Matematica 8 by EDUCACION

Matemรกtica

Carlos Eduardo Francia Lรณpez Coordinador

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 3

8/31/20 11:44

Datos de catalogación Francia López, Carlos Eduardo; Aguilar Márquez, Arturo; Bravo Vázquez, Fabián Valapai; Gallegos Ruiz, Herman Aurelio; Cerón Villegas, Miguel; Reyes Figueroa, Ricardo; Lizama Ayala, Rafael; Pineda Mira, José Alfredo; Allen R., Ángel; Miller, Charles; Heeren, Vern y Hornsby, John Matemática 8 Primera edición Pearson Educación de México, S.A. de C.V., 2021 ISBN: 978-607-32-XXXX-X Área: Custom Formato: 21

27 cm

Páginas: 360

Matemática 8

Este libro es un proyecto revisado por un equipo de profesionales quienes cuidaron que cumpliera con los lineamientos y estándares establecidos por Pearson Educación. Pearson Educación en su misión de divulgar el conocimiento científico y tecnológico en México con obras como este ejemplar, informa a la comunidad científica que cuenta con su prerregistro al RENIECYT No. CVU 892558. Gerencia de contenidos e innovación educativa: Jorge Luis Íñiguez ■ Coordinadora de desarrollo de contenidos: Berenice Torruco ■ Especialista en contenidos de aprendizaje: Ma. Elena Zahar ■ Editor especialista en desarrollo de contenidos: Arturo González Maya ■ Corrección de estilo: María Luisa Román ■ Coordinadora de arte y diseño: Mónica Galván ■ Gestor de arte y diseño: José Hernández Garduño ■ Lectura de pruebas: Guillermo González ■ Diseño de portada: Mariana Romero ■ Iconografía: Rigoberto Muñoz ■ Composición y diagramación: FOCA Grupo Editorial. Contacto: soporte@pearson.com Primera edición, 2021 ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-XXXX-X ISBN E-BOOK: 978-607-32-XXXX-X

D.R. © 2021 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Avenida Antonio Dovalí Jaime Núm. 70, Torre B, Piso 6, Colonia Zedec Ed. Plaza Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón, Ciudad de México, C. P. 01210

Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 23 22 21 20

Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 1031 www.pearsonenespañol.com

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

Pearson Hispanoamérica Argentina ■ Belice ■ Bolivia ■ Chile ■ Colombia ■ Costa Rica ■ Ecuador ■ El Salvador ■ Guatemala Honduras ■ México ■ Nicaragua ■ Panamá ■ Paraguay ■ Perú ■ República Dominicana ■ Uruguay

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 4

8/31/20 11:44

Contenido Introducción vii

Unidad 1 Operaciones algebraicas

1.1 Álgebra, notación y nomenclatura y signos algebraicos de operación, relación y agrupación 1.2 Polinomios 1.3 División de un monomio entre un monomio 1.4 División de un polinomio entre un número 1.5 División de un polinomio entre un monomio 1.6 Operaciones combinadas entre monomios 1.7 Operaciones combinadas de polinomios que incluyen división de un número 1.8 Aplicaciones de las expresiones algebraicas

Unidad 2 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 2.1 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 2.2 Métodos de solución 2.3 Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Unidad 3 Función lineal 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

54 57 57 73

La línea recta 100 Función lineal 112 Gráfica de una ecuación lineal por medio de la pendiente y la intersección en y 118 Familia de rectas 128 Representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y sus variaciones en el plano 131

Unidad 4 Paralelismo y ángulos de un polígono 4.1 Polígonos 4.2 Ángulos de un polígono 4.3 Perpendicularidad y paralelismo 4.4 Ángulos opuestos por el vértice 4.5 Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una recta secante 4.6 Aplicaciones de los ángulos entre paralelas cortadas por una recta secante 4.7 Triángulos y sus ángulos

Unidad 5 Criterios de congruencia de triángulos 5.1 5.2 5.3 5.4

6 14 30 32 33 34 35 36

Triángulos congruentes Teoremas de congruencia Aplicación de los teoremas de congruencia Aplicaciones de triángulos congruentes

146 150 153 160 161 161 167 173

194 198 198 200 206

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 5

8/31/20 11:44

Unidad 6 Características de los triángulos y cuadriláteros 6.1 6.2 6.3 6.4

Características de los triángulos Clasificación de los cuadriláteros Propiedades de los paralelogramos Propiedades de los trapecios

Unidad 7 Área y volumen de sólidos geométricos 7.1 Una aproximación a la raíz cuadrada 7.2 Una aproximación al teorema de Pitágoras 7.3 El prisma recto rectangular 7.4 Pirámide regular hasta de seis lados 7.5 Cilindro circular y cono circular rectos 7.6 Esfera 7.7 Problemas y ejercicios de aplicación sobre área y volumen 7.8 Área y volumen de un sólido compuesto 7.9 Desarrollo de un sólido

Unidad 8 Organización y análisis de datos estadísticos 8.1 Estadística 8.2 Recopilación de la información 8.3 Organización de la información 8.4 Presentación de la información 8.5 Tabla de distribuciones de frecuencias de variable continua agrupadas en intervalos de clase 8.6 Gráficos de variables continuas 8.7 Medidas de centralización 8.8 Propiedades de la media aritmética 8.9 Características y relaciones de las medidas de tendencia central

218 223 232 233 238

254 257 259 262 267 269 274 276 279 281

296 299 300 301 301 302 307 309 324 328

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 6

8/31/20 11:44

Introducción Con profunda satisfacción presentamos la nueva edición de la serie Matemática 7, 8 y 9, libros de texto que tienen como principal propósito orientar a desarrollar en el estudiante las competencias: “razonamiento lógico matemático, comunicación con lenguaje matemático y aplicación de la matemática al entorno”. La serie Matemática 7, 8 y 9 fomenta el desarrollo de las capacidades y destrezas que requieren los estudiantes para plantear y resolver los problemas de su contexto, de la realidad y de su vida cotidiana, dando entonces paso a la aplicación del enfoque de la asignatura la “Resolución de problemas”, problemas que se van estructurando de forma gradual y sistemática mediante la interacción de planteamientos cotidianos que permitan el desarrollo del pensamiento matemático y de la cultura científica para comprender y actuar en el mundo. La obra se distribuye en ocho unidades, cada una de ellas inicia con una revisión de conocimientos previos, para generar conflicto entre lo que el estudiante sabe y las competencias y destrezas que debe desarrollar en la unidad. Algunos párrafos y ejemplos invitan al estudiante a completarlos, para inducir el aprender haciendo y a cultivar el nuevo modelo “aprender a aprender”, con el objetivo de poner en práctica la construcción del propio aprendizaje, es decir, formación de individuos capaces de aprender de manera autónoma. Además, esta nueva serie plantea desde el inicio las destrezas propias del área de la matemática a desarrollar, destrezas que permiten a los estudiantes apropiarse de los conocimientos y habilidades, las cuales, además, facilitan a los docentes verificar el alcance de los indicadores de logro que, por cierto, pueden ser adquiridos de forma individual y grupal mediante diversas metodologías, incluidos los procesos de retroalimentación que, de forma opcional y con el uso de las TIC, se proponen en códigos QR de consulta en cada una de las unidades y que se encuentran en diversos apartados, como: ejercicios conceptuales, ejemplos, ejercicios y problemas, los cuales llevan a recursos visuales, complementarios y enriquecedores de los aprendizajes de los estudiantes. Finalmente, esperamos que la obra sirva de apoyo a los maestros, maestras y estudiantes en el proceso educativo y en el desarrollo de las competencias matemáticas y, por ende, contribuya a una mejor educación donde se logre construir una mejor sociedad y más humana.

vii

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 7

8/31/20 11:44

Prefacio En esta nueva edición de Matemática 7, 8 y 9 se desarrolla la Competencia matemática, la cual consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la cotidianidad y con el mundo laboral. En el caso del área de Matemática, tiene como finalidad la aplicación práctica la resolución de problemas de la vida cotidiana, siendo este último el proceso a partir del cual se formula el enfoque de la asignatura, en este sentido los aprendizajes se vuelven significativos desde el momento que son para la vida. El desarrollo de las competencias —macro capacidades— explicitadas para cada grado involucran los procesos de: razonamiento lógico matemático, comunicación con lenguaje matemático y aplicación de la matemática al entorno. • Razonamiento lógico matemático Capacidad para identificar, uso adecuado de estrategias, interpretación de la información, comprensión de procedimientos, algoritmos y relación de conceptos para la resolución de problemas y aplicaciones. • Comunicación con lenguaje matemático Análisis y argumentación en la interpretación del lenguaje simbólico y formal en la matemática. Capacidad de expresarse, tanto de forma oral como escrita o gráfica sobre asuntos de contenido matemático y comprender las afirmaciones de los demás sobre los mismos temas que permiten la transmisión y recepción de códigos relacionados con la matemática. • Aplicación de la matemática al entorno Capacidad de interactuar con el entorno y en él, apoyándose en sus conocimientos y habilidades numéricas que permitan resolver problemáticas humanas desde la perspectiva matemática. Atendiendo a la finalidad del proceso, las competencias y capacidades son fines que se desean conseguir y se desarrollan de manera indirecta a través de las destrezas y actitudes, es decir, son pasos intermedios de una complejidad menor para conseguir este fin. Destreza: Es una habilidad específica que utiliza o puede utilizar un estudiante para aprender, su componente principal también es cognitivo. Al igual que la capacidad expresa el potencial o aptitud que posee una persona para realizar acciones específicas de manera flexible, eficaz y con sentido. La nueva edición de la serie de Matemática: 7, 8 y 9 de Pearson, propone el desarrollo de capacidades y destrezas para el área de Matemáticas en Tercer Ciclo de Educación Básica e íntimamente desarrollada con el nuevo enfoque por competencias.

viii

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 8

8/31/20 11:44

PANEL DE DESTREZAS Y SUS DEFINICIONES —MATEMÁTICA 7, 8 y 9— PEARSON Analizar: Habilidad específica para separar las partes esenciales de un todo, a fin de llegar a conocer sus principios y elementos y las relaciones entre las partes que forman el todo.

Dibujar: Es una habilidad específica para delinear y sombrear una figura o imagen en una superficie —papel o en un medio físico o digital. – Los conceptos se representan. – Los objetos-cosas se dibujan.

Leer: Es sinónimo de descifrar o decodificar para comprender el sentido de cualquier representación gráfica. Es una habilidad específica a través de la cual se descifra un texto escrito.

Calcular: Habilidad específica para aplicar un algoritmo a fin de obtener un resultado.

Graficar: Representar información utilizando imágenes.

Manipular-utilizar: Operar manualmente un objeto, estructura, instrumentos o equipo.

Codificar-decodificar-recodificar: – Expresarse e interpretar el contenido a través de un lenguaje de signos o símbolos. – Transferir una información expresada en un código, a un código de otro tipo (en simbología y/o signos).

Representar gráficamente: Es una habilidad específica para simbolizar o dibujar una información mediante signos, símbolos, gráficos, diagramas, esquemas, material concreto, etcétera. (Los conceptos se representan; los objetos se dibujan).

Resolver problemas: Resolver un problema es “encontrar una acción o acciones apropiadas para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma inmediata”. (G. Pólya) La solución se obtiene a través de métodos científicos, cuantitativos o cualitativos.

Expresar(se): Es una habilidad específica para darse a entender o dar a conocer ideas, pensamientos, sentimientos, emociones, etc., utilizando lenguaje verbal (oral o escrito), gráfico, simbólico, plástico, corporal, musical, etcétera.

Explicar: Es dar a conocer, exponiendo lo que uno piensa sobre una información, un tema, etc., empleando un vocabulario adecuado para hacerlo claro, utilizando los medios pertinentes. Está relacionada con exponer.

Identificar-reconocer: Es reconocer las características esenciales de objetos, hechos, fenómenos, personajes, etc., que hacen que sean lo que son. Identificar = reconocer. Para identificar hay que conocer previamente.

Relacionar-asociar: Establecer conexiones, vínculos o correspondencias entre objetos, conceptos e ideas, con base en algún criterio lógico.

Indagar-investigar: Es averiguar algo acerca de un tema específico. Realizar actividades intelectuales o experimentales con el propósito de incrementar los conocimientos sobre un determinado tema.

Aplicar: Usar el conocimiento mediante la utilización de procedimientos, algoritmos, teorías, conceptos, leyes o herramientas, etc., diversas, para explicar, realizar o solucionar una situación problemática.

Localizar-ubicar: Determinar el emplazamiento de alguien o algo. Ubicar-situar hechos y fenómenos en el espacio y tiempo, utilizando instrumentos gráficos adecuados. En el espacio: ¿Dónde está, o dónde sucedió? En el tiempo: ¿Cuándo sucedió?

Interpretar: Atribuir significado o sentido a determinada información, sea texto, dibujos, signos-símbolos, huellas, expresiones artísticas, etc. Es una habilidad específica para atribuir significado a lo que se percibe en función de las experiencias y conocimientos que se poseen.

Determinar: Establecer un tipo de dato o información, así como fijar o clarificar los elementos de una situación, cosa o evento. Llegar a saber algo a partir de los datos que se poseen. “Determinar el volumen de un cuerpo”. “Determinar los resultados de …”.

Fuente: Adaptada de Latorre Ariño, M. y Seco del Pozo, C. (2015, 2a. ed.). Diseño curricular nuevo para una nueva sociedad —Educación Secundaria.

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 9

8/31/20 11:44

enfoque por competencias Comprendiendo las destrezas Ejemplos • Identifica los cuerpos geométricos por medio de la manipulación de objetos, previamente seleccionados por el docente, y cuida de ellos. • Si la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 5 y 3 m, calcula el área de dicho triángulo y su perímetro. • Aplica correctamente el teorema de Pitágoras para hallar la expresión del valor del lado de un rombo en función del valor de sus diagonales D y d. d

D D d

• Decodifica la siguiente expresión matemática mediante el uso del lenguaje verbal ante tus compañeros y compañeras de clase; muestra seguridad. Decodifica la expresión: Q = {x/x H N, 4 6 x … 7} • Codifica la siguiente expresión y aplica el algoritmo correspondiente para calcular el dato que se te solicita:

El largo de un rectángulo mide diez metros más que el doble de su ancho y su perímetro mide 164 metros. ¿Cuáles son sus dimensiones?

• Representa los siguientes datos estadísticos mediante un diagrama de barras.

En una clase de 50 alumnos, 25% usan gafas, 40% son mujeres, 60% son hombres y 30% poseen cabello claro.

Compet F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 10

8/31/20 11:44

enfoque por competencias • Representa en los ejes cartesianos el sistema de ecuaciones lineales que se muestra a continuación:

{

-3x - 4y = 12 12x - 10y = 5 y 6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

6 x

–2 –3 –4 –5 –6

• Dibuja los siguientes cuerpos geométricos: rectángulo, triángulo rectángulo, cubo, pirámide y un triángulo equilátero. • Expresa en notación científica las siguiente cantidades: ✓ Distancia de la Tierra al Sol = 150 000 000 km = 0 km 000 00 d = 150

✓ Población mundial en el año 2018 = 7 450 000 000 habitantes =

etencias F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 11

8/31/20 11:44

enfoque por competencias • Resuelve los problemas que a continuación se plantean: 1. El doble de la edad de Juan, aumentada en el triple de la misma es igual a 50 años. ¿Qué edad tiene Juan? – – – – –

Identifica la incógnita para la edad: z Escribe el doble de la edad: 2z Escribe el triple de la edad: 3z Plantea la ecuación: 2z + 3z = 50 Resuelve, aplicando las técnicas y propiedades estudiadas. El resultado es 10 años.

