Раздел 10. Ряды (задачник) by Абзалимов Рамиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 10 «Ряды»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 10 «Ряды». Контрольноизмерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 160 с. Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 10 «Ряды», предназначенный для оценки знаний студентов. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости 2. Числовые ряды с членами произвольных знаков. Абсолютная и условная сходимость. 3. Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряд Тейлора. 4. Разложение функций в ряд Фурье. Интеграл Фурье и преобразование Фурье.

4 22 38 55

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

номер темы

порядковый номер

сложность

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ) по разделу: «РЯДЫ » 1. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. 2. Числовые ряды с членами произвольных знаков. Абсолютная и условная сходимость. 3. Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряд Тейлора. 4. Разложение функций в ряд Фурье. Интеграл Фурье и преобразование Фурье.

1. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости Номер: 1.1.А(2) ∞

Задача: Если ряд ∑ a n сходится, то ряд, полученный из него отбрасыванием k n =1

первых слагаемых Ответы: 1). расходится 2). сходится 3). перестает быть рядом 4). может сходиться или расходиться Номер: 1.2.А(1) Задача: Сходимость ряда не зависит Ответы: 1). от его первых членов 2). от суммы первых n членов 4). от расходимости ряда 3). от a n

Номер: 1.3.А(2) ∞

Задача: Если ряд ∑ a n сходится и lim a n = q , то Ответы: 1). q = ∞

n =1

n →∞

2). q = 0

3). q < 1

4). q ≥ 1

Номер: 1.4.А(1) Задача: Для сходимости ряда условие lim a n = 0 n →∞

Ответы: 1). является достаточным 2). не является достаточным 3). является критерием Коши 4). полностью характеризует поведение ряда Номер: 1.5.А(1) Задача: Утверждение: «Каждому числовому ряду однозначно соответствует последовательность» Ответы: 1). всегда верно 2). верно в некоторых случаях 3). неверно 4). верно только для обеспечения гармонических рядов Номер: 1.6.А(3) a Задача: По признаку Даламбера lim n +1 = q и ряд сходится, если n →∞ a n Ответы: 1). q > 1 2). q ≤ 1 3). q < 1 4). q = 1

Номер: 1.7.А(1) Задача: Если последовательность частичных сумм ряда предела не имеет, то ряд называется Ответы: 1). расходящимся 2). сходящимся 3). геометрическим 4). остаточным

Номер: 1.8.А(2) Задача: Частичной суммой ряда называется Ответы: 1). сумма n последних членов ряда 2). сумма n первых членов ряда 3). предел n- го члена ряда 4). последовательность n первых членов ряда Номер: 1.9.А(4) Задача: Если из числового ряда отбросить конечное число его членов, то Ответы: 1). ряд перестанет быть рядом 2). любой ряд станет сходящимся 3). сходимость ряда нарушится 4). сходимость ряда не нарушится Номер: 1.10.А(2) 1 , то ряд n →∞ 2 Ответы: 1). сходится 2). расходится 4). сходится в интервале

Задача: Если lim a n =

3). сходится в точке

Номер: 1.11.А(3) Задача: Если для знакоположительных рядов

∑ u n и ∑ v n отношение

un vn

стремится к некоторому положительному и конечному пределу, то Ответы: 1). ряды сходятся 2). о поведении рядов ничего нельзя сказать 3). ряды сходятся или расходятся одновременно 4). один из рядов сходится, а другой расходится Задача: Если для ряда ∑ a n

Номер: 1.12.А(2) существует lim n a n = q , то этот ряд сходится при n →∞

q < 1 и расходится при q > 1. Данный признак называется признаком Ответы: 1). Даламбера 2). Коши 3). интегральным 4). сравнения Номер: 1.13.А(1) 1 1 1 + + ... + + ... называется … и, он … 2 3 n Ответы: 1). гармоничный, расходится 2). гармоничный, сходится 3). геометрический, расходится 4). нет правильного ответа

Задача: Ряд 1 +

Номер: 1.1.А ∞

1 . Указать десятый член данного ряда 2 n + 3 n =1 1 1 1 2). 3). 4). 13 23 3

Задача: Дан ряд ∑ Ответы: 1).

1 5

Номер: 1.2.А ∞

Задача: Дан ряд ∑ Ответы: 1).

3 29

n =13n

2). 3

. Указать третий член данного ряда 3).

1 5

4).

1 27

Номер: 1.3.А ∞

Задача: Закончить утверждение: если ряд ∑ a n сходится, то n =1

Ответы: 1). его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е. lim u n = 0 n →∞

2). n-й член ряда стремится к бесконечности при неограниченном возрастании n, т.е. lim u n = ∞ n →∞

3). предел его частичной сумы не существует или равен бесконечности при неограниченном возрастании n 4). нет правильного ответа Номер: 1.4.А

∞

Задача: Найти пятый член ряда ∑

n =1

Ответы: 1).

1 5

2).

1 4

3).

32 33

n +8 31 4). 29

Номер: 1.5.А

1 3 5 7 + + + + ... . Найти общий член данного ряда 2 4 8 16 2n − 1 n +1 n 1

Задача: Дан ряд: Ответы: 1).

2).

3).

4).

Номер: 1.6.А 7

1 1 1 1 + + + + ... . Найти общий член данного ряда 2 8 24 64 1 1 1 1 Ответы: 1). 2). 3). 4). n! (2n − 1) ⋅ 2 n (3n − 1) ⋅ 2 n n ⋅ 2n Задача: Дан ряд:

Номер: 1.7.А

9 27 81 + + + ... . Найти общий член данного ряда 2 6 24 3n 3n 2n + 5 2). 3). 4). n n 2n

Задача: Дан ряд: 3 +

3n Ответы: 1). n!

Номер: 1.8.А

1 4 9 16 + + + + ... . Найти общий член данного ряда 3 25 49 81 n 2 n n2 ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 2). ⎜ 4). Ответы: 1). ⎜ ⎟ ⎟ 3). ⎜ ⎟ 2n + 1 ⎝ 2n − 1 ⎠ ⎝ 2n + 1 ⎠ ⎝ 2n + 1 ⎠ Задача: Дан ряд:

Номер: 1.9.А ∞

Задача: Закончить утверждение: если ряд ∑ a n сходится и его сумма равна S, n =1

∞

то ряд ∑ c ⋅ a n , где c – какое-либо фиксированное число n =1

Ответы: 1). сходится и его сумма равна S 2). о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя, необходимо дополнительное исследование данного ряда 3). сходится и его сумма равна c ⋅ S 4). сходится или расходится в зависимости от того чему равно c, т.е. если 1) 0 < c < 1 , то ряд сходится 2) c > 1, то ряд расходится Номер: 1.10.А Задача: Какие из данных рядов удовлетворяют необходимому условию сходи∞

∞

1 мости: 1) ∑ n =1 n

n 2) ∑ n =1 n + 1

Ответы: 1). 2 и 3

2). 2, 3 и 4

2n 3) ∑ n =1 n ∞

3). 1 и 5

4). 5

Номер: 1.11.А 8

∞

4) ∑ 2 n n =1

∞

5) ∑

n =1 n

1 2

Задача:

Вычислить,

∞

1 n =1 n + 1

1) ∑

какие

∞

представленных

∞

1 n =2 ln n

3) ∑

2). 3

3). 3, 5

2) ∑

Ответы: 1). 1, 2, 4

из

∞

n =1 n

рядов

∞

n n =1 n + 3

4) ∑

+ n +1

сходятся

5) ∑

n =1 3

4). 2, 3, 4

Номер: 1.12.А

⎛1⎞ 2) ∑ ⎜ ⎟ n =1⎝ 2 ⎠ ∞

∞

Задача: Даны ряды: 1) ∑ n + 1 n =1

∞

3) ∑ 3 n n =1

∞

4) ∑

∞

n =13

5) ∑ n !.

n =1

Выяснить, какие из представленных рядов расходятся Ответы: 1). 1, 2, 3, 4 2). 2, 4, 5 3). 1, 3, 5 4). 1 Номер: 1.13.А

3n 2) ∑ n =1 n

∞

1 Задача: Даны ряды: 1) ∑ n =1 n (n + 1)(n + 2 ) ∞ ∞ 1 1 4) ∑

n =1

(n + 1)(n

сходятся Ответы: 1). 1, 4, 5

5) ∑

)

n =1 10

2). 1

∞

1 n+3

3) ∑

n =1

. Выяснить, какие из представленных рядов

3). 2, 3

4). 2, 5

Номер: 1.14.А

n! n =1 2 ∞

Задача: Даны ряды: 1) ∑ ∞

5) ∑

n =1 n

1 n

n+3 n =1 n + 5

∞

1 n =1 ln (n + 1)

∞

3) ∑

2) ∑

∞

4) ∑

n =1

)

. Выяснить, какие из рядов расходятся

Ответы: 1). 1, 2, 3

2). 2, 5

3). 3

4). все

Номер: 1.15.А ∞

∞ ∞ ∞ n 1 n 3) ∑ 1 4) ∑ n 5) ∑ . Задача: Даны ряды: 1) ∑ n + 3 2) ∑ n =1 (n + 1)(n + 2 ) n =1 n =1 n =1 n =1 3 n 5 ∞

Выяснить, какие из рядов расходятся Ответы: 1). 4, 5 2). все 3). 1, 4 4). 1, 2, 3, 4 Номер: 1.16.А ∞

2 n +1

n =1

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.17.А 9

10 n Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ n =1 (n + 1)! ∞

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.18.А

2n ⋅ n! Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ n =1 (n + 3) ∞

Ответы: 1). сходится 2). расходится 3). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.19.А

1000 n Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ n =1 (n + 1)! ∞

Ответы: 1). сходится условно 3). сходится

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.20.А ∞

n =1

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.21.А

⎛ n ⎞ Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ ⎜ ⎟ n =1⎝ 2n + 3 ⎠ ∞

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.22.А

1 ⎛ 1⎞ 1+ ⎟ n ⎜ n⎠ n =1 3 ⎝ ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа

Номер: 1.23.А 10

∞

n =2

(ln n )n

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). сходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.24.А n

⎛ n2 +1 ⎞ 1 ⎟ ⋅ Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ ⎜⎜ 2 ⎟ en n =1⎝ n + 2 ⎠ ∞

Ответы: 1). сходится условно 3). сходится

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.25.А ∞

n n ⋅ 3n

n =1

(6n + 2)n

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.26.А ∞

n =1

n2 +1

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.27.А ∞

n =1

n2 + 4

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). сходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.28.А ∞

1 n =1 (n + 4 ) ln (n + 4 )

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа

Номер: 1.29.А 11

n +1 n n =1 ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.30.А

1 n =5 (n − 1) ln (n − 1) ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.31.А ∞

Задача: Дан сходящийся ряд ∑ u n . При отбрасывании или добавлении конечn =1

ного числа членов Ответы: 1). ряд останется сходящимся 2). ряд станет расходящимся 3). ряд останется сходящимся и его сумма изменится 4). не зная членов ряда ничего нельзя сказать о сходимости или расходимости нового ряда Номер: 1.32.А ∞

Задача: Ряд ∑ (a n − b n ) , представляющий собой разность расходящихся рядов n =1

∞

n =1

∑ a n и ∑ bn

Ответы: 1). может быть как сходящимся так и расходящимся 2). сходится 3). расходится 4). сходится условно Номер: 1.33.А Задача: Указать ряды, для которых выполняется необходимое условие сходи∞ 1 ∞ 1 1 2) ∑ 3) ∑ n =1 n + 1 n =1 n n =1 5 n 7 ∞

мости, но они являются расходящимися 1) ∑

1 ∑ n =1 ln (n + 2 ) ∞

Ответы: 1). 3, 5

∞

n2 + n

n =1

n 2 + 3n + 1

∑

2). 1, 4

3). 1, 2, 4

Номер: 1.34.А 12

4). 1, 2, 4, 5

∞

Задача: Закончить утверждение: обобщенный гармонический ряд ∑

n =1

дится Ответы: 1). при p ≥ 1

2). при p ≤ 1

3). при p > 1

1 n

схо-

4). при 0 < p < 1

Номер: 1.35.А ∞

1 n (n + 7 )(n + 9 )

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.36.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

(n + 1)!

n =1 2

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

⋅ n!

