «ενεργειακό λογαριασμό» (μορφή ενέργειας) του συστήματος στον άλλο, χωρίς όμως να μπορούν να αλλάξουν το ύψος των «ενεργειακών καταθέσεων του συστήματος». Πρόβλημα 2: Η κουβαρίστρα του παρακάτω σχήματος με ακτίνα R κυλίεται χωρίς ολίσθηση εξαιτίας σταθερής οριζόντιας δύναμης F μέσω αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον άξονα ακτίνας r, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε: (α) την ταχύτητα του cm της μετά από μετατόπισή του κατά x cm και (β) το μέτρο της στατικής τριβής. Δίνεται: cm mR 2 με 0 1 .
Από τη μορφή της ΑΔΕ για υλικό σημείο (εξίσωση (14)) έχουμε: W ή
1 2
m2 0 Wmg ή
1 2
m2 mgh ή
2gh
2ος τρόπος: Επιλέγουμε ως σύστημα το σώμα και τη Γη. Το σύστημα είναι ενεργειακά μονωμένο και η ΑΔΕ στη μορφή της εξίσωσης (13) γράφεται: U 0 (15) ή
Λύση: 1ος τρόπος με χρήση της ΑΔΕ & του ΘΜΚΕ (α) Θεωρούμε ως σύστημα την κουβαρίστρα. Οι εξωτερικές δυνάμεις που δέχεται φαίνονται στο παραπάνω σχήμα.
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
7
Επειδή η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση η τριβή είναι στατική και έτσι 0 . Επίσης U 0 αφού αναφερόμαστε σε ένα σώμα. Το μοναδικό έργο που εκτελείται στο σώμα είναι αυτό της δύναμης F . Ανταλλαγή θερμότητας μεταξύ σώματος και περιβάλλοντος δεν υπάρχει αφού η θερμοκρασία του δεν μεταβάλλεται. Κάθε άλλος μηχανισμός μεταφοράς ενέργειας μπορεί να αγνοηθεί. Έτσι η ΑΔΕ στη μορφή της εξίσωσης (13) γράφεται: 2 12 cm 2 F x A ή WF ή 12 mcm 1 2
m
2 cm
r mR F 1 x cm R 1 2
Επειδή θεωρούμε cm R και έτσι: 1 2
2
2
κύλιση
χωρίς
ολίσθηση
r 2 2 mcm 12 mcm F 1 x cm ή R
cm
2F 1 (r/ R) x cm m 1
(16)
(β) Η ΑΔΕ αποδίδει εξαιρετικά όλο το ενεργειακό ισοζύγιο του φαινόμενου, αλλά δεν μπορεί να μας βοηθήσει στο υπολογισμό του μέτρου της στατικής τριβής μιας και δεν παράγει έργο οπότε δεν μπορεί να εισαχθεί στην εξίσωσή της. Θα χρησιμοποιήσουμε το ΘΜΚΕ για τη μεταφορική κίνηση της κουβαρίστρας. (Επαναλαμβάνουμε: το ΘΜΚΕ είναι ένα εξαίρετο υπολογιστικό εργαλείο δεν αποδίδει όμως σωστά το ενεργειακό ισοζύγιο της κίνησης και δεν περιέχει πάντα πραγματικά έργα δυνάμεων). Ισχύει: F Ts x cm cm ή 2 F x cm Ts x cm 12 mcm (17)
και αντικαθιστώντας την υcm από την (16) τελικά παίρνουμε: (r / R) Ts F (18) 1 Από την τελευταία εξίσωση συμπεραίνουμε επίσης ότι: αν (r / R) 0 , (18) Ts 0 , δηλ. η στατική τριβή έχει τη φορά του σχήματος (αντίθετη από την κατεύθυνση της κίνησης), αν (r / R) 0 , (18) Ts 0 και
αν (r / R) 0 , (18) Ts 0 , δηλ. η στατική τριβή έχει φορά αντίθετη από του σχήματος (προς την κατεύθυνση της κίνησης). 2ος τρόπος με χρήση μόνο του ΘΜΚΕ (α) Για τη στροφική κίνηση η αντίστοιχη εκδοχή του ΘΜΚΕ είναι:
cm
F
2 2 ή Fr Ts R 12 mR ή
r R x cm 2 R Ts R 12 mcm R F
r 2 x cm Ts x cm 12 mcm (19) R
Προσθέτοντας τις (17) και (19) κατά μέλη παίρνουμε: r 2 2 ή F 1 x cm 12 mcm 12 mcm R
cm
2F 1 (r/ R) x cm m 1
