Teoría de Funciones de Variable compleja

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TEOR´IA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA A. L. Cauchy (1789–1857)

Editado por

Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruiz ´ sobre apuntes del Area de An´alisis matem´atico

B. Riemann (1826–1866)

K. Weierstrass (1815–1897)

“La teor´ıa moderna de las funciones anal´ıticas ha tenido cuatro fundadores: Gauss, Cauchy, Riemann y Weierstrass. Gauss no public´o nada en vida; por as´ı decir, no hab´ıa comunicado nada a nadie y sus manuscritos no se han reencontrado hasta mucho despu´es de su muerte. No ha ejercido por ello ninguna influencia. Los otros tres ge´ometras que han contribuido a crear la noci´on nueva de funci´on han seguido caminos bien diferentes. Cauchy ha precedido a los otros y les ha mostrado el camino; pero no obstante las tres concepciones se mantienen distintas y esto es una gran suerte, pues tenemos as´ı tres instrumentos entre los que podemos elegir y cuya acci´on podemos combinar a menudo.

... La teor´ıa de Cauchy conten´ıa en germen a la vez la concepci´on geom´etrica de Riemann y la ´ comprender como pod´ıa, al desarrollarse concepci´on aritm´etica de Weierstrass, y es facil en dos sentidos diferentes, dar nacimiento a una y a otra. ´ que Para Riemann, la imagen geom´etrica juega el papel dominante; una funci´on no es mas ´ las cuales pueden transformarse las superficies; uno busca repreuna de las leyes segun sentarse estas transformaciones y no analizarlas; su posibilidad misma no es establecida ´ que por un razonamiento sumario al que no se ha podido, mucho mas ´ tarde, dar rigor mas ´ que al precio de modificaciones profundas y rodeos complicados. mas ´ en el extremo opuesto; el punto de partida es la serie de potencias, el Weierstrass se situa elemento de la funci´on que esta´ confinado en un c´ırculo de convergencia; para proseguir la funci´on fuera de este c´ırculo, tenemos el procedimiento de la continuaci´on anal´ıtica; todo deviene as´ı una consecuencia de la teoria de series y esta teor´ıa esta´ establecida sobre bases aritm´eticas y s´olidas. Nos desembarazamos de las dudas que, en el siglo pasado y en la primera mitad de e´ ste, asaltaban a menudo a los pensadores a prop´osito de los ´ principios del calculo infinitesimal, y tambi´en de las que pod´ıa provocar por sus lagunas la teor´ıa de funciones anal´ıticas de Lagrange . . . ” ´ (Henri Poincar´e, ‘La obra matematica de Weierstrass’, en Acta mathematica 22 (1899), pp. 1–18.)

INDICE 0

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NÚMEROS COMPLEJOS: CONOCIMIENTOS PREVIOS 1. Introducción 2. Propiedades algebraicas de los números complejos 3. El plano complejo 4. Raices n-ésimas de un número complejo 5. La topología de C 6. Compactificación de C 7. Continuidad de las funciones de variable compleja FUNCIONES HOLOMORFAS 1. Introducción 2. Derivabilidad de las funciones de variable compleja 3. Condiciones de Cauchy-Riemann 4. Funciones holomorfas. Funciones armónicas 5. Apéndice: cálculo de armónicas conjugadas y método de MilneThomson FUNCIONES ANALÍTICAS 1. Introducción 2. Series en C: generalidades 3. Series de potencias 4. Funciones analíticas 5. Principio de prolongación analítica FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS 1. Introducción 2. Función exponencial 3. Funciones seno y coseno 4. Determinaciones del argumento y del logaritmo 5. Exponenciales y potencias arbitrarias 6. Otras funciones elementales INTEGRACIÓN DE CAMINOS 1. Introducción 2. Integración de funciones complejas en intervalos reales 3. Curvas y caminos en C 4. Integración de funciones complejas sobre caminos 5. Integrales dependientes de un parámetro complejo INDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UN CAMINO CERRADO 1. Introducción 2. Definición y primeras propiedades 3. Interpretación geométrica del índice 4. Ejemplos y ejercicios 5. Apéndice: superficies de Riemann TEORÍA LOCAL DE CAUCHY 1. Introducción 2. Teorema y fórmula de Cauchy 3. Consecuencias de la fórmula de Cauchy 4. Avance: el teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales 5. Apéndice: sumación de series. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY 1. Introducción

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2. Ciclos. Homología 3. Teorema nomológico de Cauchy 4. Conexión simple CEROS Y SINGULARIDADES. SERIES DE LAURENT 1. Introducción 2. Ceros de una función holomorfa 3. Singularidades aisladas 4. Funciones meromorfas 5. Singularidades en el infinito 6. Series de Laurent 7. Ejercicios resueltos TEOREMA DE LOS RESIDUOS. APLICACIONES 1. Introducción 2. Prólogo: residuos 3. El teorema de los residuos 4. Aplicación al cálculo de integrales y a la sumación de series 5. Aplicaciones a la localización de ceros 6. Valores locales de una función holomorfa 7. Teorema de la aplicación abierta 8. Teoremas de la función inversa 9. Ejercicios resueltos

CAP´ITULO 0

N´umeros complejos: conocimientos previos. 0.1

´ INTRODUCCION

Recopilamos en este cap´ıtulo las propiedades b´asicas de los n´umeros complejos, ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usarse, por ejemplo, Apostol, T.M.: An´alisis Matem´atico (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona (1991) (algunas explicaciones est´an m´as detalladas en Apostol, T.M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona (1989)); para practicar con operaciones y representaciones gr´aficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. McGraw Hill (colecci´on Schaum) (1971). Comencemos recordando que se defin´ıa C = {(a, b) : a, b ∈ R} con las operaciones SUMA: PRODUCTO:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad)

Obs´ervese que, como conjunto, C es en realidad R2 . La novedad (y lo interesante como veremos) est´a en introducir el producto, pues se comprueba f´acilmente que C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con (0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos. Adem´as, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta afirmaci´on: - La aplicaci´on a ∈ R −→ (a, 0) ∈ C es un homomorfismo inyectivo de cuerpos. Esta identificaci´on de R como subcuerpo de C nos permite usar la notaci´on simplificada a = (a, 0), y observando que todo elemento (a, b) ∈ C se puede escribir como (a, b) = (a, 0).(1, 0) + (b, 0)(0, 1), si denotamos i = (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos (a, b) = a + ib. 1

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Numeros ´ complejos: conocimientos previos.

Esta forma de escribir un n´umero complejo (forma bin´omica) hace m´as facil la multiplicaci´on. En efecto, teniendo en cuenta que i 2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 comprobamos que (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad) se traduce en (a + ib).(c + id) = ac − bd + i(bc + ad), donde para hacer esta operaci´on s´olo hace falta recordar las reglas habituales de la multiplicaci´on y las identificaciones anteriores. Cuando se utiliza una sola letra para denotar un n´umero complejo, se suele elegir la z, y si z = a + ib con a, b ∈ R, los n´umeros a, b se llaman partes real e imaginaria de z, respectivamente. Escribiremos entonces a = e z, b = m z. Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que soluciona el defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, es decir, de que existan ecuaciones polin´omicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales. El ejemplo m´as aparente es x 2 + 1 = 0. Esto ya no va a ocurrir en C. 0.2

´ PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta: 1. C es un espacio vectorial sobre R de dimensi´on 2 ({1, i} es la base can´onica). 2. C es un cuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R. 3. Existe un elemento de C soluci´on de z 2 + 1 (precisamente i es soluci´on). Pero, mucho m´as general, C es algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomio con coeficientes complejos tiene una soluci´on en C. Este hecho no es f´acil de demostrar con argumentos elementales pero, m´as adelante, ser´a una consecuencia sencilla del an´alisis que desarrollaremos sobre C. Adem´as, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. Con mayor precisi´on, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpo isomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C. 4. Aplicaci´on conjugaci´on. La aplicaci´on de C en C definida por z = a + ib −→ z = a − ib

Numeros ´ complejos: conocimientos previos.

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tiene las siguientes propiedades: 4.1. Es un isomorfismo de cuerpo (z + w = z + w, zw = zw). 4.2. Es una proyecci´on (z = z). 4.3. Deja fijo el cuerpo R (z = z si y solo si z ∈ R). 5. Aplicaci´on m´odulo. La aplicaci´on de C en R+ definida por √ z = a + ib −→ |z| = + zz = + a 2 + b2 tiene las siguientes propiedades: 5.1. |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0. 5.2. |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular). 5.3. |zw| = |z||w|. Una consecuencia de estas propiedades es la que suele llamarse desigualdad triangular inversa, 5.4. |z − w| ≥ ||z| − |w||. 6. En C no existe un orden total compatible con la estructura algebraica que extienda el orden de R. En efecto, si e´ ste fuera el caso los elementos i y 0 deber´ıan ser comparables. Entonces, o´ i > 0, en cuyo caso por la compatibilidad con el producto tendr´ıamos i 2 = −1 > 0, o´ i < 0, en cuyo caso y por la misma raz´on, tambi´en se tendr´ıa i 2 = −1 > 0, con lo cual, obviamente, no se extiende el orden de R. Observaciones. 1. En la construcci´on de los n´umeros se busca siempre solucionar un defecto, pero con una propiedad de minimalidad. As´ı, en los contenidos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, Z es el menor grupo que contiene a N, Q es el menor cuerpo que contiene a Z, R es el menor cuerpo completo que contiene a Q y C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. 2. Hay otros contextos matem´aticos que llevan a construcciones de C, es decir a la construcci´on de cuerpos isomorfos a nuestro C. Dos ejemplos son los siguientes:

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Numeros ´ complejos: conocimientos previos. i) Sea R[x] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes reales (con las operaciones habituales). Sea I el ideal maximal generado por el polinomio x 2 +1. Entonces, el espacio cociente R/I, con las operaciones inducidas, resulta ser un cuerpo conmutativo isomorfo a C. ii) Sea M(2 × 2; R) el anillo de las matrices 2 × 2 con coeficientes reales, con las operaciones habituales. El subanillo a b M={ : a, b ∈ R} −b a es un cuerpo conmutativo isomorfo a C.

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EL PLANO COMPLEJO

Debido a la identificaci´on entre C y R2 , todo n´umero complejo z = a + ib lo podemos representar en el plano como el punto de coordenadas (a, b). Pero adem´as, es de gran inter´es la llamada representaci´on polar de un n´umero complejo. Observemos que todo punto del plano z = 0 queda un´ıvocamente determinado por su distancia al origen y por el a´ ngulo que forma el segmento [0, z] con el eje real. Dicha distancia ya sabemos que es el m´odulo, y el a´ ngulo va a dar lugar al concepto de argumento de un n´umero complejo. Mirando la figura, tenemos las igualdades e z = |z| cos φ, m z = |z| sen φ, de donde z = |z|(cos φ + i sen φ) = |z|eiφ . Aqu´ı hemos utilizado la notaci´on z=(a,b ) eiφ = cos φ + i sen φ. |z | De momento, la igualdad anterior se b= Im z debe interpretar como una definici´on, φ aunque m´as adelante se corresponder´a con el valor en iφ de la funci´on expoO a = Re z nencial compleja. Notemos que en este punto damos por bueno que las funciones seno y coseno del An´alisis matem´atico se corresponden con las funciones definidas gr´aficamente en Trigonometr´ıa, sin que para ello tengamos ninguna justificaci´on rigurosa. Para ser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una definici´on rigurosa de las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existencia y propiedades. Volveremos sobre este punto cuando estudiemos las funciones elementales b´asicas.

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Observaci´on importante. La definici´on de m´odulo no plantea ninguna ambig¨uedad, pero no as´ı la del a´ ngulo (o argumento) puesto que φ y φ + 2kπ con k ∈ Z hacen el mismo papel. Esto nos hace abordar las siguientes precisiones sobre la definici´on de argumento. Definici´on. Dado z ∈ C \ {0}, arg z = {φ ∈ R : cos φ = e z/|z|, sen φ = m z/|z|}. Por tanto, arg z es un conjunto! Pero ‘es obvio’ que es de la forma {φ0 + 2kπ : φ0 ∈ arg z, k ∈ Z}. Es decir, conocido un argumento de z, cualquier otro se diferencia de e´ ste en un m´ultiplo entero de 2π . De esta forma, en cualquier intervalo semiabierto de longitud 2π, [α, α + 2π) o (α, α + 2π ], α ∈ R, existe un u´ nico elemento perteneciente al conjunto arg z. A este elemento se le denota por Arg[α,α+2π) z

(respectivamente, por Arg(α,α+2π ] z).

Normalmente, se toma el intervalo (−π, π ] y se escribe simplemente Arg(−π,π ] z = Arg z. A este argumento se le llama argumento principal (precauci´on: en algunos textos se llama argumento principal al que est´a en el intervalo [0, 2π )). La expresi´on eiφ , φ ∈ R (recu´erdese que, de momento, es cos φ + i sen φ por definici´on) tiene las mismas propiedades algebraicas que la exponencial real. eiφ eiψ = ei(φ+ψ) , φ, ψ ∈ R, (eiφ )n = einφ , φ ∈ R, n ∈ N, (eiφ )−1 = ei(−φ) , φ ∈ R. 0.4

´ ´ ´ RAICES n-ESIMAS DE UN NUMERO COMPLEJO

La representaci´on polar tiene especial importancia en este estudio, pues us´andola, es f´acil ver que, dado z = 0 y n ∈ N, la ecuaci´on w n = z tiene exactamente n soluciones, que son: w = |z|1/n ei

Arg z+2kπ n

, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. √ Si queremos alguna notaci´on, n z deber´ıa denotar el conjunto de estos n √ Arg z elementos, aunque en algunos textos, n z indica solamente el valor |z|1/n ei n (que nosotros llamaremos ra´ız n-´esima principal).

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0.5

´ DE C LA TOPOLOGIA

La topolog´Ĺa (est´andar) en C viene dada por la aplicaci´on m´odulo, que al cumplir las propiedades 5.1, 5.2 y 5.3, tiene las propiedades de una norma y como tal da lugar a una distancia d(z, w) = |z − w| Mirado en R2 , e´ sta es la distancia eucl´Ĺdea. Por tanto, la topolog´Ĺa de C es, exactamente, la topolog´Ĺa eucl´Ĺdea de R2 . Nos limitaremos a recordar los aspectos de esta topolog´Ĺa que ser´an de inter´es en el desarrollo de la asignatura. 1. Dado un punto z 0 ∈ C y un Îľ > 0, D(z 0 ; Îľ) = {z ∈ C : |z − z 0 | < Îľ} se llama disco (abierto) de centro z 0 y radio Îľ. Es lo que en espacios m´etricos abstractos se denomina bola. La familia de todas las bolas centradas en un punto z 0 , (D(z 0 ; Îľ))Îľ>0 es una base de entornos del punto z 0 . 2. Un subconjunto de C es abierto si es entorno de todos sus puntos. Es decir, si ∀z ∈ , âˆƒÎľ > 0 tal que D(z; Îľ) ⊆ . 3. Una sucesi´on z n −→ z 0 si (por definici´on) âˆ€Îľ > 0, ∃n 0 ∈ N ∀n ≼ n 0 , |z n − z 0 | < Îľ. Es muy f´acil comprobar que z n −→ z 0 â‡?⇒ e z n −→ e z 0 ∧ m z n −→ m z 0 . Por tanto, la convergencia de una sucesi´on de n´umeros complejos se remite al estudio de la convergencia de dos sucesiones de n´umeros reales. A partir de aqu´Ĺ es sencillo ver que (C, d) es un espacio m´etrico completo. Es decir, toda sucesi´on de Cauchy es una sucesi´on convergente. 4. Un subconjunto A ⊆ C es cerrado si su complementario es abierto, o equivalentemente, coincide con su clausura A. Recordemos que z ∈ A si âˆ€Îľ > 0, D(z; Îľ) ∊ A = ∅. Como estamos en un espacio m´etrico, es interesante observar que esta propiedad se puede caracterizar por sucesiones: z ∈ A â‡?⇒ ∃(z n ) ⊆ A z n → z. 5. Un subconjunto A ⊆ C es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Como consecuencia se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass:

Toda sucesi´on acotada posee una subsucesi´on convergente. 6. Conexi´on. Recordemos la definici´on, en general.

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Definici´on. Un espacio topol´ogico X se dice conexo si no es uni´on de dos conjuntos abiertos no vac´ıos disjuntos (o, equivalentemente, si los u´ nicos subconjuntos de X cerrados y abiertos a la vez son ∅ y X ). Un subconjunto X ⊆ C se considera espacio topol´ogico con la topolog´ıa inducida (o relativa) de C. Los abiertos en X son la intersecci´on de los abiertos de C con X . Para el concepto de conexi´on por arcos, hace falta recordar alg´un concepto previo. i) Una curva en C es una aplicaci´on γ : [a, b] −→ C continua. γ (a) y γ (b) son los puntos inicial y final de la curva (se dice tambi´en que la curva une los puntos γ (a) y γ (b)). El subconjunto de C, γ ([a, b]) se llama soporte de la curva. Se dice que la curva est´a contenida en un subconjunto A de C, si lo est´a el soporte. ii) Un arco es una curva inyectiva. iii) Dados z, w ∈ C, z = w, el arco γ : [0, 1] −→ C tal que t → (1 − t)z + tw, se llama segmento de extremos z y w. Efectivamente, el soporte de este arco es el segmento con dichos extremos. Esta notaci´on que usamos confunde la curva con su soporte, lo cual no es muy conveniente como se ver´a en cap´ıtulos posteriores. Pero, para los aspectos que estamos aqu´ı tratando no importa esta confusi´on. iv) Dados z 1 , z 2 , . . . z n ∈ C, llamaremos poligonal de v´ertices z 1 , z 2 , . . . z n a la uni´on de los n − 1 segmentos consecutivos que unen z i y z i+1 . Es f´acil ver que esta uni´on corresponde a una curva y si los segmentos no se cruzan es un arco. v) Un conjunto A ⊆ C se dice conexo por arcos si dos cualesquiera de sus puntos pueden unirse por un arco contenido en A. An´alogamente se puede dar la definici´on m´as espec´ıfica de conexo por poligonales.

γ (b)

.

w z2 zn

• γ (a)

O

z O

En C y para abiertos, tenemos el siguiente:

z1 O

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Teorema. Sea abierto de C. Son equivalentes: i) es conexo. ii) es conexo por arcos. iii) es conexo por poligonales. Tambi´en podr´ıamos haber a˜nadido es conexo por poligonales de lados paralelos a los ejes. Es importante la hip´otesis de que sea abierto. Si la quitamos, la implicaci´on ii) ⇒ i) sigue siendo cierta, pero el subconjunto de C, A = [−i, i] ∪ {x + i y : y = sen(1/x), x ∈ (0, 1)} es un conjunto conexo que no es conexo por arcos. 7. Componentes conexas. Sea ∅ = X ⊆ C. Una componente conexa (o, simplemente, componente) de X es un subconjunto conexo de X y maximal. Es decir, X 1 es componente conexa de X si X 1 ⊆ X , X 1 es conexo y no existe A conexo tal que X 1 ⊂ A ⊆ X . Sobre componentes conexas recordaremos lo siguiente: 7.1. Si X es conexo, su u´ nica componente conexa es X . 7.2 Las componentes son disjuntas. 7.3 Cada subconjunto conexo de X est´a contenido en una (y solo una) componente. 7.4 Si ⊆ C es abierto, cada componente conexa de es un abierto de C y existen, a lo m´as, un n´umero contable de componentes conexas. 7.5 Si X ⊆ C es un conjunto acotado, C\X = X c posee una sola componente no acotada. 0.6

´ DE C COMPACTIFICACION

En este apartado, vamos a introducir ‘el punto del infinito complejo’, ∞, con el objetivo de manejar conceptos como lim z n = ∞, lim f (z) = α, lim f (z) = ∞. z→∞

z→z 0

En C s´olo aparecer´a un punto del ∞. Los conceptos +∞ y −∞ est´an asociados a R debido a que es un cuerpo totalmente ordenado. La forma rigurosa de proceder es utilizando el teorema de compactificaci´on de Alexandrov de topolog´ıa general, aunque posteriormente el concepto se maneja con facilidad. El resultado general dice lo siguiente:

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Teorema. Cualquier espacio topol´ogico localmente compacto puede ser sumergido en un espacio compacto Xˆ , de forma que Xˆ \ X consta de un solo punto. Dicho de otra forma, al espacio X le podemos aËœnadir un punto que no est´a en X , al que se suele denotar ∞, y al espacio X âˆŞ {∞} se le dota de una topolog´Ĺa que restringida a X es la de X , y adem´as con esta topolog´Ĺa X âˆŞ {∞} es un espacio compacto. Examinemos los detalles de este procedimiento para nuestro caso particular de C. - C es un espacio localmente compacto (es Hausdorff y cada punto tiene un entorno relativamente compacto). - AËœnadimos un punto ∞ y denotaremos C∞ = C âˆŞ {∞}. - Si G es la topolog´Ĺa de C, es decir, G es el conjunto de los abiertos de C, definimos la topolog´Ĺa en C∞ como G∞ = G âˆŞ {C∞ \ K : K compacto de C}. N´otese que estos conjuntos que aËœnadimos son los entornos abiertos del punto del ∞. Se comprueban, sin mucha dificultad, los siguientes hechos: a. G∞ es una topolog´Ĺa en C∞ . b. G∞ |C = G. c. (C∞ ,G∞ ) es compacto. La descripci´on de esta topolog´Ĺa por base de entornos es muy sencilla: - Si el punto es un z 0 ∈ C, una base de entornos son los discos D(z 0 , Îľ). - Si el punto es ∞, una base de entornos es {C∞ \ D(0, R)} R>0 . Teniendo en cuenta como es esta base de entornos del punto del ∞, veamos que significa z n → ∞, cuando {z n } ⊂ C. z n → ∞ â‡?⇒ ∀R > 0, ∃n 0 ∈ N ∀n ≼ n 0 , z n ∈ C∞ \ D(0, R). Como z n ∈ C∞ \ D(0, R) significa |z n | > R, la definici´on anterior es equivalente a que la sucesi´on de n´umeros reales |z n | tienda a +∞.

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Observaci´on. Es un hecho te´orico importante que esta topolog´ıa de C∞ es metrizable. Es decir, se puede definir una m´etrica en C∞ que da lugar a dicha topolog´ıa. No es f´acil describir una tal m´etrica, de hecho, no tiene mucho que ver con la m´etrica de C. Se puede demostrar que no existe ninguna m´etrica en C∞ que de lugar a la topolog´ıa de C∞ y que extienda la m´etrica de C. No obstante, y por completar este estudio, en el siguiente apartado obtendremos una de estas m´etricas. 9. Representaci´on geom´etrica de C∞ . La esfera de Riemann. El plano no puede ser una representaci´on geom´etrica de C∞ , pues no queda sitio para dibujar el punto del ∞. No obstante, en la pr´actica, conviene imaginarse al punto del ∞ como algo que est´a m´as all´a en todas las direcciones, es decir, como la circunferencia de un c´ırculo imaginario de centro el origen y radio +∞. Una buena representaci´on geom´etrica la di´o Riemann utilizando la esfera unidad de R3 . Denotamos por S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 + x32 = 1} a dicha esfera y la dotamos de la topolog´ıa relativa que le da la eucl´ıdea de R3 . Vamos a identificar C∞ con S algebraicamente (obteniendo una biyecci´on entre ambos) y topol´ogicamente (dicha biyecci´on ser´a homeomorfismo). La biyecci´on es muy intuitiva si nos fijamos en la figura (0,0,1) adjunta. Se proyectan los puntos s = ( x1 , x 2 , x 3) (x1 , x2 , x3 ) de S desde el “polo norte” (0, 0, 1) sobre el “plano del ecuador” x3 = 0 y a (0, 0, 1) x2 x1 π(s) = ( , , 0 ) [´unico punto que queda sin ima1 – x3 1 – x3 gen] se le asocia el punto del infinito ∞ ∈ C∞ . Denotando por π : S −→ C∞ a esta biyecci´on, es un sencillo problema de geometr´ıa elemental obtener expresiones expl´ıcitas de π y π −1 : π(x1 , x2 , x3 ) =

x1 + i x2 , si (x1 , x2 , x3 ) ∈ S \ {(0, 0, 1)}, 1 − x3

y π(0, 0, 1) = ∞. π

−1

y π −1 (∞) = (0, 0, 1). Se prueba que:

2 m z |z|2 − 1 2 e z , , ) (z) = ( 2 |z| + 1 |z|2 + 1 |z|2 + 1

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Teorema. La aplicaci´on π , llamada proyecci´on estereogr´afica, es un isomorfismo entre los espacios topol´ogicos S (con la topolog´ıa eucl´ıdea relativa de R3 ) y C∞ (con la topolog´ıa G∞ ). Una vez tenemos este resultado, como S es m´etrico (con la m´etrica eucl´ıdea d3 ), podemos tener una m´etrica sobre C∞ como imagen de la eucl´ıdea por la aplicaci´on π, d∞ (z 1 , z 2 ) = d3 (π −1 (z 1 ), π −1 (z 2 )). Esta m´etrica se denomina distancia cordal (es la longitud de la cuerda que une los puntos π −1 (z 1 ), π −1 (z 2 )). Haciendo las operaciones tenemos: Proposici´on. C∞ es metrizable y una de las m´etricas que origina su topolog´ıa es d∞ (z 1 , z 2 ) =

2|z 1 − z 2 | , z 1 , z 2 ∈ C, ((1 + |z 1 |2 )(1 + |z 2 |2 ))1/2

d∞ (z, ∞) =

2 , z ∈ C, (1 + |z|2 )1/2

d∞ (∞, ∞) = 0. 0.7

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por funci´on compleja de variable compleja, entendemos una funci´on cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma est´an en C. Es decir, f : A ⊆ C −→ C. Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja, u(z) = e f (z), v(z) = m f (z). Identificando C con R2 , las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, as´ı, es muy frecuente escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + i y ∈ A. Es decir, tener una funci´on compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales. Los conceptos de l´ımite y continuidad de funciones son totalmente an´alogos a los ya conocidos para R, as´ı como sus propiedades, ya que en la definici´on de

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e´ stos s´olo interviene el m´odulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C. Sea f : A ⊆ C −→ C y sea z 0 ∈ C un punto de acumulaci´on de A. Es decir, D(z 0 ; Îľ) ∊ (A \ {z 0 }) = ∅, âˆ€Îľ > 0 (n´otese que el punto z 0 puede pertenecer al dominio A o no). Diremos que lim

A z→z 0

f (z) = Îą ∈ C

si (por definici´on) âˆ€Îľ > 0, ∃δ > 0 (0 < |z − z 0 | < δ ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − Îą| < Îľ. Como C es un espacio m´etrico, esta definici´on (Îľ, δ) es equivalente a la definici´on por sucesiones. Es decir, a que ocurra ∀(z n ) ⊂ A \ {z 0 } z n → z 0 ⇒ f (z n ) → Îą. Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z 0 ∈ A si ∃ lim

A z→z 0

f (z) = f (z 0 ).

N´otese que en este caso z 0 debe estar en el dominio de la funci´on. Observaci´on. Principalmente, trataremos con funciones f : ⊆ C −→ C, definidas en abierto de C. Entonces, todo punto z 0 ∈ es de acumulaci´on de y considerando δ’s suficientemente pequeËœnos, no nos tenemos que preocupar de que los z’s est´en el dominio. En este caso, acudiendo a la definici´on, tendremos: f es continua en z 0 ∈ si y solo si âˆ€Îľ > 0 ∃δ > 0 tal que D(z 0 ; δ) ⊆ y |z − z 0 | < δ ⇒ | f (z) − f (z 0 )| < Îľ. Diremos que f es continua en si lo es en z 0 , ∀z 0 ∈ . A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempre un abierto de C.

Numeros ´ complejos: conocimientos previos.

13

Las propiedades de los l´ımites y funciones continuas (con demostraciones an´alogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados. Sean f, g : ⊆ C −→ C y z 0 ∈ tal que lim f (z) = α, lim g(z) = β.

z→z 0

z→z 0

Entonces: 1. Si f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + i y ∈ , z 0 = x0 + i y0 , lim f (z) = α ⇐⇒

z→z 0

2.

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

u(x, y) = e α ∧

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

v(x, y) = m α.

lim f (z) + g(z) = α + β.

z→z 0

3.

lim f (z) · g(z) = α · β.

z→z 0

4. Si β = 0, lim

z→z 0

α f (z) = . g(z) β

5. Si f y g son continuas en z 0 , tambi´en lo son las funciones f + g y f · g. Asimismo, lo es f /g siempre que g(z 0 ) = 0. Observaci´on. Cualquier otra propiedad conocida en R que solo tenga que ver con el uso del m´odulo y la estructura de cuerpo, tambi´en ser´a cierta en C. Por ejemplo, el l´ımite del producto de una funci´on que tienda a 0 por otra funci´on acotada en un entorno del punto, es 0. No son ciertas, porque ni siquiera tienen sentido en general, propiedades que tienen que ver con el orden, como la regla del sandwich. L´ımites infinitos y en el infinito. Sea f : A ⊆ C −→ C, tal que ∞ es punto de acumulaci´on del dominio A. Por la definici´on de los entornos del ∞ vista anteriormente, esto querr´a decir que: ∀R > 0, A ∩ (C \ D(0; R)) = ∅

14

Numeros ´ complejos: conocimientos previos.

En estas condiciones, podemos hablar de l´Ĺmites en el ∞, considerando la topolog´Ĺa de C∞ . 6. Diremos que lim

A z→∞

f (z) = Îą ∈ C

si (por definici´on) âˆ€Îľ > 0, ∃R > 0 (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − Îą| < Îľ o, equivalentemente, por ser C∞ espacio m´etrico, la definici´on por sucesiones, ∀(z n ) ⊂ A z n → ∞ ⇒ f (z n ) → Îą. 7. Diremos que lim

A z→∞

f (z) = ∞

si (por definici´on) ∀S > 0, ∃R > 0 (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z)| > S. o, equivalentemente, ∀(z n ) ⊂ A z n → ∞ ⇒ f (z n ) → ∞. 8. Si f : A ⊆ C −→ C y z 0 es un punto de acumulaci´on de A, diremos que lim

A z→z 0

f (z) = ∞

si (por definici´on) ∀R > 0, ∃δ > 0 (0 < |z − z 0 | < δ ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z)| > R. o, equivalentemente, ∀(z n ) ⊂ A \ {z 0 } z n → z 0 ⇒ f (z n ) → ∞. Tambi´en se cumplen las propiedades habituales, de las que seËœnalamos como muestra las dos siguientes:

Numeros ´ complejos: conocimientos previos.

15

i) Si lim f (z) = α ∈ C \ {0} y lim g(z) = 0

z→z 0

z→z 0

entonces lim

z→z 0

f (z) = ∞. g(z)

ii) Si lim f (z) = α ∈ C \ {0} y lim g(z) = ∞

z→z 0

entonces

z→z 0

lim f (z)g(z) = ∞.

z→z 0

Y tambi´en se producen los casos de indeterminaci´on habituales. Es un buen ejercicio listar todas estas propiedades y demostrar, siguiendo las definiciones, algunas de ellas. Ejemplos. 1. Las funciones constantes ( f (z) = C, ∀z ∈ C) y la funci´on identidad ( f (z) = z, ∀z ∈ C) son funciones continuas en todo punto de C. 2. Por operaciones con funciones continuas (suma y multiplicaci´on), todo polinomio Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . a1 z + a0 , ai ∈ C es una funci´on cont´ınua en todo C. 3. Toda funci´on racional, puesta como cociente de dos polinomios, R(z) = P(z)/Q(z), en forma irreducible, es continua en C salvo en los ceros del polinomio Q. 4. En el mismo ejemplo anterior, si α es un cero de Q, entonces P(α) = 0 y lim

z→α

5.

P(z) = ∞. Q(z)

3z + 5 6z 3 + 5 lim = 0, lim = 3. z→∞ z 2 + 1 z→∞ 2z 3 + 4z + 1

6. La funci´on argumento principal Arg : z ∈ C \ {0} −→ Arg z ∈ (−π, π ](⊂ C)

16

Numeros ´ complejos: conocimientos previos. es continua en C \ (−∞, 0].

En cualquier punto z 0 ∈ (−∞, 0) no es continua, pues si z n −→ z 0 m z n > 0, entonces Arg z n −→ Ď€ y si z n −→ z 0 m z n < 0, entonces Arg z n −→ âˆ’Ď€. De forma an´aloga, la funci´on Arg[Îą,Îą+2Ď€ ) es continua en C \ {r eiÎą : r ≼ 0}. Im´agenes continuas de conexos y compactos Finalmente, recordemos un par de resultados topol´ogicos que usaremos con frecuencia. Sea f : A ⊆ C → C continua y X ⊆ A. Si X es conexo, f (X ) es conexo. Si X es compacto, f (X ) es compacto.

CAP´ITULO 1

Funciones holomorfas 1.1

´ INTRODUCCION

La definici´on y primeras propiedades de la derivaci´on de funciones complejas son muy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, como siempre, las ligadas directamente a la relaci´on de orden en R, como por ejemplo el teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco que la derivabilidad compleja es una condici´on mucho m´as fuerte que la derivabilidad real, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. La explicaci´on final la encontraremos en resultados posteriores. Para las primeras secciones de este cap´ıtulo puede usarse como libro de consulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions / Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales, ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). 1.2

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1. Definici´on y primeras propiedades. Como C es un cuerpo y tiene sentido la divisi´on, podemos imitar literalmente la definici´on de derivabilidad de funciones reales. Definici´on. Sea abierto de C. Sea f : −→ C y sea z 0 ∈ . Diremos que f es derivable en z 0 si existe lim

z→z 0

f (z) − f (z 0 ) = f (z 0 ) ∈ C. z − z0

Al valor de dicho l´ımite f (z 0 ) lo llamaremos derivada de f en z 0 . Observaci´on. Aunque, formalmente, la definici´on es como en R, la existencia de l´ımite es aqu´ı m´as exigente, al tener que existir de cualquier modo que nos acerquemos a z 0 por el plano. Esto har´a que las funciones derivables en C sean mejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teor´ıa mucho m´as redonda para e´ stas. Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestran imitando punto por punto lo que se hace en R. 17

18

Funciones holomorfas

1. f derivable en z 0 ⇒ f continua en z 0 . 2. Si f y g son derivables en z 0 , i) f + g es derivable en z 0 y ( f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ). ii) f · g es derivable en z 0 y ( f · g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + g (z 0 ) f (z 0 ). iii) (Si f (z 0 ) = 0), 1/ f es derivable en z 0 y (1/ f ) (z 0 ) = − f (z 0 )/ f (z 0 )2 . 3. Regla de la cadena. Sean f : 1 −→ C, g : 2 −→ C con f ( 1 ) ⊆ 2 . Si f derivable en z 0 y g es derivable en f (z 0 ), entonces g ◦ f es derivable en z0, y (g ◦ f ) (z 0 ) = g ( f (z 0 )) f (z 0 ). 4. Derivaci´on de la funci´on inversa en un punto. Sea f : −→ C inyectiva, derivable en z 0 con f (z 0 ) = 0. Supongamos adem´as que f ( ) es abierto y que f −1 es continua en f (z 0 ). Entonces, f −1 es derivable en f (z 0 ) y ( f −1 ) f (z 0 ) =

1 . f (z 0 )

Veamos, a modo de ejemplo, c´omo este u´ ltimo resultado se prueba igual que para funciones reales: La derivabilidad de f en z 0 es equivalente a la continuidad en z 0 de la funci´on g : → C dada por f (z) − f (z ) 0 g(z) = z − z0 f (z 0 )

si z ∈ \ {z 0 }; si z = z 0 .

