46
MATEMATICA 1
c) Pegou emprestado R$ 409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 424,90.
EXPONENCIAL 1. (Uefs 2017)
Considerando-se que, sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, pode ser dado pela função N(t) = 9t − 2 3t + 3, t 0, pode-se estimar que o tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 678 colônias é de a) 2 horas. b) 3 horas. c) 4 horas. d) 5 horas. e) 6 horas. 2. (Ufrgs 2017) No estudo de uma população de bactérias, identificou-se que o número N de bactérias, t horas após o início do estudo, é dado por N(t) = 20 21,5 t.
Nessas condições, em quanto tempo a população de bactérias duplicou? a) 15 min. b) 20 min. c) 30 min. d) 40 min. e) 45 min. 3. (G1 - ifsc 2017) Segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o rendimento médio mensal das famílias catarinenses é R$ 1.368,00. Considerando-se que uma família pegou um empréstimo no valor de 30% de sua renda média mensal e vai pagar este empréstimo a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto essa família pegou emprestado e qual o valor que a família irá pagar (montante final) se saldar essa dívida em 2 meses? a) Pegou emprestado R$ 407,40 e pagará, ao final de 2 meses,
d) Pegou emprestado R$ 409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 425,94.
e) Pegou emprestado R$ 410,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 426,98.
4. (G1 - ifpe 2016) Agrônomos e Matemáticos do IFPE estão pesquisando o crescimento de uma cultura de bactérias e concluíram que a população de uma determinada cultura P(t), sob certas condições, em função do tempo t, em horas, evolui conforme t 3 P(t) = 5 2 .
a função Para atingir uma população de 160 bactérias, após o início do experimento, o tempo decorrido, em horas, corresponde a a) 5 b) 15 c) 160 d) 32 e) 10 5. (Upf 2016) Se 24n+1 = 3n+1 16, então log3 n é igual a: a) −2 b) −1 1 2 d) 1 e) 2
c)
6. (G1 - ifsul 2017) 2
x +1
a) b) c) d)
− 24 = −
x=2 x=2 x=3 x=4
e e e e
64
2x x=3 x=6 x=6 x=8
possui como solução
LOGARITIMO
R$ 423,86.
b) Pegou emprestado R$ 410,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 425,94.
A equação
1. (Uece 2017) Ln 3 1,0986,
Se Ln 2 0,6931, pode-se afirmar
47
corretamente que Ln
d) 6 e) 7
12 é igual a 3
5. (Espm 2017) A taxa de crescimento populacional de um país é de 2% ao ano. Utilizando os dados da tabela abaixo e considerando que essa taxa permanecerá constante, podemos afirmar que a população desse país dobrará em:
Dados: Ln x logaritmo natural de x a) 0,4721. b) 0,3687. c) 0,1438. d) 0,2813. 2. (G1 - ifal 2017) Nas análises químicas de soluções, o pH é muito utilizado e, através dele, o químico pode avaliar a acidez da solução. O pH de uma solução, na verdade, é uma função logarítmica dada por: pH = − log [H+ ]
Onde: [H+ ] é a concentração de H+ na solução (concentração hidrogeniônica). Tendo em vista essas informações, se pH 5, uma solução apresentou podemos dizer que a concentração hidrogeniônica vale a) 10−3. b) 10−5. c) 10−7. d) 10−9. e) 10−11. 3. (Eear 2017) Se log 2 0,3 log 36 1,6, então log 3 _____. a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,7
e
4. (Pucrs 2017) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua primeira prova no Ensino Médio: Um dos valores de x que soluciona a equação log2 ( −x2 + 32) = 4 é igual ao número de centros culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é a) 3 b) 4 c) 5
a) b) c) d) e)
N
Log N
2,00
0,3010
2,02
0,3054
2,04
0,3096
15 20 25 30 35
anos anos anos anos anos
6. (Uel 2018) Um pesquisador estuda uma população e determina que a equação descreve a N = t9 10−15 incidência de câncer, representada por N, em função do tempo t. Ele observa que N cresce rapidamente, o que dificulta a análise gráfica dessa relação. Por isso, o pesquisador decide operar simultaneamente com as variáveis N e t a fim de representá-las como uma semirreta no plano cartesiano x y. Para esse fim, suponha que o pesquisador escolha uma base b, positiva e distinta de 1, e que ele considere as seguintes operações para N0 e t 0: x = logb (t) y = logb (N)
Supondo que y = 9x + 1 seja a equação que descreve a semirreta que o pesquisador obteve no plano cartesiano x y, e recordando que 1 = logb (b), assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a escolha da base b feita pelo pesquisador.
