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12º Ano
TREINO Nº 2 – Axiomática das Probabilidades
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Nada se aprende sem trabalho e dedicação
1. Seja Ω o conjunto de resultados associados a uma certa experiência aleatória.
Sejam três acontecimentos (A, B e C são, portanto, subconjunto de Ω ). Prova que: 1.1 p(A ∪ B)= p(A) + p(B) − p(A ∩ B) 1.2 p( A ∪ B ) − p(A ∪ B) = p( A ) − p(B) 1.3 p[(A ∪ B) ∩ C] = p(A ∩ C) + p(B ∩ C) − p(A ∩ B ∩ C) 1.4 p(A) + p(B) + p( A ∩ B ) = 1 + p(A ∩ B) 1.5
p( A ∪ B ) + p(A ∩ B) = 1
1.6
p( A ∪ B ) + p(B) = p(A) + p( A ∪ B )
( p designa probabilidade e A e B designam os acontecimentos contrários de
A e B).
2. Um saco tem 3 bolas amarelas, 3 bolas verdes e 3 bolas brancas numeradas de 1 a 3 (em cada cor). Tira-se ao acaso uma bola do saco. Considera os acontecimentos: A : ”a bola é amarela” B : “ a bola é verde” C : “ a bola tem o nº 1” Calcula a probabilidade dos seguintes acontecimentos: a) A ∩ C d) (A ∪ B)\C
b) A ∪ B e) A ∪ C
c) A ∪ B ∪ C
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TREINO Nº 2 – Axiomática das Probabilidades Nada se aprende sem trabalho e dedicação
3. Seja Ω o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de Ω ). Sabe-se que: p(A) = 2p(B)
p(A ∪ B) = 3p(B) Prova que os acontecimentos A e B são incompatíveis.
2 5 e p(A ∪ B) = , determina p(B) de modo a que A e B sejam 3 6
4. Se p( A ) =
incompatíveis.
5. Se p(A) =
2 1 e p( B ) = mostra que A e B não são incompatíveis. 3 4
6. Num saco existem quinze bolas, indistinguíveis ao tacto. Cinco bolas são amarelas, cinco são verdes e cinco são brancas. Para cada uma das cores, as bolas estão numeradas de 1 a 5. a) Qual a probabilidade de sair uma bola não branca com número par? b) Suponha agora que, no saco, estão apenas algumas das quinze bolas.
Nestas novas condições, admita que, ao retirarmos, ao acaso, uma bola do saco, se tem:
• a probabilidade de essa bola ser amarela é 50% • a probabilidade de essa bola ter o número 1 é 25%
• a probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o número 1 é 62,5% Prova que a bola amarela número 1 está no saco.
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TREINO Nº 2 – Axiomática das Probabilidades
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7. O Luís e o Tiago pensam, cada um, num número de 1 a 3. Qual a
probabilidade:
a) de ambos terem pensado no mesmo número? b) de ambos terem pensado num número ímpar? c) do número que o Luís pensou ser superior ao do Tiago?
8. Seja Ω um espaço de resultados associado a uma determinada experiência aleatória e A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω )
a) Prova que p( A ∩ B )=p(A ∩ B)+p( A )−p(B) b) Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Sejam os acontecimentos :
A : "a primeira carta extraída é do naipe de copas" B : "a segunda carta extraída é do naipe de copas"
b1) Justifica que a probabilidade de ambas as cartas extraídas serem de 1 copas é 17 1 b2 ) Justifica que p(B) = 4 b3) Calcula, usando a igualdade da alínea a), a probabilidade de nenhuma carta extraída ser de copas.
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TREINO Nº 2 – Axiomática das Probabilidades
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9. Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6.
Considera os acontecimentos:
A : « sair face com número primo » B : « sair face com número menor do que 5 » Qual é o acontecimento contrário de A ∪ B (A) sair a face 1 ou a face 4
(B) sair a face 2 ou a face 3
(C) sair a face 5
(D) sair a face 6
10. Seja Ω o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em Ω , nenhum deles impossível, nem certo.
Sabe-se que A ⊂ B.
Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira (p designa probabilidade
e A e B designam os acontecimentos contrários de A e de B, respectivamente). (A)
p(A) > p(B)
(C) p(A ∪ B) = 1
(B) p(A ∩ B) = 0 (D) p( A ) ≥ p( B )
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11. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos ( A ⊂ Ω e B ⊂ Ω ). Tem-se que:
p(A) = 0,3 e
p(B) = 0,5
Qual dos números seguintes pode ser o valor de p ( A ∪ B ) ? (A) 0,1
(B) 0,4
(C) 0,6
(D) 0,9
12. Nos jogos de futebol entre a equipa X e a equipa Y, a estatística revela que: Em 20% dos jogos, a equipa X é a primeira a marcar;
•
Em 50% dos jogos, a equipa Y é a primeira a marcar.
•
Qual é a probabilidade de, num jogo entre a equipa X e a equipa Y, não se marcarem golos? (A) 10%
(B) 25%
(C) 30%
(D) 35%
13. Lança-se um dado até sair face 6. A probabilidade de serem necessários pelo menos dois lançamentos é (A)
1 6
(B)
1 3
(C)
2 3
(D)
5 6
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12º Ano TREINO Nº 3 – Probabilidades de um Acontecimento Nada se aprende sem trabalho e dedicação
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TREINO Nº 4 – Cálculo de Probabilidades Nada se aprende sem trabalho e dedicação
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TREINO Nº 5 – Análise Combinatória Nada se aprende sem trabalho e dedicação
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TREINO Nº 6 – Prob. Cond. e Acont. Indep. Nada se aprende sem trabalho e dedicação
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TREINO Nº 7 – Triângulo de Pascal Binómio de Newton
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1. Constrói o triângulo de Pascal até à 6ª linha e depois responde às alíneas seguintes: 1.1.
Como começa e como termina cada linha?
1.2.
Existe simetria em cada linha?
1.3.
Tenta acrescentar mais duas linhas se recorrer ao cálculo das combinações pela fórmula.
1.4.
Calcula a soma dos números de cada linha?
1.5.
Indica a soma dos números da linha 12.
2. Determina x sabendo que
100
C 39 =100 C x e que x ≠ 39 .
3. Calcula: a)
15
C 7 + 15C 9
C1 + 18C 2 19 C13 + 19 C14 18
b)
4. Indica quantos termos tem o desenvolvimento do binómio (2 + a )
21
5. Determina n, sabendo que no desenvolvimento de ( x + y ) há um termo cuja n
parte literal é x10 y 5 . 6. Determina o termo médio do desenvolvimento de (3 x + y ) . 6
7. Determina o terceiro termo do desenvolvimento de
(
8. No desenvolvimento de 2 x + y 2
)
15
(
)
3x + 1
13
, com x ≥ 0 .
, determina o coeficiente do termo de
expoente 20 relativamente à variável y.
⎛ ⎝
9. Calcula os termos médios do desenvolvimento de ⎜ x 2 −
5
2⎞ ⎟ . x⎠
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TREINO Nº 7 – Triângulo de Pascal Binómio de Newton
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2⎞ ⎛ 10. Determina o termo em x do desenvolvimento de ⎜ x 2 − ⎟ x⎠ ⎝
10
5
⎛ ⎝
11. Calcula o termo independente de x no desenvolvimento de ⎜ 3 x 2 +
18
1⎞ ⎟ . x⎠
12. No desenvolvimento de (1 − x ) , chamamos Tp ao termo de ordem p. Resolve 6
a equação em x:
13. Mostra que:
(
T 3 = T1 – T 5
) ( 3
2+ 3 +
2− 3
)
3
= 22 2
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TREINO Nº 8 – Revisões
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1. Considere as caixas, A e B, cada uma delas contendo quatro bolas numeradas, tal como a figura abaixo ilustra
Extraem-se, ao acaso, duas bolas da caixa A e uma bola da caixa B. Multiplicam-se os números das três bolas retiradas. Qual é a probabilidade de o produto obtido ser um número par? A)
0
B)
1
2 ×1 C) 4 C 2 × 4 C1
C 2 ×1 C1 4 C 2 × 4 C1 3
D)
2. Capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda dá o mesmo número. Por exemplo, 75957 e 30003 são capicuas. Quantas capicuas existem com cinco algarismos, sendo o primeiro algarismo ímpar? A) 300
3.