Esta funci´on permite escribir para todo z ∈ f (z) − f (z 0 ) = g(z)(z − z 0 ), y como ahora g es continua en z 0 con g(z 0 ) = f (z 0 ) = 0, se verificar´a g(z) = 0 en un entorno de z 0 . Poniendo w0 = f (z 0 ), si tomamos w ∈ f ( ) y z = f −1 (w), w − w0 = g f −1 (w) f −1 (w) − f −1 (w0 ) , y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0 , para w en un entorno reducido de w0 , f −1 (w) − f −1 (w0 ) 1 = ; w − w0 g f −1 (w)

Funciones holomorfas

19

usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 y la de g en z 0 = f −1 (w0 ), vemos que existe 1 f −1 (w) − f −1 (w0 ) lim . = w→w0 w − w0 f (z 0 ) Ejemplos de funciones derivables. 1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0. La funci´on identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente 1. 2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresi´on que en R. Del mismo modo, toda funci´on racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C salvo los ceros del denominador. 1.3

CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN

El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C. Ya sabemos que dar una funci´on de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variables reales. Nos vamos a preguntar por la relaci´on que existe entre la derivabilidad de la funci´on compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones. En este apartado emplearemos sin m´as comentarios la notaci´on: f : −→ C, f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + i y ∈ , z 0 = x0 + i y0 ∈ . Tenemos: Teorema. f es derivable en z 0 si y solo si

i) u , v son diferenciables en (x0 , y0 ). ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann: ∂u ∂v = , ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 )

∂u ∂v =− . ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 )

Demostraci´on. Antes de entrar en ella, modifiquemos un poco las notaciones. Primero, es claro que f derivable en z 0 se puede escribir de la forma lim

h→0

f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 ) = 0. h

(1)

20

Funciones holomorfas

Por otra parte, recordemos la noci´on de diferenciabilidad. u diferenciable en (x0 , y0 ) significa que existe una forma lineal L : R2 −→ R (k, l) −→ L(k, l) = ak + bl tal que

u(x0 + k, y0 + l) − u(x0 , y0 ) − L(k, l) = 0. √ (k,l)→(0,0) k2 + l2 lim

Recu´erdese adem´as que ∂u ∂u a= , b= . ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ⇒) Supongamos que f es derivable en z 0 y sea su derivada f (z 0 ) = α + iβ. Escribimos h = k + il para el par´ametro complejo h. (1) implica que f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 ) = 0. lim h→0 |h|

(2)

porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h/|h| que es una funci´on acotada. Ahora, u(x0 + k, y0 + l) − u(x0 , y0 ) − (αk − βl) f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 ) = √ |h| k2 + l2 v(x0 + k, y0 + l) − v(x0 , y0 ) − (βk + αl) +i √ k2 + l2 (3) luego, las partes real e imaginaria de esta expresi´on tienen que tender a 0 cuando h → 0 (o, lo que es lo mismo (k, l) → (0, 0)). Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x0 , y0 ) con

∂v ∂u ∂v ∂u =α= y = −β = − . ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 )

⇐) Si u y v son diferenciables en (x0 , y0 ) y se cumplen las condiciones de CauchyRiemann, llamamos ∂v ∂u ∂v ∂u =α= y = −β = − ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 )

Funciones holomorfas

21

y se tiene que cumplir que la expresi´on en (3) tiende a 0. Por tanto, se cumple (2) y de aqu´ı (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2) multiplicando por |h|/ h). As´ı, f es derivable en z 0 con derivada f (z 0 ) = α + iβ. Observaci´on. De paso, hemos visto en la demostraci´on que la derivada de f se puede obtener a partir de las derivadas parciales de u y de v, ∂u ∂u ∂v ∂u f (z 0 ) = −i = −i ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂u ∂v ∂v ∂v = +i = +i . ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 )

Observaci´on. En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja es m´as exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como funci´on de R2 en R2 , ser diferenciable significa sin m´as que lo sean sus dos componentes u y v, mientras que ser derivable exige, adem´as de esto, que se cumplan las condiciones sobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de CauchyRiemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se ver´an al final del cap´ıtulo. NOTA.

En Levinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Revert´e, Barcelona (1990), p´ags. 77 y ss. se da una interpretaci´on f´ısica de las condiciones de Cauchy-Riemann, en t´erminos del estudio del flujo bidimensional de un fluido ideal. Para una interpretaci´on geom´etrica de las condiciones de Cauchy-Riemann y otras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y dem´as conceptos, con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). 1.4

´ FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARMONICAS.

Definici´on. Sea abierto de C. Sea f : −→ C. Diremos que f es holomorfa en un punto z 0 ∈ (o tambi´en, que z 0 es un punto regular para f ) si f es derivable en todos los puntos de un entorno de z 0 . Diremos que f es holomorfa en si f es holomorfa en z 0 , ∀z 0 ∈ . Claramente, f es holomorfa en ⇐⇒ f es derivable en todos los puntos de (pues al ser abierto, es entorno de todos sus puntos).

22

Funciones holomorfas Denotaremos H( ) = { f : −→ C : f es holomorfa en }. Por otra parte, recordemos el concepto de funci´on arm´onica.

Definici´on. Sea abierto de R2 . Sea u : −→ R. Diremos que u es arm´onica en si u es de clase C 2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y son continuas) y cumple ∂ 2u ∂ 2u u = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y

en todo punto del abierto . Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos: Corolario. Si f ∈ H( ), f = u + iv , y u , v son de clase C 2 , entonces u , v son arm´onicas en .

Demostraci´on. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene ∂ 2u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ ∂v ∂ ∂u ∂ ∂u = , =− = = ∂x2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂ y2 ∂y ∂y ∂y ∂x y, como u es de clase C 2 , las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u es arm´onica. An´alogamente se razona con v. Observaci´on. Veremos m´as adelante que si f ∈ H( ) entonces f es indefinidamente derivable, lo cual implicar´a que la hip´otesis C 2 del corolario es innecesaria. Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funciones holomorfas a partir de funciones arm´onicas en abiertos de R2 . Empecemos con la siguiente definici´on: Definici´on. Dada u arm´onica en un abierto de R2 , diremos que v es arm´onica conjugada de u en si f = u + iv es holomorfa en . O, equivalentemente, por las condiciones de Cauchy-Riemann, v satisface las condiciones vx = −u y , v y = u x

en todo punto de . Es inmediato demostrar que una funci´on arm´onica conjugada de otra es, asimismo, arm´onica.

Funciones holomorfas

23

Ejemplo 1. Tomemos la funci´on u(x, y) = e x cos y. Es una comprobaci´on inmediata que dicha funci´on es arm´onica en todo R2 . Para tratar de encontrar una arm´onica conjugada, planteamos las ecuaciones: vx (x, y) = −u y (x, y) = e x sen y v y (x, y) = u x (x, y) = e x cos y Es f´acil resolver este sistema, obteniendo que la funci´on v(x, y) = e x sen y es soluci´on en todo R2 . Por tanto, hemos obtenido que la funci´on f (z) = e x cos y + ie x sen y, z = x + i y es una funci´on holomorfa en todo C. Si utilizamos la notaci´on polar, podemos poner f (z) = e x ei y Con lo que esta funci´on compleja parece tener derecho a llamarse la funci´on exponencial compleja. En efecto lo ser´a, aunque la introduciremos de forma oficial con las series de potencias. Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sido casual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertos de C, una funci´on arm´onica siempre tiene arm´onica conjugada. Teorema. Sea abierto estrellado de R2 . Sea u arm´onica en . Entonces, existe v arm´onica conjugada de u en .

Demostraci´on. El resultado es una simple aplicaci´on del lema de Poincar´e para abiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencial cerrada es exacta. Entonces, dada nuestra funci´on u, consideramos la forma ω(x, y) = −u y (x, y)d x + u x (x, y)dy El ser u arm´onica implica que ω es una forma cerrada. Entonces, es exacta, lo cual quiere decir (por definici´on) que existe una funci´on v diferenciable tal que vx = −u y y v y = u x . Luego v es arm´onica conjugada de u.

24

Funciones holomorfas

Observaci´on. M´as adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos m´as generales (los simplemente conexos). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrar que no es ampliable a abiertos cualesquiera. Ejemplo 2. Sea el abierto = C \ {0} y sea la funci´on u(x, y) =

1 log(x 2 + y 2 ) 2

que se comprueba sin dificultad que es arm´onica en . Esta funci´on u no tiene arm´onica conjugada en . En efecto, si existiera v arm´onica conjugada de u en , consideramos la funci´on de variable real g(t) = v(cos t, sen t), t ∈ [0, 2π ]. g es una funci´on continua en [0, 2π ] (por composici´on de funciones continuas). La derivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo g (t) = −vx (cos t, sen t) sen t + v y (cos t, sen t) cos t = u y (cos t, sen t) sen t + u x (cos t, sen t) cos t = 1. Esto implica que g(t) = t + C, lo cual no puede ser porque g(0) = g(2π ). Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (−∞, 0], por el teorema ya probado, la funci´on anterior debe tener arm´onica conjugada o, lo que es lo mismo, ser la parte real de una funci´on holomorfa. Esta funci´on holomorfa cuya parte real es u veremos m´as adelante que es la funci´on logaritmo principal. 4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann. Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad varios resultados para funciones holomorfas, apoy´andonos en el conocimiento de funciones reales de dos variables. 1. Sea una regi´on (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en y f (z) = 0 para todo z ∈ , entonces f es constante.

Funciones holomorfas

25

En efecto, si f = u + iv, f = u x − iu y = v y + ivx = 0 en implica que u x = u y = v y = vx = 0 y esto, ya sabemos que implica u, v constantes y, por tanto f constante. 2. Sea regi´on. Si f es holomorfa en y e f (z) = C (´o m f (z) = C ) para todo z ∈ , entonces f es constante. En efecto, si u = cte, entonces u x = u y = 0. Luego, por Cauchy-Riemann, tambi´en ser´a vx = v y = 0, lo que implica v =cte. Por tanto, f es constante. An´alogamente se razonar´Ĺa si fuera constante la parte imaginaria. 3. Sea regi´on. Si f es holomorfa en y | f (z)| = C para todo z ∈ , entonces f es constante. En efecto, la hip´otesis es u 2 + v 2 = cte. Derivando en esta expresi´on con respecto a x e y, tenemos 2uu x + 2vvx = 0, 2uu y + 2vv y = 0. Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos 2uu x − 2vu y = 0, 2uu y + 2vu x = 0 Multiplicando la primera Ă— u y la segunda Ă— v, nos da (u 2 + v 2 )u x = 0, de donde u x = 0. De forma parecida se obtiene u y = vx = v y = 0. Por tanto, u y v son constantes y en consecuencia lo es f . Observaci´on. N´otese c´omo las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una funci´on holomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligaz´on entre las partes real e imaginaria, e´ sta fuerza a que la funci´on holomorfa sea constante. Por ejemplo, resultados de esta naturaleza ser´Ĺan: i) Si f = u + iv es holomorfa en regi´on y u 3 = v entonces f ≥ C . ii) Si f = u + iv es holomorfa en regi´on y 5u + 2v = cte entonces f ≥ C . Comprobamos as´Ĺ que la derivabilidad en C es muy exigente, y no s´olo a nivel local.

26 1.5

Funciones holomorfas ´ ´ ´ APENDICE: CALCULO DE ARMONICAS CONJUGADAS ´ Y METODO DE MILNE-THOMSON La Teor´ıa de funciones anal´ıticas constituye un aut´entico fil´on de m´etodos de gran eficacia para resolver importantes problemas de Electroest´atica, Conducci´on del calor, Difusi´on, Gravitaci´on, Elasticidad y Flujo de corrientes el´ectricas. La gran potencia del An´alisis de variable compleja en tales campos se debe, principalmente, al hecho de que las partes real e imaginaria de una funci´on anal´ıtica satisfacen la ecuaci´on de Laplace.

Este p´arrafo, tomado de Levinson–Redheffer, loc. cit., p´ag. 77, da idea de que la b´usqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidas es una cuesti´on importante en muchas aplicaciones de la teor´ıa de funciones de variable compleja. Hemos visto una soluci´on de este problema mediante el c´alculo de funciones arm´onicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemos denominar “el m´etodo real”: dada una funci´on u arm´onica en un abierto conexo de R2 , nos son conocidas las derivadas parciales de su arm´onica conjugada v (¡si existe!) a trav´es de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el c´alculo de primitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el c´alculo de las funciones potenciales de la forma diferencial −u y (x, y) d x + u x (x, y) dy] nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones expl´ıcitas para la(s) funcion(es) v. Este procedimiento es f´acilmente “automatizable”, y resulta c´omodo llevarlo a cabo mediante programas de c´alculo simb´olico como Mathematica. Esquem´aticamente, podr´ıamos proceder as´ı: dada u(x, y), 1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x, u x (x, y); 2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y (x, y); 3.- “integrar −u y (x, y) respecto de x”, es decir, obtener una primitiva W (x, y) de −u y (x, y) como funci´on s´olo de x; 4.- calcular su derivada parcial respecto de y, W y (x, y); 5.- calcular ϕ(y) = u x (x, y) − W y (x, y) 6.- “integrar ϕ(y) respecto de y”, es decir, obtener una primitiva (y) de ϕ(y); 7.- calcular W (x, y) − (y): esta ser´a una funci´on v(x, y) arm´onica conjugada de u (y las dem´as diferir´an de ella en la adici´on de una constante real). T´engase en cuenta que Mathematica no proporciona “constantes de integraci´on”. Adem´as, el n´umero de funciones cuyas primitivas puede calcular “expl´ıcitamente” es limitado.

Funciones holomorfas

27

Hay tambi´en un “m´etodo complejoâ€? para tratar el problema, el denominado m´etodo de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable compleja. Dossat, Madrid (1963), p. 17–18, y Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512–513), que, aunque precise ciertas condiciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con parte real prefijada u. Su justificaci´on se basa en resultados importantes que probaremos posteriormente: toda funci´on holomorfa es anal´Ĺtica (y su derivada tambi´en), y dos funciones anal´Ĺticas en un abierto conexo son iguales si y s´olo si coinciden en un conjunto de puntos de que tenga al menos un punto de acumulaci´on dentro de ; por ejemplo, en un segmento abierto (principio de prolongaci´on anal´Ĺtica). Sea, pues, un abierto conexo de R2 que corte al eje real, con lo cual la intersecci´on de con R contendr´a al menos un segmento abierto (Âżpor qu´e?) Dada entonces una funci´on u arm´onica en , notemos que la funci´on g dada en por f 1 (x + i y) = u x (x, y) − i u y (x, y) es holomorfa en (Âżpor qu´e?). Supongamos que sabemos encontrar una funci´on g holomorfa en tal que g (x) = f 1 (x) = u x (x, 0)−i u y (x, 0) para todo x ≥ (x, 0) ∈ ∊R: entonces g (z) = f 1 (z) por el principio de prolongaci´on anal´Ĺtica, y la parte real de g difiere de u en una constante real (Âżpor qu´e?). La funci´on f = g + C, para una constante real C adecuada, tiene como parte real u. El m´etodo de Milne-Thompson es tambi´en f´acilmente “traducibleâ€? a Mathematica. Pero tanto si se usa este m´etodo como el anterior, sigue siendo necesario verificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos empleados, muy especialmente debido a que los programas de c´alculo simb´olico, en general, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, manipulando tan s´olo “nombresâ€? de funciones o “funciones dadas por f´ormulasâ€?, por decirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector que pruebe a aplicar los m´etodos descritos a la ‘malvada’ funci´on u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), definida y arm´onica en R2 \ {(0, 0)}. ÂżCu´ales son sus arm´onicas conjugadas, seg´un Mathematica? NOTA.

1.2.3.4.5.6.7.8.-

El m´etodo de Milne-Thompson puede esquematizarse as´Ĺ: dada u(x, y), calcular la derivada parcial de u respecto de x, u x (x, y); calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y (x, y); calcular u x (x, 0), es decir, “sustituir y por 0â€? en u x (x, y); calcular u y (x, 0), es decir, “sustituir y por 0â€? en u y (x, y); “sustituir x por zâ€? en u x (x, 0) − i u y (x, 0) para obtener f 1 (z); “integrar f 1 (z) respecto de zâ€?, es decir, obtener una primitiva g(z) de f 1 (z); calcular f (z) = g(z) − e g(x0 ) + u(x0 , 0) para cualquier x0 ∈ ∊ R. Entonces f (z) + ic, c ∈ R, son las funciones holomorfas con parte real u; si se busca una funci´on arm´onica conjugada de u, hallar la parte imaginaria de f (z).

CAP´ITULO 2

Funciones anal´ıticas 2.1

´ INTRODUCCION

Para definir las series de potencias y la noci´on de analiticidad a que conducen, s´olo se necesitan las operaciones de suma y multiplicaci´on y el concepto de l´ımite. Esto nos dice que las series de potencias en C son otro concepto que podemos definir exactamente igual que en R y gozar´a de las mismas propiedades y con id´enticas demostraciones que en R (¡si no dependen de la ordenaci´on de R!). Por tanto, este cap´ıtulo (al menos, los dos primeros apartados) va a ser un simple repaso de lo que conocemos en R, pero puesto en el contexto de C. Los detalles pueden consultarse en Apostol, T.M.: An´alisis Matem´atico (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona (1991). 2.2

SERIES EN C: GENERALIDADES.

1. Dada una sucesi´on

(z n )∞ n=0

⊂ C, la serie infinita

∞

z n se dice convergente

n=0

si ∃ lim

N →∞

N

z n ∈ C.

n=0

Al valor de dicho l´ımite se le denota tambi´en por

∞

z n y se le llama suma

n=0

de la serie. 2. Criterio de convergencia de Cauchy.

n z n converge ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N si n > m > n 0 , z k < ε. k=m n=0

∞

3. Decimos que la serie n´umeros reales ∞

∞

∞

z n converge absolutamente si converge la serie de

n=0

|z n | (recordemos que podemos poner m´as abreviadamente

n=0

|z n | < +∞).

n=0

28

Funciones anal´ıticas

29

Toda serie absolutamente convergente es convergente, pero el rec´ıproco no es cierto. ∞ 4. La serie z n converge si y solo si convergen las dos series de n´umeros reales ∞

n=0

e z n y

n=0

∞

m z n . Adem´as

n=0 ∞

zn =

n=0

∞

e z n + i

n=0

∞

m z n .

n=0

5. Producto de Cauchy de series. Consideremos dos series de n´umeros complejos,

ck =

n+m=k

La serie

∞

an ,

n=0

k ∈ N ∪ {0}, definimos

∞

an bm =

k

∞

bn . Para cada

n=0

an bn−k = a0 bk + a1 bk−1 + . . . + ak b0 .

n=0

ck se llama producto de Cauchy de las series

k=0

∞

an y

n=0

∞

bn .

n=0

En principio, e´ sta es una definici´on formal, que no atiende a la convergencia de las series que intervienen. Si efectu´aramos “la multiplicaci´on de las sumas infinitas” de an y bm , colocando todos los “sumandos del producto” an bm en una tabla (infinita) de doble entrada, asoci´andolos seg´un las diagonales secundarias, el resultado es la serie producto de Cauchy de las iniciales; cada “sumando producto” an bm interviene una y una sola vez, sin ausencias ni repeticiones. Cabe esperar, por tanto, que cuando sea l´ıcito reagrupar t´erminos (si disponemos de las propiedades conmutativa y asociativa), partiendo de series convergentes lleguemos a una serie convergente con suma el producto de las sumas. Un resultado bastante satisfactorio, que ser´a todo lo que necesitemos, es el siguiente. ∞ ∞ Teorema (Mertens). Si las series an y bn son absolutamente convergentes,

entonces la serie

∞ k=0

n=0

n=0

ck es absolutamente convergente y adem´as, ∞ n=0

an

∞ n=0

bn

=

∞ k=0

ck .

30

Funciones anal´ıticas

6. Convergencia uniforme. Criterio M de Weierstrass. Recordemos la siguiente: Definici´on. Sean f n , f : A ⊆ C −→ C. Diremos que f n −→ f uniformemente en A si ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N si n ≥ n 0 , | f n (z) − f (z)| < ε, ∀z ∈ A,

Equivalentemente sup | f n (z) − f (z)| −→ 0. z∈A

Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual en cada punto de A. Definici´on. Dado abierto de C, y f n , f : −→ C, diremos que f n −→ f casi uniformemente en si f n −→ f uniformemente sobre cada subconjunto compacto de . Como el l´ımite uniforme de funciones continuas es una funci´on continua y la continuidad es una propiedad local, tenemos: Proposici´on. Sea abierto de C, y f n , f : −→ C. Si para cada n ∈ N, las funciones f n son continuas en y f n −→ f casi uniformemente en , entonces f es continua en . Para series de funciones, se tienen las definiciones an´alogas (como limite de las funciones sumas parciales). El siguiente resultado ser´a de uso frecuente. Criterio M de Weierstrass. Dadas f n : A ⊂ C −→ C. Si podemos encontrar una sucesi´on (Mn ) de n´umeros positivos tal que | f n (z)| ≤ Mn , ∀z ∈ A ∧

∞

Mn < +∞

n=0

entonces,

∞ n=0

f n (z) converge uniformemente y absolutamente en A.

Funciones anal´ıticas 2.3

31

SERIES DE POTENCIAS

Definici´on. Dado a ∈ C, llamaremos serie de potencias centrada en a a toda serie de la forma ∞

an (z − a)n = a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + . . . ,

n=0

donde los coeficientes (an ) ⊂ C. El primer problema es saber para qu´e puntos de C converge. Es claro que, sean cuales sean los coeficientes, una serie de potencias siempre converge en a. El siguiente resultado (con demostraci´on totalmente an´aloga a la de R) deja claro este problema de convergencia de una serie de potencias. En el enunciado utilizamos la notaci´on D(a; +∞) = C. n Teorema 1 (Abel). Sea ∞ n=0 an (z − a) una serie de potencias centrada en a . Entonces, existe un n´umero R ∈ [0, +∞] tal que ∞ n 1. n=0 an (z−a) converge absolutamente y casi uniformemente en D(a; R). ∞ n 2. n=0 an (z − a) no converge en C \ D(a; R). −1 3. F´ormula de Cauchy-Hadamard: R = lim sup |an |1/n . Observaciones. i) R se llama radio de convergencia de la serie de potencias y D(a; R) disco de convergencia. Si R = 0, la serie s´olo converge en z = a, y si R = +∞, la serie converge en todo punto de C. En los casos intermedios 0 < R < +∞, el teorema asegura que la serie converge en el disco abierto, y no converge en el exterior del disco. No se afirma nada en relaci´on a lo que ocurre en la frontera {z : |z − a| = R}. Este problema del comportamiento en la frontera de una serie de potencias, debe ser analizado en cada caso particular. ii) N´otese que R no depende de a. A efectos de convergencia, lo que le ocurre a la serie viene determinado por los coeficientes (an ). Por ello, es suficiente que n estudiemos series centradas en 0, ann z , pues los resultados se trasladar´an de forma obvia a la serie an (z − a) .

32

Funciones anal´ıticas

iii) Toda serie de potencias con radio R > 0, define una funci´on ∞ an (z − a)n , z ∈ D(a; R), f (z) = n=0

que, al ser l´ımite casi uniforme de funciones continuas, es una funci´on continua en D(a; R). iv) En muchos casos, la f´ormula de Cauchy-Hadamard se simplifica, si recordamos el siguiente resultado sobre l´ımites. Dada una sucesi´on (an ), con an = 0, ∀n, si |an+1 | ∈ [0, +∞], ∃ lim n→∞ |an | el valor de dicho l´ımite coincide con lim sup |an |1/n . Por tanto, en los casos en que esto ocurra (en la pr´actica ser´a frecuente), tendremos la siguiente f´ormula para el radio de convergencia, |an | . R = lim n→∞ |an+1 | v) A´un en casos en que no sepamos calcular el radio por la f´ormula de CauchyHadamard, las dos primeras partes del teorema de Abel dan muy buena informaci´on. Por ejemplo, si sabemos que la serie converge en un punto concreto z 0 ∈ C, forzosamente debe ocurrir que R ≥ |a − z 0 |. Del mismo modo, si la serie no converge en un punto z 1 ∈ C, forzosamente R ≤ |a − z 1 |. Para estudiar el comportamiento de una serie de potencias en los puntos de la frontera de su c´ırculo de convergencia es suficiente en los casos m´as sencillos el siguiente criterio. Criterio de Dirichlet. Sea (an ) una sucesi´on de n´umeros reales, no creciente y complejos cuyas sumas parciales convergente a 0. Sea bn una serie de n´umeros forman una sucesi´on acotada. Entonces la serie an bn es convergente. En lo que sigue, por abreviar notaci´on y teniendo en cuenta la observaci´on ii), bastar´a que consideremos series de potencias centradas en 0. El n´umero R colocado sin m´as al lado de la serie, ser´a su radio de convergencia. El primer resultado que vemos a continuaci´on nos indica que las series de potencias, definen funciones muy buenas desde un punto de vista anal´ıtico (son indefinidamente derivables) y desde un punto de vista algebraico (se puede derivar t´ermino a t´ermino).

Funciones anal´ıticas Teorema 2. Sea Entonces,

33

∞

n n=0 an z , R ∈ (0, +∞]. Sea f (z) =

∞ n=0

an z n , |z| < R .

i) f es derivable en D(0; R), y adem´as

f (z) =

∞

nan z n−1 , |z| < R.

n=1

ii) f es indefinidamente derivable en D(0; R), y para cada k ∈ N, f

(k)

(z) =

∞

n(n − 1) . . . (n − k + 1)an z n−k , |z| < R.

n=k

iii) Para cada k ∈ N ∪ {0},

f (k) (0) . ak = k!

iv) La serie “antiderivada” o “primitiva t´ermino a t´ermino” ∞ an n+1 z n + 1 n=0

converge en D(0; R) a una funci´on cuya derivada es f . Observaci´on. N´otese que las distintas series que aparecen en el enunciado tienen el mismo radio de convergencia que la de partida, pues es muy sencillo probar que: n Si ∞ n=0 an z tiene radio R y P es cualquier polinomio y k ∈ N, las series ∞ n=0

an+k z , n

∞

P(n)an z n

n=0

tienen radio R. El apartado iii) del teorema nos dice que los coeficientes vienen determinados por el valor de las derivadas sucesivas de f en 0. Como para conocer e´ stas, s´olo hace falta conocer f en un entorno de 0, es inmediato el siguiente

34

Funciones anal´ıticas

∞ n n Corolario. Si dos series de potencias ∞ a z y n=0 n n=0 bn z con radios R1 , R2 > 0 son tales que coinciden en un entorno de 0, entonces an = bn , ∀n ∈ N ∪ {0}. Hemos ignorado en lo anterior el comportamiento en la frontera del c´ırculo de convergencia. Si la serie converge en un punto z tal que |z| = R ¿hay alguna relaci´on entre la suma de la serie en tal punto y la suma en los puntos interiores? He aqu´ı una respuesta parcial. n Teorema del l´ımite de Abel. Sea f (z) = ∞ n=0 an z , |z| < R , R ∈ (0, +∞). Supongamos que la serie converge tambi´en para z = R . Entonces existe el l´ımite radial (a trav´es del segmento (0, R)) de la funci´on f y vale lim f (x) =

x→R 0<x<R

∞

an R n .

n=0

Operaciones con series de potencias. Sean f (z) =

∞

n n=0 an z , R1 ; g(z) =

∞ n=0

bn z n , R2 .

1. Suma. ∞ f (z) + g(z) = (an + bn )z n , R ≥ min{R1 , R2 }. n=0

2. Producto. f (z) · g(z) =

∞ n=0

cn z , c n = n

n

ak bn−k , R ≥ min{R1 , R2 }.

k=0

3. Divisi´on. Si f (0) = 0 entonces ∃δ > 0 tal que ∞ 1 = γn z n , |z| < δ. f (z) n=0

Este resultado afirma que la funci´on 1/ f es una serie de potencias en un entorno del origen. Pero no es f´acil dar una expresi´on expl´ıcita de los coeficientes γn en t´erminos de los an .

Funciones anal´ıticas

35

4. Composici´on. Si para un z ∈ D(0; R2 ),

∞

|bn z n | < R1 , entonces tiene

n=0

sentido la funci´on composici´on f ◦ g, y adem´as f ◦ g(z) =

∞

δk z k

n=0

en un entorno del origen. La demostraci´on de estos dos u´ ltimos resultados es bastante farragosa. Te´oricamente nos dicen que la divisi´on y composici´on de series de potencias son series de potencias, pero en la pr´actica son de dif´ıcil aplicaci´on. n 4. Cambio de centro. Sea f (z) = ∞ n=0 an z , R > 0 y sea b ∈ D(0; R). Entonces, ∃δ > 0 tal que f (z) =

∞

bn (z − b)n , |z − b| < δ.

n=0

Es decir, dada una serie de potencias, en cualquier punto de su disco de convergencia, se puede poner como otra serie de potencias centrada en ese punto. Principio de identidad de series de potencias. Teorema 3. Sea f (z) = Son equivalentes:

∞ n=0

an z n , R > 0. Sea E = {z ∈ D(0; R) : f (z) = 0}.

i) E = D(0; R) (es decir, f es id´enticamente nula). ii) an = 0, ∀n iii) E ∩ D(0; R) = ∅ (i.e., E tiene puntos de acumulaci´on en D(0; R)). Demostraci´on. i) ⇔ ii) es consecuencia inmediata del corolario del teorema 2 y la implicaci´on i) ⇒ iii) es obvia. Veamos que iii) ⇒ i). Llamemos A = E ∩ D(0; R) = ∅. A es cerrado en la topolog´ıa relativa de D(0; R) porque E siempre es un cerrado de C. Si vemos que tambi´en A es abierto en D(0; R) (o, lo que es lo mismo, en C, pues D(0; R) es abierto), por conexi´on tendremos que A = D(0; R) y de aqu´ı es muy f´acil ver que E = D(0; R), lo que concluir´ıa la demostraci´on. Sea pues a ∈ A (notemos que, por continuidad, f (a) = 0) y veamos que a es un punto interior, es decir, existe un disco D(a; δ) ⊂ A.

36

Funciones anal´ıticas Por el cambio de centro, f ser´a una serie de potencias en un entorno de a, f (z) =

∞

bn (z − a)n , en D(a; δ) ⊂ D(0; R)

n=1

(la serie empieza en 1, pues f (a) = 0). Si bn = 0, ∀n tendremos claramente que D(a; δ) ⊂ A. En otro caso, sea bk el primer coeficiente que no se anula. Entonces, f (z) = (z − a)

k

bn (z − a)n−k = (z − a)k g(z)

n=k

donde g es una funci´on continua (pues es una serie de potencias) con g(a) = 0, lo que implica que g(z) = 0 en un entorno U de a. Por tanto, f (z) = 0 en U \ {a}, lo que contradice que a ∈ E . Luego, forzosamente, tiene que ocurrir bn = 0, ∀n, y esto demuestra el resultado. El teorema anterior afirma que si una serie de potencias se anula en un subconjunto del disco abierto de convergencia que tenga alg´un punto de acumulaci´on en dicho abierto, entonces la serie es id´enticamente nula. 2.4

´ FUNCIONES ANALITICAS

Definici´on. Sea = ∅ un abierto de C. Una funci´on f : −→ C se dice anal´ıtica en a ∈ , si existe una serie de potencias centrada en a con radio R > 0 tal que ∞ f (z) = an (z − a)n , |z − a| < δ. n=0

Es decir, f coincide con una serie de potencias en un entorno de a . f se dice anal´ıtica en si lo es en cada punto a ∈ . Ejemplos. 1. Todo polinomio es una funci´on anal´ıtica en C. En efecto, siempre podemos cambiar de base y expresar, para cualquier a ∈ C, P(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n = b0 + b1 (z − a) + . . . + bn (z − a)n .

Funciones anal´ıticas

37

2. Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias f (z) = ∞ an z n con radio R > 0 es anal´ıtica en D(0; R). An´alogamente, f (z) = n=0

∞

an (z − a)n es anal´ıtica en D(a; R).

n=0

3. La funci´on racional f (z) = que es anal´ıtica en 0, pues

1 es anal´ıtica en C \ {1}. En efecto, es claro 1−z

∞ 1 z n , |z| < 1. = 1−z n=0

Pero, utilizando esta misma suma, si a ∈ C \ {1}, 1 1 1 1 = = z−a 1−z 1 − a − (z − a) 1 − a 1 − ( 1−a ) ∞ ∞ (z − a)n z−a n 1 = 1 − a n=0 1 − a (1 − a)n+1 n=0 z − a < 1. Es decir, en el entorno de a, |z − a| < |1 − a|. siempre que 1 − a De forma parecida, descomponiendo en fracciones simples, no es dif´ıcil probar que toda funci´on racional es anal´ıtica en su dominio de definici´on, esto es, en todo C menos los ceros del denominador. Proposici´on. Si f es anal´ıtica en entonces f es holomorfa. Es m´as, f es indefinidamente derivable en .

Demostraci´on. Es claro, pues la derivabilidad es una propiedad local y ya sabemos que una serie de potencias es indefinidamente derivable. Operaciones con funciones anal´ıticas. 1. La suma y el producto de funciones anal´ıticas son anal´ıticas. 2. Si f es anal´ıtica en a y f (a) = 0 entonces 1/ f es anal´ıtica en a. 3. Sean f : −→ C, g : 1 −→ C con f ( ) ⊆ 1 . Si f es anal´ıtica en a y g es anal´ıtica en f (a), entonces g ◦ f es anal´ıtica en a. Observaci´on. Estos resultados son consecuencia de las correspondientes operaciones para serie de potencias. No merece la pena insistir en la demostraci´on porque, m´as adelante, veremos que, en C, una funci´on es anal´ıtica si y solo si es holomorfa, y para funciones holomorfas ya conocemos las propiedades 1, 2 y 3.

38 2.5

Funciones anal´ıticas ´ ANALITICA ´ PRINCIPIO DE PROLONGACION

El siguiente resultado va a ser consecuencia del principio de identidad de series de potencias. Teorema (P.P.A.). Sea una regi´on de C. Sea f : −→ C anal´ıtica en . Son equivalentes: i) f ≡ 0 en . ii) ∃a ∈ con f (n) (a) = 0, ∀n ∈ N ∪ {0}. iii) f = 0 en un subconjunto de con punto de acumulaci´on en .

Demostraci´on. i) ⇒ ii) Inmediato. ii) ⇒ iii) En un entorno de a, D(a; δ), ∞

f (n) (a) f (z) = . an (z − a) y an = n! n=0 n

As´ı, f = 0 en todo D(a; δ) al menos, y obviamente D(a; δ) ⊆ tiene punto de acumulaci´on en . iii) ⇒ i) Por hip´otesis, un subconjunto de E = f −1 (0) ⊆ tiene puntos de acumulaci´on en , luego tambi´en los tiene el propio E, de modo que E ∩ = ∅. Usemos el cl´asico argumento de conexi´on. E ∩ es cerrado en . E ∩ es abierto en . En efecto, sea a ∈ E ∩ . En un entorno de a, D(a; δ) ⊆ , ∞ an (z − a)n . f (z) = n=0

Esta serie se anula en un conjunto con punto de acumulaci´on en D(a; δ) (precisamente el punto a ∈ E ∩ D(a; δ)). Por tanto, por el principio de identidad para series de potencias la serie es nula. As´ı, f = 0 en D(a; δ), es decir, D(a; δ) ⊆ E, de donde se deduce f´acilmente que D(a; δ) ⊆ E ∩ . Entonces, como es conexo, E ∩ = . Luego todo z ∈ est´a en E y de aqu´ı, como f es continua, f (z) = 0.

Funciones anal´ıticas

39

Corolario. Sea una regi´on de C. Sean f y g funciones anal´ıticas en . Son equivalentes: i) f ≡ g en . ii) ∃a ∈ con f (n) (a) = g (n) (a), ∀n ∈ N ∪ {0}. iii) f = g en un subconjunto de con punto de acumulaci´on en .

Demostraci´on. Basta tomar la funci´on f − g. Si denotamos, para abierto A( ) = { f : −→ C : f es analitica en }, tenemos esta otra consecuencia: Corolario. Sea regi´on. Sean f, g ∈ A( ) tales que la funci´on f g ≡ 0 en . Entonces, o´ f ≡ 0 en , o´ g ≡ 0 en . Dicho de otra manera, A( ) es un dominio de integridad.

Demostraci´on. Si para un z 0 ∈ , f (z 0 ) = 0, entonces, por continuidad, f = 0 en un entorno de z 0 . Luego debe ser g = 0 en dicho entorno, y como e´ ste tiene puntos de acumulaci´on en , por el teorema, g ≡ 0 en . Observaci´on. Seg´un la definici´on, si f ∈ A( ), en un punto a ∈ , coincide en un entorno de a con una serie de potencias centrada en a con R > 0. A su vez, esta serie tambi´en es anal´ıtica y, por tanto, por el P.P.A., tendremos que la igualdad f (z) =

∞

an (z − a)n

n=0

es v´alida en la componente conexa de ∩ D(a; R) que contiene al punto a.

a

Ω

.

(Cuidado: aunque y D(a; R) son conexos, su intersecci´on ∩ D(a; R) no tiene por qu´e serlo, como se ve en la figura, de manera que hay que evitar la tentaci´on ‘natural’ de escribir la igualdad para todo z de la intersecci´on; puede haber desigualdad en los puntos de las componentes conexas de la intersecci´on que no contengan al punto a.)

CAP´ITULO 3

Funciones elementales b´asicas 3.1

´ INTRODUCCION

La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonom´etricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definici´on ‘anal´ıtica’ rigurosa de ellas. Mediante consideraciones gr´aficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las dem´as. Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buen lugar para ofrecer esa definici´on rigurosa mediante series de potencias en el campo complejo y mostrar c´omo de la definici´on van saliendo las propiedades que nos son tan ‘conocidas’. No es e´ sta, desde luego, la u´ nica via de construcci´on posible (pueden introducirse tambi´en mediante integrales indefinidas, o como soluciones de ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudablemente es la m´as adecuada al presente curso. 3.2

´ EXPONENCIAL FUNCION

´ exponencial Funcion +∞ n z tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos La serie de potencias n! n=0 definir en todo C una funci´on como suma de tal serie.

