Since 1970
551 2015／11
y
「 x 或 y 為 真 」 的 祕 密
數 學 天 才 布爾的自學之路
1
^
布爾 代數
x
=
用 符 號 「 算」邏輯 布 爾 如 何 造就電腦時代
9 770250 331001
來 趟 太 空 之旅－火星謎團大解密 ！ 火星上有液態水的證據
11
解開火星地表沙丘之謎
ISSN:0250-331X
NT180
NEWS FOCUS
冥王星的藍色天際 冥王星大氣中的霧霾粒子本身可能是紅色或是灰色的，但散射陽光中的藍 光。 NASA 表示，可以利用這項特性推測冥王星霧霾粒子的大小與組成， 而藍光通常意味著散射陽光的粒子很小。在地球上，這些霧霾粒子通常是 微小的氮分子，而冥王星大氣中的霧霾粒子雖相當小顆，但還是比地球的 大一些， NASA 稱為「托林（ tholin ）」。科學家認為托林粒子是在大氣高 層形成。大氣中的氮氣與甲烷分子被紫外線分解游離，再與其他正負電離 子重組，形成更複雜的分子。當這些分子最後形成小粒子，並在揮發性氣 體凝結在冥王星表面之前，降落至表面，形成影像中紅色地表的部分。 除了發現藍天外，新視野號還在冥王星表面偵測到許多小型的水冰露頭， 這些最明顯的位置都是位於紅色色調區域。 NASA 表示，冥王星大部分的 飛越冥王星的新視野號（New Horizons）目
前已經飛至古柏帶，距離地球約 50 億公里。
區域並沒有發現水冰，絕大部分都由其他冰類覆蓋。科學家還不清楚冥王 星表面水冰和形成紅色區域的關連性。
在古柏帶回頭對冥王星拍了一張照片，可以 清楚的看見冥王星的霧霾呈現藍色。
(NASA) NASA, New Horizons Finds Blue Skies and Water Ice on Pluto, http://goo.gl/TEMkWK, 201510/8.
2018 年重新定義公斤 常用單位定義 公 尺： 光 在 真 空 中 於
從 1889 年開始至今，「公斤」是以位於法國巴黎國際度量衡局（ BIMP ）
1/299,792,458 秒 內
行進的距離。
–133 原子基態的兩個超精細能階間 躍 遷 對 應 輻 射 的 9,192,631,770 個 週 期 的 秒：銫
持續時間。 克 耳 文： 水 的 三 相 點 與 絕 對 零 度 相 差 的
1 ⁄ 273.16 定義為 1 克耳文。 安 培： 真 空 中 相 距 一 公 尺 的 平 行 導 線， 通
中的國際公斤原器為標準，是現時唯一使用實物作標準的國際單位。公 斤原器以不易氧化的鉑銥合金鑄造，雖受層層保護，但科學家在近十年 發現，科學家發現公斤原器約少了 50 微克。世界不能再以此原器作為標 準，科學家曾在過去提出以普朗克常數（ h ）重新定義公斤，利用 算出能量，再以
E=h υ E=mc 2 算出公斤，世界各地的科學家都提出許多新方法
來重新定義公斤。 國 際 計 量 局（ CIMP ）宣 布 將 在
2018 年
發布全新的公斤定義，將以數學計量的 方式，不再以實體器具作為標準，屆時 公斤原器將走入歷史。
以 大 小、 方 向 相 同 的 恆 定 電 流， 當 每 米 受 到的吸引力為 2 × 10 –7 牛頓，則這兩根導線 中的電流為一安培。
(The National Institute of Standards and Technology) Elizabeth G.Kilogram conflict resolved at last, Nature, 2015/10/14.
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NEWS FOCUS
海龜腿部保暖機制 世界上最大的海龜「革龜（Dermochelys
3 公 尺，核 心 體 25~27 ℃。牠 們 的 肌 肉 必 須 保
coriacea）」體 長 可 達 溫約為
持溫暖，才能維持生理功能，但這對經 常活動在水中的革龜是一項挑戰。科學 家為了了解其保暖機制，解剖
6 隻因漁
網纏繞而死亡的的革龜，發現到其腿部 肌肉擁有大量的動、靜脈叢，讓牠們在 寒冷的水域，也能保持四肢溫暖。 動、靜脈叢可以讓海龜的四肢保持一定 的溫度，避免過多的核心熱量散失；也 可防止因肌肉產 生的過多熱量運回至 核心，導致海龜核心溫度過高。
(NOAA) John D.et al., Topsy-turvy: turning the counter-current heat exchange of leatherback turtles upside down, Biology Letters, 2015.
