FORMULARIO TRIGONOMETRIA - RAIMONDI

Formulario

TRIGONO METRIA B

a c

C

b a2 = b2 + c2 - 2bc Cos A b2 = a2 + c2 - 2ac Cos B c2 = a2 + b2 - 2ab Cos C

Academia

Raimondi ... siempre los primeros

Academia Título de la Obra:

Formulario de Trigonometría Edición 2018

Academia Preuniversitaria Antonio Raimondi E.I.R.L. Plaza San Francisco Nº 138.

Telf.: (084)247458 y (084)224961 www.academiaraimondi.pe Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin permiso de los editores.

Introducción

La Trigonometría es una parte de las Matemáticas que trata de relacionar los ángulos y los lados de un triángulo; fue iniciada por Hiparco, aproximadamente el año 150 a.C. Tiempo después, Ptolomeo siguió con estos estudios, basándose en sus estudios y de otros personajes de la Astronomía, para crear su sintaxis Matemática llamada Almagesto. Hoy en día, los ingenieros y los físicos ocupan muchas de estas herramientas trigonométricas en su diario actuar, sin quizás conocer quién las crea y cuál es su historia, la cual vamos a presentar a continuación.

La Corporación Educativa RAIMONDI de Cusco tiene el agrado de poner en consideración de todos los estudiantes del Cusco, el Perú y el Mundo, este Formulario de Trigonometría que describe, en general, los temas que constituyen un curso de Trigonometría de nivel pre-universitario. Supone el conocimiento, por parte del estudiante, de los principios básicos de Geometría Elemental, Álgebra y Aritmética.

Este libro responde a una necesidad que hemos sentido agudamente todos los que nos avocamos a la enseñanza de las Matemáticas en las aulas de la academia y colegio RAIMONDI de Cusco. La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de las matemáticas, requiere no solamente de conocimientos teóricos, sino fundamentalmente de la capacidad de resolver situaciones matemáticas, denominadas, ejercicios o problemas.

La práctica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profundizar y cimentar los conceptos teóricos bien aprendidos, es por ello que en el desarrollo de esta publicación, ustedes deberán tener en cuenta las sugerencias planteadas y analizarlas.

Tenga presente que el objetivo en el estudio de las Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar correcta y lógicamente una determinada definición, propiedad o teorema a cada problema que se esté resolviendo. Solo así, el estudiante encontrará en las Matemáticas una recreación amena y ágil.

Víctor Paredes Aucasime Promotor - Director

Índice de Contenidos

Capítulo I

Capítulo II

Capítulo III

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Pág 05

Pág 07

Pág 10

Capítulo IV

Capítulo V

Capítulo VI

ÁNGULOS VERTICALES Y ÁNGULOS HORIZONTALES

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Pág 11

Pág 14

Pág 17

Capítulo VII

Capítulo VIII

Capítulo IX

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE

Pág 19

Pág 22

Pág 26

Capítulo X

Capítulo XI

Capítulo XII

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES Pág 28

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE, ARCO MITAD Y ARCO TRIPLE Pág 30

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Capítulo XIII

Capítulo XIV

Capítulo XV

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIABLE REAL

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS DE VARIABLE REAL Pág 41

ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Pág 34

Capítulo XVI RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS

Pág 49

Pág 32

Pág 46

Y

1

Senq

y = Senx q

Capítulo I:

Cosq

X

X

Ángulo Trigonométrico

-1

SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR Sistema Sexagesimal (S) También denominado Sistema Inglés, la unidad de medida es el grado sexagesimal, cuya simbología es (1º) y se define como la 360ava parte de una revolución.

Y

1 vuelta = 360º Equivalencias:

90º

90º

90º

90º

x

1º = 60 ' 1º = 3600 '' 1º 1' = 60

1' = 60 '' 1'' =

1º 3600

Notación de los ángulos: aº b 'c " = aº +b '+ c "

Y

100g

1 vuelta = 400g Equivalencias: 1g = 100m

100g

g

1 = 1000 x

100g

100g

1m = 100s

s

1g 1g 1s = 100 1000

Notación de los ángulos: agbmc s = ag + bm + c s 1m =

Sistema Radial (R) La unidad en este sistema es el radián y se define la medida del ángulo central en cualquier circunferencia donde la medida del radio y del arco son iguales.

Academia Raimondi

5

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Sistema Centesimal (C) También denomiando Sistema Francés, la unidad es el grado centesimal, cuya simbología es (1g) y se define como la 400ava parte de una revolución.

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA 1 vuelta = 2π rad R

R

Equivalencias: 180 1 rad = π

1 rad R

57°17 ' 44.81'' 1 rad =  g m s 63 66 19.77 Comparación entre los sistemas de medida angular, Sexagesimal, Centesimal y Radial Considerando la relación entre un ángulo cualquiera y una revolución, donde las medidas de un mismo ángulo estan dadas en los tres sistemas, se puede establecer la siguiente proporción: S C R = = 360 400 2π

S C R = = 180 200 π

• S: Ángulo en sistema sexagesimal • C: Ángulo en sistema centesimal • R: Ángulo en sistema radial Recomendaciones para resolver ejercicios sobre Sistemas Angulares (S – C – R) En las preguntas de admisión son frecuentes los ejercicios que relacionan las tres lecturas de un mismo ángulo, para esto se recomienda utilizar la siguiente proporción: S = 9k S C R = = = k ⇒ C = 10k  180 200 π R = π k  20

Trigonoometría

Esta nos permite uniformizar los datos y llegar a una solución mediante la resolución de una ecuación de una sola variable para calcular el valor de "k".

Arco de Circunferencia, Sector Circular y Segmento Circular L

R

R

A

q rad

q rad

R

R

L = θR

Academia Raimondi

A=

1 2 θR 2

6

A

R q R

A=

R2 (θ − senθ) 2

... siempre los primeros

Y

1

Senq

y = Senx q

Capítulo II:

Cosq

X

X

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

-1

DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo. En el triángulo adjunto, tenemos:

C b

a

B:

a 2 + c 2 = b2

recto

A y C :

c

A

a y c : catetos b : hipotenusa s agudos

A + C = 90º

B

A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico; para el ángulo A tenemos: a: cateto opuesto (CO) b: hipotenusa (H) c: cateto adyacente (CA) Luego se definen: SenA = CO = a H b

CscA = H = b CO a

CA c = H b

SecA = H = b CA c

CosA =

TanA = CO = a CA c

CotA =

CA c = CO a

13 5 α

Senα = 5 13 Cosα = 12 13

; ;

Tan α = 5 12 12 Cotα = 5

12

La resolución de un triángulo rectángulo requiere de dos datos: Dos catetos o un cateto y un ángulo:

a

a

b

c

α

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7

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Por ejemplo:

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA • TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son:

60º

45º

2

2 1

1

45º

30º

1

3

Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.

53º

5 37º

3 4

A partir de estos se determinarán otros adicionales como:

67º30'

4+2 2

75º 4

1

22º30'

Trigonoometría

6- 2

15º 2 +1

82º

5 2

1

26º30'

18º30' 6+2

63º30'

5

8º 2

16º 7

1 3

74º

25

1

71º30'

10

7 24

No olvide además: • PROPIEDADES: I. Las razones trigonométricas de un ángulo: dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:

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8

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA 30º

37º

45º

53º

60º

Sen

1 2

3 5

2 2

4 5

3 2

Cos

3 2

4 5

2 2

3 5

1 2

Tan

3 3

3 4

1

4 3

3

Cot

3

4 3

1

3 4

3 3

Sec

2 3 3

5 4

2

5 3

2

Csc

2

5 3

2

5 4

2 3 3

C PQ  AQ    Senθ = MN  Iguales AN  BC  Senθ = AC  Senθ =

M Q

A

θ

P

N

B

Senθ Csc θ = 1

Cos θ Sec θ = 1

Tan θCotθ = 1

Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que: Tan (3 x − 10°) Cot ( x + 30°) = 1 ; para calcular "x" diremos: 3 x − 10 = x + 30 2x = 40° ⇒ x = 20° III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta característica la vamos a indicar de la siguiente manera: Si α y β son agudos; tales que: α + β = 90° . Entonces:

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9

... Siempre los primeros

Trigonoometría

II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas parejas son las siguientes:

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo III:

X

Cosq

X

Resolución de Triángulos Rectángulos

-1

CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.

