Γπαμαληπηικά Θέμαηα ζηα Διαμύζμαηα
Σρπξλόγιξ και 30 Θέμαηα Γνεηάζεωμ
Σρπξλόγιξ ζηα Διαμύζμαηα
1. Ιέζξ Σμήμαηξπ α. Οη ζοκηεηαγμέκεξ ημο μέζμο Μ ημο ημήμαημξ ΑΒ είκαη: Μ β. Ακ Ο ζεμείμ ακαθμνάξ ηόηε ηζπύεη ΟΜ =
xΑ + xΒ 2
,
y Α +y Β 2
ΟΑ + ΟΒ 2
2. Σμήμα με γμωζηά ηα άκοα α. Οη ζοκηεηαγμέκεξ ημο δηακύζμαημξ ΑΒ είκαη ΑΒ = xΒ − xΑ , yΒ − yΑ β. Η απόζηαζε ημο Α από ημ Β είκαη (ΑΒ)= xΒ − xΑ 2 + yΒ − yΑ 2 3. Ιέηοξ και ρμηελεζηήπ Διεύθρμζηπ διαμύζμαηξπ α. Ακ α=(x,y) ηόηε ημ μέηνμ ημο είκαη : α = x 2 + y 2 y β. Ακ α=(x,y) ηόηε μ ζοκηειεζηήξ δηεύζοκζεξ ημο είκαη λα = x
y
γ. Η γωκία ω πμο ζπεμαηίδεη με ημκ άλμκα x’x είκαη εθω=λα = x
4. Παοάλληλα Διαμύζμαηα α. Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία α ∥ β ⇔ det α, β = 0 β. Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία α ∥ β ⇔ α = λβ . Ακ ι>μ ηα δηακύζμαηα είκαη μμόννμπα θαη ι<0 ακηίννμπα γ. Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία α ∥ β ⇔ λα = λβ δ. Τα ζεμεία Α,Β,Γ είκαη ζοκεοζεηαθά, ακ θαη μόκμ ακ ΑΒ ∥ ΒΓ 5. Ηάθεηα Διαμύζμαηα α. Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία α ⊥ β ⇔ α ∙ β = 0 β. Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία α ⊥ β ⇔ λα λβ = −1 6. Γζωηεοικό Γιμόμεμξ Διαμρζμάηωμ α. Γηα ηα δηακύζμαηα α, β είκαη: α ∙ β = α β ςυν α, β β. Γηα ηα δηακύζμαηα α, β είκαη: α ∙ β = 𝑥1 x2 + y1 y2 όπμο α = x1 , y1 θαη β = (x2 , y2 ) γ. Ακ ηα α, β είκαη μμόννμπα ηόηε θαη μόκμ ηόηε α ∙ β = α β δ. Ακ ηα α, β είκαη ακηίννμπα ηόηε θαη μόκμ ηόηε α ∙ β = − α β 7. Γωμία δύξ Διαμρζμάηωμ α. Γηα ηα δηακύζμαηα α, β είκαη: ςυν α, β =
α ∙β α∙β
β. Ακ ηα α, β είκαη μμόννμπα ⇔ ςυν α, β = 1 ⇔ α, β = 0° γ. Ακ ηα α, β είκαη ακηίννμπα ⇔ ςυν α, β = −1 ⇔ α, β = 180° 8. Ποξβξλή ηξρ 𝐯 πάμω ζηξ 𝛂 α. Ιζπύεη προβα v ∥ α ⇔ προβα v = λ α β. Ιζπύεη α ∙ v = α ∙ προβα v
Δ ι α μ ύ ζ μ α η α 1. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα 𝛼 = 1,2 , β = (2,3). Να βνείηε: α. Να βνείηε ημ μέηνμ ημο δηακύζμαημξ γ = 5α − 3β β. Να βνείηε ηεκ γωκία πμο ζπεμαηίδεη ημ δηάκοζμα 𝛾 με ημκ άλμκα x’x γ. Να βνείηε ημκ πναγμαηηθό ανηζμό θ ώζηε ημ δηάκοζμα 𝑣 = k 2 − k , k κα είκαη θάζεημ ζημ α 2. Δίκεηαη ημ μμκαδηαίμ δηάκοζμα 𝛼 θαη ημ δηάκοζμα 𝛽 γηα ηα μπμία ηζπύμοκ 𝛼 ∙ α − 2β = 5 𝜅𝛼𝜄 β ∙ 3α + β = 10. Να βνείηε: α. ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ 𝛼 ∙ 𝛽 θαζώξ θαη ημ μέηνμ ημο 𝛽 β. ηε γωκία (α, β) γ. ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ 5α + β ∙ α + 3β δ. ημοξ πναγμαηηθμύξ ανηζμμύξ x γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη xα + 2β = 7 3. Θεωνμύμε ημ δηάκοζμα α = α − 2, α − 1 ημ μπμίμ δεκ είκαη πανάιιειμ ζημκ άλμκα x’x , θαζώξ θαη ηα δηακύζμαηα β = (2,6) θαη γ = β − α α. Να απμδείλεηε όηη α = 5 β. Να βνείηε ηε γωκία (β, γ) γ. Θεωνμύμε δηάκοζμα 𝑣 γηα ημ μπμίμ ηζπύμοκ μη ζπέζεηξ v + β ∥ γ θαη v + γ ⊥ β . Να βνείηε: γ1. Τηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο v γ2. Τεκ πνμβμιή ημο v πάκω ζημ α 4. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α = −1,2 , β = (3,1) 𝜅𝛼𝜄 v = λα + μβ. α. Να οπμιμγίζεηε ηεκ ηημή ηεξ πανάζηαζεξ A= 2α2 + 3αβ β. Να βνείηε ηεκ ηημή ηωκ ι, μ ώζηε ημ v κα είκαη θάζεημ ζημ 𝛾 = (1,1) θαη κα έπεη μέηνμ 7 2 . γ. Να ακαιύζεηε ημ δηάκοζμα v = (2,5) ζε δύμ θάζεηεξ ζοκηζηώζεξ από ηηξ μπμίεξ ε μηα κα είκαη πανάιιειε ζημ δηάκοζμα α (1ξ ΓΓΘ ΓΡΡΩΚ 2015) 5. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα 𝛼 , β με α = 2 , β = 3 , 2α − β = 7. Να απμδείλεηε όηη: α. αβ =6 β. ζοκ (α, β)= -1 2 γ. α = − 3 β δ.
1 α 2
−β =4
( 2ξ ΓΓΘ ΓΡΡΩΚ 2015)
6. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 1 , β = 2 , (α, β)=
π 3
. Να βνείηε:
α. ημ αβ β. ημκ πναγμαηηθό ανηζμό ι ώζηε ηα δηακύζμαηα v = α + β , u = α − λβ κα είκαη θάζεηα. γ. ημ μέηνμ ημο δηακύζμαημξ γ = 3α − β δ. ηε γωκία ηωκ δηακοζμάηωκ γ , α (1ξ ΓΓΘ ΒΟΘΟΤ 2015)
7. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α = 1, − 3 θαη β = 2, 2 3 α. Να βνείηε ημ αβ β. Να βνείηε ηε γωκία (α, β) γ. Ακ 𝑥 = 2α + β , y = −4α + 2β κα βνείηε ηα μέηνα ημοξ θαη κα δείλεηε όηη είκαη θάζεηα μεηαλύ ημοξ. . (1ξ ΓΓΘ ΗΟΡΖΚΘΟΤ 2015) 8. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 3 , β = 1 , α − β = 2 α. Να απμδείλεηε όηη αβ =3 β. Να απμδείλεηε όηη ηα δηακύζμαηα α, β είκαη μμόννμπα. γ. Να βνείηε ημ μέηνμ ημο γ = α + 3β (ΓΗΠΑΖΔΓΤΣΕΡΖΑ ΔΟΤΗΑ 2015) 9. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α + β = (0,5) θαη 2α − β=(3,1). Να βνείηε: α. ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ηωκ δηακοζμάηωκ α, β β. ηε γωκία (α, β) γ. ηεκ πνμβμιή ημο β πάκω ζημ α (ΟΓΦΓ 2015) 10. Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(θ, θ+1), Β(1, θ), Γ(0, θ+2) α. Να βνείηε ηηξ ηημέξ ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ θ ώζηε ηα ζεμεία Α,Β,Γ κα ζπεμαηίδμοκ ηνίγωκμ β. Γηα θ=1, κα βνείηε β1. Τμ μήθμξ ηεξ δηαμέζμο ΑΜ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ β2. Τεκ ηημή ηεξ πανάζηαζεξ ΑΒ ∙ 2ΒΓ − ΓΑ (ΙΑΘΕΙΑΣΖΗΟ ΠΓΡΖΕΓΕΣΕ 2015) 11. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 1 , β = 2 , (α, β)==
2π 3
. Θεωνμύμε θαη ηα δηακύζμαηα
u = 2α + β , v = α − β . Να βνείηε : α. ημ αβ β. ηα μέηνα ηωκ u θαη v γ. ημ γηκόμεκμ u v ( 1ξ ΓΓΘ ΓΖΑΚΚΖΣΩΚ 2014) 12. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με 𝛼 = 1 , β = 2 , α ⊥ α + β α. Να απμδείλεηε όηη αβ =-1 β. Να βνείηε ηε γωκία (α, β) γ. Να βνείηε ημ μέηνμ ημο δηακύζμαημξ α + β δ. Να βνείηε ηεκ πνμβμιή ημο β ζημ α ( ΓΓΘ ΑΚΣΟΡΖΚΕ 2014) 13. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β, γ με 𝛼 = 4 , 𝛽 = 2 , (α, β)=