2. Una cancha de futbol soccer posee un perímetro de 300 metros y su largo mide 40 metros más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de esta cancha? – – – –

Elabora un esquema de la cancha, puede ser un rectángulo. Identifica con incógnitas el largo y el ancho. Escribe la ecuación del perímetro utilizando la información y las incógnitas. Resuelve la ecuación. x 678 678 y

Compet F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 12

8/31/20 11:44

enfoque por competencias 3. Don Arturo tiene una pastelería y sabe que para hacer un pastel de fresas para 8 personas utiliza 2 kg de azúcar, ¿qué cantidad de azúcar utilizará si le encargan un pastel, también de fresas, que alcance para 24 personas?

etencias F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 13

8/31/20 11:44

enfoque por competencias 4. El señor Pineda, un reconocido ganadero de Metapán, construirá alrededor de un terreno con área de forma irregular una cerca de 5 filas de alambre de púas. Terreno del ganadero Pineda 224.29 m 367.25 m

313.07 m

413.12 m

Cerca de alambre de púas

El ganadero Pineda piensa comprar rollos de alambre de púas, de 1 380 metros lineales de alambre, y 500 metros lineales adicionales de alambre para construir un portón para la cerca. Calcula el número total de rollos de alambre de púas que se necesitarán. 5. Juan desea vender 50 sorbetes (conos elaborados con harina y azúcar, que se llenan y cubren completamente con un hemisferio de hielo raspado) de diámetro interior, tanto del cono como del hemisferio, de 8.3 centímetros y altura del cono de 10.2 centímetros, con una densidad deseada de hielo raspado de 0.697 g/cm3 y el costo, por kilogramo de hielo, de $3.83.

8.3 cm

10.2 cm

Compet Juan debe determinar el costo del hielo necesario para elaborar 50 conos con sorbete.

F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 14

8/31/20 11:44

enfoque por competencias 6. Un propietario quiere aumentar el tamaño de una terraza de forma rectangular que ahora mide 15 por 20 metros, pero las leyes del Código de construcción reglamentan que un propietario no puede tener un área construida mayor que 900 metros cuadrados.

15 m

20 m

Si la longitud y el ancho de la terraza se van a aumentar en la misma cantidad, determina el número máximo de metros que la longitud de la terraza puede aumentar en tamaño legalmente.

etencias F01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 1

8/31/20 11:44

UNIDAD

Operaciones algebraicas

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

Tiempo asignado para la unidad

• Realizar operaciones de polinomios, utilizando las diferentes operaciones de números y las propiedades de potencia, para modelar situaciones en las cuales se use el lenguaje algebraico de los polinomios.

• 8 horas

Competencias a desarrollar • Razonamiento lógico matemático. • Comunicación con lenguaje matemático. • Aplicación de las matemáticas al entorno.

Contenido INDICADORES DE LOGRO

• Identifica los elementos y características de los polinomios, aplicando la definición. • Reduce términos semejantes de polinomios. • Efectúa sumas y restas de polinomios. • Realiza multiplicaciones de polinomios por un número. • Realiza divisiones de polinomios entre un número. • Efectúa operaciones combinadas de polinomios que incluyen división entre un número. • Realiza multiplicaciones de monomios con monomios. • Efectúa divisiones de monomios con monomios. • Realiza operaciones combinadas de polinomios que incluyen división entre un número o entre un monomio. • Utiliza la sustitución de variables para determinar el valor numérico de un polinomio. • Utiliza polinomios para obtener propiedades de números u operaciones. • Aplica polinomios para resolver problemas en los que se tenga que reconocer patrones. • Utiliza polinomios para resolver problemas o situaciones cotidianas.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 2

8/25/20 19:57

E V A L U A C I Ó N

D I A G N Ó S T I C A

Las matemáticas en la vida

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la Edad Media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. La diferencia entre la aritmética (más antigua) y el álgebra (más moderna) es el grado de abstracción. En aritmética se realizan operaciones con números, por ejemplo: (3 + 2)2 = 10. El álgebra, sin embargo, abstrae las operaciones y las generaliza para que sean ciertas, no para un número concreto, sino para cualquier número. Este avance se lo debemos a un matemático alejandrino llamado Diofanto; no sabemos con exactitud en qué siglo vivió, aunque parece haber sido entre el III y el IV. Diofanto publicó un tratado llamado Arithmetica en trece libros, en el que utilizaba letras para referirse a valores desconocidos y empleaba un lenguaje matemático de una abstracción inaudita hasta entonces. Actualmente, tenemos que las expresiones algebraicas son usadas con frecuencia, y sirven para solucionar problemas tanto sencillos como complicados; en nuestra vida diaria las utilizamos en muchas actividades, como, por ejemplo, poder calcular el cambio en una compra, poder calcular el descuento de una Figura 1.1 Diofanto. camiseta, saber cuántos kilómetros debo caminar, entre otras. En el epitafio que se encuentra en la tumba de Diofanto, está escrito el enigma de su edad, la cual se puede deducir a través del uso de expresiones algebraicas y, posteriormente, de la solución de una ecuación.

Figura 1.2 Epitafio de Diofanto en pergamino.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 3

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

Resuelve los siguientes problemas. Un empleado desea calcular la ganancia de una tienda, donde se registra que en un mes se vendieron 650 muebles. Si la ganancia se calcula restando los gastos de los ingresos, y se determina que los gastos en la fabricación y comercialización de los muebles en un mes están definidos por el polinomio: 6x 2 - 20x - 4 además, se sabe que los ingresos a la tienda al final del mes fueron de: 3500 - 230x + 8x 2 1.

Determina ¿cuál es la ganancia de la tienda al final del mes?

Determina ¿cuál es el grado absoluto y el grado relativo de cada polinomio?

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 4

8/25/20 19:57

UNIDAD OPERACIONES

E V A L U A C I Ó N

ALGEBRAICAS

D I A G N Ó S T I C A

Subraya la respuesta correcta: 9 Determina el resultado de simpliﬁcar la expresión: 4k2 + 5k - 3 + 5k2 + 2

1 De las siguientes expresiones algebraicas reconoce la que representa a un monomio. a) x2 + y3 c) x2 + 1 4 2 3 b) 5ab x ym n d) 4m + 3n2

a) b) c) d)

9k2 + 7k - 3 14k2 + 5k - 1 9k2 + 5k - 1 4k2 + 10k - 1

2 De las siguientes expresiones identiﬁca, ¿cuál de ellas es un binomio? a) 4x3 b) 7x + 12x + 1 c) 3x3 + 3x2 d) 5x3 + 3x2 - 11x + 2

10 Si m = 2 y n = 1, calcula el valor numérico de: 7m2n + 8n3 - 2n + m

3 De acuerdo con el número de términos reconoce, ¿cómo se clasiﬁca la expresión 2x2y - 5x + 3? a) polinomio c) monomio b) binomio d) trinomio

11 Si x = 1 y y = -1, determina el valor numérico de la expresión algebraica: x3y4 + 5x6y4 - 11x3y5 + y6

a) 34 b) -3

4 Reconoce, ¿cuál de los siguientes monomios posee un grado absoluto igual a 6? a) x2y3z2 c) m2n3 2 2 2 b) a b c d) axby2cz

a) 16 b) 17

c) 36 d) 32

c) 8 d) 18

12 Determina el resultado de simpliﬁcar la expresión: 2m - {7m - [3m - 7n - (10m + 9n)] - 2n} a) 12m - 14n b) -14m - 12n c) -14n - 12m d) 12m + 14n

5 Determina el grado absoluto de la expresión algebraica: xy4 + x2y4 - 8x3z + x3 + 27 a) grado cinco c) grado cuatro b) grado siete d) grado seis 6 Reconoce que, el resultado de operar los términos 5b - 7b es: a) -2b c) -2 b) 2b d) 2

13 Determina el resultado de simpliﬁcar: -[-xy + (-9 + 7xy) - (2xy + 11y - 2x + 3xy)] a) -2x - xy + 11y + 9 b) 2x - xy + 11y - 9 c) -2x - xy + 11y - 9 d) -2x + xy + 11y + 9

7 Determina el resultado de simpliﬁcar la expresión: 10y2 - 15y2 a) -5y4 c) 5y b) -5y2 d) -5y

14 Si el área de un rectángulo se calcula mediante la expresión A = (largo)(ancho), y se tiene que la longitud de un rectángulo es de 15x metros y el ancho es de 6x metros; determina, ¿cuál es el área, en metros cuadrados, del rectángulo? a) 21 x2 c) 90 x2 2 b) 42 x d) 180 x2

8 Reconoce el resultado que se obtiene de simpliﬁcar la expresión: 4x + 3b + 3x - 2y - 3b a) 7x - 2y c) 7x - 2y + 6b b) 7x + 2y d) 7x - 2y - 6b

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 5

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

1.1 Álgebra, notación y nomenclatura y signos algebraicos de operación, relación y agrupación El álgebra se desarrolla a partir de la aritmética, con la diferencia que el álgebra utiliza números y letras en las diferentes operaciones. Por ejemplo, en aritmética se escribe: 5 + 2 7 - 5 (8)(7) 24 , 3 y en álgebra se escribe: m + n x - 2 xy b , c Las letras b, c, m, n, x e y representan cualquier número. El álgebra se conoce como aritmética simplificada y generalizada porque permite expresar con menos términos generalizaciones que en aritmética se ilustran con grandes cantidades de ejercicios sin llegar a generalizar. Por ejemplo, la propiedad conmutativa de la suma en aritmética, se ilustra con números así: 3 + 5 = 5 + 3 4 + 8 = 8 + 4 15 + 3 = 3 + 15 En álgebra se reduce y se generaliza la propiedad conmutativa de la suma escribiendo para cualquier par de números a y b la siguiente expresión: a+b=b+a la cual indica que el orden en que se suman dos números cualquiera no cambia el resultado de la operación; es igual sumar el número b al número a que sumar el número a al número b. Lo anterior es un ejemplo del valor que tiene el álgebra al simplificar procesos numéricos. El uso del álgebra permite, además, simplificar la solución de problemas que requieren más trabajo al resolverlos por métodos aritméticos.

Notación algebraica En aritmética se representan cantidades conocidas y determinadas por medio de números. En álgebra para representar cantidades se utilizan números y letras. Las letras representan todo tipo de cantidades, pero se acostumbra usar las primeras del alfabeto (a, b, c, d, …) para representar cantidades conocidas y las últimas (u, v, w, x, y, z) para representar cantidades desconocidas. Por ejemplo, en la expresión: y = ax + b son conocidas a y b, se desconocen x y y, si a = 2 y b = -3, la expresión anterior se escribe así y = 2x - 3. Los valores 2 y -3 reciben el nombre de constantes, x y y son variables porque pueden tomar cualquier valor permitido, x recibe el nombre de variable independiente, y se llama variable dependiente porque su valor depende del valor asignado a x. Por ejemplo, Si: 1. x = 4 S y = 2x - 3 S y = 2(4) - 3 S y = 5

2. x = 1 S y = 2x - 3 S y = 2(1) - 3 S y = -1

R azonamiento

lógico matemático

Utilizando el patrón de los ejemplos anteriores determina el valor de la variable dependiente y.

1. x = 3 S y = 2x - 3 S y =

S y =

2. x = 2 S y = 2x - 3 S y =

S y =

Expresión algebraica La combinación de números y letras son generalizaciones de cantidades y operaciones que constituyen las expresiones algebraicas, ecuaciones y fórmulas.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 6

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

EJEMPLOS

5x2 significa elevar al cuadrado un número y multiplicarlo por 5.

ab significa el producto o la multiplicación de dos números, se omite el signo.

a 2 - b 2 significa la diferencia del cuadrado de dos números.

(a - b)2 significa el cuadrado de la diferencia de dos números.

C omunicación

con lenguaje matemático

1. Interpreta escribiendo el significado de las expresiones algebraicas siguientes. a) (a + b)2 significa: b) A = bh significa:

Nomenclatura algebraica Constante: Símbolo que representa un elemento determinado. Ejemplos: 5,

1 , 2. 3

Variable: Letra utilizada para representar cualquier valor de un conjunto numérico.

Término: Es una expresión que consta de uno o varios símbolos no separados por un signo + o -. Ejemplos: m, 3x, 5a,

a , 7. b

Polinomio en x: Expresión con términos de la forma axn, donde a es un número real, n es un entero no negativo y los términos están separados por un signo + o -. Ejemplo: 3x2 - 2x + 4. Monomio: Expresión algebraica que consta de un término. Ejemplos: 3x2, -3xy, 5wz. Binomio: Expresión algebraica que consta de dos términos, separados por un signo + o -. Ejemplos: 3x + 4y, 5x2 - 2xy. Trinomio: Expresión algebraica que consta de tres términos separados por un signo + o -. Ejemplo: 4x2y + 3xy - 5. Coeficiente numérico: Número real que multiplica los factores literales de un término. Ejemplo: el coeficiente numérico de 3x2y es 3, x 2y es el factor literal. Términos semejantes: Son términos que sólo difieren en el coeficiente numérico. Ejemplos: 2z2 y -5z2, 4 x y 7 x.

Reducción: Simplificar una expresión algebraica, reduciéndola a la forma equivalente más simple. Ejemplo:

(x + 2) (x − 3) = x - 3. (x + 2) Raíz cuadrada principal: Es la raíz cuadrada no negativa de una expresión algebraica. Ejemplo: 16 x 2 = 4x; x 7 0

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 7

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

Uso de la notación y la nomenclatura algebraica EJEMPLOS

Determina el perímetro (P) y el área (A). De forma aritmética a la izquierda y algebraica a la derecha de cada región rectangular.

Aritmética 6m

Ancho

Algebraica x

y = ancho

Largo

x = largo

Solución El perímetro es la suma del valor de los lados y el área es el producto del largo por el ancho de la región rectangular. P = 2 m + 2 m + 6 m + 6 m P = 16 m A = (6 m)(2 m) A = 12 m2

P=x+x+y+y P = 2x + 2y A = xy

Reconoce la forma aritmética o algebraica de cada expresión y completa la tabla.

Forma aritmética

Forma algebraica

24 = 2 ? 2 ? 2 ? 2

x4 = x+y+2=z

34 =

a 4 = a2

(5 + 3)2 = 52 + 2 ? 5 ? 3 + 32

C omunicación

(a + b)2 =

con lenguaje matemático

1. Interpreta el ejemplo numérico y escribe una expresión algebraica que generalice el ejercicio.

Expresión algebraica

(5 )(2 )(3 ) = (5)(2)(3) S (53)(24)(3) 4

2. Relaciona con una flecha los recuadros de la izquierda con los de la derecha que generalizan la expresión.

54 = (5)(5)(5)(5) (5 + 2)(5 - 2) = 52 - 22 3(2) - 4(5) + 22

(x + y)(x - y) = x2 - y2 3x - 4y + x2

x4 = (x)(x)(x)(x)

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 8

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

Signos algebraicos de operación, relación y agrupación En álgebra se trabaja con tres tipos de signos: de operación, de relación y de agrupación. Signos de operación: son los utilizados en las diferentes operaciones: +, -, * = ( ), ,, x Sumar (+) S a + b se lee a más b.

Restar (-) S a - b se lee a menos b.

Multiplicar (*) S (a)(b) = ab se lee: a por b. Dividir (,) S a , b = a : b = a b = Extraer raíz (

a se lee a entre b. b

a se lee la raíz enésima de a.