Criterio para cálculo de lados y ángulos: Lado desconocido = R.T.( conocido) Lado conocido Casos que pueden presentarse: 1.

C

A

α

L

B

C

I) BC = Tan α ⇒ BC = L Tan α L AC = Sec α ⇒ AC = L Sec α II) L

L A

α

B

I) AB = Cot α ⇒ AB = L Cot α L AC = Csc α ⇒ AC = L Cscα II) L

C L

Trigonoometría

A

α

B

I) BC = Sen α ⇒ BC = L Sen α L AB = Cos α ⇒ AB = L Sen α II) L

* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.

B

c

A

Sabemos: S ABC = b ⋅ h 2 pero: h = aSenC

a

h

b

Academia Raimondi

luego: S ABC = b ⋅ aSenC 2 C

10

S ABC =

ab senC 2

S ABC =

ac senB 2

S ABC =

bc senA 2

... siempre los primeros

Y

1

Senq

y = Senx q

Capítulo IV:

Cosq

X

X

Ángulos Verticales y Ángulos Horizontales

-1

ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación.

Estos resultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión.

al isu V a

Línea Horizontal β Lín ea Vi su al

H

h

β : Ángulo de Depresión

α : Ángulo de Elevación

Consideración: En el gráfico adjunto, "θ" es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note que deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja.

Luego "θ" es el ángulo formado por las dos visuales.

θ

ÁNGULOS HORIZONTALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.

Rosa Náutica: Llamado también compás marino, se trata de un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto; respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones:

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Norte (N)

Di rec ció

B

ión ecc Dir 30º

n 40º

Oeste (O)

n ió 42º cc e r Di C

11

A

P

Este (E) Referencia

Sur (S)

... Siempre los primeros

Trigonoometría

e Lín α Línea Horizontal

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones.

Por ejemplo:

N Q

P

Est� al N24∞E de "R" P Est� al E66∞N de "R"

24º "A" se halla el E30ºN de "P" "B" se halla al O40ºN de "P" "C" se halla al S42ºO de "P"

66º

30º O

R

E

Est� al O30∞N de "R" Q Est� al N60∞O de "R" Est� al S10∞E de "R" S Est� al E80∞S de "R"

10º S S

Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejes principales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted concluye los restantes por analogía.

N

N

N 1 NE 4 NNE NE 1 N 4 NE

α

Trigonoometría

O

O

E

S N

O

α S

NE 1 E 4 ENE E 1 NE 4

E

N α

O

E

E

α

S

S En cualquiera de los casos: α = 11°15 ' ó α =

Academia Raimondi

π rad 16

12

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA SITUACIONES COMBINADAS Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales (uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir, ubicada en un plano horizontal.

Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:

β

"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación " α ". Si luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería " β ".

Ahora, note la representación gráfica:

E N60º

α 60º

USO PRÁCTICO DE LOS ÁNGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES La Topografía La topografía es la ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos que tienen por objeto la representación gráfica de la superficie terrestre, con sus formas y detalles; tanto naturales como artificiales; (véase planimetría y altimetría). Esta representación tiene lugar sobre superficies planas, limitándose a pequeñas extensiones de terreno, utilizando la denominación de «geodesia» para áreas mayores. De manera muy simple, puede decirse que para un topógrafo la Tierra es plana (geométricamente), mientras que para la geodesia no lo es.

Los mapas topográficos utilizan el sistema de representación de planos acotados, mostrando la elevación del terreno utilizando líneas que conectan los puntos con la misma cota respecto de un plano de referencia, denominadas curvas de nivel, en cuyo caso se dice que el mapa es hipsográfico.

Dicho plano de referencia puede ser el nivel del mar, y en caso de serlo se hablará de altitudes en lugar de cotas.

La Geodesia La geodesia es una de las Ciencias de la Tierra y una Ingeniería. Trata del levantamiento y de la representación de la forma y de la superficie de la Tierra, global y parcial, con sus formas naturales y artificiales.

La geodesia también se emplea en matemáticas para la medida y el cálculo en superficies curvas.

Se usan métodos semejantes a los utilizados en la superficie curva de la Tierra.

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13

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Para eso se utiliza un sistema de coordenadas tridimensional, siendo la x y la y competencia de la planimetría, y la z de la altimetría.

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo V:

X

Cosq

X

Sistema de Coordenadas Rectangulares

-1

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650).

Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano en cuatro semiplanos denominados cuadrantes. * La recta horizontal se llama eje "X" o eje de abscisas. * La recta vertical se llama eje "Y" o eje de ordenadas. * El punto "O" se denomina origen de coordenadas.

Y Cuadrante II

y

x2 Q(x ;y ) 2 2

Cuadrante I P(x ;y )

1

1 1

x1

O (0;0) y

Cuadrante III

2

X

Cuadrante IV

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano Sean P1 ( x1; y1) y P2 ( x 2; y 2 ) dos puntos del plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre los

Trigonoometría

puntos P1 y P2 está dada por: Y y

2

y

P (x ;y ) 1

1

1

2

d

2

2

1

x

1

Academia Raimondi

P (x ;y )

Por el Teorema de Pitágoras: d=

x

2

( x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2

X

14

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA * Radio Vector

Es la distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano.

Si: P0 = ( x0 , y0 ) es un punto del plano cartesiano el radio vector se calcula así: Y y

Por el Teorema de Pitágoras:

P0(x0, y0)

0

r

r = x02 + y02 x

X

0

División de un segmento en una razón dada: Sea P0 = ( x0 , y0 ) un punto cualquiera sobre un segmento de extremos P1 ( x1; y1) y P2 ( x 2; y 2 ) tal que: P1P0 a = → razÛn P0P2 b Y b a

P2(x2; y2)

Las coordenadas de P0 son:

P0(x0; y0)

x0 =

P1(x1; y1)

ax 2 + bx1 a+b

y0 =

ay 2 + by1 a+b

Punto Medio de un Segmento Las coordenadas del punto medio M del segmento de extremos P1 ( x1; y1) y P2 ( x 2; y 2 ) se calcula así: Y P2(x2; y2)

Las coordenadas de Pm son:

M(xm; ym)

xm =

P1(x1; y1)

x1 + x 2 2

ym =

y1 + y 2 2

X

Coordenadas del baricentro de un triángulo En el triángulo cuyos vértices son A ( x1, y1) ; B ( x 2, y 2 ) y C ( x3 , y3 ) , las coordenadas del baricentro están dadas por:

Academia Raimondi

15

... Siempre los primeros

Trigonoometría

X

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA Y

C(x3, y3)

G

Las coordenadas del punto que representa al baricentro del triángulo están dadas por:  x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y3  , G 1   3 3

B(x2, y2)

G: baricentro

A(x1, y1) X

Área de una región triangular Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se indica.