宇宙光環推測高質量黑洞 中研院天文及天文物理研究所博士後研究員黃活生等
3
人的研究團隊，分析天文望遠鏡「阿塔卡瑪大型毫米 及次毫米波陣列（ ALMA ）」所拍攝之一張史上解析度 最高的重力透鏡影像後，推論在這個名為
SDP.81 的重
力透鏡系統的中心位置，應該有個不小的黑洞，且估 算出此黑洞質量超過
3 億個太陽。
研究團隊解釋，在這張愛因斯坦環現象的
SDP.81 系統
40 億光年）以及背 120 億光年）。背景星系的影像，是
中，其實包括前景星系（距離地球 景星系（距離地球
受重力作用影響，影像被放大且變形為環狀。形成重 力透鏡這種特別現象的原因，是觀察者與這兩個星系 的位置剛好排列成直線。 (ALMA (NRAO/ESO/NAOJ); B. Saxton NRAO/AUI/NS) Kenneth C. W., Sherry H. S. and Satoki Matsushita, The Innermost Mass Distribution of the Gravitational Lens SDP.81 from ALMA Observations, The Astrophysical Journal,2015.
愛因斯坦環：宇宙中的光線受到重力透鏡效 應影響，而使所觀測的光源形狀改變的現象
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Special Report 火星任務—
解開火星沙丘 之謎
劉勇君／美國楊百翰大學地質科
梁勝雄／現任職於經濟部中
學系畢業，現為美國亞利桑那州
央地質調查所，研究專長為
立大學地球與太空科學研究所博
構造地質與活動斷層調查。
士生，研究專長為行星地形學。
太陽系八大行星中，由內往外數第四顆行星，就是火星（Mars），為四
顆類地行星之一。古時候觀測星體的主要工具為你我的「肉眼」，而火星 肉眼可見顏色為火紅色，常常使人聯想到血腥的戰事，故在西方世界借用 古羅馬神話掌管戰爭神祇之名，命名為 Mars（「戰神」之意）；在中國
古代則稱火星為熒惑星，因為「熒熒如火」，且火星常常出現一陣子又消 失了，不像其他星體，常駐於天空，而令人感到迷惑，故稱之「熒惑」。
因為人類觀測的工具不斷的進步，從最初的肉眼到望遠鏡，至 40 年前的
火星人造探測衛星觀測，甚至近年派遣登陸器（如機會號）登陸火星「直 接」探測。因此，以前不了解的問題，現在都已經揭開神祕面紗。雖然現 階段仍然不是人類「親手」碰觸火星表面，但是卻能藉由「比較行星學」 認識火星。首先，讓我們先了解什麼是比較行星學？
︵
1971 年 美 國 太 空 總 署（NASA） 水 手 9 號 太 空 船
隕石坑
奧林帕斯山 ( 火山 )
河流遺跡
（Mariner 9）傳回了火星地表的第一張清晰照片。令科
學家驚訝的是，火星的地表特徵（火山、河谷遺跡、隕石 坑、沙丘等）（圖一）與地球地貌非常類似，可是我們又 沒有親身蒞臨火星，為什麼可以這樣認為呢？主要原因在
圖一：維京一號所拍攝的火星表面影像，火星地表地貌與地球非常相似。
於地質學家在研究地球上的地質作用時，多會先利用航空 照片或衛星影像來輔助判識大區域的地質構造現象或是
以研究火星地貌及地質作用。科學家假設，他們所「看
地質地貌。在了解大區域的地質概況後，才會親身抵達野
到」的行星上的地表地貌，是類似於地球上可觀察到的。
外實地觀測及考察。
由此就能根據我們所熟知的地球科學理論，進而套用在解 釋其他行星的地質作用，這個研究方法稱為「比較行星學
同理，科學家會藉由太空船或是探測衛星所拍攝的影像，
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（comparative planetology）」。
︶ Copyright Calvin J. Hamilton
「比較行星學」的初登板
沙丘
0.3 公尺
火星沙丘的奧祕
100 公尺
沙丘上的波紋
圖二：蒙古沙漠的沙丘以及波紋。（hbieser）
在風力作用下，沙丘（dune）是一種
沙丘大上好幾倍，這是由於火星大氣
代的盛行風風向，並與現今的風向做
常見的沙粒堆積的地貌（圖二）。沙丘
非常稀薄，風力也較小，沙粒較難被
一比較，更可推測氣候是如何改變的。
