ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ by Νικος Ραπτης

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Β ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ

Επιμέλεια ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 2

1.1 Η ζννοια τθσ μεταβλθτισ – Αλγεβρικζσ Παραςτάςεισ

1. Σι εύναι η μεταβλητό ; Όταν θϋλουμε να αναφερθούμε ςε ϋνα οποιοδόποτε ςτοιχεύο ενόσ ςυνόλου, διευκολύνει την διατύπωςη να δηλώςουμε το ςτοιχεύο αυτό με ϋνα γρϊμμα. Σο γρϊμμα αυτό ονομϊζεται μεταβλητό. ΢υνόθωσ χρηςιμοποιούμε τα γρϊμματα x , y , t , α , β , κτλ… Παραδεύγματα Σο πενταπλϊςιο ενόσ αριθμού: αν ςυμβολύςουμε με x τον αριθμό, τότε το πενταπλϊςιό του εύναι 5x Σον αριθμό αυξημϋνο κατϊ 5 : αν ςυμβολύςουμε με x τον αριθμό, τότε εύναι x + 5 Σο εξαπλϊςιο ενόσ αριθμού μειωμϋνο κατϊ 9 : αν ςυμβολύςουμε με x τον αριθμό, τότε εύναι 6x − 9

2. Σι λϋγεται αριθμητικό παρϊςταςη ; Αριθμητικό παρϊςταςη λϋγεται μια παρϊςταςη που περιϋχει πρϊξεισ με αριθμούσ. Παρϊδειγμα Η παρϊςταςη 6 ∙ 4 − 9 ∙ −2 + 43 : 2

3. Σι λϋγεται αλγεβρικό παρϊςταςη ; Αλγεβρικό παρϊςταςη λϋγεται μια παρϊςταςη η οπούα περιϋχει πρϊξεισ με αριθμούσ και μεταβλητϋσ . Οι προςθετϋοι λϋγονται όροι τησ παρϊςταςησ. Όςοι όροι περιϋχουν την ύδια μεταβλητό, λϋγονται όμοιοι Παρϊδειγμα Η παρϊςταςη 2x − 5y + 3α εύναι αλγεβρικό και ϋχει ωσ όρουσ τουσ 2x , 5y , 3α

4. Πωσ κϊνουμε πρϊξεισ ςε μια αλγεβρικό παρϊςταςη ; Για να κϊνουμε πρϊξεισ ςε μια αλγεβρικό παρϊςταςη χρηςιμοποιούμε την επιμεριςτικό ιδιότητα : α ∙ β + α ∙ γ = α ∙ β + γ και α ∙ β − α ∙ γ = α ∙ β − γ Η διαδικαςύα με την οπούα γρϊφουμε μια αλγεβρικό παρϊςταςη ςε απλούςτερη μορφό, ονομϊζεται «αναγωγό ομούων όρων». Παραδεύγματα α) 2x + 5x = 2 + 5 x = 7x β) 4y + 2y − y = 4 + 2 − 1 y = 5y

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 3

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢

1. Να χρηςιμοποιόςετε μια μεταβλητό για να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη τισ παρακϊτω φρϊςεισ : α το επταπλϊςιο ενόσ αριθμού β ο αριθμόσ αυξημϋνοσ κατϊ 3 γ ο αριθμόσ μειωμϋνοσ κατϊ 5 δ το μιςό ενόσ αριθμού ε το ϋνα τϋταρτο ενόσ αριθμού 2. Να χρηςιμοποιόςετε μια μεταβλητό για να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη τισ παρακϊτω φρϊςεισ : α το πενταπλϊςιο ενόσ αριθμού αυξημϋνο κατϊ 6 β το οκταπλϊςιο ενόσ αριθμού μειωμϋνο κατϊ 4 γ την τελικό τιμό ενόσ προώόντοσ, αν το αγορϊςουμε με ϋκπτωςη 30% δ ϋναν αριθμό αυξημϋνο κατϊ 40% ε την περύμετρο ενόσ τετραγώνου ςτ την περύμετρο ενόσ ορθογωνύου, αν το πλϊτοσ του εύναι 5m μικρότερο από το μόκοσ του. 3. Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ : α 2x + 7x β 3x − 5x γ 6x + 3x + x ε 8α − 3α + 4α − 6α ςτ −3β + 10β − 8β + β 4. Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ : α 25x + 7x β −2x + 6x δ

1 3

δ 5x − 4x − 7x

γ 0,3x − 1,8x − 1,5x + 6,3x + 1,7x

α + 0,5α − α − α + 6

5. Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ : α 3x − 2y + 7x + 6y β 5x + 7y − 6x − 9y γ 5α − 3β + 6β − 9α δ 7ω + 4 − 3ω − 9 + 5ω ε 3α − 5 + 6β + 8 − 7 − 3β 6. Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ : α 3x − 5y + 2x + 6y β 7x + 5y − 13x − 25y

γ x − 2 + 3x + z − y + 3z + y

7. Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ : α 2x + 3y + (6x − 4y) β 5α − 4β − (7α − 6β) γ 5x − 7y − 4x − 3y δ α − 4 − 2α + 7 + 5 − 4α ε 3 − 2α + 7β + 5α − 3β − 8 8. Αν εύναι Α = 8 + (x − 7 + y) και Β = − −x + 6 + y − 5 να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ Α + Β και Α − Β

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 4

9. Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ : α 2 3x − 2y + 4 x + 2y β 5 x + 2y − 3(2x + 4y) δ 4 α+3 −2 7+α +2 ε 2α − 5 3α + β + 4(2α + 3β)

γ 12 − 3 x + 2 + 4(2x − 7)

10. Να κϊνετε τουσ πολλαπλαςιαςμούσ : α x + 2 (x + 3) β y+4 y−2

α−3 α−4

α+β α+β

11. Να κϊνετε τουσ πολλαπλαςιαςμούσ : α x + 5 (x − 1) β y−3 y−5

α+3 α+4

α+β α−β

12. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2 3x − 5 − 4 2x − 3 + 7x − 2 α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −3 13. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3 x + 5 + 12x − 6 x − 9 α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −2 και για x = −

1 3

14. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 4 x − 2 − 2 x − 3 + 3 α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x =

∙ 28

26 8 : 218

15. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2x − 5 3x − 2(4x − 9) α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = 3 ∙ 7 − 15 ∙ 4 ∙ 6 − 2 ∙ 11

− 5 2 ∙ 7 − 17

16. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3x − 4y − −5x + 7y + (10 − 9x + 8y) α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −10 , y = −

1 3

17. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3 2x − 1 − 2 3y + 2 + 2x + 4y α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −2 , y = −9 18. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2 x − 2y + 1 − 3 2x − y − 3 − 4x α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = −1 , y = 1 19. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 5x − 4 10x + 3 y − x − 6 x + y α Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α 3

β Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = 2 ∙ 2 − 8 − 4 + 2 y=

−6∙ −5+2 −4∙ −2 3 −4+7 ∙ −6 + 1−32 ∙ −2

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

: 2−1 και

: (−102 )

Σελίδα 5

20. Αν ιςχύει x + y = 3 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 2 5x − 4y − 3 x − 7y − 6y 21. Αν ιςχύει α + β = −8 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 5 α − 2β − 3 2α − 3β + 7 22. Αν ιςχύει α + β = 6 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 5 α + 2 + 3 β − 13 − 2(3 − β) 23. Αν ιςχύει x − y = 7 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = 5 x − 2y − 2 x − 3y − (−y − 9) 24. Αν ιςχύει x − y =

1 6

να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = −x + 2 3x − y − 4 y − 3 + x

25. Αν η περύμετροσ ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου πλευρϊσ α εύναι 8 και ενόσ τετραγώνου πλευρϊσ β εύναι 9, να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : Α = 3 α − β + 5 β − 1 + 2 β + 3 + 15 26. α Να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη την περύμετρο του διπλανού ςχόματοσ β Να υπολογύςετε την περύμετρο του τριγώνου όταν x = 2 και y = 5

27. α Να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη την περύμετρο του διπλανού ςχόματοσ β Να υπολογύςετε την περύμετρο του τριγώνου όταν x = 3 και y = 4

28. α Να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη την περύμετρο του ορθογωνύου του διπλανού ςχόματοσ β Να υπολογύςετε την περύμετρο του ορθογωνύου όταν x = 5 και y = 3

29. α Να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη την περύμετρο του ορθογωνύου του διπλανού ςχόματοσ β Να υπολογύςετε την περύμετρο του ορθογωνύου όταν x+y= 6 30. α Να εκφρϊςετε με μια αλγεβρικό παρϊςταςη την περύμετρο του ιςοςκελούσ τριγώνου με βϊςη ΒΓ του διπλανού ςχόματοσ β Να υπολογύςετε την περύμετρο του ορθογωνύου όταν x + y = 5

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 6

1.2 Εξιςώςεισ Α’ Βακμοφ 1. Σι εύναι η εξύςωςη ; Μια ιςότητα δύο παραςτϊςεων που περιϋχουν αριθμούσ και μια μεταβλητό ςυνόθωσ το x ) ονομϊζεται εξύςωςη με ϊγνωςτο τον αριθμό x . Παρϊδειγμα Η ιςότητα 5x + 3 = 3x − 5 εύναι εξύςωςη Η παρϊςταςη 5x + 3 λϋγεται πρώτο μϋλοσ τησ εξύςωςησ και η παρϊςταςη 3x − 5 λϋγεται δεύτερο μϋλοσ τησ εξύςωςησ. Η διαδικαςύα κατϊ την οπούα βρύςκουμε την μεταβλητό x λϋγεται επύλυςη τησ εξύςωςησ. Άγνωςτοι όροι τησ εξύςωςησ λϋγονται οι όροι που περιϋχουν την μεταβλητό x , ενώ γνωςτού όροι λϋγονται αυτού που δεν την περιϋχουν

2. Σι λϋγεται λύςη ό ρύζα τησ εξύςωςησ ; Λύςη ό ρύζα τησ εξύςωςησ ονομϊζεται ο αριθμόσ που επαληθεύει την εξύςωςη

3. Ποιεσ ιδιότητεσ χρηςιμοποιούμε για την επύλυςη μιασ εξύςωςησ ; ΢την διαδικαςύα επύλυςησ μιασ εξύςωςησ χρηςιμοποιούμε τισ παρακϊτω ιδιότητεσ πρϊξεων : α Αν προςθϋςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα Αν α = β τότε α + γ = β + γ β Αν αφαιρϋςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα Αν α = β τότε α − γ = β − γ γ Αν πολλαπλαςιϊςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα Αν α = β τότε α ∙ γ = β ∙ γ δ Αν διαιρϋςουμε και ςτα δύο μϋλη μιασ ιςότητασ τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει πϊλι ιςότητα Αν α = β τότε α ∶ γ = β ∶ γ με γ ≠ 0

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 7

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α x−3=5 β x+2=8 ςτ x + 7 = 2 ζ x + 6 = −2

γ x − 4 = −2 η 10 = 6 + x

2. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 3x = 15 β −4x = 20

γ 7x = 0

δ x − 2 = −8

δ 0x = −3

ε x + 4 = 10

ε −3x = −21

3. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α

x 2

x 3

= −6

4x 2

4. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 2x − 4 = 6 β 3x + 2 = 11 ςτ −2x + 7 = 3 ζ) −3x + 1 = −8

= 12

δ −5 = 3

γ 5x − 4 = −9 η) 4x + 5 = −11

5. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 2x − 3 = x + 4 β −8x + 7 = −3x + 22

−2x −3

= −6

δ 4x − 2 = −14

γ 6 − 4x = 24 + 2x

ε 2x + 6 = 20

δ 4x + 5 = 2x − 7

6. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 8x − 3 = 5x + 5 + 7x β −x − 7 = −3x − 5 − x γ 12 − 2x + 11 = −3 + x − 7 δ 9x − 5 = 2x + 8 + 4 − 8x + 8 + 3x − 5 ε 3 − 2x + 7 − 3x = 6 + 4x + 14 + 6x 7. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 2 x − 3 + 9 = 5x − 6 δ 2 3x + 2 = 4 − x

β 9x − 3(2x − 5) = 21 ε x + 3 + 3 x + 2 = 9 − 2x

γ −5 −2x + 1 = 45

8. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 3x + 2 x + 1 = x − 4 δ 2x + 3 = 3x − (x + 7)

β 5−2 x−3 =8−x ε 4x − 1 = 2x + 4 + 3

9. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 7 − 4x = −4 −x − 2 − 1 δ 3 − 7 x − 1 = 5 − 4x

β −12 − 4x = 2 3 − 2x − 6 γ 3 x + 1 = 5 − 3x + 2 ε −7x + 8 = −3 5 − 2x − 3 + x

γ 2x − 4 −x − 3 = −x + 5

10. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 6x − 2 −x + 5 = 20 − 3(x − 1) γ 10x − 4x + 5 = − 4 − 2x + 5x

β 12x − 4 3x − 2 = 6(−2x − 3) δ 3 x − 2 + 2 x + 1 = 3(2x + 1)

11. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 3 − 2 3x + 1 = x − 5(5 − 7x) γ 8 x − 4 − 6 2 − x = 2(6x − 1)

β 6 x − 1 − 3x + 11 = −7 δ 4 3 − x − 2 3x − 4 = −(16 − x)

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 8

12. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α 4 5 − x − 2 x − 3 = x − 4 − 3(x + 2) γ 2 3x − 1 − 3 x − 2 = −2 4 − x + x + 5

β 2 3 − 2x = 2 x − 1 − 3 5 + 2x + 23

13. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α x − − 3x + 1 − 5 = 2(x + 1) β 2 − −3 x − 5 + 2x − (3 − 4x) − x − 2 = −x + 5 γ 7 4x − 5(x − 5) − 2x = 2 3 x − 8 − 1 14. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

x −3

2x − 4

= −4

−3x − 9

5x + 2

15. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

x −3

x +2

3x + 2 3

4x − 5

3x − 5

3 − 2x

δ −

x +3

−3x − 1

16. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) δ

−5(x − 1)

4 3 x +4 −2 2

3x − 2

3 4x + 10

7 x +3 −5 5

2 − 8x

6+2(x − 1)

5 − 2x 2

17. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

x +1 3

−

2x + 1 3

3x − 1 4

−

2x − 5 6

5x + 1

−

x +1 10

5−x

18. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

x −4 2

2x − 4 4

4x − 12

β 6−

x −5 10

1 − 5x

x −4 3

−

2x − 4 2

19. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : 4 − 3x

α) 2 −

=−

x −4 10

−4

β 3−

3 − 2x 4

1−x 8

−1

2x − 3 2

−

3x + 1 4

x −3

−1

20. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

3x − 1 2

5 10

x −2 5

2x + 5 2

5x − 7 2

−

2x + 7 3

= 3x − 14

γ x+

2x − 7 4

1−x 2

+2x

21. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

2(3x − 2) 7

3x + 1 2

−x

3(x + 1) 4

−

x + 15 2

3x − 1

2x − 1 5

−

1 2

2(x + 1) 5

−

11 10

22. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

11 − 6x 5

–

9 − 7x

5(x – 1)

2 6 1 1 γ 2x − 2 19 − 2x = 2 2x − 11

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

1 6

8−x +

2 3

x−1 =

1 2

x+6 −

x 3

Σελίδα 9

23. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

x +4 3

–

20 − x 9

5x − 1 6

−

5x − 13 6

x +1

–

2x − 1 5

3x + 1 2

27x + 19 20

24. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : x+1

α) 2x − 5 − 2

=x−

x−1 +3 3

x −5 2

–

7x 2

=−

14 4

– (3x − 9)

25. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : x+3 7x − 4 2 − 4x − 1 = 2 − + 6 2 4

α) x −

x−1 x+1 x x + = − − 2 3 2 3

β 5+

26. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

3 5

x−4 −

2x − 9 =

1 4

x−1 −2

x−1 −

x−4 =

x−6 8

1 4

27. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

x +3 2 3 5– 4

5x − 4 2 1 1+ 2

3+ 3 = 1 2− 3

2−x 3 x 1– 4

1 3

x 2

28. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 5 2 − 3(x + 2) − 2 x − 2(1 − x) = 318 : 315 + (−1)2019 β

4 − 5x

–

9(x – 1) 2

= 3 − 5 x + 3 − 3(x + 2)

29. Δύνονται οι παραςτϊςεισ Α = 2 5 − 2x − 2 − x και Β = 5 x − 2 − 3 x − 1 α Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ Α και Β β Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει 3Α − 2Β = 12 30. Δύνονται οι παραςτϊςεισ Α =

2(x − 3) 5

−1 και Β =

3(x − 2) 4

Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει Α = Β . 31. Δύνονται οι παραςτϊςεισ Α =

2−x 3

−1 + x και Β =

3x + 1 3

−

3x − 1 2

Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει Β − Α = 14 . 32. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με πλευρϋσ ΑΒ = 2x + 1 , ΑΓ = 4x − 3 και ΒΓ = x − 1 . Να βρεύτε το x αν : α η περύμετροσ του τριγώνου εύναι ύςη με 11 β το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ με βϊςη την ΒΓ 33. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με πλευρϋσ ΑΒ = x + 6 , ΑΓ = 3x − 4 και ΒΓ = 2x − 3 . Να βρεύτε το x αν το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ με βϊςη την ΒΓ και ςτη ςυνϋχεια την περύμετρο του τριγώνου. 34. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με πλευρϋσ ΑΒ = 3 x + 1 − 4 , ΑΓ = 6 − (x − 1) και ΒΓ =

y +7 2

−

y +1 4

. Να βρεύτε το x αν το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ με βϊςη την ΒΓ και ςτη ςυνϋχεια

το y αν η περύμετροσ του τριγώνου εύναι ύςη με 14 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 10

35. Δύνεται τετρϊπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = x + 1 , ΒΓ = x + 2 , ΓΔ = 2x + 2 και ΑΔ = 2x − 3. Αν η περύμετροσ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ εύναι 26 , να βρεύτε το x . 36. Δύνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με πλευρϋσ ΑΒ = x + 1 και ΒΓ = 4x − 2 . Αν η περύμετροσ του ΑΒΓΔ εύναι 38 , να βρεύτε το x . 37. Δύνεται η εξύςωςη

x +α 3

2x − α 2

=1.

