Раздел 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (задачник)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 5 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7 У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 5 «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 159 с. Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 5 «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», предназначенный для оценки знаний студентов. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1.Понятие функции u = f ( M ) нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня.

2. Предел функции u = f ( M ) . Непрерывность.

3. Частные производные первого порядка функции u = f ( M ) .

4. Полный дифференциал первого порядка.

5. Частные производные высших порядков.

6.Дифференциалы высших порядков.

7.Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

8.Дифференцирование функций, заданных неявно.

9.Касательная плоскость, нормаль к поверхности.

10.Производная функции по заданному направлению, градиент функции.

11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

12. Задачи на условный экстремум.

5 51 65 73 81 88 93 101 108 125 145 156

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика. Система нумерации тестовых заданий

1

номер темы

2

порядковый номер

А

сложность

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ) по разделу: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ» 1.Понятие функции u = f ( M ) нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня.

2. Предел функции u = f ( M ) . Непрерывность.

3. Частные производные первого порядка функции u = f ( M ) .

4. Полный дифференциал первого порядка.

5. Частные производные высших порядков.

6.Дифференциалы высших порядков.

7.Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

8.Дифференцирование функций, заданных неявно.

9.Касательная плоскость, нормаль к поверхности.

10.Производная функции по заданному направлению, градиент функции.

11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

12. Задачи на условный экстремум.

4

1. Понятие функции u = f (M ) нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня.

Номер: 1.1.А Задача: Найти область определения функции u =

x 2 + y 2 − 16 y 16

y 4 D 4

x −4

Ответы: 1).

4

x

2). y

y

4

−4

4 4

x

16

−4

3).

4).

y 16

−4

4

x

5).

5

−4

x

Номер: 1.2.А Задача: Найти область определения функции u =

x 2 + y − 16 y 16

y 4 D 4

x −4

Ответы: 1).

4

x

2). y

y

4

−4

4 4

x

16

−4

3).

4).

y 16

−4

4

x

5).

6

−4

x

Номер: 1.3.А Задача. Найти область определения функции u = 4 16 − x − y 2

2

y 16

y 4 D 4

x −4

Ответы: 1).

4

x

2). y

y

4

−4

4 4

x

16

−4

3).

4).

y 16

−4

4

x

5).

7

−4

x

Номер: 1.4.А

(

Задача: Найти область определения функции u = ln y + x − 16 2

)

y 16

y 4 D 4

x −4

Ответы: 1).

4

x

2). y

y

4

−4

4 4

x

16

−4

3).

4).

y 16

−4

4

x

5).

8

−4

x

Номер: 1.5.А Задача: Найти область определения функции u = 8 16 − x − y 2

y 16

y 4 D 4

x −4

Ответы: 1).

4

x

2). y

y

4

−4

4 4

x

16

−4

3).

4).

y 16

−4

4

x

5).

9

−4

x

Номер: 1.6.В Задача: Найти область определения функции u =

x+y 5x 2 + 9 y 2 − 30 x + 18 y + 9 y

y

0 −1

3

0 −1

x

O′

где

Ответы: 1).

3

O′(3;−1)

где

2).

x

O′

O′(3;−1)

y

O′

1

−3

x

где

3).

O′(3;−1) y

y

3

0 −1

4).

O′

где

x

O ′(3;−1)

0

5).

10

x

Номер: 1.7.В Задача: Найти область определения функции u =

5xy − y 5x 2 − 9 y 2 − 30 x − 18y − 9 y

y

0 −1

3

0 −1

x

O′

O′(3;−1)

где

Ответы: 1).

3

где

2).

x

O′

O′(3;−1)

y

O′

1

−3

x

где

3).

O′(3;−1) y

y

3

0 −1

4).

O′

где

x

O ′(3;−1)

0

5).

11

x

Задача:

Номер: 1.8.В область

Найти

(

u = ln 5x 2 + 9 y 2 + 30 x − 18 y + 9

)

определения

функции

y

y

0 −1

3

0 −1

x

O′

O′(3;−1)

где

Ответы: 1).

3

где

2).

x

O′

O′(3;−1)

y

O′

1

−3

x

где

3).

O′(3;−1) y

y

3

0 −1

4).

O′

где

x

O ′(3;−1)

0

5).

12

x

Номер: 1.9.В Задача: Найти область определения функции u = 6 5x − 9 y − 30 x − 18 y − 9 2

2

y

y

3

0 −1

x

O′

где

Ответы: 1).

3

0 −1

O′(3;−1)

где

2).

x

O′

O′(3;−1)

y

O′

1

−3

x

где

3).

O′(3;−1) y

y

3

0 −1

4).

O′

где

x

O ′(3;−1)

0

5).

13

x

Номер: 1.10.В Задача: Найти область определения функции u = 3 5x − 9 y − 30 x − 18 y − 9 2

2

y

y

3

0 −1

x

O′

O′(3;−1)

где

Ответы: 1).

3

0 −1

где

2).

x

O′

O′(3;−1)

y

O′

1

−3

x

где

3).

O′(3;−1) y

y

3

0 −1

4).

O′

где

x

O ′(3;−1)

0

5).

14

x

Номер: 1.11.А Задача: Найти область определения функции u = 3 y − 10 x − 2 y − 19 2

y 5

y

0

O′ 1 −2 0

x

где

O′(− 2;1) x

−4

Ответы: 1).

2). y

y 5

где

−4

0 1

5

O′ 1 −2 0

x

− 2 O′

где

3).

O′(− 2;1)

y

−4

0 1

5

x

− 2 O′

5).

где

O′(− 2;1)

15

4).

−4

x

O′(− 2;1)

Номер: 1.12.В

(

Задача: Найти область определения функции u = log 2 y − 10 x − 2 y − 19 2

)

y 5

y

0

O′ 1 −2 0

x

где

O′(− 2;1) x

−4

2).

Ответы: 1). y

y 5

где

−4

0 1

5

O′ 1 −2 0

x

− 2 O′

где

3).

O′(− 2;1)

y

−4

0 1

5

x

− 2 O′

5).

где

O′(− 2;1)

16

4).

−4

x

O′(− 2;1)

Номер: 1.13.В

x 2 + 4xy Задача: Найти область определения функции u = 2 x − 10 y − 2 x − 19 y 5

y

0

O′ 1 −2 0

x

где

O′(− 2;1) x

−4

Ответы: 1).

2). y

y 5

где

−4

0 1

5

O′ 1 −2 0

x

− 2 O′

где

3).

O′(− 2;1)

y

−4

0 1

5

x

− 2 O′

5).

где

O′(− 2;1)

17

4).

−4

x

O′(− 2;1)

Номер: 1.14.В Задача: Найти область определения функции u = 10 10 x + 2 y + 19 − y

2

y 5

y

0

O′ 1 −2 0

x

где

O′(− 2;1) x

−4

Ответы: 1).

2). y

y 5

где

−4

0 1

5

O′ 1 −2 0

x

− 2 O′

где

3).

O′(− 2;1)

y

−4

0 1

5

x

− 2 O′

5).

где

O′(− 2;1)

18

4).

−4

x

O′(− 2;1)

Номер: 1.15.В

(

Задача: Найти область определения функции u = log 5 2 x − 10 y − 2 x − 19 2

y 5

y

0

O′ 1 −2 0

x

где

O′(− 2;1) x

−4

2).

Ответы: 1). y

y 5

где

−4

0 1

5

O′ 1 −2 0

x

− 2 O′

где

3).

O′(− 2;1)

y

−4

0 1

5

x

− 2 O′

5).

где

O′(− 2;1)

19

4).

−4

x

O′(− 2;1)

)

Номер: 1.16.В Задача: Найти область определения функции u = y

y

2

2

0

−3

2xy 4 x 2 + 3y 2 − 8x + 12 y − 32

−2

5

1

0

−3

x

−2

O′

1

5

O′

−6

−6

Ответы: 1).

2). y

1 −2 0 1 −2 O′

x

4

−5

3).

y 4

y

O′ −5

−2 0 1

x

−2

0

4).

5).

20

x

x

Задача:

(

Номер: 1.17.В область определения

Найти

u = log1 2 4 x 2 + 3y 2 − 8x + 12 y − 32

)

y

y

2

2

0

−3

−2

5

1

функции

0

−3

x

−2

O′

1

5

O′

−6

−6

Ответы: 1).

2). y

1 −2 0 1 −2 O′

x

4

−5

3).

y 4

y

O′ −5

−2 0 1

x

−2

0

4).

5).

21

x

x

Номер: 1.18.В Задача: Найти область определения функции u =

4 x 2 − 3y 2 − 8x − 12 y − 32

y

y

2

2

0

−3

4

−2

5

1

0

−3

x

−2

O′

1

5

O′

−6

−6

Ответы: 1).

2). y

1 −2 0 1 −2 O′

x

4

−5

3).

y 4

y

O′ −5

−2 0 1

x

−2

0

4).

5).

22

x

x

Задача:

(

Номер: 1.19.В область определения

Найти

u = log 5 4 y 2 − 3x 2 − 8 y − 12 x − 32

)

y

y

2

2

0

−3

−2

5

1

функции

0

−3

x

−2

O′

1

5

O′

−6

−6

Ответы: 1).

2). y

1 −2 0 1 −2 O′

x

4

−5

3).

y 4

y

O′ −5

−2 0 1

x

−2

0

4).

5).

23

x

x

Номер: 1.20.А Задача: Найти область определения функции u = 5 4 y − 3x − 8 y − 12 x − 32 2

y

y

2

2

0

−3

2

−2

5

1

0

−3

x

−2

O′

1

5

O′

−6

−6

Ответы: 1).

2). y

1 −2 0 1 −2 O′

x

4

−5

3).

y 4

y

O′ −5

−2 0 1

x

−2

0

4).

5).

24

x

x

Номер: 1.21.А Задача: Найти область определения функции u = 5 y − 10 x − 2 y − 19 2

Ответы: 1). (x , y ) ∈ R 3). (x − 1) ≠ 10(y + 2 ) 2

(y − 1)2 > 10(x + 2) 2 4). (y − 1) ≤ 10(x + 2 )

2).

5). (x − 1) > 10(y + 2 ) 2

Номер: 1.22.А

(

Задача: Найти область определения функции u = log 3 5 y − 10 x − 2 y − 19 Ответы: 1). (x , y ) ∈ R 3). (x − 1) ≠ 10(y + 2 ) 2

2

(y − 1)2 > 10(x + 2) 2 4). (y − 1) ≤ 10(x + 2 )

2).

5). (x − 1) > 10(y + 2 ) 2

Номер: 1.23.А Задача: Найти область определения функции u = Ответы: 1). (x , y ) ∈ R 3). (x − 1) ≠ 10(y + 2 ) 2

7x + 4y − 1 x 2 − 10 y − 2 x − 19

(y − 1)2 > 10(x + 2) 2 4). (y − 1) ≤ 10(x + 2 )

2).

5). (x − 1) > 10(y + 2 ) 2

Номер: 1.24.А Задача: Найти область определения функции u = 10 x + 2 y + 19 − y Ответы: 1). (x , y ) ∈ R 3). (x − 1) ≠ 10(y + 2 ) 2

2

(y − 1)2 > 10(x + 2) 2 4). (y − 1) ≤ 10(x + 2 )

2).

5). (x − 1) > 10(y + 2 ) 2

Номер: 1.25.А

(

2

Задача: Найти область определения функции u = log 4 x − 10 y − 2 x − 19

25

)

)

Ответы: 1). (x , y ) ∈ R 3). (x − 1) ≠ 10(y + 2 ) 2

(y − 1)2 > 10(x + 2) 2 4). (y − 1) ≤ 10(x + 2 )

2).

5). (x − 1) > 10(y + 2 ) 2

Номер: 1.26.А Задача: Найти область определения функции u =

x 2 y2 + ≠1 Ответы: 1).

25 9 x 2 y2 − ≥1 4).

25 9

2 xy x 2 y2 + −1 25 9

x 2 y2 2). − ≠1 25 9

x 2 y2 3). + >1 25 9

5). (x , y ) ∈ R

Номер: 1.27.А

x 2 − y3 Задача: Найти область определения функции u = 2 x y2 − −1 25 9 x 2 y2 + ≠1 Ответы: 1).

25 9 x 2 y2 − ≥1 4).

25 9

x 2 y2 2). − ≠1 25 9

x 2 y2 3). + >1 25 9

5). (x , y ) ∈ R

Номер: 1.28.А

⎛ x 2 y2 ⎞ Задача: Найти область определения функции u = log 5 ⎜⎜ + − 1⎟⎟ ⎝ 25 9 ⎠ x 2 y2 + ≠1 Ответы: 1).

25 9 x 2 y2 − ≥1 4).

25 9

x 2 y2 2). − ≠1 25 9 5). (x , y ) ∈ R

26

x 2 y2 3). + >1 25 9

Номер: 1.29.А Задача: Найти область определения функции u =

x 2 y2 Ответы: 1). + ≠1 25 9

4

x 2 y2 2). − ≠1 25 9

x 2 y2 − ≥1 4).

25 9

x 2 y2 − −1 25 9 x 2 y2 3). + >1 25 9

5). (x , y ) ∈ R

Номер: 1.30.А Задача: Найти область определения функции u =

x 2 y2 Ответы: 1). + ≠1 25 9

x 2 y2 2). − ≠1 25 9

x 2 y2 − ≥1 4).

25 9

5). (x , y ) ∈ R

5

x 2 y2 − −1 25 9 x 2 y2 3). + >1 25 9

Номер: 1.31.B

2x 3 + e y Задача: Найти область определения функции u = 4 x 2 + 9 y 2 − 8x − 36 y + 4 y

y 4 2

O′

−2 0 1

4

0

x

Ответы: 1).

2).

27

x

y

y

4 2

4 O′

2

−2 0 1

x

4

−2 0 1

O′(1;2 )

где

3).

O′ x

4

4).

y

O′

0

x

где

5).

Задача:

O ′(1;2 )

Номер: 1.32.B область

Найти

определения

функции

u = 7 104x 2 + 9 y 2 − 8x − 36 y + 4 y

y 4 2

O′

−2 0 1

4

0

x

Ответы: 1).

2).

y

y

4 2

4 O′

2

−2 0 1

3).

x

4

где

x

O′

−2 0 1

O′(1;2 )

4).

28

4

x

y

O′

0

x

где

5).

Задача:

Номер: 1.33.B область

Найти

(

O ′(1;2 )

u = log1 2 4 − 4x 2 − 9 y 2 + 8x + 36 y

)

определения

функции

y

y 4 2

O′

−2 0 1

0

x

4

Ответы: 1).

2).

y

y

4 2

4 O′

2

−2 0 1

3).

x

4

где

O′(1;2 )

0

O′

−2 0 1

4).

y

5).

x

O′ x

где

O ′(1;2 ) 29

4

x

Задача:

Номер: 1.34.B область

Найти

(

u = 4x 2 − 9 y 2 − 8x + 36 y + 4

)

16

определения

функции

+ 2 xy y

y 4 2

O′

−2 0 1

0

x

4

Ответы: 1).

2).

y

y

4 2

4 O′

2

−2 0 1

3).

x

4

где

O′(1;2 )

0

O′

−2 0 1

4).

y

5).

x

O′ x

где

O ′(1;2 )

30

4

x

Задача:

Номер: 1.35.B область

Найти

(

)

определения

функции

u = log 5 4 x 2 − 9 y 2 − 8x + 36 y − 68 + x 2 − y 3 y

y 4 2

O′

−2 0 1

0

x

4

Ответы: 1).

2).

y

y

4 2

4 O′

2

−2 0 1

3).

x

4

где

O′(1;2 )

0

O′

−2 0 1

4).

y

5).

x

O′ x

где

O ′(1;2 )

31

4

x

Номер: 1.36.С

⎛ 8x ⎞ ⎟ 2 ⎟ y ⎝ ⎠

Задача: Найти область определения функции u = arcsin⎜⎜

y

y x

x

Ответы: 1).

2).

y

y x

x

4).

3).

y

x

5).

32

Номер: 1.37.С

⎛ 8y ⎞ ⎟ ⎝ x2 ⎠

Задача: Найти область определения функции u = arccos⎜

y

y x

x

Ответы: 1).

2).

y y x

x

4).

3).

y

x

5).

33

Номер: 1.38.С Задача: Найти область определения функции u =

8x − y 2 + 4 y 2 + 8x

y

y x

x

2).

Ответы: 1).

y

y x

x

4).

3).

y

x

5).

34

Задача:

(

Найти

)

Номер: 1.39.С область определения

(

u = log 5 8 y − x 2 + log 2 x 2 + 8 y y

)

функции

y x

x

2).

Ответы: 1).

y y x

x

4).

3).

y

x

5).

35

Номер: 1.40.С Задача: Найти область определения функции u =

4x + 1 4

8x − y

2

(

+ log 2 − 8x − y 2

y

y x

x

Ответы: 1).

2).

y

y x

x

4).

3).

y

x

5).

36

)

Номер: 1.41.C Задача: Найти область определения функции u =

−2

x 2 + 2x + y 2 x 2 − 2x + y 2

y

y

1

1

0

x

2

−2

0

2

−2

−2

2).

Ответы: 1). y

2

−2

−2

−4

1

2

4

x

−2

3). y

y 2

−2

1 −4

−2

x 0 −2

−2

4).

5).

37

2

x

x

Номер: 1.42.C Задача: Найти область определения функции u =

−2

4

x 2 − 2x + y 2 x 2 + 2x + y 2

y

y

1

1

0

x

2

−2

0

−2

2

−2

2).

Ответы: 1). y

2

−2

−2

−4

1

2

4

x

−2

3). y

y 2

−2

1 −4

−2

x 0 −2

−2

4).

5).

38

2

x

x

Номер: 1.43.C Задача: Найти область определения функции u = 6

−2

x 2 + 4x + y 2 x 2 − 4x + y 2

y

y

1

1

0

x

2

−2

0

2

−2

−2

2).

Ответы: 1). y

2

−2

−2

−4

1

2

4

x

−2

3). y

y 2

−2

1 −4

−2

x 0 −2

−2

4).

5).

39

2

x

x

Номер: 1.44.C Задача: Найти область определения функции u = 5

−2

x 2 − 4x + y 2 x 2 + 4x + y 2

y

y

1

1

0

x

2

−2

0

−2

2

−2

2).

Ответы: 1). y

2

−2

−2

−4

1

2

4

x

−2

3). y

y 2

−2

1 −4

−2

x 0 −2

−2

4).

5).

40

2

x

x

Номер: 1.45.C Задача: Найти область определения функции u = 7

−2

x 2 + 4x + y 2 x 2 − 2x + y 2

y

y

1

1

0

x

2

−2

0

2

−2

−2

2).

Ответы: 1). y

2

−2

−2

−4

1

2

4

x

−2

3). y

y 2

−2

1 −4

−2

x 0 −2

−2

4).

5).

41

2

x

x

Номер: 1.46.C

y 2 + 6y + x 2 y 2 − 6y + x 2

Задача: Найти область определения функции u = y 6

3

−3

x

3 −3

−6

Ответы: 1). y 6

3

y 6

−3

3

x 3

−3

−3 −6

3).

2).

42

3

6

x

y 6

3

y 6

−3

x

3

3 −3

−3

3

−6

4).

5). Номер: 1.47.C

Задача: Найти область определения функции u = 6 y 6

3

−3

3 −3

−6

Ответы: 1).

43

x

y 2 − 6y + x 2 y 2 + 6y + x 2

6

x

y 6

3

y 6

−3

x

3

3 −3

−3

6

3

x

−6

2).

3). y 6

3

y 6

−3

x

3

3 −3

−3 −6

5).

4).

44

3

6

x

Задача:

Найти

(

Номер: 1.48.C область

)

(

u = log 4 − y 2 + 6 y − x 2 + log 5 x 2 − 6 x + y 2

)

определения

функции

y 6

3

−3

x

3 −3

−6

Ответы: 1). y 6

3

y 6

−3

3

x 3

−3

−3 −6

2).

3).

45

3

6

x

y 6

3

y 6

−3

x

3

3 −3

−3

3

6

−6

4).

Задача:

5).

(

Найти

Номер: 1.49.C область

)

(

u = log 2 y 2 − 6 y + x 2 + log 4 y 2 + 6 y + x 2

)

определения

y 6

3

−3

3 −3

−6

Ответы: 1).

46

x

функции

x

y 6

3

y 6

−3

x

3

3 −3

−3

6

3

x

−6

2).

3). y 6

3

y 6

−3

x

3

3 −3

−3 −6

4).

5).

47

3

6

x

Задача:

Номер: 1.50.C область

Найти

определения

функции

u = 4 x 2 − 6x + y 2 + 2 − y 2 + 6 y − x 2 y 6

3

−3

x

3 −3

−6

Ответы: 1). y 6

3

y 6

−3

3

x 3

−3

−3 −6

2).

3).

48

3

6

x

y 6

3

y 6

−3

x

3

3 −3

−3

3

6

−6

4).

5). Номер: 1.51.А

Задача: Область определения функции z = f (x, y ) - это область изменения: Ответы: 1). независимых переменных x и y 2). независимой переменной x

3). независимой переменной y

4). переменной z

5). переменных x , y, z Номер: 1.52.А

Задача: Для табличного способа задания функции двух переменных z = f (x , y )

приходится применять таблицу: Ответы:1). с одним входом 2). с двумя входами

3). с тремя входами

4). функцию z = f (x , y ) табличным способом задать нельзя 5). количество входов не имеет значения. Номер: 1.53.А Задача: Линии уровня функции

z = f (x , y ) получаются при проектировании

линии пересечения поверхности

z = f (x, y ) плоскостями параллельными

плоскости: Ответы: 1). z0 x

2). y0z

3). x 0 y 49

x

4). любой из плоскостей x 0 y; y0z; z0x

5). таких линий нет

Номер:1.54.А

Задача: Областью определения функции трех переменных u = f (x, y, z ) служит: Ответы: 1). область изменения переменных x , y 2). область изменения переменных y, z 3). область изменения переменных z, y 4). все пространство аргументов x , y, z 5). такого понятия нет Номер: 1.55.А Задача:

Поверхностью уровня функции

u = u (x , y, z )

называется

такая

поверхность f (x, y, z ) = с , в точках которой данная функция имеет 3). максимальное значение Ответы: 1). u = 0 2). переменное значение u 5). постоянное значение u = с 4). значение u ≠ e

50

2. Предел функции u = f ( M ) . Непрерывность.

Задача:

Исследовать

Номер: 2.1.А функцию u = f (M )

u = xy − x 2 + y 2 − 1 Ответы:

1).функция непрерывна при любых

на

непрерывность:

(x , y ) ∈ R

2).функция

(x, y ) ∈ R , кроме точек параболы y 2 − 4x = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек прямой y + 2 x = 0 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы непрерывна при любых

x 2 − 2y − 4 = 0 Номер: 2.2.А

x 2 − 2y − 4 Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = y 2 − 4x 2).функция Ответы: 1).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R 2 непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы y − 4x = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек прямой y + 2 x = 0 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы x 2 − 2y − 4 = 0 Номер: 2.3.А Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = Ответы:

1).функция непрерывна при любых

(x , y ) ∈ R

3y 2x + y 2).функция

(x, y ) ∈ R , кроме точек параболы y 2 − 4x = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек прямой y + 2 x = 0 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы непрерывна при любых

x 2 − 2y − 4 = 0 Номер: 2.4.А Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = 51

2x + y 5y 2

Ответы:

1).функция непрерывна при любых

(x , y ) ∈ R

2).функция

(x, y ) ∈ R , кроме точек параболы y 2 − 4x = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек прямой y + 2 x = 0 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы непрерывна при любых

x 2 − 2y − 4 = 0 Номер: 2.5.А

y 2 − 4x Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = 2 x − 2y − 4 2).функция Ответы: 1).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R 2 непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы y − 4x = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек прямой y + 2 x = 0 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы x 2 − 2y − 4 = 0 Номер: 2.6.А

x2 − y +1 Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = x2 Ответы: 1).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы x 2 − y + 1 = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек окружности x 2 + y 2 − 4 = 0 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R Номер: 2.7.А

3x 2 Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = 2 x − y +1 Ответы: 1).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы x 2 − y + 1 = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек окружности x 2 + y 2 − 4 = 0 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R 52

Задача:

Исследовать

Номер: 2.8.А функцию u = f (M )

на

непрерывность:

4x 2 + 4 y 2 − 4 u= y2

Ответы: 1).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы

x 2 − y + 1 = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек окружности x 2 + y 2 − 4 = 0 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R Номер: 2.9.А

5y 2 Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = 2 x + y2 − 4 Ответы: 1).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы x 2 − y + 1 = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек окружности x 2 + y 2 − 4 = 0 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R Номер: 2.10.А Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = sin (xy )

Ответы: 1).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек параболы

x 2 − y + 1 = 0 3).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R , кроме точек окружности x 2 + y 2 − 4 = 0 5).функция непрерывна при любых (x , y ) ∈ R

Номер: 2.11.А Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = cos(x + y ) Ответы:

1).функция непрерывна при любых

(x , y ) ∈ R

2).функция

непрерывна при любых (x , y ) : x + y ≥ 1 3).функция непрерывна при любых

(x, y ) ∈ R , кроме точек (x, y ) : x + y = 1 4).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Oy 53

Номер: 2.12.А Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = Ответы:

1).функция непрерывна при любых

(x , y ) ∈ R

x + y −1 2).функция

непрерывна при любых (x , y ) : x + y ≥ 1 3).функция непрерывна при любых

(x, y ) ∈ R , кроме точек (x, y ) : x + y = 1 4).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Oy Номер: 2.13.А

Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = Ответы:

1).функция непрерывна при любых

(x , y ) ∈ R

5x 1− x − y 2).функция

непрерывна при любых (x , y ) : x + y ≥ 1 3).функция непрерывна при любых

(x, y ) ∈ R , кроме точек (x, y ) : x + y = 1 4).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Oy Номер: 2.14.А

Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = Ответы:

1).функция непрерывна при любых

(x , y ) ∈ R

4 − 4x − 4 y y2 2).функция

непрерывна при любых (x , y ) : x + y ≥ 1 3).функция непрерывна при любых

(x, y ) ∈ R , кроме точек (x, y ) : x + y = 1 4).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Oy Номер: 2.15.А

Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = Ответы:

1).функция непрерывна при любых

(x , y ) ∈ R

7y + 7x x 2).функция

непрерывна при любых (x , y ) : x + y ≥ 1 3).функция непрерывна при любых

(x, y ) ∈ R , кроме точек (x, y ) : x + y = 1 4).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых (x, y ) ∈ R , кроме точек оси Oy

54

Задача:

(

Исследовать

u = sin 16x 2 − 9 y 2 − 144

)

Номер: 2.16.А функцию u = f (M )

на

непрерывность:

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( O ′(0;0 ); a = 3; b = 4 )

3).функция непрерывна во всех точках плоскости

Oxy , кроме точек гиперболы ( O′(0;0); a = 4; b = 3 ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром O ′(0;0 ) и полуосями a = 4; b = 3 ) 5).функция непрерывна только в точках (x , y ) , расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 4; b = 3 ) Задача:

u=

Исследовать

Номер: 2.17.А функцию u = f (M )

на

непрерывность:

x 16x 2 − 9 y 2 − 144

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы

( O ′(0;0 ); a = 3; b = 4 )

3).функция непрерывна во всех точках плоскости

Oxy , кроме точек гиперболы ( O′(0;0); a = 4; b = 3 ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром O ′(0;0 ) и полуосями a = 4; b = 3 ) 5).функция непрерывна только в точках (x , y ) , расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 4; b = 3 ) Задача:

u=

Исследовать

Номер: 2.18.А функцию u = f (M )

на

непрерывность:

y 16x 2 + 9 y 2 − 144

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы

( O ′(0;0 ); a = 3; b = 4 )

3).функция непрерывна во всех точках плоскости

Oxy , кроме точек гиперболы ( O′(0;0); a = 4; b = 3 ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром O ′(0;0 ) и полуосями a = 4; b = 3 ) 5).функция 55

(x, y ) , расположенных внутри эллипса ( O′(0;0),

непрерывна только в точках a = 4; b = 3 )

Задача:

(

Номер: 2.19.А функцию u = f (M )

Исследовать

u = log 2 9x 2 + 16 y 2 − 144

)

на

непрерывность:

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( O ′(0;0 ); a = 3; b = 4 )

3).функция непрерывна во всех точках плоскости

Oxy , кроме точек гиперболы ( O′(0;0); a = 4; b = 3 ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром O ′(0;0 ) и полуосями a = 4; b = 3 ) 5).функция непрерывна только в точках (x , y ) , расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 4; b = 3 ) Задача:

(

Номер: 2.20.А функцию u = f (M )

Исследовать

u = log 4 144 − 9x 2 − 16 y 2

)

на

непрерывность:

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы

( O ′(0;0 ); a = 3; b = 4 )

3).функция непрерывна во всех точках плоскости

Oxy , кроме точек гиперболы ( O′(0;0); a = 4; b = 3 ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром O ′(0;0 ) и полуосями a = 4; b = 3 ) 5).функция непрерывна только в точках (x , y ) , расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 4; b = 3 ) Задача:

(

Исследовать

u = cos 16x 2 + 25y 2 − 400 Ответы:

Номер: 2.21.А функцию u = f (M )

)

непрерывность:

(x; y )

плоскости Oxy плоскости Oxy , кроме точек

1).функция непрерывна во всех точках

2).функция непрерывна во всех точках (x; y )

на

эллипса O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 3).функция непрерывна во всех точках (x; y )

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 4).функция непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0 ) и полуосями

a = 5; b = 4 )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) 56

плоскости Oxy , кроме точек, расположенных a = 5; b = 4 )

Задача:

u=

Исследовать

внутри эллипса ( O ′(0;0 ) ,

Номер: 2.22.В функцию u = f (M )

x+y 16x 2 + 25y 2 − 400

Ответы:

непрерывность:

(x; y )

плоскости Oxy плоскости Oxy , кроме точек

1).функция непрерывна во всех точках

2).функция непрерывна во всех точках (x; y )

на

эллипса O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 3).функция непрерывна во всех точках (x; y )

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 4).функция непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0 ) и полуосями

a = 5; b = 4 )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 5; b = 4 ) Задача:

Исследовать

Номер: 2.23.В функцию u = f (M )

x2 u=u= 16 x 2 − 25 y 2 − 400 Ответы:

непрерывность:

(x; y )

плоскости Oxy плоскости Oxy , кроме точек

1).функция непрерывна во всех точках

2).функция непрерывна во всех точках (x; y )

на

эллипса O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 3).функция непрерывна во всех точках (x; y )

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 4).функция непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0 ) и полуосями

a = 5; b = 4 )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 5; b = 4 ) Задача:

Исследовать

Номер: 2.24.В функцию u = f (M )

u = 4 400 − 16 x 2 − 25y 2 Ответы:

непрерывность:

(x; y )

плоскости Oxy плоскости Oxy , кроме точек

1).функция непрерывна во всех точках

2).функция непрерывна во всех точках (x; y )

на

эллипса O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 3).функция непрерывна во всех точках (x; y ) 57

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 4).функция непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0 ) и полуосями

a = 5; b = 4 )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 5; b = 4 ) Задача:

(

Исследовать

Номер: 2.25.В функцию u = f (M )

u = log 5 16 x + 25 y − 400 Ответы:

2

2

)

непрерывность:

(x; y )

плоскости Oxy плоскости Oxy , кроме точек

1).функция непрерывна во всех точках

2).функция непрерывна во всех точках (x; y )

на

эллипса O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 3).функция непрерывна во всех точках (x; y )

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 5; b = 4 4).функция непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0 ) и полуосями

a = 5; b = 4 )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ) , a = 5; b = 4 ) Номер: 2.26.В 2 2 Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: u = x + 9 y − 45 Ответы:

2).функция непрерывна во всех точках (x; y )

(x; y )

плоскости Oxy плоскости Oxy , кроме точек

1).функция непрерывна во всех точках

эллипса O ′(0;0); a = 45; b = 5 3).функция непрерывна во всех точках (x; y )

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0); a = 45; b = 5

4).функция

непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0 ); a = 45; b = 5 ) и внутри

него

5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме

точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0); a = 45; b = 5 )

Задача:

u=

Исследовать

Номер: 2.27.В функцию u = f (M )

на

непрерывность:

4x x 2 + 9 y 2 − 45

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек

эллипса O ′(0;0); a = 45; b = 5 3).функция непрерывна во всех точках (x; y ) 58

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 45; b = 5

4).функция

непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0); a = 45; b = 5 ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ); a = 45; b = 5 )

Задача:

u=

Исследовать

Номер: 2.28.В функцию u = f (M )

на

непрерывность:

4y x 2 − 9 y 2 − 45

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек

эллипса O ′(0;0 ); a = 45; b = 5 3).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0); a = 45; b = 5

4).функция

непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0); a = 45; b = 5 ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ); a = 45; b = 5 )

Номер: 2.29.В Задача: Исследовать функцию u = f (M ) на непрерывность: g Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек эллипса O ′(0;0); a = 45; b = 5 3).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 45; b = 5

4).функция

непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0); a = 45; b = 5 ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0); a = 45; b = 5 )

Задача:

Исследовать

Номер: 2.30.В функцию u = f (M )

на

непрерывность:

u = log 7 ( x 2 + 9 y 2 − 45) Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек

эллипса O ′(0;0); a = 45; b = 5 3).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме точек гиперболы O ′(0;0 ); a = 45; b = 5

4).функция

непрерывна только в точках (x; y ) эллипса ( O ′(0;0); a = 45; b = 5 ) и внутри 59

него

5).функция непрерывна во всех точках (x; y ) плоскости Oxy , кроме

точек, расположенных внутри эллипса ( O ′(0;0 ); a = 45; b = 5 ) Номер: 2.31.С

tg(xy ) x →a y y →0

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1). a 2). 0 3).

1 1 4).1 5). 2 a a Номер: 2.32.С

arcsin(xy ) x →0 y y →a

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1). a 2). 0 3).

1 1 4).1 5). 2 a a Номер: 2.33.С

sin (xy ) х 1

Задача: Вычислить предел функции lim x →0 y→

Ответы: 1). a 2). 0 3).

a

1 1 4).1 5). 2 a a Номер: 2.34.С

⎛ a ⎞ 1 ( x + y ) ⋅ arctg⎜⎜ ⎟⎟ x →∞ a x y + ⎠ ⎝ y →∞

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1). a 2). 0 3).

1 1 4).1 5). 2 a a Номер: 2.35.С

⎛ xy ⎞ sin 2 ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ Задача: Вычислить предел функции lim x →0 (xy )2 y →a Ответы: 1). a 2). 0 3).

1 1 4).1 5). 2 a a

60

Номер: 2.36.С

sin (a (x + y )) x →0 arcsin((x + y )a ) y →0

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1).1 2).

1 3). a 4). 0 5). ∞ a Номер: 2.37.С

Задача: Вычислить предел функции lim x →0 y →a

Ответы: 1).1 2).

(xy ) ⋅ ctg(xy ) a

1 3). a 4). 0 5). ∞ a Номер: 2.38.С

a ⋅ arctg(xy ) x →a xy y →0

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1).1 2).

1 3). a 4). 0 5). ∞ a Номер: 2.39.С

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ xy ⎝ ⎠

Задача: Вычислить предел функции lim (ax ) ⋅ arcsin⎜⎜ x →∞ y →∞

Ответы: 1).1 2).

1 3). a 4). 0 5). ∞ a

Номер: 2.40.С sin (axy) Задача: Вычислить предел функции lim x → 0 (xy )2 + xy y →0

Ответы: 1).1 2).

1 3). a 4). 0 5). ∞ a Номер: 2.41.С

a 1 (xy ) + a 2 (xy ) + a 3 2

Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞ y →∞

Ответы: 1).

a1 b 2). 0 3). ∞ 4).1 5). 1 b1 a1 61

b1 (xy ) + b 2 (xy ) 2

Номер: 2.42.С Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞ y →∞

Ответы: 1).

a 1 (xy ) + a 2

b1 (xy ) + b 2 (xy ) + b 3 2

a1 b 2). 0 3). ∞ 4).1 5). 1 b1 a1 Номер: 2.43.С

a (xy ) + a 2 (xy ) + a 3 Задача: Вычислить предел функции lim 1 x →∞ b1 (xy ) + b 2 y →∞ 2

Ответы: 1).

a1 b 2). 0 3). ∞ 4).1 5). 1 b1 a1 Номер: 2.44.С

⎛b ⎞ xy ⋅ sin ⎜⎜ 1 ⎟⎟ x → a1 b ⎝ xy ⎠ y →∞ 1

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1).

a1 b 2). 0 3). ∞ 4).1 5). 1 b1 a1 Номер: 2.45.С

⎛ b ⎞ x+y ⋅ arctg⎜⎜ 1 ⎟⎟ x →∞ a ⎝x + y⎠ 1 y →∞

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1).

a1 b 2). 0 3). ∞ 4).1 5). 1 b1 a1 Номер: 2.46.С

( ) ( ) ( ) ( ) 2

a1 x 2 y + a 2 x 2 y + a 3 Задача: Вычислить предел функции lim x →∞ b1 x 2 y + b 2 x 2 y y →∞ Ответы: 1).

a1 b2 a 2). 0 3). ∞ 4).

5). 1 b1 a 2 ⋅ b1 b3 Номер: 2.47.С

a 1 (xy ) + a 2 2

Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞ y →a 3

62

b1 (xy ) + b 2 (xy ) + b 3 4

2

Ответы: 1).

a1 b2 a 2). 0 3). ∞ 4).

5). 1 b1 a 2 ⋅ b1 b3 Номер: 2.48.С

a 1 (xy ) + a 2 (xy ) + a 3 6

Задача: Вычислить предел функции lim

b1 (xy ) + b 2 3

x → b3 y →∞

Ответы: 1).

3

a1 b2 a 2). 0 3). ∞ 4).

5). 1 b1 a 2 ⋅ b1 b3 Номер: 2.49.С

xy ⎛ b 2 ⎞ ⎟⎟ ⋅ tg⎜⎜ x →b3 b ⎝ a 2 (xy ) ⎠ 1 y →∞

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1).

a1 b2 a 2). 0 3). ∞ 4).

5). 1 b1 a 2 ⋅ b1 b3 Номер: 2.50.С

Задача: Вычислить предел функции lim

x →∞ y→b2

Ответы: 1).

⎛ a ⎞ x+y arcsin ⎜⎜ 1 ⎟⎟ b3 ⎝x + y⎠

a1 b2 a 2). 0 3). ∞ 4).

5). 1 b1 a 2 ⋅ b1 b3 Номер: 2.51.С

⎛

Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜1 + x →∞ y →∞

Ответы: 1). e 2). e

a

3). a e 4).

⎝

a ⎞ ⎟⎟ x + y⎠

1 5).1 a Номер: 2.52.С

⎛ a ⎞ ⎟⎟ Задача: Вычислить предел функции lim ⎜⎜1 + x →b xy ⎠ y →∞⎝ Ответы: 1). e 2). e

a

3). a e 4).

1 5).1 a 63

xy

x+y a

Номер: 2.53.С Задача: Вычислить предел функции lim(1 + xy ) x →b y →0

Ответы: 1). e 2). e

a

3). a e 4).

1 axy

1 5).1 a Номер: 2.54.С

1 ⋅ ln(1 + xy ) x → 0 axy

Задача: Вычислить предел функции lim

y→b

Ответы: 1). e 2). e

a

3). a e 4).

1 5).1 a Номер: 2.55.С

x⋅y ⎛ b ⎞ ⋅ ln⎜⎜1 + ⎟⎟ x →a b ⎝ xy ⎠ y →∞

Задача: Вычислить предел функции lim Ответы: 1). e 2). e

a

3). a e 4).

1 5).1 a

Номер: 2.56.А Задача: Функция z = f (M ) называется непрерывной в точке M 0 , если она определена в точке M 0 и ее окрестности, и имеет место условие: Ответы: 1). lim f (M ) = 0 2). lim f (M ) = f (M 0 ) 3). lim f (M ) = ∞ M →M 0

M →M 0

M →M 0

4). lim f (M ) = f (M 0 ) 5). lim f (M ) = 0 M →0

M →∞

64

3. Частные производные первого порядка функции u = f ( M ) .

Номер: 3.1.А Задача: Задана функция z = x + y 5 − 3 ⋅ x ⋅ y 2 . Найти z ′x .

6

1). z ′x = 6 x − 3y 5

Ответы:

4). z ′x = 6 x + 5 y − 3y 5

4

2

2). z ′x = 5 y − 6 yx

2

4

5). z ′x = 6 x + 5 y − 6 xy 5

3). z ′x = −3y

2

4

Номер: 3.2.А Задача: Задана функция z = xy + 3x 4 + y 2 . Найти z ′y . Ответы:

1). z ′y = y + y

2). z ′y = y + 12 x

2

3

3). z ′y = x + 2 y

4). z ′y = x + 3x + 2 y 5). z ′y = x + 12 x + 2 y 4

3

Номер: 3.3.А Задача: Задана функция z = −4 yx 2 +

y − 6x . Найти z ′x . x

y y 1 ′ ′ − 6 x 2). z = − 8 yx − − 6 3). = − + z 8 yx x x x x2 x2 y 1 2 5). z ′x = −8 yx + 2 − 6 4). z ′x = −4 x + x x Ответы: 1). z ′x = −8 yx +

Номер: 3.4.А Задача: Задана функция z = 7 x 2 − 9 xy + 17 y 2 . Найти z ′y . Ответы:

1). z ′y = 34 y

2). z ′y = 14 x − 9 x + 34 y

3). z ′y = −9 x + 34 y

4). z ′y = −9 x + 17 y 2 5). z ′y = −9 y + 34 y Номер: 3.5.А

y + y 2 ⋅ x 3 . Найти z ′x . x −1 1 y + 2 y ⋅ x 3 3). z ′x = Ответы: 1). z ′x = y + 3x 2 y 2 2). z ′x = + 3x 2 y 2 2 x −1 (x − 1) y + 3y 2 x 2 5). z ′x = − y + 3x 2 y 2 4). z ′x = − 2 (x − 1)

Задача: Задана функция z =

Номер: 3.6.В Задача: Задана функция z = arctg

x . Найти z ′y . y−2

65

Ответы: 1). z ′y = 4). z ′y =

y−2

( y − 2 )2 − x 2

1

(y − 2 )

2

+ x2

5). z ′y =

Задача: Задана функция z = x 4). z ′x = (2 − y )x

3− y

x

3). z ′y =

(1 + x )(y − 2) 2

−x

( y − 2 )2 + x 2

x

(y − 2)((y − 2)2 + x 2 ) 2− y

Номер: 3.7.В . Найти z ′x .

1− y ⋅ ln x 2). z ′x = (2 − y )x 2− y 5). z ′x = − x ⋅ ln(2 − y )

1). z ′x = − x

Ответы:

2). z ′y =

2− y

(

3). z ′x = x

2− y

⋅ ln x

Номер: 3.8.А

)

cos y 2 + 1 . Найти z ′y . Задача: Задана функция z = x 2 y ⋅ sin y 2 + 1 2 sin y 2 + 1 cos y 2 + 1 2). z ′y = − 3). z ′y = − Ответы: 1). z ′y = − 2 x x x2 sin y 2 + 1 sin y 2 + 1 5). z ′y = 4). z ′y = − x x2

(

(

)

)

(

(

)

(

Ответы: 1). z ′x = 5). z ′x =

1 x 2 − y2

2). z ′x =

)

)

Номер: 3.9.А 2 Задача: Задана функция z = ln x − y . Найти z ′x .

2

(

)

2x x 2 − y2

3). z ′x =

− 2y x 2 − y2

4). z ′x =

1 x2

1 x+y Номер: 3.10.А

Задача: Задана функция z = x sin y + y cos x . Найти z ′y .

2

2

1). z ′y = 2(x sin y + y cos x )

Ответы:

3). z ′y = x cos y + 2 y cos x

4). z ′y = x cos y + y cos x

2

2

5). z ′y = 2(sin y + cos x )

Номер: 3.11.А Задача: Задана функция z =

2). z ′y = 2(x cos y − y sin x )

y . Найти z ′x .

3 3 x −y

66

2

1). z ′x = −

Ответы: 4). z ′x =

x 3 + 2y 3

(x

3

− y3

)

2

(x

3x 2 y 3

− y3

5). z ′x = −

3x 2 y 2). z ′x = 3 x − y3

)

2

(x

y 3

− y3

3). z ′x =

1 3x 2 − y 3

)

2

Номер: 3.12.А Задача: Задана функция z = ctg(y − x ) + 31− y . Найти z ′y .

1). z ′y =

Ответы:

1

( y − x )2

+ 31− y ⋅ ln 3

2). z ′y = −

1 + 31− y ln 3 2 sin (y − x ) 1 1− y − 3 ⋅ ln 3 5). z ′y = − sin 2 (y − x ) 3). z ′y = −

1 −y ( ) + 1 − y ⋅ 3 sin 2 (y − x ) 1 4). z ′y = sin 2 (y − x )

Номер: 3.13.А 2 Задача: Задана функция z = 2 ln y + x − xy . Найти z ′x .

(

1). z ′x =

Ответы: 4). z ′x =

2 −y y + x2

)

2). z ′x =

4x −y y + x2

3). z ′x =

2x −y y + x2

2 2 ′ − x 5). z = −y x y + x2 y − x2

Номер: 3.14.А 2 Задача: Задана функция z = x sin y . Найти z ′y .

2

1). z ′y = 4 x sin y

Ответы:

2). z ′y = 2 x sin y 2

3). z ′y = x sin 2 y 2

4). z ′y = x cos y 5). z ′y = sin y 2

2

2

Номер: 3.15.А Задача: Задана функция z = y Ответы: 4). z ′x = 2 x ⋅ y

1). z ′x = x y 2

x

2

x

2

. Найти z ′x .

x 2 −1

2). z ′x = 2 y

⋅ ln y 5). z ′x = 2 x 3 ⋅ y x

2

2

⋅ ln x

−1

Номер: 3.16.А Задача: Задана функция z = yx +

x2

x ∂z . − 5 y 2 . Найти y ∂y 67

3). z ′x = y

x2

⋅ ln y

∂z x ∂z 1 = x 2 − 2 − 10 y 2). = 2 yx + − 10 y ∂y y ∂y y ∂z ∂z 1 = −10 y 5). = y + − 5 y 2 4). ∂y ∂y y Ответы:

1).

3).

∂z = x2 + x ∂y

Номер: 3.17.А

y ∂z − 6x . Найти . x ∂y 1 ∂z ∂z y 2). Ответы: 1). = −4x 2 + − 6 = −4 y − 2 − 6 ∂y x ∂y x ∂z ∂z 1 y = −8xy + 2 − 6 4). = −4x 2 + 5).нет правильного ответа 3). ∂y ∂y x x 2

Задача: Задана функция z = −4 yx +

Номер: 3.18.B

x+2 ∂z + y 2 x 2 . Найти . y −1 ∂x ∂z x+2 ∂z ∂z 2 1 = + 2 xy 2 2). = + 2 xy 2 3). Ответы: 1). + 2 yx 2 = 2 ∂x y − 1 ∂x y − 1 ∂x (y − 1) ∂z 1 4). = + 2 yx 2 5).нет правильного ответа ∂x y − 1

Задача: Задана функция z =

Номер: 3.19.В

x −3 ∂z + y 2 (x − 1) . Найти . y −1 ∂y ∂z x −3 1 ∂z 2 Ответы: 1). = + y 2). = + y2 2 ∂y (y − 1) ∂y y − 1 ∂z x −3 ∂z 1 ( ) 3). + 2 y x − 1 4). =− = + 2 yx 5).нет правильного ответа ∂y ∂y y − 1 (y − 1)2 Задача: Задана функция z =

Номер: 3.20.А Задача: Задана функция z = y

5− x

. Найти

68

∂z . ∂y

Ответы: 4).

1).

∂z = (5 − x )y 5− x ⋅ ln 5 ∂y

2).

∂z = (5 − x )y 4− x ∂y

3).

∂z = y 5− x ⋅ ln 5 ∂y

∂z = y 5− x 5).нет правильного ответа ∂y Номер: 3.21.А

Задача: Задана функция z = y

5− x

∂z . ∂x

. Найти

∂z ∂z = y 5− x ⋅ ln 5 2). = − y 5− x ∂x ∂x ∂z правильного ответа 5). = − y 5− x ⋅ ln 5 ∂x

Ответы:

3).

1).

(

Номер: 3.22.В

(

)

)

sin x 2 + 1 + xy . Найти Задача: Задана функция z = y ∂z cos x 2 + 1 Ответы: 1). =− +x 2 ∂y y 2 ∂z 2x cos x + 1 ∂z sin x 2 + 1 = + y 4). = +x 3). ∂y y ∂y y

(

)

(

)

∂z = (5 − x )y 4− x ∂x

4).нет

∂z . ∂y ∂z sin x 2 + 1 2). =− +x 2 ∂y y

(

)

5).нет правильного ответа

Номер: 3.23.В

∂z . ∂y ∂z 2 5− yx ( ) =− + 6 − yx 3 Ответы: 1). ∂y cos 2 (y − 2 x ) ∂z 1 1 ∂z 6 − yx 2). =− 2 − x ⋅ 36− yx ⋅ ln 3 3). = − x ⋅ 3 ⋅ ln 3 2 ∂y ∂ y sin (y − 2 x ) cos (y − 2 x ) ∂z 1 5− yx 4). ( ) 5).нет правильного ответа =− + 6 − yx 3 2 ∂y cos (y − 2 x ) Задача: Задана функция z = tg (y − 2 x ) + 3

6 − yx

. Найти

Номер: 3.24.В Задача: Задана функция z = tg (y − x ) + 3

10 − yx

69

. Найти

∂z . ∂x

1 ∂z =− − y ⋅ 310− yx ⋅ ln 3 2 ∂x cos (y − x ) ∂z 1 1 10 − yx 3). = − y ⋅ 3 ⋅ ln 3 = − + (10 − yx ) ⋅ 39− yx 2 2 ∂x sin (y − x ) cos (y − x ) 1 = + y(10 − yx ) ⋅ 39− yx 5).нет правильного ответа 2 sin (y − x )

Ответы:

∂z ∂x ∂z 4). ∂x 2).

1).

Номер: 3.25.В

2y ∂z . Найти . ∂x x 3 − xy ∂z 2 y 2 − 6 yx 2 ∂z 2 yx = 1).

2). =− 3 2 ∂x ∂x x − xy x 3 − xy

Задача: Задана функция z = Ответы:

(

)

3).

∂z 2 = ∂x x 3 − xy

(

)

2

∂z 2y 2 − 1 5).нет правильного ответа = 4).

2 3 ∂x x − xy

(

)

(

Номер: 3.26.В 2

Задача: Задана функция z = ln x + y

3

) − 2xy . Найти ∂∂yz .

1 2x ∂z ∂z 2). = 2 − 2 x = − 2y ∂y x + y 3 ∂y x 2 + y 3 ∂z 1 ∂z 3y 2 = − 2 xy 4). = 2 − 2 x 5).нет правильного ответа 3). ∂y x 2 + y 3 ∂y x + y 3 Ответы:

1).

Номер: 3.27.А Задача: Задана функция z = x Ответы: 4).

1).

1− y

∂z = − x 1− y ⋅ ln x ∂y

. Найти 2).

∂z . ∂y

∂z = (y − 1) ⋅ x − y ⋅ ln x ∂y

∂z = (1 − y ) ⋅ x − y 5).нет правильного ответа ∂y Номер: 3.28.В

Задача: Задана функция z = cos(xy ) − 5 y . Найти

70

∂z . ∂x

3).

∂z = − y ⋅ x 2− y ∂y

Ответы: 4).

1).

∂z = y sin (xy ) − 5 ∂x

2).

∂z = sin (xy ) ∂x

3).

∂z = y sin (xy ) 5).нет правильного ответа ∂x

Номер: 3.29.В Задача: Задана функция z = cos(1 − 7 xy ) + 6 x . Найти

∂z = − y sin (xy ) ∂x

∂z . ∂y

∂z ∂z = 7 x sin (1 − 7 xy ) = −7 y ⋅ sin (1 − 7 xy ) + 6x 2). ∂y ∂y ∂z ∂z = −7 x ⋅ sin (1 − 7 xy ) 4). = −7 x sin (1 − 7 xy ) + 6 5).нет правильного 3). ∂y ∂y Ответы:

1).

ответа Номер: 3.30.В

⎛x⎞ ∂z . ⎟⎟ . Найти ∂ y y ⎝ ⎠ ∂z x 2). = ∂y y2 − x 2

Задача: Задана функция z = arcsin⎜⎜ Ответы: 4).

∂z = ∂y

∂z 1 = ∂y y y 2 − x 2 1

1).

2

x −y

2

3).

∂z x =− ∂y y y2 − x 2

5).нет правильного ответа

Номер: 3.31.A Задача: Частной производной функции z = f (x , y ) по переменной x, в точке M (x , y ) называется предел (если такой существует) отношения: Δy z Δ z Δ z ∂z ∂z ∂z = lim 2).

