ΟΝΟΜΑ : ΘΕΜΑ Α
ΘΕΜΑ Β
ΘΕΜΑ Γ
ΘΕΜΑ Δ
ΣΥΝΟΛΟ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ Α Α. Έςτω τα μη μηδενικϊ διανύςματα α = x1 , y1 και β = x2 , y2 μη παρϊλληλα ςτον ϊξονα y’y και λ1 , λ2 οι ςυντελεςτϋσ διεύθυνςησ των διανυςμϊτων αντύςτοιχα . Να αποδεύξετε ότι : α ⊥ β ⇔ λ1 ∙ λ2 = −1 8 μον. Β. Έςτω τα διανύςματα α = x1 , y1 , β = x2 , y2 και γ = x3 , y3 Να αποδεύξετε ότι : α ∙ β + γ = α ∙ β + α ∙ γ ( 7 μον. Γ. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ γρϊφοντασ ςτην κόλλα τη λϋξη Σωςτό ό Λϊθοσ : α Αν α ≠ 0 και α ∥ x ′ x , τότε α = x , 0 β Ιςχύει η ιςοδυναμύα α ∥ β ⇔ det (α,β) = 0 γ Αν Α x1 , y1 και Β x2 , y2 τότε ΑΒ = x1 − y1 , x2 − y2 δ Αν α = x1 , y1 και β = x2 , y2 τότε α ∥ β ⇔ λα = λβ ε Όταν η γωνύα δύο μη μηδενικών διανυςμϊτων εύναι αμβλεύα , το εςωτερικό τουσ γινόμενο εύναι θετικό ( 10 μον.
ΘΕΜΑ Β Α. Δύνονται τα διανύςματα α = 1 , 2 , β = (2 , 3) . Να βρεύτε :
α. Να βρεύτε το μϋτρο του διανύςματοσ γ = 5α − 3β β. Να βρεύτε την γωνύα που ςχηματύζει το διϊνυςμα γ με τον ϊξονα x’x γ. Να βρεύτε τον αριθμό κ ώςτε το διϊνυςμα v = k 2 − k , k να εύναι κϊθετο ςτο α ( 15 μον. Β. Δύνονται τα διανύςματα α , β με α + β = (0 , 5) και 2α − β=(3 , 1 . Να βρεύτε : α. τισ ςυντεταγμϋνεσ των διανυςμϊτων α , β β. τη γωνύα α , β) ( 10 μον.
ΘΕΜΑ Γ Α. Δύνονται τα διανύςματα α , β με β = 2 α , α , β = 1200 και α ∙ β = −31 α Να βρεύτε τα μϋτρα των α , β β Θεωρούμε τα διανύςματα u , v για τα οπούα ιςχύουν u + 2v = 5α + β και 4v − u = α + 5β . β1 ) Να γρϊψετε καθϋνα από τα διανύςματα u , v ωσ γραμμικό ςυνδυαςμό των α , β β2 ) Να βρεύτε το ςυν u , v ( 15 μον. Β. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με κορυφϋσ Α 1 , 2 , Β −1 , −2 και Γ −3 , 4 . Να βρεύτε τη γωνύα που ςχηματύζει η διϊμεςοσ ΑΜ με την πλευρϊ ΑΓ .
( 10 μον.
ΘΕΜΑ Δ A. Δύνονται τα διανύςματα α , β με β = 2 α = 2 , α , β = 600 και το τρύγωνο ΑΒΓ για το οπούο εύναι ΑΒ = α + β , ΒΓ = 2α − 3β και Μ μϋςο τησ ΒΓ . α Να γρϊψετε τη διϊμεςο ΑΜ ωσ γραμμικό ςυνδυαςμό των α , β β Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ διαμϋςου ΑΜ γ Να εξετϊςετε αν η γωνύα που ςχηματύζουν τα ΑΒ και ΑΜ εύναι οξεύα ό αμβλεύα . ( 15 μον. Β. Έςτω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 5 , ΑΔ = 4 και
ΑΒ , ΑΔ = 60° . Να βρεθεύ το ςυνημύτονο
τησ γωνύασ που ςχηματύζει η ΑΒ με τη διαγώνιο ΑΓ του παραλληλογρϊμμου ΑΒΓΔ . ( 10 μον.
Καλό Επιτυχύα