razdel6UMK by Абзалимов Рамиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 6 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Уфа • 2007

УДК 512.64(07) ББК 22.14я7 У90 Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 6 «Интегральное исчисление функции одной переменной». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 202 с. Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 512.64(07) ББК 22.14я7

СОДЕРЖАНИЕ 1. Теоретические основы 1.1 Первообразная функция и неопределенный интеграл 1.2 Простейшие свойства неопределенного интеграла и его геометрический смысл 1.3 Таблица основных интегралов 1.4 Основные методы интегрирования 1.4.1 Интегрирование методом разложения 1.4.2 Интегрирование методом замены переменной 1.4.3 Метод интегрирования по частям 1.5 Интегрирование дробно - рациональной функции 1.5.1 Некоторые сведения о многочленах 1.5.2 Виды рациональных дробей 1.5.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей 1.5.4 Интегрирование простейших дробей 1.5.5 Общий план интегрирования дробно - рациональной функции 1.6 Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций 1.6.1 Рациональная функция двух независимых переменных 1.6.2 Интегралы вида ∫ R (sin x, cos x)dx 1.6.3 Частные методы вычисления интегралов ∫ R (sin x, cos x) dx 1.7 Интегрирование некоторых классов иррациональных функций 1.8 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла 1.9 Определение определенного интеграла 1.10 Свойства определенного интеграла 1.11 Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования 1.12 Формула Ньютона-Лейбница 1.13 Замена переменной в определенном интеграле 1.14 Интегрирование по частям в определенном интеграле 1.15 Несобственные интегралы 1.15.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 1.15.2 Несобственные интегралы от неограниченных функций 1.16 Геометрические приложения определенного интеграла 1.16.1 Вычисление площади в декартовых координатах 1.16.2 Площадь криволинейного сектора 1.16.3 Длина дуги плоской кривой 1.16.4 Объем тела вращения 1.17 Применение определенных интегралов к решению некоторых задач механики и физики 1.17.1 Схема применения определенного интеграла 1.17.2 Работа переменной силы

7 8 10 11 11 12 17 20 20 22 23 25 29 31 31 31 33 36 40 41 43 46 48 49 50 51 51 54 55 55 58 61 63 65 65 66

1.17.3 Статистические моменты. Координаты центра тяжести системы материальных точек 1.17.4 Центр тяжести плоской линии 2. Методические указания для студентов 2.1 Непосредственное интегрирование 2.1.1 Основные определения 2.1.2 Свойства неопределенного интеграла 2.1.3 Таблица неопределенных интегралов 2.1.4 Метод непосредственного интегрирования 2.2 Инвариантность формул интегрирования. Методы интегрирования 2.2.1 Метод введения функции под знак дифференциала 2.2.2 Интегрирование методом подстановки 2.3 Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 2.4 Интегрирование по частям 2.5 Интегрирование рациональных функций 2.5.1 Интегрирование простейших дробей 2.5.2 Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей 2.6 Интегрирование тригонометрических функций

2.6.1 Интегралы от функций sin mx cos nx , cos mx cos nx , sin mx sin nx n n sin x , cos x 2.6.2 Интегралы от функций

2.6.3 Интегралы от функций sin x ⋅ cos x (m, n – целые числа) m

2.6.4 Интегралы от функций sin x ⋅ cos x (m, n – целые числа) 2.7 Интегрирование иррациональных функций 2.7.1 Сведение иррациональных функций к рациональным 2.7.2 Сведение иррациональных функций к тригонометрическим 2.7.3 Интегрирование дифференциальных биномов 2.8 Определенный интеграл 2.8.1 Вычисление определенного интеграла 2.9 Несобственные интегралы 2.9.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования 2.9.2 Интеграл от неограниченных функций 2.10 Геометрические приложения определенного интеграла 2.10.1 Вычисление площади плоской фигуры 2.10.2 Вычисление длины дуги кривой 2.10.3 Вычисление координат центра тяжести 2.10.4 Вычисление объема тела вращения 2.10.5 Вычисление площади поверхности вращения 2.11 Применение определенного интеграла к решению некоторых задач физики 2.11.1 Вычисление работы 2.11.2 Давление жидкости 2.11.3 Истечение жидкости из емкости m

68 69 72 72 72 72 73 76 76 80 82 86 89 89 93 98 98 99 100 102

105 105 107 110 114 115 120 120 123 127 127 134 138 142 145 146 146 148 150

3. Материалы для самостоятельной работы студентов 3.1. Контрольные вопросы 3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 3.3. Расчетные задания 3.4. Лабораторная работа 3.5. Литература

153 154 168 198 202

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 6 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

1. Теоретические основы

1.1 ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Одной из основных задач дифференциального исчисления является задача отыскания производной заданной функции. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: по заданной производной (дифференциалу) некоторой функции требуется определить саму функцию. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 Функция F( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка F′( x ) = f ( x ) (1.1) или, что тоже, dF( x ) = f ( x )dx (1.2) Например, F( x ) = sin x является первообразной для f ( x ) = cos x на всей числовой оси Ох, так как

(sin x )′ = cos x

В курсе высшей математики доказано, что если f ( x ) есть непрерывная на некотором отрезке функция, то на этом отрезке существует первообразная для данной функции. Задача отыскания первообразной для заданной функции является одной из основных задач интегрального исчисления. Покажем, что эта задача решается неоднозначно. В самом деле, если функция F( x ) первообразная для f ( x ) , то функция F( x ) + C , где C любое действительное число, также является первообразной для f ( x ) при любом значении C . Действительно, если

F′( x ) = f ( x ) , то (F( x ) + C )′ = F′( x ) + C′ = f ( x ) для любого числа C ∈ R . Тогда, согласно (6.1), F( x ) + C есть первообразная для f ( x ) . Например, если f ( x ) = 4 x 3 , то функции F1 ( x ) = x 4 , F2 ( x ) = x 4 + 1 ,

F3 ( x ) = x 4 − 2 и вообще F( x ) = x 4 + C , где C любое число, будут первообразными для f ( x ) . Таким образом, если функция f ( x ) имеет хотя бы одну первообразную, то она имеет их бесконечное множество. Естественно, возникает вопрос об отыскании всех первообразных для данной функции. Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой. Теорема 1.1 Если функция F( x ) есть первообразная для функции f ( x ) на [a; b], то всякая другая первообразная для f ( x ) отличается от F( x ) на постоянное слагаемое, то есть может быть представлена в виде F( x ) + С , где С постоянная. Доказательство. Пусть Φ ( x ) любая другая первообразная для функции f ( x ) , тогда Φ′( x ) = f ( x ) = F′( x ) . Пусть ϕ( x ) = Φ ( x ) − F( x ) на [a; b]. Тогда

ϕ′( x ) = Φ′( x ) − F′( x ) = 0 . Следовательно, функция ϕ( x ) постоянна на [a; b], то 7

есть ϕ( x ) = C на этом отрезке. Тогда и Φ ( x ) − F( x ) = C или Φ ( x ) = F( x ) + C , где C некоторое число. Теорема 1.1 доказана. Из теоремы 1.1 следует, что выражение F( x ) + С охватывает всю совокупность первообразных для данной функции f ( x ) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 Если F( x ) одна из первообразных для функции f ( x ) на [a; b], то выражение F( x ) + С , где C произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается символом ∫ f ( x )dx (читается: неопределенный интеграл от f ( x ) на dx ). Итак,

∫ f ( x )dx = F( x ) + C ,

(1.3)

где f ( x ) называется подынтегральной функцией, f ( x )dx подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования, а символ ∫ знаком неопределенного интеграла. Отыскание всех первообразных или отыскание неопределенного интеграла для данной функции f ( x ) называют интегрированием этой функции. Из определений 1.1 и 1.2 следует, что интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Это значит, что для проверки, правильно ли выполнено интегрирование некоторой функции f ( x ) , достаточно продифференцировать результат интегрирования F( x ) + C и сверить его с заданной функцией f ( x ) . Если (F( x ) + C)′ будет равна f ( x ) , то интегрирование осуществлено верно. Например, ∫ как

′ x ⎛1 ⎞ 1 ⎜ arctg + C ⎟ = ⋅ 2 ⎝2 ⎠ 2

dx 1 x = arctg + C , так 2 x +4 2 2

1 1 ⋅ = 2 2 ⎛x⎞ 2 4+ x 1+ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

1.2 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Из определения неопределенного интеграла следует, что: 10 Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

(∫ f ( x )dx )′ = f ( x ) .

(1.4)

Действительно, F′( x ) = f ( x ) и согласно (1.3) ∫ f ( x )dx = F( x ) + C . Тогда

(∫ f (x )dx )′ = (F( x ) + C)′ = F′(x ) = f ( x ) . 20

Дифференциал от подынтегральному выражению

неопределенного

d(∫ f ( x )dx ) = f ( x )dx . 8

интеграла

равен (1.5)

Действительно, d(∫ f ( x )dx ) = d (F( x ) + C) = f ( x )dx .

30 Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:

(1.6) ∫ F′( x )dx = F( x ) + C . F′( x ) = f ( x ) . Тогда, ∫ F′( x )dx = ∫ f ( x )dx = F( x ) + C

Действительно, согласно определения 1.2. Неопределенный интеграл от дифференциала равен 40 дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная: (1.7) ∫ dF( x ) = F( x ) + C . Действительно, dF( x ) = f ( x )dx . Тогда, ∫ dF( x ) = ∫ f ( x )dx = F( x ) + C .

5 0 Постоянный множитель k неопределенного интеграла:

(k ≠ 0)

можно выносить за знак

∫ k f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .

(1.8) Доказательство. Дифференцируя левую часть (1.8), согласно свойству

10 , получим (∫ kf ( x )dx )′ = k f ( x ) .

Дифференцируя правую часть (1.8), согласно свойству производной о постоянном множителе, получим

(k ∫ f ( x )dx )′ = k (∫ f ( x )dx )′ = kf ( x ) ′ ′ Итак, (∫ kf ( x )dx ) = (k ∫ f ( x )dx )

Из равенства производных следует, что сами функции отличаются друг от друга не более чем на постоянное слагаемое, то есть ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx с точностью до постоянного слагаемого. 6 0 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

∫ [f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k ( x )]dx = = ∫ f1 ( x )dx + ∫ f 2 ( x )dx + ... + ∫ f k ( x )dx

Доказательство. Дифференцируя левую часть (1.9), получим

(∫ [f1 ( x ) + f 2 (x ) + ... + f k ( x )]dx )′ = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k (x ) . Дифференцируя правую часть (1.9), получим

(∫ f1 ( x )dx + ∫ f 2 ( x )dx + ... + ∫ f k ( x )dx )′ = ( ∫ f1 (x )dx )′ + + ( ∫ f 2 ( x )dx )′ + ... + ( ∫ f k ( x )dx )′ = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k ( x ).

(1.9)

Так как производные равны, то равенство (1.9) справедливо с точностью до постоянного слагаемого. Выясним геометрический смысл y = F( x ) + C3 неопределенного интеграла. Пусть функция y = F( x ) является первообразной для функции f ( x ) . Назовем y = F( x ) + C 2 график первообразной F( x ) интегральной кривой. График любой другой первообразной y = F( x ) + C при любом постоянном С y = F( x ) + C1 может быть получен параллельным x 0 переносом интегральной кривой y = F( x ) Рис. 1.1 вдоль оси Oy . Следовательно, неопределенный интеграл с геометрической позиции представляет собой семейство всех интегральных кривых, каждая из которых может быть получена параллельным переносом одной из интегральных кривых вдоль оси Oy (рис.1.1). 1.3 ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Так как в интегральном исчислении нет никаких определенных правил для нахождения первообразных от произведения, частного двух функций, сложной функции, то задача поиска первообразной является задачей более сложной, чем задача поиска производной. Поэтому в интегральном исчислении стремятся с помощью ряда приемов свести заданный интеграл к так называемым основным интегралам:

x α +1 1 ∫ x dx = + C , α ∈ R , α ≠ −1 α +1 dx 2∫ = ln x + C x 3 ∫ dx = x + C α

(1.10) (1.11) (1.12)

ax 4 ∫ а dx = + C, a > 0, a ≠ 1 ln a

(1.13)

5 ∫ e x dx = e x + C

(1.14)

6 ∫ sin x dx = − cos x + C 7 ∫ cos x dx = sin x + C

(1.15) (1.16)

dx = −ctg x + C sin 2 x dx 9∫ = tg x + C cos 2 x 8∫

(1.17) (1.18) 10

dx 1 x = arctg +C a a2 + x2 a dx 1 a+x = ln + C, a ≠ 0 11 ∫ 2 a − x 2 2a a − x dx x = arcsin + C , a ≠ 0 12 ∫ a a2 − x2 dx 13 ∫ = ln x + x 2 + a 2 + C , a ≠ 0 2 2 x +a dx 14 ∫ = ln x + x 2 − a 2 + C , a ≠ 0 x2 − a2 15 ∫ tg x dx = − ln cos x + C 16 ∫ сtg x dx = ln sin x + C 17 ∫ sh xdx = ch x + C 18 ∫ ch xdx = sh x + C dx 19 ∫ 2 = −cth x + C sh x dx 20 ∫ 2 = th x + C ch x 10 ∫

(1.19) (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) (1.25) (1.26) (1.27) (1.28) (1.29)

Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения неопределенного интеграла и таблицы производных. Справедливость остальных можно проверить дифференцированием обеих частей равенств. Например, для формулы (1.22) имеем

′ ⎛ dx ⎞ 1 ⎟ = ⎜∫ ⎜ 2 2 ⎟ x2 + a2 ⎝ x +a ⎠ ′ ⎛ 1 2x ln x + x 2 + a 2 + C = ⋅ ⎜⎜1 + x + x2 + a2 ⎝ 2 x2 + a2

) )

(( =

1 x + x2 + a2

⋅

x2 + a2 + x x2 + a2

⎞ ⎟⎟ = ⎠

1 x2 + a2

Из равенства производных и следует справедливость равенства (1.22). 1.4 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1.4.1 Интегрирование методом разложения Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций от каждой из которых первообразную можно найти в основной таблице интегралов. 11

x 3 + 5x − 2 dx . Пример 1.1 Найти ∫ x

Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель в подынтегральной

x 3 + 5x − 2 2 функции, получим = x 2 + 5 − ; тогда, согласно (1.8) и (1.9) имеем x x 3 x + 5x − 2 2 x3 2 dx = ∫ x dx + ∫ 5dx − ∫ dx = + 5x − 2 ln x + C ∫ x x 3 dx . Пример 1.2 Найти ∫ 2 2 sin x ⋅ cos x Решение.

dx sin 2 x + cos 2 x sin 2 x =∫ dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 sin x ⋅ cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin x cos 2 x cos 2 x dx dx +∫ 2 dx = + = tg x − ctg x + C ∫ ∫ sin x cos 2 x cos 2 x sin 2 x dx Пример 1.3 Найти ∫ 2 . x 9 + x2

(

)

Решение.

1 9 + x2 dx 1 9dx 1 9 + x2 − x2 dx − = ∫ 2 = ∫ dx = ∫ 2 ∫ 2 9 x (9 + x 2 ) 9 x (9 + x 2 ) 9 x 2 (9 + x 2 ) x 9 + x2

(

)

1 dx 1 dx 1 1 x 1 x2 − ∫ 2 dx = − = − − arctg +C ∫ ∫ 9 x2 9 9 + x2 9 x 27 3 9 x (9 + x 2 ) 3 ( 1+ x ) Пример 1.4 Найти ∫ dx. 3

Решение.

3 ( 1+ 3 1+ x ) dx = ∫ ∫ 3

1 2 7 ⎛ −1 ⎞ x + 3x + x x 3 + 3x 6 + 3x 3 + x 6 ⎟dx = ⎜ = dx x ∫⎜ 3 ⎟ x ⎝ ⎠ 2

3 18 9 6 = x3 + x6 + x3 + x 6 + C 2 7 5 13 1.4.2 Интегрирование методом замены переменной Введение новой переменной интегрирования, вместо переменной x , позволяет во многих случаях свести данный интеграл ∫ f ( x )dx в новому 12

интегралу, который или содержится в основной таблице интегралов или легко сводится к нему. Теорема 1.2 Если функция x = ϕ( t ) строго монотонна и непрерывно дифференцируема на некотором промежутке, а f ( x ) интегрируема на соответствующем промежутке изменения x , то справедливо равенство (1.30) ∫ f ( x )dx = ∫ f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt Доказательство. Найдем дифференциал левой части (1.30). Согласно (1.5) d(∫ f ( x )dx ) = f ( x )dx . Найдем дифференциал правой части (1.30). Имеем

d(∫ f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt ) ⇒

по (1.5)

⇒ f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt ⇒

ϕ( t ) = x ⇒ f ( x )dx ϕ′( t )dt = dx

Сравнивая правые части полученных равенств, найдем d(∫ f ( x )dx ) = (∫ f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt ) . Отсюда следует, что сами интегралы отличаются друг от друга не более чем на постоянное слагаемое. Допустим, что интеграл в правой части (1.30) найден, то есть

∫ f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt = Φ( t ) + C нахождения ∫ f ( x )dx достаточно

Тогда для в первообразной осуществить обратный переход от новой переменной t к старой переменной x . Пусть t = ψ ( x ) есть обратная функция по отношению к функции x = ϕ( t ) , тогда ∫ f ( x )dx = Φ[ψ ( x )] + C . Рассмотрим на примерах наиболее часто встречающиеся виды замен переменной. Пример 1.5 Найти ∫

x dx . ( x − 3) 2

Решение. Введем новую переменную, положив x = t + 3 . Ясно, что функция ϕ( t ) = t + 3 удовлетворяет всем условиям теоремы 1.2. Тогда, dx = d(t + 3) = dt и согласно этой теореме имеем

∫

dx = ∫ 2

(x − 3)

t +3 t +3 dt dt ⎛1 3 ⎞ dt dt dt 3 = = + = + = ⎜ ⎟ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 t t ( t + 3 − 3) 2 t2 t t ⎝ ⎠

x = t +3⇒ 3 3 = ln t − + C ⇒ = ln x − 3 − + C. t = x −3 t x −3 Заметим, что при решении примера 1.5 использовалась линейная замена, то есть замена вида x = kt + b , где k , b ∈ R , k ≠ 0 . Пример 1.6 Найти ∫ a 2 − x 2 dx . Решение. Выполним тригонометрическую подстановку, положив x = a sin t . 13

2 2 2 2 2 ∫ a − x dx = ∫ a − a sin t ⋅ a cos t dt =

= ∫ a 2 cos 2 t ⋅ a cos t dt = a 2 ∫ cos 2 t dt = 1 + cos 2 t a2 a2 a 2t a 2 dt = ∫ dt + ∫ cos 2 t dt = =a ∫ + ∫ cos 2 t dt ⇒ 2 2 2 2 2 z t = , a 2t a 2 dz a 2 t a 2 2 = + ∫ cos z ⋅ = + sin z + C ⇒ z = 2 t = dz 2 2 2 2 4 dt = 2 x x = a sin t , sin t = , 2 2 a t a a = + sin 2 t + C ⇒ 2 = x x 2 4 t = arcsin , cos t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 a a 2

a2 x a2 a2 x ax x2 = arcsin + sin t cos t + C = arcsin + ⋅ 1 − 2 + C = 2 a 2 2 a 2 a a2 x x = arcsin + ⋅ a 2 − x 2 + C. 2 a 2 dx Пример 1.7 Найти ∫ . 1+ x Решение. Воспользуемся

∫

степенной

функцией

x = t 2 , тогда

dx = 2 t dt

t = z − 1, 2(z − 1) dx 2 t dt =∫ ⇒ =∫ dz = dt = dz 1+ t z 1+ x dz ⎛ 1⎞ = 2 ∫ ⎜1 − ⎟dz = 2 ∫ dz − 2 ∫ = 2z − 2 ln z + C = z ⎝ z⎠

= 2( t + 1) − 2 ln t + 1 + C ⇒ t = x = 2(1 + x ) − 2 ln 1 + x + C. В примерах 1.6 и 1.7 вместе с тригонометрической и степенной подстановками применялась и линейная замена. Формула (1.30), наряду с заменой x = ϕ( t ) , позволяет осуществлять и замены вида t = ϕ( x ) . Действительно, поменяв в (1.30) x на t и наоборот, получим формулу вида

∫ f [ϕ( x )]ϕ′( x )dx ⇒

ϕ( x ) = t , = ∫ f ( t )dt ϕ′( x )dx = dt

Пример 1.8 Найти ∫ sin 2 x cos x dx .

(1.31)

Решение. Так как cos xdx = (sin x )′dx = d (sin x ) , то положим: sin x = t . Тогда cos x dx = dt и

t3 sin 3 x +C ∫ sin x cos x dx = ∫ t dt = + C = 3 3 ln x dx. Пример 1.9 Найти ∫ x 2

Решение.

dx = (ln x )′dx = d (ln x ) , то положим x ln x t2 dx ln 2 x dx = ∫ t dt = + C = d(ln x ) = = dt и ∫ +C x 2 x 2 arctg3 x dx. Пример 1.10 Найти ∫ 1+ x2 Так

как

ln x = t.

Тогда

Решение.

dx = (arctg x )′dx = d (arctg x ) . 1+ x2 Тогда при arctg x = t , получим

∫

arctg3 x t4 1 3 3 dx = arctg x d ( arctg x ) = t dt = + C = arctg 4 x + C ∫ ∫ ∫ 2 4 4 1+ x Применение замены переменной вида ϕ( x ) = t особенно эффективно при ϕ′( x ) вычислении интегралов вида ∫ dx . ϕ( x ) d[ϕ( x )] dt ϕ′( x ) = ∫ = ln t + C = ln ϕ( x ) + C dx = ∫ Тогда ∫ ϕ( x ) ϕ( x ) t Пример 1.11 Найти ∫ tg x dx Решение.

d (cos x ) (cos x )′ sin x ⇒ dx = − ∫ dx = − ∫ cos x cos x cos x dt ⇒ cos x = t = − ∫ = − ln t + C = − ln cos x + C. t 2x Пример 1.12 Найти ∫ dx. 1+ x2

∫ tg x dx = ∫

Решение.

2x (1 + x 2 )′dx d (1 + x 2 ) 2 dx ⇒ 1 + x =t = = = ∫ ∫ ∫ 1+ x2 1+ x2 1+ x2 dt = ∫ = ln t + C = ln (1 + x 2 ) + C t 15

В заключение рассмотрим еще один из важных частных случаев вычисления интегралов методом замены переменной. Пусть требуется найти ∫ f (ax + b)dx , где a , b ∈ R , a ≠ 0 , если известно, что ∫ f ( x )dx = F( x ) + C . Решение. Введем линейную замену, положив ax + b = t , тогда a dx = dt

1 1 dx = ⋅ dt . Отсюда ∫ f (ax + b)dx = ∫ f ( t ) ⋅ ⋅ dt = a a 1 1 1 = ∫ f ( t )dt = ⋅ F( t ) + C = F(ax + b) + C . a a a Итак, если ∫ f ( x )dx = F( x ) + C , то 1 a

∫ f (ax + b)dx = F(ax + b) + C

(1.32)

Формула (1.32) позволяет значительно расширить основную таблицу интегралов. Например, известно, что ∫

dx = ln x + C, тогда, согласно (1.32), x

1 dx = ln ax + b + C или ∫ sin xdx = − cos x + C , ax + b a 1 ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C . a 1 Аналогично, ∫ e ax dx = e ax + C и так далее. a Пример 1.13 Найти ∫ cos 3x dx .

∫

тогда

Решение. Известно, что ∫ cos x dx = sin x + C . Тогда, полагая в формуле (1.2) a = 3 ,

1 b = 0 , получим ∫ cos 3x dx = sin 3x + C . 3 В приведенных ниже примерах метод замены переменной достаточно быстро привел к цели. Однако столь удачно подобрать новую переменную можно лишь при хорошем владении техникой дифференцирования, умении прикидывать результат той или иной подстановки и твердом знании основных табличных интегралов.

1.4.3 Метод интегрирования по частям Пусть u ( x ) и v( x )

непрерывно дифференцируемые функции на

некотором промежутке. Тогда, как известно из дифференциального исчисления,

d(uv) = udv + vdu . Интегрируя обе части этого равенства и используя свойство (1.7), получим ∫ d (uv) = ∫ udv + ∫ vdu или uv = ∫ u dv + + ∫ v du . Тогда,

∫ u dv = uv − ∫ v du

(1.33)

Формула (1.33) называется формулой интегрирования по частям. Рассмотрим общую схему применения этой формулы. Пусть требуется найти ∫ f ( x )dx . Обозначим подынтегральное выражение

f ( x )dx через u dv , то есть, положим ∫ f ( x )dx = ∫ udv . Выбрав какую-то часть f ( x ) , примем ее за функцию u ( x ) . Оставшуюся часть f ( x ) и dx примем за dv . По назначенным таким образом функции u ( x ) и дифференциалу функции v( x ) вычислим du и v( x ) . Подставляя найденные величины в правую часть (1.33), получим

∫ f ( x )dx = uv − ∫ v du . Таким образом, если нахождение функции v( x ) по известному ее дифференциалу dv и нахождение ∫ v du в совокупности представляет собой, болеет простую задачу, чем исходная задача нахождения ∫ f ( x )dx = ∫ u dv , то метод интегрирования по частям будет эффективен. Пример 1.14 Найти ∫ ( x + 1) sin x dx . Решение. Пусть ∫ ( x + 1) sin x dx = ∫ u dv . В данном примере за функцию u ( x ) можно выбрать либо sin x , либо ( x + 1) , либо ( x + 1) sin x . Тогда на долю dv соответственно останутся выражения

( x + 1)dx , sin x dx и dx . Рассмотрим последовательно все три возможности. 1 Пусть u ( x ) = sin x , dv = ( x + 1)dx . Тогда

du = d(sin x ) = (sin x )′dx = cos xdx и x2 +x v( x ) = ∫ ( x + 1)dx = 2 17

Подставляя

найденные

величины

правую

часть

(1.33),

получим

⎞ ⎛ x2 1 2 ∫ ( x + 1) sin xdx = ⎜⎜ + x ⎟⎟ sin x − ∫ ( x + 1) cos x dx 2 ⎠ ⎝ 2 Заметим, что степень многочлена ( x + 1) в новом интеграле увеличилась на одну единицу, следовательно, ∫ ( x + 1) 2 cos xdx является более "сложным", чем исходный. Итак, при выборе sin x в качестве функции u ( x ) метод интегрирования по частям не приведет к цели. 2 Пусть u ( x ) = x + 1, dv = sin xdx . Тогда

du = ( x + 1)′dx = dx и v( x ) = ∫ sin xdx = − cos x . Согласно, (1.33), получим

∫ ( x + 1) sin xdx = −( x + 1) cos x + ∫ cos xdx . Так как ∫ cos xdx = sin x + C , то

∫ ( x + 1) sin xdx = −( x + 1) cos x + sin x + C Следовательно, метод интегрирования при указанном назначении u ( x ) и dv привел к цели. 3 Пусть u ( x ) = ( x + 1) sin x , dv = dx .

′

Тогда du = [( x + 1) sin x ] dx = [sin x + ( x + 1) cos x ]dx и v = ∫ dx = x . Согласно (1.33), получим

∫ ( x + 1) sin xdx = x ( x + 1) sin x − ∫ x[sin x + ( x + 1) cos x ]dx .

Ясно, что интеграл в правой части более "сложный", чем исходный; следовательно, выбор

( x + 1) sin x

в качестве функции

u(x)

является

неудачным. Итак, из трех возможностей только одна оказалась благоприятной. Прикидка, проведенная в этом примере, безусловно, необходима и при решении других примеров. Однако для некоторых классов функции можно воспользоваться готовыми указаниями выбора функции u ( x ) . Так, если f ( x ) есть функция вида Р n ( x ) sin αx , Р n ( x ) cos αx , Р n ( x )e αx , где Р n ( x ) многочлен степени n , α ∈ R , то интегралы от этих функций берутся интегрированием по частям и за функцию u ( x ) всегда выбирается многочлен

Р n ( x ) . После однократного интегрирования получаются интегралы того же 18

вида, но степень многочлена Р n ( x ) понижается на единицу. Вновь выбирая многочлен степени (n − 1) за u ( x ) , применяют формулу интегрирования по частям и вновь понижают степень многочлена еще на одну единицу. После n кратного применения формулы (1.33) получают интегралы

∫ sin αxdx ,

αx ∫ cos αxdx и ∫ e dx , вычисляющиеся с помощью линейной подстановки

αx = t или по формуле (1.32). Если же f ( x ) представляет

собой

функцию

вида

Р n ( x ) ln x ,

Р n ( x ) arcsin x , Р n ( x ) arccos x , Р n ( x )arctg x , Р n ( x )arcctg x , где Р n ( x ) многочлен степени n , то за функцию u ( x ) принимают функцию, являющуюся множителем при Р n ( x ) . Пример 1.15 Найти ∫ ( x 3 − 4 x + 5) ln xdx . Решение.

f ( x ) = ( x 3 − 4 x + 5) ln x = P3 ( x ) ln x Согласно

предыдущей

рекомендации

положим

u ( x ) = ln x , тогда

dv = ( x 3 − 4x + 5)dx . Вычислим

dx x4 3 du = d (ln x ) = и v( x ) = ∫ ( x − 4 x + 5)dx = − 2 x 2 + 5x . 4 x Согласно (1.33) получим

⎛ x4 ⎞ ⎛ x4 ⎞ dx 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x − 4 x + 5 ln x dx = − 2 x + 5 x ln x − − 2 x + 5 x ∫ ∫⎜ ⎜ 4 ⎟ ⎟ x = 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x4 ⎞ ⎛ x3 ⎞ ⎛ x4 ⎞ x4 2 2 = ⎜⎜ − 2 x + 5x ⎟⎟ ln x − ∫ ⎜⎜ − 2 x + 5 ⎟⎟dx = ⎜⎜ − 2 x + 5x ⎟⎟ ln x − + x 2 − 5x + C 16 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

(

)

В некоторых случаях применение метода интегрирования по частям позволяет находить интегралы с помощью алгебраических уравнений, в которых неизвестной величиной является исходный интеграл. Пример 1.16 Найти ∫ e αx sin βxdx . Решение. Пусть u ( x ) = e αx , dv = sin βxdx .

1 β

Тогда du = α ⋅ e αx dx и v( x ) = ∫ sin βxdx = − cos β x . 19

По (1.33) получим

1 β

αx αx ∫ e sin βxdx = − e cos βx +

α αx ∫ e cos βxdx . β

В новом интеграле положим u ( x ) = e αx , dv = cos βxdx .

1 β

Тогда du = α ⋅ e αx dx и v( x ) = ∫ cos βxdx = − sin βx . По (1.33) получим

1 β

αx ax ∫ e cos βxdx = e sin βx −

α αx ∫ e sin βx β

Подставляя в предыдущее равенство, получим

∫e

αx

1 αx α αx α 2 αx sin β xdx = − e cos βx + 2 ∫ e sin βx − 2 ∫ e sin βxdx β β β

(*)

Уравнение (*) есть алгебраическое уравнение относительно искомого интеграла. Приведя подобные члены в (*), найдем, что

⎛ α 2 ⎞ αx 1 α ⎜1 + 2 ⎟ ∫ e sin βxdx = − eαx cos βx + 2 e αx sin βx ⎜ β ⎟ β β ⎠ ⎝ Тогда

∫e

αx

( α sin βx − β cos βx )e αx sin βxdx = +C α 2 + β2

Основные методы интегрирования позволяют определить целые классы элементарных функций, интегралы от которых вновь выражаются через элементарные функции. Как будет установлено ниже, таковыми являются: дробно-рациональные функции; функции, рациональным образом зависящие от тригонометрических функций sin x и cos x ; некоторые виды иррациональных функций и так далее. При этом наиболее важным классом является класс дробно-рациональных функций, так как к интегралам от них будут сводиться интегралы и от многих других классов функций. 1.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО - РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 1.5.1 Некоторые сведения о многочленах Пусть задан многочлен степени n , то есть Pn ( x ) = a 0 x n + a1x n −1 + ... + a n −1x + a n , 20

где a 0 , a1 , ..., a n ∈ R , a 0 ≠ 0, n∈N. Установлено, что всякий многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами может быть представлен в следующей форме:

P n ( x ) = a 0 ( x − x 1 ) k 1 ⋅ ( x − x 2 ) k 2 ⋅ ... ⋅ ( x − x

(

) ( t1

)

⋅ x 2 + p1 x + q 1 ⋅ x 2 + p 2 x + q 2 ⋅ ... ⋅ ( x 2 + p β x + q β ) где k1 , k 2 ,..., k α , t1 , t 2 ,..., t β ∈ N ; α, β ∈ N ; x1 , x 2 ,..., x α ∈ R , p1 , q1 ,..., pβ , q β ∈ R ,

tβ

)kα ⋅

(1.34)

pβ2 p12 p 22 причем − q1 < 0 , − q2 < 0 , … , − qβ < 0 , 4 4 4 k1 + k 2 + ... + k α + 2 t1 + 2 t 2 + ... + 2 t β = n . Разложение (1.34) называют разложением многочлена Pn ( x ) на линейные и квадратичные множители, то есть множители вида ( x − x i ) и

)

+ p j x + q j , i, j ∈ N . Числа k1 , k 2 ,..., k α называют кратностями линейных множителей, а числа t1 , t 2 ,..., t β кратностями соответствующих квадратичных множителей. Эти числа показывают, сколько раз тот или иной множитель встречается в разложении исходного многочлена. Заметим, что формула (1.34) является обобщением формулы разложения многочлена второй степени ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )(x − x 2 ), известной из школьного курса математики. Пример 1.17. Разложить на линейные и квадратичные множители P3 ( x ) = x 3 + x 2 + 9 x + 9 . Решение. Число x1 = −1 является корнем P3 ( x ) , так как P3 ( −1) = −1 + 1 − 9 + 9 = 0 . Тогда P3 ( x ) делится без остатка на линейный множитель ( x + 1) . Выполним это деление, воспользовавшись правилом деления двух многочленов:

_ x3 + x 2 + 9x + 9 x + 1

x3 + x2

x2 + 9

_ 9x + 9 9x + 9 0 Итак,

x 3 + x 2 + 9x + 9 = ( x + 1)(x 2 + 9) 21

Множитель ( x 2 + 9) не имеет действительных корней, так как его дискриминант D = −36 < 0 . Следовательно, искомым разложением будет x 3 + x 2 + 9x + 9 = ( x + 1)(x 2 + 9) . 1.5.2 Виды рациональных дробей Как известно, дробно - рациональной функцией называется функция, представимая в виде отношения двух многочленов

Pm ( x ) , (1.35) Qn (x) где Pm ( x ) многочлен степени m , Q n ( x ) многочлен степени n . Например, 3x 2 − 5x + 6 x +5 , а = R ( x ) ≠ R (x) . x 5 + 4x 3 − 8 x 2 + 4x − 8 R (x) =

Среди дробно - рациональных функций (рациональных дробей) различают так называемые правильные и неправильные дроби. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной. В приведенном выше примере степень числителя m = 2 , степень знаменателя n = 5 . Следовательно, дробь правильная. Пусть задана неправильная дробь R ( x ) . Тогда, воспользовавшись правилом деления двух многочленов и разделив ее числитель Pm ( x ) на знаменатель Q n ( x ) , R ( x ) можно представить в виде суммы некоторого многочлена L p ( x ) называемого целой частью, и некоторой правильной дроби, то есть в виде

R (x) = Lp (x) + где L p ( x ) целая часть,

rk ( x ) , Qn (x)

(1.36)

rk ( x ) правильная дробь. Qn (x)

Таким образом,

∫ R ( x )dx = ∫ L p ( x )dx + ∫

rk ( x ) dx Qn (x)

(1.37)

Так как ∫ L p ( x )dx (как интеграл от многочлена) легко находится, то задача вычисления интеграла ∫ R ( x )dx сводится к интегрированию правильной дроби. Среди правильных дробей в курсе высшей алгебры выделяют четыре вида так называемых простейших дробей: Тип I:

А ; х − х0

Тип II:

А ; (х − х 0 ) n

Тип III:

Mx + N ; 2 x + px + q

Тип IV:

Mx + N , 2 n ( x + px + q )

p2 − q < 0 , n ∈ N , n ≠ 1. Где A, M , N, x 0 , p, q ∈ R , 4 В этой же дисциплине установлено, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I – IV типов. 1.5.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей

Pm ( x ) есть правильная дробь. Допустим также, что Qn (x) знаменатель Q n ( x ) разложен на линейные и квадратичные множители (1.34), где a 0 = 1, то есть

Пусть R ( x ) =

Q n ( x ) = ( x − x1 ) k1 ... ( x − x α ) k α ( x 2 + p1x + q1 ) t1 ... ( x 2 + p β x + q β ) β . Тогда справедлива теорема (принимается без доказательства). Теорема 1.3 Если R ( x ) =

Pm ( x ) есть правильная дробь, знаменатель Qn (x)

которой представлен в виде

Q n ( x ) = ( x − x1 ) k1 ⋅ ( x − x 2 ) k 2 ... ( x − x α ) k α ( x 2 + p1x + q1 ) t1 ⋅ t

⋅ ( x 2 + p 2 x + q 2 ) t 2 ... ( x 2 + pβ x + q β ) β , то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме: A k1 A 2 B1 Pm ( x ) A1 = + + + + ... 2 k1 x − x1 x − x Q n (x ) (x − x1) (x − x1) +

B k2 B2 C1 + ... + + ... + 2 k2 x − x (x − x 2 ) (x − x 2 )

+ α

+ 2

C kα C2 + ... + + 2 (x − x α ) (x − x α )kα

M t1 x + N t1 M 1x + N 1 M 2x + N 2 + + + + ... ... x 2 + p1x + q 1 (x 2 + p1x + q 1 ) 2 ( x 2 + p 1 x + q 1 ) t1

D tβ x + E tβ D 1x + E 1 D 2x + E 2 + + ... + , 2 2 t x + pβx + qβ (x + pβx + qβ ) (x 2 + pβx + q β ) β 2

(1 . 38 )

где A1 , A 2 , ..., C k α , M1 , N1 , ..., D t β , E t β некоторые действительные числа. Из (1.38) следует, что каждому линейному множителю ( x − x i ) в степени

k i соответствует k i простейших дробей I и II видов, а квадратичным 23

множителям ( x 2 + p j x + q j ) в степени t j , соответствуют t j простейших дробей III и IV видов. Существуют несколько методов поиска неизвестных коэффициентов

A1 , A 2 , ... , C1 , C 2 , ... , D1 , E1 , D 2 , E 2 , ... входящих в (1.38). Одним из них является метод неопределенных коэффициентов. По этому методу приводят правую часть (1.38) к общему знаменателю. Так как общим знаменателем является Q n ( x ) , то из равенства дробей следует равенство их числителей, иными словами, равенство двух многочленов Pm ( x ) и многочлена, образующего в числителе правой части (1.38). Так как два многочлена тождественно равны друг другу только при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x , то приравнивая эти коэффициенты при x в нулевой степени, при x в первой степени, при x 2 , и т.д. получим линейную систему из

n уравнений с n неизвестными A1 , A 2 , ... , D1 , E1 , .. . Решив эту систему и подставив найденные коэффициенты A1 , A 2 , ... , D1 , E1 , ... в (1.38), получим искомое разложение правильной дроби на сумму простейших. Пример 1.18 Разложить на простейшие дроби

x 2 + 2x + 2 . R (x ) = ( x − 2) 2 ( x 2 + 3) Решение. Знаменатель Q n = ( x − 2) 2 ( x 2 + 3) содержит два множителя. Множитель

( x − 2) является линейным множителем второй кратности. Множитель ( x 2 + 3) является квадратичным множителем первой кратности. Тогда согласно (1.38)

x 2 + 2x + 2 A B Mx + N R (x) = = + + ( x − 2) 2 ( x 2 + 3) x − 2 ( x − 2) 2 x2 + 3

(1)

Приводя к общему знаменателю, получим

x 2 + 2x + 2 = A( x − 2)(x 2 + 3) + B( x 2 + 3) + (Mx + N)(x − 2) 2 . скобки в правой части (2), получим

x 2 + 2 x + 2 = (A + M) x 3 + (−2A + B − 4M + N) x 2 + + (3A + 4M − 4 N) x + (−6A + 3B + 4 N).

(2) Раскрывая

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части этого равенства, получим систему линейных уравнений

x 3 : ⎧A + M = 0, ⎪ x 2 : ⎪− 2A + B − 4M + N = 1, ⎨ x : ⎪3A + 4M − 4 N = 2, x 0 : ⎪⎩− 6A + 3B + 4 N = 2. Решив эту систему, найдем A =

2 25 2 10 , B= , M=− , N=− . Подставляя 49 7 49 49

найденные коэффициенты в разложение (1), получим

x 2 + 2x + 2 2 10 2 x + 25 R (x) = = + − 2 2 2 ( x − 2) ( x + 3) 49( x − 2) 7( x − 2) 49( x 2 + 3) Иногда удается упростить нахождение коэффициентов в разложении

R ( x ) на простейшие дроби. Действительно, равенство (2) является тождеством относительно x . Следовательно, оно является справедливым при любом значении x . Полагая x = 2 , где 2 является корнем знаменателя, имеем

2 2 + 2 ⋅ 2 + 2 = B (2 2 + 3) или 7B = 10 . Тогда B =

10 . 7

Этот метод особенно эффективен, если знаменатель Q n ( x ) имеет только простые действительные корни. Если же не все корни знаменателя являются таковыми, то полезно применять комбинировано оба приема. 1.5.4 Интегрирование простейших дробей Проблема нахождения интеграла от правильной рациональной дроби согласно равенству (1.38) сводится к последовательному вычислению интегралов от каждого слагаемого правой части этого равенства. Так как в правой части (1.38) каждое слагаемое представляет собой один из четырех видов простейших дробей, то для вычисления интеграла от правой части достаточно уметь находить интегралы от простейших дробей I – IV типов. Пусть R ( x ) =

∫ R (x) = ∫

A , где A, x 0 ∈ R . Тогда x − x0

A dx dx = A ∫ ⇒ (1.32) = A ln x − x 0 + C x −x 0 x − x0 25

(1.39)

Пусть R ( x ) есть простейшая дробь второго типа. Тогда

∫ R ( x )dx = ∫ = A⋅

x − x 0 = t, dt Adx ⇒ = = A ∫ dx = dt tk (x − x 0 ) k

(1.40)

− k +1

A t +C = + C, − k +1 (1 − k )( x − x 0 ) k −1

где A, x 0 ∈ R , k ∈ N , k ≠ 1 . Пусть

R (x)

есть

простейшая

дробь

третьего

типа,

то

есть

Mx + N p2 R (x) = 2 , где M, N, p, q ∈ R , − q < 0 . Тогда 4 x + px + q

∫ R ( x )dx = ∫

=∫

По

Mx + N dx = ∫ x + px + q 2

(Mx + N)dx 2

p⎞ p ⎛ ⎜x + ⎟ +q − 2⎠ 4 ⎝

условию

4q − p > 0;

(Mx + N )dx = 2 2 p p p x2 + 2⋅ x + − + q 2 4 4

тогда,

полагая

p2 q− = m2 , 4

⎛ p⎞ Mp M⎜ t − ⎟ + N p Mt + N − (Mx + N)dx 2 x + = t, 2 dt = ⇒ = ∫ ⎝ 2 ⎠2 dt = ∫ ∫ 2 2 2 2 t +m t +m p⎞ ⎛ 2 dx = dt ⎜x + ⎟ + m 2⎠ ⎝ tdt Mp ⎞ dt 1⎛ Mp ⎞ t ⎛ = M∫ 2 + − = − + N N arctg ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∫ 2 ⎠ t 2 + m2 m ⎝ 2 ⎠ m t + m2 ⎝ t 2 + m2 = z 1 ⎛ tdt Mp ⎞ t M dz + M∫ 2 ⇒ = − + ∫ = N arctg ⎜ ⎟ 2 m 2 m 2 z t +m 2 tdt = dz ⎝ ⎠ 2 N − Mp t M 2 N − Mp t M = arctg + ln z + C = arctg + ln ( t 2 + m 2 ) + 2m m 2 2m m 2

получим

+ C ⇒

p , 2 p 2 = q − 4

t = x +

⎛ ⎛ M p ⎞ ln ⎜ ⎜ x + ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝

p 2 p 2 q − 4 2x + p x +

2 N − Mp p 2 q − 4 2 N − Mp 4q − p

⇒

arctg

4q − p

+ C =

+ q −

M ln ( x 2

p 2 4

+ px

⎞ ⎟ + ⎟ ⎠

+ q) +

+ C.

( 1 . 41 )

Рассмотрим теперь схему вычисления интеграла от простейшей дроби четвертого типа:

p2 Mx + N − q < 0. dx , где ∫ R ( x )dx = ∫ 2 4 ( x + px + q ) k Как в случае интегрирования простейшей дроби третьего типа, дополним знаменатель до полного квадрата и введем новую переменную, положив

p p2 x + = t . Обозначая q − = m 2 , получим 2 4 ⎛ p⎞ M⎜ t − ⎟ + N Mx + N ⎝ 2⎠ = dx dt = ∫ 2 ∫ ( x + px + q ) k (t 2 + m2 )k tdt 2 N − Mp dt = M∫ 2 + ∫ 2 (t + m2 )k (t 2 + m2 )k

(3)

Найдем первый из интегралов в (3).

