Μαθηματικά Γ Λυκείου Ομάδας Προσαν. Θετικών και Οικονομικών Σπουδών by Νικος Ραπτης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδασ Προςανατολιςμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίασ & Πληροφορικήσ

1.000 Αςκήςεισ ςε όλη την ύλη ταξινομημένεσ κατά κατηγορία 120 Προτάςεισ Σωςτού – Λάθουσ των Πανελληνίων Εξετάςεων 2002 – 2016 Επαναληπτικέσ Αςκήςεισ Συνοπτική Θεωρία

΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢ Ειςαγωγή ςτισ ΢υναρτήςεισ Ιςότητα – Πράξεισ – ΢ύνθεςη ΢υναρτήςεων Αντίςτροφεσ ΢υναρτήςεισ Όρια ΢υναρτήςεων Αςύμπτωτεσ Γραφικήσ Παράςταςησ ΢υνέχεια ΢υνάρτηςησ – Θεωρήματα ΢υνέχειασ

Η ϋννοια τησ ΢υνϊρτηςησ 1. Εύρεςη πεδύου οριςμού ςυνϊρτηςησ 1. Να βρεύτε τα πεδύα οριςμού των παρακϊτω ςυναρτόςεων 2x−1 x +4 α. f x = x 2 + 2x − 3 β. f x = 2x − 3 − 5 γ. f x = x 2 − 3x − 4 ε. f x =

5x − 4

ζ. f x =

3− x + 1

δ. f x = ln −x 2 + 3x + 10

ex ln x − 2

2. Να βρεύτε τα πεδύα οριςμού των παρακϊτω ςυναρτόςεων α. f x =

5x x 3 − x 2 − 2x

β. f x = x + 1 +

3−x

γ. f x =

x −5 x +2

3. Να βρεύτε τα πεδύα οριςμού των παρακϊτω ςυναρτόςεων α. f x = 5 − x + 1 β. f x = 2x + 1 − 7 γ. f x = ln

δ. f x = 3−

x +2 x −4

δ. f x =

4. Να βρεύτε τα πεδύα οριςμού των παρακϊτω ςυναρτόςεων 1 5 α. f x = x 2 – x − 2 + x − 3 β. f x = x 2 − 4 γ. f x = 12 − x − x 2

5 x −2

x +1 x 3 − 3x 2 + x + 2

δ. f x = ln 1 − x 2

5. Να βρεύτε τα πεδύα οριςμού των παρακϊτω ςυναρτόςεων x−2

α. f x = e 2x − e x − 2

β. f x =

4 ln x − 1 – 1

γ. f x = ln ex − 1

δ. f x =

ex − 1 ex − 2

δ. f x =

x− 1

6. Να βρεύτε τα πεδύα οριςμού των παρακϊτω ςυναρτόςεων α. f x =

4− 3 − x lnx

β. f x = log x − 3

γ. f x =

ex e x −e −x

x −2

2. Σιμό ΢υνϊρτηςησ ςτο 𝐱𝟎 7. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 1 . α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f και τισ τιμϋσ f(-3) και f(f(2)). β. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=8 . f α+ β − f α− β γ. Να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ με α, β ≠ 0 αβ x 2 + 10x + 2α

8. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = για την οπούα ιςχύει f(1)=3 . x3+ α α. Να βρεύτε την τιμό του α και το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ f β. Να λύςετε την ανύςωςη f(x) ≤ 1. 9. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

ln x + α ln β − x

για την οπούα ιςχύει f(−1)=1 και f(−6)=0 . Να βρεύτε:

α. τουσ αριθμούσ α και β β. το πεδύο οριςμού τησ f 3. ΢υναρτόςεισ Πολλαπλού Σύπου x+ α , αν − 6 ≤ x < −1 για την οπούα ιςχύει f(−2)=5 και f(5)=24 . 2 x + β , αν − 1 ≤ x < 7 α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ f β. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β γ. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f(−1) και f(f(−3)) δ. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=3 . 10. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 1

αlnx + β , αν x > 0 για την οπούα ιςχύει f(0)=−1 και f(1)=3. αex − β , αν x ≥ 0 α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ f β. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β 11. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

4. Εύρεςη Σύπου ΢υνϊρτηςησ – ΢υναρτηςιακϋσ ΢χϋςεισ 12. Να βρεύτε τον τύπο ςυνϊρτηςησ f για την οπούα ιςχύει: 3f x − 2f

1 x

= 5x 2 , ∀ x ≠ 0 .

13. Να βρεύτε τον τύπο ςυνϊρτηςησ f για την οπούα ιςχύει: f x + x ≤ 2x 2 ≤ f x + 1 − 3x − 1 , x ∈ ℝ . 14. Να βρεύτε τον τύπο ςυνϊρτηςησ f για την οπούα ιςχύει: f x + 2f 3 − x = 2x − 1 , x ∈ ℝ . 15. Να βρεύτε τον τύπο ςυνϊρτηςησ f για την οπούα ιςχύει: f x + x ≤ x 2 ≤ f x + 1 − x , x ∈ ℝ . 16. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(x)+3 f(2−x)=−4x , x ∈ ℝ . Να βρεύτε : α. την τιμό f(1) β. τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f 17. Να βρεύτε τον τύπο ςυνϊρτηςησ f για την οπούα ιςχύει: f x + 3x ≤ x 2 ≤ f x − 2 + 7x − 10 , x ∈ ℝ . 18. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x ∙ y = f x + f y , x, y > 0. Να δεύξετε ότι: α. f(1)=0 1 β. f y = −f , y>0 y

γ. f

x y

=f x −f y

, x, y > 0

19. Να βρεύτε τον τύπο ςυνϊρτηςησ f για την οπούα ιςχύει: f x − 3 − 2f 1 − x = x 2 − 2x , x ∈ ℝ . 20. Να βρεύτε τον τύπο ςυνϊρτηςησ f για την οπούα ιςχύει: f 2 x = 4ex f x − ex

,x∈ℝ .

5. Γραφικό Παρϊςταςη ΢υνϊρτηςησ 21. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ με τουσ ϊξονεσ των γραφικών παραςτϊςεων των ςυναρτόςεων: α. f x = x 2 + 2x − 8

β. f x = 2x − 1 − 5

γ. f x = ln x − 2

δ. f x = ex + 2 ε. f x =

x2 + x − 6 x −2

22. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ με τουσ ϊξονεσ των γραφικών παραςτϊςεων των ςυναρτόςεων: 2 α. f x = ln2 x − lnx β. f x = x 3 − 3x 2 + 4 γ. f x = e2x − 3ex + 2 δ. f x = ex −x−2 − 1 23. Να βρεύτε την ςχετικό θϋςη με τον ϊξονα x’x των γραφικών παραςτϊςεων των ςυναρτόςεων: α. f x = −2x 2 + 5x + 3

β. f x = x 3 − 2x 2 − 5x + 6

γ. f x =

9x 2 − 9x − 4 3x + 1

24. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ των γραφικών παραςτϊςεων των ςυναρτόςεων: α. f x = x 3 + 3x 2 − 2x + 1 και g x = x 2 + x + 1 β. f x = x 3 και g x = x 2 + x − 1 γ. f(x)=x lnx −2x και g(x)=x δ. f x = 32x+5 και g x = 3x+2 + 2 25. Να βρεύτε την ςχετικό θϋςη των γραφικών παραςτϊςεων f και g : α. f x = x 3 + x και g x = 3x 2 − 2 β. f x = ln2 x και g x = lnx + 2 γ. f x = g x + x 2 − 1 , x ∈ ℝ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 2

x −1

26. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 – x − 12 . Να βρεθούν: α. το πεδύο οριςμού τησ f β. τα ςημεύα ςτα οπούα η Cf τϋμνει τουσ ϊξονεσ γ. τα διαςτόματα ςτα οπούα η Cf βρύςκεται πϊνω από τον ϊξονα x’x x2 + x + 3

27. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x − 2 και g x = x 2 + 2x . Να βρεθούν: α. τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cg β. τα διαςτόματα που η Cg βρύςκεται πϊνω από την Cf 28. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 4x − 2x+1 και g x = 2x+2 − 8. Να βρεθούν: α. τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cg β. τα διαςτόματα που η Cf βρύςκεται πϊνω από την Cg 29. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − x + 2 και η ευθεύα ε: 6x − y − 4 = 0. Να βρεθούν: α. τα κοινϊ ςημεύα των Cf και τησ ε β. τα διαςτόματα Cf βρύςκεται πϊνω από την ε . 30. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 3 + 2α και g x = 2βx 2 + 5x , α, β ∈ ℝ . Να βρεθούν οι αριθμού α , β ώςτε οι Cf και Cg να ϋχουν κοινϊ ςημεύα πϊνω ςτισ ευθεύεσ x = 1 και x = −2. Κατόπιν να βρεθούν όλα τα κοινϊ ςημεύα των γραφικών παραςτϊςεων Cf , Cg 31. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 2 + αx + β και g x = x 3 − 3x 2 + β − 6α , α, β ∈ ℝ . Αν η Cf τϋμνει τον ϊξονα x’x ςτο −3 και η Cg τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο −6 να βρεύτε α. τουσ αριθμούσ α και β β. τα ςημεύα τομόσ των Cf , Cg 32. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + αx + α − 4 , α ∈ ℝ . Αν η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Μ -3,5 , να βρεύτε: α. τον πραγματικό αριθμό α β. τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με τουσ ϊξονεσ γ. τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με την γραφικό παρϊςταςη τησ g(x)=−4x + 1 33. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln⁡ (x 2 − 2x + α) , α ∈ ℝ . Αν η Cf διϋρχεται από την αρχό των αξόνων , να βρεύτε: α. τον πραγματικό αριθμό α β. το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ f γ. τα διαςτόματα ςτα οπούα η Cf βρύςκεται κϊτω από τον ϊξονα x’x δ. τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με την ευθεύα y=2ln3 . 34. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

x2 + α , x≤1 . Αν η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Μ -3,5) , να βρεύτε: x−2 +α+1 , x>1

α. τον πραγματικό αριθμό α β. τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με τουσ ϊξονεσ 35. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ∗ → ℝ ώςτε να ιςχύει 2xf x − x f

1 x

= x 2 − 3x − 4 , x ∈ ℝ∗ . Να βρεύτε :

α. τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f β. τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με τουσ ϊξονεσ γ. τα διαςτόματα ςτα οπούα η Cf βρύςκεται πϊνω από τον ϊξονα x’x 36. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f α. τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f β. τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με τουσ ϊξονεσ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

x e

≤ lnx ≤ f x − 1 , x > 0 . Να βρεύτε :

Σελίδα 3

37. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f.

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να βρεύτε το f(−1) δ. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=0 ε. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ f(x)>0 και f(x)<0 . ζ. Να εξετϊςετε αν το −1 εύναι τιμό τησ ςυνϊρτηςησ . 38. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f.

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να βρεύτε το f(2) δ. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=0 ε. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ f(x)>0 και f(x)<0 . ζ. Να εξετϊςετε αν το 0 εύναι τιμό τησ ςυνϊρτηςησ . 39. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f.

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ f(x)=0 , f(x)=2 , f(x)= −2 , δ. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ f(x)>0 και f(x)<0 , f x ≤ 2 , f x < −2

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 4

40. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f.

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να βρεύτε την τιμό f f −2 δ. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=2 ε. Να λύςετε την ανύςωςη f x ≥ 0 και την f x < 2 41. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f.

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f(7) , f f 4 και f f 6 δ. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=0 , f(x)= −2 ε. Να λύςετε την ανύςωςη f x < 0 42. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνονται οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων f και g

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού και το ςύνολο τιμών των ςυναρτόςεων f , g β. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f g 0 , g f 0 γ. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=g(x) δ. Να λύςετε την ανύςωςη f(x)>g(x) ε. Να λύςετε την ανύςωςη g(x)≤ 0

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 5

6. Ιςότητα ΢υναρτόςεων 43. Να εξετϊςετε αν εύναι ύςεσ οι ςυναρτόςεισ α. f x = β. f x =

e 3x − 2xe x και xe x x2− 4 και g x2 + 2 x

e 2x x 2 1− x

g x = x =

−2

44. Να εξετϊςετε ςε ποιεσ από τισ παρακϊτω περιπτώςεισ εύναι f=g . ΢την περύπτωςη που εύναι f ≠ g να προςδιορύςετε το ευρύτερο δυνατό υποςύνολο του ℝ ςτο οπούο να ιςχύει f(x)=g(x). α. f x = x 2 − x − 6 και g x = x + 2 x − 3 β. f x = γ. f x =

x 2 + 4x + 3 x2− 1 x2 ln 1 − x

x2 − 9

και g x = x 2 − 4x + 3 και g x = 2lnx − ln 1 − x

45. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει Να δεύξετε ότι f=g

f x + g(x)

= 4f x ∙ g x .

46. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει f 2 x + g 2 x + 8x 2 ≤ 4x f x + g(x) . Να αποδεύξετε ότι οι ςυναρτόςεισ f , g εύναι ύςεσ. λ + 1 x − 2λ − 1

47. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x − 2λ 2 + λ − 2 και g x = Να βρεύτε για ποια τιμό του λ οι ςυναρτόςεισ f και g εύναι ύςεσ.

1 − λ 8 + λ x+ λ − 3 5 − 4 x − λ 2 − 2λ

48. Να βρεθεύ ο λ ∈ ℝ ώςτε να εύναι ύςεσ οι ςυναρτόςεισ f x =

−λx 3 + 3x – 4 x 2 − λx + 4

x 2 − αx + β x –α +2

και g x =

49. Να βρεύτε τα α , β∈ ℝ , ώςτε οι ςυναρτόςεισ f x =

όπου λ ∈ ℝ .

και g x = −λx − 1 . x 2 – α + β − 1 x + 2α − 3 x + β−1

να εύναι ύςεσ.

7. Πρϊξεισ μεταξύ ΢υναρτόςεων x2− 4

f g

50. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x − 1 και g x = x 2 − 3x . Να ορύςετε τισ ςυναρτόςεισ f+g , f∙ g ,

51. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x − 1 και g x = 6 − x . Να ορύςετε τισ ςυναρτόςεισ f+g , f∙ g , 52. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x =

x lnx

και g x = 1 − 2x . Να ορύςετε τισ ςυναρτόςεισ f+g , f∙ g ,

53. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = lnx − 3 , g x = ex − 2 .Να λύςετε την ανύςωςη:

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

f g

x ≥0

Σελίδα 6

f g

΢ύνθεςη ΢υναρτόςεων Α. Οριςμόσ ΢ύνθεςησ ΢υναρτόςεων x +1

x −3

54. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x + 2 και g x = x − 2 . Να ορύςετε, αν ορύζονται, τισ ςυναρτόςεισ fog , gof , fof. 55. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

x +3 x −2

. Να ορύςετε την ςυνϊρτηςη gog .

56. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 2 − x και g x = lnx . Να ορύςετε, αν ορύζονται, τισ ςυναρτόςεισ fog , gof 57. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x =

ex –1

και g x = ln⁡ (x − 1) .

Να ορύςετε τισ ςυναρτόςεισ fog , gof , fof. 58. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x − 1 και g x = x 2 − 2x + 3 . Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των γραφικών παραςτϊςεων fog και gof . 59. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 2x + α και g x = 3x + 2α , α ∈ ℝ . Αν οι γραφικϋσ τουσ παραςτϊςεισ τϋμνονται πϊνω ςτην ευθεύα x=1 , να βρεύτε τον αριθμό α και να δεύξετε ότι fog=gof . Β. Αποςύνθεςη ΢υναρτόςεων 60. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει fog x = 3x 2 − 6x + 10 και f x = 3x + 1 . Να βρεύτε την ςυνϊρτηςη g(x) . 61. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει Να βρεύτε την ςυνϊρτηςη g(x) .

gof x = 4x 2 + 4 και f x = 2x − 1 .

62. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f και g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει fog x = 2x + 1 και f x = lnx , x > 0 . Να βρεύτε την ςυνϊρτηςη g(x) . 63. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει fog x = x + 8 και f x = ex+1 . Να βρεύτε την ςυνϊρτηςη g(x) . 64. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει fog x = 4x 2 − 14x + 13 και g x = 2x − 3 . Να βρεύτε την ςυνϊρτηςη f(x) . 65. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει fog x = Να βρεύτε την ςυνϊρτηςη f(x) .

2−x 2 +x

, x > 0 και g x = lnx .

66. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ με gof x = 3x 2 − 6x + 10 και g x = 3x − 2 . Να βρεύτε : α. τη ςυνϊρτηςη f β. τα x για τα οπούα η Cf βρύςκεται πϊνω από την Cg 67. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = lnx και g x = α. να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α β. να ορύςετε την ςυνϊρτηςη fog γ. να αποδεύξετε ότι η fog εύναι περιττό .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

α −x x +3

, α∈ ℝ . Αν η Cg διϋρχεται από το ςημεύο Α −5 , −4) :

Σελίδα 7

Γ. Εύρεςη Πεδύου Οριςμού ΢ύνθεςησ 68. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : −2 , 1 → ℝ . Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ f(2x−3) . 69. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : 0 , 1 → ℝ . Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ f(lnx) . 70. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : −1 , 4 → ℝ . Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ g(x)=f(x 2 − 5) . Δ. Εύρεςη τιμόσ 𝐟 𝐱𝐨 όταν εύναι γνωςτό η fof 71. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει fof x = 3x − 2 , x ∈ ℝ . Να βρεύτε την τιμό f(1). 72. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει fof x = x 2 + x , x ∈ ℝ . Να βρεύτε την τιμό f(0). 73. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει fof x = 3x + 4 , x ∈ ℝ . α. Να δεύξετε ότι f 3x + 4 = 3f x + 4 , x ∈ ℝ . β. Να υπολογύςετε την τιμό f(−2) . Ε. Εύρεςη Μεταβλητών ςτην ΢ύνθεςη 74. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = αx − 1 και g x = 7x − α , α ∈ ℝ . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του α οι ςυναρτόςεισ fog και gof εύναι ύςεσ. 75. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = αx + 1 και g x = 3α − 2 x + α2 − 1 , α ∈ ℝ . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του α ιςχύει fof=g . 76. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 2x − 1 και g x = 3αx + 1 , α ∈ ℝ . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του α οι ςυναρτόςεισ fog και gof εύναι ύςεσ. 77. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

3 − αx 2−x

. Να βρεθεύ ο α ∈ ℝ ώςτε για κϊθε x ≠ 2 να ιςχύει fof x = x .

Ζ. ΢υνδυαςτικϊ Θϋματα ςτην ΢ύνθεςη 78. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f , g : ℝ → ℝ . Να αποδεύξετε ότι : α. αν οι ςυναρτόςεισ f , g εύναι περιττϋσ , τότε και η fog εύναι περιττό . β. αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ϊρτια και η g εύναι περιττό , τότε η fog εύναι ϊρτια . x +α

79. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 1 , α ∈ ℝ τησ οπούασ η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Μ −2 , 3) . α. Να βρεύτε τον αριθμό α β. Να ορύςετε την ςυνϊρτηςη fof −x − 1 γ. Να εξετϊςετε αν οι ςυναρτόςεισ fof x και g x = x 2 + x εύναι ύςεσ . 80. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = α − 5 −

α x

, α ∈ ℝ τησ οπούασ η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Μ −3 , −1) .

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ καθώσ και τον αριθμό α . β. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με τουσ ϊξονεσ . γ. Να βρεύτε για ποια τιμό του x η Cf βρύςκεται πϊνω από την γραφικό παρϊςταςη τησ g x = x − 4 . δ. Να εξετϊςετε αν οι ςυναρτόςεισ f και h x =

x 2 − 36 x2 + 6 x

81. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει 2f x − f

1 x

= lnx 3 , x > 0 .

α. Να βρεύτε τη ςυνϊρτηςη f . ex + 2 β. Αν g x = e x − 1 να βρεύτε τη ςυνϊρτηςη gof καθώσ και τα ςημεύα τομόσ τησ με τουσ ϊξονεσ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 8

82. ΢τα παρακϊτω ςχόματα φαύνονται οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των f , g . Να βρεύτε τα πεδύα οριςμού και τα ςύνολα τιμών f, g καθώσ και τα πεδύα οριςμού των fog και gof και να λύςετε την εξύςωςη (fog)(x)=0.

Μονοτονύα ΢υνϊρτηςησ Α. Τπολογιςμόσ Παραγώγων Βαςικών ΢υναρτόςεων 83. Να βρεθούν οι παρϊγωγοι των παρακϊτω ςυναρτόςεων α. f x = 3x + 7 β. f x = x 2 + 5x + 2016 γ. f x = x 3 + 4x 2 − 2x + 1 4 ε. f x = 3ςυνx + 2ημx + x − 2x 84. Να βρεθούν οι παρϊγωγοι των παρακϊτω ςυναρτόςεων α. f x = xex β. f(x)=xlnx γ. f x = x 2 ημx

δ. f x = 3ex + 2lnx + 7 x

δ. f x = x 3 lnx

ε. f x = x 2 − 2x ex

85. Να βρεθούν οι παρϊγωγοι των παρακϊτω ςυναρτόςεων 2x

α. f x = x + 1 η. f x =

ημ x ςυν x

3x − 1

β. f x = 2x + 5

γ. f x =

x 2 − 3x 2x + 3

δ. f x =

86. Να βρεθούν οι παρϊγωγοι των παρακϊτω ςυναρτόςεων α. f x = ln x 2 − 3x β. f x = ημ 2x + 3 γ. f x = ςυν x 2 + 5x 5 ε. f x = 4x − 5 ζ. f x = 3x − 2

x2 ex

x–3 ex

ε. f x =

δ. f x = ex

ζ. f x =

+ 5x − 3

Β. Μελϋτη Μονοτονύασ 87. Να μελετηθούν οι παρακϊτω ςυναρτόςεισ ωσ προσ την μονοτονύα : α. f x = 2x 3 + 6x − 1 β. f x = ex + lnx γ. f x = −x 5 − x 3 − lnx 88. Να μελετηθούν οι παρακϊτω ςυναρτόςεισ ωσ προσ την μονοτονύα : 1 −x α. f x = ln x − 1 − e2−x β. f x = 1 + x γ. f x = x − 1 + 2 x

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 9

x lnx

89. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → ℝ . Να αποδεύξετε ότι : α. αν οι ςυναρτόςεισ f , g εύναι γνηςύωσ αύξουςεσ , τότε και η fog εύναι γνηςύωσ αύξουςα . β. αν οι ςυναρτόςεισ f , g εύναι γνηςύωσ φθύνουςεσ , τότε η fog εύναι γνηςύωσ αύξουςα . 90. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g : ℝ → 0, +∞ . Αν η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και η g εύναι γνηςύωσ αύξουςα , να f αποδεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη h = g εύναι γνηςύωσ φθύνουςα . 91. Ϊςτω οι ςυναρτόςεισ f , g που εύναι γνηςύωσ φθύνουςεσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ . Να αποδεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f + g εύναι γνηςύωσ φθύνουςα . 92. Δύνεται η γνηςύωσ μονότονη ςυνϊρτηςη f ςτο ℝ . Να βρεύτε το εύδοσ τησ μονοτονύασ τησ f αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από τα ςημεύα : α. Α 2 , 5 και Β 4 , 3 β. Γ −1 , 6) και Δ 3 , 8 93. Δύνεται η γνηςύωσ μονότονη ςυνϊρτηςη f ςτο ℝ . Αν η Cf τϋμνει τουσ ϊξονεσ x’x , y’y ςτα ςημεύα με τετμημϋνη −2 και τεταγμϋνη 1 αντύςτοιχα . α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα β. Αν g γνηςύωσ φθύνουςα ςτο ℝ , να εξετϊςετε ωσ προσ την μονοτονύα τισ ςυναρτόςεισ gog , fog . 94. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 3 x + 2f x = 5x + 2 , x ∈ ℝ . Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο ℝ Γ. Μονοτονύα και Ανιςώςεισ 1

95. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − lnx . α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να λύςετε την ανύςωςη

1 x2 + 5

−

1 2x 2 + 1

< ln

x2 + 5 2x 2 + 1

96. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + x . α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να λύςετε την ανύςωςη ln x 2 + x + 1 + x 2 < 𝑙𝑛 x + 2 + 1. 97. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2007 + 2007x . α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να λύςετε την ανύςωςη 2007 3x − 1 − 2007 x + 3 > x + 3 2

2007

− 3x − 1

2007

98. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 3 − 2x . α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να λύςετε την ανύςωςη

4 9

−

2 3

< 2𝑥 .

99. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − x . α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα 1 1 β. Να λύςετε την ανύςωςη 2x 2 + 3 − x 2 + 2x + 6 > 2x 2 + 3 −

x 2 + 2x + 6 .

100. Να λύςετε την ανύςωςη e1−x < 1 + lnx 101. Να λύςετε την ανύςωςη 5x 3 + lnx < 102. Να λύςετε την ανύςωςη ex + 3x >

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

2 x 1 2

+ 3. x

Σελίδα 10

103. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + lnx α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να βρεύτε για ποια τιμό του x η Cf βρύςκεται κϊτω από την γραφικό παρϊςταςη τησ ευθεύασ y=1 2x + 3 γ. Να λύςετε την ανύςωςη 3 x + 1 2 − 2 x + 3 2 > ln 3 x + 1 . 104. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 8e2 − x − 2x α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να λύςετε την ανύςωςη f x < 4 2 γ. Να λύςετε την ανύςωςη 8 e2 − x − e2 − x > −2x 1 − x 105. Αν η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο ℝ και η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Α −2 , −3 , να λύςετε την ανύςωςη 2 f x 2 − 3x + 6 ≤ 0 . 106. Δύνεται η γνηςύωσ μονότονη ςυνϊρτηςη f ςτο ℝ . Aν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από τα ςημεύα A(1 , 5) και Β −2 , 7) τότε : α. να βρεύτε το εύδοσ μονοτονύασ τησ f β. να λυθεύ η ανύςωςη f f x − 4 − 6 − 5 < 0 . 107. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 3 + 2αx − 3 , α ∈ ℝ . Aν η Cf τϋμνει τον ϊξονα x’x ςτο 1 : α. να βρεύτε τον αριθμό α β. να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα γ. να λύςετε την ανύςωςη f f x + 3x 2 + 3 + 3 > 0 . 1

108. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = + αx , α ∈ ℝ . Aν η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Μ −2 , 13) : 3 α. να βρεύτε τον αριθμό α β. να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα γ. να λύςετε την ανύςωςη 3x 2x + 5 < 1 . 109. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 5 + αx + 2 , α ∈ ℝ . Aν η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Κ −1 , 4) : α. να βρεύτε τον αριθμό α β. να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα γ. να λύςετε την ανύςωςη fof x > 2 . 110. Δύνεται η γνηςύωσ μονότονη ςυνϊρτηςη f ςτο ℝ . Aν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από τα ςημεύα A(−4 , 3) και Β 3 ,−2 ) τότε : α. να βρεύτε το εύδοσ μονοτονύασ τησ f β. να βρεύτε το εύδοσ μονοτονύασ τησ fof γ. να λυθεύ η ανύςωςη f f ex−1 − 5 > −2 . 111. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + ln x + 1 − 1 α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα 2 β. Να λύςετε την ανύςωςη ex + ln x 2 + 1 > 1 2 x +3 γ. Να λύςετε την ανύςωςη e x − e x + 2 > 𝑙𝑛 2 x + 1

112. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ η οπούα εύναι γνηςύωσ αύξουςα. Να δεύξετε ότι f(x)+f(3x)< f(2x)+f(7x) .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 11

Δ. Μονοτονύα και Εξιςώςεισ 113. Να λυθεύ η εξύςωςη 2x 5 + 3ex = 3 . 114. Να λυθεύ η εξύςωςη

2 x

= 1 + ln x − 1

115. Να λυθεύ η εξύςωςη e3 − x − 1 = ln x − 2 1

116. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx − x + 1 α. Να μελετηθεύ η ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα 1 β. Να λυθεύ η εξύςωςη ln 2x + 3 + 1 = 2x + 3 γ. Να λυθεύ η ανύςωςη 2x 2 lnx + x 2 < 1

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 12

Αντύςτροφη ΢υνϊρτηςη Α. ΢υνϊρτηςη 1-1 117. Να εξετϊςετε αν οι παρακϊτω ςυναρτόςεισ εύναι 1-1 : 3 lnx − 2 3 −x 2 ex − 1 α. f(x)=3ex−3 −5 β. f(x)= 4 γ. f(x)= x + 1 δ. f(x)= 1− 3 − 2x ε. f(x)= 2 ln(x+1) −3 ςτ. f(x)= e x + 2 118. Να εξετϊςετε αν οι παρακϊτω ςυναρτόςεισ εύναι 1-1 : α. f x =

3− 2−x

β. f x = ln

1 +x 1− x

γ. f x = 1 − 2x − 3ex

119. Να εξετϊςετε αν οι παρακϊτω ςυναρτόςεισ εύναι 1-1 : α. f(x)= 2 x 5 + 7x 3 + 3x − 5

β. f(x)= 3ex + 2 lnx − 1

γ . f(x)=

δ. f x = e−2x − x x

1 2

− 4x 3

δ. f(x)=

5 x

− 3 lnx

120. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει (x−2) f(x−3) − (x−3)f(x)=1 , για κϊθε xϵℝ α . Να βρεύτε τισ τιμϋσ f(0) , f(2) β . Να εξετϊςετε αν η f εύναι 1-1 121. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει fof x + f 3 x = 3x − 2 , για κϊθε xϵℝ. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 122. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει f 3 x + 4f x = 2x + 3 , για κϊθε xϵℝ. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 123. Ϊςτω f ,g : ℝ → ℝ δύο ςυναρτόςεισ, όπου η ςυνϊρτηςη gof εύναι 1-1 .Να δεύξετε ότι και η ςυνϊρτηςη f εύναι 1-1. Β. Εξιςώςεισ και ςυναρτόςεισ 1-1 124. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ :

β . 3x = 5 – 2x

α . ln x − 1)= 2− x

125. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει fof x + f 3 x = 2x + 3 , για κϊθε 𝑥𝜖ℝ. α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να λυθεύ η εξύςωςη f(2x 3 + x) − f 4 − x = 0 126. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 +x α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 3 β. Να λύςετε την εξύςωςη ex + x + ex =

x+1

127. Δύνεται η γνηςύωσ φθύνουςα ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ α. Να δεύξετε ότι η g : ℝ → ℝ , με g(x)=f(x)−x εύναι γνηςύωσ φθύνουςα. β. Να λυθεύ η εξύςωςη f x 2 − 3x − f 2x − 6 = x 2 − 5x + 6. 128. Ϊςτω f, g : ℝ → ℝ δύο ςυναρτόςεισ , για τισ οπούεσ ιςχύει (gof)(x)= 2x 5 + ef(x)+1 , xϵℝ. α. Να δεύξετε ότι f εύναι 1-1 β. Να λύςετε την εξύςωςη f lnx = f 1 − x 3 . 129. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 5 + x 3 + x − 3 . α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να λύςετε την εξύςωςη x 5 + x 3 + x = 3 γ. Να λύςετε την ανύςωςη e5x + e3x + ex < 3 . 130. Να λύςετε την εξύςωςη ln

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

ex + 1 e −x + 1

= 7 e−x + 1

− 7 ex + 1

Σελίδα 13

Γ. ΢υνδυαςτικϋσ Αςκόςεισ με 1-1 131. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x 2 + 4. α. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f με τουσ ϊξονεσ. β . Να εξετϊςετε αν η f εύναι 1-1 x +α

132. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 , τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη διϋρχεται από το ςημεύο Μ −1, −1). Να βρεύτε : α. τον αριθμό α. β. το ςημεύο τομόσ τησ Cf με τον ϊξονα y’y γ. αν η ςυνϊρτηςη f εύναι 1-1. 133. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ∗ με (fof)(x)=(x−2) f(x) , xϵℝ. α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να βρεύτε την τιμό f(3) γ. Να λύςετε την εξύςωςη f x + 1 − f x − 1 − f x − 2 = 0. 134. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει (fof)(x)−f(x)=−x+2 , xϵℝ. α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να βρεύτε την τιμό f(2) γ. Να αποδεύξετε ότι η f δεν εύναι γνηςύωσ φθύνουςα δ. Να λύςετε την εξύςωςη f 4 − f x − 1 = 2 135. Δύνεται η ςυνϊρτηςη g x = x + 3 e x − 2 καθώσ και η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει (gof)(x)= 8− 3 e x − 2 για κϊθε xϵℝ. α. Να αποδεύξετε ότι η g εύναι 1-1 β. Να βρεύτε την τιμό f(2) γ. Να λύςετε την εξύςωςη f f x − 3 + ex − 1 − f(ex + 1)=0. 136. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)= x+ ln(x+1). α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να λυθεύ η εξύςωςη f ex + x − 1 = 0 ςτο A = [0, +∞) . Δ. Εύρεςη Αντύςτροφησ ΢υνϊρτηςησ 137. Να βρεύτε, εφόςον ορύζονται, τισ αντύςτροφεσ των ςυναρτόςεων α. f(x)= 2x+5

3x – 2

β. f(x) = x + 1 x− 1

138. Να βρεύτε, εφόςον ορύζονται, τισ αντύςτροφεσ των ςυναρτόςεων α. f x = x 3 − 2 β. f(x)= x − 2 139. Να βρεύτε, εφόςον ορύζονται ,τισ αντύςτροφεσ των ςυναρτόςεων α. f(x)= 1+ ln(x−3) 140. Να βρεύτε, εφόςον ορύζονται ,τισ αντύςτροφεσ των ςυναρτόςεων α. f x = 2ex−3 − 1

β. f x = 2 + x − 1 β. f x = 2 + ex − 1

141. Να βρεύτε, εφόςον ορύζονται , τισ αντύςτροφεσ των ςυναρτόςεων α. f x = x 2 − 4x + 5 , x ≥ 2 β. f x = x 2 − 8x + 10 , x ≤ 4 142. Να βρεύτε, εφόςον ορύζονται , τισ αντύςτροφεσ των ςυναρτόςεων α. f x = 8x 3 − 3

β. f x =

143. Να βρεύτε, εφόςον ορύζονται , τισ αντύςτροφεσ των ςυναρτόςεων α. f x =

ex − 1 ex + 1

β. f x = ln

x −1 x –2

144. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει 2f 3 x + 4f x = x + 4 , ∀xϵℝ. Να βρεύτε, αν υπϊρχει, την αντύςτροφη τησ f.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 14

ex + 1 ex

145. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f: ℝ → 1 , +∞ για την οπύα ιςχύει f 2 x − 2 f x = e2x − 1. Να βρεύτε α. τον τύπο τησ f(x) β. τον τύπο τησ f −1 (x) . Ε. Εξιςώςεισ-Ανιςώςεισ και Αντύςτροφη 146. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + 2x . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε το f −1 (−3) γ. Να λύςετε την εξύςωςη f −1 f x 2 − 5 + 15 = 2 147. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2 − x − lnx . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=1 γ. Να λύςετε την ανύςωςη x+ lnx >1 148. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ ,γνηςύωσ μονότονη, τησ οπούασ η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α 2 , 6) και Β 4 , 3). α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f f −1 x 2 − 5x + 2 = 3 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f x 2 − x − 3 < 4 . 149. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ , γνηςύωσ μονότονη, τησ οπούασ η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α −1 , 5 και Β 2 , 4). α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f −1 3 + f x 2 − 3x − 3 = 3 2x + 10 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f 2 + f −1 x − 1 ≤8 . 150. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ ,γνηςύωσ μονότονη, τησ οπούασ η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α 1 , 5 και Β 3 , 8). α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f f −1 x 2 − 3 = 5 γ. Να λύςετε την ανύςωςη 151. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ ,γνηςύωσ μονότονη, τησ οπούασ η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α 2 , 5 και Β 3 , 2). α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f −1 5 και f −1 (2) γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 3 + f x 2 + 2x > 2 152. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει (fof)(x)=3x − 5 με f(2)=10 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε το f −1 (2) γ. Να λύςετε την εξύςωςη f f −1 x − 2 − 5 = 2 153. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e1−x − x . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 1 − x > 𝑥 . 154. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = −2 x 3 − 3x + 1 α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f x 2 − 4 − 22 < 2.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 15

155. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x 3 + x + 1 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη 2 β. Να λύςετε την εξύςωςη ex − x + x 2 − x 3 + x 2 − 2x = e x + 3 + x + 3

156. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f −1 x = x − 1 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 x ≥ x − 1 157. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2e−2x − 3x − 2e2 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f f −1 x − 2e2 − 1 = 3 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f x − 1 − 2e2 < 0 . 158. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 3x 5 + 2x 3 − 1 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f f −1 4ςυνx + 2 = 4 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f x 2 + 2x + 2 − 5 > 0 159. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει α. Να βρεύτε το f(8) β. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 γ. Να βρεύτε το f −1 (3) δ. Να λύςετε την εξύςωςη f f −1 x 2 − 4x − 3 = 3.

fof)(x)+f(x)=3x−4 με f(3)=8.

160. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ με f 3 x + f x = 27x 3 + 8 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να λύςετε την εξύςωςη f x = 0 γ. Να λύςετε την εξύςωςη f ln2 x = f 2 lnx + 3 . 161. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ με f x = e x − 1 + 2x − 3 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την εξύςωςη f −1 x = 0 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 lnx < 1 δ. Να λύςετε την εξύςωςη f 1 + f −1 x + 1 = 0 162. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln x + 1 − e−x + 2x , f A = ℝ. α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη . β. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 ex − 2 < 0 . γ. Να λύςετε την εξύςωςη f −1 x − 1 = x ςτο −1 , +∞ ΢Σ. Κοινϊ ΢ημεύα Γραφικών Παραςτϊςεων 𝐟 , 𝐟 −𝟏 163. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e x − 2 + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη . β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cf −1 164. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = − x 3 − x + 12 α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη . β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cf −1 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f x − 1 + 8 < 1 . 165. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + 4x − 4 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη . β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cf −1 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 x 2 − 13 < 2 . ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 16

166. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 3x 5 + x + 3 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cf −1 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f x 2 − 3 − 4 > 0 . e

167. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx − x + x. α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cf −1 168. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ με 2f 3 x + f x = x + 16 , xϵℝ. α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε την f −1 γ. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ Cf και τησ ευθεύασ y=x. 169. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ με f 3 x + f x = x − 8 , xϵℝ. α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε την αντύςτροφη β. Να δεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα γ. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ των Cf , Cf −1 1

170. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − e x − 1 + 1 , x > 0 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cf −1 . 171. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 3x + x − 9 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη . β. Να βρεύτε τo f −1 −5 γ. Να λύςετε την εξύςωςη f x = f −1 (x) δ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f lnx − 3 > 0 172. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + x − 8 . α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη . β. Να βρεύτε τα f −1 −6 και f −1 2 γ. Να λύςετε την εξύςωςη f x = f −1 (x) δ. Να λύςετε την εξύςωςη f x 2 − 8 = −6 ε. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 logx 2 ≤ 2 Ζ. Γενικϋσ Αςκόςεισ ςτισ Αντύςτροφεσ 173. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 4x + 2 , g x = 2f −1 x + 1 . Να βρεύτε την g −1 . 174. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)=αx+β ,α≠ 0. Να βρεύτε τα α, β 𝜖ℝ αν f x = f −1 x + 3 , ∀𝑥ϵℝ . 175. Αν f x = 2α − 1 x − 3β , να βρεθούν τα α , βϵℝ ώςτε να ιςχύει f=f −1 176. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = α + ex − 1 , αϵℝ . α. Να αποδεύξετε ότι f η εύναι αντιςτρϋψιμη β. Αν ιςχύει f −1 4 = 1 , τότε β1. Να βρεύτε το α β2. Να βρεύτε την αντύςτροφη α –x

177. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 1 + x , αϵℝ. Αν η Cf διϋρχεται από το ςημεύο Κ −3 , −2 τότε α. Να βρεύτε τον αριθμό α β. Να αποδεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι αντιςτρϋψιμη γ. Να δεύξετε ότι f = f −1

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 17

178. Ϊςτω f,g : ℝ → ℝ δύο ςυναρτόςεισ ώςτε η fog να εύναι 1-1 α. Να δεύξετε ότι η g εύναι 1-1 β. Αν για κϊθε x > 0 ιςχύει g f lnx + 1 = g(x + 2) να βρεύτε την f(x) . 179. Δύνεται γνηςύωσ φθύνουςα ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f ex + 2 + f x + 3 = x , xϵℝ . α. Να αποδεύξετε ότι f η εύναι αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με τον ϊξονα x’x γ. Να λύςετε την ανύςωςη f 6 − f −1 x 2 − 4 > 0 . 180. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

ex –1

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f και να εξετϊςετε αν η γραφικό τησ παρϊςταςη τϋμνει τουσ ϊξονεσ x’x , y’y β. Να αποδεύξετε ότι f η εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε την αντύςτροφη γ. Να λύςετε την εξύςωςη f −1

1 1–e

+ 2 − f lnx

= −1 .

181. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ με f x − f y = f

x y

. Αν η εξύςωςη f(x =0 ϋχει μοναδικό ρύζα τότε :

α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να λύςετε την f x + f x 2 + 3 = f x 2 + 1 + f x + 1 . 182. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ef(x) + f x = x , xϵℝ α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε την f(1) γ. Να λύςετε την e x − 4 − e 2x + 1 = x + 5 183. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ ,γνηςύωσ μονότονη, τησ οπούασ η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α 5 , 9 και Β 2 , 3). α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη . β. Να λύςετε την εξύςωςη f 3 + f −1 x 2 + 2x = 9 2 γ. Να λύςετε την εξύςωςη f −1 x − ln + 1 = 2 x

δ. Να λύςετε την ανύςωςη f 2 x ≤ 12 f x − 27 ε. Να λύςετε την ανύςωςη f (x+lnx+4)>9 184. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ef(x) + f x = x + 2 , xϵℝ α. Να δεύξετε ότι η εύναι f αντιςτρϋψιμη e β. Να λύςετε την εξύςωςη f lnx = f x γ. Να βρεύτε την αντύςτροφη τησ f δ. Να λύςετε την ανύςωςη x 3 − 8 ex − 3 < 𝑓 −1 . ex

185. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = e x + 1 και g x = 1 − lnx α. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφη β. Να βρεύτε τη ςυνϊρτηςη f −1 og x και να την μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα. 1 − ln α ln α γ. Αν 1<α<β<e , να αποδεύξετε ότι 1 − ln β > ln β . ex + 1

186. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = ex + 1 και g x = e x − 1 α. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφη β. Να αποδεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g εύναι περιττό γ. Να βρεύτε τη ςυνϊρτηςη gof −1

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 18

187. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + αx + 2 , αϵℝ . Η γραφικό παρϊςταςη τησ fof τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο 14 . α. Να βρεύτε τον αριθμό το α β. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται γ. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ των Cf , Cf −1 δ. Να λύςετε την εξύςωςη f f x 2 − 4 + x − 1 − f x + 1 = 0 . ε. Να λύςετε την ανύςωςη f f x − 2 − 5 < f −1 14 . 188. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(1)+f(e)=2e+3 , f x − f y = ln

x y

+2 x−y

α. Να βρεύτε τα f(1) , f(e) β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f γ. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται δ. Να λύςετε την ανύςωςη 4 x 2 − 1 < ln

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

x 2 + 10 3x 2 + 8

Σελίδα 19

Όριο ΢υνϊρτηςησ ςτο 𝐱𝐨 𝛜ℝ 1. Ϊννοια του ορύου 189. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύουν limx→2− f x = λ λ − 1 , limx→2+ f x = 5λ − 9 . Να βρεθεύ το λϵℝ αν υπϊρχει το όριο limx→2 f(x). 190. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύουν limx→ 3− f x = λ2 − 3λ + 2 , limx→3+ f x = 2λ − 4 . Να βρεθεύ το λ𝜖ℝ αν υπϊρχει το όριο limx→3 f x . 191. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f . Να βρεύτε : α. limx→2+ f(x) β. limx→−1− f(x) γ. limx→−1+ f(x) δ. limx→1− f(x) ε. limx→1+ f(x) ζ. limx→2 f(x) η. limx→3− f(x) θ. f(1) ι. f(−1)

192. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f . Να βρεύτε : α. limx→−2 f(x) β. limx→−1 f(x) γ. limx→0 f(x) − δ. limx→1 f(x) ε. limx→1 f(x) ζ. limx→2 f(x)

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 20

193. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f . Να βρεύτε : α. limx→−2 f(x) β. limx→0 f(x) γ. limx→2 f(x) δ. limx→3 f(x) ε. limx→4 f(x) η. limx→−2− f(x) θ. limx→4+ f(x)

ζ. limx→2+ f(x)

194. ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ f . Να βρεύτε : α. limx→−3− f(x) β. limx→−2 f(x) γ. limx→0 f(x) δ. limx→1− f(x) ε. limx→1+ f(x) η. limx→2− f(x) θ. limx→3 f(x) ι. limx→4 f(x) κ. limx→5− f(x) κ. limx→5+ f(x)

ζ. limx→2+ f(x) λ. limx→6 f(x)

2. Όριο Ρητόσ ΢υνϊρτηςησ (0/0) 195. Να υπολογύςετε τα όρια : α. limx→2

x2 − 4 x −2

x2− 9

β. limx→ −3 x 2 + 3x

196. Να υπολογύςετε τα όρια 1 4 α. limx→2 ( x − 2 − x 3 − 2x 2 ) 1

δ. limx→1 ( x 2 + x − 2 −

x x3 − 1

)

γ. limx→1 1

x 2 + 4x − 5 x2 − 1

β. limx→−1 ( x + 1 + ε. limx→1

1 x

2 x2 − 1

1−x

δ. limx→1 2x 2 − 7x + 5

)

ε. limx→ −2 1

γ. limx→3 ( x − 3 −

x 3 + x 2 – 2x x 4 − 16

2 x 2 − 4x + 3

)

–x

x –3+

2 x

197. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει f 3 x − 3f 2 x + 3f(x) =x+9 . Να βρεύτε το όριο limx→3

f −1 (x) x 2 − 5x + 6

3. Όριο Ωρρητησ ΢υνϊρτηςησ 0/0 198. Να υπολογύςετε τα όρια : α. limx→2

3−x –1 2 −x

β. limx→ −1

x +5 −2 x2 + x

γ. limx→1

x −1 x2 + 3 – 2

199. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει limx→−2 f x = 2 .Να βρεύτε το όριο limx→−2 200. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για τον οπούα ιςχύει limx→3 f x = 2 .Να βρεύτε το όριο limx→3

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 21

f3 x − 8 4 − f 2 x + 12

f2 x − 4 f x + 7− 3

4. Όριο ΢υνϊρτηςησ Πολλαπλού Σύπου 201. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x) =

202. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x) =

x −1 , x +3−2 3x 2 − 5x + 2 x 2− x

x>1 , 0<x<1

x 2 + 2x , −4 x +4−2 3 2 x + 2x − 8x , 0 2x 2 − 4x x2 – x − 2 , x 2 − 3x + 2

. Να βρεθεύ αν υπϊρχει το lim𝑥→1 𝑓(𝑥)

≤x<0 < x < 2 . Να βρεθούν, αν υπϊρχουν x>2

τα όρια limx→0 f x , limx→2 f(x). 3x − α , x ≤ −1 2 x − αx + β , − 1 ≤ x < 1 . Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α, β, γ 𝜖ℝ για τισ οπούεσ 203. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x) = 3 2 x − αx + γ , x≥1 υπϊρχει το όριο limx→ −1 f(x) και ιςχύει limx→1 f x = 1 . 5. Όριο ΢υνϊρτηςησ με Απόλυτεσ Σιμϋσ 204. Να βρεύτε, αν υπϊρχουν, τα όρια : α. limx→2

x −3 − x −1 x 2 − 2x

β. limx→ −1

x 3 − 3x − 1 + x x3

+ 5x + 4 − 2

x 2 − 4 − x 2 + 5x + 6

γ. limx→ −2

x 2 + 3x + x

205. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → (−1 , +∞) για την οπούα ιςχύει limx→2 f x = 3. Να βρεύτε το όριο : limx→2

f x − 2 − f 2 x − 5 f(x) + 5 f x +1−2

6. Όριο ΢υνϊρτηςησ ςε Ανύςωςη 206. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει x f x − 2 f x ≤ x 2 − 5x + 6 , ∀xϵℝ και το όριο limx→2 f(x) υπϊρχει και εύναι πραγματικόσ αριθμόσ. Να βρεύτε το limx→2 f(x) 7. Όριο με χρόςησ Βοηθητικόσ ΢υνϊρτηςησ 207. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει α . limx→3 f(x)

ότι limx→3

f x − 2x + 4 x −3

= 10 . Να βρεύτε τα όρια :

f x −2

β . limx→3 x 2 − 3x

208. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ότι limx→2 f x − 3x 2 + x − 2 = −4 . Να βρεύτε το limx→2 f(x) . 209. Να βρεύτε το limx→ −2 f(x) αν ιςχύουν α. limx→ −2 2 f x + 1 − x = 3 f x −1 β . limx→ −2 x + 2 = 3 210. Αν για την ςυνϊρτηςη f ιςχύει limx→0 211. Αν limx→1

f x − x3 x2 − 1

f x −4 f x +2

= 2 , να βρεύτε το limx→1

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

= 1 , τότε να βρεύτε το όριο limx→0 f(x) .

f x − x x −1

Σελίδα 22

212. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει

limx→2

f x −x x2+ 5 − 3

= 4 . Να βρεύτε τα όρια :

α. limx→2 f(x) f x +x −4 β. limx→2 x −3 −1

213. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ότι limx→2 x f x + x 2 − 8 = 6 . Να βρεύτε τα όρια : α. limx→2 f(x) β . limx→2

f 2 x − 5 f(x) f x −1−2

f(x)

214. Να βρεύτε το όριο limx→ −1 [ f x ∙ g x ] ,όταν ιςχύει limx→ −1 x + 1 = 2 και limx→ −1 g x x 2 − x − 2 215. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→1 Να υπολογύςετε το όριο limx→1

f x −4 x −1

= −3.

=3.

x – f x − 12 x2 + x − 2

8. Προςδιοριςμόσ Παραμϋτρων 216. Να βρεύτε τουσ πραγματικούσ αριθμούσ λ , μ ώςτε να ιςχύει limx→ −1

2 x2 + λ x + μ x 2 + 3x + 2

= 5.

217. Να βρεύτε τουσ πραγματικούσ αριθμούσ α, β ώςτε να ιςχύει limx→ −1

α x2 + β x − 6 x2 − 1

=4 .

218. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)=

x2− 1 x + 3− 2 x 2 + αx + β x 2 − 3x + 2

αν − 3 ≤ x < 1

Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α, β ϵℝ

, αν 1 < x < 2

ώςτε να υπϊρχει το όριο limx→1 f x . 9. Κριτόριο Παρεμβολόσ 219. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει 2x 2 − 7x + 5 ≤ f x ≤ x 2 − x − 4, xϵ(2,6) . Να βρεύτε α. limx→3 f(x)

β. limx→3

f x −2 x −3

220. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει x 2 + x ≤ f x ≤ 12 x + 3 − 22 . Να βρεύτε : f x − f(1) α. limx→ 1 f(x) β. limx→1 x − 1 221. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x − x + 2 ≤ x 2 − 2x + 1 για κϊθε x𝜖ℝ . Να βρεύτε το όριο limx→1 f(x) 222. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει xf x − 2f x − x 2 + 4 ≤ x 2 − 4x + 4 , για x𝜖ℝ . Να βρεύτε το όριο limx→2 f(x) 223. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x ± 4f x ≤ x 2 − 4 για xϵℝ . Να βρεύτε limx→0 f(x) 224. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x ≤ 2x 2 f x , για xϵℝ . Να βρεύτε limx→0 f(x) . 225. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x + ςυν2 x ≤ 2 f x για xϵℝ . Να βρεύτε limx→0 f(x) . 226. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει

f 2 x − 6 f(x) ≤ x +3

x − 3 για x>−3 . Να βρεύτε limx→0 f(x)

10. Σριγωνομετρικϊ Όρια ημχ x2 + x

227. Να υπολογύςετε τα όρια

α. limx→0

228. Να υπολογύςετε τα όρια

α. limx→0 xημ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

β. limx→0 1 x

ημ x x +4–2

β. limx→0 ημx ∙ ςυν

γ. limx→0 1 x

ημ 3x x

γ. limx→0 x 2 ∙ ςυν

Σελίδα 23

1 x

229. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ημ2 x ≤ f x + 2x ςυνx ≤ x 2 για xϵℝ . Να βρεύτε : f x + 2x α. limx→0 f(x) β . limx→0 2 x

230. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x − 2xf x ≤ ημ2 x − 2x ημx , για xϵℝ . Να βρεύτε : f(x) α . limx→0 f(x) β . limx→0 x

231. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→0 Να βρεύτε το λ . 232. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με limx→0 α . Να βρεύτε το λ β. Να βρεύτε το limx→0

f 2 x + xf x + x ημ x f 2 x + x 2 + ημ 2 x

f x x

= λ , f 3 x + f x ημ2 x = 2x 2 ημx για xϵℝ .

= λ και f 3 x + f 2 x ημx + x 3 f x = 2x 2 ημx , για xϵℝ .

Μη Πεπεραςμϋνο Όριο ςτο 𝐱𝟎 𝛜ℝ 11. Εύρεςη Ορύου α/0 x –2 x2

233. Να βρεύτε τα όρια:

α. limx→0

234. Να βρεύτε τα όρια:

α. limx→4 x − 4

x +5

β. limx→2

2x − 7 x −2

γ. limx→3

2x − 1 x 2 − 6x + 9

β. limx→3

4 x −7 x2 − 9

γ. limx→ −2

x +5 x 2 − 2x – 8

12. Εύρεςη Παραμϋτρων ςτην μορφό α/0 235. Να βρεύτε το λϵℝ ώςτε να ιςχύει limx→2

x −3 x 2 + λx + λ + 8

= −∞

13. Φρόςη Βοηθητικόσ ΢υνϊρτηςησ ςτο α/0 236. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→0 x 2 f x α . limx→0 f(x) β . limx→0 [ f x ημx ημ3x ]

= 3 . Να βρεύτε τα όρια :

14. Σο Σϋχναςμα του Κοινού Παρϊγοντα 237. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→2 f x = +∞. Να βρεύτε τα όρια : 1 f(x) 4f 3 x − 3f x + 1 γ. limx→2 2f 3 x + 5f 2 x – 6

α. limx→2

f 2 x − 3 f(x) f x + 2 f 2 x − 4f x + 3 limx→2 f 3 x − 2f 2 x + f x – 3

β. limx→2 δ.

15. Όριο με Απόλυτεσ Σιμϋσ ςτο α/0 238. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→2 f x = + ∞. Να βρεύτε το όριο limx→2

x2 − 4 3 −x f x − 2f x −3

16. Όριο α/0 και Διϊταξη 239. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει x 2 f x ≥ x + 3 , ∀xϵℝ . Να βρεύτε τα όρια : α. limx→0 f x 1 β. limx→0 [ f x − 2010 ημ f x ] .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 24

Όριο ΢υνϊρτηςησ ςτο Ωπειρο 17. Όριο Πολυωνυμικόσ ΢υνϊρτηςησ 240. Να βρεύτε τα όρια : α. limx→+∞ (4x 3 − 2x 2 + 5x − 3) γ. limx→−∞ (2x 5 + 3x 2 − 1)

β. limx→+∞ (−2x 3 + 5x − 1) δ. limx→−∞ (3x 2 − 5x + 7)

18. Όριο Ρητόσ ΢υνϊρτηςησ 241. Να βρεύτε τα όρια : 6 x 3 − 5x 2 + 7x − 4 2x 2 − 3x + 5 2x 2 3x limx→+∞ ( x − 1 + x + 1)

α. limx→+∞ δ.

4x 5 − 5x 2 + 2x − 6 2x 3 + 5x 2 − x − 6 x3 x2 limx→−∞ ( x − 2 + x + 3 )

β. limx→−∞ ε.

γ. limx→−∞

−3x 6 + 4x 2 − 5x −3 −6x 3 + 2x 2 + 7x + 4

19. Όριο με Απόλυτεσ Σιμϋσ 242. Να βρεύτε τα όρια :

α. limx→+∞

x 2 − 5x + 4 − 6x 2 x 3 − 3x 2

β. limx→−∞

− x3

x 3 + 4x 2 − 3x + 5 + x 3 x 2 − 2x −3 − x 2

20. Όριο Ωρρητησ ΢υνϊρτηςησ 243. Να βρεύτε τα όρια :

α. limx→+∞ x 2 − 3x + 2

244. Να βρεύτε τα όρια: α. limx→+∞ ( 4x 2 − 3x + 2 − x) γ. limx→+∞ 3x − 9x 2 + 1

β. limx→−∞ 3x 2 − 5x + 2

γ. limx→+∞

3x − 2 4 x2 + 7

β. limx→−∞ 9x 2 − 4x + 5 − 3x δ. limx→+∞ ( 4x 2 + x + 1 − 2x + 1 )

21. Όριο Εκθετικόσ ΢υνϊρτηςησ 245. Να βρεύτε τα όρια : α. limx→+∞

3x + 3∙2x 3x − 2x

β. limx→−∞

3x +1 + 5∙ e x 2∙ 3x − e x

246. Να βρεύτε τα όρια : α. limx→+∞ 3

γ. limx→+∞

x 3 − 2x + 4 x −2

4∙ 5x +2 + 5∙ 3x +1 2∙5x +1 − 3x +2

β. limx→−∞ e

x 2 + 2x x +3

5∙e x + 22x 22x +3

δ. limx→+∞ 2∙e x +1 − γ. limx→−∞ e

x 2 + 3+ x

22. Όριο Λογαριθμικόσ ΢υνϊρτηςησ 247. Να βρεύτε τα όρια :

8 ln 2 x − 4 lnx + 5

α. limx→+∞ 2 ln 2 x + 5 lnx − 2

248. Να βρεύτε τα όρια : α. limx→+∞ [ln x 3 + 2x − ln (x 2 − 1)] γ. limx→−∞ 2 ln x 2 + 1 − ln x 2 − 3x 249. Να βρεύτε τα όρια : α. limx→+∞ lnx −

β. limx→0+

9 ln 3 x − 4 ln 2 x + 8 3 ln 2 x + 5 lnx + 7

3lnx +2

γ. limx→0+ 4 ln 3 x + ln 2 x + 1

β. limx→+∞ [ln x + 2 − ln x 2 + 3x ] δ. limx→+∞ [ln 3x + 5x − x ] x 2 + 2x + 3

β. limx→+∞ ln ex+2 + 3 − x − 2

2 − x3

250. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln 2x − 4x − e x 2 + x α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f β. Να βρεύτε το όριο limx→−∞ f(x)

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 25

23. Σριγωνομετρικϊ Όρια ςτο Ωπειρο 251. Να βρεθούν τα όρια : x−ημ x α. limx→+∞ x

β. lim𝑥→+∞

δ. limx→+∞ x 2 − 5x + 3

ε. limx→+∞

x ημ x

4x −3 ημ x 5x + 3 [ x2 + 2 −

4x + 3 ημ x

γ. limx→+∞ 5x − 3 ςυν x x ημ4x]

252. Να βρεθούν τα όρια α. lim𝑥→+∞

x 2 ημ

1 x

2x + 3

β. limx→+∞ (

x 2 + 4x − 3 x +2

ημ

1 x

)

4x 2 + 2 −

γ. limx→+∞ [

x 2 + x ημ

1 x

]

253. Να βρεθούν τα όρια : 2x − 3 ημ x

α. limx→+∞ 3 2x + ςυν x

β. limx→+∞ ln x 2 + ςυνx − lnx

24. Κριτόριο Παρεμβολόσ ςτο Ωπειρο 254. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με : 6x 3 − 5x 2 + 2 ≤ f x ≤ 6x 3 + 2x 2 + 4 , ∀xϵℝ . Να βρεύτε τα όρια : f(x) α. limx→+∞ f(x) β. limx→−∞ x 2 +3x − 5 f(x)

f(x)

γ. limx→−∞ 2x 3 – x + 25

δ. limx→+∞ x 4 − 2x 3 + x

255. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει : Να βρεύτε το όριο limx→+∞ f(x)

x 2 + 1 f x − x ≤ 1, ∀xϵℝ .

256. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει : x 3 + 1 f x − 2x 3 ≤ x 2 + 1, ∀xϵℝ . Να βρεύτε τα όρια: f x α. limx→+∞ f(x) β. limx→+∞ ∙ ημx x

25. Με Φρόςη Βοηθητικόσ ΢υνϊρτηςησ 257. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→+∞

x f x − x 2 +x+2 2x + 1

258. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→+∞

xf x − ημ x x +1

= 3. Να βρεύτε το limx→+∞ f(x)

259. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→+∞ f x − 3x = −2 . Να βρεύτε τα όρια : α. limx→+∞ f(x)

β. limx→+∞

x f x + x2 + 1 x − 3 x2 + 2

f(x) x

γ. limx→+∞ x f

260. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→+∞ f x − 4x = 3 . Να βρεύτε τα όρια : f(x) 2 f x + 7x α. limx→+∞ f(x) β. limx→+∞ x γ. limx→+∞ x f x − 4 x 2 + 2x + 1 26. Προςδιοριςμόσ Παραμϋτρων 261. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α, β ϵℝ ώςτε να ιςχύει : limx→+∞

x 2 +3 x−2

262. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α, β ϵℝ ώςτε να ιςχύει : limx→−∞

4x 2 + 8x − 5 + αx + β = −5

+ αx + β = 5

263. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f : (−∞, 0) → ℝ για την οπούα ιςχύουν: limx→−∞ 2 f x + λ x −1 x − 2x 2 + 1

Να βρεύτε το λϵℝ∗ ώςτε limx→−∞ x f

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

f(x) x

= 2 , limx→−∞ f x − 2x = 3

Σελίδα 26

Κανόνασ του De L’ Hospital

27. Απροςδιόριςτη Μορφό 0/0 , ∞/∞ 264. Να βρεθούν τα όρια: ex − 1 x 3x +5 ημ x γ. limx→0 2x − ημ x

lnx

α. limx→0

β. limx→1 x − 1

x − e x −1

δ. limx→1 x – lnx − 1

265. Να βρεθούν τα όρια : lnx ex lnx

α. limx→+∞ γ. limx→0+

x2 ex 4x 2 + lnx limx→+∞ x 2 + 2lnx

β. limx→+∞ δ.

28. Απροςδιόριςτη Μορφό 𝟎 ∙ (±∞) 266. Να βρεθούν τα όρια : 1

α . limx→−∞ x ex

β. limx→0+ x ∙ ex

γ. limx→+∞ x ln 1 +

1 x

29. Απροςδιόριςτη Μορφό (∞ − ∞) 267. Να βρεθούν τα όρια : α. limx→+∞ x − lnx

β. limx→+∞ ex − x

δ. limx→+∞ x 2 + x − ex

ε. limx→0+

1 x

−

γ . limx→1+

1 ημ x

x x −1

−

1 lnx

30. Απροςδιόριςτη Μορφό 𝟎𝟎 , 𝟏±∞ , ±∞𝟎 268. Να βρεθούν τα όρια : α. limx→1+ x − 1

lnx

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

β. limx→0+ ex − 1

γ. limx→1− x 1−x

Σελίδα 27

Αςύμπτωτεσ 31. Κατακόρυφη Αςύμπτωτη 269. Να βρεύτε τισ κατακόρυφεσ αςύμπτωτεσ των ςυναρτόςεων : α. f x =

x −5 x −2

β. f x =

lnx x

270. Να βρεύτε τισ κατακόρυφεσ αςύμπτωτεσ τησ f x =

+ 1 , 0<x<1 1 , x=1 lnx x –1

ΘΕΜΑ 2016 Ε

x>1

32. Οριζόντια Αςύμπτωτη 271. Να βρεύτε τισ οριζόντιεσ αςύμπτωτεσ των ςυναρτόςεων : α. f x =

5 x 2 − 3x + 4 x2 + 3

β. f x =

x2 − x + 2 x −3

272. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex ημx + 2015 . Να βρεύτε την οριζόντια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο − ∞ και να δεύξετε ότι η Cf τϋμνει την παραπϊνω αςύμπτωτη ςε ϊπειρα ςημεύα. 33. Πλϊγια Αςύμπτωτη 273. Να βρεύτε τισ πλϊγιεσ αςύμπτωτεσ των ςυναρτόςεων : α. f x = 274. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = τησ Cf ςτο +∞

3 x 2 − 7x + 2 . x −3

2 x 2 − 3x + 1 x +1

β. f x =

2 x 3 + 3x 2 − 5 x2 – x + 1

Να αποδεύξετε ότι η ευθεύα y = 3x + 2 εύναι πλϊγια αςύμπτωτη

275. Να βρεύτε τισ πλϊγιεσ αςύμπτωτεσ τησ ςυνϊρτηςησ f x = 3x − 5 +

7 ex + x2

34. Εύρεςη Αςύμπτωτων 276. Να βρεθούν οι αςύμπτωτεσ τησ ςυνϊρτηςησ f x =

x 2 + 5x − 2 x −1

277. Να βρεθούν οι αςύμπτωτεσ τησ ςυνϊρτηςησ f(x)= x lnx 278. Να βρεθούν οι αςύμπτωτεσ τησ ςυνϊρτηςησ f(x)=(x-2)lnx+x-3

(ΘΕΜΑ 2010)

279 Να βρεθούν οι αςύμπτωτεσ τησ ςυνϊρτηςησ f x = x 2 − 2 lnx

(ΘΕΜΑ 2008)

280. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − ln ex + 1 .Να βρεύτε την οριζόντια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ και την πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο −∞ (ΘΕΜΑ 2014) x2

281. Να βρεθούν οι αςύμπτωτεσ τησ ςυνϊρτηςησ f x = x 2 + 1

ΘΕΜΑ 2016)

35. Αςύμπτωτεσ και Βοηθητικό ΢υνϊρτηςη 282. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→+∞

x f x − 2 x2

= −3.

4 x2 + x + 1

Να βρεύτε την πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ 283. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→+∞ x f x − x 2 + 3x = 4 . Να βρεύτε την πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 28

36. Αςύμπτωτεσ και Κριτόριο Παρεμβολόσ 284. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : 0 , +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει 3x + Να βρεύτε την πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf

ημ 𝑥 x

≤ f x ≤ 3x +

1 x

για κϊθε x>0 .

285. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : 0 , +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει 2x 2 − 1 ≤ x f x ≤ 2x 2 − ημx , x > 0 . Να βρεύτε την πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf 37. Προςδιοριςμόσ Παραμϋτρων αx 2 + βx + 1 x −2

286. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α, β ϵℝ ώςτε η ςυνϊρτηςη f x = την ευθεύα y = 2x +3

αx 2 + βx x −2

287. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α ,β ϵℝ ώςτε η ςυνϊρτηςη f x = την ευθεύα y = 2x -1 288. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α, β ϵℝ ώςτε η ςυνϊρτηςη f x = την ευθεύα y = α x +7

να ϋχει αςύμπτωτη ςτο +∞

βx 2 − 2x − 1 x −3

289. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α ,β , γϵℝ ώςτε η ςυνϊρτηςη f x =

να ϋχει αςύμπτωτη ςτο −∞

να ϋχει αςύμπτωτη ςτο +∞

α−1 x 2 + βx + 5 3x + γ

να ϋχει αςύμπτωτεσ τισ ευθεύεσ

με εξιςώςεισ x=−2 και y= 3 290. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α, β ϵℝ ώςτε να ιςχύει limx→+∞

2 x 2 − 5x + 1 x −1

− αx − β = 0 .

38. Αςύμπτωτεσ και Όρια 291. Η ευθεύα y= 4x+2 εύναι πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞. Να βρεύτε τα όρια : α. limx→+∞

x2 f x − 4 x3 x f x − 2015

β. limx→+∞

f x

x + 1 − 4x 2 3x − 2015

6 x f x + x ημ x x − 2x 3 + 2015

292. Η ευθεύα y= 2x−3 εύναι πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞. Να βρεύτε το όριο : limx→+∞ x 2 f

293. Η ευθεύα y= 2x+5 εύναι πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό μ μ f x + 4x αν ιςχύει limx→+∞ x f x − 2x 2 + 3x = 1 294. Η ευθεύα y= 3x-5 εύναι πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ιςχύει limx→+∞

μ 2 −1 f x − 5μx + 7

xf x − 3x 2 + μ+2 x − 3

295. Η ευθεύα y= 3x-2 εύναι πλϊγια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ιςχύει limx→+∞

μ−3 f x + 9 x 2 − 16x + x =2 x f x − 3x 2 + ημ 4x

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 29

΢υνϋχεια ΢υνϊρτηςησ 39. Εξϋταςη ΢υνϋχειασ ΢υνϊρτηςησ x2 − x

296. Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f(x) =

x2 + 3 − 2

2, 297. Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f x =

298. Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f x =

x ημ 0 ,

, x≠1

εύναι ςυνεχόσ ςτο 1 .

x=1 1 x

, x≠0 εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 . x=0

x2 + x − 2 x −1

, x<1

εύναι ςυνεχόσ.

3x + lnx , x ≥ 1 299. Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f x = 300. Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f x =

xlnx , x > 0 εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 . 0 , x=0 ex − 1 x

, x≠0 εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 . x=0

1 , lnx

301. Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f x = e x 0 ,

x >0

x=0

ΘΕΜΑ 2008 ΘΕΜΑ 2014

εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 .

ΘΕΜΑ 2014 E)

lnx x

302. Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f x =

+ 1 , 0<x<1 1 , x = 1 εύναι ςυνεχόσ ςτο 0, +∞

lnx x −1

ΘΕΜΑ 2016 E)

x>1

40. Εύρεςη Παραμϋτρων 303. Να βρεθεύ το αϵℝ ώςτε η ςυνϊρτηςη f να εύναι ςυνεχόσ με f x =

2 x2 – x − 1 x −1

α , 304. Να βρεθεύ το κϵℝ ώςτε η ςυνϊρτηςη f να εύναι ςυνεχόσ με f x =

lnx x 2 −2lnx

κ ,

305. Να βρεύτε τα α, β ϵℝ ώςτε η ςυνϊρτηςη f να εύναι ςυνεχόσ με f x =

, x≠1 x=1

, x>0 x=0

ΘΕΜΑ 2008 E)

x 2 − αx + 6 , x < 1 αx + β , 1 ≤ x ≤ 3 x 2 − 4x + 3 x −2−1

x>3

41. ΢υνϋχεια και Βοηθητικό ΢υνϊρτηςη 306. Η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 και ιςχύει limx→0

x f x − ημ 3x x2 + x

= 2. Να βρεύτε το f(0) .

307. Η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο ℝ και ιςχύει limx→0

f x − e 2x + 1 ημ 2x

= 5. Να βρεύτε το f(0) .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 30

42. Εύρεςη Σιμόσ ΢υνϊρτηςησ 308. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει x 2 f x = ημx ∙ ημ3x , ∀xϵℝ . Να βρεύτε το f(0) . 309. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει x f x = Να βρεύτε το f(2) .

x 2 + 5 + 2f x − 3, ∀xϵℝ.

310. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει x f x ≤ x 2 + x + ημx , ∀xϵℝ . Να βρεύτε το f(0). 43. Εύρεςη Σύπου ΢υνϊρτηςησ 311. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει x f x = ημ3x + x 2 + x + 1 − 1 , ∀xϵℝ. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 312. Να βρεύτε ςυνεχό ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ ςτο x0 = 1 , για την οπούα ιςχύει x f x + 2 = f x +

x 2 + 3 , ∀xϵℝ.

44. ΢υνϋχεια και Κριτόριο Παρεμβολόσ 313. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x − 3x + 2 ≤ x 2 , ∀xϵℝ . Να αποδεύξετε ότι f ςυνεχόσ ςτο 0 . 314. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x + 6f x + 9ςυν2 x ≤ 0, ∀xϵℝ. Να αποδεύξετε ότι f ςυνεχόσ ςτο 0 . 315. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x − 4xf x ≤ −3x 2 − 2x + 1 , ∀xϵℝ. α. Να αποδεύξετε ότι f ςυνεχόσ ςτο 1 . f(x) β. Να βρεύτε το όριο limx→+∞ 2 . x

316. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 5 x + f x = x , ∀xϵℝ . Να αποδεύξετε ότι f ςυνεχόσ ςτο 0 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 31

Θεώρημα Bolzano 1. Σουλϊχιςτον μια Ρύζα Εξύςωςησ 317. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x 5 − 3x = 2 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο 0 , 2) 318. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη

2x x +1

3x x −2

= 2015 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο −1 , 2)

319. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη διϋρχεται από τα ςημεύα Α 1,2 και Β 3,1 . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=x ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα ςτο 1 , 3) . 2. Σουλϊχιςτον Δύο Ρύζεσ Εξύςωςησ 320. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x 4 − 20x 3 = 25x 2 + x − 1 ϋχει τουλϊχιςτον 2 ρύζεσ ςτο −1 , 1) . 321. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη

ex x2 + 1 + x −1 x −2

ημ x + 2 x −3

= 0 ϋχει δύο τουλϊχιςτον πραγματικϋσ ρύζεσ .

