Infinitesimos by ajeldescr1

UNA PRESENTACION ELEMENTAL DEL ANALISIS NO ESTANDAR El análisis matemático en el que se consideran números ilimitados e infinitésimos

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Manuel Suárez Fernández

UNA PRESENTACIÓN ELEMENTAL DEL ANALISIS NO ESTANDAR El análisis matemático en el que se consideran números ilimitados e infinitésimos

Manuel Suárez Fernández

PROLOGO Poner en tela de juicio la existencia de números ilimitadamente grandes o ilimitados e ilimitadamente pequeños o infinitésimos, es algo que ocurre desde los primeros tiempos del cálculo infinitesimal, en el cual, sus descubridores, Newton y Leibniz, los utilizaron frecuentemente, si bien con un formalismo incompleto y poco claro. Surgieron así imprecisiones e inconsistencias que con el paso del tiempo se hicieron más notorias y ello dio lugar a que, en nombre del rigor, Cauchy y otros matemáticos fueran prescindiendo de los números ilimitados e infinitésimos, hasta que, por fin, Weierstrass y algunos de sus discípulos, hacia 1870, lograron un cálculo infinitesimal en el que tales números, ni se mencionaban, sustituidos por el actual concepto de límite. El rigor del método de Weierstrass ganó adeptos con rapidez entre los matemáticos, pero no así entre otros profesionales que, como los físicos, químicos, ingenieros, economistas, etc., utilizan las matemáticas, muchos de los cuales, aún hoy, prefieren sufrir la falta de rigor, a dejar de razonar con los intuitivos infinitésimos. Quedaba pendiente, pues, conseguir un cálculo infinitesimal con números ilimitados e infinitésimos, a la vez que construido con rigor. En tal sentido, la más destacada figura es Abraham Robinson. Su primera publicación sobre el particular es de los años sesenta, y al nuevo y riguroso cálculo infinitesimal, que aplica con éxito al cálculo de probabilidades y a la mecánica cuántica, lo titula “análisis no estándar”. Pero, en principio, dicho cálculo era de una notable dificultad. Por ello aún quedaba pendiente conseguir un cálculo infinitesimal con números ilimitados e infinitésimos que, además de estar construido con rigor, resultase lo suficientemente elemental y sencillo como para que a los 2

matemáticos y demás profesionales que utilizan las matemáticas, les resultase atractivo y se planteasen utilizarlo (y a los profesores, explicarlo en clase) como complemento del cálculo infinitesimal clásico (o estándar) de nuestro tiempo. A lograr la referida sencillez he dedicado una especial atención y, tal como dicho cálculo aquí está presentado, estimo que, excluyendo lo que figura a pie de página o en el Apéndice, gran parte del mismo podría ser apropiado para primeros cursos de universidad y, en menor parte, convenientemente presentado por el profesor, para bachillerato.1 INTRODUCCION A las matemáticas que conocemos y utilizamos, por ser las clásicas de nuestro tiempo, aquí (en este contexto) les llamamos “matemáticas clásicas”. Y a las que, generalmente, se les llama “análisis no estándar”, aquí les llamamos “matemáticas no clásicas”. Los conjuntos (que son la materia prima de las matemáticas, tal como en nuestro tiempo se estructuran) y, en particular, los números de las matemáticas no clásicas, son los mismos que los de las matemáticas clásicas. Y todas las notaciones, todas las fórmulas, todos los axiomas, todas las definiciones y todos los teoremas que son de las matemáticas clásicas, también lo son de las no clásicas. Por ello se dice que las matemáticas no clásicas son conservativas de las clásicas. Lo que ocurre es que, en las matemáticas no clásicas, a unos ciertos conjuntos se les llama conjuntos estándar, y a los que no se les llama así, se les llama conjuntos no estándar (y, en particular, a unos ciertos 1

Si bien los resultados que figuran en este trabajo son conocidos, su presentación (definiciones, enunciados de principios o axiomas no clásicos, etc.) es original y sencilla con el fin de que resulte fácil de entender. Así, pues, este trabajo creo puede calificarse como de investigación didáctica.

números se les llama números estándar y a los que no se les llama así, se les llama números no estándar), mientras que en las matemáticas clásicas no se hace esta distinción, pues, en las mismas, tanto a unos como a otros conjuntos se les llama, simplemente, conjuntos (y, en particular, tanto a unos como a otros números se les llama, simplemente, números). Para que, en las matemáticas no clásicas, la referida distinción (entre números estándar y no estándar) resulte “operativa”, la complementamos con tres enunciados2, que llamamos “Principio T”, “Principio I” y “Principio S”, en el papel de axiomas específicos de dichas matemáticas no clásicas, los cuales (como se puede demostrar) son compatibles (no contradictorios) con las matemáticas clásicas, que es lo que garantiza que las matemáticas no clásicas sean conservativas de las clásicas (Es decir, que en las matemáticas no clásicas estén incluidas las clásicas, tal como son). Llamamos “axiomas clásicos”, “definiciones clásicas” y “teoremas clásicos” (o “propiedades clásicas”) a, respectivamente, los axiomas, las definiciones y los teoremas que son de las matemáticas clásicas (todos los cuales, como ya se dijo, lo son también de las matemáticas no clásicas). Pero por la distinción que, en las matemáticas no clásicas (y no en las clásicas), se hace entre conjuntos (y, en particular, entre números) estándar y no estándar, hay axiomas (los tres referidos principios), definiciones y teoremas que son específicamente no clásicos (Es decir, de las matemáticas no clásicas, pero no de las clásicas), a los cuales les llamamos “principios no clásicos”, “definiciones no clásicas” y “teoremas no clásicos”, si bien se demuestra que las definiciones no clásicas y teoremas no clásicos cuyas notaciones y nombres sean los mismos que los de las matemáticas clásicas (por ejemplo, notaciones y nombres sobre límites), son equivalentes a sus correspondientes clásicos. 2

Considerando, simplemente, que un enunciado es una expresión que afirma o niega algo de un sujeto.

Los referidos principios no clásicos permiten distinguir entre números reales que llamamos “estándar”, “no estándar”, “limitados”, “ilimitados”, “infinitésimos” y “medianos” (todos los cuales, repito, también son números reales de las matemáticas clásicas, si bien en estas matemáticas no se distingue entre unos y otros, y a todos ellos, simplemente, se les llama números reales). Estas distinciones (específicamente no clásicas) a menudo propician que las definiciones resulten más intuitivas y los razonamientos más cómodos (más fluidos) en forma no clásica (la de las matemáticas no clásicas) que en la clásica (la de las matemáticas clásicas), si bien los resultados son equivalentes. CAPITULO 0: CUESTIONES PREVIAS Para seguir los capítulos siguientes, es suficiente conocer las cuestiones cuyos títulos figuran en el “Indice de cuestiones previas”, todas las cuales corresponden a las matemáticas de bachillerato. Y a continuación se exponen algunas de tales cuestiones, con el fin de precisarlas, por su especial interés en los capítulos siguientes. ∎(0.1) Indice de cuestiones previas. -Colecciones (de cosas) y colecciones que llamamos conjuntos. -Pertenencia, igualdad e inclusión y operaciones con conjuntos. -Funciones. Original o dominio, imagen o recorrido y conjuntos finales de una función. -Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Composición de funciones. Función inversa de una función. -Números naturales, enteros y racionales. -Números reales y su representación como puntos de una recta. -Suma, resta, producto, cociente y relación de orden de los números reales, y su representación gráfica. Propiedades. Valor absoluto de un número real. 5

-Conjuntos acotados de números reales, extremos de dichos conjuntos y existencia de los mismos. -Intervalos abiertos y acotados e intervalos cerrados y acotados de números reales. -Potencias de base real positiva y exponente natural, entero, racional y real. Propiedades. -El número e (como extremo superior de un conjunto acotado de números reales). -Logaritmos de números reales. Logaritmos decimales y neperianos. Propiedades. -Funciones. Funciones reales de variable real: Operaciones, acotación y extremos. -Sucesiones. Sucesiones de números reales. -Límites, continuidad y derivabilidad de funciones reales de variable real. -Funciones primitivas e integrales definidas de funciones reales de variable real. Exposición de algunas cuestiones correspondientes al referido Indice: ∎(0.2) Colecciones (de cosas) y colecciones que llamamos “conjuntos”. Consideramos que los términos “colección” (o “colectivo” o “clase”) de cosas y “elemento” (o “cosa” de una colección), cuyos respectivos significados intuitivos conocemos, son términos primitivos (no definidos). De todas las colecciones que podemos concebir (definir, imaginar o intuir), aquellas y solo aquellas que se identifican con algún concepto matemático, se llaman “conjuntos”. Y se demuestra que no todas las colecciones son conjuntos.3 3

Identificar un concepto matemático con un conjunto, significa considerar que el concepto matemático es la misma cosa que el conjunto. Las colecciones que se llaman “conjuntos” son colecciones cuyos elementos (también) son conjuntos (Es decir, dichas

∎(0.3) Funciones. Original o dominio, imagen o recorrido y conjuntos finales de una función. Si E, F son conjuntos no vacíos (sea o no sea E igual a F ) entonces decimos que f es una función de E en F si y solo si f es un subconjunto del E  F (Es decir, es un conjunto contenido en el producto cartesiano de E por F ) tal que para cada elemento x de E existe un y solo un elemento de F , que expresamos f (x) , tal que (el par ordenado) ( x, f ( x)) es un elemento de f .4 Decimos que está definida en y, para cada elemento x de E , llamamos “imagen de mediante ”, al número real f (x) , y decimos que es un elemento original de f (x) . Al conjunto E también le expresamos Ori( f ) y le llamamos “onjunto original de f ” y también, “dominio de f ”. Decimos que F es un conjunto final de f , y al conjunto de las imágenes mediante f , de los elementos del conjunto original de f (es decir, del conjunto E ), le expresamos y le llamamos “imagen de f ” y también “recorrido de f “ (Así, pues, ∎(0.4) Funciones reales de variable real. Decimos que una función es real de una variable real, o, más simplemente, que es real de variable real, si y solo si su conjunto original

colecciones son conjuntos de conjuntos). Y se demuestra que no todas las colecciones que podamos concebir son conjuntos, e incluso hay colecciones cuyos elementos son conjuntos, y las hay que, en particular, sus elementos son números, sin que las mismas sean (de las que se llaman) conjuntos. 4 Por lo tanto, una función es un conjunto (el conjunto de los pares de elementos que, mediante la función, se corresponden). Y llamamos “gráfica de una función”, a cada dibujo o representación gráfica de la misma.

y su conjunto imagen son subconjuntos del conjunto de los números reales (cada uno de los cuales podría ser, pues, igual a R ). ∎(0.5) Sucesiones. Sucesiones de números reales. Una sucesión es una función cuyo conjunto original es el de los números naturales positivos (los distintos de cero). Y una sucesión de números reales es una sucesión cuya imagen es un subconjunto del conjunto de los números reales. CAPITULO 1: OBJETOS MATEMATICOS, NOTACIONES Y FORMULAS ∎(1.1) Objetos Matemáticos. Considerando los números reales, su conjunto, las operaciones con números reales y sus relaciones de orden y de orden estricto, tal como se hace en bachillerato, aquí llamamos “objetos matemáticos” a los números reales, a los conjuntos de números reales, a los pares ordenados de números reales, a los pares ordenados de primera componente un par ordenado de números reales y segunda componenete un número real, y a los conjuntos cuyos elementos son pares ordenados de los referidos 5. Y lo que aquí se diga es sobre los conceptos que llamamos “objetos matemáticos”.

Así, pues, decir aquí (en este contexto) que una cosa es un objeto matemático, significa que la misma es un número real o un conjunto de números reales o un par ordenado de números reales o un par ordenado de primera componente un par ordenado de números reales y segunda componente un número real o un conjunto cuyos elementos son los referidos pares ordenados. Y lo que sobre tales conceptos aquí se dice, es muy fácil de trasladar a, por ejemplo, números complejos, espacios métricos o espacios euclídeos.

∎(1.2) Notaciones de objetos matemáticos Llamamos “notación de un objeto matemático” o, más simplemente, “notación”, a uno o varios signos gráficos que específicamente en matemáticas se utilicen para expresar algún objeto matemático. Y decir “notamos” significa que expresamos o representamos algún objeto matemático mediante una notación. Llamamos “notación determinada”, a cualquier notación que se asigne (que designe, exprese, represente) a un y solo a un objeto matemático determinado individualmente6, y a las notaciones determinadas que se reducen a un solo signo con o sin subíndices o superíndices, les llamamos “constantes”. Las constantes que aquí utilizamos son para, respectivamente, representar al conjunto vacío, al número cero, al uno, al dos, al tres, al cuatro, al cinco, al seis, al siete, al ocho, al nueve, al número 2’7172…, al número pi=3’1415…, al conjunto de los números naturales, al de los naturales positivos (los distintos de cero), al de los enteros, al de los racionales, al de los reales y al de los reales positivos.7 6

Luego, una notación determinada viene a ser un nombre propio gráfico de un objeto matemático que está determinado (que hemos definido) de manera individualizada. 7 No por utilizar más o menos, o unas u otras constantes, varían los objetos matemáticos a los que se les asigna alguna notación determinada. Por ejemplo, si en lugar de haber adoptado las constantes 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, solamente hubiéramos adoptado las constantes 0,1, no por ello habría más o menos números naturales con notación determinada. Pues adoptando solamente las constantes numéricas 0,1 lo que se hace es utilizar el sistema binario o en base dos, en lugar del usual sistema de numeración decimal, con lo cual la escritura de números naturales resultaría más complicada (Por ejemplo, el número nueve, en el sistema binario se escribiría así: 1001, puesto que 3

1001=1·2 +0·2 +0·2+1) pero los números con notación determinada son los mismos que utilizando el sistema de numeración decimal. Y, por ejemplo, que la constante C que representa al conjunto de los números complejos no haya sido incluida entre las constantes que aquí utilizamos (debido a que aquí nos limitamos a estudiar análisis

Para expresar objetos matemáticos no solo utilizamos notaciones determinadas. A las notaciones de objetos matemáticos que no son determinadas, les llamamos “notaciones indeterminadas” y a las que se reducen a un solo signo con a sin subíndices o superíndices, también les llamamos, simplemente, “variables”. Cada una de las notaciones indeterminadas (lo mismo que ocurre con cada una de las determinadas) se asigna (designa, expresa, representa) a un único objeto matemático pero (a diferencia de las notaciones determinadas) sin determinar (sin saber) a cual8, por lo que dichas notaciones (indeterminadas) solo las asignaremos condicionalmente. Es decir, en enunciados condicionales (o enunciados de la forma, “Si … entonces …”). Así, por ejemplo, considerando que es una variable, en el enunciado “Si es igual a cinco, entonces más tres es igual a ocho”, no se afirma que sea igual a cinco, ni que más tres sea igual a ocho. Solo se afirma que, en el caso de que fuese igual a cinco, más tres habría de ser igual a ocho. En lo que sigue, los signos que, con o sin subíndices, serán considerados variables, son matemático real) , no implica que dicho conjunto (de los números complejos) carezca de notación determinada, pues, por ejemplo, una tal notación del mismo es R  R (si bien esta notación no es tan simple como la notación C). Análogamente, sin necesidad de haber incluido una constante que represente al conjunto de los números enteros negativos, ni una constante que represente al de los números reales irracionales, respectivamente resultan, para dichos conjuntos, las notaciones determinadas Z  N y R  Q . 8 Luego, una notación indeterminada (lo mismo que una notación determinada) viene a ser un nombre propio gráfico de un objeto matemático, aunque éste no esté determinado (no le hayamos definido) de manera individualizada y solo sepamos (solo hayamos definido) que es un elemento de algún conjunto (individualmente) determinado (Es decir, al que se le haya asignado alguna notación determinada). Nombres comunes aquí utilizados son, por ejemplo, “conjunto”, “número” y “número natural”.