3). = lim x Ответы: 1). = lim x ∂x Δx →0 Δx ∂x Δx →0 Δx ∂x Δx →∞ Δx Δ z Δ y ∂z ∂z 5).

4). = lim x = lim x ∂x Δx →0 Δx ∂x Δy →0 Δy Номер: 3.32.A Задача: Частной производной функции z = f (x , y ) по переменной y , в точке M (x , y ) называется предел (если такой существует) отношения:

71

∂z f (x, y + Δy ) − f (x, y ) f (x, y + Δy ) − f (x, y ) ∂z = lim = lim 2). ∂y Δy→0 Δy ∂y Δx →0 Δx f (x + Δx, y ) − f (x, y ) f (x, y + Δy ) − f (x + Δx, y ) ∂z = lim = lim 4). Δy →0 ∂y Δy→0 Δy Δy f (x + Δx , y + Δy ) − f (x , y ) = lim Δy →0 Δx Δy

Ответы:

∂z ∂y ∂z 5). ∂y 3).

1).

72

4. Полный дифференциал первого порядка.

Номер: 4.1.А 2 2 Задача: Задана функция z = sin x + y . Найти дифференциал функции.

(

(

2

1). dz = 2 cos x + y

Ответы:

(

2

2

)

3). dz = 2 x cos x + y dx ответа

)

)

2

(

2

2). dz = 2 cos x + y

(

2

2

)

4). dz = 2 y cos x + y dy

2

)(xdx + ydy)

5).нет правильного

Номер: 4.2.В Задача: Задана функция z = x . Найти дифференциал функции. y

y

4). dz =

⎛y ⎞ dx + ln xdy ⎟ ⎝x ⎠

2). dz = yx

1). dz = x ⎜

Ответы:

y −1

dx

y

3). dz = x ln xdy

y dx + ln xdy 5).нет правильного ответа x Номер: 4.3.А 3

2

2

3

Задача: Задана функция z = xy − 3x y + 2 y . Найти дифференциал функции.

2 3 2 2). dz = y − 6 xy dx Ответы: 1). dz = y (3 − 6 x )dx + 3ydy

(

(

)

3). dz = y (y − 6 x )dx + 3y yx − 2 x + 2 y dy 5).нет правильного ответа 2

2

2

Задача: Найти полный дифференциал функции, если z =

xdy + ydx

(x − y )

2

3).

2

4). dz = 3y x − 6 x y + 6 y

Номер: 4.4.А

Ответы: 1). xdy − ydx 2).

)

xdy

(x − y )

2

x+y . x−y 2(xdy − ydx )

4).

(x − y )

2

2

5).нет

правильного ответа Номер: 4.5.В Задача: Задана функция z = sin (xy ) . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). dz = (xdy + ydx ) cos(xy ) 2). dz = cos(xy )xdy 3). dz = (dy + dx ) cos(xy ) 4). dz = xdy − ydx 5).нет правильного ответа Задача: Задана функция u = e

xyz

Номер: 4.6.А . Найти дифференциал функции.

73

(zdx + xdy + xdz ) 2). du = e xyz (yzdx + xzdy + xydz) xyz xyz 3). du = e (xdx + ydy + zdz ) 4). du = e (ydx + xdy + zdz ) 5).нет 1). du = e

Ответы:

xyz

правильного ответа

Номер: 4.7.В Задача: Задана функция z = arctg(xy ) . Найти дифференциал функции.

1). dz =

Ответы: 4). dz =

ydy − xdx 1 + x 2 y2

2). dz =

xdy + ydx 1 + x 2 y2

3). dz =

dy + dx 1 + x 2 y2

ydy + xdx 5).нет правильного ответа 1 + x 2 y2 Номер: 4.8.В

x+y . Найти дифференциал функции. x−y ydy + xdx 2). dz = 3). dz = xdx + ydy x 2 + y2

Задача: Задана функция z = arctg 1). dz =

Ответы: 4). dz =

xdy + ydx x 2 + y2

xdy − ydx 5).нет правильного ответа x 2 + y2 Номер: 4.9.А 3

x x − . Найти дифференциал функции. y2 y dx + xdy dx − dy Ответы: 1). du = 2). du = y3 y3 (2x − y )(dx − xdy ) 5).нет 3x 2 − y dx + xy − 2x 3 dy du 4). = 3). du = y3 y3

Задача: Задана функция u =

(

)

(

)

правильного ответа Номер: 4.10.В Задача: Задана функция z = arctg

y . Найти дифференциал функции.

1+ x2

74

1). dz =

Ответы: 3). dz =

dx + dy

xdx + ydy

(

y2 + 1+ x 2

)

2

(

2). dz =

)

2

( ) ) +y

− 2xydx + 1 + x 2 dy

(

2

2 y2 1 + x 2 1+ x2 ydx − xdy 4). dz = 5).нет правильного ответа 2 2 2 y + 1+ x

(

)

Номер: 4.11.B Задача: Задана функция z = ln (x + ln y ) . Найти дифференциал функции.

1 ⎛ dy ⎞ 1 2). dz = (dx − dy ) ⎜⎜ dx + ⎟⎟ x + ln y x + ln y ⎝ y⎠ ⎛ ⎞ 1 3). dz = (dx + dy ) 4). dz = 1 ⎜⎜ dx − dy ⎟⎟ 5).нет правильного x + ln y x + ln y ⎝ y ⎠ 1). dz =

Ответы:

ответа Номер: 4.12.В Задача: Задана функция z = 2 . Найти дифференциал функции. xy xy 2). dz = 2 ⋅ (xdx + ydy) Ответы: 1). dz = 2 ⋅ ln 2(xdx + ydy) xy

3). dz = 2 ⋅ ln 2(ydx + xdy ) правильного ответа xy

4). dz = 2

xy

⋅ ln 2(ydx − xdy )

5).нет

Номер: 4.13.В x Задача: Задана функция z = y . Найти дифференциал функции.

⎛ dx ⎞ x ⎞ x⎛ 2). dz = y ⎜⎜ ln x dx − dy ⎟⎟ + ln ydy ⎟⎟ y ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ x ⎞ x x⎛ 3). dz = y (xdx + ydy) 4). dz = y ⎜⎜ ln ydx + dy ⎟⎟ 5).нет правильного ответа y ⎠ ⎝ Ответы:

x

1). dz = y ⎜⎜

Номер: 4.14.В Задача: Задана функция z = cos(xy − 1) . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). dz = − sin (xy − 1)(xdx + ydy) 2). dz = − sin (xy − 1)(ydx + xdy ) 3). dz = sin (xy − 1)(xdx + ydy) 4). dz = sin (xy − 1)(ydx − xdy ) 5).нет правильного ответа Номер: 4.15.В x y

Задача: Задана функция z = e . Найти дифференциал функции.

75

x y ⎛ dx

Ответы: 3). dz = e

x

⎞ 1). dz = e ⎜⎜ + xdy ⎟⎟ ⎝ y ⎠ x y

(dx + dy )

x y⎛

4). dz = e ⎜⎜ dx −

⎝

1 y 2). dz = 2 e (ydx − xdy ) y

x ⎞ dy ⎟⎟ 5).нет правильного ответа y ⎠

Номер: 4.16.В Задача: Найти полный дифференциал функции, если z = arcsin Ответы: 3). dz =

x . y 1

⎛ dy ⎞ ⎜⎜ dx − 2 ⎟⎟ (dx − dy ) 2). dz = 2 2 2 2 y y −x y −x ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ dx ⎞ 1 x ⋅ dy ⎞ 1 ⎜⎜ dx − 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 − dy ⎟⎟ 4). dz = − 5).нет 2 2 2 2 y y y −x ⎝ y −x ⎝ ⎠ ⎠ 1

1). dz = −

правильного ответа Номер: 4.17.А 2 Задача: Найти полный дифференциал функции, если z = y (1 − 2 x ) + 7 .

1). dz = −2 y dx + 2 y(1 − 2 x )dy 2

Ответы:

3). dz = y dx + (1 − 2 x )dy ответа 2

2

4). dz = (1 − 2 x )dx + y dy 2

2). dz = 2 y dx + 2 ydy 5).нет правильного

Номер: 4.18.А 2 2 2 Задача: Найти полный дифференциал функции, если z = x y − xy + 5 y . Ответы:

( 4). dz = y(y − 1)dx + (2 yx

)

2). dz = y(y − 1)dx + x − 10 y dy 2

2

(

)

1). dz = y(2 xy − 1)dx + 2 yx − x + 10 y dy 2

3). dz = (2 xy + 10 y )dx + xdy

)

− x + 10 y dy 5).нет правильного ответа

Номер: 4.19.А 2 2 Задача: Найти полный дифференциал функции, если z = log 3 5 − y x .

(

)

y 2 dx + x 2 dy xy(ydx + xdy ) 2). Ответы: 1). dz = − dz = 5 − y2x 2 5 − y 2 x 2 ln 3 2xy(ydx + xdy ) ydx − xdy dz 3). dz = − 4). = − 5).нет правильного 5 − y 2 x 2 ln 3 5 − y 2 x 2 ln 3

(

(

)

(

ответа

76

)

)

Номер: 4.20.В

y −1 . x dy y −1 1 ( ) du = y − 1 dx + dx + dy 2).

3). du = xdy + ydx Ответы: 1). du = x x x2 y −1 1 4). du = dx − dy 5).нет правильного ответа 2 x x Задача: Найти полный дифференциал функции, если u =

Номер: 4.21.А 2 Задача: Найти полный дифференциал функции, если u = 5 − xy . Ответы:

2

1). du = y dx − xdy

2

2). du = y dx + 2 xydy

3). du = ydx + xdy

2

4). du = − y dx − 2 xydy 5).нет правильного ответа Номер: 4.22.В 2 3 Задача: Найти полный дифференциал функции, если u = (x − 2 ) ⋅ y ⋅ z .

Ответы: 1). du = yz(zdx + xdy + zdy ) 2). du = y dx + 2 y(x − 2 )dy + 3z dz 2

2

3). du = yz (yzdx + 2(x − 2 )zdy + 3(x − 2 )ydz) 2

4). du = (x − 2 )dx + y dy + z dz 5).нет правильного ответа 2

3

Номер: 4.23.А

1

Задача: Найти полный дифференциал функции, если z = Ответы: 1). dz = 3). dz =

(x

(x

1 2

−y

2

1 2

−y

)

2 3

(dx + dy ) 3

)

(xdx + ydy) 4). dz =

2). dz =

(x

1 2

−y

2

(x )

2 3

x −y 1 2

−y

)

2 3

Задача: Найти полный дифференциал функции, если u =

77

.

(xdx − ydy)

(ydy − xdx )

правильного ответа Номер: 4.24.В

2

z − 2y . z + 2y

5).нет

1). du =

Ответы: 3). du =

1

(z + 2 y )

4

(z + 2 y )

(ydz − zdy ) 2

(ydz + zdy ) 2

4). du =

2). du =

4

(z − 2 y )

2

1

(z + 2 y )2

(ydz − zdy )

(ydz − zdy)

5).нет

правильного ответа Номер: 4.25.А y Задача: Задана функция z = x ⋅ e + 3 . Найти дифференциал функции. y y y Ответы: 1). dz = e (dx + dy ) 2). dz = e (dx − dy ) 3). dz = e (dx + xdy ) 4). dz = e

y

(xdx + dy )

5).нет правильного ответа

Номер: 4.26.А Задача: Задана функция z = y ⋅ 3 . Найти дифференциал функции.

1− x

1− x (ydx + dy ) 2). dz = 3 (dx − dy ) 1− x 1− x 3). dz = 3 (ln 3 dx + dy ) 4). dz = 3 (dy − y ⋅ ln 3 dx ) 5).нет правильного

Ответы:

1− x

1). dz = 3

ответа Номер: 4.27.А 2 Задача: Задана функция z = sin (y − x ) . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). dz = sin (2 y − 2 x )(dx − dy ) 2). dz = sin (2 y − 2 x )(dy − dx ) 3). dz = cos(2 y − 2 x )(dx + dy ) 4). dz = 2 cos(y − x )(dy − dx ) 5).нет правильного ответа Номер: 4.28.В

u . Найти дифференциал функции. υ 1 1 ( udu − υ d υ ) 2). d ω = (du + dυ) Ответы: 1). dω = − 2 υ + u2 υ2 + u 2 1 1 ( d υ − du ) 4). d ω = (udυ − υdu ) 5).нет 3). dω = − 2 υ2 + u 2 υ + u2 Задача: Задана функция ω = arcctg

правильного ответа

Номер: 4.29.В Задача: Задана функция ω = e

2

u − uυ

. Найти дифференциал функции.

78

((2u − υ)du − udυ) − uυ u (2u du + υdυ) 4). dω = e 1). dω = e

Ответы: u

2

u 2 − uυ

3). dω = e 5).нет правильного ответа

2). dω = −e 2

− uυ

u 2 − uυ

(υdu + udυ)

((2u − υ)du + u (u

2

) )

− 1 dυ

Номер: 4.30.В x y

z y

Задача: Найти полный дифференциал функции, если u = e + e . x z z ⎞ 1 ⎛⎜ y y y Ответы: 1). du = e dx − 2 e + e ⎟dy + e dz ⎟ y ⎜⎝ ⎠ x y

x x z z ⎞ 1 y 1 ⎛⎜ y y ⎟ y 2). du = e dx − 2 e + e dy + e dz ⎟ y y ⎜⎝ ⎠ x z z ⎛ x x ⎞ 1 z 1 y y y y 3). du = e dx − ⎜ 2 e + 2 e ⎟dy + e dz ⎜y ⎟ y y y ⎝ ⎠ z 1 1 ⎛ − x2 ⎞ − 2 y y + e y ⎟dy + e y dz 5).нет правильного ответа 4). du = e dx + ⎜ e ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Номер: 4.31.В Задача: Найти полный дифференциал функции, если z = y 1). dz = y

Ответы: 3). dz = y

x2

x2

(2 ln ydx + xdy )

(ln ydx + x dy) 2

4). dz = xy

x2

.

2). dz = y x2

x2

(ln ydx + 2xdy )

⎛ x ⎞ ⎜⎜ 2 ln ydx + dy ⎟⎟ y ⎠ ⎝

5).нет

правильного ответа Номер: 4.32.A Задача: Полный дифференциал du функции u = f (x , y, z ) равен: ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u dx + dy + dz Ответы: 1). du = 2). du = Δx + Δy + Δz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x ∂u ∂u du du ∂u ∂u dx + dx + dx ∂x + ∂y + ∂z 3). du = 4). du = ∂x ∂y ∂z dx dy dz ∂u ∂u ∂u ∂x + ∂y + ∂z 5). du = ∂x ∂xy ∂z

79

Номер: 4.33.A Задача: Полный дифференциал функции u = f (x , y, z ) представляет собой: Ответы: 1).все приращения функции 2).главную линейную часть приращения 4).сумму функции 3).частное приращение функции по переменной x приращений аргументов 5).коллокацию аргументов. Номер: 4.34.A ⎛u⎞ Задача: Найти d⎜ ⎟ ⎝v⎠ v du − u dv v du − u dv du − dv v du + u dv v du − u dv Ответы: 1).

2).

3).

4).

5). u⋅v uv d(u v ) v2 v2

Задача: Найти d (u ⋅ v ) Ответы: 1). v du − v dv 5). v du − u dv

Номер: 4.35.A 2). v du − u dv

3). u du + v dv

4). v du + u dv

Номер: 4.36.A Задача: Полным приращением функции z = f (x, y ) называют: Ответы: 1).разность Δz = f (x + Δx , y + Δy ) − f (x , y ) 2).сумму Δz = f (x + Δx, y + Δy ) + f (x, y ) 3).разность Δz = f (x + Δx, y ) − f (x, y ) 4).разность Δz = f (x , y + Δy ) − f (x , y ) 5).разность Δz = f (x + Δx , y ) − f (x , y + Δy )

80

5. Частные производные высших порядков. Номер: 5.1.А 2 2 ′ . Задача: Задана функция z = x − 4 x y + 5 y . Найти z ′xx 3

′ = 6x − 8y 1). z ′xx

Ответы:

′ = 6 x − 8 y + 10 2). z ′xx

′ = 3x − 8xy 5). z ′xx ′ = 10 4). z ′xx

′ = x − 4y + 5 3). z ′xx

2

Номер: 5.2.А

′ . Задача: Задана функция z = e ln y + sin y ln x . Найти z ′xy x

e x cos y ′ =0 ′ = Ответы: 1). z ′xy + 2). z ′xy y x e x cos y ex ′ = ′ = − 2 + cos y + 5). z ′xy 4). z ′xy y x y

′ = ln y + cos y 3). z ′xy

Номер: 5.3.А

′ . x 2 + y 2 . Найти z ′xx

Задача: Задана функция z =

′ = Ответы: 1). z ′xx ′ = 4). z ′xx

(x

x 2 − y2

(x

2

+ y2

)

x2 2

3

+y

′ = 2). z ′xx

)

2 32

′ = 5). z ′xx

(x

(x

1 2

+ y2

y +y

2

)

2 32

′ = 3). z ′xx

(x

y2 2

+ y2

)

3

)

3

Номер: 5.4.А ′ . Задача: Задана функция z = x . Найти z ′yy y

Ответы:

′ = y(y − 1)x 1). z ′yy ⎛ ⎝

′ = x ⎜ ln x + 4). z ′yy y

y−2

′ = x ⋅ ln x 2). z ′yy y

2

′ = yx 3). z ′yy

y −1

⋅ ln x

1⎞ ′ = x y−1 ⎟ 5). z ′yy x⎠

Номер: 5.5.В y ′ . Задача: Задана функция z = ln e + e . Найти z ′xy

(

Ответы:

1 ′ = x 1). z ′xy e + ey

)

x

′ = 2). z ′xy

e x+y ex ′ =− ′ = x 5). z ′xy 4). z ′xy y e +e ex + ey

(

)

2

81

(e

ey x

+e

)

y 2

′ = 3). z ′xy

(e

e x+y x

+ ey

)

2

Номер: 5.6.А Задача: Задана функция z = 5

′ =5 1). z ′xx

Ответы:

′ = 2xy ⋅ 5 3). z ′xx

x⋅y 2

x⋅y

x⋅y

2

2

′ . . Найти z ′xx

(

)

′ = x ⋅ y ⋅ xy − 1 5 2). z ′xx

⋅ y4

2

2

2

′ = y 4 ⋅ 5 x⋅y ⋅ ln 2 5 5). z ′xx ′ = ln 5 ⋅ y 4 ⋅ 5 x⋅y ln 5 4). z ′xx

xy 2 − 2

2

Номер: 5.7.В ′ . Задача: Задана функция z = arccos(xy ) . Найти z ′yy

′ = 3). z ′yy

x

′ =− 1). z ′yy

Ответы:

yx 3

(1 − x )

2 3

yx 2

′ = 4). z ′yy

(1 − (xy) )

2 3

′ = 2). z ′yy

′ = 5). z ′yy

(1 − (xy ))

3

xy

(1 − (xy) )

2 3

yx 3

(1 − (xy) )

2 3

Номер: 5.8.А

y ′ . . Найти z ′xy x 1 1 ′ = 1 + 2 3). z ′xy ′ =x− 2). z ′xy x x

Задача: Задана функция z = xy − Ответы:

′ = 1− 1). z ′xy

′ =x− 5). z ′xy

1 x

y x2

Номер: 5.9.В ′ . Задача: Задана функция z = x ⋅ e . Найти z ′xx

′ = y+ 4). z ′xy

1 x2

x⋅y

Ответы:

′ =e 4). z ′xx

′ =e 1). z ′xx

xy

xy

(2 + x )

(2y + xy ) 5). z′′ 2

xx

′ = x ⋅ y ⋅e 2). z ′xx 2

(

= e xy 1 + xy 2

)

xy

′ = x y⋅e 3). z ′xx 2

xy −1

Номер: 5.10.В

y ′ . . Найти z ′yy x 1 y y ′ = − 2 sin ′ = cos Ответы: 1). z ′yy 2). z ′yy x x x 1 y y y ′ = − 2 cos 5). z ′yy ′ = sin 4). z ′yy x x x x Задача: Задана функция z = sin

82

′ =− 3). z ′yy

y y sin x x2

Номер: 5.11.В Задача: Задана функция z =

′ =− 1). z ′yy

Ответы:

′ =− 3). z ′yy

(x

yx 2

− 2xy

)

32

′ . x 2 − 2xy . Найти z ′yy

(x

x2 2

− 2xy

′ =− 4). z ′yy

(x

)

x 2

′ = 2). z ′yy

32

− 2xy

)

32

′ = 5). z ′yy

(x

(x

y2 2

− 2xy

1 2

− 2 xy

)

32

)

32

Номер: 5.12.В

y ′ . . Найти z ′xy x −1 1 y ′ = Ответы: 1). z ′xy sin x −1 x −1 1 ⎛ y y ⎞ ′ = 3). z ′xy sin + cos ⎜ ⎟ x − 1⎠ (1 − x )2 ⎝ x − 1 y y y ⎞ 1 ⎛ ′ = sin + cos 4). z ′xy ⎜ ⎟ 2 (x − 1) ⎝ x − 1 (x − 1) x − 1 ⎠ y y y ′ = sin 5). z ′xy + cos x −1 x −1 x −1 Задача: Задана функция z = cos

′ = 2). z ′xy

1 y cos (x − 1) x − 1

Номер: 5.13.В ′ . Задача: Задана функция z = log 2 (xy + 3). Найти z ′xx

′ = Ответы: 1). z ′xx

xy

(xy + 3)2

y2 1 ′ =− ′ =− 2). z ′xx 3). z ′xx ln 2 ⋅ (xy + 3) (xy + 3)2

y2 y ′ =− ′ =− 5). z ′xx 4). z ′xx 2 ln 2(xy + 3) ln 2 ⋅ (xy + 3) Номер: 5.14.В

xy ′ . . Найти z ′xy x+y 2 y + 2 yx y + 2x ′ = ′ ′ 2). = z Ответы: 1). z ′xy xy (x + y )2 (x + y )2 y 2 − 2 yx y ′ = ′ = 5). z ′xy 4). z ′xy 2 (x + y ) (x + y )2

Задача: Задана функция z =

83

′ = 3). z ′xy

1 x+y

Номер: 5.15.В ′ . Задача: Задана функция z = tg (2 y − x ) . Найти z ′xx

4 1 ′ ′ z = 2). xx cos 3 (2 y − x ) cos 2 (2 y − x ) sin (2 y − x ) 2 sin (2 y − x ) sin (2 y − x ) ′ ′ ′ = ′ ′ = − z z = 4).

5).

3). z ′xx xx xx cos 3 (2 y − x ) cos 3 (2 y − x ) cos 2 (2 y − x ) Ответы:

′ = 1). z ′xx

Номер: 5.16.А

∂ 2z Задача: Дана функция z = ctg(5x − 2 y ) . Вычислить производную . ∂x 2 2 cos(5x − 2 y ) cos(5x − 2 y ) 50 ⋅ cos(5x − 2 y ) − 2).

3). Ответы: 1). sin 3 (5x − 2 y ) sin 2 (5x − 2 y ) sin 2 (5x − 2 y ) 5 ⋅ sin (5x − 2 y ) 5).нет правильного ответа 4). − cos 3 (5x − 2 y ) Номер: 5.17.А

∂ 2z Задача: Дана функция z = ctg(3x − 4 y ) . Вычислить производную . ∂y 2 32 ⋅ cos(3x − 4 y ) 4 ⋅ cos(3x − 4 y ) 4 ⋅ cos(3x − 4 y ) − 2).

3). Ответы: 1). − sin 3 (3x − 4 y ) sin 3 (3x − 4 y ) sin 2 (3x − 4 y ) 8 ⋅ sin (3x − 4 y ) 5).нет правильного ответа 4). cos 3 (3x − 4 y ) Номер: 5.18.А

∂2z . Задача: Дана функция z = ctg(2 x − 3y ) . Вычислить производную ∂x∂y 3 ⋅ cos(2x − 3y ) 12 ⋅ cos(2x − 3y ) 12 ⋅ sin (2x − 3y ) Ответы: 1). − 2).

3). sin 2 (2x − 3y ) sin 3 (2x − 3y ) cos 3 (2x − 3y ) 2 ⋅ cos(2x − 3y ) 5).нет правильного ответа 4).

2 sin (2x − 3y ) Номер: 5.19.А

∂ 2z . Задача: Дана функция z = 2x − x y + 2 y . Вычислить производную ∂x 2 2 2 2 2 2 Ответы: 1). 6x − 2xy 2).12 x − 4 xy + 12 y 3). − 2 yx + 6 y 4).12x − 2 y 3

2

2

3

5).нет правильного ответа 84

Номер: 5.20.А

∂ 2z Задача: Дана функция z = − x + 3x y − 2 y . Вычислить производную .

2 ∂y 2 2 2 2 Ответы: 1). − 6 x + 12xy − 6 y 2). 6x − 12 y 3). 6 yx − 12 y 4). 6x y − 6 y 3

2

2

3

5).нет правильного ответа Номер: 5.21.А 3

2

2

3

Задача: Дана функция z = −2 x − x y + 3y . Вычислить производную

∂2z . ∂x∂y 2

Ответы: 1). − 6 x − 4 xy + 9 y 5).нет правильного ответа

2

2). − 4 xy + 18 y

3). − 4 xy

4). − 12x − 2 y

2

Номер: 5.22.В

Задача: Дана функция z = 3 1). x ln 3 ⋅ 3 2

Ответы: 2

4). y ⋅ 3

− xy

2

− x⋅y

− xy

∂ 2z + 7 y . Вычислить производную 2 . ∂x 2 2 − xy 2 2 − xy +7 2). x ln 3 ⋅ 3 3). y ⋅ ln 3 ⋅ 3

⋅ ln 3 5).нет правильного ответа Номер: 5.23.В

∂ 2z − 3x . Вычислить производную 2 . Задача: Дана функция z = 4 ∂y −2 xy ⋅ ln 4 − 3 2). 4 y 2 ⋅ 4 −2 xy ⋅ ln 2 4 3). 2 y ⋅ 4 −2 xy ⋅ ln 4 Ответы: 1). − 2x ⋅ 4 2 −2 xy ⋅ ln 2 4 5).нет правильного ответа 4). 4 x ⋅ 4 −2 x ⋅ y

Номер: 5.24.В Задача: Дана функция z = 6

xy − 3

∂2z + 2 . Вычислить производную . ∂x∂y

xy

1 − 1). − ⋅ 6 3 ln 6(3 − xy ⋅ ln 6 ) 9

Ответы: xy

xy

− 1 − 2 3). ⋅ 6 3 ln 6 4). 6 3 ln 6 + 2 5).нет правильного ответа 9

85

xy

1 − 2). − ⋅ 6 3 ln 6(1 − xy ) 3

Номер: 5.25.А x − y

∂ 2z . Задача: Дана функция z = e . Вычислить производную ∂x 2 x

x

x

x

− 1 −y 1 −y 1 −y y Ответы: 1). 2 e 2). 2 e 3). − 2 e 4). e 5).нет правильного ответа x y x

Номер: 5.26.А x 2y

∂ 2z . Задача: Дана функция z = e . Вычислить производную ∂y 2 x

x

x

x

1 2y x 2 2y 1 1 2y 2y Ответы: 1). e 2). − ⋅ e (x − 2 y ) 3). 4 ⋅ e (x + 4 y ) 4). ⋅ e 4 4 4 2y 4y 5).нет правильного ответа Номер: 5.27.А 3x y

∂2z . Задача: Дана функция z = e . Вычислить производную ∂x∂y Ответы: 1). 9e

3x y

3x

3x

1 9x 2 y y 2). 2 ⋅ e (1 + x ) 3). − 2 ⋅ e y y

3x

3 y 4). − 2 ⋅ e y

⎛ 3x ⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎟ y⎠ ⎝

5).нет правильного ответа Номер: 5.28.В

∂ 2z Задача: Дана функция z = arcsin (3 − 2 xy ) . Вычислить производную .

