Ολοκληρωτικός Λογισμός by Νικος Ραπτης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ

Αναλυτικό Θεωρύα 150 Αςκόςεισ Ταξινομημϋνεσ ςε Κατηγορύεσ

Ολοκληρωτικόσ λογιςμόσ 1. Τι ονομϊζουμε αρχικό μιασ ςυνϊρτηςησ f ςε ϋνα διϊςτημα Δ ; Απϊντηςη Αρχικό ςυνϊρτηςη ό παρϊγουςα τησ f ςτο Δ ονομϊζουμε κϊθε ςυνϊρτηςη F που εύναι παραγωγύςιμη ςτο Δ και ιςχύει

F'(x)  f (x) ,

για κϊθε

x  .

2. Θεώρημα Έςτω f μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςε ϋνα διϊςτημα Δ . Αν F εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο Δ , να αποδεύξετε ότι :  Όλεσ οι ςυναρτόςεισ τησ μορφόσ

G(x)  F(x)  c , c R , εύναι παρϊγουςεσ τησ f ςτο Δ .  Κϊθε ϊλλη παρϊγουςα G τησ f ςτο Δ παύρνει τη μορφό

G(x)  F(x)  c , c R . Απϊντηςη  Κϊθε ςυνϊρτηςη τησ μορφόσ G(x)  F(x)  c , όπου παρϊγουςα τησ f ςτο Δ , αφού

G'(x)  (F(x)  c)'  F '(x)  f (x) ,

για κϊθε

c R ,

εύναι μια

x  .

 Έςτω G εύναι μια ϊλλη παρϊγουςα τησ f ςτο Δ . Τότε , για κϊθε ςχϋςεισ

x  ιςχύουν

οι

F(x)  f (x) και G(x)  f (x) , οπότε : G ' (x)  F'(x) ,

για κϊθε

x  .

Άρα υπϊρχει ςταθερϊ c τϋτοια , ώςτε

G(x)  F(x)  c ,

για κϊθε

x  .

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 2

3. Να δϊςετε τον οριςμό του οριςμζνου ολοκλθρϊματοσ μιασ ςυνεχοφσ ςυνάρτθςθσ

f ςε

ζνα κλειςτό διάςτθμα [ , ] .

Απάντηςη Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f σ υ ν ε χ ή ς ςτο Με τα ςθμεία [α , β ] . α  x 0  x1  x 2  ... x ν  β

διάςτθμα

[α , β ]

χωρίηουμε το

ςε

υποδιαςτιματα μικουσ Δx 

y=f (x)

ιςομικθ β α . ν

ξk

x xv-1 ξv xv=β

O a=x0 ξ1 x1 ξ2 x2

Στθ ςυνζχεια επιλζγουμε αυκαίρετα ζνα ξ κ  [ x κ 1 , x κ ] , για κάκε κ {1, 2, ...,ν} , και ςχθματίηουμε το άκροιςμα

S  f (1)x  f (2 )x 

 f ( )x 

 f ( )x

το οποίο ςυμβολίηεται, ςφντομα, ωσ εξισ: 

S   f (  )x

1





  f ( ξ κ ) Δx  υπάρχει ςτο Τα ο όριο του ακροίςματοσ S ν , δθλαδι το lim ν   κ 1

είναι ανεξάρτθτο από τθν επιλογι των ενδιάμεςων ςθμείων



και

 .

Το παραπάνω όριο ονομάηεται οριςμζνο ολοκλήρωμα τθσ ςυνεχοφσ ςυνάρτθςθσ f από το α ςτο β, ςυμβολίηεται με



 

f (x)dx και διαβάηεται “ολοκλιρωμα τθσ f

από το α ςτο β”. Δθλαδι,

   f (x)dx  lim f (  )  x       1  

4. Να γράψετε τισ ιδιότθτεσ του ολοκλθρϊματοσ



 

f (x)dx .

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 3

Απάντηςη α) Ιςχφει ότι : 







f (x)dx   f (x)dx

 Αν





f (x)  0 για κάκε x [, ]



 f (x)dx  0 

τότε

 f (x)dx  0 .

