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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Matemática Serie 2 para docentes de Secundaria Didáctica de la Matemática Fascículo 1: ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES EN SECUNDARIA. © Ministerio de Educación Van de Velde 160, San Borja Primera edición, 2007 Tiraje: 14 000 ejemplares Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318, Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nro. 2007-00260 Coordinación y supervisión general MED Antonieta Cubas Mejía Supervisión pedagógica MED Luis Enrique Eyzaguirre Espino Verificación de estilo MED Miguel Humberto Fuentes Huerta

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Autoría Ediciones El Nocedal S.A.C. Coordinador Rubén Hildebrando Gálvez Paredes Elaboración pedagógica Felipe Eduardo Doroteo Petit Itala Esperanza Navarro Montenegro Edgar Justo Chacón Nieto Daniel José Arroyo Guzmán Colaboración especial Marisol Edith Zelarayan Adauto Revisión pedagógica Hno. Marino La Torre Mariño Revisión académica Armando Zenteno Ruiz Diseño y diagramación Virginia Rosalía Artadi León

Ilustraciones Patricia Nishimata Oishi Brenda Román González Fotografía Enrique Bachmann Corrector de estilo Marlon Aquino Ramírez

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PRESENTACIÓN En la actualidad, ser docente en Matemática es un gran reto, pues es una tarea compleja que requiere multiplicidad de saberes. No es suficiente dominar los contenidos temáticos del área, sino ser capaces de que los estudiantes desarrollen las capacidades del área (razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas), los valores y las actitudes que les permitan una educación integral para alcanzar su autorrealización. Esto exige que los docentes se encuentren actualizados y familiarizados con las nuevas tendencias curriculares y metodológicas.

La sumilla del Fascículo 1: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de los sistemas de números naturales, enteros, racionales y reales, en secundaria, indica: “Comprenderá el desarrollo de los principios, estrategias y algoritmos que rigen los procesos de desarrollo de capacidades que permitan comprender y, además, operar con los sistemas de números naturales, enteros, racionales y reales. Desarrollará, asimismo, ejercicios, problemas, juegos matemáticos y sugerencias de construcción y utilización del material educativo respectivo”.

Así, nos sumergiremos en un proceso didáctico de estudio, pues aprender es un medio al servicio de un fin que es el estudio, que no es enseñar lo que se ha aprendido, sino responder a una cuestión que se ha planteado. En muchos casos, para responder a las cuestiones planteadas, se tendrá que aprender a aprender, aprender a hacer, aprender a convivir y aprender a ser.

En la sociedad, enseñar y aprender son sólo medios para que cierto número de personas adquieran los conocimientos necesarios para realizar ciertas actividades. Sin embargo, no debemos olvidar que la Matemática sirve, sobre todo, para resolver problemas, y no sólo para que se aprenda y se enseñe.

En este fascículo nos internaremos dentro de un proceso de estudio de los sistemas numéricos , , y , a través de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau y el aprendizaje de las mismas a través de las seis etapas de Dienes, pues éste postula básicamente el aprendizaje de la Matemática mediante juegos.

No se trata de jugar por jugar, sino jugar basándonos en una teoría didáctica para conseguir el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática, así como las capacidades inherentes a ella.

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ÍNDICE Presentación ........................................................................................................................................ Índice...................................................................................................................................................

Organizador visual de contenidos.......................................................................................................

Motivación ..........................................................................................................................................

Logros de aprendizaje .........................................................................................................................

Recuperación de saberes previos ........................................................................................................

1.

5 5 6 8 9

SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES ..............

2.1 Situación didáctica: palitos y cuñas.....................................................................................

11 11

Actividad 1 ...................................................................................................................................

14

SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS ..................

3.1 Situación didáctica: descubriendo al número entero ..........................................................

3.2 Situación problemática: ciudadanos buenos y malos .........................................................

3.3 Situación a-didáctica: casinos para la adición y sustracción de números enteros ..................................................................................................................

Actividad 2 ...................................................................................................................................

15 15 18

SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES. ............

21

4.1 Situación didáctica: Repartiendo una rodaja de jamonada .................................................

4.2 Situación a-didáctica: dominó de fracciones ......................................................................

21 23

Actividad 3 ...................................................................................................................................

25

SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL APRENDIZAJE DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES. ....................

26

5.1 Situación didáctica: un cuadrado de más ...........................................................................

26

Actividad 4 ...................................................................................................................................

28

6.

EVALUACIÓN ..................................................................................................................................

29

7.

METACOGNICIÓN ...........................................................................................................................

30

Bibliografía comentada .......................................................................................................................

31

Enlaces web.........................................................................................................................................

32

2.

3.

4.

5.

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LA TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS DE GUY BROUSSEAU VS. LAS SEIS ETAPAS DE APRENDIZAJE SEGÚN Z. DIENES ..............................................................................

1.1 Estrategia didáctica..............................................................................................................

1.2 Propuestas didácticas según Brousseau...............................................................................

1.3 Etapas de Dienes vs. situaciones didácticas ........................................................................

1.4 Aplicación de las seis etapas de Zoltan Dienes en el aprendizaje del teorema de Pitágoras ..............................................................................................................................

1 2 3 4 4 4

18 20

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Situaciones didácticas

Números Naturales

Números enteros

Números reales

Aplicación

de

ejemplo

ofreciendo un

Seis etapas

en sus en sus

Fases didácticas

Zoltan Dienes

Guy Brousseau

desarrollado por

Marco teórico

Situaciones A - didácticas

para docentes

Situaciones problemáticas

proponiendo

Números racionales

de los

Sistemas

de los

Aprendizaje

en el

bajo un

Situaciones didácticas

comprende el estudio de

ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

ASPECTOS METODOLÓGICOS en el APRENDIZAJE de los

NÚMEROS NATURALES, ENTEROS RACIONALES y REALES Motivación Parece que la expresión “colegio invisible” la empleó por primera vez el inglés Robert Boyle (1627-1691), quien bautizó así al grupo de científicos con los que intercambiaba información acerca de las investigaciones llevadas a cabo por cada uno de ellos. Este grupo informal fue el germen de la creación, en 1662, de la Royal Society. “La compañía, que ya no se limitaba a los eminentes y respetables residentes de una capital se convirtió en un colegio invisible. Para ser escuchado en la Royal Society de Londres no www.usno.navy.mil/library/rare/boyle21.jpg era necesario asistir a sus reuniones. John Beale podía escribir desde Herefordshire, en el oeste de Inglaterra, y describir el problema de las huertas… Nathaniel Fairfax, de Suffolk, informó sobre unas personas que comían personas y sapos… La lista también incluía a John Flamsteed, que escribió sobre astronomía desde Derbyshire y a Martin Listen que escribió desde Cork sobre biología y, desde luego, había frecuentes comunicaciones entre Boyle y Newton”.

(Boorstin, D.J. Los descubridores. Ed. Crítica. Barcelona, 1986. p.378).

La historia nos invita a interesarnos por los problemas en común y establecer contactos para formar equipos de investigadores educadores y establecer una comunidad de estudio para comunicarnos constantemente aunque no tengamos que vernos, ello es posible hoy en día, gracias a las tecnologías avanzadas.

LOGROS DE APRENDIZAJE Analiza la teoría de situaciones didácticas y la aplica en el aula en situaciones concretas.

Interpreta datos implícitos, procesos, representaciones gráficas relativas, analizando los sistemas numéricos.

Aplica y utiliza las definiciones, los teoremas, propiedades sobre sistemas numéricos, en forma adecuada a cada situación.

Interpreta enunciados matemáticos presentados en un lenguaje formal o en un lenguaje común a través de la lectura, la decodificación, la codificación, la clasificación, la discusión y la representación.

www.biografiasyvidas.com/.../ b/fotos/boyle.jpg

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS Antes de empezar con el desarrollo del presente fascículo es indispensable que recuerdes algunas precisiones. Lee atentamente las preguntas y responde en una hoja aparte. ¿Qué es la didáctica? ¿Qué tomas en cuenta para planificar una sesión de aprendizaje? ¿Cómo podemos presentar los sistemas numéricos?

Describe algunas actividades para desarrollar capacidades y . específicas en los sistemas numéricos: , , ¿Qué papel cumple el juego didáctico en el estudio de la Matemática?

Procesa la información mediante la relación, la transformación y la aplicación.

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Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

1. La TEORÍA de las SITUACIONES DIDÁCTICAS de GUY BROUSSEAU vs. las SEIS ETAPAS de APRENDIZAJE según Z. DIENES En esta sección se describe una explicación detallada de los juegos como estrategias de aprendizaje en la Matemática, relacionándolos a las seis etapas de aprendizaje según Z. Dienes versus la teoría de las situaciones didácticas, según Brousseau.

En primer lugar, veamos qué significa estrategia didáctica, y cómo se estructura un juego según Dienes, relacionando dicha estructuración dentro de una situación a-didáctica.

Estrategia Puede definirse como la mejor forma de alcanzar los objetivos buscados al inicio de una situación conflictiva.

El conflicto no implica necesariamente una pelea, sino la lucha por obtener una de dos o más situaciones hipotéticas que no pueden darse simultáneamente.

