MATEMATICA 9 by EDUCACION

Matemรกtica

Carlos Eduardo Francia Lรณpez Coordinador

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Datos de catalogación Francia López, Carlos Eduardo; Aguilar Márquez, Arturo; Bravo Vázquez, Fabián Valapai; Gallegos Ruiz, Herman Aurelio; Cerón Villegas, Miguel; Reyes Figueroa, Ricardo; Lizama Ayala, Rafael; Pineda Mira, José Alfredo; Allen R., Ángel; Miller, Charles; Heeren, Vern y Hornsby, John Matemática 8 Primera edición Pearson Educación de México, S.A. de C.V., 2021 ISBN: 978-607-32-XXXX-X Área: Custom Formato: 21

27 cm

Páginas: 360

Matemática 8

Este libro es un proyecto revisado por un equipo de profesionales quienes cuidaron que cumpliera con los lineamientos y estándares establecidos por Pearson Educación. Pearson Educación en su misión de divulgar el conocimiento científico y tecnológico en México con obras como este ejemplar, informa a la comunidad científica que cuenta con su prerregistro al RENIECYT No. CVU 892558. Gerencia de contenidos e innovación educativa: Jorge Luis Íñiguez ■ Coordinadora de desarrollo de contenidos: Berenice Torruco ■ Especialista en contenidos de aprendizaje: Ma. Elena Zahar ■ Editor especialista en desarrollo de contenidos: Arturo González Maya ■ Corrección de estilo: María Luisa Román ■ Coordinadora de arte y diseño: Mónica Galván ■ Gestor de arte y diseño: José Hernández Garduño ■ Lectura de pruebas: Guillermo González ■ Diseño de portada: Mariana Romero ■ Iconografía: Rigoberto Muñoz ■ Composición y diagramación: FOCA Grupo Editorial. Contacto: soporte@pearson.com Primera edición, 2021 ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-XXXX-X ISBN E-BOOK: 978-607-32-XXXX-X

D.R. © 2021 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Avenida Antonio Dovalí Jaime Núm. 70, Torre B, Piso 6, Colonia Zedec Ed. Plaza Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón, Ciudad de México, C. P. 01210

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Introducción Con profunda satisfacción presentamos la nueva edición de la serie Matemática 7, 8 y 9, libros de texto que tienen como principal propósito orientar a desarrollar en el estudiante las competencias: “razonamiento lógico matemático, comunicación con lenguaje matemático y aplicación de la matemática al entorno”. La serie Matemática 7, 8 y 9 fomenta el desarrollo de las capacidades y destrezas que requieren los estudiantes para plantear y resolver los problemas de su contexto, de la realidad y de su vida cotidiana, dando entonces paso a la aplicación del enfoque de la asignatura la “Resolución de problemas”, problemas que se van estructurando de forma gradual y sistemática mediante la interacción de planteamientos cotidianos que permitan el desarrollo del pensamiento matemático y de la cultura científica para comprender y actuar en el mundo. La obra se distribuye en ocho unidades, cada una de ellas inicia con una revisión de conocimientos previos, para generar conflicto entre lo que el estudiante sabe y las competencias y destrezas que debe desarrollar en la unidad. Algunos párrafos y ejemplos invitan al estudiante a completarlos, para inducir el aprender haciendo y a cultivar el nuevo modelo “aprender a aprender”, con el objetivo de poner en práctica la construcción del propio aprendizaje, es decir, formación de individuos capaces de aprender de manera autónoma. Además, esta nueva serie plantea desde el inicio las destrezas propias del área de la matemática a desarrollar, destrezas que permiten a los estudiantes apropiarse de los conocimientos y habilidades, las cuales, además, facilitan a los docentes verificar el alcance de los indicadores de logro que, por cierto, pueden ser adquiridos de forma individual y grupal mediante diversas metodologías, incluidos los procesos de retroalimentación que, de forma opcional y con el uso de las TIC, se proponen en códigos QR de consulta en cada una de las unidades y que se encuentran en diversos apartados, como: ejercicios conceptuales, ejemplos, ejercicios y problemas, los cuales llevan a recursos visuales, complementarios y enriquecedores de los aprendizajes de los estudiantes. Finalmente, esperamos que la obra sirva de apoyo a los maestros, maestras y estudiantes en el proceso educativo y en el desarrollo de las competencias matemáticas y, por ende, contribuya a una mejor educación donde se logre construir una mejor sociedad y más humana.

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Prefacio En esta nueva edición de Matemática 7, 8 y 9 se desarrolla la Competencia matemática, la cual consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la cotidianidad y con el mundo laboral. En el caso del área de Matemática, tiene como finalidad la aplicación práctica la resolución de problemas de la vida cotidiana, siendo este último el proceso a partir del cual se formula el enfoque de la asignatura, en este sentido los aprendizajes se vuelven significativos desde el momento que son para la vida. El desarrollo de las competencias —macro capacidades— explicitadas para cada grado involucran los procesos de: razonamiento lógico matemático, comunicación con lenguaje matemático y aplicación de la matemática al entorno. • Razonamiento lógico matemático Capacidad para identificar, uso adecuado de estrategias, interpretación de la información, comprensión de procedimientos, algoritmos y relación de conceptos para la resolución de problemas y aplicaciones. • Comunicación con lenguaje matemático Análisis y argumentación en la interpretación del lenguaje simbólico y formal en la matemática. Capacidad de expresarse, tanto de forma oral como escrita o gráfica sobre asuntos de contenido matemático y comprender las afirmaciones de los demás sobre los mismos temas que permiten la transmisión y recepción de códigos relacionados con la matemática. • Aplicación de la matemática al entorno Capacidad de interactuar con el entorno y en él, apoyándose en sus conocimientos y habilidades numéricas que permitan resolver problemáticas humanas desde la perspectiva matemática. Atendiendo a la finalidad del proceso, las competencias y capacidades son fines que se desean conseguir y se desarrollan de manera indirecta a través de las destrezas y actitudes, es decir, son pasos intermedios de una complejidad menor para conseguir este fin. Destreza: Es una habilidad específica que utiliza o puede utilizar un estudiante para aprender, su componente principal también es cognitivo. Al igual que la capacidad expresa el potencial o aptitud que posee una persona para realizar acciones específicas de manera flexible, eficaz y con sentido. La nueva edición de la serie de Matemática: 7, 8 y 9 de Pearson, propone el desarrollo de capacidades y destrezas para el área de Matemáticas en Tercer Ciclo de Educación Básica e íntimamente desarrollada con el nuevo enfoque por competencias.

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PANEL DE DESTREZAS Y SUS DEFINICIONES —MATEMÁTICA 7, 8 y 9— PEARSON Analizar: Habilidad específica para separar las partes esenciales de un todo, a fin de llegar a conocer sus principios y elementos y las relaciones entre las partes que forman el todo.

Dibujar: Es una habilidad específica para delinear y sombrear una figura o imagen en una superficie —papel o en un medio físico o digital. – Los conceptos se representan. – Los objetos-cosas se dibujan.

Leer: Es sinónimo de descifrar o decodificar para comprender el sentido de cualquier representación gráfica. Es una habilidad específica a través de la cual se descifra un texto escrito.

Calcular: Habilidad específica para aplicar un algoritmo a fin de obtener un resultado.

Graficar: Representar información utilizando imágenes.

Manipular-utilizar: Operar manualmente un objeto, estructura, instrumentos o equipo.

Codificar-decodificar-recodificar: – Expresarse e interpretar el contenido a través de un lenguaje de signos o símbolos. – Transferir una información expresada en un código, a un código de otro tipo (en simbología y/o signos).

Representar gráficamente: Es una habilidad específica para simbolizar o dibujar una información mediante signos, símbolos, gráficos, diagramas, esquemas, material concreto, etcétera. (Los conceptos se representan; los objetos se dibujan).

Resolver problemas: Resolver un problema es “encontrar una acción o acciones apropiadas para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma inmediata”. (G. Pólya) La solución se obtiene a través de métodos científicos, cuantitativos o cualitativos.

Expresar(se): Es una habilidad específica para darse a entender o dar a conocer ideas, pensamientos, sentimientos, emociones, etc., utilizando lenguaje verbal (oral o escrito), gráfico, simbólico, plástico, corporal, musical, etcétera.

Explicar: Es dar a conocer, exponiendo lo que uno piensa sobre una información, un tema, etc., empleando un vocabulario adecuado para hacerlo claro, utilizando los medios pertinentes. Está relacionada con exponer.

Identificar-reconocer: Es reconocer las características esenciales de objetos, hechos, fenómenos, personajes, etc., que hacen que sean lo que son. Identificar = reconocer. Para identificar hay que conocer previamente.

Relacionar-asociar: Establecer conexiones, vínculos o correspondencias entre objetos, conceptos e ideas, con base en algún criterio lógico.

Indagar-investigar: Es averiguar algo acerca de un tema específico. Realizar actividades intelectuales o experimentales con el propósito de incrementar los conocimientos sobre un determinado tema.

Aplicar: Usar el conocimiento mediante la utilización de procedimientos, algoritmos, teorías, conceptos, leyes o herramientas, etc., diversas, para explicar, realizar o solucionar una situación problemática.

Localizar-ubicar: Determinar el emplazamiento de alguien o algo. Ubicar-situar hechos y fenómenos en el espacio y tiempo, utilizando instrumentos gráficos adecuados. En el espacio: ¿Dónde está, o dónde sucedió? En el tiempo: ¿Cuándo sucedió?

Interpretar: Atribuir significado o sentido a determinada información, sea texto, dibujos, signos-símbolos, huellas, expresiones artísticas, etc. Es una habilidad específica para atribuir significado a lo que se percibe en función de las experiencias y conocimientos que se poseen.

Determinar: Establecer un tipo de dato o información, así como fijar o clarificar los elementos de una situación, cosa o evento. Llegar a saber algo a partir de los datos que se poseen. “Determinar el volumen de un cuerpo”. “Determinar los resultados de …”.

Fuente: Adaptada de Latorre Ariño, M. y Seco del Pozo, C. (2015, 2a. ed.). Diseño curricular nuevo para una nueva sociedad —Educación Secundaria.

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enfoque por competencias Comprendiendo las destrezas Ejemplos • Identifica los cuerpos geométricos por medio de la manipulación de objetos, previamente seleccionados por el docente, y cuida de ellos. • Si la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 5 y 3 m, calcula el área de dicho triángulo y su perímetro. • Aplica correctamente el teorema de Pitágoras para hallar la expresión del valor del lado de un rombo en función del valor de sus diagonales D y d. d

D D d

• Decodifica la siguiente expresión matemática mediante el uso del lenguaje verbal ante tus compañeros y compañeras de clase; muestra seguridad. Decodifica la expresión: Q = {x/x H N, 4 6 x … 7} • Codifica la siguiente expresión y aplica el algoritmo correspondiente para calcular el dato que se te solicita: El largo de un rectángulo mide diez metros más que el doble de su ancho y su perímetro mide 164 metros. ¿Cuáles son sus dimensiones? • Representa los siguientes datos estadísticos mediante un diagrama de barras. En una clase de 50 alumnos, 25% usan gafas, 40% son mujeres, 60% son hombres y 30% poseen cabello claro.

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enfoque por competencias • Representa en los ejes cartesianos el sistema de ecuaciones lineales que se muestra a continuación:

{

-3x - 4y = 12 12x - 10y = 5 y 6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

6 x

–2 –3 –4 –5 –6

• Dibuja los siguientes cuerpos geométricos: rectángulo, triángulo rectángulo, cubo, pirámide y un triángulo equilátero. • Expresa en notación científica las siguiente cantidades: ✓ Distancia de la Tierra al Sol = 150 000 000 km = 0 km 000 00 d = 150

✓ Población mundial en el año 2018 = 7 450 000 000 habitantes =

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enfoque por competencias • Resuelve los problemas que a continuación se plantean: 1. El doble de la edad de Juan, aumentada en el triple de la misma es igual a 50 años. ¿Qué edad tiene Juan? – – – – –

Identifica la incógnita para la edad: z Escribe el doble de la edad: 2z Escribe el triple de la edad: 3z Plantea la ecuación: 2z + 3z = 50 Resuelve, aplicando las técnicas y propiedades estudiadas. El resultado es 10 años.

2. Una cancha de futbol soccer posee un perímetro de 300 metros y su largo mide 40 metros más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de esta cancha? – – – –

Elabora un esquema de la cancha, puede ser un rectángulo. Identifica con incógnitas el largo y el ancho. Escribe la ecuación del perímetro utilizando la información y las incógnitas. Resuelve la ecuación. x 678 678 y

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enfoque por competencias 3. Don Arturo tiene una pastelería y sabe que para hacer un pastel de fresas para 8 personas utiliza 2 kg de azúcar, ¿qué cantidad de azúcar utilizará si le encargan un pastel, también de fresas, que alcance para 24 personas?

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enfoque por competencias 4. El señor Pineda, un reconocido ganadero de Metapán, construirá alrededor de un terreno con área de forma irregular una cerca de 5 filas de alambre de púas. Terreno del ganadero Pineda 224.29 m 367.25 m

313.07 m

413.12 m

Cerca de alambre de púas

El ganadero Pineda piensa comprar rollos de alambre de púas, de 1 380 metros lineales de alambre, y 500 metros lineales adicionales de alambre para construir un portón para la cerca. Calcula el número total de rollos de alambre de púas que se necesitarán. 5. Juan desea vender 50 sorbetes (conos elaborados con harina y azúcar, que se llenan y cubren completamente con un hemisferio de hielo raspado) de diámetro interior, tanto del cono como del hemisferio, de 8.3 centímetros y altura del cono de 10.2 centímetros, con una densidad deseada de hielo raspado de 0.697 g/cm3 y el costo, por kilogramo de hielo, de $3.83.

8.3 cm

10.2 cm

Compet Juan debe determinar el costo del hielo necesario para elaborar 50 conos con sorbete.

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enfoque por competencias 6. Un propietario quiere aumentar el tamaño de una terraza de forma rectangular que ahora mide 15 por 20 metros, pero las leyes del Código de construcción reglamentan que un propietario no puede tener un área construida mayor que 900 metros cuadrados.

15 m

20 m

Si la longitud y el ancho de la terraza se van a aumentar en la misma cantidad, determina el número máximo de metros que la longitud de la terraza puede aumentar en tamaño legalmente.

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UNIDAD

Producto de polinomios y factorización

• Determina el desarrollo del producto de un binomio por un trinomio. • Desarrolla el producto de un trinomio por un trinomio. • Desarrolla el producto de un polinomio, utilizando lo visto en clases anteriores. • Determina productos de la forma (x + a)(x + b). • Justifica, geométricamente, el desarrollo del cuadrado de la suma. • Determina el desarrollo del cuadrado de la resta. • Desarrolla la suma por la diferencia de binomios. • Multiplica polinomios utilizando sustitución de variables. • Multiplica polinomios utilizando combinación de productos notables. • Desarrolla el cuadrado de un trinomio. • Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas y de operaciones aritméticas, utilizando productos notables. • Realiza operaciones utilizando productos notables. • Relaciona la factorización como proceso inverso de la multiplicación de polinomios. • Factoriza polinomios cuyo factor común es un monomio. • Factoriza polinomios de la forma x2 + (a + b)x + ab, en el producto notable (x + a)(x + b). • Factoriza trinomios cuadrados perfectos, en el producto notable (x + a)2 o (x - a)2. • Factoriza la diferencia de cuadrados, como el producto notable (x + a)(x - a). • Utiliza el cambio de variable por un monomio, para factorizar polinomios. • Utiliza el cambio de variable por un binomio, para factorizar polinomios. • Factoriza polinomios extrayendo factor común y utilizando productos notables. • Factoriza polinomios que impliquen combinaciones de los métodos vistos en clases anteriores. • Calcula operaciones aritméticas y áreas de regiones, utilizando factorización. • Utiliza factorización para resolver problemas.

COMPETENCIA DE LA UNIDAD • Adquirir habilidades para el dominio del álgebra elemental, a través de los procesos de multiplicación y factorización de polinomios; apoyándose en justificaciones geométricas que faciliten su visualización, para resolver problemas matemáticos y de su entorno.

Contenido 1.1 1.2 1.3 1.4

Multiplicación de polinomios Productos notables División de polinomios Factorización de un polinomio o descomposición en factores de un polinomio 1.5 Formas de factorización

Tiempo asignado para la unidad • 29 horas

Competencias a desarrollar • Razonamiento lógico matemático. • Comunicación con lenguaje matemático. • Aplicación de la matemática al entorno.

INDICADORES DE LOGRO • Desarrolla el producto de un monomio por un binomio. • Determina el desarrollo del producto de un binomio por un binomio, que involucre el signo positivo. • Desarrolla el producto de un binomio por un binomio, que involucre el signo positivo y el negativo.

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E V A L U A C I Ó N

D I A G N Ó S T I C A

Las matemáticas en la vida

En la vida cotidiana existen muchas situaciones a las que nos enfrentamos donde se requieren modelos algebraicos para solventarlas. Un ejemplo de estas situaciones es el clima. Cuando la temperatura comienza a ascender y tenemos la necesidad de comprar un aparato de aire acondicionado, generalmente nos enfocamos en encontrar promociones y ofertas variadas cuando, en realidad, lo primero que debemos evaluar para realizar la compra, por ejemplo, de un aparato del tipo “Split”, es la cantidad de energía BTU que necesitamos (frigorías); dato que depende totalmente del tamaño del espacio a refrigerar, de las ventanas y de otros factores más a considerar. En esta unidad, estudiaremos contenidos que nos prepararán para adquirir la capacidad de desarrollar el equipamiento de una habitación en nuestra casa o de nuestra institución educativa. Para realizar estas estimaciones o cálculos se utiliza un polinomio que modela el volumen de dicho salón y que proporcionará las dimensiones de éste; se hace uso de una técnica de factorización, para luego determinar el número de equipos necesarios para enfriar adecuadamente, sin sobrecarga ni sobrealimentación del espacio. El modelo algebraico, expresado mediante un polinomio, nos ayuda a determinar las dimensiones y el volumen del espacio físico a acondicionar. Observa la imagen de la distribución de la bodega de un restaurante famoso en El Salvador.

