Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (задачник)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 4 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7 У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 4 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 103 с. Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 4 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», предназначенный для оценки знаний студентов. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ 1. Дифференцирование основных элементарных функций.

2. Дифференцирование сложной функции.

3. Логарифмическое дифференцирование.

4. Дифференцирование неявной функции.

5. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

6. Приращение и дифференциал функции.

7. Производные и дифференциалы высших порядков.

8. Механический и геометрический смысл производной.

9. Основные теоремы дифференциального исчисления.

10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

11. Возрастание и убывание функции.

12. Экстремум функции.

13. Наименьшее и наибольшее значения функции.

14. Точки перегиба графика функции. Асимптоты.

15. Формула Тейлора.

5 11 25 32 38 44 49 55 65 69 77 81 90 96 100

Представлены тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

1

номер темы

2

порядковый номер

А

сложность

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ) по разделу: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» 1. Дифференцирование основных элементарных функций.

2. Дифференцирование сложной функции.

3. Логарифмическое дифференцирование.

4. Дифференцирование неявной функции.

5. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

6. Приращение и дифференциал функции.

7. Производные и дифференциалы высших порядков.

8. Механический и геометрический смысл производной.

9. Основные теоремы дифференциального исчисления.

10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

11. Возрастание и убывание функции.

12. Экстремум функции.

13. Наименьшее и наибольшее значения функции.

14. Точки перегиба графика функции. Асимптоты.

15. Формула Тейлора.

1. Дифференцирование основных элементарных функций Номер: 1.1.А −2 −1 Задача: Найти производную функции y = 2 x − x + 5

в точке

x 0 = 1.

Ответы: 1). − 4 2). − 5 3). − 7 4). − 3 5). − 6

Номер: 1.2.А −4 −3 −2 в точке Задача: Найти производную функции y = x − 3x − 0,7 ⋅ x

x 0 = 1.

Ответы: 1). 6,4 2). − 4 3). 5,4 4). 4,4 5). 9 Номер: 1.3.А

Задача:

Найти

значение

производной

dr dϕ

функции

r = 0,32ϕ −3 − 0,11ϕ −1 + 0,24ϕ в точке ϕ 0 = 1 . Ответы: 1). − 0,51 2). − 0,63 3). − 0,49 4). − 0,61 5). − 0,53 Номер: 1.4.А Задача: Найти производную функции

y=

x 0 = 1.

2 4 5 6 − 2+ 3− 4 x x x x

в точке

Ответы: 1). 15 2). 17 3). 19 4). 21 5). 13 Номер: 1.5.А

Задача: Найти производную функции

y=

x 0 = 1.

1 2 3 4 − 2 − 3 − 4 в точке x x x x

Ответы: 1). 25 2). 27 3). 28 4). 26 5). 23 Номер: 1.6.А

Задача: Найти производную функции

y=

1 4⋅x4

3 −8⋅ x4

в точке

x 0 = 1.

Ответы: 1). − 3 2). − 1 3). − 2 4). − 5 5). − 4

Номер: 1.7.А 32 23 13 в точке Задача: Найти производную функции y = 4 x − 3x + 9 x

x0 = 1 5

Ответы: 1). 9 2). 7 3). 11 4). 3 5). 5 Номер: 1.8.А Задача: Найти производную функции y = 6 ⋅ x −1 3 − 3 ⋅ x − 2 3 + 1 в точке

x 0 = 1.

Ответы: 1). − 1 2). 4 3). 3 4). 2 5). 0

Номер: 1.9.А Задача: Найти производную функции y = 6 ⋅ x + 3 ⋅ 3 x − 8 ⋅ 4 x в точке x 0 = 1. Ответы: 1). 5 2). 4 3). 2 4). 1 5). 3 Номер: 1.10.А Задача: Найти

производную функции y =

x 0 = 1.

2 6 12 +3 −4 x x x

в точке

Ответы: 1). 3 2). 0 3). 4 4). 1 5). 2

Номер: 1.11.А 5 Задача: Найти производную функции y = 4 x − 3 sin x + 5ctg x .

5 4 2). x + 3 cos x + 5 tg x 2 sin x 5 3). 20 x − 3 cos x + 5 tg x 4). 20x + 5). 4 x − 5 tg x 2 sin x 4

Ответы: 1). 20 x − 3 cos x −

Номер: 1.12.А Задача: Найти производную функции y = log 2 x + 3 log 3 x . Ответы: 1). 0 2).

ln 24 2 4 3).

4).

5). 1 x ⋅ ln 2 ⋅ ln 3 x x

Номер: 1.13.А Задача: Найти производную функции y = 5 ln x − 7 cos x + tg x + ctg x .

5 1 1 5 + 7 sin x + − 2). − sin x − 4 ⋅ ctg 2 x 2 2 x x cos x sin x 5 1 3). 4 ⋅ ctg 2 x 4). 5x + 7 sin x − 5). − 7 sin x + ctg x + tg x x cos 2 x Ответы: 1).

6

Номер: 1.14.А Задача: Найти производную функции y = 3 sin x − 5 cos x + 6 . Ответы: 1). 3 cos x − 5 sin x 2). 3 cos x + 5 sin x 4). 3 cos x + 5 sin x + 6 5). − 3 cos x − 5 sin x 3). − 3 cos x + 5 sin x Номер: 1.15.А x x Задача: Найти производную функции y = 2 ⋅ e − 3 ⋅ 4 + 5 .

3 ⋅ 4x x −1 Ответы: 1). 2 ⋅ e − 3 ⋅ 4 ⋅ ln 4 2). 2 ⋅ e − 3). 2 x ⋅ e − 3x ⋅ 4 x −1 ln 4 x x x x 4). 2 ⋅ e − 12 ln 12 5). 2 ⋅ e − 3 ⋅ 4 x

x

x

Номер: 1.16.А Задача: Найти производную функции y = 2 ⋅ arctg x − 3 ⋅ ln x + 6 . Ответы: 1). 2 ⋅ 4). 2 ⋅

1 − 3⋅ ex 2 1+ x

1 3 3 1 3 2). 2 ⋅ 3).

2 ⋅ − − 1+ x x 1+ x2 x 1− x2 x 2 3 5). − 1+ x2 x 1

−

Номер: 1.17.А x Задача: Найти производную функции y = 2 ⋅ 8 − 3 ⋅ arcsin x + 8 . Ответы: 1). 2 ⋅ x ⋅ 8 x

3). 2 ⋅ 8 ⋅ ln 8 −

x −1

−

3

x

2). 16 ⋅ ln 16 −

1− x2

3 1− x2

3 3 3 x x 2 8 ln 8 4).

5). ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − 2 8 ln 8 1− x 1+ x2 1− x2

Номер: 1.18.А Задача: Найти производную функции y = 3 ⋅ log 2 x − 4 ⋅ arccos x + 2 . Ответы: 1). 3 ⋅ 3).

3 4 − x ⋅ ln 2 1 + x 2

1 4 3 4 2). + ⋅ log 2 e − x x 1− x2 1− x2 3 4 1 4 4). ⋅ log 2 e + 5). 3 ⋅ + x x ⋅ ln 2 1− x 1− x2

Номер: 1.19.А Задача: Найти производную функции y = 2 ⋅ arcctg x − 5 ⋅ tg x + 0,5 . Ответы: 1).

2 5 2 5 − 2). − − 1 + x 2 cos 2 x 1 + x 2 sin 2 x 7

3). −

2 5 5 2 5 − 4). ⋅ − 5).

2 ctg x + 2 1 + x 2 cos 2 x cos 2 x 1 − x 2 cos x

Номер: 1.20.А x Задача: Найти производную функции y = 3 ⋅ arccos x − e + 2 . Ответы: 1).

3

− e x 2).

1− x2 3 −3 x 4). − e 5). + x ⋅ e x −1 2 2 1+ x 1+ x

−3 1− x2

− e x 3).

−3 1− x2

− x ⋅ e x −1

Номер: 1.21.А Задача: Найти производную функции y = (3x − 2 )(7 x + 4 )

в точке

x 0 = 0.

Ответы: 1). − 4 2). − 3 3). − 5 4). − 6 5). − 2 Номер: 1.22.А 2 Задача: Найти производную функции y = (2 x + 5) 4 x + 2 − 3x

ке x 0 = 0 . Ответы: 1). 24 2). 21 3). 22 4). 25 5). 20

(

Номер: 1.23.А Задача: Найти производную 3 2 2 y = 4x − 2 x − 5x + 3 x − 7 x + 2 в точке x 0 = 0 . Ответы: 1). − 29 2). − 33 3). − 28 4). − 31 5). − 27

(

)(

в точ-

функции

)

Номер: 1.24.А 2 Задача: Найти производную функции y = (6 − 3x ) 3 − 5x − 8x

(

x0 = 0

)

) в точке

Ответы: 1). − 31 2). − 39 3). − 37 4). − 33 5). − 41 Номер: 1.25.А 4 3 Задача: Найти производную функции y = 7 − 3x − 2 x 2 − 4 x + 3x

в точке x 0 = 0 . Ответы: 1). 16 2). 11 3). 17 4). 15 5). 18

(

)(

Номер: 1.26.А Задача: Найти производную функции y = 2 x ⋅ cos x в точке x 0 = 0 .

8

)

Ответы: 1). 2 2). 5 3). 1 4). 3 5). 4 Номер: 1.27.А Задача: Найти производную функции y = 3x ⋅ (sin x + cos x ) в точке

x 0 = 0.

Ответы: 1). 6 2). 3 3). 5 4). 2 5). 4

Номер: 1.28.А Задача: Найти производную функции y = (2 x + 1) ⋅ arcsin x x 0 = 0. Ответы: 1). 3 2). 0 3). 2 4). 5 5). 1

в точке

Номер: 1.29.А 2 Задача: Найти производную функции y = x ⋅ ln x в точке x 0 = 1 . Ответы: 1). 2 2). 0 3). 1 4). 3 5). 4 Номер: 1.30.А x 3 Задача: Найти производную функции y = e ⋅ x + 3x + 2

(

x 0 = 0.

)

в точке

Ответы: 1). 6 2). 3 3). 1 4). 5 5). 2 Номер: 1.31.А

3x 3 Задача: Найти производную функции y = в точке x 0 = 1 .

1+ x2 Ответы: 1). 3 2). − 1 3). 2 4). 1 5). 4 Номер: 1.32.А

1− x3 Задача: Найти производную функции y = в точке x 0 = 1 .

3 1+ x Ответы: 1). − 2,5 2). − 1 3). − 3 4). − 1,5 5). − 2 Номер: 1.33.А

x2 +1 в точке x 0 = 2 . Задача: Найти производную функции y = 3⋅ x2 −1 Ответы: 1). − 3 4 2). − 8 27 3). − 8 9 4). − 2 3 5). − 5 27

(

9

)

Номер: 1.34.А

x 2 + 7x + 5 Задача: Найти производную функции y = 2 в точке x 0 = 0 x + 3x + 1 Ответы: 1). − 11 2). − 6 3). − 8 4). − 9 5). − 7 Номер: 1.35.А

5 − 2x в точке x 0 = 0 . x 3 + 8x + 2 Ответы: 1). − 11 2). − 9 3). − 13 4). − 5 5). − 7

Задача: Найти производную функции y =

Номер: 1.36.А Задача: Найти производную функции y = Ответы: 1). 0 2). 3 3). 2 4). − 1 5). 1

cos x + 2x в точке x 0 = 0 . tg x + 1

Номер: 1.37.А

2 − 3tg x в точке x 0 = 0 .

4 x − 3 cos x Ответы: 1). 1 2 2). 1 4 3). 1 6 4). 1 9 5). 1 3 Задача: Найти производную функции y =

Номер: 1.38.А

arctg x + 2 в точке x 0 = 0 . arcsin x + 1 Ответы: 1). − 3 2). − 1 3). 0 4). − 2 5). 1

Задача: Найти производную функции y =

Номер: 1.39.А Задача: Найти производную функции y = Ответы: 1). 2 2). 0 3). 1 4). − 1 5). 3

2 − 3 ln x в точке x 0 = 1 .

4 + 2 ln x

Номер: 1.40.А Задача: Найти производную функции

x 0 = 0.

Ответы: 1). 2 2). 7 3). 6 4). 8 5). 9

10

y=

2 cos x − sin x 3 sin x + cos x

в точке

2. Дифференцирование сложной функции Номер: 2.1.А

(

2

)

3

)

в точке x 0 = 1 .

)

в точке x 0 = 0 .

3

Задача: Найти производную функции y = x + 1 Ответы: 1). 32 2). 16 3). 12 4). 24 5). 8 Номер: 2.2.А

(

Задача: Найти производную функции y = x + 2 Ответы: 1). 54 2). 27 3). 81 4). 64 5). 32 Номер: 2.3.А

(

x

Задача: Найти производную функции y = e + 1 Ответы: 1). 16 2). 32 3). 54 4). 64 5). 8

в точке x 0 = 1 .

3

4

Номер: 2.4.А

(

3

)

2

4

Задача: Найти производную функции y = x − x + 1 Ответы: 1). 16 2). 32 3). 8 4). 63 5). 4 Номер: 2.5.А

(

)

4

Задача: Найти производную функции y = x − 3x + 3 Ответы: 1). 20 2). 10 3). 25 4). 5 5). 15 Номер: 2.6.А

(

Задача: Найти производную функции y = 3x − x Ответы: 1).

2 4 2). 1 2 3).

)

2 12

5

в точке x 0 = 1 .

в точке x 0 = 1 .

в точке x 0 = 1 .

2 3 4). 3 2 5). 3 4 Номер: 2.7.А

Задача: Найти производную функции x0 = 0.

(

y = x 3 + 2x + 4

)

12

в точке

Ответы: 1). 5 2 2). 1 2 3). 3 4 4). 3 2 5). 5 4 Номер: 2.8.А Задача: Найти производную функции y = 1 + 2 x + x Ответы: 1). 1 2 2). 1 4 3). 1 4). 3 4 5). 2

11

2

в точке x 0 = 0 .

Номер: 2.9.А

y = 3 8 + 2x + x 4

Задача: Найти производную функции x 0 = 0.

в точке

Ответы: 1). 2 3 2). 1 6 3). 4 3 4). 1 3 5). 8 3 Номер: 2.10.А 3

x 2 + 7 x в точке x 0 = 1 . Ответы: 1). 3 4 2). 1 2 3). 2 3 4). 1 3 5). 7 3

Задача: Найти производную функции y =

Номер: 2.11.А 2 Задача: Найти производную функции y = sin x + 3x + 4 .

(

(

)

)

Ответы: 1). sin (2 x + 3) 2). (2x + 3) ⋅ cos x 2 + 3x + 4 3). cos (2 x + 3)

(

)

(

4). − cos x + 3x + 4 ⋅ (2 x + 3) 5). cos x + 3x + 4 2

2

)

Номер: 2.12.А Задача: Найти производную функции y = 2 arcsin Ответы: 1). 2 ⋅ 4).

1 1 − (x 2 ) 2

1 + (x 2 )

2

2

2). − 5).

1 1 − (x 2 ) 1

1 + (x 2 )

2

3).

x .

2

1

1 − (x 2 )

2

Номер: 2.13.А 2 Задача: Найти производную функции y = ln 3x − 2 x + 5 .

(

)

1 1 3).

6x − 2 3x 2 − 2x + 5 6x − 2 6x − 2 4). ⋅ lg e 5).

3x 2 − 2 x + 5 3x 2 − 2 x + 5

Ответы: 1). ln (6 x − 2 ) 2).

Номер: 2.14.А ctg x . Задача: Найти производную функции y = 3 1

− 1 ctg x −1 sin 2 x 2).

3).

3 Ответы: 1). − 3 ctg x ⋅ 3 ⋅ ln 3 ⋅ sin 2 x 1 arcctg x ctg x 4). 3 5).

3 ⋅ ln 3 ⋅ cos 2 x ctg x

12

2

Номер: 2.15.А Задача: Найти производную функции y = 2 ⋅ arctg ln x .

2 1 1 2 1 2).

3). ⋅ ⋅ 2 x cos 2 (ln x ) x 1 + (ln x ) x −2 1 2 1 ⋅ 5).

4). ⋅ 2 1+ x2 x 1 + (ln x ) x

Ответы: 1). 2 ⋅ arctg

Номер: 2.16.А arccos x Задача: Найти производную функции y = 3 ⋅ e . Ответы: 1). 3 ⋅ arccos x ⋅ e

arccos x −1

−1

3). 3 ⋅ e

4). (3e )

1− x 2

arccos x

⋅ ln (3e ) ⋅

1

2). − 3 ⋅ e arccos x ⋅

−1

1− x2

5). 3e

arccos x

1− x2

⋅

1 1+ x2

Номер: 2.17.А Задача: Найти производную функции y = 4 ⋅ arccos(sin x ) . Ответы: 1). 4 ⋅ arccos (cos x ) 2).

4).

−4 2

1 − sin x

−4 1− x2

⋅ cos x 5). 4 arccos x ⋅ cos x +

⋅ cos x 3).

−4

1− x

2

−4

1 − sin 2 x

⋅ sin x

Номер: 2.18.А Задача: Найти производную функции y = log 2 sin x .

1 1 ⋅ cos x ⋅ cos x 3). ln 2 ⋅ sin x sin x 1 1 ⋅ log 2 e 5). ⋅ log 2 cos x 4). sin x sin x

Ответы: 1). log 2 cos x 2).

Номер: 2.19.А Задача: Найти производную функции y = tg (arcsin x ) .

⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎟ ⎜⎜ 2). ⋅ tg 2 ⎟ cos 2 (arcsin x ) 1 − x 2 ⎝ 1− x ⎠ 1 1 1 1 4). ⋅ 3). ⋅ sin 2 (arcsin x ) 1 − x 2 cos 2 x 1 − x 2

Ответы: 1).

13

5).

1 1 + (arcsin x )

1

⋅

2

1− x2 Номер: 2.20.А

Задача: Найти производную функции y = e x

Ответы: 1). 2 ⋅ e 5). e

2x

2 x −1

( )

2). x ⋅ e 2

x −1

3). e

2x

2x

. x

⋅ ln 2 4). e 2 ⋅ 2 x

⋅ 2 x ⋅ ln 2

Номер: 2.21.А 3 Задача: Найти производную функции y = ln x .

2

Ответы: 1). 3 ⋅ ln x ⋅ x

⎛1⎞ 5). 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝x⎠

2

2). 3 ⋅ ln 2 x ⋅

2

1 2 2 2 3). 3 ⋅ ln x 4). 3 ⋅ ln x x

Номер: 2.22.А 4 Задача: Найти производную функции y = 2 ⋅ arcsin x .

⎛ 1 Ответы: 1). 2 ⋅ ⎜⎜ ⎝ 1− x2

4

⎞ 1 ⎟⎟ 2). 8 ⋅ arcsin 3 x 3). 8 ⋅ arcsin 3 x ⋅ 1− x2 ⎠ 1 3 3 5). 8 ⋅ arccos x 4). 8 ⋅ arccos x ⋅ 1− x2 Номер: 2.23.А

Задача: Найти производную функции y = 4 ⋅ 4 arctg x .

3

Ответы: 1). 4 ⋅ 4 3 ⋅ arctg 2 x 2). 3 ⋅ 4 arctg 2 x ⋅ 2

3). 4 ⋅ 4 3arctg x ⋅

1 1+ x2

1 1 4 arctg x ⋅ 4). ⋅ 5).

3 1+ x2 1+ x2

4

3 1 ⋅ arctg x 1 + x 2

Номер: 2.24.А Задача: Найти производную функции y = 3 2 + log 2 x . Ответы: 1).

1 3 ⋅ 3 (2 + log 2 x )

2

⋅

1 2). x ⋅ ln 2

14

3

1 x ln 2

1 1 (2 + log 2 x )− 2 3 4). 3 1 ⋅ ⋅ log 2 e 3 3 ⋅ 2 + log 2 x x 1 1 ⋅ 5).

3 ⋅ 3 2 + log 2 x x ⋅ ln (1 3) 3).

Номер: 2.25.А x

Задача: Найти производную функции y = 1 − 2 . x

− 2 ⋅ ln 2 2).

Ответы: 1).

5).

2 x ⋅ ln 2

3).

1 − 2x

− 2 x ⋅ log 2 e

− 2 x ⋅ ln 2 2 ⋅ 1 − 2x

4).

