Apostila de Física by Emanuelle Cardoso

Universidade Aberta do Brasil Universidade Federal do EspĂrito Santo

FĂsica

Licenciatura

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Núcleo de Educação Aberta e a Distância

INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS I (ICF1)

José Alexandre Nogueira Vitória 2008

Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Universidade Aberta do Brasil Celso Costa Universidade Federal do Espírito Santo Reitor Rubens Sergio Rasseli Vice-Reitor e Diretor Presidente do Ne@ad Reinaldo Centoducatte

Diretora Administrativa do Ne@ad e Coordenadora UAB Maria José Campos Rodrigues

Coordenadora do Curso de Dimensões da Humanização, modalidade a distância Claudia Murta

Coordenador Adjunto UAB Valter Luiz dos Santos Cordeiro

Revisor de Conteúdo Arthur Octávio de Melo Araújo

Design Gráfico LDI - Laboratório de Design Instrucional

Revisora Ortográfica Regina Egito

Ne@ad Av.Fernando Ferrari, n.514 CEP 29075-910, Goiabeiras Vitória - ES 4009 2208

Pró-Reitora de Graduação Isabel Cristina Novaes Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação Francisco Guilherme Emmerich Pró-Reitor de Extensão Aparecido José Cirillo

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil) _____________________________________________________________ N778i

Nogueira, José Alexandre Introdução às ciências fícisas I: (ICF1)/ José Alexandre Nogueira. - Vitória: Universidade Federal do Espírito Santo, Núcleo de Educação Aberta e à Distância, 2009. 68 p.: il. Inclui bibliografia. ISBN: 9788589858458 1. Física. I. Título.

CDU: 165.742

LDI coordenação Heliana Pacheco, José Otavio Lobo Name, Octavio Aragão Gerência Verônica Salvador Vieira Ilustração Lidiane Cordeiro e André Wandenkolken Editoração/ Capa Emanuelle Cardoso

Impressão GSA Gráfica e Editora

PARTE 1 1. INTRODUÇÃO À FÍSICA 1.1. A Física e o Método Científico 1.2. Grandezas físicas fundamentais 1.3. Incerteza e algarismos significativos 1.4. Ordem de grandeza 1.5. Análise dimensional ATIVIDADES PROPOSTAS PARTE 2 2. ÓPTICA GEOMÉTRICA 2.1. Princípios da Óptica Geométrica 2.2. Reflexão 2.3. Refração 2.4. Reflexão total 2.5. Lentes 2.6. Dispersão da luz 2.7. Dioptro plano 2.8. Miragem 2.9. Arco-íris ATIVIDADES PROPOSTAS PARTE 3 3. O SISTEMA SOLAR 3.1. O Sistema Solar 3.2. A Terra 3.3. A Lua 3.4. Os eclipses 3.5. O movimento dos planetas 3.6. Formação e evolução do Sistema Solar ATIVIDADE PROPOSTAS

46 e 47 49

Sumário

PARTE 4 4. INTRODUÇÃO À MECÂNICA NEWTONIANA DE UMA PARTÍCULA 4.1. Introdução 4.2. Vetor posição 4.3. Velocidade 4.4. Quantidade de movimento ou momento linear 4.5. Força 4.6. As Leis de Newton 4.7. Referenciais inerciais e não-inerciais 4.8. Aplicações das Leis de Newton 4.9. Força de atrito 4.10. Forças de arrasto 4.11. Força elástica ATIVIDADES PROPOSTAS

Como bibliografia sugerimos os livros: 1- Francisco Ramalho Jr., Nicolau Gilberto Ferraro e Paulo Antônio de Toledo Soares; “Os fundamentos da Física”; volumes 1 e 2, 8a edição, Editora Moderna, São Paulo, 2003. 2- Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio; “Física Clássica”; Cinemática, 2a edição, Editora Atual, São Paulo, 1998. 3- Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio; “Física Clássica”; Dinâmica e Estática, 2a edição, Editora Atual, São Paulo, 1998. 4- Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio; “Física Clássica”; Óptica e Ondas, 2a edição, Editora Atual, São Paulo, 1998. 5- Alberto Gaspar; “Física”; volumes 1 e 2, 1a edição, Editora Ática, São Paulo, 2003.

Referências [1] Pierre Lucie; “Física Básica”; Mecânica 1, 1º volume, Editora Campus Ltda. , Rio de Janeiro, 1979.

NOTAS DO AUTOR

Antes de iniciarmos nosso curso propriamente dito é conveniente darmos algumas “palavras”. O nível do curso é o que acreditamos ser adequado e aconselhável a uma boa formação de um licenciado em Física. Não pretendemos elaborar um curso fácil, com a justificativa de que é a distância. Acreditamos que um domínio mínimo necessário dos conceitos e do formalismo da Física elementar exige esforço, trabalho e paciência. Porém, feito isto, teremos atingido nosso principal objetivo: formar não só bons profissionais, mas pessoas de caráter. Nas palavras de Pierre Lucie: “... convencer esta juventude de que as coisas do espírito, a formação honesta do homem e do cidadão, mudaram muito pouco desde o século de Péricles, e que os pequenos esforços, os “facilitários” intelectuais podem preparar futuras falências de caráter”[1]. De forma semelhante, nas palavras de Bill Gates: “... a política educacional de vida fácil para as crianças, tem criado uma geração sem conceito de realidade, e esta política tem levado as pessoas a falharem em suas vidas posteriores à escola.”

José Alexandre Nogueira

I. Introdução à física 1.1 A Física e o Método Científico 1.2 Grandezas físicas fundamentais 1.3 Incerteza e algarismos significativos 1.4 Ordem de grandeza 1.5 Análise dimensional

Parte 1

Introdução à física

1.1. A Física e o Método Científico Infelizmente em quase sua totalidade os cursos de Física do ensino médio iniciam sem dar a devida importância ao que é a Física, e pior, ao que é “fazer” Física, embora, em sua maioria, os livros didáticos de Física do ensino médio tenham um capítulo introdutório sobre o assunto. Dessa forma, deixam de lado sua essência e sua beleza, tornando-a, como muitos estudantes dizem um “monte” de fórmulas. Portanto, nesse início pretendemos mostrar que “fazer” Física é tão divertido quanto brincadeira de criança, basta retornamos a sua essência. “Fazer” Física é ser curioso, é querer usar “as leis” da natureza em benefício da humanidade, criando os princípios tecnológicos que permitem (ou deveriam permitir) a evolução do bem-estar social. Quando somos crianças, deparamo-nos com um mundo desconhecido e cheio de novidades. Tantas são as perguntas que fazemos, tantos são os porquês para os quais queremos respostas. Buscar as respostas para essas e muitas outras perguntas é uma necessidade instintiva da maioria de nós. É curiosidade quando crianças e pode ser necessidade quando adultos. Assim, o “cientista” não é apenas como uma criança curiosa. É também aquele que busca encontrar as respostas que possam ajudar o homem a dominar o meio em que vive e utilizá-lo para seu melhor bem-estar. Podemos dizer que a ciência é a atividade humana responsável por investigar, compreender e descrever o mundo que nos cerca. Assim, tentamos compreender as regras do imenso e maravilhoso “jogo” da natureza, fazendo parte dele. Dessa forma, ao contrário das palavras de Richard Feynmann; somos parte integrante do jogo de xadrez. Usando algo mais atual, é como se fôssemos transportados para o interior de um jogo de computador ou video-game e tivéssemos que fazer parte do jogo e ao mesmo tempo descobrir e entender suas regras. Ainda, da mesma forma que muitas vezes conhecemos as regras do jogo, mas não temos as “manhas” de como jogá-lo, podemos conhecer algumas regras do jogo da natureza, entretanto não sabemos como usá-las em nosso benefício.

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Entender a natureza é como aprender a jogar xadrez somente assistindo à partida” Richard Feynmann

José Alexandre Nogueira

Se “fazer” Física é tentar compreender o jogo da natureza, descobrindo suas regras, então todos nós “fazemos” ou já “fizemos” Física. Mas como a pergunta “boba” é aquela que não foi feita, quem disse que existem regras? É preciso acreditar que existam regras, mas não temos certeza disso e nem que elas não possam ser mudadas. Temos apenas fortes evidências disso. É como num jogo, se uma peça sempre se move daquele modo, acreditamos que existam regras para o movimento daquela peça. Enunciamos as regras e, se os novos movimentos da peça são como prevíamos, então acreditamos que nosso enunciado das regras está correto. Porém, nada garante que em algum outro lugar as regras para o movimento da mesma peça não sejam diferentes, ou que no passado eram essas as regras, ou que no futuro serão essas as regras. Ou ainda, como em um jogo com vários níveis, em que as regras se tornam mais amplas e rigorosas quanto mais alto é o nível. Teremos de rever o enunciado das regras que formulamos e que acreditávamos serem as corretas quando passamos para um nível mais alto. Dessa forma, a Física não é imutável e, sim, ao contrário, cresce e se modifica. Por vezes acreditamos ter alcançado o nível mais alto do jogo. Entretanto, acabamos descobrindo que estávamos enganados. Se não somos capazes de garantir que encontramos as regras de todo o jogo ou as verdadeiras regras, isto é, a verdade final e acabada, então do que vale o que temos? De muito. As teorias na Física têm o que chamamos limites de validade: elas se aplicam a uma determinada região de validade. É como dizer que naquele nível do jogo as regras que enunciamos se aplicam, mesmo não sendo aplicáveis em um nível mais alto. Na busca de encontrar as respostas e descobrir como descrever a natureza, a ciência precisa de um método de trabalho, e é nisso que difere o cientista do filósofo, do religioso, ou de outra pessoa qualquer. Esse método de trabalho deve ser partilhado por toda a comunidade científica, deve ter critérios claros, uma metodologia de investigação que não dependa de quem investigue, isto é, que descarte as ilusões dos sentidos, os preconceitos, as crenças pessoais, as superstições. Ele é chamado de Método Científico. E o que caracteriza o método científico? A observação e a experimentação, daí o termo método experimental. A observação consiste em um exame crítico e cuidadoso de um fenômeno durante o qual se analisam os diferentes fatores e circunstâncias que parecem influenciá-lo. Contudo, na maioria dos casos não temos ou temos muito pouco controle sobre os fenômenos que ocorrem na natureza. Por esse motivo temos a necessidade da experimentação, que permite a observação do fenômeno em condições previamente estabelecidas e controladas, de forma a podermos mais facilmente determinar suas influências. De uma maneira simples podemos descrever o Método Científico da seguinte forma. Observamos um fenômeno. Fazemos algumas hipóteses, criando uma versão simplificada do fenômeno, chamada modelo físico e, a fim de torná-lo quantitativo, o traduzimos para uma linguagem matemática criando o modelo matemático. Nosso modelo, então, deve ser capaz de fazer previsões. Para confirmar o modelo, devemos testar as hipóteses e as previsões do modelo, realizando um número elevado de experimentos controlados e que possam ser reproduzidos por outros membros da comunidade cien12