Si la bodega del restaurante está dividida como se muestra en la imagen donde, además, se expresan los espacios físicos (volumen) de cada sector, determina:

a) ¿Cuál es la medida del espacio total ocupado por los mariscos, nevera y carne? b) ¿Cuál es la medida total del espacio ocupado por los pasillos, nevera, mariscos y carne en la bodega? c) Si los vinos deben estar a una temperatura diferente a los otros sectores, determina la expresión factorizada de la medida del espacio (volumen) que enfría el sistema de aire acondicionado. Estas y otras aplicaciones en la resolución de problemas se irán fundamentando a medida que avancemos en el desarrollo de las competencias y destrezas, por medio de los contenidos de esta unidad.

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UNIDAD MATEMÁTICA 9

E V A L U A C I Ó N

D I A G N Ó S T I C A

Subraya la respuesta correcta:

7 Reconoce el resultado que se obtiene al reducir términos semejantes en la expresión: 2x + 5y + 7x - 2y - 6x a) x + 3y b) 2x + 3y c) 3x + 3y d) 3x + 7y

1 Al efectuar el producto a(b + c), reconoce que se aplica la propiedad de los números reales llamada: a) propiedad conmutativa para el producto b) propiedad asociativa para el producto c) propiedad distributiva d) propiedad de cierre

8 Determina el resultado correcto de efectuar el producto de (-2x)(3xy)(-4y). a) 24x2y2 b) -24xy2 c) 24x2y d) -24x2y2

2 Identiﬁca qué inciso contiene la acción que se debe realizar con los exponentes de dos potencias de la misma base cuando éstas se multiplican. a) se multiplican b) se suman c) se restan d) no se hace nada

9 Reconoce que el binomio 18ab + 12ac puede expresarse como el producto representado en el inciso: a) 6(3b + 2c) b) 12a(3b + 2c) c) 6a(3b + 2c) d) 6a(2b + 3c)

3 Determina el máximo común divisor de 24, 36 y 60. a) 240 b) 144 c) 24 d) 12

10 Determina el área del cuadrado que se muestra en la siguiente figura:

4 Determina el resultado que se obtiene al multiplicar 4x2y por -3xy: a) 12x2y2 b) -12x3y2 c) -12x2y2 d) 12x3y2

(2x - 3)u

5 Reconoce que al descomponer 24, en factores primos, se obtiene: a) 2, 2, 2, 3 b) 4, 6 c) 3, 8 d) 2, 12

(2x - 3)u

a) b) c) d)

(4x2 (4x2 (4x2 + (4x2 -

9)u2 6x + 9)u2 12x + 9)u2 12x + 9)u2

6 Determina el resultado que se obtiene al efectuar el producto de 3xy por 4x - 5y. a) 27x2y2 b) -x2y2 c) 12x2y + 15xy2 d) 12x2y - 15xy2

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

1.1 Multiplicación de polinomios 1.1.1 Multiplicación de un monomio por otro monomio Para multiplicar dos monomios, multiplicamos sus coeficientes y empleamos la propiedad del producto de los exponentes para determinar los exponentes de las variables.

EJEMPLOS

Multiplicar.

1. (4x 2)(5x 5)

2. (-6y 4)(8y 7) https://youtu.be/6Mu5sCr3Zcs

Solución 1. (4x 2)(5x 5) = (4)(5)(x 2)(x 5) = 20x 2 + 5 = 20x 7

2. (-6y 4)(8y 7) = (-6)(8)(y 4)(y 7) = -48y 4 + 7 = -48y 11

Multiplicar (6x 2y)(7x 5y 4). Solución Recuerda que cuando una variable no tiene exponentes, suponemos que el exponente es 1. (6x 2y)(7x 5y 4) = 42x 2 + 5y 1 + 4 = 42x 7y 5

Multiplicar.

1. 6xy 2z 5(-3x 4y 7z)

2. (-4x 4z 9)(-3xy 7z 3)

Completa la solución

https://youtu.be/7usppNxgBME

1. 6xy 2z 5(-3x 4y 7z) =

2. (-4x 4z 9)(-3xy 7z 3) =

1.1.2 Multiplicación de un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio se emplea la propiedad distributiva del producto sobre la suma. a(b + c) = ab + ac Se puede extender la propiedad distributiva como sigue: a(b + c + d + Á + n) = ab + ac + ad + Á + an

EJEMPLO

Multiplicar 3x(2x 2 + 4). Solución

3x(2x 2 + 4) = (3x)(2x 2) + (3x)(4)

= 6x 3 + 12x

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1 Unidad

Matemática 9

Observa que el uso de la propiedad distributiva da como resultado monomios multiplicados por monomios. Si estudias el ejemplo 4, verás que tanto 3x como 2x 2 son monomios, al igual que 3x y 4.

EJEMPLOS

Multiplicar -3n(4n 2 - 2n - 1). Solución -3n(4n 2 - 2n - 1) = (-3n)(4n 2) + (-3n)(-2n) + (-3n)(-1)

= -12n 3 + 6n 2 + 3n

https://youtu.be/Jouo--pA1GA

Multiplicar 5x 2(4x 3 - 2x + 7). Completa la solución 5x 2(4x 3 - 2x + 7) = (5x 2)(4x 3) + (5x 2)(-2x) + (5x 2)(7)

Multiplicar 2x(3x 2y - 6xy + 5). Completa la solución

En el ejemplo 8 se realiza una multiplicación en la que se coloca el monomio a la derecha del polinomio. Se multiplica cada término del polinomio por el monomio, como puedes observar en el ejemplo.

EJEMPLO

Multiplicar (3x 3 - 2xy + 3)4x. Solución

(3x 3 - 2xy + 3)4x = (3x 3)(4x) + (-2xy)(4x) + (3)(4x) = 12x 4 - 8x 2y + 12x

El problema del ejemplo 8 se escribió como 4x(3x 2 - 2xy + 3), según la propiedad conmutativa de la multiplicación y después se simplificó como en los ejemplos 4 a 7.

1.1.3 Multiplicación de polinomio por polinomio A continuación, estudiarás la multiplicación de un polinomio por otro. Antes de explicarla, considera el problema de multiplicar (43)(12). 43 — Factor 12 — Factor

2(4) ¡ 86 — 2(3) 1(4) ¡ 43 — 1(3) 516 — Producto.

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Observa que el 2 multiplica tanto al 3 como al 4, y el 1 también multiplica tanto al 3 como al 4. Es decir, cada dígito del factor 12 multiplica a cada dígito del factor 43. El proceso de la multiplicación también se ilustra así: (43)(12) = (40 + 3) (10 + 2)

= (40 + 3) (10) + (40 + 3) (2)

= (40) (10) + (3) (10) + (40) (2) + (3) (2)

= 400 + 30 + 80 + 6

= 516

Siempre que multipliques dos polinomios debes seguir el mismo proceso. Es decir, cada término de un polinomio debe multiplicar a cada término del otro polinomio. Considera la multiplicación de (a + b)(c + d ). Si se trata a (a + b) como un solo término y se emplea la propiedad distributiva, se obtiene (a + b) (c + d) = (a + b) c + (a + b) d Al emplear la propiedad distributiva por segunda vez, queda = ac + bc + ad + bd Observa que se multiplicó cada término del primer polinomio por cada término del segundo, y que para obtener la respuesta se sumaron todos los productos.

EJEMPLO

Multiplicar (3x + 2)(x - 5). Solución

(3x + 2) (x - 5) = (3x + 2) x + (3x + 2) (-5)

= 3x(x) + 2(x) + 3x(-5) + 2(-5)

https://youtu.be/qZYdBTuPd9U

2x - 15x - 10 = 3x 2 +

= 3x 2 - 13x - 10

Observa que después de realizar la multiplicación se redujeron los términos semejantes.

EJEMPLO

Multiplicar (x - 4)(y + 3). Completa la solución

(x - 4) (y + 3) = (x - 4) y + (x - 4) 3

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1 Unidad

Matemática 9

1.1.4 Multiplicar un polinomio por otro polinomio Al multiplicar un binomio por otro, viste que cada término del primero se multiplica por cada término del segundo. Cuando se trata de dos polinomios, se debe multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro. En la multiplicación (3x + 2)(4x 2 - 5x - 3), se utilizó la propiedad distributiva del siguiente modo: (3x + 2) (4x 2 - 5x - 3) = 3x (4x 2 - 5x - 3) + 2 (4x 2 - 5x - 3) = 12x 3 - 15x 2 - 9x + 8x 2 - 10x - 6 = 12x 3 - 7x 2 - 19x - 6

Por tanto, (3x + 2)(4x 2 - 5x - 3) = 12x 3 - 7x 2 - 19x - 6. Puedes efectuar los productos de multiplicación utilizando la propiedad distributiva, como acabamos de mostrar; sin embargo, muchos estudiantes prefieren multiplicar un polinomio por otro en forma vertical. En el punto 1.1.3 Multiplicación de polinomio por polinomio se mostró que para multiplicar 43 por 12, se multiplicó cada dígito del número 43 por cada dígito del número 12. Ahora te invitamos a revisar ese ejemplo. Cuando multipliques un polinomio por otro es posible seguir un procedimiento similar, como en los siguientes ejemplos; no obstante, al ejecutar las multiplicaciones individuales, debes tener cuidado para alinear los términos semejantes en sus columnas correspondientes.

EJEMPLOS

Multiplicar (3x + 4)(2x + 5). Solución En primer lugar se escriben los polinomios uno sobre el otro. 3x + 4 2x + 5 A continuación, se multiplica cada término de (3x + 4) por 5.

3x + 4 2x + 5 5(3x + 4) ¡ 15x + 20 En seguida, se multiplica cada término de (3x + 4) por 2x, y se alinean los términos semejantes: 3x + 4 2x + 5 15x + 20 2x(3x + 4) ¡ 6x 2 + 8x

6x 2 + 23x + 20

Sumar términos semejantes por columnas.

Multiplicar (3x - 2)(5x 2 + 6x - 4). Solución Por conveniencia, se coloca la expresión más corta en la parte inferior.

5x 2 + 6x - 4 3x - 2

-10x 2 - 12x + 8 3 15x + 18x 2 - 12x

15x 3 + 8x 2 - 24x + 8

Multiplicar el polinomio de arriba por -2. Multiplicar el polinomio de arriba por 3x, y alinear los términos semejantes. Sumar términos semejantes por columnas.

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Multiplicar x 2 - 3x + 2 por 2x 2 - 3.

Solución x 2 - 3x + 2 2x 2 - 3

-3x 2 + 9x - 6 4 3 2x - 6x + 4x 2 2x 4 - 6x 3 + x 2 + 9x - 6

https://youtu.be/ckY4JRLf7co

Multiplicar el polinomio de arriba por -3. Multiplicar el polinomio de arriba por 2x 2; alinear términos semejantes. Sumar términos semejantes por columnas.

Multiplicar (3x 3 - 2x 2 + 4x + 6)(x 2 - 5x).

Completa la solución 3x 3 - 2x 2 + 4x + 6 x 2 - 5x

Multiplicar el polinomio de arriba por -5x.

Multiplicar el polinomio de arriba por x 2; alinear términos semejantes.

Sumar términos semejantes por columnas.

E jercicios

conceptuales

1. Reconoce ¿cuál es el nombre de la propiedad que empleamos para multiplicar un monomio por un polinomio? 2. Explica cómo se multiplica un monomio por otro monomio.

3. ¿Se cumple que (x + 5)2 = x 2 + 52? Explica tu respuesta. Si no se cumple, ¿cuál es el resultado correcto? 4. ¿Es verdad que (x + 3)2 = x 2 + 32? Explica. Si no es verdad, ¿cuál es la respuesta correcta?

5. Escribe un producto de multiplicación en el que multipliquemos un monomio con x por un binomio con x. Calcula el producto.

6. Escribe un producto de multiplicación en el que multipliques un monomio con y por un trinomio con y. Determina el producto. 7. Escribe un producto de multiplicación donde multipliques dos binomios con x. Determina el producto.

8. Analiza y responde: Cuando multiplicas dos polinomios, ¿es necesario que cada término de uno multiplique a cada término del otro?

R azonamiento

lógico matemático

Aplica los procesos vistos sobre la multiplicación y determina los productos que se obtienen de multiplicar: 9. (x 3)(2xy)

15. (9xy 6)(6x 5y 8)

11. (5x 3y 5)(4x 2y)

⎛ 1 4⎞ 17. (6x 2y) ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠

10. (6xy 2)(3xy 4)

16. (6m 3n 4)(3n 5)

12. (-5x 2y 4)(2x 3y 2)

18. x(8x 2y 3)

14. (4a 3b7)(6a 2b)

20. (2.3x 5)(4.1x 2y 4)

13. (4x 4y 6)(-7x 2y 9)

19. (3.3x 4)(1.8x 4y 3) https://youtu.be/B5vcMDCoS5Q

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1 Unidad

Matemática 9

Determina el producto que se obtiene al multiplicar: 21. 5(x + 4)

29. 5x(-4x 2 + 6x - 4)

23. -3x(2x - 2)

31. 0.5x 2(x 3 - 6x 2 - 1)

25. -2(8y + 5)

33. 0.3x(2xy + 5x - 6y)

26. 2x (x 2 + 3x - 1)

34. -

27. -2x(x 2 - 2x + 5)

35. (x 2 - 4y 3 - 3)y 4

28. -6c(-3c 2 + 5c - 6)

36.

30. (x 2 - x + 1)x

22. 3(x - 4)

32. 2.3b 2(2b 2 - b + 3)

24. -4p(-3p + 6)

1 3 2 x (2x + 4x - 6y 2) 2

1 4 2 y (y - 12y + 4x) 4

Aplica los procesos vistos sobre la multiplicación y determina los productos que se obtienen de multiplicar: 37. (x + 3)(x + 4)

53. (2x - 3)(2x - 3)

39. (2x + 5)(3x - 6)

55. (6z - 4)(7 - z)

38. (2x - 3)(x + 5)

54. (7x + 3)(2x + 4)

40. (4a - 1)(a + 4)

56. (6 - 2m)(5m - 3)

41. (2x - 4)(2x + 4)

57. (2x + 3)(4 - 2x)

42. (4 + 5w)(3 + w)

58. (5 - 6x)(2x - 7)

43. (5 - 3x)(6 + 2x)

59. (x + y)(x - y)

44. (-x + 3)(2x + 5)

60. (z + 2y)(4z - 3)

45. (6x - 1)(-2x + 5)

61. (2x - 3y)(3x + 2y)

46. (2n - 4)(3n - 2)

62. (2x + 3)(2y - 5)

47. (x - 2)(4x - 2)

63. (3x + y)(2 + 2x)

48. (2x + 3)(x + 5)

64. (2x - 0.1)(x + 2.4)

49. (3k - 6)(4k - 2)

65. (x + 0.6)(x + 0.3)

50. (3d - 5)(4d - 1)

1⎞ ⎛ 66. (3x - 6) ⎜ x + ⎟ ⎝ 3⎠

51. (x - 2)(x + 2)

⎛1 ⎞ 67. (2y - 4) ⎜ x − 1⎟ ⎝2 ⎠

52. (3x - 8)(2x + 3)

1⎞ ⎛ 68. (x + 4) ⎜ x − ⎟ ⎝ 2⎠

Determina el producto correcto que se obtiene al multiplicar: 69. (x + 4)(3x 2 + 4x - 1)

78. (x 2 - 2x + 3)(x 2 - 4)

70. (4m + 3)(4m 2 - 5m + 6)

79. (x 2 - x + 3)(x 2 - 2x)

72. (x - 1)(3x 2 + 3x + 2)

81. (a + b)(a 2 - ab + b 2)

71. (3x + 2)(4x 2 - x + 5)

80. (6x + 4)(2x 2 + 2x - 4)

73. (-2x - 4x + 1)(7x - 3)

82. (a - b)(a 2 + ab + b 2)

75. (-3a + 5)(2a + 4a - 3)

84. (2m - 3n + 4)(2m - 3n + 4)

74. (4x 2 + 9x - 2)(x - 2)

83. (3a - 2b + c)(4a - 3b - c)

76. (5d + 1)(3d - 2)

85. (3x2 - 2x + 1)(4x2 + 5x - 7)

77. (3x - 2x + 4)(2x + 3x + 1) 2

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Unidad 1

Producto

R azonamiento

de polinomios y factorización

lógico matemático

86. El producto de un monomio por un binomio, ¿será siempre un trinomio? Analiza y explica tu respuesta. 87. El producto de un monomio por otro, ¿será siempre un monomio? Analiza y explica tu respuesta.

88. El producto de dos binomios después de reducir los términos semejantes, ¿es siempre un trinomio? Explica tu respuesta. 89. El producto de cualquier polinomio por un binomio, ¿es siempre un polinomio? Explica.

Considera las multiplicaciones de los ejercicios 90 y 91. Determina los exponentes por colocar en las áreas sombreadas.

90. 3x 2(2x - 5x + 3x ) = 6x 8 - 15x 5 + 9x 3. 91. 4x 3(x + 2x - 5x ) = 4x 7 + 8x 5 - 20x 4.

92. Supón que un lado de un rectángulo se representa como x + 2, y el otro lado como 2x + 1. a) Expresa el área del rectángulo en términos de x. b) Determina el área si x = 4 pies. c) ¿Qué valor tendría x, en pies, si el rectángulo fuera un cuadrado? Explica cómo determinaste tu respuesta. 93. Supón que un sólido rectangular tiene de largo x + 5, ancho de 3x + 4 y altura de 2x - 2 (véase la figura).

2x - 2 x+5

3x + 4

a) Expresa mediante un polinomio el área de la base de la figura anterior, a partir del producto que se obtiene al multiplicar el largo por el ancho. b) El volumen de la figura se encuentra con la multiplicación del área de la base por la altura. Expresa a través de un polinomio que represente el volumen de la figura. c) Utiliza el polinomio del inciso b), calcula el volumen de la figura si x es igual a 4 pies. d ) Con el uso de los binomios dados para el largo, ancho y altura, calcula el volumen si x es igual a 4 pies. e) ¿Las respuestas para los incisos c) y d ) son las mismas? Si no lo son, analiza y explica por qué.

94. Considera la siguiente figura.

b https://youtu.be/bSSJ6JKku6w

a) Escribe una expresión para la longitud de la parte superior. b) Escribe una expresión para la longitud del lado izquierdo. c) ¿Es esta figura un cuadrado? Explica. d ) Expresa el área de este cuadrado como el cuadrado de un binomio. e) Determina el área del cuadrado con la suma de las áreas de los cuatro elementos individuales. f ) Con el uso de la figura y la respuesta del inciso e), completa la siguiente ecuación (a + b)2 = ?

