O enigma de Monty Hall
O problema de Monty Hall surgiu, nos anos 70, de um concurso televisivo americano – Let’s Make a Deal. O jogo consiste no seguinte: Monty Hall, o apresentador do concurso, apresenta 3 portas fechadas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas existe um carro e que as outras apenas têm prémios simbólicos (um aspirador, uma torradeira ou outros semelhantes). 1 - Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta; 2 - De seguida, o apresentador abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí; 3 - Agora com duas portas apenas, e sabendo que o carro está atrás de uma delas, ao concorrente é dada a possibilidade de alterar a sua escolha. Assim, deve decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo ou se muda para a outra porta que ainda está fechada.
Qual a opção mais vantajosa? Trocar de portas ou manter a escolha inicial? Ou será que é indiferente, e porquê? Nota: O problema foi desencadeado por um artigo escrito por Marylin, considerada, há data, como o “maior Q. I. do mundo”. Choveram cartas de leitores, alguns dos quais matemáticos profissionais, que contrariavam o raciocínio de Marylin. Vários artigos publicados em revistas matemáticas e uma análise rigorosa do problema acabaram por mostrar que, afinal, Marylin tinha razão.
Explicação Realmente não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta. À partida quando se escolheu uma das portas havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma para essa probabilidade mudar após o apresentador ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham em conjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro, e quando uma dessa portas é aberta (por não ter prémio) a porta não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta com o carro.
Hipótese 1 Hipótese 2 Hipótese 3
Porta 1
Porta 2
Porta 3
Probabilidade de ganhar: 2/3 se trocar de porta 1/3 se não trocar de porta
Este é um problema “viciado”, pois só o apresentador sabe onde está o carro e qual a porta a abrir.
Em http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html é possível simular o jogo on-line e concluir que, para um número elevado de jogadas, em cada caso, as probabilidades de ganhar se aproximam dos valores indicados.