− 2x 2 1 − 2x

2 1 − 2x Номер: 2.26.А 4 4 Задача: Найти производную функции y = sin x + cos x .

Ответы: 1). − sin 4 x 2). sin x + cos x 3). 1 4). 4(sin x + cos x ) 3

3

5). 4 sin 2 x Номер: 2.27.А Задача: Найти производную функции y = Ответы: 1).

5).

− 2 ⋅ cos x sin 3 x

1 . sin 2 x

1 1 2). − 2 sin x ⋅ cos x 3).

4). − ctg x 2 sin x ⋅ cos x cos 2 x

Номер: 2.28.А Задача: Найти производную функции y = Ответы: 1). − 5). −

(x

2x 2

−9

(x

x 2

−9

)

3

2).

1 2

x −9

.

x 1 2 3). − x − 9 ⋅ x 4). − 2x x2 − 9

)

3

15

Номер: 2.29.А Задача: Найти производную функции y =

cos 2 x 1 −4 2).

3). Ответы: 1). ⋅ 3 5 2 4 tg x tg x cos x −4 1 4 1 4). 3 ⋅ 5). ⋅ tg x cos 2 x tg 5 x sin 2 x

1 . tg 4 x 1

(1 cos x ) 2

4

Номер: 2.30.А

1 .

3 arctg x 1+ x2 1 1 2).

3). ⋅ 3 ⋅ arctg 2 x 3 ⋅ arctg 2 x 1 + x 2 1

Задача: Найти производную функции y =

−3 1 ⋅ arctg 2 x 1 + x 2 −3 −3 1 4).

5). ⋅ ⋅ arctg 4 x 1 − x 2 arctg 4 x 1 + x 2 Ответы: 1).

Номер: 2.31.В Задача: Найти производную функции y = ln tg 5x . Ответы: 1).

5 5 10 5 2).

3).

4). 5 ⋅ tg x 5). x cos 5 x sin 10 x tg5x

Номер: 2.32.В 4x Задача: Найти производную функции y = arcsin e .

( )

Ответы: 1).

1 1 + e8x

2).

4 ⋅ e 4x 1 − e 8x

3).

e 4x 1 + e8x

4).

1 − e 4 x 5). 1

Номер: 2.33.В Задача: Найти производную функции y = tg sin cos x .

1 2). cos x + sin x 3). sin x ⋅ cos x sin x ⋅ cos x cos(cos x ) sin x ⋅ cos (cos x ) 5). − 4). − sin (cos x ) cos 2 (sin cos x ) Ответы: 1).

Номер: 2.34.В 5 Задача: Найти производную функции y = ln sin x . Ответы: 1). 5 ln sin x 2). 5 ln sin x + cos x 3). tg x 16

4

4). 5 ⋅ ctg x ⋅ ln sin x 5).

1 ⋅ ln 4 cos x sin x

Номер: 2.35.В Задача: Найти производную функции y = arctg ln (5x + 3) . Ответы: 1).

5).

5 1 1 2 2).

3).

4).

5 ⋅ tg (5x + 3) 2 2 5x + 3 cos (5x + 3) 16 + 25x

5 (5x + 3) 1 + ln 2 (5x + 3)

(

)

Номер: 2.36.В 2 Задача: Найти производную функции y = a ⋅ cos cx + b ⋅ sin (dx + e ) , где a , b, c, d, e - постоянные величины. Ответы: 1). a ⋅ c ⋅ sin cx + b ⋅ cos (dx + e )

2). − a ⋅ c ⋅ sin 2cx + b ⋅ d ⋅ cos(dx + e ) 3). a ⋅ c ⋅ sin 2cx + cos (dx + e ) 4). 2a ⋅ cos cx + b ⋅ cos(dx + e ) 5). 2a ⋅ sin cx + b ⋅ d ⋅ cos (dx + e ) Номер: 2.37.В Задача: Найти производную функции y = e

1

1

1

1 cos x

−1 sin x 1 Ответы: 1). ⋅ e cos x 2). e cos x 3). e cos x ⋅ cos x cos 2 x

4). e

1 cos x

⋅ tg x 5). − e

1 cos x

⋅ sin x Номер: 2.38.В

Задача: Найти производную функции y = cos e Ответы: 1). 2 x ⋅ sin e 4). − 2 xe

x2

x2

2). 2xe

2

⋅ sin e x 5). − x ⋅ sin e x

x2

x2

2

.

⋅ sin e x 3). x ⋅ sin e x

2

2

Номер: 2.39.В Задача: Найти производную функции y = e Ответы: 1). sin 2 x ⋅ e sin 4). cos x ⋅ e

sin 2 x

2

5). 2 cos x ⋅ e

x

2). sin x ⋅ e sin

sin 2 x

17

2

x

sin 2 x

.

3). 2 sin x ⋅ e

sin 2 x

Номер: 2.40.В Задача: Найти производную функции y = arctg

1 .

1+ x2

2x 2x 2x 2).

3). − x 4 + 3x 2 + 2 x 4 + 2x 2 + 2 x 4 + 2x 2 + 2 x 2x 4). − 4 5). x 4 + 3x 2 + 2 x + 3x 2 + 2 Ответы: 1). −

Номер: 2.41.В Задача: Найти производную функции y = ln tg (x + 1) .

1 2 2 2).

3). sin (2 x + 2 ) sin (2 x + 2 ) sin (2x + 2 ) 1 −1 5).

4). sin (2 x + 2 ) x ⋅ cos 2 (x + 1) Ответы: 1). −

Номер: 2.42.В 2 Задача: Найти производную функции y = ctg ln x + 2 x .

(

(

)

)

(

2x + 2 2x + 2 −2 2 2). ⋅ sin ln x + 2 x − ⋅ sin − 2 ln x 2 + 2 x 2 2 x + 2x x + 2x 2x + 2 2x + 2 sin −2 x −2 −2 ⋅ sin x 4). 2 ⋅ sin x 5). − 2 3). − 2 x + 2x x + 2x x + 2x Ответы: 1).

Номер: 2.43.В Задача: Найти производную функции y = arctg

Ответы: 1). −

2 ⋅ arctg 5).

1 x

2 2). x + x2 4

2

1 . x

1 x 3). − 2arctg x 4). 2 ⋅ arctg x 1+ x2 1+ x2 x2 +1

− 2arctg

x2 +1 Номер: 2.44.В Задача: Найти производную функции y = log 6 sin 4 x . Ответы: 1). 4 ⋅ ctg 4 x 2). − 4 ⋅ ctg 4 x 3).

18

ctg 4 x 4 4). ⋅ ctg 4 x ln 6 ln 6

)

5). −

4 ⋅ ctg 4 x ln 6 Номер: 2.45.В 2

Задача: Найти производную функции y = arcsin 1 − x . Ответы: 1). − 5). −

1 1− x2

2). −

x x ⋅ 1− x2

1

3).

x

4).

1− x2

x ⋅ 1− x2

x 1− x2 Номер: 2.46.В 2 Задача: Найти производную функции y = sin ln x . Ответы: 1).

5).

2 cos x x

sin (2 ln x ) sin (2 ln x ) sin 2 x sin 2x 2). − 3).

4). − x x x x

Номер: 2.47.В Задача: Найти производную функции y = arctg 5x − 1 .

1 1 1 2). − 3).

2 x 5x − 1 2 x 5x − 1 10 5x − 1 1 5 5).

4). − 10 5x − 1 2 1 + x 2 5x − 1 Ответы: 1).

(

)

Номер: 2.48.В 2 Задача: Найти производную функции y = sin (2 x + 3) .

Ответы: 1). sin (4 x + 6 ) 2). 2 sin (4x + 6) 3). − 2 sin (4 x + 6 ) 4). − sin (4 x + 6 ) 5). 4 cos (2 x + 3) Номер: 2.49.В 2 Задача: Найти производную функции y = cos sin x .

(

2

Ответы: 1). sin x ⋅ sin x + 2 x ⋅ cos x ⋅ cos x

(

3). − sin sin x

2

) + 2x ⋅ cos x ⋅ cos x

2

2

(

)

(

2). 2x ⋅ sin sin x

4). − 2 x ⋅ sin sin x

2

)⋅ cos x

Номер: 2.50.В 2 Задача: Найти производную функции y = arctg sin x .

(

19

)

2

2

)⋅ cos x

5). − x

2

2 x cos x 2 2 x cos x 2 2x cos x 2 Ответы: 1).

2). − 3).

2 2 1+ x 1 + sin 2 x 2 1+ x 2 x cos x 2 x cos x 2 5).

4). − 1+ x2 1 + sin 2 x 2 Номер: 2.51.С

(

Задача: Найти производную функции y = ln e

ex

Ответы: 1).

5).

2e x

(e

4x

e

4x

)

+1

e 2x

2).

e

4x

+1

2x

2e 2 x

3).

e

4x

)

+ e 4x + 1 .

2e x

+1

4).

e 4x + 1

+1 +1

e 2x + e 4x + 1 Номер: 2.52.С

(

Задача: Найти производную функции y = arcctg x − 1 + x Ответы: 1).

5).

1 2 1+ x2

(

)

2). −

1 2 1+ x2

(

)

3).

).

1 1 4). − 1+ x2 2 1+ x2

1 2 1+ x2 Номер: 2.53.С

(

)

x2 + 5 .

Задача: Найти производную функции y = ln x + Ответы: 1).

5).

2

x + x2 + 5 2

x⋅ x +5

2).

1 2

x +5

3).

1

4).

2 x2 + 5

2x + x 2 + 5 x ⋅ x2 + 5 Номер: 2.54.В 2 Задача: Найти производную функции y = ln 1 + sin x .

(

)

1 sin 2 x 2).

3). ln (2 sin x ⋅ cos x ) 1 + sin 2x 1 + sin 2 x sin 2 x sin x 4).

5).

1 + sin 2 x 1 + sin 2 x Ответы: 1).

20

x + x2 + 5 2x ⋅ x 2 + 5

Номер: 2.55.С x −x Задача: Найти производную функции y = ln e cos x + e sin x .

(

( sin x − cos x )(e x + e − x ) 1).

)

− e x sin x − e − x cos x Ответы: 2). x e x cos x + e − x sin x e cos x + e − x sin x ( ( cos x − sin x ) e x − e − x cos x − sin x ) e x + e − x 4).

3). e x cos x + e − x sin x e x cos x + e − x sin x ( cos x − sin x ) e x + e − x 5). e x sin x + e − x cos x

(

)

(

)

(

)

Номер: 2.56.В

1− x2 . Задача: Найти производную функции y = arccos 2 1+ x − 4x 4x Ответы: 1).

3).

− 4x

(1 + x )

2 2

(1 + x )

⋅ 1− x2

2 2

2).

(

)

1+ x2 ⋅ 1− x2 ⋅ 1− x 2x − 2x 4).

5). x ⋅ 1+ x2 x ⋅ 1+ x2 2

(

)

(

)

Номер: 2.57.В

ex +1 Задача: Найти производную функции y = arcctg x . e −1 2e 2 x − e 2x e 2x − ex ex 2). 2 x 3). 2 x 4). 2 x 5). 2 x Ответы: 1). 2 x e +1 e +1 e +1 e +1 e +1 Номер: 2.58.В

x2 +1 . Задача: Найти производную функции y = ln 2 1− x − 4x 4x 2x − 2x 4x Ответы: 1).

2).

3).

4).

5).

1 − 2x 2 1− x4 1− x4 1− x4 1− x4 Номер: 2.59.В

x+2 . x−2 −2 2 −1 − 2x 2x 2). 2 3). 2 4). 2 5). 2 Ответы: 1). 2 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4

Задача: Найти производную функции y = arctg

21

Номер: 2.60.С Задача: Найти производную функции y = ln Ответы: 1).

5).

2 1 − 2x 2

−2 2 1 2).

3).

1 − 4x 2 1 − 4x 2 1 − 4x 2

1 + 2x .

1 − 2x −1 4).

1 − 4x 2

Номер: 2.61.С Задача: Найти производную функции y = log 9 cos 1 + x .

− tg 1 + x tg 1 + x tg 1 + x 2).

3).

2 1 + x ⋅ ln 9 2 1 + x ⋅ ln 9 1 + x ⋅ ln 9 tg x − tg 1 + x 4).

5). − ln 9 1 + x ⋅ ln 9 Ответы: 1).

Номер: 2.62.С 2

Задача: Найти производную функции y = ln arctg x − 1 . Ответы: 1).

2 x x 2 − 1 ⋅ arctg x 2 − 1

1

3).

x x 2 − 1 ⋅ arctg x 2 − 1 1 5). x x 2 − 1 ⋅ arctg x

(

4).

2).

−2 x x 2 − 1 ⋅ arctg x 2 − 1

−1 x x 2 − 1 ⋅ arctg x 2 − 1

)

Номер: 2.63.С 2 3x Задача: Найти производную функции y = cos e .

4). 3e

3x

(

⋅ sin 2e 3 x

)

(

⋅ sin e 3 x 2). 6e 3x ⋅ sin e 3x 3). − 3e 3 x ⋅ sin 2e 3 x 3x 3x 2 5). − sin 2 x ⋅ e + 3e ⋅ cos x

Ответы: 1). − 6e

3x

)

Номер: 2.64.В

x3 ⋅ 3 x2 ⋅ x 23 −1 24 1 23 24 2).

3). x 4).

5). 0 ⋅x 24 2 x

Задача: Найти производную функции y = Ответы: 1).

(

1 3 3 2 x ⋅ x x 4

)

−3 4

22

4

Номер: 2.65.С

Ответы: 1).

1 x + ctg x − x a − x2

(

)

2).

(

)

y = ln x ⋅ sin x ⋅ a − x 2 , где

Задача: Найти производную функции a = const .

1 x sin x a − x 2

2 ⋅ ctg x 1 2 cos x ⋅ a − x 2 3).

4).

5). x sin x x a − x2 Номер: 2.66.С

y = 5 a ln sin

Задача: Найти производную функции

a , b, d = const .

x+b , d

где

x+b a 1 d Ответы: 1).

2). ⋅ 5d x+b x+b 5 a ⋅ ln 4 sin 5 ⋅ 5 a ⋅ ln 4 sin d d ctg

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎟ 3). ⎜ + x b ⎟ ⎜ cos ⎜ ⎟ ⎝ d ⎠

−4 5

4). a ⋅ cos

14

x+b x+b 5). ctg d d Номер: 2.67.С

Задача: Найти производную функции y = 5 arctg e Ответы: 1).

4). 5x 5). e

5x

e 5x

(1 + e )⋅ 10 x

5

arctg 4 e 5 x

2).

5x

1 5 ⋅ 5 arctg 4 e 5 x

+ 2. + 2 3).

1 e 5x + 1

4 + arctg e 5 x 5 Номер: 2.68.С

Задача: Найти производную функции

y=

a , b, d = const . Ответы: 1). 4a ⋅ ctg ax − 6 bx ⋅ tg bx 2 −

23

3 x+d

sin 4 ax ⋅ cos 3 bx 2

(x + d )3

,

где

3 2 3). 4 ⋅ ctg ax − 6b ⋅ tg x − 3 x+d 3 3 2 4). 4a ⋅ ctg ax + 6b ⋅ tg bx + 3(x + d ) 5). x+d 2). 4 ⋅ ctg ax + 6b ⋅ tg bx 2 +

Номер: 2.69.С

x +1 .

4 x +1 cos ln 2 1 (x + 1) 2).

1 4 ⋅ ln x + 1 Ответы: 1). − ln − ⋅ x +1 2(x + 1) 4 2(x + 1) 4 cos ln 2 4 x +1 cos ln 2 2 cos x x +1 1 4 ⋅ ln x + 1 4). ⋅ ln 3). ⋅ x +1 4 4 2(x + 1) 1 − x 2 (x + 1) cos ln 2 4 (x + 1) 1 5). ln 4 2(x + 1) Задача: Найти производную функции y = arccos sin ln

Номер: 2.70.С Задача: Найти производную функции y = 5arctg e

(

5 e 5x 2 − 5 e 5x Ответы: 1).

2 1 + e 5x 3).

(

(

e 5x 5 − 2 e 5x 2 1 + e 5x

(

)

) 4). 5

)

(

) 2). 2

e 5x 5 − 2 e 5x 2 1 + e 5x

(

)

24

(

5x

e 5x 5 − 2 e 5x 5 1 + e 5x

(

) 5).

)

(

)

2

(

)

− ln e 5 x + 1 .

e 5x 5 − 2 e 5x 1 + e 5x

)

3. Логарифмическое дифференцирование Номер: 3.1.В Задача: Значение производной функции y = (sin x ) в точке x 0 = x

но … . Ответы: 1). 1 2). 0 3). ln

π рав2

π π 4). − ln 5). − 1 2 2 Номер: 3.2.В

Задача: Значение производной функции y = (x − 2 ) равно… Ответы: 1). 0 2). − 2 3). 1 4). 2 5). − 1 Номер: 3.3.В

(

x +1

в точке x 0 = 3

)

x3

2

Задача: Значение производной функции y = x + 1 в точке x 0 = 1 равно … . Ответы: 1). 3 2). 6 3). 3 ln 2 4). 2(ln 8 + 1) 5). 4(ln 8 + 1) Номер: 3.4.В ln x в точке x 0 = e равно ... Задача: Значение производной функции y = x Ответы: 1). 2 2). 1 3). 2e 4).

2 5). 2 ln (e − 1) e

Номер: 3.5.В Задача: Значение производной функции y = e

xx

в точке x 0 = 1 равно …

. Ответы: 1). 1 2). e 3). e

2

2

4). 2e 5). 2e Номер: 3.6.В

Задача: Найти производную функции y = (cos 4 x )

sin 4 x

Ответы: 1). (cos 4 x )

sin 4 x

2). (cos 4x )

sin 4 x

(4 cos 4 x ⋅ ln cos 4 x − sin 4 x ⋅ 4 tg 4 x )

(4 ⋅ ln cos 4x − sin

2

4x

)

(4 cos 4 x + sin 4 x ⋅ tg 4 x ) 3). (cos 4 x ) 4). cos 4 x ⋅ (4 ⋅ ln cos 4 x − 4 ⋅ tg 4 x ) sin 4 x

5).

.

1 sin 4 x ⋅ cos 4 x 25

Номер: 3.7.В Задача: Найти производную функции y = x 2

Ответы: 1). x x x

5). x ln x

2

x −1

2). x

2

x +3

3). x

2

4). x

x2

.

2

x +1

(ln x

2

)

+1

2

Номер: 3.8.В Задача: Найти производную функции y = x 2

Ответы: 1). sin x ⋅ x

2

sin x −1

.

2

2). sin x ⋅ ln x

⎛ sin x 2 2 ⎜⎜ 2 x ln x ⋅ cos x + 3). x x ⎝ sin x 2 5). x 2 x 2 ln x + sin x 2

2 ⎞ ⎟⎟ 4). x sin x 2 x ⋅ cos x 2 + sin x 2 ⎠

(

sin x 2

(

sin x 2

)

)

Номер: 3.9.В Задача: Найти производную функции y = (arcsin x ) . ex

Ответы: 1). (arcsin x )

ex

ex

x

2). e arcsin x 3).

5). (arcsin x )

ex

1− x

[ 1− x

2

2

⎤ ⎡ x ex ⎥ ⎢e ln arcsin x + 2 1 − x ⋅ arcsin x ⎥⎦ ⎢⎣ e x ⋅ 2x

4).

]

1− x2

⋅ ex +1

Номер: 3.10.В

(

2

Задача: Найти производную функции y = x + 3

( 4). (x 5). (x

(

)

2

)

sin 2 x

.

Ответы: 1). x + 3 cos 2 x 2). 2x ln sin 2x 2

) (2 cos 2x ⋅ ln (x + 3)) (2x + 6)cos 2x ⋅ ln (x + 3) + 2x sin 2x + 3) x +3 ((2x + 6)⋅ ln(x + 3) + 2x sin 2x ) + 3)

3). x + 3 2

sin 2 x

sin 2 x

2

2

2

2

2

sin 2 x

2

2

Номер: 3.11.В Задача: Найти производную функции y = (tg x ) . x3

Ответы: 1). (tg x )

x

3

(

)

⎛ 1 ⎞ ⋅ x 2 ln x 3 + 1 2). ⎜ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠ 26

x3

⋅ 2x 3).

