ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ
ΟΙ ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟ-ΛΑΘΟ ΣΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΣΑΕΩΝ 2002-2015
Οι Ερωτήσεις ωστό-Λάθος των Πανελληνίων
2002 1. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι οριςμζνθ ςτο *α,β+ και ςυνεχισ ςτο (α,β+, τότε θ f παίρνει πάντοτε ςτο *α,β+ μία μζγιςτθ τιμι. 2. Κάκε ςυνάρτθςθ που είναι 1-1 ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ, είναι γνθςίωσ μονότονθ. 3. Αν υπάρχει το όριο τθσ ςυνάρτθςθσ f ςτο x0 και lim𝑥→𝑥 0 f(x) = 0 τότε lim𝑥→𝑥 0 f x = 0 4. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο ℝ τότε 5. Αν lim𝑥→𝑥 0 f x > 0 τότε f(x)>0 κοντά ςτο x0
β f α
x dx = xf(x)
β α
−
β xf ′ α
x dx
2003 6. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δφο φορζσ παραγωγίςιμθ ςτο εςωτερικό του Δ. Αν f’’(x)>0 για κάκε εςωτερικό ςθμείο του Δ, τότε θ f είναι κυρτι ςτο Δ β
β
7. Για κάκε παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f ςε ζνα διάςτθμα Δ ιςχφει: α f ′ x dx = f(x) α 8. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι κυρτι ςε ζνα διάςτθμα Δ, τότε θ εφαπτομζνθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f ςε κάκε ςθμείο του Δ βρίςκεται πάνω από τθν γραφικι τθσ παράςταςθ 9. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και x0 εςωτερικό ςθμείο του Δ. Αν θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο x0 και f’(x0)=0, τότε θ f παρουςιάηει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο ςτο x0 10. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα (α,β), με εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο x0 , ςτο οποίο όμωσ θ f είναι ςυνεχισ. Αν f’(x)>0 ςτο (α,x0) και f’(x)<0 ςτο (x0,β), τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιςτο τθσ f . 11. Μια ςυνάρτθςθ f:A→ ℝ είναι ςυνάρτθςθ 1-1, αν και μόνο αν για οποιοδιποτε x1,x2∈ A ιςχφει θ ςυνεπαγωγι αν x1=x2 τότε f(x1)=f(x2) 12. Αν f,g είναι δφο ςυναρτιςεισ με ςυνεχι πρώτθ παράγωγο, τότε ιςχφει β f α
x ∙ g ′ x dx = f(x) ∙ g(x)
β α
−
β ′ f (x) α
∙ g x dx
2004 13. Ιςχφει lim𝑥→𝑥 0 f x = 𝑙 αν και μόνο αν lim𝑥→𝑥 0+ f x = lim𝑥→𝑥 0− f x = 𝑙 14. Αν οι ςυναρτιςεισ f,g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο x0, τότε θ ςυνάρτθςθ f ∙ g είναι παραγωγίςιμθ ςτο x0 και ιςχφει (f ∙ g)’(x0)=f’(x0) g’(x0) 15. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Αν f’(x)>0 ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςε όλο το Δ 16. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα *α,β+. Αν G είναι μια παράγουςα τθσ f ςτο *α,β+ τότε β f α
x dx = G β − G α 17. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα ςθμείο x0 του πεδίου οριςμοφ τθσ, τότε είναι και παραγωγίςιμθ ςε αυτό. 18. Αν f,g είναι δφο ςυναρτιςεισ με πεδίο οριςμοφ το ℝ και ορίηονται οι ςυνκζςεισ fog, gof τότε αυτζσ οι ςυνκζςεισ είναι υποχρεωτικά ίςεσ. 19. Οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f και f-1 είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τθν ευκεία y=x 20. Αν υπάρχει το όριο τθσ f ςτο x0 τότε limx→x 0 κ f(x) = κ limx→x 0 f(x) εφόσον f(x) ≥ 0 κοντά ςτο x0, με κ∈ ℕ, κ ≥ 2
2005 21. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο *α,β+ με f(α)<0 και υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώςτε f(ξ)=0, τότε κατ’ ανάγκθ f(β)>0 22. Αν υπάρχει το lim𝑥→𝑥 0 f x + g(x) , τότε κατ’ ανάγκθ υπάρχουν τα lim𝑥→𝑥 0 f(x) και lim𝑥→𝑥 0 g(x) 23. Αν θ f ζχει αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ f-1 και θ γραφικι παράςταςθ τθσ f ζχει κοινό ςθμείο Α με τθν ευκεία y=x, τότε το ςθμείο Α ανικει και ςτθν γραφικι παράςταςθ τθσ f-1 1 24. Αν lim𝑥→𝑥 0 f(x) = 0 και f(x)>0 κοντά ςτο x0 , τότε lim𝑥→𝑥 0 f(x) = +∞ ′
