Раздел 7. Интегральное исчисление функции нескольких переменных (задачник) by Абзалимов Рамиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 7 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 7 «Интегральное исчисление функции нескольких переменных». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 175 с. Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 1 «Линейная и векторная алгебра», предназначенный для оценки знаний студентов. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра МАТЕМАТИКИ

КОНТРОЛЬНО - ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

РАЗДЕЛ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

УФА 2007

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

номер темы

порядковый номер

сложность

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ) по разделу: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ» 1.Область интегрирования. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле. 2. Двойной интеграл. Непосредственное вычисление. 3. Замена переменной в двойном интеграле. 4. Приложения двойного интеграла. 5. Тройной интеграл. Непосредственное вычисление. 6. Замена переменной в тройном интеграле. 7. Приложения тройного интеграла. 8. Криволинейный интеграл первого рода. 9. Приложения криволинейного интеграла первого рода. 10. Криволинейный интеграл второго рода. 11. Приложения криволинейного интеграла второго рода. 12. Формулы Грина, Остроградского – Гаусса.

СОДЕРЖАНИЕ

1.Область интегрирования. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.

2. Двойной интеграл. Непосредственное вычисление.

3. Замена переменной в двойном интеграле.

4. Приложения двойного интеграла.

5. Тройной интеграл. Непосредственное вычисление.

6. Замена переменной в тройном интеграле.

7. Приложения тройного интеграла.

8. Криволинейный интеграл первого рода.

9. Приложения криволинейного интеграла первого рода.

116

10. Криволинейный интеграл второго рода.

124

11. Приложения криволинейного интеграла второго рода.

137

12. Формулы Грина, Остроградского – Гаусса.

142

1. Область интегрирования. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле Номер: 1.30.В Задача: Изменить порядок интегрирования 1

2 x

3− x

∫ dx ∫ f (x , y ) dy + ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 3− y

Ответы: 1). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 2

y 4

2 x

y2 4

3− y

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

3− y

y2 4

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

3− y

4). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 0

5). нет правильного ответа

Номер: 1.31.В Задача: Изменить порядок интегрирования 2

2− y

y 6

∫ dy ∫ f (x , y ) dx + ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

2− x

6x2

6 x2

6x 2

2− x

Ответы: 1). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 3). ∫ dx ∫ f (x , y ) dx 4). ∫ dx ∫ f (x , y ) dx

5). нет правильного ответа

Номер: 1.32.В Задача: Изменить порядок интегрирования 12

y 3

∫ dy ∫ f (x , y ) dx + ∫ dy ∫ f (x, y ) dx 3x

x 2

Ответы: 1). ∫ f (x , y ) dy ∫ dx 1

x 2

4). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

x 2

x 4

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 3). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 5). нет правильного ответа

Номер: 1.33.В Задача: Изменить порядок интегрирования y

∫ dy ∫ f (x, y ) dx + ∫ dy

2− y2

∫ f (x, y ) dx

2− x 2

∫ f (x, y ) dy

Ответы: 1). ∫ dx

x x2

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 1

∫ f (x , y ) dy

2). ∫ dx 1

− 2− x 2 x2

x 2

∫ f (x , y ) dx ∫ dy

4 ).

5). нет правильного ответа Задача:

Изменить

порядок

1− ( x +1) 2

−1

−x

−1

Номер: 1.45.С интегрирования

повторных

интегралах

∫ f (x, y ) dy + ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

∫ dx

−2

1+ 1− y

∫ f (x , y ) dy

Ответы: 1). ∫ dx −1

−1

1− y 2 +1

−2

−y

−1− 1− y 2

∫ f (x, y ) dx

2). ∫ dy

∫ f (x , y ) dy

3). ∫ dx

1− y 2

∫ dy 1 ∫ f (x , y ) dx

4).

5). нет правильного ответа Задача:

∫ dy

−2

Изменить

порядок

− 2+ y

−1

− −y

−1

∫ f (x , y ) dx + ∫ dy −x

Номер: 1.46.С интегрирования

∫ f (x , y ) dx

3). ∫ dy

x 2 −2

−1

−x2

2). ∫ dx

−1

x −2

повторных

интегралах

∫ f (x, y ) dx

∫ f (x, y ) dy ∫ dx

Ответы: 1).

∫ f (x , y ) dy

−x2

−1

x 2 −2

4). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

x −1

5). нет правильного ответа Задача: −1

Изменить

порядок 2

∫ dy ∫ f (x, y ) dx + ∫ dy

Ответы: 1).

2− y

2− x

повторных

0 1

∫ f (x, y ) dy ∫ dx

∫ f (x, y ) dx

Номер: 1.34.В интегрирования

2− x 2

2). ∫ dx

∫ f (x, y ) dy

интегралах

2− x 2

∫ f (x, y ) dy

3). ∫ dx

∫ f (x, y ) dx

4). ∫ dy 1

2− y2

5). нет правильного ответа Задача:

Изменить

порядок

Номер: 1.35.В интегрирования

повторных

интегралах

1 2

arcsin y

arccos y

∫ f (x , y ) dx + ∫ dy

∫ dy

∫ f (x , y ) dx

π 4

cos x

sin x

Ответы: 1). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

sin x

cos x

arcsin y

∫ f (x , y ) dy ∫ dx

3).

sin x

2). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

π 4

cos x

3π 4

arccos x

∫ dx

4).

−

π 4

∫ f (x , y ) dy

5). нет правильного ответа Задача:

Изменить

порядок

− ln y

− y

−1

Номер: 1.36.В интегрирования

повторных

интегралах

повторных

интегралах

∫ dy ∫ f (x, y ) dx + ∫ dy ∫ f (x, y ) dx 0

− y

∫ dx ∫ f (x , y ) dx

Ответы: 1).

x2 e

−1

2). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx −1

4). ∫ dx ∫ f (x , y ) dx

5). нет правильного ответа Задача:

Изменить

− 3

∫ dx

−2

порядок 0

∫ f (x , y ) dy + ∫ dx − 4− x

− 3

Номер: 1.37.В интегрирования

∫ f (x , y ) dy

4− x 2 −2

Ответы: 1). нет правильного ответа

− −4y− y2

− 4− y2

2). ∫ dx

∫ f (x, y ) dy

4− y2

−1

− 3

∫ f (x, y ) dx

3). ∫ dy 0

− −4y− y2

−1

− 4− y

Изменить

порядок

∫ dx

− 3

4− x 2

∫ f (x , y ) dy

− 4− x 2

∫ f (x , y ) dx

5). ∫ dy

Задача:

4).

ln x

Номер: 1.38.В интегрирования

повторных

интегралах

∫ dx ∫ f (x , y ) dy + ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

1− x 2

ln y

1− y

∫ f (x, y ) dy

Ответы: 1). ∫ dx 1

1− y

2). нет правильного ответа

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

4).

1− y

∫ f (x , y )dx ∫ dy

5). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

Задача: 1

Изменить

порядок

2− y

Номер: 1.39.В интегрирования

повторных

интегралах

∫ dy ∫ f (x, y ) dx + ∫ dy ∫ f (x, y ) dx

Ответы: 1). нет правильного ответа 3

3). ∫ f (x , y ) dx ∫ dy 2

2 −y

2 −x

x3 x3

x −2

2). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 4). ∫ dx ∫ f (x , y )dy

5). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

Задача: π 4

sin y

Изменить

π 2

порядок

Номер: 1.40.В интегрирования

cos y

∫ dy ∫ f (x, y ) dx + ∫ dy ∫ f (x, y ) dx π 4

повторных

интегралах

1 2

Ответы: 1). ∫ dx

arccos x

∫ f (x , y )dy

arcsin x

arccos x

2). ∫ dx

0 arcsin x sin x cos y

∫ dy ∫ f (x , y ) dx

3).

3 2

∫ f (x, y ) dy

4). нет правильного ответа

arcsin x 0 π cos x 2

5). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx π 2

sin x

Номер: 1.41.В Задача: Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах y

ln y

∫ dy ∫ f (x, y ) dx + ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

Ответы: 1). ∫ dy ∫ f (x , y )dx

ln y

2). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

4). нет правильного ответа

3). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

5). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

Номер: 1.42.В Задача: Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах 1

2− y

0 2− x

2 −x

∫ dy ∫ f (x, y ) dx + ∫ dy ∫ f (x, y ) dx

Ответы: 1). ∫ f (x , y )dx ∫ dy 2). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 1

2− x

3). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

4). нет правильного ответа

5).

2− y

∫ dx ∫ f (x , y ) dy

Номер: 1.43.В Задача: Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах −1

− 2

2− y 2

−1

∫ dy ∫ f (x , y ) dx + ∫ dy ∫ f (x, y ) dx

Ответы: 1). нет правильного ответа

−1

− 2− x 2

2). ∫ dx

∫ f (x, y ) dy

2− x 2

∫ f (x , y )dy

3). ∫ dx −1

− 2− x 2

−1

2− y 2

− 2

4). ∫ dx

∫ f (x, y ) dy

∫ f (x , y ) dy ∫ dx

5).

Номер: 1.44.В Задача: Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах 1

− x

∫ dx ∫ f (x , y ) dy + ∫ dx 2− y

∫ f (x , y ) dy

− 2− x

∫ f (x , y ) dx

Ответы: 1). ∫ dy −1

3). ∫ dy ∫ f (x , y )dx 0

2− y

4).

− x

− 2− x 2

5). ∫ dx

2). нет правильного ответа

2− y 2

−1

∫ f (x , y ) dx ∫ dy

∫ f (x , y ) dx

Номер: 1.18.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении оси 0X y y = 2x 2). правильной в направлении оси 0Y 3). правильной в направлении осей 0X и 0Y 2 • x = 2y 4). неправильной 1 5). неправильной в направлении оси 0Y D

x =1

Номер: 1.19.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). не является правильной ни в направлении y оси 0X , ни в направлении оси 0Y x= y 2). правильной в направлении осей 0X и 0Y D 3). правильной только в направлении оси 0X x = 2 − y2 4). правильной только в направлении оси 0Y 0 5). неограниченной 1 Номер: 1.20.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является 9

Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y 2). правильной в направлении оси 0X 3). правильной в направлении оси 0Y 4). неправильной 5). неограниченной

y 1

y=x

0,5 1

y = 1− x

Номер: 1.21.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). неограниченной y 2). не является правильной ни в направлении оси 0X , 1 ни в направлении оси 0Y y=x 3). правильной в направлении осей 0X и 0Y D x 4). правильной в направлении оси 0Y 0 0,5 1 5). правильной в направлении оси 0X y = 1− x Номер: 1.22.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и

2). правильной только в направлении оси 0X 3). правильной только в направлении оси 0Y 4). не является правильной ни в направлении оси 0X , ни в направлении оси 0Y 5). неограниченной

y=x 1

D 2

Номер: 1.23.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). не является правильной ни в направлении y оси 0X , ни в направлении оси 0Y 2). неограниченной 3). неправильной в направлении оси 0X 1 D 4). неправильной в направлении оси 0Y 0 5). правильной в направлении осей 0X и 0Y 2 1

Номер: 1.24.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). неограниченной 2). не является правильной ни в направлении y оси 0X , ни в направлении оси 0Y y=x 3). неправильной в направлении оси 0X 4). правильной в направлении осей 0X и 0Y 5). неправильной в направлении оси 0Y 0

-1

D -1

Номер: 1.25.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). неограниченной y 2). не является правильной ни в направлении x = y−2 оси 0X , ни в направлении оси 0Y y=2 3). правильной в направлении оси 0X 1 y2 = x 4). неправильной в направлении оси 0Y D 5). правильной в направлении осей 0X и 0Y

0 1

Номер: 1.26.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). неограниченной 2). не является правильной ни в направлении y y = x2 оси 0X , ни в направлении оси 0Y 3). правильной в направлении осей 0X и 0Y 4 y=4 4). правильной в направлении оси 0X D 5). правильной в направлении оси 0Y

y=2

Номер: 1.27.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y 1 2). правильной в направлении оси 0X 3). правильной в направлении оси 0Y 4). неограниченной 0 D 1 5). не является правильной ни в направлении оси 0X , ни в направлении оси 0Y

Номер: 1.28.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и

2). правильной в направлении только оси 0X 3). правильной в направлении только оси 0Y 4). неограниченной 5). не является правильной ни в направлении оси 0X , ни в направлении оси 0Y

y y = x2 −1

D 1

y = −x 2 + 1

Номер: 1.29.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении оси 0Y y = 2x 2). правильной в направлении оси 0X 3). правильной в направлении осей 0X и 0Y y 4). не является правильной ни в направлении y=x оси 0X , ни в направлении оси 0Y D 5). неограниченной 0 1 3

Номер: 1.30.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y y 2). правильной в направлении оси 0X 3). не является правильной ни в направлении оси 0X , ни в направлении оси 0Y 4). неограниченной 5). правильной в направлении оси 0Y D 0

Номер: 1.31.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). неограниченно y 2). не является правильной ни в направлении оси y = x3 0X , ни в направлении оси 0Y π2 3). правильной в направлении осей 0X и 0Y y =1 1 4). правильной в направлении оси 0X D 5). правильной в направлении оси 0Y 0

−π 2

x y = −arctg x 1

Номер: 1.32.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и

2). правильной в направлении оси 0X 3). правильной в направлении оси 0Y 4). неограниченной 5). не является правильной ни в направлении оси 0X , ни в направлении оси 0Y

y = x3

1 0 -1

x y = −arctg x 1

Номер: 1.33.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является

y 1

D −π

−π 2

-1

π2

y = sin x

Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y 2). неограниченной 3). не является правильной ни в направлении оси 0X , ни в направлении оси

4). правильной в направлении оси 0X 5). правильной в направлении оси 0Y Номер: 1.34.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении оси 0Y y 2). правильной в 1 направлении оси 0 X 3). правильной в y = cos x D направлении осей 0X 0 −π π −π 2 π2 и 0Y -1

y = sin x

4). не является правильной ни в направлении оси 0X , ни в направлении оси

5). неограниченной Номер: 1.35.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y y 2). правильной в направлении оси 0Y 3). правильной в направлении оси 0 X 4). не является правильной ни в направлении оси 0 X , ни 2 в направлении оси 0Y 5). неограниченной D 0

1 2

Номер: 1.36.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y y 2). правильной в направлении оси 0 X 3). правильной в направлении оси 0Y 4). не является правильной ни в направлении оси 0 X , 4 ни в направлении оси 0Y D 5). неограниченной 0

Номер: 1.37.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y 2). правильной в направлении оси 0 X y 3). правильной в направлении оси 0Y 4). не является правильной ни в направлении оси 0 X , ни 1 в направлении оси 0Y -3 0 1 D x 5). неограниченной

Номер: 1.38.А Задача: Область интегрирования D , изображенная на рисунке, является Ответы: 1). правильной в направлении осей 0X и 0Y y 3 2). правильной в направлении оси 0 X D 3). правильной в направлении оси 0Y 0 1 4). не является правильной ни в направлении оси 0 X , ни в направлении оси 0Y 5). неограниченной 14

Номер: 1.39.А 1

2− y

Задача: Область интегрирования D в интеграле ∫ dy ∫ (x + 2 y ) dx задается системой неравенств

⎧0 ≤ y ≤ 1

⎧ x ≤ y ≤ 2−x ⎩0 ≤ x ≤ 1

Ответы: 1). ⎨

⎧0 < y < 1

2). ⎨

3). ⎨

⎩ y ≤ x ≤ 2−y

⎧2 − y ≤ x ≤ y

4). ⎨

⎩ y < x < 2−y

5). нет правильного ответа

⎩1 ≤ y ≤ 0

Номер: 1.40.В 2 ⎛ x2

⎞

0⎝ 0

⎠

Задача: Область интегрирования D в интеграле ∫ ⎜ ∫ (x − y ) dy ⎟ dx задается ⎟ ⎜ системой неравенств

⎧0 ≤ x ≤ 2 Ответы: 1). ⎨ 2 ⎩x ≤ y ≤ 0 ⎧0 ≤ y ≤ x 2 4). ⎨ ⎩0 ≤ x ≤ 2

⎧0 ≤ y ≤ 2 2). ⎨ ⎩0 ≤ x ≤ y

⎧0 ≤ y ≤ x 2 3). ⎨ ⎩x = 2

5). нет правильного ответа Номер: 1.41.В 1 ⎛ 1− x 2

Задача: Область интегрирования D в интеграле ∫ ⎜ ⎜ −1

⎝−

системой неравенств

⎞

∫ (x − y ) dy ⎟⎟ dx

1− x 2

⎠

задается

⎧⎪− 1 ≤ y ≤ 1 ⎪⎩− 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − x 2

⎧⎪1 − x 2 ≤ y ≤ − 1 − x 2 Ответы: 1). ⎨ ⎪⎩− 1 ≤ x ≤ 1

2). ⎨

⎧⎪− 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 3). ⎨ ⎪⎩− 1 ≤ x ≤ 1

⎧⎪1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 4). ⎨ ⎪⎩1 ≤ x ≤ 2

5). нет правильного ответа Номер: 1.42.В

x dx dy

область D − параболический сегмент, x 2 + y2 1 ограниченный параболой y = x 2 и прямой y = x задается системой 2

Задача: В двойном интеграле ∫∫ D

неравенств

⎧0 ≤ x ≤ 2 Ответы: 1). ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 2

⎧2 y ≤ x ≤ y

4). ⎨

⎩0 ≤ y ≤ 2

⎧0 ≤ x ≤ 2 ⎪ 2). ⎨ x 2 ≤y≤x ⎪ ⎩2

⎧0 ≤ x ≤ 2 ⎪ 3). ⎨ x2 ⎪x ≤ y ≤ ⎩ 2

5). нет правильного ответа Номер: 1.43.В

Задача: В двойном интеграле ∫∫ (x + 2 y ) dx dy область D , ограниченная D

линиями y = x 2 , y = 0, x + y − 2 = 0 , задается системой неравенств

⎧0 ≤ x ≤ 1

⎧0 ≤ x ≤ 2

Ответы: 1). ⎨

2). ⎨

2 ⎩0 ≤ y ≤ x ⎧0 ≤ x ≤ 2 4). ⎨ 2 ⎩x ≤ y ≤ 2 − x

2 ⎩0 ≤ y ≤ x

⎧0 ≤ y ≤ 1

3). ⎨

⎩ y ≤ x ≤ 2−y

5). нет правильного ответа

Номер: 1.44.В Задача: В двойном интеграле ∫∫ f (x , y ) dx dy область интегрирования D , D

ограниченная линиями y = 3 x , 2 y = x , x = 1, задается системой неравенств

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎪ 2). ⎨ x 3 x ≤ y ≤ ⎪⎩ 2

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 3

Ответы: 1). ⎨

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎪ 4). ⎨ x ⎪⎩ 2 ≤ y ≤ 3x

1 ⎧ ≤ ≤ 0 y ⎪⎪ 2 3). ⎨ ⎪ y ≤ x ≤ 2y ⎪⎩ 3

5). нет правильного ответа

Номер: 1.45.В Задача: В двойном интеграле ∫∫ f (x , y ) dx dy область интегрирования D , D

ограниченная линиями x = неравенств

y , x = 2 − y 2 , x = 0 , задается системой

⎧⎪0 ≤ x ≤ 1 ⎪⎩x 2 ≤ y ≤ 2 − x 2

Ответы: 1). ⎨

⎧⎪0 ≤ y ≤ 2 4). ⎨ ⎪⎩ 2 − y 2 ≤ x ≤ y

⎧⎪0 ≤ y ≤ 2

2). ⎨

⎪⎩0 ≤ x ≤ 2 − y 2

5). нет правильного ответа 16

⎧⎪0 ≤ y ≤ 2

3). ⎨

⎪⎩0 ≤ x ≤ y

Номер: 1.46.В Задача: В двойном интеграле ∫∫ f (x , y ) dx dy область интегрирования D , D

ограниченная линиями y = − x , (x + 1) + y 2 = 1, y = 0 , задается системой неравенств 2

⎧⎪0 ≤ y ≤ 1 2). ⎨ ⎪⎩− y ≤ x ≤ −1 − 1 − y 2 ⎧⎪0 ≤ y ≤ 1 4). ⎨ ⎪⎩− 1 + 1 − y 2 ≤ x ≤ − y

⎧⎪0 ≤ y ≤ 1 Ответы: 1). ⎨ ⎪⎩− y ≤ x ≤ −1 + 1 − y 2 ⎧⎪0 ≤ y ≤ 1 3). ⎨ ⎪⎩− 1 − 1 − y 2 ≤ x ≤ − y 5). нет правильного ответа

Номер: 1.47.В Задача: В двойном интеграле ∫∫ f (x , y ) dx dy область интегрирования D , D 2

ограниченная линиями x = y − 2 y, x + y = 0 , задается системой неравенств

⎧y 2 − 2y ≤ x ≤ y 2). ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 2

⎧− 1 ≤ x ≤ 0 Ответы: 1). ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 1 ⎧− 1 ≤ x ≤ 0 ⎩− x ≤ y ≤ x + 1

4). ⎨

⎧0 ≤ y ≤ 1

3). ⎨

2 ⎩− y ≤ x ≤ y − 2 y

5). нет правильного ответа

Номер: 1.48.В Задача: В двойном интеграле ∫∫ f (x , y ) dx dy область интегрирования D , D

ограниченная линиями x = 4 y − y 2 , x + y = 6 , задается системой неравенств

⎧2 ≤ y ≤ 3

Ответы: 1). ⎨

2). ⎨

2 2 ⎩6 − y ≤ x ≤ 4 y − y ⎩4 y − y ≤ x ≤ 6 − y ⎧2 ≤ y ≤ 4 x − x 2 ⎧2 ≤ y ≤ 3 3). ⎨ 4). ⎨ 5). нет правильного ответа ≤ ≤ 0 x 4 3 ≤ x ≤ 6 − y ⎩ ⎩

Номер: 1.49.В Задача: В двойном интеграле ∫∫ f (x , y ) dx dy область интегрирования D , D

y2 , задается системой неравенств ограниченная линиями x = y − 1, x = 2 2

⎧− 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ 2). ⎨ y2 2 ⎪3 − 1 ≤ y ≤ ⎩ 2

⎧− 1 ≤ x ≤ 1 Ответы: 1). ⎨ ⎩− 2 ≤ y ≤ 2

⎧− 2 ≤ y ≤ 2 ⎪ 4). ⎨ y2 2 ⎪y − 1 ≤ y ≤ ⎩ 2

⎧− 1 ≤ x ≤ 0

3). ⎨

⎩ x + 1 ≤ y ≤ 2x

5). нет правильного ответа

Номер: 1.50.В Задача: В двойном интеграле ∫∫ f (x , y ) dx dy область интегрирования D , D

ограниченная линиями y = 2 x , y = x , задается системой неравенств

⎧0 ≤ y ≤ 2 Ответы: 1). ⎨ ⎩0 ≤ x ≤ 2 ⎧0 ≤ x ≤ 2

4). ⎨

⎩x ≤ y ≤ 2 x

⎧0 ≤ y ≤ 2 ⎪ 2). ⎨ y 2 ⎪ ≤x≤y ⎩2

⎧0 ≤ y ≤ 2 ⎪ 3). ⎨ y2 ⎪y ≤ x ≤ ⎩ 2

5). нет правильного ответа

Номер: 1.51.А Задача: Функция f (x , y ) ≥ 0 непрерывна в замкнутой области D . Формула b

ϕ2 ( x )

ϕ1 ( x )

∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x , y )dy верна, если: D

Ответы: 1). ϕ1 (x ) , ϕ 2 (x ) непрерывные функции и таковы, что ϕ1 (x ) ≥ ϕ 2 (x ) для всех x ∈ [a , b] 2). ϕ1 (x ) , ϕ 2 (x ) - любые функции 3). ϕ1 (x ) , ϕ 2 (x ) - функции непрерывные для всех x ∈ [a , b] 4). ϕ1 (x ) , ϕ 2 (x ) - функции непрерывные и ϕ1 (x ) ≤ ϕ 2 (x ) для всех x ∈ [a , b] 5). ϕ1 (x ), ϕ 2 (x ) − разрывные функции Номер: 1.52.А Задача: Функция f (x , y ) ≥ 0 непрерывна в замкнутой области D . Формула d

ψ2 (y)

ψ1 ( y )

∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ dy ∫ f (x , y ) dx верна, если: D

5). ψ 1 (x ) , ψ 2 (x ) непрерывны и таковы, что ψ 1 (y ) ≥ ψ 2 (y ) для всех y ∈ [c, d ] Номер: 1.53.А Задача: Функция f (x , y ) ≥ 0 непрерывна в замкнутой области D . Формула d

ψ1 ( y )

ψ2 (y)

∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ dy ∫ f (x , y ) dx верна, если: D

Ответы: 1). ψ 1 (y ), ψ 2 (y ) − любые функции 2). ψ 1 (y ), ψ 2 (y ) − непрерывны для всех y ∈ [c, d ] 3). ψ 1 (y ), ψ 2 (y ) − непрерывны и таковы, что ψ 1 (y ) ≤ ψ 2 (y ) для всех y ∈ [c, d ] 4). ψ 1 (y ), ψ 2 (y ) − разрывные функции 5). ψ 1 (y ) , ψ 2 (y ) непрерывны и таковы, что ψ 1 (y ) ≥ ψ 2 (y ) для всех y ∈ [c, d ] Номер: 1.54.А Задача: Функция f (x , y ) ≥ 0 непрерывна в замкнутой области D . Формула b

ϕ2 ( x )

ϕ1 ( x )

∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x , y )dy верна, если: D

Ответы: 1). ϕ1 (x ), ϕ 2 (x ) − непрерывны и таковы, что ϕ1 (x ) ≥ ϕ 2 (x ) для всех

x ∈ [a , b] 2). ϕ1 (x ), ϕ 2 (x ) − любые функции 3). ϕ1 (x ), ϕ 2 (x ) − непрерывны для всех x ∈ [a , b] 4). ϕ1 (x ), ϕ 2 (x ) − непрерывны и таковы, что ϕ1 (x ) ≤ ϕ 2 (x ) для всех x ∈ [a , b] 5). ϕ1 (x ), ϕ 2 (x ) − разрывные функции Номер: 1.55.А 4

2 x

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 4

Ответы: 1). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

2). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 2 4

0 x

3). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

4). нет правильного ответа 5). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy Номер: 1.56.А 1

−1

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 1

Ответы: 1). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 0

− x

−1

2). ∫ dx

∫ f (x , y ) dy

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

4). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 0

5). нет правильного ответа

Номер: 1.57.А 1

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 1

Ответы: 1). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 1

4). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 0

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

5). нет правильного ответа Номер: 1.58.А 2

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 4

3 4

0 2

Ответы: 1). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 4). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

5). нет правильного ответа Номер: 1.59.А 0

1− x 2

−1

x +1

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx y −1

∫ f (x, y ) dx

Ответы: 1). ∫ dy 0

− 1− y

1− y 2

∫ f (x , y ) dx

4). ∫ dy 0

− 1− y

−1

∫ f (x, y ) dy

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

1− y 2

y −1

3). ∫ dy

∫ f (x, y ) dx

5). нет правильного ответа

Номер: 1.60.А 1

1− x 2

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx 1− x 2

∫ dy ∫ f (x, y ) dx

Ответы: 1). 0

−1

4). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

∫ f (x, y ) dy

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

1− y 2

3). ∫ dy

5). нет правильного ответа

∫ f (x , y ) dx

Номер: 1.61.А 0

cos x

−π 2

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 1

cos x

−π 2

π2

cos y

Ответы: 1). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 4). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

Задача: 0

∫ dx

−1

Ответы: 1). ∫ dy

− 2x

− x +1

повторном

интеграле

y 2 −1

y −1

∫ f (x , y ) dx 2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx − 2

∫ dx ∫ f (x , y ) dy

3).

