razdel8(UMK) by Абзалимов Рамиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 8 «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ»

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Уфа • 2007

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.

Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 8 «Элементы теории поля». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 69 с. Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

СОДЕРЖАНИЕ

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

1. Теоретические основы Скалярное и векторное поля. Исходные понятия Линии и поверхности уровня. Векторные линии и трубки Производная по направлению Градиент скалярного поля Поверхностные интегралы второго рода Поток векторного поля Формула Остроградского – Гаусса Дивергенция векторного поля Вычисление дивергенции Формула Стокса Линейный интеграл и циркуляция векторного поля Плотность циркуляции векторного поля. Ротор Потенциальное поле Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка 2. Методические указания для студентов Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент Векторные линии. Поток векторного поля через поверхность Дивергенция векторного поля. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля. Ротор 3. Материалы для самостоятельной работы студентов Контрольные вопросы Задачи и упражнения для самостоятельной работы Расчетные задания Литература

5 6 8 10 13 17 19 20 21 22 23 26 29 29 30 33 35 37 42 46 53 54 58 69

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 8 «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ»

1. Теоретические основы

1.1. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПОЛЯ ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Изложим элементы того математического аппарата, которым приходится пользоваться при изучении физических полей. Математическая теория поля изучает два типа полей – скалярные и векторные. Полем называют часть пространства (двух, трех или n измерений), с каждой точкой которого связано определенное значение некоторой физической величины. Если физическая величина скалярная, то поле называется скалярным, а если векторная, то векторным. Говорят, что в области G задано скалярное поле, если указан закон, в силу которого каждой точке M этой области поставлено в соответствие определенное число U(M ) , иначе, если задана числовая функция точки U = U(M ) . Если каждой точке M ∈ G поставлен в соответствие вектор a (M ) , то говорят, что в области G задано векторное поле, определяемое векторной функцией a = a (M ) . Примерами скалярных полей могут служить поле температур внутри нагретого тела (в каждой точке пространства, занятого телом, определенное имеет определенное значение), внутри некоторого помещения, в котором имеются источники тепла, поле освещенности, создаваемое каким-либо источником света, поле плотности массы внутри неоднородного твердого тела. Поле электростатического потенциала вокруг электрического заряда и т.д. Примеры векторных полей: поле скоростей потока жидкости (любая частица жидкости, протекающая через точку M области G , имеет один и тот же вектор скорости a (M ) ), поле тяготения (на материальную точку, помещенную в точку M , действует некоторая гравитационная сила), поле напряженности вокруг тела, заряженного электричеством. Скалярное или векторное поле называется стационарным, если рассматриваемая величина зависит только от положения точки в пространстве, но не зависит от времени. Если величина зависит также и от времени, то поле называется стационарным. В дальнейшем будем изучать только стационарные поля. Если выбрана некоторая декартова система координат, то задание скалярного поля эквивалентно, заданию функции трех переменных U(M ) = U(x , y, z ) в пространстве или заданию функции двух переменных U(M ) = U(x , y ) на плоскости; в этом случае поле U(M ) называется плоским. Функцию U(M ) предполагаем непрерывной и имеющей в рассматриваемой области непрерывные частные производные первого порядка по x , y, z . Чтобы задать векторное поле, надо знать проекции переменного вектора на оси координат. Так как эти проекции, в свою очередь, зависят от положения

точки в пространстве (то есть от координат x , y, z ), то поле определяется векторной функцией a = a (M ) = a x (x , y, z )i + a y (x , y, z ) j + a z (x , y, z )k . Функции a x , a y , a z трех переменных – координат вектора a - считаем непрерывно дифференцируемыми в рассматриваемой области. 1.2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ

Задание функции U(M ) и a (M ) в системе координат не всегда дает достаточно ясное представление о поведении поля. Для получения наглядной картины пользуются геометрическими характеристиками. Простейшими геометрическими характеристиками полей являются линии и векторные трубки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Поверхностью уровня пространственного скалярного поля U = U(M ) называется множество точек M , в которых функция этого поля принимает одно и то же числовое значение C . Поверхность уровня определяется уравнением U(x , y, z ) = C . (1.1) Придавая в уравнении (1.1) параметру C различные значения C1 , C 2 , ... , C n , ... , получим совокупность поверхностей, на каждой из которых физическое явление протекает одинаково. ПРИМЕР 1.1. Для поля U(M ) = x 2 + y 2 − z поверхности уровня определяются уравнением x 2 + y2 − z = C; это семейство параболоидов вращения, осью которых служит ось Oz и вершины которых расположены на ней в точках (0; 0; C ) (рис. 1.1). Взаимное расположение поверхностей уровня дает наглядное представление о поле. Такой способ изображения поля особенно удобен тогда, когда оно плоское. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Линией уровня плоского поля U = U(x , y ) называется множество точек G , в которых функция имеет одинаковые значения. Согласно определению линия уровня имеет уравнение U (x , y ) = C . Распределение температур, давлений и т.д. обычно изображается на картах с помощью соответствующих линий уровня, называемых изотермами (линии равной температуры), изобарами (линии одинакового давления) эквипотенциальными линиями (линии равного потенциала). ПРИМЕР 1.2. Для плоского поля x2 y2 U (x , y ) = + 4 9 семейство линий уровня задается уравнением 6

x2 y2 + = C , (C ≥ 0 ) . 4 9 Это эллипсы с полуосями 2 C и 3 C (рис. 1.2). При C = 0 линия уровня выродилась в точку O(0;0 ) .

z y C = C3 C = C2 C = C1 C=0 x

−1

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Через каждую точку проходит одна поверхность (линия) уровня; они заполняют всю область G и не пересекаются между собой. Информацию о структуре векторного поля дают векторные линии и трубки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Векторной линией поля a = a (M ) называется такая линия, у которой касательная в каждой точке M совпадает с вектором a (M ) (рис. 1.3). В поле скоростей при стационарном течении жидкости векторными линиями, очевидно, являются траектории частиц жидкости; называются они в этом случае линиями тока. Пусть уравнения искомой линии таковы: x = x (t ) , y = y(t ) , z = z (t ) . Тогда вектор касательной τ в произвольной точке M (x , y ) этой линии имеет вид

dx dy dz i+ j+ k. dt dt dt По определению векторной линии, вектор τ коллинеарен вектору a ( M ) . τ=

Поэтому одноименные координаты этих векторов пропорциональны:

dx dy dz dt = dt = dt . ax ay az

Следовательно, семейство векторных линий поля a (M ) определяется дифференциальными уравнениями 7

dx dy dz = = . a x (x, y, z ) a y (x , y, z ) a z (x , y, z )

(1.2)

В случае плоского поля векторные линии удовлетворяют уравнениям

dx dy = , dz = 0 . a x (x , y, z ) a y (x , y, z )

(1.3)

ПРИМЕР 1.3. Найти линию тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости a (M ) = xy i − 2 x (x − 1) j . Дифференциальное уравнение векторных линий в данном случае таково:

dx dy . = xy − 2 x (x − 1) Интегрируя уравнение с разделяющимися переменными y dy = −2(x − 1)dx , Получим

y2 2 = −(x − 1) + C 2

y2 или (x − 1) + = C, 2 2

(C ≥ 0) .

Введем еще одно понятие – векторной трубки. Пусть в векторном поле задан замкнутый контур C ; проводя через его точки векторные линии, получим поверхность, называемую векторной трубкой. Сечением δ векторной трубки называется часть секущей поверхности, лежащая внутри трубки (рис. 1.4). a (M1 ) M1

a (M 2 ) M2 M3

a (M 3 )

Рис. 1.4

Рис. 1.3

1.3. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

При

перемещении

точки

скалярного

поля

M (x , y, z )

точку

M 1 (x 1 , y1 , z1 ) вдоль кривой поверхности уровня значение функции не изменяется. При движении вдоль кривой L , соединяющей точки на различных по-

верхностях уровня, значение функции меняется с той или иной быстротой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Отношение приращения функции U к длине дуги ∪ MM 1 называется средней скоростью изменения функции U(x, y, z ) вдоль дуги ∪ MM 1 . 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Предел, к которому стремится отношение

U(M 1 ) − U(M ) ΔU , когда точка M 1 , двигаясь вдоль дуги L , стремит= ∪ MM 1 ∪ MM 1 ся к точке M , называется производной по дуге L : lim

M1 → M вдоль L

U(M 1 ) − U(M ) ΔU ∂U = . lim = M1 → M вдоль L ∪ MM ∪ MM 1 ∂ L 1

(1.4)

Найдем аналитическое выражение для производной по направлению. Пусть функция U = U(x , y, z ) дифференцируема. Запишем полное приращение функции ΔU =

∂U ∂U ∂U Δx + Δy + Δz + δ , где δ - бесконечно малая ∂x ∂y ∂z

величина высшего порядка малости, чем S = В силу (1.4) имеем

∂U = lim ∂L M1 →M вдоль

Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 .

∂U ∂U ∂U Δx + Δy + Δz + δ ∂x ∂y ∂z ∂U Δx = lim + ∪ MM 1 ∂x M1 →M ∪ MM 1

Δy Δz δ ∂U ∂U . lim + lim + lim ∂y M1 →M ∪ MM 1 ∂z M1 →M ∪ MM 1 M1 →M ∪ MM 1

(1.5)

L β1 M

0 x

Рис. 1.5

Рассмотрим

MM 1 Δy Δy = lim ⋅ = M1 → M ∪ MM M1 → M MM 1 1 ∪ MM 1 lim

= MM 1 − длина хорды, стягивающей дугу ∪ MM 1 =

= lim

M1 → M

MM 1 Δy . ⋅ MM 1 ∪ MM 1

Так как кривая гладкая, то есть имеющая непрерывно меняющуюся касательную, то lim

M1 → M

MM 1 ∪ MM 1

= 1, а

Δy = cos β1 , где β1 - угол между хордой и MM 1

осью Oy . При M 1 → M ⇒ β1 → β , где β - угол между касательной и осью Oy и тогда

lim

M1 →M

Δy = cos β . MM1

(1.6)

Рассуждая аналогично, получим

Δx = cos α ; M1 → M MM 1 Δz lim = cos γ . M1 → M MM 1 lim

(1.7) (1.8)

Найдем

MM 1 δ δ δ = lim ⋅ = lim = 0. M1 → M ∪ MM M1 → M MM M1 → M MM ∪ MM 1 1 1 1 lim

(1.9)

Подставляя в (1.5), (1.6) – (1.9), получим формулу дл вычисления производной по дуге

∂U ∂U ∂U ∂U = cos α + cos β + cos γ , (1.10) ∂L ∂x ∂y ∂z где α, β, γ - углы между касательным вектором к L и осями координат. Производная по дуге L в точке M не зависит от вида дуги, а зависит от направления касательного вектора S к L в точке M . Это значит, что производные по дугам L1 и L 2 , проходящим через точку M и имеющим в этой точке один и тот же касательный вектор, равны между собой. L1

∂U ∂L1

S L2

= M

∂U ∂L 2

(1.11)

В силу (1.11) можно говорить о производной не по дуге, а по направлению S , то есть

∂U ∂U ∂U ∂U ∂U = = cos α + cos β + cos γ . (1.12) ∂S ∂L ∂x ∂y ∂z

Рис. 1.6

1.4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Правую часть (1.12) можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов следующего вида: Первый вектор

∂U ∂U ∂U i+ j+ k - называется градиентом скалярного ∂x ∂y ∂z

поля и обозначается

∂U ∂U ∂U i+ j+ k. (1.13) ∂x ∂y ∂z Второй вектор cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k - единичный вектор того же направления, что и вектор S : S = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k . (1.14) S grad U =

По определению скалярного произведения имеем ∧ ⎛ ⎞ ∂U S S = grad U ⋅ = grad U ⋅ cos⎜⎜ grad U, S ⎟⎟ ⇒ ∂S S S ⎝ ⎠ ∧ ⎛ ⎞ ∂U = grad U ⋅ cos⎜⎜ grad U, S ⎟⎟ ⇒ ∂S ⎝ ⎠

или

(1.15)

∂U = пр S grad U . ∂S

(1.16)

Итак, производная по направлению равна проекции градиента на это направление (рис. 1.7). Если направление grad U совпадает с направлением grad U

∧ ⎛ ⎞ вектора S , то cos⎜ grad U, S ⎟ = 1 и производная по на⎝ ⎠

Рис. 1.7

правлению принимает наибольшее значение, равное grad U , то есть

∂U = grad U . ∂S

(1.17)

Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору ∧ ⎛ ⎞ grad U , равна нулю, так как cos⎜ grad U, S ⎟ = 0 . ⎝ ⎠

Рассмотрим основные свойства градиента: 1. Градиент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке. Доказательство. На поверхности уровня поля U(x , y, z ) = 0 возьмем ка-

кую-нибудь точку M (x , y, z ) и произвольно проведем через нее линию L , расположенную на поверхности (рис. 1.8). Так как функция постоянна на L и S - касательный вектор к L в точке M , то

∂U = 0. ∂L

grad U M

Рис. 1.8

∂U ∂U = = 0; ∂S ∂L ∧ ∂U ⎛ ⎞ = grad U ⋅ cos⎜ grad U, S ⎟ . ∂L ⎝ ⎠ С

учетом

(1.18)

получим,

что

(1.18)

∧ ⎞ ⎛ grad U ⋅ cos⎜ grad U, S ⎟ = 0 , но ⎠ ⎝

∧ ⎛ ⎞ grad U ≠ 0 ⇒ cos⎜ grad U, S ⎟ = 0 ; это значит, вектор grad U ⊥ S . Гради⎝ ⎠

ент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности уровня. 2. Градиент алгебраической суммы скалярных функций равен сумме градиентов: grad(U + V ) = grad U + grad V . Справедливость данного свойства вытекает непосредственно из его определения. 3. Градиент произведения скалярных функций grad(U ⋅ V ) = U ⋅ grad V + V ⋅ grad U . ПРИМЕР 1.4. Найти grad(r ⋅ a ) , где a = a x i + a y j + a z k - постоянный

вектор, а r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k - радиус-вектор точки. Решение. Найдем скалярное произведение векторов: r ⋅a = x ⋅ax + y⋅ay + z ⋅az = U. Определим

∂U ∂U = ax ; = ay; ∂x ∂y

делим

grad (r ⋅ a ) = grad U =

∂U = az ∂z

и по формуле (1.13) опре-

∂U ∂U ∂U ⋅i + ⋅ j+ ⋅ k = a xi + a y j + azk ∂x ∂y ∂z

(сохраняет во всех точках поля одинаковое направление, совпадающее с направлением вектора a , так что поверхностями уровня скалярного произведения r ⋅ a являются плоскости, перпендикулярные вектору a ) (рис. 1.9) 12