Introdução à Ciências Físicas 1

tífica. Se confirmadas as previsões do modelo, temos uma teoria. Depois de testada exaustivamente e verificada experimentalmente uma teoria pode finalmente ser promovida a lei. Embora a Física seja uma ciência basicamente experimental, é claro que a experimentação não é a única ferramenta do físico. Usando seu poder de abstração, um físico pode, a partir de resultados previamente conhecidos, inferir novos conhecimentos pelo método teórico. Ele constrói um modelo puramente teórico ou adequado a um determinado fenômeno físico e, aplicando um raciocínio lógico e dedutivo ao modelo, em sua maioria apoiado em técnicas matemáticas, ele pode prever algum fenômeno físico desconhecido (ou vários) ou relações desconhecidas entre fenômenos já observados. É através desse inter-relacionamento entre teoria e experimento que se desenvolve de forma sólida a ciência. É em sua capacidade de abstrair que talvez esteja a genialidade do ser humano. O Método Científico para existir parte do princípio da imutabilidade dos processos da natureza, pois, como dissemos anteriormente nada garante que as regras não mudem de jogo para jogo, isto é, que foram essas e que sempre serão essas. Ainda, o Método Científico se baseia na indução (forma de raciocínio que extrai uma verdade geral a partir da observação de um grupo particular) e na dedução (forma de raciocínio que extrai uma verdade particular de uma verdade geral), apoiadas na repetição dos experimentos e imutabilidade dos processos naturais. A pergunta fatal é: quantas observações experimentais são necessárias para garantir a veracidade de uma lei? Não existe tal resposta. A nossa ciência “exata” e quantitativa não pode dizer quanto? Estamos, então, de face a um enorme problema. O que fazer? Esse problema foi contornado por Karl Popper, que introduziu o conceito de falsificabilidade ou falseabilidade segundo o qual, uma hipótese ou uma teoria só é considerada científica, se por meio de algum experimento real ou imaginário for possível provar sua falsidade. Isso quer dizer que, mesmo que haja um consenso sobre uma hipótese ou uma teoria, é necessário que se mantenha a possibilidade de ser negada. Isso está fortemente associado ao fato de que uma teoria nunca é definitiva, o que é parte essencial do método científico. Naturalmente isso introduz uma profunda mudança no foco das concepções da ciência. Ela deixa de se basear em experimentos que comprovem uma teoria e passa buscar por experimentos que a contradizem. Assim, quanto mais perdura uma teoria, maior nossa crença nela. Contudo, não existem teorias comprovadas e tidas como verdades absolutas e sim teorias que ainda não foram derrubadas. Isso fica bem exemplificado nas palavras de Einstein. Uma teoria que de alguma forma é derrubada, não necessariamente é abandonada. Em muitos casos o que determinamos são seus (novos) limites de validade. Embora a teoria da relatividade tenha derrubado a crença na verdade suprema da mecânica newtoniana, esta não foi descartada, sendo ainda empregada nos fenômenos cotidianos com excelentes resultados. Do exposto acima podemos agora responder, ou melhor, definir o que é a Física. A Física é a ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais universais, usando o Método Científico para fazê-lo. Em sua forma mais fundamental, é a ciência do mundo natural que

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Minhas idéias levaram as pessoas a reexaminar a física de Newton. Naturalmente alguém um dia irá reexaminar minhas próprias idéias. Se isto não acontecer haverá uma falha grosseira em algum lugar”. Albert Einstein

José Alexandre Nogueira

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A ciência onde nunca se sabe de que se está falando nem se o que se está dizendo é verdade”. Bertrand Russel

trata das componentes fundamentais do universo, as interações entre elas, e os resultados dessas interações. O termo vem do grego (physiké), que significa natureza. Dessa forma podemos concluir que a Física é a mais fundamental das ciências naturais e fornece muito dos conceitos sobre os quais apóiam-se as bases das demais ciências naturais. Do campo de estudos da Física fazem parte fenômenos físicos em uma muito ampla escala de comprimentos: das partículas fundamentais das quais toda matéria é formada ao comportamento do universo como um todo. É difícil atualmente definir ou delimitar o campo de atuação da Física, pois não é um conjunto de conhecimentos completos e imutáveis, e, sim, em crescimento e modificação, isto é, em contínua evolução. Constantemente novos campos de atuação estão surgindo. Fenômenos aparentemente sem quaisquer relações revelam-se como aspectos diferentes de um único fenômeno mais geral. A Física é uma ciência quantitativa, e por isso chamada de Ciência Exata, que utiliza a linguagem muito poderosa da Matemática para expressar suas idéias. Entretanto, para o físico, a Matemática é um instrumento, e é menos importante do que a compreensão das idéias físicas. Cabe aqui um comentário sobre as relações entre a Física e a Matemática. No método axiomático tudo é deduzido a partir de axiomas, porém a validade desses axiomas no mundo real não está em questão. Veja como Bertrand Russel definiu a Matemática. Para exemplificar: conforme o conjunto de axiomas adotado, temos uma geometria euclidiana ou uma das geometrias não-euclidianas; para a Matemática não cabe a questão de qual delas realmente descreve nosso mundo físico, porém para a Física é de fundamental importância saber qual delas descreve o mundo em que vivemos. A busca pelas explicações dos fenômenos naturais deve ser tão antiga quanto a humanidade. Entretanto, a Física como a conhecemos, isto é, a Física dos tempos modernos (não confundir com Física Moderna da qual falaremos adiante) tem seu marco de início em 1638 com a obra de Galileu: “Os Discursos sobre duas novas Ciências”. Além de promover a investigação científica, Galileu tem a sensibilidade de que deve ser usada uma linguagem especial para descrever as observações e os resultados. Essa poderosa linguagem é a Matemática. Assim, a investigação científica apoiada pelo uso da linguagem matemática é o cerne da chamada revolução científica do século XVII. A partir daí tem-se o desenvolvimento da chamada Física Clássica, que perdura até final do século XIX. Em geral, a Física Clássica é dividida em ramos, conforme o objeto de estudo. Assim, temos: JJ A Mecânica que estuda o movimento dos corpos, suas causas e seus efeitos. JJ A Termologia que estuda os fenômenos que envolvem as trocas de calor. JJ A Óptica que estuda os fenômenos luminosos. JJ A Acústica que estuda os fenômenos sonoros. JJ O Eletromagnetismo que estuda os fenômenos elétricomagnéticos.

Introdução à Ciências Físicas 1

Até por volta do final do século XIX, período da Física Clássica, os físicos acreditavam existirem duas entidades bem definidas e distintas: as partículas e as ondas. As partículas são bem localizadas, ocupando um ponto no espaço, e o estado de uma partícula pode ser unicamente descrito pela sua posição (um ponto no espaço) em função do tempo. Ao contrário, uma onda ocupa uma determinada região do espaço, e seu estado pode ser unicamente determinado por uma função escalar ou vetorial das coordenadas e do tempo. Assim, qualquer entidade física, ou era uma partícula (ou um sistema de partículas), ou era uma onda. As propriedades de uma partícula e de uma onda são bem definidas e serviam, até então, para caracterizar unicamente uma partícula ou uma onda. Por exemplo, a luz era tida como uma onda, porque sofria difração e interferência, fenômenos que caracterizavam uma onda. Enquanto uma bola de bilhar era partícula (na verdade um sistema de partículas), pois era bem localizada e não sofria interferência ou difração. Contudo, por volta do final do século XIX e início do século XX, foram observados novos fenômenos e realizados experimentos, os quais somente puderam ser explicados, porque entidades que eram tidas como ondas, foram consideradas como partículas e vice-versa. Desta forma os físicos já não podiam afirmar que uma entidade era uma partícula ou uma onda, pois a mesma entidade podia em um determinado experimento se comportar como onda e em outro como partícula. A isso foi dado o nome de dualidade onda-partícula. Note-se que a dualidade onda-partícula não significa que em um experimento uma entidade pode se comportar ora como partícula, ora como onda, e, sim, que uma dada entidade em um determinado experimento se comporta como partícula e sempre se comportará como partícula naquele experimento, desde que mantidas as mesmas condições e em algum outro experimento se comporta como onda e se comportará nesse experimento sempre como onda. Por exemplo: no experimento de Young (a passagem de um feixe de luz através de duas fendas em um anteparo) a luz sempre se comporta como onda (desde que sua intensidade não seja muito, muito pequena), entretanto no efeito fotoelétrico (emissão de elétrons por um metal devido à incidência de um feixe de luz sobre ele) a luz se comporta sempre como partícula, chamada fóton. Assim, os físicos viram-se na necessidade de reverem as leis da Física Clássica, mais propriamente a mecânica newtoniana. Surge, então, a mecânica quântica. Isso não quer dizer que devemos descartar a mecânica newtoniana. Como já dito anteriormente, a mecânica newtoniana tem seu limite de validade e explica e prevê com grande precisão fenômenos de nossa vida cotidiana. Daí podemos tirar duas conclusões: a mecânica quântica deve explicar e ser capaz de prever novos fenômenos que envolvam pequenas dimensões e ter como limite a mecânica newtoniana para dimensões que envolvam fenômenos do cotidiano. Assim, em geral uma nova teoria representa uma generalização da antiga, ampliando seu limite de validade, mas contendo-a como caso particular ou limite. No início do século XX, com as publicações de Einstein, surge a Relatividade, mais precisamente em 1905, a Relatividade Restrita ou Especial e, em 1915, a Relatividade Geral, obras da genialidade abstraJosé Alexandre Nogueira

ta do intelecto humano. O advento da Relatividade é um maravilhoso exemplo de como o método teórico pode ser poderoso. As teorias de Einstein, que contestavam as leis da mecânica newtoniana, tiveram suas previsões comprovadas, primeiramente as da Relatividade especial e posteriormente as da Relatividade Geral. Porém, a mecânica relativística não bane a mecânica newtoniana, mas a tem como um caso limite. A aplicação das leis da mecânica newtoniana tem excelentes resultados nas explicações e previsões dos fenômenos do cotidiano, porém começa a falhar quando as velocidades envolvidas nos fenômenos aumentam muito. Assim, a mecânica relativística deve explicar e ser capaz de prever novos fenômenos que envolvam altas velocidades e ter como limite a mecânica newtoniana para fenômenos que envolvam velocidades do cotidiano. É claro que ficaram as perguntas: Pequeno em que nível? Que altas velocidades? Dizer que algo é grande ou pequeno somente é possível quando comparado com outro. Assim, existem constantes físicas que servem de comparação para respondermos às perguntas acima. No caso da relatividade esta constante é a velocidade da luz no vácuo c (~ 300.000 km/s). Portanto, com altas velocidades queremos dizer velocidades acima de 10% da velocidade da luz no vácuo (~30.000 km/s). Já no caso da mecânica quântica a coisa é um pouco mais sutil, porém a constante nesse caso é a chamada constante de Planck h . As bases fundamentais da mecânica quântica foram lançadas por volta de 1925, quando a relatividade especial já era bem aceita, entretanto, não foi possível, naquela época, construir uma mecânica quântica que já considerasse o princípio da relatividade especial, por motivos conceituais e não matemáticos. Somente mais de vinte anos depois é que foi possível construir uma mecânica quântica relativística, ou, mais apropriadamente, uma Teoria Quântica de Campos. O quadro abaixo resume o exposto neste parágrafo. Os adventos da mecânica quântica e da relatividade marcam o início da chamada Física Moderna. Por fim, não podemos deixar de mencionar Galileu, Newton, Gauss, Lagrange, Hamilton, Noether, Bernoulli, Carnot, Kelvin, Clausius, Joule, Coulomb, Ampère, Faraday, Henry, Maxwell, Einstein, Planck, Boltzmann, Fermi, Dirac, Bohr, Heisenberg, Schroedinger, Born, Pauli, Pauling, Yukawa, e muitos outros que construíram as bases que nos permitiram atingir o atual nível de conhecimento do mundo físico em que vivemos. Nas palavras de Newton: “Se vi mais longe, foi porque subi em ombros de gigantes”.