β) Ζςτω f , g ς υ ν ε χ ε ί σ ςυναρτιςεισ ςτο [α, β ] και λ, μ  R . Τότε ιςχφουν 













f (x)dx    f (x)dx 





[f (x)  g(x)]dx  f (x)dx 

g(x)dx

και γενικά 









[f (x)   g(x)]dx  f (x)dx 

g(x)dx

γ) Αν θ f είναι σ υ ν ε χ ή ς ςε διάςτθμα Δ και α, β , γ  Δ , τότε ιςχφει 











f (x)dx  f (x)dx   f (x)dx

δ) Ζςτω f μια σ υ ν ε χ ή ς ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα [α, β ] . Αν f ( x)  0 για κάκε x  [α, β ] και θ ςυνάρτθςθ f δεν είναι παντοφ μθδζν ςτο διάςτθμα αυτό, τότε 

  f (x)dx  0 .

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 4

5. Να γράψετε τθν παράγωγο τθσ ςυνάρτθςθσ είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςτο διάςτθμα



F(x)   f (x)dx , x  , όπου f 

Απάντηςη



Ιςχφει ότι :

x F'(x)    f (t)dt   f (x) ,  a 

για κάκε

x  .

Σχόλια α) Γενικότερα ζχουμε το εξισ κεϊρθμα : Αν f είναι μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και α είναι ζνα ςθμείο του Δ, τότε θ ςυνάρτθςθ x

F(x)   f (t)dt , 

x Δ,

είναι μια παράγουςα τθσ f ςτο Δ. Δθλαδι ιςχφει:



 x f (t)dt   f (x) ,  a   

για κάκε

x  .

β) Από το παραπάνω κεϊρθμα και το κεϊρθμα παραγϊγιςθσ ςφνκετθσ ςυνάρτθςθσ προκφπτει ότι:



 g(x) f (t)dt   f (g(x)  g'(x) ,  a    με τθν προχπόκεςθ ότι τα χρθςιμοποιοφμενα ςφμβολα ζχουν νόθμα.

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 5

Θεώρημα (Θεμελιώδεσ θεώρημα του ολοκληρωτικοφ λογιςμοφ) 5. Ζςτω

μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ς’ ζνα διάςτθμα [α, β ] . Αν G είναι μια

παράγουςα τθσ f ςτο [α, β ] , να αποδείξετε ότι : 

  f (t)dt  G()  G() Απόδειξη x

Σφμφωνα με γνωςτό κεϊρθμα, θ ςυνάρτθςθ

F(x)   f (t)dt 

είναι μια

παράγουςα τθσ f ςτο [α, β ] . Επειδι και θ G είναι μια παράγουςα τθσ f ςτο [α, β ] , κα υπάρχει c 

G(x)  F(x)  c . Από τθν (1), για x  α , ζχουμε

(1) 

G()  F()  c   f (t)dt  c  c , 

οπότε

c  G (α) .

G(x)  F(x)  G() ,

Επομζνωσ, οπότε, για x  β , ζχουμε



G()  F()  G()   f (t)dt  G() 



και άρα

  f (t)dt  G()  G() .

6. Να γράψετε τουσ τφπουσ τθσ παραγοντικισ αντικατάςταςθσ για το οριςμζνο ολοκλιρωμα.

ολοκλιρωςθσ

και

τθσ

Απάντηςη α) Ιςχφει ότι : 





f (x)g(x)dx  [f (x)g(x)]    f (x)g(x)dx , 

όπου f , g  είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ ςτο [α, β ] .

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 6

β) Ιςχφει ότι : 



f (g(x))g (x)dx 

u2 u1

f (u)du,

όπου f , g  είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ, u  g (x) , du  g ( x)dx και u1  g (α) , u 2  g( β) .

7.α) Να γράψετε τον τφπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίηεται από τθ γραφικι παράςταςθ τθσ f , τισ ευκείεσ x  α , x  β και τον άξονα x x ,όταν f ( x)  0 για κάκε x  [α, β ] και θ ςυνάρτθςθ

f είναι ςυνεχισ .

β) Να αποδείξετε ότι αν για τισ ςυναρτιςεισ

f ,g είναι

f ( x)  g ( x) για κάκε x  [α, β ] ,

τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των f , g και τισ ευκείεσ x  α , x  β δίνεται από τον τφπο : 

E()   (f (x)  g(x))dx 

Απάντηςη α) Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα [α, β ] και f ( x)  0 για κάκε x  [α, β ] , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίηεται από τθ γραφικι παράςταςθ τθσ f ,

τισ ευκείεσ x  α , x  β και τον άξονα x x είναι 

E()   f (x)dx 

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 7

β) Επειδι οι ςυναρτιςεισ f , g είναι ςυνεχείσ ςτο [α, β ] , κα υπάρχει αρικμόσ c  R τζτοιοσ, ϊςτε

f ( x)  c  g ( x)  c  0 , για κάκε x  [α, β ] . Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω (Σχ.