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1 Unidad

Matemática 9

P roblemas

de reto

Determina el producto correcto que se obtiene al multiplicar: 2⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎛1 95. ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟ ⎝2 3⎠ ⎝ 3 5⎠

A ctividad

96. (2x 3 - 6x 2 + 5x - 3)(3x 3 - 6x + 4)

en grupo

97. Considera el trinomio 2x 2 + 7x + 3. a) En grupo, determinen si existe un número máximo de parejas de binomios cuyo producto sea 2x 2 + 7x + 3. Es decir, ¿cuántas parejas diferentes de binomios podrían ocupar las áreas sombreadas? 2x 2 + 7x + 3 = ( )(

)

b) En forma individual, determina una pareja de binomios cuyo producto sea 2x 2 + 7x + 3. c) Compara tu respuesta para el inciso b) con las del resto del grupo. Si no llegaron a la misma solución, analiza y expliquen por qué.

1.2 Productos notables El trinomio cuadrado perfecto Así se denomina al resultado de (a + b)2, que se obtiene mediante un cuadrado de lado (a + b); al que conforman dos cuadrados de área “a 2” y “b2”, así como dos rectángulos de área “ab”, por tanto, el desarrollo de la expresión (a + b)2 es: (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 a a+b

b a+b

El cubo perfecto Es la denominación del resultado de (a + b)3; para su desarrollo se propone un cubo de arista (a + b) cuyo volumen será la expresión (a + b)3. A este cubo perfecto lo conforman dos cubos de volumen “a 3” y “b 3” respectivamente, tres paralelepípedos con volumen “a 2b” y otros tres con volumen “ab 2”, lo que da el desarrollo de la expresión: (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 b

a a+b b

a a+b

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Definición Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto.

1.2.1 Cuadrado de un binomio El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; este desarrollo se expresa así: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Al miembro de la derecha se le conoce como trinomio cuadrado perfecto. Demostración La expresión (a + b)2 es equivalente a (a + b)(a + b), entonces, al realizar el producto de los binomios, se obtiene: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

EJEMPLOS

Determina el resultado que se obtiene al desarrollar (x + 7)2. Solución Al aplicar el desarrollo: – El cuadrado del primer término: (x)2 = x2 – El doble producto del primer término por el segundo: 2(x)(7) = 14x – El cuadrado del segundo término: (7)2 = 49

https://youtu.be/kxMlkwzXJQ4

Se suman los términos resultantes y se obtiene: (x + 7)2 = x2 + 14x + 49

Determina ¿cuál es el resultado de desarrollar (3m + 5n)2? Solución Se aplica el desarrollo con 3m como primer término y 5n como segundo término (3m + 5n)2 = (3m)2 + 2(3m)(5n) + (5n)2 = 9m2 + 30mn + 25n2 Por tanto, el resultado es: 9m2 + 30mn + 25n2.

⎛1 ⎞ Determina el resultado que se obtiene al desarrollar ⎜ a + 3⎟ . ⎝2 ⎠ Solución Se aplica el desarrollo y se efectúan las operaciones, para obtener: 2

1 2 6 1 2 2 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜⎝ a + 3⎟⎠ = ⎜⎝ a ⎟⎠ + 2 ⎜⎝ a ⎟⎠ ( 3) + ( 3) = a + a + 9 = a + 3a + 9 2 2 2 4 2 4

Determina ¿cuál es el resultado de desarrollar (5m2x − 3 + n4x)2. Solución En este ejemplo los exponentes de las bases son expresiones algebraicas, entonces, al desarrollar se obtiene: (5m2x − 3 + n4x)2 = (5m2x − 3)2 + 2(5m2x − 3)(n4x) +(n4x)2 = 25m4x − 6 + 10m2x − 3 n4x + n8x

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1 Unidad

Matemática 9

Determina el resultado que se obtiene al desarrollar (−2x − 3y)2. Solución 2

El binomio se expresa de la siguiente manera: (−2x − 3y)2 = ( ( −2 x ) + ( −3y ) ) , aplicando el desarrollo: 2

(−2x − 3y)2 = ( ( −2 x ) + ( −3y ) ) = (−2x)2 + 2(−2x)(−3y) + (−3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

Por tanto, (−2x − 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2. El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades, es igual a: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 En este desarrollo, los términos se sustituyen con signo positivo, como lo ilustran los siguientes ejemplos:

EJEMPLOS

Determina ¿cuál es el resultado de desarrollar (4x4 − 9y3)2? Solución Se aplica el desarrollo anterior y se obtiene:

https://youtu.be/4y4EzvTgSiY

(4x4 − 9y3)2 = (4x4)2 − 2(4x4)(9y3) + (9y3)2 = 16x8 − 72x4y3 + 81y6

Determina ¿cuál es el resultado de desarrollar (3x3y − 2x5z)2. Solución Se aplica el desarrollo de la misma manera que en el ejemplo anterior y se obtiene: (3x3y − 2x5z)2 = (3x3y)2 − 2(3x3y) (2x5z) + (2x5z)2 = 9x6y2 − 12x8yz + 4x10z2 Finalmente, el resultado de la operación es: 9x6y2 − 12x8yz + 4x10z2.

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado que se obtiene al desarrollar las siguientes expresiones:

1. (x + 8)2 2. (m − 10)2 3. (a − 3)2 4. ( y + 1)2 5. ( y + 5)2

10. (4 − m)2 11. ( y + 9)2 12. (x − 12)2 13. ( p + 15)2 14. (2a − 1)2

6. ( p − 6)2

1⎞ ⎛5 15. ⎜ x − ⎟ ⎝4 3⎠

7. (1 − b)2

16. (3ax − 1)2

3 ⎞ ⎛ 25. ⎜ 1− xy⎟ ⎝ 4 ⎠

8. (x − 5)2

17. (mn + 8a)2

9. (2 + n)2

18. (7a − 3b)2

⎛1 ⎞ 26. ⎜ x − 2y 3 ⎟ ⎝4 ⎠

19. 20. 21. 22. 23.

(2x + 3y)2 (x + 0.2)2 (4x3 + 5y)2 (9a3 − a2b)2 (6mn4 + 3m5p)2

24. (a5 − b5)2 2

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

1.2.2 Producto de la suma de dos términos por su diferencia Son de la forma (a + b)(a − b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra a continuación (a + b)(a – b) = a2 – b2 Demostración Se realiza el producto y se obtiene: (a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2

EJEMPLOS

Desarrolla (x + 6)(x − 6). Solución Ambos términos se elevan al cuadrado: – El cuadrado del término que no cambia de signo: (x)2 = x2 – El cuadrado del término que cambia de signo: (6)2 = 36 Finalmente, se realiza la diferencia y el resultado es: x2 − 36

Desarrolla (m − 4)(m + 4). Solución Al aplicar el producto de la forma (a + b)(a - b), se obtiene: (m − 4)(m + 4) = (m)2 − (4)2 = m2 − 16

Resuelve (−2x3 + 7)(−2x3 − 7). Solución Los binomios se expresan de la siguiente manera para aplicar el producto: (−2x3 + 7)(−2x3 − 7) = [(−2x3) + 7] [(−2x3) − 7] = (−2x3)2 − (7)2 = 4x6 − 49

⎛ 10 3m 4 ⎞ ⎛ 3m 4 10 ⎞ + ⎟. Desarrolla ⎜ − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 3⎠ ⎝ 3 Solución Se ordenan los términos y se aplica el producto para obtener: 2

4 ⎛ 10 3m 4 ⎞ ⎛ 3m 4 10 ⎞ ⎛ 10 3m 4 ⎞ ⎛ 10 3m 4 ⎞ 100 9 m 8 ⎛ 10 ⎞ ⎛ 3m ⎞ ⎜⎝ 3 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 + 3 ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 + 2 ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ − ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 9 − 4

Resuelve (5x2a − 3 + y4m) (5x2a − 3 − y4m). Solución Al aplicar el producto, se obtiene: (5x2a − 3 + y4m)(5x2a − 3 − y4m) = (5x2a − 3)2 − ( y4m)2 = 25x4a − 6 − y8m

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1 Unidad

Matemática 9

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado que se obtiene al desarrollar los siguientes productos:

1. (x + 3)(x − 3)

11. (2b − 3c)(3c + 2b)

2. (a − 1)(a + 1)

12. (6x5 + 1)(6x5 − 1)

3. (b + 2)(b − 2)

13. (3m3 − 8)(3m3 + 8)

4. (k − 8)(k + 8)

14. (5x4y + 4z)(−4z + 5x4y)

5. (5 − y)(5 + y)

15. (9ab4 − c7)(9ab4 + c7)

6. (9 − a)(9 + a)

16. (7a4b3 − cd 5)(7a4b3 + cd 5)

7. (m − n)(m + n)

1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛3 17. ⎜ m + ⎟ ⎜ m − ⎟ ⎝5 ⎠ ⎝ 2 5 2⎠

8. (xy − z)(xy + z)

3⎞ ⎛ 7 3⎞ ⎛7 18. ⎜ x 3 − ⎟ ⎜ x 3 + ⎟ ⎝6 2⎠ ⎝ 6 2⎠

9. (3x + 5y)(3x − 5y)

⎛1 6⎞ ⎛ 1 6⎞ 19. ⎜⎝ xy − z ⎟⎠ ⎜⎝ xy + z ⎟⎠ 3 3

10. (4m − 9n)(4m + 9n)

1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 20. ⎜ 3x 2 − ⎟ ⎜ 3x 2 + ⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠

1.2.3 Binomios con término común Son de la forma (x + a)(x + b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab Demostración Se realiza el producto de los binomios: (x + a)(x + b) = x2+ ax + bx + ab Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula: (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab

EJEMPLOS

Desarrolla (x − 6)(x + 4). Solución Se desarrolla el procedimiento descrito: – El cuadrado del término común: (x)2 = x2 – La suma de los términos no comunes, multiplicada por el término común: (−6 + 4)(x) = −2x – El producto de los términos no comunes: (−6)(4) = −24 Se suman los términos anteriores y se obtiene como resultado: (x − 6)(x + 4) = x2 − 2x − 24

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Efectúa (m − 3)(m − 5). Solución Al aplicar el desarrollo, se obtiene: (m − 3)(m − 5) = m2 + (−3 − 5)m + (−3)(−5) = m2 − 8m + 15

Resuelve (5x − 4)(5x −2). Solución (5x − 4)(5x − 2) = (5x)2 + (−4 − 2)(5x) + (−4)(−2) = 25x2 + (−6)(5x) + 8 = 25x2 − 30x + 8

Efectúa la siguiente operación: (7 − x)(7 + 3x). Solución El término común es 7, con la aplicación del desarrollo de este producto, se obtiene:

( 7 − x ) ( 7 + 3x )

= ( 7 ) + ( − x + 3x )( 7 ) + ( − x )( 3x ) = 49 + 14 x − 3x 2

¿Cuál es el resultado de (n4 + 10)(n4 − 8)? Solución Al aplicar el desarrollo, se obtiene: (n4 + 10)(n4 − 8) = ( n 4 ) + (10 − 8 ) n 4 + (10 ) ( −8 ) = n8 + 2n4 − 80 2

1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛2 Efectúa ⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟ . ⎝3 2⎠ ⎝ 3 4⎠ Completa la solución

Se aplica el desarrollo de este producto, y se obtiene: 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛2 ⎜⎝ x − ⎟⎠ ⎜⎝ x + ⎟⎠ = 3 2 3 4

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado que se obtiene al efectuar los siguientes productos:

1. (x − 8)(x + 5)

6. (n − 3)(n + 4)

2. (m + 7)(m − 4)

7. (x − 1)(x − 8)

3. (x − 10)(x −2)

8. (a + 3)(a − 9)

4. (x − 6)(x − 5)

9. (x − 5)(x + 2)

5. (x + 4)(x + 6)

10. (m − 3)(m + 8)

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1 Unidad

Matemática 9

11. (2x − 6)(2x + 4)

21. (x4 + 6)(x4 − 12)

12. (3m + 6)(3m − 4)

22. (x5 − 1)(x5 + 2)

13. (6x − 4)(6x + 3)

23. (a3 − 5)(a3 − 2)

14. (4x − 5)(4x − 2)

2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 24. ⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 6⎠

15. (1 − 3x)(2 − 3x)

2⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 25. ⎜ m + ⎟ ⎜ m − ⎟ ⎝3 5⎠ ⎝ 3 2⎠

16. (4 + 5x)(6 + 5x)

1⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛3 26. ⎜ y + ⎟ ⎜ y − ⎟ ⎝4 6⎠ ⎝ 4 8⎠

17. (2 − 7x)(2 + 6x)

5⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 27. ⎜ −xy + ⎟ ⎜ − xy⎟ ⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 4

18. (5 + 2x)(5 − 9x)

3 ⎞⎛ 3 4 ⎞ ⎛1 28. ⎜ x + y⎟ ⎜ y − x ⎟ ⎝2 7 ⎠⎝ 7 5 ⎠

19. (x2 − 10)(x2 + 6)

1 ⎞⎛6 1 ⎞ ⎛6 29. ⎜ x 2 − y 2 ⎟ ⎜ x 2 + y 2 ⎟ ⎝5 4 ⎠⎝5 3 ⎠

20. (m3 − 4)(m3 − 8)

1.2.4 Cubo de un binomio Es de la forma (a + b)3, su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Demostración La expresión (a + b)3 es equivalente al producto (a + b)2(a + b), entonces: (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2 b + 2a2 b + 2ab2 + ab2 + b3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

EJEMPLOS

Desarrolla (m + 5)3. Solución Se obtiene cada uno de los términos que conforman al cubo perfecto: – El cubo del primer término: (m)3 = m3 – El triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(m)2(5) = 15m2 – El triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(m)(5)2 = 3(m)(25) = 75m – El cubo del segundo: (5)3 = 125 Estos resultados se suman y se obtiene: (m + 5)3 = m3 +15m2 + 75m + 125

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Desarrolla el siguiente binomio: (x − 4)3. Solución El binomio se expresa de la siguiente manera: (x − 4)3 = [x + (−4)]3, se obtiene cada uno de los términos del cubo perfecto: – El cubo del primer término: (x)3 = x3 – El triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(x)2(−4) = −12x2 – El triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(−4)2 = 3(x)(16) = 48x – El cubo del segundo término: (−4)3 = −64 Finalmente, el desarrollo es: (x − 4)3 = x3 − 12x2 + 48x − 64

Desarrolla (−2m − 3n)3. Solución El binomio se representa como: (−2m − 3n)3 = [(−2m) + (−3n)]3, se aplica el desarrollo: (−2m − 3n)3 = (−2m)3 + 3(−2m)2(−3n) + 3(−2m)(−3n)2 + (−3n)3 = (−8m3) + 3(4m2)(−3n) + 3(−2m)(9n2) + (−27n3) = −8m3 − 36m2 n − 54mn2 − 27n3 El desarrollo del cubo de la diferencia de dos cantidades se obtiene con la fórmula: (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 Al utilizar el desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo.

¿Cuál es el desarrollo de (3x4 − 2y3)3? Solución Se aplica el desarrollo y se determina que: (3x4 − 2y3)3 = (3x4)3 − 3(3x4)2(2y3) +3(3x4)(2y3)2 − (2y3)3

= 27x12 − 3(9x8)(2y3) + 3(3x4)(4y6) − 8y9

= 27x12 − 54x8y3 + 36x4y6 − 8y9

R azonamiento

lógico matemático

Determina ¿cuál es el resultado que se obtiene al desarrollar los siguientes binomios al cubo?

1. (x − 1)3

2. (m + 6)3

3. (x − 2)3

4. (a + 10)3

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1 Unidad

Matemática 9

5. (n − 7)3

6. (x + 3)3

7. (1 − x)3

8. (10 − m)3

9. (2x + 1)3

10. (3a − 4)3

11. (2x + 3)3

12. (1 − 4m)3

13. (3x − 4y)3

14. (5m2 + 2n5)3

15. (3x3y − 2z4)3

16. (4x2 + 2xy)3

17. (3m4 − 4m3n)3

1⎞ ⎛ 18. ⎜ x + ⎟ ⎝ 3⎠

1⎞ ⎛ 19. ⎜ x − ⎟ ⎝ 2⎠

1⎞ ⎛2 20. ⎜ x − ⎟ ⎝3 4⎠

4 ⎞ ⎛3 21. ⎜ x + y⎟ ⎝5 3 ⎠

3 ⎞ ⎛1 22. ⎜ a − b ⎟ ⎝2 4 ⎠

⎛1 ⎞ 23. ⎜ x 4 + y⎟ ⎝3 ⎠

1.2.5 Multiplicaciones que se efectúan con la aplicación de productos notables Se utiliza para efectuar una multiplicación de polinomios, siempre que las características de los factores permitan aplicar los productos notables. Se agrupan las expresiones y se desarrolla el producto notable que corresponda a las características de los mismos; con los factores resultantes se aplica el mismo procedimiento hasta obtener el resultado.

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

EJEMPLOS

Desarrolla el siguiente producto: (x + 2)(x − 2)(x2 + 3). Solución Se eligen los factores (x + 2)(x − 2), los que se efectúan como un producto de binomios conjugados: (x + 2)(x − 2) = x2 − 4 Entonces, el producto inicial se representa como: (x + 2)(x − 2)(x2 + 3) = (x2 − 4)(x2 + 3) Por último, se aplica el producto de binomios con término común: (x2 − 4)(x2 + 3) = (x2)2 + (−4 + 3)(x2) + (−4)(3) = x4 − x2 − 12 Por tanto, (x + 2)(x − 2)(x2 + 3) = x4 − x2 − 12.

Desarrolla el siguiente producto: (x + 1)(x + 2)(x − 1)(x − 2). Solución De acuerdo con la elección de los factores es como se procede a aplicar el producto notable. En este caso reagruparás los factores de la siguiente manera: (x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2) Al desarrollar mediante binomios conjugados, se obtiene: (x + 1)(x − 1) = x2 − 1

(x + 2)(x − 2) = x2 − 4

La expresión se transforma en: (x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2) = (x2 − 1)(x2 − 4) Por último, se aplican binomios con término común:

= (x2)2 + (−1 − 4)x2 + (−1)(−4) = x4 − 5x2 + 4 Por tanto, (x + 1)(x + 2)(x − 1)(x − 2) = x4 − 5x2 + 4.

