Mestrado en Profesorado de Educación Secundaria Obrigatoria e Bacharelato, Formación Profesional e Ensino de Idiomas
Materiais e recursos para a ensinanza de xeometría en secundaria Materiales y recursos para la enseñanza de geometría en secundaria Materials and resources for teaching geometry at secondary school
Autor: Itinerario:
Fortes Novoa, Alberto
Itinerario Tecnoloxía, Especialidade Matemáticas
Titora do TFM: Centro das prácticas: Data de peche:
44450013Y
Naya Riveiro, Mª Cristina IES Agra do Orzán (Dep. Matemáticas) 10 de xuño de 2014
Este Traballo Fin de Mestrado estĂĄ publicado baixo a licenza de Creative Commons RecoĂąecemento-NonComercial-CompartirIgual 3.0 Unported License.
Agradecementos:
a Cristina Naya,
por dirixirme e apoiarme durante todo o proxecto
a miña familia,
por estar sempre apoiándome e axudándome
Merce, Xesús, Martiño e Brais
a Manchea,
por permitirme “cacharrear” coas tipografías
Tono e Laura
aos compañeiros do mestrado,
por estar sempre ao lado durante este ano
a todos os amigos e compañeiros polos ánimos e interese mostrado
i
Índice
Materiais e recursos para a ensinanza de xeometría en secundaria INTRODUCIÓN
3
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DO PROXECTO
5
Fundamentación psicolóxica
5
Fundamentación sociolóxica
6
Fundamentación pedagóxica
8
Fundamentación metodolóxica
9
Fundamentación curricular
11
DESENVOLVEMENTO DA PROPOSTA Descrición
13 13 15
Deseño dos obxectivos
22
Metodoloxía de traballo proposta
25
Avaliación para a súa aplicación en centros
34
Valoración da aplicación dos materiais, recursos ou ferramentas
35
VALORACIÓN PERSOAL E CONCLUSIÓNS
37
Coñecementos conseguidos nas materias e nas prácticas do Mestrado 37 Nivel de desenvolvemento persoal das competencias adquiridas
40 42
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS E RECURSOS DIDÁCTICOS
43
ANEXOS
47
1
Introdución
INTRODUCIÓN A proposta de Traballo Fin de Mestrado a desenvolver é a “Innovación educativa coa elaboración
metodoloxía da ensinanza de xeometría plana e espacial.
innovación. Por eso é necesario utilizar unha metodoloxía diferente na que incorporar os materiais e recursos, sendo o alumnado o creador do seu propio coñecemento. Esto permitirá que o alumnado teña maior interese pola materia e polos conceptos a desenvolver, sendo os contidos traballados desde unha perspectiva cercana a realidade e a través dun proceso no que eles poden manipular e percibir as pezas xeométricas. O Traballo de Fin de Mestrado organízase en tres partes: fundamentación teórica da proposta, desenvolvemento da proposta e a valoración persoal. No primeiro apartado recóllense os aspectos psicolóxicos, sociolóxicos, pedagóxicos, metodolóxicos e curriculares que corresponderían ao alumnado adolescente co que traballaremos e a súa relación coa metodoloxía para impartir a xeometría. O segundo desenvolve a proposta na que se traballará desde un novo plantexamento metodolóxico, no que o alumnado sexa o que realmente dirixa o seu propio coñecemento a través das diferentes actividades que se farán na aula. As actividades incorporan os diferentes materiais e recursos, buscando que o alumnado unicamente se limite a copiar e memorizar, senón que sexa a través dunha interacción maior cos materiais, para favorecer a comprensión
Finalmente faise unha valoración persoal sobre as competencias e os coñecementos
contacto coa docencia durante o último ano. Dada a experiencia das prácticas, e máis concretamente o traballo desenvolvido no IES Agra so Orzán co alumnado de 3º da ESO, puidemos comprobar o interese que demostraba
3
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
o alumnado cara os novos materiais ou recursos didácticos que se utilizaban na aula. A
que utilizaramos unha nova metodoloxía de traballo na aula na que os obxectivos se puideran acadar a través da manipulación dos recursos polo alumnado. Nunha materia como a de Matemáticas na que a maioría dos conceptos cos que se traballan son moi abstractos para o alumnado de secundaria, a xeometría é unha das ramas da matemática que máis relación ten coa realidade na que viven os rapaces. Baseándose na metodoloxía construtivista, na que o alumnado é o creador do seu propio coñecemento, incorpóranse ao apartado de xeometría materiais e recursos que permite que o alumnado poida manipulalos e traballar con eles buscando unha maior relación coa realidade, axudando e favorecendo a comprensión dos conceptos que se traballan cremos que se pode
4
Fundamentación teórica do proxecto
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DO PROXECTO O traballo busca a adaptación e implantación de materiais e recursos didácticos na aula de matemáticas da educación secundaria para traballar a xeometría, a plana e a espacial,
contexto seguindo o enfoque psicolóxico, sociolóxico, pedagóxico, metodolóxico e curricular do alumnado que cursa secundaria.
Fundamentación psicolóxica A proposta educativa está desenvolvida para o alumnado da ESO, con idades comprendidas entre os 12 e os 16 anos. A educación secundaria obrigatoria, segundo o Decreto 133/2007 polo que se regulan as ensinanzas da educación secundaria obrigatoria na Comunidade Autónoma de Galicia, é “unha etapa importante e complexa no referente a cambios, adaptacións e transformacións,
de maduración das persoas”. (p. 55)
igual en todas as nenas e nenos, estes irán sendo capaces de formular preguntas e hipóteses,
retos que eles poidan enfrontar e resolver. O alumnado poderá desenvolver un razoamento lóxico e conceptual a través da percepción e da manipulación. A adolescencia é a etapa de transición entre o feito de ser neno a ser adulto, e desenvólvese desde os 12 ata os 19 anos. Neste período prodúcense múltiples cambios físicos, debido á
importantes diferenzas no desenvolvemento. Ademais segundo a interpretación de Carretero e León (1990) o desenvolvemento cognitivo e aprendizaxe na adolescencia da teoría de Inhelder e Piaget (1955), caracterízase pola posibilidade de adquisición dun novo estadio das operacións formais, que será un elemento
5
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
teoría piagetiana, e marca a consecución da maduración cognitiva. O estadio das operacións formais presentan unhas características estruturais e funcionais. As estruturais fan referencia á consolidación de estruturas lóxicas máis elaboradas que as das operacións concretas. E as funcionais son tres: a realidade pasa a ser concibida como un subconxunto do posible, o carácter hipotético-dedutivo, e o carácter proposicional. Estas características permiten novas posibilidades de intervención didáctica na secundaria, propoñéndolle retos e problemas que intenten resolver tendo como referencia a realidade, pero a vez podéndose abstraer dela desenvolvendo hipóteses e analizando os resultados. Un dos feitos é que neste estadio, o individuo utiliza as proposicións verbais para desenvolver os seus razoamentos e explicar o que está a desenvolver. Os mesmos autores manifestan que non todo o alumnado nos centros mostra o mesmo nivel de desenvolvemento cognitivo, co que podemos atopármonos na aula con alumnado que
manexar conceptos abstractos e resolver problemas complexos, contradicindo a concepción previa dos fenómenos analizados. Estamos ante o estadio no que posteriormente, no mellor dos casos, se encontrará a poboación adulta, polo que temos que, coa introdución de casos concretos, permitir ao alumnado abstraer os conceptos e poder desenvolver unha nova aprendizaxe. Para poder traballar neste período, no proxecto proponse a utilización de materiais e recursos que lle posibiliten ao alumnado elaborar hipóteses e intentar investigar se os resultados referendan ou refutan as hipóteses formuladas.
Fundamentación sociolóxica Durante a adolescencia prodúcese unha evolución das relacións sociais existentes ata este momento. Segundo Fierro (1990), nun primeiro momento o grupo referente do neno é a familia, a continuación coa entrada na escola incorpórase a un segundo grupo de interacción, e coa chegada da adolescencia os espazos de relación expándense, debilitándose a referencia da familia. E neste momento no que o individuo adquire e desenvolve a personalidade e busca unha certa autonomía persoal.
6
Fundamentación teórica do proxecto
A relación e os lazos que se establecen co grupo de iguais xera unha conciencia de grupo e
que contará a persoa. Seguindo a Delval (2002), outro dos aspectos a ter en conta é a introdución da escola na sociedade, xerando unha escola máis democrática na que os vínculos entre o que ocorre dentro e fóra da escola sexa máis forte. Para que isto ocorra deberiamos introducir nas escolas os problemas cotiáns que se dan no día a día, como material sobre o que traballar no centro e a partir do cal poder aprender, converténdose nunha entidade activa na sociedade de barrio, sendo á vez un centro social para a toda comunidade. Isto permitirá que estas relacións e
sobre as accións que estea a desenvolver.