48 a) b) c) d) e)
1 9
915
10−9 10−15
7. (G1 - ifal 2018) Determine o valor do log9 (243).
a) b) c) d) e)
1 2.
1. 3 2.
FUNÇÃO LOGARÍTIMA
2. 5 2.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto a seguir e responda à(s) questão(ões).
8. (G1 - ifal 2017) Calcule o valor do log8 16.
a) b) c) d) e)
teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50
1 2.
1. 2 3. 4 3.
2.
9. (Acafe 2017) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente no organismo de um paciente 1−
é calculada pela função Q(t) = 30 2 onde t é o tempo dado em horas.
t 10 ,
O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da quantidade inicial, é: Dado: log 2 = 0,3 a) 13 horas e 33 minutos. b) 6 horas e 06 minutos. c) 13 horas e 20 minutos. d) 6 horas e 40 minutos. 10. (Uerj 2017) Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por 5. Considere que uma pessoa digitou as
Um dos principais impactos das mudanças ambientais globais é o aumento da frequência e da intensidade de fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou regiões habitadas pelo homem, causam danos. Responsáveis por perdas significativas de caráter social, econômico e ambiental, os desastres naturais são geralmente associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, furacões, tornados, temporais, estiagens severas, ondas de calor etc. (Disponível em: <www.inpe.br>. Acesso em: 20 maio 2015.)
1. (Uel 2016) Em relação aos tremores de terra, a escala Richter atribui um número para quantificar sua magnitude. Por exemplo, o terremoto no Nepal, em 12 de maio de 2015, teve magnitude 7,1 graus nessa escala. Sabendo-se que a magnitude y de um terremoto pode ser descrita por uma função logarítmica, na qual x representa a energia liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora, assinale a alternativa que indica, corretamente, o gráfico dessa função.
a)
49
b)
b)
c) c)
d) d)
e) 2. (Espm 2013) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log2 ( x − 1996), onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. Considerando 2 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: a) 2005 b) 2002 c) 2011 d) 2007 e) 2004 3. (Ueg 2013) O gráfico da função y = log(x + 1) é representado por:
a)
4. (Uern 2012) O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número inteiro positivo que pertence ao domínio da função 2 f(x) = log3 (x − 2x − 15) é a) – 24. b) – 15. c) – 10. d) – 8. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H+ para fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1. Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa (RC), definida por R RC = log , R0
50 em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e R0 é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 10.)
5. (Insper 2011) Dentre os gráficos abaixo, aquele que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda, em dólares, é
f(x) =
( − 2x
2
)
− 6x + 8 e g(x) = log(x
+ 2) é um intervalo: a) aberto à direita e fechado à esquerda. b) aberto nos dois extremos. c) fechado nos dois extremos. d) infinito. e) aberto à esquerda e fechado à direita. 7. (Uece 2008) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) = log2 x, x > 0.
a)
b)
c)
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a a) 2 unidades de área b) 3 unidades de área c) 4 unidades de área d) 5 unidades de área 8. (Pucrs 2008) A representação
d)
e) 6. (Udesc 2009) O conjunto de números reais que representa a interseção entre os domínios das funções
é da função dada por y = f(x) = logn (x) O valor de logn (n3+8) é a) 2 b) 4
51 c) 6 d) 8 e) 10
LOGICA E SEQUENCIA 1. (Unesp 2018) O ibuprofeno é uma medicação
prescrita para dor e febre, com meiavida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 50 mg horas no total), apenas permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será a) 12,50 mg. b) 456,25 mg. c) 114,28 mg. d) 6,25 mg. e) 537,50 mg.
minuto de farinha de trigo seja 4,8 toneladas. Nessas condições, o consumo médio por semana de farinha de trigo, em quilogramas, será aproximadamente: a) 4,2 105 b) 4,4 106 c) 4,6 106 d) 4,8 107 e) 5,0 107 4. (Enem 2017) Um menino acaba de se mudar para um novo bairro e deseja ir à padaria. Pediu ajuda a um amigo que lhe forneceu um mapa com pontos numerados, que representam cinco locais de interesse, entre os quais está a padaria. Além disso, o amigo passou as seguintes instruções: a partir do ponto em que você se encontra, representado pela letra X, ande para oeste, vire à direita na primeira rua que encontrar, siga em frente e vire à esquerda na próxima rua. A padaria estará logo a seguir.