α Να βρεθεύ το α ώςτε η εξύςωςη να ϋχει λύςη το 1 β Να λυθεύ η εξύςωςη αν α = 2 38. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η εξύςωςη 4α + 8 x = 16 εύναι αδύνατη. 39. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η εξύςωςη 5x = 3 − αx εύναι αδύνατη. 40. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η εξύςωςη

3αx − 1 6

x +3

41. Να προςδιορύςετε τον αριθμό μ ώςτε η εξύςωςη

−1 εύναι αδύνατη.

μ −1 2

1 3

x +1 3

να εύναι ταυτότητα .

42. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ώςτε η εξύςωςη 2α − 6 x = 3β + 9 να εύναι ταυτότητα . 43. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ώςτε η εξύςωςη 4x − 3 = αx − β να εύναι ταυτότητα . 44. Δύνονται οι εξιςώςεισ 3 x + 1 + 5 =

x 2

+3 και α + 2 x = 2α − 4

α Να λύςετε την πρώτη εξύςωςη β Αν η λύςη τησ πρώτησ εξύςωςησ εύναι και λύςη τησ δεύτερησ εξύςωςησ, να βρεύτε την τιμό του α .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 11

1.3 Επίλυςθ Σφπων

΢τα Μαθηματικϊ , ςτην Υυςικό , ςτην Φημεύα , βρύςκουμε ιςότητεσ που ςυνδϋουν διϊφορα μεγϋθη. Αυτϋσ τισ ιςότητεσ τισ ονομϊζουμε τύπουσ. Ένασ τϋτοιοσ τύποσ μπορεύ να θεωρηθεύ ςαν εξύςωςη και μια από τισ μεταβλητϋσ που περιϋχει θα την θεωρούμε ωσ ϊγνωςτο τησ εξύςωςησ. Η επύλυςη μιασ τϋτοιασ εξύςωςησ ονομϊζεται επύλυςη τύπου.

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να λύςετε την εξύςωςη P ∙ V = n ∙ R ∙ T ωσ προσ : α V

β n

γ T

2. Να λύςετε τον τύπο τησ περιμϋτρου κύκλου L = 2πρ ωσ προσ την ακτύνα ρ 3. Να λύςετε τον τύπο τησ εξύςωςησ μιασ ευθεύασ y = λx + β ωσ προσ : α x 4. Να λύςετε ωσ προσ x τουσ τύπουσ των ευθειών : α y = 2x + 7 5. Να λύςετε τον τύπο του μόκουσ ενόσ τόξου ℓ =

πRμ 180 0

β β

β 3x − 4y + 2019 = 0

ωσ προσ : α R

β μ

6. Σο εμβαδόν ενόσ τραπεζύου με μικρό βϊςη β , μεγϊλη βϊςη Β και ύψοσ υ εύναι Ε = α β γ δ

Β+β ∙ υ 2

Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ υ Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ β Να βρεύτε το ύψοσ του τραπεζύου που ϋχει εμβαδόν 35 τ.μ. , βϊςη μεγϊλη ύςη με 8 και μικρό βϊςη 6 Να βρεύτε τη μικρό βϊςη του τραπεζύου που ϋχει εμβαδόν 80 τ.μ. , μεγϊλη βϊςη 12 και ύψοσ 8 .

7. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου με διαςτϊςεισ x , y εύναι Π = 2x + 2y . α Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ x και y β Να βρεύτε το μόκοσ x του παραλληλογρϊμμου που ϋχει περύμετρο 56 cm και πλϊτοσ y = 10 cm 8. Να λύςετε ωσ προσ α τουσ τύπουσ : α υ = υ0 + αt 9. Δύνεται ο τύποσ φ = 180 − 10. Δύνεται ο τύποσ

1 R

1 R1

360

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

ν 1 R2

β x = υ0 ∙ t + 2 α ∙ t 2

. Να λύςετε τον τύπο ωσ προσ ν και να υπολογύςετε το ν , αν φ = 120 . Να λύςετε ωσ προσ R 2

Σελίδα 12

1.4 Επίλυςθ Προβλθμάτων με χριςθ Εξιςώςεων

Για να λύςουμε ϋνα πρόβλημα με τη βοόθεια εξιςώςεων, κϊνουμε τα εξόσ : 1 Διαβϊζουμε καλϊ το πρόβλημα για να καταλϊβουμε τι μασ δύνει τα δεδομϋνα και τι μασ ζητϊει 2 Εκφρϊζουμε με ϋνα γρϊμμα, ςυνόθωσ το x , το ζητούμενο του προβλόματοσ 3 Εκφρϊζουμε όλα τα ϊλλα μεγϋθη του προβλόματοσ με τη βοόθεια του x 4 ΢χηματύζουμε την εξύςωςη του προβλόματοσ 5 Λύνουμε την εξύςωςη 6 Εξετϊζουμε αν η λύςη που βρόκαμε ικανοποιεύ τισ ςυνθόκεσ του προβλόματοσ .

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να βρεθεύ ϋνασ αριθμόσ που όταν το τριπλϊςιό του αυξηθεύ κατϊ 5, δύνει το τετραπλϊςιο του αριθμού αυτού ελαττωμϋνο κατϊ 2 . 2. Σο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών αριθμών εύναι 159 . Να βρεύτε τουσ αριθμούσ αυτούσ. 3. Σο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών ϊρτιων αριθμών εύναι 66. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ αυτούσ. 4. Δύο αριθμού ϋχουν ϊθροιςμα 45. Αν προςθϋςουμε τα

2 3

του πρώτου αριθμού και το

1 6

του δεύτερου

αριθμού, βρύςκουμε 28. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ . 5. Να βρεθούν οι οξεύεσ γωνύεσ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου, αν η μια εύναι τετραπλϊςια τησ ϊλλησ. 6. ΢ε ιςοςκελϋσ τρύγωνο η γωνύα τησ κορυφόσ εύναι κατϊ 27° μικρότερη των γωνιών τησ βϊςησ. Να βρεθούν οι γωνύεσ του τριγώνου . 7. Η μεγϊλη βϊςη ενόσ τραπεζύου εύναι τριπλϊςια από την μικρό του βϊςη. Αν το ύψοσ του τραπεζύου εύναι 10 cm και το εμβαδόν του εύναι 120 cm2 , να βρεύτε πόςα cm εύναι κϊθε βϊςη του τραπεζύου . 8. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου εύναι 80 cm. Σο μόκοσ εύναι 10 cm μεγαλύτερο από το πλϊτοσ του. Να βρεύτε το μόκοσ και το πλϊτοσ του ορθογωνύου. 9. Η παραπληρωματικό μιασ γωνύασ εύναι τριπλϊςια από τη ςυμπληρωματικό τησ. Να βρεύτε πόςεσ μούρεσ εύναι η γωνύα.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 13

10. Σρεισ φύλοι μοιρϊςτηκαν ϋνα χρηματικό ποςό. Ο πρώτοσ πόρε τα το

1 3

του ποςού και 30 ευρώ και ο τρύτοσ πόρε το

1 4

2 5

του ποςού , ο δεύτεροσ πόρε

του ποςού . Να βρεύτε το ποςό που μοιρϊςτηκαν

και πόςα πόρε ο καθϋνασ. 11. Σρεισ φύλοι μοιρϊςτηκαν ϋνα χρηματικό ποςό. Ο πρώτοσ πόρε τα 5 ευρώ λιγότερα από το

2 3

1 4

του ποςού , ο δεύτεροσ πόρε

του ποςού και ο τρύτοσ πόρε 30 ευρώ λιγότερα από το

1 2

του ποςού . Να

βρεύτε το ποςό που μοιρϊςτηκαν και πόςα πόρε ο καθϋνασ. 12. Η Μαρύα αγόραςε 12 μολύβια και γόμεσ και πλόρωςε 30 ευρώ. Πόςα μολύβια και πόςεσ γόμεσ αγόραςε, αν κϊθε μολύβι κοςτύζει 1,5 ευρώ και κϊθε γόμα 3 ευρώ ; 13. Από τουσ μαθητϋσ μιασ τϊξησ το

1 4

μαθαύνει Γαλλικϊ, το

5 8

μαθαύνει Αγγλικϊ και 3 μαθητϋσ

μαθαύνουν Γερμανικϊ. Πόςουσ μαθητϋσ ϋχει η τϊξη αυτό ; 14. Ένασ μαθητόσ ϋγραψε ςε δύο διαγωνύςματα Μαθηματικών 13 και 17. Σι πρϋπει να γρϊψει ςτο τρύτο διαγώνιςμα, ώςτε και ςτα 3 διαγωνύςματα ο μϋςοσ όροσ να εύναι 16.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 14

1.5 Ανιςώςεισ Α Βακμοφ

1. Σι εύναι η ανύςωςη α’ βαθμού ; Ανιςώςεισ α’ βαθμού με ϋναν ϊγνωςτο λϋμε κϊθε ανύςωςη που περιϋχει μια μεταβλητό και η οπούα αληθεύει για οριςμϋνεσ τιμϋσ τησ μεταβλητόσ. Λύςεισ μιασ ανύςωςησ ονομϊζονται οι αριθμού οι οπούοι , αν μπουν ςτη θϋςη του αγνώςτου , θα προκύψουν οι ανιςότητεσ που αληθεύουν .

2. Πωσ επιλύουμε μια ανύςωςη α’ βαθμού ; Επύλυςη μιασ ανύςωςησ λϋγεται η διαδικαςύα που κϊνουμε για να βρούμε τισ λύςεισ τησ. Για να λύςουμε μια ανύςωςη χρηςιμοποιούμε τισ παρακϊτω ιδιότητεσ : α Αν και ςτα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ προςθϋςουμε ό αφαιρϋςουμε τον ύδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πϊλι ανύςωςη με την ύδια φορϊ . Αν α < β τότε α + γ < 𝛽 + 𝛾 𝜅𝛼𝜄 𝛼 − 𝛾 < 𝛽 − 𝛾 Αν α > β τότε α + γ > 𝛽 + 𝛾 𝜅𝛼𝜄 𝛼 − 𝛾 > 𝛽 − 𝛾 β Αν και ςτα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ πολλαπλαςιϊςουμε ό διαιρϋςουμε τον ύδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει και πϊλι ανύςωςη με την ύδια φορϊ . Αν α < β και γ > 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 < 𝛽 ∙ 𝛾 𝜅𝛼𝜄

α γ

β γ β

Αν α > β και γ > 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛾 𝜅𝛼𝜄 γ > γ γ Αν και ςτα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ πολλαπλαςιϊςουμε ό διαιρϋςουμε τον ύδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανύςωςη με αντύςτροφη φορϊ . Αν α < β και γ < 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛾 και

α γ α

β γ β

Αν α > β και γ < 0 𝜏ό𝜏𝜀 𝛼 ∙ 𝛾 < 𝛽 ∙ 𝛾 𝜅𝛼𝜄 γ < γ ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Για να λύςουμε μια ανύςωςη ακολουθούμε παρόμοιο τρόπο που ακολουθούμε ςτην επύλυςη εξιςώςεων.

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Όταν λύνουμε μια ανύςωςη ςυνόθωσ δεν βρύςκουμε μόνο μια λύςη, αλλϊ ϊπειρεσ, γι’ αυτό παριςτϊνουμε αυτϋσ τισ λύςεισ ςτην ευθεύα των πραγματικών αριθμών.

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Λϋμε ότι δύο ό περιςςότερεσ ανιςώςεισ ςυναληθεύουν, όταν ιςχύουν ταυτόχρονα .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 15

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α x−3>5 β x+4≥2 γ x−1<4 δ x+7 <3 2. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 2x + 4 > 8 β 3x + 5 < 2 γ −2x + 6 > 10 δ 1 − 3x ≤ −8 3. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 5x + 3 > 10 + 4𝑥 β 12x + 7 ≥ 10x + 15 γ −5x + 2 ≤ 3 − x 4. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 7 − x − 2 < 2𝑥 β – 8 − 3x > 4𝑥 − 2 γ 6x − 1 − x + 12 ≤ 4x + 5 5. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 7 x − 1 < 5𝑥 − 13 β 2 3x − 2 > 4𝑥 − 2 γ −2 −4x − 3 < 𝑥 − 2 6. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 5 x − 3 − 3(x − 1) ≤ 0 β 27– 2x + 7 ≥ 7(x − 1) γ 4 3 − x − 2 3x − 4 > −14x − 4 7. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 2 5 − 2x − 7 ≥ −26 − 3(x − 6) β 5 x − 2 − 4 2x + 1 > −3(𝑥 + 4) 8. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 6x − 4 x + 3 > 𝑥 + 5 + 2(𝑥 − 1) β – 2 3 − x + x + 5 ≥ −4(1 − x) 9. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 8 x − 3 − 6 − 2x ≤ 2 x + 2 − 5(5 − x) β 12 x + 2 + 5 < 3 4x + 9 + 4 10. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 5 3x − 5 − 3 x − 7 ≥ 8 − 2(3x + 4) β 5 x + 3 − 4 x + 2 < 3 x + 5 − 5(x + 2) 11. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 38 − 3x > 4[4 x − 10 − x − 12 ] β 2 3x − 1 − 3 4 − 2x > 3 3x − 5 12. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α

x −1 6

−

x −1 2

3 − 2x

1 2

−

1−x 3

≤

2x + 1 3

−

x −1 2

≥3

13. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α

x −3 2

−

x +5 6

x −3 3

x −3 2

x −2 3

5x − 16 6

−

x +1 3

≤ −1 −

x −4 12

14. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α x+

2x − 5 3

x 6

3 2

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

2x − 1 4

1 5

≥

x 5

x −2 2

x −1 4

−

2x − 3 3

≤2−x

Σελίδα 16

15. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α

−2x − 1

x +1

−

≤

4 − 5x 2

−

x +2

x +4

−

≥

x +5

−

x +3 4

16. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α

x +1

−

x −1

2x + 1

−

x +1

2x + 3

−

3−x

−x

17. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α

2(x − 3) 3

−3(4 − x)

≤

3(x − 4)

−

5x − 1 10

x +5 3

18. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α

1 − 3(x + 2) 4

−

x +2 2

>1−

2(x + 4)

2(x + 15)

− 2x <

5(10 − x) 6

−

x +6 2

19. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α 1+

x −2

x +1

x +5

x + 14 − 3(2 − x)

