Θεόδωρος Παγώνης μαθηματικός
β΄ λυκείου μαθηματικά κατεύθυνσης
2015-2016
Κσκλοθορούν επίζης Μαθημαηικά Καηεύθσνζης Γ΄ Λσκείοσ Μαθημαηικά Γενικής Παιδείας, Άλγεβρα Β΄ Λσκείοσ
Θεόδωρος Παγώνης e-mail: theomath@yahoo.gr https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/
2015-2016
διανύσματα Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος Μαθηματικός
2015-2016
διανύσματα
κεφάλαιο 1 3)
ην παξαθάησ ζρήκα λα βξείηε : α. ίζα δηαλύζκαηα β. αληίζεηα δηαλύζκαηα
§1. η έννοια
του διανύςματοσ
1)
Από ηα δηαλύζκαηα πνπ είλαη ζεκεησκέλα ζην παξαθάησ παξαιιειεπίπεδν , ην νπνίν έρεη βάζεηο ηεηξάγσλα , λα δηαθξίλεηαη εθείλα πνπ
4)
α. έρνπλ ην ίδην κήθνο κε ην δηάλπζκα
β. έρνπλ ίδηα δηεύζπλζε κε ην δηάλπζκα
γ. έρνπλ ίδηα θνξά κε ην δηάλπζκα
Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ κε Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο :
δ. είλαη ίζα κε ην
γ.
ε. είλαη αληίζεηα κε ην
5)
β. δ. , ,
α.
Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε / / . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο :
β.
α.
γ. | || |
δ.
6)
Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΓ ην ύςνο ηνπ. Λα βξείηε ηηο γσλίεο : α. , β. ,
2)
Έλα θηλεηό εθηειεί θπθιηθή θίλεζε . Δίλαη γλσζηό από ηελ Φπζηθή όηη ζε θάζε ζεκείν ε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη εθαπηόκελε ηνπ θύθινπ . α. ε πνηα ζεκεία ηνπ ζρήκαηνο ηα δηαλύζκαηα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεηα ; β. Λα βξείηε ην ζεκείν ζην νπνίν ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεην κε ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ζην Κ.
γ. ,
7)
δ. ,
Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε a θαη
. Πνηα δηαλύζκαηα είλαη ηα :
α. a
8)
β.
δ.
γ.
ε.
ζη.
ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
.
-2-
γ. a
Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ . Λα βξείηε δηαλύζκαηα ίζα κε :
α.
9)
β. a
διανύσματα 10)
κεφάλαιο 1 16)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ηπραίν ζεκείν ηεο πιεπξάο ΑΓ . Αλ ην ζεκείν Δ νξίδεηαη από ηελ
Έζησ Κ εζσηεξηθό ζεκείν παξαιιεινγξάκκνπ
ΑΒΓΓ . Λα δείμεηε όηη 0 .
11)
ζρέζε λα δείμεηε όηη ην ΑΒΓΔ είλαη παξαιιειόγξακκν.
Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα x ζε θάζε έλα από ηα παξαθάησ ζρήκαηα σο ζπλάξηεζε ησλ άιισλ δηαλπζκάησλ πνπ δίλνληαη :
17)
Αλ νη δηαγώληνη θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ δηρνηνκνύληαη , λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν.
18)
Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΓΓΘΙ έρνπλ θνηλή πιεπξά ΓΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΙΘ είλαη παξαιιειόγξακκν.
19)
Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΑΒ1ΓΓ1 έρνπλ θνηλή ηελ δηαγώλην ΑΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν ΒΒ1ΓΓ1 είλαη παξαιιειόγξακκν .
20)
Δμσηεξηθά ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε ηα ηεηξάγσλα ΑΒΔΕ θαη ΓΓΘΖ . Λα δείμεηε όηη :
α. . β. Σα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ θαη ΖΔ έρνπλ θνηλό κέζν . γ. Σν θέληξν Ο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ είλαη θνηλό κέζν ησλ ΔΖ θαη ΕΘ .
12)
Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Δ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
. Λα δείμεηε όηη .
13)
Έζησ ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα δείμεηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην , ώζηε
21)
, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Θ , Ι , Κ . Λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη ε ζρέζε
14)
22)
Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα
, Ι , Κ , Λ ηέηνηα , ώζηε , . Λα δείμεηε όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν.
15)
.
ηηο πιεπξέο ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΑ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Θ
δείμεηε όηη . Αλ γηα ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ , Δ ηζρύεη ε
23)
Αλ Ο ην κέζν ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ , ηεηξάπιεπξνπ ΑΒΓΓ , λα δεηρζεί όηη
ζρέζε λα δείμεηε όηη ηα Γ θαη Δ ηαπηίδνληαη.
. -3-
διανύσματα 24)
κεφάλαιο 1 30)
Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . Λα
θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη από
ηηο ηζόηεηεο , θαη
λα δείμεηε όηη .
31)
Έζησ ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Αλ Θ , Ι είλαη ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΒΓ αληίζηνηρα λα
25)
Από ην θέληξν Ο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θέξνπκε επζεία πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΓΓ ζηα ζεκεία Ε θαη Δ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη
4 3 . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Ο 4 3 ηζρύεη . 7 7
Θεσξνύκε ηξία ζεκεία Θ , Ι , Κ ηέηνηα , ώζηε
δείμεηε όηη 2 .
32)
.
Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΓΓ . Λα δείμεηε
όηη 2 .
26)
Γίλεηαη θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ . Λα δείμεηε
33)
όηη .
27)
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ
34)
βξείηε ηα κέηξα ησλ a , , .
28)
απνδείμεηε όηη 4 .
2 | a | 3 | | 4 | | θαη | a | | | | | 26
Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη ηα ζεκεία Θ , Ι ηέηνηα ,
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ
ώζηε 2 θαη 2 3 . Λα
δείμεηε όηη 5 2 3 0 .
3 | a | 2 | | 5 | | θαη | a | | | | | 1 , λα
ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 3 . Λα
ηελ πιεπξά ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε
35)
Γίλνληαη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ κε θνηλό κέζν ην ζεκείν Ο . Λα δεηρζεί όηη :
α. λα βξείηε ηα κέηξα ησλ a , , θαη β. λα απνδείμεηε όηη είλαη κήθε πιεπξώλ ακβιπγσλίνπ ηξηγώλνπ .
α. 3 .
β. 6 , όπνπ Κ ηπραίν ζεκείν .
§2. πολλαπλαςιαςμόσ
36)
Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΓΓ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ αληίζηνηρα θαη G κέζν ηνπ ΘΙ . Λα απνδείμεηε όηη :
αριθμού με διάνυςμα
α. 4 G
β. G G G G 0
37)
Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα . Λα
29)
Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Θ είλαη ην κέζν ηνπ ΚΛ θαη Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο , λα δεηρζεί όηη
4 x 2 y 3 0 . Λα βξείηε ηα δηαλύζκαηα x ,
38)
νπνία ηζρύνπλ 2 x 4 y 3 a 0 θαη
δεηρζεί όηη 2 .
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα
y ζπλαξηήζεη ησλ a , .
4 .
39)
Λα δείμεηε όηη ζε θάζε θαλνληθό εμάγσλν
ΑΒΓΓΔΕ ηζρύεη 2 . -4-
διανύσματα 40)
κεφάλαιο 1 49)
ε ηξαπέδην ΑΒΓΓ (ΑΒ//ΓΓ) πξνεθηείλσ ηελ
Κε βάζεηο ηηο πιεπξέο ηξίγσλνπ ΑΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ηα παξαιιειόγξακκα ΒΓΓΔ , ΓΑΕΖ θαη ΑΒΘΗ . Λα
δηάκεζν ΘΙ θαηά . Λα δείμεηε όηη
. 2
41)
Λα απνδείμεηε όηη Κ είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλ θαη κόλν εάλ ππάξρεη ζεκείν Ο
Γίλνληαη ηα δηαθεθξηκέλα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ 1 ώζηε . Λα βξεζεί ν ώζηε 3
Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαη Κ ην κέζν ηνπ 1 , λα δεηρζεί όηη . 2
52)
Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Κ ηπραίν ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ , λα δεηρζεί όηη
44)
53)
ηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ , ΑΒ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε έηζη ώζηε 1 3 3 , , . Αλ ζηελ 4 2 7 1 ΑΒ πάξνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 3 4 λα δείμεηε όηη . 10
54)
Γίλεηαη θύθινο κε θέληξν Ο θαη έζησ ΑΒ θαη ΓΓ δπν θάζεηεο κεηαμύ ηνπο ρνξδέο , νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην Ρ . α. Λα απνδείμεηε όηη :
i. 2
ii. 2 β. Αλ Θ θαη Ι είλαη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΟΘΡΙ είλαη παξαιιειόγξακκν.
55)
Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ρ ε πξνβνιή ηνπ πάλσ ζηελ ΑΓ.
ώζηε 3 0 θαη
Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε 2 θαη
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκεία Κ , Λ ηέηνηα
απνδείμεηε όηη 3 .
Λα δείμεηε όηη 2 .
46)
ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 2 0 .
ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 . Λα
Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Ο ζεκείν
Έζησ ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΘΙ γηα ηα νπνία
ηζρύεη . Λα απνδείμεηε όηη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΒΓ , ΘΙ έρνπλ ην ίδην κέζν.
4 .
45)
( 1) .
43)
51)
42)
ηέηνην , ώζηε 2 .
όηη 2 .
50)
Οη δηαγώληνη θαη ηζνζθεινύο ηξαπεδηνύ ηέκλνληαη θάζεηα ζην Ο ελώ νη κεζνθάζεηνη ησλ δηαγώλησλ ζην Κ . Λα δείμεηε
δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα , θαη ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν .
2 2 3 0 . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν.
Λα απνδείμεηε όηη 3 0 .
56)
47)
Γίλνληαη ηα παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη Α1Β1Γ1Γ1 . Αλ Θ , Ι , Κ , Λ είλαη ηα κέζα ησλ ΑΑ1 , ΒΒ1 , ΓΓ1 θαη ΓΓ1 αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν .
Γίλεηαη ην δηάλπζκα 0 θαη ζεκείν Γ ηνπ
ηέηνην , ώζηε
v
, , v
α. Λα δεηρζεί όηη v 0 . β. Αλ Κ ηπραίν ζεκείν , λα δεηρζεί όηη
48)
Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο δηακέζνπο ηπραίνπ ηξηγώλνπ , ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν .
v . v
-5-
*
.
διανύσματα 57)
κεφάλαιο 1 63)
Σα ζεκεία Α , Β , Γ σο πξνο έλα ζεκείν
Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν . Θέηνπκε
αλαθνξάο Ο έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο a , ,
ελώ σο πξνο άιιν ζεκείν αλαθνξάο Ο΄
a
64)
65)
66)
59)
67)
68)
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ ηζρύεη 2 5 5 2 , λα 3 6 6 3
γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ δηαλπζκάησλ θαη
.
Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ ηέηνηα , ώζηε 1 . 4
69)
70)
Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ , ΑΖ ε δηρνηόκνο ηνπ θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΖΓ αληίζηνηρα .
62)
Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν , Θ ην κέζν ηεο ΔΓ , Ι ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Λ ην κέζν ηεο ΑΘ.
Λα δείμεηε όηη .
71)
Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v είλαη κε παξάιιεια , ηόηε :
Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα ζπλαξηήζεη
β. Λα απνδείμεηε όηη ην ΔΒΕΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.
δεηρζεί όηη / / .
ζπλαξηήζεη ησλ a θαη .
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ ηέηνηα
, ώζηε 4 9 , 6 . Λα
α. Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη
δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα , είλαη αληίξξνπα .
61)
Αλ = ι , = ι λα δείμεηε όηη ηα
θαη Ρ ην κέζν ηνπ ΓΔ . Λα εθθξάζεηε ην σο
δηαλύζκαηα , είλαη ζπγγξακκηθά .
ΑΒ , Δ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 3
Έζησ u , v , u 3 v ,
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο
λα δείμεηε όηη / / .
.
60)
, , ζπλαξηήζεη ησλ u , v . Κεηά
θαη ζπλαξηήζεη ησλ a θαη
3u v . Λα εθθξαζηνύλ ηα δηαλύζκαηα
Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Κ ην κέζν ηεο ΑΓ . Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα
θαη 3 a .
u , v .
θαη . Λα δείμεηε όηη a
λα εθθξαζηνύλ ηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ
Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν κε a ,
ηπραίν ζεκείν ηνπ ΑΒ . Αλ u , v ,
ζπλαξηήζεη ησλ a , .
Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ ην νπνίν ηξηρνηνκείηαη από ηα ζεκεία Γ θαη Γ . Έζησ Ο
58)
. Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη
λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Κ θαη Κ΄ ηαπηίδνληαη .
Έζησ ξόκβνο ΑΒΓΓ κε δηαγώληνπο a θαη
u v w θαη ,
δηάλπζκα ζπλαξηήζεη ησλ a , .
έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο u , v , w . Αλ , , κε 0 ώζηε
a θαη . Λα εθθξάζεηε ην
ησλ a θαη .
α. Αλ u v 0 είλαη 0 .
β. Αλ u v u v κε , , , . -6-
διανύσματα
κεφάλαιο 1
72)
80)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα κέζα Κ , Λ ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ αληίζηνηρα. Λα δείμεηε όηη
81)
| u | | v | | w| , λα δεηρζεί όηη u v θαη 3 4 7
74)
Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v δελ είλαη ζπγγξακκηθά , λα δεηρζεί όηη :
82)
α. ηα δηαλύζκαηα x 2 u v θαη y u 3 v δελ είλαη
Γίλνληαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ
83)
ην δηπιαλό ζρήκα λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά .
v / /(u w) , λα δεηρζεί όηη w / /(u v ) .
Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , .
84)
είλαη κε ζπγγξακκηθά αλά δύν θαη u / /( v w) θαη
a , 4 a 5 . β. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά.
Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w
α. Λα θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα 2 a ,
w / /(u v ) , λα δεηρζεί όηη u / /( w 2 v ) .
77)
κε ζπγγξακκηθά αλά δύν . Αλ v / /(2 u w) θαη
Λα απνδείμεηε όηη ην Γ είλαη κέζν ηνπ .
Σα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w είλαη
θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε θαη .
5 β. ηα δηαλύζκαηα x 9 u 5 v θαη y 3 u v είλαη 3 ζπγγξακκηθά .
76)
ζπγγξακκηθά
θαη . α. Λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Β , Γ , Γ . β. Αλ Ε ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο ην κέζν Κ ηνπ ΑΒ , λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Ε,Α,Δ.
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε
v w .
75)
1 όηη w (u 4 v ) . 3
γλσξίδνπκε όηη u v w 0 θαη όηη
( w u ) / /(u v ) θαη ( w u ) / /(u 2 v ) . Λα δεηρζεί
Αλ γηα ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w
θαη έλα δηάλπζκα w ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
/ / .
73)
Έζησ δπν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα u , v
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα
νπνία ηζρύνπλ x y 2 a 4 θαη
4 x 2 y a 2 . Λα απνδείμεηε όηη ηα
δηαλύζκαηα x , y είλαη νκόξξνπα.
78)
85)
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα
86)
Έζησ ηα δηαλύζκαηα u 3 v ,
2 u v θαη 3 u 5 v . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
νπνία ηζρύνπλ 2 x 14 21 a y θαη
4 u 3 v , λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα
ηέηνηα , ώζηε 10 u , 5 v θαη
1 νπνία ηζρύνπλ 2 x y a θαη 2 11 3 y 11 a x . Λα απνδείμεηε όηη x y . 2
79)
Αλ Ο , Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ
3 x 5 y 6 a 4 . Λα απνδείμεηε όηη x y .
-7-
διανύσματα 87)
κεφάλαιο 1
97)
Γίλνληαη ηέζζεξα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε ηα Ο , Α , Β δελ είλαη ζπλεπζεηαθά . Λα δεηρζεί όηη αλ ηζρύεη ε ζρέζε
Έζησ ηα δηαλύζκαηα u v w ,
5 u 3 v 4 w θαη 13 u 7 v 10 w . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
88)
Αλ 7 4 3 0 λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
89)
98)
95)
xx , δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο Α , Β θαη έλα ζεκείν Ο πνπ δελ αλήθεη ζηελ xx ώζηε λα ηζρύεη
α. Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Γ αλήθεη ζηελ επζεία xx . β. Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ , ώζηε ην ζεκείν Γ
.
λα είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Β .
102) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . ηηο
πξνεθηάζεηο ησλ ΑΒ θαη ΑΓ πξνο ην κέξνο ησλ Β θαη Γ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Κ θαη Λ κε ΒΚ = ΒΓ , ΓΛ = ΑΒ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ , Λ , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά εάλ θαη κόλν εάλ ηζρύεη ε ζρέζε
101) Θεσξνύκε επζεία
96)
y , z έρνπλ θνηλή αξρή , ηόηε ηα πέξαηά ηνπο είλαη ζεκεία ζπλεπζεηαθά.
Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία : Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , αλ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο . Λα εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα ζεκεία είλαη δηαθεθξηκέλα .
κε 1 .
ζρέζε 2 (1 2 ) 3 2 ,
(1 ) ,
ηα ζεκεία Α , Β , Γ
, v , w θαη ηα
z 5 u 13 v 14 w . Λα απνδείμεηε όηη αλ ηα x ,
Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη ε
x 3u v 4 w , y 2 u 5 v w ,
.
Έζησ 2 ( 1) . Λα
δείμεηε όηη γηα θάζε είλαη ζπλεπζεηαθά .
100) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u
ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη
Έζησ (2 ) 3 . Λα δείμεηε
όηη γηα θάζε ζπλεπζεηαθά .
94)
δεηρζεί όηη
0 θαη 0 , λα
6 13 7 0 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
93)
Γίλνληαη ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Αλ
Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε
99)
ώζηε 2 3 0 λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά .
92)
3 . Αλ ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , λα βξεζνύλ ηα , .
Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα ,
όπνπ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο u , v κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη , κε
ώζηε 3 4 0 λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά .
91)
ηόηε ηα Α ,
3 u 5 v , u v , 4 u v ,
Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα ,
Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη
Αλ 5 3 2 4 , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
90)
( 2) 3 ( 5) , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
103) Έζησ ΑΒΓΓ παξαιιειόγξακκν θαη ηα ζεκεία
.
1 1 , . 5 6 Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. Δ θαη Ε ηέηνηα , ώζηε
-8-
διανύσματα
κεφάλαιο 1
104) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ
111) ηηο πιεπξέο γσλίαο
επηπέδνπ ηνπ . Αλ u 2 v , 7 u 28 v ,
1 . 4
114) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΒΓ ε δηάκεζόο ηνπ . Αλ Δ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ε ην ζεκείν ηνκήο ηεο 1 ΑΔ κε ηε ΒΓ , λα δεηρζεί όηη . 3
115) ηε δηαγώλην ΒΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ
3 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά.
ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε
.
. β. Λα βξείηε ηελ ζρέζε κεηαμύ ησλ , ώζηε ηα ζεκεία Γ , Κ , Λ λα είλαη ζπλεπζεηαθά .
109) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ ζεκείν
*
δηακέζνπ ΑΚ ηέηνην , ώζηε 3 , λα απνδείμεηε όηη ζεκεία Β , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά.
α. Λα εθθξάζεηε ηα , ζπλαξηήζεη ησλ ,
2 ηέηνην , ώζηε . Αλ Γ είλαη ζεκείν ηεο 3
110) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε
,
. Λα δείμεηε όηη 1 .
ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε , * θαη Λ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε
108) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Δ ηεο ΑΓ
113) Θεσξνύκε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ
3 2 3 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
κε ,
ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε
85. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Ο ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ
107) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε
ηέηνηνη , ώζηε κε 1 (1) θαη αληίζηξνθα , αλ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο (1) λα απνδείμεηε όηη ην Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ .
Αλ Θ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ηέηνην , ώζηε 2 4 , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Δ , 5 5 Θ , Β είλαη ζπλεπζεηαθά .
απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ κνλαδηθνί ,
106) ηελ πιεπξά ΓΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε
112) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ . Λα
ώζηε λα ηζρύεη .
ώζηε 3u θαη 3 v . ηηο ΑΒ θαη ΓΓ 1 παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε ώζηε 2 1 θαη . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Ο , Ε , 2 Δ είλαη ζπλεπζεηαθά .
ΒΓ ζεσξνύκε ζεκείν Γ κε 3 θαη ζηελ 3 ΑΓ ζεκείν Δ κε . Λα δείμεηε όηη ηα 5 ζεκεία Κ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη λα βξείηε
v . Έζησ ζεκεία Γ θαη Γ ζηηο Ox θαη Oy
105) Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη Κ κέζν ηεο ΑΒ . ηε
ην
ζηελ Ox θαη Β ζηελ Oy ώζηε u θαη
2 u 3 v λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Β , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά.
xOy έρνπκε ηα ζεκεία Α
1 . 4 Αλ ε ΓΔ ηέκλεη ηελ ΑΓ ζην Ε , λα δεηρζεί όηη 1 . 5
παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε
u v ,
5 u 9 v θαη ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ κε
116) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη
2 u 3 v . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Ρ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ.
ζεκείν Δ ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε
δείμεηε όηη 3(2 ) -9-
1 . Λα 3
5 (4 ) . 2
διανύσματα
κεφάλαιο 1
117) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ ,
124) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα
Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . 3 Λα απνδείμεηε όηη . 2
απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην
, ,
Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Αλ Ρ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΔ θαη ΒΕ , λα 4 2 απνδείμεηε όηη θαη . 5 5
. Αλ f ( ) ,
λα βξεζεί ε ζρέζε κεηαμύ ησλ , , ώζηε
ην δηάλπζκα f ( ) λα είλαη ζηαζεξό .
119) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ
126) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε
ην κέζν ηεο ΑΒ θαη ζεκείν Ε ηέηνην , ώζηε
ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
2 . Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΓ
125) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη νη αξηζκνί
118) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ ,
δηάλπζκα 2 είλαη ζηαζεξό .
0 .
θαη ΔΕ , λα απνδείμεηε όηη 2 .
127) Έζησ Α , Β , Γ , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ . Λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ
120) ην παξαθάησ ζρήκα Δ είλαη ην κέζν ηεο
δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ 1 ηέηνην , ώζηε . Λα απνδείμεηε όηη 3 2 . 3
γηα ηα νπνία ηζρύεη | || | .
128) Έζησ ΑΒΓΓ ηεηξάγσλν . Λα βξείηε ζην
επίπεδν ηνπ ηεηξαγώλνπ ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε
λα ηζρύεη 2 .
129) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
3 3 2 0 .
130) α. Λα βξείηε ζην επίπεδν ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζεκεία Κ θαη Ρ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ
121) Σα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη ζηαζεξά θαη ην ζεκείν Κ κεηαβιεηό .
f ( ) ζηαζεξό .
2 3 0 .
122) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην ηπραίν ζεκείν Κ
132) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ρ
ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε
ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύεη 1 1 , , 2 . 2 3 α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ρ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . β. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε λα
f ( ) 2 3 5 . Λα δεηρζεί όηη ην
δηάλπζκα f ( ) λα είλαη ζηαζεξό .
123) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα
απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην
ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
131) Λα βξείηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ελόο
Αλ f ( ) 2 4 λα δεηρζεί όηη
3 0 θαη 2 2 3 0 . β. Λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΚΡ είλαη παξαιιειόγξακκν.
ηζρύεη 2 3 0 .
δηάλπζκα 4 3 είλαη ζηαζεξό .
- 10 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
133) Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ελόο
140) Έζησ Α , Β , Γ ζηαζεξά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ.
ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
α. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ο ηέηνην ,ώζηε
134) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ην ζύλνιν
ζπλαξηήζεη ηνπ a . ε. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη
| 2 || 2 | .
παξάιιειε ζην .
142) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2a
137) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ
. α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ρ γηα ην νπνίν ηζρύεη
γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ
γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα u 2
2 2 . γ. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη
138) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ
2 2 γηα θάπνην ζεκείν Ο . β. Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Κ ηζρύεη
είλαη παξάιιειν πξνο ην .
επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 0 κε 2 . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν
| 2 || 2 | .
ηνπ Κ .
143) α. Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη
139) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε πιεπξά 2a .
2 5 3 0 . Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη όηη ην Β είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Γ . β. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε λα ηζρύεη
α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη
2 0 . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη
δ. Έπεηηα λα ππνινγίζεηε ηα κέηξα | | θαη | |
(1 ) , 0 , 1 . Λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Κ είλαη επζεία πνπ πεξλά από ην Α θαη είλαη
u .
επηπέδνπ ηνπ ηέηνην ώζηε
136) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ
u 2 είλαη ζηαζεξό . γ. Λα βξείηε ζεκείν Α΄ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
2 .
4 . β. Λα απνδείμεηε όηη ην δηάλπζκα
κε a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη
, κε 2 θαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ Α , Β , Γ . Λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα
141) Γίλεηαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ
135) Γίλνληαη νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί
| 2 3 | 4 | | .
( 1) , 0 .
ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη
2 3 0 . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε
2 .
| 2 | 2a .
2 4 . γ. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε
| 2 || 2 | .
- 11 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1 150) Γίλνληαη ηα ζεκεία 6 , 4 ,
§3. ςυντεταγμένεσ
2 5 , 2 2 2 ,
2 3 4 , 2 2 4 7 1 . Λα βξεζνύλ ηα
ςτο επίπεδο
,
ώζηε .
151) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 θαη 3 , 8 . α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Γ ώζηε λα
είλαη 2 . β. Ση ζπκπεξαίλεηε γηα ηα ζεκεία Α θαη Γ .
144) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί
152) Έζησ ην δηάλπζκα
, ώζηε ην δηάλπζκα u 2 , 3 3 λα 2
u x( x 1) 2 , x(2 x 1) 1 , x
είλαη ην κεδεληθό .
ην x
145) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί
2 y , 4 λα είλαη ίζα .
2
4 , 2 ,
. Λα βξείηε ην ώζηε λα είλαη :
α. a 0
β. a 0 θαη a / / xx
ώζηε :
ώζηε λα είλαη u 0 .
, y ώζηε ηα δηαλύζκαηα a x , 2 x y θαη
. Λα βξεζεί
153) Γίλεηαη ην δηάλπζκα a
x
3. Λα βξεζεί ην
α. ην δηάλπζκα u 81 , 9 λα είλαη ην
γ. a 0 θαη a / / y y .
κεδεληθό.
154) Έζησ ηα ζεκεία 4 , 3 , 9 , 4 1 .
2
β. ηα δηαλύζκαηα u 2 8 22 , 6 7 θαη
Λα βξεζεί ν ώζηε ην δηάλπζκα λα είλαη παξάιιειν ζηνλ xx .
v 7 , 5 2 λα είλαη ίζα .
146) Λα βξεζεί ην
155) Έζησ ηα ζεκεία , 6 , 3 , 7 . Λα
ώζηε ην δηάλπζκα
a 5 6 , 2 λα είλαη ην κεδεληθό. 2
147) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα
βξεζεί ν ώζηε ην δηάλπζκα λα είλαη παξάιιειν ζηνλ y y .
a 2 , 4 θαη
156) Έζησ ηα ζεκεία 3 4 , 6 1 ,
1 , 3 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ
2 5 , 5 8 . Λα βξεζνύλ ηα ,
δηαλύζκαηνο 2 a 3 .
148) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3
ώζηε ην δηάλπζκα λα κελ είλαη παξάιιειν ζε θαλέλα από ηνπο άμνλεο .
, 1 , 1 ,
1 , 1 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ
157) Γίλνληαη νη θνξπθέο 2 , 3
δηαλύζκαηνο u γηα ην νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε
0 , 5 ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα
2 2 u 0 .
βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ Ο θαη ηεο θνξπθήο Γ .
149) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 4 . Λα βξεζνύλ ηα ζεκεία Θ , Ι ώζηε λα
, 4 , 1 ,
ηζρύεη 2 , 3 . - 12 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
158) Έζησ ν θύθινο ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο κε
165) Αλ a 1 , 4 , 5 , 2
θέληξν 3 , 2 θαη δηάκεηξν ΑΒ κε 1 , 3 .
, u x y , 5y
, v 4 x y 3 , 5 y 6 , λα βξεζνύλ ηα
Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Β.
ώζηε a / / u θαη / / v .
x , y
166) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a 2 , 1 ,
2 , 3 2 , u 2 , 4 , v 1 , 5 . Λα
βξεζνύλ ηα ,
ώζηε ( a ) / / u θαη
(a ) / / v .
167) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u 2 , 1 ,
159) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1 , 1 , 2 , 0 θαη
βξεζνύλ νη ζρέζεηο κεηαμύ ησλ ,
2 , 3 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηεο
ώζηε :
α. (2 u 3 v ) / /12 v
β. (u 2 v 3 w) / / 5 v
δηακέζνπ θαζώο θαη ηνπ ζεκείνπ Γ γηα ην
v 1 , 3 θαη w 2 1 , 2 . Λα
νπνίν ηζρύεη .
168) Έζησ ηα ζεκεία 3 , 2 , 2 , ,
160) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα
5 , 3 θαη 4 , . Λα βξεζεί ν
ζεκεία 1 , 2 , 3 , 5 θαη 2 , 4 . Λα
169) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u , ,
161) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα ζεκεία 1 , 4 , 5 , 4 θαη 2 , 1 . Λα
v 2 3 1 , 2 θαη w , .
βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ .
α. Λα βξεζνύλ ηα ,
162) ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη
ώζηε u v w 0 .
β. Λα δείμεηε όηη u / / w u w 0 .
ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο x2 ( 2 5 14) x 7 0 , ελώ νη
170) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u 5x 6 y , 1 θαη
ηεηαγκέλεο είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο y 2 ( 2 3 2) y 5 0 . Λα βξείηε ηελ ηηκή
v x 3( y 3z ) , 2 κε x y . Λα δείμεηε όηη
ηνπ , ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ζπληεηαγκέλεο 4 , 6 .
u / / v x3 y 3 z 3 3xyz .
171) Έζησ δηαλύζκαηα u 1 , 2 θαη
163) ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη
v 3 , 4 .
ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο x2 ( 2 3 5) x 10 0 . Λα
Λα βξεζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u , v
δηαλύζκαηα πνπ λα έρνπλ άζξνηζκα w 0 , 3 .
βξείηε ηελ ηηκή ηνπ
, ώζηε ην κέζν ηνπ 1 ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ηεηκεκέλε ίζε κε . 2
172) Λα αλαιπζεί ην u 9 , 4 θαηά ηηο
δηεπζύλζεηο ησλ v 2 , 3 θαη w 1 , 2 .
164) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u 1 , 3 θαη
v 2 2 , . Λα βξεζεί ν
/ / .
βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ .
ώζηε
ώζηε ηα u ,
v λα είλαη παξάιιεια .
- 13 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
173) Λα βξεζνύλ νη
x, y , z
182) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u 2 , 3 ,
ώζηε
x u y v z w 0 όπνπ u 1 , 2 , v 1 , 2
v 1 , 2 θαη w 1 , 2 . Λα βξείηε ηηο
θαη w 3 , 4 .
ηηκέο ηνπ
ώζηε ην δηάλπζκα w λα
174) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u 2 i j
εθθξάδεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u ,
θαη v . ε απηή ηελ πεξίπησζε λα βξείηε ηηο
v 3 i j . Λα δείμεηε όηη ηα
δηαλύζκαηα u , v δελ είλαη ζπγγξακκηθά .
175) Έζησ δηαλύζκαηα u 1 , 2 θαη
183)
184)
δηαλύζκαηα πνπ έρνπλ δηαθνξά ίζε κε i .
v 3 , 5
α. Λα δείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
θαη w 8 , 10 . Λα αλαιπζεί ην δηάλπζκα w ζε
β. Λα βξεζνύλ ηα ,
δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο ησλ u , v αληίζηνηρα .
ώζηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά .
ην w εθθξάδεηαη θαηά κνλαδηθό ηξόπν σο
186)
γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u θαη v .
Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία a , ,
, a θαη , a είλαη ζπλεπζεηαθά .
178) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u 1 , 3 θαη
187)
v 2 , 1 . Λα γξαθεί ην δηάλπζκα w 4 , 16
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 , a , 3 ,
2a , 3 θαη 4 , 7 . Λα βξείηε ην a
ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u , v .
ώζηε ηα κέζα ησλ δηαλπζκάησλ , θαη
179) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u 1 , 3 ,
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 ,
3 , 3 θαη 2 , 2 . Λα βξεζεί ν
v 2 , 1 θαη w 7 , 4 . Λα απνδείμεηε όηη
185)
ώζηε θαη
.
177) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u 3 , 2 ,
Γίλνληαη ηα ζεκεία 8 , 6 , 2 , 2
θαη 7 , 0 .
ώζηε ηα ζεκεία Α
, Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά .
Λα νξηζζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u , v
176) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u 1 , 2 ,
Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , 4 , , 2 θαη
2 , 2 . Λα βξεζεί ν
v 0 , 3 .
ζπληεηαγκέλεο ηνπ σο πξνο ηα u θαη v .
λα είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία .
v 1 , 2 θαη w 1 , 1 . Λα εθθξάζεηε ην
188)
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί όηη αλ
δηάλπζκα w σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ u θαη
v .
180) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u 3 , 4 ,
189)
v 2 , 1 θαη w 3 , 2 . Λα αλαιύζεηε ην
*
, ηόηε ηα ζεκεία
Έζησ ηα ζεκεία 0 , 1 , 2 , 3 ,
1 , 1 , 2 , 7 , 3 , 11 . Λα δείμεηε όηη
δηάλπζκα w ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο
(1 ) , Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
/ / θαζώο θαη όηη ην Δ είλαη ζεκείν ηεο ΑΓ .