通常呈現丘狀或壟狀堆積，一般高度
風力帶動及堆積。因此需要較長的時
火星的沙丘研究也與此研究方向一致，
可達幾公尺甚至幾十到幾百公尺。在
間，才能慢慢形成大型的沙丘地貌。
現在科學家相信火星地表過去應有穩
地球上，沙丘於沙漠地帶分布最廣，
定的液態水，研究火星的沙丘有助於
不過海岸及河岸的沙灘，也可以找到
在地球沙丘的研究上，沙丘的形態、分
推論火星過去的行星風向、大氣環流，
沙 丘 的 地 貌。1976 年 美 國 維 京 1 號
佈、排列、規模的演育可做為推論古
以及重要的火星氣候歷史，所以，火
（Viking 1）太空船傳回了比水手 9
氣候變遷及地殼變動的參考。如分析
星沙丘研究目前是行星科學中，熱門
號更清晰的影像，科學家發現火星地
沙丘的排列可推得盛行風或季風的風
的科學研究議題方向之一。
表有許多大型的沙丘，而且在火星上
向（圖四）；又如知道沙丘的地質年
的沙丘（圖三），長度與寬度都比地球
代，就可推論沙丘形成當時的地質年
沙丘
沙丘上的波紋 10 公尺
圖三：高解析度 HiRISE 影像，火星沙丘以及波紋清晰可見。 （NASA JPL/HiRISE/ Unversity of Arizona）
圖四：風向（紅色箭頭）不同，將可能形成不同種類的沙丘。（作者提供）
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布爾 邏輯 ╳ 電腦 ╳
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2 0 1 5 年， 是 數 學 家 喬 治 ‧ 布 爾 誕 生 的 2 0 0 周 年 ， 他 所 創 造 的 布 爾 代 數， 促 成 了 資 訊 時 代 的 來 臨 。 現 在， 讓 我 們 回 到 1 9 世 紀 的 英 國， 一 同 感 受 布 爾 的 時 代 魅 力 。
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布爾與邏輯 布爾追尋真理的熱忱，導引他發現思想的法則。他以代 數的手法將思想法則表現為後人所稱的布爾代數，不僅 成為電腦硬體設計的基礎理論，更開創了數理邏輯學的 深刻發展。
董世平 中原大學應用數學系教授，美國伊利諾 大學數學博士，專長數理邏輯，曾任符 號邏輯協會東亞委員會委員九年。
天上的星星，依照牛頓所發現的「萬有引力定律」而運動；
書出版之時，能明瞭的人甚少，但這本書對人類影響之大，
而人的思想，也有它運作的法則嗎？
絕對是當時的人，甚至布爾本人都難以想像的。
1854 年，布爾出版了他的著作《思想法則之探討》，在這
理 性 是 人 行 事 的 基 礎， 如 巴 斯 卡（Blaise Pascal,
本書中，布爾給了上述問題的答案：人的思想是有法則可循 的。不僅如此，我們可用數學的方式來描述這些法則。這本
1623~1662）所說：「人是會思考的蘆葦。」我們也說：「物
有本末，事有先後。知所先後，則近道矣。」雖然人人做事 都有其背後的邏輯，但意識到邏輯本身，應是後來的事，正 如人人都呼吸，但意識到呼吸，乃至知道空氣的存在，都是 相當後來的事了。一個人沒學過邏輯，甚至沒聽過邏輯，並 不表示這人做事沒有邏輯，或不需要邏輯。
邏輯學門的發展 一般來說，把邏輯或理則學當作一門系統知識來學習，是從 亞里士多德開始，故傳統邏輯被稱為亞里士多德邏輯，大家 最熟悉的即所謂的「三段論」。
大前提：人會死 小前提：蘇格拉底是人 結論：蘇格拉底會死
巴斯卡。
當我們從所知或已知的事物而得到結論時，這個思考或邏輯 過程，皆使用三段論。人會犯錯，也會犯邏輯的錯誤，有可
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亞里士多德（左）與 他的學生亞歷山大。
能是前提錯，即他的認知就是錯的，但也常發生的是，推論
矢不動」，在希臘有完全相同的說法；而如莊子所說：「一
的過程產生錯誤：
尺之杖，日取其半，萬世不竭。」也與「阿基里斯詭論」有 相通之處。但可惜的是，中國的邏輯後來未有系統性的發
大前提：人會死
展，僅留下了「矛盾」這個有趣的典故：楚人有鬻盾與矛
小前提：蘇格拉底死了
者，譽之曰：「吾盾之堅，物莫能陷之。」以譽其矛曰：「吾
