Раздел 3. Введение в математический анализ (задачник)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

УДК 517(07) ББК 22.161 я 7 У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 3 «Введение в математический анализ». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007.– 113с. Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 3 «Введение в математический анализ», предназначенный для оценки знаний студентов. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517(07) ББК 22.161 я 7

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ 1. Функция, свойства функции 2. Предел числовой последовательности 3. Предел функции

0 0 ∞ 5. Раскрытие неопределенности ∞

4. Раскрытие неопределенности

5 29 38 60 72

6. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью эк- 78 вивалентных функций 7. Непрерывность функций 97

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

1

номер темы

2

А

порядковый номер

сложность

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ) по разделу: «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» 1. Функция, свойства функции 2. Предел числовой последовательности 3. Предел функции 0 0 ∞ 5. Раскрытие неопределенности ∞

4. Раскрытие неопределенности

6. Замечательные пределы. эквивалентных функций 7. Непрерывность функций

Вычисление

4

пределов

с

помощью

1. Функция, свойства функции Номер: 1.1.А Задача: Найти область определения функции y =

x +1 x2 −1

Ответы: 1). (− ∞; ∞ ) 2). (1; ∞ ) 4). (− ∞; − 1) U (− 1;1) U (1; ∞ ) 5).нет правильного ответа

3). (− ∞; − 1) U (1; ∞ )

Номер: 1.2.А Задача: Найти область определения функции y = 2 − x − x 2 Ответы: 1). (− 2;1) 2). [− 1; 2] 3). (− 1; 2] 4). (− 2; − 1) 5).нет правильного ответа Номер: 1.3.А Задача: Найти область определения функции y = lg 1 − x 2 Ответы: 1). (− 1;1) 2). [− 1; 1] 3). (− ∞;1) 4). (− ∞; − 1) 5).нет правильного ответа

(

)

Номер: 1.4.А Задача: Найти область определения функции y =

1 4

5x − x2

Ответы: 1). (5; + ∞ ) 2). (0; 5) 3). (− ∞; 4 ) 4). [0; 5] 5).нет правильного ответа Номер: 1.5.А

⎧ ⎪3 − x + 1, − 1 ≤ x < 0 ⎪ ⎪ x Задача: Найти область определения функции y = ⎨tg , 0≤x≤π 2 ⎪ ⎪ x π<x<6 ⎪⎩ x 2 − 2 , 2). [− 1; π ) U (π; 6 ) 3). (− 1; 6 ) 4). [− 1; 6] 5).нет Ответы: 1). [− 1; 6) правильного ответа

Номер: 1.6.А Задача: Найти область определения функции y = log 4− x x 2 − 2 x 2). (0; 2 ) 3). (− ∞; 0 ) U (2; 3) U (3; 4 ) Ответы: 1). (− ∞; 0 ) U (2;4 ) 4). (− ∞; 0 ) U (4; ∞ ) 5). (2; ∞ )

(

5

)

Номер: 1.7.А Задача: Найти область определения функции y = 1 − log 2 x

⎡1

⎤

⎡1

Ответы: 1). (0; 2] 2). ⎢ ; 2⎥ 3). (2;+ ∞ ) 4). [− 1;1] 5). ⎢ ; ∞ ) ⎣2 ⎦ ⎣2 Номер: 1.8.А Задача: Найти область определения функции y =

2 − log 2 (x − 1) Ответы: 1). (− ∞; 5] 2). (1; 5] 3). (2; ∞ ) 4). [3; ∞ ) 5). (− ∞;1) Номер: 1.9.А

Задача: Найти область определения функции y = 8 − (0,5) Ответы: 1). (− ∞; − 3] 2). [− 3; ∞ ) 3). (− ∞; 3] 4). [3; ∞ ) 5). [− 3; 3] x

Номер: 1.10.А

x + x+3 x −1 Ответы: 1). [− 3; 0] 2). [− 3; ∞ ) 3). [− 3;0] U (1; ∞ ) 4). (− ∞; − 3] U (0;1] 5). [0;1) Задача: Найти область определения функции y =

Номер: 1.11.А Задача: Найти область определения функции y = x 2 − 4 Ответы: 1). [− 3; 3] 2). x ≤ ±2 3). [− 2; 2] 4). (− ∞; − 2] U [2; ∞ )

5). x ≥ ±2

Номер: 1.12.А Задача: Найти область определения функции y = 12 + x 2 − x 4 Ответы: 1). x ≤ ±2 2). x ≥ ±2 3). − 2 ≤ x ≤ 2 4). x ≤ 2 5). x ≥ −2 Номер: 1.13.А Задача: Сумма целых значений аргумента из области определения функции

y=

(10 − x )(x + 8) x−2

равна

Ответы: 1).21 2).17 3).19 4).18 5).16 Номер: 1.14.А

π 1 − 6 x ⎛1 ⎞ Ответы: 1). (0; 2] 2). [2; ∞ ) 3). (− ∞; 0 ) U [2; ∞ ) 4). [− 2; 0 ) 5). ⎜ ; ∞ ⎟ ⎝2 ⎠

Задача: Найти область определения функции y =

6

sin

Номер: 1.15.А

x +1 x −5 Ответы: 1). (− ∞; 5) 2). (− ∞; 5) U (5; ∞ ) 3). (− ∞; − 1) U (5; ∞ ) 4). (5; ∞ ) 5).нет Задача: Найти область определения функции y =

правильного ответа

Номер: 1.16.А Задача: Найти область значений функции y = 3 sin x + 2 Ответы: 1). (5; ∞ ) 2). [− 3; 3] 3). [− 1; 5] 4). [2; 5] 5).нет правильного ответа Номер: 1.17.А Задача: Найти область значений функции y = 3 cos 2 x − 1 Ответы: 1). [− 1; 2] 2). [− 4; 2] 3). [− 3; 3] 4). [− 1; 0] 5).нет правильного ответа Задача: Найти

(

Номер: 1.18.А наименьшее целое x из области определения функции

y = log 2 15 + 2 x − x 2

)

Ответы: 1).-3 2).-2 3).1 4).2 5).4 Задача: Найти

y=

(x

2

Номер: 1.19.А наибольшее целое x из области определения функции

− 5x + 6

)

2

+ 4 1− x

Ответы: 1).0 2).3 3).5 4).2 5).1 Номер: 1.20.А Задача: Найти наименьший положительный период y = tg (3x ) + 1 Ответы: 1).

π 2). π 3). 2 π 4). 3 π 5).нет правильного ответа 3 Номер: 1.21.А

Задача: Найти наименьший положительный период y = cos x + sin Ответы: 1).

π π 2). 2 π 3).

4). 6 π 5).нет правильного ответа 3 3

Номер: 1.22.А Задача: Найти наименьший положительный период y = sin 4 x Ответы: 1).

π 2). π 3). 2 π 4). 8 π 5).нет правильного ответа 4 7

x 3

Номер: 1.23.А Задача: Найти наименьший положительный период y = ctg 2 x − 1 Ответы: 1).

π 2). π 3). 2 π 4). 4 π 5).нет правильного ответа 2

Номер: 1.24.А Задача: Найти область значений функции y = 3 x +1 + 12 Ответы: 1). (12, ∞ ) 2). (15, ∞ ) 3). [12; ∞ ) 4). (0, ∞ ) 5).нет правильного ответа Номер: 1.25.А Задача: Найти область значений функции y = 2 sin 3x − 4 Ответы: 1). (− 4, 4 ) 2). [− 6, − 2] 3). [2;10] 4). [− 2; 2] 5).нет правильного ответа Номер: 1.26.А Задача: Найти область значений функции y = 3 tg x + 1

⎡ 3

3 ⎤

Ответы: 1). [− 2; 4] 2). (− ∞, ∞ ) 3). [1; 4] 4). ⎢ − π; π⎥ 5).нет правильного ⎣ 2 2 ⎦ ответа Номер: 1.27.А Задача: Найти область значений функции y =

1 x

2

+1

Ответы: 1). (1, ∞ ) 2). (0, ∞ ) 3). (− ∞; ∞ ) 4). [1; ∞ ) 5).нет правильного ответа Номер: 1.28.А Задача: Найти область значений функции y = x 2 − 2 x + 3 Ответы: 1). (− ∞, ∞ ) 2). [2; ∞ ) 3). [3; ∞ ) 4). (2, 3) 5).нет правильного ответа Номер: 1.29.А Задача: Найти область значений функции y = 5 − x 2 + 2 x Ответы: 1). (∞; 6] 2). (− ∞; 5) 3). (− ∞; ∞ ) 4). (5, ∞ ) 5).нет правильного ответа Номер: 1.30.А Задача: Функция y = lg lg x определена при всех x Ответы: 1). (0, ∞ ) 2). (1, ∞ ) 3). (− ∞; 0,1) 4). (− ∞; − 1) 5).нет правильного ответа Номер: 1.31.В

Задача: Обратной к функции y = log 2 (x − 1) является функция 8

Ответы: 1). y = 2 x + 1 2). y = log 2 (1 − x ) 3). y =

1 4). y = 2 x +1 log 2 (1 − x )

5). y = 2 x −1 Номер: 1.32.В Задача: Четной среди приведенных является функция Ответы:

1). y = lg

5). lg (1 − x )

1− x 1+ x

2). y = lg

x x

3). y = 2 2 − 2 − x

4). y = 3 x + 3 − x

2

Номер: 1.33.В Задача: Четной среди приведенных является функция 1). y = 3 x − 3 − x

Ответы:

2). y = x − x 2

3). y = 3 x + 3 x 5

4). y = x + 2 + x 2 − 4 x + 4 5). y = x 2 − x 3 Номер: 1.34.В Задача: Четной среди приведенных является функция Ответы:

1). y = − x − x

5). y =

2

2). y = 1 − x x

3). y = x 3 + x 2

4). y =

x x

− x3

2

x + 2 x −1 + x − 2 x +1

Номер: 1.35.В Задача: Наименьший положительный период функции y = cos 2 x − sin x равен Ответы: 1).

π 3 π 2). π 3). π 4). 2 π 5).

2 4 2

Номер: 1.36.В

(

)

Задача: Найти область определения функции y = x 2 − 25 cos 0,8 π 2). x ≥ ±5 3). − 5 ≤ x ≤ 5 4). x ≥ 5 Ответы: 1). x ≤ ±5 5). x ∈ (− ∞; − 5] U [5; ∞ ) Номер: 1.37.В Задача: Найти область определения функции

(

)

y = 4 x 2 − 3x 0,5 − a ⋅ log a cos −1 15 0 Ответы: 1). [0; 3] 2). [3; ∞ ) 3). (− ∞; 0] U [3; ∞ ) 4). [0; ∞ ) 5). [1 2 ; 5]

9

Номер: 1.38.В 2

Задача: Область значений функции y = 0,2 − x + 4 x −6 равна Ответы: 1). (0; 25] 2). (0;125] 3). [25; ∞ ) 4). [1,25; ∞ ) 5). [25;125) Номер: 1.39.В

(4

)

3 x Ответы: 1). (∞; 2] U [3; ∞ ) 2). (0; 2] U [3; ∞ ) 3). (− ∞[2; 3] 4). [0; 3] 5). [2; ∞ )

Задача: Найти область определения функции y =

x

− 16 log 0,5

Номер: 1.40.В Задача: Функция y = x + 5 + 5 − x − 4 определена на множестве Ответы: 1). [− 5; 5] 2). [− 4; 4] 3). [− 5; − 4] U [4; 5] 4). x = 0 5). ∅ Номер: 1.41.В Задача: Наименьший положительный период функции tg x + ctg 2 x равен Ответы: 1). π 2). 2 π 3).

3 π 4). π 5). 3 π 2 2

Номер: 1.42.В Задача: Область значений функции y = sin x + 3 cos x совпадает с множеством Ответы: 1). [− 1;1] 2). − 1 − 3; 3 − 1 3). − 1 − 3;1 + 3 4). [− 2; 2] 5).

[

]

[

]

[

]

3 − 1; 3 + 1

Номер: 1.43.В Задача: Нечетной среди приведенных является функция 1). y = ( x − x )( x + 1)

Ответы: 4). y =

x x

2). y = 1 − 2 x + 1 + 2 x

3). y =

− x x 5). y = (x − 1)(x + 1) Номер: 1.44.В

Задача: Наименьший положительный период функции y = ctg равен Ответы: 1).

3 π 2). π 3). π 4). 2 π 5). 3 π 2 2

10

x − ctg x 2

1− x 1+ x

Номер: 1.45.В

Задача: Множество значений функции y = f (x ) равно: y = 6 − 7 − 6 x − x 2

Ответы: 1). [2, ∞ ) 2). [6;12] 3). [2; 6] 4). [0; 6] 5). [0; 2]

Номер: 1.46.В Задача: Множество значений функции y = f (x ) равно:

(

)

y = log 2 x 2 − 2 x + 3 Ответы: 1). [− 1;1] 2). (− ∞;1] 3). [1; ∞ ) 4). (− ∞;1] 5). [− 1; ∞ ) Номер: 1.47.В Задача: Наибольшее значение функции y = log 0,5 x 2 − 10 x + 29

(

)

Ответы: 1). log 2 3 2).2 3).3 4).-2 5).нет правильного ответа Номер: 1.48.В Задача: Если функция f (x ) определена при всех x и имеет наибольшее значение равное 2, то наибольшее значение функции y = 4 ⋅ f (3x − 1) − 6 равно Ответы: 1).-1 2).2 3).-3 4).4 5).8 Номер: 1.49.В 2

Задача: Множество значений функции y = 0,5 2 x − x равно: Ответы: 1). (0; 0,5] 2). [0,5; ∞ ) 3). (0; 2] 4). (− ∞; 2] 5). (− ∞; 5] Номер: 1.50.В

2 − log 3 (x − 2 )2 Ответы: 1). (− 1; 5] 2). (− ∞; 5] 3). (− ∞; − 1] 4). [− 1; 2 ) U (2; 5] 5). (2; 5]

Задача: Найти область определения функции y =

Номер: 1.51.В

2 − log 2 (x − 2)2 Ответы: 1). (− ∞; 3] 2). [− 1;1) U (1; 3] 3). [− 1; 3] 4). [3; ∞ ) 5). (∞;1) Задача: Найти область определения функции y =

Номер: 1.52.В Задача: Найти область определения функции

y = log 3 (x − 1) − 2 x 2 − 3 x − 5 и указать меньшее значение из этой

области Ответы: 1).1 2).2 3).2,5 4).3 5).4

11

]Номер: 1.53.В Задача: Область значений функции y = sin 2 x − 3 cos 2 x равна

[

]

Ответы: 1). [− 1;1] 2). − 1 − 3; 3 − 1 правильного ответа

[

3). − 1 − 3;1 + 3

]

4). [2; 2] 5).нет

Номер: 1.54.В 2

Задача: Область значений функции y = 3 x − 4 x +5 равна Ответы: 1). (0; 3) 2). [3; ∞ ) 3). (0; ∞ ) 4). (3; 243) 5).нет правильного ответа Номер: 1.55.В

⎛1⎞ ⎟ ⎝ 10 ⎠

− x 2 + 4 x −6

Задача: Область значений функции y = ⎜

⎡1 ⎣

равна

[

⎤ ⎦

Ответы: 1). (0; ∞ ) 2). ⎢ ;10⎥ 3). [100; ∞ ) 4). 10 6 ; ∞ ) 5).нет правильного 10 ответа Номер: 1.56.В Задача: Область значений функции y = 3 sin x + 4 cos x равна Ответы: 1). [− 3; 4] 2). [− 1;1] 3). [− 5; 5] 4). [− 1; 4] 5).нет правильного ответа Номер: 1.57.В Задача: Область значений функции y = sin 3x + cos 3x равна

[

Ответы: 1). − 2 ; 2 ответа

]

2). [− 1;1] 3). [− 3; 3]

4). [0; 2] 5).нет правильного

Номер: 1.58.В Задача: Область значений функции y = log 3 x 2 + 6 x + 10 равна Ответы: 1). (− ∞; ∞ ) 2). [0; ∞ ) 3). (0; ∞ ) 4). [2; ∞ ) 5).нет правильного ответа

(

)

Номер: 1.59.В Задача: Область значений функции y = log 2 7 − x 2 − 6 x равна Ответы: 1). (− ∞; 4] 2). (− ∞; ∞ ) 3). (2; ∞ ) 4). (0; ∞ ) 5).нет правильного ответа

(

)

Номер: 1.60.В Задача: Область значений функции y = tg 4 x − 2 равна Ответы: 1). (− ∞; ∞ ) 2). [− 3; − 1] 3). [− 2; ∞ ) 4). [− 6; 2] 5).нет правильного ответа 12

Номер: 1.61.С Задача: Гипербола имеет уравнение

y

1− x 3− x 3− x 2). y = 3). y = 2−x 2−x x−2 1 1− x 5). y = − −1 4). y = x+2 x−2

Ответы: 1). y =

1 2

Номер: 1.62.С Задача: Для функции y = 3 обратной является функция 2). y = log 3 (x + 1) Ответы: 1). y = log 3 x − 1 4). y = log 3 x + 1 5).нет правильного ответа

3

x

x +1

3). y = log x +1 3

Номер: 1.63.С Задача: Наименьшее значение функции y =

2 2x − x2 − a

превосходит число

2 при всех следующих значениях a Ответы: 1). a > 0 2). a < 0 3). a > 1 4). 0 < a < 1 5). a < 1 Номер: 1.64.С

(

Задача: Наименьшее значение функции y = sin 30 0 Ответы: 1).0,25 2).2 3).3 4).4 5).1

)

2 cos x − cos 2 x −3

равно

Номер: 1.65.С

− x2 + 3 x − 2 Ответы: 1). [− 2; 2] 2). [− 2; 2] U [1; 2] 3). (− ∞; − 1] 4). (− ∞;1] 5). [2 ; ∞ ) Задача: Найти область определения функции y =

Задача:

Найти

Номер: 1.66.С область определения

y = − 4 x + 2 + 6 x + 7 + log 3

функции

x . В ответе указать сумму наибольшего x −1

и наименьшего значений из этой области Ответы: 1).2 2).9/14 3).3 4).1 5).-1

Номер: 1.67.С Задача: Найти область определения функции y =

13

1 2

2 x cos3 x − 3 log3 x −1

Ответы: 1). (0;1) 2). (0; 2 ) U (2; 5) 3). (0;1) U (1; ∞ ) 4). (1; ∞ ) 5). (0; 20 ) Номер: 1.68.С Задача: Найти максимальное значение x из области определения функции

y = 4 − x − 3 + log 2

10 − x x+5

Ответы: 1).-8 2).0 3).3 4).5 5).7 Номер: 1.69.С Задача: Область значений функции y = log 2 ( x + 4 ) + 1

Ответы: 1). (− ∞; + ∞ ) 2). [1; ∞ ) 3). [2; ∞ ) 4). [3; ∞ ) 5). [5; ∞ ) Номер: 1.70.С Задача: Область значений функции y = log 0,5 ( x + 8) − 2

Ответы: 1). (− ∞; + ∞ ) 2). (− ∞; − 5] 3). (− ∞; − 1] 4). [− 5; 0 ) 5). [− 2; ∞ ) Номер: 1.71.С Задача: Область определения функции y = log 0,5 ( x + 8) − 2

Ответы: 1). (− ∞; + ∞ ) 2). (− ∞; − 5] 3). (− ∞; − 1] 4). [− 5; 0 ) 5). [− 2; ∞ ) Номер: 1.72.С Задача: Область значений функции y = log1− x 2 x − x 2 Ответы: 1). (0; 2 ) 2). (− ∞; 0 ) U (1; ∞ ) 3). (0; ∞ ) 4). (2; ∞ ) 5). (0;1)

(

)

Номер: 1.73.С Задача: Наименьший период функции y = sin (π x + 3) равен Ответы: 1). π 2). 2 π 3).1 4).

