32 ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 18556 ΘΕΜΑ 2
Δίνονται τα διανύσματα
r α
και
( α·r, β ) = π3 r
r β με
r r α ×β
r β =2 2
r α = 2 και
,
α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο
r r 2α + β β) Αν τα διανύσματα
(Μονάδες 8)
r r κα + β και
είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10)
r r 2α + β γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 18558 ΘΕΜΑ 2
(Μονάδες 7)
uuur ΑΒ = ( −4, −6 )
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:
uuur ΑΓ = ( 2, −8 ) ,
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος
β) Να αποδείξετε ότι η γωνία
µ Α
uuuur ΑΜ
όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7)
είναι οξεία.
γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.
(Μονάδες 8)
18575 ΘΕΜΑ 2 Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β(5,6) . α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B .
(Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την ψ = −x + 7 18581 ΘΕΜΑ 2
Έστω τα διανύσματα
r α
και
για τα οποία :
και
(Μονάδες 15)
( α·r, β ) = 60 r
r r 2α = β =2 2
r β
(Μονάδες 10)
ο
r r α ×β = 2 α) Να αποδείξετε ότι
r r α +β β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων 18584 ΘΕΜΑ 2
(Μονάδες 10)
r r α −β και
(Μονάδες 15)
ε1 : x − 2 y− 8 = 0 ε 2 : 2 x − 4 y + 10 = 0
Δίνονται οι παράλληλες ευθείες
,
ε1
και το
σημείο Α της που έχει τετμημένη το 4 . α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α . (Μονάδες 5)
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και
ε1
είναι κάθετη στην ευθεία
γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών 18587 ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι ευθείες στο σημείο Μ.
ε1
(Μονάδες 10)
ε2
ε1 και
, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β .
(Μονάδες 10)
ε 2 : 2 x + y + 15 = 0
ε1 : x − 8 y + 16 = 0 και
ε2
οι οποίες τέμνονται
y' y
Αν οι ευθείες και τέμνουν τον άξονα στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B
β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ , να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος 18589 ΘΕΜΑ 2
ε1 : 8 x − y − 28 = 0
uuuur ΜΚ
(Μονάδες 10)
(Μονάδες 15)
ε 2 : x − y +1 = 0
Δίνονται οι ευθείες και οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την
x'x εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή λ x − y − 3λ + 4 = 0 λ∈R διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: , όπου 18592 ΘΕΜΑ 2
(Μονάδες 10)
(Μονάδες 15)
ε1 : x − 3 y + 5 = 0
Δίνονται οι ευθείες α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες
ε1
ε 2 : 3x + y − 5 = 0 και
ε2
και
είναι κάθετες μεταξύ τους.
ε2
ε1 β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών
και
(Μονάδες 9)
(Μονάδες 9)
32 ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων. 18595 ΘΕΜΑ 2
ε 2 : x + 2 y− 4 = 0
ε1 : 3x + y + 3 = 0
Δίνονται οι ευθείες
και
ε2
ε1
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών
ε1
και
(Μονάδες 8)
ε2
y' y
β) Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο Β και η ευθεία x'x άξονα στο σημείο Γ , τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ .
τέμνει τον
3x − 4 y − 12 = 0 ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 18598 ΘΕΜΑ 2
uuur ΑΒ = ( κ 2 − 6κ + 9, κ − 3)
Δίνονται τα διανύσματα α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο
uuur uuur ΑΒ ×ΑΓ
β) Να βρείτε τις τιμές του κ , ώστε τα διανύσματα
γ) Για κ =1 να βρείτε το διάνυσμα 18600 ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε την ευθεία
uuur ΒΓ
(Μονάδες 7)
uuur ΑΓ = ( 1, 6 ) και
uuur ΑΒ
και
, όπου
uuur ΑΓ
(Μονάδες 8)
(Μονάδες 9)
κ∈R
(Μονάδες 8) να είναι κάθετα.
(Μονάδες 9)
. (Μονάδες 8)
ε1
y'y
x'x που τέμνει τους άξονες
ε1
και
στα σημεία Α(3,0) και Β(0,6) αντίστοιχα.
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (Μονάδες 8)
ε2 β) Αν
ε1 είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην
, τότε να βρείτε:
ε2
i) την εξίσωση της ευθείας
ε2
ε1 ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών
(Μονάδες 9)
και
(Μονάδες 8)
18601 ΘΕΜΑ 2 Έστω Μ(3,5) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(1,1) . α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β . (Μονάδες 6)
ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β .
(Μονάδες 7)
x'x β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα (ΚΑ) = (ΚΒ) .