Algunos dicen que “estrategia” es todo lo que se hace antes de ingresar al conflicto. Luego empieza la “táctica”.

Establecer una “estrategia” implica conocer de antemano las distintas formas en las que se va a dirimir un conflicto y de qué forma enfrentarlo conociendo las metas que se desean alcanzar. La estrategia puede verse como un plan que debería permitir la mejor distribución de los recursos y medios disponibles a efectos de poder obtener aquellos objetivos deseados. http://www.estrategia.com/

1.1 Estrategia didáctica Estrategia: Es un proceso regulable, el conjunto de las reglas que aseguran una decisión óptima en cada momento.

De esta definición se puede afirmar que: la estrategia didáctica es el conjunto de métodos y procedimientos acompañados de los medios y materiales didácticos.

Luego, las estrategias didácticas ofrecen situaciones en las cuales el estudiante estimula, educa su

Estrategia didáctica Medios y materiales

Métodos

Procedimientos

Técnicas

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

libertad de elección y decisión; propicia situaciones en las que debe pensar, organizar, proyectar, imaginar y llegar a conclusiones; facilita el ambiente para que los estudiantes se sientan a sí mismos y se expresen libremente.

1.2 Propuestas didácticas según Brousseau Para Brousseau, la didáctica de la Matemática es la ciencia que tiene la misión de explicar los fenómenos didácticos.

Desarrolla su teoría sobre la base del sistema didáctico formado por el profesor, el alumno y el saber actuando en el aula. (Microsistema).

Una situación didáctica es el conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre el alumno, un cierto medio -otros alumnos, eventualmente instrumentos u otros objetos- y un profesor con el fin de que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de construcción. http://math.unipa.it/~grim/ brous.jpg

GUY BROUSSEAU Nació en Francia en 1933. Distingue entre las situaciones: las didácticas (aprendizaje de un conocimiento); las a-didácticas (no tienen en vista un conocimiento sino el desarrollo de comportamientos, modos de actuar, de decir, de explicar, de argumentar, de expresar, de escribir, de escuchar…) y las no didácticas (tiene lugar fuera del aula).

De esta descripción se desprende inmediatamente que el universo de la situación didáctica es la sala de clases.

Entre las situaciones didácticas, Brousseau distingue las situaciones o fases de: acción, de formulación, de validación, institucionalización y evaluación. A estas situaciones están asociadas formas dialécticas que tienen funciones diferentes.

Dialéctica de la acción: en esta etapa el alumno es confrontado a una situación que le plantea un problema, para buscar una solución, el alumno realiza acciones que pueden desembocar en la creación de un saber hacer. Él puede explicar más o menos o validar sus acciones, pero la situación no se lo exige.

Dialéctica de la formulación: esta etapa está dedicada al necesario intercambio de informaciones y la creación de un lenguaje para asegurar el intercambio. El alumno podría justificar sus posiciones, pero la situación de formulación no se lo exige.

Dialéctica de la validación: en esta etapa los intercambios no conciernen solamente a las informaciones sino a las declaraciones. Hay que probar lo que se afirma, no por acciones, sino dando razones apoyadas en los datos iniciales (hipótesis) o en relaciones pertinentes (teoremas o propiedades).

Veamos cómo estas situaciones se dan en los momentos principales de una situación didáctica en el educando:

Fase o momento de la secuencia

Acción

Cuestiones didácticas

Acciones del docente

Las situaciones de enseñanza tienen que ser tales que representen un problema (en sentido amplio) para el alumno.

El docente traspasa la responsabilidad de la situación al alumno.

Expone la situación y las consignas, y se asegura que han sido bien comprendidas: si es necesario parte de los conocimientos anteriores u “organizadores previos” mediante actividades especiales para este fin.

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Fase o momento de la secuencia

Acción

Formulación

Validación

Cuestiones didácticas

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En la base de todo el proceso cognitivo está la percepción. Por lo tanto, el proceso que denominaremos de “Resolución de situaciones problemáticas” debe comenzar analizando los factores que definen al problema como tal y la factibilidad del solucionario.

Se comienza a concebir la solución. Aparece mentalmente una representación mediadora entre el sujeto y la situación. Imaginar la situación requiere de conocimientos implícitos o en “acto”.

Esta fase involucra tanto aspectos cognitivos como cuestiones de índole práctica, ambos dirigidos a la solución de problemas que es preciso resolver en condiciones específicas y con recursos limitados.

Adopta el rol de un “coordinador descentrado” que interviene solamente como facilitador de la búsqueda, pero se abstiene de brindar informaciones que condicionen la acción de los alumnos: aclara las consignas, alerta sobre obstáculos inexistentes agregados por los alumnos, señala contradicciones en los procedimientos, etc.

Promueve la aparición de muchas ideas, pues esta fase es la más creativa y la que debe poner en juego la imaginación, la inventiva, la intuición, y el intercambio entre los miembros del grupo, asegurándose que el grupo no siga adelante sin antes tomarse el tiempo para la discusión y los acuerdos.

Es la fase en que se “materializan” el plan proyectivo que ordena los recursos y el producto que resuelve los problemas. Concretar la solución exige al alumno que explicite los conocimientos en un lenguaje que los demás puedan entender. Para ello se utilizan medios convencionales de representación que permiten la comunicación tecnológica.

Se pone énfasis en el manejo de lenguajes muy variados, ya sea de tipo verbal, escrito, gráfico, plástico, informático y matemático. Se busca la adquisición de destrezas para la utilización de decodificación de los lenguajes más apropiados, y se mejora progresivamente la claridad, el orden y la precisión de los mensajes.

Estimula a los alumnos, mantente siempre vigilante para evitar que pierdan el “hilo” del proceso, y procura que se organicen de modo que puedan diseñar y materializar la solución (seleccionar los materiales, las herramientas, dividir las tareas etc.). Si es necesario, indica las pautas para que los alumnos utilicen los medios de representación apropiados.

Sondea el “estado del saber” y los aspectos efectivos y actitudinales; detecta procedimientos inadecuados, prejuicios, obstáculos, y dificultades, para trabajarlos con los alumnos, en ese momento o más adelante, según convenga a su estrategia.

Es una fase de balance y representación de resultados, y de confrontación de procedimientos.

La situación debe permitir la “autovalidación”; es decir que la verificación de los productos o de los resultados pueden ser efectuados por el propio alumno - como parte de las situaciones mismas sin tener que recurrir al dictamen del o la docente. Un caso típico de estas situaciones es el momento de ensayos y pruebas a los que los alumnos someten sus producciones.

Se trata de someter las producciones al “control ajeno”, un proceso de “metacognición” que se completa en la fase siguiente.

El docente estimula y coordina las pruebas, los ensayos, las exposiciones, los debates y las justificaciones.

Absuelve las dudas y las contradicciones que aparezcan, señala procedimientos diferentes, lenguajes inapropiados, y busca que el consenso valide los saberes utilizados. En este momento crece el valor de las intervenciones del docente, que debe recurrir a las explicaciones teóricas y metodológicas necesarias de acuerdo con las dificultades surgidas.

Esta es una buena oportunidad para tomar datos evaluativos y para introducir nuevas variantes de problematización.

Coordina y resume las conclusiones que son clave para la sistematización de la próxima fase.

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Fase o 2momento Serie / DIDÁCTICA DE LA Cuestiones didácticas de MATEMÁTICA la secuencia El saber se descontextualiza y se despersonaliza para ganar el estatus cultural y social de objeto tecnológico autónomo, capaz de funcionar como herramienta eficaz en otras situaciones.

Aquí se debe explicar y redondear el lenguaje apropiado y avanzar en los niveles de abstracción correspondientes. La síntesis conceptual, además de producir un efecto de “cierre” en la elaboración del saber, contriInstitucionalización buye a resignificar el aprendizaje en el contexto global del alumno.

Es un proceso de objetivación, generalización y abstracción de los contenidos, en cierta medida es inversa al de la primera fase donde la situación es una situación particular que se busca que sea contextualizada y personalizada por los alumnos.

Evaluación

Tanto la evaluación de los aprendizajes que realiza el docente, como la auto evaluación del alumno y la co-evaluación entre pares, deben ser también instancias de aprendizaje: de este modo, en el aula, aprendizaje y evaluación debieran marchar juntos en un proceso recursivo.

Para que el cierre de la secuencia no signifique un corte que le deje aislada, o “descolgada” de la planificación anual, se plantea el escenario de una nueva secuencia articulada con los temas aquí tratados.

Acciones del docente Rescata la semántica y los medios de representación apropiados. Éste es un aspecto decisivo del rol del docente como mediador de códigos de comunicación.

Esta alfabetización o transmisión cultural es propia de la escuela como institución, y relativa a los códigos que caracterizan a nuestra “sociedad tecnológica”.

Explica, sintetiza, resume y rescata los conocimientos puestos en juego para resolver la situación planteada. Habrá contenidos viejos y nuevos (pero que puedan consolidarse o ampliarse) y éste será el momento en el que el docente destaca su funcionalidad.