πξνο ηα u θαη v .
181) Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία 1 , 2 , 1 , 1 θαη 3 , 3 είλαη ζπλεπζεηαθά . - 14 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
190) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 5 , 6 , 1 ,
198) Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία 4 , 6 ,
3 , 1 θαη 5 , 1 . Λα δείμεηε όηη ην κέζν
5 , 3 , 4 , 1 , 0 , 3 είλαη θνξπθέο
ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλήθεη ζηελ επζεία ΓΓ .
ηζνζθεινύο ηξαπεδίνπ .
191)
199) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ
Έζησ ηα ζεκεία 0 , 2 , 3 , 1 ,
έρεη θνξπθέο 0 , 7 , 6 , 9 , 4 , 3 θαη
5 , 3 . Λα βξεζεί ην Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα
2 , 1 .
είλαη παξαιιειόγξακκν .
192)
200) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 5 , 2 , 1 ,
έρεη θνξπθέο 1 , 5 , 7 , 7 , 8 , 4 θαη
1 , 5 , 2 , 1 .
2 , 2 .
α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη θνξπθέο παξαιιειόγξακκνπ . β. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ παξαιιειόγξακκνπ .
201) Λα ππνινγηζζεί ε απόζηαζε ησλ ζεκείσλ a , a θαη a , a ,
193)
a
Λα εμεηαζηεί αλ ην ηεηξάπιεπξν ΘΙΚΛ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 2 , 3 , 4 , 1 ,
202) Αλ 4 , 0 , 0 , 6 λα βξεζνύλ ηα ζεκεία
0 , 5 θαη 2 , 9 είλαη παξαιιειόγξακκν .
194)
x , y ώζηε ην ΑΒΓ λα είλαη ηζόπιεπξν .
Αλ 1 , 6 , 2 , 1 , 4 , 4 είλαη ηξεηο
203) ην δηπιαλό ηξίγσλν ΑΒΓ έρσ 2 , 2 ,
από ηηο θνξπθέο ελόο παξαιιειόγξακκνπ ΑΒΓΓ λα βξεζνύλ ηα κήθε ησλ δηαγσλίσλ ηνπ .
195)
.
1 , 5 θαη 1 , 1 . Λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο .
ην δηπιαλό ηεηξάπιεπξν έρσ 11 , 2 ,
6 , 10 , 6 , 5 θαη 1 , 7 . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηεηξάγσλν .
204) Λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν πνπ έρεη
θνξπθέο ηα ζεκεία 3 , 1 , 0 , 2 θαη
196) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ
ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 1 θαη
1 , 0 είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο .
, 1 είλαη ηξαπέδην .
205) Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία 2 , 3
197) Γίλεηαη ην ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε βάζεηο
, 6 , 7
θαη 7 , 5 είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ
ΑΒ θαη ΓΓ . Αλ 1 , 2 , 2 , 3 θαη 5 , 0 ,
ηξηγώλνπ.
λα βξεζεί ε θνξπθή Γ .
- 15 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
206) Έζησ ηα ζεκεία 8 , 2 , 0 , 6 θαη
216) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 0 , 2 , 7 , 3
2 , 0 . Λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη
θαη 8 , 2 , λα βξεζεί ην πεξίθεληξό ηνπ .
ηζνζθειέο θαη λα βξεζεί ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΓ .
217) Ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο 1 , 3 θαη 1 , 3 . Λα βξεζεί ε
207) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 3 , 1 , 5 . Λα
θνξπθή Α .
βξείηε ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ΑΒΓ
218) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 , 3 , 3 θαη
ηξίγσλν λα είλαη ηζνζθειέο .
3 , 1 .
208) Έζησ ηα ζεκεία 1 , 3 , 3 , 5 . Λα
α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ Κ από ην Β όπνπ ΑΚ δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
βξεζνύλ ζεκεία Γ , Γ ησλ αμόλσλ xx θαη y y αληίζηνηρα ώζηε ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειή κε θαη αληίζηνηρα .
209) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 1 θαη 1 , 5 . Λα
219) Γίλνληαη ηα ζεκεία 8 , 2 , 0 , 5
βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα xx ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο .
2 , 6 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Αλ Θ είλαη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΑΓ , λα ππνινγίζεηε
210) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 1 θαη 1 , 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο .
211) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2
ην | | .
220) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 θαη 3 , 0 .
θαη 1 , 5 . Λα
Λα βξείηε : α. ζεκείν Γ ηνπ άμνλα xx ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ , β. ηα κήθε ησλ δηακέζσλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ θέξνληαη πξνο ηηο ίζεο πιεπξέο .
βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα xx ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β .
212) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2
θαη 1 , 5 . Λα
βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν
221) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 1
ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β .
2 , λα 3 βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη ηξαπέδην .
δηεύζπλζεο ηνπ δηαλύζκαηνο είλαη
βξεζεί ζεκείν Α ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη
νξζνγώλην ( 900 ) θαη ηζνζθειέο . ώζηε ηα κε
222) Έζησ έλαο ξόκβνο ΑΒΓΓ κε πιεπξά 5
2 θαη θνξπθέο 3 , 1 , 11 , 7 . Λα βξεζεί ην
ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα u 1 , 3 ,
v 2 , 3 4 θαη
εκβαδόλ ηνπ .
w 4 1 , 2 3 λα ζρεκαηίδνπλ
223) Έζησ x , x 1 , 2x , 1 x , x 0 . Λα
ηξίγσλν .
βξεζεί ην x ώζηε | | x(1 5) 1 .
215) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα x 1 , x ,
, 3 , 2 ,
1 , 4 θαη x , y . Αλ ν ζπληειεζηήο
213) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 1 , 0 . Λα 214) Λα βξεζνύλ ηα ,
θαη
224) Γίλεηαη δηάλπζκα a a , a κε a a
2 x 1 , x 1 θαη 1 , 3 . Λα δεηρζεί
1
2
a12 a22 14 . Λα βξεζεί ην | a | .
όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ x . - 16 -
1
2
1 θαη
διανύσματα
κεφάλαιο 1
225) Λα βξεζεί δηάλπζκα u αλ έρεη ίδην κήθνο κε v 4 , 3 θαη ηελ δηεύζπλζε ηνπ w 1 , 3 .
232) Έζησ 2 , 1 , 3 , 2 , 0 , 7
α. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
θαη | | 5 .
v , έρνπλ ην ίδην κέηξν θαη είλαη
233) Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία 1 , 4
θάζεηα.
0
β. Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε | || |
226) Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα u , ,
227) ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 90
.
, 2 , 4 θαη 5 , 1 . Λα βξεζνύλ νη
) είλαη
ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α , ζηελ απέλαληη πιεπξά .
5 , 3 θαη 2 , 1 θαη 60 . Λα 0
βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α πάλσ ζηε ΒΓ .
234) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη δεηείηαη ζεκείν
Κ γηα ην νπνίν λα ηζρύεη .
228) Λα βξεζεί ζεκείν ηνπ επηπέδνπ πνπ ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 0 , 4 , 2 , 2 θαζώο θαη
235) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ. Λα δεηρζεί όηη ππάξρεη
από ηα ζεκεία , 1 , 6 , 4 , 5 .
κνλαδηθό ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη
2 3 0 .
229) Λα βξεζεί ην ζεκείν Θ ηνπ παξαθάησ
236) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ
ζρήκαηνο ην νπνίν ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 2 , 2 , 0 , 4 θαζώο θαη από ηα ζεκεία
γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ
1 , 4 , 2 , 3 .
γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα u 2
είλαη παξάιιειν ζην δηάλπζκα .
237) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 3
, 2 , 1
θαη 4 , 1 . Αλ Δ ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΒΓ
ηέηνην , ώζηε
1 , λα βξεζεί ζεκείν Ε 2
ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε / / .
238) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 2 , 2 , 1 , 3 θαη 4 , 3 . Αλ Θ , Ι ζπκκεηξηθά ηνπ Α σο πξνο ην Β θαη Γ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Θ , Γ , Ι είλαη ζπλεπζεηαθά .
230) Οη θνξπθέο ελόο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ είλαη ηα ζεκεία 2 , 3 , 1 , 7 , 8 , 5 θαη
239) Γίλεηαη ηα ζεκεία 2 , 5 θαη 1 , 2 . Λα
6 , 1 . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα πνπ
βξεζεί ην ζπκκεηξηθό Α΄ ηνπ Α σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Β θαη θαηόπηλ ην ζπκκεηξηθό Α΄΄ ηνπ Α΄ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Α .
ελώλνπλ ηα κέζα ησλ απέλαληη πιεπξώλ δηρνηνκνύληαη.
231) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα
240) Αλ Δ ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα ΘΚ θαη ΙΛ δηρνηνκνύληαη.
1 θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 3 2 λα απνδείμεηε όηη . 3
- 17 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1 246) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη ζεκείν Ρ ηεο
241)
δηαγσλίνπ ηνπ ΒΓ . Αλ Δ είλαη ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Ρ θαη Ε , Ζ νη πξνβνιέο ηνπ Δ ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Ρ , Ε , Ζ είλαη ζπλεπζεηαθά.
ην παξαθάησ ζρήκα δίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 ,
1 , 0 θαη 0 , 4 . Έζησ Γ ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΓ κε ηνλ άμνλα xx θαη Δ ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνλ άμνλα y y .
247) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε
α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Γ θαη Δ . β. Αλ Θ , Ι , Κ είλαη ηα κέζα ησλ ΟΑ , ΓΔ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Θ , Ι , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά.
3 , 4 θαη
6 , 2 . Αλ Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην ,
ώζηε , 3 , όπνπ 0 λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Κ βξίζθεηαη κεηαμύ ησλ Β θαη Γ .
§4. εςωτερικό γινόμενο
διανυςμάτων 242) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία
1 , 2 θαη 2 , 4 . Θεσξνύκε ηα ζεκεία Γ
θαη 2 , 3 ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ
248) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν
2 θαη 3 . Λα βξείηε ηελ θνξπθή Α .
| a | 2 , | | 3 , ( a , )
243) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) θαη
6
a αλ
.
249) Λα βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ
ην ύςνο ηνπ ΑΓ . Αλ Κ είλαη ην κέζν ηνπ ΑΓ θαη 1 Ρ ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε , λα 3 απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Κ , Ρ είλαη ζπλεπζεηαθά .
δηαλπζκάησλ a θαη όηαλ :
α. | a | 2 , | | 3 θαη ( a , )
3 4
5 3 , | | 2 θαη ( a , ) 6 3
244) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ
β. | a |
ώζηε λα είλαη 2 . 1 2 α. Λα απνδείμεηε όηη . 3 3 β. Αλ 1 , 2 , 2 , 4 θαη 7 , 11 , λα βξείηε ην
250) Λα βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο
a 2 a ( a ) 3 a , αλ | a || | 2 θαη
(a , )
Κ θαζώο θαη ην κήθνο ηνπ ΑΚ .
245) Κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ
4
.
251) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν
θαηαζθεπάδνπκε ζην εζσηεξηθό ηνπ ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΔ . Κε βάζε ηελ πιεπξά ηνπ ΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΒΓΕ. Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά .
| a | 2 , | | 3 , ( a , )
6
a ( ) αλ
.
252) Αλ | a || | λα δείμεηε όηη (a )(a ) 0 .
- 18 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1 264) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο
253) Αλ | a || || a | λα δείμεηε όηη
| a || a | 3 .
256) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a
257) Αλ a
λα δείμεηε όηη
| |
| a | | a |
1.
| a || || | 1 , ( a , )
(a , )
ώζηε ηα δηαλύζκαηα
a 3 , 4 1 , 3 9 , 3 λα είλαη
6
, , είλαη
6
ώζηε ηα δηαλύζκαηα
ώζηε ηα δηαλύζκαηα
263) Έζησ ηα δηαλύζκαηα Λα βξείηε ηνλ
2 . 3
3
, ηζρύνπλ | a | 1
λα βξείηε ην κέηξν ηνπ
2 a .
ώζηε ην a λα είλαη θάζεην ζην .
271) Αλ | a | 1 , | | 2 , | | 3 θαη a 0
, | | 2 θαη ( a , )
262) Αλ a 1 , 2 , 3 , 4 λα βξείηε ηνλ
270) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a
λα είλαη
, ηνπ επηπέδνπ
Λα βξείηε ην | 5 a 4 | .
θάζεηα.
ηέηνηα , ώζηε | a | 2 , | | 5 θαη ( a , )
a 3 , 1 , , 2 λα είλαη θάζεηα.
2 , θαη 3
, λα βξεζνύλ ηα κέηξα | 2 a 4 | ,
269) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a
, ( , )
a 1 2 , 1 θαη 2 , 2 4 2
| a 2 | .
θάζεηα.
λα βξεζεί
268) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα : a
261) Λα βξείηε ηα ,
θαη v , λα είλαη θάζεηα.
λα βξείηε
ην κέηξν ηνπ 3 a .
ώζηε ηα δηαλύζκαηα u ,
260) Λα βξεζεί ν
ώζηε ( a ) ( a 4 ) .
267) Αλ | a | 2 , | | 3 , ( a, ) = 3 ,
259) Λα βξεζεί ν
ηνλ
258) Λα βξείηε ηελ ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα ,
, 2 i 3 j . Λα βξείηε
ώζηε λα είλαη ( a ) a .
|a|
266) Αλ | a | 1 , | | 2 , ( a, ) = 3
, είλαη
ηνλ
| | a | a | , λα δείμεηε όηη | a || a | .
ώζηε λα είλαη a .
, , είλαη κνλαδηαία δηαλύζκαηα λα
265) Έζησ a i 2 j
δείμεηε όηη | a | | | | a || a | | | | | .
ηνλ
( a )( a ) ( a )2 2 a ( a ) .
255) Αλ a
a ( 1) i 2 j , 3 i (3 1) j . Λα βξείηε
254) Λα δείμεηε όηη
( , i , j ) ζεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα
a 1 , 3 , 1 , 2 .
λα βξεζεί ην a a .
ώζηε ηα δηαλύζκαηα
272) Αλ | a | 3 , | | 4 , | | 5 θαη a 0
a θαη a λα είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο .
λα βξεζεί ην a a .
- 19 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
273) Αλ | a || || | 2 θαη a 8 , λα
282) Έζησ a
δείμεηε όηη a .
274) Αλ | a | 1 , | |
275) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a
276) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a
, ,
278) Αλ | a | 2 , | | 3 , (a , ) 3
, λα βξεζεί
a , , ηζρύεη
3
3
κε | a | 6 αλ
κε | a | 1 αλ
γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη κε ηα κνλαδηαία
δηαλύζκαηα i θαη j ησλ αμόλσλ γσλίεο 30ν
.
288) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a
θαη | 3 a 2 | 13 ,
281) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a (a , )
θαη ώζηε
( , i , j ) .
κε ηνλ 3 νξηδόληην άμνλα xx ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα
λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ .
. Λα ππνινγηζζνύλ ηα
γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη γσλία
280) Αλ | a | 1 , (a , ) 3
3
287) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a
a .
| a |2 | |2 2 ( a ) , λα απνδείμεηε όηη
279) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα
Λα ππνινγηζζνύλ ηα κέηξα | a | θαη | | .
| a | 2 θαη | a | 4 κε ( a , a )
ην ( a )3 a .
286) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a
β. 3 a θαη a .
θαη γηα ηα
κέηξα | a | θαη | | .
(a 2 , a 2 )
α. a a 1
νπνία ηζρύεη | a 2 | 5 θαη | a 2 | 1 κε
, λα απνδείμεηε όηη :
277) Αλ | a | 1 , | | 3 , | | 1 θαη a 2 0
285) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a
a a .
| a | 2 . Λα απνδείμεηε όηη | a || | 2 .
θαη γηα ηα
νπνία ηζρύεη a , (2 a ) ( a 2 ) θαη
ηζρύνπλ νη
| a || || | 1 , λα βξεζνύλ ηα | a | θαη
284) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a
2 ζρέζεηο ( a , ) ( , ) ( , a ) θαη 3
| | 2 .
β. Λα εμεηάζεηε ηη ζπκβαίλεη αλ a 2 .
| a | 2 5 . Λα απνδείμεηε όηη | a | 4 ,
α. Αλ a 2 ηόηε a
θαη γηα ηα
νπνία ηζρύεη a , ( a ) ( a 4 ) θαη
, , ηέηνηα ,
ώζηε | a || || | 1 .
283) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a
θαη | a || | , λα βξεζεί ην | | .
2 , | | 5 , θαη
a 0 , λα δεηρζεί όηη a a 4 .
θαη | a | 3 . Αλ (3 a )( a 3 ) 15 3
γσλία
, δηαλύζκαηα πνπ ζρεκαηίδνπλ
θαη 60ν αληίζηνηρα .
, είλαη | a | 1 ,
289) Αλ | a || || | a
θαη | 2 a 3 | 3 , λα βξεζεί ην | |
( a 0 ) θαη
a 2a 2 λα δείμεηε όηη ηα a , , είλαη ζπγγξακκηθά.
- 20 -
διανύσματα 290)
κεφάλαιο 1
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ
a 0 θαη
298)
|a| | | 1 θαη | a | 5 , λα δεηρζεί όηη a . 3 4
|a| | | | | λα απνδείμεηε όηη 2 3 5
299)
a θαη .
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη
Έζησ ηα δηαλύζκαηα a (1 , 2) ,
291)
Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , γηα ηα νπνία
α. a
a u 3 θαη u 1 .
300)
292)
303)
δηαλύζκαηα u 2 a θαη v είλαη θάζεηα. Αλ γηα θάζε
304)
ηα δηαλύζκαηα
Αλ a (3 , 3) θαη (1 , 4) , λα
3
, λα βξεζεί δηάλπζκα u
a u .
305)
α. a
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | a | 1
ζπλαξηήζεη ησλ a , ώζηε u / / a θαη
ηνπο θαη | a | 1 , λα απνδείμεηε όηη :
, | | 1 θαη ( a , )
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | a | 2
β. | | 1 γ. | 3 a 4 | 5
297)
, | | 4 θαη ( a , )
Αλ a (1 , 2) θαη (4 , 3) , λα βξεζεί
u a θαη v a είλαη θάζεηα κεηαμύ
a u v , u / / θαη a v .
Αλ | a || a | λα δείμεηε όηη ηα
βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u θαη v ηέηνηα , ώζηε
296)
a .
295)
δηάλπζκα u ηέηνην , ώζηε a u 3 θαη u / / .
Αλ a θαη a , λα δείμεηε όηη
302)
v / / θαη a u .
| a || a | a .
Αλ a (2 , 1) θαη (1 , 3) , λα βξεζνύλ
294)
δπν δηαλύζκαηα u θαη v ηέηνηα , ώζηε a u v ,
Γηα ηα δηαλύζκαηα a , λα δεηρζεί όηη
301)
a 0 2 2 2 0 .
293)
Αλ ηα a , , είλαη κνλαδηαία κε
u //a .
6( a , ) 3( , ) 4( , a ) 2 λα δείμεηε όηη
δηαλύζκαηα u , v ώζηε u v , u v θαη
β. a 2 0 .
Αλ a (2 , 3) θαη (8 , 1) λα βξεζνύλ δπν
ηζρύεη a 2 0 θαη 2 | a | 4 | || | . Να δεηρζεί όηη :
(4 , 3) . Να βξείηε δηάλπζκα u ηέηνην , ώζηε
2 , λα βξεζεί δηάλπζκα u 3
ζπλαξηήζεη ησλ a , ώζηε u / / a θαη
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη θάζεηα
a u .
κεηαμύ ηνπο θαη έρνπλ ίζα κέηξα , λα απνδείμεηε
όηη ηα δηαλύζκαηα u 2 a θαη v a 2 είλαη θάζεηα θαη έρνπλ ίζα κέηξα .
306)
Γίλεηαη ηα δηάλπζκα a (1 , 1) . Να βξεζεί
δηάλπζκα u ώζηε
α. a u θαη | a || u | .
β. u / / a θαη 2 | a || u | .
διανύσματα 307)
κεφάλαιο 1
314)
Αλ a u v , u / / θαη v , 0 λα
γξαθνύλ ηα δηαλύζκαηα u , v ζπλαξηήζεη ησλ
a , .
Γίλεηαη όηη ην δηάλπζκα a έρεη
315)
( , )
310)
3
317)
. Να
ώζηε λα είλαη u v θαη
v θαη
uv
Αλ 1 a 0 λα βξεζεί ην δηάλπζκα u ,
319)
Έζησ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a θαη .
Να απνδείμεηε όηη 2 a 2 4 ( a ) 4 2 0 γηα θάζε . Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα ;
320)
α. Γηα νπνηαδήπνηε δηαλύζκαηα a θαη ,
v u . Να απνδείμεηε όηη :
λα απνδείμεηε όηη | a || a | | | . Πόηε ηζρύεη ε
| v |2
ηζόηεηα ; β. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 6 x 8 y κε
α. a
u (u a ) .
, 1 . Να
ζπλαξηήζεη ησλ a , , από ηελ ηζόηεηα
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , u , v κε
| v |2
318)
2 1 2 , Έζησ a , 2 2 1 1
, , .
v 0 ώζηε λα ηζρύνπλ
β. Αλ a 1 , λα εθθξαζηεί ην u ζπλαξηήζεη ησλ a
δείμεηε όηη | a || | 1 θαη a .
uv
Αλ ηα δηαλύζκαηα a , , , u ηνπ
Αλ | a | 1 θαη a a 1 λα δεηρζεί
a
1 2 2 , κε , 2 2 1 1
α. Να δεηρζεί όηη ( a 1)( a u ) a .
όηη a ή a ή ( a ) ( a) .
επηπέδνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε ( a u ) u :
| u v | 2 .
313)
Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά θαη κε
312)
ηζόηεηεο a u a v θαη u v ηόηε u v .
θαη ηα δηαλύζκαηα
βξείηε ηα ,
u a , v a , όπνπ ,
311)
νπνία είλαη ζπλεπίπεδα κε ηα a , ηζρύνπλ νη
ώζηε | a || | 1 , ( a , )
2
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηέηνηα ,
απνδείμεηε όηη αλ γηα ηα δηαλύζκαηα u , v ηα
ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα a θαη . Να
. Να απνδείμεηε όηη a .
4
316)
, ηέηνηα , ώζηε ( a ) / / , ( a ) θαη
β. ( a 2 a )2 a 2 ( a )2
Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a ,
a . Να
Γίλνληαη ηα παξάιιεια δηαλύζκαηα a θαη
α. ( a )2 a 2
a
. Να απνδείμεηε όηη :
a .
309)
απνδείμεηε όηη u a θαη v a .
ζπληεηαγκέλεο (17 , 7) θαη ην δηάλπζκα a έρεη ζπληεηαγκέλεο (13 , 13) . Να απνδείμεηε όηη
| a |2
308)
έζησ u ( a ) ( a ) θαη v
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , θαη
x 2 y 2 25 . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε
β. Αλ u v ηόηε 0 .
ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α . γ. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 3x 4 y κε x 2 y 2 16 . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε
ηηκή ηεο παξάζηαζεο Β . - 22 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
321)
329)
Να βξείηε ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο f ( x) x x , x 0 , .
322)
330)
v | u | | v | , λα δεηρζεί όηη
324)
a
4 .
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | a | 2
Έζησ ηα a , κε | a || | 1 . Να βξείηε
3
, λα ππνινγίζεηε ηελ
γσλία ( a , a ) .
334)
(a , )
δηαλπζκάησλ a θαη , θαζώο θαη ηελ γσλία ηνπο , όηαλ :
335)
α. a (5 , 3) θαη (6 , 10) .
2
336)
ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ( , i , j )
3 1 , ) θαη 2 2
, λα δεηρζεί όηη
4
.
Έζησ ηα a , κε | a || | 1 θαη
(a , a)
5 3 ) . β. a (2 , 3) θαη ( , 2 2
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη
| a || | 1 θαη ( a , a )
| | 3 , θαη ( a , )
Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ
δίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a (
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | a | 5 ,
(1 , 1) . Να βξείηε ηελ γσλία ( a , ) .
328)
333)
Έζησ ηα δηαλύζκαηα a ( 3 1 , 3 1) θαη
ηελ γσλία ( a , ) εάλ ( a 2 ) (5 a 4 ) .
Αλ είλαη ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ a ,
332)
2
327)
ηελ γσλία ( a , ) .
θαη ηζρύεη | a || a | λα απνδείμεηε όηη 0 .
326)
, | | 1 θαη (3 a 5 ) (2 a ) λα ππνινγίζεηε
Να ιπζεί σο πξνο u θαη v ην ζύζηεκα :
a v u
2 u ( 1) v a . ( 2) u v
325)
Έζησ ηα a , κε | a || | 1 θαη
331)
ηζρύνπλ νη ζρέζεηο | a | 2 , u | u | | v | a ,
( a , ) , αλ u v .
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , u , v
u 3 a 2 , v 7 a 8 . Να βξεζεί ε γσλία
απνδείμεηε όηη a .
ησλ δηαλπζκάησλ a , .
λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ ώζηε ην | | λα γίλεη ειάρηζην . Γηα ηελ ηηκή απηή λα δεηρζεί όηη
323)
| a || | 1 θαη ( a ) ( a 2 ) λα βξεζεί ε γσλία
Αλ | a || || | 1 θαη a ,
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύεη
. Να βξείηε ηελ γσλία ( a , ) .
3
Έζησ ηα a , ( a ) κε | a || | θαη
(a , a)
. Να βξείηε ηελ γσλία ( a , ) .
3
(3 , 4) .
337)
Να βξείηε : α. Γηάλπζκα κε | | 1 πνπ λα είλαη
| | 1 , θαη ( a , )
ζπγγξακκηθό ηνπ .
β. Σελ γσλία ( j , a ) .
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | a | 2 ,
2 , λα ππνινγηζζνύλ νη 3
γσλίεο ( a , a 2 ) , ( a 2 , a ) . - 23 -
διανύσματα 338)
κεφάλαιο 1
345)
Αλ a 0 κε | a || | 4 3 θαη
339)
δηάλπζκα a ζε δπν ζπληζηώζεο , από ηηο νπνίεο ε
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , θαη
κηα λα είλαη παξάιιειε πξνο ην θαη ε άιιε
u 2 a 3 . Αλ | a | 3 , | | 4 θαη ( a , )
θάζεηε ζην .
3
346)
, λα βξείηε ην κέηξν | u | θαη ηελ γσλία ( a , u ) .
340)
u 3 a . Αλ | a | 1 , | | 3 θαη ( a , )
,
2
.
β. (u , a )
3 4
a (1 , 2) .
348)
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε
|a| 3 1
0 . Να
δηάλπζκα a (3 , 4) θαη κηαο θάζεηεο ζε απηό .
349)
ππνινγίζεηε ηηο γσλίεο : ( a , ) , ( , ) .
342)
2
350)
δηάλπζκα u ζπλαξηήζεη ησλ a , πνπ
343)
351)
ιεθζνύλ κε θνηλή αξρή ηόηε ν θνξέαο ηνπ
a
|a| | |
( , )
3 1 , | | 10 , ( a , ) , | a | , | | 3 3 5
ζρεκαηίδνπλ νη θνξείο ησλ a θαη . Να δεηρζεί όηη ην δηάλπζκα
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε
δηρνηνκεί ηηο δπν από ηηο ηέζζεξηο γσλίεο πνπ
, ( , )
παξάιιειεο ησλ a , .
3
6
Να αλαιύζεηε ην δηάλπζκα ζε δπν ζπληζηώζεο
Αλ | a || || | 1 θαη | a || a |
κε a λα δείμεηε όηη αλ ηα a , ,
344)
| a | 3 , | | 4 , | | 5 , ( a , )
Οκνίσο εάλ | a | 2 , | | 3 θαη | u | 1 .
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε
δηρνηνκεί ηελ γσλία ησλ ( a , ) κε | u | 3 2 .
a (2 , 1) θαη κηαο παξάιιειεο πξνο ην a .
λα βξεζεί
Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (2 , 3) ζε δπν
ζπληζηώζεο , κηαο θάζεηεο πξνο ην δηάλπζκα
Αλ | a | 1 , | | 2 , ( a , )
Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (10 , 5) ζε
δπν ζπληζηώζεο , κηαο παξάιιειεο πξνο ην
( 3 1) a 3 θαη | || |
Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (2 , 3) ζε δπν
ζπληζηώζεο θάζεηεο κεηαμύ ηνπο έηζη , ώζηε ε κηα λα έρεη ηελ δηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο
4
γ. ( , u )
341)
347)
παξάιιειε πξνο ην a θαη ε άιιε θάζεηε ζην
λα απνδείμεηε όηη : α. | u | 3 2
ζπληζηώζεο , από ηηο νπνίεο ε κηα λα είλαη
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , θαη
Έζησ ηα δηαλύζκαηα a (2 , 3) ,
(1 , 4) . Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα a ζε δπν
(1 , 2) θαη (2 , 5) . Να αλαιπζεί ην
| | 27 , λα βξεζεί ε γσλία ( a , ) . 4
Έζησ ηα δηαλύζκαηα a (4 , 11) ,
είλαη
6
. Να αλαιύζεηε ην δηάλπζκα θαηά
ηηο δηεύζπλζεο ησλ a θαη .
ζπγγξακκηθό κε ηελ δηρνηόκν ηεο γσλίαο ησλ a ,
. - 24 -
διανύσματα 352)
κεφάλαιο 1 361)
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε
| a | 3 , | | 5 , | | 8 , ( a , )
, ( , a )
2
3
.
363)
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a (2 , 1) θαη
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 4 , 3 , 2
θαη 1 , 3 . Να βξεζνύλ νη γσλίεο ηνπ .
364)
a
Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ κε πιεπξά α θαη έζησ ΑΓ ην ύςνο . Να βξείηε ην κήθνο ηνπ ΑΓ ζπλαξηήζεη ηνπ α θαη ζηε ζπλέρεηα ηα εζσηεξηθά
Αλ a (3 , 4) θαη (1 , 3) λα βξείηε ηελ
a .
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a (2 , 1) θαη
365)
(3 , 4) . Να βξείηε ηηο θαη a .
a
2 λα βξείηε ηα 3
366)
367)
( a ) .
Αλ a 0 θαη 0 λα δείμεηε όηη
a
368)
Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ
3
369)
λα απνδείμεηε όηη
5 4
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 2 , 3 ,
1 , 1 θαη 3 , 4 . Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ ύςνπο ΑΓ .
( a ) ( a ) a 2 . a
(2 , 1) .
| a | 2 , | | 1 θαη ( a , )
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύνπλ
.
παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ζην νπνίν (3 , 5) ,
3
a .
| a |2
θαη | | 7 . Να ππνινγηζζεί ε γσλία ( , ) .
a
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | | 3 , | | 5
Να βξεζνύλ ηα κήθε ησλ δηαγσλίσλ
ξόκβνπ ΑΒΓΓ αλ | | 2 θαη ( , )
Αλ a (6 , 8) θαη (1 , 3) λα βξείηε ηελ
δηαλύζκαηα θαη a .
a
. Να βξεζνύλ ηα κήθε ηεο 3 πιεπξάο ΑΒ θαη ηεο δηακέζνπ ΓΜ .
Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύνπλ
a
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | | 2 ,
360)
| | 2 θαη
| a | 4 , | | 2 θαη ( a , )
359)
, , , .
358)
γηλόκελα , , , ,
357)
ηζρύεη ( x a ) ( x 1) .
(3 , 4) . Να βξείηε ηελ .
356)
.
355)
2
β. Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό x γηα ηνλ νπνίν
παξάιιεια πξνο ηα a θαη .
α. Να απνδείμεηε όηη a 3 .
. Να
6
354)
Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a ,
γηα ηα νπνία ηζρύεη a 3
αλαιύζεηε ην δηάλπζκα ζε δπν δηαλύζκαηα
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε
362)
| a | 1 , | | 2 , | | 4 , a , ( a , )
( a ) 2 .Να απνδείμεηε όηη a .
ζπλδπαζκό ησλ a θαη .
a
Να εθθξάζεηε ην δηάλπζκα σο γξακκηθό
353)
ηζρύνπλ ( a ) 2 a θαη
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , γηα ηα νπνία
- 25 -
διανύσματα 370)
κεφάλαιο 1 379)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 7 , 0 ,
Έζησ 10 , 8 , 3 , 9 , 4 , 4 ,
1 , 2 θαη 3 , 4 . Να ππνινγίζεηε ην κήθνο
9 , 5 . Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ
ηνπ ύςνπο ΑΓ .
είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ.
371)
380)
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , κε | a | 3
, | | 1 θαη ( a , )
381)
πνπ θαηαζθεπάδεηαη κε πιεπξέο ηα a θαη .
| a || | 1 θαη ( a , )
3 ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ΑΒΓΓ .
373)
β. Να εθθξάζεηε ην σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ
382)
α. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο ην
θαη | a || | 1 . Αλ γηα ηηο πιεπξέο ηξηγώλνπ ΑΒΓ
ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην κε 900 . β. Γηα ηηο ηηκέο ηνπ πνπ βξήθαηε ζην ( α ) εξώηεκα , λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο .
ηζρύνπλ 3 a 4 θαη 12 a 5 , λα βξείηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ θαη ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ .
374)
383)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 1 , 4 , 8
Να δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα a (7 , 11) ,
384)
385)
Να δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα a (2 , 3) ,
(6 , 4) , (4 , 7) ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε (0 , 4) θαη
(2 , 0) . Να ππνινγηζζνύλ ηα δηαλύζκαηα
ηξίγσλν .
