Προσομείωση Μαθηματικών Γ Λυκείου 2016

ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢ ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ Γ ‘ ΣΑΞΗ΢ ΗΜΕΡΗ΢ΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΕΜΠΣΗ 28 ΑΠΡΙΛΙΟΤ 2016 ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ ΚΑΙ ΢ΠΟΤΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢ ΢ΤΝΟΛΟ ΢ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕ΢΢ΕΡΙ΢ (4)

ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι: αν μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε διάςτθμα Δ είναι ςυνεχισ ςτο Δ και f ϋ(x)=0 για κάκε εςωτερικό ςθμείο χ του Δ, τότε θ f κα είναι ςτακερι ςε όλο το διάςτθμα Δ .(Μονάδεσ 9) Α2. Να αναφζρετε ποια ςθμεία ονομάηονται κρίςιμα για μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε διάςτθμα Δ. (Μονάδεσ 3) Α3. Να δϊςετε τον οριςμό τθσ οριηόντιασ αςφμπτωτθσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ςυνάρτθςθσ f ςτο +∞. (Μονάδεσ 3) Α4. Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ τθ λζξθ ΢ωςτό ι Λάθοσ δίπλα ςτο γράμμα, το οποίο αντιςτοιχεί ςτθν κάκε πρόταςθ. α) Αν f   x   0 ςτο εςωτερικό ενόσ διαςτιματοσ Δ , τότε θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο Δ. β) Αν θ f είναι κυρτι ςτο R και δφο φορζσ παραγωγίςιμθ , τότε f   x   0 για κάκε xϵR.

ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢

ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢ γ) Αν f , g ςυνεχείσ ςτο *α, β+ και

β

β

α

α

 f  x  dx   g  x  dx

, τότε f (x)  g(x)

για κάκε xϵ [α, β]. δ) Αν θ παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f ζχει ακρότατο ςτο x 0  Δ , τότε f   x0   0 .

ε) Δφο ςυναρτιςεισ είναι ίςεσ αν και μόνο αν ζχουν το ίδιο πεδίο οριςμοφ και τον ίδιο τφπο. (Μονάδεσ 10)

ΘΕΜΑ Β Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f(x)=2lnx −

x2 2

+ αx και f x ≤ f 1 , για κάκε x > 0

Β1. Να δείξετε ότι α= -1. (Μονάδεσ 4) Β2. Να μελετθκεί θ f ωσ προσ τθν μονοτονία και τα ακρότατα. (Μονάδεσ 4) 1

x +2 3 − 4 2x

Β3. Να βρεκεί το πλικοσ των ριηϊν τθσ εξίςωςθσ x x = e

. (Μονάδεσ 4)

Β4. Να μελετιςετε τθν f ωσ προσ τθν κυρτότθτα. (Μονάδεσ 4) Β5. Να βρείτε τθν εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ τθσ Cf τετμθμζνθ x0=2. (Μονάδεσ 4)

ςτο ςθμείο τθσ με

Β6. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τθν γραφικι παράςταςθ τθσ f , τθν προθγοφμενθ εφαπτομζνθ και τθν ευκεία x=1. (Μονάδεσ 5)

ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢

ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ςυνάρτθςθ f:ℝ → ℝ , με ςυνεχι πρϊτθ παράγωγο, για τθν οποία ιςχφει f ′ (x) ≠ 0 για κάκε x∈ ℝ και f 3 = 2 + f(1). Γ1. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα. (Μονάδεσ 6)

Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x0∈ (1,3) τζτοιο, ϊςτε: 3f x0 = 2f 1 + f 3 . (Μονάδεσ 5)

Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 , ξ2 ∈ (1,3) , με ξ1<ξ2 ϊςτε: 1 f′

ξ1

+

2 f′

ξ2

= 3. (Μονάδεσ 8)

Γ4. Να βρείτε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ I=

3 ′ f (x) 1

∙ ςυν πx dx −

3π x f π π

∙ θμxdx. (Μονάδεσ 6)

ΘΕΜΑ Δ Ζςτω θ παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f:ℝ → ℝ με f  0   1 , θ οποία ικανοποιεί τθ ςχζςθ f   x   1  2x  f  x   x  για κάθε x  .Θεωροφμε επίςθσ ςυνάρτθςθ g  x   F  x   F  2  x  , x  όπου F είναι αρχικι τθσ f.

Δ1. Να αποδείξετε ότι : f  x   ex  x, x  (Μονάδεσ 6) 2

Δ2. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι κυρτι και ότι θ

 e  1 f  e3   f  e4   ef  e2  . (Μονάδεσ 2+3=5)

x Δ3. Να λφςετε ςτο διάςτθμα  0,   τθν εξίςωςθ e

4

ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢

x2



x .(Μονάδεσ 5) x2

ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢ Δ4. Να μελετιςετε τθ ςυνάρτθςθ g ωσ προσ τθν κυρτότθτα και τα ςθμεία καμπισ. (Μονάδεσ 4) 3 4 1 4

Δ5. Να αποδείξετε ότι 4   f  2t  dt  0 f  t  dt 2

(Μονάδεσ 5)

Ο Δ Η Γ Ι Ε ΢ (για τουσ εξεταηόμενουσ) 1. ΢το τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (θμερομθνία, εξεταηόμενο μάκθμα). Να μθν αντιγράψετε τα κζματα ςτο τετράδιο.

2. Να γράψετε το ονοματεπϊνυμο ςασ ςτο πάνω μζροσ των φωτοαντιγράφων αμζςωσ μόλισ ςασ παραδοκοφν . Δεν επιτρζπεται να γράψετε καμία άλλθ ςθμείωςθ. Κατά τθν αποχϊρθςι ςασ να παραδϊςετε μαηί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντιςετε ςτο τετράδιό ςασ ςε όλα τα κζματα.

4. Να γράψετε τισ απαντιςεισ ςασ μόνο με μπλε ι μαφρο ςτυλό. Μπορείτε να χρθςιμοποιιςετε μολφβι μόνο για ςχζδια , διαγράμματα και πίνακεσ.

5. Να μθ χρθςιμοποιιςετε χαρτί μιλιμετρζ.

6. Κάκε απάντθςθ επιςτθμονικά τεκμθριωμζνθ είναι αποδεκτι.

7. Διάρκεια εξζταςθσ: τρεισ (3) ϊρεσ μετά τθ διανομι των φωτοαντιγράφων.

8. Χρόνοσ δυνατισ αποχϊρθςθσ: 1 ϊρα μετά από τθν διανομι των φωτοαντιγράφων.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ ΣΕΛΟ΢ ΜΗΝΤΜΑΣΟ΢ Επιςτθμονικι επιμζλεια: Πάνοσ Δ Παπακαμμζνοσ – Νίκοσ Κ Ράπτθσ ΢υντονιςτισ

ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