2. (Puccamp 2017) No mundo da gastronomia muitas vezes é necessário ampliar ou reduzir receitas devido a alterações no número de participantes de determinada refeição. Uma receita propõe a utilização de 280 mL de leite na execução de uma sobremesa para 5 pessoas, e há a necessidade de 54 executá-la exatamente para pessoas. Se as embalagens de leite contêm 500 mL cada, então, é necessário ter em mãos pelo menos a) 2,5 L de leite. b) 3,5 L de leite. c) 5,0 L de leite. d) 4,0 L de leite. e) 3,0 L de leite.
A padaria está representada pelo ponto numerado com a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
3. (Fgv 2017) Estima-se que, em determinado país, o consumo médio por
5. (Puccamp 2017) O tempo de um dia é medido em um período chamado hora
52 e em número de 24 horas. Esse mesmo tempo poderia ser subdividido em 54 períodos iguais, chamados de TAS. Assim, um dia teria 54 TAS. Nesta hipótese, considere subdivisões decimais da unidade de medida TAS. Decorridas 7 horas e 40 minutos de um evento, esse mesmo tempo, medido em TAS, é igual a a) 13,5. b) 21,25. c) 17,25. d) 15,1. e) 19,75. 6. (Insper 2009) A equipe de trabalho de uma empresa de socorro mecânico é composta, diariamente, por 4 funcionários sendo apenas um supervisor e três auxiliares. A escala do plantão, para o Natal e para o Ano Novo, será a seguinte: - Dia 24 de dezembro de 2008: André, Bernardo, Carlos e Décio. - Dia 25 de dezembro de 2008: Carlos, Elton, Fábio e Bernardo. - Dia 31 de dezembro de 2008: Décio, Bernardo, Gilberto e Fábio. - Dia 1° de janeiro de 2009: Fábio, André, Bernardo e Gilberto.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?
a)
b)
c) Os dois supervisores decidiram que irão trabalhar exatamente dois dias cada (nunca no mesmo dia), porém os cinco auxiliares não estão sujeitos a esta restrição. A partir das condições acima os supervisores são: a) Gilberto e Carlos. b) André e Fábio. c) Elton e Décio. d) Gilberto e Décio. e) Elton e Bernardo. 7. (Enem 2009) Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.
d)
e) 8. (Enem cancelado 2009) Um decorador utilizou um único tipo de transformação geométrica para compor pares de cerâmicas em uma parede. Uma das composições está representada pelas cerâmicas indicadas por I e II.
53
Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que compõe par com a cerâmica indicada por III? a) b) c) d) e)
SEQUENCIAS E PROGRESSAO ARITIMÉTICA 1. (G1 - ifal 2018) Determine o 2017º termo da Progressão Aritmética cujo 1º termo é 4 e cuja razão é 2. a) 4.032. b) 4.034. c) 4.036. d) 4.038. e) 4.040. 2. (Eear 2017) Considere esses quatro valores x, y, 3x, 2y em PA crescente. Se a soma dos extremos é 20, então o terceiro termo é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 3.
(Pucrj
2017) Os números estão em progressão aritmética (nesta ordem). Quanto vale a soma x + y + z ? a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120 10, x, y, z, 70
4. (Enem PPL 2017) Uma empresa de entregas presta serviços para outras empresas que fabricam e vendem produtos. Os fabricantes dos produtos podem contratar um entre dois planos oferecidos pela empresa que faz as entregas. No plano A, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 500,00, além de uma tarifa de R$ 4,00 por cada quilograma enviado (para qualquer destino dentro da área de cobertura). No plano B, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 200,00, porém a tarifa por cada quilograma enviado sobe para R$ 6,00. Certo fabricante havia decidido contratar o plano A por um período de 6 meses. Contudo, ao perceber que ele 650 precisará enviar apenas quilogramas de mercadoria durante todo o período, ele resolveu contratar o plano B. Qual alternativa avalia corretamente a decisão final do fabricante de contratar o plano B? a) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 500,00 a menos do que o plano A custaria. b) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.500,00 a menos do que o plano A custaria. c) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.000,00 a mais do que o plano A custaria. d) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.300,00 a mais do que o plano A custaria. e) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 6.000,00 a mais do que o plano A custaria. 5. (Upf 2017) Seja an uma sequência de números reais cujo termo geral é an =
1 − n, n . Qual das afirmações 4
seguintes é verdadeira?