(β) Η λύση είναι αυτή που παρουσιάστηκε στον 1ο τρόπο. Σχόλιο: Το κέρδος με τη χρήση ΑΔΕ είναι ο εννοιολογικός πλούτος που εμπεριέχει. Ο προβληματισμός πάνω στους όρους που πρέπει να κρατήσουμε ή να απαλείψουμε μας βοηθά να αντιληφθούμε το πλαίσιο των προσεγγίσεων μέσω των οποίων μελετούμε το σύστημα, ενώ ταυτόχρονα διαμορφώνουμε μια πλήρη αντίληψη για τους μηχανισμούς ανταλλαγής ενέργειας του συστήματος με το περιβάλλον του και ποιες μεταβολές επιφέρουν στο ενεργειακό περιεχόμενό του. Η ΑΔΕ είναι ο «ενεργειακός λογιστής» του συστήματος. Από την άλλη το ΘΜΚΕ παρόλο που αποτυγχάνει στην «ενεργειακή λογιστική» δεν παύει να αποτελεί ένα χρήσιμο υπολογιστικό εργαλείο και στην περίπτωση του προηγούμενου προβλήματος μας παρέχει και κάποιες επιπλέον πληροφορίες από την ΑΔΕ: Αν η Ts είναι προς τα πίσω, το αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση (17) δηλώνει πως επιβραδύνει την μεταφορική κίνηση της κουβαρίστρας, ενώ το θετικό στην εξίσωση (19) μας δείχνει ότι επιταχύνει τη στροφική. Τα αντίθετα ισχύουν στην περίπτωση που η Ts έχει την κατεύθυνση της κίνησης. Λίγα λόγια έργου:
για
τις
δυνάμεις
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
μηδενικού
8
Κατά τη μελέτη του προηγούμενου προβλήματος διαπιστώσαμε ότι παρόλο που η στατική τριβή είναι μια δύναμη μηδενικού έργου (υπό την έννοια ότι μέσω αυτής δεν ανταλλάσσεται ενέργεια μεταξύ σώματος και περιβάλλοντος) εντούτοις συμβάλλει στην εσωτερική αναδιανομή της ενέργειας που προσφέρει η F , από μεταφορική κινητική ενέργεια σε στροφική. Γενικότερα οι εξωτερικές δυνάμεις μηδενικού έργου σε ένα σύστημα, παρόλο που δεν μπορούν να μεταφέρουν ενέργεια από/προς το σύστημα, μπορούν να κάνουν εσωτερικές «μεταγγίσεις» ενέργειας από μια μορφή εσωτερικής ενέργειας του συστήματος σε άλλη.
Πρόβλημα 3:
Χαρακτηριστικό παράδειγμα η δύναμη στατικής τριβής στους τροχούς ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται.
Επιλέγουμε ως σύστημα το ελατήριο, το σώμα Σ και τη Γη.
Κατά την επιτάχυνση του οχήματος η μηχανή προκαλεί την περιστροφή των τροχών και έτσι εμφανίζεται δύναμη στατικής τριβής σε καθέναν από αυτούς προς τη φορά της κίνησης του οχήματος. Η συνισταμένη δύναμη Fs των δυνάμεων στατικής τριβής που εμφανίζονται σε κάθε τροχό επιταχύνει το αυτοκίνητο αυξάνοντας την κινητική του ενέργεια. Παρόλα αυτά η Fs δεν μεταφέρει ενέργεια από το περιβάλλον στο αυτοκίνητο και γι’ αυτό δεν παράγει έργο. Απλά μέσω αυτής μετασχηματίζεται μέρος της δυναμικής χημικής ενέργειας των καυσίμων σε κινητική. Αν γράφαμε την ΑΔΕ για το αυτοκίνητο, στο οποίο δεν εκτελείται εξωτερικό έργο, θα είχαμε:
U Q ή
U Q Επειδή Q 0, 0, 0 η τελευταία εξίσωση ερμηνεύεται ως εξής: Η μείωση της δυναμικής χημικής ενέργειας των καυσίμων γίνεται αύξηση της κινητικής του ενέργειας, αύξηση της θερμικής του ενέργειας και θερμότητα που διαφεύγει προς το περιβάλλον. Η δύναμη της στατικής τριβής είναι υπεύθυνη για τη μετατροπή μέρους της δυναμικής χημικής ενέργειας των καυσίμων σε κινητική.