− 2

5). нет правильного ответа

−1

− 2

Номер: 1.63.А порядок интегрирования

Изменить

повторном

интеграле

3 + 12 + 4 x − x

−2

3 − 12 + 4 x − x 2

∫ dx

−π 2

x +1

4). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

Задача:

cos y

∫ f (x , y ) dy + ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

y −1

arccos y

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx \

5). нет правильного ответа

− 2

∫ f (x, y ) dx

∫ f (x , y ) dy + ∫ dx

− x +1

Номер: 1.62.А порядок интегрирования

Изменить

x +1

2). ∫ dy

∫ f (x , y ) dy 7

−1

−2

2 + 16 − ( y − 3 ) 2

−1

2 − 16 − ( y − 3 )

Ответы: 1). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx 3). ∫ dy

2 − 16 − ( y − 3 ) 2

−1

2 + 16 − ( y − 3 ) 2

2). ∫ dy

∫ f (x , y ) dx

4). нет правильного ответа

3 + 12 + 4 x − x 2

−2

2 + 16 − ( y − 3 ) 2

5). ∫ dx

∫ f (x , y ) dy Номер: 1.64.А 4

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx ∫ f (x , y ) dy 4

Ответы: 1). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

3). нет правильного ответа

4). ∫ f (x , y ) dy ∫ dx

5). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx Номер: 1.65.А π3

π4

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

π4

π3

π6

3). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

π6 π4

π6

2). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

Ответы: 1). нет правильного ответа 0

0 π3

π4

π3

π6

4). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

π4

π6

5). ∫ f (x , y )dy ∫ dx

Номер: 1.66.А 2π

0 0

2π 2π

a a

Задача: Изменить порядок интегрирования ∫ dx ∫ f (x , y ) dy a

2π

Ответы: 1). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx

2). ∫ dx ∫ f (x , y ) dy

2π

3). ∫ f (x , y ) dy ∫ dx

4). нет правильного ответа 5). ∫ dy ∫ f (x , y ) dx Номер: 1.67.А Задача: Изменить порядок интегрирования 1

∫ dy

1− y 2

−1

− 1− y

1− y

∫ f (x , y ) dx + ∫ dy

− 1− y

∫ f (x , y ) dx

3). ∫ dx

1− x 2

−1

5).

∫ f (x, y ) dy

1− x 1− x

1− x 2

−1

− 1− x 2

1− x 2

2). ∫ dx

Ответы: 1). нет правильного ответа 1

4). ∫ dx −1

∫ f (x, y ) dy

1− x 2

∫ f (x , y ) dy ∫ dx

− 1− x 2

−1

Номер: 1.68.А Задача: Область D называется правильной в направлении оси 0Y , если любая прямая, параллельная оси 0Y , пересекает границу области Ответы: 1). в трех точках 2). в десяти точках 3). не более, чем в двух точках 4). не пересекает границу области 5). не более, чем в одной точке

Номер: 1.69.А Задача: Область D называется правильной в направлении оси 0X , если любая прямая, параллельная оси 0X , пересекает границу области Ответы: 1). в трех точках 2). в десяти точках 3). не более, чем в двух точках 4). не пересекает границу области 5). не более, чем в одной точке Номер: 1.70.А 2

y2 2

∫ dy ∫ f (x , y ) dx задается

Задача: Область интегрирования D в интеграле

− 2

y 2 −1

системой неравенств

⎧− 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ Ответы: 1). ⎨ y2 2 ⎪y − 1 ≤ y ≤ ⎩ 2 ⎧− 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ⎪ 4). ⎨ y2 ⎪ 2≤y≤ ⎩ 2

⎧− 2 < x < 2 ⎪ 2). ⎨ y 2 2 ⎪ < y < y −1 ⎩2 ⎧ 2<y<− 2 ⎪ 5). ⎨ y 2 2 ⎪ ≤ x ≤ y −1 ⎩2

⎧− 2 ≤ y ≤ 2 ⎪ 3). ⎨ y2 2 ⎪y − 1 ≤ x ≤ ⎩ 2

Номер: 1.71.А 3

3− y

Задача: Область интегрирования D в интеграле ∫ dy ∫ f (x , y ) dx задается системой неравенств

⎧3 ≤ y ≤ 3 − y ⎩x = 0 ⎧0 ≤ y ≤ 3 4). ⎨ ⎩0 ≤ x ≤ 3 − y

Ответы: 1). ⎨

⎧0 ≤ x ≤ 3 ⎩0 ≤ y ≤ 3 − y ⎧1 ≤ y ≤ 3 5). ⎨ ⎩0 ≤ x ≤ 3 − y

⎧y = 0 ⎩3 ≤ x ≤ 3 − y

2). ⎨

3). ⎨

Номер: 1.72.А 1

2− y

Задача: Область интегрирования D в интеграле ∫ dy ∫ f (x , y ) dx задается системой неравенств

⎧0 ≤ y ≤ 1 ⎩y ≤ x ≤ 2 − y ⎧0 ≤ x ≤ 2 − y 4). ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 1

Ответы: 1). ⎨

⎧0 ≤ y ≤ 2 − y ⎩0 ≤ x ≤ 1 ⎧0 < y < 1 5). ⎨ ⎩2 − y ≤ x ≤ y 2). ⎨

⎧1 ≤ y ≤ 2 − y ⎩0 ≤ x ≤ y

3). ⎨

2. Двойной интеграл. Непосредственное вычисление Номер: 2.1.А

⎧ln 5 ≤ x ≤ ln 10 ⎩0 ≤ y ≤ 2

Задача: Вычислить ∫∫ y e x dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 10

2). 9

3). 8

4). 6

5). нет правильного ответа

Номер: 2.2.А

⎧0 ≤ y ≤ 2 ⎩ln 3 ≤ x ≤ ln 6

Задача: Вычислить ∫∫ y e − x dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 6

2). 5

3). 4

4). нет правильного ответа

5). 1/3

Номер: 2.3.А

⎧5 ≤ y ≤ 10 x ⎪ Задача: Вычислить ∫∫ y sin dx dy , если D : ⎨ π 3 0 ≤ x ≤ D ⎪⎩ 2 Ответы: 1). 10,6

2). 1

3). 1,1

4). нет правильного ответа 5).

(

225 2− 3 4

)

Номер: 2.4.А

π ⎧π ⎪ ≤x≤ Задача: Вычислить ∫∫ y tg x dx dy , если D : ⎨ 4 3 D ⎪⎩l ≤ y ≤ 3 Ответы: 1). 4 ln 2 2). 3 ln 2 3). 2 ln 2 4). ln 2 5). нет правильного ответа Номер: 2.5.А

⎧π x ⎪ ≤x≤π Задача: Вычислить ∫∫ y cos dx dy , если D : ⎨ 2 2 D ⎪⎩0 ≤ y ≤ 2 Ответы: 1). 0,3

2). 1,6

3). 1,5

4). нет правильного ответа

(

5). 2 2 − 2

Номер: 2.6.А

⎧1 ≤ y ≤ 2 x ⎪ Задача: Вычислить ∫∫ y cos dx dy , если D : ⎨ π 2 0 ≤ x ≤ D ⎪⎩ 2 3

Ответы: 1). 16,87

2). 2

3 ). 1

4). нет правильного ответа

5).

15 2 8

)

Номер: 2.7.А

Задача: Вычислить ∫∫ y sin x cos x dx dy , если D

Ответы: 1). 0,5

2). 1

3). 2

4). 3

⎧ ⎪ y ≤1 ⎪ π ⎪ D : ⎨0 ≤ x ≤ 2 ⎪ π ⎪ 0 ≤ x ≤ ⎪⎩ 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.8.А

π ⎧ 0 ≤ x ≤ ⎪ Задача: Вычислить ∫∫ y 4 cos 3 x − 3 cos x dx dy , D : ⎨ 6 D ⎪⎩0 ≤ y ≤ 2

(

Ответы: 1). 2/3

2). 1

)

3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 2.9.А

(

Задача: Вычислить ∫∫ y 3 sin x − 4 sin D

Ответы: 1). 4/3

2). 4/5

3). 4/7

π ⎧ ⎪0 ≤ x ≤ dx dy , D : ⎨ 3 ⎪⎩0 ≤ y ≤ 2

)

4). 4/9

5). нет правильного ответа

Номер: 2.10.А

π ⎧ 0 ≤ x ≤ ⎪ Задача: Вычислить ∫∫ y tg 2 x + 1 dx , если D : ⎨ 4 D ⎪⎩0 ≤ y ≤ 3

(

Ответы: 1). 9/2

2). 3

)

3). 2

4). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 2.11.А

⎧1 ≤ y ≤ 3 ⎩0 ≤ x ≤ π

Задача: Вычислить ∫∫ 2 log 2 y ⋅ sin x dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 8

2). 3 ln 2

3). 2 ln 2

4). ln 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.12.А

(

Задача: Вычислить ∫∫ y sin 2 D

Ответы: 1). 0,25

2). 0,2

log 2 x

)

3). 0,1

π ⎧π ⎪ ≤x≤ dx dy , если D : ⎨ 3 2 ⎪⎩0 ≤ y ≤ 1 4). нет правильного ответа

5). 1/8

Номер: 2.13.А

(

)(

3). 3

4). 4

)

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 2

Задача: Вычислить ∫∫ y x 1 2 − 1 ⋅ x 1 2 + 1 dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). -1

2). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.14.А

(

)(

⎧⎪0 ≤ y ≤ 2 ⎪⎩0 ≤ x ≤ 1

)

Задача: Вычислить ∫∫ y x 1 3 + 1 ⋅ x 2 3 − x 1 3 + 1 dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 3

Задача:

2). 1

3). 2

4). 4

(

5). нет правильного ответа

Номер: 2.15.А

(

))

4 3 2 2 ∫∫ y (x − 1) ⋅ x + x + x + x + x + 1 dx dy ,

Вычислить

если

⎧0 ≤ x ≤ 1 D:⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 2 Ответы: 1). -5/3

2). -5/2

3). -5

4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.16.А

Задача: Вычислить ∫∫ y

(1 + x )2

Ответы: 1). 4

2). 3

3). 2

⎧0 ≤ x ≤ 1 dx dy , если D : ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 4 4). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 2.17.А

⎡1

Задача: Вычислить ∫∫ ⎢ D ⎣2 Ответы: 1). 0,09

π ⎧ 0≤x≤ ⎪ ⎪ ⎤ 4 cos (x − y ) − cos (x + y )⎥ dx dy , если D : ⎨ ⎦ ⎪0 ≤ y ≤ π ⎪⎩ 4

2 ). 0,01

3). 0,02

4). нет правильного ответа

2 ( 2 − 2) 5).

Номер: 2.18.А

π ⎧ 0 ≤ x ≤ ⎪⎪ ⎡1 ⎤ 4 Задача: Вычислить ∫∫ ⎢ (cos (x − y ) + cos (x + y ))⎥ dx dy , если D : ⎨ ⎦ D ⎣2 ⎪0 ≤ y ≤ π ⎪⎩ 4 Ответы: 1). 0,5

2). 0,1

3). 0,2

4). 0,1

5). нет правильного ответа

Номер: 2.19.А Задача:

⎡1 ⎛

π ⎧ 0 ≤ x ≤ ⎪⎪ 4 D: ⎨ ⎪0 ≤ y ≤ π ⎪⎩ 4 Ответы: 1). 0,25

⎞⎤

∫∫ ⎢ ⎜ sin (x − y ) + sin (x + y )⎟⎥ dx dy , 2 ⎠⎦ D ⎣2 ⎝

Вычислить

2). 0,1

3). 0,01

4). 1

5).

(

если

)

2 −1 2

Номер: 2.20.А

x 2 dx dy , если Задача: Вычислить ∫∫ y x D 1 + tg 2 2 1 − tg 2

Ответы: 1). 1

2). 2

3). 3

4). 4

π ⎧ ⎪0 ≤ x ≤ D: ⎨ 6 ⎪⎩0 ≤ y ≤ 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.21.А

x 2 dx dy , если D : ⎧0 ≤ x ≤ π Задача: Вычислить ∫∫ ⎨ 2 x D ⎩0 ≤ y ≤ 2 1 + tg 2 2 tg

Ответы: 1). 4

2). 3

3). 2

4). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 2.22.А

(

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

)

Задача: Вычислить ∫∫ y sin arcsin x 2 dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 0,16(6)

2). 0,1(1)

3). 0,2

4). 0,5

5). 1/6

Номер: 2.23.А

(

)

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

Задача: Вычислить ∫∫ y cos arccos x 3 dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 0,125

2). 0,1

3). 0,2

4). 0,3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.24.А

(

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

)

Задача: Вычислить ∫∫ x tg arctg y 3 dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 0,16 (6) 2). 0,16(1) 3). 0,16(2) 4). 1/8 5). нет правильного ответа 27

Номер: 2.25.А

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

Задача: Вычислить ∫∫ y [cos (arcsin x ) ] 2 dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 1/3 2). 0,3(1) 3). 0,3,(2) 4). 0,3(5) 5). нет правильного ответа Номер: 2.26.А

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

Задача: Вычислить ∫∫ y [ sin ( arccos x )] dx dy , если D : ⎨ 2

Ответы: 1). 1/3

2). 2/3

3). ¾

4). 1/4

5). нет правильного ответа

Номер: 2.27.А

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1 5). 2 − 1

Задача: Вычислить ∫∫ sin (arctg x ) dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 0,4

2). 0,3

3). 0,5

4). 0,7

Номер: 2.28.А

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

Задача: Вычислить ∫∫ cos (arcctg x ) dx dy , если D : ⎨ D

2). 2 − 2 Ответы: 1). 2 − 1 5). нет правильного ответа

3).

3 −1

4).

3−2

Номер: 2.29.А

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

Задача: Вычислить ∫∫ (arcsin x + arccos x ) dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1).

π 2

2).

π 3

3).

π 6

4).

π 8

5). нет правильного ответа

Номер: 2.30.А

⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 ≤ y ≤ 1

Задача: Вычислить ∫∫ (arctg x + arcctg x ) dx dy , если D : ⎨ D

Ответы: 1). 1,57

2). 1,3

3). 1,4

4). 1,2

5). π 2

Номер: 2.31.В π4

1+ cos 2 x

Задача: Вычислить ∫ dx

∫ dy

Ответы: 1). 1,285 2). 0,500

3). 0,259

4). 0,600

⎛π 1⎞ + ⎟ ⎝ 4 2⎠

5). ⎜

Номер: 2.32.В π4

cos x

Задача: Вычислить ∫ dx ∫ dy Ответы: 1). 0,897

2). 0,642 3). 0,350

4). 0,700

5).

2 2

Номер:2.33.В π2

sin y

Задача: Вычислить ∫ dy ∫ dx 0

Ответы: 1). 2,00

2). 1

3). 1,5

4). 1,300

5). нет правильного ответа

Номер: 2.34.В π4

sin y

Задача: Вычислить ∫ dy ∫ dx Ответы: 1). 1,57

2). 1,2

3). 1,3

4). 0,500

5).

2− 2 2

Номер: 2.35.В π2

cos y

x 2 dx

Задача: Вычислить ∫ dy ∫ Ответы: 1). 0,222

2). 0,333

3). 0,166

4). 0,155 5). 2/9

Номер: 2.36.В e

Задача: Вычислить ∫ dy ∫ dx Ответы: 1). 1,000

2). 2,000

Задача: Вычислить ∫ dy

(

1 1+ y

Ответы: 1). 0,785

3). 0,155 2

4). 0,333 5). нет правильного ответа

Номер: 2.37.В

)

∫ dx

2). 0,835

3). 0,635

4). 0,125

5). π 4

Номер: 2.38.В 2 2

Задача: Вычислить

∫ dy

Ответы: 1). 0,355

1− y

∫ dx

2). 0,785

3). 2,00

4). 1,000

5). π 4

Номер: 2.39.В ln y

Задача: Вычислить ∫ dy ∫ e x dx 1

Ответы: 1). 1/2

2). 2

3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 2.40.В 2

log 3 y

Задача: Вычислить ∫ dy ⋅ ln 3 ∫ dx Ответы: 1). 3

2). 1

3) 2,3

5). 2 ln 2 − 1

4). 2,5

Номер: 2.41.В 2

π6

cos x

Задача: Вычислить ∫ dx Ответы: 1). 0,115

∫ dy

2). 0,310

3). 0,215

4). 0,5

5).

π 3 + 12 8

Номер: 2.42.В π4

cos y

Задача: Вычислить ∫ dy 2). 3

Ответы: 1). -2

∫

3). 1

4). 5

π 1 − 2 2

5).

Номер: 2.43.В π2

sin y

π4

Задача: Вычислить ∫ dy Ответы: 1). 2

2). 3

∫

3). 1

4). 5

5). нет правильного ответа

Номер: 2.44.В π4

cos 2 x

Задача: Вычислить ∫ dx ∫ dy Ответы: 1).

π 16

2).

π 12

3).

π 6

4).

π 3

5). 1/2

Номер: 2.45.В

Задача: Вычислить ∫ dx ∫

(12 y

− 3 dy

Ответы: 1). 1/3

3). 3/4

4).

π6

cos x

2). 2/3

)

3 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.46.В

π6

sin x

(3 − 12 y )dy 2

Задача: Вычислить ∫ dx ∫ Ответы: 1). 2/3

2). 1/3

3). 3/4

4). 4/5

5). нет правильного ответа

Номер: 2.47.В π2

1 sin y

π4

Задача: Вычислить ∫ dy Ответы: 1). 1

2). 2

∫ dx

3). 3

4). 1/2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.48.В π4

1 cos x

Задача: Вычислить ∫ dx Ответы: 1). 1

2). 2

∫ dy

3). 3

4). 1/2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.49.В π4

tg y

Задача: Вычислить ∫ dy ∫ dx Ответы: 1). 1/2

2). ln

2 2

π4

ctg y

π6

3). ln 2

4). ln 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.50.В Задача: Вычислить ∫ dy ∫ dx Ответы: 1). ln

2 2

3). ln 2

2). 1

4). ln 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.51.В π4

1+ tg x

Задача: Вычислить ∫ dx Ответы: 1). 1

2). 2

∫ dy

3). ½

4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.52.В π2

1+ ctg x

π4

Задача: Вычислить ∫ dy Ответы: 1). 1

2). 2

∫ dx

3). 1/

4). 1/3

5). нет правильного ответа

Задача: Вычислить ∫ dy

(

y 1+ y

Ответы: 1). ln 2

Номер: 2.53.В

)

∫ dx

2). ln 3

3). ln 3

4). ln 5

5). нет правильного ответа

Номер: 2.54.В 1 2

4+ x 2

Задача: Вычислить ∫ dx ∫ dy Ответы: 1).

π 8

2).

π 4

3).

π 3

π 6

4).

5). нет правильного ответа

Номер: 2.55.В 1 1

4− y 2

Задача: Вычислить ∫ dy Ответы: 1).

π 6

2).

π 3

π 4

3).

(

1 y −4

Задача: Вычислить ∫ dy Ответы: 1). −

∫ dx

)

4).

π 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.56.В

∫ dx

ln 5 ln 5 2). 4 2

3).

ln 5 3

4).

ln 5 6

5). нет правильного ответа

Номер: 2.57.В 1 π4

cos 4 y

Задача: Вычислить ∫ dy ∫ dx Ответы: 1). 2

2). 1

3). 3

4). 1/2

5). 4/3

Номер: 2.58.В 1 sin 4 x

Задача: Вычислить ∫ dx ∫ dy 0

Ответы: 1). -2

2). 1

3). - 1

4). 2

5). 4/3

Номер: 2.59.В π2

1+ cos x 2

Задача: Вычислить ∫ dx Ответы: 1).

∫ dy

2).

3).

4).

5). нет правильного ответа

Номер: 2.60.В Задача: Вычислить ∫ dy Ответы: 1). 2

2). 1

1− cos y 2

∫ dx

3).

4).

5). нет правильного ответа

Номер: 2.61.С Задача:

Вычислить

двойной

∫∫ x y dx dy , если

интеграл

область

⎧x = 0; y = 0 ⎩x + y = 1

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ Ответы: 1). 1/48

2). 1/24

3). 1/72

4). 1/3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.62.С Задача: Вычислить двойной интеграл

∫∫

y2 2

dx dy , если D область

1+ x ⎧0 ≤ x ≤ 1 интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎩1 ≤ y ≤ 3 13 11 1 1 Ответы: 1). π 2). π 3). π 4). π 5). нет правильного ответа 16 16 16 2 D

Номер: 2.63.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ x 2 y dx dy , если

область

⎧y = x 2 интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎩y = 1 4 2 1 3 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 21 21 21 10

Номер: 2.64.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ (x + y ) dx dy , если D

область

⎧x = 0, y = 0 ⎩x + y = 3

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ Ответы: 1). 9

2). 10

3). 11

4). 12

5). нет правильного ответа

Номер: 2.65.С Задача:

Вычислить

двойной

∫∫

интеграл

y ex

dx dy ,

если

область

⎧ x2 ⎪y = интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ 9 ⎪x = 3; y = 0 ⎩ Ответы: 1). 1,1

2). 1,5

3). 2

4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.66.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ x 2 + y 2 dx dy , если D область D

(

)

x ⎧ ⎪y = , y = x интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ 2 ⎪⎩x = 4 Ответы: 1). 30

2). 752/5

3). 100

4). 121

5). 152/3

Номер: 2.67.С Задача:

Вычислить

двойной

интеграл

∫∫ D

y3 x2

dx dy , если

область

x ⎧ ⎪y = , y = x интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ 3 ⎪⎩x = 1 121 120 125 122 Ответы: 1). π 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа 486 325 403 486

Номер: 2.68.С

π⎞ ⎟ dx dy , если D область 4⎠ D π ⎧ 0 ≤ x ≤ ⎪⎪ 2 интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎪− π ≤ y ≤ 0 ⎪⎩ 4 2 2 2 2). 3). 4). 3 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 2 3 2 ⎛ ⎝

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ sin ⎜ 2 x + y +

Номер: 2.69.С Задача:

Вычислить

двойной

∫∫

интеграл

y3 x2

dx dy , если

область

x ⎧ ⎪y = , y = x интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ 3 ⎪⎩x = 1 Ответы: 1). -11/96

2). 10/77 3). 13/80

4). 7/61 5). нет правильного ответа

Номер: 2.70.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ e x +sin y cos y dx dy , если D область D

⎧0 ≤ x ≤ π ⎪ интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ π ⎪⎩0 ≤ y ≤ 2 Ответы: 1). 1,72 e π − 1 2). 1 3). 2 π 4). 3 5). нет правильного ответа

(

)

Номер: 2.71.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ x 2 + y 2 dx dy , если D область D

(

)

⎧1 ≤ y ≤ 2 ⎩x = 0, y = x

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ Ответы: 1). 5

2). 2

3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 2.72.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ 3 x 2 − 2 x y + y dx dy , если D область D

(

)

⎧ y 2 = x; y = 2 интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎩x = 0 35

Ответы: 1). 11,62 Задача:

2). 12

Вычислить

3). 13

4). 14

5). нет правильного ответа

Номер: 2.73.С двойной интеграл ∫∫ y ln x dx dy ,

если

область

⎧x y = 1, x = 2

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨

⎩y = x

Ответы: 1). 0,625 ln

4 e

2). 0,99

3). 1,2 4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.74.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ sin (x + y ) dx dy , если D область D

π ⎧ ⎪y = , y = x интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ 2 ⎪⎩x = 0 Ответы: 1). 1 Задача:

2). 2

Вычислить

3). 1,5

4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.75.С двойной интеграл ∫∫ x y dx dy ,

если

область

⎧y = 1 − x, y = 0 ⎩x = 0

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ Ответы: 1). 1/24 Задача:

2). 1/2

Вычислить

3). 1/4

4). 1/8

5). нет правильного ответа

Номер: 2.76.С двойной интеграл ∫∫ 2 y dx dy ,

если

область

⎧y = x , y = 0

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨

⎩x + y = 2

Ответы: 1). 5/6

2). 3/4

3). 2/3

4). 3/5

5). нет правильного ответа

Номер: 2.77.С Задача:

Вычислить

двойной

интеграл

∫∫ D

y dx dy , x

если

область

⎧⎪ y 2 = x интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎪⎩ y = x 2 Ответы: 1). 3/8

2). 3/4

3). 3/7

4). 3/5

5). нет правильного ответа

Номер: 2.78.С

x dx dy , если D область 2 D ⎧ y = 0, y = 2 π интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎩x = 2 + sin y π π π 9 Ответы: 1). π 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа 6 2 3 4

Задача:

Вычислить

двойной

интеграл

∫∫

Номер: 2.79.С

∫∫

dx dy , если x2 ⎧y = x, y = 2 интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎩x y = 1

Задача: Вычислить двойной интеграл

область

Ответы: 1). 3/4

Задача:

2). 2

Вычислить

3). 2,5

4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.80.С двойной интеграл ∫∫ e x dx dy ,

если

область

⎧1 ≤ y ≤ 2, x=0 x ln y , = ⎩

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ Ответы: 1). ½ Задача:

2). 2

Вычислить

3). 5/2

4). 1/3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.81.С двойной интеграл ∫∫ y dx dy ,

если

область

⎧y = x − 4

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨

⎩y = 0

Ответы: 1). 64/3 Задача:

2). 16

Вычислить

3). 21

4). 22

5). нет правильного ответа

Номер: 2.82.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧y = 4 − x

интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨

⎩y = 0

Ответы: 1). 16

2). 14

3). 12

4). 20

5). нет правильного ответа

Задача:

Вычислить

Номер: 2.83.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

{

если

область

интегрирования, ограниченная линиями: D : y = x 2 − 4 Ответы: 1). 32/3 Задача:

2). 10

Вычислить

3). 12

4). 15

5). нет правильного ответа

Номер: 2.84.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧⎪ y = sin x интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ ⎪⎩ x ≤ n Ответы: 1). 4 Задача:

2). 3

Вычислить

3). 2

4). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 2.85.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧ y = tg x ⎪ интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ π ⎪x ≤ ⎩ 4 2 Ответы: 1). ln 2). ln 2 3). ln 2 4). ln 3 5). нет правильного ответа 2 Задача:

Вычислить

Номер: 2.86.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧ y = ctg x ⎪ интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ π π ≤ x ≤ ⎪ ⎩4 2 π π π 2 Ответы: 1). ln 2). ln 4 3). ln 2 4). ln 3 5). нет правильного ответа 4 3 2 2 Задача:

Вычислить

Номер: 2.87.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧ y = sin x ⎪ интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ π ⎪x ≤ ⎩ 2 2 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 2 2). 3 3). 1 4). π 38

Задача:

Вычислить

Номер: 2.88.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧ y = cos x ⎪ интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ π x ≤ ⎪ ⎩ 2 Ответы: 1). 1 Задача:

2). 2

Вычислить

3). 3

4). 1/2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.89.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧sin x cos x ⎪ интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ π 0 ≤ x ≤ ⎪ ⎩ 4 Ответы: 1). 0,5 Задача:

2). 0,2

Вычислить

3). 0,3

4). 0,4

5). нет правильного ответа

Номер: 2.90.С двойной интеграл ∫∫ dx dy ,

если

область

⎧ y = cos x ⎪ интегрирования, ограниченная линиями: D : ⎨ π ⎪x ≤ ⎩ 2 Ответы: 1). 2

2). 1

3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 2.91.А Задача: Вычислить ∫∫ (4 x − 3 y ) dx dy , если область D ограничена линиями

x = 0, y = 2, y = x Ответы: 1). -8/3

2). 8/3

3). 56

4). 56/3 3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.92.А Задача: Вычислить ∫∫ (2 x + 5 y ) dx dy , если область D ограничена линиями

x = 0, y = 2, y = x Ответы: 1). 17

2). -32

3). -32/3

4). 16

5). нет правильного ответа

Номер: 2.93.А Задача: Вычислить ∫∫ (4 x − 3 y ) dx dy , если область D ограничена линиями

x = 0, y = 1, y = x

Ответы: 1). 1

2). -1/3

3). 2/3

4). 1/3

5). нет правильного ответа

Номер: 2.94.А Задача: Вычислить ∫∫ (4 x + 3 y ) dx dy , если область D ограничена линиями

x = 0, y = 1, y = x Ответы: 1). 1

2). -1/3

3). 5/3

4). -1

5). нет правильного ответа

Номер: 2.95.А Задача: Вычислить ∫∫ (4 x + 3 y ) dx dy , если область D ограничена линиями

x = 0, y = 2, y = x Ответы: 1). 40/3

2). 8/3

3). 8

4). 7

5). нет правильного ответа

Номер: 2.96.А Задача: Областью интегрирования D двойного интеграла ∫∫ f (x , y )dxdy D