∫

(t2

= −

tdt + m

t2 + m 2 = z 1 dz z − k +1 ⇒ = = − + C = ∫ 2 zk 2 ( k − 1) 2 tdt = dz

1 1 + C = − 2 ( k − 1) z k −1 2 ( k − 1 )( t 2 + m

) k −1

+ C.

Вычислим теперь второй интеграл в правой части (3), обозначив его через

J k . Имеем

dt 1 (t 2 +m2 ) − t 2 1 dt = = − Jk = ∫ 2 dt ∫ ∫ (t + m2 )k m 2 (t 2 + m 2 )k m 2 ( t 2 + m 2 ) k −1 1 t2 − 2∫ 2 dt m (t + m2 )k Заметим, что

∫

dt = J k −1 , тогда ( t + m 2 ) k −1 2

1 t 2dt tdt 1 J k = 2 J k −1 − 2 ∫ 2 u t , du dt , dv , ⇒ = = = m m (t + m2 )k (t 2 + m2 )k v=∫

tdt 1 = = 2 2 k 2 2 k −1 (t + m ) 2(1 − k )( t + m )

⎤ ⎡ t 1 dt = − ∫ ⎢ 2 2 k −1 2 2 k −1 ⎥ 2 ( 1 k ) − ( t m ) 2 ( 1 k )( t m ) − + + ⎦ ⎣ 1 t 1 dt = 2 J k −1 − + = ∫ 2 2 2 2 k −1 2 2m (1 − k )( t + m ) 2m (1 − k ) ( t + m 2 ) k −1 m 1 1 1 = 2 J k −1 − + ⋅ J k −1 = 2 2 2 k −1 2 m 2m (1 − k )( t + m ) 2m (1 − k ) t 2k − 3 = + ⋅ J k −1 2 2 2 k −1 2m (k − 1)( t + m ) 2(k − 1)m 2 =

1 1 J − k −1 m2 m2

Итак, если J k = ∫

Jk =

dt , то (t 2 + m 2 )k

t 2k − 3 + ⋅ J k −1. 2 2 k −1 2m (k − 1)( t + m ) 2m 2 (k − 1) 2

(1.42)

Формула (1.42) является рекуррентной формулой. Она позволяет свести нахождение интеграла ∫

dt dt к нахождению интеграла . ∫ (t 2 + m 2 )k ( t 2 + m 2 ) k −1

После (k − 1) - кратного применения формулы (1.42) в правой части этого равенства образуется табличный интеграл

∫

1 t dt arctg = +C m t 2 + m2 m

Пусть интеграл J k = ∫

dt найден. Тогда, подставляя найденные 2 2 k (t + m )

выражения для первого и второго интегралов в основное соотношение (3) и осуществляя обратные замены, найдем искомый интеграл от простейшей дроби четвертого типа. 1.5.5 Общий план интегрирования дробно - рациональной функции Для того, чтобы проинтегрировать дробно - рациональную функцию, необходимо следующее: 1 Если рассматриваемая функция есть неправильная дробь, то выделить целую часть, разделив ее числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, то есть записать R ( x ) в виде (1.36):

R (x) = L p (x) + где L p ( x ) многочлен,

rk ( x ) , Qn (x)

rk ( x ) правильная дробь. Q n (x)

2 Разложить знаменатель Q n ( x ) на линейные квадратичные множители в виде (1.34). 3 С учетом

кратности

линейных

квадратичных

множителей

знаменателя Q n ( x ) разложить правильную дробь на сумму простейших дробей по схеме (1.38) и определить, желательно комбинированным методом, все неизвестные коэффициенты этого разложения. 4 Вычислить интегралы от целой части L p ( x ) и от всех простейших дробей разложения (1.38), используя соответствующие методы интегрирования простейших дробей. 5 Просуммировать результаты вычислений и записать ответ.

3x 4 + 14 x 2 + 7 x + 15 Пример 1.19 Найти ∫ dx . ( x + 3)( x 2 + 2) 2 Решение. 1 Дробно - рациональная функция

3x 4 + 14 x 2 + 7 x + 15 R (x) = ( x + 3)( x 2 + 2) 2 29

есть правильная дробь, так как степень многочлена в числителе m = 4 меньше степени знаменателя n = 5 . 2 Знаменатель

Q 5 ( x ) = ( x + 3)( x 2 + 2) 2

разложен на линейные и

квадратичные множители. Их кратности равны соответственно 1 и 2 . 3 Согласно схеме (1.38) имеем

3x 4 + 14 x 2 + 7 x + 15 A Bx + C Mx + N = + 2 + . 2 2 x + 3 x + 2 ( x 2 +2) 2 ( x + 3)( x + 2) Отсюда 3x 4 + 14 x 2 + 7 x + 15 = A( x 2 + 2) 2 + (Bx + C)( x + 3)( x 2 + 2) + (Mx + N)( x + 3)

Найдем коэффициенты этого разложения комбинированным методом. При x = −3 имеем 363 = 121A,

A=3.

Для определения оставшихся неизвестных составим систему:

x 4 : ⎧A + B = 3, ⎪ x 3 : ⎪3B + C = 0, ⎨ x 2 : ⎪4A + 2B + 3C + M = 14, x1 : ⎪⎩6B + 2C + 3M + N = 7, откуда при A = 3 последовательно получим B = 0, C = 0, M = 2, N = 1. Подставляя в разложение, найдем, что

3x 4 + 14x 2 + 7 x + 15 3dx 2x + 1 dx = + dx = ∫ ∫ ∫ x + 3 ( x 2 + 2) 2 ( x + 3)( x 2 + 2) 2 1 x 1 x = ln x + 3 − 2 + + arctg + C. 2 x + 2 4( x 2 + 2) 4 2 Каждый из интегралов от простейших дробей вычислен согласно соответствующим рекомендациям, приведенным в пункте 4.

1.6 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1.6.1 Рациональная функция двух независимых переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 Многочленом или целой рациональной функцией относительно u и v называется сумма конечного числа слагаемых вида

cu m v n , где m, n натуральные числа или нули, а c действительные числа. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 Отношение двух многочленов относительно u и v называется рациональной функцией относительно u и v , и обозначается

R ( u; v) . Например,

выражения

5u , 2 u +v

uv 4u + v

являются

рациональными

sin 2 x − cos x 2 sin x − 3 , функциями относительно u и v . Выражения 5 sin x cos x есть рациональные функции относительно sin x и cos x . Из определений 1.3 и 1.4 следует, что функция R (u , v) осуществляет над своими аргументами u и v только операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Выражение

u ∉ R (u , v) , так как над переменной u осуществляется u 2 + v2

операция возведения не в целую степень. Легко заметить, что сумма, разность, произведение и частное нескольких рациональных функций есть рациональная функция от u и v . Пусть u = u ( x ) , v = v( x ) ; тогда R (u ( x ), v( x )) называется рациональным выражением относительно u и v . Если u ( x ) и v( x ) являются рациональными функциями, то сложная функция R (u ( x ), v( x )) есть рациональная функция относительно независимой переменной x . 1.6.2 Интегралы вида ∫ R (sin x , cos x )dx Универсальная подстановка. 31

Теорема 1.4 Интеграл вида ∫ R (sin x , cos x )dx подстановкой t = tg

x 2

приводится к интегралу от рациональной функции t , следовательно, всегда выражается в элементарных функциях.

x . Тогда 2 x x x 2 sin cos 2 tg ⎛x⎞ 2 2 = 2 или sin x = 2t . sin x = sin 2⎜ ⎟ = 1+ t2 ⎝ 2 ⎠ sin 2 x + cos 2 x 1 + tg 2 x 2 2 2 x x x cos 2 − sin 2 1 − tg 2 ⎛x⎞ 2 2 = 2 Аналогично cos x = cos 2⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ cos 2 x + sin 2 x 1 + tg 2 x 2 2 2 Доказательство. Пусть t = tg

1− t2 или cos x = . 2 1+ t Так как t = tg

(5)

(6)

2dt x , то x = 2arctg t и dx = . 2 1+ t2

(7)

Выполнив замены переменной в заданном интеграле, с учетом (5), (6), (7) получим

⎛ 2t 1 − t 2 ⎞ 2 x ⎟ dt , ∫ R (sin x , cos x )dx ⇒ t = tg = ∫ R ⎜⎜ 2 2⎟ 2 2 + 1 + t 1 + t 1 t ⎝ ⎠

(8)

Так как в подынтегральной функции в (8) над новой переменной t выполняются только рациональные операции и по условию R рациональная функция, то подынтегральная функция есть рациональная функция R 1 ( t ) переменной t . В разделе 1.5, установлено, что ∫ R 1 ( t )dt всегда выражается через элементарные функции. Следовательно,

∫ R (sin x , cos x )dx ⇒ t = tg

x = ∫ R 1 ( t )dt 2

всегда можно выразить через элементарные функции. Пример 1.20 Найти ∫

dx . 9 + 8 cos x + sin x 32

Решение. Так как

1 = R (sin x , cos x ) , 9 + 8 cos x + sin x x то применим подстановку t = tg . Согласно (5), (6), (7) получим 2

1 2dt = 2 1− t 2t 1 + t 2 9+8 + 2 1+ t 1+ t2 t + 1 = z, 2dt 2dt 2dz =∫ 2 =∫ ⇒ = = ∫ dt = dz t + 2t + 17 ( t + 1) 2 + 16 z 2 + 42 x 1 + tg 1 z 1 t +1 1 2 + C. = arctg + C = arctg + C = arctg 2 4 2 4 2 4 x Подстановка t = tg всегда позволяет найти ∫ R (sin x , cos x )dx . 2

∫

dx x ⇒ t = tg = ∫ 9 + 8 cos x + sin x 2

Поэтому она называется универсальной подстановкой. 1.6.3 Частные методы вычисления интегралов ∫ R (sin x , cos x )dx Универсальная подстановка, хотя и всегда позволяет находить интегралы указанного вида, но во многих случаях приводит к громоздким вычислениям. Поэтому уместно находить ∫ R (sin x , cos x )dx для частных видов функции

R (sin x, cos x ) другими методами (приемами). 1 Пусть

∫ R (sin x , cos x )dx = ∫ R 1 (sin x ) cos x dx

(1.43)

Выполним замену sin x = t . Тогда cos xdx = dt и

∫ R 1 (sin x ) cos x dx = ∫ R 1 ( t )dt , где последний интеграл является интегралом от дробно - рациональной функции, следовательно, вычисляется согласно приемам, изложенным в разделе 1.5. 2 Пусть

∫ R (sin x, cos x )dx = ∫ R 1 (cos x ) sin x dx Положим cos x = t , тогда − sin xdx = dt и 33

(1.44)

∫ R 1 (cos x ) sin x dx = − ∫ R 1 ( t )dt . Интеграл ∫ R 1 ( t )dt вычисляется по схеме, изложенной в разделе 1.5 . 3 Пусть

∫ R (sin x , cos x )dx = ∫ R 1 ( tg x ) dx Положим tg x = t , тогда x = arctg t и dx =

(1.45)

dt . 1+ t2

Выполняя замену, получим

∫ R 1 ( tg x )dx = ∫ R 1 ( t )

dt R1 (t ) = R ( t ) dt , где = есть дробно R ( t ) ∫ 2 2 1+ t2 1+ t2

рациональная функция. 4 Пусть 2 2 ∫ R (sin x , cos x )dx = ∫ R 1 (sin x , cos x ) dx

(1.46)

Положим tg x = t , тогда

sin 2 x sin 2 x tg 2 x t2 , sin x = = = = 1 sin 2 x + cos 2 x 1 + tg 2 x 1 + t 2 2

cos 2 x cos 2 x 1 1 , cos x = = = = 2 2 2 1 sin x + cos x 1 + tg x 1 + t 2 2

x = arctg t и dx =

dt . 1+ t2

Выполнив замену, получим

⎛ t2 1 ⎞ 1 ⎟ dt = ∫ R 2 ( t )dt , где , ∫ R 1 (sin x , cos x ) dx = ∫ R 1 ⎜⎜ 2 2⎟ 2 ⎝1 + t 1 + t ⎠1 + t 2

⎛ t2 1 ⎞ 1 ⎟ есть дробно - рациональная функция. , ∫ R 2 ( t )dt = R 1 ⎜⎜ 2 2⎟ 2 ⎝1 + t 1 + t ⎠1 + t 5 Пусть

∫ R (sin x, cos x )dx = ∫ sin

x ⋅ cos 2 n x dx

(1.47)

где m, n ∈ N или нули. Одночлен sin 2 m x cos 2 n x имеет степень (2m + 2n ) . Понизим степень этого одночлена, используя формулы связи sin 2 x и

cos 2 x с cos 2 x . Имеем, 34

sin 2 x =

1 − cos 2 x 1 + cos 2x , cos 2 x = . Тогда 2 2

∫ sin =

1 2

m+n

x cos

⎛ 1 − cos 2 x ⎞ ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ xdx = ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx = 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

m n ∫ (1 − cos 2x ) (1 + cos 2x ) dx.

После возведения в подынтегральной функции получим многочлен степени (m + n ) относительно cos 2x . Применяя к последнему интегралу методы вычисления интегралов (1.43), (1.44), … , (1.47), после серии шагов получим интегралы вида ∫ sin 2 kx dx и ∫ cos 2 lx dx , где k , l ∈ N . Тогда

1 − cos 2kx 1 1 x 1 dx = ∫ dx − ∫ cos 2kx dx = − sin 2kx + C 2 2 2 2 4k 1 + cos 2lx 1 1 x 1 2 dx = ∫ dx + ∫ cos 2lx dx = + sin 2lx + C ∫ cos lx dx = ∫ 2 2 2 2 4l 2 ∫ sin kx dx = ∫

6 Пусть

∫ R (sin x , cos x ) = ∫ sin αx cos βxdx ,

(1.48)

где α, β ∈ R . Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму.

sin(α + β) x + sin(α − β) x . Тогда 2 1 ∫ sin αx cos βxdx = ∫ [sin(α + β) x + sin(α − β) x ]dx = 2 cos(α + β) x cos(α − β) x =− − + C. 2(α + β) 2(α − β)

Имеем, sin αx cos βx =

Аналогично (1.48) вычисляются интегралы вида

∫ sin αx sin βxdx и ∫ cos αx cos βxdx , где α, β ∈ R . Пример 1.21 Найти ∫ cos5 xdx . Решение. 5 4 2 2 ∫ cos xdx = ∫ cos x cos x dx = ∫ (1 − sin x ) cos xdx .

Так как образовавшийся интеграл относится к виду ∫ R 1 (sin x ) cos xdx , то применим

подстановку

sin x = t .

5 2 2 2 4 ∫ cos xdx = ∫ (1 − t ) dt = ∫ (1 − 2t + t )dt =

Тогда

cos x dx = dt

2 3 1 5 2 sin 3 x sin 5 x = t − t + t + C = sin x − + + C. 3 5 3 5 Пример 1.22 Найти ∫ tg 4 xdx . Решение. 4 ∫ tg xdx = ∫ R ( tgx )dx

Тогда, положим tg x = t . Найдем dx =

dt . 1+ t2

t4 t4 + t 2 − t 2 −1 +1 dt = dt = ∫ ∫ tg xdx = ∫ 2 2 1+ t 1+ t 2 2 2 t ( t + 1) − ( t + 1) − 1 1 ⎤ ⎡ 2 dt t 1 dt = = − − ∫ ∫ ⎢⎣ t2 +1 t 2 + 1⎥⎦ 4

dt t3 = ∫ t dt − ∫ dt − ∫ 2 = − t − arctg t + C = t +1 3 tg 3 x tg 3 x = − tg x − arctg ( tg x ) + C = − tg x − x + C 3 3 2

1.7 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

10 Пусть подынтегральная функция f ( x ) есть иррациональная функция вида m1 m2 mk ⎛ R ⎜ x , x n1 , x n 2 , ... , x n k ⎜ ⎝

⎞ ⎟dx , где m , m , ... , m ∈ Z , 1 2 k ⎟ ⎠

n1 , n 2 , ... , n k ∈ N , R символ дробно - рациональной функции. Теорема 1.5 Интеграл вида m1 m2 mk ⎛ n n n ⎜ ∫ R ⎜ x , x 1 , x 2 , ..., x k ⎝

приводится подстановкой x = t s , где s

⎞ ⎟dx ⎟ ⎠

(1.49)

наименьшее общее кратное (НОК)

чисел n1 , ... , n k к интегралу от дробно - рациональной функции, следовательно, выражается через элементарные функции.

Доказательство. Пусть x = t s , где s

НОК чисел n1 , n 2 , ... , n k . Тогда

dx = st s−1dt и m1 m2 mk ⎛ n1 n2 n ⎜ ∫ R ⎜ x , x , x , ..., x k ⎝

m1s mks ⎞ ⎛ ⎞ ⎟dx = R ⎜ t s , t n1 , ..., t n k ⎟st s −1dt . ∫ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠

Так как S делится без остатка на n1 , n 2 , ... , n k и m1 , m 2 , ... , m k ∈ Z , то числа s, s − 1,

m s m1s , ... , k ∈ Z , следовательно, подынтегральная функция nk n1

есть функция вида R 1 ( t ) , где R 1 символ дробно - рациональной функции. Пример 1.23 Найти ∫

1+ x dx . x− x

Решение. m1 mk ⎛ 1+ x n1 ⎜ dx = ∫ R x , x , ..., x n k ∫ ⎜ x− x ⎝

получим dx = 2tdt и ∫

⎞ ⎟dx , где m1 = 1 , m 2 = 1 . Полагая x = t 2 , ⎟ n1 2 n 2 2 ⎠

t +1 1+ x 1+ t 2tdt = 2∫ dx = ∫ 2 dt . t −1 x− x t −t

Этот интеграл относится к классу интегралов от дробно - рациональной функции. Выделяя целую часть, найдем

2∫

t +1 ( t − 1) + 2 2 ⎤ dt ⎡ dt = 2 ∫ dt = 2 ∫ ⎢1 + dt = 2 dt + 4 = ∫ ∫ t −1 t −1 t −1 ⎣ t − 1⎥⎦

= 2 t + 4 ln t − 1 + C = 2 x + 4 ln x − 1 + C m1 mk ⎛ n ax + b ⎞ 1 ⎜ ⎛ ax + b ⎞ n k 2 0 Пусть f ( x ) = R ⎜ x , ⎛⎜ ⎟ , ..., ⎜ ⎟ ⎝ cx + d ⎠ ⎜ ⎝ cx + d ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ , где ⎟ ⎠

a , b, c, d ∈ R , m1 , m 2 , ... , m k ∈ Z , n1 , n 2 , ... , n k ∈ N . Теорема 1.6 Интеграл вида m1 mk ⎛ ⎜ ⎛ ax + b ⎞ n1 ⎛ ax + b ⎞ n k ⎟ , ... , ⎜ ⎟ ∫ R ⎜ x, ⎜ ⎝ cx + d ⎠ ⎜ ⎝ cx + d ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟dx ⎟ ⎠

(1.50)

"рационализируется" (сводится к интегралу от дробно - рациональной функции) подстановкой

ax + b s = t , где s наименьшее общее кратное чисел cx + d

n1 , n 2 , ... , n k .

ax + b s dt s − b Действительно, из и = t найдем, что x = cx + d a − ct s

dx =

(

)

(

dst s −1 a − ct s + cst s −1 dt s − b

(a − ct )

s 2

) dt .

Подставляя найденные величины в заданный интеграл, получим m1 mk ⎛ ⎞ ax + b s ⎜ ⎛ ax + b ⎞ n1 ⎛ ax + b ⎞ n k ⎟ =t = ⎟ , ... , ⎜ ⎟ ⎟dx ⇒ ∫ R ⎜ x, ⎜ + + + cx d cx d cx d ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎝ ⎠ mks ⎛ dt s − b m1s ⎞ s−1 a − ct s + cst s−1 dt s − b n1 n k ⎟ dst ⎜ dt. = ∫R , t , ... , t ⎜ a − ct s ⎟ s 2 a − ct ⎝ ⎠ m s m1s , ... , k , s, s − 1∈ Z , следовательно, полученный Вновь числа nk n1

(

)

(

)

интеграл вновь относится к интегралу от дробно - рациональной функции.

x +1 dx . x

Пример 1.24 Найти ∫ Решение.

⎛ ax + b ⎞ n Заданный интеграл относиться к виду (1.50), так как ⎜ ⎟ при ⎝ cx + d ⎠

a = 1, b = 1, c = 0, d = 1, m = 1, n = 2 . Тогда, полагая x + 1 = t 2 , найдем, что

dx = 2tdt и

(

)

x +1 2t 2 t 2 −1 + 1 dt dx = ∫ 2 dt = 2 ∫ 2 dt = 2 ∫ dt + 2 ∫ 2 = ∫ x t −1 t −1 t −1 = 2t + ln

t −1 + C = 2 x + 1 + ln t +1

x + 1 −1 + C. x +1 +1

30 Интегрирование дифференциальных биномов Выражение вида

x m (a + bx n ) p dx , где m, n, p, a , b ∈ R , называется

дифференциальным биномом. Теорема 1.7 Интеграл вида

(

m n ∫ x a + bx

)

dx ,

(1.51)

где m, n , p ∈ Q ; a , b ∈ R "рационализируется" только в следующих случаях: 1) p целое число. Подстановка x = t s , где s наименьшее общее кратное знаменателей чисел m и n ; 2)

m +1 n

целое число. Подстановка a + bx n = t , где k

знаменатель

числа p ; 3)

m +1 + p целое число. Подстановка ax − n + b = t k , где k знаменатель n числа p .

Теорема 1.7, доказанная академиком П.Л.Чебышевым (1821-1894), нами принимается без доказательства. Пример 1.25 Найти ∫

xdx . ( x 2 − 4) 3 2

Решение.

(

)

(

)

3 − p xdx 2 2 dx = x m a + bx n dx , = x x − 4 ∫ 2 ∫ ∫ ( x − 4) 3 2

3 2 m +1 1+1 Так как = = 1 ∈ Z , то выполним подстановку n 2

При m = 1 , n = 2 , p = − , a = −4 , b = 1.

a + bx n = t k , где k = 2 . Или x 2 − 4 = t 2 , тогда 2xdx = 2tdt и xdx tdt dt 1 1 = = = − + C = − + C. ∫ 2 ∫ ∫ 32 2 2 2 32 t t x −4 x −4 t

(

)

( )

1− x2 Пример 1.26 Найти ∫ dx . x2 39

Решение.

(

)

(

)

1 1− x2 m n p 2 2 2 dx = − x 1 − x dx = x a + bx dx ∫ ∫ ∫ x2 1 при m = −2 , n = 2 , p = , a = 1 , b = −1 . 2 m +1 − 2 +1 1 Число +p= + = 0∈ Z. 2 2 n

Тогда выполним подстановку ax − n + b = t к , где k = 2 или x −2 − 1 = t 2 . Отсюда

x2 =

1 tdt 1 , и x = dx = − 32 1+ t2 1+ t2 1+ t2

(

)

Подставляя, получим

(

)

1− x2 1 tdt 2 dx 1 t 1 = − + − = ∫ ∫ x2 1+ t2 1+ t2 3 2

(

= −∫ 1 + t

)

⋅ 12

(

)

t2 t 2 +1 −1 dt = dt = − ∫ = −∫ 2 2 1+ t 1+ t

(1 + t ) (1 + t ) 2

)

2 32

dt 1− x2 = = − ∫ dt + ∫ = − t + arctg t + C ⇒ t = x 1+ t2 1− x2 1− x2 =− + arctg + C. x x 1.8 ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть на отрезке [a , b] задана неотрицательная непрерывная функция

y = f ( x ) (рис. 1.2). Требуется

вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком

y = f (x)

y = f ( x ) , снизу осью

a = x0 ξ1 x1 xi −1 ξ i xi

xn −1

xn = b

Рис. 1.2 40

прямыми a < b.

Ох

x = a и x = b , где

Решим эту задачу по следующей схеме: 1

разобьем

отрезок

[a , b ]

на

частей

точками

a = x 0 < x1 < ... < x i < ... < x n = b ; выберем в каждом из частичных отрезков [ x i −1 , x i ] произвольную точку ξi и вычислим значение функции f (ξi ) в этой точке; 2

найдем произведение f (ξi )Δx i , где Δx i = x i − x i −1 ;

составим сумму n

Sn = ∑ f (ξi )Δx i .

(1.52)

i =1

С геометрической позиции эта сумма равна сумме площадей прямоугольников (рис.1.2), площадь которых приближенно равна искомой площади криволинейной трапеции. Очевидно, что точность этой формулы зависит как от числа точек деления отрезка [a , b] на элементарные части, так и от выбора точек ξi на этих частях; 4 увеличивая число точек деления [a , b] на элементарные части, можно улучшить точность формулы (1.52). По этой схеме можно приближенно вычислить длину дуги кривой, объем тела вращения, работу, пройденный путь, момент инерции и так далее.

1.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть на отрезке [a , b] задана непрерывная функция y = f ( x ) . 1 Разделим [ a, b] на n частей произвольными точками:

a = x 0 < x1 < x 2 < ... < x i < ... < x n −1 < x n = b . 2 На каждом элементарном отрезке [ x i −1 , x i ] выберем произвольную точку ξi и вычислим значение функции f (ξi ) в этой точке. 3 Вычислим f (ξi )Δx i , для всех i = 1, 2, ... , n , где Δx i = x i − x i −1 . n

Составим сумму Sn = ∑ f (ξi )Δx i

(1.53)

i =1

Эту сумму назовем интегральной суммой для f ( x ) на [a , b] . 41

4 Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка для данного разбиения, то есть λ = max Δx i и продолжим процесс разбиения

[a , b] на элементарные отрезки так, чтобы λ → 0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5 Если существует конечный предел интегральной суммы (1.53) при λ → 0 , не зависящий ни от способа разбиения [a , b] на элементарные отрезки, ни от выбора точек ξi на этих отрезках, то этот предел называют определенным интегралом от функции f ( x ) на [a , b] и обозначают следующим образом: b

∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ξ )Δxi , λ →0 i =1

(1.54)

где числа a и b называют соответственно нижним и верхним пределами

[a , b ]

интегрирования;

промежутком

интегрирования;

f (x)

подынтегральной функцией; x переменной интегрирования. Из решения задачи о площади криволинейной трапеции и определения определенного интеграла следует геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной трапеции: b

S = ∫ f ( x )dx , где f ( x ) ≥ 0 на [a , b]

(1.55)

Из определения определенного интеграла следует, что величина интеграла (1.54) зависит только от подынтегральной функции f (x) и от пределов интегрирования a и b . Следовательно, если заданы функция f ( x ) и числа a и b , то интеграл определяется однозначно. Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования, т.е. b

∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dt = ∫ f (ξ)dξ

(1.56)

Примем без доказательства теорему существования определенного интеграла. Теорема 1.8 Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a , b] , то b

∫ f ( x )dx существует. В этом случае f ( x ) называется интегрируемой

функцией на этом отрезке. 42

1.10 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА b

∫ dx = b − a

(1.57)

Доказательство. По определению определенного интеграла имеем b

i =1

∑ Δx i = lim (b − a ) = b − a ∫ dx = λlim →0 λ →0

2 0 Для любых чисел a и b выполняется равенство b

∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx

(1.58)

(свойство 2 доказать самостоятельно).

30 Если функции y = f ( x ) и y = g( x ) интегрируемы на отрезке [a , b] , то b

∫ [f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx

(1.59)

Доказательство. По определению определенного интеграла и свойству предела суммы получим b

i =1

∑ [f (ξ) + g(ξ)]Δx i = ∫ [f ( x ) + g ( x )]dx = λlim →0 n

i =1

= lim ∑ f (ξi )Δx i + lim ∑ g (ξi )Δx i = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx λ →0 λ →0 Доказательство следующих двух свойств аналогично доказательству 3 Поэтому их примем без доказательства.

4 0 Если функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [a , b] и C постоянная, то b

∫ Cf ( x )dx = C ∫ f ( x )dx ,

(1.60)

то есть постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла. 0

Замечание 1.1 Свойства 3 − 4 можно обобщить на любое конечное число слагаемых функций в подынтегральном выражении. Например, если 43

y = f1 ( x ), y = f 2 ( x ), ......... , y = f n ( x ) интегрируемые функции на отрезке [a , b] ; C1 , C 2 , ... , C n числа,

то

функция

постоянные

y = C1f1 ( x ) + C 2 f 2 ( x ) + ... + C n f n ( x )

также

интегрируема на отрезке [a , b] ; причем справедливо равенство b

∫ [C1f1 ( x ) + C 2f 2 ( x ) + ... + C n f n ( x )]dx =

= C1 ∫ f1 ( x )dx + C 2 ∫ f 2 ( x )dx + ... + C n ∫ f n ( x )dx.

5 0 Если функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [a , b] , то b

∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x ) dx

6 0 Если на отрезке [a , b] , где a < b , функции y = f ( x ) и y = g( x ) непрерывны и удовлетворяют условию f ( x ) ≥ g ( x ) при ∀x ∈ [a , b] , то b

∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx .

(1.61)

Доказательство. Используя свойство 3 определенного интеграла и его определение, имеем b

∫ f ( x )dx − ∫ g( x )dx = ∫ (f ( x ) − g ( x ) )dx = lim ∑ [f (ξi ) − g (ξi )]Δx i λ →0 i =1

По условию f (ξi ) − g (ξi ) ≥ 0 и Δx i > 0 . n

Поэтому ∑ [f (ξi ) − g (ξi )]Δx i ≥ 0 . Тогда i =1

lim ∑ [f (ξi ) − g (ξi )]Δx i ≥ 0 .

λ →0 i =1

Следовательно, ∫ (f ( x ) − g ( x ) )dx ≥ 0 и ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx .

7 0 Если m и M наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на отрезке [a , b] функции y = f ( x ) , то b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a ) .

(1.62)

Доказательство. Так как f ( x ) непрерывна на [a , b] , то m ≤ f ( x ) ≤ M . 44

На основании свойства 6 имеем следующее двойное неравенство: b

∫ mdx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ Mdx .

Используя свойства 1 и 4 , имеем

∫ mdx = m ∫ dx = m(b − a )

y = f (x)

∫ Mdx = M ∫ dx = M(b − a )

Следовательно,

Рис.1.3

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a ) .

Если f ( x ) непрерывна на отрезке [a , b] , то свойство 7

имеет

следующий геометрический смысл (рис. 1.3). Площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [a , b] и ограниченной сверху графиком функции y = f ( x ) , не больше площади прямоугольника с высотой M и не меньше площади прямоугольника с высотой m , основаниями которых, служит тот же отрезок [a , b] .

8 0 (Теорема о среднем). Если y = f ( x )

функция, интегрируемая на

отрезке [a , b] , то на этом отрезке найдется такая точка ξ , что b

∫ f ( x )dx = f (ξ) ⋅ (b − a ) .

(1.63)

Доказательство. Пусть a < b и m и M наименьшее и наибольшее значения функции y = f ( x ) на отрезке [a , b] . 0

Тогда на основании 7 имеем следующее двойное неравенство: b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a ) . a

1 b Так как b − a > 0 , то m ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M . b−a a Пусть μ =

1 b ∫ f ( x )dx ; b−a a

тогда m ≤ μ ≤ M . 45

Так как непрерывная на [a , b] функция

y = f (x)

принимает все свои значения между m и M , то найдется такая точка

f ( ξ)

ξ ∈ [a, b], что

f (ξ) = μ . Тогда ∫ f ( x )dx = f (ξ) ⋅ (b − a ) a

Рис. 1.4

f (x) ≥ 0 ,

Если

то

равенство

(1.63)

означает, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади

некоторого прямоугольника, основанием которого служит отрезок [a , b], а высотой f (ξ) (рис. 1.4).

9 0 Пусть функция y = f ( x ) интегрируема на отрезках [a , b], [a , c],

[b, c]. Тогда для любых чисел a , b, c справедливо равенство b

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .

(свойство 9 доказать самостоятельно). 1.11 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Пусть функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке

[a , b].

Выберем

произвольное x ∈ [a , b] . Тогда функция будет интегрируема и на отрезке

[a , x ] . Пусть x

Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt ,

(1.64)

где переменная интегрирования обозначена через t для того, чтобы отличить ее от переменного верхнего предела интегрирования. Ясно, что при изменении x x

на [a , b] интеграл ∫ f ( t )dt является функцией от x . a

Теорема 1.9 Если функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [a , b ], то функция y = Φ( x ) , определенная формулой (1.64), непрерывна на этом отрезке. Доказательство. Функция Φ( x ) непрерывна, если lim ΔΦ = 0 . Δx →0

Докажем это равенство. Вычислим приращения функции Φ ( x ) : Δx + x

ΔΦ = Φ ( x + Δx ) − Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt − ∫ f ( t )dt = x

x + Δx

(1.65)

= ∫ f ( t )dt + ∫ f ( t )dt − ∫ f ( t )dt = ∫ f ( t )dt По теореме о среднем x + Δx

ΔΦ = ∫ f ( t )dt = f (ξ) ⋅ ( x + Δx − x ) = f (ξ)Δx ,

(1.66)

где ξ ∈ [ x , x + Δx ] . Тогда lim ΔΦ = lim f (ξ) ⋅ Δx = 0 , Δx →0

Δx →0

так как f ( x ) непрерывная, а следовательно, и ограниченная на отрезке [a , b] функция.

Теорема 1.10 Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и x

Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt , то Φ′( x ) = f ( x ) для ∀x ∈ [a , b] . a

Доказательство. Согласно равенству (1.66) имеем x + Δx

ΔΦ = ∫ f (t )dt = f (ξ )Δx , x

ΔΦ = f ( ξ) , а Δx ΔΦ = lim f (ξ) = lim f (ξ) = f ( x ) . Φ′( x ) = lim Δx →0 Δx Δx → 0 ξ→ x Следовательно, Φ ( x ) дифференцируема при ∀x ∈ [a , b] , причем

где ξ ∈ [ x , x + Δx ] . Тогда

Φ′( x ) = f ( x ) . Следствие Так как Φ′( x ) = f ( x ) , то по определению первообразной функция

Φ( x ) = ∫ f ( x )dx является первообразной для f ( x )

на

[a , b].

Следовательно,

теорема

1.10

одновременно

доказывает

теорему

существовании первообразной для f ( x ) , то есть теорему существования неопределенного интеграла ∫ f ( x )dx . 47

1.12 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА Теорема 1.11 Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [a , b], то b

∫ f ( x )dx = F(b) − F(a ) ,

(1.67)

где F( x ) любая первообразная для функции f ( x ) на [a , b]. Доказательство.

Согласно

следствию

из

теоремы

1.10

функция

Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt является одной из первообразных для f ( x ) на [a , b]. Пусть a

F( x ) любая другая первообразная для f ( x ) . Тогда Φ ( x) = F ( x) + C , где C произвольная постоянная. x

∫ f ( t )dt = F( x ) + C .

Или

(1.68)

Вычислим значение C , полагая в равенстве (1.68) x = а . α

Тогда ∫ f ( t )dt = F(a ) + C ; следовательно, C = − F(a ) . a

Подставляя найденное значение C в равенство (1.68), получим x

∫ f ( t )dt = F( x ) − F(a ) .

В частности, при x = b получим ∫ F( t )dt = F(b) − F(a ) . a

Возвращаясь к старому обозначению переменной интегрирования x , получим формулу Ньютона - Лейбница b

∫ f ( x )dx = F( x ) a = F(b) − F(a ) .

Формула Ньютона - Лейбница открыла практически простой и очень удобный метод вычисления определенных интегралов. Согласно этой формуле достаточно найти любую первообразную для подынтегральной функции и вычислить ее приращение на заданном отрезке [a , b] .

Примеры: 2

x2 ∫ xdx = 2 1 2

= 2− 1

1 = 1,5 2

x x ∫ e dx = e = e − 1 ≈ 1,8 0

π 4

∫ cos x dx =

π sin x 04

2 ≈ 0,7 2

1.13 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Теорема 1.12 Пусть дан определенный интеграл b

∫ f ( x )dx ,

где f ( x ) непрерывная функция на отрезке [a , b] . Тогда, если

функция

x = ϕ( t )

непрерывна

вместе

со

своей

производной ϕ′( t ) на отрезке [α, β] и ϕ(α) = a , ϕ(β) = b , то справедлива формула b

∫ f ( x )dx = ∫ f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt .

(1.69)

Формула (1.69) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

F( x )

Доказательство. Пусть

[a , b] для

первообразная на

подынтегральной функции f ( x ) . Тогда, применяя формулу Ньютона - Лейбница к интегралам равенства (1.69), получим b

∫ f ( x )dx = F( x ) a = F(b) − F(a ) ;

(1.70)

a β

∫ f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt = F[ϕ( t )] α = F[ϕ(β)] − F[ϕ(α)] = F(b) − F(a ) . (1.71) β

Сравнивая правые части равенств (1.70) и (1.71), получим b

∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ( t ) ) ⋅ ϕ′( t )dt .

Пример 1.27 Вычислить интеграл 49

2 2 ∫ R − x dx .

Решение. Пусть x = R sin t . Тогда dx = R cos dt . Найдем новые пределы интегрирования. Полагая вычисляем соответствующие значения t = 0 и t =

x=0 и x =R,

π . Тогда по формуле замены 2

переменной, получим R

π 2

x 2 + y2 = R 2

∫ R − x dx = ∫ R − R sin t R cos t dt =

π 2

= R ∫ 1 − sin t cos t dt = R ∫ cos tdt = 0

π 2 2 R

π 2

Рис. 1.5

R ⎛ sin 2 t ⎞ πR 2 . = ⎜t + ⎟ = ∫ (1 + cos 2t )dt = 2 0 2 ⎝ 2 ⎠0 4 2

Вычисленный интеграл, с геометрической точки зрения, численно равен площади

1 круга, ограниченного окружностью x 2 + y 2 = R 2 (рис.1.5). 4

1.14 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Пусть u = u ( x ) , v = v( x ) дифференцируемые функции на отрезке [a , b] . Тогда на этом отрезке d[u ( x ) ⋅ v( x )] = [u′( x ) ⋅ v( x ) + u ( x ) v′( x )]dx . Интегрируя это равенство по промежутку [a , b] , получим b

a b

∫ d[u ( x ) ⋅ v( x )] = ∫ u ′( x ) ⋅ v( x )dx + ∫ u ( x ) v′( x )dx .

По формуле Ньютона - Лейбница ∫ d[u ⋅ v] = u ( x ) ⋅ v( x ) a ; b

тогда

u ( x ) ⋅ v( x ) a = ∫ v( x ) ⋅ u ′( x )dx + ∫ u ( x ) ⋅ v′( x )dx . Перепишем последнее равенство в следующем виде: 50

(1.72)

∫ u ( x ) ⋅ v′( x )dx = u ( x ) ⋅ v( x ) a − ∫ v( x ) ⋅ u ′( x )dx .

(1.73)

Формула (1.73) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Эту формулу можно написать в более короткой форме b

∫ u dv =

b u⋅va

− ∫ v du ,

(1.74)

если воспользоваться равенствами

du = u ′( x )dx , dv = v′( x )dx . π 2

Пример 1.28 Найти ∫ x ⋅ cos x dx . 0

Решение. Полагая u = x , dv = cos xdx , вычислим du = dx , v = ∫ cos x dx = sin x . Применяя формулу интегрирования по частям, найдем π 2

π 2 0

π 2

π π ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx = + cos x 02 = − 1. 2 2 0 0 1.15 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При определении определенного интеграла как предела интегральный сумм, мы предполагаем, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет смысл. Обобщим понятие интеграла как на случай функций, определенных на неограниченных промежутках, так и на случай неограниченных на конечных промежутках функций. 1.15.1 Несобственные интегрирования

по

интегралы

бесконечными

пределами

Пусть функция f ( x ) определена на промежутке [a , + ∞ [ и интегрируема любому отрезку [a , b] , где b > a . Следовательно, существует b

определенный интеграл ∫ f ( x )dx , являющийся функцией своего верхнего a

предела

интегрирования. Тогда

lim ∫ f ( x )dx

b →∞ a

называют несобственным

интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования и обозначают символом

+∞

∫ f ( x )dx .

(1.75)

Следовательно, по определению +∞

∫ f ( x )dx = blim ∫ f ( x )dx . →∞

(1.76)

Если предел (1.75) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично интегралу (1.75) на промежутке ] − ∞, b] вводится несобственный интеграл с бесконечным нижним проделом интегрирования: b

−∞

∫ f ( x )dx = alim ∫ f ( x )dx . → −∞

(1.77)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой ∞

∞

−∞

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ,

где c

(1.78) ∞

любая фиксированная точка оси Ox . Интеграл ∫ f ( x )dx сходится −∞

только тогда, когда сходится каждый из интегралов: c

∞

−∞

∫ f ( x )dx и ∫ f ( x )dx y

y = f (x)

0 a

Рис. 1.6

0 a

Рис. 1.7

Из определений следует, что несобственный интеграл является пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования. Рассмотрим геометрический образ сходящегося несобственного b

интеграла. Пусть f ( x ) > 0 на [a , b] . Тогда определенный интеграл ∫ f ( x )dx a

выражает площадь криволинейной трапеции, опирающуюся на отрезок [a , b] . Согласно определению естественно считать, что несобственный интеграл +∞

∫ f ( x )dx выражает площадь криволинейной трапеции, изображенной на

рис. 1.6. Аналогичная интерпретация имеет место для интегралов (1.77) и (1.78). Пример 1.29 Исследовать на сходимость интегралы: ∞ ∞ dx а) ∫ ; б) ∫ cos xdx ; в) ∫ e x dx . 2 0 1+ x 0 −∞ +∞

Решение. а) по формуле (1.76) имеем

b dx π dx b = lim ∫ = lim arctg x 0 = lim [arctg b − arctg 0] = ; ∫ 2 2 b→ +∞ 0 1 + x b→ +∞ b →+∞ 2 01+ x

∞

б) по определению +∞

sin x 0 = lim sin a , ∫ cos x dx = alim ∫ cos x dx = alim → +∞ → +∞ a → +∞

так как предел функции sin a при a → +∞ не существует, то интеграл расходится; в) представим данный интеграл по формуле (1.78) как сумму двух несобственных интегралов, взяв в качестве промежуточного предела интегрирования точку x = 0 (c = 0) : +∞

+∞

−∞

x x x e x dx + lim ∫ e x dx = ∫ e dx = ∫ e dx + ∫ e dx = alim ∫ → −∞ b → +∞ 0

= lim e x + lim e x = e 0 − lim e a + lim e b − e 0 = ∞ a → −∞

∞

b → +∞

a → −∞

b → +∞

Интеграл расходится. Пример 1.30 Исследовать на сходимость несобственный интеграл

dx для различных значений α ∈ R . α 1x

∫

Решение. 1 Пусть α ≠ 1 , тогда для любого b > 0 . b 1 dx x −α +1 b1−α − 1 ⎧⎪ , при α > 1; lim ∫ α = lim = lim = ⎨α − 1 b → +∞ 1 x b → +∞ − α + 1 b → +∞ 1 − α ⎪⎩∞, при α < 1. 1 2 Если α = 1 , то для любого b > 0 b dx b lim ∫ = lim ln x 1 = lim ln b = ∞. b → +∞ 1 x b → +∞ b → +∞ ∞ dx Таким образом ∫ α сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1 . 1x b

В некоторых случаях достаточно установить только сходимость или расходимость заданного интеграла. Для решения такой задачи можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 1.13 Если функции f ( x ) и g( x ) непрерывны на промежутке [a , + ∞[ и удовлетворяет условию 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) , то из сходимости интеграла +∞

∫ g( x )dx , следует сходимость интеграла

интеграла

+∞

∫ f ( x )dx

следует

+∞

∫ f ( x )dx , а из расходимости

расходимость

интеграла

+∞

∫ g( x )dx

(без

доказательства). Пример 1.31 Исследовать на сходимость несобственный интеграл ∞ е − x dx

∫

2 01+ x

Решение.

e−x 1 и g( x ) = . Вводим функции f ( x ) = 2 1+ x 1+ x2 Тогда на [0; + ∞[ 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) , так как e − x < 1 на этом промежутке. ∞ dx Из примера 1.29 п. а) следует, что ∫ сходится, тогда по теореме 1.13 2 01+ x ∞ е − x dx сходится. ∫ 2 1 + x 0 1.15.2 Несобственные интегралы от неограниченных функций Пусть функция f ( x ) определена на промежутке [ a, b[ . Точку x = b будем называть особой, если функция f ( x ) неограничена в любой окрестности этой точки, но ограниченна на любом отрезке [a , b − ξ] , заключенном в [ a, b] (рис. 1.7). Пусть на любом отрезке [a , b − ξ] , функция интегрируема, то есть b −ξ

∫ f ( x )dx при любом ξ > 0 , таком, что

существует определенный интеграл

b − ξ > a . Тогда

b −ξ

lim ∫ f ( x )dx

ξ →0 a

(1.79)

называют несобственным интегралом от неограниченной при верхнем пределе b

интегрирования функции и обозначают ∫ f ( x )dx . a

Следовательно, по определению b

b −ξ

∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx .

ξ →0 a

(1.80)

Если предел (1.79) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично, если x = a особая точка, то вводится несобственный интеграл от неограниченной при нижнем пределе интегрирования функции: b

a +ξ

∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx . ξ →0

Если функция f ( x ) не ограничена в окрестности какой-нибудь внутренней точке C ∈ [a , b] , то вводится понятие несобственного интеграла от неограниченной во внутренней точке функции по правилу b

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .

При этом интеграл в левой части считается сходящимся, если одновременно сходятся оба интеграла в правой части данного равенства. В противном случае интеграл является расходящимся. 1

dx α 0x

Пример 1.32 Исследовать на сходимость несобственный интеграл ∫ для различных значений α ∈ R . Решение. 1 Если α ≠ 1 , то 1 + ∞, при α > 1; x1−α 1 − ξ1−α ⎧⎪ dx lim ∫ = lim = lim =⎨ 1 ξ→ +0 1 − α ξ → +0 ξ x α ξ→ +01 − α ⎪⎩1 − α , при 0 < α < 1. ξ 2 Если α = 1 , то 1

1 dx

lim ∫ ξ → +0

= lim ln x ξ = lim (− ln ξ) = ∞ ξ→ +0

ξ→ +0

Итак, данный интеграл сходится при 0 < α < 1 и расходится при α ≥ 1 . 1.16 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1.16.1 Вычисление площади в декартовых координатах Выше было установлено, что если на сегменте [a , b] функция

y = f ( x ) непрерывна и положительна, то площадь криволинейной трапеции с основанием [a , b] , ограниченной сверху графиком этой функции, вычисляется по формуле 55

S = ∫ f ( x )dx = ∫ y dx .

(1.81)

y = − f ( x)

y = f ( x)

Рис. 1.8

С Рис. 1.9

Пусть f ( x ) < 0 на сегменте [a , b] (рис.1.8) Криволинейная трапеция с основанием [a , b] , ограниченная снизу кривой y = f ( x ) , лежит ниже оси Ox . Её площадь S равна площади другой криволинейной трапеции, имеющей то же основание, но ограниченной сверху кривой

y = −f ( x ) (см. рис. 1.8). По условию f ( x ) < 0 ; следовательно,

− f ( x ) > 0 . По формуле (1.81) найдем b

S = ∫ [− f ( x )]dx = − ∫ f ( x )dx .

(1.82)

Формулы (1.81) и (1.82) можно объединить в одну: b

S = ∫ f ( x ) dx .

(1.83)

Эта формула остается справедливой и в том случае, когда функция

f ( x ) на сегменте [a , b] меняет знак (рис. 1.9).

y C A 0

y = f 2 ( x)

Рис. 1.10

b x

y = f1 ( x)

y = f 2 ( x)

y = f1 ( x)

D B

Рис. 1.11 Вычислим площадь фигуры, ограниченной снизу и сверху графиками функций y = f1 ( x ) и y = f 2 ( x ) , двумя прямыми x = a и x = b , где f1 ( x ) , f 2 ( x ) 56

непрерывные функции на [a , b] , причем всюду на этом отрезке f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) (рис. 1.10). Искомая площадь равна разности площадей криволинейных трапеций aCDb и aABb :

пл ACDB = пл aCDb − пл aABb = b

(1.84)

= ∫ f 2 ( x )dx − ∫ f1 ( x )dx = ∫ [f 2 ( x ) − f1 ( x )]dx.

Формула справедлива при любом расположении графиков функций

y = f1 ( x ) и y = f 2 ( x ) , лишь бы f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) на [a , b] (рис. 1.11). Замечание 1.2 Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy (рис. 1.12), то ее площадь может быть вычислена по формуле d

S = ∫ ϕ( y)dy = ∫ x dy .

(1.85)

Площадь фигуры, изображенной на рис. 1.13, вычисляется по формуле d

S = ∫ [ϕ2 ( y) − ϕ1 ( y)]dy .

(1.86)

c 0

x = ϕ ( y)

x = ϕ1( y) c

Рис. 1.12

x = ϕ2( y)

С x

Рис. 1.13

Пример 1.33 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y 2 = 2 x + 1 и y − x + 1 = 0 (рис. 1.14) y2 = 2x + 1

парабола y 2 = 2 x + 1 с осью симметрии

1 −1

Решение. Уравнениями границы фигуры являются

−1

y = x −1

Рис. 1.14

Ox и вершиной в точке (−0,5; 0)

прямая y = x − 1 . Выбрав

за

независимую

Площадь

фигуры

найдем

по

формуле

(

)

1 2 y − 1 и x = y + 1. 2 (1.63), где ϕ 2 ( y) = y + 1,

переменную y , перепишем уравнения границ в виде x =

1 ϕ1 ( y) = ( y 2 − 1) . 2 Решая совместно уравнения границ, найдем промежуток интегрирования. Имеем

(

)

1 ⎧⎪ 1 x = y 2 −1 ⇒ y2 −1 = y + 1 ⇔ y2 −1 = 2y + 2 ⇔ ⎨ 2 2 ⎪⎩x = y + 1

(

)

⇔ y 2 − 2 y − 3 = 0 ⇒ y1 = c = −1,

y 2 = d = 3.

Подставляя найденные величины c, d, ϕ1 ( y), ϕ 2 ( y) в расчетную формулу, получим

(

)

3 3⎞ 1 1 2 ⎡ ⎤ ⎛ S = ∫ ⎢ y + 1 − y − 1 ⎥ dy = ∫ ⎜ y − y 2 + ⎟dy = 2⎠ 2 2 ⎦ −1⎣ −1⎝ 3

⎛ y 2 y3 3 ⎞ 9 27 9 1 1 3 16 = ⎜⎜ − + y ⎟⎟ = − + − − + = . ⎝ 2 6 2 ⎠ −1 2 6 2 2 6 2 3 Ответ:

16 кв. ед. 3

Замечание 1.3 Для вычисления площади криволинейной трапеции в случае, когда кривая AB задана параметрическими уравнениями x = ϕ( t ) ,

y = ψ( t ) , α ≤ t ≤ β , причем ϕ(α) = a , ϕ(β) = b , в формуле (1.81) надо сделать замену переменной, положив x = ϕ( t ) , dx = ϕ′( t )dt . Тогда получим β

S = ∫ ψ ( t ) ⋅ ϕ′( t )dt .

(1.87)

1.16.2 Площадь криволинейного сектора Пусть кривая AB задана в полярных координатах уравнением

ρ = ρ(ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β , причем функция ρ(ϕ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [α, β] . Плоскую фигуру, ограниченной кривой AB и двумя лучами 58

ϕ = α и ϕ = β , составляющими с полярной осью углы α и β , соответственно будем называть криволинейным сектором (рис. 1.15). Докажем, что площадь S криволинейного сектора вычисляется по формуле

1β 2 ∫ ρ (ϕ)dϕ . 2α

(1.88)

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [α, β] на n частей точками: α = ϕ 0 < ϕ1 < ϕ 2 < ... < ϕi −1 < ϕi < ... < ϕ n = β . ρ = ρ (ϕ ) C

Δϕ i D

ϕi −1

Δϕ i

ϕi

ϕ = ξi

ξi

Рис. 1.16

Рис. 1.15

Выберем на каждом частичном отрезке [ϕi −1 ,ϕi ] произвольную точку ξi и построим элементарные круговые секторы с радиусами ρi = ϕ(ξi ) (рис. 1.16). В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади заданного криволинейного сектора. Площадь каждого элементарного кругового сектора равна

1 2 ρ (ξi ) ⋅ Δϕi , где Δϕi = ϕi − ϕi −1 , 2

i = 1, n . Тогда площадь S данного криволинейного сектора приближенно равна

S≈

1 n 2 ∑ ρ (ξi )Δϕi . 2 i =1

(1.89)

Сумма в правой части (1.89) является интегральной суммой для функции ρ 2 (ϕ) на [α, β] . Так как функция ρ 2 (ϕ) непрерывна на отрезке [α, β] , то существует предел этой суммы при λ = max Δϕi → 0 и равен определенному интегралу 1≤i ≤ n

(1.88). Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому интегралу: 59

n 1β 2 1 2 S = lim ∑ ρ (ξi ) ⋅ Δϕi = ∫ ρ (ϕ)dϕ . 2 λ →0 i =1 2α

Пример 1.34 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой

(

Бернулли: x 2 + y 2

)

(

)

= a 2 x 2 − y2 .

Решение. Найдем уравнение границы фигуры в полярной системе координат, положив

x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ . Тогда

) ( ) = a (ρ cos ϕ − ρ sin ϕ) ⇔ ρ (cos ϕ + sin ϕ) = = a ρ (cos ϕ − sin ϕ) ⇔ ρ = a cos 2ϕ ⇒ ρ = a cos 2ϕ. 2

+ y2

2 2

)

(

= a 2 x 2 − y 2 ⇔ ρ 2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ = 2

(см. рис. 1.17). Так как изображенная на рис. 1.17 фигура является симметричной относительно осей x и y , то достаточно для решения всей задачи определить площадь четвертой части всей фигуры (заштрихованная часть). Для этой области переменная ϕ изменяется от 0 до

π 4

, следовательно, площадь

заштрихованной фигуры найдется по формуле

y ϕ=

3π 4

5π ϕ= 4

ϕ=

Рис. 1.17

S1 =

7π ϕ= 4

π 4

1 2 1 2 ∫ ρ (ϕ)dϕ = ∫ a cos 2ϕdϕ , 20 2α

а площадь всей фигуры по формуле

S = 4S1 или 2

π 4

S = 2a ∫ cos 2ϕdϕ = a 0

Ответ: a 2 .

π sin 2ϕ 4 0

= a2.

1.16.3 Длина дуги плоской кривой Пусть плоская кривая AB задана уравнением y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , где

f ( x ) непрерывная функция на отрезке [a, b] . Найдем длину дуги кривой AB . AB на n A = M 0 , M1 , ... , M i −1 , M i , ... , M n = B

Разобьем

произвольных

кривую

частей

a = x 0 , x1 , ... x i −1 , x i , ... , x n = b

AM1; M1M 2 ; ... ; M i −1M i ; ... ; M n −1B ,

длины

точками абсциссами

проведем

хорды

которых

обозначим

Δl1 , Δl 2 , ... , Δli , ... Δl n . Тогда получим ломаную, вписанную в дугу AB (рис. 1.18). Длина ломаной равна n

l = ∑ Δl i i =1

Длиной l дуги AB называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а длина ее наибольшего звена стремится к нулю. n

l = lim ∑ Δli , где λ = max Δli

(1.90)

λ →0 i =1

Докажем, что если на отрезке [a , b] функция f ( x ) и ее производная

f ′( x ) непрерывны, то предел (1.90) существует и длина l дуги AB выражается формулой b

l = ∫ 1 + f ′2 ( x )dx .

(1.91)

Доказательство.

y M1

M i −1

Δxi

длину хорды

Mi Δ yi

расстояния

Вычислим

M i −1M i . По формуле

между

двумя

точками

M i −1 (x i −1 , f (x i −1 )) и M (x i , f ( x i ) ) имеем

y = f (x )

Δl =

(x i − x i−1 )2 + [f ( x i ) − f ( x i−1 )]2

По формуле Лагранжа

f ( x i ) − f ( x i −1 ) = f ′(ξi ) ⋅ (x i − x i −1 ) ,

a x1

xi − 1

где x i −1 < ξi < x i

Рис. 1.18

Следовательно, 61

Δli = 1 + f ′2 (ξi ) ⋅ Δx i , где Δx i = x i − x i −1 . Длина всей ломаной равна n

i =1

i =1`

l n = ∑ Δli = ∑ 1 + f ′2 (ξi ) ⋅ Δx i .

(1.92)

Правая часть равенства (1.92) представляет собой интегральную

1 + f ′2 (x ) непрерывна на [a , b] , поэтому предел суммы (1.92)

сумму. Функция

при λ = max Δx i → 0 существует и равен определенному интегралу (1.91). 1≤i ≤ n

Длина l кривой AB равна пределу длины, вписанный в нее ломаной при условии, что наибольшая из длин звеньев Δli стремится к нулю. Так как при

Δli → 0 и Δx i → 0 , то

∑ Δli =

lim

max Δli →0 i =1

∑ 1 + [f ′(ξ )] Δx i = ∫ 1 + [f ′( x )] dx max Δl →0 lim i

i =1

Таким образом, b

l = ∫ 1 + [f ′( x )] dx = ∫ 1 + y′ 2 dx 2

(1.93)

Замечание 1.4 Пусть требуется вычислить длину дуги в случае, когда

кривая

AB задана параметрическими уравнениями

x = ϕ( t ) ,

y = ψ( t ) ,

α ≤ t ≤ β , где α и β значения параметра t , соответствующие значения x = a ,

x = b , то есть a = ϕ(α) , b = ϕ(β) . Тогда, если функции ϕ( t ) , ψ( t ) непрерывны вместе со своими производными ϕ′( t ) и ψ′( t ) ≠ 0 на отрезке [α; β], по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, найдем

y′x =

ψ′( t ) ϕ′( t )

Тогда, полагая в формуле (7.40) x = ϕ( t ) , dx = ϕ′( t )dt , получим 2

β ⎡ ψ′( t ) ⎤ 2 2 ′ l = ∫ 1 + y′2 dx = ∫ 1 + ⎢ ⋅ ϕ ( t ) dt = ∫ ϕ′ ( t ) + ψ′ ( t )dt . ⎥ α α a ⎣ ϕ′( t ) ⎦ b

(1.94)

Замечание 1.5 Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая

AB задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β , где ρ (ϕ ) 62

имеет непрерывную производную ρ′(ϕ) на отрезке [α, β] , и точкам A и B кривой соответствуют значения ϕ , равные α и β , нужно кривую задать параметрически, принимая за параметр полярный угол ϕ . Полагая x = ρ cos ϕ ,

y = ρ sin ϕ , где ρ = ρ(ϕ) , найдем параметрические уравнения кривой AB x = ρ(ϕ) ⋅ cos ϕ , y = ρ(ϕ) ⋅ sin ϕ , α ≤ ϕ ≤ β . Так как x′(ϕ) = ρ′(ϕ) ⋅ cos ϕ − ρ(ϕ) ⋅ sin ϕ ,

y′(ϕ) = ρ′(ϕ) ⋅ sin ϕ + ρ(ϕ) ⋅ cos ϕ , то формула (1.94) принимает вид β

l = ∫ x ′2 + y′2 dϕ = ∫ ρ′2 cos 2 ϕ − 2ρ ρ′ ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ + +ρ′2 sin 2 ϕ + 2ρ ρ′ ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ + ρ 2 ⋅ cos 2 ϕ dϕ. Следовательно, β

l = ∫ ρ2 (ϕ) + ρ′2 (ϕ)dϕ .

(1.95)

Пример 1.35 Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x 3 2 ,

если 0 ≤ x ≤ 5 (рис. 1.19). Решение.

Из уравнения y = x 3 2 находим y′ =

3 12 x 2

Следовательно, по формуле (1.91) получим 5

Рис. 1.19

9x 8 ⎛ 9x ⎞ 335 l = ∫ 1 + y′ dx = ∫ 1 + dx = ⎜1 + ⎟ = 4 27 ⎝ 4 ⎠ 0 27 0 0 Ответ:

335 . 27

1.16.4 Объем тела вращения

Рассмотрим

криволинейную

трапецию

основанием

[a , b] ,

ограниченную сверху непрерывной кривой y = f ( x ) . Докажем, что тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox данной криволинейной трапеции, имеет объем 63

V = π ∫ f 2 ( x )dx .

(1.96)

Доказательство. Разобьем произвольно

[a , b ]

отрезок

на

частей

M N

точками

a = x 0 < x1 < ... < x i −1 < x i < ... < x n = b . На каждом частичном отрезке [ x i−1 , x i ] построим

a x i −1

прямоугольник

основанием

Δx i = x i − x i −1 и высотой f (x i −1 ) (рис.1.20).

Q xi

b x

Рис. 1.20

При вращении вокруг оси Ox каждый прямоугольник опишет цилиндр. Объем i -го

цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ , равен

Vi = πf 2 (x i −1 ) ⋅ Δx i , где Δx i = x i − x i −1 . Сумма объемов всех цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения: n

V ≈ ∑ πf 2 (x i −1 ) ⋅ Δx i .

(1.97)

i =1

Сумма (1.97) является интегральной суммой для функции π ⋅ f 2 ( x ) . Так как функция f 2 ( x ) непрерывна на [a , b] , то предел этой суммы при

λ = max Δx i → 0 1≤i ≤ n

существует и равен определенному интегралу (1.96). Таким образом, n

V = lim ∑ πf (x i −1 )Δx i = π ∫ f 2 ( x )dx 2

λ →0 i =1

Пример 1.36 Найти объем V шара радиуса r . Решение. y Рассматривая данный шар образованное вращением

−r

Рис. 1.21

как тело, полукруга

y ≤ r 2 − x 2 , − r ≤ x ≤ r вокруг оси Ox (рис. 1.21), по формуле (1.96) получим

(

)

πx 3 2 2 2 V = π ∫ r − x dx = πr x − −r 3 −r r

2 4 = 2πr 3 − πr 3 = πr 3 . 3 3 64

= −r

Ответ: V =

4 3 πr . 3

1.17 ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 1.17.1 Схема применения определенного интеграла

Пусть требуется определить некоторую механическую или физическую величину Q , определенную на отрезке [a , b] . Предполагается, что величина Q является аддитивной, то есть, если отрезок [a , b] делится на части, то величина Q складывается из суммы значений, соответствующих этим частям: n

Q = ΔQ1 + ΔQ 2 + ... + ΔQ n = ∑ ΔQ i i=n

Предполагается, что величина ΔQ i , соответствующая отрезку [ x i −1 , x i ] , пропорциональна его длине Δx i , то есть ΔQi ≈ f (x i ) ⋅ Δx i . Коэффициент пропорциональности f ( x ) является непрерывной функцией x , определяемой из условия задачи. Для величины Q получаем приближенное равенство n

i =1

Q = ∑ ΔQi ≈ ∑ f (x i ) ⋅ Δx i .

(1.98)

В правой части равенства (1.98) стоит интегральная сумма для функции f ( x ) . Предел этой суммы при стремлении наибольшего из частичных промежутков к нулю есть определенный интеграл от функции f ( x ) в пределах от a до b и дает точное значение величины Q :

lim

∑ f (x i ) ⋅ Δx i = ∫ f ( x )dx

max Δx i →0 i =1

Подынтегральное выражение f ( x )dx , дающее приближенное значение ΔQ на отрезке [x , x + dx ] , называют "элементом" величины Q и обозначают dQ . Часто при решении физических или химических задач интегральную сумму не составляют, а находят дифференциал рассматриваемой величины dQ = f ( x )dx . Затем, интегрируя по отрезку [a , b] , получают значение величины b

Q = ∫ dQ = ∫ f ( x )dx . Рассмотрим некоторые задачи.

1.17.2 Работа переменной силы

Если величина силы, действующей по направлению движения, постоянна, то под работой, произведенной силой, подразумевают произведение силы на путь, пройденный материальной точкой. Если же сила переменная, то работа может быть определена только с помощью предельного перехода. Пусть материальная точка перемещается из точки a оси Ox в точку b этой оси под действием силы F , параллельной оси Ox . Будем считать, что эта сила является функцией от x , определенной на сегменте [a , b] . Как определить работу при перемещении материальной точки из точки a в точку b в этом случае? Разобьем весь путь [a , b] на n участков точками: a = x 0 < x1 < ... < x i < ... < x n = b (рис. 1.22). Выберем на каждом частичном сегменте [ x i −1 , x i ] точку произвольную ξi ξi . Вместо действующей на пути [a , b] xi −1 xi 0 a x1 b x переменной силы F , возьмем другую Рис. 1.22 силу, сохраняющую постоянное значение на каждом из малых участков, причем положим эти значения равными значениями действующей силы в точках ξi , то есть F(ξi ) . Таким образом, на участке [ x i −1 , x i ] на материальную точку действует сила, равная F(ξi ) . Работа, совершаемая силой F(ξi ) на участке [ x i −1 , x i ] , равна ΔA i = F(ξi ) ⋅ Δx i , где Δx i = x i − x i −1 . Тогда приближенное значение полной работы A переменной силы F( x ) на сегменте [a , b] n

i =1

A = ∑ ΔA i ≈ ∑ F(ξi ) ⋅ Δx i

(1.99)

представляет интегральную сумму. Переходя в (1.99) к пределу при неограниченном возрастании числа частичных x отрезков и при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных участков, получим H работу A переменной силы F( x ) на сегменте [a , b] xi

Δxi

xi −1

Рис. 1.23

lim ∑ F(ξi )Δx i = ∫ f ( x )dx .

max Δx i →0 i =1 n →∞

Пример 1.37 Вычислить работу, которую совершает насос, опорожняющий вертикальный цилиндрический резервуар высотой H и радиусом 66

R от жидкости с удельным весом ρ . Решение. Работа, затрачиваемая на поднятие некоторого тела, зависит от высоты его подъема: A = P ⋅ h , где P вес тела. Так как высота поднятия для различных слоев жидкости не одинакова, приведенная формула может быть использована лишь для подсчета "элемента" работы. Разделим резервуар на n слоев толщины Δx i плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Введем систему координат так, как показано на рис.1.23. Рассмотрим горизонтальную полоску (элементарный слой жидкости) толщиной Δx i . Вес этого элементарного слоя равен

ΔPi = ΔVi ⋅ ρ = ρ ⋅ πR 2 ⋅ Δx i .

Тогда работа ΔA i , необходимая для поднятия этого слоя жидкости на поверхность, равна ΔA i ≈ ΔPi (H − ξi ) = ρπR 2 ⋅ (H − ξi )Δx i , где ξi ∈ [x i −1 , x i ]. Приближенное значение полной работы A насоса есть n

i =1

A = ∑ ΔA i ≈ ρπR 2 ∑ (H − ξi )Δx i . Перейдя в последней интегральной сумме к пределу при max Δx i → 0 и n → ∞ , получим полную работу A насоса: H

x2 ⎞ 2 2⎛ ⎜ A = ρπR ⋅ ∫ (H − x )dx = ρπR ⎜ Hx − ⎟⎟ = 2 ⎠ O ⎝ O H

⎛ H = ρπR 2 ⎜⎜ H 2 − 2 ⎝

⎞ ρ πR H ⎟= ⎟ 2 ⎠ 2

(1.100)

Пример 1.38 Прямоугольный резервуар с площадью горизонтального сечения S = 6 м 2 наполнен водой до высоты H = 5 м . Определить время, в течение которого вся вода вытечет из резервуара через небольшое отверстие в его дне площадью δ = 0,01 м 2 , если принять, что скорость истечения воды

Δx i H

равна 0,6 2gh , где h высота уровня воды над отверстием. Решение. Разобьем искомое время T на большое число n малых промежутков Δt1 , Δt 2 , ... , Δt n ; пусть за каждый такой промежуток уровень воды в резервуаре понижается на величину Δx i = n , где

i = 1, n . (рис. 1.24). Рис. 1.24

Если допустить, что в течении каждого малого промежутка времени Δt i скорость истечения воды через отверстие в дне остается 67

постоянной, равной ее значению в начале промежутка 0,6 2g (x i ) , то приравняв объем воды, вытекшей с такой скоростью через отверстие в дне за промежуток Δt i , объему опорожнившейся за этот промежуток части резервуара, получим приближенное равенство 0,6δ ⋅ 2g(x i ) ⋅ Δt i ≈ S ⋅ Δx , откуда

Δt i ≈

S ⋅ Δx . 0,6δi ⋅ 2g(H − x i )

Приближенное значение всего искомого времени T будет равно сумме:

S ⋅ Δx i =1 0,6δi ⋅ 2g (H − x i )

T = ∑ Δt i ≈ ∑ i =1

Перейдя в последней интегральной сумме к пределу, получим точное значение времени T , в течение которого вся вода вытечет из резервуара, как соответствующий определенный интеграл: H S ⋅ dx S dx = = ∫ ( ) 0 , 6 2 g H x 0 , 6 2 g H x δ ⋅ − δ ⋅ − O O 1 1 H

T= ∫

= Подставляя

O 2S (H − x )1 2 = S H 0,6δi 0,6δi 2g

числовые

Г ≈ 1010 с ≈ 16,83 мин.

значения

2H g параметров,

получим

Рассмотрим некоторые задачи механики 1.17.3 Статистические моменты. Координаты центра тяжести системы материальных точек Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

P1 ( x1 , y1 ), P(x 2 , y 2 ), ... , P(x n , y n )c (рис. 1.25) массами m1 , m 2 , ... , m n . x i mi и yi mi Произведения

y yn yc yi y1 0

•

m1 P1

называются статистическими моментами массы относительно осей Oy и Ox . Суммарные статистические моменты системы материальных точек относительно осей Oy и Ox выражаются соответственно формулами

∗С

•

i =1

M Oy = ∑ m i x i , M Ox = ∑ m i y i .

Рис. 1.25

Обозначим через x c и y c координаты центра тяжести данной системы. Тогда, как известно из курса механики, координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами n

x m + x 2 m 2 + ... + x n m n = xc = 1 1 m1 + m 2 + ... + m n

∑ x i mi

i =1 n

∑ mi

M Oy M

;

(1.101)

i =1 n

y m + y 2 m 2 + ... + y n m n = yc = 1 1 m1 + m 2 + ... + m n

∑ yi mi

i =1 n

∑ mi

M Ox ; M

(1.102)

i =1

Используем эти формулы для отыскания центров тяжести различных фигур и тел. 1.17.4 Центр тяжести плоской линии

Пусть дана кривая AB уравнением y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b; пусть эта кривая представляет собой материальную линию. Предположим, что линейная плотность (масса единицы длины данной линии) такой материальной кривой равна ρ . Разобьем линию на n частей длины y y = f ( x) ΔS1 , ΔS2 , ... , ΔSn (рис. 1.26). Массы этих ΔS i частей будут равняться произведению их ΔS 1 длин на постоянную плотность: Δm i = ρ ⋅ ΔSi . На каждой части дуги ΔSi возьмем произвольную точку с абсциссой ξi . ξ i xi xi −1 Представляя каждую часть дуги ΔSi x материальной точкой с массой ρ ⋅ ΔS и 0 a b Δxi i подставляя в формулы (1.101) и (1.102) Рис. 1.26 вместо x i значение ξi , вместо y i значение f (ξi ) , а вместо m i значение ρ ⋅ ΔSi (массы частей ΔSi ), получим приближенные формулы для определения центра тяжести дуги: n

xc ≈

∑ ξi ⋅ ρ ⋅ ΔSi

i =1

∑ ρ ⋅ ΔSi

; yc ≈

i =1

∑ f (ξi ) ⋅ ρ ⋅ ΔSi

i =1

∑ ρ ⋅ ΔSi

i =1

Если функция y = f ( x ) непрерывна и имеет непрерывную производную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы при max ΔSi → 0 имеют пределы, равные пределам соответствующих сумм. Таким образом, координаты центра тяжести дуги выражаются определенными интегралами: 69

xc =

∫ x dS

2 ∫ x ⋅ 1 + f ′ ( x )dx

(1.103)

∫ 1 + f ′ ( x )dx

∫ dS

yc =

;

∫ f ( x ) dS

2 ∫ f ( x ) ⋅ 1 + f ′ ( x )dx

(1.104)

∫ 1 + f ′ ( x )dx

∫ dS

Эти формулы справедливы для любой однородной (имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской дуги. Пример 1.39 Найти центр тяжести четверти y окружности x 2 + y 2 = a 2 , расположенной в первом x2 + y2 = a2 a квадрате (рис. 1.27), если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна •С произведению координат точки. Решение. a x 0 Воспользуемся формулами (1.103) и (1.104). Рис. 1.27 Для этого из уравнения окружности найдем y′ , затем dS :

(x )′ + (y )′ = (a )′ 2

x 2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ; y′ = − ; y

x2 x 2 + y2 a2 a dS = 1 + f ′ ( x )dx = 1 + 2 dx = dx = dx = dx y y y2 y2 2

Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах (1.103) и (1.104), полагая согласно условию линейную плотность равной δ = kxy : a a ka 3 a ka 4 2 ; ∫ δx dS = ∫ kxy ⋅ x ⋅ ⋅ dx = ka ∫ x dx = ⋅ x 0 = y 3 3 0 0 0 a a a a a 2 2 δ = ⋅ ⋅ ⋅ = = dx ka xy dx ka y dS kxy y ∫ ∫ ∫ ∫ x a − x dx⋅ = y 0 0 0 0 a

(

)

(

ka 2 ka 0 2 ⋅ ∫ a − x2d a2 − x2 = ⋅ a − x2 3 2 a a a ka 2 a ka 3 ∫ δdS = ka ∫ x dx = ⋅ x 0 = 2 2 0 0

)

32a 0

ka 4 = ; 3

Подставляя значения интегралов в формулы (1.103) и (1.104), получим координаты центра тяжести дуги окружности x c = y c =

2 a. 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 6 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

2. Методические указания для студентов

2.1 НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 2.1.1 Основные определения Отыскание функции F(x ) по известному ее дифференциалу f (x )dx ,

называется интегрированием, а искомая функция F(x ) - первообразной

функцией от функции f (x ) .

Всякая непрерывная функция f (x ) имеет бесконечное множество первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым

(F(x ) + C)′ = F′(x ) = f (x )

Выражение

F(x ) + C называется неопределенным интегралом от

функции f (x ) и обозначается

∫ f (x )dx = F(x ) + C

Справедливость результата интегрирования можно проверить путем дифференцирования. 2.1.2 Свойства неопределенного интеграла 1. d ∫ f (x )dx = f (x )dx , 2. 3. 4.

(∫ f (x )dx )′ = f (x )

∫ k f (x )dx = k ∫ f (x )dx ( k - постоянный множитель) ∫ [f1 (x ) ± f 2 (x )]dx = ∫ f1 (x )dx ± ∫ f 2 (x )dx Если ∫ f (x )dx = F(x ) + C , а u - дифференцируемая функция от x u = ϕ(x ), то ∫ f (u )du = F(u ) + C 2.1.3 Таблица неопределенных интегралов Таблица 2.1

Таблица неопределенных интегралов

x n +1 1 ∫ x dx = + C (n ≠ −1) , n +1 ∫ dx = x + C n

3 ∫ dx = x + C

5 ∫ e x dx = e x + C (a > 0, a ≠ 1) ,

dx ∫ = ln x + C x

ax +C 4 ∫ а dx = ln a 6 ∫ sin x dx = − cos x + C x

7 ∫ cos x dx = sin x + C 9

∫

dx = −ctg x + C 2 sin x

dx = tg x + C cos 2 x

dx 1 x = arctg + C 2 a a a +x dx x 12 ∫ = arcsin + C a a2 − x2 10 ∫

dx 1 a+x = ln +C a 2 − x 2 2a a − x dx 13 ∫ = ln x + x 2 + a 2 + C x2 + a2 15 ∫ tg x dx = − ln cos x + C 11 ∫

17 ∫ sh xdx = ch x + C 19 ∫

∫

dx x −a 2

= ln x + x 2 − a 2 + C

16 ∫ сtg x dx = ln sin x + C 18 ∫ ch xdx = sh x + C

dx = −cth x + C sh 2 x

20 ∫

dx = th x + C ch 2 x

2.1.4 Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования, связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла. Рассмотрим примеры на применение формулы (1)

x n +1 +C ∫ x dx = n +1 n

Пример 2.1 Вычислить интегралы: Решение.

x3 1) ∫ x dx = +C 3 2

x5 2 2 2 2) ∫ x dx = ∫ x dx = + C = x5 2 + C = x2 x + C 52 5 5 1 x −3 dx −4 +C=− 3 +C 3) ∫ 4 = ∫ x dx = − 3 3x x 4 x5 2 32 + C = x2 x + C. 4) ∫ 2 x x dx = 2 ∫ x dx = 2 5 52 x3 2 12 2 5) ∫ 2 x − 3 x dx = 2 ∫ xdx − 3∫ x dx = x − 3 + C = x2 − 2 x3 2 + C = 32 = x2 − 2 x x + C. 3

(

)

x+x x1 3 x 12 4 6) ∫ 4 dx = ∫ 1 4 dx + ∫ 1 4 dx = ∫ x1 12 dx + ∫ x 3 4 dx = x13 12 + x 7 4 + 13 7 x x x 3

+C=

12 12 4 x x + x4 x3 + C 13 7

ax Пример 2.2 Вычислить интегралы, применив формулы ∫ a dx = + C, ln a x x ∫ e dx = e + C x

Решение.

3x 1) ∫ 3 dx = +C ln 3 x

( 2) ∫ ( 2 ) dx =

( )

2 2 2) +C= +C ln 2 ln 2 8x 3x x +C 3) ∫ 2 dx = ∫ 8 dx = ln 8 x

∫4 ⋅e x

x x ( ( 4e ) 4e ) dx = ∫ (4e ) dx = +C= +C ln (4e ) ln 4 + 1 x

⎛1⎞ ⎜ ⎟ x 8x ⎝ 2 ⎠ 2x 32 x 32 x − 2 x ⎛1⎞ x − + CП 5) ∫ dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ 8 dx − ∫ ⎜ ⎟ dx = ln 8 ln 1 4 4 4x ⎝2⎠ 2

ри вычислении интегралов от тригонометрических функций используются тригонометрические формулы:

sin 2 x = 1 − cos 2 x , tg 2 x =

1 1 − 1, ctg 2 x = − 1, 2 cos x sin 2 x

cos 2 x = 1 − sin 2 x , 1 sin α ⋅ cos β = [sin (α − β ) + sin (α + β )] , 2 1 sin α ⋅ sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)] , 2 1 cos α ⋅ cos β = [cos(α − β ) + cos(α + β )], 2 3 2 sin x = sin x sin x = 1 − cos 2 x sin x = sin x − cos 2 x sin x ,

(

)

x 2 x , 1 − cos x = 2 sin , 2 2 π π arcsin x + arccos x = , arctg x + arcctg x = и другие. 2 2

1 + cos x = 2 cos 2

Пример 2.3 Вычислить интегралы, применяя известные тригонометрические формулы и табличные интегралы 6-12. Решение.

1 cos 2 x 1 − cos 2 x sin 2 x 1) ∫ tg x dx = ∫ −∫ dx = tg x − dx = ∫ dx = ∫ 2 2 cos x cos x cos 2 x cos 2 x 1 424 3 2

интеграл 8

− ∫ dx = tg x − x + C { интеграл 1

∫

dx dx 1 dx 1 =∫ = = − ctg x + C ∫ 2 1 − cos 2 x 2 2 sin 2 x 2 1 sin x 23 интеграл 9

π π 2 2 5 5 5 2 x dx = ∫ (1 + cos x )dx = (∫ dx + ∫ cos x dx ) = (x + sin x ) + C 4) ∫ 5 cos 2 2 2 2 9x − 7 x 9x + 7 x ⋅ cos 2 cos cos 9 x + cos 7 x 2 dx = 2 5) ∫ dx = ∫ cos 8x cos 8 x cos 8x ⋅ cos x = 2∫ dx = 2∫ cos x dx = 2 sin x + C cos 8x 3)

π 2

∫ (arctg x + arcctg x )dx = ∫ dx = ∫ dx = x + C

1 − sin 2 x dx x dx = ∫ − ∫ sin x dx = ln tg + cos x + C 6) ∫ sin x sin x 2 123 Пример 2.4 Вычислить интегралы, применяя табличные интегралы 3, 4, 12-

14. Решение.

1) ∫

dx dx 1 x = = arctg +C ∫ 2 2 10 10 10 + x 2 10 + x 142 4 43 4

( )

интеграл 10

2) ∫

dx 5 − x2

=∫

2 ( 5) − x2 14 4244 3

= arcsin

x +C 5

интеграл 12

∫

4) ∫

dx 3 − 2x 2

1 x 1 dx = arcsin +C ∫ 2 2 3 2 ⎛ 3⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ − x 2 2 ⎝ ⎠

dx dx 1 x+3 = = ln +C ∫ 2 2 6 x − 3 9 − x2 1 3 x − 424 3 интеграл 11

∫

dx x 2 ± 16

= ln x + x 2 ± 16 + C

2.2 ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМУЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Свойство (4) для неопределенных интегралов из п. 2.1.2 расширяет таблицу простейших интегралов, каждый из которых может быть записан в

u n +1 + C (n ≠ 1) , виде ∫ du = u + C , ∫ u du = n +1 n

∫ Cos u du = Sin u + C

и т.д., где во всех формулах под u понимается не только независимая переменная, но и произвольная функция любой независимой переменной, дифференцируемой в некотором промежутке. Рассмотрим два метода интегрирования, основанные на свойстве инвариантности формул интегрирования. 2.2.1 Метод введения функции под знак дифференциала

Из дифференциального исчисления известно, что дифференциал функции f(x) вычисляется по формуле d[f ( x )] = f ' ( x ) dx . Использование этой формулы в обратном порядке, т.е.

f ' ( x ) dx = d [f ( x )]

называется введением функции под знак дифференциала. Таким образом, для известных функций справедливы следующие формулы:

dx = d ( x ± C) , e x dx = d (e x ) ,

1 d (a ⋅ x + b) , где a, b, c = Const, a 1 a x dx = d (a x ) , Sin x dx = −d (Cos x ) , ln a dx =

Cos x dx = d (Sin x ) ,

= d ( tg x ) ,

Cos 2 x dx

dx = d (ln x ) , x dx = d (arctg x ) , 1+ x 2

1− x dx 1+ x 2

= d (arcsin x ) ,

= −d (arcctg x )

dx Sin 2 x dx

1 − x2

= −d (ctg x ) ,

= −d (arccosx) ,

и другие

Тогда определенные типы нетабличных интегралов можно свести к табличным, т.е. ∫ f ( x ) ⋅ f ' ( x )dx = ∫ f ( x ) d[f ( x )]

14 4244 3

табличный интеграл

u n +1 +C ' dx = ∫ u ⋅ u{ n + 1 du

Пример 2.5 Применяя формулу

,вычислить следующие интегралы: Решение.

n=5 ( x + 3) 5+1 5 = ∫ ( x + 3) d ( x + 3) = +C = ∫ ( x + 3) dx = dx = d ( x + 3) 5 +1 5

( x + 3) 6 = +C 6 1 −1 −1 dx 2 2 2 = ( x − 3 ) dx = ( x − 3 ) d ( x − 3 ) = 2 ⋅ ( x − 3 ) +C= ∫ ∫ ∫ x −3 = 2⋅ x −3 + C

2x + 5 +2 +33)− 2 ⋅ (2x + 5)dx = dx = ∫ (1 x 24 5x4 ∫ 2 2 14243 (x + 5x + 3) u du

(x 2 + 5x + 3)−1 1 = ∫ (x14 +2 +33) ⋅ d(x14 +2 +33) = =− 2 + C. 5x4 5x4 − 1 x + 5 x + 3 u u 2

∫

−2

dx 1 1 1 −2 −2 ( 5 x 2 ) dx ( 5 x 2 ) dx dx 5 dx = − = ⋅ − = = ⋅ = d(5x − 2) = ∫ ∫ 5 5 5 (5x − 2)2

1 1 (5x − 2)−1 1 −2 = ⋅ ∫ (51 x2 −3 2) d(5x − 2) = ⋅ +C = − +C 1 424 3 5 5 − 1 5 ⋅ ( 5 x − 2 ) u du

sin 3 x x dx = ∫ sin (sin x ) = + C. ∫ sin x ⋅ cos 123x ⋅ d1 1 424 3 4 2 4 3 3 u2 2

d (sin x )

Пример 2.6 Применяя формулу

∫

вычислить следующие интегралы: 77

du = ∫ d(ln u ) = ln u + C u

Решение.

1).

u } dx d ( x + 1) =∫ = ln x + 1 + C. ∫ x +1 x{ +1 u

2).

∫

2x dx 2

x +1

=∫

u8 67 d ( x 2 + 1) 2

x 2+ 1 31

= ln ( x 2 + 1) + C.

3).

∫

u8 67 d ( x 2 + 1)

x dx

1 1 = ⋅ = ⋅ ln ( x 2 + 1) + C. ∫ 2 2 2 x +1 2 x12+ 31 u

u4 6 47 8 3 2 2 4x 1 6 ⋅ 4x 1 d (8x + 19) 1 3 dx = ⋅ dx = ⋅ = ⋅ ln 8 x + 19 + C. ∫ ∫ ∫ 3 3 3 4). 6 6 6 8x + 19 8x + 19 81 x 2+4 19 4 3 u

Sin x − d (Cos x + 1) dx = = − ln (1 + Cos x ) + C. ∫ ∫ 5). 1 + Cos x 1 + Cos x 1 424 3 u

6).

∫

e x dx 5 + ex

=∫

d (e x + 5) ex + 5

= ln (e x + 5) + C.

Пример 2.7 Применяя формулу, вычислить следующие интегралы:

au +C ∫ a du = ln a u

Решение. 1).

3x + C. ∫ 3 dx = ln 3 представим dx в виде u } 1 1 3 2x 2x 2x 3 dx = = ⋅ ∫ 3 d (2{x ) = ⋅ + C. 1 1 2 ln 3 dx = ⋅ 2 ⋅ dx = ⋅ d (2 x ) 2 u 2 2 x

2).

3).

представим dx в виде

5x + 4

u8 67

1 dx = = ⋅ ∫ 2 5 x + 4 ⋅ d (51 x2 +34) = 1 1 dx = ⋅ 5 ⋅ dx = ⋅ d (5x + 4) 5 u 5 5

1 2 5x + 4 = ⋅ + C. 5 ln 2 4).

∫e

Sin x

⋅ Cos x dx = ∫ e 1 424 3 d (Sin x )

5).

∫

e tg x 2

Cos x dx

dx 2

Cos x

u8 6 7 Sin x

⋅ d (Sin x ) = e Sin x + C. 1 2 3 u

= d ( tg x ) = ∫ e tg x ⋅ d ( tg x ) = e tg x + C.

Рассмотрим примеры на внесение функции под знак дифференциала с использованием других табличных интегралов. Пример 2.8 Вычислить интегралы: Решение.

1).

u8 67 d(arctg x) dx dx = = d ( arctg x ) = = ln arctg x + C. ∫ ∫ arctg x (1 + x 2 ) ⋅ arctg x 1 + x 2 123 u

2).

∫

arcsin x dx 1− x 2

= d (arcsin x ) = ∫ (arcsin x ) 2 ⋅ d (arcsin x ) = 1 424 3 1 424 3 1− x 2 u u

arcsin 3 x = + C. 3 3). dx dx dx = = = ∫ ∫ x x x ∫ Sin x 2 ⋅ Sin ⋅ Cos Sin 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ Cos 2 x x 2 Cos 2 умножили и разделили знаменател ь x d ( tg ) dx x 2 = ln tg x + C. = на Cos x , =∫ = d ( tg ) x 2 x 2 2 tg 2 ⋅ Cos 2 2 2

4).

1 5

∫ Sin 5x dx = dx = ⋅ 5 dx = d (5x ) = ⋅ ∫ Sin 5{x d (5{x ) = u

1 = ∫ Sin u du = −Cos u + C = − Cos 5x + C. 5 5). 1 1 ∫ Cos (3x − 7) dx = dx = ⋅ 3 dx = d (3x − 7) = 3 3 1 1 = ⋅ ∫ Cos (31 x2 −37) d (31 x2 −37) = ⋅ Sin (3x − 7) + C. 3 3 u u 6). Sin 2 x dx 1 d (Cos 2 x ) 1 tg 2 x dx = = − ⋅ = − ⋅ ln Cos 2 x + C. ∫ ∫ ∫ Cos 2 x 2 Cos 2x 2 u 7). } 2x dx d (x 2 ) u 1 x2 du 1 =∫ 2 = ∫ 2 = arctg + C = ⋅ arctg + C. ∫ 3 3 a 9+ x4 3 + ( x{2 ) 2 a + u2 a u

8).

u8 67 x dx 1 1 d (1 − x 2 ) 2 = x dx = − d (1 − x ) = − ∫ = ∫ 2 2 2 2 1− x 11 −2x3 u

1 = − ⋅ 2 ⋅ 1 − x 2 + C = − 1 − x 2 + C. 2

Рассмотренные выше интегралы можно вычислить методом замены переменной. 2.2.2 Интегрирование методом подстановки

Если интеграл ∫ f ( x ) dx не может быть вычислен непосредственно по формулам (1 – 18), то введением новой независимой переменной во многих случаях удается преобразовать подынтегральное выражение так, что интеграл становится табличным. Замена переменной интегрирования и составляют суть метода подстановки. Замена переменной производится с помощью подстановок двух видов: x = ϕ (t) 1) , где t – новая переменная, ϕ ( t ) - непрерывно дифференцируемая функция. Тогда. ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ ( t )] ϕ' ( t ) dt

Функцию ϕ ( t ) стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид; 80

t = ψ ( t ) , где t – новая переменная. Тогда

∫ f [ψ ( x )] ψ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt Пример 2.9 Используя подстановку x = ϕ ( t ) ( dx = ϕ' ( t ) dt ), вычислить интегралы. Решение. 1)

∫

Cos 3 x 3

dx =

x2 Cos t

= 3⋅ ∫

используя подстановку x = t 3 , тогда

dx = 3 ⋅ t dt

=∫

Cos 3 t 3 3

3 t 2 dt =

t 2 dt = 3 ⋅ ∫ Cos t dt = 3 ⋅ Sin t + C = 3 ⋅ Sin 3 x + C.