Efectúa el siguiente producto: (x + 3)2(x − 3)2. Solución Se desarrollan los cuadrados de los binomios: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 ; (x − 3)2 = x2 − 6x + 9 Luego: (x + 3)2(x − 3)2 = (x2 + 6x + 9)(x2 − 6x + 9) = (x2 + 9 + 6x) (x2 + 9 − 6x) Al aplicar binomios conjugados se determina que: (x2 + 9 + 6x)(x2 + 9 − 6x) = [(x2 + 9)2 − (6x)2] = (x2)2 + 2(x2) (9) + (9)2 − 36x2 = x4 + 18x2 + 81 − 36x2 = x4 − 18x2 + 81

Por tanto, el resultado es: x4 − 18x2 + 81.

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Matemática 9

R azonamiento

lógico matemático

Aplica productos notables y realiza las siguientes multiplicaciones:

1. (x − 1)(x + 1)(x2 + 2)

2. (m + 8)(m − 8)(m + 1) (m − 1)

3. (3x − 5)(3x + 2)(9x2 − 9x − 10)

4. (5x − 6)2(5x + 6)2

5. (m + 2)3(m − 2)3

6. (−x − 6)2(x2 − 12x + 36)

7. (n2 − 1)(n2 + 7)(n4− 6n2 + 7)

8. (x2 + y)2(x2 − y)2(x4 + y2)2

9. (2m + 6)(2m − 8)(4m2 + 3m + 1)

10. (9 − 6x3)(6x3 + 9)(81 + 36x6)

11. (x − 4)(x + 5)(x + 4)(x − 5)

12. (x + y + z)(x - y - z)

13. (m + n - 2)(m - n - 2)

14. (a + b + c)2 Sugerencia: (a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c).

1.3 División de polinomios 1.3.1 Dividir un polinomio entre un monomio A continuación, verás cómo dividir polinomios. Empezamos con la división de un polinomio entre un monomio. Para dividir un polinomio entre un monomio Dividir cada término del polinomio entre el monomio.

EJEMPLO

Dividir: a) Solución a)

2 x + 16 10 x 2 − 4 x b) 2 2x

2 x + 16 2x 16 10 x 2 − 4 x 10 x 2 4x = + = x + 8 b) = = 5x - 2 2 2 2 2x 2x 2x

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES Correcto

Incorrecto 1

x+ 2 x +1 = =x+1 2 1

x+2 x 2 x = + = + 1 2 2 2 2

x+2 1+ 2 = =3 x 1

x+2 x 2 2 = + =1+ 2 x x x

¿Puedes explicar por qué los procedimientos de la derecha no son correctos?

EJEMPLOS

Dividir:

4 t 5 − 6t 4 + 8t − 3 2t 2 https://youtu.be/DDmbJXuUQEU

Solución 4 t 5 − 6t 4 + 8t − 3 4t 5 6t 4 8t 3 = 2 - 2 + 2 - 2 2 2t 2t 2t 2t 2t

= 2t 3 - 3t 2 +

Dividir:

4 3 - 2 t 2t

3x 3 − 6 x 2 + 4 x − 1 −3 x

Solución Aparece un signo negativo en el denominador. Por lo general, es más fácil dividir si el divisor es positivo. Con el fin de obtener un denominador positivo, es posible multiplicar tanto el numerador como el denominador por -1 ; es decir, hacer uso del uno conveniente. (−1)(3 x 3 − 6 x 2 + 4 x − 1) −3 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 1 = (−1)(−3 x ) 3x

−3 x 3 6x 2 4x 1 + + 3x 3x 3x 3x

= -x 2 + 2x -

4 1 + 3 3x

1.3.2 Dividir un polinomio entre un binomio Se divide un polinomio entre un binomio de manera muy parecida a como se realiza una división en aritmética. Se explica este procedimiento en el ejemplo 4.

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1 Unidad

Matemática 9

EJEMPLOS

Dividir:

x 2 + 6 x + 8 d Dividendo. d Divisor. x+2

Solución Reescribir la división de la siguiente manera: x 2 + 6x + 8 x + 2 Dividir x 2 (el primer término del dividendo) entre x (el primer término del divisor). x2 =x x Colocar el cociente, x, bajo el término semejante que contiene a x en el divisor. x 2 + 6x + 8 x + 2 x A continuación, multiplicar la x por x + 2, como se haría en una división en aritmética, y colocar los términos del producto debajo de sus términos semejantes. x 2 + 6x + 8 x + 2 x 2 + 2x

Ahora, restar x 2 + 2x de x 2 + 6x. Al restar, recuerda cambiar el signo de los términos restados y después sumar los términos semejantes. x 2 + 6x + 8 x + 2

− x 2 − 2x 4x

Posteriormente, bajar el 8, que es el tercer término del dividendo. x 2 + 6x + 8 x + 2

x − x 2 − 2x 4x + 8

Ahora, dividir 4x, primer término de la parte inferior, entre x, primer término del divisor. 4x = +4 x Escribir el +4 en el cociente, bajo la constante del divisor. x 2 + 6x + 8 x + 2

x+4 − x 2 − 2x 4x + 8 Multiplicar x + 2 por 4 y colocamos los términos del producto debajo de sus términos semejantes con el signo opuesto. x 2 + 6x + 8 x + 2

x+4 − x 2 − 2x 4x + 8 4x + 8

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Ahora, restar. x 2 + 6x + 8 x + 2

x 2 − 2x x+4 4x + 8 −4 x − 8 0 Por tanto, x 2 + 6x + 8 =x+4 x+2 Residuo: 0.

Dividir:

6 x 2 − 5x + 5 . 2x + 3

Solución 6x 2 - 5x + 5 2

-6 x - 9x

2x + 3 3x - 7

- 14 x + 5 14 x + 21 26

Residuo.

Algoritmo de la división de polinomios Se puede aplicar el algoritmo de la división. Considerar la división 13 , 5. 13 5 −10 2 3 Observa que el divisor por el cociente, más el residuo, es igual al dividendo: divisor por cociente más residuo: dividendo

(5)(2) + 3 = 13 10 + 3 = 13

13 = 13

Verdadero.

Utiliza este mismo algoritmo para verificar todas las divisiones. Para verificar la división de polinomios divisor por cociente más residuo: dividendo

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1 Unidad

Matemática 9

Para comprobar la respuesta del ejemplo 5, el divisor es 2x + 3, el cociente es 3x - 7, el residuo es 26, y el dividendo es 6x 2 - 5x + 5. Comprobación (divisor)(cociente) + residuo = dividendo (2x + 3)(3x - 7) + 26 = 6x 2 - 5x + 5 (6x 2 - 5x - 21) + 26 = 6x 2 - 5x + 5 6x 2 - 5x + 5 = 6x 2 - 5x + 5 Verdadero.

Escribir polinomios en orden descendente al dividir Al dividir un polinomio entre un binomio, se escriben tanto el polinomio como el binomio en orden descendente. Si no existe un término elevado a una potencia dada, a menudo es útil incluirlo con un coeficiente de 0, para conservar el lugar. Esto ayudará a mantener los términos semejantes alineados. Por ejemplo, para dividir (6x 2 + x 3 - 4) , (x - 2), se escribe (x 3 + 6x 2 + 0x - 4) , (x - 2).

EJEMPLO

Dividir (-x + 9x 3 - 28) entre (3x - 4). Solución En primer lugar, se reescribe el dividendo en orden descendente a fin de obtener (9x 3 - x - 28) , (3x - 4). Como en el dividendo no existe un término con x 2, se suma 0x 2 para alinear los términos semejantes. 9x3 + 0x 2 - x - 28 - 9x3 + 12x 2 12x2 - x - 12x2 + 16x 15x - 28 - 15x + 20 -8

3x - 4 3x2 + 4x + 5

Residuo.

− x + 9 x 3 − 28 = 3x 2 + 4x + 5 y residuo -8. Te invitamos a comprobar esta división por ti mismo em3x − 4 pleando el procedimiento que acabas de estudiar. Por tanto,

C omunicación

con el lenguaje matemático

1. Explica cómo dividir un polinomio entre un monomio. 2. Explica cómo comprobar una división. 3. Explica por qué 4. Explica por qué

y +5 y

1+ 5 . Después, haz la división del binomio entre el monomio en forma correcta. 1

2x +8 x +8 Z . Después, haz de manera correcta la división del binomio entre el monomio. 2 1

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

5. Reconoce ¿cómo deben escribirse los términos de un polinomio y un binomio cuando van a dividirse? 6. Analiza y responde ¿cómo se reescribiría 7. Analiza y responde ¿cómo reescribirías

x2 − 7 de modo que sea más fácil realizar la división? x−2

x 3 − 14 x + 15 de modo que sea más fácil realizar la división? x−3

Expresa cada multiplicación como una división. Existe más de una respuesta correcta.

8. (x - 4)(x + 5) = x 2 + x - 20

9. (x + 3)(3x - 1) = 3x 2 + 8x - 3 10. (2x + 3)(x + 1) = 2x 2 + 5x + 3

11. (2x - 3)(x + 4) = 2x 2 + 5x - 12 12. (2x + 3)(2x - 3) = 4x 2 - 9

13. (3n + 4)(n - 5) = 3n 2 - 11n - 20

P ráctica

de habilidades

Aplica el algoritmo de la división y determina el cociente que resulta al dividir:

14.

3x + 6 3

27.

6 − 5x −3 x

15.

4x − 6 2

28. (3x 2 + 6x - 9) , 3x 2

16.

4 n + 10 2

29.

12 x 2 − 6 x + 3 3

17. (-3x - 8) , 4

30.

−4 x 5 + 6 x + 8 2x 2

18.

3x + 8 2

31.

6t 2 + 3t + 8 2

19.

5 x − 10 5

32. (x 5 + 3x 4 - 3) , x 3

20.

−6 x + 4 2

33. (6x 2 - 7x + 9) , 3x

21.

−5a + 4 −3

34.

6 x 5 − 4 x 4 + 12 x 3 − 5 x 2 2x3

22.

−9 x − 3 −3

35.

7 x 2 + 14 x − 5 −7

23.

5x − 4 −5

36.

8k 3 + 6k 2 − 8 −4 k

24.

2 x + 16 4

37.

−12 x 4 + 6 x 2 − 15 x + 4 −3 x

25.

2p − 3 2p

38.

12 x 5 + 3 x 4 − 10 x 2 − 9 −3 x 2

26.

4 − 10 w −4

39.

−15m 3 − 6m 2 + 15 −5m 3

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1 Unidad

Matemática 9 Aplica el algoritmo de la división y determina el cociente que resulta al dividir:

40.

x2 + 4x + 3 x +1

41. (2x 2 + 3x - 35) , (x + 5)

55.

x 3 + 5x 2 + 2 x − 8 x+2

56.

3 x 3 + 18 x 2 − 5 x − 30 x+6

42.

2 x 2 − 9 x − 18 x−6

57.

2 x 3 − 3x 2 − 3x + 6 x −1

43.

2 p2 − 7 p − 15 p−5

58.

2 x 3 − 4 x 2 + 12 x−2

44.

6 x 2 + 16 x + 8 3x + 2

59.

2x3 + 6x − 4 x+4

45.

3r 2 + 5r − 8 r −1

60. (w 3 - 8) , (w - 3)

46.

x 2 − 16 −4 + x

61.

x3 + 8 x+2

47.

6t 2 − t − 40 2t + 5

62.

x 3 − 27 x−3

63.

x 3 + 27 x+3

64.

4 x 3 − 5x 2x − 1

65.

9x3 − x + 3 3x − 2

48. (2x 2 + 7x - 18) , (2x - 3) 49.

x 2 − 36 x−6

50. (4a 2 - 25) , (2a - 5) 51.

9 x 2 − 16 3x − 4

66.

− m 3 − 6m 2 + 2m − 3 m −1

52.

6 x + 8 x 2 − 25 4x + 9

67.

− x 3 + 3 x 2 + 14 x + 16 x+3

53.

10 x + 3 x 2 + 6 x+2

68.

9n 3 − 6n + 4 3n − 3

54.

6 x + 8 x 2 − 12 2x + 3

69.

4t 3 − t + 4 t+2

P ensamiento

resolutivo

70. Al dividir un binomio entre un monomio, ¿el cociente debe ser un binomio? Explica y da un ejemplo que apoye tu respuesta. 71. Al dividir un trinomio entre un monomio, ¿el cociente debe ser un trinomio? Explica y proporciona un ejemplo que apoye tu respuesta. 72. Si el divisor es x + 4, el cociente es 2x + 3, y el residuo es 4, determina el dividendo (o el polinomio que fue dividido). 73. Si el divisor es 2x - 3, el cociente es 3x - 1, y el residuo es -2, determina ¿cuál es el dividendo? 74. Si se divide un polinomio de segundo grado con x, entre un polinomio de primer grado con x, ¿cuál será el grado del cociente? Explica tu respuesta. 75. Si se divide un polinomio de tercer grado con x entre otro de primer grado con x, determina ¿de qué grado es el cociente? Explica tu respuesta.

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Determina las expresiones que deben colocarse en las áreas sombreadas, de modo que el enunciado sea verdadero. Explica cómo determinaste tu respuesta.

76.

16 x 4 + 20 x 3 − 4 x 2 + 12 x

= 4x 3 + 5x 2 - x + 3

Determina los exponentes que deben colocarse en las áreas sombreadas, de manera que el enunciado sea verdadero. Explica la forma en que determinaste tu respuesta.

77.

15 x + 25 x + 5 x + 10 x 5x 2

= 3x 5 + 5x 4 + x 2 + 2

1.3.3 División sintética La división sintética es una forma de efectuar divisiones de polinomios que permite conocer los coeficientes del cociente y el residuo de la división, evitando el proceso largo de la operación. A continuación, se explican dos ejemplos de división de polinomios entre divisores de la forma x + a.

EJEMPLOS

Efectuar la operación (2x 3 - 3x 2 - 5x + 1) , (x - 2). Solución Se escriben los coeficientes del divisor y el término independiente -2, del divisor con el signo opuesto.

< <

&RHILFLHQWHV GH ORV WpUPLQRV GHO GLYLVRU

5HVLGXR

Se baja el primer coeficiente y se multiplica por el término independiente del divisor (2)(2) = +4. Este resultado se coloca abajo del segundo coeficiente y se realiza la operación: -3 + 4 = +1.

El polinomio del cociente es un grado menos que el grado del dividendo.

Se continúa el proceso hasta finalizar con el término independiente del dividendo el resultado -5, en este ejemplo es el residuo. Entonces, (2x 3 - 3x 2 - 5x + 1) , (x - 2) = 2x 2 + x - 3, residuo -5. El proceso largo es el siguiente: 2 x 3 − 3x 2 − 5x + 1

x−2

−2 x + 4 x 2x 2 + x − 3 2 x − 5x − x 2 + 2x − 3x + 1 +3 x − 6 − 5 ← Residuo. 3

Coeficiente de los términos del cociente: 2, 1 y -3

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1 Unidad

Matemática 9

Efectúa la operación (2x 3 - 9x 2 + 10x - 7) , (x + 3). 2 -9 10 -7 -3 d Término independiente del divisor con el signo opuesto -6 +45 -165 2 15 55 -172 — Coeficiente de los términos del cociente y residuo T T T 2x 2 - 15x + 55 El cociente es: 2x 2 - 15x + 55, residuo -172.

Completa la solución de: (2x 3 - 9x 2 + 10x - 7) , (x - 3). 2 -9 +10

Los coeficientes del cociente son:

-7 +3

, el valor del residuo es

Entonces, (2x 3 - 9x 2 + 10x - 7) , (x - 3) =

R azonamiento

lógico matemático

Aplica correctamente la división sintética y efectúa las siguientes divisiones.

1. (y 3 + y 2 - 11y + 12) , (y - 2) 2. (2a 3 - 9a 2 + 10a - 1) , (a - 3)

https://youtu.be/YQZiGicU8E8

3. (x 3 - 2x 2 - 5x + 6) , (x - 3) 4. (2x 3 + x 2 - 3x + 1) , (x + 1) 5. (x 3 + 5x 2 - 7x + 8) , (x - 2) 6. (4x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x - 1) , (x + 2) 7. (x 3 - x 2 + 2x - 2) , (x + 1) 1 1 8. Q- x 3 + x 2 - 7x - 4R , (x + 3) 3 6

9. (3x 3 + 5x - 8) , (x + 3), sugerencia: 3x 3 + 5x - 8 = 3x 3 + 0x 2 + 5x - 8.

10. (x 3 - 2x 2 - 13x + 6) , (x + 3)

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

1.4 Factorización de un polinomio o descomposición en factores de un polinomio Definición Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores; éstos se presentan en la forma más simple.

1.5 Formas de factorización 1.5.1 Factor común Es la expresión común que tienen todos los términos de un polinomio.

EJEMPLOS

Factoriza x 6 − x 5 + x 2 . Solución

( )

Para encontrar el factor común, se toma la variable que se repite y de menor exponente x 2 , y después cada uno de los términos del polinomio se divide entre el factor común, es decir, x2:

x6 = x4 x2

−

x5 = −x3 x2

x2 =1 x2

Los resultados se expresan de la siguiente manera:

(

)

x6 − x5 + x2 = x2 x4 − x3 + 1

Factoriza 16 a 6b 7 c − 12a 5b 2 c 3 + 20 a 3b10 . Solución Se busca el factor común de los coeficientes, que es el máximo común divisor de ellos y también se busca el factor común de las variables:

mcd (16, 12, 20) = 4

4a3b2 es el factor común

Factor común literal = a 3b 2

Se realizan las divisiones término a término y el resultado de la factorización es: ⎛ 16a 6 b 7c 12a 5b 2c 3 20a 3b10 ⎞ 16a6b7c - 12a5b2c3 + 20a3b10 = 4a 3b 2 ⎜ − + = 4a 3b 2 ( 4a 3b 5c − 3a 2c 3 + 5b8 ) ⎝ 4a 3b 2 4a 3b 2 4a 3b 2 ⎟⎠

Obtén la factorización de la expresión 18x 2 - 12x + 54. Solución El máximo común divisor de los coeficientes es 6 y no existe un factor común literal, por tanto, la expresión tiene sólo un factor común numérico (el 6) y se expresa como:

(

18 x 2 − 12x + 54 = 6 3x 2 − 2 x + 9

)

Factoriza ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) − ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) . Solución En esta expresión, el factor común está compuesto por binomios; por consiguiente, se toma de cada uno de ellos el de menor exponente y se realiza la factorización de la siguiente manera:

( 2a − 3b )2 ( 5a − 7b )3 − ( 2a − 3b )3 ( 5a − 7b )2 = ( 2a − 3b )2 ( 5a − 7b )2 ⎡⎣( 5a − 7b ) − ( 2a − 3b )⎤⎦ 31

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1 Unidad

Matemática 9

Se reducen los términos semejantes del último factor: 2

= ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) [ 5 a − 7b − 2 a + 3b ]

= ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) [ 3a − 4 b ] 2

Finalmente, el resultado de la factorización es: ( 2 a − 3b ) ( 5 a − 7b ) [ 3a − 4 b ] .