20α) ζχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ω  .

y y y=f (x)+c

y=f (x) Ω α

y=g (x)+c

y=g (x) (α)

(β)

Επομζνωσ, ςφμφωνα με τον τφπο (1), ζχουμε: 





()  ()   [(f (x)  c)  (g(x)  c)]dx   (f (x)  g(x))dx . Άρα 

E()   (f (x)  g(x))dx 

Σχόλια α) Όταν θ διαφορά f ( x)  g ( x) δεν διατθρεί ςτακερό πρόςθμο ςτο [α, β ] , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των f , g και τισ ευκείεσ x  α και x  β είναι ίςο με



E()   | f (x)  g(x) | dx 

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 8

β) Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα x x , τθ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ g, με g ( x)  0 για κάκε x  [α, β ] και τισ ευκείεσ x  α και x  β είναι ίςο με : E (Ω )  



21 β

α O Ω

g ( x)dx

y=g (x)

Απόδειξη Πράγματι, επειδι ο άξονασ x x είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f ( x)  0 , ζχουμε



E()   (f (x)  g(x))dx 





  [g(x)]dx   g(x)dx . Επομζνωσ, αν για μια ςυνάρτθςθ g ιςχφει g ( x)  0 για κάκε x  [α, β ] , τότε 

E()   g(x)dx 

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 9

Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ 1. Υπολογιςμόσ Βαςικών Ολοκληρωμϊτων 1. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2 1 α. 1 x 2 − 4x + 3 dx β. −2 3x 2 − 4x dx

−1 −2

γ.

4x 3 − 6x 2 + 2x dx

9 4

δ.

x dx

2. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

1 0

ex + x dx

π 2

β.

2ημx + 3ςυνx dx

γ.

4 3x 2 1 x

δ.

2 12x −1

3. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

π 2

ex + 2ημx dx

π 2

β.

− ημ 2 x dx

γ.

2 1

3x − x 2 dx

δ.

π 3

x−1

ςυνx + ςυν 2 x dx

2 1

x−

4. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

1 0

3x 2 − x − 1 dx

1 0

β.

−ημπx + ex dx

2 1

γ.

2x +

3x+2 x2

δ.

5. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

1 x 2 0

∙ ex dx

β.

1 x2 xe dx 0

γ.

1 0

4 x x−1

ex − e−x dx

δ. 1

6. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

2 x2 + x – 1 1 x

β.

2 x 3 − 5x 2 + 1 1 x

γ.

2 x −1 x +1 x +2 1 x2

7. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2 π α. −1 x + 1 ex dx β. 0 2xςυνx − x 2 ημx dx γ.

π xςυν x – ημ x

π 2

δ.

2 xe x − 2e x 1 x3

4 x +1 0 x

8. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

π 2

ημx + xςυνx dx

β.

1 2 x x e 0

x + 3 dx

γ.

2π π

lnx ∙ ςυνx +

ημ x x

δ.

1 xex 0

2 + x dx

9. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

π 4 π 6

2x ημ x –x 2 ςυν x ημ 2 x

β.

π ςυν x – ημ x 0 ex

γ.

10. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 1

α. 0 2 dx x +1

e lnx

β. 1 dx x

e 1 – lnx 1 x2

ςυν x

γ. 02 dx ημ x+3

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

δ.

e lnx – 1 2 ln 2 x

δ. 2 dx x lnx

Σελίδα 10

𝛃 𝐟 𝐱 𝛂 𝐠(𝐱)

2. Υπολογιςμόσ Ολοκληρώματοσ

𝐝𝐱

11. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

5 1 4 2x – 6

β.

1 e x + 2x 0 ex + x2

γ.

2 x3 1 x4 + 1

12. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 4 5 2x − 5 2 α. 3 x 2 − 3x + 2 dx β. 4 x 2 − 2x – 3 dx

δ.

1 1 0 1 + e −x

γ.

4 1 3 x2 – 4

γ.

0 2x+1 −1 x 2 – 4x+3

1 x +1 0 x 2 + 2x + 3

ε.

δ.

3 2x − 3 2 x2 – x

13. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

3 2x + 1 2 x 2 + 3x + 2

1 4x−1 0 2x 2 − x – 3

β.

δ.

−2 x 3 −3 −3 x 3 – x

14. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

1 x −2 0 x +3

β.

3 3x – 1 2 x −1

γ.

4 x 3 − 3x 2 + 5x – 5 3 x 2 − 3x + 2

δ.

