10ο ΤΕΣΤ- ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

10ο ΣΕ΢Σ ΢ΤΝΕΠΕΙΕ΢ ΘΕΩΡΗΜΑΣΟ΢ ΜΕ΢Η΢ ΣΙΜΗ΢

1) Δίνεται ςυνάρτηςη f: 0 , +∞ → ℝ με 1−e

5) Δίνεται παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη

f ςτο ℝ ώςτε να ιςχύουν οι ςχέςεισ : f x ≠ 0 , ∀x ∈ ℝ , f 0 = 1 και e Να βρείτε τον τύπο τησ f .

2f ′ x + f x = 0 , ∀x ∈ ℝ . α Να βρείτε τον τύπο τησ f β Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f 2) Δίνεται ςυνάρτηςη f: ℝ → ℝ με f 0 = 1 γ Να δείξετε ότι η f αντιςτρέφεται και να και 2xf x = x 2 + 1 f x − f ′ x , ∀x ∈ ℝ βρείτε την αντίςτροφή τησ . Να βρείτε τον τύπο τησ f . f 1 =

και x 2 f ′ x − f x = 1, x > 0

3) Δίνεται παραγωγίςιμη f: 0 , +∞ → ℝ με f 2 = 3 και f ′ x = −

f(x)

,x > 0

x2+ x x∙f(x)

α Να αποδείξετε ότι η g x =

x +1

είναι ςταθερή ςτο 0 , +∞ β Να βρείτε τον τύπο τησ f . γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιςτον ένα ξ ∈ 0 , 2 ∶ f ξ = eξ

12/2/2018

ΚΑΛΗ ΔΙΑ΢ΚΕΔΑ΢Η ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

4) Δίνεται παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f με πεδίο οριςμού το 0 , +∞ με f ′ 1 = 0 και x ∙ f x + x 2 ∙ f ′ x = 1 , ∀x > 0 α Να βρείτε τον τύπο τησ f β Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 2 : f ′ ξ1 + f ′ ξ2 = ln

2 . e