Mediante esta reflexión (metacognición) compartida con sus alumnos sobre “lo que hicimos”, extrae de la experiencia realizada en el aula los contenidos que quiere enseñar.

Rescata el valor de las nociones y los métodos utilizados. Señala su alcance, su generalidad y su importancia.

El seguimiento del docente desde la aparición de los primeros borradores y bocetos hasta el producto final, pasando por las demás fases, es una de las formas de evaluar la situación y el desempeño de los alumnos.

Puede presentar algunos trabajos adicionales con el propósito de obtener más datos evaluativos y permitir la transferencia y la nivelación.

Anticipa una nueva secuencia articulada con los temas y/o contenidos tratados en esta.

La situación didáctica es un “aspecto más general” que engloba a una situación “a-didáctica”, luego una situación a-didáctica es un “aspecto particular”.

Así, las fases de: acción, formulación, validación, institucionalización y evaluación están presentes en las seis etapas de Dienes; veamos.

1.3 Etapas de Dienes vs. situaciones didácticas Para que el alumno aprenda, según Dienes, debe haber modificado su comportamiento respecto a su medio. Así, señala tres procesos de aprendizaje: 1. Proceso de abstracción.

2. Proceso de generalización.

3. Proceso de comunicación.

Es en el primero donde distingue las seis etapas de aprendizaje en matemática, allí se debe tener en cuenta la organización de la enseñanza para el aprendizaje significativo, es decir, que parta del medio del “aprendiz” para que así pueda construir sus conocimientos.

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Sin embargo, le compete al docente diseñar situaciones didácticas o a -didácticas para lograr el aprendizaje significativo.

En este caso, las seis etapas de aprendizaje en la Matemática según Zoltan Dienes quedan enmarcadas dentro de una situación a-didáctica, pues partiendo de un medio natural, como es el juego, se pretende llegar a la abstracción de cuestiones matemáticas, mediados en primera instancia por la sensación, percepción e intuición, para luego, con la lógica del pensamiento llegar a abstraer los objetos matemáticos y, es más, interrelacionar dichos objetos para poder seguir en este proceso de abstracción.

Este proceso tan delicado, mediado por el docente, es el que se consigna en las siguientes etapas, a saber: E Etapas Proceso de abstracción v I Adaptación : juego libre a Acción II Estructuración: restricciones, reglas de juego l u Abstracción: conexiones de naturaleza III abstracta, juego de isomorfismo.

Formulación a IV Representación: gráfica o esquemática c Validación i V Descripción de las representaciones: el lenguaje VI Formalización: Método.

Institucionalización ó n PRIMERA ETAPA: DEL JUEGO LIBRE. Se produce la adaptación mediante el juego libre.

SEGUNDA ETAPA: DE LAS REGLAS DE JUEGO. Se dan las reglas de juego (restricciones) que conllevarán a lo que se pretende lograr.

TERCERA ETAPA: DE LA ABSTRACCIÓN. Los niños obtienen la estructura común de los juegos y se deshacen de los aspectos carentes de interés.

CUARTA ETAPA: DE LA REPRESENTACIÓN. Se representa la estructura común de una manera gráfica o esquemática.

QUINTA ETAPA: DE LA DESCRIPCIÓN DE LAS REPRESENTACIONES (EL LENGUAJE).

Se estudian las propiedades de la representación, es decir, las propiedades de la estructura abstracta. Para ello es necesario inventar un lenguaje.

Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

1+1=3

La Matemática es una ciencia que no se aprende pasivamente, no basta con observar al docente en el aula y en sus diferentes espacios, sino por el contrario, es necesario comprometerse con la actividad matemática en el aula y fuera de ella, esto es cultivando tres aspectos fundamentales como: UTILIDAD, DISFRUTE Y CONFIANZA; luego es fundamental que los o las estudiantes, se vuelvan concientes de la utilidad de la Matemática en su vida diaria y en la forma de cultivar la mente, disfrutando de sus aportes y sobre todo teniéndole la respectiva confianza, debido a que es una creación importante del hombre.

SEXTA ETAPA: DE LA FORMALIZACIÓN. Limitamos la descripción a un número finito de palabras, porque no se pueden describir todas las propiedades, pero se inventa un procedimiento para deducir las demás.

1.4 Aplicación de las seis etapas de Zoltan Dienes en el aprendizaje del teorema de Pitágoras Primera etapa: del juego libre.

Se les presenta a los estudiantes el material (rompecabezas pitagórico) y se les pide que jueguen con él.

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Segunda etapa: de las reglas de juego.

Ahora se les pide que primero armen las dos figuras pequeñas y luego con las mismas piezas armen la figura grande.

2 1

3 4

B

A

5 1

2 5

4

C

3

Tercera etapa: de la abstracción.

Se les pregunta a los estudiantes: 1. ¿Qué figuras geométricas observas?

2. ¿Qué observas con respecto al armado de las dos primeras figuras y el armado de la segunda figura?

3. ¿Cuál es la relación que existe entre el armado de las figuras y la figura ubicada en el centro?

4. ¿Qué relación guardan las figuras A y B con la figura C? http://cantemar.com/ Pitagoras.jpg

PITÁGORAS Nació en el año 572 a. C. en la isla de Samos, filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes.

Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates.

Murió en Metaponto alrededor de 497 a. C.

5. Comprueba tomando las medidas de cada uno de los lados de las figuras y luego determina las áreas. Relaciona los resultados.

6. ¿Qué figura se formó entre los tres cuadrados?

7. ¿Qué tipo de triángulo es?

8. ¿Cómo se llaman los lados que forman el ángulo recto? ¿Cómo se llama el lado opuesto al ángulo recto?

9. ¿Será cierto que si sumamos los cuadrados de los catetos será igual al cuadrado de la hipotenusa? Compruébalo considerando sus medidas.

10. ¿Qué relación encuentras entre el cuadrado de la hipotenusa y el área del cuadrado C? Cuarta etapa: de la representación.

Se les pide a los estudiantes que representen gráficamente o esquemáticamente este hecho.

Quinta etapa: de la descripción de las representaciones (el lenguaje).

Se les pide a los estudiantes que describan tal representación en lenguaje usual o materno.

Sexta etapa: de la formalización.

Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito en lenguaje formal, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simbólico.

Se les pregunta a los estudiantes: ¿cómo podemos llamar a lo deducido? (Teorema de Pitágoras). ¿Cómo llamaremos a todo este procedimiento hecho para llegar a deducir lo que queríamos? (Comprobación). Ahora sí, el estudiante está en condiciones de hacer una demostración formal del teorema de Pitágoras, el mismo que puede realizarse con cualquiera de las muchas formas de hacerla.

Esta aplicación esquemática así descrita, y otras más que puedes plantear, se llevarán al aula bajo el esquema de una sesión de aprendizaje.

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Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

2. SITUACIONES DIDÁCTICAS en el APRENDIZAJE del SISTEMA de los NÚMEROS NATURALES En los primeros grados de Educación Secundaria, es fundamental iniciar las enseñanzas con el uso de números naturales, pero destacándolo como un sistema numérico. Para tal efecto, es inprescindible priorizar el conocimiento y dominio de las propiedades de los números, y sus relaciones entre los mismos. Para ello se necesita introducir intuitivamente este sistema, para luego formalizarlo y considerar sus aplicaciones instrumentales y formativas, en función de las capacidades matemáticas específicas que han de desarrollarse en el estudiante.

El profesor fomentará la comunicación de ideas entre los estudiantes que analizarán los patrones numéricos utilizando el material, para así, ir más allá.

Se plantea una situación didáctica puesta en aula para un tema específico.

2.1 Situación didáctica: palitos y cuñas 1. TEMA: SUCESIONES y SERIES. 2. TIEMPO: 90 minutos.

3. GRADO DE ESTUDIO : Primero de Secundaria.

4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Destreza: interpreta (razonamiento y demostración).

– Infiere y deduce estrategias, propiedades y conceptos al determinar una sucesión en situaciones de su vida diaria.

– Es perseverante al inducir las simbolizaciones de sucesión en situaciones de su vida diaria (perseverancia).

5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN.

Interesante ¿SABÍAS QUÉ?

Los números naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como las primeras civilizaciones: la necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y muchos; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello, empezó a representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra. Por cada objeto observado, colocaba una marca que fuera familiar, así concibió la idea del número.

Para contar también utilizó su propio cuerpo: los dedos de la mano, los de los pies, los brazos, las piernas, el torso y la cabeza, las falanges y las articulaciones. http://www.itc.edu. co/carreras_itc/ Sistema%20Numerico/index. html 11

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogación didáctica, lluvia de ideas, entre otros.

6. MEDIOS Y MATERIALES. Palitos, cuñas, ficha de trabajo estructurada, papelógrafos, plumones de colores y cinta adhesiva

¿En Matemática, qué pasa con las ideas propias y las de los demás?

Personalidades las ideas propias

las ideas de los demás

Agresivo

se ignoran se escuchan se aplican

Firme Dócil

se aplican se escuchan se ignoran

Como podrás apreciar, es fundamental escuchar a las personas, cualquiera fuera su personalidad, para que pueda existir mejor comunicación, razonamiento objetivo y con ello poder abordar los diversos ejercicios y resolver los problemas en la misma Matemática y en nuestro entorno social.