x
25. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και α ζνα ςθμείο του Δ, τότε α f(t) dt = f x − f(α) 26. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δεν μθδενίηεται ςε αυτό, τότε αυτι ι είναι κετικι για κάκε χ που ανικει ςτο Δ ι αρνθτικι για κάκε χ που ανικει ςτο Δ, δθλαδι διατθρεί ςτακερό πρόςθμο ςτο Δ. 27. Τα εςωτερικά ςθμεία του διαςτιματοσ Δ, ςτα οποία θ f δεν παραγωγίηεται ι θ παράγωγοσ τθσ είναι ίςθ με το 0, λζγονται κρίςιμα ςθμεία τθσ f ςτο διάςτθμα Δ. 28.Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα (α,β), με εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο του x0. Αν θ f είναι κυρτι ςτο (α, χ0) και κοίλθ ςτο (χ0,β) ι αντιςτρόφωσ τότε το ςθμείο Α(x0,f(x0)) είναι υποχρεωτικά ςθμείο καμπισ τθσ γραφικισ παράςταςθσ f 29. Αν f,g είναι δφο ςυναρτιςεισ με πεδίο οριςμοφ το ℝ και ορίηονται οι ςυνκζςεισ fog, gof τότε είναι υποχρεωτικά fog ≠ gof 30. Αν θ ςυνάρτθςθ f ζχει παράγουςα ςε ζνα διάςτθμα Δ και λ ∈ ℝ∗ τότε ιςχφει
β λf α
x dx = λ
β f α
x dx
2006 31. Αν lim𝑥→𝑥 0 f x > 0 τότε f(x)>0 κοντά ςτο x0 32. Η εικόνα f(Δ) ενόσ διαςτιματοσ Δ μζςου μιασ ςυνεχοφσ και μθ ςτακερισ ςυνάρτθςθσ f είναι διάςτθμα. 33. Ιςχφει ο τφποσ 3x ′ = x ∙ 3x−1 για κάκε x ∈ ℝ 34. Αν f,g είναι δφο ςυναρτιςεισ με ςυνεχι πρώτθ παράγωγο, τότε ιςχφει β f α
x ∙ g ′ x dx = f(x) ∙ g(x)
β α
−
β ′ f (x) α
∙ g x dx
35. Αν οι ςυναρτιςεισ f,g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο x0 και g x0 ≠ 0, τότε θ ςυνάρτθςθ ςτο x0 και ιςχφει
f ′ g
x0 =
36. Για κάκε x ≠ 0 ιςχφει ln
f g
είναι παραγωγίςιμθ
f x 0 g ′ x 0 − f′ x 0 g x 0 g x0 2 1 ′ x = x
37. Μια ςυνάρτθςθ f:A→ ℝ είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμών τθσ θ εξίςωςθ f(x)=y ζχει ακριβώσ μια λφςθ ωσ προσ x. 38. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα *α,β+. Αν G είναι μια παράγουςα τθσ f ςτο *α,β+ τότε β f α
x dx = G α − G β
2007 39. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα *α,β+ και για κάκε x ∈ [α, β] ιςχφει f(x) ≥ 0 τότε β f α
x dx > 0 40. Ζςτω θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και παραγωγίςιμθ ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο Δ τότε f’(x)>0 για κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ. 41. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο x0 και θ g είναι ςυνεχισ ςτο x0, τότε θ ςφνκεςι τουσ gof είναι ςυνεχισ ςτο x0 42. Αν α>1 τότε limx→−∞ αx = 0. 43. Η εικόνα f(Δ) ενόσ διαςτιματοσ Δ μζςου μιασ ςυνεχοφσ ςυνάρτθςθσ f είναι διάςτθμα . 44. Αν f,g,g’ είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ ςτο διάςτθμα *α,β+, τότε
β f α
β β f x dx ∙ α g ′ x dx α ′ x τότε α f(t) dt = f x
x g ′ x dx =
45. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και α ζνα ςθμείο του Δ, 46. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα και ςυνεχισ ςε ζνα ανοικτό διάςτθμα (α,β), τότε το ςφνολο τιμών τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι το (Α,Β) όπου Α = limx→α + f x , Β = limx→β − f(x) 47. Ζςτω δφο ςυναρτιςεισ f, g οριςμζνεσ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Αν οι f, g είναι ςυνεχείσ ςτο Δ και f΄(x) = g΄(x) για κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε ιςχφει f(x) = g(x) για κάκε x∈Δ.