Этот пример можно решить, применяя внесение функции под знак дифференциала. Так как

∫ 2)

Cos 3 x 3

dx 3

= 3 ⋅ d (3 x ) , то

dx = 3 ⋅ ∫ Cos 3{ x ⋅ d (3{ x ) = 3 ⋅ Sin 3 x + C. u

dt − 2 1 используем подстановку x = , t = dx t 1 1 = = ∫ ∫ ⋅ 1+ x ⋅ 1 + x 2 тогда dx = − dt t t2 2 t = −∫

dt 1+ t2

= − ln t + 1 + t 2 + C = − ln

1 1 + 1+ 2 + C = x x

x x + x2 +1 = − ln + C = ln +C 2 x x + x +1 Пример 2.10 Используя подстановку вычислить интегралы: Решение. 1)

t = 8 + x3

t = ψ (x)

1 dt 1 1 x2 dx = dt = 3 ⋅ x 2 dx = ⋅ ∫ = ⋅ ln t + C = ⋅ ln 8 + x 3 + C ∫ 3 3 t 3 3 8+ x 1 2 dt = x dx 3

∫

e x dx 9 − e2x

t = ex

t ex = =∫ = arcsin + C = arcsin + C x 2 3 3 dt = e dx 1 t 492−4 3 dt

табличный интеграл 4

dt 1 t 1 Sin x Cosx dx t = Sin x = = ⋅ arctg + C = ⋅ arctg +C = ∫ ∫ 2 2 2 42 +3 t2 2 4 + Sin2 x dt = Cosx ⋅ dx 1

табличный интеграл 3 t6 5

x+3= t ( x + 3) 6 = ∫ t dt = + C = +C ∫ ( x + 3) dx = dx = dt 6 6

x −3= t dx dt t1 2 −1 2 t dt = = = = + C = 2 ⋅ t + C = 2 ⋅ x − 3 + C. Более ∫ ∫ ∫ 12 x − 3 dx = dt t

удачной можно считать подстановку x − 3 = t : Получили тот же результат. 6)

∫

x 2 dx x3 + 1

x3 + 1 = t 2 = 3x 2 dx = 2t dt =

2 t dt 2 2 ⋅∫ = ⋅ t + C = ⋅ x3 +1 + C 3 t 3 3

2t dt 3 Sin x = t Sin x = ∫ e t dt = e t + C = eSin x + C ∫ e Cos x dx = Cos x dx = dt

x 2 dx =

Выбор удачной подстановки имеет большое значение и достигается практикой интегрирования. В дальнейших параграфах будут даны рекомендации для замены переменных в зависимости от типа подынтегральной функции. 2.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

(x ± a )2

= x 2 ± 2 xa + a 2 - полный квадрат суммы (разности)

Пример 2.11 Выделить полные квадраты в следующих квадратных трехчленах: Решение.

1) x + 6 x + 5 = 1 x 4 +422 ⋅ 34 x4 +39 − 9 + 5 = (x + 3) − 4 2

⎤ ⎡ ⎢ 2 1⎤ 3 9 9 1⎥ ⎡ 2 3 2 2) 2 x − 3x + 1 = 2 ⎢ x − x + ⎥ = 2 ⎢ x − 2 ⋅ x + − + ⎥= 2 2⎦ 4 16 ⎣ ⎢ 1442443 16 2 ⎥ ⎦ ⎣ 2 ⎡⎛ 3⎞ 1⎤ = 2⎢⎜ x − ⎟ − ⎥ 4 ⎠ 16 ⎥⎦ ⎢⎣⎝ 2 2 2 2 3) 9 + 6 x − 3x = −3 x − 2 x − 3 = −3 (x − 1) − 4 = 3 4 − (x − 1)

[

1 Интеграл

[

]

] [

]

dx находится путем выделения полного ∫ 2 ax + bx + c

квадрата из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. В результате получается один из двух табличных интегралов (3,12):

∫

dt 1 t dt 1 k−t = arctg + C , = ln + C. ∫ k t2 + k2 k t 2 − k 2 2k k + t dx Пример 2.12 Вычислить интеграл ∫ 2 . x + 4x + 8 Решение.

dx dx 2 2 ( ) x 4 x 8 x 2 4 = + + = + + = = ∫ 2 x 2 + 4x + 8 (x + 2 ) + 4 d ( x + 2) 1 x+2 =∫ = arctg +C 2 2 2 (x + 2 ) + 4

∫

При вычислении интеграла вместо внесения функции под знак дифференциала dx = d(x + 2 ) можно применить метод замены переменной:

x 2 + 4 x + 8 = ( x + 2) 2 + 4 dx dt = = ∫ 2 ∫ 2 2 = x + 4 x + 8 x + 2 = t , dx = dt t +2 1 t 1 x+2 = arctg + C = arctg +C 2 2 2 2 2 Для нахождения интеграла

∫

Ax + B dx 2 ax + bx + c

следует выделить в

числителе дроби производную знаменателя и разложить полученный интеграл

d (ax 2 + bx + c) на сумму двух интегралов: первый из них ∫ подстановкой 2 ax + bx + c dt ax 2 + bx + c = t сводится к табличному интегралу ∫ = ln t , а второй t

интеграл – это интеграл, рассмотренный в пункте 1 этого же параграфа. Пример 2.13 Вычислить интеграл ∫ Решение.

(

x−2 dx 2 x 2 + 5x + 6

)′

Вычислим производную 2 x + 5x + 6 = 4 x + 5 . Выделяя в числителе производную квадратного трехчлена, получим

1 (4x + 5) − 5 − 2 = 1 (4x + 5) − 13 4 4 4 4 d ( 2 x 2 +5 x + 6 ) 13 1 6 474 8 (4x + 5) − x−2 4 dx = 1 (4 x + 5dx − 4 = Следовательно ∫ dx ∫ ∫ 4 2 x 2 + 5x + 6 2 x 2 + 5x + 6 2 x 2 + 5x + 6 13 dx 1 13 dx − ∫ 2 = ln 2x 2 + 5x + 6 − ∫ = 5 4 2 x + 5x + 6 4 8 2 x + x+3 2 выделим полный квадрат в знаменателе x−2=

(

)

5 5 25 25 5⎞ 23 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 23 ⎞ ⎛ ⎟⎟ x2 + + 3 = x2 + 2⋅ x ⋅ + − + 3 = ⎜x + ⎟ + = ⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ 2 4 416 4 ⎠ 16 ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 14424 3 16

(

)

5⎞ ⎛ d⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝

1 13 ln 2x 2 + 5x + 6 − ∫ = 2 4 8 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 23 ⎞ ⎟⎟ ⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 144 42444 3 табличный интеграл

5 1 13 4 4 +C= arctg = ln 2x 2 + 5x + 6 − ⋅ 4 8 23 23 4 1 13 4x + 5 arctg = ln 2x 2 + 5x + 6 − +C 4 2 23 23

(

)

(

)

3 Интеграл

∫

dx ax + bx + c 2

находится с помощью выделения

полного квадрата из подкоренного выражения и сводится к табличным интегралам вида

∫

t2 ± k2 dt t ∫ 2 2 = arcsin + C . k k −t

= ln t + t 2 ± k 2 + C ,

Пример 2.14 Вычислить интеграл Решение. Выделяя из

квадратного

∫

dx 3 − x − 2x 2

трехчлена

полный

квадрат,

имеем

⎛ ⎞ ⎜ 3⎞ 1 1 1 3⎟ ⎛ 2 1 2 2 3 − x − 2 x = −2⎜ x + x − ⎟ = −2⎜ x + 2 ⋅ x + − − ⎟ = 2 2⎠ 44416 ⎝ ⎜⎜ 1442 3 16 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 2 ⎡⎛ ⎡ 25 ⎛ 1⎞ 25 ⎤ 1⎞ ⎤ = −2⎢⎜ x + ⎟ − ⎥ = 2 ⎢ − ⎜ x + ⎟ ⎥ 4 ⎠ 16 ⎥⎦ 4 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎣⎢16 ⎝ Вычисляем интеграл

∫

dx 3 − x − 2x 2

=∫

2 ⎡ 25 ⎛ 1⎞ ⎤ 2⎢ − ⎜ x + ⎟ ⎥ 4 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣16 ⎝

1⎞ ⎛ d⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝

1 = ∫ 2 2 ⎛ 5 ⎞2 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ − ⎜x + ⎟ 4⎠ ⎝ 44 ⎠ 42 ⎝ 44 14 43 табличный интеграл

1 arcsin 2

x+ 5 4

1 4 +C=

1 4x + 1 +C 5 2 arcsin

4 Для нахождения интеграла ∫

Ax + B ax + bx + c 2

dx следует выделить

в числителе производную подкоренного выражения и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: первый из них

∫

(

d ax 2 + bx + c

) сводится

ax 2 + bx + c

к табличному (1)

dt ∫ = 2 t , а второй – это интеграл, рассмотренный в пункте t

3 этого же параграфа. Пример 2.15 Вычислить интеграл

∫

− 4x + 3 2

4 x + 8x + 9

Решение. Выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе под знаком корня:

(4x

′ 1 1 + 8x + 9 = 8x + 8 ; − 4 x + 3 = − (8x + 8) + 4 + 3 = − (8x + 8) + 7 2 2

)

Тогда

d (4 x +8 x + 9 ) 1 64 4744 8 − (8x + 8) + 7 1 (8x + 8)dx − 4x + 3 + dx = ∫ 2 dx = − ∫ ∫ 2 2 2 2 4 x + 8x + 9 4 x + 8x + 9 4 x + 8x + 9 dx 1 7 dx + 7∫ = − 2 4 x 2 + 8x + 9 + ∫ = 2 2 2 9 4 x + 8x + 9 x 2 + 2x + 4 2

выделим полный квадрат в знаменателе под знаком корня ⎛ 5⎞ 9 9 5 2 2 ⎟⎟ ⎜⎜ ( ) ( ) x 1 x 2 + 2x + = 1 x 24 2 x4+ 1 1 x 1 +2 − + = + + = + + 3 4 4 4 ⎝ 2 ⎠ 7 d(x + 1) = − 4 x 2 + 8x + 9 + ∫ = 2 2 ⎛ ⎞ (x + 1)2 + ⎜⎜ 5 ⎟⎟ 2 ⎠ 144424⎝443 табличный интеграл

7 = − 4x 2 + 8x + 9 + ln x + 1 + 2

(x + 1)2

5 +C 4

2.4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Формула интегрирования по частям имеет вид

∫ u dv = u v − ∫ v du 86

Применение этой формулы предполагает, что в правой части интеграл ∫ v du может быть вычислен легче, чем исходный интеграл. Прежде всего надо установить какая функция принимается равной u и что относится к dv . 1 При нахождении интегралов вида ax ∫ Pn (x ) e dx, ∫ Pn (x )sin ax dx, ∫ Pn (x ) cos ax dx

принимаем u = Pn (x ) − многочлен степени n

⎧e ax dx ⎪ dv = ⎨sin ax dx ⎪cos ax dx ⎩ Пример 2.16 Вычислить интеграл ∫ x ⋅ sin x dx Решение. 2 Так как P2 (x ) = x − многочлен второй 2

степени, формулу интегрирования по частям надо применить последовательно два раза. 2

x dx = ∫ x{ sin 1 424 3 u

x 2 = u , 2 xdx = du sin xdx = dv, v = ∫ sin xdx = − cos x

xdx = − x 2 cos x + 2 ∫ x{ cos 1 42 4 3= u

x = u, dx = du cos xdx = dv, v = ∫ cos xdx = sin x

= − x cos x + 2[ x sin x − ∫ sin x dx] = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C . 2

2 При нахождении интегралов вида

∫ Pn (x ) ln ax dx, ∫ Pn (x ) arcsin ax dx, ∫ Pn (x ) arccos ax dx, ∫ Pn (x ) arctg ax dx, ∫ Pn (x ) arcctg ax dx. принимаем dv = Pn (x ) dx ,

⎧ln ax ⎪arcsin ax ⎪⎪ u = ⎨arccos ax ⎪arctgax ⎪ ⎪⎩arcctg ax

Пример 2.17 Вычислить интегралы Решение.

u = arctgx, du = 1) ∫ x arctgx dx =

dx 1+ x2

= 2 x u dv = xdx , v = ∫ xdx = 2 2 2 2 x 1 x x 1 ⎛ 1 ⎞ = arctgx − ∫ 2 dx = arctg x − ∫ ⎜1 − 2 ⎟dx = 2 2 x +1 2 2 ⎝ x + 1⎠ 2 2 x 1 1 dx x x 1 = arctgx − x + ∫ 2 = arctg x − + arctgx + C 2 2 2 2 2 x +1 2 dx u } = du ln x = u , ln x x 2) ∫ 3 dx = = dx 1 x dv = 3 , v = ∫ x −3 dx = − 2 x 2x ln x 1 dx ln x 1 =− 2 + ∫ = − − +C 2 2 2 2 x⋅x 2x 2x 4x

123

3 Интегралы, в которых двукратное применение интегрирования по частям приводит к исходному интегралу

формулы

ax ax ∫ e sin bx dx, ∫ e cos bx dx

Выбор u и dv в таких интегралах произволен. x

Пример 2.18 Вычислить интеграл ∫ e sin x dx Решение. x

J 1 = ∫ e{ sin xdx 12 3= u

e x = u , e x dx = du sin xdx = dv, v = ∫ sin xdx = − cos x

e x = u , e x dx = du

dv = cos xdx , v = ∫ cos xdx = sin x

= −e cos x + ∫ e{ cos xdx 1 42 4 3=

[

]

= − e x cos x + e x sin x − ∫ e x sin x dx = = −e x cosx + e x sin x − ∫ e x sin x dx 1424 3 J1 x

Получили равенство J 1 = e (sin x − cos x ) − J 1 . Перенесем последнее слагаемое − J 1 из правой части в левую, 2 J 1 = e 88

(sin x − cos x ) + C ,

1 J 1 = ∫ e x sin x dx = e x (sin x − cos x ) + C 2 4 Интегралы от дробно-рациональных функций Рассмотрим нетрадиционное применение формулы интегрирования по частям на примере. Пример 2.19 Вычислить интеграл

∫

x 2 dx

(1 + x )

2 2

Решение.

∫

x 2 dx

(1 + x )

2 2

= ∫ x{ ⋅ u

x dx

(1 1+ x ) 424 3 2 2

u = x du = dx dv = =

x dx

(1 + x )

2 2

V=∫

x dx

(1 + x )

2 2

x 1 dx + = 1 d x2 +1 = − ∫ 2 2 = ∫ = 2 2 1+ x 1+ x 2 1+ x2 2

(

)

(

)

1 2 1+ x2 x 1 =− + arctg x + C 2 2 2(1 + x ) =−

(

)

2.5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2.5.1 Интегрирование простейших дробей

Рациональной

R (x ) =

дробью

называется

дробь

вида

+L+ am Pm (x ) a 0 x + a 1 x = , где Pm(x), Qn(x) – многочлен. Q n (x ) b 0 x n + b1 x n −1 + L + b n m

m −1

Рациональная дробь называется правильной, если степень Pm(x) ниже степени Qn(x) (m<n), в противном случае (m ≥ n ) дробь называется неправильной.

5 x−4 (m=1, n=2, m<n), (m=0, n=1, m<n) x+6 x 2 + x − 12 x3 x5 − x3 + 2 (m=3, n=3, m=n), (m=5, являются правильными, дроби 3x 3 − 8 x2 −1 Дроби

n=2, m>n) – неправильными. Простейшими дробями I, II, III, IV типов называются правильные рациональные дроби следующего вида: I. II. III.

A ; x−a A , где m – целое число, большее единицы; ( x − a) m Ax + B p2 , где D = − q < 0 , т.е. квадратный трехчлен 2 4 x + px + q

x 2 + px + q не имеет действительных корней; IV.

Ax + B 2

+ px + q

)

, где n – целое число, большее единицы, и

квадратный трехчлен x 2 + px + q не имеет действительных корней. Дроби I и II тиров интегрируются с помощью подстановки t=x-a :

t = x−a A dt dx = = A ∫ ∫ = A ⋅ ln t + C = A ⋅ ln(x − a ) + C ; dt = dx x−a t t = x−a t − m +1 A dt −m = A ∫ m = A ⋅ ∫ t dt = A ⋅ +C= = ∫ m − m +1 t (x − a ) dt = dx =

1 A ⋅ m −1 + C 1− m t Пример 2.20 Вычислить интеграл

Решение.

3 dx ∫ x +8

x +8=t 3 dt = 3∫ = 3 ln t + C = 3 ln x + 8 + C dx = ∫ dx = dt x +8 t 12 Пример 2.21 Вычислить интеграл ∫ dx 5 (x − 6 )

Решение.

x−b = t dt t −4 12 −5 dx = = 12∫ 5 = 12 ∫ t dt = 12 +C = ∫ dx = dt −4 t (x − 6)5 3 3 = − 4 +C = − +C 4 t (x − 6 ) Интегрирование простейшей дроби III вида было рассмотрено в 2.3. Напомним, что для этого нужно в числителе дроби выделить производную знаменателя и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: 2 тогда первый из них подстановкой x + px + q = t приведется к виду

(

)

dt = ln t = ln x 2 + px + q , а второй выделением полного квадрата в t du 1 u . знаменателе – к виду ∫ 2 arctg = k u + k2 k

∫

Для интегрирования простейшей дроби IV типа в числителе дроби нужно записать производную квадратного трехчлена и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов. Первый из них подстановкой

dt 1 , а второй имеет вид = n n −1 (1 − n )t t p . С помощью подстановки x + = u он преобразуется в 2

x 2 + px + q = t приведется к виду ∫

∫

dx 2

+ px + q

)

интеграл вида I n =

∫

du 2

)

2 n

, который интегрированием по частям можно

свести к более простому интегралу I n −1 =

∫

du 2

)

2 n −1

того же типа, но

показатель в знаменателе уменьшается на единицу. При этом справедлива следующая рекуррентная формула:

In = ∫

du 2

+ a2

)

1 u ⋅ 2a 2 (n − 1) u 2 + a 2

(

)

n −1

1 2n − 3 ⋅ I n −1 a 2 2n − 2

При большом n целесообразно применять эту формулу. Повторяя процесс (n-1) – раз, получим табличный интеграл (в таблице интегралов – номер 3) I1 =

du 1 u . arctg = ∫ 2 a u + a2 a 91

Пример 2.22 Вычислить интеграл Решение.

∫

3x + 2 2

+ 2x + 10

)

′ 2 x 10 = 2x + 2 + + 3x + 2 dx = = ∫ 2 2 3 3 x + 2x + 10 3x + 2 = (2 x + 2 ) − 3 + 2 = (2 x + 2 ) − 1 2 2 (2x + 2)dx − 3 dx = ∫ = ∫ 2 2 2 x 2 + 2 x + 10 2 x + 2 x + 10

(

)

(

= =

)

(

)

x 2 + 2 x + 10 = x 2 + 2 x + 1 + 9 = = (x + 1) + 9 = (x + 1) + 3 2

В первом интеграле произведем замену x 2 + 2 x + 10 = z,

(2x + 2)dx = dz, а во втором положим х + 1 = u, dx = du

3 dz du 3 −2 3 − = z dz − I = − − I2 ∫ ∫ 2 2 2 ∫ 2 2 z2 2 2 z u +3 14243

(

)

Рассмотрим два способа вычисления интеграла I 2 от четвертого типа простейших дробей. 1 способ Применим рекуррентную формулу при n=2 и a=3:

1 u 1 2⋅2 −3 ⋅ + ⋅ I 2−1 = 2 2 2 2 2 2 −1 ( ) 2 ⋅ 9 2 − 1 9 2 ⋅ 2 − 2 u +3 u +3 1 u 1 1⎛ u du ⎞ 1 ⎛ u 1 u⎞ = ⋅ 2 + ⋅ I1 = ⎜ 2 +∫ 2 = + arctg ⎟ ⎜ ⎟= 2 2 18 u + 9 18 18 ⎝ u + 9 18 3 3 u +3 ⎠ ⎝u +9 ⎠ I2 = ∫

(

)

(

)

1 ⎛ x +1 1 x + 1⎞ 1 ⎛ x +1 1 x + 1⎞ ⎟= ⎜ ⎜ + + arctg arctg ⎟. 18 ⎜⎝ (x + 1)2 + 9 3 3 ⎠⎟ 18 ⎝ x 2 + 2 x + 10 3 3 ⎠

2 способ Применим формулу интегрирования подынтегральное выражение интеграла I2 в виде:

по

частям,

представив

du 2

)

9 du = ⋅ 9 u2 + 9

(

( (

) )

)

(

1 ⎡ 9 + u 2 du u 2 du = ⎢ − 9 ⎢⎣ u 2 + 9 2 u2 + 9

(

)

(

)

1 9 + u 2 − u 2 du 1 9 + u 2 du − u 2 du = = ⋅ = 2 2 2 2 9 9 u +9 u +9

(

)

⎤ 1 ⎡ du u 2 du − ⎥= ⎢ 2 2 9 ⎢⎣ u + 9 u 2 + 9 ⎥⎦

)

(

)

⎤ ⎥. 2 ⎥⎦

)

Тогда

1 ⎡ du u 2 du I2 = ∫ = ⎢∫ 2 −∫ 2 2 9 ⎢⎣ u + 9 u +9 u2 + 9 u1 = u du 1 = du du

(

dv1 =

)

udu 2

v1 = ∫

)

⎤ 1 ⎡1 u u ⋅ du ⎤ arctg = − ⋅ u ⎥ ⎢ ⎥= ∫ 2 2 2 9 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣ u + 9 ⎥⎦

(

)

udu

= 1 d u2 + 9 1 = ∫ = − 2 u2 + 9 2 2 u2 + 9

)

(

)

(

)

|Применим формулу интегрирования по частям: ∫ u 1dv1 = u 1 v1 − ∫ v1du 1 |

1 ⎡1 u ⎛ u 1 du ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ = − − + arctg ∫ ⎢ 9 ⎣3 3 ⎜⎝ 2 u 2 + 9 2 u 2 + 9 ⎟⎠⎦

u⎤ 1 ⎡1 u u 1 arctg arctg + − = 9 ⎢⎣ 3 3 2 u2 + 9 2⋅3 3 ⎥⎦

1⎡ u 1 u⎤ 1 ⎛ u u⎞ ⎜ ⎟= arctg arctg + = + 9 ⎢⎣ 2 u 2 + 9 2 3 ⎥⎦ 18 ⎜⎝ u 2 + 9 3 ⎟⎠

x + 1⎞ 1⎛ x +1 + arctg ⎜ 2 ⎟ 18 ⎝ x + 2 x + 10 3 ⎠

(

)

(

)

2.5.2 Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей

Для нахождения интеграла от рациональной дроби

P1 (x ) следует прежде Q (x )

всего выделить из нее целю часть (если дробь неправильная), т.е. представить

P1 (x ) P (x ) P (x ) = M(x ) + , где М(х) – многочлен, а - правильная Q(x ) Q(x ) Q( x ) P (x ) P (x ) - правильная, то ее, как и дробь , рациональная дробь. Если дробь 1 Q( x ) Q( x )

ее в виде

нужно разложить на простейшие дроби и проинтегрировать каждое слагаемое в отдельности. Практическое правило разложения правильной рациональной дроби

P (x ) на простейшие дроби: Q( x )

1 Разложить знаменатель Q(x) на линейные x-a и квадратичные 2 множители x + px + q , не имеющие действительных корней, либо на

(

множители, которые являются их степенями, т.е. на (x − α ) , x + px + q k

2 Записать разложение данной рациональной дроби

)

P (x ) на простейшие Q( x )

дроби с неопределенными (буквенными) коэффициентами, учитывая, что

каждому сомножителю (x − a ) разложения Q(x) отвечает в разложении дроби k

P (x ) Q (x )

выражение

(

A1 A2 Ak L , + + + k x − a (x − a )2 (x − a )

вида

сомножителю x + px + q

)

B 1 x + C1 x 2 + px + q

каждому

- выражение вида

B 2x + C2 2

+ px + q

)

+L+

B m x + Cm 2

+ px + q

)

1. Полученное равенство умножить на общий знаменатель. 2. Приравнять числители полученных дробей. 3. Раскрыть скобки, привести подобные члены и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x или, не раскрывая скобок, дать аргументу x столько различных значений, сколько имеется неопределенных коэффициентов, используя, прежде всего, корни знаменателя (метод частных подстановок). 4. Решить полученную систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Пример 2.23 Вычислить интеграл ∫

5 − 4x dx (x + 1)(x − 2)

Решение. Представим подынтегральную дробь (она правильная) в виде суммы простейших дробей. Линейным множителям x+1 и x-2 знаменателя данной

дроби отвечают соответственно дроби вида

A B и . Следовательно, x +1 x−2

5 − 4x A B . Умножив обе части равенства на общий = + (x + 1)(x − 2) x + 1 x − 2 знаменатель, приходим к равенству 5-4x=A(x-2)+B(x+1) 94

(*)

Коэффициенты А и В можно найти одним из двух способов. 1 способ Запишем предыдущее равенство (*) в виде

− 4 x + 5 = (A + B)x + (− 2A + B)

Приравняем теперь коэффициенты при одинаковых степенях х: x −4=A+B . x 0 5 = −2 A + B Отсюда находим A = −3, B = −1, следовательно 5 − 4x 3 1 . =− − (x + 1)(x − 2 ) x + 1 x − 2 2 способ (метод частных подстановок). Полагая х=2 в тождестве (*), получим 5 − 4 ⋅ 2 = 3В ⇒ В = −1. Полагая x = −1 , получим 5 − 4 ⋅ (−1) = −3А ⇒ А = −3 . Искомый интеграл сводится к интегрированию двух простейших дробей I типа:

∫

d( x − 2) 5 − 4x dx dx d(x + 1) = dx = −3∫ −∫ = −3∫ −∫ x +1 x−2 x +1 x−2 (x + 1)(x − 2)

= −3 ln x + 1 − ln x − 2 + C Пример 2.24 Вычислить интеграл

∫

x2 + 6 x (x − 3)

Решение. Линейному множителю х знаменателя этой правильной дроби A отвечает простейшая дробь I типа , линейному множителю (х-3)2 – сумма x

простейших дробей I и II типов

x2 + 6

B C . Разложение дроби на + x − 3 (x − 3)2

A B C + + . Освобождаясь от 2 2 x x − 3 (x − 3) x (x − 3) 2 2 получаем x + 6 = A(x − 3) + Bx (x − 3) + Cx . Сравним

простейшие имеет вид

знаменателей, коэффициенты при одинаковых степенях х:

1= A + B

2 1 x 0 = −6A − 3B + C ⇒ A = , B = , C = 5 . 3 3 0 6 = 9 A x Вычисляем интеграл:

x2 + 6

∫

dx =

2 dx 1 dx dx + 5∫ = ∫ + ∫ 2 3 x 3 x −3 ( x − 3)

x (x − 3) 5 1 2 = ln x + ln x − 3 − + C. x −3 3 3 2

Пример 2.25 Вычислить интеграл

∫

2 x dx

(x + 1)(x 2 + 1)

Решение. Линейному множителю х+1 отвечает в разложении правильной дроби

(

)

2 A 2 , квадратичному множителю x + 1 , не x +1

простейшая дробь I типа

имеющему действительных корней – сумма дробей III и IV типов

Bx + C Dx + E . Разложение имеет вид + 2 2 x2 +1 x +1 2x A Bx + C Dx + E = + + . 2 2 2 2 2 + x 1 + x 1 (x + 1) x + 1 x +1

(

)

(

знаменателей,

(

)

(

)

(

Освобождаясь

)

получаем

)

2x = A x 2 + 1 + (Bx + C )(x + 1) x 2 + 1 + (Dx + E )(x + 1). 2

Приравниваем коэффициенты

0=A+B

x3 C + B 1 1 1 x 2 0 = 2A + B + C + D ⇒ A = − , B = , C = − , D = E = 1, 2 2 2 x 2 = C+B+E+D x0 0 = A + C + E ∫

1 dx 1 x − 1 x +1 =− ∫ + ∫ 2 dx + ∫ dx = 2 2 2 2 x 1 2 + x 1 + (x + 1) x + 1 x +1 2 xdx

(

)

(

)

x dx 1 1 x dx 1 dx dx = − ln x + 1 + ∫ 2 − ∫ 2 +∫ + = ∫ 2 2 2 2 2 2 x +1 2 x +1 x +1 x +1 1 1 d x2 +1 1 1 d x2 +1 dx = − ln x + 1 + ∫ 2 − arctgx + ∫ + = ∫ 2 2 2 4 x +1 2 2 x2 +1 2 x +1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 dx = − ln x + 1 + ln x 2 + 1 − arctgx − ⋅ 2 +∫ = 2 2 2 4 2 2 x +1 x +1

(

от

)

⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 x 1 ⎟⎟ + = − ln x + 1 + ln x 2 + 1 − arctg x − ⋅ 2 + ⎜⎜ + arctg x 2 4 2 2 x +1 ⎝ 2 x2 +1 2 ⎠

(

)

(

)

1 1 x −1 + C = ln x 2 + 1 − ln x + 1 + +C 4 2 2 x2 +1

(

)

6 x 3 − 7 x 2 + 3x − 1 Пример 2.26 Вычислить интеграл ∫ dx 2 2 x − 3x

Решение. Подынтегральная дробь неправильная, выделим из нее целую часть, деля числитель на знаменатель: 3

− 3x 2 + 2 x − 2 x4 + 1 42 31

6 x − 7 x + 3x − 1 6x − 4x

⇒

целая часть

− 3x 2 + 3x − 1 − 3x 2 + 2 x −1 x{

числитель правильной дроби

6x 3 − 7 x 2 + 3x − 1 x −1 = − 2 x + 1 + . 2 x (2 − 3x ) 2 x − 3x

Последнюю

правильную разложим на сумму простейших дробей I и II типов

x −1 A B ⎛2 ⎞ , x − 1 = A⎜ − x ⎟ + Bx = + ⎛2 ⎞ x 2−x ⎝3 ⎠ x⎜ − x ⎟ 3 ⎠ ⎝3 2 2 При x = 0 получаем − 1 = A ⇒ A = − , 3 3 1 2 1 2 при x = получаем − = B ⇒ B = − . 3 3 3 2 Тогда

дробь,

как

⎞ ⎛ ⎜ 6 x − 7 x + 3x − 1 1 ⎜ 3 dx 1 dx ⎟⎟ dx = ∫ (− 2 x + 1)dx + − ∫ = − ∫ ∫ 3⎜ 2 x 2 2 ⎟ 2 x − 3x 2 −x⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝ ⎛2 ⎞ d⎜ − x ⎟ 1 1 3 ⎠ = − x 2 + x − 1 ln x + 1 ln 2 − x + C = − x 2 + x − ln x + ∫ ⎝ 2 2 6 2 6 3 −x 3 3

2.6 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В параграфах 2.6.1. - 2.6.3. рассматриваются типы интегралов от тригонометрических функций, которые после элементарных преобразований сводятся к табличным интегралам. 2.6.1 Интегралы от функций sin m x ⋅ cos n x, cos mx ⋅ cos nx, sin mx ⋅ sin nx .

Для нахождения интегралов от применяется тригонометрические формулы:

функции

указанного

вида

1 sin m x ⋅ cos n x = [sin(m + n )x + sin(m − n )x] 2 1 cos m x ⋅ cos n x = [cos(m + n )x + cos(m − n )x] 2 1 sin m x ⋅ sin n x = [cos(m − n )x − cos(m + n )x] 2 Пример 2.27 Вычислить интеграл ∫ sin 2 x cos 5xdx Решение.

1 1 [∫ sin 7 xdx − ∫ sin 3xdx ] = 2 2 1 ⎡1 1 1 ⎤ ⎤ 1⎡ 1 sin 7 xd ( 7 x ) sin 3 xd ( 3 x ) cos 7 x cos 3 x = − + − ∫ ∫ ⎥⎦ + c ⎥⎦ 2 ⎢⎣ 7 2 ⎢⎣ 7 3 3

∫ sin 2x cos 5xdx = ∫ [sin 7 x + sin( −3x )]dx =

2.6.2 Интегралы от функций sin x, cos x

Интегралы

четной степени синуса или косинуса ∫ sin xdx, ∫ cos xdx можно найти путем понижения степени (вдвое) по следующим тригонометрическим формулам: 2m

от

1 sin 2 x = (1 − cos 2x) 2

1 cos 2 x = (1 + cos 2x) 2 4

Пример 2.28 Вычислить интеграл ∫ cos xdx Решение. \ Понизим степень подынтегральной функции:

(

)

1 ⎛1 ⎞ 2 сos x = cos x = ⎜ (1 + cos 3x )⎟ = (1 + cos 2x ) = 4 ⎝2 ⎠ 1 1⎛ 1 ⎞ = 1 + 2 cos 2x + cos 2 2x = ⎜1 + 2 cos 2 x + (1 + cos 4x )⎟ = 4 4⎝ 2 ⎠ 1⎛3 1 ⎞ = ⎜ + 2 cos 2x + cos 4 x ⎟ , тогда 4⎝2 2 ⎠ 1 ⎛3 1 1⎛3 ⎞ 4 = cos xdx = + 2 cos 2 x + cos 4 x dx ⎜ ∫ dx + ∫ cos 2 xd (2x ) + ⎟ ⎜ ∫ ∫ 4 ⎝2 2 4⎝2 ⎠ 4

(

)

1 1⎞ + ⋅ ⎟ ∫ cos 4 xd (4 x ) = 2 4⎠

нечетной степени синуса или косинуса xdx , ∫ cos xdx можно найти путем отделения от неё множителя ∫ sin в первой степени и внесения его под знак дифференциала, т.е. 2 m +1

Интегралы

1⎛3 1 ⎞ ⎜ x + sin 2 x + sin 4 x ⎟ + С 4⎝2 8 ⎠

2 m +1

от

2 m sin 2 m +1 xdx = sin 2 m x ⋅ sin xdx 12 3 = −(sin x ) d (cos x ) = − d (cos x )

= −(1 − cos 2 x ) m d (cos x ) 2 m cos 2 m +1 xdx = cos 2 m x ⋅ cos xdx 1 42 4 3 = (cos x ) d (sin x ) = − d (sin x )

= −(1 − sin 2 x ) m d (sin x ) 5

Пример 2.29 Вычислить интеграл ∫ sin xdx

Решение. Сделаем преобразования подынтегрального выражения:

(

)

(

)

2 2 sin 5 xdx = sin 4 x ⋅ sin xdx 12 3 = − sin x d(cos x ) = − 1 − cos x d(cos x ) = − d (cos x ) 4

(

)

= − 1 − 2 cos 2 x + cos x d(cos x ) 5 2 4 2 xd(cos x ) − ∫ sin x dx = ∫ (2 cos x − 1 − cos x )d(cos x ) = 2∫ cos 144244 3 t 2 ⋅dt

2 cos 3 x cos 5 x − ∫ d(cos x ) − ∫ cos xd(cos x ) = − cos x − +C 424 3 1 424 3 1 3 5 t 4 dt dt 4

2.6.3 Интегралы от функций sin

x ⋅ cos n x (m, n – целые числа)

Рассмотрим следующие случаи: 1. Один из показателей m или n – нечетное положительное число . В этом случае применяются подстановки

cos x = t , если m - нечетное sin x = t , если n – нечетное 4

Пример 2.30 Вычислить интеграл ∫ sin x cos xdx Решение. m=4, n=5 – нечетное, полагая sin x = t , cos dx = dt , получаем

∫ sin ∫

∫

4 2 2 x cos 5 xdx = sin 4 x ⋅ cos 4 x ⋅ cos xdx 1 42 4 3 = sin x ⋅ (cos x ) d (sin x ) = d (sin x )

∫

sin 4 x (1 − sin 2 x ) 2 d (sin x ) = t 4 (1 − t 2 ) 2 dt = t 4 dt − 2 t 6 dt + t 8 dt =

t 5 2t 7 t 9 sin 5 x 2 sin 7 x sin 9 x = − + +c= − + +c 5 7 9 5 7 9 2. Оба показателя m и n – четные неотрицательные числа. Тогда следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригонометрических формул:

1 sin x cos x = sin 2x 3 1 sin 2 x = (1 − cos 2x) 2

100

1 cos 2 x = (1 + cos 2x ) 2

Пример 2.31 Вычислить интеграл ∫ sin x cos xdx Решение. 2

∫ ∫ ∫ sin 2 x 2 1 + cos 2 x 1 1 2 ) = + = ( [ ∫ sin 2 xdx + sin 2 x ( 1 cos 2 x ) dx dx ∫ 2 ∫ 8 8 2

sin 2 x cos 4 xdx = sin 2 x cos 2 x cos 2 xdx = (sin x cos x ) 2 cos xdx =

1 1 − cos 4 x 1 + sin 2 2 x cos 2xdx dx + sin 2 2 xd (sin 2 x )] = 1 42 4 3] = 8 [ 2 2 1

∫

d (sin 2 x )

1 1 sin 3 2 x 1 sin 4x sin 3 2 x = [ dx − cos 4 xd(4 x ) + ] = [x − + ]+ c 16 4 3 16 4 3 3. Показатели m и n – одинаковой четности (т.е. либо оба четные , либо оба нечетные), причем хотя бы один из них отрицателен. Здесь следует сtg x = t . Если один из показателей – применять подстановку tgx = t или нечетное положительное число, то лучше использовать подстановку sin x = t (или cos x = t ). dx Пример 2.32 Вычислить интеграл sin 3 x cos x Решение. m=-3, n= - 1 – оба отрицательные нечетные, воспользуемся подстановкой

∫

ctgx = t и формулой

1 = 1 + ctg 2 x : 2 sin x sin x dx

∫ sin 3 x cos x ∫ sin 4 x cos x ∫ sin 2 x ∫ ∫(

)

∫(

⋅

)

sin x dx ⋅ = 2 cos x sin 123x − d (cthx )

1 t2 ⎛1 ⎞ 2 1 = − 1 + ctg x ⋅ ⋅ d(ctgx ) = − 1 + t dt = − ⎜ + t ⎟dt = − ln t − + C = ctgx t 2 ⎝t ⎠ 2

∫

ctg 2 x = − ln ctgx − +C 2 4. Показатели m и n – числа различной четности, причем нечетный показатель является отрицательными. При нахождении таких интегралов используются специальные приемы, один из которых рассмотрим в следующем примере. dx Пример 2.33 Вычислить интеграл sin 3 x cos 4 x

∫

101

Решение. Запишем единицу в числителе следующим образом: 1 = (sin 2 x + cos 2 x ) 2 = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x , тогда

∫ sin 3 x cos 4 x = ∫

sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x sin 3 x cos 4 x

− d (cos x )

= +

6 474 8 sin x dx

∫ cos 4 x ∫

sin 2 x + cos 2 x

∫ sin x cos 2 x + ∫ sin 3 x = 3 cos3 x + 2∫ sin x + cos 2 x dx +

sin 2 x + cos 2 x sin 3 x

dx dx cos 2 x dx = dx = +2 +2 + + sin x sin x sin x 3 cos 3 x cos 2 x 1

∫

sin x dx

∫

2 dx cos 2 x = + +3 + dx = sin x 3 cos 3 x cos sin 3 x 1

∫

cos x

∫ sin 3 x

dx =

∫

u = cos x du = − sin x dx d (sin x ) 6 4 74 8 dv =

cos x dx

sin 3 x cos x 1 dx =− − 2 sin 2 x 2 sin x

∫

cos x dx

=−

cos x 2 sin 2 x

−

sin x

∫ 2 sin 2 xdx =

sin 3 x

∫

= =

1 3 cos 3 x 1 3 cos 3 x

2 dx cos x 1 dx +3 − − = cos x sin x 2 sin 2 x 2 sin x

2 cos x 5 dx 1 2 cos x 5 x − + = + − + ln tg + c cos x 2 sin 2 x 2 1sin x 2 3 cos 3 x cos x 2 sin 2 x 2 23

∫

интеграл10 втаблице

В следующем параграфе рассматриваются интегралы от тригонометрических функций, которые с помощью подстановок сводятся к интегралам от рациональных функций 2.6.4 Интегралы от рациональной функции R (sin x , cos x )

Интегралы

∫ R (sin x, cos x)dx ,

где R - рациональная функция,

приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций с помощью соответствующих подстановок, приведенных в следующей таблице 2.2. 102

Таблица 2.2. Используемые тригонометрические формулы

Четность, Подстановка нечетность функции R относительно sin x, cos x 1. cos x = t R (− sin x , cos x ) = − sin x ⋅ dx = dt = − R (sin x , cos x ) 2. sin x = t R (sin x , − cos x ) = cos x ⋅ dx = dt = −R (sin x , cos x ) tgx = t 3. x = arctgt R (− sin x , − cos x ) = dt = R (sin x , cos x ) dx = 1+ t2

4. Случаи выполняются

1-3

cos x =

sin x =

не Универсальная тригонометрическая подстановка x =t 2 x = 2arctgt 2dt dx = 1+ t2 tg

1 1 + tg 2 x tgx 2

1 1+ t2 t

1 + tg x 1+ t2 x 2 tg 2 = 2t sin x = x 1+ t2 1 + tg 2 2 x 1 − tg 2 2 2 = 1− t cos x = x 1+ t2 1 + tg 2 2

Универсальная подстановка используется и в случаях 1-3, но приводит к сложным вычислениям. Пример 2.34 Вычислить интеграл

∫

sin 3 x dx 4 + cos x

Решение.

sin 3 x R (sin x , cos x ) = . Проверим четность, нечетность функции 4 + cos x относительно sin x: (− sin x ) 3 sin 3 x R (− sin x , cos x ) = =− = −R (sin x , cos x ) , 4 + cos x 4 + cos x подынтегральная функция нечетна относительно синуса, тогда из первой строки таблицы следует целесообразность подстановки cos x = t , − sin x ⋅ dx = dt sin 3 x sin 2 x 1 − cos 2 x t2 −1 sin xdx dx = sin x dx = 3 = t + 4 dt = 4 + cos x 4 + cos x 4 + cos x 1−2 dt

∫

103

∫

t2 −1 − неправильная рациональная дробь t+4 t2 −1

t+4 t−4

= t 2 + 4t

− 4t − 1 4t − 16 15 15 t2 cos 2 x dt = = (t − 4 + − 4 t + 15 ln t + 4 + c = − 4 cos x + 15 ln(cos x + 4) + c t + 4) 2 2

∫

Пример 2.35 Вычислить интеграл

tgx

∫ 1 − ctg 2 x dx

Решение.

sin x cos x R (sin x , cos x ) = является четной относительно sin x и cos x , sin x 2 1− ( ) cos x dt тогда подстановка tgx = t , x = arctgt , dx = . 2 1+ t

t3 dt t 3 dt 1 d( t 4 − 1) tg 3 x tgx ⋅ =∫ 4 = ∫ 4 dx = ∫ 2 = dx = ∫ 2 ∫ 2 2 t −1 1+ t t −1 4 t −1 tg − x 1 − ctg x 1` 1 = ln t 4 − 1 + c = ln tg 4 x − 1 + c 4 4 dx Пример 2.36 Вычислить интеграл ∫ 3 + 5 cos x Решение.