2 ∂x 2 3 12 y − 8y x 3 − 2y 1 Ответы:

4).

1).

(1 − (3 − 2xy) )

2 3

4 yx 2 1 − (3 − 2 xy )

2

2).

1 − (3 − 2 xy )

2

3).

(1 − (3 − 2xy ) )

5).нет правильного ответа

Номер: 5.29.В

∂ 2z Задача: Дана функция z = arcsin(5xy ) . Вычислить производную .

2 ∂y

86

2 3

Ответы:

25x 2

1).

(1 − 25x y ) 2

4). −

5x 2

1 − 25x y

2

2 3

2). −

125x 3 y

(1 − 25x y ) 2

2 3

3).

1

(1 − 25x y ) 2

2 3

5).нет правильного ответа

Номер: 5.30.В Задача: Дана функция z = 3 1). 3

Ответы:

1 4). 2 ⋅ 3 y

y− x y

x+y y

y−x y

∂ 2z . Вычислить производную . ∂x 2 x

2

⋅ ln 3

x+y y ⋅3 2). y

1 3). − 2 ⋅ 3 y

x+y y

⋅ ln 2 3

⋅ ln 2 3 5).нет правильного ответа

Номер: 5.31.A Задача: Если функция z = f (x, y ) определена вместе со своими частными

производными z ′x , z ′y , z ′x′ y , z ′y′ x в некоторой окрестности точки M 0 (x 0 , y 0 ),

причем z ′x′ y , z ′y′ x непрерывны в точке M 0 , то Ответы: 1). z ′x′ y (x 0 y 0 ) ≠ z ′y′ x (x 0 y 0 )

3). z ′x′ y (x 0 y 0 ) = z ′y (x 0 y 0 ) 4). z ′x (x 0 y 0 ) = z ′y′ x (x 0 y 0 )

87

2). z ′x′ y (x 0 y 0 ) = z ′y′ x (x 0 y 0 ) 5). z ′x (x 0 y 0 ) = z ′y (x 0 y 0 )

6. Дифференциалы высших порядков.

Номер: 6.1.В Задача: Найти d z , если z = e 2

Ответы: 1). 2e 5). e

x+y

x+ y

x+y

.

(

dxdy 2). e x + y (dx + dy ) 3). e x+ y dxdy 4). e x + y dx 2 + dy 2 2

)

(dx + dy ) Номер: 6.2.В 2

3

2

Задача: Найти d z , если z = x + 5 y .

2

1). 6dx − 10dy

Ответы:

5). 6 xdx + 10dy 2

2

2).10dy

2

2

3). 3x dx

2

2

4). 6dx + 10dy

2

2

Номер: 6.3.А Задача: Найти d z , если z = 2 x ⋅ y .

2

Ответы: 1). 2(dx + dy ) 2). 4dydx 3). 2dydx 4). 2 ydx

2

5). 2 xdy

2

Номер: 6.4.В 2

Задача: Найти d z , если z =

y . x

y y y 1 1 2 1 2 2 2 2).

3). + dx dx dx + dxdy dy − + dxdy x x2 x2 x3 x2 x2 2y 2 2 4). − 3 dx − 2 dxdy 5).нет правильного ответа x x

Ответы: 1).

Номер: 6.5.А 2

3

2

3

Задача: Найти d z , если z = y + 4 y x − x .

2

Ответы: 1). − 6dx + 8dxdy + 6 ydy 2

3). 6 xdx − 8 ydxdy + 6 ydy

2

2

2). − 6 xdx + 16 ydxdy + (6 y + 8x )dy 2

2

4). xdx + 6 ydy

88

2

5).нет правильного ответа

2

Номер: 6.6.В 2

Задача: Найти d z , если z = − 2

1). 8dx +

Ответы: 2

3). 8dx + 2

5). 8dx +

x + 4x 2 . y

1 1 dxdy + 2 dy 2 y y

2

2). 4dx +

dxdy 2 x 2 + 3 dy 2 y y

2

4). 4dx +

1 x dxdy + 2 dy 2 y y

2 x 2 dxdy + dy y2 y2

2 2x 2 dxdy − dy y2 y3 Номер: 6.7.В 2

Задача: Найти d z , если z = Ответы:

3).

1).

x 2 dx 2 + 2xydxdy − y 2 dy 2

(x

dx 2 + 2dxdy + dy 2

(x

2

x 2 + 2xy .

+ 2 xy

)

32

2

+ 2 xy

4).

2).

)

32

dx 2 + xydxdy − dy 2

(x

2

+ 2xy

)

12

− y 2 dx 2 + 2 xydxdy − x 2 dy 2

(x

2

+ 2 xy

)

32

5).нет правильного ответа

Номер: 6.8.В 2

Задача: Найти d z , если z = arctg

x . x+y

Ответы: 1). −

1 2 dxdy x dx + − 2 dy 2 2). dx 2 + 2dxdy − dy 2 x y y

3).нет

правильного

ответа

dx 2 dxdy dy 2 5). + − 2 x y y Номер: 6.9.В Задача: Найти d z , если z = ln (x − y ) .

2

89

4). −

1 2 2 x dx + dxdy − 2 dy 2 x y y

Ответы:

2 dx − dy ) ( 1). (x − y )2

2 ( dx − dy ) 3). (x − y )

2 dx − dy ) ( 2). − ( x − y )2

4).

dx 2 − dy 2

( x − y )2

5).нет правильного ответа Номер: 6.10.А 2

2

Задача: Найти d z , если z = x ⋅ sin y . Ответы: 1). 2 sin 2 ydxdy + 2 x cos 2 ydy 3). 2 sin 2 ydxdy + x cos 2 ydy

2

2

2). sin ydxdy + x cos 2 ydy

4). sin 2 ydxdy − 2 x cos 2 ydy

2

5).нет правильного ответа Номер: 6.11.В

1 .

2 2 2x +y

2

Задача: Найти d z , если z = Ответы: 1).

(3x 2).

3).

2

(

)

y 2 dx 2 + 4 xydxdy − x 2 dy 2

(x

)

2

)

3

+ y2

(

)

− y 2 dx 2 + 8xydxdy + 3y 2 − x 2 dy 2

3x 2 dx 2

(x

) + xydxdy + (3y )dy (x + y ) 2

+ y2

3

2

2 3

2

2

4).

dx 2 + 2dxdy + dy 2

(x

2

+ y2

)

3

5).нет правильного ответа Номер: 6.12.В 2

Задача: Найти d z , если z = Ответы: 1).

x−y . x+y

ydx 2 + (x − y )dxdy + xdy 2

(x + y )3 − 4 ydx 2 + 4(x − y )dxdy + 4 xdy 2 2). (x + y )3

3).

90

dx 2 + (x − y )dxdy + dy 2

(x + y )3

2

4).

− ydx 2 + (y − x )dxdy + xdy 2

5).нет правильного ответа

(x + y )

3

Номер: 6.13.А 2

2

2

Задача: Найти d z , если z = 3x − xy + 2 y .

2

1). 6 xdx + 2dxdy + 4 ydy

Ответы: 2

3). 3dx + dxdy + 2dy

2

2

4). 6dx + 4dy

2

2

2

2). 6dx − 2dxdy + 4dy

5).нет правильного ответа

Номер: 6.14.А 2

2

2

Задача: Найти d z , если z = − x + 3xy − 4 y .

2

Ответы: 1). − 2 xdx + dxdy − 4dy 2

3). − 2dx − 3dxdy − 8dy

2

2

2

2). − 2dx + 3dxdy − 4dy 2

4). − 2dx + 6dxdy − 8dy

2

2

5).нет правильного ответа Номер: 6.15.А Задача: Найти d z , если z = 2 y cos (3x ) .

2

2

Ответы: 1). − 36 y cos(6 x )dx − 12 sin (6 x )dxdy 2

2).18 y cos(6 x )dx + 2 cos 3x dy 2

2

2

3). cos(6 x )dx − sin (6 x )dxdy 2

4). 2 sin (6 x )dxdy 5).нет правильного ответа Номер: 6.16.А Задача: Найти d z , если z = − y ⋅ cos (2 x ).

2

2

Ответы: 1). y cos(4 x )dx + 2dy 2

2

2). 8 y cos(4 x )dx + 4 sin (4 x )dxdy 2

3). cos(4 x )dx + sin (4 x )dxdy 4).16 y cos(2 x )dx − 8 sin (2 x )dxdy 2

2

5).нет правильного ответа Номер: 6.17.А Задача: Найти d z , если z = ln (5x − 2 y ) .

2

Ответы: 1). −

5dx 2 + 4dxdy − 2dy 2

(5x − 2 y )2

2).

91

5dx − 2dy (5x − 2 y )

2

3).

− 25dx 2 + 20dxdy − 4dy 2

(5x − 2 y )

4).

2

dx 2 + dy 2

(5x − 2 y )

2

5).нет правильного ответа

Номер: 6.18.А Задача: Найти d z , если z = ln(7 x − 3y ) .

2

Ответы: 1).

4).

49dx 2 + 21dxdy + 9dy 2

7dx 2 + 2dxdy − 3dy 2 7dx − 3dy 2).

3).

(7 x − 3y ) (7 x − 3y )2

(7 x − 3y )2

− 49dx 2 + 42dxdy − 9dy 2

(7 x − 3y )

5).нет правильного ответа

2

Номер: 6.19.А 2

Задача: Найти d z , если z = 1). −

Ответы:

3).

3x + 4 y .

9dx 2 + 24dxdy + 16dy 2

2).

4 (3x + 4 y )

3

3dx 2 + 12dxdy + 4dy 2 4 (3x + 4 y )

3

4). −

3dx 2 + 12dxdy + 4dy 2 4 (3x + 4 y )

3

3dx 2 + 12dxdy − 4dy 2

5).нет правильного

(3x + 4 y )

3

ответа Номер: 6.20.А 2

Задача: Найти d z , если z = 7 Ответы: 1). 7

(y dx

xy

2

(

2

xy

.

+ 2 xydxdy + x 2 dy 2

)

)

2). 7

xy

⋅ ln 2 7 x 2 dx 2 + 2(xy + 1)dxdy + 2 y 2 dy 2

3). 7

xy

⋅ ln 7 y 2 ln 7dx 2 + 2(xy ln 7 + 1)dxdy + x 2 ln 7dy 2

4). 7

xy

(ydx

(

2

)

)

+ 2dxdy + xdy 2 5).нет правильного ответа Номер: 6.21.A

( )

Задача: Найти d u n

n

Ответы: 1). n u du 2). n u

n−1

du 3). u n−1 du 4). (n − 1) u n−1 du

5). (n − 1) u du n

92

7. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

Номер: 7.1.А Задача: Если z = f (x , y ) - дифференцируемая функция переменных x и y , которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : x = ϕ(t ) , y = ψ (t ) , то производная сложной функции

z = f (ϕ(t ), ψ (t )) вычисляется по формуле: dz ∂z dz ∂z ∂z ∂z Ответы: 1). = dx + dy 2). = dx − dy dt ∂x dt ∂x ∂y ∂y dz ∂z dx ∂z dy dz ∂z dy ∂z dx = ⋅ + ⋅ 4). = ⋅ + ⋅ 3). dt ∂x dt ∂y dt dt ∂x dt ∂y dt 5).нет правильного ответа Номер: 7.2.А Задача: Если функция z = f (t , x , y ) и x = x (t ) , производная функции z вычисляется по формуле:

y = y(t ), то полная

dz ∂z ∂z dx ∂z dy dz ∂z dx ∂z dy = + ⋅ + ⋅ 2). = ⋅ + ⋅ dt ∂t ∂x dt ∂y dt dt ∂x dt ∂y dt dz ∂z dz ∂z ∂z ∂z 4).

5).нет правильного ответа 3). = + + = dt ∂x ∂y ∂t dt ∂t

Ответы:

1).

Номер: 7.3.В 2 v Задача: Найти полную производную сложной функции y = u ⋅ e , где u = sin x , v = cos x . v v Ответы: 1). (− sin x + cos x ) ⋅ e 2). ue ⋅ (2 cos x − sin x )

3). (sin x − cos x ) ⋅ e

v

(

)

2

4). sin x − sin 2 x ⋅ ue

v

5).нет правильного ответа

Номер: 7.4.А 4 Задача: Найти полную производную данной функции z = ln 1 − x , где

(

)

x = sin t . Ответы: 1). − 2 tg t 2). ctg t 3). tg (2 t ) 4).

1 5).нет правильного ответа cos 2 t

Номер: 7.5.В

e ax (y − z ) Задача: Найти полную производную функции u = , где y = a sin x , 2 a +1 z = cos x ( a = const ).

93

1). e

Ответы: 4). e

ax

ax

e ax 2). 2 (a (cos x + y − z ) + sin x ) a +1

cos x

(cos x + y − z )

ax

3). e tgx

5).нет правильного ответа Номер: 7.6.В

∂z u −2 v 3 3 , если z = e , u = sin x , v = x + y . ∂x u −2 v u −2 v Ответы: 1). e ⋅ cos x − 6x 2 2). e 2 u −2 v 4). cos x − 6 y e 5).нет правильного ответа Задача: Найти

(

(

)

)

3). − 4 y ⋅ e

u −2 v

Номер: 7.7.В

∂z y 2 2 2 , если z = u ln v , где u = , v = x + y . ∂x x 3ux y ln v ⎛ ux y ln v ⎞ ⎛ ux y ln v ⎞ − 2 2). 2u ⎜ 3). Ответы: 1). 4u ⎜ − 2 ⎟ − 2 ⎟ v v v x ⎠ x ⎠ x ⎝ ⎝ ux y ln v 4). − 2 5).нет правильного ответа v x Задача: Найти

Номер: 7.8.В

∂z y 2 2 2 , если z = u ln v , где u = , v = x + y . ∂y x u ln v y ln v uy uy ⎛ ln v uy ⎞ Ответы: 1).

3). 2 ⋅ 4). 2u ⎜ + 2). − + ⎟ x v x v v x v⎠ ⎝

Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 7.9.А x y 3 Задача: Найти полную производную функции u = ln e + e , если y = x .

(

du du 3e y 2). Ответы: 1). = x = ex + ey y dx e + e dx x y du e + 3e ⋅ x 5).нет правильного ответа 4). = dx ex + ey Номер: 7.10.А Задача: Найти полную производную данной функции

1 t

если x = , y =

t.

94

)

du e x + 3e y ⋅ x 2 3). = dx ex + ey

(

)

z = tg 3t + 2x 2 − y ,

dz 4x dz dz 1 2). = 3 − − y 3). = 3 − 4t − t = dt dt dt cos 2 (3t + 2 x − y ) t2 dz ⎛ 4x 1 ⎞ 1 4).

5).нет правильного ответа = ⎜3 − 2 − ⎟ 2 dt ⎝ 2 t ( ) t ⎠ cos 3t + 2x − y

Ответы: 1).

Номер: 7.11.А Задача: Найти полную производную данной функции x = sin t , y = t 3 . Ответы: 3).

(

(

если

3 dz dz = e x − 2 y sin t − t 3 2). = e cos t −6 t sin t − 2 t 3 dt dt dz cos t − 6 t 2 4). = e x − 2 y 5).нет правильного ответа dt

1).

dz = e x −2 y dt

)

z = e x −2 y ,

(

)

)

Номер: 7.12.В

Задача: Найти Ответы: 4).

∂z x 2 , если z = u ln v , где u = , v = 3x − 2 y . ∂x y u u2 v 2).

(3x + 2v ln v ) 3). (3u + v ln v ) 1). 2u ln v + y vy v

u (3u + ln v ) 5).нет правильного ответа y Номер: 7.13.В

∂z x 2 , если z = u ln v , где u = , v = 3x − 2 y . ∂y y 2xu 4 xu u2 x 1).

2). (uy + xv ln v ) 3). (u ⋅ y + v ln v ) − 2 vy vy v y

Задача: Найти Ответы: 4).

− 2u (u ⋅ y + x ⋅ v ln v ) 5).нет правильного ответа vy 2 Номер: 7.14.А

Задача: Найти полную производную данной функции

y = x2 +1.

95

x u = arcsin , если y

Ответы:

1).

du 1 = dx 1− x2

du du x = 2 4).

3). = dx dx x + 1

(

x

t

)

2).

du = dx

⎞ ⎛ x ⎟ ⎜1 + 2 2 ⎜ 2 y − x ⎝ y x + 1 ⎟⎠ 1

⎞ ⎛ x2 ⎟ 5).нет правильного ответа ⎜1 − 2 2 ⎜ 2 y − x ⎝ y x + 1 ⎟⎠ 1

Номер: 7.15.А

dz 2 , если x = 1 − t . dt t e + te x et e t − t 2e x 2). x 3). x 4). x t t e +e e +e e + et

Задача: z = ln e + e . Найти

e t − 2te x Ответы: 1). x e + et

5).нет правильного ответа

Номер: 7.16.В

∂ω u ⋅υ 2 , если ω = 3 , u = arctg(3x − 4 y ) , υ = 5x y + 7 . ∂x ⎛ ⎞ 3υ u ⋅υ u ⋅υ ⎟ + 2). 3 ⋅ ln 3⎜ 10 xyu Ответы: 1). 3 ⋅ ln 3(u + υ) ⎟ ⎜ 1 + (3x − 4 y )2 ⎝ ⎠ ⎞ υ ⎞ ⎛ 3υ u ⋅υ u ⋅υ ⎛ ⎜ ⎟ 3). 3 ⋅ ln 3⎜ 4). ⋅ + 10 yu 3 10 yu + ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 9x ⎠ ⎝ 1 + (3x − 4 y ) ⎠ Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 7.17.В

∂ω u ⋅υ 2 , если ω = 3 , u = arctg(3x − 4 y ) , υ = 5x y − 1 . ∂y ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ υ υ u ⋅υ u ⋅υ ⎟ ⎜ ⎟ Ответы: 1). 3 ⋅ ln 3⎜⎜ 10 yu 2). − 3 ln 3 5 x u ⋅ + 2 2 ⎟ ⎟ ⎜ 1 + (3x − 4 y ) ⎠ ⎝ 1 + 16 y ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ 4υ 3υ u ⋅υ u ⋅υ ⎜ ⎟ ⎟ 3). 3 ⋅ ln 3⎜ 4). + ⋅ − 3 ln 3 5 x u 10 xyu 2 ⎟ ⎜ 1 + (3x − 4 y )2 ⎜ ⎟ 1 + (3x − 4 y ) ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 7.18.В Задача: Найти

x dz 2t −3 t , если z = arctg + sin (3t ) , x = e + 1 , y = e − 2 . y dt

96

2e 2 t y + 3e −3t x 2e 2 t + 3e −3t Ответы: 1). + 3 cos 3t 2). + 3 cos 3t 2 2 2 2 y +x y −x 2e 2 t y + 3xe −3t 3e −3t x + 2e 2 t y 4).

3). − 3 cos 3t 5).нет правильного ответа y2 + x 2 y2 − x 2 Номер: 7.19.А

∂ω 2u , если ω = υ , υ = ln (1 − t ) , u = cos t . ∂t ⎛ u ⎞ ⎞ u⎛ u Ответы: 1). υ ⎜ 2). − ⎜ + sin t ⋅ ln υ ⎟ ⋅ 2 ⋅ υ u − sin t ⋅ ln υ ⎟ ⎝1 − t ⎠ ⎝ (1 − t )υ ⎠ u⎞ ⎞ ⎛ u⎛ u 3). υ ⎜ + cos t ⋅ ln υ ⎟ 4). υ u ⎜ sin t ⋅ ln υ − ⎟ 5).нет правильного ответа υ⎠ ⎠ ⎝1 − t ⎝ Задача: Найти

Номер: 7.20.А

dz 2 2 −t 3 , если z = x sin y + t , x = 4 , y = t − 1. dt −t 2 2 2 −t 2 Ответы: 1). x ⋅ sin y ⋅ 4 + x t cos y − 2 t 2). x ⋅ cos y ⋅ 4 + t sin y −t 2 2 −t 2 3). − 2 x ⋅ sin y ⋅ 4 ln 4 + 3x t cos y + 2 t 4). 4 x ⋅ sin y + 3t cos y Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 7.21.А Задача: Найти полный дифференциал функции

x=

1 t , y=e . t

dz 2 2 , если z = x ⋅ y − y x + t , dt

xy ( ) t + (y − x )e 2). − + (x − 2 yx )e t 3). (2 xy − y ) t + (x − 2 yx )e + 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟(2xy − y ) + (x − 2 yx )e + 1 5).нет правильного ответа 4). ⎜⎜ − 2

1). x − y

Ответы:

2

2

t

t

dz , dt

если

3

2

2

2

+1

x

2

t

3 ⎝ 2 t ⎠

Номер: 7.22.В Задача:

Найти

(

полный

дифференциал

)

z = cos y 3 − 2 x 2 + t , y = ln t , x = 3t .

97

функции

–

⎛ ⎞ 3y 2 Ответы: 1). ⎜⎜12 x − − 1⎟⎟ sin y 3 − 2 x 2 + t t ⎝ ⎠

(

(

2

⎛ ⎞ 3y 2 3). − ⎜⎜ 4 x + + 1⎟⎟ sin y 3 − 2x 2 + t t ⎝ ⎠

2

2). 3y − 4 x + 1 sin y − 2 x + t

(

3

2

(

) ( ) + t ) 5).нет правильного ответа 3

4). sin y − 2 x

) )

Номер: 7.23.В

dz , dt

Задача: Найти полный дифференциал функции –

z = xyt ,

если

x = sin 2t , y = cos 2 t .

2). y cos 2 t + x sin 2 t + t Ответы: 1). yt cos 2 t + xt sin 2 t + xy 4). t sin 2 t − cos 2 t − xy 5).нет правильного 3). 2 yt cos 2 t − xt sin 2 t + xy ответа Номер: 7.24.В Задача: Найти полный дифференциал функции –

dz 2 , если z = cos(xy ) + 3t , dt

x = 1− t , y = t2 − t .

2). − sin (xy )(y − x ) + 6 t Ответы: 1). sin (xy )(y − (2 t − 1)x ) + 6 t 3). sin (xy )(y − 2 t + 1) − 6 t 4). − sin (xy )(y − (2 t − 1)x ) 5).нет правильного ответа Номер: 7.25.А Задача: Найти полный дифференциал функции –

y = e 3t , x = t + t 2 . Ответы: 3). −

1).

1 1 + (y − x )

2

1 1 + (y − x )

(

2

(

⋅ 3e 3t − 1 − 2 t

⋅ 1 + 2 t + 3e 3 t

)

4).

)

dz , если z = arctg(y − x ) , dt 2).

1 1 + (y − x )

2

(

)

)

5).нет

dz , dt

если

1 1 − (y − x )

(

2

⋅ 3e 3t − 2t

⋅ t + t 2 + 3e 3t

правильного ответа Номер: 7.26.А Задача:

Найти

полный

дифференциал

z = x 2 + y 2 + 2 xy , x = cos t , y = 3 t .

98

функции

–

Ответы:

t

(

1). − 2 x sin t + 2 y ⋅ 3 ⋅ ln 3

3). (x + y ) 3 − sin t t

)

(

2). 2(x + y ) 3 ln 3 − sin t t

4). 2 y ⋅ 3 ln 3 − 2(x + y ) sin t 5).нет правильного ответа

)

t

Номер: 7.27.В Задача: Найти полный дифференциал функции –

(

)

du 2 , если u = ln z − zy , dx

z = e 3x , y = log 4 x .

1 ⎛ z ⎞ 1 3x 3x Ответы: 1). 2 2). 3 ⋅ e − ⎜ 3(2z − y ) ⋅ e − ⎟ x ⋅ ln 4 x ⋅ ln 4 ⎠ z − zy ⎝ 1 ⎛ z ln 4 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 3x 3x 3). 2 4). 2 5).нет ⎜ 6z ⋅ e − ⎟ ⎜3⋅ e − ⎟ x ⎠ x ⋅ ln 4 ⎠ z − zy ⎝ z − zy ⎝ правильного ответа Номер: 7.28.А Задача: Найти полный дифференциал функции –

dz , если z = sin (y ⋅ t − 1) , dt

y = 1− t3 . ⎛ 3t 2 ⎞ 2 ⎟ cos(yt − 1) 2). y − 3t cos(yt − 1) Ответы: 1). ⎜⎜ y − 3 ⎟ 2 1− t ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 3t 2 3t 3 ⎜ ⎟ cos(yt − 1) 3). y − cos(yt − 1) 4).

3 3 ⎟ ⎜ 3 1 − t − 2 1 t ⎝ ⎠

(

(

)

)

5).нет правильного ответа Номер: 7.29.В Задача: Найти полный дифференциал функции –

y = sin (1 − 2x ).

dz ⎛ y⎞ , если z = arctg⎜ ⎟ , dx ⎝x⎠

1 1 ( ( ) ) 2). (y + 2x ) y − 2 cos 1 − 2 x x 2 + y2 x 2 − y2 1 1 3). − 2 ( ( ) ) 4). (y − x cos(1 − 2x )) y + 2 x cos 1 − 2 x x + y2 x 2 − y2 Ответы:

1).

5).нет правильного ответа

99

Номер: 7.30.А Задача: Найти полный дифференциал функции –

(

)

3).

1 x − y2

dz 2 , если z = ln x − y , dx

y = 1− x2 . Ответы: 4).

1).