3. Μοναδικό Ρύζα Εξύςωςησ 322. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x 3 + 3x + 1 = 0 ϋχει μοναδικό ρύζα ςτο −1 , 0) . 323. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ, γνηςύωσ μονότονη για την οπούα ιςχύει f 2 2 + f 2 3 − 2f 2 + 4f 3 + 5 = 0 α. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f(2) , f(3) . β. Να βρεύτε το εύδοσ τησ μονοτονύασ τησ f. γ. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει μοναδικό ρύζα ςτο ℝ. 4. Η 𝐂𝐟 Σϋμνει τον Ωξονα x’x 324. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x − 2 . Να αποδεύξετε ότι η γραφικό παρϊςταςη τησ f τϋμνει τον ϊξονα x’ x ςε ϋνα τουλϊχιςτον ςημεύο με τετμημϋνη ςτο διϊςτημα 0 , 1). 325. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2lnx + x − 2 . α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f β. Να αποδεύξετε ότι η Cf τϋμνει τον ϊξονα x’x ςε ϋνα μοναδικό ςημεύο με τετμημϋνη ςτο διϊςτημα 1 , e). 5. Σουλϊχιςτον ϋνα κοινό ςημεύο 𝐂𝐟 , 𝐂𝐠 326. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 3 − 2x και g x = 15 − 5x . Να αποδεύξετε ότι οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των f , g τϋμνονται ςε ϋνα μοναδικό ςημεύο του οπούου η τετμημϋνη ανόκει ςτο 2 , 3). 6. Bolzano Φωρύσ Διϊςτημα 327. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη 2x 3 + 3x − 1 = 0 ϋχει ακριβώσ μια θετικό ρύζα .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 32

7. Θεωρητικϋσ Αςκόςεισ ςτο Bolzano 328. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ με f(α) ≠ f β . Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ϵ (α , β) f α + 2f β τϋτοιο ώςτε f ξ = . 3

329. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ με f(α) ≠ f β . Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον x0 ϵ α , β ∶

f(α) f(β) + 3 2

5 6

f(x0 ) .

330. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: α , β → ℝ , ςυνεχόσ με f α = 2015β2 , f β = 2015α2 . Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ α , β ∶ f x0 = 2015 x02 . 3

331. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: 1,5 → 1,3 . Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 1 , 3 ∶ f x0 = x

332. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει 0<f(x)<4 , ∀xϵℝ . Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f 2 x − 4f x + 5x = 0 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο 0 , 1) . 333. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f, g: ℝ → ℝ ςυνεχεύσ για τισ οπούεσ ιςχύει αf x + βg x + γx = 0 , ∀xϵℝ, α, β, γϵℝ∗. Η γραφικό παρϊςταςη τησ f τϋμνει τον ϊξονα x’x ςτα ςημεύα με τετμημϋνεσ ρ1 < 0 < ρ2 Να αποδεύξετε ότι και η γραφικό παρϊςταςη τησ g τϋμνει τον ϊξονα x’x ςε ϋνα τουλϊχιςτον ςημεύο. 334. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: 0 , 4 → ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη τϋμνει τον ϊξονα x’x ςτο ςημεύο με τετμημϋνη −2 . Επιπλϋον ιςχύει : 4 x − 8 ≤ x − 4 f x ≤ x − 4 , ∀xϵ 0 , 4 . Να αποδεύξετε ότι και η γραφικό παρϊςταςη τησ f τϋμνει τον ϊξονα x’x ςε ϋνα τουλϊχιςτον ςημεύο. 335. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει f 3 x + βf 2 x + γf x = x 3 − 2x 2 + 6x − 1 για κϊθε ℝ , με β, γϵℝ με β2 < 3γ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x =0 ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα 0 , 1). 336. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: 0,1 → ℝ για την οπούα ιςχύει : x 2 + x − 2 + ημ 1 − x ≤ x − 1 f x ≤ x 2 − 1 α. Να βρεύτε την τιμό f(1) β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x + 2 f x = 7x + 1 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο 0 , 1) 337. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει xf x + 2 = f x + 3x 2 + 1 , ∀xϵℝ . Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 0 , 1 ∶ 4f x0 = 7x0 . 338. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει x + 1 ≤ f(x) ≤ ex , ∀xϵℝ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=e2 x ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα 0 , 1) 339. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ςτο 1 , 4 με f(1)+f(2)=f(3)+f(4) , f 1 ≠ f 2 και f(3) ≠ f(4) . Να δεύξετε ότι: f 1 + f 2 α. υπϊρχει ξ∈ 1 , 2 ∶ f ξ = 2 β. η ςυνϊρτηςη f δεν αντιςτρϋφεται 8. Bolzano ςε Κλειςτό Διϊςτημα 340. Η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β . Αν ιςχύει f α +f β)=0 να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο α , β]. 341. Η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 , 1 . Αν ιςχύει 3f(0)+5f 1 =0 να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(x =0 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο [0 , 1]. 342. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει f(1)+f(2)=7. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f x + x 2 = 4x , ϋχει τουλϊχιςτον μια λύςη ςτο 1 , 2] 343. Δύνεται ςυνεχόσ f:[2 , 3] →[2 , 3 . Να δεύξετε ότι ∃ξ ϵ 2 , 3 ∶ f ξ =

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

6 ξ

Σελίδα 33

344. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει x 2 − 4x + 2 f x ≤ f 0 + f(4) . Να αποδεύξετε ότι α. f(0)=f(4) β. ∃ξ ∈ 0 , 2 ∶ f ξ2 = ξ ∙ f(2ξ) 9. ΢ταθερό Πρόςημο ΢υνϊρτηςησ 345. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f: −2 , 2 → ℝ ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ώςτε 3 x 2 − 1 + 2f 2 x = 9 , xϵ −2 , 2 . Να δεύξετε ότι η f διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο −2 , 2) 346. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει f x ≠ 0, ∀xϵℝ . Να βρεύτε το όριο limx→−∞

f 1 x 5 − 4x 3 + 2x − 1 f 3 x 2 − 5x + 3

347. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει f(x) ≠ 0, ∀xϵℝ . Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x f x = x 2 − 4 ex ϋχει τουλϊχιςτον μια λύςη ςτο −2 , 2). 348. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: −1 , 2 → ℝ , f(x) ≠ 0 με xϵ −1 , 2 . α. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x 3 1 − f(x) = x 2 + 2x ϋχει τουλϊχιςτον μια λύςη ςτο −1 , 2) f 0 1

β. Να βρεύτε το limx→−∞ f

x 5 − 3x 2 + 1 x 2 − 2x + 5

349. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: −3 , 3 → ℝ για την οπούα ιςχύει x 2 + f 2 x = 9 , ∀xϵ[−3 , 3] α. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=0 β. Αν η Cf τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο Μ 0,3 να βρεύτε τον τύπο τησ f 350. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x − 2 x f x = 5 , ∀xϵℝ . Αν η Cf διϋρχεται από το Μ 2, f(−1)) να βρεύτε τον τύπο τησ f . 351. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x − 4f x ∙ ημ𝑥 = x 2 + 4ςυν2 x , ∀xϵℝ . Αν η Cf τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο Μ 0 , 2) να βρεύτε τον τύπο τησ f . 352. Να βρεύτε τη ςυνεχό ςυνϊρτηςη f για την οπούα ιςχύουν f x f x − 2x = e2x − x 2 , f 0 = −1 . 353. Να βρεύτε τη ςυνεχό ςυνϊρτηςη f για την οπούα ιςχύουν : f 2 x = 2xf x + 1 , f 0 = 1 . 354. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x − 4x = x 2 + 4 , ∀xϵℝ . Να βρεύτε την f . 10. ΢ύνολο Σιμών ΢υνϊρτηςησ 355. Να βρεθούν τα ςύνολα τιμών των ςυναρτόςεων : α. f x = x 3 + 5x − 1 , xϵ 1 , 2 β. f x = −x 5 − 3x + 2 , xϵ 0 , 2 3 γ. f x = x + x − 10 , xϵ(−∞ , 1] δ. f x = lnx + 2ex , xϵ(0 , 1] 356. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 1 −

5 − x . Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f .

357. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − ln 9 − x α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f . β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x − ln 9 − x = e ϋχει ακριβώσ μια λύςη . 358. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e−x − lnx − x − 1 . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f . β. Να δεύξετε ότι η Cf τϋμνει τον ϊξονα x’x ςε ϋνα ακριβώσ ςημεύο . 359. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + ex − 1 . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f . β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα ακριβώσ ϋνα x0 ∶ lnx0 + ex 0 = 1 . γ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=2016 ϋχει ακριβώσ μια θετικό ρύζα.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 34

360. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: 0,1 → ℝ , f x = x − lnx . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f . β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα ακριβώσ x0 : 2x0 lnx0 = 2 − 3x0 . 361. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)=ln(x+2) + ln(x−2)−3 α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφη . 11. Θ.Ε.Σ. και Θ.Μ.Ε.Σ. 362. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: [2 , 5] → ℝ . Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 2 , 5 ∶ 10f x0 = 7f 3 + 3f(4) . 363. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: [0 , 2] → ℝ . Να δεύξετε ότι ∃x0 ϵ[0 , 2]: f x0 = 364. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: [1 , 3] → ℝ . 1 1 Να δεύξετε ότι ∃x0 ϵ 1 , 3 ∶ f x0 = 20 4f 4 + 5f

1 5

+ 11f

f 0 + 5f 1 + 4f 2 10

1 11

366. Δύνεται η ςυνεχόσ και γνηςύωσ φθύνουςα ςυνϊρτηςη f: [1 , 3] → ℝ . Να δεύξετε ότι ∃x0 ϵ 1 , 3 ∶ 3f x0 = f 1 + f 2 + f 3 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 35

ΔΙΑΥΟΡΙΚΟ΢ ΛΟΓΙ΢ΜΟ΢ Παρϊγωγοι Θεώρημα τα Rolle - Θ.Μ.Σ. - Fermat Μονοτονύα – Ακρότατα - Κυρτότητα Εφαπτομϋνεσ - Ρυθμόσ Μεταβολόσ Γραφικό Παρϊςταςη ΢υνϊρτηςησ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 36

Η Ϊννοια τησ Παραγώγου 1. Εύρεςη Παραγώγου με χρόςη Οριςμού 367. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

x 2 + 3x , x < 0 . Να δεύξετε ότι η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 . 2x + ημx , x ≥ 0

368. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

x + 3 − 4 ,x ≥ 1 . Να δεύξετε ότι : x − x−2, x<1 2

α. η f εύναι ςυνεχόσ ςτο 1 β .η f δεν εύναι παραγωγύςιμη ςτο 1 369. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 2 − 3x + 1 . Να εξετϊςετε αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο -2. 1

x < 0 . Να εξετϊςετε αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0. 370. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x e x , x − ημx , x ≥ 0 1

371. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

ημ2 x ∙ ςυν , x ≠ 0 x . Να εξετϊςετε αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0. 0, x=0

372. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

3 4 x 2 − 8x + 4 4x

− x+λ,

x≤1

x>1

α. Να δεύξετε ότι λ=0 αν f ςυνεχόσ ςτο 1 β. Να εξετϊςετε αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 1. 2. Παρϊγωγοσ και Κριτόριο Παρεμβολόσ 373. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ημx − 3x 2 ≤ f x ≤ ημx + 5x 2 , ∀xϵℝ . Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0. 374. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x − ημx ≤ x 2 + 4 − 2 , ∀xϵℝ . Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 και ότι f ′ 0 =1 3. Παρϊγωγοσ και ΢υνϋχεια 375. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = 376. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = 377. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x =

α x3 + 1 , x ≤ 1 . Να βρεύτε τα α, β ϵℝ αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 1 . βx + 3 , x>1 α + ημx , βx +

+ 4,

x≤0 x>0

. Να βρεύτε τα α, βϵℝ αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 .

x 2 + αx + β , x ≤ −2 . Να βρεύτε τα α, βϵℝ αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο −2 . 3x 2 + 5x − α , x > −2

4. Παρϊγωγοσ και Όρια 378. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ παραγωγύςιμη ςτο 0 για την οπούα ιςχύει f 3 x + 8xημxf x = x ∙ ημ2 3x , ∀xϵℝ . Να βρεύτε : α. το f(0) β. το f ′ 0 379. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο ℝ και ιςχύει limx→1

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

f x −2 x −1

= 3 να βρεύτε τα f(1) , f ′ 1 .

Σελίδα 37

380. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο 1 και ιςχύει limx→0 α. Να βρεύτε το f(0) β. Να δεύξετε ότι η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 .

f x − e 2x + 1 ημ 2x

=5.

ΘΕΜΑ 2000 Ε

381. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f με f(1)=2 , f ′ 1 =−1 . Να βρεύτε : α. limx→1

f 2 x − 2f(x) x2 + x − 2

f x − 2x x2 − x

β. limx→1

382. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→0 α. Να αποδεύξετε ότι f(0)=0 , f ′ 0 = 1 x 2 + λ f(x) 2 f(x) 2

β. Να βρεύτε το λ ώςτε limx→0 2x 2 +

f x − x x2

= 2005 .

383. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f με f(2)=3 , f ′ 2 =4. Να βρεύτε: f x − 3 x 2 − 2x f x + 1 − x2 γ. limx→2 x − 2

α. limx→2

f2 x − 9 x2 − 4 f x – x +7 limx→2 x 2 − 3x + 2

β. limx→2 δ.

384. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f ′ 0 =5 . Να βρεύτε τα όρια: f 3x − f(0) f 3x − f(x) α. limx→0 β. limx→0 x x 5. Κανόνεσ Παραγώγιςησ 385. Να βρεύτε την παρϊγωγο των ςυναρτόςεων: α. f x = ex + 2x 3 − lnx β. f x = (x 2 + 1)ex x2

γ. f x = x − 1

δ. f x =

3x 2 − 2x ex

386. Να βρεύτε την παρϊγωγο των ςυναρτόςεων: α. f x = 5x 2 + 1 4 β. f x = ημ3 x − 3ln2 x x 2 + 3x δ. f x = e ε. f x = ςυν(x 2 − 2x + 1) 387. Να βρεύτε την παρϊγωγο των ςυναρτόςεων: α. f x = x 2 + x

388. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

β. f x = x +

γ. f x = x 2 + 2x + 3 ςτ. f x = ln⁡ (3x 2 − 4)

1 x x

ημx , x≤0 . Να βρεύτε την παρϊγωγο τησ f . x2 + x , x > 0

389 . Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + x − 2 . Να βρεύτε την παρϊγωγο τησ f . 390. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e x + x . Να βρεύτε την f −1 ′ (1) 391. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 5 x + 3f x = x − 2 , ∀xϵℝ . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται β. Να βρεύτε την f −1 ′ (1) 392. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex ημx + ςυνx . Να δεύξετε ότι f ′′ x − 2f ′ x + 2f x = 0 . 393. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 lnx . Να δεύξετε ότι 2f x − xf ′ x + x 2 = 0 . 394. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = eλx . Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού λ για τισ οπούεσ ιςχύει 2f ′′ x − 3f x = f ′ (x) , ∀xϵℝ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 38

Εφαπτομϋνεσ 1. Με γνωςτό το ΢ημεύο Επαφόσ 395. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = τησ Α 3 , f(3)) .

x 2 − 2x + 3 x −2

396. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex τησ Α 1 , f(1)) .

2 − 5x

. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο

397. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln x 2 + 1 . Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Α 1 , f(1)) . 398. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

x2 − x + 2 , x ≤ −2 . Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf 2 2x + 3x + 6 , x > −2

ςτο ςημεύο τησ Α −2 , f(−2)) . 399. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει 3x − 2 ≤ f x ≤ 2x 2 − 5x + 6 , ∀xϵℝ . Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Α 2 , f(2)) . 400. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 3 x + f x − 2x = 8x 3 , ∀xϵℝ Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Α 0 , f(0)) .

401. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + x + 1 . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται β. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf −1 ςτο 3 . 402. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει 2f x + 1 + 2f 1 − x = ςυν2x , ∀xϵℝ . Να βρεύτε τη γωνύα που ςχηματύζει με τον ϊξονα x’x η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο x0 = 1 403. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο 2 και ιςχύει limx→2 εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Α 2 , f(2)) .

f x + x3 − 5 x −2

= 7 να βρεύτε την εξύςωςη τησ

404. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x lnx . α. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Α e , f(e)) . β. Να βρεύτε το εμβαδό του τριγώνου που ςχηματύζει η εφαπτομϋνη με τουσ ϊξονεσ. 2. Να διϋρχεται από Γνωςτό ΢ημεύο 405. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 6x + 11 . Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που διϋρχονται από το ςημεύο Α 1 , 6) . 406. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ςημεύο Α 3 , 0) .

7 − 2x 3 −x

. Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που διϋρχονται από το

3. Εφαπτομϋνη με Γνωςτό Κλύςη 407. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 2x 2 + x + 2 . Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf η οπούα εύναι: α. παρϊλληλη ςτην δ: 5x-y+2=0 β. κϊθετη ςτην ζ: x+y=0

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 39

408. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x 2 − 10x + 5 . Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που ςχηματύζουν με τον ϊξονα x’x γωνύα 135° . 409. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − lnx . Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που ςχηματύζουν με τον ϊξονα x’x γωνύα 45° . 410. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 12x + 2 . Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που εύναι παρϊλληλεσ με τον ϊξονα x’x . 4. Εύρεςη Παραμϋτρων ςτισ Εφαπτομϋνεσ 411. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + αx + 6 . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ 4 , f 4 ςτην ευθεύα δ: 2x+6y−2016=0. Να βρεύτε α. την τιμό του α β. τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που διϋρχονται από το ςημεύο Α 3 , −1)

εύναι κϊθετη

412. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + βx + γ . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ −1 , 6 εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα ζ: 5x+y−2016=0. Να βρεύτε α. την τιμό των β , γ β. τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που διϋρχονται από το ςημεύο Α 4 , 5) 413. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 3 + βx 2 − 9x − 12 . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Κ 2 , −10 εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα ζ: y=−3x+5. Να βρεύτε: α. την τιμό των α , β β. τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που εύναι παρϊλληλεσ ςτην ευθεύα δ: 48x−2y+2016=0. 414. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + αx 2 + βx + 3 . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Α 2 , f 2 ϋχει εξύςωςη την ζ: y=−3x−1. Να βρεύτε α. την τιμό των α , β β. τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που εύναι παρϊλληλεσ ςτην ευθεύα δ: 12x−2y+2016=0. 415. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + αx + β . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Α −3 , f(−3 την ζ: y=−4x−8. Να βρεύτε α. την τιμό των α , β β. τισ εξιςώςεισ των εφαπτομϋνων τησ Cf που διϋρχονται από το ςημεύο Α −1, −1) 416. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη ςτο Α 4 , f 4 την ευθεύα y=x − 1. Να βρεύτε το όριο

ϋχει εξύςωςη

ϋχει εφαπτομϋνη

f2 x − 9 limx→4 x − 2 .

417. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − x 2 + αx + β. Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Α −1 , 6 ςχηματύζει γωνύα με τον ϊξονα x’x , να βρεύτε τα α , β .

π 4

5. Κοινϋσ Εφαπτομϋνεσ 418. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 2x 2 − 7x + 7 και g x = x 2 − 3x + 3. Να αποδεύξετε ότι οι Cf , Cg ςτο κοινό τουσ ςημεύο ϋχουν κοινό εφαπτομϋνη , τησ οπούασ να βρεύτε την εξύςωςη. 419. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 3 − 3x + 4 και g x = 3(x 2 − x). Να αποδεύξετε ότι οι Cf , Cg ςτο κοινό τουσ ςημεύο ϋχουν κοινό εφαπτομϋνη , τησ οπούασ να βρεύτε την εξύςωςη. 420. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = αx 2 + βx + 3 και g x = x 2 − αx − β. Να βρεύτε τα α , β ώςτε οι Cf , Cg να ϋχουν κοινό εφαπτομϋνη ςτο ςημεύο τουσ με τετμημϋνη x0 = 1 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 40

Ρυθμόσ Μεταβολόσ 421. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x 2 + 1 . Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ : α. τησ ςυνϊρτηςησ f ωσ προσ x ςτο ςημεύο x0 = 1 β. του ςυντελεςτό διεύθυνςησ τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο Μ x , f x ωσ προσ x ςτο x0 = 2 422. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2x 3 + αx 2 + 8x − 9 . Να βρεύτε τον αριθμό α αν ο αριθμόσ μεταβολόσ τησ f ωσ προσ x , όταν x=2 εύναι 12 . 423. Η θϋςη x(t) ενόσ υλικού ςημεύου που κινεύται πϊνω ςε ϊξονα , δύνεται από τη ςχϋςη : x t = 2t 3 − 12t 2 + 18t − 5 , t ∈ 0 , 4 ο χρόνοσ ςε s . Να βρεύτε : α. την ταχύτητα και την επιτϊχυνςη του υλικού ςημεύου τη χρονικό ςτιγμό t=2 s β. ποιεσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ το ςημεύο εύναι ςτιγμιαύα ακύνητο γ. ςε ποια χρονικϊ διαςτόματα το ςημεύο κινεύται προσ τη θετικό κατεύθυνςη και ςε ποια προσ την αρνητικό δ. το ολικό διϊςτημα που διϋνυςε το ςημεύο κατϊ τα πρώτα 4 s 424. Η θϋςη x(t) ενόσ υλικού ςημεύου που κινεύται πϊνω ςε ϊξονα , δύνεται από τη ςχϋςη : x t = −t 3 + 12t 2 − 36t , t ο χρόνοσ ςε s . Να βρεύτε : α. την ταχύτητα και την επιτϊχυνςη του υλικού ςημεύου τη χρονικό ςτιγμό t=1 s β. ποιεσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ το ςημεύο εύναι ςτιγμιαύα ακύνητο γ. ςε ποια χρονικϊ διαςτόματα το ςημεύο κινεύται προσ τη θετικό κατεύθυνςη και ςε ποια προσ την αρνητικό δ. το ολικό διϊςτημα που διϋνυςε το ςημεύο κατϊ τα πρώτα 7 s 425. Δύνονται τα ςημεύα Α x , 4) , Β −1 , x + 7) . Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ τησ απόςταςησ των ςημεύων Α και Β ωσ προσ x , όταν x=5 . 426. Ϊνα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει περύμετρο 14 cm και η πλευρϊ του ΑΒ ϋχει μόκοσ x cm. Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ του εμβαδού του ΑΒΓΔ ωσ προσ x , όταν x=5 . 427. Δύνεται τρύγωνο ΟΑΒ που ορύζουν τα ςημεύα Ο 0,0 , Α 2x , 0) , B(0 , ex ) , x > 0 . Αν το x αυξϊνει με ρυθμό 2 cm/s , να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ του εμβαδού του τριγώνου , όταν x = 1 cm . 428. Σο ύψοσ ενόσ ιςοςκελούσ τριγώνου ΑΒΓ με ςταθερό βϊςη ΒΓ=16 cm μεταβϊλλεται με ρυθμό 5 cm/s . Αν τη χρονικό ςτιγμό t0 το ςημεύο Α απϋχει από την πλευρϊ ΒΓ απόςταςη 6 cm , να βρεύτε : α. τον ρυθμό μεταβολόσ των ύςων πλευρών β. τον ρυθμό μεταβολόσ του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ 429. Η πλευρϊ ενόσ τετραγώνου α(t) ςε cm τη χρονικό ςτιγμό t > 0 (ςε s ) ενόσ τετραγώνου δύνεται από την ςχϋςη α t = t 2 + 2t + 3 . Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ του εμβαδού του τετραγώνου , τη χρονικό ςτιγμό που η πλευρϊ του εύναι 11 cm. 430. Σο εμβαδό ενόσ τετραγώνου αυξϊνεται με ρυθμό 24 cm2 /s τη χρονικό ςτιγμό που η πλευρϊ του εύναι 4 cm . ΢ε αυτό τη χρονικό ςτιγμό , να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ τησ διαγωνύου του τετραγώνου . 431. Σο μόκοσ ενόσ ορθογωνύου μειώνεται με ρυθμό 1 cm/s και το πλϊτοσ του αυξϊνεται με ρυθμό 2 cm/s . Κϊποια χρονικό ςτιγμό t0 το μόκοσ του εύναι 8 cm και το πλϊτοσ του 6 cm. Ση χρονικό ςτιγμό t0 , να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ : α. τησ περιμϋτρου του ορθογωνύου β. του εμβαδού του ορθογωνύου γ. τησ διαγωνύου του ορθογωνύου

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 41

x3 + 2

432. Ϊνα κινητό Κ κινεύται πϊνω ςτην καμπύλη με εξύςωςη y = 6 α. Ση χρονικό ςτιγμό που το κινητό βρύςκεται ςτο ςημεύο Α −2 , −1) , η τετμημϋνη του αυξϊνεται με ρυθμό 2 μον/s . Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ τησ τεταγμϋνησ του κινητού τη χρονικό ςτιγμό που διϋρχεται από το ςημεύο Α . β. Τποθϋτουμε ότι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ τετμημϋνησ του κινητού εύναι πϊντα θετικόσ . Να βρεύτε ςε ποια ςημεύα τησ καμπύλησ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ τεταγμϋνησ εύναι οκταπλϊςιοσ του ρυθμού μεταβολόσ τησ τετμημϋνησ . 433. Ϊνα κινητό Κ ξεκινϊ από την αρχό των αξόνων Ο και κινεύται κατϊ μόκοσ τησ παραβολόσ y = x 2 + 2x ϋτςι , ώςτε η τετμημϋνη του x να αυξϊνεται με ρυθμό 2 μον/s . Η προβολό του ςημεύου K πϊνω ςτον ϊξονα x’x εύναι το ςημεύο Α . 1 α. Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΚ , όταν το ςημεύο Κ ϋχει τετμημϋνη ύςη με 2 . β. ΢ε ποιο ςημεύο τησ καμπύλησ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ τεταγμϋνησ y του Κ εύναι ύςοσ με τον ρυθμό μεταβολόσ τησ τετμημϋνησ του x ; 434. Ϊνα ςημεύο Μ κινεύται κατϊ μόκοσ τησ καμπύλησ y = x 3 , x ≥ 0 , με x = x t , y = y t . Να βρεύτε ςε ποιο ςημεύο τησ καμπύλησ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ τεταγμϋνησ y(t) του Μ εύναι ύςοσ με το ρυθμό μεταβολόσ τησ τετμημϋνησ x(t) , αν υποτεθεύ ότι x ′ t > 0 , ∀t ≥ 0 . ΘΕΜΑ 2016 Ε 435. Ϊνα ςημεύο Μ ξεκινϊ τη χρονικό ςτιγμό t=0 από ϋνα ςημεύο Α x0 , f x0 με x0 < 0 και κινεύται κατϊ μόκοσ τησ καμπύλησ y = f x , x ≥ x0 , με x = x t , y = y t , t ≥ 0 και f κυρτό ςυνϊρτηςη. Να βρεύτε ςε ποιο ςημεύο τησ καμπύλησ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ τετμημϋνησ x(t) του ςημεύου Μ εύναι διπλϊςιοσ από τον ρυθμό μεταβολόσ τησ τεταγμϋνησ y(t) , αν υποτεθεύ ότι x ′ t > 0 , ∀t ≥ 0 . ΘΕΜΑ 2014

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 42

Θεώρημα Rolle 1. Σουλϊχιςτον ϋνα 𝐱𝟎 𝛜 𝛂 , 𝛃 436. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη 4x 3 = 4x + 1 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο −1 , 0) . 437. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 1 − f 0 = e . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f ′ x − 2x = ex ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη ςτο διϊςτημα 0 , 1) . 438. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο 2 π και τον ϊξονα x’x ςτο 4 . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ςυν2 x ∙ f ′ x + 2ςυν3 x + 1 = 0 ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα ςτο 0 ,

π 4

439. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 1 = 10 , f 3 = 12 . Να δεύξετε ότι ∃ξϵ 1 , 3 ∶ f ′ ξ = 2ξ − 3 . 440.Δύνεται f ςυνεχόσ ςτο 0 , 2 , παραγωγύςιμη ςτο 0,2 με f(2) − f(0)=6 . Να δεύξετε ότι ∃ξϵ 0 , 2 ∶ f ′ ξ = 3ξ2 − ξ . 441. Δύνεται f ςυνεχόσ ςτο 1 , 2] , παραγωγύςιμη ςτο 1,2 με f(2) − f(1)=3− ln2 . Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 1 , 2 ∶ x0 f ′ x0 = 2x02 − 1 . 442. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ [0,4] → ℝ για την οπούα ιςχύει f 1 − f 4 = 14 . Να δεύξετε ότι ∃ξϵ 1 , 4 ∶ 2 ξ f ′ ξ = 1 − 4ξ ξ . 443. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 0 = f Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 0 ,

π 2

∶ f ′ x0 = x0 ∙ ημx0 − ςυν x0 .

444. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 1 = e2 − e , f 2 = 2 ′

e2 2

Να δεύξετε ότι ∃ξϵ 1 , 2 ∶ ξ f ξ + e ∙ ξ − e = 0 . 445. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το 0 , +∞ ϋτςι ώςτε να ιςχύει f 1 − f e = Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 1 , e ∶ x02 f ′ x0 + 1 − lnx0 = 0 . 446. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f Να δεύξετε ότι ∃ξϵ 0 ,

π 2

: f′ ξ =

ςυνξ − f(ξ) ξ

π 2

1 e

=π .

447. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη τϋμνει τον ϊξονα x’x ςτο ςημεύο με τετμημϋνη 1 . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη (x−2) f ′ (x) + f(x) =0 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο διϊςτημα (1 , 2) . 448. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ 0, π → ℝ η οπούα εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 , π με f(x) ≠ 0 , ∀xϵ 0 , π . Να δεύξετε ότι ∃x0 ϵ 0 , π ∶

f ′ (x 0 ) + f(x 0 )

ςφx0 = 0 .

449. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ [α , β] → (0, +∞) για την οπούα ιςχύει lnf(β −lnf α = β − α . Να δεύξετε ότι ∃ξϵ α , β ∶ f ′ ξ = f ξ . 450. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(6)=3f(2) . Να αποδεύξετε ότι ∃ξ ∈ 2 , 6 ∶ ξ f ′ ξ = f ξ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 43

451. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(2)=2f(1) . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x ∙ f ′ x − f x = 0 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο 1 , 2) . 452. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , 1 → ℝ η οπούα εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 , 1 με 2f 0 =f 1 . 2ξ Να δεύξετε ότι ∃ξ ∈ 0 , 1 : f ′ ξ = ξ 2 +1 f ξ . 453. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ −1 , 1 → ℝ η οπούα εύναι ςυνεχόσ ςτο −1 , 1 και παραγωγύςιμη ςτο (−1 , 1) . 1 1 Να αποδεύξετε ότι ∃ ξ ∈ −1 , 1 : f ′ ξ = 1− ξ − 1+ξ f ξ . 454. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 1 = e6 ∙ f 3 . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f ′ x + 3f x = 0 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο 1 , 3) . 455. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει

f 2 f 1

= e.

2 ′

Να αποδεύξετε ότι : ∃ξ ∈ 1 , 2 ∶ ξ f ξ = f ξ . 456. Δύνεται παραγωγύςιμη και ϊρτια ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Να δεύξετε ότι ∃ξ ∈ −2 , 2 ∶ f ′ ξ + 2ξ f ξ = 0 457. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ [α , β] → ℝ για την οπούα ιςχύει f ′ α = f ′ β = 0 . 2 Να αποδεύξετε ότι ∃ x0 ∈ α , β ∶ f ′′ x0 + f ′ x0 =0 . 458. Δύνεται παραγωγύςιμη h ςτο 0,1 : h2 0 + h2 1 = 0 . Να δεύξετε ότι ∃ξ ∈ 0 , 1 ∶ h′ ξ = −2015 ∙ h ξ . 459. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , 1 → ℝ με f(0)=0 , f(1)=1. 4 Να δεύξετε ότι : ∃ξ ∈ 0 , 1 ∶ 3f ′ ξ = . 2 1+ f

460. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(1)=2 , f(0)=1. Να δεύξετε ότι ∃ξ ∈ 0 , 1 ∶ 2f ′ ξ ∙ f ξ − 1 = 3ξ2 . 461. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ α , β → ℝ με f 2 α − f 2 β = α2 − β2 . Να αποδεύξετε ότι : ∃ξ ∈ α , β ∶ f ξ f ′ ξ = ξ 462. Δύνεται f παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη ςτο 0 , 1 με f(1)=ef 0 και f(x)>0 ∀xϵ[0 , 1]. Να αποδεύξετε ότι ∃ξ ∈ 0 , 1 ∶ f ′ ξ =

f ξ 2 ξ

463. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , 1 → ℝ η οπούα εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 , 1 με f ′

Αν f x ≠ 0 ∀xϵ[0 , 1] να αποδεύξετε ότι : ∃x0 ∈ 0 , 1 ∶ f x0 = 2x0 f

1 0

−

1 f 1

=1.

x0 .

464. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(0)=0 και f(1)=ln2 . Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 0 , 1 ∶ f ′ x0 = 2x0 e−f x 0 . 465. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(0)=0 και f(1)=1 . Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 0 , 1 ∶ f ′ x0 = e x 0 − f x 0 . 466. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ −1,1 → (0, +∞) για την οπούα ιςχύει f(−1) = f 1 . Να αποδεύξετε ότι ∃ξ ∈ −1 , 1 ∶ f ′ ξ ςυνf ξ = 2ξ3 . 467. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ −1 , 1 → (0, +∞) για την οπούα ιςχύει f(−1) = f 1 . 2 ξ Να αποδεύξετε ότι ∃ξ ∈ −1 , 1 ∶ f ′ ξ ef ξ = f ξ . 468. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f η οπούα εύναι ςυνεχόσ ςτο 2 , 3 , παραγωγύςιμη ςτο 2 , 3 και ιςχύει f(3)=2f(2) . Να δεύξετε ότι υπϊρχει ξ ∈ 2 , 3 τϋτοιο, ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο Μ ξ , f(ξ) ) , να διϋρχεται από το ςημεύο Α 1 , 0 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 44

469. Αν x1 , x2 με x1 < x2 εύναι ρύζεσ τησ εξύςωςησ f(x)=2012 , να αποδεύξετε ότι ∃ x0 ∈ x1 , x2 ∶ f ′ x0 + f x0 = 2012 ΘΕΜΑ 2012 470. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , 2 → ℝ για την οπούα ιςχύουν f ′ 0 = 2f 2 , f ′ 2 = 2f 2 + 12e4 . Να αποδεύξετε ότι : α. η ςυνϊρτηςη g x = 3x 2 −

f′ x −2f x e 2x 2ξ

β. ∃ ξ ∈ 0 , 2 ∶ f ′′ ξ + 4f ξ = 6 ξ e

, 0 ≤ x ≤ 2 ικανοποιεύ τισ υποθϋςεισ του θεωρόματοσ Rolle ςτο 0 , 2 + 4f ′ ξ .

ΘΕΜΑ 2009 Ε

471. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 0 = f Να αποδεύξετε ότι ∃ ξ ∈ 0 ,

3 2

∶ f ′ ξ = −f ξ .

3 2

=0.

ΘΕΜΑ 2004 )

2. Σο Πολύ Μια Ρύζα 472. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x 5 − 5x + α = 0 ϋχει το πολύ μια ρύζα ςτο (−1 , 1) . 473. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ (0 , +∞) → ℝ για την οπούα ιςχύει f 2 x + 4f x − 2x = ex − 3, ∀xϵℝ . Να αποδεύξετε ότι η Cf τϋμνει τον ϊξονα x’x ςε ϋνα το πολύ ςημεύο . 474. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 1 , 2 → ℝ για την οπούα ιςχύουν f 2 = 2f 1 και f ′′ x ≠ 0 , ∀ x ∈ 1 , 2 . Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f x = x f ′ x ϋχει μοναδικό ρύζα ςτο 1 , 2 . 3. Γενικϋσ-΢υνδυαςτικϋσ Αςκόςεισ ςτο Rolle 475. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x ≠ 0 , ∀xϵℝ . Να δεύξετε ότι : α. η f εύναι 1-1 β. η εξύςωςη f 4x 3 + 3 α − 3 x 2 − f 2 3α + β x − 3β = 0 ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςησ ςτο 0 , 3) . 476. Δύνεται 2 φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη τϋμνει τον ϊξονα x’x ςτα ςημεύα με τετμημϋνεσ 1 , 2 , 3 . Να δεύξετε ότι ∃ξ ∈ 1 , 3 ∶ f ′′ ξ = 0 . 477. Δύνεται 2 φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Η ευθεύα y=2016 τϋμνει την Cf ςτα ςημεύα με τετμημϋνεσ 1 , 2 , 3 . Να αποδεύξετε ότι: α. Η εξύςωςη f ′ (x =0 ϋχει 2 τουλϊχιςτον ρύζεσ ςτο 1 , 3) β. ∃ξ ∈ 1 , 3 ∶ f ′′ ξ = f ′ ξ . 478. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο για την οπούα ιςχύει f(3)−f(0)=9 , f ′ (0)>0 . Να αποδεύξετε ότι : α. ∃x0 ∈ 0 , 3 ∶ f ′ x0 = x02 . β. ∃ξ ∈ 0 , 3 ∶ f ′ ξ = 3ξ . 479. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 3 = Να αποδεύξετε ότι : α. ∃ξ ∈ 1 , 2 ∶ 2f ξ = f 1 + f 2 β. ∃x0 ∈ 1 , 3 ∶ f ′ x0 = 0 .

f 1 + f 2 2

, f(1) ≠ f(2) .

480. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: 1 , 2 → ℝ με 1<f(x)<2 ∀xϵ 1 , 2 , f ′ (x) ≠ 0 ∀xϵ 1 , 2 . Να δεύξετε ότι : α. υπϊρχει μοναδικό x0 ∈ 1 , 2 ∶ f x0 = x0 . β. η εξύςωςη x f ′ (x)+f(x)=f ′ (x)+2x −1 ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη ςτο 1 , 2) . 481. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x ≠ 0 , ∀xϵℝ . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται β. Να λύςετε την εξύςωςη f x 2 − 2x = f x − 2 . γ. Αν η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α 1 , 3 και Β −2 , 9) , να λύςετε την εξύςωςη f −1 f x − 6 e = 1 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 45

Θεώρημα Μϋςησ Σιμόσ 1. Να Δεύξουμε ότι 𝐟 ′ (ξ =α 482. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(3)=5f(1) . Να δεύξετε ότι : ∃ξ ∈ 1 , 3 ∶ f ′ ξ = 2f 1 . 483. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη διϋρχεται από τα ςημεύα Α 1 , 7 και Β 2 , 1 . Να δεύξετε ότι υπϊρχει εφαπτομϋνη τησ Cf κϊθετη ςτην ευθεύα x−6y+1=0 . 484. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ςτο 4 , 10 με f(4)=6 και f(10)=0 . Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει αριθμόσ ξ ∈ 4 , 10 ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο Α ξ , f(ξ να ςχηματύζει γωνύα 135° με τον ϊξονα x’x . 485. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ςτο 0 , 1] με f(0)=2 και f(1)=4 . Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει αριθμόσ ξ ∈ 0 , 1 ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο Μ ξ , f(ξ παρϊλληλη ςτην ευθεύα y=2x+2000 . ΘΕΜΑ 2000 )

να εύναι

486. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Α 1 , f(1)) εύναι η y=3x−5 και ςτο Β 3 , f 3 ϋχει εξύςωςη y= − x + 7 . α. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f(1) , f ′ (1) , f(3) , f ′ (3) . β. Να δεύξετε ότι ∃ ξ ∈ 1 , 3 ∶ f ′ ξ = 3 γ. Να δεύξετε ότι ∃x0 ∈ 1 , 3 ∶ f ′′ x0 = −2 487. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο α , β , παραγωγύςιμη ςτο α , β και f(x)>0 , ∀x ∈ α , β . f β f ξ Να αποδεύξετε ότι: ∃ξ ∈ α , β ∶ f ′ ξ = ln ∙ . f α

2. Φωριςμόσ Διαςτόματοσ

β –α

∃ 𝛏𝟏 , 𝛏𝟐 , … 𝛏𝛎 )

488. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(6) = f(2)+10 . Να δεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 2 , 6 ∶ f ′ ξ1 + f ′ ξ2 = 5 . 489. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο 1 , 5 , παραγωγύςιμη ςτο 1,5 ώςτε 5f(1)=f(5)=2 . 4 Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 5 ∶ f ′ ξ1 + f ′ ξ2 = . 5

490. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 0 = Να δεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 0 , 6 ∶ f ′ ξ1 + f ′ ξ2 = 0 .

f(2) 5

=−

f(6) . 3

491. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο 1 , 6 , παραγωγύςιμη ςτο 1 , 6 ώςτε να ιςχύει f(1)=f(6) . Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 6 ∶ f ′ ξ1 + 4f ′ ξ2 = 0 . 492. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 1 , 8 → ℝ με f(8)=2f(1). Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 8 ∶ 2f ′ ξ1 + 5f ′ ξ2 = f(1) . 493. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f(22)=f(2)+4 . Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ 2 , 22 ∶ f ′ ξ1 + 3f ′ ξ2 + 6f ′ ξ3 = 2 . 494. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο 0 , 1 , παραγωγύςιμη ςτο 0,1 ώςτε f(0)=1 , f 1 =0 . Να αποδεύξετε ότι : α. ∃ x0 ∈ 0 , 1 ∶ f x0 = x0 β. ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 0 , 1 ∶ f ′ ξ1 ∙ f ′ ξ2 = 1 . 495. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο α , β , παραγωγύςιμη ςτο α , β με f α = α , f β = β . Να δεύξετε ότι : α. ∃ x0 ∈ α , β ∶ f x0 = α + β − x0 β. ∃ ξ1 , ξ2 ∈ α , β ∶ f ′ ξ1 ∙ f ′ ξ2 = 1 ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 46

496. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο α , β , παραγωγύςιμη ςτο α , β με f α = 2β , f β = 2α . Να δεύξετε ότι : α. ∃ x0 ∈ α , β ∶ f x0 = 2x0 β . ∃ ξ1 , ξ2 ∈ α , β ∶ f ′ ξ1 ∙ f ′ ξ2 = 4 3. Θ.Μ.Σ. και ϊλλα Θεωρόματα 497. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f(1)=3 , f(3)=7 , f(5)=11 . Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ ∈ 1 , 5 ∶ f ′′ ξ = 0 498. Δύνεται ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο 0 , 1 με f(0)=0 και f(x)>0 ∀xϵ 0 , 1 . Να αποδεύξετε ότι : α. ∃ ξ ∈ 0 , 1 ∶ f ξ = 1 − ξ f ′ ξ . β. ∃ x0 ∈ 0 , ξ ∶ f ′ x0 <

f′ ξ ξ

499. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ ώςτε να ιςχύει f(2)=f(0)+4 , f(4)=f(3)+2 . Να αποδεύξετε ότι : ∃ξ ∈ 0 , 4 ∶ f ′′ ξ = 0 . 500. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ ώςτε να ιςχύει f(1)+f(4)=f(2)+f(3) . Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ ∈ 1 , 4 ∶ f ′′ ξ = 0 . 501. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ςτο 2 , 6 για την οπούα ιςχύει 2f(4)=f(2)+f(6) . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f ′′ x = 0 ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα ςτο 2 , 6 . 502. Δύνεται ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο 0 , 1 για την οπούα ιςχύει f 2 1 − f 2 0 > 1 . 1 Να αποδεύξετε ότι : ∃ x0 ∈ 0 , 1 ∶ f ′ x0 ∙ f(x0 ) > . 2

503. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Αν τα ςημεύα Α 1 , f 1 εύναι ςυνευθειακϊ , τότε να δεύξετε ότι η f δεν εύναι 1-1 .

,Β 2,f 2

, Γ 3 , f(3))

504. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο ℝ , να δεύξετε ότι : f 2 + f 3 < f 1 + f 4 . 505. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f ′ εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο ℝ , να δεύξετε ότι : f x + 1 + f x + 2 > f x + f x + 3 , ∀x ∈ ℝ 506. Δύνεται ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με ςυνεχό παρϊγωγο ώςτε f 3 ≠ 0 , 3f 1 = 9f 3 = f 5 . Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ ∈ 1 , 5 ∶ f ′ ξ = 0 . 507. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο 0 , 3] , παραγωγύςιμη ςτο 0 , 3 με f 0 + f 2 = f 1 + f 3 . α. Να δεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 0 , 3 ∶ f ′ ξ1 + f ′ ξ2 = 0 β. Αν η f ′ εύναι 1-1 και ςυνεχόσ να δεύξετε ότι η εξύςωςη f ′ (x =0 ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα ςτο 0 , 3) . 508. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό παρϊγωγο ώςτε να ιςχύουν f(1)=−6 , f(3)=−2 , f(5)=22 . Να δεύξετε ότι: α. ∃ ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 5 ∶ f ′ ξ1 = 2 , f ′ ξ2 = 12 . β. ∃ x0 ∈ 1 , 5 ∶ f ′ x0 = 2x0 . 509. Δύνεται ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο α , β για την οπούα ιςχύει f ′ x ≠ 0. Να αποδεύξετε ότι : α. f α ≠ f β β. ∃ x0 ∈ α , β ∶ 5f x0 = 2f α + 3f β 3 2 5 γ. ∃ ξ1 , ξ2 , ξ ∈ α , β ∶ f ′ ξ + f ′ ξ = f ′ ξ . 1

510. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο α , β , παραγωγύςιμη ςτο α , β με f x > 0 , ∀x ∈ α , β . Να αποδεύξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ α , β :

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

f ′ ξ1 f ξ1

f ′ ξ2 f ξ2

f ′ ξ0 f ξο

Σελίδα 47

x2 + α , x≤1 . Αν ιςχύει το Θ.Μ.Σ. για την f ςτο −1 , 2 τότε : x 3 − αx + β , x > 1 α. να βρεθούν οι τιμϋσ των α και β . β. να αποδειχθεύ ότι υπϊρχει ςημεύο Α ξ , f(ξ με ξ∈ −1 , 2 ςτο οπούο η εφαπτομϋνη εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα ε : 2x−y+3=0 . 511. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x =

512. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x ≠ 0 , ∀xϵℝ . α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Αν η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α 1 , 2005 , Β −2 , 1 να λύςετε την εξύςωςη f −1 −2004 + f x 2 − 8 = −2 γ. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ςημεύο Μ τησ Cf , ςτο οπούο η εφαπτομϋνη τησ Cf εύναι κϊθετη 1 ςτην ευθεύα ε : y = − 668 x + 2005 . ΘΕΜΑ 2005 Ε 4. Διπλϋσ Ανιςώςεισ και Θ.Μ.Σ. 513. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο 0 , 2 με f 0 =3 και για κϊθε x ∈ 0 , 2 ιςχύει − 2 ≤ f ′ x ≤ 3 . Να δεύξετε ότι : −1 ≤ f(2) ≤ 9 . 514. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο 1 , 5 με f(1)= −2 και για κϊθε x ∈ 1 , 5 ιςχύει f ′ x Να δεύξετε ότι : −10 ≤ f(5) ≤ 6 .

≤ 2.

515. Αν η ςυνϊρτηςη f ′ εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο ℝ και f 0 =0 . Να δεύξετε ότι f ′ (1) < f(1) < f ′ (0) . 516. Δύνεται ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο ℝ με f ′ γνηςύωσ αύξουςα . Να δεύξετε ότι f ′ (x) < f(x+1)− f(x) < f ′ (x+1) . x lnx , x > 0 . 0 , x=0 x + 1 > 𝑓 x + 1 − f x , ∀x > 0 .

517. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = Να δεύξετε ότι ιςχύει f ′

ΘΕΜΑ 2008 )

518. Δύνεται ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο ℝ για την οπούα ιςχύουν f x − e − f(x) = x − 1 , f 0 = 0 . α. Να εκφραςτεύ η f ′ ωσ ςυνϊρτηςη τησ f x β. Να δεύξετε ότι < 𝑓 x < x f ′ x , ∀ x > 0 . ( ΘΕΜΑ 2002 2

519. Να δεύξετε ότι : 2 − 520. Να δεύξετε ότι : 521. Να δεύξετε ότι :

2 5

e 2

< ln

1 x +1

2 e

< ln2 < 5 3

2 3

< ln x + 1 − lnx <

1 x

, x>0 .

522. Να δεύξετε ότι : 1 + x < ex < 1 + ex , x ∈ 0 , 1 . 523. Να δεύξετε ότι :

1 x +1

524. Να δεύξετε ότι : 1 < 525. Να δεύξετε ότι :

< 𝑙𝑛 1 + x

1 ςυν 2 α

ex − 1 x

1 x

, x>0 .

< ex , x > 0 .

εφα − εφβ α −β

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

1 ςυν 2 β

, 0<α<β<

π 2

Σελίδα 48

΢υνϋπειεσ Θ.Μ.Σ ΢ταθερό ΢υνϊρτηςη 1. Απόδειξη ΢ταθερόσ ΢υνϊρτηςησ 526. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ ώςτε να ιςχύει f ′′ (x)+f(x)=0, ∀xϵℝ . 2 Αποδεύξτε ότι η ςυνϊρτηςη g x = f 2 x + f ′ x εύναι ςταθερό. 527. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x = 2f x , f 0 = 1 , f x > 0 , ∀xϵℝ . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = lnf x − 2x εύναι ςταθερό. β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 528. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο ℝ, με f ′ 0 =2 και ιςχύει f(0)=1 , f ′ (x)=2f(x)(x+1) , ∀xϵℝ . f(x) α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = x 2 + 2x εύναι ςταθερό. e

β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 529. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(2)=3 , xf ′ (x)=3x−2f(x) για κϊθε x > 0. α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = x 2 f x − x 3 εύναι ςταθερό . β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 530. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ [0, +∞) → ℝ με f 4 = 4e−2 , 2 x f ′ x + f x = e− α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = e x f x − x εύναι ςταθερό ςτο 0, +∞) β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 531. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ςτο ℝ με f x ≠ 0 , ∀xϵℝ και f ′ x = −2xf 2 x 1 α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = f x − x 2 , xϵℝ εύναι ςταθερό . β. Να δεύξετε ότι f x =

1 1 + x2

, ∀x ≥ 0 .

ΘΕΜΑ 2001

532. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x = f α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = f(x) β. Να δεύξετε ότι f x = x + x 2 + 9 .

f(x) x −x

, xϵℝ , f(0)=3 .

− 2xf(x) , xϵℝ εύναι ςταθερό . ΘΕΜΑ 2010

2. Πόριςμα ΢ταθερόσ ΢υνϊρτηςησ 533. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με f(0)=3 , f ′ x = ex − ημx , ∀xϵℝ . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 534. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: [0, +∞) → ℝ με f(1)=3 , f ′ x = 2

+ x − x 2 , ∀x > 0 . Να βρεύτε την f .

535. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: (0, +∞) → ℝ με f ′ x = ex lnx +

1 x

536. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f 1 = 0 , f ′ x = 2

lnx x

, f 1 = −1 . Να βρεύτε την f . , x>0 .

537. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f 0 = 0 , f ′ x = x 2 + 1 . 538. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f ′ 0 = 1 , f 1 = −3 , f ′′ x = 6x + 2 , xϵℝ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 49

539. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f ′ x =

f x x −1

+ ex x − 1 , x ∈ 1 , +∞ , f 2 = e2 .

540. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f x + xf ′ x = 3x 2 + 1 , f 1 = 2 , x > 0 . 541. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν xf ′ x + x 2 = f x + x 2 ex , f 1 = e − 1 , x > 0 . 542. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν xf ′ x − f x = x 2 ημx + x 3 ςυνx , f

π 2

π2 4

,x > 0 .

543. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f ′ x + 2xf x = 0 , x ∈ ℝ , f 0 = 1 , f x ≠ 0 . 544. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ ώςτε να ιςχύει f 0 = f ′ 0 = 1 και τϋτοια ώςτε f ′′ x − f ′ x = 6x − 3x 2 , ∀xϵℝ . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 545. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ ώςτε να ιςχύει f x > 0 , f ′′ x − 2xf ′ x = 2f(x) και f ′ 0 = 0 , f 2 = e . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 546. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: (0, +∞) → (0, +∞) με f 2 = e5 , xf ′ (x) + f x lnf x = 2xf x , x > 0 . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 547. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: (0, +∞) → ℝ με f e = −2 , ef Να βρεύτε τον τύπο τησ f

x f′ x + 1 = −

1 x2

, x>0 .

548. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με f 0 = 0 , f ′ x − 4x 3 ∙ e−f(x) = 0 , ∀xϵℝ . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 549. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με f 0 = −2 , f ′ x f x = e2x + x , ∀xϵℝ . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 550. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν e−2x ∙ f ′ x ∙ f x − 1 = 0 , f 0 = 1 , xϵℝ . 551. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f ′ x + 2xf 2 x = 0 , x ∈ ℝ , f 0 = 1 , f x ≠ 0 . 552. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f 0 = 2 , f ′ x + 2f x = 0 , xϵℝ . 553. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f −1 = −2 , f ′ x = 2x + 1 f x , xϵℝ . 554. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f 1 = 2e , f ′ lnx = 2x + 1 , x > 0 . 555. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f 1 = −2 , f ′ x ∙ f x = 2x 3 , x > 0 . 556. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f x + 2x ∙ f ′ x + 2 = 4x , f 0 = 1 , xϵℝ . 557. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f ′ 0 = f 0 = 0 και ικανοποιεύ τη ςχϋςη ex f ′ x + f ′′ x − 1 = f ′ x + xf ′′ x , xϵℝ . Να αποδεύξετε ότι f x = ln ex − x . ΘΕΜΑ 2011 558. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 0 = 0 , 2f ′ x = ex − f(x) , xϵℝ . Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f . ΘΕΜΑ 2005 559. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0,2 → ℝ για την οπούα ιςχύουν 3x 2 − και f 1 = e2 . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . ΘΕΜΑ 2009 Ε 560. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 0 = 1 και f ′ x + 2x = 2x f x + x 2 Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f . ΘΕΜΑ 2010 Ε

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

f ′ x − 2 f(x) e 2x

, xϵℝ .

Σελίδα 50

561. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f(1)=0 και 2f ′ x = Να δεύξετε ότι f x = ln

2x x2 + 1

1 x2

− 1 ef(x) , x > 0 .

ΘΕΜΑ 2012 Ε

562. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με f 0 = 1 και f x + x f ′ x + 1 = x , xϵℝ . Να δεύξετε ότι f x = x 2 + 1 − x . ΘΕΜΑ 2013 563. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με 2xf x + x 2 f ′ x − 3 = −f ′ x , xϵℝ , f 1 = x3

Να δεύξετε ότι f x = x 2 +

1 2

ΘΕΜΑ 2013 Ε

564. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x ef(x) + e−f(x) = 2 , xϵℝ , f(0)=0 . Να δεύξετε ότι f x = ln x + x 2 + 1 ΘΕΜΑ 2015 565. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ (0, +∞) → ℝ με f 1 = 1 , x 2 − x f ′ x + xf x = 1 , ∀ x > 0 . lnx , 0<x≠1 x Να δεύξετε ότι f x = − 1 ΘΕΜΑ 2015 Ε 1 , x=1 3. Η Ιδιότητα 𝐟 ′ (x) = f(x) 566. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f 0 = 3 , f ′ x − x 3 = f x − 3x 2 , xϵℝ . 567. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f x > 0 , f ′ x = f x ∙ lnf x , f 0 = 1 , xϵℝ . 568. Να βρεύτε τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f αν ιςχύουν f ′ x ∙ ςυνx + f x ∙ ημx = f x ∙ ημx , f 0 = 4 . 569. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ με f ′′ (x)=f(x) , xϵℝ . Επύςησ η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Α 0,f(0)) ϋχει εξύςωςη y=3x − 1 . Να βρεύτε την f . 570. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ για την οπούα ιςχύουν f 0 = f ′ 0 = e , f x ≠ 0 , xϵℝ και f x ∙ f ′′ x − f x ∙ f ′ x = f ′ (x) 2 . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 571. Δύνεται 2 φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύουν f 1 = 2 , f ′ 1 = −1 και 2xf ′ x + x 2 f ′′ x = −f ′ x , x > 0 . Να βρεύτε τον τύπο τησ f .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 51

Μονοτονύα ΢υνϊρτηςησ 1. Εξϋταςη Μονοτονύασ 572. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = x 3 + 3x 2 − 9x + 5 . 573. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x =

x3 +1

574. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = x + 575. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x =

ΘΕΜΑ 2013 Ε

1 x −1

x x2 + 1

576. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = 2x − x 2

577. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = xlnx . 578. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = x 2 ∙ ex 579. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = ημ 2x + 4x 2 − 2x − 3 580. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = 3ex + x 2 − 3x + 7 581. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = ex + xlnx − e + 1 x 582. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = 2ex−1 − x 2 + 3 583. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = x − 584. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f(x)=

lnx 2 x

xlnx , x > 0 0 , x=0

585. Να βρεύτε το πρόςημο τησ ςυνϊρτηςησ f x = ex + 2x − 1 586. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = ex − ln⁡ (x + 1)

ΘΕΜΑ 2009

587. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f x = e x − e lnx .

ΘΕΜΑ 2007 Ε

588. Να αποδεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f x = ότι εύναι γνηςύωσ αύξουςα .

ex − 1 x

1 ,

, x≠0 εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 και ςτη ςυνϋχεια x=0 ΘΕΜΑ 2014

589. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με 2xf x + x 2 + 1 f x = ex , f 0 = 1 . α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f 590. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 5 x + f 3 x + f x = x 3 + x 2 + x − 3 , xϵℝ . Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την f 591. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ με f 3 x + e f(x) = 1 − x − x 3 , xϵℝ . Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την f

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 52

2. Επύλυςη Εξιςώςεων με Μονοτονύα 592. Να λυθεύ η εξύςωςη : 3x 2 + 2x = 5 − lnx . 593. Να λυθεύ η εξύςωςη : ex−1 + x 3 = 3 − x . 594. Να λυθεύ η εξύςωςη : x 2 + 6lnx = 4x − 3 . 595. Να λυθεύ η εξύςωςη :

x2 2

− 4x + 4lnx +

7 2

596. Να λυθεύ η εξύςωςη : 2x + 5x = 7x . 597. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 2 + 3lnx και g x = 4x − 3 + lnx . Να δεύξετε ότι οι γραφικϋσ τουσ παραςτϊςεισ ϋχουν μοναδικό ςημεύο τομόσ. 598. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ ώςτε f 3 x + ln f x + ef(x) = x 3 + x 2 + 2x − 1 , f x > 0 . α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f β. Να λύςετε την εξύςωςη : f lnx = f(1 − x 2 ) . 599. Να λυθεύ η εξύςωςη : lnx = x − 1 . e

600. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − lnx . α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f . e β. Να λύςετε την εξύςωςη : x = lnx . γ. Να λύςετε την εξύςωςη :

e x +3

−

e 2 x +1

= ln

x +3 2 x +1

601. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − x 2 + 2x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα . β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f . γ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f f x − 2016 = 1 ϋχει μοναδικό λύςη . δ. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των Cf , Cf −1 1

602. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 2 ln2 x . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα . β. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ . 3 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f − 1 f x − e + 2 > 1 . 603. Δύνεται μια ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ςτο ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ώςτε : f x = −f 2 − x , f ′ x ≠ 0 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ μονότονη . β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει μοναδικό ρύζα. ΘΕΜΑ 2003 Ε 604. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2x + ln x 2 + 1 . α. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την ςυνϊρτηςη f β. Να λύςετε την εξύςωςη 2 x 2 − 3x + 2 = ln

3x − 2 2 + 1 x4 +1

ΘΕΜΑ 2010

3. Απόδειξη Ανιςώςεων με Μονοτονύα 605. Να αποδεύξετε ότι : ex ≥ 1 − x , x ≥ 0 . 606. Να αποδεύξετε ότι :

2 x −1 x + 1

607. Να αποδεύξετε ότι : x −

x2 2

< lnx , x>1 . < ln 1 + x , x > 0 .

608. Να αποδεύξετε ότι : ln x + 1 < ex − 1 , x > 0 ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 53

609. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2lnx − x 2 . α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f β. Να αποδεύξετε ότι : f ex < f 1 + x +

x2 2

, x>0 .

610. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = xex . α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f . β β. Να αποδεύξετε ότι : e α − β > α , α > β > 0 611. Ϊςτω f ςυνεχόσ ςτο 0, +∞ , παραγωγύςιμη 0, +∞) ώςτε να ιςχύει f ′ x > − Να δεύξετε ότι f(x) > 0 , x > 0 .

f x x

, x>0 .

1+ex

612. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 1 + e x + 1 . α. Να μελετηθεύ η μονοτονύα τησ ςυνϊρτηςησ f . β. Για κϊθε x < 0 να αποδεύξετε ότι f 5x + f 7x < f 6x + f 8x

ΘΕΜΑ 2006 Ε

613. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 και να βρεύτε την αντύςτροφη ςυνϊρτηςη 1 β. Να δεύξετε ότι για κϊθε x > 0 ιςχύει f ημx > f x − 6 x 3

ΘΕΜΑ 2016 Ε

4. Επύλυςη Ανιςώςεων με Μονοτονύα 614. Να λύςετε την ανύςωςη : ex − 1 < 1 − lnx

615. α. Να μελετηθεύ ωσ προσ μονοτονύα η ςυνϊρτηςη f x = lnx + ex λ β . Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ > 0 ∶ ln 2 > e2 − eλ . 616. Να λύςετε την ανύςωςη : eα − eβ + α − β < ςυνβ − ςυνα 617.Να λυθεύ η ανύςωςη f 5 x 2 + 1

− 8 ≤ f 8 x2 + 1

αν f x =

x3 +1

γνηςύωσ αύξουςα .

ΘΕΜΑ 2013 Ε

618. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 3 x + f x = e− x , xϵℝ . α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f β. Να λύςετε την ανύςωςη : f 2x + x − f 4 − x 3 < 0 619. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f β. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ : i) ii) iii)

1 x ≤x+ 2 2 1 2x + 3x 2 1 ςυν x 2

−

1 x 2

−x .

6 −

2 1 x + 10 > x 2 + 3x − 10 2 1 x +1 < ςυνx − x − 1 . 2

620. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)= lnx + x – 1 . α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f β. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ fof γ. Να λύςετε την ανύςωςη fof x − f(x) ≤ 0 . 621. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0, +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει x ∙ f ′ x = x + 1 , x > 0 . α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε ωσ προσ την μονοτονύα την f γ. Να λύςετε την ανύςωςη

x2 + x + 1 x2 + 2

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

≥1−x . Σελίδα 54

Ακρότατα ΢υνϊρτηςησ 1. Εύρεςη Ακροτϊτων ΢υνϊρτηςησ 622. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 1 . 623. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = e x

− x∙lnx

624. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = ex x 2 − 7x + 13 625. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = x 2 − 8 lnx 626. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f ςτο [−1 , 3] με f x = x 4 − 4x 3 + 4x 2 + 5 627. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x =

10x x2 + 1

628. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x =

2x + 11 x +1

, xϵ −2 , 2 , xϵ 2 , 8

629. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = 8x − x 2 630. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = 2x − 1 lnx − x 631. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = lnx − e x − 1 + 2 632. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = ln ex − x 633. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x =

x2 x2 + 1

ΘΕΜΑ 2011 ΘΕΜΑ 2016

634. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 3 x + f x = x 3 + 2x − 5 , xϵℝ . Να αποδεύξετε ότι η f δεν ϋχει ακρότατα. 635. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με 2f 3 x + 6f x = 2x 3 + 6x + 1 , xϵℝ . Να αποδεύξετε ότι η f δεν ϋχει ακρότατα. 636. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 3 x + βf 2 x + γf x = x 3 − 2x 2 + 6x − 1 ,β2 < 3γ, xϵℝ . α. Να αποδεύξετε ότι η f δεν ϋχει ακρότατα. β. Να δεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα . ΘΕΜΑ 2001 637. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0, +∞ → ℝ για τα οπούα ιςχύουν : − H f ′ εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο 0, +∞ − f(1)=1 f 1 + 5h − f 1 − h − limh→0 =0 . h Να αποδεύξετε ότι : α. f ′ 1 = 0 β. Η f παρουςιϊζει ελϊχιςτο ςτο x0 = 1 ΘΕΜΑ 2013 638. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′′ x < 0 , ∀ xϵℝ . Αν η ςυνϊρτηςη f δεν εύναι 1-1 , να αποδεύξετε ότι η f ϋχει μϋγιςτο . 639. Nα βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x =

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

x 2 lnx , x > 0 0 , x=0

Σελίδα 55

2. Εύρεςη Παραμϋτρων ςτα Ακρότατα 640. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ϵ ℝ για τισ οπούεσ η ςυνϊρτηςη f x = αx 3 + βx 2 − 3x + 1 παρουςιϊζει τοπικϊ ακρότατα ςτα ςημεύα x= −1 και x=1 . ΢τη ςυνϋχεια να καθορύςετε το εύδοσ των ακροτϊτων. 641. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ϵ ℝ για τισ οπούεσ η ςυνϊρτηςη f x = 2αlnx − παρουςιϊζει ακρότατο ςτο 1 το 5.

β x

+ 3α

642. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ϵℝ για τισ οπούεσ η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + αx + βlnx παρουςιϊζει τοπικϊ ακρότατα ςτα ςημεύα x=1 και x=3 . ΢τη ςυνϋχεια να καθορύςετε το εύδοσ των ακροτϊτων. 643. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ϵℝ για τισ οπούεσ η ςυνϊρτηςη f x = αx 3 + βx 2 − 12x − 7 παρουςιϊζει τοπικϊ ακρότατα ςτα ςημεύα x= −2 και x= 1 . ΢τη ςυνϋχεια να καθορύςετε το εύδοσ των ακροτϊτων. 644. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αlnx − x 2 , α ∈ ℝ η οπούα παρουςιϊζει ακρότατο ςτο x=1 . α. Να βρεύτε την τιμό του α 3 x +1 β. Να λύςετε την ανύςωςη : 3 x + 1 2 − x + 9 2 < 2 ln x + 9 . 3. Ανιςώςεισ και Ακρότατα 645. Να αποδεύξετε ότι : x 2 ≥ 1 + 2lnx , x > 0 646. Να αποδεύξετε ότι : lnx ≤ x − 1 , x > 0 1

647. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x x , x > 0 . α. Να βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f . 1

β. Να δεύξετε ότι ∀α , β , γ > 0 ∶

α α +β β +γ γ 3

≤ ee

648. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 5 + x 3 + x . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να δεύξετε ότι f ex ≥ f 1 + x , xϵℝ . 649. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex − elnx

ΘΕΜΑ 2003

. Να δεύξετε ότι f x ≥ e , ∀ x > 0 .

ΘΕΜΑ 2007 Ε

650. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 2lnx , x > 0 . Να αποδεύξετε ότι f x ≥ 1 , x > 0 ( ΘΕΜΑ 2008 Ε ) 2

651. Να λυθεύ η εξύςωςη e x − x 2 − 1 = 0 .

ΘΕΜΑ 2016

4. Από Ανύςωςη ςε Ιςότητα ΠΟΣΑΜΙ 652. Αν για κϊθε x > 0 ιςχύει x 2 + x ≥ 2 + αlnx , α ∈ ℝ . Να βρεύτε την τιμό του α . 653. Αν για κϊθε x > 0 ιςχύει αlnx ≤ x − 1 , α ∈ ℝ . Να βρεύτε την τιμό του α . 654. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 1 = 1 , 2f x − x 2 ≤ 2lnx + 1 , x > 0 . Να δεύξετε ότι η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Α 1 , f 1 εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα y=2x+3 . 655. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f(x)≤ ex + ln x 2 + 1 , ∀ xϵℝ . Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Α 0 , 1) . 656. Δύνονται οι παραγωγύςιμεσ ςυναρτόςεισ f , g : ℝ → ℝ με f(1)=3 , f x + g x ≤ x 3 + x 2 + 5 , xϵℝ . Αν η εφαπτομϋνη τησ Cg ςτο Μ 1 , g 1 ϋχει εξύςωςη y=3x+1 , τότε να βρεύτε : α. τισ τιμϋσ g 1 , g ′ (1) . β. την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Β 1 , f(1))

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 56

657. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f x = 2x + mx − 4x − 5x , mϵℝ , m > 0 . Να βρεύτε τον m ώςτε f(x) ≥ 0 , xϵℝ . ΘΕΜΑ 2004 Ε 658. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx − ln x + 1 , α > 0 , α ≠ 1 . Αν ιςχύει f x ≥ 1 , για x > −1 να βρεύτε το α ( ΘΕΜΑ 2009 ) 5. Πλόθοσ Ριζών – ΢ύνολο Σιμών 659. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών τησ εξύςωςησ lnx + x 2 − 3x + 12 = 0 . 660. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη 4x 3 − 3x −

1 2

= 0 ϋχει ακριβώσ 3 πραγματικϋσ ρύζεσ.

661. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f x =

x2 – x + 1 x −1

662. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών τησ εξύςωςησ 2x 3 − 6x + 1 = 0 . 663. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e x − 1 − lnx . Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f . ( ΘΕΜΑ 2015 Ε ) ex

664. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f . β. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f e 3 − x x 2 + 1

e2 5

ϋχει ακριβώσ μια ρύζα.

( ΘΕΜΑ 2015 )

, x >0 665. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e lnx 0 , x=0 α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 . β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f .

( ΘΕΜΑ 2014 Ε )

666. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f x = x 2 lnx

( ΘΕΜΑ 2004 )

x +1

667. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 1 − lnx . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f . β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει ακριβώσ δύο ρύζεσ .

( ΘΕΜΑ 2006 )

xlnx , x > 0 0 , x=0 α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο 0 . β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f . 668. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

( ΘΕΜΑ 2008 )

669. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln x + 1 − ln⁡(x + 2) . Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f .

( ΘΕΜΑ 2009 Ε )

670. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 2 lnx + x − 3 . Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει ακριβώσ δύο θετικϋσ ρύζεσ. ( ΘΕΜΑ 2010 Ε ) 671. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει ακριβώσ τρεισ ρύζεσ .

π 2

μια ςταθερϊ . ( ΘΕΜΑ 2007 )

672. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 1 lnx − 1 , x > 0 . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f . β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x x − 1 = e 2013 ϋχει ακριβώσ 2 θετικϋσ ρύζεσ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

( ΘΕΜΑ 2012 )

Σελίδα 57

6. Γενικϋσ Αςκόςεισ ςτα Ακρότατα 673. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο α , β , παραγωγύςιμη ςτο α , β . Αν η ςυνϊρτηςη f ϋχει ςύνολο τιμών το [−1 , 2] και f α =0 , f β =1 να δεύξετε ότι : α. ∃ x1 , x2 ∈ α, β ∶ f ′ x1 = f ′ x2 = 0 . β. Η εξύςωςη f ′ x = x 2 + 1 f x ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα ςτο α , β αν η f ′ εύναι ςυνεχόσ . 674. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f x > 0 , f ′ (x) 2 ≠ f(x)f ′′ (x) . Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x =lnf(x) ϋχει το πολύ 1 ακρότατο . 675. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f: [α , β] → ℝ και γ , δ ∈ α , β τϋτοια ώςτε f γ < 𝑓 α < 𝑓 β < 𝑓 δ . Αν η f εύναι 2 φορϋσ παραγωγύςιμη , να δεύξετε ότι η εξύςωςη f ′′ (x)=0 ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη ςτο α , β . 676. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ τρεισ φορϋσ παραγωγύςιμη ώςτε να ιςχύει 2f x ≥ f 1 + f 2 , xϵℝ . Να δεύξετε ότι : α. f(1)=f(2) β. ∃ x0 ∈ 1 , 2 ∶ f ′′′ x0 = 0 . γ. η εξύςωςη f ′′ (x) = f ′ (x) ϋχει τουλϊχιςτον δύο λύςεισ ςτο 1 , 2 . 677. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ τρεισ φορϋσ παραγωγύςιμη ώςτε να ιςχύει 2f x ≥ f 3 + f 4 , xϵℝ . Να δεύξετε ότι : α. f(3)=f(4) β. υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ ∈ 3 , 4 τϋτοιο, ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ′′ ςτο ςημεύο Μ ξ , f ′′ (ξ) ) να εύναι παρϊλληλη ςτον ϊξονα x’x 678. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f ∶ [1 , 4] → ℝ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ώςτε f 2 < 𝑓 1 < 𝑓 4 < 𝑓 3 . Να δεύξετε ότι : α. η εξύςωςη f ′ (x) =0 ϋχει δύο τουλϊχιςτον λύςεισ ςτο 1 , 4) . β. η εξύςωςη f ′′ (x) +2x f ′ (x) =0 ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη ςτο 1 , 4) . f 1 + f 3

679. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f x ≤ 2 − x + , xϵℝ . Να δεύξετε ότι : 2 α. f 1 − f 3 = 2 . β. η εξύςωςη f ′ (x) =−1 ϋχει τουλϊχιςτον τρεισ διαφορετικϋσ πραγματικϋσ ρύζεσ . 680. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f ∶ [1 , 4] → ℝ , με ςυνεχό f ′ ςτο 1 , 4] , η οπούα ϋχει ςύνολο τιμών το −3 , 2] και f(1)=−2 , f(4)=1 . Να αποδεύξετε ότι : α. υπϊρχει μύα τουλϊχιςτον εφαπτομϋνη τησ Cf κϊθετη ςτην ευθεύα ζ : 2x+2y−2016=0 . β. η εξύςωςη f ′ (x) =0 ϋχει δύο τουλϊχιςτον λύςεισ ςτο 1 , 4) . γ. η εξύςωςη f ′ x = ex + x 2 ∙ f x ϋχει μύα τουλϊχιςτον λύςη ςτο 1 , 4 . 681. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ώςτε να ιςχύει f 1 = f 3 , f ′′ x > 0 , x ϵℝ . Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f παρουςιϊζει μοναδικό τοπικό ακρότατο , του οπούου να βρεύτε το εύδοσ . lnx x

682. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

+ 1 , 0<x<1 1 , x=1 lnx x–1

x>1

α. Να αποδεύξετε ότι το x0 = 1 εύναι το μοναδικό κρύςιμο ςημεύο τησ f . β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει μοναδικό ρύζα ςτο 0, +∞

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

ΘΕΜΑ 2016 Ε

Σελίδα 58

683. Δύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ f.