B) 400
C) 500
D) 600
A soma de todos os elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 1024. Qual é o quarto elemento da linha seguinte?
A)
11
C4
B)
12
C4
C)
10
C 2 + 10C 3
D)
10
C 3 + 10C 4
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TREINO Nº 8 – Revisões
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4. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha seguinte? A) 1275
B) 1581
C) 2193
D) 2634
5. Considera a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais?
A)
19 C2
35
B)
35 C2
36
C)
1 C2
35
D)
18 C2
36
6. Efectuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis num stand, o qual revelou que: •
15% dos clientes compram automóvel com alarme e com rádio;
•
20% dos clientes compram automóvel sem alarme e sem rádio;
•
45% dos clientes compram automóvel com alarme ( com ou sem rádio)
Um cliente acaba de comprar um automóvel. 6.1. A Mariana, empregada do stand, que nada sabia das preferências desse cliente e não tomou conhecimento do equipamento do automóvel que ele tinha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas não tinha alarme. Qual a probabilidade de a Mariana acertar? 6.2. Alguém informou depois a Mariana de que o referido automóvel vinha equipado com alarme. Ela apostou, então que o automóvel também tinha rádio. Qual é a probabilidade de a Mariana ganhar esta nova aposta?
7.
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TREINO Nº 8 – Revisões
www.matmoz.tk 7.1.
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Seja S o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos
(
(
A ⊂ S e B ⊂ S ) . Prova que:
) ()
p A ∩ B = p A − p (B ) + p ( A / B ) × p ( B ) 7.2.
Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que: •
A quarta parte tem olhos verdes;
•
A terça parte tem cabelo louro;
•
Das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes.
7.2.1. Escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale de Rei, qual é a probabilidade de ela não ser loura nem ter olhos verdes. 7.2.2. Admita agora que em Vale de Rei moram cento e vinte raparigas. Pretende-se formar um grupo de cinco raparigas para organizar um baile. Quantas comissões diferentes se podem formar com exactamente duas raparigas louras. 8. Sabendo que são iguais os coeficientes binomiais dos 3º e 9º termos do n
desenvolvimento de
⎛2 2⎞ ⎜ + x ⎟ , x ≠ 0: ⎠ ⎝x
8.1. Determine o valor de n. 8.2. Calcule o termo médio. 8.3. Averigúe se existe algum termo cuja parte literal seja x11
9. Considera um prisma regular em que cada base tem n lados. Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as faces do prisma (incluído as bases) é dado por
(
)
2 n C 2 − n + 2n 10. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Considera os acontecimentos A e B:
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A- “sai face par” B- “sai um número menor do que 4” Indica o valor da probabilidade condicionada P(B/A).
11. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis de um espaço amostral S.
(
) ()
Prova que: P A ∩ B = P A − P (B ) + P( A / B ) × P(B )
⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ 12. Qual o termo médio do desenvolvimento do binómio ⎜⎜ x + x⎠ ⎝
6
⎛ ⎝
13. Determina os termos médios do desenvolvimento do binómio ⎜ x x −
2⎞ ⎟ x⎠
7
14. A soma de todos os elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é igual a 128. Qual o termo médio da linha seguinte? 15.
Indica a soma dos coeficientes dos monómios resultantes do desenvolvimento 5 do binómio ( x + 2 y ) .
