Раздел 8. Элементы теории поля (задачник)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 8 «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 8 «Элементы теории поля». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 74 с. Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 8 «Элементы теории поля», предназначенный для оценки знаний студентов. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент.

2. Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля через поверхность.

3. Дивергенция векторного поля. Поток векторного поля. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Формула Гаусса-Остроградского.

4. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса.

5 25 43 61

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

1

номер темы

2

порядковый номер

А

сложность

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ) по разделу: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ» 1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент.

2. Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля через поверхность.

3. Дивергенция векторного поля. Поток векторного поля. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Формула ГауссаОстроградского.

4. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса.

4

1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент Номер: 1.1.А Задача: Даны четыре поля: поле температур, поле скоростей потока жидкости, поле тяготения, поле напряженности вокруг тела. Какое из них является скалярным? Ответы: 1). поле напряженности 2). поле температур 3). поле тяготения 4). поле скоростей 5). скалярного поля нет Номер: 1.2.А Задача: Скалярное поле называется стационарным, если оно зависит Ответы: 1). от времени 2). от положения точки в пространстве 3). от времени и положения точки 4). от направления вектора 5). Ни от чего не зависит Номер: 1.3.А Задача: Говорят, что в области G задано скалярное поле, если указан закон, в силу которого каждой точке M ∈ G поставлено в соответствие 3). число или числовые функции Ответы: 1). вектор 2). функция f (x ) 4). функция F(x , y, z ) = 0 5). функция f (x; y ) Номер: 1.4.А Задача: В системе координат R 3 задание скалярного поля эквивалентно заданию функции Ответы: 1). U (M ) = U (x; y ) 2). U (M ) = U (x; y; z; t ) 3). U (M ) = U (x; y; z ) 5). нет правильного ответа 4). U (M ) = U (x ) Номер: 1.5.А Задача: Простейшими геометрическими характеристиками скалярного поля являются Ответы: 1). векторные трубки 2). линии уровня 3). векторные линии 4). линии уровня и поверхности уровня 5). нет правильного ответа Номер: 1.6.А Задача: Поверхность уровня определяется уравнением Ответы: 1). U (x; y ) = С 2). U (x ) = С 3). U (x; y; z ) = С 5). нет правильного ответа 4). U (x; y; z; t ) = C Номер: 1.7.А Задача: При перемещении точки скалярного поля M1 (x1 , y1 , z1 ) в точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) вдоль кривой поверхности уровня значение функции Ответы: 1). возрастает 2). убывает 3). не изменяется 5

4). увеличивается в 2 раза

5). нет правильного ответа

Номер: 1.8.А Задача: Производная функции U (x; y; z ) по дуге L имеет вид Ответы: 1).

2).

3).

4).

5).

∂U ∂U ∂U ∂U = cos β + cos α + cos γ ∂x ∂L ∂x ∂z ∂U ∂U ∂U ∂U = cos α + cos β + cos γ ∂L ∂x ∂y ∂z ∂U ∂U ∂U ∂U = cos γ + cos β + cos α ∂L ∂x ∂y ∂z ∂U ∂U ∂U = cos γ + cos β ∂L ∂x ∂z ∂U ∂U ∂U = cos α + cos γ ∂L ∂x ∂y

Номер: 1.9.А Задача: От чего зависит производная по дуге L в точке M ? Ответы: 1). от вида дуги 2). от направления касательного вектора S к L в точке M 3). от вида дуги и направления касательного вектора 4). не от чего не зависит 5). нет правильного ответа Номер: 1.10.А Задача: Угол α в производной по направлению это угол между Ответы: 1). касательным вектором к L и осью 0 x 2). касательным вектором к L и осью 0 y 3). осью 0 x и осью 0 y 4). касательным вектором к L и осью 0z 5). осью 0 x и осью 0z Номер: 1.11.А Задача: Что можно сказать о производных по дугам L1 и L 2 , проходящим через точку M и имеющим в этой точке один и тот же касательный вектор? Ответы: 1). они не равны между собой 2). производная по дуге в два раза больше производной по дуге L 2 3). они разного знака 4). они равны между собой 5). производная по дуге L1 всегда меньше производной по L 2

6

Номер: 1.12.А Задача: По определению градиент скалярного поля есть Ответы: 1). число 2). вектор 3). функция f (x; y ) 4). функция заданная неявно 5). совокупность первообразных Номер: 1.13.А Задача: Градиент скалярного поля имеет вид

∂U ∂U ∂U i+ j+ k ∂y ∂x ∂z ∂U ∂U ∂U k 3). grad U = j+ i+ ∂x ∂z ∂y

Ответы: 1). grad U =

∂U ∂U ∂U i+ j+ k ∂y ∂z ∂y ∂U ∂U ∂U 4). grad U = k j+ i+ ∂y ∂x ∂z

2). grad U =

5). нет правильного ответа Номер: 1.14.А Задача: Если направление grad U совпадает с направлением вектора S , то производная по направлению принимает наибольшее значение равное

∂U = grad U ∂S ∂U π = grad U ⋅ cos 4). ∂S 4

Ответы: 1).

∂U = grad U ∂S ∂U = −grad U 5). ∂S 2).

3).

∂U π = grad U ⋅ cos ∂S 3

Номер: 1.15.А Задача: Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad U равна Ответы: 1). grad U

2). нулю

3). единице

4). − 1

5).

π 4

Номер: 1.16.А Задача: Так как градиент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности уровня, то нормальный вектор n 0 равен Ответы: 1). n = grad U 4). n 0 = −grad U

2). n 0 =

grad U grad U

3). n 0 = grad U ⋅ cos

π 4

5). нет правильного ответа

Номер: 1.17.А Задача: Градиент алгебраической суммы скалярных функций равен Ответы: 1). разности градиентов 2). произведению градиентов 3). сумме градиентов 4). удвоенному произведению градиентов 5). произведению модулей градиентов

7

Номер: 1.18.А Задача: grad (U ⋅ V ) , где U и V скалярные функции равен Ответы: 1). U grad U + V grad V 2). U grad V + V grad U 3). U V + U grad V 4). U V + V grad U 5). нет правильного ответа Номер: 1.19.А Задача: Производная по направлению, где S касательный вектор к L в т. M равна Ответы: 1).

4).

∂U = grad U ⋅ S ∂S

2).

∂U grad U = ∂S S

∂U = grad U ∂S

5).

∂U = S ⋅ grad U ∂S

3).

∂U = прS grad U ∂S

Номер: 1.20.А Задача: Для дифференцируемой функции U = U (x; y ) grad U определяется формулой

∂U ∂U i+ j ∂x ∂y ∂U ∂U i+ j 3). grad U = ∂z ∂y ∂U ∂U i+ k 5). grad U = ∂x ∂y

Ответы: 1). grad U =

∂U ∂U i+ j ∂y ∂x ∂U ∂U 4). grad U = i+ j ∂x ∂z

2). grad U =

Номер: 1.21.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = x 2 + y 2 − 1 в точке P (1; 0 ) 2). эллипс с центром (0; 0 ) Ответы: 1). окружность с центром (0; 0 ) 3). парабола с вершиной на оси 0 x 4). парабола с вершиной на оси 0 y 5). окружность с центом (1;1) Номер: 1.22.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = x − 3 y 2 и выделить линию для точки P (3;1) Ответы: 1). парабола x = 3 y 2 3). парабола x + 1 = 3 y 2

2). парабола x = 3 y 2 + 1 4). гипербола

5). окружность

Номер: 1.23.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = x 2 + y 2 и выделить линию уровня для точки P

(

2; 2

)

8

x 2 y2 Ответы: 1). эллипс + =1 2). окружность x 2 + y 2 = 4 2 2 2 x y2 − = 1 4). окружность x 2 + y 2 = 2 3). гипербола 2 2 2 2 x y + =1 5). эллипс 4 2 Номер: 1.24.В Задача: Найти линии скалярного поля U = x 2 − 2 y 2 − 2 и выделить линию уровня для точки P (2;1) 2

x 2 y2 2). эллипс + =1 2 2 x 2 y2 4). гипербола − =1 2 3

2

Ответы: 1). окружность x + y = 1

x 2 y2 − =1 3). гипербола 2 1 x 2 y2 + =1 5). эллипс 2 3

Номер: 1.25.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 2 x 2 + 3 y 2 − 2 и выделить линию уровня для точки P (1; 0 ) 2

x 2 y2 2). эллипс + =1 1 23

2

Ответы: 1). окружность x + y = 2 3

x 2 y2 4). эллипс + =1 3 2

x 2 y2 3). гипербола − =1 1 23 5). окружность x 2 + y 2 = 6

Номер: 1.26.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 3 x 2 − 2 y 2 − 2 и выделить

⎛ 1 ⎞ ⎟ 2⎠ ⎝ Ответы: 1). окружность x 2 + y 2 = 6 x 2 y2 + =1 3). эллипс 5 3

линию уровня для точки ⎜1;

2). окружность x 2 + y 2 = 1

x 2 y2 4). гипербола − =1 32 1

x 2 y2 5). гипербола − =1 23 1 9

Номер: 1.27.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 3 x 2 − 2 y 2 − 6 и выделить линию уровня для точки P (1;1)

x 2 y2 + =1 Ответы: 1). эллипс 4 9

x 2 y2 2). эллипс + =1 1 4 x 2 y2 4). гипербола − =1 13 12

3). окружность x 2 + y 2 = 2 5). нет правильного ответа

Номер: 1.28.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = x − 2 y 2 − 1 и выделить линию уровня для точки P (3;1)

x 2 y2 Ответы: 1). эллипс + =1 1 4 3). парабола 2 y 2 = x x 2 y2 5). эллипс + =1 4 9

2). парабола 2 y 2 = x − 1 4). окружность x 2 + y 2 = 9

Номер: 1.29.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 2 x 2 − y 2 − 1 и выделить линию уровня для точки P (1;1)

x 2 y2 Ответы: 1). гипербола − =1 12 1

2). окружность x 2 + y 2 = 1 2

3). парабола 2 x 2 = y + 1

4). парабола x 2 = y + 2

x 2 y2 5). эллипс + =1 2 1 Номер: 1.30.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 9 x 2 + 4 y 2 − 25 и выделить линию уровня для точки P (1; 2 ) 2

x 2 y2 2). эллипс + =1 9 4 x 2 y2 4). гипербола − =1 9 4

2

Ответы: 1). окружность x + y = 25 3). эллипс

x2

y2

+

(5 3)2 (5 2)2

5). гипербола

x2

(5 3)

2

−

=1 y2

(5 2)

2

=1 10

Номер: 1.31.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x + y + z − 1 , определить поверхность с точкой (1;1;0 ) Ответы: 1). плоскость x + y + z = 1 2). плоскость x + y + z = 3 3). плоскость x + y + z = 2 4). прямая y = x + 1 5). нет правильного ответа Номер: 1.32.В

z

Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U =

x 2 + y2

поверхность с точкой P (1;1;2 ) Ответы: 1). конус z 2 = x 2 + y 2

2). параболоид z = x 2 + y 2

(

3). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 1

(

5). конус z 2 = 2 x 2 + y 2

, определить

4). параболоид z = 2 x 2 + y 2

)

)

Номер: 1.33.В Задача:

Найти поверхность уровня скалярного поля U =

определить поверхность с точкой P (2;1;3)

x z + y− =1 2 3 z 4). плоскость x + 2 y − = 2 3

Ответы: 1). плоскость x + y + z = 2

2). плоскость

3). плоскость y − 2 x + 9 = 0 5). плоскость

x z + y − − 1, 2 3

x y z + + =1 2 1 3

Номер: 1.34.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля

U=

x y + − z − 1, 2 3

определить поверхность с точкой P (2; 6;1) Ответы: 1). плоскость 3 x + 2 y − 6 z − 12 = 0 2). плоскость 3 x + y − 6 z − 12 = 0 3). плоскость x + 2 y − 6 z − 12 = 0 4). плоскость

x y z + − =1 4 6 1

5). плоскость

x y z + − =1 2 6 2

Номер: 1.35.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля определить поверхность с точкой P (1;1;1) 11

U = x 2 + y2 − 2 z ,

(

Ответы: 1). параболоид z = 2 x 2 + y 2 3). конус z 2 = x 2 + y 2

(

5). параболоид x = 2 y 2 + z 2

)

)

(

1 2 x + y2 2 2 2 4). конус x + y = 2 z 2

2). параболоид z =

)

Номер: 1.36.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x 2 + y 2 − 5 z 2 , определить поверхность с точкой P (1; 2;1) Ответы: 1). параболоид 5 z = x 2 + y 2

2). конус x 2 + y 2 = 5 z 2

3). конус x 2 + y 2 = 3 z 2

4). параболоид x 2 + y 2 = 3 z

5). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 3 Номер: 1.37.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x 2 + y 2 − 3 z 2 , определить поверхность с точкой P (1; 2;1) Ответы: 1). параболоид 3 z = x 2 + y 2

2). конус 3 z 2 = x 2 + y 2

x 2 y2 z2 3). однополостной гиперболоид + − =1 2 2 23 4). однополостной гиперболоид x 2 + y 2 − 2 z 2 = 2 5). нет правильного ответа Номер: 1.38.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля определить поверхность с точкой P (1; 2;1) Ответы: 1). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 3

U = x 2 + y2 + z2 ,

2). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 4

3). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 6

4). конус x 2 + y 2 = z 2

5). конус x 2 + y 2 = 2 z 2 Номер: 1.39.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x 2 + y 2 + z 2 − 1 , определить поверхность с точкой P (1;1;1) Ответы: 1). конус x 2 + y 2 − 2z 2 = 0

2). конус x 2 + y 2 = 3 z 2

3). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 1

4). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 9

5). сфера x 2 + y 2 + z 2 = 3

12

Номер: 1.40.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x 2 + y 2 − 7 z 2 , определить поверхность с точкой P (1; 3;1)

x 2 y2 z2 + − =1 Ответы: 1). однополостной гиперболоид 3 3 37

x 2 y2 z2 2). однополостной гиперболоид + − =1 2 2 3 x 2 y2 z2 + − =1 3). однополостной гиперболоид 2 3 7 x 2 y2 z2 + − =1 4). однополостной гиперболоид 3 2 4 5). нет правильного ответа

Задача:

Найти

Номер: 1.41.В производную функции U = ln x 2 + y 2 + z 2

(

возрастания поля

2

2).

7 5

4 5

3).

4 5

4). −

в

точке

x − 2 y −1 z −1 = = в сторону 1 0 2

M 1 (− 2; 3;−1) по направлению прямой Ответы: 1).

)

4

5). −

7 5

2 5

Номер: 1.42.В Задача: Найти производную функции U = ln (x y + y z + x z ) в точке M (1; 2;1)

x −1 y −1 z − 3 = = в сторону возрастания поля 2 1 2 11 13 13 11 2).

3).

4).

5).

15 14 15 13

по направлению прямой Ответы: 1).

14 15

Номер: 1.43.В Задача: Найти производную функции U = ln x 3 + y 3 + z + 1 в точке M (1; 3;0 )

(

x −1 y − 2 z − 3 = = в сторону возрастания поля 1 2 4 27 61 28 59 2).

3).

4).

5).

29 29 29 21 29 21

по направлению прямой Ответы: 1).