54 a) an é uma progressão aritmética de razão −1. b) an é uma progressão geométrica de razão
1 . 4
c) an é uma progressão geométrica de razão 4. d) an não é uma progressão (nem geométrica, nem aritmética). an e) é simultaneamente uma progressão aritmética e geométrica. 6. (Enem (Libras) 2017) A figura ilustra uma sequência de formas geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra.
Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o décimo termo da sequência? a) 30 b) 39 c) 40 d) 43 e) 57
a 1,4 m se n for igual a a) 14. b) 17. c) 13. d) 15. e) 18. 8. (G1 - ifal 2018) Em um grupo de 10 crianças, certo número de bombons foi distribuído para cada uma, em uma progressão aritmética crescente, da criança de menor estatura para a de maior estatura. Se colocarmos as crianças nessa ordem, perceberemos que a terceira criança ganhou 7 bombons e a oitava ganhou 17. Quantos bombons foram distribuídos? a) 100. b) 110. c) 120. d) 130. e) 140. 9. (Upe-ssa 2 2017) As medidas dos lados AB, BC e CA de um triângulo ABC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.
7. (Unesp 2017) A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas e perfeitamente encaixadas umas nas outras, sendo h a altura da pilha em relação ao chão.
Qual é a medida do perímetro desse triângulo? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
A altura, em relação ao chão, de uma pilha de n cadeiras perfeitamente encaixadas umas nas outras, será igual
10. (Pucsp 2017) Uma pessoa montou um quebra-cabeça de 1.000 peças em 11 dias. No 1º dia foram montadas 40 peças, e o número diário de peças montadas do 2º ao 11º dia obedeceram a uma progressão aritmética. Se o número de peças montadas no 2º dia
55 correspondeu a 60% do número de peças montadas no 7º dia, então, o número de peças montadas no 9º dia foi a) 120. b) 118. c) 116. d) 114.
taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será igual a a) R$ 25.600,00. b) R$ 24.400,00. c) R$ 23.000,00. d) R$ 18.000,00.
11. (G1 - ifal 2016) As medidas dos lados de certo triângulo são expressas por (x + 2), (2x + 1) e (x2 − 10), e nessa ordem formam uma progressão aritmética. O perímetro desse triângulo mede a) 15. b) 21. c) 28. d) 33. e) 40.
3. (Ueg 2017) A sequência numérica c n é definida como cn = an bn , com n , em que an e bn são progressões aritmética e geométrica, respectivamente.
12. (Upf 2017) A quantidade de números inteiros situados entre 1 e 48.000 inclusive que não são divisíveis por 2, nem por 3, nem por 5, é igual a a) 4.800 b) 9.600 c) 12.800 d) 16.000 e) 18.200
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1. (Fmp 2018) Para n 1, a expressão an = 3n + 5 é o termo geral de uma progressão aritmética. Para n 1, considere a sequência cujo an
termo geral é dado por bn = 2 . A sequência de termo geral bn é uma progressão geométrica cuja razão é a) 256 b) 16 c) 3 d) 6 e) 8 2. (Unicamp 2018) Dois anos atrás R$ 50.000,00 e certo carro valia atualmente vale R$ 32.000,00. Supondo que o valor do carro decresça a uma
Sabendo-se que a5 = b5 = 10 e as razões an e bn são iguais a 3, o termo c 8 é igual a a) 100 b) 520 c) 1.350 d) 3.800 e) 5.130 4. (Espm 2017) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, ), sendo an o nésimo termo e Sn a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que: a) Sn = 2 an b) Sn = an + 1 c) Sn = an+1 + 1 d) Sn = an+1 − 1 e) Sn = 2 an+1 5. (Espm 2017) A figura abaixo representa parte do gráfico da função f(x) =
16 2x
, fora de escala.