(aunque habrían sido suficientes bastantes menos). Son ejemplos de notaciones determinadas, las expresiones siguientes: - Las que llamamos “constantes”, ya referidas. - Todas las notaciones llamadas “del sistema de numeración decimal” (que son las de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, … y así sucesivamente sin fin, de las cuales las diez primeras son de las llamadas “constantes”). - La notación del conjunto potencia de un conjunto expresado con una notación determinada. Por ejemplo, , que es el conjunto de todos los subconjuntos de (Los elementos de son, pues, los conjuntos cuyos elementos son números naturales) - Las notaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos expresados con notaciones determinadas. -Las notaciones de pares ordenados de números reales expresados con notaciones determinadas. -Las notaciones de productos cartesianos de conjuntos expresados con notaciones determinadas. -Las notaciones de conjuntos, llamadas “notaciones por extensión”, en las que figuran entre los signos { } notaciones de cada uno de los elementos del conjunto que se expresa, si las mismas son notaciones determinadas. Por ejemplo, la notación {2, 4} es una notación por extensión y determinada del conjunto cuyos elementos son 2 y 4.

-Las notaciones de conjuntos, llamadas “notaciones por comprensión” (que son notaciones en las que figuran los signos { | } , entre los signos { | figura una notación indeterminada y entre los signos | } figura una “fórmula” 9 que “cumplan” los elementos y solo los elementos del conjunto que se expresa mediante la notación por comprensión), si entre los signos | } no figura variable alguna que no figure entre los signos { | Por ejemplo, si es una variable, entonces la expresión , que se lee “conjunto tal que es un elemento suyo si y solo si es un número natural y es menor que diez”, es una notación por comprensión del conjunto cuyos elementos son números naturales menores que diez, y es una notación determinada puesto que la única variable (el único signo que figura bajo la condición de ser una variable) que figura en la misma entre los signos | } es el signo , el cual también figura entre los signos { |.10 -Las notaciones de sumas, restas, productos, cocientes, potencias, logaritmos y valores absolutos de números reales, tales que todas las notaciones de números que figuren en las mismas, sean notaciones determinadas. -Las notaciones de extremo superior y extremo inferior de conjuntos de números reales expresados con notaciones determinadas. -Las notaciones de derivadas, diferenciales, integrales, de funciones expresadas con notaciones determinadas. 9

En el siguiente Apartado ∎(1.3) se dice a que expresiones llamamos “fórmulas”. Además de las aquí definidas, otras notaciones por comprensión determinadas serán consideradas en el apartado “Complementos del Capítulo 6” del Apéndice. Fácilmente se razona que todo objeto matemático al que se le haya asignado una notación determinada cualquiera, también se le puede asignar una notación por comprensión determinada. 10

Aunque aquí (en este contexto), en teoría no identificamos a los objetos matemáticos con sus notaciones, ello lo hacemos a menudo en la práctica, cosa que es usual con el fin de simplificar el lenguaje. Así, por ejemplo, en lugar de decir “3 es una notación de un elemento del conjunto que representamos mediante la constante N ”, más simplemente se dice, “3 es un elemento del conjunto N ” o “3 es un elemento de . Y, por ejemplo, en lugar de decir “En la expresión figuran notaciones de los números naturales tres y cuatro”, más simplemente se dice, “En la expresión figuran los números naturales tres y cuatro”. ∎(1.3) Fórmulas.11 Si es una notación determinada o indeterminada (de un objeto matemático) y es una notación determinada o indeterminada (de un objeto matemático) entonces llamamos “fórmulas” a las expresiones, p ⊄ Y si es una notación determinada o indeterminada de un número real y es una notación determinada o indeterminada de un número real entonces también llamamos “fórmulas” a, por ejemplo, las expresiones, p

Como se leen dichas fórmulas y sus respectivos significados, es bien conocido. 11

Además de las aquí definidas, llamaremos “fórmulas” a otras expresiones consideradas en “Complementos del Capítulo 6” del Apéndice.

Si  es una fórmula, entonces decimos que que leemos “no  ”. Si es una fórmula y expresiones, ∧(

(

es una fórmula

es una fórmula, entonces decimos que las

)

son fórmulas que respectivamente leemos “  y  ”, “  o  ”, “  implica  ”  ”.

y “  es equivalente a

Toda fórmula o es verdad o es falsa. es verdad si y solo si α es

Si es una fórmula entonces falsa. Si

es una fórmula y ∧

es una fórmula entonces,

es verdad si y solo si α es verdad y β es verdad es verdad si y solo si α es verdad o β es verdad es verdad si y solo si α es falsa o β

es verdad

es verdad si y solo si α y β son verdad o

α y β

son faslsas. Si es una notación determinada o indeterminada de un objeto matemático y es una notación determinada o indeterminada de un objeto matemático entonces, 14

La fórmula

es verdad si y solo si la fórmula

es falsa

La fórmula

es verdad si y solo si la fórmula

es falsa

La fórmula p ⊄

es verdad si y solo si la fórmula

es falsa

(Luego, ⊄

es verdad si y solo si es verdad es verdad si y solo si ) es verdad y es verdad si y solo si

es verdad).

Y si es una notación determinada o indeterminada de un número real y es una notación determinada o indeterminada de un número real entonces, es verdad si y solo si

es verdad y

es verdad si y solo si

es verdad

es verdad si y solo si

es verdad.

es verdad

Como es usual y con el fin de simplificar la escritura, en las fórmulas se omiten paréntesis cuando ello no suponga peligro de confusión. Si son variables (y, por tanto, notaciones indeterminadas), las expresiones siguientes son algunos ejemplos de fórmulas: ⊄ ∧ Y, por ejemplo, utilizando los signos resulta la expresión 15

∧

y la constante

∧

en lugar de la expresión 10} (la cual figura

en ∎

CAPITULO 2: OBJETOS ESTANDAR Y OBJETOS NOESTANDAR Expresar que una cosa es estándar significa que la misma es clásica, tradicional, normal, usual, conocida, con nombre propio conocido. De acuerdo con dicho significado del lenguaje coloquial, a continuación definimos objetos matemáticos estándar y objetos matemáticos no estándar. ∎(2.1) Definición de objetos matemáticos estándar y objetos matemáticos no estándar. Decimos que un objeto matemático es estándar (o determinado) si y solo si tiene asignada (si le hemos asignado) alguna notación determinada. Y decimos que un objeto matemático es noestándar (o indeterminado) si y solo si no es estándar. ∎

Ejemplos de objetos matemáticos estándar.

De acuerdo con la definición anterior, son estándar todos los conjuntos que se expresan con alguna de las notaciones que, en ∎ , figuran como ejemplos de notaciones determinadas. Así, pues, - Son estándar los conjuntos - Son estándar los números naturales a los que se les asigne alguna notación determinada (por ejemplo, del sistema de numeración decimal) y lo son el número y el número . 16

- Son estándar los conjuntos finitos (o conjuntos con un número finito de elementos) cuyos elementos son todos estándar, como, por ejemplo, el {3} (conjunto cuyo único elemento es 3), el {3, 5} (conjunto cuyos elementos son 3, 5), el {3, 5, 8} (conjunto cuyos elementos son 3, 5, 8), el {3, 5, 8, 15} (conjunto cuyos elementos son 3, 5, 8, 15) y el ∧ (conjunto de los números naturales menores que cien) - Es estándar el conjunto potencia de un conjunto estándar, como por ejemplo, cuyos elementos son (conjunto vacío), {3}, {5} y {3, 5}, el cual está expresado con una notación determinada y es el conjunto potencia de (el conjunto) {3, 5}, antes considerado. - Son estándar los conjuntos unión o intersección o diferencia o par ordenado o producto cartesiano, de dos conjuntos estándar, como por ejemplo, {3, 5}  {1, 8}, {1, 4, 18, 6}  {18, 6}, {e,  ,8,2}  { ,2,3,5} , {7, 4 ,2}  {8, 1}, los cuales están respectivamente expresados mediante notaciones determinadas de unión, intersección, diferencia y producto cartesiano de conjuntos estándar, y que, mediante otras notaciones determinadas, también se expresan, respectivamente, {3, 5, 1, 8}, {18, 6}, { e , 8}, {(7, 8), (7, 1), (4, 8), (4, 1), (2, 8), (2, 1)}, siendo (7, 8), (7, 1), (4, 8), (4, 1), (2, 8), (2, 1) pares ordenados de números naturales expresados mediante notaciones determinadas. - Un conjunto cualquiera se considera estándar, si está bajo la condición de ser igual a un conjunto estándar. Por ejemplo, si es una variable (y por tanto es una notación indeterminada) entonces en el enunciado condicional Si E es un conjunto y entonces dicho conjunto (aunque esté expresado mediante una notación indeterminada), por estar bajo la condición de que el mismo es 17

igual al conjunto de los números naturales (el cual es estándar), se considera estándar12. Y si es un a variable, entonces el conjunto ∧ (que es el conjunto tal que es un elemento suyo si y solo si pertenece a y no es igual a cero), también está expresado mediante una notación por comprensión indeterminada, porque entre los signos figura la variable sin que la misma figure entre los signos { | Pero, bajo la condición de que , también dicho conjunto ∧ es estándar, pues es igual al conjunto estándar (expresado mediante una notación determinada) ∧ (el cual es el conjunto tal que es elemento suyo si y solo si pertenece a y no igual a cero o, más simplemente, es el conjunto de los números naturales distintos de cero al cual también notamos ). Así, pues, si un conjunto está expresado mediante una notación por comprensión indeterminada tal que cualquier variable que figure entre los signos | } sin que figure entre los signos { | , sea (haya sido condicionalmente considerada) notación de un objeto matemático estándar, entonces dicho conjunto es estándar. -Siendo el conjunto de los números enteros (expresado mediante una notación determinada que, además, es una constante), si son 2 variables y f  {( x, u) | ( x  Z )  (u  3x  1)} Es decir, si es igual al conjunto tal que pertenece a si y solo si pertenece al conjunto de los números enteros, y es igual a tres por al cuadrado, más uno), entonces es un conjunto estándar, pues aunque esté expresado mediante una notación indeterminada (la variable ), el mismo está igualado al conjunto estándar 12

Si bien los conjuntos estándar (por definición) han de tener asignada alguna notación determinada, también, claro está, se les puede asignar (condicionalmente) notaciones indeterminadas.

∧ el cual está expresado mediante una notación por comprensión y determinada, puesto que son las únicas variables que en dicha notación figuran entre los signos | }, las cuales también figuran entre los signos { | Y el conjunto es una función de en . -Si E es un conjunto estándar de números reales, acotado superiormente (o inferiormente), entonces el (número real) extremo superior (respectivamente, inferior) de E , es un número real estándar, pues le notamos Sup(E ) (respectivamente, Inf (E ) ) ya que esta notación sería una notación determinada si lo fuese la notación E . -Un intervalo abierto o cerrado es estándar si y solo si sus extremos son números reales estándar. Por ejemplo, ]1, 5[ y [1, 5] son, respectivamente, un intervalo real abierto y un intervalo real cerrado, ambos de extremos 1 y 5, los cuales son conjuntos estándar (por ser estándar sus extremos) expresados ambos mediante notaciones determinadas. - Si f es una función estándar real de variable real, acotada superiormente (o inferiormente), entonces Sup( f ) (respectivamente Inf ( f ) ) es estándar, pues si f fuese una notación determinada entonces Sup( f ) (respectivamente Inf ( f ) ) sería una notación determinada. - Si un número real r es estándar, entonces el (número real) | r | , valor absoluto de r , también es estándar, pues si r fuese una notación determinada, entonces también lo sería | r | . - 3+14, e   , 5·(2) , 3 , log 10 185 son ejemplos de números reales estándar expresados mediante notaciones determinadas, y si 19

r 0 , y b  1 son números reales estándar, entonces , , log b r también son ejemplos de números reales estándar, pues si fuesen notaciones determinadas, entonces también lo serían , , log b r CAPITULO 3: PRINCIPIOS NO CLASICOS Y DEFINICIÓN DE NÚMEROS REALES LIMITADOS, ILIMITADOS, INFINITÉSIMOS Y MEDIANOS Llamamos “Principio T”, “Principio I” y “Principio S” a tres enunciados no clásicos (Es decir, de las matemáticas no clásicas pero no de las clásicas) que consideramos como axiomas específicos de las matemáticas no clásicas. Dichos principios, que se demuestra son compatibles (no contradictorios) con las matemáticas clásicas, complementan las definiciones de conjuntos estándar y conjuntos no estándar, permitiendo construir un cálculo no clásico. ∎

Principio T.

Todo conjunto estándar y no vacío tiene algún elemento (que es un conjunto) estándar. ∎

Principio I.

Existen números naturales no estándar todos los cuales son mayores que cualquier número natural estándar. ∎

Definiciones.

- Si r es un número real, entonces decimos que r es limitado si y solo si existe algún número natural estándar n tal que | r | n . 20

- Decimos que un número real es ilimitado si y solo si no es limitado. - Decimos que un número real es infinitésimo si y solo si o es cero o es el inverso (es el simétrico respecto del producto) de un número real ilimitado. - Decimos que un número real es mediano si y solo si es limitado y no es infinitésimo. ∎

Principio S.

Si r es un número real limitado, entonces existe un número real estándar, que notamos (o , si no hay peligro de confusión) y llamamos “parte estándar de r ”, tal que es un infinitésimo. (Considerando que si es una notación de un número real entonces y son notaciones determinadas si y solo si es determinada ). ∎

Fórmulas clásicas y fórmulas no clásicas.

Decimos que una fórmula es clásica si y solo si en la misma no figura el signo o , que se lee “parte estándar de…”, como superíndice izquierdo de una notación, incluida o no en un paréntesis, de un número real. Y decimos que una fórmula es no clásica, si y solo si no es clásica.

En ∎ hemos definido tanto fórmulas clásicas como fórmulas no clásicas13. Las fórmulas clásicas son las fórmulas de las matemáticas clásicas y, en consecuencia, también lo son de las matemáticas no clásicas, puesto que las matemáticas no clásicas conservan todo lo de las matemáticas clásicas. Y las fórmulas no clásicas son las fórmulas de las matemáticas no clásicas, que no son de las matemáticas clásicas.

Por ejemplo, si son variables entonces también , son variables y, en consecuencia, son fórmulas de las definidas en el Capítulo 1, las dos expresiones siguientes: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ la primera de las cuales es una fórmula clásica y la segunda es no clásica. Es decir, la primera es una fórmula de las matemáticas clásicas y, en consecuencia, también de las no clásicas, por ser las matemáticas no clásicas conservativas de las clásicas. Y la segunda es una fórmula de las matemáticas no clásicas, pero no de las clásicas, pues en la misma figuran variables con el superíndice izquierdo .