6 2x 3 − 5x 2 − 16x + 22 5 x 2 − 2x − 8

15. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 3 x 3 +x 2 −2x−1

α. 2

x 2 −x

3 x 2 −x−2

β. 2

x+3

γ. 2 3 dx x −4x

3. Παραγοντικό Ολοκλόρωςη 16. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

2 1

x 2 − 3x ex dx

β.

1 x2 + x 0 ex

γ.

2 x 1

γ.

2 lnx 1 x2

∙ 5x dx

δ.

π 2

x ημx dx

17. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

π 2

xςυν2x dx

β.

e 1

x 3 lnx dx

18. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 1 4 lnx α. 0 ln x + 1 dx β. 1 x dx γ.

π o

δ.

ex ημx dx

δ.

e 1

π ςυν x 0 ex

ln2 x dx

19. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α.

π 2

xημx dx

β. γ.

1 0

π 2

x − 1 ημ2x dx

x 2 + 1 e2x dx

20. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα

δ. 2 xe 2x 1

21. α. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα Ι α = β. Να βρεύτε το όριο limα→−∞ Ι α

2 1

2x + 2 lnx dx

ΘΕΜΑ 2009 Ε 0 α

2x 2 − 3x ex dx

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

ΘΕΜΑ 2004

Σελίδα 11

4. Ολοκλόρωςη με Αντικατϊςταςη 22. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α.

2 1

β.

1 0

23. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α.

3 x 0

x + 1 dx

β.

3ln 2 ln 3

24. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α.

6 1

β.

3 ςυν lnx 1 x

25. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α.

ln 2 1 0 1 + ex

β.

ln 2 ex 2x 0 e + 3e x + 2

1 − ημx 4 ςυνx dx

x−1

x x +3

x−1

2x − 1 dx

1 + ex dx dx dx

26. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α

4 e x 1 x

1 0

2x + 1 ex

2 +x

π 2

1 12 0

3x + 1 3 dx

27. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α

1 ex 0 1+e x

2 x 0 x 2 +5

e lnx 1 x∙ 1+lnx

28. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α

2e 1 e x ∙ ln 3 x

1 x+3 0 x 2 +6x 5

e 4 1+lnx e 3+xlnx

1 x−1 0 x 2 −2x+3

29. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ η οπούα εύναι ςυνεχόσ . Να δεύξετε ότι : 1 −1 α. 0 f x − 2 dx = −2 f x dx β.

1 f 0

2x dx =

2 f 0

x dx

30. Να αποδεύξετε ότι : e f lnx

α. 1

dx =

1 f 0

x dx

β.

ln 3 x e f ln 2

31. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα

1 x −1

1 − ex dx =

−2 f −1

x dx

2x + ln x 2 + 1 dx

ΘΕΜΑ 2010

5. Ιδιότητεσ Οριςμϋνου Ολοκληρώματοσ 2x + 3 , x≤1 2 3x − 6x + 8 , x > 1 α. Να εξετϊςετε αν η f εύναι ςυνεχόσ −2 β. Να βρεύτε τα ολοκληρώματα Α= −4 f x dx , B= 32. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

4 f 2

x dx ,

Γ=

3 f −1

x dx .

33. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2 4 α. −2 x + 1 + x − 4 dx β. −2 3 x 2 − 2x − 3 + 4 dx 34. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2 3 α 0 x − 1 dx β 1 x 2 − 4 dx

1 0

x 2 − 8x + 16 dx

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 12

35. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οπούο ιςχύει

α −α

4x + 6 dx = 36 .

36. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οπούο ιςχύει λ 2 +1 4x 2 −3x−5 λ+3 x2 + 4

dx +

λ+3 3x 2 −3x−9 dx λ 2 +1 x 2 +4

1 2 −1

dx .

37. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οπούο ιςχύει 3 ex + x3 – x 1 x2 + 1

dx =

1 α −3

1 ex + x3 − x 3 x2 + 1

dx +

dx .

38. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οπούο ιςχύει 3λ+2 lnx + 6 λ x2 + 2

dx −

4 2 −5

dx =

λ 3x 2 – lnx 3λ+2 x 2 + 2

dx . ex + α , x ≤ 1

39. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f x = ςυνϊρτηςη να εύναι ςυνεχόσ και να ιςχύει

β∙

e f 0

lnx

, x>1

. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ώςτε η

x dx = 1

40. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ώςτε να ιςχύουν f 1 = Να βρεύτε το ολοκλόρωμα Ι=

1 x e 0

,f 0 = 1 .

f x + f ′ (x) dx .

41. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο . Αν η γραφικό τησ παρϊςταςη 2 διϋρχεται από τα ςημεύα Α 1 , 2 και Β 2 , 1 να βρεύτε το ολοκλόρωμα 1 x 2f x + xf ′ x dx 42. Να δεύξετε ότι : 2

β f α

x ∙ f ′ x dx = f(β)

− f(α)

43. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + αx 2 + 3x + 1 , αϵℝ για την οπούα ιςχύει Να βρεύτε : α. τον πραγματικό αριθμό α

1 f 0

x dx =

15 4

3 f(x)

β. το ολοκλόρωμα 1 ′ dx f x 1

44. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 2 + βx + γ , για την οπούα ιςχύει −1 f x dx = 12 ενώ η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ 1 , f 1 ϋχει εξύςωςη y=2x+2 . Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ,γ ϵ ℝ 45. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οπούα ιςχύει f 2 = e3 f 1 . 2 f ′ x + 4f x

Να βρεύτε το ολοκλόρωμα : A = 1

f(x)

46. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ώςτε 2 f 1 = 5 , 1 xf ′ x + f(x) dx = 1 Να βρεύτε : α. την τιμό f 2 2 β. το ολοκλόρωμα 1 x 2 3f x + xf ′ x dx . 47. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ η οπούα εύναι παραγωγύςιμη με ςυνεχό παρϊγωγο 1 1 και τϋτοια , ώςτε 0 xf ′ x + 2f x dx = 0 να δεύξετε ότι 0 f x dx = −f(1) 48. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ η οπούα εύναι παραγωγύςιμη με ςυνεχό παρϊγωγο 1 και τϋτοια , ώςτε 0 f x dx = f(0) . Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ ∈ 0 , 1 τϋτοιο , ώςτε : Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

1 xf ′ 0

x dx = f ′ ξ Σελίδα 13

49. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ η οπούα εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και ιςχύει f ′′ x = −2f x β Αν η f παρουςιϊζει τοπικό ακρότατο ςτο α και ςτο β , να δεύξετε ότι α x 2 f x dx = βf β − αf α 50. Έςτω μια ςυνϊρτηςη g με ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο ςτο 0 , π . π Αν g π = 1 και ιςχύει 0 g x + g ′′ x ημ xdx = 3 , να βρεύτε το g(0) 51. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οπούα ιςχύει f 0 = 1 ,

1 f′ x 0 f(x)

dx = 1 . Να βρεύτε :

α. την τιμό f 1 1 2xf 2 x +e x f x −e x f ′ x

β. το ολοκλόρωμα 0

f2 x

52. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ώςτε f 1 = 5 , Να βρεύτε το ολοκλόρωμα Ι =

1 x f′ 0

1 f 0

x dx = 2 .

x dx

53. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο. Οι εφαπτόμενεσ τησ Cf ςτα Α 1 , 2 και Β 3 , 9 τϋμνονται ςτο ςημεύο Γ 4 , 11 . Να βρεύτε : α. τισ τιμϋσ f ′ (1) , f ′ (3) 3 β. το ολοκλόρωμα 1 xf ′′ x dx 54. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 − x . Να αποδεύξετε ότι : α. f ′ x x 2 + 1 + f x = 0 1 1 β. 0 2 dx = ln 2 + 1 ΘΕΜΑ 2003 Ε x +1

55. Έςτω F μια παρϊγουςα ςτο ℝ τησ ςυνϊρτηςησ f x = Να βρεύτε το ολοκλόρωμα : A =

1 F 0

1 1 + x2

με F(1)=0 .

x dx 1

56. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει e 0 f Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα

1 f 0

x dx

1 0

f x + 3x 2 dx .

x dx .

57. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = x + 2 Να βρεύτε την f . 58. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = 2x + Να βρεύτε την f . 59. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = 9x 2 − Να βρεύτε την f .

1 f 0

2 f 0

x dx , xϵℝ .

1 2xf −1

t dt , xϵℝ .

60. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , +∞ → ℝ η οπούα εύναι ςυνεχόσ και τϋτοια , ώςτε να ιςχύει f x =

1 x

2 t 1

f t dt , x > 0 . Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f

61. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει Να βρεύτε την f και το ολοκλόρωμα

2014 2016

π 6

f t dt = f x + 6 .

f x dx .