Introdução à Ciências Físicas 1

Velocidade Maior

Tamanho Maior

Velocidade Menor

Tamanho Menor

Mecânica clássica

Mecânica relativística

Mecânica quântica não-relativística

Teoria quântica de campos

1.2. Grandezas Físicas e fundamentais Quando falamos do Método Científico, introduzimos o conceito de modelo como uma imagem simplificada de um fenômeno mais complicado. Um modelo deve preservar as características principais do fenômeno em estudo e permitir quantificar as observações feitas. Mas que observações? Como dissemos, foi Galileu quem primeiro teve a intuição de usar uma linguagem matemática. Mas, para ser tratado matematicamente o fenômeno estudado, é necessário caracterizá-lo por um conjunto de parâmetros que possam ser medidos. Esses parâmetros são nossas grandezas físicas. É claro que muitas vezes uma grandeza física não pode ser diretamente medida. Os significados físicos e as relações entre as grandezas físicas formam o modelo físico, e, quando essas grandezas são traduzidas para a linguagem matemática, temos o modelo matemático. O modelo físico-matemático assim formado é o que entendemos propriamente como o modelo e deve ser capaz de fazer previsões que possam ser testadas. A pergunta que temos agora é: como medir estas grandezas físicas? Para medi-las precisamos comparar com padrões. Porém, os padrões podem ser os mais diversos. Quando comparamos uma grandeza com um determinado padrão, estamos escolhendo uma unidade de medida para medir aquela grandeza. É claro que o padrão de uma determinada unidade de medida deve ser único. Felizmente nem toda grandeza física precisa de um padrão para ser medida. A maioria das grandezas físicas são o que chamamos de grandezas derivadas, pois são definidas a partir de outras mais fundamentais. Quando escolhemos um conjunto de unidades para medir as grandezas envolvidas, estamos escolhendo o que chamamos um sistema de unidades. Na física existem alguns sistemas de unidades padronizados, sendo o mais usado deles o chamado Sistema Internacional (SI) de unidades. Cada sistema de unidades tem um conjunto mínimo de grandezas, ditas fundamentais do sistema, a partir das quais todas as demais são derivadas e, portanto, um número mínimo de padrões de unidade. Como exemplo, no sistema MKS, que é parte do SI, as grandezas fundamentais são o comprimento, medido em metros (m), a massa, medida em quilogramas (kg) e o tempo, medido em segundos. Também no sistema CGS as grandezas fundamentais são o comprimento, a massa e o tempo, entretanto as unidades de medida são o centímetro, o grama e o segundo, respectivamente. Já no sistema MK*S as grandezas fundamentais são o comprimento, medido em metros, a força, medida em quilograma-força (kgf), e o tempo, medido em segundo. Note-se que no MK*S a massa é uma grandeza derivada e não fundamental.

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1.3. Incertezas e algarismos significativos Medir uma grandeza física é atribuir a ela um determinado valor numérico. Mas para medirmos necessitamos de um instrumento de medida, o qual, de forma simplificada, nos permite comparar nossa grandeza a ser medida com um padrão. O valor numérico obtido por essa medida depende da precisão do aparelho usado. Consideremos a medida do comprimento de uma caneta esferográfica. Se usarmos como aparelho de medida uma régua cujas divisões mínimas são em centímetros, somente podemos afirmar que seu comprimento está entre 14 cm e 15 cm. Uma forma de expressarmos isso é escrevendo o comprimento medido da caneta como 14,5 ± 0,5 cm.

Assim, quando realizamos uma medida experimental, somente podemos afirmar que o valor da grandeza medida se encontra dentro de um intervalo de valores, e a largura desse intervalo depende do aparelho de medida. O valor de metade da largura é o chamado erro experimental ou incerteza da medida. Mais comumente, a incerteza do valor de uma grandeza não é dada explicitamente. Em vez disso, ela é indicada pelo número de algarismos significativos ou confiáveis. Assim, o valor da medida poderia ser expresso como 14 cm, indicando que o primeiro algarismo está correto, enquanto o segundo (4) é incerto. Diríamos, então, que conhecemos o valor do comprimento da caneta com dois algarismos significativos. Assim, expressar o resultado da medida do comprimento da caneta como 14,7 cm seria um equívoco, pois o dígito 4 já é incerto. Entretanto, se a caneta fosse medida com uma nova régua cujas divisões são em milímetro, poderíamos expressar o resultado como 14,7 cm, indicando que os dois primeiros dígitos são confiáveis, enquanto o último (7) é incerto. Nesse caso diríamos que conhecemos o valor do comprimento da caneta com três algarismos significativos. Note-se que, se expressamos o comprimento da caneta como 0,14 m, não alteramos o número de algarismos significativos, embora agora existam três dígitos e não dois dígitos no número. Por essa razão é mais conveniente escrevermos os valores das grandezas físicas em potências de 10, mantendo-se apenas um dígito antes da virgula. Dessa forma o comprimento da caneta fica melhor expresso como 1,4x101 cm ou 1,4x10-1 m. Note-se que em ambos temos apenas dois dígitos indicando que existem dois algarismos significativos. Talvez um melhor exemplo sejam os valores 0,0001 (1x10-4) que somente tem um algarismo significativo, enquanto o valor 0,1000 (1,000x10-1) tem quatro algarismos significativos. Assim, devemos ser mais cuidadosos ao manipularmos dados numéricos, não preservando um número excessivo de dígitos. Por 18

Introdução à Ciências Físicas 1

exemplo, suponhamos que desejássemos determinar a densidade de um cubo de massa 50 (5,0x101) gramas e volume de 3,0 cm3, teríamos d=

50 = 16,66666667 g/cm 3 . 3,0

Porém, o segundo dígito da massa e do volume já é incerto, de forma que não podemos ter certeza do valor da densidade além do primeiro dígito. Portanto, devemos expressar a densidade como 1,7x101 g/cm3. Em operações com valores de grandezas com precisões diversas não faz sentido manter mais algarismos significativos que os da grandeza de menor precisão.

1.4. Ordem de grandeza Muitas vezes é de muito pouco interesse ou valia conhecermos o valor exato de uma determinada grandeza. Estamos mais interessados em uma estimativa do valor dessa grandeza, mais propriamente dito na sua ordem de grandeza. Ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima desse número. Assim, o número de segundos em um ano é de aproximadamente 3x107 s, portanto sua ordem de grandeza é de 107 s. Como ilustração, vamos supor que quiséssemos saber o número de gotas de água em uma piscina olímpica. Para começar devemos estimar a ordem de grandeza do volume de uma gota. Sem cometermos um grande erro, podemos imaginar que uma gota seja um cubo de 1 mm de aresta. Assim, a ordem de grandeza do volume de uma gota seria de 10-9 m3. Considerando que uma piscina olímpica tenha 50m de comprimento, 20m de largura e 2m de profundidade, seu volume seria de 50x20x2 = 2.000 m3. Portanto, o número de gotas na piscina seria de 2000 = 2 x 1012 . -9 10 Por fim, a ordem de grandeza do número de gotas seria de 1012, isto é, um milhão de milhão de gotas.

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1.5. Análise dimensional A cada grandeza está associada uma dimensão. Assim, as grandezas fundamentais do sistema MKS têm dimensões de comprimento L, massa M e tempo T. A dimensão de qualquer outra grandeza pode sempre ser reduzida como uma combinação dessas grandezas. Assim, para a velocidade temos [v] =

[comprimento] [l] = = LT -1 [tempo] [t]

Qualquer equação em física deve ser dimensionalmente correta, isto é, as dimensões devem ser iguais em ambos membros da equação, e os termos de uma soma devem ter dimensões idênticas. Isto é como dizer que limão somente pode ser igual a outro limão e somente podemos somar bananas com bananas. A análise dimensional é uma grande aliada na verificação de nossos resultados, pois, se estamos calculando a massa de algo, o resultado somente pode ter dimensão de massa. Embora a análise dimensional não possa nos dizer se nosso resultado está correto, ela pode nos garantir que está incorreto. Por exemplo, se estamos interessados em determinar o tempo de uma viagem estelar e após a análise dimensional de nosso resultado encontramos que ele tem dimensão de comprimento, temos a certeza que cometemos algum engano em nosso cálculo, entretanto, se a dimensão do resultado é de tempo, isso não garante que ele esteja correto.

Introdução à Ciências Físicas 1

Atividades Propostas Atividade 1: 1.Leitura dos textos nos sites: http://www.projetoockham.org/ferramentas_metodo_1.html http://pt.wikipedia.org/F%C3%ADsica http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_cient%C3%ADfico Atividade 2: 2.Observe ou imagine um fenômeno qualquer. Aplique o método científico para explicá-lo, deixando claras suas hipóteses. 3.Escolha três colegas e envio-o para eles. 4.Dê sugestões e comente a atividade recebida de seus colegas. Atividade 3: 1.Muitos cientistas acreditam que se não podemos descrever um processo para uma grandeza física, ela é desconhecida e desprovida de existência física. Nem todos os cientistas aceitam essa colocação. Quais, na sua opinião, são os méritos e falhas desse ponto de vista? Disponibilize sua resposta para seus colegas e discuta a opinião deles. Atividade 4: 2.Um engenheiro que está construindo uma fundação afirma que precisou injetar 200 metros de concreto. O que ele quer dizer com isso?

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2. óptica Geométrica 2.1. Princípios da Óptica Geométrica 2.2. Reflexão 2.2.1. Espelhos Espelhos planos Espelhos esféricos

2.3. Refração 2.4. Reflexão total 2.5. Lentes 2.6. Dispersão da luz 2.7. Dioptro plano 2.8. Miragem 2.9. Arco-íris

Parte 2

Óptica geométrica O objetivo deste modulo não é o de revisar a óptica geométrica, e, sim, o de exemplificar de forma simplificada o uso do Método Científico em seu estudo. Iniciar com o estudo da óptica geométrica se mostra adequado ao objetivo deste modulo, pois o estudo da óptica geométrica pode ser feito independentemente dos demais ramos da Física, não dependendo de conceitos físicos anteriores, mas apenas de um elementar conhecimento de geometria e trigonometria. 2.1. Princípios da óptica geométrica Nosso objetivo é o de construir uma teoria para fenômenos luminosos possíveis de serem estudados sem a necessidade de considerarmos a natureza da luz. Nossa hipótese fundamental é que a luz nesses fenômenos possa ser tratada como um raio de luz, daí o nome de óptica geométrica. Essa hipótese é sugerida, quando observamos a luz que atravessa um pequeno orifício em um anteparo, é semelhante a uma linha.

Entretanto, quando observamos a emissão de luz por uma lanterna,

José Alexandre Nogueira

vemos que seria melhor considerar a luz não como um raio de luz, mas sim, formada por um feixe de raios de luz. Assim, a luz que atravessa o orifício seria formada por um feixe cilíndrico de raios de luz, enquanto a luz da lanterna seria formada por um feixe cônico de raios de luz. Como a luz é emitida pelas fontes, o orifício e a lanterna nos exemplos acima, parece razoável considerar que esses raios partam da fonte. Desta forma, podemos ter três tipos distintos de feixes de luz: Feixe paralelo

Feixe convergente

Feixe divergente

Da observação cotidiana é fácil notar que a luz se propaga em linha reta no ar ou na água, na maioria dos casos.

Mas o que esses meios têm em comum? Se prestarmos atenção, veremos que esses meios são homogêneos. Temos assim nossa primeira hipótese:

Nos meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta. Em nossa hipótese falamos em meios transparentes. Mas o que são meios transparentes? Mais uma vez, vemos da observação que existem meios através dos quais um objeto pode ser visto com nitidez, tais meios são chamados de transparentes.

Introdução à Ciências Físicas 1

Existem outros que permitem a visualização de objetos através deles, porém sem nitidez. Esses são chamados meios translúcidos.