∎(3.6) Observación. Como ya ha sido referido, que las matemáticas no clásicas conservan todo lo de las matemáticas clásicas, significa que las no clásicas conservan los objetos matemáticos, las notaciones, las fórmulas, las definiciones y los teoremas de las clásicas. Así, pues, los objetos matemáticos y, en particular, los números, son los mismos para unas y otras matemáticas, las cuales son lo mismo en todo, salvo en que, en las matemáticas clásicas, ninguna distinción se hace entre sus objetos estándar y sus objetos no estándar, mientras que en las matemáticas no clásicas se hace dicha distinción. Luego, los números naturales de la sucesión resultante del proceso intuitivo de contar, a los que se les asignan las notaciones 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, … (y, así, sucesivamente sin fin) del sistema de numeración decimal (los estándar), y también los otros números naturales (los no estándar, posteriores a los estándar), a ninguno de los cuales se le asigna notación determinada alguna, son objetos matemáticos, tanto de las matemáticas clásicas, como de las no clásicas.14 14

Para entender que el Principio I no contradice al clásico Principio de recurrencia (o Principio de inducción completa) , consideremos que el mismo afirma que Si E es un conjunto contenido en el conjunto N de los números naturales, tal que 0  E y si n  E , entonces entonces E  N , y observemos que dicho Principio de recurrencia nada afirma si E es una colección propiamente contenida en N (es decir, contenida y distinta de

A los lectores que (en las matemáticas clásicas) hayan adoptado como definición de los números naturales la de que son los elementos del conjunto cuya existencia afirman los Axiomas de Peano o el Axioma del infinito, les sugiero que presten atención al hecho de que tal definición puede efectuarse sin necesidad de que en la misma se mencione el sistema de numeración decimal ni signo alguno del mismo y que, en consecuencia, dicha definición es independiente de tal sistema de numeración.

N ) que no sea un conjunto, aunque (como ocurre con la colección de los números naturales estándar) fuese tal que 0  E y se verificase que si n  E entonces (n  1)  E , pues el referido Principio de recurrencia, al decir, “Si E es un conjunto”, lo que afirma solo es para las colecciones que sean conjuntos. Así, pues, sin más que considerar que la colección de los números naturales estándar (es decir, a los que se les asignan notaciones del sistema de numeración decimal) no es un conjunto, dicha colección es como inexistente o invisible para las matemáticas y, en consecuencia, el Principio de recurrencia no contradice (no impide) que, además de los números naturales que se expresan con notaciones del sistema de numeración decimal, haya (tal como afirma el Principio I) otros números naturales (los no estándar) tanto en las matemáticas no clásicas como en las clásicas (aunque en éstas no se distinga entre unos y otros). Además, al no ser un conjunto la colección de los números naturales estándar, fácilmente puede razonarse que tampoco lo es la colección de los naturales no estándar, ni la de los reales estándar, ni la de los reales no estándar, ni la de los reales limitados, ni la de los reales ilimitados, ni la de los reales infinitésimos, ni la de los reales medianos (El razonamiento figura en el Apéndice).

A los lectores que (en las matemáticas clásicas) simplemente consideren que los números naturales son aquellos (todos aquellos y solo aquellos) que se expresan mediante signos (y solo signos) del sistema de numeración decimal (que son los de la sucesión resultante del proceso intuitivo de contar), les sugiero sigan considerando que los referidos números que se expresan mediante signos (y solo signos) del sistema de numeración decimal, son números naturales, pero que, además, existen otros números naturales (los no estándar) posteriores a los primeros, los cuales, como números naturales que son, tienen, claro está, las propiedades que, en general, tienen los números naturales (Por ejemplo, la propiedad de que cada número natural distinto de cero tiene un anterior y un siguiente). Y a todos los lectores les sugiero que tomen conciencia de que para demostrar que los elementos de un conjunto infinito (de, por ejemplo, números naturales) cumplen una fórmula o condición, puesto que no se puede efectuar el razonamiento elemento a elemento (porque al ser infinitos elementos, nunca se terminaría), se haga como se haga la demostración, es necesario utilizar notaciones indeterminadas para representar (condicionalmente) a los números del conjunto, por lo que la demostración no solo “alcanza” a los números que tengan asignada alguna notación determinada (los estándar), sino también a los que no la tengan (los no estándar).

Por ejemplo (siendo una variable): Para demostrar que si es un número natural cualquiera entonces se cumple la condición , consideramos que si es un número natural cualquiera entonces Luego (puesto que resulta que , de donde , como queríamos demostrar. Y, puesto que para expresar que un número natural cualquiera cumple una referida condición, se le ha tenido que notar con una notación indeterminada (la variable que sirve como notación, tanto para un número natural estándar como noestándar), resulta que la demostración, además de “alcanzar” a los números naturales estándar, “alcanza” a los no estándar. Es decir, sirve para todos los números naturales Así, pues, aunque se haya efectuado un razonamiento matemático sin haber contado conscientemente con la existencia de los números naturales no estándar, no obstante dichos números han “entrado” en el razonamiento. Y, en consecuencia, todos los razonamientos matemáticos que hayan sido efectuados creyendo y considerando que los únicos números naturales existentes son los estándar, son válidos (nada hay que rehacer o modificar en los mismos) si se pasa a considerar que, además de los números naturales estándar, existen los no estándar.

CAPITULO 4: ORDENES DE TAMAÑO DE LOS NUMEROS REALES LIMITADOS, ILIMITADOS, INFINITESIMOS, MEDIANOS Y ESTANDAR Informalmente digamos que, en valor absoluto, cualquier número real ilimitado es “mucho mayor” (ilimitadamente mayor) que cualquier limitado, y cualquier número real infinitésimo es “mucho menor” (ilimitadamente menor) que cualquier mediano. A continuación expresamos estas ideas de manera más precisa. ∎(4.1) Se demuestra que un número natural es limitado si y solo si es estándar, y es ilimitado si y solo si es no estándar. Demostración trivial. ∎(4.2) Se demuestra que si r es un número real entonces r es ilimitado si y solo si para todo número natural estándar n se cumple que n | r | . Demostración trivial. ∎(4.3) Se demuestra que si r es un número real entonces r es infinitésimo si y solo si, si es un número natural estándar y distinto de cero entonces | r | (1 : n) (Entendiendo que si u, v son números reales y v  0 entonces u : v significa lo mismo que

u , lo mismo que u.v 1 y lo mismo que “ u partido v por v ”). Demostración trivial. ∎(4.4) Se demuestra que si r es un número real positivo entonces r es mediano si y solo si existe un número natural estándar y distinto de cero n tal que

Demostración trivial. ∎(4.5) Se demuestra que si  , r, s son números reales tales que  es infinitésimo, r es mediano y s es ilimitado entonces |  || r || s | . Demostración trivial. ∎(4,6) Se demuestra que si un número real es estándar entonces o es igual a cero o es mediano. Demostración. Si r es un número real estándar entonces el menor número natural mayor o igual que r es estándar (pues si r fuese una notación determinada, entonces Inf ({n | (n  N )  (r  n)}) sería una notación determinada de dicho número natural). Luego, si r es estándar entonces es limitado, y puesto que si r  0 entonces 1 : r es estándar (pues si fuese una

notación determinada entonces también lo sería y por ello (por ser estándar), es limitado. Luego, 1 : r no es ilimitado y, en consecuencia, r no es infinitésimo. Luego, r es mediano. Y si entonces también es estándar (pues el signo 0 es una constante). CAPITULO 5: SUMAS, RESTAS, PRODUCTOS, COCIENTES, POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NUMEROS REALES ESTANDAR, LIMITADOS, INFINITESIMOS Y MEDIANOS Y DE LAS PARTES ESTANDAR DE NUMEROS REALES LIMITADOS Se demuestran las siguientes propiedades que sugerimos al lector trate de interpretarlas intuitivamente sobre una recta: 15 ∎ Se demuestra que las sumas, restas, productos y cocientes de números reales estándar, las potencias de base real estándar positiva y exponente real estándar y los logaritmos de base real estándar positiva, de números reales estándar positivos, son números reales estándar. Demostración trivial (Por ejemplo, si r, s son números reales estándar, entonces r  s es un número real estándar, pues si r, s fuesen notaciones determinadas 15

Fácilmente se pueden situar sobre una recta los números reales limitados, ilimitados, infinitésimos, medianos y estándar. Pero bien entendido que dicha representación gráfica no pasa de ser un esquema que solo sirve para ayudar un poco a la imaginación y ello con tal de que no sea mal interpretada.

entonces r  s también sería una notción determinada. Y análogamente se argumenta en los demás casos). Se demuestra que si r , s,  son números ∎ reales, r es estándar, s es estándar,  es infinitésimo y r  s   , entonces   0 y r  s . Demostración. Si r, s ,  son números reales tales que r, s son estándar,  es infinitésimo y r  s   , entonces   r  s y, en consecuencia,  es estándar (pues si fuesen notaciones determinadas entonces también sería una notación determinada). Así, pues,  sería infinitésimo y estándar por lo que (recordando que un número real estándar o es igual a cero o es mediano)   0 , de donde r  s . ∎(5.3) Se demuestra que las sumas, restas y productos de números reales limitados son números reales limitados. Demostración trivial (Por ejemplo, si r, s son números reales limitados, entonces existen números naturales estándar n, m tales que | r | n y | s | m . Luego, es estándar ya | r  s | n  m y, puesto que que si fuesen notaciones determinadas, entonces también sería una notación determinada, resulta que es limitado. análogamente se argumenta en los demás casos).

∎(5.4) Se demuestra que las sumas y restas de números reales infinitésimos y los productos de números reales infinitésimos por limitados son infinitésimos. Demostración fácil (Por ejemplo, s i   0 es trivial. Y si  , r son números reales,  es un infinitésimo,   0 y r es limitado, entonces existe un número natural estándar m  0 tal que | r | m . Luego, si n es un número natural estándar y n  0 , entonces n.m es estándar ya que si fuesen notaciones determinadas entonces sería una notación determinada. Luego, de donde |  .r | (1 : n) Luego,  .r es un infinitésimo. Y análogamente se argumenta en los demás casos). ∎(5.5) Se demuestra que las sumas y restas de números reales medianos con números reales infinitésimos, los productos y cocientes de números reales medianos y las potencias de base un número real mediano positivo y exponente un número real limitado, son números reales medianos. Demostración fácil (Por ejemplo, si r ,  son números reales, r es mediano y  es infinitésimo, entonces r ,  son limitados y, en consecuencia, r   es limitado. Y, por ser r mediano, existe un número natural estándar n  0 tal que (1 : n) | r | . Luego, es estándar, de donde

Así, pues, existe un número natural estándar, que es 1 : 2n , menor o igual que | r   | y, en consecuencia, r   no es infinitésimo y como es limitado, es mediano. Y análogamente se argumenta en los demás casos). ∎(5.6) Se demuestra que la parte estándar de un número real limitado es única. Demostración trivial (Pues la diferencia de partes estándar de un mismo número real ha de ser un número real estándar e infinitésimo y, en consecuencia, ha de ser cero). ∎(5.7) Se demuestra que un número real es mediano si y solo si su parte estándar es un número real mediano. Demostración trivial. ∎(5.8) Se demuestra que si r, s son números reales limitados entonces o (r  s) o r  o s , o (r  s) o r  o s , y si s es mediano, entonces . Demostración fácil (Por ejemplo, si r, s son números reales limitados, entonces

    ' ' ' o r.o s    o r.o s o r.o s

siendo δ ε ε´ ε´´ un infinitésimo puesto que ´ ´´ son infinitésimos, y por ser estándar, δ=0. Y análogamente se razona en los demás casos). ∎(5.9) Se demuestra que la parte estándar de un número real limitado y mayor o igual (o menor o igual) que 0, es mayor o igual (respectivamente, menor o igual) que cero y, en consecuencia, si r, s son números limitados y r  s , entonces o r  o s y si r, s son estándar y x es un número real tal que r  x  s entonces r  o x  s . Demostración trivial. CAPITULO 6: DEFINICIONES NO CLASICAS SOBRE LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL En todo lo que sigue, “punto” significa lo mismo que “elemento”, y “punto de” significa, pues, lo mismo que “elemento de” y que “punto que pertenece a”. Por consiguiente, “punto de significa lo mismo que “elemento de lo mismo que“punto que pertenece a y lo mismo que “número real”. Y (como ya se dijo) llamamos “funciones reales de variable real” a las funciones reales de una (única) variable real.

Consideramos las definiciones y propiedades siguientes:16 ∎(6.1) Definición no clásica de punto estándar de acumulación de un conjunto estándar de números reales. Si E es un conjunto estándar de números reales y r es un número real estándar, entonces decimos que r es un punto de acumulación de E si y solo si existe un elemento x de E tal que r  x es un infinitésimo distinto de cero. ∎(6.2) Definición no clásicas de límites finitos. Si f es una función estándar real de variable real entonces, - Si c es un punto estándar de acumulación de (el conjunto) Ori( f ) , entonces decimos que f es convergente en c y (también) que f tiene límite finito cuando la variable tiende a c si y solo si existe un número real estándar que notamos lím c f y llamamos “límite de f en (el punto) c ”, tal que si x  Ori( f ) , x  c y x  c es un infinitésimo entonces f ( x)  lím c f es un infinitésimo. 16

Cuando, en este capítulo o en los capítulos siguientes, definiciones o propiedades solo se consideren para puntos estándar, intervalos estándar o funciones estándar, es porque su mayor interés es para dichos puntos, intervalos y funciones.