“As sociedades actuais conceden gran importancia á educación que reciben os seus mozos, na convicción de que dela dependen tanto o benestar individual como o colectivo. [...] Para a sociedade, a educación é o medio de transmitir e, ao mesmo tempo, de renovar a cultura e o acervo de coñecementos e valores que a sustentan, de extraer as máximas posibilidades das súas fontes de riqueza, de fomentar a convivencia democrática e o respecto ás diferenzas individuais, de promover a solidariedade e evitar a discriminación, co obxectivo fundamental de lograr a necesaria cohesión social. Ademais, a educación é o medio máis adecuado para garantir o exercicio da cidadanía democrática, responsable, libre e crítica, que resulta indispensable para a constitución de sociedades avanzadas, dinámicas e xustas. Por ese motivo, unha boa educación é a maior riqueza e o principal recurso dun país e dos seus cidadáns.” (p. 17158) O que demostra que a ensinanza está encamiñada á busca dunha sociedade que dea resposta tanto ao benestar colectivo coma ao individual, e a obter unha cidadanía que estea implicada nos problemas globais e poida participar aportando solucións. Asemade, no currículo de Matemáticas da ESO, recollido no Decreto 133/2007 polo que se regulan as ensinanzas da educación secundaria obrigatoria na Comunidade Autónoma de
7
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
“A selección de materiais, os espazos, os medios, os agrupamentos, etc. son os recursos que utiliza o profesorado para lograr un contorno de aprendizaxe que se adapte ao colectivo de estudantes ao que desexa ensinar, sen perder de vista os obxectivos e as competencias básicas que se deben acadar na etapa.” (p. 292) Isto danos pé a introducir algún dos termos matemáticos relacionados coa xeometría, podendo
No caso do noso proxecto pretendemos que moitas das accións desenvolvidas na aula poidan
desenvolvidas e tamén poder facer un recorrido polos diferentes espazos do barrio para
feitos a través de cámaras ou móbiles. Esta relación permitirá que o traballo non se quede unicamente na aula, podendo xerar debate nas casas do alumnado e no barrio, sendo o propio alumnado o protagonista.
Fundamentación pedagóxica A proposta didáctica está enfocada desde unha concepción construtivista da aprendizaxe, tal e como recollen Martínez e Rivaya (1989) na que mediante o seu traballo o alumnado debe
transcurso da clase. A aprendizaxe prodúcese cando o alumnado chega ao descubrimento a través de múltiples experimentacións, co apoio de bibliografía e materiais adecuados. Para que o coñecemento sexa permanente deben ser os nenos os que o constrúan dun xeito
que transmitía os coñecementos, provocando ás veces falta de motivación no seu alummado.
podendo relacionarse cos coñecementos adquiridos anteriormente. E ademais a aprendizaxe debe ter un carácter funcional, podendo ser utilizado polo alumno nunha contorna próxima e que poida estar relacionada cos problemas reais podendo a partires destes xeneralizar.
8
Fundamentación teórica do proxecto
estimulador, emocionante e complexo. Para o seu desenvolvemento será o docente o que introduza situacións que creen problemas, organice o grupo, documenta o que se está a facer na aula e institucionaliza o saber. Neste momento a introdución de recursos e materiais educativos servirá para que o alumnado poida construír o seu propio coñecemento. Seguindo a Fathman e Kessler (1993), ademais introduciremos o aprendizaxe cooperativo como o traballo en grupo que se estrutura para que todo o alumnado interactúe, intercambie información e poida ser avaliado polo seu traballo. Esta aprendizaxe entronca coa aprendizaxe construtivista, tal como escriben Ariza e Trujillo (2006), caracterizándose polo tamaño, a composición dos grupos, os seus obxectivos, funcionamento e normas. Asemade utilizaremos o Modelo de van Hiele, explicado por Guillén, et al. (1992), é unha teoría de ensinanza e modelo de aprendizaxe da xeometría, deseñado polo matrimonio Hiele, que foron profesores de xeometría en Holanda. O modelo trata de describir as formas de razoamento dos estudantes de xeometría, estruturándoas en cinco niveis de razoamento
a ensinanza para pasar dun nivel a outro (información, orientación dirixida, explicitación, orientación libre e integración). As principais características dos niveis de razoamento son: a
o paso de nivel realízase de forma pausada. Para o desenvolvemento da proposta, intentaremos traballar os niveis 2 (análise) e 3
cooperativa na que se resaltará o traballo en grupo para a obtención dunha aprendizaxe
Fundamentación metodolóxica Segundo Guillén et al. (1992), o modelo de Van Hiele utiliza nos seus tres primeiros niveis, unha ensinanza activa partindo da manipulación polo alumnado de recursos e material
9
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
o alumnado chega ao coñecemento a través do descubrimento e análise das situacións coas que se encontra. Ademáis a psicomotricidade é un ferramenta que se debería seguir utilizando na secundaria
“Neste ciclo a psicomotricidade xa non xoga un papel tan determinante como nos anteriores. Os nosos alumnos xa están nun estadio cognitivo no que a percepción vivida do espazo abrea a posibilidade de contextualizalo, de recoñecer a súa organización, de establecer relacións entre as súas partes e analizalas, etc. Pese ao anterior non renunciamos á actividade psicomotriz neste ciclo polas razóns que expoñemos a continuación: - A experiencia espacial vivida polos alumnos adoita ser moi pobre, e carécese de consciencia acerca dela. - A posibilidade que da unha sesión de psicomotricidade para rachar con timideces, establecer vínculos afectivos e novos modos de comunicación, resultan inestimables á
Segundo Freudenthal (1973): “A xeometría só pode ser sentida se explota a súa relación co espazo vivenciado. Se o educador elude este deber, desperdicia unha ocasión irrecuperable. A xeometría é unha das mellores oportunidades que existen para aprender a matematizar a realidade. É unha ocasión única para facer descubrimentos. Os descubrimentos realizados por un mesmo, coas propias mans e cos propios ollos, son máis convincentes e sorprendentes. Ata que dalgunha forma se
e o descubrimento.” (p. 406) Ante a posibilidade de que con pequenas accións realizadas na aula o alumnado poida realizar
construcción mental dos coceptos. Villarroya (1994) dinos que os materiais deben ser transportables, que poidan ser fáciles de levar, os materiais deberían ser limpos e dun custo reducido, a non ser que poidan ser 10
Fundamentación teórica do proxecto
usados moitas veces. É importante que estes materiais permitan crear na clase diferentes
e Fortuny, (1998): “O material didáctico, xoga un papel fundamental na ensinanza-aprendizaxe da Xeometría. A súa correcta utilización constitúe unha importante baza na adquisición de conceptos, relacións e métodos xeométricos xa que posibilita unha ensinanza activa de acordo coa evolución intelectual do alumno.” (p. 16) Utilizando todas estas referencias o proxecto traballa cos recursos e materiais educativos na aula, na busca dunha maior interacción co alumnado, dun interese pola metodoloxía empregada e polos conceptos que irán descubrindo na interacción cos materiais.
Fundamentación curricular A ensinanza das matemáticas esta rexida por distintas normativas desde a UE, o estado e as comunidades autónomas. Dentro da Recomendación do Parlamento Europeo e do Consello do 18 de decembro de 2006 sobre as competencias clave para a aprendizaxe permanente aparece recollida a competencia
competencia matemática como:
problemas en situacións cotiás. Baseándose nun bo dominio do cálculo, o énfase sitúase no proceso e a actividade, aínda que tamén nos coñecementos. A competencia matemática entraña, en distintos graos, a capacidade e a vontade de utilizar modos matemáticos de pensamento
diagramas).” (p. 15) Sendo un paso clave para o desenvolvemento det al. competencias, e traballada desde diferentes materias e non unicamente desde a materia de matemáticas. A normativa estatal e autonómica réxense polo mesmo criterio, sendo en moitos aspectos idénticas, pero separando a Educación Secundaria Obrigatoria e o Bacharelato. Dentro da
como: “a capacidade de pór en práctica de forma integrada, en contextos e situacións diversos, 11
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
os coñecementos, as habilidades e as actitudes persoais adquiridas.” (p.39). Dentro desas competencias básicas encóntrase a competencia matemática que: “Consiste na habilidade para utilizar e relacionar os números, as súas operacións básicas, os símbolos e as formas de expresión e razoamento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información como para ampliar o coñecemento sobre aspectos cuantitativos e espaciais da realidade, e para resolver problemas relacionados coa vida cotiá e co mundo laboral.” (p. 43) Sendo considerado tamén o manexo e coñecementos dos elementos xeométricos, para a resolución de problemas ou interpretación de enunciados. O traballo na obtención das competencias básicas será fundamental para poder ter as capacidades para o desenvolvemento dunha aprendizaxe permanente ao longo da vida. Ademais as diferentes materias son un medio para poder chegar a conseguir todas as competencias básicas, así por exemplo a materia de matemáticas debería traballar máis competencias ademais da competencia matemática e reforzar o traballo que se desenvolve
traballada na materia de matemáticas. Traballando a xeometría a través de materiais e recursos didácticos, pódense enlazar e
competencias.