Σώμα Σ μάζας m είναι εξαρτημένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο. Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση απουσία αέρα. Να αποδείξετε ότι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του Σ κατά την κίνησή του μεταξύ δυο θέσεων που έχουν απομακρύνσεις y1 και y2 από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, ισούται με: K 2 K1 12 k y12 y22 Λύση:
Το σύστημα είναι ενεργειακά μονωμένο. Επειδή το ελατήριο είναι ιδανικό δεν υπάρχει μεταβολή της θερμικής ενέργειας του συστήματος, οπότε κατά τη μετάβαση του σώματος από τη θέση (1) στη θέση (2) η ΑΔΕ στη μορφή της εξίσωσης (13) γράφεται: U U 0 ή 2 1 mg H y2 mg H y1 12 k
y 2 12 k 2
0
0
2 y1 0
ή mgH mgy 2 1 2 mgH mgy1 12 k
2 0
2 0 y 2 y 22 12 k
2 1
2 0
2 0 y1 y12 0
ή
mgy1 mgy2 k 0 y2 12 ky22 k 0 y1 12 ky12 0
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
9
Επειδή όμως στη θέση ισορροπίας ισχύει k 0 mg η προηγούμενη σχέση γράφεται:
2 1 12 ky
2 2
12 ky 0 ή 2 1
2 1 12 k y12 y22 Σχόλιο: Κατά τη διδασκαλία της γ.α.τ διδάσκουμε τη διατήρηση της ενέργειας με τη μορφή: E K U / ή K U / 0
όπου η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης σε μια θέση στην οποία η απομάκρυνση του ταλαντωτή από τη ΘΙ είναι y, υπολογίζεται ως U / 12 ky2 . Από την προηγούμενη ανάλυση προκύπτει πως η μεταβολή της γνωστής μας δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης είναι στην πραγματικότητα το άθροισμα U U . Άρα:
8. Τι εκφράζει ο όρος T x cm Ας επανέλθουμε στο πρόβλημα με το οποίο ξεκινήσαμε και ας δούμε πως η ΑΔΕ μπορεί να μας βοηθήσει προκειμένου να καταγράψουμε σωστά τις ενεργειακές μετατροπές που υπεισέρχονται στο φαινόμενο και να αποκωδικοποιήσουμε το φυσικό νόημα του όρου T x cm . Όπως είπαμε ο κύβος ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα υπό την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F και της δύναμης τριβής ολίσθησης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ας υποθέσουμε επίσης ότι η κίνηση λαμβάνει χώρα σε συνθήκες που αποτρέπουν την ανταλλαγή θερμότητας του συστήματος σώμα δάπεδο με το περιβάλλον (αερόκενος θάλαμος με αδιαβατικά τοιχώματα, θερμομονωτικά στηρίγματα δαπέδου ή μαγνητική αιώρηση).
U / U U
Προσέξτε επίσης πόσο αυτόνομα προκύπτει η λύση του προβλήματος χωρίς να απαιτείται καμία περαιτέρω γνώση για τα ειδικά χαρακτηριστικά της απλής αρμονικής ταλάντωσης.
Εφαρμόζοντας το ΘΜΚΕ για μετατόπιση του σώματος κατά x cm , έχουμε: F x cm T x cm 0 ή F x cm T x cm (20) Αν επιλέξουμε ως σύστημα τον κύβο η ΑΔΕ στη μορφή της εξίσωσης (13) γράφεται: 0 0 , F x cm T dT Q (21)
όπου: F x cm :
d T :
Q :
το έργο της δύναμης F . το έργο της δύναμης τριβής και dT η «δραστική» μετατόπιση του «σημείου εφαρμογής της». θερμότητα που μεταφέρεται από τον κύβο προς το δάπεδο αφού καθώς κινείται πάνω σε αυτό συναντά συνεχώς νέες ψυχρές περιοχές του.