Y C(x3, y3) S

B(x2, y2)

x1 x y 2 1 x  2 + x 3 y 2 x 3  x1y 3 x 1 B Luego :

A(x1, y1)

S=

X

Trigonoometría

Ecuación de la Recta dados dos puntos

y1  y 2 x1y 2   y 3 x 2y 3  +  y 1 x 3 y1   A A−B 2

Distancia de un punto a una recta

Y

Y P0(x0, y0) A(x1, y1)

d P(x, y)

L: Ax+By+C=0

B(x2, y2) X y − y1 =

X

y 2 − y1 ( x − y1) x 2 − x1

Academia Raimondi

d=

16

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

... siempre los primeros

Y

1

Senq

y = Senx q

Capítulo VI:

X

Cosq

X

Razones Trigonométricas de un ángulo en posición normal

-1

Definiciones Preliminares: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "X" positivo.

Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante.

Y

Del gráfico: Lado Final

θ

(+) X

Vértice

* *

θ : es un ángulo en posición normal θ ∈ IIC; θ > 0

Lado Inicial

Y

Del gráfico: β

(-) X

* *

β : es un ángulo en posición normal β ∈ IIIC; β < 0

Lado Final

Definición de las Razones Trigonométricas: Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto P0 = ( x0 , y0 ) perteneciente a su lado final.

Se define: Y P(x, y) x y y Cotα = Senα = y r r x r Cosα = Secα = x r α α' y r Tan α = x Cscα = X x y

Academia Raimondi

17

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Lado Inicial

Vértice

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA *

r = x 2 + y 2

* α ' : se denomina ángulo de referencia

Signo de las R.T. en los cuadrantes Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto.

(+)

Seno y Cosecante

(+)

Tangente Coseno y y (+) Cotangente Secante

(+)

Todas son positivas

Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales

θ radianes 0 ∧ 2π π 2 π 3π 2

θ (grados) 0

Sen θ 0

Cos θ 1

Tan θ 0

Cot θ N. D.

Sec θ 1

Csc θ N. D.

90º

1

0

N. D.

0

N. D.

1

180º

0

-1

0

N. D.

-1

N. D.

270º

-1

0

N. D.

0

N. D.

-1

Nota: N.D. no definido Ángulos Coterminales Son aquellos ángulos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Ejemplo:

Trigonoometría

i)

Lado inicial Lado final

Y

ii) β

α

γ

X

Vértice θ

P(x0 ; y0)

Se tiene que: * α y θ : son coterminales * γ y β : son coterminales (están en P. N.) Propiedades: Si α y θ son coterminales se cumple que: I.

α − θ = 360° n ; n ∈  II. R.T.(α ) = R.T.(θ)

Academia Raimondi

18

... siempre los primeros

Y

1

Senq

y = Senx q

Capítulo VII:

X

Cosq

X

Reducción al Primer Cuadrante

-1

OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es: * Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.   nπ ± θ ; n ∈  * Simplificar correctamente expresiones del tipo: R.T.   2 * Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º CASOS: I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original " α " se descompone como la suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar:

Por ejemplo; calculemos:

*

3 Sen 120

º = Sen(90º +30) = +Cos 30º = 2 (+)

* * * * *

Cos 120

º = Cos(180º − 60º) = −Cos 60º = − (−)

1 2

Tan 240

º = Tan (270º −30º ) = + Cot 30º = 3 (+ )

Csc 330

º = Csc(360º −30º ) = −Csc 30º = −2 (−)

Sen 170∫    = Sen(

)=

Cos 200  ∫ = Cos(

)=

Academia Raimondi

*

*

19

Tan 260   ∫ = Tan(

)=

Sen 320∫    = Sen(

)=

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Donde el signo ( ± ) que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " α "

 + 180 ± σ   = ±R.T.(σ ) R  360 − σ   RT(α ) =   +  90 + σ   = ± Co − R.T.(σ ) R   220 ± σ 

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:

R.T. (α) = R.T. (θ) ; donde α 360º θ q Residuo

Por ejemplo, calculemos: Sen 2580º = Sen 60º =

3 2

* Tan 3285º = Tan45º = 1

3285º 360º 2580º 360º 2520º 7 3240º 9 60º 45º * Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = − Csc30º = − 2 1200º 1080º 120º *

(−)

360º 3

* Sen 3180º = Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera: π 1π = 1 Sen133 π = Sen 1π = 1 * Cos127 = Cos 3 2 3 2 2 133 4 127 6 132 33 126 21 1 1 *

Trigonoometría

 aπ  R.T.   ; a > 2b  b

Es decir, si fuese: Se divide: a 2b q r este residuo reemplaza al numerador "a" Tan 1315 π = Tan 3 π 4 4 1315 8 51 164 35 3 *

*

Sen 1345 π 3 1345

III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:

Por ejemplo, calculemos:

Academia Raimondi

Sen(-x) = -Senx Cos(-x) = Cosx Tan(-x) = - Tanx

Csc(-x) = -Cscx Sec(-x) = Secx Cot(-x) = - Cotx

20

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA 2 1 Cos( −60∫ ) = Cos 60∫ = 2 * 2 * Tan (−120º ) = − Tan 120 º = − Tan ( 90 º + 30 º ) = − ( − Cot 30 º ) = 3

( − ) * * Cos (- 200º) = Sen( −45∫ ) = −Sen45∫ = −

IV. Ángulos relacionados: 1. Senx = Seny  Si: x + y = 180° ⇒ Cos x = − Cos y Tan x = − Tan y  2. Senx = −Seny  Si: x + y = 360° ⇒ Cos x = Cos y Tan x = − Tan y 

C = Cos

π 2π 3π 4π 5π 6π + Cos + Cos + Cos + Cos + Cos 7 7 7 7 7 7

En esta expresión note que: π 6π π 6π + = π ⇒ Cos = − Cos 7 7 7 7 2π 5 π 2π 5π + = π ⇒ Cos = − Cos 7 7 7 7 3π 4π 3π 4π + = π ⇒ Cos = − Cos 7 7 7 7 Luego: C = − Cos

6π 5π 4π 4π 5π 6π − Cos − Cos + Cos + Cos + Cos 7 7 7 7 7 7

Reduciendo, quedaría C = 0 Recuerda: Es importante hacer uso de las propiedades que se exponen en el presente curso, en vista de que eso nos permitirá llegar a resultados de manera más rápida, utilizando las simplificaciones.

Academia Raimondi

21

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Por ejemplo, calculemos:

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo VIII: Cosq

X

X

Circunferencia Trigonométrica

-1

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA DEFINICIÓN Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen en el sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos: y

Posiciones de arcos en una circunferencia trigonométrica

B R=1 A'

A

O

1

x 2 + y 2 =1

C.T.

x

A (1; 0) : origen de arcos B (0; 1) : origen de complementos de arcos A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos B' (0; -1) : origen de complementos de arcos negativos

B'

El punto A(1; 0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibujar arcos orientados, con un signo asociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en el gráfico:

Trigonoometría

Y B

Arcos positivos y negativos en una circunferencia trigonométrica

M α

1 A'

A

O

X

α : es un arco positivo (sentido antihorario) β : es un arco negativo (sentido horario)

N β

B'

Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichos arcos se denominarán arcos en posición nomal. Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple que numéricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números reales y el ángulo central correspondiente, en radianes.

Academia Raimondi

22

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA En el sector circular AOM; por longitud de un arco: AOM = θ rad , esto es:  (numéricamente) AOM (en rad) = AM

Y B

M 1

θ

θ rad

A'

O

C.T.

α rad 1

X

Así mismo, podemos establecer: R.T. ( θ rad) = R.T. ( θ ) ; θ ∈ 

α

N

B'

Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor, pero expresado en radianes.

A

Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, son calculables al asociarles un ángulo cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado.

Es decir; por ejemplo: Sen 2 = Sen 2 rad Tan 3 = Tan 3 rad Cos (-1) = Cos (-1 rad) LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos. a) Para arcos representados por números enteros: 1,57= π 2

Y

Y 2

1

1 3,14=π

X O

4,71=

Academia Raimondi

3π 2

X

3

2π=6,28

6 4

C.T.

23

5

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométrica de un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán analizar las variaciones de estas R.T., así como su comportamiento.

