7b:T7a9,88 Indice de un punto respecto de un camino cerrado Ejercicio. Para valores “muy grandes” de R > 0 (luego precisaremos más), sea γ : t ∈ [−R, R] → t 3 − (1 + 2i) t 2 − (3 − 7i) t + 8 − 4i ∈ C. Hallar la variación de un argumento continuo a lo largo de γ . Respuesta. Para situar γ (t) según los valores de t, estudiemos la variación de signos de x(t) := e γ (t) = t 3 − t 2 − 3t + 8, y(t) := m γ (t) = −2t 2 + 7t − 4, extendidas a todo t ∈ R. √ √ 1 + 10 10 Como x (t) = 3t 2 − 2t − 3 se anula para t = < 0 y t = > 0, 3 3 mantendrá su signo en los intervalos (−∞, t ), (t , t ), (t , +∞). Y puesto que limt→−∞ x (t) = limt→+∞ x (t) = +∞; x(t ) > 1 − (6/3)2 − (1 + 4) + 8 = 0 y x (0) = −3 < 0, siendo 0 ∈ (t , t ), podemos resumir esta información en el cuadro siguiente: t 1− → −∞ ∈ (−∞, t ) = t ∈ (t , 0) = 0 ∈ (0, t ) = t ∈ (t , +∞) → +∞ x (t) → +∞ >0 x(t) → −∞ =0 <0 = −3 <0 =0 >0 → +∞ =8 >0 → +∞ del que se deduce que x(t ) > 0, y por tanto existe un t0 ∈ (−∞, t ) y uno sólo con x(t0 ) = 0, mientras que x(t) ≥ x(t ) > 0 para todo t ∈ [0, +∞). √ 7 − 17 , Por otra parte y(t) = −2t 2 + 7t − 4 = −2(t − t1 )(t − t2 ) con t1 = 4 √ 7 + 17 t2 = , de modo que t0 < t < 0 < t1 < t2 y, en consecuencia, obtenemos 4 la siguiente evolución de signos para x(t), y(t), con la ubicación de γ (t) = x(t) + i y(t): → −∞ ∈ (−∞, t0 ) = t0 ∈ (t0 , t1 ) = t1 ∈ (t1 , t2 ) = t2 ∈ (t2 , +∞) → +∞ t x(t) → −∞ <0 =0 >0 >0 >0 >0 >0 → +∞ y(t) → −∞ <0 <0 <0 =0 >0 =0 <0 → −∞ γ (t) ∈ C3 ∈ −iP ∈ C4 ∈P ∈ C1 ∈P ∈ C4 donde hemos puesto P = (0, +∞), C1 = {z ∈ C : e z > 0, m z > 0}, C3 = {z ∈ C : e z < 0, m z < 0}, C4 = {z ∈ C : e z > 0, m z < 0}. Elegimos R de modo que −R < t0 < t2 < R.7c:T66e,Indice de un punto respecto de un camino cerrado 89 Vemos asÂ´Äą