FICHA DE TRABAJO: PALITOS Y CUÑAS Reglas de acción: Cada equipo se agrupa con 4 integrantes. Organízate dentro de tu grupo.

Intenta primero resolver el problema de manera individual. Intercambia en el grupo tus puntos de vista. Por unanimidad, escojan la estrategia que mejor crean conveniente y justifíquenla.

Cierto día, el niño Juan y la niña Ana deciden reunir varios palitos y cuñas para construir torres de diferentes pisos. Tal como vemos a continuación.

1º Piso

2º Piso

3º Piso

1. COMPLETAR LOS CASILLEROS EN BLANCO Número de palitos por torre.

1º Piso 2

2º Piso 6

3º Piso 12

4º Piso

5º Piso

6º Piso

7º Piso

8º Piso

4º Piso

5º Piso

6º Piso

7º Piso

8º Piso

Número de cuñas por torre.

1º Piso 1

2º Piso 3

3º Piso 6

2. RESPONDE: a. ¿Cuántos palitos emplearán para su torre de 13 pisos? Justifica tu respuesta. b. ¿Cuántas cuñas más tiene la torre de 15 pisos en comparación a la torre de 7? Justifica. c. ¿Qué diferencias encuentras entre la torre de 12 pisos y la de 6? Enumera y explica todas las diferencias posibles.

7. APLICACIÓN: 7.1 ACCIÓN: Se les presenta las hojas de trabajo y las hojas en blanco, donde, en primer lugar, ellos se enfrentan individualmente al problema.

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Los estudiantes escriben en la ficha de trabajo presentada, tratando de dar respuestas a las interrogantes allí mencionadas.

Al plantearles el problema sobre series mediante un material, el educando utilizará sus conocimientos previos, específicamente el saber conceptual, e intentará encontrar solución para el problema, razonando y aplicando procedimientos lógicamente válidos.

Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

Manipulará el material y realizará acciones para solucionar el problema: • Los estudiantes pueden dibujar torres de todos los pisos.

• Cuadros más grandes a partir del cuadro presentado.

• Despejar las cifras de los casilleros para determinar una relación entre los números, dibujando, etc.

7.2 FORMULACIÓN: Se intercambian las informaciones obtenidas y se crea un lenguaje formal, adecuado, simple y coherente para explicar los procedimientos que se realizaron a los demás de una manera entendible, el intercambio de conocimientos y aprendizajes obtenidos durante la etapa de acción.

Los estudiantes cotejan sus resultados y estrategias empleadas para así escoger la más acertada y llenar en la hoja grupal.

7.3 VALIDACIÓN: Para validar los intercambios de información procesada se requiere de una situación teórica-práctica de los contenidos matemáticos utilizados.

Probar lo que se afirma significa fundamentar el contenido matemático de la sucesión basándose en las etapas de acción y formulación.

7.4 INSTITUCIONALIZACIÓN: Una vez validadas las estrategias de solución, se formaliza el concepto de sucesión y serie, de una manera entendible y auxiliándose del trabajo hecho en todo el proceso anterior.

El docente debe investigar acerca del saber científico (en un texto de nivel superior), al que se denomina un saber descontextualizado para no distorsionar los conceptos matemáticos que se transmitirán a los estudiantes (saber del aprendizaje), por tal motivo debe ser el más adecuado, sin salirse del marco del saber científico.

Así, el saber descontextualizado se contextualiza para su aprendizaje mediante las actividades planteadas, luego, en la institucionalización se trata de llegar a lo sumo a la descontextualización y para ser más entendible, se plantea el aspecto práctico, contextualizando nuevamente, observando la utilidad que tiene el nuevo saber aprendido, y es así como se va avanzando en la construcción de los conocimientos matemáticos; es decir, buscando las nuevas zonas de desarrollo próximo.

7.5 EVALUACIÓN: Después de haber formalizado, y haber trabajado ejercicios y problemas, se verifica el aprendizaje de los estudiantes.

•

http://aula.almundo.es/aula/ laminas/numeros.pdf

Interesante Los números naturales ¿SABÍAS QUÉ?

Hacia el año 3300 a.C., apareció la representación escrita de los números, paralelamente al nacimiento de la escritura, en Sumer (Mesopotamia). En las primeras tablillas de arcilla que han revelado la escritura, aparecen signos específicos destinados a representar los números. En cada cultura se empleó una forma particular de representar los números. Por ejemplo, los babilonios usaban tablillas con varias marcas en forma de cuña y los egipcios usaban jeroglíficos, que aún aparecen en las paredes y columnas de los templos.

Las cifras que hoy utilizamos tienen su origen en las culturas hindú y árabe. http://www.itc.edu. co/carreras_itc/ Sistema%20Numerico/ index.html

ANÁLISIS A-PRIORI DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Es el análisis que se hace antes de llevar a cabo la situación didáctica; es decir, aquí el docente hace la solución previa de la ficha de trabajo 13

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

propuesta a los estudiantes, para sacar el máximo provecho posible a la situación durante el trabajo en el aula.

•

Un mate...

– ¿Qué le dice el 1 al 10?

– Para ser como yo, debes ser sincero

ANÁLISIS A-POSTERIORI DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Es el análisis que se hace después de aplicar la situación didáctica; por ejemplo: – Quizás algún grupo encontró una manera más sencilla de determinar el número de cuñas, dándose cuenta que la cantidad de cuñas de cada torre era igual a la mitad de palitos de dicha torre, un detalle que quizá no se había previsto.

– Quizás algún grupo no pudo encontrar la relación correcta, porque no se le agregó a los números de este cuadro el número 10, para que lograsen tener un mejor panorama.

Actividad 1

en grupo... investiga con tus colegas Discute con tus colegas sobre la solución de los siguientes problemas y luego arma, a partir de ello, una situación problemática en clase. ¿Cómo lo harías?

1. Fase de acción: Situación problemática: En la expresión: * representa un dígito primo mayor que 1. * * * x * * * * * * + * * * * * * * * * Expresa esta situación en números naturales, de acuerdo con las condiciones planteadas.

Luego de haberse familiarizado con la situación se formulan las posibles soluciones y solución definitiva a la situación.

2. Fase de formulación: Se socializa la solución a la situación formulada, así: 7 7 5 x 3 3 2 3 2 5 2 3 2 5 2 5 5 7 5

3. Fase de validación: Se confrontan soluciones diversas a la solución planteada, así como a los procedimientos utilizados. Esto es: los estudiantes someten a prueba sus producciones realizadas.

4. Fase de la institucionalización: Aquí, se establecen las generalizaciones a todas las soluciones particulares y se señalan y desarrollan formalmente los contenidos matemáticos necesarios; en este caso: adición y multiplicación en , así como números primos.

5. Fase de evaluación Se pone en práctica la autoevaluación y la colaboración, y se deja establecido el tratamiento de otros contenidos matemáticos como sustracción y división en .

Para presentar tu propuesta didáctica, considera un contenido matemático que ofrezca mayor dificultad en su compresión, formula las fases de acuerdo con el aporte didáctico de Guy Brousseau y trabájalo con tus estudiantes en el aula de clases, finalmente expón esta experiencia a tus colegas.

14

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Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

3. SITUACIONES DIDÁCTICAS en el APRENDIZAJE del SISTEMA de los NÚMEROS ENTEROS Los docentes deben animar a los estudiantes a que deduzcan y justifiquen sus conclusiones, asimismo, los estudiantes deben entender íntegramente el concepto de conjunto numérico, comprender los números, las formas de representarlos y las relaciones entre ellos.

A continuación, se presenta la formación del concepto de número entero a través de una situación didáctica.

3.1 Situación didáctica: descubriendo al número entero 1. TEMA: EL NÚMERO ENTERO. 2. TIEMPO: 90 minutos.

3. GRADO DE ESTUDIO: Primero de Secundaria.

4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Destreza: Codifica.

– Conceptualiza los números enteros a partir de situaciones de su vida diaria.

– Participa activamente en el trabajo en equipo. (Solidaridad y cooperación).

5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN. Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogación didáctica, lluvia de ideas, entre otros.

6. MEDIOS Y MATERIALES: – Ficha de trabajo estructurada.

– Papeles, hojas bond, plumones.

Interesante Los números enteros ¿SABÍAS QUÉ?

Hacia los siglos VI y VII, los hindúes fueron los pioneros en el uso de las cantidades negativas como medio para representar las deudas.

Sin embargo, la aceptación de número negativo en occidente fue un proceso de una lentitud sorprendente, pues, por varios siglos, los números negativos no eran considerados como cantidades verdaderas, dada la imposibilidad de representarlos en el mundo físico.

Con mucha dificultad, los números negativos fueron finalmente considerados en la resolución de ecuaciones, según se refleja en los escritos del matemático italiano Jerónimo Cardano: “olvidad las torturas mentales que esto os producirá e introducid estas cantidades en la ecuación.”