является Ответы: 1). отрезок оси Ox

2). поверхность пространства Oxyz

3). непрерывная кривая плоскости Oxy

4). замкнутая область плоскости Oxy

5). число Номер: 2.97.А Задание: Двойной интеграл определяется равенством: Ответы: 1). ∫∫ f (x , y )dxdy = D

2). ∫∫ f (x , y )dxdy = D

∑ f (x i , y i )Δx i y i

lim

n →∞ i =1 (max d i →0 ) n

∑ f (x i , y i , z i ) ΔSi

lim

n → ∞ i =1 (max d i → 0 ) n

3). ∫∫ f (x , y )dxdy = lim ∑ f (xˆ i , yˆ i )Δli D

n → ∞ i =1 ( λ → 0) n

4). ∫∫ f (x , y )dxdy = lim ∑ f (xˆ i , yˆ i )Δx i D

n →∞ i =1 ( λ →0 )

5). ∫∫ f (x , y ) dx dy = lim ∑ f (x i , y i ) ΔVi D

n →∞

(λ → 0 )

i =1

Номер: 2.98.А Задание:

Для

какой

функции

f (x , y )

существует

двойной

интеграл

∫∫ f (x, y )dxdy ? D

Ответы: 1). для любой функции z = f (x , y ) 2). для функции z = f (x , y ) , непрерывной в замкнутой области D 3).для функции z = f (x , y ) , непрерывной в каждой точке гладкой кривой 4). для разрывной функции f (x , y ) 5). для неограниченной функции Номер: 2.99.А Задание: Вычисляя двойной интеграл, нужно свести его к Ответы: 1). поверхностному интегралу 2). криволинейному интегралу 3). двукратному интегралу 4). неопределенному интегралу 5). трехкратному интегралу Номер: 2.100.А Задание: Внешние пределы в двукратном интеграле Ответы: 1). всегда переменные 2). всегда постоянные 3). могут быть переменными, могут быть постоянными 4).один является постоянным, другой переменным 5). содержат параметр Номер: 2.101.А n

Задание: Сумма вида ∑ f (x i , y i ) ΔS i i =1

Ответы: 1). зависит от способа разбиения области D 2). зависит от выбора точки M i (x i , y i ) 3). зависит от способа разбиения области D и выбора точки M i (x i , y i ) 4). зависит от вида области D 5). не зависит от способа разбиения способа области D и от выбора точки

M i (x i , y i )

Номер: 2.102.А n

Задание: Для функции f (x , y ) сумм вида ∑ f (x i , y i ) ΔS по области D можно i =1

составить Ответы: 1). конечное число 3). очень мало

2). бесконечное множество 4). ни одной 5). десять 41

3. Замена переменной в двойном интеграле Номер: 3.1.В

Задача: Если функции x = ϕ (u , v ), y = ψ (u , v ) имеют в некоторой области 0uv непрерывные частные производные первого порядка, тогда определитель

∂x Якоби I (u , v ) = ∂u ∂y ∂u

∂x ∂v ∂y ∂v

Ответы: 1). отличен от нуля 2). равен нулю 3). может принимать любые значения 4). неотрицателен

5). неположителен

Номер: 3.2.В Задача: При переходе из декартовой в полярную систему координат в двойном интеграле Якобиан преобразования равен Ответы: 1). 0 2). r 3). r 2 ⋅ sin ϕ 4). ϕ 5). r 2 ⋅ sin 2 ϕ Номер: 3.3.В Задача: Если область D ограничена лучами ϕ = α и ϕ = β , где α < β и кривыми r = r1 (ϕ) и r = r2 (ϕ) , где r1 (ϕ) ≤ r2 (ϕ) , то *

r2 (ϕ )

Ответы: 1). ∫∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ)dr dϕ = ∫ dϕ ∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ)dr D*

α r1 (ϕ ) r2 (ϕ ) β

2). ∫∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ) dr dϕ = ∫ dϕ ∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ) dr D*

r1 (ϕ ) α r2 (ϕ ) β

3). ∫∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ) dr dϕ = ∫ dr ∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ) dϕ D*

α r1 (ϕ ) r2 (ϕ ) β

4). ∫∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ) dr dϕ = ∫ dr ∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ)dϕ D*

r1 (ϕ ) α r2 (ϕ ) β

5). ∫∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ) dr dϕ = ∫ dϕ ∫ D*

r1 (ϕ )

r 2 f (r cos ϕ, r sin ϕ) dr

Номер: 3.4.В

⎧⎪x 2 + y 2 = 2 x Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy ,где D : ⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 = 4 x D Ответы: 1). 3 π 2). π 3). 2 π 4). 2 5). нет правильного ответа

Номер: 3.5.В

⎧⎪x 2 + y 2 = 2 y Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 = 4 y D Ответы: 1). π 2). 2 π 3). 3 π 4). 3 5). нет правильного ответа Номер: 3.6.В

⎧⎪x 2 + y 2 = a x Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 = 2a x D 3 π2 2 Ответы: 1). π 2). π 3). 4). π a 2 5). нет правильного ответа 4 2 Номер: 3.7.В

⎧⎪x 2 + y 2 = a y Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ ⇒a>0 ⎪⎩x 2 + y 2 = 2a y D 3 π π Ответы: 1). π 2 2). 3). π a 2 4). 5). нет правильного ответа 2 3 4 Номер: 3.8.В

⎧⎪x 2 + y 2 = 9 Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 = 1 D π Ответы: 1). 8 π 2). π 3). 3π 4). 5). нет правильного ответа 2 Номер: 3.9.В

⎧ x 2 y2 Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ + = 1 , где 4 2 D ⎩ Ответы: 1). 8 π 2). 2 π 3). 5 π 4). 4 π 5). нет правильного ответа Номер: 3.10.В

⎧ x 2 y2 =1 Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ + 2 4 D ⎩ Ответы: 1). 3 π 2). 3 π 2 3). 8 π 4). 3 5). нет правильного ответа

Номер: 3.11.В

⎧x 2 + y 2 = 4 ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ y ≤ x D ⎪y = 0 ⎩ Ответы: 1).

π 2

2).

π 3

3).

π 6

4). π 5). нет правильного ответа Номер: 3.12.В

⎧x 2 + y 2 = 16 ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨x ≥ 0 D ⎪y ≥ 0 ⎩ Ответы: 1). 2 π

3). 4π

2). 3 π

4). 5 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.13.В

⎧x 2 + y 2 = 4 ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ y ≤ x D ⎪y = 0 ⎩ Ответы: 1). π

2).

π 2

3).

π 3

4).

π 5

5). нет правильного ответа

Номер: 3.14.В

⎧ x 2 y2 ≤1 ⎪ + 5 16 ⎪⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨x ≥ 0 D ⎪y ≥ 0 ⎪ ⎪⎩ Ответы: 1).

5π

2).

3).

3π

4). 6 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.15.В

⎧ρ1 = 5 ⎪ρ = 4 ⎪ 2 Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ D ⎪x ≥ 0 ⎪⎩ y ≥ 0 9 Ответы: 1). 6 π 2). 3 π 3). π 4). 2 π 5). нет правильного ответа 4 44

Номер: 3.16.В Задача:

Вычислить

двойной

интеграл

∫∫

(

ln x 2 + y 2 2

x +y

⎧⎪x 2 + y 2 ≥ 1 D:⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 ≤ e 2 Ответы: 1). 2 π

2). π

π 2

3).

π 4

4).

) dx dy ,

где

5). нет правильного ответа

Номер: 3.17.А Задача:

Вычислить

двойной

2 2 ∫∫ 1 + x + y dx dy ,

интеграл

где

⎧x 2 + y 2 ≤ 1 D:⎨ ⎩y ≥ 0 Ответы: 1). π

Задача:

2).

π 3

Вычислить

3).

π 2

4).

π 6

5). нет правильного ответа

Номер: 3.18.А двойной интеграл ∫∫ ρ sin ϕ dρ dρϕ ,

где

⎧ρ = 4 ⎪ D : ⎨π ⎪⎩ 2 ≤ ϕ ≤ π Ответы: 1). 64/3

2). 20 3). 12 4). 21

5). нет правильного ответа

Номер: 3.19.А

⎧ρ = sin ϕ ⎩ y = cos ϕ

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ D

Ответы: 1).

π π − 1 2). 2 2

3). 1 4). 2 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.20.А Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ D

Ответы: 1). π

2). 2 π

3).

π 6

4).

π 4

dx dy x 2 + y2

⎧ρ ≥ 1 ⎩ρ ≤ 2

, где D : ⎨

5). нет правильного ответа

∫∫ dx dy D

Номер: 3.21.А

⎧ρ ≥ 1 ⎩ρ ≤ 2

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ ρ 2 dρ dϕ , где D : ⎨ D

Ответы: 1).

14 π 2). 5 π 3

3). 4 π 4). 3 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.22.В

⎧x 2 + y 2 ≥ 1 ⎪⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨x 2 + y 2 ≤ 25 D ⎪ ⎪⎩ y ≤ 3 x , x > 0 Ответы: 1). 4 π 2). 3 π 3). 2 π 4). 2 π 5). нет правильного ответа Номер: 3.23.В

⎧x 2 + y 2 ≥ 1 ⎪⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨x 2 + y 2 ≤ 5 D ⎪ ⎪⎩ y ≥ x 3, x > 0 Ответы: 1). π

2). 2 π

3). 3 π

4). 4 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.24.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = cos 2ϕ Ответы: 1).

π π 2). 8 4

3).

π 3

4).

π 6

{

5). нет правильного ответа

Номер: 3.25.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ 2 = cos 2ϕ Ответы: 1).

π 4

2).

π 2

3).

π 3

4).

π 6

{

5). нет правильного ответа

Номер: 3.26.В

⎧ ρ = cos 2ϕ ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ π D ⎪⎩0 ≤ ϕ ≤ 4 π π π π 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 16 4 8 12

Номер: 3.27.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = ± sin 2ϕ

{

Ответы: 1). 2

2). 1/2

3). 1

4). 1/4

5). нет правильного ответа

Номер: 3.28.В

⎧ ρ = 4 sin 2 ϕ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ D ⎩y ≥ 0 Ответы: 1). 3 π 2). π 3). 2 π 4). 4 π 5). нет правильного ответа Номер: 3.29.А Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = cos 3ϕ Ответы: 1).

π 4

π 3

2).

π 2

3).

4).

π 6

5). нет правильного ответа

Номер: 3.30.В

⎧

⎛ ⎝

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ ρ = 2 ⎜1 +

⎩

Ответы: 1).

π 2

π 3

2).

3).

9 π 2

4). π

1 ⎞ cos ϕ ⎟ 2 ⎠

5). нет правильного ответа

Номер: 3.31.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = 4 cos 3 ϕ − 3 cos ϕ Ответы: 1).

π 3

2).

π 6

3).

{

π 4

4).

π 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.32.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = 3 sin ϕ − 4 sin 3 ϕ Ответы: 1).

π 4

2).

π 2

3).

{

π 3

4). π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.33.В

⎧ x = a cos ϕ ⎩ y = a sin ϕ

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ D

Ответы: 1). π a

2). a

a2 3). 2

a2 4). 3 47

5). нет правильного ответа

Номер: 3.34.В

Задача: Вычислить ∫∫ dx dy , где D : { ρ = a cos ϕ D

Ответы: 1). π

πa2 2). 4

πa2 3). 3

4). 5

5). нет правильного ответа

Номер: 3.35.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = a sin 2 ϕ D

Ответы: 1). π

2). a π

πa 3). 2

πa2 4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.36.В

{

Задача: Вычислить ∫∫ dx dy , где D : ρ 2 = a 2 cos 2ϕ D

a 2). 2

Ответы: 1). a

3). a

a2 4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.37.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = 2a sin ϕ D

Ответы: 1). a 2 2).

a a a 3). 4). 5). нет правильного ответа 2 4 3

Номер: 3.38.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = a

{

cos 2 ϕ

a2 Ответы: 1). 5

a2 2). 4

3). a

a2 4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.39.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = 2a cos ϕ D

πa Ответы: 1). 4

2). π a

a 3). 2

a2 4). 3

Номер: 3.40.В

5). нет правильного ответа

⎧ρ = aϕ ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ρ = 0 D ⎪0 ≤ ϕ ≤ 2 π ⎩ 48

4 Ответы: 1). π3 a 2 3

2). a π

a2 3). 3

a2 4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.41.В

⎧ ρ = a sin 2 ϕ ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ π 0 ≤ ϕ ≤ D ⎪⎩ 2 a2 πa2 π πa2 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 8 8 2 6 Номер: 3.42.В

⎧ ρ = a cos ϕ ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , D : ⎨ π D ⎪⎩0 ≤ ϕ ≤ 2 πa2 πa2 π a2 πa2 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 8 3 5 12 Номер:: 3.43.В

⎧ ρ = a sin 3ϕ ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ π D ⎪⎩0 ≤ ϕ ≤ 2 a2 πa2 π π 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 34 3 6 2 Номер: 3.44.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = a cos 2ϕ Ответы: 1).

πa 3

2).

πa 4

3).

πa 6

D 2

4). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 3.45.В

⎧ ρ = a sin 3 ϕ ⎩0 ≤ ϕ ≤ π

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ D

Ответы: 1). π a

2). a

πa 2 3). 6

4).

π 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.46.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = a sin 3 ϕ D

Ответы: 1). 2 a

2). π

3). a

πa2 4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 3.47.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = sin ϕ Ответы: 1).

π 4

2). π

3).

3 π 4

4). 2 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.48.В

⎧ ρ = a cos ϕ ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ π 0 ≤ ϕ ≤ D ⎪⎩ 4 a2 πa2 πa2 2). 3). 4). 4 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 16 3 3 Номер: 3.49.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = a sin 5 ϕ D

πa2 Ответы: 1). 3

πa2 2). 20

πa2 3). 4

πa2 4). 5

5). нет правильного ответа

Номер: 3.50.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = sin 2 ϕ D

Ответы: 1). 1/4 2). 1/2

3). 1

4). π

{

5). нет правильного ответа

Номер: 3.51.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ 2 = sin 2 ϕ Ответы: 1). π

2). 1/2

3). 3 π

4). 3

{

5). нет правильного ответа

Номер: 3.52.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = 2a (1 − cos ϕ) D

Ответы: 1). 1 2). 2

3). 6 π a

4). π a 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.53.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = a (1 + cos ϕ) D

3 Ответы: 1). π a 2 2

2). π a

πa2 3). 2

4). a 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.54.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = a + b ⋅ sin 3 ϕ D

Ответы: 1). π a 2 + 4). a 2

1 2 πb 2

2). π a 2

3). π b 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.55.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = 2a (1 + sin ϕ) Ответы: 1). 1

2). 3

3). 6

4). 6 π a

D 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.56.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = 1 + cos ϕ D

Ответы: 1). 1 2). 2

3). 4

4). 3 5). нет правильного ответа

Номер: 3.57.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = 2 (1 − cos ϕ) Ответы: 1). 3 π

2). 6 π

3). π

4). 2 π 5). нет правильного ответа

Номер: 3.58.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = 1 − cos ϕ Ответы: 1).

π 2

{

2). π

3).

3 π 4

4).

π 6

5). нет правильного ответа

Номер: 3.59.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ρ = 1 + cos ϕ Ответы: 1). π

2).

π 2

{

3).

3 π 4

4). π 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.60.В

⎧ ⎩

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ ρ = 2 sin 2 Ответы: 1).

3 π 2

2).

π 2

3). π

4). 3 π

ϕ 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.61.В

⎧ ⎩

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ ρ = 2 cos 2 D

Ответы: 1). π

2).

3 π 2

3). 3 π

4). 2 π

ϕ 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.62.В Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : { ρ = cos ϕ Ответы: 1). π

2).

π 3

3).

π 4

4).

π 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.63.С

⎧ x 2 + y2 = a x Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ y dx dy , где D : ⎨ D ⎩y ≥ 0 a3 a2 a2 2 Ответы: 1). a 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа 3 4 12 Номер: 3.64.С

{

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ 1 − x 2 − y dx dy , где D : x 2 + y 2 = 1 D

Ответы: 1). π

2).

2 π 3

3). 2 π

4).

π 5

5). нет правильного ответа

Номер: 3.65.С Задача:

Вычислить

двойной

⎧ x 2 y2 D: ⎨ 2 + 2 =1 b ⎩a 2 Ответы: 1). π a b 2). a b 3 Задача:

Вычислить

3). π a b

интеграл

4).

ab 2

x 2 y2 ∫∫ 1 − 2 − 2 dx dy , a b D

где

5). нет правильного ответа

Номер: 3.66.С

двойной

интеграл

2 2 ∫∫ sin x + y dx dy ,

где

⎧⎪ x 2 + y 2 = π 2 D:⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 = 4 π 2 Ответы: 1). π 2). − 6 π 2

3). − π 2

4). 3π 2 52

5). нет правильного ответа

Номер: 3.67.С Задача:

Вычислить

двойной

интеграл

2 2 ∫∫ R − x − y dx dy ,

где

⎧x +y = R ⎪ D : ⎨x = y ⎪ ⎩x = 3 y R3 πR3 πR2 2). 3). Ответы: 1). 36 3 2 2

πR3 4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.68.С

⎧ y = 0, y = x

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨

2 2 ⎩x + y = x

π 1 2). + 4 2

Ответы: 1). π

Задача:

{(

D : x2 + y

π2 3). 3

)

(

Ответы: 1). a

= 2 a 2 x 2 − y2

2). 2 a

5). нет правильного ответа

Номер: 3.69.С двойной интеграл

Вычислить 2 2

π2 4). 4

∫∫ dx dy , D

)

a2 3). 2

a2 4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 3.70.С

{(

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : x 2 + y 2 D

Ответы: 1).

3 π 4

2).

4 π 3

3). π

4). 2 π

{(

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : x 2 + y 2

π 6

Задача:

{(

D : x 2 + y2

2).

π 2

Вычислить

)

3).

π 3

4).

π 4

= x 4 + y4

)

= 4 x 2 y2

∫∫ dx dy , D

5). нет правильного ответа

Номер: 3.72.С двойной интеграл

= 2 a x 3 (a > 0)

)

5). нет правильного ответа

Номер: 3.71.С

Ответы: 1).

где

5πa2 Ответы: 1). 8

πa2 2). 4

πa2 3). 4). π a 2 6

5). нет правильного ответа

Номер: 3.73.С

{(

двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : x 2 + y 2

Задача: Вычислить

Ответы: 1). 5

2). 6

3). 3

4). 4

)

= 2 a y3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.74.С

⎧ρ = a ⎪ Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ ρ sin ϕ dρ dϕ , где D : ⎨ π D ⎪⎩ϕ = 2 ; ϕ = π a2 a2 a2 2). 3). 4). a 2 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 2 4 3 Номер: 3.75.С

⎧ρ = a ⎩ρ = 2 a

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ ρ 2 ϕ dρ dϕ , где D : ⎨ D

Ответы: 1). π a 3 4). 5π a 3

2).

14 3 πa 3

3). 12a 3 π

5). нет правильного ответа Номер: 3.76.С

Задача:

Вычислить

⎧ x 2 + y2 ≤ R 2 D:⎨ ⎩x ≥ 0, y ≥ 0 ⎛π ⎞ Ответы: 1). R 2 ⎜ − 1⎟ ⎝2 ⎠ 4). π R 2

двойной

x 2 + y2 dx dy , ∫∫ 1 + 1 − x 2 − y2 D

интеграл

⎛π ⎞ − 2⎟ ⎠ ⎝2

2). R 2 ⎜

3).

π 2 R 2

5). нет правильного ответа Номер: 3.77.С

⎧ ρ = a (1 + cos ϕ) ⎩ρ = a

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ D

⎛π ⎞ − 1⎟ 2 ⎝ ⎠

Ответы: 1). R 2 ⎜

⎛π ⎞ − 2⎟ ⎝2 ⎠

2). R 2 ⎜

3).

π 2 R 2

где

⎛ ⎝

4). π R 2

5). ⎜ 2 −

π⎞ 2 ⎟a x⎠

Номер: 3.78.С Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : D

Ответы: 1). 1

2). 2

3). 3

4). 4

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : D

Ответы: 1). 1

2). a

a 3). 2

+ y2

)

= 2x y

5). нет правильного ответа

Номер: 3.79.С

{(x

a2 4). 3

{(x

+ y2

)

= 2a2x y

5). нет правильного ответа

Номер: 3.80.С

⎧ ρ = 2 (1 + cos ϕ) ⎩ρ = 2 cos ϕ

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ Ответы: 1). π

2). 2 π

3). 5 π

4). 3 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.81.С

⎧ ρ = 2 − cos ϕ ⎩ρ = 2

Задача: Вычислить двойной интеграл ∫∫ dx dy , где D : ⎨ Ответы: 1). 8 − π 4). 2 − π

2). 6 − π 3). π 5). нет правильного ответа

Номер: 3.82.А Задача: Формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид Ответы: 1). ∫∫ f (x , y ) dx dy = ∫∫ f (ϕ(u , v ), ψ (u , v )) ⋅ J du dv D

2). ∫∫ f (x , y ) dx dy = ∫∫ f (ϕ(u , v ), ψ (u , v )) ⋅ J du dv 3). ∫∫ f (x , y ) dx dy = ∫∫ f (ϕ(u , v ), ψ (u , v )) ⋅ J du dv 4). ∫∫ f (x , y ) dx dy = ∫∫ f (ϕ(u , v ), ψ (u , v )) ⋅ du dv 5). ∫∫ f (x , y ) dx dy = ∫∫ f (ϕ(u , v ), ψ (u , v )) ⋅ J du dv

4. Приложения двойного интеграла Номер: 4.1.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y 2 = 4 x , x + y = 3, y ≥ 0 Ответы: 1).

10 3

14 3

2).

3). 20 4). 1

1 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.2.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = 6 x 2 , x + y = 2, x ≥ 0 Ответы: 1).

5 4

2).

8 5

3).

5 8

4). 2

3 4

5). нет правильного ответа

Номер: 4.3.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y 2 = x + 2, x = 2 Ответы: 1).

32 3

2).

3 32

3). 21

4). 10

1 32

5). 10

1 3

Номер: 4.4.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : x = −2 y 2 , x = 1 − 3 y 2 , x ≤ 0, y ≥ 0 Ответы: 1).

18 3

2).

16 3

3).

3 16

4).

3 18

5).

10 3

Номер: 4.5.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными

8 , x2 = 4 y 2 x +4 10 4 Ответы: 1). 2 π − 2). 2 π 3). 2 π − 3 3 5 5). нет правильного ответа 4). 2 π + 3

линиями D : y =

Номер: 4.6.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = x 2 + 1, x + y = 3 Ответы: 1). 4

2).

10 3

3).

9 4

4).

9 2 56

5). нет правильного ответа

Номер: 4.7.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y 2 = 4 x , x 2 = 4 y Ответы: 1). 10 2). 4 3). 16/3 4). 3/17 5). нет правильного ответа Номер: 4.8.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = cos x , y ≤ x + 1, y ≥ 0 Ответы: 1). 2

2). 1

3).

3 4

4).

3 5

5). нет правильного ответа

Номер: 4.9.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : x =

4 − y2 , y = 3 x, x ≥ 0

3 6 3 4). π − 6

Ответы: 1). 2 π −

2). 2 π −

3 2

3). 2 π − 1

5). нет правильного ответа

Номер: 4.10.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = x 2 + 2, x ≥ 0, x = 2, y = x Ответы: 1).

14 5

2).

14 3

3).

10 3

4).

11 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.11.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = 4 x 2 , 9 y = x 2 , y ≤ 2 Ответы: 1). 20 2 4).

10 3

2).

20 3

3).

20 2 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.12.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = x 2 , y = − x Ответы: 1). 1/6 2). 2/3 3). 5/6 4). 7/6 5). нет правильного ответа

Номер: 4.13.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : x = y 2 , x = Ответы: 1). 7/3

2). 5/3

3 2 y +1 4 3). 8/3

4). 10/3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.14.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными

2 − x2 , y = x2 π π 2 π 1 Ответы: 1). − 2). 3). + 2 3 2 2 3 π 2 − 5). нет правильного ответа 4). 2 3

линиями D : y =

Номер: 4.15.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = x 2 + 4 x , y = x + 4 Ответы: 1).

127 6

125 3

2).

3).

127 5

4).

125 7

5). нет правильного ответа

Номер: 4.16.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : 2 y = x , x + y = 5, x ≥ 0 Ответы: 1).

28 7

2).

28 3

3). 9

4).

10 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.17.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = 2 x , y = 2 x − x 2 , x = 2, x = 0 Ответы: 1). 4).

3 ln 2 2

2).

3 4 + ln 2 3

3).

3 5 + ln 2 3

5). нет правильного ответа

ln 2 2

Номер: 4.18.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = −2 x 2 + 2, y ≥ −6 Ответы: 1).

65 3

2).

64 3

3).

64 5

4).

61 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.19.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y 2 = 4 x , x = Ответы: 1). 2 π 4). 2 π −

8 y2 + 4

2). π

4 3

3). π −

4 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.20.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2 x Ответы: 1). 6 2). 7 3). 8 4). 9 5). нет правильного ответа Номер: 4.21.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : y + x = 3, x = y 2 + 1 Ответы: 1). 10/3 2). 7/3 3). 7/2 4). 9/2 5). нет правильного ответа Номер: 4.22.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : x 2 = 3 y, y 2 = 3 x Ответы: 1). 3 2). 4 3). 5 4). 6 5). нет правильного ответа Номер: 4.23.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : x = cos y, x ≤ y + 1, x ≥ 0 Ответы: 1).

1 4

2).

1 3

3).

1 2

4).

1 5

5). нет правильного ответа

Номер: 4.24.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : x = 4 − y 2 , x − y + 2 = 0 Ответы: 1).

125 3

2).

125 6

3).

125 4

4).

121 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.25.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями D : x = y 2 , x =

2 − y2

π 2 + 2 3 π 1 4). + 2 3

Ответы: 1).

2).

π 2

3).