Definici´on 3.1. Se llama funci´on exponencial a la definida por +∞ n z ∈ C. exp : z ∈ C → exp(z) = n! n=0

El n´umero exp(1) se denota por e, y suele escribirse e z en lugar de exp(z) [notaci´on justificada por la propiedad que probaremos a continuaci´on en (1.4)]. 40

Funciones elementales basicas ´

41

Propiedades de la exponencial compleja. (1.1) La funci´on exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada z ∈ C, exp (z) = exp(z). (1.2) exp(0) = 1. (1.3) Para cada z ∈ C,

1 exp(z) con lo que, en particular, exp(z) = 0. Adem´as, para cualesquiera z , w ∈ C, exp(−z) =

exp(z + w) = exp(z) exp(w). (1.4) Dados n ∈ N y z ∈ C, exp(nz) es el producto de n factores iguales a exp(z), n

exp(nz) = exp(z) · · · exp(z); n

en particular, exp(n) = e · · · e. (1.5) Para cada x ∈ R, tambi´en exp(x) ∈ R. Demostraci´on. (1.1) Basta aplicar la regla de derivaci´on de una funci´on definida mediante una serie de potencias. (1.2) Obvio. (1.3) Puede verse directamente a partir de la definici´on y de la multiplicaci´on de series de potencias. Otra demostraci´on que usa s´olo las ‘propiedades diferenciales’ de la exponencial es la siguiente: Para un w cualquiera en C previamente fijado, definamos f : z ∈ C → f (z) = exp(−z) exp(z + w) ∈ C. Derivando de acuerdo con (1.1), f (z) = − exp(−z) exp(z + w) + exp(−z) exp(z + w) = 0, luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f (0) = exp(w). Si el w elegido es 0, esto significa que exp(−z) exp(z) = 1 cualquiera que sea z ∈ C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(−z) exp(z + w) = f (0) = exp(w) podemos despejar exp(z + w) = exp(z) exp(w). (1.4) Se prueba por inducci´on sobre n utilizando (1.3). (1.5) Si x ∈ R, los t´erminos de la serie que define exp(x) son todos reales. La restricci´on de exp a R puede verse entonces como una aplicaci´on de R en R. Denotaremos provisionalmente por Exp esta funci´on, de modo que Exp : R → R, y la llamaremos exponencial real. Recogemos sus propiedades m´as importantes.

42

Funciones elementales basicas ´

Propiedades de la exponencial real. (1.6) Para cada x ∈ R, Exp(x) > 0. (1.7) La funci´on exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. (1.8) Se tiene lim Exp(x) = +∞ , lim Exp(x) = 0. x→+∞

x→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la funci´on exponencial real es (0, +∞). Demostraci´on. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2))2 ≥ 0 y Exp(x) = 0. (1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la funci´on exponencial real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas. (1.8) Puesto que la funci´on exponencial real es estrictamente creciente, e = Exp(1) > Exp(0) = 1, luego lim Exp(n) = +∞. Nuevamente por la monoton´ıa de la funci´on exponencial, n esto basta para probar que lim Exp(x) = +∞.

x→+∞

Finalmente, 1 = 0. y→+∞ Exp(y)

lim Exp(x) = lim Exp(−y) = lim

x→−∞

y→+∞

Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que la funci´on exponencial aplica R sobre (0, +∞). Obs´ervese que, seg´un la exposici´on anterior, todas las propiedades b´asicas de la funci´on exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorprendente sin pensamos en la unicidad de soluci´on de la ecuaci´on diferencial y = y con la condici´on inicial y(0) = 1. En lo que sigue volveremos ya a la notaci´on tradicional, e z , para la exponencial de z. ´ logar´ıtmica real Funcion Una vez conocidas las propiedades b´asicas de la funci´on exponencial real, podemos definir la funci´on logar´ıtmica real como su funci´on inversa, y deducir de ah´ı sus propiedades. No puede procederse de la misma manera con la exponencial compleja, como se ver´a m´as adelante.

Funciones elementales basicas ´

43

Definici´on 3.2. La funci´on logar´ıtmica real ln : x ∈ (0, +∞) → ln x ∈ R es la inversa de la funci´on exponencial, de modo que ln x = y si y s´olo si e y = x. Por tanto, est´a caracterizada por cumplir ln(e x ) = x

cualquiera que sea x ∈ R

y eln x = x

cualquiera que sea x ∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funci´on exponencial. Propiedades del logaritmo real. (2.1) La funci´on logar´ıtmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la funci´on 1/x . (2.2) ln 1 = 0, ln e = 1. (2.3) Para cada x ∈ (0, +∞), 1 ln = − ln x . x (2.4) Dados x, y ∈ (0, +∞), ln(x y) = ln x + ln y . (2.5) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), ln(x n ) = n ln x . (2.6) El conjunto imagen de la funci´on logar´ıtmica real es R. (2.7) La funci´on logar´ıtmica real es estrictamente creciente y c´oncava. En particular, es inyectiva. (2.8) Se tiene lim ln x = +∞, lim ln x = −∞ . x→+∞

x→0+

Demostraci´on. Recordar las propiedades de la funci´on inversa estudiadas para funciones reales de variable real.

44 3.3

Funciones elementales basicas ´ FUNCIONES SENO Y COSENO

Funciones complejas seno y coseno Definici´on 3.3. La funci´on seno est´a definida por sen : z ∈ C → sen z =

∞ (−1)n z 2n+1

(2n + 1)!

n=0

∈C,

y la funci´on coseno por cos : z ∈ C → cos z =

∞ (−1)n z 2n n=0

(2n)!

∈C.

Estas funciones est´an bien definidas, pues las series de potencias que figuran en las f´ormulas tienen radio de convergencia +∞. Recordando la definici´on de la funci´on exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas: ei z − e−i z sen z = , 2i

ei z + e−i z cos z = 2

para cada z ∈ C, con lo que la funci´on exponencial aparece como “m´as elemental” que el seno y el coseno, en el sentido de que e´ stas son combinaciones lineales de exponenciales. Propiedades del seno y coseno complejos. (3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo z ∈ C sen (z) = cos z,

cos (z) = − sen z.

(3.2) El seno es una funci´on impar, mientras que el coseno es una funci´on par: es decir, cualquiera que sea z ∈ C se tiene sen(−z) = − sen z,

cos(−z) = cos z .

(3.3) Para todos z , w ∈ C, sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w, cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w.

Funciones elementales basicas ´ (3.4) Para cada z ∈ C es

45

sen2 z + cos2 z = 1 .

Demostraci´on. (3.1), (3.2), (3.3) Se siguen directamente de la definici´on mediante series de potencias o a partir de la expresi´on en t´erminos de exponenciales. (3.4) Se deduce de (3.2) y (3.3), tomando w = −z. Es instructivo ver c´omo tambi´en puede probarse esta identidad usando derivaci´on: definiendo f : z ∈ C → f (z) = sen2 z + cos2 z ∈ C, a partir de (3.1) obtenemos f (z) = 2 sen z cos z − 2 cos z sen z = 0 para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. De las f´ormulas anteriores se deducen mediante los c´alculos de costumbre otras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en el siguiente ejercicio. Ejercicio. Dados z, w ∈ C, comprobar que sen(z − w) = sen z cos w − cos z sen w; cos(z − w) = cos z cos w + sen z sen w; 1 sen z cos w = [sen(z + w) + sen(z − w)]; 2 1 sen z sen w = − [cos(z + w) − cos(z − w)]; 2 1 cos z cos w = [cos(z + w) + cos(z − w)]; 2 sen 2z = 2 sen z cos z; cos 2z = cos2 z − sen2 z = 2 cos2 z − 1; sen 3z = 3 sen z − 4 sen3 z; cos 3z = 4 cos3 z − 3 cos z y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno. Funciones seno y coseno reales Las funciones seno y coseno toman valores reales sobre R, luego podemos ver las restricciones de estas funciones a R como funciones reales de variable real. Estudiemos sus propiedades, para comprobar que coinciden con las que se les atribuyen habitualmente. Ya hemos encontrado algunas de ellas. Para continuar, lo primero que necesitamos es definir el n´umero real π .

46

Funciones elementales basicas ´

Propiedades del seno y coseno reales. (4.1) La funci´on seno tiene ceros reales positivos, es decir, {x > 0 : sen x = 0} = ∅ .

Este conjunto posee un elemento m´ınimo, que denotaremos por π : def

π = min{x > 0 : sen x = 0} .

En el intervalo (0, π ), el seno toma valores estrictamente positivos. π π (4.2) cos π = −1; cos = 0; sen = 1. 2 2 (4.3) Para conocer la funci´ o n seno en R es suficiente conocerla en el intervalo π . En concreto, 0, 2 (4.3.1) para cada x ∈ R es sen (π − x) = sen x = − sen(x + π ); (4.3.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, sen(x + 2kπ ) = sen x,

es decir, el seno real es una funci´on peri´odica de periodo 2π . (4.4) Para la funci´on coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo πconocer 0, . En concreto, 2 (4.4.1) para cada x ∈ R es cos (π − x) = − cos x = cos(x + π ); (4.4.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, cos(x + 2kπ ) = cos x,

es decir, el coseno real es una funci´on peri´o dica de periodo 2π . π π (4.5) La restricci´on de la funci´on seno al intervalo − , es una aplicaci´on 2 2 estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. (4.6) La restricci´on de la funci´on coseno al intervalo [0, π ] es una aplicaci´on estrictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. (4.7) Dado x ∈ R, se verifica sen x = 0 si y s´olo si para alg´un k ∈ Z es x = kπ .

Funciones elementales basicas ´

47

π +kπ . 2 Demostraci´on. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que

(4.8) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0 si y s´olo si para alg´un k ∈ Z es x =

sen x > x −

x3 >0 3!

siempre que 0 < x ≤ 1

y que 43 45 47 49 + − + < 0, 3! 5! 7! 9! de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, seg´un el teorema de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, est´a perfectamente determinado el n´umero real sen 4 < 4 −

π = inf{x > 0 : sen x = 0} y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π es el m´ınimo del conjunto, o sea, que pertenece a e´ l, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto y emplear la continuidad del seno. As´ı sen x = 0 para todo x ∈ (0, π) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos escrito, debe ser estrictamente positivo en e´ l. (4.2) Como sen2 π + cos2 π = 1, se deduce que cos2 π = 1 y por tanto cos π = 1 o cos π = −1. Pero si cos π = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolle dar´ıa la existencia de alg´un punto t ∈ (0, π) en el que se anular´ıa la derivada del coseno, con lo cual ser´ıa sen t = 0 contra lo que acabamos de probar. π π Puesto que cos π = 2 cos2 − 1, debe ser cos = 0, lo que obliga a que 2 2 π π 2 π sen = 1. Como 0 < < π, sen debe ser positivo y por tanto igual a 1. 2 2 2 (4.3) Las igualdades de (4.3.1) son consecuencia de las f´ormulas de adici´on y de los valores previamente calculados. La de (4.3.2) se comprueba inducci´on. por π Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo 0, , podemos 2 π obtener los valores en el intervalo , π usando que sen x = sen (π − x); por ser 2 el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π ] y ya por periodicidad a todo R. (4.4) Similar al apartado anterior. 2 (4.5) Para cada x ∈ R la igualdad sen2 x +cos x = 1 asegura que | sen x| ≤ 1, π π | cos x| ≤ 1. Como sen = 1 y por tanto sen − = −1, la continuidad del seno 2 2 π π y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de − , exactamente 2 2 el intervalo [−1, 1].

48

Funciones elementales basicas ´

demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en π Para π − , , usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el 2 2 coseno (que en cada punto x tiene por derivada − sen x) ser´a estrictamente decreciente π en [0, π], lo que permite afirmar queπlos valores que alcanza en el intervalo 0, son estrictamente mayores que cos = 0; como el coseno es par, lo mismo 2 2 π π vale en − , ; y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos 2 2 π π . que e´ ste u´ ltimo es estrictamente creciente en − , 2 2 (4.6) Repasar la demostraci´on anterior. (4.7) Es inmediato que si para alg´un k ∈ Z es x = kπ , se verifica que sen x = 0. Rec´ ıprocamente, sea x ∈ R tal que sen x = 0. Para un k ∈ Z ser´a 1 1 π π x ∈ k− π, k + π . Entonces t = x − kπ ∈ − , y sen t = 2 2 2 2 sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ . (4.8) Similar a la anterior. Funciones trigonom´etricas y Trigonometr´ıa Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versi´on anal´ıtica’ que venimos explorando y la ‘versi´on geom´etrica’ de la Trigonometr´ıa (=medida de a´ ngulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposici´on, que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de un n´umero complejo no nulo. Proposici´on. Dados x , y ∈ R tales que x 2 + y 2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x, sen α = y .

Adem´as, para que un β ∈ R cumpla igualmente que cos β = x,

sen β = y,

es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ . Demostraci´on. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x. Entonces sen2 t = y 2 , de donde o bien sen t = y, y tomar´ıamos α = t, o bien sen t = −y, y bastar´ıa tomar α = −t. Por periodicidad, igualmente cos(α + 2kπ ) = x, sen(α + 2kπ ) = y para todo k ∈ Z. Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x, sen β = y. Entonces sen(β − α) = y x − x y = 0,

Funciones elementales basicas ´

49

luego por (4.7) existir´a un m ∈ Z tal que β − α = mπ . Si m fuese de la forma 2k + 1, k ∈ Z, resultar´ıa cos(β − α) = −1, mientras que cos(β − α) = x x + y y = x 2 + y 2 = 1, por lo que debe ser m = 2k para alg´un k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ . Gr´aficamente, esta proposici´on significa que para cada punto sobre la circunferencia T de centro el origen y radio unidad, hay un n´umero real que mide el a´ ngulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que dicho n´umero est´a un´ıvocamente determinado salvo m´ultiplos enteros de 2π . Una interpretaci´on algebraica nos dir´ıa que la aplicaci´on t ∈ R → eit ∈ T (que es un homomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectiva y tiene por n´ucleo el semigrupo 2π Z, de modo que T es isomorfo al grupo cociente R/2πZ (para este enfoque, ver Cartan, H.: Th´eorie e´ l´ementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).) 3.4

DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.

Querr´ıamos definir la funci´on logaritmo como la inversa de la funci´on exponencial. Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la funci´on exponencial no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramienta en la teor´ıa de funciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle. Valores de la exponencial compleja Proposici´on. (5.1) Dado z ∈ C, sea x = e z , y = m z . Entonces e z = e x+i y = e x (cos y + i sen y) (5.2) Para cada z ∈ C

e e z = e e z cos( m z), z e = e e z ,

m e z = e e z sen( m z),

m z ∈ arg e z .

(5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es peri´odica de periodo 2πi . Con mayor precisi´on, dados z , w ∈ C, se tiene e z = ew si y s´olo si z = w + 2kπi para alg´un k ∈ Z. (5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C \ {0}. Adem´as, para cada w ∈ C \ {0}, e z = w si y s´olo si z = ln |w| + i(φ + 2kπ ),

k ∈ Z,

φ ∈ arg w.

50

Funciones elementales basicas ´

Demostraci´on. (5.1) Seg´un la f´ormula de adici´on e z = e x ei y , y las f´ormulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan cos y + i sen y = ei y . (5.2) Aplicar lo anterior. (5.3) Si z = w + 2kπi para alg´un k ∈ Z, e z = ew e2kπi = ew . Rec´ıprocamente, sea e z = ew . Tomando m´odulos, z e z = e = |ew | = e e w , e luego por la inyectividad de la exponencial real e z = e w. Pero entonces cos( m z) + i sen( m z) = cos( m w) + i sen( m w), o sea cos( m z) = cos( m w),

sen( m z) = sen( m w),

lo que, seg´un hemos visto en la proposici´on anterior, s´olo es posible si m z =

m w + 2kπ para alg´un k ∈ Z. (5.4) Dado w ∈ C \ {0}, sea φ ∈ arg w y z = ln |w| + iφ. Obviamente e z = w, y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w ser´a de la forma z + 2kπi para alg´un k ∈ Z por lo que acabamos de probar en (5.3). Esta informaci´on engloba asimismo informaci´on sobre el comportamiento de otras funciones. Por ejemplo: Corolario. Los u´ nicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresado de otro modo, si z ∈ C, π sen z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z, cos z = 0 ⇐⇒ z = + kπ, k ∈ Z. 2 Demostraci´on. N´otese que sen z = 0 ⇐⇒ ei z = e−i z ⇐⇒ e2i z = 1 = e0 , cos z = 0 ⇐⇒ ei z = −e−i z ⇐⇒ e2i z = −1 = eiπ . Determinaciones del argumento y del logaritmo. La no inyectividad de la funci´on exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a la hora de abordar una definici´on de logaritmo.

Funciones elementales basicas ´

51

Definici´on. Dado 0 = z ∈ C, diremos que w es un logaritmo de z si exp w = z . Por tanto, un n´umero complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos a qu´e f´ormula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) y como parte imaginaria un argumento de z, exp w = z ⇐⇒ w = ln |z| + i(φ + 2kπ ), k ∈ Z, φ ∈ arg z. Podr´ıamos definir el conjunto log z = {w : exp w = z} y se tendr´a la igualdad entre conjuntos, log z = ln |z| + i arg z Cuando queramos tener una funci´on logaritmo, bastar´a fijar una ‘funci´on argumento’. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendr´ıamos la funci´on logaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos m´as flexibles. / . Definici´on. Sea ∅ = regi´on, tal que 0 ∈ 1. Diremos que φ : −→ R es una determinaci´on del argumento en si: i) φ es continua en . ii) φ(z) ∈ arg z, ∀z ∈ , (i.e., eiφ(z) =

z ). |z|

2. Diremos que f : −→ C es una determinaci´on del logaritmo en si: i) f es continua en . ii) f (z) ∈ log z, ∀z ∈ , (i.e., e f (z) = z ). Estos dos conceptos est´an muy relacionados. En efecto, / . Entonces, Proposici´on 1. Sea ∅ = regi´on, tal que 0 ∈ φ es una determinaci´on del argumento ⇐⇒ f (z) = ln |z| + iφ(z) es una determinaci´on del logaritmo.

Demostraci´on. ⇒) Si φ es continua, es claro que f (z) = ln |z| + iφ(z) es continua, y e f (z) = |z|eiφ(z) = |z|(z/|z|) = z.

52

Funciones elementales basicas ´

⇐) Si f es una determinaci´on del logaritmo, en cada z ∈ , su parte real debe f (z) − ln |z| ser ln |z| y su parte imaginaria φ(z) = es una determinaci´on del i argumento, pues es continua y eiφ(z) = e f (z) e− ln |z| = z/|z|. Proposici´on 2. Sea ∅ = regi´on, tal que 0 ∈ / . i) Si φ1 , φ2 son dos determinaciones del argumento, entonces ∃k ∈ Z, φ1 (z) = φ2 (z) + 2kπ, ∀z ∈ . ii) Si f 1 , f 2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces ∃k ∈ Z, f 1 (z) = f 2 (z) + 2kπi, ∀z ∈ .

Demostraci´on. i) Si φ1 (z), φ2 (z) ∈ arg z entonces, para cada z ∈ , φ1 (z) − φ2 (z) = 2k(z)π, con k(z) entero. La funci´on k : −→ Z es continua, y como es regi´on, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser un punto. Es decir, k(z) ≡ k es constante. ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar. Ejemplos. 1. El ejemplo m´as aparente es Arg z, que es una determinaci´on del argumento en la regi´on C \ (−∞, 0]. La correspondiente determinaci´on del logaritmo en C \ (−∞, 0] Log z = ln |z| + i Arg z se llama funci´on logaritmo principal. N´otese que el dominio de definici´on de esta funci´on es C \ {0}, pero s´olo es continua en C \ (−∞, 0]. Su restricci´on a (0, +∞) es el logaritmo real. 2. An´alogamente, fijado α ∈ R, la funci´on Arg[α,α+2π ) es una determinaci´on del argumento en C \ {r eiα : r ≥ 0}. Y, la correspondiente determinaci´on del logaritmo es Log[α,α+2π) z = ln |z| + i Arg[α,α+2π ) . 3. Las anteriores no son, obviamente, las u´ nicas determinaciones del argumento y del logaritmo. Veamos alg´un ejemplo m´as:

Funciones elementales basicas ´

53 La funci´on φ : −→ R, definida por φ(z) = Arg z, si z ∈ A,

Α Β

φ(z) = Arg z + 2π, si z ∈ B,

Β Ω=Α∪Β

4.

γ

(el segmento de R− lo debemos incluir en A), es continua en y, en cada punto, φ(z) ∈ arg z. Por tanto, es una determinaci´on del argumento en . Sea = C \ γ , (γ une continuamente 0 e ∞). La funci´on φ : −→ R, definida por

Α Β

φ(z) = Arg z, si z ∈ A, φ(z) = Arg z + 2π , si z ∈ B, es una determinaci´on del argumento en .

5.

Ω

Sea = D(0; 2) \ D(0; 1). En no existe determinaci´on continua del argumento. Supongamos que φ : −→ R lo es. En la regi´on ∗ = \ R− , φ y Arg z son dos determinaciones del argumento y, por tanto, para alg´un k ∈ Z φ(z) = Arg z + 2kπ, z ∈ ∗ .

Pero entonces, φ no puede ser continua en porque si z 0 ∈ (−2, −1), los l´ımites de φ(z) para z → z 0 a trav´es de {z ∈ : m z > 0} o a trav´es de {z ∈ : m z < 0} difieren en 2π . Proposici´on. Si f es una determinaci´on del logaritmo en entonces f es holomorfa en . Adem´as, 1 f (z) = , ∀z ∈ . z Demostraci´on. Fijemos un punto z 0 ∈ . Como la derivada de la funci´on exponencial es 1 en el punto 0, se tiene ew − 1 = 1. lim w→0 w

54

Funciones elementales basicas ´

A partir de aqu´ı, deducimos, w − 1 < ε|z 0 |. ∀ε > 0, ∃δ > 0 |w| < δ ⇒ w e −1 Por otro lado, como f es continua en z 0 , se tiene, ∃δ1 > 0 |h| < δ1 ⇒ | f (z 0 + h) − f (z 0 )| < δ. Juntando estos dos hechos, y usando que e f (z) = z, si |h| < δ1 , f (z 0 + h) − f (z 0 ) f (z 0 + h) − f (z 0 ) 1 1 = − − h z 0 e f (z0 +h) − e f (z0 ) e f (z0 ) 1 f (z 0 + h) − f (z 0 ) < ε. − 1 = f (z +h)− f (z ) 0 0 |z 0 | e −1 Luego, f es derivable en z 0 con derivada 1/z 0 . Todav´ıa tenemos mucho m´as. Proposici´on. Si f es una determinaci´on del logaritmo en entonces f es anal´ıtica en .

Demostraci´on. Sea z 0 ∈ . Se verifica ∞ n 1 1 1 n (z − z 0 ) = (−1) , |z − z 0 | < |z 0 |. = n+1 z z0 1 + z − z0 z 0 n=0 z0

Por tanto, la serie de potencias “primitiva t´ermino a t´ermino” de la anterior ∞ n=0

(−1)

n

(z − z 0 )n+1 (n + 1)z 0n+1

es derivable en D(z 0 ; |z 0 |) y su derivada es 1/z. Como e´ ste tambi´en es el caso de f en un entorno (conexo) de z 0 , tendremos ∞ n+1 n (z − z 0 ) (−1) f (z) = C + (n + 1)z 0n+1 n=0

en un entorno de z 0 . Por tanto, f es anal´ıtica en z 0 .

Funciones elementales basicas ´

55

Observaci´on. La funci´on Log(1 + z) es holomorfa (y anal´ıtica) en C \ (−∞, −1], por composici´on. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostraci´on anterior, obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es: Log(1 + z) = C +

∞

(−1)n

n=0

z n+1 , |z| < 1 n+1

Evaluando la igualdad en z = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log 1 = 0. Finalmente, cambiando el par´ametro de sumaci´on, Log(1 + z) =

∞ n=1

(−1)n+1

zn , |z| < 1. n

El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie tambi´en para |z| = 1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log(1 + z) (¿por qu´e?). Observaci´on. En la pr´actica, convendr´a tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claro que si φ ∈ arg z, ψ ∈ arg w, entonces φ + ψ ∈ arg(zw), pero al particularizar a determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce e´ sto en una igualdad. As´ı, en general, Arg z + Arg w = Arg(zw). De forma an´aloga, en general, Log z + Log w = Log(zw),

por ejemplo Log(−1) + Log(−1) = 2πi = 0 = Log (−1)(−1) , aunque siempre ocurre que Log z + Log w ∈ log(zw). 3.5

EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS

Al tener concepto de logaritmo, podemos definir la potenciaci´on.

56

Funciones elementales basicas ´

Definici´on. Dados u, v ∈ C, con u = 0, se define el conjunto u v = {exp(vα) : α ∈ log u} Podr´ıamos poner brevemente (igualdad entre conjuntos), u v = exp(v log u) Los elementos del conjunto u v son, por tanto, exp{v(ln |u| + i Arg u + 2kπi)}, k ∈ Z. Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodicidad de la funci´on exponencial, estos elementos podr´ıan repetirse y dar un conjunto finito. De hecho, es muy f´acil probar que: i) Si n ∈ N, u n consta de un solo elemento. Precisamente, u.u. . . .n) u. ii) u 0 = 1. iii) Si n ∈ Z− , u n =

1 u −n

.

iv) Si n ∈ N, u 1/n consta de n elementos, justamente las n ra´ıces n-´esimas de u. Ahora, bastar´a precisar la elecci´on de logaritmos para tener funciones exponenciales y potenciales 1. Dado a = 0, la funci´on f (z) = a z = exp(z Log a) es la funci´on exponencial de base a. Es decir, a no ser que se indique lo contrario, la expresi´on a z indicar´a que estamos tomando el logaritmo principal. Es claro que es una funci´on entera (de hecho, anal´ıtica en C), pues s´olo se diferencia de la exponencial por el factor constante Log a. 2. Dado α ∈ C, tambi´en usaremos la notaci´on z α para indicar la elecci´on del logaritmo principal. f (z) = z α = exp(α Log z), z ∈ C \ {0}. Su dominio de definici´on es C\{0}, pero solamente es holomorfa (y anal´ıtica), por composici´on de ellas, en C \ (−∞, 0].

Funciones elementales basicas ´

57

Cuando el par´ametro α es entero, es claro que, de hecho z α es holomorfa en C \ {0}. Y si es natural, es holomorfa en C (defini´endola como 0 en 0). En cualquier otro caso, no puede ser holomorfa m´as all´a de C \ R− , pues es f´acil ver que en los puntos de R− no es cont´ınua. Desarrollo de (1 + z)α en serie de potencias centrada en 0. Por razones obvias, se considera (1+z)α (y no z α ) para desarrollar en potencias de z. En todo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la informaci´on de una funci´on a otra. Denotemos f (z) = (1 + z)α = exp(α Log(1 + z)), z = −1. Esta funci´on es anal´ıtica en C \ (−∞, −1] (por composici´on de anal´ıticas) y, por tanto, es anal´ıtica en 0. Esto, te´oricamente, nos dice que existe una serie de potencias centrada en 0 con radio R > 0, tal que f (z) =

∞

an z n

n=0

en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena, f (z) =

α f (z) 1+z

y, as´ı, se debe cumplir la ecuaci´on (1 + z) f (z) − α f (z) = 0. Por otra parte, la derivada de f es

f (z) =

∞

an nz n−1

n=1

Entonces, la ecuaci´on (1) queda ∞ n=1

an nz

n−1

+

∞

an nz − α n

n=1

= (a1 − αa0 ) +

∞

n=0 ∞

an z n

((n + 1)an+1 + (n − α)an )z n = 0

n=1

(1)

58

Funciones elementales basicas ´

en un entorno del origen. Luego todos los coeficientes deben ser 0, o sea, (n + 1)an+1 = (α − n)an , n = 0, 1, 2, . . . Empezando con a0 = f (0) = 1, es f´acil comprobar por inducci´on que an =

α(α − 1) . . . (α − n + 1) n!

Llamaremos a esta u´ ltima cantidad numero ´ combinatorio generalizado y denotaremos (para α ∈ C) α α(α − 1) . . . (α − n + 1) , n ∈ N; = n! n

α = 1. 0

Por tanto, hemos obtenido α

(1 + z) =

∞ α n=0

n

zn ,

(2)

en un entorno del origen.

Por u´ ltimo, observemos que si α es un n´umero natural, αn = 0 si n > α y la ecuaci´on (2) no es otra cosa que la f´ormula del binomio de Newton. En otro caso, es f´acil ver que la serie en (2) tiene radio R = 1. Tanto f como la serie son anal´ıticas en D(0; 1) y coinciden en un entorno del origen. Entonces, por el P.P.A. tendremos α

(1 + z) =

∞ α n=0

n

z n , |z| < 1.

Ra´ız cuadrada principal. Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α = 1/2, obtenemos el conjunto de las ra´ıces cuadradas y la ra´ız cuadrada principal. Nos encontramos √ ahora con un buen l´ıo de notaci´on: ¿qu´e significa z 1/2 ? ¿qu´e significa z? Los convenios utilizados var´ıan de unos textos a otros, por lo cual, ante la menor ambig¨uedad, merece la pena explicitar el significado atribuido a los signos que se est´en empleando.

Funciones elementales basicas ´

59

En√todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos: (i) ± z para el conjunto de las ra´ıces cuadradas de z, es decir, √ def ± z = {w ∈ C : w2 = z}. (Ojo: no es una notaci´on est´andar). Tiene sentido para todo z ∈ C, incluido z = 0. √ 1 (ii) z o z 2 para la ra´ız cuadrada principal de z, es decir, √

z = z 2 = e(1/2) Log z . def

1

def

Tiene sentido para todo z ∈ C \√ {0}, aunque por comodidad puede ser conve1 niente a veces escribir tambi´en 0 = 0 2 = 0. (ii.1) Seg´un este convenio, para todo z ∈ C es √ √ √ 1 1 ± z = { z, − z} = {z 2 , −z 2 }. (ii.2) Cuando z sea un n´umero real no negativo, z ∈ [0, +∞), como z = 0 o Arg z = 0 se obtiene como ra´ız cuadrada principal de z justamente su ra´ız cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidas son consistentes con las que empleamos para n´umeros reales. Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo el proceso visto anteriormente o bien calculando

1 · 3 · 5 · · · (2n − 3) 1/2 , = (−1)n−1 2 · 4 · 6 · · · (2n) n

n ≥ 2,

que suele abreviarse mediante factoriales dobles en 1/2 (2n − 3)!! = (−1)n−1 , n (2n)!! queda, incluso si |z| = 1 (los coeficientes son del tama˜no de n −3/2 ), ∞ √ 1 (2n − 3)!! n z 1+z =1+ z+ (−1)n−1 2 (2n)!! n=2

1 1 1 5 4 z + ..., = 1 + z − z2 + z3 − 2 8 16 128

|z| ≤ 1.

60

Funciones elementales basicas ´ 1 Otro desarrollo importante, correspondiente a Îą = − , es 2 √

1 1+z

=1+

∞

(−1)n

n=1

(2n − 1)!! n z (2n)!!

3 1 5 = 1 − z + z2 − z3 + . . . , 2 8 16

|z| < 1.

Del criterio de Dirichlet y el teorema del l´Ĺmite de Abel se sigue que el desarrollo es v´alido siempre que |z| ≤ 1, z = −1. 3.6

OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

´ Funciones trigonom´etricas e hiperbolicas complejas. Funciones trigonom´etricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, as´Ĺ como las funciones hiperb´olicas, se pueden definir en C usando las f´ormulas que las definen en R. Las funciones obtenidas son las u´ nicas extensiones anal´Ĺticas al dominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre las muchas relaciones y propiedades que podemos deducir f´acilmente, nos limitamos a seËœnalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’. Proposici´on. Dado z ∈ C, Sh z = −i sen(i z),

Ch z = cos(i z).

Otras funciones inversas La funci´on arco tangente compleja. Para su definici´on, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque la funci´on tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver la ecuaci´on tan w = z para z ∈ C fijado. Aplicando la definici´on    eiw + e−iw = 0  e2iw = −1 eiw − e−iw e2iw − 1 tan w = z â‡?⇒ â‡?⇒  iw  = i z = iz e + e−iw e2iw + 1 z = i, −i 2iw ∗ 1 + iz â‡?⇒ (1 − i z) e = 1 + i z â‡?⇒ e2iw = [⇒ = −1] 1 − iz

Funciones elementales basicas ´

61

Observamos en ∗ que si z = i o´ z = −i no puede haber soluci´on. Si z no es uno de estos valores, las soluciones w son tales que 1 1 + iz 1 + iz ⇔w∈ log 2iw ∈ log 1 − iz 2i 1 − iz Hemos demostrado con e´ sto que la funci´on tangente tan : C \ {

π + kπ : k ∈ Z} −→ C \ {i, −i} 2

es suprayectiva, y dado z ∈ C \ {i, −i}, 1 + iz 1 log tan w = z ⇔ w ∈ 2i 1 − iz As´ı, podr´ıamos escribir, para z ∈ C \ {i, −i}, el conjunto 1 1 + iz log arctan z = 2i 1 − iz y, para tener una funci´on, elegimos alg´un logaritmo. Por supuesto, lo m´as l´ogico es trabajar (casi siempre) con el principal. As´ı, la funci´on arco tangente principal, que escribiremos Arctan z, ser´a 1 + iz 1 Log , z = i, −i. Arctan z = 2i 1 − iz El dominio de definici´on es C\{i, −i}. Veamos d´onde es anal´ıtica. Por composici´on de anal´ıticas lo ser´a en todos los puntos, salvo a lo m´as en aqu´ellos en que 1 + iz ∈ R− . 1 − iz Hallemos estos z’s:

1−λ 1 + iz = λ ⇐⇒ z = i . 1 − iz 1+λ

Cuando λ recorre los n´umeros reales negativos, z recorre el conjunto I = {i x : x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞)}. Por tanto, la funci´on Arctan z es anal´ıtica en el abierto = C \ I . (Que no lo es en los puntos de I se prueba como siempre.)

62

Funciones elementales basicas ´

.

Notemos que, en particular, es anal´ıtica en el disco unidad. Vamos a hallar su i desarrollo en serie de potencias de z. Por la regla de la cadena, es f´acil llegar a que O 1 , z ∈ . Arctan (z) = 1 + z2 Si tenemos en cuenta que -i ∞ 1 = (−1)n z 2n , |z| < 1, 2 1+z n=0 por igualdad de derivadas en D(0; 1) (conexo), ∞ 2n+1 n z Arctan z = , |z| < 1, (−1) 2n + 1 n=0 I

.

salvo la adici´on de una constante C, de valor C = Arctan 0 = 0. La funci´on Arctan es una extensi´on anal´ıtica (la u´ nica posible en ) de la funci´on arco tangente real arc tg, inversa de la restricci´on de la tangente al intervalo (−π/2, π/2). (¿Por qu´e?) Argumento principal y arco tangente real. Para ciertos c´alculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer de expresiones del argumento principal m´as manejables que su definici´on. Para cada z = 0 se tiene x = e z = |z| cos(Arg z), y = m z = |z| sen(Arg z), luego tg (Arg z) = y/x si x = 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue  y  si x > 0; Arctan    x   y + π si x < 0, y ≥ 0; Arctan Arg(x + i y) = x    y    Arctan − π si x < 0, y < 0; x en esquema, repartido por cuadrantes, Arg(x + i y) = y Arctan + π x Arg(x + i y) = y Arctan − π x

Arg(x + i y) = y Arctan x Arg(x + i y) = y Arctan x

Funciones elementales basicas ´

63

La funci´on arco seno compleja. Fijado z ∈ C, tenemos que resolver la ecuaci´on sen w = z. Con nuestra notaci´on sen w = z ⇔ eiw − e−iw = 2i z ⇔ (eiw )2 − 2i zeiw − 1 = 0 ⇔ eiw ∈ i z ± 1 − z 2 .

(1)

√ N´otese que ± 1 − z 2 representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado nos dan 1 − z 2 ). √ Sea cual sea z ∈ C, ninguno de los dos valores de i z ± 1 − z 2 es 0, ya que

i z ∈ ± 1 − z 2 ⇐⇒ −z 2 = 1 − z 2 . Por tanto, la ecuaci´on (1) siempre tiene soluci´on, a saber, aquellos w tales que 1 w ∈ log(i z ± 1 − z 2 ). i Hemos demostrado entonces que sen : C −→ C es suprayectiva, y adem´as, para cada z ∈ C, podemos definir el conjunto arcsen z =

1 log(i z ± 1 − z 2 ) i

donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de

√

1 − z2.