En el siglo XIX, aún existía entre los matemáticos de occidente, una gran desconfianza en el manejo de las cantidades matemáticas, hasta que en el mismo siglo Weisrestrass hizo la construcción formal de los números enteros a partir de los números naturales. http://www.itc.edu. co/carreras_itc/ Sistema%20Numerico/index. html 15

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

FICHA DE TRABAJO Juan le ha prestado a María ocho soles. Pasada una semana, María le ha devuelto a Juan solamente cuatro soles. Representa este hecho simbólicamente en la tabla siguiente y coloca el numeral: A Juan le pagan cuatro soles María debe cuatro soles a Juan

1. Si Juan le hubiera prestado a María 6 soles y ella hubiese pagado 3 soles, ¿cómo puedes representar este hecho simbólicamente?

A Juan le pagan tres soles María debe tres soles a Juan

2. Pero, si Juan le hubiera prestado a María 4 soles y pagado sólo 2 soles, ¿cómo sería esta representación en símbolos?

A Juan le pagan dos soles María debe dos soles a Juan

curiosidades

matemáticas Para que un todo, dividido en dos partes desiguales parezca hermoso desde el punto de vista de la forma, debe presentar entre la parte menor y la mayor, la misma relación que entre ésta y el todo. Esta notable división se llama división áurea o división media y extrema razón.

La proporción es la siguiente. segmento total = parte mayor parte mayor parte menor

3. Si Juan le hubiera prestado a María 2 soles y luego, pagado sólo un sol, ¿cómo representas simbólicamente este hecho?

A Juan le pagan un sol María debe un sol a Juan

4. ¿Cómo representarías simbólicamente, ahora, el hecho de que María haya pagado toda su cuenta, si Juan le prestó ocho soles?

A Juan le pagan ocho soles María no debe a Juan

7. APLICACIÓN: (SITUACION DIDÁCTICA).

7.1 ACCIÓN: Los estudiantes trabajan en la ficha de trabajo presentada tratando de dar respuestas a las interrogantes allí planteadas.

Esta división es más o menos: 809 = 1,618.

500

7.2 FORMULACIÓN:

En las líneas principales del rostro femenino “matemáticamente hermoso” resulta constante aquella relación.

7.3 VALIDACIÓN:

Los estudiantes sacan sus conclusiones y representan en una recta numérica todas las simbolizaciones hechas en su material.

Cuando decimos, cómo puede justificar la existencia de números negativos, su posible respuesta será: por las deudas.

Con la guía del docente: ellos afirmarán que hay la misma distancia del cero a cierto número negativo y del cero a dicho numeral, pero positivo.

7.4 INSTITUCIONALIZACIÓN: La institucionalización se hará respecto a los siguientes términos matemáticos: Números enteros, representación en la recta numérica, valor absoluto de un número entero. Nociones de comparación de números enteros.

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ANÁLISIS A-PRIORI DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. •

Luego de que los estudiantes salen a exponer las conclusiones del grupo, se les pide que representen en una sola recta numérica todas las simbolizaciones que hayan hecho en cada uno de los cuadros.

•

Se aprovecha esta situación de la gráfica para poder dar la idea del valor absoluto para cada cuadro en la gráfica y la preservación de distancias del mismo con respecto al cero, añadimos también que el cero es neutro y, por lo tanto, no lleva signo.

Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

7.5 EVALUACIÓN: Se puede aplicar, por ejemplo, una ficha de trabajo como evaluación, muy similar a la anterior, pero de manera individual; veamos: TEMPERATURAS APELLIDOS Y NOMBRES: GRADO Y SECCIÓN: Los estudiantes del primer año de secundaria decidieron salir de excursión a los distintos lugares del Perú, para esto fueron a averiguar las temperaturas de los sitios a visitar.

Los sitios son: Lima, Junín, Pasco, Cuzco y Loreto.

Para esto, la meteoróloga les dijo: En Lima la temperatura es de diecisiete grados centígrados (C).

En Junín la temperatura es de ocho grados centígrados (C).

En Pasco la temperatura es de ocho grados centígrados (C) bajo cero.

En Cuzco la temperatura es de dos grados centígrados (C) bajo cero.

TUMBES

AMAZONAS

LORETO

PIURA

LAMBAYEQUE

CA

JA

M

AR

CA

SAN MARTIN

LA LIBERTAD

ANCASH

HUANUCO

UCAYALI

CERR

O DE

PASC

O

JUNIN

LIMA

OCEANO PACIFICO

MADRE DE DIOS

CUZCO

HUANCAVELICA

ICA

APURIMAC AYACUCHO

PUNO

AREQUIPA

En Loreto la temperatura es de veinticinco grados centígrados (C).

LAGO TITICACA

MOQUEGUA TACNA

1.- ¿Cómo representarías el numeral de la temperatura de Junín que es de ocho grados centígrados y la temperatura de Pasco que es de ocho grados centígrados bajo cero?

Pasco Junín Representación del número de la temperatura

2. Son iguales el número de las temperaturas de Junín y Pasco. ¿Sí o No?

¿Por qué?

3. En los casilleros blancos, completa el numeral de las temperaturas de los lugares indicados.

Cuzco

Lima

Loreto

4.- En una recta numérica, escribe los numerales de las distintas temperaturas de los departamentos indicados.

0

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

3.2 Situación problemática: ciudadanos buenos y malos Una situación problemática es una situación didáctica, donde partiendo de un problema se trata de explicar de una manera más comprensible, conceptos matemáticos, acercándolos a los casos reales.

A continuación se presenta una situación problemática para explicar “las reglas de los signos” en los números enteros: Para el desarrollo del mismo tiene un tiempo de treinta minutos.

En la isla de San Lorenzo hay ciudadanos “buenos” a los que se les asigna el signo +, y ciudadanos “malos” a los que se les asigna el signo – . Se acuerda que: “salir” de la isla equivale al signo –, y “entrar” a la isla equivale al signo +.

Casinos para la adición y sustracción de números enteros.

•

Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a la isla de San Lorenzo, el resultado para la isla es positivo: (+) (+) = (+).

•

Si un ciudadano malo (-) sale de la isla de San Lorenzo, el resultado para la isla es positivo: (-)(-) = (+).

•

Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de la isla de San Lorenzo, el resultado para la isla es negativo: (+) (-) = (-).

•

Si un ciudadano malo (-) entra (+) a la isla de San Lorenzo, el resultado para la isla es negativo: (+) (-) = (-).

Sin embargo, también se cita otra manera de abordar la explicación de “las reglas de los signos” en los números enteros, veamos: • El amigo de mi amigo es mi amigo: (+)(+) = (+) • El amigo de mi enemigo es mi enemigo: (+)(-) = (-) • El enemigo de mi amigo es mi enemigo: (-)(+) = (-) • El enemigo de mi enemigo es mi amigo: (-)(-) = (+)

Un mate...

Este número resulta de una operación muy peculiar: 25 x 92 = 2 592

3.3 Situación a-didáctica: casinos para la adición y sustracción de números enteros Cuando un estudiante manipula ciertos conceptos todavía no claros para él, puede resultar ciertamente complejo y desalentador dicho intento voluntario.

Entonces es necesario esclarecer de manera práctica y sencilla la teoría mediante un juego.

Además, cuando el docente presenta un juego didáctico en el aula, también le es posible trabajar muy arduamente el aspecto actitudinal que el estudiante de manera natural muestra en el proceso.

Esquematizaré, ahora, la aplicación de las seis etapas de aprendizaje en Matemática de Dienes, en el aprendizaje de la adición y sustracción de números enteros; se hará a través de una situación a-didáctica: CASINOS PARA LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. 1. TEMA: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. 2. TIEMPO: 90 minutos.

3. GRADO DE ESTUDIO: Primero de Secundaria.

4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Destreza: aplica (razonamiento y demostración).

• Aplica los procedimientos adecuados para determinar la suma y resta de números enteros.

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•

Actúa de manera disciplinada.

5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN.

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Inductivo-deductivo, activos colectivizados, rally, entre otros.

6. MEDIOS Y MATERIALES: –

Mazos de 54 cartas de casinos y hojas de trabajo.

7. APLICACIÓN: (SITUACIÓN A-DIDÁCTICA).

Primera etapa: Se presenta el material a los alumnos, en grupos de cuatro integrantes, y se les pide que jueguen con él (barajarán las cartas).

Segunda etapa: Ahora se les pide que: •

Se repartan las cartas, cuatro cartas para cada jugador.

•

Se coloquen dos cartas en la mesa.

•

Se designe el orden de las jugadas.

El jugador, mediante las operaciones de adición y sustracción llevará las cartas si tiene la suma o diferencia de la operación realizada.

•

Estas operaciones se anotarán en una hoja de práctica.

•

Gana el jugador que haya llevado y registrado más operaciones que los demás, previa verificación.

CAMPEONATO: “EL PUNTO DE ORO DEL CERO”.

•

Los jugadores serán cuatro y jugarán por parejas.

•

Si un jugador levanta todas las cartas que hay sobre la mesa marcará un “PUNTO DE ORO”.