56
A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é igual a: a) 16 b) 8 c) 24 d) 32 e) 12 6. (Enem (Libras) 2017) Atualmente, a massa de uma mulher é 100 kg. Ela deseja diminuir, a cada mês, 3% da massa que possuía no mês anterior. Suponha que ela cumpra sua meta. A sua massa, em quilograma, daqui a dois meses será a) 91,00. b) 94,00. c) 94,09. d) 94,33. e) 96,91.
determine a soma dos 5 primeiros termos dessaprogressão: a) 80. b) 141. c) 160. d) 242. e) 322. 10 (UEG) A sequência numérica cn é definida como cn= an · bn,com n ∈ , em que ane bn são progressões aritmética e geométrica, respectivamente. Sabendo-se que a5 = b5 = 10 e que as razões an e bn são iguais a 3, o termo c8 é igual a: (A) 100. (B) 520. (C) 1.350. (D) 3.800. (E) 5.130.
7. (G1 - ifpe 2018) Dudu quer se tornar um youtuber famoso, mas, em seu primeiro vídeo, ele obteve apenas 5 inscritos em seu canal. Obstinado que é, Dudu pretende, a cada novo vídeo, dobrar a quantidade de inscritos em seu canal. Se no primeiro mês ele postar 10 vídeos e conseguir atingir a meta estabelecida, ao fim deste mês, seu canal terá a) 1.024 inscritos. b) 5.120 inscritos. c) 5.115 inscritos. d) 1.023 inscritos. e) 310 inscritos.
11.(UECE) Considere uma progressão aritmética, não constante, com sete termos, cuja razão é o número r. Se o primeiro, o terceiro e o sétimo termos dessa progressão formam, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica, então a soma dos termos da progressão aritmética é igual a:
8. (Pucrj 2018) Sabendo que os números da sequência (5, m, n, 10) estão em progressão geométrica, quanto vale o produto mn? a) 10 b) 20 c) 50 d) 100 e) 225
d) 35r
9. (G1 - ifal 2017) Sabendo que o primeiro termo de uma Progressão Geométrica é a1 = 2 e a razão q = 3,
a) 27r b) 30r c) 33r
12.(IFSUL) Os números que expressam o raio de uma circunferência, seu perímetro e a área do círculo delimitado por ela estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual é o raio da circunferência?
57 13.(EFOMM) Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, em seguida, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de água, e assim sucessivamente. A quantidade de vinho, em litros, que resta no garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a:
14.(ENEM)Para comemorar o aniversário de uma cidade, a Prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é: (A) 3 · 345. (B) (3 + 3 + 3) · 345. (C) 33 · 345. (D) 3 · 4 · 345. (E) 34 · 345.
15.(EsPCEx-AMAN)Na figura a seguir, temos uma espiral for- mada pela união de infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o comprimento da espiral é igual a:
(A) π. (B) 2π. (C) 3π. (D) 4π. (E) 5π.
16.(IFSUL) Com a popularização das redes sociais, para um vídeo tornar-se notável ou “viral” em poucas horas, bastam alguns milhares de compartilhamentos. Supondo que um vídeo tenha sido lançado na internet e, na primeira hora, tenha 3.000 compartilhamentos, em 3 horas, 12.000 e, em 5 horas, 48.000, em 10 horas, o número de compartilhamentos será de:
JUROS 1. (Uerj 2017) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53.240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C. 2. (Uece 2017) Bruno fez um empréstimo de R$ 1.000,00 a juros simples mensais de 10%. Dois meses após, pagou R$ 700,00 e um mês depois desse pagamento, liquidou o débito. Este último pagamento, para liquidação do débito, foi de a) R$ 550,00. b) R$ 460,00. c) R$ 490,00. d) R$ 540,00.
y 3. (Fuvest 2018) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco
58 oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais? a) 1.450,20. b) 1.480,20 c) 1.485,20 d) 1.495,20 e) 1.490,20 4. (G1 - ifal 2016) Em 2000, certo país da América Latina pediu um empréstimo de 1 milhão de dólares ao FMI (Fundo Monetário Internacional) para pagar em 100 anos. Porém, por problemas políticos e de corrupção, nada foi pago até hoje e a dívida foi sendo “rolada” com a taxação de juros compostos de 8,5% ao ano. Determine o valor da dívida no corrente ano de 2015, em dólar. Considere (1,085)5 1,5. a)1,2 milhões. b)2,2 milhões. c)3,375 milhões. d)1,47 milhões. e)2 milhões. 5. (G1 - cftmg 2016) O pagamento de uma televisão foi feito, sem entrada, em 5 parcelasmensais iguais, corrigidas a juros simples pela taxa de 0,7% ao mês. Dessa forma, no final do período, o valor total pago, empercentual, será maior do que o inicial em a) 2,1. b) 3,5. c) 4,2. d) 7,3. 6. (Fmp 2016) Abaixo são apresentados termos gerais que definem cincosequências de números reais, para n .