- Decimos que converge en el infinito y (también) que tiene límite finito en el infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos y números reales ilimitados negativos que son puntos de y existe un número real estándar, que notamos y llamamos “límite de en el infinito”, tal que si y es ilimitado entonces es un infinitésimo. - Decimos que converge en más infinito y (también) que tiene límite finito en más infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos que son puntos de y existe un número real estándar, que notamos y llamamos “límite de en más infinito”, tal que si , es ilimitado y entonces es un infinitésimo. - Decimos que converge en menos infinito y (también) que tiene límite finito en menos infinito si y solo si existen números reales negativos que son puntos de y existe un número real estándar, que notamos y llamamos “límite de en menos infinito”, tal que si , es ilimitado y entonces es un infinitésimo. ∎(6.3) Se demuestra que si estándar real entonces,

es una función

- Si es un número real que es punto de acumulación estándar de entonces existe 35

si y solo si, si son puntos (cualesquiera) de tales que x  c , y xc , son infinitésimos, entonces , son números reales limitados y Y si existe , , y o es un infinitésimo entonces lím c f  f (x) . En consecuencia (puesto que la parte estándar de número real limitado, es única), si dicho existe, entonces es único. - Si existen números reales ilimitados positivos y números reales ilimitados negativos que son puntos de , entonces existe si y solo si, si son números ilimitados (cualesquiera) que son puntos de entonces son números relales limitados y . y es un número real Y si existe ilimitado que es punto de , entonces En consecuencia, si dicho límite existe entonces es único. - Si existen números reales ilimitados positivos que son puntos de entonces existe si y solo si, si son números reales ilimitados positivos (cualesquiera) que son puntos de entonces son números reales limitados y . Y si existe y es un número real ilimitado positivo que es punto de entonces 36

En consecuencia, si dicho límite existe entonces es único. - Si existen números reales ilimitados negativos que son puntos de entonces existe si y solo si, si son números reales ilimitados negativos (cualesquiera) que son puntos de entonces son números reales limitados y . Y si existe y es un número real ilimitado negativo que es punto de entonces En consecuencia, si dicho límite existe entonces es único. Demostración trivial. ∎(6.4) Definición no clásica de límite finito de una sucesión estándar de números reales. Una sucesión de números reales es (como se define en ∎ una función real de variable real tal que su conjunto original es el conjunto N  (de los números naturales distintos de cero). Si r1 , r2 , r3 ,..., rn ,... es una sucesión estándar de números reales, entonces decimos que es convergente y (también) que tiene límite finito si y solo si existe un número real estándar, que notamos lím n rn y llamamos “límite de la sucesión

”, tal que si n es un número natural ilimitado entonces rn  lím n rn es un infinitésimo. ∎(6.5) Se demuestra que si en el caso referido, si es una n  N  y n es ilimitad sucesión de números reales entonces existe si y solo si, si son números naturales ilimitados (cualesquiera) entonces son números reales limitados y Y si existe entonces lím n rn  o (rn ) . En consecuencia, si existe entonces dicho límite es único. Demostración trivial. ∎(6.6) Se demuestra que si f , g son funciones estándar reales de variable real con el mismo conjunto original, que, por ejemplo, es un intervalo (real) , entonces las funciones reales de variable real que notamos , , y, respectivamente, llamamos “función suma de y , “función diferencia de y y “función producto de por , tales que su conjunto original es y para todo punto de , y , son funciones estándar. Y si , son convergentes en un punto estándar c , entonces las funciones son convergentes en y

, lím c ( f  g )  lím c f  lím c g y lím c ( f ·g )  (lím c f )·(lím c g ) . Si, además, se cumple que si entonces entonces también la función , que llamamos “función cociente de y , tal que su conjunto original es y para todo punto de , , es una función estándar. Y si (además de ser convergente en ) , entonces lím c ( f : g )  (lím c f ) : (lím c g ) . Y análogas propiedades se verifican para límites finitos en el infinito o en más infinito o en menos infinito, de funciones estándar reales de variable real y, en particular, para límites finitos de sucesiones estándar de números reales. Demostración. Si, entonces, las notaciones de las funciones (estándar reales de variable real) fuesen notaciones determinadas, entonces también serían notaciones determinadas las de las funciones y, por consiguiente, todas las referidas funciones también son estándar. Y puesto que las respectivas demostraciones de las referidas propiedades sobre límites de dichas funciones, son análogas, solo efectuaremos, por ejemplo, la correspondiente al producto de funciones: Si x es un punto que pertenece al conjunto original (común) de las funciones f , g tal que x  c y x  c es un infinitésimo, entonces

lím c ( f ·g ) o ( f ( x)·g ( x)) o ( f ( x))·o ( g ( x))  (lím c f )·(lím c g )

∎ (6.7) Otras definiciones no clásicas de límites de funciones estándar reales de variable real y definición de funciones divergentes. Si es una función estándar real de variable real entonces, - Expresamos que y decimos que el límite de en el infinito es infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos y números reales ilimitados negativos que son puntos de y si es un número real ilimitado (cualquiera) que es punto de entonces es un número real ilimitado. - Expresamos que y decimos que el límite de en más infinito es infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos que son puntos de y si es un número real ilimitado positivo (cualquiera) que es punto de entonces es un número real ilimitado. - Expresamos que y decimos que el límite de en menos infinito es infinito si y solo si existen números reales ilimitados negativos que son puntos de y si es un número real ilimitado negativo (cualquiera) que es punto de

entonces ilimitado.

es un número real

- Expresamos que y decimos que el límite de en el infinito es más infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos y números reales ilimitados negativos que son puntos de y si es un número real ilimitado (cualquiera) que es punto de entonces es un número real ilimitado positivo. - Expresamos que y decimos que el límite de en más infinito es más infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos que son puntos de y si es un número real ilimitado positivo (cualquiera) que es punto de entonces es un número real ilimitado positivo. - Expresamos que y decimos que el límite de en menos infinito es más infinito si y solo si existen números reales ilimitados negativos que son puntos de y si es un número real ilimitado negativo (cualquiera) que es punto de entonces es un número real ilimitado positivo. - Expresamos que y decimos que el límite de en el infinito es menos infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos y números reales ilimitados negativos que son puntos de y si es un número real ilimitado 41

entonces negativo.

es un número real ilimitado

- Expresamos que y decimos que el límite de en más infinito es menos infinito si y solo si existen números reales ilimitados positivos que son puntos de y si es un número real ilimitado positivo (cualquiera) que es punto de entonces es un número real ilimitado negativo. - Expresamos que y decimos que el límite de en menos infinito es menos infinito si y solo si existen números reales negativos que son puntos de y si es un número real ilimitado negativo (cualquiera) que es punto de entonces es un número real ilimitado negativo. - Si es un número real estándar que es punto de acumulación de entonces expresamos que y decimos que el límite de en es infinito si y solo si , si es un número real (cualquiera) que es punto de tal que y es un número real infinitésimo entonces es un número real ilimitado. - Si es un número real estándar que es punto de acumulación de entonces expresamos que y decimos que el límite de en es más infinito si y solo si, si es un número real (cualquiera) que es punto de tal que 42

y entonces

es un número real infinitésimo es un número real ilimitado positivo.

- Si es un número real estándar que es punto de acumulación de entonces expresamos que y decimos que el límite de en es menos infinito si y solo si, si es un número real (cualquiera) que es punto de tal que y es un número real infinitésimo entonces es un número real ilimitado negativo. En los casos referidos también se dice, respectivamente, que “en el infinito” o “en más infinito” o “en menos infinito” o “en un punto estándar de acumulación del conjunto original de ”, la función es divergente. Si, en particular, la función es una sucesión estándar de números reales entonces, - Expresamos que y decimos que el límite de dicha sucesión es infinito si y solo si, si es un número natural ilimitado (cualquiera) entonces es un número real ilimitado. - Expresamos que y decimos que el límite de dicha sucesión es más infinito si y solo si, si es un número natural ilimitado (cualquiera) entonces es un número real ilimitado positivo.

- Expresamos que y decimos que el límite de dicha sucesión es menos infinito si y solo si, si es un número natural ilimitado (cualquiera) entonces es un número real ilimitado negativo. Y en todos los casos referidos se dice que la sucesión es divergente. ∎ ) Definición no clásica de función estándar real de variable real, continua en un punto estándar (Formalmente es la misma que la definición clásica). Si f es una función estándar real de variable real y c es un punto estándar, entonces decimos que f es continua en c si y solo si c  Ori( f ) , c es de acumulación de Ori( f ) , f es convergente en c y límc f  f (c) . ∎ ) Se demuestra que, en el caso referido, f es continua en c si y solo si, si y x  c es un infinitésimo entonces

Demostración trivial. ∎ ) Definición no clásica de función estándar real de variable real, continua. Si f es una función estándar real de variable real definida en un intervalo (estándar) I , entonces 44

decimos que f es continua si y solo si f es continua (según la definición no clásica) en todo punto estándar de I . Se demuestra que si son funciones ∎ estándar reales de variable real entonces, 1º. Si tienen un mismo conjunto original que, por ejemplo, es un intervalo (estándar) y son continuas entonces las funciones estándar reales de variable real (definidas en ∎(6.6)) son continuas. Y si, además, en todo punto de (su conjunto original) , y en todo punto estándar de su conjunto original, , entonces la función estándar real de variable real (que ha sido definida en ∎(6.6)) es continua. 2º. Si un intervalo (estándar) y entonces la función real de variable real que notamos y llamamos “función compuesta de con , tal que y para todo punto de su conjunto original, es una función estándar. Y si son continuas entonces es continua.

Demostración. 1º. Si, entonces, las funciones son continuas entonces, considerando ∎ , es trivial que las funciones son continuas. Y también que lo es si, además, en todo punto de su conjunto original y en todo punto estándar de su conjunto original. 2º. Si un intervalo real y entonces es trivial que, por ser estándar, la función es estándar (pues si los signos fuesen notaciones determinadas entonces la expresión también sería una notación determinada). Y si, además, , son continuas entonces si son puntos de , es estándar y es un infinitésimo entonces

)

Luego, en todo punto estándar de existe límite finito de y dicha función es continua, lo que, por definición, significa que es continua. ∎(6.12) Se demuestra que si estándar entonces,

es un número real

- Si es una función estándar real de variable real a la que llamamos “función potencial de exponente ” tal que y si ∧ entonces , entonces es una función estándar y continua. - Si y es una función real de variable real, a la que llamamos “función exponencial de base ” tal que y si entonces entonces es una función estándar y continua. - Si y es una función real de variable a la que llamamos “función logarítmica de base real, , tal que y si ∧ , entonces entonces 17 es una función estándar y continua. ∎ 6.13) Definición no clásica de función estándar real de variable real, uniformemente continua. Si f es una función estándar real de variable real definida en un intervalo (estándar) I , entonces decimos que f es uniformemente continua si y solo si, si x, x' son puntos de I tales que x  x' es un infinitésimo entonces f ( x)  f ( x' ) es un infinitésimo.

La demostración figura en el Apéndice.

∎ ) Se demuestra que si una función estándar real de variable real definida en un intervalo estándar cerrado y acotado es continua en , entonces dicha función es uniformemente continua en . Demostración trivial (Considerando que si una función , estándar real de variable real, está definida en un intervalo estándar cerrado y acotado , y ´ son puntos de I tales que ´ es un infinitésimo, entonces existe , existe ´, , ´ y ´ ∎(6.15) Observaciones. 1ª.- Se demuestra que las referidas definiciones no clásicas de punto de acumulación y de cada uno de los límites definidos en este Capítulo 6, son equivalentes a las correspondientes definiciones clásicas. Es decir, un punto estándar es de acumulación de un conjunto estándar, según la definición no clásica, si y solo si lo es, según la definición clásica. Y cada uno de los límites no clásicos referidos, es igual a su correspondiente límite clásico18, por lo que las notaciones para cada uno de dichos límites no clásicos, son las mismas que las de sus correspondientes clásicos. Por ejemplo,

La demostración para uno de los límites, figura en el Apéndice. Y las demás son análogas.

Se demuestra que si es un número real estándar y es un conjunto estándar de números reales entonces es un punto de acumulación de según la definición no clásica, si y solo si es un punto de acumulación, según la definición clásica (que es la siguiente: Un número real es un punto de acumulación de un conjunto de números reales si y solo si para todo número real existe algún punto de tal que y

- Se demuestra que un número real estándar es el límite de una función estándar real de variable real , en un punto estándar según la definición no clásica, si y solo si es el límite de en , según la definición clásica (que es la siguiente: Si es una función real de variable real y es un punto de acumulación del , según la definición clásica, entonces decimos que un número real es el límite de es convergente en si y solo si para todo número real existe un número real tal que si , y entonces ). Por ello, la notación no clásica de que es el límite de en , es la misma que la notación clásica (y tanto una como otra es ). - Se demuestra que un número real estándar es el límite de una sucesión estándar de números reales, según la definición no clásica, si y solo si es el límite de dicha sucesión según la 49

correspondiente definición clásica (que es la siguiente: Un número real es el límite de una sucesión es una sucesión de números reales si y solo si para todo número real existe un número natural tal que si es un número natural mayor o igual que entonces ). Por ello la notación no clásica de que es el límite de es la misma que la notación clásica (y tanto una como otra es ). - Se demuestra que una función , estándar real de variable real, es divergente con límite “más infinito” en un punto (número real) estándar de acumulación de según la definición no clásica, si y solo si es divergente en , con límite “más infinito”, según la definición clásica (que es la siguiente: Una función , real de variable real, es divergente con límite “más infinito” en un punto (número real) de acumulación de si y solo si para todo número real existe un número real tal que si , y entonces Por ello la notación no clásica de que una función estándar real de variable real, es divergente en un punto estándar , con límite “más infinito”, es la misma que la correspondiente notación clásica (y tanto una como es ). Y análogamente a lo que ocurre para los casos referidos que figuran a título de ejemplo, ocurre para el resto de los límites antes definidos.

- Se demuestra que una función estándar real de variable real es continua en un punto estándar, o es continua o es uniformemente continua, según las respectivas definiciones no clásicas, si y solo si dicha función es continua en o es continua o es uniformemente continua según las correspondientes definiciones clásicas (que son las siguientes: Si es una función real de variable real y entonces decimos que es continua en si y solo si para todo número real existe un número real tal que si y entonces . Decimos que dicha función es continua si y solo si es continua en todo punto del Y decimos que es uniformemente continua si y solo si para todo número real existe un número real tal que si son puntos del tales que entonces ). Otras definiciones no clásicas de límites de funciones estándar y reales de variable real tales como las de límites laterales y límites infinitos en un punto estándar o en el infinito, también son equivalentes a sus correspondientes definiciones clásicas. En virtud de dicha equivalencia entre definiciones no clásicas y sus correspondientes definiciones clásicas, de límites de funciones estándar reales de variable real, hemos visto, en este Capítulo 6, que las propiedades de los límites y continuidad de funciones, según las definiciones no clásicas, son las mismas que las de los

correspondientes límites y continuidad de funciones, según las definiciones clásicas. 2ª.- Si, por ejemplo, un profesor de matemáticas de bachillerato considerase que la definición (clásica, por supuesto) de límite en un punto, de una función real de variable real, podría resultar demasiado complicada para sus alumnos, pero que sería conveniente que tuviesen una “cierta idea” de lo que tal límite significa, probablemente, en lugar de la definición “con todas las de la ley” les contase algo así como lo siguiente: Si es una función real de variable real y es un punto de acumulación de (conjunto original de ) entonces decimos que un número real es el límite de en si y solo si, si y está muy próximo a (o es muy pequeño) entonces está muy próximo a (o | es muy pequeño). Puestos a puntualizar, el enunciado anterior no sirve porque es impreciso, dado que lo es el término “muy” y en consecuencia los términos “muy próximo” y “muy pequeño” también lo son Si el profesor, a sabiendas de ello, da dicho enunciado a los alumnos, es porque, ciertamente, el mismo viene a proporcionarles una cierta idea de lo que significa dicho límite y, además, es muy fácil de entender. Pues bien, si en el referido enunciado cambiamos el término “muy” por el término “ilimitadamente”, resulta un enunciado no clásico (de las matemáticas no clásicas) igual de fácil que el anterior, que sirve

con toda precisión como definición del límite en cuestión, sin más que convenir en que si son números reales entonces “ está ilimitadamente próximo a (o en que “ es ilimitadamente pequeño” significa que “ es un (número real) infinitésimo” cuando la función y el punto son estándar. Y ocurre que en las matemáticas clásicas, aunque no se diga explícitamente, siempre se supone que tal función y tal punto, son estándar). En el enunciado referido figura “punto de acumulación de un conjunto” Si el profesor (antes de hablarles de límite de una función) también había considerado que su definición (clásica) podría resultar demasiado complicada para los alumnos y por ello, en su lugar, les había enunciado que Un número real se dice “punto de acumulación” de un conjunto de números reales si y solo si existe algún punto del conjunto, tal que es distinto de y “muy próximo” a entonces el profesor también habría optado por dar a los alumnos una definición imprecisa de punto de acumulación, con tal que la misma les proporcione, al menos, una cierta idea de lo que “punto de acumulación” significa, siendo, además, dicha definición muy fácil de entender. Pues bien, si (como antes) en lugar de “muy” escribimos “ilimitadamente” y convenimos en que “ilimitadamente próximo a ” significa que “ es un infinitésimo” entonces el enunciado

resultante es tan fácil como el anterior y sirve con toda precisión como definición no clásica (de las matemáticas no clásicas) de punto de acumulación (cuando el punto y el conjunto sean estándar. Y ocurre que, en las matemáticas clásicas, aunque no se diga explicitamente, siempre se supone que tal conjunto y tal punto, son estándar). Análogas consideraciones se pueden hacer respecto de los demás enunciados que definen unos u otros límites. 3ª.- En varias de las definiciones de límite de una función real de variable real figuran algunas de las expresiones siguientes: Y sus respectivos nombres: “infinito” “más infinito” “menos infinito”. Pues bien, entiéndase que aquí (en este contexto) ninguna de tales expresiones es notación de número alguno ni, en general, de objeto matemático alguno. Por ello, cualquiera de las mismas (cualquiera de los signos solo se escribe como parte de una expresión en la que, además, figuran otros signos (nunca “por separado” Y las expresiones solo se escriben así “por separado” cuando expresan algún número real, y ello es cuando, respectivamente, la función es convergente en el infinito o en más infinito o en menos infinito. Cuando la función es divergente en, por ejemplo, el infinito (y análogamente ocurre si lo es en más infinito o en menos infinito), si se escribe la referida

expresión , entonces ello se hace de manera que figure incluida en alguna de las expresiones siguientes:

El significado que hemos de dar aquí a cualquiera de las expresiones referidas, solo ha de ser “el de su definición”, en la que no figura el signo ni el signo ni el signo . Por ejemplo, entendiendo que es una función estándar real de variable real, el significado que hemos de dar a la expresión es el siguiente y solo el siguiente: Al conjunto pertenece algún número real ilimitado y negativo y si y es ilimitado y negativo entonces es ilimitado. Y análogamente ocurre con las otras dos expresiones y . 19

Aunque no aquí (no en este contexto), en ocasiones, en las matemáticas clásicas (y, por tanto, también en las no clásicas), a los signos + se les da un valor conceptual (es decir, se define que representan algún objeto matemático). Por ejemplo, en ocasiones cuando, por razones prácticas para el cálculo se considera el llamado “Conjunto ampliado de los n meros reales” al cual pertenecen todos los números reales del conjunto que aquí consideramos y, además, otros dos números reales (que aquí no consideramos) los cuales, respectivamente, se notan y , y se definen mediante ciertas propiedades, una de las cuales es la siguiente: Si entonces .

Así, pues, aquí (en este contexto) ningún número real (tanto, pues, si es limitado como si es ilimitado “es infinito” 20

Y, en otras ocasiones, los signos representan conjuntos respectivos a los que se les llama “filtros” Por ejemplo, si es una sucesión de números reales entonces, en ocasiones, el signo , en la expresión , representa un conjunto que se llama “filtro de Fréchet” el cual de define como el conjunto cuyos elementos son los conjuntos de números naturales que son complemento, respecto de de algún conjuntos finito de números naturales (Es decir, que son complemento, respecto de de algún conjunto de números naturales con un número finito de elementos). Y el límite clásico de la sucesión, puede definirse así: Para todo número real existe un conjunto que es elemento de , filtro de Fréchet, tal que si entonces . Pero bien entendido que aquí, en este contexto, ninguno de los signos reprsenta filtro alguno, ni conjunto alguno ni, en general, concepto alguno. Aquí dichos signos solo son parte de ciertas expresiones gráficas y “por separado” (sin que sean parte de una expresión en la que figuren otros signos) ninguno de los mismos se escribe. 20 Todo número real (o elemento del conjunto que aquí consideramos) sea limitado o ilimitado, es, en valor absoluto, menor que algún número natural y, por definición, todo número natural (limitado o ilimitado), es finito (Vease el pie de página 24).

CAPITULO 7: DEFINICIONES NO CLASICAS SOBRE DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE FUNCIONES ESTANDAR REALES DE VARIABLE REAL ∎(7.1) Definición no clásica de derivada de una función estándar real de variable real, en un punto estándar. Si f es una función estándar real de variable real definida en (por ejemplo) un intervalo y es un punto estándar de , entonces notamos ´ y llamamos “derivada de f en ” al número real (Es decir, al límite de cuando t tiende a 0, según la definición no clásica), si tal límite existe. Y como dicha definición de limite es la no clásica, si es un infinitésimo distinto de cero y , entonces dicha definición no clásica de derivada, en suma, es la siguiente: ´

Luego, si existe, la derivada de una función en un punto es única. ∎

Derivadas de las funciones elementales.

Como hemos definido, si es una función estándar real de variable real, tal que existe su derivada no clásica en un punto estándar de su conjunto

original, entonces la forma (la expresión) de dicha derivada no clásica es ´ . Dicha forma (o expresión) es la misma que la de la correspondiente derivada clásica, aunque para la derivada no clásica el límite es el no clásico (que se define así: ) ) y para la derivada clásica el límite es el clásico (que se define así: Para todo número real existe un número real tal que si es un número real tal que y entonces |

Y como la definición no clásica de límite es diferente de la definición clásica, la definición no clásica de derivada, es diferente de la correspondiente definición clásica. Pero, en definitiva, ocurre que, tanto con una como con otra definición de derivada, el resultado (el número que resulta ser la derivada de la función en el punto) es el mismo, puesto que la referida derivada no clásica es un límite no clásico, la correspondiente derivada clásica es el correspondiente límite clásico y, tal como se refiere en ∎ , dichos límites (el clásico y el no clásico) son equivalentes (sus resultados coinciden). Es decir, las derivadas no clásicas y, como veremos, también las diferenciales no clásicas (las específicas de las matemáticas no clásicas), aunque se definan de manera diferente que las correspondientes derivadas y diferenciales clásicas (las de las matemáticas clásicas y, 58

por ello, también de las no clásicas), resultan, en suma, ser las mismas que éstas y, en consecuencia, las propiedades de las derivadas y diferenciales no clásicas son las mismas que las de las correspondientes derivadas y diferenciales clásicas por lo que, para unas y otras derivadas (las no clásicas y las clásicas), utilizamos las mismas notaciones. Así, pues, en particular, resulta que las expresiones no clásicas de las derivadas en un punto, de las funciones elementales, son respectivamente las mismas que las correspondientes expresiones clásicas (que se estudian en bachillerato), aunque los razonamientos no clásicos para determinar tales expresiones no sean, en general, los mismos que los razonamientos clásicos. Es decir, las expresiones (simbólicas) no clásicas de las derivadas en un punto, de las funciones elementales, son las mismas que las expresiones clásicas que constituyen la llamada “tabla de derivadas de las funciones elementales”, las cuales son las expresiones de las derivadas siguientes: - Derivada en un punto, de la función suma, de la función producto y de la función cociente, de dos funciones derivables en el punto. - Derivada en un punto, de la función compuesta de dos funciones derivables, la primera en el punto en cuestión, y la otra en la imagen del mismo mediante la primera función. - Derivada en un punto de la fución inversa de una función derivable en el punto.

- Derivada en un punto de la función logarítmica. - Derivada en un punto de la función potencial. - Derivada en un punto de la función exponencial. - Derivadas en un punto de las funciones circulares. Dichas fórmulas (expresiones simbólicas) de las referidas derivadas no clásicas, no figuran aquí porque, al ser las mismas que las de las derivadas clásicas, se pueden encontrar fácilmente en, por ejemplo, libros de matemáticas de bachillerato. Pero, a título de ejemplo, veamos como se obtiene de manera no clásica la fórmula de la derivada en un punto, de la función suma de dos funciones derivables en el punto: Si son funciones estándar reales de variable real con un mismo conjunto original, el cual (por ejemplo) es un intervalo real , es un punto estándar de en el que existen las derivadas no clásicas (y por tanto, también las clásicas) ´ , ´ , entonces la derivada no clásica en el punto de la función suma de tales funciones (que, recordemos, en ∎ se define como la función real de variable real de conjunto original , tal que si entonces ), resulta de la manera siguiente: ´

Así, pues, en efecto, resulta que ´ ´ ´ , lo mismo que con la definición clásica de derivada.21 ∎(7.3) Definición no clásica de función derivada de una función estándar real de variable real. Si f es una función estándar real de variable real definida en un intervalo I , entonces llamamos “función derivada de f ” a una función estándar de I en R , que notamos ´, tal que si c es un punto estándar de I , entonces la imagen de c mediante ´, es el número real estándar f ' (c) , derivada de f en (el punto estándar) c . 22 21

En el Apéndice, también a título de ejemplo, se obtiene mediente un razonamiento no clásico, la fórmula de la derivada de una función compuesta, fórmula generalmente llamada “regla de la cadena”. 22 Recordemos que “punto” significa “elemento” y, en consecuencia, puesto que es un conjunto de números reales, decir “ es un punto de ” significa lo mismo que decir “ es

Se demuestra que si existe una función derivada ∎ no clásica (la definida de forma no clásica) de una función estándar real de variable real, entonces, dicha función derivada es única.23 ∎(7.5) Definición no clásica de función diferencial de una función estándar real de variable real, en un punto. Si f es una función estándar real de variable real, definida en (por ejemplo) un intervalo real entonces, - Si es un punto estándar de en el que existe ´ derivada de en entonces notamos y llamamos “diferencial de f en ” , a la función real de variable real definida en , tal que si u es un número real (cualquiera), entonces ´ Por ser estándar la función y el punto , resulta que ´ es (un número real) un elemento de ”, que decir “ es un número real, elemento de ”, que decir “ es un número real que pertenece a ”, que decir “ pertenece a ” y que expresar “ . . 23 La demostración figura en el apéndice. También ocurre que si existe una función derivada clásica (la definida de forma clásica) de una función real de variable real, entonces es única. Y, puesto que la derivada clásica de una función en un punto, es un límite clásico, la correspondiente derivada no clásica, es un límite no clásico, y un límite clásico es igual a su correspondiente no clásico (lo cual, como se dice en el pie de página 18, se demuestra en el Apéndice) resulta que si es una función estándar real de variable real definida en un intervalo , entonces existe la función derivada no clásica de si y solo si existe la función derivada clásica de , y si existen, ambas funciones derivadas coinciden.

estándar y, en consecuencia, también es estándar ( y si fuesen notaciones determinadas entonces sería una notación determinada). - Si existe ´ función derivada de la función , y es un punto (cualquiera, estándar o no estándar) de , entonces notamos y llamamos “diferencial de la función en ” a la función estándar definida en tal que si es un número real (cualquiera) entonces ´ . Y si, como es usual, notamos dx al número real que antes notamos u , entonces el resultado de aplicar (función diferencial de en un punto ) , al número real dx , se expresa ´ ∎(7.6) Definición no clásica de función diferencial de una función estándar real de variable real. Si f es una función estándar real de variable real definida en un intervalo I y existe ´, función derivada de f en I , entonces notamos df y llamamos “función diferencial de f en I ”, a la función estándar definida en ( df es, pues, una función real de dos variables reales) tal que si entonces ´ ∎(7.7) Se demuestra que si es una función estándar real de variable real, definida en un intervalo , tal que existe la función derivada de

, entonces existe una única (función diferencial) , de la función . Demostración fácil (demostración que figura en complementos del Capítulo 7, en el Apéndice) considerando que existe una única función derivada de ∎(7.8) Algunas puntualizaciones sobre significados de notaciones usuales (de las matemáticas clásicas y, por tanto, también de las no clásicas). Si representa una función estándar real de variable real definida en un intervalo tal que existe la función derivada de representada por ´, representa un punto (número real) de y representa un número real (cualquiera), entonces y representan funciones reales de variable real (respectivamente representan la función diferencial de en el punto , que es una función de en , y la función diferencial de que es una función de en . Pero, puestos a puntualizar, ´ , y no representan funciones reales de variable real, pues lo que representan son números reales (el primero es el número real imagen del número real mediante la función el segundo es el número real imagen del número real mediante la función ´, el tercero es el número real imagen del número real mediante la función y el cuarto es el número real imagen del par ordenado de números reales , mediante la función

Sin embargo, con el fin de simplificar la escritura, es corriente escribir en lugar de . Es decir, es corriente darle a la expresión el significado de la expresión , aunque (puestos a puntualizar) ello no sea correcto. Por ejemplo, si es la función real de variable real, de conjunto original y tal que si entonces , entonces, puesto que ´ , lo correcto es expresar que , sin embargo, con el fin de simplificar, en lugar de ello, es corriente expresar que , aunque (puestos a puntualizar) ello no sea correcto. CAPITULO 8: DEFINICION NO CLASICA DE INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA FUNCION ESTANDAR REAL DE VARIABLE REAL, EN UN INTERVALO ESTANDAR CERRADO Y ACOTADO Una integral de Riemann se define, de manera no clásica, como la parte estándar de una suma finita de un número ilimitado de números reales infinitésimos. Ello suele resultar más sencillo que si, como ocurre en la versión estándar, se define como un límite (el del filtro de las particiones de un intervalo cerrado y acotado, como, por ejemplo, figura en el ∎ ), puesto que sobre una suma finita se pueden aplicar con toda libertad las propiedades asociativa y conmutativa de la suma, cosa a menudo delicada cuando se consideran límites. Ello es así porque, para un número ilimitado de sumandos, los razonamientos son los mismos que si, por ejemplo, solo fuesen cuatro

sumandos, ya que, tanto en uno como en otro caso, la suma es de un número finito de sumandos, dado que todos los números naturales, sean limitados o ilimitados, por definición, son finitos24. ∎

Definición.

Si son números reales y , entonces decimos que es una partición del (intervalo real cerrado y acotado) si y solo si 24

Ello es así porque, por definición (clásica y, por consiguiente, también no clásica), un conjunto (cualquiera) es finito si y solo si existe un número natural n con el que dicho conjunto es coordinable (es decir, biyectivo). Luego, recordando que (en las matemáticas clásicas y, por consiguiente, también en las no clásicas) cada número natural distinto de cero se define como el conjunto de los números naturales anteriores (menores) que él y el cero como el conjunto vacío (Es decir, 0=  , 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2},…, n  {0,1,2,3,..., n  1} ,…), resulta que cada número natural ha de ser finito puesto que, evidentemente, cada número natural n (sea el que sea, limitado o ilimitado) es un conjunto coordinable con el propio n (consigo mismo) Y consideremos que, por definición, un número natural n es estándar si y solo si es posible expresarle (escribirle) mediante una notación del sistema de numeración decimal, entendiendo que esto significa que a dicho número es posible expresarle mediante los signos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 escritos en fila, figurando alguna vez alguno de ellos y figurando cada uno de ellos una vez o más de una vez o cero veces (Por ejemplo, para expresar el número natural 833, el signo 8 figura una vez, el signo 3 figura dos veces y los demás signos figuran cero veces), para lo que, cada uno de ellos (cada uno de los signos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), ha de figurar un número natural limitado (estándar) de veces (puesto que ningún signo puede ser escrito un número natural ilimitado de veces).