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( n ∈  ) Y

Y

π ; 5π ; 9π ; ....

2 2 2

B:

..., 3π, π : A'

A; 0; 2π; 4π; ...

..., 3π, π : A'

X

B':

π ; 5π ; 9π ; ....

2 2 2

B:

A; 0; 2π; 4π; ...

X

3π ; 7π ; 11π ; ....

2 2 2

B':

3π ; 7π ; 11π ; ....

2 2 2

I. LÍNEA SENO Representación:

Variación:

Y B

C.T.

1 Senα (+)

(+) A'

α

Ángulo A X

(-)

Senβ -1 (-) N

Trigonoometría

M

β

α

I Cuadrante

III Cuadrante

3π 2

π 2

π →π 2

π→

0→1

1→ 0

0 → −1

0→

Senα

II Cuadrante

IV Cuadrante

3π → 2π 2 −1 → 0

B'

M� ximo: 1 Esto significa que: −1 ≤ Sen α ≤ 1 ; ∀α ∈  . Se deduce que: Senα  MÌnimo: − 1 II. LÍNEA COSENO Representación:

Variación:

Y B

C.T.

-1

A'

N

Cosα (+) 1

Cosβ (-)

M α A

Ángulo X

α Cos α

β

I Cuadrante

II Cuadrante

III Cuadrante

3π 2

π 2

π →π 2

π→

1→ 0

0 → −1

−1 → 0

0→

IV Cuadrante

3π → 2π 2 0→1

B' (-)

(+)

Academia Raimondi

24

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA M� ximo : 1 Esto significa que: −1 ≤ Cos α ≤ 1 ; ∀α ∈  . Se deduce que: Cos α  MÌnimo : − 1 Observación: Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus propias componentes:

y C.T.

B Senα

Por ejemplo, para "M" se nota que: abscisa = Cos α

A' β

ordenada = Senα

M Cosα

N Senβ

α

Senα

A

Cosβ

Cosα

x

Luego: M = (Cos α, Senα ) B'

De manera similar, las componentes de N son (Cos β, Senβ) III. LÍNEA TANGENTE Representación:

Variación:

Y Tan α

M

Ángulo

α A'

(+) A X

O β C.T.

B'

N

(-)

α Tan α

I Cuadrante

0→

π 2

0 → +∞

II Cuadrante

π →π 2 −∞ → 0

III Cuadrante

π→

3π 2

0 → +∞

IV Cuadrante

3π → 2π 2 −∞ → 0

Tan β

Esto es: −∞ < Tan x < +∞ No hay máximo, ni mínimo Consideración: La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual significa que la R.T. π tangente no se define para todo arco de la forma: (2n + 1) ; n ∈  2

Academia Raimondi

25

... Siempre los primeros

Trigonoometría

B

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo IX: Cosq

X

X

Identidades Trigonométricas de una variable

-1

* DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida. * CLASIFICACIÓN: I. I. T. RECÍPROCAS:

Senx Csc x = 1 ⇒ Csc x =

1 ; ∀x ∈  − {nπ; n ∈ } Senx

Cos x Sec x = 1 ⇒ Sec x =

1 π ; ∀x ∈  − (2n + 1) ; n ∈  Cos x 2

Tan xCotx = 1 ⇒ Cotx =

{

{

}

}

1 nπ ; ∀x ∈  − ; n ∈ Tan x 2

II. I. T. POR DIVISIÓN:

Trigonoometría

Tan x = Cotx =

{

}

Senx π ; ∀x ∈  − (2n + 1) ; n ∈  Cos x 2 Cos x ; ∀x ∈  − {nπ; n ∈ } Senx

III. I. T. PITÁGORAS:

Sen2 x = 1 − Cos2 x  Sen2 x + Cos2 x = 1 ; ∀x ∈    2 2 Cos x = 1 − Sen x 

{

}

π Sec 2 x − Tan2 x = 1 ; ∀x ∈  − (2n + 1) ; n ∈  2

Sec 2 x = Tan2 x − 1   2 2 Tan x = Sec x − 1

2 2 Csc x = Cot x − 1 Csc 2 x − Cot 2 x = 1 ; ∀x ∈  − {nπ; n ∈ }   2 2 Cot x = Csc x − 1

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26

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA IV. I. T. AUXILIARES:

{

}

nπ ; n ∈ 2 nπ 2 2 2 2 ; n ∈ 2. Sec x + Csc x = Sec x Csc x ; ∀x ∈  − 2 4 4 2 2 3. Sen x + Cos x = 1 − 2Sen x Cos x ; ∀x ∈  1. Tan x + Cotx = Sec x Csc x ; ∀x ∈  −

{

}

6 6 2 2 4. Sen x + Cos x = 1 − 3Sen x Cos x ; ∀x ∈  2 5. (1 ± Senx ± Cos x ) = 2 (1 ± Senx ) (1 ± Cos x ) ; ∀x ∈  2 2 6. Si: aSenx + b Cos x = c ∧ c = a + b a b ∧ Cos x = Entonces se cumple: Senx = c c 1 π Sec x + Tan x = n ⇒ Sec x − Tan x = ; ∀x ∈  − (2n + 1) ; n ∈  7. Si: n 2 1 8. Si: Csc x + Cotx = m ⇒ Csc x − Cotx = ; ∀x ∈  − {nπ; n ∈ } m

{

}

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco Sen

Cos

Sen x

Sen x

1 − Cos2 x

Cos x

1 − Sen2 x

Cos x

Senx 1 − Sen2 x

1 − Cos2 x Cos x

1 − Sen2 x Senx

Tan x Cot x Sec x Csc x

Tan

Cot

Sec

Csc

Tan x

1

2

1 + Tan2 x

1 + Cot 2 x

1 Csc x

1

Cotx

1 + Tan2 x

1 + Cot 2 x

Tan x

1 Cotx

1 − Cos2 x

1 Tan x

Cot x

1 − Sen2 x

1 Cos x

1 + Tan2 x

1 + Cot 2 x Cotx

1 Senx

1 − Cos2 x

1 + Tan2 x Tan x

1 + Cot 2 x

1

Cos x

1

Sec x − 1 Sec x 1 Sec x Sec 2 x − 1 1 Sec 2 x − 1

Sec x Sec x Sec 2 x − 1

Csc 2 x − 1 Csc x 1 Csc 2 x − 1 Csc 2 x − 1 Csc x Csc 2 x − 1

Csc x

Deducciones importantes: 1.

Sec x − 1 Tan x 1 + Senx Cos x = 3. = Tan x Sec x +1 Cos x 1 − Senx

2.

Senx 1 + Cos x Csc x + 1 Cotx 4. = = Senx 1 − Cos x Cotx Csc x − 1

Academia Raimondi

27

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Función

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo X:

X

Cosq

X

Identidades Trigonométricas de la -1 suma y diferencia de variables

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA DOS ÁNGULOS I. Para la Suma:

II. Para la Diferencia:

Sen ( x + y ) = Senx Cos y + Seny Cos x

Sen ( x − y ) = Senx Cos y − Seny Cos x

Cos ( x + y ) = Cos x Cos y − SenxSeny

Cos ( x − y ) = Cos x Cos y + SenxSeny

Tan x + Tan y Tan ( x + y ) = 1 − Tan x Tan y

Tan ( x − y ) =

Tan x − Tan y 1 + Tan x Tan y

PROPIEDADES: I. Seno y coseno de la suma de ángulos: Sen ( x + y ) Sen ( x − y ) = Sen2 x − Sen2 y Cos ( x + y ) Cos ( x − y ) = Cos2 x − Sen2 y II. Suma de tangentes: Tan x + Tan y =

Trigonoometría

Tan x − Tan y =

Sen ( x + y ) Cos x Cos y

Sen ( x − y ) Cos x Cos y

III. Para un triángulo rectángulo cualquiera:

Si : K = aSenx ± bCosx

∧

a , b ∈ R+

K= 3

a2 + b2 ⇒ K = a2 + b2 ⋅ Sen(x ± θ) ; donde :

Academia Raimondi

28

θ

b

a

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA IV. Si : L = aSenx ± b Cos x ; ∀a, b, x ∈  Lm�

x

= a2 + b2

Donde: a ∧ b: Constantes x: variables

LmÌn = − a2 + b2 V.