2x cos 2 x

4). (tg x )

x3

(3x

2

)

− 1 5). x 3 ⋅

sin x cos 3 x Номер: 3.12.В

Задача: Найти производную функции y = (sin 4 x )

sin 4 x

[4 cos 4 x ⋅ ln sin 4 x + 4] sin 4 x 2). (sin 4x ) ⋅ 4 cos 4x ⋅ (ln sin 4x + 1) 3). sin 2 4 x 4). 0 5). 4 sin 4 x (ln sin 4 x + 4 cos 4 x )

.

Ответы: 1). (sin 4 x )

sin 4 x

Номер: 3.13.В Задача: Найти производную функции y = Ответы: 1).

4).

(

x

)

x

( x)

x −1

2).

1 2 x

3).

⎛ 1 ⎞ ⎡ ln x + 1 ⎤ 5). ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ 2 x 2 x ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

( x)

( x)

x

x

.

⎡ ln x 1 ⎤ + ⎥ ⎢ ⎣ 2 x 2 ln x ⎦

1 2 x

Номер: 3.14.В

Задача: Найти производную функции y = (ln ax )

ln bx

, где a , b = const .

⎡ ln ln ax ⋅ ln ax + ln bx ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 2). a ln bx ⋅ ln ax x ⋅ ln ax 2 ln bx ⎛ ln ax + ln bx ⎞ ⎟⎟ 4). ab ⋅ ln a x ⎜⎜ 3). ab (ln ax ) x b ⎝ ⎠ ⎡ ln ln 2 ax + ln bx ⎤ 5). ab ⋅ ln ax ⎢ ⎥ x ⎦ ⎣ Ответы: 1). (ln ax )

ln bx

Номер: 3.15.В sin x . Задача: Найти производную функции y = x Ответы: 1). x 4). x sin

x

sin x

sin x ⎤ ⎡ cos x sin x 2). sin x ⋅ x 3). sin 2 x ⋅ x cos x ln x ⋅ + ⎢⎣ x ⎥⎦

⋅ cos x ⋅ ln x +

1 sin x −1 5). x cos x ⋅ ln x + sin x x

Номер: 3.16.В a cos x . Задача: Найти производную функции y = x 27

⎛ − ax sin x ⋅ ln x + a cos x ⎞ a ⋅cos x −1 ⎜ ⎟ 2). a cos x ⋅ x x ⎝ ⎠ 2 a ⋅ cos x 4). a sin x ⋅ (x ) 5). ax ⋅ cos x

Ответы: 1). x 3). a ⋅ x

a ⋅cos x

a ⋅cos x

Номер: 3.17.В

(x + 2 )

Задача: Найти производную функции y = (x + 1) Ответы: 1). x + 3x + 2 2). 1 3). (x + 1) 2

4). (x + 2 )(x + 1)

x +1

5). (1 − x )

x+2

.

⎡ (x + 1) ln (x + 1) + x + 2 ⎤ ⋅⎢ ⎥⎦ x +1 ⎣

x

Номер: 3.18.В

⎛ π⎞ Задача: Найти производную функции y = ⎜ tg ⎟ ⎝ 3⎠ π − sin 3 4). 1 5). 4 3 Ответы: 1). 0 2). 1 3). π 3 cos 2 3

cos π 3

Номер: 3.19.С

(

Задача: Найти производную функции y = sin x

(

.

)

ln sin x

.

)

⎡ 1 ⎤ ctg x ⋅ ln sin x ⎢⎣ x ⎥⎦ ln sin x ⎡ ln sin x ⎤ 3). sin x ⋅ ctg x + 1 4). sin x ⎥ ⎢ x ⎦ ⎣ 1 5). ⋅ ln cos x 2 x Ответы: 1). 0 2). sin x

[

]

ln sin x

(

)

Номер: 3.20.В

Задача: Найти производную функции y = (tg x )

sin x

Ответы: 1). cos x (tg x )

sin x −1

4). (tg x )

sin x

2). sin x (tg x )

sin x −1

.

3). sin

1 ⎤ ⎡ 5). нет правильного ответа ⋅ + cos x ln tg x ⎢⎣ cos x ⎥⎦

28

x cos x ⋅ (tg x ) 2

Номер: 3.21.В

sin x ⋅ cos x ⋅ x . tg 2 x sin x ⋅ cos x ⋅ x ⎡ 1 2 ⎤ Ответы: 1). ⋅ ⎢ctg x − tg x + − tg 2 x x sin 2 x ⋅ cos 2 x ⎥⎦ ⎣ sin x 2). − cos x ⋅ sin x 3). − cos 2 x sin x ⋅ cos x ⋅ x ⎡ 2 ⎤ 5). 1 − tg 2 x 4). ⋅ ⎢ctg x + tg x − tg 2x sin x ⎥⎦ ⎣ Задача: Найти производную функции y =

Номер: 3.22.В Задача: Найти производную функции

2 3 ( x + 1) (x + 2) y= (x + 3)4

.

2 3 ( x + 1) (x + 2 ) ⎡ 2 3 4 ⎤ Ответы: 1). + − (x + 3)4 ⎢⎣ x + 1 x + 2 x + 3 ⎥⎦ 2 2 ( ( x + 1)(x + 2) ⎛ 5x 2 + 3x − 2 ⎞ x + 1)(x + 2 ) ⎛ x 2 + x − 2 ⎞ ⎟⎟ 3). ⎟⎟ 2). ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎜⎜ 5 x+3 2 (x + 3) ⎝ ⎠ ⎝ x −3 ⎠

4).

1 1 5).

12 (x + 3)5 Номер: 3.23.В

Задача: Найти производную функции y = (x + 1) (x + 2 ) (x + 3) .

2

(

Ответы: 1). (x + 1)(x + 2 ) (x + 3) 9 x + 34 x + 29 2

3

2

3

4

)

2). 2(x + 1)(x + 2)(x + 3) 3). 24(x + 1)(x + 2 ) (x + 3) 4). 3x + 5 5). 0 2

3

Номер: 3.24.В Задача: Найти производную функции y =

(6x + 5)3 ⋅ (4x − 7 )2 .

(2x + 9)3

(6 x + 5)3 ⋅ (4 x − 7 )2 ⎛ 9 8 6 ⎞ Ответы: 1). ⋅ + − ⎜ ⎟ ( ) 2 6 x + 5 4 x − 7 2 x + 9 (2 x + 9 )3 ⎝ ⎠ 4 (6x + 5)3 ⋅ (4x − 7)2 ⎛ 6 4 2 ⎞ ⋅ + − ⎜ ⎟ ⎝ 6x + 5 4x − 7 2x + 9 ⎠ (2x + 9)3 4

2).

4

29

(6 x + 5)3 ⋅ (4 x − 7 )2 ⎛ 9 8 6 ⎞ 3). ⋅ + + ⎜ ⎟ ( ) 2 6 x + 5 4 x − 7 2 x + 9 (2 x + 9 )3 ⎝ ⎠ −1 4 36 ⋅ (6 x + 5) ⋅ (4 x − 7 ) 4).

2 6(2 x + 9) 4 (6x + 5)3 ⋅ (4x − 7 )2 ⎛ 1 1 1 ⎞ 5). ⋅ + − ⎜ ⎟ ⎝ 6x + 5 4x − 7 2x + 9 ⎠ (2x + 9)3 4

Номер: 3.25.В

e x ⋅ arcsin x Задача: Найти производную функции y = . x2 −1 e x ⋅ arcsin x ⎛ 1 1 1 ⎞ ⋅ + − Ответы: 1). ⎜ ⎟ x2 −1 ⎝ e x arcsin x x 2 − 1 ⎠ e x ⋅ arcsin x ⎛ 1 2x ⎞ ⎜ ⎟⎟ 2). ⋅ 1 + − 2 ⎜ 2 x 2 −1 x − 1 ⎝ arcsin x ⋅ 1 − x ⎠ e x ⋅ arcsin x ⎛ 1 2x ⎞ ⎜ ⎟⎟ 3). ⋅ 1 + + 2 ⎜ 2 x2 −1 x − 1 ⎝ arcsin x ⋅ 1 − x ⎠ 1 e x ⋅ arcsin x + e x ⋅ 2 1 2x 1 x − x 5).

4). e + − 2 2 2 x − 1 1− x x2 −1

(

)

Номер: 3.26.В Задача: Значение производной функции

3 x + 1) ( y= ( x + 2 ) 2 ( x + 3)

x 0 = 0 равно … . Ответы: 1).

7 13 1 5 2). 0 3).

4).

5).

12 36 36 36

Номер: 3.27.А x Задача: Найти производную функции y = sin x ⋅ cos x ⋅ e .

Ответы: 1). ctg x − tg x 2). sin x ⋅ cos x ⋅ e ⋅ (ctg x − tg x + 1) x

⎛ sin 2 x − 1 ⎞ ⎟⎟ 4). e x 5). e x ⋅ cos 2 x 3). sin x ⋅ cos x ⋅ e ⋅ ⎜⎜ 2 ⎝ cos x + 1 ⎠ x

30

в точке

Номер: 3.28.В

x ⋅ (x + 1) ⋅ sin 4 x .

2 1 + 7 x + 8 x 2 + 8 x ctg 4 x (x + 1) sin 4 x Ответы: 1).

2 x 1 1 2 2). ⋅ 3(x + 1) ⋅ 4 cos 4x 3). ⋅ ctg 4 x 2 x 2 x 10 x 2 + 3x − 1 sin 4 x 4).

5). нет правильного ответа 2 x Задача: Найти производную функции y =

[

(

(

)

)

31

]

3

4. Дифференцирование неявной функции Номер: 4.1.А

dy , если 3x + 7 y − 15 = 0 . dx Ответы: 1). − 7 3 2). 15 7 3). − 3 7 4). 7 3 5). 3 7

Задача: Найти производную

Номер: 4.2.А

dy 3 3 , если x + y = 8 . dx 2 2 2 2 2 2 2). x y 3). − y x 4). − x y

Задача: Найти производную Ответы: 1). y

(

1 3 5). 8 − x 3

)

−

2 3

2

x2

⋅ 3x 2 Номер: 4.3.А

dy Задача: Найти производную , если dx 4x 9x 9x 2).

3). − 4). Ответы: 1).

9y 4y 4y

x 2 y2 − = 1.

4 9 4y 9y 5).

9x 4x

Номер: 4.4.А

dy 2 2 , если 2 x + 3y = 4 . dx 2x 3y 3x 3y 2x 2).

3). − 4). − 5). − Ответы: 1).

2y 3y 2x 3y 2x

Задача: Найти производную

Номер: 4.5.А

dy 2 2 , если x − y − 2 y = 0 . dx x x y x x 2).

3).

4).

5). − Ответы: 1).

1− y y +1 y +1 x +1 y −1

Задача: Найти производную

Номер: 4.6.В Задача: Найти производную

a , b, c = const .

dy , если dx

32

2

ax 2 ⋅ y + cos 2 by = e cx ,

где

(

)

2

2

2

c ⋅ e cx −1 − a e cx + ay 2 x c ⋅ e cx − ay Ответы: 1).

2).

3).

2 2 ax 2 + b sin bdy ax − b sin 2by ax 2

ay e cx + ay 5).

4). 2 x ⋅ sin 2by x + cos by Номер: 4.7.А

dy y 2 , если y + e = y + 1 . dx y +1 y y Ответы: 1). 0 2). 1 + e − 2 y 3). e − 2 y 4). ey y 5). (1 − 2 y ) ⋅ e Задача: Найти производную

Номер: 4.8.В Задача: Найти производную

a , b = const .

y dy 2 3 , если a ⋅ cos y + = ln by , где 2 dx (x + 1) 2y

Ответы: 1).

⎛

3⎞ ⎟ − 2 ⎟ y (x + 1) ⎠ 1 2 3 + (x + 1) 3). (x + 1) 4).

2y

(x + 1)3 ⎜⎜ − a ⋅ sin 2 y + ⎝

⎛

2). ⎜⎜ − 2 ⋅ cos y ⋅ sin y −

⎝

5).

3⎞ 3 ⎟⎟ ⋅ (x + 1) y⎠

1

2y

(x + 1)3 Номер: 4.9.В

dy 2 4 2 , если arctg y + sin y = y ⋅ x . dx 4 sin y + 1 2y ⋅ x ⋅ 1 + y 4 2 = x 2). Ответы: 1).

1 + y4 2 y + 1 + y 4 cos y − 4 y 3 x 2 1 + y 4 sin y + 1 3). − 1 4). 2 y 4 x − 1 + y 4 5). 0 4 1+ y Задача: Найти производную

(

(

)

(

)

)

33

(

)

Номер: 4.10.В

dy 1 + y2 Задача: Найти производную , если 4 ln y = .

3 dx 1+ x 2 3 4 1 + 3x − 3x 2 1 + y 2 ⋅ y −x +y 2).

3). Ответы: 1).

2 2 2 1 + 3x 2y 4 1 + x 3 − 2y 2 1 + x 3 2 3 4). 3x y 5). 1 − 3y 1 + x

(

(

)

)

(

)

(

) (

)

Номер: 4.11.В

dy 4y x , если y cos 5x + e = 2 + 3 . dx x 2 x ln 2 − 5 sin 5x 2 ln 2 + 5 y sin 5x Ответы: 1).

2). cos 5x + 4e 4 y 4e 4 y 4e 4 y − 2 x ln 2 − 5 cos 5x − 2 x − sin 5x − 2 x ln 2 4).

5).

3).

5 5 cos 5x ln 2 + e 4 y Задача: Найти производную

Номер: 4.12.А Задача: Найти производную

a , b, c = const .

dy , если dx

y = tg ln bx + a y + c ,

(

где

)

1 y 1 − a ln a x 2).

1 − a y ln a x ⋅ cos 2 ln bx b 1 y + a y ln a 5). + a ln a 3). 2 cos ln bx + 1 4). ln bx cos 2 x Ответы: 1).

(

)

Номер: 4.13.В

(

)

dy 1 4 3 , если y − tg x y + 2 y = . dx x 3 2 2 2 4 y x − cos x y +2 3 Ответы: 1). 4 y − 2).

3y 2 + 2 cos 2 x x 2 cos 2 y 3 + 2 y 1 − cos 2 x + y 3 x 2 + 2 yx 2 4). 2 5).

3). 2 4y 3 x cos 2 x 4 y 3 − 3y 2 + 2 tg x x cos 2 x Задача: Найти производную

(

(

(

)

(

) )

Номер: 4.14.А Задача: Найти производную

dy 2 , если sin y + cos y = ln y + x . dx 34

)

2x ⋅ y 2x 2). tg y − 1 3). y cos y − y sin y − 1 y(cos y + sin y ) 1 2x 5).

4). y ⋅ cos y y(cos y − 1) Ответы: 1).

Номер: 4.15.В

dy 1 , если ln ln y = + xy . dx y y 3 ln y y 3 ln y y ln y + 1 Ответы: 1).

2).

3). y + ln y − y 2 ln y y + ln y − xy 2 ln y y ln y − xy 2 ln y + x ln y + 1 4).

5). x ⋅ ln y − ln y − y xy 2 ⋅ ln y Задача: Найти производную

(

)

Номер: 4.16.А

dy 4y , если e + y = x . dx 1 4y 2).

3). e + 1 4). 1 2 x +1

Задача: Найти производную Ответы: 1).

1 2 x ⋅ 4e 4 y

(

)

5). 2 x + 1 Номер: 4.17.В

dy 2 , если arcsin y + x ln y = 3 . dx 2 y 1 − y ⋅ ln 2 y 2 ln y 1 Ответы: 1). − 2).

3).

2x + y 2 xy y + 2 x ⋅ 1 − y 2 ⋅ ln y

Задача: Найти производную

4).

3y ⋅ 1 − y 2 2y − x 1 − y 2

5). 1 − 1 − y

2

Номер: 4.18.В 2 Задача: Найти производную y ′ , если a ⋅ tg bx + c ⋅ ctg (dy + e ) = ln y , где a , b, c, d, e = const . Ответы: 1).

a ⋅ b ⋅ y ⋅ sin(dy + e) b ⋅ ctg x − y 2). tg (dy + e ) cos 2 bx[sin(dy + e) + 2cd ⋅ y ⋅ ctg(dy + e)]

35

sin (dy + e ) y ⋅ cos (dy + e ) 4). sin bx [cos y + 2 y ⋅ tg (dy + e )] 2cd ⋅ y ⋅ cos 2 bx + ctg dy ab ⋅ ln y 5). cd

(

3).

)

Номер: 4.19.В Задача: Найти производную

a , b = const .

dy , если dx

y 2 x + a ⋅ ln 2 y = b ⋅ e y , где

2y − y2 2 2 y x + ln y Ответы: 1).

2).

3).

2a ⋅ ln y − b 2 y 2 x + 2a ⋅ ln y − y ⋅ be y y2 y 5). 1 − e 4). y 2 x + 2a − e Номер: 4.20.А Задача: Найти производную Ответы: 1).

(

a −1

y

)

(

2). 2 y 1 + be

y

)

+ b⋅e 2 ⋅ a ⋅ y a −1 + b 2 a −1 a −1 y ⋅ b ⋅ ey 3). a ⋅ y + b⋅e = 4).

5). 1 − a ⋅ y y y Задача:

arctg

(

2 y a⋅y

1

dy a y , если y + b ⋅ e = y , где a , b = const . dx

Значение

)

(

)

(

Номер: 4.21.С производной неявно

)

заданной

функции

заданной

функции

y 1 = ln x 2 + y 2 в точке (1; 0) равно … . x 2 Ответы: 1). 0 2). 1 3). − 1 4). 2 5). − 2

Номер: 4.22.В Задача: Значение производной неявно 3 2 y x + ln y − x e = 0 в точке (e;1) равно … .

2e 2 2e 2 e2 e2 e2 Ответы: 1). − 2).

3). 3 4).

5).

1 − e3 1 + e3 1 − e3 1 + e3 e −1

36

Номер: 4.23.В Задача: Значение производной неявно заданной функции ln y + точке (5;1) равно … . Ответы: 1). 0 2). 5 3).

x =5 в y

1 1 1 4).

5).

3 2 4

Номер: 4.24.А Задача: Значение производной неявно заданной функции y = x + arctg y

⎛ 3 π 3⎞ ⎟⎟ равно … . − ; ⎝ 3 6 3 ⎠ 1 1 Ответы: 1). 4 2). − 4 3).

4). − 5). 0 4 4

в точке ⎜⎜

37

5. Дифференцирование функций, заданных параметрически Номер: 5.1.В

⎧x = sin 5t dy ⎪ Задача: Производная функции ⎨ t , заданной параметричеdx y cos = ⎪⎩ 2 ски, равна … . Ответы: 1).

5).

− cos(t 2) 10 cos t − sin (t 2 ) sin 5 t 2).

3).

4). − sin 5t sin t 5 cos (t 2 ) 10 cos 5 t

5 sin 5t cos(t 2) Номер: 5.2.В

⎧⎪x = 1 − t 2 dy функции ⎨ , заданной параметричеЗадача: Производная dx ⎪⎩ y = arcsin t ски, равна … . Ответы: 1). −

t 1 2t 2 − − t 2).

3).

4).

5).

2 t 1 − t t 1− t2 2 1− t2 Номер: 5.3.В

1 ⎧ dy ⎪x = Задача: Производная функции ⎨ 1 + t 2 , заданной параметричеdx ⎪⎩ y = arctg t ски, равна … . Ответы: 1). −

(

2

)

(t

2t 2

)

+1

2

1+ t2 2t 1 2). − 3).

4).

2 2t t2 +1 t2 +1

(

)

3

5). t + 1 ⋅ 2t Номер: 5.4.В

⎧x = sin t 4 dy Задача: Производная функции ⎨ , заданной параметричеdx ⎩ y = 2t + 1 ски, равна … .

1 4 cos t 4 2 3 4 4 t sin t Ответы: 1).

2). 3 3).

4). t cos t 4 2t cos t 4 3 4 5). 4t cos t 38

Номер: 5.5.В

⎧⎪x = 2 − t dy функции ⎨ , заданной параметричеЗадача: Производная 2 dx ⎪⎩ y = (t + 3) ски, равна … .

− 2 t (t + 3) (t + 3) ln 2 2 − t ln 2 − 2 t +1 (t + 3) Ответы: 1).

2).

3).