an = 80 (24)n
bn = 80 (1,30)n cn = 80 (0,30)n dn = 80 + 24 n en = 80 + (2,4) n
Um dos termos gerais apresentados acima indica ovalor devido n meses após a tomada de um empréstimode R$ 80,00, calculado após a incidência de umataxa mensal de juros simples de 30% sobre o valordo empréstimo. Esse termo geral é a) en b) dn c) an d) c n e) bn 7. (Upe-ssa 3 2016) Mariana fez um empréstimo à base de juros compostos, num banco que cobra 10% ao mês. Ao final de180 dias, o montante a ser pago por ela será de R$ 9.000,00. Com o dinheiro do empréstimo, Mariana realizoualguns pagamentos chegando a sua casa com R$ 1.250,00. Quanto ela gastou, aproximadamente, com ospagamentos? Adote (1, 1)6 = 1,8 a) R$ 1.333,00 b) R$ 2.755,00 c) R$ 3.260,00 d) R$ 3.750,00 e) R$ 4.500,00 8. (Uerj 2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: -à vista, no valor de R$ 860,00; - em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda30 dias depois. A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: a) 10% b) 12% c) 15% d) 18%
59
9.(UFSM) Uma empresa de cartão de crédito opera com juros compostos de 6% ao mês. Um usuário dessa empresa contraiu uma dívida de R$2.000,00 e, durante 6 meses, não pôde efetuar o pagamento. Ao procurar a empresa para renegociar a dívida, a empresa propôs que seja quitada em uma única parcela, com juros simples de 5% ao mês, referentes aos 6 meses de atraso. Aceita a proposta, o total de juros pagos e o desconto obtido, em reais, são, respectivamente, iguais a: Dado: (1,06)6 = 1,4185. (A) 600,00 (B) 600,00 (C) 600,00 (D) 720,00 (E) 720,00
e 117,00. e 120,00. e 237,00 e 117,00. e 120,00.
soma dos montantes foi R$3.308,48. (B) a soma dos montantes foi R$3.361,92. (C) a diferença, em módulo, entre montantes foi de R$897,80. (D) a diferença, em módulo, entre montantes foi de R$935,86.
12. (CFTMG) Uma cliente fez um empréstimo, a juros simples, de R$600,00 em um banco, a uma taxa de 4% ao mês, por dois meses. Quando ela foi pagar, o gerente do banco informou-lhe que poderia sortear uma taxa i para ter um desconto sobre o valor de sua dívida. Fez-se o sorteio e lhe foi concedido o desconto, resultando no pagamento de R$602,64. Dessa forma, o valor da taxa i sorteada foi de: (A) 5%. (B) 6%. (C) 7%. (D) 8%.
10. (CFTMG) O capital de R$2.000,00, aplicado à taxa de 3% a.m. por 60 dias, gerou um montante M1 e o de R$1.200,00, aplicado a 2% a.m. por 30 dias, resultou um montante M2. Se as aplicações foram a juros compostos, então: (A) a
(A) 25%. (B) 50%. (C) 75%. (D) 100%.
de de os
13. (IFSC) Segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o rendimento médio mensal das famílias catarinenses é R$1.368,00. Considerando-se que uma família pegou um empréstimo no valor de 30% de sua renda média mensal e vai pagar esse empréstimo a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto essa família pegou emprestado e qual o valor que a família vai pagar (montante final) se saldar essa dívida em 2 meses?
os
11.(UFSJ) Em uma promoção, determinada loja oferece duas formas de pagamento. À vista, com 25% de desconto sobre o preço do produto, ou dividindo esse valor em duas prestações iguais. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda é paga um mês após. Essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a:
(A) Pegou
emprestado R$407,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$426,86. (B) Pegou emprestado R$410,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$425,94. (C) Pegou emprestado R$409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$424,90. (D) Pegou emprestado R$409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$425,94.
60 (E) Pegou
emprestado R$410,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$426,98.