17 4

−

5(2 − x) 8

20. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ : α

3 16

x−1 −

x−4 <

x−6 +

x +1 5

x 2

≤x+2−

3 x +1 −7 10

21. Να βρεύτε τισ θετικϋσ ακϋραιεσ λύςεισ των ανιςώςεων : α – 3 − 4 2x − 3 ≥ −4 x − 7 − 5

x −4 6

−

1−2(x − 4) 3

≤1−

6−x 2

22. Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : α x − 3 < 2 και 4 − x < 3 β x − 7 < 2 και 5 − x < 2 γ) 4x − 1 > 3 1 − x + 10 και 2 1 − x ≥ 8 δ) 2 x − 3 − 4(x + 2) ≥ 6 και −7 ≥ −3 4 − x − 5(x + 1) 23. Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : α 6 − 3 −2 − x ≤ 3 − 2(3 − x) και −4 −x − 3 − 5 −2 − 2x ≤ −6 β 2x + 3 x − 7 < 2 4 − x − 1 και 2 3x − 1 + 5 3x − 8 > 3𝑥 − 24 γ 5x − 3 x − 8 > 1 − (x − 2) και x + 2 3 − 5x ≤ 2x − (9x − 3) 24. Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : α β

x −1 3 x +5 4

+ −

x −2 4 x 3

x −3

2 x −3 6

2x − 3

και

3 7 − 3x 12

+1 <

3 4

x −2 2

−2x ≤

5(5 − 2x) 6

−4

25. Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : α β

x +4 6 x −2 3

+2 ≥ +

7 6

x −2

4 x −5 4

x −2

και x −

και

3x 4

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

−

5 6

x −3

2 2x

x 2

−

x −4 4

Σελίδα 17

26. Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : α x − 2 < 2(x − 3) και 2 x − 2 + x > 𝑥 − 5 και x − 2 < 7 β 3x − 2 < 13 και 2 x − 3 > −2 και 3x ≥ 5 x − 1 − 1 γ

x +1 3

≥

x −1 2

και

x − 1 ≤ x + 1 και −x − 5 < −4

27. Να βρεύτε τισ κοινϋσ ακϋραιεσ λύςεισ των ανιςώςεων : 2(x + 1) 3

−

x +2 2

≥

1−x 2

−

x +4

και

−

≤

28. Να λύςετε τισ παρακϊτω ανιςώςεισ : α 5<𝑥−3<7 β −1 < 𝑥 + 4 < 2

x −5 6

–

x −1 9

γ −3 ≤ 2x + 5 ≤ 1

δ −3 < 2 x − 5 + 9 ≤ 7

29. Να λύςετε τισ παρακϊτω ανιςώςεισ : α −2 < 3 − 5x < 18

β −8 < −3 − 5(x − 2) < 2

γ −1 <

3x + 1 +3≤5 5

30. Να λύςετε τισ παρακϊτω ανιςώςεισ : α

3 4

≤

2 3

−

5 6

β −5 ≤

x +1 3

−

≤2

γ −2 <

x +3 4

−

2x + 1 6

31. Να λύςετε τισ παρακϊτω ανιςώςεισ : α 2x − 5 < 7 < 10 − 3𝑥

2x − 4 3

≤2≤

3x − 2

10 − 2x 3

≤ 2(x − 1) ≤

3x + 2 2

32. Για ποιεσ τιμϋσ του αριθμού x η παρϊςταςη Α = 5 4 − x − 2 3 − x + 1 παύρνει θετικϋσ τιμϋσ ; 33. Για ποιεσ τιμϋσ του θετικού ακϋραιου αριθμού λ ϋχουμε ότι ο Α = 5 λ − 2 − 30 εύναι αρνητικόσ ; 34. Για ποιεσ τιμϋσ του αριθμού α , η ανύςωςη 7x − 5α + 2 > 𝛼(𝑥 − 2) ϋχει λύςη τον αριθμό 4 ; 35. Για ποιεσ τιμϋσ του αριθμού α , η ανύςωςη 36. Δύνεται η ανύςωςη

μ(x − 1) 2

–

2x − μ 5

x 10

2x − 1 3 2 5

α 2

x +α 6

ϋχει λύςη τον αριθμό 1 ;

. Να βρεύτε ποιεσ τιμϋσ μπορεύ να πϊρει ο αριθμόσ μ

ώςτε η ανύςωςη να ϋχει λύςη τον αριθμό −1 ; 37. Ο αριθμόσ 2 εύναι λύςη τησ ανύςωςησ 3αx + 3x ≤ 2x + 5(α + 1) και ο αριθμόσ −3 εύναι η λύςη τησ ανύςωςησ α x + 2 − 3 α + 1 < 𝑥 + 𝛼 . Να βρεύτε τισ τιμϋσ που μπορεύ να πϊρει ο αριθμόσ α . 38. Δύνεται η εξύςωςη

x +3 6

–

3−x 4

= 1 και η ανύςωςη α + 3x < 2 x − α + 3 . Να βρεύτε τισ τιμϋσ του

αριθμού α για τισ οπούεσ η λύςη τησ εξύςωςησ εύναι και λύςη τησ ανύςωςησ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 18

2.1 Σετραγωνικι Ρίηα Θετικοφ Αρικμοφ

1. Σι λϋγεται τετραγωνικό ρύζα ενόσ θετικού αριθμού α; Σετραγωνικό ρύζα ενόσ θετικού αριθμού α λϋγεται ο θετικόσ αριθμόσ, ο οπούοσ, όταν υψωθεύ ςτο τετρϊγωνο, δύνει τον αριθμό α . Η τετραγωνικό ρύζα του α ςυμβολύζεται με α . Παρϊδειγμα :

16 = 4 γιατύ 42 = 16

Παρατηρόςεισ – ΢χόλια α Επειδό 02 = 0 ορύζουμε ότι

𝟎=𝟎

β Για να βρούμε την α , ψϊχνουμε ϋναν θετικό αριθμό που αν τον υψώςουμε ςτο τετρϊγωνο, το αποτϋλεςμα να εύναι α . γ) Δεν ορύζουμε ρύζα αρνητικού αριθμού, γιατύ δεν υπϊρχει αριθμόσ που το τετρϊγωνό του να εύναι αρνητικόσ αριθμόσ . δ) Από τον οριςμό προκύπτει ότι: 𝚨𝛎 ε) Αν 𝛂 ≥ 𝟎 𝛕ό𝛕𝛆

𝛂

𝟐

𝛂 = 𝐱 , ό𝛑𝛐𝛖 𝛂 ≥ 𝟎 , 𝛕ό𝛕𝛆 𝐱 ≥ 𝟎 𝛋𝛂𝛊 𝐱 𝟐 = 𝛂

= 𝛂 . Για παρϊδειγμα

ςτ) Αν δεν γνωρύζουμε ότι ο αριθμόσ α εύναι θετικόσ , τότε

𝛂𝟐 = 𝛂 .

Για παρϊδειγμα: (−3)2 = −3 = 3 . ζ Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ιςχύει ότι ∶ η Αν α ≥ 0 και β > 0 , 𝜏ό𝜏𝜀 𝜄𝜎𝜒ύ𝜀𝜄 ό𝜏𝜄 ∶

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

𝛂∙ 𝛃= 𝛂 𝛃

𝛂∙𝛃

𝛂 𝛃

Σελίδα 19

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να υπολογιςτούν οι παρακϊτω τετραγωνικϋσ ρύζεσ : α 36 , 0,36 , 3600 β 196 , 1,96 , 19600 δ

25 4

169 121

100 , 0,01 , 0,0001 , 10.000

225 81

2. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α

64 + 196

−19

−5

−

3 2

+ 64

3. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α

81 − 49 + 36 − 25

144 − 121 − 100

64+ 16

49+ 121

3 4

16+ 25

4. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α δ 3

81 − 49 + 25

β 3 16 + 7 9 − 2 100 1

162 + 16 − 26

+ 252

−

−10

−25

ε 4 4 − 10 25 + 9 81

5. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α

7 + 23 − 5 ∙ −2

8 + 122 + 30

−30

−

−20

6. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α

9 ∙ 16

2∙ 4

4 ∙ 256

3∙

1+ 9 4+4

7. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α

13 + 9

9 + 25 + 1

13 + 7 + 4

10 + 31 + 17 + 64

8. Να αποδεύξετε ότι : α

5 + 13 + 9 = 3

7− 7+ 2+ 4=2

16 2

49 = 3

9. Να αποδεύξετε ότι : α

2 2+ 4+ 3 7+ 4=5

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

28 + 64 + 37 + 144 + 12 = 5

Σελίδα 20

10. Να αποδεύξετε ότι : α

11 + 16 + 81 = 4

6+ 6+ 6+ 9= 3

25 + 24 + 25 + 4 8 − 48 + 8 − 49 = 4

11. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α 32 ∙ 2 δ) 2 ∙ 8 + 18

β 3 ∙ 12 + 2 ∙ 32 ε) 2 ∙ 50 − 32

γ) 5 ∙ 20 − 27 ∙ 3

12. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : α

150

32 2

75 3

−

32 ∙

1 8

13. Δύνεται ο αριθμόσ Α = 81 + 16 + 25 − 64 α Να βρεύτε τον αριθμό Α β Να λύςετε την εξύςωςη 1 − Α x − A x − 1 = A − 2(Ax − 1) γ Για την τιμό του x που βρόκατε, να υπολογύςετε την παρϊςταςη Β =

29 − 14 + 2x

14. Να βρεύτε τουσ θετικούσ αριθμούσ x που ικανοποιούν τισ εξιςώςεισ : α x 2 = 16

β x 2 = 49

γ x 2 = 144

δ x2 =

25 81

15. Να βρεύτε όλουσ τουσ αριθμούσ x που ικανοποιούν τισ εξιςώςεισ : α x 2 = 100

β x 2 = 36

γ x 2 = 121

δ x2 =

16. Να βρεύτε όλουσ τουσ αριθμούσ x που ικανοποιούν τισ εξιςώςεισ : α x 2 + 3 = 12 β x 2 − 8 = 28 γ 32 − x 2 = 7 17. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α 2x 2 − 7 = 11 β 5x 2 − 12 = 3x 2 + 20

169 64

δ 2x 2 = 72

γ 7x 2 + 30 = 9x 2 − 42

18. Σο τετρϊγωνο ενόσ θετικού αριθμού αν αυξηθεύ κατϊ 32, γύνεται ύςο με το τριπλϊςιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού. Να βρεύτε ποιοσ εύναι ο αριθμόσ αυτόσ . 19. Να βρεθούν οι τιμϋσ του x ώςτε να ϋχουν νόημα οι παραςτϊςεισ : α Α = 3x − 15

β Β = 12 − 4x

γ Γ = 54 − 6x + x − 5

20. Να βρεθούν οι τιμϋσ του x ώςτε να ϋχουν νόημα οι παραςτϊςεισ : α Α = 2x − 8 β Β = 10 − 2x γ Γ = 3x + 6 + 18 − 3x

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 21

21. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3x − 6 α Για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α ; β Να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x = 2 64 + 3 9 γ Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 6 22. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2x + 8 α Για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α ; β Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 4 23. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 4x − 12 α Για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α ; β Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 2 24. Να βρεθούν οι τιμϋσ του x ώςτε να ϋχουν νόημα οι παραςτϊςεισ : α Α=

7 x − 3 + 2(−x + 3)

β Γ = 3−x+ x+3

25. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 3 + 2[3 x − 3 − 2 x − 4 + 6 α Για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α ; β Να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α για x =

31 + 2 81 + 49

γ Να βρεύτε για ποια τιμό του x ιςχύει ότι Α = 11 26. Να υπολογύςετε την ϊγνωςτη πλευρϊ ςτα παρακϊτω ορθογώνια τρύγωνα :

27. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει βϊςη ΒΓ = 16cm και περύμετρο 50 cm. Να υπολογύςετε το ύψοσ και το εμβαδόν του . 28. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει βϊςη ΒΓ = 8 cm και περύμετρο 18 cm. Να υπολογύςετε το ύψοσ και το εμβαδόν του . 29. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει AΒ = ΑΓ = 1,5 cm και ύψοσ ΑΔ = 1,2 cm . Να βρεύτε : α το μόκοσ του τμόματοσ ΓΔ β την περύμετρο του τριγώνου γ το εμβαδόν του τριγώνου 30. Να βρεύτε το μόκοσ τησ πλευρϊσ ενόσ τετραγώνου που ϋχει εμβαδόν 20,25 cm2

31. Να βρεύτε τα x , y του διπλανού ςχόματοσ , αν το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ εύναι 36 cm2

32. Να υπολογύςετε τη διαγώνιο ενόσ ορθογωνύου που ϋχει διαςτϊςεισ 32 cm και 24 cm . 33. Να υπολογύςετε τη διαγώνιο ενόσ ορθογωνύου που ϋχει διαςτϊςεισ 15 cm και 8 cm . ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 22

34. Η διαγώνιοσ ενόσ ορθογωνύου εύναι 13 cm και η μια διϊςταςό του εύναι 5 cm . Να βρεύτε την ϊλλη διϊςταςό του και το εμβαδόν του. 35. Η διαγώνιοσ ενόσ ορθογωνύου εύναι 15 cm και η μια διϊςταςό του εύναι 12 cm . Να βρεύτε την ϊλλη διϊςταςό του και το εμβαδόν του. 36. Οι διαγώνιεσ ενόσ ρόμβου ΑΒΓΔ εύναι ΑΓ = 30 και ΒΔ = 16. Να βρεθεύ η πλευρϊ και η περύμετρόσ του . 37. Δύνεται ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ με βϊςεισ ΑΒ = 60 , ΓΔ = 24 και ΒΓ = ΑΔ = 30 . Να υπολογύςετε το ύψοσ και το εμβαδόν του . 38. ΢ε ορθογώνιο τραπϋζιο ΑΒΓΔ εύναι Α = Β = 90° , ΒΓ = 17 και ΑΔ = 7 . Αν διαγώνιοσ ΒΔ = 25 , να βρεθεύ η πλευρϊ ΓΔ . 39. ΢ε ορθογώνιο τραπϋζιο ΑΒΓΔ εύναι Α = Δ = 90° , ΑΒ = 43 , ΓΔ = 55 και ΑΔ = 35 . Να βρεθεύ η πλευρϊ ΒΓ . 40. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με βϊςεισ ΑΒ = 9 , ΓΔ = 30 και ΑΔ = 17 . Να υπολογύςετε την πλευρϊ ΒΓ αν το εμβαδόν του ιςούται με 156 cm2 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 23

2.2 Άρρθτοι Αρικμοί – Πραγματικοί Αρικμοί 1. Ποιοι αριθμού λϋγονται ϊρρητοι ; Κϊθε αριθμόσ που δεν εύναι ρητόσ, δηλαδό που δεν μπορεύ να γραφεύ ωσ κλϊςμα

μ ν

με μ , ν ακεραύουσ

και ν ≠ 0 , ονομϊζεται ϊρρητοσ αριθμόσ . Παρατηρόςεισ α Η τετραγωνικό ρύζα κϊθε φυςικού ό ρητού αριθμού, ο οπούοσ δεν εύναι τετρϊγωνο κϊποιου ϊλλου φυςικού ό ρητού αριθμού, εύναι ϊρρητοσ αριθμόσ . Για παρϊδειγμα οι αριθμού

2, 3, 5, 6,

2 3

1 7

….

β Τπϊρχουν και ϊλλοι ϊρρητοι αριθμού , όπωσ ο αριθμόσ π = 3,1415 … που ςυναντϊμε ςτον κύκλο . γ Ένασ ϊρρητοσ αριθμόσ δεν μπορεύ να εύναι ούτε δεκαδικόσ , ούτε περιοδικόσ δεκαδικόσ.

2. Ποιοι αριθμού λϋγονται Πραγματικού ; Μϋχρι τώρα ϋχουμε μελετόςει τα εξόσ ςύνολα αριθμών : α Σο ςύνολο των φυςικών αριθμών ℕ : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5… , οι οπούοι παριςτϊνονται ςτην ευθεύα :

β Σο ςύνολο των ακεραύων αριθμών ℤ : −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3..,οι οπούοι παριςτϊνονται ςτην ευθεύα :

γ Σο ςύνολο των ρητών αριθμών ℚ : εύναι οι αριθμού που μπορούν να γραφούν ωσ κλϊςματα

μ ν

με μ , ν ακεραύουσ και ν ≠ 0 . Οι ρητού αριθμού ςυμπληρώνουν τα κενϊ ανϊμεςα ςτουσ ακεραύουσ αριθμούσ, αλλϊ δεν γεμύζουν την ευθεύα .

