Σσνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Λσκείοσ Γενικής Παιδείας
ΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ
1.Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f(x)=c. Να δείξετε ότι: f’(x)=( c )’=0 ∎f x+h −f x = c−c = 0 ∎
f x+h −f(x) h
0
= h =0
∎ f ′ x = limh→0
f x+h −f(x) h
= limh→0 0 = 0
2.Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f(x)=x . Να δείξετε ότι: f’(x)=(x)’=1 ∎f x+h −f x =x+h−x =h ∎
f x+h −f(x) h
h
= h =1
∎ f ′ x = limh→0
f x+h −f(x) h
h
= limh→0 h = 1
3.Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f(x)=𝒙𝟐 . Να δείξετε ότι: f’(x)=(𝒙𝟐 )′ = 𝟐𝒙 ∎f x+h −f x = 𝑥+ ∎
f x+h −f(x) h
=
h(2x+h) h
∎ f ′ x = limh→0
2
− 𝑥 2 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 − 𝑥 2 = 2𝑥 + 2 = 2𝑥 +
= 2x + h
f x+h −f(x) h
= limh→0 2x + h = 2x
4.Να δείξετε ότι (c f(x))’=c f’(x). Θεωροφμε τθν ςυνάρτθςθ F(x)= c f(x) ∎𝐹 𝑥 + − 𝐹 𝑥 = 𝑐𝑓 𝑥 + − 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 𝑓(𝑥 + − 𝑓(𝑥) ∎
𝐹 𝑥+ −𝐹(𝑥)
=
𝑐(𝑓 𝑥+ −𝑓 𝑥 )
∎𝐹 ′ 𝑥 = lim→0
𝐹 𝑥+ −𝐹(𝑥)
= lim→0
𝑐(𝑓 𝑥+ −𝑓 𝑥 )
= 𝑐 lim→0
𝑓 𝑥+ −𝑓(𝑥)
5. Να δείξετε ότι (f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x) Θεωροφμε τθν ςυνάρτθςθ F(x)=f(x)+g(x) ∎𝐹 𝑥 + − 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 + + 𝑔 𝑥 + − 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 + − 𝑔(𝑥) ∎
𝐹 𝑥+ −𝐹(𝑥)
=
𝑓 𝑥+ −𝑓 𝑥 +(𝑔 𝑥+ −𝑔 𝑥 )
∎𝐹 ′ 𝑥 = lim→0
𝐹 𝑥+ −𝐹(𝑥)
= 𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 .
= lim→0
=
𝑓 𝑥+ −𝑓(𝑥)
𝑓 𝑥+ −𝑓 𝑥
+
𝑔 𝑥+ −𝑔(𝑥)
+ lim→0
𝑔 𝑥+ −𝑔(𝑥)
= 𝑐𝑓 ′ (𝑥)
6. Να δείξετε ότι 𝟎 ≤ 𝒇𝒊 ≤ 𝟏 , 𝝁𝜺 𝒊 = 𝟏, 𝟐, . . , 𝝂 Είναι 𝑜 ≤ 𝑣𝑖 ≤ 𝑣 ⟺
0 𝑣
≤
𝑣𝑖 𝑣
𝑣
≤ 𝑣 ⟺ 0 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 1
7. Να δείξετε ότι 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 +…..+𝒇𝒌 = 𝟏 Είναι 𝑓1 + 𝑓2 +. . +𝑓𝑘 =
𝑣1 𝑣
𝑣
𝑣
+ 𝑣2 +….+ 𝑣𝑘 =
𝑣1 +𝑣2 +⋯𝑣𝑘 𝑣
𝑣
=𝑣=1
8. Να δείξετε ότι ο αρικμθτικόσ μζςοσ τθσ διαφοράσ τθσ μζςθσ τιμισ 𝝌 από κάκε παρατιρθςθ 𝒕𝟏 ,𝒕𝟐 , … 𝒕𝒗 ιςοφται με το μθδζν. Είναι
𝑡 1 −𝑥 + 𝑡 2 −𝑥 +⋯+ 𝑡 𝑣 −𝑥 𝑣
=
𝑡 1 +𝑡 2 +⋯+𝑡 𝑣 −𝑣𝑥 𝑣
=
𝑡 1 +𝑡 2 +⋯+𝑡 𝑣 𝑣
−
𝑣𝑥 𝑣
= 𝑥 − 𝑥 = 0.