π 2 − 2 3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.26.В Задача: Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными

x2 y2 1 + = 1, y ≤ x , y ≥ 0 линиями D : 4 4 2 3π π π Ответы: 1). 2). 3). π 4). 5). нет правильного ответа 2 4 4 Номер: 4.27.А Задача: Площадь между линиями: x = 0, y = x 2 , y = 4 − 3 x равна Ответы: 1). 1,5

2). 7/6

3). 2

1 6

4). 4,5

5). нет правильного ответа

Номер: 4.28.А Задача: Площадь между линиями: y = 2 x , y = x 2 равна Ответы: 1). 2,5 2). 2

3). 1,5

4). 4/3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.29.А Задача: Площадь между линиями: y = x 2 , y = x равна Ответы: 1). 1/3 2). 16

3). 1/5

4). 1/6 5). нет правильного ответа

Номер: 4.30.А Задача: Площадь между линиями: y = x 2 , y = x + 2, x = 0 равна Ответы: 1). 1

2). 6/7

3). 1,5

4). 7/6

5). нет правильного ответа

Номер: 4.31.А Задача: Площадь между линиями: x = 0, y = 4 − x 2 , y = 3 x равна Ответы: 1). 7/6

2). 11/6

3 ). 13/6

4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 4.32.С Задача: Масса области между кривыми y = x 3 , y = x , с плотностью ρ (x , y ) = 3 , равна Ответы: 1). 5/4 2). 12/5 3). 13/4 4). 2/3 5). нет правильного ответа

Номер: 4.33.С Задача: Масса области между кривыми y = x 3 , y = x , с плотностью ρ (x , y ) = 4 , равна Ответы: 1). 7/3 2). 5/3 3). 11/4 4). 13/3 5). нет правильного ответа Номер: 4.34.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = x − 2 y , если область D ограничена линиями: y = x 3 , y = 0, x = 1, равна Ответы: 1). 12/35 2). 2/35 3). -2/35 4). -12/35 5). нет правильного ответа Номер: 4.35.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = 2 x − 4 y , если область D ограничена линиями: y = x 3 , y = 0, x = 1, равна Ответы: 1). 4/5 2). 24/35 3). 4/35 4). -4/35 5). нет правильного ответа Номер: 4.36.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) =

1 x − y , если 2

область D ограничена линиями: y = x 3 , y = 0, x = 1, равна Ответы: 1). 3/35 2). 1/35 3). -1/35 4). -6/35 5). нет правильного ответа Номер: 4.37.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = x − 4 y , если область D ограничена линиями: y = x 3 , y = 0, x = −1 , равна Ответы: 1). 11/35 2). 17/35 3). 3/35 4). -3/35 5). нет правильного ответа Номер: 4.38.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = 2 x − 8 y , если область D ограничена линиями: y = x 3 , y = 0, x = 1, равна Ответы: 1). 31/35 2). 34/35 3). 6/35 4). -6/35 5). нет правильного ответа Номер: 4.39.С y = x 3 , y = x , с плотностью Задача: Масса области между кривыми ρ (x , y ) = 1 , равна Ответы: 1). 5/12 2). 5/6 3). 3/2 4). 5/4 5). нет правильного ответа 61

Номер: 4.40.С y = x 3 , y = x , с плотностью Задача: Масса области между кривыми ρ (x , y ) = 2 , равна Ответы: 1). 1 2). 5/6 3). 6/5 4). 3/4 5). нет правильного ответа Номер: 4.41.С Задача: Масса области между кривыми y = x 3 , y = x , с плотностью ρ (x , y ) = 6 , равна Ответы: 1). 1 2). 5/2 3). 5/4 4). 6/4 5). нет правильного ответа Номер: 4.42.С Задача: Масса плоской области D, ограниченной линиями 2 y = x , y = 0, x = −1 , с плотностью ρ (x , y ) = x + 4 y , равна Ответы: 1). 11/20 2). 3/20 3). -3/20 4). 13/20 5). нет правильного ответа Номер: 4.43.С Задача: Масса плоской области D, ограниченной линиями y = x 2 , y = 0, x = −1 , с плотностью ρ (x , y ) = 2 x + 8 y , равна Ответы: 1). 7/10 2). 3/10 3). -3/10 4). 13/10 5). нет правильного ответа Номер: 4.44.С Задача: Масса плоской области D, ограниченной линиями y = x 2 , y = 0, x = −1 , с плотностью ρ (x , y ) = 3 x + 12 y , равна Ответы: 1). 11/20 2). 9/20 3). -9/20 4). 39/20 5). нет правильного ответа Номер: 4.45.С Задача: Масса плоской области D , ограниченной линиями y = x 2 , y = 0, x = 1 , с плотностью ρ (x , y ) = x + 4 y , равна Ответы: 1). 7/20 2). -13/20 3). 13/20 4). 3/20 5). нет правильного ответа Номер: 4.46.С Задача: Масса области, ограниченной линиями плотностью масс ρ (x , y ) = cos (x + y ) , равна Ответы: 1). cos 1 + cos 2 + 1 4). cos 1 − cos 2 − 1

2). cos 1 +

1 cos 2 − 1 2

y = x , y = 1, x = 0 , с 3). cos 1 −

5). нет правильного ответа

Номер: 4.47.С Задача: Масса области, ограниченной линиями плотностью масс ρ (x , y ) = x + y , равна 62

1 1 cos 2 − 2 2

y = x , y = 1, x = 0 ,

Ответы: 1). 1

2). 0,5

3). 7/6

4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 4.48.С Задача: Масса области, ограниченной линиями плотностью масс ρ (x , y ) = 2 cos (x + y ) , равна Ответы: 1). 2 cos 1 − 2 cos 2 + 2 2). 2 cos 1 + cos 2 4). cos 1 −

Задача:

Масса

1 1 cos 2 − 2 2 области,

плотностью масс ρ (x , y ) = Ответы: 1). 5/12

2). 1/4

y = x , y = 1, x = 0 ,

3). 2 cos 1 − cos 2 − 1

5). нет правильного ответа Номер: 4.49.С ограниченной линиями

x+y , равна 2 3). 7/12

4). 1/6

y = x, y = 1, x = 0 ,

5). нет правильного ответа

Номер: 4.50.С Задача: Масса области, ограниченной линиями y = x , y = 1, x = 0 , плотностью масс ρ (x , y ) = 2 (x + y ) , равна Ответы: 1). 1 2). 7/12 3). 1/4 4). 1/6 5). нет правильного ответа Номер: 4.51.С Задача: Масса плоской области D, ограниченной 2 y = x , y = 0, x = 1 , с плотностью масс ρ (x , y ) = 2 x + 8 y , равна Ответы: 1). 26/20 2). -26/20 3). 13/20 4). 6/20 5). нет правильного ответа

линиями

Номер: 4.52.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = x − 2 y , если область D ограничена линиями y = x 3 , y = 0, x = 1, равна Ответы: 1). 12/35 2). 2/35 3). -2/35 4). -12/35 5). нет правильного ответа Номер: 4.53.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = 2 x + 5 y , если область D ограничена линиями x = 0 y = 2, y = x , равна Ответы: 1). -32 2). -32/3 3). 16 4). 56/3 5). 11 Номер: 4.54.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = 3 y − 4 x , если область D ограничена линиями x = 0, y = 2, y = x , равна Ответы: 1). -8/3 2). 8/3 3). 56 63

4). 56/7

5). нет правильного ответа

Номер: 4.55.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = 4 x + 3 y , если область D ограничена линиями x = 0, y = 2, y = x , равна Ответы: 1). 40/3 2). 8/3 3). 8 4). 56/3 5). нет правильного ответа Номер: 4.56.С Задача: Масса области D с переменной плотностью ρ (x , y ) = 4 x + 3 y , если область D ограничена линиями x = 0, y = 1, y = x , равна Ответы: 1). -1/3 2). 5/3 3). -1 4). 7/6 5). нет правильного ответа Номер: 4.57.С Задача: Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = − cos y , а снизу – областью D :{x = 0, y = π, x = y}, равен Ответы: 1). 2 2). -1/2 3). -2 4). 1/2 5). нет правильного ответа Номер: 4.58.С Задача: Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = −2 sin y , а снизу – областью D :{x = 0, y = 2 π, x = y}, равен Ответы: 1). − 4 π 2). 2 π 3). − 2 π 4). 4 π 5). нет правильного ответа Номер: 4.59.С Задача: Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = −3 cos y , а снизу – областью D :{x = 0, y = π, x = y}, равен Ответы: 1). -6 2). 3 3). -3 4). 6 5). нет правильного ответа Номер: 4.60.С Задача: Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = 3 sin y , а снизу – областью D :{x = 0, y = π, x = y}, равен Ответы: 1). − π 2). 3 π 3). − 3 π 4). π 5). нет правильного ответа Номер: 4.61.С Задача: Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = sin y , а снизу – областью D :{x = 0, y = π, x = y}, равен Ответы: 1).

π 2

2). −

π 2

3). − π

4). π

5). нет правильного ответа

Номер: 4.62.А Задача: Величина двойного интеграла ∫∫ f (x , y )dxdy D

функции f (x , y ) ≥ 0 равна 64

от неотрицательной

Ответы: 1). объему тела 2). площади криволинейной трапеции 3). длине дуги кривой 4). работе переменной силы 5). длине отрезка оси 0X Номер: 4.63.А Задача: Величина двойного интеграла ∫∫ f (x , y ) dxdy от неположительной D

функции f (x , y ) ≤ 0 равна Ответы: 1). объему тела 2). площади криволинейной трапеции 3). длине дуги кривой 4). работе переменной силы 5). длине отрезка оси 0X Номер: 4.64.А Задание: Площадь S плоской фигуры, ограниченной замкнутой областью D , равна 2). ∫∫ y 2 γ (x , y )dxdy 3). ∫∫ γ (x , y )dxdy Ответы: 1). ∫∫ x 2 γ (x , y )dxdy D

5). ∫∫ f (x , y ) dxdy

4). ∫∫ dxdy D

Номер: 4.65.А Задание: Если функция f (x , y ) ≥ 0 непрерывна в замкнутой области D , то объем цилиндрического тела находится по формуле: 2). V = ∫∫ f 2 (x , y )dxdy Ответы: 1). V = ∫∫ f (x , y )dxdy D

3). V = ∫∫ x f (x , y )dxdy 2

4). V = ∫∫ dxdy D

5). V = ∫∫ f 2 (x , y ) dxdy D

Номер: 4.66.А Задание: Масса плоской пластинки D с переменной плотностью γ = γ (x , y ) находится по формуле 2). m = ∫∫ γ (x , y ) dx dy Ответы: 1). m = ∫∫ x ⋅ γ (x , y )dx dy D

3). m = ∫∫ y ⋅ γ (x , y )dx dy D

4). m = ∫∫ dxdy 5). m = ∫∫ x 2 γ (x , y ) dx dy D

Номер: 4.67.А Задание: Статический момент фигуры D относительно оси 0X может быть вычислен по формуле 2). S x = ∫∫ γ (x , y ) dx dy Ответы: 1). S x = ∫∫ dx dy D

3). S x = ∫∫ x ⋅ γ (x , y )dx dy D

4). S x = ∫∫ y ⋅ γ (x , y ) dx dy D

5). S x = ∫∫ x 2 ⋅ γ (x , y ) dxdy D

Номер: 4.68.А Задание: Статический момент фигуры D относительно оси 0Y может быть вычислен по формуле 2). S y = ∫∫ γ (x , y ) dx dy Ответы: 1). S y = ∫∫ dx dy D

3). S y = ∫∫ x ⋅ γ (x , y )dx dy D

4). S y = ∫∫ y ⋅ γ (x , y ) dx dy D

5). S y = ∫∫ x ⋅ γ (x , y ) dxdy 2

Номер: 4.69.А Задание: Момент инерции плоской фигуры относительно оси 0X может быть вычислен по формуле Ответы: 1). M x = ∫∫ y 2 ⋅ γ (x , y ) dx dy 2). M x = ∫∫ x 2 γ (x , y ) dx dy D

3). M x = ∫∫ γ (x , y )dx dy D

4). M x = ∫∫ x ⋅ γ (x , y ) dx dy D

5). M x = ∫∫ y ⋅ γ (x , y ) dxdy D

Номер: 4.70.А Задание: Момент инерции плоской фигуры относительно оси 0Y может быть вычислен по формуле 2). M y = ∫∫ x 2 γ (x , y ) dx dy Ответы: 1). M y = ∫∫ y 2 ⋅ γ (x , y ) dx dy D

3). M y = ∫∫ γ (x , y )dx dy

4). M y = ∫∫ x ⋅ γ (x , y ) dx dy

5). M y = ∫∫ y ⋅ γ (x , y ) dxdy D

5. Тройной интеграл. Непосредственное вычисление Номер: 5.1.А n

Задача: Сумма вида ∑ f (x i , y i , z i ) ΔVi зависит от i =1

Ответы: 1). способа разбиения тела T 2). выбора точки Pi (x i , y i , z i ) 3). способа разбиения тела T и выбора точки Pi (x i , y i , z i ) 4). формы тела T 5). не зависит ни от способа разбиения тела T , ни от выбора точки

Pi (x i , y i , z i )

Номер: 5.2.А Задача: Для функции f (x , y, z ) можно составить Ответы: 1). конечное число 3). очень мало

сумм вида ∑ f (x i , y i , z i )ΔVi по области i =1

2). бесчисленное множество 4). ни одной 5). десять Номер: 5.3.А n

Задача: Конечный предел вида lim ∑ f (x i , y i , z i )ΔVi может существовать n →∞ i =1

только для функции Ответы: 1). разрывной в области T 3). ограниченной

2). неограниченной 4). положительной 5). отрицательной

Номер: 5.4.А Задача: Если функция непрерывна в замкнутой области V ( V - объем данной области), то в этой области существует точка P(x 0 , y 0 , z 0 ), такая, что Ответы: 1). ∫∫∫ f (x , y, z )dV = f (x 0 , y 0 , z 0 ) V

2). ∫∫∫ f (x , y, z )dV = f (x , y, z ) ⋅ S , ( S - площадь) V

3). ∫∫∫ f (x , y, z )dV = f (x 0 , y 0 , z 0 ) ⋅ V V

4). ∫∫∫ f (x , y, z )dV = V V

5). ∫∫∫ f (x , y, z )dV = 0 V

Номер: 5.5.А

Задача: Если функция f (x , y, z ) = f1 (x )f 2 (y )f 3 (z ), то тройной интеграл по параллелепипеду с гранями x = a , x = b (b > a ) , y = c , y = d (d > c ) , z = l , z = k (k > l ) , то равен d

c b

a d

l k

a b

c d

l k

a d

l d

c k

Ответы: 1). ∫ f 1 (x )dx ∫ f 2 (y )dy ∫ f 3 (z )dz

2). ∫ f 1 (x )dx ∫ f 2 (y )dy ∫ f 3 (z )dz

3). ∫ f 1 (x )dx ∫ f 2 (y )dy ∫ f 3 (z )dz

4). ∫ f 2 (y )dx ∫ f 1 (x )dy ∫ f 3 (z )dz

5). ∫ f 1 (x )dx ∫ f 3 (z )dy ∫ f 2 (y )dz Номер: 5.6.А Задача: Правильная трехмерная область проектируется на плоскость XOY в Ответы: 1). неправильную двухмерную область D 2). открытую область D 3). правильную двухмерную область D 4). проекции не существует 5). линию Номер: 5.7.А Задача: Если трехмерная область правильная в направлении оси 0z , то всякая прямая, параллельная оси Oz , проведенная через внутреннюю точку области, пересекает поверхность Ответы: 1). в одной точке 2). в двух точках 3). не пересекает поверхность 4). в трех точках 5). точек пересечения множество Номер: 5.8.А Задача: Областью интегрирования тройного интеграла

∫∫∫ f (x, y, z ) dx dy dz V

является Ответы: 1). отрезок оси 0 x 2). поверхность пространства 0xyz 3). непрерывная кривая плоскости 0xy 4). замкнутая область плоскости 0xy 5). число Номер: 5.9.А Задача: Тройной интеграл определяется равенством: Ответы: 1). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = V

lim

∑ f (x i , y i , z i ) Δ Vi

n →∞ i =1 (max d i →0 )

2). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = V

∑ f (x i , y i , z i ) Δ x i y i

lim

n →∞ i =1 (max d i →0 ) n

3). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = lim ∑ f (x i , y i , z i ) Δ Si n →∞ i =1

(λ → 0 )

4). ∫∫∫ f (x , y, z )dx dy dz = lim ∑ f (x i , y i , z i ) Δ l i n →∞ i =1

(λ →0 )

5). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = lim ∑ f (x i , y i , z i ) Δ x i n →∞ i =1

Задача:

(λ → 0 )

Для

какой ∫∫∫ f (x, y, z )dx dy dz ?

Номер: 5.10.А функции f (x , y, z ) существует

тройной

интеграл

Ответы: 1). для любой функции u (x , y, z ) 2). для функции u = f (x , y, z ) , непрерывной в замкнутой области D 3). для функции u = f (x , y, z ) , непрерывной в каждой точке гладкой кривой 4). для разрывной функции 5). для функции u = f (x , y, z ) , непрерывной в ограниченной замкнутой области

V Номер: 5.11.А 2

−1

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dx ∫ dy ∫ dz Ответы: 1). 50

2). -40

3). -30

4). 20

5). нет правильного ответа

Номер: 5.12.А 3

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dx ∫ dy ∫ dz Ответы: 1). 7

2). 6

3). 8

4). 5

5). нет правильного ответа

Номер: 5.13.А 2, 2

4, 4

7,7

1, 2

3, 4

6, 6

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dx ∫ dy ∫ dz Ответы: 1). 5,5

2). 4,4

3). 3,3

4). 2,2

5). нет правильного ответа

Номер: 5.14.А 1,8

1,9

2,1

0 ,8

0,9

0,1

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dx ∫ dy ∫ dz 69

Ответы: 1). 1

2). 2

3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 5.15.А 1,1

2, 2

3,3

0,1

0, 2

0 ,3

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dx ∫ dy ∫ dz Ответы: 1). 2,0

2). 3,2

3). 4,3

4). 6,2

5). нет правильного ответа

Номер: 5.16.А Задача: Вычислить тройной интеграл ∫∫∫ (x + y + z ) dx dy dz , где V - куб, V

ограниченный плоскостями y = 0 , y = 1 , z = 0 , z = 1, x = 0 , x = 1 . Ответы: 1). 12

Задача:

2). 6

Вычислить

3). 3

4). 3 2

5). нет правильного ответа

Номер: 5.17.А тройной интеграл ∫∫∫ x 2 y 2 z dx dy dz , V

(

)

где

параллелепипед, ограниченный плоскостями x = 1 , x = 3 , y = 0 , y = 2 , z = 2 , z = 5. Ответы: 1). 4368 2). 2184 3). 1456 4). 728 5). нет правильного ответа Номер: 5.18.А Задача: Вычислить тройной интеграл ∫∫∫ xy dx dy dz , где V - параллелепипед, V

ограниченный плоскостями x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 , z = 0 , z = 2 . Ответы: 1). 1

2). 1 2

3). 1 4

4). 2

5). 3 2

Номер: 5.19.А Задача: Вычислить тройной интеграл ∫∫∫ yz 2 dx dy dz ,

где

V - куб,

ограниченный плоскостями x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 2 , z = 0 , z = 2 . Ответы: 1). 10

Задача:

2). 10

Вычислить

2 3

3). 11

2 3

4). 11

1 3

5). нет правильного ответа

Номер: 5.20.А тройной интеграл ∫∫∫ (x + y ) dx dy dz , V

где

параллелепипед, ограниченный плоскостями x = 0 , x = 2 , y = 0 , z = 0, z = 2. Ответы: 1). 8 2). 16 3). 10 4). 14 5). нет правильного ответа

y = 2,

Номер: 5.21.А Задача: Вычислить интеграл

∫∫∫ (x + y − z ) dx dy dz по параллелепипеду, V

ограниченному плоскостями x = −1, x = 1 , y = 0 , y = 1 , z = 0 , z = 2 . Ответы: 1). 2 2). − 2 3). 4 4). − 3 5). 1 Номер: 5.22.А 1

−1

Задача: Областью интегрирования тройного интеграла ∫ dx ∫ dy ∫ (4 + z )dz является Ответы: 1). параллелепипед 2). цилиндр 3). сфера 4). плоскость 5). отрезок прямой линии Номер: 5.23.А 2

2− x

2− x − y

Задача: Областью интегрирования тройного интеграла ∫ dx ∫ dy является Ответы: 1). параллелепипед 3). плоскость

2). пирамида 4). отрезок прямой линии

∫ (4 + z ) dz

5). цилиндр

Номер: 5.24.А 3

3− x

Задача: Областью интегрирования тройного интеграла ∫ dx ∫ dy ∫

1 dz x+y+z

является Ответы: 1). параллелепипед 2). цилиндр 3). призма 4). плоскость 5). отрезок прямой линии Номер: 5.25.А Задача: Вычислить тройной интеграл ∫∫∫ dV , где V − куб: − 1 ≤ x ≤ 1, V

− 1 ≤ y ≤ 1, − 1 ≤ z ≤ 1, Ответы: 1). 2

2). 4

3). 6

4). 8

5). нет правильного ответа

Номер: 5.26.В Задача: Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f (x , y, z ) в области V , то тройной интеграл по области V 2). ∫∫∫ f (x , y, z )dV ≥ mV Ответы: 1). ∫∫∫ f (x , y, z )dV ≤ MV V

3). ∫∫∫ f (x , y, z )dV ≥ 0

4). mV ≤ ∫∫∫ f (x , y, z )dV ≤ MV

5). ∫∫∫ f (x , y, z )dV < 0 V

Номер: 5.27.В Задача: Если область V - параллелепипед с гранями x = a , x = b (a < b ) , y = c , y = d (c < d ) , z = l , z = k (l < k ) , то ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz равен b

ϕ1 ( y )

a d

c b

l a ϕ1 ( y ) k

Ответы: 1). ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz

V b

a b

c k

l d

2). ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz

3). ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz

4). ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz

5). ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz a

Номер: 5.28.В Задача: Если область V ограничена снизу и сверху поверхностями z1 = f1 (x , y )

(z 2 > z1 ) и цилиндрической поверхностью, у которой и z 2 = f 2 ( x, y ) образующие параллельны оси Oz , а направляющей является граница области D с xOy . Тогда для любой функции f (x , y, z ) , непрерывной в замкнутой области V , имеет место формула ⎛ f2 (x ,y ) ⎞ 2). ∫∫ ⎜⎜ ∫ f (x , y, z )dz ⎟⎟dxdy D ⎝ f1 ( x . y ) ⎠ ⎛ f2 (x ,y ) ⎞ 4). ∫∫ ⎜⎜ ∫ f (x , y, z )dy ⎟⎟dxdz D ⎝ f1 ( x . y ) ⎠

⎛ f2 (x ,y ) ⎞ Ответы: 1). ∫∫ ⎜⎜ ∫ f (x , y, z )dz ⎟⎟dxdy D⎝ 0 ⎠ ⎛ f2 (x ,y ) ⎞ 3). ∫∫ ⎜⎜ ∫ f (x , y, z )dx ⎟⎟dydz D ⎝ f1 ( x . y ) ⎠ f1 ( x , y ) ⎛ ⎞ 5). ∫∫ ⎜⎜ ∫ f (x , y, z )dz ⎟⎟dxdy D⎝ 0 ⎠ Задача:

Вычислить

Номер: 5.29.В тройной интеграл

{

V : y = x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 1; z = 0; z = 30 x 2 + 60 y 2 Ответы: 1). 30

Задача:

2). 29

Вычислить

3). 28

4). 27

{

Ответы: 1). -11

2). 12

3). -13

4). 14

где

}

5). нет правильного ответа

Номер: 5.30.В тройной интеграл

V : y = 9 x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 1; z = 0; z = x y

∫∫∫ (x + y )dx dy dz ,

}

(

)

3 ∫∫∫ 1 + 2 x dx dy dz , V

5). нет правильного ответа

где

Задача:

Вычислить

Номер: 5.31.В тройной интеграл

{

∫∫∫ 63 (1 + 2 y )dx dy dz ,

где

}

V : y = x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 1, z = x y , z = 0 Ответы: 1). 30

2). 31

3). 32

4). 33

5). нет правильного ответа

Номер: 5.32.В Задача: Вычислить тройной интеграл ∫∫∫ x dx dy dz по области V , ограниченной V

плоскостями x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 . Ответы: 1). 1 6

Задача:

2). 1

Вычислить

3). 1 12

4). 1 24

5). нет правильного ответа

Номер: 5.33.В тройной интеграл ∫∫∫ 3 ⋅ dx dy dz

по

области

ограниченной плоскостями x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 2 . Ответы: 1). 10 2). 12 3). 8 4). 6 5). нет правильного ответа Задача:

Вычислить

Номер: 5.34.В тройной интеграл

{

∫∫∫ (9 + 18 z )dx dy dz ,

где

}

V : y = 4 x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 1; z = x y ; z = 0 Ответы: 1). 31

2). 32

3). 33

4). 34

5). нет правильного ответа

Номер: 5.35.В Задача: Проекцией тела V , ограниченного плоскостями x + y + z + = 2 , z = 1, x = 0 , y = 0 на плоскость XOY является

⎧0 ≤ x ≤ 2 2). прямоугольник 0 ≤ y ≤ 2 ⎩ ⎧x = 0 ⎧x = 0 ⎪ ⎪ 3). треугольник ⎨ y = 0 4). треугольник ⎨ y = 0 ⎪x + y = 2 ⎪x + y = 1 ⎩ ⎩

Ответы: 1). квадрат ⎨

⎧0 ≤ x ≤ 2 ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 1

⎧x = 1 ⎪ 5). треугольник ⎨ y = 0 ⎪y = x ⎩

Номер: 5.36.В

x 2 y2 Задача: Проекцией тела T : + + z 2 ≤ 1 при вычислении тройного 9 4 интеграла ∫∫∫ z dx dy dz на плоскость XOY является T

Ответы: 1). круг x 2 + y 2 ≤ 36 2). окружность x 2 + y 2 ≤ 9

x 2 y2 3). эллипс + ≤1 9 4

x 2 y2 4). гипербола − ≤1 9 4

x 2 y2 5). эллипс + ≤1 3 2

Номер: 5.37.В Задача: Проекцией тела, ограниченного поверхностью 2z = x 2 + y 2 , z = 2 на плоскость XOY является 2). x 2 + y 2 ≤ 4 Ответы: 1). круг x 2 + y 2 ≤ 2 3). точка (0;0 )

5). (x − 1) + y 2 ≤ 4 2

4). x 2 + y 2 ≤ 1 Номер: 5.38.В 9

4− x 2

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dz ∫ dx ∫ dy Ответы: 1). 10

2). -20 3). -30

4). 40

5). нет правильного ответа

Номер: 5. 9.В 1

4− x − y

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dy ∫ dx Ответы: 1). 57/60 4). 79/60

∫ dz

2). 59/60 3). 61/60 5). нет правильного ответа Номер: 5.40.В 1

−1

Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ dx ∫ dx ∫ dz Ответы: 1). 40/3

2). -41/3

3). 43/3

4). -44/3

5). нет правильного ответа

Номер: 5.41.В

dz 3 1− y Задача: Вычислить трехкратный интеграл ∫ ∫ dy ∫ dx 1 z 0 0 e

Ответы: 1). 5/2

Задача:

2). 3/2

Вычислить

3). 1/2

4). -3/2

Номер: 5.42. В тройной интеграл

V : {y = 10 x; y = 0; x = 1; z = x y; z = 0} Ответы: 1). 10

2). 20

5). нет правильного ответа

3). 30

4). 40

∫∫∫ x dx dy dz , V

5). нет правильного ответа

где

Задача:

Вычислить

Номер: 5.43.В тройной интеграл

Ответы: 1). 159/7 4). 162/7 Задача:

Номер: 5.44.В тройной интеграл

где

V : {y = x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 1; z = x + y; z = 0}

Задача:

∫∫∫ (3 x + 4 y )dx dy dz ,

2). 160/7 3). 161/7 5). нет правильного ответа

Вычислить

Ответы: 1). 47/24 4). 17/23

2). 49/24 3). 51/23 5). нет правильного ответа

Вычислить

Номер: 5.45.В тройной интеграл

∫∫∫ 21 x z dx dy dz ,

2). 31

3 ). 32

где

V : {y = x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2; z = x y; z = 0} Ответы: 1). 30

)

где

V : {y = 9 x; y = 0; − 1 ≤ x ≤ 1; z = x y; z = 0}

(

3 ∫∫∫ 1 + 2 x dx dy dz ,

4). 33

5). нет правильного ответа

Номер: 5.46.А Задача: Если трехмерная область правильная в направлении оси 0X , то всякая прямая, параллельная оси OX , проведенная через внутреннюю точку области, пересекает поверхность Ответы: 1). в одной точке 2). в двух точках 3). не пересекает поверхность 4). в трех точках 5). точек пересечения множество Номер: 5.47.А Задача: Если трехмерная область правильная в направлении оси 0Y , то всякая прямая, параллельная оси OY , проведенная через внутреннюю точку области, пересекает поверхность Ответы: 1). в одной точке 2). в двух точках 3). не пересекает поверхность 4). в трех точках 5). точек пересечения множество Номер: 5.48.А Задача: Объем тела, ограниченного поверхностями, уравнения которых x 1 = ϕ1 (y, z ) и x 2 = ϕ 2 (y, z ), (ϕ 2 (y, z ) > ϕ1 (y, z )) , и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0X , равен Ответы: 1). V = ∫∫ dy dz D

3). V = ∫∫ dx dy D

ϕ2 ( y,z )

∫ dx

ϕ1 ( y , z ) ϕ2 ( y ,z )

∫ dy

ϕ1 ( y , z )

2). V = ∫∫ dx dy D

ϕ2 ( y,z )

∫ dz

ϕ1 ( y , z ) b

4). V = ∫∫ dx dy ∫ dz D

5). V = ∫∫ dy dz ∫ dx D

6. Замена переменной в тройном интеграле Номер: 6.1.А Задача: Вычислить тройной интеграл ∫∫∫ dV , где V − сфера x 2 + y 2 + z 2 = R 2 V

Ответы: 1). π R

2).

πR 3

3).