Si queremos una funci´on Arcsen z, elegiremos las ramas principales, tanto en el logaritmo, como en la raiz interior. 1 Arcsen z = Log(i z + 1 − z 2 ), z ∈ C. i El dominio de esta funci´on es todo C (si z = ±1, entendemos

√

0 = 0).

Veamos d´onde es anal´ıtica. Empezamos por la ra´ız interior. Ser´a anal´ıtica, excepto a lo m´as en los z’s tales que 1 − z 2 ∈ (−∞, 0] ⇔ z 2 ∈ [1, +∞) ⇔ z ∈ [1, +∞) ∪ (−∞, −1].

64

Funciones elementales basicas ´

Por tanto, la determinaci´on principal de (−∞, −1]).

√

1 − z 2 es anal´ıtica en C \ ([1, +∞) ∪

Ahora, respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los z’s tales √ en lo que − que i z + 1 − z 2 ∈ R . Pero, − 2 i z + 1 − z = λ ∈ R ⇔ 1 − z2 = λ − i z (2) De aqu´ı, tiene que ser

1 − z 2 = (λ − i z)2 ⇒ z = i

1 − λ2 2λ

.

(3)

Al elevar al cuadrado, se pueden a˜nadir soluciones. Entonces, tenemos que llevar la expresi´on (3) a (2) y tenemos (1 − λ2 )2 1 − λ2 1 + λ2 (1 + λ2 )2 ⇒ . 1+ =λ+ = 4λ2 2λ 4λ2 2λ Pero, comprobamos que la raiz principal de este n´umero es el n´umero positivo (1 + λ2 )/2|λ|, de donde (1 + λ2 ) 1 + λ2 = ⇒ λ = |λ| = −λ. 2|λ| 2λ √ Este argumento ha demostrado que nunca sucede i z + 1 − z 2 ∈ R− . Por tanto, la u´ nica limitaci´on es la del principio, y concluimos que: La funci´on Arcsen es anal´ıtica en C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]). En particular, lo es en D(0; 1). Para hallar el correspondiente desarrollo en serie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que 1 , z ∈ C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]). Arcsen (z) = √ 1 − z2 Por otro lado, √

1 1−

z2

= (1 − z 2 )−1/2

∞ −1/2 (−1)n z 2n , |z| < 1. = n n=0

Integrando, (de nuevo la constante es C = Arcsen 0 = 0), ∞ 2n+1 −1/2 n z Arcsen z = , |z| < 1. (−1) 2n + 1 n n=0 La funci´on Arcsen es una extensi´on anal´ıtica (la u´ nica posible en C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1])) de la funci´on arco seno real. (¿Por qu´e?)

CAP´ITULO 4

Integraci´on sobre caminos 4.1

´ INTRODUCCION

La integraci´on sobre caminos fue el instrumento principal del que se sirvi´o Cauchy para crear la teor´ıa de funciones anal´ıticas de variable compleja, estableciendo lo que actualmente suele denominarse ‘teor´ıa de Cauchy’, para distinguirlo de los enfoques posteriores de Riemann (con una visi´on m´as geom´etrica) y de Weierstrass (basado en los desarrollos locales en serie de potencias). Gracias a la representaci´on (bajo ciertas condiciones) de una funci´on holomorfa mediante una integral dependiente de un par´ametro, Cauchy logr´o probar que, en C, las nociones de holomorf´ıa y analiticidad son las mismas, culminando su obra con lo que e´ l donomin´o ‘c´alculo de residuos’. De todo esto nos ocuparemos m´as adelante. El concepto de integral sobre un camino est´a muy relacionado con el de integraci´on sobre caminos de formas diferenciales reales de dos variables. Esto hace que los resultados iniciales (y sus demostraciones) sean bastante parecidos a lo ya estudiado en la teor´ıa de funciones de varias variables reales. 4.2

´ DE FUNCIONES COMPLEJAS INTEGRACION EN INTERVALOS REALES

Empecemos recordando alg´un concepto previo de derivabilidad e integrabilidad para funciones de variable real, pero con valores complejos. Lo m´as destacable en este punto es que la variable toma solamente valores reales. Sea g : [a, b] ⊆ R −→ C. 1. g es derivable en t0 ∈ [a, b] si ∃ lim

t→t0

g(t) − g(t0 ) = g (t0 ) ∈ C t − t0

(cuando t0 = a o´ t0 = b, los l´ımites son laterales). No estamos introduciendo ninguna definici´on nueva de derivabilidad: la novedad estriba en la naturaleza del dominio de la funci´on, que excepcionalmente no es un abierto del plano complejo sino un intervalo compacto real, lo que nos sit´ua m´as cercanos a la derivaci´on en R. De hecho, la definici´on anterior 65

66

Integracion ´ sobre caminos es equivalente a que las dos funciones reales e g, m g : [a, b] ⊆ R → R sean derivables en t0 , siendo en tal caso g (t0 ) = ( e g) (t0 ) + i( m g) (t0 ).

2. Sea g : [a, b] ⊆ R −→ C y f : −→ C con abierto de C y g([a, b]) ⊂ . Si g es derivable en t0 (definici´on actual) y f es derivable en g(t0 ) (definici´on anterior), entonces f ◦ g es derivable en t0 y ( f ◦ g) (t0 ) = f (g(t0 ))g (t0 ). Esto es un sencillo ejercicio, que puede abordarse directamente o usando la regla de la cadena para funciones de varias variables y las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 3. g es integrable (Lebesgue) en [a, b] si, por definici´on, lo son e g e m g, y el valor de la integral es

b

g(t) dt =

a

b

b

e g(t) dt + i

a

m g(t) dt.

a

Para estas funciones con valores complejos, siguen siendo ciertos los resultados importantes de integraci´on. Resaltamos los que m´as utilizaremos: Acotaci´on.

a

b

g(t) dt ≤

b

|g(t)| dt.

a

(No es tan obvio como puede parecer: int´entelo el lector por su cuenta antes de ver la demostraci´on que sigue.) b Para probarlo, sea z = a g(t) dt. Entonces existe c ∈ C con |c| = 1 tal que |z| = c z. Pongamos u = e (c g), con lo cual u ≤ |c g| = |g|. As´ı

a

b

g(t) dt = |z| = c

a

b

g(t) dt = a

b

∗

c g(t) dt = a

b

u(t) dt ≤

b

|g(t)| dt,

a

b ∗ verific´andose = porque teniendo en cuenta que a c g(t) dt = |z| ∈ R, se deduce b b b que a c g(t) dt = e a c g(t) dt = a e c g(t) dt.

Integracion ´ sobre caminos

67

Regla de Barrow ‘ampliada’. Si g : [a, b] −→ C es continua y existe una partici´on t0 = a < t1 < t2 < · · · < tn = b de [a, b] de manera que g es derivable en cada (tk−1 , tk ), 1 ≤ k ≤ n y g (extendida arbitrariamente a los puntos tk ) es integrable-Riemann en [a, b], entonces

b

g (t) dt = g(b) − g(a).

a

La regla de Barrow que conocemos s´olo es aplicable en cada uno de los intervalos [tk−1 , tk ] de la partici´on. Pero entonces,

b

g (t) dt =

a

n k=1

tk

g (t) dt =

tk−1

n

(g(tk ) − g(tk−1 )) = g(b) − g(a).

k=1

Teorema de la convergencia dominada. Sean gn , g : [a, b] −→ C tales que gn (t) −→ g(t) para casi todo t ∈ [a, b] y, supongamos que ∃h : [a, b] −→ b R+ tal que ∀n ∈ N, |gn (t)| ≤ h(t), t ∈ [a, b] y a h(t) dt < +∞. Entonces, lim

n→∞ a

b

b

gn (t) dt =

g(t) dt. a

O la versi´on continua de este teorema T.C.D. Versi´on continua. Si tenemos una funci´on g de dos variables, z ∈ D(z 0 ; δ), t ∈ [a, b], con valores complejos, tal que lim g(z, t) = g0 (t), para casi todo t ∈ [a, b],

z→z 0

|g(z, t)| ≤ h(t), ∀z ∈ D(z 0 ; δ), ∧

b

h(t) dt < +∞

a

Entonces,

lim

z→z 0

b

g(z, t) dt =

a

b

g0 (t) dt.

a

Cambio del orden de integraci´on. Sea g : [a, b] × [c, d] → C continua. Entonces

d b b d g(s, t) ds dt = g(s, t) dt ds. a

c

c

(Es un caso particular del teorema de Fubini.)

a

68 4.3

Integracion ´ sobre caminos CURVAS Y CAMINOS EN C

Definici´on. Una curva en C es una funci´on γ : [a, b] → C continua (a, b ∈ R, a < b). Observaci´on. Una curva no debe identificarse con la imagen de la funci´on γ ([a, b]) (denominada el soporte de la curva). Por ejemplo, γ1 : [0, 2π ] −→ C,

γ1 (t) = eit

γ2 : [0, 2π ] −→ C,

γ2 (t) = e2it

son dos curvas distintas que tienen el mismo soporte. N´otese que el soporte de una curva siempre es un subconjunto conexo y compacto de C. Definici´on. Un camino (o curva C (1 a trozos) es una funci´on continua γ : [a, b] → C tal que existe una partici´on a = t0 < t1 < . . . < tk = b de forma que γ [t ,t ] es (1

una curva de clase C ( j = 1, . . . , k ).

j−1 j

Observaci´on. Lo anterior significa que γ : [t j−1 , t j ] −→ C es derivable en sentido real (las partes real e imaginaria son derivables). Es decir, ∀t ∈ [t j−1 , t j ], ∃ lim s→t

γ (s) − γ (t) = γ (t) = ( e γ ) (t) + i( m γ ) (t) ∈ C s−t

(en t j y t j−1 los l´ımites son laterales) y adem´as, γ : [t j−1 , t j ] −→ C es continua. En los puntos de la partici´on t j , existe derivada γ (t j ) por la derecha y por la izquierda, pero estas derivadas pueden coincidir o ser distintas. Sea γ : [a, b] −→ C un camino. Se llama origen de γ al punto γ (a); se llama extremo de γ al punto γ (b). Se dice que γ es un camino cerrado si γ (a) = γ (b). Se llama longitud de γ a long γ =

b

|γ (t)| dt ( < +∞)

a

Si A ⊆ C, se dice que γ est´a contenido en A si γ ([a, b]) ⊆ A.

Integracion ´ sobre caminos

69

Opuesto de un camino. Se llama camino opuesto a γ al camino −γ : [−b, −a] −→ C dado por (−γ )(t) = γ (−t). El camino opuesto tiene el mismo soporte, pero cambia el origen por el extremo y viceversa. Se dice que −γ recorre el soporte del camino en sentido contrario al de γ . Uni´on de caminos. Sean γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C dos caminos tales que γ1 (b) = γ2 (c). Se llama γ1 ∪ γ2 (uni´on o suma de γ1 y γ2 ) al camino dado por γ1 ∪ γ2 : [a, b + d − c] −→ C, (γ1 ∪ γ2 )(t) = γ1 (t) si t ∈ [a, b]; (γ1 ∪ γ2 )(t) = γ2 (t − b + c) si t ∈ [b, b + d − c]. Es claro que la uni´on de dos caminos es un camino que cumple i) sop(γ1 ∪ γ2 )=sop(γ1 )∪sop(γ2 ) ii) origen (γ1 ∪ γ2 )=origen(γ1 ) ii) extremo (γ1 ∪ γ2 )=extremo(γ2 ). Definici´on. Sean γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C. Diremos que son equivalentes y escribiremos γ1 ∼ γ2 , si tienen el mismo n´umero de puntos no regulares (d´onde no son C 1) ) y si a = t0 < t1 < . . . < tn = b y c = s0 < s1 < . . . < sn = d son las particiones asociadas, existe una aplicaci´on τ : [a, b] −→ [c, d]

que es biyecci´on con τ [tj ,tj+1 ] : [t j , t j+1 ] −→ [s j , s j+1 ], j = 0, 1, . . . , n − 1

derivable con τ (t) > 0 y de forma que γ1 = γ2 ◦ τ. 1. Se prueba f´acilmente que ∼ es una relaci´on de equivalencia compatible con la operaci´on de camino opuesto y la uni´on de caminos. Ser´ıa m´as ajustado a la pr´actica habitual definir camino como una clase de equivalencia por esta relaci´on y si γ1 ∼ γ2 , decir que γ1 y γ2 son parametrizaciones del mismo camino. La aplicaci´on τ que liga γ1 y γ2 se llama cambio de par´ametro. 2. Los caminos equivalentes s´olo se diferencian en que se recorre el mismo soporte y en el mismo sentido, pero a diferente velocidad. A efectos de la

70

Integracion ´ sobre caminos utilizaci´on de los caminos en nuestra teor´ıa, dos caminos equivalentes es como si fueran iguales.

3. Por ejemplo, son equivalentes los caminos γ1 : [0, 2π ] −→ C,

γ1 (t) = eit

γ2 : [0, π] −→ C,

γ2 (t) = e2it

(donde la aplicaci´on cambio de par´ametro es clara). 4. Podremos suponer, cuando as´ı nos convenga, que un camino est´a parametrizado en el intervalo [0, 1]. Ejemplos. 1. Dados z 0 = z 1 ∈ C, el segmento orientado [z 0 , z 1 ] es el camino γ : t ∈ [0, 1] → γ (t) = z 0 + t (z 1 − z 0 ) = (1 − t) z 0 + t z 1 ∈ C. La notaci´on que se emplea es la misma que para su soporte, pero el contexto dejar´a claro en cada ocasi´on a cu´al de las dos nociones nos estamos refiriendo. Por comodidad, diremos ‘segmento’ [z 0 , z 1 ], sobreentendi´endose ‘segmento orientado’. Su longitud es igual a |z 1 − z 0 | (¡comprobar!). 2. Dados z 0 , z 1 , . . . , z n ∈ C, la poligonal de v´ertices z 0 , z 1 , . . . , z n , es el camino [z 0 , z 1 ] ∪ [z 1 , z 2 ] ∪ · · · ∪ [z n−1 , z n ]. Su longitud es igual a |z 1 − z 0 | + |z 2 − z 1 | + · · · + |z n − z n−1 | (¡comprobar!). 3. Dados z 0 ∈ C, r > 0, la circunferencia de centro z 0 y radio r orientada positivamente es el camino γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = z 0 + r eit ∈ C. Lo representaremos por ∂ D(z 0 ; r ). La circunferencia de centro z 0 y radio r orientada negativamente es el camino opuesto −∂ D(z 0 ; r ). Cuando no se especifique orientaci´on, se sobreentiende la positiva. La longitud de ambos es 2πr (¡comprobar!). 3. Dados z 0 ∈ C, r > 0, k ∈ Z, el camino γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = z 0 + r eikt ∈ C. es la circunferencia de centro z 0 y radio r recorrida k veces en sentido positivo si k ≥ 0 o recorrida −k veces en sentido negativo si k < 0. La representaremos por k · ∂ D(z 0 ; r ). En particular, 1 · ∂ D(z 0 ; r ) = ∂ D(z 0 ; r ), 0 · ∂ D(z 0 ; r ) es el camino constante con soporte {z 0 } y (−1) · ∂ D(z 0 ; r ) = −∂ D(z 0 ; r ) (salvo ajustes en la parametrizaci´on). Su longitud es igual a 2|k|πr (¡comprobar!).

Integracion ´ sobre caminos 4.4

71

´ DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CAMINOS INTEGRACION

Definici´on. Sea γ : [a, b] −→ C un camino y sea f : sop γ −→ C una funci´on continua. Se llama integral de f sobre γ a

γ

f =

f (z)dz =

γ

b

f (γ (t))γ (t) dt.

a

N´otese que la funci´on que integramos, ( f ◦γ )·γ : [a, b] −→ C, es continua, salvo en un n´umero finito de puntos (donde las discontinuidades son de salto). Por tanto, es integrable-Lebesgue (incluso integrable-Riemann) en [a, b]. La definici´on podr´ıa haberse dado para funciones m´as generales que las continuas, con tal de que ( f ◦ γ ) · γ fuera integrable en [a, b]. Pero, para nuestros prop´ositos, basta con esto. Propiedades.

1. Si γ1 ∼ γ2 , entonces

γ1

f =

f. γ2

Basta acudir a la definici´on y hacer en la integral el cambio de variable τ (t) = s, donde τ es el cambio de par´ametro. f =− f. 2. −γ

3.

γ1 ∪γ2

4.

γ

f =

γ

γ1

( f + g) =

f +

f. γ2

γ

f +

g, γ

γ

λf = λ

f. γ

5. Regla de Barrow. Sea f : ⊃ sop γ −→ C. Supongamos que ∃F ∈ H( ) tal que F (z) = f (z), ∀z ∈ . Entonces, f (z)dz = F(γ (b)) − F(γ (a)). γ

En efecto, podemos subdividir el intervalo [a, b] en intervalos parciales [t j−1 , t j ] en los que la restricci´on de F ◦ γ es derivable, con derivada (lateral en los extremos) dada por la regla de la cadena (F ◦ γ ) (t) = F (γ (t))γ (t) = f (γ (t))γ (t),

72

Integracion ´ sobre caminos continua a trozos (luego finalmente integrable en [a, b]). Entonces, aplicando la regla de Barrow ‘ampliada’,

f (z)dz =

γ

b

f (γ (t))γ (t) dt =

a

b

(F◦γ ) (t) dt = F(γ (b))−F(γ (a)).

a

Observaci´on. En las hip´otesis anteriores, si γ es cerrado (es decir, si γ (a) = γ (b)) resulta 6.

γ

f (z) dz = 0.

γ

f (z)dz ≤ long γ · sup | f (z)|. z∈sop γ

En efecto, f (z)dz = γ

b

f (γ (t))γ (t) dt ≤

a

≤

b

b

| f (γ (t))γ (t)| dt

a

|γ (t)| dt · sup | f (γ (t))|.

a

t∈[a,b]

Observaci´on. N´otese que sop γ es un compacto, y como | f | es continua, el supremo es un m´aximo (Weierstrass). 7. Sean f n , f : sop γ −→ C continuas, y tales que f n −→ f uniformemente en sop γ . Entonces, lim f n (z)dz = f (z)dz n→∞ γ

γ

Es decir, bajo la hip´otesis de convergencia uniforme en el soporte, el l´ımite conmuta con la integral. Para demostrar el resultado, basta observar que f n (z)dz − f (z)dz ≤ long γ · sup | f n (z)− f (z)| −→ 0, (n → ∞). γ

z∈sop γ

γ

8. Cambio del orden de integraci´on. Sea γ1 un camino en un abierto 1 , γ2 un camino en un abierto 2 , φ : 1 × 2 → C continua. Entonces

φ(z, w) dw dz = φ(z, w) dz dw. γ1

γ2

γ2

γ1

Integracion ´ sobre caminos

73

Pues sea t0 < t1 < . . . < tn una partici´on del dominio de γ1 tal que cada restricci´on γ1 |[tk−1 ,tk ] tiene derivada continua, y an´alogamente sea s0 < s1 < . . . < sm una partici´on del dominio de γ2 para la que cada restricci´on γ2 |[sj−1 ,sj ] tiene derivada continua. Aplicando el resultado de intercambio ya visto,

φ(z, w) dw dz γ1 γ2

tk sj = φ(γ1 (t), γ2 (s)) γ2 (s) ds γ1 (t) dt k, j

=

tk−1 sj

j,k

s j−1

γ2

γ1

= 4.5

s j−1

tk

tk−1

φ(γ1 (t), γ2 (s)) γ1 (s) dt

γ2 (s) ds

φ(z, w) dz

dw.

´ INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PARAMETRO COMPLEJO

Derivaci´on bajo el signo integral. Vamos a obtener un resultado similar a los de la integral de Lebesgue en R, pero con derivada compleja, en vez de derivada real. Proposici´on. Sea γ un camino, un abierto no vac´ıo de C. Sea φ : (w, z) ∈ sop γ × −→ φ(w, z) ∈ C

una funci´on de dos variables complejas continua. Entonces, la funci´on de una variable g(z) = φ(w, z)dw, z ∈ γ

es continua en . Demostraci´on. Fijemos z 0 ∈ . Acudiendo a la definici´on de integral, se trata de demostrar que lim

z→z 0

a

b

φ(γ (t), z)γ (t) dt =

b

φ(γ (t), z 0 )γ (t) dt.

a

Pero esto es cierto por la versi´on continua del T.C.D., pues tenemos el limite puntual lim φ(γ (t), z)γ (t) = φ(γ (t), z 0 )γ (t), ∀t ∈ [a, b]

z→z 0

74

Integracion ´ sobre caminos

y la dominaci´on trivial, (en un entorno de z 0 tal que D(z 0 ; ε) ⊂ ) b C dt < +∞ |φ(γ (t), z)γ (t)| ≤ C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z 0 ; ε) con a

(ya que sop γ × D(z 0 ; ε) es un compacto, y φ es continua). Teorema. Con las hip´otesis y notaci´on de la proposici´on precedente, supongamos adem´as que:

(i) Para cada w ∈ sop γ fijado, la funci´on de z , φ(w, z) es derivable en y ∂φ a esta derivada. denotamos ∂z ∂φ (ii) La funci´on derivada : sop γ × −→ C es continua. ∂z Entonces, la funci´on g es holomorfa en , y adem´as ∂φ (w, z)dw g (z) = γ ∂z Es decir, con estas hip´otesis, se puede derivar bajo el signo integral. Demostraci´on. Fijemos z 0 ∈ . Tenemos que demostrar que

∂φ g(z) − g(z 0 ) lim (w, z 0 )dw = 0. − z→z 0 z − z0 γ ∂z Escribimos g(z) − g(z 0 ) − z − z0

∂φ φ(w, z) − φ(w, z 0 ) ∂φ (w, z 0 )dw = (w, z 0 ) dw − z − z0 ∂z γ ∂z γ b ψ(γ (t), z)γ (t) dt = ψ(w, z)dw =

γ

a

y se trata de ver que esta integral tiende a 0 cuando z → z 0 . De nuevo, podemos aplicar la versi´on continua del T.C.D., ya que, por un lado, tenemos la convergencia puntual lim ψ(γ (t), z) = 0, ∀t ∈ [a, b]

z→z 0

pues la derivada

∂φ existe por hip´otesis, y por otro lado tenemos la dominaci´on ∂z

|ψ(γ (t), z)γ (t)| ≤ C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z 0 ; ε).

Integracion ´ sobre caminos

75

Para demostrar esto u´ ltimo, acotamos cada uno de los dos sumandos que forman ψ. Por continuidad en un compacto, ∂φ (w, z 0 ) ≤ C, ∀w ∈ sop γ ∂z Y, para el segundo, usamos el truco φ(w, z) − φ(w, z 0 ) 1 ∂φ = (w, η)dη z − z z − z0 ∂z 0 [z 0 ,z] ∂φ ≤ sup (w, η) ≤ C, ∀w ∈ sop γ , ∀z ∈ D(z 0 ; ε) η∈[z 0 ,z] ∂z donde [z 0 , z] es el segmento que une z 0 y z, y hemos usado la regla de Barrow y es continua en el compacto sop γ × D(z 0 ; ε). que ∂φ ∂z Construcci´on de funciones anal´ıticas mediante integrales. Aqu´ı se desvela el principal papel de la integral sobre caminos en C. Permite construir funciones anal´ıticas en abiertos muy amplios a partir de una peque˜na premisa: tener una funci´on continua en el soporte de un camino. Aunque podr´ıamos dar un resultado m´as general, nos limitaremos al caso particular que se usa, tal cual, en el desarrollo posterior de la teor´ıa. Teorema. Sea γ un camino y f : sop γ −→ C continua. Entonces, la funci´on f (w) 1 dw, z ∈ C \ sop γ g(z) = 2πi γ w − z

es anal´ıtica en C \ sop γ . Demostraci´on. Observemos primero, que si z ∈ C \ sop γ , g(z) est´a bien definida puesto que la funci´on de variable w que integramos, f (w)/(w − z), es continua en sop γ (si z ∈ sop γ , el denominador se anular´ıa en un punto del soporte). Si s´olo pretendieramos ver que g es holomorfa en C \ sop γ , el resultado es una simple aplicaci´on del teorema anterior, pues φ(w, z) = y ∃

f (w) es continua en sop γ × C \ sop γ , w−z

f (w) ∂φ (w, z) = y es continua en sop γ × C \ sop γ . ∂z (w − z)2

76

Integracion ´ sobre caminos

Para demostrar la analiticidad, recurrimos a la definici´on. Sea a ∈ C \ sop γ .

w

R

r a

Tenemos que demostrar que g se puede escribir como una serie de potencias centrada en a. Lo que va a ser f´acil es desarrollar la funci´on interior. A partir de aqu´ı, nuestro problema ser´a sacar un sumatorio fuera de la integral. Denotemos R = d(a, sop γ ) > 0. Si w ∈ sop γ ,

γ

∞ 1 1 1 (z − a)n = · z−a = w−z w − a 1 − w−a (w − a)n+1 n=0

siendo el desarrollo v´alido para aquellos z’s tales que |z − a| < |w − a|. Tomemos un 0 < r < R. Si z cumple |z − a| < r entonces, |z − a| < |w − a|, ∀w ∈ sop γ . Por tanto, si |z − a| < r podemos escribir

∞ n (z − a) 1 dw f (w) g(z) = 2πi γ n=0 (w − a)n+1 Para sacar fuera el sumatorio, bastar´a demostrar que la serie converge uniformemente en sop γ . Y, esto es cierto por el criterio M de Weierstrass. En efecto: ∞ n n (z − a) r rn ∀w ∈ sop γ , f (w) ≤ C n , con C n < +∞. (w − a)n+1 R R n=0

Hemos usado que f al ser continua en sop γ est´a acotada. Por tanto,

∞ f (w) 1 g(z) = dw (z − a)n , |z − a| < r n+1 2πi γ (w − a) n=0 Luego, hemos probado que g es anal´ıtica en a. Observaci´on El razonamiento anterior se puede hacer para cualquier r < R = d(a, sop γ ), luego, en definitiva, podemos asegurar

∞ f (w) 1 g(z) = dw (z − a)n , |z − a| < d(a, sop γ ). n+1 2πi γ (w − a) n=0

CAP´ITULO 5

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 5.1

´ INTRODUCCION

El n´umero de vueltas que da un camino cerrado alrededor de ciertos puntos (el ´ındice, the winding number de los textos en ingl´es) juega un papel insospechado en la teor´ıa de funciones de variable compleja, como se ir´a desvelando a lo largo del desarrollo de la misma; ello es debido a que tal n´umero puede expresarse como una integral, ligada con la variaci´on del logaritmo y, por ende, del argumento. Tenemos aqu´ı un punto m´as en el que el an´alisis complejo presenta una fuerte componente geom´etrica, que va a hacer de los esquemas gr´aficos un elemento auxiliar muy u´ til. En la primera parte del cap´ıtulo definimos anal´ıticamente el concepto de ´ındice y probamos sus propiedades b´asicas. En la segunda parte, vemos que el ´ındice se corresponde efectivamente con el ‘n´umero de vueltas’, estudiando variaciones del argumento tras introducir los importantes conceptos de argumentos continuos y logaritmos continuos a lo largo de un camino, emparentados (pero no equiparables) con las determinaciones del argumento y del logaritmo. Un excelente libro de referencia, con abundantes comentarios y figuras, es Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York (1991); un enfoque muy geom´etrico se encuentra en Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). A un nivel m´as elevado, Burckel, R. B.: An Introduction to Classical Complex Analysis,Vol. 1. Birkh¨auser, Basel (1979). 5.2

´ Y PRIMERAS PROPIEDADES DEFINICION

Definici´on. Sea γ un camino cerrado. Para z ∈ / sop γ , 1 Indγ (z) = 2πi

se llama ´ındice de z respecto de γ . 77

γ

dw w−z

78

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

Propiedades. 1. La funci´on Ind : C \ sop γ −→ C es anal´ıtica. Es un caso particular del teorema de analiticidad de funciones definidas mediante integrales. 2. Indγ (z) ∈ Z, ∀z ∈ C \ sop γ . En efecto, sea γ : [a, b] −→ C, a = t0 < t1 < . . . < tn = b tal que la restricci´on de γ a cada [t j−1 , t j ] tenga derivada continua. Entonces, 1 Indγ (z) = 2πi

a

b

n tj 1 γ (t) γ (t) dt = dt. γ (t) − z 2πi j=1 tj−1 γ (t) − z

(1)

Para cada j = 1, 2, . . . , n, definimos las funciones g j : s ∈ [t j−1 , t j ] −→ g j (s) =

s

t j−1

γ (t) dt ∈ C. γ (t) − z

Por el teorema fundamental del c´alculo, las g j son derivables, siendo g j (s)

γ (s) . = γ (s) − z

De aqu´ı, d ds por tanto,

e gj (s) γ (s) − z

= e gj (s)

g j (s)

γ (s) − γ (s) − z (γ (s) − z)2

= 0,

e gj (tj−1 ) e0 e gj (s) = Cte = = γ (s) − z γ (t j−1 ) − z γ (t j−1 ) − z

(la constante es, por ejemplo, el valor en s = t j−1 ). As´ı, e gj (tj ) =

γ (t j ) − z . γ (t j−1 ) − z

De la ecuaci´on (1), con las notaciones que hemos introducido, tenemos: n 1 g j (t j ). Indγ (z) = 2πi j=1

(2)

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

79

Entonces, por (2), n e

j=1

g j (t j )

n γ (t j ) − z γ (b) − z = = = 1, γ (t ) − z γ (a) − z j−1 j=1

pues el camino es cerrado. Por u´ ltimo, esto implica que existe k ∈ Z tal que n

g j (t j ) = 2kπi ⇒ Indγ (z) = k ∈ Z.

j=1

3. La funci´on Indγ es constante en cada componente conexa de C \ sop γ . Esto es claro, por ser continua y tomar valores enteros. 4. Indγ = 0 en la componente no acotada de C \ sop γ . En efecto, basta observar que | Indγ (z)| ≤

1 1 long γ · sup . 2π w∈sop γ |w − z|

Como sop γ es acotado, podemos tomar z en la componente no acotada con m´odulo suficientemente grande para que | Indγ (z)| < 1. Como debe ser un entero, no queda otra posibilidad que Indγ (z) = 0. Ejemplos. 1. Sea γ = ∂ D(a; r ) la circunferencia de centro a y radio r (orientada positivamente). Entonces Indγ (z) = 1 si |z − a| < r , Indγ (z) = 0 si |z − a| > r . En efecto: puesto que D(a; r ) es conexo, para todo z ∈ D(a; r ) ser´a 1 Indγ (z) = Indγ (a) = 2πi

0

2π

r i eit dt = 1. r eit

Por otra parte, {z ∈ C : |z − a| > r } es la componente no acotada de C \ sop γ , luego para estos z el ´ındice es 0. 2. De manera an´aloga, si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido positivo (k ∈ N), es decir, γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = a + r eikt ∈ C, se obtendr´ıa Indγ (z) = k si |z − a| < r , Indγ (z) = 0 si |z − a| > r . Y si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido negativo (k ∈ N), es decir, γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = a + r e−ikt ∈ C,

80

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

se obtendr´ıa Indγ (z) = −k cuando |z − a| < r , Indγ (z) = 0 cuando |z − a| > r . 3. El c´alculo directo del ´ındice se complica incluso en situaciones aparentemente muy sencillas. Por ejemplo, sea γ “el cuadrado de v´ertices ±1 ± i”, es decir, la poligonal [1 + i, −1 + i] ∪ [−1 + i, −1 − i] ∪ [−1 − i, 1 − i] ∪ [1 − i, 1 + i]. Entonces 1 dz Indγ (0) = 2πi γ z 1 dz dz dz dz = + + + 2πi [1+i,−1+i] z [−1+i,−1−i] z [−1−i,1−i] z [1−i,1+i] z 1 1 dz dz = + 2πi [−1−i,1−i]∪[1−i,1+i]∪[1+i,−1+i] z 2πi [−1+i,−1−i] z 1 Log(−1 + i) − Log(−1 − i) = 2πi 1 Log[0,2π) (−1 − i) − Log[0,2π ) (−1 + i) + 2πi 1 3πi 1 3πi 3πi 5πi = − − + − =1 2πi 4 4 2πi 4 4 puesto que Log z es una primitiva de 1/z en C\(−∞, 0] (que contiene al soporte de [−1 − i, 1 − i] ∪ [1 − i, 1 + i] ∪ [1 + i, −1 + i]) y Log[0,2π ) (z) lo es en C \ [0, +∞), que contiene al soporte de [−1 + i, −1 − i]. En este ejemplo concreto, es posible sustituir en el c´alculo el camino por otro m´as c´omodo, concretamente por la circunferencia unidad ∂ D(0; 1). En efecto: γ1 Sean γ1 = [1, 1 + i], γ2 = [1 + i, i] y γ3 el primer cuadrante de la circunferencia orientado negativaγ3 γ2 mente, como se indica en la figura. Puesto que 0 queda (“a ojo”) en la componente conexa no acotada del complementario del soporte del camino cerrado γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 , tendr´a ´ındice 0 respecto del 0 mismo. Por tanto dz 1 = 0, 2πi γ1 ∪γ2 ∪γ3 z con lo cual dz dz dz =− = . γ1 ∪γ2 z γ3 z −γ3 z Repitiendo el proceso en los dem´as cuadrantes y sumando convenientemente, sin perder de vista las orientaciones, llegamos a 1 dz dz 1 = = 1. 2πi γ z 2πi ∂ D(0;1) z

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

81

Con “ayudas visuales” como e´ sta podremos ir ampliando la complejidad de las situaciones con las que nos enfrentemos. No obstante, nos serviremos mejor todav´ıa de la intuici´on geom´etrica viendo que el ´ındice corresponde, como se˜nal´abamos en la introducci´on, al n´umero de vueltas (suma de vueltas positivas y negativas) que da el camino alrededor del punto. La manera m´as obvia de medir estas vueltas es seguir la variaci´on del a´ ngulo que va formando el segmento [z 0 , γ (t)] con el segmento [z 0 , γ (a)] cuando t va recorriendo el intervalo [a, b] en el que est´a definida γ . En C, hablar de a´ ngulos es hablar de argumentos, y los argumentos son la parte imaginaria de los logaritmos. Si repasamos los c´alculos efectuados anteriormente, se comienza a vislumbrar un enfoque del problema: la conveniencia de “empalmar adecuadamente logaritmos sobre trozos del camino” para poder calcular el ´ındice, que relacionaremos con los argumentos correspondientes. La formalizaci´on de estos procedimientos es el objeto de la secci´on siguiente. 5.3

´ GEOMETRICA ´ ´ INTERPRETACION DEL INDICE

Comenzamos con las definiciones de los conceptos que recogen las ideas que acabamos de apuntar. Definici´on. Sea γ : [a, b] −→ C un camino tal que γ (t) = 0, ∀t ∈ [a, b]. Diremos que: 1. f : [a, b] −→ C es un logaritmo continuo a lo largo de γ , si f es continua en [a, b], y f (t) ∈ log γ (t), ∀t ∈ [a, b]. 2. h : [a, b] −→ R es un argumento continuo a lo largo de γ , si h es continua en [a, b], y h(t) ∈ arg γ (t), ∀t ∈ [a, b]. Estos conceptos son, a primera vista, muy parecidos a los ya tratados (determinaciones en regiones), pero existe una gran diferencia: aqu´ı, la variable es real, no atendemos prioritariamente al punto γ (t) del soporte camino sino que ponemos e´ nfasis en el “instante” t en el que el punto se alcanza. As´ı, puede suceder que sea γ (t1 ) = γ (t2 ) sin que f (t1 ) = f (t2 ) o h(t1 ) = h(t2 ), con las notaciones de la definici´on. Sin dificultad se prueba: i) Si f 1 , f 2 son dos logaritmos continuos a lo largo de γ , entonces ∃k ∈ Z f 1 (t) = f 2 (t) + 2kπi, ∀t ∈ [a, b]. ii) Si h 1 , h 2 son dos argumentos continuos a lo largo de γ , entonces ∃k ∈ Z h 1 (t) = h 2 (t) + 2kπ, ∀t ∈ [a, b].

82

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

iii) Si f es un logaritmo continuo a lo largo de γ , entonces h(t) = m f (t) es un argumento continuo a lo largo de γ . iv) Si h es un argumento continuo a lo largo de γ , entonces f (t) = ln |γ (t)| + i h(t) es un logaritmo continuo a lo largo de γ . Ejemplos. 1. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ (−∞, 0] = ∅, Arg γ (t) es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qu´e?) 2. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ [0, +∞) = ∅, Arg[0,2π ) γ (t) es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qu´e?) 3. Sean k ∈ Z, r > 0 y γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = r eikt ∈ C. Entonces h : t ∈ [0, 2π ] → h(t) = k t ∈ C es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qu´e?) 4. Si se conocen argumentos continuos h 1 y h 2 de dos caminos γ1 : [a, b] → C, γ2 : [a, b] → C, y se define mediante su producto un nuevo camino γ : t ∈ [a, b] → γ (t) = γ1 (t)γ2 (t) ∈ C, entonces h 1 + h 2 es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qu´e?) Esta observaci´on es m´as u´ til de lo que pudiera pensarse. Por ejemplo, sea γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = e3it + 3 e2it ∈ C. 4

(en la figura se tiene su representaci´on gr´afica).