Elevar potencias a , m se llama exponente y se lee a con exponente m. m

Signos de relación: son los que establecen relación entre cantidades: =, 7, 6, Ú, … = se lee igual a

7 de izquierda a derecha se lee mayor que 6 de izquierda a derecha se lee menor que

Ú de izquierda a derecha se lee mayor que o igual a … de izquierda a derecha se lee menor que o igual a

C omunicación

con lenguaje matemático

1. Decodifica las siguientes relaciones algebraicas, escribiendo el significado de cada una de ellas. a = b se lee a igual a b a 6 b se lee a 7 b se lee a mayor que b a … b se lee

Signos de agrupación: son símbolos que clasifican y establecen orden para la realización de operaciones combinadas, son los mismos que se utilizaron en las operaciones con números enteros: paréntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ]. En álgebra se usan con números y/o letras. Por ejemplo: {a - [(b + c) + 2(a - c)] - 3(b + c)}

Lenguaje algebraico Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos.

Ejemplos Expresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Lenguaje común

Lenguaje algebraico

1. Un número cualquiera.

2. Un número cualquiera aumentado en siete.

m+7

3. La diferencia de dos números cualesquiera.

x−y

4. El doble de un número excedido en cinco.

2n + 5

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 9

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

5. La división de un número entero entre su antecesor. 6. La mitad de un número. 7. El cuadrado de un número.

x x −1 d 2 y2

b+c 2

8. La semisuma de dos números. 9. Las dos terceras partes de un número disminuido en cinco es igual a 12. 10. Tres números naturales consecutivos.

2 ( x − 5 ) = 12 3

x, x + 1, x + 2

11. La parte mayor de 1200, si la menor es w.

1200 − w

12. El cuadrado de un número aumentado en siete. 13. Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a 3. 14. La raíz cuadrada de la diferencia de dos cantidades.

b2 + 7

3 1 p + ( p + 1) = 3 5 2 a−b

15. El producto de un número positivo con su antecesor equivale a 30.

x ( x − 1) = 30

16. El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número.

x 3 + 3x 2

EJERCICIOS Expresa en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:

1. Un número disminuido en tres.

3. El cociente de dos números cualesquiera.

2. El triple de un número excedido en ocho. 4. La parte mayor de 100 si la parte menor es x. 5. Dos números enteros consecutivos.

6. Tres números enteros pares consecutivos.

7. El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera.

8. La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera. 9. El recíproco de un número.

10. La raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera.

12. Diez unidades menos que cinco veces un número.

14. La suma de tres números pares consecutivos es igual al triple del menor, más las tres cuartas partes del mayor.

11. La suma de las raíces cuadradas de dos números cualesquiera.

13. La sexta parte de la suma de dos números.

15. Un número de dos cifras, cuyo dígito de las decenas es el doble del de las unidades. 16. La cuarta parte del producto de tres números cualesquiera menos 4. 17. El cuadrado de la suma de dos números es igual a 49. 18. El área de un cuadrado de lado x unidades.

19. El perímetro de un rectángulo, si se sabe que el largo es tres veces su ancho.

20. El perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que el cateto mayor mide tres unidades más que el cateto menor y que la hipotenusa es dos unidades mayor que el cateto mayor.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 10

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

Dada una expresión algebraica, se representa en lenguaje común de la siguiente manera:

EJEMPLOS

Representa en lenguaje común la expresión: 3x - 8. Solución Primero se expresa la multiplicación y posteriormente la diferencia.

3x - 8 = el triple de un número disminuido en ocho

Expresa 2x + x2 en lenguaje común. Solución La expresión queda de la siguiente manera: 2x + x2 = la suma del doble de un número y su cuadrado Otra forma de representar en lenguaje común la misma expresión es: 2x + x2 = el doble de un número aumentado en su cuadrado

2 4 Expresa en lenguaje común x − 1 = . 9 3 Solución Una manera de la expresión en lenguaje común es: Dos novenos de un número disminuido en la unidad equivalen a cuatro tercios.

C omunicación

con lenguaje matemático

Representa mediante el lenguaje común cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

1. x + 3

7. x 3 + y 3

2. 2a − 11

3. 3x2

9. 5x = 30

6. ( a + b )

5 a 6

c c +1

10. 3y − 2 = 25

1 x

11.

3 z+2= z 4

12.

1 ( x − y) + 3 = x + y 6

Expresiones algebraicas: término, monomios y polinomios Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.

Ejemplos 3a + 2b - 5, en esta expresión son constantes 3, 2 y -5 y las variables son a y b. (z2 + 8)(5z4 - 7), en esta expresión son constantes 8, 5 y -7, la variable es “z” y 2, 4 son exponentes. Término algebraico. Es un sumando de una expresión algebraica que representa una cantidad y consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s).

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 11

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

Ejemplos

−

Término

Coeficiente

Base(s)

Exponente(s)

−5y 3

−5

1 x mn 3

1 3

m, n

1, x

2x + 1

−2

3 ( 2 x + 1)−2 4

−

−x

3 4

−1

Grado de un monomio: absoluto y relativo El monomio es la expresión que posee un coeficiente numérico multiplicando a las variables. Consta de un solo término y el exponente de cada variable es un entero no negativo. El polinomio es una suma de monomios. Ejemplos 8x 3, -12y 5, 2a 4b 3c, x 5 Las expresiones algebraicas

x , 6xy -1,

2 6 , x 3 no son monomios. Observa que los exponentes son negativos o x

fraccionarios. El grado de un monomio puede ser absoluto o relativo.

Grado absoluto, el grado absoluto o grado, es igual a la suma de los exponentes de los factores literales. El monomio -12y 2z 3 tiene grado 5, porque la suma de los exponentes de los factores literales es 3 + 2 = 5. El grado de un monomio con una variable, es el exponente de la variable. Por ejemplo, 4x 3 es un monomio de grado 3. Grado relativo es con relación a una letra y es igual al exponente de dicha letra; el monomio -12y 2z 3 es de grado 3 con relación a z y de grado 2 con relación a y. •

El grado de un monomio sin parte literal es cero. Por ejemplo: -8 es un monomio de grado cero, porque -8 = -8x 0, x Z 0.

•

El exponente uno no se escribe en las variables del monomio, pero hay que considerarlo para establecer su grado absoluto. Por ejemplo: 36xy = 36x1y1 es un monomio de grado 2.

6x es un monomio de grado uno. •

Cero es un monomio al que no se le asigna grado. Es el monomio nulo.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 12

8/25/20 19:57

Operaciones

R azonamiento

Unidad 1 algebraicas

lógico matemático

1. Determina el grado absoluto y el relativo de cada monomio y escríbelo completando la información en la tabla. Monomio a)

6x 3y

16x 4y

-15xy2

4x2y5

-5xy4

Grado absoluto

Relativo a x

2. Identifica escribiendo en el recuadro el grado de cada monomio.

Relativo a y

a) 4x3

c) -6x5

e) 8y4

b) 14y4

d) 84

f ) 3z3

3. Escribe los exponentes en el factor literal, para que cada monomio tenga el grado absoluto que se indica. El exponente en las letras puede variar en las respuestas. a) 6xy grado absoluto 5 b) xyz grado absoluto 9 c) 4xy grado absoluto 3 d ) 5xyz grado absoluto 6 4. Escribe en la última columna el monomio con los exponentes correctos en cada literal. Monomio

Grado relativo a x

Grado relativo a y

5xy

-8xy

-3xy

Monomio

5. Expresa a través de un monomio, de tal forma que cumpla con las condiciones dadas. a) Grado 3 respecto a x y grado 5 respecto a y. b) Grado 2 respecto a x y grado 4 respecto a y. c) Grado 3 respecto a una variable. 6. Identifica las expresiones algebraicas que no tienen grado, escribiendo X en el recuadro de la derecha. 1

a) 4x-3y

2 x5

e) 4 x 2

b) -6x4

1 2 3 xy 2

f ) 6xa

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 13

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

1.2 Polinomios Un polinomio en x es una expresión que contiene la suma de un número finito de términos de la forma ax n, para cualquier número real a y cualquier número entero no negativo n. Ejemplos de polinomios

No son polinomios

1 x - 4 3

3x 2 + 4x -1 + 5

x 2 - 2x + 1

2x 4x –2

(Exponente fraccionario). (Exponente negativo).

1 x

1 = x -1, exponente negativoR. x

Se escribe un polinomio en orden descendente (o en potencias descendentes) de la variable con los exponentes de ésta en disminución de izquierda a derecha. Ejemplo de polinomio en orden descendente 2x 4 + 4x 2 - 6x + 3 Observa en este ejemplo que el término constante, 3, está al final porque se puede escribir como 3x 0. Recuerda que x 0 = 1. Un polinomio puede tener más de una variable. Por ejemplo, 3xy + 2 es un polinomio con dos variables, x y y. Un polinomio con un término se denomina monomio; con dos términos, binomio; y con tres términos, trinomio. Los polinomios que contienen más de tres términos no tienen nombres especiales. La siguiente tabla resume esta información: Tipo de polinomio Número de términos Monomio Uno Binomio Dos Trinomio Tres

Ejemplos 8, 4x, -6x 2 x + 5, x 2 - 6, 4y 2 - 5y x 2 - 2x + 3, 3z 2 - 6z + 7

Grado de un polinomio El grado de un término de un polinomio con una variable es el exponente que tiene la variable en dicho término. Término Grado del término 4x 2 Segundo 2y 5 Quinto -5x Primero (-5x puede escribirse como -5x 1). 3 Cero (es posible escribir 3 como 3x 0).

Valor numérico de polinomios En los polinomios, al darle valor a la variable o variables y realizar las operaciones indicadas, se está determinando el valor numérico del polinomio.

EJEMPLOS

Si P(x) es un polinomio en la variable “x ” de forma que P(x ) = 2x 2 - 3x + 6, si “x ” se le asigna el valor de 4, el valor numérico del polinomio es el siguiente:

P(4) = 2(4)2 - 3(4) + 6 P(4) = 32 - 12 + 6 P(4) = 26

El valor numérico del polinomio P(x) = 2x2 - 3x + 6 si x = 4, es 26

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 14

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

Dado el polinomio Q(x) = x 3 + 2x 2 - 6x + 1 encuentra: a) Q(2)

b) Q(-2)

Q(2) = 2 + 2(2) - 6(2) + 1

Q(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 - 6(-2) + 1

Q(2) = 5

Q(-2) = 13

Q(2) = 8 + 8 - 12 + 1

R azonamiento

Q(-2) = -8 + 8 + 12 + 1

lógico matemático

Determina los valores numéricos para cada polinomio de acuerdo con el valor asignado a la variable.

1. P(x) = x 3 + 3x 2 - 2x, x = 3

2. P(x) = 4x 2 - 5x + 3, x = -4 3. P(x) = 6x 2 - 8x + 7, x = 5

4. P(x) = x 4 - 3x 3 + 8, x = -2

Para un polinomio con dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo, el grado del término 4x 2y 3 es 5, porque 2 + 3 = 5. El grado del término 5a4bc3 es 8 porque 4 + 1 + 3 = 8. El grado absoluto de un polinomio es el mismo que el de su término de grado mayor. Polinomio 8x 3 + 2x 2 - 3x + 4

Grado del polinomio Tercero

(8x 3 es el término de mayor grado).

x 2 - 4

Segundo

(x 2 es el término de mayor grado).

2x - 1

Primero

(2x o 2x 1 es el término de mayor grado).

Cero

(4 o 4x 0 es el término de mayor grado).

x 2y 4 + 2x + 3

Sexto

(x 2y 4 es el término de mayor grado).

El grado relativo de un polinomio es con relación a la variable, por ejemplo el polinomio x 2y 4 + 2x + 3, es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y.

Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.

Ejemplos Los siguientes términos tienen las mismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por consiguiente son semejantes. 1 −7b con 4b −8x2y3 con 7x2y3 abc2 con abc2 6

Reducción de términos semejantes Para simplificar expresiones que involucren términos semejantes, se suman o restan los coeficientes.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 15

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

EJEMPLOS

Aplica la reducción de términos semejantes y simplifica la expresión: - 7a + 3a. Solución Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación que da como resultado: - 7a + 3a = (- 7 + 3)a = - 4a

Determina ¿cuál es el resultado de simplificar la expresión - 6xy2 + 9xy2 - xy2? Solución Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación para obtener el resultado:

- 6xy2 + 9xy2 - xy2 = (- 6 + 9 - 1)xy2 = 2xy2

Por consiguiente, el resultado de la simplificación es: 2xy2.

Aplica la reducción de términos semejantes y simplifica la expresión: −10x 2ay b + 5x 2ay b - 6x 2ay b + 11x 2ay b. Solución Se efectúa el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores y se obtiene: −10 x 2 a y b + 5 x 2 a y b − 6 x 2 a y b + 11x 2 a y b = ( −10 + 5 − 6 + 11) x 2 a y b = 0 x 2 a y b = 0 El resultado es igual a 0.

Aplica la reducción de términos semejantes y simplifica la expresión: 7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z. Solución Se agrupan los términos semejantes:

7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z = 7x − 12x − 3y + 5y − 8y + 4z + 2z − 3z

Se realiza la reducción:

= (7 − 12)x + (−3 + 5 − 8)y + (4 + 2 − 3)z = −5x − 6y + 3z

Por tanto, el resultado es: −5x − 6y + 3z.

2 Aplica la reducción de términos semejantes y simplifica la expresión: 0.5 a 3b − 3ab 3 − 5 a 3b + 0.75 ab 3 − a 3b. 3 Completa la solución

Se expresan los decimales en fracciones, se agrupan y simplifican los términos semejantes.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 16

8/25/20 19:57

Operaciones

R azonamiento

Unidad 1 algebraicas

lógico matemático

Aplica la reducción de términos semejantes y simplifica la expresión:

1. 3x − 8x

2. 6a2b + 7a2b

3. −6xy2 − xy2 − 3xy2

4. 4xy4z3 − 4xy4z3

5. −2a2b + 12a2b

6. −3a + 5a − 10a

7. 4x − 3x − 2x

8. 7ab + 4ab − 3ab

9. 5a2 − 7a2 + 3a2 − 2a2

10. −m + n + m + n

11.

12. −3ax+1 + 2ax+1 − ax+1 + 2ax+1

13. 0.25b − 0.4b + 0.2b

14.

15. 4mx−2 − 10mx−2 + 3mx−2

1 3 3 1 a b − a 3b + a 3b 4 5 6

1 3 3 ab c − ab 3 c − ab 3 c 2 2

Valor numérico de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores numéricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.

EJEMPLOS

1 Determina el valor numérico de la expresión: x4y2z3; si x = 4, y = 3, z = . 2 Solución Se sustituyen los respectivos valores de x, y, z y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico de la expresión: 3

4 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 304 x 4 y 2 z 3 = ( 4 ) ( 3) ⎜ ⎟ = ( 256 ) ( 9 ) ⎜ ⎟ = = 288 ⎝ 2⎠ ⎝ 8⎠ 8

Entonces, el resultado es: 288.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 17

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

5 x 2 2 xy y 1 − + ; x = 2, y = ? Determina ¿cuál es el valor numérico de 3 5 3x 4 Solución Al seguir los pasos del ejemplo anterior, se obtiene: 2

5x 2 2xy y 5 ( 2 ) − + = − 3 3 5 3x

⎛ 1⎞ 1 4 1 2(2) ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ 5( 4 ) 4 4 + 4 = − + 3( 2 ) 5 3 5 6

20 1 1 − + 3 5 24

800 − 24 + 5 781 = 120 120

Por tanto, el valor numérico de la expresión es igual a:

781 . 120

Determina el valor numérico de 3m2 − 2mn + n2p; si m = −3, n = 4, p = −5. Completa la solución

Se sustituyen los respectivos valores en la expresión y se realizan las operaciones:

R azonamiento

lógico matemático

Determina el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones si:

m = −2, n = 3, p =

1 1 1 , x = , y = 10, z = 4 3 2

1. 2m + n

5. 5m − 2n + 3y

2. m − n + y

6. x + z − p

3. 8p + 3x

3x + 4 z − 9 n

11. p2 + 2px + x2

m⎛ y ⎞ ⎜ + m + 6 ⎟⎠ n ⎝2

12. m2 − 3mn + n2

2z + 6 x n

m2 + n2 + 1 p+ x

⎛ z−x ⎞ 10. ⎜⎝ 2m + n ⎟⎠

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 18

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

1.2.1 Suma y resta de polinomios Los términos semejantes son los que tienen las mismas variables y los mismos exponentes. Es decir, los términos semejantes sólo difieren en sus coeficientes numéricos. Ejemplos de términos semejantes 3, -5 2x, x -2x 2, 4x 2 3y 2, 5y 2 3xy 2, 5xy 2 Suma de polinomios Para sumar polinomios, se reducen los términos semejantes de los polinomios.