(p.17), feito que co desenvolvemento da proposta didáctica se traballarán todos eses ámbitos. Por último, a proposta didáctica segue os elementos curriculares marcados no Decreto 133/2007, como son: as competencias básicas, os obxectivos (xerais e de área), os contidos e os criterios de avaliación.
12
Desenvolvemento da proposta
DESENVOLVEMENTO DA PROPOSTA Descrición A proposta de Traballo Fin de Mestrado é a innovación educativa na elaboración de materiais
ensinanza de xeometría plana e espacial, durante o curso 2014-2015 no centro IES Agra do Orzán. O traballo pretende utilizar materiais e recursos que na actualidade parece que non se usan tanto na aula como se debería, e que permitindo que o alumnado poida manipular e
diferentes situacións que se están a traballar. Entre os materiais e recursos didácticos que utilizaremos para traballar a xeometría está: o
o omnipoliedro, a tensegridade e un software de xeometría dinámica como podería ser o GeoGebra. A continuación faremos unha breve explicación de todos estes materiais que se utilizarán no desenvolvemento do proxecto, utilizando como base o artigo de Ruiz (2010). Tangram O tangram é un xogo chino que conta con 7 pezas xeométricas (5 triángulos de 3 tamaños diferentes, un cadrado e un romboide), que se obteñen de dividir un cadrado. O xogo serve para construír
A construción do noso tangram é moi sinxelo, utilizando o modelo Fonte: Fco. Docampo
Mosaicos Os mosaicos son os recubrimentos do plano mediante as teselas, que son pezas que se superpoñen e non deixan espazos baleiros. Os mosaicos poden ser regulares, semirregulares, non uniformes e semirregulares.
Fonte: liquidslave
13
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
Para a súa utilización na aula podemos utilizar o deseño dos azulexos que existen nas vivendas modernistas ou os mosaicos de Escher. Xeoplano É un cadrado onde se dispón dunha serie de puntos repartidos de maneira regular. Os xeoplanos poden ser cuadrangulares triangulares e circulares, en función da colocación dos puntos. A construción do xeoplano é sinxelo, neceitando unicamenre unha táboa de cortiza ou madeira e unha trama onde colocar Fonte: annielogue
puntas ou chinchetas nos que colocar as gomas.
comprender conceptos xeométricos básicos e desenvolver
tridimensionais.
Fonte: etringita
análise previo e imaxinación, e se potencia o desenvolvemento de estratexias de resolución de problemas. Poliedros e sólidos Na actualidade existen unha gran variedade de materiais de construción que se poden utilizar para o estudio da xeometría tridimensional, como pode ser o Geomag ou o Polidrón. A través da súa contrución pódese analizar a forma e o volume
Fonte: aldoaldoz
podendo encher os sólidos con area ou auga. Omnipoliedro O omnipoliedro é o composición dos armazóns dos cinco sólidos platónicos de forma que cada un está inscrito no seguinte.
14
Desenvolvemento da proposta
xeométricas que se establecen entre os cinco poliedros. A súa construción non é complexa e permitirá que se dea un traballo colaborativo. Tensegridade
Fonte: elsordotic
A través da tensegridade que é un principio estrutural no que se separan os elementos comprimidos (barras) dos elementos
analizar as súas propiedades. Para a súa construción so é necesario usar como barras, elementos de madeiras, e como elemento traccionado, gomas elásticas, cos que crearemos a nosa estrutura autoportante.
Fonte: creación propia
Na era das novas tecnoloxías existen múltiples programas que permiten introducir a xeometría nas aulas de matemáticas a través dos ordenadores e a interacción do alumnado con eles, cambiando as formas e as propiedades. Algún deses programas son o GeoGebra ou o CaRMetal, nos que podemos interaccionar e poder desenvolver e solucionar
Fonte: Fergus Jones
algúns dos problemas.
Introdución Dentro das diferentes programación da materia de matemáticas nos diferentes cursos da ESO,
os contidos traballados durante a primaria ata o traballo con triángulos que se desenvolve no último curso da secundaria. A xeometría, como din Alsina, Fortuny e Pérez (1997), inclúe diferentes aspectos: a ciencia do 15
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
espazo, o método para ver conceptos e procesos matemáticos, e ademais e a unión da teoría e o modelo. E será necesario que no proceso de ensinanza se faga incidencia en todas elas, agora que a xeometría recuperou o interese dentro da materia de Matemáticas. A ensinanza de matemáticas debe incluír de maneira imprescindible unha cultura xeométrica, que permita adquirir unhas habilidades, un vocabulario adecuada, unha visión global das aplicacións xeométricas e un razoamento no que se recolla a utilidade e a beleza da xeometría. Enfoque didáctico da proposta
aprendizaxe Van Hiele, consideramos que o alumnado de secundaria estaría entre o nivel 2 (o
os alumnado é capaz de desenvolver secuencias de proposicións para deducir propiedades. O noso obxectivo e ir avanzando polas diferentes fases de aprendizaxe xeométrico, que son: 1. Información, na que se busca relacionar os novos coñecementos cos coñecementos adquiridos polo alumnado. 2.
, na que o profesor propón unha serie de exercicios para explorar
os novos coñecementos. 3.
, presentación dos resultados obtidos polo alumnado nas súas
investigacións. 4. Orientación libre, cos coñecementos adquiridos os estudantes aplícanos a outras situacións distintas, pero con estrutura semellante. 5. Integración No seguinte cadro basado nun proposto por Alsina, Burgués e Fortuny (1988) exemplifícase a relación entre os distintos niveis e as fases, coas transformacións que se producen no aprendizaxe da Xeometría.
16
Desenvolvemento da proposta
Fases Niveis
0. Recoñecemento
1. Análise
1. Información
Comparar as accións de deslizar, xirar e saltar cos movementos de translación, de rotación e de
Comparar por exemplo: a idea de mediatriz coa de eixo de simetría.
Relacionar as accións de xirar e trasladar coas de doblar.
3. Dedución
4. Rigor
Relacionar o cambio de posición dunha
Relacionar a regularidade coa importancia
superposición mediante dobleces sucesivas.
2. Orientación dirixida
Trasladar, xirar e Encontrar as simetrizar unha propiedades comúns dos puntos que se obteñen ao transformar un punto dado.
Efectuar Efectúa diferentes composicións de todas as composicións de transformacións que deixan invariantes a
3. Explicitación
Explicitar todas as posibilidades de trasladar, xirar ou simetrizar unha
Encontrar todos os elementos de simetría dunha
Explicitar todas as posibilidades de compoñer 2
Explicitar todas as posibilidades de compoñeer 3
Explicitar a estrutura de grupo de simetría.
4. Orientación libre
Resolver un problema polo método das transformacións xeométricas.
Descubrir os elementos contituíntes
Dado un xiro ou unha translación encontrar os eixos de
Dadas 2 posicións dunha
Encontrar a
descompoñen.
que transforma unha posición ou outra.
Estudio da composición xeral de 2
Estudio da xeración de calquera isometría como produto de
5. Integración dos elementos básicos das transformacións xeométricas.
que se conserve ao efectuar transformacións xeométricas Enunciar a noción xeneral de propiedades invariantes.
a composición
seu grupo de simetría.
e teoría de grupos.
Outros dos procedementos importantes a desenvolver son actividades que promovan unha visión espacial, sendo moi importate a utilización de material manipulativo que permita poder ver todas as caras e poder mellorar a visión espacial e describir os diferentes tipos de vistas dos obxectos xeométricos.
Dentro das programacións do centro das materias de matemáticas en secundaria, o bloque de Xeometría é un bloque que se sitúa entre os bloques de Álxebra e o de Representación
necesarios de álxebra para o cálculo de áreas e volumes, resolución de triángulos, ... 17
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
É necesario adquirir os coñecementos de xeometría dun curso para poder entender e aproveitar o seguinte curso, tendo como coñecementos previos os contidos do curso anterior. Moitos dos conceptos traballados no bloque de xeometría utilizaranse en outras materias
importante empezar a falar de xeometría desde o primeiro curso de secundaria.