Σε αυτή την μορφή της η ΑΔΕ περιέχει τις ποσότητες d T , Q που δεν μπορούν να προσδιοριστούν. Από τις (20) και (21) όμως προκύπτει: , Q T x cm dT
και αφού:
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
10
, Q 0 θα ισχύει ότι x cm dT
οπότε το πραγματικό έργο της τριβής T d T (υπό την έννοια της πραγματικής ενέργειας που λόγω τριβής μεταφέρεται από το σώμα στο περιβάλλον του) είναι μικρότερο κατ’ απόλυτη τιμή από το «ψευδοέργο» της, T x cm που εμφανίζεται στο ΘΜΚΕ. Ας επιλέξουμε τώρα ως σύστημα τον κύβο και το δάπεδο οπότε η δύναμη τριβής καθίσταται εσωτερική. Με αυτόν τον τρόπο επιλογής του συστήματος δεν υπάρχει ανταλλαγή θερμότητας με το περιβάλλον. Τότε η ΑΔΕ στη μορφή της εξίσωσης (13) γράφεται:
0 0 , F x cm ή , F x cm ή λόγω της (20):
, x cm Συνεπώς ο όρος T x cm εκφράζει την αύξηση της θερμικής ενέργειας του συστήματος σώματοςδαπέδου. Παρατήρηση: Συνήθως σε παρόμοια προβλήματα ζητούμε από τους μαθητές/τριές μας να υπολογίσουν το έργο της τριβής και αναμένουμε να λάβουμε ως απάντηση ότι WT T x cm . Όπως όμως είδαμε το πραγματικό έργο της τριβής στο σώμα (υπό την έννοια της πραγματικής ενέργειας που μέσω τριβής μεταφέρεται από το σώμα στο περιβάλλον του) είναι WT T dT και δεν είναι υπολογίσιμο. Είναι συνεπώς καλύτερο αντί του έργου της τριβής να ζητούμε τη μεταβολή της θερμικής ενέργειας του συστήματος σώματος – δαπέδου, εκπαιδεύοντάς τους/τες στην ερμηνεία , x cm . Η προσέγγιση αυτή συναντάται σε ολοένα και περισσότερα σύγχρονα εγχειρίδια Φυσικής παγκόσμιας εμβέλειας όπως αυτό των «Halliday-Resnick» [14]. Ας επιβεβαιώσουμε το παραπάνω συμπέρασμα μέσω ενός ακόμη παραδείγματος. Σώμα Σ μάζας m αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου δαπέδου γωνίας κλίσης θ, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Θεωρούμε και πάλι πως η κίνηση λαμβάνει χώρα σε συνθήκες που αποτρέπουν την ανταλλαγή θερμότητας του συστήματος σώμα - δάπεδο με το περιβάλλον.
Αν επιλέξουμε ως σύστημα το σώμα, έχουμε: ΘΜΚΕ: mg T x cm 12 m2 (22) ΑΔΕ: , W Q Προσέξτε ότι από το 1ο μέλος της ΑΔΕ απουσιάζει ο όρος ΔU αφού η δυναμική ενέργεια είναι ιδιότητα ενός συστήματος αλληλεπιδρώντων σωμάτων και όχι ενός μόνο σώματος. 1 m2 , mg x cm T dT Q (23) 2 όπου: mgx : το έργο της δύναμης του βάρους το έργο της δύναμης τριβής και dT η T d T : «δραστική» μετατόπιση του «σημείου εφαρμογής της». θερμότητα που μεταφέρεται από το Q : σώμα προς το δάπεδο αφού καθώς κατεβαίνει σε αυτό συναντά συνεχώς νέες ψυχρές περιοχές του. Από τις (22) και (23) προκύπτει: T x dT , Q (24) και εφόσον , Q 0 θα είναι x dT . Αν επιλέξουμε ως σύστημα το σώμα-δάπεδοΓη, έχουμε: ΑΔΕ: U , W, Q ή 1 2
m2 mg x , , 0 0 ή , , mg x 12 m2 (25)
από την (23) άλλωστε έχουμε: T dT Q , mg x 12 m2 (26) Από τις (25) και (26) παίρνουμε: , , T dT Q , ή , T dT Q
Όμως από (24): , T x cm dT Q (+)
, T x cm
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
11
Άρα: Ο όρος T x cm εκφράζει την αύξηση της θερμικής ενέργειας του συστήματος σώματος-δαπέδου. 9. Συμπεράσματα Η βασική θέση της παρούσας εργασίας είναι ότι το ΘΜΚΕ, που είναι μια καθόλα σωστά εξίσωση και ένα πολύ χρήσιμο υπολογιστικό εργαλείο, δεν μπορεί να περιγράψει με πληρότητα το ενεργειακό ισοζύγιο όλων των φαινομένων στα οποία εφαρμόζεται. Τα γινόμενα δύναμης επί μετατόπισης που εμφανίζονται στο ΘΜΚΕ δεν αντιπροσωπεύουν πάντα πραγματικά έργα δυνάμεων, δηλαδή εισροή ή εκροή ενέργειας μέσω δύναμης στο εξεταζόμενο σύστημα. Ο ορισμός των φυσικών μεγεθών κατά τη διδασκαλία οφείλει να γίνεται με σχολαστικότητα και ακρίβεια. Εάν κατά τον ορισμό του έργου η μετατόπιση δεν οριστεί ως αυτή του σημείου εφαρμογής της δύναμης, θα ταυτιστεί μοιραία με την μετατόπιση του σώματος. Όπως όμως