4 πR3 3

4). 4 π R 3 5). нет правильного ответа

Номер: 6.2.А Задача: Переход в тройном интеграле от декартовых цилиндрическим осуществляется по формуле Ответы: 1). ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z ) dρ dϕ dz V

V′

координат

2). ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z )ϕ dρ dϕ dz 3). ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z )ρ dρ dϕ dz V

V′

4). ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z )dϕ dρ dϕ dz 5). ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z ) dϕ dρ Номер: 6.3.А Задача: Переход в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим осуществляется по формуле Ответы: 1). ∫∫∫ f (x , y, z )dx dy dz = ∫∫∫ f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ sin ϕ dρ dϕ dθ V

V′

2). ∫∫∫ f (x , y, z )dx dy dz = ∫∫∫ f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ 2 dρ dϕ dθ 3). ∫∫∫ f (x , y, z )dx dy dz = ∫∫∫ f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ 2 sin θ dρ dϕ dθ V′

4). ∫∫∫ f (x , y, z )dx dy dz = ∫∫∫ f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ 2 sin ϕ dρ dϕ dθ V′

5).

2 ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ sin ϕ sin θ dρ dϕ dθ V

V′

Номер: 6.4.А Задача: При переходе от переменных x , y, z к новым переменным u , v, w , связанные с x , y, z соотношениями x = x (u , v, w ), y = y(u , v, w ), z = z(u , v, w ) в тройном интеграле необходимо, чтобы Якобиан преобразования был Ответы: 1). не равным нулю 2). отрицательным 76

3). неотрицательным

4). неположительным

5). равным нулю

Номер: 6.5.В

x 2 + y 2 dx dy dz , если область интегрирования V

Задача: Вычислить ∫∫∫ V

ограничена поверхностями x 2 + y 2 = 4, z = 1, z = 2 + x 2 + y 2

200 π 17 279 π 4). 17

Ответы: 1).

2).

272 π 15

3).

281 π 15

5). нет правильного ответа Номер: 6.6.В

x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz , если область интегрирования

Задача: Вычислить ∫∫∫ V

V ограничена сферой x 2 + y 2 + z 2 = 4 и плоскостью y = 0 (y ≥ 0 ) 64 60 61 π 2). π 3). π Ответы: 1). 3 3 3 65 π 5). нет правильного ответа 4). 3 Задача:

Вычислить

Номер: 6.7.В ∫∫∫ dx dy dz , если область

интегрирования

V−

4).

4 πa bc 3

Задача: Вычислить

+ + =1 a 2 b2 c2 π 2). a b c 3). a b c 3

внутренность эллипсоида Ответы: 1). 2 π a b c

5). нет правильного ответа Номер: 6.8.В ∫∫∫ dx dy dz , если область V

ограничена сферой

x 2 + y 2 + z 2 = 4 и плоскостями x = 0 (x ≥ 0 ), y = 0 (y ≥ 0 ), z = 0 (z ≥ 0 ) 13 π 10 13 Ответы: 1). π 2). 3). π 3 5 3 16 π 5). нет правильного ответа 4). 5

Номер: 6.9.В Задача: Вычислить ∫∫∫ z dx dy dz , где V − область, ограниченная верхней V

частью конуса x + y 2 = z 2 и плоскостью z = 1 Ответы: 1). 2 π

2). π

3).

π 2

4).

π 4

5). нет правильного ответа

Номер: 6.10.С Задача: При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам ρ, ϕ, z - изменяются в пределах Ответы: 1). − ∞ < ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞ 2). 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , − ∞ < z < ∞ 3). 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞ 4). 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ z < ∞ 5). − ∞ < ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ π , − ∞ < z < ∞ Номер: 6.11.С Задача: При переходе из декартовых координат в цилиндрическую систему координат в тройном интеграле Якобиан преобразования равен Ответы: 1). ρ 2 2). ρ 3). − ρ 4). (ρ − 1) 5). 2ρ Номер: 6.12.С Задача: При переходе из декартовой в сферическую систему координат в тройном интеграле ρ, ϕ, θ изменяются в пределах Ответы: 1). 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π 2). − ∞ < ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − π 2 ≤ θ ≤ π 2 3). 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , − π 2 ≤ θ ≤ π 2 4). 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ π 2 5). − ∞ < ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − π 2 ≤ θ ≤ 0 Номер: 6.13.С Задача: При переходе декартовых координат к сферическим (ρ, ϕ, θ ) в тройном интеграле Якобиан преобразования имеет вид 2). ρ 2 sin θ 3). ρcos θ 4). ρ cos 2 θ 5). ρsin ϕ Ответы: 1). ρ 2 sin ϕ Номер: 6.14.С Задача: При замене переменных в тройном интеграле по формулам x = ϕ(U, V, W ) , y = ψ(U, V, W ), z = k (U, V, W ) Якобиан преобразования имеет вид

∂x Ответы: 1). J = ∂U ∂y ∂U

∂x ∂V ∂y ∂V

∂y ∂U ∂x 3). J = ∂U ∂z ∂U

∂y ∂V ∂x ∂V ∂z ∂V

∂x ∂U ∂y 2). J = ∂U ∂z ∂U ∂x ∂U ∂y 4). J = ∂U ∂z ∂U

∂y ∂W ∂x ∂W ∂z ∂W

∂x ∂x ∂V ∂W ∂y ∂y ∂V ∂W ∂z ∂z ∂V ∂W ∂x 1 ∂V ∂y 1 5). J = ∂V ∂z 1 ∂V

∂x 1 0 ∂U ∂y 1 1 ∂V ∂z 1 1 ∂W

Номер: 6.15.С 2 2 ∫∫∫ x + y dxdydz , если V -

Задача: При переходе в тройном интеграле

область ограниченная поверхностью x + y = 2 x и плоскостями z = 0 , z = 3 к цилиндрическим координатам угол ϕ изменяется 2). 0 ≤ ϕ ≤ π 3). − π 2 ≤ ϕ ≤ π 2 Ответы: 1). 0 ≤ ϕ ≤ 2π 5). π ≤ ϕ ≤ 2π 4). 0 ≤ ϕ ≤ π 2 Номер: 6.16.С Задача: При переходе в тройном интеграле ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 dxdydz , если V V

верхняя половина сферы x + y + z = 2Ry , к сферическим координатам ρ изменяется в пределах Ответы: 1). 0 ≤ ρ ≤ R 2). 0 ≤ ρ ≤ R cos ϕ 3). 0 ≤ ρ ≤ R sin θ 4). 0 ≤ ρ ≤ R cos θ ⋅ sin ϕ 5). 0 ≤ ρ ≤ R sin θ ⋅ cos ϕ Номер: 6.17.С Задача: При переходе в тройном интеграле ∫∫∫ x 2 dx dy dz , если T - шар T

x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 к сферическим координатам угол θ изменяется 2). 0 ≤ θ ≤ π 3). 0 ≤ θ ≤ π 4 Ответы: 1). 0 ≤ θ ≤ π 2 5). 0 ≤ θ ≤ 2π 4). − π 4 ≤ θ ≤ π 4

Номер: 6.18.С Задача: При переходе в тройном интеграле ∫∫∫ x 2 + y 2 dx dy dz , если область T

x + y = 2 x и плоскостями z = 0 и z = 2 , к цилиндрическим координатам ρ изменяется Ответы: 1). 0 ≤ ρ ≤ 1 2). 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ 3). 0 ≤ ρ ≤ sin ϕ 4). 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ 5). − ∞ < ρ < ∞

T ограничена цилиндром

Номер: 6.19.С Задача: При переходе в тройном интеграле ∫∫∫ x 2 + y 2 dx dy dz , если область

(

)

T - верхняя половина шара x + y + z ≤ 1 , к сферическим координатам θ изменяется в пределах Ответы: 1). 0 ≤ θ ≤ π 3). 0 ≤ θ ≤ π 2

2). 0 ≤ θ ≤ π 4 4). − π 2 ≤ θ ≤ π 2

5). 0 ≤ θ ≤ 2π

Номер: 6.20.С Задача: При переходе в тройном интеграле ∫∫∫ dx dy dz , где

V ограничено

поверхностью 2z = x 2 + y 2 и плоскостью координатам z меняется в пределах

ρ2 ≤z≤2 Ответы: 1). 2

z = 2,

цилиндрическим

2). 0 ≤ z ≤ 2

ρ2 4). ≤ z ≤1 3

3). ρ ≤ z ≤ 2

ρ2 5). 2 ≤ z ≤ 2

Номер: 6.21.С

dx dy dz

Задача: Вычислить ∫∫∫

(

Ответы: 1).

1 + x 2 + y2 +

4π ln 2 3

2).

)

3 2 2 z

, где V − шар x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

4 π ln 2 3).

π ln 2 3

4). 4 π ln 2

5).

2π ln 2 3

Номер: 6.22.С Задача: Вычислить ∫∫∫ dx dy dz , где V − тело, ограниченное поверхностями V

z = x + y и z =1 Ответы: 1). 2 π

2).

π 2

3).

2π 3

4).

π 2

5). нет правильного ответа

Задача:

Номер: 6.23.С ∫∫∫ z dx dy dz , где V − 2

Вычислить

область,

ограниченная

поверхностями 1 ≤ x + y 2 ≤ 36, y ≥ z, x ≥ 0, z ≥ 0 Ответы: 1). 1150/3 2). 155/3 3). 1555/3 4). 2000/3 Задача:

Номер: 6.24.С ∫∫∫ y dx dy dz , где V −

Вычислить

5). 2005/3

область,

ограниченная

поверхностями x 2 + y 2 + z 2 = 32, y = x 2 + y 2 , y ≥ 0 Ответы: 1). 120 π 2). 128 π 3). 130 π 4).

120 π 3

5). нет правильного ответа Номер: 6.25.С 2

x dx dy dz

∫∫∫

Задача: Вычислить

x +y +z

, где

V − область, ограниченная

поверхностями x 2 + y 2 + z 2 = 16, z = 0 (z ≥ 0 )

10 π 3 4). 20 π

Ответы: 1).

2).

20π 3

3).

16 π 3

5). нет правильного ответа

Номер: 6.26.В Задача: Формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид Ответы: 1). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ f (ϕ (u , v, ω), ψ (u , v, ω), χ (u , v, ω)) J du dv dω V

V′

2). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ f (ϕ (u , v, ω), ψ (u , v, ω), χ (u , v, ω)) ⋅ J du dv dω 3). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ f (ϕ (u , v, ω), ψ (u , v, ω), χ (u , v, ω))du dv dω 4). ∫∫∫ f (x , y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ f (ϕ (u , v, ω), ψ (u , v, ω), χ (u , v, ω)) du dv dω 5). нет правильного ответа Номер: 6.27.С Задача: Вычислить ∫∫∫ x + y + z 2 dx dy dz , если V − область, ограниченная V

x + y + z2 = 4 z = 0 (z ≥ 0 )

сферой

(

)

плоскостями

x = 0 (x ≥ 0 ), y = 0 (y ≥ 0 ) ,

Ответы: 1). 10 π 4).

2).

12 π 5

16π 5

3).

13 π 5

5). нет правильного ответа

Номер: 6.28.С Задача: Вычислить ∫∫∫ y dx dy dz , если V − область, ограниченная указанными V

поверхностями 4 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16, y ≤ Ответы: 1).

15 π 2

2).

13π 2

3 x , y ≥ 0, z ≥ 0 . 17 π 2 3). 4). π 5). нет правильного ответа 15 2 Номер: 6.29.С

Задача: Вычислить ∫∫∫ V

y dx dy dz x 2 + y2

, если V − область, ограниченная указанными

поверхностями x 2 + y 2 = 2 y; x 2 + y 2 = 4 y; x ≥ 0, z ≥ 0, z = 6 . Ответы: 1). 22 2). 24 3). 26 4). 28 5). нет правильного ответа Номер: 6.30.С Задача: Вычислить ∫∫∫

x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz , если V − область, ограниченная

указанными поверхностями x 2 + y 2 + z 2 = 36; y ≥ 0, z ≥ 0, y ≤ − x . Ответы: 1). 18 π 2). 27 π 3). 81 π 4). 9 π 5). нет правильного ответа

7. Приложения тройного интеграла Номер: 7.1.С

x 2 y2 z2 Задача: Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом 2 + 2 + 2 = 1 a c b 4 π Ответы: 1). πa b c 2). π a b c 3). a b c 3 3 π 5). нет правильного ответа 4). a b c 2 Номер: 7.2.В Задача: Вычислить объем шара x 2 + y 2 + z 2 = 1 Ответы: 1).

4π 5

2).

4π 3

3). 4 π

4). 2 π

5). нет правильного ответа

Номер: 7.3.В Задача: Вычислить объем шара x 2 + y 2 + z 2 = a 2

3πa3 Ответы: 1). 4 4 πa3 4). 3

2). 4 π a

πa3 3). 3

5). нет правильного ответа

Задача: Вычислить объем

Номер: 7.4.С тела, ограниченного сферой x 2 + y 2 + z 2 = 22 и

поверхностью параболоида 9 z = x 2 + y 2

22 22 − 35 π 3 35 − 22 22 π 4). 3

Ответы: 1).

2).

22 − 35 π 3

3).

(

5). нет правильного ответа

Номер: 7.5.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного 2 2 2 az = x + y + y ; z = a. 3

Ответы: 1). 2 a π

a 3π 4). 4

2). a π

)

2 22 22 − 35 π 3

a 3π 3). 4

5). нет правильного ответа

поверхностями

Номер: 7.6.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x + y + z = 4; x = 3, y = 2, x = 0, y = 0, z = 0 . Ответы: 1). 50/7 2). 55/3 3). 55/6 4). 50/3 5). нет правильного ответа Номер: 7.7.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного 2 2 2 2 2 2 x + y + z = 2 z; x + y = z . Ответы: 1). π

Задача:

2).

π 2

3).

π 3

4).

3π 2

поверхностями

5). нет правильного ответа

Номер: 7.8.С объем тела, ограниченного

Вычислить

поверхностями

2 z = x 2 + y2 ; y + z = 4 . Ответы: 1). 81π 4).

2).

81 π 4

81 π 2

3).

81 π 3

5). нет правильного ответа

Номер: 7.9.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного сферой x 2 + y 2 + z 2 = 3 a 2 и параболоидом x 2 + y 2 = 2 a z .

πa3 Ответы: 1). 3 πa3 6 3 + 5 4). 3

(

2). 6 3 a 3 π

)

(

)

3). 6 3 + 5 π a 3

5). нет правильного ответа

Номер: 7.10.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами x 2 = y, x 2 = 4 − 3 y и плоскостями z = 0, z = 9 Ответы: 1). 14 2). 16 3). 18 4). 20 5). нет правильного ответа

Задача: Вычислить объем

Номер: 7.11.С тела, ограниченного конусом x 2 + y 2 = z 2 и

параболоидом x 2 + y 2 = 6 − z; z ≥ 0 .

5 π 32 32 π 4). 3

Ответы: 1).

2). 32 π

3).

32 π 7

5). нет правильного ответа

Номер: 7.12.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром x 2 + y 2 = R x и сферой x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

2 R 3 (3π − 4 ) Ответы: 1). 9 3 π R (3π − 4 ) 4). 9

2 π R 3 (4 − 3π) 3). 9

2R3 2). 9

5). нет правильного ответа Номер: 7.13.С тела, ограниченного

Задача: Вычислить объем плоскостями x + z = 1, z = 0 . Ответы: 1). 8/5 2). 8/3 3). 8/15

4). 8/7

цилиндром

x = y2

5). нет правильного ответа

Номер: 7.14.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного сферами x 2 + y 2 + z 2 = 1,

x 2 + y 2 + z 2 = 16 и конусом z 2 = x 2 + y 2 (тела, лежащего внутри конуса). Ответы: 1). 4).

28 π ⎛ 3⎞ ⎜⎜1 − ⎟ 3 ⎝ 2 ⎟⎠

28 ⎛ 3⎞ ⎜⎜1 + ⎟ 3 ⎝ 2 ⎟⎠

28 π 3

2).

28 ⎛ 2⎞ ⎜⎜1 − ⎟ 3⎝ 2 ⎟⎠

5). нет правильного ответа

3).

Номер: 7.15.В Задача: Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом 2 z = x 2 + y 2 и плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 2 . Ответы: 1). 4/3 2). 2/3 3). 1 4). 3/4 5). нет правильного ответа Номер: 7.16.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z 2 = 4 − x , и

x 2 + y2 = 4 x . Ответы: 1). 5/2

2). 512/3

3). 512/15 4). 512/4

5). нет правильного ответа

Номер: 7.17.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 4 − y 2 ,

x 2 + y 2 = 4, z ≥ 0 Ответы: 1). 6 π 2). 12 π

3). 8 π

4). 10 π

5). нет правильного ответа

Номер: 7.18.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x ≥ 0, z ≥ 0, x + y = 2 . Ответы: 1). 3/4 2). 1 3). 3/2 4). 4/3 5). нет правильного ответа

z = y2 ,

Номер: 7.19.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x 2 + y 2 = 4 z = 4 − x − y, z ≥ 0 . Ответы: 1). 10 π 2). 12 π 3). 14 π 4). 16 π 5). нет правильного ответа

Задача:

Вычислить

объем

Номер: 7.20.В тела, ограниченного

поверхностями

x ≥ 0,

поверхностями

z ≥ 0,

z ≥ 0, z = y, x = 4, y = 25 − x 2 . Ответы: 1). 116/3 4). 3/116 Задача:

2). 118/3 3). 3/118 5). нет правильного ответа

Вычислить

объем

Номер: 7.21.С тела, ограниченного

y = 9 − x 2 , z = 2y . Ответы: 1). 36 2). 36/5 3). 5/36

4). 36/7

5). нет правильного ответа

Номер: 7.22.В Задача: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y ≥ 0, z ≥ 0, x + y = 2, z = x 2 + y 2 . Ответы: 1). 2 2). 3/7 3). 8/3 4). 3/8 5). нет правильного ответа Задача:

Вычислить

объем

Номер: 7.23.В тела, ограниченного

x ≥ 0,

поверхностями

z ≥ 0,

поверхностями

z ≥ 0,

x 2 + y 2 = 9, z = 5, z = 5 − x − y . 47 3 π 3). π Ответы: 1). 47 π 2). 3 47 4). 45 π 5). нет правильного ответа Задача:

Вычислить

объем

Номер: 7.24.В тела, ограниченного

z = x, x = 4 − y 2 . Ответы: 1). 16 π

2).

16 π 3

3). 16/3

4). 86

3π 16

5). нет правильного ответа

Задача:

Вычислить

объем

Номер: 7.25.В тела, ограниченного

поверхностями

y ≥ 0,

поверхностями

x ≥ 0,

z ≥ 0, y = 4, z = x , x = 25 − y 2 . Ответы: 1). 118/5 4). 3/118 Задача:

2). 118/3 3). 118 5). нет правильного ответа

Вычислить

объем

Номер: 7.26.С тела, ограниченного

z ≥ 0, y ≥ x , z = 1 − x 2 − y 2 . π π 2). 3). π Ответы: 1). 16 8 Задача:

Вычислить

объем

y + z = 2, x 2 + y 2 = 4 . Ответы: 1). 10 π 2). 8 π

4). 1/16 5). нет правильного ответа

Номер: 7.27.С тела, ограниченного

3). 6 π

4). 4 π

поверхностями

z ≥ 0,

5). нет правильного ответа

Номер: 7.28.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами z = 4 − y 2 и

z = y 2 + 2 и плоскостями x = −1 и x = 2 . Ответы: 1). 7

2). 9

3). 8

4). 10

5). нет правильного ответа

Номер: 7.29.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами z = x 2 + y 2 и

z = x 2 + 2 y 2 и плоскостями y = x , y = 2 x и x = 1. Ответы: 1). 12/7

2). 3/7

3). 5/12

4). 7/12

5). нет правильного ответа

Номер: 7.30.С Задача: Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами z = x 2 + y 2 и

z = 2 x 2 + 2 y 2 , цилиндром y = x 2 и плоскостью y = x . Ответы: 1). 35/3 4). 9/35

2). 3/35 3). 35/9 5). нет правильного ответа

Номер: 7.31.С Задача: С помощью тройного интеграла найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью x 2 = 2 y и плоскостями y + z = 1, 2 y + z = 2 , если в каждой точке объемная плотность численно равна ординате этой точки. Ответы: 1).

8 2 35

2). 8/35

3). 8 2 87

4).

2 35

5). нет правильного ответа

Номер: 7.32.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить массу тела, ограниченного конусом x 2 + y 2 = z 2 и плоскостью z = 1 , если его плотность пропорциональна координате z с коэффициентом пропорциональности k , k > 0 . Ответы: 1). π k

2).

πk 4

3).

πk 3

4).

3π k

5). нет правильного ответа

Номер: 7.33.С Задача: С помощью тройного интеграла найти массу шара x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 R z , если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат.

4 2 2 π R 3 4 4). π kR 2 3

Ответы: 1).

2).

4 2 2 4 π k 3). π R 3 3

5). нет правильного ответа

Номер: 7.34.С Задача: С помощью тройного интеграла найти массу куба, если в каждой его точке объемная плотность численно равна сумме ее расстояний до трех граней этого куба, проходящих через одну данную его вершину.

2 Ответы: 1). a 4 3

2). a

3 3). a 4 2

a4 4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 7.35.С Задача: Найти массу вещества, заполняющего общую часть двух шаров x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 и x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 R z , если его плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию ее до плоскости X0Y

k 2 π2 R 2 Ответы: 1). 12 k πR3 4). 12

k 2π2 R 3 k πR4 2). 3). 12 12 5). нет правильного ответа

Номер: 7.36.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями

1 2 x + z2 , y = 2. 2 88

⎛ 3 ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ 4). ⎜ 0; ; 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠

Ответы: 1). ⎜ 0; ;1⎟

⎛3 ⎝2

⎞ ⎠

⎛3 ⎝2

2). ⎜ ;1; 0 ⎟

⎞ ⎠

3). ⎜ ; 0; 0 ⎟

5). нет правильного ответа

Номер: 7.37.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить момент инерции относительно оси 0Y однородного тела (плотность δ = const ), занимающего область V , ограниченную поверхностью y = 5 − x 2 − z 2 и плоскостью y = 1 .

32 πδ 3 32 π 4). 3

Ответы: 1).

2). 32 π δ

3).

32 δ 3

5). нет правильного ответа

Номер: 7.38.С Задача: Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную указанными поверхностями 2 2 2 2 x = 6 y + z , y + z = 3, x = 0 . 2). (0; 0; 6 ) 3). (0; 6; 0 ) Ответы: 1). (6; 0; 0 ) 5). нет правильного ответа 4). (6;1; 0 )

(

)

Номер: 7.39.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями

y = 3 x 2 + z 2 , x 2 + z 2 = 36, y = 0

⎞ ⎛ 27 ; 0; 0 ⎟ ⎠ ⎝ 4

3). ⎜

27 ⎞ ⎛ ⎟ 4 ⎠ ⎝ ⎛ 27 ⎞ 5). ⎜ 0; ; 0 ⎟ ⎝ 4 ⎠ 2) ⎜ 0;1;

Ответы: 1). нет правильного ответа

⎞ ⎛ 27 ;1; 0 ⎟ ⎠ ⎝ 4

4). ⎜

Номер: 7.40.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями x = 7 y 2 + z 2 , x = 28 .

(

)

56 ⎞ ⎛ ⎟ 3⎠ ⎝ 56 ⎞ ⎛ 4). ⎜ 0; − ; 0 ⎟ 3 ⎠ ⎝

Ответы: 1). ⎜ 0;0;

⎛ 56 ⎞ ; 0; 0 ⎟ ⎝ 3 ⎠

2). ⎜ −

⎛ 56 ⎞ ;0⎟ ⎝ 3 ⎠

3). ⎜ 0;

5). нет правильного ответа

Номер: 7.41.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями

z=2

x 2 + y2 , z = 8 .

Ответы: 1). нет правильного ответа 4). (− 6; 0; 0 ) 3). (6; 0; 0 )

2). (0; − 6; 0 ) 5). (0; 0; 6 )

Номер: 7.42.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями

y = x 2 + z2 , y = 4 Ответы: 1). (0; − 3; 0 ) 4). (0; 3; 0 )

2). (0; 0; 3) 3). (3; 0; 0 ) 5). нет правильного ответа

Номер: 7.43.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 3 .

⎞ ⎛3 ⎝4 ⎠ ⎛ 3 3⎞ 4). ⎜ 0; ; ⎟ ⎝ 4 4⎠

Ответы: 1). ⎜ ; 0; 0 ⎟

⎛3 3 ⎝4 4

⎞ ⎠

⎛3 3 3⎞ ⎝4 4 4⎠

2). ⎜ ; ; 0 ⎟

3). ⎜ ; ; ⎟

5). нет правильного ответа

Номер: 7.44.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями

x 2 + z 2 = 2 z, z = 3 Ответы: 1). (0; 0; − 2 ) 4). (2; 2; 2 )

2). (0; 0; 2 ) 3). (0; 2; 2 ) 5). нет правильного ответа

Номер: 7.45.С Задача: С помощью тройного интеграла вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями

z = x 2 + y2 , z = 4 Ответы: 1). (0; 0; 3) 4). (0; 0; − 3)

2). (0; 3; 3) 3). (3; 3; 3) 5). нет правильного ответа

Номер: 7.46.С Задача: Вычислить момент инерции относительно оси 0Y однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями y 2 = x 2 + z 2 , y = 4 . (Плотность тела принять равной 1). Ответы: 1). 512/5

512 π 5

2).

4). 5/512

3).

5π 512

5). нет правильного ответа

Номер: 7.47.С Задача: Вычислить момент инерции относительно оси 0X однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями x = y 2 + z 2 , x = 2 . (Плотность тела принять равной 1). Ответы: 1).

3π 4

2). 3/4 3).

4π 3

4). 4/3 5). нет правильного ответа

Номер: 7.48.С Задача: Вычислить момент инерции относительно оси 0Z однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями 2 z = x 2 + y 2 , z = 2 . (Плотность тела принять равной 1). Ответы: 1). 0 2).

3π 3π 3). 16 10

4).

16 π 3

5). нет правильного ответа

Номер: 7.49.С Задача: Вычислить момент инерции относительно оси 0Y однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями y 2 = x 2 + z 2 , y = 2 . (Плотность тела принять равной 1). Ответы: 1).

16 π 5

2).

10 π 3

3).

3π 10

4).

5π 16

5). нет правильного ответа

Номер: 7.50.С Задача: Вычислить момент инерции относительно оси 0X однородного тела, занимающего область V , ограниченную поверхностями x = y 2 + z 2 , x = 9 . (Плотность тела принять равной 1).

241 π 2 2π 4). 241

Ответы: 1).

2).

243 π 2

3).

2π 243

5). нет правильного ответа

Номер: 7.51 .В Задача: Объем тела, ограниченного поверхностями, уравнения которых x1 = ϕ1 (y, z ) и x 2 = ϕ 2 (y, z ) , (ϕ 2 (y, z ) > ϕ1 (y, z )) , и цилиндрической поверхностью образующие которой параллельны оси Ox равен Ответы: 1). V = ∫∫ dydz

ϕ2 ( y,z )

3). V = ∫∫ dxdz D

∫ dx

ϕ1 ( y , z ) ϕ2 ( y,z )

2). V = ∫∫ dxdy

∫ dy

ϕ1 ( y , z )

ϕ2 ( y ,z )

∫ dz

ϕ1 ( y , z ) b

4). V = ∫∫ dxdy ∫ dz D

5). V = ∫∫ dydz ∫ dx D

Номер: 7.52.В Задача: Объем тела V с помощью тройного интеграла находится по формуле: 2). V = ∫∫∫ y dx dy dz Ответы: 1). V = ∫∫∫ xyz dx dy dz V

4). V = ∫∫∫ (x + y + z ) dx dy dz

3). V = ∫∫∫ z dx dy dz V

5). V = ∫∫∫ dx dy dz V

Номер: 7.53.В Задача: Масса m тела V с плотностью ρ(x , y, z ) вычисляется по формуле 2). m = ∫∫∫ yρ(x , y, z ) dx dy dz Ответы: 1). m = ∫∫∫ xρ(x , y, z ) dx dy dz V

3). m = ∫∫∫ zρ(x , y, z ) dx dy dz

4). m = ∫∫∫ ρ(x , y, z ) dx dy dz

5). m = ∫∫∫ (x + y + z )ρ(x , y, z ) dx dy dz

Номер: 7.54 В Задача: Найти объем тела V , ограниченной плоскостями x = 0 , z = 0 , y = 1 , x + 2z = 3 . Ответы: 1). 9 2). 9 2 3). 5 2 4). 5 5). нет правильного ответа Номер: 7.55.С Задача: Найти массу куба 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a плотность в точке (x , y, z ) есть ρ(x , y, z ) = x + y + z

3 4 a 2 1 4). a 3 2

Ответы: 1).