Contextualización no centro IES Agra do Orzán O traballo de innovación en materiais e recursos educativos está elaborado para os grupos de Secundaria do centro IES Agra do Orzán. O centro encóntranse na rúa Alcalde Liñares Flores s/n da cidade da Coruña, xunto ao complexo municipal do centro cívico do Ágora e a piscina municipal do Agra do Orzán. O
IES Salvador de Madariaga. O centro está adscrito a dous colexios do barrio que son o CEIP Raquel Camacho e o CEIP María Barbeito, a través dos cales acceden o alumnado a primeiro da ESO, tras completar a primaria. Preto da Ronda de Outeiro e dentro do barrio da Agra do Orzán, un dos barrios máis poboados e con maior diversidade cultural da cidade da Coruña, encontrase o instituto onde desenvolvín as prácticas. Os rapaces do centro son orixinarios de moitos países, en primeiro lugar de
India e dos países do Este (Serbia, Rusia…). O nivel socioeconómico do barrio é de carácter medio ou medio/baixo. Os grupos da ESO son bastantes numerosos estando a maioría deles preto dos 30 alumnos, ademáis a maioría das aulas eran pequenas, provocando que algúns alumnos se distraeran e non prestaran atención. Tras a realizacións das prácticas nos cursos de 3º de ESO e 4º da ESO, puidemos comprobar que existía un maior interese e traballo por parte do alumnado ao incorporar novos materiais e recursos, non utilizando en todas as clases o libro de texto. A posibilidade de incorporar unha 18
Desenvolvemento da proposta
metodoloxía diferente a que utilizaban normalmente na aula, na que eles foran os responsables
“Non é a incorporación de tres ou catro ferramentas espectaculares o que caracterizará a nova organización das clases, senón o uso habitual e cotián dunha gama amplísima de materiais, que fagan do aula de matemáticas, tanto na escola primaria como na secundaria, un verdadeiro laboratorio-taller.” (Alonso et al., 1987, p. 41)
do número de caras. A posibilidade de realizar un traballo colaborativo, no que o alumnado se agrupe en grupos,
acercarse ao coñecemento de outra maneira, adquirindo eles o protagonismo da ensinanza.
Contextualización no curriculum dende a perspectiva dos contidos Os contidos traballados no proxecto de innovación na metodoloxía para ensinar xeometría en secundaria, se recollen dentro do Decreto 133/2007, do 5 de xullo, polo que se regulan as ensinanzas de educación secundaria obrigatoria na comunidade autónoma de Galicia. Todos os contidos traballados no proxecto pertencen aos bloques de contidos comúns e xeometría, que corresponden co bloque 1 e o 4, e repítense nos catro cursos da ESO. No bloque de contidos comúns traballaranse ao longo dos catro cursos os seguintes: estratexias e técnicas para a resolución de problemas, interpretacións de mensaxes con
tanto individualmente como en equipo, descrición verbal de relacións espaciais.
(1º curso), a semellanza, teorema de Tales e Pitágoras, poliedros e corpos de revolución, volumes de corpos xeométricos (2º curso), translacións, simetrías e xiros no plano, poliedros e poliedros regulares (3º curso), aplicación da semellanza de triángulos e do teorema de Pitágoras (4º curso). 19
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
A proposta engloba os dous bloques de contidos e a proposta metodolóxica traballa con ambos bloque á vez, nas diferentes actividades.
Contribución ao logro das competencias básicas A proposta pretende contribuír ao alcance das competencias básicas, contempladas no Decreto 133/2007, do 5 de xullo, nos seguintes aspectos: 1. Competencia en comunicación lingüística. A utilización e introdución de novos conceptos xeométricos, creará no alumnado novo
Co traballo en xeometría traballaremos a lectura e comprensión da documentación buscada polo alumnado para traballar co material. 2. Competencia matemática. A competencia matemática traballarase a través do razoamento matemático, na elaboración
xeométricas. Traballaremos no desenvolvemento dun razoamento matemático, que permita poder enfrontarse a situacións espaciais complexas a través dos coñecementos adquiridos previamente. Utilizaremos a aplicación de procesos matemáticos a situacións cotiás, podendo explicalas e comprendelas a través destes procesos. A competencia matemática será a competencia fundamental que traballaremos debido aos contidos da materia. 3. Competencia no coñecemento e na interacción co mundo físico. Utilizaremos a aplicación de procesos matemáticos a situacións cotiás, podendo explicalas e comprendelas a través destes procesos. O traballar co medio próximo permitirá que o
20
Desenvolvemento da proposta
interactuar co espazo.
xunto co manexo de solucións técnicas para crear corpos xeométricos. 4. Tratamento da información e competencia dixital. O alumnado terá que acostumarse a buscar información e seleccionala para poder afrontar os distintos problemas expostos na clase. Esta información buscarase en distintos medios (libros, revistas, internet, blogues, vídeos, ...) e serán eles os que sexan capaces de diferenciar o máis importante e o máis útil para o traballo que realizarán na aula. 5. Competencia social e cidadá. A través do traballo cooperativo entre o alumnado traballaremos dentro da competencia social e cidadá. O traballo colaborativo permitirá que o alumnado poida participar, escoitar outras opinións, tomar decisións, xestionar o grupo, ... O incorporar visións diferentes dentro do grupo
propostas dos demais. 6. Competencia cultural e artística. A relación dos corpos xeométricos coa arquitectura ou a escultura, permitirá que se traballe no acercamento ao arte e a cultura existente, que terá moita relación coa xeometría que traballaremos na aula de matemáticas. A elaboración dalgún dos materiais permitirá traballar a compoñente artística e buscar as
7. Competencia para aprender a aprender. A través da metodoloxía contrutivista, será o alumnado o responsable do seu coñecemento polo que serán eles os que enuncien os problemas e as posibles solucións, seguindo unha metodoloxía que permita afondar no traballo de investigación. Algúns das capacidades que intentaremos conseguir no alumnado será a motivación, o interese, a proposición de problemas e solucións, as relacións entre conceptos aprendidos
21
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
sendo o profesor un guía ou colaborador. 8. Autonomía e iniciativa persoal. No transcurso das clases será necesario a incorporación da iniciativa persoal para transformar os pensamentos en accións que propoñan posibles solucións. Co traballo feito na aula, é importante que o alumnado adquira un coñecemento de se mesmo e unha serie de valores (autocrítica, creatividade, perseveridade, ...) que lle permitan traballar tanto de maneira individual coma colectiva.
Deseño dos obxectivos Obxectivos xerais Segundo a lexislación vixente de secundaria, Decreto 133/2007, na proposta se traballarán os seguintes obxectivos:
respecto ás outras persoas, practicar a tolerancia, a cooperación e a solidariedade entre as persoas e grupos.
como medio de desenvolvemento persoal.
sentido crítico, adquirir novos coñecementos.
artísticas, utilizando diversos medios de expresión e representación.
diversos campos do coñecemento e da experiencia.
tomar decisións e asumir responsabilidades. 22
Desenvolvemento da proposta
lingua castelá, textos e mensaxes complexos.
que realizaron achegas importantes á cultura e sociedade galega ou a outras culturas do mundo.
para o mantemento da nosa identidade. Obxectivos de área Segundo a lexislación vixente de secundaria, Decreto 133/2007, na proposta se traballarán os seguintes obxectivos:
matemática, tanto nas situacións que se suscitan na vida cotiá como nas procedentes
procedementos de medida, técnicas de recollida e análise de datos.
publicidade ou outras fontes de información.
e relacións xeométricas implicadas, valorar a súa compoñente estética e estimular a creatividade e a imaxinación.
etc.) para comprobar propiedades xeométricas.
na vida cotiá de acordo con modos propios da actividade matemática, tales como a exploración sistemática de alternativas, o preguntas ante as apreciacións intuitivas,
dos razoamentos, a perseveranza na procura de solucións ou a necesidade da súa 23
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
individualmente ou en grupo, empregando distintos recursos e instrumentos, valorando a conveniencia das estratexias utilizadas en función da análise dos resultados obtidos e
Obxectivos do bloque de Xeometría Dentro do bloque de Xeometría que se traballa na proposta, os obxectivos a alcanzar son:
relacións de igualdade, incidencia, perpendicularidade, simetría, etc., entre os elementos utilizando a linguaxe adecuado
mediante algún criterio baseado en transformacións xeométricas.
espaciais, sabendo deducir e inducir algunhas relacións ou propiedades fundamentais.
estas se basean (Teorema de Tales e Teorema de Pitágoras).
triángulos.
24
Desenvolvemento da proposta
medir, construír, debuxar, ...
Metodoloxía de traballo proposta
conexións cos procesos cognitivos. Ademais os coñecementos xeométrico e espacial necesitan dunha interacción entre a visualización e a conceptualización. Polo tanto é necesario inculcar ao alumnado o hábito da experimentación a través das súas propias accións, e a colaboración cos compañeiros e co profesorado. A ensinanza de Xeometría debe seguir un traballo de investigación e as actividades propostas deben seguir as seguintes características: a relación de referentes non simbólicos cos conceptos, recorrido desde a intuición ata o coñecemento matemáticos, a comunicación necesaria para construir os conceptos, traballo grupal cooperativo, integración da realidade cotiá e o fomento do traballo con tendencia interdisciplinar. O tipo de actividades propostas serán: propostas de traballo personal, traballo de investigación en grupo, resolución de problemas, traballo de modelización e construción, traballo de linguaxe-comunicación e os elementos de síntese colectiva. Para levar a cabo estas actividades o material é un elemento imprescindible. Os materiais levados a cabo na proposta son aqueles que podemos considerar que son modelos, sendo
que serven para o descubrimento de conceptos, como podería ser o xeoplano ou o cubo de
atopar na aula. Actividades A continuación explícanse as diferentes actividades que se desenvolverán na aula, e nos anexos aparecen os materiais que se utilizarían para levalas a cabo.