EJEMPLO

Determina (4x 2 + 6x + 3) + (2x 2 + 5x - 1). Solución Recuerda que (4x 2 + 6x + 3) = 1(4x 2 + 6x + 3) y que (2x 2 + 5x - 1) = 1(2x 2 + 5x - 1). Se utiliza la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis, como observamos a continuación: = (4x 2 + 6x + 3) + (2x 2 + 5x - 1) = 1(4x 2 + 6x + 3) + 1(2x 2 + 5x - 1) = 4x 2 + 6x + 3 + 2x 2 + 5x - 1 2 = 4x + 2x 2 + 6x + 5x +  3 - 1   = 6x 2 + 11x + 2

Utilizar la propiedad distributiva. Reacomodar los términos. Reducir términos semejantes.

En los siguientes ejemplos no se mostrará la multiplicación por 1, como sí se hizo en el ejemplo 1.

EJEMPLOS

Determina (5a 2 + 3a + b) + (a 2 - 7a + 3). Solución = (5a 2 + 3a + b) + (a 2 - 7a + 3)

= 5a 2 + 3a + b + a 2 - 7a + 3

Eliminar paréntesis.

= 6a -

Reducir términos semejantes.

2 + a 2 + 3a - 7a + b + 3 = 5a  

Reacomodar términos.

4a + b + 3

Determina (3x 2y - 4xy + y) + (x 2y + 2xy + 3y). Completa la solución

(3x 2y - 4xy + y) + (x 2y + 2xy + 3y)

Eliminar paréntesis.

Reacomodar términos.

Reducir términos semejantes.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 19

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

Por lo general, cuando se suman los polinomios se hace como en los ejemplos 1 a 3. Es decir, en primer lugar, se escribe el polinomio en forma horizontal. Sin embargo, más adelante en la división de polinomios, habrá pasos en los que se sumen en columnas. Para sumar polinomios en columnas 1. Arreglar los polinomios en orden descendente, uno bajo el otro con los términos semejantes en las mismas columnas. 2. Sumar los términos de cada columna.

EJEMPLOS

Determina el resultado que se obtiene al sumar: 6x 2 - 2x + 2 y -2x 2 - x + 7 con el uso de columnas. Solución

6x 2 - 2x + 2 -2x 2 - x + 7

4x 2 - 3x + 9

Determina el resultado que se obtiene al sumar: (5w 3 + 2w - 4) y (2w 2 - 6w - 3) utiliza para ello la suma por medio de columnas. Completa la solución Como el polinomio 5w 3 + 2w - 4 no tiene un término w 2, se sumarán los términos 0w 2 al polinomio. Este procedimiento ayuda en la alineación de los términos semejantes.

Restar polinomios Ahora aprenderás a restar polinomios. Para restar polinomios 1. Se usa la propiedad distributiva para eliminar paréntesis. (Esto tendrá el efecto de cambiar el signo de cada término dentro de los paréntesis del polinomio que se resta). 2. Reducir términos semejantes.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 20

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

EJEMPLO

Determina el resultado que se obtiene al restar: (3x 2 - 2x + 5) - (x 2 - 3x + 4). Solución (3x 2 - 2x + 5) significa 1(3x 2 - 2x + 5) y (x 2 - 3x + 4) significa 1(x 2 - 3x + 4). Se utiliza esta información en la solución, como se muestra a continuación: (3x 2 - 2x + 5) - (x 2 - 3x + 4) = 1(3x 2 - 2x + 5) - 1(x 2 - 3x + 4)

= 3x 2 - 2x + 5 - x 2 + 3x - 4

Eliminar paréntesis.

= 2x + x + 1

Reducir términos semejantes.

2x + 3x + 5 - 4 =  3x 2 - x 2 -

Reacomodar términos.

Cuando un signo negativo precede al paréntesis, al eliminar éste cambia el signo de cada término de adentro. Esto se muestra en el ejemplo 6. En cambio, en el ejemplo 7 no se muestra la multiplicación por -1.

EJEMPLO

Determina el resultado de restar: (-3x 2 - 5x + 3) de (x 3 + 2x + 6). Completa la solución

Eliminar paréntesis.

Reacomodar términos.

Reducir términos semejantes.

EJEMPLOS

De 5x - 2y + 7, restar 4x + 3y + 8 Solución (5x - 2y + 7) - (4x + 3y + 8) = 5x - 2y + 7 - 4x - 3y - 8 = 5x - 4x - 2y - 3y + 7 - 8 = x - 5y - 1

2 3 1 7 x - y , restar x + y 3 4 2 6

Solución ⎛ 2 x - 3 y⎞ - ⎛ 1 x + 7 y⎞ ⎜⎝ ⎟ ⎜ ⎟ 3 4 ⎠ ⎝2 6 ⎠ =

2 3 1 7 x- y- x- y 3 4 2 6

2 1 4-3 1 - = = 3 2 6 6

1 3 7 2 x- x- y- y 2 4 6 3

23 1 xy 12 6

3 7 -9 - 14 23 - = =4 6 12 12

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 21

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

De 5a3 - 3a 2b + 4ab2 - b3, restar a3 - a 2b - 5ab2 + b3 Solución (5a3 - 3a2b + 4ab2 - b3) - (a3 - a2b - 5ab2 + b3) = 5a3 - 3a2b + 4ab2 - b3 - a3 + a2b + 5ab2 - b3 = 5a3 - a3 - 3a2b + a2b + 4ab2 + 5ab2 - b3 - b3 = 4a3 - 2a2b + 9ab2 - 2b3

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES Uno de los errores más comunes ocurre al restar polinomios. Al restar un polinomio de otro, se debe cambiar el signo de cada término del polinomio sustraído, y no sólo el del primer término. Correcto

Incorrecto

= 6x - 4x + 3 - (2x - 3x + 4)

= 6x - 4x + 3 - (2x 2 - 3x + 4)

= 4x 2 - x - 1

= 4x 2 - 7x + 7 ¡No cometas este error!

= 6x 2 - 4x + 3 - 2x 2 + 3x - 4

= 6x 2 - 4x + 3 - 2x 2 - 3x + 4

Restar polinomios en columnas Se pueden restar o sumar polinomios en columnas. Para restar polinomios en columnas 1. Escribe el polinomio que vas a restar debajo del polinomio del que se restará. Escribe los términos semejantes en la misma columna. 2. Cambia el signo de cada término en el polinomio que vas a restar. (Si lo deseas, puedes realizar este paso mentalmente). 3. Sumar los términos en cada columna.

EJEMPLOS

Restar (x 2 - 4x + 6) de (4x 2 + 5x + 7) utilizando columnas. Solución Alinear los términos semejantes en columnas (paso 1).

4x 2 + 5x + 7

-(x 2 - 4x + 6)

Alinear términos semejantes.

Cambiar todos los signos del segundo renglón (paso 2); después, se suma (paso 3). 4x 2 + 5x + 7

- x 2 + 4x - 6

3x 2 + 9x + 1

Cambiar todos los signos. Sumar.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 22

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

Restar (2x 2 - 6) de (-3x 3 + 4x - 3) usando columnas. Completa la solución Para ayudar a alinear los términos semejantes, se escribe cada expresión en orden descendente. Si alguna potencia de x no aparece, se escribe dicho término con un coeficiente numérico de 0. -3x 3 + 4x - 3 = -3x 3 + 0x 2 + 4x - 3

2x 2 - 6 = 2x 2 + 0x - 6 Alinear los términos semejantes.

-3x 3 + 0x 2 + 4x - 3 -(2x 2 + 0x - 6)

Cambiar todos los signos del segundo renglón; después, sumar los términos en cada columna.

Nota: Se pueden cambiar los signos en forma mental, y por ello hacer la alineación y cambio de signos en un solo paso.

C omunicación

con lenguaje matemático

1. ¿Qué es un polinomio?

2. a) ¿Qué es un monomio? Escribe tres ejemplos. b) ¿Qué es un binomio? Escribe tres ejemplos. c) ¿Qué es un trinomio? Escribe tres ejemplos.

3. a) Explica cómo se encuentra el grado de un término con una variable. b) Explica cómo se halla el grado de un polinomio con una variable.

4. Escribe tu propio polinomio de quinto grado con tres términos. Explica por qué es un polinomio de quinto grado con tres términos. 5. Explica cómo se encuentra el grado de un término en un polinomio con más de una variable. 6. ¿Cuáles de los siguientes son términos de cuarto grado? Explica tu respuesta. a) 3xy 2 b) 6r 2s 2 c) -2mn 3 7. Explica por qué (3x + 2) - (4x - 6) Z 3x + 2 - 4x - 6.

8. Explica cómo se escribe un polinomio con una variable en orden descendente.

9. ¿Por qué al escribir un polinomio en orden descendente, el término constante siempre se escribe al final? 10. Explica cómo se suman polinomios.

11. a) Con tus propias palabras, describe la forma de sumar polinomios en columnas. b) ¿Cómo reescribirías 4x 3 + 5x - 7 con el fin de sumarlo a 3x 3 + x 2 - 4x + 8 usando columnas? Explica. 12. ¿4x -3 + 9 es un polinomio? Explica.

13. ¿6m 3 - 5m 1/2 es un polinomio? Explica. 2 14. ¿5x + es un polinomio? Explica. x

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 23

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

R azonamiento

lógico matemático

Determina el grado de cada término.

15. x 5

18. -3b8

17. 5a

20. -13r

16. z 9

19. -12n 7

21. x 2y

24. 6m 5n 8

23. 3r s

26. -8x 3y 5z

22. a 4b 3

25. -12p 4q 7r

2 8

Reconoce cuáles expresiones son polinomios. Si el polinomio tiene un nombre específico —monomio, binomio o trinomio—, di cuál es.

27. x 2 + 3

31. 4x 3 - 8

35. a -1 + 4

39. 4 - 2b 2 - 5b

29. 13

33. 7x 3

37. 6n 3 - 5n 2 + 4n - 3

41. 0.6r 4 -

30. 4x -2

34. 3x 1/2 + 2x

38. 10x 2

42.

28. 2x 2 - 6x + 7

32. 7x + 8

36. x 3 - 8x 2 + 8

40. 2x -2

1 3 1 r - 0.4r 2 2 3

2 2 1 x 3 x

Escribe cada polinomio en orden descendente. Si el polinomio ya se encuentra así, dilo. Determina el grado de cada polinomio.

43. 4 + 5x 44. 5 45. -4 + x 2 - 2x 46. 6x - 5 47. x + 3x 2 - 8

48. 4 - 3p 3 49. -x - 1 50. 2x 2 + 5x - 8 51. 2t 2 - 3t + 4 52. 15

Suma.

57. (5x + 4) + (x - 5)

68. (x 2 - 6x + 7) + (-x 2 + 3x + 5)

58. (5x - 6) + (2x - 3) 59. (-4x + 8) + (2x + 3) 60. (-7x - 9) + (-2x + 9) 61. (t + 7) + (-3t - 8)

62. (4x - 3) + (3x - 3)

63. (x 2 + 2.6x - 3) + (4x + 3.8)

64. (-4p - 3p - 2) + (-p - 4) 2

53. -4 + x - 3x 2 + 4x 3 54. 1 - x 3 + 3x 55. 5x + 3x 2 - 6 - 2x 4 56. -3r - 5r 2 + 2r 4 - 6

65. (4m - 3) + (5m 2 - 4m + 7) 66. (-x 2 - 2x - 4) + (4x 2 + 3)

67. (2x 2 - 3x + 5) + (-x 2 + 6x - 8) Suma utilizando columnas.

79. Suma 3x - 6 más 4x + 5

1 69. (-x 2 - 4x + 8) + ⎛⎜ 5x − 2x 2 + ⎞⎟ ⎝ 2⎠ 1 ⎛ 2 ⎞ 70. (8x 2 + 3x - 5) + ⎜ x + x + 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 71. (8x 2 + 4) + (-2.6x 2 - 5x - 2.3)

72. (5.2n 2 - 6n + 1.7) + (3n 2 + 1.2n - 2.3) 73. (-7x 3 - 3x 2 + 4) + (4x + 5x 3 - 7)

74. (6x 3 - 4x 2 - 7) + (3x 2 + 3x - 3)

75. (8x 2 + 2xy + 4) + (-x 2 - 3xy - 8)

76. (x 2y + 6x 2 - 3xy 2) + (-x 2y - 12x 2 + 4xy 2)

77. (2x 2y + 2x - 3) + (3x 2y - 5x + 5)

78. (x 2y + x - y) + (2x 2y + 2x - 6y + 3) 84. Suma -2s 2 - s + 5 más 3s 2 - 6

80. Suma -2x + 5 más -3x - 5

85. Suma 2x 3 + 3x 2 + 6x - 9 más 7 - 4x 2

82. Suma 9x 2 - 5x - 1 más -9x 2 + 6

87. Suma 4n 3 - 5n 2 + n - 6 más -n 3 - 6n 2 - 2n + 8

81. Suma 4y 2 - 2y + 4 más 3y 2 + 1

83. Suma -x 2 - 3x + 3 más 5x 2 + 5x - 7

86. Suma -3x 3 + 3x + 9 más 2x 2 - 4

88. Suma 7x 3 + 5x - 6 más 3x 3 - 4x 2 - x + 8

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 24

8/25/20 19:57

Operaciones

Resta.

89. (4x - 4) - (2x + 2)

100. (7x - 0.6) - (-2x 2 + 4x - 8)

91. (-2x - 3) - (-5x - 7)

⎛ 3 1⎞ 102. ⎜ 9x − ⎟ - (x 2 + 5x) ⎝ 5⎠

3 2 ⎛ ⎞ 103. (2x 3 - 4x 2 + 5x - 7) - ⎜ 3x + x − 5 ⎟ ⎝ ⎠ 5

92. (10x - 3) - (-2x + 7)

3 ⎞ ⎛ 3 2 104. (-3x 2 + 4x - 7) - ⎜ x + 4 x − x ⎟ ⎝ 4 ⎠

93. (-r + 5) - (2r + 5)

105. Resta (7x + 4) de (8x + 2)

95. (9x + 7x - 5) - (3x + 3.5)

106. Resta (-4x + 7) de (-3x - 9)

97. (5x 2 - x - 1) - (-3x 2 - 2x - 5)

108. Resta (3x 2 - 5x - 3) de (-x 2 + 3x + 10)

96. (-y 2 + 4y - 5.2) - (5y 2 + 2.1y + 7.5) 98. (-a 2 + 3a + 12) - (-4a 2 - 3)

107. Resta (5x - 6) de (2x 2 - 4x + 8)

109. Resta (4x 3 - 6x 2) de (3x 3 + 5x 2 + 9x - 7)

99. (-6m - 2m) - (3m - 7m + 6) 2

algebraicas

101. (8x 3 - 2x 2 - 4x + 5) - (5x 2 + 8)

90. (3x - 2) - (4x + 3)

94. (4x + 8) - (3x + 9)

Unidad 1

110. Resta (-2c 2 + 7c - 7) de (-5c 3 - 6c 2 + 7)

Ejecuta cada resta por medio de columnas. 111. Resta (3x - 3) de (6x + 5) 112. Resta (6x + 8) de (2x - 5)

113. Resta (-3d - 4) de (-6d + 8)

114. Resta (-3x + 8) de (6x 2 - 5x + 3) 115. Resta (6x 2 - 1) de (7x 2 - 3x - 4)

116. Resta (5n 3 + 7n - 9) de (2n 3 - 6n + 3)

117. Resta (-5m 2 + 6m) de (m - 6) 118. Resta (5x 2 + 4) de (x 2 + 4)

119. Resta (x 2 + 6x - 7) de (4x 3 - 6x 2 + 7x - 9)

120. Resta (2x 3 + 4x 2 - 9x) de (-5x 3 + 4x - 12) 121. De 3x 2 - x + 6, restar -8 - x + x 2 122. De

1 1 1 m - 3n , restar m - n 2 3 6

123. De 7a - 3b + 4c, restar -3b + 4c -

2 a 3

124. De 8a 2 - 3a b + b2, restar 5ab - 2b2 + 7a2 3 2 1 125. De ⎛⎜ a - b ⎞⎟ , restar - ⎛⎜ a + b - 4 ⎞⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 4

S olución

de problemas

Resuelve los problemas que se plantean a continuación:

126. Plantea un problema propio, donde el resultado de sumar dos binomios sea -2x + 4.

127. Construye un problema propio, en el que el resultado de sumar dos trinomios sea 2x 2 + 5x - 6.

128. Elabora un problema propio, en el que la diferencia de dos trinomios sea 3x + 5. 129. Plantea un problema propio, si la diferencia de dos trinomios es -x 2 + 4x - 5.