4). ln 2 2 t+3 ln 2 t 2 5). (t + 3) ln 2 Номер: 5.6.В

⎧x = ln 4t dy ⎪ Задача: Производная функции ⎨ 1 , заданной параметрически, dx = y ⎪⎩ 2t равна … . Ответы: 1).

1 2 1 ln 4 t 2t 2). − 2 3).

4). − 5).

2t 2 ln 4 t 4t 2 t Номер: 5.7.В

1 ⎧ dy ⎪x = Задача: Производная функции ⎨ cos t , заданной параметрически, dx ⎪⎩ y = tg t равна … . Ответы: 1). sin t 2). − sin t 3).

sin t 1 1 − 4).

5). sin t cos 4 t cos 2 t

Номер: 5.8.В

⎧⎪x = sin 3 t dy функции ⎨ , заданной параметричеЗадача: Производная dx ⎪⎩ y = cos 2 t ски, равна … . Ответы: 1).

2 2 sin t 2 cos t 3 cos t 2 cos t − 2).

3).

4).

5). − 3 sin t 2 3 sin 2 t 3 cos 2 t 3 sin 2 t Номер: 5.9.В

⎧x = sin 2 t dy Задача: Производная функции ⎨ , заданной параметричеdx = y ln sin t ⎩ ски, равна … .

39

2 cos 2 t 1 Ответы: 1).

2). 2 ctg t 3). 2 tg t 4). 2 sin t 5). sin t 2 sin 2 t Номер: 5.10.В Задача: Производная

⎧⎪x = − t dy функции ⎨ , заданной параметрически, 5t dx ⎪⎩ y = e

равна … . Ответы: 1). − 10 e

5t

5e 5t 2 −t e 5t 5t t 5).

3). − 4). 2,5e − t 2).

2 −t 2 t − e 5t

Номер: 5.11.А dy ⎧x = at + b Задача: Производная функции ⎨ , где a, b, c, e = const , заданdx ⎩ y = ct + e ной параметрически, равна … . c b a ab 2).

3).

4).

5). 0 Ответы: 1). e e ce a

Номер: 5.12.А ⎧ a dy x = tb Задача: Производная функции ⎪⎨ , где a, b, c, e = const , заданc e dx ⎪y = t ⎩ ной параметрически, равна … . −cb a ⋅ e eaca ⋅t Ответы: 1). t ab − ce 2). t ac 3). t ae − 1 4).

5). 0 c⋅b

Номер: 5.13.В

⎧x = 2 tg t dy Задача: Производная функции ⎨ , заданной пара2 3 dx = + y 2 sin t sin t ⎩ метрически, равна … .

(4 sin t cos t + 3 sin Ответы: 1).

2

)

t cos t cos 2 t

2 2 cos2 t (4 sin t − 3 cos t )sin 2t ( 4 cos t + 3 sin t ⋅ cos t ) sin 2 t 4).

5). 4 sin t cos t 3).

2 2

40

2).

Номер: 5.14.В

1 + ln t ⎧ = x ⎪⎪ dy t2 Задача: Производная функции ⎨ , заданной параметриdx ⎪ y = 3 + 2 ln t ⎪⎩ t чески, равна … . Ответы:

( − 1 + 2 ln t ) ⋅ t 2 1).

(−

t − 2 t ln t

)

2). t 3). t (1 − ln t ) 4). − 3 + 2 t 5). t 2

Номер: 5.15.В Задача: Производная

⎧x = sin t dy функции ⎨ , заданной параметриче3 dx = y cos t ⎩

ски, равна … .

2 Ответы: 1). − 3 cos t sin t 2). 3 ctg t 3). 3 cos t ⋅ sin t 4). sin 2 t 5). нет правильного ответа Номер: 5.16.А

⎧⎪x = 2 t + t 2 dy Задача: Производная функции ⎨ , заданной параметричеdx ⎪⎩ y = t 2 − 2 t 3 ски, равна … .

t − 3t 2 3t − 1 t (1 − 3t ) 2 Ответы: 1).

2). 1 3). 3t + 2 t 4).

5). t −1 t +1 1+ t Номер: 5.17.В

⎧⎪x = e t sin t dy Задача: Производная функции ⎨ , заданной параметричеt dx ⎪⎩ y = e cos t ски, равна … . Ответы: 1).

5). 1

cos t − sin t 2t t 2). tg t + ctg t 3). e (cos t + sin t ) 4). e ctg t sin t + cos t Номер: 5.18.А

⎧⎪x = at 3 + bt 2 + c dy Задача: Производная функции ⎨ , где a, b, c, d, g, f = const , dx ⎪⎩ y = gt 5 + et 4 + f

заданной параметрически, равна … . ab 5gt 4 + 4et3 c a c 3).

4). (t 2 + t + 1) Ответы: 1). − 2).

2 ge 3at + 2bt f g f 41

5). t 4 + 2t 3 + 3t 2 − 1 Номер: 5.19.В

⎧⎪x = a cos 2 4 t dy функции ⎨ , a = const , заданной Задача: Производная 2 dx ⎪⎩ y = a sin 4t параметрически, равна … .

2 Ответы: 1). − 1 2). a ctg 4t 3). 4 tg 4 t 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 5.20.В

Задача: Производная

⎧x = t (1 − sin t ) dy функции ⎨ , заданной параметриy t cos t = dx ⎩

чески, равна … . Ответы: 1). t ctg t 2).

5). tg t + 1

cos t cos t − t sin t t 3).

4).

1 − sin t − t cos t 1 − sin t sin t + cos t Номер: 5.21.А

Задача: Производная рически, равна … . Ответы: 1). − 5). −

2 sin t

⎧ y = 2(t − sin t ) dy функции ⎨ , заданной параметx cos t = dx ⎩

2(1 − cos t ) 2). 1 − cos t 3). cos t ⋅ sin t 4). sin 2 t sin t

Номер: 5.22.В

(

)

⎧x = ln 1 + t 2 dy функции ⎨ , заданной параметриЗадача: Производная dx = − x t arctg t ⎩ чески, равна … . Ответы: 1).

t t 2 2).

3). t + 1 4). t + t − 1 2 2 t +1

5). нет правильного ответа

42

Номер: 5.23.В

2t ⎧ x = ⎪⎪ dy 1+ t2 функции ⎨ , заданной параметричеЗадача: Производная 2 dx 2 t ⎪y = ⎪⎩ 1+ t2 ски, равна … . Ответы: 1).

4t 2t 2 2 t 2).

3).

1− t2 1+ t2

(

)

2

4). 4 t

5). нет правильного ответа Номер: 5.24.В

⎧x = a (sin t − t cos t ) dy функции ⎨ a = const , за( ) y a cos t t sin t = + dx ⎩

Задача: Производная

данной параметрически, равна … . Ответы: 1). cos t −

1 sin t 2). t sin 2t 3). ctg t 4). tg t 5). 1 2 Номер: 5.25.А

⎧⎪x = e t dy функции ⎨ , заданной параметрически, Задача: Производная −t dx ⎪⎩ y = e равна … . t 2t Ответы: 1). − 1 2). 1 3). 0 4). e 5). e Номер: 5.26.А

Задача: Производная

⎧x = a (t − sin t ) dy функции ⎨ a = const , заданной ( ) y a 1 cos t = − dx ⎩

параметрически, равна … . Ответы: 1). ctg

t 2 2). a cos t 3). a ⋅ cos t ⋅ sin t 4). t ⋅ cos t ⋅ sin t 5). a 2 Номер: 5.27.А

⎧⎪x = e at dy функции ⎨ Задача: Производная dx ⎪⎩ y = e bt раметрически, равна … . Ответы: 1).

b (b−a )⋅t a t 2). e 3). e 4). 0 5). 1 a b 43

a , b = const , заданной па-

6. Приращение и дифференциал функции

Номер: 6.1.В Задача: Разность между приращением и дифференциалом функции y = x 3 + x в точке x = 1 при Δx = 0,1 равна … . Ответы: 1). 0,023 2). 0,03 3). 0,031 4). 0,035 5). 0,042 Номер: 6.2.В Задача: Разность между приращением и дифференциалом функции y = 2x 3 − 1 в точке x = 2 при Δx = 0,2 равна … . Ответы: 1). 0,296 2). 0,196 3). 0,246 4). 0,598 5). 0,496 Номер: 6.3.В Задача: Разность между приращением и дифференциалом функции f (x ) = x 3 − 2x в точке x = 4 при Δx = 0,1 равна … . Ответы: 1). 0,121 2). 0,101 3). 0,111 4). 0,122 5). 0,123 Номер: 6.4.В Задача: Разность между приращением и дифференциалом функции y = −2 x 3 + 5 в точке x = 4 при Δx = −0,1 равна … . Ответы: 1). 0,241 2). 0,242 3). − 0,236 4). − 0,238 5). − 0,252 Номер: 6.5.В Задача: Разность между приращением и дифференциалом функции f (x ) = −3x 3 + 2 в точке x = −1 при Δx = 0,1 равна … . Ответы: 1). 0,08 2). 0,087 3). 0,085 4). 0,081 5). 0,083

Задача:

Если

функция

Номер: 6.6.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

функция

Номер: 6.7.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

f (x − Δx ) − f (x + 3Δx ) равен … . Δx →0 2Δx Ответы: 1). f ′(x ) 2). 2f ′(x ) 3). − 2f ′(x ) 4). − 4f ′(x ) 5). − f ′(x ) lim

Задача:

Если

f (x − Δx ) − 2f (x + 4Δx ) + f (x ) равен … . Δx →0 3Δx Ответы: 1). − f ′(x ) 2). − 4f ′(x ) 3). f ′(x ) 4). 2f ′(x ) 5). − 3f ′(x ) lim

44

Задача:

Если

функция

Номер: 6.8.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

функция

Номер: 6.9.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

функция

Номер: 6.10.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

функция

Номер: 6.11.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

функция

Номер: 6.12.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

функция

Номер: 6.13.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

− f (x − Δx ) + f (x − 5Δx ) равен … . Δx →0 2Δx Ответы: 1). − f ′(x ) 2). f ′(x ) 3). 2f ′(x ) 4). − 3f ′(x ) 5). − 2f ′(x )

lim

Задача:

Если

− f (x − 2Δx ) + 2f (x + 4Δx ) − f (x ) равен … . Δx →0 5Δx Ответы: 1). 2f ′(x ) 2). 4f ′(x ) 3). f ′(x ) 4). − f ′(x ) 5). − 2f ′(x )

lim

Задача:

Если

f (x − 3Δx ) − f (x + 3Δx ) равен … . Δx →0 2Δx Ответы: 1). − f ′(x ) 2). f ′(x ) 3). − 3f ′(x ) 4). − 2f ′(x ) 5). − 6f ′(x ) lim

Задача:

Если

f (x + 8Δx ) − 2f (x + Δx ) + f (x ) равен … . Δx →0 3Δx Ответы: 1). − 2f ′(x ) 2). f ′(x ) 3). − f ′(x ) 4). 2f ′(x ) 5). − 3f ′(x ) lim

Задача:

Если

− f (x − 8Δx ) + f (x + Δx ) равен … . Δx →0 3Δx Ответы: 1). f ′(x ) 2). 3f ′(x ) 3). − 2f ′(x ) 4). − f ′(x ) 5). − 3f ′(x )

lim

Задача:

Если

f (x + Δx ) − 2f (x + 5Δx ) + f (x ) равен … . Δx →0 3Δx Ответы: 1). − 3f ′(x ) 2). f ′(x ) 3). − f ′(x ) 4). 2f ′(x ) 5). − 2f ′(x ) lim

45

Задача:

Если

функция

Номер: 6.14.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

функция

Номер: 6.15.В f (x ) дифференцируема,

то

предел

− f (x + 7 Δx ) + 2f (x + 4Δx ) − f (x ) равен … . Δx →0 Δx Ответы: 1). 2f ′(x ) 2). − 3f ′(x ) 3). − f ′(x ) 4). − 2f ′(x ) 5). f ′(x )

lim

Задача:

Если

f (x + Δx ) − f (x + 7 Δx ) равен … . Δx →0 2Δx Ответы: 1). − f ′(x ) 2). f ′(x ) 3). − 3f ′(x ) 4). − 2f ′(x ) 5). − 4f ′(x ) lim

Номер: 6.16.В Задача: Для любой дифференцируемой в точке x 0 функции f (x ) имеет место равенство Ответы: 1). f (x ) = f (x 0 ) + df (x 0 ) 2). Δf (x 0 ) = o(x − x 0 ) 3). f (x ) = f (x 0 ) + f ′(x 0 ) ⋅ (x − x 0 ) + o (x − x 0 )

4). f (x ) = f (x 0 ) + df (x 0 ) ⋅ o(x − x 0 ) 5). Δf (x 0 ) = f ′(x 0 ) ⋅ (x − x 0 )

Номер: 6.17.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 5 функции y = x в точке x = 2,001 Ответы: 1). 32,08 2). 32,09 3). 32,06 4). 32,05 5). 32,03 Номер: 6.18.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y = 4 x − 3 в точке x = 0,98 Ответы: 1). 0,99 2). 0,98 3). 0,97 4). 0,96 5). 0,94 Номер: 6.19.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 3

функции y = x в точке x = 1,02 . Ответы: 1). 1,04 2). 1,02 3). 1,05 4). 1,06 5). 1,03 Номер: 6.20.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 3 функции y = x в точке x = 2,999 . Ответы: 1). 26,073 2). 26,063 3). 26,083 4). 26,053 5). 26,043 46

Номер: 6.21.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y = 3 x в точке x = 1,03 . Ответы: 1). 1,02 2). 1,01 3). 1,04 4). 1,03 5). 1,05 Номер: 6.22.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y = x в точке x = 3,996 Ответы: 1). 1,997 2). 1,993 3). 1,991 4). 1,999 5). 1,995 Номер: 6.23.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y = 1 + sin x в точке x = 0,02 . Ответы: 1). 1,01 2). 1,09 3). 1,07 4). 1,05 5). 1,03 Номер: 6.24.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y = 2 x + cos x в точке x = 0,01 . Ответы: 1). 1,05 2). 1,07 3). 1,01 4). 1,03 5). 1,09 Номер: 6.25.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y = 4 x + 1 в точке x = 1,97 . Ответы: 1). 2,92 2). 2,96 3). 2,94 4). 2,91 5). 2,98 Номер: 6.26.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 2

функции y = x + 5 в точке x = 1,97 . Ответы: 1). 2,93 2). 2,98 3). 2,94 4). 2,96 5). 2 ,91 Номер: 6.27.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение o функции y = tg x в точке x = 46 Ответы: 1). 1,0329 2). 1,0372 3). 1,0312 4). 1,0349 5). 1,0389 Номер: 6.28.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y = 4 x в точке x = 80,5 . Ответы: 1). 2,935 2). 2,995 3). 2,975 4). 2,915 5). 2,955

47

Номер: 6.29.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 5 функции y = x в точке x = 1,015 . Ответы: 1). 1,037 2). 1,017 3). 1,057 4). 1,097 5). 1,077 Номер: 6.30.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 0 ,1⋅x ⋅(1− x ) функции y = e в точке x = 1,05 . Ответы: 1). 0,955 2). 0,935 3). 0,995 4). 0,975 5). 0,915

48

7. Производные и дифференциалы высших порядков

Задача:

Номер: 7.1.А производную второго

Найти

y′′

порядка

функции

y = 3x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 − x .

2 3 2 2 Ответы: 1). 12 x − 15 x + 4 x − 1 2). 36x − 30x 3). 36 x − 30 x + 2 3 2 4). 24 x − 10 x + 4 5). 36x − 30x + 4 Номер: 7.2.А

Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции y = (2 x + 5) .

3

Ответы: 1). 6(2 x + 5 )

5). (2x + 5)

2

2). 3(2x + 5) 3). 24 (2 x + 5 ) 4). 6 x

2

Номер: 7.3.А Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции y = Ответы: 1).

2

2).

(x − 1)

3

1

(x − 1)

3

3).

−2

(x − 1)

3

4).

−1

(x − 1)

3

1 . x −1 −1

5).

(x − 1)2

Номер: 7.4.А 2 Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции y = cos x . Ответы: 1). − sin x 2). − 2 cos 2x 3). 2 cos x 4). 2 sin x 2

5). − 2 sin 2x

Номер: 7.5.А Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции y = e Ответы: 1). e 4). e

−x

2

(2x

2

)

−x2

(2x

2

2

(

)

2

(

)

2

(

−x2

)

.

− 1 2). 2e −x x 2 − 2 3). 2e − x 2 x 2 − 1

)

− x 5). e − x 2x 2 + 1

Номер: 7.6.А Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции y = arctg 3x . Ответы: 1).

5).

27 x

(1 + 9x )

2 2

2).

54x

(1 + 9x )

2 2

27x 2

(1 + 9x )

2 2

49

3).

54 x 27 x 4).

1 + 9x 2 1 + 9x 2

Номер: 7.7.А Задача: Найти производную y функции y = x 5 .

VI

Ответы: 1). 5 2). 5x

4

3). 0 4). x 5). 1

Номер: 7.8.А t Задача: Найти производную y функции y = ae , где a = const .

IV

Ответы: 1). ae 2). a 3). 1 4). 0 5). a ⋅ t ⋅ e t

t −1

Номер: 7.9.А Задача: Найти производную y Ответы: 1). 0 2).

III

функции y = 2 cos

3 π π 3). 3 4). 1 5). − sin 2 3 6

π .

6

Номер: 7.10.А III Задача: Найти производную y функции y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e .

2

Ответы: 1). 0 2). 24a 3). 24 ax + 6 b 4). 16ax + 9bx + 2c 5). 4ax

3

Номер: 7.11.А III 3 Задача: Найти производную y функции y = x ⋅ ln x . Ответы: 1). 6 ln x + 11 2). 3x 3). 6 x ⋅ ln x + 5 x 4).

1 5). x + 11 x

Номер: 7.12.А III Задача: Найти производную y функции y = a ⋅ cos x , где a = const . Ответы: 1). − a sin x 2). 0 3). a (sin x − cos x ) 4). a sin x 5). a cos x Номер: 7.13.А III Задача: Найти производную y функции y = sin ax + cos bx . Ответы: 1). − a cos ax + b sin bx 2). a cos ax − b sin bx 3

3

3). ab ⋅ sin 2ax 4). a + b 5). sin

a+b x 2

Номер: 7.14.В Задача: Найти производную y Ответы: 1).

24 a 4

(ax + b )5

2).

IV

1 . ax + b a 4b

функции y =

a4 + b

(ax + 5)5 50

3).

(ax + b )3

4).

a 5). a ax + b

Номер: 7.15.А IV Задача: Найти производную y функции y = ln ax , где a = const . Ответы: 1). 0 2). a 3). −

1 1 6 4).

5). ax x x4 Номер: 7.16.В

Задача: Найти производную y

III

функции y = arctg

( (

)

x .

2

4 3x 2 − 4 12x 2 1 2 3).

4).

5). Ответы: 1). 0 2).

2 2 3 2 1− x 4+x 4 − x2

)

(

)

2

Номер: 7.17.А III −x Задача: Найти производную y функции y = x ⋅ e . Ответы: 1). e

−x

(3 − x )

2). − xe

−x

3). xe

−x

4). e

−x

5). 3x

Номер: 7.18.А III Задача: Найти производную y функции y = e x ⋅ cos x . Ответы: 1). − 2e 4). e

x

5). (1 − cos x )e

x

(cos x + sin x )

x

2). e sin x 3). − sin x + cos x

x

Номер: 7.19.А III Задача: Найти производную y функции y = x ⋅ ln x . Ответы: 1). 1 2). 1 − x 3). −

1 1 4).

5). 1 + x x x2

Номер: 7.20.А V x Задача: Найти производную y функции y = 2 . Ответы: 1). 2

x

(ln 2 )5

2). 2

x

3). ln 2 4). 1 5). 0 Номер: 7.21.А

Задача: Найти производную y Ответы: 1). a

7

(ax + b )

VII

функции y = (ax + b ) .

5

2). 0 3). 1000 ⋅ a (ax + b ) 4). 5a 5). 5a + b

Номер: 7.22.А 3 2x Задача: Вторая производная функции f (x ) = x ⋅ e в точке x = −1 равна...