25
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
Actividade 1 - Recoñecemento de formas Facer 5 fotografías da contorna e logo explicar as formas xeométricas básicas que aparecen. Nesta actividade o alumnado terá que relacionar o seu contorno coa xeometría, descubrindo as formas xeométricas que poden encontrar ao seu redor. Os recursos que necesitarán son
xeometría. Con esta actividade podemos facer unha avaliación inicial do nivel do pensamento xeométrico
resto de actividades segundo os resultados obtidos
Actividade 2 - Construción de formas poligonais co Tangram
unha serie de requisitos: - Dous triángulo rectángulos grandes, que cada un teña unha área igual a cuarta parte da
- Dous triángulo rectángulos pequenos, que cada un teña unha área igual a metade da
A primeira parte da actividade consistiría en realizar as pezas do Tangram, e para iso partindo dun cadrado en papel ou cartón empezaranse a pensar a localización das pezas e como
No debuxo analizaremos cales liñas son paralelas e cales son perpendiculares e cales son as
As pezas as recortamos e podemos buscar novos polígonos a través da adición ou sustración de pezas, analizando a área e o perímetro dos novos polígonos creados, medir as áreas dos 26
Desenvolvemento da proposta
Outra das actividades complementarias para que o alumnado a realice na súa casa será
relacionalas. Nos cursos máis avanzados podemos volver utilizar o Tangram para comprobar o teorema de Pitágoras, para que será necesario usar dous trangrams chinos, a través dos cales faríamos a demostración a través da suma das áreas dos cadrados con lonxitude igual aos catetos é igual a área do cadrado de lado a hipotenusa. O Tangram serve para construír formas poligonais distintas con certas propiedades invariantes. Aproveitamos o tangram para analizar o principio de mantemento da cantidade pero non da
Actividade 3 - O recubrimento do espazo plano a través de “teselas”
analizar se existen simetrías ou rotacións marcando os eixos de simetría e os centros de rotación. Establecer na clase diferentes grupos, que traballarán partindo do análise dun mosaico
propiedades dos mosaicos, recortando as pezas do mosaico aportado elaborar outro mosaico diferente a través das mesmas pezas. A continuación aportaremos os mosaicos de Escher, facendo que analicen as distintas pezas xeométricas que os compoñen e como sofren simetrías, rotacións e translacións para compoñer un mosaico, podendo abstraer as imaxes do mosaico a elementos xeométricos,
Analizar con que polígonos non poderíamos realizar un mosaico e estudar a causa de que algúns polígonos non permitan xerar mosaicos.
27
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
e compoñendo o propio mosaico. O traballo cos mosaicos permitirá introducir as isometrías e seguir traballando co análise das
e tamén a dimensión do cadrado máis pequeno e do cadrado de maior tamaño. Neste proceso é importante visualizar que hai máis cadrados que os que están en posición horizontal e vertical, existindo uns que forma 45º cos outros. Ao traballar co xeoplano
determinando as cousas. Tamén se analizarán os ángulos e pendentes respecto a horizontal que son capaces de representarse no xeoplano. Co xeoplano podemos completar a actividade previa dos mosaicos elaborando novos mosaicos no xeoplano. Utilizando o xeoplano circular, estudaremos as propiedades do círculo e a esfera, podendo desenvolver os diferentes polígonos regulares inscritos na circunferencia, e desenvolver polígonos estrelados, analizando que número de puntas debe ter un polígono estrelado.
Actividade 5 - O papel como ferramenta para construir xeometría plana Facer diferentes polígonos regulares partindo dunha folla de papel, doblandoa e utilizando un compás, a escuadra, o cartabón e un lapis como recurso de apoio para a elaboración. O primeiro elemento que elaboremos é un cadrado partindo dun rectángulo, recortando o lado longo do rectángulo facendo que teña a mesma medida que o lado curto (este proceso será fundamental para próxima actividade de elaboración de corpos xeométricos a través da xeometría). A partir dese cadrado podemos facer dous triángulos rectángulos isósceles. Utilizando o compás e o lapis poderemos debuxar todos os polígonos regulares inscritos
28
Desenvolvemento da proposta
lados, e a metodoloxía de contruír polígonos a partir de outros polígonos, como pode ser o caso do octógono a través do cadrado, ou o hexágono a través do triángulo equilátero.
Actividade 6 - A utilización do ordenador para manipular a xeometría
para poder traballar coas formas xeométricas dende o ordenador A través dunha aplicación como é o GeoGebra, permítenos ter un espazo en branco onde poder
rotacións. A utilización desta ferramenta servirá de complemento nas actividades de xeometría plana, podendo pasar dunha actividade manipulativa e logo trasladar os coñecementos
Moitos dos conceptos traballados nas actividades anteriores poderán traballarse dunha maneira dinámica e moi intuitiva facendo que cada alumno sexa autónomo e busque solucións
poliedros platónicos, e outros corpos xeométricos espaciais. Na actividade existirán un primeiro proceso de experimentación co papel para desenvolver os poliedros, e posteriormente se facilitarían unhas instrucións a través das cales poder
en grupo xa que pode chegar a ser moi repetitivo a realización da mesma peza varias veces, posibilitando a interacción entre o alumnado.
mediatriz, a bisectriz, os polígonos regulares, o paralelismo ou perpendicularidade. A elaboración dos poliedros permite que o alumnado poida percibir a súa forma e as características fundamentais.
29
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
Actividade 8 - Montaxe de poliedros e sólidos con materiais de construción Contruír corpos xeométricas a través de materiais de construción a través da composición a través de aristas ou a través das propias caras. Utilización de materiais de construción xeométrico como pode ser GeoMag ou Creator, que a través dunha serie de barras e imáns poder realizar corpos xeométricos, relacionándoos cos enlaces iónicos que se estudan en ciencias da natureza ou con estruturas que se poden traballar en tecnoloxía. A posibilidade de elaboración os poliedros permite que o alumnado estude as características das diferentes caras, aristas, o número de caras que teñen para formar un poliedro platónico. O traballo co material de construción facilitará que o alumnado aumente a súa creatividade a través da manipulación dos obxectos.
Actividade 9 - Construción dun omnipoliedro
outros. Esta actividade está pensada para desenvolver coa colaboración da materia de tecnoloxía,
escultórica que colocar nun espacio común do instituto. Para a súa realización é importante facer o estudo da dimensión das diferentes barras que conforman cada poliedro, e pintalas cada unha delas dun color diferente para que unha vez montado podamos visualizar correctamente os diferentes poliedros. Para a elaboración as barras poden ser de madeira ou de PVC, colocando nos bordes unhas charnelas que permitirá unir as diferentes barras a través de bridas de plástico. A súa montaxe permitirá que todo o alumnado colabore no proceso, levando a cabo unha
30
Desenvolvemento da proposta
Actividade 10 - A tensegridade é os corpos xeométricos que se crean
dos cables.
creados nesas estruturas e poder analizar as diferencias entre os cables e as barras, e o porqué da súa disposición.
formas complementarias as dúas actividades anteriores de elaborar corpos xeométricos no
xeométricos.
Secuenciación As actividades propostas levaránse a cabo no bloque de xeometría ao longo de toda a secundaria. As actividades correspondentes coa xeometría plana, das actividades da 1
coñecementoa adquiridos previamente na primaria. No 3º curso da ESO traballarase sobre
traballará con poliedros e diferentes corpos. No último curso se secundaria que está máis relacionado coa resolución de triángulos utilizaráse outra vez o software permitindo que o alumnado desenvolva os exercicios á vez no papel e no ordenador e comprobe que os resultados obtidos correspóndense co esperado.