2). сходится 4). нет правильного ответа

Номер: 1.37.А Задача: Указать ряды, которые можно исследовать по признаку Даламбера ∞ n ∞ ∞ 2n ∞ (2n )! 1 1 2) ∑ n 3) ∑ 4) ∑ 5) ∑ 1) ∑ n n n =1 n + 3 n =1 5 n =1 ln n n =1 n n =1 3 ∞

Ответы: 1). 2, 5

2). 1, 2, 3

3). 4, 5

4). 5

Номер: 1.38.А Задача: Указать ряды, которые можно исследовать по радикальному признаку ∞

Коши 1) ∑

n =1

(n + 1) nn

⎛ n ⎞ ⋅ 5 − n 2) ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠ ∞

Ответы: 1). 1, 2, 5

2). 2, 4

∞

∑

n =1

3 ⎛ 1⎞ 5) ∑ ⎜1 + ⎟ n⎠ n =1 ⎝ n =1 n ! ∞

∑

3). 2, 3, 4

4). 3, 5

Номер: 1.39.А ∞

Задача: Дан ряд a n = ∑

n =1

Ответы: 1). 11/3

2). 2/31

n n3 + 2

. Найти a 22 + 2 a 12 ⋅ a 22 3). 2/3

4). 5/6

Номер: 1.40.А Задача: Дан ряд 3 +

3n Ответы: 1). n!

9 27 81 + + + K . Найти общий член ряда 2 6 24 3n 3n 3 2). 3). 4). n 2n 2n +1 Номер: 1.41.А 13

∞

1 2 9 64 + + + + K . Найти общий член ряда 2 3 8 10 n nn 3n n 2). 3). n 4). Ответы: 1). (n + 1)! n +1 n! 2n + 2 Задача: Дан ряд

Номер: 1.42.А Задача: Дан ряд 2 + Ответы: 1).

3n + 3 n

9 64 625 7776 + + + + K . Найти общий член ряда 2 2 3 5 ( ( 3n n + 1)n 3n + 1)2 n 2). 3). 4). n n n +1 Номер: 1.43.А ∞

3n + 1

n =1

n ⋅ 3n

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.44.А

3n Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ n =1 (2 n )! ∞

Ответы: 1). расходится 3). сходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.45.А ∞

n =1

(2 n + 1)n

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится условно 3). сходится

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.46.А ∞

(n + 1)n

n =1

2 n ⋅ 32n

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.47.А ∞

2n + 3

n =1

(n + 3)2

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.48.А ∞

4n − 1

n =1

(n + 3) ⋅ (n + 1)2

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.49.В ∞

n =1

n2 + 4

Задача: Исследовать на сходимость ∑ arccos Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.50.В ∞

n =1

n2 + 2

Задача: Исследовать на сходимость ∑ arccos Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.51.В ∞

n =1

n3 + 4

Задача: Исследовать на сходимость ∑ arccos Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.52.В

n ⎞ ⎛ Задача: Исследовать на сходимость ∑ ⎜ arcsin ⎟ n + 3⎠ n =1 ⎝ ∞

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.53.В

⎛ n2 ⎞ ⎜ ⎟ Задача: Исследовать на сходимость ∑ ⎜ arctg 2 n =1 ⎝ n + 4 ⎟⎠ ∞

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа

Номер: 1.54.В

n3 −1 Задача: Исследовать на сходимость ∑ arctg n+4 n =1 ∞

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.55.В

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎟ Задача: Исследовать на сходимость ∑ ln ⎜ π ⎜ cos ⎟ n =2 ⎜ ⎟ ⎝ n⎠ ∞

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.56.В

⎛ 2πn ⎞

∞

⎟⎟ Задача: Исследовать на сходимость ∑ sin n ⎜⎜ 3 n + 1 n =1 ⎝ ⎠ Ответы: 1). сходится 2). сходится условно 3). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.57.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =2

Ответы: 1). сходится 3). расходится

1 ln n!

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.58.В

⎛ ln n ⎞ Задача: Исследовать на сходимость ∑ ⎜1 − ⎟ n ⎠ n =1 ⎝ ∞

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.59.В ∞

n 10

n =1

(1,1)n

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа

Номер: 1.60.В ∞

sin 2

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

πn 3

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.61.В ∞

n =1

2n − n

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.62.В ∞

3 + (− 1)n

n =1

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.63.В ∞

2 n + (− 1)n

n =1

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.64.В ∞

cos

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

1 n

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.65.В

π ∞ n Задача: Исследовать на сходимость ∑ n =1 (2 n − 1) ⋅ (2 n + 5) cos

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа

Номер: 1.66.В

(

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

n − n −1

)

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.67.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =2

Ответы: 1). сходится 3). расходится

1 n +1 ln n −1 n

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.68.В ∞

Задача: Найти сумму ряда ∑

n =1

Ответы: 1). 1/2

6 2

n + 5n + 6

2). 1

3). 0

4). 2

Номер: 1.69.В

∞

Задача: Найти сумму ряда ∑

n =1

Ответы: 1). –1

−1 n (n + 1)

2). 0

3). 0,5

4). 2

Номер: 1.70.В ∞

n =1

n 2 + 3n

Задача: Найти сумму ряда ∑ Ответы: 1). 11

2). ∞

3). 87

4). 7,75

Номер: 1.71.В ∞

n =1

n 2 + 7 n + 12

Задача: Найти сумму ряда ∑ Ответы: 1). 1/4

2). 1/12

3). 1/2

4). 10

Номер: 1.72.В ∞

Задача: Найти сумму ряда ∑

n =1

Ответы: 1). 0,5

1 (2 n − 1) ⋅ (2 n + 1)

2). 1

3). 0,25

4). 2,37

Номер: 1.73.В ∞

n =1

2 n −1

Задача: Найти сумму ряда ∑ Ответы: 1). 1

2). 2

3). 0,5 15

4). 1,5

Номер: 1.74.В ∞

1 (2 n − 1) ⋅ (2 n + 5)

Задача: Найти сумму ряда ∑

n =1

Ответы: 1). 23/90

2). 25

3). 0,27

4). 0

Номер: 1.75.В ∞

3 + 2n

n =1

Задача: Найти сумму ряда ∑ Ответы: 1). 1

2). 1,5

3). 0,5

4). 2

Номер: 1.76.В ∞

n =1

9 n2 − 3n − 2

Задача: Найти сумму ряда ∑ Ответы: 1). –0,5

2). 1/3

3). 1/9

4). 0

Номер: 1.78.В ∞

Задача: Найти сумму ряда ∑

n =1

Ответы: 1). 11/18

1 n (n + 3)

2). 0,5

3). 5/12

4). 2,3

Номер: 1.79.С ∞

n =2

ln 2 (n !)

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

2). расходится 4). сходится условно

Номер: 1.80.С 2 ∞ n

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). нет правильного ответа 4). расходится Номер: 1.81.С ∞

1 n =1 n n !

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится 4). нет правильного ответа

Номер: 1.82.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

3n + 2

)

− 2 ln(3n − 1)

2). сходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.83.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

(

n + 2 − 2 n +1 + n

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.84.С ∞

ln(n !)

n =2

n ln n n

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ Ответы: 1). сходится условно 3). сходится

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.85.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =2

Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

n2 + 2 − n2 − 2 n n+4

2). расходится 4). сходится условно

Номер: 1.86.С ∞

n =2

(ln n )ln n

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

2). сходится 4). сходится условно

Номер: 1.87.С ∞

n =3

(ln ln n )ln n

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

Ответы: 1). сходится 2). расходится 3). нет правильного ответа 4). нельзя установить сходимость и расходимость Номер: 1.88.С ∞

n =3

(ln n )ln ln n

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ Ответы: 1). сходится

2). сходится условно 17

3). расходится

)

4). нельзя установить сходимость или расходимость Номер: 1.89.С ∞

n =2

(ln n )2

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.90.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =2

Ответы: 1). расходится 3). сходится

1 n ln n ⋅ ln(ln n )

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.1391.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n n (n !)2

n =2

Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

2). расходится 4). сходится условно

Номер: 1.92.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =2

Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

(

ln n

n ln 4 n + 4

2). сходится условно 4). сходится

Номер: 1.93.С ∞

1 − cos

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

1 n

(ln n )ln n

2). сходится условно 4). расходится

Номер: 1.94.С

⎛ n =1 ⎝ ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ⎜1 + Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

ln n ⎞ ⎟ n ⎠

2). расходится 4). сходится условно

)

Номер: 1.95.С

n + 1⎞ ⎛1 − ln ⎟ n ⎠ n =1 ⎝ n ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ⎜ Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

2). сходится условно 4). сходится

Номер: 1.96.С

2n + 1 ⎞ ⎛ − 1⎟ Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ⎜ n ln 2n − 1 ⎠ n =1 ⎝ ∞

Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

2). расходится 4). сходится условно

Номер: 1.97.С

⎛ 1 ⎞ n ⎜ Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ n e − 1⎟ ⎟ n =1 ⎜ ⎝ ⎠ ∞

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). нет правильного ответа 4). расходится Номер: 1.98.С ∞

n2 − 2

n =2

n2 + n + 2

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ln Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.99.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

) (

2). нет правильного ответа 4). сходится Номер: 1.100.С ∞

n2 +1

n =1

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ n ln Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

2). сходится 4). сходится условно

Номер: 1.101.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =2

)

2 + 1 ln 2 n 3 + 1

n 3

n −1

)

−1

Ответы: 1). нет правильного ответа 3). сходится условно

2). расходится 4). сходится

Номер: 1.102.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ln n =2

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

ln (n + 1) ln n

2). сходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.103.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

1 ⎜⎛ e n + 3 ⎜⎝

1 n

⎞ − 1⎟ ⎟ ⎠

2). сходится условно 4). расходится

Номер: 1.104.С ∞

n2 + 5

n =1

n2 + 4

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ n ln Ответы: 1). сходится 3). нет правильного ответа

2). сходится условно 4). расходится

Номер: 1.105.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ln n =2

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

1 + (ln n )ln n

(ln n )ln n

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.106.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n2 + 2 − n2 − 2 n 2 + 3n

n =2

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 1.107.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

n2 1⎞ ⎛ ⎜2 + ⎟ n⎠ ⎝

2). расходится 4). нет правильного ответа 20

Номер: 1.108.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится

1 1⎞ ⎛ ln 2 ⎜ sin ⎟ n⎠ ⎝

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 1.109.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n =2

Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

(

2). сходится условно 4). сходится

)

n + 1 − n ln

n +1 n −1

2. Числовые ряды с членами произвольных знаков. Абсолютная и условная сходимость. Номер: 2.1.А Задача: Теорема Лейбница является … признаком сходимости Ответы: 1). необходимым и достаточным 2). только достаточным 3). только необходимым 4). интегральным Номер: 2.2.А Задача: Если знакопеременный ряд сходится условно, то ряд из положительных членов … , ряд из отрицательных членов … . Ответы: 1). расходится, расходится 2). расходится, сходится 3). сходится, расходится 4). сходится, сходится Номер: 2.3.А Задача: Всякий абсолютно сходящийся ряд Ответы: 1). может сходиться или расходиться 3). сходится

2). расходится 4). сходится условно

Номер: 2.4.А ∞

Задача: Пусть для знакочередующегося ряда ∑ (− 1)n +1 a n выполнены условия: n =1

1) a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ ... , 2) lim a n = 0 . Тогда ряд … , причем его сумма S. n →∞

Ответы: 1). сходится, S ≤ a 1 3). расходится, S ≥ a 1

2). сходится, S ≥ a 1 4). сходится, S = a n

Номер: 2.5.А Задача: Для условно сходящихся рядов перестановки слагаемых Ответы: 1). могут приводить к изменению суммы 2). не приводят к изменению суммы 3). всегда делают ряд расходящимся 4). всегда делают ряд абсолютно сходящимся Номер: 2.6.А Задача: Если для знакочередующегося ряда признак Лейбница не выполняется, то Ответы: 1). ряд абсолютно сходится 2). ряд сходится условно 3). ряд расходится 4). о поведении ряда ничего нельзя сказать Номер: 2.7.А Задача: Ряды, у которых знаки соседних слагаемых противоположны называются Ответы: 1). знакопостоянными 2). знакопеременными 22

3). знакочередующимися

4). функциональными Номер: 2.1.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится абсолютно

n (n + 1) ⋅ (n + 2) 5n

2). расходится 4). сходится условно Номер: 2.2.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n =1

Ответы: 1). сходится условно 3). сходится

n+3 6n

2). расходится 4). сходится абсолютно Номер: 2.3.А ∞

(− 1)n +1

n =1

n ⋅ 4 n +1

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится абсолютно 3). сходится

2). расходится 4). сходится условно

Номер: 2.4.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

⎛ n ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 7 n + 2 ⎝ ⎠

2). сходится 4). сходится условно Номер: 2.5.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится

2n ⋅ 2 n +2

2). сходится абсолютно 4). сходится условно Номер: 2.6.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

(− 1)n

n =1 3 n

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). сходится

Номер: 2.7.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1) ⋅ n ! n

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). сходится Номер: 2.8.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

⋅

⎛ 1⎞ 2 n ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠

2). сходится условно 4). сходится Номер: 2.9.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

⋅

2 n +1 2n + 2

2). сходится абсолютно 4). сходится Номер: 2.10.А

(− 1)n +1

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). сходится Номер: 2.11.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

⋅

1 n 4 + n3 + n 2 + 1

2). сходится условно 4). сходится Номер: 2.12.А

n100 Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1) ⋅ n 2 n =1 ∞

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). сходится

Номер: 2.13.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

3n ⋅ (n + 3)!