130. Cuando se suman dos binomios, ¿la suma será un binomio siempre, a veces o nunca? Explica tu respuesta y proporciona ejemplos que la sustenten.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 25

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

131. Al restar un binomio de otro, ¿la diferencia será un binomio siempre, a veces o nunca? Explica la respuesta y proporciona ejemplos que la sustenten.

132. Si se suman dos trinomios, ¿el resultado será un trinomio siempre, a veces o nunca? Explica tu respuesta y proporciona ejemplos que la apoyen. 133. Si un trinomio se resta de otro, ¿la diferencia será un trinomio siempre, a veces o nunca? Explica tu respuesta y da ejemplos que la sustenten. 134. Escribe un trinomio de quinto grado con la variable x, que no tenga términos de tercer grado ni de segundo.

135. Escribe un trinomio de sexto grado con la variable x, que carezca de términos de quinto grado, cuarto o cero.

136. ¿Es posible tener un trinomio de quinto grado con x que no tenga términos de cuarto grado, tercero, segundo o primero, y no contenga términos semejantes? Explica tu respuesta.

137. ¿Es posible tener un trinomio de cuarto grado con x que no tenga términos de tercer grado, segundo o cero, y no contenga términos semejantes? Explica tu respuesta. Escribe un polinomio que represente el área de cada una de las figuras mostradas.

138.

140.

b a

139.

x x 141. x x

y y

P roblemas

de reto

Simplificar.

142. (3x 2 - 6x + 3) - (2x 2 - x - 6) - (x 2 + 7x - 9)

144. 4(x 2 + 2x - 3) - 6(2 - 4x - x 2) - 2x(x + 2)

143. 3x 2y - 6xy - 2xy + 9xy 2 - 5xy + 3x

1.2.2 Multiplicación de monomio por monomio Para realizar esta operación es conveniente recordar las propiedades de los signos.

Propiedades de los signos

(+)(+) = + (+)(−) = − (−)(+) = − (−)(−) = +

Propiedad de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman. am ? an = am + n

Monomio por monomio Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las bases.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 26

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

EJEMPLOS

Determina ¿cuál es el resultado de (−5x4y5z)(3x2y6z)? Solución Se multiplican los coeficientes y las bases: (−5x4y5z)(3x2y6z) = (−5)(3) x4 x2 y5 y6 z z Se aplican las propiedades de los signos y de los exponentes:

= −15x4+2y5+6z1+1 = −15x6y11z2 Por tanto, el resultado es: −15x6y11z2.

5 2 Determina el resultado de efectuar la siguiente operación: ⎛⎜ − a 6b 5 c 5 ⎞⎟ ⎛⎜ − a 2bc 4 ⎞⎟ . ⎝ 4 ⎠⎝ 3 ⎠ Solución Se efectúa el producto de las fracciones y se aplica la propiedad de los exponentes para las bases. ⎛ 5 6 5 5 ⎞ ⎛ 2 2 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 6+2 5+1 5+4 10 8 6 9 5 8 6 9 ⎜⎝ − a b c ⎟⎠ ⎜⎝ − a bc ⎟⎠ = ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎜⎝ − ⎟⎠ a b c = a b c = a b c 4 3 4 3 12 6 Por consiguiente, el resultado es:

5 8 6 9 ab c. 6

Determina el resultado de: (−abc)(3ac). Completa la solución

R// El resultado de la multiplicación es: −3a2bc2.

(

)(

)

Determina el resultado de efectuar la siguiente operación: −3a 4 bc 2 a 2 c 5 −5 ab 3 c 2 . Solución

( −3a bc )( 2a c )( −5ab c ) = ( −3)( 2 )( −5 ) a 4

2 5

3 2

b c

4 + 2 +1 1+ 3 1+ 5 + 2

= 30 a 7 b 4 c 8

El resultado del producto es: 30a 7b 4c 8.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 27

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

R azonamiento

lógico matemático

Aplica las propiedades de los signos y de los exponentes al efectuar las siguientes multiplicaciones, determina los productos correctos.

1. (5x)(− 3x)

⎛ 4 ⎞⎛ 3 ⎞ 11. ⎜ − xyz ⎟ ⎜ x 2 yz 3 ⎟ ⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠

2. (4x3y5z)(6x5y4z)

⎛9 ⎞ 12. ⎜ mp 2 ⎟ −15m 6 p ⎝5 ⎠

3. (−7a5c2)(2a4bc6)

13. 0.5 m 6 p 5 0.2 m 2 n

⎛3 ⎞⎛ 2 ⎞ 4. ⎜ xyz ⎟ ⎜ − z 4 ⎟ ⎝4 ⎠⎝ 5 ⎠

14. (0.4abc)(0.12xyz)

5. −10 m 6 p −5 m 2 p 3

15. (5ab)(−3a2b)(2a3bc)

⎛ 1 ⎞ 6. 9c 5 m 9 p 2 ⎜ − c 6 m ⎟ ⎝ 3 ⎠

16. (−7x2y5z)(−2x6y2)(−4xyz)

(

)(

(

)

)(

)

7. (− xyz)(xyz)

17. (−5x)(3y)(−2z)

8. ( ac ) −4 a b

18. (4x4y)(−2xy2)(3x6y)(−2y4)

⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ 9. ⎜ − mn ⎟ ⎜ − m 4 np ⎟ ⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠

⎛1 ⎞⎛2 ⎞ ⎛ 10 ⎞ 19. ⎜ a 3b 2 c⎟ ⎜ a 4 bc 2 ⎟ ( 6ac ) ⎜ a 4 b 2 ⎟ ⎝3 ⎠⎝5 ⎠ ⎝ 3 ⎠

⎞ ⎛7 ⎞⎛2 10. ⎜ a 6b 8 c 2 ⎟ ⎜ a 2b 5 c⎟ ⎠ ⎝4 ⎠⎝ 3

⎛ 3 ⎞⎛2 ⎞⎛ 1 ⎞ 20. ⎜ − a 6b ⎟ ⎜ a 2bc⎟ ⎜ − ac⎟ −2b 2 c 2 ⎝ 4 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠

(

)

(

)

1.2.3 Multiplicación de un polinomio por un número entero, racional y decimal Para multiplicar un polinomio por un número entero, racional o decimal se emplea la propiedad distributiva del producto sobre la suma. a(b + c) = ab + ac Se puede extender la propiedad distributiva así: a(b + c + d + Á + n) = ab + ac + ad + Á + an

EJEMPLOS Determina el resultado correcto de efectuar los siguientes productos:

(−3)(4x2 - 3x + 7) Solución = (-3)(4x2) + (-3)(-3x) + (-3)(7) = -12x2 + 9x - 21

7(9x - 8) Solución = (7)(9x) + (7)(-8) = 63x - 56

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 28

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

(-6)(2x - 3y - 9) Solución = (-6)(2x) + (-6)(-3y) + (-6)(-9) = -12x + 18y + 54

⎛ 2⎞ (3a - 6b + 8c) ⎜⎝ ⎟⎠ 3 Solución ⎛ 2⎞ = ⎜⎝ ⎟⎠ (3a - 6b + 8c) ¡ por la propiedad conmutativa para el producto 3 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 2 = ⎜ ⎟ ( 3a ) + ⎜ ⎟ ( - 6 b ) + ⎛⎜ ⎞⎟ (8c ) ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ = 2a - 4b +

16 c 3

(-1.4)(5.2a - 3b) Solución = (-1.4)(5.2a) + (-1.4)(-3b) = -7.28a + 4.2b Determina el resultado correcto de efectuar y reducir términos semejantes en los siguientes productos:

(-8)(3m - 2n) + 4(5m + 7m - 9) Solución = (-8)(3m) + (-8)(-2n) + 4(5m) + 4(7n) + 4(-9) = -24m + 16n + 20m + 28n - 36 = -24m + 20m + 16n + 28n - 36 = -4m + 44n - 36

EJERCICIOS Determina el resultado de efectuar los siguientes productos:

1. 6(3x - 4y + 6)

3. (4m - 2n)(-9)

⎛ 3⎞ 4. (4a - 8b - 12c) ⎜⎝ − ⎟⎠ 2

5. (1.6)(5.2a - 2.3b)

7. (7x - 8y)(-2.3)

2. (-8)(5x2 - 9x + 8)

1 (6x - 8y) 6

Determina el resultado correcto de efectuar y reducir términos semejantes en los siguientes productos:

8. 7(2a - 3b) - 6(4a + 7b)

10. 5(-3m + 5) - 3(8 - 4m)

9. (-2)(5x + 7y) + 4(6y - 2x)

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 29

8/25/20 19:57

1 Unidad

Matemática 8

1.2.4 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por cada término del polinomio, como lo ilustra el siguiente ejemplo:

EJEMPLO (5x5y4 − 3x4y3z + 4xz4)(−3x4y) Solución Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio: (5x5y4 − 3x4y3z + 4xz4)(−3x4y) = (5x5y4)(−3x4y) + (−3x4y3z)(−3x4y) + (4xz4)(−3x4y) = −15x9y5 + 9x8y4z − 12x5yz4 Por tanto, el resultado es: −15x9y5 + 9x8y4z − 12x5yz4.

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado de efectuar los siguientes productos:

1. (4a2 − 7ab)(2a3b) 7. (5m3n − 3m4p + 6m2)(8mp3)

2. (−3m)(5m4 − 3m3 + 6m − 3) 8. (4a3c − 7a2b − 2c)(−3ac4)

9. (5m6n − 3mn4 + 2mn)(3mx+1n2x) 3. (3x3 − 7x2 − 2x)(xy)

1 3 3 2 10. ⎛⎜ a 2 − b 2 − ab ⎞⎟ ⎛⎜ ab 2 ⎞⎟ 4. (−3ab)(2a2 − 7ab + 8b2) ⎝2 ⎠ 5 4 ⎠⎝ 3

1 ⎛4 ⎞⎛ 3 ⎞ 5. (6a3b2 − 7a2b3 + 4ab5)(4a5b2) 11. ⎜ x 3 y⎟ ⎜ x 2 − y 2 + 6xy⎟ ⎝3 ⎠⎝ 4 ⎠ 3

7 8 1 ⎞⎛ 4 ⎛2 ⎞ 6. (−5xy2z) (7x6y2z − 3x5y − 4xz) 12. ⎜ a 6 − a 4 b 2 + a 2b 4 − b ⎟ ⎜ ab 2 c⎟ ⎝5 ⎠ 2 5 16 ⎠ ⎝ 5

1.3 División de un monomio entre un monomio A continuación se muestra la propiedad de los signos de esta operación:

Propiedad de los signos

(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (−) = − (−) ÷ (+) = − (−) ÷ (−) = +

Propiedad de los exponentes para la división En la división los exponentes de las bases iguales se restan. am = a m−n an

Para que el resultado siga siendo un monomio o polinomio m, n son números enteros no negativos y m Ú n.

Monomio entre monomio Cuando se dividen monomios, primero se realiza la división de los coeficientes y después se aplica la propiedad de los exponentes para las bases. Si la división de los coeficientes no es exacta, entonces se deja especificada; si las bases no son iguales, entonces se deja expresado el cociente.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 30

8/25/20 19:57

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

EJEMPLOS

Realiza la siguiente operación: Solución

−16 a 5b 4 c 6 . 8 a 2 b 3c

Se dividen los coeficientes y las bases para obtener: −16 a 5 b 4 c 6 −16 5 − 2 4 − 3 6 −1 a b c = −2 a 3bc 5 = 8a 2 b 3c 8 Finalmente, el resultado es: −2a3bc5.

−10 x 7 y 6 c ? ¿Cuál es el resultado de −6 x 2 y 2 c Solución La división de los coeficientes no es exacta, por tanto, se deja expresada como fracción, la cual se simplifica y se efectúa la división de las bases. −10 x 7 y 6 c 10 7 − 2 6 − 2 1−1 5 5 4 0 5 5 4 Recuerda que c0 = 1, c Z 0 = x y c = x y c = x y 2 2 Propiedad del exponente 0 6 3 3 −6 x y c Por tanto, el resultado es:

− xyz . Realiza − xyz

5 5 4 x y. 3

Solución Se aplica la propiedad de los signos para la división y se dividen las bases.

El resultado es: 1.

R azonamiento

− xyz = x1−1 y1−1 z1−1 = x 0 y 0 z 0 = (1)(1)(1) = 1 − xyz

lógico matemático

Aplica las propiedades de los signos y exponentes y determina el cociente en las siguientes divisiones de monomios.

9 a 6 b10 3a 2 b 5

12 x 3 y 2 z 4 18 xy 2 z 3 2 x 4 y5 z 8 x 3 y2

42 x 9 y 2 −7 x 5 y 2

10.

−26 a 5 b 6 −13b 3

7 5 11. − a 2 b 5 c 8 ÷ − ab 5 c 6 8 2

32 p 5 q 6 −8 p 3 q 2

3 4 12. − a 3b ÷ − a 2 b 5 5

36 a10 b 8 −12 a 2 b 7

13.

−25 a12 b 9 −5 a 6 b 3

−6 x 8 y 9 18 x 4 y 7

−44 a 5 b 8 66 a 3b 2

2 5 3 1 xy z ÷ − z 3 3 6

2 14. − x 4 y 5 ÷ −2 9 1 15. 3m 4 n 5 p 6 ÷ − m 4 np 5 3

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 31

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

1.4 División de un polinomio entre un número Para dividir un polinomio entre un número, se divide cada término del polinomio entre el número.

EJEMPLOS Determina el resultado de dividir:

(6x2 - 9x + 15) , (3) Solución =

6x 2 - 9x + 15 3

6x 2 9x 15 + 3 3 3

= 2x 2 - 3x + 5

(12a - 18b - 20c) , (-2) Solución =

12a - 18b - 20c -2

12a 18b 20c = ( -2 ) ( -2 ) ( -2 )

Nota: Tener mucho cuidado con el signo negativo del divisor, es decir, el -2.