Sistema de avaliación Seguindo a Alsina et al. (1997), a avaliación debe ser un instrumento que mellore o aprendizaxe,
está aprendendo os conceptos que esperábamos. Dentro do proceso de avaliación teremos que distinguir tres momentos: unha avaliación inicial, unha avaliación de desenvolvemento e outra avaliación de resultados. A avaliación inicial é útil para coñecer a situación de partida do alumnado a través dun 31
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
diagnóstico dos coñecementos previos que os rapaces teñen adquirido. Na avaliación de desenvolvemento se avalía a implantación das diferentes actividades e cal é a reacción do alumnado frente a estas actividades, existindo unha avaliación de seguemento. E no estado
aprendizaxe mediante a realización de memorias do proxecto ou actividade desenvolvida. Como actividad de avaliación inicial se enunciará un pequeno exercicio práctico no que eles
valorar cales son os coñecementos do alumnado, e a base que ten nos cursos anteriores para afrontar os novos contidos. A avaliación do proceso realizarase en cada unha das actividades realizadas, unha parte primordial é a observación do comportamento e do traballo que se desenvolve na aula. Para facer a valoración utilizarase unha grella onde se recollen os diferentes criterios de avaliación. Ademáis se fará un cuestionario de autoevaluación de cada alumno que vai ser anónimo para coñecer o sentimento xeral da clase na realización das actividades.
xeral de cal é o coñecemento e asimilación dos conceptos traballados. A avaliación apórtanos bastante información sobre cómo se desenvolveu o aprendizaxe,
A avaliación seguirá os criterios de avaliación do curriculum, que aparecen na lexislación vixente de secundaria, no Decreto 133/2007:
o coñecemento xeométrico adquirido para inter- pretar e describir o mundo físico e as manifestacións culturais facendo uso da terminoloxía e das formas de representación axeitadas.
instrumentos e a unidade de medida adecuada. 32
Desenvolvemento da proposta
os movementos no plano e utilizar estes movementos para crear as súas propias composicións e analizar, desde un punto de vista xeométrico, deseños cotiás, obras de
os teoremas de Pitágoras e Tales para resolver situacións problemáticas da vida cotiá e do mundo físico.
Atención á diversidade A diversidade de grupos a analizar, desde 1º ata 4º da ESO, e ao estar unicamente cos niveis
diversidade no alumnado, tanto en motivacións, capacidades e intereses. Tomando como referencia o centro onde a multiculturalidade existente é unha realidade, podendo chegar alumnado do estranxeiro a metade do curso, con escaso coñecemento do idioma e con carencias nos coñecementos previos. A través do traballo cooperativo que se desenvolve na aula, faremos que os grupos estéan formados por alumnos heteroxéneos, creando estruturas de vinculación e colaboración entre os compañeiros. A utilización de materiais e recursos permitirá que o alumno que se incorpore poida empezar a comprender os exercicios que se están a traballar a través dos materiais, aínda que non teñan a competencia lingüística adquiridas. A pesares de traballar co material, a metodoloxía será diferente podendo asentar conceptos que non teñen adquiridos para comprender no que traballan os seus compañeiros. A integración dentro da aula permitirá que todo o alumnado o integre e que pouco a pouco se vaia adaptando ao centro e as formas de traballo na aula de matemáticas. A posibilidade de ter durante os primeiros meses de adaptación un profesor de apoio na aula fará que a súa integración sexa máis rápida, e ademais o profesor de apoio pode axudar ao resto de alumnado se teñen problemas con algunha das actividades que están a desenvolver.
33
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
Avaliación para a súa aplicación en centros Para levar a cabo a súa aplicación en centros é necesario a creación dun Laboratorio de Matemáticas onde se recollan os múltiples materiais, que poidan servir para incorporar a metodoloxía empregada polo profesorado. Os materiais ou recursos non teñen que ter un elevado custo, existindo moitos deles de custo nulo. Ademais sería necesario a creación de cursos de capacitación do profesorado para a utilización dese material dentro da aula e que lle puidera sacar o máximo partido, xa que senón eses materiais quedarán eternamente no departamento sen aproveitalos na labor didáctica. A posibilidade de contar con materiais e recursos permitirá que o alumnado poida manipular
conceptos, deducir teoremas, resolver problemas e aplicar solucións á vida real. Na actualidade moitos dos centros de secundaria contan con algún material suministrado pola Consellería de Educación, pero normalmente o profesorado non conta coa formación necesaria para engadir as súa metodoloxía os materias e recursos que se lle facilitan quedando estos
da entrada de novo profesorado, con novos modelos de aprendizaxe, ou coa capacitación de outras metodoloxías que faga que non exista unha separación entre alumando e profesorado, como pasa co manexo das tecnoloxías e ordenadores. A realidade é que na actualidade o alumnado ten múltiples vías para chegar a información, non sendo a única vía a ensinanza, polo que temos que ser modestos e deixar que o alumnado
dos conceptos cos que están a traballar.
Valoración da aplicación dos materiais, recursos ou ferramentas Durante o período de prácticas non foi posible levar a cabo esta proposta xa que aínda estaban
o Traballo Fin de Mestado desde esta perspectiva, levando a cabo unha innovación nas 34
Desenvolvemento da proposta
aulas de secundaria. Os cambios teñen que producirse pouco a pouco, e compartindo as experiencias desenvolvidas para que outros docentes poidan implicarse no proceso e aportar melloras e cambios que mostren outro modelo de dar clase e chegar a un coñecemento que poida ser útil os estudantes no futuro para desenvolverse como persoa. Conseguir que o estudantado poida interesarse polo saber, e que posteriormente siga
e para conseguilo é necesario aproximar o coñecemento aos estudantes facendo que se fale do que realmente lles interesa e desde ese punto desenvolver outros conceptos máis xerais.
A ensinanza da xeometría non é semellante a outros conceptos que se poden traballar en matemáticas xa que forman parte da realidade, como sinalan Nehring, Knorst e Cezar (2006): “[...]em uma outra perspectiva para o ensino da Geometria, que considera o mundo físico como referência em seu estudo, em que a exploração do espaço tridimensional será o ponto de partida para o ensino dos conteúdos, necessitando uma abordagem que permita a abstração sobre o espaço e as formas. A abordagem da Geometria iniciada pelo bidimensional limita a compreensão conceitual, pois exige uma ampla capacidade de abstração pelo aluno, que ainda não possui no ensino fundamental e muitas vezes nem no ensino médio.” (p. 71) A posibilidade de ver outras realidades e outras metodoloxías de ensinar permitiume poder ver outro camiño dende onde poder enfocar a docencia, non só na xeometría senón en moitos outros ámbitos docentes. A realidade está en continuo cambio e nós como docentes debemos
de ensinanza a través da actitude dos docentes, e non a través dos continuos cambios de lexislación educativa.
35
Traballo Fin de Mestrado:
36
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometrĂa en secundaria
Valoración persoal e conclusións
VALORACIÓN PERSOAL E CONCLUSIÓNS Coñecementos conseguidos nas materias e nas prácticas do Mestrado Para realizar a valoración persoal de todo o aprendido durante as prácticas e nos módulos,
recordar cales eran os meus coñecementos e inquedanzas sobre a temática docente antes de empezar o Mestrado. Xa na miña etapa de estudante de primaria e de secundaria, tiña un certo interese polo labor
durante os anos de carreira, dera algunha clase de reforzo en materias como matemáticas ou física, e que organizaramos grupos de estudo universitarios nos que dunha forma colaborativa e cooperativa puidésemos sacar adiante algunhas materias. Con todas esas motivacións incorpórome ao Mestrado na busca das ferramentas e estratexias necesaria para poder nun futuro impartir clase nun instituto, e poder implementalas durante o período de prácticas desenvolvidas no IES Agra do Orzán da Coruña. Nese primeiro módulo xenérico do mestrado, adquirimos o coñecemento da evolución do sistema educativo, e as diferentes reformas e contrarreformas que sufriu o mesmo nos últimos
nos centros. A LOMCE xerounos moitas dúbidas tanto na universidade como logo no centro, xa que aínda existen moitas incógnitas que non se sabe como se resolverán, feito que provoca moita inseguridade no profesorado que teme sentirse continuamente avaliado, buscando a consecución dos mellores resultados do alumnado nunha proba sen a preocupación de que aprendan. Aínda así no instituto observamos unha actitude na que o prioritario é que o alumno poida aprender os contidos e adquirir as diferentes competencias básicas. A asistencia ás Xornadas sobre a LOMCE, organizadas na facultade, permitiunos analizar en profundidade as
debido á demora na aprobación dos decretos que recollen os curriculums das materias. Coñecer a realidade da situación da lingua no sistema educativo permitiunos poder poñer máis atención na aula no período de prácticas, sobre cales eran as políticas lingüísticas que 37
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
se están a utilizar nos diferentes centros da nosa comunidade. A pesares de existir unha lexislación que pretende promocionar o galego, algunhas veces nos centros este quédase relegado unicamente á materia de lingua galega, incumprindo a normativa vixente. Dentro do barrio do Agra do Orzán a labor do profesorado non é unicamente docente, senón que teñen ademais un enfoque social, no que é moi importante a relación coas familias e poder coñecer os motivos dos problemas dos estudantes, tanto no comportamento coma no docente. Para poder realizar este labor é necesario que exista unha relación entre o profesorado das distintas materias co profesorado titor do grupo, e que este poida falar coa familia e indagar nos motivos. O traballo de titorización dun grupo é un traballo moi
aula ou orientar nas posibles saídas profesionais apoiada pola orientadora do centro. Tanto no alumnado coma nas familias obsérvase un certo descoñecemento sobre o sistema educativo, debido á continua reforma do mesmo, feito que xera dúbidas sobre as distintas materias optativas, ou a organización escolar e o curriculum. O acercamento á organización escolar, permitiunos que, unha vez dentro do centro, puideramos coñecer e entender a estrutura e os diferentes documentos que regulan o funcionamento do mesmo. A coordinación é imprescindible para que algo complexo como é un centro de secundaria funcione correctamente. A asistencia a reunións de coordinación ou de avaliación permitiunos ver como é a organización docente e o traballo que debería facer cada profesor. Asemade puidemos comprobar como é a programación e as unidades didácticas que utiliza o profesorado, moitas veces seguindo o propio libro de texto como principal elemento para a elaboración da programación. Esta programación é adaptada en función do grupo, e das características do alumnado non tendo que ser igual en cada grupo do mesmo nivel. Algo interesante foi aprender a relación entre o desenvolvemento psicolóxico e o proceso de aprendizaxe do alumnado dentro da aula e do sistema educativo. A posibilidade de impartir docencia na área de matemáticas permitiunos introducir moitos conceptos e algoritmos imprescindibles para outras materias, sendo necesario adquirir unha competencia matemática para poder á vez adquirir outras competencias básicas. Durante as prácticas salientáronse as principais diferenzas existentes entre a educación 38
Valoración persoal e conclusións
secundaria obrigatoria e o bacharelato, tanto na docencia como na actitude do alumnado. As diferenzas respecto á forma de abarcar a materia puidemos observalo na parte teórica das materias de tecnoloxía para ESO e para Bacharelato, sendo a primeira unha docencia máis experimental e potenciadora do descubrimento, fronte os contidos do Bacharelato que se centra en aprender conceptos e desenvolver a súa aplicación a diferentes teorías, tendo como
a actitude do alumnado é diferente, mostrando maior interese e motivación no bacharelato que na educación secundaria obrigatoria. Para intentar que o estudantado da ESO adquira maior motivación é necesario que os contidos sexan o máis atractivos posible facendo que se interesen pola materia e que eles sexan os que realmente fabrican o seu propio coñecemento.