είδαμε οι δυο μετατοπίσεις δεν ταυτίζονται πάντα. Πέρα από το να παρέχουμε τον τεχνικό ορισμό του έργου στους /στις μαθητές/τριές μας οφείλουμε να αφιερώνουμε χρόνο για να εξηγήσουμε το φυσικό του νόημα, που όπως είδαμε πρέπει να συνδεθεί με την έννοια «σύστημα». Το πραγματικό έργο μιας δύναμης εκφράζει την ενέργεια που μέσω αυτής μεταφέρεται προς/από το σύστημα στο οποίο ασκείται, σε συμφωνία και με τον 1ο Θερμοδυναμικό νόμο. Αναπτύσσουμε με τον τρόπο αυτό ένα ενιαίο εννοιολογικό πλαίσιο και για τα μελλοντικά μαθήματα της θερμοδυναμικής και όχι μόνο. Το ΘΜΚΕ δεν είναι μια γνήσια ενεργειακή εξίσωση αλλά συνέπεια του 2ου νόμου Newton. Η απόδειξή του πρέπει να εντάσσεται στη διδασκαλία ώστε αυτό να γίνεται κατανοητό. Η εξίσωση που αποδίδουμε στο ΘΜΚΕ είναι προτιμότερο να γράφεται με τη μορφή αντί της καθιερωμένης Fx x W , ώστε να προφυλάξουμε τους/τις μαθητές/τριές μας από την ταύτιση των όρων στο 2ο μέλος με πραγματικά έργα δυνάμεων. Εάν μελετούμε υλικό σημείο ή σύστημα που μπορεί να μοντελοποιηθεί ως υλικό σημείο, η μετατόπιση του υλικού σημείου ταυτίζεται
με τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής κάθε ασκούμενης σε αυτό δύναμης. Το ΘΜΚΕ στην περίπτωση αυτή περιέχει πραγματικά έργα και αποδίδει πλήρως το ενεργειακό ισοζύγιο του φαινομένου, αφού η μοναδική ενέργεια που μπορεί να έχει ένα υλικό σημείο είναι η κινητική. Τονίζουμε ότι δύναμη τριβής δεν μπορεί να ασκείται σε υλικό σημείο. Εάν μελετούμε πιο σύνθετα συστήματα, όπως ένα σώμα που ολισθαίνει σε επιφάνεια με τριβή ή ένα στερεό που εκτελεί σύνθετη κίνηση, τότε το ΘΜΚΕ γράφεται:
cm Fx xcm για τη μεταφορική κίνηση cm για την στροφική κίνηση
και η μετατόπιση του cm του σώματος δεν είναι απαραίτητα και η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της κάθε ασκούμενης δύναμης. Έτσι το ΘΜΚΕ (είτε στη μεταφορική είτε στη στροφική εκδοχή του) δεν περιέχει κατ’ ανάγκη πραγματικά έργα δυνάμεων και αδυνατεί να περιγράψει το ενεργειακό ισοζύγιο των φαινομένων. Παραμένει όμως ένα εξαίρετο υπολογιστικό εργαλείο. Οι εξωτερικές δυνάμεις ενός συστήματος είναι οι μοναδικές που μπορούν να μεταφέρουν ενέργεια στο/από το σύστημα μέσω των έργων τους. Όταν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις μηδενικού έργου, παρόλο που δεν μεταφέρουν ενέργεια από το περιβάλλον προς το σύστημα ή από το σύστημα στο περιβάλλον, συνδέονται συνήθως με μετατροπές της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος από μια μορφή σε άλλη. Οι εσωτερικές δυνάμεις του συστήματος μέσω των έργων τους μπορούν απλά να μετατρέπουν την εσωτερική ενέργεια του συστήματος από μια μορφή της σε μια άλλη, χωρίς δυνατότητα μεταβολής του συνόλου της. Μπορούμε να έχουμε μια πλήρη περιγραφή του ενεργειακού ισοζυγίου των φαινομένων στα οποία μετέχει ένα συγκεκριμένο σύστημα μέσω μια γενικευμένης εκδοχής του 1ου Θερμοδυναμικού νόμου ή αλλιώς την εξίσωση της ΑΔΕ. Μια τέτοια προσέγγιση δεν είναι ενταγμένη στο υπάρχον πρόγραμμα σπουδών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και απαιτεί μια ευρύτερη αναμόρφωση της διδακτικής πρακτικής με έμφαση στη συνέχεια και τη συνάφεια της διδακτέας ύλης. Αποδίδει όμως πλούσιους εννοιολογικούς καρπούς και εξασφαλίζει την ομαλή μετάβαση μεταξύ των
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
12
διαφορετικών θεωριών της Φυσικής, των οποίων η ενέργεια αποτελεί τον πιο ισχυρό συνδετικό κρίκο. Το έργο της τριβής ολίσθησης δεν είναι εύκολα υπολογίσιμο και δεν ισούται με τον όρο T x cm . Αποδείξαμε ότι , T x cm , δηλαδή ο όρος T xcm εκφράζει την αύξηση της θερμικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων μεταξύ των οποίων αναπτύσσεται η δύναμη τριβής και οφείλεται σε αυτήν.