Por fim, existem meios que não permitem a visualização de objetos através deles. Esses são chamados de meios opacos.

Nossa hipótese pode ser verificada experimentalmente fazendo a luz passar através de pequenos orifícios em diferentes anteparos.

A luz somente atravessa os anteparos, se os orifícios estiverem alinhados. José Alexandre Nogueira

A verificação de nossa hipótese inúmeras vezes sem nunca ter sido contradita tornou-a um dos princípios fundamentais da óptica geométrica. Agora, consideremos o seguinte fenômeno: o cruzamento de dois feixes de luz.

A observação mostra que, após o cruzamento dos feixes, esses se propagam como se nada tivesse ocorrido. Daí concluímos que:

Cada raio de luz se propaga em um meio, independentemente de qualquer outro raio. Outra vez, a verificação experimental inúmeras vezes da hipótese acima, sem nunca ter sido contradita, torna-a outro princípio fundamental da óptica geométrica. Por fim, consideremos os seguintes fenômenos representados na figura abaixo.

(a)

C (b)

A observação mostra que se trocarmos de lugar o anteparo com a fonte, a trajetória do raio laser não se modifica. Daí podemos inferir a seguinte hipótese:

A trajetória seguida pela luz não depende do sentido de percurso. Mais uma vez, a verificação inúmeras vezes da hipótese acima, sem nunca ter sido contradita, torna-a também um dos princípios fundamentais da óptica geométrica. 26

Introdução à Ciências Físicas 1

Em resumo, a observação de alguns fenômenos sofridos pela luz nos permitiu construir os princípios fundamentais da óptica geométrica. Princípio da propagação retilínea Nos meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta. Princípio da independência dos raios de luz Cada raio de luz se propaga em um meio, independentemente de qualquer outro raio. Princípio da reversibilidade dos raios de luz A trajetória seguida pela luz não depende do sentido de percurso.

A não observação de algum fenômeno ou a não existência de um experimento que contradiz os princípios acima, daria a nós uma enorme confiança neles. Porém, isso não é verdade. Existem fenômenos e experimentos, tais como a difração, que os contradizem. Surge então a necessidade de se construir uma outra teoria para a luz que possa explicar esses novos fenômenos e também aqueles que são explicados pela teoria da óptica geométrica acima descrita. Essa nova teoria é a óptica ondulatória. Nela a luz é tratada como uma onda. Contudo, esse é um dos casos que não temos que abandonar por completo nossa antiga teoria. Os princípios fundamentais que norteiam nossa teoria da óptica geométrica construída até aqui se mantêm sempre que as dimensões (a) dos obstáculos e orifícios envolvidos são suficientemente maiores que o comprimento de onda (λ ) da luz. Assim, nossa teoria da óptica geométrica tem um limite de validade, λ << 1 , e está contida na teoria mais abrangente a da óptica ondulatória, sendo um caso limite dessa. A pergunta que poderíamos fazer é: por que usamos a óptica geométrica se temos uma teoria mais ampla e poderosa? A resposta é simples. Devido a sua simplicidade e precisão nos casos que estão dentro de seu limite de validade. Usar a óptica ondulatória nesses casos seria como usar um canhão para matar uma formiga. A teoria da óptica geométrica proposta para a luz, com seus princípios, proposta até aqui, deve, dentro de seu limite de validade, ser capaz se explicar os fenômenos observados ou ser base para novas teorias que a complemente. Também deve ser capaz de fazer previsões. De nossa experiência diária podemos observar que, quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios, os seguintes fenômenos podem ocorrer:

I. A luz incide sobre a interface e retorna ao meio em que estava se propagando. A esse fenômeno damos o nome de reflexão.

José Alexandre Nogueira

II. A luz penetra e se propaga no novo meio. Esse fenômeno é chamado de difração.

III. A luz nem retorna ao meio em que estava se propagando e nem se propaga no novo meio. Ocorre, então, o que chamamos de absorção da luz.

É importante dizermos que em geral, quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios, os três fenômenos podem ocorrer simultaneamente. Entretanto, em muitos casos podemos ter a predominância de um deles.

ar vidro

O que faremos a seguir é o estudo dos dois primeiros desses fenômenos com base na óptica geométrica. Uma vez que a absorção não envolve nova propagação da luz, seu estudo não está ao alcance da óptica geométrica.

Introdução à Ciências Físicas 1

2.2. Reflexão Para darmos início ao nosso estudo da reflexão, vamos substituir um feixe de raios de luz paralelos por quatro raios laser paralelos entre si. Essa troca é um artifício que usamos para melhor podermos visualizar o que acontece com nosso feixe de raios paralelos. Assim, consideramos que cada um dos raios laser se comporte como se fosse um dos raios de luz de um feixe paralelo deles. Façamos o feixe de laser paralelos incidir sobre uma determinada superfície refletora. O resultado é mostrado na figura abaixo.

Reflexão difusa

Como vemos os raios após serem refletidos pela interface não mantêm o paralelismo. Agora, façamos o feixe de raios laser incidir sobre outra superfície refletora.

Reflexão regular

Neste caso vemos que os raios refletidos mantêm o paralelismo. No primeiro caso a reflexão é chamada difusa enquanto no segundo de regular. Mas por que a diferença na reflexão? Não esperamos que seja causada pelos raios laser, já que em ambos os experimentos são idênticos. Também não esperamos que ocorra em face do meio em que se propagam os raios, pois é o mesmo. Então, nossa hipótese mais óbvia é que essa diferença seja causada pela superfície, já que foi mudada. Mas o que na superfície é o responsável? Uma análise cuidadosa das superfícies mostra que a segunda é polida, enquanto a primeira não o é. Portanto, nossa conclusão é que superfícies refletoras bem polidas produzem uma reflexão regular da luz. José Alexandre Nogueira

Vamos estudar a reflexão regular. Como o comportamento de todos os raios laser são idênticos, vamos estudar a reflexão de apenas um sobre a superfície bem polida.

A análise do experimento mostra que parece existir uma simetria entre o raio incidente e o raio refletido em relação a um eixo perpendicular à superfície e que passe pelo ponto de incidência do raio sobre a superfície, chamado normal.

Como quantificar essa simetria e traduzir essa hipótese para uma linguagem matemática? Alguém poderia sugerir que usássemos os ângulos formados pelos raios incidente e refletido com a superfície.

θ2 θ1

Uma comparação mostraria que esses ângulos têm o mesmo valor, matematicamente θ1 = θ2 . A pergunta agora é se esses parâmetros são nossa melhor escolha. Façamos um novo experimento, onde trocamos a superfície plana por uma esférica polida.

Introdução à Ciências Físicas 1

Note-se que ainda parece existir uma simetria, entretanto os ângulos com a superfície ficam difíceis de visualizar (na verdade devemos considerar uma superfície tangente à superfície refletora no ponto de incidência). Assim, os ângulos θ1 e θ2 não parecem ter sido a melhor escolha. Será que existe outra melhor? Uma outra escolha seria o ângulo entre a normal e o raio incidente, chamado de ângulo de incidência, iˆ, e o ângulo entre a normal e o raio refletido, chamado de ângulo ˆ Esses ângulos são facilmente visualizados em ambos de reflexão, r. os casos. A observação também mostra que a normal pertence sempre ao plano gerado pelos raios incidente e refletido. N

Raio refletido

Raio incidente

^ i

superfície refletora

Por fim concluímos com as seguintes hipóteses para o fenômeno da reflexão:

O raio incidente, a normal e o raio refletido pertencem a um mesmo plano. O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. A seguida comprovação experimental, aliada a suas previsões de formação de imagens em espelhos, tornaram as hipóteses acima, a 1a Lei e a 2a Lei da reflexão da luz, na óptica geométrica.

Primeira lei da reflexão da luz O raio incidente, a normal e o raio refletido pertencem a um mesmo plano. Segunda lei da reflexão da luz O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.

José Alexandre Nogueira

2.2.1. Espelhos Como dissemos anteriormente, nossa teoria sobre reflexão da luz deve ser capaz de explicar a formação de imagens em um espelho, bem como ser capaz de prever onde se formarão essas imagens. Chamaremos de espelho qualquer superfície refletora bem polida.

ESPELHOS PLANOS Para iniciarmos, tentaremos explicar a imagem formada por um espelho plano. Vamos considerar um objeto pontual P e um observador O em frente a um espelho plano. Para que o observador veja o objeto pontual, um raio de luz partindo do objeto deve atingir seus olhos. Já a imagem deve ser vista por um raio refletido pelo espelho. Quando o observador olha para o espelho, ele tem a impressão que todos os raios refletidos emergem de um ponto P’ atrás do espelho, que na verdade é a imagem do objeto P refletida pelo espelho.

p’ Para determinarmos a posição de P’ basta escolhermos dois raios.

^ i

d’

o’

r’

^ r

L Das leis da reflexão temos que rˆ’ = rˆ = iˆ e que, portanto, θ = θ ’. Assim, temos que: d d’ , = L L

d = d’ . (1) 32

Introdução à Ciências Físicas 1

No caso da imagem formada por um objeto extenso, podemos considerá-lo como composto por infinitos pontos. O conjunto das imagens desses pontos forma a imagem do objeto extenso. Objeto

Imagem

O’

P’

h’

d’

ESPELHOS ESFÉRICOS Como uma segunda aplicação de nossa teoria sobre reflexão em óptica geométrica, vamos estudar a formação de imagens em um espelho esférico. Nós podemos obter um espelho esférico cortando uma calota de esfera cuja superfície é refletora. Se a superfície refletora for interna da calota, o espelho será dito côncavo. Se a superfície refletora for externa da calota, o espelho será dito convexo.

Espelho côncavo

Espelho convexo

espelho côncavo C

C R ep

espelho convexo

José Alexandre Nogueira

A título de nomenclatura, considerem-se as seguintes definições do que chamamos elementos de um espelho esférico: JJ centro de curvatura do espelho, C: é o centro da superfície esférica da qual a calota foi retirada; JJ raio de curvatura do espelho, R: é o raio da superfície esférica da qual a calota foi retirada; JJ vértice do espelho, V: o ponto mais externo da calota esférica; JJ eixo principal do espelho: é a reta definida pelo centro de curvatura e pelo vértice; JJ eixo secundário do espelho: é qualquer reta que passa pelo centro de curvatura, mas não pelo vértice; JJ abertura do espelho, α : é o ângulo formado pelos eixos secundários que passa pelos pontos, A e B, diretamente opostos pertencentes a borda do espelho. A

x os

eix

ári

u ec

rincip

eixo p

d es B

Para um objeto pontual colocado no ponto P sobre o eixo principal de um espelho esférico, um raio de luz que parte dele e atinge o espelho deve, segundo as hipóteses formuladas por nós para a reflexão, ser refletido com rˆ = iˆ = θ . Assim, conforme o desenho abaixo temos que

P’

δ p’ R p

α + θ = β , (2) β + θ = γ , (3) Eliminando θ nas equações acima, obtemos:

α + γ = 2 β . (4) 34

Introdução à Ciências Físicas 1

Dos triângulos retângulos formados na Figura temos

tg α = h , (5) p −δ tg β = h , (6) R −δ tg γ = h . (7) p’ − δ Podemos observar que, quando diminuímos o ângulo α , os ângulos β e γ e também diminuem, e δ se torna muito pequeno em relação a p e p’ e R. Fisicamente isso significa que os raios que partem do objeto e atingem o espelho são muito pouco inclinados, isto é, quase paralelos ao eixo principal. Essa condição pode ser satisfeita quando a abertura do espelho é pequena o bastante (até 100). Essa condição impõe limite de validade ao modelo. Portanto, os resultados aqui obtidos somente se aplicam aos espelhos esféricos que satisfazem a essa condição, chamados espelhos esféricos de Gauss. Agora, se α , e β e γ são pequenos, podemos escrever