polo que a dedicación e o traballo é moito maior, buscando uns obxectivos. A realidade atopada nas prácticas foi que as aulas de secundaria eran numerosas, ao redor dos 30 alumnos, o que provocaba que algúns deles se distraeran e non prestaran atención unha vez non entendían algún concepto. A posibilidade de ser dous docentes na aula permitiu poder atender a un maior número de alumnado, dándolle resposta a todos eles, facendo posible un achegamento máis individualizado. Isto fainos pensar nas bondades da posibilidade de que existira un profesor de apoio, que reduciría o ratio de alumnos por profesor e melloraría a atención do alumnado nas diferentes clases, e podería ser un proceso a través do cal poder incorporar ao novo profesorado a colaborar nun centro e ir adquirindo experiencia. Os contidos desenvolvidos en didáctica da matemática, permitíronnos coñecer cales son
posteriormente nas prácticas, nas que o alumnado podía posuír carencias a hora de traballar con determinadas operacións ou conceptos. A posibilidade de analizar e poder descubrir a súa orixe permite enfrontalos mediante a explicación dos conceptos. O coñecemento de diferente material e recursos TICs permitiunos ter unha maior experiencia sobre eles e despois levar
interactúa cos obxectos. Cada vez existen máis aplicacións ou ferramentas informáticas, 39
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
como pode ser o GeoGebra, que permiten visualizar moitos dos conceptos abstractos das matemáticas, permitindo que esta sexa máis sinxela e accesible para que o alumnado a poida entender. Os coñecementos de innovación educativa permitíronnos poder aplicalos posteriormente no período de prácticas, e engadir novas actividades para tentar chegar de outra maneira ao alumnado. Estas actividades serviron para engadir a utilización de novos recursos didácticos que permiten dar unha nova forma de utilización didáctica nas aulas. A posibilidade de levar adiante o deseño dunha unidade didáctica e impartila na aula, permitiunos poder adquirir a parte complementaria que tiñamos adquirido nos módulos
da asimilación dos diferentes conceptos polo estudantado. É preciso día a día analizar o
o que co seu traballo e a experimentación constrúa o seu propio coñecemento, é dicir sexa o protagonista do seu proceso de aprendizaxe. Ademais o docente de hoxe en día ten que aprender continuamente do seu alumnado e a través deste proceso retroalimentar a ensinanza coas achegas do alumnado, creando un espazo de aprendizaxe mutuo igualitario e respectuoso.
Nivel de desenvolvemento persoal das competencias adquiridas A valoración do desenvolvemento persoal das competencias adquiridas para ensinar dentro da especialidade docente fíxose tendo en conta as referencias que aparecen no documento marco do mestrado. Considero que o desenvolvemento foi axeitado nas seguintes competencias asociadas ao módulo xenérico:
intelectuais e emocionais. 40
Valoración persoal e conclusións
comunidade, tanto na adquisición de competencias e aprendizaxe como na educación no respecto dos dereitos e liberdades, na igualdade de dereitos e oportunidades entre homes e mulleres e na igualdade de trato e non-discriminación das persoas con discapacidade.
desenvolvemento do plan lingüístico do centro.
curriculares.
estudantes.
cursada.
empregando indicadores de calidade. Competencias asociadas ao Practicum
correspondentes á especialización.
facilite a aprendizaxe e a convivencia.
41
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
a atención á diversidade nos centros ou adquirir unhas habilidades para traballar con adolescentes. Algúns dos problemas para a adquisición das competencias foi a entrada en
á hora de desenvolver as prácticas.
que non foran asimilados por nós para levalos a aula. A parte que máis nos aportou foi poder estar durante un mes e medio nun centro educativo establecendo relacións co estudantado e vivindo en primeira persoa moitas das experiencias das que goza un docente no día a día nas aulas e poder traballar co alumnado.
Cando empecei o mestrado esperábame poder aprender moito máis do que agora, que estou a rematar, vexo que adquirín neste último ano. As expectativas eran altas, buscando unha formación que dera resposta a moitas das dúbidas que tiña sobre a docencia, pero estas non foron resoltas ata que chegou o período de prácticas no que empezamos da man, imprescindible, do titor a poder percibir cal é a verdadeira realidade docente. As prácticas permitiron momentos de conversa co titor, para poder saber como é a verdadeira realidade dos institutos e tamén cal é a organización, cales son os medos cando empezas a dar clase cando aprobas as oposicións, como participas na organización do centro, ... A posibilidade de desenvolver como Traballo Fin de Mestrado, unha investigación sobre
coñecementos e a práctica previa co traballo que poderán realizar o alumnado de secundaria. Algunha das dúbidas iniciais e algunhas máis seguen aí, pero coa experiencia e pouco a pouco poderemos ir aprendendo cada vez mais sobre a docencia e a forma de organización dos centros, onde posiblemente nun futuro poderemos estar dando clase.
42
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Simposio de Valencia. Valencia: Mestral.
para la ESO. Madrid: Síntesis.
Madrid: Síntesis.
cooperativo. Granada: Grupo Editorial universitario. Recuperado o 7 de xuño, de: http:// fernandotrujillo.es/wp-content/uploads/2010/05/AC_libro.pdf
de Cádiz.
En J. Palacios, A. Marchesi, C. Coll (comps.) Desarrollo psicológio y educación, I. Psicología Evolutiva (pp. 311-326).Madrid: Alianza Editorial
ediciones.
de Galicia, 136, 2007, 13 de xullo. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.edu.xunta.es/ ftpserver/portal/DXC/lexislacion/Lexislacion_secundaria_web.pdf
Barcelona: Ariel.
Contexts. Annual Review of Applied Linguistics, 13. 43
Traballo Fin de Mestrado:
Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
Ediciones.
Marchesi, C. Coll (comps.) Desarrollo psicológio y educación, I. Psicología Evolutiva (pp. 327-338).Madrid: Alianza Editorial
Reidel
A K Peters.
normas APA. Buenos Aires: Biblioteca UCES. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.
proyecto de investigación. La enseñanza de la geometría de sólidos en la E.G.B. Valencia. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.uv.es/gutierre/archivos1/textospdf/GutOtr92.pdf
París: P.U.F.
106, 2006, 4 de maio.
la geometría elemental. Madrid: Síntesis.
44
possibilidade de ensino de tridimensional para o bidimensional. Educação Matemática em Revista-RS, nº 7, p. 69-78.