9. Αν για τα ενδεχόμενα Α,Β ενόσ δ.χ. Ω ιςχφει 𝜜 ⊆ 𝜝 𝝉ό𝝉𝜺 𝝂. 𝜹. 𝝄. 𝜬 𝜜 ≤ 𝜬 𝜝 Αφοφ 𝛢 ⊆ 𝛣 𝜏ό𝜏𝜀 Ω ΩΩ
Β
𝛮 𝛢 𝛺
𝛮 𝛢 ≤𝛮 𝛣 ⟺𝛮
𝛮 𝛣 𝛺
≤𝛮
⟺ Ρ(Α)≤ 𝛲(𝛣) Α
10. Αν Α,Β ενδεχόμενα ενόσ δ.χ. Ω ν.δ.ο. 𝜬 𝜜 ∪ 𝜝 = 𝜬 𝜜 + 𝜬 𝜝 − 𝜬(𝜜 ∩ 𝜝)
Ω Α
∎Είναι Ρ Α ∪ Β =
Β
Ν Α∪Β Ν Ω
1
∎𝛦ί𝜈𝛼𝜄 𝛮 𝛢 ∪ 𝛣 = 𝛮 𝛢 + 𝛮 𝛣 − 𝛮(𝛢 ∩ 𝛣) γιατί τα ςτοιχεία τθσ 𝛢 ∩ 𝛣 τα μετριςαμε δφο φορζσ.
∎Ά𝜌𝛼 1 ⟹ 𝛲 𝛢 ∪ 𝛣 =
𝛮 𝛢 +𝛮 𝛣 −𝛮 𝛢∩𝛣 𝛮 𝛺
𝛮 𝛢 𝛺
=𝛮
𝛮 𝛣 𝛺
+𝛮
−
𝛮 𝛢∩𝛣 𝛮 𝛺
= 𝛲 𝛢 +𝛲 𝛣 −𝛲 𝛢∩𝛣 .
11. Αν τα ενδεχόμενα Α,Β ενόσ δ.χ. Ω είναι αςυμβίβαςτα,ν.δ.ο. 𝜬 𝜜 ∪ 𝜝 = 𝜬 𝜜 + 𝜬 𝜝 Ω ∎Είναι Ρ Α ∪ Β = Α
Ω
Β
Ν Α∪Β Ν Ω
1
∎𝛦ί𝜈𝛼𝜄 𝛮 𝛢 ∪ 𝛣 = 𝛮 𝛢 + 𝛮 𝛣 αφοφ Α,Β αςυμβίβαςτα.
∎Ά𝜌𝛼 1 ⟹ 𝛲 𝛢 ∪ 𝛣 =
𝛮 𝛢 +𝛮 𝛣 𝛮 𝛺
𝛮 𝛢 𝛺
=𝛮
𝛮 𝛣 𝛺
+𝛮
=𝛲 𝛢 +𝛲 𝛣 .
12. Αν Α ενδεχόμενο ενόσ δ.χ. Ω τότε ν.δ.ο. Ρ(Α’)=1-Ρ(Α) Α
Ω
∎Αφού Α ∩ Α′ = ∅, τα Α, Α′ είναι αςυμβίβαςτα οπότε κα ιςχφει: 𝛲 𝛢 ∪ 𝛢′ = 𝛲 𝛢 + 𝛲 𝛢′ ⟺ 𝛲 𝛺 = 𝛲 𝛢 + 𝛲 𝛢′ ⟺ 1=𝛲 𝛢 + 𝛲 𝛢′ ⟺ 𝛲 𝛢′ = 1 − 𝛲 𝛢 .