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado de factorizar cada una de las siguientes expresiones:

1. a2 + a

14. 55m2n3x + 110m2 n3 x2 − 220m2y3

2. a3b2 − 2a3b

15. 25x7 − 10x5 + 15x3 − 5x2

3. a4 + a3 − a2

16. 9a2 − 12ab + 15a3b2 − 24ab3

4. 18x5 + 30x4

17. 12m2n + 24m3n2 − 36m4n + 48m5n4

5. 48x2 − 12x3 − 24x4

18. 3a2b + 6a3b2 − 5a4b3 + 8a5b4 + 4a6b5

6. 25b2 + 35b4 − 45b5

19. 16x3y2 − 8x4y − 24x2y − 40x2y3

7. 11ax − 121a2x + 33a3

20. 100a2b3c − 150ab2c2 + 50ab3c3 − 200abc2

8. 9a5b − 12 a2b3 + 15ab2 − 18a3b4

21. 93a3x2y − 62a2x3y2 − 124a2x

9. 9x2 + 6x + 3

22. 6x(3x − 1)2 + 2x2(1 − 3x)2

10. 4x4 − 8x3 + 12x2

23. 9(x + 1) − 3(x + 1)2

11. 6x2 − 6xy − 6x

24. x2(x + 2) − x(x + 2)

12. 14x2y2 − 28x3 + 56x4

25. 4x2 (2x − 5)2 + 8x2(2x − 5)

13. 34ax2 + 51a2y − 68ay2

26. (2x − 1)(x + 4) − (2x − 1)(3x + 1)

1.5.2 Factor común polinomio Se agrupan los términos que tengan algún factor en común, de modo que la expresión restante pueda factorizarse como se muestra en los siguientes ejemplos:

EJEMPLOS

Factoriza am + bm + a2 + ab. Solución Se agrupan los términos y de los primeros el factor común es “m” y de los segundos el factor común es “a”. am + bm + a2 + ab = (am + bm) + (a2 + ab) = m(a + b) + a(a + b) La última expresión se vuelve a factorizar tomando como factor común el binomio a + b y se obtiene como resultado: = (a + b)(m + a)

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

¿Cuál es el resultado de factorizar 6ax + 3a2 − 4bx − 2ab? Solución Se agrupan los términos y se buscan los respectivos factores comunes de cada uno para poder factorizarlos y obtener como resultado:

6ax + 3a2 − 4bx − 2ab = (6ax + 3a2) + (−4bx − 2ab) = 3a (2x + a) − 2b (2x + a) = (2x + a)(3a − 2b)

Factoriza 6a2 x + 4ab + 2a − 3abx − 2b2 − b. Solución Se repiten los mismos pasos que en los ejemplos anteriores y se obtiene:

6a2 x + 4ab + 2a − 3abx − 2b2 − b = (6a2x + 4ab + 2a) + (−3abx − 2b2 − b) = 2a (3ax + 2b + 1) − b (3ax + 2b + 1) = (3ax + 2b + 1)(2a − b)

R azonamiento

lógico matemático

Aplica correctamente el factor común y factoriza cada una de las siguientes expresiones:

1. m2 + mn + mx + nx

2. 3x3 − 1 − x2 + 3x

3. ax − bx + ay − by

4. 2y3 − 6ay2 − y + 3a

5. am − 2bm − 3an + 6bn

6. 4a2x − 5a2y + 15by − 12bx

7. m2p2 − 3np2 + m2z2 − 3nz2

8. 5m2n + 5mp2 + n2p2 + mn3

9. 3a − 2b − 2by4 + 3ay4

10. 2mx4 + 3nx4 +10m + 15n

11. bm2 + by2 − cm2 − cy2

12. x3 − 15 − 5x + 3x2

13. 3bz − by − 9mz + 3my

14. a3 + a2 + a + 1

15. 1 + 2a − 3a2 − 6a3

16. 3x3 − 7x2 + 3x − 7

17. 4a − 1 − 4ab + b

18. 18m3 + 12m2 − 15m − 10

19. x2yz − xz2m + xy2m − yzm2

20. p3t3 + mn2p2t + m2npt2 + m3n3

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1 Unidad

Matemática 9

1.5.3 Diferencia de cuadrados

Se determinan las raíces cuadradas de ambos términos:

La diferencia de cuadrados es de la forma a − b y su factorización es: 2

a2 = a

a2 − b2 = ( a + b )( a − b )

ab 2 = b

Lo que da como resultado el producto de binomios conjugados.

EJEMPLOS

Factoriza la expresión x 2 − 9 . Solución Se extrae la raíz cuadrada del primer y segundo términos; y los resultados se acomodan como se indica en la fórmula. x2 = x

;

9=3

Finalmente, la factorización es: x 2 − 9 = ( x + 3) ( x − 3) .

16 2 1 x − . Factoriza 9 25 Solución Se aplica la fórmula y se obtiene como resultado: 16 2 1 ⎛ 4 1⎞ ⎛ 4 1⎞ x − =⎜ x+ ⎟⎜ x− ⎟ 9 25 ⎝ 3 5⎠ ⎝ 3 5⎠

https://youtu.be/3ONPf-SpukA

¿Cuál es el resultado de factorizar x 2 a − 4 − y 6 b ? Solución Se expresan los exponentes de la siguiente manera: x 2 a − 4 − y 6 b = x 2( a − 2 ) − y 2( 3b )

https://youtu.be/LY5KO4T18u0

Se extraen las raíces cuadradas de ambos términos: x 2( a − 2 ) = x a − 2

y 2( 3b ) = y 3b

Finalmente, se obtiene:

(

)(

x 2 a − 4 − y 6 b = x a − 2 + y 3b x a − 2 − y 3b

)

Factoriza la expresión ( 2x + 3) − ( x − 1) . Solución Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos:

( 2x

+ 3) = 2 x + 3 ( x − 1) = x − 1

Se sustituyen las raíces obtenidas en la fórmula:

( 2x

+ 3) − ( x − 1) = ⎡⎣( 2x + 3) + ( x − 1) ⎤⎦ ⎡⎣( 2x + 3) − ( x − 1) ⎤⎦

Se reducen los términos semejantes de cada uno de los factores y se obtiene como resultado:

= [ 2x + 3 + x − 1][ 2x + 3 − x + 1] = [ 3 x + 2 ][ x + 4 ]

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Producto

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado de factorizar las siguientes expresiones:

1 16

1. x 2 − 1

16. x 4 −

2. x 2 − 49

17. 49 x 2 −

3. 81 − x 2

18. x 6 a − y 4 b

4. 16 x 2 − 9

19. a 2 x + 6 − 9b 6 y

5. a 4 − b 4

20. m 4 a + 8 − 25

6. x 4 − 64

21. 1 − x 2 a

7. 100 − 16 x 2

22. − n 8 x + 2 y + m 6 x − 4 y

8. 36 x 2 − 1

23. 16 x 6 a − 49 y 2 b

9. 4 − 25 x 2

24. ( x − 1) − ( y − 3)

16 25

https://youtu.be/U8oxhyfr-c4

10. 4 a 4 − 9b 2 c 2

25. ( 2 x + 1) − ( y + 5 )

11. x 6 − 36

26. ( x − 1) − 16 y 2

12. 16 a 4 b 6 − c 6

27. 4 ( 3x − 2 ) − 9 ( x − 1)

13. x 2 −

28. − ( x + 2 y ) + 16 ( x + y )

14. x 2 − 15. x 2 −

Unidad 1 de polinomios y factorización

1 4

4 81

29. 25 ( 4 x − 3) − 9 ( 2 x + 1)

16 49

(

30. 49 x 4 − 4 x 2 − 3x

)

1.5.4 Trinomio cuadrado perfecto Se conoce así a toda expresión de la forma: a 2 ± 2 ab + b 2 https://youtu.be/FbySrYIlQLQ

Pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto

1. Para factorizar esta expresión, se debe verificar que los términos se encuentren ordenados respecto a los exponentes de mayor a menor o viceversa. 2. Se extraen las raíces cuadradas de los términos extremos (primer y último términos); ambos términos deben ser positivos:

a2 = a

b2 = b

3. Para comprobar que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, se realiza el doble producto de las raíces: Comprobación = 2ab 4. Si el resultado del producto es igual al segundo término del trinomio, entonces, éste es cuadrado perfecto y su factorización es igual al cuadrado de una suma o diferencia de las raíces cuadradas de los términos extremos. a 2 ± 2 ab + b 2 = ( a ± b )

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1 Unidad

Matemática 9

EJEMPLOS

Factoriza la expresión x 2 + 6 x + 9 . Solución Se obtienen las raíces cuadradas y se comprueba que el trinomio es cuadrado perfecto: x2 = x

9=3

https://youtu.be/3y7C7pLtLvg

Comprobación = 2(x)(3) = 6x

Al tomar el signo del segundo término la factorización es: x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3)

Factoriza 4 x 2 + 9 y 2 − 12 xy . Solución Se ordenan los términos de la siguiente manera:

https://youtu.be/Q6X7BzEsCck

4 x + 9 y − 12 xy = 4 x − 12 xy + 9 y 2

Se extraen las raíces de los términos extremos y se verifica que el trinomio es cuadrado perfecto: 4 x2 = 2x

9 y 2 = 3y Comprobación = 2(2x)(3y) = 12xy

Finalmente, el resultado de la factorización es: 4 x 2 + 9 y 2 − 12 xy = 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = ( 2 x − 3y )

1 2 Factoriza la siguiente expresión: ( m + n ) + ( m + n ) + . 4 Solución Se obtienen las raíces de los extremos y se comprueba el doble producto:

( m + n )2

= m+n

1 1 ⎛ 1⎞ = Comprobación = 2 ( m + n ) ⎜ ⎟ = m + n ⎝ 2⎠ 4 2

Por tanto, la factorización de la expresión propuesta es:

( m + n )2 + ( m + n ) +

1 ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ = ⎜ ( m + n) + ⎟ = ⎜ m + n + ⎟ ⎝ 4 ⎝ 2⎠ 2⎠

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Unidad 1

Producto

R azonamiento

de polinomios y factorización

lógico matemático

Determina el resultado de factorizar las siguientes expresiones:

y2 − yz + z2 4

1. a2 + 8a + 16

19.

2. m2 − 10m + 25

20. 1 +

3. n2 − 8n + 16

21. x4 − x2y2 +

4. x2 − 6x + 9

22.

5. x2 + 12x + 36

23. 16m6 − 2m3n2 +

6. 9a2 − 30a + 25

24. 9(a + x)2 − 12(a + x) + 4

7. 36 + 121c2 − 132c

25. 4(1 + m)2 − 4(1 + m)(n − 1) + (n − 1)2

8. 16a2 + 24ab + 9b2

26. 9(a − b)2 + 12(a − b)(a + b) + 4(a + b)2

9. 4a2 − 20ab + 25b2

27. (m + n)2 − 2(m + n)(m − n) + (m − n)2

10. 9a2 + 6ab + b2

28. 4a2 − 4a (b − a) + (b − a)2

11. 4a2 − 12ab + 9b2

29. (m + a)2 − 2(m + a)(a + b) + (a + b)2

12. a2 − 24x2a3 + 144x4a4

30. x + 2 2xy + 2y

13. 100a4 − 60a2b + 9b2

31. ax + 4 ax + 4

14. a8 + 36b2c2 + 12a4bc

32. a 3 − 10 a 2 + 25

15. 121 + 198a6 + 81a12

33. x 3 + 6 x 6 + 9

16. 49x6 − 70ax3y2 + 25a2y4

34. 16 x 2 − 8 x 4 + 1

17. 400a10 + 40a5 + 1

35. m 3 + 4 m 3 + 4

18. x8 + 18x4 + 81

36.

https://youtu.be/8AvvNnTIzDc

2 p2 p+ 9 3 y4 4

1 25 4 b 2 + b − 3 25 36 n4 16

m2 − 6 3 m + 9

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1 Unidad

Matemática 9

1.5.5 Trinomios factorizables que no son trinomios cuadrados perfectos Trinomio de la forma x2 + bx + c Esta expresión resulta del producto de binomios con término común. Para factorizarla se realizan los pasos aplicados en los siguientes ejemplos:

EJEMPLOS

Factoriza la expresión x2 + 11x + 24. Solución

https://youtu.be/PSf6YJSizPc

Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático y se coloca el resultado en ambos factores: x 2 + 11x + 24 = ( x

)( x )

Se coloca el signo del segundo término ( +11x ) en el primer factor y se multiplica el signo del segundo término por el del tercer término ( + ) ( + ) = + para obtener el signo del segundo factor: x 2 + 11x + 24 = ( x +

)( x + )

Al ser los signos de los factores iguales, se buscan dos cantidades cuyo producto sea igual al tercer término ( 24 ) y cuya suma sea igual a 11. Estos números son 8 y 3, que se colocan en el primer factor, el mayor, y en el segundo factor, el menor:

x 2 + 11x + 24 = ( x + 8 ) ( x + 3) Finalmente, la factorización es: ( x + 8 ) ( x + 3).

Factoriza la expresión m 2 − 13m + 30. Solución La raíz cuadrada del término cuadrático es “m”; el primer factor va acompañado del signo del segundo término ( −13m ) y el segundo factor va con el signo que resulta del producto de los signos del segundo y tercer términos ( − ) ( + ) = −

m 2 − 13m + 30 = ( m −

)( m − )

Se buscan dos cantidades que multiplicadas den 30 y sumadas 13. Estas cantidades son 10 y 3, se acomodan de la siguiente forma y el resultado de la factorización es:

m 2 − 13m + 30 = ( m − 10 ) ( m − 3)

Cuando los signos de los factores son iguales (positivos o negativos), los números buscados se suman (ejemplos 1 y 2). Pero si los signos de los factores son diferentes, entonces los números buscados se restan (ejemplos siguientes).

EJEMPLOS

Factoriza x 2 − 18 − 7 x . Solución Se ordenan los términos en forma descendente respecto a los exponentes y se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático:

x 2 − 7 x − 18 = ( x

)( x )

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10/27/20 11:53

Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

En el primer factor se coloca el signo del término lineal (−7x) y en el segundo se coloca el signo que resulta de multiplicar los signos del término lineal (−7x) y el independiente (−18). x 2 − 7 x − 18 = ( x −

)( x + )

Se buscan dos números cuyo producto sea igual a 18 y cuya resta sea 7. En este caso, los números que cumplen esta condición son 9 y 2. Es importante señalar que el número mayor va en el primer factor y el menor en el segundo. x 2 − 7 x − 18 = ( x − 9 ) ( x + 2 )

Factoriza la expresión x 4 − x 2 − 6 . Solución Se extrae la raíz cuadrada del primer término, se escriben los signos y se buscan dos números que al multiplicarse den 6 y al restarse 1 para que la expresión factorizada sea:

(

)(

x4 − x2 − 6 = x2 − 3 x2 + 2

)

Factoriza la expresión x 2 + xy − 20 y 2 . Solución Después de extraer la raíz cuadrada, acomodar los signos y buscar los números, la factorización es: x 2 + xy − 20 y 2 = ( x + 5 y ) ( x − 4 y )

Factoriza la expresión 21 − 4 x − x 2 . Solución Se ordena el trinomio y se factoriza el signo del término cuadrático:

(

)

21 − 4 x − x 2 = − x 2 − 4 x + 21 = − x 2 + 4 x − 21 Al factorizar la última expresión:

(

)

− x 2 + 4 x − 21 = − ( x + 7 ) ( x − 3) Se multiplica el segundo factor por el signo negativo y se ordena para que el resultado sea: − ( x + 7 ) ( x − 3) = ( x + 7 ) ( − x + 3) = ( x + 7 ) ( 3 − x )

Factoriza (2x + 3)2 - 3(2x + 3) - 28. Solución Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático y se realizan los procedimientos descritos en los ejemplos anteriores para obtener como resultado:

( 2 x + 3)2 − 3( 2 x + 3) − 28 = (( 2 x + 3) − 7 ) (( 2 x + 3) + 4 ) = ( 2 x + 3 − 7 )( 2 x + 3 + 4 ) = ( 2 x − 4 )( 2 x + 7 ) = 2 ( x − 2 )( 2 x + 7 )

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10/27/20 11:53

1 Unidad

Matemática 9

Factoriza x2 - 8x - 1008. Solución Se buscan dos números que multiplicados den 1008 y cuya resta sea 8. Para facilitar el trabajo, descomponemos en factores primos a 1008. 2

504

252

126



1008

(2)(2)(3)(3) = 36

(2)(2)(7) = 28

Por tanto, los números son 36 y 28. x2 = x 2

x - 8x - 1008 = ( x - 36 ) ( x + 28 )

Factoriza m2 + 12m - 364. Solución Descomponemos en factores primos a 364. 2

182



364

(2)(7) = 14

(2)(13) = 26

Por tanto, los números son 26 y 14. m2 = m 2

m + 12m - 364 = ( m + 26 ) ( m - 14 )

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Unidad 1

Producto

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado de factorizar las siguientes expresiones:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

de polinomios y factorización

21. y4 − 6y2 + 8 22. n4 − 20n2 + 64 23. a4 − 37a2 + 36 24. x4 − x2 − 90 25. a2b2 + ab − 12 26. (5y)2 + 13(5y) + 42 27. y6 − 5y3 − 14 28. m2 − 4mn − 21n2 29. 5 + 4b − b2 30. z10 + z5 − 20 31. y4 + 7xy2 − 60x2 32. (a − b)2 + 5(a − b) − 24 33. x4y4 − 2x2y2 − 99 34. m4n4 + m2n2 − 132 35. n2 − 34n + 288 36. y2 + 3y − 550 37. c2 − 22c − 968 38. a 2 + 33a + 252 39. x2 + 44x + 363 40. t 2 − 99t + 2 430

x2 + 3x + 2 m2 − 11m + 30 n2 − 7n + 12 y2 − 15y + 56 x2 + 7x + 6 x2 + 7x + 12 a2 + 10a + 24 b2 − 7b + 10 m2 − 9m + 20 y2 + 4y + 3 x2 − 5x + 4 n2 + 6n + 8 a2 − 16a − 36 y2 + y − 30 x2 − 18 − 7x x2 − 18xy + 80y2 a2 − 5ab − 50b2 m2 − 7mn − 30n2 x2 + xy − 56y2 m4 + 3m2 − 4

41. 24 − 5x − x2 42. 12 + x − x2 43. 40 − 3x − x2 44. 42 − x2 + x 45. 16 + 6(3x) − (3x)2 46. 9 − 8(2x) − (2x)2 47. 77 − 4(8x) − (8x)2 48. 143 + 2(5x) − (5x)2 49. x2a − 13xa + 36 50. b4x + b2x − 72 51. y6a + 65y3a + 64 52. 2 − x4a − x8a 53. 45 + 4xa+2 − x2(a+2) 54. (x + 1)2 − 12(x + 1) + 32 55. (2x − 7)2 − 3(2x − 7) − 88 56. (5x + y)2 + (5x + y) − 42 57. (6a + 5)2 − 15(6a + 5) + 50 58. 22 − 9(x + 3y) − (x + 3y)2 59. 24 + 5(1 − 4x) − (1 − 4x)2 60. 10y2 − 3y(x − 2y) − (x − 2y)2

Trinomio de la forma ax 2 + bx + c; a Z 0 En este trinomio el coeficiente del término cuadrático es diferente de uno.

