11ο Τεστ Μονοτονία-Ακρότατα

11ο ΣΕ΢Σ ΜΟΝΟΣΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΣΑΣΑ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢

1) Δίνεται η ςυνάρτηςη h x =

ex 1 + e 2x

α Να μελετήςετε την ςυνάρτηςη h ωσ προσ την μονοτονία και τα ακρότατα β Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ h

2) Δίνεται παραγωγίςιμη f ∶ ℝ → ℝ με f 3 x + f x = 2x 3 , x ∈ ℝ α Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ Cf ςτο ςημείο Μ 1 , f(1) β Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιςτον ένα x0 ∈ −1 , 1 ∶ f ′ x0 = 1 γ Να μελετήςετε την f ωσ προσ την μονοτονία δ Να λύςετε την εξίςωςη f lnx + ex − e = f 1 − x ε Να δείξετε ότι f ex−1 − x ≥ 0 , x ∈ ℝ

4) Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ιςχύει : f 1 = −1, f ′ x ∙ ex + f(x) = 2x − x 2 , x > 0 α Να αποδείξετε ότι f x = 2lnx − x β Να μελετήςετε την f ωσ προσ την μονοτονία τα ακρότατα γ Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f δ Να λυθεί η εξίςωςη 2ln

x2+ 2 x 2 − 2x + 3

= 2x − 1

ε Να βρεθεί ςημείο τησ Cf που απέχει ελάχιςτη απόςταςη από την ευθεία y = x

5) Δίνεται η ςυνάρτηςη f x =

ex x2 + 1

α Να μελετήςετε την f ωσ προσ την μονοτονία και να βρείτε το ςύνολο τιμών β Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη f

e1−x

2

x +1

=

e3 10

έχει ακριβώσ

μια ρίζα. , α ≠ 0 γ Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη αx 1 για την οποία ιςχύει f x ≤ x − 1 , ∀ x > 0 . x2∙ ex α Να δείξετε ότι α = 1 f lnx = 2 έχει ακριβώσ μια ρίζα x +1 β Να μελετηθεί η f ωσ προσ την μονοτονία , ςτο 1 , e τα ακρότατα και να βρείτε το ςύνολο τιμών. δ Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η f ’ είναι

3) Δίνεται η ςυνάρτηςη f x =

γ Να δείξετε ότι f(x) ≤ δ Να δείξετε ότι ∃ ξ ∈ 1 , e ∶ 1 − lnξ =

1 e

lnx

,∀ x > 0

ξ2 e 2− e

γνηςίωσ φθίνουςα ςτο 0 , 1 , να δείξετε ότι f x 2 − 1 > x f x − 1 , ∀x ∈ 0 , 1

ΚΑΛΗ ΔΙΑ΢ΚΕΔΑ΢Η ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