, siendo un número natural mayor que 1 y , ,…, , , números naturales tales que < < . Y decimos que (la partición) es infinitesimal si y solo si para todo número natural tal que , , se verifica que es un infinitésimo (y, en consecuencia, si son estándar entonces es ilimitado). ∎(8.2) Definición. Si son números reales estándar, es una función estándar, real de variable real definida y , es acotada en el una partición de en y para cada número natural tal que , = inf ]}) y sup , entonces llamamos “suma inferior de respecto de y notamos , al número real , y llamamos “suma superior de respecto de ” y notamos , al número real .

∎(8.3) Definición no clásica de integral de Riemann (o definición de integral de Riemann no clásica) de una función estándar real de variable real y acotada, en un intervalo estándar cerrado y acotado. Si

son números reales estándar tales que , f es una función estándar real de variable real definida y acotada en el [a, b] , entonces decimos que es integrable Riemann en si y solo si existe un número real, que notamos y llamamos “integral de Riemann de f en [a, b] ”, tal que si es una partición infinitesimal (cualquiera) de entonces ∎ Se demuestra que si son números reales estándar, es una función estándar real de variable real definida y acotada en el existe la integral de Riemann (no clásica) de en y es una partición infinitesimal cualquiera de , entonces Y, en general, si u1 , u 2 ,..., u n1 , u n son n puntos tales que xo  u1  x1  u 2  x2 ··· xn1  u n  xn , entonces

Demostración trivial. 68

son números reales ∎(8.5) Se demuestra que si estándar, f es una función estándar real de variable real, definida y acotada en el , tal que existe la integral de Riemann de en y u es un elemento estándar del [a, b] , entonces existe , integral de Riemann de f en el intervalo estándar (cerrado y acotado) [a, u ] . Demostración trivial. son números ∎(8.6) Se demuestra que si reales estándar tales que , es una función estándar real de variable real, tal que existe definida y acotada en el y tales que

son puntos estándar de entonces existe

, y si

un número real estándar entonces existe y Demostración trivial. ∎(8.7) Definición no clásica de función integral de una función estándar real de variable real y acotada, en un intervalo cerrado y acotado. Si

son números reales estándar tales que

, es una función estándar real de variable real, definida y acotada en el [ ] , tal que existe la integral de Riemann (no clásica) de en [ ] (y, por consiguiente, si es un punto estándar de entonces existe la ), entonces decimos que es la función integral de (la función) en [ ] si y solo si es una función estándar real de variable real, de conjunto original [ ] y tal que si es un elemento estándar (cualquiera) de , . Y para todo entonces elemento (estándar o no estándar) u de [a, b] llamamos “integral definida (no clásica) de f en [a, u ] ”, al número real F (u ) . ∎(8.8) Se demuestra que si existe la función integral de Riemann no clásica (o integral de Riemann en versión no cásica) de una función estándar real de variable real en un intervalo estándar, cerrado y acotado en el que la función está definida y es acotada , entonces dicha función integral es única25 son números reales ∎(8.9) Se demuestra que si estándar tales que y es una función estándar real de variable real, continua (en versión no clásica) en el , entonces existe la integral de Riemann de , en versión no clásica en . 26

La demostración es análoga a la de ∎ , la cual figura en “Complementos del Capítulo 7” en el Apéndice. 26 La demostración figura en el Apéndice.

∎(8.10) Se demuestra que si f es una función estándar real de variable real, continua (en versión no clásica) en un intervalo estándar , existe la función integral (no clásica) de f en [a, b] y es dicha función integral, entonces, - Si xo , x son puntos de [a, b] tales que xo  x entonces existe un punto c de [ xo , x] tal que F ( x)  F ( xo )  f (c)·(x  xo ) . -

es la función derivada en [ (Es decir, ´

, de la función

- Si  es una función estándar (cualquiera) de [a, b] en R cuya función derivada (no clásica) en [a, b] existe y es la función f entonces expresión llamada “fórmula de Barrow”. Demostración como en la versión clásica. ∎(8.11) Se demuestra que si son números reales estándar tales que y es una función estándar real de variable real, definida y acotada en el intervalo estándar entonces existe la integral de Riemann de en , según la definición no clásica, si y solo si existe la integral de Riemann de en , según la definición clásica (que es la siguiente: Se dice que la función es integrable Riemann en si y solo si existe un número real, 71

que notamos y llamamos “integral de Riemann de en , tal que para todo número real existe una partición de tal que si es una partición (cualquiera) de tal que , entonces ). Y si dichas integrales existen, entonces son iguales.27 APENDICE COMPLEMENTOS DEL CAPITULO 3 Hemos visto en el pie de página 14, que la colección de los números naturales estándar no es un conjunto, puesto que si lo fuese, el Principio de recurrencia (de las matemáticas clásicas y, por tanto, también de las no clásicas) y el Principio I (de las matemáticas no clásicas pero no de las clásicas) no serían compatibles. En consecuencia, -Tampoco es un conjunto la colección de los números naturales no estándar, puesto que si lo fuese, entonces también lo sería la de los naturales estándar, ya que la diferencia entre dos conjuntos es un conjunto y la diferencia entre el conjunto de los naturales y el conjunto de los naturales no estándar sería el conjunto de los naturales estándar.

La demostración es análoga a la del Teorema 6 de “Complementos del Capítulo 6” en el Apéndice.

- Tampoco es un conjunto la colección de los números reales estándar, puesto que si lo fuese, entonces también lo sería la de los naturales estándar, ya que la intersección de dos conjuntos es un conjunto y la intersección del conjunto de los números naturales con el de los reales estándar sería el conjunto de los naturales estándar. - Tampoco es un conjunto la colección de los números reales noestándar, puesto que si lo fuese, entonces también lo sería la de los reales estándar, ya que la diferencia entre el conjunto de los reales con el de los reales no estándar sería el de los reales estándar. -Tampoco es un conjunto la colección de los números reales limitados, puesto que si lo fuese, entonces también lo sería la de los naturales estándar, ya que la intersección del conjunto de los naturales con el de los reales limitados sería el conjunto de los naturales estándar. -Tampoco es un conjunto la colección de los números reales ilimitados, puesto que si lo fuese, entonces también lo sería la de los reales limitados, ya que la diferencia entre el conjunto de los reales y el conjunto de los reales ilimitados sería el conjunto de los reales limitados. -Tampoco es un conjunto la colección de los números reales infinitésimos, puesto que si lo fuese, entonces también lo sería la de los reales infinitésimos distintos de cero y, en consecuencia, la de los reales ilimitados, ya que la colección de los inversos (o simétricos

respecto del producto) de un conjunto de números reales, es un cojunto y la colección de los reales ilimitados sería el conjunto de los inversos de los reales infinitésimos distintos de cero. Así, pues, si es una variable y conviniesemos en representar la colección de los números reales infinitésimos mediante la expresión {x | ( x  R) ( o x  0)} (que se lee, “colección tal que es elemento de la misma si y solo si es un elemento del conjunto de los números reales tal que la parte estándar de es igual a cero”), entonces esta expresión no representaría un conjunto, y ello porque la fórmula o x  0 no es una fórmula clásica (Según lo referido en el Capítulo 3, o x  0 es una fórmula no clásica y lo mismo ( x  R) ( o x  0) , puesto que en ambas fórmulas figura el signo o , que se llama “parte estándar de…”, como superíndice izquierdo de una variable ).28 -Tampoco es un conjunto la colección de los números reales medianos, puesto que si lo fuese, entonces también lo sería la de los naturales estándar distintos de 28

Un enunciado que es un axioma de la Teoría de conjuntos de Zermelo (El axioma de comprensión) y es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (Teorías de conjuntos que lo son de las matemáticas clásicas y, en consecuencia, también de las no clásicas), afirma que si es un conjunto y α es una fórmula entonces la colección )∧ es un conjunto (Es el conjunto tal que es un elemento del mismo si y solo si pertenece a y cumple la fórmula ). Pero, puntualizando (se diga o no se diga ello explícitamente) dicho enunciado solo se refiere a fórmulas clásicas (No a las no clásicas, pues).

cero (y, en consecuencia, el de los naturales estándar), ya que la intersección entre el conjunto de los naturales y el de los reales medianos sería el conjunto de los naturales estándar distintos de cero. Así, por ejemplo, -Es correcto expresar: Si n, m son números naturales, n es estándar y m es no estándar, entonces n  m . -No es correcto expresar: Si n, m son números naturales, n pertenece al conjunto de los naturlales estándar y m al conjunto de los naturales no estándar, entonces n  m . - Es correcto expresar: Si es un número natural, entonces es estándar si y solo si es limitado (Luego, es no estándar si y solo si es ilimitado). -No es correcto expresar: El conjunto de los números naturales estándar es igual al conjunto de los números naturales limitados (Luego, el conjunto de los números naturales no estándar es igual al conjunto de los números naturales ilimitados). -Es correcto expresar: Si negativos, es estándar y .

son números reales no es ilimitado, entonces

-No es correcto expresar: Si son números reales no negativos, pertenece al conjunto de los reales

estándar y entonces

al conjunto de los reales ilimitados, .

-Es correcto expresar: Si son números reales, es estándar y es no estándar, entonces es noestándar. -No es correcto expresar: El conjunto de los números reales que son suma de un número real estándar y un número real no estándar, está contenido en el conjunto de los números reales no estándar. -Es correcto expresar: Si r, s son números reales no negativos, r es limitado y s es ilimitado, entonces r  s. -No es correcto expresar: Si r, s son números reales no negativos, r pertenece al conjunto de los reales limitados y s al conjunto de los reales ilimitados, entonces r  s . -Es correcto expresar: Un número real es limitado si y solo si es infinitésimo o es mediano. -No es correcto expresar,: El conjunto de los números reales limitados es la unión del conjunto de los reales infinitésimos y el conjunto de los reales medianos. -Es correcto expresar: Si es un número real estándar y distinto de cero, entonces es mediano.

-No es correcto expresar, El conjunto de los números reales estándar y distintos de cero está contenido en el conjunto de los números reales medianos. -Es correcto expresar, Si r, s son números reales no negativos, r es infinitésimo y s es mediano, entonces r  s . -No es correcto expresar, Si r, s son números reales no negativos, r pertenece al conjunto de los infinitésimos y s pertenece al conjunto de los medianos, entonces r  s. COMPLEMENTOS DEL CAPITULO 5 Como complementos del Capítulo 5, veamos las demostraciones de los dos teoremas siguientes: -Si r, s son números reales, r es mediano y positivo y s es limitado, entonces r s es mediano y o

(r s ) ( o r ) s . o

-Si b, r son números reales, b es estándar y (por ejemplo) mayor que 1, y r es mediano y positivo, entonces log b r es limitado y o (log b r )  log b o r . Y para utilizar en las demostraciones de los referidos teoremas, comencemos con los enunciados y las demostraciones de los cinco siguientes lemas:

∎Lema 1. Si n es un número natural distinto de cero, x es un número real y entonces . Y si 0  x  1 entonces 1  n.x  (1  x) n  1  n n1 .x .

Demostración. La fórmula del binomio de Newton (la cual se estudia en bachillerato) es, n n.(n  1) 2 n.(n  1)...1 n (1  x) n  1  .x  .x ··· .x . 1 2.1 n.(n  1)...1 Luego, si entonces n y si entonces 1  n.x  (1  x) . Luego, si

Luego, . entonces como queríamos

demostrar. ∎Lema 2. Si son números reales medianos y número real infinitésimo, entonces número real infinitésimo. Demostración fácil (Considerando que

es un es un

infinitésimo y

siendo mediano por serlo ).

∎ Lema 3. Si es un número real infinitésimo, entonces existe un número natural ilimitado (no estándar) tal que . Demostración. Por ser un número real y ε , existe un número natural tal que y, por ser infinitésimo, es ilimitado. Luego, es ilimitado y, por tanto, también es ilimitado. Luego, el número natural ilimitado es tal que de donde, Y si fuese entonces, evidentemente, ε ). ∎ Lema 4. Si es un número real infinitésimo y real limitado, entonces real infinitésimo.

es un número es un número

Demostración. Entonces existe un número natural limitado (estándar) tal que . Si entonces, además, y entonces 1 y, por el Lema 1,

siendo un número real infinitesimo (pues es estándar y, en consecuencia, es estándar, y es infinitésimo). Luego, si ε y , entonces y, en consecuencia, es un infinitésimo. Y a partir de este resultado fácilmente se puede razonar el caso más general que queriamos demostrar (Es decir, siendo ε un número real infinitésimo cualquiera y un número real limitado cualquiera). ∎ Lema 5. es un número real mediano positivo y ε es un número real infinitésimo, entonces es un número real infinitésimo. Demostración. Entonces, por el lema 3, existe un número natural ilimitado tal que Si entonces además y y entonces y, por ser , es . Por ser es 1< , de donde, y, por el Lema 1, . Luego (y , de donde . Luego, s es un infinitésimo (pues es limitado y es ilimitado). Resulta, pues (recordando que que, si y entonces 80

siendo un infinitésimo, de donde es un infinitésimo. Y a partir de este resultado fácilmente se puede razonar el caso más general enunciado (Es decir, siendo un número real mediano positivo cualquiera y un número real infinitésimo cualquiera). ∎Teorema 1. Si

r, s son números reales, r es mediano positivo

y s es limitado, entonces

(r s ) ( o r ) s . o

Demostración.

(r s ) o (r s )  r s  r s ( o r ) s ( o r ) s ( o r ) s ( o r ) o (r s )  r s es un infinitésimo. o

 r s  o s r ( r )    o   1 ( r )   ( o r ) s   ’ en  r     donde, por el Lema 2 y el Lema 4,  es un infinitésimo y como es limitado,  ’ es un infinitésimo. s

´ en donde, por el Lema 5, es un infinitésimo, y como ( es estándar (y por tanto, limitado), ´ o s es un infinitésimo. Luego, la diferencia entre (r ) y

( o r) s es un infinitésimo y, por ser estándar ambos números reales, dicho infinitésimo ha de ser igual a o cero, de donde o (r s ) ( o r ) s , como queríamos demostrar. ∎Teorema 2. Si b es un número real estándar y (por ejemplo) mayor que 1, y r es un número real mediano y positivo, entonces o (log b r )  log b o r . Demostración. Si s  log b r , entonces b s  r , de donde o

(b s ) o r y, por el Teorema 1,

(b s ) ( o b)

b

(pues o b  b por ser b

estándar). Luego, o r  b o s  log b o r , de donde queríamos demostrar.

y, en consecuencia, , como

COMPLEMENTOS DEL CAPITULO 6 ∎Teorema 1. Si son funciones estándar reales de variable real definidas en un intervalo tales que si entonces f ( x)  0 , es un punto estándar de , tal que existe lím c f  0 y existe

entonces existe (Siendo la función estándar real de variable real definida en tal que si , entonces ). Demostración. Si y es un infinitésimo, entonces (considerando límites no clásicos que, tal como se dice en el Capítulo 6, se definen como partes estándar) y recordando el Teorema 1 de “Complementos del Capítulo 5”, resulta que

∎Corolario 1. Si es un número real positivo estándar y la función real de variable real tal que y si es un número real entonces entonces es estándar y continua.