= -6a + 9b + 10c

(7a - 15b) , (-6) Solución =

7a 15b ( -6 ) ( - 6 )

7 5 = - a+ b 6 2

⎛ 1⎞ (8m - 9n + 7) , ⎜⎝ ⎟⎠ S 3

1 3 El recíproco de es . 3 1

Solución 3 = (8m - 9n + 7 ) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 1⎠ = (8m - 9n + 7 ) ( 3) = 3 (8m - 9n + 7 ) = 24m - 27n + 21

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 32

8/25/20 19:58

Operaciones

⎛ 3⎞ (6a - 13b) , ⎜⎝ − ⎟⎠ S 2

Unidad 1 algebraicas

3 2 El recíproco de - es - . 2 3

Solución 2 = ( 6a - 13b ) ⎛⎜ - ⎞⎟ ⎝ 3⎠ 2 = ⎛⎜ - ⎞⎟ ( 6a - 13b ) ⎝ 3⎠ ⎛ 2⎞ 2 = ⎜ - ⎟ ( 6 a ) + ⎛⎜ - ⎞⎟ ( -13b ) ⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ = -4a +

26 b 3

EJERCICIOS Determina el resultado de dividir:

1. (-9x2 + 6x - 12) , (-3)

3 5. (x - 3y) , ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 4⎠

2. (16m - 24n) , (4)

6. (8x - 10y + 14) , (-2)

3. (7a - 28b + 49c) , (7)

⎛ 1⎞ 7. (5x2 - 9x - 12) , ⎜ ⎟ ⎝ 7⎠

1 4. (8m3 - 2m2 + m - 4) , ⎛⎜ - ⎞⎟ ⎝ 6⎠

2 8. (2m + n) , ⎛⎜ - ⎞⎟ ⎝ 3⎠

1.5 División de un polinomio entre un monomio Se divide cada término del polinomio entre el monomio, como se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLOS

Determina el cociente de:

2 x 4 − 5x 3 + x 2 . −x2

Solución Se divide cada término del polinomio entre el monomio.

2 x 4 − 5x 3 + x 2 2 x 4 5x 3 x2 = 2 − 2 + 2 = −2 x 4− 2 + 5 x 3− 2 − x 2− 2 2 −x −x −x −x = −2 x 2 + 5 x − x 0 = −2 x 2 + 5 x − 1

Determina el cociente de: Solución

16 x 6 y 5 z − 12 x 4 y 6 z 2 + 6 x 3 y 9 . −4 x 2 y

Al aplicar los pasos del ejemplo anterior se obtiene:

16 x 6 y 5 z 12 x 4 y 6 z 2 6 x 3 y 9 3 − + = −4 x 6 −22 y 5 −1 z + 3x 4 − 2 y 6 −1 z 2 − x 3− 2 y 9 −1 2 2 2 −4 x y −4 x y −4 x y 2 3 8 4 4 2 5 2 = −4 x y z + 3x y z − xy 2 3 8 4 4 2 5 2 El resultado es: −4 x y z + 3x y z − xy . 2

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 33

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado de efectuar las siguientes divisiones:

x2 + 2x x

4 x3 + 2x2 2x2

5 ⎞ 1 ⎛1 10. ⎜ a 2 − a ⎟ ÷ a ⎝4 2 ⎠ 2

8 x 2 y − 20 x 3 4 x2

1 ⎛1 ⎞ 11. ⎜ a 5b 7 − a 4 b 5 − a 3b 4 ⎟ ÷ 6a 3b 2 ⎝5 ⎠ 4

2x3 − x2 + x x

3 1 3 ⎛1 ⎞ 12. ⎜ a 8b 7 − a 6b 6 + a 4 b 3 ⎟ ÷ − ab 2 ⎝4 ⎠ 2 6 4

2x4 + 6x3 − 8x2 2x2

2 4 ⎛3 ⎞ 4 13. ⎜ x 7 y 9 − x 8 y 7 + x 4 y 5 ⎟ ÷ xy 5 ⎝5 ⎠ 15 3 3

8 x 6 − 10 x 4 − 12 x 3 −4 x 2

4 1 6 ⎛1 ⎞ 14. ⎜ x 8 y 7 − x 6 y 5 + x 5 y10 ⎟ ÷ − x 4 y 3 ⎝6 ⎠ 3 3 5

27 m 4 n 6 − 15 m 3 n 6 + 3mn 2 3mn 2

2 1 5 ⎛1 ⎞ 15. ⎜ x10 y 8 − x 8 y 7 + x 5 y 6 − x 3 y 5 ⎟ ÷ − x 2 y 3 ⎝2 ⎠ 3 8 2

32 a 7 b 5 + 48 a 6 b 4 − a 4 b 3 8 ab 3

28 x 9 y 6 − 49 x 7 y 3 − 7 x 2 y 7x2 y

1.6 Operaciones combinadas entre monomios Las operaciones combinadas con monomios siguen las mismas propiedades aplicadas a las operaciones combinadas en los conjuntos numéricos. A continuación se presentan varios ejemplos.

EJEMPLOS

Simplifica las expresiones realizando las diferentes operaciones.

3x 2 ? x + 2x 5 , x 2 - x 3 Solución 3x 2 ? x + 2x 5 , x 2 - x 3 = 3x 2 + 1 + 2x 5 - 2 - x 3 = 3x 3 + 2x 3 - x 3 = (3 + 2 - 1)x 3 = 4x 3

— Multiplicación y división — Resultado — Suma y resta — Resultado final

6x 4 , 3x 2 + 4x 6 , 2x 4 + 4x 2 Solución 6x 4 , 3x 2 + 4x 6 , 2x 4 + 4x 2 = (6 , 3)(x 4 - 2) + (4 , 2)(x 6 - 4) + 4x 2 = 2x 2 + 2x 2 + 4x 2 = 8x 2

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 34

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

1.7 Operaciones combinadas de polinomios que incluyen división de un número Para realizar este tipo de operaciones combinadas, se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y, luego, se realizan las operaciones correspondientes.

EJEMPLOS Determina el resultado de efectuar las siguientes operaciones algebraicas y, luego, simplifica:

2a - 3b a - b El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12 4 6

Solución

3 ( 2a - 3b ) - 2 ( a - b ) 12

6a - 9b - 2a + 2b 12

4a - 7b 12

Reducción de términos semejantes

3x - y 2x + y + 2 3

Solución

3 ( 3x - y ) + 2 ( 2x + y ) 6

9x - 3y + 4x + 2y 6

9x + 4x - 3y + 2y 6

13x - y 6

5m - 3n

3m + 2n 3

Solución 5m - 3n 3m + 2n = 1 3 =

3 ( 5m - 3n ) - ( 3m + 2n ) 3

15m - 9n - 3m - 2n 3

15m - 3m - 9n - 2n 3

12m - 11n 3

12m 11n 3 3

= 4m -

11 n 3

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 35

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

7a + 8b + 2a - 8b 4

Solución =

7a + 8b 2a - 8b + 4 1

7a + 8b + 4 ( 2a - 8b ) 4

7a + 8b + 8a - 32b 4

7a + 8a + 8b - 32b 4

15a - 24b 4

15 a - 6b 4

o bien

15a 24b 4 4

EJERCICIOS Determina el resultado de efectuar las siguientes operaciones y reduce términos semejantes:

6x - y 4x + y 3 2

2. 2m - 3n +

6a - 9b - 3a + 4b 2

3x - 2y 5x - y + 6 4

m - 4n 2n - 3m 3 5

8a - 7b 3a - 9b + 4 2

6m - 11n 4

1.8 Aplicaciones de las expresiones algebraicas El lenguaje algebraico comúnmente se utiliza para expresar simbólicamente cantidades mediante variables; es decir, letras que pueden tomar distintos valores, utilizando expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas son muy útiles en la vida cotidiana, pues nos ayudan a resolver problemas; desde los más simples hasta los más complejos. El álgebra es el “corazón” de las computadoras y de la misma web, ya que los programas y sistemas están constituidos por fórmulas algebraicas que operan y procesan grandes volúmenes de información. El álgebra, en sí, permite resolver situaciones problemáticas, y generalizar muchos de los procesos y sus soluciones.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 36

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

EJEMPLOS

Determina la expresión para el cálculo del perímetro (P) y el área (A) de cada una de las siguientes regiones.

x 2x

5x 4x

Solución Solución

P = x + x + 2x + 2x P = (1 + 1 + 2 + 2)x P = 6x A = 2x ? x A = 2x 2

P = 3x + 4x + 5x P = (3 + 4 + 5)x P = 12x 4 x ⋅ 3x A= 2 4 ⎛ ⋅ 3⎞ A = ⎜⎝ ⎟ (x)(x) 2 ⎠

A = 6x 2

Una empresa construye estructuras prediseñadas para casas y edificios. Si x representa el número de estructuras y los costos de producción son: x 2 + 12x - 1 200 para las casas y 3x 2 + x + 2 000 para los edificios, determina ¿cuál es el costo total de producción de la compañía? Solución El costo total se obtiene al sumar el precio de las casas y el de los edificios. 2 + x + 12 x − 1200 2 3x + x + 2 000 2

4 x + 13x + 800 Por tanto, la empresa gasta: 4 x 2 + 13x + 800

El largo de un terreno en metros lo determina la expresión 2 a 2 + 3a + 2 y su ancho lo representa 2a - 1, determina ¿cuál es la superficie del terreno en metros cuadrados? Solución Para obtener la superficie del terreno se multiplica su largo por su ancho. 2 a 2 + 3a + 2 2a − 1 ×

4 a 3 + 6a2 + 4 a + −2 a 2 − 3a − 2 4a3 + 4a2 + a − 2

Entonces, la superficie del terreno es de: 4 a 3 + 4 a 2 + a − 2 metros cuadrados.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 37

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

Al adquirir 2x + 3 artículos se paga un importe de 10x2 + 29x + 21 pesos, determina ¿cuál es el precio unitario de los artículos? Solución Para obtener el precio unitario, se divide el importe total entre el número de artículos. 5x + 7 10x2 + 29x + 21 -10x2 - 15x 14x + 21 - 14x - 21 0 2x + 3

El costo de cada artículo es: 5x + 7 pesos.

Observa el siguiente plano de distribución de una casa, la cual se proyecta en un terreno rectangular. 3x - 1

5x + 2

Baño

3x + 2

Recámara

3x + 1

x+1

Sala

5x - 3

Estancia

Corredor

2x - 1

6x + 1

2x - 1

Comedor

4x - 3

Cocina

3x - 1

5x + 3

De acuerdo con él, calcula la superficie que abarca la construcción, excepto el corredor. Solución Se calcula el largo y ancho del rectángulo que abarca la construcción: Largo = (6x + 1) + (2x - 1) + (5x + 3) = 13x + 3 Ancho = (3x + 2) + x + (5x - 3) + (2x - 1) = 11x - 2 Se obtiene el área del rectángulo que ocupa la casa y la del corredor: Área del corredor Área = (Largo)(Ancho) = ((6x + 1) + (2x - 1))(2x - 1) = (8x)(2x - 1) = 16x2 - 8x

Área del rectángulo Área = (Largo)(Ancho) = (13x + 3)(11x - 2) = 143x2 - 26x + 33x - 6 = 143x2 + 7x - 6

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 38

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

Para saber cuál es la superficie, se resta al área del rectángulo el área del corredor:

A = (143x2 + 7x - 6) - (16x2 - 8x)

= 143x2 + 7x - 6 - 16x2 + 8x

= 127x2 + 15x - 6 Por tanto, la superficie es: 127x2 + 15x - 6.

A plicación

de la matemática al entorno

Resuelve los siguientes problemas:

1. El lado de un cuadrado mide ( p + 3q) metros. Determina, ¿cuál es la expresión algebraica que representa su perímetro? 2. Silvia y Lucía fueron al mercado. Silvia compró 12 kg de azúcar y 5 kg de frijoles; Lucía, por su parte, compró 8 kg de azúcar y 3 kg de frijoles. Cada una pagó en dólares con un billete de $20.00. Si el kg de azúcar costó “x” dólares, y el de frijoles “y” dólares, determina, ¿cuánto recibió de cambio cada una de ellas? Expresa tu respuesta utilizando las expresiones algebraicas. 3. El largo de un patio rectangular mide 5 metros más que su ancho. Si se quiere cercar con un alambre, determina, ¿qué expresión representa el largo del alambre? 4. Dado el siguiente polinomio: 4 cm

2 cm

3 cm

x cm 6 cm

a) Expresa su perímetro a través del lenguaje algebraico. b) Calcula el valor de su perímetro, si x = 5 cm. 5. Un recipiente tiene cierta cantidad de agua. Se extrae medio litro de agua y luego se repone un cuarto de litro. Determina, ¿qué expresión representa la cantidad de agua que quedó en el recipiente? 6. Expresa, en lenguaje algebraico, el perímetro y el área del trapecio isósceles que se muestra en la siguiente imagen: b a

h B

d2 permite calcular el área de un cuadrado, cuando es conocida la longitud de su diagonal. Si la 2 diagonal de un cuadrado mide 10 cm, calcula, ¿cuál es su área? 8. Determina, ¿cuál es el perímetro de un triángulo, si sus lados miden m + 2; m + 6 y 4m - 1? 9. Determina el recorrido de una hormiga entre los puntos A y B en una pared de una cocina. Expresa el resultado lo más reducido posible:

7. La expresión A =

Figura 1.3 Hormigas.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 39

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

10. Determina, ¿cuál es el perímetro de un rectángulo, si sus lados miden 4x + 12 y 3x + 9? 11. Una cancha de futbol rápido tiene forma de rectángulo. Mide de largo 3 unidades más que el doble de su ancho, según se muestra en la siguiente imagen:

Figura 1.4 Cancha de futbol rápido.

a) Expresa el perímetro de la cancha como una suma de monomios. b) Calcula el valor de su perímetro, si el ancho de la cancha mide 6 metros. 12. El largo de un terreno mide 8 metros más que su ancho. Determina, ¿qué expresión permite calcular el perímetro del terreno? 13. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras geométricas: a)

b) (2x - 5y - 2z) (2x - 3y) (5x + 2y - z) (5x + 6y)

(2a - 3b)

(3a

5b )

(-6a + 2b)

(-5a + 3b)

(4a + 3b - 6c)

(2p - 4q)

(5m + n) (p + q) (2m - n)

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 40

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

14. Un albañil debe colocar baldosas de cerámica en el piso de un pasillo; las baldosas tienen las siguientes dimensiones:

a a-2 2a

Figura 1.5 Albañil.

El área que desea cubrir con las baldosas se muestra a continuación:

Determina: a) El largo del pasillo en el que desea colocar las baldosas. b) El ancho del pasillo. c) La expresión algebraica correspondiente al perímetro del pasillo. d) La expresión algebraica correspondiente al área del piso del pasillo. e) Si a = 25 cm, ¿cuáles son los valores del perímetro y del área del pasillo? 15. Determina las expresiones algebraicas que deben escribirse en el siguiente diagrama, de forma que las sumas de las expresiones de dos rectángulos contiguos, ubicados horizontalmente, sean igual a la expresión que se encuentra inmediatamente debajo de ellos. 6x - 5

2x + b 9x - 10 14x - 3b

16. Durante la restauración del Teatro Nacional de Santa Ana, un trabajador encontró un carrete antiguo de película, como el que se muestra en la siguiente imagen:

Figura 1.6 Proyector antiguo.

El carrete de película posee 9 orificios pequeños, de forma circular, de radio a; además, este carrete posee un radio R.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 41

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

Determina: a) Una expresión algebraica que represente el área sombreada. b) El valor del área sombreada, si a = 2.5 cm y R = 15 cm. 17. Determina una expresión que permita calcular el volumen de la siguiente figura:

x+3

4x + 3 x

18. Un artista es contratado para pintar un mural en una gran pared de un hotel en la playa, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.7 Pintura de marina.