ηεο δηακέζνπ , ηνπ ύςνπο θαη ηεο
Να δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα a (5 , 5) ,
Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 2 3 ,
3 , 600 θαη 900 . Να βξεζεί ην | |
νξζνγώλην ηξίγσλν .
δηρνηόκνπ .
(2 , 6) , (3 , 1) ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην
386)
ηξίγσλν.
378)
απνδείμεηε όηη .
(3 , 12) , (4 , 1) ζρεκαηίδνπλ
377)
ηζρύνπλ θαη , λα
ΑΓ πάλσ ζηε ΒΓ .
376)
Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) .
Αλ γηα ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα θαη
θαη 2 , 4 . Να βξεζεί ε πξνβνιή ηεο πιεπξάο
375)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1 , 1 ,
3 , 2 , 2 2 , 3 .
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , κε a
, , όπνπ Ο ε αξρή ησλ ζπληεηαγκέλσλ .
, λα βξείηε ηα κέηξα
α. Να απνδείμεηε όηη .
ηα δηαλύζκαηα 2 a θαη a 2 . Αλ
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 , 1 , 1 ,
6 , 1 θαη 3 , 2 .
Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε πιεπξέο
3 , 4 . Να δείμεηε όηη .
. Να βξείηε ηα κήθε θαη
6 ηελ γσλία ησλ δηαγσλίσλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ
372)
Έζησ 1 , 3 , 1 , 1 , 2 , 2 ,
Γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ
| a | 1 , | | 2 θαη | | 3 . Να δεηρζεί όηη ηα
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα (1 , 7) ,
δηαλύζκαηα 2 a , 3 , δελ κπνξεί λα
(3 , 3) . Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη
ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν .
νξζνγώλην.
- 26 -
διανύσματα 387)
κεφάλαιο 1 397)
Αλ x1 , y1 , x2 , y2 ,
βξεζεί ζεκείν Μ ηνπ άμνλα xx ώζηε ε γσλία
x1 x2 , y1 y2 θαη | | | || | λα
λα είλαη νξζή .
δείμεηε όηη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
398)
ην δηπιαλό ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) νη δηάκεζνη ΒΔ , ΓΕ ηέκλνληαη θάζεηα .
388)
Να δείμεηε όηη νη δηαγώληνη ηνπ ξόκβνπ ηέκλνληαη θάζεηα .
389)
Έζησ ηα ζεκεία 1 , 1 , 4 , 2 . Να
Να βξείηε ην ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο .
Ζ γσλία ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο είλαη εγγεγξακκέλε πνπ βαίλεη ζε εκηθύθιην . Να δεηρζεί
όηη 900 .
399)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 θαη 1 , 4 .
Να βξεζεί ζεκείν Α ηνπ επηπέδνπ ηέηνην , ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Α θαη ηζνζθειέο .
390)
Να δείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δηαγσλίσλ ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ πιεπξώλ ηνπ .
400)
ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία 1 , 3
θαη 3 , 3 όπσο θαίλνληαη ζην δηπιαλό ζρήκα .
391)
Να δεηρζεί όηη ε δηάκεζνο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζα , ηζνύηαη κε ην κηζό ηεο ππνηείλνπζαο .
Να βξείηε ζεκείν Α ηνπ επηπέδνπ ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο θαη νξζνγώλην .
392)
Να δεηρζεί όηη αλ δπν δηάκεζνη ελόο ηξηγώλνπ είλαη ίζεο , ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο .
393)
Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ε δηάκεζνο ΑΓ είλαη θαη δηρνηόκνο , λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο .
394)
Να απνδείμεηε δηαλπζκαηηθά ζε νξζνγώλην
401)
ηξίγσλν ΑΒΓ ( 900 ) όηη ηζρύεη a 2 2 2 .
ην δηπιαλό ζρήκα δίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 , 4 , 1 . Να βξεζεί ζεκείν Μ ηνπ άμνλα
(Πυθαγόρειο Θεώρημα)
395)
xx ώζηε ε γσλία λα είλαη νξζή .
Να δεηρζεί όηη αλ δπν ύςε ελόο ηξηγώλνπ είλαη ίζα , ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο .
396)
Να απνδείμεηε όηη νη δηαγώληνη ηνπ ηεηξαγώλνπ : α. δηρνηνκνύληαη β. ηέκλνληαη θάζεηα γ. είλαη ίζεο δ. δηρνηνκνύλ ηηο γσλίεο ηνπ
- 27 -
διανύσματα 402)
κεφάλαιο 1 410)
Αλ νη δηάκεζνη ΑΓ θαη ΓΔ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 4 θάζεηεο λα δείμεηε όηη . 5
Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 2 θαη 3 , 5 .
Να βξεζεί ζεκείν Μ ηεο επζείαο : y 7 x 23 ώζηε ην ηξίγσλν ΑΜΒ λα είλαη νξζνγώλην ζην Μ .
411)
403)
Αλ ζε ηεηξάπιεπξν ην ηκήκα πνπ ελώλεη ηα κέζα ησλ δύν απέλαληη πιεπξώλ είλαη ίζν κε ην εκηάζξνηζκα ησλ δπν άιισλ λα δείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη ηξαπέδην .
404)
όηη 2 2 2
2
αλ θαη κόλν νη
δηαγώληεο ΑΓ , ΒΓ είλαη θάζεηεο .
412)
Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη , . Να δείμεηε όηη
ην δηπιαλό ζρήκα δίλεηαη ηεηξάπιεπξν
Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ . Να απνδείμεηε
ΑΒΓΓ κε 900 θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ ΒΓ , ΑΓ αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη .
2 .
413)
Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ εγγεγξακκέλν ζε θύθιν κε 2 θαη 2 . Να δείμεηε
όηη 0 .
414)
Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ε ΑΜ είλαη δηάκεζνο θαη ΑΓ ύςνο ηνπ , λα δεηρζεί όηη
2 2 2 . (2ο Θεώρημα Διαμέζου)
415)
405)
ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) θέξνπκε ην ύςνο ΒΓ . Να δεηρζεί όηη
Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) , κε δηάκεζν ΑΓ . Φέξνπκε ηελ θαη Δ ην κέζν ηεο ΓΕ . Να δείμεηε όηη .
| |2 2 | | | | .
406)
Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) , ην ύςνο ηνπ ΑΓ θαη ε θάζεηε ζηελ ΑΓ ζην ζεκείν Α πνπ ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην Δ . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΑΔ λα δεηρζεί όηη .
ην δηπιαλό ζρήκα δίλεηαη ην δηζνξζνγώλην ηξαπέδην
ΑΒΓΓ ( / / ) κε 900 ζην νπνίν
2
| | | | . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΑΒ λα 2
407)
Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ . ηηο πιεπξέο ηνπ ΑΒ θαη ΒΓ παίξλνπκε ζεκεία Δ θαη Ε αληίζηνηρα ώζηε . Να δεηρζεί όηη .
δεηρζεί όηη 900 .
408)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη θέξνπκε ηηο θάζεηεο x θαη y ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα , ζην ζεκείν Α . Παίξλνπκε ζηελ x ηκήκα θαη ζηελ y ηκήκα . Να
δεηρζεί όηη : α. Ζ δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΔΓ είλαη ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . (Θεώρημα Vecten) β. .
409)
416)
Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ ηπραίν ζεκείν ηεο βάζεο ΒΓ . Να δείμεηε όηη
ε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ είλαη
| | 2 | | . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΓΓ , λα
| |2 | |2 | | | | .
δεηρζεί όηη 900 . - 28 -
διανύσματα 417)
κεφάλαιο 1 425)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ ΑΓ ην ύςνο . Να απνδεηρζεί όηη :
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ε δηάκεζόο ηνπ ΑΓ.
Αλ ( ) ( ) , λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . Γίλεηαη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΓ θαη ΒΓ .
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | | 2 | | . Αλ
α. ε θπξηό ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ λα
428)
α. Αλ Α , Β , Γ , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ , λα
δεηρζεί όηη 0 . β. Με ηελ βνήζεηα ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα απνδείμεηε όηη ηα ύςε ελόο ηξηγώλνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην κέζν Μ ηεο δηακέζνπ ΒΓ . Αλ Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 , λα δεηρζεί όηη / / . 2
422)
ηζρύεη 3 , λα απνδείμεηε όηη 900 .
421)
429)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 6 , 1 ,
4 , 5 θαη 2 , 3 . Θεσξνύκε ζεκείν Ρ ηεο
α. Να βξείηε ην δηάλπζκα
β. Να απνδείμεηε όηη ( , )
β.
1
2
1
2
4
.
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ εγγεγξακκέλν ζε θύθιν θαη ΑΓ δηάκεζόο ηνπ . Αλ ΑΔ δηάκεηξνο ηνπ
1
θύθινπ , λα δεηρζεί όηη 2 2 2 .
2
431)
423)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ ΑΜ ε δηάκεζόο ηνπ . Να απνδεηρζεί όηη : 1 α. 2 ( 2 2 2 ) . 4 1 β. Αλ 900 ηόηε | | | | . Πνηα πξόηαζε ηεο 2 Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο είλαη απηή ;
432)
Αλ Ο είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Μ ζεκείν ηνπ ηέηνην , ώζηε
, λα δεηρζεί όηη ην ζεκείν Μ είλαη νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε δηακέζνπο ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ
Αλ γηα ην ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ , ηξηγώλνπ
ΑΒΓ ηζρύεη , λα δεηρζεί όηη ην ζεκείν Μ είλαη νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ .
424)
430)
γ. 2
.
α.
δ.
δηακέζνπ ΑΜ ηέηνην , ώζηε 4 .
Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 900 ) θαη ΑΓ ην ύςνο ηνπ . Να απνδεηρζεί όηη :
Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ ην κέζν ηεο ΑΒ . Αλ Ε ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε λα
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε ζηηο πιεπξέο ηνπ ΒΓ , ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα 1 1 ηέηνηα , ώζηε , , 2 2 1 . Να δεηρζεί όηη ηα ΑΓ , ΒΔ θαη ΓΕ είλαη 2 πιεπξέο ηξηγώλνπ .
2
427)
420)
β. Με ηελ βνήζεηα ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα δηαηππώζεηε κηα ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα είλαη δπν επζείεο θάζεηεο .
2 , λα βξεζεί ε γσλία .
2
Δ κέζν ηεο ΑΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε
απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2 .
ηξαπέδην .
426)
Αλ 2 | || | | | , λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΓΓ είλαη
419)
β. 2 . Αλ 900 , πνηα πξόηαζε ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο είλαη ε (β) ;
418)
α. 2 .
λα απνδεηρζεί όηη 0 . - 29 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1
433)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ γηα ην νπνίν ηζρύεη
440)
Γίλεηαη έλα επζύγξακκν ηκήκα 2a θαη έλα κεηαβιεηό ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ . Αλ Ο είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ , ηόηε :
0 . α. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ . β. Πνηνο είλαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ όηαλ ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο ( ) ;
434)
επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη ,
Γίλνληαη δπν ζηαζεξά ζεκεία Α θαη Β κε
ζεκείσλ Μ γηα ηα νπνία ηζρύεη
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ ην κέζν ηεο ΒΓ . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ γηα ηα
1 . 2
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Μ γηα ην
δηακέηξνπ ΒΓ .
νπνίν ηζρύεη ( ) . Να 2
442)
δεηρζεί όηη ην Μ αλήθεη ζε θύθιν δηακέηξνπ ΑΒ . Έζησ νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο
Oxy θαη ζηαζεξό ζεκείν Α κε | | 3 . Να
443)
2 . β. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό ζεκείν Μ ηνπ παξαπάλσ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ηέηνην , ώζηε
δεηρζεί όηη ην άζξνηζκα | |2 | |2 | |2 , είλαη ζηαζεξό .
2 .
ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία Α θαη Β
Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 900 ) . α. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη
Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ Μ είλαη ηπραίν ζεκείν ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ , λα
θαη έζησ ζεκείν Θ , ώζηε 5 3 2 γηα θάζε ζεκείν Ο ηνπ επηπέδνπ . α. Να βξείηε ηελ ζέζε ηνπ ζεκείνπ Θ . β. Σν γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ
437)
β. 2 .
επηπέδνπ γηα ηα νπνία είλαη ( 2 ) 7 .
α. 2 2 2 2 (όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ) .
βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ
Γίλνληαη ηα ζεκεία a , 0 θαη 0 , 2a
κε a 0 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ έηζη , ώζηε λα ηζρύεη :
444)
Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε | | 4 .
Να απνδείμεηε όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ν ηνπ επηπέδνπ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύεη
5 , είλαη θύθινο κε θέληξν ην κέζν Ο ηνπ ΑΒ . Πνηα είλαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ ;
γηα ηα νπνία ηζρύεη 3 2 0 .
439)
νπνία ηζρύεη 2 2 είλαη θύθινο
438)
.
441)
436)
β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ
| | 1 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ
435)
α. Να απνδείμεηε όηη 2 a 2 .
Μηα νξζή γσλία θνξπθήο 2 , 3
445)
ζηξέθεηαη γύξσ από ην Α ώζηε νη πιεπξέο ηεο λα ηέκλνπλ ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία Β θαη Γ , όπσο ζην δηπιαλό ζρήκα . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΒΓ λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
Να απνδείμεηε όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ
Μ ηνπ επηπέδνπ ώζηε 2009 είλαη επζεία θάζεηε ζηελ ΑΒ ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ηνπ θνξέα ηεο ΑΒ .
446)
Σα δηαλύζκαηα a θαη είλαη κε
ζπγγξακκηθά . Αλ | a | 1 ,
, λα δεηρζεί
όηη ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ πνπ
έρεη a θαη είλαη κηθξόηεξν ή ίζν ηνπ
| | . - 30 -
διανύσματα 447)
κεφάλαιο 1
451)
Θεσξνύκε ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Μ ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ πνπ ελώλνπλ ηα κέζα ησλ απέλαληη πιεπξώλ ηνπ .
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη , .
Αλ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ , λα
απνδείμεηε όηη : 42 | |2 | |2 ( )2 .
448)
452)
| | 6 .
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ ηέηνηα , 1 ώζηε , θαη όπνπ 3 . α. Να απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ γηα λα είλαη 1 . 2 γ. Αλ Μ ηπραίν ζεκείν θαη γηα ηελ ηηκή ηνπ ηνπ (β)
α. Να βξείηε ην . β. Να βξείηε ηελ ζέζε ηνπ ζεκείνπ Θ γηα ην νπνίν
ηζρύεη 2 3 3 0 .
γ. Να απνδείμεηε όηη 2 22 . δ. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη :
2 14 .
449)
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ ην ύςνο ηνπ
Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ ησλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα ηέηνηα , ώζηε 1 3 θαη . Αλ Κ είλαη ην ζεκείν 4 3
. 2 | |
ηνκήο ησλ ΒΔ θαη ΓΓ λα εθθξάζεηε ην σο
β. ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο ( , i , j )
453)
α. Να απνδείμεηε όηη
εξσηήκαηνο λα απνδείμεηε όηη 3 4 7 .
ΑΓ .
. Να απνδείμεηε όηη ην Μ είλαη κέζν ηνπ ΓΕ .
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | || | 5 θαη
Θεσξνύκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε , ώζηε θαη
γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ θαη .
είλαη i 2 j θαη 2 i 2 j . Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
454)
Θεσξνύκε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ , Δ ην κέζν ηεο ΑΒ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 2 . Αλ Μ είλαη ην θνηλό ζεκείν ησλ ΑΓ 3
§5. γενικέσ αςκήςεισ &
θαη ΔΕ , λα απνδείμεηε όηη 2 .
προβλήματα
455)
Γίλνληαη ηα κνλαδηαία θαη θάζεηα
δηαλύζκαηα a θαη . Να βξείηε ηα δηαλύζκαηα
u , v γηα ηα νπνία ηζρύεη :
i. 2 u v a
450)
Έζησ a 0 . Να βξεζεί ην δηάλπζκα x
iii. u / /( a ) .
ζε θάζε πεξίπησζε :
ii. v ( a 4 )
ηε ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην | u v | .
α. ( a x ) x ( x x ) a 0 . β. a ( x ) x x ( a x ) 0 , κε 2 a 0 .
456)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 1 , 2 ,
3 , 0 θαη 5 , 4 . Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία
ηζρύεη | || 2 | . - 31 -
διανύσματα
κεφάλαιο 1 463)
( a ) x y 0 Γίλεηαη ην ζύζηεκα : , x y 0 όπνπ a , , κε 0 .
457)
ώζηε | a || | 1 θαη a κε 0 , . 2
α. Να απνδείμεηε όηη ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο αλ θαη κόλν εάλ 2 a 2 0 . β. Έζησ x1 , y1 θαη x2 , y2 κε κεδεληθέο ιύζεηο ηνπ
2 v
2
v ( x2 , y2 ) .
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα
2
όπνπ ,
, λα απνδείμεηε
460)
Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 900 ) . Φέξνπκε ην ύςνο ΑΓ θαη ηελ δηάκεζν ΑΜ ηνπ
α. Σα θαη δηαηεξνύλ ζηαζεξή δηεύζπλζε γηα νπνηαδήπνηε ζέζε ησλ Δ , Ε , Ζ , Θ πνπ δελ ηα κεδελίδεη ( Δ , Ο , Ζ κε ζπλεπζεηαθά , Ε , Ο , Θ κε ζπλεπζεηαθά) .
όηη ην ζεκείν Μ είλαη κέζν ηεο ΒΓ .
f ( a ) | a | αλ θαη κόλν εάλ a .
Έζησ ΑΒΓΓ παξαιιειόγξακκν θαη Δ , Ε , Ζ , Θ ζεκεία ζηηο ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΑ αληίζηνηρα . Αλ Ο ην θέληξν ηνπ , λα δεηρζεί όηη :
ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηζρύνπλ θαη
β.
465)
Αλ γηα ην ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ ελόο
αλ θαη κόλν εάλ a / / .
f ( x) 0 γηα θάπνην x
γ. Αλ ( a , )
. Να απνδείμεηε όηη :
α.
ηελ γσλία ( u , v ) .
1 , ηόηε f | a | | | . 2 Πόηε ηζρύεη ην ίζνλ ;
δηαλπζκάησλ u θαη v λα γίλνληαη ειάρηζηα . β. Γηα ηηκέο ησλ , ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα βξείηε
Έζησ a , κε κεδεληθά δηαλύζκαηα θαη
v a όπνπ , . α. Να πξνζδηνξίζεηε ηα , ώζηε ηα κέηξα ησλ
β. 0 αλ θαη κόλν εάλ ΑΒΓΓ νξζνγώλην .
ηξηγώλνπ . Αλ , θαη Δ , Ε ζεκεία ησλ ΑΒ , ΑΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη
466)
Σα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v είλαη
θάζεηα θαη ηζρύεη (1 ) u v u v ,
.
f ( f (3x)) f ( f (1999)) 0 .
|a|| | ώζηε | x a ( x 1) | , γηα θάζε x 2
.
α. Να ππνινγηζηεί ην . β. Αλ f ( x) , λα απνδεηρζεί όηη
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηέηνηα ,
.
467)
Nα απνδείμεηε όηη a 0 .
f ( x) | a x | , x
Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα u a θαη
462)
( a ) , λα απνδείμεηε όηη | u || v | θαη
464)
461)
2
uv .
νπνία ηζρύεη | a | 2 , | | 1 θαη a 1 .
( a ) θαη
1
459)
1
β. Γηα ηα δηαλύζκαηα u
είλαη θάζεηα ηα δηαλύζκαηα u ( x1 , y1 ) θαη
α. Να απνδείμεηε όηη ηα a , δελ είλαη ζπγγξακκηθά .
ζπζηήκαηνο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δπν δηαθνξεηηθέο ηηκέο 1 θαη 2 ηνπ 1 αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη
458)
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηέηνηα ,
Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a ,
, u , v γηα ηα νπνία ηζρύνπλ u | u | | v | a θαη
Έζησ ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ ,
κε
. Να απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ Δ 2 ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΟΑΓΒ είλαη
v | u | | v | . Να απνδείμεηε όηη :
α.
| u | | v | | a | | | .
β. u a v 2( a )(| a | | |) .
| ( ) | | |2 | |2 ( ) 2 .
- 32 -
διανύσματα 468)
κεφάλαιο 1 473)
Γίλνληαη ηα ζεκεία , , , a ,
Σν δηπιαλό ζρήκα παξηζηάλεη έλα νδηθό δίθηπν θαη γλσξίδνπκε ηηο απνζηάζεηο ΟΑ = 3 Km , ΑΓ = 4,5 Km , ΟΒ = 4 Km θαη ΒΓ = 2 Km . Να πξνζδηνξίζεηε ηε ζέζε ηνπ ζεκείνπ ζην νπνίν δηαζηαπξώλνληαη νη δξόκνη ΑΒ θαη ΓΓ .
, a πνπ είλαη θνξπθέο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ. Να απνδείμεηε όηη : α. 2 3 |a | β. | | 2 a x 0 έρεη εθηόο ηεο κεδεληθήο γ. Ζ εμίζσζε x 2 ξίδαο θαη άιιε ξίδα πνπ είλαη άξξεηνο αξηζκόο .
469) x
Έζησ a 0 θαη f ( x) | x a (1 x) | , . Να απνδείμεηε όηη :
α. f (0) 0 θαη f (1) 1 θαη όηη f (0) f (1) | a || | . |a| | | | a || | . f β. f | a | | | | a | | | 1 γ. Αλ x θαη f (1 x) f ( x) , ηόηε | a || | . 2
δ. Αλ g ( x) | x a (1 x) | , x
474)
Σέζζεξηο επζύγξακκνη δξόκνη δ1 , δ2 , δ3 θαη δ4 δηαζηαπξώλνληαη αλά δύν ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα . Αλ
, δείμηε όηη αλ
Αλ Ο ζεκείν ζην επίπεδν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
471)
γ. Πνηα ζπλζήθε πξέπεη λα πιεξνύλ ηα κέηξα ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ ώζηε ηα
δηαλύζκαηα θαη λα ζρεκαηίδνπλ γσλία : i. νμεία , ii. νξζή , iii. ακβιεία ;
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη a , | a || | ,
, | || | πνπ ε θνξά ηνπο είλαη πξνο
ην εμσηεξηθό κέξνο ηνπ ηξηγώλνπ θαη a 0 Να δείμεηε όηη :
α. a
β.
β. | | | | | |2 .
δ. Να εθθξάζεηε , σο ζπλάξηεζε ησλ , v , a , ηηο δηαλπζκαηηθέο αθηίλεο ηνπ κέζνπ Κ ηνπ επζύγξακκνπ δξόκνπ ΔΕ κε ζεκείν αλαθνξάο ην Ε. ε. Να εμεηάζεηε αλ ν δξόκνο ΘΖΚ είλαη επζύγξακκνο.
ηνπο νπνίνπο ηζρύεη θαη v .
α. .
β. Να εθθξάζεηε , σο ζπλάξηεζε ησλ , , a , ηηο δηαλπζκαηηθέο αθηίλεο ησλ κέζσλ Ζ θαη Θ ησλ επζύγξακκσλ δξόκσλ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα κε ζεκείν αλαθνξάο ην Ε. γ. Να βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο θαη v γηα
Γίλεηαη ηξαπέδην 900 θαη νλνκάδνπκε Μ ην κέζν ηνπ ΑΒ . Να δείμεηε όηη :
λα απνδείμεηε όηη .
472)
έηζη , ώζηε λα ηζρύεη a θαη . Δπίζεο
ώζηε , όπνπ Μ , Κ , Λ κέζα ησλ ΑΒ , ΓΒ , ΓΑ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ην Ο είλαη πεξίθεληξν ηνπ ΑΒΓ .
α. Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ ζεηηθνί αξηζκνί ι θαη κ
f ( x) g ( x) γηα θάπνην x 0 , 1 ηόηε a .
470)
ζέζνπκε a θαη , ηόηε :
γ. | || | .
- 33 -
η ευθεία στο επίπεδο Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος Μαθηματικός
2015-2016
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2 6)
§1. εξίςωςη ευθείασ
Γίλεηαη ε επζεία 1 : y 2 x 3 . α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 2 ε νπνία είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 1 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν
1 , 1 .
β. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 3 ε νπνία είλαη παξάιιειε κε ηελ 1 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν
2 , 3 .
7)
1)
a θαη ε επζεία : x 2 y 1 0 . Λα βξείηε ην a ώζηε ε επζεία ΑΒ λα είλαη : α. παξάιιειε ζηελ , β. θάζεηε ζηελ .
Λα βξείηε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο : α. ηεο επζείαο 1 ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία
2 , 3 θαη 2 , 1 ,
β. ηεο επζείαο 2 ε νπνία ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία 2 , 0 θαη 0 , 3 ,
8)
Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο : α. ηεο επζείαο 1 πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία
γ. ηεο επζείαο 3 πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2
: y 2 x 2 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 4 , β. ηεο επζείαο 2 πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία
θαη είλαη παξάιιειε κε ηελ 2 .
2)
3 , 3 θαη 1 , 5 ,
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 2 , 3 θαη :
γ. ηεο επζείαο 3 πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν
α. είλαη παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα 1 , 1 ,
1 2 , θαη ζρεκαηίδεη γσλία 45ν κε ηνλ άμνλα xx . 2
β. ζρεκαηίδεη γσλία 45ν κε ηνλ άμνλα xx , 1 γ. είλαη θάζεηε ζηελ επζεία y x 3 . 2
3)
9)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο : α. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 13 θαη έρεη
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 1 , 2 θαη :
3 , 4 β. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 θαη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο
α. είλαη παξάιιειε ζηελ δηρνηόκν ηεο 1εο γσλίαο ησλ αμόλσλ , β. ζρεκαηίδεη γσλία 135ν κε ηνλ άμνλα xx , γ. είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 2 x y 2009 0 .
4)
, 3 γ. πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 5 , 2 θαη 4 , 7 . ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα xx γσλία
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 1 , 5 θαη :
10)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο : α. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 , 3 θαη είλαη
α. είλαη παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα 2 , 4 ,
παξάιιειε πξνο ηελ επζεία 2 x y 5 0 , β. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 0 θαη είλαη
β. είλαη παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα 0 , 3 , γ. ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα xx γσλία
θάζεηε πξνο ηελ επζεία y 2 3( x 1) ,
3 . 4
γ. πνπ ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία 2 , 0 θαη
0 , 5 .
5)
Λα βξείηε ηελ γσλία ηελ νπνία ζρεκαηίδνπλ κε ηνλ άμνλα xx νη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ηα ζεκεία : α. 3 , 2 , 1 , 4 β. 1 , 5 , 2 , 6
γ. 1 , 0 , 2 , 3
δ.
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 1 θαη a , 3a , όπνπ
3 , 3 , 0 , 4 - 35 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
11)
17)
Έζησ ε επζεία : y ax , a 0 . α. Λα βξεζνύλ ηα a , ώζηε ε λα δηέξρεηαη
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία a( ) , a θαη
από ηα ζεκεία 4 , 3 θαη 2 , 5 .
a , a( ) .
β. Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ην ζεκείν 3 , 2 1 λα αλήθεη ζηελ .
12)
18)
19)
β. Λα βξείηε : i. ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 1 , 5 ,
Λα βξείηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ 3 , 6 σο πξνο
ηελ επζεία : y
20)
ii. ηελ εμίζσζε ηεο θάζεηεο ζηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην Θ .
1 x 1 . 4
Γίλεηαη ε επζεία : 2 x 3 y 1 0 θαη ην ζεκείν
1 , 3 . Λα βξεζεί ην ζπκκεηξηθό Β ηνπ Α κε
άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ .
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x 2 y 3 0 θαη
2 : 2 x 3 y 1 0 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο
21)
επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 θαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ κε
2 , 3 θαη 4 , 1 .
Γίλεηαη ε επζεία : x y 1 0 θαη ην ζεκείν
2 , 1 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο :
α. ηεο πξνβνιήο ηνπ Κ πάλσ ζηελ επζεία , β. ηνπ ζπκκεηξηθνύ ηνπ Κ σο πξνο ηελ επζεία .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 5 θαη 4 , 3 . Λα
22)
βξείηε : α. ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒ , β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνπο άμνλεο , γ. ηελ γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε ΑΒ κε ηνλ άμνλα xx .
15)
3,5
θαη ζρεκαηίδεη γσλία 60 κε ηνλ άμνλα xx . α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο . β. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ζπκκεηξηθήο ηεο επζείαο 1 σο πξνο ηνλ άμνλα xx .
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 x y 2 0 θαη 2 : x 5 y 23 0 .
ζην δηάλπζκα 2 , 2 .
14)
ν
α. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 θαη είλαη παξάιιειε
13)
Ζ επζεία δηέξρεηαη από ην ζεκείν
Γίλεηαη ην ζεκείν 6 , 4 θαη ε επζεία
: 4 x 5 y 3 0 . Λα βξείηε : α. ηελ πξνβνιή ηνπ Κ πάλσ ζηελ επζεία , β. ην ζπκκεηξηθό ηνπ Κ σο πξνο ηελ επζεία .
23)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 1 θαη 5 , 2 . Λα
βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 1 πνπ δηέξρεηαη
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 x y 2 0 ,
2 : x y 2 0 θαη 3 : 2 x y 7 0 . Λα βξεζεί ζεκείν Α ηεο 1 ώζηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ σο πξνο ηελ 2 λα αλήθεη ζηελ 3 .
από ηα ζεκεία απηά . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 2 πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία
3 1 3 , , 6 , . Λα δείμεηε όηη ε 1 2 2 είλαη θάζεηε ζηελ 2 .
24)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 x y 1 0 θαη 2 : 3x 2 y 3 0 . Λα βξεζεί ε ζπκκεηξηθή επζεία ηεο 1 κε άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ 2 .
16)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία : 1 1 α. , 0 θαη 0 , a
25)
a β. , 0 θαη 0 , a
26)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 3 θαη 3 , 7 . Λα
βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνθάζεηεο ηνπ ΑΒ . Λα βξείηε ην ζεκείν ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 1 θαη 4 , 3 κε ζπληεηαγκέλεο ίζεο .
- 36 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
27)
36)
Σα ζεκεία ηνκήο ηεο επζείαο κε ηηο επζείεο 1 : y 3x 3 θαη 2 : y 3x 3 είλαη ηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Αλ ε επζεία δηέξρεηαη από 3 3 ην ζεκείν , , λα βξεζεί ε εμίζσζή ηεο 2 2
Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία ησλ επζεηώλ α. 1 : 3x y 1 0 θαη 2 : 2 x y 5 0 β. 1 : x 1 0 θαη 2 : 3x y 2 0
37)
Λα βξείηε κηα από ηηο γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 : 3x 2 y 4 0 θαη 2 : x 5 y 3 0
ώζηε ην Κ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ .
28)
38)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 , 1 θαη ηέκλεη ηηο
1 Γίλνληαη ηα ζεκεία , θαη 1 , v . v α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα Κ θαη Λ . β. Αλ ε ΚΛ ηέκλεη ηνπο άμνλεο xx θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη 2 2 2 1 ( )2 . 2 2
επζείεο 1 : x 3 y 10 0 θαη 2 : 2 x y 8 0 ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα , ώζηε ην Κ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ .
29)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 4 θαη ηέκλεη ηηο επζείεο 1 : x y 4 θαη 2 : y 2 x 3 ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα , ώζηε ην Κ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ .
30)
39)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x y 1 0 θαη
. α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα Α θαη Β . β. Αλ ε επζεία απηή ηέκλεη ηνπο άμνλεο xx θαη y y
2 : x 3 y 4 0 θαη ην 4 , 3 . Λα βξεζεί
ζεκείν Β ηεο 1 ώζηε ε 2 λα δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ ΑΒ .
ζηα Γ θαη Γ αληίζηνηρα λα δείμηε όηη ΓΑ = ΓΒ.
31)
Ζ επζεία ηέκλεη ηελ 1 : y 2 x 2 ζην ζεκείν Α θαη ηελ 2 : y 2 x 2 ζην Β . Αλ ε
40)
Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη ηέκλνπλ
επζεία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 2 ην
ηηο επζείεο 1 : x y 1 θαη 2 : x y 3 ζηα
νπνίν είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ , λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο .
ζεκεία Α θαη Β , ηέηνηα ώζηε () 4 .
41)
32)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη 1 θάζεηε ζηελ επζεία 1 : y x 5 θαη ηέκλεη 3 ηνπο άμνλεο xx θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β
Λα βξείηε ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζπκκεηξηθό ηνπ 1 , 2 σο πξνο ηελ επζεία
x y 2 0 θαη είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία : 2 x y 1 0 .
33)
αληίζηνηρα έηζη ώζηε ην άζξνηζκα ηεο ηεηκεκέλεο ηνπ Α θαη ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Β λα είλαη ίζν κε 6.
Γίλνληαη νη παξάιιειεο επζείεο
1 : 2 x y 8 0 θαη 2 : 4 x 2 y 8 0 . Λα
42)
βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειήο ηνπο .
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία y 2 x 5 θαη ηέκλεη ηνπο άμνλεο xx θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β έηζη
34)
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ παξαιιήισλ επζεηώλ 1 : 3 y x 4 θαη
, ώζηε ε δηαθνξά ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Β από ηελ ηεηκεκέλε ηνπ Α λα είλαη ίζε κε 5 .
2 : 3y x 5 .
35)
1 1 Γίλνληαη ηα ζεκεία , a θαη , a
43)
Λα ππνινγηζηεί ε γσλία ησλ επζεηώλ
1 : x 5 y 2 0 θαη 2 : 2 x 3 y 1 0 .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , 2 , 3 , 3 θαη ε
επζεία : x y 4 0 . Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ
ηεο γηα ηα νπνία είλαη - 37 -
4
.