16. Os quatro primeiros números de uma certa linha do Triângulo de Pascal são 1, 9, 36 e 84. Indica os três últimos da linha seguinte. 17. Qual o valor de x se quarto termo do binómio (x + 3) é igual a 48384? 8
n
1 ⎞ ⎛ 18. A soma dos coeficientes binomiais no desenvolvimento ⎜ x 2 − ⎟ é 128. 2x ⎠ ⎝ 18.1. Determina o valor de n? 18.2. Calcula o termo em x5 do desenvolvimento. 19. Qual o valor de p que torna máximo
10
C p −1
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TREINO Nº 9 – Revisões Nada se aprende sem trabalho e dedicação
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TREINO Nº 10 – Revisões Nada se aprende sem trabalho e dedicação
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TREINO Nº 11– Distribuição de Probabilidades
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1. Seja Ω um espaço de resultados finito, associado a uma experiência aleatória. 1.1. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis, mas não certos. Prove que A e B são independentes se, e só se, P (B / A) = P B / A .
(
)
(P designa probabilidade, A designa o acontecimento contrário de A e P (B / A) designa a probabilidade de B, se A) 1.2. Numa caixa existem cinco bolas brancas e três bolas pretas. Ao acaso, tiram-se sucessivamente duas bolas da caixa, não repondo a primeira bola na caixa, antes de retirar a segunda. a) Utilizando a propriedade enunciada na alínea anterior, mostre que os acontecimentos «a primeira bola retirada é preta» e «a segunda bola retirada é branca» não são independentes. b) Seja X a variável aleatória «número de bolas brancas que ficam na caixa, após a extracção das duas bolas». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fracção irredutível.
2. Uma certa variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:
Qual é a média desta variável aleatória? A)
a+b
B)
a+b 2
C)
a + 2b
D)
2a + b
3. Numa turma do 12.º ano, a distribuição dos alunos por idades e sexo é a seguinte:
Para formar uma comissão que vai preparar um baile de finalistas, vão ser sorteados três rapazes e duas raparigas desta turma.
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TREINO Nº 11– Distribuição de Probabilidades
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3.1. Qual é a probabilidade de a comissão ficar constituída apenas por jovens de 16 anos? Apresente o resultado na forma de dízima, com quatro casas decimais. 3.2. Admita agora que já estão sorteados quatro dos cinco jovens que vão constituir a comissão: os três rapazes e uma das raparigas, a qual tem 16 anos de idade. Para a comissão ficar completa, falta, portanto, escolher aleatoriamente uma rapariga. Seja X a variável aleatória: número de raparigas de 17 anos que a comissão vai incluir. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fracção.
4. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspecto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? A)
B)
B)
D)
5. O João tem catorze discos de música ligeira: seis são portugueses; quatro são espanhóis; três são franceses; um é italiano. 5.1. O João pretende seleccionar quatro desses catorze discos. 5.1.1. Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os quatro discos seleccionados sejam de quatro países diferentes, ou seja, um de cada país?
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TREINO Nº 11– Distribuição de Probabilidades
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5.1.2. Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os quatro discos seleccionados sejam todos do mesmo país?
5.2. Considere agora a seguinte experiência: o João selecciona, ao acaso, quatro dos catorze discos. Seja X a variável aleatória: «número de discos italianos seleccionados». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fracção irredutível. 6. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:
Indique o valor de a. A)
2005
C 99
B)
2005
C100
C)
2006
C 99
D)
2006
C100
7. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X o maior dos números saídos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X? A)
B)
C)
D)
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TREINO Nº 11– Distribuição de Probabilidades
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8. A Sofia tem dois dados equilibrados. Um dos dados é um cubo com as faces numeradas de 1 a 6. O outro dado é um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8.
A Sofia lança os dois dados e observa os números saídos (nas faces que ficam voltadas para cima).
8.1. No âmbito desta experiência, dê um exemplo de dois acontecimentos, A e B, nem impossíveis, nem certos, e tais que A ≠ B e P ( A ∩ B ) = P ( A) .