3 5).2 π Номер: 1.74.С

(

1 arctg x 2 − 4 x + 5 π Ответы: 1). [1; 2 ) 2). [− 1; 2 ) 3). (− 2;1] 4). (− 2; 2 ) 5). [− 1; ∞ )

Задача: Множество значений функции y =

Номер: 1.75.С

Задача: Найти область значений функции f (x ) = (2 cos x − 1)

14

−1

)

Ответы:

⎡ 1 ⎣ 3

1). ⎢− ; 0 ) U (0;1]

⎛

1⎤

⎝

⎦

⎛

⎡1 ⎣3

2). ⎜ − ∞;1] U ⎢ ; ∞ )

⎝

⎛ 1⎤ ⎦ ⎝

3). [− 1; 0 ) U ⎜ 0; ⎥ 3

4). [− 3; 0 ) U (0;1] 5). ⎜ − ∞; − ⎥ U [1; ∞ ) 3 Номер: 1.76.С Задача: Наименьший положительный период функции y = sin 2x (tg (1,5 π − x ) − 2 ctg 2 x ) равен Ответы: 1).

π π π 2). 3). 4). 2 π 5). π 4 2 3

Номер: 1.77.С Задача: Найти область значений функции y = arcctg Ответы:

⎡π

⎡π ⎣4

⎤ ⎦

⎡ ⎣

(

π⎤

1). ⎢ ; π − arcctg 3⎥

2). ⎢− arcctg 3; ⎥ 4

(

(

)⎤

⎡π

)⎤

⎦

3 cos x − sin x − 1

[

(

)

)]

3). arcctg 2 − 3 ;1

4). ⎢ ; arcctg 2 + 3 ⎥ 5). ⎢ ; arcctg 2 − 3 ⎥ ⎣6 ⎦ ⎣6 ⎦ Номер: 1.78.С Задача: Множество значений функции y = − x 2 − 2 x + a (− ∞; 3], если Ответы: 1). a = −4 2). a = 2 3). a = 3 4). a = 4 5). a = −2 Номер: 1.79.С Задача: Множество значений функции y = − x 2 − 2 x + a (− ∞; 4], если Ответы: 1). a = −4 2). a = 2 3). a = 3 4). a = 4 5). a = −2 Номер: 1.80.С Задача: Множество значений функции y = − x 2 + 2 x + a (− ∞; 0], если Ответы: 1). a = −1 2). a = 1 3). a = 2 4). a = −2 5). a = 0

совпадает с

совпадает с

совпадает с

Номер: 1.81.С Задача: Наименьшее значение функции y = x 2 + 2 x − 4 + 1 равно Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).5

15

Номер: 1.82.С Задача: Выберите функцию, наиболее точно соответсвующую рисунку Ответы: 1). y = x − 4). y = − x −

1 x

2). y = x +

1 5). y = x 2 + x x

1 x

3). y = − x +

1 x

y

x

Номер: 1.83.С Задача: f (3 x + 5) = x + 2 . Величина f (2 ) равна Ответы: 1).0 2).1 3).2 4).3 5).4 Номер: 1.84.С Задача: Если f (x ) = 3 x − 5 , а g (x ) − есть функция, обратная для f (x ) , то

(

)

наибольшее значение f − 3 g 2 (x ) + 1 равно Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).-2

Номер: 1.85.С Задача: График функции y =

1 1 расположен выше прямой y = на 1− x 2

множестве Ответы: 1). (− 1;3) 2). (− ∞;1) U (3; ∞ ) 3). (1; 4 ) 4). (− 1;1) U (1; 3) 5). (3; ∞ ) Номер: 1.86.С Задача: Область значений функции y =

x x2 +1

⎡ 1 1⎤

Ответы: 1). ⎢− ; ⎥ 2). [− 1;1] 3). [− 2; 2] 4). [− 4; 4] 5). (− ∞; ∞ ) ⎣ 2 2⎦ Номер: 1.87.С Задача: Найти область значений функции y =

⎡ 1 1⎤

x x2 −1

Ответы: 1). ⎢− ; ⎥ 2). [− 1;1] 3). [− 2; 2] 4). [− 4; 4] 5). (− ∞; ∞ ) ⎣ 2 2⎦

16

Номер: 1.88.С Задача: График функции y = множестве Ответы: 1). (− 3;1) 5). (− ∞;1) U (1; 3)

1 расположен выше прямой y = sin 30 0 на x +1

2). (− ∞; − 3) U (1; ∞ )

3). (1; 3)

4). (− 3;− 1) U (− 1;1)

Номер: 1.89.С Задача: Если функция f (x ) = 2 x − 4 , а g (x ) − есть функция, обратная для

(

)

f (x ) , то наименьшее значение f 2g 2 (x ) + 1 равно

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).-2 Номер: 1.90.С

− 3x + 2 обратной является функция 2x + 3 − 3x + 2 3x − 2 3x − 2 2x + 3 2). y = 3). y = 4). y = Ответы: 1). y = − 2x + 3 − 3x + 2 2x + 3 2x + 3 − 2x + 3 5). y = 3x + 2

Задача: Для функции y =

Номер: 1.91.С Задача: Для каждой пары функций f (x ) = x 5 и ϕ (x ) = 2 x − 3 , заданных условиями, составить две сложные функции, u (x ) = f (ϕ(x )) и

ϑ (x ) = ϕ (f (x ))

U = 2 ( x − 3) , D ( U ) = R 5

Ответы: 3).

1).

2).

U = (2x − 5)5 , D (U ) = R

ϑ = 2 x 5 − 3, D (ϑ) = R ϑ = (2 x )5 − 3, D (ϑ) = R U = 25 x − 35 , D (U ) = R U = 2 x 5 − 3, D (U ) = R

ϑ = (2 x − 3) − 3, D (ϑ) = R 5

4).

ϑ = (2 x ) − 3, D (ϑ) = R 5

правильного ответа Номер: 1.92.С Задача: Для каждой пары функций f (x ) = 2 x и ϕ (x ) = x 2 , заданных условиями, составить две сложные функции, u (x ) = f (ϕ(x )) и

ϑ (x ) = ϕ (f (x ))

17

5).нет

U = 2 x 2 , D (U ) = R 1). ϑ = 4 x , D (ϑ) = R

Ответы:

3).

U = 2 x 2 , D (U ) = R ϑ=2

2x

, D (ϑ) = R

2).

U = 2 x + x , D (U ) = R

U = (2 x )2 , D (U ) = R ϑ = 2 x , D (ϑ) = R 2

2

4).

ϑ = x , D (ϑ) = (0;+∞ ) 2x

5).нет правильного ответа

Номер: 1.93.С Задача: Для каждой пары функций f (x ) = ln x и ϕ (x ) = sin x , заданных условиями, составить две сложные функции, u (x ) = f (ϕ(x )) и

ϑ (x ) = ϕ (f (x ))

Ответы:

1).

U = ln (sin x ), D (U ) = U (2π n , π + 2 πn )

(

n ∈Z

)

ϑ = sin ln x , D (ϑ) = (0;+∞ ) ⎧ π ⎫ U = ln sin x , D (U ) = ⎨− + 2πn , n ∈ Z⎬ U = ln sin x , D (U ) = R 2). ⎩ 2 ⎭ 3). ϑ = sin ln x , D (ϑ) = [1; ∞ ) ϑ = sin ln 2 x , D (ϑ) = (0;+∞ )

(

4).

)

U = ln sin x , D (U ) = (0;+∞ )

ϑ = sin ln x , D (ϑ) = (0;+∞ )

5).нет правильного ответа

Номер: 1.94.С 2

Задача: Выразить y как функцию x : y = z ; z = x + 1. Ответы:

1). y = x 2 + 1

2). y = ± x + 1

3). y = (x + 1)

2

4). y = x 2 − 1

5). y = x 2 + x + 1 Номер: 1.95.С Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

2x y = 5 Ответы: 5). y =

1). y =

log 2 5 x

2). y =

5 2x

3). y =

ln 5 log 2 x

4). y =

log 2 x 2

log 2 x 5

Номер: 1.96.С Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

x 2 y2 − =1 a 2 b2 18

1). y = ±

Ответы: 4). y = ±

a x2 − a2 b

b b x2 − a2 2). y = x2 − a2 a a b 5). y = (x − a ) a

3). y =

a x2 − a2 b

Номер: 1.97.С Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

x 3 + y3 = a 3 Ответы: 1). y = 3 a 3 − x 3

2). y = ± 3 a 3 − x 3

3

3). y = a − x 4). y = a 1 − x 3

5). y = a 3 − 3 x

Номер: 1.98.С Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

x 2 + y2 = 1 Ответы: 1) . y = 1 − x 2

2). y = ± 1 − x 2

3). y = ±(1 − x )

2

4). y = ± (1 − x )

5). y = 1 − x Номер: 1.99.С Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением:

x⋅y = с

Ответы: 1). y = ±

с 2). y = c x 3). y = c − x 4). y = x

c 5). y = x

c x2

Номер: 1.100.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E y = 1− x

Ответы: 1). D = (− ∞; ∞ ); E = (− ∞; ∞ ) 2). D = [− 1;1]; E = [0;1] 3). D = (0;1]; E = (0;1) 4). D = (− ∞; ∞ ); E = (0;1] 5). D = [0;1]; E = (0;+∞ ) Номер:1.101.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E

y = arccos

1 − 2x 4

19

Ответы:

⎡ π π⎤

⎡ 3 5⎤

1). D = ⎢− ; ⎥; E = ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2⎦

⎛ 3 5⎞ ⎝ 2 2⎠

2). D = [− 1;1]; E = [0; π]

⎡ 3 5⎤

3). D = ⎜ − ; ⎟, E = [0; π]

4). D = ⎢− ; ⎥; E = [0; π] ⎣ 2 2⎦

⎛ π π⎞ ; ⎟ 2 2⎠ ⎝

5). D = (− 1;1); E = ⎜ −

Номер:1.102.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E y = 2 arccos(1− x ) 1). D = [0;2]; E = [1; ∞ )

Ответы:

3). D = [0;2]; E = [1;2π]

⎛ 1 ⎝ 2

⎡ 1 ⎤

2). D = [− 1;1]; E = ⎢− ;2⎥ ⎣ 2 ⎦ 4). D = (− ∞; ∞ ); E = (− ∞; ∞ )

⎞ ⎠

5). D = (− 1;1); E = ⎜ − ;2 ⎟ Номер:1.103.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E y = lg 5x − x 2 − 6

(

Ответы:

)

1). D = (0; ∞ ); E = (− ∞; ∞ )

⎡

⎛

2). D = (2;3); E = (− ∞; ∞ )

⎛

1⎤

3). D = ⎢− 2; 3); E = ⎜ − ∞; lg ⎥ 4⎦

1⎤

4). D = (2;3); E = ⎜ − ∞; lg ⎥ 4⎦

⎝ ⎣ 5). D = (0;3); E = (− ∞; ∞ )

⎝

Номер:1.104.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E 1− x2 y = arcsin 2 Ответы:

⎛

π⎤

1). D = (− 1;1); E = ⎜ 0; ⎥ 4⎦

⎝

⎡ π π⎤

2). D = [− 1;1]; E = ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦

⎡ π⎤

4). D = [− 1;1]; E = ⎢0; ⎥ ⎣ 4⎦

3). D = (0;+∞ ); E = (− ∞; ∞ )

⎡ π π⎤

5). D = (0;1]; E = ⎢− ; ⎥ ⎣ 4 4⎦ 20

Номер:1.105.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E

⎛x ⎞ y = y − arcsin⎜ − 1⎟ ⎝2 ⎠

⎡ π π⎤

2). D = (− ∞; ∞ ); E = [− 1;1]

1). D = [0;4]; E = ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦

Ответы:

⎡ π π⎤

⎛ π π⎞ ; ⎟ 2 2⎠ ⎝

4). D = [− 1;1]; E = ⎜ −

3). D = (0; ∞ ); E = ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ 5). D = [0;4]; E = [0; π]

Номер:1.106.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида) 1)

(

)

1 x a + a − x ;2) 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2 ; 3) x 4 + 5x 2 2

Ответы: 1).четн., нечет., четн. 2).нечет., нечет., четн. 3).нечет., четн., четн.

4).общего вида, общего вида, четн. 5).общего вида, нечет., четн. Номер: 1.107.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида) 1)

x ; 2x −1

2) lg

1+ x ; 1− x

3) x 2 − x

Ответы: 1).общего вида, общего вида, общего вида. 2).нечет., общего вида., нечет. 3).общего вида., четн., нечет. 4).общего., нечет., общего вида 5).нечет., общего вида, четн. Номер: 1.108.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида)

)

(

1) sin x − cos x; 2) lg x + 1 + x 2 ; 3) x 2 3 x + 2 sin x Ответы: 1).общего вида, общего вида нечет. 2).нечет., нечет., общего вида 3).четн., общего вида; четн. 4).общего вида, нечет., нечет. 5).нечет., нечет, общего вида Номер: 1.109.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида) 1)

3

(x + 1)

2

+

3

(x − 1)

2

;

2) 21

ex + 1 ex −1

;

3) x − 5 e x

2

Ответы: 1).нечет., нечет., четн. 2).четн., четн., четн. 3).четн., нечет., четн.

4).общего вида, общего вида, нечет. 5).нечет., общего вида, общего вида Номер: 1.110.В Задача: Выяснить, какие из данных функций является четными и какие нечетными; какие не являются ни четными, ни четными (общего вида) 1) x 4 ⋅ sin 7 x 2) lg cos x; 3) x 4 − 3x 2 − x Ответы: 1).нечет., четн., общего вида 2).четн., нечет., нечет., 3).общего вида, общего вида, четн. 4).нечет., четн., общего вида 5).общего вида, нечет., нечет. Номер: 1.111.В Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и определить их наименьший период T . sin x ; tg 3x + cos 4x; cos 4 x

π 3 π; пер. T = 2).период T = 2π; непер.

2 4 ; пер. T = π 3).непериод; пер. T = 2π; непер. 4).непериод пер. T = π; π 5).период T = 2π ; непер.; пер. 4π пер. T = 2 Ответы: 1).период T = π пер. T =

Номер: 1.112.В Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и определить их наименьший период T . 5 cos 7 x; x sin x; tg

x x − 2 tg 2 3

2 π 2).непериод; непер.; 3 7 2 пер. T = 6π 3).период T = π; ; пер. T = π; непер. 4).период T = π; 2 7 непер. пер. T = 6π 5).период T = 14; пер. T = 2π ; непер Ответы: 1).период T = 2π; пер. T = 2π; пер. T =

Номер: 1.113.В Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и

x ⎛x⎞ cos 2 2x; − 2 cos⎜ ⎟ + 1; x ⋅ sin 2 ⎝3⎠ 2π π Ответы: 1).период T = ; пер. T = 6π; непер. 2).период T = π; пер. T = 3 2 π 4).непериод ; непер.; ; пер. T = 4π 3).непериод; пер. T = 2π; пер. T = 2 непер. 5).период T = 2π; непер.; пер. T = 2π

определить их наименьший период T .

22

Номер: 1.114.В Задача: Выяснить, какие из заданных функций являются периодическими и определить их наименьший период T.

lg cos 2 x; sin 5x; cos 4 x + sin Ответы:

( 3x )

1).период T = π; пер. T =

2 π; непер.

5

2).период T =

π ; пер.

2

2π 5 π; пер. T = π 3).непериод; пер. T = 2π; пер. T = 4).период 2 3 T = π; непер.; непер. 5).непер.; период T = π; пер. T = 2π

T=

Номер: 1.115.В Задача: Для функции y найти обратную y = 4 arcsin 1 − x 2 Ответы: 4). y =

1). y = ± cos

x 4

2). y = sin 4 x

3). y =

1 4 arcsin 1 − x

2

, x ∈ (0,2π )

x 4 5). y = sin , x ∈ (0; 2π ) arccos x 4

Номер: 1.116.В Задача: Написать в явном виде функцию, неявно заданную следующим уравнением, найти область определения x 2 − arccos y = π Ответы:

1). y = − cos x 2 ;

π ≤ x ≤ 2π

3). y = cos (π − x ) ; 0 ≤ x ≤ 2π 2

5). y = cos 2 x ,

2). y = cos x 2 ;

π < x ≤ 2π

4). y = − cos x 2 , 0 ≤ x ≤ 2π

0 ≤ x ≤ 2π

Номер: 1.117.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E y = ln (x + 3)

2). D = (0; ∞ ), E(− ∞;+∞ ) Ответы: 1). D = (− 3; ∞ ), E(− ∞;+∞ ) 3). D = (− ∞; ∞ ), E(0;+∞ ) 4). [− 3; ∞ ), E(− ∞;+∞ ) 5). D = (0; ∞ ), E(− 3;+∞ ) Номер: 1.118.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E y = 5 − 2x

23

5⎞ ⎛ 2⎠ ⎝ 3). D = (− ∞;0 ), E = [5; ∞ ) 5). D = (− ∞; ∞ ) = E(− ∞; ∞ )

1). D = ⎜ − ∞;− ⎟, E = [0; ∞ )

Ответы:

⎛

5⎤

2). D = ⎜ − ∞; ⎥ , E = [0; ∞ ) 2⎦

⎝ 4). D = (− ∞; 0], E = (5; ∞ )

Номер: 1.119.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E y = ex

2

−2

1). D = (− ∞; ∞ ); E = (0; ∞ )

Ответы:

( 5). D = (

[

2). D = (− ∞; ∞ ); E = 1 e 2 ; ∞ )

)

⎡1 ⎤

3). D = − 2 ; 2 ; E = (0; ∞ )

4). D = (− 2;2 ); E = ⎢ ;1⎥ ⎣e ⎦

)

2 ; ∞ ; E = [1; ∞ )

Номер: 1.120.В Задача: Найти естественную область определения D и множество значений

E y=

1 1− x2

Ответы: 1). D = (− 1;1); E = [1; ∞ ) 3). D = (− ∞; ∞ ); E = (1; ∞ ) 5). D = (− 1;1); E = (0; ∞ )

2). D = [− 1;1]; E = (− ∞; ∞ ) 4). D = (− ∞; ∞ ); E = (− ∞; ∞ )

Номер: 1.121.В Задача: Вычислить, какие из заданных функций являются периодическими и определить их наименьший период T 10 sin 3x; tg x ; sin 2 x

2 π; период T = π; период, T = π 2).период, 3 T = 6π; период T = π ; период, T = 2π 3).период, T = 2π; непериод T = 2π; период, T = π 4).непериод, период T = 2π; период, T = π 5).период, T = 2π; период T = π; период, T = 2π

Ответы: 1).период, T =

Номер: 1.122.В Задача: Для функции y найти обратную: y = 2 x + 3 Ответы: 4). y =

1). y =

1 2x + 3

2). y = 3x + 2, x ∈ R

2 1 1 + , x ≠ 0 5). y = (x − 3), x ∈ R x 3 2

24

3). y =

x + 3, x ∈ R 2

Номер: 1.123.В Задача: Для функции y найти обратную: y = x 2 − 1 Ответы:

1). y =

x + 1, y = − x + 1, x ∈ [− 1;∞ )

1 − 1, x ≠ 0 x2 5). y = 1 − x 2 , x ∈ R 3). y =

2). y =

1 , x ≠1 x2 −1

x 2 − 1, x ∉ (− ∞; − 1] U [1; ∞ )

4). y =

Номер: 1.124.В. Задача: Для функции y найти обратную: y = lg

x 2

1 , x ∈ (0;2 ) U (2; ∞ ) x lg 2 x 3). y = 10 ⋅ 2 x , x ∈ R 4). y = lg 2 x , x ∈ (0; ∞ ) 5). y = (2 ⋅ 10 ) , x ∈ R 1). y = 2 ⋅ 10 x , x ∈ R

Ответы:

2). y =

Номер: 1.125.В 3

Задача: Для функции y найти обратную: y = 1 − x 3

1

3

Ответы: 1). y = 1 − x 3 , x ∈ R 2). y =

3

1− x3

(

)

3

, x ≠ 1 3). y = 1 − x 3 , x ∈ R

4). y = 1 − x , x ∈ R 5). y 3 = 1 − x , x ∈ R Номер: 1.126.В Задача: Для функции y найти обратную: y = arctg 3x Ответы:

1). y =

1 ⎛ π π⎞ tg x , x ∈ ⎜ − ; ⎟ 3 ⎝ 2 2⎠

1 , x ∈ (− ∞;0) U (0; ∞ ) arctg 3x 1 5). y = tg x , x ∈ (− ∞; ∞ ) 3 3). y =

⎛ π π⎞ ; ⎟ ⎝ 6 6⎠ ⎛ π π⎞ 4). y = 3 tg x , x ∈ ⎜ − ; ⎟ ⎝ 2 2⎠ 2). y = tg 3x , x ∈ ⎜ −

Номер: 1.127.В Задача: Для функции y найти обратную y = 1 − 3x

1 1 3 ,x≠− 2). y = 1 − , x ≠ 0 1 − 3x 3 x 1− x 3 , x ∈ R 5). y = , x ≠1 4). y = 3 x −1 Ответы:

1). y =

25

3). y =

x −1 , x∈R 3

Номер: 1.128.В Задача: Для функции y найти обратную y = 2 sin 3x

1 2 1 x arcsin 2). y = 3). y = 4). y = 2 arcsin 3x 3 2 2 sin 3x sin 3x

Ответы: 1). y = 5). y = 2 cos 3x

Номер: 1.129.В Задача: Для функции y найти обратную y = 1 + lg (x + 2 ) 1). y = −2 + 10 x −1 , x ∈ R

Ответы:

3). y = 2 + lg x , x > 0 4). y =

2). y =

1 , x > 2, x ≠ 3 lg(x + 2 )

1 , x > −2 5). y = 10 x + 2 + 1, x ∈ R 1 + lg(x + 2 )

Номер: 1.130.В Задача: Для функции y найти обратную y = 10 x +1 1). y = lg

Ответы: 4). y =

x , x>0 10

2). y = lg

x , x>0 10

3). y =

ln x + 1, x > 0 ln 10

1 5). y = lg x + 10, x > 0 10 x +1

Номер: 1.131.В y = z + 1, z = tg 2 x Задача: Выразить y как функцию x 1). y = tg x + 1

Ответы:

5). y = (tg x + 1)

2). y = tg 2 x + 1

1 cos x

3). y =

1 cos x

2

Номер: 1.132.В Задача: Выразить y как функцию x y = arctg u , u = 2). y =

1). y = arctg lg x

Ответы:

4). y = ±

4). y = lg arctg x 5). y = arctg x

v , v = lg x

1 arctg lg x 2

3). y = lg arctg x

Номер: 1.133.В y = z 2 , z = 3 x + 1, x = a t Задача: Выразить y как функцию t 3

Ответы: 1). y = a

(

2t

3

+ 1 2). y = a

t2

+ 1 3). y =

)

5). y = 3 a t + 1

2

26

(a

t

)

+1

3

(

4). y = a

2t

)

+1

2 3

Номер: 1.134.В Задача: Выразить u как функцию x Ответы:

1). u = lg sin 1 + x 2

y = sin x , v = lg y, u = 1 + v 2 3). u = 1 + lg 2 sin x

2). u = 1 + sin lg x

4). u = 1 + 2 lg sin x 5). u = sin lg 1 + x 2 Номер: 1.135.В Задача: Выразить v как функцию x

y = 1 + x , z = cos y, v = 1 − z 2

1). v = 1 − cos(1 + x )

Ответы:

(

2). v = cos 1 − (1 + x )

2

)

2

3). v = 1 − cos 2 (1 + x ) 4). v = cos 1 + x 5). v = 1 + cos 1 + x 2 Номер: 1.136.В Задача: Выразить u как функцию x y = 5 v , u = 1). u = 5 2(3x +1) + 1

Ответы: 4). u = 5

3 x +1

y 2 + 1, v = 3x + 1

2). u = 5 (3x +1) + 1 2

3). u = 5 3x +1 + 1

(3x + 1)5 + 25

+ 1 5). u =

Номер: 1.137.В Задача: Выразить y как функцию x y = cos 3 u , u = sin 2 v, u = Ответы:

1). y = cos sin 6

2). y = cos 3 sin 2

x

x

x

3). y = cos 6 sin x

4). y = cos 3 sin x 5). y = cos 6 sin x 2 Номер: 1.138.В Задача: Выразить y как функцию t y = 1). y =

Ответы: 4). y =

(

1

1− 1+ et

)

4

(

1

1− 1+ et 5). y =

1

, v = (1 + u )2 , u = e t

1 − v2 1 2). y = − et

)

2

1

(

1 − 1 + e 2t

3). y =

(

1− 1+ et

)

Номер: 1.139.В

v 2

Задача: Выразить y как функцию x y = 3 arcsin , v = 3 u − 1, u = x 2

27

1

)

2

3x2 3x 2 − 1 Ответы: 1). y = 3 arcsin 2). y = 3 arcsin −1 2 2 ( 3x − 1)2 x2 −1 9x 2 − 1 3). y = 3 arcsin 4). y = 9 arcsin 5). y = arcsin 2 2 2 Номер: 1.140.В Задача: Написать в явном виде функцию, неявно заданную следующим уравнением, найти область определения 10 x + 10 y = 10 2). y = lg 10 − 10 x , − ∞ < x < 1 Ответы: 1). y = ln 10 − 10 x , x > 0

(

(

)

10 , x>0 x 10 5). y = lg 10 − 10 x , − ∞ < x < 0

)

4). y = lg 10 + 10 x , x ∈ R

3). y = lg

(

(

)

)

Номер: 1.141.В Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением

lg x + lg(y + 1) = 4 lg 4 Ответы: 1). y = −1 x 5). y = 4 x + lg(x + 10 )

2). y =

1000 −1 x

3). y =

ln 10 +1 x4

4). y =

ln 4 − 1 x

Номер: 1.142.В Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением

(

)

2 x+y x 2 − 2 = x 3 + 7 Ответы:

( (x

) ( + 7 ) + log (x

(

)

(

)

1). y = log 2 x 3 + 7 − log 2 x 2 − 2 − x

) − 2) + x

2). y = log 2 x 2 − 2 + log 2 x 3 + 7 − log 2 x 2 3). y = log 2 3 2 4). y = 3 log 2 x + log 2 7 + 2 log 2 x − 1 + x

(

)

(

)

5). y = log 2 x 2 + 7 + log 2 x 2 − 2 + x Номер: 1.143.В Задача: Написать в явном виде функцию y , неявно заданную уравнением

(1 + x ) cos y − x 2

=0

x2 Ответы: 1). y = arccos 2). y = x 2 arccos (1 + x ) 1+ x 2 x 4). y = 5). y = arccos x 2 − (1 + x ) arccos(x + 1) 28

3). y = arccos

1+ x x2

2. Предел числовой последовательности Номер: 2.1.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n = 2 n +1 Ответы: 1).128 2).32 3). 4 2 4).256 5).нет правильного ответа Номер: 2.2.А

Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n = (− 1) + 1 n

Ответы: 1).128 2).32 3). 4 2 4).256 5).нет правильного ответа Номер: 2.3.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n =

n +1 n2

Ответы: 1).6/25 2).25/6 3).6/10 4).32/125 5).нет правильного ответа Номер: 2.4.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n = sin Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4). − 3 2 5).нет правильного ответа

πn 2

Номер: 2.5.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n = n 2 + 2 n + 3 Ответы: 1).38 2).-28 3).17 4).25 5).нет правильного ответа Номер: 2.6.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n = n! Ответы: 1).1/120 2).5 3).1/5 4).1/720 5).нет правильного ответа Номер: 2.7.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n =

1

(n + 1)2

Ответы: 1).1/36 2).1/24 3).1/26 4).1/144 5).нет правильного ответа Номер: 2.8.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n

( − 1)n = 2 n!

Ответы: 1).-1/240 2).1/240 3).-1/25 4).21/120 5).нет правильного ответа

29

Номер: 2.9.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n = cos Ответы: 1).1/2 2).-1/2 3).

π n 3

− 3 4).0 5).нет правильного ответа 2 Номер: 2.10.А

Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n =

(− 1)n +1 n2 +1

Ответы: 1).-1/24 2).-1/26 3).1/26 4).6/25 5).нет правильного ответа Номер: 2.11.А Задача: Найти пятый член последовательности {x n }, если: x n =

n!

(n + 1)3

Ответы: 1).5/9 2).12/25 3).-5/18 4).5/6 5).нет правильного ответа Номер: 2.12.А

n2 Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = n +1 Ответы: 1).9/4 2).6/5 3).12/5 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 2.13.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n

2 n −1 ( − 1) = (2 n − 1)2

Ответы: 1).-1/125 2).3/125 3).1/125 4).1/9 5).нет правильного ответа Номер: 2.14.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n =

1 (2 n )!

Ответы: 1).1/720 2).1/12 3).1/36 4).1/12! 5).нет правильного ответа Номер: 2.15.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n Ответы: 1).

( − 1)n +1 = ln (n + 1)

−1 −1 1 −1 2).

3).

5 4).

5).нет правильного ответа 2 ln 2 ln 3 ln 2 ln 4

30

Номер: 2.16.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = Ответы: 1).1/2 2).1/5 3).1

3

3

1 n+5

6 4).1/5 5).нет правильного ответа Номер: 2.17.А

Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n =

5−n n2

Ответы: 1).125/9 2).9/125 3).1/1125 4).1/45 5).нет правильного ответа Номер: 2.18.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = sin

π n

Ответы: 1).1/2 2). 3 2 3).0 4).01/2 5).нет правильного ответа Номер: 2.19.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = sin 2 Ответы: 1). −

3 3 1+ 3 2− 3 2).

3).

4). − 1 5).

4 2 2 4 Номер: 2.20.А

Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = tg Ответы: 1).

π 4n

1 1 2). 3 3). − 4).0 5).нет правильного ответа 3 3 Номер: 2.21.А

Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n

n ( − 1) =

Ответы: 1).– 1/4 2).1/4 3).1/2 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 2.22.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = Ответы: 1).6/7 2).3/7 3).4/9 4).1/9 5).нет правильного ответа

31

π n

n +1

n+3 2n + 1

Номер: 2.23.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n =

2n

(n + 1)2

Ответы: 1).3/8 2).1/2 3).4/7 4).3/4 5).нет правильного ответа Номер: 2.24.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = Ответы: 1). −

(− 1)3 n n +1

1 1 1 2). 3).

4).1 5).нет правильного ответа 2 2 3 4 Номер: 2.25.А

Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n =

3n n3 +1

Ответы: 1).27/28 2).9/28 3).28/9 4).6/25 5).нет правильного ответа Номер: 2.26.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n =

n!

2n

Ответы: 1).1/3 2).2/3 3).3/4 4).3/8 5).нет правильного ответа Номер: 2.27.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = Ответы: 1).

Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n

n +1 ( − 1) =

n +1

Ответы: 1).-1 2).1/4 3).-1/4 4).1 5).нет правильного ответа

xn =

n4

4 13 1 3 1 2).

3). + 4). 5).нет правильного ответа 9 9 3 9 81 Номер: 2.28.А

Задача:

n2 + n

Найти

третий

Номер: 2.29.А член последовательности

(− 1)n (2 n − 1)

{x n },

2n +1

Ответы: 1).– 5/7 2).5/7 3).7/15 4).-1 5).нет правильного ответа

32

если:

Номер: 2.30.А Задача: Найти третий член последовательности {x n }, если: x n = cos 2 Ответы: 1).

1 3 3 2).1 3).1 4).

5).

2 2 4 Номер: 2.31.В

Задача: Вычислить предел числовой последовательности lim

n →∞

Ответы: 1). ∞ 2).1 3).0 4).3 5).нет правильного ответа Задача:

lim

πn 12

Вычислить

Номер: 2.32.В предел числовой

(n

(n

2

2

)

+1

3

)

+ n +1

3

последовательности

n + 2 − n2 + 3

n4 +1 − 3 n4 −1 Ответы: 1).0 2). ∞ 3).-1 4).1 5).нет правильного ответа n →∞

4

Задача:

lim

3

Вычислить

Номер: 2.33.В предел числовой

последовательности

2 n 2 + 1 + 6 n3

4

n12 − n + 1 − n Ответы: 1).6 2).0 3). − 3 2 4). ∞ 5).нет правильного ответа n →∞

Задача:

lim

n →∞

Вычислить

Номер: 2.34.В предел числовой

последовательности

2 n + 1 + 3 27 n 3 + n 3 2n − n

Ответы: 1).1 2).3 3). 3 4 4). ∞ 5).нет правильного ответа Задача:

lim

Вычислить

Номер: 2.35.В предел числовой

n5 + 1 − n −1 4

n4 +1 − n Ответы: 1).1 2). ∞ 3).0 4).-1 5).нет правильного ответа n →∞

33

последовательности

Задача:

lim

n →∞

Вычислить

Номер: 2.36.В предел числовой

последовательности

n 5 32 n10 + 1

(n + 3 n )⋅ (4 n 8 − 1)

Ответы: 1).-2 2). ∞ 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Задача:

Вычислить

Номер: 2.37.В предел числовой

последовательности

5

lim

n →∞

n +1 − 5 n +1 3

n +1 − n2 −1

Ответы: 1).1 2).-1 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Задача:

lim

7

n →∞

Вычислить

Номер: 2.38.В предел числовой

последовательности

2 n 5 + 1 − 6 64 n12 + 9 n2 + 5n +1

Ответы: 1).8 2).-2 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Задача:

lim

Вычислить

Номер: 2.39.В предел числовой

последовательности

n +1 − 3 n2 +1 4

n3 + 1 + 5 n 4 + 3n + 1 Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа n →∞

Задача:

lim

5

n →∞

Вычислить

Номер: 2.40.В предел числовой

последовательности

n15 + n10 + 1 + n 3 + 1 3

8n6 + n + n + 3

Ответы: 1).-1/2 2).0 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа Задача:

Вычислить

Номер: 2.41.В предел числовой

5

n15 + n10 + 1 − n 3 + 1 lim n →∞ n3 + 8 Ответы: 1).1/8 2).0 3). ∞ 4).1 5).нет правильного ответа

34

последовательности

Задача: 3

lim

Вычислить

Номер: 2.42.В предел числовой

последовательности

n2 + n +1 + n −1

4

n 3 + 16 + 5 n + 32 Ответы: 1).0 2).1/4 3). ∞ 4).1 5).нет правильного ответа n →∞

Задача:

Вычислить

Номер: 2.43.В предел числовой

последовательности

3

4

n3 + 3 − n3 + 8 lim n →∞ n2 + n +1 Ответы: 1).1/3 2).0 3). ∞ 4).1/2 5).нет правильного ответа Задача:

lim

n →∞

Вычислить

Номер: 2.44.С предел числовой

последовательности

2 + n3 − 2 − n4 1 + 3 + 5 + K + (2 n − 1) 3

Ответы: 1).-0,25 2).1/2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 2.45.С Задача: Вычислить предел числовой последовательности lim

n →∞

3

n + 4n2 +1 2 − n2 + n

Ответы: 1).-0,25 2).-4 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Задача:

lim

Вычислить

1+ 2 + 3 +K+ n

Номер: 2.46.С предел числовой

последовательности

3

n4 +1

n →∞

Ответы: 1).1/6 2).1/3 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Задача:

lim

n →∞

Вычислить

(n + 4)!− (n + 2)! (n + 3)!

Номер: 2.47.С предел числовой

последовательности

Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1/3 4).1 5).нет правильного ответа Задача:

lim

n →∞

Вычислить

3+ 6 + 9 +K+n n2 + 4

Номер: 2.48.С предел числовой

35

последовательности

Ответы: 1).3 2).0 3). ∞ 4).9 5).нет правильного ответа Задача:

lim

n →∞

Вычислить

2 + 4 +K+ 2n n2 + 4

Номер: 2.49.С предел числовой

последовательности

Ответы: 1).3 2).2 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 2.50.С n →∞

1+ 2 +K+ n n2 + 4

Задача: Вычислить предел числовой последовательности lim

1+ 2 +K+ n

Задача: Вычислить предел числовой последовательности lim Ответы: 1).3 2).2 3).1 4).0 5). ∞ Номер: 2.51.С

n →∞

n +1

Ответы: 1).1 2).0 3). ∞ 4).4 5).нет правильного ответа Номер: 2.52.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания: последовательность ограничена; Ответы: 1). ∃ A > 0 ∃ n ∈ N ( x ≤ A ); ∀ A > 0 ∃ n ∈ N ( x > A ) 2). ∃ A > 0 ∀ n ∈ N ( x ≤ A ); ∀ A > 0 ∃ n ∈ N ( x n > A )

3). ∃ A > 0 ∃ n ∈ N ( x ≤ A ); ∀ A > 0 ∀ n ∈ N ( x > A ) 4). ∃ A > 0 ∀ n ∈ N ( x ≤ A ); ∃ A > 0 ∃ n ∈ N ( x < A )

5). ∃ A > 0 ∃ n ∈ N ( x ≤ A ); ∀ A > 0 ∀ n ∈ N ( x > A )

Номер: 2.53.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания: последовательность возрастает; Ответы: 1). ∀ n ∈ N (x n < x n +1 ); ∃ n ∈ N (x n ≥ x n +1 ) 2). ∃ n ∈ N (x n < x n +1 ); ∀ n ∈ N (x n ≥ x n +1 ) 3). ∀ n ∈ N (x n ≤ x n +1 ); ∃ n ∈ N (x n ≥ x n +1 ) 4). ∀ n ∈ N (x n < x n +1 ); ∃ n ∈ N (x n +1 ≥ x n ) 5). ∃ n ∈ N (x n < x n +1 ); ∃ n ∈ N (x n > x n +1 ) Номер: 2.54.В Задача: Используя логическую символику, записать число a есть предел последовательности 36

1). ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N (n > N ⇒ x n − a < ε )

Ответы:

2). ∃ ε > 0 ∀ N ∈ N ∃ (n > N ∧ x n − a ≥ ε )

3). ∀ ε > 0 ∀ N ∈ N ∃ (n > N ⇒ x n − a < ε )

4). ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N (n < N ⇒ x n − a < ε )

5). ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∃ n ∈ N (n > N ⇒ x n − ε < a )

Номер: 2.55.В Задача: Используя логическую символику, записать: последовательность (x n )n∈N бесконечно большая 1). ∀ E > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N (n > N ⇒ x > E )

Ответы:

2). ∃ E > 0 ∀ N ∈ N ∃ n ∈ N (n > N ∧ x ≥ E )

3). ∀ E > 0 ∀ N ∈ N ∃ n ∈ N (n > N ⇒ x > E )

4). ∀ E > 0 ∀ N ∈ N ∃ n ∈ N (n > N ⇒ x < E ) 5). ∀ E > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N (n < N ⇒ x ≤ E )

Номер: 2.56.В Задача: Используя логическую символику, записать число a есть предельная точка последовательности Ответы: 1). ∀ ε > 0 ∃ n ∈ N ( x n − a < ε ) 2). ∃ ε > 0 ∃ n ∈ N 4). ∀ ε > 0 ∀ n ∈ N

(

3). ∀ ε > 0 ∀ n ∈ N ( x n − a < ε ) x n − a < ε) ( x n − a ≥ ε ) 5). ∃ ε > 0 ∀ n ∈ N ( x n − ε < ε )

37

3. Предел функции Номер: 3.1.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: lim

x →3

x 2 − 5x + 6 x 2 − 8 x + 15

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

0 4). ∞ 0 0

3).

