ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΟΝΟΣΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΣΑΣΑ-ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ
ΘΕΜΑ Α Α. Να μελετηθεί ωσ προσ την μονοτονία και τα ακρότατα η ςυνάρτηςη f(x) = 2 x lnx − x 2 + 1 Β. Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f(x) =
x x 2 +1
Γ. Να δείξετε ότι ex−1 ≥ x
ΘΕΜΑ Β Α. Δίνεται ςυνάρτηςη f παραγωγίςιμη ςτο R ώςτε να ιςχύει f 3 (x) + f(x) = 8 x 3 −12 x 2 + 8 x −2 . α. Να μελετηθεί η f ωσ προσ την μονοτονία. β. Να λυθεί η ανίςωςη f ( 2 ex−1 ) – f ( 3 −x 3 ) < 0 γ. Να λυθεί η εξίςωςη f ( lnx ) = f ( 1 −x 2 ) Β. Δίνεται η ςυνάρτηςη f x = xα x − 1 , α > 0 ώςτε να ιςχύει α x − 1 ≥ x , ∀ x ∈ ℝ α. Να βρείτε τον αριθμό α . β. Να μελετήςετε την f ωσ προσ την μονοτονία.
Επιμέλεια : Νίκος Κ. Ράπτης
Σελίδα 1
ΘΕΜΑ Γ Έςτω η ςυνάρτηςη f x = 2x x − 2 lnx − x 2 + 4x , x > 0 . α. Να μελετήςετε την f ωσ προσ τη μονοτονία και τα ακρότατα β. Να μελετήςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεία καμπήσ γ. Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη f x = α έχει μοναδική λύςη αν και μόνο αν α > 0 δ. Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ Cf ςτο ςημείο με τετμημένη 2 ε. Να αποδείξετε ότι 2x x − 2 lnx > x 2 − 4 1 − ln2 x − 8ln2 + 4 για x > 1
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η ςυνάρτηςη f : ℝ → ℝ με ςυνεχή δεύτερη παράγωγο , για την οποία ιςχύουν : lim
h→0
f x+2h −2f x+h +f(x) h2
+f ′ x + e−x = 0 , x ∈ ℝ , f(x) ≤
α. Να αποδείξετε ότι f ′′ x + f ′ x + e−x = 0 x β. Να αποδείξετε ότι f x = x
1 e
= f(1)
e
γ. Να μελετήςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεία καμπήσ δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε α ∈ ℝ ιςχύει e2 f α + 1 ≥ −1 + e2 f α
ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ
Επιμέλεια : Νίκος Κ. Ράπτης
Σελίδα 2
Επιμέλεια : Νίκος Κ. Ράπτης
Σελίδα 3