δ Σο ςύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ : αποτελεύται από όλουσ τουσ ρητούσ και όλουσ τουσ ϊρρητουσ αριθμούσ . Αν τουσ τοποθετόςουμε πϊνω ςε μια ευθεύα, τότε την γεμύζουν πλόρωσ , δηλαδό κϊθε ςημεύο τησ ευθεύασ αντιςτοιχεύ ςε ϋναν πραγματικό αριθμό. Για τον λόγο αυτό, την ευθεύα αυτό την ονομϊζουμε ευθεύα ό ϊξονα των πραγματικών αριθμών .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 24

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να βϊλετε ςε μια ςειρϊ από τον μικρότερο ςτον μεγαλύτερο τουσ παρακϊτω αριθμούσ : α

3 ,1 , 8 , 7

21 , 4 , 17 , 28 , 5

γ 2 + 2 ,3 , 2 , 2 − 1

5, 2+ 3

2. Να βρεύτε τισ ρητϋσ προςεγγύςεισ ϋωσ και δύο δεκαδικϊ ψηφύα, των αριθμών

10 και 35

3. Να βρεύτε τισ ρητϋσ προςεγγύςεισ ϋωσ και τρύα δεκαδικϊ ψηφύα, των αριθμών

6 και

4. Να μετατρϋψετε τα παρακϊτω κλϊςματα ςε ιςοδύναμα με ρητό παρονομαςτό : α

3 2

6 5 3

5. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων : α

32 + 72 − 98

80 − 500 + 45

160 + 250 + 90 − 1.000

6. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων : α δ

8 + 18

50 − 32

75 − 48

12 + 27

50 + 32 − 18 128 − 72

2 80 − 45 + 125 20 + 45

7. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α x2 = 7 β x2 = 8 8. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α x 2 = 13 β x 2 = −7 9. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α x 2 + 9 = 12 β 2x 2 − 5 = 11

γ x2 = 1 γ 4x 2 = 60 γ 7 − x2 = 5

δ x 2 = 12 δ −4x 2 = −12 δ 10x 2 − 35 = 65

10. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου τριγώνου του οπούου η υποτεύνουςα εύναι 25 και η μια κϊθετη πλευρϊ εύναι διπλϊςια τησ ϊλλησ . 11. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΓ = 4 cm και ΒΓ = 10 cm . Να υπολογύςετε το μόκοσ τησ διαμϋςου ΓΜ . 12. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι Β = 45° και ΑΒ = 4 cm . Να βρεθεύ το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτην υποτεύνουςα με προςϋγγιςη εκατοςτού 13. Ένα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ϋχει υποτεύνουςα 8 cm . Να βρεύτε με προςϋγγιςη εκατοςτού το μόκοσ καθεμιϊσ από τισ ύςεσ κϊθετεσ πλευρϋσ . 14. Ένα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ϋχει υποτεύνουςα 10 cm . Να βρεύτε το εμβαδόν του . 15. Ένα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ϋχει μια κϊθετη πλευρϊ ύςη με 18 cm . Να υπολογύςετε την υποτεύνουςα και το εμβαδόν του . ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 25

16. Να υπολογύςετε με προςϋγγιςη εκατοςτού το ύψοσ και το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου με πλευρϊ 8 cm . 17. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου πλευρϊσ 12 cm . 18. Η περύμετροσ ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ εύναι 18 cm . Να υπολογύςετε το ύψοσ του ΑΔ καθώσ και το εμβαδόν του . 19. Να υπολογύςετε τισ πλευρϋσ και το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου , αν το ύψοσ του εύναι 10 cm. 20. Αν το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου εύναι 64 3 cm2 , να βρεθεύ η πλευρϊ και το ύψοσ του . 21. Ένα τετρϊγωνο ϋχει διαγώνιο ύςη με 18 cm . Να υπολογύςετε την πλευρϊ του . 22. Ένα τετρϊγωνο ϋχει περύμετρο ύςη με 20 cm . Να υπολογύςετε την διαγώνιό του . 23. Ένα τετρϊγωνο ϋχει διαγώνιο ύςη με 6 cm . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του . 24. Ένα τετρϊγωνο ϋχει εμβαδόν 18 cm2 . Να βρεύτε την πλευρϊ και την διαγώνιο του τετραγώνου. 25. Να βρεύτε την διϊμετρο του διπλανού κύκλου .

26. Δύνεται ρόμβοσ ΑΒΓΔ με Α = 60° και ΑΒ = 16 cm. Να υπολογύςετε τισ διαγώνιϋσ και το εμβαδόν του 27. Ένα ορθογώνιο τραπϋζιο ϋχει βϊςεισ 6 cm και 9 cm και εμβαδόν 45 cm2 . Να υπολογύςετε την περύμετρό του με προςϋγγιςη δύο δεκαδικών ψηφύων .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 26

3.1 Η ζννοια τθσ ΢υνάρτθςθσ 1. Σι ονομϊζουμε ςυνϊρτηςη ; Μια ιςότητα που ςυνδϋει τισ μεταβλητϋσ x και y ϋτςι , ώςτε κϊθε τιμό τησ μεταβλητόσ x να αντιςτοιχύζεται ςε μύα μόνο τιμό τησ μεταβλητόσ y ονομϊζεται ςυνϊρτηςη . ΢την περύπτωςη αυτό λϋμε ότι « η μεταβλητό y εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη τησ μεταβλητόσ x » .

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 3x − 5 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : x y

−4

2. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = x y

−2

3x − 1 2

−1

. Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : 0

3. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 2x 2 − 3 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : x y

−2

−1

4. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = x 2 − 5x + 6 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : x y

−3

−1

5. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = x 2 + 2x − 3 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : x y

−3

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

−1

Σελίδα 27

6. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 2x − 3 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : x y

2 −7

8 9

7. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = −2x + 5 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : x y

−2

8. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = x y

−1 7 5(x + 3) 2

5 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών :

−3

2 5

5 15

9. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = x 2 − 1 . Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : x y

−3

0 0

10. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 4 − x y

5(x − 2)

−4

. Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών : 0

4 −6

11. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 2 αx − 1 + α . Να βρεύτε τον αριθμό α αν για x = −1 εύναι y = −5 . 12. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = 3 − 2(x + α) και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τον αριθμό α και να ςυμπληρώςετε τον υπόλοιπο πύνακα. x y

4 1

0 15

2 0

13. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = (3 − 2α)x + 2β και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τα α και β . x y

−2 −8

−1 1

0 10

14. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = αx + β(x + 2) και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τα α και β . x y

0 −6

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

4 2

Σελίδα 28

15. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = x 2 + 2βx + 3α και ο παρακϊτω πύνακασ τιμών. Να βρεύτε τα α και β . x y

−2 19

0 3

2 −5

16. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = x και ΒΓ = y . Να εκφρϊςετε την πλευρϊ y ωσ ςυνϊρτηςη του x , αν γνωρύζετε ότι η περύμετροσ του τριγώνου εύναι 20 . 17. Ένα ιςόπλευρο τρύγωνο ϋχει πλευρϊ μόκουσ x . Να εκφρϊςετε την περύμετρο Π του τριγώνου ωσ ςυνϊρτηςη του x και να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα : x Π

6 15

18. Ένα ορθογώνιο ϋχει πλευρϋσ με μόκη x και y . α Αν η περύμετροσ του ορθογωνύου εύναι 50 cm , να εκφρϊςετε την πλευρϊ y ωσ ςυνϊρτηςη τησ πλευρϊσ x . ΢τη ςυνϋχεια να βρεύτε τισ πλευρϋσ του ορθογωνύου όταν η μια από αυτϋσ εύναι 8 cm . β Αν το εμβαδόν του ορθογωνύου εύναι 240 cm2 , να εκφρϊςετε την πλευρϊ y ωσ ςυνϊρτηςη τησ πλευρϊσ x . ΢τη ςυνϋχεια να βρεύτε τισ πλευρϋσ του ορθογωνύου όταν η μια από αυτϋσ εύναι 15 cm . 19. Δύνεται ΑΒΓΔ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρϋσ ΑΒ = 2x − 1 και ΒΓ = 4y − 3 Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x , αν γνωρύζετε ότι η περύμετροσ του εύναι 12 . 20. Δύνεται ΑΒΓΔ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρϋσ ΑΒ = x και ΒΓ = x + 2 cm α Να εκφρϊςετε την περύμετρο Π του ορθογωνύου ωσ ςυνϊρτηςη του x β Να εκφρϊςετε το εμβαδόν Ε του ορθογωνύου ωσ ςυνϊρτηςη του x γ Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών x Π Ε

6 16

10 36

21. Ένα τραπϋζιο ϋχει μεγϊλη βϊςη διπλϊςια τησ μικρόσ και το ύψοσ του 8 cm . Να εκφρϊςετε το εμβαδόν του Ε ωσ ςυνϊρτηςη τησ μικρόσ του βϊςησ x . 22. Ένα τραπϋζιο ϋχει μεγϊλη βϊςη τριπλϊςια τησ μικρόσ και το ύψοσ του εύναι διπλϊςιο από τη μικρό βϊςη . Να εκφρϊςετε το εμβαδόν του Ε ωσ ςυνϊρτηςη τησ μικρόσ του βϊςησ x .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 29

3.2 Καρτεςιανζσ ΢υντεταγμζνεσ 1. Σι εύναι το ςύςτημα ορθογωνύων αξόνων ; Θεωρούμε δύο κϊθετουσ ϊξονεσ x’x και y’y με κοινό αρχό το Ο. Οι δύο αυτού ϊξονεσ αποτελούν ϋνα ςύςτημα ορθογωνύων αξόνων ό απλϊ ϋνα ςύςτημα αξόνων . Από ϋνα τυχαύο ςημεύο Μ του επιπϋδου φϋρουμε τισ κϊθετεσ ςτουσ δύο ϊξονεσ x’x και y’y . Ονομϊζουμε τετμημϋνη του ςημεύου Μ τον αριθμό που αντιςτοιχεύ ςτο ύχνοσ τησ καθϋτου προσ τον x’x και τεταγμϋνη του Μ τον αριθμό που αντιςτοιχεύ ςτο ύχνοσ τησ καθϋτου προσ τον y’y . Έτςι λοιπόν το ςημεύο Μ αντιςτοιχεύ ςτο ζεύγοσ των αριθμών 3 και 4 . Οι δύο αριθμού μαζύ λϋγονται ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου Μ και γρϊφουμε Μ 3 , 4

Παρατηρόςεισ α Κϊθε ςημεύο του επιπϋδου αντιςτοιχεύ ςε ϋνα μόνο ζεύγοσ αριθμών και , αντιςτρόφωσ, κϊθε ζεύγοσ αριθμών αντιςτοιχεύ ςε ϋνα μόνο ςημεύου του επιπϋδου . β Όταν οι μονϊδεσ μϋτρηςησ ςτουσ δύο ϊξονεσ εύναι ύδιεσ, το ςύςτημα λϋγεται ορθοκανονικό γ Κϊθε ςημεύο του ϊξονα x’x ϋχει τεταγμϋνη 0, δηλαδό εύναι τησ μορφόσ Μ α , 0 . δ Κϊθε ςημεύο του ϊξονα y’y ϋχει τετμημϋνη 0, δηλαδό εύναι τησ μορφόσ Μ 0 , β . ε Η αρχό των αξόνων Ο ϋχει ςυντεταγμϋνεσ 0 , 0 .

ςτ Σο ςύςτημα αξόνων χωρύζει το επύπεδο ςε 4 μϋρη τα οπούα λϋγονται τεταρτημόρια . ΢το διπλανό ςχόμα ςημειώνονται τα πρόςημα τησ τετμημϋνησ και τεταγμϋνησ ςε κϊθε τεταρτημόριο.

ζ Δύο ςημεύα εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ τον ϊξονα x’x όταν ϋχουν την ύδια τετμημϋνη και αντύθετεσ τεταγμϋνεσ . Για παρϊδειγμα, το ςυμμετρικό του Μ α , β ωσ προσ τον ϊξονα x’x, εύναι το Μ(α , −β) . η Δύο ςημεύα εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ τον ϊξονα y’y όταν ϋχουν την ύδια τεταγμϋνη και αντύθετεσ τετμημϋνεσ . Για παρϊδειγμα, το ςυμμετρικό του Μ α , β ωσ προσ τον ϊξονα y’y, εύναι το Μ(−α , β) . θ Δύο ςημεύα εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ την αρχό των αξόνων Ο όταν ϋχουν αντύθετεσ τετμημϋνεσ και αντύθετεσ τεταγμϋνεσ . Για παρϊδειγμα, το ςυμμετρικό του Μ α , β ωσ προσ την αρχό των αξόνων, εύναι το Μ(−α , −β).

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 30

2. Σι ονομϊζουμε γραφικό παρϊςταςη ςυνϊρτηςησ ; Γραφικό Παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ , με την οπούα ϋνα μϋγεθοσ y εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη ενόσ ϊλλου μεγϋθουσ x , ονομϊζεται το ςύνολο όλων των ςημεύων του επιπϋδου με ςυντεταγμϋνεσ (x , y) .

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Για να χαρϊξουμε την γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ, κϊνουμε τα παρακϊτω :

Α Κϊνουμε τον πύνακα τιμών τησ ςυνϊρτηςησ Β Σοποθετούμε τα αντύςτοιχα ςημεύα ςε ϋνα ςύςτημα αξόνων Γ Ενώνουμε τα παραπϊνω ςημεύα με μια γραμμό. Η γραμμό αυτό εύναι η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ . Παρατηρόςεισ α Ένα ςημεύο ανόκει ςτην γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ αν και μόνο αν οι ςυντεταγμϋνεσ του επαληθεύουν την εξύςωςό τησ . β Για να βρούμε το ςημεύο τομόσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ με : β1 τον ϊξονα x’x , θϋτουμε y = 0 β2 τον ϊξονα y’y , θϋτουμε x = 0

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 31

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να καταςκευϊςετε ϋνα ςύςτημα αξόνων και να ςημειώςετε τα παρακϊτω ςημεύα : Α −2 , −3 , Β −2 , 3 , Γ 2 , 4 , Δ(4 , −1) . 2. Να καταςκευϊςετε ϋνα ςύςτημα αξόνων και να ςημειώςετε τα παρακϊτω ςημεύα : Α 5 , 0 , Β 5 , 2 , Γ 5 , 5 , Δ 5 , −1 , E(5 , −4) . 3. Να βρεύτε τον αριθμό λ , ώςτε το ςημεύο Κ(2λ − 6 , 5 − 10λ) να βρύςκεται : α ςτον ϊξονα x’x β ςτον ϊξονα y’y 4. Να βρεύτε τον αριθμό λ , ώςτε το ςημεύο Κ(1 − α ςτον ϊξονα x’x

λ−3 2(λ – 1) ,4 − ) να βρύςκεται : 4 3

β ςτον ϊξονα y’y

5. Να βρεύτε για ποιουσ αριθμούσ μ , το ςημεύο Κ 8 − 4 μ − 1 , 7 βρύςκεται : α ςτο 1ο τεταρτημόριο β ςτο 2ο τεταρτημόριο 6. Να βρεύτε για ποιουσ αριθμούσ λ , το ςημεύο Κ 6 , α ςτο 1ο τεταρτημόριο

2λ − 1 −1 3

βρύςκεται :

β ςτο 4ο τεταρτημόριο

7. Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = −2x 2 + α διϋρχεται από το ςημεύο Μ −3 , −15 . Να βρεύτε τον αριθμό α . 8. Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = 2 − 3α x + 1 διϋρχεται από το ςημεύο Μ −1 , −16 . α Να βρεύτε τον αριθμό α . β Να ςχεδιϊςετε την γραφικό τησ παρϊςταςη για −2 ≤ x ≤ 2 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 32

3.3 Η ΢υνάρτθςθ 𝐲 = 𝛂𝐱 1. Πότε δύο ποςϊ λϋγονται ανϊλογα ; Δύο ποςϊ λϋγονται ανϊλογα όταν πολλαπλαςιϊζοντασ τισ τιμϋσ του ενόσ ποςού με ϋναν αριθμό, τότε και οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου πολλαπλαςιϊζονται με τον ύδιο αριθμό. Αν δύο ποςϊ x και y εύναι ανϊλογα τότε ο λόγοσ των τιμών του ενόσ προσ τισ

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου εύναι ςταθερόσ , δηλαδό ο λόγοσ ΠΡΟ΢ΟΦΗ Αφού ο λόγοσ

y x

εύναι ςταθερόσ , τότε

y x

εύναι ςταθερόσ.

= α ό y = αx

2. Σι γνωρύζετε για την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ 𝐲 = 𝛂𝐱 ; Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = αx εύναι μια ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων Ο .

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Η ευθεύα y = αx βρύςκεται ςτο 1ο και ςτο 3ο τεταρτημόριο όταν α > 0 , ενώ βρύςκεται ςτο 2ο και 4ο τεταρτημόριο αν α < 0 .