5).1∞

Номер: 3.2.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: lim

x →3

x 2 − 5x + 6 x 2 + 8 x + 15

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

0 4). ∞ 0 0

3).

5).1∞

Номер: 3.3.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого 5

типа) предел: lim

x →∞

x +4 x +3 x 3 11 + 2 x

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

0 4). ∞ 0 0

3).

5).1∞

Номер: 3.4.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: lim

x →∞

Ответы: 1).

∞ ∞

(

2).

1+ x + x2 − 1− x + x2 0 3). ∞ − ∞ 4). ∞ 0 0

)

5). 0 ⋅ ∞

Номер: 3.5.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого 1− x + 16 ⎞ 1+ x

⎛x ⎟ x →1 ⎝ x + 2 ⎠

типа) предел: lim ⎜

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

38

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.6.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: lim

x →π 2

(sin x )tg x

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.7.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», то какого типа) предел: lim

(sin x )x

Ответы: 1). 0 0 2).

∞ ∞

x → +0

3).

0 4). 1∞ 5). 0 ⋅ ∞ 0

Номер: 3.8.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

( x → +0

предел: lim log1 2 x Ответы: 1). ∞ 0

)x

2). 0 0

3). 1∞

4).неопределенности нет 5). 0 ⋅ ∞

Номер: 3.9.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

x 2 − 5x + 6

x3 − 8 ∞ 0 3).

4). 1∞ Ответы: 1). 0 0 2). ∞ 0 x →2

5). 0 ⋅ ∞

Номер: 3.10.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

x →∞

2x −1 ex −1

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.11.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim arctg x (x + 1) x →∞

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞ 39

3).

0 4). 1∞ 0

5). 0 ⋅ ∞

Номер: 3.12.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

arctg 2 x

предел: lim

2

x →0

ex −1

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.13.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

⎛ x +1 ⎞ ⎟ предел: lim ⎜⎜ x →∞ 2 x − 1 ⎟ ⎠ ⎝

x

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.14.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) 1

предел: lim

( tg x )sin x −cos x

Ответы: 1).

∞ ∞

x →π 4

2).

0 3).1∞ 4). 0 ⋅ ∞ 5).неопределенности нет 0

Номер: 3.15.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

1 − cos 3 x

x →0

x2

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.16.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim ln x ⋅ tg x x → +0

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). 0 ⋅ ∞ 5).1∞ 0

Номер: 3.17.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim ( 1 + x ) x →0

1 3x

40

Ответы: 1).

∞ ∞

2).

0 3).1∞ 4). 0 ⋅ ∞ 5).неопределенности нет 0

Номер: 3.18.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

x2 −1

предел: lim

x2 − x − 2 ∞ 0 2).

3). 1∞ Ответы: 1). ∞ 0 x →∞

4). 0 ⋅ ∞ 5). 0 0

Номер: 3.19.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

x →π 2

Ответы: 1).

(ctg x )cos x

∞ ∞

2).

0 3). 1∞ 0

4). 0 ⋅ ∞ 5). 0 0

Номер: 3.20.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

1 ⎞

⎛1

⎟⎟ предел: lim ⎜⎜ − x →0 x ln x ⎠ ⎝ Ответы: 1).

∞ ∞

2).

0 3). ∞ − ∞ 4).неопределенности нет 5). ∞ ⋅ 0 0

Номер: 3.21.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) 4

предел: lim

x + x +1 3

x2 + 3 0 ∞ 2).

3). 1∞ 4). 0 ⋅ ∞ 5).неопределенности нет Ответы: 1).

0 ∞ x →∞

Номер: 3.22.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

sin 3 x x →0 tg 4 x 0 ∞ 2). Ответы: 1).

0 ∞

предел: lim

3). 1∞ 4). 0 ⋅ ∞

41

5).неопределенности нет

Номер: 3.23.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

⎛ 3 x + 1⎞ предел: lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − 1 ⎠

x

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.24.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

x →π 3

Ответы: 1).

(sin 3 x )tg 3x

0 ∞ 2). 1∞ 3). 0 0 4).

0 ∞

5).неопределенности нет

Номер: 3.25.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

sin 4 x x →π 3 cos x 2 0 Ответы: 1).

2). 1∞ 3). 0 0 4). ∞ ⋅ 0 5).неопределенности нет 0

предел: lim

Номер: 3.26.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) 4− x 2

⎛ x + 3 ⎞ x 2 −5 x + 6 ⎟ x →2 ⎝ x + 1 ⎠ 0 ∞ Ответы: 1).

2).

3). 1∞ 0 ∞

предел: lim ⎜

4). 0 0 5).неопределенности нет

Номер: 3.27.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) 1

предел: lim (cos 4x ) x 2 x →0

Ответы: 1).

∞ ∞

2).

0 3).1∞ 4). 0 0 0

5).неопределенности нет

42

Номер: 3.28.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

2⎞ ⎛ предел: lim ⎜ 1 − ⎟ x →∞ ⎝ x⎠

x2

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.29.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

x →0

e2x −1 ex −1

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.30.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа)

sin x 2 предел: lim x →0 tg x Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.31.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

x →1

x −1

ex +1

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Номер: 3.32.А Задача: Определить содержит ли неопределенность (если «да», какого типа) предел: lim

x →∞

x −1

ex −1

Ответы: 1).неопределенности нет 2).

∞ ∞

3).

Номер: 3.33.В Задача: Вычислить предел: lim

x → −2

x3 + 8 x2 − 4 43

0 4). ∞ 0 0

5).1∞

Ответы: 1).-3 2).-1 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.34.В Задача: Вычислить предел: lim

x →∞

x3 + 8 x2 + 5x + 6

Ответы: 1). ∞ 2).-1 3).0 4).-3 5).нет правильного ответа Номер: 3.35.В 3

Задача: Вычислить предел: lim

x →∞

x2 −1 x +1

Ответы: 1). ∞ 2).-1 3).0 4).-3 5).нет правильного ответа Номер: 3.36.В

⎛ ⎟ x →∞ ⎝ x⎠ 3). e −2 3 4).1 5).нет правильного ответа

Задача: Вычислить предел: lim ⎜1 − Ответы: 1). e 2). e 2 3

x 2⎞3

Номер: 3.37.В −2 x

3⎞ ⎛ Задача: Вычислить предел: lim ⎜ 1 + ⎟ x →∞ ⎝ x⎠ Ответы: 1). e 2). e 2 3 3). e −2 3 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 3.38.В

⎛ ⎟ x →∞ ⎝ x⎠ 3).1 4). e 2 3 5).нет правильного ответа

Задача: Вычислить предел: lim ⎜ 1 + Ответы: 1). e 2). e −2 3

1 3 ⎞ 2x

Номер: 3.39.В Задача: Вычислить предел: lim ( 1 + sin x ) x →0

1 cos x

Ответы: 1). e 2). e π 3 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.40.В 1

Задача: Вычислить предел: lim ( 1 + sin x ) tg 3x x →0

3

Ответы: 1). e 2). e 3). e

3

4).1 5).нет правильного ответа

44

Номер: 3.41.В

x2 − 3x

Задача: Вычислить предел: lim

2x2 − 6

x →∞

Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1/2 4).-1/2 5).нет правильного ответа Номер: 3.42.В

1 ⎛ 1 ⎞ − 2 ⎟ x →1 ⎝ x − 1 x + x − 2⎠

Задача: Вычислить предел: lim ⎜

Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа Номер: 3.43.В

(

Задача: Вычислить предел: lim

x →∞

x+2− x

)

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа Номер: 3.44.В 3

Задача: Вычислить предел: lim

x →∞

( )

x 2 ⋅ sin x 2 x −1

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа Номер: 3.45.В

3−4 x Задача: Вычислить предел: lim x →81 9 − x Ответы: 1).1 2).1/3 3).1/6 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 3.46.В

(

Задача: Вычислить предел: lim

x →∞

x2 + 7 − x2 − 7

)

Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1 4).14 5).нет правильного ответа Номер: 3.47.В Задача: Вычислить предел: lim

x →10

x −1 − 3 x − 10

Ответы: 1).1/6 2).1/3 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 3.48.В

⎛

⎞

1

− ctg x ⎟⎟ Задача: Вычислить предел: lim ⎜⎜ x →0 sin x ⎝ ⎠ Ответы: 1).1/2 2). ∞ 3).1/2 4).0 5).нет правильного ответа

45

Номер: 3.49.В

⎛π ⎞ − x ⎟ tg x x →π 2 ⎝ 2 ⎠ π 5).нет правильного ответа Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1 4).

2 Задача: Вычислить предел: lim ⎜

Номер: 3.50.В Задача: Вычислить предел: lim

1 − cos 2 x x2

x →0

Ответы: 1).1/2 2).2 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.51.В

Задача: Вычислить предел: lim x ⋅ ctg π x x →0

Ответы: 1). π 2).0 3).

1 4).1 5).нет правильного ответа π Номер: 3.52.В 3x

⎛ x ⎞ Задача: Вычислить предел: lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 2 + x ⎠ Ответы: 1). e 2). e −6 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 3.53.В

8 x3 −1

Задача: Вычислить предел: lim

x →1 2

6x2 − 5x +1

Ответы: 1).6 2).1/3 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.54.В

⎛ x3 x2 ⎞ ⎟ Задача: Вычислить предел: lim ⎜⎜ − ⎟ x →∞ 2 x 2 − 1 2 x 1 + ⎠ ⎝ Ответы: 1).1 2).1/4 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.55.В

2x +1

Задача: Вычислить предел: lim

x →∞ 3

x2 + x + 4

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4).2 5).нет правильного ответа Номер: 3.56.В Задача: Вычислить предел: lim

x →∞

(

x2 + x − x 46

)

Ответы: 1).0 2).1 3).1/2 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.57.В

x3 + x2 − 4

Задача: Вычислить предел: lim

x →∞ 3

x5 + 2 x + 4 x6 + 3x4 + 2

Ответы: 1).0 2).1 3).1/2 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.58.В Задача: Вычислить предел: lim

x →0

Ответы:

1 1). e 5

x

1+ 5x

2). e 5 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.59.В

e2x −1 Задача: Вычислить предел: lim x →0 7x Ответы: 1).7/2 2).2/7 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.60.В Задача: Вычислить предел: lim

x→0

sin 2 3x sin 2 2x

Ответы: 1).5 2).9/4 3).4 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 3.61.В

⎛ x3 ⎞ − x ⎟⎟ Задача: Вычислить предел: lim ⎜⎜ 2 x →∞ x − 3 ⎝ ⎠ Ответы: 1).1 2).0 3). ∞ 4).1/3 5).нет правильного ответа Номер: 3.62.С

x + x −1 −1

Задача: Вычислить предел: lim

x →1

Ответы: 1).

x2 −1

2 2). 2 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа 2 Номер: 3.63.С

Задача: Вычислить предел: lim

x →0 3

2+x + 2−x 2+x −3 2−x

6 36 2 2 6 2). 3 2 3).

4). ∞ 5).нет правильного ответа Ответы: 1).

2 6

47

Номер: 3.64.С

x2 + 4 − 2

Задача: Вычислить предел: lim

x →0

x2 + 9 − 3

Ответы: 1).3/2 2).-2/3 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.65.С Задача: Вычислить предел: lim ⎛⎜ x + x + x − x ⎞⎟

⎠

⎝

x →∞

Ответы: 1).1 2).1/2 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.66.С Задача: Вычислить предел: lim

x →π 4

Ответы: 1). −

2 − 2 cos x π − 4x

2 1 2).1/2 3).

4).0 5).нет правильного ответа 4 2 Номер: 3.67.С

(

Задача: Вычислить предел: lim 1 + tg 2 x →0

Ответы: 1). e

3

2). e 3). e

23

x

)

3x

4).1 5).нет правильного ответа Номер: 3.68.С

Задача: Вычислить предел: lim

x →0

1 ln 2

1+ x 1− x

Ответы: 1). e 2).1 3). ∞ 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 3.69.С

⎛ 1 ⎞ Задача: Вычислить предел: lim x ⎜ 3 x − 1⎟ ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ ⎠ Ответы: 1). ln 3 2).1 3).3 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.70.С 1

Задача: Вычислить предел: lim (cos x ) x 2 Ответы: 1). e 2). e 2 3). e

x →0 −1 2

4). e1 2 5).нет правильного ответа

48

Номер: 3.71.С

x2 + x − 9x2 + 2x

Задача: Вычислить предел: lim

3

x →∞

x3 +1 − 3 x3 + 2

Ответы: 1).2 2).0 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.72.С Задача: Вычислить предел: lim

cos 5x − cos 3x x2

x →0

Ответы: 1).-6 2).-2 3).-8 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 3.73.С Задача: Вычислить предел: lim (cos x )

−

x →0

2 x2

Ответы: 1). e 4 2). e −4 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 3.74.С 2

Задача: Вычислить предел: lim

e x − cos 2x x2

x →0

Ответы: 1).0 2).– 1 3).3/2 4).2/3 5).нет правильного ответа Номер: 3.75.С

Задача: Вычислить предел: lim x (ln (x + 3) − ln x ) x →∞

Ответы: 1).3 2).0 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.76.С

1 + x sin x − 1

Задача: Вычислить предел: lim

x2

x →0

Ответы: 1).1/2 2).2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 3.77.С 3

Задача: Вычислить предел: lim

x →0

1+ x − 1+ x x

Ответы: 1).1/2 2).1 3).0 4).1/6 5).нет правильного ответа Номер: 3.78.С

sin 2 x + arcsin 2 x − arctg 3 x Задача: Вычислить предел: lim x →0 3x Ответы: 1).1 2).2/3 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа 49

Номер: 3.79.С

3 sin x − x 3

Задача: Вычислить предел: lim

tg x + 2 sin 2 x + 5 x 4

x →0

Ответы: 1).3 2).0 3). ∞ 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 3.80.С

tg 3 x − 3 tg x Задача: Вычислить предел : lim x →π 3 π⎞ ⎛ cos ⎜ x + ⎟ 6⎠ ⎝ Ответы: 1).-24 2).1 3).0 4).1/2 5).нет правильного ответа Номер: 3.81.С

sin 3 x ln (1 + 3x )

(arctg x )2 (e 5

Задача: Вычислить предел: lim

x →0

3

x

)

−1

Ответы: 1).0,6 2).0 3).1/2 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.82.С

⎛ 1− 2x 2 ⎞ + 2 −x ⎟ Задача: Вычислить предел: lim ⎜ ⎜ 3 1+ 8 x3 ⎝

x →∞

⎟ ⎠

Ответы: 1).1 2).-1 3).1/2 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.83.С

1+ x + x2 −1 sin 4 x

Задача: Вычислить предел: lim

x →0

Ответы: 1).8 2).1/8 3).1/4 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 3.84.С

⎛ x2 +1 ⎞ − a x − b ⎟⎟ = 0 Задача: Найти постоянные a и b из условия: lim ⎜⎜ x →∞ ⎝ x +1 ⎠ Ответы: 1). a = 1, b = −1 2). a = 1, b = 1 3). a = −1, b = −1 4). a = b = −1 5).нет правильного ответа Задача:

lim

x → −∞

(

Найти

Номер: 3.85.С постоянные a и

)

x2 − x +1 − a x − b = 0

50

b

из

условия:

Ответы: 1). a = 1, b = правильного ответа

1 1 1 1 2). a = , b = 3). a = b = 1 4). a = b = − 5).нет 2 2 2 2 Номер: 3.86.С

arccos(1 − x ) x

Задача: Вычислить предел: lim

x →0

Ответы: 1).1 2).0 3). 2 4).