Tan x + Tan y + Tan x Tan y Tan ( x + y ) = Tan ( x + y )

ó

Tan x − Tan y − Tan x Tan y Tan ( x − y ) = Tan ( x − y )

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRES ÁNGULOS * Propiedades: I. Si: x + y + z = π Û nπ; n ∈ , entonces: i) Tan x + Tan y + Tan z = Tan x Tan y Tan z ii) CotxCoty + CotyCotz + CotzCotx = 1 II. π π Û (2n + 1) ; n ∈ , entonces: 2 2 i) Cotx + Coty + Cotz = CotxCotyCotz

ii) Tan x Tan y + Tan y Tan z + Tan z Tan x = 1 Ejemplo: 1. Reducir: K = Cot 20° + Cot30° + Cot 40° Cot 20° Cot 40° Se tiene que: 20° + 30° + 40° = 90° Entonces: Cot 20° + Cot30° + Cot 40° = Cot 20°Cot30°Cot 40° K=

Cot 20° Cot30° Cot 40° ⇒ K = Cot30° ∴ K = 3 Cot 20° Cot 40°

Academia Raimondi

29

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Si: x + y + z =

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo XI: Cosq

X

X

Identidades Trigonométricas de -1 Arco Doble, Arco Mitad y Arco Triple

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO DOBLE Seno de 2x

Coseno de 2x

Tangente de 2x

Sen2x = 2Senx Cos x

Cos 2x = Cos2 x − Sen2 x

Tan 2x =

2 Tan x

1 − Tan2 x

También : Cos 2x = 1 − 2Sen2 x Cos 2x = 2 Cos2 x − 1 * Fórmulas de Degradación: 2Sen2 x = 1 − Cos 2x

8Sen4 x = 3 − 4 Cos 2x + Cos 4 x

2 Cos2 x = 1 + Cos 2x

8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4 x

* Propiedades:

Trigonoometría

Cotx + Tan x = 2 Csc 2x

Cotx − Tan x = 2Cot 2x

Sec 3 x + Csc 3 x = 4 Csc 3 2x

(Senx + Cos x )2 = 1 + Sen2x

1 + Sen2x = Senx + Cos x

(Senx − Cos x )2 = 1 − Sen2x

1 − Sen2x = Senx − Cos x

Tan 2x Tan x = Sec 2x − 1

Tan 2x = Sec 2x + 1 Tan x

* Triángulo del Ángulo Doble: Sen 2α = 1 + Tan 2α

2Tan α

1 − Tan 2α

Academia Raimondi

1 + Tan 2α

2 Cos 2α = 1 − Tan α 1 + Tan 2α

2α

2 Tan α

30

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD Seno de

Sen

x 2

Coseno de

x 1 − Cos 2x =± 2 2

Cos

x 2

Tangente de

x 1 + Cos 2x =± 2 2

Tan

Tan

x 1 − Cos 2x =± 2 1 + Cos 2x

x 2

Donde el signo ( ± ) dependerá del cuadrante en el que se ubique Tangente

x 2

Cotangente

x = Csc x − Cotx 2

Cot

x = Csc x + Cotx 2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO TRIPLE Seno de 3x

Coseno de 3x

Tangente de 3x

Sen3 x = 3Senx − 4Sen3 x

Cos 3 x = 4 Cos3 x − 3 Cos x

Tan 3 x =

3 Tan x − Tan3 x 1 − 3 Tan3 x

FÓRMULAS ESPECIALES: Sen3 x = Senx (2 Cos 2x + 1)

Cos 3 x = Cos x (2 Cos 2x − 1)

 2 Cos 2x + 1 Tan 3 x = Tan x   2 Cos 2x − 1

4Sen3 x = 3Senx − Sen3 x

4 Cos3 x = 3 Cos x + Cos 3 x

PROPIEDADES: SenxSen (60° − x ) Sen (60° + x ) = Cos x Cos (60° − x ) Cos (60° + x ) =

1 Sen3 x 4 1 Cos 3 x 4

Tan x Tan (60° − x ) Tan (60° + x ) = Tan 3 x Tan x + Tan (60° + x ) + Tan (120° + x ) = 3 Tan 3 x

Academia Raimondi

31

... Siempre los primeros

Trigonoometría

DEGRADACIONES:

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo XII: Cosq

X

X

Transformaciones Trigonométricas

-1

IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS CASO I: Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.  A − B  A + B SenA + SenB = 2Sen  Cos   2   2   A + B  A − B SenA − SenB = 2Sen  Cos   2   2   A − B  A + B Cos B − Cos A = 2Sen  Sen   2   2   A − B  A + B Cos A + Cos B = 2 Cos  Cos   2   2 

Trigonoometría

Demostración: Conocemos: Sen ( x + y ) = Senx Cos y + Cos xSeny

... (1)

Sen ( x − y ) = Senx Cos y − Cos xSeny

... (2)

Cos ( x + y ) = Cos x Cos y − SenxSeny

... (3)

Cos ( x − y ) = Cos x Cos y + SenxSeny

... (4)

Si sumamos (1) + (2) obtenemos: Sen ( x + y ) + Sen ( x − y ) = 2Senx Cos y

... (*)

Hacemos un cambio de variable: x + y = A Α+B Α−B y y= Sea:  obtenemos: x = x − y = B 2 2  Luego en (*):

 A − B  A + B SenA + SenB = 2Sen  Cos   2   2 

Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga.

Academia Raimondi

32

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA CASO II: Para el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia. Siendo: x > y 2Senx Cos y = Sen ( x + y ) + Sen ( x − y ) 2Seny Cos x = Sen ( x + y ) − Sen ( x − y ) 2 Cos x Cos y = Cos ( x + y ) + Cos ( x − y ) 2SenxSeny = Cos ( x − y ) − Cos ( x + y ) SERIES TRIGONOMÉTRICAS: Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética.  nr  Sen    2  P + U Sen  ∑ Sen (α + (k − 1)r ) =  2  r   k =1 Sen    2 n

 nr  Sen    2  P + U Cos  ∑ Cos (α + (k − 1)r ) =  2  r k =1 Sen    2

Donde: n r P U

: # de términos : razón de la P.A. : Primer ángulo : Último ángulo

n

Cos

(2n − 1) π 1 π 3π 5π + Cos + Cos + ... + Cos = 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2 2n + 1

Cos

2π 4π 6π 2nπ 1 + Cos + Cos + ... + Cos =− 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2

Productorias: ∀n ∈  +

Academia Raimondi

Sen

nπ π 2π 3π ...Sen = Sen Sen 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1

Cos

π 2π 3π nπ 1 = Cos Cos ...Cos 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n

Tan

π 2π 3π nπ = 2n + 1 Tan Tan ...Tan 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1

33

2n + 1 2n

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Propiedad: ∀n ∈  +

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo XIII: Cosq

X

X

Funciones Trigonométricas de variable real

-1

INTRODUCCIÓN Dentro del análisis matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad para representar vía modelos matemáticos una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar.