Demostración. Entonces es estándar porque, por ser estándar, tiene asignada una notación determinada, pues si dicho número real positivo estuviese expresado con una notación determinada, entonces sería una notación determinada de la función . Y, considerando el Teorema 1 anterior (de “Complementos del Cap tulo ” es trivial que 83

es continua (pues si son las funciones reales de variable real tales que para cada número real , es ( es pues una “función constante” y , entonces dichas funciones son de conjunto original y , por lo que para cada número real estándar si es un número real tal que es un infinitésimo entonces

Corolario 2. Si es un número real estándar y es la función real de variable real tal que Y si es un número real positivo entonces entonces es estándar y continua. Demostración análoga a la del corolario anterior. ∎ Teorema 2. Si es una función estándar real de variable real definida en un intervalo tal que si entonces es un punto estándar de es un número real tal que existe lím c f  0 , estándar y (por ejemplo) mayor que 1 y log b f es la función estándar real de variable real definida en , tal que si entonces

(

, entonces existe

. Demostración. Si y es un infinitésimo, entonces, por el Teorema 2 de “Complementos del Capítulo 5” y condiderando límites no clásicos (como partes estándar), resulta que . ∎ Corolario. Si es un número real positivo estándar y es la función real de variable real tal que ∧ y si entonces , entonces es estándar y continua. Demostración trivial (Procediendo análogamente a como se hizo para demostrar el Corolario anterior, considerando, ahora, el Teorema 2)

Si son estándar las funciones entonces también lo son las funciones , , pues si las primeras estuviesen expresadas mediante notaciones propias entonces también lo estarían las segundas.

∎Teorema 3 (de Bolzano). Si f es una función estándar, real de variable real, definida y continua en un intervalo estándar , y f (a)  0  f (b) (si fuese f (a)  0  f (b) todo sería análogo), entonces existe un punto estándar c de tal que f (c)  0 (siendo el intervalo real abierto y acotado de extremos Demostración. Si n es un número natural ilimitado (noestándar), P  {xo , x1 , x2 ,..., xn1 , xn } es una partición infinitesimal de [a, b] (Es decir, tal que todas las diferencias x1  xo , x2  x1 ,..., xn  xn1 son números reales infinitésimos) y j es el mayor número natural tal que 1  j  n , f ( x j 1 )  0 y f ( x j )  0 (Tal número existe, pues f ( xo )  0 y f ( xn )  0 ya que , entonces xo  a , x n  b y

( f ( x j 1 ))  0 y o ( f ( x j ))  0 . Y por ser f continua en [a, b] se cumple que o ( f ( x j 1 ))  f ( o x j 1 ) y o ( f ( x j ))  f ( o x j ) . Luego, (puesto que x j  x j 1 es un infinitésimo y, en o

consecuencia,

x j 1  o x j ) si

entonces

, de donde resulta que c es un punto estándar de [a, b] tal que (por ser f (c)  0 y

f (c)  0 )

f (c)  0 y (por ser , como queríamos demostrar.

∎Teorema 4 ( de los valores intermedios). Si f es una función estándar real de variable real, definida y continua en un intervalo estándar , f (a)  f (b) (si fuese f (a)  f (b) todo sería análogo) y r es un punto estándar tal que f (a)  r  f (b) , entonces existe un punto estándar c de ]a, b[ tal que f (c)  r . 30 Demostración. Si g es la función real de variable real definida en tal que si x  [a, b] , entonces entonces la función g es g ( x)  f ( x )  r estándar y continua y (puesto que f (a)  r  f (b) ) 30

De dicho teorema no clásico y el Principio T, resulta que si r es un punto cualquiera (estándar o no estándar) tal que f (a)  r  f (b) , entonces existe un punto c de ]a, b[ tal que f (c)  r . En efecto: Si, entonces, es un número real no estándar y no existiera punto alguno del intervalo abierto del cual fuese imagen mediante , entonces si fuese un conjunto tal que es elemento de si y solo si es un número real tal que y no existe elemento alguno de del cual es imagen mediante , entonces sería estándar y no vacío (pues sería elemento suyo), de donde, por el Principio T, habría de existir un elemento estándar de , lo cual sería contradicción con el referido Teorema de los valores intermedios.

g (a)  0  g (b) . Luego, en virtud del teorema anterior, existe un punto estándar c de tal que g (c)  0 . Luego, existe un punto estándar c de tal que f (c)  r , como queríamos demostrar.

∎Teorema 5 (de los extremos absolutos de Weierstrass). Si f es una función estándar real de variable real, definida y continua en un intervalo estándar , entonces existe el (número real) Sup( f ([a, b])) y el (número real) Inf ( f ([a, b])) , ambos estándar y accesibles (Es decir, existen puntos de [a, b] cuyas respectivas imágenes, ambas estándar, son extremo superior del conjunto e , extremo inferior del conjunto Demostración. Si x  [a, b] , entonces es trivial que o x  [a, b] (Según ∎ ). Y por ser f continua y x o x un infinitésimo, f ( x)  f ( o x) es un infinitésimo. Luego (puesto que f ( o x) es estándar, por serlo y ), f (x) es limitado. En consecuencia, si u es un número real ilimitado y positivo cualquiera, entonces u ,  u son, respectivamente, una cota superior y una cota inferior del conjunto f ([a, b]) . Luego, por ser un conjunto de números reales, existe su

extremo superior y su extremo inferior . Y por ser estándar dicho conjunto (pues es la imagen del conjunto estándar [a, b] mediante la función estándar f ), ambos extremos son números reales estándar. Luego, existen puntos s, r de f ([a, b]) tales que son limitados y s  Sup( f ([a, b])) y r  Inf ( f ([a, b]) ) son infinitésimos, de donde o s  Sup( f ([a, b])) y o r  Inf ( f ([a, b])) . Y existen puntos x, u de [a, b] tales que f ( x)  s y f (u)  r , de donde o x, o u son puntos de [a, b] ( eg n ∎ Capítulo 5) y, por ser f continua, f ( o x) o ( f ( x)) o s  Sup( f ([a, b])) y f ( o u) o ( f (u)) o r  Inf ( f ([a, b])) . Es decir, existen los extremos de la imagen de [a, b] mediante f , ambos estándar y accesibles, como queríamos demostrar. ∎ Corolario. La imagen de un intervalo estándar, real, cerrado y acotado, mediante una función estándar real de variable real, continua en dicho intervalo, es un intervalo (real) estándar, cerrado y acotado. Demostración trivial.

∎ Torema 6. . La definición no clásica (referida) de punto de acumulación, es equivalente a la definición clásica. Demostración. Si es un subconjunto estándar de y es un número real estándar que es punto de acumulación de , según la definición no clásica, entonces existe un elemento de tal que es un número real infinitésimo. Luego, si ∧

∧

Entonces es un conjunto estándar (pues es igual a un conjunto con notación determinada) de números reales, sin elemento estándar alguno, de donde, por el Principio T, Luego, es un punto de acumulación de , según la definición clásica. Y razonar que si un número real estándar es punto de acumulación de un conjunto estándar de números reales, según la definición clásica, entonces es punto de acumulación de , según la definición no clásica, es trivial. ∎Teorema 7. La definición no clásica de límite de una función estándar real de variable real convergente en un punto

estándar, es equivalente a (da el mismo resultado que) la correspondiente definición clásica31. Demostración. En primer lugar “prolonguemos” la definición de “Fórmulas” de ∎(1.3), de la siguiente manera: Además de las expresiones (gráficas) que, en ∎(1.3), se dice que son fórmulas, son fórmulas las expresiones siguientes: Si es una variable y es una fórmula (en la que pudiera no figurar ) entonces las expresiones son fórmulas que, respectivamente, decimos “Para todo (objeto matemático) (se cumple) α” y “Existe algún (objeto matemático) tal que (se cumple) α” y las referidas fórmulas son tales que, es verdad si y solo si, si es (una notación de) un objeto matemático (cualquiera) y en todos los lugares en los que figure en α, se quita (se borra) dicha y se escribe , entonces la fórmula que resulta es verdad. es verdad si y solo si existe (hay) un objeto matemático tal que si el mismo es (representado por) y en todos los lugares en los que en α figure , se quita dicha y se escribe , entonces la fórmula que resulta es verdad. 31

Son análogas a esta demostración, las demostraciones de que las demás definiciones no clásicas de límites, referidas en el Capítulo 6, son equivalentes a sus respectivas definiciones clásicas.

Si son variables entonces decimos que figuran libres en las fórmulas ⊄ .

Si es una variable y α es una fórmula entonces decimos que figura libre en ) si y solo si (decimos que) figura libre en α Si es una variable y α β son fórmulas entonces decimos que figura libre en (α) ∧ ), en ( ), en ( y en ( si y solo si figura libre en α o figura libre en β Decimos que una variable figura ligada en una fórmula si y solo si dicha variable figura no libre (es decir, figura pero no figura libre) en dicha fórmula.32 Si es una variable y α es una fórmula entonces decimos que figura ligada en y que figura ligada en En segundo lugar, generalizando lo referido en ∎(1.2), decimos que también son notaciones determinadas las notaciones de conjuntos llamadas “notaciones por 32

Una variable puede figurar libre y ligada en una misma fórmula. Por ejemplo, si una variable figura libre en una fórmula y figura ligada en una fórmula entonces dicha variable figura libre y figura ligada en la fórmula ( ∧ .

comprensión”, tales que en la fórmula que figura entre los signos | } no figura libre variable alguna que no figure entre los signos { | Luego (recordando lo referido en ∎(2.2) sobre conjuntos estándar expresados mediante una notación por comprensión indeterminada), resulta que un conjunto es estándar si está expresado mediante una notación por comprensión (determinada o indeterminada) tal que cualquier variable que figure entre los signos | } sin que figure entre los signos { | ha de figurar ligada (no libre) o ha de ser (ha de estar bajo la condiciónde ser) notación de un objeto matemático estándar. En tercer lugar supongamos que es una función estándar real de variable real, que es un punto estándar de acumulación de y que existe un número real estándar tal que, según la definición no clásica, . Y demostremos que entonces, según la definición clásica, también es convergente en y Si, entonces, δ es un (número real) infinitésimo positivo, y | entonces es un infinitésimo y, en consecuencia, si ε´ es un número real estándar positivo (cualquiera) entonces | ´ Luego, si ∧

∧ ∧

∧

(Es decir, si es el conjunto tal que ε es un elemento de si y solo si ε es un n mero real mayor que cero y existe algún número real δ mayor que cero tal que para todo elemento del conjunto original de tal que , se cumple que ) entonces al conjunto pertenecen todos los números reales estándar positivos y (recordando lo referido sobre conjuntos que son estándar aunque estén expresados mediante una notación por comprensión indeterminada) dicho conjunto es estándar (pues está expresado mediante una notación por comprensión tal que las únicas variables que figuran entre los signos | } sin que figuren entre los signos { | son δ , de las cuales δ , figuran ligadas (no figuran libres), las variables c, son notaciones de objetos matemáticos estándar, puesto que lo son de números reales estándar y lo es de una función estándar). Luego, el conjunto (Siendo el conjunto de los números reales positivos, el cual es estándar) es estándar. En consecuencia, (puesto que todos los elementos de son números reales positivos), por el Principio T , (Es decir, ), de donde Luego, es el conjunto de todos los números reales positivos y, en consecuencia (según la fórmula que define al conjunto se cumple que Para todo número real ε existe un número real tal que para todo elemento de tal que resulta que (Es decir, se cumple la definición clásica de que es el límite de la función en el punto ). 94

Así, pues, si existe el según la definición no clásica, entonces existe según la definición clásica, como queríamos demostrar. En cuarto y último lugar supongamos, recíprocamente, que la referida función es convergente en y , según la definición clásica, y demostremos que (siendo y estándar y, por consiguiente, también dicha función es convergente en y , según la definición no clásica: Entonces, para todo número real existe un número real tal que si y entonces . Luego, si (en particular) un número real ´ es estándar y si ∧ ∧ ∧ ∧ ´ (Es decir, si es el conjunto tal que δ es un elemento de si y solo si es un número real mayor que cero tal que para todo elemento del conjunto original de la función se cumple que si el valor absoluto de la diferencia entre y el punto estándar es menor o igual que entonces el valor absoluto de la diferencia entre y el número real estándar es menor o igual que el número real estándar ε´) entonces el conjunto de números reales es un conjunto estándar (por estar expresado mediante una notación por comprensión tal que las únicas variables que figuran entre los signos | } sin que figuren entre los signos { | son ´ de manera que figura ligada (no figura libre), es notación de una función estándar y ´ son 95

notaciones de números reales estándar) y . Luego, por el Principio T, existe algún (número real positivo) δ´ tal que ´ y δ´ es estándar. Es decir, para cada número real estándar ε´ existe un número real estándar ´ tal que si y ´ entonces ´: Luego, si y es un infinitésimo entonces ´ y, por consiguiente, para todo número real estándar ´ , es ´. Luego, es menor o igual que cualquier número real estándar ´ y por tanto el número real ha de ser un infinitésimo. Es decir, ha resultado que si y es un infinitésimo entonces (el número real) ha de ser un infinitésimo, lo que significa que según la definición no clásica. Así, pues, si existe según la definición clásica, entonces existe según la definición no clásica, como queríamos demostrar. COMPLEMENTOS DEL CAPITULO 7 Como complementos del Capítulo 7 figuran dos teoremas enunciados en dicho capítulo (el Teorema 1 y el Teorema 2 siguientes) y unas observaciones sobre conceptos también considerados en el referido capítulo.

∎Teorema 1. Si existe una función derivada (no clásica) de una función estándar real de variable real, entonces dicha función derivada es única. Demostración. Si es una función estándar real de variable real, definida en (por ejemplo) un Intrevalo (estándar) , ´ es una función derivada de , y ´ también es una función derivada de , entonces, Si ∧ ´ ´ , entonces es un conjunto estándar (pues, por ser estándar, es estándar y por definición de función derivada, ´ es estándar y ´ es estándar). Si es un punto estándar de , entonces ´ = ´ (Entendiendo que si es un infinitésimos distinto de cero y es un punto de , entonces el límite anterior, según definición no clásica, es igual a )). Luego, si es un punto estándar de , entonces no se cumple que ´ ´ ) por lo que resulta que no pertenece a Así, pues, es estándar y sin puntos estándar y, por el Principio T, dicho conjunto es vacío. Luego, si es un punto (estándar o no estándar) de , entonces ´ ´ y por consiguiente ´ ´ , como queríamos demostrar.