1 не удовлетворяет строкам 1-3 таблицы 2.2, 3 + 5 cos x x воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой tg = t , 2 2dt x = 2arctgt , dx = . 2 1+ t Функция R =

104

∫

dx = 3 + 5 cos x

∫

1 3+ 5⋅

1− t

⋅

2dt 1+ t

1+ t2

= ∫ 8 − 2t 2 1 ∫442−43 2 t =

интегрл 13 втаблице

x +2 1 t+2 1 2 = ln + c = ln +c x 4 t−2 4 tg − 2 2 tg

2.7 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Иррациональные функции интегрируются в элементарных функциях только в некоторых определенных случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов от иррациональных функций, которые выражаются через элементарные функции. 2.7.1 Сведение иррациональных функций к рациональным

1. Интегралы вида функция, α =

α β ω ∫ R( x, x , x ,..., x )dx ,

где R – рациональная

m m1 m , β = 2 , …, ω = k - дробные рациональные числа, n1 n2 nk

сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки x = t N , где N – общий знаменатель дробей α, β,..., ω 2. Интегралы более общего вида

⎡ ⎛ ax + b ⎞ α ⎛ ax + b ⎞ β ⎛ ax + b ⎞ ω ⎤ рационализируются ⎟ ,⎜ ⎟ ,..., ⎜ ⎟ ⎥ dx , ∫ R ⎢ x, ⎜ + + + cx d cx d cx d ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ax + b = t N , где N – общий знаменатель дробей α, β,..., ω . подстановкой cx + d Пример 2.37 Вычислить интеграл

∫

x −2 dx 3 x ( x + 1)

Решение. Здесь x входит в подынтегральную функцию с дробными показателями

1 1 и β = , общий знаменатель которых N = 6 , следовательно, 2 3 6 5 6 3 3 6 2 подстановка x = t , откуда dx = 6 t dt , x = t = t , 3 x = t = t . α=

105

t3 − 2 t3 − 2 x −2 5 dx = ∫ 6 2 6 t dt = 6 ∫ 2 dt = ∫ 3 x ( x + 1) t ( t + 1) t ( t + 1) Получили интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть, правильную дробь разложим на сумму простейших дробей

t3 − 2

t3 + t

t3 + t 1 −t−2

t+2 A Bt + С A ( t 2 + 1) + (Bt + С) t = + 2 = t ( t 2 + 1) t t +1 t ( t 2 + 1) t 2 A + B = 0 ⇒ B = −2 t C =1 t0 A = 2

⎛ ⎞ t+2 ⎛ 2 1 − 2t ⎞ = 6∫ ⎜⎜1 − 2 dt ⎟⎟ = 6∫ ⎜1 − − 2 ⎟dt = t t t + 1 t + 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

d (t 2 +1) ⎞ ⎛ }⎟ ⎜ dt 2t dt ⎟ = 6⎜ t − 2 ln t − ∫ 2 +∫ 2 = 6 t − 2 ln t − arctgt + ln t 2 + 1 + C = ⎜ t + 1 t + 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 6 6 x − 2 ln 6 x − arctg6 x + ln 3 x + 1 + C

(

Пример 2.38 Вычислить интеграл

))

∫

x − 2 dx ⋅ x+2 x

Решение.

ax + b x − 2 входит в подынтегральную функцию = cx + d x + 2 1 с дробным показателем α = , знаменатель которой N = 2 , следовательно, 2 2 1+ t2 x−2 2 , откуда x = , подстановка t = x+2 1− t2 Функция

(

106

)

′ ′ ( 1 + t ) (1 − t ) − (1 + t )(1 − t ) dx = 2 ⋅ dt = (1 − t ) . 2t (1 − t ) − (1 + t )(− 2 t ) 8t dt = dt = 2⋅ (1 − t ) (1 − t ) 2

2 2

x − 2 dx 8t 2 Тогда ∫ =∫ x+2 x 1− t2

(

1− t2 t 2 dt dt = 4 ∫ ⋅ = 2 1+ t2 1− t2 1+ t2

) ( 2

)

(

)(

)

Получим интеграл от правильной рациональной дроби, которую можно было бы разложить на сумму простейших дробей A B Ct + D + + . Но предлагаем вычислить интеграл проще с 1− t 1+ t 1+ t2 помощью следующего искусственного приема , представив подынтегральную функцию в виде

(

) ( ) ( )( )

t2 1 2t 2 1 t2 +1+ t2 −1 1 t2 +1 − 1− t2 = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 1− t2 1+ t2 2 1− t2 1+ t2 2 1− t2 1+ t2 1− t2 1+ t2

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

⎞ 1⎛ 1 1⎛ t2 +1 1− t2 1 ⎞ ⎟ = ⎜⎜ − = − ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1− t2 1+ t2 1 − t 2 1 + t 2 ⎟⎠ 2 ⎝ 1 − t 2 1 + t 2 ⎠ 1 ⎛ 1 1 ⎞ dt ⎞ 1 1+ t ⎛ dt = 4 ⋅ ∫⎜ − dt = 2 − = 2 ⋅ ln − ⎟ ⎜ ⎟ ∫ ∫ 2 2 ⎝1 − t2 1 + t 2 ⎠ 2 1− t 1+ t2 ⎠ ⎝ 1− t

(

)(

) (

− 2 arctg t + C = ln

)(

)

x+2+ x−2 x−2 +C − 2 arct g x+2 x+2− x−2

2.7.2 Сведение иррациональных функций к тригонометрическим

В таблице 2.3 приведены интегралы от иррациональных функций и соответствующие подстановки, сводящие их к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций.

107

Интеграл

(

Подстановка

)

1. ∫ R x , a − x dx 2

(

)

2. ∫ R x , a + x dx 2

(

)

3. ∫ R x , x − a dx 2

Таблица 2.3 Тригонометрические преобразования подынтегральной функции

x = a ⋅ sin t dx = a ⋅ cos t dt

a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin 2 t = = a 1 − sin 2 t = a cos 2 t = = a cos t

x = a tgt a dx = dt cos 2 t

a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tg 2 t = = a 1 + tg 2 t = a

1 a = cos 2 t cos t

a a2 2 2 2 x a a − = − = sin t sin 2 t a cos t dx = − dt 1 − sin 2 t cos 2 t 2 sin t =a =a = sin 2 t sin 2 t a cos t = sin t x=

Пример 2.39 Вычислить интеграл

∫

(4 − x )

2 3

Решение. Данный интеграл типа 1 из таблицы 2.3 Воспользуемся подстановкой x = 2 sin t , dx = 2 cos t dt , следовательно

∫

(4 − x )

2 3

=∫

2 cos t dt

(4 − 4 sin t ) 2

= 2∫

cos t dt

(4 cos t ) 2

= 2∫

cos t dt 1 dt = ∫ = 8 cos 3 t 4 cos 2 t

1 = tgt + C. 4

Возвратимся к старой переменной x . Имеем

x 2 sin t sin t = = = 2 2 cos t 1 − sin t 1 − (x 2 ) dx x находим ∫ = + C. 3 2 4 4−x 4 − x2 tgt =

(

)

108

x 4−x

откуда

окончательно

x 2 + 16 Пример 2.40 Вычислить интеграл ∫ dx . x

Решение. Интеграл типа 2 из таблицы 2.3. Воспользуемся подстановкой x = 4 tgt ,

dx =

4 dt , следовательно cos 2 t 16 tg 2 t + 16 4 dt 4 tg 2 t + 1 dt x 2 + 16 ⋅ =∫ ⋅ = dx = ∫ ∫ x 4 tgt tg t cos 2 t cos 2 t 1 2 dt cos t ⋅ dt = 4 = 4∫ = ∫ sin t cos 2 t sin t cos 2 t cos t

Введем в числителе «тригонометрическую единицу» 1 = sin t + cos t , представим подынтегральную функцию в виде двух дробей 2

⎛ sin 2 t ⎞ sin 2 t + cos 2 t cos 2 t ⎜ dt 4 = 4∫ = + dt ⎜ sin t cos 2 t sin t cos 2 t ⎟⎟ = sin t cos 2 t ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎞ ⎛ 678 ⎟ ⎜ sin t dt dt ⎟ ⎜ d(cos t ) dt ⎟ ⎛ 1 t⎞ ⎜ = − =4 ∫ + 4 = 4 + 4 ln tg ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+C ∫ ∫ ∫ 2 sin t ⎟ ⎜ 14cos sin t cos t 2 t ⎜ cos 2 t ⎝ ⎠ 243 123 ⎟ ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎠ ⎜ ∫ dz =− 1 интеграл ⎝ из таблицы 1 2 z ⎝ ⎠ z −d (cos t )

Возвращаясь к исходной переменной x, имеем

tgt =

x 1 , cos t = = 4 1 + tg 2 t

sin t =

tgt 2

1 + tg t

x 2

x + 16 x

t sin t = = 2 1 + cos t x 2 + 16 1 + 4

(

x2 1+ 16

4 x 2 + 16

x + 16

)

x 2

4 + x + 16

x 2 + 16 x dx = x 2 + 16 + 4 ln + C. ∫ 2 x 4 + x + 16 109

, окончательно

Пример 2.41 Вычислить интеграл

∫

dx x3 x2 − 9

Решение.

Интеграл типа 3 из таблицы 2.3, сделаем подстановку x =

dx =

∫

3 , cos t

3 sin t dt , значит cos 2 t 3 sin t dt cos 3 t dx dt 1 dt sin t cos t =∫ ⋅ ⋅ = = ∫ 2 2 2 2 27 27 cos t x −9 9 cos t − 9 1 − cos t cos 2 t

1 cos 2 t 1 cos t 1 2 sin t cos t dt sin t cos t dt = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ cos t dt = 2 27 27 sin t 27 sin t 1 cos 2 t = (1 + cos 2 t ) 1 1 ⎛ sin 2 t ⎞ = = ∫ (1 + cos 2t )dt = ⎜ t + 2 ⎟ + C. 54 54 ⎝ 2 ⎠ см. 6.2

9 3 3 2 Т.к. x = , то cos t = , sin t = 1 − cos t = 1 − 2 = cos t x x 6 x2 − 9 3 , ,то t = arccos sin 2 t = 2 sin t cos t = x x2 1⎛ 3 3 x2 − 9 ⎞ dx ⎟⎟ + C = ⎜⎜ arccos + ∫ 3 2 2 x x x x − 9 54 ⎝ ⎠

x2 − 9 , x

2.7.3 Интегрирование дифференциальных биномов

Дифференциальным биномом называется выражение x

(a + bx ) dx , n p

где m, n , p – рациональные числа. Интеграл от дифференциального бинома m n ∫ x (a + bx ) dx приводится p

к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях, приведенных в таблице 2.4

110

Таблица 2.4 Значения m, n , p 1. p – целое число

Подстановка

x = tq , q – общий знаменатель дробей m и n a + bx n = t r , r – знаменатель дроби p

m +1 - целое число n m +1 3. + p – целое число n 2.

ax − n + b = t r , r – знаменатель дроби p

Пример 2.42 Вычислить интеграл

∫6

(

)

x −1

Решение.

Дифференциальный бином имеет вид x

−1 6

(− 1 + x )

1 3 −2

1 dx , m = − , 6

1 n = , p = −2 – целое число, т.е. имеет место первый случай интегрируемости, 3 6 5 подстановка x = t , dx = 6t dt и интеграл принимает вид dx 6t 5 dt t 4 dt =∫ = 6∫ = ∫6 3 2 2 2 2 2 x x −1 t t −1 t −1

(

)

(

)

После выделения целой части в полученной неправильной дроби имеем

⎛ ⎛ 2 t 2 − 1 ⎟⎞ 2 t 2 − 1 ⎞⎟ ⎜ ⎜ dt = 6 t + ∫ = 6∫ 1 + dt = 2 ⎟ 2 2 2 ⎟ ⎜ ⎜ t −1 ⎠ t −1 ⎝ ⎝ ⎠

(

)

(

)

Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей 2t 2 − 1

)

−1

A B C D + + + 2 t − 1 t + 1 (t − 1) (t + 1)2

2 t 2 − 1 = A(t − 1)(t + 1) + B(t + 1)(t − 1) + C(t + 1) + D(t − 1) 3 3 1 1 После решения системы получим A = , B = − , C = , D = , тогда 4 4 4 4 2

111

⎛ 3 dt 3 dt 1 dt 1 dt ⎞ ⎟= = 6 t + 6⎜⎜ ∫ − ∫ + ∫ + ∫ 2 2 ⎟ 4 (t + 1) ⎠ ⎝ 4 t − 1 4 t + 1 4 (t − 1) 3⎛ 1 1 ⎞ 9 t −1 3t = 6 t + ⎜ 3 ln t − 1 − 3 ln t + 1 − − − 2 + C, ⎟ + C = 6 t + ln 2 t +1 t −1 2⎝ t − 1 t + 1⎠ где t = 6 x . 3 4 3 ∫ x 1 + x dx

Пример 2.43 Вычислить интеграл Решение.

Имеем m =

1 3 1 , n = , p = . Таким образом 2 4 3

m +1 1 2 +1 3 2 = = = 2 - целое число, значит имеет место второй случай 34 34 n интегрируемости, следовательно применяем подстановку 1 + x 3 4 = t 3 , где

(

)

r = 3 – знаменатель дроби p , откуда x = t 3 − 1 , x = t 3 − 1 13 13 4 dx = t 3 − 1 3t 2 dt = 4 t 2 t 3 − 1 dt , интеграл имеет вид 3

(

)

(

)

3 4 3 3 ∫ x 1 + x dx = ∫ t − 1

(

)

(

23 3

)

⋅ t 3 ⋅ 4t 2 t 3 − 1

(

)

dt = 4 ∫ t 3 − 1 t 3 dt =

)

⎛ t7 t4 ⎞ 4 3 = 4 ∫ t − t dt = 4⎜⎜ − ⎟⎟ + C = t 7 − t 4 + C, где t = 1 + 4 x 3 7 ⎝7 4⎠ 6

1+ x3 Пример 2.44 Вычислить интеграл ∫ dx x2 Решение.

1 и 3

Здесь m = −2 , n = 3 , p =

− 2 +1 1 1 1 m +1 +p= + = − + = 0 – целое число. Имеет место третий случай n 3 3 3 3 интегрируемости, тогда полагаем x −3 + 1 = t 3 , где r = 3 – знаменатель дроби p , −4

−4

откуда − 3x dx = 3t dt , т.е. x dx = − t dt . Преобразуем данный интеграл −2

∫ x (1 + x ) dx = ∫ x 3

(

)

−4 = ∫ x13 2 ⋅ x3 x −3 + 1 x −1

−2

[x (x 3

−3

(

+ 1)

]

−1

dx = ∫ x ( x

)

−3

+ 1) 3 dx =

(

)

−1

dx = ∫ x 3 x −3 + 1 3 x −4 dx = − ∫ t 3 − 1 t ⋅ t 2 dt = 14243 123 t3

− t 2 dt

112

1 1 t3 −1+1 t 3 dt − 1)dt = = −∫ 3 dt = − ∫ (1 + 3 )dt = ∫ ( dt = − ∫ 3 3 1− t t −1 t −1 t −1

1 1 A Bt + C = = + 1 − t 3 (1 − t )(1 + t + t 2 ) 1 − t 1 + t + t 2 1 = A(1 + t + t 2 ) + (Bt + C)(1 − t ) 1 t2 A − B = 0 ⇒ A = B = 3 t

A + B − C = 0 ⇒ A + A −1+ A = 0 ⇒ A =

t0 A + C = 1 ⇒ C = 1− A =

2 3

1 3

1 3 ( 2 t 1 ) + + ⎛ ⎞ t+2 1 1 2 dt − 1 ln 1 − t − t + C = = ∫ ⎜⎜ 2 + − 1⎟⎟dt = ∫ 2 2 3 3 t + t +1 ⎝ 3( t + t + 1) 3(1 − t ) ⎠ d (t 2 + t +1) 6 4 74 8 1 1 (2t + 1)dt 1 dt = ∫ 2 + ∫ − ln 1 − t − t + C = t 1 1 6 t + t +1 2 2 3 t + 2 ⋅ + − +1 4 4 142243 ⎛ 1⎞ ⎜ t+ ⎟ ⎝ 2⎠

1 d( t + ) 1 1 1 2 = ln( t 2 + t + 1) + ∫ − ln 1 − t − t + C = 2 2 3 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ 6 ⎜ ⎟ + + t ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 3 1+ x3 1 1 2t + 1 1 2 = ln( t + t + 1) + arctg − ln 1 − t − t + C , где t = 6 3 x 3 3

113

2.8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенные и несобственные интегралы служат для вычисления различных величин. Суть общего метода вычисления этих величин заключается в следующем: - искомая величина разбивается на большое число малых элементов; - вычисляется приближенное значение (главная часть) каждого элемента и путем их суммирования находится приближенное значение всей искомой величины в виде интегральной суммы; - находится предел этой интегральной суммы, который и дает точное значение искомой величины.

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция y = f (x ) . Разделим

отрезок [a; b] на n частей произвольным образом точками: a = x 0 < x 1 < K

K < x n −1 < x n = b . На каждом элементарном отрезке [x i −1 ; x i ] выберем

произвольную точку ξ i и вычислим значение функции y = f (x ) в этой точке,

то есть f (ξ i ) . Вычислим произведения f (ξ i ) ⋅ Δx i (где Δx i = x i − x i −1 ) для всех

i = 1,2, K, n и затем составляем сумму S n = ∑ f (ξ i ) ⋅ Δx i , которая i =1

называется интегральной суммой для y = f (x ) на [a; b]. Обозначим через

max Δx i длину наибольшего частичного отрезка для данного разбиения и

продолжим процесс разбиения отрезка [a; b] так, чтобы max Δx i → 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 Если существует и конечен предел интегральной

суммы S n при max Δx i → 0 , не зависящий от ни от способа разбиения

отрезка [a; b], ни от выбора точек ξ i , то этот предел называют определенным интегралом от функции y = f (x ) на [a; b] и обозначают следующим образом:

lim

max Δx i

i =1

∑ f (ξ i ) ⋅ Δx i = ∫ f (x )dx , →0

(2.1)

где числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,

[a; b]

промежутком

интегрирования,

f (x ) −

подынтегральной функцией, x − переменной интегрирования. Свойства определенного интеграла 1. При перестановке пределов изменяется знак интегрирования: b

∫ f (x ) dx = − ∫ f (x ) dx .

(2.2)

114

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен 0: a

∫ f (x ) dx = 0 .

(2.3)

3. Отрезок интегрирования можно разбить на части: b

∫ f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f (x )dx .

(2.4)

4. Постоянный множитель можно выделить за знак интеграла: b

∫ c ⋅ f (x ) dx = c ⋅ ∫ f (x ) dx .

(2.5)

5. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций: b

∫ (f (x ) + g(x )) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ g(x ) dx .

(2.6)

Оценки определенного интеграла b

∫ f (x ) dx ≤ ∫ f (x ) dx .

(2.7)

2. Если на отрезке [a; b] функции y = f (x ) и y = g(x ) удовлетворяют

условию f (x ) ≥ g (x ) , тогда b

∫ f (x ) dx ≥ ∫ g(x ) dx .

(2.8)

3. Если m и M − наименьшее и наибольшее значения непрерывной на

отрезке [a; b] функции y = f (x ) , то b

m ⋅ (b − a ) ≤ ∫ f (x ) dx ≤ M ⋅ (b − a ) .

(2.9)

2.8.1 Вычисление определенного интеграла

Теорема 2.1 (Формула Ньютона – Лейбница). Если функция y = f (x )

непрерывна на отрезке [a; b] и F(x ) − первообразная функции f (x ) на [a; b], то b

∫ f (x ) dx = F(x ) a = F(b ) − F(a ) . b

115

(2.10)

Теорема 2.2 (Замена переменной). Пусть дан определенный интеграл b

∫ f (x ) dx ,

где f (x ) − непрерывная функция на отрезке [a , b]. Тогда, если

функция x = ϕ(t ) непрерывна вместе со своей производной ϕ′(t ) на отрезке

[α; β] (здесь ϕ(α ) = a; ϕ(β) = b ), то имеет место формула β

∫ f (x ) dx = ∫ f (ϕ(t )) ⋅ ϕ′(t ) dt .

(2.11)

Теорема 2.3 (Интегрирование по частям). Пусть u = u (x ) и v = v(x ) −

дифференцируемые функции на отрезке [a; b], тогда b

∫ u (x ) ⋅ dv(x ) = u (x ) ⋅ v(x ) a − ∫ v(x ) ⋅ du (x ) . b

(2.12)

Пример 2.45 Вычислить ∫ x dx 1

Решение.

x2 ∫ x dx = 2 1 2

1 2 2 12 = − = 2 − = 1,5 2 2 2 R

Пример 2.46 Вычислить

2 2 ∫ R − x dx

Решение. Сделаем

замену

переменной

величины:

x = R ⋅ sin t ⇒

⇒ dx = d(R ⋅ sin t ) = R ⋅ d(sin t ) = R ⋅ cos t ⋅ dt

Так как исходный интеграл вычисляется на отрезке x ∈ [0; R ] , то при

x = 0 , R ⋅ sin t = 0 ⇒ t = 0 и при x = R , R ⋅ sin t = R ⇒ sin t = 1 ⇒ t = Далее воспользуемся формулой (2.11): R

π2

2 2 2 ∫ R − x dx = ∫ R − R ⋅ sin t ⋅ R ⋅ cos t ⋅ dt =

116

π . 2

π2

так как 1 + cos 2 t =

= ∫ R 1 − sin t ⋅ R ⋅ cos t dt = R 2 ⋅ ∫ cos 2 t dt = = 2 cos 2 t ⇒ cos 2 t = = 0 0 1 = (1 + cos 2 t ) 2 2 π2 ⎞ R2 ⎛ π R2 ⎛π 2 R2 π 2 ⎞ πR = ⎜⎜ ∫ dt + ∫ cos 2 t dt ⎟⎟ = . ⎜ + 0⎟ = ∫ (1 + cos 2t )dt = 2 ⎝2 4 2 0 2 ⎝ 0 ⎠ 0 ⎠ e 1 + ln x Пример 2.47 Вычислить ∫ dx 3x 1

Решение. Сделаем

y = 1 + ln x . При x =1 y = 1 + ln 1 = 1 + 0 = 1; при x = e y = 1 + ln e = 1 + 1 = 2 ; из выражения замену

переменной

( )

y = 1 + ln x находим x и dx : ln x = y − 1 ⇒ x = e y −1 , dx = d e y −1 = = e y −1 ⋅ dy . Подставим в исходный интеграл: 2 12 1 ⎛⎜ y 2 y 1 + ln x y −1 ⋅ e dy = ∫ y dy = dx = ∫ ∫ y −1 31 3⎜ 2 3x 1 1 3⋅e ⎝ 1⎛ 1⎞ 1 = ⎜2 − ⎟ = . 3⎝ 2⎠ 2 e

⎞ 1 ⎛ 2 2 12 ⎞ ⎟= ⎜ − ⎟= ⎟ 3 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 1 ⎠ 2

π3

Пример 2.48 Вычислить Решение. Применим

формулу

x dx ∫ 2 π 4 cos x интегрирования

по

частям

(2.12):

dx ⇒ du (x ) = dx , v(x ) = tg x . Итак, по формуле cos 2 x π3 π3 x dx π π π π π3 π3 = x ⋅ tg x − tgx ⋅ dx = ⋅ tg − ⋅ tg + ln cos x = ∫ ∫ 2 π4 π4 3 3 4 4 cos x π4 π4

u (x ) = x; dv(x ) =

⎛ 3 1⎞ 1 π π π π ⋅ 3 − + ln cos − ln cos = π⎜⎜ − ⎟⎟ − ln 2 + ln 2 = 3 4 3 4 2 ⎝ 3 4⎠ ⎛ 3 1⎞ 1 = π⎜⎜ − ⎟⎟ − ln 2 3 4⎠ 2 ⎝ =

117

Пример 2.49 Вычислить ∫ ln x ⋅ dx 1

Решение. Применяя

формулу

(2.12),

u (x ) = ln x;

получаем

1 dx; v(x ) = x x e e 1 e e ∫ ln x dx = 1 = x ⋅ ln x 1 − ∫ x ⋅ dx = e ⋅ ln e − 1 ⋅ ln 1 − x 1 = e − e + 1. x 1 1

dv(x ) = dx ⇒ du (x ) =

π6

Пример 2.50 Вычислить

2x ∫ e ⋅ sin 3x dx = J 0

Решение. Используя

формулу

(2.12),

полагаем:

u (x ) = e 2 x ;

1 dv(x ) = sin 3x dx ⇒ du (x ) = 2 ⋅ e 2 x ⋅ dx; v(x ) = − cos 3x; 3 π6 1 2x 2 π 6 2x π6 2x ∫ e ⋅ sin 3x dx = − e ⋅ cos 3x 0 + ∫ e cos 3x dx = 3 3 0 0 1⎛ π 3 1 2 π 6 2x π 0 ⎞ 2 π 6 2x = − ⎜ e ⋅ cos − e ⋅ cos 0 ⎟ + ∫ e ⋅ cos 3x dx = + ∫ e ⋅ cos 3xdx . 3⎝ 2 3 3 0 ⎠ 3 0 Получили интеграл, аналогичный исходному интегралу, поэтому вновь применяем формулу (2.12). Как и в первоначальном интеграле, полагаем

1 u (x ) = e 2 x , dv(x ) = cos 3x dx ⇒ du = 2 e 2 x dx; v(x ) = sin 3x . Итак: 3 π6 ⎞ 1 2 ⎛ 1 2x 2 π 6 2x π6 2x ∫ e ⋅ sin 3x dx = + ⎜⎜ e ⋅ sin 3x 0 − ∫ e ⋅ sin 3xdx ⎟⎟ = 3 3⎝3 3 0 0 ⎠ π π6 ⎞ 1 3 ⎛⎜ 3 π 0 = + e ⋅ sin − e ⋅ sin 0 − 2 ∫ e 2 x ⋅ sin 3x dx ⎟ = ⎟ 3 9 ⎜⎝ 2 0 ⎠

1 2 π 3 4 π 6 2x = + e − ∫ e ⋅ sin 3x dx . В результате мы получим рекуррентную 3 9 9 0 1 2 π3 4 формулу для исходного интеграла, то есть J = + e − J ⇒ 3 9 9 3 1 π3 4 1 2 13 1 2 ⇒ J + J = + eπ 3 ⇒ J = + e π 3 , то есть J = + e . 9 3 9 9 3 9 13 13 118

π6

Ответ:

2x ∫ e ⋅ sin 3x dx =

3 1 π3 + e . 13 13

π3

Пример 2.51 Вычислить

dx . ∫ 6 cos x 0

Решение. Применяя замену переменной: y = tgx ⇒

1 dx . По формуле из школьной тригонометрии: cos 2 x 2 1 1 2 1 tg x . При x = 0 y = tg 0 = 0; при 1 + tg 2 x = ⇒ = + 2 4 cos x cos x π π x = y = tg = 3 . Подставляем в исходный интеграл: 3 3 π3 π3 3 dx 1 1 2 2 = ⋅ dx = 1 + y ⋅ dy = ∫ ∫ ∫ 6 4 2 0 cos x 0 cos x cos x 0 ⇒ dy = d(tg x ) =

(

)

(

)

⎛ 2y 3 y 5 ⎞ 9 2 4 3 = 4,8 3 . = ∫ 1 + 2 y + y dy = ⎜⎜ y + + ⎟⎟ = 3 + 2 3 + 3 5 5 0 ⎝ ⎠0 3

(

)

π4

sin 5 x Пример 2.52 Вычислить ∫ dx 6 0 cos x Решение. π4

π4 sin 4 x ⋅ sin x sin 4 x dx = − ∫ d(cos x ) = ∫ 6 cos 6 x 0 0 cos x

cos x = t = cos

x = t

2 2

= −

1 − t 2 = 1 − cos

x = sin

∫ 1

(1 − t ) dt 2

по ф . ( 2 . 2 ) =

1 1 1 1 1 − 2t 2 + t 4 1 1⎞ ⎛1 −6 −4 = ∫ dt = ∫ ⎜ 6 − 2 4 + 2 ⎟dt = ∫ t dt − 2 ∫ t dt + ∫ t − 2 dt = 6 t t t ⎠ 2 2 2 2⎝ t 2 2 2 2 2 2 1

t −5 = −5

2 2

t −3 −2 −3

2 2

t −1 + −1

2 2

5 3 1 ⎛⎜ ⎛ 2 ⎞ ⎞⎟ 2 ⎛⎜ ⎛ 2 ⎞ ⎞⎟ = − 1− ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟− ⎜ 5⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ 3⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

119

(

) (

)

2 ⎞ 1 2 1 2 4 ⎛ − ⎜1 − 2− ⎟ = − 1− 4 2 + 1− 2 2 − 1− 2 = − + −1+ 5 3 5 3 5 2 ⎝ ⎠ 8 7 4 2. 2+ 2=− − − 15 15 3 2.9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2 Определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных (на промежутке интегрирования) функцией называются несобственными. 2.9.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

y = f (x ) интегрируема на отрезке

Пусть функция

[a; b].

Тогда

lim ∫ f (x ) dx называют несобственным интегралом от функции f (x ) в

b →∞ a

∞

∫ f (x ) dx .

пределах от a до ∞ и обозначают

Аналогично определяются

несобственные интегралы для других бесконечных интервалов. Таким образом, ∞

∫ f (x ) dx = blim ∫ f (x ) dx . →∞

(2.16)

−∞

∞

−∞

∫ f (x ) dx = alim ∫ f (x ) dx . → −∞

(2.17)

∫ f (x ) dx = alim ∫ f (x ) dx + blim ∫ f (x ) dx . → −∞ → +∞

(2.18)

Если указанные пределы существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися. В противном случае интегралы называются расходящимися. При исследовании несобственных интегралов на сходимость в ряде случаев могут быть полезными следующие признаки сходимости. Признак сравнения. Если для всех x ≥ a выполняется неравенство ∞

0 ≤ f (x ) ≤ g(x ) , то из сходимости интеграла ∫ g(x ) d следует сходимость a

120

интеграла ∞

∫ f (x ) dx

∞

∫ f (x ) dx , причем ∫ f (x ) dx ≤ ∫ g(x ) dx . Из расходимости интеграла ∞

следует расходимость интеграла ∫ g(x ) dx . a

∞

Признак абсолютной сходимости. Если интеграл

∫ f (x ) dx

сходится,

a ∞

то сходится и интеграл ∫ f (x ) dx a

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся. Пример 2.53 Исходя из определения несобственных интегралов с бесконечными пределами, установить, сходятся или расходятся следующие интегралы: ∞

∞ ∞ ∞ 2 x dx dx dx ; б) sin x dx ; в) ; г) а) ∫ ∫ ∫ 2 ∫ 2 . 2 2 x ln x 0 −∞ x + 2 x + 2 −∞ x + 1

Решение. а) По формуле (2.16) имеем: b b dx dx d(ln x ) ⎛ 1 ⎞ = = = lim lim lim ⎜− ⎟ = ∫ ∫ ∫ 2 2 b →∞ b →∞⎝ ln x ⎠ b →∞ x ln 2 x x ln x ln x 2 2 2 2 b

∞

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎟⎟ = ⎜ − + = lim ⎜⎜ − + . ⎟= b →∞ ∞ ln b ln 2 ln 2 ln 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ конечное число, то интеграл сходится. б) По формуле (2.16) имеем: ∞

(

Поскольку

мы

получили

)

− cos x 0 = lim (− cos b + cos 0 ) = ∫ sin x dx = blim ∫ sin x dx = blim →∞ →∞ b →∞ b

= lim (1 − cos b ) . Так как при b → ∞ cos b предела не имеет, то по b →∞

определению в этом случае интеграл расходится. в) По формуле (2.18) представим данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов: ∞

0 ∞ dx dx dx = + = ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 0 x + 2x + 2 −∞ x + 2 x + 2 −∞ x + 2 x + 2 0 b 0 dx dx d(x + 1) = lim ∫ 2 + lim ∫ 2 = lim ∫ + a → −∞ (x + 1)2 + 1 b →∞ x + 2 x + 2 a → −∞ x + 2 x + 2 a 0 a

121

d(x + 1)

+ lim ∫ a → −∞

(

)

(

)

= lim arctg(x + 1) a + lim arctg(x + 1) 0 = 0

(x + 1) + 1 = lim (arctg(0 + 1) − arctg(a + 1)) + lim (arctg(b + 1) − arctg(0 + 1)) = a → −∞ b →∞ 2

a → −∞

b →∞

π π ⎛ π⎞ π − arctg(− ∞ ) + arctg(+ ∞ ) − = −⎜ − ⎟ + = π < ∞ . 4 4 ⎝ 2⎠ 2 ∞ dx несобственный интеграл ∫ 2 сходится. x + 2 x + 2 −∞ =

г) Аналогично предыдущему случаю:

(

)

Итак,

(

)

∞ 2x dx 0 2x dx ∞ 2x dx d x2 +1 ∞ d x2 +1 . = ∫ 2 +∫ 2 =0∫ +∫ 2 ∫ 2 2 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 −∞ −∞ −∞ 0 0 ∞

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

(

)

(

)

(

)

0 d x2 +1 d x2 +1 ⎛⎜ ln x 2 + 1 0 ⎞⎟ = lim lim = = ∫ 2 ∫ a ⎠ a → −∞ a x 2 + 1 a → −∞⎝ −∞ x + 1 0

(

( )) d (x + 1) d (x = lim

= lim ln 1 − ln a 2 + 1 = 0 − ln ∞ = −∞ ; a → −∞

∞

∫

x +1 2

( (

)

(

)

+1 ⎛⎜ ln x 2 + 1 b ⎞⎟ = lim = ∫ 0⎠ b →∞ 0 x 2 + 1 b →∞ ⎝ b

)

= lim ln b 2 + 1 − ln 1 = ln ∞ = ∞ . b →∞

Так как каждый из последних интегралов расходится, то и исходный ∞

интеграл

2x dx − расходится. 2 + x 1 −∞

∫

Пример 2.54 Используя признаки интегралов, исследовать на сходимость:

(

)

сходимости

∞ ∞ sin x ln x 2 + 1 x 13 dx ; б) ∫ dx ; в) а) ∫ ∫ 2 dx . 3 5 3 x π2 x 1 1 x + x +1

∞

(

Решение.

(

)

ln x 2 + 1 ln x 2 2 ln x а) Для x ≥ 1 имеем > = . x x x ∞ ∞ 2 ln x ln x 2 + 1 Итак имеем ∫ dx > ∫ dx x x 1 1

(

)

122

несобственных

∞

∞ ∞ b ln x dx = −2 ∫ ln x d(ln x ) = 2 lim ∫ ln x d(ln x ) = 2 lim ⎛⎜ ln 2 x ⎞⎟ = 2∫ 1 ⎠ b →∞ b →∞ ⎝ 1 x 1 1

(

)

= 2 lim ln 2 b − ln 2 1 = 2 ln 2 ∞ = ∞ − расходится, значит интеграл от большей b →∞

функции и подавно расходится

x ≥ 1 имеем

б) При

x 13

∞

∫

x 13 5

x 13

) (x )

+ x3 +1

5 3

1 . Значит имеем x2

dx . Исследуя на сходимость больший интеграла, то 2 1x

dx < ∫ 3

)

+ x3 +1

∞

b dx dx ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ есть ∫ 2 = lim ∫ 2 = lim ⎜ − ⎟ = lim ⎜ − + 1⎟ = 0 + 1 = 1 < ∞ это значит, b →∞ 1 x b →∞ ⎝ x ⎠1 b → ∞ ⎝ b ⎠ 1x

что больший интеграл сходится, значит меньший интеграл и подавно сходится. ∞

в)

sin x ∫ 2 dx . Подынтегральная функция на интервале π2 x

знакопеременной, поэтому выясним сходимость

sin x ≤ 1 , то

sin x x2

∞

sin x

π2

∫

⎡π ⎤ ⎢⎣ 2 ; ∞ ⎥⎦ является

dx . Но так как

∞ sin x ∞ 1 1 dx ≤ dx . ≤ 2 и тогда ∫ ∫ 2 2 x x x π2 π2 ∞

Больший интеграл

dx − сходится (в этом не трудно убедиться, 2 π2x

∫

вычислив его по формуле (2.16)), значит меньший интеграл также сходится, то ∞

тогда

sin x dx сходится абсолютно. 2 π2 x

∫

2.9.2 Интеграл от неограниченных функций

Если функция y = f (x ) определена и непрерывна при x ∈ [a; b] и имеет

бесконечный разрыв в точке x = b , то есть lim f (x ) = ∞ , то по определению x →b

полагают

123

b −ε

∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx . ε →0

(2.19)

Аналогично определяются несобственные интегралы, если функция

y = f (x ) терпит бесконечный разрыв в точке x = a или в некоторой внутренней точке x = c , где a < c < b : b

∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx . ε →0 a

a +ε

С − ε1

(2.20) b

∫ f (x )dx = εlim ∫ f (x )dx + εlim ∫ f (x )dx . →0 →0

(2.21)

С+ε2

Если указанные пределы существуют и конечны, то соответствующие им несобственные интегралы от разрывных функций называются сходящимися, в противном случае – расходящимися. Для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от неограниченной функции обычно используются признаки сходимости, аналогичные признакам сходимости для несобственных интегралов с бесконечными пределами. Пример 2.55 Вычислить несобственные интегралы или установить их π2

расходимость: а)

∫ sin

3 6 dx 1 1 dx ⋅ 2 ⋅ dx ; б) ∫ ; в) ∫ 2 2 x x 2 3 (4 − x ) 1 4x − x − 3

Решение. а) При x = 0 подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв, так

как при x → 0 y = sin

1 1 − есть ограниченная функция, а y = 2 → ∞ . x x

Произведение ограниченной функции на бесконечно-большую функцию есть бесконечно

большая

функция,

значит

1 1 ⎞ ⎛ lim⎜ sin ⋅ 2 ⎟ = ∞ . x → 0⎝ x x ⎠

Поэтому

вычисляем интеграл по формуле (2.20) π2 ⎛ 1 1 ⎛1⎞ 1 1 ⎜ = − − lim cos ⋅ ⋅ = − ⋅ d dx lim sin sin ⎜ ⎟ ∫ ∫ ε →0 0 + ε ε →0 ⎜ x x ⎝x⎠ x x2 0 ⎝

π2

⎞ ⎟= ⎟ 0+ ε ⎠

2 1⎞ 2 1 ⎛ = − lim⎜ − cos + cos ⎟ = cos − lim cos ε →0 ⎝ π ε →0 ε π ε⎠ Так как последний предел не существует, то исходный интеграл расходится. 124

б) Подынтегральная функция y =

терпит бесконечный

4x − x − 3

разрыв при x = 1 и x = 3 , поэтому используем формулу (7.34): 3

∫

4x − x − 3

=∫

. Вместо точки x = 2

4x − x − 3 можно было взять любую другую точку из интервала (1;3) 1

4x − x − 3

+∫

Выясним сходимость каждого из вновь полученных интегралов: 2

∫

4x − x − 3

d (x − 2 )

1+ ε

1 − (x − 2 )

= lim ∫ ε →0

(

)

= lim arcsin (x − 2) 1+ ε =

ε →0

⎛ π⎞ π = lim(arcsin 0 − arcsin(1 + ε − 2 )) = − arcsin(− 1) = −⎜ − ⎟ = ; ε →0 ⎝ 2⎠ 2 3 3− ε d (x − 2 ) dx 3− ε = lim ∫ = lim arcsin (x − 2 ) 2 = ∫ 2 2 ε →0 2 ε →0 2 4x − x − 3 1 − (x − 2 )

(

= lim(arcsin(3 − ε − 2) − arcsin 0) = arcsin 1 = ε →0

Итак,

∫

dx 4x − x 2 − 3

)

π 2

π π + = π , то есть интеграл сходится. 2 2

в) Подынтегральная функция y =

1 3

(4 − x )

терпит бесконечный разрыв

в точке x = 4 , которая является внутренней точкой интервала интегрирования

[2;6]. По формуле (2.21): 6

(4 − x )

∫3 6

− lim ∫ (4 − x ) ε →0 2

4+ ε 2

2 − 3

=∫

(4 − x )

+∫

4 − ε1

(4 − x )

1 ⎛ ⎜ (4 − x )3 d(4 − x ) = − lim ⎜ ε1 →0 ⎜ 13 ⎝

= − lim ∫ (4 − x ) ε →0

4 − ε1

−

2 3d

(4 − x ) −

ε1 →0

1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ (4 − x )3 ⎟ − εlim ⎜ →0 ⎟ 2 ⎜ 13 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟= ⎟ 4+ ε 2 ⎠

1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 3 − 3 lim ⎜ (ε1 )3 − 2 ⎟ − 3 lim ⎜ (− 2 )3 − (− ε 2 )3 ⎟ = −3⎜ − 2 3 ⎟ − 3⎜ − 2 3 ⎟ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ε1 →0⎜ ε 2 → 0⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

1 3⋅ 23

1 + 3⋅ 23

= 6 3 2 , значит интеграл сходится 125

Пример 2.56 Исследовать на сходимость интегралы, используя признаки 1

сравнения а)

1 x dx . x

1 cos

dx ; б) ∫ 2 0 x (x − 5 ) 0

∫

Решение.

dx терпит бесконечный разрыв 2 x (x − 5 ) при x = 0 и x = 5 . Но точка x = 5 не принадлежит интервалу интегрирования, а точка x = 0 является левой границей интервала Подынтегральная функция y =

интегрирования. Перепишем интеграл в следующем виде: 1

1 1 dx dx dx = = − . ∫ 2 ∫ 3 ∫ 2 2 3 ( ) x x − 5 x − 5 x 5 x − x 0 0 0

Для

x ∈ [0;1]

5x 2 − x 3 > 0

5x 2 − x 3 < 5x 2 .

Поэтому

1 1 1 1 dx dx > , тогда > . Исследуем на сходимость ∫ ∫ 2 3 2 2 3 2 5x − x 5x 0 5x − x 0 5x

меньший

интеграл:

1 1⎞ 1 1 dx 1 1 ⎛ −1 1 ⎞ 1 ⎛ −2 lim x dx lim⎜ − x = ⎜−1+ ⎟ = = = ⎟ ∫ 2 ∫ 0+ ε ⎠ 50 x 5 ε →0 0 + ε 5 ε →0 ⎝ 5⎝ 0⎠

1 + ∞ = ∞. 5

Итак, меньший интеграл расходится, значит больший интеграл и подавно расходится.

⎛1⎞ cos ⎜ ⎟ 1 ⎝ x ⎠ dx . Для x ∈ (0;1] имеет место следующее соотношение б) ∫ x 0 ⎛1⎞ ⎛1⎞ cos⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ 1 1 1 dx x⎠ ⎝x⎠ ⎝ ≤ . Тогда ∫ . Исследуем на сходимость dx ≤ ∫ x x x x 0 0 1 ⎛ 12 dx x = lim ∫ ⎜ ∫ ε →0 0 + ε ⎜ 1 2 0 x ⎝

больший

интеграл:

⎞ ⎟ = 2 lim⎛⎜ x 1 ⎞⎟ = 2(1 − 0) = 2 , ε⎠ ⎟ ε →0 ⎝ 0+ ε ⎠

значит больший интеграл сходится, тогда меньший интеграл и подавно

126

⎛1⎞ cos ⎜ ⎟ 1 ⎝ x ⎠ dx сходится сходится. А отсюда вытекает, что исходный интеграл ∫ x 0 абсолютно. 2.10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2.10.1 Вычисление площади плоской фигуры

Если на отрезке [a; b] функция y = f (x ) непрерывна и положительна, то

площадь криволинейной трапеции с основанием [a; b], ограниченной сверху графиком этой функции, вычисляется по формуле b

S = ∫ f (x )dx = ∫ y dx . a

(2.22)

Если на отрезке [a; b] функция y = f (x ) непрерывна и отрицательна, то площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле b

S = ∫ f (x ) dx = ∫ y dx . a

(2.23)

Можно вычислить S = ∫ f (x )dx без модуля, но затем результат взять по a

модулю.

Если непрерывная и положительная функция x = ϕ(y ) определена на

отрезке [c, d ], то площадь криволинейной трапеции с основанием [c, d ] и

ограниченной графиком функции x = ϕ(y ) , вычисляемые по формуле d

S = ∫ ϕ(y ) dy = ∫ x ⋅ dy .

(2.24)

Если площадь ограничена кривой, заданной в полярной системе

координат уравнением ρ = ρ(ϕ) , тогда площадь фигуры, ограниченной дугой

кривой ρ = ρ(ϕ) и двумя лучами ϕ = α и ϕ = β , то есть площадь криволинейного сектора S OAB вычисляется по формуле:

127

1β 2 S = ∫ ρ (ϕ) dϕ 2α Пример 2.57 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y 2 = 2x + 1 и y − x + 1 = 0 . Решение. Вычислим координаты точек A и B , то есть точек пересечения графиков 2

функций y = 2 x + 1 и y = x − 1. Подставим x из второго уравнения

x = y + 1 в первое уравнение: y 2 = 2(y + 1) + 1 = 2 y + 3 или y 2 − 2 y − 3 = 0 . Находим y1 = −1, y 2 = 3 . Тогда x 1 = −1 + 1 = 0;

x2 = 3 +1 = 4

Получили A(0;−1) и B(4;3)

Площадь нашей фигуры состоит из двух «кусков»: одной находится в положительной полуплоскости относительно оси OY (это CBD ), другая – в отрицательной (это CAD ) 4

−1 2

S CBD = ∫ 2x + 1dx − ∫ (x − 1)dx =

1 1 4 2 d (2 x + 1) − ( 2 x + 1 ) ∫ 2 −1 2

1 ⎛⎜ (2 x + 1) − ∫ (x − 1)d(x − 1) = 2⎜ 3 2 1 ⎝ 9 9 =9− = . 2 2

⎞ (x − 1)2 ⎟− ⎟ 2 −1 2 ⎠

32 4

S CAD = ∫ − 2 x + 1d(x − 1) = −

⎞ ⎛ 32 ⎞ 1 ⎛ 93 2 = ⎜⎜ − 0 ⎟⎟ − ⎜⎜ − 0 ⎟⎟ = 2⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

32 0

(2x + 1) 32

(x − 1)

−1 2

2 1

2 1 7 7 = − + 0 + 0 − = − , тогда: S CAD = . 3 2 6 6 9 7 27 + 7 34 17 2 = = (ед. ). Итак, искомая площадь S = + = 2 6 6 6 3 Пример 2.58 Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти и 2

ограниченной кривыми y = 4 x , x = 4 y, x + y = 5

128

Решение. Искомая площадь состоит из суммы двух площадей S = S1 + S 2 ,

изображенных на рисунке. Найдем координаты точек пересечения графиков кривых, то есть точек A и B . 2

Точку A найдем, решив совместно уравнения y = 4 x и x + y = 5 . Из

первого

y 2 = 4x

уравнения

подставим

во

второе

уравнение

x 2 + y 2 − 5 = 0 . Получили квадратное уравнение, которое имеет два действительных корня x 1 = +1; x 2 = −5 . Наш корень x = 1, тогда y = 2 .