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). сходится Номер: 2.14.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

2). сходится условно 4). сходится Номер: 2.15.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1) ⋅ n

n =1

Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

n n2 + 2

2). сходится абсолютно 4). сходится Номер: 2.16.А

Задача: Определить, сколько членов ряда

∞

(− 1)n −1

n =1

2 n + 3n

∑

вычислить его сумму с точностью до 0,001 Ответы: 1). 5 2). 6 3). 7

4). 8

Номер: 2.17.А Задача: Определить, сколько членов ряда

следует взять, чтобы

∞

(− 1)n −1

n =1

n3 + 1

∑

вычислить его сумму с точностью до 0,001 Ответы: 1). 8 2). 9 3). 10

следует взять, чтобы

4). 11

Номер: 2.18.А ∞

(− 1)n

n =1

n − ln n

Задача: Оценить остаток ряда ∑ Ответы: 1).

1 n

2).

1 n + 1 − ln (n + 1)

3). 1

4). 0

Номер: 2.19.А Задача: Определить, сколько членов ряда вычислить его сумму с точностью ε = 10 −2 Ответы: 1). 10 2). 5 3). 20

(− 1)n ∑ n =1 n (n + 1) ∞

4). 9

следует взять, чтобы

Номер: 2.20.А

n2 следует взять, ∑ (− 1) ⋅ 6 n +1 n =1 ∞

Задача: Определить, сколько членов ряда

чтобы вычислить его сумму с точностью до 10 −3 Ответы: 1). 4 2). 5 3). 6 4). 7 Номер: 2.21.А ∞

(− 1)n +1

n =1

n ⋅ 2n

Задача: Оценить остаток ряда ∑ Ответы: 1).

1 2 ⋅ 2 n ⋅ (n + 1)

1 n

4). 100

1 n3 + 3 n2 + 3 n + 2

4).

2). 1/2

3).

Номер: 2.22.А ∞

(− 1)n +1

n =1

n3 + 1

Задача: Оценить остаток ряда ∑ Ответы: 1).

1 n ⋅ (n + 1)

2). 100

3).

1 n12

Номер: 2.23.А ∞

(− 1)n +1

n =1

Задача: Оценить остаток ряда ∑ Ответы: 1). 1

2). 3/2

3). 2

4).

(n + 1)2

Номер: 2.24.А

Задача: Оценить остаток ряда Ответы: 1).

1 n3 + 4 n2 + 6 n + 4

(− 1)n +1 ∑ 2 n =1 (n + 1) ⋅ (n + 1) ∞

2).

1 n2 + 2 n + 3

3).

1 1000

4). 8

Номер: 2.25.А Задача: Закончить утверждение: Ряд называется абсолютно сходящимся, если: Ответы: 1). сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов 2). сам ряд сходится, а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится 3). сам ряд расходится, а ряд составленный из абсолютных величин его членов сходится 4). нет правильного ответа 26

Номер: 2.26.А ∞

Задача: Закончить утверждение: Для знакочередующихся рядов ∑ (− 1) ⋅ a n , n

n =1

которые удовлетворяют условиям теоремы Лейбница справедлива следующая оценка остатка ряда ∞

∞

+∞

n +1

2). ∫ f (x ) dx ≤ R n ≤ ∫ f (x ) dx

Ответы: 1). R n ≤ ∫ f (x ) dx n

3). R n < a n

4). R n ≤ a n +1

Номер: 2.27.А Задача: Указать ряды, которые сходятся условно:

∞ (− 1)n +1 ( − 1)n −1 2). ∑ 1). ∑ n =1 ln (n + 3) n =1 n + 4 ∞

Ответы: 1). все

∞

3). ∑

n =1

(− 1)n

∞

n +3

2). 1,2,4

(− 1)n +1

n =1

n5 + 1

1). ∑

∞

2). ∑

Ответы: 1). 1,2,4,5

n =1

(− 1)n +1

n +1

n =1

∞

(− 1)n

n =1

3). ∑

2). 1,3,4

n =1

3). 4,5

4). 1,2

Номер: 2.28А Задача: Какие из рядов сходятся абсолютно: ∞

∞

4). ∑ (− 1) 5). ∑ (− 1) ⋅ n !

∞

4). ∑

n =1

3). 1,4

(− 1)n 5). 2n

∞

(− 1)n

n =1

2 n + 5n

∑

4). 1,2

Номер: 2.29.А ∞

Задача: Закончить утверждение: Если в знакочередующемся ряде ∑ (− 1) ⋅ U n члены ряда: U1 > U 2 > U 3 > K и lim U n = 0 , то ряд

n =1

n →∞

Ответы: 1). сходится и его сумма положительна и не превосходит первого члена 2). сходится и его сумма не превосходит n + 2 − го члена ряда 3). расходится 4). сходится условно и его сумма равна единице Номер: 2.30.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1) ⋅ n

n =1

Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

1 2n

2). сходится абсолютно 4). сходится

Номер: 2.31.А Задача: Закончить утверждение: Если ряд сходится абсолютно, то при перестановке членов данного ряда Ответы: 1). ряд станет расходиться 27

2). ряд останется абсолютно сходящимся и его сумма не изменится 3). ряд станет условно сходящимся 4). ряд останется абсолютно сходящимся, но его сумма изменится Номер: 2.32.А

(− 4)n

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

(2n

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

2). сходится условно 4). нет правильного ответа

n =1

)

Номер: 2.33.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

(

n =1

Ответы: 1). нет правильного ответа 3). сходится абсолютно

(− 3)n

n +1

2). расходится 4). сходится условно

Номер: 2.34.А ∞

(− 3n − 1)n

n =1

4n ⋅ n n

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится абсолютно 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 2.35.А ∞

(− 1)n ⋅ n 4

n =1

n2 + 3

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится абсолютно 3). нет правильного ответа

2). сходится условно 4). расходится

Номер: 2.36.А

(− 1)n 2 −

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =2

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.37.А

(− n

)

−1 Задача: Исследовать на сходимость ∑ n =1 (n + 1)! n ∞

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). нет правильного ответа

2). расходится 4). сходится условно 28

Номер: 2.38.А

⎛ 1⎞ ⎜− ⎟ ⎝ 3⎠

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.39.А

(− 1)n +1

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1 3

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

n2 + 3n +1

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.40.А ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

(− n )n

)

+ 2n + 1

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.41.А ∞

(

Задача: Исследовать на сходимость ∑ − n n =1

Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.42.А

(− 1)n (2 + n ) Задача: Исследовать на сходимость ∑ n ⋅ (n + 3) n =1 ∞

Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.43.В

Задача: Найти сумму ряда 1 − Ответы: 1). ln 2

2).

1 ln 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − +K 2 4 3 6 8 5 10 12 4). ∞

3). 0

Номер: 2.44.В Задача: Найти сумму ряда 1 + Ответы: 1). 1

2).

1 ln 6 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − − + + + − − +K 3 5 2 4 7 9 11 6 8 4). ∞

3). 0,547 Номер: 2.45.В ∞

(− 1)n +1

n =1

Задача: Найти сумму ряда с точностью 0,01 ∑ Ответы: 1). 0,37

2). 0

3). 0,84

4). 8,21

Номер: 2.46.В ∞

(− 1)n

n =0

n3 + 2

Задача: Найти сумму ряда с точностью 0,01 ∑ Ответы: 1). 0,13

2). 0

3). 0,02

4). 0,89

Номер: 2.47.В ∞

(− 1)n

n =1

2 n3

Задача: Найти сумму ряда с точностью 0,01 ∑ Ответы: 1). − 0,45

2). 1,24

3). 0

4). 0,57

Номер: 2.48.В Задача: Найти сумму ряда с точностью 0,01 Ответы: 1). 0

2). 2,51

(− 1)n ∑ n = 0 (2 n )! ∞

3). 0,54

4). 23,57

Номер: 2.49.В ∞

(− 1)n

n =0

Задача: Найти сумму ряда с точностью 0,01 ∑ Ответы: 1). 0,36

2).

1 ln 2 5

3). 2,31 Номер: 2. 50.В ∞

(− 1)n +1

n =1

5 n n!

Задача: Найти сумму ряда с точностью 0,01 ∑ Ответы: 1). 2,34

2). 0,18

3). 0,57

4). 0,01

Номер: 2.51.В

(− 1)n +1 ∑ n n =1 (2 n )! 2 ∞

Задача: Найти сумму ряда с точностью 0,01 Ответы: 1). 0,13

2). 0,62

3). -0,45

4). 0,01

Номер: 2.52.В

sin n n =1 3 n + 2 ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.53.В

cos 2 n n =4 ln ln n ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.54.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1) n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

n 2 + sin 2 n

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.55.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

(− 1)n ⋅ sin 3 n n2 +1

n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.56.В ∞

sin n

n =1

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.57.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

sin n n3

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа 31

Номер: 2.58.В ∞

cos n

n =1

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3).расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.59.В

cos 7 n Задача: Исследовать на сходимость ∑ n n =1 ∞

Ответы: 1). сходится 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.60.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

arctg n n

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.61.В

sin

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). расходится

πn 3

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.62.В

(− 1)n ⋅ cos 3

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =3

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

n−2

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.63.В

(

sin n 2 n Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1) n2 n n =1 ∞

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

)

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.64.В

cos π n n =1 n + 2 ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.65.В ∞

⎛ ⎝

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1) ⎜1 − cos n

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.66.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

1 ⎞ ⎟ n⎠

(− 1)n sin 2

π 3n

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.67.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

(− 1)n ln (n + 1)

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.68.В n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

(3 n − 2) 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ K ⋅ (2 n + 1)

n +1 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ K ⋅

∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.69.В ∞

(− 1)n +1

n=2

2 n − ln n

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.70.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n −1

n =3

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

n! 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ K ⋅ (2 n + 1)

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа

Номер: 2.71.В ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

3 ⋅ 7 ⋅ K ⋅ (4 n − 1) 5 ⋅ 8 ⋅ K ⋅ (3 n + 2 )

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.72.В

cos (n + 5) 3n n =1 ∞

Задача: Исследовать на сходимость ∑ Ответы: 1). сходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.73.С ∞

sin n 2

n =1

(3n + 4 ) ln 2 (5n + 2)

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится абсолютно 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 2.74.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

(− 1)

⋅n

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

n ( n +1) 2

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.75.С ∞

ln n

n =1

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

⋅ sin

nπ ⋅ cos n 2 4

2). сходится условно 4).сходится абсолютно

Номер: 2.76.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ (− 1) n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

n −1

cos

π n2 +1

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.77.С

n ( n −1)

(− 1) 2 sin (n n ) Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ (n + 1) n + 3 n =1 ∞

Ответы: 1). расходится

2). сходится абсолютно 34

3). сходится условно

4). нет правильного ответа Номер: 2.78.С

( − 1)n −1 cos(n + 1) Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ 2 2 n =1 n + sin (n + 1) ∞

Ответы: 1). сходится условно 3). нет правильного ответа

2). расходится 4). сходится абсолютно

Номер: 2.79.С ∞

(

)

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ sin n 2 + 1 n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.80.С ∞

(

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ cos n 2 + n n =1

Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

)

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.81.С n ( ) 1 − ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

4 n

(

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.82.С

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

(

)

∞

sin n 2 cos n 2 + 1

n =1

(ln n )ln n

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

2). сходится условно 4). нет правильного ответа

Номер: 2.83.С Задача: Исследовать на сходимость ряд

1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − + ... 2 −1 2 +1 3 −1 3 +1 n −1 n +1 Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

2). сходится условно 4). сходится абсолютно

)

⋅ cos n 2 + 1

5n 2 + 1

n =1

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

Номер: 2.84.С

ln n nπ sin 4 n =2 n ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). сходится условно 3). сходится абсолютно

2). расходится 4). нет правильного ответа

Номер: 2.85.С Задача: Исследовать на сходимость ряд

1−

1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + ... + − − + ... 2 3 4 5 6 3n − 2 3n − 1 3n