2008 48. Αν μια ςυνάρτθςθ f:A→ ℝ είναι 1-1, τότε για τθν αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ f-1 ιςχφει f −1 f x = x , ∀x ∈ A και f f −1 y = y , y ∈ f(A) 49. Μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f διατθρεί πρόςθμο ςε κακζνα από τα διαςτιματα ςτα οποία οι διαδοχικζσ ρίηεσ τθσ f χωρίηουν το πεδίο οριςμοφ τθσ. 50. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι δφο φορζσ παραγωγίςιμθ ςτο ℝ και ςτρζφει τα κοίλα προσ τα άνω, τότε κατ’ ανάγκθ κα ιςχφει f’’(x)>0 για κάκε πραγματικό αρικμό x. 51. Αν f είναι ςυνεχισ ςε διάςτθμα Δ και α,β,γ ∈ Δ τότε
β f α
x dx =
γ f α
x dx +
β f γ
x dx
52. Υπάρχουν ςυναρτιςεισ που είναι 1-1, αλλά δεν είναι γνθςίωσ μονότονεσ 53. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι κοίλθ ςε ζνα διάςτθμα Δ, τότε θ εφαπτομζνθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f ςε κάκε ςθμείο του Δ βρίςκεται κάτω από τθν γραφικι τθσ παράςταςθ, με εξαίρεςθ το ςθμείο επαφισ τουσ. β
54. Το ολοκλιρωμα α f x dx είναι ίςο με το άκροιςμα των εμβαδών των χωρίων που βρίςκονται πάνω από τον άξονα x’x μείον το άκροιςμα των εμβαδών των χωρίων που βρίςκονται κάτω από τον άξονα x’x 55. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ οριςμζνθ ς’ ζνα ςφνολο τθσ μορφισ (α, 𝑥0 ) ∪ (x0 , β), και ℓ ζνασ πραγματικόσ αρικμόσ. Ιςχφει θ ιςοδυναμία: lim𝑥→𝑥 0 f(x) = ℓ ⇔ limx→x 0 f x − ℓ = 0 2009 56. Μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α κα λζμε ότι παρουςιάηει ςτο 𝑥𝑜 ολικό ελάχιςτο το f x0 όταν f(x) ≥ f(x0 ) για κάκε x ∈ A συν x−1 57. limx→0 x = 1 58. Κάκε ςυνάρτθςθ f που είναι ςυνεχισ ςε ζνα ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ είναι και παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο αυτό. 59. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα *α,β+ και για κάκε x ∈ [α, β] ιςχφει f x < 0, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίηεται από τθν γραφικι παράςταςθ τθσ f, τισ ευκείεσ x=α , x=β και τον άξονα x’x είναι β
Ε(Ω)= α f x dx 60. Η ςυνάρτθςθ f είναι 1-1, αν και μόνο αν κάκε οριηόντια ευκεία τζμνει τθν γραφικι παράςταςθ τθσ f το πολφ ςε ζνα ςθμείο. 1 61. Αν lim𝑥→𝑥 0 f(x) = 0 και f(x)<0 κοντά ςτο x0 , τότε lim𝑥→𝑥 0 f(x) = +∞ 62. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ f(x)=εφx. Η ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο ℝ1= ℝ − {𝑥\συνx = 0} και ιςχφει 1 f ′ x = − συν 2 x 63. Για κάκε ςυνάρτθςθ f, παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα Δ, ιςχφει
β ′ f (x)dx α
= f(x)
β α