60 29 21

)

13

Номер: 1.44.В

Задача: Найти производную функции U = 1 + x 2 + y 2 + z 2 в точке M (1;1;1) по направлению прямой Ответы: 1).

4,5 29

2).

x − 2 y − 3 z −1 = = в сторону возрастания поля 3 4 2 4 3). 3,5 4). 4,6 5). 4,8 29

Номер: 1.45.В Задача: Найти производную функции U = x y − 3 x y z в точке M (1; 2;−1) по

x −3 y−4 z−2 = = в сторону возрастания поля 2 3 3 25 − 6 3 15 19 5). − Ответы: 1). − 5 − 3 3 2). − − 3 3 3). − 3 3 4). − 3 4 45 4

направлению прямой

Задача:

Найти

Номер: 1.46.В производную функции U = arcsin (x y ) − z 2

в

точке

⎛ 1 ⎞ P ⎜1; ; 3 ⎟ по направлению нормального вектора плоскости x + 2 y + 3 z − 1 = 0 ⎝ 2 ⎠ в сторону возрастания Ответы: 1).

8 42

2).

8 14

3).

(

)

8 3 −1 14

4).

5 − 18 3 42

5).

8 14

Номер: 1.47.В Задача: Найти производную функции U = arctg (x z ) + 3 y 2 в точке P (1; 2;1) по направлению нормального вектора плоскости 2 x + y + 2 z − 2 = 0 в сторону возрастания Ответы: 1). 17/3 2). 14/3 3). 5 4). 4 5). 13/3 Номер: 1.48.В Задача: Найти производную функции U = ln x 2 + y 2 + z 3 в точке P (1; 0; 2 ) по направлению нормального вектора плоскости x + 2 y + z − 3 = 0 в сторону возрастания

(

Ответы: 1).

25 6

2).

25 9

3).

25 9 6

4).

21 9 6

14

)

5).

21 6

Номер: 1.49.В

U = 2 + x 2 + y 2 − 3 z 2 в точке P (1; 2; 0 ) по направлению нормального вектора плоскости 2 x + 2 y + z − 1 = 0 в

Задача: Найти производную функции сторону возрастания Ответы: 1).

Задача:

3 7

Найти

2).

6 7

3).

2 7

4).

1 7

5).

5 7

Номер: 1.50.В производную функции U = arccos (x + y ) + z 2

в

точке

⎛1 1 ⎞ P ⎜ ; ;1⎟ по направлению нормального вектора плоскости 3 x + 4 y − 2 = 0 в ⎝2 3 ⎠ сторону возрастания Ответы: 1).

6 5 26

2).

6 26

6 26

3). −

4). −

6 5 26

5). −

6 5

Номер: 1.51.В Задача: С помощью grad U найти единичный вектор нормали к плоскости

2x − y − 2z = 2 ⎧2 1 2⎫ Ответы: 1). ⎨ ;− ;− ⎬ ⎩3 3 3⎭ ⎧2 1 2⎫ 4). ⎨ ; ; ⎬ ⎩3 3 3⎭

⎧1 ⎩3

1⎫ 3⎭

1 3

2). ⎨ ;− ;− ⎬

⎧1 ⎩3

1 3

2⎫ 3⎭

3). ⎨ ;− ;− ⎬

5). нет правильного ответа

Номер: 1.52.В Задача: С помощью grad U найти единичный вектор нормали к плоскости

3 x + 3y + z = 3 ⎧ 1 ; Ответы: 1). ⎨ 19 ⎩ ⎧ 1 ; 4). ⎨ ⎩ 17

1 ; 19 2 ; 17

3 1 3 ⎫ 1 ⎫ 2 ⎫ ⎧ 3 ⎧ 3 ; ; ; ; ⎬ 2). ⎨ ⎬ 3). ⎨ ⎬ 19 ⎭ ⎩ 19 19 19 ⎭ ⎩ 19 19 19 ⎭ 3 ⎫ ⎬ 5). нет правильного ответа 17 ⎭

Номер: 1.53.В Задача: С помощью grad U найти единичный вектор нормали к плоскости

2x + y +z = 2 ⎧ 1 1 1 ⎫ ; ; Ответы: 1). ⎨ ⎬ ⎩ 6 6 6⎭

⎧ 3 1 2 ⎫ ; ; ⎬ ⎩ 6 6 6⎭

2). ⎨

15

⎧ 2 1 1 ⎫ ; ; ⎬ ⎩ 6 6 6⎭

3). ⎨

⎧ ⎩

4). ⎨1;

1 1 ⎫ ; ⎬ 6 6⎭

⎧ 1 2 ⎫ ; ;1⎬ ⎩ 6 6 ⎭

5). ⎨

Номер: 1.54.В Задача: С помощью скалярного поля U = ln 3 x 3 + 2 x 2 y 3 + z 2 в точке P (1;1;1). Определить наибольшую скорость возрастания поля в этой точке.

(

Ответы: 1).

139 7

2).

137 141 3).

4).

7 6

)

209 141 5).

6 8

Номер: 1.55.В Задача: Найти градиент скалярного поля U = 2 x + y − x 2 + z 2 в точке P (2; 3; 0 ) . Определить скорость возрастания поля в этой точке. Ответы: 1). Задача:

2

Найти

2).

3

3).

4). 1

5

5). 2

Номер: 1.56.В направляющие косинусы

U = 3 x 2 y + y z 2 + x z в точке P (1; 2;1) .

12 11 ⎞ ⎛ 13 ⎛ ; ; Ответы: 1). ⎜ ⎟ 2). ⎜ ⎝ 210 210 210 ⎠ ⎝ 2 3 ⎞ ⎛ 1 ⎛ ; ; 3). ⎜ ⎟ 4). ⎜ ⎝ 210 210 210 ⎠ ⎝

grad U

скалярного

поля

13 4 5 ⎞ ; ; ⎟ 210 210 210 ⎠ 11 1 10 ⎞ ; ; ⎟ 210 210 210 ⎠

5). нет правильного ответа Задача: С помощью

Номер: 1.57.В grad U найти единичный нормальный вектор к

поверхности z = x 2 + y 2 + 1 в точке P (1;1; 3) .

⎧2 1 1⎫ ⎩ 3 3 3⎭ ⎧1 1 1 ⎫ 4). ⎨ ; ; ⎬ ⎩3 3 3⎭

Ответы: 1). ⎨ ; ; ⎬

Задача: С помощью

⎧2 ⎩3

1 3

1⎫ 3⎭

2). ⎨ ; − ; − ⎬

⎧2 2 ⎩3 3

1⎫ 3⎭

3). ⎨ ; ; − ⎬

5). нет правильного ответа Номер: 1.58.В grad U найти единичный нормальный вектор к

x 2 y2 z2 поверхности + + = 1 в точке P (1; 0; 0 ) .

4 3 2 Ответы: 1). {1; 0; 0} 2). {0;1; 0} 3). {0; 0;1} 5). нет правильного ответа 4). {1;1;1} 16

Задача:

В

каких

Номер: 1.59.В точках пространства

xyz

градиент

поля

градиент

поля

U = x 2 + 3 y 2 z + z 3 − z перпендикулярен оси 0z .

1 1 2). x 2 + z 2 = 1 3). y 2 + z 2 = Ответы: 1). x 2 + z 2 = 3 3 2 2 2 2 5). x + z = 2 4). y + z = 3 Задача:

В

каких

Номер: 1.60.В точках пространства

xyz

U = 3 x 2 z + y 2 + z 3 − 2 z перпендикулярен оси 0 y . x 2 y2 x 2 y2 2 2 + = 1 2). x + y = 3 3). + =1 Ответы: 1).

2 3 12 23 4). x 2 + y 2 = 4

5). нет правильного ответа

Номер: 1.61.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 3 x 2 + 12 x + y 2 − 2 y − 3 ,

C > −16 Ответы: 1). множество эллипсов 3). семейство гипербол

2). семейство окружностей 4). семейство парабол 5). точка

Номер: 1.62.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = x 2 − 4 x + 5 y 2 + 10 y ,

C > −9 Ответы: 1). множество окружностей 3). семейство эллипсов

2). семейство гипербол 4). семейство парабол

5). точка

Номер: 1.63.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля U = x 2 − 6 x + y 2 − 8 y , в точке

P (3; − 1)

Ответы: 1). точка 2). окружность с центром (3; 4 ) и R = 5 3). окружность с центром (2; 4 ) и R = 3 4). мнимая окружность 5). нет правильного ответа Номер: 1.64.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля U = x 2 + 2 x + y 2 − 12 y + 1, в точке P (− 1; 0 ) Ответы: 1). окружность с центром (1; 6 ) и R = 4 2). окружность с центром (1;1) и R = 3 17

3). окружность с центром (− 1; 6 ) и R = 6 4). мнимая окружность 5). точка Номер: 1.65.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля U = 4 x 2 + 16 x + 3 y 2 − 6 y , в точке P (0; 2 ) Ответы: 1). эллипс с центром в точке (2;1) 2). окружность с центром в точке (2;1) 3). эллипс с центром в точке (− 2;1) 4). окружность с центром в точке (− 2;1) 5). нет правильного ответа Номер: 1.66.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 2 x 2 + 4 x − y 2 − 4 y для

C>2 Ответы: 1). семейство гипербол 2). семейство окружностей 3). семейство эллипсов 4). семейство парабол 5). семейство мнимых окружностей Номер: 1.67.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = x 2 − 2 x − 4 y 2 − 8 y в точке

P (2; 0)

(y + 1)2 (x − 1)2 −

=1 4 3 ( y + 1)2 (x − 1)2 3). − =1 34 3

Ответы: 1).

(x + 1)2 − (y + 1)2

=1 4 3 ( x − 1)2 (y + 1)2 4). − =1 3 32

2).

5). семейство мнимых окружностей Номер: 1.68.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = x 2 − 4 x + 2 y для C > 2 Ответы: 1). семейство окружностей 2). семейство парабол 3). семейство гипербол 4). семейство эллипсов 5). семейство прямых, проходящих через начало координат

18

Номер: 1.69.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля U = y 2 − 6 y + x в точке P (5; 5) Ответы: 1). (y − 1) = 9 − x

2). (y − 2 ) = 8 − x

3). (y − 3) = 9 − x

4). (y − 3) = 7 − x

2

2

2

2

5). (y − 3) = x − 9 2

Номер: 1.70.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля U = 4 x 2 − 16 x + 3 y 2 − 18 y + 27 ,

C > −16 Ответы: 1). семейство окружностей 3). семейство гипербол 5). нет правильного ответа

2). семейство эллипсов 4). семейство парабол

Номер: 1.71.С Задача: Найти поверхность уровня 2 2 2 U = x + y + z − 2 x + 4 y в точке P (1; − 1; 2 )

скалярного

поля

Ответы: 1). сфера с центром (1; − 2; 0 ) и R = 5 2). сфера с центром (0; 0; 0 ) и R = 5 4). сфера с центром (1; 0;1) и R = 2

3). сфера с центром (1;1;1) и R = 5 5). нет правильного ответа

Номер: 1.72.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x 2 + y 2 − 6 y + z 2 + 4 z в точке P (2; 3;1) Ответы: 1). (x − 1) + (y − 3) + (z + 2 ) = 13 2

2

2

2). x 2 + (y − 3) + (z + 2 ) = 13 2

3). x 2 + y 2 + (z + 2 ) = 13

4). x 2 + y 2 + (z − 1) = 12

5). (x − 2 ) + y 2 + z 2 = 11

2

2

2

2

Номер: 1.73.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x 2 − 6 x + y 2 + z 2 − 2 z в точке P (6;1;1) Ответы: 1). (x − 3) + y 2 + (z − 1) = 10 2

2). x 2 + y 2 + (z − 1) = 10

2

2

3). x 2 + (y − 1) + (z − 1) = 1 2

2

4). x 2 + y 2 + z 2 = 2

5). x 2 + (y − 2) + (z − 1) = 10 2

Задача:

Найти 2

2

Номер: 1.74.С поверхности уровня

2

2

U = 2 x + 4 x + 3 y + 6 y + z , C > −5 Ответы: 1). семейство сфер

2). семейство эллипсоидов 19

скалярного

поля

3). семейство параболоидов 4). семейство конусов 5). нет правильного ответа Номер: 1.75.С Задача: Найти поверхность уровня 2 2 2 U = x + 2 y − 4 y + 3z + 6 z в точке P (0; 2; − 2 )

x 2 (y − 1) (z + 1) Ответы: 1). + + =1 5 2,5 53 2

поля

x 2 y 2 (z + 1) 2). + + =1 5 2,5 53

2

2

x 2 (y − 1) (z − 1) 3). + + =1 5 5 5 2

скалярного

2

4).

5). нет правильного ответа

(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 5

5

2

=1

Номер: 1.76.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = x 2 + 2 y 2 − 4 y − 3 z 2 в точке P (1; 2;1) Ответы: 1). x 2 + 2 (y − 1) − 3z 2 = 0 2

2). x 2 + y 2 − 3 z 2 = 0 4). x 2 + y 2 + (z − 1) = 12 2

3). x 2 + y 2 − 4 z 2 = 1 5). x 2 + (y − 1) − 3 z 2 = 0 2

Номер: 1.77С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля U = 2 x 2 + y 2 − 3 y − 6 z 2 в точке P (0; 0;−1) Ответы: 1). параболоид с вершиной в точке (0; 0; − 1) 3). сфера с центром (1;1;1) 2). конус с вершиной в точке (0; 0; − 1) 4). конус с вершиной в точке (1;1;1) 5). параболоид с вершиной в точке (1;1;1) Задача: 2

Найти 2

Номер: 1.78.С поверхности уровня

скалярного

поля

скалярного

поля

2

U = x − 2x + y + 4 y − 2 z + 5 Ответы: 1). семейство конусов 2). семейство эллиптических параболоидов 3). семейство круговых параболоидов 4). семейство сфер 5). нет правильного ответа Номер: 1.79.С Задача: Найти поверхность уровня 2 2 2 U = x − 2 x + 2 y + 4 y − z + 1 в точке P (2;1; 2) 20

Ответы: 1).

3).

(x − 1)2 + (y + 1)2 − z 2 5

2,5

5

=1

(x − 1)2 + y 2

z2 − =1 2,5 5

5

x 2 (y + 1) z 2 2). + − =1 5 2,5 5 2

x 2 y2 z2 4). + − =1 5 2,5 5

5). нет правильного ответа Номер: 1.80.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного 2 2 2 U = x + 3 y − 6 y + z − 2 z + 2 в точке P (0; 2;1) Ответы: 1). однополостный гиперболоид 2). параболоид 3). конус 4). двухполостный гиперболоид 5). сфера

поля

Номер: 1.81.С Задача: Найти производную скалярного поля U = x 2 + y 2 − x 2 + z 2 в точке M (− 3; 0; 4) в направлении нормали к поверхности

2 x 2 + 12 x + 5 y 2 + z 2 − 3 z − 58 = 0 , образующий острый угол с осью 0z . Ответы: 1). 4/5

2). -4/5

3). 3/5

4). 2/5

5). -1/5

Номер: 1.82.С Задача: Найти производную скалярного поля U = z 2 + y 2 + x 2 + z 2 в точке P (1; 2; − 1) в направлении нормали к поверхности

x 2 + 6 x + y 2 + 2 z 2 − 4 z + 10 = 0 , образующей острый угол с осью 0z . Ответы: 1). 1

2). 3

3). 0

4). 4

5). 2

Номер: 1.83.С Задача: Найти производную скалярного поля U = y 2 + z 2 − x 2 + y 2 в точке

P (1; 0;1) в направлении нормали к поверхности x 2 + 4 y 2 − 3 x + 2 z 2 − z + 5 = 0 , образующий острый угол с осью 0z .