A(1;2). Аналогично, решая совместно уравнения x 2 + y 2 = 5 и

Итак

y 2 = 4 x , получим B(2;1) 1 x2 11 2 12 S1 = ∫ 4x dx − ∫ dx = 2 ∫ x dx − ∫ x dx = 40 0 0 4 0 1

x3 2 2 32

1 x3 − 4 3

⎛2 ⎞ 1⎛1 ⎞ 4 1 15 5 = = 2⎜ − 0 ⎟ − ⎜ − 0 ⎟ = − = = ; 3 4 3 3 12 12 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

для первого итеграла сделаем x = S 2 = ∫ 5 − x 2 dx − ∫ dy = замену переменной 4 1 1 x = 5 cos t; dx = 5d(cos t ) = −5 sin t dt 2

arccos

∫ arccos

2 5

5 ⋅ sin t (− 5 sin t dt ) −

1 5 arccos

=−

3 2

1x 4 3

arccos

2 5

= −5 5 ∫ sin 2 t dt −

arccos

1 5

2 5

arccos

7 = 12

2 5

5 5 7 5 5 ⎛ sin 2 t ⎞ 7 − = ⎟ ⎜t − ∫ (1 − cos 2t )dt − = − 2 arccos 1 12 2 ⎝ 2 ⎠ arccos 1 12 5

−5 5⎛ 2 1 1 ⎛ 2⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎞ 7 ⎜ arccos − arccos − sin ⎜ 2 arccos ⎟ + sin ⎜ 2 arccos ⎟ ⎟ − = 2 ⎝ 5 5 2 ⎝ 5⎠ 2 ⎝ 5 ⎠ ⎠ 12 2 5 3 = + arcsin (ед. 2 ). 3 2 5 α+β α −β Здесь воспользовались формулами: sin α − sin β = 2 sin ⋅ cos 2 2 =

(

и arcsin α − arcsin β = arcsin α 1 − β − β 1 − α 2

129

Пример 2.59 Вычислить площадь фигуры ограниченной осью ординат, кривой y = ln x и прямыми y = 1, y = 2 . Решение. В данном

случае

целесообразно

для

вычисления

площади b

воспользоваться не формулой (2.22), а следующей формулой: S = ∫ ϕ(y )dy . a

Для использования данной формулы, из функции y = ln x выразим x через y : 2

x = e , тогда S = ∫ e y dy = e y 1

2 1

= e 2 − e1 = e(e − 1) ≈ 4,68 (ед. 2 )

Пример 2.60 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой линией, заданной параметрическими уравнениями: x = a ⋅ cos t; y = b ⋅ sin t . Решение. Данные уравнения задают эллипс с центром в начале координат. Оси координат совпадают с осями симметрии эллипса и поэтому делят его на

четыре одинаковые части. Поэтому найдем площадь S1 части эллипса расположенную в первой четверти.

В формулу (2.22) подставим y = b ⋅ sin t; dt = a ⋅ d (cos t ) = −a sin tdt и

найдем границы интегрирования, поскольку 0 ≤ x ≤ a , то при x = a; 2

a ⋅ cos t = a , cos t = 1 значит t = 0 . При x = 0 a ⋅ cos t = 0, cos t = 0 , значит t=

π 2

⎛ π2 2 ⎞ S1 = ∫ y dx = − ∫ b sin t ⋅ a sin t dt = −ab⎜⎜ − ∫ sin t dt ⎟⎟ = π2 0 ⎝ 0 ⎠ π2 1 ab π 2 ab π 2 = ab ∫ (1 − cos 2t )dt = ∫ dt − ∫ cos 2tdt = 2 2 2 0 0 0 a

π2

π ab ab ab ⎛ sin 2t ⎞ ab ⎛ π ⎞ ab = (t ) − ⎜ . ⎟ = ⎜ − 0 ⎟ − (sin π − sin 0 ) = 2 2 2 2 2 4 4 ⎝ ⎠0 ⎝ ⎠ 0 π ab Итак, площадь всего эллипса S = 4 S1 = 4 ⋅ = π ab (ед. 2 ) 4 Пример 2.61 Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой

x = a cos 3 t , y = a sin 3 t

130

Решение. Для вычисления четверти искомой площади S1 воспользуемся формулой

(2.22), в которой перейдем к интегрированию по параметру t : a

π2

(

)

S1 = ∫ y dx = ∫ a sin t ⋅ d a cos t = a ∫ sin 3 t ⋅ 3 cos 2 t (− sin t )dt = 3

π2

1 (1 + cos 2t ) 2 = −3a 2 ∫ sin 4 t ⋅ cos 2 tdt = 3a 2 ∫ sin 4 t ⋅ cos 2 tdt = = 1 π2 0 sin 2 t = (1 − cos 2t ) 2 π2 1 2 1 2 = 3a ∫ (1 − cos 2t ) ⋅ (1 + cos 2t )dt = 2 0 4 cos 2 t =

π2

(

)

3a 2 π 2 2 3 = ∫ 1 − cos 2t − cos 2t + cos 2t dt = 8 0 π2 π2 π2 ⎞ 3a 2 ⎛ π 2 2 = ⎜⎜ ∫ dt − ∫ cos 2tdt − ∫ cos 2tdt + ∫ cos 3 2tdt ⎟⎟ = 8 ⎝ 0 0 0 0 ⎠

3a 2 ⎛⎜ π 2 sin 2 t t − = 8 ⎝⎜ 0 2

π2 0

⎞ 1π2 1π2 − ∫ (1 + cos 4 t )dt + ∫ cos 2 2 t d(sin 2 t )⎟ = ⎟ 2 0 2 0 ⎠

1 sin 4 t 3a 2 ⎛⎜ π 1 = − t − 2 4 8 ⎜⎝ 2 2 0 π2

π2

+ 0

⎞ 1 1 − sin 2 2 t d(sin 2 t )⎟ = ⎟ 2 ⎠

(

)

⎞ 1π2 2 3a 2 ⎛ π 1 π 2 = ⎜⎜ + ∫ d(sin 2 t ) − ∫ sin 2 t d(sin 2t )⎟⎟ = 8 ⎝4 2 0 2 0 ⎠ π2 π2 1 sin 3 2 t ⎞⎟ 3a 2 π 3a 2 ⎛⎜ π 1 = + sin 2 t − = ⋅ ⎟ 8 ⎜4 2 2 3 8 4 0 0 ⎠ ⎝ 3a 2 π 3a 2 π 2 Итак: S = 4S1 = 4 ⋅ ⋅ = (ед. ) 8 4 8

Пример 2.62 Вычислить площадь фигуры, ограниченную кардиоидой

ρ = a (1 + cos ϕ)

Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора OAB . Дуга ABO 131

описывается при перемещении полярной оси из положения полярного угла ϕ = 0 до ϕ = π . Поэтому по формуле (2.24) π 1π 2 2 S = 2 S OAB = 2 ⋅ ∫ ρ dϕ = ∫ a 2 (1 + cos ϕ) dϕ = 20 0 π π π π ⎞ 2⎛ 2 2 = a ∫ 1 + 2 cos ϕ + cos ϕ dϕ = a ⎜ ∫ dϕ + 2 ∫ cos ϕdϕ∫ cos 2 ϕ dϕ ⎟ = ⎝0 ⎠ 0 0 0

(

)

π 1 1π 1π ⎛ π ⎞ ⎞ π 2⎛ = a ⎜ ϕ 0 + 2 sin ϕ 0 + ∫ (1 + cos 2ϕ)⎟ = a ⎜ π + ∫ dϕ + ∫ cos 2ϕdϕ ⎟ = 20 20 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 02 2

π π ⎛ ⎞ π ⎞ 3a 2 π 1 1 2 2⎛ ⎟ ⎜ (ед. ) = a π + ϕ + sin 2ϕ = a ⎜ π + ⎟ = ⎟ ⎜ 2 0 4 2⎠ 2 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2

Пример ρ = a ⋅ cos 3ϕ .

2.63

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной

линией

Решение. При повороте полярной оси от нулевого положения ϕ = 0 до ϕ = 2π

графиком функции ρ = a ⋅ cos 3ϕ является замкнутая кривая, состоящая из трех одинаковых лепестков. Поэтому площадь фигуры, ограниченной линией

ρ = a ⋅ cos 3ϕ S = 3 S1 . Чтобы найти площадь одного лепестка (а он получается при −

π π ≤ ϕ ≤ ), воспользуемся формулой (2.24): 6 6 1 π6 2 a2 π 6 1 2 S1 = ∫ a ⋅ cos 3ϕ dϕ = ∫ (1 + cos 6ϕ) dϕ = 2 −π 6 2 −π 6 2

π6 π6 ⎞ ⎞ a2 ⎛ π 6 sin 6 ϕ a2 ⎛ π 6 ⎟= = ⎜⎜ ∫ dϕ + ∫ cos 6ϕ dϕ ⎟⎟ = ⎜ ϕ − π 6 + ⎜ 6 − π 6 ⎟⎠ 4 ⎝ −π 6 −π 6 ⎠ 4 ⎝

π a 2 a 2π a2 ⎛ π π⎞ πa2 2 = . Итак S = 3 S1 = 3 ⋅ (ед. ) = ⎜ + ⎟= 4 ⎝ 6 6 ⎠ 12 12 4 Пример 2.64 Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями

ρ = 2 3 a ⋅ cos ϕ и ρ = 2 a ⋅ sin ϕ

132

Решение. Найдем координаты точки A пересечения окружностей. Для этого решим

уравнение 2 a sin ϕ = 2 3 a cos ϕ или sin ϕ = на cos ϕ , получим tgϕ =

3 ⇒ ϕ = 60 0 =

3 cos ϕ . Разделив уравнение

π ⇒ 3

π ⎛π⎞ ⇒ ρ⎜ ⎟ = 2a ⋅ sin = a 3 3 ⎝3⎠ Искомая площадь S равна сумме площадей криволинейных секторов OAB и OCA : S = SOAB + S OCA Дуга ABO описывается концом полярного радиуса ρ большей окружности при изменении полярного угла ϕ от

π π до , поэтому 3 2

π2 2 1π2 1π2 2 2 = ∫ ρ dϕ = ∫ 2 3a cos ϕ dϕ = 6a ∫ cos 2 ϕ dϕ = 2π3 2π3 π3

(

S OBA

)

π2 π2 ⎞ 1 2⎛ ⎜ = 6a ∫ (1 + cos 2ϕ) dϕ = 3a ⎜ ∫ dϕ + ∫ cos 2ϕ dϕ ⎟⎟ = π32 π3 ⎝π 3 ⎠ 2

π2

⎛ π 2 sin 2ϕ π 2 ⎞ ⎟ = 3a 2 ⎛⎜ π − π + 1 ⎛⎜ sin π − sin 2π ⎞⎟ ⎞⎟ = = 3a ⎜ ϕ π 3 + ⎜ 2 π 3 ⎠⎟ 3 ⎠⎠ ⎝ 2 3 2⎝ ⎝ ⎛π ⎛π 3 3⎞ 3⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = a 2 ⎜⎜ − = 3a 2 ⎜⎜ − 6 4 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Дуга OCA описывается концом полярного радиуса ρ меньшей 2

окружности при изменении полярного угла ϕ от 0 до

S OCA

π , поэтому 3

π2 π2 1π2 2 1 2 2 2 = ∫ ρ dϕ = 2a ∫ sin ϕdϕ = 2a ∫ (1 − cos 2ϕ) dϕ = 2π3 π3 π32

π3 π3 ⎛ ⎛π 3 ⎞ sin 2ϕ ⎞⎟ 2⎜ π 3 = a ⎜⎜ ∫ dϕ − ∫ cos 2ϕ dϕ ⎟⎟ = a ϕ 0 − = ⎟ ⎜ 2 0 ⎝0 ⎠ 0 ⎠ ⎝ 2

⎛π 2π ⎞ 3⎞ ⎛π 1 ⎟⎟ = a 2 ⎜ − sin ⎟ = a 2 ⎜⎜ − 3 3 4 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

133

⎛π 3 3 π 5π 3⎞ ⎟⎟ = a 2 ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ (ед. 2 ) − + − 4 3 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝2

2 Следовательно, S = a ⎜⎜

2.10.2 Вычисление длины дуги кривой

y = f (x ) и производная f ′(x ) непрерывна, то длина L ее дуги от точки A до точки B вычисляется по Если кривая задана уравнением

формуле b

L = ∫ 1 + (f ′(x )) ⋅ dx . 2

(2.25)

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x (t ) ; y = y(t ) и

производные x ′t (y ) и y ′t (t ) непрерывны на отрезке [t 1 ; t 2 ], то длина дуги от точки A до точки B вычисляются по формуле t2

L= ∫

(x ′t )2 + (y′t )2 ⋅ dt ,

(2.26)

где t 1 − решение уравнения a = x (t ) ; t 2 − решение уравнения b = x (t ) .

Если кривая задана в полярных координатах (ρ, ϕ) уравнением ρ = ρ(ϕ) ,

где ρ(ϕ) − непрерывна вместе со своей производной ρ′(ϕ) на отрезке

ϕ ∈ [α; β], то длина L дуги кривой вычисляется по формуле β

L=∫

(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 ⋅ dϕ ,

(2.27)

где α и β − значения полярного угла ϕ , соответствующие концам дуги

(α < β) . Пример

y2 =

2.65

Вычислить

длину

дуги

полукубической

параболы

2 (x − 1)3 , заключенной внутри параболы y 2 = x 3 3 Решение.

x симметрична относительно оси 0X , то 3 = 2L AB . Вычислить координаты точек C и B .

Поскольку кривая y = искомая длина дуги L BAC Решив уравнение

2 (x − 1)3 = x , найдем абсциссу: 3 134

2(x − 1) = x или 3

(x − 1)3 = x ,

откуда

x = 2 . Ордината: y 2 =

2 3

или

y=±

2 . Итак, 3

2 ⎛ 2⎞ 2⎞ ⎛ ⎟⎟; B⎜⎜ 2; + ⎟⎟ . Разрешив уравнение полукубической параболы C⎜⎜ 2; − 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 3 32 y 2 = (x − 1) относительно выберем y = ± (x − 1) , 3 3 2 32 y = + (x − 1) − это значение соответствует дуге AB . Найдем 3 2 3 12 производную y ′ = f ′(x ) = ⋅ (x − 1) . Итак, по формуле (2.25) находим 3 2 2 2 3 3 1 1 2 L AB = ∫ 1 + (x − 1) ⋅ dx = ∫ x − dx = ∫ 3x − 1 dx = 2 2 21 1 1 2 = =

(3x − 1)3 2

3 2

12 ∫ (3x − 1) ⋅ d(3x − 1) =

3 21

) (

= 1

)

2 9 2

)

− 23 2 =

⎛ 5 10 − 4 ⎞ 2 5 10 − 4 ⎟⎟ . . Окончательно L BAC = 2 ⋅ ⎜⎜ 5 5−2 2 = 9 9 9 ⎝ ⎠

(

Пример

2.66

Вычислить

длину

дуги

полукубической

параболы

5 y 3 = x 2 , заключенной внутри окружности x 2 + y 2 = 6 Решение.

L AOB = 2L OA . Если уравнение параболы разрешить относительно y

x2 1 = 3 ⋅ x2 3, 5 5

тогда

производная

y′ = f ′(x ) =

1 2 −1 3 ⋅ x 3 5 3

выражение, которое получается под интегралом в формуле (7.2.25) не простое в смысле интегрируемости. В подобных случаях бывает удобнее принять за и воспользоваться формулой независимую переменную y y2

L = ∫ 1 + (x ′(y )) ⋅ dy . Поэтому разрешим уравнение параболы относительно 2

3 x : x (y ) = 5 ⋅ y 3 2 . Тогда x ′(y ) = 5 ⋅ y1 2 . Чтобы найти верхний предел 2 интегрирования y 2 − это ордината точек A и B − решим совместно 135

уравнения x 2 = 5 y и x + y = 6 . Из первого уравнения x 3

подставим во

второе уравнение: 5 y + y − 6 = 0 , получаем y = 1 2

1 45 3 12⎞ ⎛ L = ∫ 1 + ⎜ 5 ⋅ y ⎟ ⋅ dy = ∫ 1 + y dy = 4 2 ⎝ ⎠ 0 0 1

⎛ 45 ⎞ ⎜1 + y ⎟ 12 4 1 ⎛ 45 ⎞ 4 ⎠ ⎛ 45 ⎞ 4 ⎝ = ∫ ⎜ 1 + y ⎟ ⋅ d ⎜ y + 1⎟ = 45 0 ⎝ 4 ⎠ 32 ⎝ 4 ⎠ 45

32 1

8 ⎛ 45 ⎞ ⎜1 + y ⎟ 135 ⎝ 4 ⎠

32 1

= 0

8 ⎜⎛ ⎛ 49 ⎞ = ⎜ ⎟ 135 ⎜⎝ ⎝ 4 ⎠

⎞ 67 134 8 335 67 ⋅ = . Окончательно L AOB = 2 ⋅ = . − 1⎟ = ⎟ 135 8 27 27 27 ⎠ 3 3 Пример 2.67 Дана астроида x = R ⋅ cos t , y = R ⋅ sin t и точки на ней 32

A(R ;0 ) , B(0; R ) . Найти на дуге AB такую точку M , чтобы длина дуги AM составляла четверть длины дуги AB . Решение. Координаты искомой точки были бы определены из уравнения астроиды, если бы было найдено значение параметра t , соответствующее этой точке

x 0 = R ⋅ cos 3 t 0 ; y 0 = R ⋅ sin 3 t 0 . Значение t 0 можно найти по формуле (2.26) из уравнения (*) l AM =

2 2 ∫ (x ′t ) + (y′t ) dt ,

если l AM =

1 l AB . 4

Поэтому вначале необходимо вычислить длину дуги AB . Для вычисления

(

подготовим: x ′t = R cos t 3

)′ = 3 R cos

t ⋅ (− sin t );

′ y′t = R sin 3 t = 3 R sin 2 t ⋅ cos t .

(

)

По формуле (2.26): π2

l AB = ∫

9R 2 cos 4 t ⋅ sin 2 t + 9 R 2 sin 4 t ⋅ cos 2 t dt =

π2

= 3R ∫ cos t ⋅ sin t cos t + sin t dt = 3R ∫ 0

136

2 cos t ⋅ sin t dt = 2

π2

3R π 2 3R π 2 3R = sin 2 t dt = sin 2 t d ( 2 t ) = (− cos 2t ) = ∫ ∫ 2 0 4 0 4 0

3R (− cos π + cos 0) = 3R . Итак, l AM = 1 l AB = 1 ⋅ 3 R = 3R . 4 2 4 4 2 8 Подставим это значение в уравнение (*):

3R t 0 = ∫ 9R 2 cos 4 t ⋅ sin 2 t + 9R 2 sin 4 t ⋅ cos 2 t ⋅ dt = 8 0 t

0 3R t 0 3R t 0 3R = 3R ∫ cos t ⋅ sin t dt = ∫ sin 2t dt = ∫ sin 2t d(2t ) = (− cos 2t ) . 2 0 4 0 4 0 0

3R 3R (− cos 2t 0 + cos 0) или 1 = cos 2t 0 + 1. Отсюда cos 2t 0 = 1 = 8 4 2 2 π π 3 π = или 2 t 0 = ; t 0 = . Итак, координаты точки M : x 0 = R cos 6 3 6 3

⎛ 3⎞ 3R 3 R 3 π = R ⎜⎜ ⎟⎟ = ; y 0 = R sin = . 8 6 8 ⎝ 2 ⎠ Пример 2.68 Найти длину линии ρ = a ⋅ sin

3ϕ (a = cos t; a > 0) 3

Решение. Поскольку ρ ≥ 0 , то допустимыми значениями ϕ являются те, при

ϕ ϕ ϕ ≥ 0 или sin ≥ 0 , откуда 0 ≤ ≤ π или 0 ≤ ϕ ≤ 3π . В 3 3 3 ϕ ⎡ 3π ⎤ интервале ⎢0; ⎥ полярный радиус ρ (вместе с функцией sin ) возрастает 3 ⎣ 2⎦ ⎡ 3π ⎤ от 0 до a . В интервале ⎢ ;3π⎥ ρ убывает от a до 0. Из уравнения кривой ⎣2 ⎦ ϕ 1 ϕ ϕ 2 ϕ ⋅ cos ⋅ = a ⋅ sin 2 ⋅ cos . находим производную ρ′ = 3 a sin 3 3 3 3 3 которых a sin

Далее воспользуемся формулой (2.27) (вычисляем половину дуги для

⎡ 3π ⎤ ϕ ∈ ⎢0; ⎥ : ⎣ 2⎦ 137

3π 2

l OAB = ∫

3π 2

=a ∫

3π 2

ϕ⎞ ⎛ ⎛ 3 ϕ⎞ 2 ϕ ⋅ cos ⎟ dϕ = ⎜ a ⋅ sin ⎟ + ⎜ a ⋅ sin 3⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝

3π 2 ϕ ϕ ϕ ϕ 4 ϕ 2 ϕ sin + sin cos dϕ = a ∫ sin 2 sin 2 + cos 2 dϕ = 3 3 3 3 3 3 0 6

ϕ 1 a 3π 2 ⎛ 2ϕ ⎞ 2 = a ∫ sin dϕ = sin α = (1 − cos 2α ) = ∫ ⎜1 − cos ⎟ dϕ = 3 2 2 0 ⎝ 3 ⎠ 0 2

a ⎛ 3π 2 3 3π 2 2ϕ ⎛ 2ϕ ⎞ ⎞ = ⎜⎜ ∫ dϕ − ∫ cos d⎜ ⎟ ⎟⎟ = 2⎝ 0 2 0 3 ⎝ 3 ⎠⎠

3π 2

a ⎛⎜ 3π 2 3 2ϕ ϕ 0 − sin 2 ⎝⎜ 2 3 0

Окончательно длину всей кривой l = 2 ⋅ l OAB =

⎞ ⎟ = 3a π . ⎟ 4 ⎠

3a π 2

2.10.3 Вычисление координат центра тяжести

Если кривая задана уравнением y = f (x ) при x ∈ [a; b] и представляет собой материальную линию с линейной плотностью (масса единицы длины данной линии) ρ , тогда координаты центра тяжести дуги l данной линии от точки A до очки B вычисляются по формулам: (B )

xc =

∫ ρ ⋅ x ⋅ dl

(A ) (B )

2 ∫ ρ ⋅ x 1 + (f ′(x )) dx

2 ∫ ρ 1 + (f ′(x )) dx

∫ ρ dl

(A )

(2.28) (B )

yc =

∫ ρ ⋅ y ⋅ dl

(A ) (B )

∫ ρ dl

(A )

Здесь точки (B) .

(B )

(A )

2 ∫ f (x )ρ ⋅ 1 + (f ′(x )) dx

2 ∫ ρ 1 + (f ′(x )) dx

2 ∫ ρ dl = ∫ ρ 1 + (f ′(x )) dx

есть масса дуги l от точки (A ) до

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x (t ), y = y(t ),

тогда

формулы

(2.28)

принимает 138

вид.

Поскольку

dl =

(dx )2 + (dy )2 ,

из параметрических уравнений линии dx = x ′(t ) ⋅ dt ,

dy = y ′(t ) ⋅ dt , то dl =

(x ′(t )dt )2 + (y′(t )dt )2

(B )

xc =

∫ ρ ⋅ x ⋅ dl

(A ) (B )

(x ′(t ))2 + (y′(t ))2 ⋅ dt .

2 2 ∫ x (t )ρ ⋅ (x ′(t )) + (y′(t )) dt

2 2 ∫ ρ (x ′(t )) + (y′(t )) dt

∫ ρ dl

(A )

(2.29) (B )

yc =

∫ ρ ⋅ y ⋅ dl

(A ) (B )

2 2 ∫ y(t )ρ ⋅ (x ′(t )) + (y′(t )) dt

∫ ρ dl

(A )

2 2 ∫ ρ (x ′(t )) + (y′(t )) dt

Пределы интегрирования t 1 и t 2 обычно даны в условиях либо находим.

Если задан a ≤ x ≤ b , тогда решаем уравнения a = x (t 1 ) и b = x (t 2 ).

Замечания Если материальная дуга является однородной, то формулы (2.28) и (2.29) упрощаются, так как ρ = const выносится за знак интеграла и

сокращается. Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси 0X координаты центра тяжести вычисляются по формулам b

xc =

∫ x y dx

; yc =

1b 3 ∫ y dx 2a

∫ y dx a

(2.30)

∫ y dx

Пример 2.69 Определить координаты центра тяжести однородной

пластины, ограниченной параболой

x + y = a и осями координат.

Решение. Данная пластина симметрична относительно биссектрисы первого

координатного угла, поэтому x c = y c . По формулам (2.30):

139

∫ x ( a − x ) dx

xc =

0 a

∫ ( a − x ) dx 2

2 ∫ (ax − 2 a x x + x )dx

∫ (a − 2 a x + x )dx

0 a

⎛ x2 2 a x5 2 x3 ⎞ ⎜⎜ a − + ⎟⎟ 2 5 2 3 ⎠0 ⎝ a

⎛ x3 2 x2 ⎞ ⎜⎜ ax − 2 a ⎟⎟ + 3 2 2 ⎝ ⎠0

a3 4 3 a3 a3 − a + 2 5 3 = 30 = a = 4 2 a2 a2 5 2 a − a + 3 2 6 2

Пример 2.70 Найти центр тяжести дуги окружности x + y = R от т.

A(R ;0 ) до т. B(0; R ) , если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки. Решение. Из уравнения окружности найдем y ′ : 2 x + 2 y ⋅ y ′ = 0 , тогда y ′ = − 2

⎛x⎞ dl = 1 + (y ′) dx = 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ dx = ⎝ y⎠ 2

Вычислим

x . y

x 2 + y2 dx = y2

R2 R = dx . Подставим в формулы (2.28) и учтем, что ρ = k ⋅ x ⋅ y , где dx 2 y y

k − коэффициент пропорциональности: R x3 R 2 ∫ (k x y ) ⋅ x ⋅ dx k R ∫ x dx 3 y 0 x c = 0R = = R 2 R x ( ) k ⋅ x y ⋅ dx k R x dx ∫ ∫ y 0 0 2 R

0 R

2 R3 2 = = R 2 3R 3

R R 2 2 ∫ (k x y ) ⋅ y ⋅ dx k R ∫ x ⋅ R − x dx y 0 y c = 0R = = R R k R ∫ x dx ∫ (k ⋅ x y ) ⋅ dx y 0 0

140

(

1R 2 − ∫ R − x2 20

) d(R 12

−x

) =−

2 R

x 2

−x 32

)

R 2 32

=−

(

)

2 2 3 0 R − = R 3 3R 2

Данная точка не лежит на дуге, находится ниже ее.

x = a cos 3 t

Пример 2.71 Найти центр тяжести дуги астроиды

y = a sin 3 t , расположенной в первом квадрате, если линейная плотность в каждой ее точке пропорциональна абсциссе точки, т.е. ρ = k ⋅ x . Решение.

Подготовим вначале dl =

(3a cos

t ⋅ sin t

) + (3a sin 2

(dx )2 + (dy )2 t ⋅ cos t

)

⋅ dt = 3a sin t ⋅ cos t ⋅ dt .

По формулам (2.22): (B )

∫ k ⋅ a sin t ⋅ a sin t ⋅ 3a sin t ⋅ cos t dt

yc =

(A )

(B )

3 ∫ k ⋅ a sin t ⋅ 3a sin t ⋅ cos t ⋅ dt

(A )

π2

3k ⋅ a ∫ sin 7 t d(sin t ) 3

0 π2

3 k ⋅ a 3 ∫ sin 4 t d(sin t )

π2

1 8 sin t 8 0

π2

1 5 sin t 8 0

5 = a 8

(B )

∫ k ⋅ a sin t ⋅ a cos t ⋅ 3a sin t ⋅ cos t dt

xc =

(A )

(B )

3 ∫ k ⋅ a sin t ⋅ 3a sin t ⋅ cos t ⋅ dt

(A ) π2

π2

3k ⋅ a ∫ sin 4 t ⋅ cos 4 dt 0

1 3k ⋅ a ⋅ 5 2

5a π 2 4 5a π 2 ⎛ 1 − cos 4t ⎞ ⎛ 2 sin t ⋅ cos t ⎞ = 5a ∫ ⎜ ⎟ dt = ⎟ dt = ∫ sin 2t dt = ∫⎜ 2 18 0 16 0 ⎝ 2 ⎠ ⎠ 0 ⎝

141

(

)

⎞ 5a π 2 5a ⎛ π 2 1 4 π 2 π 2 2 2 = ∫ 1 − 2 cos 4t + cos 4t dt = ⎜⎜ t 0 − sin t 0 + ∫ cos 4t dt ⎟⎟ = 64 0 64 ⎝ 2 0 ⎠ π2 π2 ⎞ 5a ⎛ π π 2 ⎛ 1 + cos 8t ⎞ ⎞ 5a ⎜⎛ π 1 1 ⎟ ⎟ = + + dt t sin 8 t = = ⎜⎜ + ∫ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 64 ⎝ 2 0 ⎝ 2 16 ⎠ ⎠ 64 ⎝ 2 2 0 0 ⎠ 5a ⎛ π π ⎞ 5a 3π 15aπ ⋅ = = ⎜ + ⎟= 64 ⎝ 2 4 ⎠ 64 4 256 2.10.4 Вычисление объема тела вращения

Если тело образуется при вращении вокруг оси 0X криволинейной трапеции aABb , прилежащей к оси 0X , то объем полученного тела V0 X вычисляется по формуле b

V0 X = π∫ f 2 (x ) dx

(a < b ).

(2.31)

Если тело образуется при вращении вокруг оси 0Y криволинейной трапеции dDCc (см. рис.), прилежащей к оси 0Y , то объем полученного тела

V0 Y вычисляется по формуле d

V0 Y = ∫ ϕ 2 (y ) dy

(c < d ).

(2.32)

Если кривая задана параметрическими уравнениями или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменной в указанных формулах. Подробнее эти случаи рассмотрим в упражнениях. Пример 2.72 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Y плоской фигуры, образованной кривыми y = cos x и y =

9 2 x . 2π 2

Решение. Тело образуется, если вращать пластину OAMBO вокруг оси 0Y .

9 2 x это уравнение 2π 2 π ⎛ π 1⎞ ⎛ π⎞ 1 удовлетворяется при x = ± , тогда y = cos⎜ ± ⎟ = . Итак, A⎜ − ; ⎟ ; 3 ⎝ 3 2⎠ ⎝ 3⎠ 2

Найти

координаты

точек

⎛π 1⎞ B⎜ ; ⎟ ⎝ 3 2⎠ 142

cos x =

По формуле (2.32) V0 Y = π ∫ ϕ (y )dy , но функция ϕ(y ) в данном случае 2

2π 2 ⎡ 1⎤ ⎡1 ⎤ состоит их двух кусков: при y ∈ ⎢0; ⎥ ϕ(y ) = y ; при y ∈ ⎢ ;1⎥ 9 ⎣2 ⎦ ⎣ 2⎦ 1 1 ⎛1 2 π ⎞ 2 ⎜ ⎟ ϕ(y ) = arccos y , поэтому V0 Y = π ∫ 2 y dy + ∫ arccos y dy = ⎜0 3 ⎟ 12 ⎝ ⎠ 1 1 ⎛π 12 1 ⎞ ⎛π ⎞ 32 12 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ∫ y dy + ∫ arccos ydy = π⎜ 2y + ∫ arccos y dy ⎟⎟ = =π ⎜ ⎟ 0 12 0 12 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ второй интеграл интегрируем по частям 32 ⎛π 2 1 ⎛ ⎞ 1 = = π⎜ 2 ⋅ ⋅⎜ ⎟ + ⎜3 dy; dv = dy; v = y u = arccos y; du = − 3 ⎝2⎠ ⎝ 1− y2

(

)

⎛π y dy ⎞⎟ 1 π 1 1 d 1 − y 2 ⎞⎟ ⎜ + y ⋅ arccos y 1 2 + ∫ = π +0− ⋅ − ∫ = 2 ⎟ 2 ⎟ ⎜ 2 3 21 2 1− y ⎠ 9 1 2 1− y ⎠ ⎝ 1 ⎛ ⎞ 2 ⎛π π ⎛ ⎛ 3 π⎞ 3 ⎞⎞ ⎟ ⎜ π π 1 1− y ⎜ − − ⎜0 − ⎟ = π⎜ ⎟ = π − ⎟⎟ = π⎜ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎠ ⎜9 6 2 1 2 12⎟ ⎝ 2 18 ⎠ ⎝9 6 ⎝ ⎝ ⎠ 1

Пример

2.73

Вычислить

объем

тела,

образованного

вращением

плоскостей фигуры, ограниченной линиями: y = 2px и x = a вокруг оси 2

0X . Решение. 2 Построив параболу y = 2px и прямую x = a , получим параболический

сегмент OAB . При вращении его вокруг оси 0X образуется часть параболы вращения. Объем этого тела найдем по формуле (2.31)

V0 X

x2 2 = π ∫ f (x ) dx = π∫ 2px dx = 2pπ 2 0 0 a

= pπa 2 0

Пример 2.74 Вычислить объем тела, образованного вращением астроиды

x = a ⋅ cos 3 t; y = a ⋅ sin 3 t вокруг оси 0X . Решение. Для вычисления объема воспользуемся формулой (2.31):

143

V0 X = π ∫ f

−a

(x )dx = 2π∫ y

)

(

)

(

)

= 2π∫ 1 − z 2 d z 3 = 2πa 3 ∫ 1 − z 2 3z 2 dz =

= z = cos t;

sin 2 t = 1 − cos 2 t = 1 − z 2 1

)(

π2

замена переменной :

(

dx = 2π ∫ a ⋅ sin 3 t d a cos 3 t =

(

)

(

)

= 2πa ∫ 1 − 3z + 3z − z ⋅ 3z dz = 6πa ∫ z 2 − 3z 4 + 3z 6 − z 8 dz = 0

⎛ 3 3⎜ z = 6πa ⎜ 3 ⎝

1 z 9 ⎞⎟ ⎛ 1 3 3 1 ⎞ 32 3 3 − = 6πa 3 ⎜ − + − ⎟ = πa (ед ) ⎟ 3 5 7 9 105 9 ⎝ ⎠ 0 0 0 0⎠ Пример 2.75 Одна арка циклоиды x = a (t − sin t ); y = a (1 − cos t ) ; 1

3z 5 − 5

3z 7 + 7

y = a (1 − cos t ) вращается вокруг своего основания (то есть ось вращения есть ось 0X ). Вычислить объем тела, полученного в результате вращения. Решение. 2 πa

По формуле (2.31) имеем V0 X = π ∫ y dx . При переходе к переменной 0

t меняются пределы интегрирования: при x = 0 0 = a (t − sin t ) или t = sin t , т.е. t = 0 ;

2πa = a (t − sin t ) или 2π + sin t = t , то есть t = 2π

при x = 2πa

2π

Итак, V0 X = π ∫ a (1 − cos t ) d(a (t − sin t )) = 2

2π

= πa ∫ (1 − cos t ) ⋅ (1 − cos t )dt = πa ∫ (1 − cos t ) dt = 3

0 2π

(

)

2π ⎛ 2π 2π = πa ∫ 1 − 3 cos t + 3 cos t − cos t dt = πa ⎜ t 0 − 3 sin t 0 + 3 ∫ cos 2 tdt − ⎝ 0 0 2π 2π 3 2π ⎞ ⎞ 2 3⎛ − ∫ cos t d(sin t )⎟ = πa ⎜ 2π + ∫ (1 + cos 2 t )dt − ∫ 1 − sin 2 t d(sin t )⎟ = 20 ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 2π 2π 3 2π ⎞ ⎛ sin t ⎟ 3 3 2 π = πa 3 ⎜ 2π + t + sin 2t − sin t 0 + = ⎜ ⎟ 3 4 2 0 0 0 ⎠ ⎝ = πa 3 (2π + 3π) = 5π 2 a 3 3

(

144

)

2.10.5 Вычисление площади поверхности вращения

Если поверхность образуется при вращении дуги AB плоской кривой

y = f (x ) вокруг оси 0X , то дифференциал площади этой поверхности равен площади боковой поверхности усеченного кругового конуса с образующей dl и с основаниями, у которых радиусы r1 = y и r2 = y + Δy Из школьной программы известно, что боковая поверхность усеченного конуса вычисляется по формуле: S б = конуса.

dS =

Итак,

2πr1 + 2πr2 ⋅ dl , где l − образующая 2

2πy + 2π(y + Δy ) ⋅ dl = π(2 y + dy ) ⋅ dl ≈ 2πy ⋅ dl , 2

dl − дифференциал дуги кривой. Итак, (B )

(B )

S = ∫ 2πy dl = 2π ∫ y dl = 2π ∫ f (x ) dl . (A )

(A )

здесь

(2.33)

(A )

Если поверхность образуется при вращении дуги AB плоской кривой

x = ϕ(y ) вокруг оси 0Y , тогда рассуждая аналогично выше изложенному: r1 = x; r2 = x + Δx ;

dS = (B )

2πx + 2π(x + dx ) dl = π(2 x + dx )dl ≈ 2πx ⋅ dl . 2 (B )

(B )

(A )

(2.34)

S = ∫ 2πx dl = 2π ∫ x dl = 2π ∫ ϕ(y ) dl (A )

Пример 2.76 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси

0X дуги параболы y = x 3 , заключенной между точками A(− 1;1) и B(1;1) . Решение. По формуле (2.33) (B )

S = 2π ∫ f (x ) dl = dl = (A )

= 2π ∫ x

= 4π ∫ x 0

′

( )

1 + (y ′) dx = y′ = x 2

−1 1

(dx ) 3

(B )

+ (dy ) = 2π ∫ x 3 2

(A )

= 3x = 2 ⋅ 2π∫ x 3 1 + (3x ) dx = 2

(

)

4π 1 4 4 1 + 9 x dx = ∫ 1 + 9x d 1 + 9x = 36 0 4

(dx )2 + (dy )2

145

(

) (

)

(

91 π 1 + 9x 4 4 12 4 = ∫ 1 + 9x d 1 + 9x = π0 9 32 2π = 10 10 − 1 (ед 2 ) 27

(

)

= 0

(

)

π 2 32 ⋅ 10 − 1 = 9 3

Пример 2.77 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси

0X дуги астроиды x = a cos 3 t; y = a sin 3 t , заключенной между точками A(a;0 ) и B(0; a ) Решение. Предварительно подготовим dl , для этого необходимо получить из 3

уравнений x = a cos t; y = a sin t дифференциалы:

′ dx = a cos 3 t dt = 3a cos 2 t ⋅ (− sin t )dt; ′ d y = a sin 3 t dt = 3a sin 2 t ⋅ cos t dt . Так как dl =

( (

dl =

(9 a

) )

)

(dx )2 + (dy )2 ,

cos 4 t sin 2 t + 9 a 2 sin 4 t cos 2 t dt =

= 3a sin t ⋅ cos t = cos 2 t + sin 2 t dt = 3a sin t ⋅ cos t dt (B )

По

формуле (B )

(

S = 2 π ∫ y ⋅ dl =

(2.33):

(A )

)

2π ∫ a ⋅ sin 3 t 3a sin t ⋅ cos t ⋅ dt = (A )

π2

sin 5 t = 2π ⋅ 3a ∫ sin t ⋅ cos t dt = 6πa ∫ sin t d(sin t ) = 6πa 5 0 0 2

6πa ⎛ 5 π ⎞ 6πa − sin 5 0 ⎟ = ⎜ sin 5 ⎝ 2 5 ⎠

π2

= 0

2.11 ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ФИЗИКИ 2.11.1 Вычисление работы

Пусть материальная точка движется вдоль оси 0X под действием

переменной силы F = F(x ) , причем ее направление совпадает с направлением 146

движения. Тогда работа A , произведенная силой F на отрезке

[a; b],

выражается интегралом b

A = ∫ F(x ) ⋅ dx .

(2.35)

Пример 2.77 Вычислить работу, необходимую для запуска ракеты весом P с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h . Решение. Величина силы F(x ) , производящей работу по поднятию тела с Земли

равна величине силы притяжения тела Земли в соответствии с законом Ньютона: F(x ) = γ

mp ⋅ MЗ x2

, где m p − масса ракеты, M З − масса Земли, x −

расстояние от ракеты до центра Земли, γ − гравитационное постоянная. На поверхности Земли (при x = R , где R − радиус Земли) сила

притяжения F(x ) = P , то есть весу ракеты. Введем новое определение: постоянный коэффициент γ ⋅ m p ⋅ M З = k , тогда закон Ньютона принимает

k P⋅R2 2 вид: P = 2 , откуда k = P ⋅ R и F(x ) = R x2 При подъеме ракеты на высоту h переменная x изменяется на отрезке [R; R + h ] . Тогда работа, произведенная силой F(x ) на этом отрезке, может быть вычислена по формуле (2.35): R +h

R +h P⋅R2 1⎞ 2 2⎛ −2 = ⋅ = ⋅ − A= ∫ dx P R x dx P R ⎜ ⎟ ∫ 2 x x ⎝ ⎠R R R 1 ⎞ P⋅Rh ⎛ 1 = −P ⋅ R 2 ⎜ − ⎟= ⎝R +h R⎠ R +h R +h

Пример 2.78 Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание жидкости из полусферического резервуара радиуса R . Решение. Работа A , затраченная на поднятие некоторого тела весом P , зависит от высоты подъема h : A = P ⋅ h плоскостями, Разделим резервуар на n слоев толщины Δh параллельными поверхности жидкости. Введем систему координат так, как это показано на рисунке. Рассмотрим горизонтальную полоску (элементарный слой

жидкости), находящуюся на глубине h = DC = R − y и имеющую толщину 147

dh = dy . Тогда работа ΔA , необходимая для поднятия этого слоя жидкости на поверхность, равна ΔA = P ⋅ (R − y ) , где ΔP − вес элементарного слоя:

ΔP = γ ⋅ ΔV ,

γ−

где

ΔV ≈ π CB ⋅ dh = π ⋅ x 2 ⋅ dy −

удельный объем

вес

элементарного

жидкости, слоя,

если

рассматривать его как круговой цилиндр с радиусом основания CB и высотой

dh . Итак, ΔA = π ⋅ x 2 dy ⋅ (R − y ) . В последнем соотношении необходимо x выразить через y . Отрезок x = CB меняет свою длину в соответствии с изменением положения точки B , которая перемещается по окружности

x 2 + (y − R ) = R 2 .

x 2 = R 2 − (y − R ) = 2Ry − y 2 . Таким образом, дифференциал работы равен dA ≈ ΔA = = γ ⋅ π 2Ry − y 2 (R − y )dy = γπ 2R 2 y − 3Ry 2 + y 3 dy . Учитывая, что 2

(

Отсюда

)

(

y ∈ [0; R ] , получим:

)

⎛ 2 2 y4 ⎞ 2 2 3 3 A = ∫ dA = γ ⋅ π ∫ 2R y − 3R y + y dy = γπ⎜⎜ R y − R y + ⎟⎟ = 4 ⎠0 0 ⎝ γ ⋅π⋅R4 . = 4 R

(

)

2.11.2 Давление жидкости

Сила давления жидкости P на горизонтальную пластинку с площадью S , погруженную на глубину h , определяется по закону Паскаля P = γ ⋅ h ⋅ S , где

γ − удельный вес жидкости. Для определения гидростатического давления P , испытываемого пластинкой, погруженной вертикально, поступают так. На пластинке выделяется элементарная полоска с площадью ΔS . Считая, что давление во всех частях такой полоски одинаково, по закону Паскаля ΔP = γ ⋅ x ⋅ ΔS . Искомое давление на всю пластину находится интегрированием по x в пределах от a до b :

P = ∫ γ ⋅ x ⋅ dS(x ) .