α ≅ h , (8) p β ≅ h , (9) R γ ≅ h . (10) p’ Desprezando os erros cometidos nessas aproximações, obtemos, usando a equação (4), h h 2h , + = p p’ R

1 = 2 − 1 . (11) p’ R p A equação (11) mostra que a posição p’ independe do ângulo α . Fisicamente isso quer dizer que qualquer raio que parte do objeto em P e atinja o espelho será refletido passando por P’. Portanto, para um espelho esférico de Gauss, prevemos a formação nítida da imagem de P. Note-se que isso não é verdade para um espelho esférico que não seja de Gauss, pois nesse caso p’ depende de α e os raios partindo de P com diferentes inclinações não se cruzam no mesmo ponto, formando não uma imagem pontual, mas, sim, uma imagem borrada do objeto pontual. A equação (11) prevê que qualquer raio que incida sobre um espelho esférico de Gauss paralelo ao seu eixo principal será refletido passando por um ponto F sobre o eixo principal, chamado foco e

José Alexandre Nogueira

que está a uma distância R do vértice, pois nesse caso p → ∞ e 2

1 1 2 = − lim   , F R p→∞  p 

F = R . (12) 2 Substituindo o resultado (12) na equação (11) obtemos

1 = 1 + 1 . (13) F p p’

A equação (13) nos permite determinar a que distância do vértice, sobre o eixo principal, se formará a imagem conjugada por um espelho esférico de Gauss de um objeto pontual que está sobre o eixo principal, a uma distância conhecida do vértice. Assim, as leis da reflexão prevêem para um espelho esférico de Gauss as seguintes propriedades: I. Todo raio de luz que, ao incidir no espelho, passa pelo centro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo; i ≡r i ≡r C

(a)

(b)

II. Todo raio de luz que, ao incidir no espelho, passa pelo foco principal, reflete-se paralelamente ao eixo principal; i r

r C

V ep

III. Todo raio de luz, ao incidir no espelho paralelamente ao eixo principal, reflete-se, passando pelo foco; i r

r C

V ep

Introdução à Ciências Físicas 1

IV. Todo raio de luz que incide no vértice do espelho, reflete-se simetricamente em relação ao eixo principal. r α

V ep

C ep

É importante que o aluno seja capaz de obter as propriedades acima a partir dos resultados obtidos até aqui. Para um objeto extenso colocado sobre o eixo principal, a aplicação das propriedades acima permite a obtenção gráfica de sua imagem. E, ainda, usando nosso conhecimento sobre semelhança de triângulos, AVˆ B ~ A ’ Vˆ B’ ,

A 0

B’ i

α α

A’ p’ p

determinar o tamanho da imagem. O sinal negativo é colocado por causa do sistema de eixos escolhido. A razão entre o tamanho da imagem e o do objeto é definido como o aumento linear da imagem, p’ , i

=−

(14)

A = i . (15) o Agora, nossas previsões devem ser confirmadas experimentalmente. Somente depois disso nosso modelo pode se tornar confiável.

José Alexandre Nogueira

ESPELHOS CÔNCAVO

Objeto além do centro de curvatura Imagem real, invertida e menor A

B’

V ep

B A’

Objeto no centro de curvatura Imagem real, invertida e igual A

C B B’

V ep

A’

Objeto entre o foco (F) e o centro de curvatura (C) Imagem real, invertida e maior

A B’

A’

Introdução à Ciências Físicas 1

Objeto no foco Imagem imprópria

V ep

Objeto entre o foco (F) e o vértice (V) Imagem virtual, direita e maior A’

B’

ESPELHOS CONVEXO

Objeto em qualquer posição Imagem virtual, direita e menor

A A’ F

V B’

C ep

José Alexandre Nogueira

2.3. Refração Dando continuidade ao nosso desenvolvimento da óptica geométrica, iremos estudar o fenômeno da refração. O conhecimento anteriormente adquirido pode nos ser de grande ajuda. A observação mostra que a passagem da luz de um meio para outro ocorre com uma mudança na direção no raio de luz, exceção feita quando o raio incide perpendicularmente à interface.

ar vidro

O conhecimento prévio do estudo da reflexão sugere que os melhores parâmetros para se estudar o fenômeno da refração talvez sejam o ângulo de incidência θi, formado pelo raio incidente e a normal, e o ângulo de refração θr, formado pelo raio refratado e a normal. Nossa primeira hipótese é:

O raio incidente, o raio refratado e a normal pertencem ao mesmo plano. Após inúmeras confirmações experimentais da hipótese acima, essa se tornou a 1a Lei da refração. Antes de darmos continuidade ao nosso estudo da refração; é oportuno mencionar que neste ponto já adquirimos experiência (conhecimento) o bastante e estamos aptos levantar a seguinte questão: o que queremos dizer com estudar o fenômeno, isto é, respostas para quais perguntas nós buscamos? Essa deve ser uma das primeiras questões a serem pensadas quando desejamos estudar um determinado fenômeno. Para o caso da refração a pergunta fundamental é: quais os fatores e como eles podem influenciar no desvio sofrido pelo raio de luz? I. II. III. IV.

os ângulos de incidência e refração? os meios? a intensidade luminosa? a cor do feixe luminoso?

A fim de estudarmos os efeitos do ângulo de incidência, fazemos vários experimentos onde variamos os valores de θi e medimos os correspondentes valores do ângulo de refração. Para evitarmos as supostas influências dos demais fatores, mantemos os mesmos meios (1) e (2), o mesmo raio laser e a mesma intensidade. 40

Introdução à Ciências Físicas 1

Raio incidente

Normal (N)

θ1 n1 Superfície de separação n2 > n 1

θ2 Raio refratado

É fácil observar que o valor do ângulo de incidência influencia no desvio sofrido pelo raio refratado, pois diferentes valores de θ1 correspondem a diferentes valores de θ2. Nosso bom senso nos diz que essa influência não é aleatória e que existe uma relação entre eles. Nossa análise em busca dessa relação fica facilitada, construindo-se uma tabela como a mostrada abaixo. tabela 1

θ1 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00 65,00 70,00 75,00 80,00 85,00 86,00 87,00 88,00 89,00 89,90

θ2 0,00 3,53 7,05 10,55 14,00 17,39 20,70 23,93 27,03 30,00 32,80 35,40 37,76 39,86 41,64 43,08 44,14 44,78 44,86 44,92 44,97 44,99 45,00

É fácil ver que, se dobramos o ângulo de incidência de 50 para 100, também muito aproximadamente é dobrado o ângulo de refração de 3,53 para 7,05, se triplicamos o ângulo de incidência de 50 para 150, também é triplicado o ângulo de refração, e assim sucessivamente. Porém, José Alexandre Nogueira

quando atingimos o valor de 350, para o ângulo de incidência, essa relação começa a deixar de ser verdadeira. Assim, uma aparente relação de proporcionalidade direta entre θ1 e θ2 somente se mantém quando esses ângulos não são grandes. Antes de nos desesperarmos, lembremos que em geral as relações matemáticas envolvem ângulos como argumentos de funções trigonométricas. Isso nos dá a idéia de não buscarmos relações diretas entre os ângulos, mas, sim, entre funções trigonométricas cujos argumentos são esses ângulos. A pergunta lógica é: que função ou funções? A análise acima nos dá uma dica valiosa de que função trigonométrica testarmos. Sabemos que para pequenos ângulos o seno tem valor aproximadamente igual ao do ângulo (medido em radianos). Isso parece indicar fortemente que devemos usar os senos dos ângulos de incidência e refração. Uma dúvida que pode ocorrer, é que a tangente de um pequeno ângulo também é aproximadamente igual ao valor do ângulo. Entretanto, também sabemos que a tangente cresce muito rapidamente quando seu argumento se aproxima de 900, que não é o comportamento sugerido pelo final da tabela. A tabela 2 abaixo inclui os senos dos ângulos de incidência e refração. tabela 2

Introdução à Ciências Físicas 1

θ1 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00 65,00 70,00 75,00 80,00 85,00 86,00 87,00 88,00 89,00 89,90

θ2

sen(θ1 )

sen(θ2 )

0,00 3,53 7,05 10,55 14,00 17,39 20,70 23,93 27,03 30,00 32,80 35,40 37,76 39,86 41,64 43,08 44,14 44,78 44,86 44,92 44,97 44,99 45,00

0,00 0,09 0,17 0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0,64 0,71 0,77 0,82 0,87 0,91 0,94 0,97 0,98 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,00 0,06 0,12 0,18 0,24 0,30 0,35 0,41 0,50 0,54 0,58 0,61 0,64 0,66 0,68 0,70 0,70 0,71 0,71 0,71 0,71 0,71 0,71

É muito fácil ver agora que o seno do ângulo de refração é diretamente proporcional ao seno do ângulo de incidência, matematicamente,

sen(θ1 ) ∝ sen(θ2 ) . (16)

Para que uma relação de proporcionalidade se torne uma igualdade, devemos multiplicar um dos lados por uma constante de proporcionalidade. Assim,

sen (θ 2 ) = n 12 sen (θ1 ) . (17) De forma geral a quantidade de dados numéricos são muito grandes, e a construção e análise de tabelas pode ser pouco prática. Por isso é mais comum a construção de gráficos que permitem uma análise muito mais rápida e eficiente dos resultados. A figura abaixo representa o gráfico de sen( θ1) X sen( θ2). sen θ2 0,71

sen θ1

Ela mostra uma reta passando pela origem. Isso significa que a relação entre sen( θ1) e sen( θ2) é linear e que quando sen( θ1) é nulo também o é sen( θ2). Portanto, a relação entre eles é idêntica à equação de uma reta com coeficiente linear nulo e coeficiente angular igual à constante de proporcionalidade. Nosso próximo passo é o de estudarmos a influência dos meios. Mudando um dos meios, por exemplo o meio (2) para um outro meio (2’), e repetindo o experimento, obtemos o gráfico ao lado. sen θ1 AR

60°

Água n = 1,33

45°

60°

Vidro n = 1,50

35°

60°

0,58

Diamante n = 2,40

21°

sen θ2

Podemos observar que a relação de proporcionalidade entre os senos dos ângulos de incidência e refração é mantida, pois o gráfico de sen( θ1) X sen( θ2) ainda é uma reta passando pela origem. Entretanto, o coeficiente angular da nova reta é diferente da anterior, o que significa que a constante de proporcionalidade é alterada. Mudando o meio (1) para um outro meio, mais uma vez observamos que a relação de proporcionalidade se mantém, mas a constante de proporcionalidade é outra vez alterada. Concluímos que a constante de proporcionalidade depende dos meios (1) e (2). Essa constante recebe o nome de índice de refração relativo do meio (1) em relação ao meio (2). José Alexandre Nogueira

Como esse índice de refração relativo parece estar ligado a propriedades ópticas dos meios, é tentador escrevê-lo como uma razão entre constantes que representam propriedades ópticas de cada meio, assim,

n12 =

n1 , (18) n2

onde n1 é o índice de refração absoluto do meio (1) e n2 é o índice de refração absoluto do meio (2). Para estudarmos a influência da intensidade da luz alteramos a intensidade do raio laser e repetimos os experimentos. A análise dos resultados obtidos mostra não haver qualquer alteração, indicando que a intensidade da luz não influencia no desvio sofrido pela luz na refração. Por fim, podemos estudar a influência da cor da luz mudando o raio laser para outro de outra cor e repetindo novamente o experimento. A análise dos resultados mostra que a relação de proporcionalidade entre os ângulos de refração e incidência é preservada, porém a constante de proporcionalidade é alterada. Isso indica que, além de depender do meio, o índice de refração depende também da cor da luz que se propaga no meio. Isto pode ser visto facilmente nos experimentos, pois o raio azul sofre um desvio maior que o raio vermelho, indicando que o índice de refração relativo narazul,vidro > narvermelho . ,vidro

vidro

θ V2

θA2

Nosso estudo até aqui sobre refração mostra que ela é regida pepela 1a Lei da refração e pela 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes

Primeira Lei da refração O raio incidente, o raio refratado e a normal pertencem ao mesmo plano. sEGUNDA Lei da refração

n 1 sen (θ 1 ) = n2 sen (θ2 ) , (19) onde n é o índice de refração do meio, que, além de depender do próprio meio, depende também da cor da luz que nele se propaga.