έτσι, ώστε να ισχύει (Μονάδες 12)
18602 ΘΕΜΑ 2 Δίνεται η ευθεία (ε): y+x=1 και το σημείο Α(2,-4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε).
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία (ε).
(Μονάδες 15)
18603 ΘΕΜΑ 2 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε α) Να γράψετε το διάνυσμα
uuur ∆Ε
β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα
ως γραμμικό συνδυασμό των
uuur ∆Ε
uuur ΒΓ
και
α) Να γράψετε τα διανύσματα
και
και
uuur ΑΓ
.
(Μονάδες 12)
uuur 2 uuur ΑΕ = ×Α∆ 5
ως γραμμικό συνδυασμό
uuur ΑΒ
και
και
uuur 2 uuur ΑΖ = ×ΑΓ 7
uuur Α∆
. (Μονάδες 13)
β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B , Z και E είναι συνευθειακά. 18605 ΘΕΜΑ 2
και
είναι παράλληλα.
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E , Z σημεία τέτοια ώστε:
uuur ΖΒ
uuur ΑΒ
uuur uuur uuur ΑΕ = 5ΑΒ + 2 ΑΓ
(Μονάδες 13)
18604 ΘΕΜΑ 2
uuur ΕΖ
uuur uuur uuur Α∆ = 2 ΑΒ + 5ΑΓ
(Μονάδες 12)
uuur r r uuur r r ΟΑ = 2i + 4 j ΟΒ = 3i + j
Δίνονται τα διανύσματα
,
και
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των
uuur ΑΒ
και
uuur ΒΓ
r r i, j , όπου
y'y
x'x είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων
uuur r r ΟΓ = 5i − 5 j
και
αντίστοιχα.
.
β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α , B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου.
(Μονάδες 12)
32 ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ (Μονάδες 13)
18606 ΘΕΜΑ 4
uuur uuur ΟΑ = ( 4, −2 ) ΟΒ = ( 1, 2 )
Δίνονται τα διανύσματα α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα
uuur ΟΑ
και
uuur ΟΒ
, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. είναι κάθετα.
(Μονάδες 4)
β) Αν Γ (α,β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β , τότε:
uuur ΑΒ = ( −3, 4 )
i) να αποδείξετε ότι:
uuur ΑΓ = ( α − 4, β + 2 )
και
(Μονάδες 5)
ii) να αποδείξετε ότι: 4α + 3β = 10
iii) αν επιπλέον τα διανύσματα 18609 ΘΕΜΑ 4
uuur ΟΓ
και
uuur ΑΒ = ( λ , λ + 1)
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι πλευράς ΒΓ
uuur ΑΒ
(Μονάδες 6) είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ . (Μονάδες 10)
uuur ΑΓ = ( 3λ , λ − 1) ,
, όπου
λ≠0
και
λ ≠ −2
,και Μ είναι το μέσο της
uuuur ΑΜ = ( 2λ , λ )
α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα
uuuur ΑΜ
είναι κάθετο στο διάνυσμα
r 2 α = , −λ ÷ λ
γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 18611 ΘΕΜΑ 4
(Μονάδες 8) (Μονάδες 10)
ε : x − 4y − 7 = 0
Δίνεται η ευθεία και τα σημεία Α(−2,4) και B(2,6) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ
(Μονάδες 7) (Μονάδες 8)
K ( x, y ) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία
για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΜΑΒ)
x − 2y − 5 = 0
ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις:
x − 2 y − 25 = 0
και (Μονάδες 10)
18612 ΘΕΜΑ 4
x 2 + 2 xy + y 2 − 6 x − 6 y + 8 = 0 Δίνεται η εξίσωση:
ε2
ε1
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές μεταξύ τους.
ε1 : x + y − 2 = 0 β) Αν
και
οι οποίες είναι παράλληλες
ε2 : x + y − 4 = 0 και
(Μονάδες 7)
ε2
ε1 , να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των
ε2
ε1 γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας με τεταγμένη το 2 και Β σημείο της ευθείας i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο.