η ευθεία στο επίπεδο 44)
κεφάλαιο 2
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 4 , 5 , 1 , 2 θαη
3 , a , a
53)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 1 θαη ζρεκαηίδεη
. Λα βξεζεί ην a ώζηε 900
.
45)
κε ηηο επζείεο 1 : 2 x y 5 0 θαη 2 : 3x 6 y 1 0 ηζνζθειέο ηξίγσλν .
Γίλνληαη νη θνξπθέο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ 3 , 1 , 4 , 4 θαη 6 , 0 .
54)
Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ θαη ΒΓ είλαη ηα ζεκεία 1 , 3 , 2 , 4 θαη 3 , 6
α. Λα δείμεηε όηη 900 . β. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
46)
αληίζηνηρα . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 1 , 0 , 2 θαη
55)
1 , 0 .
Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ θαη ΒΓ είλαη ηα ζεκεία 3 , 4 , 1 , 4 θαη 7 , 2
α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ θαη ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο : i. ηνπ ύςνπο ΓΔ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ii. ηεο δηακέζνπ ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . γ. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ .
47)
αληίζηνηρα . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ .
56)
Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ θαη ηεο δηακέζνπ ΑΚ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε 3 , 2 , 4 , 3 θαη 1 , 5 .
Σα ζεκεία 2 , 5 , 0 , 1 θαη 2 , 5
57)
είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . α. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . β. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ κεζνθαζέησλ ηνπ .
48)
0 , 1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην . β. Λα βξείηε ηα , ώζηε ε επζεία ΑΒ λα
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 1 , 2 , 1 θαη
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία , θαη 2 , .
4 , 2 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε :
58)
α. ηεο δηακέζνπ ΑΓ , β. ηνπ ύςνπο ΒΔ , γ. ηεο κεζνθάζεηεο ηεο πιεπξάο ΑΒ .
49)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 3 , 2 , 5 θαη
Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαζώο θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ , αλ ην ύςνο πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Β έρεη εμίζσζε y 2 x 1 θαη ην ύςνο
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 1 , 1 , 1 , 3 θαη 2 , 4 . Λα βξείηε :
πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Γ έρεη εμίζσζε 3 y x 13 . Γίλεηαη ε θνξπθή 2 , 4 .
α. ηελ εμίζσζε ηνπ ύςνπο ηνπ ηξηγώλνπ από ηελ θνξπθή Α , β. ηελ εμίζσζε ηεο δηακέζνπ ηνπ ηξηγώλνπ από ηελ θνξπθή Β , γ. ην ζεκείν ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ .
59)
Σν ύςνο πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή β ηξηγώλνπ ΑΒΓ έρεη εμίζσζε y 2 x 5 , ελώ ην ύςνο πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Γ έρεη εμίζσζε 2 y 2 x 1 . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο
50)
ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ θαη νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ αλ γλσξίδνπκε όηη ε θνξπθή 1 , 3 .
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 2 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν .
60)
51)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 θαη ζρεκαηίδεη
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1 , 2 . Αλ νη επζείεο
1 : x y 2 0 θαη 2 : 3x y 5 0 , είλαη κεζνθάζεηεο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα , λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ .
κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν .
52)
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 1 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν . - 38 -
η ευθεία στο επίπεδο 61)
κεφάλαιο 2 69)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1 , 2 . Αλ νη επζείεο
1 : x y 2 0 θαη 2 : 3x y 5 0 , είλαη
δηάκεζνη ΒΔ θαη ΓΕ έρνπλ εμηζώζεηο 1 : x 4 y 3 0 θαη 2 : 4 x 5 y 23 0 αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ .
κεζνθάζεηεο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα , λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ .
62)
70)
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δπν ύςε ηνπ έρνπλ εμηζώζεηο
Λα Βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε θνξπθή 3 , 1 αλ
1 : 2 x 11y 5 0 θαη 2 : 5x 6 y 16 0 . Αλ ε
θνξπθή Α έρεη ζπληεηαγκέλεο 2 , 5 , λα
1 : x 2 y 1 0 θαη 2 : y 1 είλαη νη εμηζώζεηο
βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
63)
δπν δηακέζσλ ηνπ .
71)
Γίλεηαη ε θνξπθή 2 , 1 ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ
Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηνπ νπνίνπ ε θνξπθή Α είλαη ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή 2 , 1 θαη δπν
θαη έζησ όηη νη επζείεο πάλσ ζηηο νπνίεο βξίζθνληαη δπν ύςε ηνπ έρνπλ εμηζώζεηο 1 : 3x y 11 0 θαη 2 : x y 3 0 . Λα βξείηε
εμηζώζεηο εζσηεξηθώλ δηρνηόκσλ ηνπ 1 : x 2 y 12 θαη 2 : x y 3 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ .
ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ Β θαη Γ .
64)
72)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1 , 3 θαη έζησ
Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ αλ 4 , 1 θαη 1 : x 1 0 ,
1 : 3x y 2 0 , 2 : 2 x y 7 0 νη εμηζώζεηο
2 : x y 1 0 , όπνπ 1 , 2 δηρνηόκνη .
δπν πςώλ ηνπ ηξηγώλνπ . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ .
65)
73)
ε ηξίγσλν ΑΒΓ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΒ θαη ΑΓ είλαη 1 : 2 x y 7 0 θαη
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή 2 , 1 θαη
δπν εμηζώζεηο εζσηεξηθώλ δηρνηόκσλ ηνπ 1 : x 2 y 12 θαη 2 : x y 3 . Λα βξεζνύλ νη
2 : 3x y 3 αληίζηνηρα . Γίλεηαη αθόκε ε δηρνηόκνο ΓΖ κε εμίζσζε 1 : x y 9 . Λα βξεζνύλ νη θνξπθέο ηνπ .
ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ .
66)
74)
Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε θνξπθή 1 , 2 , δηρνηόκνο
Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε 2 , 7 αλ 3x y 11 0 θαη
ΒΔ κε εμίζσζε 1 : x y 6 θαη ύςνο ΓΕ κε
x 2 y 7 0 είλαη αληίζηνηρα νη εμηζώζεηο ελόο
εμίζσζε 2 : x 2 y 3 0 .
67)
ύςνπο θαη κηαο δηακέζνπ πνπ θέξνληαη από δηαθνξεηηθέο θνξπθέο .
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή ηνπ 2 , 3
75)
, ην ύςνο ηνπ ΓΓ κε εμίζσζε 1 : 3x 4 y 3 0
Έζησ : 3x y 12 0 , : 2 x 5 y 25 0 νη
εμηζώζεηο ηνπ ύςνπο θαη ηεο δηακέζνπ αληίζηνηρα ηξηγώλνπ ΑΒΓ πνπ θέξνληαη από ηελ ίδηα θνξπθή ηνπ θαη 1 , 4 . Λα βξείηε ηηο
θαη ε δηάκεζόο ηνπ ΒΚ κε εμίζσζε 2 : 5x 9 y 16 0 . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ ύςνπο ΒΔ θαη ηεο δηακέζνπ ΓΛ .
68)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 5 ηνπ νπνίνπ νη
ζπληεηαγκέλεο ησλ άιισλ θνξπθώλ ηνπ . Γίλεηαη ε θνξπθή 2 , 1 ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ,
76)
: y 4 0 ε εμίζσζε ηνπ ύςνπο ΒΓ θαη ε εμίζσζε : 3x 5 y 4 0 ε εμίζσζε ηεο
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1 , 4 θαη έζησ
: x y 1 , : y 6 νη εμηζώζεηο ελόο ύςνπο θαη κηαο δηακέζνπ αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ .
δηακέζνπ ΓΚ . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ .
77)
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλνληαη νη θνξπθέο ηνπ 1 , 2 , 2 , 3 θαη 3 , 2 . Λα βξεζεί ην
ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ επζεία ΑΒ . - 39 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2 87)
78)
Οη κεζνθάζεηεο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ ελόο ηξηγώλνπ έρνπλ εμηζώζεηο 1 :12 x 4 y 11 0
ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Γ θαζώο θαη ηηο εμηζώζεηο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ .
θαη 2 : 2 x 4 y 1 0 αληίζηνηρα . Λα βξεζνύλ νη
πιεπξέο ηνπ αλ 1 , 1 είλαη ε κηα θνξπθή ηνπ .
79)
88)
α. Λα δείμεηε όηη ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ .
εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
89)
Οη δπν πιεπξέο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ έρνπλ εμηζώζεηο 1 : 2 x y 1 0 θαη
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλνληαη νη θνξπθέο ηνπ 1 , 2 θαη 4 , 1 . Αλ ην νξζόθεληξν ηνπ
2 : 8x 3 y 1 0 , ελώ κηα δηαγώληόο ηνπ έρεη εμίζσζε : 3x 2 y 3 0 . Λα βξεζνύλ νη
είλαη ην ζεκείν 3 , 5 , λα βξεζνύλ νη
θνξπθέο ηνπ .
εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
81)
90)
Παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ έρεη ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ ζηηο επζείεο 1 : 3 y x 11 θαη
Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθή 3 , 1 ,
νξζόθεληξν 6 , 2 θαη ε εμίζσζε κεζνθάζεηεο
2 : x y 5 αληίζηνηρα . Αλ ην θέληξν ηνπ είλαη
ηεο ΑΒ ηελ επζεία x 3 y 26 0 . Λα βξεζνύλ
ην ζεκείν 1 , 1 , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο
νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
82)
ησλ άιισλ πιεπξώλ ηνπ .
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 1 θαη
91)
Λα βξεζνύλ νη πιεπξέο ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ ηνπ νπνίνπ δίλνληαη νη θνξπθέο 2 , 0 θαη
: x 4 y 16 0 ε εμίζσζε ηεο κεζνθάζεηεο ηεο πιεπξάο ΑΒ . Αλ 4 , 1 είλαη ην νξζόθεληξό
5 , 1 .
ηνπ , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ.
83)
92)
11 Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 , 3 , , 2 13 7 9 , θαη , 0 . 2 2 2 α. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία απηά ζρεκαηίδνπλ ηεηξάγσλν . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ .
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλνληαη 10 , 2 , 6 , 4
θαη 5 , 2 ην νξζόθεληξν . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Γ .
84)
Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο 2 , 1 , 5 , 4 .
Αλ 3 , 6 είλαη ην έγθεληξό ηνπ , λα βξεζνύλ νη
93)
εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
85)
Οη θνξπθέο Β θαη Γ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ έρνπλ ζπληεηαγκέλεο 1 , 3 θαη 3 , 1 αληίζηνηρα .
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 6 , 1 , 2 θαη
Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
5 , 4 . Λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα
94)
Σεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ κηα πιεπξά ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία : x 2 y 12 0 , ην θέληξν ηνπ
ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ.
86)
είλαη ην ζεκείν 1 , 1 θαη κηα θνξπθή ηνπ
Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 3 , 2 , 1 θαη
είλαη ε 4 , 8 . Λα βξεζνύλ νη άιιεο θνξπθέο
2 , 3 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ θαη λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ύςνπο ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 , 6 , 6 ,
7 , 1 θαη 3 , 2 .
Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) κε 2 , 2 θαη 1 , 3 . Αλ ε εμίζσζε ηνπ
ύςνπο ΑΓ είλαη 2 x y 6 0 , λα βξεζνύλ νη
80)
Γίλεηαη ην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 2 , 3 , 3 , 2 θαη 3 , 1 . Λα βξείηε ηηο
ηνπ . ηνπ
- 40 -
η ευθεία στο επίπεδο 95)
κεφάλαιο 2 103)
Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε θέληξν ην ζεκείν 1 , 2 ηνπ νπνίνπ νη δπν πιεπξέο
Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη ()2 ()2 5 , όπνπ 2 , 3 θαη 1 , 4
βξίζθνληαη ζηηο επζείεο 1 : 2 x y 6 0 θαη 2 : x 2 y 12 0 . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ
104)
επζεηώλ πάλσ ζηηο νπνίεο βξίζθνληαη νη άιιεο δπν πιεπξέο ηνπ .
2 : ( ) x ( ) y 1 0 , 3 : x y 2 , 4 : 2 x y , 0 , 2
96)
Γίλεηαη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 1 , 1 , 11 , 6 , 6 , 6 θαη 4 , 5
πεξλνύλ από ην ίδην ζεκείν . Λα βξεζεί πνηα γξακκή δηαγξάθεη ην ζεκείν , , όπνπ
α. Λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην. β. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο δηακέζνπ ηνπ .
97)
,
Γίλεηαη όηη ην ζεκείν 0 , 4 είλαη θνξπθή
105)
ξόκβνπ . Αλ κηα δηαγώληνο ηνπ ξόκβνπ βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία 1 : x 3 y 2 0 θαη δπν
Γίλνληαη ηα ζεκεία a , , 0 , 0 θαη
α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Αλ Ο είλαη ην θέληξν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Ο. γ. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία x , y ηνπ επηπέδνπ
98)
Οη δηαγώληεο ελόο ξόκβνπ έρνπλ κήθε 4 θαη 6 αληίζηνηρα θαη βξίζθνληαη ζηνπο άμνλεο xx θαη y y . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 2 2 2 αλήθνπλ ζε επζεία πνπ είλαη θάζεηε ζηελ δηάκεζν ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Ο .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 1 θαη 2 , 4 .
Αλ έλα ζεκείν x , y είλαη ηέηνην ώζηε
§2. γενική
900 λα δείμεηε όηη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Κ επαιεζεύνπλ ηελ εμίζσζε x2 y 2 3 y 8 0 .
100)
.
, 0 κε 0 .
πιεπξέο ηνπ είλαη παξάιιειεο πξνο ηελ επζεία 2 : y x 0 , λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ .
99)
Οη επζείεο 1 : ( ) x ( ) y 1 0 ,
μορφή
Γίλεηαη ε επζεία : x y 3 θαη ηα ζεκεία
εξίςωςησ ευθείασ
1 , 1 θαη 4 , 7 . Λα βξεζεί ζηελ ζεκείν
Κ ώζηε ην άζξνηζκα () () λα είλαη ειάρηζην .
101)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 , 2 , 3 θαη
ε επζεία : x 2 y 4 0 . Λα βξείηε ζεκείν Κ
106)
ηεο ώζηε ην άζξνηζκα ησλ απνζηάζεσλ ηνπ Κ από ηα Α θαη Β λα είλαη ειάρηζην . Πνην είλαη ην ειάρηζην απηό ;
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 1 πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία απηά . Αλ ην ζεκείν 5 , 4 αλήθεη ζε κηα επζεία 2 πνπ είλαη
102)
Γίλεηαη επζεία κε ζπληεηαγκέλεο επί ηελ αξρή a θαη . Σπραίν ζεκείν Ρ ηεο
θάζεηε ζηελ 1 , λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο 2 .
πξνβάιιεηαη ζηα ζεκεία Α΄ θαη Β΄ ησλ αμόλσλ xx θαη y y αληίζηνηρα . Λα βξεζεί ν
107)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 2 x y 4 0 θαη 2 : 3x 8 y 7 0 θαη από
γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Κ ηεο Α΄Β΄ γηα
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 2 θαη 1 , 5 .
ηα νπνία ηζρύεη 2 .
ην ζεκείν 1 , 4 .
- 41 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
108)
118)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 1 θαη είλαη
109)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 , 2 θαη ηέκλεη ηηο
Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία ησλ επζεηώλ
120)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο 1 πνπ
δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 2 θαη
( 2 , 2 )
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x y 1 0 θαη
2 : x 3 y 2 0 θαζώο θαη ην ζεκείν 3 , 2 .
4
, όπνπ 2 : 2 x 4 y 5 0 .
121)
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη x y 1 ζην ζεκείν θάζεηε ζηελ επζεία : a a όπνπ ε ηέκλεη ηνλ άμνλα xx .
Λα βξείηε ζεκείν Β ηεο 1 ηέηνην ώζηε ε 2 λα δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ ΑΒ .
111)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 2 x 3 y 3 0 θαη 2 : x 4 y 9 0 θαη είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 3 : x 2 y 1 0 .
122)
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ην y ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : x 1 θαη a x 2 : y 1 ην νπνίν δελ βξίζθεηαη πάλσ a ζηνπο άμνλεο xx θαη y y .
112)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ 1 : x 3 y 6 0 θαη
2 : 3x 9 y 28 0 .
123)
Γίλεηαη ε επζεία : x 2 y 4 0 θαη ην
ζεκείν 4 , 4 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο
ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη 2 , 6 . Ζ εμίζσζε
ηνπ ύςνπο ΑΓ είλαη x 2 y 2 0 θαη ε δηάκεζνο ΓΕ έρεη εμίζσζε x y 2 0 . Λα βξείηε ηηο
ηεο πξνβνιήο ηνπ Α ζηελ επζεία .
ζπληεηαγκέλεο ησλ άιισλ θνξπθώλ ηνπ .
114)
Λα βξείηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείνπ 5 , 4 σο πξνο ηελ επζεία : 2 x 3 y 9 0 .
124)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 3 , 4 , 7 ,
2 , 2 ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα
Λα δείμεηε όηη νη επζείεο 1 : 2 x y 3 ,
βξεζνύλ νη εμηζώζεηο όισλ ησλ πιεπξώλ ηνπ , θαζώο θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Γ .
2 : 5x 3 y 2 θαη 3 :11x 4 y 7 δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
116)
119)
1 : 3x 4 y 1 0 θαη 2 : x 7 y 5 0 .
επζείεο 1 : 2 x y 1 0 θαη 2 : 4 x y 3 0 ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα ώζηε ην Κ λα είλαη κέζν ηνπ ΑΒ .
115)
2 : x 2y 2 0 .
ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ ;
113)
1 : 1 2 x 1 2 y 1 0 θαη
θάζεηε ζηελ επζεία 2 x y 10 0 . Πνην είλαη
110)
Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία ησλ επζεηώλ
125)
Οη δπν πιεπξέο ελόο νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ έρνπλ εμηζώζεηο x y 1 θαη
Λα δείμεηε όηη νη επζείεο 1 : 2 x 5 y 20 0
, 2 : x 3 y 11 0 θαη 3 : x 2 y 9 0
y x 3 θαη κηα θνξπθή ηνπ 3 , 2 . Λα
δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
βξείηε ηηο άιιεο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ .
117)
126)
Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 : 3x y 1 0 θαη
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηέκλεη ηηο επζείεο 1 : x y 2 0 θαη 2 : x y 4 0
2 : 2x 2 3 y 1 0 .
ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα ώζηε | | 2 .
- 42 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
127)
136)
Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 : 3 y 3x 1 θαη
2 : 1 x 1 y 4 ,
Λα απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο ηεο κνξθήο 2a2 a 1 x a2 3a 1 y a2 2a 2 0 ,
.
a
128)
Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 2 : 1 x 1 y 5 0 θαη
1 : x y 3 0 ,
137)
129)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x 2 y 7 0 θαη 2 : 4 x 5 y 6 0 . Λα βξεζεί ε επζεία : 2 x 3 y 4 0 , πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 θαη 2 . Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 a a 2 x a2 a 2 y a2 1 0 , a
Γίλεηαη ε εμίζσζε 3 x 1 y 5
, . α. Λα δεηρζεί όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε γηα θάζε παξηζηάλεη επζεία . β. Λα δεηρζεί όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ , όιεο νη επζείεο πεξλνύλ από ζηαζεξό ζεκείν.
.
130)
δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
138)
Γίλεηαη ε εμίζσζε 3x y 1 x y 3 0
, . α. Λα δεηρζεί όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε γηα θάζε παξηζηάλεη επζεία . β. Λα δεηρζεί όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ , όιεο νη επζείεο πεξλνύλ από ζηαζεξό ζεκείν.
.
Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε a ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη επζεία γξακκή .
139)
131)
Γίλεηαη ε εμίζσζε : 2 2 x 2 4 y 2 4 0 .
Λα εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ε εμίζσζε a 2 5a 6 x a 2 4 y 2a 3 0 ,
α. Λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ώζηε ε λα παξηζηάλεη επζεία . β. Λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο νη επζείεο απηέο πεξλνύλ από ην ζεκείν 4 , 2 .
παξηζηάλεη επζεία γξακκή .
132)
Λα εμεηαζζεί αλ είλαη δπλαηόλ ε εμίζσζε a 2a 3 x2 a 3 x a2 y 5a 9 y , a 2
140)
λα παξηζηάλεη επζεία .
133)
Γίλεηαη ε εμίζσζε ( y 2 x 2) 2 y x 0 .
141)
Γίλεηαη ε εμίζσζε : a 2 2a 2 x 2a 2 3a 3 y 2a 2 a 1 0 .
αμόλσλ ; Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε
α. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a ε παξηζηάλεη επζεία , πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν , ην νπνίν θαη λα βξεζεί . β. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a ε ηέκλεη ηελ : 2x y 5 0 .
ε
εμίζσζε 2 4 x 2 2 1 y 2 1 0 παξηζηάλεη επζεία γξακκή . Πόηε ε επζεία απηή είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα xx θαη πόηε πξνο y y ; Πόηε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ
142)
Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 3 2 1 x 5 1 y 3 12 1 0
αμόλσλ ;
135)
Λα απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο ηεο κνξθήο 2a2 a 3 x a2 3a 4 y 5a2 a 10 0 ,
a
Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 2 3 x 2 1 y 2 4 1 0 ,
παξηζηάλεη επζεία . Λα βξεζνύλ θαηόπηλ ην ζηαζεξό ζεκείν από ην νπνίν δηέξρεηαη ε επζεία .
Λα δείμεηε όηη απηή παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε ηηκή ηνπ . Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα xx θαη γηα πνηεο ζηνλ y y ; Πόηε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ
134)
2
παξηζηάλεη επζεία . Λα βξεζνύλ θαηόπηλ ην ζηαζεξό ζεκείν από ην νπνίν δηέξρεηαη ε επζεία.
δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
- 43 -
η ευθεία στο επίπεδο 143)
κεφάλαιο 2 150)
Γίλεηαη ε εμίζσζε
: 2ax a 1 y 3a 1 0 , a . α. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a ε παξηζηάλεη
151)
Γίλνληαη νη εμηζώζεηο 1 : 1 x y 2 3x 4 y 0 θαη
2 : x 2 y 3 0 . α. Λα δεηρζεί όηη ε 1 παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε
Γίλεηαη ε εμίζσζε : a 2 x a 2 9 y 8a 5 0 , a 0 . Αθνύ
. β. Λα βξεζεί ν
απνδείμεηε όηη ε παξηζηάλεη επζεία , λα βξείηε ην a * ώζηε ε επζεία απηή : α. λα είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα xx , β. λα είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα y y , .
152)
145)
Γίλεηαη ε εμίζσζε
ζεκείν . β. Λα βξείηε πνηεο από ηηο επζείεο είλαη θάζεηε ζηελ επζεία x 2 y 4 0 .
Λα δεηρζεί όηη όιεο νη επζείεο πνπ εθθξάδνληαη από ηελ εμίζσζε : 3 x 4 1 y 2 5 0 , δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
153)
Θαηόπηλ λα βξεζνύλ εθείλεο πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 2 x y 2 0 θαη δηέξρνληαη από ην
Από ην ζύλνιν ησλ επζεηώλ πνπ παξηζηάλεη ε εμίζσζε x y 1 2 x y 2 0 λα βξείηε
ζεκείν 0 , 1 .
εθείλε ε νπνία είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 3x 2 y 8 0 .
146)
Λα βξεζεί ε επζεία ε νπνία είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : x 2 y 4 0 θαη δηέξρεηαη από ην θνηλό ζεκείν ησλ επζεηώλ 2 x y 2 a x y 5 0 , a
154)
2 : 1 x 4 y 2 0 . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε λα είλαη θάζεηεο .
.
Λα βξεζεί ην a ώζηε ε εμίζσζε 2 a a 2 x a2 2a 3 y a 0 , λα
155)
Λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ώζηε νη επζείεο 1 : 2 1 x 1 y 2 0 θαη
παξηζηάλεη επζεία. Θαηόπηλ λα βξεζεί ν a ώζηε ε επζεία λα είλαη παξάιιειε ζηε επζεία 3x y 7 0 .
2 : 1 x 2 3 y 6 0 , λα ηέκλνληαη ζε ζεκείν ηνπ άμνλα y y .
156)
Γίλεηαη ε επζεία
1 2a x 1 a y 3a 1 0
Γίλνληαη νη επζείεο
1 : 3 2 x 1 y 7 0 θαη
147)
. Λα βξεζεί ε
Γίλνληαη νη επζείεο
1 : 4 x 2 1 y 3 1 θαη
επζεία εθείλε ε νπνία είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 2 x 3 y 5 0 .
2 : 3 2 x 5 1 y 2 2 . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε νη επζείεο : α. Λα είλαη παξάιιειεο . β. Λα ηαπηίδνληαη .
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 x y 3 0
θαη 2 : 2 1 x 2 y 3 2 0 . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ παξάιιειεο .
ώζηε λα ηζρύεη 1 2 .
: 2 x y 2 x y 5 0 , . α. Λα δεηρζεί όηη ε γηα θάζε παξηζηάλεη επζεία θαη όηη νη επζείεο δηέξρνληαη από ζηαζεξό
γ. λα δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
149)
λα είλαη
παξάιιειε ζηνλ άμνλα xx θαη λα ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε 2 .
144)
148)
ώζηε ε επζεία
2 1 x 2 y 3 2 0
επζεία . β. Λα δεηρζεί όηη όιεο νη επζείεο πνπ νξίδνληαη από ηελ δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν . γ. Λα βξεζεί ν a ώζηε κηα επζεία λα δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ ΑΒ , όπνπ 1 , 5 θαη 5 , 1 .
,
Λα βξείηε ηα ,
157)
Λα βξείηε ην ώζηε νη επζείεο 1 : 1 x y 3 0 θαη
ώζηε νη επζείεο λα είλαη
2 : 2 x 1 2 y 1 2 λα είλαη θάζεηεο .
- 44 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
158)
168)
Λα βξεζνύλ νη ζρεηηθέο ζέζεηο ησλ επζεηώλ 1 : 2 6 x y 3 0 θαη
Λα ζρεδηάζεηε ηηο γξακκέο ηηο νπνίεο παξηζηάλεη ε εμίζσζε x2 y 2 2 xy 3x 3 y 2 0 .
2 : 2 3 x 2 y 9 0 γηα ηηο δηάθνξεο
ηηκέο ηνπ
159)
169)
.
Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε y3 6 y 2 x 11x2 y 6 x3 0 , παξηζηάλεη ηξεηο
Λα βξεζεί ε ζέζε ησλ επζεηώλ
επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
1 : ax a 8 y 2 0 θαη 2 , όπνπ 2 ε
επζεία ζηελ νπνία αλήθεη ην ζεκείν 3a 1 , a 2 , a .
170)
Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο πνπ παξηζηάλνπλ νη γξακκέο : 2 β. | x | | 2 y | 0 α. 3x 2 y 4 0
160)
Λα βξείηε ην ώζηε ε επζεία 4 x 5 y 2 2 3 0 λα δηέξρεηαη από ην
171)
ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : x y 4 0 θαη
2 : 3x 2 y 10 0 .
161)
παξηζηάλεη ηεηξάγσλν .
172)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : a 1 x y a 1 , . Λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ
ηέκλνληαη . β. Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηνπο .
a ώζηε νη επζείεο 1 , 2 θαη ε επζεία πνπ νξίδνπλ ηα ζεκεία Κ θαη Ρ , λα έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο .
173)
Λα βξείηε ην a ώζηε νη επζείεο 1 : ax y 1 0 , 2 : x ay 1 0 θαη
2
Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε
x 2 2
. Λα απνδείμεηε όηη :
α. νη επζείεο έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν Ρ , γηα θάζε , β. ην ζεκείν Ρ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
3 : x y a 0 λα έρνπλ θνηλό ζεκείν .
2
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : ( 1) x 2 y 2
θαη 2 : x 2 y 3 ,
162) 163)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x 2 y 2 0 θαη
2 : 2x 3 y 4 0 , . α. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε , νη δπν επζείεο
2 : x (a 1) y 1 θαη ηα ζεκεία 1 , 2a , 1 , 2a 2 , a
Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε | x | | y | 3
174)
y 1 , 0 , ,
Γίλνληαη νη επζείεο
1 : 1 x 2 y 2 1 0 θαη
2 2 είλαη επζεία πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν .
2 : 2 x y 4 , 1 . α. Λα απνδείμεηε όηη νη 1 θαη 2 ηέκλνληαη .
164)
Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε x2 2 y 2 3xy x 3 y 2 0 παξηζηάλεη δπν
β. Έζησ Κ ην θνηλό ζεκείν ησλ 1 θαη 2 . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Κ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
επζείεο .
165)
175)
166)
Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε x2 y 2 2 x 4 y 3 0 παξηζηάλεη δπν επζείεο .
θάζεηεο . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 1 , 0 θαη ζρεκαηίδεη κε ηηο επζείεο ηνπ
Λα εμεηαζζεί ε ζέζε ησλ επζεηώλ απηώλ .
(α) εξσηήκαηνο ηζνζθειέο ηξίγσλν .
Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε x2 4 y 2 2 x 8 y 3 0 παξηζηάλεη δπν επζείεο .
α. Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 y 2 3xy 2 x 2 0 παξηζηάλεη δπν επζείεο
167)
Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 3x2 3 y 2 8xy 9 x 23 y 30 0 , παξηζηάλεη
δπν επζείεο ησλ νπνίσλ λα βξεζεί ε γσλία ηνπο .
- 45 -
η ευθεία στο επίπεδο 176)
κεφάλαιο 2
ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy
§3. εμβαδόν
παίξλνπκε ηα κεηαβιεηά ζεκεία a , 0 θαη
τριγώνου
1 1 1 , k * . Λα a k δεηρζεί όηη νη επζείεο ΑΒ δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν .
0 , ηέηνηα ώζηε
177)
ε νξζνγώλην ζύζηεκα αλαθνξάο xOy
δίλεηαη ην νξζνγώλην ΟΑΒΓ , ηνπ νπνίνπ νη θνξπθέο Α , Γ θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο θαη είλαη a , κε a 1 . Λα
184)
Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ 1 , 4 από ηηο επζείεο :
απνδείμεηε όηη ε θάζεηε πνπ θέξνπκε από ην Β ζηελ ΑΓ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν .
α. 1 : 2 x y 1 0
178)
Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ 2 3 , 3 1 , .
179)
γ. 3 : 2 y
3x 1 2
185)
Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ 2 , 4 από ηηο επζείεο :
Αλ ηα ζεκεία a , , , ,
a , αλήθνπλ ζε επζεία πνπ δελ
α. 1 : 8x 6 y 3 0
πεξλά από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , ηόηε λα δείμεηε όηη 1 .
180)
β. 2 : 3x 4 y 7
3 1 β. 2 : y x 4 4
186)
Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ 4 , 2 από ηελ επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από
Αλ ην ζεκείν , θηλείηαη ζηελ επζεία
: 4 x 5 y 9 0 , λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ 2 1 , 5 3 .
ηα ζεκεία 1 , 2 θαη 3 , 4 .
181)
Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ 5 ζεκείσλ 4 3 , , . 2
187)
Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ
188)
Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ
189)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 4 x 3 y 9 0 θαη
1 : 3x 4 y 7 0 θαη 2 : 3x 4 y 33 0 .
1 : 3x 4 y 12 0 θαη 2 : 3x 4 y 27 0 .
182)
Λα απνδείμεηε όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ x , y ηα νπνία ηθαλνπνηνύλ ηελ εμίζσζε y 2 2axy x 2 , παξηζηάλεη δπν επζείεο θάζεηεο
2 :12 x 9 y 7 0 . α. Λα δείμεηε όηη 1 / / 2 .
πνπ δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 .
183)
Γπν ζεκεία Α θαη Β θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy αληίζηνηρα , ώζηε
190)
ΟΑ=ΟΒ . Κε βάζε ΑΒ θαηαζθεπάδνπκε ην νξζνγώλην ΑΒΚΘ ώζηε ην Θ λα αλήθεη ζηελ επζεία : 2 x 3 y 6 . Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 8x 6 y 3 0 θαη
2 : 4x 3 y 5 0 . α. Λα ππνινγίζεηε ηηο απνζηάζεηο ηεο αξρήο ησλ αμόλσλ από ηηο 1 θαη 2 .
ηόπνο ηνπ ζεκείνπ Κ.
β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 .
191)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 x y 3 0 θαη
2 : 2x y 1 0 . α. Λα δείμεηε όηη 1 / / 2 . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 . - 46 -
η ευθεία στο επίπεδο 192)
κεφάλαιο 2 200)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 5x 2 y 2 0 θαη
2 : 2 y 10 x 11 . α. Λα δείμεηε όηη 1 / / 2 .
4 θαη ην ζεκείν 3 3 1 , 1 απέρεη απ’ απηήλ απόζηαζε , λα 5 βξεζνύλ ηα a θαη .
έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο
β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 .
193)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 8x 6 y 3 0 θαη 2 : 3x 4 y 5 0 .
201)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 2 , 0 θαη 0 , 4 .
α. Λα βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηνπο . β. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 .
194)
202)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 3 , 5 θαη από ηελ νπνία
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 4 x y 14 0 θαη
2 : x 4 y 4 0 . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ
ηζαπέρνπλ ηα ζεκεία 7 , 3 θαη 11 , 15 .
δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 .