8.2 Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos. Determine P ( X = 5) . Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
8.3. Considere os acontecimentos: C: o produto dos números saídos é 16. D: os números saídos são iguais. Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P (C / D ) e
de P (D / C ) .
Numa pequena composição, justifique a sua resposta, começando por explicar o significado das probabilidades pedidas, no contexto da situação descrita.
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9. Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja X o número de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? A)
B)
C)
D)
10. Uma caixa, que designamos por caixa 1, contém duas bolas pretas e três bolas verdes. Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contém duas bolas pretas e uma bola verde.
10.1. Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa. Seja X a variável aleatória «número de bolas verdes que existem no conjunto das duas bolas retiradas». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de fracção irredutível.
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10.2. Considere agora que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa 1 e colocam-se na caixa 2; em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da caixa 2. Sejam os acontecimentos: A: «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»; B: «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes». Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de P (B / A) , apresentando o seu valor na forma de fracção irredutível. Numa pequena composição, explique o raciocínio que efectuou. O valor pedido deverá resultar da interpretação do significado de P (B / A) , no contexto do problema, significado esse que deverá começar por explicar.
11. O Jorge tem seis moedas no bolso. Ele retira, simultaneamente e ao acaso, duas dessas seis moedas. Seja X a quantia, em cêntimos, correspondente às duas moedas retiradas. Sabe-se que a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é
Quais poderiam ser as seis moedas que o Jorge tinha inicialmente no bolso?
A)
B)
C)
D)
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12. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:
(a e b designam números reais positivos) Sabe-se que o valor médio da variável aleatória X é 2,4. Qual é o valor de a?
13. Um saco contém dez bolas. Quatro bolas estão numeradas com o número 1, cinco com o número 2 e uma com o número 3. 13.1. Extrai-se, ao acaso, uma bola do saco. Seja X o número da bola extraída. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de dízima. 13.2. Do saco novamente completo, tiram-se simultaneamente, ao acaso, duas bolas. Determine a probabilidade de essas duas bolas terem o mesmo número. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 13.3. Considere, uma vez mais, o saco com a sua constituição inicial. Tira-se, ao acaso, uma bola do saco, observa-se o número e repõe-se a bola no saco juntamente com mais dez bolas com o mesmo número. Seguidamente, tira-se, ao acaso, uma segunda bola do saco. Sejam A e B os acontecimentos: A: «sair bola com o número 1 na primeira extracção» B: «sair bola com o número 1 na segunda extracção» Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique, na forma de fracção, o valor de P (B / A) . Numa pequena composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de P (B / A) , no contexto da situação descrita.
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TREINO Nº 11– Distribuição de Probabilidades
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14. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima? A) 20 000
B) 21 000
C) 22 000
D) 23 000
15. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro moedas de 50 cêntimos. O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso. 15.1. Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades na forma de fracção irredutível. 15.2. Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fracção irredutível.
16. Numa caixa estão bolas brancas e bolas pretas. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, três bolas da caixa. Seja x o número de bolas brancas extraídas. Sabe-se que a distribuição de probabilidades da variável aleatória X é
Qual é a probabilidade de se extraírem menos de três bolas brancas?
A)
1 15
B)
4 15
C)
8 15
D)
11 15
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12º Ano
TREINO Nº 11– Distribuição de Probabilidades
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17. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a respectiva planificação. Lança-se este dado duas vezes. Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos nos dois lançamentos. Indique o valor de k tal que P( X = k ) =
1 . 9
Matemática
12º Ano
TREINO Nº 12– REVISÕES
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1. Calcula o valor de p sabendo que:
15
( p = 4)
C p =15 C 2 p +3
2. Determina n sabendo que: a)
2 n +1
C n + 2 = 2 n +1C 5
c)
n
C 6 − n C8 = 0
(n = 6)
b)
n
( n = 14 )
d)
25
3. Calcula n e p sabendo que n A p = 90 e
n
C10 = n C 20
( n = 30 )
C 5+ n = 25C n
( n = 10 )
( n = 10
C p = 45
p = 2)
e
4. Calcula o 8º termo dos desenvolvimentos: a)
(
b)
1 ⎞ ⎛ ⎜ x+ 2⎟ x ⎠ ⎝
3+x
)
9
( 108x 7 ) 8
( 8x
⎛ x2 2 ⎞ 5. Considera o seguinte binómio ⎜⎜ + ⎟⎟ 2 x⎠ ⎝
−
27 2
)
6
Determina:
a) o termo independente do desenvolvimento;
( T5 = 60 )
b) a soma dos coeficientes binomiais do desenvolvimento;
(64)
c) a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento.