51

Ответы: 1). e

−2

2). − e

−2

3). − 24 e

−2

4). − 18e

−2

5). − 2e

−2

Номер: 7.23.В

⎧x = ln t d2y функции , заданной параметЗадача: Вторая производная ⎨ 3 dx 2 = y t ⎩ рически, равна… Ответы: 1). − 6 t

3

2). 6t 3). 3t

3

4). 9 t

3

5). −

1 t2

Номер: 7.24.В

⎧⎪x = t 2 + 3 d2y Задача: Вторая производная функции ⎨ , заданной пара2 5 dx ⎪⎩ y = t − 7 метрически, равна… Ответы: 1). 15 t 4 2). 12t 5 3). 15 2 t 4). 12 t 7 5). 20t 7 Номер: 7.25.В

⎧x = 3 cos t d2y Задача: Вторая производная функции , заданной пара⎨ y 3 sin t = dx 2 ⎩ метрически, равна… Ответы: 1).

−2 1 1 −1 −1 − 2).

3).

4).

5).

3 sin 3 t 2 sin 3 t 3 sin 3 t sin 3 t 2 sin 3 t Номер: 7.26.В

⎧x = ln t d2y функции ⎨ , заданной параметЗадача: Вторая производная 2 dx 2 = y t ⎩ рически в точке t = 1 равна… . Ответы: 1). 3 2). 5 3). 2 4). 4 5). 1 Номер: 7.27.С Задача: Вторая производная функции f (x ) в точке x 0 равна

f (x 0 + Δx ) − f (x 0 ) f ′(x + Δx ) − f ′(x ) 2). lim Δx →0 Δx → 0 Δx (Δx )2 f ′(x 0 + Δx ) − f ′(x 0 ) f (x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) 4). lim 3). lim Δx →0 Δx → 0 Δx Δx f ′(x 0 + Δx ) − f ′(x 0 ) 5). lim Δx →0 Δx Ответы: 1). lim

52

Номер: 7.28.С Задача: Второй дифференциал функции f (x ) в точке x имеет вид…

Ответы: 1). df (x ) ⋅ Δx 2). f (x ) ⋅ dx

2

5). d f (x ) ⋅ Δx

3). d (df (x )) 4). d (f (x ) ⋅ Δx )

2

Номер: 7.29.С Задача: Если x - независимая переменная, то второй дифференциал функ2 ции f (x ) = ln x − 1 в точке x = 2 при Δx = 0,1 равен

(

)

Ответы: 1).

1 3 1 1 1 2). − 3).

4). − 5).

90 5 100 6 90

Номер: 7.30.С Задача: Если x - независимая переменная, то значение дифференциала 3

второго порядка для функции y = 8 x Ответы: 1). −

2

в точке x 0 = 8 при Δx = 0,1 равно…

1 1 1 1 1 2).

3).

4). − 5).

900 800 800 990 900

Номер: 7.31.В 2 4 3 Задача: Второй дифференциал d y функции y = 3x − 5x + 2 x имеет вид… .

2 2 2 2 Ответы: 1). 36 x − 30 x ⋅ dx 2). 24x − 18x ⋅ dx

(

(

)

2

3). 18 x − 12 x ⋅ dx

2

)

(

)

2

(

4). 72 x − 30 x ⋅ dx

)

(

2

)

2

5). 36x + 30x ⋅ dx

2

Номер: 7.32.С 3

Задача: Третий дифференциал d y функции y = e Ответы: 1). e 3). e

x

2

(8x

3

x2

)

(12 x

3

)

2

(

x2

)

имеет вид … .

+ 8 x dx 3 2). e x 8x 3 + 12x dx 3 2

(

)

2

(

)

+ 4 x dx 3 4). e x 6 x 3 + 4 x 2 dx 3 5). e x 8x 2 + 12x dx 3

Номер: 7.33.С 3 Задача: Третий дифференциал d y функции y = cos(4 x + 1) имеет вид ...

Ответы: 1). 64 cos (4 x + 1)dx

3). 64 sin (4 x + 1)dx

3

3

2). 48 sin(4x + 1)dx

4). − 64 sin (4 x + 1)dx

53

3

3

5). 16 cos(4x + 1)dx

3

Номер: 7.34.В 2 5 2 Задача: Второй дифференциал d y функции y = 4 x − 7 x + 3 имеет вид … .

3 2 3 2 3 2 Ответы: 1). 80 x − 14 x dx 2). 20x − 14x dx 3). 60 x − 14 dx

(

3

)

4). 80 x − 14 dx

(

2

(

)

2

5). 240x ⋅ dx

)

(

)

2

Номер: 7.35.B 2 Задача: Второй дифференциал d y функции y = cos 2 x имеет вид … . Ответы: 1). − 4 sin 2 x ⋅ dx 2). − 8 cos 2x ⋅ dx 2 2 4). 2 sin 2 x ⋅ dx 5). − 4 cos 2x ⋅ dx 2

54

2

3). 2 cos 2 x ⋅ dx

2

8. Механический и геометрический смысл производной Номер: 8.1.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

3t 2 S(t ) = t − + 2 t − 1 . В какой момент времени ускорение будет равно 9 2 м с2 ? Ответы: 1). 2 2). 3 3). 4 4). 5 5). 10 3

Номер: 8.2.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону: S(t ) = 2 t 3 − 25t 2 + 3t + 1. В какой момент времени ускорение будет равно 10

м с2 ? Ответы: 1). 2 2). 1 3). 0 4). 5 5). 6 Номер: 8.3.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

3t 2 − 4t + 3 . В какой момент времени ускорение будет равно 9 S(t ) = t − 2 м с2 ? Ответы: 1). 1 2). 3 3). 2 4). 5 5). 6 3

Номер: 8.4.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

5t 2 − 7 t + 3 . В какой момент времени ускорение будет равно 7 S(t ) = 2t − 2 м с2 ? Ответы: 1). 0,5 2). 0,6 3). 0,7 4). 0,8 5). 1 3

Номер: 8.5.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

1 3 t2 t S(t ) = t − − + 0,5 . В какой момент времени ускорение будет равно 4 2 2 3 2 м с ? Ответы: 1). 2,5 2). 5,5 3). 5 4). 6 5). 7

55

Номер: 8.6.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону: S(t ) = 6 t 3 + 2t − 7 . В какой момент времени ускорение будет равно 72

м с 2 ?Ответы: 1). 0,5 2). 0,1 3). 2 4). 3 5). 6 Номер: 8.7.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

S(t ) = м с2 ?

1 4 1 2 1 t − t + . В какой момент времени ускорение будет равно 11 4 2 8

Ответы: 1). 3 2). 5 3). 4 4). 1 5). 2 Номер: 8.8.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

S(t ) =

1 4 t − 3t 2 + 6 . В какой момент времени ускорение будет равно 10 12

м с2 ?

Ответы: 1). 5 2). 4 3). 7 4). 3 5). 6 Номер: 8.9.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону: S(t ) = t 4 + 2 t 2 + 7 . В какой момент времени ускорение будет равно 16 м с 2 ? Ответы: 1). 2 2). 6 3). 5 4). 1 5). 3 Номер: 8.10.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

3t 2 S(t ) = t − − 4 t . В какой момент времени ускорение будет равно 9 м с 2 ?

2 Ответы: 1). 5 2). 3 3). 8 4). 7 5). 1 4

Номер: 8.11.А Задача: Составьте уравнение касательной к графику функции y = 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 6 в точке с абсциссой x = −1 . Ответы: 1). y = 8 − x 2). y = x + 8 3). y = x − 8 4). y = 8x + 1 5). y = 8x − 1 Номер: 8.12.А Задача: Составьте уравнение касательной к y = −3x 3 + 2 x 2 − 3x − 22 в точке с абсциссой x = 2 .

56

графику

функции

Ответы: 1). y = 31x − 18 2). y = 18 − 31x 3). y = 18 x − 31 4). y = −18x − 31 5). y = 31 − 18x Номер: 8.13.А Задача: Составьте уравнение касательной к графику y = −2 x 3 + 5x 2 + 8 в точке с абсциссой x = 2 . Ответы: 1). y = 20 x − 4 2). y = 20x + 4 3). y = −4 x − 20 4). y = 20 − 4 x 5). y = 4x + 20 Номер: 8.14.А Задача: Составьте уравнение касательной к графику y = 2 x 3 − 3x 2 + 3x + 12 в точке с абсциссой x = 2 . Ответы: 1). y = 8 x + 15 2). y = 8x − 15 3). y = −8 x − 15 4). y = −15x − 8 5). y = 15x − 8 Номер: 8.15.А Задача: Составьте уравнение касательной к графику y = 3x 3 + 4 x 2 − 6x − 18 в точке с абсциссой x = −2 . Ответы: 1). y = 14 x + 14 2). y = 14x − 14 3). y = 12 x − 6 4). y = 12 x + 6 5). y = 6 − 12x

функции

функции

функции

Номер: 8.16.С Задача: Уравнение касательной, проведенной к графику кривой, заданной уравнением 2 y ⋅ ln y = x в точке (0;1) , имеет вид Ответы: 1). y = 5). y =

x 2

1 1 x + 1 2). y = 2x + 1 3). y = 1 − x 4). y = 1 − 2 x 2 2

Номер: 8.17.В Задача: Уравнение касательной к линии y = arccos 3x в точке ее пересечения с осью ординат имеет вид Ответы: 1). 2 x − 6 y − 3π = 0 2). 2x − 6 y + 3π = 0 3). 2 x + 6 y + 3π = 0 4). 6 x − 2 y − π = 0 5). 6x + 2 y − π = 0 Номер: 8.18.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = x + 1 перпендикулярна прямой − 2 x − y + 1 = 0 , то точка касания имеет координаты:

57

⎛1 ⎝4

Ответы: 1). ⎜ ; −

15 ⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ⎟ 2). ⎜ ; ⎟ 3). ⎜ − ; − ⎟ 4). ⎜ ; ⎟ 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠

⎛1 3⎞ ⎝ 2 4⎠

5). ⎜ ; ⎟ Номер: 8.19.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = 2 x + 2 перпендикулярна прямой x − 4 y + 1 = 0 , то точка касания имеет координаты:

⎛ 1 18 ⎞ ⎟ 3). (1; 4 ) 4). (− 1; − 4 ) 5). (1; − 4) 4 8 ⎝ ⎠

Ответы: 1). (− 1; 4 ) 2). ⎜ ;

Номер: 8.20.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = x − 1 перпендикулярна прямой 2 x − y + 1 = 0 , то точка касания имеет координаты:

⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ; − ⎟ 2). ⎜ ; ⎟ 3). ⎜ − ; ⎟ 4). ⎜ ; ⎟ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠

Ответы: 1). ⎜ −

⎛1 3⎞ ⎝ 2 4⎠

5). ⎜ ; ⎟ Номер: 8.21.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = x − 1 перпендикулярна прямой − 2 x − y + 1 = 0 , то точка касания имеет координаты:

⎛1 ⎝4

Ответы: 1). ⎜ ; −

15 ⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ⎟ 2). ⎜ ; ⎟ 3). ⎜ − ; ⎟ 4). ⎜ ; ⎟ 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠

⎛1 3⎞ ⎝ 2 4⎠

5). ⎜ ; ⎟ Номер: 8.22.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = − x + 2 перпендикулярна прямой x − y + 1 = 0 , то точка касания имеет координаты:

⎛1 7⎞ ⎛1 3⎞ ⎛ 1 7⎞ ⎛ 1 7⎞ ; − ⎟ 2). ⎜ ; ⎟ 3). ⎜ − ; ⎟ 4). ⎜ ; − ⎟ ⎝ 2 4⎠ ⎝ 2 4⎠ ⎝2 4⎠ ⎝ 2 4⎠

Ответы: 1). ⎜ −

⎛1 3⎞ ⎝ 2 4⎠

5). ⎜ ; ⎟

58

Номер: 8.23.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = x − 1 перпендикулярна прямой 2 x − y − 5 = 0 , то точка касания имеет координаты:

⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ; − ⎟ 2). ⎜ ; ⎟ 3). ⎜ − ; − ⎟ 4). ⎜ ; ⎟ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠

Ответы: 1). ⎜ −

⎛1 3⎞ ⎝ 2 4⎠

5). ⎜ ; ⎟ Номер: 8.24.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = − x − 1 перпендикулярна прямой 2 x − y + 1 = 0 , то точка касания имеет координаты:

⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 17 ⎞ ; ⎟ 2). ⎜ ; ⎟ 3). ⎜ − ; − ⎟ 4). ⎜ ; − ⎟ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠ ⎝ 4 16 ⎠

Ответы: 1). ⎜ −

⎛1 3⎞ ⎝ 2 4⎠

5). ⎜ ; ⎟ Номер: 8.25.В 2 Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = 2 x − 1 перпендикулярна прямой x − y + 1 = 0 , то точка касания имеет координаты:

⎛1 7⎞ ⎛ 1 7⎞ ⎛ 1 7⎞ ; ⎟ 2). ⎜ ; ⎟ 3). ⎜ − ; − ⎟ 4). (4; 31) ⎝4 8⎠ ⎝ 4 8⎠ ⎝ 4 8⎠

Ответы: 1). ⎜ −

⎛1 ⎝2

5). ⎜ ; −

1⎞ ⎟ 2⎠

Номер: 8.26.В Задача: Если касательная к графику функции y = (x − 5)(x − 2 ) перпендикулярна прямой x + 3y + 1 = 0 , то абсцисса точки ее пересечения с осью OX равна Ответы: 1). 2 2). − 4 3). 5 4). − 5 5). 4 Номер: 8.27.В 2 3 Задача: Если касательная к линии y = 2 x перпендикулярна прямой 4 x − 3y + 2 = 0 , то сумма координат точки касания равна… Ответы: 1). 0 2).

1 3 1 1 3). − 4).

5).

16 8 16 16

59

Номер: 8.28.В 3 2 Задача: Уравнение касательной к линии y = x + 3x − 5 и перпендикулярной прямой 2 x − 6 y + 1 = 0 имеет вид… Ответы: 1). y = −3x + 6 2). y = 3x − 6 3). y = −3x − 6 4). y =

1 1 x + 6 5). y = − x − 6 3 3

Номер: 8.29.В 3 Задача: Сумма ординат точек кривой y = x + x − 2 , в которых касательные к этой кривой параллельны прямой y = 4 x − 1, равна… Ответы: 1). − 1 2). 0 3). − 3 4). 3 5). − 4 Номер: 8.30.С Задача: Пусть x 0 ∈ (− 2; 4 ) . Если касательная к графику функции

2 , проведенная в точке с абсциссой x 0 , параллельна отрезку, соx+5 единяющему точки (− 2; f (− 2 )) , (4; f (4 )) , то x 0 равно… f (x ) =

Ответы: 1). − 5 + 3 3 2). − 5 + 4 3 3). −

3 4). − 5 + 2 3 5). 3

Номер: 8.31.С Задача: Если касательная к графику функции f (x ) = −

1 , проведенx+4

ная в точке с абсциссой x 0 ∈ (− 2; 4 ) , параллельна отрезку, соединяющему

точки (− 2; f (− 2 )) , (4; f (4 )) , то x 0 равно… Ответы: 1). 0 2).

2 3). 1 + 2 4). 1 − 2 5). 2 Номер: 8.32.С

Задача: Если касательная к графику функции f (x ) =

2 , проведенная 2−x

в точке с абсциссой x 0 ∈ (− 4; 0 ) , параллельна отрезку, соединяющему точки

(− 4; f (− 4)) , (0; f (0)) , то x 0 равно…

Ответы: 1). 2 − 3 3 2). 3 − 2 3 3). 2 − 2 3 4). 1 − 2 3 5). 3 − 3 3

60

Номер: 8.33.С Задача: Пусть x 0 ∈ (− 3; − 1) . Если касательная к графику функции

2 , проведенная в точке с абсциссой x 0 , параллельна отрезку, со1− x единяющему точки (− 3; f (− 3)) , (− 1; f (− 1)) , то x 0 равно f (x ) =

Ответы: 1). 4 − 4 2 2). 2 − 3 2 3). −

2 4). 1 − 2 2 5). − 2 2

Номер: 8.34.С Задача: Пусть x 0 ∈ (− 1;1) . Если касательная к графику функции

5 , проведенная в точке с абсциссой x 0 , параллельна отрезку, соx+2 единяющему точки (− 1; f (− 1)) , (1; f (1)) , то x 0 равно… f (x ) = −

Ответы: 1). 1 −

3 2). 2 − 3 3). − 2 + 3 4). 0 5). 3 − 2 3

Номер: 8.35.С Задача: Пусть x 0 ∈ (− 4; 0 ) . Если касательная к графику функции

5 , проведенная в точке с абсциссой x 0 , параллельна отрезку, со2−x единяющему точки (− 4; f (− 4 )) , (0; f (0 )) , то x 0 равно… f (x ) =

Ответы: 1). 2 − 3 3 2). 1 − 2 3 3). −

3 4). − 2 3

5). 2 − 2 3 Номер: 8.36.С Задача: Пусть x 0 ∈ (− 2; 2 ) . Если касательная к графику функции

3 , проведенная в точке с абсциссой x 0 , параллельна отрезку, со3− x единяющему точки (− 2; f (− 2 )) , (2; f (2 )) , то x 0 равно… f (x ) =

Ответы: 1). − 1 +

5 2). 0 3). 3 − 2 5 4). − 2 + 2 5 5). 3 − 5

Номер: 8.37.С Задача: Пусть x 0 ∈ (− 1; 2 ) . Если касательная к графику функции

4 , проведенная в точке с абсциссой x 0 , параллельна отрезку, соx+4 единяющему точки (− 1; f (− 1)) , (2; f (2 )) , то x 0 равно… Ответы: 1). 4 − 2 2 2). − 4 + 3 2 3). 0 4). − 3 + 2 2 5). − 2 + 2 2 f (x ) = −

61

Номер: 8.38.С Задача: Пусть x 0 ∈ (− 1; 0 ) . Если касательная к графику функции

2 , проведенная в точке с абсциссой x 0 , параллельна отрезку, со4−x единяющему точки (− 1; f (− 1)) , (0; f (0 )) , то x 0 равно… f (x ) =

Ответы: 1). − 3 +

5 2). 6 − 3 5 3). 4 − 2 5 4). − 5 + 2 5

5). 2 − 5 Номер: 8.39.В Задача: Уравнение нормали к линии y = 1 −

3 6 + в точке с абсциссой x x2

x 0 = 3 имеет вид… Ответы: 1). 27 x + 3 y + 79 = 0 2). 27x − 3y + 79 = 0 3). 27 x − 5 y + 75 = 0 4). 27 x − 3y − 79 = 0 5). 3x − 27 y − 79 = 0 Номер: 8.40.С

Задача: Острый угол пересечения кривых y = (x − 2 ) и y = 4 x − x + 4 в точке с ненулевой абсциссой равен…

2

Ответы: 1). arctg 3 2). − arctg 4 3). arctg

2

15 8 4). 0 5). arctg 18 15

Номер: 8.41.С Задача: Острый угол между касательной к линии y = ln x в точке ее пересечения с осью абсцисс и прямой y = −3x + 5 равен o

o Ответы: 1). arctg 3 2). arctg 2 3). 45 4). 60 5). arctg

1 2

Номер: 8.42.С

1+ t ⎧ = x ⎪⎪ t3 Задача: Уравнение касательной в точке M (2; 2 ) к кривой ⎨ , 3 1 ⎪y = + 2 ⎪⎩ 2t 2t заданной параметрически, имеет вид… Ответы: 1). 7 x − 10 y + 6 = 0 2). 10x + 7 y + 6 = 0 3). 10 x − 6 y + 7 = 0 4). 10 x − 7 y + 6 = 0 5). 7 x + 10 y + 6 = 0

62

Задача:

Уравнение

Номер: 8.43.С касательной в точке

M (3; − 1)

к

кривой

⎧⎪x = t 2 − 1 , заданной параметрически, имеет вид… ⎨ 2 ⎪⎩ y = t + t − 3 Ответы: 1). 3x − 4 y − 13 = 0 2). 4x − 3y − 13 = 0 3). 3x − 4 y − 11 = 0 4). 4 x − 3y − 11 = 0 5). 2x − 3y − 9 = 0 Номер: 8.44.С

⎧x = 2 cos t π в точке t = имеет 4 ⎩ y = 4 sin t

Задача: Уравнение касательной к кривой ⎨ вид...