1 5).нет правильного ответа 2 Номер: 3.87.С

Задача: Вычислить предел: lim

x →π 4

ln tgx 1 − ctg x

Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.88.С

⎛ 1+ 3x

1− x ⎞ 1− x

⎟⎟ Задача: Вычислить предел: lim ⎜⎜ x →∞ ⎝ 2 + 3x ⎠ Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 3.89.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = +∞

x → +∞

Ответы: 2). ∀ E > 0 ∃ A > 0 3). ∀ E > 0 ∃ A > 0 4). ∃ ε > 0 ∀ A > 0 5). ∀ ε > 0 ∃ A > 0

1). ∀ E > 0 ∀ A > 0

( x < A ⇒ f (x ) < E ) (x > A ⇒ f (x ) > E ) ( x > A ⇒ f (x ) < ε ) (x > A ⇒ f (x ) < E )

(x

> A ⇒ f (x ) < E )

Номер: 3.90.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие утверждения

lim f (x ) = 0

x →0 + 0

Ответы: 2). ∀ E > 0 ∃ δ > 0 3). ∀ ε > 0 ∀δ > 0

1). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

(0 < x < δ ⇒ f (x ) > E ) ( x > A ⇒ f (x ) ≥ ε ) 51

(0 < x < δ ⇒ f (x ) < ε)

4). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 5). ∃ ε > 0 ∀ δ > 0

(− δ < x < 0 ⇒ f (x ) < ε ) ( x < δ ⇒ f (x ) < ε )

Номер: 3.91.В Задача: Используя логическую символику, записать следующие утверждения

lim f (x ) = 2

x →∞

Ответы: 2). ∀ ε > 0 ∃ A > 0 3). ∀ ε > 0 ∀ A > 0 4). ∀ ε > 0 ∃ A > 0 5). ∃ ε > 0 ∀ A > 0

1). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

(x > A ⇒ f (x ) − 2 < ε ) (x > A ⇒ f (x ) − 2 > ε ) (x < A ⇒ f (x ) < −2ε ) ( x < ε ⇒ f (x ) − A < 2 )

(0 < x < δ ⇒ f (x ) − ε < 2)

Номер: 3.92.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = 3 x →1

Ответы: 2). ∀ E > 0 ∃ δ > 0 3). ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 4). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 5). ∀ ε > 0 ∀ δ > 0

1). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

(0 < x − 1 < δ ⇒ f (x ) − 3 < ε )

( x − 1 < ε ⇒ f (x ) − δ < 3) ( x − 1 > δ ⇒ f (x ) < ε − 3) (0 < x − 1 < δ ⇒ f (x ) − 3 ≥ ε ) ( x − 1 > δ ⇒ f (x ) < ε + 3)

Номер: 3.93.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = −∞

x →0

Ответы: 2). ∀ E > 0 ∃ δ > 0 3). ∀ E > 0 ∀ δ > 0 4). ∀ ε > 0 ∀ δ > 0 5). ∀ E > 0 ∃ δ > 0

1). ∀ E > 0 ∃ δ > 0

( x < δ ⇒ f (x ) > − E ) ( x < δ ⇒ f (x ) < E ) (0 < x > δ ⇒ f (x ) > ε ) ( x > δ ⇒ f (x ) < E )

( x < δ ⇒ f (x ) < − E )

Номер: 3.94.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = −∞

x →−∞

Ответы: 2). ∀ E > 0 ∃ A > 0

1). ∀ E > 0 ∃ A > 0

(x < − A ⇒ f (x ) < − E ) 52

(x

> A ⇒ f (x ) < E )

3). ∀ ε > 0 ∃ A > 0 4). ∀ E > 0 ∀ A > 0 5). ∀ E > 0 ∀ A > 0

(x > A ⇒ f (x ) ≥ ε )

(x < A ⇒ f (x ) > − E ) ( x − A > 0 ⇒ f (x ) ≥ E )

Номер: 3.95.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = ∞

x →−∞

Ответы: 2). ∀ ε > 0 ∃ A > 0 3). ∃ ε > 0 ∀ A > 0 4). ∀ E > 0 ∀ A > 0 5). ∀ E > 0 ∃ A > 0

1). ∀ E > 0 ∃ A > 0

( x < A ⇒ f (x ) < ε )

(x < −A ⇒ f (x ) > E )

(x > − A ⇒ f (x ) > E ) ( x < A ⇒ f (x ) < E ) (x > − A ⇒ f (x ) > − E )

Номер: 3.96.В Задача: Число A называется пределом функции f (x ) при x → a , если Ответы: 1). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 (0 < x − a < δ ⇒ f (x ) − A < ε ) 2). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 3). ∀ ε > 0 ∀ δ > 0 4). ∀ ε > 0 ∀ δ > 0 5). ∃ ε > 0 ∃ δ > 0

( x − a > δ ⇒ f (x ) − A > ε ) (0 < x − a < δ ⇒ f (x ) < ε + A ) ( x − δ < a ⇒ f (x ) − A < ε ) ( x − a < ε ⇒ f (x ) − A < δ )

Номер: 3.97.В Задача: Функция f (x ) стремится к пределу b при x → ∞ , если Ответы: 1). ∀ ε > 0 ∃ N > 0 ( x > N ⇒ f (x ) − b < ε ) 2). ∀ ε > 0 ∃ N > 0 3). ∃ ε > 0 ∀ N > 0 4). ∃ ε > 0 ∀ N > 0 5). ∀ ε > 0 ∃ N > 0

( x > N ⇒ f (x ) − b > ε );. ( x < N ⇒ f (x ) − b < ε ) ( x < ε ⇒ f (x ) − b > N ) ( x < N ⇒ f (x ) < ε + B )

Номер: 3.98.В Задача: Функция f (x ) стремится к бесконечности при x → a , если Ответы: 1). ∀ M > 0 ∃ δ > 0 (0 < x − a < δ ⇒ f (x ) < M ) 2). ∀ M > 0 ∃ δ > 0 3). ∃ M > 0 ∀ δ > 0

(0 < x − a (0 < x − a

> M ⇒ f (x ) > δ ) < δ ⇒ f (x ) < M )

53

4). ∀ M > 0 ∃ δ > 0 5). ∃ M > 0 ∀ δ > 0

( x − a > δ ⇒ f (x ) < M ) (0 < x − a < δ ⇒ f (x ) > M )

Номер: 3.99.В Задача: Функция y = f (x ) называется бесконечно малой при x → x 0 , если Ответы: 2). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 3). ∀ ε > 0 ∀ δ > 0 4). ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 5). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

(0 < x − x 0

1). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

( x − x 0 > δ ⇒ f (x ) > ε ) (0 < x − x 0 < ε ⇒ f (x ) < δ) ( x − x 0 < ε f (x ) ≥ ε ) (0 < x − x 0 < δ ⇒ f (x ) − ε < δ)

< δ ⇒ f (x ) < ε )

Номер: 3.100.В Задача: Для того, чтобы функция y = f (x ) имела предел A в точке x 0 , необходимо и достаточно, чтобы функция была представлена в виде: α(x ) − б.м.в. при x → x 0 Ответы: 1). f (x ) = A + α(x ) , где 2). f (x ) = A + β(x ) , где β(x ) − б.б.в. при x → x 0 3). f (x ) = α(x ) + β(x ) , где α(x ) − б.м.в. при β(x ) − б.б.в.

4). f (x ) = A ⋅ α(x ) 5). f (x ) = A ⋅ β(x ) Номер: 3.101.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = ∞

x →0

(0 < x < δ ⇒ f (x ) < E ) (0 < x < δ ⇒ f (x ) > E ) (0 < x < δ ⇒ f (x ) > E ) (0 < x < δ ∧ f (x ) ≤ E ) ( x > M ⇒ f (x ) < δ )

Ответы: 1). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 2). ∀ E > 0 ∃ δ > 0 3). ∃ E > 0 ∀ δ > 0 4). ∀ E > 0 ∀ δ > 0 5). ∀ E > 0 ∃ δ > 0

Номер: 3.102.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = −∞

x →1−0

Ответы: 2). ∀ E > 0 ∃ δ > 0 3). ∃ E > 0 ∃ δ > 0 4). ∃ E > 0 ∀ δ > 0 5). ∃ E > 0 ∀ δ > 0

1). ∀ E > 0 ∃ δ > 0

(− δ < x − 1 < 0 ⇒ f (x ) < −E )

( x − 1 < δ ⇒ f (x ) < E ) (− δ < x < −1 ⇒ f (x ) > E ) (− δ < x < −1 ∧ f (x ) > −E ) ( 0 < x − 1 < δ ⇒ f (x ) ≥ E ) 54

Номер: 3.103.В Задача: Используя логическую символику записать следующие утверждения

lim f (x ) = 0

x →+∞

1). ∀ ε > 0 ∃ A > 0

Ответы: 2). ∀ E > 0 ∃ A > 0 3). ∀ ε > 0 ∃ A > 0 4). ∀ ε > 0 ∃ A > 0 5). ∀ ε > 0 ∀ A > 0

(x > A ⇒ f (x ) > E ) (x > A ⇒ f (x ) < δ) (x > A ⇒ f (x ) < ε ) ( x < A ⇒ f (x ) ≥ ε )

Номер: 3.104.В

Задача: Найти пределы lim

x →0

1 − cos 5x x2

Ответы: 1).0 2). ∞ 3).25/2 4).5/2 5).5/4 Номер: 3.105.В Задача: Найти пределы lim

x →∞

3x 4 − 2 x 8 + 3x + 4

Ответы: 1).1 2).3/2 3).3 4). ∞ 5).0

Номер: 3.106.В

Задача: Найти пределы lim x→

Ответы: 1) .

π 4

sin x − cos x π − 4x

− 2 π 2).0 3). ∞ 4).1 5).

4 4 Номер: 3.107.В

Задача: Найти пределы lim

x →0

1 + x sin x − 1 x2

Ответа: 1).1/2 2).0 3). ∞ 4).1 5).-1

Номер: 3.108.В

Задача: Найти пределы lim

x →0

tg x − sin x x3

Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4). ∞ 5).

2 2

55

( x < A ⇒ f (x ) < ε )

Номер: 3.109.В

⎛ x + 3⎞ Задача: Найти пределы lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − 2 ⎠ Ответы: 1). ∞ 2). e

10

3). e

−3

4). e

2 x +1

2

5).0

Номер: 3.110.В 1

Задача: Найти пределы lim (cos x )

x2

x →0

Ответы: 1). e

1 − 2). e 2

3).1 4). e

3

1 5). e 2

Номер: 3.111.В

⎛ x + 5⎞ 2

x2

⎟ Задача: Найти пределы lim ⎜⎜ 2 x →∞ x − 5 ⎟ ⎠ ⎝ Ответы: 1). e10 2).1 3). ∞ 4).

1 5). e 2 e Номер: 3.112.В

(

Задача: Найти пределы lim 1 + tg x →0

2

x

)

3 x

Ответы: 1). e 2). e 3 3).0 4). e ∞ 5).1 Номер: 3.113.В

1 1+ x ln x 1− x

Задача: Найти пределы lim

x →0

Ответы: 1).1 2). e 3).2 4). e −2 5). ∞ Номер: 3.114.В

3 ⎞ ⎛ 1 − ⎟ x →2 ⎝ 2 − x 8 − x2 ⎠

Задача: Найти пределы lim ⎜

Ответы: 1).0 2).1 3). ∞ 4).1/2 5).3

Номер: 3.115.В 2

Задача: Найти пределы lim

x →1

x − 2x + 1 x3 − x

Ответы: 1).1 2).0 3).3 4). ∞ 5).3/2

56

Номер: 3.116.В

8x 3 − 1 Задача: Найти пределы lim 2 1 x → 6 x − 5x + 1 2

Ответы: 1).6 2).5 3).4 4).0 5). ∞ Номер: 3.117.В

⎛ x3 x2 ⎞ ⎟ Задача: Найти пределы lim ⎜⎜ 2 − x →∞ 2 x − 1 2 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

Ответы: 1). ∞ 2).1 3).0 4).1/3 5).1/4

Номер: 3.118.В

Задача: Найти пределы lim

(x − 1)

2−x

x2 −1

x →1

Ответы: 1).1 2).1/2 3).0 4). ∞ 5).-1

Номер: 3.119.В

⎛ x3 x2 ⎞ ⎟ Задача: Найти пределы lim ⎜⎜ 2 − x →∞ 2 x − 1 2 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

Ответы: 1).1/4 2).1 3).0 4). ∞ 5).-4

Номер: 3.120.В

1 + sin x − 1 − sin x tg x

Задача: Найти пределы lim

x →0

Ответы: 1).1 2).2 3).0 4). ∞ 5).-1

Номер: 3.121.В Задача: Найти пределы lim

1 − cos x x2

x →0

Ответы: 1).3/2 2).- 1 3).0 4).

cos 2 x

2 5).3 2 Номер: 3.122.В

⎛π ⎞ − x ⎟ tg x ⎝2 ⎠

Задача: Найти пределы lim cos ⎜ x→

π 2

Ответы: 1).2 2).1 3).0 4).-1 5).-2

57

Номер: 3.123.В

Задача: Найти пределы lim (1 + sin x )

cos ec x

x →0

Ответы: 1).1 2).2 3). e 4).0 5). e

2

Номер: 3.124.В 2

Задача: Найти пределы lim

e x − cos x x2

x →0

Ответы: 1).3/2 2).1 3). ∞ 4).1/2 5).0 Номер: 3.125.В 2x

−1 x →0 3x ln 2 Ответы: 1).2/3 2).1 3).0 4). ∞ 5).

3

Задача: Найти пределы lim

e

Номер: 3.126.В

⎛ 1 ⎞ x ⎜ Задача: Найти пределы lim x e − 1⎟ ⎟ x →∞ ⎜ ⎝ ⎠ Ответы: 1).1 2). e 3).0 4). ∃ 5).2 Номер: 3.127.В

x + sin x x →∞ x + cos x

Задача: Найти пределы lim

Ответы: 1).1 2).0 3). ∃ 4). ∞ 5).1/2 Номер: 3.128.В

x3 − x2 − x +1 Задача: Найти предел lim 3 x →1 x + x 2 − x − 1

Ответы: 1).0 2).1 3). ∞ 4).-1 5).2

Номер: 3.129.В

x 3 − 1000 Задача: Найти предел lim 3 x →10 x − 20 x 2 + 100 x

Ответ: 1).0 2).1 3). ∞ 4).100 5).1

Номер: 3.130.В Задача: Найти предел lim

x →0

x+4−2 x 58

Ответ: 1).1 2).2 3).3/4 4).1/4 5).1/2 Номер: 3.131.В 4

Задача: Найти предел lim

x →∞

2 x + 3x 2 + 5x − 6 x 3 + 3x 2 + 7 x − 1

Ответы: 1).1 2).2 3).0 4). ∞ 5).-2

Номер: 3.132.В 2

Задача: Найти предел lim

x →∞

x −1 2x 2 + 1

Ответы: 1).1 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞ Номер: 3.133.В 4

Задача: Найти предел lim

x →∞

x − 5x x 2 − 3x + 1

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4).-5/3 5).2

Номер: 3.134.В

1 + x − 3x 3 Задача: Найти предел lim x →∞ 1 + x 2 + 3x 3 Ответы: 1). ∞ 2).-1 3).1 4).0 5).3

Номер: 3.135.В

2 arcsin x x →0 3x

Задача: Найти предел lim

Ответы: 1).0 2).2 3).3/2 4). ∞ 5).1

Номер: 3.136.В Задача: Найти предел lim

x →0

Ответы: 1).

2 − 1 + cos x sin 2 x

2 2 1 2).

3). 4).0 5). ∞ 4 8 8

59

4. Раскрытие неопределенности

0 0

Номер: 4.1.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x2 −1 x3 − x2

Ответы: 1).2 2).1 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.2.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

x2 − 3x + 2 x2 − 4

Ответы: 1).2 2). ∞ 3).1/4 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 4.3.В

x2 − 2 x + 2 Задача: Вычислить предел функции lim x →1 2 x 2 − x − 1 Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа Номер: 4.4.В

x2 − 2 x +1 Задача: Вычислить предел функции lim 2 x →1 x − 4 x + 3 Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1/3 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 4.5.В

x3 − 3x − 2 Задача: Вычислить предел функции lim 2 x → −1 x − x − 2 Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4).1/2 5).нет правильного ответа Номер: 4.6.В

x4 −1 Задача: Вычислить предел функции lim x →1 2 x 4 − x 2 − 1 Ответы: 1).2/3 2).0 3).1 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.7.В

x3 − 3x − 2 Задача: Вычислить предел функции lim x →2 x−2 Ответы: 1).9 2).1 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа 60

Номер: 4.8.В

x3 − 3x − 2 Задача: Вычислить предел функции lim x → −1 x + x2 Ответы: 1).1 2).0 3). ∞ 4).-2 5).нет правильного ответа Номер: 4.9.В 4

Задача: Вычислить предел функции lim

x →16

x −2 x −4

Ответы: 1).1/8 2).0 3).– 1/2 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.10.В Задача: Вычислить предел функции lim

4

x →9

x −3 x −9

Ответы: 1).0 2).1/6 3).– 1/3 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.11.В Задача: Вычислить предел функции lim

4

x →1

x −1 x −1

Ответы: 1).0 2).1 3). ∞ 4).1/2 5).нет правильного ответа Номер: 4.12.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →9

x −9 x −3

Ответы: 1).0 2).6 3).– 1/3 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.13.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →16

x −4 4 x −2

Ответы: 1).8 2).0 3).1/8 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.14.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

x−2

x3 − 3x − 2

Ответы: 1).2 2).1 3).1/9 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.15.В

x2 + x5 Задача: Вычислить предел функции lim x →0 (1 + x )3 − (1 + 3 x ) Ответы: 1).1/3 2).1 3).0 4).3 5). ∞ 61

Номер: 4.16.В Задача: Вычислить предел функции lim

(1 + x )3 − (1 + 3 x ) x2 + x5

x →0

Ответы: 1).1/3 2).1 3).3 4).0 5). ∞ Номер: 4.17.В Задача: Вычислить предел функции lim

9 x + 2x − 5 3

x →8

x2 − 4

Ответы: 1).3/5 2).5/3 3).1 4).0 5). ∞ Номер: 4.18.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →8

x2 − 4 9 + 2x − 5

3

Ответы: 1).5/3 2).3/5 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 4.19.В Задача: Вычислить предел функции lim

x → −1

x 3 + 5x 2 + 7 x + 3 x3 + 4 x2 + 5 x + 2

Ответы: 1).2 2).1/2 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 4.20.В

x 3 + 4x 2 + 5 x + 2 Задача: Вычислить предел функции lim x → −1 x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 Ответы: 1).1 2).1/2 3).0 4).2 5).нет правильного ответа Номер: 4.21.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x −1 1+ x − 2x 3

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1/2 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 4.22.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

1+ x − 2 x 3 x −1

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1/2 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 4.23.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

62

1+ x − 1− x 7 x

Ответы: 1).7 2).0 3).1 4). ∞ 5).1/7 Номер: 4.24.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

x 1+ x − 1− x 7

Ответы: 1).1/7 2).7 3).1 4).1 5). ∞ Номер: 4.25.В

2 x3 + 4 x2 + 5 x + 2 Задача: Вычислить предел функции lim x →1 x3 − 3x 2 − 2 Ответы: 1).1 2).2 3).0 4).-1 5). ∞ Номер: 4.26.В

x2 −1 Задача: Вычислить предел функции lim x →1 2 x 2 − 3 x + 1 Ответы: 1).2 2).1 3).0 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 4.27.В

x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 Задача: Вычислить предел функции lim x →2 x3 − 3x 2 + 4 Ответы: 1).0 2).6 3). ∞ 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 4.28.В

x3 − 3x2 + 4 Задача: Вычислить предел функции lim 3 x → 2 x − 6 x 2 + 12 x − 8 Ответы: 1).0 2).6 3). ∞ 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 4.29.В Задача: Вычислить предел функции lim

x → −3

(x

2

)

2

+ 2x −3 3 x + 4 x2 + 3x

Ответы: 1).1 2).6 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 4.30.В

x3 + 4 x2 + 3x Задача: Вычислить предел функции lim x → −3 x2 − 2x − 3 Ответы: 1). ∞ 2).0 3).6 4).2/3 5).нет правильного ответа Номер: 4.31.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

63

5−x −2 x − 5x + 4 2

Ответы: 1).1/2 2).12 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 4.32.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x2 − 5x + 4 5−x − 2

Ответы: 1).1/2 2).12 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 4.33.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x2 − 6 x + 5 2x + 7 −3

Ответы: 1).–12 2).0 3).1 4).12 5).– 1/2 Номер: 4.34.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

2x + 7 − 3 x2 − 6x + 5

Ответы: 1).–12 2).0 3).1 4).12 5).– 1/2 Номер: 4.35.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

2 − 3x − 2 x +7 −3

Ответы: 1).3 2).2/9 3).0 4).1 5).-4,5 Номер: 4.36.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

x +7 −3 2 − 3x − 2

Ответы: 1).3 2).2/9 3).0 4).1 5).-4,5 Номер: 4.37.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x5 − x x −1

Ответы: 1).9/2 2).-4,5 3).2/9 4).0 5).-2/9 Номер: 4.38.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x −1 x5 − x

Ответы: 1).9/2 2).-4,5 3).2/9 4). ∞ 5).-2/9 Номер: 4.39.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

64

x7 −1 x x −1

Ответы: 1).1 2).3/14 3).1/7 4).14/3 5).0 Номер: 4.40.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x x −1 x7 −1

Ответы: 1).1 2).3/14 3).1/7 4).14/3 5).0 Номер: 4.41.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x x −1 x 3 x −1

Ответы: 1).8/9 2).-8 3).9/8 4).8/3 5).– 3/8 Номер: 4.42.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x 3 x −1 x x −1

Ответы: 1).8/9 2).-8 3).9/8 4).3/8 5).8/3 Номер: 4.43.В Задача: Вычислить предел функции lim

3 − x −1 4 − 2x

3

x →2

Ответы: 1).1/6 2).6 3).1 4).0 5).– 3 Номер: 4.44.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