EJEMPLOS

Factoriza la expresión 6 x 2 − 7 x − 3. Solución Se ordenan los términos según la forma ax 2 + bx + c, se multiplica y se divide entre el coeficiente del término cuadrático, en el caso del segundo término, se deja indicada la multiplicación, aplicando la propiedad conmutativa para el producto, es decir, (6)(7) = (7) (6).

(

) = 36 x

6 6x2 − 7x − 3

− 7 ( 6 x ) − 18 ( 6 x ) − 7 ( 6 x ) − 18 = 6 6 6 La expresión del numerador se factoriza como un trinomio de la forma x 2 + bx + c . 2

( 6 x )2 − 7 ( 6 x ) − 18 ( 6 x − 9 ) ( 6 x + 2 )

= 6 6 Se obtiene el factor común de cada binomio y se simplifica la fracción:

3( 2 x − 3) 2 ( 3x + 1) 6 ( 2 x − 3) ( 3x + 1) = = ( 2 x − 3) ( 3x + 1) 6 6

Finalmente, la factorización de 6x2 − 7x − 3 es (2x − 3)(3x + 1).

Factoriza 3x 2 − 5 x − 2 . Solución Se multiplica y divide la expresión entre 3, para que se transforme el numerador en una expresión de la forma: x 2 + bx + c . 3x 2 − 5 x − 2 =

(

3 3x 2 − 5 x − 2 3

) = 9x

− 5 ( 3x ) − 6 ( 3x ) − 5 ( 3x ) − 6 = 3 3

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UNIDAD MATEMÁTICA 9

Se factoriza la expresión y se simplifica para obtener como resultado de la factorización: =

( 3x − 6 ) ( 3x + 1) 3

3( x − 2 ) ( 3x + 1) = ( x − 2 ) ( 3x + 1) 3

Por consiguiente, 3x 2 − 5 x − 2 = ( x − 2 ) ( 3x + 1).

Factoriza la siguiente expresión 6 a 2 x 2 + 5 ax − 21. Solución Se aplican los pasos descritos en los ejemplos anteriores y se obtiene: 6 a 2 x 2 + 5 ax − 21 =

(

) = 36a x

6 6 a 2 x 2 + 5 ax − 21 6

( 6ax + 14 ) ( 6ax − 9 )

+ 5 ( 6 ax ) − 126 ( 6 ax ) + 5 ( 6 ax ) − 126 = 6 6

2 ( 3ax + 7 ) 3( 2 ax − 3) 6 ( 3ax + 7 ) ( 2 ax − 3) = = = = ( 3ax + 7 ) ( 2 ax − 3) 6 6 6 2 2 Finalmente, el resultado de la factorización es: 6 a x + 5 ax − 21 = ( 3ax + 7 ) ( 2 ax − 3).

Factoriza la siguiente expresión: 5 + 11x − 12 x 2. Solución Se ordenan los términos y se factoriza el signo negativo:

(

5 + 11x − 12 x 2 = −12 x 2 + 11x + 5 = − 12 x 2 − 11x − 5

)

Método de aspas simple Otra manera factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c; a Z 1 es utilizar el método de aspas simple, también conocido como método de las tijeras.

EJEMPLOS

Aplica el método de aspas simple y factoriza el trinomio 6x2 - 5x - 6. Solución Primero, se descompone el primer término del trinomio en dos factores adecuados, por ejemplo: 6x² = (3x)(2x) 6x2 - 5x - 6

De cada factor sale una flecha 2x 3x

Segundo, asignaremos signos de la siguiente manera: El signo del segundo término del trinomio se coloca donde llega la flecha del segundo factor, es decir, la flecha que sale de 2x. El producto de los signos del segundo y tercer término del trinomio, es decir, (-)(-) = (+), se coloca donde llega la flecha del 3x, así: 2x

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Tercero, se descompone el término independiente del trinomio en dos factores adecuados, por ejemplo: 6 = (3)(2)

6x - 5x - 6 2

-3

Cuarto, por último, se multiplican en fila las cantidades respetando los signos, así: (3x)(-3) = -9x (2x)(+2) = +4x Se reducen los términos semejantes de la siguiente manera: -9x +4x -5x Si lo que resulta de reducir los términos semejantes es igual al segundo término del trinomio, entonces, los factores que corresponden al trinomio serán los binomios que resultan al unir las cantidades que están en los extremos de cada flecha, así: 6x2 - 5x - 6 3x

-3

(3x)(-3) = -9x

(2x)(+2) = +4x -5x

Lo factores son: (2x - 3)(3x + 2) Por lo tanto: 6x2 - 5x - 6 = (2x - 3)(3x + 2)

Aplica el método de aspas simple y factoriza el trinomio: 3x2 - 14x + 8. Solución 3x2 - 14x + 8 3x

-4

(3x)(-4) = -12x

-2

(2x)(-2) = -2x

3x2 - 14x + 8

= (x - 4)(3x - 2)

-14x

= (x - 4)(3x - 2)

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1 Unidad

Matemática 9

Aplica el método de aspas simple y factoriza el trinomio 10x8 + 29x4 + 10. Solución 10x8 + 29x4 + 10 4

(5x4)(+5) = 25x4

2x4

(2x)(-2) =

10x8 + 29x4 + 10

= (2x4 + 5)(5x4 + 2)

4x4 +29x4

= (2x + 5)(5x + 2) 4

Aplica el método de aspas simple y factoriza el trinomio 15 + 2m2 - 8m4. Solución Ordenando el trinomio tenemos que:

-8m4 + 2m2 + 15

-2m2

-10m2

= (4m2 + 5)(3 - 2m2)

+4m2

+12m2

= (4m2 + 5)(-2m2 + 3) +2m4

= (4m + 5)(-2m2 + 3) 2

Nota: El método de aspas simple también es aplicable al trinomio de la forma x2 + bx + c.

R azonamiento

lógico matemático

Factoriza correctamente cada uno de los siguientes polinomios; aplica el método que mejor te parezca.

1. 6x2 - 11x + 4

11. 3x2 - 7xy - 6y2

2. 3x2 + 11x - 4

12. 16m - 4 - 15m2

3. 2a2 - 13a - 7

13. 15m2 - am - 2a2

4. 4b2 + 11b + 6

14. 10y8 + 29y4 + 10

5. 8x2 - 3 - 2x

15. 21x2 - 29xy - 72y2

6. 6m2 - 7m - 20

16. 30 + 13b - 3b2

7. 4n2 - 5n - 6

17. 27mn - 9n2 - 20m2

8. 6y2 + y - 2

18. 6 - 25a8 + 5a4

9. 3x2 + 4x + 7

19. 4x2 + 7mnx - 15m2n2

10. 6x2 + 19x - 36

20. 14c4 - 45c2 - 14

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

21. 2x4 - x2 - 1

26. 3c2 - 7cm - 6m2

22. 3 - 2a - 8a2

27. 18 + 23x - 6x2

23. 6b2 + 5bc - 4c2

28. 3(x + y)2 + 10(x + y) + 3

24. 6 - 5n - 4n2

29. 2(a + b)2 - 3(a + b) + 1

25. 4x4 + 15x2 - 4

30. 4m2 + 13m - 12

1.5.6 Suma o diferencia de cubos Dadas las expresiones de la forma a 3 + b 3 y a 3 − b 3 , para factorizarlas es necesario extraer la raíz cúbica del primer y segundo términos, para después sustituir los resultados en los respectivos factores. (a3 - b3) = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 = a

El cuadrado de “b”

b3 = b

El producto de las raíces cúbicas El cuadrado de “a”

De manera similar para a3 - b3 (a3 - b3) = (a + b)(a2 - ab + b2)

EJEMPLOS

Factoriza 27 x 3 + 8. Solución Se extrae la raíz cúbica de ambos términos: 3

27 x 3 = 3x

https://youtu.be/JMJZzahCvss

8=2

Se sustituye en la suma de cubos, se desarrollan los exponentes y se obtiene: 2 2 27x 3 + 8 = ( 3x + 2 ) ⎡⎣( 3x ) − ( 3x ) ( 2 ) + ( 2 ) ⎤⎦

(

= ( 3x + 2 ) 9 x 2 − 6 x + 4

)

Factoriza m 6 − 216. Solución Se extraen las raíces cúbicas de los términos y se sustituyen en la diferencia de cubos para obtener:

(

) ( ) + ( m )( 6 ) + ( 6 ) ⎤⎥⎦

(

)(

m 6 − 216 = m 2 − 6 ⎡⎢ m 2 ⎣

= m 2 − 6 m 4 + 6 m 2 + 36

)

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1 Unidad

Matemática 9

Factoriza x15 + 64y3. Solución Se realiza el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores para obtener:

(

) ( ) − ( x )( 4 y) + ( 4 y) ⎤⎦⎥

(

)(

x15 + 64 y 3 = x 5 + 4 y ⎡⎢ x 5 ⎣

= x 5 + 4 y x10 − 4 x 5 y + 16 y 2

)

Factoriza la siguiente expresión (x + y)3 + (x − y)3. Solución Se obtienen las raíces cúbicas de los elementos y se sustituyen en la suma de cubos: 3

( x + y) 3

= x+y

( x − y) 3

= x−y

Al aplicar la factorización de la suma de cubos, desarrollar y simplificar se obtiene:

( x + y )3 + ( x − y )3 = ⎡⎣( x + y ) + ( x − y )⎤⎦ ⎡⎣( x + y )2 − ( x + y )( x − y ) + ( x − y )2 ⎤⎦

(

= ( x + y + x − y ) x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2

= 2 x x 2 + 3y 2

(

)

EJERCICIOS Determina el resultado de factorizar las siguientes expresiones:

1. 8x 3 - 1 2. x 3 + 27 3. 8x + y 3

https://youtu.be/I3DfmZL6aHM

4. 27a 3 - b 3 5. 8a 3 + 27b 6 6. 64a 3 - 729 7. 512 - 27a 9 8. x 6 - 8y 12 9. 1 - 216m 3 10. a 3 - 125 11. 27m 3 + 64n 9 12. 343x 3 - 512y 6 13. a 6 + 125b 12 14. 8x 6 + 729 15. 27m 6 + 343n 9

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

1.5.7 Factorización que combina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados EJEMPLOS

Factoriza x2 − 2xy + y2 − a2. Solución La expresión x2 − 2xy + y2 es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es: Por tanto:

x2 − 2xy + y2 = (x − y)2 x2 − 2xy + y2 − a2 = (x2 − 2xy + y2) − a2 = (x − y)2 − a2

Al factorizar la diferencia de cuadrados se obtiene finalmente: = (x − y)2 − a2 = (x − y + a)(x − y − a)

Factoriza la siguiente expresión: 16a2 − m2 − 8mn − 16n2. Solución Se agrupan los términos de la siguiente manera y se factoriza el signo negativo: 16a2 − m2 − 8mn − 16n2 = 16a2 + (−m2 − 8mn − 16n2) = 16a2 − (m2 + 8mn + 16n2) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto: = 16a2 − (m + 4n)2

Se factoriza la diferencia de cuadrados y se obtiene finalmente:

= [4a + (m + 4n)][4a − (m + 4n)] = (4a + m + 4n)(4a − m − 4n)

Factoriza a2 − 2ab + b2 − 25m10 + 40m5n3 − 16n6. Solución Se agrupan los términos que forman trinomios cuadrados perfectos y, posteriormente, se factoriza la diferencia de cuadrados para que el resultado sea: a2 − 2ab + b2 − 25m10 + 40m5n3 − 16n6 = (a2 − 2ab + b2) − (25m10 − 40m5n3 + 16n6) = (a − b)2 − (5m5 − 4n3)2 = [(a − b) + (5m5 − 4n3)][(a − b) − (5m5 − 4n3)] = (a − b + 5m5 − 4n3)(a − b − 5m5 + 4n3)

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado de factorizar las siguientes expresiones:

1. m2 + 2m + 1 − 4n2

6. m2 − 6x − 9 − x2 + 2am + a2

11. m2 − 16 − n2 + 36 + 12m − 8n

2. y2 − 6y + 9 − z2

7. 1 − a2 − 9n2 − 6an

12. x2 + 2xy + y2 − 16a2 − 24ab5 − 9b10

3. x2 − y2 + 10y − 25

8. m2 − n2 + 4 + 4m − 1 − 2n

13. 100 − 60y + 9y2 − m2 + 2amp − a2p2

4. m4 − n6 − 6n3 − 9

9. 2by − y2 + 1 − b2

14. 25b2 + 10ab − 9n2 + a2 − 6mn − m2

5. 49m4 − 25m2 − 9n2 + 30mn

10. 25p2 − 2m − m2 −1

15. 4m2 − 9a2 + 49n2 − 30ab − 25b2 − 28mn

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1 Unidad

Matemática 9

Factorización por adición y sustracción Ejemplo Factoriza la expresión 4m4 + 3m2n2 + 9n4. Solución El trinomio no es cuadrado perfecto debido a que el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer términos es: 2(2m2)(3n2) = 12m2n2 Ya que el segundo término es 3m2n2, se le suma 9m2n2 y se obtiene el término que se necesita para que el trinomio sea cuadrado perfecto, por consiguiente, se resta también 9m2n2 para no alterar la expresión. 4m4 + 3m2n2 + 9n4 = 4m4 + 3m2n2 + 9m2n2 + 9n4 − 9m2n2 = (4m4 + 12m2n2 + 9n4) − 9m2n2 = (2m2 + 3n2)2 − 9m2n2 = (2m2 + 3n2 + 3mn)(2m2 + 3n2 − 3mn)

Finalmente 4m4 + 3m2n2 + 9n4 = (2m2 + 3n2 + 3mn)(2m2 + 3n2 − 3mn).

EJERCICIOS Determina el resultado de factorizar correctamente los siguientes polinomios:

1. n4 + n2 + 1

2. a4 - 6a2 + 1

3. 4m4 + 3m2n2 + 9n4

4. 16x4 - 25x2y2 + 9y4

5. 49 + 76a2 + 64a4

6. 36b8 + 121a4 - 133a2b4

7. x4 - 45c2 + 100

8. 16 - 9y4 + y8

9. 23n6 + 9n12 + 144

10. m4n4 + 21m2n2 + 121 Nota: Para factorizar completamente un polinomio, se aconseja seguir los siguientes pasos:

1. Analizar si tiene un factor común. 2. Si el polinomio consta de dos términos, determinar si es una diferencia de cuadrados, una diferencia de cubos o una suma de cubos. 3. Si el polinomio consta de tres términos: • Analizar si es un trinomio cuadrado perfecto. • Si es un trinomio cuadrado perfecto, determinar si es de la forma x2 + bx + c; o de la forma ax2 + bx + c; siendo a Z 1. 4. Si el polinomio posee cuatro o más términos, determinar si es posible agrupar adecuadamente sus términos, de modo que tengan un factor común polinomio o una factorización que combine un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados.