13. Αν Α,Β ενδεχόμενα ενόσ δ.χ. Ω ν.δ.ο. 𝜬 𝜜 − 𝜝 = 𝜬 𝜜 − 𝜬 𝜜 ∩ 𝜝 . Ω ∎𝛢𝜑𝜊ύ 𝛢 − 𝛣 ∩ 𝛢 ∩ 𝛣 = ∅ , 𝜏ό𝜏𝜀 Α
Β
τα 𝛢 − 𝛣 𝜅𝛼𝜄 𝛢 ∩ 𝛣 είναι αςυμβίβαςτα άρα: 𝛲 𝛢−𝛣 ∪ 𝛢∩𝛣
=𝛲 𝛢−𝛣 +𝛲 𝛢∩𝛣
⟺ 𝛲 𝛢 = 𝛲 𝛢−𝛣 +𝛲 𝛢∩𝛣 ⟺𝛲 𝛢−𝛣 = 𝛲 𝛢 −𝛲 𝛢∩𝛣 .
ΟΡΙΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ
1. Σι ονομάηεται ςυνάρτθςθ; Ζςτω Α και Β δφο μθ κενά ςφνολα. υνάρτθςθ από το ςφνολο Α ςτο ςφνολο Β λζγεται μια διαδικαςία Με τθν οποία κάκε ςτοιχείο του ςυνόλου Α αντιςτοιχίηεται ςε ζνα ακριβϊσ ςτοιχείο του ςυνόλου Β. 2. Σι ονομάηεται γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f ; Ζςτω f μια ςυνάρτθςθ με πεδίο οριςμοφ ζνα ςφνολο Α. Γραφικι παράςταςθ ςε ζνα καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Οχψ , λζγεται το ςφνολο των ςθμείων Μ(χ,f(x)) για όλα τα 𝑥𝜖𝐴. 3. Πότε μια ςυνάρτθςθ f λζγεται γνθςίωσ αφξουςα; Μια ςυνάρτθςθ f λζγεται γνθςίωσ αφξουςα ςε ζνα διάςτθμα Δ του πεδίου οριςμοφ τθσ, όταν: ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛥 , 𝜇𝜀 𝑥1 < 𝑥2 𝜄𝜍𝜒ύ𝜀𝜄 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) 4. Πότε μια ςυνάρτθςθ f λζγεται γνθςίωσ φκίνουςα; Μια ςυνάρτθςθ f λζγεται γνθςίωσ φκίνουςα ςε ζνα διάςτθμα Δ του πεδίου οριςμοφ τθσ, όταν: ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝛥 , 𝜇𝜀 𝑥1 < 𝑥2 𝜄𝜍𝜒ύ𝜀𝜄 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2 ) 5. Πότε μια ςυνάρτθςθ f κα λζμε ότι παρουςιάηει τοπικό μζγιςτο; Μια ςυνάρτθςθ f, με πεδίο οριςμοφ το Α , λζμε ότι παρουςιάηει τοπικό μζγιςτο ςτο 𝑥0 𝜖𝐴, ό𝜏𝛼𝜈 𝜄𝜍𝜒ύ𝜀𝜄 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑜 ) για κάκε χ ςε μια περιοχι του 𝜒0 . 6. Πότε μια ςυνάρτθςθ f κα λζμε ότι παρουςιάηει τοπικό ελάχιςτο; Μια ςυνάρτθςθ f, με πεδίο οριςμοφ το Α , λζμε ότι παρουςιάηει τοπικό ελάχιςτο ςτο 𝑥0 𝜖𝐴, ό𝜏𝛼𝜈 𝜄𝜍𝜒ύ𝜀𝜄 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥𝑜 ) για κάκε χ ςε μια περιοχι του 𝜒0 . 7. Πότε μια ςυνάρτθςθ f λζγεται ςυνεχισ; Μια ςυνάρτθςθ f, με πεδίο οριςμοφ το Α , λζγεται ςυνεχισ, αν για κάκε 𝑥0 𝜖𝐴,ιςχφει lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 8. Σι ονομάηεται παράγωγοσ τθσ f ςτο 𝝌𝝄 του πεδίου οριςμοφ τθσ; Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f και 𝜒𝜊 ζνα ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ.Αν το όριο lim→0 υπάρχει
𝑓 𝑥 0 + −𝑓(𝑥 0 )
και είναι πραγματικόσ αρικμόσ,τότε κα λζμε ότι θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο 𝜒𝜊 . Σο όριο αυτό ονομάηεται παράγωγοσ τθσ f ςτο 𝜒𝜊 και ςυμβολίηεται : 𝑓 ′ 𝑥0 = lim→0
𝑓 𝑥 0 + −𝑓(𝑥 0)
.