Рис. 1.9

1.5. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА

Для изучения векторного поля введены интегральные характеристики; некоторые из них выражаются через поверхностные интегралы. Теория поверхностного 1-го рода (интеграла по площади поверхности) рассмотрена в [1]. Здесь будет дано определение поверхностного интеграла 2-го рода (интеграла по координатам), в связи с чем введем сначала понятие стороны поверхности. Пусть σ - гладкая поверхность (поверх( ) n M n z ность называется гладкой, если она обладает n непрерывно изменяющейся нормалью). Возьn мем на ней точку M , проведем через нее нормаль σ и выберем на этой нормали одно из − n (M ) и двух возможных направлений: n (M ) 0 x

Рис. 1.10

− n (M ) (рис.1.10). Проведем на поверхности σ через точку M какой-либо замкнутый контур L , не имеющий общих точек с границей поверхности и будем передвигать вектор n из точки M вдоль L .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Гладкая поверхность называется двусторонней, если при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, вектор нормали n возвращается в исходную точку с тем же направлением n (M ) . меЕсли же в результате обхода по какому-либо контуру L вектор n няет свое направление на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонней является, например, всякая замкнутая поверхность (она имеет внешнюю и внутреннюю стороны), всякая поверхность, задаваемая уравнением z = f (x , y ) , имеющая внешнюю и внутреннюю стороны (сфера, эллипсоид, параболоид и т.д.). Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса (прямоугольный лист ABCD , перекрученный один раз и склеенный по линии AB и DC ) (рис. 1.11). При обходе листа Мёбиуса по его средней линии направление нормали n (M ) к нему меняется на противоположное. 13

n BD M

C D

B A

−n

Рис. 1.11

Выбор определенной стороны поверхности, то есть выбор одного из двух направлений n или − n , называется ориентацией поверхности. Условимся сторону поверхности называть положительно ориентированной, если нормаль к поверхности образует с положительным направлением координатной оси острый угол, и отрицательно ориентированной, если этот угол тупой, и обозначать + − ее σ и σ соответственно. Поверхностный интеграл 2-го рода можно определить непосредственно, то есть с помощью интегральных сумм, как это делалось прежде при введении всех типов интегралов. Определим поверхностный интеграл 2-го рода, опираясь на понятие поверхностного интеграла 1-го рода. Пусть в каждой точке M гладкой ориентированной поверхности σ определена и непрерывна функция Ф(M ) = Ф(x , y, z ) . Направляющие косинусы вектора n (M )

предполагаются непрерывными функциями координат точек

⎛ ⎝

∧

⎞ ⎠

поверхности. Обозначим через ⎜ n , z ⎟ - угол между нормалью n и осью Oz , а

⎛ ⎝

∧

⎞ ⎛ ⎠ ⎝

∧

⎞ ⎠

через ⎜ n , y ⎟ , ⎜ n , x ⎟ - угол между нормалью и осями Oy и Ox соответственно.

Рассмотрим

поверхностные

интегралы

1-го

рода

от

функции

⎛ ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎞ Ф(x , y, z ) cos⎜ n , z ⎟ и Ф(x , y, z ) cos⎜⎜ − n , z ⎟⎟ . Они существуют, поскольку по⎝ ⎠ ⎝ ⎠ дынтегральные функции непрерывны.

⎛

∧

⎞

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Интеграл 1-го рода ∫∫ Ф(x , y, z ) cos⎜ n , z ⎟dσ σ

⎛

∧

⎝

⎠

⎞

∫∫ Ф(x , y, z ) cos⎜ − n , z ⎟dσ назовем поверхностным интегралом 2-го рода, рас⎝

⎠

пространенным на выбранную сторону поверхности, и будем обозначать соответственно ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy , ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy . σ+

σ−

Итак,

⎫ ⎛ ∧ ⎞ ( ) ( ) Ф x , y , z dxdy Ф x , y , z cos = ⎜ n , z ⎟dσ ⎪ ∫∫ ∫∫ ⎠ ⎝ σ ⎪ σ+ ⎬ ⎛ ∧ ⎞ ⎪ ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy = ∫∫ Ф(x , y, z ) cos⎜ − n , z ⎟dσ⎪ ⎠ ⎭ ⎝ σ σ−

(1.19)

Выделим специфическое свойство интеграла 2-го рода. Так как

⎛ ⎛ ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎞⎞ ⎛ ∧ ⎞ n , z n , z = π , то cos n , z cos n , z cos = − + − − = π − ⎜ ⎟ ⎜ n, z ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎠ ⎝ этому ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy = − ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy . σ−

По-

σ+

Значит, интегралы, взятые по разным сторонам поверхности, отличаются друг от друга только знаком. В остальном свойства интеграла 2-го рода аналогичны свойствам интеграла 1-го рода. Заметим, когда из контекста ясна ориентация поверхности, то вместо записи (1.19) используют запись ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy . σ

Аналогично определяются интегралы

⎛ ∧ ⎞ ( ) ( ) Ф x , y , z dydz = Ф x , y , z cos ⎜ n , x ⎟dσ , ∫∫ ∫∫ ⎝ ⎠ σ σ ⎛ ∧ ⎞ ( ) ( ) Ф x , y , z dxdz = Ф x , y , z cos ⎜ n , y ⎟dσ . ∫∫ ∫∫ ⎝ ⎠ σ σ

(1.20) (1.21)

Покажем, что поверхностный интеграл 2-го рода, как и интеграл 1-го рода, вычисляется сведением его к двойному интегралу. Пусть гладкая поверхность σ задана уравнением z = z(x , y ) , причем бе+

рется верхняя сторона σ . Тогда координаты нормали n таковы: n = − Z′x ; − Z′y ; 1 .

{

}

По известной формуле найдем

⎛ ∧ ⎞ n⋅k cos⎜ n , z ⎟ = = ⎠ n⋅k ⎝

1 Z′x2

Z′y2

> 0.

Воспользовавшись правилом вычисления интеграла 1-го рода [1], исходя из (1.20), получаем

⎛ ∧ ⎞ ( ) ( ) Ф x , y , z dxdy = Ф x , y , z cos ⎜ n , z ⎟dσ = ∫∫ ∫∫ + ⎝ ⎠ σ σ 1 = ∫∫ Ф(x , y, z(x , y )) ⋅ 1 + Z′x2 + Z′y2 dxdy = Sxy 1 + Z′x2 + Z′y2

= ∫∫ Ф(x , y, z(x , y ))dxdy . Sxy

Таким образом, чтобы поверхностный интеграл ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy , взятый σ

по верхней стороне поверхности σ , определенной уравнением z = z(x , y ) , преобразовать в двойной, следует в подынтегральную функцию вместо z поставить соответствующую функцию z(x , y ) , а интегрирование по поверхности

σ + заменить интегрирование по ее проекции S xy на плоскость xOy : ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy = ∫∫ Ф(x , y, z(x , y ))dxdy . σ

(1.22)

Sxy

−

Если интеграл берется по нижней стороне S поверхности S , то, в силу указанного свойства, имеем (1.23) ∫∫ Ф(x , y, z )dxdy = − ∫∫ Ф(x , y, z(x , y ))dxdy . σ−

Sxy

Аналогично получаются формулы

∫∫ Ф(x , y, z )dydz = ± ∫∫ Ф(x (y, z ), y, z )dydz ;

(1.24)

∫∫ Ф(x , y, z )dzdx = ± ∫∫ Ф(x, y(x , z ), z )dzdx .

(1.25)

S yz

Szx

В формуле (1.24) под σ понимается поверхность, заданная уравнением x = x (y, z ), в формуле (1.25) – поверхность, заданная уравнением y = y(x , z ) . Знак плюс берется в том случае, когда нормаль поверхности образует с осью Ox (соответственно с осью Oy ) острый угол, знак минус, когда этот угол тупой; S yz и S zx - проекции поверхности σ на плоскости yOz и zOx соответственно. Формулами 1.22 - 1.25 можно пользоваться и в том случае, когда ориентированная поверхность σ состоит из нескольких кусков σ1 , σ 2 , ... , σ n . Тогда рассматриваемый интеграл следует представить как сумму интегралов, отвечающих этим кускам, и затем к каждому из слагаемых применить одну из приведенных формул. В приложениях чаще всего встречаются соединениями (сумма) интегралов всех видов 1.19 – 1.21 от различных функций P(x , y, z ) , Q(x , y, z ) ,

R (x , y, z ) , заданных на выбранной стороне поверхности σ : ∫∫ P(x, y, z )dydz + Q(x, y, z )dzdx + R (x, y, z )dxdy .

(1.26)

Итак, связь между интегралами 1-го и 2-го рода определяется формулой

∫∫ P(x, y, z )dydz + Q(x, y, z )dzdx + R (x, y, z )dxdy = σ

⎛ ⎛ ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎞⎞ = ∫∫ ⎜⎜ P cos⎜ n , x ⎟ + Q cos⎜ n , y ⎟ + R cos⎜ n , z ⎟ ⎟⎟dσ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ σ⎝ Или в других обозначениях: 16

(1.27)

∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dσ . σ

(1.28)

Поверхностный интеграл 2-го рода (1.26) называют также потоком векторного поля

a (M ) = P(x , y, z )i + Q(x, y, z ) j + R (x , y, z )k через поверхность σ . 1.6. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Рассмотрим теперь важное понятие потока векторного поля. Пусть поле определено векторной функцией a = a (M ) . Для наглядности будем считать a вектором скорости стационарного потока движущейся жидкости. В этом случае скорость a частицы жидкости зависит только от координат точки M a = a x (x, y, z )i + a y (x , y, z ) j + a z (x , y, z )k . Вычислим количество жидкости, протекающей через некоторую поверхность σ за единицу времени, считая плотность ρ = 1 . С этой целью разобьем поверхность σ на элементарные площадки Δσ i и рассмотрим векторную трубку поля a (M ) , проходящую через элемент Δσ i (рис. 1.12). Как это обычно делается в интегральном исчислении, каждую площадку Δσ i будем считать плоской, а вектор a - постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. ni a (M i )

Mi Δσi

σ1

n ϕ

L S

Рис.1.12

Рис. 1.13

В таком случае за единицу времени частицы жидкости, лежащие на площадке σ (рис. 1.13) переместятся в направлении вектора a на расстояние, равное его длине, и расположатся на площадке σ1 . Количество жидкости П, которое за единицу времени пройдет через площадку σ , численно равно объему цилиндра с основанием S и образующей a : П = S ⋅ h , где h - высота цилиндра. Так как

h = a cos ϕ = n 0 ⋅ a cos ϕ = a ⋅ n 0 , то

(

)

П = a, n 0 S 0

( n - орт нормального вектора). 17

(1.29)

При этих предположениях количество жидкости ΔП i , протекающей че-

рез Δσ i , можно приближенно подсчитать по формуле (1.29)

(

)

ΔП i ≈ a i , n i0 Δσ i (i = 1, 2, ... n ) , где a i = a (M ) = a x (x i , y i , z i )i + a y (x i , y i , z i ) j + a z (x i , y i , z i )k ,

n i0 = cos α i i + cos β i j + cos γ i k - единичный вектор нормали. Суммируя эти выражения, найдем приближенное значение количества жидкости П , протекающей через поверхность S за единицу времени: n

i =1

(

)

П = ∑ ΔП i ≈ ∑ a i , n i0 Δσ i . Переходя к пределу при условии, что каждая часть Δσ i стягивается в

точку (n → ∞ ) , находим точное значение количества жидкости: n

(

)

П = lim ∑ a i , n i0 Δσ i . n →∞ i =1

Выражая скалярное произведение в координатной форме, получим n

[

]

П = lim ∑ a x (x i , y i , z i ) cos α i + a y (x i , y i , z i ) cos β i + a z (x i , y i , z i ) cos γ i Δσ i n →∞ i =1

(1.30) Направляющие косинусы вектора n , а также координаты a x , a y , a z вектора a предполагаются непрерывными функциями. Поэтому скалярное произведение

(a , n ) = a 0

cos α + a y cos β + a z cos γ

есть непрерывная функция, определенная в точках поверхности σ . Следовательно, предел суммы (1.30) существует и равен интегралу по поверхности σ 0 от функций a ⋅ n : П = ∫∫ a ⋅ n 0 dσ . (1.31) σ

Итак, количество жидкости, протекающей в единицу времени через данную поверхность σ , или, как говорят, поток жидкости через эту поверхность, есть интеграл по поверхности (поверхностный интеграл 1-го рода) (1.31). По аналогии с потоком текущей жидкости вводится понятие потока вектора

a i = a x (x , y, z )i + a y (x , y, z ) j + a z (x , y, z )k через поверхность σ . Предполагается, что в каждой точке этой поверхности определен единичный нормальный вектор n = cos α i + cos β j + cos γk , коор-

динаты которого являются непрерывными функциями координат точки поверхности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Потоком вектора a (или потоком векторного поля) через двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл от ска18

лярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности П = ∫∫ a ⋅ n dσ . (1.32) σ

Формуле (1.32) можно придать различные формы. Будем называть векторной площадью элемента dσ поверхности σ вектор d σ = ndσ , направленный по нормали n , модуль которого численно равен площади dσ . Поэтому подынтегральное выражение в (1.32) можно представить в виде a ⋅ n dσ = a (ndσ ) = ad σ . Тогда формула (1.32) примет вид П = ∫∫ ad σ . (1.33) σ

Так как скалярное произведение вектора a на единичный вектор n равен проекции вектора a на направление n : a ⋅ n = n пр n a = пр n a = a n , то поток можно записать в виде П = ∫∫ a п dσ . (1.34) σ

Записав скалярное произведение в координатной форме, из (1.32) получим формулу П = ∫∫ a x cos α + a y cos β + a z cos γ dσ . (1.35) σ

(

)

В силу известной связи поверхностного интеграла 1-го рода с интегралом 2-го рода (1.27) формуле (1.35) можно придать вид П = ∫∫ a x dydz + a y dxdz + a z dxdy . (1.36) σ

Вычисление поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода, как было отмечено, сводится к вычислению двойных интегралов. Особый интерес представляет тот случай, когда поверхность σ замкнута и ограничивает некоторый объем V . Тогда поток П обозначается так: П = ∫∫ ad σ , П = ∫∫ a n dσ , П = ∫∫ a ⋅ ndσ . σ

В случае замкнутой поверхности σ условимся в качестве n брать вектор внешней нормали. При этом говорят о потоке изнутри поверхности. 1.7. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА Для вычисления потока через внешнюю сторону замкнутой поверхности σ , ограничивающей объем V , удобно применять формулу Остроградского – Гаусса, в связи с чем приведем здесь формулировку теоремы (доказательство см. в [1], [3]).