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

1.5.8 Polinomios donde se utilizan dos o más formas de factorización Existen polinomios que se deben factorizar dos o más veces con diferentes formas. A continuación, se ejemplifican algunos de estos polinomios:

EJEMPLOS

Factoriza la expresión 2x3 + 6x2 − 8x. Solución Se obtiene el factor común: 2x3 + 6x2 − 8x = 2x (x2 + 3x − 4) Se factoriza el trinomio de la forma x2 + bx + c y se obtiene:

= 2x (x + 4)(x − 1)

Factoriza 3m4 − 243. Solución Se factoriza 3 que es el factor común:

3m4 − 243 = 3 (m4 − 81) El binomio se factoriza con una diferencia de cuadrados:

= 3 (m2 − 9)(m2 + 9)

La expresión m2 − 9 se factoriza empleando nuevamente la diferencia de cuadrados y se obtiene finalmente: = 3 (m − 3)(m + 3)(m2 + 9)

R azonamiento

lógico matemático

Determina el resultado de factorizar las siguientes expresiones:

1. x3 − 3x2 − 28x 2. 3a2 − 3a − 6 3. 3m3 − 3m 4. y4 − 3y2 − 4 5. m3 − m2 − m + 1 6. 6ax2 − ax − 2a 7. x4 − x3 + x2 − x 8. 8ax2 − 2a 9. a5 + a3 − 2a 10. 64 − m6

11. x4 − 25x2 + 144 12. a5 − a3b2 + a2b3 − b5 13. a9 − ab8 14. a(x3 + 1) + 3ax(x + 1) 15. a6 − 25a3 − 54 16. a4 − a3 + a − 1 17. 4m2y3 − 4m2 18. 3mnp2 + 3mnp − 18mn 19. 256 − a4 20. a8 − b8

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1 Unidad

Matemática 9

Actividad integradora de unidad Razonamiento lógico matemático Determina el producto que se obtiene de la multiplicación P(x)Q(x) para cada par de polinomios. 1. P(x) = 2x 3 + 5x 2 + x - 4 y Q(x) = x 2 + 3 2. P(x) = 5x 2 - 5x + 4 y Q(x) = 2x 2 + 1 3. P(x) = x 3 - 1 y Q(x) = 5x 2 - x + 2 4. P(x) = 12x 3 + 7x 2 + x - 4 y Q(x) = x 2 + 3 5. P(x) = 5x 2 - 3x + 4 y Q(x) = 3x + 2 6. P(x) = x 3 - 1 y Q(x) = x 7. P(x) = x 4 - x + 1 y Q(x) = x 2 + 1 Dados los polinomios: A(x) = (3x 3 + 3x 2 - 1), B(x) = (2x 4 - 5x 2) y C(x) = (-x 3 + x - 2) determina el resultado de efectuar correctamente las siguientes operaciones: 8. A(x) - B(x) + C(x) = 9. A(x) + B(x)C(x) = 10. B(x) , C(x) = 11. [A(x) + B(x)] , C(x) = Completa correctamente, escribiendo el término que hace falta para completar la igualdad de las expresiones que correspondan al cuadrado de un binomio. 12. (a + 2b)2 = a 2 + 4ab + 13. Q p +

1 2 2 qR = p 2 + pq + 3 3

14. (2x - 3)2 = 4x 2 15. (ab 3 - 3c)2 =

+9 - 6ab 3c + 9c 2

Calcula las divisiones

P( x ) de polinomios y señala si son exactas o enteras. Q( x )

16. P(x) = 5x 3 + 3x 2 + 5x - 7 y Q(x) = x 2 + 5 17. P(x) = x - 1, Q(x) = x 18. P(x) = x 2 - 5x + 6, Q(x) = x - 2 19. P(x) = x 2 - 1, Q(x) = x + 1 20. P(x) = x 3 - 3x 2 + 2x, Q(x) = x

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

Aplica el algoritmo de la división y comprueba que P(x) = Q(x)C(x) + R(x). 21. P(x) = x - 1, Q(x) = x 3

22. P(x) = x 3 - 1, Q(x) = x + 1 23. P(x) = x 3 - 1, Q(x) = x 2 - 2

Donde:

P(x): Dividiendo Q(x): Divisor C(x): Cociente R(x): Residuo

24. P(x) = x 3 + 1, Q(x) = x 3 Completa la siguiente división de polinomios escribiendo los coeficientes que hacen falta. 2x 4 +

x3 +

x 2 - 4x + 1

x2 - x + 2

x4 +

x3 +

x 2

x2 +

x 3 - x 2 - 4x + 1 x3 +

x2 +

x +

x + 1

Pensamiento resolutivo Desarrolla las siguientes expresiones de productos notables. 1. (x + 5)2 = 2. (x - 7)2 = 3. (a + 1)2 = 4. (n + 21)2 = 5. (x - 2)2 = 6. (6x - 8y)2 = 7. (x - 18)2 = 8. (8mn + 5m 2n 2)2 = 9. (xy 2 + 2y)3 = 10. (ax + by)3 = 11. (2z - w 2)3 = 12. (2p + 3)3 = 13. (2xy - 3wz)3 = 14. (4n - 3)3 = 15. a

2 3 x - 5b = 4

16. ( p + 5q)2 =

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Matemรกtica 9

17. (x - 3y)2 = 18. a8m 19. a

1 2 nb = 2

2 1 x - yb = 2

20. (x - 5)2 = 21. (x + 7)2 = 22. (2a - 3b)2 = 23. (y + 4)3 = 24. (6m 4 - 8n 6)3 = 25. (1 - 8y)3 = 26. (10j 5 - 6k 4)3 = 27. (5a 3b + 3c 3)3 = 28. (3hn - 1)3 = Expresa cada uno de los siguientes productos notables como una diferencia de cuadrados. 29. (a + 3)(a - 3) = 30. (x + 7)(x - 7) = 31. (3x - 4y)(3x + 4y) = 32. (m - 12)(m + 12) = 33. (4mn + 7pq)(4mn - 7pq) = 34. (y + 27)(y - 27) = 35. (5x 2 - 8y 2)(5x 2 + 8y 2) = 36. Q

2 3 2 3 a + bR Q a - bR = 5 4 5 4

37. (3a + 1)(3a - 1) = 38. Q2x +

1 1 R Q2x - R = 2 2

39. (6x - 4)(6x + 4) = 40. (2x - 4)(2x + 4) =

41. (5p - 3q)(5p + 3q) = 42. (7a + a 4)(7a - a 4) =

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Producto

Unidad 1 de polinomios y factorización

43. (a + b 2)(a - b 2) = 44. (a 4 + c)(a 4 - c) = 45. (a + b 5)(a - b 5) = 46. Q2x +

1 1 R Q2x - R = 3 3

1 1 47. Q z 3 + yR Q z 3 - yR = 3 3 48. (2a - 6)(2a + 6) =

Utilizando correctamente las operaciones con polinomios, determina el área de la región sombreada para cada una de las siguientes figuras geométricas. 1.

n + 12

n+5

A= 2. 2n 3n + 5

2n 10n

A= 3.

n-6

n2 - 3n - 5

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Matemática 9

4. 2ab 7a3b2

A= 5. 4m2 - 6

m3 + 2m2 - 7

A= 6.

x2 + 2x - 7

A= 7.

4x2y2 + 2 xy 2xy xy

A= 8.

6x - 1

2x - 1 2x - 1

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Producto

Unidad 1 de polinomios y factorización

Razonamiento lógico matemático Aplica correctamente los procesos de factorización por medio de factor común y determina el resultado de factorizar los siguientes polinomios: 1. 4a 2b + 8a3 = 2. 14f 11 + 7f 10 - 28f 13 = 3. 3x 3 - 6x 6 + 12x 12 = 4. 48a 20b 10 + 36a 40b 30 = 5. 100m 2n 3p - 150mn 2p 2 + 50mn 2p 2 = 6. 3x 2 - 12 = 7. 3amn - 75 m n = 8. 32a 4b - 162b 5 = 9. a(x + 1) + b(x + 1) = 10. x(a + 1) - 3(a + 1) = 11. 2(x - 1) + y(x - 1) = 12. m(a - b) + (a - b)n = 13. 2x(n - 1) - 3y(n - 1) = 14. a(n + 2) + n + 2 = 15. x(a + 1) - a - 1 = 16. a 2 + 1 - b(a 2 + 1) = 17. 3x(x - 2) - 2y(x - 2) = 18. 1 - x + 2a(1 - x) = 19. 4x(m - n) + n - m = 20. -m - n + x(m + n) = 21. a 3(a - b + 1) - b 2(a - b + 1) = 22. 4m(a 2 + x - 1) + 3n(x - 1 + a 2) = 23. x(2a + b + c) - 2a - b - c = 24. (x + y)(n + 1) - 3(n + 1) = 25. (x + 1)(x - 2) + 3y(x - 2) = 26. (a + 3)(a + 1) - 4(a + 1) = 27. (x 2 + 2)(m - n) + 2(m - n) = 28. a(x - 1) - (a + 2)(x - 1) = 29. 5x(a 2 + 1) + (x + 1)(a 2 + 1) = 30. (a + b)(a - b) - (a - b)(a - b) =

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Matemática 9

31. (m + n)(a - 2) + (m - n)(a - 2) = 32. (x + m)(x + 1) - (x + 1)(x - n) = 33. (x - 3)(x - 4) + (x - 3)(x + 4) = 34. (a + b - c)(a 2 + 1) - a 2 - 1 = 35. (a + b - c)(x - 3) - (b - c - a)(x - 3) = 36. 3x(x - 1) - 2y(x - 1) + z(x - 1) = 37. a(n + 1) - b(n + 1) - n - 1 = 38. x(a + 2) - a - 2 + 3(a + 2) = Aplica correctamente los procesos de factorización por agrupación de términos y determina el resultado de factorizar los siguientes polinomios: 39. a 2 + ab + ax + bx = 40. am - bm + an - bn = 41. ax - 2bx - 2ay + 4by = 42. a 2x 2 - 3bx 2 + a 2y 2 - 3by 2 = 43. 3m - 2n - 2nx 4 + 3mx 4 = 44. x 2 - a 2 + x - a 2x = 45. 4a 3 - 1 - a 2 + 4a = 46. x + x 2 - xy 2 - y 2 = 47. 3abx 2 - 2y 2 - 2x 2 + 3aby 2 = 48. 3a - b 2 + 2b 2x - 6ax = 49. 4a 3x - 4a 2b + 3bm - 3amx = 50. 6ax + 3a + 1 + 2x = 51. 3x 3 - 9ax 2 - x + 3a = 52. 2a 2x - 5a 2y + 15by - 6bx = 53. 2x 2y + 2xz 2 + y 2z 2 + xy 3 = 54. 6m - 9n + 21nx - 14mx = 55. n 2x - 5a 2y 2 - n 2y 2 + 5a 2x = 56. 1 + a + 3ab + 3b = 57. 4am 3 - 12amn - m 2 + 3n = 58. 20ax + 5bx + 2by - 8ay =

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Producto

Unidad 1 de polinomios y factorizaciรณn

Aplica los procesos de la factorizaciรณn del trinomio que es cuadrado perfecto y factoriza los siguientes trinomios. 59. a 2 - 2ab + b 2 = 60. a 2 + 2ab + b 2 = 61. x 2 - 2x + 1 = 62. y 4 + 2y 2 + 1 = 63. a 2 - 10a + 25 = 64. 9 - 6x + x 2 = 65. 16 + 40x 2 + 25x 4 = 66. 1 - 14a + 49a 2 = 67. 36 + 12m 2 + m 4 = 68. 1 - 2a 2 + a 6 = 69. a 8 + 18a 4 + 81 = 70. a 6 - 2a 3b 3 + b 6 = 71. 4x 2 - 12xy + 9y 2 = 72. 9b 2 - 30a 2b + 25a 4 = 73. 1 + 14x 2y + 49x 4y 2 = 74. 1 - 2a 5 + a 10 = 75. 49m 6 - 70am 3n 2 + 25a 2n 4 = 76. 100x 10 - 60a 4x 5y 6 + 9a 8y 12 = 77. 121 + 198x 6 + 81x 12 = 78. a 2 - 24am 2x 2 + 144m 4x 4 = 79. 16 - 104x 2 + 169x 4 = 80. 400x 10 + 40x 5 + 1 = 81.

a2 - ab + b 2 = 4

82. 1 +

2b b2 + = 3 9

83. a 4 - a 2b 2 + 84.

b4 = 4

1 x2 25 x 4 + = 25 3 36

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Aplica correctamente los procesos sobre la diferencia de cuadrados y factoriza las siguientes expresiones: 85. m 4 - n 12 = 86. 169x 28 - 196y 26 = 87. a 2x - b 36y = 88. 1 - 64a = 89. m 2(a + b) - 1 = 90. p 2p - q 4q = 91. a 88 - b44 = 92. a 2 - b 2 = 93. 1 - 4m 2 = 94. 1 - 49a 2b 2 = 95. 16 - n 2 = 96. 4x 2 - 81y 4 = 97. a 2 - 25 = 98. 100 - x 2y 6 = 99. 25 - 36n 4 = 100.

1 - 9a 2 = 4

101.

x2 y2 z 4 = 100 81

102.

1 4x2 = 16 49

Aplica los procesos de factorización y determina el resultado correcto de realizar las siguientes sumas y diferencias de cubos. 103. x 3 - 27 = 104. t 9 - t 3 = 105. 8m 3 + 125 = 106. 1000j 12 + 64k 6 = 107. c 3 + 1 = 108. 1331 - k 33 = 109. 64 - x 3 = 110. 27n 3 + 8n 6 =

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Producto

111.

Unidad 1 de polinomios y factorización

1 3 8 x + = 8 27

112. x 6 - y 6 = 113. 8a 3b 3 + 27 = 114. x 3 -

1 = 64

115. a 3 - 125 = 116. 8p 3 + 64q 3 = 117. z 3 - 8 = 118.

125 3 1 3 a b = 8 27

119. 8c 3 - 1 = 120. x 3 + a 3 =

Pensamiento resolutivo Determina el resultado de factorizar los trinomios de la forma x 2 + bx + c, con b y c enteros distintos de cero. 1. x 2 + 5x + 6 = 2. a 2 + 22a + 120 = 3. m 2 - 8m - 20 = 4. m 2 - 17m + 60 = 5. p 2 - 16p + 48 = 6. b 2 - 6b - 40 = 7. a 2 - 2a - 48 = 8. k 2 + 4k - 32 = 9. p 8 - p 4 - 2 = 10. x 2 + 4x + 3 = 11. b 2 + 8b + 15 = 12. x 2 + 14xy + 24y 2 = 13. r 2 - 12r + 27 = 14. x 2 + 5x + 4 = 15. h 2 - 27h + 50 = 16. a 2 + 7a + 10 = 17. x 2 - x - 2 = 18. s 2 - 14s + 33 =

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Matemática 9

19. m 2 + 19m + 48 = 20. x 2 - 12x + 35 = Factoriza los trinomios de la forma ax 2 + bx + c, con a, b y c enteros distintos de cero y a Z 1. 21. 2a 2 + 5a - 12 = 22. 5x 2 + 11x + 2 = 23. 5b 2 + 4b - 1 = 24. 4x 2 + 7x + 3 = 25. 3h 2 - 10h + 3 = 26. 5 + 7b + 2b 2 = 27. 6m 2 + 23mn - 4n 2 = 28. 5c 2 + 11cd + 2d 2 = 29. 8a 2 - 3ab - 5b 2 = 30. 6a 2 - 5a - 21 = 31. 2a 2 - 13a + 15 = 32. 2x 2 + 3x - 2 = 33. 4h 2 + 5h + 1 = 34. 3x 2 - 5x - 2 = 35. 2x 2 + 5x - 12 = 36. 6x 2 + 7x + 2 = 37. 8z 2 - 14z + 3 = 38. 6x 2 - 5x - 6 = 39. 7p 2 + 13p - 2 = 40. 12x 2 - x - 6 = 41. 2x 2 - 11x + 5 = 42. 30x 2 + 13x - 10 =

Razonamiento lógico matemático Determina el resultado de factorizar cada una de las expresiones algebraicas que se muestran a continuación: 1. 10xy + 15xy 2 = 2. 27a 3 - 64b 3 = 3. 3m 3 + 3m 2 - 18m =

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Producto

Unidad 1 de polinomios y factorización

4. 6x 2 - x - 12 = 5. 18x 3y - 9x 2y + 27x 2y 2 = 6. 6ux - 4uy + 3vx - 2vy = 7. (3a + b)(2c - d) + 2a(2c - d)2 = 8. x 2 + 2x - 15 = 9. 3a 2b - 12ab 2 + 9ab = 10. x 2 - 12x + 32 = 11. 16x 2 - 9y 2 = 12. x 3 + 64y 3 = 13. ax 2 - ay + 3a + bx 2 - by + 3b = 14. 8a 3 - b 3 = 15. 64m 3 - 48m 2n + 12mn 2 - n 3 = 16. 25x 2 - 36y 2 = Aplica la división sintética y efectúa las siguientes divisiones: 17. (a 4 - 16) , (a - 2) = 18. (4x 4 - 6x + 15x 2 - 23) , (x + 4) = 19. (w 4 - 6w 3 - 19w 2 + 22w + 12) , (w - 8) = 20. (a 3 - 125) , (a - 5) = 21. (z 4 - 7z + 6) , (z - 1) = 22. (w 4 - 2w 3 - 6 + 13w) , (w + 2) = 23. (x 2 + 18x + 77) , (x + 7) = 24. (p 3 - 2p 2 - 7p - 4) , (p + 1) = 25. (4a 5 + 8a 4 - 3a + 7) , (a + 2) = 26. (2x 2 - 9x - 1) , (x - 3) = Aplica la división sintética para factorizar los siguientes polinomios: 27. a 4 - 18a + 81 = 28. x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 29. x 4 - 5x 3 - 12x 2 - 13x - 7 = 30. x 3 - 8x 2 + 19x - 12 = 31. z 3 - 25z 2 + 4z + 20 = 32. x 3 + 4x 2 - 2x - 8 =

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Matemática 9

33. x 5 - 6x 4 + 9x 3 - 8x 2 + 48x - 72 = 34. z 3 - 2z 2 + 4z - 8 =

Aplicación de la matemática 1. Escribe una expresión con factores que permita determinar el área de la región sombreada de cada una de las siguientes figuras: a)

(x + 1)

x+2 x-2

A= f )

r r

x x 3

2. Determina la expresión con factores para calcular el área de cada región rectangular que se muestra a continuación: a)

b) A = xb + xa

c) A = 7x - 49

A = 3xy2 - 21y2

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la factorización. En las zonas cercanas a las orillas del bajo Lempa, año con año en invierno, este río inunda segmentos de terrenos que se utilizan para cultivar diversos granos básicos. Si en la gráfica, “a” representa el lado del terreno cuadrangular que se va a cultivar, y “x” el lado de terreno que es inundado por el río, ¿cuál podría ser la expresión factorizada que representa el área cultivada en un terreno como el siguiente?

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Unidad 1

Producto

de polinomios y factorización

4. Un albañil desea impermeabilizar el patio de una vivienda colocando losas de cerámica, pero le piden dejar un sector cuadrangular de dimensiones “x” para colocar posteriormente una fuente, determina, ¿cuál es el área del terreno en el que colocará las baldosas de cerámica?

4x x

2.5

5. En el patio del colegio se delimitan las zonas para diversos juegos, que se representan en el siguiente diagrama:

Determina cuáles son las dimensiones del patio destinado para los juegos y la expresión con factores para calcular el área.

6. Determina la expresión factorizada para calcular el área de cada una de las siguientes figuras, teniendo en cuenta que la parte sombreada se debe restar. a)

x x

x-1

d )

b) 1

x 1

1 1 x

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MATEMÁTICA 7, 8 y 9 PEARSON La serie Matemática 7, 8 y 9 de PEARSON, 2a Edición se adaptó de acuerdo al programa vigente del MINEDUCYT y están orientados al desarrollo de competencias bajo el enfoque de resolución de problemas.

Esta obra, además, responde a las exigencias actuales aportando recursos valiosos e indispensables en los procesos educativos que se desarrollan en el aula y de manera virtual tanto para los docentes, como para los estudiantes, recursos como: 1.

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conocimientos adquiridos.