4 − 2x 3 − x −1

3

Ответы: 1).1/6 2).6 3).3 4).1/3 5).0 Номер: 4.45.В Задача: Вычислить предел функции lim

4

x → −1

x + 17 − 2 x +1

Ответы: 1).-32 2).1/32 3).1 4). ∞ 5).1/8 Номер: 4.46.В Задача: Вычислить предел функции lim

x → −1

Ответы: 1).32 2).-1/32 3).1 4).0 5).8

65

4

x +1 x + 17 − 2

Номер: 4.47.В Задача: Вычислить предел функции lim

4

x →5

x + 11 − 2 x −5

Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1/32 4).1 5).32 Номер: 4.48.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →5

4

x −5 x + 11 − 2

Ответы: 1).0 2). ∞ 3).1/32 4).1 5).32 Номер: 4.49.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →5

x + 4 − 3 x + 22 4 x + 11 − 2

Ответы: 1).0 2).1 3).112/27 4).27/112 5).9/10 Номер: 4.50.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →5

x + 11 − 2 x + 4 − 3 x + 22 4

Ответы: 1).27/112 2).0 3).1 4).10/9 5). ∞ Номер: 4.51.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →5

3 − 3 x + 22 x −5

Ответы: 1).-1/27 2).-27 3).1/3 4).0 5). ∞ Номер: 4.52.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →5

x −5 3 − 3 x + 22

Ответы: 1).-1/27 2).-27 3).3 4).0 5). ∞ Номер: 4.53.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →5

x + 4 −3 x −5

Ответы: 1).1/6 2).6 3).-1/9 4).9 5).0 Номер: 4.54.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →5

Ответы: 1).6 2).1/6 3).-1/9 4).9 5).0 66

x −5

x + 4 −3

Номер: 4.55.В

x 3 − 27 9 − x2

Задача: Вычислить предел функции lim

x →3

Ответы: 1).-4,5 2).2/9 3).-9 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 4.56.В

9 − x2 x 3 − 27

Задача: Вычислить предел функции lim

x →3

Ответы: 1).-4,5 2).-2/9 3).2/9 4).4,5 5).нет правильного ответа Номер: 4.57.С Задача: Вычислить предел функции lim x →−

1 2

32 x 5 + 1 2 x 3 − 7x 2 + 6 x + 5

Ответы: 1).-27/16 2).16/27 3).-8/27 4).27/8 5).0 Номер: 4.58.С Задача: Вычислить предел функции lim x →−

1 2

2x 3 − 7 x 2 + 6 x + 5 32 x 5 + 1

Ответы: 1).27/16 2).16/27 3).-16/27 4).8/27 5).нет правильного ответа Номер: 4.59.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →3

x 3 − 3 x 2 − 9 x + 27 x 4 − 18 x 2 + 81

Ответы: 1).1 2).-6 3).1/6 4).0 5).6 Номер: 4.60.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →3

x 4 − 18 x 2 + 81 x 3 − 3 x 2 − 9 x + 27

Ответы: 1).6 2).1/6 3).-1/6 4).1 5).-6 Номер: 4.61.С

x 30 − 2 x 27 + 3 x13 − 2 Задача: Вычислить предел функции lim x →1 x 37 − 5 x10 + 3 x 3 + 1 Ответы: 1).-15/4 2).-4/15 3).-7,5 4).0 5). ∞ Номер: 4.62.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

67

x 37 − 5 x10 + 3 x 3 + 1 x 30 − 2 x 27 + 3 x13 − 2

Ответы: 1).-15/4 2).-4/15 3).7,5 4).0 5).1 Номер: 4.63.С

⎛

3

1 ⎞

⎟⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ 3 − 2 x →2 x 2 − ⎝ x − 3x + 3x − 2 ⎠ Ответы: 1).-1 2).1 3).0 4).2 5).– 2 Номер: 4.64.С

x 5 − 32 x3 − 3x − 2

Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

Ответы: 1).9/80 2).80/9 3).0 4). ∞ 5).– 11 Номер: 4.65.С

x3 − 3x − 2 x 5 − 32

Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

Ответы: 1).9/80 2).80/9 3).0 4). ∞ 5).1/11 Номер: 4.66.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x4 − 4 x + 3 2 x3 − 3x2 + 1

Ответы: 1).1/2 2).2 3).0 4).1 5). ∞ Номер: 4.67.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

2x 3 − 3 x 2 + 1 x4 − 4 x + 3

Ответы: 1).1/2 2).2 3).-2 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 4.68.С

3x 4 − 4 x 3 + 1 Задача: Вычислить предел функции lim x →1 3x − x3 − 2 Ответы: 1).-2 2).2 3).1/2 4).-1/2 5).0 Номер: 4.69.С

3x − x 3 − 2 Задача: Вычислить предел функции lim x →1 3x 4 − 4 x 3 + 1 Ответы: 1).- 2 2).2 3).1/2 4).-1/2 5).0

68

Номер: 4.70.В

⎛

1

⎞

6

⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ + 2 x → −3 ⎝ x + 3 x − 9 ⎟⎠ Ответы: 1).1 2).-6 3).-1/6 4).2/9 5).0 Номер: 4.71.В Задача: Вычислить предел функции lim

x → −1

x 4 + x 3 − 7 x 2 − 13 x − 6 x3 + x2 − x −1

Ответы: 1).-2 2).2 3).1/2 4).-1 5).0 Номер: 4.72.В Задача: Вычислить предел функции lim

x → −1

x3 + x2 − x −1 x 4 + x 3 − 7 x 2 − 13 x − 6

Ответы: 1).-2 2).2 3).1/2 4).1 5). ∞ Номер: 4.73.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x4 − x3 − 3x 2 + 5 x − 2 x5 − 4 x 4 + 4 x3 + 2 x 2 − 5 x + 2

Ответы: 1).-3/2 2).2 3).2/3 4).-1 5).0 Номер: 4.74.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

Ответы: 1). 350 2). 350 ln 3 3).

(x (x

3

− 3x2 + 4

2

− 3x + 2

)

2

− 3x + 2

)

3

− 3x2 + 4

50

100

1 4).1 5).0 350 Номер: 4.75.С

Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

Ответы: 1).

)

(x (x

100

)

50

1 2). 350 3). 350 ln 3 4).1 5). ∞ 50 3 Номер: 4.76.С

Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x + x2 +K+ xn − n x −1

n (n + 1) n2 −1 2 2).

3). 2 4).1 5).нет правильного ответа Ответы: 1).

2 2 n +1 69

Номер: 4.77.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x −1 x + x2 +K+ xn − n

n 2− 1 2 2 Ответы: 1).

2).

3). 2 4). ∞ 5). n (n + 1) 2 n (n + 1) n −1 Номер: 4.78.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x5 − 4 x 4 + 4 x3 + 2 x 2 − 5 x + 2 x4 − x3 − 3x2 + 5 x − 2

Ответы: 1).-2/3 2).-3/2 3).0 4).-3 5).1/2 Номер: 4.79.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

10

⎛ 27 ⎞ Ответы: 1).1 2). ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

10

⎛1⎞ 3). ⎜ ⎟ ⎝2⎠

10

4). 2

(x

4

(x

2

+x −2

)

30

10

(x

4

x →1

10

⎛ 27 ⎞ Ответы: 1).1 2). ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

10

⎛1⎞ 3). ⎜ ⎟ ⎝2⎠

10

4). 2

(x

2

+x−2

)

30

10

⎛ 2⎞ 5). ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

(1 + x )4 − (1 + 4 x ) x2 + x7

x →0

Ответы: 1).1/6 2).6 3).0 4). ∞ 5).1 Номер: 4.82.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1).1/6 2).6 3).0 4). ∞ 5).1

x2 + x7 (1 + x )4 − (1 + 4 x )

Номер: 4.83.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

70

)

− 2 x3 + 2 x −1

Номер: 4.81.С Задача: Вычислить предел функции lim

10

⎛ 2⎞ 5). ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

Номер: 4.80.С Задача: Вычислить предел функции lim

)

− 2 x3 + 2 x −1

(x + 2)3 + ( x − 2)3 x3 + 3x

10

Ответы: 1).1/8 2).1 3).8 4).4 5).1/4 Номер: 4.84.С

lim

Задача: Вычислить предел функции

x→0

x3 + 3x ( x + 2 )3 + (x − 2 )3

Ответы: 1).1/8 2).1 3).8 4).4 5).1/4 Номер: 4.85.С Задача: Вычислить предел функции

lim

x →0

( 1 + x )⋅ (1 + 3 x ) ⋅ (1 + 5 x ) ⋅ (1 + 7 x ) − (1 + 6 x ) x2

Ответы: 1).92 2).32 3).86 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 4.86.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x +3−3 x +7 x −1

Ответы: 1).6 2).1/6 3).1/4 4).-4 5).0 Номер: 4.87.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →1

x −1 x +3−3 x +7

Ответы: 1).6 2).1/6 3).1/4 4).4 5). ∞ Номер: 4.88.С Задача: Вычислить предел функции lim

x → −1

x + 2 −33+ 2 x 4 2 − 14 x − 2

Ответы: 1).21/8 2).8/21 3).-23/8 4).0 5).23/6 Номер: 4.89.С Задача: Вычислить предел функции lim

x → −1

2 − 4x − 2 x + 2 − 3 3+ 2x 4

Ответы: 1).21/8 2).-8/21 3).-23/8 4). ∞ 5).6/23 Номер: 4.90.С Задача: Вычислить предел функции

⎛ x2 − 4x + 3 5 x2 + 4 x3 − x4 + 8 x3 ⎜ − lim x →1 ⎜ + − 3 x 2 x −1 ⎝ Ответы: 1).-6 2).-3 3).1 4).0 5). ∞ 71

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

5. Раскрытие неопределенности

∞ ∞

Номер: 5.1.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x2 + x +1 x3 −1

Ответы: 1).0 2).2 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 5.2.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

3x2 +1 x4 + x +1

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 5.3.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x5 +1 x2 + 3x −1

Ответы: 1).0 2).1 3). ∞ 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 5.4.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

2 x2 − x +1 7 − x2

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4). ∞ 5).1 Номер: 5.5.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

2x + 1 x2 +1

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4). ∞ 5).1 Номер: 5.6.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x2 +1 ex + 1

Ответы: 1). ∞ 2).2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 5.7.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

3x −1 2 x2 +1

Ответы: 1).3/2 2).2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа

72

Номер: 5.8.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

2 x2 −1 3x −1

Ответы: 1).2/3 2).0 3). ∞ 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 5.9.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x +3 x +2 1+ 4x − x

Ответы: 1).2 2).1/2 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 5.10.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x2 + x +1 x3 −1

Ответы: 1).0 2).2 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 5.11.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

2x + 1 x 20 + 1

Номер: 5.12.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

3x2 +1 x4 + x +1

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 5.13.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x5 +1 x2 + 3x −1

Ответы: 1).0 2).1 3). ∞ 4).-1 5).нет правильного ответа Номер: 5.14.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

2 x2 − x +1 7 − x2

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4). ∞ 5).1 Номер: 5.15.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

Ответы: 1).0 2).2 3).-2 4). ∞ 5).1 73

2x + 1 x2 +1

Номер: 5.16.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x2 +1 ex + 1

Ответы: 1). ∞ 2).2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 5.17.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

3x −1 2 x2 +1

Ответы: 1).3/2 2).2 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 5.18.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

2 x2 −1 3x −1

Ответы: 1).2/3 2).0 3). ∞ 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 5.19.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

x +3 x +2 1+ 4x − x

Ответы: 1).2 2).1/2 3).0 4). ∞ 5).нет правильного ответа Номер: 5.20.В Задача: Вычислить предел функции lim

5x4 − 7 x2 + 5x − 4 x4 + x2 + x +1

x →∞

Ответы: 1).1 2).2 3). ∞ 4).0 5).5 Номер: 5.21.В Задача: Вычислить предел функции lim

(2 x + 3) ⋅ (x 3 + 2) x 4 + x − 11

x →∞

Ответы: 1).1 2).2 3). ∞ 4).0 5).5 Номер: 5.22.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

2x − 1

x2 +1 + 3 x + 8

Ответы: 1).1 2).2 3). ∞ 4).0 5).5 Номер: 5.23.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

74

x2 +1− 3 x +1 7

x2 + 3 + x

Ответы: 1).1 2).2 3). ∞ 4).0 5).5 Номер: 5.24.В 3

Задача: Вычислить предел функции lim

x2 +1 − x +1 x2 −1

x →∞

Ответы: 1).1 2).2 3). ∞ 4).0 5).5 Номер: 5.25.В Задача: Вычислить предел функции lim

(x − 1) ⋅ (x 3 + 4)

x →∞

x2 + x +1

Ответы: 1).1 2).2 3). ∞ 4).0 5).5 Номер: 5.26.В

⎛ x3 3x2 ⎞ ⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ − 2 ⎟ x →∞ + 15 x 1 ⎝ 5x +1 ⎠ Ответы: 1).1/75 2).1/25 3).1 4).0 5). ∞ Номер: 5.27.В

⎛ x2 + x −1 ⎞ ⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ 2 ⎟ x →∞ 2 x − x + 1 ⎝ ⎠

3

Ответы: 1).8 2).1/8 3).1 4).0 5).1/25 Номер: 5.28.В

⎛ 1− x2 + x ⎞ ⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ 7 2 ⎟ x →∞ x + x + 1 ⎝ ⎠

3

Ответы: 1).8 2).1/8 3).1 4).0 5).1/25 Номер: 5.29.В

⎛ 2 x −1 ⎞ ⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ 2 ⎟ x →∞ ⎝ 4x − 3 x + 1 ⎠ Ответы: 1).8 2).1/8 3).1 4).0 5). ∞

23

Номер: 5.30.В

⎛ x 3x2 ⎞ ⎟ − 3 Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ 2 ⎟ x →∞ x 1 x 1 + + ⎝ ⎠ Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

75

Номер: 5.31.В

⎛ 3x x3 ⎞ ⎜ ⎟ − 5 Задача: Вычислить предел функции lim ⎜ 3 ⎟ x →∞ ⎝ x + 1 x − 1⎠ Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞ Номер: 5.32.В

⎛

1

2x

⎞

⎟⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜ − 2 x →∞ − 3 x x − x + 4⎠ ⎝ Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞ Номер: 5.33.В 3

Задача: Вычислить предел функции lim

x4 +1 − 3 x +1 4

x →∞

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

x3 +1

Номер: 5.34.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

x3 +1 − x2 −1 x +1

Номер: 5.35.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

x +1

x3 +1 − x2 −1

Номер: 5.36.В Задача: Вычислить предел функции lim

x5 +1 + 5 x2 +1

x →∞

x2 + x5 +1

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞ Номер: 5.37.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

76

3x +1 + 3 8 x3 + 4 3

3x − x

Номер: 5.38.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

(x

(x

2

)

2

− x +1

−1

3

Номер: 5.39.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞

Ответы: 1).– 2 2).1/2 3).1 4).0 5). ∞

77

(x

2

(x

)

)

+ x +1 2

)

+1

3

3

3

6. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций Номер: 6.1.В Задача: Вычислить предел функции lim

x→0

sin 2 x tg 3x

Ответы: 1).2/3 2).0 3).3/2 4).1 5).4/9 Номер: 6.2.В Задача: Вычислить предел функции lim

x→0

sin 4 x arctg 3x

Ответы: 1).3/4 2).4/3 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 6.3.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

tg 2 x 1 − cos 4 x

Ответы: 1).1/8 2).8 3).1 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 6.4.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

arcsin 2 4 x ln (1 + 4 x )

Ответы: 1).0 2).1 3). ∞ 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 6.5.В

1 − cos 3 x Задача: Вычислить предел функции lim x →0 4 x2 Ответы: 1).3/2 2).1 3).0 4).1/4 5). ∞ Номер: 6.6.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

1 − cos 3 2x x2

Ответы: 1).2 2).1/2 3).6 4).3 5).0 Номер: 6.7.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1).

ln 2 2). ln 2 3).1/2 4).1 5). ∞ 2

78

2 x +1 − 2 ln (1 + 4x )

Номер: 6.8.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1).

ln (1 + 2 x ) 2 x +1 − 2

1 2). ln 2 3).1/2 4).2 5).1 ln 2 Номер: 6.9.В

Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

cos 5x − cos 9x 1 − cos 4 x

Ответы: 1).1 2).3,5 3).0 4). ∞ 5).2/7 Номер: 6.10.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

l − cos 4 x cos 5x − cos 9x

Ответы: 1).1 2).3,5 3).0 4). ∞ 5).2/7 Номер: 6.11.В Задача: Вычислить предел функции lim

x→0

x sin 2x tg 2 4 x

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4 Номер: 6.12.В Задача: Вычислить предел функции lim

x→0

x tg 2 x sin 2 4x

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4 Номер: 6.13.В Задача: Вычислить предел функции lim

x (1 − cos 4 x ) tg 2 2 x

x →0

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4 Номер: 6.14.В

x 2 1 − cos 2 x x tg

Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4

79

Номер: 6.15.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

cos 3x − cos x x ⋅ sin x

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4 Номер: 6.16.В Задача: Вычислить предел функции lim

(cos 4x − cos 5x ) x sin 3x

x →0

Ответы: 1).1/8 2).8 3).– 4 4).0 5).1/4 Номер: 6.17.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

1 − cos 6 x tg 3x ⋅ tg 6 x

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).5). ∞ Номер: 6.18.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

ln (1 + sin x ) sin 4 x

Ответы: 1).1 2).4 3).0 4).1/4 5). ∞ Номер: 6.19.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

3x2 − 5x sin 3x

Ответы: 1).-5/3 2).1 3).0 4). ∞ 5).3 Номер: 6.20.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1).1 π 2). π 3).0 4).1 5). 2 π

2x 1 ⎞⎞ ⎛ ⎛ tg ⎜ 2 π ⎜ x + ⎟ ⎟ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝

Номер: 6.21.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1).5 2).1 3).0 4). ∞ 5).– 1/2

80

5 ⎞ ⎛ tg x cos ⎜ x + π ⎟ 2 ⎠ ⎝ arcsin 2 x 2

(

)

Номер: 6.22.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

ln (1 − 2 x ) 4 arctg 3x

Ответы: 1).1/4 2).-1/6 3).2/3 4).0 5).– 1/2 Номер: 6.23.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

sin 7 x x2 + πx

Ответы: 1). π 7 2).0 3).1 4). ∞ 5).7 Номер: 6.24.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

2 sin π (x + 1) ln (1 + 2 x )

Ответы: 1). π 2). π 2 3).0 4). − π 5). 2 π Номер: 6.25.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

cos 2 x − cos x 1 − cos x

Ответы: 1).– 3 2).1 3).0 4).– 1/3 5).2 Номер: 6.26.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

1 − cos x cos 2 x − cos x

Ответы: 1).– 3 2).1 3).0 4).– 1/3 5).2 Номер: 6.27.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

ln (1 + 2 x ) 2 sin π (x + 1)

Ответы: 1). − π 2). − 1 π 3).0 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 6.28.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

sin 3x 3x2 − 5x

Ответы: 1).– 0,6 2).0 3).6/10 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 6.29.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

4 arctg 2 x ln (1 − 3 x )

Ответы: 1).0,6 2).– 8/3 3).1 4).0 5).нет правильного ответа 81

Номер: 6.30.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

ln (1 + sin 3x ) sin 2 x

Ответы: 1).2/3 2).3/2 3).1 4).0 5).– 2 Номер: 6.31.С Задача: Вычислить предел функции lim x →−

π 4

π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝

Ответы: 1).1 2).-1/2 3).0 4).2 5).-1 Номер: 6.32.С Задача: Вычислить предел функции lim x →−

π 4

Ответы: 1).1 2).-2 3). ∞ 4).1/2 5).-1

π⎞ ⎛ cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝

Номер: 6.33.С Задача: Вычислить предел функции lim x→

π 4

cos 2 x 2 sin x − 1

Ответы: 1).-1/2 2).-2 3).1 4).-1 5).0 Номер: 6.34.С Задача: Вычислить предел функции lim x→

Ответы: 1).-1/2 2).-2 3).-1 4).1 5). ∞

π 4

2 sin x − 1 cos 2 x

Номер: 6.35.С Задача: Вычислить предел функции lim x→

Ответы: 1).