1 7 4 5 5 Ответы: 1).

2).

3).

4).

5).

10 10 10 10 10 Номер: 1.84.С Задача: Найти производную скалярного поля U = y 2 + z 2 − ln x z 2 в точке P (1; 2; 3) в направлении нормали к поверхности

(

)

3 x 2 + 12 x + 4 y 2 + z 2 − 2 z − 40 = 0 , образующий острый угол с осью 0z .

151 151 151 151 151 2).

3).

4).

5). Ответы: 1).

149 3 149 2 149 4 149 3 147 21

Номер: 1.85.С Задача: Найти производную скалярного поля U = x 2 + z 2 − ln z y 2 в точке P (1;1;1) в направлении нормали к поверхности

(

)

4 x 2 + 5 y 2 − 15 y + z 2 − 3 z + 12 = 0 , образующий острый угол с осью 0z .

1 3 2 8 5 2).

3).

4).

5). Ответы: 1).

3 10 3 10 10 10 10 Номер: 1.86.С Задача: Найти производную скалярного поля U = ln x 2 + y 2 + x y z 2 в точке P (1;1; 2 ) в направлении нормали к поверхности

(

)

2 x 2 + 6 x + 5 y 2 + z 2 − 2 z + 29 = 0 , образующий острый угол с осью 0z .

5 4 54 25 22 2).

3).

4).

5). Ответы: 1).

51 51 51 51 51 Номер: 1.87.С Задача: Найти производную скалярного поля U = ln y 2 + z 2 + x 2 y z в точке P (1; 2;1) в направлении нормали к поверхности

(

)

x 2 + 6 x − 4 y 2 − z 2 + 3 z + 31 = 0 , образующий острый угол с осью 0z .

72 12 244 244 2).

3).

4).

5). нет правильного ответа Ответы: 1).

5 129 5 129 129 5 129 Номер: 1.88.С Задача: Найти производную скалярного поля U = x 2 + y 2 + ln x + z 2 в точке P (1; 2;1) в направлении нормали к поверхности

(

)

3 x 2 − 2 x − 2 y 2 + 4 y − z 2 + 13 = 0 , образующий острый угол с осью 0z . Ответы: 1). 1/3

2). 2/3 3). 4/3 4). 1/2

5). 3/2

Номер: 1.89.С Задача: Найти производную скалярного поля U = x 2 − z 2 + ln z + y 2 в точке P (1; − 1; 2 ) в направлении нормали к поверхности

(

)

x 2 − 7 x − 3 y 2 + 2 y + 2 z 2 + 15 = 0 , образующий острый угол с осью 0z .

134 134 133 133 134 2).

3). − 4).

5). − Ответы: 1).

153 3 153 3 153 3 153 3 153

22

Номер: 1.90.С Задача: Найти производную скалярного поля U = y 2 + z 2 + ln y + x 2 в точке P (1 2 ; 3 4 ;1) в направлении нормали к поверхности

(

)

x 2 − 2 y 2 + 2 y + z 2 − 2 z + 17 = 0 , образующий острый угол с осью 0 y .

1 3 3 1 2). 2 3).

4). − 5). − Ответы: 1).

2 2 2 2 Номер: 1.91.С Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля U =

A (1; 2;1) и B (2; 0; 3) 23 23 2). Ответы: 1).

15 5

3).

23 29 4).

15 5 15 5

5).

x в точках y2 + z2

29 5

Номер: 1.92.С Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля U = x 2 + y 2 + 2 x z 2 в точках A (1;1;1) и B (0; 2; 3) Ответы: 1).

20 20 20 20 2).

3).

4).

5). нет правильного ответа 7 85 87 89 3 85 Номер: 1.93.С

Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля U =

A (1;1;1) и B (2;1; 0 ) Ответы: 1).

1 3

2).

3 2

3).

2 3 3

4).

2 3

5).

y в точках x + z2 2

2 2

Номер: 1.94.С Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля U = y 2 + z 2 + y x 2 + 10 в точках A (2;1; 2 ) и B (2;1;1) Ответы: 1).

7 7 7 2).

3).

391 391

1 6 7 4).

5). нет правильного ответа 391 391

Номер: 1.95.С Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля U =

A (1; 0;1) и B (1;1; 2) 23

z в точках x 2 + y2

Ответы: 1).

Задача:

5 5 3 1 1 2).

3).

4).

5).

4 3 4 5 3

Найти

Номер: 1.96.С острого угла ϕ

синус

между

градиентами

поля

U = 4 x 2 + y 2 − z 2 + 2 z в точках A (1;1;1) и B (0; 2; 0) Ответы: 1).

Задача:

21 21 21 21 2).

3).

4).

5). нет правильного ответа 6 7 5 8

Найти

Номер: 1.97.С острого угла ϕ

синус

между

градиентами

поля

U = x 2 − 2 y 2 + 4 y + z 2 + 10 в точках A (1;1;1) и B (0; 2;1 2) Ответы: 1).

Задача:

33 2).

34

Найти

33 33 3).

4).

34 34

31 5). нет правильного ответа 34

Номер: 1.98.С острого угла ϕ

синус

между

градиентами

поля

U = 4 x 2 + y 2 + 2z 2 − 6 z + 1 в точках A (1; 2; 0 ) и B (1 2 ;1 2 ;1 2 ) Ответы: 1).

Задача:

1 2).

319

Найти

17 3).

319

19 4).

319

3 5). нет правильного ответа 319

Номер: 1.99.С острого угла ϕ

синус

между

градиентами

поля

градиентами

поля

U = x y z − y 2 + 2z 2 + 4 в точках A (1;1;1) и B (2; 0;1 2 ) Ответы: 1).

Задача:

2 5

Найти

2).

1 1 3).

5 3

4).

3 2

5).

Номер: 1.100.С острого угла ϕ

синус

2 2 между

U = x y z − x 2 + y + z 2 − 5 в точках A (1; 0;1) и B (− 1 ; − 1 ; 0 ) Ответы: 1). 1 2). 0

3).

1 2

4).

3 2

5).

24

2 2

2. Векторное поле. Векторные линии. Непосредственное вычисление потока вектора через поверхность Номер: 2.1.А Задача: Векторным или силовым полем называется поле, в каждой точке которого задано Ответы: 1). число 2). вектор 3). функция y = f (x ) 5). нет правильного ответа 4). функция F (x; y ) = 0 Номер: 2.2.А Задача: Даны поля: поле скорости течения жидкости или газа; поле давлений; полей плотностей; поле температур. Какое из них является векторным? Ответы: 1). поле давлений 2). поле температур 3). поле скоростей 4). поле плотностей 5). векторного поля нет Номер: 2.3.А Задача: Касательная в каждой точке M у векторной линии совпадает Ответы: 1). с вектором поля 2). с вектором перпендикулярным векторному полю 3). с вектором параллельным векторному полю 4). с вектором направленным под углом 450 к вектору a (M ) 5). нет правильного ответа Номер: 2.4.А Задача: Дифференциальные уравнения векторных линий в R 3 имеют вид

dx dy dz = = ax az ay dx dz = 3). ax az

Ответы: 1).

dx dy dz = = ax ay az dy dz = 4). ay az

2).

5).

dx dy dz = = ay ax az

Номер: 2.5.А Задача: В случае плоского поля векторные линии удовлетворяют уравнениям

dx dy dx dy 2). = = , dz = 0 ax ay ax ay dx dy = , dz = 0 5). нет правильного ответа 4). ay ax

Ответы: 1).

3).

dx dy = ay az

Номер: 2.6.А Задача: Параметрическое дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме имеет вид 25

Ответы: 1). d r = λ a dt

2). d r = λ a dt

4). d r = λ a dt

{

3). d r = λ a dt

5). нет правильного ответа

Задача: Вектор a = a x ; a y ; a z

}

Номер: 2.7.А − это вектор поля, направленный

Ответы: 1). по касательной к линии r (t ) 3). под углом в 450 к касательной 5). нет правильного ответа

2). перпендикулярен к касательной 4). под углом в 30 0 к касательной

Номер: 2.8.А Задача: В уравнении d r = λ a dt , r = r (t ) это Ответы: 1). уравнение касательной 2). уравнение векторной линии 3). уравнение нормали к векторной линии 4). уравнение прямой, проходящей под углом в 450 к векторной линии 5). нет правильного ответа Номер: 2.9.А Задача: Потоком векторного поля a через поверхность σ называется 2). двойной интеграл ∫∫ a dx dy Ответы: 1). двойной интеграл ∫∫ a dσ D

D

3). поверхностный интеграл ∫∫ a d σ D

4). ∫∫ a dx dy D

5). нет правильного ответа Номер: 2.10.А Задача: Как направлен вектор d σ в формуле вычисления потока Ответы: 1). параллельно касательной плоскости 2). по нормали к поверхности в каждой точке 3). под углом в 30 0 к касательной плоскости 4). под углом в 450 к касательной плоскости 5). нет правильного ответа Номер: 2.11.А Задача: Какая из формул вычисления потока неверна Ответы: 1). ∫∫ a d σ 2). ∫∫ a n d σ 3). ∫∫ a n dσ σ

4). ∫∫ a dσ σ

σ

σ

5). ∫∫ a x dy dz + a y dx dz + a z dx dy σ

26

Номер: 2.12.А Задача: Чему равен d σ ? Ответы: 1). d σ = 1 4). d σ =

3). d σ = площади σ

2). d σ = 2

2 2

5). d σ =

3 2

Номер: 2.13.А Задача: В формуле вычисления потока ∫∫ a n dσ , a n это σ

Ответы: 1). модуль вектора векторного поля 2). проекция вектора a на направление нормали 3). скалярное произведение a ⋅ grad U σ 4). векторное произведение a× grad U 5). нет правильного ответа Номер: 2.14.А Задача: Если уравнение поверхности разрешено относительно третьей координаты z = f (x; y ) , то поток вычисляется по формуле

⎛ ∂z ⎞ a x + a z ⎟⎟ dx dy ⎝∂x ⎠

σ

⎛ ∂z

∂z

⎛ ∂z ⎞ a y + a z ⎟⎟ dx dy ⎝∂y ⎠

2). ∫∫ ⎜⎜

Ответы: 1). ∫∫ ⎜⎜

σ

⎞

⎛ ∂z

ax − a y ⎟⎟ dx dy 3). ∫∫ ⎜⎜ x y ∂ ∂ σ ⎝ ⎠ 5). нет правильного ответа

∂z

⎞

4). ∫∫ ⎜⎜ ax − a y + a z ⎟⎟ dx dy x z ∂ ∂ σ ⎝ ⎠

Номер: 2.15.А Задача: Поток радиуса вектора через внешнюю сторону нижнего основания цилиндра равен 3). 0 4). 1 5). нет правильного ответа Ответы: 1). π R 2 2). π R Номер: 2.16.А Задача: Поток радиуса вектора через внешнюю сторону верхнего основания цилиндра радиуса R и высота H равен Ответы: 1). H π R

2). π R 2

3). H π R 2 σ

4).

1 HπR2 2

5). 2 H π R 2

Номер: 2.17.А Задача: В формуле вычисления потока Q = ∫∫ a x dy dz + a y dx dz + a z dx dy σ

a x , a y , a z это Ответы: 1). координаты нормального вектора 27

2). проекция вектора a на оси координат соответственно 3). проекции вектора a на нормальный вектор 4). a x , a y , a z − обязательно const 5). нет правильного ответа Номер: 2.18.А Задача: В формуле вычисления потока Q = ∫∫ a n dσ , a ⋅ n есть σ

Ответы: 1). векторное произведение 3). скалярное произведение 5). нет правильного ответа

2). смешанное произведение 4). двойной векторное произведение

Номер: 2.19.А Задача: Поверхность, образованная векторными линиями проходящими через точки замкнутого контура С ∈ векторному полю называется Ответы: 1). односторонней поверхностью 2). двухсторонней поверхностью 3). векторной трубкой 4). плоскостью 5). нет правильного ответа Номер: 2.20.В Задача: Поток радиуса вектора через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра радиуса R и высоты H равен Ответы: 1). π R 2 H 2). 2 π R 2 3). 2 π R 2 H 4). 3 π R 2 H

5).

1 πR2 H 2

Номер: 2.21.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = −5 x i + 10 y j Ответы: 1). x 2 = c1 y, z = c 2 4). x 2 = c1 z, y = c 2

2). x 2 = c1 y, z = c 2

3). y 2 = c1 x , z = c 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.22.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = x i + 2 y j Ответы: 1). x = y 2 + c1 , z = c 2 4). z = x 2 + c1 , y = c 2

2). y = x 2 ⋅ c1 , z = c 2

3). z = y 2 + c1 , x = c 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.23.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = x i + 2 z k Ответы: 1). z = x 2 + c1 , y = c 2

2). y = x 2 ⋅ c1 , z = c 2

4). x = y 2 + c1 , z = c 2 3). x = z 2 + c1 , y = c 2 5). нет правильного ответа 28

Номер: 2.24.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 x i + 2 y j 2). z = c1 x , y = c 2 3). z = c1 y, x = c 2 Ответы: 1). y = c1 x , z = c 2 4). y 2 = c1 x , z = c 2

5). z 2 = c1 x , y = c 2

Номер: 2.25.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 x i + 8 z k Ответы: 1). z = c1 x 4 , y = c 2

2). x = c1 z 4 , y = c 2

4). y = c1 z 4 , x = c 2

3). y = c1 x 4 , z = c 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.26.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 y i + 2 x j Ответы: 1). x 2 + y 2 = c1 , z = c 2 3). 2 x 2 + y 2 = c1 , z = c 2

2). x 2 − y 2 = c1 , z = c 2 4). x 2 + z 2 = c1 , y = c 2

5). x 2 − z 2 = c1 , y = c 2 Номер: 2.27.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 3 y i − 3 x j Ответы: 1). − x 2 + y 2 = c1 , z = c 2 3). x 2 + y 2 =

2 c1 , z = c 2 3

2). x 2 − y 2 = c1 , z = c 2 4). − x 2 + z 2 = c1 , y = c 2

5). нет правильного ответа Номер: 2.28.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 z j − 2 y k Ответы: 1). y 2 + z 2 = c1 , x = c 2 3). − x 2 + z 2 = c1 , y = c 2

2). y 2 − z 2 = c1 , x = c 2 4). x 2 − z 2 = c1 , y = c 2

5). − x 2 + z 2 = c1 , y = c 2 Номер: 2.29.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 3 z i − 3 x k Ответы: 1). − x 2 + z 2 = c1 , y = c 2

2). x 2 − z 2 = c1 , y = c 2

3). − x 2 + y 2 = c1 , z = c 2

4). x 2 − y 2 = c1 , z = c 2

5). x 2 + z 2 = c1 , y = c 2

29

Номер: 2.30.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 x i + 8 y j Ответы: 1). y = c1x 3 , z = c 2

2). y = c1 x 2 , z = c 2

4). y = c1 x , z = c 2

5). z = c1x 2 , y = c 2

3). y = c1 x 4 , z = c 2

Номер: 2.31.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 x i + 6 y j Ответы: 1). y = c1x 2 , z = c 2

2). y = c1 x 3 , z = c 2

4). z = c1 x 3 , y = c 2

5). z = c1 y 3 , x = c 2

3). y = c1 x , z = c 2

Номер: 2.32.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 z j − 3 y k Ответы: 1). y 2 − z 2 = c1 , x = c 2 3). y 2 −

3 2 y − z 2 = c1 , x = c 2 2 3 4). y 2 + z 2 = c1 , x = c 2 2 2).