En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de periodicidad, juegan un rol importante en la representación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; por ello su estudio es imprescindible.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA F.T. = {( x, y ) / y = R.T. ( x ) ; x ∈ D (F.T.)} Por ejemplo:

F.T. (Tan gente) = {( x, y ) / y = Tan x; x ∈ D (Tan)}

Si queremos algunos pares ordenados:  π  π F.T. (Tan gente) = (0, 0) ;  , 1 ;  , 4  3 

    2π 3  ;  , − 3  ; ...    3 

Trigonoometría

CONSIDERACIÓN I: Para el análisis de cada una de las funciones trigonométricas, tendremos que recordar las representaciones, en la circunferencia trigonométrica, de las Razones Trigonométricas, así como algunas propiedades adicionales.

B

α A’

Y

Senθ

Senα

θ

β A’

A

Senβ β

B

Senφ

B’ φ

Academia Raimondi

Y

B

Y

Cosα α

Cosβ

α A’

A

X

Cosφ

θ Cosθ

A

X

X Tanβ

φ

B’

34

Tanα

B’

β

... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA Cuadro de Variaciones I 3π 2

3π → 2π 2

π 2

π →π 2

π→

Senα

0→1

1→ 0

0 → −1

−1 → 0

Cos α

1→ 0

0 → −1

−1 → 0

0→1

Tan α

0 → +∞

−∞ → 0

0 → +∞

−∞ → 0

0→

θ

Además, no olvide que en la C.T. mostrada, los arcos con extremo en:

B

A'

Y

A es de la forma: 2nπ ; n ∈  π B es de la forma: ( 4n + 1) ; n ∈  2 ( ) A' es de la forma: 2n + 1 π ; n ∈ 

A X

B' es de la forma: ( 4n + 3)

π ; n ∈ 2

B'

A o A' ; es de la forma : nπ ; n ∈  π B o B' ; es de la forma: (2n + 1) ; n ∈  2 nπ A,A' ; B o B' ; es de la forma: ; n ∈ 2 Por ejemplo: si nos pidiesen hallar " α " que cumple:

Cos α = −1

" α " tiene su extremo en A o A' ∴ α = nπ ; n ∈  π " α " tiene su extremo en B ∴ α = ( 4n + 1) ; n ∈  2 π " α " tiene su extremo en B o B' ∴ α = (2n + 1) ; n ∈  2 " α " tiene su extremo en A' ∴ α = (2n + 1) π ; n ∈ 

Sen2α = 0

" 2α " tiene su extremo en A o A' ∴ 2α = nπ ; α =

Senα = 0 Senα = 1 Cos α = 0

Academia Raimondi

35

nπ ; n ∈ 2

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Pero si debido a alguna condición; puede estar ubicado en:

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos:

Y

1 Senx1 −π 2

π 2

0 Senx 2

x1

π x2

3π 2

2π

5π 2

3π

X

−1

F.T. (Sen) = {( x, y ) / y = Senx; x ∈ D (Sen)} Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar: * D (Sen) =  Mín * R(sen) = [ −1, 1] ⇒ − 1 ≤ Senx ≤ 1 Máx * Es una función continua en R. * Es una función creciente y decreciente. * Es una función periódica: T = 2π (periodo principal) * Es una función impar: Sen ( − x ) = −Senx

Trigonoometría

* No es inyectiva.

II. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO

Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos: Y

1 −π 2

Cosx 1

0

x1

π 2

x2 π

Cosx 2

3π 3π 2

2π

5π 2

X

−1

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36

... siempre los primeros

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Formulario de TRIGONOMETRÍA F.T. (Cos) = {( x, y ) / y = Cos x; x ∈ D (Cos)} Gráfica que recibe el nombre de cosinusoide; desde el cual podemos afirmar: * D (Cos) =  Mín R(Cos) = [ −1, 1] ⇒ − 1 ≤ Cos x ≤ 1 * Máx * Es una función continua en R. * Es una función creciente y decreciente. * Es una función par: Cos(−x) = Cosx * Es una función periódica: T = 2π (periodo principal) * No es inyectiva

III. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE

De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el detalle adicional que la tangente no se define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es decir, los π arcos de la forma (2n + 1) ; n ∈  no pertenecen al dominio de la función.

2 Asíntotas Y

Tanα π − 2

Tanβ

0απ 2

β

π 3π 2

2π 5π 2

3π

X

F.T. (Tan) = {( x, y ) / y = Tan x; x ∈ D (Tan)} A la curva se le va a denominar tangentoide; y de allí podremos afirmar: π * D(Tan) =  − (2n + 1) ; n ∈  2 * R(Tan) =  ⇒ −∞ < Tanx < +∞

{

}

π * No se define en (2n + 1) ; n ∈  2

* Es una función creciente en cada cuadrante. * Es una función impar: Tan ( − x ) = − Tanx

* Es una función periódica: T = π (período principal)

* No es inyectiva.

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37

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA CONSIDERACIÓN II: Cotβ B

Y

Y

Cotα

β

α

A’

Y B

B

Secβ

A

A X

X

β

β

Cscβ B’

B’

B’

α

A’

A Secα

A’

X

Cscα

α

Nótese de los gráficos, aparte de las representaciones de las R.T.; que la cotangente, secante y cosecante no se definen respectivamente, para arcos cuyo extremo coincide con: A y A ' ⇒ nπ ; n ∈  B y B ' ⇒ (2n + 1)

π ; n ∈ 2

Cuadro de variaciones II: 0→

Trigonoometría

θ

π 2

π →π 2

π→

3π 2

3π → 2π 2

Cotα

+∞ → 0

0 → −∞

+∞ → 0

0 → −∞

Sec α

1 → +∞

−∞ → −1

−1 → −∞

+∞ → 1

Csc α

+∞ → 1

1 → +∞

−∞ → −1

−1 → −∞

IV. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE De acuerdo a lo visto en la representación y en el cuadro de variaciones, tendremos:

Asíntotas

Y

Cotα −π

π − 2

0 α π 2

π

β 3π 2

2π

X

Cotβ

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Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA F.T. (Cot ) = {( x; y ) / y = Cotx; x ∈ D (Cot )} Curva que recibe el nombre de cotangentoide; de donde podemos afirmar:

( ) * D Cot =  − {nπ ; n ∈ } * R (Cot ) =  ⇒ − ∞ < Cotx < +∞

* * * * *

No se define en nπ ; n ∈  Es una función decreciente en cada cuadrante.

Es una función impar: Cot ( − x ) = −Cotx Es una función periódica: T = π (periodo principal) No es inyectiva.

V. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SECANTE

Según la representación y variación, tendremos: Y Asíntotas

1 −π 2

π 2

0

π

−1

3π 2π 5π 2 2

3π

X

Trigonoometría

F.T. (Sec ) = {( x; y ) / y = Secx ; x ∈ D (Sec )} Curva denominada secantoide, de donde afirmamos:

{

}

π ; n ∈ 2 * R (Sec ) = ( −∞; − 1] ∪ [1; + ∞ ) ⇒ Sec ≤ −1 Û Sec ≥ 1 π * No se define en (2n + 1) ; n ∈  2 * D (Sec ) =  − (2n + 1)

* Es una función creciente y decreciente * Es una función par: Sec ( − x ) = Secx

* Es una función periódica: T = 2π (período principal)

* No es inyectiva.

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39

... Siempre los primeros

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Formulario de TRIGONOMETRÍA VI. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSECANTE

Y

1 −π − π 2

π 2

0

π

3π 2

5π 2

2π

X

−1 Asíntotas

F.T. (Csc ) = {( x, y ) / y = Cscx ; x ∈ D (Csc )} Curva a la que se denomina cosecantoide, de la cual afirmaremos: ( ) * D Csc =  − {nπ ; n ∈ }

( ) * R Csc = ( −∞; − 1] ∪ [1; + ∞ ) ⇒ Cscx ≤ −1 Û Cscx ≥ 1 * No se define en nπ ; n ∈  * Es una función creciente y decreciente * Es una función impar: Csc ( − x ) = −Cscx * Es una función periódica: T = 2π (periodo principal) * No es inyectiva.