203)
195)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x 2 y 4 0 θαη 2 : 2 x 3 y 6 0 . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ
204)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ απέρεη από ην ζεκείν 2 , 1 απόζηαζε ίζε κε
196)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x 3 y 2 0 θαη 2 : 3x y 4 0 . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ
12 θαη δηέξρεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ
1 : x y 3 0 θαη 2 : 2 x 7 y 3 0 .
δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 .
205)
Γίλεηαη ε επζεία 1 : 3x 5 y 2 0 θαη ην
ζεκείν 3 , 1 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 4 x 3 y 5 0 θαη
2 : 5x 12 y 2 0 . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν
επζείαο 2 , ε νπνία είλαη παξάιιειε πξνο 1 αλ γλσξίδνπκε όηη ην ζεκείν Α ηζαπέρεη από ηηο επζείεο 1 θαη 2 .
2 , 1 αλήθεη ζηελ δηρνηόκν κηαο εθ ησλ
γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη 1 θαη 2 .
206)
198)
Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ , νη νπνίεο δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη απέρνπλ από ην ζεκείν 4 , 2 απόζηαζε ίζε
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο , ε νπνία έρεη ηελ κνξθή : y ax θαη ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 2 , 2 θαη 1 , 8 .
199)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 0 θαη 5 , 3 .
Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην Α θαη από ηηο νπνίεο ε απόζηαζε ηνπ Β είλαη ίζε κε 3 .
δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 .
197)
Γίλεηαη ε επζεία : ax y 4 0 . Αλ ε
κε 2 .
207)
Γίλεηαη ε επζεία : ax y 7 0 . Αλ ε
Λα βξείηε ζεκείν ηνπ άμνλα xx ην νπνίν ηζαπέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ηελ επζεία : 3x y 6 0 .
4 έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο θαη ην ζεκείν 3 1 , 3 απέρεη απ’ απηήλ απόζηαζε 1,2 λα
208)
βξεζνύλ ηα a θαη .
Λα βξεζεί ζεκείν ηνπ άμνλα xx πνπ λα ηζαπέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ηελ επζεία : 3x 4 y 12 .
209)
Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ άμνλα xx πνπ ηζαπέρεη από ην ζεκείν 0 , 2 θαη από ηελ επζεία : 3x 4 y 10 0 .
- 47 -
η ευθεία στο επίπεδο 210)
κεφάλαιο 2 220)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 1 θαη απέρεη από
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 5x 12 y 7 0 θαη
2 : 3x 4 y 8 0 . Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ ηεο 1 πνπ απέρνπλ από ηελ 2 απόζηαζε 1 .
ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε 2 .
221)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : x y 3 0 θαη 2 : x y 1 0 αλ είλαη γλσζηό όηη ε αξρή ησλ αμόλσλ απέρεη από απηή απόζηαζε 1 .
211)
Λα βξείηε ηα ζεκεία ηεο επζείαο 1 : x y 1 0 ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε από ηελ επζεία 2 : 3x 4 y 2 0 είλαη ίζε κε 2 .
212)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 2 θαη 7 , 1 .
222)
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ 1 : x 2 y 3 0 θαη
Λα βξείηε ζεκείν Α ηεο επζείαο : 3x y 3 0 , ην νπνίν ηζαπέρεη από ηα ζεκεία Β θαη Γ .
213)
2 : 2x 4 y 5 0 .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 θαη 2 , 5 .
223)
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ 1 : 6 x 8 y 11 0 θαη
ηελ εμίζσζε : y 2 x a λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a ώζηε ηα ζεκεία Α θαη Β λα ηζαπέρνπλ από ηελ επζεία .
214)
2 : 6 x 8 y 13 0 .
224)
Λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη κηα κόλν επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 7 , 2 θαη ε
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x y 2 0 ,
2 : x 3 y 3 0 θαη 3 : 2 x y 1 0 . Λα βξεζεί
απόζηαζε ηεο από ην 4 , 6 είλαη ίζε κε 5 .
ζεκείν πνπ λα ηζαπέρεη από ηα ζεκεία ηνκήο ηνπο .
225)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x 3 y 1 0 θαη 2 : 2x 5 y 9 0 .
215)
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία : 3x y 2 0 θαη
α. Λα βξείηε επζεία πνπ λα δηέξρεηαη από ηελ ηνκή ησλ 1 , 2 θαη ε απόζηαζε ηεο από ηελ αξρή ησλ
απέρεη από απηή απόζηαζε 3 .
216)
αμόλσλ είλαη 2 . β. Λα βξείηε επζεία πνπ λα δηέξρεηαη από ηελ ηνκή ησλ 1 , 2 θαη ηα ζεκεία 1 , 1 , 4 , 5 λα
Γίλεηαη ε επζεία : 3x 2 y 4 0 θαη ην
ζεκείν 1 , 2 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο
ηζαπέρνπλ από απηή .
επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ θαη ην ζεκείν Α απέρεη από απηή απόζηαζε 2 .
217)
226)
2 : 3x 4 y 8 0 θαη ην ζεκείν 2 , 3 . Λα
Έζησ ε επζεία : x y 2 0 . Λα
βξεζνύλ νη επζείεο θαη πνπ δηέξρνληαη από ην Α θαη ηέκλνπλ ηηο 1 , 2 ζηα ζεκεία Β , Β΄
γξαθνύλ νη εμηζώζεηο ησλ παξαιιήισλ πξνο ηελ πνπ απέρνπλ από απηή απόζηαζε d 2 .
θαη Γ , Γ΄ αληίζηνηρα , ώζηε () () 3 2 .
218)
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ πεξλάεη από ην θνηλό ζεκείν ησλ επζεηώλ 1 : x 3 y 1 0 , 2 : 2 x 5 y 9 0 θαη απέρεη
227)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 7 . Αλ
1 : 3x y 11 0 θαη 2 : x 2 y 7 0 είλαη νη
από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε d 2 .
219)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x 4 y 7 0 ,
εμηζώζεηο ελόο ύςνπο θαη κηαο δηακέζνπ αληίζηνηρα πνπ θέξνληαη από δηαθνξεηηθή θνξπθή , λα βξείηε : α. ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ , β. ηα κήθε ηνπ ύςνπο θαη ηεο δηακέζνπ .
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x 2 y 6 0 θαη
2 : 3x 2 y 12 0 . Λα βξεζεί ε επζεία πνπ πεξλάεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηέκλεη ηηο επζείεο ζηα Α θαη Β ώζηε () 6 3 .
- 48 -
η ευθεία στο επίπεδο 228)
κεφάλαιο 2
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 2 , 2 , 4
236)
θαη 1 , 3 . Λα βξείηε :
θαη 2 : 2 1 x 2 1 y 3 0 . Λα βξείηε ην
α. ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ , β. ην κήθνο ηεο δηρνηόκνπ ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ .
ώζηε λα ηζρύεη 1 / / 2 θαη ζηελ ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ 1 , 2 θαζώο θαη ηελ απόζηαζε ηνπο .
229)
Λα ππνινγηζζεί ην κήθνο ηνπ ύςνπο ΑΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζην νπνίν είλαη 4 , 13 ,
237)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x y 3 0 , 2 : ax y 2 0 θαη 3 : 2 x 2 y 1 0 . Λα
10 , 1 θαη 2 , 5 .
230)
πξνζδηνξίζεηε ηα a ,
Γίλνληαη νη εμηζώζεηο 1 : 2ax a 1 y 3a 1 0 θαη
αλ είλαη γλσζηό όηη
ε επζεία 3 είλαη κεζνπαξάιιειε ησλ 1 , 2 .
2 : 3a 1 x a 1 y 6a 2 0 . Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a νη επζείεο 1 , 2 δηέξρνληαη
238)
Γίλεηαη ε εμίζσζε
: 2 x y 4 x 2 y 3 0 . α. Λα απνδείμεηε όηη ε παξηζηάλεη επζεία πνπ
από ζηαζεξά ζεκεία Α , Β ησλ νπνίσλ δεηείηαη ε απόζηαζε .
231)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x 2 y 5 0
δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . β. Λα βξείηε ηελ επζεία ώζηε ε απόζηαζε ηνπ
Γίλεηαη ε εμίζσζε
: 1 x 2 y 3 0 . Λα δεηρζεί όηη παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε , πνπ
ζεκείνπ 2 , 3 από απηή λα είλαη ίζε κε
δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . Θαηόπηλ λα βξεζεί ν ώζηε ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ
1 , 0 λα ηζαπέρνπλ από ηελ επζεία .
γ. Λα βξείηε ην
απηνύ από ην , 0 λα ηζνύηαη κε d 2 2 .
232)
239)
240)
παξάιιειεο θαη ε απόζηαζή ηνπο είλαη ίζε κε d 2 2 .
. Λα
241)
δεηρζεί όηη παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε a , πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . Θαηόπηλ λα βξεζεί ν a ώζηε ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ απηνύ από ην 2 , 1 λα ηζνύηαη κε 1 .
234)
Γίλεηαη ην ζεκείν 3 , 4 . Λα βξείηε ηελ
Έζησ ε επζεία : x y 4 0 . Λα βξείηε
πνην ζεκείν ηεο απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ειάρηζηε απόζηαζε . Λα βξείηε ηελ απόζηαζε απηή .
Γίλεηαη ε εμίζσζε
: a 2 x 2a 1 y a 3 0 , a
ώζηε ηα ζεκεία 1 , 1 θαη
εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη ε απόζηαζε ηεο αξρήο Ο από απηή είλαη κέγηζηε .
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x ay 1 0 θαη
2 : 2ax 2 y 0 . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a , γηα ηηο νπνίεο νη 1 , 2 είλαη
233)
10 .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 0 θαη 2 , 3 .
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α , έηζη ώζηε ε απόζηαζε ηνπ Β από απηή λα είλαη κέγηζηε .
242)
Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηεο πιεπξάο ΒΓ ώζηε ην γηλόκελν ησλ απνζηάζεώλ ηνπ από ηηο ίζεο πιεπξέο λα είλαη κέγηζην .
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 x 2 y 4 0
θαη 2 : x y 0 , κε , . Λα βξείηε ηα , γηα ηα νπνία νη επζείεο 1 θαη 2 είλαη παξάιιειεο θαη ε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε είλαη d 2 .
243)
Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ κε θνξπθέο: α. 1 , 2 , 2 , 6 θαη 0 , 4
235)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x y 1 0 θαη 2 : 2 x 2 y 0 , κε , . Λα βξείηε ηα , γηα ηα νπνία νη επζείεο 1 θαη 2 είλαη
β. 0 , 1 , 1 , 3 θαη 5 , 8 γ. 1 , 1 , 1 , 2 θαη 3 , 5
παξάιιειεο θαη ε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε είλαη d 2 2 . - 49 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
244)
254)
Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία : 2 x 3 y 6 0 κε ηνπο
Λα βξείηε ζεκείν A πνπ αλήθεη ζηελ επζεία x 1 ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα 11 είλαη . 2
άμνλεο .
245)
Λα βξεζεί ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 3 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο
255)
ηξίγσλν κε εκβαδόλ 2 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 4 θαη ζρεκαηίδεη
είλαη 8 .
κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν κε εκβαδόλ 1 .
256)
247)
είλαη 7 .
εκβαδόλ 9 .
257)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : y x 2 θαη
, ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη ίζν κε 4 .
ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ηνπο Κ θαη ηα ζεκεία 3 , 5 , 0 , 2 .
258)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 , 5 , 5 θαη ε
259)
επζείαο ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 4 .
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη όηη 2 , 4 ,
1 , 1 θαη 5 , 1 . Αλ ΑΚ είλαη ε δηάκεζνο θαη
κηα επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Κ ηέηνηα ώζηε , λα πξνζδηνξίζεηε πάλσ ζηελ επζεία ζεκείν Θ ώζηε λα ηζρύεη () () .
250)
Έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν έρεη θνξπθή ην ζεκείν 3 , 5 , ε βάζε ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία 2 y x 12 θαη ην εκβαδόλ ηνπ είλαη 15 . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
260)
Ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έρεη θνξπθή 1 , 2 θαη εκβαδόλ 6 . Αλ ε βάζε ηνπ
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 θαη 3 , 5 .
Λα βξείηε ζεκείν Β ηνπ άμνλα xx ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 8 .
ΒΓ αλήθεη ζηελ επζεία x y 5 0 , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 θαη 5 , 7 .
261)
Έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθή 1 , 2 . Ζ βάζε ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία
Λα βξείηε ζεκείν Γ πνπ αλήθεη ζηελ επζεία x 3 ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 1 .
253)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 7 θαη 1 , 3 .
Λα βξείηε ζεκείν Ρ , ώζηε ΘΙ=ΙΡ θαη () 8 .
επζεία : x 2 y 1 0 . Λα βξείηε ζεκείν Ρ ηεο
252)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 1 , 5 , 5 θαη ε
επζεία : x 2 y 1 0 . Λα βξείηε ζεκείν Γ ηεο
2 : y x 4 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ
251)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 3 θαη 2 , 6 .
Λα βξείηε ζεκείν Γ πνπ αλήθεη ζηελ επζεία y x 4 ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα
Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα y y ηξίγσλν κε
249)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 5 , 3 θαη 1 , 7 .
Λα βξείηε ζεκείν Β πνπ αλήθεη ζηελ επζεία y 6 ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα
246)
248)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 4 θαη 2 , 3 .
x 2 y 10 0 θαη ην εκβαδόλ ηνπ είλαη 5 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ άιισλ δπν θνξπθώλ ηνπ .
Γίλνληαη ηα ζεκεία 5 , 2 θαη 3 , 8 .
262)
Λα βξείηε ζεκείν Γ πνπ αλήθεη ζηελ επζεία y 1 ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 2 .
ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή 1 , 4
θαη νη εμηζώζεηο δπν πςώλ ηνπ 1 : x y 4 0 θαη 2 : 3x 2 y 14 0 . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ .
- 50 -
η ευθεία στο επίπεδο 263)
κεφάλαιο 2 271)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 8 , 10 , 2 , 4
Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , a , , 0 ,
θαη 12 , 2 . Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ
a , πνπ ζρεκαηίδνπλ ην ηξίγσλν ΘΙΚ .
νξζόθεληξνπ Ζ από ηελ δηάκεζν ΒΚ ηνπ ηξηγώλνπ .
Θεσξνύκε ΚΛ ηελ δηάκεζν ηνπ ηξηγώλνπ , πνπ ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία P p , 0 θαη
Q 0 , q κε a , , p , q 0 , p , 1 .
264)
Έλα παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ έρεη ζπληεηαγκέλεο θνξπθώλ 2 , 3 , 3 , 8 θαη
1 1 , λα δείμεηε όηη p . 4 a β. Αλ 2(OPQ) () λα εθθξάζεηε ην q ζπλαξηήζεη ησλ a , . α. Αλ ( )
4 , 5 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ .
265)
272)
Γίλνληαη νη ηξεηο θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ 3 , 2 , 4 , 5 θαη
Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο όηαλ : α. ε δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ηξίγσλν εκβαδνύ 4 . β. ε δηέξρεηαη από ην Α θαη έρεη από ην Β ηελ κεγαιύηεξε απόζηαζε .
1 , 6 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ .
266)
Λα βξείηε ην εκβαδόλ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ κε θνξπθέο 2 , 3 , 4 , 5 θαη
273)
3 , 1 .
267)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 4 , 2 , 1
ηνπ νπνίνπ ε θνξπθή Γ είλαη ζεκείν ηεο επζείαο x y 5 θαη ηζρύεη
Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 3 , 7 ,
1 2 1 0 , 1
2 , 3 θαη 1 , 4 . Λα βξείηε ην κέηξν ηνπ
θαη Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
ύςνπο πνπ θέξλεηαη από ηελ θνξπθή Α ζηελ δηαγώλην ΒΓ .
268)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 θαη 3 , 4 .
274)
Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 4 , 1 ,
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 θαη 1 , 4 .
Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη () 4 .
4 , 2 , 1 , 3 θαη 6 , 3 . Λα δεηρζεί όηη νη δηαγώληέο ηνπ ηέκλνληαη θάζεηα θαη λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ .
275)
269)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 5 θαη 2 , 4 .
Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη () 6 .
Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 9 x2 12 xy 4 y 2 4 0 , παξηζηάλεη δπν
παξάιιειεο επζείεο . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ πνπ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ κε ηνπο άμνλεο xx θαη y y .
276)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 , 1 , 4 θαη
2 , 3 . Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη () () .
270)
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 3x 2 xy y 2 3 y 2 0 .
277)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 7 , 4
θαη 5 , 1 . Αλ 2k 3 , 3k 1 , λα βξεζεί ν
α. Λα απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δπν επζείεο . β. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ νπνίνπ δπν πιεπξέο βξίζθνληαη ζηηο παξαπάλσ επζείεο . γ. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη παξαπάλσ επζείεο κε ηνπο άμνλεο .
γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο θνξπθήο Α . Θαηόπηλ λα δεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ζηαζεξό , ρσξίο λα ππνινγηζζεί .
278)
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 6 , 6 , 3 , 0
θαη 3a 1 , 2a 3 . Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο θνξπθήο Γ θαη ην εκβαδόλ ηνπ .
- 51 -
η ευθεία στο επίπεδο 279)
κεφάλαιο 2
Γίλνληαη νη κεηαβιεηέο επζείεο
283)
ην παξαθάησ ζρεδηάγξακκα , κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy , ηα
1 : y x 3 θαη 2 : y 2 5 x 2 .
α. Λα απνδείμεηε όηη ην θνηλό ζεκείν ησλ 1 θαη 2 γξάθεη επζεία . β. Αλ ε πην πάλσ επζεία είλαη ε κεζνπαξάιιειε ησλ επζεηώλ 1 : 5x y 3 0 θαη 1 : ax y 2 0 λα
ζεκεία Α , Β θαη Γ παξηζηάλνπλ ηηο ζέζεηο ηξηώλ θνηλνηήησλ ελόο δήκνπ . Ο άμνλαο y y παξηζηάλεη κηα εζληθή νδό θαη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΒ θαη ΑΓ δπν επαξρηαθνύο δξόκνπο πνπ ζπλδένπλ ηελ θνηλόηεηα Α κε ηηο θνηλόηεηεο Β θαη Γ θαη έρνπλ ίζα κήθε 5 km θαη 3 km αληίζηνηρα . Πξόθεηηαη λα θαηαζθεπαζηεί έλαο επαξρηαθόο δξόκνο ΒΓ πνπ λα ζπλδέεη ηηο θνηλόηεηεο Β θαη Γ, ν νπνίνο παξηζηάλεηαη κε ην επζύγξακκν ηκήκα ΒΓ . Αλ νη απνζηάζεηο ησλ θνηλνηήησλ Β θαη Γ από ηελ εζληθή νδό y y είλαη
βξεζνύλ ηα a θαη .
280)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 x y 3 0 θαη 2 : x y 1 0 . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν
ησλ ζεκείσλ Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη 5 d , 1 2 d , 2 .
3 km θαη 5 km αληίζηνηρα , ηόηε : α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Α , Β θαη Γ. β. Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ επαξρηαθνύ δξόκνπ ΒΓ . γ. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΒΓ θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ζην νπνίν ν επαξρηαθόο δξόκνο ΒΓ ζπλαληά ηελ εζληθή νδό .
§4. γενικέσ αςκήςεισ &
προβλήματα
281)
Γλσξίδνπκε όηη ν λεξό παγώλεη ζηνπο 0 oC
ή 32 o F , ελώ βξάδεη ζηνπο 100 oC ή 212 o F . α. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ παξηζηάλεη ηε ζρέζε κεηαμύ ηεο ζεξκνθξαζίαο ζε βαζκνύο Θειζίνπ θαη ζε βαζκνύο Φαξελάηη . β. Αλ ζε έλα ηόπν ε ζεξκνθξαζία είλαη 10 oC , πόζε
284)
ε έλα ράξηε κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηα δεύγε t , t 3 θαη
είλαη ε ζεξκνθξαζία ζε βαζκνύο F ; γ. Ζ ειάρηζηε θαη ε κέγηζηε ζεξκνθξαζία ελόο ηόπνπ είλαη 5 o F θαη 23 o F αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο
3t 3 , 3t 2
παξηζηάλνπλ ηηο ζέζεηο δπν
απηνθηλήησλ Α θαη Β γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή t 0. α. Λα απνδείμεηε όηη νη ηξνρηέο ησλ δπν απηνθηλήησλ είλαη επζύγξακκεο . β. Λα εμεηάζεηε αλ ππάξρεη ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία ηα δπν απηνθίλεηα ζα ζπλαληεζνύλ . γ. Λα απνδείμεηε όηη ε απόζηαζε ησλ δπν απηνθηλήησλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή είλαη ηνπιάρηζηνλ 10 . Πόηε ε απόζηαζε γίλεηαη ειάρηζηε ; δ. Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ απηνθηλήηνπ Α ηελ ρξνληθή ζηηγκή t 1 από ηελ επζεία ζηελ νπνία θηλείηαη ην Β .
ζεξκνθξαζίεο απηέο ζε βαζκνύο Θειζίνπ . δ. Λα ραξάμεηε ηελ επζεία ηνπ εξσηήκαηνο (α) ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ .
282)
Θεσξνύκε ζην επίπεδν έλα νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy . Κηα θσηεηλή αθηίλα δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 , 3 ,
1 , 1 θαη αλαθιάηαη ζηνλ άμνλα xx . Λα βξείηε: α. ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ζηελ νπνία θηλείηαη ε θσηεηλή αθηίλα , β. ηελ γσλία ηεο επζείαο κε ηνλ άμνλα xx , γ. ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηεο αλαθιώκελεο επζείαο , δ. ηελ εμίζσζε ηεο αλαθιώκελεο επζείαο . - 52 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
285)
289)
ην παξαθάησ ζρήκα νη άμνλεο xx θαη y y παξηζηάλνπλ δπν δξόκνπο πνπ δηαζηαπξώλνληαη θάζεηα . Έλα θηλεηό Α μεθηλά από ην ζεκείν 2 , 1 θηλείηαη επζύγξακκα θαη θάπνηα ζηηγκή
ην δηπιαλό ζρήκα δίλεηαη ε νηθνλνκηθή πνξεία κηαο επηρείξεζεο . Λα βξείηε : α. πόζα έμνδα θαη πόζα έζνδα είρε ε επηρείξεζε ηνλ 3ν ρξόλν ηεο ιεηηνπξγίαο ηεο . β. ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ 1 θαη 2 .
δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Έλα άιιν θηλεηό Β μεθηλά από ην ζεκείν 2 , 3 θηλείηαη
γ. πόηε ε επηρείξεζε άξρηζε λα έρεη θέξδε . δ. ην θέξδνο ηεο επηρείξεζεο ηνλ 5ν ρξόλν ηεο ιεηηνπξγίαο ηεο . ε. πνηα ρξνληθή ζηηγκή ε επηρείξεζε ζα έρεη θέξδνο 40.000 € .
επζύγξακκα θαη ε ηξνρηά ηνπ ζρεκαηίδεη γσλία 45ν κε ηνλ δξόκν xx . α. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ ηξνρηώλ ησλ δπν θηλεηώλ . β. Λα εμεηάζεηε αλ νη δπν ηξνρηέο ηέκλνληαη . γ. Λα ππνινγίζεηε ηελ νμεία γσλία ησλ δπν ηξνρηώλ . δ. Σελ ζηηγκή πνπ ην θηλεηό Α δηαζρίδεη ηνλ δξόκν xx πνηα είλαη ε απόζηαζε ηνπ από ηελ ηξνρηά ηνπ Β ;
290)
Γίλεηαη επζεία 1 ε νπνία ηέκλεη ηνπο
αξλεηηθνύο εκηάμνλεο ζηα ζεκεία a , 0 θαη
0 , έηζη ώζηε λα ηζρύνπλ a 2 θαη
286)
() 16 , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . ρεκαηίδνπκε ην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ ηνπ νπνίνπ νη δπν πιεπξέο βξίζθνληαη ζηηο επζείεο 1 θαη 2 : 2 x y 4 0 . Αλ 2 , 2 είλαη ην
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 5 , 3 , 0 , 0 , 6 , 0 θαη έζησ επζεία
παξάιιειε πξνο ηελ ΒΓ πνπ ηέκλεη ηηο επζείεο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Δ θαη Γ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΒΓ θαη ΓΔ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
θέληξν ηνπ ΑΒΓΓ , λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλν .
291)
Έλα ρσξάθη έρεη ζρήκα ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ θαη γηα λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ , έλαο ηνπνγξάθνο εξγάδεηαη σο εμήο : Από θάπνην ζεκείν Ο ηνπ ρσξαθηνύ πξνρσξά βόξεηα 2 km θαη ζηελ ζπλέρεηα 1 km δπηηθά , νπόηε ζπλαληά ηελ θνξπθή Α . Από ην Ο πξνρσξά 3 km αλαηνιηθά θαη 1 km βόξεηα , νπόηε βξίζθεη ηελ θνξπθή Β . Δπίζεο από ην Ο πξνρσξά 2 km λόηηα θαη βξίζθεη ηελ θνξπθή Γ . Σέινο , από ην Ο πξνρσξά 4 km δπηηθά θαη 1 km λόηηα , νπόηε βξίζθεη ηελ θνξπθή Γ . α. Λα ζεσξήζεηε θαηάιιειν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ θαη λα γξάςεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . β. Πόζα ρξήκαηα ζα ρξεηζηεί ν ηδηνθηήηεο γηα ηελ πεξίθξαμε ηνπ ρσξαθηνύ , αλ θάζε κέηξν πεξίθξαμεο ζηνηρίδεη 2 € ; γ. Λα ππνινγίζεηε ηελ αμία ηνπ ρσξαθηνύ , αλ ε αμία θάζε ζηξέκκαηνο ζηελ πεξηνρή είλαη 10.000 € . (Γίλεηαη όηη 17 4,123 θαη 2 1, 414 )
287)
ε έλα ζρέδην κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα αμόλσλ παξηζηάλεηαη ζε θιίκαθα 1 : 50 έλα αγξνηεκάρην , ην νπνίν έρεη ζρήκα ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ θαη νη θνξπθέο ηνπ είλαη ηα ζεκεία 2 , 0 , 1 , 4 , 7 , 6 θαη
8 , 3 . Λα βξείηε : α. ηελ πξαγκαηηθή απόζηαζε ησλ θνξπθώλ Α θαη Γ , β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ΒΓ κε ηνπο άμνλεο ζπληεηαγκέλσλ , γ. ην εκβαδόλ ηνπ αγξνηεκαρίνπ , δ. ην ζεκείν Κ ηεο ΒΓ γηα ην νπνίν ε επζεία ΓΚ ρσξίδεη ην αγξνηεκάρην ζε δπν ηζεκβαδίθα κέξε.
288)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x 4 y 1 θαη
2 : ax y 1 , a . Λα βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 αλ είλαη γλσζηό όηη ε κεηαμύ ηνπο νμεία γσλία είλαη 45ν .
- 53 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
292)
297)
Γίλεηαη ε εμίζσζε a 2 x2 2 y 2 2ax 1 0 , όπνπ a , .
Γίλνληαη νη εκηεπζείεο y x θαη y x κε y 0 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο
πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη ηέκλεη
α. Λα απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δπν επζείεο 1 θαη 2 νη νπνίεο ηέκλνληαη .
ηηο παξαθάησ εκηεπζείεο ζηα ζεκεία Β θαη Γ ,
β. Έζησ Α ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 θαη 2 , Γ ην ζπκκεηξηθό ηνπ Α σο πξνο ηελ αξρή Ο θαη Β , Γ ηα ζεκεία πνπ νη επζείεο ηέκλνπλ ηνλ άμνλα y y . Λα
ώζηε | | 4 .
293)
βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ .
Σν εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 5 θαη δπν θξπθέο ηνπ είλαη 1 , 2 θαη 2 , 3 . Αλ
298)
ε θνξπθή Α βξίζθεηαη ζηελ επζεία : 5x y 1 0 , λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηεο
όπνπ a . α. Λα απνδείμεηε όηη είλαη εμίζσζε επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . β. Έζησ ηα ζεκεία 4 , 4 θαη 0 , 4 . Λα βξείηε
θνξπθήο Β από ηελ επζεία , θαζώο θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Α .
294)
ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε νη επζείεο πνπ νξίδεη ε παξαπάλσ εμίζσζε λα ηέκλνπλ εζσηεξηθά ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ .
α. Λα απνδείμεηε όηη ε απόζηαζε ησλ παξάιιεισλ επζεηώλ 1 : ax y 1 0 θαη
2 : ax y 2 0 είλαη ίζε κε d
| 1 2 |
. a2 2 β. Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x 4 y 2 0 θαη 2 : 3x 4 y 22 0 . i. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηεηξαγώλνπ ηνπ νπνίνπ νη δπν πιεπξέο ηνπ βξίζθνληαη ζηηο 1 , 2 .
299)
ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 1 θαη 9 , 0 ε
θνξπθή Α βξίζθεηαη ζηελ επζεία : y x 3 . Αλ ε δηρνηόκνο ΑΓ είλαη θάζεηε ζηελ δηάκεζν ΒΚ , λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ.
ii. Αλ 2 , 2 είλαη νη ζπληεηαγκέλεο κηαο θνξπθήο
300)
ελόο ηεηξαγώλνπ κε ηηο δπν πιεπξέο ηνπ ζηηο 1 θαη 2 , λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πάλσ ζηηο
Έλα ζεκείν Ρ θηλείηαη ζηελ επζεία
: 2 x 3 y 6 0 θαη έζησ Α θαη Β νη πξνβνιέο
νπνίεο βξίζθνληαη νη άιιεο δπν πιεπξέο ηνπ .
295)
Γίλεηαη ε εμίζσζε (1 a) x (1 a) y 1 a ,
ηνπ Ρ ζηνπο άμνλεο xx θαη y y αληίζηνηρα . Θεσξνύκε ζεκείν Κ ηεο επζείαο ΑΒ ηέηνην ώζηε
Γίλεηαη ε επζεία : y 2 θαη ην ζεκείν
2 . Λα απνδείμεηε όηη ην Κ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
2 , 0 . Θεσξνύκε νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο
ηξίγσλν ΑΒΓ ( 900 ) ηνπ νπνίνπ ε θνξπθή Α θηλείηαη ζηελ επζεία . α. Λα βξείηε πνπ θηλείηαη ε θνξπθή Γ . β. Λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ηεο θνξπθήο Α , γηα ηελ νπνία ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γίλεηαη ειάρηζην .
296)
301)
Γίλνληαη νη επζείεο
1 : ( a) x 3( a) y 3 0 θαη 2 : 3( a) x ( a) y 1 0 , a
α. Λα βξείηε γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a ζρεηηθέο ζέζεηο ησλ επζεηώλ 1 , 2 .
Γίλνληαη νη επζείεο
1 : ( a) x ( a) y 1 0 , 2 : ( a) x ( a) y 1 0 , 3 : ( (a )) x ( (a )) y 0 , a , . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a , ώζηε νη επζείεο 1 , 2 θαη 3 , λα δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
.
302)
ηηο
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη επζείεο 1 , 2
θάζεηεο ζηελ ΒΓ ζηα ζεκεία Β θαη Γ αληίζηνηρα . Φέξλνπκε ην ύςνο ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ θαη από ην ζεκείν Γ επζείεο παξάιιειεο ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ πνπ ηέκλνπλ ηηο 1 θαη 2 ζηα ζεκεία Κ θαη Ρ
β. Αλ Κ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 , λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο θακπύιεο ζηελ νπνία θηλείηαη ην Κ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a .
αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη : α. ηα ζεκεία Κ , Α , Ρ είλαη ζπλεπζεηαθά , β. ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΚΡ είλαη ηζνδύλακα .
- 54 -
η ευθεία στο επίπεδο
κεφάλαιο 2
303)
311)
ε ηξίγσλν ΑΒΓ νη εμηζώζεηο ηνπ ύςνπο ΑΓ , ηεο δηακέζνπ ΒΚ θαη ηεο δηρνηόκνπ ΓΕ είλαη : x 1 , : 9 x 20 y 60 0 θαη
: x 3 y 13 0 αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο
304)
Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ηνπ νπνίνπ κηα θνξπθή είλαη ην ζεκείν 1 , 2 , ε εμίζσζε ηεο δηρνηόκνπ
: x 2 y 1 0 θαη ε εμίζσζε ηεο δηακέζνπ είλαη : x y 2 0 . Γίλεηαη ε επζεία : y 3x θαη ηα ζεκεία
4 , 3 , 0 , 0 . Λα βξείηε πάλσ ζηελ
επζεία ζεκείν a , κε a 1 ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ΟΒΓ λα είλαη ειάρηζην . Όπνπ Γ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνλ άμνλα xx .
306)
Αλ ην ηκήκα ΒΓ ηεο επζείαο
: 3x 2 y 6 0 πνπ απνθόπηεηαη από ηνπο
άμνλεο είλαη ε ππνηείλνπζα νξζνγσλίνπ θαη ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ .
307)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 4 , 1 , 0 θαη
3 , 2 . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν 1 , 6 αλήθεη ζηελ εζσηεξηθή δηρνηόκν ηεο γσλίαο Β ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
308)
ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy δπν
ζεκεία Α , Β θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy αληίζηνηρα , έηζη ώζηε λα ηζρύεη
1 1 1 . Λα απνδείμεηε όηη ε επζεία ΑΒ () () δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν .
309)
Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε 900 θαη Η ην κέζν ηεο ΑΓ . Αλ νη θάζεηεο από ηα Α , Γ ζηηο ΗΒ θαη ΗΓ αληίζηνηρα , ηέκλνληαη ζην Ρ , λα απνδείμεηε όηη .