α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού και το ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ f . β. Να βρεύτε , αν υπϊρχουν , τα όρια : limx→1 f(x) , limx→3 f(x) , limx→5 f(x) , limx→7 f(x) , limx→9 f(x) 1 1 γ. Να βρεύτε , αν υπϊρχουν , τα όρια : limx→2 f x , limx→6 f x , limx→8 f f x δ. Να βρεύτε τα ςημεύα ςτα οπούα η f δεν εύναι ςυνεχόσ . ε. Να βρεύτε τα ςημεύα x0 του πεδύου οριςμού τησ f ώςτε να ιςχύει f ′ x0 = 0

ΘΕΜΑ 2016 Ε

684. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη με ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο ώςτε να ιςχύει e f(x) + x = f f x + ex , x ϵℝ και f ′ 0 = 1 . Να δεύξετε ότι : α. η f δεν παρουςιϊζει ακρότατο ςτο ℝ β. η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο ℝ ΘΕΜΑ 2016 ) 7. Προβλόματα Μεγύςτων – Ελαχύςτων 685. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν 16 cm2 να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ εκεύνου που ϋχει την μικρότερη περύμετρο . 686. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με περύμετρο 16 , να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ εκεύνου που ϋχει το μεγαλύτερο εμβαδόν . 687. Ϊνα οικόπεδο ςχόματοσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου ϋχει περύμετρο 400 m . Αν το μόκοσ του εύναι x m , τότε να βρεύτε για ποια τιμό του x το εμβαδόν του οικοπϋδου γύνεται μϋγιςτο , καθώσ και ποια εύναι η μϋγιςτη τιμό του εμβαδού . 688. Δύνεται ϋνα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περύμετρο 20 cm και μόκοσ x cm . Να βρεύτε για ποια τιμό του x η διαγώνιοσ του παραλληλογρϊμμου ϋχει το ελϊχιςτο μόκοσ . 2

689. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e x − 4αx + 16α με α ϵℝ . α. Να αποδεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f παύρνει ελϊχιςτη τιμό . β. Να βρεύτε για ποια τιμό του α ϵℝ , η ελϊχιςτη τιμό τησ f γύνεται μϋγιςτη . 690. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 8lnx + x 2 − 3x + 2 . Να βρεύτε ςε ποιο ςημεύο Μ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f , ο ςυντελεςτόσ διεύθυνςησ τησ εφαπτομϋνησ γύνεται ελϊχιςτοσ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 59

691. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = −x 3 + 6x 2 − 9x + 1 . Να βρεύτε ςε ποιο ςημεύο Μ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f , ο ςυντελεςτόσ διεύθυνςησ τησ εφαπτομϋνησ γύνεται μϋγιςτοσ . 692. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 2lnx . Να βρεύτε για ποια τιμό του x , ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ f ωσ προσ x , γύνεται ελϊχιςτοσ . 693. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 3x + 2 και ϋςτω ε η εφαπτομϋνη τησ γραφικόσ τησ παρϊςταςησ ςτο ςημεύο τησ A 2 , f 2 . Να βρεύτε τισ ςυντεταγμϋνεσ ενόσ ςημεύου M(x , y) τησ εφαπτομϋνησ ε ϋτςι ώςτε η απόςταςη του Μ από την αρχό των αξόνων να γύνεται ελϊχιςτη . 1

694. Σο κόςτοσ τησ ημερόςιασ παραγωγόσ x μονϊδων ενόσ προώόντοσ εύναι K x = 3 x 3 − 20x 2 + 600x + 1000 ςε ευρώ με 6 ≤ x ≤ 50 . Η εύςπραξη από την πώληςη μιασ μονϊδασ προώόντοσ εύναι 420−2x ςε ευρώ . Να βρεύτε την ημερόςια παραγωγό x του εργοςταςύου για την οπούα το κϋρδοσ εύναι μϋγιςτο και πόςο εύναι αυτό

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 60

Κυρτότητα ΢υνϊρτηςησ 1. Εύρεςη Κυρτότητασ - ΢ημεύων Καμπόσ 695. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = x 3 + 2x 3 − 12x 2 − 5x + 4 696. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = x 2 ∙ 2lnx − 5 697. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = x ∙ e − x 698. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = ln x 2 + 4 699. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = ex x 2 − 4x + 5 700. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = x 5 + x 3 + x

ΘΕΜΑ 2003

701. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = x 2 ∙ lnx ( ΘΕΜΑ 2006 ) 702. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + Να δεύξετε ότι η f ϋχει ϋνα ςημεύο καμπόσ .

π 2

μια ςταθερϊ . ΘΕΜΑ 2007

703. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = e x − ln⁡ (x + 1) ( ΘΕΜΑ 2009 ) 704. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη

f x = 2x + ln⁡ (x 2 + 1) ( ΘΕΜΑ 2010 )

705. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f x = ln e x − x ϋχει ακριβώσ δύο ςημεύα καμπόσ .

ΘΕΜΑ 2011

706. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = x − ln e x + 1

( ΘΕΜΑ 2014 )

707. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = ln x + x 2 + 1 ( ΘΕΜΑ 2015 ) 708. Να μελετόςετε ωσ προσ την κυρτότητα και τα ΢.Κ. την ςυνϊρτηςη f x = 2

709. Αν f(x)= e x − x 2 − 1 , να δεύξετε ότι η f εύναι κυρτό .

x2 x2 + 1

ΘΕΜΑ 2016

2. Εύρεςη Παραμϋτρων ςτην Κυρτότητα 710. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 3 + βx 2 . Να βρεύτε τα α , β ώςτε η Cf να ϋχει ςημεύο καμπόσ το Α −1 , 4) 711. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 2 − ln2 x + β . Να βρεύτε τα α , β ώςτε η Cf να ϋχει ςημεύο καμπόσ το Α 1 , 5) 712. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 3 + βx 2 + 6x . Αν η f παρουςιϊζει ακρότατο ςτο −1 1 και καμπό ςτο 2 , να βρεύτε τα α , β .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 61

3. Κυρτότητα και Εφαπτομϋνη 713. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e 2x + x 4 . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα β. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο x0 = 0 γ. Να δεύξετε ότι e 2x ≥ 1 + 2x − x 4 , x ϵ ℝ . 714. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + α ∙ lnx 2 , α ∈ ℝ . Η εφαπτομϋνη ε τησ Cf ςτο Α 1 , f 1 παρϊλληλη ςτην ευθεύα ζ : 8x−2y+2016=0 . α. Να βρεύτε τον αριθμό α και την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ε β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα γ. Να δεύξετε ότι 3 + x + lnx 2 ≥ 4x , x > 0 .

εύναι

715. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 4x − 6 e x − 1 . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα β. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο x0 = 1 x +2 γ. Να δεύξετε ότι e x − 1 ≥ x 2 − 4x + 6 , xϵℝ . 1

716. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − lnx . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα β. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο x0 = 1 1 γ. Να δεύξετε ότι lnx ≤ + 2x − 3 , ∀ x > 0 . x

δ. Να λύςετε την εξύςωςη x x e 3x − 2x

−1

ex –1 x

, x ≠ 0 . Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ C ςτο f 1 , x=0 ςημεύο Α 0 , f 0 . ΢τη ςυνϋχεια , αν εύναι γνωςτό ότι η f εύναι κυρτό , να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη 2f(x)=x+2 , xϵℝ ϋχει ακριβώσ μια λύςη . ΘΕΜΑ 2012 Ε 717. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

4 . Κυρτότητα και ϊλλα Θεωρόματα 718. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Αν η f εύναι κούλη , να δεύξετε ότι 2 f x > 𝑓 x + 1 + f(x − 1) , xϵℝ . 719. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ . Η f εύναι κυρτό και η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Α 0 , f(0)) ϋχει εξύςωςη y=2x+4 . α. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f ′ 0 , f(0) β. Να αποδεύξετε ότι f −3 + f 3 > 8 γ. Να αποδεύξετε ότι f x + 2 − f x > 4 , x > 0 . 720. Ϊςτω οι ςυναρτόςεισ f , g ∶ ℝ → ℝ για τισ οπούεσ ιςχύει f ′′ x < −4f x + 4f ′ x , xϵℝ , g x = α. Να δεύξετε ότι η g εύναι κούλη ςτο ℝ β. Αν η Cg εφϊπτεται ςτον ϊξονα x’x να δεύξετε ότι f x ≤ 0 , xϵℝ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 62

f(x) e 2x

Γραφικό Παρϊςταςη ΢υνϊρτηςησ 721. Να μελετόςετε τη ςυνϊρτηςη f x =

x2− x + 2 x +1

και να ςχεδιϊςετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη .

αx 2 + βx + 4

722. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = , α , β ϵ ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη ϋχει αςύμπτωτη x −1 ςτο +∞ ςτην ευθεύα y = − x + 2 . α. Να βρεύτε τα α , β β. Να μελετόςετε την f και να ςχεδιϊςετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη . 723. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ ώςτε f 3 = 2 , 2xf x + x 2 f ′ x = −3f ′ x , xϵℝ . α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε την f και να ςχεδιϊςετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη . 724. Να μελετόςετε τη ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x και να ςχεδιϊςετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη . 725. Να μελετόςετε τη ςυνϊρτηςη f x = x − 1 + 726. Να μελετόςετε τη ςυνϊρτηςη f x =

1 + 2lnx x

1 x–1

και να ςχεδιϊςετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη .

727. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2 x +1 α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα . β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεύα καμπόσ . γ. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ f δ. Να ςχεδιϊςετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 63

ΟΛΟΚΛΗΡΨΣΙΚΟ΢ ΛΟΓΙ΢ΜΟ΢ Τπολογιςμόσ Ολοκληρωμϊτων Ιδιότητεσ Ολοκληρωμϊτων Ανιςώςεισ και Ολοκληρώματα Εμβαδόν Επύπεδου χωρύου

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 64

Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ 1. Τπολογιςμόσ Βαςικών Ολοκληρωμϊτων 728. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2 1 α. ∫1 x 2 − 4x + 3 dx β. ∫−2 3x 2 − 4x dx

−1

γ. ∫−2 4x 3 − 6x 2 + 2x dx

δ. ∫4

x dx

729. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : π

α. ∫0 ex + x dx

4 3x 2 x

β. ∫02 2ημx + 3ςυνx dx

γ. ∫1

δ . ∫−1 12x x − 1

730. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2 x2 + x – 1 x

α. ∫1

2 x 3 − 5x 2 + 1 x

β. ∫1

2 x −1 x +1 x +2 x2

γ. ∫1

4 x +1 x

δ. ∫0

731. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2

α. ∫−1 x + 1 ex dx

β. ∫0 2xςυνx − x 2 ημx dx

π xςυν x – ημ x x3 2

γ. ∫π

2 xe x − 2e x x3

δ. ∫1

732. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : π

2π

β. ∫0 x 2 ex x + 3 dx

α. ∫02 ημx + xςυνx dx

γ. ∫π

lnx ∙ ςυνx +

ημ x x

δ. ∫0 xex 2 + x dx

733. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : π 4 π 6

2x ημ x −x 2 ςυν x ημ 2 x

α. ∫

π ςυν x – ημ x ex

β. ∫0

𝛃 𝐟 𝐱 𝐠(𝐱)

2. Τπολογιςμόσ Ολοκληρώματοσ ∫𝛂

e 1 – lnx x2

γ. ∫1

e lnx – 1 ln 2 x

δ. ∫2

𝐝𝐱

734. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 5

α. ∫4

1 2x – 6

1 e x + 2x ex + x2

β. ∫0

γ. ∫1

x3 +1

δ. ∫0

735. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 4 5 2x − 5 2 α. ∫3 x 2 − 3x + 2 dx β. ∫4 x 2 − 2x – 3 dx

γ. ∫3

1 1 + e −x

1 x2 – 4

ε. ∫0

x +1 x 2 + 2x + 3

3 2x − 3 dx x2 – x

δ . ∫2

736. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 1 x −2 x +3

α. ∫0

3 3x – 1 x −1

β. ∫2

4 x 3 − 3x 2 + 5x – 5

γ. ∫3

− 3x + 2

6 2x 3 − 5x 2 − 16x + 22 x 2 − 2x − 8

δ. ∫5

3. Παραγοντικό Ολοκλόρωςη 437. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 2

α. ∫1 x 2 − 3x ex dx

1 x2 + x ex

β. ∫0

γ. ∫1 x ∙ 5x dx

δ . ∫02 x ημx dx

438. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : π

α. ∫02 xςυν2x dx

β. ∫1 x 3 lnx dx

2 lnx x2

γ. ∫1

439 . Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : 1 4 lnx π α. ∫0 ln x + 1 dx β. ∫1 x dx γ. ∫o ex ημx dx

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

δ. ∫1 ln2 x dx

π ςυν x ex

δ. ∫0

Σελίδα 65

740. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫1 xe 2x dx

ΘΕΜΑ 2009 Ε 0

741. α. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα Ι α = ∫α 2x 2 − 3x ex dx β. Να βρεύτε το όριο limα→−∞ Ι α

ΘΕΜΑ 2004

4. Ολοκλόρωςη με Αντικατϊςταςη 2

742. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α. ∫1 x − 1

743. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α. ∫0 x x + 1 dx

744. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α. ∫1

745. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα :

α. ∫0

β. ∫0 x − 1

x x +3

ln 2

1 1 + ex

3ln 2

3 ςυν lnx x

β. ∫1

ln 2

β. ∫0

2x − 1 dx

1 + ex dx

β. ∫ln 3

e 2x

ex + 3e x + 2

746. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ η οπούα εύναι ςυνεχόσ . Να δεύξετε ότι : 1 −1 α. ∫0 f x − 2 dx = ∫−2 f x dx 1

β. ∫0 f 2x dx =

1 2

∫0 f x dx 1

747. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫−1 x 2x + ln x 2 + 1 dx

ΘΕΜΑ 2010

5. Ιδιότητεσ Οριςμϋνου Ολοκληρώματοσ 2x + 3 , x≤1 3x 2 − 6x + 8 , x > 1 α. Να εξετϊςετε αν η f εύναι ςυνεχόσ −2 4 3 β. Να βρεύτε τα ολοκληρώματα Α= ∫−4 f x dx , B= ∫2 f x dx , Γ= ∫−1 f x dx . 748. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

β. ∫−2 3 x 2 − 2x − 3 + 4 dx

749. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω ολοκληρώματα : α. ∫−2 x + 1 + x − 4 dx α

750. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οπούο ιςχύει ∫−α 4x + 6 dx = 36 . 3 ex + x3 – x x2 + 1

751. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οπούο ιςχύει ∫1

3λ+2 lnx + 6 x2 + 2

752. Να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οπούο ιςχύει ∫λ

1 ex + x3 − x x2 + 1

dx = ∫−3 α dx + ∫3

dx − ∫−5 2 dx = ∫3λ+2 3 e

753. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ώςτε να ιςχύουν f 1 = Να βρεύτε το ολοκλόρωμα

1 Ι=∫0 ex

3x 2 – lnx x2 + 2

dx . dx .

,f 0 = 1 .

′

f x + f (x) dx .

754. Να δεύξετε ότι : 2 ∫α f x ∙ f ′ x dx = f(β)

− f(α)

. 1

755. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + αx 2 + 3x + 1 , αϵℝ για την οπούα ιςχύει ∫0 f x dx = α. τον πραγματικό αριθμό α 3 f(x) β. το ολοκλόρωμα ∫1 f ′ x dx

15 4

. Να βρεύτε :

756. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = αx 2 + βx + γ , για την οπούα ιςχύει ∫−1 f x dx = 12 ενώ η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ 1 , 1 ϋχει εξύςωςη y=2x+2 . Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α , β ,γ ϵ ℝ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 66

757. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οπούα ιςχύει f 2 = e3 f 1 . 2 f ′ x + 4f x f(x)

Να βρεύτε το ολοκλόρωμα : A = ∫1

dx 2

758. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ώςτε f 1 = 5 , ∫1 xf ′ x + f(x) dx = 1 Να βρεύτε : α. την τιμό f 2 2 β. το ολοκλόρωμα ∫1 x 2 3f x + xf ′ x dx . 1 f′ x f(x)

760. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → (0, +∞) για την οπούα ιςχύει f 0 = 1 , ∫0

dx = 1 . Να βρεύτε :

α. την τιμό f 1 1 2x f 2 x + e x f x − e x f ′ x f 2 (x)

β. το ολοκλόρωμα ∫0

dx . 1

761. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ώςτε f 1 = 5 , ∫0 f x dx = 2 . 1

Να βρεύτε το ολοκλόρωμα Ι = ∫0 x f ′ x dx 762. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο. Οι εφαπτομϋνεσ τησ Cf ςτα Α 1 , 2) και Β 3 , 9 τϋμνονται ςτο ςημεύο Γ 4 , 11) . Να βρεύτε : α. τισ τιμϋσ f ′ (1) , f ′ (3) 3 β. το ολοκλόρωμα ∫1 xf ′′ x dx 763. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 − x . Να αποδεύξετε ότι : α. f ′ x x 2 + 1 + f x = 0 1 1 β. ∫0 2 dx = ln 2 + 1 ΘΕΜΑ 2003 Ε x +1

764. Ϊςτω F μια παρϊγουςα ςτο ℝ τησ ςυνϊρτηςησ f x = Να βρεύτε το ολοκλόρωμα : A =

1 ∫0 F

1 1 + x2

με F(1)=0 .

x dx 1

765. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει e∫0 f

x dx

= ∫0 f x + 3x 2 dx .

Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫0 f x dx . 1

766. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = x + 2 ∫0 f x dx , xϵℝ . Να βρεύτε την f . 2

767. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = 2x + ∫0 f x dx , xϵℝ . Να βρεύτε την f . 1

768. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = 9x 2 − ∫−1 2xf t dt , xϵℝ . Να βρεύτε την f . π

769. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ∫06 f t dt = f x + 6 . 2014

Να βρεύτε την f και το ολοκλόρωμα ∫2016 f x dx . 1

770. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει ∫0 e1 − x f x dx = f x + ex . Να βρεύτε την f . 2

771. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f x = 10x 3 + 3x ∫0 f t dt − 45 . Να δεύξετε ότι f x = 20x 3 + 6x − 45 . ( ΘΕΜΑ 2008

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 67

6. Εύρεςη Ολοκληρώματοσ Αντύςτροφησ 772. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + x . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ. e + 1 −1 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫1 f x dx . 773. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + 2x + 3 α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ. 6 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫0 f −1 x dx . 774. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 και g ∶ ℝ → ℝ ςυνεχόσ και ϊρτια ςυνϊρτηςη . 1 Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫−1 f x g x dx ΘΕΜΑ 2016 Ε 775. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ (1, +∞) → ℝ για την οπούα ιςχύει f α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 γ. Να ορύςετε την αντύςτροφη e2

δ. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα ∫0

1 lnx

e = 2 , xf ′ x lnx + f x = 0 , x > 1

dx + ∫12 e x dx .

776. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη 1 β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫−1 f −1 x dx . 777. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ. e β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫0 f −1 x dx . 778. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ παραγωγύςιμη , που ικανοποιεύ την ςχϋςη f 3 x + f x = x , xϵℝ . α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Να ορύςετε την αντύςτροφη 2 γ. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα I = ∫0 f x dx 7. Εύρεςη Αναγωγικού Σύπου e

779. Αν Ιν = ∫1 lnν x dx να δεύξετε ότι Ιν + ν ∙ Ιν−1 = e . π

780. Δύνεται το ολοκλόρωμα Ιν = ∫0 x ν ςυνx dx , ν ∈ ℕ∗ . α. Να αποδεύξετε ότι Ιν = −νπν − 1 − ν(ν − 1)Ιν−2 για κϊθε ν ≥ 4 π β. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫0 x 5 ςυνx dx . 8. Ανιςότητεσ και Ολοκληρώματα 781. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = xlnx − x + 1 . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f 2 β. Να δεύξετε ότι ∫1 x x dx > e − 1 2

782. Να δεύξετε ότι 2 ≤ e4 ∙ ∫0 ex 1

783. Να δεύξετε ότι 1 ≤ ∫0

− 3x 2

dx ≤ 2e4 .

x 2 + 1 dx ≤ 2 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 68

784. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα . e –1 e

β. Να δεύξετε ότι

≤ ∫0

1 x2 + 1

dx ≤

lnx x

≤

e–1 2

1 e

785. Να αποδεύξετε ότι :

α.

786. Να αποδεύξετε ότι :

α. lnx ≥ 1 −

787. Να αποδεύξετε ότι :

α.

x –1 x

1 x

β. ∫1 x e dx < ∫1 ex dx

, x>0 , x>0

β. ∫1 x x dx ≥ e − 1 .

≤ lnx ≤ x − 1 , x > 1

e+1 1 lnx

β. 1 < ∫2

dx < e

788. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + x . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα 2 β. Να δεύξετε ότι ∫1 x x dx > e − 1 2

789. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e x . α. Να δεύξετε ότι f εύναι κυρτό . β. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο Α 1 , f(1)). 2 2 γ. Να δεύξετε ότι ∫0 e x dx > 2e . 790. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ η οπούα εύναι κυρτό και ιςχύει f 0 = 0 , f ′ 0 = 1 . 1 1 Να αποδεύξετε ότι ∫0 f x dx > . 2

791. Ϊςτω f : [0 , 1] → ℝ με f(0)=0 , παραγωγύςιμη για την οπούα ιςχύει f ′ x + f x > 2xe−x , x ∈ [0 , 1] . 1 Να δεύξετε ότ 3 ∫0 ex f x dx > 1 . 2

792. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ παραγωγύςιμη , f(0)=0 και να ιςχύει f ′ x + 2xf x > 2xe−x , xϵℝ . 1

Να δεύξετε ότι ∫0 f x dx >

e –1 e

793. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και γνηςύωσ αύξουςα , με ςυνεχό δεύτερη e π f lnx x

παρϊγωγο , f(0)=0 , f(π =π . Να δεύξετε ότι 0 < ∫1

dx < π2

ΘΕΜΑ 2016

9. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐟 και ϊξονα x’x 794. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − x − 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=−2 και x=3 . 795. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 6x + 8 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x=3 . 796. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 ex . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x=3 . x –2

797. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x , x > 0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x=e . 798. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και τον ϊξονα x’x . 799. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 3 lnx . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και τον ϊξονα x’x .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 69

800. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − x 2 + 2x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf και τον ϊξονα x’x . 801. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = και τον ϊξονα x’x .

x 3 − x 2 − 4x + 4 x +1

. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf

802. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex − 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1 . 803. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=2 . 1

804. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 1 + x + 1 . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ μονοτονύα-ακρότατα β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=2 και x=5. 3x 2 , x≤0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται e−x − 1 , x > 0 από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=−2 , x=1 . 805. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

−x 2 + 2x + 3 , x < 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται −x + 5 , x≥2 από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=−1 , x=5 . 806. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

807. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex − x − 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1 . 808. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx + 1 − τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=2 . 809. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

αx 2 , 1 −e x −3 x −3

1 x

. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf x≤3 , x>3

. Να βρεύτε :

α. την τιμό του α αν η f εύναι ςυνεχόσ β. την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο Α 4 , f 4 γ. το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 , x=2 810. Αν ιςχύει ότι

x 2

< f x < xf ′ x

ΘΕΜΑ 2001

, ∀ x > 0 και αν Ε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf

τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 και x=1 να δεύξετε ότι

1 4

<𝐸<

1 2

f(1)

ΘΕΜΑ 2002

811. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 1 lnx . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=e . ΘΕΜΑ 2012 812. Δύνεται η ςυνϊρτηςη h x = x − ln ex + 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ φ x = ex h x + ln2 , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1 ΘΕΜΑ 2014 lnx

813. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 1 , γνηςύωσ αύξουςα για x < 1 . Αν Ε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 και x = x0 με x0 < 1 να δεύξετε ότι E =

− x 20 − 2x 0 + 2 2

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

ΘΕΜΑ 2016 Ε

Σελίδα 70

10. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐟 , 𝐂𝐠 814. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 2 − 4x − 5 και g x = x + 1 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και τισ ευθεύεσ x=−2 και x=2 . 815. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 3x 3 − 2x και g x = 2x − x 3 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg . 816. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = x 2 και g x = 4x − x 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg . 817. α. Να αποδεύξετε ότι e3x ≥ x + 1 , ∀ x ≥ 0 . β. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = ex και g x = e−2x (x + 1) . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cg . 818. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = ln⁡(1 + x) και g x = x − που περικλεύεται από τισ Cf , Cg και την ευθεύα x=1 .

x2 2

. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου

lnx

819. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − x 2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , την πλϊγια αςύμπτωτό τησ ςτο +∞ και την ευθεύα x = 2 . 820. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = eλx , λ > 0 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf , η οπούα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων , εύναι η y=λex . Βρεύτε τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου επαφόσ Μ. γ. Να δεύξετε ότι το εμβαδόν Ε λ του χωρύου , το οπούο περικλεύεται από την Cf , τησ εφαπτομϋνησ τησ ςτο ςημεύο Μ και του ϊξονα y’y , εύναι Ε λ = δ. Να βρεύτε το όριο lim𝜆→+∞

λ 2 ∙Ε λ 2 + ημλ

e –2 2λ

ΘΕΜΑ 2005 π

821. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x − 2ημ2 θ , θ ≠ κπ + μια ςταθερϊ . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου 2 που περικλεύεται από την Cf και την ευθεύα y = −2x − 2ημ2 θ . ΘΕΜΑ 2007 11. Εμβαδό μεταξύ 𝐂𝐟 , 𝐂𝐠 , 𝐂𝐡 822. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = ex . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf ,τον ϊξονα x’x , την εφαπτομϋνη ευθεύα ε τησ Cf που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και την ευθεύα x=−1 . 823. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = −x 2 − x + 2 . α. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο x=−1 β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την εφαπτομϋνη . 824. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 6x + 5 α. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf που εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα ζ : x −2y + 2016=0 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x ,την εφαπτομϋνη και τον ϊξονα y’y. 825. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = ex και ε η εφαπτομϋνη τησ Cf που διϋρχεται από το Ο 0 , 0 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x , την ε και την ευθεύα x=−1 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 71

826. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + x + α , αϵℝ . Αν η εφαπτομϋνη ε τησ Cf ςτο ςημεύο τομόσ τησ με την ευθεύα x=2 τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο y0 =−3 , τότε : α. να βρεύτε το α και την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ε β. να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται μεταξύ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f , 3 τησ εφαπτομϋνησ ε , του ϊξονα x’x και τησ ευθεύασ x = 5 ΘΕΜΑ 2006 Ε 12. Εμβαδό και Αντύςτροφη ΢υνϊρτηςη 827. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 5 + 2x − 3 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τη ν Cf −1 , την ευθεύα x= −6 και τουσ ϊξονεσ x’x και y’y 828. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 6x 2 + 12x − 6 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ Cf , Cf −1 829. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x − 1 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=e . 830. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 1 + lnx . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=e 831. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ , παραγωγύςιμη ώςτε να ιςχύει f 3 x + f x = 2x , xϵℝ . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται . β. Να βρεύτε την αντύςτροφη . γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , την ευθεύα x=1 και τουσ ϊξονεσ x’x και y’y . 832. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 5 + x 3 + x . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=3 . ΘΕΜΑ 2003 833. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0, +∞ → ℝ για τα οπούα ιςχύει ef(x) f 2 x − 2f x + 3 = x . α. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφη τησ . β. Να μελετόςετε την αντύςτροφη ωσ προσ την κυρτότητα . ΢τη ςυνϋχεια να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ αντύςτροφησ , την εφαπτομϋνη τησ αντύςτροφησ ςτο ςημεύο που αυτό τϋμνει τον ϊξονα y’y και την ευθεύα x=1 ΘΕΜΑ 2014 Ε

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 72

Επαναληπτικϋσ Αςκόςεισ ςε όλη την ύλη Επαναληπτικϋσ Αςκόςεισ ανϊ ενότητα Γενικϋσ Επαναληπτικϋσ Αςκόςεισ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 73

΢ύνθεςη-Μονοτονύα-Αντύςτροφεσ 834. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f x = 1 − x , g x = ln x − 1 . Να βρεθούν οι fog και gof αν υπϊρχουν . 835. Να βρεθεύ η ςυνϊρτηςη f αν ιςχύουν fog x = x 2 − 4x , g x = x + 4 836. Να βρεθεύ η ςυνϊρτηςη g αν ιςχύουν fog x = x + 8 , f x = ex+1 . 837. Αν το πεδύο οριςμού τησ f εύναι το 0 , 1 να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f(lnx) . 838. Να βρεύτε την αντύςτροφη των ςυναρτόςεων α. f x = 2 3 − x − 1 β. f x = 5 − ln⁡ (x + 2)

γ. f x = ex+2 −3

839. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2e−2x − 3x − 2e2 α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται β. Να λύςετε την εξύςωςη f f −1 x − 2e2 − 1 = 3 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f x − 1 − 2e2 < 0 840. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 3x + x − 9 α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται β. Να βρεύτε την τιμό f −1 (−5) γ. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των γραφικών παραςτϊςεων f , f −1 δ. Να λύςετε την ανύςωςη f −1 f lnx − 3 > 0 841. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 2x , x ≥ −1 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 και να βρεύτε την αντύςτροφό τησ β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των γραφικών παραςτϊςεων f , f −1 γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των f , f −1 842. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ςτο 0 , 1 για την οπούα ιςχύει f 3 x + 2f x = 3x , xϵ 0 , 1 . α. Να δεύξετε ότι f(0)=0 , f(1)=1 β. Να βρεύτε την αντύςτροφη ,αν ορύζεται 1 1 γ. Να δεύξετε ότι ∫0 f −1 x dx = 1 − ∫0 f x dx δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ f , f −1 και των ευθειών x=0 και x=1 843. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x − 1 α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται . β. Να βρεύτε το εμβαδό του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f −1 του ϊξονα x’x και τησ ευθεύασ x=e . γ. Αν η f −1 εύναι παραγωγύςιμη να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ f −1 ςτο x0 =0 844. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)= 2ex − x 2 + 1 . α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f β. Να δεύξετε ότι f ( [0 , 1] )= [ 3 , 2e] γ. Να δεύξετε ότι η f εύναι αντιςτρϋψιμη δ. Αν η f −1 εύναι ςυνεχόσ , να βρεύτε το εμβαδό του χωρύου Ψ που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f −1 , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=3 , x=2e .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 74

845. Δύνεται η γνηςύωσ μονότονη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ ώςτε τα ςημεύα Α 1 , 4 , Β 2 , 3 να ανόκουν ςτην γραφικό παρϊςταςη τησ f. α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f. β. Να λύςετε την ανύςωςη f f x + 1 − x − f(3 − x) < 0 γ. Να λύςετε την ανύςωςη f f −1 x 2 − 1 − 1 − 4 ≥ 0 δ. Θεωρούμε τη ςυνϊρτηςη g : ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει gog x = g x + f x 3 + 1 − 4 . δ1 . Να δεύξετε ότι η g εύναι 1-1 δ2. Να λύςετε την εξύςωςη g ex − g 1 − x = g 0 . 846. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 3 x + f x = x + 2 , xϵ ℝ . α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφη β. Να βρεύτε το εμβαδό του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f και τουσ ϊξονεσ x’x και y’y 847. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f f x + f 3 x = 2x + 8 , xϵ ℝ . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 β. Θεωρούμε την ςυνϊρτηςη g : 0 , +∞ → ℝ για την οπούα ιςχύει f g x − x − f lnx + 1 = 0 , x > 0 . β1. Να βρεύτε τον τύπο τησ g β2. Να αποδεύξετε ότι η g εύναι 1-1 β3. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ τησ g β4. Να λύςετε την εξύςωςη g −1 3 g x + 1 − 4 = 1 β5. Να λύςετε την ανύςωςη x 2 − 4 < ln

x2+ 7 2 x2+ 3

. 3

848. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ ώςτε να ιςχύει f x = ∫0 f t dt + 20 ex−3 − x 2 − 2x , xϵ ℝ α. Να αποδεύξετε ότι f x = 2ex − x 2 − 2x β. Να δεύξετε ότι η f εύναι 1-1 γ. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ δ. Να βρεύτε το εμβαδό του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ αντύςτροφησ 2 τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x = e 2 , x = 2 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 75

Όρια – ΢υνϋχεια – Αςύμπτωτεσ 849. Να βρεθούν τα παρακϊτω όρια : α. limx→0

2e x − x 2 − 2x – 2 x3

β. limx→−∞ x 3 ex

γ. limx→+∞ x 2 + lnx − ex

δ. limx→+∞ x + 2

1 x

850. Να βρεθούν τα παρακϊτω όρια : α. limx→−∞

3x 2 − 5x + 2 − 7x 2 + 3x – 2

β. limx→−∞

851. Να βρεθούν τα παρακϊτω όρια 1 α. limx→0 x ημ β. limx→+∞ x

852. Να βρεθούν τα παρακϊτω όρια

x x2 − x − 2

ημ x x

α. limx→−∞

9x 2 + x + 2 + 3x

γ. limx→−∞

5x − x − 1

γ. limx→+∞ 3 x + 1 − 3 5x 5 3x + 2 5 x − 1

x ημ x 1 + x2

β. limx→+∞

3 x + 1 − 3 5x 5 3x + 2 5 x − 1

853. Να βρεθούν τα παρακϊτω όρια α. limx→+∞

ln 2 x + lnx + 2 2 ln 2 x − 3lnx + 7

854. Αν ιςχύει limx→1

β. limx→+∞ x − ln 2 + e x + 3

3x f x – 2 x 2 + f(x)

γ. limx→+∞ ln x + ημx − 2lnx

= −2 να βρεύτε το όριο limx→1 f(x)

855. Να βρεθούν οι πραγματικού αριθμού α , β αν ιςχύει limx→3 856. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ώςτε να ιςχύει limx→0

x 2 + 3αx + β + 4 3x − 9

f x ∙ημ x − x 2 x

857. Να βρεθούν οι αςύμπτωτεσ τησ ςυνϊρτηςησ f x =

x 2 + 3x + 2 x −1

= 3. Να βρεύτε το f(0) . .

858. Αν η ευθεύα ε: 2x−y+β =0 εύναι αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ με f x =

α+1 x 2 − 2αx +3 3x − 2

να βρεύτε τα α , β.

859. Αν η ευθεύα ε: y=3x+4 εύναι αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ , τότε να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό μ για τον μ f x + 6x οπούο ιςχύει limx→+∞ =1 2 x f x − 3x + 5x + 2

860. α. Να βρεύτε το εμβαδό του χωρύου Ψ που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ 4 f x = x + 1 + x − 1 2 , τησ πλϊγιασ αςύμπτωτόσ τησ ςτο +∞ και των ευθειών x=3 , x=λ με λ>3 . β. Να βρεύτε το όριο limλ→+∞ E(λ) 861. α. Να βρεύτε το εμβαδό του χωρύου Ψ που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f x =

2x 3 − 9x 2 + 13x – 5 x 2 – 3x + 2

, τησ πλϊγιασ αςύμπτωτόσ τησ ςτο +∞ και των ευθειών x=3 , x=λ με λ>3 .