π 3
θαη γ = α + κβ
α. Να βνείηε ημ αβ β. Να οπμιμγίζεηε ημκ πναγμαηηθό ανηζμό θ ώζηε κα είκαη α ⊥ γ γ. Γηα θ=1 κα βνείηε ηεκ γωκία (β, γ) θαη ηεκ πνμβμιή ημο γ πάκω ζημ β
(ΟΓΦΓ 2014)
14. Δίκμκηαη ηα θάζεηα δηακύζμαηα α, β με 𝛼 = 3 θαη (α − 2β) ⊥ 2α + β . α. Να απμδείλεηε όηη β = 3 β. Να βνείηε ημ μέηνμ α + 2β (3ξ ΓΓΘ ΡΓΘΤΙΚΟΤ 2014)
15. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 1 , 𝛽 = 5 3 , (α, β)=
π 6
. Να βνείηε:
α. ημ αβ β. ημ μέηνμ 5α − 2β γ. ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ α ∙ 2β − 5α δ. ηε γωκία (α, 2β − 5α) ( 2ξ ΓΓΘ ΡΓΘΤΙΚΟΤ 2014)
16. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β, γ με α = 1 , 𝛽 = 2 , 𝛾 = 5 . α. Ακ ηζπύεη ε ζπέζε 2α + 3β − γ = 0 , κα βνείηε ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ αβ 1 β. Να δείλεηε όηη προβα β = 4 α (ΔΑΚΓΖΟ ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΓΖΡΑΙΑΣΖΗΟ ΠΓΖΡΑΖΑ 2013) 17. Έζηω ημ ζεμείμ Α(-1,2) θαη ηα δηακύζμαηα ΑΒ = 3, −3 , v = 20,13 , u = (μ − 1, 2) . α. Να βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο ζεμείμο Β β. Να βνείηε ηε γωκία πμο ζπεμαηίδεη ημ δηάκοζμα 𝛢𝛣 με ημκ άλμκα x’x γ. Να ελεηάζεηε ακ ηα δηακύζμαηα 𝛢𝛣 θαη v είκαη θάζεηα δ. Να βνείηε ημκ πναγμαηηθό ανηζμό μ, ακ ΑΒ ∥ u (ΒΓΚΓΣΟΗΘΓΖΟ ΘΤΗΓΖΟ ΡΟΔΟΤ 2013) π
18. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 1 , β = 2 , (α, β)= 3 . Να βνείηε:
a. ημ αβ β. ημκ πναγμαηηθό ανηζμό ι ώζηε ηα δηακύζμαηα α + β θαη 5α − λβ κα είκαη θάζεηα γ. ημ μέηνμ α + β (ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΓΖΡΑΙΑΣΖΗΟ ΓΓΘ ΕΡΑΗΘΓΖΟΤ 2013) 19. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 2 , 𝛽 = 1 , (α, β)=
π 3
. Να βνείηε:
a. ημ αβ β. ημκ πναγμαηηθό ανηζμό π ώζηε κα ηζπύεη (α + χ β)(α − χβ) = 12 γ. ημ μέηνμ α − 4β (4ξ ΓΓΘ ΙΤΣΖΘΕΚΕ 2013) 20. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α = (3, −4) θαη β ώζηε κα ηζπύμοκ αβ = 5 θαη (α, β)=
π 3
α. Να απμδείλεηε όηη α = 5 β. Να βνείηε ημ μέηνμ ημο β γ. Να απμδείλεηε όηη ηα δηακύζμαηα α θαη u = α − 5β είκαη θάζεηα δ. Να βνείηε ημ δηάκοζμα γ = (12, λ) ημ μπμίμ κα είκαη πανάιιειμ ζημ α (1ξ ΓΓΘ ΗΟΙΟΣΕΚΕ 2013) 21. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 1 , β = 2 , ( α, β)= u = 2α + 3β , v = α − 2β . Να βνείηε : α. ημ αβ β. ηα μέηνα ηωκ u θαη v γ. ημ γηκόμεκμ u v δ. ημ ζοκεμίημκμ ηεξ γωκίαξ ηωκ u θαη v
π 3
. Θεωνμύμε θαη ηα δηακύζμαηα
(14ξ ΓΓΘ ΠΓΡΖΣΓΡΖΟΤ 2013)
2π 3
22. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 2 , β = 1 , (α, β)= u = 2α + 4β , v = α − β . Να βνείηε : α. ημ αβ β. ηα μέηνα ηωκ u θαη v γ. ημ γηκόμεκμ u v δ. ημ ζοκεμίημκμ ηεξ γωκίαξ ηωκ u θαη v ε. κα βνεζεί ημ π ώζηε v ⊥ w = χα + β
. Θεωνμύμε θαη ηα δηακύζμαηα
(ΓΓΘ ΑΖΔΕΨΟΤ 2013)
23. Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(2,-1), Β(0,1) θαη Γ(7,4) . α. Να βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο μέζμο Μ ημο ΑΒ β. Να βνείηε ημκ ζοκηειεζηή δηεύζοκζεξ ημο δηακύζμαημξ ΑΜ γ. Να βνείηε ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ δ. Να απμδείλεηε όηη ΑΒ ⊥ ΑΓ (ΓΓΘ 2013) 24. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α − β = (1, −2) θαη 3α + β=(7,6). Να βνείηε: α. ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ηωκ δηακοζμάηωκ α, β β. ημκ πναγμαηηθό ανηζμό θ ώζηε ηα δηακύζμαηα κα + β θαη α − β κα είκαη πανάιιεια γ. ημκ πναγμαηηθό ανηζμό π ώζηε α + χβ = 5 (ΠΓΖΡΑΙΑΣΖΗΟ ΘΤΗΓΖΟ ΙΤΣΖΘΕΚΕ 2011) 25. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 4 , β = 5 θαη προβα β = α. Να βνείηε ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ αβ β. Να βνείηε ηε γωκία (α, β) γ. Ακ v = α − β , κα βνείηε ημ μέηνμ ημο.
5 8
α
(ΓΓΘ ΡΓΘΤΙΚΟΤ 2011)
26. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με 𝛼 = 1 , β = 1 , (α, β)=
2π 3
. Έζηω ημ ηνίγωκμ ΑΒΓ γηα ημ μπμίμ
ηζπύμοκ ΑΒ = 2α + β θαη ΑΓ = −3β α. Να βνείηε ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ αβ β. Ακ Μ μέζμ ηεξ ΒΓ κα απμδείλεηε όηη ΑΜ = α − β γ. Να βνείηε ηε γωκία (ΑΜ , α) (ΓΓΘ ΡΓΘΤΙΚΟΤ 2010) 27. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β, γ με α=(1, -3) , β=(1,2) θαη γ = α + 4β . α. Να βνείηε ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ αβ θαη ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο γ β. Να βνείηε ηεκ γωκία πμο ζπεμαηίδεη ημ γ με ημκ άλμκα x’x 1 γ. Να δείλεηε όηη προβα β = − 2 α δ. Ακ u = λ2 − 4 , −λ κα βνείηε ημ ι ώζηε u ⊥ α
(ΓΓΘ ΡΓΘΤΙΚΟΤ 2010)
28. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 2 , β = 1 θαη f x = xα + β με f 2 = 3. α. Να απμδείλεηε όηη αβ =-2 β. Να βνείηε ηεκ προβα β γ. Να βνείηε ηε γωκία (α, β) δ. Να δείλεηε όηη α=-2 β (4ξ ΓΓΘ ΗΑΣΓΡΖΚΕ 2010)
29. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β με α = 2 , β = 3 , (α, β)=
2π 3
. Έζηω ημ ηνίγωκμ ΑΒΓ γηα ημ μπμίμ
ηζπύμοκ ΑΒ = 2α − β θαη ΑΓ = 4α + 3β α. Να βνείηε ημ εζωηενηθό γηκόμεκμ αβ β. Ακ Μ μέζμ ηεξ ΒΓ κα απμδείλεηε όηη ΑΜ = 3α + β γ. Να βνείηε ηε γωκία (ΑΜ , α) (ΓΓΘ ΡΓΘΤΙΚΟΤ 2009) 30. Θεωνμύμε ηα δηακύζμαηα α = 2,3 , β = (−1,4) α. Να βνείηε ηεκ πνμβμιή ημο α πάκω ζημ δηάκοζμα β β. Να βνείηε ημ μέηνμ 2α + 3β (ΓΓΘ 2009)