結論：蘇格拉底是人
矛之利，於物無不陷也。」或曰：「以子之矛陷子之盾，何 如？」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛，不可同
我們也許會說這種錯誤太不應該了，但犯這種錯誤的人比比
世而立。」─《韓非子》。
皆是，在報章雜誌及電視上不時可見這些錯誤的推論。因這 些人的心態是先有結論，再為結論找理由，也難怪會犯這種
邏輯數學化
錯誤。希望我們能如孟子所說：「淫辭知其所陷」，而不為 其所陷。邏輯在希臘哲學時期的建立，也就是為了分辨辯士 在辯論時，何者是講理，何者是狡辯，進而使個人能合理的
人類用亞里士多德的方式學習邏輯，至今已 2500 年了。然
而，我們必須用「理性」，才能得到邏輯正確的結果嗎？唯
思考，正確的判斷。
有「理性」，才能知道「理」之「則」嗎？
邏輯不僅在希臘發展，在同時期的中國亦現其蹤跡。春秋戰
布爾提出兩個突破性觀念：其一，用符號表示邏輯命題；其
國時期的名家及墨家的論述中也都有「邏輯詭論」，如「飛
二，可用代數作符號運算。總體來說，我們可先用符號代表
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精選文章
無窮相加之美─泰勒級數
李武炎
曾任教淡江大學數學系，
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現為《科學月刊》編輯委員
布魯克·泰勒 （Brook Taylor, 1685~1731） 英國人，為英國劍橋大學法學博士， 但也研習數學，早年鑽研振動弦運 動，成功使用數學闡述其物理效應，
1715 年發表泰勒級數，當時還不 太引人注目，直到 1772 年拉格朗 日（Lagrange）方才認識這個公式 的重要性，並稱之為「微分計算的 主要基礎」。
無窮的悖論 在公元前五世紀，希臘哲學家雷諾（Zeno）曾經提出兩個很有趣的悖論（paradox，又譯詭論）。第一 個悖論是敘述一個古希臘英雄阿基里斯（Achilles）與一隻烏龜賽跑的故事，他說如果阿基里斯讓烏龜
先走一段距離，則阿基里斯永遠也無法超烏龜，它的論點是這樣的：當阿基里斯從點 a1 出發，烏龜從 點 b1 出發（如圖），當阿基里斯到達點 a2=b1 時烏龜也從點 b1 前進到 b2，當阿基里斯再到達 a3=b2 時 烏龜也再從點 b2 前進到點 b3。這種情況無窮延續下去，似乎烏龜永遠都在阿基里斯的前面。
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精選文章
阿基里斯
a1
a2
a3
b1
b2 烏龜
基里斯連續的位置（a1, a2, a3, ……）與烏龜的連續位
b3 b4 ...... 無窮級數的和就是 1，雷諾的論證是因為無窮項的數
字和是沒有意義的，在當時的知識中，無窮的概念還
置（b1, b2, b3,……）就是所謂的無窮數列，雖然對每
沒有完全發展出來，其實在數學中有許多數都可以表
（設此數為 c），也就是說在點 c 時，阿 基里斯將趕上烏龜。
數， 而
另外一個悖論是與無窮級數有關。這一個悖論是經過希
一個無窮級數的和。
一個正整數 n 而言，an<bn，但在極限理論中我們知道
臘先哲亞里斯多德（Aristotle）傳下來的，這個悖論
成無窮級數的和 。例如
為一循環無窮小
即 可以表成
說有一個站在房間的人，他永遠無法走到牆壁，他的
與雷諾第二個悖論有異曲同工之妙的例子出自《莊子，
論證是這樣的：首先他必須走離牆壁一半的距離，然
天下篇》: 一尺之棰，日取其半，萬世不竭 ，指一尺
後再走剩下距離的一半，接著再走剩下的一半距離， 這個動作可以連續不斷地進行，而且永不停止，當然 我們都知道這個人是可以達到牆壁的，這其實就是無 窮級數
的木棒，今日取其一半（1/2 尺） ，明日取其餘的一
半（1/4 尺），後天又取其剩下的一半（1/8 尺），可
以永遠取之不盡，而所有的和就是原來的一尺。
的 和， 而 這 個
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這個悖論牽涉到數學的一個東西，那就是無窮數列，阿
a4 a5 ......