310)
Θεσξνύκε ηηο επζείεο 1 : y ax
2 : y x
1
ηξίγσλν ΑΒΓ ( 900 ) . Δμσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ θαηαζθεπάζνπκε ηα ηεηξάγσλα ΑΒΓΔ θαη ΑΓΕΖ . Λα απνδείμεηε όηη : α. ηα ζεκεία Α , Γ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά , β. αλ Λ ην κέζν ηεο ΓΕ ηόηε ην ηξίγσλν ΛΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . γ. νη επζείεο ΓΓ , ΒΕ θαη ε θάζεηε από ην Α ζηελ ΒΓ , δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
305)
Γίλεηαη νξζνγώλην θαη κε ηζνζθειέο
1 , a
1
, 3 : y x κε a a 0 . Λα απνδείμεηε όηη νη επζείεο
απηέο ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν πνπ ην νξζόθεληξό ηνπ αλήθεη ζε ζηαζεξή επζεία .
- 55 -
κωνικές τομές Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος Μαθηματικός
2015-2016
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3 3)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. έρεη θέληξν ην ζεκείν 1 , 1 θαη δηέξρεηαη από ηελ
§1. ο κύκλοσ
αξρή ησλ αμόλσλ , β. έρεη θέληξν ην ζεκείν 2 , 1 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 5 , γ. έρεη δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε 1 , 4 θαη 3 , 2 , δ. έρεη δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΜΛ κε 3 , 7 θαη 3 , 5 ,
1)
ε. έρεη αθηίλα 5 θαη ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζηα ζεκεία
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο: α. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 4 , β. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν
2, 2
0 , 3
ζη. έρεη αθηίλα 10 θαη ηέκλεη ηνλ άμνλα xx ζηα ζεκεία 4 , 0 θαη 8 , 0 .
,
γ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2a 3 , 3a 2 ,
δ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν a , 2 a
θαη 0 , 5 .
4)
,
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 3 , 2 , 5 θαη έρεη
ε. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο x y 1 , ζη. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο 2 x y 5 ,
αθηίλα 10 ,
δ. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο ax y a ,
β. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 , 2 , 3 , 4 θαη έρεη
ε. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο (a ) x (a ) y 2 a .
αθηίλα 2 5 , γ. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 5 , 4 , 1 θαη ην
2)
θέληξν ηνπ είλαη ζηελ επζεία : 2 x 2 y 5 0 ,
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα 2 2 , β. έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 1 θαη αθηίλα 5 ,
δ. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 , 1 , 2 , 3 θαη ην θέληξν ηνπ είλαη ζηελ επζεία : 2 x 2 y 3 0 , ε. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 1 , 1 , 0 θαη
γ. έρεη θέληξν ην ζεκείν 2 , 1 θαη δηέξρεηαη από ην
1 , 4 ,
ζεκείν 2 , 3 ,
ζη. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 , 1 , 3 , 1 θαη
δ. έρεη δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε 1 , 3
1 , 3
θαη 3 , 5 ,
,
δ. εθάπηεηαη ησλ επζεηώλ x 2 y 1 0 θαη
ε. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 1 , 1 , 2 θαη 2 , 1 ,
x 2 y 3 0 θαη ην θέληξν είλαη ζηελ επζεία 3x 2 y 6 0 ,
ζη. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 1 , 1 , 3 θαη ην θέληξν ηνπ είλαη πάλσ ζηελ επζεία y 3x 2 ,
ε. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 1 , 1 , 0 θαη
δ. έρεη θέληξν ην ζεκείν 8 , 6 θαη δηέξρεηαη από ηελ
1 , 4 ,
αξρή ησλ αμόλσλ , ε. έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο 3x y 10 , ζ. έρεη αθηίλα 4 , εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα xx θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 5 , 4 ,
5)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηεο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 1 , 1 , 4 θαη ην θέληξν ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία 4 x 5 y 11 0 ,
η. έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 2 , εθάπηεηαη ζηνλ
β. ηέκλεη ηνλ άμνλα xx ζηα ζεκεία 2 , 0 , 14 , 0
άμνλα y y θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 6 , 2 ,
θαη ηνλ άμνλα y y ζηα ζεκεία 0 , 2 θαη 0 , a .
ηα. έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 3 θαη εθάπηεηαη ησλ
Πνηα είλαη ηόηε ε ηηκή ηνπ a ; γ. εθάπηεηαη ηνπ άμνλα xx ζην ζεκείν 1 , 0 θαη
αμόλσλ xx θαη y y ,
δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 . - 57 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3 12)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 1 θαη ηέκλεη από ηελ
6)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηεο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. εθάπηεηαη ηνπ άμνλα y y θαη ηέκλεη ηνλ άμνλα xx
επζεία : x y 6 ρνξδή κήθνπο 4 2 . α. Να απνδείμεηε όηη 1 / / 2 . β. Να ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 , 2 . γ. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ ηέκλεη ηηο 1 θαη 2 ζηα ζεκεία Α θαη Β ώζηε () 5 5 .
ζηα ζεκεία 1 , 0 θαη 5 , 0 , β. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 8 θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο 3x 4 y 4 ζην ζεκείν 0 , 1 .
7)
13)
Να βξεζεί ην θέληξν θαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ πνπ έρεη εμίζσζε : 2 α. x y 2 2 x 4 y 0 β. x2 y 2 2 y 1 0 γ. δ. x2 y 2 2 2 x 2 3 y 0 2 2 x y 2x 4 y 2 0 ε. ζη. 3x 2 3 y 2 6 x 4 y 1 0 8 x 2 8 y 2 4 x 4 y 1 0 δ. ε. x2 y 2 2ax 2 y 0 x2 y 2 2ax 2 y 2a 0
8)
α. Να απνδείμεηε όηη 1 / / 2 . β. Να ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 , 2 . γ. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ ηέκλεη ηηο 1 θαη 2 ζηα ζεκεία Α θαη Β ώζηε () 5 5 .
14)
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ x2 y 2 2 x 6 y 0 πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία x 3 y 12 0 .
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ C : x 2 y 2 10 ζηηο παξαθάησ
15)
πεξηπηώζεηο : α. όηαλ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία : x 3 y 4 ,
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ x2 y 2 2 x 6 y 0 πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία x 3 y 12 0 .
1 x , 3 γ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 10 , 0 .
β. όηαλ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : y
9)
16)
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ C : x 2 y 2 8 ζηηο παξαθάησ
17)
β. όηαλ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : y x 4 ,
x9 . 2
Γίλεηαη ν θύθινο x2 y 2 12 x 6 y 5 0 θαη
ην ζεκείν 1 , 12 . Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο
γ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 0 .
ησλ εθαπηνκέλσλ πνπ θέξνπκε από ην Α πξνο ηνλ θύθιν .
10)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ησλ θύθινπ ζηα δεηνύκελα ζεκεία : α. C : x2 y 2 2 x 4 y 1 0 ζην 1 , 2
Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ C : ( x 1)2 ( y 2)2 5 πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ
επζεία : y
πεξηπηώζεηο : α. όηαλ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία : y x 1 ,
β. C : x 2 y 2 2ax 2 y 3a 2 2 , 2a , a 3
Γίλεηαη ν θύθινο C : x 2 y 2 5 θαη νη επζείεο 1 : x 2 y 8 0 θαη 2 : x 2 y 33 0 .
18)
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ x 2 y 2 9 πνπ δηέξρνληαη από ην
ζεκείν 0 , 6 .
γ. C : x2 y 2 4 x 2 y 4 0 ζην 1 , 1
19)
δ. C : x2 y 2 2ax 4 y 3a2 4 2 0 a , 2
Να απνδείμεηε όηη ε επζεία : x y 2 είλαη
εθαπηνκέλε ησλ θύθισλ C1 : x 2 y 2 2 θαη
11)
C2 : ( x 4)2 y 2 2 .
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ x 2 y 2 4 πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ επζεία x y 0 .
20)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 0 θαη εθάπηεηαη ζηηο επζείεο 3x y 6 0 θαη 3x y 12 0 .
- 58 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
21)
31)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν 2 , 1 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία
Να βξεζεί ε εμίζσζε θύθινπ πνπ έρεη ην θέληξν ζηελ επζεία 2 x y 1 0 θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 , 2 θαη 3 , 1 .
: x y4 0 .
22)
32)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 x y 3 0 θαη 2 : 2 x y 1 0 . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ
Να βξεζεί ε εμίζσζε θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 6 , 3 , 2 , 5 θαη ην θέληξν ηνπ απέρεη από ηελ επζεία x y 2 0 απόζηαζε
θύθινπ ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηηο 1 , 2 θαη έρεη ην θέληξν ηνπ πάλσ ζηελ επζεία x 1 .
2 .
23)
33)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ , ν νπνίνο είλαη εγγεγξακκέλνο ζην ηξίγσλν πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία x y 6 0 κε ηνπο άμνλεο xx θαη y y
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη ην θέληξν ηνπ πάλσ ζηελ επζεία 3x 2 y 2 0 θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία ηνκήο ησλ θύθισλ C1 : x2 y 2 2 x 4 y 20 0 θαη
24)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 3 θαη ηέκλεη από ηελ
C2 : x2 y 2 x 2 y 20 0 .
34)
επζεία : x 2 y 7 0 ρνξδή κήθνπο 4 .
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν 3 , 1 θαη απνθόπηεη από ηελ επζεία
25)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ 2ε δηρνηόκν ησλ αμόλσλ θαη πεξλάεη από ην θνηλό ζεκείν ησλ θύθισλ C1 : x2 y 2 2 x 10 y 24 0 θαη
2 x 5 y 18 0 ρνξδή κήθνπο 6 .
35)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 5 θαη εθάπηεηαη κε ηνλ θύθιν ( x 7)2 ( y 5)2 25 ζην ζεκείν ηνπ 4 , 1 .
C2 : x2 y 2 2 x 2 y 8 0 .
26)
36)
Να βξεζεί ε εμίζσζε θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3a , 0 , 0 , 3a θαη 0 , 3a ,
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 0 , 1 , 2 θαη
a 0.
ην θέληξν ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία x y20 .
27)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 10 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία
37)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 2 θαη εθάπηεηαη
3x 4 y 13 0 ζην ζεκείν ηεο 7 , 2 .
ζηηο επζείεο x y 2 0 θαη x y 14 0 .
28)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 x y 0 . Να βξείηε ηηο ηξηάδεο Α , Β , Γ ώζηε ν θύθινο C λα εθάπηεηαη ζηνπο άμνλεο xx , y y θαη ε
38)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηελ επζεία y x θαη είλαη
αθηίλα ηνπ λα είλαη ίζε κε 1 .
νκόθεληξνο ηνπ θύθινπ x2 y 2 2 x 4 y 1 0 .
29)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 2 , 4 , 2 5 , 0
39)
Γίλεηαη ν θύθινο x2 y 2 2 x 1 0 θαη ε επζεία y x 3 . Να απνδείμεηε όηη ε επζεία
θαη από ηα ζπκκεηξηθά ηνπο σο πξνο ηνλ άμνλα y y .
εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ θαη ζηελ ζπλέρεηα λα βξείηε ην ζεκείν επαθήο .
30)
40)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ C πνπ έρεη θέληξν ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 3x 4 y 24 0 , 2 : 4 y 3x 0 θαη
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 2 5 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία
: 2 x y 3 0 ζην ζεκείν ηεο 1 , 1 .
εθάπηεηαη ζηελ επζεία 3 : x 2 y 3 0 .
- 59 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
41)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 5 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία
51)
άμνλα xx ρνξδή ΑΒ κήθνπο 4 3 θαη από ηνλ άμνλα y y ρνξδή κήθνπο 2 7 . Να βξείηε ηελ εμίζσζε θύθινπ C .
: x 2 y 0 ζην ζεκείν ηεο 2 , 1 .
42)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν C : x2 y 2 4 x 2 y 5 0
52)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ x2 2 x y 2 6 y 0 θαη είλαη θάζεηε ζηελ επζεία
ζην ζεκείν ηνπ 1 , 0 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 9 , 4 .
x 2y 7 0 .
43)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν C : x2 y 2 6 x 2 y 1 0
53)
ζην ζεκείν ηνπ 3 , 4 θαη δηέξρεηαη από ην
54)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ C πνπ εθάπηεηαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy
Να απνδεηρζεί όηη νη θύθινη C1 : ( x 2) y 4 2
2
θαη ζηνλ θύθιν C1 : ( x 3)2 ( y 3)2 2 εμσηεξηθά θαη έρεη κηθξόηεξε αθηίλα από ηελ αθηίλα ηνπ C1 .
θαη C2 : x2 2 x y 2 0 εθάπηνληαη εζσηεξηθά .
45)
Να απνδεηρζεί όηη νη θύθινη C1 : x2 y 2 10x 2 y 17 0 θαη
55)
C2 : x2 y 2 2 x 4 y 1 0 εθάπηνληαη
α. Να απνδείμεηε όηη εθάπηνληαη εζσηεξηθά ζε ζεκείν Α ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο. β. Αλ ΑΒ είλαη ρνξδή ηνπ C1 θαη ΑΓ ρνξδή ηνπ C2
Γίλνληαη νη θύθινη C1 : x y 2x 2 y 2 0 2
2
θαη C2 : x2 y 2 4 x 2 y 4 0 . α. Να απνδείμεηε όηη εθάπηνληαη εζσηεξηθά . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο θνηλήο ηνπο εθαπηνκέλεο .
47)
Κύθινο C έρεη θέληξν x0 , y0 , x0 , y0
ώζηε , ηόηε λα δείμεηε όηη / / , όπνπ Κ , Λ ηα θέληξα ησλ C1 , C2 αληίζηνηρα .
56)
*
48)
57)
4 , 2 . Να βξεζεί ε γσλία ησλ εθαπηνκέλσλ
Αλ ηα Α , Β είλαη απέλαληη θνξπθέο ελόο ηεηξαγώλνπ ηόηε λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ δπν άιισλ απέλαληη θνξπθώλ ηνπ .
Γίλεηαη ν θύθινο x 2 y 2 9 θαη ην ζεκείν
3 , 1 . Από ην Α θέξλνπκε ηηο εθαπηόκελεο
58)
ΑΒ θαη ΑΓ ηνπ θύθινπ . Να απνδείμεηε όηη ε επζεία ηεο ρνξδήο ΒΓ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ ( x 3)2 y 2 16 .
50)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 2 θαη 3 , 1
αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη σο δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ έρεη εμίζσζε x2 y 2 x 3 y 4 0 .
Γίλεηαη ν θύθινο C : x y 10 θαη ην ζεκείν 2
πνπ θέξνπκε από ην Α πξνο ηνλ θύθιν .
49)
Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ θύθισλ C1 , C2
αλ μέξνπκε όηη έρνπλ θνηλέο εθαπηόκελεο ηνπο άμνλεο θαη όηη έρνπλ θνηλό ζεκείν ην 2 , 4 .
, αθηίλα 10 θαη ηέκλεη από ηνλ άμνλα y y ρνξδή ΑΒ κήθνπο 16 , ελώ εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα xx . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ C 2
Γίλνληαη νη θύθινη C1 : x2 y 2 4 x 0 θαη C2 : x2 y 2 4 x 0 .
εμσηεξηθά θαη λα βξεζεί ην ζεκείν επαθήο ηνπο .
46)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ x y 2 5 πνπ έρεη κέζν ην ζεκείν 1 , 1 . 2
ζεκείν 1 , 6 .
44)
Κύθινο C θαη αθηίλαο 4 , ηέκλεη από ηνλ
Από ην ζεκείν 6 , 1 θέξλνπκε ηηο
εθαπηόκελεο ΑΒ θαη ΑΓ πξνο ηνλ θύθιν C : x 2 y 2 1 . Να βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ ΒΓ .
Γίλεηαη ν θύθινο x 2 y 2 9 θαη ην ζεκείν
5 , 3 . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο
εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην Β . - 60 -
κωνικές τομές 59)
κεφάλαιο 3 67)
Να δεηρζεί όηη ην ζεκείν 3 , 0 είλαη
Γίλεηαη ν θύθινο C : x 2 y 2 8 . α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν 2 , 2 .
εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ x2 y 2 4 x 2 y 1 0 . Καηόπηλ λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ρνξδή ηνπ θύθινπ ζηελ νπνία ην Α είλαη ην κέζν ηεο .
β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε κε ηνπο άμνλεο . γ. Να βξείηε ηελ γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε κε ηνλ άμνλα xx .
60)
Να βξείηε ην κήθνο ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ κε εμίζσζε ( x 3)2 ( y 4)2 36 πνπ έρεη κέζν ην
68)
ζεκείν 2 , 3 .
61) 62)
α. Να βξείηε επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 5 θαη ηεο νπνίαο ε κηα γσλία κε ηελ 1 είλαη
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ x 2 y 2 9 πνπ έρεη κέζν ην ζεκείν 2 , 1 .
135ν . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ , ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηηο 1 , 2 θαη έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 2 x 2 y 2 0 θαη
επζεία .
ην ζεκείν 2 , 1 .
69)
α. Να δεηρζεί όηη ην Α βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ζηνλ C ρνξδή πνπ έρεη ην Α κέζν .
63)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ C πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 7 θαη εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C : ( x 1)2 ( y 2)2 10 ζην ζεκείν ηνπ 0 , 5 .
Γίλεηαη ν θύθινο C : ( x 2)2 ( y 4)2 10 θαη
70)
ην ζεκείν 1 , 2 .
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ x2 y 2 25 πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνπο
α. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Α είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη κε ηνλ θύθιν ρνξδή κε κέζν ην Α .
64)
ζεηηθνύο εκηάμνλεο ηξίγσλν εκβαδνύ
71)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 4 x 6 y 9 0 θαη
625 . 24
Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , 2 , 2 , 4 θαη
3 , 1 .
ην ζεκείν 1 , 2 .
α. Να απνδεηρζεί όηη 900 . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ .
α. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Α είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ρνξδήο ΑΒ ηνπ θύθινπ πνπ έρεη κέζν ην Μ .
65)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x y 7 0 θαη
2 : 3x y 13 0 .
72)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 2 x 2 y 1 0 θαη
ην ζεκείν ηνπ 2 , 1 . Να γξαθεί ε εμίζσζε
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 2 y 8 0 θαη ην
6 2 ζεκείν , . 5 5 α. Να δεηρζεί όηη ην Α βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ζηνλ C ρνξδή πνπ έρεη ην Α κέζν .
ηνπ θύθινπ ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν C ζην Α εμσηεξηθά θαη έρεη αθηίλα δηπιάζηα ηεο αθηίλαο ηνπ C .
73)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ C : x 2 y 2 1 , έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ επζεία : y 3x 5
66)
Δπζεία δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ C : x2 y 2 2ax 0 , a 0 θαη είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 1 : 2 x y 2 0 . Αλ Α , Β είλαη ηα
θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 0 .
ζεκεία ηνκήο ηεο κε ηνλ θύθιν , λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ . - 61 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
74)
81)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ είλαη νκόθεληξνο ηνπ θύθινπ C : 2 x2 2 y 2 6 x 10 y 1 0 θαη εθάπηεηαη ζηελ
82)
επζεία , ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 2 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα xx γσλία
3 . 4
75)
Γίλεηαη ην ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ x 1 , y 3 θαη 3x 4 y 11 0 νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ .
Γίλεηαη ν θύθινο C : ( x 1)2 ( y 2)2 9 θαη ην
επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ζηνλ θύθιν C ρνξδή κέγηζηνπ κήθνπο .
84)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox , Oy
1 . Να βξεζεί
γηα πνηεο ηηκέο ηνπ k νη θύθινη ηέκλνληαη θαη λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο θνηλήο ρνξδήο ηνπο .
θαη εζσηεξηθά ηνπ θύθινπ C : x2 y 2 6 x 8 y 21 0 .
85)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 6 x 2 y 6 0 θαη
ην ζεκείν 4 , 1 . Αθνύ απνδείμεηε όηη ην Α
77)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 1 έρεη αθηίλα 3 θαη
είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ , λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ από ην Α , ε νπνία απέρεη ειάρηζηε απόζηαζε από ην θέληξν ηνπ θύθινπ .
εθάπηεηαη εμσηεξηθά κε ηνλ θύθιν C : x2 y 2 6x 2 y 6 0 .
86)
Να βξεζνύλ ηα ζεκεία ηνπ θύθινπ C : x2 y 2 2 x 4 y 0 πνπ απέρνπλ ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε απόζηαζε αληίζηνηρα από ηελ επζεία : 2 x y 8 0 .
Έζησ ν θύθινο x 2 y 2 2 θαη ην ζεκείν
4 , 6 .
α. Από ην Μ θέξλνπκε ηηο εθαπηνκέλεο ΜΑ θαη ΜΒ ζηνλ θύθιν . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒ . β. Να Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν κε θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
87)
Γίλεηαη ν θύθινο x 2 y 2 4 θαη ην ζεκείν
2 , 2 . Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηνκέλεο ηνπ
θύθινπ από ην Α ηέκλνληαη θάζεηα .
Γίλνληαη νη θύθινη C1 : x2 y 2 2 x 4 y 1 0
88)
θαη C2 : x2 y 2 4 x 2 y 1 0 . α. Να απνδείμεηε όηη εθάπηνληαη ζηνπο άμνλεο xx θαη y y αληίζηνηρα .
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 8x 2 y 8 0 θαη
ην ζεκείν 5 , 8 .
α. Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηνκέλεο ΜΑ θαη ΜΒ ηνπ θύθινπ είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο . β. Αλ Γ θαη Γ είλαη ηα αληηδηακεηξηθά ζεκεία ησλ Α θαη Β αληίζηνηρα , λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ ζηα Γ θαη Γ .
β. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΚΛ , όπνπ Α , Β ηα ζεκεία επαθήο κε ηνπο άμνλεο θαη Κ , Λ ηα θέληξα ησλ C1 , C2 αληίζηνηρα .
80)
Γίλνληαη νη θύθινη C1 : ( x k )2 y 2 1 θαη C2 : ( x 1)2 y 2 4 κε k
76)
79)
Να βξείηε ηηο θνηλέο εθαπηνκέλεο ησλ θύθισλ C1 : x 2 y 2 1 θαη C2 : x2 y 2 4 x 2 y 1 0 .
83)
ζεκείν 3 , 2 . Να γξαθεί ε εμίζσζε ηεο
78)
Να βξείηε ηηο θνηλέο εθαπηνκέλεο ησλ θύθισλ C1 : x 2 y 2 4 θαη C2 : ( x 4)2 y 2 4 .
Γίλεηαη ε επζεία : 2 x 3 y 15 0 θαη ην
89)
ζεκείν 5 , 6 . Να βξείηε :
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 2ax 2 y 0
θαη ην ζεκείν a , . Αλ ΜΑ θαη ΜΒ είλαη νη
α. ην ζπκκεηξηθό Μ΄ ηνπ ζεκείνπ Μ σο πξνο ηελ επζεία , β. ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ην ηκήκα ΜΜ΄ , γ. ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Μ , Μ΄ θαη εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα xx .
εθαπηόκελεο πνπ θέξνληαη από ην Μ ζηνλ θύθιν θαη ηζρύεη a 2 2 , λα απνδείμεηε όηη ε ρνξδή ΑΒ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.
- 62 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
90)
97)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x 2 y 2 25 . α. Να απνδείμεηε όηη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 3 , 4 είλαη θύθινο
ώζηε ε επζεία λα εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν C .
ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηελ εμίζσζε . β. Αλ ε εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν Α ηέκλεη ηηο εθαπηνκέλεο πνπ είλαη παξάιιειεο ζηνλ άμνλα y y
98)
ζηα ζεκεία Β θαη Γ , λα απνδείμεηε όηη ε γσλία
91)
Γίλεηαη ν θύθινο C : ( x 3)2 ( y 5)2 25 θαη ε επζεία : 2 x y 4 0 .
δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ πνπ παξηζηάλεη ε (1) .
α. Να βξείηε ην κήθνο ηεο ρνξδήο πνπ απνθόπηεη από ηνλ θύθιν C ε επζεία . β. Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο ν νπνίνο είλαη νκόθεληξνο ηνπ θύθινπ C θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 4 .
99)
100)
Να βξεζεί ν ώζηε ε επζεία x 2 y 6 0 , λα ηέκλεη ηνλ θύθιν
Να απνδεηρζεί όηη νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ ( x 1)2 ( y 1)2 1 ζηα ζεκεία 1 , 0 ,
x2 y 2 2 x 2 y 0 , θαηά δηάκεηξν .
101)
Να απνδείμεηε όηη ε επζεία
: (1 2 ) x y 2 y ηέκλεη ηνλ θύθιν C : x2 y 2 2 x 6 y 1 0 γηα θάζε .
Θεσξνύκε δπν θύθινπο δηακέηξσλ ΟΑ , ΟΒ ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ , κε a , 0 , 0 , . Να δεηρζεί όηη ην έλα θνηλό
Καηόπηλ λα βξεζεί εθείλε ε επζεία ε νπνία ηέκλεη ηνλ θύθιν θαηά δηάκεηξν .
ζεκείν ησλ θύθισλ αλήθεη ζηελ επζεία ΑΒ . (Σν άιιν θνηλό ζεκείν ηνπο είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ) .
102)
Γίλεηαη ε εμίζσζε C : ( x 1)2 ( y 4)2 a 2 8a 16 , a 0 .
α. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε C παξηζηάλεη θύθιν . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία : y 4 x 2 λα δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ C .
Να απνδεηρηεί όηη ν θύθινο C : x2 ( y 2a)2 4a 2 εθάπηεηαη ηνπ άμνλα xx
ζην ζεκείν 0 , 0 .
103)
Γίλεηαη ε επζεία y x θαη ν θύθινο
Γίλεηαη ε εμίζσζε C : x2 y 2 2ax 2 y a2 0 , όπνπ a ,
x y 4 x 1 0 . Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ 2
ώζηε ε επζεία : y x 1
θαη ν θύθινο C : x y 2 4 x 2 y 1 0 λα εθάπηνληαη .
93)
95)
Να βξεζεί ν 2
9 8 0 , 1 θαη , ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην 5 5 ηξίγσλν. Πνηα είλαη ε εμίζσζε ηεο ππνηείλνπζαο;
94)
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 y 2 2 x 0 (1) .
α. Να απνδείμεηε όηη ε (1) είλαη εμίζσζε θύθινπ ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηνπ θαη ηελ αθηίλα . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a ώζηε ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 2a θαη 1 , a λα
900 , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ .
92)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x 2 y 2 9 θαη ε επζεία : y 2 x , . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ
2
θαη 0 . Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ
ώζηε ε επζεία : α. λα ηέκλεη ηνλ θύθιν , β. λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ , γ. λα κελ έρεη θνηλά ζεκεία κε ηνλ θύθιν .
εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα xx θαη αληηζηξόθσο .
104)
Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε C : x2 y 2 2 x 4 y 5 2 4 1 παξηζηάλεη
96)
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 y 2 2 x 4 y 4 0 (1) . α. Να απνδείμεηε όηη ε (1) είλαη εμίζσζε θύθινπ ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηνπ θαη ηελ αθηίλα . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία : y x 2 λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ πνπ
θύθιν γηα θάζε . Καηόπηλ λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη αθέξαηα ηηκή ηνπ γηα ηελ νπνία ε επζεία : x y 1 0 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C .
παξηζηάλεη ε (1) .
- 63 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
105)
113)
Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε εμίζσζε x2 y 2 ( 2) x 2 0 παξηζηάλεη
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 y 2 ( 2) x ( 2) y 0 ,
0 , . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ γηα ηηο 4
θύθιν ηνπ νπνίνπ δεηνύληαη ην θέληξν θαη ε αθηίλα ηνπ .
νπνίεο ε δνζκέλε εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν .
106)
Να δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 2 x y 2 2 x 4 y 1 ( x2 y 2 4 x 2 y 1) 0
παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε
Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε 3 1 0 εμίζσζε C : x 2 y 2 3 x 1 2 2 2 παξηζηάλεη θύθιν .
1 .
107)
Γίλεηαη ε εμίζσζε x 2 y 2 2 x 4 ( x 2 y 2 2 y) 0 ,
Να δεηρζεί όηη γηα θάζε
114)
1
115)
Γίλεηαη ε εμίζσζε C : x2 y 2 2 x 2 y 2 2 0 .
1 ε παξαπάλσ
εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν , ν νπνίνο δηέξρεηαη από ζηαζεξά ζεκεία .
108)
Γίλεηαη ν θύθινο x2 y 2 2 x 6 y 9 (3x 6 y 2) 0 ,
α. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε C παξηζηάλεη θύθιν , ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία : x y 2 0 λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C .
.
α. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ν θύθινο δηέξρεηαη από δπν ζηαζεξά ζεκεία β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα δπν απηά ζεκεία θαη από ην ζεκείν 1 , 1 .
116)
Να απνδεηρζεί όηη νη εθαπηνκέλεο πνπ θέξλνπκε από έλα ηπραίν ζεκείν a , κε
a , ηνπ θύθινπ C1 : x2 y 2 2 2 πξνο ηνλ θύθιν C2 : x 2 y 2 2 είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο.
109)
Να απνδεηρζεί όηη γηα θάζε θαη γηα θάζε ε εμίζσζε x2 y 2 ( ) x ( ) y 0 παξηζηάλεη
θύθιν . Αλ ην θέληξν 1 είλαη ην ζεκείν , 3 ηνπ .
117)
ηνπ παξαπάλσ θύθινπ 3 λα βξείηε ηελ αθηίλα 2
α. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία
: x y 4 0 ηέκλεη ηνλ θύθιν
C : x2 y 2 2 x 2 y 8 0 ζε δπν ζεκεία Α θαη
Β. β. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε x2 y 2 2 x 2 y 8 ( x y 4) 0 γηα θάζε παξηζηάλεη θύθιν ν νπνίνο δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α θαη Β .
110)
Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε 9 2 1 C : x 2 y 2 4 x 2 y 0 2 2 παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε 1 . Να βξείηε ην
118)
θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ θαη λα απνδείμεηε όηη εθάπηεηαη ζηελ επζεία : x y 1 0 .
Γίλνληαη νη θύθινη C1 : x 2 y 2 ax y 0
θαη C2 : x2 y 2 x ay 0 κε a . Να απνδεηρζεί όηη ην κήθνο ηεο θνηλήο ρνξδήο ηνπο 2 |a | . είλαη 2
111)
Γίλεηαη ε εμίζσζε : x y 25 2 25 . α. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ , γηα ηηο νπνίεο ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη επζεία . β. Αλ 5 , 5 , λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη θύθινο
119)
Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ( x a)2 ( y )2 2
θέληξνπ 0 , 0 ζηνλ νπνίν εθάπηεηαη ε .
ζην ζεκείν , είλαη ( x a)( a) ( y )( ) 2 .
112)
Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ώζηε ε εμίζσζε x2 y 2 2 x 2 y 2 0 λα παξηζηάλεη θύθιν .
120)
Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ
- 64 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3 γξάθνληαη κε δηάκεηξν ηελ ΑΒ δηέξρνληαη από δπν ζηαζεξά ζεκεία .
C : x y x y 0 ζε έλα ζεκείν ηνπ 2
2
x1 , y1 είλαη
128)
x x1 y y1 2 0 . 2
Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε x2 y 2 2 x ( 2) y 1 0 παξηζηάλεη
: xx1 yy1
θύθιν . Καηόπηλ λα δεηρζεί όηη ην θέληξν ησλ θύθισλ απηώλ αλήθεη ζε γλσζηέο εκηεπζείεο .
121)
Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 C : x y 2 2 x 2 y 2 0 , ε νπνία
129)
παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ ην θέληξν ηνπ βξίζθεηαη ζηελ 2ε γσλία ησλ αμόλσλ θαη ν θύθινο δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , . Να
Γίλεηαη ε εμίζσζε C : x2 y 2 8x 2 y 7 (2 x y 4) 0 ,
α. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε C γηα θάζε παξηζηάλεη θύθιν , ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα . β. Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ην θέληξν ηνπ θύθινπ αλήθεη ζε ζηαζεξή επζεία ηεο νπνίαο λα βξεζεί ε εμίζσζε . γ. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ν θύθινο λα έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ επζεία y x .
βξεζεί ε εμίζσζε νκόθεληξνπ θύθινπ C1 , νπνίνο δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 6 .
122)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 6 x 4 y 12 0 θαη ε επζεία : 3x 2 y 0 . Να βξεζεί ν
ώζηε ε λα είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. Καηόπηλ λα δεηρζεί όηη ηα άθξα ηεο δηακέηξνπ ηζαπέρνπλ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
δ. Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη θύθινο C ώζηε λα εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα xx . ε. Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο C δηέξρεηαη από δπν ζηαζεξά ζεκεία ησλ νπνίσλ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο.
123)
Να απνδεηρζεί όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ x , y ηνπ επηπέδνπ πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο
εμηζώζεηο x y 2 θαη
x y 2 , θύθιν .
130)
Γίλεηαη ε εμίζσζε Ca : ( x a)2 ( y a 1)2 a 2 3a 2 .
, βξίζθνληαη ζε
α. Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε Ca
Να απνδεηρζεί όηη νη εμηζώζεηο x 2 3 , παξηζηάλνπλ εμίζσζε y 4 3
παξηζηάλεη θύθιν . β. Γηα ηηο ηηκέο ηνπ a ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ απηώλ βξίζθνληαη ζε ζηαζεξή επζεία .