Introdução à Ciências Físicas 1

Como conseqüência de nosso estudo podemos afirmar que quando a luz passa de um meio de menor para um de maior índice de refração, o raio de luz deve se aproximar da normal.

θ1 ar

n1 n2

vidro

n1 < n2 θ1 > θ2

θ2

Entretanto, se a luz passa de um de maior para outro de menor índice de refração, o raio de luz deve se afastar da normal.

θ1 vidro

n1 n2

θ2

n1 >n2 θ1 < θ2

José Alexandre Nogueira

2.4. Reflexão Total Retornando à tabela 1 vemos que quando o ângulo de incidência tende a 900 o ângulo de refração tende a um valor limite, no caso 450. Assim, definimos o ângulo limite como n1 sen (90 0 ) := n2 sen (θL ) ,

n θL := arcsen 1  n2

  , com n1< n2 . (20) 

ar vidro

s Agora, do princípio de reversibilidade dos raios de luz, podemos concluir que, partindo de um meio de menor índice de refração para outro de maior, o raio de luz somente conseguirá atravessar a interface, se incidir com um ângulo menor que o ângulo limite. Matematicamente isso é claro, pois o valor absoluto do seno de qualquer ângulo não pode ser maior que 1. Assim, se o raio de luz, partindo de um meio de maior índice de refração para outro de menor, incidir na interface com um ângulo maior que o ângulo limite, ele será. A esse fenômeno damos o nome de reflexão total.

Interface água-ar Laser

Espelho Plano

Introdução à Ciências Físicas 1

2.5. Lentes O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link: http://educar.sc.usp.br/otica/lente.htm

2.6. Dispersão da luz O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://pt.wikipedia.org/wiki/Luz http://pt.wikipedia.org/wiki/Dispersão_(óptica)

2.7. Dioptro plano O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://educar.sc.usp.br/otica/prisma.htm http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20022/Rod_Oliveira/textos/dioptroplano.htm

2.8. Miragem O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://axpfep1.if.usp.br/~fisica2g/miragem/miragem.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Miragem

2.9. Arco-íris O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://www.feiradeciencias.com.br/sala19/texto50.asp http://pt.wikipedia.org/wiki/Arco-íris http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=8&idSubSecao=&idTexto=186 http://www.fsc.ufsc.br/~ccf/parcerias/ntnujava/Rainbow/rainbow-port.html

José Alexandre Nogueira

Atividades Propostas Atividade 5: 1.Abaixo estão diversos links sobre câmara escura. Alguns mostram como realizar um experimento simples. http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mera_escura http://br.geocities.com/saladefisica6/optica/camaraescura.htm http://www.cotianet.com.br/photo/hist/camesc.htm http://br.geocities.com/saladefisica10/experimentos/e36.htm http://www.fc.unesp.br/experimentosdefisica/opt10.htm Atividade 6: 1.Abaixo estão diversos links sobre translação e rotação de um espelho plano. Alguns mostram como realizar um experimento simples. www.objetivocatalao.com.br/geraldo/material/ensino_medio/f2/optica/Optica_Aula02.ppt http://educar.sc.usp.br/otica/reflexao.htm http://efisica.if.usp.br/otica/basico/reflexao/deslocamento/ http://efisica.if.usp.br/otica/basico/reflexao/rotacao/ http://www.if.ufrgs.br/~murillo/otica/node15.html http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_OG02.asp http://www.ciencia-cultura.com/Pagina_Fis/vestibular00/vestibular-FenomenosOpticos005.html Atividade 7: Questões http://paginas.terra.com.br/educacao/physike/exercicios/espelhoplano.htm Atividade 8: Exercícios http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/conceitos.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/camara.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/reflexao.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/planos.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/analitico.htm Atividade 9: Curiosidade. Código de barras http://www.macoratti.net/cod_bar.htm Atividade 10: Questões http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/refracao.htm Atividade 11: Exercícios http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/relativo.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/snell.htm Atividade 12: Demonstração da reflexão total http://www.searadaciencia.ufc.br/sugestoes/fisica/oti14.htm Atividade 13: Questões http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/lentes.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/optica/lentescon.htm Atividade 14: Curiosidade. Cabo fibra óptica http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/fibraoptica/interest.htm Atividade 15: Óptica da visão. http://pt.wikipedia.org/wiki/Vis%C3%A3o http://educar.sc.usp.br/ciencias/fisica/mf4.htm Atividade 16: Curiosidade. Lentes oftálmicas http://pt.wikipedia.org/wiki/Lentes_oft%C3%A1lmicas Atividade 17: Leitura de páginas da Internet selecionadas Nesta aula o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 2.6, 2.7, 2.8, 2.9.

Introdução à Ciências Físicas 1

Atividade 18: A idéia desta atividade é ser muito informal e descontraída. Inicialmente, como incentivo, sugerimos uma página com diversas perguntas para o FORUM DE DISCUSSÃO, mas esperamos que os alunos tragam novas dúvidas e perguntas para o fórum. Também sugerimos algumas páginas onde o aluno pode encontrar curiosidades relacionadas à óptica. Por último recomendamos uma página para revisão (muito interessante).

FORUM DE DISCUSSÃO Perguntas para pesquisa e discussão http://br.geocities.com/saladefisica/planos/optica.htm Ilusões de óptica http://pt.wikipedia.org/wiki/Ilus%C3%A3o_de_%C3%B3ptica http://www.searadaciencia.ufc.br/tintim/fisica/visao/tintim4-5.htm http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_01.asp Por que o céu é azul ? http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_03.asp Revisão http://prof.pateta.vilabol.uol.com.br/optica.html

José Alexandre Nogueira

3. o sistema solar 3.1. O Sistema Solar 3.2. A Terra 3.2.1. O moviento da Terra 3.2.2. As estações do ano

3.3. A Lua 3.3.1. O moviento da Lua 3.3.2. As fases da Lua 3.3.3. As marés

3.4. Os eclipses 3.5. O movimento dos planetas 3.6. Formação e evolução do Sistema Solar

Parte 3

o sistema solar O objetivo deste modulo é o de induzir o aluno a explorar o potencial de pesquisa na Internet. Com base nos temas das seções das aulas o aluno deve buscar por páginas onde possa conhecer o assunto. Como no final deste módulo o aluno terá de escrever um texto sobre o tema estudado, sugerimos sejam arquivados os endereços e/ou copiado aquilo que pense seja importante. Caso descubra páginas interessantes, não esqueça de enviá-los aos colegas. Para a pesquisa, use sites de busca como google. O aluno deverá buscar o assunto abordado em páginas da Internet. 3.1. O Sistema Solar 3.2. A Terra 3.2.1. O movimento da Terra 3.2.2. As estações do ano

3.3. A Lua 3.3.1. O movimento da Lua 3.3.2. As fases da Lua 3.3.3. As marés

3.4. Os Eclipses 3.5. O movimento dos planetas 3.6. Formação e evuloção do Sistema Solar

José Alexandre Nogueira

Atividades Propostas Atividade 19: Pesquisa na Internet sobre os temas selecionados: 1. O Sistema Solar; 2. A Terra e seus movimentos; 3. As estações do ano; Atividade 20: Pesquisa na Internet sobre os temas selecionados: 1. A Lua, suas fases e seus movimentos; 2. As marés; 3. Os eclipses; Atividade 21: Pesquisa na Internet sobre os temas selecionados: 1. O movimento dos planetas; 2. Formação e evolução do Sistema Solar; Atividade 22: Exercícios mútipla escolha.

Introdução à Ciências Físicas 1

Anotações

4. Mecânica newtoniana de uma partícula 4.1. Introdução 4.2. Vetor posição 4.3. Velocidade 4.4. Quantidade de movimento ou movimento linear

4.5. Força 4.6. As Leis de Newton 4.7. Referenciais inerciais e não ineciais 4.8. Aplicações das Leis de Newton 4.9. Força de atrito 4.10. Forças de arrasto 4.11. Força elástica

Parte 4

Mecânica newtoniana de uma partícula O objetivo deste módulo não é uma revisão de mecânica do ensino médio, abordando técnica de soluções de problemas, mas, sim, uma revisão discutida de seus conceitos fundamentais. 4.1. Introdução A mecânica é o ramo da Física que estuda o movimento dos corpos, suas causas e seus efeitos. Seu objetivo principal é prever a localização de uma partícula a qualquer instante de tempo. O estudo da mecânica pode ser realizado em diferentes abordagens ou formalismos. O formalismo newtoniano é intuitivo e tem suas bases fundamentais na obra monumental de Isaac Newton, Os Principia, divididos em três livros. Teve sua primeira edição publicada em 1687 com o título: Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Os formalismos de Lagrange, Hamilton, Hamilton-Jacob, entre outros, são abstratos e pouco intuitivos, entretanto permitem a solução de problemas complexos de forma muito mais fácil que na abordagem newtoniana. O tema deste modulo é a mecânica newtoniana de uma partícula. Como partícula entendemos um corpo cujas dimensões são desprezíveis quando comparadas às demais dimensões envolvidas no problema.

4.2. Vetor Posição Como vimos o objetivo da mecânica é localizar uma partícula. Mas o que entendemos por localização de uma partícula? Localizar uma partícula é dizer a posição ocupada por ela no espaço em que vivemos. Assim, a primeira coisa em que devemos pensar é sobre o espaço em que vivemos. A experiência tem mostrado que, para as regiões do espaço envolvidas em nosso cotidiano, o espaço é euclidiano, homogêneo e isotrópico. Por euclidiano queremos dizer que os experimentos mostram que ele satisfaz os axiomas de Euclides, isto é, pelo menos para pequenas regiões, o espaço em que vivemos é não-curvo. Por hoJosé Alexandre Nogueira