β. Να βρεύτε το όριο limλ→+∞ E(λ) .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 76

Bolzano - ΢ύνολο Σιμών - Θ.Ε.Σ. 862. Ϊςτω f , g ςυνεχεύσ ςυναρτόςεισ ςτο α , β με f α g β >0 . Να δεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ ϵ α, β ώςτε ξ − α g ξ = − ξ − β f ξ . 863. Ϊςτω f ςυνεχόσ ςτο 0 , 5 . Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ϵ 0 , 5 τϋτοιο ώςτε 10f ξ =f(1)+2f(2)+3f(3)+4f(4) . 864. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f : 1 , 2 → 0 , 1 . Να δεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα x0 ϵ[1 , 2] τϋτοιο ώςτε f 2 x0 − x0 f x0 = 1 − x0 . 1

865. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , 1 → ℝ , f x = x − lnx α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα ακριβώσ x0 ∈ 0 , 1 ∶ 2x0 lnx0 = 2 − 3x0 866. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ∗ για την οπούα ιςχύει f 2 x − 6f x + 5 = x 4 + 4x 2 . Να βρεύτε α. την τιμό f(1) β. τον τύπο τησ f ημ x γ. το όριο limx→+∞ f x

867. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει limx→1 α. Να βρεύτε την τιμό f(1) β. Να υπολογύςετε το όριο limx→1

f 2 x − 4f x + 3 x2 + 3 − 2

γ. Ϊςτω επύςησ ότι f(x)≠ 2x , ∀x ∈ ℝ γ1 . Να βρεύτε το όριο limx→−∞ f(x)

= −2

x2 + 3 x2 + 1

γ2 . Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f x + 2e x − 1 =

f x –x x −1

ϋχει τουλϊχιςτον μια ρύζα x0 < 1 . f x + 2

868. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ςτο ℝ για την οπούα ιςχύει limx→1 = 5 και η γραφικό τησ παρϊςταςη x −1 τϋμνει τον ϊξονα y’y ςτο ςημεύο Μ 0 , 3) . α. Να βρεύτε την τιμό f(1) β. Να αποδεύξετε ότι οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων f(x και g(x)=x 2 −1 ϋχουν ϋνα τουλϊχιςτον κοινό ςημεύο με τετμημϋνη x0 ςτο 0 , 1) . γ. Να υπολογύςετε το όριο limx→1

f x + x2 + x x2 − 1

869. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει e−x f x ≥ 3x , ∀x ∈ ℝ . ξ

Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει ξ ∈ 0 , 1 ∶ ∫0 f t dt = e ξ . 1

870. Αν f ςυνεχόσ ςτο 0 , 1 να δεύξετε ότι υπϊρχει ξ ∈ 0 , 1 ∶ ∫0 f x ∙ 2x + 1 dx = 2f ξ 871. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ , f 0 = 1 , e2 f(x) − 2xef(x) = 1 . Να βρεύτε τον τύπο τησ f.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 77

Παραγωγύςιμεσ ΢υναρτόςεισ - Εφαπτομϋνεσ 872. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f x =

x 2 + αx + β , x < 1 ln 2 x x

x≥1

α. Να βρεύτε τα α , β β. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ f e γ. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫0 f x dx 873. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x =

2 ln 𝑥 − 1 x 2 −x

+ x+5 , x > 2

e + 3x , x≤2 α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 2 β. Να βρεύτε την αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ γ. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=2016 ϋχει μοναδικό ρύζα ςτο −∞ , 0 874. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + αx + 2 , a ∈ ℝ και ϋςτω Μ το ςημεύο τομόσ τησ Cf με τον ϊξονα y’y . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο Μ ςχηματύζει γωνύα 45° με τον ϊξονα x’x . Να βρεύτε α. τον αριθμό α β. την εφαπτομϋνη τησ Cf που εύναι κϊθετη ςτην ευθεύα ζ: 2x−10y+21=0.

Ρυθμόσ Μεταβολόσ 875. Ϊνα ςώμα κινεύται πϊνω ςε ϊξονα και η θϋςη του την χρονικό ςτιγμό t(sec δύνεται από τον τύπο x t = t 3 − 9t 2 + 24t + 5 , t ∈ [0 , 6] . Να βρεύτε α. την ταχύτητα του ςώματοσ την χρονικό ςτιγμό t1 = 5 s β. την επιτϊχυνςη του ςώματοσ την χρονικό ςτιγμό t2= 4 s γ. ποιεσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ το ςώμα εύναι ςτιγμιαύα ακύνητο δ. ποια χρονικϊ διαςτόματα το ςώμα κινεύται προσ την θετικό φορϊ και ποια προσ την αρνητικό ε. το ςυνολικό διϊςτημα που διϋνυςε το ςώμα. 876. Ϊνα ςώμα κινεύται πϊνω ςε ϊξονα και η θϋςη του την χρονικό ςτιγμό t(sec δύνεται από τον τύπο x t = 2t 3 − 12t 2 + 18t − 5 , t ∈ [0 , 4] . Να βρεύτε : α. την ταχύτητα του ςώματοσ την χρονικό ςτιγμό t1 = 2 s β. την επιτϊχυνςη του ςώματοσ την χρονικό ςτιγμό t2= 2 s γ. ποιεσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ το ςώμα εύναι ςτιγμιαύα ακύνητο δ. ποια χρονικϊ διαςτόματα το ςώμα κινεύται προσ την θετικό φορϊ και ποια προσ την αρνητικό ε. το ςυνολικό διϊςτημα που διϋνυςε το ςώμα 877. Σο μόκοσ x και το πλϊτοσ y ενόσ ορθογωνύου μεταβϊλλονται. Σο μόκοσ x αυξϊνεται με ρυθμό 3 cm/s και το πλϊτοσ y ελαττώνεται με ρυθμό 2 cm/s. α. Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ τησ περιμϋτρου του ορθογωνύου β. Κϊποια χρονικό ςτιγμό το μόκοσ του ορθογωνύου εύναι 20 cm και το πλϊτοσ του 10 cm. Να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ του εμβαδού του ορθογωνύου αυτό την χρονικό ςτιγμό.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 78

878. Σο μόκοσ x και το πλϊτοσ y ενόσ ορθογωνύου μεταβϊλλονται . Σο μόκοσ x μειώνεται με ρυθμό 1 cm/s και το πλϊτοσ y αυξϊνεται με ρυθμό 2 cm/s . Κϊποια χρονικό ςτιγμό t0 το μόκοσ του ορθογωνύου εύναι 8 cm και το πλϊτοσ του 6 cm. Ση χρονικό ςτιγμό t0 να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ τησ περιμϋτρου, του εμβαδού και τησ διαγωνύου του ορθογωνύου. 2 x3 − x2 + x – 1

879. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = , x>0 x2 α. Να βρεύτε την αςύμπτωτη ε τησ Cf ςτο +∞ β. Να βρεύτε το εμβαδόν Ε του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , την ε και τισ ευθεύεσ x=1 , x=α > 1 γ. Αν το α αυξϊνεται με ρυθμό 4 μονϊδεσ/s , να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ του Ε ωσ προσ τον χρόνο , τη ςτιγμό που εύναι α=2 . 2x

880. Δύνεται ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 α. Ϊςτω Ε α το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=α με α>0 . Αν το α μεταβϊλλεται με ρυθμό 10 cm/s , να βρεύτε τον ρυθμό μεταβολόσ του Ε α , τη ςτιγμό κατϊ την οπούα εύναι α=3 cm. β. Θεωρούμε την ςυνεχό ςυνϊρτηςη g με g x + x − 2 ≤ f(x) , xϵ ℝ β1 . Να δεύξετε ότι η ευθεύα y= −x + 2 εύναι αςύμπτωτη τησ Cg ςτο +∞ . β2 . Αν Ε το εμβαδόν που περικλεύεται από την Cg , την πλϊγια αςύμπτωτη ςτο +∞ και τισ ευθεύεσ x=0 και x=2 , να δεύξετε ότι E ≤ ln5 .

Rolle - Θ.Μ.Τ. - Σταθερές 881. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 0 =1 , f 1 =2 . Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ 0 , 1 ∶ 2f ′ (ξ) f ξ − 1 = 3ξ2 . 882. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη για την οπούα ιςχύει f(1)=f(2)=f(3) .Να δεύξετε ότι α. η εξύςωςη f ′ (x =0 ϋχει δύο τουλϊχιςτον λύςεισ ςτο 1 , 3 . β. υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ ∈ 1 , 3 ∶ f ′′ ξ = f ′ ξ . 883. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → 0, +∞ με limx→1 α. Να βρεύτε την τιμό f(1) . β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ 0 , 1 ∶ 𝑓 ξ =

x 2 − 1 f x + ημ x – 1 x +3−2

= 12 .

1 e

ξ f′ ξ f(ξ )

884. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 7 =13 , f ′ 7 =2. Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ 7 , f 7 τϋμνει την Cf ςτα ςημεύα τησ με τετμημϋνεσ 1 και 5 . α. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f(1) , f(5) β. Να δεύξετε ότι υπϊρχουν ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 5 ∶ f ′ (ξ1) + f ′ (ξ2)=4 885. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : α , 2α → ℝ με α>0 για την οπούα ιςχύει f α =α , f 2α =2α. Να δεύξετε ότι : α. υπϊρχει x0 ∈ α , 2α ∶ f x0 = 3α − x0 β. υπϊρχουν ξ1 , ξ2 ∈ α , 2α ∶ f ′ ξ1 f ′ ξ2 = 1

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 79

886. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οπούα ιςχύει f 0 =f 1 =2 και f(2)=4 α. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη 2f x f ′ x = 3f ′ x + 4x ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα ςτο 1 , 2) β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ (1 , 2) ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ ξ , f ξ να διϋρχεται από την αρχό των αξόνων γ. Αν η f ′ εύναι γνηςύωσ μονότονη , να αποδεύξετε ότι γ1 . υπϊρχει μοναδικό x0 ∈ 1 , 2 : f ′ (x0)=2 . γ2 . η f ′ εύναι γνηςύωσ αύξουςα γ3 . f(4)>8 887. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ , με limx→1

f x − 5x x −1

= −24

α. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο x0 =1 β. Αν επιπλϋον ιςχύει x f ′ x = αx − 2f x , x > 0 β1 . Να δεύξετε ότι α=3 β2 . Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = x 2 f x − x 3 εύναι ςταθερό. β3 . Να βρεύτε τον τύπο τησ f β4 . Να βρεύτε το limx→0 f(x) 3 f(x)

888. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ με f ′ x = − x , x > 0 , 𝑓 1 = 2 . α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g x = x 3 f x εύναι ςταθερό β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f γ. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf που διϋρχεται από το ςημεύο Α 0 , 1) 889. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ με f ′′ x = 6x − ςτο ςημεύο τησ Α 1 , f 1 ϋχει εξύςωςη −2x+y−1=0 , να βρεύτε : α. τισ τιμϋσ f ′ (1) , f(1) β. τον τύπο τησ ςυνϊρτηςησ f γ. το όριο limx→+∞ f(x) 890. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x = e lnx

1 x2

+ x 2 − f(x)

, x > 0 . Αν η εφαπτομϋνη τησ Cf

, f 0 = 0 . Να βρεύτε την f

e 2x + 2xe x

891. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f ′ x − f x = e x + x 2 ςτο ςημεύο τησ Α 0 , f 0 διϋρχεται από το ςημεύο Β 2 , 2 . Να βρεύτε : α. την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ (ε) β. τον τύπο τησ f

. Επύςησ η εφαπτομϋνη (ε) τησ Cf

892. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ* ώςτε να ιςχύουν f ′ 1 = 2e2 και f ′ x − 2xf x = 0 . α. Να αποδεύξετε ότι f(x)>0 β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f 𝜋

893. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0, 2 → ℝ , lnf 3 = 3 − ln2 , f ′ x ςυνx + f x ημχ = f x ςυνx . α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f f x π β. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x = 2 ημx ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη ςτο 0 , 2 894. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 2 = −1 , f ′ x f x − x = f(x) . α. Να αποδεύξετε ότι f 2 x − 2xf x = 5 . β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f γ. Να βρεύτε το όριο limx→+∞ f(x)

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 80

x2 f x + 2

895. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με limx→−1 x + 1 = 5 α. Να βρεύτε τισ τιμϋσ f(−1) , f ′ (−1) β. Ϊςτω επιπλϋον ότι η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και ιςχύει f ′′ x f x = 6x 2 − f ′ (x) β1 . Σον τύπο τησ f f(x) β2 . Σο όριο limx→+∞ 2

.Να βρεύτε :

x +x

896. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ex f x + f ′ (x) + ημx = −f ′ x . Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Μ 0 , f 0 εύναι κϊθετη ςτην ευθεύα η: 8x−2y+2016=0 . α. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη ε β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f γ. Να υπολογύςετε το όριο limx→+∞ f(x) π δ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ ∈ 0 , 2 ∶ f ξ = ημξ 897. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f(0)=0 , f ′ (0)=4 , f ′ (x)> f(x) και f ′′ (x)−4 f ′ (x)+3f(x)=0 . Να βρεύτε : α. τον τύπο τησ f β. τα όρια limx→−∞ f x , limx→+∞ f(x) 1 γ. το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=ln 2 .

Μονοτονύα – Ακρότατα – ΢ύνολο Σιμών 898. Να μελετηθεύ ωσ προσ την μονοτονύα και ακρότατα f x =

x2 – 3 ex

899. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , +∞ → ℝ με f e = −e2 , xf ′ x − f x = 2ex − x 2 , x > 0. α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα 900. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , +∞ → ℝ με f 1 = ln2 , x 2 + x f ′ x + x + 1 f x = 1 , x > 0 α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα 901. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex + x . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα 2 β. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ : β1 . ex + x − 2 + x 2 + x < 3 β2 .

+ 3

− e2 x

≥ x −2

902. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 3 x + f x = e−x , ∀ x ∈ ℝ α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα 1 β. Να λύςετε την ανύςωςη f 2x + x − f 4 − x 3 < f ln 2 − 1 903. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 0 = 6 , f ′ x − f x = ex 2x − 4 , ∀ x ∈ ℝ α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Αν α>0 να αποδεύξετε ότι 2f x < 𝑓 x + α + f x − α

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 81

904. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: 0, +∞ → ℝ με f 1 = 0 , x 2 f ′ x + xf x = 1 , x > 0 . α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα γ. Να αποδεύξετε ότι eπ > πe . δ. Να λύςετε την ανύςωςη x + 5 2 x + 3 < 2 x + 3 x + 5 905. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 3 x + ef(x) = 1 − x − x 3 , ∀x ∈ ℝ . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να λύςετε την εξύςωςη f 2ex + x − f 2 + ημx ∙ ςυνx = 0 γ. Να βρεύτε την τιμό f(0) 2lnx δ. Να λύςετε την ανύςωςη f x + x − 1 > 0 906. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , +∞ → ℝ με f 1 = ln2 , xf ′ x = α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και το ςύνολο τιμών τησ. 2 2 γ. Να αποδεύξετε ότι x 2 + 2 x +2 > x 2 + 3 x +1 . δ. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει μοναδικό ξ ∈ 1 , 2 ∶ f ξ = 2 − ξ .

1 x +1

−f x , x>0

907. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη g ∶ ℝ → ℝ με g(0)=1 , g ′ x + x = g x + 1 , ∀ x ∈ ℝ α. Να βρεύτε τον τύπο τησ g β. Να αποδεύξετε ότι η g εύναι 1-1 και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ g −1 γ. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , +∞ → ℝ με ef(x) + f x = x + lnx , x > 0 . γ1 . Να βρεύτε τον τύπο τησ f e γ2 . Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f x f x = −2016 ϋχει ακριβώσ 2 ρύζεσ ςτο 0 , +∞ . 908. Να βρεύτε τα ακρότατα τησ ςυνϊρτηςησ f x = x 2 − 4x + 2x ∙ lnx 909. Να αποδεύξετε ότι lnx ≥ 1 −

1 x

, x>0 .

910. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = xαx−1 , α > 0 ώςτε να ιςχύει αx − 1 ≥ x , ∀ x ∈ ℝ α. Να βρεύτε τον αριθμό α . β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα. γ. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει ξ>0 τϋτοιο ώςτε f ξ =2016

Κυρτότητα- ΢ημεύα Καμπόσ 911. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ef(x) + f x = x + 1 , ∀ x ∈ ℝ . α . Να αποδεύξετε ότι f(0)=0 β. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Μ 0 , f(0)) γ. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και την κυρτότητα x δ. Να αποδεύξετε ότι xf ′ (x) ≤ f(x) ≤ 2 ε. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει ξ ∈ 0 , 2 ∶ 2f ξ = (ξ − 1) eξ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 82

912. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ , f 0 =0 ώςτε η f να εύναι η αρχικό τησ g x = α. Να βρεύτε την τύπο τησ f . β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα . γ. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ 1 , f(1)) . 1

δ. Να αποδεύξετε ότι ∫1 f x dx > 2

4ln 2 – 1 8

2x e f(x )

ε. Αν F εύναι αρχικό τησ f με F 1 =0, να υπολογύςετε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την CF , την ευθεύα x=1 και τουσ ϊξονεσ x’x , y’y . 913. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx − e1 − x . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και την κυρτότητα β. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ 1 , f(1)) γ. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , την εφαπτομϋνη και την ευθεύα x=2 . δ. Αν Ε λ εύναι το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 , x=λ με 0 < λ < 1 , να βρεύτε το όριο limλ→0+ Ε(λ) .

Ολοκληρώματα 0

3x−5 x 2 − 3x + 2

914. Να βρεθούν τα ολοκληρώματα

α. ∫−1

915. Να βρεθούν τα ολοκληρώματα

α. ∫0 x 2 − 2x ex dx

916. Να βρεθούν τα ολοκληρώματα

α. ∫−1 x x + 1 α ex + 1 ex + x

917. Να υπολογύςετε το όριο limα→+∞ ∫0

2 6x − 5 3x – 2

β. ∫1

β. ∫03

x ςυν 2 x

−1

dx dx

β. ∫−2 x x + 2 dx

π 1−ημ x x + ςυν x

γ. ∫0

γ. ∫1 3x 2 − 2ex lnx dx 3 ςυν lnx x

γ. ∫1

dx − α 1

918. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ∫0 e1−x f x dx = f x + ex . Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 2

919. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ∫0 x f ′ x 2 + 1 dx = 4 . Να δεύξετε ότι α. υπϊρχει ρ ∈ 0 , 4 ∶ f ′ ρ = 1 . ξ β. υπϊρχει ξ ∈ 0 , 4 ∶ f ′ ξ = 2 920. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ και ϋςτω F η αρχικό τησ f ώςτε να ιςχύει F(1)=0 και x − 2 F x ≤ ex − 2 − x + 1 , ∀𝑥 ∈ ℝ . 2 α. Να βρεύτε το ∫1 f t dt . β. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ ∈ 1 , 2 ∶ f ξ + F ξ = 0 . 2x

921. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f(0)=1 , f ′ x = − x 2 + 1 ∙ f x , ∀x ∈ ℝ . α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 1 β. Αν F(x εύναι αρχικό τησ f(x με F 1 =0 να βρεύτε το ολοκλόρωμα ∫0 F x dx

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 83

922. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο. Η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο 3 2 τησ Μ 2 , f 2 ϋχει εξύςωςη y=2x−3 και ιςχύει ∫1 ∫0 x f t dt dx = 12 . Να βρεύτε : α. τισ τιμϋσ f(2) , f ′ (2) . 2 2 β. το ∫0 f x dx και το ∫0 x 2 f ′′ x dx . 923. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό f ′ (x και ϋςτω F η αρχικό τησ f ώςτε να ιςχύει F(1)=0 και x F x ≥ xex − ex − x + 1 ∀x ∈ ℝ . 1 α. Να αποδεύξετε ότι f 1 = e − 1 , ∫0 f t dt = 1 . 1

β. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα ∫0 x f ′ x dx . γ. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f x + F x = e−x ϋχει τουλϊχιςτον μια λύςη ςτο 0 , 1). 924. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο με f ′ x ≠ 0 , η Cf διϋρχεται από τα 2 ςημεύα Α 0 , −1 και Β 2 , 5) και ∫0 x f ′′ x dx = 0 . α. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Β . β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ ∈ 0 , 2 ∶ f ′′ ξ = 0 . 5 1 x +1 γ. Να δεύξετε ότι η f εύναι αντιςτρϋψιμη και να βρεύτε το ολοκλόρωμα ∫−1 3 f 3 + f −1 (x) dx 925. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f(1)=0 , f ′ x = α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα α2+ α

γ. Να βρεύτε το όριο limx→+∞ ∫α 2

1 − 2x f x x2 + 3

, ∀x∈ ℝ.

f x dx .

926. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ με f 0 = 0 , f x + f ′ x = 2xe−x , ∀ x ∈ ℝ . α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα . γ. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ Cf . δ. Να βρεύτε το εμβαδόν Ε α του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τουσ ϊξονεσ x’x , y’y και την ευθεύα x=α με α>0 . ε. Να βρεύτε το limα→+∞ Ε(α) . 927. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = eλx , λ > 0 . α. Να δεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα . β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf , η οπούα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων , εύναι η y=λex και να βρεύτε τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου επαφόσ. γ. Να δεύξετε ότι το εμβαδόν Ε λ του χωρύου που περικλεύεται μεταξύ τησ Cf τησ εφαπτομϋνησ τησ ςτο ςημεύο Μ e –2 . 2λ λ 2 Ε(λ) limλ→+∞ 2 + ημλ

και του ϊξονα y’y εύναι Ε λ = δ. Να βρεύτε το όριο

928. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = 2x + , x>0. x α. Να δεύξετε ότι το εμβαδόν Ε λ του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=λ 1 και x= λ+1 , όπου λ > 0 εύναι Ε λ = 2λ + 1 + 4ln 1 + λ . β. Να βρεύτε την τιμό του λ για την οπούα το εμβαδόν E λ γύνεται ελϊχιςτο. 929. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)=x−1−lnx , x>0 . α. Να δεύξετε ότι f(x)≥ 0 , x > 0 . β. Να βρεύτε το εμβαδόν Ε λ του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=λ και x= λ+1 . γ. Να βρεύτε τα όρια limλ→0+ Ε λ , lim𝜆→+∞ Ε(λ) . δ. Να βρεύτε την τιμό του λ για την οπούα το εμβαδόν E λ γύνεται ελϊχιςτο.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 84

930. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x + 2 . α. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ Cf με τουσ ϊξονεσ . β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα . γ. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεύα καμπόσ . δ. Να εξετϊςετε αν η C f ϋχει αςύμπτωτεσ . ε. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη ε τησ C f ςτο ςημεύο καμπόσ τησ . ζ. Να ςχεδιϊςετε ςτο ύδιο ςύςτημα ςυντεταγμϋνων την C f και την ε . η. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , την ε και τον ϊξονα x’x . x 3 − 3x 2 + 4

931. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = . x2 α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα . β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεύα καμπόσ . γ. Να εξετϊςετε αν η C f ϋχει αςύμπτωτεσ . δ. Να ςχεδιϊςετε την C f . ε. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , την αςύμπτωτη ςτο +∞ , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=2 και x=4 . 932. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ [0 , 2] → ℝ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο. Η Cf διϋρχεται από τα ςημεύα Α 0 , 2) 2 2 και Β 2 , 2e 2 ) και ιςχύει ∫0 f ′ (x) 2 dx + ∫0 f(x) 2 dx = 4e4 − 4 . 2

α. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα ∫0 f x f ′ x dx . β. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . 1 γ. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα Ι = ∫0 x 3 f x 2 dx . δ. Θεωρούμε την ςυνϊρτηςη g(x)=f(x2) . δ1 . Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ g . δ2 . Να μελετόςετε την g ωσ προσ την κυρτότητα . δ3 . Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Μ 1 , g(1)) . 1 e δ4 . Να δεύξετε ότι ∫1 g x dx > 2 . 2

933. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ → ℝ ώςτε να ιςχύει ∫0 ∫0 f x y dy dz = ∫0 3t 2 x 3 + 6tx − 1 dt α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . β. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1 . 13 γ. Να βρεύτε το ολοκλόρωμα Ι= ∫−5 f −1 x dx . 3

δ. Να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α=∫−1 f −1 (x)

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

dx + 10 ∫0 x 9 f x dx .

Σελίδα 85

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ 1

934. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx − x , x>0 α. Να βρεύτε τισ κατακόρυφεσ και οριζόντιεσ αςύμπτωτεσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f , αν υπϊρχουν. β. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει μοναδικό ρύζα ςτο διϊςτημα 1 , e) γ. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=e , x=2e . ΟΜΟΓΕΝΕΙ΢ 2015 935. Ϊςτω η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ , για την οπούα ιςχύουν f ′ x = 2xe−x − f x , f 1 = e−1 . x2

α. Να δεύξετε ότι f x = e x β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και να δεύξετε ότι το ςύνολο τιμών τησ f εύναι το [0, +∞) γ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x 2 = 2ex − 2 ϋχει ακριβώσ τρεισ ρύζεσ ςτο ςύνολο των πραγματικών αριθμών. δ. Δεδομϋνου ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ςτο διϊςτημα (−∞ , 0], να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςτο ςημεύο τησ Μ −1 , f(−1)) και να αποδεύξετε ότι f x + 2e + 3ex ≥ 0 , ∀x ≤ 0 ΟΜΟΓΕΝΕΙ΢ 2015 lnx

936. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x , x > 0 . α. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f . β. Να μελετόςετε την ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα και ςτη ςυνϋχεια να αποδεύξετε ότι ef x ≤ 1 , x > 0 . γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1/e . ΟΜΟΓΕΝΕΙ΢ 2014 937. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e2x − 2x α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα . β. Να δεύξετε ότι η f εύναι κυρτό . γ. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(x =1 ϋχει ακριβώσ μια ρύζα , το 0 . δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f και τισ ευθεύεσ y=1 και x=1 ΟΜΟΓΕΝΕΙ΢ 2012 f x −2

938. Ϊςτω η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ , για την οπούα ιςχύουν limx→2 x−2 = 2 , f(0)=2 και η f ′ εύναι γνηςύωσ αύξουςα . α. Να αποδεύξετε ότι f(2)= f ′ (2)=2 β. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει μοναδικό ξ ∈ 0 , 2 τϋτοιο ώςτε, η εφαπτομϋνη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςτο ςημεύο M ξ , f ξ εύναι παρϊλληλη ςτον ϊξονα x’x γ. Να αποδεύξετε ότι f x ≥ f ξ ΟΜΟΓΕΝΕΙ΢ 2012 939. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 + x − 10 . α. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ με τετμημϋνη x0=2 β. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε τα ςημεύα καμπόσ . 10 γ. Να λύςετε την ανύςωςη x > x 2 + 1 δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=3 940. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 3 − 3x 2 + 3x . α. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f f x − 2016 = 1 ϋχει μοναδικό λύςη . γ. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη f αντιςτρϋφεται και ςτη ςυνϋχεια να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των γραφικών παραςτϊςεων f , f −1 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 86

941. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 − 1 α. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να λύςετε την ανύςωςη f x 2 + 1 < 𝑓 x 4 + 1 . γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x = 2 και x = 3 δ. Να υπολογύςετε το όριο limx → +∞ f x ημx 942. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 ex . α. Να βρεύτε το το ςύνολο τιμών τησ f β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τουσ ϊξονεσ x’x και y’y και την ευθεύα x=1 . δ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει μοναδικό x0 ∈ 0 , 1 τϋτοιο , ώςτε η εφαπτομϋνη ςτη γραφικό παρϊςταςη τησ f ςτο x0 να διϋρχεται από την αρχό των αξόνων . 943. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)= ex − x − 2 α. Να δεύξετε ότι f x ≥ −1 , ∀ x ∈ ℝ και ότι η f εύναι κυρτό . β. Να βρεύτε το το ςύνολο τιμών τησ f και ςτη ςυνϋχεια , να δεύξετε ότι η f ϋχει ακριβώσ δύο ρύζεσ ετερόςημεσ . γ. Να βρεύτε την αςύμπτωτη τησ Cf ςτο −∞ π δ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f x + ημx = 0 ϋχει ακριβώσ μια ρύζα ςτο 0 , 2 944. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ∶ 0 , +∞ → ℝ με f(1)=1 και xf x = 1 − x 2 f ′ x , x > 0 1 + lnx α. Να δεύξετε ότι f x = ,x > 0. x β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και την κυρτότητα . γ. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ Cf και το ςύνολο τησ f . δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x = 1 και x = 2 945. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςτο 1 , 3 , παραγωγύςιμη ςτο 1 , 3 και η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από τα ςημεύα Α 1 , 1 και Β 3 , 3 α. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ξ ∈ 1 , 3 τϋτοιο , ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο Μ ξ , f ξ να εύναι κϊθετη ςτην ευθεύα ε : x+y+1=0 β. Να δεύξετε ότι υπϊρχουν ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 3 ∶ 2f ′ ξ1 + f ′ ξ2 = 3 . 5 γ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει x0 ∈ 1 , 3 : f x0 = 3 δ. Αν , επιπλϋον,ιςχύει f ′ x ≠ 0 για κϊθε x ∈ 1 , 3 ,να δεύξετε ότι υπϊρχουν x1 , x2 ∈ 1 , 3 ∶

1 f ′ x1

2 f ′ x2

946. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 1 , x > −1 . α. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και την κυρτότητα . β. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφό τησ . γ. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf που διϋρχεται από το ςημεύο Α −1 , 0 ) δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1 . α

947. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x e x , x > 0 για την οπούα ιςχύει f x ≥ eα , ∀ x > 0 . α. Να δεύξετε ότι α=1 β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ γ. Να βρεύτε την αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ g x = τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 , x=2 . 2

f x x3

, x>0 ,

ε. Να δεύξετε ότι ∫0 e x dx > e ln2 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 87

=3.

948. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)=2lnx − 2 + αx και f x ≤ f 1 , για κϊθε x > 0 . α. Να δεύξετε ότι α = −1 . β. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα . 1

x +2

γ. Να βρεθεύ το πλόθοσ των ριζών τησ εξύςωςησ x x = e 4 − 2x δ. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα. ε. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ με τετμημϋνη x0=2 ζ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , την προηγούμενη εφαπτομϋνη και την ευθεύα x=1. ΜΠΑΦΑΡΑΚΗ΢ 2016-ΔΙΑΓ.ΠΡΟ΢ΟΜ.ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟ΢ 2016 949. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f  x   e x  1  ln  x  1 , x   1,   α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι κυρτό. β. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ. γ. Να λύςετε την εξύςωςη f(x)=0 δ. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ f , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=1. ΛΕΟΝΣΕΙΟ ΛΤΚΕΙΟ ΠΑΣΗ΢ΙΨΝ 2016 950. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = lnx − 1 − x . α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f και να δεύξετε ότι η f εύναι αντιςτρϋψιμη. β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f και τισ αςύμπτωτεσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ. γ. Να υπολογύςετε το όριο limx→0 x 2 f −1 (x) δ. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ f , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1/e και x=1 . ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗ΢ Α 2016 951. Θεωρούμε την παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f , οριςμϋνη ςτο Α με ςύνολο τιμών f Α = [0 , +∞) για την οπούα ιςχύει ef(x) + f x = x , ∀x ∈ A . α. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να ορύςετε την αντύςτροφη ςυνϊρτηςη. β. Να δεύξετε ότι Α= [1 , +∞) , να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ ςύνθεςησ fof και ϋπειτα να δεύξετε ότι η fof εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςυνϊρτηςη. e+1 γ. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα I = ∫1 ef(x) ∙ f x dx δ. Να δεύξετε ότι για κϊθε x > 1 : x 2 + 1 f x 2 > x 2 f 1 + f x 4 ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗ΢ Α 2016 952. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο (0 , +∞), για την οπούα ιςχύουν: 1 1 e +1 f ′′ x = x 2 + 1 − x − f ′ x , x > 0 με f 1 = e και e 1 − f(x) ≤ x − 2 , x > 0 . 1

α. Να αποδεύξετε ότι f ′ 1 = − e β. Να αποδεύξετε ότι f x = −lnx + x + e−x , x > 0 γ. Να δεύξετε ότι η f παρουςιϊζει ολικό ελϊχιςτο ςτο ςημεύο x0 ∈ 0 , 2 για το οπούο ιςχύει f xo > 1 δ. Να αποδεύξετε ότι : δ1 . Τπϊρχει μοναδικό x1 < x0 τϋτοιο ώςτε f( x1) < f(2) δ2 . Τπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ ( x1 , 2) : f ξ) −f(2) = f ′ ξ ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗ΢ Α 2016 953. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f με ςύνολο τιμών το ℝ ώςτε: ef(x) + f x = x + 1 , ∀ x ∈ ℝ . α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι αντιςτρϋψιμη β. Να βρεύτε τον τύπο τησ αντύςτροφησ γ. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ αντύςτροφησ e δ. Να υπολογύςετε το ολοκλόρωμα ∫0 f x dx ΓΕΛ ΧΤΦΙΚΟΤ 2016 954. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ , για την οπούα ιςχύει xf(x) + 3ημx =x2 , ∀ x ∈ ℝ . 3ημ x x− x , x≠0 α. Να δεύξετε ότι f x = −3 , x=0 β. Να υπολογύςετε το limx→+∞ f(x) γ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f(x)=e − x ϋχει τουλϊχιςτον μια θετικό ρύζα . ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΠΑΣΡΑ΢ 2016

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 88

955. Δύνεται παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f με ςύνολο τιμών το ℝ ώςτε: f 3 x + f x = 2x , ∀ x ∈ ℝ . x3 + x

α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και f −1 x = , ∀x ∈ ℝ 2 β. Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f με την ευθεύα y=x γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου Ψ που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f και την ευθεύα y=x 1 2 δ. Να δεύξετε ότι ∫0 dt = 1 ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΠΑΣΡΑ΢ 2016 2 1 +3f t

956. Δύνονται οι παραγωγύςιμεσ ςυναρτόςεισ f : [−1 , 2 και g : ℝ → ℝ με f(0)=0 , g(x)=f(x)−xe−x α. Αν g x ≥ 0 για κϊθε x ∈ [−1 , 2] να δεύξετε ότι f ′ (0)=1 β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει x0 ∈ [−1 , 2 τϋτοιο ώςτε 5f(x0)=2f(1)+3f(2) γ. Αν ιςχύει ότι f(−1)=f 2 , να δεύξετε ότι υπϊρχουν ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ (−1 , 2) : f ′ ξ1 + f ′ ξ2 + f ′ ξ3 = 0 . δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων f και g και την ευθεύα x=1 Α΢ΚΗ΢ΟΛΟΓΙΟ 2012 957. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln 3ex + 1 − 2 α. Να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ f και να δεύξετε ότι αντιςτρϋφεται β. Να βρεύτε τον τύπο τησ αντύςτροφησ γ. Να λύςετε την ανύςωςη f x < f −1 ln5 − 2 − 2 ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ ΠΕΡΙΗΓΗΣΗ΢-III-2016) 2x

958. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 α. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει μια τουλϊχιςτον εφαπτομϋνη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f η οπούα διϋρχεται από το ςημεύο Α 1 , 0) β. Θεωρούμε τη ςυνεχό ςυνϊρτηςη g για την οπούα ιςχύει g x + 3x − 2 ≤ f(x) , ∀ x ∈ ℝ β1 . Να αποδεύξετε ότι η ευθεύα ε: y=−3x+2 εύναι αςύμπτωτη τησ Cg ςτο +∞ β2 . Να υπολογύςετε τα όρια limx→+∞

3g (x ) + 5g(x ) 4 g (x ) − 3g x +1

και limx→+∞

2g x − x 1 xg x + x 2 3+ημ

ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗ΢ Β-2016)

959. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ παραγωγύςιμη με f(0)=1 και f x ∙ f ′ x = x , ∀x ∈ ℝ α. Να βρεθεύ ο τύποσ τησ f β. Να μελετόςετε την ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ. γ. Να βρεύτε τισ πλϊγιεσ αςύμπτωτεσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f δ. Να δεύξετε ότι για x > 0 η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την f −1 ΟΡΟ΢ΗΜΟ ΠΕΙΡΑΙΑ 2014 960. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex − 3 α. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφό τησ. β. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών τησ εξύςωςησ f x = f −1 x γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τη γραφικό παρϊςταςη τησ f −1 , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=2 ( LISARI TEAM ) 961. Δύνεται ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ και γνηςύωσ μονότονη ςτο ℝ τϋτοια ώςτε limx→1 f x +x limx→2 x −2

f x − x2 x−1

= −3

και = −4 . α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο ℝ . β. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 1 και να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ ςτο ςημεύο Α 1 , f(1)). 3 4 γ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει μοναδικό x0 ∈ 1 , 2 ∶ 5f x0 − 2f 2 = 3f 3 δ. Να βρεύτε τα όρια : δ1 . limh→0

f 1+3h 2 + f 1+2h 2 − 2f 1 h2

δ2 . limx→1

e f x − 1 – ςυν f x – 1 x−1

( LISARI TEAM )

962. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f : ℝ → ℝ με f x = ex−1 − x και g : (0 , +∞) → ℝ με g(x)=1 +l nx. α. Να μελετόςετε την ςυνϊρτηςη f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα. β. Να αποδεύξετε ότι η g αντιςτρϋφεται και να προςδιορύςετε την αντύςτροφη. γ. Να ορύςετε την ςύνθεςη τησ g με την f και να δεύξετε ότι fog x ≥ 0 , ∀ x > 0 δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από τη γραφικό παρϊςταςη τησ fog , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x = g −1 (2) ΚΟΜΟΣΗΝΗ 3ο ΓΕΛ 2016 ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 89

963. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : (0,+∞) → ℝ για την οπούα ιςχύει: ∎ x − 1 f ′ x + f x = 1 + lnx , ∀x ∈ 0 , 1 1 1 1 ∎ 1 − x f ′ x + x 2 f x = x , ∀∈ 1 , +∞ x lnx x –1

α. Να αποδεύξετε ότι ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ εύναι : f x =

, 0<x≠1

1 , x=1 β. Να δεύξετε ότι η αντύςτροφη τησ ςυνϊρτηςησ f υπϊρχει και εύναι οριςμϋνη ςτο 0 , +∞). ΢τη ςυνϋχεια, να βρεύτε το ςημεύο τομόσ των γραφικών παραςτϊςεων f και f −1 . 1 γ. Να δεύξετε ότι η f εύναι κούλη και ςτη ςυνϋχεια να δεύξετε ότι: 2lnx < x − x , x > 1 δ. Να λύςετε την ανύςωςη f x ≤ − x + 1 . ( LISARI TEAM ) 964. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f : [1 , +∞) → ℝ ώςτε να ιςχύουν : f x ∙ f x − 2x = ln2 x − x 2 , x > 1 και f e > e . α. Να δεύξετε ότι f(x)= lnx + x . β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει η αντύςτροφη τησ f και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ. γ. Να βρεύτε, αν υπϊρχουν, τα κοινϊ ςημεύα τησ Cf με την ευθεύα y=x . 2

δ. Να λύςετε την εξύςωςη: ex − x 2 = ln

x2 + 2 2

ex + 1

+ 1.