精選文章
蘑菇雲影七十載─
淺談原子彈的發展與其影響 英雄造時勢 這幾句語發低調但卻蘊含爆發力的話，是當時站在費米（E. Fermi）身旁的威
簡宗奇 桃園市立南崁高中物理科教師。
「沒有甚麼壯觀的事發生， 也 沒 有 聲 音， 東 西 也 沒 移 動， 但 是 當 控 制 棒 插 入、
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儀表顯示放射性讀數降低
格納（E. Wigner）所說的。1942 年 12 月 2 日，義大利籍的費米在美國芝
加哥大學停用的球場裡，成功地進行史上首次人工原子核分裂的連鎖反應；當 時他心想如果控制棒不插進去的話，只要再等一個小時就可以產生一百萬千瓦 的能量。這次試驗是人類原子能發展的里程碑。此後不到 3 年內，美國政府與
軍方統攝了全球最強的人力與工業等軟硬實力，建造出震天懾地的原子彈，直 接終結第二次世界大戰，同時也開啟長達四十幾年的核武冷戰局勢，締造了科 學能量衝擊人類社會的歷史。
時，我們多少有些失落感， 雖然我們知道我們將創造 震撼世界的一件大事…」
1945 年 7 月 16 日，史上第一顆原子彈在美國新墨西哥州一處沙漠試爆，當
時站在試爆地點外的費米巧妙地灑出紙片，讓原子彈爆炸所產生的震波吹落一 段水平距離，隨即步測距離長度，馬上就就計算出原子彈爆炸的威力。
費米神機妙算臻至化境，令人折服，他為了逃避希特勒的迫害而移居美國。接 著又為了防杜納粹德國製造原子彈而傾力投身在美國原子彈的研發工作。後 來，美國物理學家歐本海默（J. R. Oppenheimer）接受任命，主持了這一項
研製原子彈的「曼哈頓計畫（Manhattan Project）」。
歐本海默也算是位天縱之聖，在哈佛大學讀書時三年時間就修完四年課程，原 來想到英國拜師拉塞福（E. Rutherford）門下，不過因為不被拉塞福器重而
到德國去；接著就在德國哥丁根大學發揮他的 理論長才，以極其驚人的速度得到博士學位。 他的量子力學論文讓口試教授甘拜下風。後來
理學家費米。（右）由費米設計的設在芝
受到官方任用，在 1942 年開始網羅人才進行
加哥大學球場裡的反應堆。(wikipedia)
彈研製工作。
（上）首次進行人工核分裂連鎖反應的物
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SCIENCE MONTHLY
「曼哈頓計畫」，並在 1945 年 7 月完成原子
精選文章
在 原 子 彈 問 世 的 年 代 往 前 追 溯 50 年， 恰 好 就 是 德 國 人 倫 琴（W. K.
原子能開發史
Rontgen）發現 X 射線的 1895 年，念過物理的人都知道近代物理通常會 從這個重要的里程碑開始談起 …
1900
1911
德國普朗克（M.
拉塞福透過 α 粒子
Planck）建立輻
散射實驗建立了原
射的量子論。
子結構的理論。
1934 費米在義大利就進行中子撞擊鈾 –238 的試驗，他發現幾乎所有元
波恩（M. Born）、薛丁格（E.
素在中子撞擊時都會發生原子核的變化。
Schrödinger） 與 狄 拉 克（P.