θύθινπ ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηνπ θαη ηελ αθηίλα ηνπ .
131)
124)
Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε x 2 y 2 x 0 παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε
125)
Να απνδεηρζεί όηη κηα δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ x y 2 2 x 2 y 1 0 βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία x y 1 , όπνπ ην
. Να βξεζεί ε γξακκή πάλσ ζηελ νπνία βξίζθνληαη ηα θέληξα απηώλ ησλ θύθισλ .
2
132)
δηαγξάθεη ην 0 , 2 .
*
α. Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x a y a 1
θαη 2 : x a y a 1 . Αλ Μ είλαη ην θνηλό
126)
ηνπο ζεκείν , λα απνδείμεηε όηη ην Μ θηλείηαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηελ εμίζσζε . β. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ησλ θύθισλ ηνπ εξσηήκαηνο ( α ) , ζηα νπνία νη εθαπηνκέλεο ζρεκαηίδνπλ κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν.
Να απνδεηρζεί όηη θαζώο ην δηαγξάθεη ην δηάζηεκα 0 , 2 ην ζεκείν
a , , 0 , δηαγξάθεη ηνλ θύθιν κε θέληξν ην a , θαη αθηίλα | | .
133) 127)
.
Δπζεία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ πξνβνιώλ Μ ηνπ ζεκείνπ 3 , 4 ζηελ .
Γπν κεηαβιεηά ζεκεία a , 0 , 0 ,
θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο έηζη ώζηε a 10 . Να απνδείμεηε όηη νη θύθινη πνπ - 65 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
134)
141)
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ x0 , y0 ησλ νπνίσλ ην ηεηξάγσλν
ζεκείν x , y ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη
ησλ απνζηάζεσλ από ην ζεκείν 3 , 1 είλαη
1 . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ .
ίζν κε ηελ απόζηαζή ηνπο από ηελ επζεία : 4x 3 y 7 0 .
135)
Γίλνληαη ηα ζεκεία 6 , 2 , 3 , 1 θαη
142)
Έζησ ηα ζεκεία 2 , 1 θαη 3 , 4 .
Γίλνληαη ηα ζεκεία a , 0 θαη 0 , κε
a , 0 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ
Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ ησλ νπνίσλ ν ιόγνο ησλ 2 απνζηάζεσλ ηνπο από ηα Α θαη Β είλαη , είλαη 3 θύθινο ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα .
ζεκείσλ x , y ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία
ηζρύεη | |2 2 | |2 2 .
143)
Γίλνληαη ηα ζεκεία a , 0 θαη 0 , κε
a , 0 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ
136)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x2 y 2 2ax 0 , a 0 θαη ε κεηαβιεηή εκηεπζεία : y x κε , x 0
ζεκείσλ x , y ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία
, πνπ ηέκλεη ηνλ θύθιν C ζην ζεκείν Α . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ κέζνπ Μ ηεο ρνξδήο Α είλαη ην εκηθύθιην x 2 y 2 ax 0 κε y 0 από ην νπνίν έρεη
ηζρύεη 2 2 2 .
Έζησ Α , Β , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα 1 ώζηε λα ηζρύεη . Να βξείηε ηνλ 2 γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ x , y ηνπ
ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα Oxy ζεσξνύκε
επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη
ηελ ζηαζεξή επζεία x a , a θαη κεηαβιεηό ζεκείν ηεο a , . Αλ 0 , 2 *
145)
3 0 θαη 3 0 . β. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ι , Ρ είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ην Ο θαη ζηελ ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην
Γίλνληαη νη επζείεο
. Να βξεζεί ν
| | . γ. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ώζηε λα ηζρύεη
Γίλνληαη νη επζείεο
1 : () x () y 2 θαη 2 : () x () y 2 , . α. Να δεηρζεί όηη νη 1 , 2 ηέκλνληαη γηα θάζε
α. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζεκεία Ι θαη Ρ ώζηε λα ηζρύεη
γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηνπο .
139)
Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ κε θέληξν Ο θαη
1 : (a 1) x (a 1) y 4a 1 θαη *
έζησ | | a , | | .
2 : 2 x 2ay 3a 1 , a
2 2 2 4 .
θαη ε θάζεηε από ην ζεκείν Ο ζηελ ΡΛ ηελ ηέκλεη ζην ζεκείν Μ , λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ είλαη ν θύθινο κε εμίζσζε ( x a)2 y 2 a 2 .
138)
144)
εμαηξεζεί ην ζεκείν 0 , 0 .
137)
( 3 )( 3 ) . .
β. Να βξεζεί ε γξακκή ζηελ νπνία αλήθνπλ ηα ζεκεία ηνκήο ηνπο .
146)
Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ (Α γσλία νξζή) θαη ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ
140)
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ x , y γηα ηα νπνία ηζρύεη
ηέηνην ώζηε ( ) ( ) a 2 , όπνπ a . Να απνδείμεηε όηη ην Μ θηλείηαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα ππνινγίζεηε ηελ αθηίλα.
( 2 ) 7 , όπνπ 3 , 0 θαη Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . - 66 -
κωνικές τομές 147)
κεφάλαιο 3
επζύγξακκν ηκήκα ΒΓ , όπνπ a , θαη
Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 4 θαη 1 , 2 .
, a κε a .
Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ ηνπ
επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 | || | .
155)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x 2 y 2 25 . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ κέζνπ ησλ ρνξδώλ ΑΒ κε 3 , 4 .
148)
Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΟΑΒ (Ο γσλία νξζή) . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ x , y γηα ηα νπνία ηζρύεη
156)
1 2 , όπνπ 2 , 0 θαη 0 , 4 . 3
149)
ην ζεκείν ηνπ 3 , 1 . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ κέζσλ ησλ ρνξδώλ ΑΒ ηνπ θύθινπ C .
α. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1 , 3 ,
0 , 4 θαη 2 , 1 . Να απνδείμεηε όηη ν
157)
γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ είλαη ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη
Γίλνληαη νη θύθινη C1 : x 2 y 2 4 θαη
C2 : x 2 y 2 4 x . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό
ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ώζηε ε εθαπηνκέλε από ην Μ πξνο ηνλ θύθιν C1 λα έρεη ηεηξαπιάζην κήθνο
2 2 2 7 είλαη θύθινο . β. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ώζηε ε επζεία : (2 3 ) x (2 1) y 3 6 0 λα εθάπηεηαη ζηνλ πξνεγνύκελν θύθιν.
150)
Γίλεηαη ν θύθινο C : ( x 1)2 ( y 1)2 4 θαη
ηεο εθαπηνκέλεο από ην Μ πξνο ηνλ θύθιν C2 .
158)
ε έλα ζεκείν x0 , y0 ηνπ θύθινπ
C : x y 2 2 θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε θαη 2
ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο Oxy
πάλσ ζε απηή παίξλνπκε ζεκείν Ν ηέηνην ώζηε 2 . Αλ ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην Ν
δίλνληαη ε επζεία : x 2 θαη ην ζεκείν
θαη ην θέληξν ηνπ θύθινπ ηνλ ηέκλεη ζε έλα ( ) ζεκείν Κ , ηόηε λα δείμεηε όηη ν ιόγνο ( )
x , y ηέηνην ώζηε 6 , όπνπ Α είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΟΜ κε ηελ επζεία . Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ γξάθεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
είλαη ζηαζεξόο θαη λα ηνλ βξείηε .
159)
151)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x 2 y 2 2 . α. Να βξεζεί ε γξακκή ηελ νπνία δηαγξάθνπλ ηα ζεκεία Μ , από ηα νπνία νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ , ηέκλνληαη θάζεηα . β. Να βξεζεί ε γξακκή ηελ νπνία δηαγξάθνπλ ηα κέζα Ρ ησλ ρνξδώλ πνπ νξίδνπλ ηα ζεκεία επαθήο .
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ x , y ησλ νπνίσλ νη απνζηάζεηο από δύν ζηαζεξά ζεκεία a , 0 θαη 0 , κε a , έρνπλ ζηαζεξό ιόγν κε 0 θαη
1 .
160)
152)
εκείν Α θηλείηαη ζηελ επζεία x 3 θαη ζεκείν Β θηλείηαη ζηνλ άμνλα y y . Να βξεζεί ν
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ x , y ησλ νπνίσλ ην άζξνηζκα ησλ
γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ πξνβνιώλ Μ ηεο αξρήο ησλ αμόλσλ ζηελ επζεία ΑΒ , αλ θάζε θνξά ε ηεηαγκέλε ηνπ Β είλαη δηπιάζηα ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Α .
ηεηξαγώλσλ ησλ απνζηάζεσλ ηνπο από ηηο επζείεο 1 : 2 x y 7 0 θαη 2 : x 2 y 1 0 είλαη ζηαζεξό θαη ίζν κε 2 ( 0 ) .
153)
161)
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ κέζσλ ησλ ρνξδώλ ηνπ θύθινπ x2 y 2 2ax 0 πνπ
Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 3 , 4 , 7
ζην νπνίν νη δηάκεζνί ηνπ θαη ηέκλνληαη
δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
θάζεηα . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο θνξπθήο Α .
154)
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Α πνπ είλαη θνξπθέο νξζήο γσλίαο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ κε ππνηείλνπζα ην
- 67 -
κωνικές τομές 162)
κεφάλαιο 3
Γίλνληαη ε επζεία : 5x 3 y 2 0 θαη ν
§2. παραβολή
θύθινο C : x2 y 2 x 2 0 πνπ ηέκλνληαη ζηα ζεκεία Μ θαη Ρ . Να απνδείμεηε όηη : α. ε εμίζσζε x2 y 2 x 2 (5x 3 y 2) 0 παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε , πνπ δηέξρεηαη από ηα Μ θαη Ρ , β. ηα θέληξα ησλ θύθισλ ηνπ εξσηήκαηνο (α) αλήθνπλ ζε επζεία 1 ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
163)
Γίλεηαη ε εμίζσζε C : x2 y 2 4 x 2( 2) y 4 2 4 4 0 ,
0 . α. Να απνδείμεηε όηη ε C παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε 0 ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα . β. Να απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ C
165)
Να βξεζνύλ ηα ζηνηρεία ησλ παξαβνιώλ : α. y 4 x β. x 2 8 y 0 γ. y 2 12 x 2
δ. y 2 6 x
θηλνύληαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε. γ. Να απνδείμεηε όηη νη θύθινη C εθάπηνληαη ζηηο
ε. x2 12 y 0
ζη. x 2 8 y
166)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ 0 , 0 θαη
επζείεο 1 : 4 x 3 y 6 0 θαη 2 : y 2 0 .
άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ xx αλ : α. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 ,
164)
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 y 2 (2k 5) x 6 y 4k a 0 (1) κε k , a .
β. έρεη εζηία ην ζεκείν 3 , 0 , γ. έρεη δηεπζεηνύζα ηελ επζεία : x 4 .
α. Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ε (1) παξηζηάλεη θύθιν k . β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ . γ. Γηα ηελ κηθξόηεξε αθέξαηα ηηκή ηνπ a , λα δεηρζεί όηη ε επζεία x 2 ηέκλεη όινπο ηνπο θύθινπο ζηα ίδηα ζεκεία .
167)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ 0 , 0 θαη
άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ xx αλ : α. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 2 , β. έρεη δηεπζεηνύζα ηελ επζεία : x 2 0 .
168)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ 0 , 0 θαη
άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ επζεία x 0 αλ : α. έρεη εζηία 0 , 3 , β. έρεη δηεπζεηνύζα : y 2 0 ,
γ. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 3 , 3 2
.
169)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο κε θνξπθή ηνπ ζεκείν 0 , 0 ζηηο παξαθάησ
πεξηπηώζεηο : α. είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ ζεηηθό εκηάμνλα Ox θαη έρεη παξάκεηξν p 5 , β. είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ άμνλα Ox θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 4 , γ. είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ άμνλα Oy θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2 , δ. έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ Oy θαη εζηία 0 , 4 . - 68 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3 181)
170)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο κε εζηία 5 , 0 θαη εμίζσζε δηεπζεηνύζαο
182)
Να βξεζεί ε ζπλζήθε ώζηε ε επζεία y ax , a 0 λα εθάπηεηαη ζηελ παξαβνιή
171)
Να βξεζεί ε ζρεηηθή ζέζε ηεο επζείαο x y 1 0 σο πξνο ηελ παξαβνιή y 2 2 x .
y 2 2 px .
172)
183)
Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο παξαβνιήο y 2 3x ζηα ζεκεία 0 , 0 θαη
Να βξεζεί ε απόζηαζε ηεο εζηίαο ηεο παξαβνιήο y 2 4 x από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ε
.
νπνία έρεη
173)
Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο y 2 24 x πνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία
184)
y 3x 2 .
185)
2x y 1 0 . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο y 2 3x πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία y 2 x 2009 .
186)
176)
Έζησ ε παξαβνιή y 2 4 x . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 3x y 2010 0 .
Από ην ζεκείν 2 , 3 πξνο ηελ παξαβνιή
y 8 x γξάθνληαη δπν εθαπηόκελεο επζείεο . 2
α. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ απηώλ επζεηώλ . β. Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο απηέο επζείεο είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο .
Γίλεηαη ε παξαβνιή y 2 2 x . Να βξείηε ηελ
εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο πνπ νξίδεη κε ηνπο άμνλεο ηκήκα κήθνπο 5 .
187)
Έζησ ε παξαβνιή y 2 x θαη ε επζεία :x y 2 .
α. Να απνδείμεηε όηη ε παξαβνιή θαη ε επζεία ηέκλνληαη . β. Αλ Α , Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο , λα δείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο ηεο παξαβνιήο ζηα ζεκεία Α , Β ηέκλνληαη ζην ζεκείν Μ ην νπνίν βξίζθεηαη ζηελ 1 παξαβνιή y 2 x . 8
Έζησ ε παξαβνιή y 2 2 x θαη ηα ζεκεία
a , 2 , , 4 ηεο παξαβνιήο . Να
βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο παξαβνιήο ζηα Α , Β θαζώο θαη ην ζεκείν ηνκήο ηνπο Γ . Έζησ ε παξαβνιή y 2 2 x θαη ην ζεκείν
188)
ηεο 2 , 4 . Να βξεζνύλ :
Έζησ ε παξαβνιή y 2 6 x . Αλ x1 , y1 ,
x2 , y2 είλαη ζεκεία ηεο παξαβνιήο κε
α. ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζην Α , β. ε εμίζσζε ηεο θάζεηεο ζηελ παξαβνιή ζην Α .
180)
Έζησ ε παξαβνιή y 2 6 x θαη κηα ρνξδή
ηεο ΑΒ . Αλ ΡΑ , ΡΒ νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζηα Α , Β θαη Κ ην κέζν ηνπ ΑΒ , λα δεηρηεί όηη ηα Ρ , Κ ηζαπέρνπλ από ηνλ νξηδόληην άμνλα .
175)
179)
Έζησ νη παξαβνιέο C1 : y 2 32 x ,
αμόλσλ . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο θνηλήο εθαπηνκέλεο ησλ δπν παξαβνιώλ .
Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο x 2 6 y πνπ θάζεηε πξνο ηελ επζεία
178)
1 . 3
C2 : x 2 4 y νη νπνίεο ηέκλνληαη ζηελ αξρή ησλ
174)
177)
ώζηε ε επζεία
y 2 ax .
: x 5 0 .
12 , 6
Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ a
: x y 1 0 λα εθάπηεηαη ζηελ παξαβνιή
y1 y2 2 3 , λα δείμεηε όηη ε επζεία ΑΒ ζρεκαηίδεη ζηαζεξή γσλία κε ηνλ άμνλα Ox ηελ νπνία θαη λα ππνινγίζεηε .
Έζησ ε παξαβνιή x 2 2 y . Να βξεζνύλ
ζεκεία Κ , Λ απηήο ώζηε λα είλαη ζπλεπζεηαθά κε ηελ εζηία Δ θαη λα ηζρύεη () 8 .
- 69 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
189)
196)
Γίλεηαη ε παξαβνιή y 2 5 x θαη ην νξζνγώλην ηξίγσλν ΟΑΒ πνπ είλαη εγγεγξακκέλν ζε απηή. Να ππνινγίζεηε ηελ ππνηείλνπζα ΑΒ .
190)
εθαπηνκέλεο 1 , 2 κε 1 2 θαη 2
1 . Να 3
βξεζεί ην θνηλό ζεκείν ησλ 1 , 2 .
Η εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο x 2 8 y πνπ
197)
δηέξρεηαη από ην ζεκείν 12 , 18 ηέκλεη ηνλ άμνλα xx ζην Λ . Αλ Δ είλαη ε εζηία ηεο παξαβνιήο λα δείμεηε όηη .
Γίλεηαη ε παξαβνιή y 2 4 x κε εζηία ην
1 ζεκείν Δ θαη ην ζεκείν ηεο , 1 . 4 α. Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο ζην ζεκείν Μ ηέκλεη ηελ δηεπζεηνύζα ζην Κ λα δείμεηε όηη . β. Αλ ε επζεία ΜΔ ηέκλεη ηελ παξαβνιή μαλά ζην Κ θαη ε θάζεηε ηεο ΜΔ ζην Λ ηέκλεη ηελ εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο (ζην Μ) ζην Ν , λα δείμεηε όηη ε ΛΝ δηρνηνκείηαη από ηελ δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο .
191)
Να βξεζεί ε ζρέζε ηεο επζείαο 2 : y x , 0 κε ηελ παξαβνιή
C : y 8x . 2
192)
Γίλεηαη ε παξαβνιή y 2 16 x θαη νη
15 , 4 0 εθάπηεηαη ηεο παξαβνιήο y 2 15x . Καηόπηλ λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ θνηλώλ εθαπηνκέλσλ ηεο παξαβνιήο θαη ηνπ θύθινπ x 2 y 2 16 .
198)
Να απνδείμεηε όηη ε επζεία y x
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px , p 0 . Να βξεζεί ην p αλ γλσξίδνπκε όηη ε παξαβνιή
δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2 θαη θαηόπηλ λα βξεζεί ε απόζηαζε ηεο εζηίαο Δ από ηελ εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο ζην ζεκείν Α .
193)
199)
Γίλεηαη ε παξαβνιή 2y 2 x . α. Να βξεζνύλ ε εζηία ηεο θαη ε δηεπζεηνύζα . β. Να βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ ηεο 2 , 1 από
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px , p 0 θαη ε επζεία : y x . Να βξεζεί ην p ώζηε ε επζεία θαη ε παξαβνιή λα ηέκλνληαη ζε δπν ζεκεία , ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε λα είλαη ίζε κε 8 2 .
ηελ εζηία Δ θαη λα ζπγθξηζεί κε ηελ απόζηαζε (ΟΔ) . γ. Να απνδείμεηε όηη ζε θάζε παξαβνιή ην ζεκείν ηεο κε ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε από ηελ εζηία είλαη ε θνξπθή ηεο Ο . δ. Να βξεζεί ζεκείν ηεο παξαβνιήο 2y 2 x πνπ λα
200)
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px θαη ζεκείν
απέρεη από ηελ εζηία Δ απόζηαζε δηπιάζηα ηεο ΟΔ .
x0 , y0 , όπνπ y0 0 . Να βξείηε ηελ
194)
εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Μ θαη ηέκλεη ηελ παξαβνιή ζε δπν ζεκεία Α , Β ηέηνηα
Γίλεηαη ε παξαβνιή y 4 x θαη ε επζεία y x 1 . 2
ώζηε .
α. Να δείμεηε όηη ε επζεία δηέξρεηαη από ηελ εζηία ηεο παξαβνιήο . β. Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία Α , Β ηεο επζείαο θαη ηεο παξαβνιήο . γ. Να δείμεηε όηη νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζηα ζεκεία Α , Β είλαη θάζεηεο . δ. Να δείμεηε όηη θάζε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ εζηία θαη ηέκλεη ηελ παξαβνιή ζε δπν ζεκεία έρεη ηελ ηδηόηεηα ηνπ (γ) εξσηήκαηνο .
201)
Γίλεηαη ε παξαβνιή y 2 4 x θαη δπν ζεκεία ηεο Α θαη Β ώζηε , όπνπ Ο ε αξρή ησλ
αμόλσλ . Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ,
αλ ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ είλαη ίζν κε 16 .
202)
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px θαη κηα ρνξδή ηεο ΑΒ παξάιιειε κε ηνλ άμνλα y y , ε
195)
Ιζόπιεπξν ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη εγγεγξακκέλν ζηελ παξαβνιή y 2 4 px κε θνξπθή ην Ο . Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ .
νπνία δηέξρεηαη από ηελ εζηία . Να απνδεηρζεί όηη : α. () 2( ) , όπνπ Κ ην ζεκείν πνπ ηέκλεη ν άμνλαο xx ηελ δηεπζεηνύζα , β. νη εθαπηνκέλεο ζηα Α θαη Β δηέξρνληαη από ην Κ .
- 70 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
203)
ην ζεκείν Λ ηεο παξαβνιήο C : y 2 2 px , θέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηεο , ε νπνία ηέκλεη ηνλ άμνλα xx ζην Α . Να δείμεηε όηη ν άμνλαο y y δηρνηνκεί ην ηκήκα ΑΛ .
212)
ζην ζεκείν
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px , p 0 . Να δείμεηε όηη ε απόζηαζε ηεο εζηίαο ηεο από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ( ) κε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο
213)
1 , είλαη d , p 2 1 . 2
Έζησ νη παξαβνιέο C1 : y 2 2 px ,
214)
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px θαη Κ , Λ είλαη δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο παξαβνιήο ηέηνηα ώζηε νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο C ζηα ζεκεία απηά λα ηέκλνληαη ζε ζεκείν Μ . α. Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ζηα ζεκεία Κ , Λ . β. Να βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο Μ. γ. Να απνδείμεηε όηη ()2 () () .
206)
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px . Φέξλνπκε κηα ρνξδή ΚΛ ε νπνία δηέξρεηαη από ηελ εζηία Δ ηεο παξαβνιήο . Να δείμεηε όηη 1 1 2 . p | | | |
215)
207)
ε ζεκείν Μ δηαθνξεηηθό από ηελ θνξπθή ηεο παξαβνιήο C : y 2 2 px θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηεο C πνπ ηέκλεη ηνλ άμνλα xx ζην ζεκείν Α . Αλ ηζρύεη xx , λα δείμεηε όηη (ΟΑ) = (ΟΓ) .
Γίλνληαη ε επζεία y x θαη ε παξαβνιή
C : y 2 px , p 0 . 2
α. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ Ο θαη Α ηεο επζείαο θαη ηεο παξαβνιήο . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνθάζεηεο επζείαο ηνπ ηκήκαηνο ΟΑ . γ. Έζησ Β θαη Γ ηα ζεκεία ζηα νπνία ε κεζνθάζεηνο ηέκλεη ηελ παξαβνιή . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ηελ ΒΓ .
208)
Έζησ Κ ε νξζή πξνβνιή ζεκείνπ Μ ηεο παξαβνιήο C : y 2 2 px ζηελ δηεπζεηνύζα . Αλ Δ είλαη ε εζηία ηεο παξαβνιήο , λα δείμεηε όηη ε κεζνθάζεηνο ηεο ΚΔ εθάπηεηαη ηεο παξαβνιήο ζην Μ .
216)
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 4ax , a 0 κε θνξπθή Ο θαη εζηία Δ . Θεσξνύκε ηελ ρνξδή ΑΒ θάζεηε ζηνλ άμνλα xx κε (ΑΒ) = 8 .
Γίλεηαη ε παξαβνιή C : y 2 2 px θαη δπν
α. Να πξνζδηνξίζεηε ην a ώζηε . β. Αλ ε επζεία ΑΔ ηέκλεη ηελ παξαβνιή πνπ πξνθύπηεη γηα a 1 ζην ζεκείν Γ θαη Κ , Λ είλαη νη πξνβνιέο ησλ Α , Γ αληίζηνηρα ζηελ δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο , λα απνδείμεηε όηη :
ρνξδέο ΟΒ , ΟΓ ώζηε λα ηζρύεη 900 . Να απνδείμεηε όηη ε ΒΓ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν .
ηα ζεκεία x1 , y1 , x2 , y2 ηεο
i. 900 , όπνπ Μ ην κέζν ηνπ ΚΛ , ii. νη δηαγώληεο ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΚΛΓ δηέξρνληαη από ηελ θνξπθή Ο .
παξαβνιήο C : y 2 2 px θέξλνπκε ηηο εθαπηνκέλεο νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην x3 , y3 .
217)
Να δείμεηε όηη 2y3 y1 y2 .
211)
, 2 pt , t 0 θαη ε θάζεηε ζηελ
C1 ζην Μ ηέκλεη ηελ C2 ζηα Α , Β , λα δείμεηε όηη ην Μ είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ .
2
κήθνο 8 p . Να απνδεηρζεί όηη 0 .
210)
2
C2 : y 2 2 p( x a) , a 0 . Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο
Έζησ ε παξαβνιή y 4 px , p 0 . Μηα ρνξδή ηεο ΑΒ είλαη θάζεηε ζηνλ άμνλα θαη έρεη
209)
pt
εθαπηνκέλε ζην ίδην ζεκείν ηέκλνπλ ηνλ άμνλα xx ζηα ζεκεία Β θαη Γ . Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ ηζαπέρνπλ από ηελ εζηία ηεο παξαβνιήο .
204)
205)
Η εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο C : y 2 4 px
Γίλεηαη ν θύθινο x 2 y 2 2 θαη ε
παξαβνιή y 2 8 x . α. Να βξεζνύλ νη θνηλέο εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ θαη ηεο παξαβνιήο . β. Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο απηέο είλαη θάζεηεο .
Γίλεηαη ε παξαβνιή C : y 2 px , p 0 θαη Μ ηπραίν ζεκείν ηεο . Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο κε δηάκεηξν ην ΔΜ , όπνπ Δ ε εζηία ηεο παξαβνιήο , εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα y y . 2
- 71 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
218)
226)
Να απνδείμεηε όηη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ηεο παξαβνιήο y 2 4 x , πνπ έρνπλ ζπληειεζηή
ζεκείν a 2 , 2a , a
δηεύζπλζεο 1 , βξίζθνληαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
219)
*
. Έζησ Β ε πξνβνιή
ηνπ Α ζηνλ άμνλα y y θαη Μ ε πξνβνιή ηνπ Β ζηελ ΟΑ . α. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία ΒΜ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 0 .
Έζησ ε παξαβνιή y 2 4 x θαη ε επζεία
y ax a , a 0 . Να βξείηε ηελ θακπύιε ζηελ
β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a * .
νπνία θηλνύληαη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ΑΒ , όπνπ Α , Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο παξαβνιήο θαη ηεο επζείαο .
§3. παραβολή
220)
Έζησ ε παξαβνιή C : y 2 2 px . Να βξεζεί ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ πνπ είλαη κέζα ησλ ρνξδώλ πνπ δηέξρνληαη από ηελ θνξπθή ηεο παξαβνιήο .
221)
Γίλεηαη ε παξαβνιή C : y 2 4 x θαη ην
Γίλεηαη ε παξαβνιή y 2 4 x . Αλ
1 x1 , y1 , 2 x2 , y2 κε x1 x2 είλαη δπν
ζεκεία ηεο ηέηνηα ώζηε y1 y2 4 , λα απνδείμεηε όηη : α. ε επζεία 1 2 ζρεκαηίδεη ζηαζεξή γσλία κε ηνλ άμνλα xx , β. ην κέζν Μ ηνπ ηκήκαηνο 1 2 θηλείηαη ζε επζεία παξάιιειε ζηνλ xx , όηαλ ηα 1 , 2 θηλνύληαη
227)
Να βξείηε ηνπο εκηάμνλεο , ηελ εθθεληξόηεηα θαη ηηο εζηίεο ησλ ειιείςεσλ : α. x2 9 y 2 9 2 x2 3 y 2 β. 24 3 2 δ. 4 x2 9 y 2 36 x2 y2 1 γ. 4 ε. 4 x2 25 y 2 225 ζη. x2 4 y 2 16
πάλσ ζε παξαβνιή .
222)
Γίλνληαη ηα ζεκεία ηνπ επηπέδνπ 2 , 2 pa , a .
2 pa
α. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία απηά αλήθνπλ ζε παξαβνιή . β. Αλ 2 pa12 , 2 pa1 , 2 pa22 , 2 pa2 είλαη ζεκεία
228)
x2 4 y 2 1 . Να βξεζνύλ 9 9 νη εζηίεο , νη θνξπθέο , ε εθθεληξόηεηα θαη ν κεγάινο άμνλαο απηήο .
ηεο παξαβνιήο απηήο , λα απνδεηρζεί όηη αλ ε ΑΒ δηέξρεηαη από ηελ εζηία , ηόηε 4a1a2 1 .
223)
Έζησ ε έιιεηςε
229)
Γίλεηαη ε παξαβνιή C : y 2 2 px . Θέηνπκε x ax θαη y ay , a 0 . Να απνδείμεηε όηη
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 6 , 4 θαη ηζρύεη
ην ζεκείν x , y θηλείηαη πάιη ζε παξαβνιή .
a 2 .
224)
230)
Γίλεηαη ζηαζεξό ζεκείν Α θαη ε επζεία πνπ δελ δηέξρεηαη από ην Α . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ δηέξρνληαη από ην Α θαη εθάπηνληαη ζηελ , είλαη παξαβνιή .
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε 1 εθθεληξόηεηα θαη κηα εζηία 0 , 2 . 3
231)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο x2 y 2 1 πνπ έρεη κεγάιν άμνλα 8 θαη a2 2 3 εθθεληξόηεηα . 4
225)
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ εθάπηνληαη ζηνλ θύθιν C : x2 y 2 4ax 0 , a 0 θαη ζηνλ άμνλα y y . - 72 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
232)
241)
233)
242)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο x2 y 2 1 κε 0 a ε νπνία δηέξρεηαη από a2 2 9 ην ζεκείν 4 , θαη έρεη εζηηαθή απόζηαζε 5 ίζε κε 8 .
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν 2 άμνλα πάλσ ζηνλ y y , εθθεληξόηεηα θαη 3 5 δηέξρεηαη από ην ζεκείν , 2 . 3 Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 0 θαη
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο 4 , 0 , 4 , 0 θαη θνξπθέο 5 , 0 ,
5 , 0 .
3 1 , . 2
234)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα y y , έρεη θνξπθέο
243)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν άμνλα ηνλ xx θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 4 θαη 6 , 2 .
2 , 0 , 2 , 0 θαη κεγάιν άμνλα κήθνπο 6.
235)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν άμνλα ζηνλ xx θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 6 , 4 ,
244)
8 , 3 .
θαη C2 :
236)
Να γξαθεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη κεγάιν θαη κηθξό άμνλα κε κήθνο 6 θαη 4 κνλάδεο αληίζηνηρα θαη έρεη εζηίεο πάλσ ζηνλ άμνλα xx ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
246)
Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο θακπύιεο 1 16 x2 y 2 16 0 ζην ζεκείν , 2 3 . 2
2,0 .
247)
Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο 9 x 16 y 2 144 πνπ είλαη :
238)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο 5 , 0 , 5 , 0 θαη εθθεληξόηεηα
2
α. παξάιιειεο ζηελ επζεία x y 0
5 . 8
β. θάζεηεο ζηελ επζεία x y 1 0
248)
Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο x y2 1 πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 12 8 x 2y 5 0 .
239)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε 1 εθθεληξόηεηα θαη απόζηαζε κεηαμύ ησλ 3 εζηηώλ 6 , νη νπνίεο βξίζθνληαη ζηνλ άμνλα xx .
2
249)
Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο x2 y 2 1 πνπ είλαη : 3 α. παξάιιειεο ζηελ β. θάζεηεο ζηελ επζεία x y20 επζεία x 3 y 1 0
240)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο ε νπνία έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα y y , εθθεληξόηεηα
y 2 x2 1 είλαη όκνηεο . 12 16
Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο ηηο εζηίεο Δ΄ , Δ θαη ηηο θνξπθέο ηνπ κηθξνύ άμνλα Β ΄, Β ηεο έιιεηςεο 9 x2 25 y 2 225 .
Να βξεζεί ε κνξθή ηεο εμίζσζεο ηεο 2 έιιεηςεο κε εθθεληξόηεηα θαη εζηία 2
x2 y 2 1 4 3
245)
237)
Να δείμεηε όηη νη ειιείςεηο C1 :
4 θαη κηθξό άμνλα 2 6 . 5
- 73 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
250)
257)
Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο 5x2 20 y 2 100 πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 3x 3 y 7 0 .
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ε νπνία εθάπηεηαη ζηελ επζεία : 4 x 3 y 11 0 ζην ζεκείν ηεο
2 , 1 .
251)
Να βξείηε ηηο επζείεο πνπ εθάπηνληαη ηεο x2 6 y 2 έιιεηςεο 1 πνπ έρνπλ ζπληειεζηή 15 15 1 δηεύζπλζεο . 2
258)
Μηα έιιεηςε C έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα xx . Γηα έλα ζεκείν Μ ηεο C ε ΜΔ΄ είλαη θάζεηε ζηελ ΜΔ θαη ηζρύεη () 6 , () 8 , όπνπ Δ΄ , Δ νη εζηίεο . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο θαη ην ζεκείν Μ .
252)
Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ x2 y 2 ηεο έιιεηςεο 1 ζηα θνηλά ζεκεία απηήο 6 3 κε ηελ επζεία y 2 x 3 .