(2.36)

148

Пример 2.79 Труба, лежащая горизонтально, наполовину наполнена водой. Поперечным сечением трубы является круг диаметром 6 м . Найти

величину давления воды на вертикальную заслонку, закрывающую трубу. Решение. Выберем систему координат так, чтобы начало координат было в центре трубы, ось 0Y проходила по поверхности воды, ось 0X направим вниз. Полукруг разделим на элементарные полоски. Площадь элементарной полоски

ΔS ≈ dS = 2 ⋅ AB ⋅ dx = 2 y(x ) ⋅ dx . Давление воды на полоску, находящуюся

на глубине x , равно ΔP ≈ dP = γ ⋅ x ⋅ dS = 2 γ ⋅ x ⋅ y(x )dx . Из уравнения

x 2 + y2 = 9

окружности

y = 9 − x2 .

выразим

Следовательно,

dP = 2 γ ⋅ x ⋅ 9 − x 2 dx . Интегрируем по x в пределах от 0 до 3 , получаем 3

(

)

P = ∫ dP = ∫ 2 ⋅ γ ⋅ x 9 − x dx = − γ ∫ 9 − x 2 d 9 − x 2 = 3

(

= −γ ∫ 9 − x 0

3 3 2 2

) d(9 − x ) = − γ (9 −3 x2 )

1 2 2

((

2 = − γ 9 − 32 3

)

− (9 − 0)

0 3

2 = γ ⋅ 9 2 = 18 γ . 3 Пример 2.80 Найти давление воды на поверхности шара радиуса r м, если его центр находится на глубине H м от поверхности воды. Решение. Введем систему координат X0Y таким образом, чтобы ее начало совпадало с центром шара, ось 0Y направим параллельно поверхности воды, а ось 0X − перпендикулярно. На глубине h рассечем шар горизонтальной плоскостью. Тогда давление воды на отсеченную часть поверхности шара будет

некоторой функцией P(h ) . При изменении h на dh меняется площадь поверхности отсеченной части шара на величину ΔS ≈ 2π ⋅ AB ⋅ dl , где dl − дифференциал

дуги

окружности

(то

есть

«ширина»

заштрихованной

сферической ленты, ΔS − площадь этой ленты AB = y (x ) . Давление P(h )

изменится на величину Δp ≈ dp = γ ⋅ h ⋅ ΔS = γ ⋅ h ⋅ 2π ⋅ y(x ) ⋅ dl . Из уравнения

149

x 2 + y2 = r 2

окружности

⎛x⎞ 2 dl = 1 + (y ′) dx = 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ dx = = ⎝ y⎠ h = H + OB = H + x . Итак, +r

y′ = −

найдем

x y

затем

y2 + x 2 r dx = dx . y y

+r r P = ∫ dP = ∫ γ ⋅ h ⋅ 2π ⋅ y(x ) ⋅ ⋅ dx = 2π ⋅ γ ⋅ r ∫ (H + x )dx = y x ( ) −r −r −r

2 ( H + x) = 2π ⋅ γ ⋅ r

(

)

= π ⋅ γ ⋅ r (H + r ) − (H − r ) = π ⋅ γ ⋅ 4H ⋅ r = 2

−r

= 4⋅ π⋅ γ ⋅ r2 ⋅ H. 2.11.3 Истечение жидкости из емкости 2

Пример 2.81 Цилиндрический резервуар с площадью основания S м наполнен водой до высоты H м. Определить время, в течение которого вся вода вытечет из резервуара через небольшое отверстие в его дне, если принять,

что скорость истечения воды равна 0,6 2 g h , где h − высота уровня воды над отверстием, g − ускорение силы тяжести и площадь отверстия м . 2

Решение. Время истечения воды из резервуара зависит от скорости истечения и от площади отверстия, через которое вытекает вода. Так как скорость истечения является непрерывной функцией от h , то направим ось 0X по оси резервуара и сведем задачу к интегрированию переменной x . Разобьем искомое время T на большое число n малых промежутков

Δt 1 , K , Δt n и пусть за время Δt уровень воды в резервуаре понижается на величину Δx =

H . Если допустить, что в течение каждого Δt скорость n

истечения воды остается постоянной, равной ее значению в начале промежутка,

то есть 0,6 2 g(H − x ) , то имеет следующее приближенное равенство:

0,6 2 g(H − x ) ⋅ Δt ⋅ a ≈ S ⋅ Δx . (*). Здесь в левой части объем воды, вытекающей через отверстие, в правой части объема малого элементарного цилиндра с основанием s и высотой Δx . 150

S ⋅ Δx . Рассматривая сумму всех Δt 0,6 a 2 g(H − x ) и переходя к пределу при n → ∞ в этой сумме, получим: 0 0 1 S dx S − T=∫ = ∫ (H − x ) 2 dx = ( ) 0 , 6 a 2 g H − x 0 , 6 a 2 g H H Из соотношения (*) Δt ≈

(H − x ) S = 0,6 a 2 g 1 2

1 0 2

1 1 S S ⎛ ⎞ = ⎜ (H − 0 ) 2 − (H − H ) 2 ⎟ = 0,6 a 2 g ⎝ ⎠ 0,6 a

151

2H . g

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 6 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Первообразная функция. 2. Неопределенный интеграл. 3. Простейшие свойства неопределенного интеграла и его геометрический смысл. 4. Интегрирование методом разложения. 5. Интегрирование методом замены переменной. 6. Метод интегрирования по частям. 7. Интегрирование простейших дробей. 8. Интегрирование дробно-рациональной функции. 9. Интегрирование тригонометрических функций. 10. Интегрирование иррациональных функций. 11. Определение определенного интеграла. 12. Свойства определенного интеграла 13.

Определенный

интеграл

переменным

верхним

пределом

интегрирования. 14. Формула Ньютона-Лейбница. 15. Замена переменной в определенном интеграле. 16. Интегрирование по частям в определенном интеграле. 17. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 18. Несобственные интегралы от неограниченных функций. 19. Геометрические приложения определенного интеграла. 20. Вычисление площадей фигур в декартовых координатах. 21. Вычисление площадей фигур в полярных координатах. 22. Длина дуги плоской кривой в декартовых координатах. 23. Длина дуги плоской кривой в полярных координатах. 23. Объем тела вращения. 24. Решение физических задач с помощью определенных интегралов.

153

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 3.2.1 Вычислить неопределенные интегралы 1)

4 3 ∫ (x − 4x + 2x )dx

x5 − x4 + x2 + C Ответ: 5 3)

∫

(

)

x −1 dx x x

Ответ: x − 6 x + 3 ln x +

(

)

5) ∫ 6 6 + 4 dx x

(

2 +C x

)

6x 6x + 8 +C Ответ: 2 ln 6 5 ⎞ ⎛ 2 7) ∫ ⎜ − dx 2 2 ⎟ cos x sin x ⎝ ⎠ Ответ: 2 tg x + 5 ctg x + C dx 9) ∫ sin 2 x + cos 2 x Ответ: tg x + C sin 3x − sin 5x 11) ∫ dx cos 4 x Ответ: 2 cos x + C 13)

2 ∫ (ctg x − tg x ) dx

Ответ: tg x − ctg x − 4 x + C 15)

∫

1 − 2 − x2 2−x

Ответ: arcsin

x −x+C 2

1 − 6x + 4x 2 dx 2) ∫ x2 1 Ответ: − − 6 ln x + 4 x + C x 125 − x dx 4) ∫ 3 x −5 ⎛ 3 5 15 4 ⎞ Ответ: − ⎜ x 3 + x 3 + 25x ⎟ + C ⎟ ⎜5 4 ⎝ ⎠ 6) ∫ 5

x −2

dx 5x +C Ответ: 25 ln 5 5 − 4 cos 3 x 8) ∫ dx 2 cos x Ответ: 5 tg x − 4 sin x + C 1 − 4 ctg 2 x 10) ∫ dx cos 2 x Ответ: tg x + 4 ctg x + C cos 4x − cos 6 x 12) ∫ dx sin 5x Ответ: − 2 cos x + C 1 + cos 2 x 14) ∫ dx 1 + cos 2 x 1 Ответ: (x + tg x ) + C 2 x2 + 9 − 6 dx 16) ∫ 2 x +9 Ответ:

x ln x + x 2 + 9 − 2 arctg + C 3 154

1 − 2x 2 17). ∫ 2 dx x 1− x2 1 1− x 1 − +C Ответ: ln 2 1+ x x 2x 2 + 5 19) ∫ 2 2 dx x x +5 1 x 1 Ответ: arctg − +C 5 5 x 2 1 + x) ( dx 21) ∫ x 1+ x2 Ответ: ln x + 2 arctg x + C

(

)

(

)

(

)

3 + x2 dx 18) ∫ 4 x −9

x2 − 3 + C

Ответ: ln x + 20)

∫ (arctg x + arcctg x )dx

Ответ:

π x+C 2

x2 − 4 x dx 22) x 66 7 44 3 x − x +C Ответ: 7 3

3.2.2 Вычислить интегралы, методом введения функции под знак дифференциала

Ответ: 3)

1 sin 5x + C 5

7 ∫ (12x − 5) dx

1 (12x − 5)8 + C 96 dx 5) ∫ 3 9x − 7 1 2 Ответ: 3 (9 x − 7 ) + C 6 5x +2 7) ∫ 6 dx 65 x +2 +C Ответ: 5 ln 6 2 9) ∫ x x − 7dx 3 1 Ответ: x2 − 7 + C 3

Ответ:

(

⎛π ⎞ − 3x ⎟dx ⎠ ⎝4 1 ⎛π ⎞ Ответ: cos⎜ − 3x ⎟ + C 3 ⎝4 ⎠ 4) ∫ 8x + 9dx 1 Ответ: (8x + 9)3 + C 12 dx 6) ∫ 11 − 4 x 1 Ответ: − ln 11 − 4 x + C 4 4 −3 x 8) ∫ e dx 1 4 −3 x Ответ: − e +C 3 x 2 dx 2) ∫ sin ⎜

1) ∫ сos5xdx

)

10)

∫3

1 − x3 1 3 Ответ: − 3 1 − x 2

(

155

)

2x + 1 dx x + x −3 2 Ответ: ln x + x − 3 + C 11)

∫

13)

∫

6x − 5

3x − 5x + 4 2 Ответ: 2 3x − 5x + 4 + C

e x dx 15) ∫ x 2e + 7 1 x Ответ: ln 2e + 7 + C 2 17)

∫

( ) x) dx

(8 −

∫

14)

∫

ln 5 x 19) ∫ dx x 6 6 11 ln x + C Ответ: 11 3x 3x 21) ∫ 4 e + 8 e dx 5 4 3x Ответ: 4 e + 8 + C 15

(

)

4 x dx 23) ∫ 7 + 4x 1 Ответ: ln 7 + 4 x + C ln 4 cos x 25) ∫ 3 dx sin x 33 sin 2 x + C Ответ: 2 dx

(

∫7

)

ctg x sin x

16) ∫ ctg5xdx Ответ:

18)

x −1

2x − x 2 Ответ: − 2 x − x + C

(8 − x ) Ответ: −

27)

2x − 3 dx 4 + 3x − x 2 2 Ответ: − ln 4 + 3x − x + C 12)

∫

1 ln sin 5x + C 5 dx

(6 + x )

Ответ: −

(6 + x )

dx x ln x Ответ: ln ln x + C

20)

∫

2 1− x 2

22) ∫ x 6

dx 2

61− x +C Ответ: − 3 ln 6 x 7

24)

∫

49 x + 1 1 Ответ: ln 7 x + 1 + 49 x + C ln 7 sin x 26) ∫ dx cos 2 x cos x 2 +C Ответ: 3 cos x cos x

(

28)

∫

1 − 4 arcsin x 1 − x2

)

dx 2

Ответ: arcsin x − 2 arcsin x + C 156

77 ctg 3 x + C 3 4 arctgxdx 29) ∫ 1+ x2 4 5 Ответ: 4 arctg x + C 5 dx Ответ: −

31)

∫

x ln 2 x − 9

ln 2 x − 9 + C

Ответ: ln ln x + 33)

dx x 2 + 1 arcctgx Ответ: − ln arcctg + C

30)

dx ∫ 1+ x + 5

Ответ:

(

))

∫

(

)

x3 32) ∫ sin 2 x 4 1 4 Ответ: − ctgx + C 4 x 34) ∫ dx x+4 x +C 2

2 x + 5 − ln 1 + x + 5 + C

Ответ: 2 x − 4arctg

dx x 2x + 9 1 2x + 9 − 3 +C Ответ: ln 3 2x + 9 + 3

x dx x +1 Ответ: x − 2 x + 2 ln x + 1 + C

35)

37)

∫

2 ∫ 9 − x dx

Указание: подстановка x = 3 sin t

∫

(4 + x )

Ответ:

2 3

(

)

5 +C x 5 Указание: подстановка x = sin t x 40) ∫ e − 1dx 2

Ответ: x − 25 − 5 arccos

Ответ:

x 4 4+x

∫

x 2 − 25 dx 38) ∫ x

9 x x 9 − x2 +C Ответ: arcsin + 2 3 3

39)

36)

Указание: подстановка x = 2 tgt

(

)

2 e x − 1 − arctg e x − 1 + C x 2 Указание: подстановка e − 1 = t

157

3.2.3 Вычислить интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

dx x 2 + 10 x + 34 1 Ответ: arctg(x + 5) + C 3 dx

∫

(

1 +C 3(3x − 1)

∫

3x 2 − 3x + 8

Ответ:

1 ln 3(x − 0,5) + 3x 2 − 3x + 8 + C 3

6x − 1 dx x 2 − 4 x + 13

Ответ:

dx 6x − 9x 2 − 1 Ответ:

5 + 4x − x 2 x−2 +C Ответ: arcsin 3

∫

12 x + 11 dx 9x 2 − 6x + 2

Ответ:

)

x−2 1 2 + ln x 2 − 4x + 13 + arcsin ln 9x 2 − 6x + 2 + 5arctg(3x − 1) + C 3 9 3 +C

∫

3x − 5 2

x + 6 x + 20

(

Ответ:

∫

)

7−x 3 + 2x − x

Ответ:

3 x 2 + 6x + 20 −

3 + 2x − x 2 + 6 arcsin

− 14 ln x + 3 + x 2 + 6x + 20 + C

x −1 +C 2

3.2.4 Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям

ln x dx . ∫ x Ответ: 2 x (ln x − 2 ) + C 2 4x 3) ∫ x e dx e 4x 8x 2 − 4 x + 1 + C Ответ: 32

(

∫ (x − 5) cos x dx .

Ответ: (x − 5) sin x + cos x + C

(

4) ∫ ln 1 + x Ответ:

)

(

)

)dx

x ln 1 + x 2 − 2 x + 2arctgx + C 158

arcsin x 5) ∫ dx . x2 1 − 1 − x 2 arcsin x Ответ: ln − +C x x

(

)

7) ∫ ln x + 1 + x dx Ответ:

(

x ln x + 1 + x

)−

4 x (sin x ln 4 − cos x ) +C 1 + ln 2 4 8) ∫ arcctg x dx

(

)

ln 1 + x 2 +C x arcctg x + 2 2 10) ∫ ln x dx

1+ x + C

(

)

Ответ: x ln x − 2 ln x + 2 + C

x arctg x − x + arctg x + C xarctgx 11) ∫ dx 1 + x2

(

Ответ:

Ответ.

9) ∫ arctg xdx Ответ:

Ответ:

6) ∫ 4 sin x dx .

12) ∫ cos ln xdx Ответ:

)

1 + x 2 arctgx − ln x + 1 + x 2 + C

x (cos ln x + sin ln x ) + C 2

3.2.5 Вычислить интегралы, разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби

3x + 8 dx (x − 2 )(x + 5) 2 ln x − 2 + ln x + 5 + C

∫

Ответ: 2)

∫

7 x + 12 dx (x − 1)(3x + 1)

5 Ответ: 4 ln x − 1 − ln 3x + 1 + C 3 5x − 10 − x 2 x 4 − 16 x 3 + 5x + 8 4) 3) dx dx x 2 − 4x + 3 x 3 − 16 x Ответ: − x + 3 ln x − 1 − 2 ln x − 3 + C Ответ: x2 7 3 1 + ln x − 4 − ln x + 4 − ln x + C 2 8 8 2 3x + 1 4 x 2 − 5x + 9 5) dx dx 6) 2 ( x + 3 ) 2 (x − 5 ) x − 4 x + 13 (x + 1) Ответ: Ответ: 1 1 1 3 ln x − 5 − ln x + 3 − +C ln x + 1 + ln x 2 − 4 x + 13 − 4 4 x+3

∫

∫(

)

(

4 1 x−2 − arctg +C 3 3

159

)

5x 4 − x 3 + 4 x 2 + 8 7) ∫ dx x3 − 8

x3 − 7x 2 − 3 8) ∫ dx x2 + 4 x2

(

Ответ:

(

)

Ответ:

(

)

5x 1 9 x − x + 8 ln x − 2 − 2 ln x 2 + 2x + ln x 2 + 4 − arctg − 2 2 2 2 x +1 20 2 + arctg +C − +C x 3 3 9)

∫

x3 + x −1

Ответ:

)

(

10)

)

2−x 1 + ln x 2 + 2 − 2 4 x +2 2 x 1 − +C arctg 2 4 2

(

)

∫

x3 +1 2

− 4x + 5

)

Ответ:

(

)

3x − 17 1 + ln x 2 − 4 x + 5 + 2 2 x − 4x + 5 2 15 + arctg(x − 2 ) + C 2

(

)

3.2.6 Вычислить интегралы от тригонометрических функций:

dx ∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 x Ответ: − 1 /( tg + 2) + C 2 1)

cos 3 x dx 3) ∫ sin 2 x + sin x Ответ: ln sin x − sin x + C

dx sin 2 x − 9 cos 2 x 1 tgx − 3 Ответ: ln +C 6 tgx + 3 7 7) ∫ cos x dx 5)

∫

Ответ:

sin 7 x 3 5 +C sin x − sin x + sin x − 7 5 3

dx ∫ cos x + 2 sin x + 3 ⎛ x ⎞ Ответ: arctg⎜ tg + 1⎟ + C ⎝ 2 ⎠ sin x dx 4) ∫ sin 2 x + 6 cos 2 x 1 Ответ: arctg 5 cos x + C 5 1 + tgx 6) ∫ dx 1 − tgx Ответ: − ln cos x − sin x + C 2)

(

)

8) ∫ sin x dx Ответ:

5x sin 2x 3 sin 4x sin 3 4x − + + +C 16 4 64 48 160

sin 3 x 10) ∫ dx 8 cos x 1 1 Ответ: − +C 7 cos 7 x 5 cos 5 x dx 12) ∫ cos 6 2x tg 5 2 x tg 3 2 x tg 2 x Ответ: + + +C 10 3 2 14) ∫ sin 3x cos 7 x dx

9) ∫ cos 2 x sin 2 x dx

cos 6 2x cos 8 2 x Ответ: − + +C 12 16 4 11) ∫ tg xdx tg 3 x Ответ: − tgx + x + C 3 6 4 13) ∫ sin x cos x dx Ответ:

1 ⎛ 3x sin 4 x sin 8x ⎞ sin 2x + + ⎜ − ⎟− 128 ⎝ 2 2 16 ⎠ 320

Ответ:

15) ∫ cos 3x cos 5x cos 8x dx

Ответ:

3.2.7 Вычислить выражения:

1 ⎛ sin 16x sin 10x sin 6x ⎞ + + + x + C⎟ ⎜ 4 ⎝ 16 10 6 ⎠ интегралы,

2 ∫ 25 − x dx

содержащие

∫

x2 + 4 3) ∫ dx x2

∫

x2 + 4 Ответ: ln x + 4 + x − +С x 2 x −9 5) ∫ dx x 3 2 Ответ: x − 9 − 3 arccos + С x

∫

x 25 arcsin 5x 25 − x 2 5 + +С Ответ: 2 2

∫

cos 4 x cos 10 x − +C 8 20

dx x+3 x 161

иррациональные

( 36 − x 2 ) 3 x +С Ответ: − 36 36 − x 2 dx

x 2 x 2 +16 x 2 + 16 Ответ: − +С 16 x x 3 dx

x 2 − 25 x 2 − 25 ( x 2 + 50) Ответ: +С 3 1+ 4 x dx 8) ∫ x+ x

Ответ:

3 3 2 ln( x + 1) + С 2

Ответ:

44 x + 2 ln(1 + x ) − 4arctg4 x + С

∫

10)

(1 − x ) x 3 1+ 6 x Ответ: ln − 3arctg 6 x + С 6 2 1− x 2

x +2

∫ (4 x + 6 x )6 x 5 dx

Ответ:

44 x − 66 x + 1212 x + 2 ln x − − 36 ln 12 x + 1 + C

x dx x + 5 x2 2 x+5 Ответ: − +С 5 x 11)

12) ∫ ( x − 2)

∫

1+ x dx 1− x

Ответ:

x 2 dx 13) ∫ (5x + 2) 5x + 2

3 x (1 − ) 1 − x 2 − arcsin x + С 2 2 x +2 +3 dx 14) ∫ x+2−4

Ответ:

4 1 2 x + 14 x + 2 + 56 ln x + 2 − 4 + С ]+ С 5x + 2[ (5x + 2) − 4 − 5x + 2 3 125 3

⎛1 − x ⎞ 15) ⎜ ⎟ dx ⎝1 + x ⎠ Ответ:

∫

16)

1− x 1− x + 6arctg +С 1+ x 1+ x dx 17) ∫ x (1 + 3 x ) 2 Ответ: 3[ln

19)

∫

1+ 3 x

5+6 x 3

dx x 3 (8 x − 1) 5

Ответ:

−

− (5 + x )

∫4

8 2 − +С 3 4 8 8 3( x − 1) ( x − 1) dx

18)

1 ]+С 1+ 3 x

∫

x 1+ x3

1 1 + x3 − 1 Ответ: ln +С 3 3 1+ x +1 20)

∫

dx x11 1 + x 4

Ответ:

t5 t3 t 1+ x4 − + − + С, где t = 10 3 2 x2

12 t 5 − 20 t 3 + С, где t = 5 + 6 x 5 162

1 − 2x 3 21) ∫ dx 5 x 1 4 −3 Ответ: − 3 ( x + 2) + С 4 3.2.8 Вычислить определенные интегралы:

∫ (1 + e )dx ; 4

x 4

x ⋅ dx 3) ∫ ; x − 1 4 3 dx

∫

x 1+ x

2π

dt : ∫ 3 t + 4 −1

2 ∫ 2x + x ⋅ dx ;

π4

;

∫ sin x ⋅ sin 3x dx ;

∫ sin x ⋅ cos x dx ;

cos x dx; 0 1 + sin x

∫

∫ x ⋅ sin x ⋅ cos x dx ;

10)

−π

2 ∫ (1 + ln y ) ⋅ dy .

3.2.9 Вычислить площади фигур:

1) Найти площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

(

)

(

)

a2 x +y = a x − y , лежащей вне окружности x + y = 2 π⎞ 2⎛ 3 − ⎟⎟ Ответ: S = a ⎜⎜ ⎝ 2 6⎠ 2

2 2

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y = 4 − x

y = x 2 − 2x .

Ответ: S = 9

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубическими параболами

6 x = y 3 − 16 y и 24 x = y 3 − 16 y .

Ответ: S = 16

4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

x = a (t − sin t ); y = a (1 − cos t ) и осью 0X . Ответ: S = 3πa 2 2

5) Вычислить площадь внутри петли линии x = 3t ; y = 3t − t 163

72 3 5 3 3 6) Вычислить площадь внутри астроиды x = a ⋅ cos t; y = a ⋅ sin t Ответ: S =

3πa 2 Ответ: S = 8 7) Найти площадь, ограниченную линиями: 2

а) лемнискатой ρ = a ⋅ cos 2ϕ ; б) первым завитком спирали Архимеда ρ = a ϕ и полярной осью; в) кардиоидой ρ = a (1 − cos ϕ) и окружностью ρ = a 2

Ответы: а) S = a ;

б) S =

4 2 3 a π ; 3

2 ⎛ 5π

⎞ − 1⎟ ⎝ 8 ⎠

в) S = 2a ⎜

3.2.10 Вычислить длину дуги кривых:

1) полукубической параболы y = (x − 1) между точками A(2;−1) и 3

B(5;−8) .

Ответ: l ≈ 7,63 2

2) 2 y = x − 2 между точками пересечения с осью 0X Ответ: l =

3) y = ln x между прямыми x =

(

6 + ln 2 + 3

3иx= 8

1 3 ln 2 2 4) одной арки циклоиды x = a (t − sin t ); y = a (1 − cos t ) Ответ: l = 8 a Ответ: l = 1 +

⎛ 5⎞ ⎝ 3⎠

5) x = 3 t ; y = 5 t от точки O(0;0 ) до точки A⎜1; ⎟ 2

Ответ: l =

34 3

6) x = 1 − t ; y = 1 − t от точки O(0;0 ) до A(1;1) 2

5 5 −1 6 Ответ: l = 8 a Ответ: l =

7) кардиоиды ρ = a (1 + cos ϕ) .

164

)

8) первого завитка спирали Архимеда ρ = a ϕ 2

Ответ: π a 4π + 1 +

9) ρ = a cos

ϕ . 3

Ответ: l =

(

a ln 2π + 4π + 1 2

)

3 aπ 2

3.2.11 Найти центры тяжести однородных дуг кривых и фигур

1) Найти центр тяжести однородной дуги (ρ = const ) полуокружности

x 2 + y 2 = R 2 , расположенной под осью 0X . ⎛ ⎝

Ответ: ⎜ 0;−

2a ⎞ ⎟ π⎠

2) Найти центр тяжести однородной арки циклоиды x = a (t − sin t ) ,

⎛ ⎝

y = a (t − cos t ) .

4 ⎞ 3 ⎠

Ответ: ⎜ πa; a ⎟

3) Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной дугой эллипса x = a cos t , y = b sin t и координатными осями, расположенной в

⎛ 4a 4b ⎞ ; ⎟ ⎝ 3π 3π ⎠

Ответ: ⎜

первом квадрате.

4) Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной параболами Ответ: (9;9 )

x 2 = 20 y и y 2 = 20 x .

3.2.12 Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций: 2

1) y = − x + 5x − 6; y = 0 ось вращения 0X ; 2) y = 3 sin x; y = sin x; 0 ≤ x ≤ π; ось вращения 0X ; x

3) y = x e ; y = 0; x = 1; ось вращения 0X ; 4) y =

x − 1; y = 0; y = 1; x = 0,5; ось вращения 0Y ; 2

5) 2 x − x − y = 0; 2 x − 4 x + y = 0 ; ось вращения 0X ; 6) y = e

1− x

; y = 0; x = 0; x = 1; ось вращения 0X ; 7) y = ln x; x = 2; y = 0; ось вращения 0Y ; 165

8) y = arccos x; y = arcsin x; x = 0; ось вращения 0Y ; 9) x = 2 cos t; y = 6 sin t; ось вращения 0Y ; 10) x = 3 cos t; y = 8 sin t; ось вращения 0X . 3.2.13 Вычислить площади поверхностей вращения

1) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси

0X : а) окружности x = a cos t;

y = a sin t ;

б) дуги параболы y = 2 x между точками пересечения с прямой x = 1,5 ; 2

в) одной волны синусоиды y = sin x ;

⎛3 1⎞ ⎝2 2⎠

г) дуги параболы y = 2 x − x от точки A(0;0 ) до точки B⎜ ; ⎟ ; 2

д) дуги кривой y = e

1− x

, заключенной между точками A (0; e ) и B(1;1) ;

(

е) дуги параболы y = x − 2 от точки A 4; 2

)

до точки B(2;0 )

вращения вокруг оси 0Y ;

ж) кривой x = 2(t − sin t ); y = 2(1 − cos t )

3.2.14 Решить физические задачи

1) Воронка, имеющая форму прямого кругового конуса (с радиусом основания R и высотой H ) наполнена водой и затем опорожняется через небольшое круглое (радиусом r ) отверстие внизу. Определить время опорожнения воронки. 2) Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью, имеющая высоту H и радиус основания R , заполнена водой. Определить, за какое время через круглое отверстие (радиусом r ) в дне цистерна полностью опорожнится. 3.2.15 Исследовать на сходимость следующие интегралы ∞

а)

∫x ⋅e

−x2

∞

dx б) ∫ 2 ; x + 6 x + 11 −∞

dx ;

∞

г)

∫

dx x + cos 2 x

∞

;

д) ∫ e

−x

dx ;

∞

в)

dx ; ∫ 4 2 5 x + 2 x + 1 1 ∞

е)

x ∫ x ⋅ e dx .

−∞

166

Ответы: а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) расходится; д) сходится; е) сходится 3.2.16 Используя определение или признаки сходимости, исследовать на сходимость следующие интегралы: e

dx ; ∫ 3 1 x ⋅ ln x 2 x ⋅ dx г) ∫ 2 ; −2 x − 1

а)

б) д)

dx ∫ 3 ; −1 x ⋅ x 3 x ⋅ dx

∫4 2

x −4 2

в)

dx ; 0 tgx ⋅ x

∫

;

е)

∫

(x − 1)

Ответы: а) расходится; б) расходится; в) расходится; г) расходится; д) сходится; е) расходится.

167

3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание №1 Найти неопределенные интегралы 1

∫ (x

∫ (sinx − cosx) dx

3 4 5 6

x +e

)dx 2

∫

x 3

3 ⋅ 42x dx 5x

dx ∫ x 3 ln x + 1 dx ∫ 9 + 4x 2

∫

∫ (arcsin x )

∫

e ctgx dx sin 2 x

∫

2 x +1 − 5 x −1 dx 10 x

⎛ 1 3 ⎞ ∫ ⎜⎝ x − x ⎟⎠ dx

1− x2

x +1 dx 2 +1

∫x

⎛

∫ ⎜⎝

∫(

1 x⎞ − cos ⎟dx 29 2 2⎠ x

6x −

)

2 dx

∫

1− x4

⎛ 3 x − 25 x ⎞ ⎟dx 21 ∫ ⎜⎜ ⎟ 3 x ⎝ ⎠ 22

∫

arс cos 2 x 1− x

⎛ x 1 ⎞ 2 ⎜ ⎟⎟dx 2 + − cos 3 x ∫ ⎜⎝ tgx ⎠

⎛ 2x ⎞ cos − x e ⎜ ⎟dx ∫⎝ 6 ⎠ dx

∫x

(ln x − 1) 2

7 ⎛ ⎞ x − + 5 π ⎜ ∫ ⎝ 3 x ⎟⎠dx

∫ (2

+ 3x

) dx 2

⎛n x −mx ⎞ ⎟dx 32 ∫ ⎜⎜ k x ⎟⎠ ⎝ 33

⎛

∫ ⎜⎝1 −

1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜1 + ⎟dx x ⎠⎝ x⎠

⎛ x2 ⎞ ⎟dx 34 ∫ ⎜⎜1 − 2 ⎟ 1 + x ⎠ ⎝ 35

(1 − x ) ∫ x ⋅ 3 x dx

168

⋅ 515 x dx

⎛ 1 −5 x ⎞ 23 ∫ ⎜ 2 x − e ⎟dx ⎝5 ⎠ 24

∫2

x 7

2x x 10 − 2 26 ∫ 5 3 x dx

⎛1 x⎞ 19 ∫ ⎜ − ⎟ dx ⎝x 2⎠ xdx 20

( x + 1 ) dx 1− x

x 4 − 25

∫

x4 + x− 4 + 2 dx 3 x xdx

∫

e 3x + 1 16 ∫ x dx e +1

arctgx dx 1+ x2 3

( 3 x + 1) 2 dx x

∫ ⎛

∫ ⎜⎜⎝

⋅5

x 5

x−5

⎞ + sin3x ⎟⎟dx x ⎠

Задание №2

Найти неопределенные интегралы 1 2 3 4

∫ (5 + x) arccos xdx x ∫ e ⋅ (x + 1)dx

∫ ( x + 1) ⋅ arctgxdx ∫ (3 − x ) ⋅ cos xdx

∫ lg 3xdx

∫ (x

∫ ln( x + 1)dx x ∫ (3x + 2) ⋅ e dx ∫ ( x − 5) ⋅ sin xdx ∫ (ln x + e )dx ∫ (x + 3x + 1)e dx

∫ arcsin 3xdx

∫ ( x + 3) ⋅ ln

∫ (6

3x + 5 ∫ cos 2 x dx

∫e

10 11 12

−x

x 2 dx

−x

4x + 5 dx 2 x

∫ (x

+ x ) 2 dx

xdx

∫ (2x − 5) ⋅ e dx ∫ e ⋅ cos 2xdx ∫ sin

∫ (3x + 4) ⋅ cos 6xdx

+ 5x − 6) ⋅ ln xdx

∫ log xdx x ⋅ cos x ∫ sin x dx 3

∫ ( x + ln x ) dx ∫ x ⋅ arcctgxdx 2

24 25

28 29

+ 3) ⋅ 2 x dx

−2 x

ln x ∫ x 2 dx

∫ e ⋅ sin 3xdx ∫ ln( x + x )dx 2x

∫ x ⋅ sin(5x + 6)dx

∫ ( x − 3 ) dx

x ∫ cos 2 x dx

∫e

x 2

⋅ sin( 4 x − 1)dx

∫ (2x + 3) sin 5xdx

x ∫ sin 2 x dx 3x 35 ∫ e ⋅ cos 2 xdx 34

169

∫

x ⋅ log 5 xdx

Задание №3

Найти неопределенные интегралы 1

∫

dx x 3 ( x − 1) 2

x3 +1 dx 2 ∫ (x + 2)(x −1) 3

(3x + 4)dx ∫ (x2 + x +1)(x + 2)2

3 x 3 − 5 dx 25 ∫ x3 − x 26

∫

x 3 dx x2 −1

( x + 3) dx 16 ∫ 2 ( x − x + 1)( x − 3)

x3 + x 2 28 ∫ 2 dx x − 6x + 5

(x +1)dx 17 ∫ 2 (x + x + 2)(x2 + 4x)

x3 +1 dx 29 ∫ x(x − 1) 3

dx 18 ∫ (x − 2)2 (x2 + 4x + 5)

3x 2 − 4x + 5 dx 30 ∫ (x + 2)x 2

∫

x 4 dx ( x 2 + 1)( x − 1)

( 2 x + 5 ) dx ( x 2 + 4 )( x − 3 )

∫

x2 − 3 dx 8 ∫ ( x − 1) 2 x

( x − 3) dx ∫ ( x 2 + 1)( x + 1)

2x 2 − 3x + 3 31 ∫ 3 dx x − 2x 2 + x 32

5x3 − 9x 2 − 22x − 8 dx 21 9 ∫ x3 − 4x

3x 3 + x 2 + 5x + 1 ∫ x 3 + x dx 33

x 4 − 3x 2 − 3x − 2 10 ∫ dx 22 x 3 − x 2 − 2x

∫ (x

4x 3 + 25 ∫ x 2 + 3x + 2 dx

(x 3 − 5x 2 + 5x + 23)dx 27 15 ∫ (x 2 −1)(x − 5)

dx 7 ∫ 2 (x + 1)(x 2 − 4)

∫

dx x 2 ( x 2 + 1)

x 5 dx x2 +1

x +1 dx 5 ∫ 2 x + 10 x + 29 6

(2x 2 + x + 3)dx 13 ∫ (x + 2)(x 2 + x + 1)

(x + 1)dx + 1)(x 2 + 9)

∫

x 4 dx x 4 − 16

2x 2 − 3x + 3 dx 23 ∫ 3 x − 2x 2 + x

∫

x 5 dx x3 − 8

x ⎛ ⎞ 24 ∫ ⎜ 2 ⎟ dx x − 3 x + 2 ⎝ ⎠

∫

x3 + 1 dx x ( x − 1) 3

( x + 2 ) dx ∫ x 3 − 2x 2

∫

x 3 dx x 3 + 27

∫ (x

170

∫

dx x 2 ( x − 2) 2

3 − 2x dx + 16 ) x 2

Задание №4

Найти неопределенные интегралы

sin 3 x ∫ 1 + cos x dx

dx ∫ (1 + cos x ) sin x

dx ∫ 3 + tgx

5 ∫ cos ec xdx

2 ∫ cos 3x ⋅ cos 4xdx

cos 4 x ∫ sin 2 x dx

dx ∫ 3sin x + 4 cos x

15 ∫ cos 4 x sin 2 xdx

cos 3 x ∫ sin 5 x dx

dx ∫ 2 + sin x

3 2 ( tg x + ctg x )dx ∫

sin x ∫ 1 + tgx dx

3 ∫ сtg xdx

dx ∫ 5 + sin x + 3 cos x

29 ∫ cos 4 5 xdx

2 18 ∫ (tg x + ctg2x)dx

cos 5 x 30 ∫ dx sin 4 x

(1 + tgx ) dx sin 2 x

∫

∫ 5 + 4 cos x

∫ 1 − sin x − cos x

∫

dx ∫ sin 3 x cos 5 x

∫ cos

∫ 1 + sin 2 x dx

∫ cos 7 x sin

xdx 21

∫ cos

3 3 ∫ (сtg x − sin x)dx 22

dx ∫ sinx ⋅ (2 + cosx − 2sinx) 34

cos x ∫ 1 + cos x dx

3 5 sin x cos xdx ∫

5 ∫ sin x cos xdx

sin x cos x ∫ (3 + cos x)2 dx

dx ∫ 5 + 4 cos x

dx ∫ 8 − 4 sin x + 7 cos x

dx ∫ sin x cos 3 x

ctgxdx

x sin 2 xdx 2

x sin xdx

171

dx 2 + 3 cos x sin 2 x

sin 4 x 33 ∫ dx cos x

Задание №5

Найти неопределенные интегралы 6

∫1+

∫ x ⋅ (5 + x ) dx

∫

1 2 3

dx − x 2 + 6x − 8

∫

1+ x dx 2 x ⋅ x

∫

1− x2 dx x2

∫

x dx

∫x

∫

9 − x dx 2

x2 4 − x2

∫

x2 + 9 dx x2

∫

2 x − x 2 dx

∫x

∫

⋅ 1 + x dx 2

(9 + x )

2 3

1+ 4 x dx x dx

∫

∫ x ⋅ (1 +

∫

x2 −

∫

)

x dx 3

−

dx 5 + 2x − x

dx 3 + 2x + x 2 4 x − x 2 dx

x2 − 2 dx x4

∫

x dx

1− x + x

∫

∫ x⋅

∫ (x

∫x

∫

31 32

∫x ∫

x ⋅ 2 + 3 x 2 dx

∫

1+ 4 x3 dx x2

∫

∫ x ⋅ (1 + x ) dx

∫x

2 3 3

172

1 + x3

)

− 1 dx

⋅ x 2 − 1dx

∫

1 + 4 x3 dx x dx

2 3

(1 + x )

(1 − x )

2 3

(1 + x )

2 3

(

x ⋅ 1+ 3 x

)

dx 3

⋅ 3 2 − x3 5

3− 2⋅ x 5

dx 3 + x − x 3

x +1 2

4 − x 2 dx

Задание №6

Найти определенные интегралы 8

∫ x⋅

1+ x2

100

∫

10 0

∫

1− x2

∫x

∫

⋅ 1 − x dx 2

tg xdx

∫

4−x

2 x + x dx 2

1 + tg x ∫0 1 − tg 2 x dx

∫ (1 + x )

2 3

−2

∫ 0

sin

x x

x2 9−x

x dx x −1

∫

x2 4−x

∫

5 lg

∫ (1 − x ) dx 6

∫

x2 −1 dx x4

∫

3 tgx ∫0 1 − sin 2 x dx

2 3

4−x dx x − 12

173

dx x

0, 5 π

∫ sin

x cos3 xdx

0,5 π

∫ sin

x cos 2 xdx

−0, 5 π

4 1

1 1

x +1 dx x +1

∫1+

∫ ∫

∫

1− x2 dx x2

4x − x dx

dx 10 ∫ 3x + 1 4 2x +

∫ 0

16 − x dx

dx ∫1 x ⋅ cos2 (π ⋅ ln x )

x dx 19 ∫ 1 x + 0 3

∫

0 ,1

⋅ 1 − x 2 dx

dx ∫0 e x + e − x 4

0,2

5 2 ∫ x ⋅ 1 + x dx 18

2−x dx x−6

3 tgx ∫0 1 − sin 2 x dx

∫

0 π

x2 dx 16 ∫ 6 1 x + 1

∫

∫x 0

−1

∫1+

1− x 2

−1

ex dx 13 ∫ x −x − e e 0 ,5 9

dx x

lg x

0, 5 π

∫ 0

3x dx 4 cos2 x

Задание №7

Найти определенные интегралы π

2 2 ∫ cos x sin xdx

∫ cos x sin

xdx

⎛ 5 x ⎞ ⎛ 3x ⎞ cos ∫− 2π ⎜⎝ 2 ⎟⎠ cos⎜⎝ 2 ⎟⎠dx 15 π

∫ cos 3x ⋅ cos

4xdx

∫

cos 3 x dx sin 6 x

∫ cos π

x sin xdx

sin 5 x dx cos 6 x

∫ cos

x sin xdx

−2π

⎛ 3x ⎞ ⎛x⎞ sin cos ⎟ ⎜ ∫− π ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠dx

∫ sin x sin 3x sin 5xdx 0

∫ cos

x sin3 xdx

∫ sin 5x sin 3xdx 0

x sin 3xdx

∫ cos 7x sin

xdx

x sin xdx

∫ sin

∫ cos

xdx

−π π

x sin xdx

∫ cos

2π

4⎛ x ⎞ cos ∫− π ⎜⎝ 4 ⎟⎠dx

⎛ 5x ⎞ ⎛x⎞ ⋅ sin sin cos 5 x sin x cos xdx 23 ⎜ ⎟ ∫π ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠dx 35 ∫− π π

∫ tg xdx

∫ cos ∫ cos

xdx

−π

∫ sin π

⎛ 3 ⎛ x ⎞⎞ 20 ∫ ⎜⎜ tg x + ctg⎜ ⎟ ⎟⎟dx ⎝ 2 ⎠⎠ π ⎝ 4

∫ cos 4 x sin 3xdx 0

x sin 3 xdx

∫ cos π

∫ sin 2x cos 4x sin xdx

cos x dx 18 ∫ + 1 sin x 0

−π

xdx

∫

∫ sin 2 x cos 4

∫ cos

−π

dx 17 cos x cos 2 x cos 3 xdx ∫0 ∫0 cos 4 x

dx 16 ∫0 cos 6 x

ctg 5 xdx

−π

∫

∫ sin

x ⋅ cos x dx

174

∫ cos 0

x ⋅ 3 sin x dx

Задание №8

Исследовать на сходимость +∞

∫ 0

x3 16x 4 + 1

+∞

dx ∫ π(x 2 + 4x + 5) −1

+∞

∫ 0

3 − x2 dx x2 + 4

−1

7 ∫−∞ (x 2 − 4x ) ln 5 dx

∫

−∞ +∞

∫ 1

xdx (x 2 + 4)3 dx x (1 + x )

dx 10 ∫ ( x − 1) 2 −∞ +∞

x+2 dx 11 ∫ 2 x 2 x 2 + + 0 ∞

∫ x ⋅ cos xdx 0

x 4x 2 + 1

x −1

∫x e

+∞

∫ 1

x2 2

dx x

∞

dx ln x

+∞

x dx 20 ∫ 3 ( x 2 ) + 0

−x 29 ∫ x ⋅ e dx

+∞

x dx 32 ∫ 2 x x 1 + + −∞ ∞

2 −x ∫ x ⋅ e dx 3

+∞

∞

dx ∫1 x ln x + 1

∞

∫ x ⋅e

−

x2 2

∞

x dx 24 ∫ 4 ( x 3 ) − −∞

∫ x ⋅ sin 2xdx

−∞

∞

dx 23 ∫ 2 x − 5x + 6 4

dx ∫0 1 + x 3 0

dx 21 ∫ 2 33 x + 4 x + 13 −∞

x2 dx 22 ∫ 2 x +4 3

175

∫ x ⋅e

−

dx ∫1 (2x − 1)3

+∞

∞

+∞

∫x 2

dx ∫e x ⋅ ln 3 x

∫

dx ∫ x2 + 4 −∞ +∞

−∞

+∞

x ∫−1 x 2 + 4x + 5 dx

− x

arctgx dx 16 ∫ 2 + 1 x −∞

+∞

x2 −1

4dx ∫1 x(1 + ln 2 x )

∫e

+∞

πdx ∫1 (1 + 9 x 2 )arctg 2 3x

∫x 2

+∞

∫ (x +1) ⋅ sinxdx 0

Задание №9

Исследовать на сходимость 1

∫

∫ 0

1−

∫

( x 2 − 1)3 ln 2

∫

2 6

cos

(1 − sin 3x )

∫ 2

x2 − 4

∫ (4 − x )

∫ 0

∫

1− x3

3x 2 + 2 dx x

xdx 4 − x2

∫ x ⋅ ln(1 − x)dx 0

∫

−1

dx ∫0 1 + cos 4 x

x 3

x −4 2

4 − x2 dx x2

ln( x + 1) ∫−1 x + 1 dx

∫ 1

x +3 dx 3− x

dx ∫ ( x − 1) 2 −1 1

176

∫

dx x (1 + x )

∫ π

dx (x − 2)2 x2

∫ 2

1 ⎛1⎞ cos ⎜ ⎟ dx x2 ⎝x⎠

dx 11 ∫ x ⋅ ln 2 x 1

∫ 0

dx 10 ∫ 2 x −4 2

∫

−π

ln( 3 x − 1) ∫1 3 x − 1 dx

dx ∫1 x ln x

ctgxdx

xdx x −1

∫

9 − x2

∫ 1

dx 18 ∫ π 1 + cos 2 x

cos 3x

∫

2+ x dx 2− x

∫

∫ tgxdx

∫

−3

sin x

dx 25 ∫ π 1 + cos x 2

dx 7−x

dx ∫0 9 x 2 − 9 x + 2

∫

2 arcsin x π

−1

xdx

−1 7

π 1− x

13 ∫ x ⋅ ln(1 + x )dx

xdx 1− x4

1 x

∫ 0

1 ⎛1⎞ sin ⎜ ⎟ dx x2 ⎝x⎠

Задание №10

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций

⎧ y = sin x ⎪ 13 ⎨ y = − cos x ⎪ x=0 ⎩

⎧ xy = 20 ⎪ 2 2 + = 41 x y ⎨ 25 ⎪ x, y ≥ 0 ⎩ ⎧ y = ctgx ⎪ y = − 3 ⎪ ⎨ 26 ⎪ 3 y = − 1 ⎪⎩ 2 x = π

16 ⎧ y = ⎪ x2 ⎪ ⎨ y = 17 − x ⎪ x, y ≥ 0 ⎪ ⎩

⎧ ⎪ y = tgx ⎪ ⎨y = 3 ⎪ y = −1 ⎪ ⎩x =0

⎧ ⎪ xy = 4 2 ⎪ 2 2 14 ⎨ x + y = 6 x ⎪ y=0 ⎪ ⎩ x =4

⎧y = x3 ⎪ ⎨y = 2x ⎪ y = x ⎩

⎧y = x 2 −1 ⎪⎪ y = 15 , 15 ⎨ ⎪ y = 8 ⎪⎩ x ≥ 0

⎧ y = sin x ⎪ ⎨ y = 2 cos x ⎪ x=0 ⎩

⎧ xy ⎪⎪ xy 16 ⎨ x ⎪ ⎪⎩ y

⎧y = x 3 + 1 ⎨ ⎩ y = x +1

⎧9x 2 + 16y 2 = 144 17 ⎨ ⎩ x = 2, x = 0

⎧ x 3 − 3y = 0 29 ⎨ ⎩ 3x − y = 0

⎧ y = x3 +1 ⎪ 2 ⎨ y = ( x − 1) ⎪ y = 1− x ⎩

⎧ y= x ⎪ 18 ⎨ y = − x + 5 ⎪ x =0 ⎩

⎧ xy − 4 = 0 ⎪x − 4y = 0 30 ⎨ ⎪⎩ x = 16

⎧ 4y = x 2 ⎨ 2 ⎩2y = 6x − x

⎧ xy + 16 = 0 ⎪ 19 ⎨ 4 x + y = 0 ⎪⎩ x + 4 y = 0

⎧ y = cos x ⎪ 31 ⎨ 2 y = 3 ⎪ x ∈ [0;2 π ] ⎩

⎧ x 2 + y 2 = 16 ⎪x + y = 4 ⎨ ⎪x + y + 4 = 0 ⎩

⎧2x 2 +16x − y = −35 ⎪ x+4=0 ⎨ 20 ⎪ ⎩ y = 0, x = 0

⎧ y = lg x ⎪⎪10 x = 1, 32 ⎨ x = 10 ⎪ ⎪⎩ y = 0

= 2 = 8 = 9 = 9

177

8 ⎧ = y ⎪ 27 ⎨ 4 + x2 ⎪⎩ 4 y = x 2

⎧4x 2 + 9y 2 = 36 ⎪ ⎨ 4 − 3y = 0 28 ⎪ ⎩ y=0

⎧ y = −x 2 ⎨ ⎩y + x = −2

⎧y 2 = 9x 10 ⎨ ⎩ y = 3x ⎧ xy = 9 11 ⎨ ⎩3 x + y = 12

⎧4 x 2 + y 2 = 4 ⎨ 12 ⎩ x − y = 0

⎧y = arcsin x ⎪ 33 ⎨ x = 1 ⎪⎩ y = 0 ⎧ y = sin 2x 34 ⎨ ⎩6x = 5πy

⎧x 2 + 6x − y + 9 = 0 21 ⎨ x − y + 5 = 0 ⎩

⎧16 x 2 − 9 y 2 = 144 22 ⎨ x =5 ⎩ ⎧y = x3 − 6x 2 + 11x − 6 23 ⎨ y=0 ⎩

⎧ xy = 9 ⎪ 35 ⎨ xy = − 9 ⎪⎩ x = 3 , x = 6

⎧y2 = x ⎪ 24 ⎨ xy = 8 ⎪x = 9 ⎩

⎧9 y = x 2 ⎪ 36 ⎨ xy = 3 ⎪ y = 9 ⎩

Задание №11

В вариантах 1-5 по заданной площади криволинейной трапеции найти один из пределов интегрирования. β

∫

1 5 ⋅ x dx = 32 4

∫

∫ sin x ⋅ cosxdx = 0,25 5 0

1 = sin xdx ∫α 2

dx = 2 x

∫3

dx = log 3 e

В вариантах 6,7 по заданному равенству определить верхний предел интегрирования и площадь криволинейной трапеции, выражаемую интегралом. α

dx = α ⋅ ln 2 6 ∫ 1 + x 0

∫

1+ x2

(

= ln α +

)

В вариантах 8-11 по заданной площади криволинейной трапеции, найти пределы интегрирования. 2a

8 4⋅

∫x

dx = 15 10

p−9

∫ p

x dx = 18

∫x

1 + log

a−4

178

)

+ 4 x 3 + 5 x 4 dx = 4

−b

∫ (2 x + 3 x

dx = 60

В вариантах 12-14 вычислить определенный интеграл по заданному равенству. a

a +2

a 5 = 3 x dx 12 ∫ 4 a−2

∫ (1 + x) dx = 7(2a + 1) 2

a −1

∫ x dx = 5a 3

m+2

15. Площадь криволинейной трапеции равна

∫

x3 dx . Найти число m, если 2

известно, что данная трапеция равновелика трапеции, площадь которой π

выражается интегралом ∫ sin xdx . 0

16. Площади двух криволинейных трапеций выражаются соответственно t

dx интегралами ∫ x + 2 и −1

∫

1+ x

. При каких значениях параметра t эти

трапеции равновелики? 17. Площади двух криволинейных трапеций выражаются соответственно π

интегралами

∫ cos 2 xdx

∫ sin

3 xdx и относятся как 3: 2 . Определить

число t. 18.