( LISARI TEAM )

965. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ για την οπούα ιςχύει : f ′ x > 2 − x f ′′ x , ∀ x ∈ 0, +∞ και f 0 , +∞ = ℝ . Αν η ευθεύα y=−3x +7 εύναι αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ και τϋμνει την Cf ςτα ςημεύα με τετμημϋνεσ x=2 και x=3 , τότε: α. Να βρεύτε την μονοτονύα τησ f και να δεύξετε ότι ορύζεται η αντύςτροφη. β. Να λύςετε την ανύςωςη : f −1 3 + f x 2 − 1 < 2 γ. Να υπολογύςετε το όριο : limx→+∞

xf x + ημ e x + x + 2019x 2 x 2 f x + 3x 3 − 6x 2

δ. Αν f ′ x ≠ 0 , ∀ x ∈ 0 , +∞ να δεύξετε ότι υπϊρχουν ξ1 , ξ2 ∈ 0 , +∞ 1 2 να ιςχύει + f ′ ξ = −1 ( LISARI TEAM ) f′ ξ 1

με ξ1 ≠ ξ2 τϋτοια ώςτε

966. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ ώςτε: ex + 2 f ′ x = ex 1 − f x , f 0 = − . 3 α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f . β. Να βρεύτε την οριζόντια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο + ∞ . γ. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ. δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται μεταξύ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f , του ϊξονα x’x και των ευθειών x=2 , x=3 . x ε. Να βρεύτε το όριο limx→+∞ f x 967. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ ώςτε να ιςχύουν: f 2 x − 2xf x = ln ex + 1 + x ∙ ln ex + 1 − x , x ∈ ℝ και f ln α. τον τύπο τησ f β. το ςύνολο τιμών τησ f γ. τισ αςύμπτωτεσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f

1 2

=ln

1 3

. Να βρεύτε :

968. Δύνεται ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f: ℝ → ℝ , με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο, για την οπούα ιςχύει : f ′ x ≠ 0 , ∀ x ∈ ℝ και f(3)=2 + f(1) . α. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. β. Να δεύξετε ότι υπϊρχει μοναδικό x0 ∈ 1 , 3 ∶ 3f x0 = 2f 1 + f(3) 1 2 γ. Να δεύξετε ότι υπϊρχουν ξ1 , ξ2 ∈ 1 , 3 με ξ1 < ξ2 ώςτε ∶ f ′ ξ + f ′ ξ = 3 . 3

3π

δ. Να υπολογύςετε το A=∫1 f ′ x ςυν πx dx − ∫π f

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

x π

ημxdx

Σελίδα 90

969. ΢το διπλανό ςχόμα ϋχουμε την γραφικό παρϊςταςη τησ παραγώγου μιασ ςυνϊρτηςησ f η οπούα εύναι παραγωγύςιμη με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο ςτο 0 , 3 . Ε Ψ Ιςχύουν ακόμα : f(0)=0 , Ε Ψ1 = Ε Ψ2 = 2 3 = 3. α. Να βρεύτε τα διαςτόματα μονοτονύασ τησ f και τα ακρότατα. β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και να βρεύτε τα ςημεύα καμπόσ . f x γ. Να υπολογύςετε το όριο limx→0 ημ x δ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ςημεύο Μ ξ , f ξ τησ Cf με ξ ∈ (1 , 2) ςτο οπούο η εφαπτομϋνη διϋρχεται από την αρχό των αξόνων. ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ Α ΧΤΦΙΚΟΤ 2016

970. Δύνεται ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ , με ςύνολο τιμών το 1 , 3 . Να αποδεύξετε ότι : α. υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ ℝ , ώςτε f ′′ ξ =0 ′ β. η εξύςωςη f(x) + 2016f ′ (x)=2ef (x) ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα ςτο ℝ 2 γ. η εξύςωςη f ′′ x + f ′′ x = 0 ϋχει μια τουλϊχιςτον ρύζα ςτο ℝ 971. Δύνεται ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ δύο φορϋσ παραγωγύςιμη για την οπούα ιςχύουν : 1 y +1 f 1 = limy→1 lny – 2 y − 1 και ef 0 x + ef 2 x ≥ 2 , ∀x ∈ ℝ . α. Να βρεύτε την τιμό f(1) β. Να δεύξετε ότι f(0) + f(2)=0 . γ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ 0 , 2 ∶ f ′′ ξ = 0 972. Ϊςτω ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f και F αρχικό τησ f με F(0)=0 , f(x)=3+2F(x) , x ∈ ℝ f x α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη Υ x = e 2x εύναι ςταθερό. β. Να δεύξετε ότι f x = 3e2x . γ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου Ε λ που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=λ με λ>0. Ε λ δ. Να βρεύτε το όριο limλ→0+ λ ε. Ϊςτω (ε) η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τομόσ με τον ϊξονα y’y. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , την ε , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x=−1 . 1

973. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)= + lnx x α. Να εξετϊςετε αν η Cf ϋχει κατακόρυφη αςύμπτωτη β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f 5 γ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ 1 , 4 ∶ f ξ = 2 5 − 4ξ δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=0 , x=e

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 91

974. Δύνεται ςυνϊρτηςη f : (−1,+∞) → ℝ παραγωγύςιμη για την οπούα ιςχύουν : f(0)=0 , 1 − f ′ x = ef x − x , ∀x ∈ (−1 , +∞) α. Να βρεύτε τον τύπο τησ f β. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την μονοτονύα γ. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f δ. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεύα καμπόσ ε. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ f 2017 1 ζ. Να δεύξετε ότι : ln 2016 ≤ 2016 975. Δύνεται ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ παραγωγύςιμη ώςτε να ιςχύουν : 1

f 0 =0 και ∫0

f x

∫0 f t dt + f 2 1

dx = 2 ∫0 f x f 1 dx . Να αποδεύξετε ότι :

α. ∫0 f x dx = f 1 β. ότι υπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ ∈ 0 , 1 ∶ f ′ ξ = f(ξ) . αx 2 + βx + 1

976. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = με α , β ∈ ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη ϋχει αςύμπτωτη x −2 ςτο +∞ την ευθεύα y=x+2 . α. Να βρεύτε τισ τιμϋσ των α και β. β. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=−1 , x=1 γ. Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Μ 3 , f(3)) δ. Να μελετόςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα ε. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη g x = 14 − 4ex − 3 ε1 . Να βρεύτε την εφαπτομϋνη τησ Cg ςτο ςημεύο τησ Ν 3 , g(3)) ε2 . Να μελετόςετε την ςυνϊρτηςη g ωσ προσ την κυρτότητα ε3 . Να αποδεύξετε ότι f x ≤ g x , ∀x > 2 . 977. Ϊςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ με f ′′ x ≠ 0 ∀x ∈ ℝ και f(0)=f 1 . Να αποδεύξετε ότι : α. η f ′ εύναι αντιςτρϋψιμη β. η γραφικό παρϊςταςη τησ f δϋχεται ακριβώσ μια οριζόντια εφαπτομϋνη γ. η εξύςωςη f(x =0 ϋχει το πολύ δύο ρύζεσ. δ. υπϊρχει ξ ∈ 0 , 1 ∶ f ′ ξ + 2ξ − 1 f ξ = 0 1 1 1 ε. υπϊρχει x0 ∈ 0 , 1 ∶ 3f x0 = f 3 + f 5 + f e Α΢ΚΗ΢ΟΠΟΛΙ΢ 100+1 ΕΠΑΝ.ΘΕΜΑΣΑ )

978. Δύνεται f παραγωγύςιμη ςτο ℝ και f(x)>0 , ∀x ∈ ℝ ώςτε ln[f(x)] + f(x) = x , ∀ x ∈ ℝ . f(x) α. Να δεύξετε ότι : f ′ x = , ∀x∈ℝ 1+f x

β. Να δεύξετε ότι η f εύναι κυρτό . γ. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Μ 1,f(1)) 6 2 δ. Να δεύξετε ότι : ∫2 ∫1 f x dx dt ≥ 5 4

ε. Να δεύξετε ότι υπϊρχει μοναδικό ξ ∈ 2 , 4 ∶ ∫2

f(x) 2 1 +f x

dx = 2f ξ f ′ ξ

979. Δύνεται ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ παραγωγύςιμη ώςτε να ιςχύει: limx→0 2

( maths4people-ΣΕΤΦΟ΢ 4 ) xf x – ημ x 2

ex − 1

= 1.

Θεωρούμε επύςησ την ςυνϊρτηςη g : (0,+∞) → ℝ , g x = x + x − 2 − f 2 lnx και g(x) ≥ 0 α. Να αποδεύξετε ότι f(2)=3 . β. Να αποδεύξετε ότι f(0)=1. γ. Να βρεύτε τα όρια limx→0+ g(x) και limx→+∞ g(x) δ. Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f x − 2x = 1 − x f ′ (x) ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη ςτο 0 , 2) .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 92

ex – 1

980. Δύνεται η ςυνϊρτηςη g x = e x + 1 . Θεωρούμε επύςησ ςυνϊρτηςη f : (0 ,+∞) → ℝ για την οπούα ιςχύει x f ′ x = 1 , x > 0 και f e = limx→+∞ g(x) . α. Να δεύξετε ότι f(x)= lnx β. Να βρεύτε το όριο limx→0+ f x + f ′ x γ. Να μελετόςετε την g ωσ προσ την μονοτονύα . δ. Να μελετόςετε την g ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεύα καμπόσ . ε. Να λύςετε την εξύςωςη e2x eςυν x − 1 e + 1 = e2x eςυν x + 1 e − 1 ζ. Θεωρούμε τη ςυνϊρτηςη h = fog −1 . ζ1 . Να ορύςετε την ςυνϊρτηςη h ζ2 . Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ h . lnx

981. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = α x , α ≠ 0 για την οπούα ιςχύει f x ≤ x − 1 , ∀ x > 0 . α. Να δεύξετε ότι α = 1 β. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα , τα ακρότατα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ . 1 γ. Να δεύξετε ότι f(x) ≤ e , ∀ x > 0 . δ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ln2 x + 2 λ x = 0 ϋχει το πολύ μια ρύζα ςτο 0 , +∞ , ∀ λ < − ε. Να δεύξετε ότι ∃ ξ ∈ 1 , e ∶ 1 − lnξ =

ξ2 e2− e

1 e

ζ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf −1 , τουσ ϊξονεσ x’x , y’y και την ευθεύα x = (ΔΙΑΓΨΝΙ΢ΜΑ STUDY4EXAMS )

1 e

982. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + lnx + 1 . α. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και τα ακρότατα β. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ Cf γ. Να δεύξετε ότι ∃ ξ ∈ 1 , 4 ∶ f ξ = 3 ξ − 1 δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x=1 , x=e2 ( STUDY4EXAMS ) 2x 3 + 3x

983. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x 2 + 1 α. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται . β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να βρεύτε την αςύμπτωτη τησ Cf ςτο −∞ x 1 δ. Να βρεύτε το όριο limx → +∞ x 2 ∫0 f t dt

( STUDY4EXAMS )

984. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ με f x = lnx − 1 . α. Να υπολογύςετε το εμβαδόν Ε λ του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και τισ ευθεύεσ x = e και x = λ > 0 . β. Να βρεύτε το όριο limλ →0+ Ε λ γ. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ M e2 , f e2 δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που ορύζεται από την παραπϊνω εφαπτομϋνη , την Cf και τον ϊξονα x’x . ( STUDY4EXAMS ) 985. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f : ℝ → ℝ με f 0 = 1 και f 2 x = 1 − 2xf(x) , ∀x∈ℝ α. Να δεύξετε ότι f x = x 2 + 1 − x . 1 β. Να βρεύτε το όριο limx →0 f x + x − 1 ημ x . γ. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf που εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα x + y − 2 = 0 δ. Να δεύξετε ότι υπϊρχει ξ ∈ −1 , 1 ∶ f ′ ξ + 2ξf ξ = ξ2 f ′ ξ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 93

986. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − ln x 2 + 1 . α. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να δεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε το πεδύο οριςμού τησ αντύςτροφησ . γ. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη f −1 f x − 2017 = 0 ϋχει μοναδικό λύςη . δ. Να λυθεύ η ανύςωςη f 2e x − 1 − x 2 − 1 > 0 . 987. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x − 2 lnx + x . α. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη e2x−3 x 2x−4 = 1 , x > 0 ϋχει ακριβώσ δύο θετικϋσ ρύζεσ . γ. Αν x1 < x2 οι ρύζεσ τησ προηγούμενησ εξύςωςησ , να δεύξετε ότι υπϊρχει μοναδικό ξ ∈ x1 , 1 3 η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο ςημεύο Μ ξ , f ξ να διϋρχεται από το ςημεύο Α 0 , 2

τϋτοιο , ώςτε

988. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 2 − 1 +ex α. Να δεύξετε ότι η ευθεύα ε : y=x+2 εύναι αςύμπτωτη τησ Cf ςτο −∞ β. Να βρεύτε το εμβαδόν Ε α του χωρύου Ψ που περικλεύεται από την Cf , την ε , τον ϊξονα y’y και την ευθεύα x = α , α < 0 . γ. Να βρεύτε το όριο limα → −∞ Ε α δ. Αν το α ελαττώνεται με ρυθμό 2 μον/sec , να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ του εμβαδού Ε α τη χρονικό ςτιγμό που εύναι α = −ln2 989. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = x + 1 lnx . α. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ . β. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x x + 1 = e2017 , x > 0 ϋχει μοναδικό λύςη . γ. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο καμπόσ τησ . x +1 2 δ. Να δεύξετε ότι > , ∀x>1 . x −1

lnx

f ′ (x)

990. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ με f 1 = 1 και x + 1 = e x − f(x) , ∀ x > 0 α. Να δεύξετε ότι f x = lnx + x , x > 0 β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Να δεύξετε ότι η f εύναι κούλη . δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , την εφαπτομϋνη τησ ςτο 1 , f 1 και την ευθεύα x = e . 991. Δύνεται η δύο παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f: −∞ , 1 → ℝ με f 0 = 0 , f ′ 0 = 1 , f ′′ x = f ′ x 2 , ∀ x > −1 α. Να δεύξετε ότι f x = −ln 1 − x β. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ Cf γ. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και την κυρτότητα δ. Να βρεύτε την αντύςτροφη ςυνϊρτηςη τησ f ε. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τουσ ϊξονεσ x’x , y’y και την ευθεύα x = 1 − e . 992. Θεωρούμε παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ςτο ℝ∗ για την οπούα ιςχύουν τα εξόσ : f′ x f x

x –1 x2

∀ x ∈ ℝ∗ , f x ≠ 0 ∀ x ∈ ℝ∗ , f 1 = e , f −1 = −

1 e

1 x

α. Να δεύξετε ότι f x = x e β. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και την κυρτότητα γ. Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ Cf δ. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f ε. Να προςδιορύςετε το πλόθοσ των ριζών τησ εξύςωςησ f x = 2016 ζ. Να δεύξετε ότι για κϊθε x > 0 ιςχύει

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

x x e

≥

1 e

Σελίδα 94

ex + 2

993. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = e x + 1 α. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ . β. Να βρεύτε τον τύπο τησ αντύςτροφησ γ. Να δεύξετε ότι η f −1 εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και να βρεύτε τα όρια limx → 1+ f −1 x , limx → 2− f −1 x δ. Να αποδεύξετε ότι οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων g = fof −1 και f −1 τϋμνονται ςε μοναδικό ςημεύο x0 ∈ 1 , 2 ( LISARI TEAM ) 994. Δύνεται η δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ για την οπούα ιςχύουν : 7 f ′′ x = 4 και x 2 f ′ x − 2xf x = 3 , ∀ x > 0 . Να βρεύτε : α. την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο Μ 2 , f 2 β. τον τύπο τησ f γ. το ςύνολο τιμών τησ f ημ x δ. το όριο lim𝑥 → +∞ f(x) ε. το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cf , τον ϊξονα x’x και την ευθεύα x = e . 995. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ex−1 ∙ lnx . α. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ . β. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι κυρτό ςτο διϊςτημα [e , +∞) γ. Δύνεται η ςυνϊρτηςη g x =

f x 2 +1 ∙ x 2 − 5x + 6 ln x 2 + 1

, x ≠ 0 . Αν υπϊρχουν πραγματικού αριθμού α , β με 0 < α < 1

α 2 −x 2

και β > 1 ώςτε να ιςχύουν : x 2 − 5x + 6 ≥ e ∙ α2 − 5α + 6 , για κϊθε 0 < 𝑥 < 1 2 2 και ex −β ∙ x 2 − 5x + 6 + 5β − 6 ≤ β2 για κϊθε x > 1 , τότε να δεύξετε ότι ∃ ξ ∈ α , β ∶ g ′′ ξ = 0

f x ∙ x2 − 1

δ. Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ h x = lnx με x > 0 , x ≠ 1 , την ευθεύα y = 7ex − 11e και τισ ευθεύεσ x = 3 , x = 4 ( ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗ΢ 2014

996. Δύνεται η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f : [0 , +∞) → ℝ ώςτε να ιςχύει f x = ex − 1 lnx , ∀ x > 0 . α. Να δεύξετε ότι f 0 = 0 . β. Να εξετϊςετε αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο 0 . γ. Να μελετόςετε την f ωσ προσ τα κούλα ςτο διϊςτημα [1 , +∞) και να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο τησ Μ 1 , f 1 ex – 1

x −1

δ. Να δεύξετε ότι για κϊθε x > 1 ιςχύει > e −1 lnx ε. Να δεύξετε ότι υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα x0 ∈ 0 , 1 ∶ ex 0 ∙ ln e ∙ x0 x 0

ΔΨΔΕΚΑΝΗ΢Α 2014

f x

997. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ με f ′ x = x + 1 και f 1 = 0 α. Να δεύξετε ότι f x = x ∙ lnx και να βρεθεύ το ςύνολο τιμών τησ . e β. Να αποδεύξετε ότι lnπ > π γ. Να μελετόςετε την f ωσ προσ τα κούλα και να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ Cf ςτο ςημεύο με τετμημϋνη α > 1 . δ. Αν ε : y = lnα + 1 x −α η παραπϊνω εφαπτομϋνη , να δεύξετε ότι το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται 1 από την Cf και τισ ευθεύεσ x = 1 , x = α εύναι Ε α = 2lnα + α2 − 4α + 3 ε. Να βρεύτε τα όρια limα → +∞

Ε α α2

Ε α

και limα → +∞ e 1 − α

Α΢ΚΗ΢ΟΛΟΓΙΟ 2015 2

998. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ με f 2 = e , x ∙ f ′ x = f x − e x . 2

x∙ex 2

α. Να δεύξετε ότι f x = , x> 0. β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f 2

γ. Να βρεθεύ το πλόθοσ των ριζών τησ εξύςωςησ e x = 2λ ∙ x −1 για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ . δ. Να δεύξετε ότι f 1821 + f 1823 > 2f 1822

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 95

ex – 1

999. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f x = ln e x + 1 , x > 0 . α. Να μελετηθεύ η f ωσ προσ την μονοτονύα β. Να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ f γ. Αν η F εύναι αρχικό τησ f , να αποδεύξετε ότι limx → +∞ F x + 1 − F x = 0 δ. Να αποδεύξετε ότι η f αντιςτρϋφεται και να βρεύτε την αντύςτροφό τησ . ε. Να αποδεύξετε ότι η γραφικό παρϊςταςη τησ f βρύςκεται κϊτω από την ευθεύα y = x Α΢ΚΗ΢ΟΠΟΛΙ΢ 100+1 ΕΠΑΝΑΛ. ΘΕΜΑΣΑ ) 1000. Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ςτο (0 , +∞) για την οπούα ιςχύουν ότι : 1 x f ′′ x + 2f ′ x + x 2 = 0 , ∀ x > 0 , 𝑓 1 = 0 , f ′ 1 = 1 . α. Να δεύξετε ότι f x =

lnx x

x2 f x , x > 0 0 , x=0 β1 . Να δεύξετε ότι η g εύναι ςυνεχόσ . β2 . Να βρεύτε το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την Cg ,τουσ ϊξονεσ x’x και y’y και την ευθεύα x = 1 . γ. Να αποδεύξετε ότι x e ≤ ex , ∀ x > 0 δ. Αν υπϊρχει α > 0 για τον οπούον ιςχύει x e ≤ αx , να αποδεύξετε ότι α ≥ e e ε. Αν λ f x ≥ ex − , ∀ x > 0 , να αποδεύξετε ότι λ = 2e . Α΢ΚΗ΢ΟΠΟΛΙ΢ 100+1 ΕΠΑΝΑΛ. ΘΕΜΑΣΑ ) β. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη g x =

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 96

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ

ΟΙ ΕΡΩΣΗ΢ΕΙ΢ ΢Ω΢ΣΟ-ΛΑΘΟ΢ ΣΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΣΑ΢ΕΩΝ 2002-2016

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 97

Οι Ερωτόςεισ ΢ωςτό-Λϊθοσ των Πανελληνύων

2002 1. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι οριςμϋνη ςτο α , β και ςυνεχόσ ςτο α , β , τότε η f παύρνει πϊντοτε ςτο α , β μύα μϋγιςτη τιμό. 2. Κϊθε ςυνϊρτηςη που εύναι 1-1 ςτο πεδύο οριςμού τησ, εύναι γνηςύωσ μονότονη. 3. Αν υπϊρχει το όριο τησ ςυνϊρτηςησ f ςτο x0 και limx→x 0 f(x) = 0 τότε limx→x 0 f x = 0 β

4. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο ℝ τότε ∫α f x dx = xf(x) 5. Αν limx→x 0 f x > 0 τότε f(x >0 κοντϊ ςτο x0 .

β α

− ∫α xf ′ x dx

2003 6. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Αν f ′′ (x)>0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο του Δ , τότε η f εύναι κυρτό ςτο Δ . β β 7. Για κϊθε παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f ςε ϋνα διϊςτημα Δ ιςχύει : ∫α f ′ x dx = f(x) α 8. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ςε ϋνα διϊςτημα Δ, τότε η εφαπτομϋνη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςε κϊθε ςημεύο του Δ βρύςκεται πϊνω από την γραφικό τησ παρϊςταςη 9. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και x0 εςωτερικό ςημεύο του Δ. Αν η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο x0 και f ′ (x0 )=0 , τότε η f παρουςιϊζει υποχρεωτικϊ τοπικό ακρότατο ςτο x0 10. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα α , β , με εξαύρεςη ύςωσ ϋνα ςημεύο x0 , ςτο οπούο όμωσ η f εύναι ςυνεχόσ. Αν f ′ (x >0 ςτο α , x0 και f ′ (x <0 ςτο x0 , β , τότε το f(x0 εύναι τοπικό ελϊχιςτο τησ f . 11. Μια ςυνϊρτηςη f : A→ ℝ εύναι ςυνϊρτηςη 1-1 , αν και μόνο αν για οποιοδόποτε x1 , x2 ∈ A ιςχύει η ςυνεπαγωγό αν x1=x2 τότε f(x1)=f(x2) 12. Αν f , g εύναι δύο ςυναρτόςεισ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο , τότε ιςχύει β β β ∫α f x ∙ g ′ x dx = f(x) ∙ g(x) α − ∫α f ′ (x) ∙ g x dx 2004 13. Ιςχύει limx→x 0 f x = 𝑙 αν και μόνο αν limx→x +0 f x = limx→x −0 f x = 𝑙 14. Αν οι ςυναρτόςεισ f , g εύναι παραγωγύςιμεσ ςτο x0 , τότε η ςυνϊρτηςη f ∙ g εύναι παραγωγύςιμη ςτο x0 και ιςχύει f ∙ g ′ (x0 )=f ′ (x0) g ′ (x0 ) . 15. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ . Αν f ′ (x)>0 ςε κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ , τότε η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςε όλο το Δ . 16. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα α , β . Αν G εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο α , β β τότε ∫α f x dx = G β − G α 17. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο x0 του πεδύου οριςμού τησ , τότε εύναι και παραγωγύςιμη ςε αυτό. 18. Αν f , g εύναι δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού το ℝ και ορύζονται οι ςυνθϋςεισ fog , gof τότε αυτϋσ οι ςυνθϋςεισ εύναι υποχρεωτικϊ ύςεσ. 19. Οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων f και f-1 εύναι ςυμμετρικϋσ ωσ προσ την ευθεύα y=x 20. Αν υπϊρχει το όριο τησ f ςτο x0 τότε limx→x 0 κ f(x) = κ limx→x 0 f(x) εφόςον f(x) ≥ 0 κοντϊ ςτο x0 , με κ∈ ℕ , κ ≥ 2

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 98

2005 21. Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β με f α <0 και υπϊρχει ξ ∈ (α , β) ώςτε f ξ =0 , τότε κατ’ ανϊγκη f β >0 . 22. Αν υπϊρχει το limx→x 0 f x + g(x) , τότε κατ’ ανϊγκη υπϊρχουν τα limx→x 0 f(x) και limx→x 0 g(x) . 23. Αν η f ϋχει αντύςτροφη ςυνϊρτηςη f −1 και η γραφικό παρϊςταςη τησ f ϋχει κοινό ςημεύο Α με την ευθεύα y=x , τότε το ςημεύο Α ανόκει και ςτην γραφικό παρϊςταςη τησ f −1 . 1 24. Αν limx→x 0 f(x) = 0 και f(x >0 κοντϊ ςτο x0 , τότε limx→x 0 = +∞ . f(x)

′

25. Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και α ϋνα ςημεύο του Δ , τότε ∫α f(t) dt = f x − f(α) 26. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και δεν μηδενύζεται ςε αυτό , τότε αυτό ό εύναι θετικό για κϊθε x που ανόκει ςτο Δ ό αρνητικό για κϊθε x που ανόκει ςτο Δ , δηλαδό διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο Δ. 27. Σα εςωτερικϊ ςημεύα του διαςτόματοσ Δ , ςτα οπούα η f δεν παραγωγύζεται ό η παρϊγωγοσ τησ εύναι ύςη με το 0 , λϋγονται κρύςιμα ςημεύα τησ f ςτο διϊςτημα Δ . 28.Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα α , β , με εξαύρεςη ύςωσ ϋνα ςημεύο του x0 . Αν η f εύναι κυρτό ςτο α , x0 και κούλη ςτο x0 , β ό αντιςτρόφωσ τότε το ςημεύο Α x0 , f(x0 εύναι υποχρεωτικϊ ςημεύο καμπόσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ f 29. Αν f , g εύναι δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού το ℝ και ορύζονται οι ςυνθϋςεισ fog , gof τότε εύναι υποχρεωτικϊ fog ≠ gof β β 30. Αν η ςυνϊρτηςη f ϋχει παρϊγουςα ςε ϋνα διϊςτημα Δ και λ ∈ ℝ∗ τότε ιςχύει ∫α λf x dx = λ ∫α f x dx 2006 31. Αν limx→x 0 f x > 0 τότε f(x)>0 κοντϊ ςτο x0 32. Η εικόνα f Δ ενόσ διαςτόματοσ Δ μϋςου μιασ ςυνεχούσ και μη ςταθερόσ ςυνϊρτηςησ f εύναι διϊςτημα. 33. Ιςχύει ο τύποσ 3x ′ = x ∙ 3x−1 για κϊθε x ∈ ℝ 34. Αν f , g εύναι δύο ςυναρτόςεισ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο, τότε ιςχύει β β β ∫α f x ∙ g ′ x dx = f(x) ∙ g(x) α − ∫α f ′ (x) ∙ g x dx 35. Αν οι ςυναρτόςεισ f , g εύναι παραγωγύςιμεσ ςτο x0 και g x0 ≠ 0, τότε η ςυνϊρτηςη ςτο x0 και ιςχύει

f ′ g

x0 =

f x0

g′ 1

f g

εύναι παραγωγύςιμη

′

x0 − f x0 g x0 g x0 2

36. Για κϊθε x ≠ 0 ιςχύει ln x ′ = x 37. Μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ εύναι 1-1 , αν και μόνο αν για κϊθε ςτοιχεύο y του ςυνόλου τιμών τησ η εξύςωςη f(x)=y ϋχει ακριβώσ μια λύςη ωσ προσ x . 38. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα α , β . Αν G εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο α , β β τότε ∫α f x dx = G α − G β 2007 39. Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα α , β και για κϊθε x ∈ [α , β] ιςχύει f(x) ≥ 0 β τότε ∫α f x dx > 0 40. Ϊςτω η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςε κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ . Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο Δ τότε f ′ (x >0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ . 41. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο x0 και η g εύναι ςυνεχόσ ςτο x0 , τότε η ςύνθεςό τουσ gof εύναι ςυνεχόσ ςτο x0 42. Αν α > 1 τότε limx→−∞ αx = 0 . 43. Η εικόνα f Δ ενόσ διαςτόματοσ Δ μϋςου μιασ ςυνεχούσ ςυνϊρτηςησ f εύναι διϊςτημα . β β β 44. Αν f , g , g ′ εύναι ςυνεχεύσ ςυναρτόςεισ ςτο διϊςτημα α , β , τότε ∫α f x g ′ x dx = ∫α f x dx ∙ ∫α g ′ x dx x

′

45. Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και α ϋνα ςημεύο του Δ , τότε ∫α f(t) dt = f x 46. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα και ςυνεχόσ ςε ϋνα ανοικτό διϊςτημα α , β , τότε το ςύνολο τιμών τησ ςτο διϊςτημα αυτό εύναι το Α , Β όπου Α = limx→α + f x , Β = limx→β − f(x) 47. Ϊςτω δύο ςυναρτόςεισ f , g οριςμϋνεσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ. Αν οι f , g εύναι ςυνεχεύσ ςτο Δ και f ΄ x = g ΄ x για κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ , τότε ιςχύει f x = g x για κϊθε x ∈ Δ . ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 99

2008 48. Αν μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ εύναι 1-1 , τότε για την αντύςτροφη ςυνϊρτηςη f −1 ιςχύει f −1 f x = x , ∀x ∈ A και f f −1 y = y , y ∈ f(A) 49. Μια ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f διατηρεύ πρόςημο ςε καθϋνα από τα διαςτόματα ςτα οπούα οι διαδοχικϋσ ρύζεσ τησ f χωρύζουν το πεδύο οριςμού τησ . 50. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ℝ και ςτρϋφει τα κούλα προσ τα ϊνω, τότε κατ’ ανϊγκη θα ιςχύει f ′′ (x >0 για κϊθε πραγματικό αριθμό x . β γ β 51. Αν f εύναι ςυνεχόσ ςε διϊςτημα Δ και α , β , γ ∈ Δ τότε ∫α f x dx = ∫α f x dx + ∫γ f x dx 52. Τπϊρχουν ςυναρτόςεισ που εύναι 1-1 , αλλϊ δεν εύναι γνηςύωσ μονότονεσ 53. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι κούλη ςε ϋνα διϊςτημα Δ , τότε η εφαπτομϋνη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςε κϊθε ςημεύο του Δ βρύςκεται κϊτω από την γραφικό τησ παρϊςταςη, με εξαύρεςη το ςημεύο επαφόσ τουσ. β 54. Σο ολοκλόρωμα ∫α f x dx εύναι ύςο με το ϊθροιςμα των εμβαδών των χωρύων που βρύςκονται πϊνω από τον ϊξονα x’x μεύον το ϊθροιςμα των εμβαδών των χωρύων που βρύςκονται κϊτω από τον ϊξονα x’x 55. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ς’ ϋνα ςύνολο τησ μορφόσ (α, x0 ) ∪ (x0 , β), και ℓ ϋνασ πραγματικόσ αριθμόσ. Ιςχύει η ιςοδυναμύα: limx→x 0 f(x) = ℓ ⇔ limx→x 0 f x − ℓ = 0 . 2009 56. Μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α θα λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο xo ολικό ελϊχιςτο το f x0 όταν f(x) ≥ f(x0 ) για κϊθε x ∈ A . ςυν x−1 57. limx→0 =1 x 58. Κϊθε ςυνϊρτηςη f που εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο του πεδύου οριςμού τησ εύναι και παραγωγύςιμη ςτο ςημεύο αυτό . 59. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα α , β και για κϊθε x ∈ [α , β] ιςχύει f x < 0 , τότε το εμβαδόν του χωρύου Ψ που ορύζεται από την γραφικό παρϊςταςη τησ f , τισ ευθεύεσ x=α , x=β και τον ϊξονα x’x β εύναι Ε Ψ =∫α f x dx 60. Η ςυνϊρτηςη f εύναι 1-1 , αν και μόνο αν κϊθε οριζόντια ευθεύα τϋμνει την γραφικό παρϊςταςη τησ f το πολύ ςε ϋνα ςημεύο. 1 61. Αν limx→x 0 f(x) = 0 και f(x < 0 κοντϊ ςτο xo , τότε limx→x 0 f(x) = +∞ 62. Ϊςτω η ςυνϊρτηςη f(x =εφx . Η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο ℝ1= ℝ − {x\ςυνx = 0} 1 και ιςχύει f ′ x = − ςυν 2 x β

63. Για κϊθε ςυνϊρτηςη f , παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα Δ , ιςχύει ∫α f ′ (x)dx = f(x)

β α

2010 64. Ϊςτω η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςε κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ . Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο Δ τότε η παρϊγωγόσ τησ δεν εύναι υποχρεωτικϊ θετικό ςτο εςωτερικό του Δ. 65. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και ςυνεχόσ ςε ϋνα ανοικτό διϊςτημα α , β , τότε το ςύνολο τιμών τησ ςτο διϊςτημα αυτό εύναι το Α ,Β όπου Α = limx→α + f x , Β = limx→β − f(x) 66. ςυνx ’=ημx , x ∈ ℝ 67. Αν limx→x 0 f x < 0 τότε f(x < 0 κοντϊ ςτο xo 68. Αν f(x =αx με α > 0 , τότε ιςχύει αx ’=xα x − 1 69. Αν f , g ορύζονται οι ςυνθϋςεισ fog , gof τότε υποχρεωτικϊ fog=gof. 1 70. Αν limx→x 0 f(x) = +∞ ό − ∞ , τότε limx→x 0 f(x) = 0 71. Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα α , β και για κϊθε x ∈ [α , β] ιςχύει f(x) ≥ 0 β τότε ∫α f x dx ≥ 0 .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 100

2011 72. Μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ λϋγεται ςυνϊρτηςη 1-1 όταν για κϊθε x1 , x2 ∈ Α ιςχύει η ςυνεπαγωγό : Αν x1 ≠ x2 τότε f x1 ≠ f x2 1 73. Για κϊθε x ∈ ℝ1= ℝ − {x\ςυνx = 0} ιςχύει : (εφx)′ = − ςυν 2 x ημ x

74. Ιςχύει ότι : limx→+∞ x = 1 75. Οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων f και f −1 εύναι ςυμμετρικϋσ ωσ προσ την ευθεύα y=x 76. Μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α θα λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο xo ολικό μϋγιςτο το f x0 όταν f(x) ≤ f(x0 ) για κϊθε x ∈ A 77. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ μονότονη ςε ϋνα διϊςτημα Δ , τότε εύναι και 1-1 ςτο διϊςτημα αυτό. 1 78. Αν limx→x 0 f(x) = 0 και f(x > 0 κοντϊ ςτο , τότε limx→x 0 f(x) = +∞ 79. Κϊθε ςυνϊρτηςη f που εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο του πεδύου οριςμού τησ εύναι και παραγωγύςιμη ςτο ςημεύο αυτό . 2012 80. Μια ςυνϊρτηςη f:A→ ℝ εύναι 1-1 , αν και μόνο αν για κϊθε ςτοιχεύο y του ςυνόλου τιμών τησ η εξύςωςη f(x)=y ϋχει ακριβώσ μια λύςη ωσ προσ x . 81. Αν limx→x 0 f(x) = +∞ , τότε f(x < 0 κοντϊ ςτο xo 82. ςφx ′ =

1 ημ 2 x

, x ∈ ℝ − {x\ημx = 0}

83. Αν f,g εύναι δύο ςυναρτόςεισ με ςυνεχό πρώτη παρϊγωγο, β β β τότε ιςχύε ∫α f x ∙ g ′ x dx = f(x) ∙ g(x) α + ∫α f ′ (x) ∙ g x dx 84. Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ −f εύναι ςυμμετρικό , ωσ προσ τον ϊξονα x’x , τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f . 85. Αν εύναι 0<α<1, τότε limx→+∞ αx = +∞ 86. Αν μια ςυνϊρτηςη f δεν εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο xo , τότε δεν μπορεύ να εύναι παραγωγύςιμη ςτο xo 87. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα α ,β . Αν G εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο α , β β τότε ∫α f x dx = G α − G β 2013 88. Αν limx→x 0 f x < 0 τότε f(x < 0 κοντϊ ςτο xo 89. Ιςχύει ότι : ημx ≤ x για κϊθε x ∈ ℝ ςυν x−1 90. Ιςχύει ότι : limx→0 x =1 91. Μια ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη f διατηρεύ πρόςημο ςε καθϋνα από τα διαςτόματα ςτα οπούα οι διαδοχικϋσ ρύζεσ τησ f χωρύζουν το πεδύο οριςμού τησ. 92. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι 1-1 ςτο πεδύο οριςμού τησ , τότε υπϊρχουν ςημεύα τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f με την ύδια τεταγμϋνη . 93. Αν limx→x 0 f(x) = −∞ , τότε limx→x 0 −f(x) = +∞ 94. Αν οι ςυναρτόςεισ , g εύναι παραγωγύςιμεσ ςτο xo , τότε η ςυνϊρτηςη f ∙ g εύναι παραγωγύςιμη ςτο xo και ιςχύει f ∙ g ′ (x0 ) =f ′ ( xo ) g( xo ) – f( xo )g ′ ( xo ) 95. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και δεν μηδενύζεται ςε αυτό , τότε η f διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο διϊςτημα Δ.