2).

1 4 a 2

3).

(a ∈ R ) ,

если

3 3 a 2

5). нет правильного ответа

Номер: 7.56.С Задача: Найти массу куба 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ a , если плотность в точке (x , y, z ) есть ρ(x , y, z ) = xy 2 92

Ответы: 1).

1 3

2).

1 2

3).

1 6

4).

1 4

5). нет правильного ответа

Номер: 7.57.С Задача: Найти статический момент куба 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a , относительно координатной плоскости YOZ

a3 Ответы: 1). 2

a4 2). 3

a4 3). 2

a3 4). 4

5). нет правильного ответа

Номер. 7.58.С Задача: Найти статический момент параллелепипеда 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ c , (a , b, c ∈ R ) относительно координатной плоскости XOY

abc 2). 2

Ответы: 1). abc

a 2 bc 4). 2

abc 2 3). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 7.59.С Задача: Найти статический момент параллелепипеда 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3 относительно координатной плоскости XOZ 3). 6 4). 6,5 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 4 2). 5 Номер: 7.60.С инерции куба 0 ≤ x ≤ a ,

Задача: Найти момент относительно его ребра, ρ ≡ 1

a5 Ответы: 1). 3 2 4). a 4 3

2).

2 5 a 3

0≤ y≤a,

0 ≤ z ≤ a,

3). 2a 5

5). нет правильного ответа

Номер: 7.61.С Задача: Найти момент инерции куба 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 , относительно оси Ox , ρ ≡ 1 Ответы: 1).

1 3

2).

2 3

3). 2

4).

3 2

5). нет правильного ответа

Номер: 7.62.С Задача: Статистический момент M XOY тела V с плотностью ρ(x , y, z ) относительно координатной плоскости равен 93

Ответы: 1). ∫∫∫ xρ(x , y, z ) dx dy dz

2). ∫∫∫ yρ(x , y, z ) dx dy dz

3). ∫∫∫ zρ(x , y, z ) dx dy dz

4). ∫∫∫ ρ(x , y, z ) dx dy dz

5). правильного ответа нет Номер: 7.63.С Задача: Моменты инерции I xy тела V с плотностью ρ(x , y, z ) относительно координатной плоскости вычисляется по формуле: 2). ∫∫∫ y 2ρ(x , y, z ) dx dy dz Ответы: 1). ∫∫∫ x 2ρ(x , y, z ) dx dy dz V

3). ∫∫∫ z ρ(x , y, z ) dx dy dz

4). ∫∫∫ xy ρ(x , y, z ) dx dy dz

5). правильного ответа нет Номер 7.64.С Задача: Координата центра тяжести X C тела V с массой m определяется по формуле: Ответы: 1). 4).

M xy m M xy + M xz 2

2).

M xz m

3).

M yz m

5). правильного ответа нет

Номер 7.65.С Задача: Момент инерции z x тела V с плотностью ρ(x , y, z ) относительно координатной оси находят по формуле: Ответы: 1). ∫∫∫ x 2 + y 2 ρ(x , y, z ) dx dy dz

( 3). ∫∫∫ (y 4). ∫∫∫ (x 5). ∫∫∫ (x 2). ∫∫∫ x

V V

( ) + z )ρ(x , y, z ) dx dy dz + z )ρ(x , y, z ) dx dy dz − y )ρ(x , y, z ) dx dy dz − z )ρ(x , y, z ) dx dy dz V 2

8. Криволинейный интеграл первого рода Номер: 8.1.В Задача: Криволинейный интеграл I рода ∫

dl x

y +1

, где L − дуга гиперболы

1 , y ∈ [1, 2], равен y

Ответы: 1). 1 2). 3/2 3). 2/3 4). 0,5 5). нет правильного ответа Номер: 8.2.В

Задача: Криволинейный интеграл I рода ∫

гиперболы x = Ответы: 1). 4/3

, где L − дуга

y +1

1 , y ∈ [1, 2], равен y 2). 3/4

3). 1/2 4). 5/4 5). нет правильного ответа Номер: 8.3.В

∫

Задача: Криволинейный интеграл I рода

гиперболы x =

dl x

y +1

, где L − дуга

1 , y ∈ [− 2, − 1], равен y

Ответы: 1). 5/2 2). -3/2

3). 3/2

4). -5/2

5). нет правильного ответа

Номер: 8.4.В

∫

Задача: Криволинейный интеграл I рода

гиперболы x =

1 , y ∈ [− 2, − 1], равен y

Ответы: 1). ¾

2). -1

3). 5/4

4). -3/4

dl 2x

y +1

, где L − дуга

5). нет правильного ответа

Номер: 8.5.А Задача: Криволинейный интеграл I рода ∫

dl , где L − отрезок прямой x−y

1 x − 2, x ∈ [0, 4] , равен 2 Ответы: 1). 2 ln 2 2). 5 ln 2 3). ln 2 4). 5 ln 2 5). нет правильного ответа y=

Номер: 8.6.А Задача: Криволинейный интеграл I рода ∫

2dl , где L − отрезок прямой x−y

1 x − 2, x ∈ [0, 4] , равен 2 Ответы: 1). 2 5 ln 2 2). 2 ln 2 3). 10 ln 2 ln 2 4). 2 5). нет правильного ответа 2 y=

Номер: 8.7.А Задача: Криволинейный интеграл I рода ∫

dl , где L − отрезок прямой x−y

1 x − 2, x ∈ [0,1], равен 2 5 5 5 2). ln 3). 5 ln 5 Ответы: 1). 5 ln 2 4 4 4). ln 5 5). нет правильного ответа y=

Номер: 8.8.А Задача: ∫

dl 1 , где L − отрезок прямой y = x − 2, x ∈ [0, 4] , равен 2 x − 2y

5 ln 3 2 5 ln 12 4). 4

Ответы: 1).

2).

5 2

3).

5 ln 3

5). нет правильного ответа Номер: 8.9.А

Задача: Криволинейный интеграл I рода ∫

dl , где L − отрезок прямой 2y − x

1 x − 2, x ∈ [0, 4] , равен 2 5 5 ln 3 2). − 3). 5 ln 3 Ответы: 1). − 2 2 5 ln 12 5). нет правильного ответа 4). 4 y=

Номер: 8.10.А Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ 2 ⋅ 1 + l

часть кривой x =

3x dl , где l − 2 y

⎛4 2 ⎞ 2y y ⎛2 ⎞ , заключенная между точками A ⎜⎜ ; 2 ⎟⎟ и B ⎜ ;1⎟ 3 ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

Ответы: 1). 18 2). 9

3). 5 4). 10

5). нет правильного ответа

Номер: 8.11.В 2 ∫ 4 ⋅ 2 − y dl , где l −

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода

⎛π ⎞ ⎝2 ⎠

часть кривой y = sin x , заключенная между точками A (0; 0 ) и B ⎜ ;1⎟ Ответы: 1). 3 π

2). 6 π

3). 0,75 π

4). 3 π − 1

5). нет правильного ответа

Номер: 8.12.В

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫

, где l − часть

2 − y2 ⎛π ⎞ кривой y = cos x , заключенная между точками A (0;1) и B ⎜ ; 0 ⎟ ⎝2 ⎠ Ответы: 1). π 2). 2 π 3). 0,5 π 4). 1 5). нет правильного ответа l

Номер: 8.13.В

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫

1+ 4 y − 4 y

, где l −

часть кривой y = sin 2 x , заключенная между точками A (0; 0 ) и B (π; 0 ) Ответы: 1). π 2). 2 π 3). 0,5 π 4). 1 5). нет правильного ответа Номер: 8.14.В Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ l

1 + sin 2 x dl , где l − ⎛π ⎝2

⎞ ⎠

часть кривой y = cos 2 x , заключенная между точками A (0;1) и B ⎜ ; 0 ⎟ Ответы: 1). π

2). 0,5 π

3). π − 1

4). 0,75 π

5). нет правильного ответа

Номер: 8.15.В Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ 3 ⋅ x 2 + 1 e y ⋅ dl , где l

l − часть кривой y = ln x , заключенная между точками A (1; 0) и B (2; ln 2 )

Ответы: 1). 14 2). 13 3). 12

4). 10 5). нет правильного ответа Номер: 8.16.А

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫

, где L − часть

x +1 кривой y = ln x , заключенная между точками A (1; 0 ) и B (e;1) Ответы: 1). e 2). e − 1 3). 0 4). 1 5). нет правильного ответа l

Номер: 8.17.В

y dl

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫

, где l − часть

x +1 кривой y = ln x , заключенная между точками A (e;1) и B e 2 ; 2 Ответы: 1). ln 2 2). 2 3). e 4). e − 1 5). нет правильного ответа l

(

)

Номер: 8.18.А

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ l

y +1

(

, где l − часть

)

кривой y = e x , заключенная между точками A (1; e ) и B 2; e 2 Ответы: 1). 0 2). 0,5 3). 1 4). 2 5). нет правильного ответа Номер: 8.19.А Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ l

x 3 dl 2

(

y +1

, где l − часть

)

кривой y = e x , заключенная между точками A (0;1) и B 2; e 2 Ответы: 1). 2 2). 3 3). 1 4). 4 5). нет правильного ответа Номер: 8.20.В

(

)

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ 1,5 e 2 x + y 2 dl , где l − l

⎛1 ⎝2

⎞ ⎠

часть кривой y = e x , заключенная между точками A (0;1) и B ⎜ ; e ⎟ Ответы: 1). (1 + e )

4). e 3 2

2). (1 + e )

3). (1 + e )

5). нет правильного ответа

−1

Номер: 8.21.В Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ 36 x y dl , где l − дуга l

(

параболы y = 0,25 x , заключенная между точками A (0; 0 ) и B 6 3; 0,25 ⋅ 3 9 Ответы: 1). 7 2). 8 3). 6 4). 3,5 5). нет правильного ответа 4

)

Номер: 8.22.А

y2 +

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ l

ln y dl , где l − x

часть кривой y = e , заключенная между точками A (0;1) и B (1; e ) x

Ответы: 1). e 2 + 1

(

2). e 2

)

4). 0,5 e 2 + 1

3). 0,5 e 2 + 1

5). нет правильного ответа

Номер: 8.23.В Задача: Криволинейный интеграл род Вычислите криволинейный интеграл I

x dl

рода а ∫

3y + 2 x

(

, где l − часть кривой

2 3

x 3 , заключенная между

⎛ 32 2 ⎞ ⎟⎟ 3 ⎝ ⎠

)

точками A 3; 2 3 и B ⎜⎜ 8; Ответы: 1). 1

2). 2

3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 8.24.В

2 ⋅4 x

∫

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода

3y + 2⋅ x

l − часть кривой

dl , где

2x x ⎛ 2⎞ , заключенная между точками A ⎜1; ⎟ и 3 ⎝ 3⎠

⎛ 4 2⎞ ⎟⎟ B ⎜⎜ 2; 3 ⎝ ⎠ Ответы: 1). 9 2). 4,5 3). 2,5

4). 5

5). нет правильного ответа

Номер: 8.25.А Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода дуга параболы y = Ответы: 1). 7

∫

(

)

3 ⋅ x + 2 y dl , где l − 2

(

x , заключенная между точками A (0; 0 ) и B 3;1,5 2

2). 10,5 3). 1,5 4). 8

5). нет правильного ответа

)

Номер: 8.26.А

(

)

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ 1,5 ⋅ 9 y + x 3 dl , где l − l

⎛ 4 4 27 ⎞ x ⎟⎟ дуга параболы y = , заключенная между точками A (0; 0 ) и B ⎜⎜ 3; 3 3 ⎠ ⎝ 3

Ответы: 1). 8

2). 12 3). 7

4). 10,5 5). нет правильного ответа Номер: 8.27.А

3y dl , где l − 2 x l ⎛ 2⎞ x 3 , заключенная между точками A ⎜1; ⎟ и B 3; 2 3 ⎝ 3⎠ 1+

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ часть кривой y = Ответы: 1). 6

2 3

2). 8

(

3). 7

4). 10

)

5). нет правильного ответа

Номер: 8.28.А рода ∫ 3 dl , где l − часть

Задача: Вычислите криволинейный интеграл I

⎛4 8 3⎞ ⎟⎟ x 3 , заключенная между точками A (0; 0 ) и B ⎜⎜ ; 3 9 ⎝ ⎠ 1 4). 56 5). нет правильного ответа Ответы: 1). 64 2). 192 3). 21 3

кривой y =

Номер: 8.29.В Задача: Вычислите криволинейный интеграл I рода ∫ 3 ⋅ e 2 y dl , где l − дуга

(

)

(

кривой y = ln x , заключенная между точками A 3; ln 3 и B 8; ln 8 Ответы: 1). 52 2). 19 3). 19/3 4). 38 5). нет правильного ответа

)

Номер: 8.30.А Задача: Областью интегрирования L криволинейного интеграла I рода

∫ f (x, y ) dl является

Ответы: 1). отрезок оси 0X 2). поверхность пр-ва 0XYZ 3). непрерывная кривая плоскости 0XY 4). замкнутая область плоскости 0XY 5). число

100

Номер: 8.31.А Задача: Криволинейный интеграл I рода ∫ f (x , y ) dl определяется равенством L

Ответы: 1). ∫ f (x , y ) dl = lim ∑ f (x i , y i ) Δ x i L

n →∞ i =1

(λ →0 )

2). ∫ f (x , y ) dl = lim ∑ f (x i , y i ) Δ Si L

n →∞ i =1

(λ → 0 )

3). ∫ f (x , y ) dl = lim ∑ f (x i , y i ) Δ l i L

n →∞ i =1

(λ → 0 )

4). ∫ f (x , y ) dl = lim ∑ f (x i , y i ) Δ Vi L

n →∞ i =1

(λ → 0 )

5). ∫ f (x , y ) dl = lim ∑ f (x i , y i ) Δ y i L

n →∞ i =1

(λ → 0 )

Номер: 8.32.А Задача: Для какой функции f (x , y ) существует криволинейный интеграл I рода

∫ f (x, y ) dl

Ответы: 1). для любой функции f (x , y ) 2). для функции f (x , y ) , непрерывной в замкнутой области D 3). для функции f (x , y ) , непрерывной в каждой точке гладкой кривой 4). для разрывной функции f (x , y ) 5). для неограниченной функции f (x , y ) Номер: 8.33.А Задача: Величина криволинейного интеграла I рода ∫ f (x , y ) dl L

Ответы: 1). зависит от способа разбиения кривой на части 2). зависит от выбора точек на кривой 3). не зависит от выбора точек на кривой 4). не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от выбора точек в них 5). зависит от формы кривой Номер: 8.34.А Задача: Если кривая AB задана уравнением y = ϕ (x ), x ∈ [a; b ], где ϕ (x ) − непрерывно дифференцируемая функция, то 101

Ответы: 1). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x; ϕ(x )) dx AB

a b

2). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x; ϕ(x )) 1 + x ′y dx AB

a b

3). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x; ϕ(x )) 1 + y ′x dx AB

a b

4). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x; ϕ(x )) x ′y + y ′x dx AB

a b

5). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x; ϕ(x )) 1 + (y ′x ) dx AB

Номер: 8.35.А Задача: Если кривая AB задана уравнением x = ψ (y ), y ∈ [c; d ], где ψ (y ) − непрерывно дифференцируемая функция, то d

Ответы: 1). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f ( ψ (y ), y ) dy AB

c d

2). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f ( ψ (y ), y ) AB

x ′y + 1 dy

c b

( )2 dy

3). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (ψ(y ); y ) 1 + x ′y a d

4). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f ( ψ (y ), y ) AB

y ′x + x ′y dy

c d

5). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f ( ψ (y ), y ) 1 + (y ′x ) dy AB

Номер: 8.36.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ y 2 dl по кривой l

⎧x = ln t , l: ⎨ 1≤ t ≤ 3 y = t , ⎩ 3 3 2 Ответы: 1). 4 − 2 2). 8 − 2 2 3). 4 − 2 2 2 3 1 5). нет правильного ответа 4). 4 − 2 3

( (

) )

(

)

102

(

)

Номер: 8.37.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ l

⎧x = ln t , ⎪ 1≤ t ≤ 3 l: ⎨ 1 y , = ⎪⎩ t 2 4− 2 Ответы: 1). 3 4). 8 − 2 2

(

)

2).

(

3 4− 2 2

)

3).

dl y

по кривой

4− 2 3

5). нет правильного ответа Номер: 8.38.А

dl 2 lx

∫

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

⎧x = R cos t , π l: ⎨ 0≤t≤ 4 ⎩ y = R sin t , 1 1 π Ответы: 1). 2). 3). 2R 2R R

4). R

5). нет правильного ответа

Номер: 8.39.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ x ⋅ y d l

⎧x = cos t − sin t , l: ⎨ ⎩ y = cos t + sin t , 1 Ответы: 1). 0 2). 2

0≤t≤ 3).

2 2

по кривой

π 4 4). − 2

5). нет правильного ответа

Номер: 8.40.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

⎧x = cos t − sin t , π l: ⎨ 0≤t≤ 2 ⎩ y = cos t + sin t , Ответы: 1). 0 2). π 3). 2 π 4). 2 π

(

)

2 2 ∫ x + y dl

кривой

103

5). нет правильного ответа

по

Номер: 8.41.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ x d l

по кривой

⎧x = t , ⎪ l: ⎨ t3 ⎪y = t − , 3 ⎩

0 ≤ t ≤1

Ответы: 1). 0,8

2). 3/15

3). 8/15 4). 3/5

5). нет правильного ответа

Номер: 8.42.А. Задача:

Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ l

⎧x = t , ⎪ l: ⎨ 1≤ t ≤ 3 t3 ⎪y = t − , 3 ⎩ ln 3 + 1 ln 3 + 1 ln 3 + 0,5 2). 3). Ответы: 1). 2 2 2 4). ln 3 + 0,5 5). нет правильного ответа

dl x

по кривой

Номер: 8.43.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

∫ l

dl 2

y +1

по кривой

⎧x = ln t , l: ⎨ 1≤ t ≤ 2 ⎩y = t, Ответы: 1). ln 1 2). ln 2 3). ln 3 4). 2 5). нет правильного ответа Номер: 8.44.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ l

⎧x = ln t , l: ⎨ ⎩y = t,

x dl 2

y +1

по кривой

1≤ t ≤ 2

Ответы: 1). ln 2 2). ln ln 2 3).

1 1 ln 2 4). ln 2 2 5). нет правильного ответа 2 2

104

Номер: 8.45.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

⎧x = e , l: ⎨ ⎩y = t, t

2 ∫ x d l по кривой

0 ≤ t ≤1

( e + 1) − 1 Ответы: 1). 3 ( e + 1) − 1 4). 3

2).

e2 + 1 − 1 2

3).

e2 + 1 − 1 3

5). нет правильного ответа

Номер: 8.46.В

∫

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

⎧x = e t , l: ⎨ ⎩y = t,

0≤t≤

Ответы: 1). ln 3). ln

dl по кривой x

1 2

e +1 −1 1 e +1 −1 1 2). ln − + 2 2 2 −1 2 −1 e +1 2 −1 1 4). ln − 5). нет правильного ответа 2 + − 2 −1 e 1 1 Номер: 8.47.В

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ l

⎧x = ln t , l: ⎨ ⎩y = t, Ответы: 1).

(

)

x y +1

по кривой

1≤ t ≤ 2 ln 2

4). ln ln 2

2). ln

ln 2 2

3). ln 2

5). нет правильного ответа

Номер: 8.48.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

⎧x = a (cos t + t ⋅ sin t ), l: ⎨ 0 ≤ t ≤ 2π ( ) y = a ⋅ sin t − t ⋅ cos t , ⎩ Ответы: 1). π 2 a 2). 2 π 2 a 3). 2 π a 4). 2 π a 2 105

∫ dl

по кривой

5). нет правильного ответа

Номер: 8.49.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ l

⎧x = a (cos t + t ⋅ sin t ), l: ⎨ ⎩ y = a ⋅ (sin t − t ⋅ cos t ),

0 ≤ t ≤ 2π

Ответы: 1). ln 4 π 2 + 1

2).

(

4).

)

(

)

2 ⋅ ln 4 π 2 + 1 a

(

)

1 ⋅ ln 4 π 2 + 1 2a

3).

dl по кривой 2 2 x +y

(

)

1 ⋅ ln 4 π 2 + 1 a

5). нет правильного ответа Номер: 8.50.В

2 dl по кривой y2

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ l

⎧x = cos t − sin t , π l: ⎨ 0≤t≤ 6 ⎩ y = cos t + sin t , 2). 3 + 1 3). 2 Ответы: 1). 3 − 1 3 4). ln −1 5). нет правильного ответа 3 Задача:

Номер: 8.51.В Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ x d l по кривой

⎧⎪x = cos 3 t , l: ⎨ ⎪⎩ y = sin 3 t , Ответы: 1). 1

0≤t≤

π 2

2). -1 3). 0 4). нет правильного ответа 5). 3/4

Номер: .8.52.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ y 2 d l

⎧x = ln t , l: ⎨ ⎩y = 2 t ,

по кривой

3≤ t ≤8

Ответы: 1). 184/3 2). 152/3 3). 16/3 4). 19/3 5). нет правильного ответа

106

Номер: 8.53.В

∫

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

⎧x = a ( t − sin t ), π ≤t≤π l: ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t ), 2 π a Ответы: 1). 2). 2 2 ⋅ π a 3). 4 π 2 a 2 4). 4 π 2 a 5). нет правильного ответа Номер: 8.54.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫

y dl по кривой

⎧x = a ( t − sin t ), l: ⎨ 0 ≤ t ≤ 2π ⎩ y = a (1 − cos t ), 3). 2 a π Ответы: 1). 2 a 2 a ⋅ π 2). 2 a a ⋅ π aπ 4). 5). нет правильного ответа 2

dl по кривой y

Номер: 8.55.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ x 2 − y dl по кривой

(

)

⎧x = R ⋅ cos t , π 0≤t≤ l: ⎨ 2 ⎩ y = R ⋅ sin t , πR3 ⎞ ⎛ πR ⎞ 2 ⎛ πR Ответы: 1). R ⎜ 3). R 2 ⎜ − 1⎟ 2). − 1⎟ 4 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ πR ⎞ + 1⎟ 5). нет правильного ответа нет правильного ответа 4). R 2 ⎜ ⎝ 4 ⎠ Номер: 8.56.С Задача:

Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ l

⎧x = a ⋅ (cos t + t ⋅ sin t ) ⎩ y = a ⋅ (sin t − t ⋅ cos t )

x 2 + y 2 dl по

кривой l : ⎨

a2 Ответы: 1). 3

(

)

32 ⋅ ⎛⎜ 4 π 2 + 1 − 1⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎛ πR ⎞ 4). R 2 ⎜ + 1⎟ ⎝ 4 ⎠

(

)

32 a3 ⎛ ⋅ ⎜ 4 π 2 + 1 − 1⎞⎟ 2). ⎠ 3 ⎝

5). нет правильного ответа 107

(

)

32 a3 3). ⋅ 4 π2 + 1 3

Номер: 8.57.С Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫

⎧⎪x = cos 3 t , l: ⎨ ⎪⎩ y = sin 3 t , π Ответы: 1). 8

0≤t≤ 2).

x y dl

по кривой

π 2

3π 8

3).

π 16

4).

3π 16

5). нет правильного ответа

Номер: 8.58.С Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

⎧x = t − 2 t , ⎪ кривой l : ⎨ 1≤ t ≤ 3 4 2 4 3 y t , = ⋅ ⎪ 3 ⎩ 4 4− 3 2 3 4 −3 2 2). 3 4 − 3 3). Ответы: 1). 3 3 3 3 4− 2 5). нет правильного ответа 4). 3

∫ (1 + x + 1) dl по

( )

(

)

(

)

(

)

Номер: 8.59.А Задача: Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x (t ), y = y (t ), t ∈ [α, β], где x (t ) и y (t ) непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то β

Ответы: 1). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x (t ); y (t )) ⋅ x 2 + y 2 dt AB

α β

2). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x (t ); y (t )) ⋅ 1 + (x ′t ) dt AB

α β

3). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x (t ); y (t )) ⋅ 1 + (y ′t ) dt AB

α β

4). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x (t ); y (t )) ⋅ AB

α β

5). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (x (t ); y (t )) dt AB

108

(x ′t )2 + (y ′t )2 dt

Номер: 8.60.А. Задача: Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x (t ), y = y (t ), t ∈ [α, β], где x (t ) и y (t ) непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то Ответы: 1). d l = 3). d l =

x 2 + y 2 dt

2). d l =

x ′t + y ′t dt

4). d l =

(x ′t )2 + (y′t )2 dt 1 + (x ′t )2 dt

5). d l = 1 + (y ′t ) dt 2

Номер: 8.61.А Задача: Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ), t ∈ [α, β] , где x (t ) , y (t ) и z (t ) непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то β

Ответы: 1). ∫ f (x , y, z ) dl = ∫ f (x (t ); y (t ), z (t )) dt α β

2). ∫ f (x , y, z ) dl = ∫ f (x (t ); y (t ), z (t )) ⋅ 1 + (x ′t ) + (y ′t ) dt 2

α β

3). ∫ f (x , y, z ) dl = ∫ f (x (t ); y (t ), z (t )) ⋅ x ′t + y ′t + z ′t dt α β

4). ∫ f (x , y, z ) dl = ∫ f (x (t ); y (t ); z (t )) ⋅ x 2 + y 2 + z 2 dt α β

5). ∫ f (x , y, z ) dl = ∫ f (x (t ); y (t ), z (t )) ⋅ α

(x ′t )2 + (y ′t )2 + (z ′t )2 dt

Номер: 8.62.А Задача: Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) t ∈ [α, β], где x (t ) , y (t ) и z (t ) непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то Ответы: 1). d l = 1 + (x ′t ) + (y ′t ) dt 2

2). d l =

(x ′t )2 + (y ′t )2 + (z ′t )2 dt

3). dl = ∫ f (x (t ); y (t ), z (t )) ⋅ x ′t + y ′t + z ′t dt α

4). d l = x 2 t + y 2 t + z 2 t dt

5). d l =

109

x ′t + y ′t + 1t dt

Номер: 8.63.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

a2 π 2). − 4

по кривой

π 2

l :ρ = a ⋅ cos ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤

a2 π Ответы: 1). 4

∫ x dl

3). 0

a2 π 4). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 8.64.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ y dl по кривой

π 2

l :ρ = a ⋅ cos ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ Ответы: 1). a

2). 0

a2 3). 2

a2 4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 8.65.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

l :ρ =

∫ x dl по кривой

1 π ;0≤ϕ≤ cos ϕ 4

Ответы: 1). 1 2). -1

3). 0

4). π

5). нет правильного ответа

Номер: 8.66.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ x 3 dl

l :ρ =

1 π ;0≤ϕ≤ cos ϕ 4

Ответы: 1). 0 Задача:

l :ρ =

2). 1

3). -1

4). π

5). нет правильного ответа

Номер: 8.67.В Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

2). -1

∫ y dl по кривой

1 π ;0≤ϕ≤ cos ϕ 2

Ответы: 1). 1

по кривой

3). 0

4). нет правильного ответа 5). 1/2 Номер: 8.68.В

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

2 2 ∫ x + y dl по

кривой l :ρ = a ⋅ ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ 1 110

2 a2 Ответы: 1). 3 2 2 −1 a 2 4). 3

(

2).

)

2 2a 3

3). 2 2 a 2

5). нет правильного ответа Номер: 8.69.В

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫

a (a > 0); 1 ≤ ϕ ≤ 2 ϕ 5 5 Ответы: 1). 3a 2 5 5−2 2 4). 3a 2

dl 2

)

по кривой

l :ρ =

5 5−2 2). a2

3).