•

Si un jugador levanta cartas cuyo resultado sea cero marcará un “PUNTO DE ORO”.

•

Luego se seguirá la ronda, jugando la persona ubicada a la derecha de la anterior, y así sucesivamente.

•

Cuando se acabe el mazo se contará los puntos de oro que se hayan conseguido.

•

Luego repartirá las cartas otro jugador, llevándose a cabo la segunda mano; después la tercera y por último la cuarta mano. Al cabo de ella ganará la pareja que haya conseguido mayor cantidad de puntos y haya hecho correctamente las operaciones de cada jugada en su cuaderno de trabajo.

•

Por último, se asignará el primer y segundo puesto del campeonato, para lo cual, se hará una tabla de posiciones donde se anotará la ronda de ganadores y perdedores.

curiosidades

matemáticas Multiplicaciones por múltiplos de 9: 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679

9 = 111111111 18 = 222222222 27 = 333333333 36 = 444444444 45 = 555555555 54 = 666666666 63 = 777777777 72 = 888888888 81 = 999999999

Tercera etapa: En primer lugar se les retira el material a los equipos y seguidamente se les pregunta: ¿qué es la adición? ¿Qué es la suma? ¿Qué es la sustracción? ¿Qué es la resta?

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Cuarta etapa: Se les pide a los estudiantes que representen gráficamente el hecho de que signos iguales se suman y, signos diferentes se restan y se coloca el signo del número que posee mayor valor absoluto.

Quinta etapa:

Les preguntamos a nuestros estudiantes si ellos realmente creen que la escritura, la lectura y los conocimientos de la Matemática, son importantes para su vida presente y futura; al respecto podemos decirles que por la nueva época que nos ha tocado vivir, es fundamental que se dominen estas tres áreas y no sólo en un idioma, sino en más de dos.

Se les pide a los estudiantes que describan tal representación en lenguaje usual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.

Sexta etapa: Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito en lenguaje usual, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simbólico.

Se les pregunta a los estudiantes: ¿Cómo podemos llamar a lo deducido?

Actividad 2

en grupo... investiga con tus colegas Discute con tus colegas sobre la solución de los siguientes problemas y luego arma, a partir de ello, una situación problemática en clase.¿Cómo lo harías?

1. ¿CUÁNTOS CAMELLOS? Dos beduinos se encuentran en el desierto, se saludan y entablan la siguiente conversación: – Si me regalas un camello tendré el doble que tú.

El otro le contesta: – Regálame tú uno a mí y así tendremos los dos el mismo número de camellos. ¿Cuántos camellos tiene cada beduino?

2. Un torneo de ping-pong •

La cuestión inicial.

Un colegio organiza un torneo de ping–pong en forma de liga. La comisión organizadora debe decidir cuántos días durará el torneo, los horarios de los partidos, el número de mesas que necesitarán, el tipo de premios, etc. Dado que se dispone de un presupuesto limitado, hay que hacer un estudio previo de lo que costará la organización del evento.

Un mate... ¿Qué le dijo el 1 al 0?

Oye, amigo, ponte a rebajar.

Y el 0 responde: “No, porque después me pongo negativo”.

Las decisiones que hay que tomar dependen evidentemente del número de partidos que se jugarán en la liga, en la que todos los jugadores juegan contra todos los demás. Los organizadores dudan entre poner o no un límite al número de inscripciones, por miedo a que una avalancha de jugadores haga totalmente inviable la realización del torneo. Para ello, necesitan prever cuál será el número total de partidos que se jugarán a partir del número de jugadores inscritos.

•

Problema.

Si en una liga de ping-pong juegan n jugadores, ¿cuál es el número total de partidos que se realizarán?

Considere el aporte didáctico de Dienes y adapta tu presentación a las seis etapas.

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Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

4. SITUACIONES DIDÁCTICASen el APRENDIZAJE del SISTEMA de los NÚMEROS RACIONALES Es importante que el estudiante tenga experiencia, primero con fracciones sencillas relacionadas con situaciones de la vida diaria y con problemas útiles, empezando con las fracciones comunes expresadas en el lenguaje que traen a la clase. Por ejemplo: “mitad”. A este respecto, es muy importante que los estudiantes se den cuenta de cuándo las cosas están divididas en partes iguales. Deberán ser capaces de identificar tres partes entre cuatro partes iguales, o tres cuartos de un papel doblado que han sido sombreados, y entender que “cuartos” significa cuatro partes iguales de un todo. Esto ayudará a crear una base para un aprendizaje más profundo de la notación de fracción.

4.1 Situación didáctica: repartiendo una rodaja de jamonada Después de haber trabajado los números enteros, vemos que éstos no alcanzan para comprender, expresar y trabajar sobre otros problemas que se presentan en la realidad.

Para comenzar la búsqueda de la solución a situaciones imposibles de resolver solamente con números enteros, se propone una situación didáctica sencilla: de repartir una rodaja de jamonada. Veamos: 1. TEMA: FRACCIÓN.

Interesante Los números racionales ¿SABÍAS QUÉ?

La noción general de número racional como relación entre dos enteros fue utilizada por los pitagóricos en el siglo VI a.C. Años antes, los babilonios y los egipcios habían utilizado algunas fracciones, las que tenían como numerador 1, por ejemplo: y algunas en particular como:

2. TIEMPO: 90 minutos.

3. GRADO DE ESTUDIO: Primero de Secundaria.

4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Destreza: reproduce (razonamiento y demostración).

– Conceptualiza los números fraccionarios a partir situaciones de su vida diaria.

http://www.itc.edu. co/carreras_itc/ Sistema%20Numerico/ index.html

– Dice la verdad (honestidad).

5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN. Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogación didáctica, lluvia de ideas, entre otros.

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

6. MEDIOS Y MATERIALES: Para llevar a cabo esta situación didáctica de fracción, concepto y equivalencia; cada grupo contará con un material necesario de figuras en papel de calcar: – 5 tiras rectangulares de 12cm por 2cm.

– 3 círculos de 3cm de diámetro.

– 1 cuadrado de 5cm por 5cm.

Además: transportador, regla, una rodaja de jamonada de forma circular de aproximadamente 1cm de espesor.

Interesante ¿SABÍAS QUÉ?

Fueron los hindúes quienes se encargaron de las reglas para ejecutar las operaciones entre números fraccionarios.

Unas reglas generales fueron las planteadas por Aryabhata, y luego Bramagupta, en los siglos VI y VII respectivamente. Más adelante fueron los mismos hindúes quienes se encargaron de sistematizar y ampliar estas reglas.

Durante el siglo XV el matemático persa Al-kashi planteó la escritura decimal de los números fraccionarios y al mismo tiempo estableció las reglas de cálculo con los números decimales. En el occidente cristiano, a las fracciones decimales se les conocía como fracciones de los turcos.

Posteriormente a las fracciones equivalentes que pueden ser simplificadas se les denominó números racionales, mientras que la fracción siempre será un término que no tiene factores comunes entre el numerador y el denominador, es decir, es irreducible. http://www.itc.edu. co/carreras_itc/ Sistema%20Numerico/ index.html

FICHA DE TRABAJO • Lean atentamente y sigan las instrucciones cuidadosamente: 1. Repartan una rodaja de jamonada entre los integrantes de cada grupo y el profesor, de modo que a todos los chicos del grupo les corresponda la misma cantidad y al profesor el doble de lo que le tocó a cada miembro del equipo (sólo por esta ocasión). Trabajen con la mayor precisión posible para que no haya quejas.

2. Hagan un esquema de la solución que le dieron.

3. ¿Qué parte del entero le corresponde a un chico del grupo?

4. ¿Qué parte del entero le corresponde a todos los chicos de un grupo?

5. ¿Qué parte del entero le corresponde al profesor?

6. Sugieran la definición de fracción.

• Pero existen muchas fracciones: analicen algunas de ellas.

7. Pinten: los

de un rectángulo; los

del cuadrado, los

de los círculos.

8. Peguen las figuras.

9. Observando lo pintado deduzcan las condiciones que tiene que cumplir una fracción para ser: a. Igual que la unidad. b. Mayor que la unidad. c. Menor que la unidad.

10. Dividan las tiras rectangulares. Una de ellas en medios, otra en cuartos, otra en sextos y otra en octavos. Péguenlas en este rectángulo (en forma de librito).

11. Rayen: en la tira dividida en medios: la cantidad de cuartos que representen la misma parte del entero que , en la tira dividida en cuartos: la misma porción en las otras tiras.

12. ¿Todas estas fracciones son equivalentes? ¿Por qué?

13. Sugieran la definición de fracciones equivalentes.

– Escriban 10 fracciones equivalentes de

. ¿Habrán más?

– Escriban 10 fracciones equivalentes de . ¿Habrán más?

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– Expliquen un método para encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada.

– Y si la fracción fuera

Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

, ¿cuál es el equivalente de ella, tal que el

numerador y denominador sean los números naturales más pequeños posibles?