Trigonoometría

CUADRO RESUMEN Función

Dominio

Rango

Paridad

Continuidad

y = Senx



−1 ≤ Senx ≤ 1

impar

Continua

y = Cos x



−1 ≤ Cos x ≤ 1

par

Continua

−∞ ≤ Tan x ≤ +∞

impar

Discontinua

−∞ ≤ Cotx ≤ +∞

impar

Discontinua

−1 ≥ Sec x ≤ 1

par

Discontinua

−1 ≥ Csc x ≤ 1

impar

Discontinua

y = Tan x y = Cotx y = Sec x y = Csc x

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{

 − (2n + 1)

π 2

}

 − nπ

{

 − (2n + 1)  − nπ

π 2

}

40

... siempre los primeros

Y

1

Senq

y = Senx q

Capítulo XIV:

Cosq

X

X

Funciones Trigonométricas Inversas de variable real

-1

OBJETIVO El objetivo del presente capítulo es analizar las funciones inversas de las funciones trigonométricas básicas; así como familiarizarnos con las notaciones ArcSenx, ArcCosx, ArcTanx, etc; de modo que las interpretemos y operemos correctamente según las propiedades que se darán convenientemente.

Importante: Para definir una función inversa trigonométrica, sólo se considera un intervalo en el que su dominio está completamente definido.

INTRODUCCIÓN Según el análisis de funciones; la condición suficiente para que una función posea inversa, es que debe ser inyectiva:

Y

Y

Y h

g f X

X f no es inyectiva

X

g no es inyectiva

h si es inyectiva

Y

Y 1 −π 2

y=Tanx

y=Senx

0

π 2

π

3π 2

−π 2

X

−1

0 π 2

π 3π 2

X

Según este comentario, las funciones trigonométricas no poseen inversa. Sin embargo; es posible redefinir la función trigonométrica, restringiendo su dominio (sin alterar su rango), a un intervalo donde sea inyectiva y en consecuencia se pueda obtener su inversa.

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41

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Las funciones trigonométricas; debido a su carácter periódico no son inyectivas:

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Formulario de TRIGONOMETRÍA OBTENCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I. F.T. SENO INVERSO O ARCO SENO

De la función: y = Senx  π π Tomamos el dominio:  − ;   2 2 El rango no cambia: [ −1; 1] Luego para hallar la inversa; hacemos en: y = Senx ↓

↓

x = Sen−1y Esto es: "y es un ángulo arco o número cuyo Seno vale x".

Lo cual se denotará: y = Arc Sen x Finalmente, como el dominio y rango se intercambian con el de la función original; tendremos: f

f* y = f * ( x ) = Arc Senx

y = f ( x ) = Senx

Dom* : [ −1; 1]

 π π Dom :  − ;   2 2 Rang : [ −1; 1]

 π π Rang :  − ;   2 2

Cumpliéndose: Arc Sen( − x ) = − Arc Senx

Trigonoometría

II. F.T. COSENO INVERSO O ARCO COSENO De la función: y = Cosx Tomamos el dominio: [0; π ] Sin cambiar el rango: [ −1; 1] Luego para hallar la inversa procedemos igual que en el caso del "ArcSenx"; obteniéndose: f

f*

y = f ( x ) = Cosx

y = f * ( x ) = Arc Cosx

Dom :

Dom* :

Rang :

[0, π ] [ −1, 1]

Rang* :

[ −1, 1] [0, π ]

Cumpliéndose: Arc Cos ( − x ) = π − Arc Cosx

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42

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Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA III. F.T. TANGENTE INVERSA O ARCO TANGENTE

De la función: y = Tanx

π π tomamos el dominio: − ; 2 2

sin cambiar el rango: −∞; + ∞

Luego, para hallar la inversa de la función Tangente, procedemos igual que en los casos anteriores, obteniéndose: f

f*

y = f ( x ) = Tanx

y = f * ( x ) = Arc Tanx

π π Dom : − ; 2 2

Dom* : −∞; +∞

Rang : −∞; +∞

π π Rang* : − ; 2 2

Cumpliéndose: Arc Tan ( − x ) = − Arc Tanx IV. F.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTE f

f*

y = f ( x ) = Cotx

y = f * ( x ) = Arc Cotx

Dom : 0; π

Dom* : −∞; +∞

Rang : −∞; ∞

Rang* : 0; π

V. F.T. SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE f y = f ( x ) = Secx π Dom : [0; π ] − 2 Rang : −∞; −1 ∪ 1; +∞

f* y = f * ( x ) = Arc Secx Dom* : −∞; −1] ∪ [1; +∞

{}

 π π Rang* : 0;  −  2 2

Cumpliéndose: Arc Sec ( − x ) = π − Arc Secx

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43

... Siempre los primeros

Trigonoometría

Cumpliéndose: Arc Cot ( − x ) = π − Arc Cotx

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Formulario de TRIGONOMETRÍA VI. F.T. COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE f

f* y = f * ( x ) = Arc Cscx

y = f ( x ) = Cscx

Dom : −∞ ; −1] ∪ 1; +∞ ]

 π π Dom :  − ;  − {0}  2 2 Rang : −∞ ; −1] ∪ 1; +∞ ]

 π π Rang :  − ;  − {0}  2 2

Trigonoometría

PROPIEDADES 1. F.T. [ Arc F.T. (m)] = m ; m ∈ Dom ( ArcF.T.) Esto es: Sen ( Arc Senm) = m ; ∀m ∈ [ −1; 1]  Cos ( Arc Cosm) = m ; ∀m ∈ [ −1; 1] Tan Arc Tanm = m ; ∀m ∈  ( )   = m ; ∀m ∈  Cot Arc Cotm ( )  Sec ( Arc Secm) = m ; ∀m ∈ −∞ ; −1] ∪ [1; + ∞  Csc ( Arc Cscm) = m ; ∀m ∈ −∞ ; −1] ∪ [1; + ∞

Por ejemplo: 1 1  Sen  Arc Sen  =  3 3 Tan ( Arc Tan4) = 4

2. F.T. [ Arc F.T. (θ)] = θ ; ∀θ ∈ Rang ( ArcF.T.) Esto es:   π π  Arc Sen (Senθ) = θ ; ∀θ ∈  − 2 ; 2    Arc Cos (Cosθ) = θ ; ∀θ ∈ [0; π ]   Arc Tan (Tanθ) = θ ; ∀θ ∈ − π ; π  2 2  ( ) Arc Cot Cot θ = θ ; ∀ θ ∈ 0 ; π    Arc Sec (Secθ) = θ ; ∀θ ∈ [0; π ] − π  2  π π  Arc Csc (Cscθ) = θ ; ∀θ ∈  − ;  − {0}  2 2  

{}

Por ejemplo: π π π π π  Arc Sen  Sen  = ; pues: − ≤ ≤   5 5 2 5 2

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44

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Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA Arc Cos (Cos1) = 1 ; pues: 0 ≤ 1 ≤ π

 π π Arc Tan (Tan2) ≠ 2 ; pues: 2 ∉  − ;   2 2

En este caso, se le busca un equivalente a " Tan 2 " en el intervalo correspondiente al rango del Arc Tan , asi: MA ' = NA = π − 2; entonces: AN = 2 − π

Note que: Tan 2 = Tan (2 − π ) , luego: Arc Tan (Tan 2) = Arc Tan [Tan (2 − π )]

Arc Tan (Tan 2) = 2 − π

ya que: −

π π ≤ 2−π ≤ 2 2

3.