14. (UERJ) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: – –
à vista, no valor de R$860,00; em duas parcelas fixas de R$460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda paga 30 dias depois.
compra, utilizando parte do lucro obtido no ano anterior, e financiou o restante em 10 meses a uma taxa de 2% ao mês a juros simples. Observou que havia gastado o montante de R$208.800,00 com a parte financiada. Nesse caso, o valor financiado dos insumos pelo agricultor foi de:
A taxa mensal de juros para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: (A) 10%. (B) 12%. (C) 15%. (D) 18%.
15. (ENEM) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$180.000,00 a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de: (A) 2.075,00. (B) 2.093,00. (C) 2.138,00. (D) 2.255,00. (E) 2.300,00.
16. (UEPA) Um agricultor financiou junto a uma cooperativa os insumos utilizados na lavoura em 2014. Pagou 20% do valor dos insu- mos no ato da
ANÁLISE COMBINATORIA 1) Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério. Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país. A) 5 B) 6 C) 10 D) 15 E) 20
2) O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de 6 números distintos entre 1 e 60. Um apostador escolhe 20 números distintos e faz todos os C20,6 jogos que é possível realizar com os 20 números. Se ele acertar os seis números sorteados, entre os vinte escolhidos, além da aposta sorteada com a sena, quantas apostas premiadas com a quina (cinco números corretos) ele conseguirá? A) 75 apostas. B) 84 apostas. C) C20,5 apostas D) C6,5 apostas.
61 E) 70 apostas.
3) Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, que as substâncias S1, S2 e S3 não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número de misturas diferentes que se pode obter sem produzir o gás metano é: A) 16. B) 24. C) 25. D) 28. E) 56.
4) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando-se pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? A) 22. B) 24. C) 26. D) 28. E) 30.
5) A turma K do Curso de Administração da UECE é formada por 36 alunos, sendo 22 mulheres e 14 homens. O número de comissões que podem ser formadas com alunos desta turma, tendo cada comissão três componentes e sendo assegurada a participação de representantes dos dois sexos em cada comissão, é A) 5236 B) 6532 C) 3562 D) 2635 E) 1378
6) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao
Nutri ente
Concentração dos Suplementos Alimentares (g kg)
I 0,2 0,3 0,1
II 0,5 0,4 0,4
III 0,4 0,1 0,5
Suple ment o Alime ntar
A I B II C III acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y<60. Os valores respectivos de x e y são: A) 4 e 12 B) 8 e 24 C) 25 e 12 D) 50 e 24 E) 49 e 37 7. (Uerj 2017) Uma criança possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor. Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a criança poderá realizar.
Quanti dade na Mistura (%) 45 25 30
62 8. (Uerj 2017) Para combater a subnutrição infantil, foi desenvolvida uma mistura alimentícia composta por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de suplementos na mistura, respectivamente.
A quantidade do nutriente C, em g kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a: a) 0,235 b) 0,265 c) 0,275 d) 0,295 9. (Uerj 2016) Com o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande cidade propôs a construção de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre os terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus: - do terminal distintas; - do terminal distintas; - do terminal distintas; - do terminal distintas.
A para o B, 4 linhas B para o C, 3 linhas A para o D, 5 linhas D para o C, 2 linhas
Não há linhas diretas entre os terminais A e C. Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal A para o terminal C, calcule a quantidade possível de trajetos distintos que ele poderá fazer. 10. (Uerj 2015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas
letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C)
ou (B, M, M, C, B, C) ou
(C, M, M, B, B, C)
O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6 b) 90 c) 180 d) 720
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. (Espcex (Aman) 2019) Considere o conjunto de números naturais {1, 2, ,15}. Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é a) 168. b) 196. c) 224. d) 227. e) 231. 2. (Efomm 2019) De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres? a) 210 b) 250 c) 371 d) 462 e) 756 3. (Unesp 2019) Bianca está preparando saquinhos com balas e pirulitos para os convidados da festa de aniversário de sua filha. Cada saquinho irá conter 5 balas e 3 pirulitos, ou 3 balas e 4 pirulitos, já que ambas as combinações resultam no mesmo preço. Para
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fazer os saquinhos, ela dispõe de 7 sabores diferentes de balas (limão, menta, morango, framboesa, caramelo, canela e tutti-frutti) e 5 sabores diferentes de pirulito (chocolate, morango, uva, cereja e framboesa). Cada bala custou 25 centavos e cada pirulito custou x centavos, independentemente dos sabores. a) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca pode fazer se ela não quer que haja balas de um mesmo sabor nem pirulitos de um mesmo sabor em cada saquinho? Qual o preço de cada pirulito? b) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca pode fazer se ela não quer que haja sabores repetidos em cada saquinho? 4. (Ufrgs 2019) Dadas as funções reais de variável real f e g, definidas por f(x) = − log2 (x) e g(x) = x2 − 4, podese afirmar que f(x) = g(x) é verdadeiro para um valor de x localizado no intervalo a) [0; 1]. b) [1; 2]. c) [2; 3]. d) [3; 4]. e) [4; 5]. 5. (G1 - ifce 2019) Certo capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considerando o mês comercial (30 dias), o montante será o triplo do valor inicial ao final de a)4 anos, 4 meses e 20 dias. b)5 anos, 10 meses e 10 dias. c)4 anos, 5 meses e 5 dias. d)5 anos, 6 meses e 20 dias. e)3 anos, 10 meses e 5 dias. 6. (Ufrgs 2019) O valor de
1 2 E = log + log + 2 3 a) −3. b) −2. c) −1. d) 0. e) 1.