− 2x

(x − y ) 1 − x 2

1 ⎛ 2 yx ⎜ + 1 x − y 2 ⎜⎝ 1− x2

2

2).

1 ⎛ 2 x ⎜ − y x − y 2 ⎝⎜ 1− x2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ 5).нет правильного ответа ⎠

Номер:7.31.A Задача: Производная сложной функции z = f (x, y ) , где x = ϕ(t ), y = ψ(t ) , если

f (x , y ) дифференцируема по x , y , а ϕ(t ), ψ(t ) − дифференцируема по t

определяется по формуле dz ∂z dx ∂z dy dz ∂z dx ∂z dy Ответы: 1). = ⋅ + ⋅ 2). = − ⋅ − ⋅ ∂x dt ∂y dt dt ∂x dt ∂y dt dt dz ∂z dx ∂z dy dz ∂z dx ∂z dy dz ∂z ∂z 4). = ⋅ ⋅ − ⋅ 5). = 3). = + ⋅ dt + dt dt ∂t dt ∂t dt dt ∂x ∂y dt ∂x dt ∂y dt

100

8. Дифференцирование функций, заданных неявно.

Номер: 8.1.В Задача: Найти производную от неявной функции от x , заданной уравнением: yx = x y .

dy x y −1 − y x ln y dy yx y −1 − y x ln y Ответы: 1).

2). = = dx y x −1 − x y ln x dx xy x −1 − x y ln x dy yx y −1 − y x dy dy x y = x −1 3).

4).

5). = y − x = y x ln y − x y ln x y dx dx dx y −x Номер: 8.2.А

∂ω , если u − v ⋅ tg aω = 0 ∂u v cos 2 aω Ответы: 1).

2).

3). − tg aω 4). − 1 5).нет правильного ответа 2 av cos aω Задача: Найти

Номер: 8.3.А

∂ω , если u − v ⋅ tg aω = 0 ∂v sin 2aω v 2 Ответы: 1). − cos aω 2). − 3). av ⋅ ω 4). − 2av cos 2 aω Задача: Найти

5).нет правильного ответа

Номер: 8.4.А Задача: Найти z ′x ; z ′y , если x + y + z + 2 xz = 1 .

2

2

Ответы: 1). 2(x + z ) ; 2 y 2). − 1; − 5).нет правильного ответа

2

y 3). 2; 2 4). 2 x; 2 y x+z

Номер: 8.5.А

∂u ∂u u , если e = cos v ⋅ cos t . ; ∂v ∂t Ответы: 1). − sin v ; − sin t 2). − sin v cos t ; − sin t cos v 3). − tg v; − tg t u −u 4). e ; cos t ⋅ e 5).нет правильного ответа Задача: Найти

Номер: 8.6.А Задача: Найти

dy 2 2y 2 2x , если x e − y e = 0 . dx 101

Ответы:

(

1). 2 xe

2y

2 2x

−y e

)

y 2 e 2 x − xe 2 y 2). 2 2 y x e − ye 2 x

(

2 2y

3). 2 x e

− ye 2 x

)

xe 2 y − ye 2 x 4). 2 y 5).нет правильного ответа ye − xe 2 x Номер: 8.7.А

dy x−y , если x + y = e . dx x−y e −1 x−y Ответы: 1). x − y 2). e + 1 3). − e x − y 4).1 − e x − y e +1 Задача: Найти

5).нет правильного ответа

Номер: 8.8.В

xy ∂z , если z ln (z + x ) − = 0. z ∂x z z y y yz(x + z ) − z 3 Ответы: 1).

2). 3 3). − 4). − z+x z+x z z z + 2 xy(x + z ) Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 8.9.В

∂z xy , если z ln (z + x ) − = 0. ∂y z z (x − z ) xz(x + z ) x z Ответы: 1). − 2). ln (z + x ) + 3). 2 4). 3 z z+x z + 2xy(x + z ) z + 2xy(x + z ) Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 8.10.А Задача:

Найти

производную

dy dx

от

функции

заданной

xe y + ye x − e xy = 0 e xy − e y ye xy − ye x − e y y x xy Ответы: 1). y 2). e + ye − ye 3). y x xy xe + e − xe xe + ye x 5).нет правильного ответа Номер: 8.11.А

Задача: Найти

∂y y , если e − xyz = 0 . ∂z

102

неявно:

y

4). xe + e

x

Ответы: 1). − xy 2).

y y y 3). e − xz 4). − xy + e z(y − 1)

5).нет правильного ответа Номер: 8.12.А

∂y y , если e − xyz = 0 . ∂x y y y Ответы: 1). − yz 2). e − yz 3). 4).

5).нет правильного ответа x x (y − 1)

Задача: Найти

Номер: 8.13.В

∂z , если yz = arctg(xz ) . ∂x 1 z z z Ответы: 1).

2).

3).

4). y−x 1 + x 2z2 y + x 2z2 ⋅ y − x 1 + x 2z2

Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 8.14.В

∂z , если yz = arctg(xz ) . ∂y zx y 1 + x 2z2 z 1 + x 2z2 Ответы: 1).

2).

3).

4). − 1 + x 2z2 1 + x 2z2 y + yz 2 ⋅ x 2 − x y + yz 2 ⋅ x 2 − x

Задача: Найти

(

)

5).нет правильного ответа Номер: 8.15.А

dy 2 x −3 y , если 2 x + 3y = e . dx 2 1 − e 2 x −3 y 2 − e 2 x −3 y 2 x −3 y Ответы: 1). 3 1 + e 2). − 3). − 2 x −3 y 31+ e 3 + e 2 x −3 y

Задача: Найти

(

( (

)

) )

4). 2 1 + e

(

2 x −3 y

)

(

5 x −3 y

)

5).нет правильного ответа Номер: 8.16.А

dy 5 x −3 y , если 5x + 3y = e . dx 3 1 − e 5 x −3 y 5 1 − e 5 x −3 y 5 x −3 y Ответы: 1).

2). 5 1 − e 3). − 5 1 − e 5 x −3 y 3 1 + e 5 x −3 y Задача: Найти

( (

) )

(

)

5).нет правильного ответа 103

( (

) )

4). 3 1 + e

Номер: 8.17.В

dy 2 xy , если cos(xy ) − e − 3x 2 y = 0 . dx y sin (xy ) + 2e 2 xy + 6 x y sin (xy ) + e 2 xy + 6x Ответы: 1). − 2).

2 xy x sin (xy ) + 2e + 3x x sin (xy ) + e 2 xy − 3x 2 y sin (xy ) + 2e 2 xy + 6 x y sin (xy ) 3).

4).

5).нет правильного ответа x sin (xy ) x sin (xy ) + 2 xe 2 xy

Задача: Найти

( (

) )

Номер: 8.18.А

Задача: Найти Ответы: 1).

∂z , если xy = ln (y + z ) . ∂x

y 1 2). y(y + z ) 3). − y − 4). x (y + z ) y+z y+z

5).нет правильного ответа Номер: 8.19.А

∂z , если xy = ln (y + z ) . ∂y x Ответы: 1). x − z 2).

3). − x (y + z ) 4). x (y + z ) − 1 y+z Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 8.20.В

∂z , если zyx = cos(3y − 2z ). ∂x zy − 1 y Ответы: 1).

2).

2 sin (3y − 2z ) 2 sin (3y − 2z ) z 4).

5).нет правильного ответа 2 sin (3y − 2z ) − yx Задача: Найти

Номер: 8.21.В

Задача: Найти

∂z , если zyx = cos(3y − 2z ). ∂y

104

3). −

zy 2 sin (3y − 2z ) − yx

zx zy + 3 sin (3y − 2z ) 2).

3). zx + sin (3y − 2z ) yx − 2 sin (3y − 2z ) yx − 2 sin (3y − 2z ) zx + 3 sin (3y − 2z ) 4).

5).нет правильного ответа 2 sin (3y − 2z ) − yx

Ответы: 1).

Номер: 8.22.В

Задача: Найти Ответы:

(

∂z 3 x −2 y , если z x − e ln z = 0 . ∂x z 3 − e x − 2 y ln z 3z 2 x − e x − 2 y 1).

2).

3z 2 x x − e x −2 y

z z 3 − ln ze x − 2 y 4).

3xz 3 − e x − 2 y

)

z 3 − e x −2 y 3). x − e x −2 y

5).нет правильного ответа Номер: 8.23.А

∂z 2 x z , если z ⋅ y − e = e . ∂y 2 yz 2 yz z Ответы: 1). z 2).

3). e − y2 y2 − ez y2 − ez Задача: Найти

4). 2zy 5).нет правильного

ответа Номер: 8.24.А

∂z 2 x z , если z ⋅ y − e = e . ∂x ex ex x Ответы: 1). 2 2). − e 3). − 2 z y −e y − ez Задача: Найти

4). − e

x −z

5).нет правильного

ответа Номер: 8.25.А

∂z xz 2 , если e − z ⋅ y = 3 . ∂y 2z 2 z2 z2 + 3 Ответы: 1). − xz 2). xz 3). xz 4). 2zy − 3 xe − 2zy e xe − 2zy Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 8.26.В

Задача: Найти

∂z z 2 , если sin − y ⋅ x = y . ∂x y 105

2 yx 2y 2 x y Ответы: 1).

2).

3). − 4). − 2 yx ⎛z⎞ ⎛z⎞ ⎛z⎞ cos⎜⎜ ⎟⎟ cos⎜⎜ ⎟⎟ cos⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠ 5).нет правильного ответа Номер: 8.27.В

Задача: Найти

Ответы: 1). −

∂z z 2 , если sin − x = y . ∂y y ⎛z⎞ y 2 + z cos⎜⎜ ⎟⎟ 2 xy ⎝ y⎠ ⎛z⎞ cos⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠

2).

⎛z⎞ y ⋅ cos⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠

⎛z⎞ y − z cos⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠ 4). − z cos z + 2 3). y ⎛z⎞ y2 cos⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠

5).нет правильного ответа Номер: 8.28.В

∂z ∂z 2 2 3 и , если yx − z x + zy = z . ∂x ∂y y x x−z y − z2x Ответы: 1). − − ; 2). ; y − 3z 2 y − 3z 2 y − 2x 2 z − 3z 2 y − 2x 2 z − 3z 2 2z 2 x − y x+z 2 3). ; 4). y − 2z x ; x + z 2 2 2 2 y − 2x z − 3z 3z + 2x z − y Задача: Найти

5).нет правильного ответа Номер: 8.29.В

∂y ∂y x −2 y и , если e − z 2 y = 4x . ∂z ∂x e x −2 y 2zy 2y x −2 y Ответы: 1). x − 2 y ; 2). − 2 zy ; e − 4 3). ; − 2e x − 2 y + z 2 e + z 2 z 2 + e x −2 y 2zy 4 4 − e x −2 y 4). ; − 5).нет правильного ответа − 2 e x −2 y − z 2 e x −2 y − z 2 z + 2e x − 2 y Задача: Найти

Номер: 8.30.А

∂y 2y , если e = xyz . ∂z xy x y xy Ответы: 1).

2).

3).

4). xz − e 2 y 2e 2 y − xz 2e 2 y − xz 2e 2 y − xz Задача: Найти

106

5).нет правильного ответа Номер: 8.31.A Задача: Производная неявно заданной функции F(x , y ) = 0 находится по формуле F′ (x, y ) dy Fx′ (x, y ) dy dy = Ответы: 1). = Fx′ (x , y ) ⋅ Fy′ (x , y ) 2). = − x 3). dx dx Fy′ (x, y ) dx Fy′ (x, y ) F′′ (x, y ) F′ (x , y ) dy dy 5). =− x 4). = − x dx Fy′′ (x, y ) dx Fx′′ (x , y ) Номер: 8.32.A Задача: Если функция F(x , y, z ) дифференцируема по x , y, z , определяет неявно ∂z заданную функцию z , причем Fz′ (x , y, z ) ≠ 0 , то частные производные и ∂x ∂z находят по формулам ∂y Fy′ (x , y, z ) F′ (x , y, z ) ∂z ∂z ; =− x =− Ответы: 1).

Fz′ (x , y, z ) ∂y ∂x Fz′ (x , y, z ) ∂z Fx′ (x , y, z ) ∂z Fy′ (x , y, z ) ∂z Fx′ (x , y, z ) ∂z Fy′ (x , y, z ) 2). ; ; = = = 3). = ∂x Fz′ (x , y, z ) ∂y Fz′ (x , y, z ) ∂x Fz′ (x , y, z ) ∂y Fx′ (x , y, z )

4).

∂z Fz′ (x , y, z ) ∂z Fz′ (x , y, z ) F′ (x , y, z ) ∂z F′ (x , y, z ) ∂z = = 5). ; ; =− z =− z Fx′ (x , y, z ) ∂y Fy′ (x , y, z ) ∂x ∂x Fx′ (x, y, z ) ∂y Fy′ (x, y, z )

107

9. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.

Номер: 9.1.В Задача: Составить уравнение нормали

(ln )

x 2 y2 z2 к поверхности 2 + 2 + 2 = 1 в b c a

⎛a 3 b 3 c 3⎞

⎟⎟ , где a , b, c ∈ N , , точке M 0 ⎜⎜ 3 3 ⎠ ⎝ 3 a b c y− z− 3 = 3 = 3 2). x − a = y − b = z − c Ответы: 1).

2 2 2 2 2 2 − b c a a 3 b 3 c 3 x − a y − b z − 3c x − a y − b z − 2c 3).

4). = = = = 2 2 2 2 2 3 2 2 − − a b a b c c x − a y − 3b z − c = = 5).

2 2 2 3 − a c b x−

Номер: 9.2.В Задача: Составить уравнение нормали

(ln )

точке M 0 (a , b, c ) , где a , b, c ∈ N

x 2 y2 z2 к поверхности 2 + 2 − 2 = 1 в b c a

a b c y− z− 3 = 3 = 3 2). x − a = y − b = z − c Ответы: 1).

2 2 2 2 2 2 − a b c a 3 b 3 c 3 x − a y − b z − 3c x − a y − b z − 2c 3).

4). = = = = 2 2 2 2 2 3 2 2 − − a b a b c c x − a y − 3b z − c = 5). = 2 2 2 3 − c a b x−

108

Номер: 9.3.В Задача: Составить уравнение нормали

(

(ln )

)

x 2 y2 z2 к поверхности 2 + 2 − 2 = −1 b a c

в точке M 0 a , b, 3c , где a , b, c ∈ N

a b c y− z− 3 = 3 = 3 2). x − a = y − b = z − c Ответы: 1).

2 2 2 2 2 2 − b c a a 3 b 3 c 3 x − a y − b z − 3c x − a y − b z − 2c 3).

4). = = = = 2 2 2 2 2 3 2 2 − − a b a b c c x − a y − 3b z − c 5). = = 2 2 2 3 − c a b x−

Номер: 9.4.В Задача: Составить уравнение нормали

(

(ln )

)

x 2 y2 z2 к поверхности 2 + 2 − 2 = 0 в b a c

точке M 0 a , b, 2c , где a , b, c ∈ N

a b c y− z− 3 = 3 = 3 2). x − a = y − b = z − c Ответы: 1).

2 2 2 2 2 2 − b c a a 3 b 3 c 3 x − a y − b z − 3c x − a y − b z − 2c 3).

4). = = = = 2 2 2 2 2 3 2 2 − − a b a b c c x − a y − 3b z − c 5). = = 2 2 2 3 − c a b x−

Номер: 9.5.В Задача: Составить уравнение нормали

(

(ln )

)

в точке M 0 a , 3b, c , где a , b, c ∈ N 109

x 2 z2 y2 к поверхности 2 + 2 − 2 = −1 b a c

a b c y− z− 3 = 3 = 3 2). x − a = y − b = z − c Ответы: 1).

2 2 2 2 2 2 − b c a a 3 b 3 c 3 x − a y − b z − 3c x − a y − b z − 2c = = 3).

4). = = 2 2 2 2 2 2 2 3 − − a b c a b c x−

x − a y − 3b z − c = = 2 2 2 3 − c a b

5).

Номер: 9.6.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

(α )

к поверхности

⎛a 3 b 3 c 3⎞ x 2 y2 z2 ⎜ ⎟⎟ M , , в точке + + = 1 0 2 2 2 ⎜ 3 3 ⎠ b a c ⎝ 3 Ответы: 1).

c ⎞ 2 ⎛ a ⎞ 2 ⎛ b ⎞ 2 ⎛ ⎟=0 ⎜z − ⎟+ ⎜y− ⎟+ ⎜x − a 3⎝ 3⎠ b 3⎝ 3⎠ c 3⎝ 3⎠

2 (x − a ) + 2 (y − b ) − 2 (z − c ) = 0 a c b 2 2 2 3 z − 3c = 0 3). (x − a ) + (y − b ) − a c b 2 2 2 2 z − 2c = 0 4). (x − a ) + (y − b ) − a c b 2 2 3 2 y − 3b + (z − c ) = 0 5). (x − a ) − a c b 2).

(

(

)

(

)

)

Номер: 9.7.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости 2

2

2

x y z + − = 1 в точке M 0 (a , b, c ) a 2 b2 c2 Ответы: 1).

2).

2 ⎛ a ⎞ 2 ⎛ b ⎞ 2 ⎛ c ⎞ ⎟=0 ⎜z − ⎟+ ⎜y− ⎟+ ⎜x − a 3⎝ 3⎠ b 3⎝ 3⎠ c 3⎝ 3⎠

2 (x − a ) + 2 (y − b ) − 2 (z − c ) = 0 a c b

110

(

)

(

)

2 (x − a ) + 2 (y − b ) − 2 3 z − 3c = 0 a c b 2 2 2 2 z − 2c = 0 4). (x − a ) + (y − b ) − a c b 2 2 3 2 y − 3b + (z − c ) = 0 5). (x − a ) − a c b

3).

(

)

Номер: 9.8.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(

(α )

к поверхности

)

x 2 y2 z2 + 2 − 2 = −1 в точке M 0 a , b, 3c 2 b a c 2 ⎛ a ⎞ 2 ⎛ b ⎞ 2 ⎛ c ⎞ Ответы: 1). ⎜x − ⎟+ ⎜y − ⎟+ ⎜z − ⎟=0 3⎝ 3⎠ b 3⎝ 3⎠ 3⎝ 3⎠ 2 2 2 2). (x − a ) + (y − b ) − (z − c ) = 0 a c b 2 2 2 3 z − 3c = 0 3). (x − a ) + (y − b ) − a c b 2 2 2 2 z − 2c = 0 4). (x − a ) + (y − b ) − a c b 2 2 3 2 y − 3b + (z − c ) = 0 5). (x − a ) − a c b

(

(

)

(

)

)

Номер: 9.9.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости 2

2

2

(

)

(α )

x y z + − = 0 в точке M 0 a , b, 2c a 2 b2 c2 2 ⎛ a ⎞ 2 ⎛ b ⎞ 2 ⎛ c ⎞ Ответы: 1). ⎜x − ⎟+ ⎜y − ⎟+ ⎜z − ⎟=0 3⎝ 3⎠ b 3⎝ 3⎠ 3⎝ 3⎠ 2 2 2 2). (x − a ) + (y − b ) − (z − c ) = 0 a c b 2 2 2 3 z − 3c = 0 3). (x − a ) + (y − b ) − a c b

(

)

111

к поверхности

(

)

2 (x − a ) + 2 (y − b ) − 2 2 z − 2c = 0 a c b 2 2 3 2 y − 3b + (z − c ) = 0 5). (x − a ) − a c b

4).

(

)

Номер: 9.10.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(

x 2 z2 y2 + − = −1 в точке M 0 a , 3b, c a 2 c2 b2 Ответы: 1).

(α )

к поверхности

)

2 ⎛ a ⎞ 2 ⎛ b ⎞ 2 ⎛ c ⎞ ⎜x − ⎟+ ⎜y− ⎟+ ⎜z − ⎟=0 a 3⎝ 3⎠ b 3⎝ 3⎠ c 3⎝ 3⎠

2 (x − a ) + 2 (y − b ) − 2 (z − c ) = 0 a c b 2 2 2 3 z − 3c = 0 3). (x − a ) + (y − b ) − a c b 2 2 2 2 z − 2c = 0 4). (x − a ) + (y − b ) − a c b 2 2 3 2 y − 3b + (z − c ) = 0 5). (x − a ) − a c b 2).

(

(

)

(

)

)

Номер: 9.11.C

x 2 y2 Задача: Составить уравнение нормали (l n ) к поверхности 2 + 2 = 1 в точке b a ⎛ 2 ⎞ 2 M 0 ⎜⎜ a, b, c ⎟⎟ , где a , b, c ∈ N 2 ⎝ 2 ⎠

2 2 b a y− 2 = z − c 2). x − 2a = y − b = z − c 2 = Ответы: 1).

2 0 0 2 2 2 2 − b a b a 2 2 2 2 c c b z− a z− y− x− y−b x−a 2 2 2 2 3).

4). = = = = 0 0 2 2 2 2 b c c a x−

112

5).

x − a y − 2b z − c = = 2 0 2 2 − c b Номер: 9.12.C

x 2 y2 Задача: Составить уравнение нормали (l n ) к поверхности 2 − 2 = 1 в точке b a M 0 2a , b, c , где a , b, c ∈ N 2 2 b a y− x− z−c x − 2a y − b z − c 2 2 = = Ответы: 1).

2). = = 2 0 0 2 2 2 2 − b a b a 2 2 2 2 c c b z− a z− y− x− y−b x−a 2 2 2 2 3).

4). = = = = 0 0 2 2 2 2 b c c a x − a y − 2b z − c 5). = = 2 0 2 2 − c b

(

)

Номер: 9.13.C

y2 z2 Задача: Составить уравнение нормали (l n ) к поверхности 2 + 2 = 1 в точке c b ⎛ 2 2 ⎞ M 0 ⎜⎜ a , b, c ⎟⎟ , где a , b, c ∈ N 2 2 ⎝ ⎠ 2 2 b a y− z−c x − 2a y − b z − c 2 2 Ответы: 1).

2). = = = = 2 0 0 2 2 2 2 − b a b a 2 2 2 2 b z− c c y− z− a x− x−a y−b 2 2 2 2 3).

4). = = = = 0 0 2 2 2 2 b c c a x−

113

5).

x − a y − 2b z − c = = 2 0 2 2 − c b Номер: 9.14.C

x2 z2 Задача: Составить уравнение нормали (l n ) к поверхности 2 + 2 = 1 в точке a c ⎛ 2 2 ⎞ M 0 ⎜⎜ a , b, c ⎟⎟ , где a , b, c ∈ N 2 2 ⎝ ⎠ 2 2 b a y− z−c x − 2a y − b z − c 2 2 = = Ответы: 1).

2). = = 2 0 0 2 2 2 2 − b a b a 2 2 2 2 c c b z− a z− y− x− y−b x−a 2 2 2 2 3).

4). = = = = 0 0 2 2 2 2 b c c a x − a y − 2b z − c 5). = = 2 0 2 2 − c b x−

Номер: 9.15.C Задача: Составить уравнение нормали

(

(ln )

)

y2 z2 к поверхности 2 − 2 = 1 в точке b c

M 0 a , 2b, c , где a , b, c ∈ N 2 2 b a y− x− 2 = z − c 2). x − 2a = y − b = z − c 2 = Ответы: 1).

2 0 0 2 2 2 2 − b a b a 2 2 2 2 c c b z− a z− y− x− y−b x−a 2 2 2 2 3).

4). = = = = 0 0 2 2 2 2 b c c a

114

5).

x − a y − 2b z − c = = 2 0 2 2 − c b

Номер: 9.16.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

⎛ 2 ⎞ 2 x 2 y2 ⎟⎟ ⎜ в точке M a , b , c + = 1 0 2 2 ⎜ 2 b a ⎝ 2 ⎠ 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x − ⎜⎜ y − a ⎟⎟ + b ⎟⎟ = 0 Ответы: 1). a ⎝ 2 ⎠ b ⎝ 2 ⎠ 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ y − ⎜⎜ z − b ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 2). x − 2a − (y − b ) = 0 3). b ⎝ 2 ⎠ c ⎝ 2 ⎠ b a 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ x − ⎜⎜ z − 4). a ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 5). y − 2b − (z − c ) = 0 2 ⎠ c a ⎝ 2 ⎠ c ⎝ b

(

)

(

Номер: 9.17.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(

)

(α )

к поверхности

)

x 2 y2 − = 1 в точке M 0 2a , b, c a 2 b2 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x − ⎜⎜ y − a ⎟⎟ + b ⎟⎟ = 0 Ответы: 1).

2 ⎠ a ⎝ 2 ⎠ b ⎝ 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ y − ⎜⎜ z − b ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 2). x − 2a − (y − b ) = 0 3). b ⎝ 2 ⎠ c ⎝ 2 ⎠ b a 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ x − ⎜⎜ z − a ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 5). y − 2b − (z − c ) = 0 4). a ⎝ 2 ⎠ c ⎝ 2 ⎠ c b

(

)

(

Номер: 9.18.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

⎛ 2 2 ⎞ y2 z2 ⎜ в точке M a , b , c ⎟⎟ + = 1 0⎜ 2 2 b2 c2 ⎝ ⎠

115

)

(α )

к поверхности

2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x − ⎜⎜ y − a ⎟⎟ + b ⎟⎟ = 0 a ⎝ 2 ⎠ b ⎝ 2 ⎠ 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ y − ⎜⎜ z − b ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 2). x − 2a − (y − b ) = 0 3). b ⎝ 2 ⎠ c ⎝ 2 ⎠ b a 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ x − ⎜⎜ z − 4). a ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 5). y − 2b − (z − c ) = 0 a ⎝ 2 ⎠ c ⎝ 2 ⎠ c b

Ответы: 1).

(

)

(

)

Номер: 9.19.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

⎛ 2 2 ⎞ x2 z2 ⎜ в точке M a , b , c ⎟⎟ + = 1 0⎜ 2 2 a 2 c2 ⎝ ⎠ 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x − ⎜⎜ y − a ⎟⎟ + b⎟ = 0 Ответы: 1).

2 ⎟⎠ a ⎝ 2 ⎠ b ⎝ 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ y − ⎜⎜ z − b ⎟⎟ + c⎟ = 0 2). x − 2a − (y − b ) = 0 3).

2 ⎟⎠ b ⎝ 2 ⎠ c ⎝ b a 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ x − ⎜⎜ z − a ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 5). y − 2b − (z − c ) = 0 4).