14. Anotar las conclusiones en asamblea.

7. APLICACIÓN: (SITUACION DIDÁCTICA).

7.1 ACCIÓN: Se les presenta la ficha de trabajo.

7.2 FORMULACIÓN: Los estudiantes intercambian paulatinamente a las preguntas.

información

para

ir

respondiendo

7.3 VALIDACIÓN: Todos los grupos mostrarán la solución dada al problema, evidenciando la necesidad de números fraccionarios, en primer lugar; luego justificarán su definición de fracciones equivalentes.

Un mate...

7.4 INSTITUCIONALIZACIÓN: El docente institucionalizará la necesidad de extender de fracción. Fracciones equivalentes.

a

. El concepto

7.5 EVALUACIÓN:

¿Qué es un niño complejo?

Un niño con la madre real y el padre imaginario.

Se llevará a cabo mediante los ítems planteados en la ficha de trabajo.

4.2 Situación a-didáctica: dominó de fracciones Debemos recordar que las situaciones a-didácticas son “casos particulares” de una situación didáctica.

La siguiente situación es un juego de un dominó de fracciones equivalentes con conversiones de fracciones decimales o fracciones comunes y el cálculo de la generatriz de una fracción decimal exacta y decimal periódica pura.

1. TEMA: FRACCIONES. 2. TIEMPO: 90 minutos.

3. GRADO DE ESTUDIO: Primero de Secundaria.

4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Destreza: interpreta (comunicación matemática).

– Codifica la información recibida de fracciones (transfiere la información del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático).

– Decodifica la información de fracciones Identifica fracciones (transforma el lenguaje simbólico al lenguaje cotidiano).

– Actúa de manera disciplinada.

5. MÉTODOS, TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN. Inductivo-deductivo, activos colectivizados, activos individualizados, rally interrogación didáctica, lluvia de ideas, entre otros.

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

6. MEDIOS Y MATERIALES: – 28 cartillas de fichas del dominó fraccionario – Hojas de trabajo 1 6 3 18 2 12 15 9 3 2 3 18 2 12

1 3 2 2

4 24 1, 6 4 10 3 2 7 2 3 3

20 12 6 15 10 25 4 10

0, 3 1,5 1

0, 3 14 4 8 8

28 8 6 4 4 24

0, 3

3 9 5 3

5 5 21 6

3,5

7 7

3 2 10 6 8 20 4 12

1,5

0, 3 1,5

5 3 2 6 9 6

1, 6 3 2

4 4 4 10

1

2 5

0,4

1, 6

3,5

7 2

1,5

7. APLICACIÓN (SITUACION A-DIDÁCTICA): Este dominó es muy parecido al dominó normal, la única diferencia es que en lugar de números enteros tiene fracciones. Así, la ficha más alta, en lugar de ser la mula de 6, es la mula de 1.

curiosidades

matemáticas

Primera etapa: Se les presenta a los estudiantes, en grupos de 4 integrantes, el material y se les pide que jueguen con él.

Segunda etapa:

El siguiente cuadrado de 16 casillas es llamado diabólico.

4

5

16

9

14

11

2

7

1

8

13

12

15

10

3

6

La constante 34 de este cuadrado mágico no solamente se obtiene sumando los números de una misma columna, o de una misma fila, o de una diagonal, sino también, sumando de otras maneras cuatro números del cuadro; por ejemplo: 4 + 5+ 11 + 14 = 34 4+ 9 + 6 + 15 = 34 1 + 11 + 16 + 6 = 34… y así, de 86 modos diferentes.

•

Se colocan las fichas boca abajo y se revuelven. Esto se llama “hacer la sopa”.

• Cada jugador toma 7 fichas al azar.

• El jugador con la mula de 1 es el que inicia el juego.

• El jugador que esté a la derecha tirará una ficha con un 1.

• El siguiente jugador a la derecha puede escoger, para tirar, uno de los dos extremos de la hilera.

• Siempre tendrá que tirar una ficha que coincida con el número de alguno de los extremos.

• Cada jugador tirará una sola ficha en su turno y si no tiene ninguna que pueda acomodar tendrá que pasar.

• Gana el primer jugador que se coloque todas sus fichas.

• Si esto no sucede porque ya ningún jugador puede acomodar fichas, se dice que el juego está cerrado.

• En un juego cerrado, cada jugador deberá sumar todos los números de sus fichas.

• Ganará el que menos puntos tenga.

Tercera etapa: En primer lugar se les retira el material a los equipos y seguidamente se les pregunta: ¿qué es una fracción? ¿Cuándo una fracción es equivalente? ¿Cómo encontramos la generatriz de una fracción? ¿Cómo podemos pasar una fracción a un número decimal?

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Cuarta etapa: Se les pide a los estudiantes que representen gráficamente el hecho de: – Obtener fracciones equivalentes.

– Obtener la fracción generatriz.

Quinta etapa: Se les pide a los estudiantes que describan tal representación en lenguaje usual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.

Sexta etapa: Se les pide a los estudiantes que ahora traten de simbolizar lo escrito en lenguaje usual, es decir, pasar del lenguaje usual al lenguaje simbólico.

Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

Un mate... ¿Qué le dijo el número 1 al 1/2?

Que era un cobarde, porque siempre andaba a medias.

Se les pregunta a los estudiantes: ¿cómo podemos llamar a lo deducido?

Actividad 3

en grupo... investiga con tus colegas Discute con tus colegas sobre la solución de los siguientes problemas y luego arma, a partir de ello, una situación problemática en clase. ¿Cómo lo harías?

1. El testamento de un granjero Un granjero poseía 14 vacas. Su mujer estaba embarazada y el granjero dejó escrito en su testamento que si tenía un hijo varón, recibiría 2/3 de la herencia y 1/3 la madre; si tenía una niña, recibiría 1/3 de la herencia y 2/3 la madre. Falleció el granjero y nacieron gemelos: niño y niña. ¿Cómo se repartieron de forma equitativa las 14 vacas entre los tres?

2. La liebre y la tortuga se inscriben para correr una carrera desde Chaclacayo a Chosica. ¡Pobre tortuga! , la velocidad de la liebre es 10 veces mayor. Por eso los organizadores, para equilibrar un poco las cosas, imponen a la liebre la siguiente condición: el primer día debe correr sólo la mitad del camino: el segundo día, la mitad de lo que le faltaba; el tercer día la mitad del resto, y así sucesivamente. ¿Quién llegará antes a la meta? ¿Por qué?

3. Estrella mágica: Distribuye los números del 1 al 16 de tal manera que la suma de los cuatro números que se hallan en cada lado siempre sea 34.

Para socializar la solución de las situaciones presentadas, considere las seis etapas de Zoltan Dienes y para la solución de la situación 3, combine con números, dígitos y números compuestos adecuadamente.

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Interesante Los números irracionales ¿SABÍAS QUÉ?

Al parecer fueron los griegos hacia el siglo V a.C., los descubridores de la existencia de números no racionales.

Este descubrimiento hizo tambalear uno de los principios de los pitagóricos, que consistía en considerar que la esencia de todas las cosas, tanto en la geometría como en los asuntos teóricos y prácticos del hombre, era explicable en términos de arithmos, es decir, de propiedades de los números enteros y de sus razones.

Puesto que la existencia de tales números era evidente, los griegos no tuvieron más remedio que aceptarlos con el nombre de irracionales.

De esta manera, el campo de los números se extendió para superar la incapacidad de los racionales para representar todas las medidas de magnitudes.

5. SITUACIONES DIDÁCTICAS en el APRENDIZAJE del SISTEMA de los NÚMEROS REALES Cuando planteamos una situación didáctica, o situación problemática, debemos sacar el máximo provecho posible de la situación durante el acto educativo.

Se plantea ahora, una situación problemática para descubrir el número de oro o número irracional.

5.1 Situación didáctica: un cuadrado de más 1. TEMA: NÚMERO IRRACIONAL. 2. TIEMPO: 90 minutos.

3. GRADO DE ESTUDIO: Segundo de Secundaria.

4. EXPECTATIVA DE LOGRO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA. Destreza: procesa (resolución de problemas).

– Relaciona las variables pertinentes.

– Expresa las variables, de acuerdo con el enunciado.

– Resuelve las ecuaciones aplicando los procedimientos adecuados para encontrar el número de oro.

– Es perseverante al encontrar el número de oro.

5. MÉTODOS, PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS QUE SE SUGIEREN. Inductivo-deductivo, activos colectivizados, interrogación didáctica, lluvia de ideas, entre otros.

6. MEDIOS Y MATERIALES: – Ficha de trabajo estructurada.

– Cartulina y regla.

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Fascículo 1 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LOS SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

“UN CUADRADO DE MÁS” Reglas de acción: – Forma grupos de cuatro estudiantes.

– Organízate dentro de tu grupo.

– Intenta, primero, resolver de manera individual manipulando el material.

5

3

– Intercambia tus puntos de vista en el grupo.

– Por unanimidad, escojan la estrategia que mejor crean conveniente y justifíquenla.

•

Trace el cuadrado en la cartulina, según la figura mostrada, teniendo en cuenta sus medidas, y obtén las piezas que se señalan.