∎Teorema 2. Si es una función estándar real de variable real, definida en un intervalo y existe su función derivada (no clásica), entonces existe una única función diferencial (no clásica) de . Demostración. Si ´ es la función derivada de , entonces (como vimos en el Capítulo 7), por definición, , función diferencial de , es una función definida en , tal que si es un punto cualquiera de entonces su imagen mediante es el número real ´ Luego, por existir y ser única ´, resulta que existe y es única . ∎ Teorema 3 (Regla de la cadena, mencionada en el pie de página 21). Si son intervalos reales estándar, son funciones estándar reales de variable real, , , es un punto estándar de existe ´ y existe ´ entonces existe ´ y ´ ´ ´ (fórmula llamada “regla de la cadena”

Demostración. Si, entonces, es un número real infinitésimo distinto de cero y entonces existe un número real infinitésimo tal que ´

Luego,

´ Análogamente, si , infinitésimo y número real infinitésimo

es un número real entonces existe un tal que,

- Si de donde

entonces

- Si

entonces (evidentemente) ´ .

Si entonces

´ ´

Por ser un número real estándar (ya que es estándar y son funciones estándar, por lo que es estándar y es estándar) resulta que

Y, por ser

un número real infinitésimo,

Luego, si es un número real infinitésimo y , entonces, ´

)= =

+ 0· = ´

En consecuencia, la derivada (no clásica, como límite no clásico) de la función compuesta en el punto es ´ ´ ´ como queríamos demostrar.

100

Y el resultado formal (la expresión que resulta) y el resultado numérico, son los mismos que en las matemáticas clásicas. ∎ Observación. Tal como hemos visto en el Capítulo 7, si, según la definición no clásica, es una función estándar real de variable real y es un punto estándar del conjunto original de en el que existe la derivada ´ , entonces la diferencial de en el punto es una función de en Así, pues, según la definición no clásica, y lo mismo ocurre según la definición clásica, dicha difencial es una función real de variable real y, por consiguiente, no es un número real infinitésimo, ni es número real alguno. Pero, tal como a continuación serán definidos, sí que son números reales los conceptos que, por ejemplo, llamaré “incremento diferencial real”, “incremento infinitesimal de la función en el punto , correspondiente a un incremento diferencial real” e “incremento diferencial de la función en el punto , correspondiente a un incremento diferencial real”, ninguno de los cuales tiene sentido (no se puede definir formalmente) en las matemáticas clásicas, aunque, por lo intuitivos que resultan, a menudo los mismos son utilizados informalmente, más que por los matemáticos, por otros profesionales que, como, por ejemplo, los físicos, los químicos, los ingenieros y los economistas, fundamentan sus respectivas ciencias y técnicas en las matemáticas.

101

Consideremos las siguientes definiciones (no clásicas) de dichos conceptos: - Llamamos “ incremento diferencial real ” a todo número real infinitésimo y distinto de cero. - Si es una función estándar real de variable real, tal que existe su derivada ´ en un punto estándar de su conjunto original, y es otro punto del conjunto original de tal que es un incremento diferencial real, entonces llamamos “ incremento infinitesimal de la función , correspondiente al incremento diferencial real en el punto , al número real infinitésimo . - Llamamos “ incremento diferencial de la referida función en dicho punto , correspondiente a (el incremento diferencial real) ” al número real infinitésimo

).(

Y existe un número real infinitésimo

. 33

tal que,

Tal incremento diferencial es la imagen del incremento diferencial , mediante la función que, en el Capítulo 7, notamos y llamamos “diferencial de (la función) en (el punto) ”

102

= ´

En consecuencia, y, por tanto, dicho incremento infinitesimal de en , no coincide, en general, con el correspondiente incremento diferencial de en (ambos corespondientes al incremento diferencial real ), pero (hablando informalmente) “ casi coinciden ”, pues la diferencia entre tal incremento infinitesimal de la función (el cual, gráficamente, es la longitud de un segmento vertical con un extremo el punto , y el otro el punto , éste en la curva que representa a la función) y su correspondiente incremento diferencial (el cual, gráficamente, es la longitud de un segmento vertical con un extremo el punto y el otro en la recta tangente en el punto , a la referida curva), es el número real .( , que es un infinitésimo “ ilimitadamente más pequeño ” que el infinitésimo , por ser el producto de los infinitésimos y . Así, pues, hemos considerado los conceptos siguientes: El de derivada de la función en el punto , el de incremento diferencial real , el de incremento infinitesimal de en , 103

correspondiente a diferencial de en

y el de incremento , correspondiente a

Una manera usual de expresar la referida derivada, es como un cociente cuyo numerador es dicho incremento diferencial de la función y cuyo denominador es dicho incremento diferencial real, de la manera siguiente: Si es un número real infinitésimo, al que llamamos “ incremento diferencial de x “ , tal que , es un número real tal que y, como es usual, suponemos que representa al número real, que llamamos “ incremento diferencial de , tal que es imagen del número real , mediante la función diferencial de la función , en el punto (Es decir, suponemos que entonces (puesto que, por definición, ´ ´ , y a dicho cociente (que es, pues, un número real igual a la derivada de en el punto ) le llamamos “ incremento diferencial de , partido por icremento diferencial de ”. Si de varios conceptos decimos que uno de ellos es antes que otro de los mismos cuando en la definición del uno no figura el otro y en la del otro sí figura el uno, entonces ,de los conceptos considerados y sus correpondientes notaciones, puede decirse que siendo una función estándar real de variable real, un punto estándar del conjunto original de en el que existe la derivada de , y otro punto del conjunto original de tal que es un infinitésimo,

104

- El primer concepto a considerar es el de incremento diferencial real . - El segundo concepto a considerar es el de incremento infinitesimal de correspondiente al incremento diferencial real . - El tercer concepto a considerar es el de pendiente de la recta que pasa por los puntos , )) y ( ambos de la curva definida por la función y ambos “ ilimitadamente próximos ” entre sí, por lo que dicha recta es “ casi paralela ” a la recta tangente en el punto , a la curva definida por la función aunque ambas rectas pasen por un mismo punto ). - El cuarto concepto a considerar es el de parte estándar del cociente anterior o, lo que es lo mismo, el de derivada ´ de la función en el punto (puesto que ´ ) ) o, lo que también es lo mismo, el de pendiente de la recta tangente en el punto , a la curva antes referida. - El quinto concepto a considerar es el de ´ ) , que llamamos “incremento diferencial de en el punto , correspondiente al incremento diferencial real ”. Así, pues, si, como antes, en lugar de escribimos , y, en lugar de , escribimos , entonces resulta que ´

105

Y puesto que en el orden de introducción de conceptos, anteriormente referido, ´ está antes que (pues se define a partir de y ´ )), resulta que, mediante la expresión ´ , no se define ´ a partir de , sino que, estando ya definida la derivada ´ , lo que se hace es definir a partir de ´ y , expresando que ´ , y, después, que dicha derivada (de en el punto ) es igual a . Luego, como, por definición, ´ , resulta que el intuitivo concepto , que llamamos “ incremento diferencial de en el punto , correspondiente al incremento diferencial real o, más simplemente, “ incremento diferencial ” ( tantas veces utilizado en las matemáticas clásicas, si bien informalmente), “ no se libra de depender ” del concepto de derivada, puesto que, tal concepto (el de derivada de en un punto ), está incluido en su definición (en la definición de ). Pero si que se libra (dicho concepto ), en las matemáticas no clásicas, de depender del concepto clásico de límite (el de las matemáticas clásicas).34

Que una definición de derivada de una función real de variable real, en un punto, no dependa del concepto clásico de límite, implícitamente, implica que, previamente, se haya definido el conjunto de los números reales, sin que de dicho concepto clásico de límite, tal definición dependa. Ello es posible, definiendo, por ejemplo, dicho conjunto (de los números reales) mediante Cortaduras de Dedekind en el conjunto de los números racionales.

106

Ello es así porque (tal como se dice en ∎ , aunque, en unas y otras matemáticas, el límite en cuestión se exprese con la misma referida notación y en unas y otras matemáticas, el resultado, en suma, sea el mismo, en las matemáticas no clásicas dicho límite no se define como en las matemáticas clásicas (puesto que, como también se dice en ∎ en las matemáticas no clásicas, dicho límite se define así: ). Y en las cásicas, así: El

un número real tal que para todo número real existe un número real tal que para todo punto tal que y

del conjunto original de

, se cumple que ). COMPLEMENTOS DEL CAPITULO 8 Considerando las definiciones y notaciones utilizadas en el Capítulo 8 resulta,

107

∎Teorema Si existe la función integral de Riemann (no clásica) de una función estándar, real de variable real y acotada, en un intervalo estándar cerrado y acotado, entonces dicha integral es única. Demostración análoga a la del Teorema 1 del anterior apartado “Complementos del Cap tulo ” (utilizando el Principio T). ∎Lema 1. Si es una partición de un intervalo cerrado y acotado y es una partición de tal que entonces . Demostración trivial. ∎Lema 2. Si f es una función estándar real de variable real tal que si P  {xo , x1 , x2 ,..., xn1 , xn } es una partición infinitesimal (cualquiera) del intervalo estándar (cerrado y acotado) [a, b] (Es decir, es tal que todas las diferencias 1 o , 2 1 n n-1 son números reales infinitésimos y, en consecuencia es ilimitado ), entonces

108

, entonces existe la integral de Riemann (no clásica) de f en [a, b] . Demostración. Si P  {xo , x1 , x2 ,..., xn1 , xn } y P'  {x'o , x'1 , x' 2 ,..., x' p 1 , x' p } son particiones cualesquiera de [a, b] , entonces P  P' es una partición de [a, b] y, puesto que P P∪P´ y P´ P⋃P´, por el Lema 1, resulta que ∪ ´ ∪ ´

´ ∪ ´

∪ ´

Luego, si ´

´ ´

´ ), entonces ∪ ´ y ∪ ´ de donde ´

∪ ´ ∪

Luego, puesto que ´ son particiones cualesquiera de , existe un número real tal que si es una partición infinitesimal (cualquiera) de , entonces dicho

109

número real es igual a y es igual a y, en consecuencia, el mismo es integral de Riemann (no clásica) de en , la cual integral existe, pues, como queríamos demostrar. ∎Teorema 2. Existe la integral de Riemann (no clásica) de una función estándar real de variable real en un intervalo estándar, cerrado y acotado, en el que la función es contínua. Demostración. Si f es una función estándar real de variable real, continua en un intervalo estándar [a, b]  Ori( f ) , entonces es acotada y (como se dice en ∎ )) f es uniformemente continua en [a, b] . Luego, si x, x' son puntos de [a, b] tales que x  x' es un infinitésimo entonces f ( x)  f ( x' ) es un infinitésimo. Luego, si P  {xo , x1 , x2 ,..., xn1 , xn } es una partición infinitesimal (cualquiera) de , entonces, por ser continua (y, en consecuencia, uniformemente continua) si , entonces (utilizando las notaciones del ∎ ) es un infinitésimo. Así, pues, si es un número real mediano positivo (cualquiera) entonces

110

Luego, para todo número real mediano y positivo (siendo un número real estándar y positivo) se cumple que , de donde es un infinitésimo y, en consecuencia, para cualquier partición infinitesimal. Luego, por el Lema 2, existe la integral de Riemann (no clásica), como queríamos demostrar. ∎Consideración de un ejemplo con el fin de familiarizarnos un poco más con las “ maneras de hacer ” específicamente no clásicas. Se trata de calcular el espacio que recorre un móvil desde un instante t  0 hasta un instante t  3 cuando en cada instante t del intervalo estándar de tiempo [0,3] su velocidad instantanea en función del tiempo es v(t )  t , suponiendo, para fijar ideas, que el tiempo viene dado en horas y la velocidad en kilómetros por hora:

111

Como sabemos, el espacio que recorre el móvil en las referidas 3 horas de marcha se determina (en las matemáticas clásicas y, en consecuencia, también en las no clásicas) definiendo que si es el valor de la función espacio en un instante entonces su función derivada en es ´ de donde ´ Luego, hallando una función primitiva de la función velocidad y aplicando la fórmula de Barrow resulta: 3

t2  32 0 2 9 t . dt      o 2 o 2 2 2 3

Así, pues, el espacio recorrido durante las 3 horas de marcha, es de 4’5 kilómetros Veamos, a continuación, como resolver el mismo problema de manera específicamente no clásica:35 Si P = {t o , t1 , t 2 ,..., t n1 , t n } es una partición infinitesimal del intervalo estándar de tiempo [0,3] 35

Esta manera (la no clásica) es más elemental que la clásica, ya que no necesita del concepto de función primitiva, si bien, utilizando este concepto, la clásica (en este caso concreto) resulta más sencilla (o, al menos, más corta) que la no clásica. Pero la razón de presentar aquí un razonamiento no clásico, no es la de que el mismo resulte más sencillo que su correspondiente razonamiento clásico, sino (como ya ha sido dicho) es con el fin de que (tal razonamiento no clásico) sirva para familiarizarnos un poco mas con las “maneras de hacer” específicamente no estándar”.

112

(es, pues, 0  t o  t1  t 2  ...  t n1  t n  3 y un número natural ilimitado) tal que 3 t1  t o  t 2  t1  ...  t n  t n1  , entonces lo que n consideramos (lo que suponemos) es que para cada número natural j tal que 1  j  n , la velocidad en 3·( j  1) 3. j , ] el subintervalo de tiempo [t j 1 , t j ] = [ n n 3 (siendo, pues, t j  t j 1  un número real n infinitésimo) es constante e igual a la velocidad que antes habíamos considerado era la velocidad instantanea en un punto (o instante) cualquiera de dicho intervalo, por ejemplo, en el punto (o instante) t j , la cual es )= · Así resulta que, aplicando la fórmula (espacio) = (velocidad) x (tiempo), cuando la velocidad es constante, el espacio recorrido por el movil durante dicho subintervalo de tiempo es, · Y definimos que el espacio recorrido por el movil en el intervalo de tiempo [0,3] , es la parte estandar de la suma de los espacios recorridos en los subintervalos de tiempo (“ ilimitadamente pequeños ”)

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[t o , t1 ], [t1 , t 2 ],..., [t j 1  t j ],...,[t n1 , t n ] , antes

considerados (con velocidades constantes respectivas, 3·1 3·2 3· j 3·n v(t1 )  , v(t 2 )  ,..., v(t j )  ,..., v(t n )  ), n n n n cuya unión es el intervalo total de tiempo [0,3]. Luego (recordando que, por ser la suma de una 1 n ·n ), el progresión aritmética, 1  2 ···n = 2 espacio total recorrido viene dado por j n

3· j 3 o 1  2 ··· n o 1 1  n 1 1 9 · ) (9· ) (9· 2 · ·n)  9·o (  ) 2 2·n 2 2 n n 2 j 1 n n

 t.dt  ( o

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BIBLIOGRAFIA José M. Bayod y Concepción Masa: Por qué y como introducir el análisis no estándar a nivel elemental en la Universidad. Facultad de Ciencias de la Universidad de Santander. Edward Nelson: Internal Set Theory. Bulletin of the American Mathematical Society. Volume 83. Number 6. Page 1165-1198. November 1977. Francine Diener: Cours d’analyse non standard. Université d’Oran. Département de Mathématiques. Office des Publications Universitaires. 1983. Georges Reeb: La mathématique non standard vielle de soixante ans? 1979. Intuitionnisme, Formalisme, Mathématique non standard et Infinitésimaux. 1983. Université Louis Pasteur. Département de mathématique. Strasbourg. Manuel Suárez: A new approach to nonstandard analysis. Revista de la Academia Canaria de Ciencias. Volumen IX, Núm. 1. Páginas 141-171. 1997.

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