2 ⎠ c a ⎝ 2 ⎠ c ⎝ b

(

)

(

)

Номер: 9.20.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(

(α )

к поверхности

)

y2 z2 − = 1 в точке M 0 a , 2b, c b2 c2 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x − ⎜⎜ y − a ⎟⎟ + b⎟ = 0 Ответы: 1). a ⎝ 2 ⎠ b ⎝ 2 ⎟⎠ 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ y − ⎜⎜ z − b ⎟⎟ + c⎟ = 0 2). x − 2a − (y − b ) = 0 3). b ⎝ 2 ⎠ c ⎝ 2 ⎟⎠ b a 2⎛ 2 ⎞ 2⎛ 2 ⎞ 2 2 2 ⎜⎜ x − ⎜⎜ z − a ⎟⎟ + c ⎟⎟ = 0 5). y − 2b − (z − c ) = 0 4). a ⎝ 2 ⎠ c ⎝ 2 ⎠ c b

(

)

(

Задача:

(x − x 0 )

Составить 2

Номер: 9.21.C уравнение нормали

)

(ln )

к

поверхности

a2 (y − y 0 ) в точке M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ), где a , b, c ∈ Re = b 116

x − x 0 − a y − y0 − b z − c = = 0 2a a2 − b x − x0 − a y − b z − z0 − c x − x 0 − a y − y0 − b z − c 2). = = 3). = = 2b 0 2a 0 a2 b2 − c c x − a y − y0 − b z − z0 − c x − a y − y0 − b z − z0 − c = = = = 5).

4).

2 b2 0 2b 2 c 0 c − c b

Ответы: 1).

Задача:

Составить

Номер: 9.22.C уравнение нормали

(ln )

к

поверхности

a2 (x − x 0 ) = (z − z 0 ) в точке M 0 (x 0 + a , b, z 0 + c ), где a, b, c ∈ Re c x − x 0 − a y − y0 − b z − c = = Ответы: 1).

2a 0 a2 − b x − x0 − a y − b z − z0 − c x − x 0 − a y − y0 − b z − c 2). = = 3). = = 2b 0 2a 0 a2 b2 − c c x − a y − y0 − b z − z0 − c x − a y − y0 − b z − z0 − c = = = = 5).

4).

2 b2 0 2b 2c 0 c − c b 2

Задача:

Составить

Номер: 9.23.C уравнение нормали

(ln )

к

поверхности

b2 (y − y 0 ) = − (x − x 0 ) в точке M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ), где a, b, c ∈ Re c x − x 0 − a y − y0 − b z − c = = Ответы: 1).

2a 0 a2 − b x − x0 − a y − b z − z0 − c x − x 0 − a y − y0 − b z − c 2). = = 3). = = 2b 0 2a 0 a2 b2 − c c 2

117

4).

x − a y − y0 − b z − z0 − c x − a y − y0 − b z − z0 − c = = 5). = = 2 b2 0 2b 2 c 0 c − c b

Задача:

Составить

Номер: 9.24.C уравнение нормали

(ln )

к

поверхности

c2 (z − z 0 ) = − (y − y 0 ) в точке M 0 (a, y 0 + b, z 0 + c ) , где a, b, c ∈ Re b x − x 0 − a y − y0 − b z − c = Ответы: 1). = 0 2a a2 − b x − x0 − a y − b z − z0 − c x − x 0 − a y − y0 − b z − c = 2).

3). = = = 2a 0 2b 0 a2 b2 − c c x − a y − y0 − b z − z0 − c x − a y − y0 − b z − z0 − c = = 5). = = 4).

2 b2 0 2b 0 2c c − c b 2

Задача:

Составить

Номер: 9.25.C уравнение нормали

(ln )

к

поверхности

b2 (y − y 0 ) = (z − z 0 ) в точке M 0 (a, y 0 + b, z 0 + c ) , где a, b, c ∈ Re c x − x 0 − a y − y0 − b z − c = Ответы: 1). = 0 2a a2 − b x − x0 − a y − b z − z0 − c x − x 0 − a y − y0 − b z − c = 2).

3). = = = 2a 0 2b 0 a2 b2 − c c x − a y − y0 − b z − z0 − c x − a y − y0 − b z − z0 − c = = 5). = = 4).

2 2 b 0 2b 0 2c c − c b 2

118

Номер: 9.26.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(x − x 0 )

2

(α )

к поверхности

(α )

к поверхности

(α )

к поверхности

a2 (y − y 0 ) в точке M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ) = b

a2 (y − y 0 − b ) = 0 Ответы: 1). 2a (x − x 0 − a ) − b 2 a (z − z 0 − c ) = 0 2). 2a (x − x 0 − a ) − c b2 (x − x 0 − a ) + 2 b( y − y 0 − b ) = 0 3). c c2 4). (y − y 0 − b ) + 2c(z − z 0 − c ) = 0 b b2 (z − z 0 − c ) = 0 5). 2b(y − y 0 − b ) − c Номер: 9.27.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

a2 (x − x 0 ) = (z − z 0 ) в точке M 0 (x 0 + a , b, z 0 + c ) c a2 (y − y 0 − b ) = 0 Ответы: 1). 2a (x − x 0 − a ) − b a2 (z − z 0 − c ) = 0 2). 2a (x − x 0 − a ) − c b2 (x − x 0 − a ) + 2 b( y − y 0 − b ) = 0 3). c c2 4). (y − y 0 − b ) + 2c(z − z 0 − c ) = 0 b b2 (z − z 0 − c ) = 0 5). 2b(y − y 0 − b ) − c 2

Номер: 9.28.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(y − y 0 )

2

b2 = − (x − x 0 ) в точке M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ) c

119

a2 Ответы: 1). 2a (x − x 0 − a ) − (y − y 0 − b ) = 0 b 2 a (z − z 0 − c ) = 0 2). 2a (x − x 0 − a ) − c b2 (x − x 0 − a ) + 2 b( y − y 0 − b ) = 0 3). c c2 4). (y − y 0 − b ) + 2c(z − z 0 − c ) = 0 b b2 (z − z 0 − c ) = 0 5). 2b(y − y 0 − b ) − c Номер: 9.29.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

(α )

к поверхности

c2 (z − z 0 ) = − (y − y 0 ) в точке M 0 (a, y 0 + b, z 0 + c ) b a2 (y − y 0 − b ) = 0 Ответы: 1). 2a (x − x 0 − a ) − b a2 (z − z 0 − c ) = 0 2). 2a (x − x 0 − a ) − c b2 (x − x 0 − a ) + 2 b( y − y 0 − b ) = 0 3). c c2 4). (y − y 0 − b ) + 2c(z − z 0 − c ) = 0 b b2 (z − z 0 − c ) = 0 5). 2b(y − y 0 − b ) − c 2

Номер: 9.30.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости

b2 (y − y 0 ) = (z − z 0 ) в точке M 0 (a , y 0 + b, z 0 + c ) c a2 (y − y 0 − b ) = 0 Ответы: 1). 2a (x − x 0 − a ) − b a2 (z − z 0 − c ) = 0 2). 2a (x − x 0 − a ) − c 2

120

b2 3). (x − x 0 − a ) + 2 b( y − y 0 − b ) = 0 c c2 4). (y − y 0 − b ) + 2c(z − z 0 − c ) = 0 b b2 (z − z 0 − c ) = 0 5). 2b(y − y 0 − b ) − c Номер: 9.31.В 2 2 Задача: Составить уравнение нормали (l n ) к поверхности x + y − z + 1 = 0

в точке M 0 (1;1; 3) , где a , b, c ∈ N Ответы:

⎧x = 2t + 1 ⎪ 1). ⎨ y = 2 t + 1 ⎪z = − t + 3 ⎩

⎧x = 2t + 1 ⎪ 2). ⎨ y = 2 t + 1 ⎪z = t − 1 ⎩

3).

x +1 y +1 z −1 = = −2 2 −2

⎧x = 2t + 1 x +1 y −1 z +1 ⎪ = = 4). ⎨ y = −2 t + 1 5).

2 2 1 ⎪z = t + 1 ⎩ Номер: 9.32.В 2 2 Задача: Составить уравнение нормали (l n ) к поверхности x + y + z − 1 = 0

в точке M 0 (1;1; − 1) , где a , b, c ∈ N

⎧x = 2 t + 1 ⎧x = 2t + 1 x +1 y +1 z −1 ⎪ ⎪ Ответы: 1). ⎨ y = 2 t + 1 2). ⎨ y = 2 t + 1 3). = = − 2 − 2 2 ⎪z = − t + 3 ⎪z = t − 1 ⎩ ⎩ ⎧x = 2t + 1 x +1 y −1 z +1 ⎪ = = 4). ⎨ y = −2 t + 1 5).

2 2 1 ⎪z = t + 1 ⎩ Задача:

Составить

Номер: 9.33.В уравнение нормали

(l n )

x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 0 в точке M 0 (− 1; − 1;1) , где a , b, c ∈ N

121

к

поверхности

⎧x = 2 t + 1 ⎧x = 2t + 1 x +1 y +1 z −1 ⎪ ⎪ Ответы: 1). ⎨ y = 2 t + 1 2). ⎨ y = 2 t + 1 3). = = − 2 − 2 2 ⎪z = − t + 3 ⎪z = t − 1 ⎩ ⎩ ⎧x = 2t + 1 x +1 y −1 z +1 ⎪ = = 4). ⎨ y = −2 t + 1 5).

2 2 1 ⎪z = t + 1 ⎩ Номер: 9.34.В 2 2 Задача: Составить уравнение нормали (l n ) к поверхности x − y + z − 1 = 0 в

точке M 0 (1;1;1) , где a , b, c ∈ N

⎧x = 2 t + 1 ⎧x = 2t + 1 x +1 y +1 z −1 ⎪ ⎪ Ответы: 1). ⎨ y = 2 t + 1 2). ⎨ y = 2 t + 1 3). = = − 2 − 2 2 ⎪z = − t + 3 ⎪z = t − 1 ⎩ ⎩ ⎧x = 2t + 1 x +1 y −1 z +1 ⎪ = = 4). ⎨ y = −2 t + 1 5).

2 2 1 ⎪z = t + 1 ⎩ Номер: 9.35.В уравнение нормали

(l n )

к

поверхности

Номер: 9.36.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

Задача:

Составить

− x 2 + y 2 + z + 1 = 0 в точке M 0 (− 1;1; − 1) , где a , b, c ∈ N ⎧x = 2t + 1 ⎧x = 2t + 1 x +1 y +1 z −1 ⎪ ⎪ Ответы: 1). ⎨ y = 2 t + 1 = = 2). ⎨ y = 2 t + 1 3). − − 2 2 2 ⎪z = − t + 3 ⎪z = t − 1 ⎩ ⎩ ⎧x = 2t + 1 x +1 y −1 z +1 ⎪ = = 4). ⎨ y = −2 t + 1 5).

2 2 1 ⎪z = t + 1 ⎩

x 2 + y 2 − z + 1 = 0 в точке M 0 (1;1; 3) Ответы: 1). 2 x + 2 y − z − 1 = 0 2). 2 x + 2 y + z − 3 = 0 3). 2 x + 2 y − 2z + 6 = 0 4). 2 x − 2 y + z − 1 = 0 5). 2 x + 2 y + z + 1 = 0 122

Номер: 9.37.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

Номер: 9.38.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

Номер: 9.39.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

Номер: 9.40.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости

(α )

к поверхности

x 2 + y 2 + z − 1 = 0 в точке M 0 (1;1; − 1) Ответы: 1). 2 x + 2 y − z − 1 = 0 2). 2 x + 2 y + z − 3 = 0 3). 2 x + 2 y − 2z + 6 = 0 4). 2 x − 2 y + z − 1 = 0 5). 2 x + 2 y + z + 1 = 0

x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 0 в точке M 0 (− 1; − 1;1) Ответы: 1). 2 x + 2 y − z − 1 = 0 2). 2 x + 2 y + z − 3 = 0 3). 2 x + 2 y − 2z + 6 = 0 4). 2 x − 2 y + z − 1 = 0 5). 2 x + 2 y + z + 1 = 0

x 2 − y 2 + z − 1 = 0 в точке M 0 (1;1;1) Ответы: 1). 2 x + 2 y − z − 1 = 0 2). 2 x + 2 y + z − 3 = 0 3). 2 x + 2 y − 2z + 6 = 0 4). 2 x − 2 y + z − 1 = 0 5). 2 x + 2 y + z + 1 = 0

− x 2 + y 2 + z + 1 = 0 в точке M 0 (− 1;1; − 1) Ответы: 1). 2 x + 2 y − z − 1 = 0 2). 2 x + 2 y + z − 3 = 0 3). 2 x + 2 y − 2z + 6 = 0 4). 2 x − 2 y + z − 1 = 0 5). 2 x + 2 y + z + 1 = 0

Номер: 9.41.А Задача: Чтобы поверхность S имела касательную плоскость в ее точке (x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )) необходимо и достаточно, чтобы функция f (x, y ) была в точке P0 (x 0 , y 0 ) : Ответы: 1).дифференцируемой 2).разрывной 3).сложной 4).линейной 5).голоморфной Номер: 9.42.А Задача: Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания называется: Ответы: 1).вектором 2).нормалью 3).трендом 4).функтором 5).ротором Номер: 9.43.А Задача: Уравнение нормали к поверхности F(x, y, z ) = 0 в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) имеет вид 123

Ответы: 1).

x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx′ (x 0 , y 0 , z 0 ) Fy′ (x 0 , y 0 , z 0 ) −1

2).

x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx′ (x 0 , y 0 , z 0 ) Fy′ (x 0 , y 0 , z 0 ) 1

3).

x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx′ (x 0 , y 0 , z 0 ) Fy′ (x 0 , y 0 , z 0 ) Fz′ (x 0 , y 0 , z 0 )

x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx′ x , y, z Fy′ (x , y, z ) Fz′ (x , y, z ) 5). Fx′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + Fy′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) + Fz′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ⋅ (z − z 0 ) = 0

4).

(

)

Номер: 9.44.А Задача: Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x, y, z ) = 0 в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) имеет вид Ответы: 1). z − z 0 = f x′ (x 0 , y 0 ) ⋅ (x − x 0 ) + f y′ (x 0 y 0 ) ⋅ (y − y 0 ) x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx′ (x 0 , y 0 , z 0 ) Fy′ (x 0 , y 0 , z 0 ) Fz′ (x 0 , y 0 , z 0 ) 3). z − z 0 = f x′′ (x 0 , y 0 ) ⋅ (x − x 0 ) + f y′′ (x 0 y 0 ) ⋅ (y − y 0 )

2).

4). Fx′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + Fy′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) + Fz′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ⋅ (z − z 0 ) = 0 5). Fx′ ( x , y , z) ⋅ ( x − x 0 ) + Fy′ ( x , y, z) ⋅ ( y − y 0 ) + Fz′ ( x , y, z) ⋅ (z − z 0 ) = 0

124

10. Производная функции по заданному направлению, градиент функции.

Номер: 10.1.В 2 2 2 z − z0 ) ( x − x0 ) ( y − y0 ) ( Задача: Найти вектор grad z для функции + + =1 c2 a2 b2 ⎛ a 3 b 3 c 3⎞ ⎟ , y0 + , z0 + в точке M 0 ⎜⎜ x 0 + ⎟ 3 3 3 ⎝ ⎠

2 ⎫ 2 ⎧ 2 ⎧2 2 2⎫ ; ; ⎬ 2). grad z M 0 = ⎨ ; ; − ⎬ ⎩a b c ⎭ ⎩ 3a 3b 3c ⎭ ⎧2 2 2 3 ⎫ ⎧2 2 2 2 ⎫ = ⎨ ; ;− = 4). grad z ⎬ ⎨ ; ;− ⎬ M0 c c ⎭ b a ⎩ ⎭ ⎩a b

Ответы: 1). grad z M = ⎨ 0 3). grad z M

0

⎧2 ⎩a

5). grad z M = ⎨ ; − 0

2 3 2⎫ ; ⎬ b c⎭

Номер: 10.2.В (x − x 0 )2 (y − y 0 )2 (z − z 0 )2 Задача: Найти вектор grad z для функции + − =1 c2 a2 b2 в точке M 0 (x 0 + a , y 0 + b, z 0 + c )

3). grad z M

0

5). grad z M

0

Задача:

(x − x 0 ) 2 a2

2 2 ⎫ ⎧ 2 ⎧2 2 2⎫ 2). grad z M = ⎨ ; ; − ⎬ ; ; ⎬ 0 ⎩a b c ⎭ ⎩ 3a 3b 3c ⎭ ⎧2 2 2 3 ⎫ ⎧2 2 2 2 ⎫ = ⎨ ; ;− 4). grad z M = ⎨ ; ; − ⎬ ⎬ 0 c c b b a a ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧2 2 3 2⎫ = ⎨ ;− ; ⎬ c⎭ b a ⎩

1). grad z M = ⎨ 0

Ответы:

Номер: 10.3.В вектор grad z

Найти

+

(y − y 0 )2 (z − z 0 )2 b2

−

c2

(

для

функции

= −1 в точке M 0 x 0 + a , y 0 + b, z 0 + 3c

125

)

2 2 ⎫ ⎧ 2 ⎧2 2 2⎫ ; ; ⎬ 2). grad z M 0 = ⎨ ; ; − ⎬ ⎩a b c ⎭ ⎩ 3a 3b 3c ⎭ ⎧2 2 2 3 ⎫ ⎧2 2 2 2 ⎫ = ⎨ ; ;− ⎬ 4). grad z M 0 = ⎨ ; ; − ⎬ c c b b a a ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Ответы: 1). grad z M = ⎨ 0 3). grad z M

0

⎧2 ⎩a

2 3 2⎫ ; ⎬ b c⎭

5). grad z M = ⎨ ; − 0

Номер: 10.4.В

2 2 2 Задача: Найти вектор grad z для функции (x − x2 0 ) + (y − y2 0 ) − (z − z2 0 ) = 0 в

(

точке M 0 x 0 + a , y 0 + b, z 0 +

3). grad z M

0

5). grad z M

0

Задача:

a2

)

2 2 ⎫ ⎧ 2 ⎧2 2 2⎫ ; ; 2). grad z M = ⎨ ; ; − ⎬ ⎬ 0 ⎩a b c ⎭ ⎩ 3a 3b 3c ⎭ ⎧2 2 2 3 ⎫ ⎧2 2 2 2 ⎫ = ⎨ ; ;− = 4). grad z ⎬ ⎨ ; ;− ⎬ M0 c c ⎭ b a ⎩ ⎭ ⎩a b ⎧2 2 3 2⎫ = ⎨ ;− ; ⎬ c⎭ b a ⎩

1). grad z M = ⎨ 0

Ответы:

(x − x 0 ) 2

2c

c

b

a

Номер: 10.5.В вектор grad z

Найти

+

(z − z 0 )2 (y − y 0 )2 c2

−

b2

для

(

функции

= −1 в точке M 0 x 0 + a , y 0 + 3b, z 0 + c

)

2 2 ⎫ ⎧ 2 ⎧2 2 2⎫ ; ; 2). grad z M = ⎨ ; ; − ⎬ ⎬ 0 ⎩a b c ⎭ ⎩ 3a 3b 3c ⎭ ⎧2 2 2 3 ⎫ ⎧2 2 2 2 ⎫ = ⎨ ; ;− = 4). grad z ⎨ ; ;− ⎬ ⎬ M0 c c ⎭ b a ⎩ ⎭ ⎩a b ⎧2 2 3 2⎫ = ⎨ ;− ; ⎬ c⎭ b a ⎩

1). grad z M = ⎨ 0

Ответы: 3). grad z M

0

5). grad z M

0

Номер: 10.6.В Задача: Найти вектор grad z для функции

⎛ ⎞ 2 2 M 0 ⎜⎜ x 0 + a, y 0 + b, z 0 + c ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ 126

(x − x 0 ) 2 a

2

+

(y − y 0 )2 b

2

= 1 в точке

⎧ 2 2 ⎫ ; 0⎬ ; b a ⎩ ⎭

⎧2 2 2 ⎫ ; − ; 0⎬ b ⎭ a ⎩

1). grad z M = ⎨ 0

Ответы:

2). grad z M = ⎨ 0

⎧

2 2⎫ ; ⎬ c ⎭ b ⎩ ⎧ 2 2 2⎫ ;− ⎬ = ⎨0; b c⎭ ⎩

⎧ 2 2⎫ ; 0; ⎬ c ⎭ ⎩ a

3). grad z M = ⎨0; 0 5). grad z M

0

4). grad z M = ⎨ 0

Номер: 10.7.В Задача: Найти вектор grad z для функции

(

(x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 a

)

M 0 x 0 + 2a , y 0 + b , z 0 + c ⎧ 2 2 ⎫ ; 0⎬ Ответы: 1). grad z M = ⎨ ; 0 b a ⎩ ⎭ ⎧ 2 2⎫ 3). grad z M = ⎨0; ; ⎬ 0 c ⎭ b ⎩ ⎧ 2 2 2⎫ 5). grad z M = ⎨0; ;− ⎬ 0 c⎭ b ⎩

2

−

b

2

= 1 в точке

⎧2 2 2 ⎫ ; − ; 0⎬ b ⎭ a ⎩

2). grad z M = ⎨ 0

⎧ 2 2⎫ ; 0; ⎬ c ⎭ ⎩ a

4). grad z M = ⎨ 0

Номер: 10.8.В Задача: Найти вектор grad z для функции

⎛ 2 2 ⎞ M 0 ⎜⎜ x 0 + a , y 0 + b, z 0 + c ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎧ 2 2 ⎫ ; 0⎬ Ответы: 1). grad z M = ⎨ ; 0 b a ⎩ ⎭ ⎧ 2 2⎫ 3). grad z M = ⎨0; ; ⎬ 0 c ⎭ b ⎩ ⎧ 2 2 2⎫ 5). grad z M = ⎨0; ;− ⎬ 0 c⎭ b ⎩

127

(y − y 0 )2 (z − z 0 )2 b2

+

c2

= 1 в точке

⎧2 2 2 ⎫ ; − ; 0⎬ b ⎭ a ⎩

2). grad z M = ⎨ 0

⎧ 2 2⎫ ; 0; ⎬ c ⎭ ⎩ a

4). grad z M = ⎨ 0

Номер: 10.9.В Задача: Найти вектор grad z для функции

(x − x 0 )2 (z − z 0 )2 a

2

+

c

2

= 1 в точке

⎛ 2 2 ⎞ M 0 ⎜⎜ x 0 + a , y 0 + b, z 0 + c ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎧ 2 2 ⎫ ⎧2 2 2 ⎫ ; ; 0⎬ 2). grad z M = ⎨ ; − ; 0⎬ Ответы: 1). grad z M = ⎨ 0 0 b ⎭ ⎩ a b ⎭ ⎩ a ⎧ ⎧ 2 2 2⎫ 2⎫ ; ⎬ 4). grad z M = ⎨ ; 0; ⎬ 3). grad z M = ⎨0; 0 0 c ⎭ ⎩ b c ⎭ ⎩ a ⎧ 2 2 2⎫ 5). grad z M = ⎨0; ;− ⎬ 0 c⎭ b ⎩ Номер: 10.10.В Задача: Найти вектор grad z для функции

(

(y − y 0 )2 (z − z 0 )2 b2

)

−

c2

= 1 в точке

M 0 x 0 + a , y 0 + 2b, z 0 + c ⎧ 2 2 ⎫ ⎧2 2 2 ⎫ ; 0⎬ 2). grad z M = ⎨ Ответы: 1). grad z M = ⎨ ; ; − ; 0⎬ 0 0 b b ⎭ a a ⎩ ⎭ ⎩ ⎧ ⎧ 2 2⎫ 2 2⎫ 3). grad z M = ⎨0; ; ⎬ 4). grad z M = ⎨ ; 0; ⎬ 0 0 c ⎭ ⎩ b c ⎭ ⎩ a ⎧ 2 2 2⎫ 5). grad z M = ⎨0; ;− ⎬ 0 c⎭ b ⎩ Номер: 10.11.В

(x − x 0 )

Задача: Найти вектор grad z для функции

M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ), где a , b, c ∈ Re

2

a2 (y − y 0 ) в точке = b

⎧ ⎧ a2 ⎫ a2 ⎫ Ответы: 1). grad z M = ⎨2a;− ; 0⎬ 2). grad z M = ⎨2a; 0; − ⎬ b ⎭ c ⎭ ⎩ ⎩ ⎧ b2 ⎫ ⎧ c2 ⎫ ; 2b; 0⎬ 4). grad z M = ⎨0; ; 2 c⎬ 3). grad z M = ⎨ ⎩ c ⎭ ⎩ b ⎭ 2 ⎧ b ⎫ 5). grad z M = ⎨0; 2b; − ⎬ c ⎭ ⎩ 0

0

0

0

0

128

Номер: 10.12.В Задача: Найти вектор grad z для функции

(x − x 0 )

M 0 (x 0 + a , b, z 0 + c )

2

a2 = (z − z 0 ) в точке c

⎧ ⎧ a2 ⎫ a2 ⎫ Ответы: 1). grad z M = ⎨2a;− ; 0⎬ 2). grad z M = ⎨2a; 0; − ⎬ b ⎭ c ⎭ ⎩ ⎩ ⎧ b2 ⎫ ⎧ c2 ⎫ ; 2b; 0⎬ 4). grad z M = ⎨0; ; 2 c⎬ 3). grad z M = ⎨ ⎩ c ⎭ ⎩ b ⎭ ⎧ b2 ⎫ 5). grad z M = ⎨0; 2b; − ⎬ c ⎩ ⎭ 0

0

0

0

0

Номер: 10.13.В Задача: Найти вектор grad z для функции (y − y 0 )

2

M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ), где a , b, c ∈ Re

b2 = − (x − x 0 ) в точке c

⎧ ⎧ a2 ⎫ a2 ⎫ Ответы: 1). grad z M = ⎨2a;− ; 0⎬ 2). grad z M = ⎨2a; 0; − ⎬ b ⎭ c ⎭ ⎩ ⎩ ⎧ b2 ⎫ ⎧ c2 ⎫ ; 2b; 0⎬ 4). grad z M = ⎨0; ; 2 c⎬ 3). grad z M = ⎨ ⎩ c ⎭ ⎩ b ⎭ ⎧ b2 ⎫ 5). grad z M = ⎨0; 2b; − ⎬ c ⎭ ⎩ 0

0

0

0

0

Номер: 10.14.В Задача: Найти вектор grad z для функции

(z − z 0 )

M 0 (a , y 0 + b, z 0 + c ) , где a , b, c ∈ Re

2

c2 = − (y − y 0 ) в точке b

⎧ ⎧ a2 ⎫ a2 ⎫ Ответы: 1). grad z M = ⎨2a;− ; 0⎬ 2). grad z M = ⎨2a; 0; − ⎬ b ⎭ c ⎭ ⎩ ⎩ ⎧ b2 ⎫ ⎧ c2 ⎫ ; 2b; 0⎬ 4). grad z M = ⎨0; ; 2 c⎬ 3). grad z M = ⎨ ⎩ c ⎭ ⎩ b ⎭ ⎧ b2 ⎫ 5). grad z M = ⎨0; 2b; − ⎬ c ⎭ ⎩ 0

0

0

0

0

129

Номер: 10.15.В Задача: Найти вектор grad z для функции

(y − y 0 )

M 0 (a , y 0 + b, z 0 + c ) , где a , b, c ∈ Re

2

b2 = (z − z 0 ) в точке c

⎧ ⎧ a2 ⎫ a2 ⎫ Ответы: 1). grad z M = ⎨2a;− ; 0⎬ 2). grad z M = ⎨2a; 0; − ⎬ b ⎭ c ⎭ ⎩ ⎩ ⎧ b2 ⎫ ⎧ c2 ⎫ ; 2b; 0⎬ 4). grad z M = ⎨0; ; 2 c⎬ 3). grad z M = ⎨ ⎩ c ⎭ ⎩ b ⎭ ⎧ b2 ⎫ 5). grad z M = ⎨0; 2b; − ⎬ c ⎩ ⎭ 0

0

0

0

0

Номер: 10.16.В 2 2 2 z − z0 ) ( x − x0 ) ( y − y0 ) ( Задача: Найти производную от функции + + =1 в c2 a2 b2 r ⎛ ⎞ точке M 0 ⎜ x 0 + a 3 , y 0 + b 3 , z 0 + c 3 ⎟ в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 } ⎜ 3 3 3 ⎟⎠ ⎝ Ответы: 1).