Теорема. Если функции P(x , y, z ) , Q(x , y, z ) , R (x , y, z ) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области V , то имеет место формула

⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ ( ) α + β + γ σ = ⎜ + P cos Q cos R cos d ⎟⎟dV . ∫∫ ∫∫∫ ⎜ + σ

⎝ ∂x

∂y

∂z ⎠

(1.37)

Формула (1.37) называется формулой Остроградского – Гаусса. 1.8. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть a - некоторое векторное поле. Поток векторного поля через замкнутую поверхность σ иногда называют производительностью той части пространства V , которая ограничена поверхностью σ . Это объясняется тем, что если векторное поле рассматривается как поле скоростей несжимаемой текущей жидкости, то поток П через поверхность σ равен количеству жидкости «произведенной» внутри V . В самом деле, величина П дает количество жидкости, протекающей в единицу времени с внутренней стороны σ на внешнюю. Поскольку жидкость несжимаема, то количество жидкости внутри объема V должно все время оставаться неизменным. Если П > 0 , то это значит, что из объема V вытекает больше жидкости, чем втекает. И наоборот, если П < 0 , то количество вытекающей жидкости меньше количества жидкости втекающей; значит, внутри V имеются стоки, поглощающие излишки жидкости. Однако возможно, что в обоих случаях внутри объема находятся и источники, и стоки, но при положительности потока общая обильность источников превосходит обильность стоков. А при отрицательности потока, наоборот, преобладают стоки. Поэтому величина потока П характеризует обильность источников и стоков лишь суммарно. Отношение потока вектора a к объему V , ограниченному поверхностью σ,

∫∫ adσ σ

определяет среднюю производительность области V , иначе, если воспользоваться гидродинамической интерпретацией, среднюю обильность потока (плотность источников или стоков). Переходя к пределу при условии, что область V стягивается в точку M , получим число, достаточно хорошо характеризующее «производительность» векторного поля в окрестности точки M . Это число называется дивергенцией поля a в точке M . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля a (M ) в точке M называется предел отношения потока П вектора a через поверхность, окружающую точку M , к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что поверхность стягивается в точку M . 20

Дивергенция обозначается символически div a (M ) . Итак, по определению,

div a (M ) = lim

σ→M ( V →0 )

∫∫ adσ σ

(1.38)

Подчеркнем, что дивергенция векторного поля есть величина скалярная. Если div a (M ) < 0 , то точку M называют стоком. Дивергенция характе-

ризует мощность источника (при div a (M ) > 0 ) или стока (при div a (M ) < 0 ). Если в каждой точке некоторого объема V div a = 0 , то, как следует из (1.38), П = 0 , а это значит, что количества жидкости вытекающей и втекающей равны. Следовательно, в области V нет ни источников, ни стоков. Векторное поле a = a (M ) , в каждой точке которого div a = 0 , называется соленоидальным (или трубчатым). 1.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИВЕРГЕНЦИИ

V определено векторное поле a (M ) = a x (x , y, z )i + a y (x, y, z ) j + a z (x, y, z )k , такое, что функции a x , a y , a z непрерывны в V вместе со своими частными производными, то div a существует и вычисляется по формуле ∂a y ∂a z ∂a div a (M ) = x + + . ∂y ∂z ∂x Теорема

1.1.

Если

области

Доказательство. Воспользуемся формулой Остроградского – Гаусса

⎛ ∂a x ∂a y ∂a z ⎞ ⎟⎟dV . + a d σ = + ∫∫ n ∫∫∫ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ x y z σ V ⎝ ⎠

Рассмотрим правую часть этой формулы. Пусть

∂a x ∂a y ∂a z + + = ϕ(x , y, z ) . ∂x ∂y ∂z

Перепишем формулу

∫∫ a n dσ = ∫∫∫ ϕ(x, y, z )dV . σ

К тройному интегралу применим теорему о среднем, согласно которой имеем ∫∫∫ ϕ(x, y, z )dV = ϕ(M 0 ) ⋅ V , V

где M 0 ∈ V . Следовательно,

∫∫ a n dσ = ϕ(M 0 ) ⋅ V , σ

откуда

ϕ(M 0 ) =

∫∫ a n dσ σ

Переходя к пределу при условии, что область V стягивается в точку M , получим

lim ϕ(M 0 ) = lim

V →0

∫∫ a n dσ σ

Так как при этом M 0 → M , то в силу непрерывности частных производ-

ных

∂a x ∂a y ∂a z в точке M получим , , ∂x ∂y ∂z

lim ϕ(M ) = ϕ(M 0 ) = ϕ(x, y, z ) =

M 0 →M

Таким образом,

∂a x ∂a y ∂a z + + ∂y ∂z ∂x

∂a x ∂a y ∂a z div a (M ) = + + . ∂y ∂z ∂x

(1.40)

Пользуясь выражением для дивергенции (1.40), формулу Остроградского – Гаусса можно записать в векторной форме (1.41) ∫∫ a n ⋅ ndσ = ∫∫∫ div adV . σ

Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу по объему, ограниченному этой поверхность, от дивергенции поля. 1.10. ФОРМУЛА СТОКСА Для поверхностных интегралов имеет место формула, аналогичная формуле Грина (последняя, как было отмечено ранее в [1], определяет связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по замкнутому контуру L , ограничивающему эту область), позволяющая свести вычисление интеграла по поверхности σ к вычислению криволинейного интеграла по контуру, ограничивающему эту поверхность. Теорема 1.2. Пусть функции P(x , y, z ) , Q(x , y, z ) , R (x , y, z ) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой трехмерной области. Тогда для любой гладкой поверхности σ , лежащей в этой области, имеет место формула

⎡⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎤ ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ⎜ − ⎟ cos α + − cos β + ⎜ − ⎟ cos γ ⎜ ⎟ ∫∫ ⎢⎜ ⎥dσ = ⎜ ∂y ∂x ⎟ ⎟ ∂ y ∂ z ∂ x ∂ z ⎝ ⎠ σ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ = ∫ Pdx + Qdy + Rdz , L

(1.42)

где cos α, cos β, cos γ - направляющие косинусы нормали n к поверхности σ , а L - граница поверхности (рис. 1.14). Формула (1.42) называется z формулой Стокса. Доказательство n 0 {cos α; cos β; cos γ} этой теоремы не приводим. Читателя отсылаем к [1]. Формула Стокса поσ зволяет интеграл по поверхности σ L заменить криволинейным интегралом y по границе L этой поверхности и, x наоборот, криволинейный интеграл Рис. 1.14 по замкнутой пространственной линии L заменить интегралом, по поверхности σ , «натянутой» на контур интегрирования. Воспользовавшись формулой (1.27) связи поверхностного интеграла 1-го рода с интегралом 2-го рода, формулу Стокса можно записать в виде

⎡⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎤ ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ⎜ − ⎟ dydz + − dzdx dxdy + ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ∫∫ ⎢⎜ ⎥dσ = ⎟ ⎜ ∂y ∂x ⎟ y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ σ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ = ∫ Pdx + Qdy + Rdz .

(1.43)

1.11. ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть поле образовано вектором

a (M ) = a x i + a y j + a z k . Возьмем в этом поле некоторую линию L и установим на ней начальную 0 точку A и конечную точку B . Пусть τ (M ) - орт касательной в точке M кривой L . Разобьем кривую L произвольным образом на n элементарных дуг длиной ΔL i i = 1, n в направлении от A к B и на каждой из них выберем точку M i (рис. 1.15). Для i − й элементарной дуги составим скалярное произведе-

(

)

ние

a (M i ) ⋅ τ 0 (M i )ΔL i , а затем просуммируем эти произведения по всем i : n

∑ a (M i ) ⋅ τ 0 (M i )ΔL i . i =1

Составленная сумма является интегральной суммой для функции a (M ) ⋅ τ 0 (M ) по кривой L . Предел ее при условии, что max ΔL i → 0 , является криволинейным интегралом 1-го рода по дуге L . 0 (1.44) ∫ a ⋅ τ dL . L

a (M )

a (M i )

τ 0 (M i )

τ0 ΔL

ΔLi

Рис. 1.15

Рис. 1.16

Введем в рассмотрение векторный элемент dL = τ dL линии L , определяемый как вектор, имеющий направление касательной к линии и модуль, равный дифференциалу длины дуги dL = dL . Но дифференциал длины дуги,

(

)

известно, равен дифференциалу радиус – вектора r точки M кривой L (рис. 1.16). Тогда a ⋅ τ 0 dL = a ⋅ τ 0 ⋅ dL = adL = adr .

(

)

С другой стороны, a ⋅ τ 0 = τ 0 пр τ0 a = пр τ0 a = a τ . Поэтому криволинейному интегралу (1.44) можно придать одну из следующих форм: 0 ∫ a ⋅ τ dL = ∫ adL = ∫ adr = ∫ a τ dL . L

(1.45)

Линейным интегралом W поля a (M ) вдоль линии L называется криво-

линейный интеграл от скалярного произведения a (M ) на единичный касатель-

ный вектор τ (M ) к линии L : 0

W = ∫ a ⋅ τ 0 dL = ∫ adr . L

(1.46)

Учитывая, что dr = d l = dx i + dy j + dz k , линейный интеграл можно записать в координатной форме: W = ∫ a x dx + a y dy + a z dz . (1.47) L

Если a = a (M ) - силовое поле, то линейный интеграл (1.47) выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии L (см. [1], [2]). Если a (M ) - произвольное векторное поле, а L - замкнутый контур, то интеграл (1.46) или (1.47) носит специальное название – циркуляция вектора. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. Линейный интеграл вектора a , взятый по замкнутому контуру L , называется циркуляцией векторного поля по данному контуру и обозначается символом Ц = ∫ ad r . (1.48) L

Направление обхода контура указывается заранее, причем положительным считается обход против часовой стрелки, а отрицательным – по часовой стрелке. 24

{

}

Для силового поля a a x , a y , a z циркуляции представляет работу этого поля вдоль контура L . Для полей иной природы циркуляция имеет другой физический смысл. ПРИМЕР 1.5. Рассмотрим поле линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω 0 . Вычислим циркуляцию вектора скорости V по произвольной линии L , лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Не уменьшая общности рассуждений, можно считать, z что ось вращения совпадает с осью Oz (рис. 1.17). Из киV нематики известно, что линейная скорость V равна векL M торному произведению r V = ω0 xr , ω0 0

где ω0 - вектор угловой скорости, то есть вектор, отлоx женный на оси вращения, по модулю равный величине угРис. 1.17 ловой скорости (этот вектор направлен так, что если смотреть из его конца, вращение кажется происходящим против часовой стрелки), а r - радиус – вектор точки M (x , y, z ) вращающегося твердого тела. Имеем ω = ω 0 k , r = x i + yj + zk , тогда

V = 0 0 ω 0 = − ω 0 yi + ω 0 xj . x

Таким образом, Vx = −ω 0 y , Vy = ω 0 x , Vz = 0 . Скорость V каждой точки M вращающегося тела зависит от положения этой области. Согласно определению, циркуляция Ц равна Ц = ∫ − ω0 ydx + ω 0 xdy . L

Для вычисления этого интеграла применим теорему Стокса, приняв в качестве S плоскую область, ограниченную кривой L ; тогда нормаль к поверхности совпадает с вектором k и поэтому cos α = cos β = 0 , cos γ = 1. Следовательно,

⎛ ∂Vy ∂Vx ⎞ ⎛ ∂ (ω 0 x ) ∂ (− ω 0 y ) ⎞ ⎟⎟ cos γdS = ∫∫ ⎜⎜ Ц = ∫∫ ⎜⎜ ⎟dS = − − ∂y ⎠ ∂x ∂y ⎟⎠ S ⎝ ∂x S ⎝ = ω0 ∫∫ (1 + 1)dS = 2ω0 ∫∫ dS = 2ω0 ⋅ S . S

Таким же образом можно установить, что если замкнутый контур L лежит в плоскости, параллельной вращению, то Ц = ∫ adL = 0 . L

1.12. ПЛОТНОСТЬ ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. РОТОР Рассмотрим

векторное поле a = a x i + a y j + a z k , где a x , a y , a z и их част-

z n

ные производные – M(x , y, z ) . Проведем либо поверхность σ и L , окружающий точку циркуляцию

непрерывные в точке через точку M какуюпостроим на ней контур M (рис.1.18). Вычислим

∫ adL .