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.86.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). сходится условно

(

)

cos[(n + 1)π]sin n 2 + 1 2

)

+ 1 ln (2n + 1)

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 2.87.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ (− 1)

n +1

n =1

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

1 ⎞ ⎛ sin n 2 ln ⎜1 + 2 ⎟ n ⎠ ⎝

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.88.С

⎛ n 2 + 1⎞ ⎟ Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ arcsin 2 ⋅ cos⎜⎜ ⎟ n n =1 n +1 ⎝ ⎠ ∞

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). сходится условно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 2.89.С

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

(

)

n ⋅ n (n !)2

n =2

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

(

cos 2 n 2 + 1 ⋅ sin π n 2 + 1

∞

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.90.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

n =1

(

ln n ⋅ sin π n 2 + 1 3

n4 + n

)

Ответы: 1). расходится 3). сходится условно

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.91.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

(

sin π n 2 + 1 2n + 1

n =1

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

) ⋅ cos nπ

n +1

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.92.С

( − 1)n −1 Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ 3 n =1 ( n + (− 1)n −1 ) ∞

Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.93.С

)

(

sin π n 2 + 1 ⋅ n n Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ ln n n =2 ∞

Ответы: 1). сходится условно 3). сходится абсолютно

2). расходится 4). нет правильного ответа Номер: 2.94.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

n =2 3

Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

πn 2 cos 2 n +1 n +1 n +1 1

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.95.С

Задача: Исследовать на сходимость ряд 1 + Ответы: 1). сходится условно 3). расходится

1 1 1 1 1 1 1 − − + + − − + ... 2 3 4 5 6 7 8

2). сходится абсолютно 4). нет правильного ответа Номер: 2.96.С

Задача: Исследовать на сходимость ряд 1 + Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

1 1 1 1 1 1 1 1 − + + − + + − + ... 2 3 4 5 6 7 8 9

2). сходится условно 4). нет правильного ответа

Номер: 2.97.С Задача: Исследовать на сходимость ряд 1 + Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

1 1 1 1 1 1 1 1 + − − − + + + − ... 2 3 4 5 6 7 8 9

2). сходится абсолютно 4). сходится условно

Номер: 2.98.С

⎛ n =1⎝ ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ ⎜1 − cos Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

(

1 ⎞ 2 ⎟ ⋅ sin π n + 1 n⎠

)

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.99.С ∞

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

n =1

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

(

)

1 π ⋅ sin cos n 2 + 1 n n

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.100.С

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑

n =2

Ответы: 1). сходится абсолютно 3). расходится

(

sin n 2 + πn

∞

)

+ 2n + ln n n

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.101.С ∞

( − 1)n n arccos

n +1 n −1 n =1 n + (− 1) ln n

Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ Ответы: 1). расходится 3). сходится абсолютно

2). сходится условно 4). нет правильного ответа Номер: 2.102.С n

(

)

⎛1 + n ⎞ 3 2 Задача: Исследовать на сходимость ряд ∑ ⎜ ⎟ cos(n + 1) ⋅ sin n + 1 n =1⎝ n ⎠ ∞

Ответы: 1). расходится 3). нет правильного ответа

2). сходится условно 4). сходится абсолютно

3. Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряд Тейлора. Задача: Если ряд ∑ с n x любом x 1 , таком что Ответы: 1). x 1 < x 0

Номер: 3.1.А сходится при x = x 0 , то он абсолютно сходится и при

2). x 1 = x 0 n

3). x 1 > x 0

4). x 1 > x 0

Номер: 3.2.А расходится при x = x 0 , то он расходится и при

Задача: Если ряд ∑ с n x любом x 1 , таком что Ответы: 1). x 1 < x 0 2). x 1 > x 0

3). x 1 = x 0

4). x 1 ≤ x 0

Номер: 3.3.А Задача: Если областью сходимости степенного ряда является одна точка x 0 , то радиус сходимости R = Ответы: 1). 0 2). x 0 3). ∞ 4). любому числу, которое меньше 1 Номер: 3.4.А Задача: Сумма степенного ряда есть … функция в любой точке внутри интервала сходимости Ответы: 1). непрерывная 2). ограниченная 3). возрастающая 4). неограниченная Номер: 3.5.А Задача: Степенной ряд является частным случаем… ряда Ответы: 1). числового 2). знакочередующегося 3). знакопеременного 4). функционального Номер: 3.6.А Задача: При почленном дифференцировании степенного ряда радиус его сходимости Ответы: 1). не уменьшается 2). не увеличивается 3). стремиться к нулю 4). стремится к бесконечности Номер: 3.7.А Задача: Если среди коэффициентов степенного ряда с1 , с 2 , с 3 , ... , с n , ... нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности x − x 0 , то при условии, что предел существует, радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле c c Ответы: 1). R = lim n 2). R = p lim n , p < 0 3). R = lim n c n n →∞ c n +1 n →∞ n →∞ c n +1 38

4). R =

1 lim n c n

n →∞

Номер: 3.1.А

∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). [− 2; 2]

2). (− 2; 2 )

3). (− 2; 2]

2n ⋅ n 2 4). (− ∞; + ∞ )

n =1

Номер: 3.2.А ∞

(x + 2 ) n

n =1

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− 6; 2 )

3). [− 6; 2]

2). (− 2; 2 )

Номер: 3.3.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). [1; 3)

2). [− 1;1)

3). (− 4; 4]

4). [− 2; 2]

(x − 2 ) n

n+2 4). (− ∞; + ∞ ) n =1

Номер: 3.4.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− 2; 2 )

2). [− 2; 2]

3). (− 1;1)

n ⋅ xn

2n 4). (− ∞; + ∞ )

n =1

Номер: 3.5.А

xn Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ n =1 n + 1 Ответы: 1). [− 1;1) 2). (− 1;1) 3). (− 1;1] 4). (− ∞; + ∞ ) ∞

Номер: 3.6.А

( x + 3)n Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ n =1 n (n + 1) 2). [− 3; 3] 3). (− 3; 3) 4). (− ∞; + ∞ ) Ответы: 1). [− 4; − 2] ∞

Номер: 3.7.А 39

∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). [− 5; 5)

2). [− 1;1]

3). (− 1;1)

n =1

Номер: 3.8.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− 1;1)

2). (− 4; 4]

3). [3; 5)

n =1

Номер: 3.9.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). [2; 4]

2). [− 1;1]

3). (− 2; 4 ) Номер: 3.10.А

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда Ответы: 1). [− 1;1]

2). (− 2; 0 )

3). [− 2; 0]

n =1

xn 5n ⋅ n 4). (− ∞; + ∞ )

(x − 4 ) n n 4). (− ∞; + ∞ )

n ⋅ (x − 1)n

3 n ⋅ (n + 1) 4). (− 1;1)

(x + 1)n ∑ 3 n =1 (n + 1) ⋅ ln (n + 1) 4). (− 1;1) ∞

Номер: 3.11.А

∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− 3; 3)

2). (− 2; 2 )

3). (− 1;1)

2 n + 3n 4). (− ∞; + ∞ )

n =1

Номер: 3.12.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− ∞; + ∞ )

n3 3). (− ∞;1] U [1; + ∞ ) n =1

2). [− 1;1]

Номер: 3.13.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). [− 1;1]

2). (− 1;1)

3). [− 7; 9]

n =1

4). { 0 }

(x − 1)n n 3 ⋅ 8n 4). (− 8; 8)

Номер: 3.14.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑

n =1

2n 3

n +1

⋅ xn

Ответы: 1). (− 2; 2 )

2). (− 3; 3)

3). (− 1;1)

4). (− 3 2 ; 3 2 )

Номер: 3.15.А

xn Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ n =1 (n + 2 )! 2). (− 1;1) 3). (− 2; 2 ) 4). { 0 } Ответы: 1). (− ∞; + ∞ ) ∞

Номер: 3.16.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ n n ⋅ x n Ответы: 1). (− 1;1)

3). (− ∞; + ∞ )

2). { 0 }

n =1

4). (− ∞; 0 ) U (0; + ∞ )

Номер: 3.17.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− 1;1)

2). [− 1;1]

3). (− ∞; + ∞ )

n =1

3n ⋅ x n

(n + 2)n 4). (− 3; 3]

Номер: 3.18.А n

⎛ 1⎞ Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑ ⎜1 + ⎟ x n n⎠ n =1 ⎝ Ответы: 1). R = e 2). R = 0 3). R = 1 4). R = ∞ ∞

Номер: 3.19.А ∞

Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑ 6 n (x − 2 )

n =1

Ответы: 1). R = 6

2). R = 1

3). R = 0

4). R =

1 6

Номер: 3.20.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ n ⋅ x ⋅ (1 − 4 ) Ответы: 1). [− 1;1]

2). (− 4; 4 )

3). (3; 5)

n =1

4). (− 1;1)

Номер: 3.21.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑

n =1

)

+1 ⋅ xn

Ответы: 1). (− 1;1)

2). [− 1;1)

4). (− ∞; + ∞ )

3). x = 0

Номер: 3.22.А n

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ x n Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ ⎜⎜ n =1 ⎝ 4 n ⎠ ⎡ 1 1⎤ ⎛ 1 1⎞ Ответы: 1). (− 1;1) 2). (− ∞; + ∞ ) 3). ⎜ − ; ⎟ 4). ⎢− ; ⎥ ⎣ 4 4⎦ ⎝ 4 4⎠ ∞

Номер: 3.23.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). x = 0

2). (− 1;1)

3). [− 1;1)

n =1

( n ! )n x n 4). [− 1; 1]

Номер: 3.24.А ∞

Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑

(ln n )n x n

Ответы: 1). R = 0

4). R = ln 2

2). R = ∞

3). R = 1

n =2

Номер: 3.25.А

∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑

n =1

Ответы: 1). (− 3; 3)

2 n ⋅ (3 n − 1)

⎡ 3 3⎤ ; ⎣ 2 2 ⎥⎦

2). (− ∞;+∞ )

⋅ xn

4). x = 0

3). ⎢−

Номер: 3.26.А ∞

Задача: Если степенной ряд ∑ a n x n сходится при некотором значении x 0 , не n =1

равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении x , для которого: Ответы: 1). x < x 0 2). x > x 0 3). x − x 0 < 1 4). x − x 0 > 0 Номер: 3.27.А ∞

Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). R = 1

2). R = 0

3). R = 2

Номер: 3.28.А 42

n =1

)

+ 2 n ⋅ (x + 1)n

4). R = ∞

∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). [− 1;1]

n =1

2). (− 1;1]

3). x = 0

(2 n + 3)n 4). (− ∞; + ∞ )

Номер: 3.29.А ∞

Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑

n ⋅ 2 n ⋅ (x − 1)n

Ответы: 1). R = 0

4). R =

n =1

2). R = 2

3). R = 1

1 2

Номер: 3.30.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ (n + 1) n ⋅ 3 n ⋅ x n 2). (− ∞; + ∞ )

Ответы: 1). x = 0

3). (− 3; 3)

n =1

Номер: 3.31.А ∞

Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑

n =1

Ответы: 1). 0

2). 1

3). 2

4). [− 1;1)

(3 n )! n+2

⋅ xn

4). 3

Номер: 3.32.А

3n ⋅ n ! ⋅ xn Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑ n =1 2n (n + 1) ∞

Ответы: 1). 2

2). 0

3). 1

4). 5

Номер: 3.33.А ∞

Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑

n n ⋅ (n + 1)! 2n!3

n =1

Ответы: 1). 1

2). 0

3).

4 e

∞

Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда ∑

n =1

2). 1

3).