2010 64. Ζςτω θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και παραγωγίςιμθ ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο Δ τότε θ παράγωγόσ τθσ δεν είναι υποχρεωτικά κετικι ςτο εςωτερικό του Δ. 65. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα και ςυνεχισ ςε ζνα ανοικτό διάςτθμα (α,β), τότε το ςφνολο τιμών τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι το (Α,Β) όπου Α = limx→α + f x , Β = limx→β − f(x) 66. (ςυνx)’=θμx , x ∈ ℝ 67. Αν lim𝑥→𝑥 0 f x < 0 τότε f(x)<0 κοντά ςτο x0 68. Αν f(x)=αx α>0, τότε ιςχφει (αx)’=xαx - 1 69. Αν f,g ορίηονται οι ςυνκζςεισ fog, gof τότε υποχρεωτικά fog=gof. 1 70. Αν lim𝑥→𝑥 0 f(x) = +∞ ή − ∞ , τότε lim𝑥→𝑥 0 =0 f(x)
71. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα *α,β+ και για κάκε x ∈ [α, β] ιςχφει f(x) ≥ 0 τότε β f α
x dx ≥ 0
2011 72. Μια ςυνάρτθςθ f:A→ ℝ λζγεται ςυνάρτθςθ 1-1 όταν για κάκε x1 , x2 ∈ Α ιςχφει θ ςυνεπαγωγι : Αν x1 ≠ x2 τότε f x1 ≠ f x2 1 73. Για κάκε x ∈ ℝ1= ℝ − {𝑥\συνx = 0} ιςχφει: (εφx)′ = − συν 2 x ημ x
74. Ιςχφει ότι: limx→+∞ x = 1 75. Οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f και f-1 είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τθν ευκεία y=x 76. Μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α κα λζμε ότι παρουςιάηει ςτο xo ολικό μζγιςτο το f x0 όταν f(x) ≤ f(x0 ) για κάκε x ∈ A 77. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςε ζνα διάςτθμα Δ, τότε είναι και 1-1 ςτο διάςτθμα αυτό. 1 78. Αν lim𝑥→𝑥 0 f(x) = 0 και f(x)>0 κοντά ςτο x0 , τότε lim𝑥→𝑥 0 f(x) = +∞ 79. Κάκε ςυνάρτθςθ f που είναι ςυνεχισ ςε ζνα ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ είναι και παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο αυτό. 2012 80. Μια ςυνάρτθςθ f:A→ ℝ είναι 1-1,αν και μόνο αν για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμών τθσ θ εξίςωςθ f(x)=y ζχει ακριβώσ μια λφςθ ωσ προσ x. 81. Αν lim𝑥→𝑥 0 f(x) = +∞ , τότε f(x)<0 κοντά ςτο x0 1
82. σφx ′ = ημ 2 x , x ∈ ℝ − {𝑥\ημx = 0} 83. Αν f,g είναι δφο ςυναρτιςεισ με ςυνεχι πρώτθ παράγωγο, τότε ιςχφει β f α
β
β
x ∙ g ′ x dx = f(x) ∙ g(x) α + α f ′ (x) ∙ g x dx 84. Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ -f είναι ςυμμετρικι, ωσ προσ τον άξονα x’x, τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f. 85. Αν είναι 0<α<1, τότε limx→+∞ αx = +∞ 86. Αν μια ςυνάρτθςθ f δεν είναι ςυνεχισ ςε ζνα ςθμείο x0 , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίςιμθ ςτο x0 87. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα *α,β+. Αν G είναι μια παράγουςα τθσ f ςτο *α,β+ τότε β f α
x dx = G α − G β