∂z ∂l

M0

∂z l ⎞ l 2⎛ l = r ⎜ 1 + 2 + 3 ⎟ 2).

3b 3c ⎠ ∂l l ⎝ 3a

M0

l ⎞ 2 ⎛l l = r ⎜ 1 + 2 − 3⎟ l ⎝a b c⎠

3).

3 l3 ⎞ 2 l3 ⎞ ∂z ∂z 2 ⎛l l 2 ⎛ l1 l 2 ⎟ 4). ⎜ ⎟ = r ⎜⎜ 1 + 2 − = + − r⎜ ⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 c ⎠ c ⎟⎠ l ⎝a b l ⎝a b

5).

3 l 2 l3 ⎞ ∂z 2 ⎛l = r ⎜⎜ 1 − + ⎟⎟ ∂l M 0 a b c⎠ l ⎝

Номер: 10.17.В 2 2 2 z − z0 ) ( x − x0 ) ( y − y0 ) ( Задача: Найти производную от функции + − =1 в 2 2 2 c a b r точке M 0 (x 0 + a , y 0 + b, z 0 + c ) в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 } Ответы: 1).

3).

l ⎞ l ⎞ l ∂z ∂z 2 ⎛l l 2⎛ l = r ⎜ 1 + 2 + 3 ⎟ 2). = r ⎜ 1 + 2 − 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 3b 3c ⎠ l ⎝a b c⎠ l ⎝ 3a

3 l3 ⎞ 2 l3 ⎞ ∂z ∂z 2 ⎛l l 2 ⎛ l1 l 2 ⎟ 4). ⎜ + − ⎟ = r ⎜⎜ 1 + 2 − = r ⎟ ⎜ ⎟ ∂l M 0 ∂ a b c l a b c l ⎝ l ⎝ M0 ⎠ ⎠

130

5).

3 l 2 l3 ⎞ ∂z 2 ⎛l = r ⎜⎜ 1 − + ⎟⎟ ∂l M 0 a b c⎠ l ⎝

Номер: 10.18.В 2 2 2 z − z0 ) ( x − x0 ) ( y − y0 ) ( Задача: Найти производную от функции + − = −1 2 2 b c a2 r в точке M 0 x 0 + a , y 0 + b, z 0 + 3c в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 }

(

Ответы: 1).

)

l ⎞ l ⎞ l ∂z 2 ⎛l l ∂z 2⎛ l = r ⎜ 1 + 2 + 3 ⎟ 2). = r ⎜ 1 + 2 − 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 3b 3c ⎠ l ⎝a b c⎠ l ⎝ 3a

3).

3 l3 ⎞ 2 l3 ⎞ ∂z ∂z 2 ⎛l l 2 ⎛ l1 l 2 ⎟ 4). ⎜ + − ⎟ = r ⎜⎜ 1 + 2 − = r ⎟ ⎜ ⎟ ∂l M 0 ∂ a b c a b c l l ⎝ l ⎝ M0 ⎠ ⎠

5).

3 l 2 l3 ⎞ ∂z 2 ⎛l = r ⎜⎜ 1 − + ⎟⎟ ∂l M 0 b c⎠ l ⎝a Номер: 10.19.В

( x − x 0 )2 (y − y0 )2 (z − z 0 )2 Задача: Найти производную от функции + − 2 2 2

(

a

)

b

r M 0 x 0 + a , y 0 + b, z 0 + 2c в направлении l = {l1 ,l 2 ,l 3 }

Ответы: 1).

c

= 0 в точке

l ⎞ l ⎞ l ∂z ∂z 2 ⎛l l 2⎛ l = r ⎜ 1 + 2 + 3 ⎟ 2). = r ⎜ 1 + 2 − 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 3b 3c ⎠ l ⎝a b c⎠ l ⎝ 3a

3).

3 l3 ⎞ 2 l3 ⎞ ∂z ∂z 2 ⎛l l 2 ⎛ l1 l 2 ⎟ 4). ⎜ + − ⎟ = r ⎜⎜ 1 + 2 − = r ⎟ ⎜ ⎟ ∂l M 0 ∂ a b c a b c l l ⎝ l ⎝ M0 ⎠ ⎠

5).

3 l 2 l3 ⎞ ∂z 2 ⎛l = r ⎜⎜ 1 − + ⎟⎟ ∂l M 0 b c⎠ l ⎝a

Номер: 10.20.В 2 2 2 ( x − x0 ) ( z − z0 ) ( y − y0 ) Задача: Найти производную от функции + − = −1 2 2 a2 c b r в точке M 0 x 0 + a , y 0 + 3b, z 0 + c в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 }

(

Ответы: 1).

)

l ⎞ l ⎞ l ∂z ∂z 2 ⎛l l 2⎛ l = r ⎜ 1 + 2 + 3 ⎟ 2). = r ⎜ 1 + 2 − 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 3b 3c ⎠ l ⎝a b c⎠ l ⎝ 3a 131

3).

3 l3 ⎞ 2 l3 ⎞ ∂z ∂z 2 ⎛l l 2 ⎛ l1 l 2 ⎟ 4). ⎜ + − ⎟ = r ⎜⎜ 1 + 2 − = r ⎟ ⎜ ⎟ ∂l M 0 ∂ a b c l a b c l ⎝ l ⎝ M0 ⎠ ⎠

5).

3 l 2 l3 ⎞ ∂z 2 ⎛l = r ⎜⎜ 1 − + ⎟⎟ b c⎠ ∂l M 0 l ⎝a Номер: 10.21.C

Задача:

Найти

производную

от

функции

x 2 y2 + 2 =1 2 a b

в

точке

r ⎛ 2 ⎞ 2 M 0 ⎜⎜ a, b, c ⎟⎟ в направлении l = {l1 ,l 2 ,l 3 } 2 ⎝ 2 ⎠ ∂z 2 ⎛l l ⎞ ∂z 2 ⎛ 2 l1 l 2 ⎞ = r ⎜ 1 + 2 ⎟ 2). = r ⎜⎜ − ⎟⎟ Ответы: 1). ∂l M 0 ∂l M 0 b⎠ l ⎝a b⎠ l ⎝ a 3).

l ⎞ 2 ⎛l 2 ⎛l l ⎞ ∂z ∂z = r ⎜ 2 + 3 ⎟ 4). = r ⎜ 1 + 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝b c⎠ l ⎝a c⎠

5).

∂z 2 ⎛ 2 l 2 l3 ⎞ = r ⎜⎜ − ⎟⎟ ∂l M 0 b c⎠ l ⎝ Номер: 10.22.C

x 2 y2 Задача: Найти производную от функции 2 − 2 = 1 в точке M 0 b a r направлении l = {l1 , l 2 , l 3 }

Ответы: 1).

∂z 2 ⎛l l ⎞ ∂z 2 ⎛ 2 l1 l 2 ⎞ = r ⎜ 1 + 2 ⎟ 2). = r ⎜⎜ − ⎟⎟ ∂l M 0 a b ∂ l a b⎠ l ⎝ ⎠ l ⎝ M0

3).

l ⎞ ∂z 2 ⎛l ∂z 2 ⎛l l ⎞ = r ⎜ 2 + 3 ⎟ 4). = r ⎜ 1 + 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝b c⎠ l ⎝a c⎠

5).

∂z 2 ⎛ 2 l 2 l3 ⎞ = r ⎜⎜ − ⎟⎟ ∂l M 0 c⎠ l ⎝ b

132

(

)

2a , b, c в

Номер: 10.23.C Задача:

Найти

производную

от

функции

y2 z2 + 2 =1 2 b c

в

точке

в

точке

r ⎛ 2 2 ⎞ b, c ⎟⎟ в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 } M 0 ⎜⎜ a , 2 ⎠ ⎝ 2 ∂z 2 ⎛l l ⎞ ∂z 2 ⎛ 2 l1 l 2 ⎞ = r ⎜ 1 + 2 ⎟ 2). = r ⎜⎜ − ⎟⎟ Ответы: 1). ∂l M 0 ∂l M 0 b⎠ l ⎝a b⎠ l ⎝ a 3).

l ⎞ 2 ⎛l 2 ⎛l l ⎞ ∂z ∂z = r ⎜ 2 + 3 ⎟ 4). = r ⎜ 1 + 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝b c⎠ l ⎝a c⎠

5).

∂z 2 ⎛ 2 l 2 l3 ⎞ = r ⎜⎜ − ⎟⎟ ∂l M 0 b c⎠ l ⎝ Номер: 10.24.C

Задача:

Найти

производную

от

функции

x2 z2 + 2 =1 2 a c

r ⎛ 2 2 ⎞ M 0 ⎜⎜ a , b, c ⎟⎟ в направлении l = {l1 ,l 2 ,l 3 } 2 ⎠ ⎝ 2 ∂z 2 ⎛ 2 l1 l 2 ⎞ ∂z 2 ⎛l l ⎞ = r ⎜⎜ − ⎟⎟ Ответы: 1). = r ⎜ 1 + 2 ⎟ 2). ∂l M 0 b⎠ ∂l M 0 l ⎝ a l ⎝a b⎠ 3).

l ⎞ 2 ⎛l 2 ⎛l l ⎞ ∂z ∂z = r ⎜ 2 + 3 ⎟ 4). = r ⎜ 1 + 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝b c⎠ l ⎝a c⎠

5).

∂z 2 ⎛ 2 l 2 l3 ⎞ = r ⎜⎜ − ⎟⎟ ∂l M 0 b c⎠ l ⎝ Номер: 10.25.C

(

y2 z2 Задача: Найти производную от функции 2 − 2 = 1 в точке M 0 a , 2b, c b c r в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 } Ответы: 1).

2 ⎛l l ⎞ ∂z ∂z 2 ⎛ 2 l1 l 2 ⎞ = r ⎜⎜ − ⎟⎟ = r ⎜ 1 + 2 ⎟ 2). ∂l M 0 a b ∂ l a b⎠ l ⎝ ⎠ l ⎝ M0 133

)

3).

l ⎞ ∂z 2 ⎛l ∂z 2 ⎛l l ⎞ = r ⎜ 2 + 3 ⎟ 4). = r ⎜ 1 + 3⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝b c⎠ l ⎝a c⎠

5).

∂z 2 ⎛ 2 l 2 l3 ⎞ = r ⎜⎜ − ⎟⎟ ∂l M 0 b c⎠ l ⎝ Номер: 10.26.C 2

Задача: Найти производную от функции

(x − x 0 ) 2 = a ( y − y 0 ) r

b

в точке

M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ), где a , b, c ∈ Re в направлении l = {l1 ,l 2 ,l 3 } 1⎛ a2 ⎞ ∂z 1 ⎛⎜ a 2 ⎞⎟ ∂z l 2 2). = r ⎜ 2a ⋅ l 1 − Ответы: 1). = r ⎜⎜ 2a ⋅ l1 − l 3 ⎟⎟ b ⎟⎠ ∂l M c ⎠ ∂l M 0 l ⎝ l ⎝ 0

⎞ ⎞ 1 ⎛ b2 1 ⎛ c2 ∂z ∂z 3). = r ⎜⎜ ⋅ l1 + 2b ⋅ l 2 ⎟⎟ 4). = r ⎜⎜ ⋅ l 2 + 2c ⋅ l 3 ⎟⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝ c l ⎝ b ⎠ ⎠ 1⎛ b2 ⎞ ∂z 5). = r ⎜⎜ 2b ⋅ l 2 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ ∂l M 0 l ⎝ Номер: 10.27.C

(x − x 0 )

Задача: Найти производную от функции

r M 0 (x 0 + a , b, z 0 + c ) в направлении l = {l1 ,l 2 ,l 3 } ∂z Ответы: 1). ∂l

M0

1 = r l

2 ⎛ ⎞ ∂z a ⎜ 2a ⋅ l 1 − ⎟ 2). l 2 ⎜ b ⎟⎠ ∂l ⎝

M0

2

a2 = (z − z 0 ) в точке c

1⎛ a2 ⎞ = r ⎜⎜ 2a ⋅ l1 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ l ⎝

⎞ ⎞ 1 ⎛ b2 1 ⎛ c2 ∂z ∂z 3). = r ⎜⎜ ⋅ l1 + 2b ⋅ l 2 ⎟⎟ 4). = r ⎜⎜ ⋅ l 2 + 2c ⋅ l 3 ⎟⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝ c l ⎝ b ⎠ ⎠ 1⎛ b2 ⎞ ∂z 5). = r ⎜⎜ 2b ⋅ l 2 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ ∂l M 0 l ⎝ Номер: 10.28.C Задача: Найти производную от функции

(y − y 0 )

2

b2 = − (x − x 0 ) в точке r c

M 0 (x 0 + a , y 0 + b, c ), где a , b, c ∈ Re в направлении l = {l1 ,l 2 ,l 3 } 134

∂z Ответы: 1). ∂l

M0

1 = r l

2 ⎛ ⎞ ∂z ⎜ 2a ⋅ l1 − a l 2 ⎟ 2). ⎜ b ⎟⎠ ∂l ⎝

M0

1⎛ a2 ⎞ = r ⎜⎜ 2a ⋅ l1 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ l ⎝

⎞ ⎞ 1 ⎛ b2 1 ⎛ c2 ∂z ∂z 3). = r ⎜⎜ ⋅ l1 + 2b ⋅ l 2 ⎟⎟ 4). = r ⎜⎜ ⋅ l 2 + 2c ⋅ l 3 ⎟⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝ c l ⎝ b ⎠ ⎠ 1⎛ b2 ⎞ ∂z 5). = r ⎜⎜ 2b ⋅ l 2 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ ∂l M 0 l ⎝ Номер: 10.29.C Задача: Найти производную от функции

(z − z 0 )

2

c2 = − (y − y 0 ) в точке b r

M 0 (a , y 0 + b, z 0 + c ) , где a , b, c ∈ Re в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 } 1⎛ a2 ⎞ ∂z 1 ⎛⎜ a 2 ⎞⎟ ∂z l 2 ⎟ 2). = r ⎜ 2a ⋅ l 1 − Ответы: 1). = r ⎜⎜ 2a ⋅ l1 − l 3 ⎟⎟ b ∂l M c ⎠ ∂l M 0 l ⎝ l ⎝ ⎠ 0

⎞ ⎞ 1 ⎛ b2 1 ⎛ c2 ∂z ∂z 3). = r ⎜⎜ ⋅ l1 + 2b ⋅ l 2 ⎟⎟ 4). = r ⎜⎜ ⋅ l 2 + 2c ⋅ l 3 ⎟⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝ c l ⎝ b ⎠ ⎠ 1⎛ b2 ⎞ ∂z 5). = r ⎜⎜ 2b ⋅ l 2 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ ∂l M 0 l ⎝ Номер: 10.30.C Задача: Найти производную от функции

(y − y 0 )

M 0 (a , y 0 + b, z 0 + c ) , где a , b, c ∈ Re

2

b2 = (z − z 0 ) в точке c

r в направлении l = {l1 , l 2 , l 3 }

∂z Ответы: 1). ∂l

M0

1 = r l

2 ⎞ ⎛ ∂z a ⎟ ⎜ 2a ⋅ l 1 − l 2).

2 ⎜ b ⎟⎠ ∂l ⎝

M0

1⎛ a2 ⎞ = r ⎜⎜ 2a ⋅ l1 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ l ⎝

⎞ ⎞ 1 ⎛ b2 1 ⎛ c2 ∂z ∂z 3). = r ⎜⎜ ⋅ l1 + 2b ⋅ l 2 ⎟⎟ 4). = r ⎜⎜ ⋅ l 2 + 2c ⋅ l 3 ⎟⎟ ∂l M 0 ∂l M 0 l ⎝ c l ⎝ b ⎠ ⎠ 1⎛ b2 ⎞ ∂z 5). = r ⎜⎜ 2b ⋅ l 2 − l 3 ⎟⎟ c ⎠ ∂l M 0 l ⎝

135

Номер: 10.31.A Задача: Из всех производных по направлению, вычисленных для функции u = u (x , y, z ) в одной и той же точке, наибольшее значение имеет та производная, которая вычислена: Ответы: 1).в направлении градиента 2).перпендикулярно градиенту 3).все производные равны 4).нет правильного ответа 5).в любом направлении Номер: 10.32.A Задача: Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u Ответы: 1).не равна нулю 2).равна нулю 3).имеет положительное значение 4).отрицательная 5).не имеет смысла Номер: 10.33.A Задача: Для дифференцируемой функции двух переменных u = u (x , y ) градиент определяется формулой ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u j j j Ответы: 1). grad u = i − 2). grad u = i + 3). grad u = i + ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂u ∂u ∂u ∂u j 5). grad u = − i + j 4). grad u = − i − ∂x ∂y ∂y ∂x Номер: 10.34.A Задача: Для функции двух переменных u = u (x , y ) вектор grad u направлен по отношению к касательной, проведенной к линии уровня u (x , y ) = с в точке M (x , y ) Ответы: 1).параллельно 2).под 4).перпендикулярно 5).под углом 30 0

углом

15 0

3).под

углом

45 0

Номер: 10.35.A Задача: Градиент функции трех переменных u = u (x , y, z ) направлен к поверхности уровня, проходящей через данную точку 0 Ответы: 1).параллельно 2).под углом 150 3).под углом 450 4).под углом 30 5).по нормали Номер: 10.36.A Задача: Для функции двух переменных u = u (x , y ) производная по направлению

вектора a = {cos α, cos β} в точке M(x , y ) вычисляется по формуле ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u Ответы: 1). = sin α + sin β 2). = cos α − sin β ∂a ∂x ∂y ∂a ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u 3). = cos α + cos β 4). = sin α + cos β 5). = − cos α + cos β ∂y ∂y ∂a ∂y ∂a ∂x ∂x ∂a ∂x 136

Номер: 10.37.А Задача: Найти градиент функции u = 4 x 2 +

1 2 y + 2z 2 в точке М(1;1;1) .

2

grad u M = Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72 Номер: 10.38.А Задача: Найти градиент функции u = 3x 2 − y 2 − z 2 в точке М(1;1;

1)..

grad u M = Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72 Номер: 10.39.А Задача: Найти градиент функции u = 4x 2 −

1 2 y − 2z 2 в точке М(1;1; 1).. .

2

grad u M = Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72 Номер: 10.40.В r Задача: Даны функция z = 3x + 2 xy ,точка A(1,2 ) и вектор а = {3;4}. Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{10;2} 2).{5; 2).. 3).{10;5} 4).{2;10} 5).{0;0} 2

Номер: 10.41.В Задача: Даны функция z = 4 y + xy и точка A(1,1) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{1;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{9;9} 2

Номер: 10.42.В Задача: Даны функция z = 100 y 4 − x 2 y и точка A(1,0 ) . Найти grad z в точке A. Ответы: 1).{0;1} 2).{1;0) 3).{-1;0} 4).{0;-1} 5).{-1;1} Номер: 10.43.В Задача: Даны функция z = 4 x − x + xy и точка A(0,0) . Найти grad z в точке A. Ответы: 1).{-1;0} 2).{0;0) 3).{10;0} 4).{1;0} 5).{9;9} 3

Номер: 10.44.В

Задача: Даны функция z = 1000 y 2 + 100 yx + 1000 x 2 и точка A(0,−1) . Найти grad z в точке A .

137

Ответы: 1).{-100;2000} 2).{-100;-2000) 3).{0;0} 4).{100;900} 5).{9;9} Номер: 10.45.В 2 Задача: Даны функция z = ln x + 3y и точка A(1,0 ) . Найти grad z в точке

(

)

2

A. Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1} Номер: 10.46.В Задача: Даны функция z = 100 + ln x 3 − y 6 и точка A(0,1) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{0;6} 5).{2;1}

(

)

Номер: 10.47.В Задача: Даны функция z = ln x (x − y ) и точка A(2,1) . Найти grad z в точке A. 3 Ответы: 1).{ ;-1} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1} 2

Номер: 10.48.В Задача: Даны функция z = ln (x − y ) и точка A(4,3) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{1;-1} 4).{1;9} 5).{2;1} Номер: 10.49.В

(

)

Задача: Даны функция z = 80 − x + ln x 2 + 3y 2 и точка A(1,0 ) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;1} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1} Номер: 10.50.В Задача: Даны функция z = xe y и точка A(1,0 ) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1} Номер: 10.51.В Задача: Даны функция z = x e и точка A(1,0) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1} ( y +5 )y

Номер: 10.52.В Задача: Даны функция z = xe и точка A(5,0 ) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;5} 5).{2;1} y

Номер: 10.53.В Задача: Даны функция z = 2 + ye и точка A(0,8) . Найти grad z в точке A . x

138

Ответы: 1).{0;8} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;2} 5).{8;1} Номер: 10.54.В Задача: даны функция z = e + xe y и точка A(0,0) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1} x

Номер: 10.55.В 2 2 Задача: Даны функция z = arctg x y и точка A(0,0) . Найти grad z в точке

(

)

A. Ответы: 1).. {0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1} Номер: 10.56.В Задача: Даны функция z = arctg x + y и точка A(1,−1) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{1; 1).. 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

(

)

Номер: 10.57.В Задача: Даны функция z = arctg x 3 + y и точка A(1,−1) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{3;1}

(

)

Номер: 10.58.В Задача: Даны функция z = 5 + arctg y 3 + x и точка A(1,−1) . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;3} 5).{3;1}

(

)

Номер: 10.59.В

(

)

Задача: Даны функция z = 100 + arctg x 3 y и точка A(1,1) . Найти grad z в точке A . −3 1 − 3 −1 3 1 Ответы: 1).{ ; } 2).{2;0) 3).{ ; } 4).{1;9} 5).{ ; } 2 2 2 2 2 2 Номер: 10.60.В Задача: Даны функция z = 25 + arctg x 2 y 2 и точка A(1,1) . Найти grad z в точке A .

3 1 − 3 −1 −3 1 Ответы: 1).{ ; } 2).{1; 1).. 3).{ ; } 4).{1;-1} 5).{ ; } 2 2 2 2 2 2

(

)

Номер: 10.61.В Задача: Даны функция z = 25 + arctg x 2 y 2 и точка A(0,0) . Найти grad z в точке A .

(

139

)

− 3 −1 3 1 Ответы: 1).{ ; } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{1;-1} 5).{ ; } 2 2 2 2 xy

Номер: 10.62.В + arctg x 2 y 2 и точка A(0,0) . Найти grad z в

(

)

Задача: Даны функция z = e точке A .

3 1 − 3 −1 Ответы: 1).{ ; } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{1;-1} 5).{ ; } 2 2 2 2 Номер: 10.63.В

(

)

Задача: Даны функция z = e 2 x − y + arctg x 2 y 2 и точка A(0,0) . Найти grad z в точке A .

3 1 − 3 −1 Ответы: 1).{ ; } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{2;-1} 5).{ ; } 2 2 2 2 Номер: 10.64.В

z2 Задача: Найти градиент функции u = x + y + в точке M(1,1,1) : grad u M = 4 2

Ответы: 1).

2

33 33 11 55 55 2).

3).

4).

5).

2 2 2 2 2

Номер: 10.65.В x 2 y2 + Задача: Найти градиент функции u = в точке M 0 (2,4) grad u = K 2 3 10 3 1 11 1 2). 3). Ответы: 1).

4). 5).

5 3 5 3 2 Номер: 10.66.В r Задача: Даны функция z = 3x + 2 xy , точка A(1,2 ) и вектор а = {3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

2

Ответы: 1).{10;2} 2).10 3). −

38 38 4).

5).0 5 5

Номер: 10.67.В r Задача: Даны функция z = 4 y 2 + xy , точка A(1,1) и вектор а = {3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).{1;9} 2).

38 39 39 38 3). − 4).

5). − 5 5 5 5

140

Номер: 10.68.В r Задача: Даны функция z = 100 y − x 2 y , точка A(1,0 ) и вектор а = {3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

4

Ответы: 1).{0;-1} 2).

4 4 39 3). − 4).0 5).

5 5 5

Номер: 10.69.В r Задача: Даны функция z = 4 x − x + xy , точка A(0,0) и вектор а = {− 3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

3

Ответы: 1).{0;-1} 2).

4 4 3 3). − 4).0 5).

5 5 5

Номер: 10.70.В

Задача: Даны функция z = 1000 y 2 + 100 yx + 1000 x 2 , точка A(0,−1) и вектор r а = {− 3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).420 2).400 3).- 420 4).0 5).- 400 Номер: 10.71.В r Задача: Даны функция z = ln x 2 + 3y 2 , точка A(1,0 ) и вектор а = {− 3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).420 2).

)

6 6 3).– 420 4).0 5). − 5 5

Номер: 10.72.В r Задача: Даны функция z = 100 + ln x 3 − y 6 , точка A(0,1) и вектор а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).

)

6 6 − 24 24 2). 3).

4).0 5). − 5 5 5 5

Номер: 10.73.В r Задача: Даны функция z = ln x (x − y ) , точка A(2,1) и вектор а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).

24 17 − 24 − 17 2).

3).

4).0 5).

5 10 5 10

Номер: 10.74.В r Задача: Даны функция z = ln (x − y ), точка A(4,3) и вектор а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).

24 17 1 −1 2).

3).

4).0 5).