9.Σι λζγεται πλθκυςμόσ; Πλθκυςμόσ λζγεται ζνα ςφνολο του οποίου κζλουμε να εξετάςουμε τα ςτοιχεία του ωσ προσ ζνα ι περιςςότερα χαρακτθριςτικά του. 10. Σι ονομάηουμε μεταβλθτζσ και τι είναι οι τιμζσ μιασ μεταβλθτισ; Σα χαρακτθριςτικά ωσ προσ τα οποία εξετάηουμε ζναν πλθκυςμό, ονομάηονται μεταβλθτζσ. Οι δυνατζσ τιμζσ που μπορεί να πάρει μια μεταβλθτι λζγονται τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. 11. ε τι διακρίνονται οι μεταβλθτζσ; Οι μεταβλθτζσ διακρίνονται ςε διακριτζσ και ςε ποςοτικζσ. Διακριτζσ ονομάηονται οι μεταβλθτζσ των οποίων οι τιμζσ τουσ δεν είναι αρικμοί. Ποςοτικζσ ονομάηονται οι μεταβλθτζσ των οποίων οι τιμζσ τουσ είναι αρικμοί και διακρίνονται ςε Διακριτζσ μεταβλθτζσ , που παίρνουν μόνο μεμονωμζνεσ τιμζσ υνεχείσ μεταβλθτζσ , που μποροφν να πάρουν οποιαδιποτε τιμι ενόσ διαςτιματοσ πραγματικϊν αρικμϊν (α,β). 12. Σι λζγεται ςυχνότθτα 𝝂𝒊 μιασ τιμισ 𝒙𝒊 ; υχνότθτα 𝜈𝑖 τθσ τιμισ 𝑥𝑖 μιασ εξεταηόμενθσ μεταβλθτισ Χ, ονομάηεται ο φυςικόσ αρικμόσ που μασ δείχνει πόςεσ φορζσ εμφανίηεται θ τιμι 𝑥𝑖 μζςα ςτο ςφνολο των παρατθριςεων. 13. Σι λζγεται ςχετικι ςυχνότθτα 𝒇𝒊 ; χετικι ςυχνότθτα 𝑓𝑖 τθσ τιμισ 𝑥𝑖 ονομάηεται το πθλίκο τθσ ςυχνότθτασ 𝑣𝑖 με το μζγεκοσ του 𝑣 δείγματοσ ν. Δθλαδι 𝑓𝑖 = 𝑣𝑖 με i= 1,2,…,k 14. Σι εκφράηει θ ακροιςτικι ςυχνότθτα 𝑵𝒊 ; Η ακροιςτικι ςυχνότθτα 𝑁𝑖 εκφράηει το πλικοσ των παρατθριςεων που είναι μικρότερεσ ι ίςεσ τθσ τιμισ 𝑥𝑖 . 15. Σι εκφράηει θ ακροιςτικι ςχετικι ςυχνότθτα 𝑭𝒊 ; Η ακροιςτικι ςχετικι ςυχνότθτα 𝐹𝑖 εκφράηει το ποςοςτό των παρατθριςεων που είναι μικρότερεσ ι ίςεσ τθσ τιμισ 𝑥𝑖 . 16. Σι ονομάηεται μζςθ τιμι ; Η μζςθ τιμι ορίηεται ωσ το άκροιςμα των παρατθριςεων δια το πλικοσ των παρατθριςεων. Αν 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑣 οι παρατθριςεισ ενόσ δείγματοσ ν ,τότε 𝑥 =
𝑡 1 +𝑡 2 +⋯𝑡 𝑣 𝑣
1
=𝑣
𝑣 𝑖=1 𝑡𝑖
.