και (Μονάδες 8)
με τετμημένη το 1 , τότε: (Μονάδες 2) (Μονάδες 8)
18613 ΘΕΜΑ 4
x 2 + y 2 − 2 xy − 3λ x + 3λ y + 2λ 2 = 0 Δίνεται η εξίσωση , με λ διαφορετικό του 0. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με 1. (Μονάδες 12) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με2, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 13) 18614 ΘΕΜΑ 4
ε1 : 3 x + y + 3 = 0
Δίνονται οι ευθείες
ε2 : x + 2y − 4 = 0
και
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών
ε1
ε2
ε1 και
ε2
y'y
β) Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο Β και η ευθεία τέμνει τον x'x άξονα στο σημείο Γ , τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ
K ( x, y ) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. 18615 ΘΕΜΑ 4
(Μονάδες 5)
(Μονάδες 5) (Μονάδες 5)
για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ ) = (ΑΒΓ ) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, (Μονάδες 10)
32 ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ A ( x1 , y1 )
ε:y=x Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία
x1 < x2
με
B ( x2 , y2 ) ,
και
.Αν το σημείο Μ(3,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β . (Μονάδες 13) β) να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4 , όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5)
K ( x, y )
γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία
για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = 2(ΟΑΒ)
x− y−2= 0
ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: 18616 ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα διανύσματα
,
( )
,
r r α· , β = 60ο
r β =1
r α =2
r r α β
,
x− y+6= 0
και
(Μονάδες 7)
r γ και
και
για τα οποία ισχύουν:
r κ r r γ = ×α − β 2 r r α ×β
, όπου
κ∈R
,
α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο (Μονάδες 3)
r r β ×γ = κ β) Αν ισχύει , τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ = −2
(Μονάδες 6)
r γ ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος
iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 18617 ΘΕΜΑ 4
(Μονάδες 8)
r r β −γ
r r 3α + 2γ και
είναι κάθετα. (Μονάδες 8)
r b
r a Δίνονται τα διανύσματα
(
και
ϕ ∈ [ 0, π ] με μέτρα 2 , 6 αντίστοιχα και
η μεταξύ τους γωνία. Επίσης δίνεται η
rr rr ab + 12 x + ab − 12 y − 5 = 0
) (
)
εξίσωση
(1)
ϕ ∈ [ 0, π ]
α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε
.
y' y β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα
, να αποδείξετε ότι
x'x γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα
, να αποδείξετε ότι
(Μονάδες 3)
r r b = 3a
(Μονάδες 7)
r r b = −3a
(Μονάδες 7) δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι
r r b ⊥a
(Μονάδες 8)
18618 ΘΕΜΑ 4
r r r r u +v = u − v
r r r r u +v = u + v
α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες : (Μονάδες 10)
r r r α , β ,γ β) Δίνονται τα διανύσματα
r r r r α + β +γ = 0 για τα οποία ισχύουν:
r r α ↑↑ β
i) Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 8)
και
και
r r β ↑↓ γ
r βr r α γ = = 3 4 7
.
και
r r r 7α + 3γ = 0
ii) Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 7) 18619 ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα σημεία Α(λ-1, 12-2λ), Β(2, 2) και Γ(4,6), α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ.
λ∈R
. (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ.
(Μονάδες 8)
γ) Για λ=4,να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. 18620 ΘΕΜΑ 2
(Μονάδες 10)
ε 2 : ( λ 2 + 3 ) x − y − 15 = 0
ε1 : ( 2λ − 1) x + y − 5 = 0
Δίνονται οι ευθείες α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του
,
λ∈R
με
λ∈R
και το σημείο Α(2,-1).
οι ευθείες τέμνονται.
β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του
λ∈R
(Μονάδες 7) . (Μονάδες 10)
32 ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ε2
ε1 γ) Έστω λ=2 και Β, Γ τα σημεία που οι 18621 ΘΕΜΑ 4
και
y'y τέμνουν τον άξονα
ε : 2κ x − ( 1 + κ ) y + 1 − 3κ = 0
. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 8)
ζ : ( 1 + 3κ ) x + ( κ − 1) y + 2 − 6κ = 0
Δίνονται οι ευθείες και α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ , ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ ) . 18622 ΘΕΜΑ 4
Δίνονται τα σημεία
−3 Α 1, ÷ 2
, B(2,−1) και
µ −4 Γ µ, ÷ 2
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων
uuur ΑΒ
(Μονάδες 15)
µ∈R , όπου
και
uuur ΒΓ
(Μονάδες 8)
µ∈R β) Να αποδείξετε ότι για κάθε
(Μονάδες 10)
το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. (Μονάδες 8)
uuur uuur µ ×ΒΓ = −ΑΒ
γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε
(Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ ) =1 , όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) 18623 ΘΕΜΑ 4
µ∈R
Δίνονται τα σημεία Α(3,4) , B(5,7) και Γ (2μ +1,3μ −2) , όπου α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ.
uuur ΑΒ
και
uuur ΒΓ
και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , B (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε , της οποίας να βρείτε την
(Μονάδες 5)
εξίσωση.
(Μονάδες 7)
γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; (Μονάδες 5)