Arc Senx + Arc Cosx =

π ; ∀x ∈ [ −1; 1] 2

Arc Tanx + Arc Cotx =

π ; ∀x ∈  2

Arc Secx + Arc Cscx =

π ; ∀x ∈ −∞ ; −1] ∪ [1; +∞ 2

Si: xy < 1 ; n = 0   x+y + π Arc Tanx + Arc Tany = Arc Tan  n Si: xy > 1, x > 0 ; n = 1  1 − xy  Si: xy > 1, x < 0 ; n = −1 

5.

Si: xy > −1 ; n = 0   x−y + nπ Si: xy < −1, x > 0 ; n = 1 Arc Tanx − Arc Tany = Arc Tan   1 − xy  Si: xy < −1, x < 0 ; n = −1  Recuerde: • • • •

El dominio de f* es el campo de valores de f El Campo de valores de f* es el dominio de f El punto (a, b) pertenece a la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) pertenece ala gráfica de f* Las gráficas de f* y f son reflexiones sobre la recta y = x, la una de la otra.

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Trigonoometría

4.

Y

1 Senq

y = Senx q

Capítulo XV: Cosq

X

X

Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas

-1

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados de algún operador trigonométrico como el seno, coseno, etc. Es de la forma: F.T.(ax + b) = N

... (*)

Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o arco (ax + b) definido en el "rango" de la función trigonométrica inversa.

De (*): Vp = ArcF.T. (N)

Además N debe pertenecer al dominio de la función trigonométrica; a y b son constantes reales con a≠0.

Trigonoometría

Ejemplo: De las ecuaciones trigonométricas elementales, con sus respectivos valores principales: *

Sen3 x =

 3 π 3 ⇒ Vp = ArcSen  =  2  3 2

*

 Cos  2x + 

π 1  1  2π ⇒ Vp = Arc Cos  −  =  = −  2 4 2 3

*

π  3x π  = −1 ⇒ Vp = Arc Tan ( −1) = − Tan  −  5 8  4

EXPRESIONES GENERALES DE ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA ECUACIÓN

SOLUCIÓN K

Senx = N ⇒ x = Kπ + ( −1) Vp

;

∀K ∈

;

∀K ∈

Obs: Vp = Arc Sen (N) ECUACIÓN

SOLUCIÓN

Cosx = N ⇒ x = 2Kπ ± Vp Obs: Vp = Arc Cos (N)

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... siempre los primeros

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA ECUACIÓN

SOLUCIÓN

Tanx = N ⇒ x = Kπ + Vp

;

∀K ∈

Obs: Vp = Arc Tan (N)

INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Inecuación Trigonométrica: Es una desigualdad condicional que involucra funciones trigonométricas por lo menos una.

Ejemplos: * * * *

Sen2x > Cosx Tan 2x + Cot 2x > Cscx Sen3 xCosx + Senx Cos3 x > Sen2x <

1 3

1 4

Inecuación Trigonométrica Elemental: Una inecuación trigonométrica se llamará elemental, cuando es de la forma:

F.T. (Kx + θ) > < a, x : incÛgnita

Ejemplos: Senx >

*

Cos2x <

*

Tan3 x ≤ 1

3 2

Resolución de una Inecuación Trigonométrica Elemental: 1 Resolver: Senx > 2 Se recomienda seguir dos métodos: Método I: En la circunferencia trigonométrica, ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que 1 , así: 2

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47

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Trigonoometría

1 2

*

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA Y 5π 6

1 2

1 π 5π → <x< 2 6 6 El conjunto solución general será: π 5π + 2nπ < x < + 2nπ ; n ∈  6 6 Senx >

π 6 X x2+y2=1

x∈

π 5π + 2nπ ; + 2nπ ; n ∈  6 6

Método II: Graficamos en un mismo sistema coordenado las funciones: 1 f ( x ) = Senx ∧ g( x ) = 2

Los puntos de intersección en un periodo del Senx: osea en [0; 2π ] , se obtienen con: 1 f ( x ) = g( x ) → Senx = 2 π 5π ∴x = ∨ x= 6 6 Y

1 g(x) =

1 2

2π π 6

Trigonoometría

1 2

5π 6

X f(x)=Senx

−1 Recuerde: • En una ecuación trigonométrica es importante considerar la solución general, a menos que la pregunta nos indique un intervalo específico, dentro del cual se debe evaluar todos los valores posibles.

• En una inecuación trigonométrica, se debe tener presente previamente las restricciones que tienen tanto el dominio y el rango de cada función trigonométrica, para posteriormente proceder a su resolución.

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48

... siempre los primeros

Y

1

Senq

y = Senx q

Capítulo XVI:

X

Cosq

X

Resolución de Triángulos Oblicuángulos

-1

¿Qué es resolver un triángulo?

Dado el triángulo ABC, oblicuángulo; resolverlo significa determinar las medidas de sus elementos básicos; es decir, sus tres lados (a, b y c) y sus tres ángulos (A, B y C); a partir de ciertos datos que definan el triángulo. ¿Cómo resolver un triángulo?

Una vez que reconocemos los datos del triángulo y verificamos que se encuentra definido; para resolverlo, se utilizarán algunas propiedades geométricas, relaciones trigonométricas ya conocidas y otras propias del capítulo como las siguientes: I. TEOREMA DE LOS SENOS: "En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos" a b c = = SenA SenB SenC

B

A

C

b

De donde: aSenB = bSenA bSenC = cSenB cSenA = aSenC

Corolario: "En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; siendo la constante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo".

B

a b c = = = 2R SenA SenB SenC

a

c

R A

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b

C

De donde: a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC

49

... Siempre los primeros

Trigonoometría

a

c

Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA II. TEOREMA DE LOS COSENOS: "En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble del producto de los mismos multiplicados por el Coseno del ángulo formado por ellos".

B

a2 = b2 + c 2 − 2bc CosA

a

c

b2 = a2 + c 2 − 2ac CosB

b

A

c 2 = a2 + b2 − 2ab CosC

C

De donde podemos deducir fácilmente: Cos A =

b2 + c 2 − a2 2bc

CosB =

a2 + c 2 − b2 2ac

Cos C =

a2 + b2 − c 2 2ab

III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES: "En todo triángulo, la longitud de un lado es igual a la suma de los productos de cada una de las otras dos longitudes con el Coseno del ángulo que forman con el primer lado":

B

Trigonoometría

A

a = bCosC + cCosB

a

c

b = aCosC + cCosA c = aCosB + bCosA C

b

IV. TEOREMA DE LAS TANGENTES: "En todo triángulo se cumple que la suma de longitudes de dos de sus lados, es a su diferencia; como la Tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados, es a la Tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos".

B

A

a+b = a−b

a

c

b

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C

 A + B Tan   2   A − B Tan   2 

50

b+c = b−c

 B + C Tan   2   B − C Tan   2 

c+a = c−a

 C + A Tan   2   C − A Tan   2 

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Academia

Formulario de TRIGONOMETRÍA ALGUNAS LÍNEAS NOTABLES ma: Mediana relativa al lado "a" A

4mb2 = a2 + c 2 + 2ac CosB

ma B

VA C

B

C

M a

VA: Bisectriz interior de "A" A

4ma2 = b2 + c 2 + 2bc CosA

VA =

2bc A Cos 2 b+c

VB =

2ac B Cos 2 a+c

VC =

2ab C Cos 2 a+b

4mc 2 = a2 + b2 + 2ab CosC

V'A: Bisectriz exterior de "A" V 'A = 2bc Sen A 2 b−c A

V’A B

C

V 'B =

2ac B Sen 2 a−c

V 'C =

2ab C Sen 2 a−b

RADIOS NOTABLES r: Inradio

A r = 4R sen

A B C sen sen 2 2 2

B

C

r: Exradio relativo al lado "a"

ra = 4R sen

A B C sen sen 2 2 2

rb = 4R sen

B A C sen sen 2 2 2

rc = 4R sen

C A B sen sen 2 2 2

A

ra B

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C

51

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Trigonoometría

r

Academia

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