17. Σι ονομάηεται ςτακμικόσ μζςοσ ; Ζνα ςε κάκε τιμι 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑣 δϊςουμε διαφορετικι βαρφτθτα με τουσ λεγόμενουσ ςυντελεςτζσ Βαρφτθτασ(ςτάκμιςθσ) 𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑣 αντίςτοιχα , τότε ο ςτακμικόσ μζςοσ ορίηεται ωσ 𝑥=
𝑥 1 𝑤 1 +𝑥 2 𝑤 2 …+𝑥 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 1 +𝑤 2 +⋯+𝑤 𝑣
=
𝑣 𝑖=1 𝑥 𝑖 𝑤 𝑖 𝑣 𝑤 𝑖=1 𝑖
18. Σι ονομάηεται διάμεςοσ ; Διάμεςοσ (δ) ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων οι οποίεσ ζχουν διαταχκεί ςε αφξουςα ςειρά ορίηεται ωσ θ μεςαία παρατιρθςθ, όταν το ν είναι περιττόσ αρικμόσ, ι ο μζςοσ όροσ των δφο μεςαίων παρατθριςεων όταν το ν είναι άρτιοσ αρικμόσ. 19. Σι ονομάηεται εφροσ ; Σο εφροσ R ορίηεται ωσ θ διαφορά τθσ ελάχιςτθσ παρατιρθςθσ από τθν μζγιςτθ παρατιρθςθ. 20. Tι ονομάηεται διακφμανςθ ι διαςπορά ; Ζςτω οι παρατθριςεισ 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑣 μιασ μεταβλθτισ Χ που ζχουν μζςθ τιμι 𝑥 . Διαςπορά ι διακφμανςθ ονομάηεται ο μζςοσ όροσ των τετραγϊνων των αποκλίςεων των τιμϊν 𝑡𝑖 από τθν μζςθ τουσ τιμι 𝑥 . Δθλαδι 𝑠 2 =
1 𝑣
𝑣 𝑖=1
𝑡𝑖 − 𝑥 2 .
21. Σι ονομάηεται τυπικι απόκλιςθ Η τυπικι απόκλιςθ ορίηεται ωσ θ κετικι τετραγωνικι ρίηα τθσ διακφμανςθσ. Δθλαδι 𝑠 = 𝑠 2 22. Σι ονομάηεται ςυντελεςτισ μεταβολισ και πότε ζνα δείγμα λζγεται ομοιογενζσ ; Ο ςυντελεςτισ μεταβολισ ορίηεται από τον λόγο τθσ τυπικισ απόκλιςθσ δια τθν μζςθ τιμι. Δθλαδι 𝐶𝑉 =
𝜏𝜐𝜋𝜄𝜅 ή 𝛼𝜋 ό𝜅𝜆𝜄𝜍𝜂 𝜇έ𝜍𝜂 𝜏𝜄𝜇 ή
=
𝑠 𝑥
100%
Ζνα δείγμα μιασ μεταβλθτισ κα λζμε ότι είναι ομοιογενζσ αν ο ςυντελεςτισ μεταβολισ δεν ξεπερνά το 10%. 23. Ποιο πείραμα ονομάηεται αιτιοκρατικό; Αιτιοκρατικό λζγεται το πείραμα κατά το οποίο θ γνϊςθ των ςυνκθκϊν κάτω από τισ οποίεσ εκτελείται κακορίηει πλιρωσ το αποτζλεςμα. 24. Σι λζγεται πείραμα τφχθσ; Πείραμα τφχθσ ονομάηεται το πείραμα του οποίου δεν μποροφμε να προβλζψουμε το αποτζλεςμα μολονότι επαναλαμβάνεται κάτω από τισ ίδιεσ ςυνκικεσ