Отношение циркуляции по контуру L к площади δ той части поверхности σ , которая ограничена данным контуром, называется средней плотностью циркуляции. x

Рис.1.18

Средняя плотность равна

∫ adL . δ

Предел, к которому стремится средняя плотность циркуляции, когда контур L стягивается к точке M , называется плотностью циркуляции в точке M по поверхности σ : Плотность циркуля равна lim

L→M

∫ adL . δ

Чтобы вычислить указанный предел, преобразуем криволинейный интеграл в поверхностный, воспользовавшись формулой Стокса, а затем применим теорему о среднем:

∫ adL = lim lim

L→M

∫ a x dx + a y dy + a z dz l

⎡⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ⎤ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − β + − γ α + cos cos cos ⎜ ⎟ ∫∫ ⎢⎜ ⎥dδ ⎜ ∂x ⎟ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z x y y z ⎝ ⎠ σ ⎣⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ = lim diam δ→0 δ ⎡⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ⎤ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ α + cos − − cos cos β + γ − ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎥ ⋅ δ/ ⎟ ⎟ ⎜ ∂x y z ∂ ∂ z x ∂ ∂ y ∂ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎦ M0 = lim = diam δ→0 δ/ ∂a y ⎞ ⎛ ∂a ⎛ ∂a ∂a ⎞ ∂a ⎞ ⎛ ∂a ⎟⎟ cos α + ⎜ x − z ⎟ cos β + ⎜⎜ y − x ⎟⎟ cos γ . = ⎜⎜ z − ∂z ⎠ ∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂y ⎝ ∂x (При стягивании площадки δ точка M 0 ∈ δ стремится к точке M . При этом значение функции, представленной в квадратных скобках, в точке M 0 стремится к значению этой же функции в точке M в силу непрерывности частных производных и направляющих косинусов нормали). 26

Итак,

lim

L→M

∫ adL ⎛ ∂a L z δ

∂a y ⎞ ⎛ ∂a ∂a ⎞ ∂a ⎞ ⎛ ∂a ⎟⎟ cos α + ⎜ x − z ⎟ cos β + ⎜⎜ y − x ⎟⎟ cos γ . (1.49) = ⎜⎜ − ∂x ⎠ ∂z ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂y ⎝ ∂x

Полученный результат показывает, что плотность циркуляции в точке M зависит от заданного векторного поля a = a (M ) = a x i + a y j + a z k , поскольку в выражение (1.49) входят честные производные

∂a x ∂a y , ∂y ∂x

и т.д., и от векто-

ра нормали n к поверхности σ в точке M , поскольку в выражение входят его направляющие косинусы. Вместе с тем формула (1.49) показывает, что плотность циркуляции не зависит от поверхности, а только от вектора нормали к этой поверхности. Это значит, что если через точку M провести две различные поверхности σ1 и σ 2 , имеющие один и тот же вектор нормали n в этой точке, то плотность циркуляции в точке M по каждой из поверхностей будет одна и та же. Поэтому можно говорить не о плотности циркуляции по поверхности σ , а о плотности циркуляции в направлении вектора n . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11. Плотностью циркуляции векторного поля a в точке M в направлении вектора n называется плотность циркуляции в этой точке по любой поверхности, имеющей в качестве нормали (в точке M ) вектор n. Таким образом, плотность циркуляции поля a = a x i + a y j + a z k в точке

M в направлении вектора n равна

⎛ ∂a ⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ∂a ⎞ ∂a ⎞ ⎛ ∂a ⎟⎟ cos α + ⎜ x − z ⎟ cos β + ⎜⎜ y − x ⎟⎟ cos γ . ⎜⎜ − ∂x ⎠ ∂y ⎠ ∂z ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂x ⎝ ∂y

Это выражение представляет собой скалярное произведение двух векторов: орта n 0 = cos α i + cos β j + cos γk и вектора

⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ i + ⎜ ⎟⎟ k . − − − ⎟ j + ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ x y ∂ ∂ ∂ y z z x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Последний вектор называется ротором поля a (M ) и обозначается символом rot a . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Ротором (или вихрем) векторного поля a (M ) = a x i + a y j + a z k называется вектор

∂a y ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ⎛ ∂a ⎟⎟ k . ⎟⎟ i + ⎜ − − rot a = ⎜⎜ z − ⎟ j + ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z x x y y z ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

(1.50)

Ротор поля a удобно записывать в виде символического определителя

i ∂ rot a = ∂x ax в котором под умножением символа

j ∂ ∂y ay

k ∂ , ∂z az

(1.51)

∂ ∂ ∂ , или на некоторую функцию ∂x ∂y ∂z

понимается выполнение соответствующей операции дифференцирования

∂a ⎞ ⎛ ∂ ⎜⎜ ⋅ a y = y ⎟⎟ . Действительно, разложив определитель по элементам первой ∂x ⎠ ⎝ ∂x

строки, получим, что

i ∂ ∂x ax

j ∂ ∂y ay

k ∂ ⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ⎟⎟k . ⎟⎟i + ⎜ − = ⎜⎜ − − ⎟ j + ⎜⎜ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x az Плотность циркуляции в точке M в направлении n равна ∧ ⎛ ⎞ 0 0 rot a ⋅ n = rot a ⋅ n cos⎜⎜ rot a , n 0 ⎟⎟ = пр n 0 rot a = rot n 0 a , ⎝ ⎠ а это проекция ротора на направление n . Следовательно, плотность циркуляции в направлении n равна проекции ротора на это направление. Отсюда ясно, плотность циркуляции в точке M будет наибольшей в направлении ротора, и в этом случае равна rot a . Сделанное заключение раскрывает физический смысл ротора: это – вектор, в направлении которого плотность циркуляции в данной точке является наибольшей, модуль которого равен наибольшей плотности циркуляции в этой точке. Ротор имеет вполне определенное значение в каждой точке данного поля a ; Следовательно, сам ротор образует новое векторное поле. С помощью определения ротора формулу Стокса можно записать в векторной форме: (1.52) ∫∫ rot n adσ = ∫ adr . σ

Поток ротора поля через поверхность σ равен циркуляции вектора по границе этой поверхности. ПРИМЕР 1.6. Вычислить ротор поля скоростей точек твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω0 вокруг оси Oz . Как установлено было в приведенном выше примере, поле задается функцией a = −ω 0 yi − + ω0 xj . Следовательно, 28

i j k ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ (ω0 x ) ∂ (− ω 0 y ) ⎞ rot a = ⎟⎟k = (ω 0 + ω0 )k = 2ω 0 k = 2 ω0 . − = ⎜⎜ ∂y ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x − ωo y ω0 x 0 Итак, ротор поля скоростей твердого тела в любой его точке равен удвоенной угловой скорости rot a = 2 ω0 . 1.13. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13. Векторное поле a называется потенциальным, если существует такая функция u (M ) в области V , что для всех области

a (M ) = grad u (M ) .

Потенциальное поле называют также вихревым полем. Теорема об условии потенциальности. Для того, чтобы векторное поле a было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, то есть rot a = 0 . Доказательство. Необходимость. Пусть векторное поле a является потенциальным. Тогда существует такая скалярная функция u = u (x , y, z ) , что a = grad u , тогда

⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ rot a = rot (grad u ) = rot⎜⎜ i − j + k ⎟⎟ = ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ⎟⎟ k = 0 . ⎟⎟i − ⎜⎜ ⎟⎟ j + ⎜⎜ − − − = ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x z x z y z y z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Достаточность. Пусть rot a = 0 , тогда из (1.52) ∫ adr = 0 , то есть криL

волинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

∫ adr = ∫ a x dx + a y dy + a z dz = 0 ⇒ a x dx + a y dy + a z dz = du =

∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u dx − dy + dz ⇒ a x = , a y = , a z = , ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z а это значит, что a = grad u . =

1.14. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА Основные понятия теории поля: градиент скалярной функции, дивергенция вектора, вихрь вектора можно просто записать при помощи символического вектора – оператора ∇ (читается «набла»), предложенного математиком Гамильтоном. 29

∂ ∂ ∂ + j +k , (1.53) ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ; ∇y = ; ∇z = . где ∇ x = ∂x ∂y ∂z 1. «Произведение» вектора ∇ на скалярную функцию u = u (x , y, z ) есть grad u . ∇=i

∇u = i

∂u ∂u ∂u + j +k ∂z ∂x ∂y

∇ u = grad u .

(1.54) 2. Скалярное «произведение» вектора набла на вектор поля дает дивергенцию векторного поля a .

∂a x ∂a y ∂a z + + = div a . (1.55) ∂x ∂y ∂z 3. Векторное «произведение» оператора ∇ на вектор поля дает rot a . ∇a =

i ∂ ∇×a = ∂x ax

j ∂ ∂y ay

k ∂ ⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎟i + ⎜ − =⎜ − ⎟j+ ∂z ⎜⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂z az

∂a ⎞ ⎛ ∂a + ⎜⎜ z − x ⎟⎟k = rot a. ∂y ⎠ ⎝ ∂x Итак,

∇ × a = rot a.

(1.56)

1.15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

div(rot a ) = ∇ (∇ × a )

(1.57) Известно, что смешанное произведение трех векторов обладает свойством a b × c = b (c × a ) = c a × b ; кроме того, векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю. Следовательно, ∇ ∇ × a = a ∇ × ∇ = 0. (1.58) Аналогично 2. rot (grad u ) = ∇ ∇ ⋅ u = ∇ × ∇ u = 0 (1.59)

(

)

(

)

(

3. Определим div(grad u ) :

)

(

)

) (

)

⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u div(grad u ) = div⎜⎜ i + j + k ⎟⎟ = 2 + 2 + 2 . ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x

(1.60)

Запишем (1.60) через оператор Гамильтона:

div(grad u ) = ∇ (∇ ⋅ u ) = (∇ ⋅ ∇ )u = ∇ 2 u ;

тогда

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ u= 2 + 2 + 2. ∂x ∂y ∂z 2

(1.61)

В правой части (1.61) имеем оператор Лапласа от функции u , который обозначается

∂2 ∂2 ∂2 Δ= 2 + 2 + 2; ∂x ∂y ∂z тогда

div(grad u ) = Δu .

(1.62)

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 8 «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ»

2. Методические указания для студентов

2.1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Пусть D − некоторая область в пространстве двух или трех измерений и P любая точка этой области. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Область l называется скалярным полем, если в каждой точке Р ∈ D определена некоторая скалярная величина U( Р) . Если поле отнесено к декартовой системе координат, то скалярное поле аналитически задается функцией двух переменных в R 2 : U = U(x, y ) (2.1) и функцией трех переменных в R 3 : U = U(x, y , z ) (2.2) Простейшими геометрическими характеристиками скалярного поля являются линии и поверхности уровня. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Линиями уровня называются линии (множество точек) в R 2 , в точках которых скалярное поле имеет постоянное значение: U = U(x, y ) = C (2.3) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Поверхностями уровня называются поверхности (множество точек) в R 3 , в точках которых скалярное поле имеет постоянное значение: U = U(x, y , z ) = C (2.4) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Производной скалярного поля U = U( P) в точке P0 по направлению l , выходящем из точки P0 , называется следующий предел:

U(P ) − U(P0 ) ∂U = lim , ρ ∂l ρ → 0

(2.5) где ρ = P0 P (рис. 2.1) Производная по направлению

α 0

характеризует скорость изменения скалярного поля в направлении l . Если cos α ,cos β,cos γ − направ-

y Рис.2.1

∂U ∂l

ляющие косинусы P0 P (направления l ), то производная поля U = U(x, y , z ) по направлению l вычисляется по формуле:

∂U ∂U ∂U ∂U = cos α + cos β + cos γ ∂l P0 ∂x P0 ∂y P0 ∂z P0 33

(2.6)

Примеры решения задач

y . Найти линии уровня x этого поля. Найти линию уровня, проходящую через т. P0 (1,1) . ПРИМЕР 2.1. Дано скалярное поле U = arctg

Решение. Согласно определению линии уровня (2.3) имеем уравнения линий уровня arctg

y y = C , откуда = tgC = k и окончательно y = kx . x x

Т.е. линиями уровня в данном скалярном поле будет пучок прямых, проходящих через начало координат.

π π и k 0 = tgC 0 = tg = 1. И 4 4 линия уровня, соответствующая данной точке, y = x . Для точки P0 (1,1) имеем C 0 = arctg1 =

ПРИМЕР

2.2. Найти поверхности уровня скалярного поля U = z − x − y и выделить поверхность с точкой P0 ( 0,0,0) . Решение. Уравнения поверхностей уровня в этом поле получим из (2.4): z − x 2 − y 2 = C . Эти уравнения определяют множество параболоидов вращения относительно оси z , вершины которых находятся на оси z , полученных друг из друга параллельным переносом вдоль оси z . Для точки ( 0,0,0) имеем 2

C 0 = 0 . Таким образом, этой точке соответствует параболоид с вершиной в

начале координат. ПРИМЕР 2.3. Найти производные от следующих полей в заданных точках по заданному направлению:

x 2 y3 в точке P0 (1,4,3) по направлению P0 P1 , где P1 (1,0,0) . а) U = z 1 2 1 2 б) U = x − y + z в точке P0 ( 2 ,1,1) по направлению прямой 2 2 x− 2 y−1 z−1 в сторону возрастания поля. = = 1 0 2 Решение. а) Направление задано вектором P0 P1 = {0,−4,−3} , для кото−3 −4 рого направляющие косинусы равны: cos α = 0;cos β = ;cos γ = . 5 5 ∂U 2 xy 3 ∂U 3x 2 y 2 ∂U x2 y3 = ; = ; = − 2 и в точке Далее: ∂x ∂y ∂z z z z

∂U 1 ⋅ 2 ⋅ 4 3 128 ∂U ∂U 64 =− . P0 (1,4 ,3) имеем = = ; = 16; ∂x P0 ∂z P0 9 3 3 ∂y P0 Подставляя полученные величины в (2.6), получим

( − 4) ⎛ 64 ⎞ (− 3) − 128 ∂U 128 = ⋅ 0 + 16 ⋅ + ⎜− ⎟ ⋅ = . ⎝ 9⎠ 5 ∂l P0 3 5 15 Итак, производная данного поля по направлению P0 P1 в точке P0 равна 128 − . 15 б) Направляющий вектор прямой l = {1,0,2} , его направляющие косину2 1 ; cos β = 0; cos γ = . сы: cos α = 5 5 ∂U ∂U ∂U Далее = x, = − y, = 1 и в точке P0 ( 2 ,1,1) имеем ∂x ∂y ∂z ∂U ∂U ∂U = 2; = −1; = 1. Подставляя полученные величины в ∂x P0 ∂y P0 ∂z P0 ∂U 1 2 4 (1.6), получим = 2⋅ − 1⋅ 0 + 1⋅ = . P ∂l 0 5 5 5 2.2. ГРАДИЕНТ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Градиентом скалярного поля U = U( x , y , z) называется вектор вида:

gradU =

∂U ∂U ∂U i+ j+ k. ∂x ∂y ∂z

(2.7)

Этот вектор связан с производной по направлению так:

∂U = gradU ⋅ e 0 , ∂l

(2.8)

где e 0 − единичный вектор направления l :

e 0 = i cos α + j cosβ + k cos γ .

∂U = gradU ⋅ cos ϕ , где ϕ − ∂l угол между вектором gradU и лучом l (см. рис. ∂U имеет наибольшее 2.2). Отсюда при ϕ = 0 ∂l Из (2.8)

grad U ϕ

P l

значение

P0 0

по

направлению

градиента:

∂U = gradU . ∂l max

Таким образом, направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания x функции и наибольшая скорость возрастания Рис. 2.2 равна модулю градиента. Известно, что в каждой точке поля градиент направлен по нормали к поверхности уровня поля. Примеры решения задач ПРИМЕР 2.4. Найти градиент скалярного поля U = xyz в данной точке

P0 (1,1,1) . Определить наибольшую скорость возрастания поля в этой точке. Решение.

gradU =

gradU

По формуле (1.7) определяем градиент скалярного поля:

∂U ∂U ∂U i+ j+ k = zyi + xz j + xy k . ∂x ∂y ∂z

данной

точке

получим

= i + j + k . Направление наибыстрейшего возрастания скалярного

поля в точке P0 определяется направлением градиента и наибольшая скорость возрастания поля равна модулю градиента, т.е.

Vmax = gradU

|= 1 + 1 + 1 = 3 .