(comps.) Desarrollo psicológio y educación, I. Psicología Evolutiva (pp. 299-310).Madrid: Alianza Editorial
Boletín das ciencias, nº 73, pág. 101. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.enciga.
primer año de Secundaria. Números. Revista Didáctica de Matemáticas, 78, pp. 73-94. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/78/Articulos_04. pdf
Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, n° 21, pp. 95-104. Recuperado
45
VISTO E PRACE DO PROFESORADO TITOR DA UDC SOBRE O TFM
D.ª Mª Cristina Naya Riveiro, profesora titora do alumno Alberto Fortes Novoa, que realizou o seu TFM do Mestrado Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obrigatoria e Bacharelato, Formación Profesional e Ensino de Idiomas pola Universidade da Coruña coa especialidade de Matemáticas (Itinerario de Tecnoloxía). Considero que o seu traballo foi axeitado ás esixencias que se requirían, e dou o meu visto e prace os efectos, asino este documento no lugar e na data que se indican a seguir. A Coruña, 10 de Xuño de 2014
Asdo. Mª Cristina Naya Riveiro
(Este documento debe acompañar a TFM que presentar o alumnado.) 1 Os criterios para outorgar este visto e prace serán exclusivamente os seguintes:
se establece cal debe ser a estrutura deste.
TFM, con dúas reunións como mínimo.
Anexos
ANEXOS
1. Exemplo de imaxenes a través das cales recoñecer formas (actividade 1)
3. Exemplo de mosaicos e exemplos para traballar con eles (actividade 3) 4. Utilización do xeoplano para dibuxar formas xeométricas (actividade 4) 5. Trazado dos polígonos regulares inscritos nunha circunferencia (actividade 5)
7. Construción do omnipoliedro (actividade 9)
* Xunto os anexos hai varios papeis cadrados que servirán para facer os corpos
47
ANEXO 1 Exemplo de imaxenes a través das cales recoñecer formas (actividade 1) Formas
Cadrado
Triángulos, trapecios e rectángulo.
Pentágonos irregulares e rectángulos
Esfera
Prismas
Hexágonos
ANEXO 1 Exemplo de imaxenes a través das cales recoñecer formas (actividade 1) Fotografías
ANEXO 2 Instruci贸ns montaxe tangram, e figuras para realizar (actividade 2)
Modelo recortable do Tangram
Figuras xeom茅tricas para realizar coas pezas
ANEXO 3 Exemplo de mosaicos e exemplos para traballar con eles (actividade 3)
Mosaico nazarí
Mosaico xeométrico
Partimos analizando os movementos (translacións, rotacións e simetrías) que aparecen nos exemplos expostos, buscando as baldosas o módulo que se reptite e a partir dese módulo poder definir o elemento repetitivo. As instruccións son que a través do mosaico que teñen diante poidan investigar cal é a “figura xeradora” e a partir dela encontrar a “baldosa xeradora“, que é o paralelogramo decorado de área mínima, que a través de isometrías creará a “figura xeradora”.
Mosaico de Escher
ANEXO 4 Utilizaci贸n do xeoplano para dibuxar formas xeom茅tricas (actividade 4)
Xeoplano cuadrangular
Xeoplano triangular
Xeoplano circular
ANEXO 5 Trazado dos polígonos regulares inscritos nunha circunferencia (actividade 5) TRIÁNGULO, HEXÁGONO E DODECAEDRO Comezaremos trazando dous diámetros perpendiculares entre si, que determinarán, sobre a circunferencia dada, os puntos A-B e 1-4 respectivamente. A continuación, con centro en 1 e 4 trazaremos dous arcos, de radio igual ao da circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ela, os puntos 2, 6, 3 e 5. Por último con centro en B trazaremos un arco do mesmo radio, que nos determinará o punto C sobre a circunferencia dada. Unindo os puntos 2, 4 e 6, obteremos o triángulo inscrito. Unindo os punto 1, 2, 3, 4, 5 e 6, obteremos o hexágono inscrito. E unindo os puntos 3 e C, obteremos o lado do dodecágono inscrito; para a súa total construción só teríamos que levar este lado, 12 veces sobre a circunferencia.
CADRADO E OCTÓGONO
Comezaremos trazando dous diámetros perpendiculares entre sí, que determinarán, sobre a circunferencia dada, os puntos 1-5 e 3-7 respectivamente. A continuación trazaremos as bisectrices dos catro ángulos de 90º, formados pola diagonais trazadas, ditas bisectrices determinarán sobre a circunferencia os puntos 2, 4, 6 e 8. Unindo os puntos 1, 3, 5 e 7, obteremos o cadrado inscrito. E unindo os puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, obteremos o octógono inscrito.
PENTÁGONO E DECÁGONO
Comezaremos trazando dous diámetros perpendiculares entre sí, que determinarán sobre a circunferencia dada os puntos A- B e 1-4 respectivamente. Co mesmo radio da circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará os puntos D e E sobre a circunferencia, unindo devanditos puntos obteremos o punto F, punto medio do radio A-O. Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará o punto G sobre a diagonal A-B. A distancia 1-G é o lado do pentágono inscrito, mentres que a distancia O-G é o lado do decágono inscrito. Para a construción do pentágono e o decágono, só resta levar devanditos lados, 5 e 10 veces respectivamente, ao longo da circunferencia.
ANEXO 6 Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7) TETRAEDRO Necesitas 2 cadrados de papel do mesmo tamaño
Necesitas dúas pezas iguais. Desdobra ambas e volve ao cadrado. Dobra a metade e desdobla.
Coloca a esquina inferior esquerda na línea e dobra. Asegurate que
Dobra pola arista. Une os dous puntos marcados e dobra.
Dobra pola arista. Insertar.
Dobrar polas 3 líneas de pliegue e facer unha forma montañosa.
Insertar a aleta na ranura.
Dobra sobre a línea marcada. (cada peza diferente)
Dobra sobre a línea marcada.
Dobra e desdobra.
Dobra e desdobra. Estos son os módulos do tetraedro.
ANEXO 6 Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7) CUBO Necesitas 6 cadrados de papel do mesmo tamaño
Aleta
Bolsillo
Xunta a arista inferiorcoa arista da outra esquina e dobra.
Levantar dobrando polas aristas marcadas.
Aleta Dobra a metade e desdobla.
Inserta.
Este é o módulo do cubo. Necesitamos 6 módulos.
Dobra pola cuarta parte. Desdobra.
Inserta.
Levantar dobrando polas aristas marcadas, inserta as aletas e fai unha forma de caixa.
Encaixa as dúas aletas do úlitmo módulo.
ANEXO 6 Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7) OCTAEDRO Necesitas 4 cadrados de papel do mesmo tamaño
Dobra a metade e desdobla.
Coloca a esquina inferior esquerda na línea e dobra. Asegurate que dobre pola esquina inferior dereita.
Une os dous puntos marcados e dobra.
Dobra pola arista.
Dobra pola arista. Bolsillo
Dobra sobre a línea marcada.
Desdobra e volve ao cadrado. Dobra sobre a línea marcada.
Aleta Insertar os outros dous módulos.
O módulo do octaedro, necesitamos 4 módulos. Insertar.
Xunta a arista esquerda da capa superior coa inferior e dobra. Dobra e desdobra. Xunta a arista esquerda coa liña existente e dobra.
Dobra e desdobra.
Insertar a aletas no bolsillo seguinte e facer o mesmo cos outras tres.
Insertar as aletas nos bolsillos e facer unha forma de taza.
ANEXO 6 Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7) DODECAEDRO Necesitas 12 cadrados de papel do mesmo tamaño
Dobra a metade e desdobla. Fai o mesmo na outra dirección.
Dobra a arista inferior ata a liña do medio. Fai Dobra e desdobraa arista o mesmo coa superior. inferior ata a liña do medio. Fai o mesmo coa superior.
Abre o modelo. As esquinas inferiores van detrás das outras. Xunta a esquina inferior coa liña central e dobra.
Dobra a capa superior cara adiante. Fai o mesmo co reverso.
Bolsillo
Aleta
Xuntar os dous puntos e dobrar.
Desdobra ata o cadrado.
Dobra a esquina superior xunto a inferior.
Xuntar os dous puntos e dobrar.
Insertar todos os módulos da mesma maneira..
Bolsillo
Aleta
O módulo do dodecaedro, necesitamos 12 módulos.
O proceso (vista superior)
Dobra a metade e xunta as aletas. Facer catro dobreces polas liñas marcadas.
Colocar dous módulos enfentados.
Insertar os outros dous módulos. Insertar dous módulos como o diagrama.
Dobrar polas dúas liñas marcadas. Dobra polas dúas liñas marcadas.
ANEXO 7 Construción do omnipoliedro (actividade 9) Para a construción do omnipoliedro, é necesario saber o tamaño do lado dalgunha das figuras para a partir desa saber as dimensións das outras. Tamén é importante pintar cada barra dunha cor para que unha vez montado poder distinguir os poliedros. A súa construción é sinxela e permite que todo o alumnado se implique dunha maneira colaborativa.