3. Σι ονομϊζεται κλύςη τησ ευθεύασ 𝐲 = 𝛂𝐱 ; Κλύςη μιασ ευθεύασ y = αx ονομϊζεται ο ςταθερόσ λόγοσ

y x

που εύναι ύςοσ με α .

Η ευθεύα y = x που ϋχει κλύςη ύςη με 1 εύναι η διχοτόμοσ τησ 1ησ και τησ 3ησ γωνύασ των αξόνων , ενώ η ευθεύα y = −x που ϋχει κλύςη ύςη με −1 εύναι η διχοτόμοσ τησ 2ησ και 4ησ γωνύασ των αξόνων ΠΡΟ΢ΟΦΗ

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Ο ϊξονασ x’x εύναι και αυτόσ μια ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων , με εξύςωςη y = 0 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 33

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να εξετϊςετε αν τα ποςϊ του παρακϊτω πύνακα εύναι ανϊλογα και αν ναι , να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x x y

12 −24

15 −30

18 −36

2. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι ανϊλογα , να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x , να ςυμπληρώςετε τον υπόλοιπο πύνακα και να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη . x y

−2

−1 4

3. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι ανϊλογα , να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x , να ςυμπληρώςετε τον υπόλοιπο πύνακα και να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη . x y

−2

3 9

4. ΢ε ϋνα ορθογώνιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων να ςχεδιϊςετε τισ ευθεύεσ ε: y = 2x και δ: y = −3x 1

5. ΢ε ϋνα ορθογώνιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων να ςχεδιϊςετε τισ ευθεύεσ ε: y = 3 x και δ: y = − 3 x 6. Μια ευθεύα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και ϋχει κλύςη 4. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ ευθεύασ και να κϊνετε την γραφικό τησ παρϊςταςη . 3

7. Μια ευθεύα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και ϋχει κλύςη 4 . Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ ευθεύασ και να κϊνετε την γραφικό τησ παρϊςταςη . 8. Να βρεύτε την κλύςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και το ςημεύο Α(3 , −6) 9. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και το ςημεύο Α(−2 , 8) 10. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και το ςημεύο Α(12 , 4) 11. Η ευθεύα y = (3 − 6μ)x ϋχει κλύςη 15. Να βρεύτε τον αριθμό μ . 12. Η ευθεύα y = (3 −

μ−2 )x ϋχει κλύςη 2. Να βρεύτε τον αριθμό μ . 5

13. Η ευθεύα y = 4 μ − 2 + 8 x εύναι ο ϊξονασ x’x . Να βρεύτε τον αριθμό μ . 14. Η ευθεύα y = (4 −

2(μ – 1) )x εύναι ο ϊξονασ x’x . Να βρεύτε τον αριθμό μ . 5

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 34

15. Η ευθεύα y = 2 μ − 3 + 9 x εύναι η διχοτόμοσ τησ 1ησ και 3ησ γωνύασ των αξόνων . Να βρεύτε τον αριθμό μ . 16. Η ευθεύα y = 9 − 4 μ − 2 x εύναι η διχοτόμοσ τησ 1ησ και 3ησ γωνύασ των αξόνων . Να βρεύτε τον αριθμό μ . 17. Η ευθεύα y = 2 μ + 1 + 5 x εύναι η διχοτόμοσ τησ 2ησ και 4ησ γωνύασ των αξόνων . Να βρεύτε τον αριθμό μ . 18. Η ευθεύα y = 3 −

μ+5 x εύναι η διχοτόμοσ τησ 2ησ και 4ησ γωνύασ των αξόνων . 2

Να βρεύτε τον αριθμό μ . 19. Η ευθεύα y = (2μ − 3)x διϋρχεται από το ςημεύο Κ(2 , 12) . Να βρεύτε τον αριθμό μ . 20. Η ευθεύα y = (7 −

3(2 − μ) )x διϋρχεται από το ςημεύο Κ(−3 , 6) . Να βρεύτε τον αριθμό μ και να 2

ςχεδιϊςετε την προηγούμενη ευθεύα . 21. Μια ευθεύα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και τα ςημεύα Κ −12 , 4 και Λ(μ + 2 , 6 − 2λ) . Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ και ςτη ςυνϋχεια τον αριθμό μ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 35

3.3 Η ΢υνάρτθςθ 𝐲 = 𝛂𝐱 + 𝛃 1. Σι γνωρύζετε για την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ 𝐲 = 𝛂𝐱 + 𝛃 𝛍𝛆 𝛃 ≠ 𝟎 ; Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = αx + β με β ≠ 0 εύναι μια ευθεύα παρϊλληλησ τησ ευθεύασ με εξύςωςη y = αx η οπούα διϋρχεται από το ςημεύο 0 , β του ϊξονα y’y.

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Η ευθεύα y = αx + β ϋχει κλύςη ύςη με τον αριθμό α .

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Δύο ευθεύεσ εύναι παρϊλληλεσ αν και μόνο αν ϋχουν την ύδια κλύςη .

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να ςχεδιϊςετε ςτο ύδιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων y = −3x + 1 και y = −3x + 2 . Σι παρατηρεύτε ; 2. Να ςχεδιϊςετε ςτο ύδιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων y = x , y = x + 3 και y = x − 3. Σι παρατηρεύτε ; 3. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 2x − 6 . Να εξετϊςετε αν η ευθεύα διϋρχεται από τα ςημεύα Α −2 , −10 , Β(4 , 5) . 4. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από τα ςημεύα Α −2 , 0 , Β(0 , 6) . 5. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που ϋχει κλύςη −5 και διϋρχεται από το ςημεύο Α −1 , 10 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 36

6. Μια ευθεύα ϋχει κλύςη −2 και τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο με τεταγμϋνη 3 . α Να βρεύτε την εξύςωςη τησ παραπϊνω ευθεύασ . β Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα τιμών τησ ευθεύασ που βρόκατε . x y

−2

−1 1

−5

γ Να ςχεδιϊςετε την ευθεύα που βρόκατε ςε ϋνα ςύςτημα αξόνων. 7. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο με τεταγμϋνη −5 και εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα y = 2x . 8. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από το ςημεύο Κ −3 , 1 και εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα y = 5x + 2019 9. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο Α 0 , −4 και διϋρχεται από το ςημεύο Β(4 , −2) . 10. Να βρεύτε τα ςημεύα που τϋμνουν τουσ ϊξονεσ οι ςυναρτόςεισ : α y = −2x + 8

β y = −x + 2

11. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = −3x − 6 α Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ αυτόσ με τουσ ϊξονεσ . β Να ςχεδιϊςετε την παραπϊνω ευθεύα . γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου που ςχηματύζει η παραπϊνω ευθεύα με τουσ ϊξονεσ . 12. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 2x + 8 α Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ αυτόσ με τουσ ϊξονεσ . β Να ςχεδιϊςετε την παραπϊνω ευθεύα . γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου που ςχηματύζει η παραπϊνω ευθεύα με τουσ ϊξονεσ . 13. Δύνονται οι ευθεύεσ y = (5λ − 2)x + 8 και y = λ + 2 x − 4 . Να βρεύτε το λ ώςτε οι ευθεύεσ να εύναι παρϊλληλεσ . 14. Δύνονται οι ευθεύεσ y =

μ− 3 μ−1 x + 7 και y = 3 − 2 x + 3 . Να βρεύτε το μ ώςτε οι ευθεύεσ 4

να εύναι παρϊλληλεσ . 15. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = αx + β . α Να βρεύτε τα α , β αν εύναι γνωςτό ότι η ευθεύα που την παριςτϊνει ϋχει κλύςη −4 και διϋρχεται από το ςημεύο Μ 0 , 8 . β Να βρεύτε ςε ποιο ςημεύο η παραπϊνω ευθεύα τϋμνει τον ϊξονα x’x γ Να ςχεδιϊςετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ . 16. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = αx + β . α Να βρεύτε τα α , β αν εύναι γνωςτό ότι η ευθεύα που την παριςτϊνει τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο Α 0 , −2 και διϋρχεται από το ςημεύο Β 1 , 4 . β Να βρεύτε το ςημεύο Γ ςτο οπούο η παραπϊνω ευθεύα τϋμνει τον ϊξονα x’x γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ, όπου Ο η αρχό των αξόνων . ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 37

17. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = − 3 x + μ . Να βρεύτε το μ ώςτε η ευθεύα αυτό να διϋρχεται από το ςημεύο Α 6 , −1 18. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y = (3α + 1)x + 2 τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη διϋρχεται από το ςημεύο Α 2 , −2 . α Να βρεύτε τον αριθμό α β Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςη . 19. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = αx + β. Αν γνωρύζουμε ότι εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα με εξύςωςη y = −2x + 10 και διϋρχεται από το ςημεύο Κ 1 , 3 , να βρεύτε : α τουσ αριθμούσ α και β β τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ με τουσ ϊξονεσ . 20. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 2λ + 1 x + 3μ − 2 . Αν γνωρύζουμε ότι εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα με εξύςωςη y = −5x + 7 και διϋρχεται από το ςημεύο Κ −1 , 6 , να βρεύτε τα λ και μ . 21. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη y = 3λ − 1 x − 2μ + 4. Αν γνωρύζουμε ότι εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα με εξύςωςη y = 5x + 2019 και διϋρχεται από το ςημεύο Κ −1 , 5 , να βρεύτε : α τουσ αριθμούσ λ και μ β τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ με τουσ ϊξονεσ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 38

3.4 Η ΢υνάρτθςθ 𝐲 =

𝛂

− Η Τπερβολι

𝐱

1. Πότε δύο ποςϊ λϋγονται αντιςτρόφωσ ανϊλογα ; Δύο ποςϊ λϋγονται αντιςτρόφωσ ανϊλογα , όταν πολλαπλαςιϊζοντασ την τιμό του ενόσ με ϋναν αριθμό, τότε η αντύςτοιχη τιμό του ϊλλου ποςού διαιρεύται με τον αριθμό αυτόν . ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Αν δύο ποςϊ εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα, τότε το γινόμενο των αντύςτοιχων τιμών τουσ εύναι ςταθερό

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Αν α ≠ 0 εύναι το ςταθερό γινόμενο των αντιςτρόφωσ αναλόγωσ ποςών x , y τότε :

x∙y =α ό y=

α x

2. Σι γνωρύζετε για την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ 𝐲 = Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y =

α x

𝛂 𝐱

;

όπου α ≠ 0 λϋγεται υπερβολό και αποτελεύται από δύο

γραμμϋσ που λϋγονται κλϊδοι τησ υπερβολόσ . Οι κλϊδοι τησ υπερβολόσ βρύςκονται : α ΢το 1ο και 3ο τεταρτημόριο αν α > 0

Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y = ΠΡΟ΢ΟΦΗ

β ΢το 2ο και 4ο τεταρτημόριο αν α < 0

α x

όπου α ≠ 0 ϋχει :

α κϋντρο ςυμμετρύασ την αρχό των αξόνων Ο β ϊξονεσ ςυμμετρύασ τισ διχοτόμουσ των γωνιών των αξόνων.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 39

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα : x y

−3

−1 3

α Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x . β Να ςυμπληρώςετε τον παραπϊνω πύνακα . γ Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ . 2. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y του παρακϊτω πύνακα εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα : x y

−6

−3

−1 −3

α Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x . β Να ςυμπληρώςετε τον παραπϊνω πύνακα . γ Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ . 3. Γνωρύζοντασ ότι τα ποςϊ x και y εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα : α Να εκφρϊςετε το y ωσ ςυνϊρτηςη του x , αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από το Α 2 , 6 β Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ . 4. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y =

2α − 3 x

. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται

από το ςημεύο Κ 5 , 1 . 5. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y =

3(1 − 2λ) x

. Να βρεύτε τον αριθμό λ αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται

από το ςημεύο Κ(−3 , −5) . 6. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y =

2α + 5 x

. Να βρεύτε τον αριθμό α αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται

από το ςημεύο Κ 3 , 5 . 7. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y =

3 λ − 1 −2(3 − λ) x

. Να βρεύτε τον αριθμό λ αν η γραφικό τησ παρϊςταςη

διϋρχεται από το ςημεύο Κ(−3 , −7) . 8. Δύνεται η υπερβολό y =

2 λ −3 +6 x

. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του αριθμού λ ώςτε οι κλϊδοι τησ

υπερβολόσ να βρύςκονται ςτο 1ο και 3ο τεταρτημόριο .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 40

9. Δύνεται η υπερβολό y =

2 3λ + 4 −10 x

. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του αριθμού λ ώςτε οι κλϊδοι τησ

υπερβολόσ να βρύςκονται ςτο 2ο και 4ο τεταρτημόριο 10. Ένα τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει εμβαδόν 120 τ.μ. α Να εκφρϊςετε την βϊςη α του τριγώνου ςε ςχϋςη με το αντύςτοιχο ςε αυτό ύψοσ . β Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ . 11. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει εμβαδόν 24 cm2 , πλϊτοσ x cm και μόκοσ y cm α Να εκφρϊςετε το μόκοσ y του ορθογωνύου ωσ ςυνϊρτηςη του πλϊτουσ x . β Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 41

1.1 Εμβαδόν Επίπεδθσ Επιφάνειασ 1.2 Μονάδεσ Μζτρθςθσ Επιφανειών

1. Πωσ ορύζουμε το εμβαδόν μιασ επύπεδησ επιφϊνειασ ; Σο εμβαδόν μιασ επύπεδη επιφϊνειασ εύναι ϋνασ θετικόσ αριθμόσ , ο οπούοσ εκφρϊζει την ϋκταςη που καταλαμβϊνει η επιφϊνεια ςτο επύπεδο. Ο αριθμόσ αυτόσ εξαρτϊται από την μονϊδα μϋτρηςησ επιφανειών που χρηςιμοποιούμε .

2. Ποια η βαςικό μονϊδα μϋτρηςησ εμβαδών ; Θεωρούμε ϋνα τετρϊγωνο πλευρϊσ 1 m. Σο εμβαδόν του τετραγώνου αυτού λϋγεται τετραγωνικό μϋτρο και το ςυμβολύζουμε με 1 m2 . Σο τετραγωνικό μϋτρο εύναι η βαςικό μονϊδα μϋτρηςησ εμβαδού.

3. Ποιεσ εύναι οι υποδιαιρϋςεισ του τετραγωνικού μϋτρου ; Οι υποδιαιρϋςεισ του τετραγωνικού μϋτρου εύναι : α το τετραγωνικό δεκατόμετρο ό τετραγωνικό παλϊμη που ςυμβολύζεται με dm2 και ιςχύει :

β το τετραγωνικό εκατοςτόμετρο ό τετραγωνικόσ πόντοσ που ςυμβολύζεται με cm2 και ιςχύει :

γ το τετραγωνικό χιλιοςτόμετρο που ςυμβολύζεται με mm2 και ιςχύει :

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 42

4. Ποια εύναι τα πολλαπλϊςια του τετραγωνικού μϋτρου ; Σα πολλαπλϊςια του τετραγωνικού μϋτρου εύναι : α το τετραγωνικό χιλιόμετρο που ςυμβολύζεται με Κm2 και ιςχύει :

β το ςτρϋμμα για το οπούο ιςχύει :

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Γενικϊ, για να πϊμε από μεγαλύτερη μονϊδα ςε μικρότερη, πολλαπλαςιϊζουμε με κατϊλληλο αριθμό, ενώ για να πϊμε από μικρότερη μονϊδα ςε μεγαλύτερη, διαιρούμε με κατϊλληλο αριθμό . Φρόςιμα εύναι τα παρακϊτω ςχεδιαγρϊμματα :

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 43

1.3 Εμβαδά Επίπεδων ΢χθμάτων

1. Εμβαδόν Σετραγώνου Σο εμβαδόν ενόσ τετραγώνου πλευρϊσ α ιςούται με α2

2. Εμβαδόν Ορθογωνύου Σο εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου εύναι ύςο με το γινόμενο των διαςτϊςεών του.

3. Εμβαδόν Παραλληλογρϊμμου Σο εμβαδόν ενόσ παραλληλογρϊμμου εύναι ύςο με το γινόμενο τησ μιασ βϊςησ του επύ το αντύςτοιχο ύψουσ του .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 44

4. Εμβαδόν Σριγώνου Σο εμβαδόν ενόσ τριγώνου εύναι ύςο με το μιςό του γινομϋνου τησ μιασ βϊςησ του επύ το αντύςτοιχο ύψουσ του .