( 5 ) 3−( 2 )3 a2

5). нет правильного ответа Номер: 8.70.В

l :ρ =

1 π π ; ≤ϕ≤ sin ϕ 4 2

Ответы: 1). 0

2). 1

dl по кривой y

∫

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

3). -1 4). π

5). нет правильного ответа

Номер: 8.71.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ arctg l

l :ρ = a ⋅ ϕ (a > 0); 0 ≤ ϕ ≤ 1

)

(

)

2 −1 a 3 2 2 −1 a 4). 2

Ответы: 1).

(

)

2). 2 2 − 1 a

3).

l :ρ = a ⋅ cos 2ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ 2

)

2 −1 a 3

5). нет правильного ответа

Номер: 8.72.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

Ответы: 1). a 2

(

y dl по кривой x

2). a 2

∫ x dl по кривой

π 4 3).

111

2 2

a2 2 4). 2

5). нет правильного ответа Номер: 8.73.В 2 2 ∫ x + y dl по

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода кривой l :ρ = a ⋅ sin ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ Ответы: 1). a 2

2). − a 2

π 2 4). a

3). 0

5). нет правильного ответа

Номер: 8.74.В. Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ x ⋅ y dl по кривой

l :ρ = a ⋅ sin ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ a2 Ответы: 1). 4 − a3 4). 4

π 2

a3 2). 4

−a2 3). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 8.75.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ x ⋅ y dl по кривой

l :ρ = a ⋅ sin ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ Ответы: 1).

a a 3

4). − a a

2).

π 2

a 3

3).

a a

5). нет правильного ответа

Номер: 8.76.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

l :ρ = a ⋅ (1 + cos ϕ)

16 a 2 Ответы: 1). 5 8 2 a2 4). − 5

∫ y dl

8a 2 2). 5

8 2 a2 3). 5

5). нет правильного ответа

112

по кривой

Номер: 8.77.В 2 2 ∫ x + y dl

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

l :ρ = e ; 0 ≤ ϕ ≤ 1

кривой

Ответы: 1). 4).

(

)

e2 − 1 2). 2

2 e −1

e −1 2

по

3).

e −1 2

5). нет правильного ответа Номер: 8.78.В

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

∫

2 y

π π ≤ϕ≤ 3 2 ln 3 Ответы: 1). 2 4). 2 ln 3

по кривой

l :ρ = e ϕ ;

ln 3 2

2).

3). 2 ln 3

5). нет правильного ответа Номер: 8.79.В

x 2 + y 2 dl по кривой

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫

π 2 3). 2 2

l :ρ = sin ϕ + cos ϕ; 0 ≤ ϕ ≤ Ответы: 1). 0 2).

4). 2 5). нет правильного ответа

Номер: .8.80.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ (x − y )dl

l :ρ = sin ϕ + cos ϕ; 0 ≤ ϕ ≤ Ответы: 1).

2 2

2).

π 4

3).

− 2 2

4). 0

5). нет правильного ответа

Номер: 8.81.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

l : ρ = sin ϕ + cos ϕ; 0 ≤ ϕ ≤

по кривой

∫ y dl по кривой

π 4

113

Ответы: 1).

2π 4

2π 2

2).

3). 8

4). нет правильного ответа

5).

2 2π 8

Номер: 8.82.С Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ (x − y ) dl

по кривой

π 2 2 a π 2). 2

l :ρ = a cos ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ a2 Ответы: 1). 2 a 2 (π − 2 ) 4). 4

3). a 2 (π − 2 )

5). нет правильного ответа Номер: 8.83.С

Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода кривой l :ρ = a cos 2 ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤

a3 2 Ответы: 1). 4

2). a

3).

5). нет правильного ответа

π 4 2

2 2 ∫ x ⋅ x − y dl

a3 4). 3

Номер: 8.84.С Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода

l :ρ = a sin 2 ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤

π 2

Ответы: 1). 0 2). a 2

4). a

3). − a 2

по

∫ y dl

по кривой

5). нет правильного ответа

Номер: 8.85.С Задача: Вычислить криволинейный интеграл I-го рода ∫ (x + y ) dl по кривой

l :ρ = a sin 2 ϕ (a > 0 ); 0 ≤ ϕ ≤ Ответы: 1). a 2

2). 2 a 2

π 2

3). 0 4). − 2 a 2 5). нет правильного ответа

114

Номер: 8.86.А Задача: Если плоская кривая L задана уравнением r = r (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β в полярных координатах, то β

Ответы: 1). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ) ⋅ r 2 + rϕ′ dϕ L

α β

2). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ) ⋅ dϕ L

α β

3). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ) ⋅ r + rϕ′ dϕ L

α β

( )2 dϕ

4). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ) ⋅ 1 + rϕ′ L

α β

( )2 dϕ

5). ∫ f (x , y ) dl = ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ) ⋅ r 2 + rϕ′ L

Номер: 8.87.А Задача: Если плоская кривая L задана уравнением r = r (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β в полярных координатах, то Ответы: 1). d l = r 2 + rϕ′ dϕ 4). d l = r 2 + rϕ′ dϕ

( )2 dϕ r 2 + (rϕ′ )2 dϕ

2). d l = 1 + rϕ′ 5). d l =

115

3). d l = 1 + r 2 dϕ

9. Приложения криволинейного интеграла первого рода Номер: 9.1.С Задача:

Масса

дуги

⎡π π⎤ y = ctg x , x ∈ ⎢ ; ⎥ , ⎣6 2⎦

кривой

плотностью

ρ (x , y ) = 3 1 + sin 4 x , равна π 9 3 π 9 3 π 27 3 Ответы: 1). + 2). + 3). + 3 8 2 8 2 8 π 9 3 5). нет правильного ответа 4). + 6 8 Номер: 9.2.С Задача:

Масса

дуги

⎡π π⎤ y = ctg x , x ∈ ⎢ ; ⎥ , ⎣4 2⎦

кривой

1 + sin 4 x , равна ρ (x , y ) = 2 π 5 π 5 π + 2). 3). + Ответы: 1). 4 16 8 8 4

4).

π 5 + 4 2

5). нет правильного ответа

Номер: 9.3.С Задача: Масса дуги окружности

ρ (x , y ) = y 2 , равна Ответы: 1). 3 π

2).

π 4

3). 2 π

⎧x = sin t π , 0≤t≤ , ⎨ 2 ⎩ y = cos t

4). π

с плотностью

5). нет правильного ответа

Номер: 9.4.С Задача:

Масса

дуги

ρ (x , y ) = y 2 , равна 3π π Ответы: 1). 2). 4 2

⎧x = sin t , 0 ≤ t ≤ π, ⎨ y = cos t ⎩

окружности

3). π

4).

π 4

плотностью

5). нет правильного ответа

Номер: 9.5.С Задача:

Масса

дуги

ρ (x , y ) = y 2 , равна

окружности

⎧x = sin t π , 0≤t≤ , ⎨ 2 ⎩ y = cos t

116

плотностью

Ответы: 1).

3π 2

2).

π 4

3). 2 π

4). π

5). нет правильного ответа

Номер: 9.6.С Задача: Масса дуги окружности

x , равна y Ответы: 1). 2 ln 2 + 1 4). − ln 2

⎧x = 2 cos t ⎡π π⎤ , t ∈ ⎢ ; ⎥ , с плотностью ⎨ ⎣6 2⎦ ⎩ y = 2 sin t

ρ (x , y ) =

2). 2 ln 2 3). ln 2 5). нет правильного ответа Номер: 9.7.С

Задача: Масса дуги окружности

⎧x = 2 cos t ⎡π π⎤ , t ∈ ⎢ ; ⎥ , с плотностью ⎨ ⎣4 2⎦ ⎩ y = 2 sin t

x , равна y Ответы: 1). 3 ln 2 ρ (x , y ) =

2). − 2 ln 2 4). нет правильного ответа

3). 2 ln 2 5). ln 2

Номер: 9.8.С Задача: Масса дуги окружности

ρ (x , y ) =

x , равна y

Ответы: 1). 3 ln 3 4).

3 ln 2 2

2). −

3 ln 2 2

⎧x = 3 cos t ⎡π π⎤ , t ∈ ⎢ ; ⎥ , с плотностью ⎨ ⎣4 2⎦ ⎩ y = 3 sin t

3). 3 ln 2

5). нет правильного ответа Номер: 9.9.С

Задача:

Масса

дуги

кривой

ρ (x , y ) = 1 + sin 4 x , равна π π 5 π 2). + 3). − 1 Ответы: 1). 8 8 8 4

⎡π π⎤ y = ctg x , x ∈ ⎢ ; ⎥ , ⎣4 2⎦ 4).

117

5+π 8

плотностью

5). нет правильного ответа

Номер: 9.10.С Задача:

Масса

дуги

кривой

⎡π π⎤ y = ctg x , x ∈ ⎢ ; ⎥ , ⎣6 2⎦

плотностью

ρ (x , y ) = 2 1 + sin 4 x , равна π π+9 π 9 2). + 3). Ответы: 1). 8 6 8 8 π 9 3 5). нет правильного ответа 4). + 6 8 Номер: 9.11.С Задача:

Масса

дуги

кривой

⎡π π⎤ y = ctg x , x ∈ ⎢ ; ⎥ , ⎣4 2⎦

ρ (x , y ) = 2 1 + sin 4 x , равна π 5+π π 2). − 2 3). Ответы: 1). 4 4 4

4). нет правильного ответа

5).

π 5 + 4 2

Номер: 9.12.С Задача:

Масса

ρ (x , y ) =

x , равна y

Ответы: 1). 2 ln 2

дуги

⎧x = cos t ⎡π π⎤ , t ∈ ⎢ ; ⎥ , с плотностью ⎨ ⎣6 2⎦ ⎩ y = sin t

окружности

2). ln

1 2

3). − ln 2

4). ln 2 5). нет правильного ответа

Номер: 9.13.С Задача:

Масса

дуги

ρ (x , y ) = y 2 , равна 3π π Ответы: 1). 2). 4 2

⎧x = sin t , 0 ≤ t ≤ π, ⎨ y cos t = ⎩

окружности

3). π

4).

π 4

плотностью

5). нет правильного ответа

Номер: 9.14.С Задача:

Масса

дуги

окружности

плотностью ρ (x , y ) = y , равна Ответы: 1). 2 π 2). 1 3). 0 4). -1

⎧x = sin t π , 0≤t≤ , ⎨ 2 ⎩ y = cos t

5). нет правильного ответа

118

переменной

Номер: 9.15.С

y2 Задача: Масса дуги параболы x = между точками 2 1 , равна плотностью массы в каждой точке ρ (x , y ) = 2 y +1

(2, 2)

y2 ⎛1 ⎞ Задача: Масса дуги параболы x = между точками ⎜ , 1⎟ и 2 ⎝2 ⎠ 1 , равна плотностью массы в каждой точке ρ (x , y ) = y2 + 1

(2, 2)

y2 ⎛1 ⎞ Задача: Масса дуги параболы x = между точками ⎜ , 1⎟ и 2 ⎝2 ⎠ 2 , равна плотностью массы в каждой точке ρ (x , y ) = 2 y +1

(2, 2)

Ответы: 1). 1

2). -1

3). 0

4). 2

(0, 0)

5). нет правильного ответа

Номер: 9.16.С

Ответы: 1). 2

2). -1

3). 0

4). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 9.17.С

y2 Задача: Масса дуги параболы x = между точками 2 2 , равна плотностью массы в каждой точке ρ (x , y ) = 2 y +1 Ответы: 1). 2 2). -2

(0, 0)

3). 0 4). 4 5). нет правильного ответа Номер: 9.18.С

y2 Задача: Масса дуги параболы x = между точками 2 3 , равна плотностью массы в каждой точке ρ (x , y ) = 2 y +1 Ответы: 1). 3

2). -3

3). 0

4). 6

(0, 0)

5). нет правильного ответа

Номер: 9.19.С

Ответы: 1). 1 2). -2

3). 0

4). 2

5). 3

119

Номер: 9.20.С Задача:

ρ (x , y ) =

Масса

дуги

y 4

y +1

Ответы: 1). 3/2

гиперболы

1 , x ∈[1; 2], x

плотностью

, равна

2). 1/8

3). 3/8

4). 3/4

5). нет правильного ответа

Номер: 9.21.С Задача:

ρ (x , y ) =

Масса

2y y4 + 1

дуги

гиперболы

1 , x ∈[1; 2], x

плотностью

, равна

Ответы: 1). 3/2 2). 1/8

3). 3/8

4). 3/4

5). нет правильного ответа

Номер: 9.22.С Задача:

ρ (x , y ) =

Масса

дуги

y 4

2 x +1

гиперболы

1 , x ∈[1; 2], x

плотностью

, равна

Ответы: 1). 5/16 2). 1/16 3). 3/16

4). 3/8

5). нет правильного ответа

Номер: 9.23.С Задача:

ρ (x , y ) =

Масса

y 4

y +4

дуги

гиперболы

2 , x ∈[1; 2], x

плотностью

, равна

Ответы: 1). 3/2 2). 1/8

3). 3/8

4). 3/4

5). нет правильного ответа

Номер: 9.24.С Задача:

ρ (x , y ) =

Масса

y 4

x +9

дуги

гиперболы

3 , x ∈[1; 2], x

, равна

Ответы: 1). 1 2). 1/8 3). 9/8 4). нет правильного ответа 5). 3/4

120

плотностью

Номер: 9.25.С Задача:

Масса

дуги

⎧x = sin t π , 0≤t≤ , ⎨ 2 ⎩ y = cos t

окружности

плотностью ρ (x , y ) = 2 y 2 , равна Ответы: 1).

3π 2

переменной

π π 3). 2 π 4). нет правильного ответа 5). 4 2

2).

Номер: 9.26.С

⎧x = sin t π , 0 ≤ t ≤ , с переменной ⎨ 2 ⎩ y = cos t

Задача: Масса дуги окружности плотностью ρ (x , y ) = 3 y 2 , равна Ответы: 1). 2 π

2).

3π 4

3). 6 π

4). 3 π

5). нет правильного ответа

Номер: 9.27.С

⎧x = 2 sin t π , 0 ≤ t ≤ , с переменной ⎨ 2 ⎩ y = 2 cos t

Задача: Масса дуги окружности плотностью ρ (x , y ) = y 2 , равна Ответы: 1).

π 2

2).

π 4

3). 2 π

4). 3 π

5). нет правильного ответа

Номер: 9.28.С

⎧x = 2 cos t ⎡π π⎤ , t ∈ ⎢ ; ⎥ , с переменной ⎨ ⎣4 2⎦ ⎩ y = 2 sin t

Задача: Масса дуги окружности плотностью ρ (x , y ) =

x , равна y 2). − 2 ln 2

3). 2 ln 2 Ответы: 1). ln 2 + 1 5). нет правильного ответа 4). ln 2 Номер: 9.29.С

⎧x = sin t π , 0 ≤ t ≤ , с переменной ⎨ 2 ⎩ y = cos t

Задача: Масса дуги окружности плотностью ρ (x , y ) = y 2 , равна Ответы: 1).

3π 2

2).

π 4

3). 2 π

4).

π 2

121

5). нет правильного ответа

Номер: 9.30.С

⎧x = 3 sin t π , 0 ≤ t ≤ , с переменной ⎨ 2 ⎩ y = 3 cos t

Задача: Масса дуги окружности плотностью ρ (x , y ) = y 2 , равна Ответы: 1).

27 π 4

2). 54 π

3). 30 π

4). 27 π

5). нет правильного ответа

Номер: 9.31.С Задача: Длина l кривой AB плоской или пространственной линии вычисляется по формуле 2). l = ∫ f (x , y )dl 3). l = ∫ x ⋅ γ (x , y )dl Ответы: 1). l = ∫ dl AB

4). l = ∫ y ⋅ γ (x , y )dl AB

5). l = ∫ x ⋅ γ (x , y )dl 2

Номер: 9.32.С Задача: Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая AB , лежащая в плоскости 0xy , а образующая параллельна оси 0z , то площадь поверхности, задаваемой функцией z = f (x , y ) , равна 2). ∫ f (x , y )dl Ответы: 1). ∫ dl AB

3). ∫ x ⋅ f (x , y )dl AB

4). ∫ y ⋅ f (x , y )dl AB

5). ∫ x 2 ⋅ f (x , y )dl AB

Номер: 9.33.С Задача: Масса материальной кривой AB с плотностью γ = γ (x , y ) равна 2). ∫ γ (x , y ) ⋅ x dl Ответы: 1). ∫ dl AB

3). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl AB

4). ∫ γ (x , y )dl AB

5). ∫ x 2 ⋅ γ (x , y )dl AB

Номер: 9.34.С Задача: Статический момент материальной кривой γ = γ (x , y ) относительно оси 0 x равен 2). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl Ответы: 1). ∫ dl AB

3). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl AB

4). ∫ x 2 ⋅ γ (x , y )dl AB

5). ∫ y 2 ⋅ γ (x , y )dl

Номер: 9.35.С Задача: Статический момент материальной кривой γ = γ (x , y ) относительно оси 0 y равен 122

AB с плотностью

Ответы: 1). ∫ dl AB

4). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl 2

2). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl AB

3). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl AB

5). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl 2

Номер: 9.36.С Задача: Для материальной кривой AB с плотностью γ = γ (x , y ) момент инерции относительно оси 0 x равен 2). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl 3). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl Ответы: 1). ∫ dl AB

4). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl 2

5). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl

Номер: 9.37.С Задача: Для материальной кривой AB с плотностью γ = γ (x , y ) момент инерции относительно оси 0 y равен 2). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl 3). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl Ответы: 1). ∫ dl AB

4). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl 2

5). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl

Номер: 9.38.С Задача: Для материальной кривой AB с плотностью γ = γ (x , y ) момент инерции относительно начала координат равен 2). ∫ x ⋅ γ (x , y )dl 3). ∫ y 2 + x 2 γ (x , y ) dl Ответы: 1). ∫ y ⋅ γ (x , y )dl AB

4). ∫ x 2 ⋅ γ (x , y )dl AB

5). ∫ y 2 ⋅ γ (x , y )dl AB

123

(

)

10. Криволинейный интеграл второго рода Номер: 10.1.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ e y dx − L

L : x = 2 y + 6, y ∈ [0; 2] Ответы: 1). 2 e 2 + 10 4). − 2 e 2

2). 2 e 2 − 10

x dy , где 2

3). 2 e 2

5). нет правильного ответа Номер: 10.2.А

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ 3 e y dx − 2 x dy , где L

L : x = y − 1, y ∈ [0; 3] . Ответы: 1). 3 e 3 + 12 4). 3 e 3

2). 3 e 3 + 6

3). 3 e 3 − 6

5). нет правильного ответа Номер: 10.3.А

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ 2 x y dx + x dy , где L

⎧x = 2 cos t L − дуга эллипса ⎨ , t ∈ [0; π] . y = sin t ⎩ π Ответы: 1). − π 2). 0 3). 4). π 5). нет правильного ответа 2 Номер: 10.4.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ x y dx + x dy , где L − L

⎧x = 2 cos t , t ∈ [0; π] . ⎩ y = sin t π Ответы: 1). − π 2). 0 3). 4). π 2 дуга эллипса ⎨

5). нет правильного ответа

Номер: 10.5.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ 2 x y dx + 2 x dy , где L

⎧x = 2 cos t L − дуга эллипса ⎨ , t ∈ [0; π] . y = sin t ⎩ 124

Ответы: 1). − 2 π

2). 0

3). π

4). 2 π

5). нет правильного ответа

Номер: 10.6.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ 2 x y dx + 2 x dy , где L

⎧x = 2 cos t L − дуга эллипса ⎨ , t ∈ [0; π] y = sin t ⎩ Ответы: 1). − 2 π 2). 0 3). π 4). 2 π

5). нет правильного ответа

Номер: 10.7.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ 2 x y dx + 2 x dy , где L

⎧x = 2 cos t L − дуга эллипса ⎨ , t ∈ [0; 2 π]. y = sin t ⎩ Ответы: 1). 3 π 2). − 2 π 3). π 4). 0 5) нет правильного ответа Номер: 10.8.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ e y dx − x dy , где

L : x = 2 y − 1, y ∈ [0;1] . Ответы: 1). − 2 e 2). 2 e + 2

3). 2 e

4). 2 e − 2 5). нет правильного ответа

Номер: 10.9.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ e y dx − x dy , где

L : x = 4 y + 2, y ∈ [0;1] . Ответы: 1). − 4 e 2). 4 e + 2 3). 4 e 4). 4 e − 2 5). нет правильного ответа

Номер: 10.10.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ e y dx + L

L : x = 4 y − 4, y ∈ [0; 2]. Ответы: 1). 4 e 4). 4 e 2 + 2

2). 4 e 2 + 4

3). 4 e 2 − 4

5). нет правильного ответа

125

x dy , где 2

Номер: 10.11.В

(

)

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ dx + y 2 − x dy , где l

l : y = ln x , 1 ≤ x ≤ e . Ответы: 1). 0

2). 1 3). e

4).

1 3

5). нет правильного ответа

Номер: 10.12.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ e y dx + (x + 4 y )dy , где l

l : y = ln x , 1 ≤ x ≤ e . Ответы: 1). e + 1

(e −1)2

4).

2). ( e + 1)

3). 0,5 (e + 1)

5). нет правильного ответа Номер: 10.13.А

∫ ln y dx +d y , где

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода

l : y = e x , 0 ≤ x ≤ 1. Ответы: 1). e − 0,5 2). e + 0,5 Задача:

(

)

Вычислить

3). e + 1,5

4). e

Номер: 10.14.В криволинейный

5). нет правильного ответа

интеграл

II-го

рода

2 x ∫ x + ln y dx + (1 − y )dy , где l : y = e , x ∈ [0;1] .

Ответы: 1). e + 0,5 e 2

2). e − 0,5 e 2

4). e − 0,5 e 2 −

2 3

3). e + 0,5 e 2 +

2 3

5). нет правильного ответа Номер: 10.15.А

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ y dx + 3 y ⋅ cos x dy , l

⎡ π⎤

где l : y = sin x , x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ Ответы: 1). 0 2). 1

3). 2 4). -2 5). нет правильного ответа

126

Номер: 10.16.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫

y dx + 3 sin x dy , где

⎡ π⎤ l : y = cos 2 x , x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦

Ответы: 1). -2 2). -1 3). 0 4). 1 5). нет правильного ответа Номер: 10.17.А

⎛

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ dx + ⎜⎜ x 2 −

⎝

l: y =

1 , x ∈ [1; 2]. x

Ответы: 1). 0 2). 1

3). 2 4). 3

2⎞ ⎟ dy , где y 3 ⎟⎠

5). нет правильного ответа

Номер: 10.18.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ y dx − sin x dy , где l

⎡ π⎤ l : y = sin x , x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ Ответы: 1). 1 2). 0,5 3). 1,5

4). -1,5

5). нет правильного ответа

Номер: 10.19.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ y dx + cos x dy , где l

⎡ π⎤ l : y = cos x , x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ Ответы: 1). -0,5 2). 1,5 3). -1,5 4). 0,5

5). нет правильного ответа

Номер: 10.20.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫

y dx + 6 cos x dy ,

⎡π ⎤ ; π⎥ . 2 ⎣ ⎦

где l : y = sin 2 x , x ∈ ⎢ Ответы: 1). 3 2). 4

3). 5 4). -5

5). нет правильного ответа

127

Номер: 10.21.А

(

)

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ y − x 2 dx + 3 x dy , l

где l : y = 1 + x , y ≤ 2 . Ответы: 1). 0 2). 3 3). -3

4). 6

5). нет правильного ответа

Номер: 10.22.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ dx + l

2 ⋅ ln y dy , где x

l − отрезок AB; A (1;1), B(e; e ) Ответы: 1). 0 2). e 3). e − 1 4). e + 1 5). нет правильного ответа Номер: 10.23.А

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ dx + 2 x dy , где

l : y = arctg x , x ∈ [0;1]. Ответы: 1). ln 2 4). 2 arctg 2

2). ln 2 + 1 3). arctg 2 + 1 5). нет правильного ответа Номер: 10.24.В

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ y dx + (x + 1) dy , где 3

1 , x ∈ [0; e − 1] . x +1 2). 0,5 e 2 Ответы: 1). 0,5 1 − e 2 l: y =

(

)

3). − 0,5 e 2

(

4). 0,5 3 − e 2

)

5). нет правильного ответа Номер: 10.25.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ y 2 dx + где l : y = 2 x , x ∈ [1; 2] . Ответы: 1). 9 2). 3 3). 7 4). 11 Задача:

Вычислить

(

)

Ответы: 1). -2

2). 2

5). нет правильного ответа

Номер: 10.26.А криволинейный

3). 1 4). -1

)

x + y dy ,

интеграл

2 2 ∫ (x + y ) dx + y − x dy , где l : y = 1 − x , x ∈ [0;1].

(

5). нет правильного ответа 128

II-го

рода

Номер: 10.27.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ∫ где l : y = x − 1, x ∈ [0;1] . Ответы: 1). -2 2). 2 3). 1

4). -1

(

5). нет правильного ответа

Номер: 10.28.А Задача:

Из

∫ f (x, y, z )dl, ∫ f (x, y, z )dx,

интегралов

)

dx + x 2 − y 2 dy , y−x

∫∫ f (x, y,) dx dy , D

∫∫∫ f (x, y, z ) dV, ∫ f (x ) dx криволинейным интегралом второго рода является [a ; b ]

Ответы: 1). ∫ f (x , y, z ) dl L

3). ∫∫ f (x , y ) dx dy D

Задача:

Областью ∫ P (x , y ) dx является

2). ∫ f (x , y, z ) dx L

4). ∫∫∫ f (x , y, z ) dV V

5). ∫ f (x ) dx

Номер: 10.29.А интегрирования криволинейного

[a ; b ]

интеграла

Ответы: 1). поверхность пространства 0XYZ 2). замкнутая область плоскости 0XY 3). непрерывная кривая AB плоскости 0XY 4). проекция непрерывной кривой AB на ось 0X 5). проекция непрерывной кривой AB на ось 0Y Номер: 10.30.А Задача: Криволинейный интеграл II рода определяется равенством n

Ответы: 1). ∫ P (x , y ) dx = lim ∑ P (x i , y i ) Δ x i AB

n → ∞ i =1

(λ → 0 )

2). ∫ P (x , y ) dx = lim ∑ P (x i , y i ) Δ S AB

n → ∞ i =1

(λ → 0 )

3). ∫ P (x , y ) dx = lim ∑ P (x i , y i ) Δ l AB

n → ∞ i =1

(λ → 0 )

4). ∫ P (x , y ) dx = lim ∑ P (x i , y i ) Δ V AB

n → ∞ i =1

(λ → 0 )

5). ∫ P (x , y ) dx = lim ∑ P (x i , y i ) AB

n → ∞ i =1

(λ → 0 )

129

рода

Номер: 10.31.А Задача: Для каких функций P (x , y ) и Q (x , y ) существует криволинейный интеграл II рода ∫ P dx + Q dy L

Ответы: 1). для любых функций P (x , y ), Q (x , y ) 2). для функций P (x , y ), Q (x , y ) , непрерывных в замкнутой области D плоскости 0XY 3). для функций P (x , y ), Q (x , y ) , непрерывных в каждой точке гладкой кривой

4). для функции P (x , y ), непрерывной в каждой точке гладкой кривой L 5). для функции Q (x , y ) , непрерывной в каждой точке гладкой кривой L Номер: 10.32.А Задача: При изменении направления пути интегрирования криволинейного интеграла II рода ∫ P dx + Q dy L

Ответы: 1). изменяет свое значение 2). изменяет свое значение и свой знак на противоположный 3). изменяет свой знак на противоположный 4). не изменяет свой знак на противоположный 5). обращается в ноль Номер: 10.33.А Задача: Если кривая L лежит в плоскости, перпендикулярной оси 0X , то

∫ P (x, y ) dx

Ответы: 1). положителен 4). неограничен

2). отрицателен 5). равен нулю

3). бесконечен

Номер: 10.34.А Задача: Криволинейный интеграл II рода по замкнутой кривой ∫ P dx + Q dy L

Ответы: 1). зависит от способа разбиения кривой L на дуги 2). зависит от выбора начальной точки 3). не зависит от направления обхода кривой 4). зависит от направления обхода кривой 5). зависит и от выбора начальной точки и от направления обхода кривой Номер: 10.35.А Задача: Если кривая L лежит в плоскости, перпендикулярной оси 0Y , то

∫ Q (x , y ) dy

Ответы: 1). положителен 3). бесконечен

2). отрицателен 4). неограничен 130

5). равен 0

Номер: 1.36.А Задача: Для того, чтобы криволинейный интеграл ∫ P dx + Q dy не зависел от L

пути интегрирования в односвязной области D , необходимо, чтобы Ответы: 1).