2 0 -2 x

0

2 -2 y -4

4

Como e3it + 3 e2it = e2it (3 + eit ), h(t) = 2t + Arg(3 + eit ) ser´a un argumento continuo a lo largo de γ (n´otese que e (3 + eit ) > 0 para todo t ∈ [0, 2π]).

A diferencia de las determinaciones del logaritmo en regiones (que pueden no existir), sobre caminos siempre hay logaritmos continuos.

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

83

Teorema. Sea γ : [a, b] −→ C un camino tal que 0 ∈ / sop γ . Entonces, existe f : [a, b] −→ C logaritmo continuo a lo largo de γ . Adem´as, f es derivable donde lo sea γ .

Demostraci´on. Con las mismas notaciones que en la demostraci´on de la propiedad 2 del ´ındice, consideremos como entonces la partici´on a = t0 < t1 < . . . < tn = b y, para cada j = 1, 2, . . . , n, s γ (t) dt ∈ C. g j : s ∈ [t j−1 , t j ] −→ g j (s) = t j−1 γ (t) Nuevamente, cada g j es derivable en [t j−1 , t j ] y e gj (s) = cada trozo,

γ (s) . Por tanto, en γ (t j−1 )

e gj (s)+Log γ (tj−1 ) = γ (s), s ∈ [t j−1 , t j ]

Llamemos f j (s) = g j (s) + Log γ (t j−1 ) y tendremos que e f j (s) = γ (s). Esto quiere decir que hemos demostrado el teorema por trozos. Ahora, tendremos que ajustar bien los empalmes, pero esto no es ninguna dificultad, pues, por ejemplo, en t1 , f 1 (t1 ) y f 2 (t1 ) son logaritmos de γ (t1 ), luego se diferencian en un 2kπi, con k ∈ Z. Digamos que los saltos en los extremos de los intervalos son del tama˜no 2kπi, con determinados k ∈ Z. Entonces, al modificar las funciones sumando el correspondiente 2kπi, arreglamos la continuidad sin perder el hecho de ser logaritmos. En otras palabras, la soluci´on a nuestro problema ser´a la funci´on  f 1 (t)     f 2 (t) + 2k1 πi f (t) = f 3 (t) + 2k2 πi     ... f n (t) + 2kn−1 πi

(t0 ≤ t ≤ t1 ) (t1 ≤ t ≤ t2 ) (t2 ≤ t ≤ t3 ) ......... (tn−1 ≤ t ≤ tn )

donde los k1 , k2 , . . . , kn−1 son los enteros adecuados para que f sea continua sin excepci´on en [a, b]. Es claro que e f (t) = γ (t), ∀t ∈ [a, b] y f es derivable salvo en los puntos ti , es decir, donde lo es γ . / sop γ . Sea h un Corolario. Sea γ : [a, b] −→ C un camino cerrado tal que 0 ∈ argumento continuo cualquiera a lo largo de γ . Entonces Indγ (0) =

h(b) − h(a) . 2π

84

Indice de un punto respecto de un camino cerrado La cantidad h(b) − h(a) se suele representar por ARG γ (t), arg γ o alguna no-

γ

a≤t≤b

γ(t)

taci´on similar, y se lee variaci´on de un argumento continuo a lo largo del camino. Indγ (0) es as´ı la suma algebraica del n´umero de veces que el argumento var´ıa en 2π. Gr´aficamente, pues, Indγ (0) corresponde al numero ´ de vueltas que da la curva alrededor del 0.

arg γ(t) “1 vuelta”

Demostraci´on. Usamos las mismas notaciones que en la demostraci´on del teorema, y sea h(t) = m f (t) (que es un argumento continuo). Tenemos 2πi Indγ (0) = =

γ

n dw = w j=1

n

tj t j−1

n γ (s) (g j (t j ) − g j (t j−1 )) ds = γ (s) j=1

( f j (t j ) − f j (t j−1 )) = f (b) − f (a) = i(h(b) − h(a)).

j=1

Notemos para la u´ ltima igualdad que f (b), f (a) son logaritmos del mismo n´umero γ (a) = γ (b), y por tanto, tienen la misma parte real. Por u´ ltimo, esta variaci´on no depende del argumento continuo que tomemos, porque todos ellos se diferencian en una constante 2kπ. Observaciones. 1. Quede claro una vez m´as que no se debe confundir ‘argumento continuo a lo largo de una curva’ (que siempre existe) con ‘argumento continuo sobre el soporte de la curva’ (que puede no existir). Por ejemplo, para la curva γ : [0, 2π ] −→ C γ (t) = eit no existe H : sop γ −→ C continua tal que H (z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ . Sin embargo, insistimos en que si para una curva γ existe H : sop γ −→ C continua, tal que H (z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ , entonces H ◦ γ es un argumento continuo a lo largo de la curva. 2. Para otro punto, distinto de 0, que no est´e en sop γ tenemos lo siguiente: / sop γ , trasladamos el camino mediante Si γ : [a, b] −→ C, y z 0 ∈ γ − z 0 : t ∈ [a, b] −→ γ (t) − z 0 ∈ C.

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

85

Entonces es claro que Indγ (z 0 ) = Indγ −z0 (0) 1 = arg(γ − z 0 ), 2π

γ(t) γ

es decir, el ´ındice respecto de γ del punto z 0 es la variaci´on de un argumento continuo a lo largo de la curva γ − z 0 y esto, geom´etricamente, significa el numero ´ de vueltas que da la curva γ alrededor del punto z 0 .

arg( γ(t)-z0) z0

Por ejemplo, sobre esta idea, es f´acil para la curva dibujada a continuaci´on ver cu´al es el ´ındice de cualquier Indice 0 punto del plano que no est´e sobre su soporte. FiIndice 1 jado un punto z ∈ 0 / sop γ , Indice 2 seguimos gr´aficamente la variaci´on del a´ ngulo que Indice 3 forma el radio vector que une z 0 con un punto que E 0 vaya recorriendo la curva, medida esta variaci´on respecto de la semirrecta de origen z 0 que pasa por el punto inicial (y final) E. Por supuesto, el ´ındice se mantiene constante en cada componente conexa. 3. El ´ındice de caminos va a aparecer constantemente en el manejo de integrales. La raz´on de fondo es la siguiente: dado un camino cerrado γ y a ∈ / sop γ , γ

(z − a)n dz = 0, ∀n = −1, n ∈ Z,

ya que las funciones (z − a)n tienen primitiva (z − a)n+1 /(n + 1) en C \ {a}, abierto que contiene a sop γ . S´olo queda saber que ocurre con n = −1, y de aqu´ı la noci´on de ´ındice. As´ı por ejemplo, para integrar una funci´on racional sobre un camino cerrado, γ

P(z) dz Q(z)

86

Indice de un punto respecto de un camino cerrado (P/Q irreducible), descomponiendo en fracciones simples s´olo har´a falta conocer los ´ındices respecto de γ de los ceros del denominador. En efecto: supongamos, para fijar ideas, que Q tiene una ra´ız doble z 1 , una ra´ız simple z 2 y una ra´ız triple z 3 , y que el grado de P es dos unidades mayor que el de Q. Entonces A A B P(z) 2 = az + bz + c + + + Q(z) (z − z 1 ) (z − z 1 )2 (z − z 2 ) C C C + + + , (z − z 3 ) (z − z 3 )2 (z − z 3 )3 de donde γ

P(z) dz = A Q(z)

γ

dz +B z − z1

γ

dz +C z − z2

γ

dz z − z3

(los t´erminos que no hemos escrito son todos nulos por el comentario previo), y as´ı P(z) dz = 2πi A Indγ (z 1 ) + B Indγ (z 2 ) + C Indγ (z 3 ) . γ Q(z) M´as adelante veremos una important´ısima generalizaci´on de este resultado, el teorema de los residuos. 4. La existencia de logaritmo y argumento continuo es cierta, m´as en general, para curvas, como se prueba sustituyendo en la demostraci´on anterior la construcci´on del logaritmo mediante integrales por una construcci´on directa (m´as delicada). Esto hace que se pueda extender la noci´on de ´ındice para curvas cerradas mediante la variaci´on de un argumento continuo. Las propiedades b´asicas que acabamos de obtener siguen siendo v´alidas en esta situaci´on m´as general. (Ver Burckel, loc. cit., Chap. IV.) 5. Curvas de Jordan e ´ındice. Recordemos que un espacio topol´ogico se denomina curva de Jordan si es homeomorfo a la circunferencia unidad T. El c´elebre teorema de la curva de Jordan establece: Una curva de Jordan J en el plano C (≡ R2 ) separa a C en dos regiones con frontera com´un J , una acotada (el interior de J ) y otra no acotada (el exterior de J ); en otras palabras, C \ J tiene una s´ola componente acotada G, el interior de J (se dice entonces que G es una regi´on de Jordan); la componente no acotada es el exterior de J , y ambas tienen J como frontera. Si J es una curva de Jordan y cualquier homeomorfismo de T sobre J , poniendo γ : [0, 2π] → γ (t) = (eit ) ∈ C puede definirse una curva en el

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

87

sentido usual. Se demuestra (cf. Burckel, loc. cit., Th. 4.42, p´ag. 103) que para todos los puntos del interior de J el valor constante del ´ındice respecto de γ es 1 o −1. En el primer caso, se dice positivamente orientado, y negativamente orientado en el segundo. Dada una curva cerrada simple, i.e., una aplicaci´on continua γ : [a, b] → C tal que γ (a) = γ (b) y γ |[a,b) inyectiva, su soporte sop γ es una curva de Jordan. Para todos los puntos del interior de sop γ , el ´ındice respecto de γ es, pues, constantemente 1 o −1. En el primer caso, γ se dice positivamente orientada, y negativamente orientada en el segundo. Si G es el interior de sop γ , se pone a veces γ = ∂G cuando γ est´a positivamente orientada para indicar esta relaci´on. 5.4

EJEMPLOS Y EJERCICIOS

Ejemplos. 1. En los caso m´as sencillos examinados antes (circunferencias, cuadrado) queda a la vista que An´alisis y Geometr´ıa encajan perfectamente. 2. Es interesante observar que si el soporte de un camino cerrado γ : [a, b] → C no corta al semieje real negativo (−∞, 0], entonces Indγ (0) = 0, pues 0 est´a en la componente no acotada de C \ sop γ . Por la misma raz´on, Indγ (0) = 0 para todo camino que no corte a una curva cualquiera que una 0 con ∞ en la esfera de Riemann. 3. Para el camino γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = e3it + 3 e2it ∈ C, el argumento continuo anteriormente obtenido muestra que Indγ (0) = 2, y el mismo valor tendr´a Indγ (a) para todos los a en la componente conexa de C \ sop γ que contiene al origen. En la componente conexa no acotada sabemos que el ´ındice vale 0. En la otra componente conexa acotada de C\sop γ , observamos gr´aficamente que el ´ındice vale 1. Puede justificarse anal´ıticamente, por ejemplo, hallando su valor en z = 3; para ello escribimos γ (t) − 3 = eit (e2it + 6i sen t) y comprobamos que m (e2it + 6i sen t) = 2 sen t (cos t + 3) s´olo se anula si sen t = 0, en cuyo caso e (e2it + 6i sen t) = cos(2t) = 1. En consecuencia / (−∞, 0] para ning´un t ∈ [0, 2π], y por tanto, e2it + 6i sen t ∈ t + Arg(e2it + 6i sen t),

t ∈ [0, 2π],

es un argumento continuo de γ − 3, de donde Indγ (3) = 1.

88

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

Ejercicio. Para valores “muy grandes” de R > 0 (luego precisaremos m´as), sea γ : t ∈ [−R, R] → t 3 − (1 + 2i) t 2 − (3 − 7i) t + 8 − 4i ∈ C.

Hallar la variaci´on de un argumento continuo a lo largo de γ . Respuesta. Para situar γ (t) seg´un los valores de t, estudiemos la variaci´on de signos de x(t) := e γ (t) = t 3 − t 2 − 3t + 8, y(t) := m γ (t) = −2t 2 + 7t − 4, extendidas a todo t ∈ R.

√ √ 1 + 10 10 Como x (t) = 3t 2 − 2t − 3 se anula para t = < 0 y t = > 0, 3 3 mantendr´a su signo en los intervalos (−∞, t ), (t , t ), (t , +∞). Y puesto que limt→−∞ x (t) = limt→+∞ x (t) = +∞; x(t ) > 1 − (6/3)2 − (1 + 4) + 8 = 0 y x (0) = −3 < 0, siendo 0 ∈ (t , t ), podemos resumir esta informaci´on en el cuadro siguiente: t

1−

→ −∞ ∈ (−∞, t ) = t ∈ (t , 0) = 0 ∈ (0, t ) = t ∈ (t , +∞) → +∞

x (t) → +∞

>0

x(t) → −∞

=0

<0

= −3

<0

=0

>0

→ +∞

=8

>0

→ +∞

del que se deduce que x(t ) > 0, y por tanto existe un t0 ∈ (−∞, t ) y uno s´olo con x(t0 ) = 0, mientras que x(t) ≥ x(t ) > 0 para todo t ∈ [0, +∞). √ 7 − 17 , Por otra parte y(t) = −2t 2 + 7t − 4 = −2(t − t1 )(t − t2 ) con t1 = 4 √ 7 + 17 t2 = , de modo que t0 < t < 0 < t1 < t2 y, en consecuencia, obtenemos 4 la siguiente evoluci´on de signos para x(t), y(t), con la ubicaci´on de γ (t) = x(t) + i y(t): → −∞ ∈ (−∞, t0 ) = t0 ∈ (t0 , t1 ) = t1 ∈ (t1 , t2 ) = t2 ∈ (t2 , +∞) → +∞

t

x(t) → −∞

<0

=0

>0

>0

>0

>0

>0

→ +∞

y(t) → −∞

<0

<0

<0

=0

>0

=0

<0

→ −∞

γ (t)

∈ C3

∈ −iP

∈ C4

∈P

∈ C1

∈P

∈ C4

donde hemos puesto P = (0, +∞), C1 = {z ∈ C : e z > 0, m z > 0}, C3 = {z ∈ C : e z < 0, m z < 0}, C4 = {z ∈ C : e z > 0, m z < 0}. Elegimos R de modo que −R < t0 < t2 < R.

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

89

Vemos as´Ĺ que el soporte de Îł no corta al semieje real negativo (−∞, 0] (en particular, que 0 ∈ / sop Îł ), por lo que Arg Îł (t) es un argumento continuo a lo largo de Îł , y, puesto que −R < t0 < t2 < R, podemos concluir que ARG Îł (t) −R≤t≤R

= Arg Îł (R) − Arg Îł (−R) y(R) y(−R) = arc tg − arc tg − Ď€ = Ď€ + Îą(R), x(R) x(−R)

donde Îą(R) = arc tg

y(−R) y(R) − arc tg , x(R) x(−R)

que tiene l´Ĺmite 0 cuando R → +∞ (este tipo de informaci´on nos ser´a u´ til posteriormente). 10 20

5

0 -20

-10

0

10

20

30

0 -4

-2

0

2

4

6

-20

-5

-40

-10

Gr´afica de γ (t)

Gr´aficas de x(t) e y(t)

Ejercicio. Sea P(z) = z k + a1 z k−1 + ¡ ¡ ¡ + ak un polinomio de grado k ≼ 1, y para cada R > 0, sea Îł R : t ∈ [0, Ď€ ] → Îł R (t) = P(R eit ) ∈ C.

Probar que lim ARG Îł R (t) = kĎ€ . R→+∞ 0≤t≤π

(Nos encontraremos m´as adelante en la necesidad de estudiar l´Ĺmites de este tipo.) Respuesta. Notemos que P(z) = z k g(z), donde

a1 ak + ¡ ¡ ¡ + k = 1. lim g(z) = lim 1 + z→∞ z→∞ z z

90

Indice de un punto respecto de un camino cerrado Existir´a por tanto un R0 > 0 tal que si |z| > R0 |g(z) − 1| < 1,

1

y, en particular, g(z) ∈ / (−∞, 0]. Tomando, pues, R > R0 , γ R (t) = R k eikt g(R eit ),

0

/ (−∞, 0] para todo t ∈ con g(R eit ) ∈ [0, π ], por lo cual t ∈ [0, π ] → kt + Arg g(R eit ) ∈ R es un argumento continuo a lo largo de γ R . En consecuencia ARG γ R (t) = kπ + Arg g(−R) − Arg g(R) 0≤t≤π

si R > R0 . Pero entonces lim ARG γ R (t) = kπ + lim

R→+∞ 0≤t≤π

R→+∞

Arg g(−R) − Arg g(R)

= kπ + Arg 1 − Arg 1 = kπ. 5.5

´ APENDICE: SUPERFICIES DE RIEMANN

NOTA. Lo que a continuaci´on se expone es s´olo una descripci´on intuitiva, sin ninguna pretensi´on de rigor. Nos permitimos, por ello, algunas expresiones m´as desenfadadas que las habituales en un texto de Matem´aticas, que esperamos sirvan para un mejor entendimiento de las (profundas) ideas que se quieren reflejar.

Una y otra vez venimos chocando con los problemas que nos crea el hecho de que el logaritmo complejo es una funci´on multivaluada, que para cada complejo z no nulo nos obsequia con infinitos valores. Evidentemente, demasiados para poder actuar sobre ellos con las t´ecnicas habituales del An´alisis matem´atico. Para salir del paso hemos recurrido primeramente, de la manera m´as dr´astica, a podar las ramas, seleccionando en ciertas regiones del plano un valor entre los infinitos posibles, con habilidad suficiente para enlazar los valores seleccionados de forma que se consiga una funci´on holomorfa (una determinaci´on del logaritmo, tambi´en denominada una rama del logaritmo). Pero en otras regiones del plano esto no soluciona las dificultades: cuando hemos necesitado movernos a lo largo de curvas que rodeen al origen, hemos tenido que fabricar un nuevo apa˜no, los logaritmos continuos a lo largo de curvas. Esto da una pista para intentar uniformizar el

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

91

logaritmo, de modo que podamos enfrentarnos a e´ l trat´andolo como a una “funci´on verdadera”: cuando volvemos a un mismo punto con un valor distinto del logaritmo tras una variaci´on continua del mismo, podemos interpretar que este punto est´a situado en una copia del plano de partida, superpuesta al plano original pero distinta (“por eso” aparece un valor distinto del logaritmo). La cuesti´on entonces es c´omo pegar las infinitas copias necesarias, de manera que mantengan una estructura razonable. Para lograrlo, Riemann imagin´o infinitas copias de C, llam´emosles [C, n] por ejemplo (n ∈ Z), cortadas a lo largo del semieje real [0, +∞); partiendo de [C, 0], le unimos [C, 1] enganchando el borde inferior del corte de [C, 0] con el borde superior del corte de [C, 1]; luego seguimos el proceso uniendo [C, 1] con [C, 2] enganchando el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde superior del corte de [C, 2], y as´ı sucesivamente. De forma similar se va uniendo [C, 0] con [C, −1] (recordemos que [C, 0] a´un tiene libre el borde superior), [C, −1] con [C, −2], etc. Se obtiene as´ı un ‘objeto imposible’, una especie de h´elice infinita completamente aplastada, que se denomina la superficie de Riemann del logaritmo. Cada una de las copias de C es una hoja de la superficie, y es posible considerar el logaritmo como una funci´on genuina con dominio en su superficie de Riemann, que va adjudicando valores seg´un la hoja en la que est´e situado el punto (tal como el logaritmo continuo a lo largo de una curva va dando valores seg´un el par´ametro). La misma idea puede emplearse para adecentar otras funciones. El ejemplo m´as sencillo es la ra´ız cuadrada: una ra´ız cuadrada continua a lo largo de la circunferencia unidad (definici´on obvia) que parta, por ejemplo, del valor 1 en 1, nos devolver´ıa a este punto tras completar la vuelta con el valor −1 (si continu´asemos girando, tras la siguiente vuelta recuperar´ıamos el valor 1). Ahora ser´ıa suficiente contar con dos copias [C, −1], [C, −2] de C, cortadas otra vez a lo largo del semieje real no negativo, pegadas uniendo el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde superior del corte de [C, 2], y despu´es el borde inferior del corte de [C, 2] con el borde superior del corte de [C, 1], dej´andolo todo de una sola pieza. La descripci´on del propio Riemann en su obra sobre funciones abelianas dice as´ı: “Para muchas investigaciones, tales como la investigaci´on de funciones algebraicas y abelianas, es conveniente representar el modo en que se ramifica una funci´on multivaluada en la siguiente manera geom´etrica. Pensemos que el plano (x, y) est´a cubierto por otra superficie coincidente con e´ l (o apoyado sobre e´ l a una distancia infinitesimal) en tanto en cuanto la funci´on est´e definida. Al continuar la funci´on la superficie se extiende correspondientemente. En una parte del plano en la que la funci´on tenga dos o m´as continuaciones la superficie es doble o m´ultiple; consta all´ı de dos o m´as hojas, cada una de las cuales representa una rama de la

92

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

funci´on. Alrededor de un punto de ramificaci´on de la funci´on una hoja de la superficie contin´ua en otra, de manera que en el entorno de tal punto la superficie puede mirarse como una superficie helicoidal con eje a trav´es del punto y perpendicular al plano (x, y), y pendiente infinitesimal. Cuando la funci´on retorna a su valor previo tras un n´umero de vueltas de z alrededor del punto de ramificaci´on (como, por ejemplo, con (z − a)m/n , cuando m, n son primos relativos, despu´es de n vueltas de z alrededor de a), entonces naturalmente hay que suponer que la hoja de m´as arriba baja a trav´es de las otras a unirse con la inferior. La funci´on multivaluada tiene s´olo un valor para cada punto de esta superficie que representa su ramificaci´on, y por tanto puede ser vista como una funci´on completamente determinada sobre la superficie.” Puede darse una definici´on satisfactoria de las superficies de Riemann de las “inversas multiformes” que nos han ido apareciendo, incluidas en la definici´on general de superficie de Riemann abstracta que introdujeron b´asicamente Weyl y Rad´o. T´ecnicamente, una superficie de Riemann es una variedad compleja conexa de dimensi´on 1 (por tanto, de dimensi´on real 2) dotada de una estructura anal´ıtica. Esto u´ ltimo significa que si dos cartas (U, ϕ), (V, ψ) se cortan, los cambios de coordenadas ϕ ◦ ψ −1 y ψ ◦ ϕ −1 son funciones (complejas de variable compleja) anal´ıticas. Continuar por este terreno nos acercar´ıa m´as a la Topolog´ıa diferencial o a la Geometr´ıa diferencial que a los intereses centrales de este curso, por lo que dejamos aqu´ı este asunto, remiti´endonos para una introducci´on al tema a Narasimhan, R.: Complex Analysis in one variable. Birkh¨auser, Boston (1985). Dedicada exclusivamente a las superficies de Riemann es la monograf´ıa cl´asica Springer, G.: Introduction to Riemann Surfaces. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1957); m´as actuales, Farkas, H. M.; Kra, I.: Riemann Surfaces. (2nd. ed.) Springer, New York (1992), Forster, O.: Lectures on Riemann Surfaces. Springer, New York (1981).

CAP´ITULO 6

Teor´ıa local de Cauchy 6.1

´ INTRODUCCION

Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parang´on en la teor´ıa de funciones de una o varias variables reales. La llave: la f´ormula de Cauchy, que al expresar el valor en un punto de una funci´on holomorfa —en abiertos estrellados, de momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la funci´on como una integral dependiente de un par´ametro, con consecuencias adivinables en algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del a´ lgebra, . . . ) La f´ormula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexionando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados se sustenten, finalmente, en algo que podr´ıa parecer una simple curiosidad: la integral de una funci´on holomorfa en un disco (o, con la misma demostraci´on, en un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (tambi´en si la funci´on deja de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta ser´a nuestra primera versi´on del teorema de Cauchy: m´as adelante nos ocuparemos de extender su alcance (comenzando por ampliar el a´ mbito de validez de la f´ormula de Cauchy en la denominada “teor´ıa global de Cauchy”). Sin embargo, el examen de la demostraci´on del teorema de Cauchy revela la causa de esta peque˜na maravilla, situ´andonos en terreno m´as conocido. Basta encontrar una primitiva de la funci´on dada para saber que la integral es nula, y esto reduce el problema a probar la anulaci´on de la integral sobre el contorno de un tri´angulo (teorema de Cauchy-Goursat). Una exposici´on inmejorable de este planteamiento puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series. The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa p´agina se encuentra perfectamente desglosada y explicada la demostraci´on, si bien bajo la hip´otesis de derivabilidad en todos los puntos. Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran b´asicamente en Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). Como complemento en algunos detalles, Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). 93

94 6.2

Teor´ıa local de Cauchy ´ TEOREMA Y FORMULA DE CAUCHY

1 Teorema. Sea un abierto no vac´ıo de C, f : → C continua. Son equivalentes: (1.1) existe una primitiva de f en , es decir, una funci´on F ∈ H( ) tal que F = f ; (1.2) para todo camino cerrado γ contenido en , f (z) dz = 0; γ

(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1 , γ2 contenidos en que tengan los mismos or´ıgenes e iguales extremos, f (z) dz = f (z) dz. γ1

γ2

Demostraci´on. (Recu´erdese el teorema de los campos conservativos para formas diferenciales reales). (1.1) ⇒ (1.2) Visto. (1.2) ⇒ (1.3) γ1 ∪ (−γ2 ) es un camino cerrado contenido en . (1.3) ⇒ (1.1) Si no es conexo, las componentes conexas de son abiertos disjuntos dos a dos cuya uni´on es . Por tanto, para construir una primitiva de f en es suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de . Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado a ∈ G, definimos F : G → C haciendo F(z) = f (w) dw, γz

donde γz es cualquier camino contenido en G con origen a y extremo z (la funci´on F est´a entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta funci´on F es derivable, y para cada z 0 ∈ G es F (z 0 ) = f (z 0 ). En efecto: dado z 0 ∈ G, tomemos ε de modo que D(z 0 ; ε) ⊆ G; si γ0 es un determinado camino contenido en G con origen a y extremo z 0 , para cada z ∈ D(z 0 ; ε) sea γz la uni´on de γ0 con el segmento [z 0 , z], que por ser un camino contenido en G con origen a y extremo z nos permite escribir F(z) − F(z 0 ) 1 = f (w) dw − f (w) dw z − z0 z − z0 γz γ0 1 f (w) dw = z − z 0 [z0 ,z]

Teor´ıa local de Cauchy

95

y por tanto 1 F(z) − F(z 0 ) − f (z 0 ) = z−z z−z 0

0

≤

sup

w∈sop[z 0 ,z]

[z 0 ,z]

1 f (w) dw − z − z0

[z 0 ,z]

f (z 0 ) dw

| f (w) − f (z 0 )| ,

que tiende a 0 cuando z tiende a z 0 por la continuidad de f en z 0 . 2 Teorema de Cauchy para un tri´angulo (Cauchy-Goursat). Sea un abierto no vac´ıo de C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ { p}). Para cualquier tri´angulo cerrado contenido en , f (z) dz = 0. ∂

Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Teor. 10.13, pp. 232–234. 3 Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ { p}). Para cualquier camino cerrado γ contenido en , f (z) dz = 0. γ

Demostraci´on. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.14, p. 234. 4 F´ormula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C y f ∈ H( ). Si γ es un camino cerrado contenido en , para cualquier z de que no est´e en el soporte de γ es f (w) 1 dw. f (z) · Indγ (z) = 2πi γ w − z Demostraci´on. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.15, pp. 234–235. 5 Corolario (F´ormula de Cauchy en un disco). Sea un abierto no vac´ıo de C, D(a; r ) un disco cerrado contenido en , f una funci´on holomorfa en . Entonces, para cada z ∈ D(a; r ), 1 f (w) dw. f (z) = 2πi ∂ D(a;r ) w − z Demostraci´on. Puesto que D(a; r ) ⊆ , la distancia d(a, c ) de a al complementario de es estrictamente mayor que r . Si r < R < d(a, c ), el disco D(a; R) es un abierto estrellado contenido en , en el que f ser´a holomorfa. Llamando γ a la circunferencia ∂ D(a; r ), γ es un camino cerrado contenido en D(a; R) y para cada z ∈ D(a; r ) es Indγ (z) = 1, luego basta aplicar el resultado anterior para obtener la f´ormula del enunciado.

96 6.3

Teor´ıa local de Cauchy ´ CONSECUENCIAS DE LA FORMULA DE CAUCHY

1 Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda funci´on holomorfa abierto no vac´ıo de C y f ∈ H( ), para es anal´ıtica. Precisando m´as: Si es un n c cada a ∈ existe una serie de potencias ∞ n=0 an (z − a) con radio R ≥ d(a, ) (donde d(a, c ) es la distancia de a al complementario de , considerada +∞ si c = ∅, o sea, si = C) tal que f (z) =

∞

an (z − a)n

n=0

siempre que |z − a| < d(a, c ). Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”. Demostraci´on. Elegido a, sea z tal que |z − a| < d(a, c ). Tomando r de modo que |z − a| < r < d(a, c ), el disco cerrado D(a; r ) est´a contenido en , y puesto que |z − a| < r , la f´ormula de Cauchy nos da 1 f (z) = 2πi

∂ D(a;r )

f (w) dw. w−z

Pero el teorema de construcci´on de funciones anal´ıticas nos dice que 1 2πi

∂ D(a;r )

∞ f (w) f (w) 1 dw = dw (z − a)n n+1 w−z 2πi n=0 ∂ D(a;r ) (w − a)

con tal que z no est´e en la circunferencia |w − a| = r , y as´ı f (z) =

∞

an (z − a)n

n=0

donde 1 an = 2πi

∂ D(a;r )

f (w) dw. (w − a)n+1

En principio los an parecen depender de r ; sin embargo no es e´ ste el caso, ya que f (n) (a) . an = n!

Teor´ıa local de Cauchy

97

Ejemplos. 1. La funci´on f definida en = (C \ 2πiZ) ∪ {0} por z f (z) = e z − 1 si z ∈ y z = 0 1 si z = 0 es holomorfa en , luego ser´a anal´ıtica en y en particular existir´an coeficientes Bn (los llamados n´umeros de Bernoulli) de modo que f (z) =

∞ Bn n=0

n!

zn

al menos siempre que |z| < 2π. De hecho, el radio de convergencia de la serie es exactamente 2π, ya que si fuese mayor f admitir´ıa una extensi´on continua en 2πi, lo que es falso. 2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del punto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d(a, c ). ¿Siempre vamos a encontrar esta situaci´on? La respuesta, en general, es NO: basta tomar = C \ (−∞, 0] y f : z ∈ → f (z) = Log z ∈ C; para cualquier a ∈ el desarrollo de f en serie de potencias de z − a tiene radio |a|, mientras que si

e a < 0 es d(a, c ) = | m a| < |a|. La f´ormula de Cauchy permite obtener una representaci´on de las derivadas de una funci´on holomorfa en t´erminos de la propia funci´on, de la que podremos extraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teor´ıa de funciones en R. 2 F´ormula de Cauchy para las derivadas. Sea un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H( ). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ . Entonces, si |z − a| < r , para cada n ∈ N, n! f (w) f (n) (z) = dw. 2πi ∂ D(a;r ) (w − z)n+1 Demostraci´on. Para cada z ∈ D(a; r ) es f (w) 1 dw. f (z) = 2πi ∂ D(a;r ) w − z Aplicando reiteradamente el teorema de derivaci´on bajo el signo integral se obtiene la f´ormula deseada. Un corolario es que el tama˜no de las derivadas sucesivas en un punto no puede crecer “descontroladamente”.

98

Teor´ıa local de Cauchy

3 Desigualdades de Cauchy. Sea un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H( ). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ . Entonces, poniendo M(r ) = sup|w−a|=r | f (w)|, para cada n ∈ N se tiene la acotaci´on | f (n) (a)| ≤

n! M(r ) . rn

Demostraci´on. Obviamente n! n! M(r ) f (w) (n) ≤ dw | f (a)| = 2π r n+1 2πr. 2πi ∂ D(a;r ) (w − a)n+1 4 Teorema de Liouville. Sea f una funci´on entera, es decir, f ∈ H(C). Si f est´a acotada, necesariamente es constante. Demostraci´on. Supongamos que para alg´un K > 0 es | f (z)| ≤ K cualquiera que sea z ∈ C. Entonces, dado a ∈ C, para todo R > 0 se tendr´a 1 f (w) ≤ 1 K 2π R = K , dw | f (a)| = 2π R 2 2πi ∂ D(a;R) (w − a)2 R expresi´on que tiende a 0 cuando R → +∞. Por tanto f (a) = 0 en todo a ∈ C, para lo que f debe ser constante. 5 Teorema fundamental del a´ lgebra. Todo polinomio no constante tiene al menos una ra´ız en C. Demostraci´on. En caso contrario, si P(z) = a0 z n + . . . + an fuese un polinomio no constante (a0 = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la funci´on definida por f (z) =

1 P(z)

ser´ıa una funci´on entera no nula. Pero como lim f (z) = lim

z→∞

z→∞

1 = 0, z n (a0 + . . .)

se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la definici´on de l´ımite, existir´a un R > 0 tal que si |z| > R se tiene | f (z)| < 1; y para |z| ≤ R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Seg´un el teorema de Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente ser´ıa constante 1/ f = P, contradiciendo la hip´otesis de partida.

Teor´ıa local de Cauchy

99

6 Principio del m´odulo m´aximo. Sea f una funci´on holomorfa en una regi´on de C. Si su m´odulo | f | tiene alg´un m´aximo local, entonces f es constante. Demostraci´on. Supongamos que para alg´un a ∈ sea posible encontrar un R > 0 tal que D(a; R) ⊆ y | f (a)| ≥ | f (z)| para todo z ∈ D(a; R). Esto obliga a que | f (a)| = | f (z)| para todo z ∈ D(a; R), puesto que si 0 < |z − a| = r < R, como 1 f (a) = 2πi

∂ D(a;r )

1 f (w) dw = w−a 2π

2π

f (a + r eit ) dt

0

se deduce que 1 | f (a)| ≤ 2π

2π

1 | f (a + r eit )| dt ≤ 2π

0

con lo cual 1 2π

2π

2π

| f (a)| dt = | f (a)|,

0

(| f (a)| − | f (a + r eit )|) dt = 0.

0

El integrando es una funci´on continua no negativa, luego | f (a)| = | f (a + r eit )| para todo t ∈ [0, 2π] y en particular | f (a)| = | f (z)|. Pero si | f | es constante en D(a; R), f tiene que ser constante en D(a; R) (consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante en (por el principio de prolongaci´on anal´ıtica). Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado: — o bien f es constante o, en caso contrario, su m´odulo | f | no tiene m´aximos locales; — si f no es constante, su m´odulo | f | no tiene m´aximos locales. 7 Teorema de Morera. Sea f una funci´on continua en un abierto no vac´ıo de C tal que para todo tri´angulo cerrado ⊆ se tenga ∂

Entonces f ∈ H( ).

f = 0.

100

Teor´ıa local de Cauchy

Demostraci´on. Hemos de probar que cada a ∈ posee un entorno en el que f es derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a; r ) ⊆ ; en e´ l, f admite una primitiva F que podemos construir poniendo F(z) = f (w) dw, z ∈ D(a; r ). [a,z]

(La comprobacion de que F es una primitiva de f es est´andar: usando la hip´otesis del enunciado, para cada z 0 ∈ D(a; r ) tenemos 1 F(z) − F(z 0 ) = f (w) dw, 0 < |z − z 0 | < r − |z 0 − a|, z − z0 z − z 0 [z0 ,z] lo que implica que por ser f continua 1 F(z) − F(z 0 ) f (w) − f (z − f (z ) = ) dw 0 0 z − z0 z − z 0 [z0 ,z] ≤ max | f (w) − f (z 0 )| w∈[z 0 ,z]

tiende a 0 cuando z → z 0 .) Pero si F ∈ H(D(a; r )), es anal´ıtica y en particular su derivada f es a su vez derivable en D(a; r ). El teorema de Morera da una especie de rec´ıproco del teorema de CauchyGoursat. 8 Corolario. Sea un abierto no vac´ıo de C, p ∈ , f : → C continua en y holomorfa en \ { p}. Entonces f es holomorfa en . Demostraci´on. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que f =0 ∂

para todo tri´angulo ⊆ , y el teorema de Morera asegura entonces que f es holomorfa. Podemos incluso rebajar exigencias: 9 Corolario. Sea un abierto no vac´ıo de C, p ∈ , f una funci´on holomorfa en \ { p} y acotada para alg´un r > 0 en el disco reducido D∗ ( p; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − p| < r }. Entonces f admite una extensi´on holomorfa en . Demostraci´on. La funci´on h definida en por

(z − p)2 f (z) si z ∈ \ { p} h(z) = 0 si z = p

Teor´ıa local de Cauchy

101

es holomorfa en y h ( p) = 0 por la hip´otesis de acotaci´on de f , con lo cual podremos escribir ∞ cn (z − p)n , h(z) =

z ∈ D( p; r ),

n=2

y as´ı f (z) =

∞

cn+2 (z − p)n ,

z ∈ D∗ ( p; r ),

n=0

de manera que basta extender f a p definiendo f ( p) = c2 . 6.4

AVANCE: El teorema de Cauchy y el c´alculo de integrales reales.

Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera m´as completa y sistem´atica, veamos c´omo el uso de la integraci´on compleja permite el c´alculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta dif´ıcil de calcular. Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad +∞ sen x π dx = , x 2 0 teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es decir, R +∞ sen x sen x dx = lim d x. r →0+ , R→+∞ r x x 0 iR

-R

-r

r

R

Comencemos por considerar la funci´on f ∈ H( ), donde = C \ {i y : y ∈ (−∞, 0]}

y

ei z f (z) = , z

z ∈ .

102

Teor´ıa local de Cauchy

Sea γ (r, R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento [r, R], la semicircunferencia γ R : t ∈ [0, π ] → γ R (t) = R eit ∈ C, el segmento [−R, −r ] y la semicircunferencia opuesta de γr : t ∈ [0, π ] → γr (t) = r eit ∈ C. Puesto que es un abierto estrellado y sop γ (r, R) ⊆ , teniendo en cuenta el teorema de Cauchy podemos escribir f (z) dz 0= γ (r,R) f (z) dz + f (z) dz + f (z) dz − f (z) dz = =

[r,R] R ix

e dx + x

r

=

r

R

γR

γR

γR

γr

e dx − f (z) dz −R x γr f (z) dz − f (z) dz;

f (z) dz +

ei x − e−i x dx + x

[−R,−r ] −r i x

γr

equivalentemente, r

R

ei x − e−i x dx = x

γr

f (z) dz −

γR

f (z) dz.

(∗ )

Ahora bien: γr

f (z) dz = 0

π

it

ei r e r i eit dt = i it re

π

ei r (cos t+i sen t) dt,

0

y para cada t ∈ [0, π ] la funci´on del integrando tiene l´ımite (cuando r → 0+ ) igual a e0 = 1. Adem´as, la acotaci´on i r (cos t+i sen t e = e−r sen t ≤ e0 = 1, t ∈ [0, π ], muestra que el integrando est´a dominado por una funci´on (constante) integrable en [0, π] que no depende de r , luego aplicando el teorema de la convergencia dominada se obtiene π lim+ f (z) dz = i dt = i π. r →0

An´alogamente

γr

γR

0

f (z) dz = i 0

π

ei R (cos t+i sen t) dt,

Teor´ıa local de Cauchy

103

pero ahora, para t ∈ (0, π ), es lim ei R (cos t+i sen t = lim e−R sen t = 0,

R→+∞

R→+∞

−R sen t = e−R sen t < e0 = 1, e

y por la misma raz´on de antes lim

R→+∞ 0

π

e−R sen t dt = 0.

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se πprueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotaci´on π 2t (1 − e R ), deducida de la desigualdad sen t ≥ para e−R sen t dt ≤ R π 0 π 0 ≤ t ≤ .) 2 Como consecuencia, lim f (z) dz = 0, R→+∞ γ R

y llevando los resultados obtenidos a la igualdad (∗ ) y pasando al l´ımite para r → 0+ , R → +∞, queda

+∞

2i 0

luego

0

sen x d x = i π + 0, x

+∞

π sen x dx = . x 2

CAP´ITULO 7

Teor´ıa global de Cauchy 7.1

´ INTRODUCCION

Los e´ xitos logrados con la teor´ıa local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramientas b´asicas —teorema de Cauchy, f´ormula de Cauchy— para ampliar su alcance. Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos estrellados, s´olo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas que dependen en u´ ltima instancia del comportamiento de la funci´on en un entorno de cada punto de su dominio (propiedades de car´acter local). Si queremos estudiar propiedades de car´acter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la f´ormula de Cauchy en abiertos cualesquiera. Con este prop´osito extenderemos la integraci´on a ‘colecciones de caminos cerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos hom´ologos respecto de un abierto. As´ı podremos obtener una versi´on muy general de la f´ormula y del teorema de Cauchy en el teorema homol´ogico de Cauchy, viendo adem´as que son justamente los ciclos hom´ologos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de toda funci´on holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos m´as generales para los que va a ser v´alido el teorema de Cauchy si no imponemos restricciones al abierto. En el plano pr´actico, esto nos libera de la b´usqueda (engorrosa a veces) de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar, mirando tan s´olo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que se integra sea hom´ologo a 0. Cerrando este cap´ıtulo aparece el concepto de conexi´on simple y diferentes caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos ‘an´omalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el inter´es de saber en qu´e abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomorfas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente conexos) los m´as generales en los que el teorema de Cauchy es cierto —si no queremos tener que restringir los ciclos sobre los que se integra. Referencias b´asicas: — Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). 104

Teor´ıa global de Cauchy 7.2

105

´ CICLOS. HOMOLOGIA.

Damos una definici´on “ingenua” de ciclo. Para una definici´on m´as rigurosa, aunque menos intuitiva, ver Rudin, loc. cit., Def. 10.34, pp. 246–247. Definici´on 7.1. Un ciclo es una sucesi´on finita de caminos cerrados, distintos o repetidos, que denotaremos por = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], en la que no tenemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos y son iguales cuando consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, = [γσ (1) , γσ (2) , . . . , γσ (n) ] para alguna permutaci´on σ ). Denominaremos a γ1 , γ2 , . . . , γn los caminos que componen , y usaremos la notaci´on γ ∈ para indicar que γ es uno de los caminos que componen . El soporte de un ciclo = [γ1 , γ2 , . . . , γn ] es la uni´on de los soportes de γ1 , γ2 , . . . , γn : sop = sop γ1 ∪ sop γ2 ∪ · · · ∪ sop γn . El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, no es en general conexo (ejemplo: = [γ1 , γ2 ] donde γ1 , γ2 son dos circunferencias conc´entricas distintas). Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo est´a contenido en un conjunto para indicar que el soporte del ciclo est´a contenido en el conjunto. Definici´on 7.2. Dado un ciclo = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], el ciclo opuesto − es el ciclo obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen : − = [−γ1 , −γ2 , . . . , −γn ]. La uni´on o suma de dos ciclos = [γ1 , γ2 , . . . , γm ], = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], es el ciclo ∪ = [γ1 , γ2 , . . . , γm , γ1 , γ2 , . . . , γn ]. Definici´on 7.3. Integraci´on sobre ciclos. Dada una funci´on f continua sobre el soporte de un ciclo = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], se define

f =

n γk

k=1

f =

γ ∈

f.

γ

Consecuentemente, el ´ındice de un punto a ∈ / sop respecto de es 1 Ind (a) = 2πi

dz = Indγ (a). z−a γ ∈

106

Teor´ıa global de Cauchy

Definici´on 7.4. Sea un abierto no vac´ıo de C y un ciclo contenido en . Diremos que es hom´ologo a 0 respecto de , y pondremos ∼0 si para todo a ∈ C \ es

( )

Ind (a) = 0.

Cuando consta de un solo camino γ , suele ponerse directamente γ ∼ 0 ( ). Dos ciclos 1 y 2 contenidos en se dicen hom´ologos respecto de , 1 ∼ 2

( ),

si para todo a ∈ C \ es Ind 1 (a) = Ind 2 (a) o, equivalentemente, si 1 ∪ (− 2 ) ∼ 0

( ).

Ejemplos. Consideremos 0 ≤ r < r1 < r2 < R y sea = {z ∈ C : r < |z| < R} el anillo de centro el origen con radio interior r y radio exterior R. Sea ahora γ1 : t ∈ [0, 2π ] → γ1 (t) = r1 e−it ∈ C la circunferencia de centro el origen y radio r1 orientada negativamente, γ2 : t ∈ [0, 2π] → γ2 (t) = r2 eit ∈ C la circunferencia de centro el origen y radio r2 orientada positivamente. Entonces = [γ1 , γ2 ] es un ciclo hom´ologo a 0 respecto de , mientras que no lo son los ciclos 1 = [γ1 ] ni 2 = [γ2 ]. Obviamente, el ciclo 1 es hom´ologo del ciclo − 2 respecto de (y − 1 de 2 ). 7.3

´ TEOREMA HOMOLOGICO DE CAUCHY

Lema 7.5. Si f ∈ H( ) y g est´a definida en × por f (z) − f (w) si w = z, g(z, w) = z−w si w = z f (z) entonces g es continua en × . Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Lema 10.29, p. 243. Teorema 7.6. Sea un abierto no vac´ıo del plano complejo y f ∈ H( ). Sea un ciclo hom´ologo a 0 respecto de . Entonces: para cada z ∈ \ sop f (w) 1 dw Ind (z) · f (z) = 2πi w − z (f´ormula de Cauchy) y

(teorema homol´ogico de Cauchy).

f (w) dw = 0.

Teor´ıa global de Cauchy

107

Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Teor. 10.35, pp. 248–249. NOTA. Las demostraciones cl´asicas de este resultado eran bastante menos directas.

En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostraci´on m´as simple y elemental que ahora se ha hecho est´andar (Dixon, J. D.: A brief proof of Cauchy’s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 625–626). Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea un abierto no vac´ıo del plano complejo y f ∈ H( ). Sea un ciclo hom´ologo a 0 respecto de . Entonces: para cada z ∈ \ sop y n ∈ N es f (w) n! dw. Ind (z) · f (n) (z) = 2πi (w − z)n+1 Corolario 7.8. (Homolog´ıa e integraci´on). Sea un abierto no vac´ıo del plano complejo y , 1 , 2 sendos ciclos contenidos en . Entonces: (i) es hom´ologo a 0 respecto de si y s´olo si f (w) dw = 0

para toda funci´on f ∈ H( ). (ii) 1 y 2 son hom´ologos respecto de si y s´olo si f (w) dw = f (w) dw 1

2

para toda funci´on f ∈ H( ). Demostraci´on. Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema homol´ogico de Cauchy. Para obtener los rec´ıpocos, basta considerar para cada a ∈ / la funci´on f ∈ H( ) definida por f (z) =

1 . z−a

Vemos as´ı que lo que realmente importa a la hora de integrar una funci´on holomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuesti´on como la clase de homolog´ıa asociada a e´ l (esta idea es la que se toma como gu´ıa en la definici´on de ciclo que se da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit.). En la pr´actica, este hecho permite muchas veces simplificar c´alculos, sustituyendo un ciclo complicado o ‘poco adaptado a la funci´on’ por otro hom´ologo m´as conveniente (o un camino cualquiera γ1 por otro γ2 con los mismos extremos siempre que γ1 ∪ (−γ2 ) sea hom´ologo a 0).

108 7.4

Teor´ıa global de Cauchy ´ SIMPLE CONEXION

Definici´on 7.9. Diremos que un subconjunto no vac´ıo de C es simplemente conexo si es una regi´on tal que para todo ciclo ⊆ y para toda f ∈ H( ) se verifica

f (z) dz = 0.

Evidentemente, esta u´ ltima condici´on equivale a que la integral de toda f ∈ H( ) se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en . Teorema 7.10. (Caracterizaciones de la conexi´on simple). Sea una regi´on de C. Las siguientes propiedades son equivalentes entre s´ı: (1) es simplemente conexo. (2) Todo camino cerrado γ contenido en es hom´ologo a 0 respecto de . (3) todo ciclo contenido en es hom´ologo a 0 respecto de . (4) (Existencia de primitivas) Toda funci´on f ∈ H( ) admite una primitiva en , es decir, f = F para alguna F ∈ H( ). (5) (Existencia de arm´onica conjugada) Para toda funci´on u arm´onica en existe f ∈ H( ) tal que u = e f en . (6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda funci´on f ∈ H( ) tal que f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H( ) tal que exp(g(z)) = f (z) para todo z ∈ . (7) (Existencia de ra´ıces cuadradas holomorfas) Para toda funci´on f ∈ H( ) tal que f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H( ) tal que g 2 (z) = f (z) para todo z ∈ . Demostraci´on. Las implicaciones (2) ⇒ (3) ⇒ (1) ⇒ (4) son obvias o consecuencia inmediata de resultados anteriores. (4) ⇒ (5). Dada una funci´on u arm´onica en construimos la funci´on h = u x − i u y , que, por ser u arm´onica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemann y de diferenciabilidad y por tanto es holomorfa en . Si H es una primitiva de h y U = e H , puesto que h = H = Ux − i U y y es conexo debe existir una constante C ∈ R tal que u = U + C. La funci´on f = H + C es entonces una funci´on holomorfa en tal que e f = u. (5) ⇒ (6). Dada f ∈ H( ) tal que f (z) = 0 en todo z ∈ , pongamos u = e f , 1 v = m f . Es f´acil comprobar que α = ln | f | = ln u 2 + v 2 es una funci´on 2 arm´ o nica en , luego existir´ a h ∈ H( ) tal que e h = α = ln | f |. Pero entonces h e h e = e = | f |, con lo cual h e =1 f

Teor´ıa global de Cauchy

109

y por tanto la funci´on eh / f , holomorfa y no nula en la regi´on , debe mantenerse constante. Si c es el valor de esa constante, g = h −Log c es una funci´on holomorfa en para la que eh = f. e g = eh−Log c = c (6) ⇒ (7). Dada f ∈ H( ) tal que f (z) = 0 en todo z ∈ , si para alguna g ∈ H( ) es e g = f , para la funci´on holomorfa 1

h = e2g es h 2 = e g = f . (7) ⇒ (2). Sea a ∈ / y γ un camino cerrado contenido en . La funci´on f ∈ H( ) definida por f (z) = z−a no se anula en , luego existe f 1 ∈ H( ) tal que f 12 = f . Reiterando, se encuentra para cada n ∈ N una f n ∈ H( ) tal que f n2 = f n−1 y as´ı n

( f n )2 = f, Derivando 2n ( f n )2

n

−1

n ∈ N.

f n = 1,

n ∈ N,

con lo cual

1 1 f n (z) = = , n ∈ N, z ∈ . f n (z) f (z) z−a Se sigue que para todo n ∈ N ha de ser 1 1 1 1 1 dz f n (z) dw = dz = Ind (a) = γ 2n 2n 2πi γ z − a 2πi γ f n (z) 2πi fn ◦γ w 2n

= Ind fn ◦γ (0) ∈ Z, lo que s´olo es posible si Indγ (a) = 0. Observaciones. (1) N´otese que para que no sea simplemente conexo es, pues, necesario y suficiente que haya al menos una funci´on holomorfa en que no tenga primitiva. (2) Se pueden a˜nadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit., Teor. 13.11, pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripci´on geom´etricotopol´ogica de los conjuntos simplemente conexos de C. Esta nueva caracterizaci´on necesita un lema previo, f´acil de visualizar pero de demostraci´on un tanto enrevesada. Se trata de construir un ciclo que rodee a un compacto K contenido en un abierto . La idea b´asica consiste en tomar una colecci´on finita de segmentos que constituye la frontera de una ‘imagen digitalizada de K ligeramente ampliada’. El punto delicado de la demostraci´on est´a en comprobar que estos segmentos se pueden organizar para formar un ciclo respecto del cual los puntos de K resulten tener ´ındice 1 y los puntos fuera de tengan ´ındice 0.

110

Teor´ıa global de Cauchy

Lema 7.11. Sea un abierto no vac´ıo de C y sea K un conjunto compacto contenido en . Existe entonces un ciclo en \ K tal que (1) para a ∈ / se tiene Ind (a) = 0, es decir, ∼0

( ),

(2) para cada z ∈ K Ind (z) = 1. Demostraci´on. Ver Rudin, loc. cit., Secci´on 13.4 y Teor. 13.5., pp. 304–306. Dado que Ind (z) = 1 para z ∈ K , est´a justificada la expresi´on “ rodea a K en ”; en cierto modo, podr´ıamos decir que K queda ‘en el interior’ de y el complementario de en ‘el exterior’ de . El ciclo sirve como ‘contorno’ de K en diferentes contextos, no s´olo en la teor´ıa de funciones holomorfas. Teorema 7.12. Sea una regi´on de C. Entonces es simplemente conexo si y s´olo si C∞ \ es conexo en la esfera de Riemann C∞ . Demostraci´on. Si C∞ \ es conexo, es simplemente conexo. En efecto: tomemos un ciclo cualquiera contenido en . El conjunto C \ sop tendr´a una colecci´on finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas excepto una que denotaremos por B. Entonces, las componentes conexas de C∞ \ sop ser´an las componentes acotadas de C \ sop m´as B ∪ {∞}. Dado que C∞ \ es conexo y est´a contenido en C∞ \ sop , necesariamente C∞ \ ⊆ B ∪ {∞}, o lo que es lo mismo C \ ⊆ B. Puesto que el ´ındice respecto de es 0 en B, componente no acotada de C \ sop , en particular para cualquier a ∈ C \ ⊆ B se tiene Ind (a) = 0. Para demostrar el rec´ıproco, probaremos que si C∞ \ no es conexo, no puede ser simplemente conexo. Supongamos, pues, que C∞ \ no sea conexo, con lo que existir´an conjuntos A y B no vac´ıos disjuntos cerrados en C∞ tales que C∞ \ = A ∪ B. Sea ∞ ∈ B: entonces A ⊆ C es acotado (en caso contrario, ∞ ∈ A = A), luego compacto, contenido en C∞ \ B que es un abierto de C. Seg´un el lema anterior en estas condiciones existe un ciclo contenido en (C∞ \ B) \ A = tal que Ind (a) = 1 para todo a ∈ A. Pero A ⊆ C \ , con lo que no es hom´ologo a 0 respecto de y no es simplemente conexo. Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que “los conjuntos simplemente conexos de C son los que no tienen agujeros”, mirando como “agujeros” de las componentes acotadas de C∞ \ .

Teor´ıa global de Cauchy

111

Ejemplos. (1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en particular, C, C \ (−∞, 0], los discos, todos los abiertos convexos, . . . ) (2) ¿Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado? (Hay muchos ejemplos sencillos) (3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos D(a; r, R) = {z ∈ C : r < |z − a| < R}, a ∈ C, 0 ≤ r < R ≤ +∞. En particular, C \ {0} no es simplemente conexo. (4) En relaci´on con lo anterior, ¿qu´e puede decirse del abierto D(0; r, R) \ [r, R] si 0 < r < R < +∞? Comentario final: homotop´ıa. No podemos tratar la conexi´on simple sin nombrar al menos su caracterizaci´on m´as importante quiz´a desde el punto de vista estrictamente topol´ogico, que se expresa en t´erminos de homotop´ıa. El concepto de homotop´ıa se define mediante conceptos puramente topol´ogicos, lo que permite hablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topol´ogicos arbitrarios. Dado un espacio topol´ogico X , una curva en X es, como sabemos, una aplicaci´on continua de un intervalo compacto de R en X . Supongamos que tenemos dos curvas γ0 y γ1 , parameterizadas en el intervalo I = [0, 1], cerradas (γ0 (0) = γ0 (1), γ1 (0) = γ1 (1)). Se dice que γ0 y γ1 son hom´otopas si existe una aplicaci´on continua H : I × I → X tal que para s, t ∈ I cualesquiera se verifica H (s, 0) = γ0 (s),

H (s, 1) = γ1 (s),

H (0, t) = H (1, t).

Intuitivamente, que γ0 y γ1 sean hom´otopas corresponde a que podamos deformar γ0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ1 , siendo γt = H (·, t) las curvas intermedias en la deformaci´on. Si toda curva cerrada γ es hom´otopa en X a una curva constante, se dice que X es simplemente conexo. En esta definici´on, entonces, los conjuntos simplemente conexos son aquellos en los que toda curva cerrada se puede deformar con continuidad dentro del conjunto hasta reducirla a un punto. No es evidente que para subconjuntos del plano esto sea exactamente lo mismo que todo camino cerrado no d´e ninguna vuelta alrededor de los puntos que no pertenecen al conjunto (caracterizaci´on homol´ogica), o que el conjunto ‘no tenga agujeros’. Un estudio de la relaci´on entre homotop´ıa y homolog´ıa en C, entre homotop´ıa e integraci´on, y la prueba de la equivalencia entre la definici´on homot´opica de la conexi´on simple y las anteriores puede verse en Rudin, loc. cit., Secci´on 10.38, pp. 251–253, y en Conway, loc. cit., Cap. IV, Sec. 6, pp. 87–95.

CAP´ITULO 8

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.1

´ INTRODUCCION

Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tener el conocimiento de los ceros de una funci´on en la determinaci´on y el manejo de la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de sus ceros es tambi´en un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera secci´on de este cap´ıtulo recogeremos informaci´on ya conocida (para funciones anal´ıticas, que como sabemos coinciden con las holomorfas), a˜nadiendo algunas propiedades sencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pendientes resultados importantes, algunos de los cuales se tratar´an el curso pr´oximo. Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfas se comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que nos hemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nuestros m´etodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomal´ıa’ en algunos puntos? ¿Qu´e se mantiene y cu´anto se pierde? Contestar a esta pregunta es el prop´osito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holomorfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasificaci´on de los mismos en tres tipos, viendo de qu´e manera tan distinta afecta al comportamiento local de la funci´on la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos. Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en un abierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominador no se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular importante de funci´on meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente secci´on, examinando de momento u´ nicamente sus propiedades algebraicas. Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas que tienen una singularidad aislada en ∞, averiguaremos c´omo su comportamiento en este punto puede en algunos casos suministrar una informaci´on adicional interesante sobre la funci´on. Por u´ ltimo, en la parte final de este cap´ıtulo, veremos un importante teorema de Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una funci´on holomorfa en un disco, probando que si una funci´on es holomorfa en una corona circular (en 112

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

113

particular, en un disco privado de su centro), la funci´on se puede representar como suma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteros cualesquiera y no s´olo con exponentes enteros no negativos, como son las series de Taylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten as´ı mismo caracterizar los diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejercicios que muestran c´omo hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas, un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento. Referencias b´asicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). — Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). 8.2

´ HOLOMORFA CEROS DE UNA FUNCION

Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser id´enticamente nulo. La situaci´on es algo menos dr´astica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos funciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto no significa que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una funci´on holomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funciones holomorfas y las funciones anal´ıticas, el principio de prolongaci´on anal´ıtica nos informa de que el conjunto de ceros de una funci´on holomorfa no nula, si su dominio es conexo, no puede poseer puntos de acumulaci´on dentro del dominio. Esto no significa que no pueda haber puntos de acumulaci´on de ceros: por ejemplo, la funci´on sen(π/z) es holomorfa en C \ {0} y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z (en este caso 0 es un punto de acumulaci´on de ceros); lo que sucede es que, si el conjunto de ceros tiene puntos de acumulaci´on, e´ stos deber´an estar en la frontera del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho. Proposici´on 8.1. Sea una regi´on de C y f ∈ H( ) no id´enticamente nula. Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f = f −1 (0). Entonces (1) Z f es un conjunto discreto. (2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ , Z f ∩ K es finito o vac´ıo. (3) Z f es un conjunto contable (finito o numerable). Demostraci´on. (1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede encontrar un r > 0 tal que z ∈ / Z f si 0 < |z − a| < r , o lo que es igual, que ning´un punto de Z f es punto de acumulaci´on de Z f .

114

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

(2) Si Z f ∩ K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendr´ıa al menos un punto de acumulaci´on en K ⊆ y por tanto Z f tendr´ıa al menos un punto de acumulaci´on en . (3) puede ponerse como uni´on numerable de compactos, = ∪n K n para alguna sucesi´on (K n ) de compactos. Entonces Z f = ∪n (Z f ∩ K n ) y cada Z f ∩ K n es finito o vac´ıo. Definici´on 8.2. Sea un abierto de C y f ∈ H( ). Dado a ∈ , diremos que a es un cero de orden k de f si k ∈ N es tal que f (a) = f (a) = . . . = f (k−1) (a) = 0,

f (k) (a) = 0.

N´otese que para que exista tal k, es necesario y suficiente que a sea un cero de f y que f no se anule en la componente conexa de que contiene a a; dicho de otra forma, que a sea un cero aislado de f . Proposici´on 8.3. Sea un abierto de C, a ∈ , k ∈ N y f ∈ H( ). Las siguientes propiedades son equivalentes entre s´ı: (1) a es un cero de f de orden k. (2) En un disco D(a; r ) ⊆ es ∞ an (z − a)n , z ∈ D(a; r ), f (z) = n=k

con ak = 0. (3) Existe una funci´on g ∈ H( ) tal que g(a) = 0 y f (z) = (z − a)k g(z) para todo z ∈ . Demostraci´on. (1) ⇒ (2) Expresar los coeficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediante las derivadas de f en a. (2) ⇒ (3) La funci´on g definida en por f (z) g(z) = (z − a)k si z = a ak si z = a es claramente holomorfa en \ {a} y en a es anal´ıtica (luego holomorfa), puesto que para todo z ∈ D(a; r ) es ∞ an (z − a)n , g(z) = n=k

y por tanto cumple las condiciones de (3). (3) ⇒ (1) Basta calcular las derivadas sucesivas de f y aplicar la definici´on de orden de un cero.

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.3

115

SINGULARIDADES AISLADAS

En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit., p. 63), dado un abierto y una funci´on f : → C se dice que un punto a ∈ es un punto regular para f o que f tiene en a un punto regular si existe un r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ y f es derivable en cada punto de D(a; r ). Los puntos que no son regulares se denominan puntos singulares. En esta secci´on estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, que denominaremos singularidades aisladas. Definici´on 8.4. Sea a ∈ C. Decimos que una funci´on f tiene una singularidad aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa en D∗ (a; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r }. Clasificaci´on de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las siguientes situaciones: (1) existe limz→a f (z) ∈ C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable o que a es una singularidad evitable de f . (2) existe limz→a f (z) = ∞. Se dice entonces que f tiene en a un polo o que a es un polo de f . (3) no existe limz→a f (z) en C∞ . Se dice entonces que f tiene en a una singularidad esencial o que a es una singularidad esencial de f . Ejemplos. (1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas. Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z, para el que son puntos regulares todos los de C \ (−∞, 0] y singulares todos los de (−∞, 0]. (2) Todos los puntos en los que no est´a definida la funci´on f dada por f (z) =

z ez − 1

son singularidades aisladas. En z = 0 tiene una singularidad evitable. Los puntos de la forma z = 2kπi, k ∈ Z \ {0}, son polos de f . (3) La funci´on f dada por f (z) = e1/z tiene una singularidad esencial en z = 0. Observaci´on. El conjunto S f de singularidades aisladas de una funci´on f es discreto y contable (inclu´ıda la posibilidad de que sea vac´ıo).

116

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

Proposici´on 8.5. Sea un abierto no vac´ıo de C, a ∈ y f ∈ H( \ {a}). Entonces (1) Si a es una singularidad evitable de f , la funci´on f˜ definida por f (z) si z ∈ \ {a} f˜(z) = limz→a f (z) si z = a es holomorfa en . Rec´ıprocamente, si f admite una extensi´on holomorfa en , tiene en a una singularidad evitable. (2) Si para alg´un r > 0 la funci´on f se mantiene acotada en D∗ (a; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r }, entonces f tiene una singularidad evitable en f . Demostraci´on. (1) f˜ es holomorfa en \ {a} y continua en , luego holomorfa en . El rec´ıproco es obvio. (2) Ya se prob´o que, en estas condiciones, f admite una extensi´on holomorfa en D(a; r ). La primera parte de la proposici´on anterior justifica el nombre de singularidad evitable. N´otese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no est´a definida en a o bien f no es continua en a. Definici´on 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una funci´on f . Entonces la 1 funci´on tiene en a una singularidad evitable y l´ımite nulo, de manera que para f alg´un δ > 0 la funci´on h(z) =

1/ f (z) si 0 < |z − a| < δ 0 si z = a

es holomorfa en D(a; δ). Si h tiene en a un cero de orden k, diremos que f tiene en a un polo de orden k o que a es un un polo de orden k de f . Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polos m´ultiples (dobles, triples, . . . ) Proposici´on 8.7. Sea un abierto no vac´ıo de C, a ∈ y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en a un polo de orden k; (2) existe limz→a (z − a)k f (z) ∈ C \ {0}, y en consecuencia limz→a (z − a)n f (z) = ∞ si 0 ≤ n < k, limz→a (z − a)n f (z) = 0 si n > k;

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

117

(3) existe una funci´on g ∈ H( ) tal que g(a) = 0 y f (z) =

g(z) (z − a)k

para cada z ∈ \ {a}; (4) existen coeficientes A j (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), un´ıvocamente determinados, con Ak = 0, y un r > 0, tales que ∞ A2 A1 Ak + ··· + + an (z − a)n + f (z) = k 2 (z − a) (z − a) z − a n=0

siempre que 0 < |z − a| < r . Ak A2 A1 se denomina +· · ·+ + (z − a)k (z − a)2 z − a parte singular o parte principal de f en a.) Demostraci´on. (1) ⇒ (2) Yendo a la definici´on, h(z) = (z − a)k g(z) para alguna funci´on g holomorfa en D(a; δ) con g(a) = 0, y limz→a (z − a)k f (z) = 1/g(a). (2) ⇒ (1) Si h es como en la definici´on, resulta h(z) = (z − a)k g(z) para g dada por  1  h(z) = si 0 < |z − a| < δ g(z) = (z − a)k (z − a)k f (z)  1/ limz→a (z − a)k f (z) si z = a, (La funci´on racional S( f ; a)(z) =

que es holomorfa en D(a; δ) y no nula en a. (2) ⇒ (3) La funci´on dada por (z − a)k f (z) tiene una singularidad evitable en a. (3) ⇒ (4) Para alg´un r > 0 puede ponerse g(z) =

∞

cn (z − a)n ,

|z − a| < r,

n=0

luego ∞ c0 ck−2 ck−1 f (z) = + + ··· + + ck+n (z − a)n k 2 (z − a) (z − a) z − a n=0

siempre que 0 < |z − a| < r . Puesto que g est´a un´ıvocamente determinada por f , hay unicidad para los coeficientes. (4) ⇒ (2) Evidente. Observaci´on. Seg´un el resultado anterior, la funci´on f − S( f ; a) tiene en a una singularidad evitable. Adem´as, el orden de a como polo de f es el menor valor de n tal que (z − a)n f (z) tiene una singularidad evitable en a.

118

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

NOTA.

Cuando f es una funci´on racional, s´olo tiene en C un n´umero finito de singularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cada uno de ellos, encontramos la descomposici´on de f en fracciones simples (v. detalles en Conway, ob. cit., pp. 105–106.) Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracterizaci´on en t´erminos de los valores de la funci´on:

Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea un abierto no vac´ıo de C, a ∈ y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) a es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U ⊆ \ {a} de a. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (z n ) en \ {a} tal que z n → a y f (z n ) → w. Demostraci´on. (1) ⇒ (2) En caso contrario existir´ıan r > 0, δ > 0 y w ∈ C tales que | f (z)−w| > δ para todo z ∈ D∗ (a; r ). Entonces, la funci´on g dada por 1 , z ∈ D∗ (a; r ), g(z) = f (z) − w es holomofa y acotada en D∗ (a; r ), con lo cual puede extenderse a una funci´on g˜ holomorfa en D(a; r ). Si fuese g(a) ˜ = 0, se deduce que f estar´ıa acotada en un entorno de a, y en consecuencia a ser´ıa una singularidad evitable de f . Pero si g˜ tiene en a un cero de orden k ≥ 1, podr´ıamos escribir g(z) ˜ = (z − a)k g1 (z),

z ∈ D(a; r ),

para una funci´on g1 holomorfa en D(a; r ) con g1 (a) = 0; por tanto

1 1 = ∈ C \ {0}, lim (z − a)k f (z) = lim (z − a)k w + z→a z→a g1 (z) g1 (a) con lo cual a ser´ıa un polo de orden k de f . (2) ⇒ (3) Evidente. (3) ⇒ (1) Es claro que en esta hip´otesis no existe limz→a f (z), ni finito ni infinito. Se sabe mucho m´as: si a es una singularidad esencial de f , en cualquier entorno reducido de a la funci´on f alcanza todos los valores complejos, excepto uno a lo m´as. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp. 376–377. (M´as f´acil de probar es el ‘teorema peque˜no de Picard’, que establece que cada funci´on entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno a lo m´as. La funci´on exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.) Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas m´as poderosas que las que disponemos por ahora.

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.4

119

FUNCIONES MEROMORFAS

Las funciones cuyas u´ nicas singularidades son polos aparecen con frecuencia suficiente como para merecer un nombre especial. Definici´on 8.9. Diremos que una funci´on f es meromorfa en un abierto si en cada punto de o bien f es holomorfa o bien tiene un polo; dicho de otra forma, si existe un conjunto Pf ⊆ tal que (1) Pf no tiene puntos de acumulaci´on en ; (2) f ∈ H( \ Pf ); (3) f tiene un polo en cada punto de Pf . Como Pf es un subconjunto discreto de , para cada compacto K ⊆ el conjunto K ∩ Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Est´a incluida la posibilidad Pf = ∅, con lo cual las funciones holomorfas son ejemplos de funciones meromorfas. Tambi´en lo son las funciones racionales. El conjunto de las funciones meromorfas en lo denotaremos por M( ). N´otese que una funci´on es meromorfa en un abierto si lo es en cada componente conexa del abierto. Supuesto conexo, son ejemplos de funciones meromorfas en los cocientes de funciones anal´ıticas (con denominador no nulo, por descontado): de hecho, esta es la u´ nica forma de obtener funciones meromorfas en abiertos conexos, si bien la demostraci´on de esta afirmaci´on requiere conocer primero la posibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de los ceros igualmente prefijado (teorema de factorizaci´on de Weierstrass, que se probar´a el pr´oximo curso). Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado. Proposici´on 8.10. Dado un abierto no vac´ıo en C, el conjunto M( ) de las funciones meromorfas en es un a´ lgebra sobre C respecto de las operaciones usuales con funciones. Si adem´as es conexo, M( ) es un cuerpo conmutativo. Demostraci´on. Es una verificaci´on rutinaria, basada en las factorizaciones asociadas a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos. Observaciones. (1) El comentario hecho anteriormente indica que si es una regi´on, M( ) es el cuerpo de cocientes del dominio H( ). (2) Cuando no es conexo, M( ) no es un cuerpo: por ejemplo, si = A ∪ B con A, B abiertos no vac´ıos disjuntos, la funci´on f que vale 1 en A y 0 en B est´a en M( ) [de hecho, en H( )] y no tiene inverso en M( ) [es un divisor de cero en H( )].

120 8.5

Ceros y singularidades. Series de Laurent. SINGULARIDADES EN EL INFINITO

Definici´on 8.11. Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una funci´on f si existe R > 0 tal que f ∈ H(A R ), donde A R = {z ∈ C : |z| > R}. Podemos establecer una clasificaci´on similar a la considerada para singularidades finitas. Definici´on 8.12. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una funci´on f . Entonces: (1) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una singularidad evitable de f si existe lim f (z) ∈ C.

z→∞

(2) Se dice que f tiene en ∞ un polo o que ∞ es un polo de f si lim f (z) = ∞.

z→∞

(3) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial o que ∞ es una singularidad esencial de f si no existe limz→∞ f (z) en C∞ . Ejemplos. (1) f (z) = 1/z tiene una singularidad evitable en ∞. (2) todo polinomio no constante tiene un polo en ∞. (3) f (z) = e z tiene una singularidad esencial en ∞. (4) f (z) = 1/ sen z no tiene una singularidad aislada en ∞. 8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para alg´un R > 0 es f ∈ H(A R ), donde como antes A R = {z ∈ C : |z| > R}, la funci´on f ∗ definida por ∗

f (z) = f

1 z

es holomorfa en D∗ (0; 1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f ∗ . Esto permite reducir el estudio de las singularidades en ∞ al estudio de singularidades aisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en ∞ (o un polo, o una singularidad esencial) si y s´olo si f ∗ tiene en 0 una singularidad evitable (o un polo, o una singularidad esencial). Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en ∞. Definici´on 8.14. Diremos que f tiene en ∞ un polo de orden k o que ∞ es un polo de orden k de f si 0 es un polo de orden k de la funci´on f ∗ definida por f ∗ (z) = f (1/z).