•

En las siguientes dos figuras, considere las medidas del cuadrado y el rectángulo: RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

•

5

5

3

5

3 8 8

A. ¿De la descomposición del cuadrado se obtiene el rectángulo?

B. ¿Por qué el área del cuadrado y el área del rectángulo no son iguales?

C. Si usted repite la situación, pero considera el cuadrado con las medidas 8 y 5 (en lugar de 5 y 3). ¿Qué puede decir respecto a las mismas respuestas anteriores?

D. ¿Existirán dos números reales, tales que al transformar el cuadrado (descompuesto en forma similar: en dos trapecios y dos triángulos) en el rectángulo, tengan igual área? Justifique su respuesta.

7. APLICACIÓN: (SITUACIÓN DIDÁCTICA).

Ahora te toca a ti esbozar la situación didáctica estableciendo las actividades para cada una de las fases. No olvides que dichas fases son: ACCIÓN, FORMULACIÓN, VALIDACIÓN, INSTITUCIONALIZACIÓN y no debemos obviar a la EVALUACIÓN.

Como la constante en este fascículo es profundizar experiencias para reforzar la resolución de problemas, recomendamos la lectura de Guy Brousseau *, autor que aborda aspectos de la experiencia didáctica.

5 3

5 3

Interesante Los números reales ¿SABÍAS QUÉ?

Dos siglos después de la determinación de los números irracionales, el matemático y poeta Omar Khayyam estableció una teoría general de número y añadió algunos elementos a los números racionales, como son los irracionales, para que pudieran ser medidas todas las magnitudes. Sólo a finales del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y se dio una definición satisfactoria del conjunto de los números reales, con los trabajos de Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray, entre otros.

* “Fundamentos y métodos en Didáctica de las Matemáticas”, trad. de su tesis de graduación, Facultad de Matemática Universidad de Cordova, 1986.

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Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Actividad 4

en grupo... investiga con tus colegas Discute con tus colegas sobre la solución del siguiente problema y luego arma a partir de ello una situación problemática en clase. ¿Cómo lo harías?

Hay dos círculos que delimitan una corona y, en el círculo pequeño, hay una foto en forma de cuadrado inscrito. Si el lado del cuadrado divide el radio del círculo mayor por la mitad y la diferencia entre los radios de los dos círculos es de 45cm: •

Determina el tamaño real de la foto.

•

Determina el radio r del círculo exterior.

1. Fase de acción: situación problemática del futuro Un hombre cobró el cheque de su pensión. El cajero automático se equivocó y le entregó tantos soles como centavos figuraban en el cheque y tantos centavos como soles le correspondía. De la suma recibida, el hombre dió cinco centavos a un medigo y contó entonces el dinero: tenía en sus manos el doble del importe del cheque. ¿Cuál era la cantidad que aparecía en el cheque? Familiarízate con la situación problemática y encuentra la solución adecuada.

2. Fase de formulación: Se socializa la solución obtenida para la situación, esto es: x.y

representa número de soles

representa en número de centavos

figuraba en el cheque. Luego

entonces; se tiene:

3. Fase de validación Los estudiantes ponen a prueba sus diversas soluciones, discutiéndolas y haciendo que se adopte la mejor solución.

4. Fase de institucionalización Se establece generalizaciones para estos casos particulares y se refuerza los contenidos de: Números Decimales, relaciones de Orden en .

5. Fase de evaluación Se pone en práctica la autoevaluación y coevaluación, y se inicia el estudio de la solución de ecuaciones en .

Ahora, selecciona un problema matemático que haya ofrecido mayor dificultad en su comprensión del sistema de números reales, y resuélvelo siguiendo el modelo de situaciones didácticas de Guy Brousseau.

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6. EVALUACIÓN Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cuándo una situación es: didáctica, a-didáctica, no didáctica?

2. ¿Cuáles son las fases de la teoría de las situaciones didácticas?

3. Describe las acciones del docente en las diferentes fases de las situaciones didácticas.

4. ¿En qué proceso de aprendizaje, según Dienes, sitúa sus etapas de aprendizaje en Matemática? ¿Por qué?

5. ¿Cuántas y cuáles son las etapas de aprendizaje en matemática, según Dienes? Descríbelas.

6. ¿Qué debe tener en cuenta el docente en la fase de institucionalización?

7. ¿Por qué es importante establecer el análisis a-priori de una situación didáctica?

8. ¿Por qué es importante realizar el análisis a-posteriori de una situación didáctica?

9. Comenta sobre la importancia de establecer las reglas de acción.

10. Elabora una situación a-didáctica para los números naturales.

11. Elabora una situación didáctica para los números enteros.

12. Elabora una situación problemática para los números racionales.

13. Elabora una situación a-didáctica para los números reales.

Opine críticamente sobre la situación desarrollada.

1 Fase de acción: Situación problemática Un libro tiene 100 páginas, para numerar todas las páginas, ¿cuántos dígitos 2 se escriben?

Familiarizarse con la situación y establecer la solución correcta.

2 Fase de formulación Se comunica la solución a la situación planteada; esto es : Secuencias Números 1 → 10 → 2 11 → 20 → 12; 20 21 → 30 → 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29 31 → 40 → 32 41 → 50 → 42 51 → 60 → 52 61 → 70 → 62 71 → 80 → 72 81 → 90 → 82 91 → 100 → 92 Total 20 3 Fase de validación Los estudiantes someten a prueba sus producciones estableciendo debates al respecto y buscando la mejor solución.

4 Fase de institucionalización Aquí establecemos generalizaciones para la situación particular resuelta, iniciando o reforzando formalmente contenidos matemáticos. En este caso: números pares, múltiplos y submúltiplos de ese número, entre otros.

5 Fase de evaluación Se practica la autoevaluación y coevaluación como reforzadores de la heteroevaluación, y se considera establecido el tratamiento de otros contenidos matemáticos como divisibilidad por 3.

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7. METACOGNICIÓN Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Responde en una hoja aparte: 1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este fascículo?

Muy bueno

Bueno

Regular

Deficiente

NO ESCRIBIR ¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?

Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

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BIBLIOGRAFÍA

comentada

1. Chevallard, Y.; Bosh, M.; Gascón, J. Estudiar Matemáticas: el eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Barcelona. ICE HORSORI, 1997.

Desarrolla una profunda reflexión sobre el estudio de la Matemática, la contextualización de los problemas y las situaciones didácticas, y sobre aspectos prácticos.

2. Chirinos M., Daniel. Didáctica de la Matemática. Lima. La Cantuta, 2000.

Entre otros aspectos, trata la didáctica de la Matemática como ciencia y esboza la teoría de situaciones didácticas.

3. Chirinos M., Daniel. Diseño y Elaboración de Materiales Educativos. Lima. La Cantuta, 2004.

Trata sobre aspectos generales de los medios y materiales, así como su aplicación en el aula, a la luz de la teoría de las situaciones didácticas.

4. Colectivo de Autores. Didáctica General y Optimización del proceso de enseñanza aprendizaje. La Habana. Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño (IPLAC), 2001.

Presenta los principios didácticos y aspectos profundamente reflexivos sobre una didáctica desarrolladora.

5. Labinowicz, E. Introducción a Piaget: Pensamiento-aprendizaje-enseñanza. México.

Fondo Educativo Interamericano, 1986.

Sustenta la teoría genética de manera experimental y muy sencilla de comprender.

6. Lima, Elon. Mi Profesor de Matemática y otras historias. Lima. IMCA-UNI, 1998.

Está dedicado a la enseñanza y divulgación de la Matemática por medio de una literatura de alta calidad científica.

7. National Council of Teachers of Mathematics; Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES. Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sevilla. Proyecto Sur Industrias Gráficas, 2003.

Es una guía para todos los que toman decisiones que afectan a la educación matemática.

Sus recomendaciones están basadas en la idea de que todos los estudiantes deberían aprender de manera comprensiva conceptos y procesos matemáticos importantes. Este documento ofrece argumentos sobre la importancia de tal comprensión, y describe formas de lograrla.

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ENLACES

web

1. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci Página web que contiene aspectos sobre la sucesión de Fibonacci.

2. http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/Didactica_Numeros_Naturales.pdf De Carlos Luque Arias y Lyda Mora Johana Torres. Es una didáctica sobre la notación de números naturales, contiene antecedentes históricos y actividades de aula.

3. http://www.elhuevodechocolate.com/acertijo6.htm; Página web que contiene aspectos recreativos como acertijos y chistes en Matemática.

4. http://www.oya-es.net/reportajes/ Contiene biografías de matemáticos notables, así como situaciones didácticas e históricas de contenidos matemáticos diversos.

5. http://www.ejournal.unam.mx/ciencias/ Contiene diversos artículos de la comunidad científica de México y del mundo. Tiene aportes de contenidos matemáticos y sus respectivas sugerencias didácticas.

6. http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/numeros.html En esta página se puede encontrar un completo panorama de los números naturales desde su definición hasta sus aplicaciones.

7. http://www.escolar.com/matem/13nument.htm Página web dedicada a la enseñanza, de manera didáctica y detallada, de los números enteros.

8. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/racional.htm Esta es una página nacional muy interesante. En ella se puede encontrar todo lo referente al estudio de los números racionales.

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