∂P ∂Q = ∂y ∂x

2).

∂P ∂Q = ∂x ∂y

3).

∂P ∂Q =− ∂y ∂x

∂2 P ∂2 Q = 5). ∂ y2 ∂ x 2

∂P ∂Q 4). =− ∂x ∂y

Номер: 10.37.А

(

)

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 5 y 2 − 2 x dx − l

по кривой l , где l : y = x от A (1;1) до B (2; 4 ) Ответы: 1). 14 2). 13 3). 12 4). 11 5). нет правильного ответа 2

3y dy x

Номер: 10.38.А

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 3( y − x ) dy − e y dx по 2

кривой l , где l − отрезок прямой, соединяющий точки O (0; 0 ), B (1; 2 )

Ответы: 1). 1 − e 2 4). 3 − e 2

2). 1,5 − 0,5 e 2

3). 2 − e 2

5). нет правильного ответа Номер: 10.39.А

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 3( y + x ) dx − x ⋅ y dy по 2

кривой l , где l : y = x , от точки O (0; 0 ) до B (1;1) Ответы: 1). 1,2 2). 2,2 3). 2 4). 1 5). нет правильного ответа 3

Номер: 10.40.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 2 x y dy − x 2 − y dx по

(

)

кривой l , где l − отрезок прямой, соединяющий точки A (0; 0 ), B (2;1) . Ответы: 1). 2/3 2). -2/3 3). -1/3 4). 7/3 5). нет правильного ответа Номер: 10.41.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ l

x + y − 1 dx + y dy по

кривой l , где l − отрезок прямой, соединяющий точки A (4;1), B (3; 2 ) Ответы: 1). 0,5 2). – 3,5 3). 3,5 4). – 0,5 5). нет правильного ответа

131

Номер: 10.42.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 9 x + 1 dy по кривой l , l

где l − отрезок прямой, соединяющий точки A (0; 0 ), B (3;1) Ответы: 1). 18 2). 2⋅ 3 2

3). 2 ⋅ 3 2 − 1

4). 14 5). нет правильного ответа

Номер: 10.43.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ x − y 2 dx + e x dy по

(

)

⎧x = ln t t ∈ [1; e] = y t ⎩ Ответы: 1). 0,5 e 2). 0,5 e − 1 3). 0,5

кривой l , где l : ⎨

4). -0,5

5). нет правильного ответа

Номер: 10.44.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ l

⎧x = e l , где l : ⎨ t ∈ [0;1] . y = t ⎩ Ответы: 1). e 2). e + 1 3). e + 0,5 t

4). e − 1

5). нет правильного ответа

Номер: 10.45.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ l

⎧x = cos t ⎩ y = sin t

кривой l , если l : ⎨ Ответы: 1). 0,5

2). -0,5

3). 1

2 y dx + x dy по кривой x

(x − y ) dx + (x − y ) dy 2

x +y

по

⎡ π⎤ t ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦ 4). -1

5). нет правильного ответа

Номер: 10.46.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫

⎧⎪x = t ⎪⎩ y = t − t 3 2

кривой l , если l : ⎨

3y dx + x dy по x

t ∈ [1; 2]

Ответы: 1). 10,25 2). -10,25 3). -17,75 4). 17,75

132

5). нет правильного ответа

Номер: 10.47.А

4 dx dy + по кривой l , 3 y 3 x 3 ⋅ l

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫

⎧⎪x = cos 3 t ⎡π π⎤ где l : ⎨ t∈⎢ ; ⎥ ⎣4 3⎦ ⎪⎩ y = sin 3 t 2 3−π 3−π 3 Ответы: 1). 2). 3). −π 4 4 2 3 − π −1 5). нет правильного ответа 4). 4 Номер: 10.48.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ (x + 15 y ) dx + l

⎧⎪x = t 2 кривой l , где l : ⎨ ⎪⎩ y = t + t 2 Ответы: 1). 266

2). 267

dy по x

t ∈ [1; 2] 3). 268

4). 260

5). нет правильного ответа

Номер: 10.49.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ l

⎧x = cos t ⎡π π⎤ t∈⎢ ; ⎥ ⎣6 3⎦ ⎩ y = sin t −π π π 2). 3). Ответы: 1). 6 6 3

dx dy − по кривой l , y x

где l : ⎨

4).

−π 3

5). нет правильного ответа

Номер: 10.50.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ y dx − x dy по кривой l ,

⎧x = cos t ⎡ π⎤ t ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦ ⎩ y = sin t π −π 2). 3). 0 Ответы: 1). 2 2

где l : ⎨

4). π

133

5). нет правильного ответа

Номер: 10.51.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ y dx + x dy по кривой l , l

⎧x = cos t ⎡ π⎤ t ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 4⎦ ⎩ y = sin t π π 1 Ответы: 1). 2). − 3). 4 4 2 где l : ⎨

4). −

1 2

5). нет правильного ответа

Номер: 10.52.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ (y − 1) dx − x dy

⎧x = cos t ⎡ π⎤ t ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦ ⎩ y = sin t Ответы: 1). 1 − π 2). 1 + π 3). π 4). − π

по

кривой l , где l : ⎨

5). нет правильного ответа

Номер: 10.53.А

(

)

y3 Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 24 x + y dx + dy 2 x l ⎧x = cos t ⎡ π⎤ t ∈ ⎢0; ⎥ по кривой l , где l : ⎨ ⎣ 3⎦ ⎩ y = 2 sin t Ответы: 1). 1

2). – 7

3). 7

4). – 1

5). нет правильного ответа

Номер: 10.54.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫

1 ⎧ ⎪x = где l : ⎨ t −1 ⎪⎩ y = 2 t + 1

−y

dx + dy по кривой l ,

t ∈ [2; 3]

Ответы: 1). 8 2). 18 3). -28 4). -8 5). нет правильного ответа Номер: 10.55.В Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ dx − 3 x 3 dy по кривой

⎧x = sin t l , где l : ⎨ ⎩y = t − 2

⎡ π⎤ t ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦

Ответы: 1). 1 2). – 1 3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

134

Номер: 10.56.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ y dx − dy по кривой l ,

⎧x = t ⎩ y = cos t

где l : ⎨

⎡ π⎤ t ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦

Ответы: 1). -2 2). - 1 3). 2 4). -1 5). нет правильного ответа Номер: 10.57.С Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫

y dx − x dy

⎧x = t − 1 ⎪ где l : ⎨ 1 = y ⎪ t ⎩

по кривой l ,

t ∈ [2; 5]

Ответы: 1). 12 2). 6

3). 10

4). 8

5). нет правильного ответа

Номер: 10.58.А

y 3 dy ⋅ dx − 3 по кривой x l x

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫

⎧x = t 3 l , где l : ⎨ ⎩y = t + 1 Ответы: 1). 2

⎡1 ⎤ t ∈ ⎢ ;1⎥ ⎣3 ⎦ 2). 2/3 3). 2 + 3 ⋅ ln 3 4). 2 + ln 3 5). нет правильного ответа

Номер: 10.59.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 6 x x 2 − y ⋅ dx + 3 x 2 dy

(

⎧⎪x = t ⎪⎩ y = t + t 2

по кривой l , где l : ⎨

)

t ∈ [1; 2]

Ответы: 1). 13 2). -3,5 3). 10 4). 11,5 5). нет правильного ответа Номер: 10.60.А Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ y 4 ⋅ dx −

1 ⎧ x = ⎪ l , где l : ⎨ t ⎪y = t ⎩

t ∈ [2; 4]

Ответы: 1). 3 2). -3 3). 1

4). -1 5). нет правильного ответа

135

по кривой

Номер: 10.61.C Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ y 2 ⋅ dx − x 2 dy по кривой l

⎧x = 1 + cos t l , если l : ⎨ ⎩ y = 1 + sin t Ответы: 1). − 4 − π 4). −

10 −π 3

2).

2 −π 3

3).

10 −π 3

5). нет правильного ответа Номер: 10.62.А

8 l3

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ x ⋅ e y ⋅ dx + 3 x 2 dy по

⎧x = t ⋅ t

кривой l , где l : ⎨

⎩ y = ln t

Ответы: 1). 24 2). 20

t ∈[1; 2]

3). 22 4). e 2

5). нет правильного ответа

Номер: 10.63.А

dx x по кривой ⋅ dy + y l 2y

Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫

⎧x = t − 1 l , где l : ⎨ 2 ⎩y = t

t ∈[2; 3]

Ответы: 1). 4 2). 3

3). 2 4). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 10.64.C Задача: Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫ 24 (y − 1) dx + 2

⎧x = 1 + cos t ⎡ π⎤ , t ∈ ⎢0; ⎥ ⎣ 3⎦ ⎩ y = 1 + sin t Ответы: 1). 3 + 5 2). 3 − 5 3). 4 − 3 5). нет правильного ответа 4). 3 + 4 по кривой l , где l : ⎨

136

(x − 1)3

11. Приложения криволинейного интеграла второго рода Номер: 11.1.С Задача: Работа силы F = x i − 2,5 x j при перемещении точки вдоль дуги 3

параболы y = x 2 , x ∈ [− 1; 0], равна: Ответы: 1). -23/12 2). 23/12 3). -19/12 4). 19/12 5). нет правильного ответа

Номер: 11.2.С Задача: Работа силы F = x i + 3,5 x j при перемещении точки вдоль дуги 3

параболы y = x 2 , x ∈ [− 1; 0], равна: Ответы: 1). 23/12 2). -25/12 3). -23/12 4). 25/12 5). нет правильного ответа

Номер: 11.3.С Задача: Работа силы F = 2 x 3 i + 3 x j при перемещении точки вдоль дуги

параболы y = 2 x 2 , x ∈ [− 1; 0], равна: Ответы: 1). -9/2 2). -7/2 3). 7/2 4). 9/2

5). 5/2

Номер: 11.4.С Задача: Работа силы F = x i − 4 x j при перемещении точки вдоль дуги 3

параболы y = x 2 , x ∈ [− 2; 0], равна: Ответы: 1). -76/3 2). -19/3 3). 19/3

4). 76/3

5). нет правильного ответа

Номер: 11.5.С Задача: Работа силы F = 3 x 3 i − 1,5 x j при перемещении точки вдоль дуги

параболы y = x 2 , x ∈ [− 2; 0], равна: Ответы: 1). 20 2). 48/3 3). -48/3 4). -20

5). нет правильного ответа

Номер: 11.6.С Задача: Работа силы F = x y, y при перемещении точки вдоль дуги кривой

(

)

⎧x = t 2 + 1 , t ∈ [0; 1], равна: ⎨ = y 2 t ⎩ Ответы: 1). 12/15 4). 24/5

2). 52/15 3). 32/15 5). нет правильного ответа

137

Номер: 11.7.С Задача: Работа силы F = y i − x j при перемещении точки вдоль дуги кривой

2 , y ∈ [ 1; e], равна: y

Ответы: 1). 0

2). -4

3). e −4

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 11.8.С Задача: Работа силы F = y i − x j при перемещении точки вдоль дуги кривой

[

]

1 , y ∈ 1; e 2 , равна: y

Ответы: 1). 0

2). -4

3). e −4

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 11.9.С Задача: Работа силы F = y i − x j при перемещении точки вдоль дуги кривой

1 , y ∈ [ e; 2 e], равна: y Ответы: 1). 2 ln 2 2). − 2 ln 2 3). ln 2 4). -2 5). нет правильного ответа x=

Номер: 11.10.С Задача: Работа силы F = (− 2 y, 3 x ) при перемещении точки вдоль дуги

⎧x = cos t , t ∈ [0; π], равна: y = sin t ⎩ 5π 5π 3). 4). 2 π 5). нет правильного ответа Ответы: 1). π 2). − 2 2

окружности ⎨

Номер: 11.11.С Задача: Работа силы F = (− 3 y, x ) при перемещении точки вдоль дуги

⎧x = cos t , t ∈ [0; π] , равна: y sin t = ⎩ 3). π 4). − 2 π Ответы: 1). − π 2). 2 π окружности ⎨

5). нет правильного ответа

Номер: 11.12.С Задача: Работа силы F = (− 2 y, 3 x ) при перемещении точки вдоль дуги

⎧x = 2 cos t , t ∈ [0; π] , равна: y 3 sin t = ⎩ Ответы: 1). 15 π 2). − 3 π 3). 3 π 4). − 15 π окружности ⎨

138

5). нет правильного ответа

Номер: 11.13.С Задача: Работа силы F = (− 3 y, x ) при перемещении точки вдоль дуги

⎧x = 3 cos t , t ∈ [0; π] , равна: ⎩ y = sin t Ответы: 1). 2 π 2). − 3 π 3). 3 π 4). 6 π

окружности ⎨

5). нет правильного ответа

Номер: 11.14.С Задача: Работа силы F = (− y, 2 x ) при перемещении точки вдоль дуги

⎧x = cos t , t ∈ [0; π], равна: y = 2 sin t ⎩ 4). 3 π Ответы: 1). 2 π 2). π 3). − 3 π

окружности ⎨

5). нет правильного ответа

Номер: 11.15.С Задача: Работа силы F = y i − x j при перемещении точки вдоль дуги кривой

1 , y ∈ [1; e], равна: y

Ответы: 1).1

2). 0

3). − 2

4). e −2

5). нет правильного ответа

Номер: 11.16.С Задача: Работа силы F = 2 y i − 2 x j при перемещении точки вдоль дуги кривой

1 , y ∈ [1; e], равна: y

Ответы: 1).0

2). -4

3). e −4

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 11.17.С Задача: Работа силы F = 2 x y, y 2 при перемещении точки вдоль дуги

(

)

⎧x = t 2 + 1 окружности ⎨ , t ∈ [0;1], равна: ⎩ y = 2t Ответы: 1).-56/15 4). 104/15

2). 24/5 3). 24/3 5). нет правильного ответа

Номер: 11.18.С Задача: Работа силы F = x y, 2 y 2 при перемещении точки вдоль дуги

(

)

⎧x = t 2 + 1 окружности ⎨ , t ∈ [0;1], равна: y = 2 t ⎩ Ответы: 1). 37/3

2). -88/15

3). 24/5

4). нет правильного ответа 5). 112/5

139

Номер: 11.19.С Задача: Работа силы F = − x y, y 2 при перемещении точки вдоль дуги

(

)

⎧x = t 2 + 1 окружности ⎨ , t ∈ [0;1], равна: y = 2 t ⎩ Ответы: 1). 32/15

2). -32/15

3). 8/5

4). 8/15

5). нет правильного ответа

Номер: 11.20.С Задача: Работа силы F = 2 x y, − y 2 при перемещении точки вдоль дуги

(

)

⎧x = t 2 + 1 окружности ⎨ , t ∈ [0;1], равна: y = 2 t ⎩ Ответы: 1). 32/15

2). -8/5

3). 8/15

4). -8/15

5). нет правильного ответа

Номер: 11.21.В

1 ∫ x dy − y dx определяет 2 L Ответы: 1). работу переменной силы F (P; Q ) на замкнутом криволинейном участке L 2). длину замкнутой кривой L Задача: Криволинейный интеграл

3). массу материальной замкнутой кривой 4). площадь цилиндрической поверхности с направляющей L 5). площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости ограниченной замкнутой линией L

0XY

Номер: 11.22.В Задача: Криволинейный интеграл ∫ P dx + Q dy определяет AB

Ответы: 1). работу переменной силы F (P; Q ) на криволинейном участке AB 2). длину кривой AB 3). массу материальной кривой AB 4). площадь цилиндрической поверхности с направляющей AB 5). площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости 0XY и ограниченной линией AB Номер: 11.23.В Задача: Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости 0XY и ограниченной замкнутой линией L , можно найти по формуле Ответы: 1). S = ∫ P dx + Q dy L

4). S =

1 ∫ x dy + y dx 2 L

2). S = ∫ x dx − y dy L

5). S = ∫ x dy + y dx L

140

3). S =

1 ∫ x dy − y dx 2L

Номер: 11.24.В Задача: Работу переменной силы F (P; Q ) на криволинейном участке находится по формуле 2). A = ∫ Q dx − P dy 3). A = ∫ Q dx − P dy Ответы: 1). A = ∫ P dx + Q dy AB

4). A = ∫ Q dx + P dy AB

5). A = ∫ P dx + Q dy AB

Номер: 11.25.С Задача: Вычислить работу силы F = y z i + x z j + x y k вдоль отрезка прямой BC , если B (1;1;1) и C (2; 3; 4 ) Ответы: 1). 20 2). 21 3). 22 4). 23 5). нет правильного ответа Номер: 11.26.С Задача: Вычислить работу силы F = x 2 + y 2 + 1 i + 2 x y j вдоль дуги

(

)

параболы y = x 3 , заключенной между точками A (0; 0 ) и B (1;1) Ответы: 1). 3/7 2). 7/3 3). 3/5 4). 5/3 5). нет правильного ответа Номер: 11.27.С Задача: Вычислить работу силы F = 2 x y i + x 2 j , совершаемую на пути, соединяющем точки A (0; 0 ) и B (2;1) Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 4 5). нет правильного ответа Номер: 11.28.С Задача: Вычислить работу силы F = (x − y ) i + x j при перемещении материальной точки вдоль контура квадрата, образованного прямыми x = ±1, y = ±1 . Ответы: 1). 5 2). 6 3). 7 4). 8 5). нет правильного ответа Номер: 11.29.С Задача: Вычислить работу силы F = (x + y ) i − x j при перемещении материальной точки вдоль окружности x = 2 cos t , y = 2 sin t по ходу часовой стрелки Ответы: 1). 8 π 2). 6 π 3). 4 π 4). 2 π 5). нет правильного ответа

Задача:

Вычислить

работу

Номер: 11.30.С силы F = y i + (x + y ) j

при

перемещении

материальной точки из начала координат в точку (1;1) по параболе y = x 2 Ответы: 1). 5/3 2). 3/5 3). 1 4). 2/3 5). нет правильного ответа

141

12. Формулы Грина, Остроградского – Гаусса Номер: 12.1.В Задача: Формула Остроградского-Гаусса

⎛∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎟⎟ dx dy dz = ∫∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy выражает связь + + ∂ x ∂ y ∂ z S ⎝ ⎠

∫∫∫ ⎜⎜ V

между Ответы: 1). поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью 2). поверхностным интегралом первого и второго рода по замкнутой поверхности 3). двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области 4). тройным интегралом по объему, ограничивающему замкнутую поверхность и дойным интегралом по области S 5). тройным интегралом по объему, ограничивающему замкнутую поверхность и криволинейным интегралом по границе поверхности Номер: 12.2.В Задача: Формула Остроградского-Гаусса имеет вид

⎛∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎟⎟ dx dy dz = ∫∫ P dy dz − Q dx dz − R dx dy − − x y z ∂ ∂ ∂ S ⎝ ⎠

Ответы: 1). ∫∫∫ ⎜⎜ V

⎛∂P

∂Q

⎛∂P

∂Q

∂R⎞

⎟⎟ dx dy dz = ∫∫ P dy dz + Q dx dz − R dx dy + − 2). ∫∫∫ ⎜⎜ x y z ∂ ∂ ∂ V ⎝ S ⎠ ∂R⎞ ⎟⎟ dx dy dz = ∫∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy S ⎠ ⎛∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎟ dx dy dz = ∫∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy + + 4). ∫∫ ⎜⎜ ∂ y ∂ z ⎟⎠ V⎝∂x S + + 3). ∫∫∫ ⎜⎜ ∂y ∂z V ⎝∂x

⎛∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎟⎟ dx dy dz = ∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy + + x y z ∂ ∂ ∂ L ⎝ ⎠

5). ∫∫∫ ⎜⎜ V

Номер: 12.3.В Задача: Формула Остроградского-Гаусса

⎛∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎟⎟ dx dy dz = ∫∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy верна, если + + x y z ∂ ∂ ∂ V ⎝ S ⎠ Ответы: 1). функции P (x , y, z ), Q (x , y, z ), R (x , y, z ) непрерывны пространственной области V

∫∫∫ ⎜⎜

142

2). функции P (x , y, z ), Q (x , y, z ), R (x , y, z ) неограничены в пространственной области V 3). функции P (x , y, z ), Q (x , y, z ), R (x , y, z ) неограничены вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V 4). V − граница области S и интегрирования по V производится по внутренней стороне 5). функции P (x , y, z ), Q (x , y, z ), R (x , y, z ) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V Номер: 12.4.В Задача: Формулу Остроградского-Гаусса

⎛∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎟⎟ dx dy dz = ∫∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy + + x y z ∂ ∂ ∂ S ⎝ ⎠

∫∫∫ ⎜⎜ V

можно

использовать для вычисления Ответы: 1). поверхностных интегралов первого рода по замкнутым поверхностям 2). поверхностных интегралов первого рода по незамкнутым поверхностям 3). поверхностных интегралов второго рода по замкнутым поверхностям 4). поверхностных интегралов первого рода по незамкнутым поверхностям 5). двойных интегралов по замкнутым поверхностям Номер: 12.5.В

⎛∂Q ∂P⎞ ⎟ dx dy = ∫ P dx + Q dy − ∂ y ⎟⎠ D⎝ ∂x L

Задача: Формула Остроградского-Грина ∫∫ ⎜⎜

выражает связь между Ответы: 1). поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности D и криволинейным интегралом по границе L этой поверхности 2). поверхностным интегралом первого рода по замкнутой поверхности D и криволинейным интегралом по границе L этой поверхности 3). двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой поверхности 4). поверхностным интегралом первого рода по замкнутой поверхности D и определенным интегралом по отрезку L 5). поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности D и определенным интегралом по отрезку L Номер: 12.6.В Задача: Формула Остроградского-Грина имеет вид

⎛∂Q

∂P⎞

⎟⎟ dx dy = ∫ P dx + Q dy Ответы: 1). ∫∫ ⎜⎜ + x y ∂ ∂ D⎝ L ⎠

143

⎛∂P

∂Q⎞

⎛∂Q

∂P⎞

⎛∂P

∂Q⎞

⎛∂Q

∂P⎞

⎟⎟ dx dy = ∫ P dx + Q dy 3). ∫∫ ⎜⎜ ⎟⎟ dx dy = ∫ P dx + Q dy 2). ∫∫ ⎜⎜ − + x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ D⎝ L D⎝ L ⎠ ⎠ ⎟⎟ dx dy = ∫ P dx + Q dy − 4). ∫∫ ⎜⎜ x y ∂ ∂ D⎝ L ⎠

⎟⎟ dx dy = ∫ P dx − Q dy 5). ∫∫ ⎜⎜ − x y ∂ ∂ D⎝ L ⎠

Номер: 12.7.В Задача: Формула Остроградского-Грина верна, если Ответы: 1). функции P (x , y ) и Q (x , y ) непрерывны вместе со своими частными производными

∂P ∂Q и в области D и интегрирования вдоль ∂y ∂x

границы L области D производится в положительном направлении 2). функции P (x , y ) и Q (x , y ) непрерывны вместе со своими частными производными

∂P ∂Q и в области D и интегрирования вдоль границы L ∂x ∂y

области D производится в положительном направлении в 3). функции P (x , y ) и Q (x , y ) непрерывны в области D и интегрирования вдоль границы L области D производится в положительном направлении 4). функции P (x , y ) и Q (x , y ) непрерывны в области D и интегрирования вдоль границы L области D производится в отрицательном направлении 5). функции P (x , y ) и Q (x , y ) непрерывны Номер: 12.8.В Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл треугольника с вершинами ∫ y cos x dx + sin x dy , где C − периметр C

A (− 1; 0 ); B (0; 2 ); C (2; 0 )

Ответы: 1). 0

2). 2

3). 4

4). 6

5). нет правильного ответа

Номер: 12.9.В Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл 2 2 2 2 ∫ x − y dx − x dy , где C − окружность x + y = R C

(

)

Ответы: 1). -3 2). -5

3). 0

4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 12.10.В Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл

x 2 y2 ∫ 2 y sin 2 x dx − cos 2 x dy , где C − эллипс 2 + 2 = 1 a b C Ответы: 1). 2 a − b 2). a + b 3). 2,5 4). 0 5). нет правильного ответа 144

Номер: 12.11.В Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл 2 ∫ 2 x (y − 1 )dx + x dy , где C − контур фигуры, ограниченной линиями: C

y = x2, y = 9 Ответы: 1). 9

2). 3

3). 0

4). -2

5). нет правильного ответа

Номер: 12.12.В Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл треугольника с вершинами ∫ (2 x + y )dx − 2 y dy , где C − периметр C

A (0; − 1); B (0; 2 ); C (2; 0 ) .

Ответы: 1). 1

2). 2

3). 3

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 12.13.С Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл

(

)

2 2 2 ∫ 2 x + y dx + (x + y ) dy , где C − контур

треугольника с вершинами

A (1;1); B (2; 2 ); C (1; 3) , пробегаемый против часовой стрелки.

Ответы: 1). -1/3

2). -2/3

3). -4/3

4). -5/3 5). нет правильного ответа

Номер: 12.14.С Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл 2 2 2 2 2 ∫ − x y dx + x y dy , где C − окружность x + y = R , пробегаемая против C

часовой стрелки.

πR4 Ответы: 1). 2

πR3 2). 2

πR 3). 2

πR2 4). 3

5). нет правильного ответа

Номер: 12.15.С Задача: Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл ∫ 2x dx − (x + 2 y ) dy , где C − периметр треугольника с вершинами C

A (− 1; 0 ); B (0; 2 ); C (2; 0 ), пробегаемый против часовой стрелки.

Ответы: 1). -1

2). -2

3). 1

4). нет правильного ответа 5). 3

Номер: 12.16.С Задача: Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) ∫∫ z 2 dx dy , где σ − эллипсоид σ

x + y + 2z = 2. Ответы: 1). 2

2). 1

3). 0

4). 3

5). нет правильного ответа 145

Номер: 12.17.С Задача: Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) ∫∫ z dx dy + y dx dz + x dy dz , где σ − σ

поверхность куба, z = 0; z = 1. Ответы: 1). 1 2). 2

ограниченного 3). 3

4). 4

плоскостями

x = 0; x = 1; y = 0; y = 1;

5). нет правильного ответа

Номер: 12.18.С Задача: Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) ∫∫ (z + 1)dx dy + (y + 1)dx dz + (x + 1)dy dz , σ

где σ − сфера x + y + z = R . Ответы: 1). 4 π R 3

πR3 4). 7

2).

4π 2 R 7

3).

4π R 3

5). нет правильного ответа

Номер: 12.19.С Задача: Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) ∫∫ 4 x 3 dy dz + 4 y 3 dx dz − 6 z 4 dx dy , где σ

полная поверхность цилиндра x 2 + y 2 = 4 , заключенного между плоскостями z = 0; z = 1. Ответы: 1). 14 0π 2). 142 π 3). 144 π 4). 146 π 5). нет правильного ответа

σ−

Номер: 12.20.С Задача: Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) ∫∫ x 2 dy dz + y 2 dx dz + 4 z dx dy , где σ − σ

полная поверхность пирамиды {0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ 2 − x}. Ответы: 1). 28/3 2). 26/3 3). 25/3 4). 23/3 5). нет правильного ответа Номер: 12.21.С Задача: Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) ∫∫ x dy dz + y dx dz + z dx dy , где σ − σ

{

полная поверхность цилиндра x 2 + y 2 = a 2 ; − h ≤ z ≤ h} . Ответы: 1). 6 π a 2 h 4). 3 π a h 2

2).

5 2 πa h 3

3).

4 π a 2h 3

5). нет правильного ответа 146

Номер: 12.22.С Задача: Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) ∫∫ x 3 dy dz + y 3 dx dz + z 3 dx dy , где σ − σ

поверхность шара x + y + z = a .

11π a 5 Ответы: 1). 5 14 π a 5 4). 5

12 π a 5 13 π a 5 2). 3). 5 5 5). нет правильного ответа

147