π 4

sin x − cos x tg 2 x + tg x − 2

2 3 4 3 2).

3). − 4). 3 2 5).0 6 4 3

82

Номер: 6.36.С

tg 2 x + tg x − 2 sin x − cos x

Задача: Вычислить предел функции lim x→

Ответы: 1).

π 4

2 3 4 3 2).

3).

4). 3 2 5). ∞ 6 4 3 Номер: 6.37.С

tg 2 x − 3 tg x π⎞ ⎛ cos ⎜ x + ⎟ 6⎠ ⎝

Задача: Вычислить предел функции lim x→

Ответы: 1). − 4 3 2).

π 3

3 4 3 3).

4). 3 2 5). ∞ 4 3 Номер: 6.38.С

π⎞ ⎛ cos ⎜ x + ⎟ 6⎠ ⎝ tg 2 x − 3 tg x

Задача: Вычислить предел функции lim x→

Ответы: 1). − 4 3 2).

π 3

3 4 3 3 3).

4).5). − 4 3 12 Номер: 6.39.С

sin 3x tg x − 3

Задача: Вычислить предел функции lim x→

π 3

Ответы: 1).-12 2).1/3 3).-3 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 6.40.С

tg x − 3 sin 3 x

Задача: Вычислить предел функции lim x→

π 3

Ответы: 1).-1/12 2).-3 3).1/3 4). ∞ 5).1

Номер: 6.41.С

(

Задача: Вычислить предел lim 1 + x x →0

2

)

1 x 1− cos x e

Ответы: 1). e 2). e 2 3). e −2 4).0 5).1

83

Номер: 6.42.С

(

Задача: Вычислить предел lim 2 x + sin x x →0

)

ctg x

Ответы: 1).1 2). e 2 3). 2 e 4).0 5). ∞

Номер: 6.43.С

(

2

Задача: Вычислить предел lim 1 + tg x x →0

)

1 ln cos x

Ответы: 1). e −2 2). e 2 3).0 4). e 5).не существует Номер: 6.44.С

(

2

2

Задача: Вычислить предел lim x + sin π x x →1

)

1 ln x

Ответы: 1).1 2). e 2 3).0 4). e 5).не существует Номер: 6.45.С

( (

Задача: Вычислить предел lim ln x 2 + e x +1 x →0 12

Ответы: 1).1 2). ∞ 3).0 4). e

))

ctg x

5). e Номер: 6.46.С

⎛ x ⋅ 2 + 1⎞ x

tg

⎟ Задача: Вычислить предел lim ⎜⎜ x ⎟ x →1 ⎝ x ⋅3 ⎠

πx 2

⎛ 4 1⎞ ⋅ ⎟ ⎝ 27 e ⎠

Ответы: 1).1 2).2/3 3). e π 2 4). ∞ 5). ⎜

x →0

Ответы: 1). e 2).1 3). e

2 3π

Номер: 6.47.С

(

Задача: Вычислить предел lim 2 − e − x −1

−

)

ctg x

4). ∞ 5).не существует Номер: 6.48.С

Задача: Вычислить предел lim x

tg

πx 2

x →1

Ответы: 1).1

2 − π 2). e

3).0 4). ∞

π 5). e 2

84

Номер: 6.49.С

[ (

Задача: Вычислить предел lim ln x + e x →0

Ответы: 1). ∞ 2).1 3). e 4).0

x

)]

1 arctg x

2 5). e π

Номер: 6.50.С

(

x

Задача: Вычислить предел lim 3 + x x →0 −1

Ответы: 1).0 2).1 3). 3 e 4). e

)

1 sin x

5).не существует Номер: 6.51.С x

Задача: Вычислить предел lim

x

x →∞

Ответы: 1).1 2). ∞ 3).0 4). e 5).не существует Номер: 6.52.С Задача: Вычислить предел lim (cos 2 π x )ln (x x →1

Ответы: 1).1 2). e − 2 π

2

1 2

−2 x+2

)

3).0 4). ∞ 5).не существует Номер: 6.53.С

Задача: Вычислить предел lim

x →1

1 x x −1

Ответы: 1).1 2).0 3). ∞ 4). e 5). e −1 Номер: 6.54.С

(

Задача: Вычислить предел lim 3 x x → +∞

2

)

1 x x +3

Ответы: 1).3 2). ∞ 3).1 4).0 5). e Номер: 6.55.С Задача: Вычислить предел lim ln x x → +0 −1

Ответы: 1). ∞ 2).0 3).1 4). e

2x

5).не существует Номер: 6.56.С

⎛1⎞ Задача: Вычислить предел lim ⎜ ⎟ x → +0 ⎝ x ⎠

sin x

85

Ответы: 1). ∞ 2).1 3).0 4). e 5). e −1 Номер: 6.57.С

⎛2 ⎞ Задача: Вычислить предел lim ⎜ arctg x ⎟ x → +∞ ⎝ π ⎠

x

2

− 2 Ответы: 1). 2).1 3).0 4). e π 5). ∞ π

Номер: 6.58.С

Задача: Вычислить предел lim x x

x

−1

x → +0

Ответы: 1).1 2).0 3). e 4).-1 5). ∞ Номер: 6.59.С

Задача: Вычислить предел lim (1 + x )

ln x

x → +0

Ответы: 1).1 2).0 3).1/2 4).1 5). e −1 Номер: 6.60.С 1 ⎞x

⎛2 ⎝π

Задача: Вычислить предел lim ⎜ arccos x ⎟ x →0

Ответы: 1).1

2 − 2). e π

2 3). e π

⎠

4).0 5). e Номер: 6.61.С

Задача: Вычислить предел lim (arcsin x )

tg x

x → +0 −1

Ответы: 1). e 2).0 3).1 4). e

5).-1 Номер: 6.62.С

Задача: Вычислить предел lim (cos x )

−

x →0 −1

Ответы: 1). e 2).1 3). ∞ 4). e

2 x2

5).0 Номер: 6.63.С

⎛4− ⎟ ⎝ x ⎠ 5). ∞

Задача: Вычислить предел lim ⎜ x →2

Ответы: 1).1 2). e 3).-1 4). e −1

1 x ⎞ ln (3 − x )

86

Номер: 6.64.С 1 3 ⎞ ln (4 − x )

⎛ ⎝x⎠

Задача: Вычислить предел lim ⎜ ⎟ x →3

Ответы: 1).1 2). ∞

1 3). e 3

4).0 5). e 3 Номер: 6.65.С

tg Задача: Вычислить предел lim (2 − x ) x →1

Ответы:

2 1). e π

πx 2

π 5). e 2

2).1 3). ∞ 4).0

Номер: 6.66.С 1 ⎛ cos x ⎞ x − 3

⎟ Задача: Вычислить предел lim ⎜⎜ x → 3 ⎝ cos 3 ⎟ ⎠ − tg 3 Ответы: 1).0 2). e 3). ∞ 4). e 5).не существует Номер: 6.67.С

⎛ sin

1 x ⎞ x −1

⎟ Задача: Вычислить предел lim ⎜⎜ x →1 sin 1 ⎟ ⎝ ⎠

Ответы: 1).1 2). e 3). e ctg 1 4).0 5).не существует Номер: 6.68.С

(

Задача: Вычислить предел lim 3 e x →1 3

x −1

−2

)

x x −1

Ответы: 1).3 2). e 3). e −1 4). e 5).1 Номер: 6.69.С Задача: Вычислить предел lim

x →2 π

Ответы: 1).1

1 2). e 2

1

(cos x )sin 2 x

3).0 4). ∞ 5).не существует Номер: 6.70.С

⎛1 + x 2 Задача: Вычислить предел lim ⎜⎜ x →0 1 + x 2 5x ⎝ 2

x

87

1

⎞ sin 3 x ⎟ ⎟ ⎠

Ответы: 1).2/5 2). ∞ 3).0 4).2 5).1 Номер: 6.71.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую функцию вида A x m , эквивалентную функции y = 1 − cos x . Ответы: 4). A =

1 3

1). A = , m =

1 2

2). A =

1 , m = 1 5).нет правильного ответа 2

1 , m=2 2

3). A =

5 , m=4 2

Номер: 6.72.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую

⎛ x x3 ⎞ ⎟ arcsin ⎜ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠. функцию вида A x m , эквивалентную функции y = 2 x 1 1 1 5 Ответы: 1). A = , m = 2). A = , m = 2 3). A = , m = 4 3 2 2 2 1 4). A = , m = 1 5).нет правильного ответа 2 Номер: 6.73.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую

(

)

ln 1 − 5 x 4 функцию вида A x , эквивалентную функции y = .

2 tg x 1 1 5 7 5 Ответы: 1). A = , m = 2). A = − , m = 3). A = , m = 4 3 2 2 2 2 1 4). A = , m = 1 5).нет правильного ответа 2 m

Номер: 6.74.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую функцию вида A x m , эквивалентную функции y = cos 2 x 2 − cos 3 x 2 .

( )

Ответы: 4). A =

1 3

1). A = , m =

1 2

5 2

2). A = − , m =

1 , m = 1 5).нет правильного ответа 2

88

7 2

( )

3). A =

5 , m=4 2

Номер: 6.75.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую

e3

функцию вида A x m , эквивалентную функции y = Ответы: 4). A =

1 3

1). A = , m =

1 2

x7

−1

6 (sin x ) 5 7 2). A = − , m = 2 2

52

1 , m = 1 5).нет правильного ответа 2

.

3). A =

5 , m=4 2

Номер: 6.76.С Задача: Используя эквивалентность бесконечно малых найти простейшую функцию вида A x m , эквивалентную функции y = 7 5 x − 7 2 x . Ответы: 4). A =

1). A =

5 , m=4 2

2). A =

1 , m = 1 5).нет правильного ответа 2

1 , m=2 2

3). A = 3 ln 7, m = 1

Номер: 6.77.С Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых

sin x =1 x →a x

справедливы приведенные равенства lim

Ответы: 1). a = e 2). a = 0 3). a = −1 4). a = π 5).нет правильного ответа Номер: 6.78.С Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых

tg π x =1 x →0 a x

справедливы приведенные равенства lim

Ответы: 1). a = e 2). a = 0 3). a = −1 4). a = π 5).нет правильного ответа Номер: 6.79.С Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых справедливы приведенные равенства lim (1 − x )

a x

x →0

=e

Ответы: 1). a = e 2). a = 0 3). a = −1 4). a = π 5).нет правильного ответа Номер: 6.80.С Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых

ax −1 справедливы приведенные равенства lim =1 x →0 x Ответы: 1). a = e 2). a = 0 3). a = −1 4). a = π 5).нет правильного ответа 89

Номер: 6.81.С Задача: Используя замечательные пределы, найти те значения a , при которых

log 3 (1 − 2 x ) 1 = x →a ax ln 3 Ответы: 1). a = e 2). a = −2 3). a = 0 4). a = −1 5).нет правильного ответа

справедливы приведенные равенства lim

Номер: 6.82.С Задача: В указанном множестве найти бесконечно малые при x → 0 функции

y1 = 2 x + 3, y 2 = x 2 , y 3 = 2 x −1 , y 4 = 2 x + 1 Ответы: 1). y1 2). y 2 3). y 3 4). y 4 5).нет правильного ответа Номер: 6.83.С Задача: В указанном множестве найти бесконечно малые при x → 0 функции

y1 = 2 x − 1, y 2 = x + 4 , y 3 = cos x , y 4 = 2 x −1 Ответы: 1). y1 2). y 2 3). y 3 4). y 4 5).нет правильного ответа Номер: 6.84.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций, вычислите предел lim (2 α (x ) + 3 β (x ) − 5) (через α(x ), β (x ) обозначены x→x0

бесконечно малые в точке x 0 функции). Ответы: 1). ∞ 2).0 3).2 4).-5 5).нет правильного ответа Номер: 6.85.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций,

вычислите предел lim (β (x ) + 2 ) − 4 α (x )β (x ) (через α(x ), β (x ) обозначены 2

x→x0

бесконечно малые в точке x 0 функции). Ответы: 1). ∞ 2).0 3).2 4).-5 5).нет правильного ответа Номер: 6.86.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций, вычислите предел lim (6 α (x ) sin x + 7 β (x ) cos x ) (через α(x ), β (x ) x→x0

обозначены бесконечно малые в точке x 0 функции). Ответы: 1). ∞ 2).0 3).11 4).2 5).нет правильного ответа Номер: 6.87.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций,

( 3 − β (x ))3 вычислите предел lim x→x0 2 α (x )

(через α(x ), β (x ) обозначены бесконечно

90

малые в точке x 0 функции). Ответы: 1). ∞ 2).0 3).9/2 4).2 5).нет правильного ответа Номер: 6.88.С Задача: Используя определения и свойства бесконечно малых в точке функций, 1 ⎛ − ⎞ ⎜ α 2 ( x )+ β 2 ( x ) ⎟ вычислите предел lim ⎜ 3 + 2 ⎟ (через α(x ), β (x ) обозначены x→x0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ бесконечно малые в точке x 0 функции). Ответы: 1). ∞ 2).1 3).2 4).-1 5).нет правильного ответа

Номер: 6.89.В

( 1 + x − x − 1)tg 2

Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

2

5x

( )

arcsin 4 x ⋅ arctg 3x 2

Ответы: 1).25/24 2).25 3).5/12 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 6.90.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

sin 2x + 2 arc tg 3x 2

(

ln 1 + 3x + 5 tg 2 x

)

Ответы: 1).2/3 2).1,5 3).4 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 6.91.В 2

2 cos x − 1 Задача: Вычислить предел функции lim x →π 2 ln sin x Ответы: 1). − 2 ln 2 2). ln 2 3). ∞ 4).1 5). ln 4 Номер: 6.92.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1). 3 ln 5 − 2 ln 7 2).

7 2 x − 5 3x 2 x − arctg 3x + 4 tg 2 7 x

3 5 ln 3). 6 ln 35 4). e 5).нет правильного ответа 2 7 Номер: 6.93.В

Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

Ответы: 1).

2π 2 2). 3 π 3).

4).0 5). ∞ 3 3π 91

(

)

ln x − 3 2 x − 3 πx sin − sin π (x − 1) 2

Номер: 6.94.В Задача: Вычислить предел функции lim

6 2 x − 7 −2 x

x →0

sin 3x − 2 x + 5 arctg Ответы: 1). 2 ln 6 2). 2 ln 7 3). 2 ln 42 4).0 5). e

3

x4

Номер: 6.95.В Задача: Вычислить предел функции lim

ln sin 3x

x →π 6

(6x − π)2

Ответы: 1).-1/8 2).8 3).1 4).– 1/4 5).1/2 Номер: 6.96.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

e 2 x − e 3x

(

arctg x − x 2 − 7 ln 1 + x x

Ответы: 1).2 2).– 1 3).0 4). e 5).нет правильного ответа Номер: 6.97.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →3

Ответы: 1).

1 16 ln 2 2

2).

8 ln 2 2

log 4 (x − 2 ) 2x − 8

3).1/8 4).0 5).нет правильного ответа Номер: 6.98.В

Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

(2 − cos x )1 x

2

3

Ответы: 1). e 2). e 3). e 4).1 5).0 Номер: 6.99.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →π

Ответы: 1). − 2 π 2 2). π 3). ln

2

ln cos 2x ⎛ π⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ x⎠

2

2 4).1 5).нет правильного ответа Номер: 6.100.В

Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).0

92

e 5x − e x arcsin x + 3 x 2 − 11 arctg 2 x

)

Номер: 6.101.В Задача: Вычислить предел функции lim

x →2

Ответы: 1). −

3 e5

tg (ln (3x − 5)) e x +3 − e x

2

+1

2). e 4 3).1 4). e 5). ∞ Номер: 6.102.В

Задача: Вычислить предел функции lim

x →0

Ответы: 1). − 2,5 ln 2 2). ln 2 3). e 4).

4 x − 27x tg 3x − x + 2 arctg 3 4 x

1 5).0 ln 2

Номер: 6.103.В Задача: Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при

x→0

α (x ) = 3 1 + 3 x − 1 .

Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая высшего порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).одного порядка, малая α(x ) имеет порядок 3 5).одного порядка, малая α(x ) имеет порядок 1/3 Номер: 6.104.В Задача: Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при

x → 0 α (x ) = 1 + 2 x − 1 − x .

Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая высшего порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).одного порядка, α(x ) имеет порядок 2 5).одного порядка, α(x ) имеет порядок 1/2

Номер: 6.105.В Задача: Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при x → 0 α(x ) = e sin x − 1 . Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая более высокого порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).нет правильного ответа 5).бесконечно малая одного порядка, порядок α(x ) равен 1/2 Номер: 6.106.В Задача: Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при

x → 0 α(x ) = arcsin

( 4+x

2

)

−2 .

Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая более высокого порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).бесконечно малая одного

93

порядка, порядок α(x ) равен 2 5).бесконечно малая одного порядка, α(x ) имеет порядок 1/2 Номер: 6.107.В Задача: Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при

(

)

x → 0 α(x ) = ln 1 + x 2 − 2

3

(e

x

)

2

−1 .