2013 88. Αν lim𝑥→𝑥 0 f x < 0 τότε f(x)<0 κοντά ςτο x0 89. Ιςχφει ότι: ημx ≤ x για κάκε x ∈ ℝ συν x−1 90. Ιςχφει ότι: limx→0 x = 1 91. Μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f διατθρεί πρόςθμο ςε κακζνα από τα διαςτιματα ςτα οποία οι διαδοχικζσ ρίηεσ τθσ f χωρίηουν το πεδίο οριςμοφ τθσ. 92. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι 1-1 ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ, τότε υπάρχουν ςθμεία τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f με τθν ίδια τεταγμζνθ. 93. Αν limx→x 0 f(x) = −∞ , τότε limx→x 0 −f(x) = +∞ 94. Αν οι ςυναρτιςεισ f,g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο x0, τότε θ ςυνάρτθςθ f ∙ g είναι παραγωγίςιμθ ςτο x0 και ιςχφει (f ∙ g)’(x0)=f’(x0) g(x0) – f(x0)g’(x0) 95. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δεν μθδενίηεται ςε αυτό, τότε θ f διατθρεί ςτακερό πρόςθμο ςτο διάςτθμα Δ.
2014 1
96. Αν limx→x 0 f(x) = +∞ ή − ∞ , τότε lim𝑥→x 0 f(x) = 0 97. Αν μια ςυνάρτθςθ f παρουςιάηει (ολικό) μζγιςτο, τότε αυτό είναι το μεγαλφτερο από τα τοπικά τθσ μζγιςτα. β
γ
β
98. Αν f είναι ςυνεχισ ςε διάςτθμα Δ και α,β,γ ∈ Δ τότε α f x dx = α f x dx + γ f x dx 99. Ζςτω θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και παραγωγίςιμθ ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο Δ, τότε θ παράγωγόσ τθσ είναι υποχρεωτικά αρνθτικι ςτο εςωτερικό του Δ 100. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ οριςμζνθ ς’ ζνα ςφνολο τθσ μορφισ (α, 𝑥0 ) ∪ (x0 , β). Ιςχφει θ ιςοδυναμία: lim𝑥→𝑥 0 f(x) =−∞ ⇔ lim𝑥→𝑥 0+ f x = lim𝑥→𝑥 0− f x = −∞ 101. Αν είναι 0<α<1, τότε limx→−∞ αx = 0 102. Ζςτω θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δφο φορζσ παραγωγίςιμθ ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι κυρτι ςτο Δ, τότε υποχρεωτικά f’’(x)>0 για κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ. 2015 103. Αν f,g είναι δφο ςυναρτιςεισ με πεδίο οριςμοφ το ℝ και ορίηονται οι ςυνκζςεισ fog , gof τότε ιςχφει πάντοτε fog=gof 104. Ιςχφει ότι: (ςυνx)’=θμx , x ∈ ℝ 105. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα *α,β+ και για κάκε x ∈ [α, β] ιςχφει f(x) ≥ 0 και θ β f x α 1 x0 , τότε lim𝑥→𝑥 0 f(x) =
ςυνάρτθςθ f δεν μθδενίηεται παντοφ ςτο διάςτθμα αυτό, τότε
dx > 0
106. Αν lim𝑥→𝑥 0 f(x) = 0 και f(x)>0 κοντά ςτο
+∞
107. Αν οι ςυναρτιςεισ f, g ζχουν όριο ςτο x0 και ιςχφει f(x) ≤ g(x) κοντά ςτο x0 , τότε lim𝑥→𝑥 0 f(x) ≤ lim𝑥→𝑥 0 g(x) 108. Αν lim𝑥→𝑥 0 f(x) =−∞ τότε f(x)>0 κοντά ςτο x0 110. Υπάρχει πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ βακμοφ μεγαλφτερου ι ίςου του 2, τθσ οποίασ θ γραφικι παράςταςθ ζχει αςφμπτωτθ 111. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα *α,β+. Αν G είναι μια παράγουςα τθσ f ςτο *α,β+ τότε β f α
x dx = G α − G β