Доказать

тождество

(равновеликость

криволинейных

a4 ∫0 x dx = 8 ⋅ ∫0 sin xdx для любого действительного значения a. 3

19. Показать, что

∫ e

dx ex = dx . ln x ∫1 x π

20. Показать, что

∫

2 dx cos x =∫ dx . arcsin x π x 4

179

трапеций)

21. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = ln x , касательной к ней в точке x = e и осью Ox. 2 22. К параболе x − y = 0 проведены касательные в точках с абсциссой 16.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и этими касательными. 2 23. К параболе y = x в точке, абсцисса которой равна 2, проведена

касательная. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой, касательной и осью абсцисс. 24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубической параболой

y = 2 x 3 и касательной, проведенной к параболе в точке с ординатой 16. 3 2 25. К кубической параболе y = 2x − 3x в точке ее пересечения с осью абсцисс

проведена касательная. Найти площадь фигуры, расположенной справа от оси ординат и ограниченной этой осью, касательной и данной кривой.

π π 26. К синусоиде y = sin x проведены касательные в точках с абсциссой и . 6 3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой и этими касательными. 27. К равносторонней гиперболе y =

4 x

проведены нормали в точках с

абсциссами x 1 = 1 и x 2 = e . Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой, координатными осями и этими нормалями. 28. К логарифмической кривой y = ln x проведена нормаль в точке с ординатой 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данной кривой, нормалью и осью абсцисс. 2 29. К параболе 1 + x + x − y = 0 проведена касательная, угловой коэффициент

которой равен 3. Определить площадь фигуры, ограниченной параболой, касательной и осью ординат. 30. К центральной ветви тангенсоиды y = tgx в точке с ординатой 1, проведена касательная. Вычислить площадь фигуры, ограниченной тангенсоидой и касательной. 180

31. Криволинейная трапеция площадью в 9000 кв.ед. ограничена кривой x − y 2 = 0 , осью ординат и некоторой прямой, перпендикулярной оси ординат. Найти эту прямую. 32. Криволинейная трапеция площадью в 3 кв.ед. ограничена кривой y = 3 sin x , осью абсцисс и некоторой прямой, параллельной оси ординат. Найти прямую, если 0 ≤ x ≤

π . 2

4 33. Прямая проходит через начало координат и отсекает от кривой y = 10x

сегмент площадью 96 кв.ед. Найти точки пересечения прямой и кривой. 34. Прямая проходит через начало координат и отсекает сегмент от параболы y = 3x 2 . При каком угле наклона прямой площадь этого сегмента составит 13,5 кв.ед? 35. Криволинейная трапеция площадью в

1 кв.ед. ограничена кривой 7 ln 2

y = 2 x , координатными осями и некоторой прямой, параллельной оси ординат. Найти уравнение этой прямой. 36. Доказать, что равенство (равновеликость криволинейных трапеций) p

∫ 1

dx = ∫ xdx невозможно, если p – целое число, отличное по модулю от x 1

единицы.

181

Задание №12

Вычислить

площади

фигур,

ограниченных

линиями,

заданными

уравнениями в полярной системе координат 13 ρ = 3 sin 4ϕ

ρ = sin 3 ϕ

ρ=ϕ ρ = cos ϕ + sin ϕ 14 ρ = ϕ2 ρ = cos ϕ

ρ = 2 cos ϕ ρ ≥1

ρ = 4 sin 2ϕ

16 ρ 2 = 4 sin 3ϕ

28 ρ = 2(1 + cos ϕ)

ρ = 2 + cos ϕ

17 ρ = 9 cos 2 ϕ

29 ρ = 4 cos 4ϕ

ρ 2 = 9 cos 2ϕ

18 ρ = 3 + sin 3ϕ

30 ρ = 3 sin 4ϕ

ρ = 4 cos 3ϕ

19 ρ = cos ϕ + sin ϕ 31 ρ = 4 sin 2 ϕ

ρ = 2 cos ϕ ρ = cos ϕ

1 ρ= 1 − cos ϕ π ϕ= 4 π ϕ= 2

710 ρ = 4 cos 3 ϕ 11 12

ρ 2 = 2 cos 2ϕ ρ ≥1 ρ = 2 + cos 2ϕ

ρ = 2 − cos ϕ ρ = cos ϕ

ρ = 2 sin ϕ ρ = 3 cos ϕ

ρ= 21 ρ =

25 ρ 2 = cos 4ϕ 26

ρ = 2 3 cos ϕ ρ = 2 sin ϕ

ρ = 2 cos 3ϕ ρ ≥1

ρ = 2 sin ϕ ρ = 4 sin ϕ

ρ = 3 cos ϕ ρ = 5 cos ϕ

1 ϕ 1 sin ϕ

⎛ π⎤ ϕ ∈ ⎜ 0; ⎥ ⎝ 2⎦ 22 ρ = 3(1 + sin ϕ) 23 ρ =

3 1 + 0,5 cos ϕ

24 ρ 2 + ϕ 2 = 1

182

34 ρ 2 = 9 sin 2ϕ 35

ρ = 4 sin ϕ ρ = 4 cos ϕ

36 ρ = 1 + sin ϕ

Задание №13

Вычислить длины дуг кривых

[

x ∈ 3; 15

]

y = chx x ∈ [0;1]

⎡ π⎤ x ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 6⎦ y = ex

x ∈ [0;1]

y = ln 7 − ln x

[

x ∈ 3; 8

ex + 1 e = x 14 e −1 x ∈ [1;2]

⎡π π⎤ x∈⎢ ; ⎥ ⎣3 2⎦ ⎛x⎞ y = 2ch⎜ ⎟ 26 ⎝2⎠ x ∈ [0;3]

5y 2 = x 3 15 x ∈ [0;25]

y = ln(x 2 − 1) 27 x ∈ [2;3]

y=x x 16 x ∈ [0;9] y = 1 − ln sin x

y = 0,25 ⋅ x 2 28 x ∈ [0;2]

⎡ π⎤ x ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 3⎦

]

y=x x x ∈ [1;4]

y = ln(1 − x ) x ∈ [0;0,25]

y = 2 x3 x ∈ [0;1]

⎡π π⎤ x∈⎢ ; ⎥ ⎣3 2⎦ y = 2 + chx 18 x ∈ [0;1] y = 2 + ln cos x 19

[

]

y 2 = 4x 30 x ∈ [0;1]

⎡ π⎤ x ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 6⎦ x = 0,25y 2 − 0,5 ln y

y ∈ [1; e]

[

⎛ 5 ⎞ y = ln⎜ ⎟ 11 ⎝ 2x ⎠

2y2 = x 3 29 x ∈ [0;10]

y = 2 − ex y = 1 − ln(x 2 − 1) 9 21 x ∈ [3;4] x ∈ ln 3; ln 8 y = 3 + chx y = ex 10 22 x ∈ [0;1] x ∈ [0; ln 2]

x ∈ 3; 8

y = 1 − ln cos x 3

y = ln sin x

y = ln cos x

y = ln x

y = 3 ln(9 − x 2 ) 23 y≥0 183

]

x 2 ln x y= − 31 4 2 x ∈ [1;2] y = 0,5 ⋅ x 2 32 x ∈ [0;4] y = 2 ln(4 − x 2 ) 33 y≥0 y 2 = 2x 3 34 x ∈ [0;1] y = 1 − ln cos x 35

⎡ π⎤ x ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 4⎦

y = 1 − chx 12 x ∈ [0;1]

y = 0,5 ⋅ ch 2 x 24 x ∈ [0;2]

y = ln x

[

x ∈ 3; 8

]

Задание №14

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями

⎧x = cos t + t ⋅ sin t ⎨ ⎩ y = sin t − t ⋅ cos t t ∈ [0;2π]

⎧x = 2 cos t − cos 2 t ⎧x = t − sin t ⎨ ⎨ 13 ⎩ y = 2 sin t − sin 2t 25 ⎩ y = 1 − cos t t ∈ [0;2π] t ∈ [0;2π]

⎧x = 2 sin t ⎨ ⎩ y = 2 cos t t ∈ 0; π 2

⎧⎪x = 2 cos3 t ⎧x = 6 cos t + 8 sin t ⎨ ⎨ 3 14 ⎩ y = 6 sin t − 8 cos t 26 ⎪ ⎩y = sin t t ∈ 0; π t ∈ 0; π 2 2

⎧x = cos t + sin t ⎨ ⎩ y = cos t − sin t t ∈ [0;2π]

⎧x = 4( t − sin t ) ⎨ 15 ⎩ y = 4(1 − cos t ) t ∈ π ; 2π 2 3

⎧⎪x = 2 cos 3 t ⎨ ⎪⎩y = 2 sin 3 t t ∈ 0; π 4 ⎧x = 2( t − sin t ) ⎨ ⎩ y = 2(1 − cos t )

⎧⎪x = cos 2 t ⎨ 2 16 ⎪ ⎩y = sin t t ∈ 0; π 2 ⎧x = t ⎨ 17 ⎩ y = ln t

[

]

[ ]

t ∈ [0; π]

[

]

[

[ ]

]

[

]

[ ]

⎧⎪x = 3 ⋅ t 2 ⎨ 3 28 ⎪ ⎩y = t − t t ∈ [0;0,5]

[

⎧x = 4 2 sin t ⎨ 29 ⎩ y = sin 2t t ∈ [0; π]

t ∈ 3; 15

]

⎧⎪x = 2 + 2 cos 2 t ⎨ 2 18 ⎪ ⎩y = 2 + 2 sin t t ∈ 0; π 4 ⎧x = t 2 ⎧x = 2(cos t + t ⋅ sin t ) ⎪ ⎨ ⎨ t3 y = 2 (sin t − t ⋅ cos t ) 19 ⎪ y = t − ⎩ 3 ⎩ t ∈ [0; π] t ∈ [0;1]

⎧x = 1 + 2 cos t ⎨ ⎩ y = 3 + 2 sin t t ∈ [0; π]

t ⎧ ⎪x = cos t + ln tg 2 ⎨ 27 ⎪ y = sin t ⎩ t ∈ π ;π 4 2

[ ]

184

⎧x = sht − t ⎨ 30 ⎩ y = cht − 1 t ∈ [0;2π] ⎧x = t ⎪ ⎨ t 31 ⎪ y = 4 ⎩ t ∈ [1;2]

⎧x = t ⎨ ⎩y = t t t ∈ [0;1]

⎧x = 4 cos t − 2 cos 2t ⎨ ⎩ y = 4 sin t − 2 sin 2t t ∈ [0; π]

⎧x = t 2 ⎪ ⎨ t3 11 ⎪ y = t − 3 ⎩

[

⎧⎪x = cos 4 t ⎨ 4 32 ⎪ ⎩ y = sin t t ∈ 0; π 2 ⎧⎪x = e t cos t ⎨ t 33 ⎪ ⎩ y = e sin t t ∈ [0; ln π]

⎧x = 3(sht − t ) ⎨ 22 ⎩ y = 3(cht − 1) t ∈ [0;2π]

⎧x = t ⎨ 34 ⎩ y = ln(t − 1) t ∈ [4;9]

[ ]

⎧x = t ⎪ ⎨ t 10 ⎪ y = 2 ⎩ t ∈ [1;9]

t ∈ 0; 3

⎧⎪x = 8 cos3 t ⎨ 3 20 ⎪ ⎩ y = 8 sin t t ∈ 0; π 6 ⎧⎪x = ch 3 t ⎨ 3 21 ⎪ ⎩y = sh t t ∈ [0;2π]

[ ]

⎧ t3 ⎪x = − t 3 ⎨ 35 ⎪ 2 ⎩y = t + 2

⎧⎪x = 3 ⋅ t 2 ⎨ 3 23 ⎪ ⎩y = t − t t ∈ [0;1]

]

⎧x = 2(sht − t ) ⎨ 12 ⎩ y = 2(cht − 1)

t ∈ [0;3]

⎧⎪x = cos 5 t ⎨ 5 36 ⎪ ⎩ y = sin t t ∈ 0; π 4

⎧x = 9( t − sin t ) ⎨ 24 ⎩ y = 9(1 − cos t )

t ∈ [0; π]

[ ]

t ∈ [0; π]

Задание №15

Вычислить

площади

фигур,

ограниченных

линиями,

заданными

уравнениями в полярной системе координат 1

ρ = 2(1 − sin ϕ)

[

ϕ ∈ 0;π

]

ρ = 2e ϕ , ϕ ∈ [0;1]

ρ = 2ϕ ϕ ∈ [0; π]

ρ = 3ϕ ϕ ∈ 0; π

ρ = 1 − cos ϕ

[ 2]

ρ = 3(cos ϕ + sin ϕ) ρ = 1 − sin ϕ 13 25 ϕ ∈ 0; π ϕ ∈ − π ;− π 6 2 6 26 ρ = 4ϕ , ϕ ∈ 0; π 4 14 ρ = ϕ , ϕ ∈ [0; π]

[ ]

[

ρ = 1 + cos ϕ 15 ϕ ∈ 0; π 2 ρ = 2(1 + cos ϕ) 16 ϕ∈ − π ;π 2 2 17 ρ = ϕ2

[ ]

[

]

185

[

]

ρ = 2 ⋅ eϕ

[0 ; π 3 ]

ϕ ∈

ρ = 3(1 + sin ϕ) 28 ϕ ∈ 0; π 6 29 ρ = 2(cos ϕ + sin ϕ)

[

]

[

ϕ ∈ 0; π 6

] [ ]

ρ = 3 sin ϕ 18 ϕ∈ π ;π 4

ρ = 3 cos ϕ ϕ∈ − π ;π 2 2 ρ = 4 cos ϕ ϕ∈ − π ;π 2 4

]

ρ = cos ϕ + sin ϕ 19 ϕ ∈ 0; π 2

[

] ρ = 3ϕ , ϕ ∈ [0; π 4 ]

ρ= 10

1 sin ϕ

[

]

ϕ∈ π ;π 4 2 ρ = 8 (1 − cos ϕ ) 11 ϕ ∈ − 2π ;0 3

[

ϕ ∈ 0; π

1 ρ= , ϕ ∈ 0; π 4 cosϕ

[

ϕ ∈ [0; π]

ρ = cos 3

]

ϕ 3

[ 2]

ϕ ∈ 0; π

[

]

[ ]

[

1 , ϕ∈ 3 4 ; 4 3 ϕ ϕ ρ = sin 3 3 22

]

[ 3]

ϕ ∈ 0; π

ρ = 1 − cos ϕ ϕ ∈ [0;2π]

ρ= 24

2 sin ϕ

[

ϕ∈ π ;π 3 2

3ϕ

[

ϕ∈ − π ;π 2 2

ρ = 2ϕ2

[

]

ϕ∈ π ;π 4 ρ = 2 sin ϕ 32 ϕ ∈ [0; π]

ρ = th (0,5ϕ) ϕ ∈ [0;2π]

21 ρ =

ρ = 3⋅ e

]

[

ϕ∈ − π

;π

]

ρ = 2 ⋅ th (0,5ϕ) ϕ ∈ [0;2π]

ρ=

]

[ ]

3 , ϕ ∈ 3 4 ;1 ϕ 1 ρ= 1 + cos ϕ 34

33 ρ =

4 cos ϕ

[

ϕ ∈ 0; π

]

Задание №16

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Для вариантов 1-18 ось вращения – ось Ox, для вариантов 19-36 ось вращения – ось Oy.

⎧y = x ⋅ e x ⎪ ⎨y = 0 ⎪x = 1 ⎩

⎧ y = sin x ⎨ x ∈ [0; π] ⎩y = 0

⎧ x2 ⎪⎪ y = 4 13 ⎨ 3 ⎪y = x ⎪⎩ 8 ⎧xy = 4 14 ⎨ x ∈ [2; ∞) ⎩y = 0 186

1 ⎧ ⎪y = 1 + x 2 ⎪ 25 ⎨ 2 y = x ⎪x = 0 ⎪ ⎩ 26

x 2 − y2 = 4 y ∈ [− 2;2]

⎧⎪x = sin 3 t ⎧x = 1 ⎨⎪ 3 ⎩ y = cos t ⎨ ⎩ y = 0 t ∈ 0; π 2

[ ]

⎧⎪ x + y =1 ⎨ x ∈ [0;1] ⎪⎩y = 0 ⎧⎪y = x 2 ⎨ 2 ⎪⎩y = x

⎧x = t − sin t ⎨ y = 1 − cos t 15 ⎩ t ∈ [0;2π] y=0

⎛x⎞ 16 y = 3⎜ ⎟ ⎝2⎠

⎧y ⎪ ⎪y 27 ⎨ ⎪x ⎪⎩ x

x ∈ [0;2]

⎧xy = 1 ⎨ x ∈ [0; ∞) y = 0 ⎩

⎧ y = ln x ⎪ 20 ⎨ x = 2 ⎪y = 0 ⎩

⎧y = x 2 − 4x + 4 1 ⎧ ⎪ ⎪y = 1 + x 2 x ∈ [0; ∞) 21 ⎨ y = 0 ⎨ ⎪x = 0 ⎪y = 0 ⎩ ⎩

x ∈ [0;5]

⎧y = 3sinx x ∈ [0; π] y = sin x ⎩

12 ⎨

⎧⎪y = x 2 28 ⎨ ⎪⎩y = x 3

⎧y = e − x 32 ⎨ x ∈ [0; ∞) ⎩y = 0

⎧ y = shx ⎨ x ∈ [1;2] ⎩y = 0

⎧⎪y = x 2 30 ⎨ ⎪⎩y 2 = 8x

x 11 y = 2⎛⎜ ⎞⎟ ⎝5⎠

= 0

⎧y = 2x − x 2 29 ⎨ ⎩y = 0

⎧⎪ y = x 3 18 ⎨ ⎪⎩ y = x ⎧ y = ( x − 1) 2 19 ⎨ ⎩y = 1

⎧ y = cos x ⎨ x ∈ [0; π] ⎩y = 0

= 0

y = e − x ⋅ sin x 17 x ∈ [0; π]

⎧ y = chx ⎨ x ∈ [0;1] ⎩y = 0

= x2 +1

⎧y = x3 31 ⎨ ⎩y = x

⎧ y = arcsin x ⎪ 33 ⎨ y = arccos x ⎪x = 0 ⎩

⎧ y = arcsin x ⎪ 22 ⎨ y = arccos x ⎪y = 0 ⎩

⎧y = x 2 ⎪ 34 ⎨ y = 0 ⎪x = 4 ⎩

⎧xy = 1 ⎨ y ∈ [1;8] ⎩x = 0 ⎧y = e x 24 ⎨ y ∈ [1;2] x = 0 ⎩

⎧ y = chx ⎨ y ∈ [1;2] ⎩x = 0 ⎧y = x 3 36 ⎨ y ∈ [0;8] x = 0 ⎩

187

Задание №17

С помощью определенного интеграла решить следующие физические задачи. 1. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму параболоида вращения, радиус основания которого равен R , а высота H . 2. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы вытащить из воды конус, подвешенный так, что его вершина находится на поверхности воды. 3. Шар радиуса R и удельного веса γ = 1 погружен в воду так, что касается ее поверхности. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды. 4. Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость. Какая при этом должна быть совершена работа, если длина цистерны

м, а диаметр d

метров? 5. Цилиндрический баллон диаметром 24 см и длиной 80 см наполнен газом под

давлением

кн / м 2 . Какую работу надо совершить при

изотермическом сжатии газа до объема в 2 раза меньшего? 6. Вычислить работу, которую надо совершить, чтобы насыпать из песка конус, радиус основания которого R=1,2 м, а высота 1 м. 7. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила 1 н. растягивает ее на 0,01 м? 8. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой

H = 6 м и радиусом основания

R = 2 м. Удельный вес масла γ = 8820 н / м 3 . 9. Однородный прямой конус высотой 0,1 м и радиусом основания 0,1 м, 3

удельным весом γ = 29400 н / м находится на дне бассейна глубиной 0,1 м. Какую работу надо совершить, чтобы извлечь этот конус из воды?

188

10. Какую работу нужно произвести, чтобы поднять тело весом P н на высоту

H м от центра земли. 11. Растяжение пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кН, удлиняет ее на 1 см. 12. Деревянная прямоугольная балка плавает на поверхности воды. Вычислить работу, необходимую для ее извлечения из воды, если размеры поперечного сечения балки равны 0,4 м; 0,2 м; длина 4,5 м, а удельный вес дерева

γ = 0,8 г / м 3 . 13. Вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму полушара радиуса R = 8 м. 14. Вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы остановить железный шар радиуса R , вращающийся с угловой скоростью ω вокруг своего диаметра. 15. Определить работу, совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту 200 км. Масса спутника равна 6 т, радиус Земли R = 6380 2

км. Ускорение свободного падения у поверхности Земли g = 10 м / с . 16. В жидкость плотности ρ погружена треугольная пластина так, что ее вершина находится на поверхности воды. Найти давление жидкости на пластину, если основание треугольника равно a, а высота h. 17. Найти давление бензина на стенки цилиндрического бака высотой 4 м и 3

радиусом 2 м, если плотность бензина ρ = 900 кгс / м . 18. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции с верхним основанием 70 м, нижним 50 м и высотой 20 м. 19. Вычислить силу давления жидкости на вертикальный эллипс с осями 2a и 2b, центр которого погрузили в жидкость на уровень h ( h ≥ b) . d – плотность жидкости. 20. Найти давление на пластинку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями a и b, высотой h, погруженную в жидкость на глубину d. 189

21. Найти величину давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого, равный 6 см, находится на поверхности воды. Плотность 3 воды ρ = 1000 кгс / м .

22. Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента высотой

h = 12 м. Верхнее основание a = 30 м находится на поверхности воды. Вычислить силу давления воды на плотину. 23. Определить давление воды на вертикально погруженный в неё эллипс

x 2 y2 + = 1 , если большая ось находится на поверхности воды. 25 16 24. Плотина имеет форму трапеции. Вычислить давление воды на плотину, если верхнее основание ее равно 800 м, нижнее 200 м, а высота 20 м. 25. Найти величину давления воды на поверхность шара диаметром 4 м, если его центр находится на глубине 3 м. 26. В жидкость с плотностью ρ погружена круглая пластина диаметром d. Найти давление жидкости на пластину, если пластина касается поверхности воды. 27. Верхний край шлюза, имеющий форму квадрата со стороной 8 м, лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, полученных делением квадрата его диагональю. 28. Найти величину давления воды на поверхность шара диаметром d, если его центр находится на глубине d 2 . 29. Вычислить

величину

давления

на

прямоугольник,

вертикально

погруженный в воду, если известно, что основание его равно 5 м, высота 4 м, верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м. 30. Прямоугольная пластинка со сторонами a и b погружена в воду под углом α к поверхности воды. Вычислить давление воды на пластинку, если большая ее сторона a параллельна поверхности и лежит на глубине H.

190

31. При прямолинейном движении тяжелой точки в некоторой среде сила сопротивления

возрастает

прямо

пропорционально

квадрату

пути,

пройденному точкой от начального пункта движения. Найти работу силы сопротивления как функцию пройденного пути. 32. При разгоне двигателя потребляемая мощность меняется по закону

N = 0,1t 3 , где t – в сек, N – в Квт. Найти работу, затраченную на разгон двигателя, если время разгона равно 3 сек. Силами сопротивления пренебречь. 33. Маховик радиусом r и массой m равномерно вращается с угловой скоростью ω. Определить кинетическую энергию маховика W. 34. Найти абсолютное сжатие колонны высотой h и площадью сечения S, вызванное ее собственным весом P. (Применить закон Гука). 35. Напряжение на конденсаторе равно U, емкость его равна C. Найти потенциальную энергию конденсатора. 36. Поле образовано точечным зарядом q. Вычислить потенциал поля ϕ в точке, удаленной от заряда на расстояние r. Задача №18 С помощью определенного интеграла решить следующие физические задачи

1. За какое время вода вытечет из конической воронки высотой H = 40 см, радиус нижнего основания r = 0,3 см, верхнего R = 6 см (воспользоваться законом Торричелли). 2. В дне цилиндрического сосуда с площадью основания 100 см 2 , высотой 30 см имеется отверстие. Найти площадь этого отверстия, если известно, что вода, наполняющая сосуд, вытекает из него за 2 мин. (воспользоваться законом Торричелли). 3. Скорость движения точки

V = t ⋅ e −0, 01t м/с. Найти путь, пройденный

точкой от начала движения до полной остановки. 191

4. Найти массу стержня длиной l = 100 см, если линейная плотность стержня 2 на расстоянии x см от одного из его концов равна ρ = 2 + 0,001x г / см 2 .

5. Согласно

эмпирическим

данным

удельная

теплоемкость

воды

при

−5 −7 2 o o o o температуре t C (0 ≤ t ≤ 100 ) равна C = 1 − 5,2 ⋅ 10 t + 6,9 ⋅ 10 t . Какое

количество тепла нужно затратить, чтобы 1 г воды нагреть от

t = 0o C до

t = 100 o C ? 6. Ветер производит равномерное давление P на дверь, ширина которой равна b, высота равна h. Найти момент силы давления ветра, стремящегося повернуть дверь на петлях. 7. С какой силой притяжения действует материальный стержень длиной l и массой M на материальную точку массы m, находящуюся на одной прямой со стержнем на расстоянии a от одного из его концов? 2 8. Скорость движения материальной точки V = 0,5t м/с. Найти путь S ,

пройденный точкой за время t = 8 с после начала движения. Чему равна средняя скорость движения на этом промежутке времени? 9. Найти массу стержня длиной 100 см, если линейная плотность стержня

(

)

2 меняется по закону ρ = 20x + 0,15x г/см, где x – расстояние от одного из

его концов? 10. Скорость материальной точки изменяется по закону V = (12 − 2 t ) м/с. Каково наибольшее удаление точки от начала движения? 11. Вычислить кинетическую энергию диска массой M и радиусом R, вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через центр диска перпендикулярно к его плоскости? 12. Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током

⎛ 2πt ⎞ − ϕ ⎟ в течение периода T в проводнике с сопротивлением R I = I 0 sin ⎜ ⎝ T ⎠ (Воспользоваться законом Джоуля - Ленца).

192

13. Вычислить кинетическую энергию прямоугольной пластинки, стороны которой a см и b см (a > b) , вращающейся с постоянной угловой скоростью

ω c −1 вокруг оси, проходящей через ее центр параллельно большей стороне. 14. Пластинка, имеющая форму треугольника с основанием a см и высотой h см, вращается с постоянной угловой скоростью ω c −1 вокруг стороны a. Вычислить кинетическую энергию этой пластинки. 15. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью

V0 см/с, без учета сопротивления воздуха, дается формулой V = V0 − gt , где t – протекшее время, g – ускорение силы тяжести. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t секунд? 16. Ракета поднимается вертикально вверх. Считая, что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьшения ее веса растет по закону j=

A , (a − bt ) > 0 . Найти скорость ракеты в любой момент времени t, a − bt

если начальная ее скорость равна 0. 17. При установившемся ламинарном течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса R скорость течения V в точке, находящейся на расстоянии r от оси трубы, дается формулой V =

(

)

P R 2 − r 2 , где P – разность давлений 4μl

жидкости на концах трубы; μ – вязкость; l – длина трубы. Определить расход жидкости

Q, то есть количество жидкости, протекающей через

поперечное сечение трубы в единицу времени. 18. С какой силой проволочное кольцо радиусом R и массой M действует на материальную точку C массой m, лежащую на прямой, проходящей через центр кольца, перпендикулярно к его плоскости, если расстояние от точки C до центра кольца равно a? 19. С какой силой полукольцо радиусом r и массой M действует на материальную точку массы m, находящуюся в его центре? 193

20. Тело, температура которого 25°C, погружено в термостат (температура которого поддерживается при 0°C). За какое время тело охладится до 10°C, если за 20 мин оно охлаждается до 20°C? (Воспользоваться законом охлаждения Ньютона). 21. Тело, температура которого 30°C, за 30 мин пребывания в термостате при температуре 0°C охладилось до 22,5°C. Какова будет температура тела через 3 ч после начала опыта? (Воспользоваться законом охлаждения Ньютона). 22. Напряжение на клеммах электрической цепи U=120 В. В цепь равномерно вводится сопротивление со скоростью 0,1 Ом в секунду. Кроме того. В цепь включено

постоянное

сопротивление

r=10

Ом.

Сколько

кулонов

электричества пройдет через цепь в течение 2-х минут? 23. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально 120В, равномерно падает, убывая на 0,01 В в секунду. Одновременно с этим в цепь вводится сопротивление с постоянной скоростью, равной 0,1 Ом в секунду. Сколько кулонов электричества пройдет через цепь в течение 3 мин, если в цепи имеется постоянное сопротивление r=12 Ом? 24. Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 30 м? (Количество света, поглощенного при прохождении через слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на поверхность). 25. Если количество фермента 1 г через час становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов после начала брожения, если считать, что скорость прироста фермента пропорциональна его наличному количеству. 26. 2 кг соли растворяют в 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяется. Через сколько времени растворится 99% первоначального количества? (Скорость растворения пропорциональна количеству нерастворенной соли и разности между концентрацией насыщенного раствора, которая равна 1 кг на 3 л, и концентрацией раствора в данный момент).

194

27. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью в 3 л, содержит 20% кислорода. Сосуд имеет 2 трубки. Через одну из них в сосуд начинают впускать чистый кислород, через другую наружу выпускают столько же воздуха, сколько впускают кислорода. Какое количество кислорода будет содержаться в сосуде, после того как через него протечет 10 л газа? В каждый момент концентрация кислорода в сосуде при помощи перемешивания сохраняется одной и той же во всем его объеме. 28. В дне котла, имеющего форму полушара радиусом R=43 см, образовалась 2

пробоина площадью S=0,2 cм . Через сколько времени вода, наполняющая котел, вытечет из него? (Воспользоваться законом Торричелли). 29. Круглый цилиндр, радиус основания которого R, а высота H, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω . Плотность материала, из которого сделан цилиндр, равна

ρ . Найти кинетическую энергию

цилиндра. 30. Тонкая проволочка массы M согнута в виде полуокружности радиуса R и вращается вокруг оси, проходящей через концы полуокружности, делая n оборотов в мин. Вычислить ее кинетическую энергию. 31. Материальная

P = P0 sin

точка

движется

прямолинейно

под

действием

силы

πx , где P0 и l - постоянные величины, x – путь в м, P – сила в l

ньютонах. Найти работу на пути

x = 11l , считая от начального пункта

движения. 32. По катушке индуктивностью L течет постоянный ток I. Найти энергию W магнитного поля катушки. 33. Вычислить среднюю за период мощность в цепях переменного тока: а) с чисто активным сопротивлением, б) с чисто реактивным (идуктивным или емкостным) сопротивлением. (Среднюю за период мощность P определяют

195

как отношение энергии тока, затраченной за время одного периода, к

1 P = периоду тока, т.е. T

∫ uidt

34. Конденсатор разряжают на резистор сопротивлением r. Известно, что разрядный ток меняется по закону

i = Je−βt , где J и β - постоянные

величины. Ток дан в амперах, сопротивление – в омах. Какую работу совершит ток за первую секунду процесса? 35. При замыкании цепи ток нарастает по закону i = 4(1 − e

−2 t

) , где ток дан в

амперах. В цепь включена электролитическая ванна с раствором CuSO4. Сколько меди выделится из раствора за первые 5 сек электролиза? 36. В цилиндре с поршнем заключено m кг газа с молекулярным весом μ при температуре T° по шкале Кельвина. Вычислить, какая работа затрачивается при изотермическом сжатии газа, если поршень перемещают в направлении сжатия на величину ΔH при высоте рабочей части цилиндра H? (Применить уравнение Клайперона pV =

m RT , где p – давление, V - давление газа, R – μ

универсальная газовая постоянная). Задача №19 −5 Вычислить с точностью Δ = 10 определенные интегралы при помощи

компьютерных пакетов программ π

∫

−4 7

∫ π

∫ 0

∫

x + 6dx 4

cos x dx

dx ln x

∫ 1

1 + cos x dx

∫

1 + sin 2 x dx

e dx x

2 + x dx 2

∫e

x2 4

∫

−5

196

−

1 + x 2 dx

∫ 2

∫

2 + cos x dx

∫

∫x

⋅ 10 + x dx 19 2

∫

1 + x dx

∫e

∫ 0

−x

∫ 1

x 1 + ex

1+ x2

∫ 0

x ⋅ e dx

∫

cos x dx 1+ x

∫ 0

tgx dx

∫

7 + x 4 dx

0 1

x2 1+ x2

arctgx dx x

∫ 0

x3 dx x8 +1

2 ln ∫ x dx 1

∫ 1

ex dx x2

0 ,5

∫e

3 − sin x dx

∫ arctgx dx

sin x

∫ 0

sin x dx 22 ∫ x 0

dx ln 2 x

4 + x dx 3

1 1

∫

∫ 2

1+ x4

∫

∫ 1

ex dx x+5

1 2

∫ 10

tgx dx x

−1

∫

0 π

ln x dx x2

1 + x dx 5

∫ 0

197

x (1 − x )dx

3.4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА "Приближенное вычисление определенных интегралов" Цель работы: изучение приближенных методов вычисления определенных интегралов с помощью пакета MathCad. В лабораторной работе рассмотрены способы вычисления определенных интегралов методами прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Варианты заданий к лабораторной работе приведены в 3.3.19. Ниже рассмотрено решение тестового примера. Задание: Вычислить с точностью eps=0.01 определенный интеграл b

∫a f ( x )dx

с помощью пакета MathCad.

1. Задайте подынтегральную функцию и промежуток интегрирования [a,b]

f ( x) := x a := 1 b := 9 2. Точное значение интеграла, вычисленное средствами MathCad b

⌠ ⎮ f ( x) dx = 17.333 ⌡a

3. Задайте точность вычисления интеграла

eps := 0.01

4. Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников 4.1) Расчет максимального значения первой производной d d1 ( x) := f ( x) dx

M0 := d1 ( a) M1 := d1 ( b) ⎡ ( a + b) ⎤ M2 := d1 ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎛ 0.5 ⎞

⎜ ⎟ M = ⎜ 0.167 ⎟ ⎜ 0.224 ⎟ ⎝ ⎠

maxM1 := max ( M) maxM1 = 0.5 198

4.2) Расчет шага вычислений

⎡ ⎣

eps ⎤ ⎥ maxM1 ⋅ ( b − a) ⎦

h := ⎢ 12 ⋅ h = 0.173

4.3) Расчет числа разбиений

( b − a) ⎤ ⎥ ⎣ h ⎦

n := round ⎡⎢ n = 46

4.3а) Уточнение шага

( b − a) n h = 0.174 h :=

4.4) Вычисление определенного интеграла i := 0 .. n

xi := a + h ⋅ ( i + 0.5)

⎛ n−1 ⎞ ⎜ InPr := h ⋅ f ( xi) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝i = 0 ⎠ InPr = 17.334

∑

5. Вычисление определенного интеграла методом трапеций 5.1) Расчет максимального значения второй производной 2

d2x ( x) :=

f ( x)

dx M0 := d2x ( a)

M1 := d2x ( b) ⎡ ( a + b) ⎤ M2 := d2x ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦

0.25 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 3 M = ⎜ 9.259 × 10 ⎟ ⎜ ⎟ 0.022 ⎝ ⎠ maxM2 := max ( M)

maxM2 = 0.25

199

5.2) Расчет шага вычислений

⎡ ⎣

h := ⎢ 12 ⋅ h = 0.245

eps ⎤ ⎥ maxM2 ⋅ ( b − a) ⎦

5.3) Расчет числа разбиений

( b − a) ⎤ ⎥ ⎣ h ⎦

n := round ⎡⎢ n = 33

5.3а) Уточнение шага ( b − a) h := n

h = 0.242 5.4) Вычисление определенного интеграла i := 0 .. n

xi := a + h ⋅ i

⎡ n−1 ( f ( x0) + f ( xn) ) ⎥⎤ ⎢ InTrap := h ⋅ f ( xi) + ⎢ 2 ⎥ i = 1 ⎣ ⎦

∑

InTrap = 17.332 6. Вычисление определенного интеграла методом парабол (Симпсона) 6.1) Расчет максимального значения четвертой производной

d4x ( x) :=

4 4

f ( x)

dx M0 := d4x ( a) M1 := d4x ( b)

( a + b) ⎤ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 0.937 ⎞

M2 := d4x ⎡⎢

⎛ ⎜ −4 M = ⎜ 4.287 × 10 ⎜ −3 ⎝ 3.354 × 10 maxM4 := max ( M) maxM4 = 0.937

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

200

6.2) Расчет шага вычислений 4

h :=

180 ⋅

eps maxM4 ⋅ ( b − a)

h = 0.7 6.3) Расчет числа разбиений

⎡ ( b − a) ⎤ ⎥ ⎣ h ⎦

n := round ⎢

n := n + 1 n = 12

6.3а) Уточнение шага

h :=

( b − a) n

h = 0.667 6.4) Вычисление определенного интеграла i := 0 .. n xxi := a + h ⋅ i n m := 2

S0n := f ( xx0) + f ( xxn)

m m ⎛ ⎞ h ⎜ InSim := ⋅ S0n + 4 ⋅ f ( xx2⋅ j−1) + 2 ⋅ f ( xx2⋅ j−2) ⎟ 3 ⎜ ⎟ j =1 j =2 ⎝ ⎠

∑

InSim = 17.333

201

ЛИТЕРАТУРА Основная литература: 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1980. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления. Т.1,2. М., Наука, 1985. 3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985. Дополнительная литература: 1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа, 2000. 2. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1., М., Рольф, 2000.

Учебные пособия кафедры: 1. Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Янчушка А.П. Неопределенные и определенные интегралы. Учебное пособие. - Уфа: УГНТУ, 2004.-74с. 2. Янчушка А.П., Савлучинская Н.М. Практикум по неопределенным интегралам. - Уфа: УГНТУ, 2000.-52с. 3. Степанова М.Ф., Умергалина Т.В., Жданова Т.Г. Практикум «Определенные и несобственные интегралы и их приложения». - Уфа: УГНТУ, 2001.-45с. 4. Зарипов Э.М., Жданова Т.Г., Фаткуллин Н.Ю., Хакимов Д.К. Расчетные задания по математике. Неопределенный и определенный интеграл. - Уфа: УГНТУ, 2004.-37с. 5. Юлдыбаев Л.Х., Зарипов Р.М. Лабораторный практикум по математике. Уфа: УГНТУ, 2003.-53с.

202