7.
(Fuvest
log2 y = − 3
a) y = b) y = c) y = −
999 + log 1.000
2019)
Se
1 2 + log2 x, para x 0, então 2 3
x2 2 x3 2 1
2
3
+ x2
d) y = 2 3 x2 e) y = 2x3 8. (Espcex (Aman) 2019) A equação log3 x = 1 + 12 log 2 3 tem duas raízes x reais. O produto dessas raízes é a) 0. 1 3 3 c) . 2 d) 3. e) 9.
b) .
9. (Unicamp 2019) A figura abaixo representa um dado na forma de um tetraedro regular com os vértices numerados de 1 a 4. Em um lançamento desse dado, deve ser observado o número estampado no vértice superior.
64
a) Considere a soma dos números obtidos em dois lançamentos de um dado tetraédrico. Determine dequantas maneiras essa soma pode resultar em um número primo. b) Seja pn a probabilidade de se observar o número no n lançamento de um dado tetraédrico tendenciosopara o qual p1 = 2p2 = 3p3 = 4p4 . Calcule essas quatro probabilidades. 10. (Efomm 2019) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? a) 7,44% b) 8,33% c) 9,17% d) 15,95% e) 27,51% 11. (Fuvest 2019) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cadarodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se umaunidade para a direita ou mover‐ se uma unidade para aesquerda, cada uma dessas três possibilidades com igualprobabilidade.
1 3 51 d) 125 125 e) 243
c)
12. (Fuvest 2019) Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, a probabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por p A , a probabilidade de saírem duas bolas brancas é denotada por pB , e a probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes é denotada por pM .
a) Se A = 2 e B = 5, determine pB . b) Se o total de bolas da urna é 21 e pM é o triplo de p A , quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna? c) Se A = 3, para quais valores de B o valor de pM é estritamente maior do que
1 ? 2
13. (Unesp 2019) Dois números reais de 0 a 4, e que podem ser iguais, serão sorteados ao acaso. Denotando-se esses números por x e y, a probabilidade de que eles sejam tais que x2 + y2 1 é igual a 1 20 π b) 64 π c) 20 π d) 16 π e) 8
a)
Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte àposição inicial? 1 9 17 b) 81
a)
14. (Efomm 2019) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de
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de acertar um específico tipo de alvo. Num exercício ele dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de alvo. 80%
Considerando-se que os tiros são independentes, em cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador errar o alvo exatamente duas vezes? a) 4,12% b) 18,67% c) 24,58% d) 27,29% e) 40,25% 15. (Ufrgs 2018) Para produzir determinado tipo de tecido, uma fábrica gasta R$ 2,20 por metro. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 2.500,00, independente da quantidade de metros produzidos. Se cada metro do tecido é vendido por R$ 4,00, o número mínimo de metros no qual a fábrica passa a ter lucro com a venda é a) 1.388. b) 1.389. c) 1.390. d) 1.391. e) 1.392. 16. (Upe-ssa 3 2018) Diante da crise que o país atravessa, uma financeira oferece empréstimos a servidores públicos cobrando apenas juro simples. Se uma pessoa retirar R$ 8.000,00 nessa financeira, à taxa de juro de 16% ao ano, quanto tempo levará para pagar um montante de R$ 8.320 ?
a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses d) 5 meses e) 6 meses