62. Να βρεύτε ςυνεχό ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

π 3

ημx ∙ f x dx = f x + ςυνx , xϵℝ Σελίδα 14

63. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → 0 , +∞ με Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα I =

1 f 0

1 f(x) 0

1 f 0

x dx dx = 2

1 f 0

x dx + 3 .

x dx

64. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει

1 1−x e f 0

x dx = f x + ex . Να βρεύτε την f .

65. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = 10x 3 + 3x Να δεύξετε ότι f x = 20x 3 + 6x − 45 . ΘΕΜΑ 2008 )

2 f 0

t dt − 45 .

6. Εύρεςη Ολοκληρώματοσ Αντύςτροφησ 66. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + x . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ. e + 1 −1 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα 1 f x dx . 67. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + 2x + 3 α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ. 6 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα 0 f −1 x dx . 68. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 5 + 2x 3 − 3 α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη 0 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα −3 f −1 x dx . 69. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 και g ∶ ℝ → ℝ ςυνεχόσ και ϊρτια ςυνϊρτηςη . 1 Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα −1 f x g x dx ΘΕΜΑ 2016 Ε 70. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ (1, +∞) → ℝ για την οπούα ιςχύει f α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 γ. Να ορύςετε την αντύςτροφη δ. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα

e2 1 0 lnx

dx +

1 2

e = 2, xf ′ x lnx + f x = 0 , x > 1

e x dx .

71. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη 1 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα −1 f −1 x dx . 72. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ. e β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα 0 f −1 x dx . 73. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + 2x − 5 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη e−3 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα −4 f −1 x dx . 74. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx − x − ex , x > 1 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ. f(e) β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα f(2) f −1 x dx . Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 15

75. Δύνεται ςυνϊρτηςη f γνηςύωσ αύξουςα ςτο 1 , 10 τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη διϋρχεται 10 13 από τα ςημεύα Α 1 , 8 και Β 10 , 13 . Να δεύξετε ότι : 1 f x dx + 8 f −1 x dx = 122 76. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ παραγωγύςιμη , που ικανοποιεύ την ςχϋςη f 3 x + f x = x , xϵℝ . α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να ορύςετε την αντύςτροφη 2 γ. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα I = 0 f x dx

7. Εύρεςη Αναγωγικού Τύπου 77. Αν Ιν =

e ν ln x 1

78. Αν Ιν =

2 ν x x e 0

dx να δεύξετε ότι Ιν + ν ∙ Ιν−1 = e . dx να δεύξετε ότι Ιν = 2νe2 − ν ∙ Ιν−1 , ν ≥ 2 π

79. Δύνεται το ολοκλόρωμα Ιν = 0 x ν ςυνx dx , ν ∈ ℕ∗ . α. Να αποδεύξετε ότι Ιν = −νπν − 1 − ν(ν − 1)Ιν−2 για κϊθε ν ≥ 4 π β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα 0 x 5 ςυνx dx .

8. Ανιςότητεσ και Ολοκληρώματα 80. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = xlnx − x + 1 . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f 2 β. Να δεύξετε ότι 1 x x dx > e − 1 2 x 3 − 3x 2 e dx 0

81. Να δεύξετε ότι 2 ≤ e4 ∙ 82. Να δεύξετε ότι 1 ≤

1 0

x 2 + 1 dx ≤ 2 .

4 0

83. Να δεύξετε ότι 12 ≤

≤ 2e4 .

x 2 + 9 dx ≤ 20 . ex

84. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα . β. Να δεύξετε ότι

e –1 e

≤

1 1 0 x2 + 1 lnx

dx ≤

α.

86. Να αποδεύξετε ότι :

α. lnx ≥ 1 −

≤

85. Να αποδεύξετε ότι :

e –1 2

, x>0 1 x

, x>0

17 e x dx 1

β. β.

2 x x dx 1

17 x e dx 1

≥e−1 .

87. α Να αποδεύξετε ότι : x 2 lnx + 2 > 𝑥 , 𝑥 > 1 4 β Να αποδεύξετε ότι : 2 x 2 lnxdx > 2 88. Να αποδεύξετε ότι :

α.

x –1 x

≤ lnx ≤ x − 1 , x > 1

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

β. 1 <

e+1 1 2 lnx

dx < e

Σελίδα 16

89. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + x . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα 2 β. Να δεύξετε ότι 1 x x dx > e − 1 2

90. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e x . α. Να δεύξετε ότι f εύναι κυρτό . β. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο Α 1 , f(1)). 2 2 γ. Να δεύξετε ότι 0 e x dx > 2e . 91. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ η οπούα εύναι κυρτό και ιςχύει f 0 = 0 , f ′ 0 = 1 . 1 1 Να αποδεύξετε ότι 0 f x dx > 2 . 92. Έςτω f : 0 , 1 → ℝ με f 0 =0 , παραγωγύςιμη για την οπούα ιςχύει 1 f ′ x + f x > 2xe−x , x ∈ [0 , 1] . Να δεύξετε ότι 3 0 ex f x dx > 1 . 2

93. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ παραγωγύςιμη , f 0 =0 και να ιςχύει f ′ x + 2xf x > 2xe−x ,xϵℝ Να δεύξετε ότι

1 f 0

x dx >

e−1 e

94. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ [0 , 1] → ℝ η οπούα εύναι παραγωγύςιμη τϋτοια , ώςτε f 0 = 0 , f 1 = 3 1 και f ′ x > 2 , ∀ 𝑥 ∈ 0 , 1 . Να δεύξετε ότι : 1 ≤ 0 f x dx ≤ 2 . 95. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και γνηςύωσ αύξουςα , με ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο , f(0)=0 , f π =π . Να δεύξετε ότι 0 <

e π f lnx 1 x

dx < π2

ΘΕΜΑ 2016

9. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐟 και ϊξονα x’x 96. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − x − 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=−2 και x=3 . 97. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 6x + 8 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x=3 . 98. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 ex . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x=3 . x –2

99. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = , x > 0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται x από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x=e . 100. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και τον ϊξονα x’x . 101. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 2x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και τον ϊξονα x’x . 102. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 3 lnx . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και τον ϊξονα x’x .

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 17

103. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − x 2 + 2x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και τον ϊξονα x’x . 104. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = από την Cf και τον ϊξονα x’x .

x 3 −x 2 −4x+4 x+1

. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται

105. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex − 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1 . 106. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x x + 1 , x > −1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=3 107. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=2 . 108. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln2 x , x > 0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x = e . 109. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 1 +

1 x +1

α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ μονοτονύα-ακρότατα β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=2 και x=5. 3x 2 , x≤0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται e−x − 1 , x > 0 από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=−2 , x=1 . 110. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

−x 2 + 2x + 3 , x < 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που −x + 5 , x≥2 περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=−1 , x=5 . 111. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

112. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex − x − 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1 . 113. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + 1 −

1 x

. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται

από την Cf , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=2 . 114. Να βρεθεύ το ελϊχιςτο εμβαδόν Ε α του χωρύου που περικλεύεται από την f x = x 2 − 5x + 7 τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x = α , x = α + 3 α + lnx , 0< 𝑥≤1 . Να βρεύτε : 1+ x−1 , x>1 α. την τιμό του α αν η f εύναι ςυνεχόσ 1 β. το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x = 2 , x=2 115. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 18

αx 2 ,

116. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

x≤3

1 −e x −3 x −3

, x>3

. Να βρεύτε :

α. την τιμό του α αν η f εύναι ςυνεχόσ β. την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο Α 4 , f 4 γ. το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 , x=2 ΘΕΜΑ 2001 117. Αν ιςχύει ότι

x 2

< f x < xf ′ x

, ∀ x > 0 και αν Ε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται

από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 και x=1 να δεύξετε ότι

1 4

<𝐸<

1 2

f(1)

ΘΕΜΑ 2002

118. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 1 lnx . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=e . ΘΕΜΑ 2012 119. Δύνεται η ςυνϊρτηςη h x = x − ln ex + 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ φ x = ex h x + ln2 , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1 ΘΕΜΑ 2014 lnx

120. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 1 , γνηςύωσ αύξουςα για x < 1 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x = x0 με x0 < 1 να δεύξετε ότι Ε =

− x 20 − 2x 0 + 2

ΘΕΜΑ 2016 Ε

10. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐟 , 𝐂𝐠 121. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 2 − 4x − 5 και g x = x + 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και τισ ευθεύεσ x=−2 και x=2 . 122. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = lnx − 1 και g x = 2x + 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και τισ ευθεύεσ x = 1 και x = e 123. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = ex − 2x − 2 και g x = x 2 − ex . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και τισ ευθεύεσ x = −1 και x = 1 124. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x =

2x x 2 +1

, xϵℝ και g x =

1 x

, x > 0 Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου

που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και τισ ευθεύεσ x = 1 και x = 2 125. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 3x 3 − 2x και g x = 2x − x 3 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg . 126. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 3 + 2x και g x = 3x 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg . 127. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 2 και g x = 4x − x 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg . 128. α. Να αποδεύξετε ότι e3x ≥ x + 1 , ∀ x ≥ 0 . β. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = ex και g x = e−2x (x + 1) . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg .

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 19

129. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = ln⁡ (1 + x) και g x = x −

που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και την ευθεύα x=1 . 130. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x −

lnx x2

. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου

. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται

από την Cf , την πλϊγια αςύμπτωτό τησ ςτο +∞ και την ευθεύα x = 2 . 131. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f , g δύο φορϋσ παραγωγύςιμεσ ςτο ℝ για τισ οπούεσ ιςχύουν οι ςχϋςεισ : f ′′ x = g ′′ x + ex , f ′ 0 = g ′ 0 + 1 , f 0 = g 0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και την ευθεύα x=1 . 132. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = eλx , λ > 0 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf , η οπούα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων , εύναι η y=λex . Βρεύτε τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου επαφόσ Μ. γ. Να δεύξετε ότι το εμβαδόν Ε λ του χωρύου , το οπούο περικλεύεται από την Cf , τησ εφαπτομϋνησ τησ ςτο ςημεύο Μ και του ϊξονα y’y , εύναι Ε λ = 2

δ. Να βρεύτε το όριο

λ ∙Ε λ limλ→+∞ 2+ημλ

e –2 2λ

ΘΕΜΑ 2005 π

133. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + 2 μια ςταθερϊ . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και την ευθεύα y = −2x − 2ημ2 θ . ΘΕΜΑ 2007

11. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐟 , 𝐂𝐠 , 𝐂𝐡 134. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = ex . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x , την εφαπτομϋνη ευθεύα ε τησ Cf που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και την ευθεύα x=−1 . 135. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = ex . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x , την εφαπτομϋνη ευθεύα ε τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Α 1 , e) και την ευθεύα x=−1 . 136. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = −x 2 − x + 2 . α. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο x=−1 β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την εφαπτομϋνη . 137. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 6x + 5 α. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf που εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα ζ : x −2y + 2016=0 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x ,την εφαπτομϋνη και τον ϊξονα y’y. 138. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = ex και ε η εφαπτομϋνη τησ Cf που διϋρχεται από το Ο 0 , 0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x , την ε και την ευθεύα x=−1 .

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 20

139. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + x + α , αϵℝ . Αν η εφαπτομϋνη ε τησ Cf ςτο ςημεύο τομόσ τησ με την ευθεύα x=2 τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο y0 =−3 , τότε : α. να βρεύτε το α και την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ε β. να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται μεταξύ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f , τησ εφαπτομϋνησ ε

, του ϊξονα x’x και τησ ευθεύασ x =

3 5

ΘΕΜΑ 2006 Ε

12. Εμβαδό και Αντύςτροφη Συνϊρτηςη 140. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 5 + 2x − 3 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τη ν Cf −1 , την ευθεύα x= −6 και τουσ ϊξονεσ x’x και y’y 141. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 6x 2 + 12x − 6 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cf −1 142. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 +

3 4

α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cf −1 143. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2007 + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cf −1 και τισ ευθεύεσ x = −1 , x = 1 144. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x 2 + 3x . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται . β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα τησ Cf με την διχοτόμοσ τησ πρώτησ γωνύασ των αξόνων γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cf −1 145. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=e . 146. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 1 + lnx . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=e 147. Να δειχθεύ ότι η ςυνϊρτηςη f x = ln x + 1 + x αντιςτρϋφεται και να βρεθεύ το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από Cf −1 , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x = e 148. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ , παραγωγύςιμη ώςτε να ιςχύει f 3 x + f x = 2x , xϵℝ . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται . β. Να βρεύτε την αντύςτροφη . γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , την ευθεύα x=1 και τουσ ϊξονεσ x’x και y’y . Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 21

149. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 5 + x 3 + x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=3 . ΘΕΜΑ 2003 150. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0, +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει ef(x) f 2 x − 2f x + 3 = x α. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφη τησ . β. Να μελετόςετε την αντύςτροφη ωσ προσ την κυρτότητα . Στη ςυνϋχεια να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ αντύςτροφησ , την εφαπτομϋνη τησ αντύςτροφησ ςτο ςημεύο που αυτό τϋμνει τον ϊξονα y’y και την ευθεύα x=1 ΘΕΜΑ 2014 Ε

Επιμέλεια : Πάνος Π. Παπακαμμένος – Νίκος Κ. Ράπτης

Σελίδα 22