12 月，德國的哈恩（O. Hahn）與史特拉斯曼（F. Strassmann）
Dirac）等人建立了量子力學；
利用中子撞擊鈾 –235，形成鋇與氪的核反應；次年，甫從德國逃
這些學術發展都為日後研製
難到瑞典的梅特納（L. Meitner）與弗里斯克（O. Frisch）隨後正
原子彈奠定不可或缺的基礎。
式提出核分裂的主張；這是世人公認為首次原子核分裂的實驗。
1905
1897
英 國 湯 木 生（J. J.
1925-1928 海 森 堡（W. Heisenberg）、
愛因斯坦提出狹義相對論。
Thomson）發現電子；
更有效，這個概念與後來發展的核分裂理
1913
T. S. Walton）利用質子撞擊鋰而得到氦元
論密切相關，極具重要性；據說這是他在
素，進行了一次以加速器加速粒子撞擊原
倫敦的十字路口等綠燈時靈光一閃想出的
丹麥的波耳提出能階理論成
子核、實現人工衰變的實驗。此時匈牙利
點子，他甚至還曾經為此申請專利。
與居禮夫婦（P. Curie &
功地詮釋氫原子光譜。
重元素的原子核分裂後質量會減輕，依據愛因斯坦（A.
瑞（E. Segre）發現鈽亦能引發分裂式的連鎖反應；
Einstein）相對論中質能互換的原理，虧損的質量就
另外就是前述提到的在 1942 年底，費米在芝加哥大
子，開啟核能反應的新世紀。
子彈發展具有極具關鍵性的影響。
1939 年 7 月， 席 拉 德（Leo Szilard） 與 泰 勒（E.
曼哈頓計畫
會轉換成巨大的能量，人類也因此打開了潘朵拉的盒
學成功地進行首度可控制的連鎖反應，這對後來的原
Teller）等人為了防杜希特勒製造原子彈與設法加速
曼哈頓計畫是二戰期間，研製原子彈的一項巨大軍事
美國在這方面的進展，敦促愛因斯坦出面致信建請美
工程，主要由美國政府與軍方祕密執行，英國與加拿
國總統重視這項問題；8 月，愛因斯坦遂致信羅斯福
大提供相關援助。1942 年起此計畫由格羅夫斯（L. R.
行動」。此後美國先後成立了「鈾委員會」與「科技發
實驗室設在新墨西哥州的一處稱為羅沙拉摩斯的地方。
展研究處」，並由「科技發展研究處」提出三項研究計畫。
計畫中聘用人員超過 13 萬人，總經費近 20 億美金。
在此之後有兩項研究成果是原子彈發展的里程碑，一
另外，這項計畫也在田納西州的橡樹嶺建置了分離
是 1941 年柏克萊的席柏格（G. T. Seaborg）與賽格
鈾 –235 的工廠，其中包括電磁分離廠、氣體擴散分
總統；到了 10 月，羅斯福總統批示軍方「須要採取
Groves）將軍領導執行，歐本海默則擔任實驗室的主任。
2015.11
875
no.11
同一年卡洛夫（J. Cockcroft）與瓦頓（E.
勒（A. H. Becquerel）
射性元素的重要研究。
英國的查兌克（J. Chadwick）發現了中子。 籍的席拉德（L. Szilard）腦筋動得快，想 到如果使用不帶電的中子來撞擊原子核會
幾乎同時，法國的貝克
M. S. Curie）正從事放
1932
Y XΛ
X Y= X= 1+ X
XY Y+ X+ Y=
It is not of the essence of mathematics to be occupied with the ideas of number and quantity.
XⅤ
1815~1864
George Boole
數學在本質上並不完全被數與量的概念所盤據。
喬治．布爾
英格蘭數學家、哲學家
被數與量的概念所盤據。
It is not of the essence of mathematics to be occupied with the ideas of number and quantity.
可沿邊緣裁剪
英格蘭數學家、哲學家
1815~1864
XΛY=XY Y+XY + X = Y Ⅴ X X = 1+ X
喬治．布爾
George Boole
數學在本質上並不完全
Y= X+ Y+
XΛ
可沿邊緣裁剪
英格蘭數學家、哲學家
of number and quantity.
It is not of the essence of mathematics to be occupied with the ideas
X= 1+ X
1815~1864
George Boole
概念所盤據。
Y
XY
不完全被數與量的
數學在本質上並
XⅤ
X Y=
喬治．布爾
STAMP