Ответы: 1). 2 x + y + 4 2 = 0 2). 2x + y − 4 2 = 0 3). x + 2 y − 4 2 = 0 4). x − 2 y + 4 2 = 0 5). 3x + 4 y − 4 = 0 Номер: 8.45.С

⎧x = t − sin t π в точке t = имеет y 1 cos t = − 2 ⎩

Задача: Уравнение нормали к кривой ⎨ вид…

Ответы: 1). 2 x + 3 y − π = 0 2). 3x + 2 y − π = 0 3). 3x + 3 y − π = 0 4). x + y − π = 0 5). 2x + 2 y − π = 0

Номер: 8.46.С

⎧⎪x = 2 t + t 2 Задача: Уравнение нормали к кривой ⎨ в точке t = 1 имеет ⎪⎩ y = 2 t − t 2 вид…

Ответы: 1). x − 4 = 0 2). x − 3 = 0 3). x − 2 = 0 4). x − 1 = 0

5). x + 2 = 0

Номер: 8.47.С

⎧x = 3 cos t π в точке t = имеет 6 y = sin t ⎩

Задача: Уравнение нормали к кривой ⎨ вид…

Ответы: 1). x − y − 2 = 0 2). 2x − 3y − 2 = 0 3). 2 x − 2 y − 2 = 0 4). 3x + 2 y − 2 = 0 5). 2x + 3y + 2 = 0

63

Номер: 8.48.С

⎧⎪x = t − t 2 в точке t = 1 имеет виЗадача: Уравнение нормали к кривой ⎨ 3 ⎪⎩ y = t − t д…

Ответы: 1). x + 2 y + 1 = 0 2). x + 2 y = 0 3). x − 2 y + 2 = 0 4). x + 3y = 0 5). x + 3y − 1 = 0 Номер: 8.49.С

⎧x = t ⋅ cos t π в точке t = имеет = ⋅ y t sin t 2 ⎩

Задача: Уравнение нормали к кривой ⎨ вид…

Ответы: 1). πx − 2 y + π = 0 2). πx − 2 y = 0 3). πx − 3 y + π = 0 4). πx − y + π = 0 5). πx + 2 y + 2π = 0 Номер: 8.50.С

⎧⎪x = cos 3 t π Задача: Уравнение нормали к кривой ⎨ в точке t = имеет 4 ⎪⎩ y = sin 3 t вид…

Ответы: 1). 2 y − x = 0 2). x − y + 1 = 0 3). x − 2 y − 1 = 0 4). y − x = 0 5). y − x − 1 = 0

64

9. Основные теоремы дифференциального исчисления Номер: 9.1.С 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = 3x + 2 x условиям теоремы

Ферма на отрезке [0;1] ? Если да, то указать x 0 .

Ответы: 1). Да, x 0 = 1 2 2). Нет 3). Да, x 0 = 1 4 4). Да, x 0 = 1 6

5). Да, x 0 = 1 8

Номер: 9.2.С 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = −7 x + 28 условиям теоремы

Ферма на отрезке [− 4; − 2]? Если да, то указать x 0 .

Ответы: 1). Да, x 0 = −2 2). Да, x 0 = −3 3). Да, x 0 = −2,5

4). Да, x 0 = −1 5). Нет

Номер: 9.3.С Задача: Удовлетворяет ли функция y = x ⋅ ln x условиям теоремы Ферма

на отрезке (0;1)? Если да, то указать x 0 .

Ответы: 1). Нет 2). Да, x 0 = 1 e 3). Да, x 0 = 1 e

5). Да, x 0 = 1 2e

2

4). Да, x 0 = 2 e

Номер: 9.4.С 2 4 Задача: Удовлетворяет ли функция y = 8 + 2 x − x условиям теоремы

Ферма на отрезке (− 1,5; 0,5) ? Если да, то указать x 0 .

Ответы: 1). Да, x 01 = −1, x 02 = 0 2). Нет 3). Да, x 0 = −1

4). Да, x 01 = 1 4 , x 02 = − 1 4 5). Да, x 0 = 0

Номер: 9.5.С 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = 3 − x условиям теоремы Ферма

на отрезке [1; 4]? Если да, то указать x 0 .

Ответы: 1). Нет 2). Да, x 0 = 2 3). Да, x 0 = 3 4). Да, x 0 = 1,5

5). Да, x 0 = 2,5

Номер: 9.6.С 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = x + 6 x − 35 условиям теоремы

Ролля на отрезке [− 5; − 1]? Если да, то указать c . Ответы: 1). Нет 2). Да, c = −3 3). Да, c = −2 4). Да, c = −4 65

5). Да, c = −2,5 Номер: 9.7.С 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = x − 3x + 5 условиям теоремы

Ролля на отрезке [1; 2]? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Да, c = 3 2 2). Нет 3). Да, c = 5 4 4). Да, c = 6 5 5). Да, c = 2 Номер: 9.8.С 3 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = x − x − x + 1 условиям теоре-

мы Ролля на отрезке [− 1;1]? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, c = 0 3). Да, c = − 1 2 4). Да, c = 1 2 5). Да, c = − 1 3 Номер: 9.9.С 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = − x + 4 x − 3 условиям теоремы

Ролля на отрезке [0; 4] ? Если да, то указать c . Ответы: 1). Да, c = 1 2). Да, c = 2 3). Нет 4). Да, c = 3 5). Да, c = 2,5

Номер: 9.10.С Задача: Удовлетворяет ли функция y = cos x условиям теоремы Ролля на

⎡ π 3π ⎤

отрезке ⎢ ; ⎥ ? Если да, то указать c . ⎣2 2 ⎦ Ответы: 1). Да, c = 5). Да, c =

2π 3

3π 4π 2). Нет 3). Да, c = π 4). Да, c = 4 3

Номер: 9.11.С 2 Задача: Удовлетворяет ли функция y = 2 x − x условиям теоремы Ла-

гранжа на отрезке [0;1] ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Да, c = 3 4 2). Да, c = 1 4 3). Да, c = 1 2 4). Нет 5). Да, c = 4 5 Номер: 9.12.С Задача: Удовлетворяет ли функция y = x условиям теоремы Лагранжа

на отрезке [1; 4]? Если да, то указать c .

66

Ответы: 1). Да, c = 2 2). Да, c = 3 3). Да, c = 5 2 4). Да, c = 9 4 5). Нет Номер: 9.13.С Задача: Удовлетворяет ли функция y = ln x условиям теоремы Лагранжа

на отрезке [1; e]? Если да, то указать c . Ответы: 1). Нет 2). Да, c = 5). Да, c =

3e 4

2e e 3). Да, c = e − 1 4). Да, c = 3 2

Номер: 9.14.С 3 Задача: Удовлетворяет ли функция y = x условиям теоремы Лагранжа

на отрезке [− 3; 0] ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, c = −2 3). Да, c = −1 4). Да, c = − 3 5). Да, c = − 5 2 Номер: 9.15.С Задача: Удовлетворяет ли функция y = ln x условиям теоремы Лагранжа

[ ] 2

на отрезке e; e ? Если да, то указать c .

e2 2 2 Ответы: 1). Нет 2). Да, c = 3). Да, c = e − e 4). Да, c = e − 1 2 5). Да, c = e + 1 Номер: 9.16.С 3 2 Задача: Удовлетворяют ли функции f (x ) = x и g (x ) = x условиям

теоремы Коши на отрезке [1; 2]? Если да, то указать c . Ответы: 1). Нет 2). Да, c =

3 4 5 14 3). Да, c = 4). Да, c = 5). Да, c = 2 3 4 9 Номер: 9.17.С ли функции

f (x ) = x 2 − 2 x + 3 и g(x ) = x 3 − 7 x 2 + 20 x − 5 условиям теоремы Коши на отрезке [1; 4]? Если да, то указать c . Ответы: 1). Нет 2). Да, c = 2 3). Да, c = 3 4). Да, c = 5 2 5). Да, c = 5 3 Задача:

Удовлетворяют

67

Номер: 9.18.С 3 2 Задача: Удовлетворяют ли функции f (x ) = x + 1 и g (x ) = x + 5 усло-

виям теоремы Коши на отрезке [0; 3] ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, c = 1 3). Да, c = 2 4). Да, c =

3 2 5). Да, c = 2 3

Номер: 9.19.С Задача: Удовлетворяют ли функции f (x ) = sin x и g (x ) = cos x услови-

ям теоремы Коши на отрезке [0; π 2] ? Если да, то указать c . Ответы: 1). Нет 2). Да, c =

π π π π 3). Да, c = 4). Да, c = 5). Да, c = 3 6 4 9

Номер: 9.20.С Задача: Удовлетворяют ли функции f (x ) = x + 9 и g (x ) =

x услови-

ям теоремы Коши на отрезке [0;16]? Если да, то указать c . Ответы: 1). Да, c = 4 2). Нет 3). Да, c = 3 4). Да, c = 6 5). Да, c = 2

68

10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя Номер: 10.1.А

ex −1 Задача: Вычислить предел функции lim . x →0 sin x Ответы: 1). 1 2). 1 2 3). − 1 4). − 1 2 5). 2 Номер: 10.2.А

x − sin x . x →0 x − tg x Ответы: 1). 1 2 2). 1 3). − 1 2 4). − 1 5). 2 Задача: Вычислить предел функции lim

Номер: 10.3.А

e αx − cos αx Задача: Вычислить предел функции lim βx . x →0 e − cos β x cos α α −β 2). α β 3).

4). β α 5). − α β Ответы: 1). e cos β Номер: 10.4.А

e x − e − x − 2x Задача: Вычислить предел функции lim . x →0 x − sin x Ответы: 1). 1 2). − 2 3). − 1 4). 2 5). 1 2 Номер: 10.5.А

ln sin 2 x . x →0 ln sin x Ответы: 1). − 1 2). 2 3). − 2 4). 1 2 5). 1

Задача: Вычислить предел функции lim

Номер: 10.6.А

ex − x3 6 − x 2 2 − x −1 . Задача: Вычислить предел функции lim x →0 cos x + x 2 2 − 1 Ответы: 1). 1 2). − 2 3). − 1 4). 1 2 5). 2 Номер: 10.7.А

ln x . x →0 ln sin x Ответы: 1). 2 2). 1 3). − 1 4). 1 2 5). − 1 2

Задача: Вычислить предел функции lim

69

Номер: 10.8.А

x −3 a . Задача: Вычислить предел функции lim x →a x − a 2 3 3 3 2 2).

3).

4).

5). Ответы: 1).

2⋅ a 3⋅ 6 a 2⋅3 a 2⋅6 a 3⋅ a 3

Номер: 10.9.А

x − sin x .

3 x →0 x Ответы: 1). 0 2). 1 6 3). 1 3 4). − 1 4 5). 4 Задача: Вычислить предел функции lim

Номер: 10.10.А

1 − cos x . x →0 x2 Ответы: 1). 1 2 2). 0 3). 1 4). − 1 4 5). предел не существует

Задача: Вычислить предел функции lim

Номер: 10.11.А

ex −1 Задача: Вычислить предел функции lim . x →0 x Ответы: 1). 1 2). 0 3). ∞ 4). 2 5). − 1 Номер: 10.12.А

x 2 − 1 + ln x Задача: Вычислить предел функции lim . x →1 ex − e 3 1 Ответы: 1).

2). 0 3). 1 4).

5). 2 e e Номер: 10.13.А

x 3 − 3x 2 + 2 Задача: Вычислить предел функции lim 3 . x →1 x − 4 x 2 + 3 Ответы: 1). 3 5 2). 0 3). − 3 7 4). − 1 5). ∞ Номер: 10.14.А

e x + e −x Задача: Вычислить предел функции lim . x →0 ln (1 + x ) Ответы: 1). 1 2). ∞ 3). 0 4). 2 5). − 3

70

Номер: 10.15.А

(

)

2 − e x + e − x cos x Задача: Вычислить предел функции lim .

4 x →0 x Ответы: 1). 1 3 2). 3 3). ∞ 4). − 1 5). предел не существует Номер: 10.16.А

e x − e sin x Задача: Вычислить предел функции lim . x →0 x − sin x Ответы: 1). 1 2). − 1 3). 0 4). 4 5). − 1 2 Номер: 10.17.А

π − arctg x 2 Задача: Вычислить предел функции lim . x →∞ 1 x −1 ln 2 x +1 Ответы: 1). π 2 2). − 1 3). + ∞ 4). 0 5). − π 3 Номер: 10.18.А

1 ⎞ ⎛ ln⎜1 + 2 ⎟ ⎝ x ⎠ . Задача: Вычислить предел функции lim x →∞ π − 2arctg x Ответы: 1). 0 2). 1 3). ∞ 4). − 1 2 5). π Номер: 10.19.А

π − 2arctg x x →∞ e3 x − 1

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1).

2 2). e 3). 0 4). ∞ 5). 1 3

Номер: 10.20.А

ln x . x → +∞ x

Задача: Вычислить предел функции lim

Ответы: 1). 0 2). e 3). − e 4). ∞ 5). предел не существует Номер: 10.21.А

ex Задача: Вычислить предел функции lim 2 . x → +∞ x Ответы: 1). + ∞ 2). 1 3). 0 4). 2 5). 1 3 71

Номер: 10.22.А

ln(x − 1) . x →1 ctg πx

Задача: Вычислить предел функции lim

Ответы: 1). 0 2). π 3). 1 4). ∞ 5). предел не существует Номер: 10.23.А

π tg x 2 . Задача: Вычислить предел функции lim x →1 ln (1 − x ) Ответы: 1). 1 2). 2 3). − 2 4). ∞ 5). 0 Номер: 10.24.А

ax Задача: Вычислить предел функции lim , a = const . x →+∞ x Ответы: 1). + ∞ 2). 0 3). a 4). 1 5). предел не существует Номер: 10.25.А

ln(x − a ) , a = const . x →a ln e x − e a Ответы: 1). 1 2). − 1 3). e 4). ∞ 5). a

Задача: Вычислить предел функции lim

(

)

Номер: 10.26.В Задача: Вычислить предел функции lim x ln x . x →0 +

Ответы: 1). 0 2). 1 3). − 1 4 4). 1 2 5). 1 3 Номер: 10.27.В Задача: Вычислить предел функции lim(arcsin x ⋅ ctg x ) x →0

Ответы: 1). 1 2). 2 3). ∞ 4). 0 5). − 1 Номер: 10.28.А −x Задача: Вычислить предел функции . lim x ⋅ e . x → +∞

Ответы: 1). 1 2). ∞ 3). 0 4). − 1 2 5). предел не существует Номер: 10.29.В Задача: Вычислить предел функции lim(1 − x ) ⋅ tg x →1

Ответы: 1).

2 2). 1 3). − 1 4). 0 5). ∞ π 72

π x.

2

Номер: 10.30.В

1 ⎞ ⎛ 1 − ⎟. x →1⎝ x − 1 ln x ⎠ Ответы: 1). 0 2). 1 3). − 1 2 4). 1 2 5). 3

Задача: Вычислить предел функции lim⎜

Номер: 10.31.В

1 ⎞ ⎛ 2 − ⎟. x →1⎝ x 2 − 1 x − 1⎠ Ответы: 1). − 1 2 2). 0 3). 1 4). − 4 5). 2

Задача: Вычислить предел функции lim⎜

Номер: 10.32.В

1⎞ ⎛ 1 − ⎟. x →0⎝ sin x x⎠

Задача: Вычислить предел функции lim⎜

Ответы: 1). 0 2). 1 3). π 4). π 3 5). предел не существует Номер: 10.33.С x Задача: Вычислить предел функции lim x . x →0 +

Ответы: 1). 1 2). 0 3). + ∞ 4). − 1 8 5). 1 3 Номер: 10.34.С

Задача: Вычислить предел функции lim (tg x )

2 cos x

π x→ 2

Ответы: 1). 1 2). 0 3).

.

π 4). ∞ 5). предел не существует 2 Номер: 10.35.С

Задача: Вычислить предел функции lim(sin x ) . x

x →0

Ответы: 1). 0 2). ∞ 3). 1 4). − 1 9 5). − 1 Номер: 10.36.С

Задача: Вычислить предел функции lim (tg x )

sin 2 x

π x→ 2

Ответы: 1). 1 2). 0 3).

π π 4). − π 5). − 3 2

73

.

Номер: 10.37.С

Задача: Вычислить предел функции lim(1 + x )

ln x

x →0

.

Ответы: 1). 0 2). − e 3). 1 4). − 1 5 5). 1 6 Номер: 10.38.А

ln(1 − 3x ) . x →0 2x Ответы: 1). − 3 2 2). 1 2 3). − 4 4). 0 5). − ∞

Задача: Вычислить предел функции lim

Номер: 10.39.A

tg x . π tg 3x x→

Задача: Вычислить предел функции lim 2

Ответы: 1). 3 2). 0 3). π 4). − π 5). − π 2 Номер: 10.40.В Задача: Вычислить предел функции lim tg x →2

Ответы: 1).

4 2). 0 3). 2 4). − 2 5). 4 π

πx (2 − x ) .

4

Номер: 10.41.С

⎛1⎞ Задача: Вычислить предел функции lim⎜ ⎟ x →0⎝ x ⎠ 1 π 5). Ответы: 1). 1 2). 0 3). π 4). − 2 3

tg x

Номер: 10.42.А

ln x . x→0 ctg x Ответы: 1). 0 2). e 3). − e 4). π 5). ∞ Задача: Вычислить предел функции lim

Номер: 10.43.С

(

Задача: Значение lim x x → +∞

)

1 x x +3

равно … .

Ответы: 1). 3 2). 4 3). 9 4). e 5). e

74

2

.

Номер: 10.44.С

(

x

Задача: Значение lim e + x x →0 −2

Ответы: 1). e 2). e

3). e

)

1 x

2

равно … .

4). e

3

5). 1

Номер: 10.45.С

(

1 sin 2 x

)

Задача: Значение lim cos3x равно … . x →0 −9 2 −3 2 −1 3 −1 3). e 4). e 5). e Ответы: 1). 1 2). e

Номер: 10.46.С 1

Задача: Значение lim(cos 3x ) x 2 равно … . x →0

Ответы: 1). e

−4, 5

−3, 5

2). e

3). e

−1, 5

4). e

−0 , 5

5). 1

Номер: 10.47.С Задача: Значение lim (ctg x ) x → +0

Ответы: 1). e 2). e

−1

1 ln x

равно … .

3). 1 4). e

−2

5). e

−

1 2

Номер: 10.48.С 1

Задача: Значение lim (2 x − 1)1− x равно … . x →1+ 0

Ответы: 1). e

−1 2

2). e

−1

3). e

−2

4). e

12

5). 1

Номер: 10.49.С Задача: Значение lim(cos 2 x ) x →0

Ответы: 1). e

−2 3

2). e

−1 3

1 sin 3 x

3). e

равно … .

−1

4). 1 5). e

Номер: 10.50.В

⎛ x + ln x 10 ⎞ ⎟⎟ равно … . Задача: Значение lim ⎜⎜ x →∞ + 1 x ⎝ ⎠ 1 5). 10 Ответы: 1). 1 2). ∞ 3). 2 4).

2

75

−2

(

Номер: 10.51.В 3

)

ln x − 7 равно … . x →2 x 2 + x − 6 Ответы: 1). 2,4 2). 2,2 3). 2,1 4). 2 5). 1,8

Задача: Значение lim

Номер: 10.52.В

⎛ x 2 − ln x 5 ⎞ ⎟⎟ равно … . Задача: Значение lim ⎜⎜ 2 x →∞ 3 x x + ⎝ ⎠ 2 1 5). Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4).

3 3

76

11. Возрастание и убывание функции

Номер: 11.1.А длину промежутка

Задача:

Найдите y = 20 x − 3x + 2 . Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 3 5). 4 Номер: 11.2.А Задача: Найдите длину промежутка 3 2 y = x − 9 x − 21x + 5 . Ответы: 1). 5 2). 9 3). 7 4). 8 5). 6 3

возрастания

функции

убывания

функции

5

Номер: 11.3.А Задача: Найдите суммарную длину промежутков убывания функции f (x ) = 4x 3 − 18x 2 + 15x . Ответы: 1). 2 2). 4 3). 5 4). 3 5). 6 Номер: 11.4.В Задача: Найдите длину промежутка убывания функции y = Ответы: 1). 0 2). 3 3). 6 4). 9 5). 16 Задача:

Найдите

Номер: 11.5.В длину промежутка

y = x − 16 ln(x − 2) − 32 . Ответы: 1). 6 2). 5 3). 4 4). 3 5). 2

x −2 x.