(
15625 ) 64
n
⎛1 ⎞ 6. Calcula o 5º termo do desenvolvimento de ⎜ − 2 x ⎟ sabendo que n A4 = 5!× n C 5 . ⎝x ⎠ ( T5 = − 7. Prova que:
(
)
() (
p A ∪ B = p( B) − p A + p A ∩ B
() ()
)
8. Prova que p ( A ∪ B ) = 1 − p A × p B sendo A e B dois acontecimentos independentes
10 ) x3
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12º Ano
TREINO Nº 12– REVISÕES
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9. A média das classificações obtidas pelos candidatos à Universidade num dado ano lectivo da disciplina de Matemática foi de 7,4 e o desvio padrão 2,1 (distribuição normal). Calcula a percentagem de alunos que podem candidatar-se à Universidade de Coimbra sabendo que a nota mínima de Matemática é 9,5 para os cursos que têm como disciplina específica.
(15,87%)
10. A variável, pesos das crianças do sexo masculino com idades compreendidas entre os 10 e 12 anos, distribui-se normalmente com valor médio 20kg e desvio padrão 3 kg. Qual a probabilidade de uma criança daquela classe etária, escolhida ao acaso: a)
pesar entre 17 kg e 23kg?
(0,68)
b)
pesar mais de 23kg?
(0,16)
c)
Pesar mais de 29kg?
(0,0225)
11. Lança-se 3 vezes um dado não viciado. Calcula a probabilidade de sair pelo menos um 2?
⎛ 91 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 216 ⎠
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C
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B
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D
6.
A
7.
D
8.
C
9.
D
10.
D
11.
A
12.
D
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D
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A
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B
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12º Ano Ficha Treino nº 16 – Limites Notáveis
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B
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12º Ano Ficha Treino nº 21 – Operações com números Complexos
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1.Efectue as seguintes operações 1.1
(
) (
)
3 − i + 2i − 2 3 − ( −1 + 4i )
( 3 − 2i ) − ( 6 − i ) + i + 4
1.3
1 − 2i 1.6 3+i 8 + 4i 1 + 2i
1.9
1.11
1.2 ( 4i − 5 ) − (1 − 2i ) − i −3 1.4 (1 + 3i )( 2 − 4i )
⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1.7 ⎜ + i ⎟ ÷ ⎜ 1 − i ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 1.10