3 2 x = c1 , x = c 2 2

5). нет правильного ответа

Номер: 2.33.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 z i − 3 x k

3 2 x − z 2 = c1 , y = c 2 2 3 5). y 2 − z 2 = c1 , x = c 2 2

3).

3 2 3 4). x 2 + z 2 = c1 , y = c 2 2

2). x 2 − z 2 = c1 , y = c 2

Ответы: 1). x 2 − y 2 = c1 , y = c 2

Номер: 2.34.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 y j + 8 z k Ответы: 1). z = c1 y 4 , x = c 2

2). z = c1 y 3 , x = c 2

4). y = c1 x 4 , z = c 2

5). y = c1x 3 , z = c 2

3). z = c1 y 2 , x = c 2

Номер: 2.35.В Задача: Найти векторные линии векторного поля a = 2 x i + 4 z k Ответы: 1). z = c1x 2 , y = c 2 4). y = c1 x 2 , z = c 2

2). z = c1 x , y = c 2 5). x = c1 y 2 , z = c 2

30

3). y = c1 x , z = c 2

Номер: 2.36.В Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = x i + z k ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/4

2). 1/3

3). 1/5

4). 1

5). 0

Номер: 2.37.В Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = x i + y j ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/3

2). 1/2

3). 0

4). 1

5). 2

Номер: 2.38.В Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = y j + z k ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1

2). 0

3). 1/3

4). 1/4

5). 1/2

Номер: 2.39.В Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = x i + z k ⎪ ⎨ x ⎪p : + y + z = 1 ⎩ 4 Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 10/3 4). 4/3 5). 7/3 Номер: 2.40.В Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = x i + y j ⎪ ⎨ x ⎪p : + y + z = 1 ⎩ 4 Ответы: 1). 1/3 2). 4/3 3). 10/3 4). 11/3 5). 13/13

31

Номер: 2.41.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = y j + z k ⎪ ⎨ x ⎪p : + y + z = 1 ⎩ 4 Ответы: 1). 2/3 2). 1/3 3). -1/3 4). -2/3 5). 1/4 Номер: 2.42.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 2 x i − 3 y j ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). -1/6 2). 1/6 3). 1/4 4). -1/4 5). 1/5 Номер: 2.43.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 3 x i + 2 y j ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/6 2). 5/6 3). 1/7 4). 1/5 5). 11/6 Номер: 2.44.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 3 y j + 2 z k ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 2/3 2). 1/3 3). 5/6 4). 1/6 5). 1/7 Номер: 2.45.В Задача: Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 2 x i + 3 z k ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/5 2). 6/5 3). 1/6 4). 5/6 5). 0

32

Номер: 2.46.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 4 x i + 3 y j ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/6 2). 5/6 3). 7/6 4). 11/6 5). 13/6 Номер: 2.47.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 4 x i + 3 y j ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/6 2). 5/6 3). 7/6 4). 1/5 5). 6/5 Номер: 2.48.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 4 y i + 3 z k ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/12 2). 1/3 3). 5/6 4). 7/6 5). 0 Номер: 2.49.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 4 x i + 3 z k ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 1/3 2). 7/6 3). 0 4). 11/6 5). 1/6 Номер: 2.50.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎧a = 3 x i + 3 z k ⎨ ⎩p : x + y + z = 1 Ответы: 1). 2 2). 3 3). 4 4). 3/2 5). 0 Номер: 2.51.С

x 2 + y2 + z2 Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = 2 33

x y z = = 1 c1 c 2 x y z 4). = = 1 2 c2

Ответы: 1).

y z x = = c1 c 2 1 x y z 5). = = 2 2 c2 2).

3).

x y z = = 4 c1 c 2

Номер: 2.52.С Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = x 2 − 2 y + z 2 Ответы: 1). y = c1 e − x , z = c 2

2). y = c1 e − y , z = c 2 e − y

3). y = c1 e − x , z = c 2 e − y 5). нет правильного ответа

4). y = c1 e − x , x = c 2

Номер: 2.53.С Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = x 2 + y 2 + z Ответы: 1). x 2 = c1 y 2 , z = e c 2 x

2

2). x 2 = c1 y 2 , z = c 2

2

3). y = e c 2 x , y = c1 5). нет правильного ответа

4). y = c1 e − x , x = c 2

Номер: 2.54.С Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = x + y 2 + z 2 Ответы: 1). y = c1 e − x , z = c 2

2). y = c1 e x , z = c 2 e x

3). y = c1 e x , z = c 2 e − x 5). нет правильного ответа

4). x = c1 e y , z = c 2 e x

Номер: 2.55.С

x2 z2 2 Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = +y + 2 2 2 2 2). y = c1 x , z = c 2 x Ответы: 1). y = c1 x , z = c 2 4). y = c1 x , z = c 2 3). y = c1 x , z = c 2 x 5). нет правильного ответа Номер: 2.56.С

x 2 y2 + + z2 Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = 2 2 2 2). y = c1 x , z = c 2 x Ответы: 1). y = c1 x , z = c 2 x 3). y = c1 x , z = c 2 x 3 5). нет правильного ответа

4). y = c1 x 2 , x = c 2 x 2

34

Номер: 2.57.С

y2 z2 Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = x + + 2 2 Ответы: 1). y = c1 x , z = c 2 x 2). y ≠ c1 x , z = c 2 x 2

3). y = c1 x , z = c 2

4). y = c1 x 2 , x = c 2

x

x

5). y = c1 x , z = c 2 x 2 Номер: 2.58.С Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 2). y = c1 x , z = c 2

Ответы: 1). y = c1 x , z = c 2 x 3). y = c1 x 2 , z = c 2

x

4). y = c1 x , z = c 2

x x

5). y = c1 x , z = c 2 x 2 Номер: 2.59.С Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 2). y = c1 x 4 , z = c 2 x

Ответы: 1). y = c1 x 4 , z = c 2 x 2 3). y = c1 x 3 , z = c 2 x

4). y = c1 x 3 , x = c 2

5). y = c1 x 2 , z = c 2 x Номер: 2.60.С Задача: Найти векторные линии поля grad U , если U = 4 x 2 + y 2 + 2 z 2 Ответы: 1). y = c1 4 x , z = c 2

2). y = c1 3 x , z = c 2

x x

3). y = c1 x , z = c 2 5). нет правильного ответа

x

4). y = c1 x , z = c 2 x

Номер: 2.61.С Задача: Вычислить непосредственно поток вектора a = z i + (x + y ) j + y k через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями

x = y = z = 0, 2 x + y + 2 z = 2

Ответы: 1). 1/3 2). 1/2 3). 1/4 4). 0 5). 1 Задача:

Вычислить

Номер: 2.62.С непосредственно поток через полную поверхность

a = (x + z ) i + z j + (2 x − y ) k ограниченной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, 3 x + 2 y + z = 6 Ответы: 1). 5 2). 7

3). 6 4). 4 5). 0

35

вектора пирамиды,

Задача:

Номер: 2.63.С непосредственно через полную

Вычислить

поток поверхность

вектора пирамиды,

поток поверхность

вектора пирамиды,

поток поверхность

вектора пирамиды,

a = (y + z ) i + x j + (y − 2 z ) k ограниченной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, 2 x + y + z = 2 Ответы: 1). 2/3 2). 1/3 3). -2/3

4). -1/3 5). 0

Номер: 2.64.С Задача: Вычислить непосредственно a = (2 y − z ) i + (x + 2 y ) j + y k через полную

⎧p : x + 3 y + 2 z = 6 ⎩x = 0, y = 0, z = 0

ограниченной плоскостями ⎨

Ответы: 1). 10 2). 11 3). 6 4). 12 5). 0 Задача:

Номер: 2.65.С непосредственно через полную

Вычислить

a = ( y + z ) i + (x + 6 y ) j + y k ⎧p : x + 2 y + 2 z = 2 ограниченной плоскостями ⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0 Ответы: 1). 1 2). 2

3). 3 4). 0 5). 6

Номер: 2.66.С Задача: Вычислить непосредственно поток вектора a = (3 x − y ) i + (y − x + z )y j + 4 z k через полную поверхность пирамиды,

⎧p : 2 x − y − 2 z = 2 ⎩x = 0, y = 0, z = 0

ограниченной плоскостями ⎨

Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 5/6 4). 8/3 5). 0 Номер: 2.67.С Задача: Вычислить непосредственно поток вектора a = (x + z ) i + (z − x ) j + (x + 2 y + z ) k через полную поверхность пирамиды,

⎧p : x + y + z = 2 ⎩x = 0, y = 0, z = 0

ограниченной плоскостями ⎨

Ответы: 1). 8/3 2). 0 3). 1 4). 2/3 5). 1/3 Номер: 2.68.С Задача: Вычислить непосредственно a = (x + z ) i + 2 y j + (x + y − z ) k через полную

⎧p : x + 2 y + z = 2 ⎩x = 0, y = 0, z = 0

ограниченной плоскостями ⎨

36

поток поверхность

вектора пирамиды,

Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 4/3 4). 1 5). 0 Номер: 2.69.С Задача: Вычислить непосредственно поток вектора a = (x − y − z ) i − 2 y j + (x + 2z ) k через полную поверхность пирамиды,

⎧p : x + 2 y + z = 2 ⎩x = 0, y = 0, z = 0

ограниченной плоскостями ⎨

Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 0 4). 1 5). 4/3 Номер: 2.70.С Задача: Вычислить непосредственно a = (x + z ) i + (y + z ) j + 2 (x + z ) k через полную

поток поверхность

вектора пирамиды,

⎧p : 3 x − 2 y + 2 z = 2 ⎩x = 0, y = 0, z = 0

ограниченной плоскостями ⎨ Ответы: 1). 5 2). 4

3). 7 4). 6 5). 0 Номер: 2.71.С

Задача: Найти поток вектора

x 2 + y2 = 4 z2 , z = 2. Ответы: 1). 16 π 2). 32 π

a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через основание конуса

3). 18 π

4). 9 π

5). 33 π

Номер: 2.72.С Задача: Найти поток вектора

x 2 + y2 = 4 z2 , z = 3. Ответы: 1). 81 π 2). 122 π

a = x 3 i + y 3 j + z 2 k через основание конуса

3). 162 π

4). 144 π

5). 13 0π

Номер: 2.73.С Задача: Найти поток вектора

x 2 + y 2 = 9 z 2 , z = 1. Ответы: 1). 5 π 2). 2 π

3). 3 π

a = x 3 i + y 2 j + z k через основание конуса 4). 6 π

5). 4 π

Номер: 2.74.С Задача: Найти поток вектора

x 2 + y 2 = 16 z 2 , z = 1 . Ответы: 1). 7 π 2). 6,4 π

a = x 2 i + y 2 j + z 3 k через основание конуса

3). 6,5 π

4). 10,3 π

37

5). 8 π

Номер: 2.75.С

a = x i + y j + z 3 k через основание конуса

Задача: Найти поток вектора

x 2 + y 2 = 4 z 2 , z = 1.

4 6 Ответы: 1). π 2). π 5 5

3).

8 π 5

4). π

5). 0

Номер: 2.76.С

a = x 2 i + y j + z 3 k через основание конуса

Задача: Найти поток вектора

1 .

3 π 2).

12

x 2 + y2 = 9 z2 , z = Ответы: 1).

π 9

3).

π 2

4).

π 18

5). 0

Номер: 2.77.С Задача: Найти поток вектора a = 2 x i + 3 y j + z 3 k через основание конуса

1 2 z , z = 2.

2 2 π 2). 4 2 π Ответы: 1).

5 x 2 + y2 =

3).

4 2 π 5

4).

1 π 5

5). 0

Номер: 2.78.С Задача: Найти поток вектора a = 3 x i + 2 y j + z 2 k через основание конуса

1 x 2 + y2 = z2 , z = 3 .

3 π 3π Ответы: 1). 2 π 2).

3).

2 2

4). 3 π

5). 2,5 π

Номер: 2.79.С Задача: Найти поток вектора a = 2 x i + y 2 j + z k через основание конуса

1 2 z , z = 2.

4 4 1 Ответы: 1). π 2). π 3 3 x 2 + y2 =

3). π

4). 0

5). нет правильного ответа

Номер: 2.80.С Задача: Найти поток вектора

a = 3 x i + y j + z 4 k через основание конуса

x 2 + y 2 = 2 z 2 , z = 1.

38

Ответы: 1).

1 π 3

2).

2 π 3

3). π

4).

π 2

5).

3 π 2

Номер: 2.81.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса R = 2 , высота H = 1 , если начало координат лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). 8 π 2). 4 π 3). 0 4). 12 π 5). 10 π Номер: 2.82.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса R = 2 , высота H = 2 , если начало координат лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). 10 π 2). 20 π 3). 24 π 4). 22 π 5). 21 π Номер: 2.83.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса R = 3 , высота H = 2 , если начало координат лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). 54 π 2). 50 π 3). 48 π 4). 56 π 5). 52 π Номер: 2.84.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса R =

1 , высота H = 4 , если начало координат 2

лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). π

2). 2 π

3). 3 π

4).

π 2

5).

3 π 2

Номер: 2.85.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса R =

1 , высота H = 3 , если начало координат 3

лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). π

Задача:

Найти

2). 2 π

поток

3).

3 π 2

4).

π 2

5). 0

Номер: 2.86.С вектора a = y 2 j + z k

через

часть

поверхности

z = x 2 + y 2 , отсеченный плоскостью z = 2 нормаль берется внешняя по отношению к области, ограниченной параболоидом 39

Ответы: 1). 2 π

Задача:

Найти

2). − 2 π

поток

3). π

π 4

4).

5). −

π 2

Номер: 2.87.С вектора a = x 2 i + z k

через

часть

поверхности

z = x 2 + y 2 , отсеченный плоскостью z = 1 нормаль берется внешняя по отношению к области, ограниченной параболоидом Ответы: 1). −

π 4

2).

π 4

3). −

π 2

4).

π 2

5). −

π 3

Номер: 2.88.С Задача: Найти поток вектора a = x 2 i + y 2 j + z k через часть поверхности

z = x 2 + y 2 , отсеченный плоскостью z = 2 нормаль берется внешняя по отношению к области, ограниченной параболоидом Ответы: 1). π 2). π 3). 2 π 4). − 2 π 5). 3 π

Задача:

Найти

поток

Номер: 2.89.С вектора a = y 2 j − z k

через

часть

поверхности

z = x 2 + y 2 , отсеченный плоскостью z = 1 нормаль берется внешняя по отношению к области, ограниченной параболоидом Ответы: 1). −

Задача:

π 2

Найти

2).