⋅ xn

4). 2

Номер: 3.34.А

Ответы: 1). 0

2 e

4). 43

1 e

)

⎛n⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

⋅ xn

Номер: 3.35.А Задача: Найдите радиус сходимости степенного ряда Ответы: 1). e

2). 2

3). 0

(3n + 1 )! 2 n ∑ (2 n )! n =1 ∞

⋅ xn

4). 1

Номер: 3.36.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑

n =1

Ответы: 1). [− 1;1)

⎛1 3⎞ ⎝2 2⎠

2). (− 3; 3)

2 ⋅ (x − 1)n 3

4). (− 1;1)

3). ⎜ ; ⎟

Номер: 3.37.А

3 n +1 ⋅ (x − 3)n n+2

∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑

n =1

⎡ 8 10 ⎞

Ответы: 1). ⎢ ; ⎟ ⎣3 3 ⎠

⎛ 8 1⎤ ⎦ ⎝

⎛ 1 1⎞ ⎝ 3 3⎠

2). ⎜ − ; ⎟

3). ⎜ ; ⎥ 3 3

4). нет правильного ответа

Номер: 3.38.А ∞

Задача: Найдите область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− 2; 2 )

2). [0; 4 )

n =1

3). [− 2; 4 )

(n + 1) 4). (− 1; 2] 2

⋅ (x − 2 ) n

Номер: 3.39.А Задача: Какие из степенных рядов сходятся абсолютно при любых значениях ∞

n =1

x : 1) ∑

n =1

∞

n =1

ln n n

⋅ x ; 2) ∑

∞

4) ∑

∞

2 ⋅n

⋅ (x − 1)n ; 5) ∑

n =1

Ответы: 1). все

2). 1), 4)

⋅x

2n 3

∞

n =1

(n !)n

3) ∑

⋅ xn ;

⋅ (x + 3)n

3). 1), 2), 3)

4). нет правильного ответа

Номер: 3.40.А Задача: Какие из степенных рядов сходятся абсолютно только при x = 0 : ∞

(n + 1)n

n =1

1) ∑

∞

⋅ x ; 2) ∑

n =1

⎛2⎞ n 4) ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ (x + 1) ; n =1 ⎝ 3 ⎠ ∞

∞

ln n

n =1

⋅ (x − 2 )n 3) ∑

(n + 3)3 ∞ (x + 2 ) n 5) ∑ 2 n =1 (n + 3) 44

⋅ xn ;

Ответы: 1). 1)

2). все

3). 2), 3)

4). нет правильного ответа

Номер: 3.41.В

n n +1 2 n Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ x n ! n =1 ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ Ответы: 1). ⎜ 2). ⎜ − ; ⎟ 3). ⎜ 0; ⎟ ; ⎟ ⎝ e e⎠ ⎝ e⎠ ⎝ e e⎠ ⎡ 1 1 ⎞ 4). ⎢− 5). нет правильного ответа ; ⎟ e e⎠ ⎣ ∞

Номер: 3.42.В ∞

(x − 2 ) 2 n

n =1

3n + 2 n

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

(

Ответы: 1). 0; 2 + 3

)

(

2). 2 − 3; 2 + 3

⎛ 1 1⎞ ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 1 1⎞ ⎝ 5 5⎠

3). ⎜ − ;

4). ⎜ − ; ⎟

)

5). нет правильного ответа

Номер: 3.43.В ∞

(2x + 1)n

n =1

3n − 2

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (0; 1)

3). [− 1; 0 )

2). (− 1; 0 )

⎡1 ⎞

4). ⎢ ;1⎟ ⎣2 ⎠

5). нет правильного ответа Номер: 3.44.В ∞

1 2n ⋅ (x − 2 ) n =1 n + 1

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (1; 3)

2). [1; 3)

3). (− 2; 2 )

4). { 2 } 5). нет правильного ответа

Номер: 3.45.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). { 3 } 4).

(3 2; 3 4 )

(x − 3)2n +1

n =1

2). (2; 4 )

3). [2; 4)

5). нет правильного ответа 45

Номер: 3.46.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

n =1

⎡1

(x − 3)2n +1

(2n

)

+ 3n ⋅ 4 n

⎤

2). ⎢ ; 4⎥ 3). (− ∞; ∞ ) 4 ⎣ ⎦ 5). нет правильного ответа

Ответы: 1). (2; 4] 4). [1; 5]

Номер: 3.47.В

n3 (x + 2)2 n +1 Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ n =1 (n + 1)! 2). (−3; − 1] 3). { − 2 } Ответы: 1). (− ∞; ∞ ) 5). нет правильного ответа 4). [0; + ∞) ∞

Номер: 3.48.В n

⎛ n + 1 ⎞ 2n Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ ⎜ ⎟ x n n =1⎝ ⎠ Ответы: 1). [− 1;1] 2). (− 1;1) 3). { 0 } 4). (− ∞; ∞ ) 5). нет правильного ответа ∞

Номер: 3.49.В n

⎛ n +1 ⎞ 2 n +1 Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ ⎜ ⎟ (x − 2 ) n =1⎝ 2n + 1 ⎠ 2). 2 − 2 ; 2 + 2 3). { 2 } Ответы: 1). [1; 3] 5). нет правильного ответа 4). (− ∞; ∞ ) ∞

(

)

Номер: 3.50.В

n =1

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

⎛ 1 1⎤ ; ⎝ 2 2 ⎥⎦

Ответы: 1). [− 1;1]

2). ⎜ −

4). (− ∞; ∞ )

∞

3). { 0 }

5). нет правильного ответа Номер: 3.51.В

x 2 n −1 Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ n = 2 n ⋅ ln n Ответы: 1). { 0 } 2). (− ∞; ∞ ) 3). (− 1;1) 5). нет правильного ответа 4). 2 − 1; 2 + 1 ∞

(

]

Номер: 3.52.В

x 2 n −1

∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

⋅ ln 2 n ⋅ 4 n 3). (− ∞; ∞ ) n =2n

Ответы: 1). (− 4; 4 ) 4). [− 2; 2]

2). (− 2; 2 ) 5). нет правильного ответа Номер: 3.53.В

x 2 n −1

∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

[

Ответы: 1). − 3; 3 4). (− ∞; ∞ )

]

(

)

⋅ ln 3 n ⋅ 3 n 3). { 0 }

n =2n

2). − 3; 3 5). нет правильного ответа Номер: 3.54.В

n5 (x + 5)2n +1 Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ n =1 (n + 1)! 2). [−2; 8) 3). − 6 ; 6 Ответы: 1). [− 6; − 4] 5). нет правильного ответа 4). (− ∞; ∞ ) ∞

(

Номер: 3.55.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ Ответы: 1). (− ∞; ∞ ) 4). (− 2; 4 )

n ⋅ 9n 3). (−2; 4]

2). [0; 2] 5). нет правильного ответа

∞

(n + 1)5 ⋅ x 2 n

n =1

2n + 1

∞

x 3(n +1)

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ 2). (− 1;1) 3). { 0 } 5). нет правильного ответа Номер: 3.57.В Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

(2n + 1) ⋅ 8 n +1 3). (− ∞; ∞ ) n =1

Ответы: 1). [−2; 2) 4). (0; 8)

(x − 1)2 n

n =1

Номер: 3.56.В

Ответы: 1). [−1;1) 4). (− ∞; ∞ )

)

2). (− 2; 2 ) 5). нет правильного ответа Номер: 3.58.В 47

∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

(x + 8)3n

n2 3). { − 8 } n =1

Ответы: 1). [− 9; − 7] 4). (− ∞; ∞ )

2). (− 9; − 7 ) 5). нет правильного ответа Номер: 3.59.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ 10 2 n ⋅ (2 x − 3) Ответы: 1). (1,45;1,55)

⎧3⎫ ⎬ ⎩2⎭

2). (2; + ∞ )

2 n −1

n =1

3). [1; 2)

5). нет правильного ответа

4). ⎨

Номер: 3.60.В n

⎛ n + 1⎞ 4n Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ ⎜ ⎟ ⋅x n =1⎝ n ⎠ ⎛ −1 1 ⎞ Ответы: 1). (0;1] 2). (− 1;1) 3). ⎜ 4 ; 4 ⎟ ⎝ e e⎠ 4). { 0 } 5). нет правильного ответа ∞

Номер: 3.61.В Задача: Найти область сходимости степенного ряда 2). { 2 } 3). (1; 3) 5). нет правильного ответа

Ответы: 1). [1; 3) 4). [1; 3]

( x − 2 )2 n ∑ (− 1) ⋅ ∞

n =1

Номер: 3.62.В ∞

(− 1)n −1 ⋅ x 2 n

n =1

2n − 1

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

2). [− 1;1] 3). { 0 } 5). нет правильного ответа

Ответы: 1). (− 1;1) 4). (− ∞; ∞ )

Номер: 3.63.В

( − 1)n ⋅ x 2 n Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ n =1 (n + 1) ⋅ n + 1 2). { 0 } 3). (− ∞; ∞ ) Ответы: 1). (− 3; 3) ∞

[

4). − 3; 3

]

5). нет правильного ответа

Номер: 3.64.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ (− 1) Ответы: 1). [3; 5)

4). [3; 5]

3). { 4 }

2). (3; 5]

n −1

( x − 4 )2 n −1 ⋅ 2n − 1

n =1

5). нет правильного ответа

Номер: 3.65.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ (− 1)

[

Ответы: 1). (− 3; 3) 4). (0; 9 )

)

Номер: 3.66.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

[

]

⋅

x 2 n −1

3 n −1 ⋅ n n 3). (− ∞; ∞ )

n =1

2). − 3; 3 5). нет правильного ответа

Ответы: 1). − 5; 5 4). (− ∞; ∞ )

n +1

(− 1)n ⋅ x 2n −1

5n ⋅ n + 1 3). (0; 25) n =1

2). (− 5; 5) 5). нет правильного ответа Номер: 3.67.В

xn Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ n =1 n ! 2). (− ∞; ∞ ) 3). { 0 } Ответы: 1). [− 1;1] 5). нет правильного ответа 4). (−3;1] ∞

Номер: 3.68.В ∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ sin 2

[

Ответы: 1). − 1; 2 4). {1 }

]

n =1

2). [0; 2] 3). (0 ;2 ) 5). нет правильного ответа

1 ⋅ (x − 1)2 n n

Номер: 3.69.В ∞

1 ⋅ (x − 1)2 n n n =1 3). {1 }

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑ tg 2 Ответы: 1). [0 ;2] 4). (1; 2]

2). (− ∞; ∞ ) 5). нет правильного ответа Номер: 3.70.В

∞

Задача: Найти область сходимости степенного ряда ∑

n =1

Ответы: 1). {1 } 4). (0; 2 )

(x − 1)2 n arcsin

2). (− ∞; ∞ ) 3). (− 1;1) 5). нет правильного ответа Номер: 3.71.С

1 n

∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). (0; ∞ ) 4). (− ∞; 0 )

2). (− 1; 0] 3). (− ∞; 2 ) 5). нет правильного ответа

Задача:

Номер: 3.72.С область сходимости

Найдите

n =0

cos n x en x

функционального

ряда

∞

n +1 − n sin x ∑ (− 1) ⋅ e

n =0

Ответы: 1). (0; π k ) 4). (− 2 k π; 0 ), k ∈ Z

2). (2π k; (2 k + 1) π ) 3). (0; 4 k π ) 5). нет правильного ответа Номер: 3.73.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ 2 n ⋅ sin n =0

Ответы: 1). (− 3; − 2 ) 4). (− ∞; ∞ )

2). (− 4; − 3) 3). (− ∞; 0 ) 5). нет правильного ответа Номер: 3.74.С

∞

(− 1)n +1

n =1

n ln x

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). (1; e )

2). (e;10 e )

3). (0; e )

4). (1; ∞ ) 5). нет правильного ответа

Номер: 3.75.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). (− ∞; ∞ ) 4). (− π; π )

2). (− ∞; 0 ) 3). (0; ∞ ) 5). нет правильного ответа Номер: 3.76.С

x 3n

n =1

sin 2 (2 n − 1) x

(2n − 1)2

Задача: ∞

Найдите

область

1 n n! 1 + 2 2 n x 2 n =1 Ответы: 1). (− ∞; 0 ) U (0; ∞ ) 4). (− 10;10 )

∑

(

Задача: ∞

∑

n =1

)

(

n! 1 + 2 − 2 n x 2

функционального

ряда

2). (− 2; 2 ) 3). (− 4; 4 ) 5). нет правильного ответа

Номер: 3.77.С область сходимости

Найдите

сходимости

функционального

ряда

) ⎛ 1 1⎞ ⎝ 2 2⎠

⎛ 1 1⎞ ⎝ 8 8⎠

Ответы: 1). (− ∞; ∞ ) 2). ⎜ − ; ⎟ 3). ⎜ − ; ⎟ 4). ∅ 5). нет правильного ответа Номер: 3.78.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑

2 n sin x 3). (2 π k; (2 k + 1) π ) n =1

2). (− 4; 4 ) 5). нет правильного ответа

Ответы: 1). (0; π ) 4). ((2 k + 1) π; (2 k + 2 ) π ), k ∈ Z

Номер: 3.79.С ∞

n n n n =1 2 sin x π 4 ⎞ ⎛ 3). ⎜ π k + ; π k + π ⎟ 4 3 ⎠ ⎝

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). (− ∞; 0 )

⎛ ⎝

4). ⎜ π k +

2). (0; ∞ )

5 ⎞ π ; π k + π ⎟, k ∈ Z 6 6 ⎠

5). нет правильного ответа

Номер: 3.80.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑

n =1

Ответы: 1). (− ∞; ∞ )