Eixos coordenados cartesianos z

y x

mogêneo queremos dizer que acreditamos que um volume muito pequeno (elemento de volume) do espaço seja igual em qualquer lugar do espaço, isto é, que o espaço seja igual em todos os pontos. E, finalmente, por isotrópico queremos dizer que o espaço tem o mesmo comportamento qualquer que seja a direção escolhida. Retornemos a nossa questão. Localizar uma partícula é dizer onde ela está, de forma que qualquer outra pessoa seja capaz de encontrá-la. Localizar é dizer sua posição. Mas como? Em geral, quando queremos dizer onde algo se encontra, damos a referência de algum lugar que seja de conhecimento prévio de todos e a partir dele localizamos o que queremos. Na Física não é diferente. Esse lugar de conhecimento prévio de todos é chamado referencial (mais propriamente, origem do referencial, como veremos) e é a partir dele que localizamos a partícula. Vamos supor que desejássemos dizer a posição da pupila de seu olho esquerdo. Primeiramente devemos escolher o referencial. Escolhemos um dos cantos onde se encontram o chão e duas paredes da sala em que você está. Note que não bastaria dizer a distância de sua pupila a esse ponto, pois não estaríamos localizando unicamente sua pupila com essa informação. Sua pupila poderia estar em qualquer ponto sobre uma superfície esférica imaginária de raio igual a essa distância. Isto quer dizer que, dado um referencial, um único número não é capaz de dizer a posição de uma partícula. Agora se falássemos, a partir do ponto de intersecção das duas paredes e do chão, que chamaremos de origem do referencial, seguindo a linha da intersecção da parede onde está a porta e o chão, ande x metros; depois, seguindo paralelo à linha da intersecção da outra parede e o chão, ande mais y metros; e, finalmente, perpendicularmente ao chão, suba z metros, localizaríamos unicamente a pupila. Isso mostra que a localização de uma partícula no espaço somente é unicamente determinada quando são fornecidos três números. Porém, esses números não são quaisquer, eles devem ser fornecidos em relação a retas previamente convencionadas. Então, para determinarmos a posição de uma partícula não basta apenas escolhermos um referencial e sua origem, precisamos escolher três retas que passam por essa origem e fornecer três parâmetros em relação a essas retas. Ainda, essas retas devem estar duas a duas em (três) planos diferentes. Como sabemos, a entidade matemática com as características acima é um vetor. Portanto, a grandeza física posição é representada matematicamente por um vetor, sendo, então, uma gran� deza vetorial, também chamada vetor posição r . As retas são os eixos da base do sistema de coordenadas. No caso da posição da pupila, como alternativa podemos convencionar que a reta definida por uma das paredes e o chão seja chamada de eixo X, a outra de eixo Y e a reta definida pela intersecção das duas paredes de eixo Z. A posição da pupila seria dada pelas coordenadas (x, y, z). Assim, antes de iniciarmos o estudo de qualquer fenômeno ou problema em mecânica, devemos primeiramente escolher um referencial e sua origem, e depois um sistema de eixos coordenados. O sistema de coordenadas cartesiano é usado na maior parte de nosso curso. Matematicamente o objetivo da mecânica é o determinar a função vetorial posição como função do tempo,

� � r = r ( t ) . (1)

Introdução à Ciências Físicas 1

4.3. Velocidade Na maioria dos casos a partícula não permanece no mesmo lugar e sim fica mudando de lugar, isto é, sua posição varia com o tempo. Então, se sabemos onde a partícula está em um instante e desejamos saber onde estará no próximo instante, precisamos de uma grandeza física que nos diga para onde a partícula vai e quão rápido ela vai, ou seja, precisamos de uma grandeza que diga como varia a posição da partícula com o tempo. A grandeza física que fornece essa informação é chamada velocidade que é sua definição física. Como a velocidade deve ser capaz além de dizer o quão rápido a partícula vai para sua nova posição, também deve dizer para onde ela tende a ir (onde será a nova posição), isto é, em que direção e em que sentido, daí podemos concluir que a velocidade deve ser uma grandeza vetorial. A operação matemática que permite calcular a taxa com que uma grandeza varia com outra é a derivada. Assim, matematicamente o vetor velocidade pode ser determinado pela derivada do vetor posição com relação ao tempo,

� � dr v := , (2) dt onde o símbolo “:=” significa é definido como. Note-se que isto é diferente de é igual a. O módulo do vetor velocidade é a taxa com que o espaço percorrido pela partícula varia no tempo e é o que é medido pelo velocímetro do carro. A velocidade não é uma grandeza fundamental, sendo derivada da posição e do tempo. Seu módulo tem dimensão de comprimento por tempo e no SI é medida em metros por segundo (m/s). Dizemos que uma partícula está em repouso se seu vetor posição não varia no tempo, repouso

� v = 0 , (3)

do contrário dizemos que a partícula está em movimento, movimento

� v ≠ 0 , (4)

Surge agora a pergunta: a velocidade é sempre a mesma para todo observador? A resposta é não. Suponha que você esteja sentado na poltrona de um vagão de trem que está se afastando da estação. Para um observador na estação você estaria em movimento, porém para outro observador também sentado em uma poltrona do vagão você estaria em repouso. Assim, em relação a um referencial no solo você estaria em movimento, enquanto para um referencial no vagão você estaria em repouso. Portanto, uma partícula estar ou não em movimento depende do referencial, e, conseqüentemente, a velocidade da partícula depende também do referencial.

José Alexandre Nogueira

4.4. Quantidade de movimento Encontrarmos uma grandeza que possa dizer o quanto de movimento tem uma partícula parece ser muito útil. Vamos chamar essa grandeza de momento linear ou como sugere sua definição quantidade de movimento (comumente usada no ensino médio). É claro que essa grandeza deve ser vetorial, pois o movimento está associado à direção e ao sentido. Como é a velocidade que diz se uma partícula está ou não em movimento e quão rápido é esse movimento, � esperamos que sua quantidade de movimento p seja proporcional a sua velocidade, �

� p ∝ v . (5)

A experiência diária nos mostra que o esforço que devemos fazer para mudar o movimento de duas partículas com a mesma velocidade pode ser diferente para partículas diferentes. Isso significa que a quantidade de movimento que tem uma partícula não depende somente de sua velocidade, mas também de alguma propriedade intrínseca da partícula (relacionada a sua quantidade de matéria). A essa propriedade intrínseca da partícula, que está relacionada ao movimento da partícula, damos o nome de massa inercial. Como não temos informação sobre a massa inercial é razoável considerar que essa seja proporcional à quantidade de movimento da partícula,

� p ∝ m , (6)

onde m representa a massa inercial, que pode ser uma grandeza escalar ou não. Das relações (5) e (6) temos

� � p ∝ mv . (7) Para tornarmos a relação acima uma igualdade, devemos multiplicar por uma constante de proporcionalidade. Entretanto, a massa inercial é uma nova grandeza bem como a quantidade de movimento. Assim, podemos escolher um sistema de unidades onde a massa inercial seja uma grandeza fundamental e o momento linear uma grandeza derivada dela, tal que a constante de proporcionalidade seja igual à unidade, assim,

� � p = mv . (8) Uma vez que a massa inercial é uma propriedade intrínseca da partícula e o espaço é homogêneo, a massa inercial não deve depender da posição onde se encontra a partícula, portanto ela deve ter o mesmo valor em qualquer ponto do espaço, isto é, deve ser uma � função que não dependa de r . Ainda, como o espaço é isotrópico, ela não deve depender da direção de movimento da partícula e, portanto, deve ser um escalar. Assim, definimos a quantidade de movimento ou o momento linear de uma partícula como

� � p := mv , (9)

onde m é a massa inercial da partícula, uma grandeza escalar que depende apenas da partícula (de sua quantidade de matéria). 58

Introdução à Ciências Físicas 1

Em um sistema de unidades no qual a massa inercial é uma grandeza fundamental, a dimensão da quantidade de movimento é dada por

massa

comprimento . (10) tempo

No SI a unidade de massa é quilograma (kg) e, portanto,   p  =  kg 

m  . (11) s 

É claro que a quantidade de movimento de uma partícula depende do referencial e a massa inercial não.

4.5. Força Uma vez que o movimento de uma partícula, ou melhor, sua quantidade de movimento pode ser alterada, é de importância fundamental definirmos uma grandeza que possa dizer o quão rápido a quantidade de movimento da partícula muda. A essa grandeza damos o nome de força. Assim, definimos força como a taxa com que a quantidade de movimento da partícula varia no tempo. É claro que a força deve ser capaz de dizer em que direção e sentido ocorrem essa taxa de variação, portanto, a força deve ser uma grandeza vetorial. Como já vimos anteriormente a operação matemática que corresponde fisicamente à taxa de variação de uma grandeza com o tempo é sua derivada temporal. Desta forma, matematicamente definimos força como

� d p� F := . (12) dt

Uma análise cuidadosa da definição de força, mostra que essa grandeza tem um significado muito mais profundo do que aparenta. Se a quantidade de movimento de uma partícula muda é por que “alguém” age sobre ela. Dizemos que o movimento da partícula muda porque ela interage com “alguém”. A esse “alguém”, que a princípio seria uma outra partícula, vamos chamar de agente externo ou vizinhança. Então a força nos fornece a informação muito poderosa de como o agente externo age sobre a partícula, isto é, de como a partícula interage com esse agente externo. Assim, a força é capaz de dizer mais do que o quanto, mas o quão rápido o agente externo modifica a quantidade de movimento da partícula. Portanto, força é a grandeza física que diz como uma partícula interage com um determinado agente externo. Note que a afirmação acima está baseada na hipótese de que o movimento de uma partícula, portanto, sua quantidade de movimento não varia sem ação externa à partícula, ou seja, não se altera sozinha, o que parece muito razoável e é uma das leis fundamentais José Alexandre Nogueira

da mecânica chamada lei da conservação da quantidade de movimento ou do momento linear:

A quantidade de movimento ou o momento linear de um sistema de partículas isolado de interações externas é conservado, isto é, se mantém constante. Se acreditarmos que a quantidade de movimento que uma partícula tem não interfere na quantidade de movimento de outra partícula, podemos considerar que o momento linear total do sistema é a soma (vetorial) dos momentos lineares de cada partícula,

� � � n � � P = p1 + p2 + � + pn = ∑ pi , (13) i =1

e a lei de conservação do momento linear afirma que:

Para um sistema de partículas isoladas n � inicial � final p = p ∑ i ∑ i . (14) i =1

i =1

Das definições (9) e (12) podemos escrever

� d � F = ( mv ) . (15) dt Agora, se acreditarmos, e não temos por que não acreditarmos, que a massa inercial de uma partícula não varia no tempo, então somente a velocidade da partícula pode variar no tempo e a força fica

� � dv F =m . (16) dt

A taxa com que a velocidade varia no tempo define uma nova grandeza física vetorial, chamada aceleração,

� � dv . (17) a := dt

cuja dimensão é comprimento/tempo2. Portanto, no S.I. a aceleração é medida em

[a ] = 

m . 2  s 

Substituindo a definição (17) na equação (16) temos

� � F = ma . (18)

Introdução à Ciências Físicas 1

Se considerarmos a massa como grandeza fundamental, a dimensão de força é massa

comprimento L =M 2. 2 tempo T

Portanto, no S.I. é medida em

[F ] = kg 

m , (19) s 2 

que em homenagem a Sir. Isaac Newton recebe o nome de newton (N). De forma geral o agente externo não é único, e a partícula pode interagir simultaneamente com diferentes agentes externos. Desta forma, a força que aparece nas equações acima reflete a interação resultante, portanto ela é uma força resultante da ação de possíveis diferentes forças. Se considerarmos que interações diferentes não interferem umas nas outras, podemos calcular a força resultante como a soma (vetorial),

� � � � FR = F1 + F2 + �+ FN =

� F ∑ i , (20) N

i=1

� onde Fi é a força devido a i-ésima interação como se não existissem as demais.

lei da conservação do momento linear: A quantidade de movimento ou o momento linear de um sistema de partículas isolado de interações externas se mantém constante.