25.Σι λζγεται δειγματικόσ χώροσ; Δειγματικόσ χϊροσ ενόσ πειράματοσ τφχθσ ονομάηεται το ςφνολο των δυνατϊν αποτελεςμάτων του πειράματοσ τφχθσ. 26. Σι λζγεται ενδεχόμενο; Πότε ζνα ενδεχόμενο λζγεται απλό και πότε ςφνκετο; Σο ςφνολο που ζχει ωσ ςτοιχεία ζνα ι περιςςότερα αποτελζςματα ενόσ πειράματοσ τφχθσ,λζγεται ενδεχόμενο. Ζνα ενδεχόμενο λζγεται απλό όταν ζχει ζνα μόνο ςτοιχείο και ςφνκετο αν ζχει περιςςότερα ςτοιχεία. 27. Σι λζγεται βζβαιο ενδεχόμενο Ο δ.χ. Ω λζγεται βζβαιο ενδεχόμενο γιατί πραγματοποιείται πάντα αφοφ όποιο και αν είναι το αποτζλεςμα του πειράματοσ κα ανικει ςτον Ω. 28. Σι λζγεται αδφνατο ενδεχόμενο Σο κενό ςφνολο ∅ λζγεται αδφνατο ενδεχόμενο γιατί δεν πραγματοποιείται ποτζ ςε καμία εκτζλεςθ του πειράματοσ τφχθσ. 29. Πότε δφο ενδεχόμενα λζγονται αςυμβίβαςτα Δφο ενδεχόμενα Α,Β ενόσ δ.χ. Ω λζγονται αςυμβίβαςτα όταν δεν ζχουν κανζνα κοινό ςτοιχείο. Δθλαδι όταν 𝛢 ∩ 𝛣 = ∅. 30. Σι ονομάηεται ςτατιςτικι ομαλότθτα ι νόμοσ των μεγάλων αρικμών Οι ςχετικζσ ςυχνότθτεσ πραγματοποίθςθσ των ενδεχομζνων ενόσ πειράματοσ ςτακεροποιοφνται γφρω από κάποιουσ αρικμοφσ κακϊσ ο αρικμόσ των δοκιμϊν του πειράματοσ επαναλαμβάνεται απεριόριςτα. Σο εμπειρικό αυτό εξαγόμενο ονομάηεται ςτατιςτικι ομαλότθτα. 31. Κλαςικόσ οριςμόσ Πικανότθτασ. ε ζνα πείραμα με ιςοπίκανα ενδεχόμενα, ορίηουμε ωσ πικανότθτα του ενδεχομζνου Α, τον αρικμό 𝛲 𝛢 =
𝛱𝜆ή𝜃𝜊𝜎 𝜀𝜐𝜈 𝜊𝜄𝜅 ώ𝜈 𝜋𝜀𝜌𝜄𝜋𝜏 ώ𝜍𝜀𝜔𝜈 𝛱𝜆ή𝜃𝜊𝜎 𝛿𝜐𝜈𝛼𝜏 ώ𝜈 𝜋𝜀𝜌𝜄𝜋𝜏 ώ𝜍𝜀𝜔𝜈
=
𝛮(𝛢) 𝛮(𝛺)
32. Αξιωματικόσ οριςμόσ Πικανότθτασ Ζςτω Ω={𝜔1 , 𝜔2 , … , 𝜔𝜈 } ο δ.χ. με πεπεραςμζνο πλικοσ ςτοιχείων. ε κάκε απλό ενδεχόμενο {𝜔𝑖 } αντιςτοιχίηουμε ζναν πραγματικό αρικμό 𝛲(𝜔𝑖 ) ,ζτςι ϊςτε να ιςχφουν 0 ≤ 𝛲 𝛢 ≤ 1 𝜅𝛼𝜄 𝛲 𝜔1 + 𝛲 𝜔2 + ⋯ + 𝛲 𝜔𝜈 = 1. Σον αρικμό αυτόν τον ονομάηουμε πικανότθτα του ενδεχομζνου {𝜔𝑖 }.