2). (0; ∞ )

3). ∅ Номер: 3.81.С

arcsin n 3

x −3 n +1

1 n

4). нет правильного ответа

Задача: ∞

Найдите

(

2 2 ∑ sin π n + x

n =1

область

)

сходимости

2). (− ∞; ∞ )

Ответы: 1). ∅

3). (0; ∞ )

функционального

ряда

4). нет правильного ответа

Номер: 3.82. ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ sin n x Ответы: 1). (− ∞; ∞ )

2). x = 2, 5 π

3). x = 3,5 π

n =1

4). x = π

Номер: 3.83.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ 2). (0; 2 )

Ответы: 1). ∅

3). (2 ; 4 )

)

n =1

ln 2 sin

∞

cos n x

4). (4; 6 )

1 n

Номер: 3.84.С Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). (− ∞; − 2 ) Задача:

(

Найдите

)

2). (− 2; − 1)

Номер: 3.85.С область сходимости

(

функционального

ряда

⎛ n 2 x 2 − x + n x + x3 ⎞ ⎟ ∑ ⎜⎜ 2 2 ⎟ n =1 ⎝ n (x + 2 ) − n x + 1 ⎠ Ответы: 1). − 2 + 1; 2 + 1 3). (− 1; 3) ∞

3). (− 1; 0 )

en x 4). (0; ∞ ) n =1

)

( 4). (−

) 5 + 1)

2). − 3 + 1; 3 + 1

5 + 1;

Номер: 3.86.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). (0;1) U (1; ∞ ) 3). (0; 3) U (3; ∞ )

2). (0; 2 ) U (2; ∞ ) 4). (0; 4 ) U (4; ∞ )

n =1

cos en

n x −1 x

Номер: 3.87.С

2n sin n (3 x ) Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ 4 n =1 n ∞

⎛ π 2πk π 2πk ⎞ + ; + ⎟ 3 18 3 ⎠ ⎝ 18 3). (− π + 2 k π; π + 2 k π ), k ∈ Z

⎛ π π⎞ ; ⎟ ⎝ 2 2⎠ 4). ∅

Ответы: 1). ⎜ −

2). ⎜ −

Номер: 3.88.С

( − 1)n +1 Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ 3 n =1 n ln (1+ x ) ∞

Ответы: 1).

(3 e − 2; ∞ )

2).

(3 e − 1; ∞ )

3).

(3 3 − e; ∞ )

4). ∅

Номер: 3.89.С

⎛ x ln n ⎞ ⎟ n =1 ⎝x−n⎠ 4). x ≠ k , k ∈ Z ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ sin n ⎜ Ответы: 1). x ≠ 0,5

Задача: n =1

(2 n

∑

)

n =1

Найдите

ряда

n +1 2

+ 2n + x Ответы: 1). ∅ 2). (− ∞; ∞ )

∞

функционального

n +1

Задача:

3). x ≠ 3,5

Номер: 3.90.С область сходимости

Найдите

∞

∑

2). x ≠ 1,5

3). (− ∞; 0 )

Номер: 3.91.С область сходимости

4). нет правильного ответа

функционального

ряда

n+2

+n + x Ответы: 1). ∅

n+4 2

)

2). нет правильного ответа

3). (0; ∞ )

4). (− ∞; ∞ )

Номер: 3.92.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ n n =1

Ответы: 1). (− 4; − 2 )

2). (− 2; 0 )

Задача:

Номер: 3.93.С область сходимости

∞

∑

n =1

Найдите

3). (− 1;1)

(5 n x + 1 − 5 n )n ⋅ 5 n 4 n

Ответы: 1). -3

2). -2

3). -1

4). 0 53

4). (1; 3)

⎛

n⎜

⎜ ⎝

x en

функционального

⎞ − 1⎟ ⎟ ⎠

ряда

Задача:

Найдите

Номер: 3.94.С область сходимости

функционального

ряда

⎛ 2n + x 2 + n x 2 ⎞ ⎟ ∑ ⎜ n+x+2 + n (x + 2 ) ⎟⎠ n =1 ⎜ 2 ⎝ 2). (− 3; − 1) Ответы: 1). (− 5; − 3) ∞

3). (− 1; 2 )

4). (2; 4 )

Номер: 3.95.С ∞

(n + x )n

n =1

nn+x

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). (1; ∞ ) Задача:

2). (− ∞; − 1)

Найдите

3). (− 1;1)

Номер: 3.96.С область сходимости

⎛ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 K (2 n − 1) ⎞ ⎟⎟ n =1 ⎝ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 K (2 n ) ⎠ 2). (− 2; 2 ) Ответы: 1). (− ∞;−2 )

4). ∅

функционального

ряда

∞

∑ ⎜⎜

Задача: ∞

∑ x

Найдите

3). (2; + ∞ )

Номер: 3.97.С область сходимости

4). ∅

функционального

ряда

1 ⎞ ⎛ 1 1 1 − ⎜ 1+ + + + K + ⎟ n −1 ⎠ ⎝ 2 3 4

n=2

Ответы: 1). (− ∞; − 3 e]

2). (− 2 e; − 2 e]

3). (− 2e; e]

4). (e; ∞ )

Номер: 3.98.С

⎛ (− 1)n ⎞ ⎟ Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ ln ⎜1 + x ⎟ ⎜ n ⎠ n=2 ⎝ 1⎤ ⎛ ⎛ 1 1⎤ ⎛1 Ответы: 1). ⎜ − ∞; − ⎥ 2). ⎜ − ; ⎥ 3). ⎜ ; ∞ ) 4). ∅ 2⎦ ⎝2 ⎝ ⎝ 2 2⎦ ∞

Задача:

Найдите

⎞ ⎟ n ⎟ n=2 ( ) x 1 + ⎝ ⎠ 2). (− 2 ; − 0,5) Ответы: 1). (− ∞; − 2 ) ∞

⎛

Номер: 3.99.С область сходимости

n n ∑ n ln ⎜⎜1 +

функционального

3). (− 0,5; ∞ )

4). ∅

ряда

Номер: 3.100.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑

n=2

⎛ − ln 2

ln 2 ⎞

⎛ − ln 3

ln 3 ⎞

4). (− ∞; ∞ )

⎟⎟ 3). ⎜⎜ ⎟⎟ Ответы: 1). ∅ 2). ⎜⎜ ; ; 1 + ln 2 1 − ln 2 1 + ln 3 1 + ln 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Номер: 3.101.С ∞

Задача: Найдите область сходимости функционального ряда ∑ Ответы: 1). ∅

2). (− ∞; ∞ )

3). (0; ∞ )

x n2 +1 ⎛ x +21 ⎞ ⎜ 2 n − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

arctg n

n =1

4). (− ∞; 0 )

1 + (5 x )2 n

(− x )n

4. Разложение функций в ряд Фурье. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Номер: 4.1.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x + 1, T = 2π, x ∈ [0;2π]. В качестве ответа указать коэффициент a 0 . Ответы: 1). 0 2). 4π + 2 3). 3π 4). 1 Номер: 4.2.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = качестве ответа указать коэффициент a 0 . Ответы: 1). π

2). π + 2

3). 0

π−x , T = 2π, x ∈ [0;2π] . В 2 4).

1− π 2

Номер: 4.3.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x 2 , T = 2π, x ∈ [0;2π] . В качестве ответа указать коэффициент a 0 .

8π 2 Ответы: 1). 3

2).

4π 3

3). 0

4). 1

Номер: 4.4.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y =

1 x , T = 2π, x ∈ [− π; π]. В 2

качестве ответа указать коэффициент a 02 + a12 . Ответы: 1). 1 2). 2π 3). 0 4). 4 Номер: 4.5.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x , T = 2π, x ∈ [0;2π]. В качестве ответа указать коэффициент a 0 . Ответы: 1). 2π 2). π 3). 0 4). π + 1 Номер: 4.6.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x 2 + 2 x , T = 2π, x ∈ [0;2π]. В качестве ответа указать коэффициент a 0 . Ответы: 1). 0

9π − 2 2). 3

8π 2 − 12π 3). 3

4).

π 3

Номер: 4.7.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = 6 x + 1, T = 2π, x ∈ [0;2π] . В качестве ответа указать коэффициент a 0 . 2). 2π

Ответы: 1). 7

3). 12π + 2

4).

π −1 2

Номер: 4.8.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = π3 − x , T = 2π, x ∈ [0;2π]. В качестве ответа указать коэффициент a 0 . Ответы: 1). π3

2). π3 − 1

(

)

(

3). 2π π 2 − 1

)

4). π π 2 − 1

Номер: 4.9.А

Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = (x + 1) , T = 2π, x ∈ [0;2π] . В качестве ответа указать коэффициент a 0 . 2

Ответы: 1).

(2π + 1)3 − 1

2).

3π

(π + 1)2 + 1 π

3).

π −1 3

4). 0

Номер: 4.10.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = 3x 2 + 2 x + 2, T = 2π, x ∈ [0;2π] . В качестве ответа указать коэффициент a 0 .

(

)

Ответы: 1). 4 2π 2 + π + 1

2). 2 (π + 1)

3). π 2 (π − 2 )

4). 0

Номер: 4.11.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x , T = 2π, x ∈ [− π; π] . В качестве ответа указать коэффициент a 0 . Ответы: 1). 1 2). 0 3). π Задача:

4). 2π

Номер: 4.12.А Разложить в ряд Фурье функцию y = sin x , T = 2π, x ∈ [− π; π]. В

качестве ответа указать коэффициент a 0 . Ответы: 1).

4 π

2). 2 π

3).

π 2

4). 0

Номер: 4.13.А

⎧ π ⎪⎪− 4 , − π ≤ x ≤ 0 Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = ⎨ . В ответе π ⎪ , 0<x≤π ⎪⎩ 4 указать a 2 + a 3 . Ответы: 1). 0

π2 3). 4

2). 1

4). 2π

Номер: 4.14.А Задача:

⎧− 1, − π ≤ x ≤ 0 . В ответе ≤ ≤ π 1 , 0 x ⎩

Разложить в ряд Фурье функцию y = ⎨

указать a 3 . Ответы: 1). 1

2). 0

4). π

3). -1 Номер: 4.15.А

⎧0, − π ≤ x ≤ 0 . В ответе указать x , 0 x < ≤ π ⎩

Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = ⎨

a0. Ответы: 1).

π 2

2). π

3). 2 π

4). 0

Номер: 4.16.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x 3 , T = 2 π, x ∈ [− π; π]. В ответе указать a 0 + a1 . Ответы: 1). 2 2). 0 3). 8 4). 1 Номер: 4.17.А Задача:

⎧1, − π < x ≤ 0 . В ответе 3 , 0 x < < π ⎩

Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = ⎨

указать a 0 . Ответы: 1). 4

2). 1

3). 0

4). 2

Номер: 4.18.А

⎧− x , − π < x < 0 . В ответе 2 x , 0 1 < < π ⎩

Задача: Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = ⎨ указать a 0 . Ответы: 1).

3π 2

2).

π 3

3).

π 4 57

4). 0

Номер: 4.19.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = π 2 − x 2 , x ∈ (− π; π ); T = 2 π . В ответе указать a 0 + b1 . Ответы: 1). π

4 π2 3). 3

2). 0

4). 3 π

Номер: 4.20.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = cos ответе указать a 0 + b 3 . Ответы: 1).

4 π

2).

2 π

3). π

x , x ∈ [− π; π]; T = 2 π . В 2

4). 0

Номер: 4.21.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = sin ответе указать a 0 + a1 + a 22 . Ответы: 1). 0

2). 4

3).