ПРИМЕР 2.5. Найти направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля U = arctg

P0 (1,3) .

y и наибольшую скорость возрастания этого поля в точке x

Решение. Направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля определяет gradU , вычисленный в данной точке. Таким образом, по формуле (2.7) получим gradU =

1 1 ⎛ y⎞ − i j , откуда + ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2⎠ 2 x x y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1+ ⎜ ⎟ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 1

−3 1 − 3i + j i+ j= . P0 10 10 10 −3 1 cos α = ; cos β = . 10 10 gradU

Направляющие косинусы этого вектора:

Наибольшая скорость возрастания поля равна модулю градиента поля в этой точке, т.е. υ max = gradU

9+1 10 = . 100 10

ПРИМЕР 2.6. Найти единичный вектор нормали к поверхности x + y 2 − z 2 = 1 в точке P0 (1,1,1) . 2

Решение. Рассмотрим скалярное поле U = x + y − z − 1 , в котором данная поверхность будет поверхностью уровня U = C при C = 0 . Известно, что gradU направлен по нормали к поверхности уровня в скалярном поле, т.е. является нормальным вектором к поверхности уровня: n = gradU = 2 xi + 2 y j − 2 zk .

gradU 2i + 2 j − 2 k i + j − k = = . P0 gradU P0 4+4+4 3 1 ⎫ ⎧ 1 1 То есть n 0 = ⎨ ; ;− ⎬ . 3⎭ ⎩ 3 3 Отсюда n 0

2.3. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Поле, в каждой точке которого задан вектор, называется векторным или силовым полем . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Векторной или силовой линией векторного поля называется линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением векторного поля в точке касания. Параметрическое дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме имеет вид dr = λ adt , (2.9) где r = r( t) − уравнение векторной линии,

{

}

a = a x ; a y ; a z − вектор поля, направленный по касательной к линии r ( t ) ,

(

dr − вектор, направленный по касательной, коллинеарный вектору a . dt dr = {dx; dy; dz} .

)

Спроектировав вектор dr на координатные оси и исключив из полученной системы λ dt , получим систему дифференциальных уравнений векторных линий:

dx dy dz = = ax ay az

(2.10)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Потоком векторного поля a через поверхность σ называется поверхностный интеграл вида ∫∫ a dσ = ∫∫ a ⋅ ndσ . σ

Если векторное поле a есть поле скоростей текущей жидкости, то поток поля a через поверхность σ определяет количество жидкости, протекающей через σ в единицу времени. Если a означает вектор магнитного поля, то поток вектора выражает количество магнитных силовых линий, проходящих через σ и так далее. ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОТОКА 1. Π = ∫∫ ad σ = ∫∫ a n dσ , σ

(2.11)

где a − вектор поля, dσ − вектор, направленный по нормали к поверхности в каждой точке и численно равный элементу площади σ , a n − проекция вектора a на направление нормали к поверхности.

(

)

2. Π = ∫∫ a n dσ = ∫∫ a x cos α + a y cos β + a z cos γ dσ , σ

(2.12)

где n − нормальный единичный вектор к поверхности:

( n = {cos α; cosβ; cos γ }) .

3. Π = ∫∫ a x dydz + a y dxdz + a z dxdy

(2.13)

4.Если уравнение поверхности разрешено относительно третьей координаты z = f ( x; y) , то получается удобная формула:

⎛ ∂z ⎞ ∂z Π = ∫∫ ⎜⎜ − a x − a y + a z ⎟⎟dxdy ∂y σ ⎝ ∂x ⎠

(2.14)

ПРИМЕР 2.7. Определить векторные линии магнитного поля, образованного постоянным электрическим током с силой J , текущим по бесконечному длинному прямолинейному проводу. Решение. Если принять провод за ось OZ , то вектор H напряженности искомого магнитного поля выражается формулой

2J − yi + x j . r2 2 Jy 2 Jx В данном случае a x = − 2 , a y = 2 , a z = 0 . Составим систему r r dx dy dz 2J = = . Сокращая на общий множитель , получим 2 2 Jy 2 Jx 0 r − 2 2 r r dx dy dz dx dy = = . Полученная система распадается на два уравнения: = −y x 0 −y x и dz = 0 . H=

z H

(

)

уравнения dz = 0 получаем z = const . Интегрируя уравнение Из

dx dy = , −y x

H H

получим

x2 y2 + = c1 ⇒ ∫ xdx = − ∫ ydy ⇒ 2 2 ⇒ x 2 + y 2 = 2c 1

Следовательно, векторные линии напряженности магнитного поля опредеРис. 2.3 x 2 + y 2 = 2c 1 и ляются уравнениями z = c ; эти линии являются окружностями с центром на оси OZ , лежащими в плоскостях, перпендикулярных этой оси (рис.2.3). ПРИМЕР 2.8. Найти поток радиуса - вектора a = r точки через внешнюю сторону замкнутой поверхности прямого кругового цилиндра, если начало координат лежит в центре нижнего основания цилиндра. Размеры цилиндра: R − радиус основания цилиндра. H − его высота. Решение. Для вычисления потока воспользуемся формулой (2.11)

Π = ∫∫ a n dσ σ

В данном случае поверхность σ состоит из боковой поверхности σ 1 , верхнего основания σ 2 и нижнего основания σ 3 . Тогда поток через поверхность σ будет равен сумме трех потоков через поверхности σ 1 , σ 2 , σ 3 (рис. 2.4).

Π = ∫∫ a n dσ = ∫∫ a n dσ + ∫∫ a n dσ + ∫∫ a n dσ σ

σ1

σ2

σ3

Вычислим поток через боковую поверхность цилиндра, то есть через σ 1 . 39

На боковой поверхности внешняя нормаль параллельна плоскости XOY и проекция на нее радиуса вектора rn = R . Поэтому

z n

Π 1 = ∫∫ rn dσ = R ∫∫ dσ = R ⋅ 2πRH = 2πR 2 H σ1

σ1

( 2πRH − площадь боковой поверхности цилиндра). Поток через верхнее основание σ 2 равен

Π 2 = ∫∫ rn dσ = H ∫∫ dσ = HπR 2

σ2

y n

σ2

(так как на верхнем основании нормаль направлена параллельно оси OZ вверх и rn = H ). На нижнем основании радиус-вектор перпендикулярен нормали и его проекция на n равна 0. Значит Π 3 = ∫∫ rn dσ = 0 . Окончательно поσ3

Рис. 2.4

лучим

Π = Π 1 + Π 2 + Π 3 = 3πR 2 ⋅ H . ПРИМЕР 2.9. Вычислить поток векторного поля F = ( x + y)i + 2( y + z) j + ( 2 x + z)k через треугольник σ , вырезанный из

плоскости 3x − 2 y + 2 z − 6 = 0 (α ) координатными плоскостями в том направлении нормали к данной плоскости, которое образует с осью OY острый угол. Решение. Построим треугольник σ , для чего приведем уравнение плоскости α к уравнению в отрезках

x y z + + = 1. Откладывая отрезки, отсе2 −3 3

каемые плоскостью на осях координат и соединяя полученные точки, получим треугольник σ (рис .2.5).

Известно, что Π = ∫∫ F ⋅ ndσ . Определим n − σ

−3

2 x

единичный вектор, направленный по нормали к плоскости α и образующий с осью OY острый угол.

Рис. 2.5

∂U ∂U ∂U i+ j+ k= ∂x ∂y ∂z U = 3x − 2 y + 2z − 6 ∂U ∂U = = ∂U = 3; = −2; =2 ∂x ∂y ∂z N = gradU =

= 3i − 2 j + 2k (вектор, перпендикулярный плоскости α ) 40

n1 =

gradU 3 2 2 = i− j+ k. gradU 17 17 17

Вектор n 1 образует с осью OY тупой угол, а по условию угол должен быть острый, то есть проекция вектора на ось OY должна быть положительна, поэтому n = − n 1

n=−

3 2 2 i+ j− k. 17 17 17

1 ∫∫ (− 3(x + y ) + 4(y + z ) − 2(2x + z ))dσ = 17 σ σ 3 z = 3− x + y 2 1 = = ∫∫ (− 7 x + y + 2z )dσ = dxdy 17 17 σ = dσ = dxdy 2 cos nz Тогда

Π = ∫∫ F ⋅ ndσ =

( )

17 ∫∫ (− 7 x + y + 6 − 3x + 2 y )dxdy = 2 ⋅ 17 D 1 3 ⎛ ⎞ = ∫∫ (− 10x + 3y + 6 )dxdy = ∫∫ ⎜ − 5x + y + 3 ⎟dxdy = 2D 2 ⎠ D⎝ 2 0 y 3 ⎞ ⎛ = ∫ dx ∫ ⎜ − 5x + y + 3 ⎟dy = 2 ⎠ 0 3 2 x −3 ⎝ 2 2 ⎞ ⎛ 0 3 y2 ⎟ ⎜ dx 5 xy 3 y = − + + x ∫ ⎜ ⎟ 3 2x −3 = 2 2 0 ⎠ ⎝ =

−3

2 ⎛ ⎛3 ⎛3 ⎞⎞ ⎞ ⎞ 3⎛3 = ∫ ⎜ 5x⎜ x − 3⎟ − ⎜ x − 3⎟ − 3⎜ x − 3⎟ ⎟ dx = ⎝2 ⎠⎠ ⎠ ⎝2 ⎠ 4⎝2 0⎝ 2

3⎛9 ⎛ 15 ⎞ ⎞ 9 = ∫ ⎜ x 2 − 15x − ⎜ x 2 − 9 x + 9 ⎟ − x + 9 ⎟dx = 4⎝4 ⎠ 2 ⎠ 0⎝ 2 2 2⎛ ⎞ 15x 27 27 27 9 = ∫ ⎜⎜ − 15x − x 2 + − x + 9 ⎟⎟dx = x− 16 4 4 2 0⎝ 2 ⎠ 2

⎞2 9⎞ 3 ⎛ 31 x 3 x2 ⎛ 93 2 51 = ∫ ⎜ x − x + ⎟dx = ⎜⎜ − 17 + 3x ⎟⎟ = 4 4⎠ 4⎝ 4 3 2 0 ⎝ 16 ⎠0 3 ⎛ 31 ⋅ 8 ⎞ = ⎜ − 17 ⋅ 2 + 6 ⎟ = −5,5 . 4⎝ 4⋅3 ⎠ 2

Если речь идет о потоке жидкости, то знак “минус” указывает на то, что за единицу времени в выбранном направлении через поверхность протекает меньшее количество жидкости, чем в противоположном. 41

2.4. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ЗАМКНУТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ. ФОРМУЛА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Предел отношения потока поля через замкнутую поверхность σ к объему области, ограниченной этой замкнутой поверхностью, при условии, что поверхность безгранично стягивается к данной точке, называется дивергенцией вектора a в данной точке M .

div a

= lim

∫∫ adσ σ

(2.15)

M V →M V Дан вектор a = {a x ; a y ; a z }, то div a вычисляется по следующей формуле: ∂a y ∂a z ∂a + div a = x + (3.16) ∂x ∂y ∂z

Теорема Гаусса-Остроградского. Поток вектора a через замкнутую поверхность σ равен тройному интегралу от div a , взятому по объему V , ограниченному поверхностью σ . Π = ∫∫ a x dydz + a y dxdz + a z dxdy = ∫∫∫ div a dxdydz (2.17) σ

( )

ПРИМЕР 2.10. Найти div Ua , если U − скалярная функция перемен-

{

}

ных ( x , y , z) , а a = a x ; a y ; a z − вектор векторного поля. Решение

(

)

∂( Ua x ) ∂ Ua y ∂( Ua z ) + + = ∂x ∂y ∂z ∂a y ∂a ∂a ∂U ∂U ∂U = U x + ax +U + ay + U z + az = ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂a y ∂a z ⎞ ⎛ ∂U ⎛ ∂a ∂U ∂U ⎞ = U⎜ x + + + ay + az ⎟ + ⎜ax ⎟ = Udiv a + a ⋅ gradU ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x

(

)

(

)

div U ⋅ a = div Ua x i + Ua y j + Ua z k =

ПРИМЕР 2.11. Найти дивергенцию поля линейных скоростей вращающейся вокруг оси жидкости и дивергенцию вектора напряжения магнитного поля, образованного электрическим током, текущим по бесконечному прямолинейному проводу.

Решение. Если принять за ось OZ ось вращения жидкости или, соответственно, провод, по которому течет ток, то проекции вектора линейной скорости и вектора напряженности магнитного поля H выразятся формулами

(

)

U = ω − yi + x j − вектор линейной скорости, 2J − yi + x j − вектор напряженности, r2 где ω − модуль вектора ω , представляющего угловую скорость, лежащего на оси OZ (оси вращения) и направленного вверх; J − сила электрического тока, текущего по бесконечному проводу, совпадающему с осью OZ ; r − расстоя-

(

)

ние от точки до провода. Рассмотрим первый случай: Vx = −ωy , Vy = xω , Vz = 0

div V = −ω

∂y ∂x +ω = 0. ∂x ∂y

y x , H = 2 J , H z = 0. y r2 r2 2 xy 2 xy ∂ ⎛ x⎞ − 2 =0 + 2J ⎜ 2 ⎟ = 2J 2 J ∂y ⎝ r ⎠ x + y2 x2 + y2

Рассмотрим второй случай: H x = −2 J

divH = −2J

∂ ⎛ y⎞ ⎜ ⎟ ∂x ⎝ r 2 ⎠

)

= x2 + y2 .