π 2

поток

3). −

π 4

4).

π 4

5). 0

Номер: 2.90.С вектора a = x 2 i − z k

через

часть

поверхности

z = x 2 + y 2 , отсеченный плоскостью z = 3 нормаль берется внешняя по отношению к области, ограниченной параболоидом Ответы: 1). 4 π 2). 4,5 π 3). − 4,5 π 4). − 4 π 5). 3 π Номер: 2.91.С Задача: Вычислить поток векторного поля a = x i + y j + x 2 + y 2 − 1 ⋅ k через внешнюю

сторону

однополостного

гиперболоида

z = x 2 + y2 −1 ,

ограниченного плоскостями z = 0, z = 2 . Ответы: 1).

2π

2).

5π

3). 4 2 π

40

4). 3 5 π

5). − 3 5 π

Номер: 2.92.С Задача: Вычислить поток векторного поля a = x i + y j +

x 2 + y 2 − 1 ⋅ k через

z= внешнюю сторону однополостного гиперболоида ограниченного плоскостями z = 0, z = 1(с осью 0z тупой угол). Ответы: 1). 2 3 π

2). 2 π

3π

3).

4). − 2 3 π

x 2 + y2 −1 ,

5). − 3 π

Номер: 2.93.С Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность z = 1 − x 2 + y 2

(0 ≤ z ≤ 1)

Ответы: 1).

π 2

2).

3 2

π

4). −

3). π

π 2

5). − π

Номер: 2.94.С Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность z = 1 − x 2 + y 2

⎛ ⎜0 ≤ z ≤ ⎝

1⎞ ⎟ 2⎠

Ответы: 1).

π 4

2). −

π 4

3). −

π 2

4). −

π 2

5). π

Номер: 2.95.С Задача: Найти поток вектора a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через положительный откат сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . Ответы: 1).

1 π 8

2).

3 π 8

3).

7 π 8

3 8

1 8

4). − π

5). − π

Номер: 2.96.С Задача: Найти поток вектора a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через положительный откат сферы x 2 + y 2 + z 2 = 2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . Ответы: 1). π

2). 2 π

3). − π

4).

3 π 2

5). − 2 π

Номер: 2.97.С Задача: Найти поток вектора a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через положительный откат сферы x 2 + y 2 + z 2 = 3, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . Ответы: 1).

27 17 π 2). π 8 8

3).

21 π 8

4). −

41

27 π 8

5). −

21 π 8

Номер: 2.98.С Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность x = 1 − z 2 + y 2

(0 ≤ x ≤ 1)

Ответы: 1). −

π 2

2). −

π 4

3). π

4). − π

5).

π 2

Номер: 2.99.С Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность y = 1 − x 2 + z 2

(0 ≤ z ≤ 1)

Ответы: 1). −

π 2

2). −

π 4

3). π

4). − π

5).

π 2

Номер: 2.100.С Задача: Вычислить поток векторного поля a = x i + y j + x 2 + y 2 − 1 k через внешнюю сторону однополостного гиперболоида ограниченного плоскостями z = 0, z = 2 . Ответы: 1). 3 π 2). 2 π 3). 4 π 4). − 4 π 5). − 3 π

42

z = x 2 + y2 −1 ,

3. Дивергенция. Поток вектора через замкнутую поверхность Номер: 3.1.А Задача: По какой формуле вычисляется средняя обильность потока

∫∫ a d σ Ответы: 1).

4).

σ

S ∫∫ n a d σ D

V

∫∫ a dσ 2).

∫∫ n d σ

σ

3).

V

D

V

5). нет правильного ответа Номер: 3.2.А

Задача: Предел отношения потока вектора a через поверхность, окружающую точку M , к объему, ограниченному этой поверхностью при σ → M называется. Ответы: 1). средней обильностью 2). дивергенцией 3). ротором 4). производной по направлению 5) нет правильного ответа Номер: 3.3.А Задача: Дивергенция векторного поля есть величина Ответы: 1). векторная 2). всегда больше нуля 4). всегда меньше нуля 5). всегда равна нулю

3). скалярная

Номер: 3.4.А Задача: При какой дивергенции количества жидкости вытекающей и втекающей равны? Ответы: 1). div a < 0 2). div a > 0 3). div a = 0 4). div a ≤ ∞

5). нет правильного ответа

Номер: 3.5.А Задача: Векторное поле называется соленоидальным, если 2). div a = 3 3). div a − 3 Ответы: 1). div a = 0 4). div a = 1

5). div a = −1 Номер: 3.6.А

Задача: Что характеризует дивергенция в случае div a > 0 ? Ответы: 1). мощность стока 2). мощность источника 3). скорость потока 4). ускорение потока 5). нет правильного ответа

43

Номер: 3.7.А Задача: Точку M вектора a (M ) называют стоком, если

Ответы: 1). div a (M ) > 0

2). div a (M ) < 0

4). div a (M ) не существует

3). div a (M ) = 0

5) нет правильного ответа

Номер: 3.8.А Задача: По какой формуле вычисляется дивергенция?

∂ax ∂ay ∂az + + ∂x ∂z ∂y ∂ay ∂az 3). div a = + ∂z ∂y

∂ax ∂az + ∂x ∂y ∂ax ∂ay ∂az 4). div a = + + ∂x ∂y ∂z 2). div a =

Ответы: 1). div a =

5). нет правильного ответа Номер: 3.9.А Задача: Каким условиям должны удовлетворять функции a x , a y , a z в формуле

div a ? Ответы: 1). имеют конечное точек разрыва первого рода в области 2). имеют конечное точек разрыва второго рода в области 3). непрерывны в области вместе со своими частными производными 4). имеют точки разрыва и 1_го и 2-го рода 5). нет правильного ответа Номер: 3.10.А Задача: Дивергенция радиус-вектора равна Ответы: 1). 3 2). 2 3). 4 4). 0 5). 1 Номер: 3.11.А

( )

Задача: Найти div u a Ответы: 1). u div a

2). a grad u

4). u div a − a grad u Задача: Найти div ( 2 grad u Ответы: 1). Δ u

)

2). 2 Δ u

3). u div a + a grad u

5). 2 u div a Номер: 3.12.А

3).

1 Δu 2

44

4). 3 Δ u

5). − 2 Δ u

Номер: 3.13.А Задача: Среди формул вычисление потока по замкнутой поверхности указать неверную 2). ∫∫ a n dσ 3). ∫∫ a n dσ Ответы: 1). ∫∫ a dσ σ

σ

4). ∫∫ a dσ

σ

5). ∫∫∫ div a dv

σ

V

Номер: 3.14.А Задача: Можно ли вычислить поток векторного поля через площадь S по формуле ∫∫ a d σ ? σ

Ответы: 1). да, если площадь ограничена контуром L 2). нет, так как σ − замкнутая поверхность 3). да, если площадка - квадрат 4). нет, если площадка - круг 5). нет правильного ответа Номер: 3.15.А Задача: Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме имеет вид Ответы: 1). ∫∫ a dσ = ∫∫∫ div a dv 2). ∫∫ a d σ = ∫∫∫ div a dv σ

σ

V

3). ∫∫ a d σ = ∫∫∫ div a dx dy σ

V

4). ∫∫ a d σ = ∫∫∫ div a dv σ

V

D

5). ∫∫ a d σ = ∫∫∫ div a dy dz σ

V

Номер: 3.16.А Задача: Формула Остроградского-Гаусса применяется для вычисления потока, если σ Ответы: 1). область D в плоскости X0Y 2). не замкнутая поверхность 3). замкнутая поверхность 4). область D в плоскости X0Z 5). нет правильного ответа Номер: 3.17.А Задача: Если div a = 2 , то поток векторного поля через сферу x 2 + y 2 + z 2 = 9 равен Ответы: 1). 36 π 2). 72 π 3). 50 π 4). 62 π 5). 48 π

45

Номер: 3.18.А Задача: Если div a = 1, то поток векторного поля через сферу x 2 + y 2 + z 2 = 4 равен Ответы: 1). 10 π

2).

32 π 3

3).

31 π 2

4). 12 π

5). 13 π

Номер: 3.19.А Задача: Если div a = 1, то поток векторного поля через цилиндр x 2 + y 2 = 4, H = 2 равен Ответы: 1). 6 π 2). 7 π 3). 8 π 4). 10 π 5). 0 Номер: 3.20.А Задача: Если div a = 2 , то поток векторного поля через цилиндр x 2 + y 2 = 1 , H = 2 равен Ответы: 1). 4 π 2). 3 π 3). 2 π 4). π 5). 0 Номер: 3.21.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x y i + y z j + z x k в

M 0 (1, 2, 3)

Ответы: 1). 1 2). 0

3). 6

4). -1

5). нет правильного ответа

Номер: 3.22.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x 2 i + y z j + y x k в

M 0 (1, 2, 3)

Ответы: 1). 5 2). 0

3). 1

4). -1

5). нет правильного ответа

Номер: 3.23.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x y 2 i + y z j + z y k в

M 0 (1, 2, 3)

Ответы: 1). 5 2). 9

3). 1

4). 6

5). нет правильного ответа

Номер: 3.24.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x 2 i + x j + x z k в M 0 (1, 2, 3) Ответы: 1). 3 2). 5 3). 9 4). 1 5). нет правильного ответа Номер: 3.25.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля

(

) (

) (

)

a = x 2 + y2 i + y2 + x 2 j + z2 + y2 k Ответы: 1). 2x + 2 y + 2z 2). 2x i + 2 y j + 2z k 46

3). 4x + 6 y + 2z

4). 4x i + 6 y j + 2z k

5). нет правильного ответа

Номер: 3.26.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z 2 k Ответы: 1). 2x + 2 y + 2z

3). x 2 + y 2 + z 2

2). 2 x i + 2 y j + 2z k

x 3 y3 z3 4). + + 3 3 3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.27.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x 2 i + y j + z k 2). 2 x + 2

Ответы: 1). 2 x + y + z 3

4).

2

3). 2 x i + j + k

2

x y z i+ j+ k 3 2 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.28.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = y i + 2 z y j + 2 z 2 k Ответы: 1). 6z

2). 2z j + 4z k

4). yxi + 2 z y 2 j +

2 3 z 3

3). y x + z y 2 +

2 3 z 3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.29.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = 2 x y i + 2 x y j + z 2 k 2). 2 (x + y + z )

Ответы: 1). 4x + 4 y + 4z 4). 4x i + 4 y j + 2z k

3). 2 x i + 2 y j + 2z k

5). нет правильного ответа

Номер: 3.30.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля

(

) (

)

a = y 2 + z 2 i + x y + y 2 j + (x z + z ) k Ответы: 1). 2 x + 2 y + 1 2). 4 y + 2z + 3 3). 5 y + 3z + 2 x + 1 4). 2 x i + 2 y j + k 5). нет правильного ответа

Номер: 3.31.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = y i − x j + 2 z 2 k Ответы: 1). 4z k

2). 4z

2z 3 3).

3

47

4). yxi − xy j +

2 3 z k 3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.32.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = − x 2 y 3 i + j + z k Ответы: 1). − 2 x y 3 + 1

2). − 2 x y 3 i + k

4). − 2 x y 3 − 3 x 2 y 2 + 1

3). − 6 x y 2 + 1

5). нет правильного ответа

Номер: 3.33.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = 6 z i − x j + x y k 2). 6 z x − x y + x z y 3). 0 5). нет правильного ответа

Ответы: 1). 0 4). 5 + x + y

Номер: 3.34.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = z i + y 2 j + x k Ответы: 1). 2 + 2 y

3). i + 2 y j + k

2). 2 y

y3 +xz 4). z x + 3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.35.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x i + 2 z 2 j + y k Ответы: 1). 2 + 4z

2). 0

4). i

3). 1

5). нет правильного ответа

Номер: 3.36.В

1 3

Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x i − z 2 j + y k Ответы: 1). i

2). 1

3). 2 −

2 z 3

4). i −

2 zj+ k 3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.37.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x z i + x j + z 2 k 2). z i + 2z k

Ответы: 1). 3z 4). 3 z i + x j + 1k

3). 3z + x + 1

5). нет правильного ответа

Номер: 3.38.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = x y i + x j + y 2 k Ответы: 1). y 4). yi

2). 3y + x + 1

3). y i + j + 2 y k

5). нет правильного ответа 48

Номер: 3.39.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = (y − z ) i + (z − x ) j + (x + y ) k Ответы: 1). 0 2). 1 3). k 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 3.40.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = − x 2 y 3 i + 2 j + x z k Ответы: 1). − 2 xy 3 + x

2). − 2 x y 3 i + z k

x3 3 z2 4). − y + 2y + x 3 2

3). − 2 x y 3 i + x k

5). нет правильного ответа

Номер: 3.41.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = z i + x j + y k 3). i + j + k 5). нет правильного ответа

Ответы: 1). 3 2). 0 4). z x + x y + y z

Номер: 3.42.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = z 2 i + x 2 j + y 2 k Ответы: 1). 2(x + y + z )

(

3). 3 x i + y j + z k

2). 0

4). z 2 x + x 2 y + y 2 z

)

5). нет правильного ответа

Номер: 3.43.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = z 2 x i + x 2 y j + y 2 z k Ответы: 1). z 2 + x 2 + y 2

2). 2x i + 2 y j + 2z k 2 y2 2 z 4). z +x +y 2 2 2 2x

3). z (2 x + z ) + x (2 y + x ) + y (2z + y ) 5). нет правильного ответа

2

2

Номер: 3.44.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = 2 x i + 3 y j − z k Ответы: 1). 2 i + 3 j − k

3 y2 z2 3). x + − 2 2 2

2). 4

3 2 z2 k 4). x i + y j + 2 2 2

5). нет правильного ответа

Номер: 3.45.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = 7 z i − x j + y z k Ответы: 1). 4

2). y

3). y k

4). 6 − y 49

5). нет правильного ответа

Номер: 3.46.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = (x − y ) i + (y − z ) j + (z − x ) k Ответы: 1). 3

3). i + j + k

2). 0

4). 0

5). нет правильного ответа

Номер: 3.47.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = (x + y ) i + (y + z ) j + (z + x ) k Ответы: 1). 6 2). 3

3). 2 i + 2 j + 2 k

4). i + j + k 5). нет правильного ответа

Номер: 3.48.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = 7 x i + 5 y j − 2 x k Ответы: 1). 12 2). 7i + 5 j 3). 10 4). 7 i + 5 j − 2 k 5). нет правильного ответа Номер: 3.49.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = (3 x + 2 y ) i + (5 y − z ) j + (z + x ) k в M 0 (1, 2, 3) Ответы: 1). 11

2). 9

4). 3 i + 5 j + k

3). 5 i + 4 j + 2 k 5). нет правильного ответа

Номер: 3.50.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля a = 3 x y z i + 2 y 2 x j − z 2 y k Ответы: 1). y z + 4 x y

2). 3 y z i + 4 y x j − 2 y z k

3 x2 2 y3 z3 3). yz + x− y 2 3 3

5). нет правильного ответа

3 2 2 3 z3 4). x y z i + y x j − yk 2 3 3

Номер: 3.51.В Задача: Найти поток векторного 2 2 a = (3 x − 6 y ) i + 11 x + 2 y j + x − 4z k через замкнутую