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 101

2014 96. Αν limx→x 0 f(x) = +∞ ό − ∞ , τότε limx→x 0

1 f x

97. Αν μια ςυνϊρτηςη f παρουςιϊζει ολικό μϋγιςτο, τότε αυτό εύναι το μεγαλύτερο από τα τοπικϊ τησ μϋγιςτα. β γ β 98. Αν f εύναι ςυνεχόσ ςε διϊςτημα Δ και α , β , γ ∈ Δ τότε ∫α f x dx = ∫α f x dx + ∫γ f x dx 99. Ϊςτω η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςε κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο Δ , τότε η παρϊγωγόσ τησ εύναι υποχρεωτικϊ αρνητικό ςτο εςωτερικό του Δ 100. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ς’ ϋνα ςύνολο τησ μορφόσ α , x0 ∪ x0 , β . Ιςχύει η ιςοδυναμύα : limx→x 0 f(x) =−∞ ⇔ limx→x +0 f x = limx→x −0 f x = −∞ 101. Αν εύναι 0 < α < 1 , τότε limx→−∞ αx = 0 102. Ϊςτω η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα Δ και δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςε κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ. Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ςτο Δ , τότε υποχρεωτικϊ f ′′ (x >0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ. 2015 103. Αν f,g εύναι δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού το ℝ και ορύζονται οι ςυνθϋςεισ fog , gof τότε ιςχύει πϊντοτε fog=gof 104. Ιςχύει ότι: ςυνx ’=ημx , x ∈ ℝ 105. Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα α , β και για κϊθε x ∈ [α , β] ιςχύει f(x) ≥ 0 β και η ςυνϊρτηςη f δεν μηδενύζεται παντού ςτο διϊςτημα αυτό , τότε ∫α f x dx > 0 106. Αν limx→x 0 f(x) = 0 και f(x > 0 κοντϊ ςτο x0 , τότε limx→x 0

1 f x

= +∞

107. Αν οι ςυναρτόςεισ f , g ϋχουν όριο ςτο x0 και ιςχύει f(x) ≤ g(x) κοντϊ ςτο x0 , τότε limx→x 0 f(x) ≤ limx→x 0 g(x) 108. Αν limx→x 0 f(x) =−∞ τότε f(x >0 κοντϊ ςτο x0 109. Τπϊρχει πολυωνυμικό ςυνϊρτηςη βαθμού μεγαλύτερου ό ύςου του 2, τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη ϋχει αςύμπτωτη 110. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα α , β . Αν G εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο α , β β τότε ∫α f x dx = G α − G β 2016 111. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα α,β . Αν G εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο α , β β τότε ∫α f x dx = G α − G β 112. Αν οι ςυναρτόςεισ f, g ϋχουν όριο ςτο x0 και ιςχύει f(x) ≤ g(x) κοντϊ ςτο x0 , τότε limx→x 0 f(x) ≤ limx→x 0 g(x) 113. Κϊθε ςυνϊρτηςη f για την οπούα ιςχύει f ′ (x)=0 για κϊθε x ∈ α , x0 ∪ x0 , β εύναι ςταθερό ςτο α, x0 ∪ x0 , β 114. Μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ εύναι 1-1 , αν και μόνο αν για κϊθε ςτοιχεύο y του ςυνόλου τιμών τησ η εξύςωςη f(x)=y ϋχει ακριβώσ μια λύςη ωσ προσ x . 115. Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β , τότε η f παύρνει ςτο α , β μια μϋγιςτη τιμό Μ και μια ελϊχιςτη τιμό m . ςυν x−1 116. Ιςχύει ότι: limx→0 x =1 117. Αν f x = ln x για κϊθε x ≠ 0 , τότε f ′ x =

1 x

για κϊθε x ≠ 0 .

118. Αν μια ςυνϊρτηςη f δεν εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο x0 , τότε η f δεν εύναι παραγωγύςιμη ςτο x0 119. Τπϊρχει πολυωνυμικό ςυνϊρτηςη βαθμού ν ≥ 2 , η οπούα ϋχει αςύμπτωτη . 120. Για κϊθε ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα α , β ιςχύει : β αν ∫α f x dx > 0 τότε f(x) > 0 ςτο α , β .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 102

΢υνοπτικό Θεωρύα

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 103

ΟΡΙ΢ΜΟΙ 1. Σι λϋμε ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α Ϊςτω Α υποςύνολο των πραγματικών αριθμών. Πραγματικό ςυνϊρτηςη με πεδύο οριςμού το Α λϋγεται μια διαδικαςύα f , με την οπούα κϊθε ςτοιχεύο x του Α αντιςτοιχύζεται ςε ϋνα και μοναδικό πραγματικό αριθμό y ενόσ ςυνόλου Β που ονομϊζεται ςύνολο τιμών. 2. Πότε δύο ςυναρτόςεισ f , g λϋγονται ύςεσ

(2007−2012 Ε−2016)

Δύο ςυναρτόςεισ f , g λϋγονται ύςεσ όταν : ϋχουν το ύδιο πεδύο οριςμού Α και ιςχύει f(x)=g(x για κϊθε x ∈ Α 3. Σι λϋμε ςύνθεςη τησ ςυνϊρτηςησ f με την ςυνϊρτηςη g Αν f , g δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού τα Α , Β αντύςτοιχα τότε ονομϊζουμε ςύνθεςη τησ f με την g και την ςυμβολύζουμε με gof την ςυνϊρτηςη με τύπο gof)(x)=g(f(x και πεδύο οριςμού 𝛢gof ={x ∈ A / f(x) ∈ B} 4. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται γνηςύωσ αύξουςα ςε ϋνα διϊςτημα Δ Η ςυνϊρτηςη f λϋγεται γνηςύωσ αύξουςα ςε ϋνα διϊςτημα Δ του πεδύου οριςμού τησ , όταν για κϊθε x1 , x2 ∈ Δ με x1 < x2 ιςχύει : f x1 < 𝑓 x2 5. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται γνηςύωσ φθύνουςα ςε ϋνα διϊςτημα Δ Η ςυνϊρτηςη f λϋγεται γνηςύωσ φθύνουςα ςε ϋνα διϊςτημα Δ του πεδύου οριςμού τησ , όταν για κϊθ ε x1 , x2 ∈ Δ με x1 < x2 ιςχύει : f x1 > 𝑓 x2 6. Πότε μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο 𝐱𝟎 ολικό μϋγιςτο

2010 Ε−2014)

Μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α θα λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο xo ολικό μϋγιςτο το f x0 όταν f(x) ≤ f(x0 ) για κϊθε x ∈ A 7. Πότε μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο 𝐱𝟎 ολικό ελϊχιςτο Μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α θα λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο xo ολικό ελϊχιςτο το f x0 όταν f(x) ≥ f(x0 ) για κϊθε x ∈ A 8. Πότε μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α λϋμε ότι εύναι 1-1

2005 Ε−2015 Ε

Μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ λϋγεται ςυνϊρτηςη 1-1 όταν για κϊθε x1 , x2 ∈ Α ιςχύει η ςυνεπαγωγό : Αν x1 ≠ x2 τότε f x1 ≠ f x2 9. Πότε μια ςυνϊρτηςη f αντιςτρϋφεται και πωσ Μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ αντιςτρϋφεται , αν και μόνο αν εύναι 1-1 . Η αντύςτροφη ςυνϊρτηςη τησ f ςυμβολύζεται με f −1 και ορύζεται από την ςχϋςη f x = y ⇔ f −1 y = x . 10. Να διατυπώςετε το Κριτόριο Παρεμβολόσ

2016 Ε

Ϊςτω οι ςυναρτόςεισ f , g , h . Αν : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) κοντϊ ςτο x0 , και limx→x 0 g x = limx→x 0 h x = 𝑙 τότε και limx→x 0 f x = 𝑙

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 104

11. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο 𝐱𝟎

2009 Ε−2015)

Μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο x0 του πεδύου οριςμού τησ όταν limx→x 0 f x = f x0 12. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται ςυνεχόσ ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα α , β

(2004 Ε−2008−2012)

Μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται ςυνεχόσ ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα α , β , όταν εύναι ςυνεχόσ ςε κϊθε ςημεύο του α , β και επιπλϋον ιςχύει limx→α + f x = f α 𝜅𝛼𝜄 limx→β − f x = f β . 13. Να διατυπώςετε το θεώρημα Bolzano

2014 Ε

Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f , οριςμϋνη ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα α , β . Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β και επιπλϋον f α ∙ f β < 0 τότε υπϊρχει ϋνα , τουλϊχιςτον x0 ∈ α , β τϋτοιο ώςτε f x0 = 0 Γεωμετρικό Ερμηνεύα : Η γραφικό παρϊςταςη τησ f τϋμνει τον ϊξονα x’x ςε ϋνα τουλϊχιςτον ςημεύο με τετμημϋνη x0 ∈ α , β 14. Να διατυπώςετε το Θεώρημα Ενδιαμϋςων Σιμών Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f ,οριςμϋνη ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα α , β . Αν η f εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β και επιπλϋον f α ≠ f β τότε, για κϊθε αριθμό η μεταξύ των f α και f β υπϊρχει ϋνα ,τουλϊχιςτον x0 ∈ α , β τϋτοιο ώςτε f x0 = η . 15. Να διατυπώςετε το Θεώρημα Μεγύςτησ και Ελαχύςτησ Σιμόσ Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β , τότε η f παύρνει α , β μια μϋγιςτη τιμό Μ και μια ελϊχιςτη τιμό m. Δηλαδό , υπϊρχουν x1 , x2 ∈ α , β τϋτοια ώςτε , αν m=f(x1) και Μ=f(x2 , να ιςχύει : m ≤ f x ≤ M , ∀x ∈ α , β 16. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται παραγωγύςιμη ςτο ςημεύο 𝐱𝟎 του πεδύου οριςμού τησ (2004−2009) Μια ςυνϊρτηςη f λϋμε ότι εύναι παραγωγύςιμη ς’ ϋνα ςημεύο x0 του πεδύου οριςμού τησ , αν και μόνο αν υπϊρχει f x −f x το όριο limx→x 0 x − x 0 και εύναι πραγματικόσ αριθμόσ . Σο όριο αυτό ονομϊζεται παρϊγωγοσ και ςυμβολύζεται 0

με f

′

x0 . Δηλαδό f

′

x0 = limx→x 0

f x − f x0 x − x0

17. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται παραγωγύςιμη ςτο κλειςτό διϊςτημα α , β

2010 Ε−2013)

Η f εύναι παραγωγύςιμη ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα α , β του πεδύου οριςμού τησ , όταν εύναι παραγωγύςιμη f x −f α f x −f β ςτο α , β και επιπλϋον ιςχύει limx→α + x − α ∈ ℝ και limx→β − x − β ∈ ℝ 18. Να διατυπώςετε το Θεώρημα Rolle

2012 Ε

Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο α ,β , παραγωγύςιμη ςτο α ,β και ιςχύει f α =f β , τότε υπϊρχει ϋνα, τουλϊχιςτον ξ ∈ α , β τϋτοιο ώςτε f ′ ξ = 0 Γεωμετρικό Ερμηνεύα : Τπϊρχει ϋνα , τουλϊχιςτον ξ ∈ α, β τϋτοιο ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ ξ , f ξ να εύναι παρϊλληλη ςτον ϊξονα x’x 2007 Ε 19. Να διατυπώςετε το Θεώρημα Μϋςησ Σιμόσ

(2013−2016)

Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β , παραγωγύςιμη ςτο α , β , τότε υπϊρχει ϋνα , τουλϊχιςτον f β −f α ξ ∈ α , β τϋτοιο ώςτε f ′ ξ = β − α . Γεωμετρικό Ερμηνεύα: Τπϊρχει ϋνα , τουλϊχιςτον ξ ∈ α , β τϋτοιο ώςτε η εφαπτομϋνη τησ Cf ςτο Μ ξ , f ξ να εύναι παρϊλληλη τησ ευθεύασ ΑΒ όπου Α α , f α και Β β , f β . (2003−2008 Ε−2016 Ε

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 105

20. Πότε μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α παρουςιϊζει ςτο 𝐱𝟎 ∈ 𝚨 τοπικό μϋγιςτο

(2012)

Μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο x0 ∈ Α τοπικό μϋγιςτο, όταν υπϊρχει δ>0 , τϋτοιο ώςτε f x ≤ f x0 για κϊθε x ∈ A ∩ x0 − δ , x0 + δ . Σο x0 λϋγεται θϋςη ό ςημεύο τοπικού μεγύςτου , ενώ το f x0 τοπικό μϋγιςτο τησ f . 21. Πότε μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α παρουςιϊζει ςτο 𝐱𝟎 ∈ 𝚨 τοπικό ελϊχιςτο

(2015)

Μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο x0 ∈ Α τοπικό ελϊχιςτο , όταν υπϊρχει δ>0 , τϋτοιο ώςτε f x ≥ f x0 για κϊθε x ∈ A ∩ x0 − δ , x0 + δ . Σο x0 λϋγεται θϋςη ό ςημεύο τοπικού ελαχύςτου , ενώ το f x0 τοπικό ελϊχιςτο τησ f . 22. Να διατυπώςετε το Θεώρημα Fermat

2013 Ε

Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ς’ ϋνα διϊςτημα Δ και x0 εςωτερικό ςημεύο του Δ. Αν η f παρουςιϊζει τοπικό ακρότατο ςτο x0 και εύναι παραγωγύςιμη ςτο ςημεύο αυτό , τότε f ′ x0 =0 23. Ποια λϋγονται κρύςιμα ςημεύα μιασ ςυνϊρτηςησ f ςε ϋνα διϊςτημα Δ

2013 Ε

Κρύςιμα ςημεύα τησ f ςτο διϊςτημα Δ λϋγονται τα εςωτερικϊ ςημεύα του Δ , ςτα οπούα η f δεν παραγωγύζεται ό η παρϊγωγοσ τησ εύναι ύςη με το μηδϋν. 24. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται κυρτό ςε ϋνα διϊςτημα Δ

(2006)

Η ςυνϊρτηςη f λϋγεται κυρτό ό ότι ςτρϋφει τα κούλα προσ τα ϊνω ς’ ϋνα διϊςτημα Δ όταν εύναι ςυνεχόσ ςτο Δ και η f ′ εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο εςωτερικό του Δ. 25. Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται κούλη ςε ϋνα διϊςτημα Δ

(2010−2014)

Η ςυνϊρτηςη f λϋγεται κούλη ό ότι ςτρϋφει τα κούλα προσ τα κϊτω ς’ ϋνα διϊςτημα Δ όταν εύναι ςυνεχόσ ςτο Δ και η f ′ εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο εςωτερικό του Δ. 26. Πότε το ςημεύο Α 𝐱𝟎 , f(𝐱 𝟎

λϋγεται ςημεύο καμπόσ μιασ ςυνϊρτηςησ f

Σο ςημεύο Α x0 , f( x0 λϋγεται ςημεύο καμπόσ μιασ ςυνϊρτηςησ f όταν η f εύναι κυρτό ςτο α , x0 και κούλη ςτο x0 , β ό αντιςτρόφωσ και η Cf ϋχει εφαπτομϋνη ςτο ςημεύο Α x0 , f( x0 )) 27. Πότε λϋμε ότι η ευθεύα x= 𝐱𝟎 εύναι κατακόρυφη αςύμπτωτη τησ Cf

(2010−2015 Ε

Η ευθεύα x= x0 λϋγεται κατακόρυφη αςύμπτωτη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f , αν ϋνα τουλϊχιςτον από τα όρια limx→x +0 f(x) ό limx→x −0 f(x) εύναι +∞ ό − ∞ 28. Πότε λϋμε ότι η ευθεύα y=𝓵 λϋγεται οριζόντια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ αντ. ςτο −∞)

(2007−2016 Ε

Η ευθεύα y=ℓ λϋγεται οριζόντια αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ αντιςτούχωσ ςτο −∞ όταν limx→+∞ f x = ℓ αντιςτούχωσ limx→−∞ f x = ℓ ςτο −∞) 29. Πότε η ευθεύα y=λx+β λϋγεται αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ αντ. ςτο −∞)

(2005−2011)

Η ευθεύα y=λx+β λϋγεται αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞ αντιςτούχωσ ςτο −∞ αν limx→+∞ f x − (λx + β) = 0 αντιςτούχωσ αν limx→−∞ f x − (λx + β) = 0 ) . 30. Σι ονομϊζουμε αρχικό μιασ ςυνϊρτηςησ f ςε ϋνα διϊςτημα Δ

2006 Ε−2011Ε−2014 Ε

Αρχικό ςυνϊρτηςη ό παρϊγουςα τησ f ςε ϋνα διϊςτημα Δ , ονομϊζουμε κϊθε ςυνϊρτηςη F που εύναι παραγωγύςιμη ςτο Δ και ιςχύει F ′ x = f x για κϊθε x ∈ Δ

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 106

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ΢ 1. Απόδειξη Θεωρόματοσ Ενδιαμϋςων Σιμών

(2005−2015)

Ασ υποθϋςουμε ότι f α < 𝑓 β . Σότε θα υπϊρχει αριθμόσ η τϋτοιοσ ώςτε f α < 𝜂 < f β . Θεωρούμε την ςυνϊρτηςη g(x)=f(x)−η , με x ∈ α , β . Παρατηρούμε ότι : η g εύναι ςυνεχόσ ςτο α , β αφού η f εύναι ςυνεχόσ g α =f α −η < 0 αφού f α < η g β =f(β −η > 0 αφού f β > η ϊρα g α g β < 0 . Επομϋνωσ ςύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα x0 ∈ α , β τϋτοιο ώςτε g x0 = 0 ⇔ f x0 − η = 0 ⇔ f x0 = η 2. Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ς’ϋνα ςημεύο 𝐱𝟎 , τότε να αποδεύξετε ότι η f εύναι και ςυνεχόσ ςτο ςημεύο αυτό (2003−𝟐𝟎𝟎𝟕 𝚬 −2013 Ε Αρκεύ να δεύξουμε ότι limx⟶x 0 f x = f x0 ⇔ limx⟶x 0 f x − f(x0 ) = 0 . f x − f x0 x − x0 f x − f x0 limx→x 0 [ x − x ∙ 0

Για x ≠ x0 ϋχουμε : f x − f x0 =

∙ x − x0 οπότε

limx→x 0 [f x − f x0 ] =

x − x0 ] ∙ = limx→x 0

f x − f x0 x − x0

∙ limx→x 0 x − x0 = f ′ x0 ∙ 0 = 0

αφού η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο x0 . Ωρα δεύξαμε ότι limx⟶x 0 f x − f(x0 ) = 0 ⇔ lim f x = f(x0 ) δηλαδό η f εύναι ςυνεχόσ ςτο x0 . x→x 0

3. Αν f(x)=c να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ (x)=0 Για x ≠ x0 ϋχουμε : f ′ x0 = limx→x 0

f x − f x0 x − x0

= limx→x 0

c −c x − xo

=0 .

= limx→x 0

x − x0 x − xo

= limx→x 0 1 = 1 .

4. Αν f(x)=x να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ (x)=1 Για x ≠ x0 ϋχουμε : f ′ x0 = limx→x 0

f x − f x0 x − x0

5. Αν 𝐟 𝐱 = 𝐱 𝛎 να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ 𝐱 = 𝛎𝐱 𝛎−𝟏 f x − f x0 x − x0 x0ν−1 = x0ν−1

Για x ≠ x0 ϋχουμε : f ′ x0 = limx→x 0 = limx→x 0 x ν−1 + x ν−2 x0 + ⋯ +

+ x0ν−1 +

𝟏

6. Αν 𝐟 𝐱 = 𝐱 να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ 𝐱 = 𝟐 Για x ≠ x0 ϋχουμε : f ′ x0 = limx→x 0 =limx→x 0

−

x − x0 ( x + x0 )

= limx→x 0

f x − f x0 x − x0

x−x 0 x ν −1 +x ν −2 x 0 +⋯+x ν0 −1 x ν − x ν0 = lim x→x 0 x − xo x − x0 ⋯ x0ν−1 = ν x0ν−1 . Ωρα f ′ x = νx ν−1 .

= limx→x 0

𝐱

, 𝐱>0 = limx→x 0

x − x0 x − x0 x + x0

2005 Ε−2009 Ε x − x0 x − xo

= limx→x 0

1 x + x0

1 2 x0

x − x0

x + x0

x − x0 ( x + x0 )

. Ωρα f ′ x =

= 1 2 x

7. Αν 𝐟 𝐱 = 𝐱 −𝛎 , 𝛎 ∈ ℕ∗ να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ 𝐱 = −𝛎𝐱 −𝛎−𝟏 Πρϊγματι : f ′ x = x −ν

′

1 ′ xν

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

1 ′ xν − 1 xν ′ xν 2

− ν x ν −1 x 2ν

= −ν x −ν−1 .

Σελίδα 107

8. Αν f(x =εφx να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ 𝐱 = Πρϊγματι : f ′ x = εφx ′ =

ημ x ′ ςυν x

𝟏 𝛔𝛖𝛎𝟐 𝐱

ημ x ′ ςυν x−ημ x ςυν x ′ ςυν 2 x

ςυν x ςυν x+ημ x ημ x ςυν 2 x

ςυν 2 x + ημ 2 x ςυν 2 x

1 ςυν 2 x

9. Αν 𝐟 𝐱 = 𝐱 𝛂 , 𝛂 ∈ ℝ − ℚ , 𝐱 > 0 να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ 𝐱 = 𝛂𝐱 𝛂−𝟏 . Πρϊγματι αν , y = x α = eαlnx και θϋςουμε u=αlnx , τότε ϋχουμε : y = eu . 1 α Επομϋνωσ y ′ = eu ′ = eu ∙ u′ = eαlnx ∙ αlnx ′ = eαlnx ∙ α ∙ x = x α ∙ x = α ∙ x α−1 10. Αν 𝐟 𝐱 = 𝛂𝐱 , 𝛂 > 0 να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ 𝐱 = 𝛂𝐱 𝐥𝐧𝛂 Πρϊγματι αν , y = αx = exlna και θϋςουμε u = xlnα , τότε ϋχουμε : y = eu . Επομϋνωσ y ′ = eu ′ = eu ∙ u′ = exln α ∙ xlnα ′ = exln α ∙ lnα = ax lnα . 11. Αν 𝐟 𝐱 = 𝐥𝐧 𝐱 , 𝐱 ≠ 𝟎 να αποδεύξετε ότι 𝐟 ′ 𝐱 =

𝟏 𝐱

(2008 ) 1

- Αν x > 0 τότε f x = ln x = lnx , ϊρα f ′ x = lnx ′ = x - Αν x < 0 τότε f x = ln x = ln⁡(−x) οπότε θϋτουμ ε y = ln −x και u = −x ϋχουμε y = lnu . 1 1 1 1 Επομϋνωσ: y ′ = lnu ′ = ∙ u′ = ∙ −x ′ = ∙ −1 = . u

Ωρα ςε κϊθε περύπτωςη f ′ x =

–x

1 x

12. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ςε ϋνα διϊςτημα Δ . Αν f ςυνεχόσ ςτο Δ και 𝐟 ′ 𝐱 =0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ τότε να αποδεύξετε ότι η f εύναι ςταθερό ςε όλο το διϊςτημα Δ. 2004 Ε−2009−2014) Για να εύναι f ςταθερό ςτο Δ , αρκεύ να δεύξουμε ότι ∀ x1 , x2 ∈ Δ ιςχύει f x1 = f x2 . − Αν x1 = x2 , τότε προφανώσ f x1 = f x2 − Αν x1 < x2 τότε αφού f ςυνεχόσ ςτο x1 , x2 ] , f παραγωγύςιμη ςτο x1 , x2 ) , τότε η f ικανοποιεύ τισ υποθϋςεισ f x − f x1 του Θεωρόματοσ Μϋςησ Σιμόσ , ϊρα θα υπϊρχει ξ ∈ (x1 , x2 ) τϋτοιο ώςτε f ′ ξ = 2 x2 − x1

Επειδό το ξ εςωτερικό ςημεύο του Δ τότε: f x −f x f ′ ξ = 0 ⇔ x2 − x 1 = 0 ⇔ f x2 − f x1 = 0 ⇔ f x1 = f x2 2

− Αν x1 > x2 τότε ομούωσ αποδεικνύεται ότι f x1 = f x2 Ωρα ςε κϊθε περύπτωςη ϋχουμε ότι f x1 = f x2 , οπότε η f εύναι ςταθερό ςε όλο το Δ. 13. Ϊςτω δύο ςυναρτόςεισ f , g οριςμϋνεσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ . Αν f , g εύναι ςυνεχεύσ ςτο Δ και 𝐟 ′ (x)=𝐠 ′ (x) για κϊθε εςωτερικό ςημεύο του Δ , τότε υπϊρχει ςταθερϊ c τϋτοια , ώςτε για κϊθε x ∈ 𝜟 να ιςχύει f(x)=g(x)+c . − Η ςυνϊρτηςη f − g εύναι ςυνεχόσ ςτο Δ ωσ διαφορϊ ςυνεχών ςυναρτόςεων − Για κϊθε x εςωτερικό ςημεύο του Δ ιςχύει : f − g ′ x = f ′ x − g ′ x = 0 Ωρα η ςυνϊρτηςη f − g εύναι ςταθερό , οπότε υπϊρχει ςταθερϊ c ώςτε : f x − g x = c ⇔ f x = g x + c . 14. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ςε ϋνα διϊςτημα Δ . Αν f ςυνεχόσ ςτο Δ και 𝐟 ′ 𝐱 >0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο x του Δ τότε να αποδεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςε όλο το διϊςτημα Δ. (2006−2012) Για να εύναι f γνηςύωσ αύξουςα ςτο Δ , αρκεύ να δεύξουμε ότι ∀ x1 , x2 ∈ Δ με x1 < x2 ιςχύει f x1 < f x2 − Αφού f ςυνεχόσ ςτο x1 , x2 ] , f παραγωγύςιμη ςτο x1 , x2 ) , τότε η f ικανοποιεύ τισ υποθϋςεισ του Θεωρόματοσ f x − f(x ) Μϋςησ Σιμόσ , ϊρα θα υπϊρχει ξ ∈ (x1 , x2 ) τϋτοιο ώςτε f ′ ξ = x2 − x 1 ⇔ f x2 − f x1 = (x2 − x1 ) f ′ ξ 2

− Επειδό f ′ ξ > 0 και x2 − x1 > 0 θα εύναι και f x2 − f x1 > 0 ⇔ f x1 < f x2 Ωρα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςε όλο το Δ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 108

15. Απόδειξη Θεωρόματοσ Fermat

(2004−2011−2016 Ε

− Ασ υποθϋςουμε ότι η f παρουςιϊζει ςτο x0 τοπικό μϋγιςτο. Επειδό το x0 εύναι εςωτερικό ςημεύο του Δ και η f παρουςιϊζει ςε αυτό τοπικό μϋγιςτο , υπϊρχει δ > 0 τϋτοιο ώςτε x0 − δ , x0 + δ ⊆ Δ και f(x) ≤ f(x0 ) 1 για κϊθε x ∈ x0 − δ , x0 + δ . f x −f x f x −f x − Επιπλϋον η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο x0 , ϊρα : f ′ x0 = limx→x +0 x − x 0 = limx→x −0 x − x 0 0

Επομϋνωσ : − αν x ∈ x0 − δ , x0 τότε x < x0 ⇔ x − x0 < 0 και λόγω τησ 1 θα εύναι f x − f(x0 ) ≤ 0 ϊρα οπότε θα ϋχουμε f ′ x0

f x − f(x ) = limx→x −0 x− x 0 0

f x − f x0 x − x0 ′

Ωρα από τισ ςχϋςεισ 1 και 2 ϋχουμε f

≥0

≥ 0 ( 2)

− αν x ∈ x0 , x0 + δ τότε x > x0 ⇔ x − x0 > 0 και λόγω τησ 1 θα εύναι f x − f(x0 ) ≤ 0 ϊρα οπότε θα ϋχουμε f ′ x0 = limx→x +0

f x − f x0 x− x 0

f x − f x0 x − x0

≤0

≤ 0 (3)

x0 = 0 .

16. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα α , β , με εξαύρεςη ύςωσ ϋνα ςημεύο του 𝐱𝟎 ςτο οπούο όμωσ η f εύναι ςυνεχόσ. Αν 𝐟 ′ (x >0 ςτο α , 𝐱𝟎 και 𝐟 ′ (x <0 ςτο 𝐱𝟎 , β , τότε να αποδεύξετε ότι το f(𝐱𝟎 ) εύναι τοπικό μϋγιςτο τησ f 2012 Ε−2016) − Αφού f ςυνεχόσ ςτο x0 και f ′ (x)>0 για κϊθε x ∈ α , x0 ) τότε η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο α , x0 ] Ϊτςι ϋχουμε : x ≤ x0 ⇔ f(x) ≤ f(x0 ) 1 για κϊθε x ∈ α, x0 ] . − Αφού f ςυνεχόσ ςτο x0 και f ′ (x <0 για κϊθε x ∈(x0 ,β τότε η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο x0 , β Ϊτςι ϋχουμε : x ≥ x0 ⇔ f(x) ≤ f(x0 ) 2 για κϊθε x ∈[x0 , β . − Ωρα από τισ ςχϋςεισ 1 και 2 ϋχουμε f(x) ≤ f(x0 ) , για κϊθε x ∈ α , β , που ςημαύνει ότι το f(x0 ) εύναι μϋγιςτο τησ f ςτο α , β και ϊρα τοπικό μϋγιςτο αυτόσ. 17. Ϊςτω μια ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα α , β , με εξαύρεςη ύςωσ ϋνα ςημεύο του 𝐱𝟎 ςτο οπούο όμωσ η f εύναι ςυνεχόσ. Αν η 𝐟 ′ (x διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο (𝛂, 𝐱𝟎 ) ∪ (𝐱𝟎 , 𝛃), τότε το f( 𝐱𝟎 δεν εύναι τοπικό ακρότατο και η f εύναι γνηςύωσ μονότονη ςτο α , β . 2014 Ε −Αφού η f ′ (x διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο (α, x0 ) ∪ (x0 , β), ϋςτω ότι f ′ (x >0 για κϊθε x ∈ (α , x0 ) ∪ (x0 , β). Επειδό η f εύναι ςυνεχόσ ςτο x0 , θα εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςε καθϋνα από τα διαςτόματα α , x0 και x0 , β . Επομϋνωσ για x1 < x0 < x2 ⇒ f x1 < f x0 < f x2 . Ωρα το f x0 δεν εύναι τοπικό ακρότατο τησ f . − Θα δεύξουμε τώρα ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο α , β . Πρϊγματι , ϋςτω x1 , x2 ∈ α , β με x1 < x2 . Αν x1 , x2 ∈ α , x0 ] , επειδό η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο α , x0 ] θα εύναι f x1 < f x2 Αν x1 , x2 ∈ [x0 , β , επειδό η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο x0 , β θα εύναι f x1 < f x2 Αν x1 < x0 < x2 ⇒ f x1 < f x0 < f x2 Επομϋνωσ ςε όλεσ τισ περιπτώςεισ ιςχύει f x1 < f x2 , οπότε η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο α , β . 18. Ϊςτω f μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςε ϋνα διϊςτημα Δ . Αν F εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο Δ , να αποδεύξετε ότι: − Όλεσ οι ςυναρτόςεισ τησ μορφόσ G(x)=F(x)+c , c ∈ ℝ εύναι παρϊγουςεσ τησ f ςτο Δ . − Κϊθε ϊλλη παρϊγουςα G τησ f ςτο Δ παύρνει την μορφό G(x)=F(x)+c , c ∈ ℝ 2003Ε−2010−2015 Ε − Κϊθε ςυνϊρτηςη τησ μορφόσ G(x)=F(x)+c , c ∈ ℝ εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο Δ αφού : G′ x = F x + c ′ = F ′ x = f x για κϊθε x ∈ Δ − Ϊςτω G εύναι μια ϊλλη παρϊγουςα τησ f ςτο Δ . Σότε για κϊθε x ∈ Δ ιςχύουν οι ςχϋςεισ : F ′ (x)=f(x και G′ (x)=f(x , οπότε θα εύναι και F ′ (x)= G′ (x) για κϊθε x ∈ Δ . Ωρα από το πόριςμα τησ ςταθερόσ ςυνϊρτηςησ θα υπϊρχει ςταθερϊ c ∈ ℝ τϋτοια ώςτε G(x)=F(x)+c , για κϊθε x ∈ Δ .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 109

19. Ϊςτω f μια ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ςε ϋνα διϊςτημα α , β . Αν G εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο α , β , 𝛃 να αποδεύξετε ότι ∫𝛂 𝐟 𝐭 𝐝𝐭 = 𝐆 𝛃 − 𝐆 𝛂 . ( 2002−2008 Ε−2013) x

′

Γνωρύζουμε ότι η ςυνϊρτηςη F x = ∫α f t dt εύναι μια παρϊγουςα τησ f , αφού F ′ x = ∫α f t dt = f x . Επειδό και η G εύναι μια παρϊγουςα τησ f ςτο α , β , θα υπϊρχει c ∈ ℝ ώςτε : G(x)=F(x)+c. (1) α − Για x=α η (1)⇒ G α = F α + c = ∫α f t dt + c = c , ϊρα c = G α , επομϋνωσ G(x)=F(x)+G α . (2) β

− Για x = β η (2)⇒ G β = F β + G α ⇔ G β = ∫α f t dt + G(α) ⇔ ∫α f t dt = G β − G α .

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 110

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 111

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 112

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 113

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

Σελίδα 114