259)
Να βξεζεί ε έιιεηςε κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν άμνλα ηνλ xx ε νπνία εθάπηεηαη ζηελ επζεία : y x .
253)
Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ x2 y 2 ηεο έιιεηςεο 1 , νη νπνίεο δηέξρνληαη 9 5 από ην 3 , 5 .
260)
Έζησ ε έιιεηςε C : 9 x2 25 y 2 225 θαη ην
ζεκείν 5 , 4 . Να απνδείμεηε όηη ην Μ είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηεο έιιεηςεο .
261)
x2 y 2 1 θαη ην 40 10 ζεκείν 8 , 2 . Να απνδείμεηε όηη ην Ρ είλαη
254)
x2 y 2 Έζησ ε έιιεηςε 1 . Να βξεζεί ε 5 9 εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο έιιεηςεο πνπ απνθόπηεη από ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ίζα ηκήκαηα .
Έζησ ε έιιεηςε C :
εμσηεξηθό ζεκείν ηεο έιιεηςεο .
262)
Γίλεηαη ε έιιεηςε
263)
Να βξείηε ζεκείν ηεο έιιεηςεο
264)
Γίλεηαη ε έιιεηςε
x2 y 2 1 . Να βξείηε ηα 16 12 ζεκεία ηεο έιιεηςεο ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε από ην κεγάιν άμνλα είλαη ίζε κε 3 . x2 y 2 1 12 16 πνπ απέρεη από ηνλ κηθξό άμνλα ηεο απόζηαζε ίζε κε 2 .
255)
x2 y 2 1 θαη ην ζεκείν 4 3 3 , 2 . Αλ ΜΑ θαη ΜΒ είλαη νη εθαπηόκελεο
x2 y 2 1 . Να 8 5 βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο έιιεηςεο πνπ απνθόπηεη από ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ίζα ηκήκαηα .
ηεο έιιεηςεο από ην Μ λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Μ από ηελ επζεία ΑΒ .
Γίλεηαη ε έιιεηςε C :
265)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε κηαο δηακέηξνπ ηεο έιιεηςεο x2 6 y 2 2 ηεο νπνίαο ην κήθνο είλαη
256)
2.
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη εθάπηεηαη ησλ επζεηώλ x 6 y 20 θαη 3x 2 y 20 0 .
266)
ηελ έιιεηςε x2 5 y 2 20 , λα βξείηε ζεκεία ηεο Μ ηέηνηα ώζηε , όπνπ Δ΄ , Δ είλαη νη εζηίεο ηεο έιιεηςεο .
- 74 -
κωνικές τομές 267)
κεφάλαιο 3 2
274)
2
2
x y 1 , a . Αλ a2 2 νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο ζηελ θύξηα θνξπθή ηεο Α θαη ζε έλα ηπραίν ζεκείν ηεο x0 , y0
x y 1 θαη Δ΄ , Δ νη 25 9 εζηίεο ηεο . Να βξείηε ηα ζεκεία Μ ηεο έιιεηςεο Έζησ ε έιιεηςε C :
2
γηα ηα νπνία ηζρύεη 900 .
Έζησ ε έιιεηςε C :
ηέκλνληαη ζην Κ , λα δείμεηε όηη / / .
268)
x2 y 2 Έζησ ε έιιεηςε C : 1 . Να 9 34 βξεζνύλ νη θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ Δ΄ΚΔΛ (Δ΄ , Δ νη εζηίεο) αλ ηα Κ , Λ βξίζθνληαη πάλσ ζηελ έιιεηςε .
275)
Αλ είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο έιιεηςεο x2 y 2 C : 2 2 1 ζην ζεκείν x1 , y1 , λα a απνδείμεηε όηη ε θάζεηε ζηελ έρεη ζπληειεζηή 2 x δηεύζπλζεο 2 1 . a y1
269)
Να βξεζεί ε πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ πνπ x2 y 2 είλαη εγγεγξακκέλν ζηελ έιιεηςε C : 1. 4 5
276)
Έζησ θύθινο κε εμίζσζε x 2 y 2 a 2 . Αλ ζέζνπκε x x θαη y cy λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν x , y αλήθεη ζε έιιεηςε .
277)
Να εμεηαζηεί αλ ππάξρεη έιιεηςε ζηελ νπνία έλα ζεκείν ηεο Μ λα ζρεκαηίδεη κε ηηο εζηίεο Δ΄ θαη Δ ηζόπιεπξν ηξίγσλν .
278)
Να βξείηε ηελ εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο ηεο νπνίαο : α. ν κηθξόο άμνλαο θαίλεηαη από θάζε εζηία ππν γσλία 60ν , β. κηα θνξπθή ηνπ κηθξνύ άμνλα βιέπεη ππό νξζή γσλία ην ηκήκα Δ΄Δ (όπνπ Δ΄ , Δ νη εζηίεο ηεο έιιεηςεο) .
270)
Να βξείηε ηελ πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ πνπ x2 y 2 είλαη εγγεγξακκέλν ζηελ έιιεηςε 1 . 16 9
279)
271)
x2 y 2 1 θαη ε Γίλεηαη ε έιιεηςε C : 4 2 επζεία y 2 x 1 . Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ ηεο ρνξδήο ΑΒ πνπ νξίδεηαη από ηελ επζεία θαη ηελ έιιεηςε .
272)
Να δείμεηε όηη νη ειιείςεηο C1 :
θαη C2 :
x2
2
y2
2
1
x2 y2 2 1 έρνπλ ηηο ίδηεο 2 p p2 2
εζηίεο .
x2 y 2 1 θαη νη 4 9 ρνξδέο ηεο ησλ νπνίσλ ν ζπληειεζηήο 2 δηεύζπλζεο είλαη . Να απνδείμεηε όηη ηα 2 κέζα ησλ ρνξδώλ απηώλ βξίζθνληαη ζε δηάκεηξν ηεο έιιεηςεο ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
280)
Γίλεηαη ε έιιεηςε C :
281)
Έζησ ε έιιεηςε C :
x2 y 2 1 . a2 2 Θεσξνύκε έλα ζεκείν Μ ηεο έιιεηςεο ηέηνην ώζηε ε ΟΜ λα ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα xx γσλία θαη θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηεο 6 έιιεηςεο ζην Μ ε νπνία ηέκλεη ηνπο άμνλεο Α θαη Β ώζηε ην ζεκείν Μ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ . Να βξείηε ηελ εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο .
Γίλεηαη ε έιιεηςε C :
273)
Ο θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα δηέξρεηαη από ηελ εζηία ηεο
x2 y 2 έιιεηςεο C : 2 2 1 κε a . Να βξεζεί ε a εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο .
x2 y 2 1 θαη ην a2 2
ζεκείν a3 , 3 . Αλ ΚΑ , ΚΒ νη εθαπηνκέλεο ζηελ έιιεηςε θαη ε εζηία Δ αλήθεη ζηελ επζεία ΑΒ , λα απνδείμεηε όηη 2 . - 75 -
κωνικές τομές 282)
κεφάλαιο 3 2
2
x y 1 . a2 2 α. Να δείμεηε ην ηεηξάπιεπξν Δ΄ΒΔΒ΄ είλαη ξόκβνο (Δ΄, Δ εζηίεο ηεο έιιεηςεο) . β. Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ξόκβνπ. Γίλεηαη ε έιιεηςε C :
§4. υπερβολή
286)
Να βξείηε ηηο εζηίεο ησλ ππεξβνιώλ : α. x 2 4 y 2 100 β. x2 16 y 2 1
283)
γ. y 2 9 x 2 121 Γίλεηαη ε έιιεηςε C : x a y a θαη 2
ε επζεία : x
a2
2
2
2
2
287)
Να βξείηε ηηο εζηίεο θαη ηελ εθθεληξόηεηα ησλ ππεξβνιώλ : α. 16 x2 9 y 2 144 β. 16 y 2 x 2 16
. Αλ x0 , y0 είλαη ηπραίν
ζεκείν ηεο C , λα απνδείμεηε όηη
d ( , ) , d ( , ) a
288)
όπνπ , 0 .
284)
Να βξείηε ηηο εζηίεο , ηελ εθθεληξόηεηα θαη ηηο αζύκπησηεο ησλ ππεξβνιώλ : x2 x2 y 2 α. β. y2 1 1 9 100 25 γ. 4 x 2 16 y 2 64 0 δ. 9 x2 64 y 2 1
Γίλεηαη ν θύθινο x 2 y 2 4 θαη ε έιιεηςε
x2 y 2 1 . 2 6
δ. y 2 25x 2 49
2
289)
α. Να δείμεηε όηη ην ζεκείν 1 , 3 είλαη θνηλό ηνπο ζεκείν θαη ζηελ ζπλέρεηα λα βξείηε όια ηα θνηλά ζεκεία . β. Να δείμεηε όηη ηα θνηλά ηνπο ζεκεία είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ . γ. Να βξεζνύλ ηα ζεκεία x0 , y0 ώζηε x02 y02 4 θαη () () 2 6 (Δ΄, Δ εζηίεο ηεο έιιεηςεο) .
285)
Γίλεηαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ θαη ην κέζν ηνπ Κ . Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ , γηα ηα νπνία ηζρύεη 1 2 | | | | , | | | | 1 2
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα xx ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθόκε : α. έρεη εζηηαθή απόζηαζε (Δ΄Δ) = 6 θαη εθθεληξόηεηα 3 , 2 β. έρεη εζηηαθή απόζηαζε (Δ΄Δ) = 20 θαη εμηζώζεηο 4 αζπκπηώησλ y x , 3
290)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε θνξπθέο 0 , 4 , 0 , 4 θαη εζηίεο
0 , 5 , 0 , 5 .
291)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε εζηίεο 13 , 0 , 13 , 0 θαη αζύκπησηεο
ηηο επζείεο 1 : y
2 2 x , 2 : y x . 3 3
292)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ 1 έρεη αζύκπησηεο ηηο επζείεο y x θαη 2
δηέξρεηαη από ην ζεκείν 10 , 5 . - 76 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3 303)
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ x2 y 2 ηεο ππεξβνιήο 1 πνπ είλαη : 9 4 α. παξάιιειεο ζηελ επζεία 4 x 3 y 1 0 , β. θάζεηεο ζηελ επζεία x 2 y 1 0 .
293)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη απόζηαζε θνξπθώλ 16 θαη εζηηαθή απόζηαζε 20 , κε εζηίεο ζηνλ άμνλα xx .
294)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 1 ,
304)
Γίλεηαη ε ππεξβνιή x 2 y 2 1 θαη ε επζεία x 2 y a . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ a
4 , 5 θαη έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα xx .
ώζηε ε επζεία λα εθάπηεηαη ηεο ππεξβνιήο .
295)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο x2 y 2 C : 2 2 1 ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία a 9 20 5 , θαη , 8 . 2 3
305)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη ηηο ίδηεο εζηίεο κε ηελ έιιεηςε 16 x2 25 y 2 400 θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο
x y 1 0 .
296)
306)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε εζηίεο 0 , 6 , 0 , 6 θαη εθθεληξόηεηα
ηέκλνληαη πάλσ ζηελ ππεξβνιή 9 x 2 16 y 2 144
3 . 2
307)
Να απνδείμεηε όηη ε απόζηαζε κηαο εζηίαο ηεο ππεξβνιήο 9 x2 25 y 2 225 από κηα
297)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο ε νπνία έρεη εζηίεο 5 , 0 , 5 , 0 θαη
αζύκπησηή ηεο είλαη ίζε κε 3 .
x2 y 2 θνξπθέο ηηο εζηίεο ηεο έιιεηςεο 1 . 25 16
308)
Να βξείηε ηελ γσλία ησλ αζύκπησησλ ηεο x2 y 2 ππεξβνιήο C : 2 2 1 κε εθθεληξόηεηα a 2.
298)
Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ηζνζθεινύο ππεξβνιήο ε νπνία έρεη ηηο ίδηεο εζηίεο κε ηελ έιιεηςε 9 x2 25 y 2 225 .
299)
Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο
1 : 3x 4 y 24 0 θαη 2 : 3x 4 y 6 0
309)
y2 1 θαη ην 4 ζεκείν 2 , 3 . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο
x2 y 2 1 . Να βξεζεί ε 25 9 εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη ηηο ίδηεο εζηίεο κε ηελ έιιεηςε θαη ε εθθεληξόηεηά ηεο είλαη 2 . Γίλεηαη ε έιιεηςε
Γίλεηαη ε ππεξβνιή x 2
ρνξδήο πνπ έρεη κέζν ην Μ .
310)
Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηηο αζύκπησηεο ηεο ππεξβνιήο 16 x2 9 y 2 144 θαη από ηελ επζεία
300)
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ππεξβνιήο κε εμίζσζε x 2 y 2 1 πνπ
2x 3 y 6 0 .
δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 , 2 .
311)
Έζησ Μ ηπραίν ζεκείν ηεο ππεξβνιήο x y 2 a 2 , ε εθαπηνκέλε ζην Μ θαη Α , Β
301)
2
Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο x2 y 2 1 πνπ δηέξρεηαη από ην ηεο ππεξβνιήο 3 2 ζεκείν 2 , 1 .
ηα ζεκεία πνπ ε ηέκλεη ηηο αζύκπησηεο . Να απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ , είλαη ζηαζεξό .
302)
Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο ππεξβνιήο 25x2 4 y 2 100 πνπ είλαη παξάιιειεο πξνο ηελ επζεία 3x y 0 .
- 77 -
κωνικές τομές 312)
κεφάλαιο 3 318)
Σν ζεκείν 6 , 8 βξίζθεηαη ζε ππεξβνιή
Γίλεηαη ε ππεξβνιή x 2 y 2 a 2 θαη επζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλα xx πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 , θαη ηέκλεη ηελ ππεξβνιή ζηα
πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη νη εζηίεο ηεο είλαη ζεκεία ηνπ άμνλα xx . Αλ
ζεκεία Β θαη Γ . α. Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο πνπ γξάθεηαη κε δηάκεηξν ηελ ΒΓ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηεο ππεξβνιήο . β. Αλ Β΄ θαη Γ΄ είλαη ηα ζπκκεηξηθά ησλ Β θαη Γ σο πξνο ηνλ άμνλα xx αληίζηνηρα λα απνδείμεηε όηη
900 , λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο .
313)
x2 y 2 1 . Να a2 2 απνδείμεηε όηη θάζε παξάιιειε πξνο κηα αζύκπησηε ηέκλεη ηελ ππεξβνιή ζε έλα κόλν ζεκείν . Έζησ ε ππεξβνιή C :
Α νη θνξπθέο ηεο , λα απνδείμεηε όηη ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ Α΄ΑΜ΄ είλαη ζεκείν ηεο ππεξβνιήο .
Να απνδείμεηε όηη θάζε εζηία ηεο x2 y 2 ππεξβνιήο C : 2 2 1 απέρεη από ηηο a αζύκπησηεο απόζηαζε ίζε κε .
319)
Η εθαπηνκέλε ηεο ππεξβνιήο 2
x y 2 1 ζην ζεκείν ηεο 2 2 , 1 θαη ε 4 θάζεηε ζηελ εθαπηνκέλε ζην ίδην ζεκείν ηέκλνπλ ηνλ άμνλα y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο κε δηάκεηξν ΑΒ δηέξρεηαη από ηηο εζηίεο ηεο ππεξβνιήο . C:
Γίλεηαη ε ηζνζθειήο ππεξβνιή x y 16 2
γ. Αλ a 2 , a είλαη ζεκείν ηεο ππεξβνιήο θαη Α΄ ,
314)
315)
a 2 3 2 .
2
θαη ε επζεία y 3 πνπ ηέκλεη ηελ ππεξβνιή ζηα ζεκεία Β θαη Γ . Αλ Α είλαη ε θνξπθή ηεο λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην .
316)
Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ππεξβνιήο 3x2 12 y 2 36 θαη ηεο έιιεηςεο
320)
5x2 20 y 2 100 ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν .
317)
θαη ην ζεκείν ηεο Ρ . Αλ Δ΄ , Δ είλαη νη εζηίεο ηεο , λα απνδείμεηε όηη ()2 () () .
x2 y 2 1 . Η a2 2 εθαπηνκέλε ηεο ππεξβνιήο ζηελ θνξπθή ηεο Γίλεηαη ε ππεξβνιή C :
a , 0 ηέκλεη ηελ αζύκπησηε y
Γίλεηαη ε ηζνζθειήο ππεξβνιή x 2 y 2 a 2
321)
Μηα επζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλα xx ηέκλεη ηελ ηζνζθειή ππεξβνιή x 2 y 2 a 2 ζηα
x ζην a ζεκείν Κ . Αλ Δ κηα εζηία ηεο ππεξβνιήο λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΚΟΔ είλαη ηζνζθειέο , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ .
ζεκεία Γ , Γ . Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο δηακέηξνπ ΓΓ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηεο ππεξβνιήο .
322)
Γίλεηαη ε ηζνζθειήο ππεξβνιή x 2 y 2 a 2
θαη ην ζεκείν ηεο Ρ . Φέξλνπκε ηηο εθαπηόκελεο ΡΑ , ΡΒ ζηελ ππεξβνιή . Αλ Ο είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ θαη Μ ην κέζν ηνπ ΑΒ λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ρ , Ο , Μ είλαη ζπλεπζεηαθά . - 78 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3 330)
323)
Να δείμεηε όηη ην ηκήκα ηεο ππεξβνιήο x2 y 2 C : 2 2 1 ζην ζεκείν ηεο Μ πνπ πεξηέρεηαη a κεηαμύ ησλ αζπκπηώησλ ηεο δηρνηνκείηαη από ην Μ .
324)
Γίλεηαη ε ππεξβνιή C :
επζεία x
a2
, 0 , , 0 κε a . Μεηαβιεηό ζεκείν Μ θηλείηαη έηζη ώζηε () () () () . Να Γείμεηε όηη ην Μ γξάθεη ππεξβνιή ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε θαη ηηο αζύκπησηεο .
x2 y 2 1 θαη ε a2 2
331)
ζεκεία Γ θαη Γ αληίζηνηρα , ηόηε : α. λα βξεζεί ζπλαξηήζεη ησλ x1 , y1 ε εμίζσζε ηεο , β. λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ Γ θαη Γ , γ. λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ Ν ηνπ ΓΓ , δ. λα δεηρζεί όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Ν είλαη κηα ππεξβνιή C1 ,
εθθεληξόηεηα ηεο ππεξβνιήο .
2 , 3 Γίλεηαη κεηαβιεηό ζεκείν
, Z . Να απνδείμεηε όηη ην 2 ζεκείν Μ γξάθεη ππεξβνιή ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε .
ε. λα απνδεηρζεί όηη νη ππεξβνιέο C θαη C1 έρνπλ ηηο ίδηεο εθθεληξόηεηεο αιιά ηηο εζηίεο ηνπο ζε δηαθνξεηηθνύο άμνλεο .
326)
332)
x2 y 2 1 θαη a2 2 ηπραίν ζεκείν Μ δηαθνξεηηθό ησλ θνξπθώλ Α΄ , Α . ην νπνίν θηλείηαη πάλσ ζηελ ππεξβνιή C . Να απνδείμεηε όηη ην νξζόθεληξν Η ηνπ ηξηγώλνπ ΑΑ΄Μ θηλείηαη ζηελ ππεξβνιή x2 y2 C : 2 1 . a a 2 2
Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη εθάπηνληαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ x2 y 2 4 x 0 .
327)
Έλα ζεκείν Μ θηλείηαη ζην επίπεδν έηζη ώζηε ε απόζηαζή ηνπ από ην ζεκείν 0 , 6 λα είλαη ηα
y
x2 y 2 1 θαη a2 2
θνξπθέο ηεο . Αλ είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο ππεξβνιήο ζην Μ θαη ε θάζεηε ηεο ζην Μ ε νπνία ηέκλεη ηνπο άμνλεο xx θαη y y ζηα
, όπνπ
Γίλεηαη ε ππεξβνιή C :
x1 , y1 έλα ζεκείν ηεο δηαθνξεηηθό από ηηο
. Να απνδείμεηε όηη ν ιόγνο ησλ
απνζηάζεσλ ελόο ηπραίνπ ζεκείνπ Μ ηεο ππεξβνιήο από ηελ εζηία Δ΄ θαη από ηελ επζεία a2 είλαη ζηαζεξόο θαη ίζνο κε ηελ x
325)
Γίλνληαη ηα ζεκεία a , 0 , a , 0 ,
3 ηεο απόζηαζήο ηνπ από ηελ επζεία 2
8 0 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ 3
Γίλεηαη ε ππεξβνιή C :
§5. γενικέσ αςκήςεισ
Μ.
&
328)
Γίλνληαη νη επζείεο 1 : y x θαη 2 : y x . Θεσξνύκε κεηαβιεηό ζεκείν Μ
προβλήματα
ηνπ επηπέδνπ από ην νπνίν θέξλνπκε επζεία παξάιιειε πξνο ηελ 2 , ε νπνία ηέκλεη ηελ 1 ζην Α . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ έηζη ώζηε 4() c2 , όπνπ ,
c ζηαζεξνί ζεηηθνί .
329)
333)
απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη
Γίλεηαη ε ππεξβνιή C : 2 x2 a 2 y 2 a 2 2
κε θνξπθέο Α΄ , Α . Αλ Μ είλαη ηπραίν ζεκείν ηεο θαη Η ε νξζή πξνβνιή ηνπ ζηελ Α΄Α , λα
απνδείμεηε όηη 2
εθάπηνληαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ C , αλήθνπλ ζε θιάδν ππεξβνιήο .
2
a2
Γίλεηαη ν θύθινο C : ( x 2)2 y 2 4 . Να
. - 79 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
334)
338)
παξαβνιή ππεξβνιή C : y 2 4 x θαη κηα επζεία ( ) πνπ δηέξρεηαη από ηελ εζηία Δ θαη ηέκλεη ηελ παξαβνιή ζηα ζεκεία Α θαη Β . Θεσξνύκε ηηο πξνβνιέο Γ , Γ ησλ Α , Β ζηελ δηεπζεηνύζα ( )
ηξηγώλνπ ΑΜΒ .
δ. Να απνδείμεηε όηη
2
Γίλεηαη ε έιιεηςε C :
α. d1 a
x θαη d 2 a x . a a v v v β. d1 d2 2a , γηα θάζε ζεηηθό αθέξαην v .
αληίζηνηρα θαη έζησ Μ ην κέζν ηνπ ΓΓ . α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Α , Β , Γ , Γ , Μ ζπλαξηήζεη ηεο ηεηαγκέλεο Α . β. Να απνδείμεηε όηη ε αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ .
2
x y 1 κε a2 2 a 0 θαη Μ ηπραίν ζεκείν ηεο . Αλ d1 θαη d 2 νη απνζηάζεηο ηνπ Μ από ηηο εζηίεο Δ΄, Δ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη :
ην δηπιαλό ζρεδηάγξακκα , κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy , δίλεηαη ε
γ. Να απνδείμεηε όηη
2
339)
Γίλεηαη ε έιιεηςε C : y 2 2 px , p 0 θαη
νη εκηεπζείεο y x θαη y
θαη ΜΔ ύςνο ηνπ
1
x , όπνπ , x 0
νη νπνίεο ηέκλνπλ εθηόο από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ηελ παξαβνιή C ζηα ζεκεία Α , Β αληίζηνηρα . α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Α θαη Β σο ζπλάξηεζε ηνπ . β. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία ΑΒ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν .
θαη λα ππνινγίζεηε ην 2 ΜΔ ζπλαξηήζεη ηεο ηεηαγκέλε ηνπ Α .
340)
Γίλεηαη νη εκηεπζείεο y x θαη y x , κε , x 0 θαη κηα επζεία ( ) ε νπνία ηηο ηέκλεη
ζηα ζεκεία Α θαη Β . α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Α θαη Β σο ζπλάξηεζε ηνπ κέζνπ Μ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ . β. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ γξάθεη ηνλ έλα θιάδν ππεξβνιήο όηαλ ε επζεία ( ) θηλείηαη έηζη ώζηε
335)
Γίλεηαη ε εμίζσζε
a 16 , 25 (1) .
ην ηξίγσλν ΟΑΒ λα έρεη ζηαζεξό εκβαδόλ 2 .
x2 y2 1 , όπνπ 25 a 16 a
341)
α. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a , λα βξείηε ην είδνο ηεο θσληθήο ηνκήο πνπ παξηζηάλεη ε εμίζσζε (1) . β. Να απνδείμεηε όηη όιεο νη θσληθέο ηνκέο πνπ παξηζηάλεη ε (1) έρνπλ θνηλέο εζηίεο .
2 : x y , όπνπ a , ηα κήθε ησλ θάζεησλ πιεπξώλ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ κε ππνηείλνπζα . Να απνδείμεηε όηη : α. νη 1 , 2 έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν Σ , β. όηαλ ην δηαηξέρεη ην , ην Σ θηλείηαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξεζεί ε εμίζσζε .
336)
Μηα κεηαβιεηή επζεία ( ) θηλείηαη ώζηε λα ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα xx γσλία 45ν θαη ζπγρξόλσο λα ηέκλεη ηελ παξαβνιή y 2 2 px ,
342)
p 0 ζηα ζεκεία Α θαη Β . Να απνδείμεηε όηη ην
Η εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ C : x 2 y 2 2
ζην ζεκείν a , ηέκλεη ηνπο άμνλεο xx θαη
κέζν Μ ηεο ρνξδήο ΑΒ θηλείηαη ζε επζεία .
337)
Γίλεηαη νη επζείεο 1 : x y a θαη
y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΟΑΒ έρεη εκβαδόλ ίζν
Γίλεηαη ε παξαβνιή C : y 2 4 x θαη ηα
ζεκεία ηεο t 2 , 2t θαη 2 , 2 , όπνπ
κε
t . α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ΑΒ . β. Αλ Δ είλαη ε εζηία ηεο παξαβνιήο , Μ ην κέζν ηνπ ΑΒ θαη ζεκείν 1 , t , λα απνδείμεηε όηη 2() () () .
- 80 -
4 . 2 | a |
κωνικές τομές 343)
κεφάλαιο 3 346)
Γίλεηαη ν θύθινο C0 : x 2 y 2 2 θαη ε
Μηα επζεία είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία : y 2 x 14 θαη δηέξρεηαη από ην
εθαπηνκέλε ηνπ : xx1 yy1 ζην ζεκείν ηνπ 2
θέληξν Κ ηνπ θύθινπ C : ( x a)2 ( y 3)2 25 . Αλ Α , Β είλαη ηα θνηλά ζεκεία ηνπ θύθινπ C θαη ηεο επζείαο , λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ a γηα
x1 , y1 . Να απνδείμεηε όηη :
α. γηα θάζε 2 ε εμίζσζε
x 2 y 2 2 xx1 yy1 2 0 (1) παξηζηάλεη θύθιν
ηελ νπνία ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ είλαη ίζν κε 3 5 .
C θαη λα βξείηε ηη παξηζηάλεη ε εμίζσζε απηή γηα 2 , β. ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ θύθισλ αλήθνπλ ζηελ ζηαζεξή επζεία : y1 x x1 y 0 , γ. όινη νη παξαπάλσ θύθινη : i. δηέξρνληαη από ζηαζεξό (αλεμάξηεην ηνπ ) ζεκείν ην νπνίν θαη λα βξεζεί , ii. εθάπηνληαη κεηαμύ ηνπο θαη λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο θνηλήο εθαπηνκέλεο ηνπο .
347)
Γίλεηαη θύθινο θέληξνπ Κ θαη δηακέηξνπ ΑΒ. Σα δηαλύζκαηα ζέζεο ησλ ζεκείσλ Κ θαη Α είλαη
3 i 3 j θαη 2 i 4 j αληίζηνηρα . Να βξείηε : α. ην δηάλπζκα ζέζεο ηνπ ζεκείνπ Β , β. ην κήθνο ηεο αθηίλαο ηνπ θύθινπ , γ. ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ , δ. ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηνπ , όπνπ Μ ζεκείν ηνπ θύθινπ ηέηνην ώζηε .
344)
Γίλεηαη ν θύθινο C : x y 2 2ax 2 y 0 θαη ππνζέηνπκε όηη νη εθαπηνκέλεο ηνπ ζηα ζεκεία ηνπ Α θαη Β δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Να απνδείμεηε όηη ν πεξηγγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ έρεη εμίζσζε C : x2 y 2 ax y 0 . 2
348)
Η παξαβνιή κε εμίζσζε y 2 ax , a
δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 4 .
α. Να απνδείμεηε όηη ε εζηία ηεο παξαβνιήο είλαη ην ζεκείν 2 , 0 . β. Έζησ Δ΄ ην ζπκκεηξηθό ηεο εζηίαο Δ σο πξνο ηνλ άμνλα y y . Αλ x , y είλαη έλα νπνηνδήπνηε ζεκείν 2
γηα ην νπνίν ηζρύεη λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν x , y αλήθεη ζε θύθιν κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα 2 . γ. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ παξαπάλσ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Α .
349)
Η εζηία ηεο παξαβνιήο C1 : y 2 2 px ,
p 0 , ζπκπίπηεη κε κηα εζηία ηεο έιιεηςεο
345)
C2 :
ε ζεκείν Μ ηνπ θύθινπ C : x 2 y 2 3
x2 y 2 1 , 0 a . a2 2
a α. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία , αλήθνπλ ζε p p κηα ηζνζθειή ππεξβνιή . β. Έζησ 1 , 2 νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο πνπ
ζεσξνύκε ηελ εθαπηνκέλε , ε νπνία ππνζέηνπκε ηνπο άμνλεο xx θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηνπ πξώηνπ ηεηαξηεκνξίνπ , ώζηε 2 .
άγνληαη από ηελ εζηία ηεο έιιεηςεο πνπ δελ είλαη εζηία ηεο παξαβνιήο . i. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ 1 , 2 θαη λα γξάςεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ επαθήο Α , Β ησλ 1 ,
2 κε ηελ παξαβνιή C1 . ii. Να απνδείμεηε όηη 1 2 . γ. Αλ ηα ζεκεία Α , Β αλήθνπλ ζηελ έιιεηςε C2 λα απνδείμεηε όηη γηα ηελ εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο ηζρύεη 3 2 2 .
- 81 -
κωνικές τομές
κεφάλαιο 3
350)
Η θεληξηθή πιαηεία κηαο θνηλόηεηαο είλαη ηεηξάγσλε κε πιεπξά 35 m . ην εζσηεξηθό ηεο ππάξρεη έλα θπθιηθό ζηληξηβάλη . Θεσξνύκε ηξία ζεκεία Α , Β , Γ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ζηληξηβαληνύ θαη κεηξάκε ηηο απνζηάζεηο ηνπο από δπν πιεπξέο ηεο πιαηείαο . Οη απνζηάζεηο ηνπ Α είλαη 5 m θαη 15 m , ηνπ Β είλαη 14 m θαη 12 m , ελώ ηνπ Γ είλαη 12 m θαη 14 m . α. ε θαηάιιειν ζύζηεκα αμόλσλ xOy λα ηνπνζεηήζεηε ηελ πιαηεία , ην ζηληξηβάλη θαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ . Πνηεο νη ζπληεηαγκέλεο ησλ Α , Β , Γ; β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ ηνπ ζηληξηβαληνύ. γ. Πνηα είλαη ε αθηίλα ηνπ ζηληξηβαληνύ ; Πόζν απέρεη ην θέληξν ηνπ ζηληξηβαληνύ από ηηο πιεπξέο ηεο πιαηείαο . δ. Έλα έληνκν πεηά θαηά κήθνο ηεο επζείαο 4 x 3 y 29 0 . Να εμεηάζεηε αλ ην έληνκν ζα βξαρεί από ην λεξό ηνπ ζηληξηβαληνύ .
351)
Έλα ζρνηλί είλαη δεκέλν ζε δπν ζηύινπο ζηήξημεο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο 6 m . Σν ζρνηλί θξέκεηαη έρνληαο κνξθή παξαβνιήο θαη ην ρακειόηεξν ζεκείν ηνπ βξίζθεηαη 2 m πην ρακειά από ηα ζεκεία ζηήξημεο . α. Αθνύ ζεσξήζεηε θαηάιιειν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ , λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ζηήξημεο ηνπ ζρνηληνύ , θαζώο θαη ην ρακειόηεξν ζεκείν απηνύ . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ παξηζηάλεη παξαβνιή . γ. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ εθάπηεηαη ζην ζρνηλί ζε έλα ζεκείν ζηήξημεο .
352)
Μηα ζθάια ΑΒ κήθνπο 8 m είλαη ηνπνζεηεκέλε έηζη , ώζηε ε βάζε ηεο Α λα ζηεξίδεηαη ζην έδαθνο θαη ε θνξπθή ηεο Β λα αθνπκπά ζ’ έλα θαηαθόξπθν ηνίρν . Έζησ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε ζθάια κε ην έδαθνο . Έλα κπξκήγθη βξίζθεηαη ζηε ζθάια θαη ζε απόζηαζε 2 m από ηελ θνξπθή ηεο . Αλ ε ζθάια παίξλεη δηάθνξεο ζέζεηο (από ηελ νξηδόληηα έσο θαη ηελ θαηαθόξπθε ζέζε) θαη ην κπξκήγθη παξακέλεη αθίλεην , λα απνδείμεηε όηη , θαζώο αιιάδεη ζέζε ε ζθάια , ην κπξκήγθη θηλείηαη ζ’ έλα θιάδν έιιεηςεο .
- 82 -