Ответы: 1).эквивалентные 2).бесконечно малая более высокого порядка 3).бесконечно малая более низкого порядка 4).бесконечно малая одного порядка, порядок α(x ) равен 2 5).бесконечно малая одного порядка, порядок α(x ) имеет 2/3 Номер: 6.108.А Задача: Свойства бесконечно малых (ненужное выделить): 1) алгебраическая сумма конечного числа б.м.в. – б.м.в. lim (α(x ) + β(x ) + K + γ (x )) = 0 ; x →x 0

2) произведение б.м.в. на ограниченную функцию – б.м.в. lim α(x ) ⋅ z(x ) = 0 x →x 0

z(x ) − огран.;

3) произведение конечного числа б.м.в. – б.м.в. lim (α(x ) ⋅ β(x )K γ (x )) = 0 ; x →x 0

4) произведение конечной величины на б.м.в. – б.м.в. lim C α(x ) = 0 ;

α (x ) − б.м.в., lim z(x ) = A ≠ 0 ; x →x 0 z (x ) α (x ) 6) частное − б.м.в. β(x )

x →x 0

5) частное

Ответы: 1).3 2).3;5 3).3 4).5;6 5).6 Номер: 6.109.А Задача: Если α(x ) − б.м.в., то

1 − есть функция: α (x )

Ответы: 1).бесконечно большая 2).бесконечно малая 3).ограниченная 4).эквивалентная бесконечно малая 5).бесконечно малая более низкого порядка, чем α(x ) Номер: 6.110.А Задача: Если f (x ) − бесконечно большая, то

1 есть функция: f (x )

Ответы: 1).бесконечно малая 2).бесконечно большая 3).неограниченная 4).не существует 5).нет правильного ответа 94

Номер: 6.111.А Задача: Первый замечательный предел:

sin x sin x = 1, x 0 ≠ 0 2). lim =1 x →0 x →x 0 x x sin x sin x 4). lim = 0, x 0 ≠ 0 5). lim =0 x →0 x →x 0 x x 1). lim

3). lim

x →±∞

sin x =0 x

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).5 Номер: 6.112.А Задача: Второй замечательный предел: x

x

1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ x 1). lim ⎜1 + ⎟ = e 2). lim (1 + x ) x 3). lim ( 1 + x ) = e 4). lim ⎜1 + ⎟ = 1 x →∞ ⎝ x →0 ⎝ x →0 x →∞ x⎠ x⎠ 1 x

5). lim (1 + x ) = 1 x →0

Ответы: 1).1 2).2 3).3 4).4 5).5 Номер: 6.113.А Задача: Среди следующих определений неверные выделить: 1) б.м.в. α(x ) и β(x ) называются б.м.в. одного порядка при x → x 0 , если

α (x ) имеет при x → x 0 , отличный от нуля предел; β(x ) 2) б.м.в. одного порядка α(x ) и β(x ) называются эквивалентными при α (x ) x → x 0 , если lim = 1; x → x 0 β(x ) 3) α(x ) называется б.м.в. более высокого порядка, чем β(x ) , если α (x ) lim = ∞; x → x 0 β(x ) α (x ) 4) если lim = 0 , то α(x ) называется б.м.в. более высокого порядка, чем x → x 0 β(x ) β(x ) ; α (x ) 5) Если lim − не существует, то α(x ) называется б.м.в. более низкого x → x 0 β(x )

отношение

порядка, чем β(x ) . Ответы: 1).4 2).3 3).4;5 4).все верные 5).5;3

Номер: 6.114.А Задача: Среди эквивалентностей неверные выделить:

95

x2 (x → 0) 2). a x − 1 ~ x ln a (x → 0) 3). sin x ~ x (x → 0); 1).1 − cos x ~ 2 4). cos x ~ x (x → 0 ); 5). arcsin x ~ 1 − x 2 (x → 0 ). Ответы: 1).1;2 2).4 3).5;4 4).2;4 5).5

96

7. Непрерывность функций

Номер: 7.1.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 3 точкой разрыва данной функции

y = (x − 3)2 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.2.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 3 точкой разрыва данной функции

y=

1 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). x −3

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.3.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 3 точкой разрыва данной функции y = ln (x − 3) (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.4.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 3 точкой разрыва данной функции 2 ( x − 3) y=

x −3

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.5.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 3 точкой разрыва данной функции

y = sin x +

1 x2 + x − 3

(в случае утвердительного ответа определить тип

разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа

97

Номер: 7.6.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 3 точкой разрыва данной функции

⎧− 3 x , если x < 3 (в случае утвердительного ответа определить тип y=⎨ 2 ⎩x + 1, если x ≥ 3

разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.7.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = −1 точкой разрыва данной функции

y = (x + 1)2 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.8.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = −1 точкой разрыва данной функции

y=

3x +1

x2 − x − 2

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.9.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = −1 точкой разрыва данной функции y = log 2 (x + 1) (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.10.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = −1 точкой разрыва данной функции

x2 − x − 2 y= (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). x +1

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа

98

Номер: 7.11.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = −1 точкой разрыва данной функции

y = tg x +

1 2

x −x+2

(в случае утвердительного ответа определить тип

разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.12.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = −1 точкой разрыва данной функции

⎧2 x + 1, x ≤ 1 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). y=⎨ 2 ⎩1 − x , x > 1

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.13.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 0 точкой разрыва данной функции

y=

x x2 +1

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.14.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 0 точкой разрыва данной функции

y=

2x (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). sin 4 x

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.15.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 0 точкой разрыва данной функции

y=

1 2x

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа

99

Номер: 7.16.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 0 точкой разрыва данной функции

y=

arcsin x x2 + x +1

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.17.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 0 точкой разрыва данной функции

⎧x + 2, x ≤ 0 y=⎨ x (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

3 , x > 0 ⎩

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.18.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = −1 точкой разрыва данной функции

y=

1 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). x +1

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.19.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

⎧2 x + 1, x < 2 y=⎨ 2 (в случае утвердительного ответа определить тип x + 1 , x > 2 ⎩

разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.20.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

⎧ x − 1, x ≤ 2 y = ⎨ 3x −4 (в случае утвердительного ответа определить тип 2 1 , x 2 + > ⎩

разрыва).

100

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.21.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

y = cos x +

1 x2 − 4

(в случае утвердительного ответа определить тип

разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.22.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

x2 − 5x + 6 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). y= x−2

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.23.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

y = x 2 − 2 x + 5 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.24.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

y=

1 3 x −2 + 1

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.25.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

y=

1 1 x 3 −2

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

+1 101

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.26.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

⎧ π ⎪sin , x ≤ 2 y=⎨ x (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). ⎪⎩x , x>2 Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.27.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 0 точкой разрыва данной функции

⎧x + 4, x < 0 (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). y=⎨ cos x , x ≥ 0 ⎩ Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.28.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 3 точкой разрыва данной функции

y=

1 2

x − 5x + 6

(в случае утвердительного ответа определить тип разрыва).

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.29.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции y = log 3 (x − 2 ) (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.30.А Задача: Используя понятие точки разрыва функции и определения типов точек разрыва, выяснить является ли точка x 0 = 2 точкой разрыва данной функции

y=

sin (2 x − 4 ) (в случае утвердительного ответа определить тип разрыва). x+2 102

Ответы: 1).не является точкой разрыва 2).точка устранимого разрыва 3).точка разрыва I рода 4).точка разрыва II рода 5).нет ответа Номер: 7.31.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧x , x ≤ 1 будет непрерывна в + > a ln x , x 1 ⎩

значения a , при которых функция y = ⎨ указанной точке x 0 = 1: Ответы: 1). a =

1 2). a = 0 3).таких значений нет 4). a = −1 5). a = 1 2

Номер: 7.32.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ 1 ⎪3 x − 2 , x < 2 будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ a ⎪ , x≥2 ⎩x указанной точке x 0 = 2 : 1 Ответы: 1). a = 2). a = 0 3).таких значений нет 4). a = −1 5). a = 1 2 Номер: 7.33.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ sin x ⎪ 2x , x < 0 ⎪⎪ значения a , при которых функция y = ⎨a , x = 0 будет непрерывна в ⎪ x ⎪ , x>0 ⎪⎩ 2 x + x 2 указанной точке x 0 = 0 : 1 Ответы: 1). a = 2). a = 0 3).таких значений нет 4). a = −1 5). a = 1 2 Номер: 7.34.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

π ⎧ tg x , x < ⎪⎪ 4 значения a , при которых функция y = ⎨ будет непрерывна в π 2 ⎪4 cos x + a , x ≥ ⎪⎩ 4 π указанной точке x 0 = : 4 103

Ответы: 1). a =

1 2). a = 0 3).таких значений нет 4). a = −1 5). a = 1 2

Номер: 7.35.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие 1 ⎧ ( ) 1 − 2 x x, x < 0 ⎪ 1 ⎪⎪ значения a , при которых функция y = ⎨(1 + 4 x )2 x , x > 0 будет непрерывна в ⎪ a x=0 ⎪e , ⎪⎩ указанной точке x 0 = 0 : 1 Ответы: 1). a = 2). a = 0 3).таких значений нет 4). a = −1 5). a = 1 2

Номер: 7.36.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧3 x , x ≤ 1 будет непрерывна в a log x , x 1 + > 1 2 ⎩

значения a , при которых функция y = ⎨

указанной точке x 0 = 1: Ответы: 1). a = 3 2). a = π 2 3). a = 1 4). a = 2 5).нет таких значений

Номер: 7.37.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧sin (x + a ), x ≤ 0 будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ x e , x 0 > ⎩ указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 3 2). a = π 2 3). a = 1 4). a = 2 5).нет таких значений Номер: 7.38.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧1 − cos x ⎪⎪ x 2 , x ≤ 0 будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ a ⎪ ⎪⎩ x + 2 , x > 0 указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 3 2). a = π 2 3). a = 1 4). a = 2 5).нет таких значений

104

Номер: 7.39.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие 1 ⎧⎪ (1 + 2 x )x , x < 0 будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ ⎪⎩e a , x≥0 указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 3 2). a = π 2 3). a = 1 4). a = 2 5).нет таких значений

Номер: 7.40.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

π ⎧ 2 ⎪cos x , x ≥ значения a , при которых функция y = ⎨ 6 будет непрерывна в ⎪⎩a x + 4 π указанной точке x 0 = : 6 Ответы: 1). a = 3 2). a = π 2 3). a = 1 4). a = 2 5).нет таких значений Номер: 7.41.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие 2. ⎧ ( ) 1 3 x − x, x <0 ⎪ ⎪ будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨a , x = 0 ⎪ 3 ⎪⎩(1 + 4 x )− 2 x , x > 0 указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = −6 2). a = 3 3). a = 2,5 4).нет таких значений 5). a = 1

Номер: 7.42.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧2 x + 1, x ≤ 2

значения a , при которых функция y = ⎨

2 ⎩a x − 2,5 x , x > 2

будет непрерывна в

указанной точке x 0 = 2 : Ответы: 1). a = −6 2). a = 3 3). a = 2,5 4).нет таких значений 5). a = 1

105

Номер: 7.43.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

π ⎧ tg x , x < ⎪⎪ 4 значения a , при которых функция y = ⎨ будет непрерывна в π ⎪4 sin 2 x − a , x ≥ ⎪⎩ 4 π указанной точке x 0 = : 4 Ответы: 1). a = −6 2). a = 3 3). a = 2,5 4).нет таких значений 5). a = 1 Номер: 7.44.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ tg 4 x , x>0 ⎪ будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ 2 x ⎪ x + 2a , x ≤ 0 ⎩ указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 1 2). a = −3 3). a = 0 4). a = −2 5).таких значений нет Номер: 7.45.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие 1. ⎧⎪ − (1 + 3 x ) x , x ≥ 0 будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ ⎪⎩e a , x < 0 указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 1 2). a = −3 3). a = 0 4). a = −2 5).таких значений нет

Номер: 7.46.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ 1 , x < −4 ⎪ 1 ⎪ будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ 2 x + 4 + 1 ⎪ a ⎪⎩ x + 1 , x ≥ −4 указанной точке x 0 = −4 : Ответы: 1). a = 1 2). a = −3 3). a = 0 4). a = −2 5).таких значений нет

106

Номер: 7.47.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ 1 ⎪3 x +1 , x < −1 значения a , при которых функция y = ⎨ будет непрерывна в a ⎪ , x ≥ −1 ⎩x2 +1 указанной точке x 0 = −1: Ответы: 1). a = 1 2). a = −3 3). a = 0 4). a = −2 5).таких значений нет Номер: 7.48.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие 2 ⎧ ( ) 1 x x<0 − x, ⎪ 4 ⎪⎪ − значения a , при которых функция y = ⎨(1 + 2 x ) x , x > 0 будет непрерывна в ⎪ a ⎪e , x = 0 ⎪⎩ указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 1 2). a = −3 3). a = 0 4). a = −2 5).таких значений нет

Номер: 7.49.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ ln (1 + 3 x ) , x<0 ⎪ будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ 2x ⎪⎩x + a , x ≥ 0 указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 1 2). a = −3 3). a = 0 4). a = −2 5).таких значений нет Номер: 7.50.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ sin 2 4 x , x>0 ⎪ будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ x 2 ⎪a − 12 x , x ≥ 0 ⎩ указанной точке x 0 = 0 : Ответы: 1). a = 4 2). a = 3 3). a = 1,5 4). a = 1 5).таких значений нет

107

Номер: 7.51.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ 1 ⎪ x +3 значения a , при которых функция y = ⎨e , x < −3 будет непрерывна в ⎪⎩x 2 + ax, x ≥ −3 указанной точке x 0 = −3 : Ответы: 1). a = 4 2). a = 3 3). a = 1,5 4). a = 1 5).таких значений нет Номер: 7.52.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ 1 1 ⎪⎪5 2 x +1 + 3, x < − 2 будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ ⎪log a , x ≥ − 1 ⎪⎩ 2 2 1 указанной точке x 0 = − : 2 Ответы: 1). a = 4 2). a = 3 3). a = 1,5 4). a = 1 5).таких значений нет Номер: 7.53.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

π ⎧ 2 ≤ sin 2 x , x ⎪⎪ 6 значения a , при которых функция y = ⎨ будет непрерывна в π 1 ⎪tg a x − , x > ⎪⎩ 4 6 π указанной точке x 0 = : 6 Ответы: 1). a = 4 2). a = 3 3). a = 1,5 4). a = 1 5).таких значений нет Номер: 7.54.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

108

π⎞ ⎧ ⎛ ⎪ sin ⎜⎝ x − 4 ⎟⎠ π , x< ⎪ 4 ⎪ x−π ⎪ 4 ⎪⎪ π значения a , при которых функция y = ⎨a , x = будет непрерывна 4 ⎪ π ⎪ tg x , x > ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪⎩ π в указанной точке x 0 = : 4 Ответы: 1). a = 4 2). a = 3 3). a = 1,5 4). a = 1 5).таких значений нет Номер: 7.55.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧2 x + 1, x > 1 будет непрерывна в a log x , x 1 + ≤ 1 3 ⎩

значения a , при которых функция y = ⎨

указанной точке x 0 = 1: Ответы: 1). a = 4 2). a = 3 3). a = 1,5 4). a = 1 5).таких значений нет

Номер: 7.56.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ ln (1 + 4x ) , x>0 ⎪ будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ tg 2 x ⎪4 cos 2 x − a , x ≥ 0 ⎩ указанной точке x 0 = 0 : 1 Ответы: 1). a = 2 2). a = −6 3). a = −1,25 4). a = 5).таких значений нет 3 Номер: 7.57.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ 1 ⎪ x −2 значения a , при которых функция y = ⎨2 , x < 0 будет непрерывна в ⎪⎩3 x + a , x ≥ 2 указанной точке x 0 = 2 : 1 Ответы: 1). a = 2 2). a = −6 3). a = −1,25 4). a = 5).таких значений нет 3 109

Номер: 7.58.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие значения

a , при которых функция

1 ⎧ arctg (2 x + 1) < − , x ⎪⎪ 4 x 2 + 2 x 2 y=⎨ ⎪ x 2 + a, x ≥ − 1 ⎪⎩ 2

1 2

будет

непрерывна в указанной точке x 0 = − : Ответы: 1). a = 2 2). a = −6 3). a = −1,25 4). a =

1 5).таких значений нет 3

Номер: 7.59.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧ sin 2 x , x<0 ⎪ будет непрерывна в значения a , при которых функция y = ⎨ 3x ⎪⎩ x + 2a , x ≥ 0 указанной точке x 0 = 0 : 1 Ответы: 1). a = 2 2). a = −6 3). a = −1,25 4). a = 5).таких значений нет 3 Номер: 7.60.В Задача: Используя определения непрерывности функции в точке, найти такие

⎧1 − cos 2 x ⎪ tg 2 x , x < 0 ⎪ 2 ⎪ значения a , при которых функция y = ⎨(1 + x ) x , x > 0 будет непрерывна ⎪a , x=0 ⎪ ⎪ ⎩ в указанной точке x 0 = 0 : 1 Ответы: 1). a = 2 2). a = −6 3). a = −1,25 4). a = 5).таких значений нет 3 Номер: 7.61.А Задача: Среди перечисленных утверждений выделить не относящиеся к свойствам функции, непрерывных на отрезке 1) всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

2) всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке отрицательные и положительные значения.

110

3) непрерывная на отрезке функция, принимающая на концах непрерывные значения, принимает и любое промежуточное.

4) непрерывная на отрезке функция, принимающая на концах неравные значения, принимает нулевое значение.

5) если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует точка, в которой функция обращается в нуль. Ответы: 1).2 2).3 3).4 4).2;4 5).5;3 Номер: 7.62.В Задача: Используя логическую символику, записать утверждение: функция y = f (x ) с областью определения D непрерывна в точке x 0 ∈ D :

< δ ⇒ f ( x ) − f (x 0 ) < ε ) 2). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D (0 < x − x 0 < δ ⇒ f (x ) < ε ) 3). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D (0 < x − x 0 < δ ⇒ f (x ) > ε ) 4). ∀ ε > 0 ∀ δ > 0 ∀ x ∈ D ( x − x 0 < ε ⇒ f (x ) − f (x 0 ) < δ ) 5). ∃ ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ x ∈ D (0 < x − x 0 < δ ⇒ f (x ) − f (x 0 ) ≥ ε ) Ответы:

1). ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D

(0 < x − x 0

Номер: 7.63.В Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер f (x ) = Ответы: 3). x =

1).функция

2). x =

непрерывна

3x − 5 3x − 5

5 − точка разрыва II рода 3

5 5 − точка разрыва I рода 4). x = − точка устранимого разрыва 5).нет 3 3

правильного ответа

Номер: 7.64.В Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер f (x ) =

1 sin x x

Ответы: 1).функция непрерывна 2). x = 0 − точка разрыва II рода 3). x = 0 − точка разрыва I рода 4). x = 0 − точка устранимого разрыва 5).нет правильного ответа Номер: 7.65.В Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер f (x ) =

111

1 1 1 − 2 x

+1

Ответы:

1). x = 1 − точка разрыва I рода

3). x = 1 − точка устранимого разрыва

2). x = 1 − точка разрыва II рода

4). x = −

5). x = −1 − точка разрыва II рода

1 − точка разрыва II рода 2

Номер: 7.66.В Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер y = arctg Ответы: 3). x =

1).функция

π − точка 2

2). x =

непрерывна

разрыва

I

π − точка разрыва II рода 2

4). x = 0 − точка

рода

1 x

разрыва

I

рода

5). x = 0 − точка разрыва II рода Номер: 7.67.В

5

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер y =

2+

4 7 5− x

Ответы: 1).функция непрерывна 2). x = 5 − точка разрыва II рода 4). x = −5 − точка разрыва устранимого 3). x = 5 − точка разрыва I рода 5). x = −5 − точка разрыва II рода Номер: 7.68.В

7+ x −3 x2 − 4

Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер y =

Ответы: 1). x = −2 − точка разрыва II рода, x = 2 − точка устранимого разрыва 2). x = 2 − точка разрыва II рода; x = −2 − точка разрыва I рода 3). x = 2 − точка разрыва I рода; x = −2 − точка устранимого разрыва 4). x = 2 − точка разрыва II рода; x = −2 − точка 5). x = −2 − точка разрыва II рода, x = 2 − функция непрерывна Номер: 7.69.В Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер y =

x x

Ответы: 1).функция непрерывна 2). x = 0 − устранимого разрыва 3). x = 0 − точка разрыва I рода 4). x = 0 − точка разрыва II рода 5).нет правильного ответа Номер: 7. 70.В

1+ x3 Задача: Найти точки разрыва, исследовать их характер y = 1+ x 112

Ответы: 1).функция непрерывна 2). x = −1 − точка устранимого разрыва 4). x = −1 − точка разрыва II рода 3). x = −1 − точка разрыва I рода 5). x = ±1 − точка разрыва II рода

113