Matemática 9- U1 - Pearson / 2020 Producto de polinomios y factorización MULTIPLE CHOICE

MUESTRA DE BANCO DE REACTIVOS DE ÍTEMS PARA DOCENTES

1. Determina ¿cuál es el resultado correcto que se obtiene al factorizar el polinomio 6x  x 3  x 2 ? x(x  3)(x  2) A x(x  3)(x  2) C x(x  3)(x  2) B D x(x  3)(x  2) ANS: D 6x  x 3  x 2  x(x 2  x  6)  x(x  3)(x  2) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización

2. Determina el resultado de factorizar completamente la expresión: 12x 4  10x 3  12x 2 . 2 2x 2 (2x  3)(3x  2) A x (4x  6)(3x  2) C B

2(2x 2  3x)(3x 2  2x)

2x 2 (2x  3)(3x  2)

ANS: D 12x 4  10x 3  12x 2  2x 2 (6x 2  5x  6)  2x 2 (2x  3)(3x  2) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización

3. Determina el resultado de factorizar completamente el polinomio: x 4  13x 2  36 . 2 2 (x  2)(x  2)(x  3)(x  3) A (x  6)(x  6) C B

(x 2  4)(x 2  9)

(x  2)(x  2)(x  3)(x  3)

ANS: D x 4  13x 2  36  (x 2  4)(x 2  9)  (x  2)(x  2)(x  3)(x  3) PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización

4. Reconoce que al factorizar completamente la expresión: x 3  3x 2  4x  12 se obtiene: (x 2  4)(x  3) A (x  2)(x  2)(x  3) C B

(x  2)(x  2)(x  3)

(x 2  4)(x  3)

ANS: B x 3  3x 2  4x  12

x 2 (x  3)  4(x  3) (x 2  4)(x  3) (x  2)(x  2)(x  3) PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

5. Reconoce que cuando se factoriza por completo, la expresión: 3x 3  5x 2  48x  80 se obtiene: 2 (x  4)(x  4)(3x  5) A (x  16)(3x  5) C B

(x 2  16)(3x  5)(3x  5)

(x  4)(x  4)(3x  5)(3x  5)

ANS: C 3x 3  5x 2  48x  80

x 2 (3x  5)  16(3x  5) (x 2  16)(3x  5) (x  4)(x  4)(3x  5) PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

6. Determina ¿qué expresión es equivalente a x 4  12x 2  36? 2 2 (6  x 2 )(6  x 2 ) A (x  6)(x  6) C B

(x 2  6)(x 2  6)

(x 2  6)(x 2  6)

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización 7. Francisco recibe una hoja rectangular de papel. Si la longitud del trozo de papel de Francisco está representada por 2x  6 y el ancho está representado por 3x  5, entonces reconoce que el papel tiene un área total representada por: 10x  22 A 5x  11 C 2 2 6x  28x  30 B D 6x  6x  11 ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Aplicación de la Matemática al entorno. LOC: Reconocer TOP: Multiplicación de polinomios

STA: Resolución de Problemas.

8. Reconoce ¿cuál es el resultado que se obtiene al factorizar completamente la expresión p 4  81 ? A B

(p 2  9)(p 2  9) (p 2  9)(p 2  9)

C D

(p 2  9)(p  3)(p  3) (p  3)(p  3)(p  3)(p  3)

ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización 9. Sí el área de un rectángulo está expresado como x 4  9y 2 , reconoce que entonces el producto de la longitud y el ancho del rectángulo podría expresarse como: (x 2  3y)(x 2  3y) A (x  3y)(x  3y) C B

(x 2  3y)(x 2  3y)

(x 4  y)(x  9y)

ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización 10. A continuación se muestran cuatro expresiones. 2(2x 2  2x  60) I

4(x 2  x  30) 4(x  6)(x  5) 4x(x  1)  120 Reconoce que la expresión 4x 2  4x  120 es equivalente a: A I y II, únicamente C I, II, y IV B II y IV, únicamente D II, III, y IV II III IV

ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización 11. Identifica ¿qué trinomio es equivalente a 3(x  2) 2  2(x  1)? A B

3x 2  2x  10 3x 2  2x  14

C D

3x 2  14x  10 3x 2  14x  14

ANS: D 3(x 2  4x  4)  2x  2  3x 2  12x  12  2x  2  3x 2  14x  14 PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Identificar TOP: Formas de Factorización

12. Reconoce que cuando se factoriza por completo, la expresión x 3  2x 2  9x  18 es equivalente a: 2 (x  2) 2 (x  3)(x  3) A (x  9)(x  2) C B

(x  2)(x  3)(x  3)

(x  3) 2 (x  2)

ANS: B x 3  2x 2  9x  18

x 2 (x  2)  9(x  2) (x 2  9)(x  2) (x  3)(x  3)(x  2) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

  13. Determina ¿cuál es el producto que se obtiene al multiplicar  x 2  2x  3  x  1  ?   3 2 2 x  3x  2 A x x x3 C 3 2 2 x  2x  3x B D x x4 ANS: A (x 2  2x  3)(x  1)  x 3  x 2  2x 2  2x  3x  3  x 3  x 2  x  3 PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración. TOP: Multiplicación de polinomios

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Determinar

14. Reconoce que la expresión x 2  16 es equivalente a: A (x  2)(x  8) C (x  4)(x  4) (x  2)(x  8) B D (x  8)(x  8) ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización 15. Determina el resultado que se obtiene al factorizar: 16x 2  25y 2 . (8x  5y)(8x  5y) A (4x  5y)(4x  5y) C (4x  5y)(4x  5y) B D (8x  5y)(8x  5y) ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización

  16. Determina ¿cuál es el producto que se obtiene al multiplicar  3x 2 y  (5xy 2  xy)?   3 3 3 2 2 2 2 15x y  3x y A 15x y  3x y C B

15x 3 y 3  3x 3 y

15x 3 y 3  xy

ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Multiplicación de polinomios 17. Identifica ¿cuál es una expresión equivalente a: 2x 2  10x  12 ? A 2(x  6)(x  1) C 2(x  2)(x  3) B D 2(x  2)(x  3) 2(x  6)(x  1) ANS: B 2x 2  10x  12  2(x 2  5x  6)  2(x  6)(x  1) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Identificar TOP: Formas de Factorización

18. Identifica ¿cuál es una expresión equivalente a: 9x 2  16? (3x  8)(3x  8) A (3x  4)(3x  4) C B D (3x  8)(3x  8) (3x  4)(3x  4) ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Identificar TOP: Formas de Factorización 19. Sí Ana factoriza correctamente una expresión que es la diferencia de dos cuadrados perfectos, reconoce que sus factores podrían ser: (x  4)(x  4) A (2x  y)(x  2y) C B D (2y  5)(y  5) (2x  3y)(2x  3y) ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización 20. Aplica correctamente el proceso de factorización e identifica que se obtiene al factorizar: 3x 2  3x  18. 2 A 3(x  x  6) C (3x  9)(x  2) 3(x  3)(x  2) B D (3x  6)(x  3) ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

21. Identifica ¿cuál es una expresión equivalente a: 121  x 2 ? A (x  11)(x  11) C (11  x)(11  x) (x  11)(x  11) B D (11  x)(11  x) ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Identificar TOP: Formas de Factorización 22. Aplica correctamente el proceso de factorización e identifica que se obtiene al factorizar a 3  4a. a 2 (a  4) A (a  2)(a  2) C B

a(a  2)(a  2)

a(a  2) 2

ANS: B a 3  4a  a(a 2  4)  a(a  2)(a  2) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

23. Determina el cociente que resulta al dividir: A B

3x(1  3x) 3x(1  3x 2 )

9x 4  27x 6 3x 3 3x(1  9x 5 ) C 3 D 9x (1  x)

ANS: B 4 2 9x 4  27x 6 9x (1  3x )   3x(1  3x 2 ) 3x 3 3x 3

PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización

24. Aplica los proceso de factorización y determina el resultado de simplificar A B

6x 2  3x 10x 2  4x

C D

12x 3  6x 2  2x 2x

6x 2  3x  1 10x 2  4x  1

ANS: C 2 12x 3  6x 2  2x 2x(6x  3x  1)   6x 2  3x  1 2x 2x

PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

25. Aplica los proceso de factorización y determina el resultado de simplificar A B

5 4 x5 x4

C D

x5 x4 25 x  20

x 2  25 x 2  x  20

ANS: C (x  5)(x  5) x  5 x 2  25   2 x  x  20 (x  4)(x  5) x  4 PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

26. Aplica los proceso de factorización y determina el resultado de simplificar A B

2 5 x2 x5

C D

x2 x5 3x  10 25

x 2  3x  10 x 2  25

ANS: B x 2  3x  10 (x  5)(x  2) x  2   (x  5)(x  5) x  5 x 2  25 PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

27. Aplica los proceso de factorización y determina una expresión equivalente a: A

x2 2

x1

x2 2 x5 2

2x 2  10x  28 4x  28

ANS: A 2 2x 2  10x  28 2(x  5x  14) 2(x  7)(x  2) x  2    4x  28 4x  28 4(x  7) 2

PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

28. Aplica los proceso de factorización y determina una expresión equivalente a: A B

x 3  9x 2 x 4  9x 2

C D

2x 6  18x 4  2x 2 ? 2x 2

x 3  9x 2  1 ` x 4  9x 2  1

ANS: D 2x 2 (x 4  9x 2  1)

2x 2 PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

29. Aplica los proceso de factorización y determina el resultado de simplificar A B

x2 x2 x  6 5x  6

1 5

1

x2  x  6 x 2  5x  6

ANS: A (x  3)(x  2) x  2 x2  x  6   2 x  5x  6 (x  3)(x  2) x  2 PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

30. Identifica ¿cuál es una expresión equivalente a: x 2  36y 2 ? (x  6y)(x  6y) A (x  6y)(x  6y) C (x  18y)(x  18y) B D (x  18y)(x  18y) ANS: C PTS: 1 DIF: Medio. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Identificar TOP: Formas de Factorización 31. Reconoce ¿cuáles son los factores de la expresión x 2  x  20 ? x  5  x  4  x  5  x  4  A C x  5   x  4 x  5  x  4  B D ANS: B PTS: 1 DIF: Medio. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

32. Identifica ¿cuál es una expresión equivalente a 3x(x  4)  2x(x  3)? A B

x 2  1 x 2  18x

C D

5x 2  6x 5x 2  6x

ANS: D 3x(x  4)  2x(x  3)  3x 2  12x  2x 2  6x  5x 2  6x PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración. TOP: Multiplicación de polinomios

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Identificar

33. Aplica correctamente el proceso de factorización e identifica que se obtiene al factorizar completamente 36x 2  100y 6 ? A B

2(9x  25y 3 )(9x  25y 3 ) 4(3x  5y 3 )(3x  5y 3 )

C D

(6x  10y 3 )(6x  10y 3 ) (18x  50y 3 )(18x  50y 3 )

ANS: B 36x 2  100y 6  4(9x 2  25y 6 )  4(3x  5y 3 )(3x  5y 3 ) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización

34. Reconoce ¿cuál es una expresión equivalente a 64  x 2 ? A (8  x)(8  x) C (x  8)(x  8) (8  x)(8  x) B D (x  8)(x  8) ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización 35. Determina el cociente que resulta al dividir: A B

16x 7  4x 6  8x 5  12x 4 `4x 7  x 6  2x 5  3x 4

8x 5  2x 4  4x 3  6x 2 2x 2 4x 3  x 2  2x  3x C 3 2 D 4x  x  2x  3

ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: División de polinomios 36. Determina el producto que se obtiene al multiplicar (3x  2) (x  7). A B

3x 2  14 3x 2  5x  14

C D

3x 2  19x  14 3x 2  23x  14

ANS: C (3x  2)(x  7)  3x 2  21x  2x  14  3x 2  19x  14 PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración. TOP: Multiplicación de polinomios

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Determinar

37. Reconoce que al factorizar completamente la expresión 3x 3  33x 2  90x se obtiene: 2 A 3x(x  33x  90) C 3x(x  5)(x  6) B

3x(x 2  11x  30)

3x(x  5)(x  6)

ANS: D 3x 3  33x 2  90x  3x(x 2  11x  30)  3x(x  5)(x  6) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

38. Aplica correctamente el proceso de factorización e identifica que se obtiene al factorizar 9a 2  64b 2 (3a  8b)(3a  8b) A (9a  8b)(a  8b) C B D (3a  8b)(3a  8b) (9a  8b)(a  8b) ANS: C PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Aplicar TOP: Formas de Factorización 39. Identifica ¿cuál es una expresión equivalente a 100n 2  1 ? A (10n  1)(10n  1) C (50n  1)(50n  1) (10n  1)(10n  1) B D (50n  1)(50n  1) ANS: A PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Identificar TOP: Formas de Factorización 40. Determina el resultado que se obtiene al dividir 24x 2 y 6  16x 6 y 2  4xy 2 entre 4xy 2 ? A B

6xy 4  4x 5 6xy 4  4x 5  1

C D

6x 2 y 3  4x 6 y 6x 2 y 3  4x 6 y  1

ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: División de polinomios 41. Si el área de un rectángulo está representada por x 2  8x  15 y su longitud está representada por x  5 , determina ¿qué expresión representa el ancho del rectángulo? x 2  6x  5 A x3 C 2 x3 B D x  7x  10 ANS: A (x  5)(x  3)  x3 x5 PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización

42. Reconoce que el mayor factor común de 3m2 n  12mn 2 es: A 3n C 3mn 2 3m B D 3mn ANS: C 3mn(m  4n) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

43. Determina ¿cuál es el resultado de dividir 16x 3  12x 2  4x entre 4x ? 2 4x 2  3x A 12x  8x C 2 12x 2  8x  1 B D 4x  3x  1 ANS: D PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: División de polinomios 44. Aplica correctamente el proceso de factorización e identifica que se obtiene al factorizar 3x 2  9x  6. 3(x  1)(x  2) A (3x  3)(x  2) C B D 3(x  1)(x  2) (3x  3)(x  2) ANS: D 3x 2  9x  6  3(x 2  3x  2)  3(x  1)(x  2) PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Analizar TOP: Formas de Factorización

45. Cuando se factoriza 9x 2  100 , se obtiene la expresión que es equivalente a (3x  b)(3x  b). Determina ¿cuál es el valor de b? A 50 C 3 B 10 D 100 ANS: B PTS: 1 DIF: Básico. NAT: Razonamiento lógico matemático. STA: Razonamiento y Demostración. LOC: Determinar TOP: Formas de Factorización

46. Un prisma rectangular tiene un volumen de 3x 2  18x  24. Su base tiene una longitud de x  2 y un ancho de 3. reconoce ¿qué expresión representa la altura del prisma? A x4 C 3 2 x2 B D x  6x  8 ANS: A 3x 2  18x  24 3(x  2)

3(x 2  6x  8) 3(x  2) 3(x  4)(x  2) 3(x  2) x4 PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

47. Reconoce ¿cuál es el resultado que se obtiene al factorizar la expresión 6x 3  8x 4  10x 2 .   2  3  4x  5x 2  A 2x  C 2x 2  3x  4x 2  5         3 2 2 4 2   B D 2x  3x  4x  5x  2x  3x  4x  5       ANS: C Solución: Se obtiene el máximo común divisor de 6, 8 y 10:

La base que se repite en todos los términos es x siendo x 2 la de menor exponente, entonces el factor común es, 2x 2 , por consiguiente:   6x 3  8x 4  10x 2  2x 2  3x  4x 2  5    Los elementos dentro del paréntesis son los resultados de dividir cada uno de los términos del polinomio por el factor común. Por tanto, la opción correcta es el inciso c. PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

48. Identifica ¿cuál es una expresión equivalente a: 12x 3 y 3 z  24x 2 y 4 ?  3  12x 3 y 3  z  2xy  A 12xy  C x z  2x 2 y 3      2 3  12x 2 y 3  x z  y  B D 12x y   xz  2y    ANS: D Solución: Se obtiene el máximo común divisor de 12 y 24:

Se eligen las bases que se repiten en los elementos del polinomio en este caso x y y siendo x 2 y y 3 los de menor exponente, entonces el factor común es: 12x 2 y 3 entonces: 12x 3 y 3 z  24x 2 y 4  12x 2 y 3  xz  2y  Por tanto, la opción correcta es el inciso d. PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Identificar TOP: Formas de Factorización

49. Reconoce que al factorizar x 2  6x  9 se obtiene: A

x  3  x  3 

x  3 

x  3 

x  9  x  1 

ANS: B Solución: Se obtienen las raíces de los extremos x 2 y 9

x2  x ; 9 3 Se comprueba que el doble producto de las raíces sea igual al término central 6x 2 x  3  6x 2 Entonces, x  6x  9 es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es: 2 x 2  6x  9  x  3  El signo que une las raíces es el signo + del término central, por tanto, la opción correcta es el inciso b. PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

NAT: Razonamiento lógico matemático. LOC: Reconocer TOP: Formas de Factorización

50. Reconoce ¿cuál es una expresión equivalente a: 4x 2  20xy  25y 2 ? 2  2x  5y   2x  5y   2x  5y  A C      2        x  5y   4x  5y   2x  5y  B D      ANS: A Solución: Las raíces de los extremos son 2x y 5y , se comprueba que el doble producto de las raíces sea igual al término central. 2 2x  5y   20xy El trinomio es cuadrado perfecto y su factorización es:

2 4x 2  20xy  25y 2   2x  5y  El signo que une las raíces es el signo — del término central, por tanto la respuesta correcta es el inciso a.

PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

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51. Reconoce que en el proceso de factorización de: m2  81  18m se obtiene: A B

m  9 m  9 m  9

C D

m  9 9  m 2 m  9

ANS: D Solución: Se ordenan los elementos que tengan raíz cuadrada exacta a los extremos: m2  81  18m Se obtienen las raíces cuadradas de los extremos que son m y 9. El doble producto de las raíces es: 2 m 9  18m Se concluye que m2  81  18m, es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es: La opción correcta esta en el inciso d. PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

m2  81  18m  m  9

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52. Identifica ¿qué se obtiene como resultado de factorizar la expresión: x 2  9 ? A B

x  3  x  1  x  9 

x  3  x  3  x  3 

C D

ANS: D Solución: Se obtienen las raíces de x 2 y 9:

x2  x

93

;

Entonces,

x 2  9  x  3 x  3 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. PTS: 1 DIF: Básico. STA: Razonamiento y Demostración.

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53. Aplica correctamente el proceso de factorización e identifica que se obtiene al factorizar 49x 4 y 2  81m2 .  2    2 2 A C  7x y  27m  7x 2 y  27m  7x y  9m       2   2   2 2 B D  7x y  9m  7x y  9m  7x y  9m      ANS: B Solución: Se obtienen las raíces de 49x 4 y 2 y 81m2 :

49x 4 y 2  7x 2 y

;

81m2  9m

Por consiguiente,

   49x 4 y 2  81m2   7x 2 y  9m  7x 2 y  9m    Por tanto, la opción correcta es el inciso b. PTS: 1 DIF: Medio. STA: Razonamiento y Demostración.

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