3

убывания

функции

возрастания

функции

2

Задача:

Найдите

Номер: 11.6.В длину промежутка

2

x + 5 ln(x + 4 ) − 7 .

2 Ответы: 1). 3 2). 4 3). 5 4). 6 5). 2

y=−

Номер: 11.7.В Задача: Найдите длину промежутка убывания функции y = Ответы: 1). 5 2). 8 3). 6 4). 7 5). 4 Задача:

Номер: 11.8.А длину промежутка

Найдите y = − x + 12x + 11. Ответы: 1). 6 2). 4 3). 3 4). 5 5). 7 3

77

3− x .

2 x +7

возрастания

функции

Задача:

(

Пусть

)(

)

Номер: 11.9.В производная функции

f (x )

имеет

вид

Номер: 11.10.В производная функции

f (x )

имеет

вид

f ′(x ) = x 1 − x 3 x 2 − 16 . Вычислить суммарную длину промежутков возрастания функции f (x ) Ответы: 1). 6 2). 9 3). 7 4). 8 5). 10 Задача:

(

Пусть

)(

)

f ′(x ) = x 2 x 2 − 1 x 2 − 3 . Определить количество промежутков возрастания функции f (x ) . Ответы: 1). 5 2). 4 3). 2 4). 3 5). 1 Номер: 11.11.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , не превышающих по модулю 5 и принадлежащих промежутку (или промежуткам) возрастания функции f (x ) = 4 x 3 + 6x 2 − 45x + 15 . Ответы: 1). 2 2). 5 3). 1 4). 3 5). 4 Номер: 11.12.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , не превышающих по модулю 5 и принадлежащих промежутку (или промежуткам) возрастания функции f (x ) = 4 x 3 − 24 x 2 + 45x + 10 . Ответы: 1). − 3 2). − 4 3). − 2 4). − 5 5). − 1 Номер: 11.13.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , принадлежащих промежут3 2 ку (или промежуткам) возрастания функции f (x ) = −4 x − 12 x + 63x − 7 . Ответы: 1). − 2 2). − 5 3). − 3 4). − 6 5). − 4 Номер: 11.14.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , принадлежащих промежут3 2 ку (или промежуткам) возрастания функции f (x ) = −4 x + 30 x − 63x − 9 Ответы: 1). 3 2). 1 3). 2 4). 5 5). 4 Номер: 11.15.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , принадлежащих промежут3 2 ку (или промежуткам) убывания функции f (x ) = 4 x + 18x + 15x − 10 . Ответы: 1). − 3 2). − 5 3). − 2 4). − 6 5). − 4

78

Номер: 11.16.В Задача: Найдите количество целых чисел, принадлежащих промежутку

возрастания функции f (x ) = 6(x − 0,5) − x . Ответы: 1). 5 2). 8 3). 6 4). 9 5). 7 0,5

Номер: 11.17.В Задача: Количество целых значений x , принадлежащих интервалам убы-

54 и находящихся в промежутке [− 5; 5] , равно: x Ответы: 1). 8 2). 9 3). 6 4). 7 5). 5

вания функции f (x ) = −2 x − 3

Номер: 11.18.С Задача: Сумма целых значений x , принадлежащих интервалам убывания

1 и находящихся в промежутке [0; 2π] , равна: cos x Ответы: 1). 15 2). 12 3). 6 4). 11 5). 9

функции f (x ) =

Номер: 11.19.В

x 3 + 16 Задача: Функция y = возрастает на интервале… x Ответы: 1). (− ∞; − 8) 2). (− 6; − 4) 3). (− 1; 0 ) 4). (0; 2 ) 5). (2; ∞ ) Номер: 11.20.В 2

x −1 возрастает на интервале… x2 + 2 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ Ответы: 1). (− ∞; − 6 ) 2). (− 6; − 1) 3). ⎜ − 1; − ⎟ 4). ⎜ − ; 0 ⎟ 5). (1; 5) 2⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠

Задача: Функция y =

Номер: 11.21.В 2

2x возрастает на интервале…

2 x −4 Ответы: 1). (− ∞; − 3) 2). (0;1) 3). (1; 2 ) 4). (3; 5) 5). (6;12)

Задача: Функция y =

Номер: 11.22.В 3

x возрастает на интервале…

4 − x2 Ответы: 1). (− ∞; − 10 ) 2). (− 6; − 4) 3). (− 1; 0 ) 4). (4;10 ) 5). (10; ∞ )

Задача: Функция y =

79

Задача: Функция y =

(x − 1)

Номер: 11.23.С 2

убывает на интервале…

x2 +1

⎛ 1 1⎞ ; ⎟ 4). (2; 5) 5). (6; ∞ ) 2 2⎠ ⎝

Ответы: 1). (− ∞; − 5) 2). (− 4; − 3) 3). ⎜ −

Задача: Функция y =

(x − 1)

Номер: 11.24.С 2

убывает на интервале…

x2

Ответы: 1). (− ∞; − 4 ) 2). (− 4; 0) 3). (0;1) 4). (1; 4 ) 5). (5; ∞ ) Номер: 11.25.С Задача: Функция y = Ответы:

x 3 + 2x 2

убывает на интервале…

(x − 1)2 1). (− ∞; − 5) 2). (− 5; − 2)

3). (0;1) 4). (2; 4 ) 5). (5; ∞ )

Номер: 11.26.С

3 ( x + 1) Задача: Функция y = убывает на интервале…

2 (x − 1) Ответы: 1). (− ∞; − 5) 2). (− 4; − 2) 3). (6; 8) 4). (2; 4 )

(x − 1) (x + 1)3

5). (10; ∞ )

Номер: 11.27.С

2

Задача: Функция y =

возрастает на интервале…

⎛ 1⎞ ⎝ 2⎠

Ответы: 1). (− 4; − 2 ) 2). ⎜ 0; ⎟ 3). (2; 4 ) 4). (4; 6 ) 5). (6; ∞ ) Номер: 11.28.С

(4 − x ) убывает на интервале…

9(2 − x ) 1). (− ∞; − 4 ) 2). (1; 2) 3). (2; 3) 4). (4; 9 ) 5). (10; ∞ ) 3

Задача: Функция y = Ответы:

80

12. Экстремум функции

Номер: 12.1.А Задача: Точкой максимума функции f (x ) = 3,6 x 5 − 36x 3 − 8 является точка x , равная: Ответы: 1). 1 2). 6 3). − 6 4). 0 5). − 1 Задача:

Номер: 12.2.А точку

Найдите

минимума

f (x ) = −8x − 40x − 40x + 24 . Ответы: 1). − 2 2). − 3 3). − 6 4). − 1 5). − 4 5

4

функции

3

Номер: 12.3.А 3 2 Задача: Найдите точку максимума функции y = −2 x + 9 x + 3 . Ответы: 1). 3 2). 1 3). − 1 4). 2 5). 4 Номер: 12.4.А Задача: Определить точку максимума функции f (x ) = x 3 + 3x 2 − 9 x . Ответы: 1). 2 2). − 1 3). 1 4). − 3 5). − 2 Задача:

Номер: 12.5.А точку максимума

Найдите

f (x ) = 2 x + 17,5x + 40x + 15 . Ответы: 1). − 3 2). − 4 3). 2 4). − 1 5). 1 5

4

функции

3

Номер: 12.6.А 4 3 Задача: Точкой минимума функции f (x ) = 2 x + 4 x − 1 является точка x , равная: Ответы: 1). 0 2). − 1 3). − 1,5 4). − 2 5). 1 Номер: 12.7.В Задача: Функция y = 2 − x ⋅ e − x имеет минимум в точке… Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). − 1 5). 3 2

Номер: 12.8.В 3x Задача: Функция y = (x − 1) ⋅ e имеет минимум в точке… Ответы: 1). − 1 2). − 1 2 3). 1 3 4). 2 3 5). 3 2

(

Задача: Функция y = 3 − x 2

)

Номер: 12.9.В ⋅ e x имеет максимум в точке…

81

Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 3 2 5). 4 Номер: 12.10.В Задача: Функция y = x ⋅ e имеет максимум в точке… Ответы: 1). − 2 2). − 1 3). 1 4). 2 5). 4 −1 x

Номер: 12.11.В

x2 − x Задача: Найти max и min функции f (x ) = 2 . x −x+3 2). x = 1 2 − max 3). x = 0 − min , Ответы: 1). x = 1 2 − min x = 1 − max 4). x = 0 − max 5). нет точек max и min Номер: 12.12.А Задача: Найти max и min функции f (x ) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 2 .

2). x = 2 − min 3). x 1 = −1 − min , Ответы: 1). x = 0 − max x 2 = 2 − min , x 3 = 0 − max 4). x 1 = 2 − max , x 2 = 0 − max 5). нет точек экстремума Номер: 12.13.В

Задача: Найти max и min функции f (x ) = (x − 2 ) .

2). x = 2 − min Ответы: 1). x = 2 − max 5

3).

x 1 = 0 − min ,

x 2 = 2 − min 4). x 1 = 1 − max , x 2 = −2 − min 5). нет точек экстремума Номер: 12.14.В

x2 +1 Задача: Найти max и min функции f (x ) = . x Ответы: 1). x 1 = 1 − min , x 2 = −1 − max 2). x = 1 − min 3). x 1 = 0 − min , x 2 = 1 − min 4). x 1 = 0 − max , x 2 = −1 − max 5). нет точек экстремума Номер: 12.15.В

x2 . Задача: Найти max и min функции f (x ) = x−2 Ответы: 1). x = 0 − max , x = 2 − min 2). x = 0 − max , x = 4 − min 3). x = 4 − max 4). x = 2 − max 5). нет точек экстремума

82

Номер: 12.16.В

2 x 3 − 5x 2 + 14 x − 6 . Задача: Найти max и min функции f (x ) = 4x 2 Ответы: 1). x = −3 − max , x = 1 − max , x = 2 − min 2). x = 0 − min , x = 1 − max 3). x = 0 − max , x = 1 − max 4). x = −3 − max 5). нет точек экстремума Номер: 12.17.В

ln x . x Ответы: 1). x = e − max 2). x = e − max , x = 0 − min 3). x = 0 − max 4). x = 1 − min , x = −1 − max 5). нет точек экстремума Задача: Найти max и min функции f (x ) =

Номер: 12.18.В Задача: Найти max и min функции f (x ) = x ⋅ ln x . Ответы:

1).

x=

1 − min e

2).

1 x = − max e

3).

x1 =

1 − min , e

1 x 2 = − − max 4). x = 0 − min , x = 1 − max 5). нет точек экстремума e

Номер: 12.19.A Задача: Найти max и min функции f (x ) = x − ln x . Ответы: 1). x = 1 − min , x = e − max 2). x = 1 − min 3). x = 0 − max 4). x 1 = 1 − max , x 2 = 0 − min 5). нет точек экстремума Номер: 12.20.В

1 + ln x x Ответы: 1). x = 1 − max 2). x = 1 − max , x = 0 − min 3). x = −1 − min , x = 0 − max 4). x = 1 − min 5). нет точек экстремума Задача: Найти max и min функции f (x ) =

Номер: 12.21.В

ex Задача: Найти max и min функции f (x ) = . x Ответы: 1). x = 1 − min 2). x 1 = 1 − min , x 2 = 0 − max 3). x = 0 − min 4). x 1 = 2 − min , x 2 = −2 − min , x 3 = 0 − max 5). нет точек экстремума

83

Номер: 12.22.В 2 1x Задача: Найти max и min функции f (x ) = x ⋅ e .

2). x 1 = 1 2 − min 1). x 1 = 0 − max , x 2 = 1 − min x 1 = −1 − max 4). x = 4 − max 5). нет точек экстремума Ответы:

3).

Номер: 12.23.В x Задача: Найти max и min функции f (x ) = (1 − x ) ⋅ e . Ответы: 1). x = 0 − max 2). x = 0 − max , x = 1 − min 3). x = 2 − min 4). x 1 = 3 − min , x 2 = −3 − max 5). нет точек экстремума Номер: 12.24.А 2 3 Задача: Найти max и min функции f (x ) = 3x − 4 x + 5 . Ответы: 1). x 1 = 0 − min , x 2 = 1 − min 2). x = 1 − min 3). x 1 = 0 − max , x 2 = 2 − min 4). x 1 = 2 − min , x 2 = 3 − max 5). нет точек экстремума Номер: 12.25.В

Задача: Найти max и min функции y = x (x − 1) .

2

1). x 1 = 1 3 − max 2). x 1 = 1 3 − min , x 2 = 1 − max 3). x 1 = 1 3 − max , x 2 = 1 − min 4). x 1 = 0 − max , x 2 = 1 − min 5). нет точек экстремума Ответы:

Номер: 12.26.В

Задача: Найдите точку максимума функции y = (x − 3) ⋅ x − 1 .

2

Ответы: 1).

7 6 2).

3). 1 4). 3 5). 2 5 5

Номер: 12.27.В 2 Задача: Найдите точку минимума функции y = x ⋅ 2 − x . Ответы: 1). 0 2). 1 3).

6 8 4).

5). 2 5 5

Номер: 12.28.В x Задача: Найдите точку максимума функции y = (7 − x ) ⋅ e . Ответы: 1). 2 2). 4 3). 5 4). 1 5). 6

84

Номер: 12.29.В Задача: Найдите точку минимума функции y = x − ln (1 + x ) . Ответы: 1). 3 2). 1 3). 4 4). 0 5). 2 Номер: 12.30.С 3 Задача: Точка максимума функции f (x ) = arccos 4 x − 3x есть… Ответы: 1). − 1 2 2). 0 3). 1 2 4). 1 5). не существует

(

)

Номер: 12.31.С 3 Задача: Точка минимума функции f (x ) = arccos 4 x − 3x есть…

(

Ответы: 1). − 1 2). − 1 2 3). 0 4). 1 2 5). не существует

)

Номер: 12.32.С 4 3 Задача: Точка минимума функции f (x ) = arcsin 6 x + x − 8 есть…

(

Ответы: 1). − π 2 2). − 1 8 3). 0 4). 1 5). не существует

)

Номер: 12.33.С 4 3 Задача: Точка максимума функции f (x ) = arcsin 8 − 6 x + x есть… Ответы: 1). − 1 2). 0 3). 1 8 4). π 2 5). не существует

(

Номер: 12.34.А Задача: Найдите количество точек 7 5 3 y = 15 ⋅ x − 42 ⋅ x + 35 ⋅ x + 1. Ответы: 1). 4 2). 3 3). 2 4). 1 5). 0 Задача:

экстремума

функции

Номер: 12.35.А количество точек

экстремума

функции

Номер: 12.36.В количество точек

экстремума

функции

Найдите y = 3x − 16 x − 3 . Ответы: 1). 4 2). 3 3). 2 4). 1 5). 0 4

3

Задача:

y=

3

)

Найдите 2

4x − 3x + 1 .

3 6x Ответы: 1). 4 2). 3 3). 2 4). 1 5). 0

85

Задача:

y=

3

Найдите

экстремума

функции

экстремума

функции

2

3x − 2 x + 6 .

3 3x Ответы: 1). 3 2). 2 3). 1 4). 0 5). 4 Задача:

y=

Номер: 12.37.В количество точек

3

Найдите

Номер: 12.38.В количество точек

2

5x − 5x + 15 .

3 6x Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 4 5). 0 Номер: 12.39.В

Задача: Найти число точек экстремума функции y = (x − 1) (x − 3) . Ответы: 1). 3 2). 1 3). 4 4). 5 5). 2 2

Задача:

(

Пусть

)(

Номер: 12.40.В производная функции

f (x )

)

2

имеет

вид

f ′(x ) = (x − 1) x 2 − 2 x 2 − 4 . Найдите число точек экстремума функции f (x ) . Ответы: 1). 4 2). 6 3). 5 4). 3 5). 2 2

Номер: 12.41.В 4

Задача: Число точек экстремума функции y = x ⋅ e Ответы: 1). 3 2). 0 3). 1 4). 5 5). 2

−x 2

равно…

Номер: 12.42.В 1x Задача: Число точек экстремума функции y = (x + 2 ) ⋅ e равно… Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 0 5). 5 Номер: 12.43.В 3 −x Задача: Число точек экстремума функции y = x ⋅ e равно… Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 3 5). 4 Номер: 12.44.В 2

Задача: Число точек экстремума функции y = x ⋅ e Ответы: 1). 1 2). 2 3). 4 4). 3 5). 5

86

−x 2

равно…

Номер: 12.45.В

Задача: Число точек экстремума функции y = (1 − x ) ⋅ e Ответы: 1). 2 2). 3 3). 1 4). 0 5). 4

−x 2

равно…

Номер: 12.46.В Задача: Число точек экстремума функции y = − x ⋅ e Ответы: 1). 1 2). 3 3). 0 4). 2 5). 4

3x − x 2

равно…

Номер: 12.47.В −1 Задача: Найдите значение функции f (x ) = 4 x + x в точке минимума. Ответы: 1). 2 2). 4 3). 1 4). 6 5). 3 Номер: 12.48.А 4 3 2 Задача: Найдите значение функции y = x − 4 x + 6 x − 4 x в точке минимума. Ответы: 1). 1 2). 4 3). − 1 4). − 3 5). 2 Номер: 12.49.В 2x Задача: Найдите значение функции y = (2 x + 1)e в точке минимума. Ответы: 1). −

1 2 1 1 1 − − 2).

3).

4).

5). − − 2e e e3 e2 2e 2 Номер: 12.50.В

2 x − 1) ( Задача: Найдите значение функции y =

Ответы: 1). 4 2). 0 3). 1 4). 3 5). 2

x−2

в точке максимума.

Номер: 12.51.В Задача: Найдите значение функции y = x + Ответы: 1). − 1 2). 0 3). − 2 4). 2 5). 1

1 в точке минимума. x

Номер: 12.52.В

10 2 в точках x+ x+2 5 минимума и максимума соответственно, то значение выражения m + 2M равЗадача: Если m и M - значения функции f (x ) =

но:

Ответы: 1). 1,6 2). − 11 3). − 6,4 4). − 1 5). − 1,6

87

Номер: 12.53.В

4 20 в точках x+ 5 x+2 минимума и максимума соответственно, то значение выражения m + 2M равЗадача: Если m и M - значения функции f (x ) =

но:

Ответы: 1). 3,2 2). − 11 3). − 12,8 4). − 1 5). − 3,2

Номер: 12.54.А 3 Задача: Вычислить сумму значений функции f (x ) = x − 3x + 2 в точках экстремума. Ответы: 1). 3 2). 5 3). 4 4). 6 5). 7 Номер: 12.55.С Задача: Если в точке максимума функция дифференцируема, то в этой точке при любом ненулевом приращении аргумента дифференциал функции. Ответы: 1). больше нуля 2). равен нулю 3). меньше нуля 4). может иметь разные знаки 5). не существует Номер: 12.56.С Задача: Если в точке максимума функция дифференцируема, то в этой точке дифференциал функции. Ответы: 1). равен нулю 2). больше нуля 3). меньше нуля 4). не существует 5). может иметь любой знак Номер: 12.57.С Задача: Если в некоторой окрестности точки x 0 функция f (x ) дважды непрерывно дифференцируема, и x 0 является точкой максимума, то…

Ответы: 1). f ′′(x 0 ) = 0 2). f ′′(x 0 ) ≥ 0 3). f ′′(x 0 ) ≤ 0 4). f ′′(x 0 ) ≠ 0 5).

f ′′(x 0 ) не существует

Номер: 12.58.С Задача: Если в некоторой окрестности точки x 0 функция f (x ) дважды непрерывно дифференцируема, и x 0 является точкой минимума, то...