Ευχαριστίες: Ευχαριστώ θερμά τους εξαίρετους συναδέλφους και φίλους Γιώργο Γκρος, Γιώργο Γραμματικάκη, Στέργιο Καϊρέτη, Σταύρο Λέτη, Μπάμπη Νικολάου και Δήμο Πασσαλίδη, για την μετατροπή της πολύτιμης βιολογικής δυναμικής τους ενέργειας στην ανώτερη μορφή οργανωμένης ενέργειας, αυτή της έλλογης σκέψης. Οι στοχευμένες παρατηρήσεις σας με βοήθησαν να δομήσω μια πιο πλήρη και συνεκτική (ελπίζω) αναφορά. Τα εξαιρετικά σχήματα είναι δουλειά του μαθηματικού Γιάννη Γραμματικάκη τον οποίο επίσης ευχαριστώ θερμά.
Αναφορές: 1. C.M. Penchina, “Pseudowork-energy principle,” Am. J. Phys. 46, 295–296 (March 1978). 2. Sherwood, B. A., “Pseudowork and real work”, Am. J. Phys. 51, 597–602 (July 1983). 3. Sherwood, B. A., & Bernard, W. H., “Work and heat transfer in the presence of sliding friction”, Am. J. Phys. 52, 1001-1007 (November 1984). 4. A.J. Mallinckrodt and H.S. Leff, “All about work,” Am. J. Phys. 60, 356–365 (April 1992). 5. J.W. Jewett, “Energy and the confused student I: Work,” Phys. Teach. 46, 38–43 (Jan. 2008). 6. J.W. Jewett, “Energy and the confused student II: Systems,” Phys. Teach. 46, 81–86 (Feb. 2008). 7. J.W. Jewett, “Energy and the confused student III: Language,” Phys. Teach. 46, 149–153 (March 2008). 8. J.W. Jewett, “Energy and the confused student IV: Language,” Phys. Teach. 46, 210–217 (April 2008). 9. A.B. Arons, “Development of energy concepts in introductory physics courses,” Am. J. Phys. 67, 1063–1067 (Dec. 1999). 10. C.E. Mungan, “Thermodynamics of a block sliding across a frictional surface,” Phys. Teach. 45, 288–291 (May 2007). 11. C.E. Mungan, “A primer on work-energy relationships for introductory physics,” Phys. Teach. 43, 10–16 (Jan. 2005). 12. Ι.Δ.Χατζηδημητρίου, «Θεωρητική Μηχανική», εκδ. Γιαχούδη-Γιαπούλη Ο.Ε., Θεσσαλονίκη 1983. 13. Α.Arons, «Οδηγός Διδασκαλίας της Φυσικής», εκδ. Τροχαλία, Αθήνα 1992. 14.H.C.Corben & Ph.Stehle, “Classical Mechanics”, 2nd Edition, Dover publications Inc, New York 1977. 15. Ruth Chabay and Bruce Sherwood, “Matter and Interactions”, John Wiley & Sons, 4th edition, 2015. 16. Halliday & Resnick, Jearl Walker, “Fundamendal of Physics” 9th Ed., Wiley & Sons, 2011. 17. R.Serway, J.Jewett,Jr., “Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics”, 9th Ed., Brooks/Cole/Cengage learning, 2014.
Σεμινάρια Διδακτικής ΟΕΦΕ, Α. Μυστακίδης «Αμφισβητώντας την παντοδυναμία του ΘΜΚΕ»
13