1ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης Μαθηματικών Γ Λυκείου 2017

1ο ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩ΢Η΢ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΕΜΑ Α Α. Πότε μια ςυνάρτηςη f λέγεται κυρτή ςε ένα διάςτημα Δ Β. Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞

( 4 μονάδεσ ) ( 4 μονάδεσ )

Γ. Έςτω μια ςυνάρτηςη f οριςμένη ςε ένα διάςτημα Δ . Αν f ςυνεχήσ ςτο Δ και f ′ x) >0 για κάθε εςωτερικό ςημείο x του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνηςίωσ αύξουςα ςε όλο το διάςτημα Δ. ( 7 μονάδεσ ) Δ. Να χαρακτηρίςετε ωσ ΢ωςτή ΢) ή ωσ Λανθαςμένη Λ) καθεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ : 10 μονάδεσ ) α) Κάθε ςυνάρτηςη που είναι 1-1 ςτο πεδίο οριςμού τησ, είναι γνηςίωσ μονότονη 1 β) Αν lim f x) = 0 και f(x) > 0 κοντά ςτο x0 , τότε lim = +∞ x→x 0 f(x)

x→x 0

γ) Μια ςυνεχήσ ςυνάρτηςη f διατηρεί πρόςημο ςε καθένα από τα διαςτήματα ςτα οποία οι διαδοχικέσ ρίζεσ τησ f χωρίζουν το πεδίο οριςμού τησ. δ) Αν μια ςυνάρτηςη f είναι γνηςίωσ φθίνουςα και ςυνεχήσ ςε ένα ανοικτό διάςτημα α , β) , τότε το ςύνολο τιμών τησ ςτο διάςτημα αυτό είναι το Α ,Β) όπου A = lim+f x) , B = lim− f(x) x→α

x→β

ε) Για κάθε ςυνάρτηςη f , παραγωγίςιμη ςε ένα διάςτημα Δ , ιςχύει

β ′ f (x)dx α

= f(x)

β α

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η ςυνάρτηςη f x) = x − 1)ex . α) Να μελετηθεί η f ωσ προσ την μονοτονία και τα ακρότατα 5 μονάδεσ ) β) Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f ( 7 μονάδεσ ) γ) Να βρείτε το πλήθοσ των ριζών τησ εξίςωςησ x = 1 + 2017e −x 6 μονάδεσ ) δ) Να υπολογίςετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράςταςη τησ ςυνάρτηςησ f και τουσ άξονεσ x’x , y’y .

7 μονάδεσ )

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ιςχύει : f 1) = 1 , f ′ x) ∙ ex + f(x) = 2x − x 2 , x > 0 α) Να αποδείξετε ότι f x) = 2lnx − x 5 μονάδεσ ) β) Να μελετήςετε την f ωσ προσ την μονοτονία τα ακρότατα και την κυρτότητα ( 4 μονάδεσ ) γ) Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f ( 4 μονάδεσ ) δ) Να λυθεί η εξίςωςη 2ln

x2 + 2 x 2 − 2x + 3

= 2x − 1

( 4 μονάδεσ )

ε) Να βρεθεί ςημείο τησ Cf που απέχει ελάχιςτη απόςταςη από την ευθεία y = x ( 4 μονάδεσ ) ζ) Να υπολογιςτεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των καμπυλών y=

1 2

xf(x) και y = −

1 2

x 2 + x − 1 και την ευθεία x = 2

( 4 μονάδεσ )

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η δύο φορέσ παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f με πεδίο οριςμού 1 , 4 . Αν το ςύνολο τιμών τησ f είναι το −2 , 3 και f 1) = 2 , f 4) = 1 , τότε : Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον x0 ∈ 1 , 4) ∶ f x0 ) = 0 ( 3 μονάδεσ ) Β. Να αποδείξετε ότι η Cf δέχεται δύο τουλάχιςτον οριζόντιεσ εφαπτόμενεσ και έχει ένα τουλάχιςτον πιθανό ςημείο καμπήσ 5 μονάδεσ ) Γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = −x + 2 τέμνει την Cf ςε ένα τουλάχιςτον ςημείο με τετμημένη ςτο 1 , 4) ( 4 μονάδεσ ) Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ 1 , 4) , έτςι ώςτε η εφαπτομένη τησ Cf ςτο Ρ ξ , f ξ) να διέρχεται από το ςημείο Α 0 , 2) ( 4 μονάδεσ ) Ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιςτον δύο ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 4) με ξ1 ≠ ξ2 ∶

1 f′

ξ1

− )

1 2f ′

ξ2

=− )

3 2

( 4 μονάδεσ )

Ζ. Ένα ςημείο Κ κινείται ςτην ευθεία ε) η οποία τέμνει τον άξονα x’x ςτο Μ και Λ η προβολή του Κ ςτον άξονα x’x . Σο ςημείο Λ απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων με ρυθμό 1 m/sec . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολήσ του εμβαδού του τριγώνου ΚΛΜ τη χρονική ςτιγμή t 0 που η τετμημένη του Κ είναι ίςη με την τεταγμένη του . 5 μονάδεσ )

ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