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

121

Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos, podemos enunciar: Proposici´on 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una funci´on f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en ∞ un polo de orden k; f (z) (2) existe limz→∞ k ∈ C \ {0}; z (3) existen un R > 0 y una funci´on g holomorfa en A R = {z ∈ C : |z| > R} con limz→∞ g(z) ∈ C \ {0} y que verifica f (z) = z k g(z) para cada z ∈ A R . (4) existen coeficientes A j (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), con Ak = 0, un´ıvocamente determinados, y un R > 0, tales que f (z) = Ak z + · · · + A1 z + k

∞ an n=0

zn

siempre que |z| > R. (El polinomio Ak z k + · · · + A1 z se denomina parte singular o parte principal de f en ∞.) Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una funci´on f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) ∞ es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U de ∞. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (z n ) en el dominio de f tal que z n → ∞ y f (z n ) → w. Es conveniente extender el concepto de funci´on meromorfa a funciones definidas en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito. Definici´on 8.17. Sea un abierto de C tal que C\ D(0; R) ⊆ para alg´un R > 0, es decir, tal que ∞ = ∪ {∞} sea un abierto en C∞ . Diremos que f : → C es meromorfa en ∞ , en s´ımbolos f ∈ M( ∞ ), si f es meromorfa en y tiene en ∞ una singularidad evitable o un polo. Proposici´on 8.18. (1) Si f es una funci´on entera y meromorfa en C∞ , entonces f es un polinomio. (2) f ∈ M(C∞ ) si y s´olo si f es una funci´on racional.

122

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

Demostraci´on. (1) Si ∞ es una singularidad evitable, f ser´ıa constante por el teorema de Liouville. Supongamos, pues, que es un polo de orden k. Entonces lim

z→∞

f (z) ∈ C \ {0} zk

y por tanto existen R, M > 0 tales que | f (z)| ≤ M |z|k ,

|z| > R;

en consecuencia (generalizaci´on del teorema de Liouville) f es un polinomio de grado ≤ k. (2) Observemos primero que si f ∈ M(C∞ ), s´olo puede tener un n´umero finito de polos en C para que ∞ sea una singularidad aislada. Sean, pues, a1 , . . . , an los polos finitos de f y k1 , . . . , kn sus respectivos o´ rdenes y sea ∞ un polo de orden k0 para f . Se sigue que la funci´on (z − a1 )k1 · · · (z − an )kn f (z) se puede extender a una funci´on g holomorfa en C (es decir, entera) que tendr´a en ∞ un polo de orden k = k0 + k1 + · · · + kn , con lo cual g es un polinomio de grado ≤ k seg´un acabamos de probar, luego f (z) =

g(z) (z − a1 )k1 · · · (z − an )kn

es una funci´on racional. Corolario 8.19. Si f es una funci´on entera, o es constante o f (C) = C. Demostraci´on. Si f es entera, ∞ es evidentemente una singularidad aislada para f. — Si ∞ es evitable, de modo que existe limz→∞ f (z) ∈ C, f es constante por el teorema de Liouville. — Si ∞ es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f (C) = C. — Si ∞ es una singularidad esencial, f (C) = C por el teorema de CasoratiWeierstrass. NOTA. De hecho, como ya hemos comentado, si

f es una funci´on entera no constante es cierto que su imagen f (C) es todo C salvo un punto a lo m´as.

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.6

123

SERIES DE LAURENT

Fijemos la notaci´on D(a; r, R) para la corona {z : r < |z − a| < R}, donde 0 ≤ r < R ≤ +∞. √ Lema 8.20. Sea (an ) una sucesi´on de n´umeros complejos y r = lim sup n |an |. Entonces ∞ an (z − a)−n es absolutamente convergente en cada punto de la (1) la serie n=1

corona D(a; r, +∞) y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D(a; r, +∞); (2) en el disco D(a; r ) la serie no converge (en a ni siquiera est´a definida); (3) la funci´on f definida en D(a; r, +∞) por ∞ f (z) = an (z − a)−n n=1

es holomorfa. ∞ an wn converge absolutamente en cada Demostraci´on. Sabemos que la serie n=1

w ∈ D(0; 1/r ), no converge si |w| > 1/r , y que define en D(0; 1/r ) una funci´on holomorfa g(w). Tomando w = 1/(z −a), se deducen las tesis del enunciado salvo la convergencia uniforme sobre compactos de D(a; r, +∞). Pero si K es un subconjunto compacto de D(a; r, +∞), existir´a un R > r tal que K ⊆ D(a; R, +∞) (Âżpor qu´e?), de manera que para todo z ∈ K ser´a ∞ ∞ an (z − a)−n ≤ |an | R −n < +∞, n=1

n=1

luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass. Si r = +∞, la serie no converge en ning´un punto. Si r = 0, converge en C \ {a}.

NOTA.

Definici´on 8.21. (Series doblemente infinitas). Dada una sucesi´on (z n )n∈Z de ∞ ∞ n´umeros complejos, si las series zn y z −n convergen, diremos que la serie ∞

n=0

n=1

z n converge, en cuyo caso su suma es el n´umero complejo

n=−∞ ∞ n=−∞

zn =

∞ n=0

zn +

∞ n=1

z −n .

124

Ceros y singularidades. Series de Laurent. ∞ N Obs´ervese que si z n converge, la sucesi´on de sumas sim´etricas zn n=−∞

n=−N

es convergente con l´Ĺmite igual a la suma de la serie, pero que este l´Ĺmite puede existir sin que la serie sea convergente; por ejemplo, si z 0 = 0 y z n = 1/n para n = 0. ∞ ∞ Diremos que la serie z n converge absolutamente si las dos series zn y

∞

n=−∞

n=0

z −n convergen absolutamente.

n=1

De manera an´aloga, dada ( f n )n∈Z , donde las f n son funciones complejas ∞ definidas en un conjunto S ⊆ C, diremos que la serie f n converge (puntualn=−∞

mente, uniformemente, uniformemente sobre compactos de S) si y s´olo si las dos ∞ ∞ fn y f −n convergen (puntualmente, uniformemente, uniformemente series n=0

n=1

sobre compactos de S) Aunque hemos dividido la serie en dos trozos separando los n ≼ 0 y los n < 0, es evidente que la separaci´on puede llevarse a cabo en cualquier otro ´Ĺndice, pues se trata de aËœnadir o quitar un n´umero finito de sumandos al trozo correspondiente. NOTA.

Definici´on 8.22. (Series de Laurent). Llamaremos serie de Laurent centrada en a a toda serie de la forma ∞ an (z − a)n . n=−∞

Proposici´on 8.23. Dada una serie de Laurent centrada en a ∞

an (z − a)n ,

n=−∞

sean

R1 = lim sup n |a−n |,

−1 n R2 = lim sup |an | .

Entonces: (1) la serie converge absolutamente en cada punto de la corona D(a; R1 , R2 ), a la que denominaremos corona de convergencia, y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D(a; R1 , R2 ); (2) la serie no converge en ning´un punto z ∈ / D(a; R1 , R2 ) exterior a la corona;

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

125

(3) R1 y R2 son los u´ nicos valores en [0, +∞] para los que se cumplen las propiedades (1) y (2); (4) la funci´on f definida en D(a; R1 , R2 ) como suma de la serie f (z) =

∞

an (z − a)n

n=−∞

es holomorfa en D(a; R1 , R2 ), y su derivada est´a dada en cada punto por

f (z) =

∞

n an (z − a)n−1 .

n=−∞

El enunciado anterior tiene pleno sentido si R1 < R2 . En caso contrario, D(a; R1 , R2 ) es vac´ıo. Si R1 > R2 , no hay convergencia para la serie en ning´un punto. Si R1 = R2 , ¿cu´al es la situaci´on? NOTA.

Teorema 8.24. (Teorema de Laurent). Sea f una funci´on holomorfa en una corona D(a; R1 , R2 ) [a ∈ C, 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞]. Entonces: (1) f puede representarse en D(a; R1 , R2 ) como suma de una serie de Laurent f (z) =

∞

an (z − a)n

n=−∞

que converge absolutamente en cada z ∈ D(a; R1 , R2 ) y converge uniformemente en cada compacto contenido en D(a; R1 , R2 ) o, equivalentemente, en cada corona D(a; r1 , r2 ) para la que R1 < r1 < r2 < R2 . (2) Los coeficientes de la serie est´an dados por la f´ormula 1 an = 2πi

γ

f (z) dz, (z − a)n+1

donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio r , con R1 < r < R2 . (3) La serie est´a un´ıvocamente determinada por f . Nos referiremos a la serie como al desarollo en serie de Laurent de f . La tesis (1) afirma la existencia de desarrollo en la corona, y la (3) su unicidad, mientras que (2) proporciona (te´oricamente, al menos) una manera de calcular los coeficientes del desarrollo.

126

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

Demostraci´on. (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.) Unicidad. Si existe la representaci´on de (1), D(a; R1 , R2 ) estar´a contenida en la corona de convergencia de la serie, y e´ sta converger´a uniformemente en cada compacto contenido en D(a; R1 , R2 ). Si γ = ∂ D(a; r ) con R1 < r < R2 , sop γ es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie t´ermino a t´ermino para obtener ∞ f (z) dz = an (z − a)n dz = 2πi a−1 , γ

γ

n=−∞

y, en general, para cada n ∈ Z, de modo similar, γ

∞ f (z) dz = ak (z − a)k−n−1 dz = 2πi an , n+1 (z − a) γ k=−∞

luego los coeficientes del desarrollo est´an un´ıvocamente determinados por la suma de la serie. Existencia. Comencemos por se˜nalar que si R1 < r1 < r2 < R2 y γ1 , γ2 son, respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r1 , r2 (orientadas positivamente), entonces γ1 y γ2 son hom´ologas respecto de D(a; R1 , R2 ) (comprobarlo). Por el teorema homol´ogico de Cauchy se tiene, pues, que para toda funci´on g holomorfa en D(a; R1 , R2 ) es g(w) dw = g(w) dw. γ1

γ2

En particular, tomando g(w) =

1 f (w) , 2πi (w − a)n+1

n ∈ Z,

se deduce que 1 2πi

γ1

1 f (w) dw = (w − a)n+1 2πi

γ2

f (w) dw (w − a)n+1

da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, es un complejo independiente de cu´al sea el radio que se considere. Definamos, pues, para cada n ∈ Z, 1 an = 2πi

γ

f (w) dw, (w − a)n+1

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

127

donde Îł es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio estrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2 . Comprobaremos a continuaci´on que para todo z ∈ D(a; R1 , R2 ) la serie ∞

an (z − a)n

n=−∞

(i) es convergente y (ii) tiene por suma f (z). Esto basta para demostrar el teorema ´ (ÂżPOR QUE?) Sea, pues, z ∈ D(a; R1 , R2 ). Elegimos r , s de manera que R1 < r < |z − a| < s < R2 y denotamos con Îłr , Îłs las circunferencias de centro a y radios r , s orientadas positivamente. Poniendo Ms = max{| f (w)| : |w − a| = s}, como para todo w tal que |w − a| = s (> |z − a|) y para todo entero n ≼ 0 es

n f (w) (z − a)n Ms |z − a|n |z − a| M s = , (w − a)n+1 ≤ s n+1 s s aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar t´ermino a t´ermino las series uniformemente convergentes resulta ∞ n 1 1 f (w) f (w) (z − a) dw dw = 2Ď€i Îłs w − z 2Ď€i Îłs n=0 (w − a)n+1 ∞

∞ f (w) 1 n = dw (z − a) = an (z − a)n . n+1 2Ď€i Îłs (w − a) n=0 n=0 De manera similar, si Mr = max{| f (w)| : |w − a| = r } y w es tal que |w − a| = r (< |z − a|), de

n−1 f (w) (w − a)n−1 Mr r n−1 r M r ≤ , |z − a|n = |z − a| |z − a| (z − a)n n ∈ N, se sigue an´alogamente ∞ n−1 1 f (w) f (w) (w − a) 1 dw dw = 2Ď€i Îłr z − w 2Ď€i Îłr n=1 (z − a)n ∞

∞ 1 n−1 −n = f (w) (w − a) dw (z − a) = a−n (z − a)−n . 2Ď€i Îłr n=1 n=1

128

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma ∞ f (w) f (w) 1 1 n dw + dw, an (z − a) = 2πi γs w − z 2πi γr z − w n=−∞ y as´ı tenemos (i). Pero adem´as = [γs , −γr ] es un ciclo hom´ologo a 0 respecto de D(a; R1 , R2 ) para el que Ind (z) = 1 (comprobarlo), y aplicando la f´ormula de Cauchy, 1 1 1 f (w) f (w) f (w) f (z) = dw = dw − dw 2πi w − z 2πi γs w − z 2πi γr w − z ∞ = an (z − a)n , n=−∞

lo que demuestra (ii). Disponemos ahora de otro u´ til para analizar las singularidades aisladas. Si a es una singularidad aislada de una funci´on f , e´ sta ser´a holomorfa en alguna corona D∗ (a; R) = D(a; 0, R), y ser´a por tanto desarrollable en serie de Laurent en dicho conjunto. El examen de los coeficientes nulos permite decidir el tipo de singularidad que presenta f en a. Corolario 8.25. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funci´on f , holomorfa en D∗ (a; R) = D(a; 0, R) para alg´un R > 0, y sea f (z) =

∞

an (z − a)n

n=−∞

su desarrollo en serie de Laurent en D(a; 0, R). Entonces: (1) a es una singularidad evitable si y s´olo si an = 0 para todo n < 0; (2) a es un polo de orden k si y s´olo si a−k = 0 y an = 0 para todo n < −k; (3) a es una singularidad esencial si y s´olo si an = 0 para infinitos valores negativos de n. Demostraci´on. Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109. En el punto del infinito ‘se invierten los t´erminos’, como cab´ıa esperar. Si una funci´on f tiene una singularidad aislada en ∞, ser´a holomorfa en D(0; R, +∞) para alg´un R > 0, y seg´un el teorema de Laurent f (z) =

∞

an z n ,

z ∈ D(0; R, +∞).

n=−∞

Denominaremos a esta serie el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito.

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

129

Corolario 8.26. Sea f una funci´on con una singularidad aislada en ∞, holomorfa en D(0; R, +∞) para alg´un R > 0, y sea f (z) =

∞

an z n

n=−∞

su desarrollo en serie de Laurent en D(0; R, +∞). Entonces: (1) ∞ es una singularidad evitable si y s´olo si an = 0 para todo n ≥ 1; (2) ∞ es un polo de orden k si y s´olo si ak = 0 y an = 0 para todo n > k; (3) ∞ es una singularidad esencial si y s´olo si an = 0 para infinitos valores positivos de n. Demostraci´on. Aplicar el corolario anterior al punto singular 0 de la funci´on f ∗ definida en D(0; 0, 1/R) por

1 ∗ f (z) = f , z que tendr´a como desarrollo de Laurent ∗

f (z) =

∞

an z −n .

n=−∞

8.7

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio. Dados a , b ∈ C con a = b, sea f (z) = Log

z−a . z−b

¿Cu´al es el m´aximo abierto en el que f es holomorfa? Hallar, si existe, el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito, determinando en qu´e dominio es v´alido el desarrollo. Respuesta. La funci´on f est´a definida en C \ {a, b}. Puesto que la composici´on de funciones holomorfas es una funci´on holomorfa, f ser´a holomorfa al menos en z−a C \ {z : z = b o ∈ (−∞, 0]} = C \ [a, b] n´otese que z−b z−a 1 λ = −λ, (λ ≥ 0) ⇐⇒ z = a+ b z−b 1+λ 1+λ ⇐⇒ z = t a + (1 − t) b, (0 < t ≤ 1) ⇐⇒ z ∈ [a, b)

130

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

En los puntos de (a, b) no hay continuidad (menos a´un holomorf´ıa) para f , pues si z 0 = t a + (1 − t) b, 0 < t < 1, tomando para n ∈ N zn = z0 +

i (b − a) → z 0 , n

wn = z 0 −

i (b − a) → z 0 , n

(n → +∞),

resulta (1 − t)(b − a) + (i/n)(b − a) −t (1 − t) + (1/n 2 ) − (i/n) zn − a , = = zn − b t (a − b) + (i/n)(b − a) t 2 + (1/n)2 −t (1 − t) + (1/n 2 ) + (i/n) wn − a = , wn − b t 2 + (1/n)2

π π 1 1 − 1 − i , limn f (wn ) = ln −1 +i . con lo cual limn f (z n ) = ln t 2 t 2 En consecuencia, = C\[a, b] es el m´aximo abierto en el que f es holomorfa. Vemos as´ı que f tiene en ∞ una singularidad aislada, y que la m´axima corona D(0; R, +∞) en la que f es holomorfa corresponde a R = max{|a|, |b|}. Por el teorema de Laurent, dicha corona es el dominio de validez del desarrollo. Para calcular e´ ste, es preferible aprovechar que la derivada f es igualmente holomorfa en dicha corona, verific´andose ∞ ∞ a n − bn a n − bn 1 1 f (z) = − = = , n+1 n+1 z−a z−b z z n=0 n=1

|z| > max{|a|, |b|}.

Como D(0; R, +∞) es conexo, existe c ∈ C tal que ∞ bn − a n 1 f (z) = c + , n zn n=1

|z| > max{|a|, |b|}.

Pero lim f (z) = Log 1 = 0, luego c = 0 y finalmente z→∞

∞ z−a bn − a n 1 Log = , n z−b n z n=1

|z| > max{|a|, |b|}.

Ejercicio. Calcular los desarrollos en serie de Laurent de la funci´on f (z) =

en D(0; 1, 2) y en D(0; 2, +∞).

z−i 1 Log z−2 z+i

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

131

Respuesta. A la vista del ejercicio anterior, es f´acil probar que f ser´a holomorfa justamente en = C \ ([−i, i] âˆŞ {2}). Adem´as, sabemos que ∞ z−i (−i)n − i n 1 (a) Log = si |z| > 1; n z+i n z n=0 ∞ 1 zn (b) =− si |z| < 2; n+1 z−2 2 n=0 ∞ 2n 1 (c) = si |z| > 2. n+1 z−2 z n=0 Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < |z| < 2:   ∞   1 z−i  Log =−  z−2 z+i k=−∞ 

−n+m=k

 (−i)n − i n 1   zk .  m+1 n 2 

n≼1,m≼0

Cuando k ≼ −1, el coeficiente de z k resulta ser ∞ ∞ 1 1 (−i)n − i n (−i)n − i n 1 ak = = k+1 k+n+1 n 2 2 n 2n n=1 n=1 i 2−i 1 = − , Arc tg 2k+1 2+i 2k 2 1 mientras que el coeficiente de k si k ≼ 2 es z ∞ (−i)n − i n 1 1 a−k = k+1 , n 2 n 2 n=k 1

=

Log

con lo cual, siempre que n ≼ 1, a−2n = 22k i

Arc tg

k−1

(−1) 1 − 2 m=0 (2m + 1)22m+1 k−1

m

,

1 (−1) − . 2 m=0 (2m + 1)22m+1 −n Para |z| > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f (z) = ∞ n=2 bn z , donde a−(2n+1) = 22k+1 i

Arc tg

m

n−1 n−1 (−i)k − i k n−k−1 (−i)k − i k −k n−1 bn = 2 2 =2 k k k=1 k=1

=2

n−1

n−1 (−i/2)k − (i/2)k . k k=1

132

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

Otra respuesta (mediante integraci´on). Sea, como antes, = C \ ([−i, i] ∪ {2}), y sean  ∞   an z n , 1 < |z| < 2;   f (z) =     f (z) =

n=−∞ ∞

cn z n ,

|z| > 2,

n=−∞

los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas. Poniendo γr = ∂ D(0; r ) para 1 < r < 2; γε = ∂ D(2; ε) para 0 < ε < 2; γ R = ∂ D(0; R) para R > 2, es [γr ] ∼ [γ R , −γε ] ( ), luego aplicando sucesivamente el teorema de Laurent y el teorema homol´ogico de Cauchy podemos deducir

1 f (w) dw = n+1 2πi γr w 1 f (w) dw. = cn − 2πi γε wn+1

1 an = 2πi

1 f (w) dw − w n+1 2πi

γR

γε

f (w) dw w n+1

Pero la funci´on g(w) =

1

Log

wn+1

w−i w+i

es holomorfa en D(2; 2), luego aplicando la f´ormula de Cauchy en discos resulta

1 2πi

w−i n+1 1 1 f (w) g(w) w w + i dw = dw dw = − wn+1 2πi γε w−2 2πi γε w − 2 i 2−i 1 1 = − n Arc tg . = g(2) = n+1 Log 2 2+i 2 2

γε

1

Log

Por otra parte, como lim z f (z) = 0, siempre que n ≥ −1 se sigue z→∞

1 cn = lim R→+∞ 2πi

γR

f (w) dw = 0 wn+1

(sin m´as que usar la acotaci´on habitual de la integral). Para n ≤ −2, sea k = −n

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

133

(con lo cual k ≥ 2) y bk = c−k = cn . Entonces 1 bk = 2πi

γR

w

k−1

1 f (w) dw = 2πi

γR

w−i wk−1 Log dw w−2 w+i

1 2k−1 w−i w k−1 − 2k−1 = + Log dw 2πi γ R w−2 w−2 w+i k−2 1 w−i = w dw + 2w k−3 + · · · + 2k−3 w + 2k−2 Log 2πi γ R w+i w−i 1 1 k−1 Log dw · +2 2πi γ R w − 2 w+i k−2 1 w−i dw + 2w k−3 + · · · + 2k−3 w + 2k−2 Log = w 2πi γ R w+i + 2k−1 · c−1 k−2 1 w−i dw. = + 2w k−3 + · · · + 2k−3 w + 2k−2 Log w 2πi γ R w+i El polinomio del integrando es la derivada del polinomio 1 2 2k−3 2 k−1 k−2 P(w) = w w w + 2k−2 w, + + ··· + k−1 k−2 2 que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicando la f´ormula de Cauchy llegamos a 1 bk = 2πi

P(w) γR

1 1 − w−i w+i

dw = P(i) − P(−i)

k−1 2m−1 k−m i − (−i)k−m , = k−m m=1

que puede reescribirse en la forma vista anteriormente.

CAP´ITULO 9

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 9.1

´ INTRODUCCION

Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminaci´on de lo que hemos encuadrado bajo el nombre gen´erico de ‘teor´ıa global de Cauchy’. Incorpora y extiende al teorema de Cauchy y a la f´ormula de Cauchy, y tiene innumerables consecuencias te´oricas y pr´acticas. De e´ stas apuntamos su uso para calcular integrales reales y sumas de series, limit´andonos a se˜nalar referencias donde encontrar el tema desarrollado en detalle. La primera aplicaci´on te´orica que presentamos se refiere a la localizaci´on de ceros, en la que tratamos de averiguar el n´umero de ceros de una funci´on en un subconjunto de su dominio. Los resultados b´asicos en esta direcci´on son el denominado principio del argumento y el teorema de Rouch´e. De aqu´ı pasamos al estudio del comportamiento local de una funci´on anal´ıtica, viendo su analog´ıa con el de la funci´on z m en torno al 0, en el sentido que se precisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicaci´on abierta y alguna de sus aplicaciones, y finalizamos el cap´ıtulo con una versi´on global y otra local del teorema de la funci´on inversa, llegando a una representaci´on integral de esta inversa que nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor. Referencias b´asicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Mitrinovi´c, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966). — Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York (1991). — Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987).

134

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 9.2

135

´ PROLOGO: RESIDUOS

Agazapada en el teorema de Laurent hay una informaci´on importante. Por lo que vimos en su demostraci´on, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a, f (z) dz = 2πi a−1 ,

γ

donde a−1 es el coeficiente de (z − a)−1 en el desarrollo en serie de Laurent de f y γ = ∂ D(a; r ), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2πi) es, pues, “el u´ nico vestigio”, el residuo que deja la funci´on al ser integrada sobre una “peque˜na” circunferencia centrada en a. Vamos a asignarle oficialmente este nombre. Definici´on 9.1. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funci´on f . Recibe el nombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z − a) en el desarrollo en serie de Laurent de f en el punto a, de manera que si f (z) =

∞

an (z − a)n ,

z ∈ D(a; 0, R),

n=−∞

y denotamos con Res( f ; a) el residuo de f en a, es Res( f ; a) = a−1 . En el punto del infinito la definici´on es ligeramente distinta: Sea f una funci´on con una singularidad aislada en ∞, y sea f (z) =

∞

an z n

n=−∞

su desarrollo en serie de Laurent en una corona D(0; R, +∞). Llamaremos residuo de f en el infinito al n´umero Res( f ; ∞) = −a−1 (coeficiente de 1/z en el desarrollo, cambiado de signo). ¿Qu´e hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento, sabemos que su valor es lo u´ nico que necesitamos conocer a la hora de calcular la integral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de

136

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situaciones m´as complicadas. Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como

Log(z + 2) z 3 ctg π z dz, (1 − cos 2π z) (z 2 + 1)

donde es el ciclo contenido en = D(0; 2) formado por los caminos que se indican en la figura.

i

–2

–1

1

–i

2

Horrible, ¿no es cierto? “¿Qu´e es lo mejor que podemos hacer para resolver este problema? Dejarlo e inventar otro”, como recomienda el “profesor tradicional de matem´aticas” en el retrato que de e´ l hace P´olya. Vamos a ello. Seg´un hemos se˜nalado antes, tras calcular los residuos en los puntos z 1 = 1, z 2 = i, z 3 = −1, z 4 = −i de la funci´on f (z) a integrar, tarea no extremadamente dif´ıcil, ser´ıamos

capaces de hallar la integral en el caso m´as sencillo de que constase de una circunferencia γ jo = ∂ D(z j ; r j ) alrededor de uno de los puntos z j , suficientemente peque˜na para que el disco cerrado D(z j ; r j ) quede dentro de y no incluya a ninguno de los restantes puntos z k , k = j, obteniendo entonces γ jo

f (z) dz = 2πi Res( f ; z j ).

Pero e´ sto ¿de qu´e sirve? De mucho . . . cuando caemos en la cuenta de que el teorema homol´ogico de Cauchy permite sustituir oportunamente el ciclo original por otro ciclo formado por circunferencias, con tal de que ambos sean hom´ologos respecto de un abierto en el que f sea holomorfa. Notando que Ind (z 1 ) = 1,

Ind (z 2 ) = 2,

Ind (z 3 ) = −1,

Ind (z 4 ) = 0,

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

137

podemos “fabricar” un ciclo hom´ologo a respecto de \ {z 1 , z 2 , z 3 , z 4 } tomando

γ 2o

i γ3 o –2

γ3 o

γ 1o 1

–1

γ 2o

i

2

–2

γ 1o 1

–1

–i

2

–i

0 = 1 ∪ 2 ∪ 3 , donde 1 = [γ1o ],

2 = [γ2o , γ2o ],

3 = [−γ3o ],

y γ jo (1 ≤ j ≤ 3) son circunferencias elegidas como antes. Con e´ sto

f =

0

f =

γ1o

f +2

γ2o

f −

f γ3o

= 2πi (Res( f ; z 1 ) + 2 Res( f ; z 2 ) − Res( f ; z 3 ) + 0 · Res( f ; z 4 )) = 2πi

4

Ind (z j ) Res( f ; z j ).

j=1

Estos son los ingredientes esenciales de la demostraci´on general del teorema de los residuos, que se expone en el siguiente apartado. 9.3

EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

Teorema 9.2. (Teorema de los residuos). Sea un abierto no vac´ıo de C y sea f una funci´on holomorfa en \ A, donde A ⊆ consta de singularidades aisladas de f . Para todo ciclo hom´ologo a 0 respecto de tal que A ∩ sop = ∅ se verifica 1 f (z) dz = Res( f ; a) Ind (a). 2πi a∈A

138

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

Demostraci´on. Observemos, ante todo, que los sumandos que cuentan realmente en el segundo miembro de la igualdad anterior son los no nulos. Por tanto, examinemos el conjunto A0 = {a ∈ A : Ind (a) = 0}. Si fuese A0 = ∅, se tendr´ıa Ind (a) = 0 para todo a ∈ A, con lo cual la suma resultar´ıa nula; pero se sigue tambi´en que es hom´ologo a 0 respecto de \ A, abierto en el que f es holomorfa, luego la integral es asimismo nula, en virtud del teorema homol´ogico de Cauchy. En caso contrario, A0 es un conjunto finito. En efecto: • A0 no tiene puntos de acumulaci´on en , porque entonces tambi´en A tendr´ıa puntos de acumulaci´on en , lo que es falso; • A0 no tiene puntos de acumulaci´on fuera de , ya que si z 0 ∈ C \ , Ind (z 0 ) = 0 por ser ∼ 0 ( ); tomando r > 0 tal que D(z 0 ; r ) ⊆ C\sop , para todo z del conexo D(z 0 ; r ) se tendr´ıa Ind (z) = Ind (z 0 ) = 0, con lo cual D(z 0 ; r ) ∩ A0 = ∅; • A0 es un conjunto acotado, pues tomando R > 0 de manera que sop ⊆ D(0; R), sabemos que es Ind (z 0 ) = 0 para todo z 0 ∈ / D(0; R) (C \ D(0; R) est´a contenido en la componente no acotada de C\sop ), y as´ı A0 ⊆ D(0; R). En resumen, A0 es un conjunto acotado que no tiene puntos de acumulaci´on en C, luego forzosamente ha de tener un n´umero finito de puntos. Sean e´ stos a1 , a2 ,. . . , an , distintos entre s´ı. Ahora, asociamos a los a j ∈ A0 (1 ≤ j ≤ n) sendos discos D(a j ; R j ) contenidos en , elegidos de tal manera que D(a j ; R j )∩ A = {a j }. Para 1 ≤ j ≤ n, tomemos 0 < r j < R j , y sean γ j = ∂ D(a j ; r j ) la circunferencia de centro a j y radio r j orientada positivamente, N j = Ind (a j ) y j =

) [γ j , (N . .j., γj ] [−γ j , (−N . . .j ), −γ j ]

si N j > 0, si N j < 0,

el ciclo formado por |N j | caminos iguales a γ j o a −γ j , para el que en cualquier caso Ind j (z) = N j Indγj (z). Veamos que el ciclo 0 = 1 ∪ 2 ∪ · · · ∪ n es hom´ologo a respecto de \ A. En efecto: para cada z ∈ C \ sop 0 , Ind 0 (z) =

n j=1

y por tanto

Ind j (z) =

n j=1

N j Indγj (z)

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

139

∗ si z ∈ C \ , Ind (z) = 0 por hip´otesis, Ind 0 (z) = 0 porque cuando z∈ / D(a j ; R j ) es Indγj (z) = 0 (1 ≤ j ≤ n), y tenemos D(a j ; R j ) ⊆ ; ∗ si z ∈ A \ A0 , Ind (z) = 0 por la definici´on de A0 ; y como para 1 ≤ j ≤ n es D(a j ; R j ) ∩ A = {a j }, igual que antes z ∈ / D(a j ; R j ), Indγj (z) = 0 , Ind 0 (z) = 0; ∗ si z = am ∈ A0 , Indγm (am ) = 1, Indγj (am ) = 0 si j = m (am ∈ / D(a j ; R j )), luego Ind 0 (am ) = Nm = Ind (am ). Como f ∈ H( \ A), se sigue del teorema homol´ogico de Cauchy que 1 2πi

1 f (z) dz = 2πi

0

n 1 f (z) dz = Nj f (z) dz. 2πi j=1 γj

Usando ahora que f ∈ H D(a j ; 0, R j ) , 1 ≤ j ≤ n, del teorema de Laurent 1 f (z) dz = Res( f ; a j ) 2πi γj con lo cual, finalmente, n n 1 f (z) dz = N j Res( f ; a j ) = Ind j (a j ) Res( f ; a j ) 2πi j=1 j=1 = Ind (a) Res( f ; a) = Ind (a) Res( f ; a). a∈A0

a∈A

Corolario 9.3. Sea un abierto no vac´ıo de C y f una funci´on meromorfa en , y sea A el conjunto de los puntos de en los que f tiene polos. Para todo ciclo hom´ologo a 0 respecto de tal que A ∩ sop = ∅ se verifica 1 f (z) dz = Res( f ; a) Ind (a). 2πi a∈A Esta es la versi´on que da Rudin, ob. cit., Teor. 10.24, pp. 254–255, con una l´ınea de demostraci´on ligeramente distinta que se apoya en las partes singulares de f en los puntos de A0 . Inciso. Como se dice en Conway, ob. cit., p. 113, ‘el teorema de los residuos es una espada de dos filos; si se pueden calcular los residuos de una funci´on, se pueden calcular ciertas integrales y viceversa. La mayor parte de las veces, sin embargo, se usa como un medio de calcular integrales. Para utilizarlo en esta direcci´on se necesita un m´etodo para calcular el residuo de una funci´on’.

140

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

A veces, partiendo de desarrollos en serie conocidos, es posible determinar el desarrollo de Laurent o, al menos, suficientes t´erminos del mismo, para averiguar el valor del residuo. No siempre esto es factible o, aunque lo sea, puede haber alg´un procedimiento m´as c´omodo para hallar el residuo. Comencemos por examinar el caso a ∈ C. — Por supuesto, si a es una singularidad evitable de f , no hay necesidad de ning´un c´alculo: obviamente, Res( f ; a) = 0 en este caso. — Si a es un polo simple de f , habitualmente lo m´as f´acil es usar que Res( f ; a) = lim [(z − a) f (z)] . z→a

Sobre esta base, en cada caso particular se pueden aprovechar las caracter´ısticas propias de las funciones que se manejen; por ejemplo, si 1/ f es una funci´on f´acil de derivar en a (se sobreentiende, completada por continuidad en a con el valor 0), el l´ımite anterior es justamente el inverso de la derivada de 1/ f en a. — Si a es un polo de orden k de f , podemos tener en cuenta que, escribiendo el desarrollo de Laurent de f en a, se tiene evidentemente 1 d k−1 Res( f ; a) = lim (z − a)k f (z) , z→a (k − 1)! dz k−1 que para k = 1 se reduce a la f´ormula anterior. A veces se encuentra esta expresi´on en forma simplificada 1 d k−1 k (z − a) Res( f ; a) = f (z) , z=a (k − 1)! dz k−1 sobreentendiendo que (z − a)k f (z) se completa en a por continuidad. En el punto del infinito: — Si para un R > 0 es f ∈ H(D(0; R, +∞)) y definimos g ∈ H(D(0; 0, 1/R)) por 1 , g(z) = f z resulta g(z) Res( f ; ∞) = − Res ;0 , z2 ∞ porque si f (z) = an z n en D(0; R, +∞), hemos definido n=−∞

∞

Res( f ; ∞) = −a−1 ; pero g(z) =

n=−∞ 2

de 1/z en el desarrollo de g(z)/z .

a−n z n , con lo que a−1 es el coeficiente

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

141

— En situaciones especiales es m´as f´acil recurrir a otro tipo de argumentos. Por ejemplo, si f ∈ H(C \ {a1 , . . . , an }) Res( f ; a1 ) + . . . + Res( f ; an ) + Res( f ; ∞) = 0. (Probarlo como ejercicio a partir del teorema de los residuos.) 9.4

´ AL CALCULO ´ APLICACION DE INTEGRALES ´ DE SERIES Y A LA SUMACION

Ver Conway, ob. cit., pp. 113 y ss.; Palka, ob. cit., pp. 326 y ss. Para un tratamiento m´as amplio y sistem´atico, la referencia obligada en este tema es el librito de Mitrinovi´c, ob. cit. De car´acter enciclop´edico es Mitrinovi´c, D. S.; Keˇcki´c, J. D.: The Cauchy Method of Residues. (Theory and Applications). Reidel, Dordrecht (1984), que incluye adem´as una breve nota hist´orica sobre Cauchy y el desarrollo del c´alculo de residuos. 9.5

´ DE CEROS APLICACIONES A LA LOCALIZACION

Teorema 9.4. (Principio del argumento: forma anal´ıtica). Sea f una funci´on meromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Denotemos con Z f el conjunto de ceros y con Pf el conjunto de polos de f . Para a ∈ Z f sea z f (a) el orden de a como cero de f , y para a ∈ Pf sea p f (a) el orden de a como polo de f . Si es un ciclo hom´ologo a 0 respecto de cuyo soporte no corta a Z f ∪ Pf , se verifica f (z) 1 dz = Ind (a) z f (a) − Ind (a) p f (a). 2πi f (z) a∈Z f a∈Pf N´otese que la integral est´a bien definida, ya que f y f son continuas en sop y f no se anula en sop ; adem´as, s´olo hay un n´umero finito de ceros y polos que dan ´ındice no nulo, de modo que en realidad las sumas que aparecen se reducen a un n´umero finito de sumandos. Demostraci´on. Si f tiene en a un cero de orden k, f (z) = (z − a)k g(z) para alguna funci´on g, holomorfa donde lo sea f , tal que g(a) = 0; por tanto, en un entorno de a ser´a g(z) = 0 y as´ı f (z) = k (z − a)k−1 g(z) + (z − a)k g (z), k g (z) f (z) = + f (z) z−a g(z)

142

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

en un entorno reducido de a en el que g /g es holomorfa. Por consiguiente, f / f tiene en a un polo simple con residuo igual a k. An´alogamente, si f tiene en a un polo de orden p, en un entorno reducido de a es f (z) = (z − a)− p g(z) para alguna funci´on g holomorfa sin ceros, de manera que −p g (z) f (z) = + f (z) z−a g(z) y f / f tiene en a un polo simple con residuo igual a − p. Puesto que f / f s´olo puede tener singularidades en Z f âˆŞ Pf , aplicando el teorema de los residuos se obtiene la conclusi´on del enunciado. Corolario 9.5. (Principio del argumento: interpretaci´on geom´etrica). Sea f una funci´on meromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Sea = [Îł ] un ciclo hom´ologo a 0 respecto de , formado por un solo camino Îł cuyo soporte no contiene ceros ni polos de f , y sea h un argumento continuo a lo largo del camino “transformadoâ€? f â—Ś Îł , con valor inicial h 0 y valor final h 1 . Con la notaci´on del teorema anterior, se verifica

Ind (a) z f (a) −

a∈Z f

Ind (a) p f (a) = Ind f â—ŚÎł (0) =

a∈Pf

h1 − h0 . 2Ď€

Demostraci´on. Basta tener en cuenta que 1 2Ď€i

Îł

1 f (z) dz = f (z) 2Ď€i

f â—ŚÎł

h1 − h0 dw = Ind f â—ŚÎł (0) = . w 2Ď€

NOTA.