Дивергенция обоих полей равна нулю, отсюда следует, что эти поля соленоидальны. 3 3 3 через сферу ПРИМЕР 2.12. Найти поток вектора a = x i + y j + z k

x 2 + y 2 + z2 = x . Решение. Так как поверхность замкнутая, то для вычисления потока можно воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского, а именно

Π = ∫∫∫ div a dV V

Найдем дивергенцию вектора a

∂ 3 ∂ 3 ∂ 3 x + y + z = 3x 2 + 3y 2 + 3z 2 = ∂x ∂y ∂z = 3 x 2 + y 2 + z2 ,

( )

div a =

(

( )

)

тогда

(

)

Π = 3∫∫∫ x + y + z dxdydz = V

x 2 + y2 + z2 = x

= 3∫∫∫ x dxdydz V

(*)

При вычислении интеграла (*) перейдем к сферическим координатам. Проекцией сферы 2

1⎞ 1 ⎛ 2 2 на плоскость XOY является ⎜x − ⎟ + y + z = ⎝ ⎠ 2 4 0 2 1⎞ 1 ⎛ ⎛1 ⎞ 2 круг ⎜ x − ⎟ + y = с центром в точке O⎜ ;0⎟ и ⎝ ⎝2 ⎠ 2⎠ 4 1 радиусом R = . 2 Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид ρ = cos ϕ . Тогда интеграл (*) примет вид

x = ρ sin θ cos ϕ dxdydz = ρ 2 ⋅ sin θdρdϕdθ 0 ≤ ρ ≤ cos ϕ Π = 3∫∫∫ x dxdydz = = π π ≤ϕ≤ V 2 2 π 0≤θ≤ 2 π 2

cos ϕ

−π 2

π 2

= 3∫∫∫ ρ sin θ cos ϕ ⋅ ρ sin θdρdϕdθ = 3 ∫ cos ϕdϕ ∫ ρ dρ ∫ sin 2 θdθ = 2

π 2 π ρ 4 cos ϕ ⎛ 1 − cos 2θ ⎞ = 3 ∫ cos ϕdϕ ∫ ρ dρ ∫ ⎜ = ⎟ dθ = 3 ∫ cos ϕdϕ ⎝ ⎠ 0 2 4 4 −π 2 0 0 −π 2 π 2

cos ϕ

π 2

2 3 π2 5 3 π2 = π ∫ cos ϕdϕ = π ∫ 1 − sin 2 ϕ d(sin ϕ ) = 8 0 8 0

(

)

3 ⎛ 2 sin 3 ϕ sin 5 ϕ ⎞ π 2 3 ⎛ 2 1 ⎞ 3 8 π ⎟ = π⎜⎜ sin ϕ − + = π⎜1 − + ⎟ = π ⋅ = . 8 ⎝ 3 5 ⎟⎠ 0 8 ⎝ 3 5 ⎠ 8 15 5 Ответ: Π =

π . 5

Замечание. По формуле Гаусса-Остроградского можно вычислять поток и через незамкнутую поверхность как разность потоков через замкнутую поверхность и через недостающую поверхность. 3 3 3 ПРИМЕР 2.13. Найти поток вектора F = x i + y j + z k через боковую поверхность конуса

R2 2 x + y ≤ 2 z , 0 ≤ z ≤ h. h 2

z h

Решение. Пусть Π 1 − поток через замкнутую поверхность; Π 2 − поток через боковую поверхность; Π 3 − поток через основание конуса. Тогда Π 2 = Π 1 − Π 3 . Вычислим Π 1 поток через полную поверхность конуса по формуле ГауссаОстроградского:

F = x 3 i + y3 j + z3 k Π 1 = ∫∫∫ div F dV = = div F = 3x 2 + 3y 2 + 3z 2 = 3 x 2 + y 2 + z 2 V

(

)

= 3∫∫∫ x + y + z dxdydz = 3∫∫ dxdy V

∫

h 2 2 x +y R

)

(( x

h ⎛ 2 z3 ⎞ 2 h = 3∫∫ dxdy⎜ x + y z + ⎟ 2 2 = + x y 3 ⎝ ⎠ D R 3 ⎛ 2 h h3 2 2 2 32 h = 3∫∫ ⎜ x + y h + − x +y ⋅ − x2 + y2 3 3 R 3R D⎝

(

)

(

)

(

)

⎛h h3 ⎞ ⎟ ⋅ 3∫∫ x 2 + y 2 = 3h ∫∫ x + y dxdy − ⎜⎜ + 3 ⎟ D ⎝ R 3R ⎠ D

(

)

+ y 2 + z 2 dz =

)

(

)

⎞ ⎟ dxdy = ⎠

h3 dxdy +3 ∫∫ dxdy = 3 D

|Область D есть круг с центром в начале координат и радиусом R , при вычислении интегралов перейдем к полярным координатам, тогда

⎛h h3 ⎞ = 3h ∫∫ ρ dρdϕ − 3⎜ + ρ 4 dρdϕ + h 3 ∫∫ ρdρdϕ = 3 ⎟ ∫∫ ⎝ R 3R ⎠ D D R R 2π 2π ⎛h h 3 ⎞ 2π R 4 3 3 = 3h ∫ dϕ ∫ ρ dρ − 3⎜ + ⎟ ∫ dϕ ∫ ρ dρ + h ∫ dϕ ∫ ρdρ = ⎝ R 3R 3 ⎠ 0 0 0 0 0 0 3

2 ⎛h ρ4 R h 3 ⎞ ρ5 R 3ρ R = 6πh − 6π⎜ + + 2πh = ⎟ 4 0 2 0 ⎝ R 3R 3 ⎠ 5 0

3πhR 4 6πhR 4 2 3 2 3 3 = − − πh R + πh 3 R 2 = πhR 4 + πh 3 R 2 . 2 5 5 10 5

Вычислим Π 3 поток через верхнее основание. Так как уравнение поверхности z = h , воспользуемся для вычисления потока формулой 45

z=h a z = z3 ⎞ ⎛ ∂z ∂z ∂z =0 = Π 3 = ∫∫ ⎜⎜ − a x − a y + a z ⎟⎟dxdy = ∂ x ∂y σ ⎝ ∂x ⎠ ∂z h =0 z= x 2 + y2 ∂y R x = ρ cos ϕ 0≤ρ≤R 3 3 2 h = ∫∫ z 3 dxdy = ∫∫ 3 x 2 + y 2 dx dy = y = ρ sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π = σ D R dxdy = ρdρdϕ

(

)

h 3 2π R 4 2πh 3 ρ 5 R 2πh 3 R 2 = 3 ∫ d ϕ ∫ ρ dρ = ⋅ = . 5 R 0 0 R3 5 0 Тогда

(

)

3 3 3 2 2 πh 3 R 3 1 4 Π 2 = Π 1 − Π 3 = πhR + πh R − = πhR 2 3R 2 + 2h 2 . 10 5 5 5 10 1 πhR 2 3R 2 + 2h 2 . Ответ: Π 2 = 10

(

)

2.5. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. РОТОР ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Циркуляцией векторного поля a( P) называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру L : Ц = ∫ a ⋅ d r = ∫ a x dx + a y dy + a z dz (2.17) L

Направление обхода контура задается заранее, причем положительным считается обход против часовой стрелки, а отрицательным - по часовой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8. Плотностью циркуляции векторного поля a( P) в точке P относительно выбранного направления n называется предел

n P

Рис 2.6

отношения циркуляции к площади (охватываемой контуром L ), когда контур L стягивается в точку P , оставаясь в плоскости контура L (рис. 2.6)

1 ∫ a ⋅ dr L→P δ L

ρ = lim L

(2.18)

Эта величина характеризует вращательную способность векторного поля a( P) вокруг направления n , или его завихренность. 46

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Ротором векторного поля a( P) называется вектор rot a , который определяется равенством

∂a y ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ⎛ ∂a ⎜ ⎟ ⎟i + ⎜ rot a = ⎜⎜ z − ⎟ ⎝ ∂z − ∂x ⎟⎠ j + ⎜ ∂x − ∂y ⎟k ∂ ∂ y z ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

(2.19)

Поскольку n = cos α i + cos β j + cos γ k , то формулу плотности циркуляции (2.18) можно записать так: ρ ц (P ) = rot a ⋅ n = Пр rot a(P ) (2.20) n

Таким образом, проекция rot a на единичный вектор n есть плотность циркуляции поля a( P) . И из (2.20) вытекает, что модуль ротора rot a( P) есть наибольшее зна-

чение плотности циркуляции в точке P , а направление ротора есть направление, вокруг которого циркуляция максимальна. max ρ Ц (P ) = rot a (P ) (2.21) Известна формула Стокса, которая в векторной форме приобретает следующий вид: (2.22) ∫ a ⋅ d r = ∫∫ rot a ⋅ n dσ , L

(

)

т.е. циркуляция векторного поля a( P) по замкнутому кругу L равна потоку его ротора через любую кусочно-гладкую поверхность σ , натянутую на этот контур (рис. 2.6). 2 2 ПРИМЕР 2.14. Найти циркуляцию векторного поля a = − y i + x j + k вдоль замкнутого контура L , образованного пересечением сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 с координатными плоскостями (рис. 2.8) Решение. Контур L − кусочно-гладкий, состоит из трех дуг окружностей L1 : z = 0, x 2 + y 2 = R 2 ; L 2 : x = 0, y 2 + z 2 = R 2 и

L 3 : y = 0, x 2 + z 2 = R 2 , поэтому m = ∫ a d r = ∫ a d r + ∫ a d r + ∫ a d r = J1 + J 2 + J 3 L

Вычислим криволинейные интегралы J 1 , J 2 , J 3 :

z=0

dx = − R sin t dt dy = Rcost dt π = J 1 = ∫ a ⋅ dr = ≤ ≤ x = Rcost y = Rsint 0 t L1 2

z σ

x Рис. 2.7

Рис. 2.8 π2

(

)

= ∫ − y dx + x dy + dz = ∫ R 3 sin 3 t + R 3 cos3 t dt = 2

(

)

J 2 = ∫ a ⋅ dr = ∫ − y dx + x dy + dz = L2

(

)

J 3 = ∫ a ⋅ d r = ∫ − y dx + x dy + dz =

x = 0; dx = 0 0≤ z≤ R y = 0; dy = 0 z1 ≤ z ≤ z 2

z1 = R , z 2 = 0 4 4 следовательно, ∫ a ⋅ d r = R 3 + R − R = R 3 . 3 3 L L3

4 3 R 3 R

= ∫ dz = R 0

= ∫ dz = −R , R

ПРИМЕР 2.15. Найти ротор векторного поля, заданного в задаче 1 в точке P0 (1,1,1) .

∂a y ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ ⎛ ∂a ⎟i + ⎜ ⎜ ⎟ rot a = ⎜⎜ z − ⎟ ⎝ ∂z − ∂x ⎟⎠ j + ⎜ ∂x − ∂y ⎟k = ∂ ∂ y z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Решение.

i ∂ = ∂x ax

j ∂ ∂y ay

k i ∂ ∂ = ∂z ∂x az − y2

Отсюда: rot a

j ∂ ∂y x2

k ∂ = ( 2 x + 2 y) k . ∂z 1

= ( 2 + 2) k = 4 k .

ПРИМЕР 2.16. Найти циркуляцию векторного поля задачи 1 с помощью формулы Стокса в векторной форме. Решение. По формуле (2.22) имеем: Ц = ∫ a ⋅ d r = ∫∫ rot a ⋅ ndσ = rot a = 2(x + y )k , u = x 2 + y 2 + z 2 − R 2 C

gradU xi + y j + zk 2 xi + 2 y j + 2 zk = , где в качестве по= 2 2 2 gradU R 4 x +y +z верхности σ , натянутой на контур L , выбираем часть сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , ограниченную контуром L , см. рис. 2.8. Найдем 2( x + y)z 2 rot a ⋅ n = = ∫∫ ( x + y)zdσ = R σ R n=

(

)

(

)

Ур. пов − ти σ : z = R 2 − x 2 + y 2 z ′x = =

− 2x

(

2 R 2 − x 2 + y2

)

; z ′y =

− 2y

(

2 R 2 − x 2 + y2

dσ = 1 + (z ′x ) + (z ′y ) dx dy = 1 + 2

(

R − x +y

x 2 + y2

R dx dy 2

)

(

R 2 − x 2 + y2

(

)

dx dy =

)

R dx xy 2 2 2 2 ∫∫ (x + y ) R − x + y ⋅ RD R 2 − x 2 + y2

(

)

x = ρ cos ϕ = 2 ∫∫ (x + y ) dx dy = y = ρ sin ϕ = 2 ∫∫ ρ 2 (cos ϕ + sin ϕ) dϕ dρ = D D dx dy = ρ dϕ dρ π2

2R3 (sin ϕ − cos ϕ) = 3 0 Итак, Ц =

2R3 4 = ⋅ 2 = R3 3 3

4 3 R . 3 z

(

1 Рис. 2.9

ПРИМЕР 2.17. Вычислить циркуляцию векторного поля a = y i + z j + x k вдоль контура, полученного в сечении поверхности парабоплоскостью лоида z = 2 1 − x 2 − y 2 z = 0 двумя способами: по определению циркуляции и по формуле Стокса, взяв за поверхность, натянутую на контур, поверхность параболоида. Решение. 1. По формуле циркуляции (2.22):

)

Ц : ∫ a ⋅ d r = ∫ a x dx + a y dy + a z dz = C

= ∫ y dx + z dy + x dz = C

Уравнение контура L

в параметрической ⎧x = cos t; ⎪ ⎨ y = sin t; 0 ≤ t ≤ 2π; ⎪z = 0; ⎩

(

2π

форме : dx = − sin t dt

dy = cos t dt; = dz = 0 2π

)

1 2π 1 ⎛ sin 2 t ⎞ 2π = ∫ − sin t dt = − ∫ (1 − cos 2 t ) dt = − ⎜ t − = −π . ⎟ =− 2 0 2⎝ t ⎠0 2 0 Таким образом, Ц = − π . 2. По формуле Стокса Ц = ∫ a d r = ∫∫ rot a ⋅ n dσ = 2

i ∂ rot a = ∂x y n= n=

= − ∫∫ σ

= − ∫∫

j ∂ ∂y z

(

)

k ∂ = 0 ⋅ i − j − k = {0,−1,−1}; ∂z x

(

)

grad U , где U = z − 2 1 − x 2 − y 2 , и grad U 4 x i + 4 y j + 1k

(

1 + 42 x 2 + y2

(− 4 y − 1)

− 4 y −1

(

1 + 42 x 2 + y2

)

Вычисляем поверхностный интеграл по

dσ (− 4 y − 1)

(

)

; rot a =

)

(

)

∂z = −4 y; dσ = 1 + 4 2 x 2 + y 2 dx dy ∂y

(

)

1 + 4 2 x 2 + y 2 dx dy 2

)

= ∫∫ (− 4 y − 1) dx dy =

D 1+ 4 x + y y = sin ϕ ⎧0 ≤ ϕ ≤ 2π; = D⎨ = ∫∫ (− 4 sin ϕ − 1) ρ dϕ dρ = ≤ ρ ≤ = ρ ϕ ρ 0 1 ; dx dy d d D ⎩ D

)

= площади поверхности σ : z = 2 1 − x 2 − y 2 ,

∂z = −4 x ∂x

2π

1 2π = ∫ dϕ ∫ (− 4 sin ϕ − 1) ρ dρ = ∫ (− 4 sin ϕ − 1) dϕ = 2 0 0 0 1

2π

2π 1 = (− 4 cos t − ϕ) = − = −π . 2 2 0 Итак, Ц = − π .