(

) (

)

поля поверхность

⎧x + y + 2 z = 2 σ :⎨ по формуле Остроградского-Гаусса x = 0 , y = 0 , z = 0 ⎩ Ответы: 1). 2/3 2). 11/3

3). 0 4). -3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.52.В Задача: Найти поток векторного поля a = 3 x − y 2 i + 11 x 2 + y j + y 2 − 4z k

(

через замкнутую поверхность

) (

⎧x + y + 2 z = 2 σ :⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0

) (

по формуле

Остроградского-Гаусса Ответы: 1). 2/3 2). 11/3 3). 0 4). -3/2 5). нет правильного ответа 50

)

Номер: 3.53.В Задача: Найти поток векторного 2 2 a = (5 x − 6 y ) i + 11 z + 2 y j + x − z k через замкнутую

(

) (

)

поля поверхность

⎧x + y + 2 z = 2 σ :⎨ по формуле Остроградского-Гаусса x 0 , y 0 , z 0 = = = ⎩ Ответы: 1). 2 2). 4

3). 0 4). 2/3 5). нет правильного ответа

Номер: 3.54.В Задача: Найти поток векторного 2 2 a = (5 x − 6 y ) i + 11 z + 2 y j + x + 4z k через замкнутую

(

) (

)

поля поверхность

⎧x + y + 3 z = 6 σ :⎨ по формуле Остроградского-Гаусса x 0 , y 0 , z 0 = = = ⎩ Ответы: 1). 96 2). 0 3). 288 4). 48 5). нет правильного ответа Задача:

(

Номер: 3.55.В поток

Найти

2

2

) (

)

2

2

векторного поля через замкнутую поверхность

a = 5 x − 6 y i + 10 z − 10 y x j + x k ⎧2 x + 3 y + 6 z = 6 σ :⎨ по формуле Остроградского-Гаусса ⎩x = 0, y = 0, z = 0 Ответы: 1). 0 2). 96 3). 288 4). 48

5). нет правильного ответа

Номер: 3.56.В Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + x 2 + y 2 z k

(

⎧x + y + 2 z = 2 ⎩x = 0, y = 0, z = 0

замкнутую поверхность S : ⎨

)

через

по формуле Остроградского-

Гаусса Ответы: 1). 2 2). 1/3 3). 0 4). 2/3 5). нет правильного ответа Номер: 3.57.В Задача: Найти поток векторного поля a = x i + y j − z k

через замкнутую

⎧x + y + 3 z = 6 по формуле Остроградского-Гаусса x 0 , y 0 , z 0 = = = ⎩

поверхность σ : ⎨

Ответы: 1). 12 2). 96 3). 0 4). 48 5). нет правильного ответа

51

Номер: 3.58.В Задача: Найти поток векторного поля a = (2 x + y ) i + (2 y + x ) j + (2z + y ) k через

замкнутую

поверхность

⎧x + y + 3 z − 6 = 0 σ :⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0

по

формуле

Остроградского-Гаусса Ответы: 1). 0 2). 72 3). 108 4). 36 5). нет правильного ответа Номер: 3.59.В Задача: Найти поток векторного поля a = ( x + y ) i + (z + y ) + (x + z ) k

через

⎧3 x + 2 y + z = 6 по формуле Остроградскогоx 0 , y 0 , z 0 = = = ⎩

замкнутую поверхность σ : ⎨

Гаусса Ответы: 1). 18 2). 36 3). 72 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 3.60.В Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y j − 2 x z k через замкнутую

⎧3x + 2 y + z = 6 по формуле Остроградского-Гаусса = = = x 0 , y 0 , z 0 ⎩

поверхность σ : ⎨

Ответы: 1). 6 2). 18 3). 0 4). 36 5). нет правильного ответа Номер: 3.61.В Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i − 2 x y j − y 2 k через замкнутую

⎧⎪ z = 3 − x 2 + y 2 поверхность S : ⎨ по формуле Остроградского-Гаусса ⎪⎩ z = 2 Ответы: 1). 6 2). 18 3). 0 4). 36 5). нет правильного ответа Номер: 3.62.В Задача: Найти поток векторного поля a = x i + y j + z k

через замкнутую

⎧⎪ z = 1 − x 2 + y 2 поверхность σ : ⎨ по формуле Остроградского-Гаусса ⎪⎩ z = 0 (0 ≤ z ≤ 1) Ответы: 1). 6 2). 3

3). 0 4). 18 5). нет правильного ответа

Номер: 3.63.В Задача: Найти поток векторного поля a = 3 x z 2 i + 3 y j − z 3 k замкнутую поверхность

через

⎧⎪ z = x 2 + y 2 σ :⎨ по формуле Остроградского⎪⎩ z = 1

Гаусса 52

Ответы: 1). 6 2). π

3). 0

4). 6 π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.64.В Задача: Найти поток векторного поля a = 3 x 2 i − 6 x y j + 4 z k

через

⎧x 2 + y 2 = 4 замкнутую поверхность σ : ⎨ по формуле Остроградского-Гаусса z = 0 , z = 2 ⎩ Ответы: 1). 64 π 2). π 3). 0 4). 18 5). нет правильного ответа Номер: 3.65.В Задача: Найти поток векторного поля a = 3 x 2 i − 6 x y j + 2 z k замкнутую поверхность Гаусса Ответы: 1). 64 π

2). 6 π

⎧x 2 + y 2 = 2 y σ :⎨ ⎩z = 0, z = 3 3). 0

через

по формуле Остроградского-

4). 18 5). нет правильного ответа

Номер: 3.66.В Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 y i + y 2 x j − 2 x y z 2 k через замкнутую поверхность по формуле Остроградского-Гаусса

⎧⎪x 2 + y 2 + z 2 = 4 σ :⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 = z 2 (z ≥ 0 ) Ответы: 1). 64 π 2). 6 π 3). 0 4). π

5). нет правильного ответа

Номер: 3.67.В Задача: Найти поток векторного поля a = z i − 4 y j + 2 x k

через замкнутую

⎧z 2 = x 2 + y 2 поверхность σ : ⎨ по формуле Остроградского-Гаусса ⎩z = 3 Ответы: 1). − 12 π 2). 3 π 3). 36 4). 12 π 5). нет правильного ответа Номер: 3.68.В Задача: Найти поток векторного поля a = 8 x i − 2 y j + x k

через замкнутую

⎧x + y = 1 по формуле Остроградского-Гаусса x 0 , y 0 , z 0 , z 1 = = = = ⎩ Ответы: 1). 3 π 2). 3 3). 6 4). − 12 π 5). нет правильного ответа поверхность σ : ⎨

53

Номер: 3.69.В Задача: Найти поток векторного поля a = (x + 2 y ) i + (z − y ) j + (x + 3 z ) k

⎧x + z = 2 σ :⎨ ⎩x = 0, y = 0, z = 0, y = 3

через замкнутую поверхность Остроградского-Гаусса Ответы: 1). 18 2). 3 3). 3 π

Задача:

Найти

4). 0

по формуле

5). нет правильного ответа

Номер: 3.70.В поток

векторного

поля

x⎞ ⎛ a = ⎜ cos z + ⎟ i + (sin x − 2 y ) j + (sin y + 2 z ) k через замкнутую поверхность 4⎠ ⎝ ⎧x 2 + y 2 = z 2 σ :⎨ по формуле Остроградского-Гаусса z = 3 , z = 5 ⎩ 4 16 π 3). 2 π 4). 0 5). нет правильного ответа Ответы: 1). π 2).

3 9 Задача:

a=

(

)

Найти

Номер: 3.71.В поток

y + 1 + x i + (2 z + y ) j + (cos x + 3z ) k

векторного поля через замкнутую поверхность

⎧z 2 = x 2 + y 2 σ:⎨ по формуле Остроградского-Гаусса z = 2 ⎩ 4 16 π 3). 2 π 4). 0 5). нет правильного ответа Ответы: 1). π 2).

3 9 Задача:

Найти

Номер: 3.72.В поток

векторного a = z 2 + y 2 + 8x i + e x − 2 y + x j + ( x + y − 3z ) k через

(

) (

)

поля замкнутую

⎧x + y + 2 z = 2 по формуле Остроградского-Гаусса x 0 , y 0 , z 0 = = = ⎩ π Ответы: 1). 1/2 2).

3). 0 4). 1/3 5). нет правильного ответа 2 поверхность σ : ⎨

Задача:

векторного поля a = z 2 + y 2 + x i + e z + y + 1 j + x 2 + y 2 + z k через замкнутую поверхность

(

Найти

Номер: 3.73.В поток

) ( ) ( ) = 4 (x + y ) по формуле Остроградского-Гаусса

⎧z 2 σ:⎨ ⎩z = 2

2

2

54

Ответы: 1).

4 π 3

2). 4 π

3). 2 π

4). 0

5). нет правильного ответа

Номер: 3.74.В Задача: Найти поток векторного a = z 2 + 2 x i + e z − 4 + 2 y j + y 2 − z k через замкнутую

( σ : {x

) (

) (

)

поля поверхность

2

+ y 2 + z 2 = 4 по формуле Остроградского-Гаусса 4 Ответы: 1). π 2). 4 π 3). 64 π 4). 0 5). нет правильного ответа 3 Задача:

( σ : {x

)

Номер: 3.75.В поток

Найти

a = y − 2 x i + (cos x − y ) j + ( sin x + 3 z ) k 2

векторного поля через замкнутую поверхность

2

+ y 2 + z 2 = 2 x по формуле Остроградского-Гаусса Ответы: 1). 0 2). 4 π 3). 64 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 3.76.В Задача: Найти поток векторного поля a = (2 x + y ) i + (2 z − y ) j + y 2 + 2z k

(

{

)

через замкнутую поверхность σ : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 по формуле Остроградского-Гаусса Ответы: 1). π 2). 4 π 3). 2 π 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 3.77.В Задача: Найти поток векторного поля a = 3 x i − 5 y j + 6 z k через замкнутую

{

σ : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + z 2 − 6 z + 15 = 0 поверхность Остроградского-Гаусса Ответы: 1). π

2). 4 π

3). 2 π

4).

16 π 3

по

формуле

5). нет правильного ответа

Номер: 3.78.В Задача: Найти поток векторного поля a = x cos y i − sin y j + ( 2 sin x + 3 z ) k

{

через замкнутую поверхность σ : x 2 + 2 y 2 − 2 x + 4 y + z 2 − 6 z + 10 = 0 по формуле Остроградского-Гаусса Ответы: 1). π

2). 4 π

3). 2 π

4).

16 π 3

55

5). нет правильного ответа

Номер: 3.79.В Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i − 2 x y j + 2 z k через замкнутую

(

)

⎧z 2 = 9 x 2 + y 2 поверхность S : ⎨ по формуле Остроградского-Гаусса z = 3 ⎩ Ответы: 1). 18 π 2). 2 π 3). 0 4). 16 5). нет правильного ответа

Задача:

Найти

поток

Номер: 3.80.В векторного поля a = e x y i + z 2 j − e x y z k

(

⎧⎪z = 4 − 2 x 2 + y 2 замкнутую поверхность S : ⎨ ⎪⎩z = 2 x 2 + y 2

(

)

)

через

по формуле Остроградского-

Гаусса Ответы: 1). 18 π

2). 2 π

3). 0 4).

16 π 3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.81.В Задача: Вычислить поток векторного поля a = z i − y j + 2 z k через замкнутую поверхность σ : {3 x + 2 y + z = 6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} Ответы: 1). 6 2). 3 3). 0 4). -3 5). 12 Номер: 3.82.В Задача: Вычислить поток векторного поля a = (x + z ) i + (y + x ) j + (y + z ) k

{

через замкнутую поверхность σ : x 2 + y 2 = R 2 , x + y + z = R , z ≥ 0} Ответы: 1). 3 π R

3

π R3 2).

3

− π R3 3). 0 4).

3

5). нет правильного ответа

Номер: 3.83.В Задача: Вычислить поток векторного поля a = y 2 j + x 2 k через замкнутую

{

поверхность σ : x 2 = 1 − y − z, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} Ответы: 1). -16/105 2). 16/105 3). 16/35 4). -16/35 5). 0 Номер: 3.84.В Задача: Вычислить поток векторного поля a = 2 x y i − y 2 j + 2 z k через

{

замкнутую поверхность σ : x 2 + y 2 + z 2 = 9, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} Ответы: 1). 12 π 2). 18 π 3). −12 π 4). 0 5). нет правильного ответа

56

Номер: 3.85.В Задача: Вычислить поток векторного поля a = 2 y i − (y + z ) j + (x + 2 z ) k

{

σ : x 2 + y 2 = R 2 , x + y + z = R , z ≥ 0}

через замкнутую поверхность Ответы: 1). 3 π R

3

π R3 2).

3

− π R3 3). 0 4).

3

Номер: 3.86.В Задача: Вычислить поток векторного поля

{

a = 3 (x + y ) i − z 2 j + (z + x ) k

σ : x 2 + y 2 = R 2 , x + y + z = R , z ≥ 0}

через замкнутую поверхность Ответы: 1). 3 π R 3

5). нет правильного ответа

2). 4 π R 3

3). 9 π R 3

4). 0

5). нет правильного ответа

Номер: 3.87.В Задача: Вычислить поток векторного поля a = y z i + x z j + x y k через полную поверхность пирамиды с вершиной в точке D (0; 0; 2 ) и основанием ABC , где A (0, 0, 0 ); B (2, 0, 0 ); C (0,1, 0 ) Ответы: 1). 1/3 2). 2 3). 2/3 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 3.88.В Задача: Найти поток вектора a = x i + y j − 2 k через поверхность куба x = ±2, y = ±2, z = ±2 в направлении внешней нормали. Ответы: 1). 8 π 2). 0 3). 8 4). 8/3 5). 16 Номер: 3.89.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 3 i + y 3 j + z 3 k через замкнутую

⎧⎪ x 2 + y 2 + z 2 = 9 ⎫⎪ поверхность σ : ⎨ ⎬ ⎪⎩x 2 + y 2 ≤ z 2 , z ≥ 0⎪⎭ 729 2 81 2 486 3 2).

3). Ответы: 1).

5 10 5

4). 0

5).

243 3 10

Номер: 3.90.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z k поверхность тела Ответы: 1).

16 π 3

через всю

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 в направлении внешней нормали.

2). 16 π

3). 0 4). 48 π

57

5). нет правильного ответа

Номер: 3.91.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через часть

(

)

поверхности параболоида 3 x 2 + y 2 = 4 z, z ≤ 3 в направлении внутренней нормали Ответы: 1). 12 π

2).

4π 3

3). π

4).

π 3

5). 0

Номер: 3.92.С Задача: Найти поток векторного поля a = 2 x 2 i + 3 y 2 j + z 2 k через всю поверхность нормали

тела

Ответы: 1). 64 π

x 2 + y2 ≤ z ≤ 8 − x 2 − y2

2). 32 π 3).

16 π 3

4).

32 π 3

в направлении внешней 5). 0

Номер: 3.93.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через внешнюю сторону поверхности куба 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2 Ответы: 1). 48 2). 64 3). 36 4). 0 5). 96 Номер: 3.94.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через поверхность

(

)

конуса в направлении внешней нормали 4 x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 2 Ответы: 1). 2 π

2). 3 π

3).