El nombre de “principio del argumentoâ€? proviene de este resultado; informalmente, cuando z = Îł (t) “recorreâ€? Îł , “se produce una variaci´on continua del argumentoâ€? de f (z) igual a 2Ď€ N , donde N es el entero del enunciado. El principio del argumento puede utilizarse para averiguar el n´umero de ceros de una funci´on anal´Ĺtica en un subconjunto del plano complejo. Veamos un ejemplo sencillo. Ejercicio. Sea f ∈ H(D(0; R)), con R > 1, tal que e f (z) > 0 si |z| = 1. Entonces f no tiene ceros en D(0; 1). [En efecto: si Îł es la circunferencia unidad, sop( f â—Ś Îł ) no corta al semieje real negativo, por lo cual Ind f â—ŚÎł (0) = 0 en estas condiciones.]

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

143

En la pr´actica, al aplicar el principio del argumento nos encontraremos frecuentemente con la siguiente situaci´on: el ciclo considerado tiene la propiedad de que para ciertos conjuntos disjuntos G y E se verifica C \ sop = G ∪ E y

1 si z ∈ G Ind (z) = 0 si z ∈ E. (Necesariamente G y E son abiertos, G acotado y E no acotado.) Como se˜nalamos al comentar el teorema de la curva de Jordan, esto es lo que sucede cuando es un ciclo formado por un solo camino cerrado simple orientado positivamente, pero inmediatamente mostraremos ejemplos de otro tipo. Para describir esta situaci´on no hay en la literatura una denominaci´on est´andar. Nosotros nos referiremos a ella diciendo que limita o encierra a G y que G es el recinto limitado o encerrado por . Conforme a la nomenclatura empleada en el teorema de la curva de Jordan, se llama a G el interior de y a sus puntos puntos interiores a , mientras que E es el exterior de y los puntos de E, los puntos exteriores a . Se emplea a veces la notaci´on = ∂G para indicar que limita o encierra a G. Ejemplos. En las siguientes figuras, los ciclos de la primera fila encierran el recinto sombreado, mientras que los de la segunda no encierran ning´un recinto.

(Gr´aficamente, se observa que el interior queda siempre “a la izquierda del recorrido”. Cf. Palka, ob. cit., p. 160.)

144

Teorema de los residuos. Aplicaciones. Con esta nomenclatura, podemos enunciar:

Corolario 9.6. Sea f ∈ H( ), un ciclo en que limita un recinto G ⊆ de manera que sop no contenga ceros de f . Entonces la integral 1 f (z) dz 2πi f (z) es igual al n´umero de ceros de f interiores a , contados seg´un su multiplicidad. Demostraci´on. Aplicamos el principio del argumento, teniendo en cuenta que es hom´ologo a 0 respecto de puesto que los z ∈ C \ son puntos exteriores a , que f no tiene polos en , que los ceros interiores a tienen ´ındice 1 respecto de , y los exteriores tienen ´ındice 0 respecto de . El principio del argumento admite una versi´on m´as general: Teorema 9.7. Sea f meromorfa en una regi´on con ceros z 1 , z 2 , . . . , z n y polos p1 , p2 , . . . , pm contados seg´un su multiplicidad. Si g es anal´ıtica en y es un ciclo hom´ologo a 0 respecto de que no pasa por los ceros ni los polos de f , entonces n m f

1 g g(z j ) Ind (z j ) − g( pk ) Ind ( pk ). = 2πi f j=1 k=1 Demostraci´on. Conway, ob. cit., Teor. 3.6, p. 124. Una consecuencia importante del principio del argumento es el teorema de Rouch´e, que permite la localizaci´on de ceros de funciones desconocidas a partir del n´umero de ceros de funciones conocidas. Teorema 9.8. (Teorema de Rouch´e). Sean f , g ∈ M( ), un ciclo en que limita un recinto G ⊆ de manera que sop no contenga ceros ni polos de f o de g. Si para todo z ∈ sop es | f (z) + g(z)| < | f (z)| + |g(z)|, entonces: el n´umero de ceros de f interiores a contados seg´un su multiplicidad menos el n´umero de polos de f interiores a contados seg´un su multiplicidad es igual al n´umero de ceros de g interiores a contados seg´un su multiplicidad menos el n´umero de polos de g interiores a contados seg´un su multiplicidad.

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

145

Obs´ervese que la desigualdad del enunciado implica que f y g no pueden anularse sobre sop . Demostraci´on. El conjunto 1 de los puntos de que no son ceros ni polos de f ni de g es un abierto que contiene a sop . Definiendo 2 = {z ∈ 1 : | f (z) + g(z)| < | f (z)| + |g(z)|}, tambi´en 2 es un abierto que contiene a sop . Adem´as, para cada z ∈ 2 , f (z) f (z) g(z) + 1 < g(z) + 1, f (z) con lo cual no podr´a ser un n´umero real no negativo. Si L es un logaritmo g(z) holomorfo en C \ [0, +∞), F = L ◦ ( f /g) es una funci´on holomorfa en 2 , por lo que 1 1 ( f /g) (z)

0= dz F (z) dz = 2πi 2πi ( f /g)(z)

1 1 f (z) g (z) dz − dz = 2πi f (z) 2πi g(z) y basta aplicar el principio del argumento. NOTA. La demostraci´ on anterior aparece en Glicksberg, I.: A remark on Rouch´e’s

theorem, Amer. Math. Monthly 83 (1976), 186–187. En los textos ‘tradicionales’ suele imponerse la hip´otesis m´as fuerte | f (z) + g(z)| < |g(z)| para z ∈ sop , o, cambiando g por −g, | f (z) − g(z)| < |g(z)|, quiz´a la m´as frecuentemente manejada en la pr´actica. Como muestra de cu´al es la forma en que puede sacarse partido al teorema de Rouch´e en el estudio de los ceros de una funci´on, veamos una nueva demostraci´on del teorema fundamental del a´ lgebra. Otros ejemplos, con interesantes comentarios, pueden verse en Palka, ob. cit., pp. 342 y ss. Corolario 9.9. Si p(z) = z n +a1 z n−1 +· · ·+an , entonces p tiene n ra´ıces (contadas seg´un su multiplicidad). Demostraci´on. Puesto que p(z)/z n tiende a 1 cuando z tiende a ∞, para alg´un R ser´a p(z) z n − 1 < 1 siempre que |z| = R, es decir, | p(z) − z n | < |z n |. Por el teorema de Rouch´e, p(z) ha de tener n ceros interiores a ∂ D(0; R).

146 9.6

Teorema de los residuos. Aplicaciones. VALORES LOCALES DE UNA ´ HOLOMORFA FUNCION

Definici´on 9.10. Sea f una funci´on holomorfa en un abierto , z 0 ∈ , w0 = f (z 0 ), m ∈ N. Diremos que f aplica z 0 en w0 m veces [abreviado f (z 0 ) = w0 m veces] o con multiplicidad m si z 0 es un cero de orden m de la funci´on f (z) − w0 . Equivalentemente, si f (z 0 ) = w0 , f (z 0 ) = · · · = f (m−1) (z 0 ) = 0, f (m) (z 0 ) = 0. Evidentemente, si w0 = f (z 0 ), f (z) − w0 siempre tiene un cero en z 0 . ¿Podr´a afirmarse siempre, pues, que f (z 0 ) = w0 m veces para alg´un m ∈ N? Un momento de reflexi´on permite concluir que no: nada impide, por ejemplo, que f sea constante en alg´un disco D(z 0 ; r ) ⊆ (equivalentemente, que f sea constante en la componente conexa de que contiene a z 0 ), de manera que z 0 no sea un cero aislado de la funci´on f (z) − w0 . Pero es claro que e´ sta es la u´ nica situaci´on excepcional en la que la respuesta es negativa: Para que f (z 0 ) = w0 m veces para alg´un m ∈ N, es necesario y suficiente que z 0 sea un cero aislado de f (z) − w0 (equivalentemente, que f no sea constante en la componente conexa de que contiene a z 0 .) El siguiente resultado muestra que en el entorno de un punto en el que una funci´on anal´ıtica f tome un valor w0 m veces, la funci´on f alcanza los valores pr´oximos a w0 justamente en m puntos distintos, “grosso modo” como lo hace la funci´on g(z) = w0 + (z − z 0 )m (ver Palka, ob. cit., pp. 344 y ss., donde se da a este teorema el nombre de branched covering principle, “el principio del espacio recubridor ramificado o cubierta ramificada”). Teorema 9.11. Sea f una funci´on holomorfa en un abierto no vac´ıo arbitrario . Sean z 0 ∈ , m ∈ N, f (z 0 ) = w0 m veces. Entonces existen entornos abiertos V , W de z 0 y w0 respectivamente, tales que f (V ) = W y cada punto w ∈ W \ {w0 } es imagen por f exactamente de m puntos distintos z 1 , . . . , z m de V \ {z 0 }. Precisando m´as: Tomemos cualquier disco D = D(z 0 ; r ) tal que (∗) D ⊆ , (∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }. (∗ ∗ ∗) f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 } Poniendo entonces = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = d(w0 , f (∂ D)), W = D(w0 ; ), V = D ∩ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < },

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

147

se verifica: (1) W = f (V ); (2) para todo w ∈ W \ {w0 } existen exactamente m puntos distintos z 1 , . . . , z m en V \ {z 0 } tales que f (z j ) = w con multiplicidad 1, 1 ≤ j ≤ m. Demostraci´on. Puesto que f (z 0 ) = w0 m veces para alg´un m ∈ N, z 0 ser´a un cero aislado de f (z) − w0 . Si f (z 0 ) = 0, para alg´un disco D(z 0 ; δ) ⊆ tiene que ser f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 }, ya que en caso contrario z 0 ser´Ĺa un punto de acumulaci´on de ceros de f y f se anular´Ĺa en toda la componente conexa de que contiene a z 0 ; en consecuencia f (n) (z 0 ) = 0 para todo n ∈ N, contra la hip´otesis de que f (z 0 ) = w0 m veces para alg´un m ∈ N. Tanto en este supuesto como si f (z 0 ) = 0 (por continuidad de f en tal caso), es posible entonces elegir un r > 0 de manera que si D = D(z 0 ; r ), ∗ D = D(z 0 ; r ) ⊆ ; ∗ f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }; ∗ f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 }. Tomemos cualquier r en las condiciones anteriores. Poniendo como en el enunciado = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r }, obviamente > 0 y para W = D(w0 ; ), V = D ∊ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < }, es claro que W y V son abiertos, w0 ∈ W , z 0 ∈ V , V ⊆ y f (V ) ⊆ W . Para completar la demostraci´on basta, pues, probar que para todo w ∈ W \{w0 } existen m ceros simples distintos de f (z) − w en V \ {z 0 }. Pero f (z) − w0 tiene exactamente m ceros en D (z 0 contado m veces), y para todo z ∈ ∂ D |( f (z) − w) − ( f (z) − w0 )| = |w − w0 | < ≤ | f (z) − w0 |, luego por el teorema de Rouch´e f (z)−w tiene m ceros (no necesariamente distintos en principio) z 1 , . . . , z m en D. Estos puntos est´an en V , pues | f (z j ) − w0 | = |w − w0 | < ,

1 ≤ j ≤ m,

y son ceros simples, ya que ( f (z) − w) (z j ) = f (z j ) = 0 por ser z j ∈ D \ {z 0 }. NOTA.

Tambi´en puede afirmarse que el abierto V del enunciado es conexo. Como no necesitaremos esta propiedad de V , no la probamos; hay una demostraci´on en Palka, ob. cit., pp. 345–346, seguida de unos comentarios muy ilustrativos que desentraËœnan la “estructura geom´etrica localâ€? de f en el entorno de z 0 . Las aplicaciones tales que cada elemento de la imagen tiene exactamente m antiim´agenes suelen denominarse “aplicaciones m → 1â€?. Por esta raz´on en algunos textos el teorema anterior recibe el nombre de “teorema m → 1â€?. Con esta nomenclatura, podemos reescribirlo en la siguiente forma:

148

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

Corolario 9.12. Sea un abierto de C, f una funci´on holomorfa en , z 0 ∈ , m ∈ N, f (z 0 ) = w0 m veces. Entonces existen abiertos V , W , tales que • z 0 ∈ V ⊆ ; • f (V ) = W (y, en particular, w0 ∈ W ); • f : V \ {z 0 } → W \ {w0 } es suprayectiva y m → 1. Si convenimos en que w0 tiene z 0 como antiimagen m veces, tambi´en podemos poner • f : V → W es suprayectiva y m → 1. Hay variantes de este teorema que reflejan de forma “anal´Ĺtico-algebraicaâ€? la semejanza local de f (z) con w0 + (z − z 0 )m . Por ejemplo: Proposici´on 9.13. Sea un abierto de C, f una funci´on holomorfa en , z 0 ∈ , m ∈ N, f (z 0 ) = w0 m veces. Entonces existen un abierto V y una funci´on Ď• ∈ H(V ) tales que • z 0 ∈ V ⊆ ; • f (z) = w0 + [Ď•(z)]m (para todo z ∈ V ); • la derivada Ď• no tiene ceros en V y Ď• es una aplicaci´on invertible de V sobre un disco D(0; r ). Demostraci´on. Ver Rudin, ob. cit. (Teor. 10.32, p. 245). El ejemplo siguiente ilustra en una situaci´on concreta los conjuntos que intervienen en la demostraci´on del teorema m → 1. Ejemplo. Sea = C \ {0}, f ∈ H( ) definida por 1 f (z) = z + , z z 0 = 1, w0 = f (z 0 ) = 2. Comprobar que f toma el valor 2 en 1 dos veces, y ver para qu´e valores de r > 0 se consigue, si D = D(z 0 ; r ), que ∗ D ⊆ ; ∗ f (z) − w0 no se anule en D \ {z 0 }; ∗ f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 }. Para tales r , hallar = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r }. Dibujar, para alg´un valor de r , los conjuntos Jr = { f (z) : |z − z 0 | = r },

K = {z : | f (z) − w0 | = }.

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

149

Respuesta. f (z) = 1 −

1 = 0 �⇒ z = 1 o z = −1, z2

y f

(1) = 2 = 0. Adem´as (z − 1)2 , f (z) − w0 = z luego las condiciones ∗ se verifican exactamente para los r tales que 0 < r < 1. Para estos r ,

r2 |z − 1|2 = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = min : |z − 1| = r = , |z| 1+r 1 que es una funci´on de r creciente en (0, 1), de modo que 0 < < . 2 Para dibujar Jr , tengamos en cuenta que |z − z 0 | = r â‡?⇒ z = z 0 + r eit = 1 + r eit ,

t ∈ [0, 2Ď€ ],

y as´Ĺ f (z) = z +

e2it + r eit (z − 1)2 1 , =2+ = 2 + r2 z z 1 + 2r cos t + r 2

t ∈ [0, 2Ď€],

expresi´on que permite describir param´etricamente con comodidad e f (z), m f (z). Para dibujar K , comencemos por observar que 1 1 1 2 2 w + w − 4 o´ z = w− w −4 , f (z) = z + = w â‡?⇒ z = z 2 2 que para w = 2 + eit , t ∈ [0, 2Ď€], supone, abreviando la notaci´on, it 1 z =1+ e Âą 4 eit + e2it . 2 2 Recordando que  √   a + a 2 + b2   x =Âą ,    2 √ √ a + bi = x + i y â‡?⇒  −a + a 2 + b2   y = Âą ,   2   sig x y = sig b,

150

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

vamos a parar a 1 2 e z = 1 + cos t Âą 4 cos t + cos 2t + 16 + 8 cos t + 2 2 2 1 2 −4 cos t − cos 2t + 16 + 8 cos t + m z = sen t Âą 2 2 2 con los signos Âą combinados para que el signo del producto coincida con el de 4 sen t + sen 2t = (4 + 2 cos t) sen t, t ∈ [0, 2Ď€], que es igual al signo de sen t. As´Ĺ quedan las gr´aficas de K y Jr para r = 2/3: f −→ 1

1

0.5

0.5

0

0

0.5 x

1

-0.5

1.5

2

1.5 x

2

2.5

3

3.5

-0.5

y

y

-1

-1

K

Jr

NOTA.

Algunos programas de ordenador permiten obtener gr´aficos animados que muestran, de manera espectacular, la evoluci´on de los conjuntos K y Jr seg´un var´Ĺa r .

9.7

´ ABIERTA TEOREMA DE LA APLICACION

Corolario 9.14. (Teorema de la aplicaci´on abierta). Sea un abierto de C, f una funci´on holomorfa en no constante en ninguna componente conexa de . Entonces f es abierta. En particular, f ( ) es un abierto de C; y si es una regi´on, f ( ) tambi´en es una regi´on.

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

151

Demostraci´on. Recordemos que f es abierta cuando la imagen f (U ) de cada abierto U ⊆ es un abierto en C. Sea, pues, w0 ∈ f (U ) y tomemos z 0 ∈ U de modo que f (z 0 ) = w0 . Aplicando el teorema m → 1 en z 0 a la restricci´on de f a U , encontramos abiertos V , W tales que z 0 ∈ V ⊆ U , w0 ∈ W = f (V ) ⊆ f (U ), y as´Ĺ w0 es interior a f (U ). El teorema de la aplicaci´on abierta permite dar nuevas demostraciones de resultados conocidos. Corolario 9.15. (Principio del m´odulo m´aximo). Sea f una funci´on holomorfa no constante en ninguna componente conexa de un abierto de C. Entonces | f | no puede tener un m´aximo local en ning´un punto de . Demostraci´on. Por ser f abierta, dado z 0 ∈ y D(z 0 ; R) ⊆ , si w0 = f (z 0 ) existe un disco D(w0 ; r ) ⊆ f (D(z 0 ; R)) con infinitos puntos w para los que resulta | f (z 0 )| = |w0 | < |w| = | f (z)|, z ∈ D(z 0 ; R). Ejercicio. Sea f una funci´on holomorfa en una regi´on y supongamos, por ejemplo, que ( e f )3 = m f . Entonces f es constante. [Indicaci´on: f ( ) no puede ser abierto en C al estar contenido en el conjunto {x + i y : x, y ∈ R; x 3 = y}.] (Tenemos as´Ĺ otra “explicaci´onâ€? de resultados obtenidos como consecuencia de las condiciones de Cauchy-Riemann.) 9.8

´ INVERSA TEOREMAS DE LA FUNCION

Teorema 9.16. (Teorema global de la funci´on inversa). Sea f una funci´on holomorfa e inyectiva en un abierto no vac´Ĺo . Entonces • f ( ) es abierto; • f −1 : f ( ) → es continua; • f (z) = 0 para todo z ∈ ; • f −1 es holomorfa en f ( ), y para cada w0 ∈ f ( ) es

f −1 (w0 ) =

1 , f (z 0 )

donde z 0 = f −1 (w0 ). Demostraci´on. Como f es inyectiva, no es constante en ninguna componente conexa de , con lo que f ser´a abierta y por ello f ( ) es abierto y f −1 es continua.

152

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

Si en alg´un punto z ∈ fuese f (z) = 0, tendr´Ĺamos f (z) = w m veces, con m ≼ 2; en consecuencia, la restricci´on de f a alg´un entorno V de z ser´Ĺa m → 1, contra la inyectividad de f . Por u´ ltimo, el teorema de derivabilidad de la funci´on inversa en un punto es as´Ĺ aplicable en cada punto de f ( ), de manera que f −1 ∈ H( ) ya que f −1 es derivable en cada punto de f ( ), y su derivada viene dada, como ya sab´Ĺamos, por la f´ormula del enunciado. Observaci´on. Para que una funci´on holomorfa sea inyectiva es condici´on necesaria pero no suficiente que la derivada no se anule en ning´un punto. Por ejemplo, la funci´on exponencial tiene derivada no nula en todos los puntos sin ser inyectiva. Tal como sucede en el caso de funciones de varias variables reales, en el rec´Ĺproco s´olo se llega a un resultado local, que es una ligera mejora del “teorema 1 → 1â€?. Teorema 9.17. (Teorema local de la funci´on inversa). Sea f una funci´on holomorfa en un abierto no vac´Ĺo arbitrario . Sean z 0 ∈ , w0 = f (z 0 ), f (z 0 ) = 0. Entonces existen entornos abiertos V , W de z 0 y w0 respectivamente, tales que f aplica biyectivamente V sobre W y ( f |V )−1 : W → V es holomorfa en W . Precisando m´as: Tomemos cualquier disco D = D(z 0 ; r ) tal que (∗) D ⊆ , (∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }. Poniendo entonces = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = d(w0 , f (∂ D)), W = D(w0 ; ), V = D ∊ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < }, se verifica: (1) f : V → W biyectivamente; (2) f (z) = 0 para cada z ∈ V ; (3) ( f |V )−1 : W → V es holomorfa. Demostraci´on. N´otese que siempre existen discos D = D(z 0 ; r ) para los que se cumplen las hip´otesis (∗) y (∗∗), pues en caso contrario encontrar´Ĺamos una sucesi´on de puntos z n ∈ \ {z 0 } con l´Ĺmite z 0 de manera que f (z n ) = w0 = f (z 0 ) para todo n, y resultar´Ĺa f (z 0 ) = 0. (1) Evidentemente f (V ) ⊆ W , luego para probar que f aplica biyectivamente V sobre W basta ver que para cada w ∈ W existe un z ∈ V y s´olo uno tal que f (z) = w, o equivalentemente, que para cada w ∈ W el n´umero de ceros de la funci´on f (z) − w en V sea 1.

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

153

Tomemos, pues, w ∈ W = D(w0 ; ). Por hip´otesis, el n´umero de ceros de f (z) − w0 en D es exactamente 1, y si γ es la circunferencia de centro z 0 y radio r orientada positivamente, para cada z ∈ sop γ = ∂ D, |( f (z) − w) − ( f (z) − w0 )| = |w − w0 | < ≤ | f (z) − w0 |, luego por el teorema de Rouch´e f (z) − w tiene un cero simple en D, que estar´a en V porque si f (z) = w, | f (z) − w0 | = |w − w0 | < . (2) Como la restricci´on de f a V es inyectiva, f no es constante en ninguna componente conexa de V , con lo cual f es abierta. Denotando por comodidad con f −1 la inversa de la restricci´on de f a V , esto significa que f −1 : W → V es continua y, de paso, implica que V es conexo por serlo W . Si aplicamos el teorema global de la funci´on inversa, necesariamente f (z) = 0 para todo z ∈ V . (3) Basta tener en cuenta que, seg´un acabamos de ver, f −1 : W → V es continua y f (z) = 0 para los z ∈ V . Teorema 9.18. (Representaciones de la funci´on inversa). Sea f una funci´on holomorfa en un abierto no vac´ıo arbitrario . Sean z 0 ∈ , w0 = f (z 0 ), f (z 0 ) = 0. Consideremos un disco D = D(z 0 ; r ) tal que (∗) D ⊆ , (∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }. Sea, como antes, = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = d(w0 , f (∂ D)), W = D(w0 ; ), V = D ∩ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < }. Llamando γ a la circunferencia de centro z 0 y radio r orientada positivamente, siempre que |w − w0 | < se verifica 1 z f (z) −1 (1) dz; f (w) = 2πi γ f (z) − w ∞

z f (z) 1 (2) dz (w − w0 )n ; f −1 (w) = n+1 2πi γ ( f (z) − w0 ) n=0 n−1 ∞ 1 d ψ(z)n f −1 (w) = z 0 + (3) (w − w0 )n , n−1 n! dz z=z 0 n=1 donde ψ(z) = serie) .

z − z0 (f´ormula de Lagrange para la inversi´on de una f (z) − w0

154

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

Demostraci´on. El ciclo formado por γ es hom´ologo a 0 respecto de : los puntos de D son los u´ nicos con ´ındice no nulo respecto de γ . (1) Dado w ∈ W = D(w0 ; r ), hemos probado anteriormente que hay un u´ nico punto a ∈ D = D(z 0 ; r ) tal que f (a) = w. Adem´as, para cada z ∈ ∂ D es | f (z) − w0 | ≥ > |w − w0 |, luego a es el u´ nico punto en D para el que f (a) = w. Por consiguiente, la funci´on z f (z) g(z) = f (z) − w es meromorfa en , no tiene singularidades sobre sop γ y a es la u´ nica singularidad con ´ındice no nulo (= 1) respecto de γ . Aplicando el teorema de los residuos, 1 z f (z) dz = Res(g; a). 2πi γ f (z) − w Puesto que

lim [(z − a) g(z)] = lim

z→a

z→a

1 z−a

z f (z) =

a f (a) = a, f (z) − f (a) f (a)

g tiene en a un polo simple (o una singularidad evitable si a = 0); en cualquier caso, Res(g; a) = a y as´ı z f (z) 1 dz = a = f −1 (w). 2πi γ f (z) − w (2) Teniendo en cuenta que si z ∈ sop γ , entonces | f (z)−w0 | ≥ > |w−w0 |, desarrollando en potencias de w − w0 el integrando de (1) e integrando t´ermino a t´ermino como de costumbre obtenemos la igualdad deseada. (3) Integrando por partes, para n ≥ 1 resulta 1 z f (z) dz 1 dz = 2πi γ ( f (z) − w0 )n+1 2πin γ ( f (z) − w0 )n y esta u´ ltima integral podemos calcularla a trav´es del teorema de los residuos, pues el integrando presenta una u´ nica singularidad en z 0 , que es exactamente un polo de orden n, y as´ı 1 dz 1 1 = Res ; z0 2πin γ ( f (z) − w0 )n n ( f (z) − w0 )n n−1 (z − z 0 )n 1 d 1 . = n (n − 1)! dz n−1 ( f (z) − w0 )n z=z0

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

155

Ejemplo. Sea = C, f (z) = z e z , z 0 = 0, w0 = f (z 0 ) = 0. En este caso f (z) = w0 = 0 s´olo para z = 0, luego para cualquier r > 0 el disco D(z 0 ; r ) cumple (∗) y (∗∗). Como = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = min{|z e z | : |z| = r } = min{r e e z : |z| = r } = r e−r , el valor m´aximo para se obtiene si r = 1, en cuyo caso = e−1 . El desarrollo en serie de f −1 : D(0; 1/e) → D(0; 1) se halla muy f´acilmente por el m´etodo de Lagrange, pues ahora Ďˆ(z) = e−z y

con lo cual f

−1

d n−1 n Ďˆ(z) dz n−1

(w) =

= (−1)n−1 n n−1 , z=z 0

∞ (−1)n−1 n n−1

n!

n=1

wn ,

|w| <

1 . e

(La serie tiene radio de convergencia 1/e). NOTA. En Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable (Vol. II). Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 94 y ss., pueden verse ejemplos muy interesantes de aplicaciones de la f´ormula de Lagrange al estudio de los polinomios de Legendre y de la ecuaci´on de Kepler para la anomal´Ĺa exc´entrica. 9.9

EJERCICIOS RESUELTOS

Comenzaremos por aplicar el teorema de los residuos al c´alculo de una integral real. Ejercicio. Estudiar la existencia y, en su caso, calcular el valor de

+∞ −∞

x sen x d x. x 2 + 4x + 20

Respuesta. El integrando es una funci´on (llam´emosle g) definida y continua en todo R. Sin embargo no es una funci´on integrable-Lebesgue en R, pues si lo fuese sen x , que ya sabemos que lo ser´Ĺa tambi´en (comparando por cociente) la funci´on x no es integrable-Lebesgue en R. La integral tiene sentido como integral impropia, convergente por el criterio de Abel: “si Ď• es una funci´on impropiamente integrable en un intervalo (a, b) y

156

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

b ψ es una funci´on mon´otona y acotada en dicho intervalo, a ϕ ψ es convergente”. x2 sen x , ψ(x) = 2 ; puesto En nuestro caso: g = ϕ ψ para ϕ(x) = x x + 4x + 20 4x (x + 10) y limx→±∞ ψ(x) = 1, ψ est´a acotada en R y es que ψ (x) = 2 (x + 4x + 20)2 mon´otona en (0, +∞), (−∞, −10); por la convergencia de la integral de ϕ en ambos intervalos, g es impropiamente integrable en los mismos, y es integrable (es continua) en [−10, 0]. Ensamblando estos resultados, obtenemos que g es impropiamente integrable en R. De todas formas, los c´alculos que haremos a continuaci´on probar´an que la in R g. tegral tiene sentido al menos como valor principal, es decir, que existe lim R→+∞ −R

La funci´on f definida por z ei z f (z) = 2 z + 4z + 20 es meromorfa en C, y sus u´ nicas singularidades son los polos simples p1 = −2+4i, p2 = −2 − 4i. iR Si R es el ciclo formado por el γR camino γ R ∪ ψ R , donde (ver figura) γ R : t ∈ [0, π ] → γ R (t) = R eit ∈ C, ψ R : t ∈ [−R, R] → ψ R (t) p1 √ = t ∈ C, siempre que R > | p1 | = 20 ser´a R un ciclo hom´ologo a 0 en C para el que Ind R ( p1 ) = 1, Ind R ( p2 ) = 0. Pode-R ψR O R mos as´ı aplicar el teorema de los resip2 duos para obtener

• •

R

Pero

z ei z f = 2πi Res( f ; p1 ) = 2πi lim (z − p1 ) z→ p1 (z − p1 )(z − p2 ) i 1 1 + e−4−2i = − + i π e−4−2i . = 2πi 2 4 2

R

f =

γR

f +

ψR

f =

γR

f +

R −R

f (x) d x,

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

157

√ y puesto que lim R→+∞ (R 2 − 4R − 20) = +∞, existir´a un R0 > 20 tal que, para todo R > R0 , R 2 − 4R − 20 > 0; siempre que R > R0 podremos poner, pues, π π it it = ≤ f (R eit ) R dt f f (R e ) Ri e dt γR

0

R·R ≤ 2 R − 4R − 20

0

π R2 e−R sen t dt. 2 R − 4R − 20 0 = 0 y e−R sen t = e−R sen t < e0 =

i R eit e dt =

π 0

Dado que para t ∈ (0, π ) es lim e−R sen t R→+∞

1 ∈ L ([0, π]), por el teorema de la convergencia dominada π lim e−R sen t dt = 0. 1

R→+∞ 0

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se πprueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotaci´on π 2t (1 − e R ), deducida de la desigualdad sen t ≥ para e−R sen t dt ≤ R π 0 π 0 ≤ t ≤ .) 2 Como consecuencia, lim

R→+∞ γ R

f = 0,

lo que permite deducir la existencia y valor del l´ımite +∞ R 1 V.P. f (x) d x = lim f (x) d x = − + i π e−4−2i R→+∞ 2 −∞ −R y de aqu´ı +∞ −∞

x sen x d x = m x 2 + 4x + 20

+∞

V.P. −∞

f (x) d x

= (cos 2+

1 sen 2) π e−4 . 2

En el pr´oximo ejercicio aplicaremos el teorema de Rouch´e y el principio del argumento para localizar ceros de un polinomio en conjuntos de distinto tipo. Ejercicio. Hallar el n´umero de ceros que tiene el polinomio P(z) = z 3 − (1 + 2i) z 2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i 1 < |z| < 5}. 2 ¿Cu´antos de ellos est´an en el semiplano superior H = {z ∈ C : m z > 0}? ¿Cu´antos de ellos est´an en el semiplano inferior H

= {z ∈ C : m z < 0}? ¿Por qu´e?

en la corona D(0; 1/2, 5) = {z ∈ C :

158

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

Respuesta. Sea g(z) = z 3 , z ∈ C. Si |z| = 5, |P(z) − g(z)| = | − (1 + 2i) z 2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i| √ √ √ ≤ |1 + 2i| · 52 + |3 − 7i| · 5 + |8 − 4i| = 3 · 25 + 58 · 5 + 80 < 3 · 25 + 8 · 5 + 9 = 113 < 125 = |z|3 = |g(z)|, con lo cual: • P(z) y g(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la circunferencia {z ∈ C : |z| = 5}; • podemos aplicar el teorema de Rouch´e para concluir que P y g tienen el mismo n´umero de ceros (contados seg´un su multiplicidad) en el interior de dicha circunferencia, es decir, 3. 1 Sea ahora h(z) = 8 − 4i, z ∈ C. Si |z| = , an´alogamente 2 3 √ 1 2 √ 1 1 1 1 1 |P(z)−h(z)| ≤ + 5 + 58 < + ·3+ ·8 < 5 < |8−4i| = |h(z)|, 2 2 2 8 4 2 con lo cual: • P(z) y h(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la 1 circunferencia {z ∈ C : |z| = }; 2 • podemos aplicar el teorema de Rouch´e para concluir que P y h tienen el mismo n´umero de ceros (contados seg´un su multiplicidad) en el interior de dicha circunferencia, es decir, 0. En consecuencia, P(z) tiene 3 ceros en la corona D(0; 1/2, 5). (Puesto que a lo m´as puede tener 3 ceros en C, se sigue que todos los ceros de P quedan dentro de la corona). Para ver cu´antos de ellos est´an en H bastar´a, pues, averiguar simplemente cu´al es el n´umero N de ceros que tiene P en H . Como el polinomio P tiene un n´umero finito de ceros, si M es el m´aximo de los m´odulos de todos ellos, los N que est´en en H quedar´an en el interior del ciclo R formado por el camino γ R ∪ ψ R , donde (ver figura)

γR

-R•

ψR

iR

•

•O

R•

γ R : t ∈ [0, π ] → R eit ∈ C; ψ R : t ∈ [−R, R] → t ∈ C, y R es cualquier valor mayor que M. Por consiguiente, dado que P es holomorfa en = C y trivialmente R ∼ 0 (C), si P no se anula en el soporte de R , podemos hallar N aplicando la versi´on geom´etrica del principio del argumento.

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

159

Comprobemos que P no se anula en sop R . Por la elecci´on de R, es obvio que P no se anula en el soporte de Îł R ; tampoco se anula en el soporte de Ďˆ R , como se vi´o en el Cap´Ĺtulo 5, Secci´on 5.4. As´Ĺ pues, siempre que R > M se tendr´a N = Ind Pâ—Ś(Îł R âˆŞĎˆ R ) (0), y en consecuencia tambi´en N = lim Ind Pâ—Ś(Îł R âˆŞĎˆ R ) (0), R→+∞

que nos llevar´a m´as f´acilmente al c´alculo de N . Es inmediato comprobar (ÂĄcomprobar!) que Pâ—Ś(Îł R âˆŞĎˆ R ) = (Pâ—ŚÎł R )âˆŞ(Pâ—ŚĎˆ R ) y que arg(P â—Ś (Îł R âˆŞ Ďˆ R )) = arg(P â—Ś Îł R ) + arg(P â—Ś Ďˆ R ). Aplicando el razonamiento del final de la Secci´on 5.4 a nuestro polinomio P, lim ARG P(R eit ) = 3Ď€.

R→+∞ 0≤t≤π

Tambi´en se prob´o entonces que si x(t) := e (P â—Ś Ďˆ R )(t) = e P(t) = t 3 − t 2 − 3t + 8, y(t) := m (P â—Ś Ďˆ R )(t) = m P(t) = −2t 2 + 7t − 4, se obten´Ĺa, para valores “suficientemente grandesâ€? de R,

ARG (P â—Ś Ďˆ R )(t) = Ď€ + arc tg

−R≤t≤R

y(−R) y(R) − arc tg , x(R) x(−R)

de donde se sigue que lim ARG (P R→+∞ −R≤t≤R

â—Ś Ďˆ R )(t) = Ď€,

lo que unido a lo anterior permite concluir que 2Ď€ N = 2Ď€ ¡ lim Ind Pâ—Ś(Îł R âˆŞĎˆ R ) (0) = 3Ď€ + Ď€ = 4Ď€, R→+∞

es decir, que N = 2. Como P tiene 3 ceros, ninguno de ellos real, esto implica que el n´umero de ceros de P en H

es necesariamente 1. -—oOo—-

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