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 8 «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. 2. Определение и формула вычисления производной по направлению. 3. Градиент. Определение, формула вычисления, свойства. 4. Векторное поле. Векторные линии и трубки. 5. Поверхностный интеграл второго рода. 6. Поток векторного поля. 7. Дивергенция. Определение, формула вычисления, свойства. 8. Формула Остроградского – Гаусса. 9. Формула Стокса. 10. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля. 11. Плотность циркуляции векторного поля. Ротор. 12. Потенциальное поле. 13. Оператор Гамильтона. 14. Дифференциальные операции второго порядка.

3.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 3.2.1. Найти линии уровня скалярного поля U = f ( x , y) и выделить

линию уровня для точки P0 (x 0 , y 0 ) а) U = x 2 − y 2 − 1; P0 (1,0 ) б) U = x − 2 y ; P0 ( 2 ,1) 2

в) U = x + y ; P0 ( 3;4) 2

Ответ: а) Семейство равнобочных гипербол x − y = c + 1 при c > −1 2

и сопряженных гипербол при c < −1; гипербола x − y = 1 . 2

б) Семейство парабол x − 2 y = c ; парабола x = 2 y . в) Семейство концентрических окружностей с центром в начале координат с 2 2 2 радиусами r = c при c > 0 ; окружность x + y = 5 . 3.2.2. Найти поверхность уровня следующих определить поверхность с точкой P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )

скалярных

полей,

y z + ; P0 (1,0,0) 2 3 б) U = x 2 + y 2 − 2 z 2 ; P0 (1,1,1)

a) U = x +

в) U = x 2 + y 2 + z 2 ; P0 (1,1,1) .

Ответ:а) Множество плоскостей x +

y z y z + = c ; плоскость x + + = 1. 2 3 2 3 2

б) Множество однополостных гиперболоидов x + y − 2 z = c , при c > 0; множество двуполостных гиперболоидов при c < 0 , коническая 2 2 2 поверхность x + y = 2 z , соответствующая c 0 = 0 для точки P0 (1,1,1) . в) Множество сфер x 2 + y 2 + z 2 = c при c > 0 ; мнимых сфер при c < 0 ; сфера x 2 + y 2 + z 2 = 3 . 3.2.3. Найти gradU следующих скалярных полей в данных точках:

(

а) U = ln x + y

) в т . P (0,1) 0

б) U = yx + xy − z y в т . P0 (1,2 ,1) . 2

Ответ: а) gradU = {1;2}; б) gradU = {8;4;−4}.

3.2.4.

единичный вектор нормали 2 x − 4 xy + y − 2 yz + 3z = 0 в точке P0 (1,1,1) . 2

Найти

поверхности

⎧ ⎩

Ответ: n 0 = ⎨0;

−4 1 ⎫ ; ⎬. 17 17 ⎭

3.2.5. Найти направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля U = xyz в т P0 (1,2 ,2) и наибольшую скорость возрастания поля в этой точке. Ответ. n 0 = 3.2.6.

gradU ⎧ 2 1 1 ⎫ =⎨ ; ; ⎬; gradU P0 ⎩ 6 6 6 ⎭ каких

точках

пространства

Vmax = 2 6 .

0xyz

градиент

поля

U = x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz а) перпендикулярен к оси 0z ; б) параллелен оси 0z ; в) равен нулю? Ответ: а) x y = z 2 ; б) x = y = 0 и x = y = a ; в) x = y = z . 3.2.7. Найти косинус угла ϕ между градиентами поля U = в точках A (1;2;2 ) и B (− 3;1;0 ) .

x 2

x + y2 + z2

8 9

Ответ: cos ϕ = − . 3.2.8. Доказать формулы: а) grad (u + c ) = grad u (c = const ) ; б) grad c u = c ⋅ grad u;

( )

в) grad u 2 = 2 u grad u . 3.2.9. Определить силовые линии векторного поля a = xi + y j + 2 zk . Ответ: y = c1 x

z = c2 x 2 . 3.2.10. Найти поток вектора a 2 2 2 а) через боковую поверхность конуса x + y ≤ z ( 0 ≤ z ≤ h) ; б) через основание этого конуса. Ответ: а) 0 3 б) πh . 55

Найти поток вектора a = x i + y j + z k через полную пирамиды, ограниченной плоскостями grad(u +c) =gradu (c =const ) 2

3.2.11. поверхность

x + y + z = b (b > 0 ).

Ответ: b 4 4 .

3.2.12. Найти поток вектора a = − x i + jyz + k через часть поверхности 2

(

цилиндра z = 4 x , высеченную конусом z = 4 x + y

) . При этом нормаль

считается направленной в сторону выпуклости цилиндра. Ответ: π 2 . Найти поток вектора a = xyi + yzj + xyk через поверхность

3.2.13. 2

части шара x + y + z = 1 , заключенной в первом октанте. Ответ:

3π . 16

3.2.14. Найти поток радиуса-вектора точки r через внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с началом координат, если известны радиус основания конуса R и его высота H . 2 Ответ: πR ⋅ H .

(

)

3.2.15. Доказать, что div a + b = div a + div b . 3.2.16. Найти div( gradU) , где U = U( x; y; z) − скалярная функция.

∂2U ∂2U ∂2U + + Ответ: ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 3.2.17. Найти дивергенцию поля a =

− ix + jy + kz 2

x +y

в точке M( 3;4;5) .

Чему приближенно равен поток вектора a через бесконечно малую сферу

( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 + ( z − 5) 2

= ε2? Ответ: div a =

18 ; 125

24 3 πε 125

3.2.18. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность σ (нормаль внешняя).

(

) (

)

a = (5x − 6y)i + 11x 2 + 2 y j + x 2 − 4 z k 56

⎧ x + y + 2z = 2 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 Ответ: 2 3.2.19. Вычислить циркуляцию векторного поля a = yi − x j

вдоль

окружности ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) = R в отрицательном направлении. 2

Ответ: Ц = 2πR . 3.2.20. Найти ротор векторного поля а) a = yi − 2 zj + xk б) a = z i + x j + y k . 2

Ответ: a ) rot a = 2 i − j − k

б) rot a = 2 yi + 2 zj + 2 xk . 3.2.21. Вычислить циркуляцию векторного поля a = x 2 y 3 i + j + z k по

x 2 + y2 = R 2 , z = 0 двумя способами: а) замкнутому контуру непосредственно и б) по формуле Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу z = R 2 − x 2 − y 2 .

R6 π . Ответ: 8

3.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание № 1 Даны функция z = f ( x , y) , точка A и вектор a . Требуется найти: 1) grad z в точке A ; 2) производную в точке A по направлению вектора a . 1. z = 3x + 2 xy ; 2

2. z = 2 x + 3xy + y ; 2

(

3. z = ln x + 3y 2

);

4. z = x + 3xy ; 2

5. z = x + y + 2 xy ; 6. z = xe y ; ; 2

(

7. z = arctg x y 2

);

y ; x 2 2 9. z = ln(5x + 4 y ) ; x 10. z = arcsin ; y 2 2 11. z = x + 3xy + y ; 2 12. z = 2x + xy ; 3 2 13. z = x y + xy ; 14. z = ln( 2x + 3y) ; 2 2 15. z = 5x y + 3xy ; 3x 16. z = 2 ; y 17. z = arctg( xy) ; 2 2 18. z = ln( 3x + 2xy ) ; x+y 19. z = 2 ; x + y2 2 2 20. z = 5x − 2xy + y ; 21. z = arcsin( x + 2y) ; x 22. z = ye ; 8. z = arctg

23. z = xy + 2x − y; ;

A(1,2) ; A(2,1) ; A(1,1) ;

a = 4i + 3 j . a = 3i − 4 j . a = 3i + 2 j .

A(1,3) ; A( 3,1) ; A(2,0) ; A(1,−1) ;

a = i + 2 j. a = −i + j. a = 5i + 12 j . a = 5i − 12 j .

A( 2 ,−2) ;

a = − i − 2 j.

A(11 , );

a = 2 i − j.

A( 3,5) ;

a = i − j.

A( − 1,2) ; A(1,2) ; A(1,3) ; A(2,2) ; A(11 , );

a a a a a

A( 3,4) ;

= 3i + 4 j . = −3i + 4 j . = −5i + 12 j . = 2i − 3 j. = 6i − 8 j .

a = −3i − 4 j .

A(2,3) ; A(1,2) ;

a = 4i + 3 j . a = 3i − 4 j .

A(1,−2) ;

a = i + 2 j.

A(11 , );

a a a a

A(− 1,1 2 ) ;

A( 0,2) ; A(2,2) ; 58

= 2 i − j. = i + j. = 12 i − 5 j . = i − 2 j.

x−y ; x2 + y2 x 25. z = arctg ; y 24. z =

A(1,−2) ;

a = i + 2 j.

A(1,−1) ;

a = i − j.

Задание №2 Найти векторные линии в векторном поле 1. a = 4 yi − 9 xj

14. a = 4 zj − 9 yk

2. a = 2 yi + 3xj

15. a = 2 zj + 3yk

3. a = 4 yj + 8zk 4. a = xi + 3yj

16. a = 6xi + 12 zk 17. a = xi + zk

5. a = 2 zi + 3xk

18. a = 7 yj + 14 zk

6. a = yj + 3zk

19. a = 2 xi + 6zk

7. a = 2 zj + 3yk

20. a = 6xi + 12 zk

8. a = 2 xi + 6yj

21. a = 9 yi − 4 xj

9. a = 5xi + 10yj

22. a = 4 xi + zk

10. a = yj + 4 zk

23. a = xi + yj

11. a = 5yi + 7 xj

24. a = 9 zi − 4 xk

12. a = 7 yj + 14 zk

25. a = 5yi + 9 xj

13. a = 2 xi + 6yj Задание №3 Найти поток векторного поля a через часть плоскости расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z ).

⎧a = xi + yj + zk ⎩P: x + y + z = 1

⎧a = −2 xi + yj + 4 zk ⎪ 14. ⎨ x z : + + =1 P y ⎪⎩ 3 2

⎧a = 2 xi + 3yj ⎩P: x + y + z = 1

⎧a = 2 xi − 3yj + 6zk ⎪ 15. ⎨ x y : P ⎪⎩ 4 + 3 + z = 1

1. ⎨

2. ⎨

⎧a = yj + zk ⎩P: x + y + z = 1

3. ⎨

⎧a = yj + 3zk ⎪ 4. ⎨ x : P ⎪⎩ 2 + y + z = 1 ⎧a = 2 xi + 3yj ⎩P: x + y + z = 1

5. ⎨

⎧a = 2 xi + 5yj + 5zk ⎪ 16. ⎨ x y : P ⎪⎩ 2 + 2 + z = 1 ⎧a = xi + yj + zk ⎪ 17. ⎨ y : 2 P x + +z=1 ⎪⎩ 2 ⎧a = 2 xi + yj − 2 zk ⎪ 18. ⎨ y ⎪⎩P: 2 x + 2 + z = 1

⎧a = xi + yj + zk ⎪ 6. ⎨ x : P ⎪⎩ 2 + y + z = 1

⎧a = xi + 2 yj + 5zk ⎪ 19. ⎨ z : x 2 + + =1 P y ⎪⎩ 2

⎧a = xi + yj + zk ⎪ 7. ⎨ y z : x + + =1 P ⎪⎩ 2 3

⎧a = xi + 4 yj + 5zk ⎪ 20. ⎨ z : x 2 + + =1 P y ⎪⎩ 2

⎧a = 3xi + 2 zk ⎪ 8. ⎨ y z : x + + =1 P ⎪⎩ 2 3 ⎧a = 3xi + 2 zk ⎪ 9. ⎨ y z ⎪⎩P: x + 2 + 3 = 1 ⎧a = 2 xi + 3yj + zk ⎪ 10. ⎨ x z : + + =1 P y ⎪⎩ 3 2 ⎧a = xi + 3yj − zk ⎪ 11. ⎨ x y P : ⎪⎩ 2 + 3 + z = 1

⎧a = 2 xi + yj + zk ⎩P: 2 x + 3y + z = 1

21. ⎨

⎧a = 2 xi + 3yj + zk ⎩P: 2 x + 3y + z = 1

22. ⎨

⎧a = − xi + 2 yj + zk ⎩P: x + 2 y + 3z = 1

23. ⎨

⎧a = 8xi + 11yj + 17 zk ⎩P: x + 2 y + 3z = 1

24. ⎨

⎧a = 2 xi + 3yj + zk ⎪ 12. ⎨ x y P : ⎪⎩ 3 + 3 + z = 1

⎧a = 2 xi + 3yj + 4 zk ⎩P: 2 x + 3y + z = 1

25. ⎨

⎧a = xi + yj + 6zk ⎪ 13. ⎨ x y P : ⎪⎩ 2 + 3 + z = 1 Задание № 4 Найти поток векторного поля a через часть поверхности σ , вырезаемую плоскостями P1 , P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

⎧a = xi + yj + zk ⎪ 2 2 1. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 2 2 ⎩ 1 ⎧a = xi + yj − zk ⎪ 2 2 2. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 4 2 ⎩ 1

⎧a = ( x − y ) i + ( x + y ) j + z 2 k ⎪ 2 2 6. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 2 2 ⎩ 1 ⎧a = ( x + y)i − ( x − y) j + xyzk ⎪ 2 2 7. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 4 2 ⎩ 1

⎧a = xi + yj + z 3 k ⎪ 2 2 4. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 1 2 ⎩ 1

⎧a = ( x 3 + xy) i + ( y 3 + x 2 y) j + ⎪⎪ 2 σ: x 2 + y 2 = 1 8. ⎨+ z k ⎪P : z = 0, P : z = 3 2 ⎪⎩ 1 ⎧a = xi + yj + sin zk ⎪ 2 2 9. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 5 2 ⎩ 1

⎧a = xi + yj + xyzk ⎪ 2 2 5. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 5 2 ⎩ 1

⎧a = xi + yj + zk ⎪ 2 2 10. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 1 2 ⎩ 1

⎧a = xi + yj + 2 zk ⎪ 2 2 3. ⎨σ: x + y = 1 ⎪P : z = 0, P : z = 3 2 ⎩ 1

Найти поток векторного поля a через часть поверхности σ вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой поверхностями). 61

⎧a = ( x + xy 2 ) i + ( y − yx 2 ) j + ⎪⎪ 2 2 11. ⎨+ ( z − 3) k σ: x + y = 1 ⎪ z ≥ 0 , P: z = 1 ) ⎪⎩( ⎧a = yi − xj + k ⎪ 2 2 2 12. ⎨σ: x + y = z ( z ≥ 0) ⎪P: z = 4 ⎩

⎧a = ( x + y ) i + ( y − x ) j + ⎪ 2 2 2 19. ⎨+ ( z − 3) k σ: x + y = z ⎪ z≥0 ) P: z = 2 ⎩ ( ⎧a = xi − yj + ( z − 2)k ⎪ 2 2 2 20. ⎨σ: x + y = z ( z ≥ 0) ⎪P: z = 1 ⎩