4 − 2i ( 2 − i )( i − 3)
1.5
i 85 1.8 2i136 − i 21
( 4 + 3i )(1 − 2i ) 2−i 1.12
2 − 3i 1 + i − 2i 1 + 2i
2. Represente na forma algébrica os seguintes complexos:
2.1
2cis
2.4
2cis
π 6
11π 4
⎛ 19π ⎞ ⎟ ⎝ 4 ⎠
2.7 2cis ⎜ −
⎛ 19π ⎞ 8cis ⎜ − ⎟ 4 ⎠ ⎝ 2.10 ⎛ 25π ⎞ 3cis ⎜ − ⎟ ⎝ 4 ⎠
2.2
2.5
2.8
3cis ( 5π )
⎛ 5π ⎞ 3cis ⎜ − ⎟ ⎝ 3 ⎠ 3cis
21π 6
2.3
1 π cis 2 2
2.6 4cis
2.9
7π 2
⎛ 29π ⎞ 2cis ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎛ 7π ⎞ 2cis ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠
5 − 8i 2i
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12º Ano Ficha Treino nº 21 – Operações com números Complexos
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3 . Represente na forma trigonométrica os seguintes complexos:
3.1
-1
3.2
i
3.3
-3i
3.4
3.6
1+ i 3
3.7
− 3 +i
3.8
1 1 − − i 2 2
3.9
2 3 − 6i
6
3.5
1+i
4. Considere os complexos
z1 = 2 − 3i ; z2 = −5i ; z3 = −3 + i e z4 = −2i − 1 e calcule: z1 − 3z2
4.1
4.2
__
__
z1 − iz4
4.3 −2z3 + iz1 − z2 × z4
2 11π ⎛π ⎞ cis , calcule, apresentando o resultado na ⎟ e z2 = 4 2 ⎝4⎠ z1 + i11 z2
5. Sendo z1 = 2cis ⎜
forma a+b i a seguinte expressão
___
−2i z2
SOLUÇÕES:
(
)
1.1 1 − 3 − 3i 1.2
1 5
1.8 − +
5 1 7 3 21 −6 + 5i 1.3 1 1.4 14+2i 1.5 −4 − i 1.6 − i 1.7 + i 2 10 10 20 20
2 16 12 i 1.9 − i 1.10 5 5 5
5
3 1 5 5
1.11 − − i 1.12 −
1 3 3 i 2.4 -1+i 2.5 + i 2.6 -4i 2 2 2 8 ⎛π ⎞ 3.1 cisπ 3.2 cis ⎜ ⎟ 3.3 2.10 − i 3 ⎝2⎠
2.3
3.6
2cis
π 3
3.7
2cis
5π 6
3.8
2.7
21 4 − i 2.1 10 5
− 2 − 2i
⎛ 3π ⎞ 3cis ⎜ ⎟ 3.4 ⎝ 2 ⎠
2 5π cis 3.9 2 4
3 + i 2.2 -3
2.8 − 3i
6cis 0
⎛ 5π ⎞ 4 3cis ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠
3.5
2.9
2 −i 2
2cis
π
4
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12º Ano Ficha Treino nº 22 – Operações com números Complexos
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1.Considere os complexos :
5π , mostre que a imagem complexa do número complexo que é 3 solução da equação iz1w = z23 se situa na bissectriz dos quadrantes ímpares. z1 = 1 + i e z2 = 2 2cis
2. Em ^ , conjunto dos números complexos, considere : z1 =
1+ i 1− i 7π − e z2 = cis 1− i 1+ i 12
2.1 Verifique que z1 = 2i 2.2 Determine na forma algébrica o número complexo z tal que :
z = ( z1 − 2) × z2 ) 2.3 Para um certo número real positivo k , z2 é uma raiz cúbica do complexo k- ki .
Determine o valor de k .