5. Εμβαδόν Ορθογωνύου Σριγώνου Σο εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι ύςο με το μιςό του γινομϋνου των δύο καθϋτων πλευρών

6. Εμβαδόν Σραπεζύου Σο εμβαδόν ενόσ τραπεζύου εύναι ύςο με το γινόμενο του ημιαθρούςματοσ των βϊςεών του με το ύψοσ του .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 45

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να υπολογύςετε τα εμβαδϊ των παρακϊτω ςχημϊτων :

2. Να υπολογύςετε το x ςτα παρακϊτω ςχόματα :

3. Η περύμετροσ ενόσ τετραγώνου εύναι 120. Να βρεθεύ το μόκοσ τησ πλευρϊσ του και το εμβαδόν του. 4. Η περύμετροσ ενόσ τετραγώνου εύναι 64 cm. Να βρεθεύ το εμβαδόν του. 5. Ένα τετρϊγωνο ϋχει περύμετρο 24 cm . Ένα ορθογώνιο ϋχει το ύδιο εμβαδόν με το τετρϊγωνο και το πλϊτοσ του εύναι 4 cm. Να βρεύτε την περύμετρο του ορθογωνύου. 6. Ένα τετρϊγωνο εύναι ιςοεμβαδικό με ορθογώνιο που ϋχει μια πλευρϊ 16 cm και περύμετρο 50 cm . Να βρεύτε το εμβαδό του ορθογωνύου καθώσ και την πλευρϊ του τετραγώνου. 7. Να βρεύτε το εμβαδόν του διπλανού ςχόματοσ

8. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει πλϊτοσ 8 cm και περύμετρο 46 cm. Να βρεύτε το μόκοσ του και το εμβαδόν του.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 46

9. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει μόκοσ 23 cm και εμβαδόν 391 cm2 . Να βρεύτε το πλϊτοσ του και την περύμετρό του. 10. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει πλϊτοσ 26 cm και εμβαδόν 884 cm2 . Να βρεύτε το μόκοσ του και την περύμετρό του. 11. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 162 cm και το μόκοσ του εύναι διπλϊςιο από το πλϊτοσ του. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του. 12. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει εμβαδόν 128 m2 και μόκοσ διπλϊςιο από το πλϊτοσ του. Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του. 13. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει εμβαδόν 243 m2 και μόκοσ τριπλϊςιο από το πλϊτοσ του. Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του. 14. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει μόκοσ 16 cm και εμβαδόν ύςο με το εμβαδόν τετραγώνου πλευρϊσ 12 cm. Να βρεύτε το πλϊτοσ του. 15. Σο δϊπεδο ενόσ μπϊνιου ςτρώθηκε με 108 ορθογώνια πλακϊκια διαςτϊςεων 20 cm και 30 cm. Πόςη εύναι η επιφϊνεια του μπϊνιου ; 16. Οι πλευρϋσ ενόσ παραλληλογρϊμμου εύναι 60 cm και 45 cm. Σο ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτη μεγαλύτερη πλευρϊ εύναι 36 cm . Πόςα cm εύναι το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτην μικρότερη πλευρϊ ; 17. Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 22 cm και εμβαδόν 12 cm2 . Αν η μια πλευρϊ του εύναι 8 cm , να υπολογιςτούν τα ύψη του. 18. Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 30 cm και εμβαδόν 35 cm2 . Αν η μια πλευρϊ του εύναι 7 cm , να υπολογιςτούν τα ύψη του. 19. Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει το ύδιο εμβαδόν και την ύδια περύμετρο με ϋνα ορθογώνιο που ϋχει διαςτϊςεισ 8 cm και 7 cm. Αν η μια πλευρϊ του παραλληλογρϊμμου εύναι 10 cm , να υπολογύςετε την ϊλλη πλευρϊ του και τα ύψη του παραλληλογρϊμμου. 20. Ένα τετρϊγωνο ϋχει περύμετρο 96 cm και ϋνα παραλληλόγραμμο ϋχει πλευρϋσ 18 cm και 36 cm. Αν τα δύο ςχόματα ϋχουν το ύδιο εμβαδόν, να βρεύτε τα ύψη που αντιςτοιχούν ςε κϊθε πλευρϊ του παραλληλογρϊμμου. 21. Ένα τρύγωνο ϋχει εμβαδόν 24 m2 και το ύψοσ του ΑΔ εύναι 3 m. Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ του ΒΓ. 22. Ένα τρύγωνο ϋχει εμβαδόν 50 m2 και το ύψοσ του ΒΕ εύναι 8 m. Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ του ΑΓ. 23. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ(Α = 90° ) οι κϊθετϋσ του πλευρϋσ ϋχουν μόκη 9 και 12 cm. Να βρεύτε : α το εμβαδόν του β το ύψοσ του ΑΔ αν η υποτεύνουςα του εύναι 15 cm. 24. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ(Α = 90° ) εύναι 48 cm . Αν η υποτεύνουςα ΒΓ εύναι 20 cm και η μια κϊθετη πλευρϊ του εύναι 4 cm μεγαλύτερη από την ϊλλη κϊθετη , να υπολογύςετε το εμβαδόν του.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 47

25. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ(Α = 90° ) οι κϊθετϋσ του πλευρϋσ ϋχουν μόκη x και x + 2 cm , ενώ η υποτεύνουςα ΒΓ εύναι 10 cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του, αν ϋχει περύμετρο 24 cm .

26. ΢το διπλανό ςχόμα, να βρεύτε το εμβαδόν του ορθογωνύου τριγώνου ΓΕΖ

27. ΢το διπλανό ςχόμα όπου Α = 90° , αν το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΔ εύναι 12 cm2 , να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ .

28. Ένα τραπϋζιο ϋχει μικρό βϊςη 4 cm, μεγϊλη βϊςη 6 cm και ύδιο εμβαδόν με ϋνα τετρϊγωνο πλευρϊσ 5 cm . Να υπολογιςτεύ το ύψοσ του τραπεζύου. 29. Ένα τραπϋζιο ϋχει εμβαδόν 72 cm2 . Σο ύψοσ του εύναι 8 cm και η μεγϊλη του βϊςη εύναι 12 cm. Να βρεύτε τη μικρό βϊςη του τραπεζύου. 30. Ένα τραπϋζιο ϋχει μικρό βϊςη x cm, μεγϊλη βϊςη x + 4 cm , ύψοσ 5 cm και εμβαδόν 45 cm2 . Να υπολογύςετε τισ βϊςεισ του. 31. ΢ε ϋνα τραπϋζιο η μια βϊςη εύναι τριπλϊςια τησ ϊλλησ. Αν το ύψοσ του τραπεζύου εύναι 12 cm και ϋχει εμβαδόν 60 cm2 , να υπολογύςετε τα μόκη των δύο βϊςεων του. 32. ΢ε ϋνα τραπϋζιο η μια βϊςη εύναι διπλϊςια τησ ϊλλησ. Αν το ύψοσ του τραπεζύου εύναι 6 cm και ϋχει εμβαδόν 36 cm2 , να υπολογύςετε τα μόκη των δύο βϊςεων του. 33. Η μεγϊλη βϊςη ενόσ τραπεζύου εύναι κατϊ 5 cm μεγαλύτερη από τη μικρό βϊςη. Αν το εμβαδόν του εύναι 66 cm2 και το ύψοσ του 4 cm , να υπολογύςετε τισ βϊςεισ του. 34. ΢ε ϋνα τραπϋζιο η μια βϊςη εύναι τριπλϊςια τησ ϊλλησ και το ύψοσ του εύναι 22 cm . Αν το εμβαδόν του τραπεζύου εύναι ύςο με το εμβαδόν ενόσ τετραγώνου που ϋχει πλευρϊ ύςη με το ύψοσ του τραπεζύου, να υπολογύςετε τα μόκη των δύο βϊςεων του.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 48

1.4 Πυκαγόρειο Θεώρθμα

1. Πυθαγόρειο Θεώρημα ΢ε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο το ϊθροιςμα των τετραγώνων των δύο καθϋτων πλευρών εύναι ύςο με το τετρϊγωνο τησ υποτεύνουςασ .

2. Αντύςτροφο του Πυθαγορεύου Θεωρόματοσ Αν ςε ϋνα τρύγωνο το τετρϊγωνο τησ μεγαλύτερησ πλευρϊσ εύναι ύςο με το ϊθροιςμα των τετραγώνων των δύο ϊλλων πλευρών, τότε η γωνύα που βρύςκεται απϋναντι από την μεγαλύτερη πλευρϊ εύναι ορθό .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 49

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να εξετϊςετε αν τα παρακϊτω τρύγωνα εύναι ορθογώνια :

2. Αν ΑΔ ύψοσ του τριγώνου ΑΒΓ , να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο .

3. Σο διπλανό τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει περύμετρο 70 cm α Να βρεύτε το x β Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

4. ΢το διπλανό ςχόμα το τρύγωνο ΚΛΜ ϋχει περύμετρο 96 cm. α Να βρεύτε το x β Να δεύξετε ότι το τρύγωνο ΚΛΜ εύναι ορθογώνιο .

5. Δύνεται το διπλανό τρύγωνο ΑΒΓ α Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΒΔ εύναι ορθογώνιο β Να βρεύτε την περύμετρο του τριγώνου ΑΒΓ γ Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

6. Να υπολογύςετε την πλευρϊ x ςτα παρακϊτω ςχόματα :

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 50

7. ΢το διπλανό ςχόμα εύναι Α = 90° Να βρεύτε την ΒΓ .

8. Σο τρύγωνο ΑΒΓ ςτο διπλανό ςχόμα ϋχει εμβαδόν 150. Αν το ΑΔ εύναι ύψοσ, να δεύξετε ότι το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο .

9. Σο διπλανό τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει περύμετρο 60 cm . α Να βρεύτε το x β Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δ Να βρεύτε το ύψοσ του ΑΔ και τα τμόματα ΒΔ και ΓΔ 10. Σο διπλανό τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει περύμετρο 60 cm . α Να βρεύτε το x β Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο γ Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δ Να βρεύτε το ύψοσ του ΑΔ και τα τμόματα ΒΔ και ΓΔ

11. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° με ΑΒ = 5 cm και ΑΓ = 12 cm να υπολογύςετε : α την πλευρϊ ΒΓ β το εμβαδόν του ΑΒΓ γ το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτην υποτεύνουςα 12. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° με ΑΓ = 15 cm και ΒΓ = 12 cm να υπολογύςετε : α την πλευρϊ ΑΒ β το εμβαδόν του ΑΒΓ γ το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτην υποτεύνουςα 13. Ένα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° ϋχει ΑΒ = 5 και εμβαδόν 30 . Να βρεύτε την υποτεύνουςα ΒΓ. 14. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει ΑΒ = ΑΓ = 15 cm και ΒΓ = 24 cm. Να υπολογύςετε : α το ύψοσ του ΑΔ β το εμβαδόν του τριγώνου 15. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει ΑΒ = ΑΓ = 5 cm και ΒΓ = 6 cm. Να υπολογύςετε : α το ύψοσ του ΑΔ β το εμβαδόν του τριγώνου

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 51

16. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο με βϊςη 48 cm και περύμετρο 128 cm . Να βρεθεύ : α η καθεμιϊ από τισ ύςεσ πλευρϋσ του β το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτην βϊςη του τριγώνου γ το εμβαδόν του δ το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςε μια από τισ δύο ύςεσ πλευρϋσ του . 17. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο με βϊςη 3 cm και περύμετρο 8 cm . Να βρεθεύ : α η καθεμιϊ από τισ ύςεσ πλευρϋσ του β το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςτην βϊςη του τριγώνου γ το εμβαδόν του δ το ύψοσ που αντιςτοιχεύ ςε μια από τισ δύο ύςεσ πλευρϋσ του . 18. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο με βϊςη 12 και εμβαδόν 48. Να βρεύτε την περύμετρό του . 19. Η πλευρϊ ενόσ τετραγώνου εύναι η διαγώνιοσ ενόσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου με μόκοσ 12 cm και πλϊτοσ 9 cm . Να βρεύτε την περύμετρο και το εμβαδόν του τετραγώνου. 20. ΢ε ιςόπλευρο τρύγωνο ΑΒΓ το ύψοσ του ΑΔ εύναι 7 cm. Να βρεύτε την πλευρϊ του και το εμβαδόν του. 21. Η πλευρϊ ενόσ τετραγώνου εύναι το ύψοσ ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου πλευρϊσ 8 cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τετραγώνου. 22. Η πλευρϊ ενόσ τετραγώνου εύναι το ύψοσ ενόσ ιςοπλεύρου τριγώνου πλευρϊσ 4 cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τετραγώνου

23. ΢το διπλανό ςχόμα το ορθογώνιο ϋχει περύμετρο 34 cm. α Να βρεύτε τισ πλευρϋσ του και τη διαγώνιο ΒΔ β Να υπολογύςετε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ

24. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 20 cm και το μόκοσ του εύναι κατϊ 2 cm μεγαλύτερο από το πλϊτοσ του . α Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του ορθογωνύου β Ένα ορθογώνιο τρύγωνο ϋχει το ύδιο εμβαδόν με το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Αν η μια κϊθετη πλευρϊ του τριγώνου εύναι 8 cm , να βρεύτε την υποτεύνουςα του. 25. Δύνεται ρόμβοσ ΑΒΓΔ με διαγώνιεσ 24 cm και 10 cm . Να βρεύτε το μόκοσ τησ πλευρϊσ του ρόμβου καθώσ και το εμβαδόν του. 26. ΢το διπλανό ςχόμα το τετρϊπλευρο ΑΒΓΔ ϋχει Δ = 90° α Να υπολογύςετε το x β Να δεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΓΒ εύναι ορθογώνιο γ Να υπολογύςετε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 52

27. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° . Να υπολογύςετε τη ΒΓ και το εμβαδόν του.

28. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του.

29. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του.

30. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° , ΑΒ = 9 , ΒΓ = 10 , ΓΔ = 15. Να υπολογύςετε : α την πλευρϊ ΑΔ β το εμβαδόν του ΑΒΓΔ

31. Δύνεται ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ. Να υπολογύςετε : α το ύψοσ του β το εμβαδόν του 32. Δύνεται ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ με μικρό βϊςη 6 cm , μεγϊλη βϊςη 12 cm και περύμετρο 28 cm. Να βρεύτε : α τισ ύςεσ πλευρϋσ του β το εμβαδόν του τραπεζύου

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 53

2.1 Εφαπτομζνθ Οξείασ Γωνίασ 1. Πωσ ορύζεται η εφαπτομϋνη οξεύασ γωνύασ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου ; Εφαπτομϋνη οξεύασ γωνύασ ω ενόσ ορθογωνύου τριγώνου λϋγεται ο λόγοσ τησ κϊθετησ πλευρϊσ που βρύςκεται απϋναντι από την γωνύα ω, προσ την κϊθετη πλευρϊ που εύναι προςκεύμενη ςτη γωνύα ω .

𝛆𝛗𝛚 =

𝛂𝛑ϋ𝛎𝛂𝛎𝛕𝛊 𝛋ϊ𝛉𝛆𝛕𝛈 𝛑𝛌𝛆𝛖𝛒ϊ 𝛑𝛒𝛐𝛔𝛋𝛆ύ𝛍𝛆𝛎𝛈 𝛋ϊ𝛉𝛆𝛕𝛈 𝛑𝛌𝛆𝛖𝛒ϊ 𝛆𝛗𝛚 =

𝚨𝚪 𝛃 = 𝚨𝚩 𝛄

Παρατηρόςεισ 1) Γνωρύζουμε ότι η εξύςωςη y = αx παριςτϊνει μια ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων. Για κϊθε ςημεύο A(x , y) τησ ευθεύασ, ο λόγοσ

y x

εύναι

πϊντα ύςοσ με α . Αν ω εύναι η γωνύα που ςχηματύζει η ευθεύα με τον ϊξονα x’x , τότε ςτο ορθογώνιο τρύγωνο ΟΑΒ ιςχύει : εφω =

ΑΒ ΟΒ

y x

= α . Δηλαδό εφω = α . Άρα :

Η κλύςη α τησ ευθεύασ y = αx εύναι ύςη με την εφαπτομϋνη τησ γωνύασ ω που ςχηματύζει η ευθεύα με τον ϊξονα x’x 2) Η κλύςη ενόσ δρόμου μιασ ευθεύασ εκφρϊζεται με την μορφό ποςοςτού. Δηλαδό όταν λϋμε ότι η κλύςη ενόσ δρόμου εύναι π.χ. 7% , εννοούμε ότι η εφαπτομϋνη τησ γωνύασ που ςχηματύζει ο δρόμοσ με το οριζόντιο επύπεδο εύναι

7 100

= 0,07 , δηλαδό για κϊθε 100 μϋτρα οριζόντιασ απόςταςησ

ανεβαύνουμε ςε ύψοσ 7 μϋτρων.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 54

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° με ΑΒ = 8 cm και ΒΓ = 17 cm . Να υπολογύςετε τισ εφαπτόμενεσ των γωνιών Β και Γ . 2. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° με ΑΓ = 6 cm και ΒΓ = 10 cm . Να υπολογύςετε τισ εφαπτόμενεσ των γωνιών Β και Γ . 3. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° με ΑΒ = 16 cm και ΒΓ = 34 cm . Να υπολογύςετε τισ εφαπτόμενεσ των γωνιών Β και Γ . 4. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 15 και ΒΓ = 24 . Να βρεύτε : α το ύψοσ ΑΔ β τισ εφαπτόμενεσ των γωνιών Β και ΒΑΔ 5. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ , ΒΓ = 12 με εμβαδόν ύςο με 54. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ γωνύασ Γ 6. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° , ΑΒ = 9 , ΓΔ = 15. Αν το εμβαδόν του τραπεζύου εύναι 96 , να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ γωνύασ Γ . 7. Να υπολογύςετε το x ςτα παρακϊτω ςχόματα :

8. Να υπολογύςετε το x ςτο παρακϊτω ςχόμα :

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 55

9. Η κλύςη του παρακϊτω δρόμου εύναι 8% . Να υπολογύςετε το μόκοσ του ΒΓ .

10. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι Γ = 64° . Αν το ύψοσ ΑΔ εύναι 4 cm , να βρεύτε την ΒΓ 11. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 24, εφΒ = 0,375 . Να βρεύτε το εμβαδόν του. 12. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 15 και εφΓ = 1 . Να βρεύτε την ΑΓ . 13. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 48 και εφΒ = 14. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 15 και εφΓ = 15. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΒΓ = 10 και εφΒ =

7 24 3

. Να βρεύτε την υποτεύνουςα ΒΓ .

4 1

Να βρεύτε τισ κϊθετεσ πλευρϋσ του και το εμβαδόν του . 16. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 80 και εφΒ = α την πλευρϊ ΑΓ

β την εφΓ

3 4

Να βρεύτε :

γ) την περύμετρο του τριγώνου ΑΒΓ

17. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΓ = 12, εφΒ = 0,75 . Να βρεύτε : α την πλευρϊ ΑΒ β την υποτεύνουςα ΒΓ γ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ . 18. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 120 και εφΓ =

8 5

Να υπολογύςετε την περύμετρό του 19. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ με ΑΔ ύψοσ. Αν εφω =

2 3

να βρεύτε :

α το τμόμα ΒΔ β την εφΓ γ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 20. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με εμβαδόν 18 και το ύψοσ του ΑΔ = 6 με εφΓ = 1,5 . Να βρεύτε την εφΒ . 21. ΢το διπλανό ςχόμα ιςχύει εφω = 0,9 και εφθ = 0,6 Να βρεύτε το μόκοσ τησ ΒΓ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 56

22. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με ύψοσ ΑΔ, ΑΓ = 10 , ΒΔ = 4 με εφΒ = 1,5 . Να βρεύτε : α το ύψοσ ΑΔ β το τμόμα ΔΓ γ την εφΓ δ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 23. ΢ε ϋνα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ η διαγώνιοσ ΑΓ ςχηματύζει με την πλευρϊ ΑΒ γωνύα φ = 42° και η περύμετροσ του ΑΒΓΔ εύναι 19 cm , να υπολογύςετε το εμβαδόν του ορθογωνύου . 24. ΢το διπλανό ςχόμα το ΑΒΓΔ εύναι ορθογώνιο. Αν εφθ = 0,4 να βρεύτε το εμβαδόν του ορθογωνύου.

25. Δύνεται ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ με ύψοσ ΔΕ = 10 και εφΑ = 2 . Αν η μεγϊλη βϊςη ΑΒ εύναι διπλϊςια από την μικρό βϊςη ΓΔ , να υπολογύςετε το εμβαδόν του τραπεζύου 26. ΢το διπλανό ςχόμα το ΑΒΓΔ εύναι τραπϋζιο . Αν εφΓ = 0,8 και εφΔ = 2, να βρεύτε το εμβαδόν του τραπεζύου ΑΒΓΔ .

27. ΢το διπλανό ςχόμα εύναι Γ = 90° και εφθ = 0,75 . Να βρεύτε : α την εφΒ β την περύμετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ γ το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 57

2.2 Ημίτονο και ΢υνθμίτονο Οξείασ Γωνίασ 1. Πωσ ορύζεται το ημύτονο οξεύασ γωνύασ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου ; Ημύτονο οξεύασ γωνύασ ω ενόσ ορθογωνύου τριγώνου λϋγεται ο λόγοσ τησ κϊθετησ πλευρϊσ που βρύςκεται απϋναντι από την γωνύα ω, προσ την υποτεύνουςα του ορθογωνύου τριγώνου .

𝛈𝛍𝛚 =

𝛂𝛑ϋ𝛎𝛂𝛎𝛕𝛊 𝛋ϊ𝛉𝛆𝛕𝛈 𝛑𝛌𝛆𝛖𝛒ϊ 𝛖𝛑𝛐𝛕𝛆ύ𝛎𝛐𝛖𝛔𝛂 𝛈𝛍𝛚 =

𝚨𝚪 𝛃 = 𝚩𝚪 𝛂

2. Πωσ ορύζεται το ςυνημύτονο οξεύασ γωνύασ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου ; ΢υνημύτονο οξεύασ γωνύασ ω ενόσ ορθογωνύου τριγώνου λϋγεται ο λόγοσ τησ κϊθετησ πλευρϊσ που πρόςκειται ςτην γωνύα ω, προσ την υποτεύνουςα του ορθογωνύου τριγώνου .

𝛔𝛖𝛎𝛚 =

𝛑𝛒𝛐𝛔𝛋𝛆ύ𝛍𝛆𝛎𝛈 𝛋ϊ𝛉𝛆𝛕𝛈 𝛑𝛌𝛆𝛖𝛒ϊ 𝛖𝛑𝛐𝛕𝛆ύ𝛎𝛐𝛖𝛔𝛂 𝛔𝛖𝛎𝛚 =

𝚨𝚩 𝛄 = 𝚩𝚪 𝛂

Παρατηρόςεισ 1) Σο ημύτονο και το ςυνημύτονο εύναι καθαρού αριθμού, δηλαδό δεν ϋχουν μονϊδεσ 2) Επειδό ςε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο η υποτεύνουςα εύναι η μεγαλύτερη πλευρϊ , θα ιςχύει ΑΓ < 𝛣𝛤 και ΑΒ < 𝛣𝛤 ϊρα : 𝟎 < 𝜂𝜇𝜔 < 1 και 𝟎 < 𝜎𝜐𝜈𝜔 < 1 3) Αν διαιρϋςουμε το ημω με το ςυνω , θα προκύψει εφω . Δηλαδό : 𝛆𝛗𝛚 =

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

𝛈𝛍𝛚 𝛔𝛖𝛎𝛚

Σελίδα 58

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΓ = 9 και ΒΓ = 15. Να υπολογύςετε τα ημύτονα και τα ςυνημύτονα των γωνιών Β και Γ 2. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 8 και ΑΓ = 6. Να υπολογύςετε τα ημύτονα και τα ςυνημύτονα των γωνιών Β και Γ 3. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 15 και ΒΓ = 17. Να υπολογύςετε τα ημύτονα και τα ςυνημύτονα των γωνιών Β και Γ 4. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει διαςτϊςεισ 12 και 16. Να βρεύτε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ των γωνιών τισ οπούεσ ςχηματύζει μια διαγώνιόσ του με τισ πλευρϋσ του. 5. Να υπολογύςετε τα ημύτονα και ςυνημύτονα των οξειών γωνιών ςτα παρακϊτω ορθογώνια τρύγωνα :

6. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΒΓ = 15 και ςυνΒ = α την πλευρϊ ΑΒ

β την πλευρϊ ΑΓ

4 5

. Να βρεύτε :

γ τα ημΒ , ημΓ , ςυνΓ

7. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 12 και εφΓ =

3 4

. Να υπολογύςετε τα ημύτονα και τα

ςυνημύτονα των γωνιών Β και Γ 8. ΢το παρακϊτω ςχόμα, να υπολογύςετε τισ πλευρϋσ του τριγώνου ΒΔΓ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 59

9. Για το διπλανό ςχόμα εύναι ημΓ =

3 5

και Α = Δ = 90°

Να βρεύτε : α τα τμόματα ΓΕ και ΓΔ β τα τμόματα ΓΒ και ΓΑ γ τα ημΒ , εφΒ , ςυνΒ δ την περύμετρο και το εμβαδόν του τραπεζύου ΑΒΕΔ . 10. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° , ΑΒ = 6 , ΓΔ = 18 και ςυνΓ =

4 5

Να βρεύτε την περύμετρο και το εμβαδόν του τραπεζύου ΑΒΓΔ. 11. ΢το διπλανό τρύγωνο το ΓΔ εύναι ύψοσ 15

και ημω = α β γ δ ε

, εφΒ =

4 3

. Να βρεύτε :

το τμόμα ΑΔ και το ύψοσ ΓΔ τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ Α το τμόμα ΒΔ και την πλευρϊ ΒΓ το ημΒ , ςυνΒ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ .

12. Να αποδεύξετε ότι για κϊθε οξεύα γωνύα ω ιςχύει : α 3 + 2ημω < 5 β 8ςυνω − 6 < 2 γ 7 − 4ημω > 3

δ −6ςυνω − 4 > −10

13. Να αποδεύξετε ότι για κϊθε οξεύα γωνύα ω ιςχύει : α 5 − 3ημω > 2 β 7ημω + 4ςυνω < 11 γ 6 + 3ςυνω < 9 14. Για μια οξεύα γωνύα ω ιςχύει ημω =

και ςυνω =

α την παρϊςταςη (ημω)2 + (ςυνω)2

δ 2ημω + 3ςυνω + 5 < 10

. Να υπολογύςετε :

β την εφω

15. Για μια οξεύα γωνύα ω ιςχύει ςυνω =

24 25

και εφω =

7 24

. Να υπολογύςετε :

β την παρϊςταςη (ημω)2 + (ςυνω)2

α το ημω

16. Για μια οξεύα γωνύα ω ιςχύει ημω = α το ςυνω

και εφω =

5 12

. Να υπολογύςετε :

β την παρϊςταςη (ημω)2 + (ςυνω)2

17. Για μια οξεύα γωνύα ω ιςχύει ημω =

2x − 3 5

, ςυνω =

4 5

, εφω =

3x − 6 4

. Να βρεύτε τον αριθμό x .

18. Δύνεται ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° . Να αποδεύξετε ότι : α (ημΒ)2 + (ςυνΒ)2 = 1

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

ημ Β + ςυν Γ ςυν Β + ημ Γ

= εφΒ

Σελίδα 60

2.3 Μεταβολζσ Ημιτόνου, ΢υνθμιτόνου και Εφαπτομζνθσ 1. Πωσ μεταβϊλλεται το ημύτονο , το ςυνημύτονο και η εφαπτομϋνη ; α Όταν αυξϊνεται μια οξεύα γωνύα, αυξϊνεται και το ημύτονό τησ. Δηλαδό αν ιςχύει ημω < 𝜂𝜇𝜃 𝜏ό𝜏𝜀 𝜀ύ𝜈𝛼𝜄 𝜔 < 𝜃 β Όταν αυξϊνεται μια οξεύα γωνύα, ελαττώνεται το ςυνημύτονό τησ. Δηλαδό αν ιςχύει ςυνω < 𝜎𝜐𝜈𝜃 𝜏ό𝜏𝜀 𝜀ύ𝜈𝛼𝜄 𝜔 > 𝜃 γ Όταν αυξϊνεται μια οξεύα γωνύα, αυξϊνεται και η εφαπτομϋνη τησ. Δηλαδό αν ιςχύει εφω < 𝜀𝜑𝜃 𝜏ό𝜏𝜀 𝜀ύ𝜈𝛼𝜄 𝜔 < 𝜃 δ Αν δύο γωνύεσ ϋχουν ύςα ημύτονα , τότε οι γωνύεσ αυτϋσ εύναι ύςεσ . ε Αν δύο γωνύεσ ϋχουν ύςα ςυνημύτονα , τότε οι γωνύεσ αυτϋσ εύναι ύςεσ . ζ Αν δύο γωνύεσ ϋχουν ύςεσ εφαπτόμενεσ , τότε οι γωνύεσ αυτϋσ εύναι ύςεσ .

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να διατϊξετε από τον μικρότερο ςτον μεγαλύτερο τουσ παρακϊτω τριγωνομετρικούσ αριθμούσ : α ημ23° , ημ9° , ημ77° , ημ58° , ημ63° β ςυν73° , ςυν44° , ςυν12° , ςυν85° , ςυν61° γ εφ83° , εφ19° , εφ89° , εφ45° , εφ59° 2. Να διατϊξετε από τον μεγαλύτερο ςτον μικρότερο τουσ παρακϊτω τριγωνομετρικούσ αριθμούσ : α ημ35° , ημ74° , ημ13° , ημ8° , ημ21° β ςυν89° , ςυν54° , ςυν71° , ςυν25° , ςυν16° γ εφ23° , εφ15° , εφ49° , εφ35° , εφ64° 3. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΒ = 12 και ΒΓ = 13 . α Να βρεύτε την πλευρϊ ΑΓ γ Να ςυγκρύνετε τισ γωνύεσ Β και Γ

β Να βρεύτε το ημΒ και το ημΓ

4. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΓ = 21 και ΒΓ = 29 . Να βρεύτε το ςυνΒ και το ςυνΓ και να ςυγκρύνετε τισ γωνύεσ Β και Γ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 61

5. ΢το τραπϋζιο ΑΒΓΕ του παρακϊτω ςχόματοσ ιςχύουν Β = Γ = 90° , ημΕ =

5 13

. Να βρεύτε :

α το ύψοσ ΑΔ β το ςυνΕ και την εφΕ γ το εμβαδόν του τραπεζύου ΑΒΓΕ

6. ΢το παρακϊτω ςχόμα το ΑΔ εύναι ύψοσ του τριγώνου ΑΒΓ. Αν ςυνΓ = α β γ δ

4 5

, να βρεύτε :

τον αριθμό x το ύψοσ ΑΔ το ημΒ , εφΒ , ςυνΒ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 62

2.4 Σριγωνομετρικοί Αρικμοί των γωνιών 𝟑𝟎° , 𝟒𝟓° , 𝟔𝟎° Έχουμε τον παρακϊτω πύνακα :

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : Α = 2ςυν45° − 3εφ45° + 4ημ30° + 6ημ45° − 3εφ30° 2. Να υπολογύςετε την τιμό των παραςτϊςεων : α Α = ημ2 30° + ημ2 45° + ημ2 60°

β Β=

εφ 45°∙ ημ 60°∙ εφ 30°∙ εφ 2 60° ημ 2 45°

3. Να υπολογύςετε την τιμό των παραςτϊςεων : α Α = ημ30° ∙ ςυν60° − 4ςυν2 30° β Β = ςυν45° ∙ ημ45° + 2εφ60° 2 γ Γ = 6εφ30° − 2ςυν 30° + 1 4. Να υπολογύςετε τα x , y ςτα παρακϊτω ορθογώνια τρύγωνα :

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 63

5. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΑΓ = 4 και Β = 30°. Να βρεύτε τισ ΑΒ και ΒΓ . 6. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΒΓ = 12 και Γ = 60°. Να βρεύτε τισ ΑΒ και ΑΓ .

7. Να υπολογύςετε τα x , y ςτο διπλανό ςχόμα :

8. ΢ε τρύγωνο ΑΒΓ εύναι Β = 30° , Γ = 45° και ύψοσ ΑΔ = 10 . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του ΑΒΓ . 9. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του διπλανού τριγώνου ΑΒΓ :

10. ΢το διπλανό ςχόμα εύναι Α = 90° . Να υπολογύςετε : α το τμόμα ΑΒ β το τμόμα ΑΓ γ το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΔ .

11. Να υπολογύςετε το εμβαδόν και την περύμετρο του διπλανού τριγώνου ΑΒΓ

12. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° εύναι ΒΓ = 8 και Γ = 2Β . Να βρεύτε τισ ΑΒ και ΑΓ . 13. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ με Β = 30° και το ύψοσ του ΑΔ = 5 . Να υπολογύςετε τισ πλευρϋσ και τισ γωνύεσ του τριγώνου . 14. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ = 8 με Β = 30°. Να βρεύτε το εμβαδόν του. 15. Να βρεύτε το εμβαδόν ενόσ ιςοπλεύρου το οπούο ϋχει περύμετρο 24 cm. 16. Ένα ιςόπλευρο τρύγωνο ϋχει εμβαδόν 12 3 cm2 . Να βρεύτε την πλευρϊ και το ύψοσ του. 17. Ένα ιςόπλευρο τρύγωνο ϋχει ύψοσ 3 cm . Να βρεύτε την πλευρϊ και το εμβαδόν του.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 64

18. Δύνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαγώνιο ΒΔ = 6 και η γωνύα ΓΒΔ = 60° . Να υπολογύςετε : α τα μόκη των πλευρών του β το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ το ύψοσ ΓΕ του τριγώνου ΒΓΔ 19. Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει πλευρϊ ΑΒ = 20 , ΒΓ = 30 και γωνύα Β = 30° . Να βρεύτε το εμβαδόν του . 20. Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει πλευρϊ ΑΒ = 12 , ΒΓ = 8 και γωνύα Δ = 60° . Να βρεύτε το εμβαδόν του . 21. Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει πλευρϊ ΑΒ = 120 , περύμετρο ύςη με 360 και γωνύα Δ = 45° Να βρεύτε το εμβαδόν του . 22. Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει πλευρϊ ΑΒ = 15 , περύμετρο ύςη με 42 και γωνύα Δ = 45° Να βρεύτε το εμβαδόν του . 23. Δύνεται ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ με ΑΔ = ΒΓ = 10 , ΑΒ = 20 3 και Α = 30° . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του . 24. Δύνεται ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 18 , ΔΓ = 6 , ΔΑ = 10 και Δ = 150° . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του . 25. Σραπϋζιο ΑΒΓΔ με βϊςεισ ΑΒ και ΓΔ ϋχει ΑΒ = 12 , ΑΔ = 13 και γωνύεσ Γ = 30° , Δ = 45° . Να υπολογύςετε το εμβαδόν του . 26. Σραπϋζιο ΑΒΓΔ με βϊςεισ ΑΒ και ΓΔ ϋχει ΑΒ = 3 , ΑΔ = 4 και γωνύεσ Γ = 45° , Δ = 30° . Να υπολογύςετε : α το ύψοσ του τραπεζύου β την πλευρϊ ΒΓ γ τη μεγϊλη βϊςη ΓΔ 27. Σραπϋζιο ΑΒΓΔ με βϊςεισ ΑΒ και ΓΔ ϋχει ΑΒ = 10 , ΑΔ = 6 3 και γωνύεσ Α = 120° , Β = 135° . Να υπολογύςετε : α το ύψοσ του τραπεζύου β την πλευρϊ ΒΓ γ τη μεγϊλη βϊςη ΓΔ 28. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του παρακϊτω τραπεζύου ΑΒΓΔ :

29. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90° , ΑΒ = 9 , ΑΔ = 2 3 και Β = 150° . Να βρεύτε : α την πλευρϊ ΒΓ β τη βϊςη ΓΔ γ το εμβαδόν του τραπεζύου ΑΒΓΔ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 65

3.1 Εγγεγραμμζνεσ Γωνίεσ 1. Ποια γωνύα λϋγεται επύκεντρη ; Επύκεντρη λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ η κορυφό εύναι το κϋντρο Ο ενόσ κύκλου και οι πλευρϋσ τησ τϋμνονται με τον κύκλο. Α Σο τόξο ΑΒ τησ κυρτόσ γωνύασ λϋγεται αντύςτοιχο τόξο τησ επύκεντρησ γωνύασ ΑΟΒ Β Αν η επύκεντρη γωνύα εύναι μ° τότε και το αντύςτοιχο τόξο τησ εύναι ύςο με μ° Γ Ένασ κύκλοσ εύναι τόξο 360° αφού αντιςτοιχεύ ςτην πλόρη επύκεντρη γωνύα . Δ Ένα ημικύκλιο εύναι τόξο 180° αφού αντιςτοιχεύ ςτην ευθεύα επύκεντρη γωνύα.

2. Ποια γωνύα λϋγεται εγγεγραμμϋνη ; Εγγεγραμμϋνη λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ η κορυφό εύναι ςημεύο του κύκλου και οι πλευρϋσ τησ τϋμνονται με τον κύκλο. Α Σο τόξο ΒΓ τησ κυρτόσ γωνύασ λϋγεται αντύςτοιχο τόξο τησ εγγεγραμμϋνησ γωνύασ ΒΑΓ Β Οι εγγεγραμμϋνεσ γωνύεσ που βαύνουν ςτο ύδιο τόξο ό ςε ύςα τόξα, εύναι ύςεσ . Γ Κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα ιςούται με το μιςό τησ επύκεντρησ που ϋχει το ύδιο αντύςτοιχο τόξο .

φ=

ω 2

ό ω = 2φ

Δ Κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα ϋχει μϋτρο ύςο με το μιςό του μϋτρου του αντύςτοιχου τόξου τησ. Οπότε κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα που βαύνει ςε ημικύκλιο εύναι ορθό

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 66

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. ΢το διπλανό ςχόμα, να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τριγώνου ΑΒΓ

2. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ ω και φ ςτα παρακϊτω ςχόματα :

3. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ x , y ,ω ςτα παρακϊτω ςχόματα :

4. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ ω και φ ςτα παρακϊτω ςχόματα :

5. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ x , y ,ω ςτα παρακϊτω ςχόματα :

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 67

6. ΢το διπλανό ςχόμα να βρεύτε το x καθώσ και τισ γωνύεσ του τριγώνου ΑΒΓ

7. ΢το διπλανό ςχόμα να βρεύτε το x καθώσ και τισ γωνύεσ του τριγώνου ΑΒΓ

8. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ x , y ,ω ςτα παρακϊτω ςχόματα :

9. ΢το διπλανό ςχόμα η ΑΒ εύναι διϊμετροσ του κύκλου. Να βρεύτε : α τα x και y β τα τόξα ΒΓ και ΑΔ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 68

10. ΢το διπλανού ςχόμα να βρεύτε : α τον αριθμό x β τη γωνύα ΒΑΓ γ τη γωνύα ΒΟΓ

11. ΢ε κύκλο θεωρούμε τρύα διαδοχικϊ τόξα ΑΒ = 150° , ΒΓ = 70° και ΓΔ = 80° . Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ . 12. ΢ε κύκλο θεωρούμε τρύα διαδοχικϊ τόξα ΑΒ = 68° , ΒΓ = 80° και ΓΔ = 106° . Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ . 13. ΢ε κύκλο θεωρούμε δύο διαδοχικϊ τόξα ΑΒ = 76° , ΒΓ = 124° και τη διχοτόμο τησ γωνύασ ΑΒΓ που τϋμνει τον κύκλο ςτο Δ. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ . 14. ΢ε κύκλο θεωρούμε δύο διαδοχικϊ τόξα ΑΒ = 60° , ΒΓ = 100° και τη διχοτόμο τησ γωνύασ ΑΒΓ που τϋμνει τον κύκλο ςτο Δ . Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 69

3.2 Κανονικά Πολφγωνα 1. Πότε ϋνα πολύγωνα λϋγεται κανονικό ; Ένα πολύγωνο λϋγεται κανονικό όταν ϋχει όλεσ τισ πλευρϋσ του μεταξύ τουσ ύςεσ και όλεσ τισ γωνύεσ του μεταξύ τουσ ύςεσ . Παραδεύγματα κανονικών πολυγώνων : ΠΡΟ΢ΟΦΗ

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

Για κϊθε κανονικό πολύγωνο υπϊρχει πϊντα ϋνασ κύκλοσ ο οπούοσ διϋρχεται από όλεσ τισ κορυφϋσ του. Σότε λϋμε ότι το κανονικό πολύγωνο εύναι εγγεγραμμϋνο ςτον κύκλο και ο κύκλοσ λϋγεται περιγεγραμμϋνοσ ςτο κανονικό πολύγωνο .

2. Σι γνωρύζετε για την κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου ; Καθεμύα από τισ ύςεσ επύκεντρεσ γωνύεσ ω με τισ οπούεσ χωρύζουμε τον κύκλο ςε ν ύςα τόξα , λϋγεται κεντρικό γωνύα του κανονικού ν-γώνου . Η κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού ν-γώνου εύναι ύςη με

𝛚=

𝟑𝟔𝟎° 𝛎

3. Σι γνωρύζετε για την γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου ; Καθεμύα από τισ ύςεσ γωνύεσ του κανονικού ν-γώνου λϋγεται γωνύα του κανονικού πολυγώνου και ςυμβολύζεται με φ . Η γωνύα ενόσ κανονικού ν-γώνου εύναι ύςη με

ΠΡΟ΢ΟΦΗ

𝛗 = 𝟏𝟖𝟎° −

𝟑𝟔𝟎° 𝛎

Η γωνύα ενόσ κανονικού ν-γώνου εύναι παραπληρωματικό τησ κεντρικόσ του γωνύασ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 70

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να υπολογύςετε τη γωνύα και την κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού οκταγώνου . 2. Να υπολογύςετε τη γωνύα και την κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού εξαγώνου . 3. Να υπολογύςετε τη γωνύα και την κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού δωδεκαγώνου . 4. Να βρεύτε ποιο κανονικό πολύγωνο ϋχει γωνύα 144° . 5. Να βρεθεύ ποιο κανονικό πολύγωνο ϋχει κεντρικό γωνύα ύςη με : α 36° β 12° γ 120° 6. Η γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου εύναι 156° . Να βρεύτε : α την κεντρικό γωνύα του πολυγώνου β τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου . 7. ΢ε κανονικό πολύγωνο η γωνύα του εύναι πενταπλϊςια τησ κεντρικόσ του γωνύασ. Να βρεύτε το εύδοσ του πολυγώνου . 8. Η κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου εύναι τα α τη γωνύα του πολυγώνου

τησ ορθόσ. Να βρεύτε :

β τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου .

9. Η κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου εύναι τα α τη γωνύα του πολυγώνου

2 3

τησ ορθόσ. Να βρεύτε :

β τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου .

10. Να εξετϊςετε αν υπϊρχει κανονικό πολύγωνο με : α κεντρικό γωνύα ύςη με 22° β γωνύα ύςη με 140° . 11. Να εξετϊςετε αν υπϊρχει κανονικό πολύγωνο με : α κεντρικό γωνύα ύςη με 25° β γωνύα ύςη με 164° . 12. ΢ε ϋνα κανονικό πολύγωνο η γωνύα του φ εύναι διπλϊςια τησ κεντρικόσ του γωνύασ ω . Να βρεύτε : α την κεντρικό γωνύα ω β την γωνύα του φ γ το πλόθοσ των πλευρών του πολυγώνου . 13. ΢ε ϋνα κανονικό πολύγωνο η γωνύα του εύναι πενταπλϊςια τησ κεντρικόσ του γωνύασ ω . Να βρεύτε : α την κεντρικό γωνύα ω β την γωνύα του φ γ το πλόθοσ των πλευρών του πολυγώνου . 14. Η γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου εύναι κατϊ 132° μεγαλύτερη από την κεντρικό του γωνύα. Να βρεύτε : α τη γωνύα και την κεντρικό του γωνύα β το πλόθοσ των πλευρών του πολυγώνου

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 71

3.3 Μικοσ Κφκλου 1. Πωσ υπολογύζεται το μόκοσ ενόσ κύκλου ; Ο λόγοσ του μόκουσ L ενόσ κύκλου προσ την διϊμετρό του δ εύναι ϋνασ ςταθερόσ αριθμόσ που ςυμβολύζεται με το Ελληνικό γρϊμμα π . Δηλαδό

L δ

=π.

Ο αριθμόσ π εύναι ϋνασ ϊρρητοσ αριθμόσ , δηλαδό εύναι ϋνασ δεκαδικόσ με ϊπειρα δεκαδικϊ ψηφύα . ΢τισ αςκόςεισ θα παύρνουμε για το π την προςεγγιςτικό τιμό 3,14 . Έτςι, το μόκοσ ενόσ κύκλου με διϊμετρο δ , υπολογύζεται από την ςχϋςη :

𝐋 =𝛑∙𝛅

𝐋=𝟐∙𝛑∙𝛒

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Να βρεύτε το μόκοσ ενόσ κύκλου που ϋχει διϊμετρο 18 cm . 2. Αν το μόκοσ ενόσ κύκλου εύναι 15,7 cm , να βρεύτε την ακτύνα του κύκλου . 3. Αν το μόκοσ ενόσ κύκλου εύναι 81,64 cm , να βρεύτε την ακτύνα του κύκλου . 4. Αν το μόκοσ ενόσ κύκλου εύναι 87,92 mm , να βρεύτε την ακτύνα του κύκλου . 4. ΢ε ϋνα ποδόλατο οι τροχού του ϋχουν ακτύνα 30 cm . Να υπολογύςετε πόςεσ ςτροφϋσ θα κϊνουν οι τροχού του αν διανύςει μια απόςταςη 942 m . 5. Οι περύμετροι δύο κύκλων ϋχουν διαφορϊ 26 cm . Να βρεύτε πόςο διαφϋρουν οι ακτύνεσ τουσ. 6. Οι διϊμετροι δύο κύκλων ϋχουν διαφορϊ 8 cm . Να βρεύτε πόςο διαφϋρουν : α οι ακτύνεσ τουσ β οι περύμετρού τουσ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 72

7. Να υπολογύςετε το μόκοσ του κύκλου ςτο διπλανό ςχόμα .

8. Να υπολογύςετε το μόκοσ του κύκλου ςτο διπλανό ςχόμα .

9. Να υπολογύςετε το μόκοσ του κύκλου ςτο διπλανό ςχόμα .

10. Να βρεύτε την περύμετρο του κύκλου ςτο διπλανό ςχόμα .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 73

3.4 Εμβαδόν Κυκλικοφ Δίςκου 1. Πωσ υπολογύζεται το εμβαδόν κυκλικού δύςκου ; Σο εμβαδόν ενόσ κυκλικού δύςκου ακτύνασ ρ εύναι ύςο με :

𝚬 = 𝛑 ∙ 𝛒𝟐

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Ένα ςύρμα ϋχει μόκοσ 94,2 cm και το λυγύζουμε ώςτε να ςχηματιςτεύ κύκλοσ. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του κύκλου. 2. Να βρεύτε το εμβαδόν μιασ κυκλικόσ πλατεύασ διαμϋτρου 12 m . 3. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ κύκλου που ϋχει μόκοσ 81,64 m. 4. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ κύκλου που ϋχει μόκοσ 12,56 cm. 5. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ κύκλου που ϋχει μόκοσ 16π cm. 6. Σο εμβαδόν ενόσ κυκλικού δύςκου εύναι 1256 cm2 . Να βρεύτε το μόκοσ του κύκλου . 7. Σο εμβαδόν ενόσ κυκλικού δύςκου εύναι 50,24 cm2 . Να βρεύτε την ακτύνα και το μόκοσ του κύκλου . 8. Σο εμβαδόν ενόσ κυκλικού δύςκου εύναι 16π cm2 . Να βρεύτε το μόκοσ του κύκλου . 9. Ένασ κύκλοσ Ο , ρ ϋχει εμβαδόν 36π cm2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του κύκλου που ϋχει διπλϊςια ακτύνα από τον κύκλο Ο , ρ . 10. Ένασ κύκλοσ ϋχει ακτύνα ύςη με 3 cm . Να βρεύτε την ακτύνα του κύκλου που ϋχει οκταπλϊςια επιφϊνεια από τον αρχικό κύκλο .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 74

11. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του κυκλικού δύςκου του διπλανού ςχόματοσ .

12. Μια κυκλικό πλατεύα ϋχει διϊμετρο 50 m και ςτο κϋντρο τησ υπϊρχει νηςύδα πραςύνου με ακτύνα 4 m . Να υπολογύςετε πόςα m2 εύναι ελεύθερα για να περπατόςουν οι ϊνθρωποι .

13. Να υπολογύςετε το εμβαδόν και το μόκοσ των παρακϊτω κύκλων :

14. Ένα τετρϊγωνο εύναι εγγεγραμμϋνο ςε κύκλο και ϋχει εμβαδόν 32 cm2 . Να βρεύτε το εμβαδόν και το μόκοσ του κύκλου .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 75

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 76