Calcula las siguientes áreas: a) Área total de la pared. b) Área de la pared que quedará sin pintar. c) Área que pintará el artista. 19. Los estudiantes de una clase de arte utilizan una pieza de cartón para una actividad; esta pieza de cartón tiene forma cuadrada, y tienen que recortarle las cuatro esquinas cuadradas y congruentes (iguales), como se ilustra en la siguiente imagen: a

a a



a a

Determina una expresión algebraica que represente la pieza de cartón, luego de realizados los recortes.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 42

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

20. Calcula el área de la cruz blanca.

x x

x 5

21. En una tienda de regalos, un empleado elabora una caja de cartón con materiales reciclados; la caja debe ser cuadrada y abierta y, para ello, corta cuadros pequeños de lado x en cada una de las esquinas, como se muestra en la siguiente imagen: x

x x

8x - 2

8x - 2 8x - 2

x x

x 8x - 2

Determina una expresión algebraica para encontrar el volumen de la caja.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 43

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

EJERCICIOS Resuelve los siguientes problemas.

1. Una partícula recorre 5t 2 + 4 t + 7 metros, después recorre t 2 − 4 y, finalmente, −5t + 3 metros. ¿Cuál es la distancia total de su recorrido?

2. Una empresa obtiene con la venta de un artículo un ingreso de 3x 2 − 7 x + 6 400 y sus costos de producción son de 2 x 2 − 9 x + 2 000 . ¿Cuál es la utilidad que obtiene dicha compañía?

3. Un obrero pinta una barda, cuya superficie es de 8 x 2 + 6 xy + 9 y 2 metros cuadrados, si le faltan por pintar 3x 2 + 8 y 2 metros cuadrados, ¿qué superficie lleva pintada?

4. Un producto tiene un precio en el mercado de 5y + 3 pesos, si se venden 3y + 1 productos. ¿Cuál es el ingreso que se obtuvo?

5. Si un terreno rectangular mide 4x - 3y metros de largo y 5x + 2y metros de ancho, ¿cuál es su superficie?

6. Las dimensiones de una caja en decímetros son: 2w - 3 de largo, 3w + 1 de ancho y 2w + 1 de altura. ¿Cuál es su volumen?

7. Se tienen 12 x 2 − 5 xy − 2 y 2 litros de aceite y se van a envasar en botellas de 3x - 2y litros de capacidad, ¿cuántas botellas se van a emplear?

8. Un móvil se mueve a razón de 3t 3 − t 2 + 4 t − 2 metros por segundo, calcula la distancia que recorre en un tiempo de 2t + 1 segundos (distancia = (velocidad)(tiempo)). Utiliza el plano del ejemplo 5 de la página 38, para calcular lo siguiente:

9. La superficie de las recámaras.

10. El área del baño.

11. La superficie de la cocina.

12. El área del comedor.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 44

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

Actividad integradora de unidad 1. Aplica tus conocimientos sobre expresiones algebraicas y monomios, completa la información faltante en la tabla y determina si cada expresión algebraica cumple con las características de ser un monomio. Expresión algebraica

Coeficiente

Factor literal

Grado absoluto

-5m2y x -11y6 -m4n5x2y3 3 2 mn 4 2. Completa la tabla siguiente y clasifica cada expresión algebraica de acuerdo con el número de términos. Expresión algebraica

Monomio

Binomio

Trinomio

Polinomio

6m2 + 2n2 4x2y 5xy3 - 8xy + 9x3y -9ab4 4mx4 + 7mx3 + 2mx2 - 3mx 2x5 - 8x4 + x3 - 5x2 + 7x - 6 4ab - 3abc 3d + 11b - 5c

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 45

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

3. Analiza si las parejas de términos son semejantes. Identifica, marcando con una X, según corresponda. Sí mn

5mn

a2b

ab2

-b

-x

8x3y2z

8zy2x3

4. Identifica y reduce, en cada literal, los términos semejantes, si los hay. a) 4x2 + 5x2

b) 7a - 8a2

c) 6y2 - 5y2 d ) 4m + 4n

e) 3xy2 - 8xy2

f ) 3xyz2 - 8xyz2 + xyz2

g) 7m3 + 5an2 - 8an2 - 9m3 + 2an2 h) 5xy3 + 5x2y - 5xy2 - 5x3y + 5xy2

i) 7m3 + 5an2 - 8an2 - 9m3 + 2an2 j) 7x2y2 - 5x2y2 + 8xy3 - xy3 k) -6m2 + m2 - m3 + m3 l)

2 2 2 3 1 a b + ab 2 - a 2 b + a 2 b 5 3 4 2

m) -0.5x3y + x3y - 0.8xy3 - xy3 n) -(3m2n + 2m2n - 4m2n)

3 2 o) 1.2x 5 y + x 5 y - x 5 y - 2 x 5 y 8 5 5. Determina el valor numérico para cada expresión algebraica, si se tiene que:

x = 1 y = -1 z = 5 m = -2 n = 2 a) 8x3y - 4x2y2 + 9xy3 + 3y4

b) 12x3 + 14x2 - 9y + 3y5

c) 3mx + 5nx - 9my - 6ny d ) 6m6n - 9m4n + 3m4 - 1

e) 11xyz4 - 7xyz4 + 8mn + mn4

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 46

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

f ) -6m3n2x4y5z + xymn

g) 5mxy3 + 5nx2y - 5xmn2 - 5mx3n + 5my2n

h) 4x2 + 5x2 - 4m - 2n + 6y2 - 5yz2 i) 13x + 5y + 4m + 10n - z + 5

j ) (12x + 6n) - (5y + 9m) - (z + 4)2 â&#x20AC;&#x201A; 6. Determina el resultado de efectuar las siguientes operaciones de suma, resta, y combinaciĂłn de suma y resta de polinomios. i. Suma de polinomios.

a) Sumar (x2 + 4x) con (-5x + x2)

b) Sumar (ab + a2) con (b2 - 2ab)

c) Sumar (x3 + 2x) con (-x2 + 4 + x)

d) Sumar (a4 - 3a2) con (a3 + 4a) e) Sumar (-x2 + 3x) con (x3 + 6)

f ) Sumar (3a + 2b - c) con (2a + 3b + c)

g) Sumar (7x - 4y + 5c) con (-7x + 4y - 6c) h) Sumar (a + 7b - c) con (4a - b + c)

i ) Sumar (8a + b + 3c) con (-a - 3b + 2z)

j ) Sumar (x2 - 4x3 + 2 - x) con (x3 - x4 + x + 3)

k) Sumar (3a + 2b - c) con (2 + 3b + c)

l ) Sumar (3x2 + 2xy - 7) con (7x2 - 4xy + 8) m) Sumar (m + n - p) con (-m - n + p)

n) Sumar (x3 + y3) con (-5x2y - y3), y con (2x3 + xy2)

o) Sumar (-5x2 - x - 7y + 2) con (3x2 - y + 7)

p) Sumar (x4 - x - x2 + 6) con (x3 + x2 + x4 + 1)

ii. Resta de polinomios.

a) De (3a + 2b - c), restar (2a + 3b + c)

b) De (7x - 4y + 5z), restar (-7x + 4y - 6z) c) De (m + n - p), restar (-m - n + p)

d ) De (am + 2mn - b), restar (-7am - 3mn)

e) De (-2n - mn + 3m), restar (m + 2mn + n) f ) De (8a - 7b - 9c), restar (3b + 4a - 11c) g) De (x2 + 4x + 13), restar (-5x + 8 + x2)

h) De (2b2 + ab + a2), restar (b2 - 2ab)

i) De (x2 + 2x + 9), restar (-x2 + 4x - 5)

j) Restar (11 + a4 - 3a2) de (18 + 2a3 + 4a2) k) Restar (-x2 + 3x + 9x3) de (x3 + 6x + 9x2)

l ) Restar (2a + 3b + c + 8) de (3a + 2b - 5c) m) Restar (-7x + 4y - 6c) de (7x - 4y + 5c)

n) Restar (3x2 - 4x3 - 6x) de (7x3 - x4 + 6x)

o) Restar (a + 7b - 44c) de (4a - 7b + 33c) p) Restar (35cd - 3d) de (4d - 4a - 17cd)

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 47

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

iii. Combinación de suma y resta de polinomios.

a) (23x + 5xy - 17y) - (7xy - 9x + 5y) + (8y + 15x - 4xy) - (11x + 13y - xy)

b) (m + 2mn + n) + (-14n - 7mn + m) - (14m - 5n + 3mn) - (11mn - 7n + 8m) c) (4x3 + 8x + 14x2) + (9x2 + 4x - 5x3) - (-5x + 8x3 + x2) + (14x2 + 9x - 2x3)

d) (-9x2 + 8x + 13) - (x2 + 11x + 9) + (11x2 + 3x + 9x3) + (4x + 5 - 44x2)

e) (3x3 + 6x2 + 9x + 1) - (5x3 + 3x2 + 8x + 11) + (-5x3 + 6x2 + x + 9) - (12x3 + 7x2 + 3x + 8) 2 2 2 2 f ) De ⎡⎣( 5x + 4x + 3) - ( 3x - 6x - 9 ) ⎤⎦ , restar ⎡⎣( -9x - 5x + 7 ) + (8x + 2x + 11) ⎤⎦

g) De ⎡⎣(14m 2 - 15mn - 13n ) - (17m 2 + 14x + 23) ⎤⎦ , restar ⎡⎣(12m 2 - 18mn + 24n ) + ( m 2 + 2mn + n ) ⎤⎦ h) De ⎡⎣( a 2 - 4ab + 4b 2 ) - ( 2a 2 + 12ab + 9b 2 ) ⎤⎦ , restar ⎡⎣( a 2 - 2ab + b 2 ) - ( 25a 2 + 10ab + b 2 ) ⎤⎦ i) Restar ⎡⎣(17a 2 + 11b 2 ) - ( 2a 2 - 9b 2 ) + ( a 2 + 2b 2 ) ⎤⎦ de ⎡⎣( a 2 - 3b 2 ) + (8a 2 + 4b 2 ) - ( 7a 2 - 6b 2 ) ⎤⎦ j) Restar ⎡⎣( 2x 2 + 4 y ) - ( 5x 2 - 9y ) + ( x 2 + 5y ) ⎤⎦ de ⎡⎣(8x 2 + 9y ) - ( x 2 + 7y ) - ( 4x 2 - 10 y ) ⎤⎦ 7. Determina el resultado que se obtiene al efectuar los siguientes productos de monomios: a) (4x2)(25x)

b) (7ab2)(15a2b)

c) (5xy2z)(-3x2yz)(xyz2)

d ) (-4mn)(7m3n2)(-9m)

e) (2xy2)(-3xy2)(5xy2)

f ) (4xyz2)(-2x2yz)(xy2z)

g) (8an2)(-8an3)(8an)(8a3)

h) 5xy3 + 5x2y - 5xy2 - 5x3y

i ) (8a)(-9a)(4a)(6a)(-a) j ) (x2y2)(5x2y2)(8xy)(2xy)

k) (-3a2b2m2)(2n2)(-4x3)

l) (mnxyz2)(abmn2)(b2xyz)

m) (0.5x3y)(0.7xy3)(-0.2xy) 2 3 4 n) ⎛⎜ m 2 n ⎞⎟ ⎛⎜ m 2 n ⎞⎟ ⎛⎜ - m 2 n ⎞⎟ ⎠⎝3 ⎠⎝ 7 ⎠ ⎝5 1 o) (1.1xy 4 ) ( x 5 y ) ⎛⎜ x 3 y 3 ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 8. Determina el resultado que se obtiene al efectuar los productos indicados en cada literal. a) 7(m3 - n3 + 6m2n)

b) 8(-7x + 4y - 6z)

c) 5(x4y + x3y2 - 8x4y + 10x3y2 + 3x4y)

d ) 12(ax - 2by - 2bx - 6a + 3ay + 4b) 1 e) 3 ⎛⎜ - x 2 + 2abx 2 - 6ab + bx 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 f ) 4(am3 - 12amn - m2 + 3n)

g) 2(3a3 - 3a2b + 9ab2 - a2 + ab - 3b2)

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 48

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

h) 15(ax - 2by - 2bx - 6a + 3ay + 4b)

i) 25(x3 + 2axy + 2ay2 - 3xy2 - 2ax2 - 3x2) j )

1 (12a 2 - 18b 2 x + 30ax - 6ab 2 ) 6

k) 1.5(6ax2 - 3a2y2 + 2n2x - n2y2) 1 7 l ) ( -6 ) ⎛⎜ am 3 - m 2 - mn + 2an ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 6 m) (-2.3)(x - 0.7ax - y2 + 1.6ay) 2 n) ⎛⎜ - ⎞⎟ ( mx + nx - my - ny - 6mn - xy ) ⎝ 3⎠ 9. Resuelve los problemas correctamente. a) Don Samuel, un famoso carpintero y ebanista de Santa Ana, debe colocar un ventanal de vidrio con marco de madera en el Teatro Nacional de esta ciudad. La forma del ventanal y sus medidas se muestran en la siguiente imagen: 2x - y 6x + 3y

6x + 3y

5x - y

además, si se considera que los valores de x = 3.5 m y y = 3.0 m, determina: a) La expresión algebraica del perímetro de la ventana. b) La cantidad de metros de madera que don Samuel necesita para elaborar el marco de madera. c) Si cada metro de madera de cedro cuesta $12.50, ¿cuánto pagará en total por esa madera al aserradero?

b) Un nuevo complejo habitacional ubicado en Sonsonate tendrá viviendas con la distribución siguiente: 2x + 5

6 x+4

patio

casa

cochera

Determina: a) El perímetro total de la vivienda, considerando que x = 15. b) La expresión algebraica que representa el área del patio. c) El área del patio, si x = 15. d) La expresión algebraica que representa el área de la casa. e) Si x = 15, calcula el área de la casa. f ) Las dimensiones de la cochera, si x = 15.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 49

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

c) ¿Cuál es la expresión que determina el perímetro de cada una de las siguientes figuras? x+1

y b

b z

12 + 5a y 5a + 7

7a - 10

z w

12 + 15y p

y+3

3y + 5

p + 5q

a c-2

3p + 3q

d ) Un granjero desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto, de modo que no necesita cercar a lo largo del río. Identifica la expresión que representa la longitud del terreno que hay que cercar. a) 2(2x + 10) + 2(12x) b) 2(x + 15) + 2(12x) c) 2(2x + 10) + 2(x + 15) d) (2x + 10) + (x + 15) + 12x

Figura 1.8 Campo rectangular.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 50

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

e) La ganancia de una tienda, que vende muebles de oficina, se calcula restando los gastos de los ingresos. Si los gastos mensuales están dados por la expresión algebraica 6x2 - 20x - 4, y los ingresos por 8x2 - 23x + 35, determina el trinomio que representa la ganancia de la tienda. a) -2x2 + 3x - 39 b) 2x2 - 3x + 39 c) 14x2 - 43x + 31 d) 14x2 - 3x + 31

f ) Una piscina rectangular está rodeada por un pasillo enlozado de 1.50 m de ancho. Si la piscina es 10 m más larga que ancha, determina la expresión del área del rectángulo que delimita la piscina. a) x2 + 13x + 17.25 b) 6x2 + 39 c) x2 + 10x d) 3x + 17.25

g) Sea x el primero de tres números positivos cuya suma es igual a 40; si el segundo número es el doble del primero, determina la expresión algebraica que corresponde al producto de los tres números. a) 80x2 - 2x3 b) 3x - 40 c) 2x3 - 80x2 d) x2 + 2x + 40

h) Determina, ¿qué polinomio tienes que sumar con 3x2 - 2x - 3, para que la suma sea 5x2 - 6x? a) 2x2 + 8x + 3 b) 2x2 - 4x + 3 c) -2x2 + 4x - 3 d) x2 - 4x - 3 i ) Determina la expresión algebraica que resulta de sumar las áreas de las figuras siguientes: x

x 4

x x

x 3x

a) 3x2 + x2 + 4x b) 3x2 + 2x2 + 4x c) 5x2 + 4x d) 3x2 + x + 4 j ) Se le pide a Manuel que reste -5m2 + 7m - 2 de 3m2 - 9m + 3. A continuación, se muestra el desarrollo que realizó Manuel:

Paso 1

3m2 - 9m + 3 + 5m2 - 7m + 2

Paso 3

(3m2 - 9m + 3) - (-5m2 + 7m - 2)

Paso 2

Resta (-5m2 + 7m - 2) de (3m2 - 9m + 3)

(3 - 9)m2 + (5 - 7)m + (3 + 2)

Paso 4

-6m2 - 2m + 5

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 51

8/25/20 19:58

1 Unidad

Matemática 8

k) Reconoce, ¿en cuál paso Manuel cometió un error? a) En el paso 1 b) En el paso 2 c) En el paso 3 d) En el paso 4 l ) Calcula el perímetro de un rectángulo que tiene a)

1 5 5 m+ n+ 3 4 2

2 5 5 m- n3 4 2

2 5 5 m+ n+ 3 4 2

2 1 1 1 6 m + n - como base, y una altura de n + . 3 2 4 8 4

2 5 5 d) - m - n 3 4 2 m) La siguiente pieza (figura A) es utilizada en la industria. Se ha colocado m en las dimensiones de la pieza, ya que las medidas pueden variar en su construcción.