4.6. As Leis de Newton A abordagem usada por Newton, e a mais tradicionalmente usada, é o de postular três princípios fundamentais e a partir deles obter os demais resultados. Os resultados finais são os mesmos, porém os pontos de vista são diferentes no que se refere a quais grandeza são fundamentais. Na abordagem anterior a força tem apenas uma definição técnica, enquanto na tradicional das leis de Newton ela é fundamental e parte de intuição. Se uma partícula está livre de interações (também dita isolada), a força resultante sobre ela é nula, e da equação (16) temos que

� dv m = 0 , (21) dt

o que significa que sua velocidade é constante. Como a velocidade é uma grandeza vetorial, isto quer dizer que ela não varia em módulo, José Alexandre Nogueira

direção e sentido. Esse resultado é equivalente à chamada Primeira lei de Newton ou Princípio de inércia:

Todo corpo livre da ação de forças permanece em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme (MRU). Essa lei tem o grande mérito de “derrubar” nossa idéia aristotélica de existir uma força agindo sobre um corpo para que ele se mantenha em movimento. A tendência de um corpo permanecer em seu estado de movimento (repouso ou em MRU) é chamada de inércia, daí o nome princípio ou lei de inércia. Note-se que a primeira lei é equivalente à hipótese de que a quantidade de movimento de uma partícula somente se altera se ela interage. A segunda lei ou princípio fundamental da mecânica diz que a força resultante sobre uma partícula é diretamente proporcional à sua aceleração, assim,

� � F = ma . (22)

Da segunda lei, equação (22), podemos concluir que a massa inercial é uma propriedade intrínseca da partícula que se opõe à mudança de seu movimento. Vamos considerar duas partículas completamente isoladas de influências externas. Da lei da conservação do momento linear temos

� � � � p1inicial + p2inicial = p1final + p2final ,

(23)

� � � � p1final − p1inicial = − (p2final − p2inicial ) ,

� � ∆p1 = −∆p2 . (24)

Podemos entender a equação acima como se a alteração do movimento de uma das partículas causasse o da outra, ou de outra forma a alteração do momento linear de uma das partículas fosse causado pela alteração do momento linear da outra. Para um intervalo de tempo ∆t, temos

� � ∆p1 ∆p2 =− . (25) ∆t ∆t No limite em que o intervalo de tempo tende a zero as expressões acima são as taxas com que os momentos das partículas variam no tempo, portanto suas derivadas. Assim, temos

� � d p1 d p2 =− . (26) dt dt 62

Introdução à Ciências Físicas 1

Da definição (12), temos

� � F2→1 = −F1→2 . (27)

A equação (27) diz que a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é igual em módulo e direção, porém de sentido contrário à força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2. O resultado acima é equivalente à terceira lei de Newton ou ao princípio de ação e reação:

� Se um corpo A exerce um força FA→B sobre um corpo B, o corpo B reage exercendo uma força � FB→A sobre A de mesma intensidade e direção, mas de sentido contrário.

A terceira lei de Newton pode ser satisfeita nas forma: - Forte, quando as forças de ação e reação têm a mesma linha de ação; F21

F12

- Fraca, quando as forças de ação e reação não têm a mesma linha de ação. F21

F12

É importante observar que a terceira lei de Newton como colocada acima esconde como conseqüência o princípio de ação à distância, pois ela afirma que uma variação sofrida pela partícula A é imediatamente sentida pela partícula B. Isso significa que a informação da alteração do momento de A foi levada instantaneamente até B, portanto tendo uma velocidade de propagação infinita, o que contradiz a relatividade especial. Para salvarmos a terceira lei devemos introduzir o conceito de campo. Assim, em vez de pensarmos que uma partícula interage diretamente com outra, pensamos que a partícula interage com um campo e é esse campo que interage com a outra partícula. Assim, a interação se propaga pelo campo com velocidade finita e o momento perdido pela primeira partícula e que ainda não chegou à segunda é a variação de momento linear sofrida pelo campo. Assim, em um instante de tempo t temos

� � � ∆ p1 + ∆ p2 + ∆ pcampo = 0 . (28)

José Alexandre Nogueira

Desta forma podemos “salvar” a lei da conservação do momento linear. Na grande maioria dos problemas abordados nos cursos de mecânica, as forças envolvidas são de contato e o intervalo de tempo de propagação da interação é muito pequeno em comparação com o intervalo de observação da variação do momento linear dos corpos, de forma que podemos desconsiderar a variação de momento sofrida pelo campo. pRIMEIRA lei dE nEWTON: Todo corpo livre da ação de forças permanece em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme (MRU). SEGUNDA lei dE nEWTON: � � F = ma. TERCEIRA lei dE nEWTON: Se um corpo A exerce um força sobre um corpo B, o corpo B reage exercendo uma força sobre A de mesma intensidade e direção, mas de sentido contrário.

4.7. Referencias inerciais e não-inerciais Vamos considerar uma partícula livre de forças. A primeira lei afirma que essa partícula está em repouso ou em MRU. Como já vimos o movimento de uma partícula é relativo, dependendo do referencial. Portanto, podemos definir um conjunto de referenciais em relação aos quais a primeira lei é satisfeita. Os referenciais pertencentes a esse conjunto são chamados de referenciais inerciais. Uma vez que a força resultante é nula, não existe uma maneira de dizer, de forma absoluta, qual é o referencial adotado, isto é, somente podemos dizer o adotado em relação a outro referencial inercial qualquer. Portanto, não existe um referencial inercial absoluto em relação ao qual possamos considerar todos os outros referenciais inerciais adotados, ou de outro modo, não existe uma velocidade absoluta. Assim, se o referencial adotado é um inercial, qualquer outro referencial estará em repouso ou se movimentando com velocidade constante em relação ao adotado. Fisicamente o que estamos dizendo é que se você fosse colocado dentro uma nave espacial sem qualquer tipo de interação com o meio externo e essa nave fosse um referencial inercial, você não poderia dizer se ela está ou não em repouso em relação a uma estrela muito distante. Portanto, as velocidades dos referenciais inerciais não têm qualquer significado físico, isto quer dizer que as leis fundamentais da física não devem depender do referencial inercial adotado. Esse postulado fundamental é chamado de invariância de Galileu:

As leis fundamentais da física são idênticas em todos os referenciais que se movem com velocidade constante uns em relação aos outros. 64

Introdução à Ciências Físicas 1

Sejam dois referenciais inerciais S e S’, com o referencial S’ ten� do uma velocidade constante u em relação a S, como representado na Figura. S’

→

S →

r’

→

Vamos considerar que no instante t = 0, quando as origens dos dois referenciais coincidem, observadores nos referenciais S e S´ atentam para o início de um evento. O final do evento é medido no instante t pelo observador em S e em t’ pelo observador em S’. Os experimentos (não relativísticos) têm mostrado que t = t ’ . Portanto, os tempos e as componentes dos vetores posição de uma partícula nos referenciais S e S’ estão relacionados por

 t = t’ ,  � � � (29) r = r ’ + ut . As transformações (29) são chamadas transformações de Galileu e “levam” um referencial inercial em outro. É fácil ver que as velocidades nos dois referenciais estão relacionadas por

� � � v = v ’ + u , (30)

e, portanto, as forças estão relacionadas por

� � � � dv ’ du dv ’ � F =m +m =m = F ’. (31) dt dt dt

A equação (31) mostra que as forças são iguais em ambos os referenciais, isto é, as forças não variam quando mudamos de um referencial inercial para outro. Portanto, concluímos que a força é um invariante sob transformações de Galileu. Isso está de acordo ao postulado fundamental. De acordo com a equação (31) podemos tornar o postulado fundamental mais rigoroso enunciando-o como

As leis fundamentais da física são covariantes sob transformações de Galileu. Por covariantes queremos dizer que são inalteradas na suas formas. Agora vamos considerar uma partícula de massa m em repouso � em relação a um referencial S’ acelerado. Seja aR a aceleração desse referencial em relação a um referencial inercial S. Para o observador no referencial inercial S existe uma força agindo sobre a partícula, � pois ela tem uma aceleração aR. Vamos supor que essa força seja deJosé Alexandre Nogueira

vido à tração de uma corda inextensível e de massa nula. A aplicação da segunda lei de Newton na partícula nos fornece a equação

� � � F = T = maR . (32)

Agora para um observador no referencial S’ a aplicação da segunda lei na partícula fornece

� � F ’ = ma ’ = 0 , (33)

pois a aceleração da partícula para o observador em S’ é nula. Isso quer dizer que para o observador em S’ não existe força agindo sobre a partícula. Contudo, a força de tração da corda não deixou de existir, ela é uma força aplicada sobre a partícula pela corda. Se colocássemos um medidor de força na corda (dinamômetro) ele sempre mediria a mesma força, independentemente do observador. Portanto, deveríamos ter

� � F ’ = T , (34)

então da equação (32) obteríamos

� � F ’ = F . (35)

Mas se a equação (35) for verdadeira, a aplicação da segunda lei de Newton, equação (33), não é válida no referencial acelerado. A fim de salvarmos a segunda lei de Newton, introduzimos na equação (34) uma nova força chamada força fictícia, pois ela não é devido à interação da partícula com qualquer outra partícula, mas, sim, devido ao referencial ser acelerado. Assim,

� � � F ’ = F + F fictícia . (36)

Das equações (32), (33) e (36) é fácil obter

� � FFictícia = − maR . (37)

Chamaremos as forças “verdadeiras” de forças aplicadas, assim em um referencial acelerado a força resultante será dada por

� � � FNI = Faplicada + F fictícia . (38 )

Referenciais nos quais agem forças fictícias são chamados não-inerciais. Deve ficar claro que um referencial não-inercial é caracterizado pela presença de forças fictícias. Embora as forças fictícias não sejam forças aplicadas, isto é, “verdadeiras”, nós podemos bem senti-las, quando um ônibus ou carro freia bruscamente ou quando um carro faz uma curva em alta velocidade.

Introdução à Ciências Físicas 1

4.8. Aplicações das Leis de Newton O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://www.ciencia-cultura.com/Pagina_Fis/aula_dinamica001.asp http://www.fisica-potierj.pro.br/poligrafos/leis_newton.htm http://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_RE03.asp http://www.virtual.unilestemg.br/laboratorio/praticas/forcas1roldanas1.swf http://br.geocities.com/saladefisica6/estatica/maquinasimples.htm http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/maquinas/ http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/inclinado/inclinado.htm http://br.geocities.com/saladefisica6/estatica/inclinado.htm http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/na65pi.html http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_RE_03.asp

4.9. Força de Atrito O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://www.ciencia-cultura.com/Pagina_Fis/aula_dinamica001.asp http://www.cefetsp.br/edu/okamura/2%20Bimestre/resumo%20teorico%20da%20forca%20de%20a trito.htm http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/atrito/atrito.htm http://br.geocities.com/saladefisica6/dinamica/atrito.htm http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_RE_02.asp http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/na61int.html

4.10. Forças de Arrasto O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_RE_13.asp http://educar.sc.usp.br/otica/lente.htm

4.11. Força Elástica O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links: http://www.fisica-potierj.pro.br/poligrafos/forca_elastica.htm http://educar.sc.usp.br/fisica/dinateo.html http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2002/massamola/massamola.html

José Alexandre Nogueira

Atividades Propostas Atividade 23,Leitura de páginas da Internet selecionadas pela seção. Nesta atividade o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 4.8. Atividade 24Leitura de páginas da Internet selecionadas pela seção. Nesta atividade o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 4.9. Atividade 25: Leitura de páginas da Internet selecionadas pela seção. Nesta atividade o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 4.10 e 4.11. Atividade 26: 1.Revisão e exercícios resolvidos. Entre na página do link abaixo e “click” em polígrafos: http://www.fisica-potierj.pro.br/ 2.Revisão e exercícios resolvidos e não-resolvidos: http://www.ciencia-cultura.com/fisica.asp Atividades 27 e 28: 1.Questões e exercícios: http://br.geocities.com/saladefisica8/cinematica/encontro.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/cinematica/quedalivre.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/primeiralei.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/segundalei.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/terceiralei.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/peso.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/deformacao.htm http://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/atrito.htm

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Anotações

wwww.neaad.ufes.br (27) 3380 4092