2π 3

4).

4π 3

5). 0

Номер: 3.95.С Задача: Найти поток вектора a = x 2 i − y 2 j + z 2 k через

часть сферы

x 2 + y 2 + z 2 = 9, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 в направлении внешней нормали.

81 π 27 81 π π 3).

2).

4). 27 π 5). 0 Ответы: 1).

8 2 4 Номер: 3.96.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 3 i + y 3 j + z 3 k через замкнутую

⎧⎪x 2 + y 2 + z 2 = 2 поверхность σ : ⎨ ⎪⎩x 2 + y 2 ≤ z 2 , z ≥ 0 3 2 4 6 Ответы: 1). 24/5 2).

3).

5 5

4). 0 5). нет правильного ответа 58

Номер: 3.97.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 3 i + y 3 j + z 3 k через внешнюю сторону сферы x 2 + y 2 + z 2 = 25 Ответы: 1).

12 π 5

2). 7500 π

3). 3725 π

4). 625 π

5). 0

Номер: 3.98.С Задача: Найти поток векторного поля a = 2 x 2 i + 3 y2 j + z2 k

через

⎧⎪z > x 2 + y 2 замкнутую поверхность, ограниченную поверхностями σ : ⎨ ⎪⎩z ≤ 2 − x 2 − y 2 Ответы: 1). 2 π 2). 16 π 3). π 4). 12 π 5). 0 Номер: 3.99.С Задача: Найти поток вектора

a = x 2 i + y 2 j + z 2 k , где σ : внешняя полная

x 2 y2 z2 поверхность конуса + − = 0, 0 ≤ z ≤ 3 4 4 9 Ответы: 1). 72 π 2). 36 π 3). − 36 π 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 3.100.С Задача: Найти поток вектора a = x 3 i + y 3 j + z 3 k через полную поверхность

x 2 + y2 z2 конуса ≤ 0≤z≤2 25 4 Ответы: 1). 495 π 2). 990 π 3). 165 π 4). 0 5). нет правильного ответа Номер: 3.101.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через внешнюю сторону куба 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 3 . Ответы: 1). 243 2). 81 3). 27 4). 9 5). 81/4 Номер: 3.102.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i − y 2 j + z 2 k через поверхность тела x 2 + y 2 + z 2 ≤ 12, 0 ≤ z ≤ Ответы: 1). 56 π

2). 28 π

3).

x 2 + y2 − 4 28 π

4). 0

3

59

5). нет правильного ответа

Номер: 3.103.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z k через поверхность тела

2 3

x 2 + y2 ≤ z ≤ 2

Ответы: 1). π

2).

2 π 3

3). 6 π

4).

π 3

5). 0

Номер: 3.104.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i − y 2 j + z 2 k через поверхность тела, ограниченного поверхностями x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3, направлении внешней нормали. Ответы: 1). 3,5 π

2).

π 2

3).

π 3

4). 0

0 ≤ z ≤ x 2 + y2 − 1 в

5). 9 π

Номер: 3.105.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i − 2 z j + 3 y k через пирамиду ограниченную поверхностями x + y + z = 3, x = 0, y = 0, z = 0 Ответы: 1). 81/4 2). 189/8 3). 0 4). 163/4 5). нет правильного ответа Номер: 3.106.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 3 i + y 3 j + z 3 k через замкнутую

{

}

поверхность σ : x 2 + y 2 + z 2 = 4, y 2 + x 2 ≤ z 2 , z ≥ 0 Ответы: 1). 0 2).

768 2 5

3).

96 2 5

4).

256 5). нет правильного ответа 3

Номер: 3.107.С Задача: Найти поток векторного поля a = (x + y ) i − 3 y 2 j + z k через пирамиду, ограниченную поверхностями x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 Ответы: 1). 1/4 2). 1/12 3). 0 4). – 3/4 5). нет правильного ответа Номер: 3.108.С Задача: Найти поток векторного поля a = x 2 i + y 2 j + z k поверхность тела Ответы: 1).

8π 3

через

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 в направлении внешней нормали.

2π 2). 8 π 3). π 4).

5). 0 3

60

всю

4. Ротор. Циркуляция векторного поля Номер: 4.1.А Задача: Ротор это – Ответы: 1). поле 2). вектор 3). скаляр 4). скалярное поле 5). векторное поле r Номер: 4.2.А Задача: Ротор векторного поля a= {P,Q,R} вычисляется по формуле

∂P ∂Q ∂R ⎧ ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P ⎫ − − ⎬ ; ; 2). ⎨ − + + ∂x ∂y ∂z ⎩ ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ⎭ ⎧ ∂Q ∂R ∂R ∂P ∂Q ∂P ⎫ ⎧ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎫ ; − ; ; − − ; − ⎬ − − ⎬ 4). ⎨ 3). ⎨ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y ⎭ y z z x x y z y x z x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎩ ⎩ ⎭ ⎧ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎫ − ; − ; − ⎬ 5). ⎨ ∂ z ∂ y ∂ x ∂ z ∂ y ∂x ⎭ ⎩

Ответы: 1).

Номер:r4.3.А Задача: Циркуляция векторного поля a по замкнутому контуру L задается формулой Ответы: 1). ∫ a d r 2). ∫ a d r 3). ∫ a d r 4). ∫ a dr 5). ∫ a ⋅ n d r L

L

L

Номер: r4.4.А Задача: Для того, чтобы векторное поле a было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы r r 3). потенциал векторного поля равен 0 Ответы: 1). div a=0 2). rot a = 0 5). правильного ответа нет 4). rot (grad U ) = 0 Номер: 4.5.А r Задача: r Запишите ротор векторного поля a с помощью оператора Гамильтона.

rot a =

ur

Ответы: 1). ∇ ⋅ u

ur r

2). ∇ ⋅ a

ur ur

ur r

3). ∇ ⋅ ∇ 4). ∇ × a

5). правильного ответа нет

Номер: 4.6.А r r Задача: Векторное поле a называется потенциальным, если a = Ответы: 1). grad u 2). div u 3). rot u 4). grad ( div u ) 5). правильного ответа нет

61

Номер: 4.7.А Задача: Средняя плотность циркуляции по замкнутому контуру L , являющимся границей поверхности σ , с площадью δ равна

∫ a dL Ответы: 1).

δ r 4). lim ∫ adL L→M

∫ a dL

2). lim

L→M

L

δ

r 3). ∫ adL

5). правильного ответа нет

Номер: 4.8.А Задача: Плотность циркуляции по замкнутому контуру L , являющимся границей поверхности σ , с площадью δ , в точке M равна

∫ a dL Ответы: 1).

δ r 4). lim ∫ adL L→M

∫ a dL 2). lim L→M

δ

r 3). ∫ adL

5). правильного ответа нет

Номер: 4.9.А r Задача: Физическим смыслом циркуляции силового поля a является Ответы: 1). перемещение точки по замкнутому контуру L 2). поле, в котором работа не равна нулю 3). перемещение точки по контуру L 4). работа поля вдоль заданного контура 5). правильного ответа нет Номер: 4.10.А Задача: Плотность циркуляции зависит от: Ответы: 1). поверхности 2). контура L 3). выбранной точки 4). вектора нормали к поверхности 5). площади фигуры, ограниченной контуром Номер: 4.11.А Задача: Физический смысл ротора – Ответы: 1). поле скоростей твердого тела 2). удвоенная угловая скорость твердого тела 3). вектор, в направлении которого плотность циркуляции в данной точке является наибольшей 4). скорость твердого тела 5). правильного ответа нет Номер: 4.12.А r Задача: Потенциальная функция u(x, y, z) векторного поля a= {P,Q,R} равна Ответы: 1).

M

∫ 0

P Q R dx + dy + dz + C cos β cos γ M cos α 62

∫ P cos αdx + Q cos βdy + R cos γdz + C

2).

M M 0

∫ Pdx + Qdy + Rdz

3).

4).

M M

∫ Pdx + Qdy + Rdz + C

M M

0

0

5). правильного ответа нет

Задача:

Циркуляция

Номер: 4.13.А векторного поля

r a= {P,Q,R} ,

r n {cos α,cos β,cos γ} к поверхности S по формуле Стокса равна

с

нормалью

⎛ ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎞ ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ − α + − β + − γ cos cos cos ⎜ ⎟ dS ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∫∫ ⎜ ∂y ∂z ⎟ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ S ⎝⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎞ ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ + + + 2). ∫∫ ⎜ ⎜ cos α + ⎜ cos γ ⎟ dS ⎟ cos β + ⎜ ⎟ ⎟ ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ S ⎝ ⎝ ∂y ⎠

Ответы: 1).

⎛ ⎛ ∂P ∂Q ⎞ ⎞ ⎛ ∂R ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ∂R ⎞ + α + + β + + γ cos cos cos ⎟ dS ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∫∫ ⎜ ⎜ ∂y ∂z ⎟ ∂ ∂ z x ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ S ⎝⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ∂P ∂Q ⎞ ⎞ ⎛ ∂R ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ∂R ⎞ − α + − β + − γ 4). ∫∫ ⎜ ⎜ cos cos cos dS ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S ⎝ ⎠ 3).

5). правильного ответа нет Номер: r4.14.А Задача: Циркуляция векторного поля a= {P,Q} вдоль замкнутой кривой L задается интегралом: 2). ∫ P dx − Q dy 3). ∫ P dx + Q dy Ответы: 1). ∫ − P dx + Q dy L

4). ∫ Q dx + P dy

L

L

5). правильного ответа нет

L

rНомер: 4.15.А Задача: Дано векторное поле a= {P,Q,R} и скалярная функция ϕ ( x, y, z ) . r Вычислить rot ϕa = r r r r Ответы: 1). ϕ ⋅ rota + a ⋅ rotϕ 2). ϕ rot a + [grad ϕ ⋅ a ] r r 4). a ⋅ gradϕ 5). правильного ответа нет 3). ϕ ⋅ rota

( )

Номер: r 4.16.А Задача: Ротор от постоянного вектора c равен Ответы: 1). 1 2). −1 3). 0 4). не существует 63

5). правильного ответа нет

Номер: 4.17.А r r Задача: Произведение adr в формуле вычисления циркуляции есть Ответ: 1). векторное 4). скаляра на число

2). двойное векторное 3). скалярное 5). правильного ответа нет

Номер: 4.18.А r Задача: Вектор dr в формуле вычисления циркуляции направлен Ответы: 1). по касательной к кривой 3). под углом к кривой 5). правильного ответа нет

2). по нормали к кривой 4). произвольным образом

Номер: 4.19.А Задача: Средняя плотность циркуляции по замкнутому контуру есть величина Ответ: 1). векторная 2). скалярная 3). смешанная 4). не определяемая 5). правильного ответа нет Номер: 4.20.А Задача: Плотность циркуляции в точке M в направлении n равна 2). div a 3). проекции ротора на это направление Ответы: 1). rot a 4). grad a

5). нет правильного ответа

Номер: 4.21.В Задача: Установить потенциально ли поле 2 a = 6x ⋅ i + 3 cos(3y + z ) ⋅ j + cos(3y + z ) ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 2 x 3 + 2 sin (3y + z ) 3). 2 x 3 + sin (3y + z )

4). 2 x 3 − sin (3y + z ) + C

5). 2 x 3 + sin (3y + z ) + C

Номер: 4.22.В Задача: Установить потенциально ли поле a = (y + z ) ⋅ i + (x + z ) ⋅ j + (x + y ) ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 3xy + 3xz + 3yz 3). 3xy + 3xz + 3yz + C 4). xy + xz + yz 5). xy + xz + yz + C Номер: 4.23.В Задача: Установить потенциально ли поле a = 5x ⋅ i + z 2 ⋅ j + 2 yz ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально

2).

64

5 2 x + 2z 2 y 2

3).

5 2 x + z2y 2

4).

5 2 x + 2z 2 y + C 2

5).

5 2 x + z2y + C 2

Номер: 4.24.В Задача: Установить потенциально ли поле a = y 2 (1 − z ) ⋅ i + 2 xy(1 − z ) ⋅ j − xy 2 − 3z 2 ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). y 2 x − y 2 xz + z 3

(

3). y 2 x − 2 y 2 xz + z 3

)

4). y 2 x − y 2 xz + z 3 + C

5). y 2 x − 2 y 2 xz + z 3 + C Номер: 4.25.В Задача: Установить потенциально ли поле a = (z − 2 x ) ⋅ i + (z − 2 y ) ⋅ j + (x + y ) ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). − x 2 + zx − y 2 + zy 3). − x 2 + zx − y 2 + zy + C

4). − 2 x 2 + 2zx − 2 y 2 + 2zy

5). − 2 x 2 + 2zx − 2 y 2 + 2zy + C Номер: 4.26.В Задача: Установить потенциально ли поле a = z 3 y 2 ⋅ i + 2 xyz 3 + z 2 ⋅ j + 3xy 2 z 2 + 2 yz + 1 ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 3xy 2 z 3 + 2 yz 2 + z

(

)

(

3). 3xy 2 z 3 + 2 yz 2 + z + C

)

4). xy 2 z 3 + yz 2 + z

5). xy 2 z 3 + yz 2 + z + C Номер: 4.27.В Задача: Установить потенциально ли поле a = yz 2 − 1 ⋅ i + xz 2 ⋅ j + 2 xyz ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал 3). 3xyz 2 − x + C Ответы: 1). поле не потенциально 2). 3xyz 2 − x

(

4). xyz 2 − x

5). xyz 2 − x + C

65

)

Номер: 4.28.В Задача: Установить потенциально ли поле 2 a = (6 xy − 2 x ) ⋅ i + 3x − 2z ⋅ j + (1 − 2 y ) ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 6 x 2 y − x 2 − 4 yz + z

(

)

3). 6 x 2 y − x 2 − 4 yz + z + C

4). 3x 2 y − x 2 − 2zy + z + C

5). 3x 2 y − x 2 − 2zy + z Номер: 4.29.В Задача: Установить потенциально ли поле a = cos x ⋅ i + tg y ⋅ j + sin z ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). sin x + ln cos y + cos z 3). sin x − ln cos y − cos z + C 4). sin x − ln cos y + cos z 5). sin x + ln cos y − cos z + C Номер: 4.30.В Задача: Установить потенциально ли поле a = (2 x + yz) ⋅ i + xz ⋅ j + (xy + 2z ) ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). x 2 + xyz + z 2 + C 3). x 2 + xyz + z 2

4). x 2 + 3xyz + z 2 + C

5). x 2 + 3xyz + z 2

Номер: 4.31.В Задача: Установить потенциально ли поле 2 a = 3x + y + z ⋅ i + (x + y ) ⋅ j + (x − z ) ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал

(

)

Ответы: 1). поле не потенциально

y2 z2 − 3). x + xy + xz + 2 2 2 y z2 3 − 5). x + 2 xy + 2 xz + 2 2 3

y2 z2 2). x + xy + xz + − +C 2 2 y2 z2 3 4). x + 2 xy + 2xz + − +C 2 2 3

Номер: 4.32.В Задача: Установить потенциально ли поле a = yz ⋅ i + xz ⋅ j + xy ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). xyz 3). xyz + C 4). 3xyz 5). 3xyz + C 66

Задача:

Номер: 4.33.В потенциально

Установить

a = (cos z − y sin x ) ⋅ i + (cos x + z cos y ) ⋅ j + (sin y − x sin z ) ⋅ k .