-1

3m Figura A

m m

4m - 1 Figura B

Si la pieza fuese hueca y se quisiera colocar piezas en su interior, de la forma y dimensiones que se indican en la figura B, determina la máxima cantidad de piezas que contendría la pieza de la figura A: a) 9, porque en la base contiene 5, luego 3 y, finalmente, 1. b) 4, porque en la base contiene 3, luego 1. c) 9, porque en cada vértice hay 1, en cada lado hay 1 y en el interior 3. d) 4, porque en cada vértice hay 1 y en el centro 1.

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 52

8/25/20 19:58

Operaciones

Unidad 1 algebraicas

n) De un pedazo de tela se desea cortar la cuarta parte para hacer un remiendo. Si las dimensiones de la tela son:

x-3

4x + 4

Determina ¿cuáles es el área de la tela restante?

o) Lucía juega tangram matemático, donde cada pieza tiene presentada su área con una expresión algebraica, como se muestra en la siguiente imagen: 2x

-3x + 1 x

6y - 2

2x 6y - 2 x+y

El objetivo de Lucía es calcular el área de todas las figuras posibles que se pueden formar, determina ¿cuál es el área de estas figuras?

M01 Matematica 8 00 SE HA XXXXX.indd 53

8/25/20 19:58

MATEMÁTICA 7, 8 y 9 PEARSON La serie Matemática 7, 8 y 9 de PEARSON, 2a Edición se adaptó de acuerdo al programa vigente del

MINEDUCYT

están

orientados

desarrollo de competencias bajo el enfoque de resolución de problemas. La serie Matemática 7, 8 y 9 de PEARSON, 2a Edición se adaptó de acuerdo al programa vigente del MINEDUCYT y están orientados al desarrollo de competencias bajo el enfoque de resolución de problemas.

Ésta obra, además, responde a las exigencias actuales aportando recursos valiosos e indispensables en los procesos educativos que se desarrollan en el aula y de manera virtual tanto para los docentes, como para los estudiantes, recursos como: 1.

Planificación Didáctica.

2. Banco de reactivos de ítems compatibles Esta serie también está disponible en versión impresa y digital- e-Book, contáctanos a través de nuestros representantes:

diversas

virtuales

plataformas

-LMS

(Moodle,

Schoology,

compatible con Word) 3. Videos

tutoriales

explicativos

para

retroalimentar

los

Lic. Carlos Mejía

consolidar

e-mail: carlos.mejia@pearson.com

conocimientos adquiridos.

(+503 )7729 7962

educativas

Matemática 8- U1 - Pearson / 2020 Operaciones algebraicas MUESTRA DE BANCO DE REACTIVOS DE ÍTEMS PARA DOCENTES MULTIPLE CHOICE 1

En el laboratorio de ciencias de una escuela se realizan diversas prácticas sobre el estudio del movimientos de los cuerpos. Una de esas practicas de laboratorio requiere el uso de planos inclinados en los que se deja rodar un carro o una esfera, el plano inclinado que se utiliza se muestra a continuación:

Efraín el profesor de Ciencias Físicas, le encarga a un carpintero que elabore estos planos inclinados. Reconoce que debe realizar el carpintero para que logre construir una de estas piezas. A A una pieza de dimensiones (2x  5) (2x) (3x) quitarle un pedazo de dimensiones (x) (x) (2x  5) B Ensamblar 5 piezas iguales, de dimensiones (x) (x) (2x  5) C ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de (2x) (2x  5) y otra de dimensiones (x) (x) (2x  5) D ensamblar tres piezas, dos de éstas iguales cuyas dimensiones corresponden a (2x) (x) y la otra de (3x) (2x) (2x  5) ANS: A PTS: 1 DIF: Medio. NAT: Aplicación de la Matemática al entorno. LOC: Reconocer TOP: Operaciones combinadas

STA: Integración en el Medio.

En la clase de matemática de octavo grado se están estudiando los cuerpos geométricos y para ello utilizan el modelo didáctico de un prisma triangular, como se muestra en la siguiente imagen:

Si la pieza fuese hueca y se quisieran colocar piezas en su interior de la forma y dimensiones que se indican en la siguiente figura:

Determina la cantidad máxima de piezas de la figura 2 que puede contener el prisma triangular de la figura 1. A 9, porque en la base contiene 5, luego 3 y finalmente 1 B 4, porque en la base contiene 3, luego 1 C 9, porque en cada vértice hay 1, en cada lado hay 1 y en el interior 3 D 4, porque en cada vértice hay 1 y en el centro 1 ANS: A PTS: 1 DIF: Medio. NAT: Aplicación de la Matemática al entorno. STA: Integración en el Medio. LOC: Determinar TOP: División de un monomio entre un Monomio 3

Determina el resultado que se obtiene al sumar 4x 3  6x 2  2x  3 con 3x 3  3x 2  5x  5. A B

7x 3  3x 2  3x  8 7x 3  3x 2  7x  2

C D

7x 3  9x 2  3x  8 7x 6  9x 4  3x 2  8

ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Suma y resta de polinomios 4

Reconoce el resultado correcto que se obtiene cuando se resta 2x 2  3xy  6 de x 2  7xy  2? A B

x 2  10xy  8 x 2  10xy  8

C D

x 2  4xy  4 x 2  4xy  4

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios

Determina el resultado que se obtiene cuando se resta 5x  4y de 5x  4y. A 0 C 8y B D 8y 10x ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Suma y resta de polinomios

Determina el resultado que se obtiene al sumar 3x 2  7x  9 con 5x 2  6x  4. A B

8x 2  x  5 8x 4  x  5

C D

8x 2  13x  13 8x 4  13x 2  13

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Suma y resta de polinomios 7

Reconoce que cuando se resta 8x 2  3x  2 de 9x 2  3x  4, el resultado es: A B

x2  2 17x 2  2

C D

x 2  6x  6 x 2  6x  6

ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 8

Reconoce el resultado que se obtiene al sumar 3x 2  5x  6 con x 2  3x  9. A B

2x 2  8x  15 2x 2  8x  3

C D

2x 4  8x 2  3 4x 2  2x  15

ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 9

Reconoce que cuando se resta 2x 2  3x  2 de 4x 2  5x  2, el resultado es: A B

2x 2  2x 2x 2  2x

C D

2x 2  8x  4 2x 2  8x  4

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 10

Reconoce el resultado que se obtiene al sumar 8n 2  3n  10 con 3n 2  6n  7 . A B

5n 2  9n  3 5n 2  3n  17

C D

11n 2  9n  17 11n 2  3n  3

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios

Reconoce el resultado de restar 4x 2  17x  36 de 2x 2  5x  25. A B

6x 2  22x  61 2x 2  12x  11

C D

2x 2  22x  61 2x 2  12x  11

ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 12

Alfredo tiene tres hijos cuyas edades son enteros impares consecutivos. Sí x representa la edad del niño más pequeño, determina ¿qué expresión representa la suma de las edades de sus hijos? A 3x  3 C 3x  5 3x  4 B D 3x  6 ANS: D x  x  2  x  4  3x  6 PTS: 1 DIF: Medio. STA: Integración en el Medio. TOP: Álgebra, notación y nomenclatura

NAT: Aplicación de la Matemática al entorno. LOC: Determinar

Reconoce el resultado de restar 6x 2  4x  3 de 3x 2  2x  3. A B

3x 2  2x 3x 2  2x

C D

3x 2  6x  6 3x 2  6x  6

ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 14

Reconoce ¿cuál es el resultado cuando se resta 6x 2  13x  12 de 3x 2  6x  7? A B

3x 2  7x  19 9x 2  19x  5

C D

9x 2  7x  19 9x 2  19x  5

ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Suma y resta de polinomios 15

Determina ¿cuál es el perímetro de un pentágono regular con un lado cuya longitud es x  4 ? A B

x 2  16 4x  16

C D

5x  4 5x  20

ANS: D 5(x  4)  5x  20 PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Multiplicación de un polinomio por un número entero, racional y decimal

Reconoce ¿cuál es el resultado cuando se resta A B

1  x2  x  2 4 1 2 x x2 4

7 2 3 5 2 1 x  x de x  x  2? 8 4 8 4 1 2 1  x  x2 C 4 2 1 2 1 x  x2 D 4 2

ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 17

Reconoce ¿cuál es el resultado cuando se resta 4x 2  7x  5 de 9x 2  2x  3? A B

5x 2  5x  2 5x 2  9x  8

C D

5x 2  5x  2 5x 2  9x  8

ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 18

Reconoce ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la que se muestra a continuación?  5w  6x  3y    3w  8x  y      A B

8w  14x  4y 8w  2x  2y

C D

8w  14x  2y 8w  2x  3y

ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 19

Sí P  a 2  a  1 y R  a  1 , reconoce ¿qué expresión representa P  R ? A B

a2  2 a2  2

C D

a 2  2a a 2  2a  2

ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios 20

Identifica ¿cuál de las siguientes expresiones es un trinomio? A B

4x 3 7x  12

ANS: D PTS: 1 NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Identificar

C D

3x 3  3x 2 5x 3  3x 2  11

DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

Determina el cociente de: A B

2x 2  4x  5 2x 2  4x  10

ANS: NAT: LOC: TOP: 22

4x 3  8x 2  10x 2x C D

8x 3  4x 2  5 8x 4  16x 3  10x 2

A PTS: 1 DIF: Básico. Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. Determinar División de un monomio entre un monomio y de un polinomio entre un monomio

Reconoce que literal muestra al polinomio 6x 4  6x  5x 9  2, escrito de tal manera que los exponentes disminuyan de izquierda a derecha. A B

5x 9  6x 4  6x  2 2  5x 9  6x  6x 4

C D

5x 9  6x 4  6x  2 2  5x 9  6x  6x 4

ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Álgebra, notación y nomenclatura 23

Determina ¿cuál es el grado del polinomio: 4x 6  2x 5  6? A 6 C 1 B 11 D 4 ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Álgebra, notación y nomenclatura

Reconoce ¿cuál de las siguientes expresiones NO es un polinomio? A

6h 4  h 2  5h  5

1 4 h5 h  5 6

h6  h5 h6  5

h 4 6 h 5

ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Álgebra, notación y nomenclatura 25

    Determina el resultado que se obtiene al efectuar:  2a 7  3a 3  6    2a 3  4  6a 7      7 3 7 3 a  8a  2 A 8a  a  2 C 7 3 7 3 a  8a  2 B D 8a  a  2 ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Suma y resta de polinomios

      Reconoce el resultado que se obtiene al efectuar:  7u 4  6    3u 2  2    9u 4  u 2        4 2 4 2 16u  4u  4 A 4u  16u  4 C 4 2 2 4 16u  4u  4 B D 16u  4u  4 ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios

Determina el resultado correcto de efectuar la siguiente resta de polinomios:  3     6b  3b 2  8    2b 3  8b 2  6b  5      3 2 11b 3  4b 2  6b  3 A 4b  11b  6b  13 C 3 2 4b 3  11b 2  6b  13 B D 11b  4b  6b  3 ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Suma y resta de polinomios

Determina el resultado correcto de efectuar la siguiente resta de polinomios:      2x 6  6x 4  7    9x 6  2x 4  5      6 4 6 4 11x  8x  12 A 11x  8x  12 C 6 4 6 4 7x  4x  2 B D 7x  4x  2 ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Suma y resta de polinomios

Determina ¿cuál es el producto que se obtiene al multiplicar: x  4 x  5 ? A B

x 2  9x  20 x 2  9x  20

C D

x 2  9x  20 x 2  9x  20

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Multiplicación de monomio por monomio y monomio por polinomio 30

  Reconoce ¿cuál es el producto que se obtiene al multiplicar: x  5   x 2  2x  3  ?   3 2 3 2 x  3x  10x  15 A x  3x  7x  15 C 3 2 2 x  2x  15 B D x  3x  15 ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Multiplicación de monomio por monomio y monomio por polinomio

  Determina ¿cuál es el producto que se obtiene al multiplicar: x  7   x 2  4x  2  ?   3 2 3 2 x  3x  30x  14 A x  3x  26x  14 C 3 2 3 2 x  11x  26x  14 B D x  11x  30x  14 ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Multiplicación de monomio por monomio y monomio por polinomio

  Determina ¿cuál es el producto que se obtiene al multiplicar:  6y 2  3y  2   y  7  ?   3 2 6y 3  39y 2  21y  14 A 6y  39y  19y  14 C B

6y 3  45y 2  19y  14

6y 3  45y 2  21y  14

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Multiplicación de monomio por monomio y monomio por polinomio 33

Reconoce que literal muestra la expresión correcta que representa el área del rectángulo que se muestra en la siguiente imagen:

A B

m  1 m  3 3 m  1

C D

m  3 m  1 m 3m

ANS: C PTS: 1 DIF: Medio. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Aplicaciones de las expresiones algebraicas. 34

Un rectángulo tiene una longitud x  7 y un ancho de x  3 . Reconoce el literal que muestra la expresión que describe el área, A, del rectángulo en términos de x . A  x 2  4x  21 A  2x  4 A C A  x 2  10x  21 A  2x  10 B D ANS: C PTS: 1 DIF: Medio. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Aplicaciones de las expresiones algebraicas.

Determina ¿cuál es el producto que se obtiene al multiplicar: 9c  1 9c  1 ? A B

81c 2  18c  1 81c 2  18c  1

C D

81c 2  1 81c 2  1

ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Multiplicación de monomio por monomio y monomio por polinomio 36

Reconoce ¿cuál de los siguientes literales muestra el resultado que se obtiene al sumar:  7x 3  3x 2  5x  5    5x 2  8x  3       3 2 10x 3  3x 2  3x  8 A 7x  2x  3x  8 C 3 2 7x 3  11x 2  5x  8 B D 12x  2x  3x  8 ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios

Determina ¿qué literal muestra el trinomio que representa el área del triángulo que se muestra en la siguiente imagen?

A B

1 x  10 2 x 2  3x  10 x2 

2x 2  6x  20

2x 2  x  20

ANS: B PTS: 1 DIF: Medio. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Multiplicación de monomio por monomio y monomio por polinomio 38

Reconoce el resultado que se obtiene al realizar la siguiente operación:

m 4  3m 2  5m  3 7m A B

m 4  3m 2  35m  21 m 4  3m 2  26m

C D

m 4  32m 2  21m m 4  38m 2  21m

ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Suma y resta de polinomios