⎧a = xyi − x 2 j + 3k ⎪ 2 2 2 13. ⎨σ: x + y = z ( z ≥ 0) ⎪P: z = 1 ⎩ ⎧a = xzi + yzj + ( z 2 − 1) k ⎪⎪ 2 2 2 14. ⎨σ: x + y = z ( z ≥ 0) ⎪P: z = 4 ⎪⎩ ⎧a = xy 2 i − x 2 yj + k ⎪ 2 2 2 15. ⎨σ: x + y = z ( z ≥ 0) ⎪P: z = 5 ⎩

⎧a = ( x + xz)i + yj + ⎪ 2 2 2 21. ⎨+ ( z − x ) k σ: x + y = 4 ⎪ P: z = 5 ⎩ ( z ≥ 0)

⎧a = ( xz + y)i − ( yz − x) j + ⎪ 2 2 2 2 16. ⎨+ ( z − 2) k σ: x + y = z ⎪ P: z = 3 ⎩ ( z ≥ 0) ⎧a = xyzi − x 2 zj + 3k ⎪ 2 2 2 17. ⎨σ: x + y = z ( z ≥ 0) ⎪P: z = 2 ⎩

⎧a = (x + xy )i + y − x 2 j + zk ⎪⎪ 24. ⎨σ : x 2 + y 2 = 1 (z ≥ 0 ) ⎪P : z = 1 ⎪⎩ ⎧a = (x + z )i + yj + (z − x )k ⎪ 25. ⎨σ : x 2 + y 2 = 1 (z ≥ 0 ) ⎪P : z = 2 ⎩

⎧a = ( x + xy)i + ( y − x 2 ) j + ⎪⎪ 2 2 2 18. ⎨+ ( z − 1)k σ: x + y = z ⎪ z ≥ 0 P: z = 3 ) ⎪⎩ (

(

)

⎧a = x i + y + yz 2 j + ⎪⎪ 22. ⎨+ z − zy 2 k σ : x 2 + y 2 = 4 ⎪ (z ≥ 0 ) P : z = 2 ⎪⎩

(

)

⎧a = (x + z )i + (y + z ) j + ⎪ ⎪+ (z − x − y )k 23. ⎨ 2 2 ⎪σ : x + y = 4 (z ≥ 0 ) ⎪P : z = 2 ⎩

(

)

Задание №5 Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность σ (нормаль внешняя).

(

) (

)

1. a = 3x 2 + x i + e x − 2 y j + (2z − xy )k ⎧x 2 + y 2 = z 2 σ: ⎨ ⎩z = 1, z = 4 2. a = (ln y + 7 x )i + (sin z − 2 y ) j + e y − 2z k

(

)

σ : x 2 + y 2 + z 2 = 2 x + 2 y + 2z − 2 3. a = (cos z + 3x )i + (x − 2 y ) j + 3z + y 2 k

(

)

⎧z 2 = 36 x 2 + y 2 σ: ⎨ ⎩z = 6 4. a = e − z − x i + (xz + 3y ) j + z + x 2 k

(

)

(

)

⎧2 x + y + z = 2 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 5. a = e z + 2 x i + e x j + e y k

(

)

⎧x + y + z = 1 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0

(

)

3 ⎞ ⎛ 6. a = (6 x − cos y )i − e x + z j + ⎜ x + z ⎟ k 4 ⎠ ⎝ σ : x 2 + y 2 + z 2 = 2x + 3

(

)

7. a = 4 x − 2 y 2 i + (ln z − 4 y ) j − (2 y + 3z )k ⎧x 2 + y 2 = z 2 σ: ⎨ ⎩z = 1, z = 2 8. a = 1 + z i + 4 y − x j + xyk

(

) ( ) ⎧z 2 = 4(x 2 + y 2 ) σ: ⎨

⎩z = 3 9. a = z − x i + (x − y ) j + y 2 − z k

(

)

(

)

⎧3x − 2 y + z = 6 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0

(

) (

)

10. a = (yz + x )i + x 2 + y j + xy 2 + z k σ : x 2 + y 2 + z 2 = 22

(

)

(

)

11. a = e 2 y + x i + (x − 2 y ) j + y 2 + 3z k ⎧x − y + z = 1 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 12. a = z − 2 x i + e x + 3y j + y + x k

(

) (

⎧x 2 + y 2 = z 2 σ: ⎨ ⎩z = 2, z = 5 x⎞ ⎛ ⎛ 13. a = ⎜ e z + ⎟i + ⎜ ln x + 4⎠ ⎝ ⎝

)

y⎞ z ⎟j + k 4⎠ 4

σ : x 2 + y 2 + z 2 = 2 x + 2 y + 2z − 2 14. a = (3x − 2z )i + (z − 2 y ) j + (1 + 2z )k ⎧x + 2 y + z = 2 σ :⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 15. a = e y + 2x i + (x − y ) j + (2z − 1)k

(

)

⎧x + 2 y + z = 2 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 16. a = (x + 2 y )i + (xz + y ) j +

⎧x 2 + y 2 = z 2 σ: ⎨ ⎩z = 2, z = 3

(

)

17. a = e y + 2x i + (xz − y ) j +

(

) ( ) ⎧z 2 = 8(x 2 + y 2 ) σ: ⎨ (

)

1 xy e −z k 4

σ : x 2 + y 2 + z 2 = 2y + 3 18. a =

)

+1 + z k

z + y i + x 2 − 1 j + (3z + 5x )k

⎩z = 2 19. a = (5 yz − x )i + 3xj + (xy − 2z )k ⎧2 x + 3 y − z = 6 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0

(

) (

)

20. a = y + z 2 i + x 2 + 3y j + xyk σ : x 2 + y 2 + z 2 = 2x

(

)

21. a = (2 yz − x )i + (xz + 2 y ) j + x 2 + z k ⎧x − y + z = 1 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 22. a = (sin z + 2 x )i + (sin x − 3y ) j + (sin y + 2z )k ⎧x 2 + y 2 = z 2 σ: ⎨ ⎩z = 3, (z ≥ 0 ) y⎞ ⎛z ⎞ x⎞ ⎛ ⎛ 23. a = ⎜ cos z + ⎟ i + ⎜ e x + ⎟ j + ⎜ − 1⎟ k 4⎠ ⎝4 ⎠ 4⎠ ⎝ ⎝

σ : x 2 + y 2 + z 2 = 2z + 3 24. a =

(

)

z + 1 + x i + (2x + y ) j + (sin x + z )k

⎧z 2 = x 2 + y 2 σ: ⎨ ⎩z = 1 25. a = (5x − 6 y )i + 11x 2 + 2 y j + x 2 − 4z k

(

) (

)

⎧x + y + 2z = 2 σ: ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 Задание № 6 Найти циркуляцию векторного поля a вдоль контура L (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t ).

1. a = yi − xj + z 2 k

14. a = x i + 2zj + yk ⎧x = cos t , y = 3 sin t L:⎨ ⎩z = 2 cos t − 3 sin t − 2

⎧ 2 2 cos t , y = cos t ⎪x = L:⎨ 2 2 ⎪z = sin t ⎩ 2. a = x 2 yi + j + zk

z2 15. a = x i − j + yk 3 1 1 ⎧ x = cos t , y = sin t ⎪⎪ 2 3 L:⎨ ⎪z = cos t − 1 sin t − 1 ⎪⎩ 3 4

⎧⎪x = 3 4 cos t , z = 3 L:⎨ ⎪⎩ y = 3 4 sin t

3. a = (y − z )i + (z − x ) j + (x − y )k

16. a = 4 yi − 3xj + xk

⎧x = cos t , y = sin t L:⎨ ⎩z = 2(1 − cos t ) 4. a = x 2 i + yj − zk

⎧x = 4 cos t , y = 4 sin t L:⎨ ⎩z = 4 − 4 cos t − 4 sin t 17. a = −2i − xj + xzk ⎧x = 5 cos t , y = 5 sin t L:⎨ ⎩z = 4

⎧x = cos t , y = sin t ⎪ L:⎨ 2 z = cos t ⎪ ⎩ 2 5. a = (y − z )i + (z − x ) j + (x − y )k

18. a = zi + xj + yk

⎧x = 4 cos t , y = 4 sin t L:⎨ ⎩z = 1 − cos t 6. a = 2 yi − 3xj + xk

⎧x = 2 cos t , y = 2 sin t L:⎨ ⎩z = 0 19. a = (y − z )i + (z − x ) j + (x − y )k

⎧x = 2 cos t , y = 2 sin t L:⎨ ⎩z = 2 − 2 cos t − 2 sin t 7. a = 2z i − xj + yk

⎧x = 3 cos t , y = 3 sin t L:⎨ ⎩z = 2(1 − cos t ) 20. a = 2 yi + zj + xk

⎧x = 2 cos t , y = 2 sin t L:⎨ ⎩z = 1 8. a = yi − xj + zk

⎧x = cos t , y = sin t L:⎨ ⎩z = 4 − cos t − sin t 21. a = xz i + xj + z 2 k

⎧x = cos t , y = sin t L:⎨ ⎩z = 3 9. a = x i + z 2 j + yk

⎧x = cos t , y = sin t L:⎨ ⎩z = sin t 22. a = − x 2 y 3 i + 3 j + yk

⎧x = cos t , y = 2 sin t L:⎨ ⎩z = 2 cos t − 2 sin t − 1 10. a = 3yi − 3xj + xk

⎧x = cos t , y = sin t L:⎨ ⎩z = 5 23. a = 7 z i − xj + yzk ⎧x = 6 cos t , y = 6 sin t ⎪ L:⎨ 1 ⎪⎩z = 3 24. a = xyi + xj + y 2 k

⎧x = 3 cos t , y = 3 sin t L:⎨ ⎩z = 3 − 3 cos t − 3 sin t 11. a = x 2 ⋅ y 2 i + 2 j + xzk

⎧x = cos t , y = sin t L:⎨ ⎩z = 5

⎧x = 2 cos t , y = 2 sin t L:⎨ ⎩z = 1

12. a = 6z i − xj + xyk

25. a = x i − z 2 j + yk

⎧x = 3 cos t , y = 3 sin t L:⎨ ⎩z = 3 13. a = z i + y 2 j − xk

⎧x = 2 cos t , y = 3 sin t L:⎨ ⎩z = 4 cos t − 3 sin t − 3

⎧⎪x = 2 cos t , y = 2 sin t L:⎨ ⎪⎩z = 2 cos t Задание № 7 Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура L (по формуле Стокса).

(

)

1. a = x 2 − y i + xj + k ⎧x 2 + y 2 = 1 L:⎨ ⎩z = 1 2. a = xz i − j + yk

(

14. a = 2 yzi + xzj − x 2 k ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 25 L:⎨ ⎩z = 3 15. a = yi + 3xj − z 2 k

)

⎧z = x 2 + y 2 − 1 L:⎨ ⎩z = 4 3. a = (x − y )i + xj − zk

⎧z = x 2 + y 2 − 1 L:⎨ ⎩z = 3 16. a = − yi + xj + 3z 2 k

⎧x 2 + y 2 = 1 L:⎨ ⎩z = 5 4. a = x i + yzj − xk

⎧z = x 2 + y 2 − 1 L:⎨ ⎩z = 4 17. a = − x i − 2 yj + 3zk

⎧x 2 + y 2 = 1 L:⎨ ⎩z = 3 5. a = yi − xj + z 2 k

⎧z = x 2 + y 2 + 1 L:⎨ ⎩z = 4 18. a = x i + 3yj − z 2 k

(

)

(

)

⎧z = 3 x 2 + y 2 + 1 L:⎨ ⎩z = 4 6. a = 4 x i + 2 yj − xyk

⎧x 2 + y 2 = 9 L:⎨ ⎩z = 2 19. a = x 2 i + yzj + 2zk

⎧z = 2 x 2 + y 2 + 1 L:⎨ ⎩z = 7

⎧x 2 + y 2 + z 2 = 25 L:⎨ ⎩z = 4

7. a = −3z i + y 2 j + 2 yk

20. a = yi − 2 xj + z 2 k

⎧x 2 + y 2 = 4 L:⎨ ⎩z = 1 8. a = yi − xj + z 2 k

⎧z = 4 x 2 + y 2 + 1 L:⎨ ⎩z = 6 21. a = 4 i + 3x j + x z k

⎧x 2 + y 2 = 1 L:⎨ ⎩z = 4 9. a = −3z i + y 2 j + 2 yk

⎧x 2 + y 2 − z 2 = 0 L:⎨ ⎩z = 4 22. a = 4z i − zj + xyk

⎧x 2 + y 2 = 4 L:⎨ ⎩z = 2 10. a = xyi + yzj + xzk

⎧x 2 + y 2 + z 2 = 9 L:⎨ ⎩z = 1 23. a = yi − xj + 2zk

⎧x 2 + y 2 = 9 L:⎨ ⎩z = 1

⎧ 2 z2 2 =0 ⎪x + y − L:⎨ 4 ⎪z = 2 ⎩

(

11. a = 2 yi + j − 2 yzk

)

24. a = x 2 i + yzj + 2zk

⎧x 2 + y 2 − z 2 = 0 L:⎨ ⎩z = 2

⎧x 2 + y 2 + z 2 = 25 L:⎨ ⎩z = 4 25. a = (x + y )i − xj + 6k

12. a = (x − y )i + xj + z 2 k

⎧x 2 + y 2 = 1 L:⎨ ⎩z = 2

⎧ x 2 + y 2 − 4z 2 = 0 ⎪ L:⎨ 1 = z ⎪ ⎩ 2 13. a = xzi − j + yk ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 4 L:⎨ ⎩z = 1

ЛИТЕРАТУРА Основная литература: 1. Пискунов Н.Г. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 2000. – Т.2. 2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая математика, 2000. – Т.2. 3. Письменный Д.П. Конспект лекции по высшей математике – М.:. - Айриспресс, 2003. – Ч.2. – 252 с.

Дополнительная литература: 1. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. – М.: Наука, 1968. – 128 с. 2. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. – М.:. Наука, 1975. – 336 с.

Учебные пособия кафедры: 1. Учебно–методическое пособие по элементам теории поля. – Егорова Р.А., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Уфа, УГНТУ, 2004. 2. Практикум по теории поля. – Егорова Р.А., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Уфа, УГНТУ, 2006. 3. Расчетные задания по математике. Раздел «Элементы теории поля». Егорова Р.А., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Уфа, УГНТУ, 2006.