ли Если

поле поле

потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 3(y ⋅ cos x + z ⋅ sin y + x ⋅ cos z ) 3). 3(y ⋅ cos x + z ⋅ sin y + x ⋅ cos z + C ) 4). y ⋅ cos x + z ⋅ sin y + x ⋅ cos z + C 5). y ⋅ cos x + z ⋅ sin y + x ⋅ cos z

Задача:

Номер: 4.34.В потенциально

Установить

(

2

)

(

2

ли Если

)

2

a = 2 xy sin z + z ⋅ i + x sin z ⋅ j + x y cos z + 2zx ⋅ k .

поле поле

потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 3x 2 y sin z + 2z 2 x + C 3). x 2 y sin z + z 2 x + C

4). 3x 2 y sin z + 2z 2 x

5). x 2 y sin z + z 2 x Номер: 4.35.В Задача: Установить потенциально ли поле a = (z + y ) ⋅ i + (x + 2 yz) ⋅ j + x + y 2 ⋅ k . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). xz + xy + zy 2

(

)

3). 2 xz + 2 xy + 2zy 2 + C

4). 2 xz + 2 xy + 2zy 2

5). xz + xy + zy 2 + C Номер: 4.36.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = x 2 z ⋅ i + y 2 ⋅ j − xz 2 ⋅ k Ответы: 1). 0

(

)

4). x 2 − z 2 ⋅ j

Задача:

(

2

2

)

(

)

2). − x 2 + z 2 ⋅ j

(

)

(

)

3). z 2 + x 2 ⋅ j

5). z 2 − x 2 ⋅ j Номер: 4.37.В ротор

Вычислить

(

2

2

)

векторного

a = x − z ⋅ i − 3xy ⋅ j + y + z ⋅ k Ответы: 1). 0 2). 2 y ⋅ i − 2z ⋅ j − 3y ⋅ k 3). 2 y ⋅ i + 2z ⋅ j − 3y ⋅ k 4). 2 y ⋅ i + 2z ⋅ j + 3y ⋅ k 5). 2 y ⋅ i − 2z ⋅ j + 3y ⋅ k 67

поля

Номер: 4.38.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = (y − z ) ⋅ i + y ⋅ j − z 2 ⋅ k Ответы: 1). j − k 2). 0 3). j + k 4). − j + k 5). − j − k Номер: 4.39.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = 3x 2 y ⋅ i − 2 xy 2 ⋅ j − 2 xz ⋅ k Ответы: 1). 0

( 5). − 2z ⋅ j + (3x

) + 2y)⋅ k

3). − 2z ⋅ j + 3x 2 − 2 y ⋅ k 2

( 4). 2z ⋅ j + (3x

) − 2y)⋅ k

2). 2z ⋅ j + 3x 2 + 2 y ⋅ k 2

Номер: 4.40.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = xy 2 ⋅ i − yz ⋅ j + z 2 ⋅ k Ответы: 1). y ⋅ i − 2 xy ⋅ k 3). − y ⋅ i − 2xy ⋅ k

2). y ⋅ i + 2 xy ⋅ k 4). − y ⋅ i + 2 xy ⋅ k

5). 0

Номер: 4.41.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = 3yz ⋅ i + xyz ⋅ j + xy ⋅ k Ответы: 1). 0

2). (x − xy ) ⋅ i − 2 y ⋅ j + (yz − 3z ) ⋅ k

3). (x − xy ) ⋅ i + 2 y ⋅ j + (yz − 3z ) ⋅ k

4). (x − xy ) ⋅ i + 2 y ⋅ j + (3z − yz) ⋅ k 5). (x − xy ) ⋅ i + 2 y ⋅ j − (yz − 3z ) ⋅ k

Номер: 4.42.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = x ⋅ i + yx ⋅ j + zy ⋅ k Ответы: 1). z ⋅ i + x ⋅ j + y ⋅ k

2). z ⋅ i − x ⋅ j + y ⋅ k

4). z ⋅ i + x ⋅ j − y ⋅ k

5). z ⋅ i − x ⋅ j − y ⋅ k

3). 0

Номер: 4.43.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = x 2 ⋅ i − y 2 ⋅ j + x 2 z ⋅ k Ответы: 1). z ⋅ j

2). 0 3). − z ⋅ j

4). 2 xz ⋅ j

5). − 2 xz ⋅ j

Номер: 4.44.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = xy ⋅ i − z ⋅ j + x ⋅ k Ответы: 1). i + j − x ⋅ k 4). i + j + x ⋅ k

2). i − j + x ⋅ k 5). 0

68

3). i − j − x ⋅ k

Номер: 4.45.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = x 2 yz ⋅ i + xy 2 z ⋅ j + xyz 2 ⋅ k

( 2). x (z 3). x (y 4). x (z

) ( )⋅ i + y(x )⋅ i + y(x )⋅ i + y(x

) ( )⋅ j + z(y )⋅ j + z(y )⋅ j + z(x

) )⋅ k )⋅ k )⋅ k

Ответы: 1). x z 2 − y 2 ⋅ i + y z 2 − x 2 ⋅ j + z y 2 − x 2 ⋅ k 2

− y2

2

− z2

2

− y2

2

− z2

2

− z2

2

− z2

2

− x2

2

− x2

2

− y2

5). 0

Номер: 4.46.В Задача: Вычислить ротор векторного поля

(

)

(

)

(

)

a = y2 + z2 ⋅ i + x 2 + z2 ⋅ j + x 2 + y2 ⋅ k Ответы: 1). 2 ⋅ [(y − z ) ⋅ i + (x − z ) ⋅ j + (x − y ) ⋅ k ] 3). 2 ⋅ [(y − z ) ⋅ i + (z − x ) ⋅ j + (x − y ) ⋅ k ] 4). (y − z ) ⋅ i + (x − z ) ⋅ j + (x − y ) ⋅ k 5). (y − z ) ⋅ i + (z − x ) ⋅ j + (x − y ) ⋅ k

2). 0

Номер: 4.47.В Задача: Вычислить ротор векторного поля

a = (z + 2 x − 3y ) ⋅ i + (x + y − 2z ) ⋅ j + y ⋅ k Ответы: 1). 3 ⋅ i + j + 4 ⋅ k 2). 3 ⋅ i − j + 4 ⋅ k 3). 0 4). − i − j − 2 ⋅ k

5). − i + j − 2 ⋅ k

Номер: 4.48.В Задача: Вычислить ротор векторного поля

(

)

a = 2 y 2 z 3 ⋅ i + 2 xyz 3 ⋅ j + 3xy 2 z 2 + 2 yz ⋅ k Ответы: 1). 2z ⋅ i − 3y 2 z 2 ⋅ j − 2 yz 3

2). 2z ⋅ i − 3y 2 z 2 ⋅ j + 2 yz 3

3). 2z ⋅ i + 3y 2 z 2 ⋅ j − 2 yz 3 5). 0

4). 2z ⋅ i + 3y 2 z 2 ⋅ j + 2 yz 3

Задача:

(

Вычислить

( ))

(

Номер: 4.49.В ротор

( )) cos(x y )) ⋅ k 4). (− 3xy

векторного

a = xy 3 + xy sin x 2 y ⋅ i + 3x 2 y 2 + x 2 sin x 2 y ⋅ j

( 3). (3xy 5). (3xy

( ) + x sin (x y )) ⋅ k − x sin (x y )) ⋅ k

Ответы: 1). 9 xy 2 + 3x sin x 2 y + 4 x 3 2 2

2

2

2

69

2). 0 2

( ))

+ x sin x 2 y ⋅ k

поля

Номер: 4.50.В Задача: Вычислить ротор векторного поля a = xy ⋅ i − (y + x ) ⋅ j + (z − zy ) ⋅ k

Ответы: 1). z ⋅ i + (1 + y ) ⋅ k

3). − z ⋅ i + (1 + y ) ⋅ k

2). z ⋅ i − (1 + y ) ⋅ k

4). − z ⋅ i − (1 + y ) ⋅ k

5). 0

Номер: 4.51.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=(x+y)i+(y+z) j+(z+x)k вдоль периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,0,-3) , C(0,1,0) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 7/2 3). 7 4). – 7/2 5). – 7 Номер: 4.52.С r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=xyi+yz j+zk вдоль периметра треугольника с вершинами A(5,0,0), B(0,0,1) , C(0,-4,0) . Обход положительный. Ответы: 1). −14 2). 14 3). 0 4). −7 5). 7 Номер: 4.53.Cr r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=xi+(y - 2z) j+(2x-y+2z)k вдоль периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,1,0) , C(0,0,1) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 3/2 3). – 3/2 4). 3 5). −3 Номер: 4.54.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=3xi+ ( y+z ) j+ ( x - z ) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(3,0,0), B(0,1,0) , C(0,0,3) . Обход положительный. Ответы: 1). −6 2). 6 3). 0 4). 12 5). −12 Номер: 4.55.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( y+2z ) i+ ( x+2z ) j+ ( x - 2y ) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). 7/2 2). – 7/2 3). 7 4). – 7 5). 0 Номер: 4.56.C r r r r 2 Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=6x i+3cos ( 3y+z ) j+cos ( 3y+z ) k

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) . Обход положительный. Ответы: 1). 3/2 2). – 3/2 3). 3 4). 0 5). −3 70

Номер: 4.57.Cr r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( y - z+x ) i-2y j+ ( x+2z ) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 5 3). – 5/2 4). 5/2 5). −5 Номер: 4.58.Cr r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( z+x ) i+2y j+ ( x+y - z ) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). −1 3). 1 4). 2 5). −2 Номер: 4.59.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( y+2z ) i + ( x+2z ) j+ ( x-2y ) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) . Обход положительный. Ответы: 1). −21 2). – 21/2 3). 0 4). 21/2 5). 21 Номер: 4.60.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( 2z+x ) i+ ( y - 3z ) j+zk вдоль периметра треугольника с вершинами A(−5,0,0), B(0,-3,0), C(0,0,-1) . Обход положительный. Ответы: 1). 19/2 2). 19/4 3). – 19/2 4). – 19/4 5). 0 Номер: 4.61.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=3xi+ ( y+z ) j+ ( x-z ) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(−5,0,0), B(0,2,0), C(0,0,4) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). −6 3). 6 4). 12 5). −12 Номер: 4.62.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( 2z - x ) i+ ( x - y ) j+ ( 3x+z ) k

1 2

1 3

1 4

вдоль периметра треугольника с вершинами A( ,0,0), B(0, ,0), C(0,0, ) . Обход положительный. Ответы: 1). 7/48 2). – 1/48

3). 1/48

4). – 1/24

71

5). – 7/48

Номер: 4.63.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( z+x ) i+z j+ ( 2x-y ) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) . Обход положительный. Ответы: 1). −24 2). −12 3). 0 4). 12 5). 24 Номер: 4.64.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( 2y-z ) i+ ( x + y ) j+xk вдоль периметра треугольника с вершинами A(4,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). −12 2). −6 3). 0 4). 6 5). 12 Номер: 4.65.Cr r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( z+y ) i+ ( x+z ) j+ ( x+y ) k вдоль

Γ: контура параметра t . Ответы: 1). 0

x=asin 2 t, y=asin2t, z=acos 2 t , 2). a

3). −a

4). −

a 2

5). −

в

направлении

возрастания

a 2

Номер: 4.66.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=x 2 i+y 2 j+z 2 k вдоль контура Γ : x=cos t, y=sin t, z=1 , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). π 2). 0 3). 2π 4). −2π 5). 4π Номер: 4.67.C

r

y r x r i+ j вдоль x2 + y2 x2 + y2 контура Γ : x=cost, y=sint, z=h , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). 2π 2). −2π 3). 0 4). π 5). -π Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=-

Номер: 4.68.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=-xi+x j+yk вдоль контура Γ : x=5cos t, y=4sin t, z=2 , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). 0 2). -5π 3). 5π 4). −10π 5). 10π Номер: 4.69.Cr r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=x 2 y3 i+ j+zk вдоль замкнутого контура Γ , получаемого в результате пересечения поверхностей x 2 +y 2 − z 2 =0 и z = 2 , в направлении возрастания параметра t .

72

Ответы: 1). 4π

2). −4π

3). -8π

4). 8π

5). 0

Номер: 4.70.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=xi-z j+y 2 k вдоль замкнутого контура Γ : x=5, y=5cos t, z=sin t , в направлении возрастания параметра t .

3 2

Ответы: 1). − π

2). 0

3).

3 π 2

4). −3π

5). 3π

Номер: 4.71.C r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=-5yi + 5x j вдоль замкнутого контура Γ : x=2cos t, y=2sin t , в направлении возрастания параметра t .

2). 20π 3). 40π 4). −20π 5). −40π Ответы: 1). 0 Номер: 4.72.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=yi − x j + k вдоль замкнутого контура Γ : x=3cos t, y=3sin t, z=5 , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). 0 2). 18π 3). −18π 4). 9π 5). −9π Номер: 4.73.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=3yi − 4x j + 5k вдоль замкнутого контура Γ : x=cos t, y=sin t, z=1 , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). −7 π

2). 7 π

3). 0

7 2

4). − π

5).

7 π 2

Номер: 4.74.Cr Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= {2x+2z+3y; x + z; x − y} вдоль замкнутого контура Γ : x=sin 2 t, y=sin 2t, z=cos 2 t , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). −π 2). π 3). 0 4). −2π 5). 2π Номер: 4.75.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= ( x+z ) i + ( x − y ) j + xk вдоль замкнутого контура Γ : x=5cos t, y=3sin t, z=0 , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). −15π

2). 15π

3). 0

4). −

73

15 π 2

5).

15 π 2

Номер: 4.76.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=x 2 zi − 2y 2 x j + 2xyzk вдоль замкнутого контура Γ : x=5cos t, y=2cos t, z=3sin t , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). −

Задача:

375 π 4

Найти

375 π 2

2).

циркуляцию

4). −

3). 0

375 π 2

5).

Номер: 4.77.C векторного поля

375 π 4

r 2r r r a=x i − 2yx j + zk

вдоль

1 2

замкнутого контура Γ : x=8, y= sin t, z=3sin t , в направлении возрастания параметра t .

5 2

Ответы: 1). − π

2).

5 π 2

4). 0

3). 5π

5). −5π

Номер: 4.78.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=-zi + (1 − z ) j + xyk вдоль замкнутого контура Γ : x=5sin t, y=8, z=3cos t , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). −15π

2). 15π

3). 0

4). −

15 π 2

5).

15 π 2

Номер: 4.79.C r r r r Задача: Найти циркуляцию векторного поля a= (1 − yz ) i + (1 + zx ) j + 2 ( x + y ) k

1 4

вдоль замкнутого контура Γ : x=cos t, y=-2cos t, z= sin t , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). −π

2). π

3). 0

4). −

π 2

5).

π 2

Номер: 4.80.C

r x r y r z2 r a= zi + j + k y z y

Задача: Найти циркуляцию векторного поля

вдоль

замкнутого контура Γ : x=cos t, y=3sin t, z= 2cos t , в направлении возрастания параметра t .

4 3

Ответы: 1). − π

2).

8 π 3

3). 0

4 3

4). − π

74

8 3

5). - π