Ответы: 1). f ′′(x 0 ) ≠ 0 2). f ′′(x 0 ) ≥ 0 3). f ′′(x 0 ) ≤ 0 4). f ′′(x 0 ) = 0 5).

f ′′(x 0 ) не существует

Номер: 12.59.С Задача: Если у функции f (x ) в точке x 0 первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал отрицателен, то точка x 0 …

88

Ответы: 1). является точкой максимума 2). является точкой минимума 3). не является точкой экстремума 4). принадлежит интервалу возрастания 5). принадлежит интервалу убывания функции Номер: 12.60.С Задача: Если у функции f (x ) в точке x 0 первый дифференциал равен

нулю, а второй дифференциал при dx ≠ 0 положителен, то точка x 0 . Ответы: 1). является точкой максимума 2). является точкой минимума 3). не является точкой экстремума 4). принадлежит интервалу возрастания 5). принадлежит интервалу убывания Номер: 12.61.С Задача: Если в точке минимума функция дифференцируема, то в этой точке дифференциал функции. Ответы: 1). не существует 2). может иметь любой знак 3). больше нуля 4). меньше нуля 5). равен нулю

89

13. Наименьшее и наибольшее значения функции

Номер: 13.1.А Задача: Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f (x ) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 4 на отрезке [− 2; 2], то значение выражения M + m равно: Ответы: 1). 5 2). 6 3). − 5 4). − 6 5). − 4 Номер: 13.2.А Задача: Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f (x ) = −2 x 3 − 3x 2 + 12 x − 16 на отрезке [− 1; 2], то значение выражения m − 3M равно: Ответы: 1). − 1 2). − 2 3). − 3 4). − 4 5). − 5 Номер: 13.3.А Задача: Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f (x ) = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x − 3 на отрезке [− 2; 2], то значение выражения 2m + M равно: Ответы: 1). − 35 2). − 52 3). 57 4). 59 5). 65 Номер: 13.4.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

25 на отрезке [− 2; 6] , то значение выражения m + 2M равно: x+4 Ответы: 1). 7 2). 27 3). 22,5 4). 26,5 5). 32

y=x+

Номер: 13.5.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

49 на отрезке [3; 8], то значение выражения 2m − M равно: x+2 Ответы: 1). 12,9 2). 42 3). 11,1 4). 10,1 5). 9,8

y=x+

Номер: 13.6.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

y= но:

5 (x + 2) + 15 на отрезке [− 1; 4], то значение выражения M − 3m рав3 x+2 Ответы: 1). − 13

1 1 1 2 2). 5 3). − 21 4). 8 5).

3 3 3 3

90

Номер: 13.7.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

y=

x +1 3 на отрезке [1; 5], то значение выражения m + 6M равно: + 3 x +1 1 1 Ответы: 1). 19 2). 21 3). 17 4). 4 5). 9 2 2

Номер: 13.8.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

y=

x−4 8 + на отрезке [2;10], то значение выражения m + M равно 2 x−4 1 2 7 Ответы: 1).

2). − 3).

4). − 2 5). 3 10 3 10

Номер: 13.9.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

12 на отрезке [4; 9] , то значение выражения 2m − M равно x −3 Ответы: 1). 5 2). 10 3). 4 4). 12 5). 9

y = 3(x − 3) +

Номер: 13.10.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

16 на отрезке [4;11], то значение выражения 4m − M равно x −3 Ответы: 1). 31 2). 12 3). 20 4). 24 5). 36

y=x+

Номер: 13.11.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

36 на отрезке [8;14], то значение выражения 3m − M равно x −5 Ответы: 1). 24 2). 21 3). − 23 4). 26 5). − 18

y = x −5+

Номер: 13.12.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

8 на отрезке [3;10], то значение выражения m + 2M равно x−2 Ответы: 1). 49 2). 36 3). 42 4). 80 5). 54

y = 2x +

91

Номер: 13.13.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

y = 3(x + 3) + но

27 на отрезке [− 2; 7], то значение выражения 2m − M равx+3

Ответы: 1). 2,7 2). 27,3 3). 3,3 4). 4 5). 30

Номер: 13.14.А Задача: Сумма наибольшего и наименьшего f (x ) = x 2 − 4 x − 2 на отрезке [− 1; 3] равна: Ответы: 1). 4 2). 2 3). − 7 4). − 3 5). 5 Номер: 13.15.А Задача: Сумма наибольшего и наименьшего f (x ) = 2 x 2 − 12 x + 2 на отрезке [− 4; 4] равна: Ответы: 1). 66 2). 98 3). − 30 4). 68 5). 30 Номер: 13.16.А Задача: Сумма наибольшего и наименьшего f (x ) = x 2 − 6x − 1 на отрезке [− 4; 4] равна: Ответы: 1). 29 2). 48 3). − 16 4). 33 5). 14 Номер: 13.17.А Задача: Сумма наибольшего и наименьшего f (x ) = x 2 − 4x + 5 на отрезке [− 1; 3] равна: Ответы: 1). 0 2). 9 3). 11 4). 8 5). 12 Задача:

f ( x 1 ) − f (x 2 ) [− 2;1 2]?

значений

функции

значений

функции

значений

функции

значений

функции

Номер: 13.18.А Какому промежутку принадлежит наибольшая разность 5 2 значений функции f (x ) = 4 x + 10 x + 23 на отрезке

Ответы: 1). (1; 2] 2). (2; 40] 3). (40; 80] 4). (80; 90] 5). Ни один из приведенных промежутков не годится Задача:

f ( x 1 ) − f (x 2 ) [− 1; 3 2]?

Номер: 13.19.А Какому промежутку принадлежит наибольшая разность 5 4 значений функции f (x ) = 8x − 10 x + 25 на отрезке

Ответы: 1). (5;10] 2). (10; 20] 3). ( 20 ;30] 4). (30; 40] 5). Ни один из приведенных промежутков не годится 92

Номер: 13.20.А Какому промежутку принадлежит наибольшая разность 5 4 значений функции f (x ) = 8x + 10 x + 21 на отрезке

Задача:

f ( x 1 ) − f (x 2 ) [− 3 2 ;1]?

Ответы: 1). (30;40] 2). ( 20; 30] 3). (10; 20] 4). (5;10] 5). Ни один из приведенных промежутков не годится Номер: 13.21.А Задача: Какому промежутку принадлежит наибольшая разность f (x 1 ) − f (x 2 ) значений функции f (x ) = 2 x 5 − 10 x − 9 на отрезке [− 3 2 ; 2]? Ответы: 1). (15;30] 2). (30; 40] 3). ( 40; 44] 4). (44; 55] 5). Ни один из приведенных промежутков не годится Номер: 13.22.А 3 Задача: Найдите наибольшее значение функции y = 12 x − x на отрезке

[− 3;1]

Ответы: 1). 8 2). 11 3). 10 4). 9 5). 12 Номер: 13.23.А 3 2 Задача: Найдите наибольшее значение функции f (x ) = 2 x − 9 x + 12 x

на отрезке [0; 3] Ответы: 1). 10 2). 8 3). 9 4). 12 5). 14

Номер: 13.24.В

x 2 + 2x Задача: Найдите наименьшее значение функции y = 2 на отx + 2x + 3 резке [− 2; 0] 1 1 1 2 2). 0 3). − 4). − 5). − Ответы: 1).

3 3 2 3 Номер: 13.25.С Задача: Наибольшее значение 4 3 f (x ) = arccos − 24 x + 32 x − 3 равно Ответы: 1). − 1 2 2). 1 2 3). 2π 3 4). π 5). не существует

(

)

функции

Номер: 13.26.С 4 3 Задача: Наименьшее значение функции f (x ) = arccos 24 x + 32 x − 3

(

равно

Ответы: 1). − 1 2 2). 0 3). 1 2 4). π 3 5). не существует 93

)

Номер: 13.27.С Задача: Участок в форме прямоугольника площадью 800 огорожен с трех сторон забором. Найти наименьшую длину забора Ответы: 1). 80 2). 100 3). 90 4). 110 5). 70 Номер: 13.28.С o Задача: Площадь участка в форме параллелограмма с острым углом 30 равна 8. Какое наименьшее значение принимает его периметр? Ответы: 1). 18 2). 20 3). 16 4). 14 5). 22 Номер: 13.29.С Задача: Площадь участка, имеющего форму равнобочной трапеции с остo рым углом 30 , равна 50 . Какое наименьшее значение принимает его периметр? Ответы: 1). 36 2). 32 3). 44 4). 50 5). 40 Номер: 13.30.С Задача: Участок имеет форму прямоугольной трапеции с острым углом 30 o . Периметр трапеции равен 24 . Определить максимально возможную площадь участка. Ответы: 1). 36 2). 40 3). 20 4). 24 5). 32 Номер: 13.31.С Задача: Участок имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь участка равна 12,5 . При каком радиусе полукруга периметр участка является наименьшим? Ответы: 1).

3 2). π+4

5 5 5 3).

4).

5). π π+4 π

3 π+2

Номер: 13.32.С Задача: Площадь трапеции, описанной вокруг окружности, равна 2 . Найти радиус окружности, если известно, что сумма длин боковых сторон и высоты трапеции принимает минимально возможное значение Ответы: 1). 2 3 2). 3 4 3). 5 4 4). 3 2 5). 1 Номер: 13.33.С Задача: Сумма длин боковых сторон и высоты трапеции, описанной около окружности, равна 4. Найти максимально возможное значение площади трапеции Ответы: 1). 3 2). 2,5 3). 2 4). 1,5 5). 3,2

94

Номер: 13.34.С o Задача: Периметр параллелограмма с острым углом 30 равен 4 . Найти максимально возможное значение площади параллелограмма Ответы: 1). 3 4 2). 1 2 3). 1 4). 1 4 5). 1 3 Номер: 13.35.С Задача: В равнобочной трапеции меньшее основание и боковая сторона равны 4 . При какой длине большего основания площадь трапеции окажется наибольшей Ответы: 1). 8 2). 12 3). 9 4). 6 5). 10 Номер: 13.36.С Задача: Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8 . Какое наименьшее значение может принять сумма квадратов длин сторон параллелограмма? Ответы: 1). 42 2). 36 3). 24 4). 32 5). 48

95

14. Точки перегиба графика функции. Асимптоты

Номер: 14.1.В

(

)

3

2

Задача: Число точек перегиба графика функции y = x − 1 равно: Ответы: 1). 1 2). 3 3). 4 4). 0 5). 2 Номер: 14.2.В Задача: Число точек перегиба графика функции y = Ответы: 1). 2 2). 1 3). 0 4). 3 5). 4

3

x 2 − 16 равно:

Номер: 14.3.А 4 2 Задача: Число точек перегиба графика функции y = x − 6 x + 5x равно:

Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 3 5). 4

Номер: 14.4.А 5 4 Задача: Число точек перегиба графика функции y = 3x − 5x + 3x − 2 равно: Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 4 5). 0 Номер: 14.5.В Задача: Число точек перегиба графика функции y = Ответы: 1). 2 2). 3 3). 4 4). 0 5). 1 Задача:

Точка

A(2; 3)

Номер: 14.6.С является точкой

(

)

3 1 x 2 − 5 равно: 125

перегиба

кривой

y = −ax 3 + bx 2 − x , если…

1 1 1 3 5 15 ;b= Ответы: 1). a = ;b= 2). a = 3). a = ; b = 4).

12 2 4 4 16 8 5 1 3 a = 2; b = − 5). a = ; b = 16 4 4 Задача:

Точка

A(2;1)

Номер: 14.7.С является точкой

перегиба

кривой

y = ax 3 + bx 2 − 7 , если… Ответы: 1). a = 1; b = 6

1 3

2). a = − ; b = 4

a = 1; b = 5 5). a = 2; b = −4 96

3). a = −

1 ; b = 3 4).

2

Задача:

Точка

Номер: 14.8.С A(1; − 2 ) является точкой

перегиба

кривой

y = ax 3 + bx 2 + x , если… Ответы: 1). a = 2; b = −1 2). a = 4; b = −6 3). a = 4; b = −2 4).

3 9 2 5 a = ; b = − 5). a = ; b = − 3 3 2 2 Задача:

Точка

Номер: 14.9.С A(− 2; 2) является точкой

y = ax + bx − 4 , если…

1 1 Ответы: 1). a = ; b = 8 4 1 a = 2; b = 3 5). a = ; b = 9 8 3

перегиба

кривой

2

2). a =

9 3 ;b= 8 4

3). a =

3 3 ;b= 2 4

4).

Номер: 14.10.С 3 2 Задача: Точка A(1; 3) является точкой перегиба кривой y = ax + bx , если… Ответы: 1). a = −1,5; b = 4,5 2). a = −1; b = 4 3). a = −2; b = 1 4). a = −1; b = 2 5). a = −1; b = 2,5

Задача:

Уравнение

Номер: 14.11.С наклонной асимптоты

графика

функции

− 2 x 2 + 3x + 1 y= имеет вид… x−2 Ответы: 1). y = −2x − 3 2). y = −2x − 1 3). y = 2 x + 3 4). y = 2x − 1 5). y = −2 x + 3 Задача:

Уравнение

Номер: 14.12.С наклонной асимптоты

2

графика

функции

− 2x + 4x − 3 имеет вид… x −1 Ответы: 1). y = −2 x 2). y = −2x − 2 3). y = −2 x + 2 4). y = 3x + 3 5). y = 3x − 1 y=

97

Задача:

Уравнение

Номер: 14.13.С наклонной асимптоты

графика

функции

2

2 x − 4 x − 11 имеет вид… x−4 Ответы: 1). y = 3x − 1 2). y = 3x + 3 3). y = 2 x + 5 4). y = 2x + 4 5). y = x − 3 y=

Задача:

Уравнение

Номер: 14.14.С наклонной асимптоты

графика

функции

2

− 2x + 6x + 3 имеет вид… x−4 Ответы: 1). y = −3x − 1 2). y = −2x + 1 3). y = −3x − 2 4). y = −3x + 2 5). y = −2 x − 2 y=

Задача:

Уравнение

Номер: 14.15.С наклонной асимптоты

графика

функции

2

4 x + 22 x + 7 имеет вид… x+5 Ответы: 1). y = 3x + 4 2). y = 4x − 1 3). y = 3x + 3 4). y = 4x + 2 5). y = 2 x − 1 y=

Задача:

Уравнение

Номер: 14.16.С наклонной асимптоты

графика

функции

2

x + 3x − 12 имеет вид… x+5 Ответы: 1). y = x − 2 2). y = − x − 1 3). y = x + 1 4). y = − x − 3 5). y = 2 x + 1 y=

Задача:

Уравнение

Номер: 14.17.С наклонной асимптоты

графика

функции

5x 2 − 22 x − 16 y= имеет вид… x −5 Ответы: 1). y = 5x + 1 2). y = 4x − 1 3). y = 5 x + 3 4). y = 4x + 2 5). y = 3x − 1 Задача:

Уравнение

Номер: 14.18.С наклонной асимптоты

5x 2 + 17 x − 7 y= имеет вид x+4 98

графика

функции

Ответы: 1). y = −5x + 2 2). y = 5x − 2 3). y = 5 x − 1 4). y = −5x + 1

5). y = 5x − 3

Задача:

Уравнение

Номер: 14.19.С наклонной асимптоты

− 3x 2 − 5 x − 4 y= имеет вид… x +1 Ответы: 1). y = −2 x − 1 y = −3x − 2 5). y = −2x + 1 Задача:

Уравнение

2). y = −3x + 2

Номер: 14.20.С наклонной асимптоты

2

графика

функции

3). y = −3x − 1

графика

4).

функции

− x − 4x − 5 имеет вид… x+3 Ответы: 1). y = − x − 1 2). y = x − 1 3). y = − x − 2 4). y = − x − 3 5). y = x +1 y=

99

15. Формула Тейлора

Номер: 15.1.В Задача: В разложении функции y = 3 x по формуле Тейлора по степеням

x + 1 коэффициент при (x + 1) равен…

1 1 1 2 1 Ответы: 1).

2). − 3).

4). − 5).

9 9 18 18 9 2

Номер: 15.2.В 5 2 Задача: В разложении многочлена x − 2 x + 1 по формуле Тейлора по

степеням x + 1 коэффициент при (x + 1) равен… Ответы: 1). 6 2). 4 3). 3 4). 10 5). 1 3

Номер: 15.3.В 4 2 Задача: В разложении многочлена x + 4 x − x + 3 по формуле Тейлора

по степеням x − 1 коэффициент при (x − 1) равен… Ответы: 1). 8 2). 6 3). 4 4). 12 5). 24 3

Номер: 15.4.В 6 2 Задача: В разложении многочлена x + 3x − 2 x по формуле Тейлора по

степеням x + 1 коэффициент при (x + 1) равен… Ответы: 1). 20 2). − 20 3). 30 4). − 30 5). 60 3

Номер: 15.5.В Задача: В разложении функции y =

2 по формуле Тейлора по степеням x

x − 4 коэффициент при (x − 4 ) равен…

3 3 3 3 3 Ответы: 1).

2). − 3).

4). − 5).

64 64 128 128 256 2

Номер: 15.6.С Задача: В разложении функции y = x + 2 по формуле Тейлора по сте-

пеням x − 2 коэффициент при (x − 2 ) равен…

2

Ответы: 1).

1 1 1 1 1 2). − 3).

4). − 5).

64 32 32 16 64

100

Номер: 15.7.С Задача: В разложении функции y = 3 6 − x по формуле Тейлора по степеням x + 2 коэффициент при (x + 2 ) равен…

2

Ответы: 1). −

2 1 1 1 1 2).

3).

4). − 5). − 9 144 144 288 288 Номер: 15.8.С

Задача: В разложении функции y =

1 по формуле Тейлора по стеx+4

пеням x + 3 коэффициент при (x + 3) равен…

2

Ответы: 1).

3 3 3 3 3 2). − 3).

4). − 5).

16 4 4 8 8

Номер: 15.9.С Задача: В разложении функции y = log 3 (x + 6 ) по формуле Тейлора по

степеням x + 3 коэффициент при (x + 3) равен…

2

Ответы: 1). −

1 ln 3 1 1 1 2).

3). − 4).

5). − 18 ln 3 9 9 6 6

Номер: 15.10.С Задача: В разложении функции y = log 2 (x − 2 ) по формуле Тейлора по

степеням x − 4 коэффициент при (x − 4 ) равен…

2

Ответы: 1).

1 1 ln 2 1 1 2). − 3).

4). − 5). − 4 4 8 2 8 ln 2

Номер: 15.11.С 2 Задача: В разложении функции y = sin x по формуле Маклорена коэф4

фициент при x равен Ответы: 1).

1 1 1 2 2 2). − 3).

4). − 5).

3 3 3 3 6

Номер: 15.12.С 2 Задача: В разложении функции y = cos x по формуле Маклорена коэф4

фициент при x равен… Ответы: 1).

1 1 1 2 2 2). − 3).

4). − 5).

3 3 3 3 6 101

Номер: 15.13.С Задача: В разложении функции y = x

2

1 + x 3 по формуле Маклорена

8

коэффициент при x равен… Ответы: 1).

1 1 1 1 2). − 3). 0 4). − 5).

8 2 2 8 Номер: 15.14.С 3

Задача: В разложении функции y = x 1 + x

2

по формуле Маклорена

5

коэффициент при x равен… Ответы: 1).

1 1 1 1 2). − 3). 0 4).

5). − 3 3 9 9 Номер: 15.15.С

Задача: В разложении функции y = 3x ⋅ e

x3

по формуле Маклорена ко-

7

эффициент при x равен…

1 3 1 3 2).

3).

4). 3 5).

2 2 4 3

Ответы: 1).

Номер: 15.16.С

x2 Задача: В разложении функции y = cos x 2 по формуле Маклорена 3 8 коэффициент при x равен…

1 1 1 1 Ответы: 1). − 2).

3).

4). − 5). 0 6 6 72 72 Номер: 15.17.С 3 Задача: В разложении функции y = x (1 − cos x ) по формуле Маклорена 8

коэффициент при x равен…

1 1 1 1 2). − 3).

4). − 5). 0 24 24 12 12

Ответы: 1).

Номер: 15.18.С Задача: В разложении функции y = 7

x sin x 3 по формуле Маклорена ко3

эффициент при x равен… Ответы: 1). 0 2).

1 1 1 1 3). − 4).

5). − 6 6 18 18 102

Номер: 15.19.С 2 2 Задача: В разложении функции y = 2 x ⋅ ln 1 + x по формуле Макло-

(

)

6

рена коэффициент при x равен… Ответы: 1). 1 2). − 1 3). 2 4). − 2 5).

1 2

Номер: 15.20.С 2

e x + e −x Задача: В разложении функции y = 2 6 коэффициент при x равен…

1 1 1 1 Ответы: 1).

2). − 3). 0 4).

5). − 6 6 3 3

103

2

по формуле Маклорена