3.) Em ^ , conjunto dos números complexos, considere:
z1 =
3 + i 35 3π + i , z2 = 8cis 1− i 2
e z3 = a + 3i, com a ∈ \
3.1 Determine z1 na forma algébrica 3.2 Resolva, em ^ , a equação z 3 = i12 z2 3.3 Determine o valor de a para o qual se tem ( z3 ) = −5 − 12i 2
4. Em ^ , conjunto dos números complexos: 4.1 Resolva, em ^ , a equação z 5 +
32 =0 i5
4.2 Represente no plano complexo :
__
z + 1 + 2i ≤ z − 1 ∧ z × z ≥ 9
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12º Ano Ficha Treino nº 22 – Operações com números Complexos
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5. Em ^ , conjunto dos números complexos, considere: z = 2cis
4π 3
__
5.1 Escreva na forma trigonométrica
z z+2
5.2 Determine o menor número natural n , tal que z n ∈ \
6. Em ^ , conjunto dos números complexos, considere:
⎛π ⎞ z = −3 + 3i e w = 3cis ⎜ ⎟ ⎝3⎠
6.1 Escreva o número complexo z na forma trigonométrica. 6.2 Calcule: __
6.2.1
z×w
6.2.2
w2
6.2.3
z −w
6.3 Calcule as raízes quintas de w
7. Sabendo que uma das raízes de índice n do complexo z é
⎛π ⎞ z1 = 3cis ⎜ ⎟ cujo afixo é um dos vértices do pentágono regular ⎝ 10 ⎠
representado em baixo, calcule o número complexo z. 8. Considere os números complexos
z1 =
4 ⎛ 11π ⎞ e z 2 = 2cis ⎜ ⎟ −1 − i 3 ⎝ 3 ⎠ ___
z +z 8.1 Calcule 1 3 2 e apresente o resultado na forma trigonométrica. z1 8.2 Mostre que z1 e z2 são raízes de índice 6 do mesmo número complexo e verifique que esse número é real. 8.3 Na figura 1 (diagrama de Argand), A é o centro da circunferência e representa o afixo de 1 − i 3 A circunferência é tangente ao eixo real no ponto C. AB é paralela ao eixo real. Determine em C uma condição que defina a região sombreada (incluindo a fronteira)
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12º Ano Ficha Treino nº 22 – Operações com números Complexos
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9. Sabendo que -2+2i é uma das raízes quartas de um complexo w, determine, na forma algébrica, as restantes raízes. 10.Os números complexos -2i e − 3 + i são duas raízes consecutivas de índice n de um número complexo z. 10.1 Determine n
10.2 Calcule z 5 .
11. Considere o número complexo z1 = cis
3π 4
Determine o menor número natural n tal que z1n seja : 11.1 Um imaginário puro 11.2 Um número real 11.3 Sabe-se que z1 é uma das raízes cúbicas de um número complexo z. Determine as outras raízes cúbicas de z 11.4 Resolva, em ^ , a equação iz = 1 − i SOLUÇÕES: 2.2 − 2 − 6i 2.3
8.1
2cis
π
3.1 1+i
⎧ ⎩
3.2 ⎨2cis
π 2
, 2cis
7π 11π ⎫ , 2cis ⎬ 6 6 ⎭
3.3 -2
9π 13π 17π ⎫ 2cis , 2cis 5.1 cisπ 5.2 3 ⎬ 10 2 10 10 10 ⎭ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 7π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ π⎞ 6.2.1 2cis ⎜ 6.2.2 2cis ⎜ 6.2.3 2cis ⎜ − ⎟ 6.1 2 3cis ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎧ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛ 7π ⎞ 10 ⎛ 13π ⎞ 10 ⎛ 19π ⎞ 10 ⎛ 5π ⎞ ⎫ 6.3 ⎨10 3cis ⎜ ⎟ , 10 3cis ⎜ ⎟ , 3cis ⎜ ⎟ , 3cis ⎜ ⎟ , 3cis ⎜ ⎟ ⎬ 7. z = 243cis ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎭ ⎝2⎠ ⎩ ⎧ ⎩
4.1 ⎨2cis
π
2 2 , 2cis
3 ⎛π ⎞ cis ⎜ ⎟ 8.2 Calcular z16 e z2 6 que dá 26 4 ⎝2⎠
Matemática
12º Ano Ficha Treino nº 22 – Operações com números Complexos
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Nada se aprende sem trabalho e dedicação
⎛ ⎝
( (
8.3 z − 1 − i 3 ≤ 3 ∧ ⎜ 0 ≤ arg z − 1 − i 3
)) ≤ π2 ∨ Re z ≤ 0 ⎞⎟⎠ 9. {2 + 2i, −2 − 2i, 2 − 2i} 10.1
π⎫ ⎛π ⎞ ⎧ 17π , cis ⎬ 11.4 -1-i ⎟ 11.1 2 11.2 4 11.3 ⎨cis 12 12 ⎭ ⎩ ⎝2⎠
10.2 32768cis ⎜
3