1 π 2

4).

x , x ∈ [− π; π]; T = 2 π . В 2

π 2

Номер: 4.22.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x ⋅ sin x , x ∈ [− π; π]; T = 2 π . В ответе указать a 0 + a1 + a 22 . Ответы: 1). 4 2). 5

3). 8

4). 0

Номер: 4.23.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x ⋅ cos x , x ∈ [− π; π] . В ответе указать a 0 + a12 . Ответы: 1). 0

2). 4

3). 5

4). 1

Номер: 4.24.А Задача:

⎧− 1, ⎩1,

Разложить в ряд Фурье функцию y = ⎨

указать a 0 + a 1 . Ответы: 1). 0

2). 2

3). 1

4). 4

−π≤ x ≤0 0≤x≤π

. В ответе

Задача:

Можно

y = x2 +

y=x+

Можно

f (x ) =

2). нет ли

Фурье

3). только по синусам 4). только по косинусам

Номер: 4.26.А представить функцию

Можно

2). нет

виде

ряда

Фурье

ли

3). только по синусам 4). только по косинусам

Номер: 4.27.А представить функцию

x +1 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . 2 x +9

Можно

ли

3). только по синусам

Ответы: 1). нет

Номер: 4.28.А представить функцию

Можно

2). да ли

виде

ряда

Фурье

4). только по косинусам

1 1 + 2 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . x +1 x + 2

Задача:

ряда

1 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . x +4

Ответы: 1). да 2). нет Задача:

виде

Ответы: 1). да Задача:

1 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . x +1

Ответы: 1). да Задача:

ли

Номер: 4.25.А представить функцию

3). только по синусам

Номер: 4.29.А представить функцию

виде

ряда

Фурье

4). только по косинусам в

виде

ряда

Фурье

⎧ ⎪0, − π < x < 0 ⎪ π ⎪ . y = ⎨2, 0<x< 2 ⎪ π ⎪ 0 , <x<π ⎪⎩ 2 Ответы: 1). только по синусам Задача:

Можно

f (x ) = e x +

ли

2). только по косинусам

Номер: 4.30.А представить функцию

1 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . x+2

Ответы: 1). нет 2). да 3). только по косинусам

3). нет

виде

4). да

ряда

4). только по синусам

Фурье

Задача:

Можно

Номер: 4.31.А представить функцию

ли

виде

ряда

Фурье

x , x ∈ [0; 2π]. (x − 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x − 3)

Ответы: 1). нет

2). да 3). только по косинусам

4). только по синусам

Номер: 4.32.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = 2 x − 1, x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . В ответе указать a 0 . Ответы: 1). 2 (π − 1) Задача:

2). π

Разложить

3). π 2 + π

4). 1

Номер: 4.33.А в ряд

Фурье

y = x + (x + 1) , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . В ответе указать a 0 . В ответе указать a 0 . 2 π + 3 π + 2π 1 Ответы: 1). 2). 4 π 2 π + (2 π + 1)3 − 1 3 3π

функцию

[

3). 1

]

4). нет правильного ответа

Номер: 4.34.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = 25 − x 2 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . В ответе указать a 0 . Ответы: 1). π − 3 π

8π 2 3). 50 − 3

π 2). + 2π 3 2

4). 1

Номер: 4.35.А Задача: Разложить в ряд Фурье функцию y = x − 1, x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . В ответе указать a 0 . Ответы: 1). 2 π − 2 2). 2π 3). 3 4). нет правильного ответа

Номер: 4.36.А

π ⎧ 0 , x − π < ≤ − ⎪ 2 ⎪ ⎪sin x , − π < x ≤ 0 ⎪ 2 Задача: Можно ли разложить в ряд Фурье функцию y = ⎨ . π ⎪cos x , 0<x≤ ⎪ 2 ⎪ π ⎪0, <x<π ⎩ 2 Ответы: 1). только по синусам Задача:

Можно

ли

2). да

3). нет

Номер: 4.37.А представить в виде

⎧ ⎪0, − π < x ≤ 0 ⎪ π ⎪ y = ⎨x 2 , 0<x≤ 2 ⎪ π ⎪ 0 , <x<π ⎪⎩ 2

T = 2π.

Ответы: 1). да 2). нет

3). только по синусам

Задача:

y = 3x −

Можно

ряда

Фурье

функцию

4). нет правильного ответа ряда

Фурье

функцию

1 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . (x + 2) ⋅ (x + 1)

Ответы: 1). нет Задача:

ли

Номер: 4.38.А представить в виде

4). нет правильного ответа

2). только по косинусам

Можно

ли

3). да 4). нет правильного ответа

Номер: 4.39.А представить в виде

ряда

Фурье

функцию

1 , x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . (x − 1) ⋅ (x − 2)

Ответы: 1). нет Задача:

y = x2 +

2). да 3). только по синусам

Можно

(x − 1)

Ответы: 1). нет

ли

4). нет правильного ответа

Номер: 4.40.А представить в виде

ряда

Фурье

функцию

, x ∈ [0; 2π]; T = 2 π . 2). только по косинусам

3). да 4). нет правильного ответа

Задача:

f (x ) =

Можно 1 2 x −1 ,

ли

Номер: 4.41.А представить функцию

виде

ряда

Фурье

x ∈ [0; 2π]; T = 2 π .

Ответы: 1). да 2). только по синусам

3). нет

4). нет правильного ответа

Номер: 4.42.B(1) Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = x ⋅ cos x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 .

1 2

Ответы: 1). b1 = − , b 2 =

4 3

2). b1 = 0, b 2 =

8 3π

4). невозможно разложить функцию по синусам

3). b1 =

1 4 , b2 = − 2 3

Номер: 4.43.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = 2 + x + sin x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . Ответы: 1). b1 =

2π + 8 8 , b 2 = −1 2). b1 = 3π + , b 2 = −1 3). b1 = 0, b 2 = 1 π π

4). невозможно разложить функцию по синусам

Номер: 4.44.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = x + sin x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . 2). b1 = 0, b 2 = 3 3). b1 = 3, b 2 = −1 Ответы: 1). b1 = 2, b 2 = −1 4). невозможно разложить функцию по синусам Номер: 4.45.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = − x + sin x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . 2). b1 = −1, b 2 = 1 3). b1 = 1, b 2 = −1 Ответы: 1). b1 = −2, b 2 = 1 4). невозможно разложить функцию по синусам Номер: 4.46.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = −2x + sin x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . 62

Ответы: 1). b1 = −3, b 2 = 2

3). b1 = 1, b 2 =

2). b1 = −4, b 2 = 2

4). невозможно разложить функцию по синусам

3 2

Номер: 4.47.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = x + sin 3x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . 3). b1 = 2, b 2 = −1 Ответы: 1). b1 = 0, b 2 = 0 2). b1 = −1, b 2 = 2 4). невозможно разложить функцию по синусам Номер: 4.48.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию

x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве 2 ответа указать b1 и b 2 . 8 16 8 16 , b 2 = −1 − 2). b1 = , b2 = − Ответы: 1). b1 = 2 + 3π 15π 3π 15π 7π 4). невозможно разложить функцию по синусам 3). b1 = 0, b 2 = 6 f (x ) = x + sin

Номер: 4.49.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = x + sin 2 x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . Ответы: 1). b1 = 0, b 2 = 1

2). b1 = 2, b 2 = 0

3). b1 = 2 +

4). невозможно разложить функцию по синусам

3 , b2 = 0 π

Номер: 4.50.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = x + sin 5x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . 2). b1 = −3, b 2 = 2 3). b1 = 2, b 2 = −1 Ответы: 1). b1 = 0, b 2 = −1 4). невозможно разложить функцию по синусам Номер: 4.51.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = 2 x + sin 2 x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . 63

2). b1 = 0, b 2 = −1 Ответы: 1). b1 = 4, b 2 = −1 4). невозможно разложить функцию по синусам

3). b1 = 1, b 2 = 5

Номер: 4.52.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = x + cos x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . Ответы: 1). b1 = 1, b 2 = −

2 π

2). b1 = 1, b 2 = 2

3). b1 = 2, b 2 = −1 +

4). невозможно разложить функцию по синусам

8 3π

Номер: 4.53.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию x + cos 2 x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b2 . Ответы: 1). b1 = 2 −

4 , b 2 = −1 3π

2). b1 = 1, b 2 = 2

3). b1 = 1, b 2 = 0

4). невозможно разложить функцию по синусам Номер: 4.54.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = x 2 с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b2 . Ответы: 1). b1 = 2π −

8 , b 2 = −π π

2). b1 = 0, b 2 = 0

3). b1 = 0, b 2 = − π

4). невозможно разложить функцию по синусам Номер: 4.55.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = 3x − sin x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . 2). b1 = 5, b 2 = −3 3). b1 = 4, b 2 = −1 Ответы: 1). b1 = 0, b 2 = −3 4). невозможно разложить функцию по синусам Номер: 4.56.B Задача: Разложить в ряд Фурье по синусам периодическую функцию f (x ) = − x − sin x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать b1 и b 2 . Ответы: 1). b1 = 0, b 2 = 1 2). b1 = 0, b 2 = −1 3). b1 = −3, b 2 = 1 4). невозможно разложить функцию по синусам 64

Номер: 4.57.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = sin x + 1 с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 0, a 2 = −

4 3π

2). a 1 = 1, a 2 =

3 2

3). a 1 = 1, a 2 = −

4). невозможно разложить функцию по косинусам

2 π

Номер: 4.58.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = sin x + π с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 1, a 2 =

3 2

2). a 1 = 0, a 2 = −

4 3π

3). a 1 = π, a 2 = 1

4). невозможно разложить функцию по косинусам Номер: 4.59.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = cos x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 0, a 2 =

4 3π

2). a 1 = 1, a 2 =

4 3π

3). a 1 = 1, a 2 =

4). невозможно разложить функцию по косинусам

2 π

Номер: 4.60.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = cos x + 5 с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 0, a 2 =

4 3π

2). a 1 = 1, a 2 =

2 π

3). a 1 = 6, a 2 = −

4). невозможно разложить функцию по косинусам

3 2π

Номер: 4.61.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = x + cos x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = −

4 , a2 = 0 π

2). a 1 = 1 −

4 , a2 = 0 π

4). невозможно разложить функцию по косинусам

3). a 1 = 1, a 2 = 0

Номер: 4.62.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = − x + cos x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 =

4 , a2 = 0 π

2). a 1 = −1, a 2 = 0

3). a 1 = 1 +

4). невозможно разложить функцию по косинусам

4 , a2 = 0 π

Номер: 4.63.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = 1 − x + cos x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 =

4 , a2 = 0 π

2). a 1 = 1 +

4 , a2 = 0 π

3). a 1 = 2, a 2 = 0

4). невозможно разложить функцию по косинусам Номер: 4.64.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = 2 − x + cos x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 1 +

4 , a2 = 0 π

2). a 1 =

4 , a2 = 0 π

3). a 1 = 3, a 2 = 0

4). невозможно разложить функцию по косинусам Номер: 4.65.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = x 2 с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . 2). a 1 = 1, a 2 = 4 3). a 1 = −4, a 2 = 1 Ответы: 1). a 1 = 0, a 2 = 2 4). невозможно разложить функцию по косинусам Номер: 4.66.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = x 2 + 4 с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . 2). a 1 = 4, a 2 = 1 3). a 1 = 4, a 2 = 5 Ответы: 1). a 1 = −4, a 2 = 1 4). невозможно разложить функцию по косинусам

Номер: 4.67.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = x + x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = −

8 , a2 = 0 π

2). a 1 = 0, a 2 = 1

3). a 1 =

4). невозможно разложить функцию по косинусам

8 2 , a2 = π 3π

Номер: 4.68.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = x + 2 + x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 2, a 2 = 4

2). a 1 = −

8 , a2 = 0 π

3). a 1 =

4). невозможно разложить функцию по косинусам

8 , a 2 = −1 3π

Номер: 4.69.В Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = x ⋅ sin x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 2, a 2 =

π 6

2). a 1 = 0, a 2 = −

3 4

1 2

3). a 1 = − , a 2 = −

4). невозможно разложить функцию по косинусам

2 3

Номер: 4.70.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . Ответы: 1). a 1 = 0, a 2 = 0

2). a 1 = −

2 , a2 = 0 π

3). a 1 = −

4). невозможно разложить функцию по косинусам

4 , a2 = 0 π

Номер: 4.71.B Задача: Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию f (x ) = cos 2x с периодом T = 2π , заданную на интервале (0; π ) . В качестве ответа указать a 1 и a 2 . 2). a 1 = 1, a 2 = 0 3). a 1 = 1, a 2 = −1 Ответы: 1). a 1 = 0, a 2 = 1 4). невозможно разложить функцию по косинусам

Номер: 4.72.С Задача: Существует ли преобразование Фурье для функции f (x ) , если

f (x ) =

x 1+ x2

Ответы: 1). да 2). нет 3). нет правильного ответа 4). да, только синус преобразование Фурье Задача:

Найти

Номер: 4.73.С преобразование Фурье

⎧ 2 π ⋅ e −2 x , x ≥ 0 f (x ) = ⎨ x<0 ⎩0, 1 1 2). Ответы: 1). 2 +iα 2 −iα

Задача:

Найти

Номер: 4.74.С преобразование Фурье

x>0 ⎧0, f (x ) = ⎨ 2x ⎩ 2π ⋅e , x ≤ 0 1 Ответы: 1). 2 +iα

Задача:

Найти

2).

Найти

3).