5 10 5 5

141

Номер: 10.75.В

(

)

Задача: Даны функция z = 80 − x + ln x 2 + 3y 2 , точка A(1,0 ) и вектор r а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).

24 17 4 −4 2).

3).

4).0 5).

5 10 5 5

Номер: 10.76.В r Задача: Даны функция z = xe y , точка A(1,0 ) и вектор а = {1;0}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).

24 17 −4 4 2).

3).

4).0 5).

5 10 5 5

Номер: 10.77.В r Задача: Даны функция z = x e , точка A(1,0 ) и вектор а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . ( y + 5 )y

Ответы: 1).

24 17 4 −4 2).

3).0 4).

5).

5 10 5 5

Номер: 10.78.С r Задача: Даны функция z = xe , точка A(5,0 ) и вектор а = {− 3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . y

Ответы: 1).

24 17 4 − 17 2).

3).0 4).

5).

5 5 5 5

Номер: 10.79.С r x Задача: Даны функция z = 2 + ye , точка A(0,8) и вектор а = {− 3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).

−4 − 17 24 4 2).

3).-4 4).

5).

5 5 5 5

Номер: 10.80.В r Задача: Даны функция z = e x + xe y , точка A(0,0) и вектор а = {3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a . Ответы: 1).

6 4 −2 −6 2).

3).-4 4). 5).

5 5 5 5

Номер: 10.81.В r 2 2 Задача: Даны функция z = arctg x y , точка A(0,0) и вектор а = {3;4}.

(

)

Найти производную в точке A по направлению вектора a .

142

Ответы: 1).0 2).

6 4 −6 3).-4 4). 5).

5 5 5

Номер: 10.82.В r Задача: Даны функция z = arctg x + y , точка A(− 1,1) и вектор а = {− 3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).0 2).-

)

1 6 1 3).-4 4). 5).

5 5 5

Номер: 10.83.С r Задача: Даны функция z = arctg x 3 + y , точка A(1,−1) и вектор а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).-1 2).-

)

1 1 3).-4 4).1 5).

5 5

Номер: 10.84.С r Задача: Даны функция z = 5 + arctg y 3 + x , точка A(1,−1) и вектор а = {3;4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).-1 2).3 3).-3 4).1 5).

)

1 5

Номер: 10.85.С r Задача: Даны функция z = 100 + arctg x 3 y , точка A(1,1) и вектор а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).

)

1 1 −1 2).3 3). 4).1 5).

2 2 5

Номер: 10.86.В r Задача: Даны функция z = 25 + arctg x 2 y 2 , точка A(1,1) и вектор а = {0;−1} . Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).

)

1 1 −1 2).3 3). 4).-1 5).

2 2 5

Номер: 10.87.С r Задача: Даны функция z = 25 + arctg x 2 y 2 , точка A(0,0) и вектор а = {1;0}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

(

Ответы: 1).

1 1 −1 2).0 3). 4).-1 5).

2 2 5

143

)

Номер: 10.88.С

(

)

Даны функция z = e xy + arctg x 2 y 2 ,точка A(0,0) и вектор r а = {− 1;−3}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Задача:

Ответы: 1).0 2).-3 3).

1 1 4).-1 5).

2 5 Номер: 10.89.С

(

)

Даны функция z = e 2 x − y + arctg x 2 y 2 ,точка A(0,0) и r а = {3;−4}. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Задача:

Ответы: 1).0 2).2 3).

1 1 4).-1 5).

2 5

144

вектор

11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

Номер: 11.1.А Задача: Найти экстремум функции z = 4 x 2 + 5 y 2 + 3xy + 2 Ответы: 1).zmax=-2 2).zmin=2 3) экстремума не существует 4).zmin=-2 5).zmax=2 Номер: 11.2.А Задача: Найти экстремум функции z = x 2 + 2 y 2 − xy + 4 Ответы: 1).zmax=4 2).zmin=-4 3).экстремума не существует 4).zmin=4 5).zmax=-4 Номер: 11.3.А Задача: Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 − 3xy Ответы: 1).zmax=2 2).zmin=0 3).zmin=2 4).экстремума не существует 5).zmax=0 Номер:11.4.А Задача: Функция z = f (x , y ) имеет экстремум в данной точке, если Ответы: 1).функция имеет максимум в данной точке 2).функция имеет минимум в данной точке 3).функция имеет максимум и минимум в данной точке 4).функция имеет перегиб в данной точке 5).функция бесконечно приближается к данной точке Номер:11.5.А Задача: Если функция z = f (x, y ) имеет в точке M 0 (x 0 , y 0 ) экстремум и в точке M 0 существуют частные производные первого порядка, то они Ответы: 1). f x′ (x 0 y 0 ) = f y′ (x 0 y 0 ) ≠ 0 2). f x′ (x 0 y 0 ) = 0; f y′ (x 0 y 0 ) = 0 f ′ (x y ) 3). f x′ (x 0 y 0 ) = 1; f y′ (x 0 y 0 ) = 0 4). x 0 0 = 2 5). f x′ (x 0 y 0 ) = 1; f y′ (x 0 y 0 ) = 2 f y′ (x 0 y 0 ) Номер:11.6.А Задача: Критическими точками функции z = f (x, y ) называется точки, в которых частные производные первого порядка f x′ (x, y ) и f y′ (x , y ) : Ответы: 1).обращается в нуль 2).не существует 3).обращаются в нуль или не существуют 4).не равны нулю 5).могут принимать любое значение Номер:11.7.А Задача: Наибольшее и наименьшее значения ограниченной, замкнутой области D находится:

145

функции

z = f (x , y )

в

Ответы: 1).в наибольшем или наименьшем значении функции z = f (x , y ) на границе области D 2).в наибольшем или наименьшем значении функции z = f (x, y ) на границе области D либо в критических точках области D 3).в критических точках области D 4).такое значение найти невозможно 5).в некритических точках области D Номер: 11.8.А Задача: Если функция z = f (x, y ) достигает экстремума в точке M 0 (x 0 , y 0 ), то каждая частная производная первого порядка от z Ответы: 1).обращается в нуль в этой точке 2).не существует 3).обращается в нуль в этой точке или не существует 4).не равна нулю 5).положительна Номер: 11.9.А Задача: Точки в которых z ′x , z ′y равны нулю или не существуют (где z = f (x, y ) называются Ответы: 1).особенными точками 2).существенными точками 3).определяемыми точками 4).критическими точками функции 5).нулевыми точками Номер: 11.10.В 2 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = x + y + xy − 4 x − 5 y Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (1;2)=0 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9 Номер: 11.11.В 3 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = x y (2 − x − y ) 2 4 2 4 2 4 2).zmin (1; )= 3).zmax (1; )=Ответы: 1).zmax (1; )= 3 27 3 27 3 27 2 4 5).zmax (1;2)=9 4).zmin (1; )=3 27 Номер: 11.12.В Задача: Исследовать функцию на экстремум z = sin x + sin y + sin (x + y ) , (0<x< π ,0<y< π ) π π 3 3 2).z ⎛ π π ⎞ = 3 3 3).z ⎛ π π ⎞ = 3 Ответы: 1).zmax ⎛⎜ ; ⎞⎟ = min ⎜ ; ⎟ min ⎜ ; ⎟ ⎝3 3⎠ 2 ⎝3 3⎠ 2 ⎝3 3⎠ 2

π π ⎝3 3⎠

4).zmin ⎛⎜ ; ⎞⎟ =-

3 3 5).экстремума нет 2 146

Номер: 11.13.В 2 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = 3x + 6 y − x − xy + y Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9 Номер: 11.14.В Задача: Исследовать функцию на экстремум z = x 2 + y 2 − 2 ln x − 18 ln y Ответы: 1).zmax (1;2)=ln3 2).zmin (1;3)=10-18ln3 3).zmin (1;3)=10+18ln3 4).zmin (1;2)=10-18ln3 5).zmax (1;3)=1-18ln3 Номер: 11.15.В

(

2

2

)

(

− x 2 + y2

Задача: Исследовать функцию на экстремум z = 2 x + y e Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0

)

Номер: 11.16.В Задача: Исследовать функцию на экстремум z = xy Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9 Номер: 11.17.В Задача: Исследовать функцию на экстремум z = xy(1 − x − y ) ⎛1 1⎞ −1 ⎛1 1⎞ −1 Ответы: 1).zmax ⎛⎜ 1 ; 1 ⎞⎟ = 1 2).zmin ⎛⎜ 1 ; 1 ⎞⎟ = 1 3).zmax ⎜ ; ⎟ = 4).zmin ⎜ ; ⎟ = ⎝ 3 3 ⎠ 27 ⎝ 3 3 ⎠ 27 ⎝ 3 3 ⎠ 27 ⎝ 3 3 ⎠ 27 ⎛ 1 1⎞ 1 5).zmax ⎜ − ; ⎟ = ⎝ 3 3 ⎠ 27 Номер: 11.18.В 2 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = x + xy + y Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0 Номер: 11.19.В 3 2 2 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = 2 x − xy + 5x + y Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0 Номер: 11.20.В Задача: Исследовать функцию на экстремум z =

147

x e2

(x + y ) 2

Ответы: 1).zmax (-2;0)=2e 2).zmin (-1; 2).=-4e 3).zmin (1;2)=5).zmax (1;2)=9

e 2 4).zmin (-2;0)=е 2

Номер: 11.21.В Задача: Исследовать функцию на экстремум z =

xy x 2 + y2

1 1 1 2).zmin (x=y ≠ 0)=- 3).zmax (x=y ≠ 0)= 3 2 2 1 1 4).zmax (x=y ≠ 0)= 5).zmin (x=y ≠ 0)= 4 2

Ответы: 1).zmax (x=y ≠ 0)=

Номер: 11.22.В 2 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = x − xy + y + 9 x − 6 y + 20 Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (-4; 1).=-1 3).zmin (-4; 1).=0 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (0;0)=2

Задача:

(x > 0,

Исследовать

y > 0)

Номер: 11.23.В функцию на экстремум

z = xy 2 − xy − xy 3

Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9 Номер: 11.24.В 2 3 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = 3x − x + 3y + 4 y ⎛1 1⎞ −1 Ответы: 1).zmax ⎛⎜ 0;− 2 ⎞⎟ = − 4 2).zmin ⎛⎜ 0;− 2 ⎞⎟ = 4 3).zmax ⎜ ; ⎟ = ⎝ 3 3 ⎠ 27 3⎠ 3 3⎠ 3 ⎝ ⎝ ⎛1 1⎞ −1 ⎛ 1 1⎞ 1 4).zmin ⎜ ;− ⎟ = 5).zmax ⎜ − ; ⎟ = ⎝ 3 3 ⎠ 27 ⎝ 3 3 ⎠ 27 Номер: 11.25.В 2 Задача: Исследовать функцию на экстремум z = y x − y − x + 6 y Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9 Номер: 11.26.В Задача: Найти экстремум функции z = x 3 + 3 x y 2 − 30 x − 18 y 2). z min = −72, z max = 72 Ответы: 1). z min = −36, z max = 36 3). z min = −9, z max = 9 4). z min = −90, z max = 90 5). z min = −288, z max = 288 148

Номер: 11.27.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 + x y + y 2 + x − y + 1 Ответы: 1).(-2;2) 2).(-1;1) 3).(-3;3) 4).(0;0) 5).(-5;5) Номер: 11.28.В

Задача: Найти точки экстремума функции z = 4(x − y ) − x − y Ответы: 1).(-1;1) 2).(2;-2) 3).(-3;3) 4).(-10;19) 5).(-5;5) 2

2

Номер: 11.29.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 2 x y − 3 x 2 − 2 y 2 + 10 Ответы: 1).(2;2) 2).(0;0) 3).(1;1) 4).(5;5) 5).(4;4) Номер: 11.30.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 2 x y − 3 x 2 − 2 y 2 + 25 Ответы: 1).(2;2) 2).(0;0) 3).(1;1) 4).(5;5) 5).(4;4) Номер: 11.31.В

1 2

Задача: Найти точки экстремума функции z = − x 2 + xy − y 2 − 5x − 2 y Ответы: 1).(12;7)-т. max 2).(-12;-7) –т.min 3).(-12;-7)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min Номер: 11.32.В 2 Задача: Найти точки экстремума функции z = 2 y x − y − 3x + 8 y 2) (0;1) –т.min 3) (1;2)-т. max Ответы: 1) (4;6)-т. max 5) (2;0)-т.min 4) экстремума нет Номер: 11.33.В 2 Задача: Найти точки экстремума функции z = x − 4 x y − 2 x + 5 y Ответы: 1).(5;4)-т. max 2).(-5;4) –т.min 3).(-5;-4)-т. max 4).экстремума нет 5) (5;4)-т.min Номер: 11.34.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 5x 2 − y 2 Ответы: 1) (4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min Номер: 11.35.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 + xy + 2 y 2 + 7 x Ответы: 1).(-4;1)-т. max 2).(-4;1) –т.min 3).(-4;-1)-т. max 4).экстремума нет 5).(-1;4)-т.min 149

Номер: 11.36.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 − xy + y 2 + x − 2 y Ответы: 1).(-1;1)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;0)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min Номер: 11.37.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 + xy + y 2 + 3y Ответы: 1).(-1;2)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;-2)-т. max 4).экстремума нет 5).(1;-2)-т.min Номер: 11.38.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 3x 2 + 10 xy + 6 y 2 + 1 Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(-1;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min Номер: 11.39.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 3x 2 + 7 xy −

7 2 y − 26 x + 2 2

Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min

Номер: 11.40.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 3x 2 + 0,5 y 2 − 12 x − 17 Ответы: 1).(2;0)-т. max 2).(-1;1) –т.min 3).(0;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min Номер: 11.41.В Задача: Найти точки экстремума функции z = −2 x 3 + 3xy + 18x Ответы: 1) (4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).(5;4)-т.min 5) экстремума нет Номер: 11.42.В Задача: Найти точки экстремума функции z = e x y 2 + x 2 + 23 Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;0) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min Номер: 11.43.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 + y Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min

150

Номер: 11.44.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 − y 2 + 99 Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;0) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min Номер: 11.45.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 + 2 y 3 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min Номер: 11.46.В Задача: Найти точки экстремума функции z = −8x 2 + 6 xy 2 + y 2 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min Номер: 11.47.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 8x 2 − y 2 − 12 xy − 1 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min Номер: 11.48.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 2 x 2 + y 2 + 6 xy Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5) (2;0)-т.min Номер: 11.49.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 y − 2 y 2 − x 2 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(0;0)-т. max 5).(-2;1)-т.min Номер: 11.50.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 2 x 2 − xy + y 2 − 12 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3) экстремума нет 4).(0;0)-т. min 5).(-2;1)-т.min Номер: 11.51.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 3x 2 − 6 xy − y 3 − 12 x + 12 y Ответы: 1).(0;-2)-т. max 2).(2;0) –т.min 3).(-2;0) –т.min 4).экстремума нет 5).(0;-2)-т.min

151

Номер: 11.52.В Задача: Найти точки экстремума функции z = xy − x 2 − 3y 2 + 3 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(0;0)-т. mах 5).(-2;1)-т.min Номер: 11.53.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 3 + 6 yx + 3y 2 − 18x − 18 y Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;3) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min Номер: 11.54.В Задача: Найти точки экстремума функции z = xy + 2 x 2 + 3y 2 − 1 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;0) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min Номер: 11.55.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 3 − xy 2 + 3x 2 + y 2 − 1 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;3) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(0;0)-т.min Номер: 11.56.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 − 3y 2 − 6 xy + 1 Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3) экстремума нет 4).(0;0)-т. mах 5).(-2;1)-т.min Номер: 11.57.В Задача: Найти точки экстремума функции z = 6 xy + 2 y 2 − 24 x − 40 y Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9 Номер: 11.58.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 − y 2 Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9 Номер: 11.59.В Задача: Найти точки экстремума функции z = x 2 + 2 xy 2 − 4 x Ответы: 1).(4;0)-т. max 2).(4;0) –т.min 3).(0;-2) –т.min 4).(0;2)-т. max 5).экстремума нет

152

Номер: 11.60.B Задача: Найти экстремум функции z = ax 2 + by 2 + cxy +d Ответы: 1).если 4ab − c 2 > 0 , a>0, то z max = d 2).если 4ab − c 2 > 0 , a<0, то z min = d 3).если 4ab − c 2 < 0 , a>0, то z max = −c 4).если 4ab − c 2 > 0 , a<0, то z max = d 5).если 4ab − c 2 > 0 , a<0, то нет экстремума Номер: 11.61.B Задача: Найти экстремум функции z = ax 2 + by 2 + cxy + d Ответы: 1).если 4ab − c 2 > 0 , a>0, то нет экстремума 2).если 4ab − c 2 > 0 , a<0, то z max = d 3).если 4ab − c 2 < 0 , a>0, то z max = −c 4).если 4ab − c 2 > 0 , a>0, то z max = d 5).если 4ab − c 2 > 0 , a<0, то z min = c Номер: 11.62.B Задача: Найти экстремум функции z = ax 2 + by 2 + cxy +d Ответы: 1).если 4ab − c 2 < 0 , a>0, то нет экстремума 2).если 4ab − c 2 > 0 , a<0, то z max = c 3).если 4ab − c 2 < 0 , a>0, то z max = −c 4).если 4ab − c 2 > 0 , a>0, то z max = d 5).если 4ab − c 2 > 0 , a<0, то z min = c Номер: 11.63.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: z = x − 2 y + 5 , при x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 1 Ответы: 1).zнаим(0;1)=4, zнаиб(1;0)=6 2).zнаим(1;1)=4, zнаиб(0;0)=6 3).zнаим(1;0)=4, zнаиб(0;1)=6 4).zнаим(0;1)=-4, zнаиб(1;0)=-6 5).zнаим(0;1)=-4, zнаиб(1;0)=6 Номер: 11.64.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, 3 3 2 2 задаваемых неравенствами: z = x + y , при x + y ≤ 1 Ответы: 1).zнаим(1;0)=-1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(-1;0)=1 153

2).zнаим(-1;0)=-1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(0;1)=1 3).zнаим(-1;0)=-1, zнаиб(0;1)= zнаиб(1;0)=1 4).zнаим(1;0)=1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(-1;0)=-1 5).экстремума нет Номер: 11.65.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: z = ln (x + y ) , при (x − 2 ) + (y − 2 ) ≤ 2 2

2

1 1 1 1 ;2)=ln(4- 2 ), zнаиб(2+ ;2+ )=ln(4+ 2 ) 2 2 2 2 1 1 1 )=ln(4- 2 ), zнаиб(2+ ;2)=ln(4+ 2 ) 2 2 2 1 1 1 )=ln(4+ 2 ), zнаиб(2+ ;2+ )=ln(4- 2 ) 2 2 2 1 1 1 )=ln(4- 2 ), zнаиб(2;2+ )=ln(4+ 2 ) 2 2 2 1 1 1 )=ln(4- 2 ), zнаиб(2+ ;2)=ln(4+ 2 ) 2 2 2

Ответы: 1).zнаим(2-

1 ;2+ 2 1 ;23).zнаим(22 1 4).zнаим(2+ ;22 1 5).zнаим(2;22

2).zнаим(2-

Номер: 11.66.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x 2 − yx + 2 y 2 + 3x + 2 y + 1 в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x + y + 5 = 0 . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=-4 2).Zнаиб=-3, Zнаим=-41 3).Zнаиб=41, Zнаим=0 4).Zнаиб=41, Zнаим=-3 5).Zнаиб=-3, Zнаим=41 Номер: 11.67.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x 2 − y 2 в круге

x 2 + y2 ≤ 4 Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=-4 2).Zнаиб=-4, Zнаим=4 3).Zнаиб=4, Zнаим=0 4).Zнаиб=0, Zнаим=-4 5).Zнаиб=-4, Zнаим=0 Номер: 11.68.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции 2 z = x + 2 xy − 4 x + 8 y в прямоугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0,x=1, y=2. Ответы: 1).Zнаиб=-3, Zнаим=17 2).Zнаиб=-17, Zнаим=3 3).Zнаиб=3, Zнаим=-17 4).Zнаиб=0, Zнаим=-4 5).Zнаиб=17, Zнаим=-3 154

Номер: 11.69.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x 2 y(4 − x − y ) в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x + y=6. Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=-64, Zнаим=-4 3).Zнаиб=4, Zнаим=-64 4).Zнаиб=64, Zнаим=-4 5).Zнаиб=64, Zнаим=4 Номер: 11.70.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = xy + x + y в квадрате 1 ≤ x ≤ 2,2 ≤ y ≤ 3 . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=12, Zнаим=5 3).Zнаиб=5, Zнаим=12 4).Zнаиб=12, Zнаим=-4 5).Zнаиб=64, Zнаим=12 Номер: 11.71.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 1 − x 2 − y 2 в круге (x − 1) + (y − 2 ) ≤ 1 . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=-2 2 + 1 , Zнаим=2 2 − 1 3).Zнаиб=5, Zнаим=12 4).Zнаиб=12, Zнаим=-4 5).Zнаиб=2 2 − 1 , Zнаим=-2 2 + 1 2

Задача:

2

(

)

(

)

(

)

(

)

Найти

Номер: 11.72.С наибольшее и наименьшее

z = x 2 − 10xy 2 + 10 x + 1 в замкнутой области:

x 7

+

y 2

значение

функции

≤ 1.

Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=120, Zнаим=24 3).Zнаиб=120, Zнаим=-24 4).Zнаиб=-120, Zнаим=-4 5).Zнаиб=-24, Zнаим=120

155

12. Задачи на условный экстремум.

Номер:12.1.В Задача: Задачи об условном экстремуме функции 2-х переменных решают в случае: Ответы: 1).появление новых условий задачи 2).когда переменные связаны друг с другом некоторыми условиями 3).когда переменные независимы 4).когда невозможно найти производную 5).когда решение носит условный характер Номер:12.2.В Задача: Необходимое условие условного экстремума для функции z = f (x, y ) , при условии, что x и y связаны уравнением ϕ(x , y ) = 0 : ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ Ответы: 1). +λ = 0, +λ = 0, ϕ(x , y ) = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ 2). −λ = 0, −λ = 0, ϕ(x , y ) = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ 3). + λ = 0, +λ = 0, ϕ(x , y ) = 0 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ 4). +λ = 0, +λ = 0, ϕ(x , y ) ≠ 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ 5). + = λ, + = −λ, ϕ(x , y ) = λ ∂x ∂x ∂y ∂y Номер:12.3.В Задача: При нахождении условного экстремума определяется вспомогательный множитель λ , который называется: Ответы: 1).множителем Даламбера 2).множителем Коши 3).множителем Лагранжа 4).множителем Тейлора 5).множителем Лопиталя Номер:12.4.В Задача: Метод множителей Лагранжа распространяется на исследование условного экстремума функции: Ответы: 1).одной переменной 2).двух переменных 3).трех переменных 4).любого числа переменных 5).не менее трех переменных Номер: 12.5.В Задача: Точкой локально условного экстремума называется точка Ответы: 1).локального условного максимума 2).локального условного минимума 3).локального условного максимума и минимума 4).максимума функции 5).минимума функции 156

Номер: 12.6.В Задача: Функция Лагранжа используется для Ответы: 1).решения дифференциальных уравнений 2).выяснение, будет ли стационарная точка точкой условного экстремума 3).нахождение максимума функции 4).нахождение минимума функции 5).определение коэффициента Номер: 12.7.С Задача: Найти экстремум функции z = 2 x + y при условии, что x 2 + y 2 = 5 Ответы: 1).zmin=-5, zmax=5 2).zmin=5, zmax=-5 3).zmin=0, zmax=5 4).zmin=-5, zmax=0 5).zmin=-5, zmax=25 Номер: 12.8.С 2 2 Задача: Найти экстремум функции z = x + y − xy + x + y − 4 при условии, что x + y + 3 = 0 Ответы: 1).zmin=5 2).zmin=-4,75 3).zmax=5 4).zmax=-4,75 5).экстремума нет Номер: 12.9.С 2 Задача: Найти экстремум функции z = xy при условии, что x + 2 y = 1

1 1 2).zmin=5, zmax=-5 3).zmin=0, zmax= 27 27 1 4).zmin=-5, zmax=0 5).zmin=0, zmax=27

Ответы: 1).zmin=-5, zmax=

Номер: 12.10.С 2 2 Задача: Найти экстремум функции z = x + 2 y при условии, что x + y = 1. Ответы: 1).zmin=-5, zmax=5 2).zmin= 5 , zmax=- 5 3).zmin=0, zmax= 4).zmin=- 5 , zmax=0 5).zmin=- 5 , zmax= 5

5

Номер: 12.11.С Задача: Найти экстремум функции z = x + y при условии, что

1 1 1 + = . x 2 y2 2

Ответы: 1).zmin=-4, zmax=4 2).zmin=4, zmax=-4 3).zmin=0, zmax=-4 4).zmin=-4, zmax=0 5).zmin=0, zmax=4 Номер: 12.12.С Задача: Найти экстремум функции z=xy при условии, что х и у связаны уравнением 2х + 3у – 5 = 0.

157

Ответы: 1).zmin=

25 25 25 25 2).zmin=3).zmax= 4).zmax=5).экстремума нет 24 24 24 24

Номер: 12.13.С Задача: Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение. Ответы: 1).нет такого 2).катеты не равны между собой 3).катеты равны между собой 4).стороны пропорциональны числам 1,2,3 5).один катет в два раза больше другого Номер: 12.14.С Задача: Найти экстремум функции z=x2 + y2, если х и у связаны уравнением

x y + = 1.

4 3 Ответы: 1).zmin= 5).экстремума нет

144 144 144 144 2).zmin=3).zmax= 4).zmax=25 25 25 25 Номер: 12.15.С

1 1 + , если х и у связаны уравнением x y

Задача: Найти экстремум функции z = х + у =2. Ответы: 1).zmin=-2 2).zmin=2 3).zmax=2 4).zmax=-2 5).экстремума нет

Номер: 12.16.С Задача: Найти экстремум функции z = e xy , если х и у связаны уравнением х + у =1.

1 =- e 4

Ответы: 1).zmin

4).zmax=-

1 e4

1 =e4

2).zmin

3).zmax=

1 e4

5).экстремума нет

Номер: 12.17.С Задача: Найти экстремум функции z=6 – 4x – 3y при условии, что х и у 2 2 связаны уравнением x + y = 1. Ответы: 1).zmin=-1, zmax=11 2).zmin=11, zmax=-1 3).zmin=0, zmax=-11 4).zmin=-11, zmax=0 5).zmin=1, zmax=11

158

Номер: 12.18.С Задача: Найти экстремум функции z =

1 1 + , если х и у связаны уравнением x y

х + у =2a (a> 0).

2 2 2 2).zmin=3).zmax= а а а 2 4).zmax= − 5).экстремума нет а

Ответы: 1).zmin=

159