4 + α2

Номер: 4.75.С преобразование Фурье

⎧⎪ 2 π , 1 < x < 2 f (x ) = ⎨ ⎪⎩0, x ≥ 2, x ≤ 1 2 (sin 2α + sin α ) Ответы: 1). α 4 (sin 2α + sin α ) 3). α Задача:

3).

функции

f (x ) ,

4).

2 + α2 функции

1 4 − α2 функции

1 2 − α2

f (x ) ,

4).

если

1 2 −iα

f (x ) ,

если

f (x ) ,

если

2 (sin 2α − sin α ) α 4 (sin 2α − sin α ) 4). α

2).

Номер: 4.76.С преобразование Фурье

⎧⎪ 2 π , если x ≤ 0 f (x ) = ⎨ если x > 1 ⎪⎩0, 2 sin α 2 cos α Ответы: 1). 2). α α

3). 68

функции

4 sin α α

4).

4 cos α α

Номер: 4.77.С

Задача: Найти преобразование Фурье функции f (x ) , если f (x ) = Ответы: 1).

2).

4 − α2

3).

4 − α2

4).

4 − α2

2π ⋅e

−2 x

1 4 + α2

Номер: 4.78.С

Задача: Найти преобразование Фурье функции f (x ) , если f (x ) = Ответы: 1).

Задача:

4 ⋅ e −2 i α 4+ α

2).

4 ⋅ e2i α 4+ α

3).

4 ⋅ e2i α 4− α

Номер: 4.79.С преобразование Фурье

Найти

4).

функции

2π ⋅e

−2 x −2

4 ⋅ e −2 i α 4 − α2 f (x ) ,

если

⎧⎪ 2 π , если 1 ≤ x ≤ 3 f (x ) = ⎨ если x > 3, x < 1 ⎪⎩0, 4 cos 2α ⋅ sin 2α 4 cos α ⋅ sin α Ответы: 1). 2). α α 4 cos α ⋅ sin 2α 4 cos 2α ⋅ sin α 4). 3). α α Номер: 4.80.С Задача: Если F (α ) преобразование Фурье функции f (x ) , то преобразование Фурье выражения

(

d2 f d x2

)

+ f (x ) равно

Ответы: 1). 1 + α 2 F (α )

Задача:

Найти

(

)

2). 1 − α 2 F (α )

Номер: 4.81.С синус-преобразование Фурье

⎧⎪ 2 π sin 2 x , если 0 ≤ x ≤ π f (x ) = ⎨ если x >π ⎪⎩0, 8 cos π α 8 sin π α

Ответы: 1).

3). (1 + i α ) F (α ) 4). (1 − i α ) F (α )

α2 + 4

2).

α2 + 4

3).

функции

8 cos π α α2 − 4

f (x ) ,

4).

если

8 sin π α α2 − 4

Задача:

Номер: 4.82.С синус-преобразование Фурье

Найти

функции

f (x ) ,

если

f (x ) ,

если

⎧ 2 π cos 2 x , если 0 ≤ x ≤ 2 π f (x ) = ⎨ если x > 2π ⎩0, 2 2 (1 + cos 2 α π) (1 − sin 2 α π) 2). Ответы: 1). α α 2 2 (1 − cos 2 α π) (1 + sin 2 α π) 4). 3). α α Задача:

Найти

Номер: 4.83.С косинус-преобразование Фурье

⎧ 2 π , если 0 ≤ x ≤ 2 π f (x ) = ⎨ если x > 2π ⎩0, 2 2 sin π α 2). cos π α Ответы: 1). α α Задача:

Найти

3).

функции

2 sin 2 π α α

Номер: 4.84.С косинус-преобразование Фурье

4).

2 cos 2 π α α f (x ) ,

функции

если

⎧ 2π ⎪ sin 2 x , если 0 ≤ x ≤ 2 π f (x ) = ⎨ 8 ⎪0, если x > 2π ⎩ Ответы: 1).

Задача:

sin 2 π α α2 + 4

Найти

2).

sin 2 π α

3).

α2 − 4

α2 + 4

Номер: 4.85.С косинус-преобразование Фурье

⎧ 2π ⎪ cos 2 x , если 0 ≤ x ≤ 2 π f (x ) = ⎨ 4 ⎪0, если x > 2π ⎩ sin 2 π α sin 2 π α

Ответы: 1).

cos 2 π α

4 − α2

2).

α2 + 4

3).

cos 2 π α

4).

α2 − 4

функции

cos 2 π α 4 − α2

4).

f (x ) ,

если

cos 2 π α α2 + 4

Номер: 4.86.С Задача: Если FS (α ) − синус-преобразование Фурье функции f (x ) , то синуспреобразование Фурье выражения

d 2 f (x ) d x2 70

+ f (x ) и f (0 ) = 0 равно

(

)

Ответы: 1). 1 + α 2 FS (α )

(

)

3). FS (α ) + 1

2). 1 − α 2 FS (α )

4). FS (α ) − 1

Номер: 4.87.С Задача: Если FC (α ) − косинус-преобразование Фурье функции f (x ) , то косинус-преобразование Фурье выражения

(

)

Ответы: 1). 1 − α 2 FC (α )

(

d 2 f (x )

)

2). 1 + α 2 FC (α )

+ f (x ) и f ′ (0 ) = 0 равно

3). FC (α ) + 1

4). FC (α ) − 1

Номер: 4.88.С Задача: Если F (α ) − преобразование функции f (x ) , то преобразование Фурье выражения

d 2 f (x ) d x2

( 3). (1 + α

d f (x ) + f (x ) равно dx

) − i α )F(α )

( 4). (1 − α

Ответы: 1). 1 − α 2 + i α F(α )

Задача:

Найти

Задача:

α2

Найти

Номер: 4.89.С косинус-преобразование Фурье

⎧ 2 π (x − 2 π) , если 0 ≤ x ≤ 2 π f (x ) = ⎨ если x > 2π ⎩0, 4 cos 2 π α 4 sin 2 π α

Ответы: 1).

) − i α )F(α )

2). 1 + α 2 + i α F(α )

2).

3).

α2

функции

4 sin 2 2π α α2

Номер: 4.90.С синус-преобразование Фурье

4).

f (x ) ,

если

4 cos 2 2π α

функции

α2 f (x ) ,

если

f (x ) ,

если

⎧ 2 π (x − 2 π) , если 0 ≤ x ≤ 2 π f (x ) = ⎨ если x > 2π ⎩0, 2 ⎛ sin 2 πα 2 ⎛ sin 2 πα ⎞ ⎞ 2). Ответы: 1). − 2 π⎟ + 2 π⎟ ⎜ ⎜ α⎝ α α⎝ α ⎠ ⎠ 2 ⎛ cos 2 πα 2 ⎛ cos 2 πα ⎞ ⎞ − 2 π⎟ + 2 π⎟ 4). 3). ⎜ ⎜ α⎝ α α⎝ α ⎠ ⎠ Задача:

Найти

Номер: 4.91.С синус-преобразование Фурье

⎧ 2 π (x − π ) , если 0 ≤ x ≤ π f (x ) = ⎨ если x >π ⎩0, 71

функции

2 ⎛1 ⎞ ⎜ sin π α − π ⎟ α⎝α ⎠ 2 ⎛1 ⎞ 3). ⎜ sin π α + π ⎟ α⎝α ⎠

2 ⎛1 ⎞ ⎜ cos π α + π ⎟ α⎝α ⎠ 2 ⎛1 ⎞ 4). ⎜ cos π α − π ⎟ α⎝α ⎠

Ответы: 1).

2).

Номер: 4.92.С

Задача: Найти преобразование Фурье функции f (x ) , если f (x ) = Ответы: 1).

4 ⋅ e2i α

2).

1− α2

4 ⋅ e2i α

3).

1 + α2

2 ⋅ e2i α

4).

1 + α2

2π ⋅e

− x+2

2⋅ e2iα 1 − α2

Номер: 4.93.С −x

x⋅e Задача: Найти преобразование Фурье функции f (x ) , если f (x ) = 4 2π α α α −α − 2). 3). 4). Ответы: 1). 2 1+ α2 (1 + α )2 (1 + α )2 1+ α2

(

Задача:

Номер: 4.94.С синус-преобразование Фурье

Найти

⎧ π sin 2 x , если 0 ≤ x ≤ π ⎪ f (x ) = ⎨ 2 ⎪0, если x >2π ⎩ 2 sin 2 π α 2 sin 2 π α

Ответы: 1).

4 − α2

2).

α2 − π

3).

f (x ) ,

функции

2 cos 2 π α 4 − α2

)

если

2 cos 2 π α

4).

4 + α2

Номер: 4.95.С

Задача: Найти преобразование Фурье функции f (x ) , если f (x ) = Ответы: 1).

Задача:

2 e− 4i α 1− α

Найти

2).

2 e 4i α 1− α

3).

2 e− 4i α 1+ α

Номер: 4.96.С косинус-преобразование Фурье

⎧ π cos 2 x , если 0 ≤ x ≤ 2 π ⎪ f (x ) = ⎨ 2 ⎪0, если x >2π ⎩

функции

2π ⋅e

4).

− x −4

2 e 4i α 1+ α2

f (x ) ,

если

Ответы: 1).

Задача:

α sin 2 π α α2 + 4

Найти

2).

α sin 2 π α

α cos 2 π α

3).

α2 − 4

Номер: 4.97.С косинус-преобразование Фурье

функции

4).

α cos 2 π α α2 + 4

f (x ) ,

если

⎧ π sin 2 x , если 0 ≤ x ≤ 2 π ⎪ f (x ) = ⎨ 2 ⎪0, если x >2π ⎩ Ответы: 1).

Задача:

4 sin 2 π α 4 + α2

Найти

2).

4 sin 2 π α

3).

4 − α2

Найти

α2 + 4

Номер: 4.98.С косинус-преобразование Фурье

⎧ π (x − π) , если 0 ≤ x ≤ π ⎪ f (x ) = ⎨ 2 ⎪0, если x>π ⎩ απ απ − 2 sin 2 − 2 cos 2 2 2). 2 Ответы: 1). 2 2 α α Задача:

4 cos 2 π α

функции

4).

4 cos 2 π α 4 − α2

f (x ) ,

если

απ απ − 2 cos 2 4). 2 2 2 α α

− 2 sin 3).

Номер: 4.99.С синус-преобразование Фурье

функции

f (x ) ,

если

⎧ π x , если 0 ≤ x ≤ 2 π ⎪ f (x ) = ⎨ 2 ⎪0, если x > 2π ⎩ 1 1 Ответы: 1). 2 (sin 2 π α + 2 π α cos 2 π α ) 2). 2 (sin 2 π α − 2 π α cos 2 π α ) α α 1 1 3). 2 sin 2 π α − 2 π α 2 cos 2 π α 4). 2 sin 2 π α + 2 π α 2 cos 2 π α α α

(

Задача:

Найти

)

Номер: 4.100.С синус-преобразование Фурье

⎧ π (2 x − 1) x , если 0 ≤ x ≤ 1 ⎪⎪ 2 f (x ) = ⎨ 2 1 ⎪0, если x > ⎪⎩ 2 73

(

функции

f (x ) ,

)

если

α 1 ⎛ ⎞ − 2α⎟ cos ⎜ 2 2 α ⎝ ⎠ α 1 ⎛ ⎞ 4). 2 ⎜ 2 sin − 2 α ⎟ 2 α ⎝ ⎠

α 1 ⎛ ⎞ + 2α⎟ 2 sin ⎜ 2 2 α ⎝ ⎠ α 1 ⎛ ⎞ 3). 2 ⎜ cos + 2 α ⎟ 2 α ⎝ ⎠

Ответы: 1).

Задача:

Найти

2).

Номер: 4.101.С косинус-преобразование Фурье

⎧ π 1 ( ) 2 x − 1 , если 0 ≤ x ≤ ⎪⎪ 2 f (x ) = ⎨ 2 1 ⎪0, если x > ⎪⎩ 2 4 4 α α Ответы: 1). − 2 cos 2 2). − 2 sin 2 4 4 α α Задача:

Найти

3). −

Номер: 4.102.С косинус-преобразование Фурье

⎧ π (6 x − 1) , если 0 ≤ x ≤ 1 ⎪⎪ 6 f (x ) = ⎨ 2 1 ⎪0, если x > ⎪⎩ 6 2α 12 12 α 2). 2 cos 2 Ответы: 1). 2 sin 2 12 12 α α

3).

6 α2

функции

f (x ) ,

если

4 4 α α cos 2 4). − cos 4 α 4 α

функции

cos 2

α 6

4).

f (x ) ,

6 α2

sin 2

если

α 6